Como entender y hacer demostraciones en matemáticas

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COMO ENTENDER YHACER DEMOSTRACIONES EN MATEMATICAS

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COMO ENTENDER YHACER DEMOSTRACIONES , EN MATEMATICAS DANIEL SOLOW Case Western Reserve University

~LIMUSA NOR I EGA ED ITO RES MEXICO Espana • Venezuela • Argentina Colombia • Puerlo Rico

Versi6n autorizada en espailol de Ia obra publicada en Ingles por John Wiley & Sons, Inc., con el titulo

HOW TO READ AND DO PROOFS © John Wiley .t Sons, Inc. ISBN f.471-M66-I Vmi611 Gptlllolo supervisada por el profuor

DANIEL SOLOW L• PfW•nlilci6n y ~n., CDrrjunfD all cOMO ENTENDER Y HACER DEMOITRACIONEI EN IIA'MIIA11CAI _, pn;pledad del fHIIDr. Nin(pla ,.,. • . , . obt8 putlde- teptutlucld8 0 fiBnlmifiiM, ....... nlngtJn ..,.,.,.

o mMotlo, Mctl1fnJco o "**tlr:o (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, II gtBbat:i6n o a/flkJiilf ..._tit ~ y .,._,.,.,_, alllnfonn111:1611), . , _ _,.,.,., por NCiirD dM ftdfor.

e 11183, EDITORIAL UMUSA, S.A. dll C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES

Blldela1 es. C.P. 06040, tMxlco, D.F.

T...lono 621·2HIS Fa 512·21-03 de Ia CUiara N8eiarlal dille lnd..tria EditDrlal MIJdc.n•. Rlglltlv mlm110 121

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ISBN 868-111-2115-7

A mi padre Anatole A. Solow (q. p. d.} y a mi madre Ruth Solow.

Prologo

En un articulo dcnominado "Ensenando matematicas utilizando tccnicas para hacer demostraciones", el au tor ha escrito: "La incapacidad para comunicar demostraciones de una manera comprensible ha sido pcrjudicial para estudiantes y profesores en todas las ramas de las matematicas". Todos aquellos que han tenido la expcricncia de ensei'iar matematicas y Ia mayor{a de aquellos que han tratado de aprcnderlas, debcn coincidir seguramente en que cntender una dcmostraci6n matcmatica es una traba para Ia mayoria de los cstudiantes. Muchos de ellos tratan de salvar este obstaculo evadiendolo, confiando en Ia indulgcncia del profesor para que no incluya demostraciones en los examenes. Esta confabulaci6n entre estudiante y profcsor cvita algunas de las consecuencias desagradables, tanto para el alumno como para cl profesor, producidas porIa falta de dominio del tcma por parte del cstudiantc, pero csto no moditica el hecho de que un clcmento clave de las matematicas, probablemente su caracteristica mas notable, no ha entrado en el repertorio del estudiante. El doctor Solow crce que es posible enseftar al estudiante a entender Ia naturaleza de las demostraciones sistematizandolas. La idea cs descrita convincentemcnte en este libro, con lujo de detalles y de ejemplos, y no dudo que sus ideas merezcan atenci6n, analisis y, sobre todo, cxperimentaci6n. Una de sus metas principales es ensenar al cstudiantc a leer dcmostraciones como las que sc encuentran en los libros de tcxto. Seguramcnte, cstas demostraciones, no se presentan en forma sistematica. Por lo tanto, en csta obra sc presta mucha atenci6n (particularmente en los dos apcndices) a ensei'iar allector como 7

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reconocer los elementos tipicos de un argumento matem,tico en una presentaci6n informal de una demostraci6n. Existe aqul una analog{a valida con el papel de los algoritmos tradicionales de Ia aritm~tica elemental. Es importante conocerlos y entender c6mo trabajan, y en que problemas, en principia, pueden aplicarse. Pero una vez que se ha aprendido todo esto, uno no aplica mecanicamente esos algoritmos en situaciones de Ia vida real ( i aun a falta de una calculadora!). El autor opina que sucede lo mismo con las demostraciones. Entienda y analice su estructura, con lo cual podra leer y en tender las versiones mas informales que encuentre en los libros de texto y, finalmente, us ted seni capaz de crear sus propias demostraciones. El doctor Solow no afirma que los matematicos desarrollan sus propias demostraciones aplicando concienzuda y deliberadamente el "m~todo progresivo-regresivo"; sugiere que todos tendriamos una mejor oportunidad de ensei'lar a comprender las demostraciones sistemati.. zandolas en Iugar de presentar los procedimientos tradicionales con Ia esperanza de que los estudiantes puedan aprender ~ste diflcil arte por osmosis. Uno debe estar de acuerdo con el doctor Solow de que, en este pals (EUA), los estudiantes comienzan a enfrentarse con las ideas de las demostraciones matematicas demasiado tarde en sus estudios. La etapa apropiada para iniciarse en estas ideas es, en opini6n de muchos, no mas tarde del octavo grado. Sin embargo, seria un error si los profesores universitarios justificaran sus propias fallas mediante una reconfortante referencia a los defectos en Ia educaci6n preuniversitaria del estudiante. En Ia actualidad, todos sabemos que las matematicas constituyen un tema de fundamental importancia debido a su papel ubicuo en Ia vida contemporanea. Para que se utilicen eficazmente las matematicas, sus m~todos deben entenderse adecuadamente, de otra forma estaremos en el papel de robots (ineficientes) cuando tratemos de usar las matematicas y hagamos un esfuerzo indebido con nuestras memorias que son por naturaleza imperfectas. El doctor Solow le ha dado mucha importancia a Ia cuesti6n de c6mo puede lograrse Ia comprensi6n de una demostraci6n matematica. Hoy en d fa, muchos estudiantes no adquieren esta comprensi6n, y el plan del doctor Solow para remediar esta situaci6n insatisfactoria merece conjusticia que se ponga a prueba. Louis D. Beaumont Profesor Universitario Case Western Reserve University Oeveland, Ohio

PETER HILTON

AI estudiante

Despues de terminar mis estudios de Licenciatura, comend a preguntarme por que habia sido tan dificil aprender matematicas puras. A medida que avanzaba en mis estudios de posgrado me di cuenta que las matematicas poseen muchos de los aspectos de un juego: un juego en el cuallas reglas habian estado parcialmente escondidas. ilmaginese tratando de jugar ajedrez antes de saber c6mo se mueven todas las piezas! No es sorprendente que tantos estudiantes hayan tenido problemas con las matematicas abstractas. Este libro describe algunas de las reglas del juego denominado matematicas puras. Por experiencia propia, practicamente cualquier persona motivada y que cuente con los conocimientos de matematicas del Bachillerato puede aprender estas reglas. AI aprenderlas, usted reducira en gran parte el tiempo (y frustraci6n) que se invierte en el aprendizaje de las matematicas abstractas. Espero que este texto sirva para dicho objetivo. Para jugar al ajedrez, us ted debe aprender primero c6mo se mueve cada una de las piezas. Solamente despu~ de que estas reglas han sido asimiladas por su subconciente usted podni concentrar toda su atenci6n en aspectos creativos como las estrategias, tacticas, etc. De igual forma sucede en matematicas. AI principia se necesita trabajar mucho para aprender las reglas fundamentales presentadas en este libra. De hecho, su objetivo debe ser asimilar este material basta que se convierta en alga muy conocido para usted. Entonces, encontrara que su mente puede enfocarse bacia los aspectos creativos de las matematicas. Estas 9

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AI eatudumte

reglas no son subst.~tutos para Ia creatividad, y este manual no tiene como fmalidad ensefiar como ser creativo. Sin embargo, creo que puede proporcionarle las herramientas necesarias para expresar su propia creatividad. De igual importancia es el hecho de que estas herramientas le permitiran entender y apreciar Ia creatividad de otros autores. Usted esta a punto de aprender un aspecto clave del proceso de razonamiento matematico. A medida que estudie el material y resuelva los problemas, est~ consciente de su propio proceso de razonamiento. Raga preguntas y busque respuestas. Recuerde, Ia (mica pregunta no inteligente es aquella que nose formula. Cleveland, Ohio Juniode 1981

