Den nye matematikken

Citation preview

Irving Adler

Den nye matematikken Oversatt av Jørgen Randers

OSLO 1965

J. W. CAPPELENS FORLAG

Originalens titel: The New Mathematics Copyright: © 1958 by Irving and Ruth Adler. Norsk utgave: © 1965 J. W. Cappelens Forlag A/ S, Oslo. Trykt hos Emil Moestue A.s, Oslo.

telegrafstyret

biblioteket L.NR,

Innhold

Forord...........................................................

7

1. Tall til å telle med..................................

11

2. Tallsystemer uten «tall»..........................

35

3. Nye tall av de gamle ..............................

45

4. Tall til å måle med..................................

76

5. Vi fyller linjen..........................................

94

6. Vi fyller planet........................................

133

7. De meniges rekker:matrisene................

157

8. Piler som er tall....................................... 170

Resymé av de grunnleggende definisjonene 192

Forord

I det daglige liv gjør vi ofte bruk av hele tall som 1, 2, 3 og 4; tall som fremkommer når vi teller samlinger av gjenstander. Vi bruker også brøker, f.eks. | og som frem­ kommer når en foretar målinger. Dette er øyensynlig to forskjellige slags tall, fordi brøker aldri kan fremkomme ved telling alene. Fortjener da begge deler å kalles tall? Når en sier at brøken | er lik det hele tallet 2, hva betyr da dette? Hvordan kan en type tall være lik en helt annen type tall ? Dette er spørsmål blant dem den moderne matematikk har utforsket, og som den også har funnet svar på. Det er andre, lignende spørsmål: Av og til bruker vi tall som kvadratroten av to. Dette synes å være et meget unnvikende tall som nøler med å gi seg til kjenne. Enten skjuler det seg blygt bak symbolet ]/2, eller det tilkjennegir seg stykkevis som desimal-tall: 1.4, 1.41, 1.414, i en prosess som aldri ender. Hvorfor oppfører ikke dette tallet seg skikkelig og slår seg til ro som en anstendig, alminnelig brøk med en endelig teller og en endelig nevner som kan bestemme dets verdi en gang for alle ? I elementær algebra stilles vi overfor de negative tall, og vi lærer slike mystiske regler som at produktet av to negative tall er et positivt tall. Hvor kommer en slik regel fra? 7

Elektroingeniørene bruker tallet ]/ — 1 i ligningene som beskriver vekselstrømmens oppførsel. Dette tallet kalles «imaginært» selv om det ikke er noe imaginært ved den elektriske strømmen det er med på å beskrive. Matema­ tikerne forsikrer oss om at det er et ekte tall, selv om det ikke er reelt. Hva er meningen med et slikt paradoks ? Dette er noen av de spørsmålene vi skal ta for oss i denne boken, idet vi tar våre dagligdagse tall i nærmere øyesyn. Vi finner svarene i det faktum at tallsystemet ikke har vært statisk, men tvert imot har vokst samtidig som vårt begrep om hva som utgjør et tall har forandret seg. Etter som vi i boken følger denne veksten, vil vi gjen­ kjenne de velkjente røttene til de uvante begrepene og betegnelsene i den moderne matematikk. Det er nemlig slik at matematikken, som er en av de eldste vitenskaper, fortsatt vokser med ungdommens livs­ kraft. Den brer seg til stadig nye virkefelter, og arbeider i dag med begreper som er fruktene av en revolusjon i matematisk tenkning som skjedde for hundre år siden. Forbundet med de nye idéene er et nytt vokabular som gir den moderne skrevne matematikk dens karakteristiske «skjønnhet». For matematikeren er de nye idéene, uttrykt ved de nye ordene, et skarpt lys som trenger inn til pro­ blemenes kjerne og hjelper ham med å se og forstå. For legmannen er det nye vokabularet ofte et skjermbrett bak hvilket det foregår ting som han tror han aldri kommer til å kunne forstå. Formålet med denne boken er å fjerne dette skjermbrettet ved å presentere for leseren meningen ved noen av den moderne matematikks grunnleggende idéer. Boken er rettet til den alminnelige leser som er interes­ sert i matematikkens nye utvikling. Den er ikke et opp­ friskningskurs i skolematematikk. Den er ikke et opp­ kok av gamle idéer, men en presentasjon av nye idéer som i alminnelighet bare blir lagt frem for spesialister i videre­ gående kurser på universitetene. Men selv om idéene er

8

videregående, er presentasjonen elementær. Enhver som har hatt realskole-algebra og -geometri skulle være i stand til å forstå og glede seg over denne boken. En typisk videregående matematisk tekst fråtser idag i slike begreper som gruppe, ring, kropp, homomorfisme, isomorfisme og homeomorfisme. Disse uvanlige ordene får det til å se ut som om matematikken har forlatt sitt gamle virkefelt og ikke lenger dreier seg om studiet av tall og rom. Dette er naturligvis ikke riktig. Tall og rom er fort­ satt en vesentlig del av matematikkens kjerne. De nye idéene og begrepene har vokst frem i sammenheng med en mer gjennomtrengende analyse av deres egenskaper. Det som ligger bak begreper som for eksempel gruppe, ring og kropp er de gamle velkjente operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Matematikerne har funnet ut at disse operasjonene ikke bare kan anvendes på tallene. Derfor studerer de dem i deres mest generelle form for å oppdage regler som vil være gyldige i en­ hver sammenheng der operasjonene blir utført. * Den moderne matematiker kjennetegnes ved hans sta­ dige bruk av ordstammen «morf», som betyr form eller struktur, for eksempel i ordene homomorfisme, isomor­ fisme og homeomorfisme. Matematikeren ser på et tallsy­ stem som et kompleks av beslektede strukturer. Han stude­ rer disse strukturene enkeltvis, og i forhold til hverandre. Utforskningen av disse strukturene har avslørt at det ikke er ett tallsystem, men flere tallsystemer, ikke én algebra, men algebraer; ikke geometri, men geometrier; ikke rom, men flere rom. Mens tallenes og rommets egenskaper er blitt generalisert, er matematikkens virkefelt blitt større. Den røde tråd gjennom denne boken er vårt tallsystems utvikling fra de naturlige tall til de hele tall, til de rasjonale tall, til de reelle tall og endelig til de komplekse tall. Selv om denne rekkefølgen av skritt fremover i utviklingen av tallsystemet stort sett følger den historiske utviklingen av tallbegrepet, er ikke oppbygningen av boken krono­

9

logisk eller historisk. Den er logisk oppbygget fra et moderne synspunkt, idet den viser hvordan de forskjellige tallsystemene er beslektet. Utviklingen som skisseres her kan en referere til som «operasjon hårløft». Det naturlige tallsystem (som består av de hele positive tall som brukes ved telling) har defekter som begrenser dets brukbarhet. Historien som presenteres her viser hvordan matematik­ ken har løftet seg selv etter håret, idet den har benyttet det defekte naturlige tallsystem til å konstruere større og bedre tallsystemer som ikke har disse defektene. På alle trinn under dannelsen av utvidete tallsystemer støter vi på enkelte av de strukturene som for tiden vies så meget oppmerksomhet i matematikken, for eksempel grupper, ringer og kropper. Disse moderne begrepene introduseres først ved hjelp av alminnelige eksempler i tallsystemene, deretter vises også mindre vanlige eksemp­ ler. Når en leser avsnittene som er viet disse moderne begrepene vil en forstå at en bare står og napper i hjørnet av et stort teppe som har et vakkert, men innviklet, mønster. Hvis det du ser fra hjørnet pirrer din nysgjerrig­ het angående hovedmønsteret, er det å håpe at du tilfreds­ stiller denne nysgjerrigheten ved systematisk lesning av en standard lærebok. For å få mest varig verdi og glede av denne boken bør den leses med papir og blyant for hånden. Overbevis deg selv om riktigheten av hvert skritt, arbeid deg gjennom alle de gitte eksemplene og lag andre lignende eksempler. Et «Gjør det selv»-avsnitt i slutten av hvert kapitel kan hjelpe til å styrke forståelsen av de nye idéene du har fått i kapitlet.

Tall til å telle med

Ansiktene til de menneskene vi bor sammen med kjenner vi godt. Allikevel er vi sjelden bevisst detaljene ved deres trekk. Hvis vi ser på et kjent ansikt og legger spesielt merke til detaljer som en krumning av leppen eller en linje i pannen, synes det som om vi ser dette for første gang. Og idet vi ser på disse trekkene som vi aldri tidligere har lagt merke til, synes det plutselig som om vi ser inn i en fremmeds ansikt. En lignende erfaring vil vi gjøre når det gjelder hverdagens alminnelige tall. Når vi benytter disse tallene gjør vi bruk av visse egenskaper som de har. Imidlertid er vi så vant til disse egenskapene at vi neppe er klar over at vi bruker dem. Vi skal nå legge spesielt merke til disse egenskapene og notere oss dem. Ved å se på de velkjente trekkene ved de alminnelige tall skal vi komme til å se det underlige nye ansiktet til den moderne matematikk. De første tallene vi lærer å bruke er de som behøves for å besvare spørsmålet «Hvor mange?». Det er tallene 1, 2, 3, 4, 5 og så videre. Det er en uendelig rekke av disse tallene. Vi bruker dem til å telle med, og vi utfører regning, som addisjon og multiplikasjon, med dem. La oss under­ søke disse operasjonene nærmere. TELLING

Anta at du en tirsdagskveld gjerne vil vite hvor mange dager det er igjen av uken. Sannsynligvis vil du komme til å telle på denne måten: Etterhvert som du nevner nav-

11

net på dagene onsdag, torsdag, fredag og lørdag vil du, for hver dag du nevner bøye én finger på din høyre hånd. Etter å ha gått gjennom listen over dager, ender du med å ha bøyet alle fingrene på høyre hånd unntatt tommelen, og du konkluderer med at det er fire dager igjen av uken. I denne fremgangsmåten er det skjult tre viktige mate­ matiske begreper: begrepet avbildning, begrepet enentydig korrespondanse og begrepet kardinaltall. En avbildning er en koblingsoperasjon mellom gjen­ standene i to mengder: til hvert element i den ene mengden tilordnes ett i den andre mengden. De to mengdene er i vårt tilfelle mengden av dager som skal telles og mengden av fingre på din ene hånd. Du foretar en avbildning når du bøyer en utvalgt finger for hver dag du teller. Avbild­ ningen kunne en anskueliggjøre slik: onsdag —> torsdag —> fredag —> lørdag —>

lillefingeren ringfingeren langfingeren pekefingeren

Pilene indikerer at avbildningen har en retning. Du velger en finger for hver dag du nevner. Dette er ikke det samme som å velge en dag for hver finger. For å spesifisere avbildningens retning sier vi at den er en avbildning av de nevnte dagene på mengden av fingre. Den fingeren du har avbildet en spesiell dag på, er dagens bilde ved avbild­ ningen. En annen avbildning er vist i diagrammet under. I denne avbildningen er fem navn avbildet på de fem hele tall fra 20 til 24, ved å tilordne til hvert navn navnebærerens alder i år: Jon 20 Rikard~~~* 21 Odd TI Marie-------------------- ► 23 Eva---------------------- ► 24 12

Denne avbildningen avviker fra den andre på ett vesentlig punkt. De to navnene, Rikard og Odd, avbildes begge på samme tall. Dette er et eksempel på en ikke-enentydig avbildning, der to elementer kan være tilordnet samme bilde. Ved avbildningen av dager på fingre ble to dager aldri avbildet på samme finger. Dette var derfor en enentydig avbildning, der hvert element er bildet av ett annet element. Ved avbildningen av mengden av dager på mengden av fingre på den høyre hånd, ble en av fingrene, nemlig tommelen, ikke brukt i det hele tatt. Av denne grunn er ikke avbildningen av mengden av dager på mengden av fingre reversibel. Hvis en prøver å vende den om, opp­ dager en at det ikke finnes noen avbildning av tommelen på en dag. Av denne grunn ser en ikke dette som noen avbildning, fordi en krever at en avbildning også skal til­ ordne et bilde til hver gjenstand i mengden som det av­ bildes på. Hvis vi imidlertid ser på mengden av de fingre som er bøyet er avbildningen reversibel. Da er det slik at hver nevnt dag har en enkelt finger som sitt bilde og at, i den omvendte avbildning, hver finger har en enkelt spesiell dag som sitt bilde. I så fall sier man at de to mengdene er i enentydig korrespondanse. To mengder er i enentydig korrespondanse når det finnes en reversibel avbildning som til ethvert element i den ene mengden tilordner en og bare en partner i den andre. Diagrammet under viser, ved hjelp av dobbeltpiler, den enentydige korrespondansen mellom mengden av dager og mengden av bøyde fingre: '

onsdag torsdag fredag lørdag



lillefingeren ringfingeren langfingeren pekefingeren

Når to mengder kan settes i enentydig korrespondanse ved en eller annen avbildning, sier vi at de inneholder samme antall elementer, eller at de har samme kardinal­

te

tall. Alle mengder som har samme kardinaltall kan settes i enentydig korrespondanse med hverandre. De danner en familie av mengder som er tilordnet dette kardinaltallet. Hvert kardinaltall har sin egen familie av mengder. For eksempel tilhører alle mengder som bare består av ett element familien av mengder som er tilordnet det tallet vi kaller en. Mengder bestående av to elementer tilhører familien av mengder som er tilordnet det tallet vi kaller to. Mengder av tripler tilhører familien av mengder til­ ordnet det tallet vi kaller tre, og så videre. Enhver mengde man noensinne kommer i kontakt med, tilhører en av disse familiene. Når en spør: «Hvor mange elementer er det i denne mengden ?» er det i virkeligheten det samme som å spørre: «Hvilken familie av mengder tilhører den?» For å besvare spørsmålet går vi frem som følger: vi plukker ut en mengde fra hver eneste eksisterende familie og bruker disse mengdene som standardmengder til å foreta sammenligninger med. Så måler vi den mengden vi er interessert i mot disse standardmengdene, inntil vi finner den som vår mengde kan settes i enentydig korres­ pondanse med. På denne måten bestemmer vi hvilken familie av mengder den tilhører, og følgelig også kardinal­ tallet til denne familien. Dette er hva du gjør når du måler dager mot fingre. Du bruker den mengden som bare består av lillefingeren din som en standardmengde til å representere tallet en. Du bruker mengden som består av lillefingeren og ringfingeren til å representere tallet to. Du bruker mengden som består av lille-, ring- og lang­ fingeren som en standardmengde til å representere tallet tre, og endelig er mengden bestående av lille-, ring-, langog pekefingeren din standardmengde til å representere tallet fire. Dette er årsaken til at du, i dette tilfellet, konkluderte med å si at det er fire dager igjen av uken. Ved andre anledninger bruker vi en tellemetode som er mer avansert, men som allikevel i bunn og grunn er den samme. Vi teller fire gjenstander ved å si til oss selv «en, 14

to, tre, fire». Mens vi teller, setter vi opp en enenentydig korrespondanse mellom gjenstandene vi teller og mengden av uttalte tallord. Den første gjenstanden måles mot meng­ den som består av det ene ordet «en». De to første måles mot mengden bestående av ordene «en, to». De tre første gjenstandene måles mot mengden bestående av ordene «en, to, tre», og så videre. Ved å bruke tallordene til stadig større tall, forstørrer vi etter hvert standardmengden skritt for skritt. Når tellingen stopper, vet vi at det siste tallordet vi brukte er kardinaltallet til den siste standardmengden vi sammenlignet med. Derfor er det også kardinaltallet til de talte gjenstandene. Ved å bruke standardmengder laget av tallord ordnet etter hverandre slår vi en hel serie målinger sammen i én og sitter tilbake med svaret på spørsmålet: «Hvor mange?»

ADDISJON

Et typisk addisjonsspørsmål er å finne summen av tallene 2 og 3. Meningen med dette spørsmålet kan ved hjelp av mengder av gjenstander gjøres klarere på følgende måte: Anta at du har en mengde gjenstander hvis kardinaltall er 2, og en annen mengde av en annen type gjenstander hvis kardinaltall er 3. Det dannes en større mengde når disse to mengdene slås sammen. Hva er kardinaltallet til denne nye mengden? Vi kan besvare dette spørsmålet ved virkelig å lage oss en slik ny mengde og deretter bestemme standardmengden som den kan settes i enentydig korrespondanse med. Dette er fremgangsmåten til begynneren i aritmetikk som først bøyer to fingre og så bøyer tre til, for til slutt å måle mengden av bøyde fingre mot standardmengden bestående av de uttalte ordene «en, to, tre, fire, fem». Erfarne regnemestere benytter seg imidlertid av en snarvei for å komme frem til svaret. Idet de har utført prosessen med sammenslåing og telling av gjenstander mange ganger før, 15

har de resultatet i en addisjonstabell som de husker. Følgelig behøver de ikke håndtere mengder av gjenstander hver gang de vil finne summen av to tall. De «ser» bare etter i tabellen. Det å bruke addisjonstabellen istedenfor å telle på fingrene er mer enn en tidsbesparende bekvemmelighet. Det er en abstraksjonshandling som har endret meningen ved addisjon. Når vi bruker addisjonstabellen utfører vi en operasjon med abstrakte symboler. Denne operasjonen kan nå utføres uten hensyn til hva symbolene stod for i første omgang. La oss se litt nærmere på denne abstrakte opera­ sjonen. Vi har en mengde symboler 1,2, 3, 4 og så videre, som vi kaller tall. Hvis vi velger ut ett av dem, og deretter et annet, tilordner addisjonstabellen et tredje tall til dette paret, et tall som kalles parets sum. Hvis vi for eksempel først velger tallet 2 og deretter tallet 3, bestemmer tabellen tallet 5 som deres sum. Vi valgte tallene 2 og 3 i en be­ stemt rekkefølge, idet vi påpekte at to-tallet ble valgt ut før tre-tallet. Av den grunn kan vi referere til tallparet som det ordnede par (2, 3). Det addisjonstabellen gjør er nettopp å tilordne et bestemt tall, summen, til ethvert ordnet tallpar. Når vi beskriver operasjonen på denne måten oppdager vi at addisjon er en avbildning. Den av­ bilder mengden av ordnede tallpar på mengden av naturlige tall. Vanligvis viser man avbildningen ved en rekke utsagn som disse: 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 2 + 5 = 7, osv. Ope­ rasjonens avbildningsnatur kommer tydeligere frem når man skriver den på følgende måte: (2, 3) —!-» 5 (2, 4) -!-> 6 (2, 5) -U 7 OSV.

16

Plusstegnet over pilen skal minne oss om at den viste avbildningen er den spesielle avbildningen som kalles addisjon. Den er én av en mangfoldighet av mulige av­ bildninger. Hvis vi ville, kunne vi lage en avbildning av tallpar på bokstavene i alfabetet. En kunne avbilde tallpar på guttenavn. En har et enormt utvalg av avbildninger, fordi en kan avbilde en hvilken som helst mengde av gjenstander på en hvilken som helst annen mengde av gjen­ stander, på alle måter en vil. Plusstegnet som symboliserer addisjonen, fremhever for oss at dette er en meget spesiell avbildning med spesielle egenskaper. Nå vil vi undersøke noen av disse egenskapene. For det første legger vi merke til at tallene vi danner ordnede par av er plukket ut av symbollisten 1, 2, 3, 4, 5 osv. For å kunne skjelne denne mengden av symboler fra kardinaltallene de er avledet fra, skal vi gi dem et navn. Vi vil kalle dem det naturlige tallsystem. For det annet skal vi merke oss at det tallet som vi tilordner til hvert ordnet tallpar som dets sum, er plukket ut av den samme mengden - det naturlige tallsystemet. En tilordning som til hvert ordnet par av gjenstander i en mengde tilordner en annen gjenstand valgt ut fra samme mengde, kalles en binær operasjon. Altså er addisjon en binær operasjon med hen­ syn på det naturlige tallsystem. Hvis en slår etter i addisjonstabellen finner en at 1+4 = 5, 2 + 3 = 5, 3 + 2 = 5, 4+1=5. De for­ skjellige ordnede par (1,4), (2, 3), (3, 2) og (4, 1) avbildes alle på det samme bildet, 5. Derfor er addisjon en fleretil-en avbildning. Spesielt har det ordnede paret (2, 3) og paret som frembringes ved å la to og tre bytte plass, (3, 2), samme bilde. Vi kunne skrive 2 + 3 = 3 + 2. Et lignende utsagn gjelder for summen til ethvert ordnet par av natur­ lige tall. Vi finner at 5 + 2 = 2 +5, 9 +16= 16 + 9 osv. Denne egenskapen ved addisjon av naturlige tall kan oppsummeres i følgende regel: Hvis bokstaven a står for et vilkårlig naturlig tall og bokstaven b står for et annet 2. Adler

17

vilkårlig naturlig tall, så er a + b = b + a. Det vil si at dersom de naturlige tallene som adderes kommuterer eller bytter plass, så er summen fortsatt den samme. Denne loven er derfor kjent som den kommutative lov for addisjon, og vi sier at addisjon med naturlige tall er en kommutativ operasjon. Vi er så vant til å bruke den kommutative loven for addisjon at den kan synes selvfølgelig, og knapt være verdt å nevne. Men den trenger spesiell omtale fordi den kommutative lov gjelder for enkelte binære operasjoner som for eksempel addisjon av naturlige tall, mens den ikke gjelder for andre. Et eksempel er en av de andre regneoperasjonene vi lærer i folkeskolen, divisjonen, sym­ bolisert ved tegnet:. Denne operasjonen er ikke kommu­ tativ fordi tallene som divideres i alminnelighet ikke kan skifte plass uten at resultatet forandres. For eksempel er 8 : 2 ikke lik 2 : 8. Hittil har vi omtalt addisjon som en operasjon som utføres på tallpar. Vi kan godt utvide operasjonen til å omfatte tre tall. Vi kan addere tre tall ved først å legge sammen to av dem og deretter addere summen til det tredje tallet. Imidlertid er det slik at dersom vi har tre tall som 2, 3 og 7, oppført i en bestemt rekkefølge, kan vi utføre addisjonen på to forskjellige måter. Vi kan addere summen av 2 og 3 til 7, eller vi kan legge 2 til summen av 3 og 7. Disse to mulighetene kan skrives slik: (2 + 3) + 7 og 2 + (3 + 7). I denne notasjonen angir parentesene hvilken sum man først skal finne. Utfører vi disse addi­ sjonene oppdager vi at det ikke har noe å si hvilken sum vi finner først; resultatet blir det samme hver gang: (2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12 og 2 + (3 + 7) = 2 + 10 = 12. Dette er en egenskap ved addisjon av tre naturlige tall, uansett hvilke tall en velger. Egenskapen kan uttrykkes ved regelen (a + b) + c — a + (Z> + c) hvor a, b og c står for vilkårlige naturlige tall. Denne regelen forteller oss at vi står fritt når det gjelder å assosiere det midterste 18

tallet med tallet til venstre eller det til høyre. Derfor er regelen kalt den assosiative lov for addisjon, og vi sier at addisjon er en assosiativ operasjon. Når det allikevel ikke har noen betydning hvilket tallpar vi legger sammen først, kan vi like godt utelate parentesene og skrive sum­ men av a, b og c som a + b + c, underforstått da at a + b 4- c = a + (b + c) — (fl + b) + c. Den assosiative lov fortjener spesiell omtale fordi den er en spesiell egenskap ved addisjon av naturlige tall, som operasjonen har til felles med noen binære operasjoner, men ikke med alle. La oss for eksempel si at vi lar sym­ bolet g/sn betegne operasjonen «å ta gjennomsnittet av». Det er en binær operasjon som kan utføres på de almin­ nelige hele tall og brøker som en bruker hver dag. I denne notasjonen betyr 8 gjsn 16 gjennomsnittet av 8 og 16, det vil si 12. Symbolet 12 gjsn 12 betyr gjennomsnittet av 12 og 12 som er 12. Symbolet 16 gjsn 12 betyr 14 og på samme måte står 8 gjsn 14 for 11. Den assosiative lov gjelder ikke for denne operasjonen fordi (8 gjsn 16) gjsn 12 ikke er lik 8 gjsn (16 gjsn 12). (8 gjsn 16) gjsn 12 er nemlig det samme som 12 gjsn 12 eller 12, mens 8 gjsn (16 gjsn 12) betyr 8 gjsn 14 eller 11. Ved en skritt-for-skritt prosess kan den kommutative og den assosiative lov for addisjon av naturlige tall utvides til en generell regel for summering av et vilkårlig, endelig utvalg av naturlige tall: Når en legger sammen et endelig antall naturlige tall kan en føre dem opp i vilkårlig rekke­ følge og gruppere dem akkurat som en vil. Summen vil alltid være den samme.

MULTIPLIKASJON

Meningen med multiplikasjon av naturlige tall, kan på samme måte som meningen med addisjon gjøres klarere ved hjelp av mengder av gjenstander. Skal vi multiplisere 2 med 3, setter vi opp en rektangulær oppstilling av gjen­ 19

stander, bestående av to linjer med tre gjenstander i hver linje. Vi finner så kardinaltallet til denne mengden. Gene­

relt finner vi, når vi skal multiplisere tallene a og Z>, kardinaltallet til en mengde som består av a linjer med b gjenstander i hver linje. Svaret kalles produktet av a og b, og det betegnes ved a • b, der vi bruker prikken som et symbol for multiplikasjon. Når vi en gang har funnet produktet av to naturlige tall, kan vi bevare det for frem­ tiden ved å notere det i en multiplikasjonstabell. Og da kan vi skille multiplikasjonsoperasjonen fra dens opprinnelige betydning som var å finne kardinaltallet til en rektangu­ lær oppstilling av gjenstander. Isteden kan en tenke seg multiplikasjonen ene og alene som en avbildning av ord­ nede par av naturlige tall på det naturlige tallsystem. Van­ ligvis viser man avbildningen ved en rekke utsagn som: 2*3 = 6, 2*4 = 8, 2-5 = 10 osv. Man kan imidlertid også, som ved addisjon, uttrykke den ved hjelp av piler: (2,3)^-» 6

(2, 4) —> 8 (2, 5) osv.

