Culegere de probleme de algebră superioară: traducere din limba rusă [2 ed.]

Citation preview

. D. K. FAD.D,EEV ::le- J•. Ji/ S'Ql\UNSKII

CULEGEHE· DE PROBLEME DE ALGEBRA SUPEHIOABA TRADUCERE DIN LIMBA ROSA

'

··-.·�--

.

-�_:_:·. ,. _.

. '._ � EDiTlJiA'�'T EHNi'tJ�: :. , 1--9,·5 t

.�c�ta culegere de prolJlcme cstc ,dcstinata si'l ser­ veasca drept manual pentru studentfi1 din primif ani ai Facultiit).lor de Fizico-Matematici din Univcrsitati �i ai Institutelor Pedagogice. Ea este tntocmltii tn con­ formitate cu cursul de Algebra superioara care se predii. in Universlbl\l. Pcntru multe probleme se dau lndlcatii asupra metodelor de rezolvare. La toate exercltlfle i;i problemele sc dau riispunsurile respective, iar pentru uncle prohleme sotutllle sfnt elate 1n mod anu'\nunfit.

/.1. IAA/lEEB n H.:, C. COMHHCl) (b6>2 + aru). a) (a

12. Sit . se afle numerele complex · conjugate cu : , a) patratul lor, b) -cubul lor. -it!13. Sa se demonstreze teorema: · Daca dupa un numar- finit de opera'tiii 1·a�ionale (adica de aduniri, scaderi, tnmuliiri �i impir�iri), efectuate.cu numerele. 3:i, :v�u •••, a:u, am ob�ut .numarul u, atunci, in. urma aceloralji opera�, �plfoate conjugatelor 17 w2, ••• , w".., vom ob�ine numitrul conjugat u. 14. Sa se demonstreze ea x2 + y 2 :_ (s2 + t 2) n, daca w + y·i .. = (8' + ti)». . 15. Sa se calculeze

u,

w

cu ·

a)

vu;

b) -V-Bi;

> V - a-4i;

e h) 1>

· f) V -8 - 6i; i)

v�; ·

d)

V -15 + 8i";

g) V -s + 6i; V 8 - 6i; 'j) V 8 + 6i; k) V-2 -� 3i ;

l' -n + 6oi;

V4 + i + Vi-�;. ;

o) y-2---i-Vl-2. ·

. c)

m)

Vi - iVs·;

n) �1/ - 1 ;

·Enun.Juri

14

*71. Sa se afle sumele a) cos� fJJ + cos3 ·2x + b)

sin3

x

+

sin3

2x

... + cos3 nx;

+ ... + sin3 11.fJJ.

*72. Sa se afle sumele :

. a) cos x b) sin x

+ 2 cos 2m + 3 cos 3m + . . . + n cos nx;

+ 2 sin 2fJJ + 3 sin 3x + . . . + n sin nx.

73. Sa se afle lim ( 1

74. �tiill(l •

tl--+- 00

ea :

+ �)'J pentru ll

= iim ( l + _na: )

erx

oc

=a+ bi.

11 ,

11-'JC

sa se demonstreze ea : a,) e2•i = l ; b) e = - 1 ; :ci

c) erx+ �= e« • e�;

d) ·(eet)k

= ea1.·

pentru k intrc,g.

§ 3. Eeuatn de grad� al treilea �i al patrulea

75. Sa se rezolve prin formula lui Cardan ecu·atiile :

b) � + l�x + 63 = 0; fJid - 6x + 9 = O; x3 + 9x2 + 18x + 28 = O ; . d) x3 + 6fJJ2 + 30m� + 25 O� x3 - 6x + 4 = 0; f) x1 + 6.v + 2 = 0; w + ·1sx + 15 = 0; h) a:3 - :1x2 - 3x + 11 = 0 ; 2 x3 + 3x - 6m + 4 = 0 ; j) x3 + Ox - 26 = 0; l) .t3 + 45x - 98 = 0; x3 + 24a.: - 56 = o; 2 m) x3 + 3.v - 3x - 1 = 0 ; n) �-:-6x2 +57x-196==0; o) m3 + 3x - 2i = 0; p) J.: - 6ix + 4 (1 - i) = 0; 3 3 3 1·) x - 3abx + a + b = 0; s) x3 - 3abfgx + f2ga3 + fg2b3 = O ; u) a.:3 - -t-m + 2 = O. t) x1 - 4x - l = O; a) c) e)· g) i) k)

=

3

*76 .. Folosind formula lui Cardan sa se arate ea· (X1 -·X2) 2 (m1 - X3) 2 (m2 - .V3)2 = - J.p3 - 27 q2, x17 x2, x3 fiin.., ( ;..+;i.)x+ ).y-t-(2 x+3}z=l-

+(

3km.+(2k+l)y+(k+l)z=k, (2k-'-"t)x+(2k�l)y+(k-2)z=k+l,: ( 4k-=- l }m-+ • 37qJ + ' 2kz=1.