DANIEL SOLOW

Alprofesor

La falta de un metodo adecuado para comunicar demostraciones de una manera entendible ha sido perjudicial para estudiantes y profesores en todas las ramas de las matematicas. Los resultados han sido estudiantes frustrados, profesores frustrados y, frecuentemente, cursos de bajo nivel que s6lo permiten que los estudiantes vean parte del programa, o un examen sencillo que proteje a los estudiantes de las consecuencias de esta deficiencia. Uno podrla concluir que la mayoria de los estudiantes no pueden entender simplemente matematicas abstractas, pero mi experiencia indica lo contrario. Lo que parece hacer falta es una metodologia apropiada para explicar las maternaticas te6ricas. En este manual he desarrollado un metodo para comunicar demostraciones: un lenguaje com(m que puede ser enseftado por los profesores y entendido por los estudiantes. En esencia, este libro clasifica por categorias, identifica y explica (al nivel de los estudintes) las diversas tecnicas que se usan en forma repetitiva para practicamente todas las demostraciones. Una vez que el estudiante entienda estas tecnicas, entonces es posible explicar cualquier demostraci6n mediante Ia aplicaci6n sucesiva de las mismas. De hecho, es aconsejable hacerlo de esta forma debido a que este proceso fortalece lo que el estudiante ha aprendido en el manual. Explicar una demostraci6n en terminos de las tecnicas que Ia componen no es dificil, tal como se ilustra en los ejemplos de este folie11

n

.AiprofeiOr

to. Antes de cada demostraci6n "condensada" existe una explicaci6n detallada de Ia misma en Ia cual se presenta Ia metodologia, el proceso de razonamiento y las tecnicas que se utilizan. Enseftar a hacer demostraciones en esta forma no requiere mu que seguir cada paso de Ia demostraci6n indicando que tecnica va a utilizarse y por que. En el amllisis de una demostraci6n en clase, propongo que losestudiantes participen activamente en Ia elecci6n de las tecnicas y en el disefto de Ia demostraci6n. Me ha sorprendido gratamente Ia calidad de sus comentarios asi como Ia de sus preguntas. Mi experiencia me ha enseftado que una vez que los estudiantes conocen las tecnicas para hacer demostraciones, sus mentes tienden a cuestionar los aspectos mas imponantes de las matematicas como por que una demostraci6n se realiza de una forma particular y por que esa parte de las matematicas es importante. Este libro no pretende enseftar c6mo ser creativo, pero creo que describe muchas de las aptitudes basicas cuya adquisici6n bani posible que Ia mente del estudiante se concentre en los aspectos creativos. He encontrado tambien que al usar este enfoque, es posible presentar el material del curso a un nivel mucho mas soflsticado sin confundir a los estudiantes. De cualquier modo, el mensaje es claro. Considero que son muchos los beneflcios que se ganan a1 enseftar el proceso de razonamiento matematico ademas del material del curso. Este manual esta diseftado para dar un gran paso en Ia direcci6n correcta, haciendo que las matematicas te6ricas sean comprensibles y amenas para los estudiantes, y para que usted tenga un metodo para comunicarse con ellos. Oeveland, Ohio Junio de 1981

DANIEL SOLOW

Agradecimientos

Por ayudar a que este trabajo fuera divulgado en Ia comunidad matematica, mi agradecimiento mas profunda es para Peter Hilton destacado matematico y educador. Tambit!n, quisiera agradecer a Paul Halmos, cuyo reconocimiento y apoyo oportuno facilitaron enormemente Ia divulgaci6n de Ia existencia de este manual y metoda de enseftanza. Agradezco tambien las platicas sostenidas con Gail Young y George Polya. Con respecto a Ia preparaci6n del folleto, ninguna persona tuvo mas comentarios constructivos que Tom Butts. El no solamente contribuy6 con el contenido matematico, sino que corrigi6 tambien muchos de los errores gramaticales y de estilo en Ia versi6n preliminar por lo que considero que tambien debo agradecer a Ia Sra. Butts, madre de Tom, el ser profesora de ingles. Me gustaria tambien agradecerle a· Charles Wells Ia lectura y comentario del primer borrador y el animarme a continuar adelante con el proyecto. Muchas otras personas hicieron sugerencias imponantes, incluyendo a Alan Schoenfeld, Samuel Goldberg y Ellen Stenson. El aspecto mas estimulante de todo este proyecto ha sido Ia traducci6n simultanea de este folleto al chino, japones, espaftol y frances mediante el esfuerzo voluntario de personas excepcionales que estan profundamente preocupadas por Ia calidad de Ia educaci6n de las matematicas. La dedicaci6n, profesionalismo y cooperativismo internacional del que yo he sido testigo es verdaderamente notable. La versi6n en espaflol fue preparada por Luis A. Hernandez (Mexico), 13

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Armdeclmiento•

Jose Gonzalez (Mexico), Ram6n Nadira (Venezuela), Gilberto Mena (Mexico), Alberto Urdaneta (Venezuela), Jose Rodriguez (Mexico) e Yves Vidaurre (Nicaragua). Tambien Emilio Flores (Mexico) aport6 su valiosa ayuda. Dedico Ia traducci6n al espaftol de este manual a estas personas. Estoy seguro que ellos comparten mi esperanza de que este trabajo sea una valiosa contribuci6n para enseftarles matem4ticas a sus compatriotas. Por Ultimo, pero no por eso menos importante, estoy muy agradecido con mi esposa Audrey por su ayuda en Ia revisi6n y por su paciencia durante otro de mis proyectos. D.S

Contenido

Capitulo

Pagina

I. La verdad en matematicas 2. El metodo progresivo-regresivo 3. Acerca de las definiciones y Ia terminolog!a matematica 4. Cuantificadores Ia. parte: el metodo por construcci6n 5. Cuantificadores 2a. parte: el metodo por seleccion 6. Cuantificadores 3a. parte: induccion 7. Cuantificadores 4a. parte: particularizacion 8. El metodo por contradicci6n 9. El metodo comtrapositivo I 0. La negacion de ncgaciones conduce a confusiones II. Tecnicas especiales para hacer demostraciones 12. Resumen Apendice A: aplicaci6n de lo aprendido 1a. parte Apendice 8: aplicaci6n de lo aprcndido 2a. parte So1uciones de los ejercicios. Glosario de simbolos matematicos indicc 15

17 23 37 47 53 63 71 77 85 91 97 I OS 1I 3 121 129 177 179

., Tabla 1 Tabla de verdad para "A implica 8" Tibia 2 Demostraci6n del ejemplo 1 Tabla 3 Tabla de verdad para "no 8 implica no A" Tabla 4 Resumen de tknicas para hacer demoatracionea

Contenido

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28 44

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Deftnldones Definiciones 1 • I 0 Definiciones 11 Definiciones 12 Definiciones 13 Definiciones 14 Definiciones 1S Definiciones 16 Deflniciones 17 Definiciones 18

38 48 48 48

ss ss

72 113 121

Capitulo 1 La verdad en

matematicas

El objetivo de los matematicos es descubrir y comunicar ciertas verdades. Las matematicas son el lenguaje de los matematicos y una demostraci6n, es un metodo para comunicar una verdad matematica a otra persona que tambien "habla" el mismo idioma. Una propiedad del lenguaje de las matematicas es su precision. Una demostraci6n propiarnente presentada no deberi contener ambigUedades y no habra duda de que es correcta. Desafortunadamente, muchas demostraciones que aparecen en libros de texto y articulos de revistas no tienen Ia claridad necesaria; (fu;~o en otras palabras, las demostraciones estan presentadas adecuadamente para quienes ya conocen el lenguaje de las matematicas. Por lo tanto, para entender, hacer una demostraci6n o ambas cosas, usted debe aprender un idioma nuevo, un metodo nuevo de razonamiento. Esta obra explica gran parte de Ia "gramatica" buica que usted necesitara, pero tal y como sucede en .el aprendizaje de un nuevo idioma, sera ilecesaria mucha prcictica de su parte para llegar a tener fluidez. La idea de este manual es clasificar y explicar las diversas tecnicas que se utilizan en las demostraciones. El primer objetivo es enseftarle a leery en tender una demostraci6n escrita mediante Ia identificaci6n de las tecnicas que se han utilizado. AI aprender esto, usted estarci capacitado para estudiar casi cualquier tema en matematicas sin Ia ayuda de un profesor, lo que es una meta muy conveniente. El segundo objetivo de este manual es enseftarle a desarrollar y comunicar sus propias demostraciones de verdades matematicas conocidas. Para lograrlo se necesita que aplique una cierta ~ntidad de ingenio, creatividad, intuici6n y experiencia. Asi como hay maneras diferentes 17