10

Siden avbildningen er definert for ethvert ordnet par av naturlige tall, og bildet under avbildningen alltid er et naturlig tall, er multiplikasjon, som addisjon, en binær operasjon med hensyn på det naturlige tallsystem. Fra vår erfaring med multiplikasjon vet vi at 2 • 3 = 3 • 2, at 2 • 4 = 4 • 2, at 2 • 5 = 5 • 2, osv. Generelt, hvis a og b er vilkårlige naturlige tall så er a • b = b * a. Dette er kjent som den kommutative lov for multiplikasjon. Den assosia20

tive lov gjelder for multiplikasjon, akkurat som for addi­ sjon : a • (b • c) = (a • b ) • c. Dette ser vi for eksempel av det faktum at 2 • (3 • 5) = 2 • 15 = 30 og at (2 • 3) • 5 = 6 • 5 = 30. På grunn av denne loven kan vi skrive produk­ tet av tre tall uten parenteser, og allikevel gi det en bestemt mening: a • b • c = a • (b • c) = (a • b) • c. Sammenslåing av den kommutative og den assosiative lov for multiplika­ sjon fører frem til den generelle regel: når en multipliserer et endelig antall naturlige tall, kan en føre dem opp i vil­ kårlig rekkefølge og en kan gruppere dem som en vil. Produktet vil alltid være det samme. Det er enda en egenskap ved multiplikasjon av naturlige tall som binder operasjonen til addisjon. Denne egen­ skap kan best forstås hvis en går tilbake til den opprinne­ lige meningen med multiplikasjon som det å finne kardinal­ tallet til en rektangulær oppstilling, og den opprinnelige meningen med addisjon som det å finne kardinaltallet til en sammenslått mengde. Nedenfor er det trykt en rek­ tangulær oppstilling av stjerner, som består av tre linjer med ni stjerner i hver. Antallet stjerner i oppstillingen er 3 • 9. Siden én linje med ni stjerner kan tenkes som de første fem stjernene forent med fire andre stjerner, kan en skrive 9 = 5 + 4. Altså kan antallet stjerner i den rektangulære oppstillingen også skrives 3 • (5 + 4). Anta nå at man flytter de fem første stjernene i hver linje over til venstre, slik at et mellomrom skiller dem fra resten av stjernene i samme linje. Virkningen er å spalte oppstillingen i to rektangler. Det ene rektanglet har tre linjer med fem stjerner i hver, slik at det inneholder 3 • 5 stjerner. Det andre rektanglet består av tre linjer med fire stjerner i hver linje, slik at det inneholder 3 • 4 stjerner. Siden vi får det opprinnelige rektanglet ved å forene de to mindre rektanglene, er antallet stjerner i det opprinnelige rektan­ glet lik summen av antallet stjerner i de to mindre rek­ tanglene. Dette faktum uttrykkes ved utsagnet 3 • (5 + 4) = (3 • 5) + (3 • 4). Vi kan verifisere riktigheten av dette

21

*******$* ********* ej. *********

***** **** ***** £ ørønt med * * * * ***** ****

utsagnet ved å legge merke til at 3 • 9 = 27, og at 15 + 12 = 27. Generelt, hvis a, b og c står for naturlige tall, så er a • (b + c) = (a • b) + (a • c). På samme måte er (Z> + c) • a = (b • a) + (c • a). Denne regelen er kjent som den distributive lov og den uttrykker det faktum at multiplikasjon er en distributiv operasjon med hensyn på addisjon. Det vil si at multiplikanden kan distribueres blant de enkelte ledd i multiplikatoruttrykket. I denne loven kan ikke mul­ tiplikasjonen og addisjonen bytte plass. Mens 3 + (5 • 4) at addisjon ikke er en distributiv operasjon med hensyn på multiplikasjon. Det er vanlig når en skriver uttrykk som (a • b) + (a • c) å sløyfe parentesene slik at det ser slik ut: a • b + a • c. I et slikt uttrykk, som krever både multiplikasjon og addisjon av tall, er det underforstått at multiplikasjonen utføres først. DE FEM LOVENE

Opprinnelig innførte en de naturlige tall som symboler for kardinaltallene. Så gjorde en disse observasjonene: Det fins to binære operasjoner definert med hensyn på det naturlige tallsystem, en kaller dem addisjon og multipli­ kasjon. Disse operasjonenes egenskaper ligger innebygget i addisjons- og multiplikasjonstabellene. Ved å undersøke disse tabellene fant en de fem lovene som gjelder for det naturlige tallsystem: den kommutative og den assosiative lov for addisjon, den kommutative og den assosiative lov for multiplikasjon og endelig den distributive lov som slår fast at multiplikasjonen er distributiv med hensyn på addisjonen. Disse lovene har spesiell betydning i utvik­ lingen av vårt begrep om hva et tall er. En finner ut at når en utfører beregninger med tall så behøver en ikke tenke 22

på deres opprinnelige betydning som kardinaltall. Det er nok å betrakte dem som abstrakte symboler beslektet med hverandre gjennom addisjons- og multiplikasjonstabeller som de fem lovene gjeld er for. Dette faktum gjør det nærlig­ gende å foreslå følgende definisjon av begrepet tallsystem: Et tallsystem er en hvilken som helst samling gjenstander der to binære operasjoner, kalt addisjon og multiplikasjon, er definert slik at addisjonen er kommutativ og assosiativ, multiplikasjonen er kommutativ og assosiativ og multiplika­ sjonen er distributiv med hensyn på addisjonen. Denne definisjonen er en uavhengighetserklæring for tallsystembegrepet. Den frigjør tallsystemet fra dets kardinaltall-forfedre og tillater det å føre sitt eget liv. Den gjør det mulig for tallsystemet å ekspandere og vokse. Når et tallsystem er definert på denne måten, oppdager en at det ikke bare er ett tallsystem, men tvert imot mange tallsystemer. En oppdager også at det er mulig for ett tall­ system å være en del av et større tallsystem, som atter er en del av et enda større tallsystem, og så videre. I virke­ ligheten er kjernen i denne boken den systematiske kon­ struksjon av større og større tallsystemer, idet en tar de naturlige tall som utgangspunkt. På hvert trinn i utvik­ lingen skal vi se at vi nok en gang har fått et tallsystem fordi det har to binære operasjoner som adlyder de fem lovene: I. aj-b = b-\-a II. (a b) c = a -j- (b -f- c) III. a • b = b • a IV. (a • b) • c = a • (b • c) V. a • (b + c) = a • b + a • c eller (b c) ' a — b - a + c • a STORE OG SMÅ TALL

Det naturlige tallsystem har enkelte vesentlige egenskaper ved siden av de fem lovene. En av dem er at vi kan sam­ menligne størrelsen til to vilkårlige naturlige tall. Tallet

23

5 er større enn 4, og 4 er igjen større enn 3. Begrepene større og mindre er avledet av addisjon på denne måten: Vi sier at b er større enn a, hvis b er lik summen av a og et annet naturlig tall. For eksempel er 5 større enn 4 fordi 5 = 4 + 1; 5 er større enn 3 fordi 5 = 3 + 2. ET SYSTEM I MANGE FORKLEDNINGER

Det er mange måter å skrive de naturlige tallene på. I arabiske tall som vi bruker hver dag, skrives tallene en, to, tre, fire og fem som 1,2, 3,4 og 5.1 romertall skrives de I, II, III, IV og V. På hebraisk skrives de som de fem før­ ste bokstavene i alfabetet. Hvis vi ser på disse forskjellige talltegnsystemene som symboler for kardinaltallene, er de forskjellige måter å representere ett og samme tallsystem på. Imidlertid kan vi også betrakte hvert talltegnsystem som et selvstendig tallsystem, med addisjon og multipli­ kasjon definert ved addisjons- og multiplikasjonstabeller. De arabiske, de romerske og de hebraiske tallene kan altså lovlig refereres til som tre separate tallsystemer. Men tross alt er de tallsystemer som kan brukes om hver­ andre, så selv om de er separate systemer er de likevel på en måte det samme. I neste kapitel vil vi støte på tallsys­ temer som ikke kan brukes om hverandre og av den grunn ikke kan betraktes som samme system. For å kunne vite når tallsystemer kan brukes om hverandre og når de ikke kan, må vi definere hva vi mener med at flere systemer er det samme. Det en vanligvis tar som kriterium er at de må ha samme struktur. For at to tallsystemer skal ha samme struktur, må hvert tall i det ene systemet ha en motpart i det andre systemet. En kan uttrykke dette kravet mer fagmessig ved å si at det må finnes en av­ bildning av det ene systemet på det andre som setter dem i enentydig korrespondanse. Men den enentydige korres­ pondansen er ikke nok. En ønsker også å være sikker på at beregninger utført i det ene systemet fører til samme resultater som beregninger utført i det andre systemet. 24

En sier at to systemer har samme struktur, eller at de er isomorfe, hvis (1) det finnes en avbildning av det ene på det andre som setter dem i enentydig korrespondanse, og (2) at summer og produkter bevares ved denne avbild­ ningen. Kravet kan også uttales slik: Under avbildningen har hvert element i det ene systemet et bilde i det andre. Videre må bildet av summen være lik summen av bildene; og bildet av produktet må være produktet av bildene. Når en sammenligner arabiske og romerske tall kan en sette opp en enentydig korrespondanse mellom dem, som vist delvis i denne tabellen: 1 2 3 4 5 6

♦—>



I II III IV V VI

Hvert system har sin egen addisjons- og multiplikasjons­ tabell, som vist nedenfor i det alminnelige kvadratiske arrangement: —[1 2 3 I II III

Addisjon

Multiplikasjon

IV

1 2 ---2 3

3

4

I

4

5

II

III

IV

V

3

4

5

6

III

IV

V

VI

•

1

2

3

•

I

II

III

1

1

2

3

I

I

II

III

2

2

4

6

II

II

IV

VI

3

3

6

9

III

III

VI

IX

IL III

25

Under avbildningen er II bildet av 2 og III bildet av 3. Summen av 2 og 3 er 5. Summen av II og III er V som er bildet av 5. Altså er summen av bildene lik bildet av summen. Produktet av 2 og 3 er 6. Produktet av II og III er VI som er bildet av 6. Altså er produktet av bildene lik bildet av produktet. Når en betrakter de arabiske og romerske tall som to separate tallsystemer, er disse isomorfe. Selv om tallene i det ene systemet ikke ser ut som tallene i det andre systemet, har slektskapsforholdene, uttrykt i addisjons- og multiplikasjonstabellene samme struktur. Derfor er de to systemene egentlig ikke annet enn én struktur i to forskjellige forkledninger.

NULL OG EN

De arabiske tallene utkonkurrerte alle andre på grunn av deres store fordeler. De er mest bekvemme å bruke fordi de muliggjør skrivning av en uendelig mengde tall med bruk av bare noen få symboler som vi kaller sifre. Denne egenskap oppnås ved å gi samme siffer forskjellige betydninger. I tallet 111 bruker en tre ett-tall og hvert enkelt av dem har sin spesielle betydning. Ett-tallet helt til høyre står for tallet en. Ett-tallet i annen kolonne fra høyre står for tallet ti og ett-tallet i tredje kolonne står for tallet ett hundre. Symbolet samlet står for summen av en, ti og ett hundre. Fordi et siffers betydning er avhengig av dets posisjon i det skrevne tall, sier vi at det arabiske talltegnsystem er posisjonsbestemt system. For å represen­ tere tre hundrer pluss to tiere pluss fem enere skriver en 325. Anta nå at vi ønsker å skrive et symbol som tilsvarer tre tiere. Vi plasserer da et 3-tall i annen kolonne fra høyre. Men hvordan skal vi kunne se at det er annen kol­ onne hvis vi ikke skriver noe i første ? Dette gjør det nød­ vendig å tenke på tre tiere som tre tiere pluss ikke noe, og å innføre et symbol som representerer mangelen på noe.

26

En bruker symbolet 0 til dette formålet, og kaller det null. Ideen om et tall som representerer ingen var opprin­ nelig hinduenes prestasjon, men ble siden overtatt av arab­ erne og bygget inn i deres tallsystem. Null ble et nytt tall i det naturlige tallsystem og måtte derfor inkorporeres i addisjons- og multiplikasjonstabellene på en måte som var konsistent med resten av tabellene. Dette ble gjort ved å bruke følgende regler for regning med null: null pluss et hvilket som helst annet tall gir som resultat samme tall, og null ganger et vilkårlig annet tall gir null. Den første av disse lovene kan skrives symbolsk slik: 0 + x = x, for ethvert naturlig tall x. I senere kapitler skal vi bygge opp andre tallsystemer. Det vil bli nødven­ dig for oss å finne ut om disse tallsystemene inneholder et element som oppfører seg som null i det naturlige tallsystem. Når vi leter etter dette nullelementet, skal vi bruke denne første regelen som vårt kriterium. Dersom et tallsystem inneholder et tall a slik at a + x = x for alle tall x i systemet, sier en at a er et nullelement. Nullelementets fremtredende egenskap er at når det adderes til et annet tall så forblir dette tallet uforandret. Det finnes et naturlig tall som har samme virkning ved multiplikasjon som null har ved addisjon. Dette tallet er en, som oppfyller kravet 1 • x — x, for alle naturlige tall x. Det betyr at et tall forblir uforandret etter multiplika­ sjon med 1. I de tallsystemer vi siden skal se på, vil vi av og til finne et element som har denne egenskapen og som vi da vil kalle et enhetselement. Når vi skriver summer, lar vi alltid symbolet 4- stå for addisjonsoperasjonen. Vi kunne naturligvis, hvis vi hadde lyst, bruke et annet symbol isteden, bare vi ble enige om dets betydning. For eksempel kunne vi bruke sym­ bolet * til å representere operasjonen. I så fall kunne vi skrive den karakteristiske egenskapen til 0 slik: 0 * x — x. På samme vis kunne vi hvis vi ønsket det, forandre sym­ bolet for multiplikasjon. Hvis vi midlertidig brukte sym­ 27

bolet * til å representere multiplikasjon, kunne 1-tallets karakteristiske egenskap skrives slik: 1 * x = x. Likheten i form når en ser på disse to utsagnene under­ streker det faktum at 0 og 1 i virkeligheten har samme egenskap, forskjellen er bare den at de har egenskapen med hensyn på forskjellige operasjoner. Begge er eksemp­ ler på det som kalles nøytrale elementer. I et hvilket som helst system der en binær operasjon er definert og repre­ sentert ved *, vil man, hvis det eksisterer et element e som har egenskapen e * x = x for alle verdier av x i systemet, kalle e et nøytralt element. Med denne bakgrunn kan vi mer presist slå fast hvor­ ledes begrepene nullelement og enhetselement brukes i matematikken i dag. Hver gang en binær operasjon be­ nevnes ved symbolet + og kalles pluss, kaller man opera­ sjonens nøytrale element for et nullelement og benevner det med 0. Hver gang en binær operasjon benevnes ved symbolet • og kalles multiplikasjon, kaller man det nøy­ trale element et enhetselement og benevner det med 1. Vi skal bruke denne konvensjonen mange ganger i senere kapitler. PUNKTER PÅ EN LINJE

Det går an å representere de naturlige tall som punkter på en linje. Ta en hvilken som helst rett linje, velg et punkt på den og kall det 0. Dette punktet deler linjen i to deler. Ta en av dem, velg et punkt på den og kall det 1. Fortsett så med å avsette punkter lengre og lengre vekk fra 0 idet avstanden mellom to punkter settes lik avstanden mellom 0 og 1. Benevn deretter de nye punktene i rekkefølge utover 2, 3, 4, 5 osv. Vi får da en endeløs rekke punkter som er i enentydig korrespondanse med det naturlige tallo

1

2,3

4

5

system. Det tall som er tilordnet hvert enkelt punkt, er 28

dets avstand fra 0, uttrykt med avstanden mellom 0 og 1 som enhet. En kan definere addisjon og multiplikasjon med disse punktene ved hjelp av geometriske konstruksjoner. Her er for eksempel en måte å gjøre det på: Skal en addere a og b, måler en ut fra a, i retning vekk fra 0, en strekning lik avstanden mellom 0 og b. Punktet en kommer frem til ved denne metoden har en avstand fra 0 som er lik a + b. Skal en multiplisere a med b, må en først trekke en ny lengde b

lengde a

lengde a + b

lengde a

lengde b

linje som skjærer den opprinnelige i 0 og deretter bruke samme fremgangsmåte for å tilordne tall til punkter på denne linjen. Plaser punkter 1', 2', 3', 4', 5' osv. på linjen slik at punktene ligger like langt fra hverandre; den inn­ byrdes avstand mellom dem skal være lik avstanden mellom 0 og 1'. Forbind 1' på den nye linjen med a på den opprinnelige. Plaser så V på den nye linjen i en avstand fra 0 lik b. Trekk deretter en linje gjennom b’ parallell med linjen gjennom 1' og a. Denne linjen vil skjære den opprinnelige i et punkt som representerer a • b. Konstruksjonen ved addisjon faller øyensynlig sammen med vanlig addisjon av tall. Konstruksjonen av multipli­ kasjon faller sammen med alminnelig multiplikasjon av denne grunn: Hvis en benevner det punktet en har defi­ nert som produktet av a og b, med x, så er x punktets av­ stand fra 0. Trekantene (0 1' a) og (0 b' x) er likedannede, 29

slik at deres tilsvarende sider er proporsjonale. Altså 1 : b = a : x. Av denne proporsjonen finner en at x = a • b.

Med addisjon og multiplikasjon definert ved disse kon­ struksjonene, er systemet av punkter på linjen isomorft med det naturlige tallsystem. Etter at en har tilordnet tall til punktene på en linje på denne måten, oppdager en at det fortsatt er mange punkter på linjen som ikke har sitt spesielle tall. Alle tallene ligger på den ene siden av 0. Det er ingen på den andre siden. Videre har en ikke tilordnet tall til punktene mellom dem som representerer mengden av naturlige tall. For eksempel er det ikke tilordnet tall til punktene som ligger mellom

30

0 og 1. Dette er en defekt som vi skal rette på etter som vi går frem skritt for skritt. Et av våre hovedformål vil være å bygge opp et tallsystem som har nok tall i seg til at vi kan tilordne et tall til hvert eneste punkt på linjen. Vi håper også å kunne klare dette på en slik måte at det utvidede tallsystem og hele linjen blir isomorfe.

DE NATURLIGE TALL

Hittil har vi støtt på mange forskjellige systemer som er i stand til å representere de naturlige tall. Et system består av de alminnelige arabiske tall, med deres addisjons- og multiplikasjonstabeller. Et annet består av romertallene, med deres tabeller. Et tredje system består av punkter på en linje og passende konstruksjoner for addisjon og mul­ tiplikasjon av dem. Denne mengden av representasjoner reiser spørsmålet: «Hva er nå egentlig det naturlige tall­ system?» En kunne forsøke å besvare dette spørsmålet ved å sette opp en liste over de egenskaper som alle disse tallsystemene har til felles. For eksempel gjelder de fem lovene for alle systemene. Men dette er ikke noe adekvat svar, fordi de fem lovene gjelder for alle tallsystemer, på den måten vi har definert begrepet. Og vi har til hensikt å skaffe til veie tallsystemer som slett ikke kan byttes ut med det naturlige tallsystem. For å definere det naturlige tallsystem må en ikke bare sette opp en liste over de egenskapene som alle dets representasjoner har til felles. En må særlig ta for seg dette tallsystemets spesielle egenskaper. Dette gjøres ved å velge definisjonsegenskapene på en slik måte at alle sys­ temer som har disse egenskapene er isomorfe. Et slikt utvalg av egenskaper som effektivt definerer én og bare en, struktur, kalles et aksiomsystem for strukturen. Her følger et aksiomsystem for det naturlige tallsystem (ikke inkludert 0), som først ble satt opp av matematikeren Peano: 31

En mengde elementer kalles et naturlig tallsystem hvis den har følgende egenskaper:

1) Den inneholder et element som kalles 1. 2) Til ethvert element i systemet svarer ett (og bare ett) annet element som kalles dets etterfølger. 3) To forskjellige elementer har ikke samme etterfølger. 4) Det finnes ikke noe element i systemet som har 1 som sin etterfølger. 5) Hvis en mengde av elementer som tilhører systemet inneholder 1, og mengden til ethvert element den inneholder også inneholder dets etterfølger, da inne­ holder denne mengden hele systemet.

Legg merke til at addisjon og multiplikasjon i det hele tatt ikke nevnes i disse aksiomene. Peano definerte disse operasjonene ved hjelp av sine aksiomer på følgende måte: For vilkårlige naturlige tall x og y er x 4- 1 = etterfølgeren til x; x + (etterfølgeren til y) = etterfølgeren til (x + y); x • 1 = x; x • (etterfølgeren til y) — x ■ y -j- x.

Ut fra disse definisjonene er det mulig å bevise at de fem lovene gjelder for det naturlige tallsystem. Peanos fremgangsmåte når det gjaldt det naturlige tall­ system er typisk for studiet av matematiske strukturer idag. I moderne matematikk defineres ofte en matematisk struktur som en mengde gjenstander som tilfredsstiller et bestemt sett aksiomer. Hvis strukturen som defineres skal være entydig, velges aksiomene slik at alle systemer som tilfredsstiller aksiomene er isomorfe. Forskjellige aksiomsett er blitt formulert for mange av de matematiske struk­ turene som brukes i de praktiske anvendingene.

32

GJØR DET SELV

1. Bruk dobbeltpiler, som på side 13, og sett opp en

enentydig korrespondanse mellom tallene 1, 2, 3, 4, 5 og bokstavene a, e, i, o, u.

2. En addisjonsoperasjon for et system som består av de to elementene a og b, er definert ved følgende tabell: a

b

a

a

b

b

b

a

a) Har dette systemet noe nullelement? b) Vis at addisjonen er kommutativ i dette systemet. c) Vis ved hjelp av tabellen at a + (a + b) = (a + a) + b. 3. La symbolet M stå for den binære operasjonen «å

ta maksimum av». For eksempel betyr 5M7 7, 8M3 betyr 8, 6A46 betyr 6. Sammenlign 8A43 med 3M8. La a og b være to vilkårlige naturlige tall og sam­ menlign aMb med bMa. Er operasjonen M kom­ mutativ? Sammenlign 8M(3M7) med (8M3)A17. La a, b og c være tre vilkårlige naturlige tall og sam­ menlign aM(bMc) og (aMb)Alc. Er operasjonen M assosiativ? 4. I oppgave 2 er det definert en addisjonstabell for en

mengde som består av elementene a og b. Hvis den assosiative lov gjelder for denne operasjonen vil x + (y + z) = (x + y) + z, for alle verdier av x, y og z. a) Den assosiative loven som er nevnt ovenfor er en forkortet måte å skrive de 8 forskjellige utsagn på,

33

som vi kommer frem til hvis vi erstatter x, y og z med enten a eller b. Skriv disse 8 utsagnene. b) Bevis den assosiative loven for dette systemet ved å vise av tabellen at alle de 8 utsagnene er riktige.

2 Tallsystemer uten «tall»

Ordet «tall» slik vi vanligvis bruker det, refererer seg til et symbol som er forbundet med telling eller måling. Vi har brutt med denne bruksmåten i den definisjonen vi gav av begrepet «tallsystem» i første kapitel. Vi definerte der et tallsystem som en hvilken som helst mengde av gjenstander der det er definert to binære operasjoner som de fem lovene gjelder for. I denne definisjonen er det ingen henvisning til telling eller måling. De fem lovene gjelder ene og alene tallenes forhold til hverandre i addisjons- og multiplikasjonstabellene. For å understreke dette faktum separerte vi begrepene naturlige tall og kardinaltall. Mens kardinalitet er en egenskap ved virkelige mengder av gjen­ stander og er nær beslektet med telling, er naturlige tall abstrakte symboler hvis betydning ligger i de formelle regler en behandler dem etter. Allikevel innebærer ikke de naturlige tall den fulle vidde av vårt brudd med den dagligdagse bruk i definisjonen av tall. Innføringen av de naturlige tall medførte separa­ sjon fra kardinaltallene, men ikke skilsmisse. Systemet av kardinaltall lurer fremdeles i bakgrunnen, fordi det er isomorft med det naturlige tallsystem. Dette faktum kan vekke tillive en mistanke om at det i virkeligheten ikke har skjedd noen vesentlig forandring i vårt begrep av tall, slik at tallene fortsatt er sterkt knyttet til telling og måling. Imidlertid er en virkelig forandring skjedd ved innføringen av vår definisjon av begrepet «tallsystem». Formålet med 35

dette kapitlet er på en overbevisende måte å demonstrere dette faktum ved å lage tallsystemer uten «tall». Disse tallsystemene skal bestå av elementer som ikke har noen direkte forbindelse med telling eller måling, og som derfor ikke er «tall» i vår vanlige betydning av ordet. Allikevel vil de danne ekte tallsystemer etter vår definisjon. UNDERMENGDER I EN MENGDE

Vi skal konstruere disse tallsystemene ved hjelp av det enkle begrepet mengde. En mengde er en hvilken som helst samling av gjenstander. De gjenstandene som tilhører en mengde, kalles mengdens elementer. En mengde defineres ved å spesifisere hvilke gjenstander som er elementer i mengden. Dette kan gjøres ved å fastsette en eller annen regel som elementene kan finnes etter, eller ved ganske enkelt å stille opp elementene. Symbolet som i alminne­ lighet brukes for å betegne en mengde, er et par krøllparenteser, med mengdens elementer stilt opp mellom dem; eller med regelen som de kan finnes etter skrevet mel­ lom dem. For eksempel er dette en mengde bestemt ved en regel: {naturlige tall større enn 4, men mindre enn 10}

Den samme mengden kan representeres ved å stille opp elementene: {5, 6, 7, 8, 9}

Andre mengder kan dannes ut fra en gitt mengde ved å fjerne noen av dens elementer. Hvis vi, for eksempel, fjerner elementene 5, 7 og 8 fra mengden ovenfor, har vi tilbake mengden {6, 9}. Det er bekvemt å utvide mengde­ begrepet til også å omfatte det som er tilbake hvis vi fjerner alle elementene. Det vil resultere i en «mengde» med ingen elementer, og vi omtaler denne mengden som nullmengden. For å symbolisere denne mengden skal vi bruke et par parenteser uten noen elementer stilt opp mellom 36

dem. En mengde som er fremkommet ved å fjerne ingen, noen eller alle elementene i en gitt mengde, kaller vi en undermengde i denne mengden. For eksempel har mengden {x, y, z} åtte undermengder, som vist nedenfor: {x, y, z} {x}

{x, y} M

{x, z} {z}

{y, z} { }

Legg merke til at den gitte mengden er sin egen under­ mengde og at nullmengden likeså er en undermengde. OPERASJONER MED UNDERMENGDER

Skal vi definere et tallsystem må vi først spesifisere hva systemets elementer skal være. Vi vil bruke som elementer, alle undermengdene i en gitt mengde. La oss som et eksempel lage et tallsystem av undermengdene i {x, y, z}. La oss, for å lette omtalen av dem, tilordne et navn til hver av undermengdene. Vi skal bruke store bokstaver som navn, på følgende måte: I = {x, y,z} D = {x} A = {x, y} E ={ B = {x, z} F = {z} C = {y,z} 0 ={ } Symbolene I og 0 er inkludert blant navnene av årsaker som vil bli klarere senere. Det neste skritt er å definere to binære operasjoner med hensyn på disse elementene. En binær operasjon er defi­ nert når man setter opp en eller annen regel som til ethvert par av undermengder tilordner en eller annen bestemt undermengde i listen. Vi definerer operasjonen union av to undermengder ved hjelp av følgende regel: Unionen av to undermengder er den undermengden som fremkommer når en som dens elementer, tar de elementene som er med i den ene eller den andre av de undermengdene som forenes. For eksempel inneholder A elementene x og y. B inne­ holder elementene x og z. De elementene som er med i den ene eller den andre undermengden er x, y og z. Altså

TELEGRAFSTYRET Biblioteket

37

er unionen av A og B mengden {x, y, z}, som vi har kalt I. Operasjonen union skal være addisjonsoperasjonen i tallsystemet vårt. Imidlertid skal vi ikke bruke plusstegnet til å representere den. Isteden skal vi bruke symbolet u. Unionen mellom A og B vil vi skrive A u B, og lese «A union B». Vi har allerede sett at A u B — I. Frem­ gangsmåten når en skal finne unionen av to undermengder, ser vi av følgende eksempler: IU C = {x, y, z} U {y, z} = {x, y, z} = I D u E = {x} U {y} = {x, y} = A C U 0 = {y, z} U { } = {y,z} = C Resultatene av alle mulige unioner kan oppsummeres i følgende tabell over unioner (addisjonstabellen for tall­ systemet vi konstruerer):

u

I

A.