.... --

'

EnunJurl

. 585. Si se determine polinoamele de gradul eel ma,i mic. :ale caror radacini sint date : a) ridacina dubla l, d,dacini simple 2, 3 �i 1 + i ; b) rMacina tripla - 1, radacini simple 3 �i 4; c) radacina dubla i, radacina simpla - 1 - i. 586. Sa se afle polinomul de gi·adul eel mai mic care admite ea radacini toate rad§:cinile unita'(;ii, puterile carora nu depa�esc pen. 587. Sa se fo1·meze polinomul de gradul eel mai mic en coeficienti reali, care adm.ite ea radacini: a) radacina dubla 1, radacini simple 2, 3 �i 1 + i ; b) radacina tripla 2 -3i ; c) rMacina dubHi, i, radacina simpla - 1 - i. 588. Sa ·se afle eel mai mare divizor comun al pplinoamelor : a) (a:-1 ) 3 (a: + 2) 2 (x-3) (m- 4) �i (x-1)2 (x + 2) (x + 5); b) (m - 1) ( x 2 · - 1) ( x3 - 1) ( m4 - I) �i ( a; + l) ( x2 + 1) ( x3 + 1) ( :v4 + 1 ) ·; c) (a:3 - 1) (a:2 - 2JJ + 1) §i· (a:2 _ - 1) 3 • *589, Sa se afle eel mai mare divizor comun al polinoamelor a,m - 1 �i a;n - 1. 590. Sa se afle eel mai mare divizor comun al polinoah1elor a;m + am �i {J} + all • tl

591. Sa se affo ce1 mai mare divizor comun al lJOlinornulni �i al derivatei lui a)/ (x) = (a; -1)3 (x + 1)2 (x - 3); b) f (x) -; (m _;_ 1) (x2 - 1) (x3 - 1) (x4 - 1); c)· f (x) = �m+n - X"' -xn + 1. 5�2. Polinomul f (a:)nu are radacini multiple. Sa se demon­ streze ea daca mo este o radacina de multiplicitate k > l pentru ecuat,ia :/ ( u (x)) = O, atunci ecuat,ia / {u' (x)) = O arl1uit;e· pe o' (x) v (x) a:0 ea radacina de multiplicitate k - 1. Se presupu�e ea t' ( m0) -=t= o, 1,' (mo) =1=- 0.

Polinoame §i funcjii rationale

c) fi(m)=m6-4x&+llm4-27m3+37x2-35x+35; 5 8 2 /2{m)=x -3m'+7x -20m +10x-25; d) /i{m)=3m7+6m6-3m5+4m'+14x3 -6x2 --4x-f-4; · '2(x)=3x6 -3m'+7m3-6m+2; ) e ft(x)=3�5+5x4-16x3-6m 2-5x-6; f2(x)=3w4 -4x3-x2-x-2; - f) /1(x)=4x4 -2m3-16x2 +nx+9; f,ix)=2x3-x2-5x+4-. 633. Folosind algoritmul lui . Euclid, sii- se afle doua poli:noame M1{m), .M2(x), astfel incit fi(x)M2(m)+/2(m)M1(m)=l a) fi(m)=3x3 -2x2+m+2; Mx)=m2-m+l; b) /i(m)=ro4-x3-4x2+4m+l; M.a:)=x2-x-l; c) /1(m)-:-x5-5x4-2m3 +12x2-2a:+ 12 ; Mm)=x3 �5x2-3m+17; d) /1(x)=2:i4+3m3 :--3a:2-5m+2; /2(x)=�x3 -!-x2-x-1; e) /1 (x)=3x4-5x3+4x2-2x+l; /2(x)=3a:3-2x2+x-l; f) /1(x)=x5+5x4 +9x3 +7x2+5x+3_; I2( X) = x4 + 2 x3 2x2 + (l) + 1.

+

634. Sa se determine polinoamele ·.ilt'i(x) �i .iJf2(x) prin. :metoda coeficientilor nedeterminati, astfel incit /i(x) M2(m)+ +/2(m)M1(x)=l a) /i(x)=x4-4x3+1, /2( x)=x3-3.v2 -t-1 : h) fi(x)=x3, /2(x) (1-.i-) 2; /2(:.t) =(l-ai)4• c) ft(x)=x4, 635. Sa se afle polinoamele M1(x) �i .lll2(m) (x) sint toate reale, simple �i se separa reciproc, adica. daca intre doua radacini oarecare ale lui /(a:) exista o radacina, a lui q>(x) �i intre doua radacini oarecare ale lui q>(x) exista o1·adacina a lui /(a:), atunci ecuatia i,./(x) + µ.q>(a,)=0 are toate. radacinile reale pentru oricare ;.. �i µ. reali. *727. · Sa se demonstreze ea daca to ate radacinile polinoa­ melor F(x)=A/(x)+µ.cp(x) sint reale pentru oricare ;.. �i µ. reali,. atunci radacinile polinoamelor /(x) � q>(x) se separa reciproc_ *728. Sa se demonstreze ea daca f'(a,) are toate 1·adacinile reale �i distincte �i /(x) nu are radacini multiple, atunci numarul radacinilor reale ale lui [f'(a:]2-/(x)f"(x) este. egal cu numa­ rul radacinilor imaginare ale polinomului f(x). *729. Sa se demonstreze ea daea radacinile polinoamelor­ li(x) � ft(ro) sint toate. reale �i se separa, atunci radacinile. derivatelor lor, de asemenea, se separa. *730. Sa se demonstreze ea daca toate radaeinile polino­ mului f(x) sint reale, atunci toate radaeinile polinomului. F(x)=y/(a:)+(;..+x)f'(x) sint, de asemenea, reale pentru y>