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lA verrllld en mGtemdticas

para expresar Ia misma idea en cualquier idioma, asi tam bien hay diferentes demostraciones para el mismo hecho matematico. Las tecnicas para hacer demostraciones que se presentan aqui estan disefladas para iniciarlo y para guiarlo a traves de una demostraci6n. Consecuentemente, este folleto no s6lo describe como trabajan las tecnica~ para hacer demostraciones, sino que tambien muestra cuando deben utilizane y por qut!. Con frecuencia, se da el caso de que una ttScnica correcta puede seleccionarse basandose en Ia forma del problema que se estll considerando. Por lo tanto, cuando usted trate de hacer su propia demostraci6n, es importante seleccionar conscientemente Ia tecnica de demostraci6n, en vez de desperdiciar horas tratando de ver que hacer. Cuanto mas consciente este usted del proceso de razonamiento mejor. El objetivo final, sin embargo, es que usted utilice sus nuevas habilidades y lenguaje adquiridos para· descubrir y comunicar verdades matematicas anteriormente desconocidas. Esta meta es admirable aunque extremadamente dificil de lograr. E1 primer paso en este sentido es alcanzar un nivel en el que uno sea capaz de leer y desarrollar las demostraciones propias de las verdades ya conocidas. Esto le ·dara a usted un entendimiento mucho mas profundo y rico del universo matematico que lo rodea. E1 material Msico de las tecnicas para hacer demostraciones se presenta en los once cap {tulos siguientes.. El capitulo doce es un resumen completo y le siguen dos aptSndices, en los cuales se ilustran las diversas tecnicas con varios ejemplos. La presente obra esta diseftada para que estudie en ella cualquier penona con conocimientos de matematicas a nivel preuniversitario. &tudiantes ava:nzados que anteriormente ya han visto demostraciones, pueden estudiar los dos primeros capitulos, pasar lue&o al capitulo del·resumen y, posteriormente, estudiar en los dos aptSndices para ver c6mo se utilizan todas las tecnicas. El resto de este capitulo explica el tipo de relaciones en las cuales pueden· aplicarse las demostraciones. Dados dos proposiciones, A y B, cada uno de los cuales puede ser verdadero o falso, un problema de interes fundamental en matematicas es el de demostrar que si A es verdadero, entonces B es verdadero. Una demostraci6n es un metodo formal para realizar esta tarea. Como usted pronto descubrir.i, Ia forma particular de A y B puede indicar a menudo el camino a seguir. Algunos ejemplos de proposiciones. 1. Dos rectas diferentes en un plano son paralelas o se cortan s6lo en un punto.

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LD verdad en matemdtkas

2. 1 = 0. 3. 3x = 5 y y = 1. 4. x noes> 0. 5. Existe un angulo t tal que cos(t) = t. Observe que Ia proposici6n 1) es siempre verdadera, 2) es siempre falso, y que los postulados 3) y 4) pueden ser verdaderos o falsos, dependiendo del valor de una variable. Tal vez no sea tan obvio que Ia proposici6n 5) es siempre verdadero. Por lo tanto, es necesario tener alg(tn metodo para demostrar que tales proposiciones son verdaderas. En otras palabras, una demostraci6n es un argumento convincente expresado en el idioma de las matematicas. Como tal, una demostraci6n debera contener suficientes detalles matematicos para poder convencer a la(s) persona(s) a quien(es) esta dirigida. Por ejemplo, una demostraci6n de Ia proposici6n 5) dirigida a un profesor de matematicas podrfa ser solamente Ia figura 1. Por otro lado, una pmeba dirigida a un estudiante de bachillerato requerira una explicaci6n detallada, tal vez Ia definici6n del coseno inclusive. La falta de esta explicaci6n detallada es lo que hace que una demostraci6n sea a menudo tan diffcil de leer y entender. Uno de los objetivos de este texto es el de ensenar a descifrar dichas demostraciones "condensadas" que aparecen comimmente en los libros de texto y en las publicaciones matematicas. Para poder hacer una demostraci6n, usted debe saber exactamente lo que significa demostrar que "si A es verdadero entonces B es verdadero". La proposici6n A se llama a menudo hipotesis y el postut cos(t)

-11'

-11'/2

11'/2

11'

· Fipra 1. Una demostraci6n de que existe un Angulo t tal que cos(t)= t.

t

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lado B conclusion. Para abreviar, 1a proposici6n "si A es verdadero entonces B es verdadero" se reduce a "si A entonces B", o simpIemen te "A implica B". Los matematicos son a menudo muy perezosos cuando se trata de escribir. Por lo cual han desarrollado una "taquigrafia" simb6lica. Por ejemplo, un matematico escribini "A ... B" en Iugar de "A implica B". En su mayor parte, los libros no usan Ia notaci6n simb6lica, pero los profesores si Ia usan a menudo y, finalmente tambi6n usted Ia puede encontrar de utilidad. Por lo tanto, este texto incluir.i los sfmbolos apropiados, pero no los usara en las demostraciones. En el glosario se puede encontrar una lista completa de los simbolos, al fmal del presente libro. Parece razonable que las condiciones bajo las cuales ''A implica B" es verdadero dependeran de si A y B son verdaderos. Consecuentemente, hay cuatro posibles casos a considerar: 1. A 2. A 3. A 4. A

es verdadero y B es verdadero. es verdadero y B es falso. es falso y B es verdadero. es falso y B es falso.

Suponga, por ejemplo, que un amigo le ha dicho lo siguiente: "Si Uueve entonces Marfa trae su paraguas". Aqui Ia proposici6n A es "llueve" y B es "Marfa trae su paragUas". Para determinar cu4ndo es falso, Ia proposici6n "A implica B", preguntese en coAl de los cuatro casos usted llamaria a su amigo mentiroso. En el primercaso (es decir, cuando llueve y Marfa trae su paraguas) su amigo le ha dicho Ia verdad. En el segundo caso·, llovi6 y Maria no trafa su paraguas. Dado que su amigo dijo que ella traerfa su paraguas, puede concluirse que su amigo no ha dicho Ia verdad. Finalmente, en los casos 3) y 4) no llueve. Usted no le dirfa a su amigo que es un mentiroso ya que ~1 tan s6lo dijo que algo sucederfa en caso que lloviera. Asi, el postulado "A implica B" es verdadero en cada uno de los cuatro casos excepto en el segundo, como se resume en Ia tabla 1.1 .. La tabla 1.1 es un ejemplo de una tabla de verdad. Una tabla de verdad es un metodo para determinar cu4ndo una proposici6n complejo (en este caso ''A implica B") es verdadero, debiendo examinarse todos los posibles valores de Ia verdad de las proposiciones individuates (en este caso A y B). Otros ejemplos de tablas de verdad apareceran en el capitulo 3. De acuerdo a Ia tabla 1.1, cuando se trata de demostrar que "A implica B" es verdadero, se puede suponer que Ia proposici6n a Ia iz-

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Ejercieio&

Tabla 1. Tabla de verdad para ·~A implica B". A

Verdadero Verdadero Falso Falso

B

Verdadero Falso Verdadero Falso

A implica B

Verdadero Falso Verdadero Verdadero

quierda de Ia palabra "implica" (es decir, A) es verdadero. Su meta es concll,lir que el postulado de Ia derecha (es decir, B) es verdadero. Tenga en cuenta que una demostracion de Ia proposici6n "A implica B" no es un intento de verificar si A y B son verdaderos, sino d,emostrar que B es una consecuencia 16gica de haber supuesto que A es verdadero. En general, Ia habilidad para demostrar que B es verdadero dependeni mucho del hecho de que usted ha supuesto que A es verdadero y, finalmente, tendni que descubrir Ia relaci6n entre A y B. Racer esto requerini una cierta cantidad de creatividad de su parte. Las tecnicas que se presentanin para hacer demostraciones estan diseiiadas para iniciarlo y guiarlo a lo largo del camino. En lo sucesivo, A y B senin proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. El problema de interes sera demostrar que "A implica

B". EJERCICIOS 1.1 De los siguientes incisos, diga cuales son proposiciones. (Recuerde que una proposici6n debe ser verdadera o falsa). a) ax 2 + bx + c = 0. b)(--b ± b 2 - 4ac)f2a. c) el triangulo XYZ es similar al triangulo RST. d)3 + n + n 2 • e) sen(ff/2) n 2 es un entero par. c) Si a, b, c, d, e y f son nUm.eros reales con Ia propiedad (adbe) ::/:: 0, entonces las dos ecuaciones lineales (ax + by)= e y (ex + dy) = /tienen soluci6n para x y y. d) La suma de los primeros n enteros positivos es n(n + I )/2. e) res un numero real y se cumplequer 2=2 implica que resirracional. Si p y q son n11meros reales positivos con ...; (pq J ::/:: (p + q )/2 entonces p ::/:: q. g) S1 x es un numero real, el valor mfnimo de x(x- 1) es por lo menos -1/4.

n

1.3 Si usted esta tratando de demostrar que "A implica B" es verdadero y sabe que B es falso, (,quiere demostrar que Ia proposici6n A es verdadera o falso? Explique.