B

C

D

E

p

0

I

I

I

I

I

I

I

I

I

A

I

y^

I

I

A

A

I

y^

B

I

I

B

I

B

I

p

B

C

I

I

I

C

I

c

c

(J

D

I

A

B

I

D

A

B

P)

E

I

A

I

C

E

C

E

p

I

I

B

(p

B

C

p

p

0

I

y^

B

(J

D

E

p

0

Den andre binære operasjonen vi skal definere, er å danne snittet av to undermengder. Snittet av to undermengder er den undermengden som fremkommer når en som dens elementer, tar alle de elementene som finnes i begge de 38

undermengdene vi tar snittet av. For eksempel inneholder A elementene x og y. B inneholder elementene x og z. Det er bare elementet x som er med både i A og B. Derfor er snittet av A og B undermengden {x}, som vi har kalt D. Vi vil la snittoperasjonen være multiplikasjonsoperasjonen i det tallsystemet vi holder på å lage, og vi vil benevne den med symbolet n. Snittet mellom A og B vil vi skrive A n B, og lese «A snitt B». Altså ser vi at A n B = D. Når to undermengder ikke har noen elementer til felles, er deres snitt lik nullmengden. Fremgangsmåten når en skal finne snitt, ser en av følgende eksempler: I n C = {x, y, z} n {y, z} An D= {x, y}n {%} B n 0 = {x,z}n{} EnF = {y} n {z}

= {y, z} = C = {x} = D = { }=0 = { } =0

Resultatene av alle mulige snitt kan oppsummeres i føl­ gende tabell over snitt (multiplikasjonstabellen for tall­ systemet som vi konstruerer): B

c

D

E

p

0

B

c

D

E

p

0

D

E

D

E

0

0

D

B

p

D

0

p

0

C

E

p

c

0

E

p

0

D

D

D

D

0

D

0

0

0

E

E

E

0

E

0

E

0

0

p

F

0

p

p

0

0

p

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n

I

I

I

y^

A

y^

y^

B

B

(J

39

DE FEM LOVENE GJELDER

De fem lovene som er nevnt på side 22, gjelder for operasjonene union og snitt. En kan bevise dette faktum ved å gå tilbake til den opprinnelige definisjonen av disse operasjonene. La oss undersøke lovene en av gangen for å se om de gjelder.

1) Den kommutative lov for addisjon. Union er vår addisjonsoperasjon, så vi må undersøke om X u Y = Y 'UX, der X og Y representerer vilkårlige undermengder i I. X u Y betyr mengden av de elementene som er med i X eller i Y. Y u X betyr mengden av de elementene som er med i Y eller i X. Dette er nødvendigvis samme mengde, slik at lov nummer 1 gjelder. 2) Den assosiative lov for union. Vi må undersøke om (Jfu Y) u Z = Xu (Y u Z). Mengden (X u Y) u Z er mengden som består av de elementene som er med i X eller i Y, eller i Z. Mengden Xu (Y u Z) er mengden som består av de elementene som er med i X, eller i Y eller i Z. Dette må nødvendigvis være samme mengde, slik at lov nummer 2 gjelder. 3) Den kommutative lov for multiplikasjon. Snitt er vår multiplikasjonsoperasjon, så vi må undersøke om X n Y = Y n X. X r\ Y betyr mengden som består av de ele­ mentene som er med i både X og i Y. Y n X betyr meng­ den som består av de elementene som er med i både Y og i X. Disse mengdene er nødvendigvis like, slik at lov nummer 3 gjelder.

4) Den assosiative lov for snitt. (X n Y) n Z betyr mengden som består av de elementene som er med i X og i Y, og likeledes i Z. X H (Y n Z) betyr mengden som består av de elementene som er med i X, og likeledes i Y og i Z. Det er da klart at (Xn Y) n Z = Xn (Y n Z), og at lov nummer 4 gjelder.

5) Den distributive lov. Vi må undersøke om X n (Y u Z) = (X n Y) u (V n Z). X n (Y u Z) betyr mengden av 40

de elementer som er med i Jf og i T eller Z. (In Y) U (X n Z) betyr mengden av de elementer som er med i X og Y, eller i X og Z. Det er klart at dette er samme mengde slik at lov nummer 5 gjelder. Siden de fem lovene gjelder, danner systemet av under­ mengder i Z, med operasjonene union og snitt, et tall­ system. Lignende tallsystemer kan en konstruere av undermengdene i en hvilken som helst gitt mengde. I vårt ek­ sempel startet vi med en mengde som inneholdt tre ele­ menter og fant at den hadde åtte undermengder. Resul­ tatet var et tallsystem med nøyaktig åtte «tall». Hadde en begynt med et annet antall elementer, ville en ha endt opp med et tallsystem med et annet antall «tall». For eksempel vil en mengde med to elementer ha fire under­ mengder. En mengde med fire elementer har seksten undermengder. En mengde med fem elementer har trettito undermengder. Generelt har en mengde med n elementer 2" undermengder.

NULLELEMENT OG ENHETSELEMENT

Tallsystemet vi har konstruert har både nullelement og enhetselement. Siden unionen er vår addisjonsoperasjon, må nullelementet ha den egenskap at når en tar unionen av det og et vilkårlig annet element i systemet, så forblir dette elementet uforandret. Et blikk på unionstabellen på side 38 viser at nullmengden har denne egenskapen. Det er derfor vi brukte symbolet 0 til å representere den. Siden snitt er vår multiplikasjonsoperasjon må enhetselementet ha den egenskap at når en tar snittet av det og et vilkårlig annet element i systemet, så forblir dette elementet uforandret. Et blikk på snitttabellen på side 39, viser at den opprinnelige mengden I har denne egenskapen. Vi valgte symbolet I til å representere denne mengden på grunn av Zens likhet med tallet 1. 41

SPESIELLE EGENSKAPER

Tallsystemet som vi nettopp har konstruert av undermengdene i {x, y, z} har, som vi allerede har sett, enkelte egenskaper til felles med det naturlige tallsystem. Blant annet gjelder de fem lovene for begge systemene, og begge har et nullelement og et enhetselement. Imidlertid har vårt system også noen underlige egenskaper som er full­ stendig ukjente i det naturlige tallsystem. Noen av disse er nevnt her. 1) Av tabellene kan en se at for hvert element X er X\JX=X og X(~\X=X. Det vil si at unionen av en undermengde med seg selv resulterer i samme undermengde, akkurat som snittet av en undermengde med seg selv resulterer i samme undermengde. I det naturlige tall­ system er dette unntagelsen fremfor regelen: 0 + 0 = 0, men 2 + 2 er ikke 2, 1 • 1 = 1, men 2 • 2 er ikke 2. 2) Vi har allerede observert at snittet er distributivt med hensyn på unionen. Vi kan også vise at unionen er distri­ butiv med hensyn på snittet. Det vil si at vi i stadfestelsen av den distributive lov kan la union og snitt bytte plass. Dette er også forskjellig fra det som gjelder for det natur­ lige tallsystem. Der var det slik at selv om multiplikasjonen var distributiv med hensyn på addisjonen, så var ikke addisjonen distributiv med hensyn på multiplikasjonen.

3) Til enhver undermengde i systemet kan vi finne en annen som inneholder akkurat de elementene som den første ikke har. Vi kaller denne andre mengden for komple­ mentet til den første, fordi de, selv om de ikke overlapper hverandre (deres snitt er 0), tilsammen danner den opp­ rinnelige mengden (deres union er /). Hvis X er en vilkårlig undermengde i systemet benevner vi dens komplement med X'. I systemet av undermengder i {x, y, z}, er A = {x, y}, slik at A' = {z} = F. På samme måte er B' = E, C = D, og F = 0. Operasjonen «å ta komplementet» har følgende egenskaper : 42

x n x' = o, i u x' = r, (xy = x. Likeledes gjelder den svært nyttige loven som er kjent som De Morgans Lov: Komplementet til en union er snittet av komplementene; og komplementet til et snitt er unionen av komplementene. Skrevet i symbolspråk sier loven at: (X u Y)' = X' n Y';(Xry Y)' = X' u F. At denne loven er riktig kan en forvisse seg om ved å legge merke til at en union består av elementene i en mengde eller i en annen, et snitt består av elementene i en mengde og i en annen, mens komplementet består av ele­ mentene som ikke er i en bestemt mengde. De Morgans lov sier da at «ikke i verken X eller Y» er det samme som «ikke i X og ikke i Y»; og at «ikke i både F og Y» er det samme som «ikke i X eller ikke i Y» Litt tenking vil overbevise deg om at disse utsagnene er korrekte. LOGIKKENS ALGEBRA

Det tallsystemet vi har konstruert i dette kapitlet er bare ett av en hel familie tallsystemer som har lignende egen­ skaper. En kaller dem Booleske algebraer. Den typen strukturer de representerer er ikke bare en matematisk merkverdighet. De har viktige praktiske anvendelser i studiet av logikk, og ved konstruksjonen av elektroniske regnemaskiner. I logikken studerer vi forholdet mellom utsagn. Analysen av disse forholdene kan utføres i sym­ bolspråk på følgende måte: La alle utsagn eller setninger være representert ved bokstaver som p, q eller r. Bruk symbolet u for «eller», symbolet n for «og», og sym­ bolet ' for «ikke» slik vi allerede har gjort. Bruk 0 for gale utsagn og I for riktige utsagn. I denne notasjonen blir klassen av utsagn og deres logiske forhold en Boolesk algebra. De Booleske algebraer er oppkalt etter den engelske matematikeren George Boole som var en pioner i studiet av den symboliserte logikk. 43

GJØR DET SELV

1. Benevn undermengdene i {x, y} på følgende måte:

/ = {x,y},A = {x},B = {y},0 = | } = nullmengden. a) Lag en tabell for operasjonen union for dette systemet av undermengder. b) Lag en tabell for operasjonen snitt. 2. La / representere {a, b, c, d, e, f, g, h]

La X representere undermengden -[a, b, c, d}. La / representere undermengden {a, b, e, f, gj a) Hvilke elementer er med i X', komplementet til Xi /? b) Hvilke elementer er med i Y', komplementet til Yi /? c) Hvilke elementer er med i X' u Y'? d) Hvilke elementer er med i X n Y? e) Hvilke elementer er med i (X n Y)'? f) Sammenlign svarene på c) og e) og vis at X' u Y' = (X n y)'. 3. Skriv opp alle de seksten undermengdene i

{a, b, c, d}.

3 Nye tall av de gamle

SPØRSMÅL SOM IKKE HAR SVAR

I vår daglige bruk av de naturlige tall forekommer det at vi ved siden av å addere og multiplisere dem, også subtra­ herer dem, eller trekker dem fra hverandre. Operasjonen subtraksjon kan defineres ved addisjon. Symbolet 5 — 3 stiller egentlig dette spørsmålet: «Hvilket naturlig tall må en legge til 3 for å få 5?». Fordi svaret på spørsmålet er tallet 2, sier en at 5 — 3 = 2. En kaller svaret for diffe­ rensen mellom 5 og 3. Spørsmålet kan også skrives som en ligning, *4-3 = 5, og svaret på spørsmålet er da ligningens løsning. Vår suksess da vi søkte differensen mellom 5 og 3, frister oss til å forsøke å finne differensen mellom to fritt valgte naturlige tall. Men da kommer vi opp i vanske­ ligheter. Anta for eksempel, at vi forsøker å finne diffe­ rensen mellom 3 og 5, skrevet som 3 — 5. Først må vi tyde symbolet som et spørsmål. Det lyder: «Hvilket natur­ lig tall må vi legge til 5 for å få 3 ?». Uheldigvis er svaret at det ikke finnes noe slikt tall. I det naturlige tallsystem kan en ikke subtrahere et hvert fritt valgt tall fra et annet fritt valgt tall. Subtraksjonen er bare mulig dersom sub­ trahenden er mindre eller hk minuenden. Hvis a og b står for vilkårlige naturlige tall, har ikke alltid uttrykket a — b mening. Hvis en betrakter det som ensbetydende med spørsmålet: «Hvilket naturlig tall må legges til a for å gi b?» så har ikke dette alltid et svar. Bruker en ligningen 45

x b — a, som jo spør samme spørsmål, så har den ikke alltid løsning. Dette er en defekt ved det naturlige tallsystem som begrenser dets brukbarhet. For selv om spørsmålet 3 — 5 er meningsløst i det naturlige tallsystem så finnes det praktiske problemer som fører til nettopp slike spørsmål. For eksempel, hvis temperaturen er 3 grader, hva vil den være etterat temperaturen har sunket 5 grader ? Det ville være nyttig å ha et tallsystem som inne­ holdt et tall som kunne brukes som svar på dette spørs­ målet. Denne defekten ved det naturlige tallsystem som vi nå har oppdaget, utfordrer oss. Kan vi lage et tallsystem som ikke har denne defekten? Kan vi bygge et tallsystem der subtraksjon alltid er mulig, for fritt valgte tall tatt i vilkårlig rekkefølge; slik at a — b alltid har mening og x + b = a alltid har løsning? Vi skal se at vi kan det. De av leserne som har hatt realskolealgebra vil huske at et tallsystem som inneholder «negative» så vel som «posi­ tive» tall kan brukes til dette formål. Men i matematikk­ timene ble man servert dette systemet som et ferdigpro­ dukt, sammen med visse mystiske regler som gjaldt for systemet, for eksempel regelen om at «produktet av to negative tall er et positivt tall.» I det følgende tar vi ikke eksistensen av et slikt tallsystem for gitt. Vi beviser dets eksistens ved virkelig å lage det. Vi skal også fjerne mys­ tikken omkring dets regler ved å avlede dem fra de vel­ kjente reglene som gjelder for det naturlige tallsystem.

DIFFERENSFAMILIER

Når vi nå skal konstruere et forbedret tallsystem, skal vi bruke et ganske interessant hjelpemiddel. Symbolet a — b spør oss et spørsmål som ikke alltid har et svar. For å være sikre på at det vil ha et svar i det nye systemet, lar vi spørsmålet være sitt eget svar! Vi sier som så: la ethvert uttrykk som 5 — 3, eller 3 — 5, eller 2—7 representere et tall i det nye systemet. For å rettferdiggjøre dette må

46

vi definere addisjons- og multiplikasjons-operasjoner for disse underlige «tallene» og deretter vise at de sammen med disse operasjonene virkelig utgjør et tallsystem. Imidlertid kommer vi opp i vanskeligheter allerede før vi tar det første skritt i denne retningen. I det naturlige tallsystem har 5 — 3 et svar, og dette svaret er 2. Men 2 — 0, 3 — 1, 4 — 2, 6 — 4 og en uendelig rekke lignende symboler representerer også 2. Så en kan ikke ganske enkelt la hvert enkelt slikt symbol stå for et enkelt tall i det nye systemet. Det en må gjøre er å la alle disse sym­ bolene representere samme tall, akkurat som de gjør det i det naturlige tallsystem. Vi ordner denne vanskeligheten ved å bruke, ikke enkle symboler skrevet som «differenser» mellom to naturlige tall, men hele familier av slike differenser som elementer i vårt nye system. Det første skritt på veien må da være å definere en regel som kan avgjøre om to slike symboler tilhører samme familie. Vi får en pekepinn om hvordan vi kan gjøre dette, når vi undersøker differenssymbolene som representerer tallet 2. Differensene 3 — 1 og 6 — 4 representerer samme tall. Legg merke til at dersom vi adderer det venstre tallet i det ene symbolet til det høyre tallet i det andre, får vi samme sum: 3 + 4 = 64-1. Vi skal bruke dette for­ holdet som kriterium når vi skal avgjøre om differenser tilhører samme familie. Vi er nå klar til å utføre konstruksjonen skritt for skritt. Først tar vi alle mulige ordnede par av naturlige tall, som 7 og 5, 3 og 9, 15 og 1 og så videre, og skriver ut «diffe­ rensen» til tallene i paret, tatt i en bestemt rekkefølge. Siden differensene ikke alltid har mening i det naturlige tallsystem, skal vi ikke bruke et alminnelig minustegn når vi skriver dem. Isteden skal vi bruke symbolet ~ for å minne oss om at det ikke dreier seg om noen virkelig subtraksjon av naturlige tall, men at det hele bare er et symbol som er grunnet på subtraksjonen. Så nå har vi symboler som 7 ~ 5, 3 ~ 9, 15 ~ 1 og så videre. Hver

47

av disse vil vi kalle en «differens» mellom naturlige tall. Så assosierer vi til hver differens en hel familie differenser på følgende måte: Familien som hører til diffe­ rensen a består av alle differenser u ~ v for hvilke a + v = u 4- b. For å betegne familien som tilhører en differens, skriver vi denne differensen i parenteser. Følge­ lig betyr (a ~ b) familien av differenser som « ~ b tilhører. Symbolet (3 ~ 1) betyr differensfamilien som 3 ~ 1 til­ hører. Vi har allerede sett at også differensen 6 ~ 4 til­ hører denne familien, fordi 3 + 4 = 6 + 1. Vi kaller disse differensfamiliene for heltall. De skal være elemen­ tene i vårt nye tallsystem. Vi observerer straks to egenskaper ved disse familiene som vi kaller hele tall: 1) En differens hører til sin egen familie. For eksempel hører 3 ~ 1 til (3 ~ 1). Dette er en følge av det faktum at w ~ v tilhører (a ~ b) hvis a v = u -f b. I dette tilfelle er a = 3,6=l,u = 3ogv=log3+l = 3 + l. Generelt hører a ~ b til (a ~ b) fordi a + b = a + b. 2) Hvis den ene av to differenser tilhører familien til den andre, så har de samme familie. Anta for eksempel, at a ~ b tilhører familien (c ~ d). Vi kan da vise at ethvert medlem i (a ~ b) tilhører (c ~ d) og omvendt. Hvis p ~ q tilhører (a ~ b) er, ifølge kriteriet på medlemskap i en familie, a + q — p + b. Imidlertid hører a ~ b til (c d) slik at c + b = a + d. Adderer vi disse to likhetene får vi a-\-b-\-c-fq-=a-\-b-\-p-\-d. Tar vi så vekk a + b på begge sider får vi at c + q = p + d. Men dette er det samme som å si at p ~ q tilhører (c ~ d). Et lignende bevis som gjennomgår den samme kjeden av skritt bak­ lengs, viser at ethvert medlem av (c ~ d) også tilhører (a ~ b). Altså har familiene (a ~ b) og (c ~ d) samme medlemmer, og er derfor samme familie. Den andre egenskapen til disse familiene som vi kaller hele tall, har følgende konsekvenser: For det første til­ hører hver differens ett og bare ett, heltall. For det annet 48

kan et heltall representeres ved å stille opp mellom paren­ teser, en hvilken som helst av de differensene som tilhører det. Derfor representerer (3 ~ 1), (4 ~ 2), (5 ~ 3) alle sammen samme hele tall. For det tredje kan kriteriet på medlemskap i et heltall også brukes på likhet mellom heltall. Det vil si at heltallene (a ~ b) og (c ~ d) er like hvis, og bare hvis, a + d = c b. For eksempel er det tilstrekkelig, dersom en vil vise at (3 ~ 1) = (4 ~ 2), å påvise at 3 + 2 = 4 + 1.

ADDISJON OG MULTIPLIKASJON AV HELE TALL

Vi definerer nå addisjon og multiplikasjon for systemet av hele tall. Vi tilordner en sum til et vilkårlig ordnet par av heltall ved hjelp av følgende definisjonsligning: (a ~ b) + (c ~ d) = (a + c ~ b 4- d) Symbolet på høyre side av ligningen representerer et hel­ tall fordi når a og c er naturlige tall, så er også a + c et naturlig tall. På samme måte er b + d et naturlig tall. Altså era + c~Z>4-t7en differens mellom to naturlige tall, og det finnes et tilhørende helt tall. Vi tilordner et produkt til et vilkårlig ordnet par av hel­ tall ved hjelp av følgende definisjonsligning:

(a ~ b) • (c ~ d) = (a • c + b • d ~ a • d 4- b • c) Også her representerer høyre side et heltall fordi symbolet inne i parentesen representerer en differens mellom to naturlige tall. Legg merke til at når en skal finne summen av to hele tall gjør en bruk av de naturlige tallene hvis differense er stilt opp i parentesen som representerer disse hele tallene. Dette faktum peker på et problem som vi må se nærmere på. Hvert heltall er en differensfamilie. Et hvilket som helst medlem av familien kan stilles opp for å representere det. Hvis vi velger ut en annen differens til å representere de 3. Adler

49

hele tallene vi adderer, vil vi da fortsatt få samme sum? Hvis vi ikke gjør det er jo vår addisjonsdefinisjon ubruke­ lig. Imidlertid viser definisjonen seg å være velvalgt. Hvis en følger de anvisningene den gir for beregning av summen til to heltall, kommer en frem til samme resultat uansett hvilket medlem av familien en bruker til å representere den. Vi skal ikke oppta plassen med å bevise dette faktum her, men vi skal verifisere det i noen spesielle tilfeller. Anta at vi ønsker å addere (5 ~ 3) og (6 ~ 5). Bruker vi definisjonen finner vi at (5 ~ 3) + (6 ~ 5) = (5 + 6 ~ 3 + 5) = (11 ~ 8)

Imidlertid kunne vi ha representert (5 ~ 3) med (4 ~ 2) fordi 54-2 = 4-|-3. På samme vis kunne vi ha represen­ tert (6 ~ 5) med (5 ~ 4) fordi 6 + 4 = 5 + 5. Benytter vi så vår definisjon på disse representasjonene for de to hele tallene finner vi at

(4 ~ 2) + (5 ~ 4) = (4 + 5 ~ 2 + 4) = (9 ~ 6)

Ved å bruke forskjellige representasjoner for de tallene vi legger sammen, fikk vi svar som ser forskjellige ut. Men, selv om de ser forskjellige ut, så er summene de samme:

(11~8) = (9~6) fordi

11+6 = 9 + 8.

Det samme problemet reiser seg i forbindelse med vår definisjon av multiplikasjon av hele tall. Definisjonen gjør bruk av spesielle differenser som tilhører de hele tall­ ene. Men det kan vises at det ikke har noen betydning hvilken av differensene en velger som heltallets represen­ tant. Alle fører til samme produkt allikevel. Så det er ingen tvetydighet når det gjelder våre definisjoner av addisjon og multiplikasjon. HELTALLENE DANNER ET TALLSYSTEM

Vi har nå et system av elementer som vi kaller hele tall, med en addisjonsoperasjon og en multiplikasjonsoperasjon definert for dette systemet. Skal en vise at heltallene

50

danner et tallsystem, må en vise at de fem lovene fra side 22 gjelder for operasjonene. Som et eksempel på hvorledes et slikt bevis kan utføres skal vi gjennomføre et detaljert bevis for den kommutative lov for addisjon. La (a ~ b) være et vilkårlig helt tall, og (c ~ d) et annet. Vi skal nå vise at (a ~ b) + (c ~ d) = (c ~ d) 4(tz ~ b). Benytter vi definisjonen for addisjon av hele tall finner vi at (a ~ b) + (c ~ d) = (a 4- c ~ b 4- d), mens (c ~ d) + (a ~ b) = (c + a ~ d + b). Men den kommutative lov for addisjon gjelder for de naturlige tall, slik at aic = c- aogb-td=d-b. Dette beviser at (a + c ~ b + d) og (c 4- a ~ d + b) er samme hele tall. Av denne grunn er (a ~ b) + (c ~ d) = (c ~ d) + (a ~ Z>), og den kommutative lov for addisjon gjelder for de hele tall. De fire andre lovene bevises på lignende måter, idet en bruker definisjonene for addi­ sjon og multiplikasjon og det faktum at de fem lovene gjelder for de naturlige tall.

