Como Resolver Problemas Matemáticos - Uma Perspectiva Pessoal 9788585818944

Table of contents :
SUMÁRIO
Prefácio ...vii
Prefácio da primeira edição ...xiii
Prefácio da segunda edição ...xvii
1 Estratégias de resolução de problemas ...1
2 Exemplos da teoria dos números ...13
2.1 Algarismos ...16
2.2 Equações diofantinas ...29
2.3 Somas de potências ...33
3 Exemplos da álgebra e da análise ...49
3.1 Análise de funções ...50
3.2 Polinômios ...58
4 Geometria euclidiana ...67
5 Geometria analítica ...95
6 Exemplos variados ...117
Referências ...139
Índice Remissivo ...141

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Coino Resolver Probleinas Mateináticos Uma Perspectiva Pessoal Terence Tao

■!SBM COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA

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scrito por um destacado matemático, esse estimulante e claramente apresentado texto conduz o leitor através de várias táticas para a resolução de Problemas Matemáticos, em nível de Olimpíadas. Cobrindo teoria de números, álgebra, análise, geometria euclidiana e geometria analítica, éomo Resàlver Problemas Matemáticos inclui ao longo de seu corpo numerosos exercícios e modelos de solução. Tendo como pré-requisito apenas conhecimentos de matemática básica do ensino médio, o texto é ideal para um amplo público e para estudantes com idade a partir dos 14 anos, interessados em matemática pura.

ISBN 9 78 - 85-858 1 8-94 -4

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Como resolver· problemas matemaucos - uma pen,pecuvn 11 .,.,.,.,n, Copyright © 2013 Terence Tao Direitos cedidos para Sociedade Brasileira de Matemática, SBM para esta edição. A reprodução não autorizada desta publicação, no todo ou em parte, constitui violação de direitos autorais. (Lei 9.610/98). Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective, First Edition was originally published in English in 2006. This tanslation is published by arrangement with Oxford University Press. A primeira edição do livro " Como resolver problemas matemáticos - Uma perspectiva pessoal, foi originalmente publicada em inglês em 2006. Essa tradução é publicada por acordo com a Oxford University Press. Tradução Paulo Ventura Sociedade Brasileira de Matemática Presidente: Paolo Piccione Vice-Presidente: Jaqueline Godoy Mesquita Diretores: Walcy Santos Jorge Herbert Soares de Lira Daniel Gonçalves Roberto Imbuzeiro Editor Executivo Ronaldo Alves Garcia Assessor Editorial Tiago Costa Rocha Coleção Professor de Matemática Comitê Editorial · Bernardo Lima Djairo de Figueiredo Ronaldo Garcia (Editor- Chefe) José Espinar José Cuminato Sílvia Lopes Capa Pablo Diego Regino Distribuição e vendas Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Sala 109 - Jardim Botânico 22460-320 Rio de Janeiro RJ Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095 http://www.sbm.org.br / email:[email protected] ISBN 978-85-85818-94-4 FICHA CAT4LOGRÁFICA PREPARADA PELA SEÇÃO DE TRATAMENTO DA INFORMAÇAO DA BIBLIOTECA PROFESSOR ACHILLE BASSI - ICMC/USP Tl 71c

Tao, Terence Como resolver problemas matemáticos - Uma perspectivà pessoal/ Terence Tao; tradução de Paulo Ventura. - Rio de Janeiro: SBM, 2013. 168 p. (Coleção do Professor de Matemática; 31) ISBN 978-85-85818-94-4 1. Estratégias de resolução de problemas. 2. Teoria qos números - ejtE:mplos. 3. Análise - exemplos. 4. Algebra - análise. I. Verrtura, Paulo, trad. II. Título.