1.4 Usando Ia tabla 1.1 , determine las condiciones bajo las cuales las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. De sus razones. a) Si 2 > 7 entonces I > 3. b) Si 2 < 7 entonces 1 < 3. c) Six= 3 entonces 1 < 2. d) Six = 3 entonces 1 > 2. 1.5 Desarrolle Ia tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones. a) A implica (B implica C). JJ) (A irnplica B) irnplica C.

Capitulo 2

El metodo progresivo• regres1vo

El prop6sito de este capitulo es describir una de las tecnicas fundamentales para hacer demostraciones: el metodo progresivo-regresivo. Se le da especial ~nfasis al material de este capitulo debido a que se usani este m~todo en todas las otras t~cnicas para hacer demostraciones. Para el primer paso en cualquier demostraci6n se necesita identificar las proposiciones A Y B. En general, todo lo que sigue a Ia palabra "si" y antes de Ia palabra "entonces" constituye Ia proposici6n 26 B. Es decir, todo lo que usted supone que es verdadero (es decir, Ia hip6tesis) es A; todo lo que esta tratando de demostrar (es decir, Ia conclusion) es B. Considere el siguiente ejemplo: Ejemplo I Si el triangulo rectangulo XYZ, con lados x y y e hipotenusa z tiene un area de z 2 /4, entonces, el triangulo es is6sceles (figura 2).

z y

X

y

El triangulo rectangulo x Y z

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14

El metodo prOfrerivo-ngreslvo

Expllcacl6n detfllladtl de Ill demostrtiCI6n: en este ejemplo las pro-

posiciones son: a) El triangulo rectangulo XYZ con lados x y y, e hipotenusa z tiene un area de z 2 /4. b) El trilingulo XYZ es is6sceles. Recuerde que al demostrar "A implica B" usted puede suponer que A es verdadero y, de alguna forma, debe usar esta infonnaci6n para lograr Ia conclusion de que B es verdadero. Al tratar de determinar c6mo llegar a Ia conclusi6n de que B es verdadero, usted esta realizando el proceso regresivo. Por otro lado, cuando haga uso especffico de Ia infonnaci6n contenida en A, usted estara realizando el proceso progresivo.Ambos precesos se describiran detalladamente. E1 proceso regresivo se inicia preguntando "l,C6mo o cuando puedo concluir que Ia proposici6n B es verdadera?" La manera en Ia cual usted fonnule esta pregunta es· critica puesto que debe ser capaz de contestarla. La pregunta debe forrnularse de un modo abstracto. Para el ejemplo 1, Ia pregunta abstracta correcta es "l,c6mo puedo demostrar que un trilingulo es is6sceles?" A pesar de que es verdad que usted quiere demostrar que el triangulo XYZ en particular es is6sceles, al formular Ia pregunta abstracta usted hace referencia a sus conocimientos generales de triangulos, eliminando asf detalles irrelevantes (como el hecho de que el tnangulo se llama XYZ~h Iugar de ABC), penniti~ndole as£ que se concentre en los aspectos importantes del problema. La pregunta obtenida de Ia proposici6n B en tales problemas sera Hamada pregunta de abstracci6n. Una pregunta de abstracci6n formulada adecuadamente no debera contener ni los sfrnbolos, ni Ia notaci6n del problema especifico b;do consideraci6n. La clave de muchas demostraciones es fonnular correctamente Ia pregunta de abstracci6n. En cualquier caso, una vez que usted ha fonnulado la pregunta de abstracci6n, el siguiente paso en el proceso regresivo es contestarla. Regresando a1 ejemplo, l,C6mo puede usted demostrar que un triangulo es is6sceles'? Ciertamente, utia man era de hacerlo es demostrando que dos de sus lados tienen Ia misma longitud. Reftri~ndose a Ia figura 2, usted debe demostrar que x =y. Observe que Ia respuesta a Ia pregunta de abstracci6n es un proceso de dos fases. Primero usted da una respuesta, abstracta: para demostrar que un tnangulo es is6sceles, demuestre que dos de sus lados tienen Ia misma longitud. Poste-

El mltodo progre61110·regre61vo

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riormente, aplique esta respuesta a Ia situaci6n especifica; en este caso, para demostrar que dos de sus lados tienen Ia misma longitud, usted tiene que demostrar que x = y, y no que x = z o que y = z. El proceso para fonnular Ia pregunta de abstracci6n, contestarla ab~ tractamente, y aplicarla a Ia situaci6n especffica se denominara

proceso de abstraccion. El proceso de abstracci6n le ha proporcionado una nueva proposicion, B 1 , con Ia propiedad de que si usted pudiese demostrar que B 1 es verdadero, entonces B seria verdadero. En el ejemplo anterior, Ia nueva proposici6n es:

B ·=X= y Si puede demostrar que x = y, entonces el trilingulo XYZ es isosceles. Una vez que usted tiene el postulado B 1 , todos sus esfuerzos deberiin dirigirse ahora a llegar a Ia conclusi6n de que B 1 es verdadero y, como consecuencia, que B tambien es verdadero. l,C6mo puede demostrar que B 1 es verdadero? AI final, usted tendnl que suponer que A es verdadero, y resolver el problema, lo cual podrfa hacerse ahora, pero por el memento, continuemos el proceso regresivo repitiendo el proceso de abstracci6n con Ia nueva proposici6n B 1• Esto servinl para ilustrat algunas de las dificultades que surgen en el proceso regresivo. j,Puede usted fonnular Ia nueva pregunta de abstracci6n? Puesto que x y y son los dos lados del triangulo, una pregunta de abstracci6n razonable seria "j,C6mo puedo demostrar que los dos lades de un triangulo son iguales?" Una segunda pregunta de abstracci6n perfectamente razonable seria "l,C6mo puedo demostrar que dos niuneros reales son iguales?" despues de todo, x y y son tambien numeros reales. Una de las dificultades que pueden surgir en el proceso de abstracci6n es Ia posibilidad de que haya mas de una pregunta de abstracci6n. La selecci6n de Ia pregunta correcta es mas un arte que una ciencia. En circunstancias afortunadas habra s6lp una pregunta de abstracd6n. En otros cases, usted tendnl que proceder por ensayo y error. Aqu:( es donde Ia intuici6n, ingenio, creatividad, experiencia, diagramas y graficas pueden jugar un papel importante. Un guia general es perrnitir que Ia inforrnaci6n contenida en A (Ia cual usted esta suponiendo que es verdadera) le ayude a seleccionar Ia pregunta, como se hani en este caso. lndependientemente de Ia pregunta que usted seleccione, el siguiente paso serli contestarla, primero en lo abstracto y despu~s en

26

El mitodo progre1wo-regrelif'o

Ia situaci6n especifica. ~Puede usted hacer esto con las dos preguntas de abstracci6n anteriores? Para Ia primera podria demostrar que dos lados de un triangulo tienen Ia mi.Sma longitud demostrando que los angulos opuestos a ellos son iguales. En el triangulo XYZ de Ia figura 2, esto significaria que tiene que demostrar que el angulo Xes igual al angulo Y. El examen rapido del contenido de Ia proposici6n A no parece proporcionar ninguna infonnaci6n relacionada con los angulso del triangulo XYZ. Por esta raz6n, se usara Ia otra pregunta de abstracci6n. Ahora uno se encuentra con Ia pregunta "~c6mo puedo demostrar que dos numeros reales x y y son iguales? .. Una respuesta a esta pregunta seria demostrar que Ia diferencia de los dos numeros es cero. Aplicar esta respuesta a Ia proposici6n especifica B1 significa que usted tend ria que demostrar que (x - y) = 0. Desafortunadamente, existe otra respuesta perfectamente aceptable; demuestre que el primer nuniero es menor o igual al segundo y que tambi~n el segundo numero es men.or o igual al primero. Aplicando esta respuesta a Ia proposici6n especifica ll~t usted tendni quedemostrarque x .s;;; y y que y que un numero? b) t,C6mo puedo demostrar que un numero es.;;;; que el maximo valor de un polinomio?