NULL OG ENHET

La oss addere (0 ~ 0) til et vilkårlig annet heltall (a ~ b). Følger vi definisjonen for addisjon finner vi at (0 ~ 0) 4(a ~ b) = (0 + a ~ 0 + b) = (zz ~ b) idet 0 4- a = a og 0 4- b = b. Med andre ord: når en adderer (0 ~ 0) til et fritt valgt heltall forblir dette heltallet uforandret. Derfor er (0 ~ 0) nullelement i systemet av hele tall. Heltallet (0 ~ 0) er som alle andre heltall en differensfamilie og kan representeres ved en hvilken som helst av disse differensene. En kan vise hvorledes disse differensene må se ut, ved å bruke kriteriet på medlemskap i et heltall. Differensen x~y tilhører differensfamilien (0~0) hvis, og bare hvis, 0 4- y = x 4- 0, eller y = x. Det vil si at en differens tilhører heltallet (0 ~ 0) hvis, og bare hvis, det venstre og det høyre tallet er like. Altså er (1 ~ 1),

51

(2 ~ 2), (3 ~ 3) og så videre, andre skrivemåter for nullelementet i systemet av hele tall. La oss se hvordan heltallet (1 ~ 0) oppfører seg ved multiplikasjon. Følger vi definisjonen for multiplikasjon, finner vi at (1 ~ 0) • (a ~ 6) = (1 • a + 0 • ~ 1 • /> + 0 • d) = (a + 0 ~ b + 0) — (a ~ b). Med andre ord for­ blir ethvert heltall uforandret etter multiplikasjon med (1 ~0). Derfor er (1 ~ 0) enhetselement i systemet av hele tall. Det kan også skrives på formen (a + 1 ~ d) der a er et fritt valgt naturlig tall. Dette følger av prøven på likhet mellom hele tall, fordi a+l+0=l+a.

NEGATIVE HELE TALL

Vårt formål med å lage et system av hele tall var å finne et tallsystem der ligninger på formen X + B = A alltid har løsning. For å bevise at vi har klart dette, må vi inn­ føre et nytt begrep, begrepet negative tall. Vi sier at et tall er negativen til et annet dersom summen av dem er null. I det naturlige tallsystem er det bare ett tall som har en negativ. Det er tallet 0, og det er sin egen negativ fordi 0 + 0 = 0. Ikke noe annet naturlig tall har en negativ, fordi hvis et naturlig tall forskjellig fra 0 blir lagt til et annet fritt valgt naturlig tall så er summen alltid forskjellig fra 0. På dette punkt er systemet av hele tall ganske anner­ ledes: I systemet av hele tall har nemlig ethvert tall sin negativ. Vi beviser dette faktum ved ganske enkelt å lage negativen til ethvert heltall. La (a ~ b) være et fritt valgt helt tall. Da er (b d) dets negativ, fordi (a ~ b) + (b ~ d) = (a + b ~ b + d) = heltallet null, idet det venstre tallet er lik det høyre tallet i den oppstilte differensen i parentesen. Og da ethvert tall har sin negativ, innfører vi et spesielt symbol som betyr «negativen til». Minustegnet brukes til dette formål. Hvis A står for et helt tall, så bru­ kes — A til å representere negativen til A. Vi er nå i stand til å vise at ligningen X + B = A alltid

52

har løsning når X, A og B står for hele tall. Vi har brukt store bokstaver til å representere heltall, slik at en ikke skal forveksle dem med naturlige tall. Ethvert heltall er en familie av differenser mellom naturlige tall, slik at lignin­ gen også kan skrives på denne formen: (x ~ y) + (c = (tz ~ b). Vi løser ligningen ved å addere negativen til (c ~ d) på begge sider. Vi får da

(x ~ y) + (c ~ d) + (iZ ~ c) = (a ~ b) + (d ~ c). Men summen av (c ~ d) og (d ~ c) er heltallet null. Og heltallet null lagt til (x ~ y) lar det forbli uforandret. Så vi får at (x ~ y) = (a ~ b) + (d ~ c) = (a + d ~ b + c). Skal en for eksempel løse (x ~ j) + (8 ~ 1) = (3 ~ 2) må en legge til (1 ~ 8) på begge sider. Da får en (x ~ y) = (4 ~ 10). På side 45 så vi at å løse ligningen X + B = A var det samme som å subtrahere B fra A. Siden ligningen alltid har løsning i systemet av hele tall, betyr det at subtraksjon alltid går an i dette systemet. I virkeligheten antyder vår måte å løse ligningen på en passende definisjon av opera­ sjonen subtraksjon av hele tall. Å subtrahere et helt tall vil si å addere dets negativ. Denne definisjonen har mening i systemet av hele tall, hvor ethvert tall har sin negativ. En kunne ikke ha definert subtraksjon av natur­ lige tall på samme måte, fordi det ikke er riktig at ethvert tall har en negativ i det naturlige tallsystem.

VI HAR FORTSATT DE NATURLIGE TALL

Blant de hele tallene er det noen spesielle heltall som (0 ~ 0), (1 ~ 0), (2 ~ 0), (3 ~ 0) og så videre, som skrives ved å stille opp en differens der det høyre tallet er 0. Disse spesielle hele tallene kalles de positive hele tall. De kan settes i en-til-en korrespondanse med de naturlige tall ved å koble sammen 0 og (0 ~ 0), 1 og (1 ~ 0), 2 og

53

(2 ~ 0) og så videre. Generelt er i denne korrespondansen hvert naturlig tall a paret med det positive heltall (a ~ 0). La oss se hva som skjer når vi adderer eller multipliserer to fritt valgte positive heltall (a ~ 0) og (b ~ 0). Summen får vi lik (a ~ 0) + (b ~ 0) — (a + b ~ 0). Altså er summen av to positive hele tall selv et positivt heltall. Produktet får vi lik (a ~ 0) • (b ~ 0) = (a • b + 0 • 0 ~ a • 0 + 0 • b) — (a • b ~ 0). Altså er produktet av to posi­ tive heltall selv et positivt helt tall. Dessuten er summen av heltallene som er paret med a og b lik heltallet som er paret med a + b; og produktet av heltallene paret med a og b er lik heltallet paret med a • b. Det vil si at under en-til-en korrespondansen er summen av bildene av to naturlige tall lik bildet av deres sum og produktet av bildene er lik bildet av produktet. Systemet av positive heltall er altså isomorft med det naturlige tallsystem. På grunn av denne isomorfismen kan de brukes istedenfor naturlige tall, akkurat som romer­ tallene kan brukes istedenfor de arabiske tall. I denne betydning sier vi at de positive heltall er det «samme som» de naturlige tall. Vi gjør fordel av denne isomorfismen ved å bruke notasjonen for naturlige tall som en forkortet notasjon (skrivemåte) for de positive hele tall. I denne forkortete notasjonen representerer 0 (0 ~ 0), 1 represen­ terer (1 ~ 0) og så videre. Siden systemet av heltall inneholder de positive heltall, som er det «samme» som de naturlige tall, innebærer det en utvidelse av det naturlige tallsystem. Bruken av heltallssystemet istedenfor det naturlige tallsystem gir oss en dobbelt fordel: Vi kvitter oss med det naturlige tallsys­ tems mangler uten å miste de naturlige tallene selv. DE NEGATIVE HELTALL

Ethvert heltall kan representeres ved en differens mellom to naturlige tall der enten det høyre eller det venstre tallet er 0. Dette kan gjøres ved ganske enkelt å subtrahere 54

det minste av de to naturlige tallene fra hvert av dem. Resultatet vil være en differens som tilhører heltallet, og som derfor kan brukes til å representere det. For eksempel er heltallet (8 ~ 3) lik (5 ~ 0). Vi vet at de er like fordi 8 + 0 = 54-3. Heltallet (3 ~ 8) er lik (0 ~ 5) fordi 3 + 5 = 04-8. Alle heltall kan derfor skrives på formen (a ~ 0) eller (0 ~ a). De som kan skrives på formen (a ~ 0) er de positive heltallene. De som kan skrives på formen (0 —• d) kalles de negative heltallene. Hvert av dem er negativen til et positivt helt tall. Bruker en minus­ tegnet som symbol for «negativen til», kan en få en forkortet notasjon for dem også, ved å skrive — a for (0 - a). I denne form møter elevene for første gang de negative heltall i skolematematikken. De vanlige reglene for reg­ ning med disse symbolene kan alle avledes fra våre defini­ sjoner av addisjon og multiplikasjon av heltall. For eksem­ pel kan en bevise regelen om at produktet av to negative heltall er et positivt heltall, på denne måten: (0 ~ d) • (0 ~ b) = (0 • 0 + a • b ~ 0 • b + a • 0) = (a • b ~ 0), som jo er positivt. De positive hele tall, som i det vesentlige er kopier av de naturlige tall, kan representeres slik de naturlige tall ble representert på side 28, ved punkter på den halvdelen av linjen som ligger til høyre for 0. Man kan likeledes representere de negative tallene billedlig ved å plasere dem på den andre siden av 0. Arrangementet av dem på en linje antyder at vi kan snakke om større og mindre hel­ tall, akkurat som vi snakket om større og mindre naturlige tall. Vi gir mening til uttrykket større, anvendt på de hele tall, ved å bli enige om at et heltall skal ansees som større enn et annet dersom det ligger til høyre for det på linjen der heltallene er representert som punkter, som på figuren nedenfor. Uttrykket kan også defineres uten refe­ ranse til denne figuren. Hvis a og b er to forskjellige hele tall, sier vi at a er større enn b dersom a — b er positivt.

55

Det er underforstått at a — b betyr a pluss negativen til b, i overensstemmelse med definisjonen av subtraksjon -5 ,

.. 1-----------

-4 1 . .

-3 - ■

-2 »------ ----

-1 -

■----------

0

1

2

a

■

«

3

4

5

_____________ |_____________

som ble gitt på side 53. På grunnlag av denne definisjonen er 2 større enn — 7 fordi 2 — (— 7) = 2 + 7 = 9, som er positivt. Heltallet — 4 er større enn — 5 fordi — 4 — (— 5) = —4 + 5 = 1, som er positivt.

HELTALLENE DANNER EN GRUPPE

Før vi fortsetter med videre utvidelser av vårt tallsystem, skal vi oppholde oss en stund ved systemet av hele tall for å observere noen av dets egenskaper. Vi skal nemlig finne nettopp i dette systemet eksempler på noen av de strukturene som er typiske emner i moderne matematikk. Vi har to binære operasjoner definert i systemet av hele tall, addisjon og multiplikasjon. La oss se bort fra multi­ plikasjonen, og skrive opp noen av de egenskapene som systemet har i forhold til addisjonen alene. Vi observerer disse egenskapene: 1) addisjonsoperasjonen er assosiativ. 2) Systemet inneholder et nullelement. 3) Til ethvert hel­ tall a i systemet finnes det en negativ — a. Disse kjenne­ tegnene gjør systemet av heltall til et eksempel på en struktur som kalles en «gruppe». Ja, bortsett fra en liten endring i notasjonen, som innføres for å få en mer generell form, er disse egenskapene i virkeligheten definisjonen på en gruppe. La oss, som vi gjorde det på side 27 betegne den binære operasjonen med symbolet *. Null er et eksempel på et nøytralt element, og hvis vi nå betegner det med bok­ staven e, kan en skrive egenskapen 0 + x = x + 0 = x på den mer generelle form: e * x = x * e = x. La oss istedenfor ordet negativ bruke ordet «invers» og benevne den inverse til a med a-1. I denne notasjonen får det

56

faktum at summen av et fritt valgt heltall og dets nega­ tiv er null, formen: a* a~x — a~x * a = e. Her er så definisjonen på en gruppe: En gruppe er et system av elementer der en binær operasjon * er definert, som har følgende egenskaper: 1) Operasjonen * er assosia­ tiv. 2) Systemet inneholder et nøytralt element e, med den egenskap at hvis x er et fritt valgt element i systemet så er e * x = x * e = x. 3) Til ethvert element a i systemet fin­ nes også den inverse a-1 i systemet, med den egenskap at a * a~x = a~x * a = e. Ordet negativ brukes istedenfor invers bare i det spesialtilfelle at operasjonen betegnes med + og kalles «addisjon». ET ANNET EKSEMPEL PÅ EN GRUPPE

Den strukturen som er kjent under navnet gruppe, er valgt ut til spesialundersøkelse av matematikerne, fordi den kommer igjen mange steder. Systemet av hele tall er bare ett av en mengde systemer som har gruppestruktur, og det er tilfeldigvis en gruppe som inneholder uendelig mange elementer; det finnes nemlig også grupper som bare består av et endelig antall elementer. Som et eksempel på en endelig gruppe, skal vi studere en gruppe av «symmetrier» i en likesidet trekant. En likesidet trekant har like lange sider og like store vinkler. Trekantens «symmetrier» er flytninger som brin­ ger den til å falle sammen med seg selv. For å bli kjent med disse flytningene er det best å se dem utført på en modell. Klipp derfor, før du leser de neste sidene, en likesidet trekant av papir, og gi hvert av hjørnene navn som vist på figuren. Skriv navnene også på baksiden av papiret, slik at du kan finne igjen hjørnene selv om tre­ kanten er vendt om. La oss begynne med trekanten plasert på en plan flate slik at den ene siden, la oss si BC, er horisontal, og det motstående hjørnet A ligger over BC, som vist på figuren under.

57

Hver gang vi finner en flytning som bringer trekanten til å falle sammen med seg selv, skal vi gi den et navn. En flytning som oppfyller kravet, er rotasjon med klokken

120 grader rundt trekantens midtpunkt. Resultatet av en slik rotasjon er at B ender på Æs plass, A på C’s plass og C på jB’s plass. La oss kalle denne rotasjonen P. En annen flytning som oppfyller kravet er rotasjon med klokken 240 grader rundt trekantens midtpunkt. Denne erstatter A med C, C med B ogB med A. Vi kaller denne rotasjonen for Q. Nok en tilfredsstillende «flytning» er en rotasjon med klokken 0 grader om trekantens midtpunkt. Denne flytningen resulterer naturligvis ikke i noen bevegelse av trekanten og slutter med A på A’s plass, B på B’s plass og C på C’s plass. Vi vil kalle denne flytningen I. Før vi går videre skal vi bli enige om en ting. Vi skal betrakte to flytninger som «like» dersom de har samme virkning. Rotasjon med klokken 360 grader har samme virkning som rotasjon 0 grader samme vei, derfor vil vi kalle også denne flytningen for /. En rotasjon mot klokken 120 grader har samme virkning som en rotasjon med klokken 240 grader, slik at også den vil bli kalt Q. På samme måte er en rotasjon mot klokken på 240 grader det samme som P. Det finnes tre flytninger til som kan få trekanten til å falle sammen med seg selv. Ved en av dem vender vi trekanten om slik at vi får undersiden opp samtidig som topphjørnet forblir der det var. Starter en med A på toppen, B til venstre og C til høyre, forårsaker denne flyt­ ningen at B og C bytter plass, mens A forblir på samme 58

sted. La oss kalle denne flytningen R. En lignende flytning som beholder hjørnet til venstre fast, mens topphjørnet og hjørnet til høyre bytter plass, vil vi kalle 5. En som holder det høyre hjørnet fast, mens topphjørnet og venstre hjørne bytter plass, kalles T. Vi har nå et system som består av seks elementer I, P, Q, R, S, T. Vi definerer en binær operasjon * for dette systemet på følgende måte: Hvis A og B står for to vilFlytning

Symbol

Ingen flytning

I

Rotasjon 120° med klokken

P

Rotasjon 240° med klokken

Q

Vending, topphjørnet fast

R

Vending, venstre hjørne fast

S

Vending, høyre hjørne fast

T

Opprinnelig stilling

Slutt-stilling

A /B_c\ AA AA AA A /N____ + 3 = 3 (a + b + 1), det vil si et helt multiplum av 3. Altså hører summen til 0-klassen. La oss nå for korthets skyld droppe ordet «klasse» i restklassenes navn og ganske enkelt referere til dem som 0, 1 og 2. Vi får da følgende addisjonstabell for restklassene modulo 3:

-f-

0

1

2

0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

Vi definerer multiplikasjon på samme måte: Skal en finne produktet av to restklasser, multipliserer en et fritt valgt element fra den ene klassen med et fritt valgt element fra den andre. Klassen som produktet tilhører, er produk­ tet av klassene. Skal en, for eksempel, multiplisere 2klassen med 2-klassen kan en multiplisere 2 (som er valgt fra 2-klassen) med 5 (som også er valgt fra 2-klassen). Produktet er 10 som tilhører 1-klassen. Altså er 2-klassen multiplisert med 2-klassen lik 1-klassen. Som når det gjelder addisjon, har det ingen ting å si hvilke elementer en velger fra klassene når en skal utføre operasjonen. Vi dropper også her ordet «klasse» i restklassenes navn og noterer så produktene i følgende multiplikasjonstabell for restklasser modulo 3: •

0

1

2

0

0

0

0

1

0

1

2

2

0

2

1 67

Med disse addisjons og multiplikasjonstabellene gjelder de fem lovene for restklassene modulo 3. De danner der­ for et tallsystem som bare består av tre elementer. Dette tallsystemet er også både en gruppe og en ring. Det er en gruppe med hensyn på addisjon fordi 1) det inneholder et nullelement, nemlig 0-klassen og 2) til ethvert element i systemet finnes det også en negativ i systemet. 0-klassen er nullelement fordi det, som tabellen viser, er slik at 0klassen lagt til en fritt valgt annen klasse lar denne forbli uforandret: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 og 0 + 2 = 2. Nega­ tiven til 0 er 0. Negativen til 2 er 1 og omvendt fordi 14-2 = 2+1=0. Gruppen er abelsk, fordi addisjonen er kommutativ. Systemet er likeledes en ring fordi det ved siden av å være en abelsk gruppe også har en multiplikasjonsoperasjon som er distributiv med hensyn på addi­ sjonen. For eksempel er 2(1 + 2) = 2(0) = 0 og 2 • 1 + 2 • 2 = 2 + 1 = 0. Altså er 2(1 + 2) = 2 • 1 + 2 • 2.

KVOTIENTGRUPPER

Den gruppen vi nettopp studerte hadde som elementer en undergruppe i systemet av hele tall (0-klassen), og to ledsagende mengder, 1-klassen og 2-klassen. De ledsagende mengdene kan frembringes av undergruppen ved å addere til hvert enkelt element i undergruppen et element som selv ikke tilhører undergruppen. For eksempel får en alle elementene i 1-klassen ved å addere 1 til alle elementene i 0-klassen. Det er endog slik at hvis en adderer et vilkårlig valgt element i 1-klassen til alle elementene i 0-klassen, så får en alle elementene i 1-klassen. På samme måte: hvis en adderer et fritt valgt element i 2-klassen til alle elementene i 0-klassen, får en som resultat alle elementene i 2-klassen. Ledsagende klasser som har et slikt forhold til undergruppen, kalles dens sidegrupper. (Dette er imid­ lertid ikke noe godt navn, idet en sidegruppe ikke er noen gruppe slik vi har definert dette begrepet.) Når en under­ 68

gruppe og dens sidegrupper selv er elementer i en gruppe, kalles denne gruppen en kvotientgruppe. Hvis vi ser tilbake på multiplikasjonstabellen for trekantsymmetrier på side 61, finner vi et annet eksempel på en undergruppe som med sine sidegrupper danner en kvotientgruppe. Her er naturligvis gruppeoperasjonen * istedenfor +. Legg for det første merke til, at når to av elementene I, P eller Q multipliseres med hverandre, så er produktet alltid I, P eller Q. Derfor er operasjonen * en binær operasjon for undermengden {I, P, Q}. Det nøy­ trale elementet I tilhører denne undermengden, og inversen til hvert eneste element i undermengden tilhører selv undermengden. Den inverse til I er nemlig I, den inverse til P er Q og den inverse til Q er P. Altså danner under­ mengden {I, P, Q} en undergruppe ved operasjonen*. Dens sidegruppe er {R, S, T}. La oss nå tilordne hver av disse mengdene et kort navn, idet vi skriver G = {/, P, Q} og H = {R, S, T}. Vi kan definere en operasjon * i det systemet hvis elementer er G og H, på følgende måte: Skal en multiplisere den ene mengden med den andre, velger en ut et element fra hver av mengdene og multipliserer dem. Ta for eksempel, P (fra G) * S (fra H). Produktet er T som tilhører H. Den mengden som produktet tilhører vil vi kalle produktet av mengdene. Altså er G * H = H. Som når det gjelder restklassene, viser det seg at produktet blir det samme uansett hvilken representant vi velger fra hver klasse når vi skal utføre operasjonen. Produktene vi får, kan opp­ stilles i denne multiplikasjonstabellen: *

G

H

G

G

H

ff

ff

G

I dette systemet av to elementer er G nøytralt element ved 69

operasjonen *, fordi G * G = G og G * H = H * G = H. Det finnes også en invers til hvert element. Hvert element er nemlig sin egen invers, fordi G*G = GogH*H = G, som jo er nøytralt element. Av denne grunn danner under­ gruppen G og sidegruppen H en kvotientgruppe i gruppen av trekantsymmetrier. I dette tilfelle kan en se hvorfor navnet nettopp er «kvotient»-gruppe. Symmetrigruppen har 6 elementer, undergruppen G har 3 elementer og kvotientgruppen har 6:3 = 2 elementer. Ikke alle under­ grupper danner kvotientgrupper sammen med sine side­ grupper. Galois var den første som identifiserte den spe­ sielle typen undergrupper som danner kvotientgrupper. De er kjent som normale undergrupper. I en abelsk gruppe er alle undergruppene normale. Vi så at restklassene modulo 3 danner en ring så vel som en gruppe. En slik struktur er et eksempel på en kvotientring. På samme måte som en spesiell type undergrupper med sidegrupper danner en kvotientgruppe i en gruppe, danner en spesiell type idealer med sine sidegrupper en kvotientring i en ring. I en ring der multiplikasjonen er kommutativ, har alle idealene denne egenskapen.

RESTKLASSER MODULO

6

Vi dannet restklassene modulo 3 ved å klassifisere de hele tall etter den resten en får når en dividerer dem med 3, idet vi til dette formålet bare brukte positive rester mindre enn 3, med andre ord, 0, 1 og 2. Hvis en bruker et fritt valgt heltall som divisor, kan en dividere systemet av hele tall i restklasser modulo dette heltallet på samme måte. For eksempel kan resten bli 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 når en dividerer med 6. Dette gir oss 6 restklasser modulo 6. La oss som da det gjaldt restklassene modulo 3, fortsatt benytte resten som er knyttet til hver enkelt klasse, som navn på klassen. Definerer vi så addisjon og multiplika70

sjon av restklassene på samme måte som før, får en disse addisjons- og multiplikasjonstabellene: +

0

1

2

3

4

5

•

0

1

2

3

4

5

0

0

1

2

3

4

5

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

5

0

1

0

1

2

3

4

5

2

2

3

4

5

0

1

2

0

2

4

0

2

4

3

3

4

5

0

1

2

3

0

3

0

3

0

3

4

4

5

0

1

2

3

4

0

4

2

0

4

2

5

5

0

1

2

3

4

5

0

5

4

3

2

1

Med disse tabellene danner restklassene modulo 6 en ring. Denne ringen har en underlig egenskap som den ikke har til felles med ringen av hele tall: Når det gjelder heltallsringen er produktet av to tall 0 bare hver gang en av de to faktorene selv er 0. Men i ringen av restklasser modulo 6 er på den annen side 2-3 = 0, selv om hverken 2 eller 3 er lik 0. Elementer forskjellige fra null, som 2 og 3, som gir produkter lik 0 når de multipliseres, kalles nulldivisorer. Heltallsringen har ingen nulldivisorer, men ringen av restklasser modulo 6 har nulldivisorer. Det faktum at det ikke finnes nulldivisorer i ringen av hele tall, er grunnlaget for en av de vesentlige reglene en lærer i elementær algebra, nemlig forkortningsloven for multiplikasjon. En lærer at hvis 2 • x = 2 • 3 så kan en forkorte 2-tallet på begge sider av likhetstegnet, og kon­ kludere med at x = 3. Beviset som fastslår at dette er riktig ser slik ut: Adderer en negativen til 2 • 3 på begge sider av ligningen, gir dette oss 2 • x — 2 • 3 = 0. Bruker en så den distributive lov, får en at 2 • x — 2 • 3 = 2(x — 3). Altså er 2(x — 3) = 0. Dette utsagnet forteller oss at

71

produktet av to hele tall er lik 0. Dette kan bare skje dersom en av faktorene er lik 0. Og da 2 jo er forskjellig fra 0, må den andre faktoren, x — 3, være lik 0. Derfor må x være lik 3. I ringen av restklasser modulo 6, faller hele dette beviset gjennom, fordi det finnes nulldivisorer i dette systemet. Det vil si at et produkt kan være lik 0 uten at noen av faktorene er lik 0. Og som en konsekvens av dette gjelder ikke forkortningsloven for multiplikasjon. Ja, det er endog slik i dette systemet at hvis 2 • x = 2, så kan en ikke derav slutte at x = 1. Multiplikasjons­ tabellen viser at mens x = 1 er en mulig løsning av lig­ ningen, er x = 4 en annen mulig løsning, fordi 2-4 = 2.