Com.o Hesolver Problem.as Matem.áticos Uma Perspectiva Pessoal Terence Tao

1' edição

2013 ;ltio de Janeiro

■!SBM COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁT'ICA

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SOCEDADE BRASLEIRA DE MATEMÁTEA

COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA Logaritmos - E. L. Lima Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios A. C. Morgado, J. B. Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Fernandez Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) E. L. Lima Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E. L. Lima Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - E. L. Lima com a colaboração de P. C. P. Carvalho Trigonometria, Números Complexos - M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner, Notas Históricas de J. B. Pitombeira Coordenadas no Espaço - E. L. Lima Progressões e Matemática Financeira - A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani Construções Geométricas - E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro Introdução à Geometria Espacial - P. C. P. Carvalho Geometria Euclidiana Plana - J. L. M. Barbosa Isometrias - E. L. Lima A Matemática do Ensino Médio Vol. 1 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E: L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado . A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado Matemática e Ensino - E. L. Lima Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P. Carválho, E. Wagner e A. C. Morgado Episódios da História Antiga da Matemática - A. Aaboe Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E. L. Lima A Matemática do Ensino Medio Vol. 4 - Exercícios e Soluções - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto Um Convite à Matemática - D.C de Morais Filho Tópicos de Matem_ática Elementar - Volume 1 - Números Reais - A. Caminha Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - A. Caminha Tópicos de Matemática Elementar - Volume 3 - Introdução à Análise - A. Caminha '/iipicos de Matemática Elementar - Volume 4 - Combinatóri1· l 11tl 11\'/I da mesma pessoa que fiC:ara famosa muito a11t.1's. ('Ili 1~IS;,.i_ 011 11,1111!1111· 11111a 11wdalha d,~ ouro nas ()li111píadas l11t.(•1'11:wi1111111'., d,· \111!1•111111 li 11

Prefácio

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- uma competição extremamente exigente pensada para jovens no fim do Ensino Secundário com 13 anos de idade e na sua terceira participação (em 1986, ainda antes.de completar 11 anos, ganhara uma medalha de bronze, e em 1987 uma de prata). Tanto Tao como os seus dois irmãos foram crianças e jovens excepcionalmente brilhantes e precoces, tendo sido acompanhados pelos melhores especialistas mundiais nesses casos. Terence, em particular, teve um percurso escolar delineado com cuidado pelos seus pais (uma professora de matemática e um pediatra emigrados de Hong Kong para a Austrália), que lhe permitiu um progresso acelerado na disciplina de matemática. Aos 15 anos, já depois das suas três participações nas Olimpíadas Internacionais de Matemática, escreveu o livro que o leitor tem nas mãos. Nele coligiu vários problemas de matemática, que organizou tematicamente em quatro capítulos, mais um com exemplos diversos (nomeadamente de combinatória). Antes dos quatro capítulos principais - sobre teoria dos números, álgebra e análise, geómetria euclidiana, e geometria analítica -- há um interessante capítulo sobre Estratégias de resolução de problemas, onde o autor analisa, com exemplos, vários princípios e regras gerais para abordar e resolver problemas de matemática: compreender o problema, compreender os dados e o objetivo, escolher símbolos adequados, escrever o que se sabe, modificar o problema, ir provando alguma coisa, etc. Numa entrevista que deu em 2006, Tao afirmou: Quando eu era criança, tinha uma ideia romântica da matemática, a ideia de que os problemas difíceis eram resolvidos em momentos 'Eureka' de inspirat;ão. Depois, acrescentou': Hoje, comigo, é sempre assim: 'Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho.' Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir 1111m problema difícil entrando pela porta das traseiras. ·No final, o q1w 11orrnalmente acontece é: 'Olha, resolvi o problema.' É este tipo