33

c) LC6mo puedo demostrar que eliJli~o valor de Ia funci6n - x 2 + 2x + I es >que un numero? d) i,C6mo puedo demostrar que un numero es ducto de 2 por algun otro entero". Ahora, para establecer el heehode que Ia definicion S y Ia altemativa son equivalentes es necesario que usted demuestre que "A implica B", y que "B implica A" (definicion 8). Entonces usted sabri'a que si A es verdadero (es decir, n es un entero cuyo residuo alser dividido entre 2 es igual a 0), entonces y B es verdadero (es decir, n es un numero entero que puede expresarse como el producto de 2 por algun otro entero). Y asi', si 8 es verdadero, entonces, A es tambien verdadero. La proposici6n de que A es equivalente a 8 se escribe a menudo como "A es verdadero si y s61o si B es verdadero", o simplemente "A si y s61o si B". En Ia notaci6n matematica, uno solamente escribiria "A • 8". Siempre que se le pida demostrar "A si y s61o sl B.. , usted debe demostrar que "A implica B .. y que "B imptica A"'. Es muy importante ser capaz de establecer que una definiei6n es equivalente a otra altemativa. Suponga, por ejemplo, que en una demostraci6n usted deduce Ia pregunta de abstracci6n: ";.cbmo puedo demostrar que un nfunero entero es par?" Como resultado de haber obtenido Ia equivalencia entre los dos conceptos, tiene ahora dos p~

40

sibles respuestas en sus manos. Una se obtiene directamente de Ia definici6n S, por lo que una forma de demostrar que un entero es pares demostrando que su residuo al ser dividido entre 2 es igual a 0. La segunda respuesta se obtiene de Ia defmici6n alternativa; es decir, usted puede demostrar que ese entero puede expresarse como el producto de 2 por alg(ln otro entero. Sirnilarmente, en el proceso progesivo, si usted sabe quen es un n\lmero par, tendria entonces dos posibles pre> posiciones las cuales son verdaderas como resultado de esto: Ia defmici6n original y Ia alternativa Mientras que Ia habilidad para responder a una pregunta de abstracci6n (realizando el proceso progesivo) en mh de una forma puede ser obstjculo, como fue el caso en el ejemplo I, tam bien puede ser ventajoso, como se muestra en el siguiente. E;iemplo 2: Sin es un entero par, entonces, n 2 es tambien un entero par. ExpUcaeilm detlllllldtl de Ill demoatracion: Si utiliza el metodo progre-

sive>regresivo, usted es conducido inmediatamente a Ia pre~nta ~e abstracci6n &• i,C6mo puedo demostrar que un entero (n 2 ) es par?'~ Escogiendo Ia defmici6n alternativa en Iugar de Ia definici6n original, puede responder aeste pregunta demostrando quen 2 puede expresarse como el producto de 2 por algUn entero. Ahora, Ia pregunta es "(.CUal entero?" La respuesta a esta pregunta proviene del proceso progresivo. Dado que n es un entero par, y usando Ia defmici6n alternativa, n puede expresane como el producto de 2 por alglln entero k (es decir, n = 2k). Por lo que n2

=(n)(n) = (2k)(2k) =4k1 = 2(2k1 ).

Entonces, se ha demostrado que n 2 puede escribirse como el producto de 2 por alg(ln otro entero, siendo dicho entero igual a 2k2 , y esto completa Ia demostraci6n. Por supuesto, este problema podrfa tambien haber sido resuelto usando Ia definici6n S, pero resultarfa mucho IIW diffcil hacerlo de esa manera. Demoatrtldon del ejemplo 2. Dado que n es un entero par, existe un

41

Es comt&n usar deflniciones durante el proceso progresivo para contestar ciertas pregimtas de abstracci6n.. Mientras m4s proposici.~ nes equivalentes a Ia defmici6n pueda demostrar, tendri mas recunos disponibles para usar en el proceso progresiv~regresivo; sin embargo, un gran n(unero de proposiciones equivalentes pueden complicar tambi6n el proceso, debido a que se tendria que determinar cuat de todas las proposiciones se podrfa utilizar. Existen cuatro tenninos en matematicas que encontrali frecue& temente siempre que trate con demostraciones. Estos son: proposi· ci6n, teorema, lema y corolario. Una proposici6n es un enunciado de • interes que esta tratando de demostrar. Todos los ejemplos que han sido presentados aquf son proposiciones. Algunas proposiciones son consideradas (subjetivamente) extremadamente importantes y se les llama teoremas. La demostracion de un teorema puede ser muy larga, por lo que resulta mas facil comunicar Ja demostraci6n por "partes". Por ejemplo, al demostrar el postulado ".A imp-lica B", puede ser n& cesario demostrar primero que ".A implica C ",luego,que" Cimplica D" y, fmabnente, que ''D implica B". Cada una- 4e las propoaieiones oblenidas podrfa presentane por separado, y estas se Daman lemtJL En otras palabras, un lema es una proposici6n preliminar, Ia cual va a utilizarse en Ia demostraci6n de un teorema. Una vez que un teorema ha sido establecido, sucede frecuentemente que ciertas proposiciones -surgen casi inmediatamente como resultado de que el teorema es ver· 0: (x 2 - x - 2) ;> 0 }, entonces ~1 no pertenece aT aun cuando satisface Ia propicdad que define al conjunto que se encuentra a Ia derecha del simbolo ":". La raz6n es que -I no satisface Ia propiedad a Ia izquierda del ":" dado que -1 noes;> 0. En una demostracion, desde el punto de vista te6rico, Ia propiedad que define al conjunto tiene Ia misma funci6n que una definicion, a saber, se usa para responder a Ia pregunta de abstracci6n: ~Como puedo demostrar que un objeto pertenece a un conjunto particular?" Una respuesta seria verificar que el objeto satisface Ia propiedad que define al conjunto. Observe que es posible que ningun objeto satisfaga Ia propiedad que define al conjunto. Considere, por ejemplo: {numeros reales > 0: (x 2

+ 3x + 2) = 0 }.

Los unicos numeros reales para los cuales (x 2 + 3x + 2) = 0 son x =-I y x =-2. Ninguno de estos satisf.ace Ia propiedad ala izquierda del ": ". Tal conjunto se dice que es "vado ", queriendose decir

Cua111i/kadores 2& parte: el-mi(odo po, ~lecei6n

55

que no posee elementos. FJ s.irnbolo especial "9" se usa .para. denotar a los conjuntos vacios. Para ilustr.ar el uso del cuantificador "para todo", observe que, generalmente, e& posible egcribir un conjunto en varias formas. Por ejemplo, los conjuntos S = {numeros reales x: (x 2 - 3x + 2) ~ 0} y T= {numeros realesx: 1 =e;;x < 2 donde 1 .;;;;.x.;;;; 2 significa que 1 0; 3 un real x Objeto: niimeros reales y Cierta propiedad: y > 0 Algo sucede: un niimero real x

2x = y.

2" = y.

Observe que una coma siempre precede al algo que sucede. Algunas veces el cuantificador esta "oculto", por ejemplo, el enunciado "el coseno de cualquier angulo estrictainente entre 0 y 7r/4 es mayor que el seno del angulo" igualmente podria haber sido expresado como: "para cada angulo t con 0 < t < 'lf/4, cos(t) > sen(t)". Se requiere practica para leer y escribirestas proposiciones con fluidez. Durante el proceso regresivo, si usted se encuentra una proposici6n que tiene el cuantificador "para todo" en Ia forma estudiada anteriormente, una manera en Ia cual usted podria ser capaz de demostrar que es verdadera es hacienda una lista de todos los objetos que poseen aquella cierta propiedad. Entonces, para cada uno de eUos, usted podria tratar de ·demostrar que algo sucede. Cuando Ia lista es finita, esta podria ser una manera razonable de proceder; sin embargo, con mucha frecuencia esto no seni pnicticamente posible debido a que Ia lista es muy larga, o incluso infinita. Usted ya ha tratado con este tipo de obstliculos en Ia teoria de conjuntos donde el problema fue resuelto usando Ia propiedad que describe al conjunto. Aqui, el metodo por selecci6n le pennitira salvar esta dificultad. EI metodo por selecci6n puede extenderse como una maquina que hace liemostraciones Ia cual, mas que verificar realmente que

57

algo suceda para todos y cada uno de los objetos que tenpn una cierta propiedad, tiene Ia capacidad de hacer las demostraciones.. Si usted tuvien tal mllquina, entonces no tendria Ia necesidad de verificar realmente toda Ia lista (posiblemente infmita) porque sabria que Ia miquina podrla hacerlo siempre. Bl m~todo por selecci6n le ensefta como diseflar el mecanismo intemo de la·mllquina que hace las demostnciones.

Objeco que dene cJerla pmpledad

Entrada

I

Miquina que hKC demostradonea

eallda

-

AJao quuucecle

Flpla 6 La m4quma que bace demoatiilc:ionea para el m4todo por •Iecd6a.