AVBILDNING AV EN GRUPPE PÅ EN GRUPPE

Vi kan sette opp en avbildning av gruppen av hele tall på gruppen av restklasser modulo 3 ved å tilordne hvert heltall i systemet den restklassen det tilhører, som vist i tabellen: 0 -> 0 1 -> 1 2 —> 2 3 -> 0 4 -> 1 5 —> 2 6 —» 0 Ved denne avbildningen har for eksempel 0, 3, 6, 9 og 12 alle 0-klassen som sitt bilde. 1,4,7,10 og 13 har 1-klassen som sitt bilde; og 2, 5, 8, 11 og 14 har 2-klassen som sitt bilde. Avbildningen er en typisk mange-til-en avbildning. Den har den interessante egenskapen at den bevarer opera­ sjonen som er definert i gruppen. Det vil si at bildet av en sum er lik summen av bildene. For eksempel er bildet av 3 lik 0, og 1 er bildet av 4. Summen av 3 og 4 er 7 og bildet av 7 er 1, som jo er lik summen av bildene 0 og 1. En

72

avbildning av en gruppe på en annen som bevarer gruppe­ operasjonen kalles en gruppe-homomorfisme. Når det dreier seg om en mange-til-en avbildning er det som om en lar gruppen falle sammen eller bli teleskopert inn i en annen, mindre gruppe. Hvis en betrakter systemet av hele tall og systemet av restklasser modulo 3 som ringer, bevarer denne avbildningen ikke bare gruppeoperasjonen addi­ sjon, men også den andre ringoperasjonen, multiplikasjon. Av denne grunn er dette også et eksempel på en ringhomomorfisme (en som bevarer operasjonene i ringen). Når en gruppe-homomorfisme av en gruppe på en annen danner en en-til-en korrespondanse, dreier det seg om en grvtppe-isomorfisme. Hvert element i den ene gruppen er da paret med ett og bare ett element i den andre gruppen. I dette tilfelle sier en at de to gruppene er isomorfe, eller at de har samme struktur. To grupper som er isomorfe er i virkeligheten samme gruppe i forskjellige forkledninger. Vi har et eksempel på isomorfe grupper i gruppen av restklasser modulo 3 og undergruppen {I, P, Q} i gruppen av trekantsymmetrier. En avbildning som forbinder dem en-til-en og som bevarer gruppeoperasjonen er vist neden­ for: 0 I 1 ♦—> P 2 Q + *

Hvis en tar et fritt valgt riktig utsagn i det ene systemet, som for eksempel at 1 + 2 = 0, og erstatter hvert symbol med bildet ved avbildningen, får en et riktig utsagn i det andre systemet. Av det viste eksempel følger at P * Q — I. Med andre ord virker symbolene som brukes i de to systemene akkurat som to forskjellige språk, som en jo kan bruke til å uttrykke samme idéer. Isomorfismen som er trykt ovenfor, er ordboken som gjør det mulig for en å oversette fra det ene språket til det andre.

73

GJØR DET SELV

1. Bruk definisjonen av multiplikasjon av hele tall som

er gitt på side 49 og bevis at multiplikasjon av hele tall er en kommutativ operasjon, ved å vise at:

(a ~ b) • (c ~ d) = (c ~ d) • (a ~ b) 2. La (0 ~ a) og (0 ~ b) representere to fritt valgte

negative heltall og bevis at summen av to nega­ tive heltall er et negativt helt tall. 3. La (0 ~ a) representere et vilkårlig negativt heltall

og la (b ~ 0) representere et vilkårlig positivt hel­ tall. Bevis at produktet av et negativt og et positivt helt tall er et negativt helt tall. 4. En omordning av tallene 1, 2, 3 kalles en per-

mutasjon av disse tallene. En permutasjon har den virkning at den erstatter tall med andre. Hvis for eksempel oppstillingen 123 forandres til 312, så blir 1 erstattet med 3, mens 2 blir erstattet med 1 og 3 blir erstattet med 2. Denne permutasjonen kan representeres ved en avbildning: 1 ----- >3 2 ------>1 3 ----- >2

Det finnes seks mulige permutasjoner av tre tall. Kall dem I, A, B, C, D, og E på følgende måte: 1 ----- >1 2----- >2 3----- > 3 C 1 ----- >1 2----- > 3 3----- >2

74

A 1 ----- >2 2----- > 3 3----- >1

D

1 ----- > 3 2----- >2 3----- >1

B 1 ----- > 3 2----- >1 3----- >2

E 1 ----- >2 2----- >1 3----- >3

Definer produktet av to permutasjoner, X * Y, som resultatet når en utfører Y først etterfulgt av X. Et produkt stilles opp som vist i følgende eksempel: En skal finne A* B: B: 1 ---- > 2 ---- > 3 ---- >

A: 3----- >1 1----- >2 2----- >3

I: 1------ >1 Resultat: 2----- >2 3------>3

Altså er A * B = /. a) Konstruér multiplikasjonstabellen for permutasjonene /, A, B, C, D, E. b) Bevis at de danner en gruppe ved operasjonen * c) Finn gruppens undergrupper. d) Vis at denne gruppen av permutasjoner er isomorf med gruppen av trekantsymmetrier. 5. Bruk restene som er knyttet til restklassene modu­

lo 5 (altså 0, 1, 2, 3, 4) som navn, og benytt defini­ sjonene av addisjon og multiplikasjon som ble gitt på side 66 til å lage addisjons- og multiplikasjons­ tabellene for disse restklassene. Bruk tabellene til å vise at 2 • (1 + 2) = 2 • 1 +2-2 i dette systemet. Har systemet nulldivisorer? 6. Vis at mengden av alle like (jevne) heltall er en un­

dergruppe i gruppen av hele tall med hensyn pa operasjonen +• Vis at den er en underring i ringen av hele tall. Vis at den er et ideal i ringen av hele tall. (Se definisjonene på side 65).

4 Tall til å måle med

NOK EN MANGEL SOM MÅ RETTES PÅ

Det naturlige tallsystem hadde den mangel at subtraksjon ikke alltid var mulig i systemet. For å rette på dette, konstruerte vi systemet av hele tall, et utvidet tallsystem som inkluderer de naturlige tall, der subtraksjon alltid er mulig. I dette kapitlet skal vi foreta nok en utvidelse av tallsystemet av en lignende grunn. Vi oppdager nemlig at systemet av hele tall har den defekt at divisjon ikke alltid er mulig i systemet. For å rette på dette skal vi lage et utvidet tallsystem som inneholder de hele tall, der divisjon (nesten) alltid er mulig. Ordet «nesten» må være med i utsagnet som stadfester vårt mål, fordi det endog i det utvidede system vil være et tall som ikke kan brukes som divisor. På samme måte som subtraksjon av naturlige tall ble definert ved addisjon, kan divisjon av hele tall defineres ved multiplikasjon. Symbolet — stiller i virkeligheten

spørsmålet: «Hvilket helt tall multiplisert med 2 gir —6 som produkt?». Siden svaret på spørsmålet er —3, sier . -6 -6 V1 at —— = — 3. Vi kaller symbolet — kvotienten av — 6 2 2 og 2. Vi refererer også til det som en brøk, og i så fall har det betydning som et annet symbol for heltallet — 3. Spørsmålet som brøken---- stiller, kan også skrives som

76

en ligning, 2 • x = — 6, og svaret på spørsmålet er lig­ ningens løsning. Imidlertid stiller enkelte brøker spørsmål som ikke kan besvares i systemet av hele tall. For eksempel stiller brøken | spørsmålet: «Hvilket tall gir 2 som resultat når det blir multiplisert med 3?» I systemet av hele tall finnes det ikke noe slikt tall. Så i systemet av hele tall har brøken § ingen mening og ligningen 3 • x = 2 ingen løsning. Denne situasjonen utfordrer oss på samme vis som situasjonen i begynnelsen av forrige kapitel. Kan vi lage et tallsystem der divisjon alltid er mulig for fritt valgte tallpar, slik at - alltid har mening og b • x = a alltid b har løsning ? NULL ER ET UNNTAK

Vi finner ut at vi kan klare dette hvis vi blir enige om ikke å bruke null som divisor. Vi innser årsaken til denne unn­ tagelsen hvis vi prøver å besvare det spørsmålet som en brøk med nevner 0 stiller. Hvis telleren ikke er 0, som i brøken f, stiller brøken spørsmålet: «Hvilket tall multi­ plisert med 0 gir 2 som svar?» Vi ønsker å få det utvidede systemet til å danne en ring. Og i en ring er, som vi så på side 63, null ganger et hvilket som helst annet tall lik null. Derfor må svaret på spørsmålet nødvendigvis være: «Ikke noe tall.» På den annen side, hvis brøkens teller er null er situasjonen enda verre. Da spør brøken «Hvilket tall gir multiplisert med 0, 0 som svar?» Svaret på dette spørsmålet må være: «Et hvilket som helst tall.» Ja, dette vil være svaret endog i systemet av hele tall. Vi vil ikke at brøkene i vårt system skal narre seg selv. Vi ønsker at hver brøk skal stå for ett og bare ett tall. Og da brøken f ikke står for noe tall, mens brøken § står for mange tall, utelukker vi dem som lovlige brøker. Så fra nå av er det underforstått at når vi snakker om brøker så gjelder det brøker med nevnere forskjellig fra 0. 77

BRØKFAMILIER

Når vi skal lage det nye tallsystemet skal vi bruke samme hjelpemiddel som det vi benyttet i forrige kapitel. For å

være sikre på at det spørsmålet brøken - (der b er ulik null) b stiller, alltid har svar, skal vi nok en gang la spørsmålet være sitt eget svar. Vi vil la hver brøk representere et tall 1 det nye systemet. Imidlertid vil ikke tallene i dette systemet være enkle brøker. På samme måte som hvert tall i systemet av heltall er en differensfamilie av naturlige tall, vil hvert tall i det systemet som vi nå skal konstruere være en kvotient- eller brøkfamilie av hele tall. Dette er fremtvunget av det faktum at det til og med blant de brøkene som har mening i systemet av hele tall, er mange brøker som representerer samme tall. For eksempel repre­ senterer f, f, f, V- °g mange andre brøker tallet 3, så vi blir nødt til å sette dem i samme familie. Av dette eksemp­ let kan vi utlede det kriterium som vi skal bruke til å avgjøre om to brøker tilhører samme familie. Legg merke til at brøkene f og f, som tilhører samme familie, har den egenskap at den enes nevner multiplisert med den annens teller gir samme produkt, det vil si at 6 • 3 = 9 • 2. Vi er nå klar til å bygge opp det nye tallsystemet. Først tar vi alle mulige ordnede par av hele tall som 6 og 2, 5 og 7, — 2 og 3, eller — 3 og — 9, der det andre tallet ikke er null. Vi skriver så «kvotientene» til tallene i parene, idet vi bruker det første tallet som teller, og får på dette vis en samling brøker eller kvotienter, som for eksempel 6 5-2 —3 _ . . , -, -,---- og----- . Deretter assosierer vi til hver brøk en 2 7 3 -9 brøkfamilie i henhold til følgende regel: Brøkfamilien

som tilhører -, der b er forskjellig fra null, består av alle b u de brøkene - som oppfyller kravet: a • v = u ■ b. For å

78

betegne denne familien skal vi skrive brøken - i parenteser. , . b /a\ Cl Således betyr - familien av brøker som hører til Vi \bJ b kaller en slik brøkfamilie for et rasjonalt tall. De rasjonale tall har enkelte egenskaper som ligner de hele talls. For det første hører en brøk til sin egen familie. For det annet, hvis én av to brøker tilhører familien til den andre, har de samme familie. På grunn av disse egen­ skapene, tilhører hver brøk én og bare én familie eller rasjonalt tall. Et rasjonalt tall kan representeres ved å stille opp i parenteser en vilkårlig valgt brøk som tilhører det. For eksempel er (f) = (f) fordi f tilhører det rasjo­ nale tall (f). Endelig kan kriteriet på medlemskap i et rasjonalt tall også brukes som en prøve på likhet mellom to rasjonale tall. Det vil si, de rasjonale tallene ) og Qj

er like hvis og bare hvis a • d = c • b. For eksempel vet vi at (f) = (f) fordi 6 • 3 = 9 • 2.

ADDISJON OG MULTIPLIKASJON AV RASJONALE

TALL

Addisjon og multiplikasjon av rasjonale tall defineres ved følgende ligninger:

Skal vi utføre addisjon eller multiplikasjon av rasjonale

79

tall, anvender vi disse definisjonene på de brøkene som tilfeldigvis er stilt opp i parentesene som representerer de rasjonale tallene. Siden hvert rasjonalt tall kan represen­ teres ved et hvilket som helst av sine medlemmer, kan addi­ sjonen og multiplikasjonen utføres på mange forskjellige måter. Definisjonene har bare mening hvis resultatet er uavhengig av hvilket medlem en bruker til å representere tallet. Det viser seg å være slik. For eksempel fant vi nettopp summen av (f) og (f) lik det rasjonale tall (ff). Men (f) = (f) siden 2 • 6 = 4 • 3; og (j) = (io) siden 3 • 20 = 12’5. Altså kan vi legge sammen (j) og (f) ved å anvende definisjonen på tallene (f) og (jf). Vi får da summen hk ------------------- = I---- 1. Men dette er 6 • 20 120 samme svar som vi fikk første gang fordi 152 • 15 — 19 • 120, hvilket beviser at (yff) = (ff). Med addisjon og multiplikasjon definert på denne måten danner de rasjonale tall et tallsystem, fordi de fem lovene gjelder for operasjonene. Vi vil her bevise dette faktum bare for den kommutative lov for addisjon:

Men bokstavene a, b, c og d som forekommer i disse symbolene er hele tall, og de kommutative lovene for addisjon og multiplikasjon gjelder for de hele tall. Derfor erb • d = d • b, hvilket viser at de to resultatene har samme nevner '>o^a-d-\-b-c = c-b-\-d-a som viser at de to resultatene har samme teller. Derfor er de to summene /c\ /c\ la\ + I - I = l~ + - • En kan føre lignende \d/ \dJ \b! beviser for de andre fire lovene.

S

80

NULL, ENHET OG NEGATIVER

Akkurat som det naturlige tallsystem og systemet av hel­ tall, har det rasjonale tallsystem et nullelement og et enhetselement. Det rasjonale tallet (f) er nullelement,

Nullelementet kan også skrives på formen (- j der b er et \b/ vilkårlig helt tall forskjellig fra null. Dette bevises ved hjelp av prøven på likhet mellom rasjonale tall, fordi 0-1 = 0 • b. Når det ikke er fare for sammenblanding med nullet i systemet av hele tall, bruker vi symbolet 0 også for nullelementet i det rasjonale tallsystem.

Det rasjonale tall

==

er enhetselement, fordi Qj •

——1 == /-). Enhetselementet kan også skrives på

formen

der b er et fritt valgt heltall, forskjellig fra null.

Det bevises ved det faktum at 1 • b = b - 1. Så (f), (f), (f)

°g (~) er alle lovlige representasjoner av enhetselementet.

Et rasjonalt tall er enhetselementet dersom det represen­ teres ved en brøk som har samme teller og nevner. Når det ikke er fare for sammenblanding med enhetselementet i systemet av hele tall, lar vi symbolet 1 stå for enhets­ elementet også i det rasjonale tallsystem. Systemet av hele tall har en viktig egenskap som det naturlige tallsystem ikke har: ethvert tall i systemet har en negativ. Det rasjonale tallsystem har også denne egen­ skap. Her er det slik at hvis (-) er et rasjonalt tall så er \b' —a dets negativ. For å bevise dette faktum må en vise ~b at deres sum er lik nullelementet:

(

4. Adler

81

.Mk

_|_ /~g | _ ' b + b • (— a)\ \ b / \ ~b~-~b /

©

Telleren i brøken som er stilt opp, er a • b 4- b • (— a). Ifølge den kommutative lov for multiplikasjon av hele tall kan a ■ b erstattes med b • a, slik at telleren er lik b • a 4- b • (— a). Ifølge den distributive lov for hele tall er denne summen lik b • (a + (— «)). Men nå er a + (- a) = 0, slik at vi til slutt har at telleren er lik b • 0 som jo er 4- (—-) = | ) nullelementet i det \b/ \ b / \Z> • b! rasjonale tallsystem.

lik 0. Altså er

DEN RESIPROKE TIL ET RASJONALT TALL

Negativen til et tall ble definert ved addisjon: et tall er negativen til et annet dersom summen av dem er lik null. Det tilsvarende begrep i forhold til multiplikasjon er begrepet resiprok. Et tall kalles resiproken til et annet tall hvis produktet av dem er lik enhetselementet. I det natur­ lige tallsystem er 1 det eneste tallet som har en resiprok; her er 1 nemlig sin egen resiprok, siden 1-1 = 1. I systemet av hele tall er det bare to tall som har resiproke verdier. Det er 1 og — 1. Hver av dem er sin egen resiprok fordi 1 • 1 = 1 og (— 1) • (— 1) = 1. Men i det rasjonale tallsystem, er eksistensen av en resiprok verdi regelen fremfor unntagelsen. Ethvert rasjonalt tall, bortsett fra

nullelementet, har en resiprok verdi i det systemet. Hvis | -1 \br er et fritt valgt rasjonalt tall som ikke er nullelementet, ib\ vet vi at a ikke er null. Følgelig er I - j likeledes et rasjonalt \a' tall og det er den resiproke til l-|. For å bevise det, \Z>/ multipliserer vi dem med hverandre. Produktet | a.

82

= | -—- j = enhetselementet, fordi telleren og nevneren i \b • a!

den oppstilte brøken er like. Siden ethvert rasjonalt tall bortsett fra nullelementet har en resiprok, er det bekvemt å innføre et spesielt symbol som betyr «den resiproke verdi til». Hvis A står for et vilkårlig rasjonalt tall forskjellig fra null, skriver vi

— for den resiproke verdi til A. Da vet vi i henhold til A definisjonen av en resiprok, at ^4 • — = — -A — 1.

Vi begynte konstruksjonen av det rasjonale tallsystem med det formål for øyet at vi skulle finne et tallsystem der ligningen B • X — A alltid har en løsning, så lenge B er forskjellig fra null. Vi kan nå vise at vi har nådd vårt mål. Hvis B og A er rasjonale tall, og B er forskjellig fra null, har B en resiprok verdi, —. Hvis vi multipliserer begge B 1 1 1 sider av ligningen med — får vi---- B • X = — - A. Men B B B

— • B = 1, slik at 1 • X = — • A. Men da 1 • X = X på B B grunn av den karakteristiske egenskap ved enhetselementet, har vi funnet ligningens løsning. Vi vet nå at X må være lik — • A. Siden det å løse ligningen B • X = A er en annen B

måte å utføre divisjonen — på, antyder vårt resultat en B definisjon av divisjon som er passende for de rasjonale tall. Å dividere med et rasjonalt tall, er det samme som å multiplisere med dets resiproke verdi. I det rasjonale tallsystem er divisjon alltid mulig så lenge divisor er for­ skjellig fra null.

83

VI HAR FREMDELES DE HELE TALL

Ved å lage det rasjonale tallsystem har vi vunnet noe idet ethvert tall i systemet, bortsett fra null, har en resiprok verdi. Samtidig har vi ikke mistet noen ting, fordi vi fort­ satt har det opprinnelige systemet av hele tall skjult inne i det rasjonale tallsystem. Det vil si at det finnes en under­ mengde i det rasjonale tallsystem som er isomorf med systemet av hele tall, og derfor kan erstatte det i alle prak­ tiske formål. Denne undermengden består av alle rasjonale tall på formen

der a er et fritt valgt heltall, positivt,

negativt eller 0. Anta at vi setter opp en avbildning som forbinder hvert heltall a med det tilsvarende rasjonale tall /a\ . Denne avbildningen viser seg å være en isomorfisme, fordi bildet av produktet, ved denne avbildningen, er lik produktet av bildene, og bildet av summen er lik summen av bildene. Beviset for denne kjensgjerning kan sees av følgende ligninger som er fremkommet ved ganske enkelt å anvende definisjonene av addisjon og multiplikasjon for rasjonale tall, på tallene /u\

og

:

/Z>\ _ la • 1 + 1 • b\ _ la + M

\i/+ \i/ ~ \

n

/~V i /

/u\ lb\ _ la • b\ la • ZA \1/ \1/ \1 • 1/ \T/ På grunn av denne isomorfismen kan en betrakte det

rasjonale tallet

som det «samme» som heltallet a, og

en bruker symbolet for heltallet som en forkortet notasjon for det tilsvarende rasjonale tall. Så fra nå av skal vi skrive 0 istedenfor (f) og 1 istedenfor (|), som vi allerede er blitt enige om. Men vi skal også skrive 2 istedenfor (f), /_ 2\ — 2 for — og* så videre. Likeledes skal vi sløyfe

84

parentesene når vi skriver rasjonale tall, slik at vi, når vi skriver brøken | skal mene hele brøkfamilien som | bare er en enkelt representant for. Med disse konvensjonene sitter vi tilbake med den alminnelige notasjon som brukes i det vanlige liv. Et rasjonalt tall sies å være positivt dersom det kan skrives som en brøk der teller og nevner har samme fortegn. Det sies å være negativt når teller og nevner har forskjellig fortegn.

DE RASJONALE PUNKTENE PÅ EN LINJE

På side 28 så vi hvorledes vi kunne representere de natur­ lige tall som punkter plasert på en linje med like store mellomrom, på den ene siden av 0. Denne prosedyren tilordnet tall bare til noen av punktene på linjen. På side 56 så vi at vi likeledes kunne representere heltallene som punkter på en linje. Vi satte de positive heltall lik de naturlige tall som allerede var tilordnet punkter på den ene siden av 0. Så plaserte vi de negative hele tall på den andre siden av 0. På denne måten tilordnet vi tall til flere av punktene på linjen. Vi kan nå fortsette prosessen og tilordne tall til mange av punktene som ligger mellom dem som representerer hele tall. Det finnes et punkt som halverer avstanden mellom 0 og 1. Vi kaller dette punktet |. Det finnes også to punkter som deler avstanden mellom 0 og 1 i tre like store deler. Vi kaller disse punktene | og f. Ved en lignende prosess , . . -1 -1 -2 „ kan vi putte inn —-y- og -r- mellom 0 og — 1. -1 i

-73 -72 -V3 ■-

a

-i ,

■

o

’/3 i

v3

1/2 ,,,

i

,

>

1 » —

■

Denne fremgangsmåten kan fortsettes slik at vi finner et punkt på linjen til hvert eneste rasjonale tall, positivt, så vel som negativt. Arrangementet på linjen gjør det mulig å snakke om større og mindre rasjonale tall på samme

85

måte som en kan snakke om større og mindre hele tall. Av to bestemte rasjonale tall er det størst som ligger lengst til høyre. Eller en kan som når det gjelder de hele tall, definere begrepet «større» på følgende vis: Hvis a og b er rasjonale tall, er a større enn b, dersom a — b er positivt. De rasjonale tall er spredd svært tett over hele linjen. Mellom to vilkårlige punkter som representerer rasjonale tall, finnes det minst ett til som representerer et rasjonalt tall. Det er nemlig slik at hvis a og b er to rasjonale tall

så er også deres middel \ ) et rasjonalt tall, og det \ 2 / ligger mellom dem. Den kjensgjerning at en alltid kan . finne et tall «mellom», gjør det rasjonale tallsystem vel skikket til å foreta målinger i. Ved å bruke så mange «mellom»-tall en har lyst til, kan en gjøre måleskalaen så fin en bare vil, og derved foreta målinger som er så nøy­ aktige som de fysiske begrensningene ved vårt utstyr og våre sanser tillater. Siden de rasjonale tallene er spredd tett over hele linjen, kunne en gjette på at en nå hadde tilordnet et tall til ethvert punkt på linjen. Men som vi siden skal se viser det seg at dette ikke er tilfelle. Ja, det er nettopp denne mangelen på tall til enkelte av punktene på linjen som er den defekten ved tallsystemet som vi eliminerer når vi utvider det enda en gang. DE RASJONALE TALLENE DANNER EN KROPP

Det rasjonale tallsystem er, som systemet av heltall, et eksempel på en gruppestruktur og en ringstruktur. Addi­ sjon av rasjonale tall er en assosiativ operasjon. Det finnes et nøytralt element ved addisjon (null) og hvert element har en invers med hensyn på addisjon (negativen). Så det rasjonale tallsystem oppfyller alle krav som må tilfreds­ stilles for at en skal kunne kalle det en gruppe med hensyn 86

på addisjon. Det danner til og med en abelsk gruppe, siden addisjonen er kommutativ, og vi retter oss etter skikk og bruk ved å bruke et plusstegn til å betegne gruppeoperasjonen. Multiplikasjonsoperasjonen i det ra­ sjonale tallsystem er assosiativ og den er også distributiv med hensyn på addisjon. Med disse egenskapene i tillegg, tilfredsstiller systemet alle krav som stilles til en ring. Ja, ringen er endog kommutativ fordi multiplikasjon av rasjonale tall er en kommutativ operasjon. Dessuten inne­ holder den et enhetselement. Ved overgangen fra hele til rasjonale tall er det kommet til noe nytt. Ethvert rasjonalt tall bortsett fra 0 har en resi. prok. Men en resiprok er ganske enkelt det samme som en invers med hensyn på multiplikasjon. Derfor tilfreds­ stiller det rasjonale tallsystem minus null alle krav som stilles til en gruppe med hensyn på multiplikasjon. Det har derfor en dobbel gruppestruktur: én for addisjon og én for multiplikasjon. Et system som dette, som har dobbel gruppestruktur, kalles en kropp (eller en divisjonsring). En kropp defineres som en ring der det eksisterer et en­ hetselement og der alle elementer bortsett fra null har en resiprok. Resiprokenes eksistens gjør det mulig å utføre divisjon med ethvert element bortsett fra null. Hvorledes grupper, ringer og kropper skiller seg fra hverandre kan uttrykkes kort og unøyaktig på følgende måte: En gruppe er et system der en kan utføre addisjon og subtraksjon. En ring er et system der en kan addere, subtrahere og multiplisere. Og endelig er en kropp et system der en kan utføre addisjon, subtraksjon, multipli­ kasjon og divisjon, når en ser bort fra divisjon med 0.