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Prefácio

de atitude e de estratégia que está presente logo no primeiro capítulo do livro. Os problemas que Tao analisa ao longo desta obra são do tipo dos que se encontram nas Olimpíadas de Matemática: são elementares no que se refere ao nível dos conhecimentos matemáticos necessários, mas exigem reflexão e engenho para a sua resolução. Com grande clareza, Tao explica como resolver os problemas seleccionados, discute estratégias, exemplifica truques comuns. Depois inclui, como exercícios, problemas que o leitor pode e deve experimentar por si mesmo. O público para um livro destes é formado por quaisquer pessoas, em particular jovens, que gostem de matemática e estejam dispostas a fazer algum esforço mental. Essas pessoas achá-lo-ão interessante, útil e formativo. Esqueça o leitor, que o autor deste livro, tinha 15 anos quando o escreveu. A idade não é importante para a :,;natemática. Esqueça também, tudo o que sabe sobre o passado de criança-prodígio do autor. Os raciocínios podem ser os mesmos para todos. Concentre-se apenas na matemática. A excelente tradução de Como Resolver Pr'oblemas Matemáticos deve-se a Paulo Ventura Araújo, matemático da Universidade do Porto, que é autor de um bom Curso de Geometria. Fala-se muito na crise do ensino da matemática em Portugal, mas de vez em quando convém prestarmos atenção às coisas positivas. Entre elas está decerto o fato de muitos jovens portugueses gostarem de matemática. Para esses jovens, poucos livros serão melhor escolha do que este. Leiam-no, acompanhem o jovem autor nos seus desafiantes problemas, nos seus engenhosos raciocínios, nas suas inesperadas soluções. Dificilmente p9deriam estar em melhor companhia. Coimbra, Abril de 200~

Prefácio da primeira edição

Proclus, um antigo filósofo grego, disse: É isto, pois, a matemática: ela recorda-nos as formas invisíveis da alma; ela dá vida a suas próprias descobertas; ela despertá a mente e purifica o intelecto; ela traz à luz nossas ideias escondidas; ela elimina o esquecimento e a ignorância que são nossos desde o nascimento ... Mas eu simplesmente gosto da matemática porque ela é divertida. Os problemas ou puzzles matemáticos são importantes para a matemática a sério (aquela que os matemáticos praticam), do mesmo modo que os contos, fábulas e historietas são importantes para as crianças entenderem a vida real. Os problemas matemáticos são matemática desinfetada, em que uma solução elegante foi já encontrada (por outra pessoa, claro), a questão foi extirpada dê tudo quanto é supérfluo, e ela nos é apresentada de um modo interessante e (espera-se) estimulante. Se compararmos a matemática com a busca do· ouro, resolver um bom problema matemático é semelhante a um curso do tipo esconde-esconde em prospecção de ouro: fazem-nos procurar uma certa pepita; conhecemos-lhe o aspecto, sabemos que·está em alµ;m11 lugar, que não é difícil chegar a ela, que está ao nosso alcance

xiv

Prefácio da primeira edição

descobri-la, e que (muito convenientemente) nos foi fornecido o equipamento certo (ou seja, os dados do problema) para a encontrarmos. Pode estar escondida em sítio astucioso, mas sua descoberta requererá habilidade em vez de grandes escavações. Apresento neste livro resoluções de problemas de diversos ramos da matemática e com níveis de dificuldade variados. Problemas assinalados com uma estrela (*) são de dificuldade maior, seja por exigirem matemática mais avançada, seja por obrigarem a raciocínios engenhosos; e aqueles com duas estrelas (**) são ainda mais difíceis. A alguns problemas seguem-se exercícios adicionais que podem ser resolvidos de modo semelhante ou envolvem matemática do mesmo tipo. Enquanto vou apresentando as resoluções, tento exemplificar alguns truques do ofício de resolver problemas. Duas das principais armas - experiência e conhecimento - não são fáceis de pôr num livro; têm que ser adquiridas com o tempo. Mas há muitos outros truques mais simples que levam menos tempo a aprender. Há modos de encarar um problema que tornam mais fácil encontrar um plano de ataque praticável. Há maneiras sistemáticas de reduzir um problema a subproblemas cada vez mais simples. Mas, por outro lado, resolver o problema não é tudo. Para voltarmos à analogia da pepita. de ouro, esventrar toda a região circundante com explosões e escavadoras é mais grosseiro· do que fazer um levantamento cuidadoso do terreno, usando alguma geologia e abrindo pequenas covas em locais escolhidos. Uma solução deve ser relativamente curta, compreensível, e se possível ter um toque de elegância. Deve também ser divertido encontrá-la. Usar a geometria das coordenadas para transformar um pequeno e simpático problema geométrico numa equação monstruosa e voraz não tem ·o mesmo gosto de vitória que uma solução vetorial em duas linhas. Como exemplo de elegância, eis um resultado bem conhecido