Para entender Ia mecanica del m~todo por selecci6n, plmpse usted en el papel de Ia maquina que hace demostnciones y tenp en mente que usted necesita tener Ia capacidad de tomar cualquiet objeto con cierta propiedad y concluir que algo sucede (fJ&Ura 6). Como tal, suponga que alguien le dio uno de esos objetos, pero recuer«H, usted no sabe precisamente cual. Todo lo que usted sabe es que el objeto particular posee aquella cierta propiedad, ··Y debe u•r dfeha propiedad para llegar a Ia conclusi6n de que algo sucede. Esto se logra con mas facilidad trabldando progresivamente a partir de aqueUa cierta propiedad y regresivamente a partir de lo que sucede. En otras palabras, con el m~todo por selecci6n usttrd selecciona un o~jeto el cual tiene cierta propiedad. Entonces, usando el m~to­ do. progresivo-regresivo, usted debe concluir que, para el objeto seleccionado, algo sucede. Entonces, su m4quina para hacer demo•

58

·Cullntlflclldorel 2a ptlrte: el mltodo por 1eleccllm

traciones tendni Ia capacidad de repetir Ja demostracion para cualquiera de los objetos que tienen aquella cierta propiedad. Suponga, por ejemplo, que en alguna demostraci6n, usted necesita demostrar que para todo los mlmeros reales x con x 2 - 3 x + 2 .;;;; 0, l ..;;; X< 2. Usando el metodo por seleccion usted eseogeria uno de dichos n1lmeros reales, por ejemplo, x', el cual tiene aquella cierta propiedad (en este caso, (x') 2 - 3x' + 2 < 0). Entonces, irabajando progresivamente a partir der hecho que (x') 2 - 3x' + 2 < 0, usted debe llegar a Ia conclusion de que, parax', algo sueede, esdecir, 1 2 y x < I, lo cual es imposible. Asi, Ia segunda ·condicion debe suceder (es decir, x I), pero es precisamente Ia ultima proposici6n obtenida en el proceso regresivo .y, por lo tanto, se ha demostrado que .S es un subconjunto de T. No olvide que, con Ia fmalidad de ocoinpletar Ia demostra~Jbn de que S = T, usted tiene que demosfrar todavia que T es un subconjunto de S. Esta parte se dejanl como ejercicio. Observe que cuando usted utiHza el metodo por seleccion, obtiene infonnaci6n adicional Ia·· cual se aftade a Ia suposicion de· que A es ~erdadero. lnvariablemente, durante el proceso progresivo usted hani uso de esa informacion adicional. Demostraci6n del ejemplo· 5. Para demostrar que S = T se demostrani que S es un subconjunto de T y T es un subconjunto de S. Para •ver•que S es un·subconjunto de T, sea x un elemento de S (el uso de Ia palabra ..sea" indica frecuentemente que el metodo por selecci6n ha sido invocado). Conseouentemente, (x 2 - 3x + 2) 2 y x 3', lxk -xI< e:.

61

5.2 Para c:ada una de las partes del ejen;icio 5.1, describa c6mo se aplicaria el m6todo por selecciOa. UtiHce un ..simbolo diferente para distinguir a1 objeto seleccionado del objeto general. Por ejemplo, en el ejercicio S.l a)• puadetnostrar que.x• es el maxi· mo de Ia funcion {, se escoger\a un rubnerc reaJ,.x'. para el ~al debe entonces demostraiBe queJtx') 0 tal que, para todos los elementos x en el conjunto S de ndmeros reales, lx I < M. b) Para todos los ntimeros reales M > 0, existe un elemento x en el conjunto S de .numeros reales tal que lx I > M. c) Y ntimero real £> 0, 3 un ntimero real B K O> V ndmero real x Y Y con lx- y I < B, IJt:x)- .fty) I < E:t (domJefes una funcion de una variable).

62

Cuatificttdores 24 ptJrte: el mitodo por selecci6"

5.6 Para los conjunstos S y T del ejemplo 5, demuestre que T C S. 5.7 Demuestre que para todo numero real x > 2, existe un numero · real y < 0 tal que x = 2y/(1 + y). 5 .8 Demuestre que si m y b son numeros reales y I es una funci6n defmida por /(x) = mx + b, entonces I es convexa. (Sugerencia: utilice Ia defmici6n del ejercicio 5.1 0.)

Capitulo 6

Cua.ntificadores 3a. parte: induccion

En el capitulo anterior usted aprendi6 a usar el m6todo por selecci6n cuando el cuantificador "para todo" aparece en el enunciado B. Exi• te una fonna muy especial de B para Ia cual se ha desarrollado sepandamente una t6cnica de demostraci6n conocida como lnducciiJn matemdtica. lnducci6n debe considerarse seriarnente (a(m antes que el.metodo por selecci6n) cuando B tiene 1a fonna: Para todo entero n ;> 1, "algo sucede", donde el algo que sucede es algim enuociado que depeade del entero n. Por ejemplo: II

Para todo entero n ;> 1, E

lr .. l

k .= n(n

+ 1)/2,

II

donde E

k

= 1 +... + n.

Cuando se considera el m6todo por inducci6n, las palabras claves que se deben buscar son "entero" ·Y ";> 1" . . Una manera de demostrar tales enunciados es haciendo una lista infmita de problemas, uno para cada uno de los enteros partiendo de n. ;= 1 y, entonces, demostrar cada proposici6n por separatlo. En tanto que. para los primeros problemas de Ia lista es f4cil de demostrar 63

64

las proposiciones, para el en6simo y los siguientes es mucho m4s din~. Para el ejemplo anterior, Ia lista serla: 1

k = 1(1

I:

P(l):

+ 1)/2 6

1=1

2

I:

P(2):

k•l

=2(2 + 1)/2

6

k = 3(3

+ 1)/2

6

k=n(n

+ 1)/2

k

1 +2=3

3

I:

P(3):

k•l

1 +2

+3 = 6

It

P(n):

I: k • I 1t

P(n

+ 1):

+

I

I: k•1

k=(n

+ l)[(n + 1) + 1]/2 =(n + l)(n + 2)/2

Inducci6n es un metodo ingenioso para demostrar que es verdadero cada uno de estos enunciados en 1a lista infmita. Asf como con el metodo por se1ecci6n, se puede pensar en Ia inducci6n como una maquina autom4tica que resuelve problemas, Ia cual comienza con p(1) y contin6a sobre Ia lista de manera progresiva demostrando cada proposici6n. Aquf esU c6mo trabaja. Usted hace que empiece Ia m4quina verificando que P(l) es verdadero, lo cual se puede hacer f4cilmente en el ejemplo anterior. A continuaci6n, introduzca P( I) en Ia m4quina. Esta utiliza el hecho de que P(l) es verdadero y autom4ticamente demuestra que P(2) es verdadero. Entonces tome P(2) e introd6zcalo en Ia m4quina. De nuevo, ella utiliza·el hecho de que P(2) es verdadero para obtener Ia conclusi6n de que P(3) es verdadero, y asf sucesivamente (figUra 7). Observe que cuando Ia m4quina va a demostrar que P(n + 1) es verdadero, ella ya habnt demostrado que P(n) es verdadero (en el paso anterior). Asf, al diseftar 1a m4quina, usted puede suponer que P(n) es verdadero, y su trab;Uo consiste en asegurar que P(n + 1) tam bien seni verdadero. No olvide que, para empezar el proceso, usted debe verificar que P(l) es verdadero.

Veriflque que P (1) es verdadero I I

I

Miquina que hace demosuaclones Salida

'

Entrada

' hacer IM"-Idn• demoatracioDIII 1)ln

I

SaUda

Enuacla

• • Slltda

Figura 7. La miquina que hace demostraciones (.) por induccion.

66

Cuantiflcadore• Ja ptlrte: induccilm

Repitiendo, una demostracion por induccion consiste de dos pasos. El primero es verificar que el postulado P( l} es verdadero. En. general, esto es f4cil de hacer. Simplemente, sustituya cada n por 1. Por lo com(m, para verificar que el enunciado obtenido es verdadero, usted solo tendr4 que hacer algunas operaciones algebraicas. El segundo paso tiene mayor dificultad. Este requiere que usted Uegue a Ja conclusi6n de que P(n + I) es verdadero, utilizando Ia suposici6n de que P(n)es verdadero. Existe una forma muy comC.m para hacer esto. Comience escribiendo el enunciado P(n + I). Ya que a usted se le permite suponer que P(n) es verdadero y quiere concluir que P(n + I) es verdadero, debera tratar de escribir de alguna manera el postulado P(n + 1) en terminos de P(n) (como se ilustrara en un momento), ya que entonces, podra hacer uso de Ia suposici6n de que P(n) es verdadero. A1 establecer que P(n + 1) es verdadero, Ia demostraci6n estani completa.