ENDELIGE KROPPER

Det rasjonale tallsystem er en kropp som består av uende­ lig mange elementer. Det finnes også kropper som bare har et endelig antall elementer. Ja, vi har allerede støtt på 87

eksempler på slike tidligere i boken. I forrige kapitel fant vi at systemet av restklasser modulo 3 har ringstruktur. Elementene i ringen kalles 0, 1 og 2. Multiplikasjons­ tabellen i denne ringen ser slik ut: •

0

1

2

0

0

0

0

1

0

1

2

2

0

2

1

Av denne tabellen ser en at alle elementene i ringen, bortsett fra null, har en resiprok. Resiproken til 1 er nemlig 1, fordi 1-1 = 1, mens resiproken til 2 er 2 fordi 2 • 2 = 1. Altså danner restklassene av hele tall modulo 3 en kropp. Hvis du gjorde oppgave 5 i «Gjør det selv» i slutten av tredje kapitel, har du allerede støtt på en annen kropp. Restklassene modulo 5 danner en ring med denne multi­ plikasjonstabellen :

Denne tabellen viser at alle elementene bortsett fra 0, i dette systemet har en resiprok. Resiproken til 1 er 1; resiproken til 2 er 3; resiproken til 3 er 2 og resiproken til 4 er 4. 88

På den annen side danner restklassene av hele tall modulo 6 en ring som ikke er en kropp. Multiplikasjons­ tabellen for dette systemet, som er trykt på side 71, viser at noen av de elementene som er forskjellig fra null ikke har resiproke verdier. Det er nemlig ikke noen elementer som multiplisert med 2, 3 eller 4 gir 1. Altså har ikke ele­ mentene 2, 3 og 4 i dette systemet resiproke verdier. Årsaken til denne svikten er at tallet 6 har positive heltallige faktorer bortsett fra seg selv og tallet 1. Disse fak­ torene er 2 og 3. Ethvert heltall som også er delelig med 2 eller 3, tilhører en restklasse som ikke har en resiprok. La oss bevise dette faktum for et heltall som er delelig med 2. Anta at et slikt element tilhører restklasse a, og at vi multipliserer med en fritt valgt annen restklasse x. Vi skal vise at produktet a • x ikke kan bli lik 1, slik at a ikke kan ha noen resiprok verdi. For å finne produktet av a og x følger vi anvisningene som ble gitt på side 67. Vi velger ut et vilkårlig element fra a og et fra x, multipliserer dem og finner så ut i hvilken restklasse produktet hører hjemme. Å finne ut hvilken restklasse produktet hører hjemme i, betyr det samme som å finne resten etter divisjon med 6. La oss som representant for restklassen a, velge det ele­ mentet som vi vet er delelig med 2. Siden det er delelig med 2 kan vi representere det som 2 • m, der m er et eller annet helt tall. La oss betegne det elementet vi velger fra x med k. Da blir altså produktet av de to representantene lik 2 • m- k. Vi dividerer så dette produktet med 6, og sitter tilbake med en kvotient og en rest som begge er hele tall. La oss kalle kvotienten q og resten r. Da følger av det faktum at dividenden er lik divisor ganger kvoti­ enten pluss resten, at2’/n-Æ = 6- ^4-r. Herav følger at r = 2 • m - k — 6 - q. Ifølge den distributive lov er r = 2 • (m • k — 3 • q). Det vil si at resten blir delelig med 2, og av den grunn kan den ikke være lik 1. Og derfor er ikke den restklassen som 2 • m • k tilhører 1-klassen. Og

89

derfor kan ikke produktet av tz-klassen og x-klassen være lik 1-klassen, uansett hvilken klasse x er. Ved et lignende bevis, kan det vises generelt at ringen av restklasser modulo n ikke er en kropp hvis n har positive heltallige faktorer bortsett fra seg selv og tallet 1. Et heltall som har positive hele faktorer ved siden av seg selv og 1 kan faktoriseres. Et heltall som ikke kan faktoriseres kalles et primtall. En kan altså vise at dersom n er et primtall, så er ringen av restklasser modulo n en kropp. Heltallene 3 og 5 er begge primtall. Dette er årsaken til at ringen av restklasser modulo 3 og ringen av restklasser modulo 5 begge viste seg å være kropper.

INGEN NULLDIVISORER

I systemet av hele tall fant vi at forkortningsloven ved multiplikasjon var en følge av det faktum at ringen av hele tall ikke har nulldivisorer. Siden denne loven er til stor hjelp når det gjelder å løse ligninger, ville det være nyttig om den viste seg også å gjelde i det rasjo­ nale tallsystem. Heldigvis gjør den det; det rasjonale tall­ system er jo en kropp og en kropp kan ikke ha nulldivi­ sorer. Beviset for dette faktum følger direkte av defini­ sjonen av nulldivisorer og definisjonen av en kropp. Hvis en kropp hadde nulldivisorer ville det eksistere to elemen­ ter, for eksempel a og b, begge forskjellige fra null, men med produkt lik null, slik at en kunne skrive a • b = 0. Siden a er ulik 0 og systemet er en kropp, har a en resiprok

-. Multipliserer en begge sider med - får en - • a • b = a a a - • 0. Men -■ a = 1 og --0 = 0, slik at en får at 1 • b = 0 a a a eller at b = 0, som motsier forutsetningen om at både a og b er forskjellige fra null. Altså er det umulig for en kropp å ha null-divisorer.

90

IDEALER I EN KROPP

De spesielle egenskapene ved en kropp tvinger likeledes enkelte restriksjoner på de idealene det kan inneholde. For å bli kjent med disse restriksjonene, skal vi først finne frem definisjonen for et ideal og deretter notere oss noen fakta om idealene i en ring i alminnelighet. Vi definerte et ideal som en underring i en ring, som har den egenskap at dersom en multipliserer et fritt valgt element i underringen med et fritt valgt element i ringen, uansett om det er element i underringen eller ikke, viser produktet seg å høre til i underringen. For eksempel er mengden av alle like hele tall et ideal i ringen av hele tall, fordi mengden for det første er en underring og for det annet er produktet av et like tall og et fritt valgt annet helt tall alltid et like heltall. Enhver ring inneholder minst to idealer. Det ene er undermengden som består av bare ett eneste element, nemlig ringens 0. Det andre er hele ringen selv. For å vise at undermengden som bare består av null­ elementet er et ideal, undersøker vi om den tilfredsstiller kravene som definisjonen setter opp. Legg for det første merke til at addisjonen i denne undermengden er assosia­ tiv og kommutativ fordi operasjonen har disse egenska­ pene i hele ringen. Multiplikasjonen er også assosiativ i undermengden og den er distributiv med hensyn på addi­ sjonen, fordi den er det i ringen som en helhet. Vi obser­ verer dernest at undermengden {0} inneholder nullelemen­ tet, og likeledes negativen til ethvert element i systemet siden 0 er sin egen negativ. Ennvidere er 0 + 0 = 0 slik at summen av elementene i undermengden er i under­ mengden. Undermengden tilfredsstiller alle krav som stil­ les til en abelsk gruppe. Produktet 0 • 0 — 0 er også med­ lem av undermengden. Og idet multiplikasjonen er asso­ siativ og distributiv med hensyn på addisjonen, tilfreds­ stiller undermengden alle krav som stilles til en underring. Vi legger så merke til at ethvert element i ringen multipli91

sert med 0 gir 0, slik at også dette produkt tilhører underringen. Denne siste egenskapen gjør underringen til et ideal. Hvis en på samme måte undersøker skritt for skritt om alle kravene er oppfylt av den opprinnelige ringen, finner en at også den er et av sine egne idealer. Idealet som består av nullelementet alene kaller en null-idealet. Vi skal også tilordne den opprinnelige ringen betraktet som et av sine egne idealer, et spesielt navn, nemlig enhetsidealet. Årsaken til dette følger av de føl­ gende betraktninger. Anta at den ringen vi snakker om har et enhetselement. (Dette gjelder ikke alle ringer, som vi så på side 66, men det gjelder alle kropper.) La oss se nærmere på et fritt valgt ideal som inneholder enhetselementet 1. Den karakteristiske egenskapen til et ideal er at når en multipliserer et element i idealet med et fritt valgt element i ringen så tilhører produktet alltid idealet. La oss da multiplisere 1 med et vilkårlig element x i ringen. Produktet x • 1 = x må da tilhøre idealet. Med andre ord tilhører ethvert element i ringen dette idealet. Så, hvis det er slik at et ideal inneholder enhetselementet, inneholder det alle elementene i ringen og må derfor være hele ring­ en. Derfor kaller en idealet som består av alle elementene i ringen, for enhetsidealet. Gjennom dette faktum og dette navnet får vi en prøve på om et ideal er enhetsidealet. Skal en vise at et ideal er enhetsidealet i en ring, er det tilstrekkelig å vise at idealet inneholder elementet 1. Siden en kropp er en ring, inneholder den disse to spesial-idealene, nullidealet og enhetsidealet. Vi skal nå vise at kroppen ikke kan ha andre idealer enn disse to. Anta at en undersøker et vilkårlig ideal i en kropp. Siden idealet er en underring, må det inneholde 0-elementet. Hvis det ikke inneholder flere elementer er det jo nullidealet. Hvis det derimot inneholder et annet element, som for eksem­ pel b, så er b forskjellig fra null, og har derfor en resiprok

- i kroppen. Hvis vi multipliserer elementet b fra idealet b 92

med

må dette produktet tilhøre idealet. Men produktet

b er 1, og følgelig inneholder idealet 1, og må derfor være enhetsidealet, hvilket skulle bevises.

GJØR DET SELV

1. Del alle heltallene i restklasser modulo 7, ved å

samle i samme klasse alle hele tall som har samme rest etter divisjon med 7. Bruker en restene som navn på de tilhørende klassene får en syv klasser som kalles 0, 1, 2, 3, 4, 5, og 6. Lag multiplikasjons­ tabellen for disse restklassene (se side 67). Vis ved hjelp av denne tabellen at alle elementene i sys­ temet bortsett fra 0, har en resiprok. Hva er den resiproke til 2, 3, 4, 5 og 6 i systemet? 2. Konstruer multiplikasjonstabellen for restklassene

modulo 12. Hvilke elementer er nulldivisorer i dette systemet. 3. Bevis at multiplikasjon av rasjonale tall er en kom­

mutativ operasjon. 4. Bevis at addisjon av rasjonale tall er en assosiativ

operasjon.

5 Vi fyller linjen

FLERE SPØRSMÅL SOM MÅ BESVARES

Hittil har vi utvidet tallsystemet to ganger, fra naturlige tall til hele tall og så fra hele tall til rasjonale tall. Hver gang har formålet vært å få et tallsystem der en bestemt type ligninger alltid har løsning. Den første typen ligninger vi forsøkte å løse, var den typen som bare inne­ holder en enkelt addisjon. Det var ligningen på formen b x = a. Den andre typen ligninger vi forsøkte å løse, inkluderte bare en enkelt multiplikasjon. Dette var lignin­ gen på formen b • x = a. Det var naturlig å se på disse ligningene først, fordi addisjon og multiplikasjon er de operasjonene som er innebygget i strukturen til tallsys­ temet. Det er like naturlig å gå videre enn disse enkleste ligningene og utforske andre som kanskje inneholder begge operasjonene eller kanskje bruker en operasjon flere ganger. For eksempel kunne vi undersøke ligninger som 2 • x + 5 = 11, eller 3 • (x + 2) = 7, som involverer både addisjon og multiplikasjon. Vi kunne også betrakte en ligning som 3 • x • x • x — 5*x,x = 2,x-{-9 hvor multiplikasjonsoperasjonen er brukt flere ganger etter hver­ andre. Ligninger som bare består av addisjon og multi­ plikasjon, er kjent som algebraiske ligninger. Skal vi foreta en systematisk undersøkelse av disse ligningene, skriver vi dem først på normalform: Hver gang den ukjente «x» multipliseres med seg selv flere

94

ganger, bruker vi den forkortede eksponent-notasjonen, idet vi skriver x2 for x ■ x, x3 for x • x • x og så videre. Vi eliminerer parentesene i henhold til den assosiative lov. For eksempel kan 3 • (x + 2) erstattes med 3 • x + 6. Vi reduserer den ene siden av ligningen til 0 ved å addere negativer der det er nødvendig. For eksempel adderer vi i ligningen, x2 — 3x = x + 6, uttrykket — x — 6 på begge sider for å få x2 — 3x — x — 6 = 0. Endelig slår vi sammen like ledd, og ordner leddene etter fallende potenser av x, slik at vi i vårt eksempel får x2 — 4x — 6 = 0. Her følger noen typiske ligninger, skrevet på normal­ form, idet vi har benyttet tall som tilhører det rasjonale tallsystem: |•x—f=0 f-x2 + f- x — | = 0 x3 — 2 • x2 + | • x — 5 = 0 Den høyeste potens av x som forekommer i en alge­ braisk ligning på normalform, kalles ligningens grad. I det rasjonale tallsystem har en ligning av første grad, alltid én løsning. Den typiske førstegradsligning har formen a • x 4- b = 0, der a og b er rasjonale tall og a alltid er forskjellig fra null. Skal vi løse den, gjør vi bruk av det faktum at ethvert rasjonalt tall har en negativ og at ethvert rasjonalt tall, bortsett fra null, har en resiprok. Først legger vi til tallet — b, negativen til b, på begge sider av ligningen. Dette gir oss a • x = — b. Så multipliserer vi begge sider av ligningen med -, resiproken til a, og finner 1 a at x = -•(—£>). Dette resultatet forteller oss at hvis a 1 ligningen har en løsning, må den være lik - • (— b). Vi a overbeviser oss om at dette virkelig er en løsning, ved å sette det inn i ligningen igjen. For eksempel løser vi ligningen j • x — f = 0 ved først å addere f på begge 95

sider av ligningen. Så multipliserer vi begge sider med f. Resultatet slår fast at dersom det finnes noen løsning, må den være lik f • f eller V- Hvis vi så setter inn for x i lig­ ningen, hevder den at f • — f = 0. Beregninger viser at dette utsagnet er riktig, det vil si at virkelig er en løsning av ligningen.

Imidlertid har vi mindre hell hvis vi prøver å løse en annengradsligning. I det rasjonale tallsystem kan vi løse noen av dem, men ikke alle. For eksempel kan vi uten vanskelighet løse ligningen x2 — 1 = 0: Addér først 1 på begge sider, og vi har at x2 = 1. På denne formen spør ligningen: «Hvilket tall gir, multiplisert med seg selv, 1 som produkt?». Tallet 1 er øyensynlig et svar på spørs­ målet, fordi 1 • 1 = 1. Ja, — 1 er også et riktig svar, fordi (—l)-(—1)=1. Såvi finner altså to løsninger av lig­ ningen. Ligningen x2 — 2 = 0 ser ut som om den burde være like lett å løse, men det er den ikke. Hvis vi adderer 2 på begge sider får vi x2 = 2. På denne formen spør ligningen: «Hvilket tall gir multiplisert med seg selv, 2 som produkt?» En kunne være fristet til å svare p2 eller kvadratroten av 2. Men dette er ikke noe skikkelig svar på spørsmålet. Det er bare en omskrivning av spørsmålet. Når en skriver symbolet ^2 så står det for «det tallet (hvis det eksisterer) som multiplisert med seg selv gir 2». Vårt spørsmål er fortsatt ubesvart: «Eksisterer dette tal­ let?» Vi skal snart se at det ikke eksisterer i det rasjonale tallsystem, idet vi beviser at det ikke finnes noe rasjonalt tall hvis kvadrat er 2. Før vi gir dette beviset, skal vi nærme oss spørsmålet på en annen måte. Vi oppdager nemlig at spørsmålet vårt også kommer frem ved et enkelt geometrisk problem. Anta at en konstruerer et kvadrat med side lik en enhet, og så trekker diagonalen i dette kvadratet. Diagonalen har en bestemt lengde. For å beregne denne lengden bruker en den pytagoreiske læresetning som slår fast at kvadratet 96

på hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene på katetene. I vårt tilfelle fører setningen til ligningen x2 = l2 + l2, eller x2 = 2, som nettopp er den ligningen som vi prøver å løse. Så når vi nå beviser at det

ikke finnes noe rasjonalt tall hvis kvadrat er lik 2, beviser vi samtidig at det ikke finnes noe rasjonalt tall som kan representere lengden til diagonalen i et kvadrat med side 1. Beviset gjør bruk av noen enkle kjensgjerninger om­ kring rasjonale og hele tall som vi først skal se litt nærmere på. 1) Ethvert rasjonalt tall kan representeres ved en brøk som er «forkortet mest mulig». 2) Hvis en brøk er for­ kortet mest mulig, kan ikke både telleren og nevneren være like tall (det vil si partall, tall som kan deles med 2). For hvis de var det, ville det bety det samme som at brøken kunne reduseres enda mer ved å dividere teller og nevner med 2. For eksempel er ikke f forkortet mest mulig, brøken kan nemlig reduseres til |. 3) Kvadratet av et like heltall er et like heltall, og kvadratet av et odde heltall er selv et odde heltall. For eksempel er 6 • 6 = 36, som jo er et like tall; mens 7 • 7 = 49, som er et odde tall. Av dette følger at dersom kvadratet av et tall er et like tall, så er tallet selv et like tall. Vi beviser at det ikke finnes noe rasjonalt tall hvis kvadrat er lik 2, ved å påvise at antagelsen om at et slikt tall eksisterer, leder til en selvmotsigelse. Anta at det finnes et rasjonalt tall hvis kvadrat er lik 2. Det kan da repre-

97

senteres ved en brøk som er forkortet mest mulig. La b representere denne brøken, a og b er begge hele tall. Siden brøken er forkortet mest mulig er ikke både a og b like tall. Siden kvadratet av denne brøken skal være lik 2, kan vi skrive — = 2. Multipliserer vi begge sider med h2 b2, finner vi at a2 = 2 • b2. Denne ligningen forteller oss at a2 er det dobbelte av heltallet b2, slik at a2 altså må være et like tall. Men hvis a2 er et like tall, så må også a være det, det vil si at det må være det dobbelte av et eller annet helt tall. Hvis vi kaller dette andre heltallet for k, harviata = 2 • k. I så fall er a2 = (2 • k) • (2 • k) = 4 • k2. Setter vi dette uttrykket for a2 inn i ligningen a2 = 2 • b2, får vi 4 • k2 = 2 • b2. Dividerer vi så begge sider med 2, ser vi at 2 • k2 = b2. Med andre ord er b2 det dobbelte av heltallet k2, det vil si at b2 er et like heltall. Men er b2 et like tall så er også b et like tall. Vi begynte med å slå fast at a og b ikke begge to kan være like tall, og vi konklu­ derer med at de begge to er like tall. Vi ble ledet til denne motsigelsen ved antagelsen om at det finnes et rasjonalt tall hvis kvadrat er lik 2. Vi er derfor nødt til å forkaste denne antagelsen som uriktig. Beviset ovenfor er meget gammelt. Det ble for første gang utarbeidet for 2500 år siden av den greske mate­ matikeren Pythagoras. De greske filosofene ble så henrykt over å finne ut at det fantes lengder som ikke kan repre­ senteres ved rasjonale tall, fortelles det, at de feiret opp­ dagelsen med å ofre hundre okser til gudene. I kapitel IV representerte vi de rasjonale tall som punk­ ter på en linje. I denne representasjonen står det ene positive tallet som er tilordnet et punkt, for dette punktets avstand fra 0 når en bruker avstanden mellom 0 og 1 som enhet. Anta nå at en måler ut en avstand til høyre for 0 som er lik lengden til diagonalen i et kvadrat med side 1 (se figuren på side 97). På denne måten bestemmer vi et 98

punkt hvis avstand fra 0 er lik lengden til diagonalen. Men vi har nettopp bevist at det ikke finnes noe rasjonalt tall som kan representere denne lengden. Altså har vi funnet et punkt på linjen som ikke er tilordnet noe rasjo­ nalt tall. Denne oppdagelsen besvarer det spørsmålet som ble stilt på side 85. Det rasjonale tallsystem tilordner tall til noen, men ikke til alle punktene på linjen. Selv om de rasjonale tall er spredd tett utover linjen, finnes det gap mellom dem som ikke er tilordnet noe rasjonalt tall. Hvis vi vil ha et tall til hvert punkt på linjen må vi nok en gang utvide tallsystemet. Vi gjør det slik at vi får fylt igjen gapene.

DESIMALBRØKER

Det finnes mange måter å nærme seg problemet med å fylle igjen hullene på. Vi skal her bruke en fremgangsmåte som er en naturlig følge av den skikk det er blitt å skrive desimaltall. Desimaltall beskrives mer korrekt som desimalbrøker. Desimaltallet 0,2 er en forkortet skrivemåte for brøken ■&. Desimaltallet 0,23 er en forkortelse for brøken r/o- I begge tilfellene er nevneren en potens av 10, og vi finner potensen ved å telle antall sifre til høyre for «komma». Altså er det slik at vi vet, fordi 0,235 har tre sifre etter komma, at nevneren er 103 eller 1000, slik at desi­ maltallet 0,235 representerer brøken too-Vi ser altså at et­ hvert desimaltall representerer en brøk og derfor ganske enkelt er en annen skrivemåte for noen av tallene i det rasjo­ nale tallsystem. Denne oppdagelsen aktualiserer øyeblik­ kelig spørsmålet: «Kan ethvert rasjonalt tall skrives som et desimaltall?» Vi kommer bort i et temmelig interessant problem når vi prøver å besvare dette spørsmålet. På skolen lærte vi at vi kunne omdanne en brøk til et desimalt tall ved å dividere. For eksempel fant en desimal­ tallet som svarer til | ved å dividere 1 med 4 på følgende måte: 99

1,00 : 4 = 0,25 0 10 8

20 20

0 Divisjonen stopper etter to ledd fordi resten er lik null etter den siste subtraksjonen. Konklusjonen er derfor at 1 = 0,25. Hvis en forsøker samme fremgangsmåte når en skal finne det desimaltall som tilsvarer |, kommer en opp i vanskeligheter. Vi ordner arbeidet på samme måte, som følger:

1,0000 : 3 = 0,3333 0

10 9

10 9 10 9

1

Men uansett hvor mange ganger vi dividerer stopper ikke divisjonen. Etter hver eneste subtraksjon blir det en rest som er lik 1. Derfor kan ikke brøken representeres ved et desimaltall med et endelig antall sifre. Den vedholdende tilsynekomsten av resten 1, frister oss til å fortsette divisjonen. Hvis vi gjør det, får vi et desimal­ tall som aldri slutter. Ønsker en å representere brøken | som et desimaltall, må det bli et uendelig desimaltall, det vil si et desimaltall som har uendelig mange sifre etter kommaet. Så derfor må en, før en kan avgjøre om ethvert 100

rasjonalt tall kan representeres ved et desimaltall, utforske hvilken mening et uendelig desimaltall har; hvis det i det hele tatt har mening. Når vi skal tolke meningen med et endelig desimaltall, bestemmer vi en teller av sifrene i desimaltallet, og en nevner av en passelig potens av 10, avhengig av antallet sifre etter kommaet. Så slår vi disse to sammen til en brøk. Men denne fremgangsmåten bryter sammen når vi støter på et uendelig desimaltall, så vi må prøve å finne en annen metode. Vi bestemmer oss denne gangen for å tenke på et uendelig desimaltall som en tallfølge av endelige desimal­ tall, der vi gjør desimaltallene stadig lengre ved at vi henger på et nytt siffer for hvert nye tall vi føyer til følgen. På denne måten representerer det uendelige desimal­ tallet 0,33333. . .denne uendelige følge av endelige desimal­ tall: 0,3 0,33 0,333 0,3333 0,33333 .... For å se hvordan denne følgen forholder seg til brøken |, skal vi sammen­ ligne hvert enkelt av leddene i følgen med denne brøken. Anta for eksempel at vi subtraherer 0,3 fra Idet vi skriver desimaltallet som en vanlig brøk, er dette det samme som i - ^ = H - ^ = iro- Denne differansen er temmelig liten og i mange praktiske anvendelser er den liten nok til å kunne sees bort fra. Derfor kan vi bruke 0,3 som en tilnærmelse til verdien |. Subtraherer vi 0,33 fra | finner vi at differensen er lik 3^0- Denne differensen er mindre enn så 0,33 er en bedre tilnærmelse til 3 enn 0,3. Hvis vi etter hvert prøver alle leddene utover i rekken, får vi bedre og bedre tilnærmelser til verdien av |. Jo lengre desimaltallet er, desto bedre blir tilnærmelsen, fordi differensen fra | blir mindre og mindre. Å tilnærme betyr bokstavelig å komme nærmere. Ved å ta med flere og flere sifre i desimaltallet, får vi et tall som kommer nærmere og nærmere j. Ja, en kan komme så nær | som en har lyst til, ved ganske enkelt å ta et desimaltall som er langt nok. En beskriver denne situasjonen ved å si at følgen av desimaltall nærmer seg | som en grense.

101

Vi er nå i besittelse av en metode som kan forklare hvorledes et uendelig desimaltall representerer et tall. Et uendelig desimaltall representerer et tall hvis følgen av endelige desimaltall som fremkommer ved at en tar med flere og flere sifre, nærmer seg dette tallet som en grense. Ved denne definisjonen av meningen med et uendelig desi­ maltall, har disse like stor betydning som de endelige desi­ maltall, og vi kan nå besvare spørsmålet: «Kan ethvert rasjonalt tall representeres ved et desimalt tall?» Svaret er: «Ja, ved et endelig eller et uendelig desimaltall.»

INTER VALLINNSNEVRINGER

Meningen med et uendelig desimaltall kan også uttrykkes billedlig ved vår representasjon av de rasjonale tall som punkter på en linje. Meningen med et uendelig desimaltall kan tolkes som en beskrivelse av tallets plasering, eller som en anvisning for hvordan en kan finne det. Anta at en for eksempel har lyst til å beskrive hvor tallet | er plasert. Siden det er et rasjonalt tall kan vi for det første si at det ligger et eller annet sted på den linjen der de rasjonale tallene er representert ved punkter. Så prøver vi å spesifisere hvor på linjen det ligger. De hele tallene deler linjen i intervaller med enhetens lengde. Vi kan tilordne hvert intervall et navn ved å bruke det tallet som er knyttet til det endepunktet som er nærmest null. Vi kaller intervallet mellom 0 og 1 for «O-intervallet», intervallet mellom 1 og 2 for «1-intervallet» også videre. På den negative delen av linjen kaller vi intervallet mellom 0 og — 1 for «—O-intervallet», intervallet mellom — 1 og 2 kaller vi «— 1-intervallet» og så videre. Legg merke til at 0 og — 0 refererer til to forskjellige intervaller. Vi kan nå spesifisere nærmere hvor tallet | er, ved å si at det ligger i O-intervallet. Følgelig skriver vi 0 som første ledd i en kjede av anvisninger. Det neste skrittet må være å beskrive hvor i O-intervallet tallet hører hjemme. For

102

dette formål deler vi O-intervallet i ti like store deler som alle har lengden 0,1. Vi benevner disse intervallene i rekkefølge, idet vi starter med det som er nærmest 0 og kaller det 0,0. Videre utover benevner vi dem som 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 og 0,9. Nå vet vi fra vår divisjon at tallet | er mindre enn 0,4 og større enn 0,3, slik at det må ligge i intervallet med navn 0,3. Dette intervallets navn slår sammen begge ledd i den beskrivelsen vi hittil har gitt. Det forteller oss at tallet j ligger i 0-intervallet og at det 1/3 plass på linjen

i______ i_____ i

0,0

0,1

0,2

i

0,3

»---------- 1--------- *--------- ---------- ■-----------1-----------1

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

O-interyallet

inne i dette intervallet er plasert i det underintervallet som har 0,3 som venstre endepunkt. Så gjør vi anvisningene enda finere. Vi deler underintervallet i ti like store deler som alle har lengden 0,01 og benevner dem i rekkefølge som 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 og 0,39. Igjen husker vi fra divisjonen at tallet er større enn 0,33, men er mindre enn 0,34. Altså må det ligge i intervallet med navn 0,33. Dette intervallets navn er en tredelt an­ visning. Det forteller oss at | ligger i 0-intervallet, og at det inne i dette intervallet ligger i 0,3-intervallet og at det inne i dette sistnevnte intervallet, ligger i intervallet med navn 0,33. Så deler vi opp dette intervallet og fortsetter denne prosessen i det uendelige. Hver gang velger vi ut det intervallet som inneholder punktet vi søker. I henhold til det foregående representerer desimaltallet 0,3333 . .. en uendelig rekke intervaller med følgende egenskap: Hvert intervall er innesluttet i det foregående intervallet, og etter som en går utover i rekken går intervallbredden mot null. En kaller en slik rekke intervaller for en intervallinnsnevring. 103

1/3 plass på linjen

4--------- 1--------- — -------------- *--------- x-------- Al——.