"

Ejemplo 6. Para todo entero n ;;> 1, t

k

k • I

Explic~~eiDn dettllltld11 de

=n(n + 1)/2.

Ia demostracl6n. Cuando se usa el metodo

por induccion, es util escribir el postulado P(n), en este caso:

.

P(n): k~

1

k=n(n

+ 1)/2.

El primer paso en una demostraci6n por inducci6n es verificar P( I ). Reemplazando cada n por 1 en P(n), se obtiene: I

P(l): t

k = 1

k = 1(1

+ 1)/2.

Con unos pocos pasos mb, es fcicil verificar esta proposici6n, ya que I

t

k=l

k

= 1 = 1(I + I )/2.

Con frecuencia, este paso es tan sencillo que se omite virtualmente en Ia demostraci6n condensada, diciendo simplemente: .. La proposici6n se cumple para n = I". El segundo paso es mas complicado. Usted debe hacer uso de Ia suposici6n de que P(n) es verdadero para llegar a Ia conclusi6n de que P(n + 1) es verdadero. La mejor manera de proceder es escribir el enunciado P(n + 1) reemplazando cuidadosamente toda n por n + I en P(n ), y realizando algunas operaciones algebraicas si es necesario.

67

Cutlntifli:Gdores 311. ptJrte: illdllcciOn

En este caso: II+

+ 1):

P(n

1

1: k

=1

k = (n

+ l)[(n + 1) + I ]/2 = (n + 1) (n + 2)/2.

Para llegar a Ia conclusi6n ·de que P(n + 1) es verdadero, corn.ience con la expresi6n al lado izquierdo de Ia igualdad en P(n + 1), y trate de que se parezca a Ia expresi6n de lado derecho. AI hacerlo, usted debera hacer uso de Ia informacion en P(n), relacionando el lado izquierdo de Ia igualdad en P(n + 1) con ellado izquierdo de la igualdad en P(n), porque entonces usted podra utilizar e11ado derecho de Ia igua1dad en P(n). En este ejemp1o, 11+1

:I:

II

k

k=1

=(k:I:• l

k)

+ (n + 1).

Ahora puede hacer uso de 1a suposici6n de que P(n) es verdadero reemplazando II

por n(n , +

+ I )/2, obteniendo 1

:I:

k

k•1

= [n(n + 1)/2] + (n + 1).

Todo 1o que queda por hacer es un poco de algebra para pasar de [n(n + 1)/2 + (n + 1)] a [(n + 1)(n + 2)/2], obteniendo asf ellado derecho de la igualdad de P(n + 1). Los pasos algebraicqs soa: n(n

+ 1)/2 + (n + 1) = (n 2 + n)/2 + 2(n + 1)/2 =(n 2 + 3n + 2)/2 =(n

+ l)(n + 2)/2

En resumen, I

+ ... + (n + 1) = ( 1 + ... + n) + (n + I) =n(n + 1)/2 + (n + 1) =(n 2 + 3n. + 2)/2 =(n + 1) (n + 2)/2

Su habilidad para relacionar P(n + 1) con P(n), asf como usar 1a hip6tesis de inducci6n de que P(n) es verdadero, detenninara e1 exito de

ClltmtlficGdorH 3tL ptJrte: tndueei6n

Ia demostraci6n por inducci6n. Sino puede relacionar P{n + 1) con P(n ), tal vez usted desee considerar una tecnica diferente para pro ceder con Ia demostraci6n. Demoatrrlcl6n del ejemplo 6. aaramente, e1 enunciado es verda-

dero para n = 1. Suponga que •es verdadero para n (es decir, que 1 + ... +n =n(n + 1)/2). Entonces: 1 + ... + (n

+ 1) =(1 + ... + n) + (n + 1) = n(n + I )/2 + 2(n + 1)/2 =(n 2 + 3n + 2)/2 =(n + 1) (n + 2)/2

siendo esta 11ltima expresi6n igual a P(n + 1). Cuando se usa e1 metodo por inducci6n, noes necesario que el primer valor de n tenga que ser 1. Por ejemp1o, e1 enunciado "para . todo enteron;> 5, 2n > n 2 " tambien puede demostrarse por inducci6n. La U.Oica modificaci6n es que para poder echar a andar Ia milquina que hace las demostraciones, usted debe verificar P(n) para e1 primer valor posible den. En este caso, ese primervalorsercl n = 5, asf que usted tendril que verificar que 2 5 > 5 2 (lo cual, por _supuesto, es cierto ya que 2 5 = 32 y 5 2 = 25). El segundo paso de 1a demostraci6n por inducci6n seda identico. Le quedarfa por demostrar que si P(n) es verdadero (es decir, 1!' > n 2 ), entonces P(n + 1) es tambien verdadero (es decir, 1!' + 1 > (n + 1)2 ). AI hacer esto, usted ta.mbien puede utilizar el hecho de que n ;;;;. S si es necesario. Otra- modificaci6n a1 metoda bllsico de inducci6n surge cuando usted tiene dificultades al relacionar P(n + 1) con P(n ). Suponga que puede relaeionar P(n + 1) con P(J), donde I < n. En este caso, a usted le gustarfa hacer uso del hecho de que P(j) es verdadero, pero ~puede suponer que P(J) es efectivamente verdadero? iLa respuesta es sf! Para ver porque, recuerde Ia analogfa de la maquina que hace demostraciones y observe que, cuando Ia maquina tiene que demostrar que P(n + 1) es verdadero, ella yahaestablecido que todas las proposiciones P{l), ... , P(J), ... , P(n) son verdaderos (vea de nuevo Ia figura 7). Asf que cuando se trata de demostrar que P(n + 1) es verdadero, usted puede suponer que P(n) y todas las proposiciones que lo preceden son verdaderos. Tal demostraci6n se conoce como inducci6n generalizada.

La inducci6n es una tecnica muy poderosa cuando es aplicable; sin embargo, es importante observar que Ia inducci6n no le ayuda a

69

E}ereltiol

descubrir Ia forma correcta del enunciado P(n). La inducci6n s6lo verifica que una proposici6n dada es vardadera para todos los enteros ::> a alguno inicial. La clave del exito est4 en su habilidad para relaci~ nar P(n + I) con P(n) o con algdn enunciado previo, pero no olvide verificar que el enunciado es tambien verdadero para e1 primer valor posible de n.

EJERCICIOS Nota: No es necesario que las demostraciones de este capitulo contengan una explicaci6n detallada de Ia misma.

6.1 LPara cu41es de las siguientes proposiciones serfa directamente aplicable el metodo de inducci6n? Cuando no sea aplicable explique eJ porque. a) Para cada entero positivo n, 8 divide aS"

b) Existe un enteron> 0 tal que 2"

>

+ 2·3" -• + 1.

n2 •

c) Para cada enteron ;> 1, 1 (1 !) + ... (Donde n! =n(n - I ) ... 1). d) Para cada enteron;> 4, n! n2 • e) Para cada nllmero real n ;> I, n 2 ;> n.

+ n(n!) = (n + 1)!- 1.

>

6.2 a) LC6mo y cuando utilizaria el metodo por inducci6n en Iugar del metodo por seleccion? b) ;,Por que no es posible utilizar inducci6n en postulados de Ia fonna: Para cada "objeto" con una ..cierta propiedad", "algo sucede"? 6.3 Demuestre por inducci6n que para cada entero n ::> I, I (1!) + ... +n(n!)=(n + 1)! -1. 6.4 Demuestre por inducci6n que para cada enteron;> S, 2" > n 2 • 6.5 Demuestre por inducci6n que un conjunto den;> 1 elementos tiene 2" subconjuntos (incluyendo el conjunto vacio). 6.6 Demuestre sin utilizar el metodo por inducci6n que para cada entero n :> 1, 1 + ... + n = n(n + 1)/2. 6. 7 Demuestre que para cada entero n ;> I , 6 divide a n 3 - n estab1eciendo que I) el enunciado es verdadero para n = 1, y 2) si el enunciado es verdadero para (n - 1) entonces, tambien es verdadero para n.

70

Oltmtlfktulorel Jfl.

p~~rte:

induccion

6.8 Describa un procedimiertto de inducci6n "modificado", el cual · pudiera utilizarse para demostrar proposiciones de Ia forma: a) Para cada entero menor o igual que algun entero inicial, algo sucede. b) Para cada entero, algo sucede. c) Para cada entero positivo impar, algo sucede. 6.9 Indique lo que es incorrecto en Ia siguiente demostraci6n de que todos los caballos tienen el mismo color.