0,30 0,31

0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,3-intervallet forstørret

I vårt eksempel velger vi hvert intervall i innsnevringen som det intervallet som inneholder tallet |. På denne måten er vi sikret at tallet | ligger inni hvert eneste av de uendelig mange intervallene som innsnevringen består av. Vi kan likeledes være sikre på at det ikke kan finnes noe annet tall i denne innsnevringen, fordi to forskjellige tall ikke kan ligge i samme innsnevring. Det er slik fordi to forskjellige tall alltid er skilt fra hverandre med en avstand som er større enn null, og da de innerste intervallene i innsnevringen har en bredde som nærmer seg mot null, må det innerste intervallet ha en bredde som er for liten til å nå over avstanden mellom to adskilte punkter. Og føl­ gelig kan ikke dette innerste intervallet inkludere begge to. Av denne grunn beskriver intervallinnsnevringen som representeres ved det uendelige desimaltallet 0,33333 . .. ., tallet | og ikke noe annet tall. En intervallinnsnevring representerer et tall hvis dette tallet er knyttet til det eneste punktet som ligger inni alle intervallene i innsnevringen.

EN INNSNEVRING FOR HVERT ENESTE RASJONALE TALL

Ved å følge den samme fremgangsmåten med et fritt valgt rasjonalt tall, kan en finne en intervallinnsnevring som inneholder dette tallet, og denne intervallinnsnevringen kan representeres ved et uendelig desimaltall. På denne måten kan en altså finne et uendelig desimaltall til hvert eneste rasjonale tall. Dette gjelder til og med for tall som representeres ved endelige desimaltall. Ja, i disse tilfellene

104

kan tallet endog representeres ved to uendelige desimal­ tall. Anta at vi for eksempel leter etter intervallinnsnevringen og det tilhørende uendelige desimaltall som kan representere tallet 2,3. For det første biter vi oss merke i at tallet ligger i 2-intervallet som strekker seg fra 2 til 3. Når vi nå deler dette intervallet i ti like store deler, blir et av oppdelingspunktene nettopp 2,3. Idet det er et av delings­ punktene, tilhører det to intervaller. Det er høyre ende av intervallet med navn 2,2. Likeledes er det venstre ende av intervallet med navn 2,3. Så vi kan velge hvilket vi vil av disse to, som det intervallet der tallet 2,3 hører hjem­ me. Men etter at vi én gang har foretatt dette valget, er vi ikke fri til å velge igjen. Bestemmer vi oss for å si at tallet tilhører 2,2, vil det alltid etterpå, når vi deler opp underintervallene, ligge i det siste intervallet. Det uende­ lige desimaltallet blir i så fall 2,29999999 ... med en uendelig rekke nitall. Bestemmer vi oss derimot for å la tallet tilhøre 2,3-intervallet, vil tallet for bestandig, når vi igjen deler opp underintervallene, ligge i det første intervallet. I dette tilfelle vil det uendelige desimaltallet bli 2,300000 . . . med en uendelig rekke 0’er. På lignende vis får vi to navn for ethvert tall som kan representeres ved et endelig desimaltall, fordi et endelig desimaltall før eller senere alltid viser seg å være et endepunkt i et av intervallene i innsnevringen. De to måtene å representere tallet på, viser at en kan nærme seg et slikt tall fra to forskjellige kanter, enten fra høyre eller fra venstre.

EN INNSNEVRING SOM IKKE HAR NOE TALL

Vi har svart bekreftende på spørsmålet: «Kan ethvert rasjonalt tall representeres ved et desimaltall?» Vi har funnet at slike tall kan representeres ved et uendelig desimaltall og i enkelte tilfeller ved to uendelige desimal­ tall. Hver gang representerer det uendelige desimaltallet 105

en intervallinnsnevring, og det rasjonale tallet er knyttet til det eneste punktet som ligger inni innsnevringen. La oss nå snu spørsmålet og spørre: «Representerer ethvert uendelig desimaltall et rasjonalt tall?» Eller på en annen form: «Har enhver intervallinnsnevring som er de­ finert ved et uendelig desimaltall, et rasjonalt tall knyttet til punktet inni innsnevringen?» Vi kan straks se at svaret på dette spørsmålet må være: «Nei.» Vi har tidligere funnet at det finnes punkter på linjen som ikke er til­ ordnet noe rasjonalt tall. Det punktet hvis avstand fra 0 er lik lengden til diagonalen i et enhetskvadrat, er et slikt punkt. Dette punktet angis av pilen på figuren. Imidlertid kan en følge samme fremgangsmåte ved dette punktet som vi gjorde da det gjaldt punktet som repre­ senterer brøken j. Vi kan plasere det helt nøyaktig ved

hjelp av en intervallinnsnevring og det tilhørende uende­ lige desimaltall. Vi ser for det første at punktet ligger mellom 1 og 2, slik at desimaltallet må begynne med tallet 1. Så deler vi intervallet mellom 1 og 2 og observerer at punktet ligger mellom 1,4 og 1,5. Dette kan en like gjerne bevise ved hjelp av vanlig regning, idet en ser at 1.4 x 1,4 = 1,96, et tall som er mindre enn 2, mens 1.5 X 1,5 = 2,25 et tall som er større enn 2. Altså er 1,4 for lite til å være lengden til diagonalen i enhetskvadratet, mens 1,5 er for stort. Ved å fortsette prosessen med opp­ deling av underintervallene, får vi en intervallinnsnevring

106

og et uendelig desimaltall som representerer den. Det er ett og bare ett punkt inni innsnevringen, nemlig det punkt hvis avstand fra 0 er lik lengden til diagonalen i enhets­ kvadratet. Men det er ikke knyttet noe rasjonalt tall til dette punktet, så det uendelige desimaltallet som tilhører denne innsnevringen representerer ikke noe rasjonalt tall.

DET REELLE TALLSYSTEM

En kan tenke seg et uendelig desimaltall som et spørsmål. Det spør: «Hvis du danner den intervallinnsnevringen som mine sifre angir, hvilket tall vil du da finne inni innsnevringen?» I det rasjonale tallsystem har ikke dette spørsmålet alltid svar. Derfor spør vi nok en gang: «Finnes det et større tallsystem der dette spørsmålet alltid har svar?» Når vi nå skal lage dette tallsystemet skal vi bruke det samme hjelpemiddelet som vi allerede har benyttet to ganger før. Vi lar spørsmålet være sitt eget svar. Vi bygger et nytt tallsystem der hvert element er et uendelig desimal­ tall. En kaller dette systemet for det reelle tallsystem. I alminnelighet er hvert enkelt uendelig desimaltall et spesi­ elt tall. Men fra vår erfaring med det rasjonale tallet 2,3, vet vi at det finnes unntagelser. Vi må spesielt angi at dersom et desimaltall slutter med en uendelig rekke nitall, som for eksempel 2,2999999 .. . gjør, vil det desimaltallet en kommer frem til hvis en erstatter rekken av nitall med en rekke nuller og adderer 1 til det siste sifferet før rekken, representere samme tall. Altså representerer 2,30000 . .. og 2.29999999 . . . samme tall. Når vi er enige om dette, er ethvert reelt tall enten et enkelt endelig desimaltall eller et par uendelige desimaltall som begge to kan brukes til å representere tallet. Da vi representerte de rasjonale tallene som punkter på en linje, fant vi ut at det var gap på linjen som ikke var tilordnet noe tall. Senere fant vi ut at ethvert punkt på linjen kan lokaliseres ved hjelp av et uendelig desimaltall 107

og nå omdanner vi ethvert uendelig desimaltall til et tall. Således fyller vi med en gang alle gapene på linjen. Det reelle tallsystemet gir oss et tall for hvert eneste punkt på linjen. Hittil har vi bare definert en samling elementer som alle er enten et uendelig desimaltall eller et par av slike tall. For å omdanne denne samlingen til et tallsystem må vi først gi den den struktur som ethvert tallsystem må ha. Vi må definere addisjons- og multiplikasjonsoperasjoner for disse elementene, og vi må vise at de fem lovene gjelder for disse operasjonene. Når vi skal definere operasjonene, bruker vi de mindre systemene som vi allerede har, som utgangspunkt. På samme vis som vi benyttet det naturlige tallsystem da vi laget strukturen til systemet av hele tall, og vi brukte systemet av hele tall da vi dannet strukturen til det rasjonale tallsystem, benytter vi oss nå av det rasjo­ nale tallsystem når vi skal danne strukturen til det reelle tallsystemet. Vi definerer addisjon og multiplikasjon av reelle tall på følgende måte: Skal en addere to uendelige desimaltall, bryter en begge opp i følger av endelige desimaltall, ved etter hvert å benytte seg av flere og flere av sifrene i desimaltallet. Disse endelige desimaltallene representerer rasjonale tall og kan derfor adderes etter reglene som gjelder for rasjo­ nale tall: Addér derfor først det første leddet i de to følgene. Denne summen er en første tilnærmelse til svaret. Legg så sammen det andre tallet i hver av følgene. Dette resulterer i en bedre tilnærmelse til svaret. Ettersom en skrider frem i rekken av addisjoner, får en lengre og lengre endelige desimaltall. Sifrene først i tallet kan variere noe i starten, men siden slår de seg til ro, slik at det til sist er definert et bestemt siffer for hver eneste desimalplass. På dette vis oppnår en et bestemt uendelig desimal­ tall som tallenes sum. Skal en multiplisere to uendelige desimaltall, multipliserer en parene av endelige desimal­ tall på samme vis.

108

Skal en for eksempel legge sammen 0,222222 ... og 0,888888 . .går en frem på denne måten:

0,2 + 0,8

0,22 + 0,88

0,222 + 0,888

0,2222 + 0,8888

1,0

1,10

1,110

1,1110

0,22222 + 0,88888

0,222222 + 0,888888

1,11110

1,111110

Summen er øyensynlig det uendelige desimaltall 1,11111.. der alle sifrene er ett-tall. Skal en multiplisere de samme tallene, går en frem på denne måten: 0,2 X 0,8

0,22 x 0,88

0,16

176 176

0,1936

0,222 X 0,888

1776 1776 1776

0,197136

0,2222 x 0,8888 17776 17776 17776 17776 0,19749136

Vi ser at produktet begynner med 0,197, og flere av sifrene vil bli bestemt når en multipliserer flere ledd. På hvert trinn av den addisjonen og multiplikasjonen vi nettopp har definert, bruker en rasjonale tall. De fem lovene gjelder for de rasjonale tall. Resultatet av dette er at de fem lovene også må gjelde for de reelle tall. For eksempel fører summene 0,2 + 0,8 og 0,8 + 0,2 til samme resultat; 0,22 + 0,88 og 0,88 + 0,22 fører til samme sum

109

og så videre. Følgelig fører 0,2222... + 0,8888 ... og 0,8888 .. . + 0,2222... til samme uendelige desimaltall som er deres sum. Med andre ord gjelder den kommuta­ tive lov for addisjon for de reelle tall. De fire andre lovene kan bevises ved lignende beviser.

EN HAR FREMDELES DE RASJONALE TALL

Vi har laget det reelle tallsystemet slik at det inneholder ett tall til hvert eneste punkt på tall-linjen. Blant punktene på linjen er dem som allerede er tilordnet de rasjonale tall. La oss referere til disse som de rasjonale punktene på linjen. De reelle tallene som er knyttet til de rasjonale punktene danner en undermengde i det reelle tallsystem som er isomorf med det rasjonale tallsystem. For alle praktiske formål er de det «samme» som de rasjonale tall. Symbolet for et rasjonalt tall er en brøk eller et endelig desimaltall. Disse symbolene er enklere å skrive og arbeide med enn de uendelige desimaltall, så en bruker de rasjo­ nale tallene fremfor de uendelige desimaltallene til å repre­ sentere det reelle tallet som er knyttet til et rasjonalt punkt. Men først må en finne ut hvilke av de reelle tallene som tilhører rasjonale punkter og derfor er verdige til denne enklere representasjonen. De uendelige desimaltallene som representerer rasjonale punkter er de som, etter et endelig antall sifre, ganske en­ kelt gjentar en fast blokk av ett eller flere sifre, om og om igjen. En kaller dem sykliske desimaltall. For eksempel representerer alle følgende sykliske desimaltall, der den gjentatte blokken er streket under, rasjonale tall: 0,333..., 0,12121212 . . ., 2,3745454545 . . . Skal en bevise dette, må en først vise at ethvert rasjonalt tall som er represen­ tert ved en brøk, kan skrives som et syklisk desimaltall. Deretter må vi omvendt vise at ethvert syklisk desimal­ tall kan skrives som en brøk. Skal en vise at en brøk kan skrives som et syklisk

110

desimaltall, må en huske at en kan omdanne en brøk til et desimalt tall, ved å dividere telleren med nevneren. Divisjonsprosessen innebærer et subtraksjonsskritt, hvor­ etter en tar ned et nytt siffer fra dividenden. Dividenden er et heltall med et endelig antall sifre. Disse brukes derfor snart opp. Deretter begynner en å føre ned nullene som kommer etter kommaet. La oss se på det som skjer etter at en er kommet til dette stadiet. I subtraksjonsskrittet er det en rest som er mindre enn divisor, og denne resten bestemmer hva det neste tallet i kvotienten skal bli. Siden resten alltid er mindre enn divisor, er listen over mulige rester en begrenset, endelig liste. Men etter som vi skrider frem med divisjonen, får vi en endeløs rekke rester. Derfor kan en ikke fortsette med å få forskjellige rester hver eneste gang. Før eller siden kommer en rest som tidligere har vist seg, enda en gang frem og deretter gjentar divisjonen seg selv. For å vise at ethvert syklisk desimaltall kan skrives som en brøk, skal vi arbeide oss gjennom et spesielt eksempel som viser hvorledes saken angripes. Det vil av dette eksempelet følge klart at den samme metoden kan anven­ des på ethvert syklisk desimaltall. Anta at vi søker den brøken som representerer det sykliske desimaltallet 2,715151515 ... Vi deler da først dette desimaltallet i to deler, nemlig 2,7 og 0,015151515 ... idet vi skiller den ikke-sykliske delen fra den sykliske. Den første delen er lik brøken Vi må så finne den andre delens brøk. En multipliserer den da først med 10 slik at den gjentatte blokken starter rett etter kommaet. La oss kalle resultatet x og huske på at det er ti ganger så stort som det tallet vi søker, altså at vi må dividere med 10 når vi har funnet x. x = 0,15151515 . . .Vi multipliserer så begge sider med 100. Dette har den virkning at kom­ maet flyttes to plasser til høyre. Vi får altså at 100x = 15,151515 . .. som også kan skrives 100x =15 + 0,15151515 ... Men desimaltallet i denne ligningen er

111

ikke annet enn x. Derfor kan vi like gjerne skrive 100x = 15 + x. Og tar vi så bort x på begge sider får vi at 99x = 15. Divisjon med 99 på begge sider gir oss da at x = eller 3%. Vi dividerer så med ti for å finne at den andre delen av vårt opprinnelige tall er 3fo. Altså er det uende­ lige desimaltallet 2,715151515 . . . lik summen av og 3fo- Derfor representerer 2,715151515 .. . det rasjonale tallet eller . Vil du kontrollere svaret, så divider 448 med 165. VI HAR FREMDELES EN KROPP

Det rasjonale tallsystem har kroppstruktur. Utvidelsen av systemet har ikke ødelagt denne strukturen fordi det reelle tallsystemet også er en kropp. Vi skal vise at det har de nødvendige egenskapene. For det første er det en kommutativ gruppe ved operasjonen addisjon. Nullele­ mentet i gruppen er det uendelige desimaltallet 0,00000 . .. som vi kort kan skrive som 0, og ethvert uendelig desimal­ tall har en negativ, nemlig det uendelige desimaltallet skrevet med de samme sifre i samme rekkefølge, men med motsatt fortegn. For eksempel er negativen til 0,333 . . . lik — 0,333 . . . Systemet er også en ring fordi multipli­ kasjonen er distributiv med hensyn på addisjonen. Enhetselementet kan skrives på to måter: 1,000 . . . eller 0,999 .. Enn videre har hvert element, bortsett fra 0, en resiprok, slik at systemet er en kropp. Skal en finne resiproken til et uendelig desimaltall bruker en rekken av endelige desimal­ tall som nærmer seg mot tallet, og dividerer 1 med hvert av disse tallene. Kvotientene vi får er tilnærmelser til resiproken og etterhvert kan vi bestemme sifrene i desi­ maltallet som representerer denne. I spesielle tilfeller har en enklere måter å gjøre det på. Skal en for eksempel finne den resiproke til ]/2, skriver en den først i brøkform

som yU Verdien forblir uforandret om en multipliserer

112

med — , fordi denne faktoren er lik 1, eller enhetseleh h mentet. Men da får en —, hvis tilhørende desimaltall 2 ganske enkelt finnes ved å dividere desimaltallet til ^2 med 2. Desimaltallet som representerer ]/2 begynner slik 1,414 ... slik at desimaltallet som representerer resiproken begynner 0,707 . . . ET TALL I HVER ENESTE INNSNEVRING

Det reelle tallsystem har enkelte egenskaper som det rasjonale tallsystem ikke har. Mest bekvemt uttrykkes disse egenskapene ved det bildet vi har laget av tallene som punkter på en linje. Da vi representerte de rasjonale tallene som punkter på en linje, oppdaget vi at det fantes gap mellom dem som forble tomme. Det vil si at det fantes punkter på linjen som ikke var tilordnet tall. Det reelle tallsystem ble laget nettopp med det mål for øyet at denne defekten skulle elimineres. I dette systemet har en ikke bare et punkt til hvert eneste tall. Det eksisterer også et tall til hvert eneste punkt. Det er en en-til-en korrespon­ danse mellom det reelle tallsystem og punktene på talllinjen. På grunn av denne korrespondansen, kan vi tenke oss de reelle tall som punktene på denne linjen, og vi kan beskrive det reelle tallsystems egenskaper som forhold mellom punktene på linjen. Ved å gjøre ethvert uendelig desimaltall til element i det reelle tallsystem, forsikret vi oss, for eksempel, om at det ville eksistere et reelt tall til hvert eneste desimaltall. Denne egenskapen kan også beskrives ved punkter på en linje: Et uendelig desimaltall representerer en intervallinn­ snevring på linjen og i hver slik innsnevring er det ett og bare ett punkt som ligger inni alle intervallene. I dette utsagnet er den innsnevringen vi refererer til, en innsnev5. Adler

113

ring som er tilordnet et uendelig desimaltall. De påfølgende intervaller i en slik innsnevring har spesielle bredder, nemlig 1 0,1 0,01 0,001 og så videre, og deres endepunkter er alltid endelige desimaltall. Imidlertid er det mulig å danne intervallinnsnevringer av mer generell karakter, ved å fjerne disse restriksjonene som gjelder intervallenes bredder og deres begynnelsespunkter. Det eneste krav som må være oppfylt for at en skal kunne kalle en rekke inter­ valler for en innsnevring, er at intervaller som følger etter hverandre må ligge inni hverandre, og at bredden av de innerste intervallene nærmer seg mot 0. Det kan vises at alle innsnevringene i det reelle tallsystem har samme egenskap som vi har funnet for innsnevringene som er forbundet med uendelige desimaltall: Det er ett og bare ett punkt som ligger inni alle intervallene i en innsnevring. I denne betydning definerer hver eneste inn­ snevring et enkelt reelt tall. Noen av de andre egen­ skapene ved det reelle tallsystem som vi nå skal studere, er nær knyttet til dette faktum. UENDELIGE REKKER

Addisjon er en operasjon som er definert ved tallpar, så opprinnelig kunne en bare legge sammen to tall av gan­ gen. Imidlertid kan man, ved å utføre operasjonen flere ganger etter hverandre, utvide den til også å gjelde ethvert endelig antall tall. For eksempel er det ikke noen vanske­ ligheter forbundet med å finne summen av disse tallene: l + l + l + l + l + l. Summen er naturligvis 6. Hvis vi imidlertid tillater rekken å fortsette i det uendelige, i den uendelige rekken l + l + l + l-f-l + l + l... kommer vi opp i vanskeligheter. Den skrittvise addisjonen som vi kan utføre når vi har et endelig antall addender, virker ikke i dette tilfelle, fordi den aldri slutter. En sitter altså tilbake med spørsmålet: «Har det i det hele tatt men­ ing å forsøke å legge sammen uendelige rekker av ad­ dender?» Svaret viser seg å bli at stundom har det mening 114 i

og stundom har det ikke det. Vi kan få en idé om når en uendelig rekke har mening som en sum, ved nok en gang å undersøke en uendelig rekke som vi allerede kjenner, nemlig det uendelige desimaltall. Det uendelige desimaltallet 0,33333 ... er egentlig en forkledd uendelig rekke. I virkeligheten kan en tenke seg det som en forkortet skrivemåte for den uendelige rekken 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 ... På side 101 tolket vi også det uendelige desimaltall som en følge av endelige desimal­ tall: 0,3 0,33 0,333 0,3333 . . . Disse endelige desimal­ tallene er de summene en får når en legger sammen et endelig antall ledd i den uendelige rekken, idet en bruker det første leddet alene, deretter de to første leddene, så de tre første og så videre. En kaller disse summene for rekkens partialsummer. Vi fant ut at disse partialsummene i verdi nærmer seg brøken |, idet de nærmet seg denne ver­ dien som en grense. Derfor tilordnet vi verdien | til det uendelige desimaltallet. På lignende vis kan en gi mening til enkelte andre eksempler på uendelige rekker. Hvis partialsummene til en rekke i det lange løp kommer nær­ mere og nærmere et bestemt tall, idet de nærmer seg dette tallet som en grense, kan en betrakte dette grensetallet som den uendelige rekkes sum. La oss, for eksempel, betrakte rekken l+i+|+|+ A + • • • der hvert ledd er halvparten av det foregående ledd. Partialsummene er 1, 1|, lf, 1|, lyf, lf|,... I dette tilfelle nærmer partialsummene seg mot tallet 2. Forskjellen mellom den første summen og 2 er 1. Forskjel­ len mellom den andre summen og 2 er |. Forskjellen mel­ lom den tredje summen og 2 er |. Forskjellen mellom de føl­ ende partialsummene og 2 blir mindre og mindre, og differensen kan en gjøre så liten en vil bare en tar med mange nok ledd fra rekken. Altså nærmer partialsummene seg mot tallet 2 som en grense. En kan derfor tilordne tallet 2 som summen av rekken 1+1 + 1 + ! +T6 + -- La oss forsøke samme fremgangsmåte med rekken

115

1 + 1 + 1 + 1 + 14-1 + 14-... Partialsummene til denne rekken danner tallfølgen 1 2 3 4 5 6 ... I dette tilfelle finnes det ikke noe tall som partialsummene nærmer seg mot som grense, fordi de vokser grenseløst. Det vil si at vi kan få partialsummene til å bli større enn et fritt valgt tall, ved ganske enkelt å ta med mange nok ledd fra rekken. Fordi partialsummene ikke nærmer seg noen gren­ se, kan en ikke tilordne noe bestemt tall som summen til denne rekken. Vi ser herav at det ikke er alle rekker som har mening som en sum. En uendelig rekke har mening som en sum bare hvis partialsummene til rekken nærmer seg mot en grense. I dette tilfelle kaller en rekken en konvergent rekke, og rekkens sum er den grense som par­ tialsummene nærmer seg mot. Når vi nå vet at det bare er enkelte rekker som har mening som en sum, er det neste logiske spørsmål: «Hvilke?» Hvordan gjenkjenner vi en uendelig rekke som konvergerer? Vi finner ut at enkelte av dem kan gjen­ kjennes meget lett ved det faktum at de definerer en intervallinnsnevring. La oss for eksempel se på rekken 1— i + i — 1 + i — | + ... der leddene etterhvert av­ tar mot null og fortegnet varierer mellom + og —. Når vi nå danner partialsummene skal vi plasere dem som punkter på den reelle tall-linje. Den første partialsummen er tallet 1. Da det neste leddet, — |, er negativt, ligger den andre partialsummen til venstre for den første. Legger vi

116

til det tredje leddet, |, fører det oss tilbake til høyre, men ikke helt tilbake, fordi | er mindre enn |. Etter som vi legger til flere og flere ledd, flytter punktet som represen­ terer partialsummen, seg frem og tilbake, fra venstre til høyre og omvendt, men aldri så langt til venstre som før, og heller aldri så langt til høyre. Se nå på de intervallene som har de suksessive partialsummene som endepunkter. Det første intervallet er avgrenset til høyre ved 1 og til ven­ stre ved 1 — |. Det andre intervallet er til venstre avgrenset ved 1 — |, og til høyre ved 1 — | + |. Det tredje inter­ vallet er til høyre avgrenset ved 1 — | + |, og til venstre ved 1 — | | Ethvert intervall ligger inni det fore­ gående. Dessuten minker intervallbredden mot 0. Inter­ vallene danner en innsnevring, og som vi vet, er det bare ett eneste punkt inni en innsnevring. Partialsummene klumper seg sammen mot dette punktet som en grense, slik at rekken 1—| + | — | + ... er en konvergent rekke. Et lignende bevis gjelder for enhver rekke der leddene avtar mot 0, og tegnet varierer mellom pluss og minus. Enhver rekke av denne typen definerer en intervallinnsnevring og konvergerer mot det ene punktet som ligger inni innsnevringen. Dette faktum som vi nå har slått fast for det reelle tallsystem, holder ikke i det rasjonale tall­ system, fordi det der ikke er riktig at enhver intervallinnsnevring inneholder et punkt. En annen slags rekker som er enkle å analysere, er de som bare har positive ledd, samtidig som partialsummene er begrenset, det vil si at de bestandig er mindre enn et eller annet fast tall. Rekken l + |4-| + | + ...eret eksempel på en rekke av denne typen, fordi alle partial­ summene er mindre enn 2. La oss representere den gene­ relle rekken av denne type ved ai + as 4- as + ... der indeksene 1, 2, 3 osv. er merkelapper som angir leddets plass i rekken. Partialsummene er «i, + as, ai + as + as,.. . Siden vi får hver partialsum av den foregående ved

117

å addere et positivt tall, danner partialsummene en vok­ sende følge. La oss representere partialsummene med symbolene Si, S2, S3, S4,... Det vil si at Si = a±, S2 = ai -}- «2, S3 = ai + «2 + «3 og så videre. Hvis vi fremstiller partialsummene som punkter på den reelle tallinje, får vi en følge av punkter som gradvis beveger seg mot høyre fordi tallene jo stadig bli større. S2 ligger til høyre for Si, S3 ligger til høyre for S2 og så videre. Imidlertid kan de ikke bevege seg for langt til høyre, idet alle summene jo er mindre enn et bestemt, fast tall. Hvis vi representerer dette faste tallet på tallinjen med K, er dets plasering på linjen en øvre grense for hvor langt følgen av partialsummer kan bevege seg. Nå skal vi vise hvorledes en kan bruke K og partialsummene til å definere en intervallinnsnevring. Punktene Si og K er endepunktene til et av intervallene. Dette er det første intervallet i innsnevringen. Alle S-punktene etter Si ligger til høyre for Si og til venstre for K slik at de ligger inni dette intervallet. La oss halvere det. Punktene som angir følgen av S’er beveger seg mot høyre. Enten kommer de før eller senere inn i den høyre halvdelen av det første intervallet, eller så gjør de ikke det. Hvis de en eller annen gang kommer inn i den høyre halvdelen forblir de der, fordi de alltid beveger seg mot høyre og aldri passerer K. I så fall bruker vi dette intervallet som intervall nummer to i innsnevringen. Hvis S-punktene aldri kommer inn i denne høyre halvdelen, betyr det at de forblir i den venstre halvdelen. I så fall bruker vi denne halvdelen som inter­ vall nummer to i innsnevringen. Så gjentar vi prosessen. Vi halverer det andre intervallet i innsnevringen og velger ut en av de to delene som det tredje intervall i innsnevrin­ gen. Vi velger den høyre halvdelen hvis S’ene før eller siden beveger seg inn på denne delens område, ellers velger vi den venstre halvdelen. På denne måten får vi en følge av intervaller som har samme egenskaper som en innsnevring: Intervallene ligger 118

inni hverandre og intervallbredden avtar mot null. Altså finnes det ett enkelt tall som ligger inne i innsnevringen. Siden vi vet at partialsummene kommer inn i hvert av intervallene som tilhører innsnevringen for å bli der (dette følger jo av den måten vi velger ut intervallene på), konvergerer disse partialsummene mot dette ene tallet som en grense. Av den grunn konvergerer en uendelig rekke av positive ledd mot en grense, hvis partialsummene er begrenset. Dette resultatet kan formuleres ved følgen av partialsummer alene, uten noen referanse til den rek­ ken summene er avledet fra: Enhver voksende tallfølge som er begrenset til høyre, konvergerer mot en grense. De to typene konvergente rekker som vi nettopp har undersøkt, er spesialtilfeller. Det er imidlertid ikke vans­ kelig å finne et kriterium hvorved alle konvergente rekker kan gjenkjennes. Anta at rekken er representert ved «i + «2 + «3 + «4 + • • der leddene enten er positive eller negative. Hver gang en danner en partialsum, deler en rekken i to deler. Den første delen består av et endelig antall ledd som er tatt i rekkefølge fra begynnelsen av rekken og lagt sammen for å få partialsummen. La oss kalle denne delen for rekkens hode. Den andre delen består av resten av leddene i rekken; de som ikke benyttes til å danne partialsummen. La oss kalle denne delen av rekken for dens hale. Vi kan benevne de suksessive partial­ summene som dannes av hodet etter som det tilføyes flere og flere ledd, med Si, S2, S3, osv. La oss kalle de tilsvarende halene for Ti, T2, T3, osv. Da er: 51 = ai, med halen Ti: «2 + «3 + «4 + • ■ ■ 52 = ai + «2, med halen T2: 03 + «4 + «5 + • • • 53 = ai + 4- 35x — ly Altså har transformasjonen Q* P ligningene:

x" = 26x 4- 5y y" = 39x - y Dette er ligningene til den spesielle lineære avbildningen der ai, a2, bi og b2 har verdiene 26, 5, 39 og — 1.

150

Imidlertid danner ikke systemet bestående av alle line­ ære avbildninger en gruppe. Dette systemet har ikke gruppestruktur fordi det finnes noen lineære avbildninger som ikke er reversible. At dette er en komplikasjon kan vi forvisse oss om ved å sammenligne en av disse «vanske­ lige» lineære avbildningene med en translasjon. En trans­ lasjon avbilder ethvert punkt på et bilde slik at det ikke finnes to punkter som har samme bilde. En kan snu translasjonen ved å føre hvert billedpunkt tilbake til det ene punktet det avbilder. Imidlertid oppfører den lineære avbildningen som har ligningene x' - Ox + Oy = 0 y' = Ox + Oy = 0

seg annerledes. Den flytter alle punktene til origo, og resultatet er at origo ikke er bildet av ett, men av mange punkter. Og en mange-til-en avbildning er, som vi så på side 13, ikke reversibel. Imidlertid finnes det også lineære avbildninger som er reversible. Hvis en fjerner alle de lineære avbildningene som ikke er reversible og bare beholder dem som er reversible, får vi en undermengde i systemet av lineære avbildninger som danner en gruppe. I denne undermengden har alle de lineære avbildningene en invers, og like­ ledes er alle de andre kravene som stilles til en gruppe tilfredsstilt. Vi kan finne ut hvilke lineære avbildninger som er reversible, ved å prøve å snu en, og derved finne hvilke betingelser som må være oppfylt for at det skal lykkes. La oss ta for oss de generelle ligningene for en lineær avbildning: x' — aix + a2y y' = bix + b2y

Å reversere denne avbildningen er det samme som å løse ligningene med hensyn på x og y. La oss først skrive ligningene med x' og y' på høyre side og deretter løse

151

ligningene slik en vanligvis løser lineære ligninger, nemlig ved eliminasjon av en av de ukjente. For å eliminere y multipliserer vi den første ligningen med bz, den andre ligningen med —«2, og så adderer vi de ligningene vi kommer frem til:

aiføx + azbzy = bzx' — azbix — azbzy = — azy' aibzx — azbix = bzx' — azy'

Den distributive lov tillater oss å skrive venstre side av ligningen på faktorisert form, og vi får: (a±bz — = bzx' — azy'. Det neste skritt, når en skal løse ligningen med hensyn på x, ville være å dividere begge sider av ligningen med (aifø — «2&i) for å få resultatet: X—

bzx' — azy' . aibz — azbi

Imidlertid er ikke dette alltid mulig. Vi vet fra side 77 at divisjon bare har mening når divisor er forskjellig fra null, og følgelig kan en lykkes i omvending av lineære avbild­ ninger bare hvis a±bz — azbi er forskjellig fra null. Tallet a±bz — azbi kalles den lineære avbildningens determinant. Altså kan en si at en lineær avbildning er reversibel hvis og bare hvis determinanten er forskjellig fra null. Ta for eksempel de lineære avbildningene A og B som er definert på følgende måte: . lx' = 2x 4- 3y A’. , . y — 4x + 6y

_ [x' = 2x — 3y B'. \ . y = 3x + y

Avbildningen A har determinanten 2 • 6 — 3 • 4 = 0, slik at A ikke er noen reversibel avbildning. Derimot er deter­ minanten til avbildningen B lik 2 • 1 — (— 3) • 3 = 11, som jo er forskjellig fra null, slik at B er et eksempel på en reversibel avbildning. Hvis en løser ligningene med hensyn på x og y, uttrykt ved x' og y' får en:

152

x = tix' + ^y' y = -A*' + A/ Disse ligningene har den nødvendige form for å kvalifisere seg som en lineær avbildning, en avbildning som vi kan betegne med 5-1 eller den inverse til B. B~r er dessuten reversibel fordi en får den opprinnelige avbildningen B dersom en løser ligningene med hensyn på x' og y'. Systemet av reversible lineære avbildninger er kjent som den lineære gruppen. Den inkluderer alle rotasjoner, strek­ ninger og vridninger av planet. Hvis en reversibel lineær avbildning etterfølges av en translasjon, kalles produktet for en affin transformasjon. Systemet av alle slike produkter viser seg å være en gruppe, en gruppe som er kjent som den affine gruppe. Hvis en jevn strekning av planet etterfølges av en translasjon kalles produktet en similitude (likedannethetstransformasjon). Systemet av alle slike produkter danner en annen gruppe, som er kjent som gruppen av similituder. Samler vi i en transformasjonsmengde alle rotasjoner, translasjoner og refleksjoner, danner også denne mengden en gruppe, som kalles den Euklidske gruppen. HVA ER GEOMETRI?

Det faktum at et plans transformasjoner kan samles i fami­ lier av transformasjoner som av og til har gruppestruktur, har ført til ny forståelse av meningen med geometri. I den geometrien som det undervises i ved de høyere skoler brukes en anselig del av tiden til å undersøke kongruente figurer. En prøver å finne ut hvilke figurer som er kon­ gruente. En undersøker også hvilke egenskaper en figur har til felles med en kongruent figur. Slike egenskaper er blant annet lengder av tilsvarende sider, størrelser av til­ svarende vinkler, areal osv. Etter definisjonen var to figurer kongruente hvis en kunne få dem til å falle sammen. Bruken av flytninger for å plasere de to figurene på

153

hverandre var underforstått i denne definisjonen. For å forvisse oss selv om at figurene ikke ville bli ødelagt når vi flyttet dem, beroliget vi oss med «aksiomet» om at en geometrisk figur kan flyttes fra et sted til et annet uten at det innvirker på dens form eller størrelse. Dette aksiomets virkning var at det umuliggjorde alle deformasjoner som resultat av lovlige flytninger, i og med at det valgte ut som de eneste lovlige flytninger dem som vi har kalt rotasjoner, translasjoner og refleksjoner. Men dette er nettopp de flytningene som utgjør den Euklidske gruppen av transformasjoner. Dette faktum muliggjør en mer eksakt definisjon av hva som menes med kongruens. To figurer er kongruente dersom den ene kan avbildes på den andre ved en transformasjon som tilhører den Euk­ lidske gruppen. Denne definisjonen gir også ny mening til slike begreper som lengde, areal og så videre. De viser seg å være blant de egenskapene ved en figur som forblir uforandret når den transformeres ved en transformasjon som tilhører den Euklidske gruppen. Et annet emne i den elementære geometri er læren om likedannede figurer. Også likedannethetsbegrepet kan de­ fineres ved en gruppe transformasjoner. To figurer er likedannede hvis den ene kan avbildes på den andre ved en transformasjon som tilhører gruppen av similituder. En similitude lar ikke et linjestykkes lengde forbli ufor­ andret, men den forandrer ikke på slike ting som vinkler og forhold mellom lengder. Den kjensgjerning at disse tradisjonelle begrepene fra plangeometrien best kan be­ skrives ved grupper av transformasjoner, har ført frem til den moderne definisjon av geometri. En geometri blir nå definert som studiet av figurer som kan avbildes på hverandre ved en gruppe transformasjoner, og av de egen­ skapene som forblir uforandret når transformasjonene utføres. Etter denne definisjonen undervises det i den høyere skole ikke i geometri, men i noen geometrier. Når det undervises i kongruens, undervises det i Euklidsk 154

geometri, den geometrien som er tilordnet den Euklidske gruppen. Når det undervises i likedannethet, undervises det i en annen geometri, nemlig den som er assosiert med gruppen av similituder. Dessuten finnes det andre geo­ metrier. For eksempel eksisterer det en affin geometri som er assosiert med den affine gruppen. Fordi mange grupper kan operere i samme vektorrom, finnes det en mengde geometrier som tilhører ett og samme rom. GJØR DET SELV

1. Bruk definisjonen av vektoraddisjon som ble gitt på

side 138 og finn følgende vektorsummer:

(3, 2)+ (-1,2) (4, 7) + (-4, -7)

(8, -5) + (-5, 8) (2, 0) + (0, 3)

2. Bruk definisjonen av vektoraddisjon til å bevise den kommutative lov for addisjon: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b). 3. Plaser punktene (2, 3), (-5, 4) og (-6, -2) på en

grafisk fremstilling når en tar koordinatene i for­ hold til en x-akse og en y-akse som står normalt på hverandre. Utfør følgende skalarmultiplikasjoner og plaser punktene på den grafiske fremstilling: 3 • (2, 3), 2 • (-5, 4), og -1 • (-6, -2). Vis på den grafiske fremstillingen at de to første skalarmultiplikasjonene forandrer lengden til den pilen som angir vektoren uten å forandre dens retning. Vis at den tredje forandrer lengden og vender om ret­ ningen. 4. Representer disse tredimensjonale vektorene i i, J,

k-notasjonen:

(4,6,1)

(-2,1,0)

(0,5,7)

5. To lineære avbildninger P og Q (som avbilder et

plan på seg selv) defineres på følgende måte: 155

Q:

x' = 2x + y / = x — 3y

Finn ligningene som definerer produktet Q* P. Er Q * P = p * Q? Er operasjonen * for slike lineære avbildninger kommutativ? 6. Finn den inverse til avbildningen P som er definert

i oppgave 5. 7. Uttrykk som ett enkelt ordnet par:

a) (2, 4) + (x, 6) c) (6, -4) + (-2, 3) + (1, 1) e) 2(-3, 1) + 4(5, -2)

b) (3, -1) + (7, 2) d) 4(2, -1) + 3(4,-2) f) t(2, 1) + (5, 7)

8. Finn vektoren (x, y) i følgende ligninger:

a) (x. y) + (2, -3) = (0, 0) b) (x, y) + (4, 1) = (7, 2) c) 2(x, y) + (3, -2) = (4,1)

9. Finn skalarene x og y: o) x(2, 3) + y(4,-1) = (16, 3) b) x(2, 4) + y(9, 6) = (4, 4) c) x(1,0) + y(0,1) = (0, 0) 10. Finn determinanten til hver av disse lineære trans­

formasjonene:

11. a) Hvilke av transformasjonene i oppgave 10 haren

invers? b) Finn disse inversene. (Se side 152.)

156

7 De meniges rekker: matrisene

I dette kapitlet skal vi betrakte de lineære avbildningene av planet på seg selv fra et annet synspunkt. Gjennom denne undersøkelsen skål vi gjøre oss kjent med nok en viktig matematisk struktur. Samtidig skal vi skaffe oss et verktøy som vi kommer til å ha nytte av i neste kapitel, når vi skal fullføre arbeidet med å lage et tallsystem som inneholder ett tall til hvert eneste punkt i planet. Noen typiske lineære avbildninger av planet er stilt opp nedenfor, med en stor bokstav som navn på hver av dem: x' = lx + ly

x' = 2x + ly

V = lx — ly

y' = lx — 3y

x' = Ox + Oy

x' = lx + O.y

y' = Ox + Oy

y' = Ox + ly

Avbildningen O kunne ha vært skrevet kortere på formen x' = 0 og y' = 0. På samme vis kunne avbildningen med navn I ha vært skrevet som x' = x og y' = y. Imidlertid har den fullstendige skrivemåten som viser nullkoeffisientene eksplisitt, den fordel at den understreker det faktum at alle lineære avbildninger har samme form. I enhver avbildning oppnås den nye x og den nye y ved å addere ett eller annet multiplum av den gamle x til et eller annet multiplum av den gamle y. To forskjellige lineære avbild­ ninger avviker derfor fra hverandre bare på det ene punkt at de benytter seg av forskjellige multipla. Det som gir 157

en lineær avbildning særpreg er altså de fire koeffisientene som forekommer i avbildningens ligninger. Denne kjens­ gjerning gjør det nærliggende å representere en avbild­ ning i en forkortet notasjon idet en utelater bokstavene x, y, x' og y' og bare stiller opp de fire koeffisientene i en kva­ dratisk oppstilling, akkurat som de er stilt opp i ligningene slik de er skrevet ovenfor. En slik kvadratisk oppstilling av tall kalles en matrise. I vårt tilfelle kaller vi den en (2, 2)-matrise, fordi matrisen har to linjer og to kolonner. Enhver lineær avbildning av planet er følgelig assosiert med en slik (2, 2)-matrise, og omvendt er enhver (2, 2)matrise av reelle tall tilordnet en eller annen lineær avbild­ ning av planet. For å vise denne korrespondansen, skal vi bruke samme navn på matrisen som på den avbild­ ningen som tilhører den. Her er matrisene til avbildning­ ene P, Q, O og Z:

MATRISENE DANNER ET VEKTORROM

Når vi nå har en samling matriser, kan vi se bort fra deres opprinnelse som koeffisienter tilhørende lineære avbild­ ninger, og tenke på dem som et uavhengig system av elementer. Vi fortsetter med å gi dette systemet struktur på en enkel og naturlig måte, idet vi omdanner det til et vektorrom ved metoder som ligner dem vi brukte i forrige kapitel. På samme måte som vektoren (2, 3) er dannet av to komponenter som begge er særpreget av sin spesielle plass i det ordnede par, er hver (2, 2)-matrise dannet av fire komponenter eller elementer som alle er særpreget av sin plass i den kvadratiske oppstillingen. Derfor kan vi definere addisjon av matriser på samme måte som vi definerte addisjon av ordnede par. Skal en addere to

158

matriser legger en sammen elementene parvis. Vi kan også definere en skalarmultiplikasjon for matriser på samme måte som vi definerte skalarmultiplikasjon for ordnede par, idet vi bruker kroppen av reelle tall som skalarkropp. Skal en multiplisere en matrise med en skalar, multipliserer en hvert av elementene med denne skalaren. Eksempler på addisjon og skalarmultiplikasjon av matriser er gitt neden­ for:

/2 1\ Z2(2) 2•O = 2• 1 = 1 * \1 —3/ \2(1)

/4 2 1 = 1 2(—3)/ \2 —6 2(1)\

Med addisjon og skalarmultiplikasjon definert på denne måten, blir systemet av (2, 2)-matriser et vektorrom. For å bevise dette må vi vise at systemet har alle de egenska­ pene som et vektorrom må ha. (Se side 141.) For det første legger vi merke til at vårt system er en abelsk gruppe med hensyn på addisjon. Dette bevises nedenfor idet vi viser at addisjonen er assosiativ og kommutativ, at den har et nullelement og at enhver matrise har en negativ: Addisjonen er assosiativ:

la Q= , hi 1)2/ \di ai\

a± + ci

(P + Q) + R =

bi + di

a2 + C2\ bz + d2

/a

C2

\fi

fe.

(«2 + C2) + C2 \(Z>i + t/i) +/i (62 + di) + /2. /(«i + ci) + ci

159

P + (’2, J3) ■ yi = ctiXi 4~ Æ2X2 4“ U3X3

y2 = bixi 4- b2X2 4- bsX3 y3 — cixi 4- C2X2 + C3X3 Disse tre ligningene er ekvivalente med den ene matriseligningen:

167

«2 #3\ !X\ b2 Z>3 I ’ I X2 C3J

C2

\X3

noe en kan forvisse seg om ved å utføre matrisemultiplika­ sjonen. Innfører vi navn for matrisene på følgende måte:

«1 CI2 03

(

bi

b2 bs

Cl

C2

C3

får ligningen denne særdeles enkle formen: Y = PX. Altså kan en erstatte de tre opprinnelige ligningene med denne ene ligningen, bare en følger matrisealgebraens lover. Matrisealgebraen er nå en av de mest benyttede i matematikken, selv om den er en av de yngste grenene innenfor faget. Ved siden av å være et uerstattelig redskap i den høyere matematikk, anvendes matrisealgebraen også på så vidt forskjellige felter som psykologi, kjemi, fysikk, økonomi og elektronikk. GJØR DET SELV

1. Finn summene P + Q og Q 4- P og produktene PQ

og QP av de følgende (2, 2)-matrisene:

Sammenlign svarene og vis at P 4- Q = Q 4- P, mens PQ er forskjellig fra QP.

/a b a) Finn skalarproduktet 2 • ( \c d

,. _ /2 0\ /a b b) Finn matriseproduktet •I \0 2/ \c d 168

Sammenlign resultatene. Legg merke til at matri-

sen

/2 0\

brukt ved matrisemultiplikasjon har sam-

\0 2/ me virkning som skalaren 2 brukt ved skalarmulti­ plikasjon.

a) Finn P(Q + R), det vil si adder Q og R og multipli­ ser deretter resultatet fra venstre med P. b) Finn PQ + PR, det vil si finn først produktene PQ og PR og legg dem så sammen. c) Sammenlign resultatene av a) og b) som et bevis for at den distributive lov gjelder. 4. La

/0 1 0

T=[001

\0 0 0 a) Finn T2 = TT. b) Finn T3 = T2T. Hva slags element er 7? (Se side 165.)

8

Piler som er tall

Vi vender nå tilbake til ugjort arbeid. I kapitel 6 satte vi oss det mål å konstruere en utvidelse av det reelle tallsystem som er slik at det nye systemet inneholder et tall til hvert eneste punkt i planet, og slik at det også har med i seg et tall som oppfyller ligningen x2 = — 1. Som et første skritt i denne retning dannet vi et system av elementer der hvert element var et ordnet par av reelle tall, slik som (1, 4) eller (—^2, |æ). Vi definerte en addisjonsoperasjon for disse elementene, og en operasjon som vi kalte skalarmultiplikasjon. Med disse to operasjonene ble systemet et eksempel på den typen strukturer som vi har kalt vektorrom. I dette vektorrommet har vi ett element til hvert eneste punkt i planet, men det betyr imidlertid ikke at vi har nådd vårt mål. Vår hensikt var jo å finne et tallsystem som inneholder et tall til ethvert punkt i planet, og det vektorrommet vi har laget, kvalifiserer seg ennå ikke som tallsystem. Et system av elementer er et tallsystem bare dersom det har to binære operasjoner som kalles addisjon og multiplikasjon, definert på en slik måte at disse opera­ sjonene er kommutative og assosiative; dessuten må mul­ tiplikasjonen være distributiv med hensyn på addisjonen. I det vektorrommet som består av ordnede tallpar, har vi en addisjonsoperasjon som er assosiativ og kommutativ. Vi har også en operasjon som kalles skalarmultiplikasjon, men denne bidrar ikke til å kvalifisere systemet som et 170

tallsystem, fordi skalarmultiplikasjonen ikke er en binær operasjon. Ved skalarmultiplikasjon multipliserer en jo en vektor med et element som ikke er hentet fra systemet av vektorer. Ved en binær multiplikasjonsoperasjon må en kunne multiplisere en vektor med en vektor og få et produkt som også er en vektor. Derfor må vi altså definere en slik multiplikasjon for å kunne konstruere vårt nye tallsystem.

ORDNEDE PAR BLIR TALL

Vi definerer multiplikasjon av ordnede par ved følgende ligning: (a, b) • (c, d) = (ac - bd, ad + bc). (I denne lig­ ningen har vi skrevet ac istedenfor a • c, fordi det er be­ kvemt og fordi det er vanlig å utelate gangetegnet i angitte multiplikasjoner.) Ifølge denne definisjonen er for eksem­ pel produktet (2, 3) • (4, 1) lik (2 • 4 — 3 • 1, 2 • 1 + 3 • 4) =(5, 14). Vi viser nå at denne multiplikasjonsoperasjonen er assosiativ og kommutativ og at den er distributiv med hensyn på addisjon. For å vise at multiplikasjon av ordnede par er en kom­ mutativ operasjon, sammenligner vi (a, b) • (c, d) med (c, d) • (a, b).

(a, b)-(c,d) = (ac — bd, ad + bc) (c, d) • (a, b) = (ca — db, cb + da)

Men i det reelle tallsystem er ac — bd = ca — db og ad + bc = cb + da. Følgelig er de to produktene like, og den kommutative lov gjelder. For å vise at multiplikasjon av ordnede par er en assosiativ operasjon, sammenligner vi ((a, b) ■ (c, d)) • (e, f) med (a, b) • ((c, d) • (e, f)). [(a, b) ■ (c, d)] • (e,f) = (ac — bd, ad + bc) • (e,f) = ([ac — bd)e — [ad + bc]f, [ac — bd]f + [ad + bc\é) = (ace — bde — adf— bcf, acf— bdf+ ade + bce).

171

(a, b) • [(c, d) ■ (e,/)J = (a, b) • (ce - df, cf + de) = (q[ce — df} — b[cf + de], a[cf+ de] 4- b[ce - df]) =(ace — adf — bcf— bde, acf + ade 4- bce — bdf).

Den første komponenten i begge disse produktene er en sum av fire ledd, og en legger merke til at det er samme ledd, de er bare skrevet i forskjellig rekkefølge. Følgelig er disse komponentene like. På samme vis er de to andre komponentene like og derfor er de to produktene like. Multiplikasjon av ordnede par er altså en assosiativ ope­ rasjon. For å vise at multiplikasjonen av ordnede par er distributiv med hensyn på addisjonen, sammenligner vi

(tf, b) • [(c, d) + (