Demostracl6n: Sea n el n'llmero de caballos. Para n -= I el postulado es verdadero, es decir, un caballo tiene el mismo color (cualquier color). Suponga que en cuaiquier grupo den caballos todos tienen el mismo color. Ahora, considere un grupo de (n + 1) caballos. Tomando cualesquiera n de ellos, Ia hip6tesis de inducci6n establece que todos ellos tienen el mismo color, por ejemplo, marr6n. Lo que queda por detenninar es el color del otro caballo. Por con.siguiente, considere dentro del mismo grupo de (n + I) caballos otro grupo de n caballos que contenga el caballo cuyo color se desconoce. De nuevo, porIa hip6tesis de inducci6n, todos los caballos en e~te nuevo grupo deben tener el mismo color. Luego, dado que todos los caballos en este grupo son de color marr6n, el caballo cuyo color se desconoce debe ser tambien de color marr6n.11

Capitulo 7

Cuantijicadores 4a. parte: particularizacion

En los tres capitulos precedentes usted descubri6 qu~ hacer cuando un cuantificador aparece en el enunciado B. En este capitulo se desarrolla un m~todo para aprovechar l:uantificadores que aparecen en el enunciado A. Cuando el enunciado A contiene el cuantificador "existe!' en Ia siguiente forma: Existe un "objeto" con una "cicrta pro pied ad" tal· que "atgo sucede" usted puede hacer uso de dicha infonnaci6n de una manera muy direct a. AI demostrar que "A implica B" por el metodo progresivo-regresivo, usted esta suponiendo que A es verdadero y, en este caso, significa que puede suponer que existe ciertamente un objeto con cierta propiedad tal que algo sucede. AI hacer Ia de~ostraci6n usted dirfa: "Sea x un objeto con cierta propiedad y para el cual algo sucede ... ". La existencia de este objeto sera usada de alguna manera en el proceso progresivo para llegar a Ia conclusi6n de que B es verdadero. Una situaci6n mlfs interesante se presenta cuando cl enunciado A contiene el cuantificador "para todo" en Ia fonna usual: Para todos los "objetos" con una "cierta propiedad ", "algo sucede". Para utilizar est a in fonnaci6n surge un m~todo tfpico que se denomina particularizacion. Como resultado de suponer que A es verdadero, us71

72

ted sabe que algo sucedeparatodoslosobjetosconlaciertapropiedad. Si en algdn momento del proceso regresivo usted se encuentra con alguno de estos objetos que tienen cierta propiedad, entonces usted puede hacer uso de Ia infonnaci6n en A y poder concluir que, para este objeto en particular, el "algo" sucede en realidad. Eso le debe ayudar a concluir que B es verdadero. En otras palabras, usted habra particularizado Ia proposici6n A a un objeto espedflco que tiene cierta propiedad. Por ejemplo, si_usted sabe que para todo lingulo t, sen 2 :(t) + cos2 (t) = 1, entonces, para un angulo particular, por ejemplo, t = w/4, puede concluir que sen2 (w /4) + cos2 (11' /4) = 1. Un ejemplo ilustra el uso apropiado del metodo por particularizaci6n. • Definicion 16: Un ntimero real u es una 1{mite superior de un coqjunto de ntimeros reales T si para todos los elementos ten T,t t. c) No existe un numeroM > 0 tal que para todo x enS, lxl 1, entonces no existe unreal t entre 0 y ff/4 tal que sen (t) = r cos (t)". Cuando se usa el metodo contrapositivo, ;,cwiles de los siguientes enunciados surgen como resultado del proceso progresivo? a)r -1 .;;o b)sen2 (t) =r2 (1 - sen2' {t)) c) 1- r < 0 d) tan (t) = 1/r

9.3 Si el metodo contrapositivo se utiliza para demostrar Ia proposici6n: ••Si Ia derivada de Ia funci6n f en el punto x no es igual a cero, entonces x noes un minimo relativo der', entonces ;,cuai de las siguientes es Ia pregunta de abstracci6n coJTecta? ;,Que es incorrecto en las otras latemativas? a) ;,Como puedo demostrar que el punto xes un minimo relativo de Ia funci6n /?

El mitodo contrapo1itl11o

90

b) ~C6mo puedo demostrar que Ia derivada de Ia funci6n en el punto xes cero? · c) ~C6mo puedo demostrar que un punto es un minimo relativo de una funci6n? d) ~C6mo puedo demostrar que Ia derivada de una funci6n en un punto es cero? 9.4 Demuestre que sic es un entero impar, entonces Ia soluci6n de Ia ecuaci6n n 2 + n- c =0, noes un entero impar. 9.5 Suponga que m y b son numeros reales con m -:/= 0 y sea f Ia funci6n defmida por /(x) L mx +b. Demuestre que para todo x ¢ y,f(x) ¢ f(y).

9.6 Demuestre utilizando el metodo contrapositivo que si ningun angulo del cuadrilatero RSTU es obtuso, entonces el cuadrilatero RSTU es un rectangulo.

Capitulo 10

La negacion de negaciones conduce a confusiones

Como usted vio en el capitulo anterior, el metodo contrapositivo es una tc!cnica para hacer demostraciones muy valiosa. Sin embargo, para usarla debe ser capaz de escribir Ia proposicion NO B de manera que pueda trabajar con ella progresivamente. De igual manera, usted tiene que conocer exactamente Ia proposici6n NO A para que pueda aplicar el proceso de abstracci6n. En algunos casos, es facil de encontrar Ia negaci6n de una proposici6n. Por ejemplo, si A es Ia proposici6n "el mimero real x es > 0", entonces NrJ A es "no es cierto que el numero real x es > o equivalentemente, "el· numero real x no es > 0". De hecho, Ia palabra "no .. puede elirninarse completamente mediante su incorporaci6n a Ia proposici6n para obtener "el numero real xes~ 0". Una situaci6n con mayor dificultad surge cuando Ia proposici6n contiene cuantificadores. Por ejemplo, suponga que B contiene el cuantificador "para todo .. en Ia forma usual:

o·.,

Para todos los "objetos'' con una "cierta propiedad.. , "algo sucede". Entonces NOBes Ia proposici6n: No es cierto que para todos los "objetos" con aquella "cierta propiedad,, "algo sucede" 91

92

lo cual realmente signiftca que existe un objeto con una propiedad para el cual el algo no sucede. Similannente, si Ia proposicion B contiene el cuantiflcador "existe" en Ia fonna usual: Existe un "'objeto" con '"cierta propiedad" tal que "algo sucede", entonces NOB es Ia proposici6n: No es cierto que exists un "objeto" con una "cierta propiedad" para el que "algo sucede", o, en otras palabras, para todos los objetos con cierta propiedad, algo no sucede. En general, existen tres pasos muy sencillos para encontrar la negaci6n de una proposici6n que contiene cuantificadores: Primer paso: ponga Ia palabra NO enfrente de Ia proposici6n Segundo paso: si Ia palabra NO aparece a Ia izquierda de un cuantificador, muevala bacia Ia derecha del cuantificador y p6ngala exactamente antes del algo que sucede. Cuando hace esto, usted cambia mllgicamente el cuantificador por su opuesto, de manera que ''para todo" se convierte en "existe" y "existe" se convierte en "para todo". Tercer paso: cuando todos los cuantificadores aparezcan a Ia izquierda de Ia palabra NO, elirnine el NO incorponindolo en Ia proposici6n que aparece inmediatamente a su derecha. Estos pasos se ilustrar.in en los siguientes ejemplos: 1. Para todo mlmero real x ;> 2, (x 2

+ x - 6) ;;> 0.

Primer paso: NO para todo nl.imero real x ;> 2, (x 2 + x -6)>0. Segundo paso: existe un numero real x > 2 tal que NO (x 2 + x - 6) ;> 0. Tercer paso: existe un numero real x ;> 2 tal que (x 2 + x - 6) < 0. Observe que, en el paso 2, cuando ~I NO se pasa de izquierda a derecha, el cuantificador cambia pero Ia propiedad (x ;> 2) &no cam-

,, bia! Tambi~n. dado que se cambia el cuantificador "para todo" a "existe", es necesario cambiar Ia "," por las palabras "tal que". De manera completamente analoga, si el cuantificador "existe" se cambia a "para todo", las palabras "tal que" se elirninan y se inserta, una"," como se ilustra en el siguiente ejemplo: 2. Existe un numero real x ;> 2 tal que (x 2 + x - 6) ;> 0. Primer paso: NO existe un numero rear x ;> 2 tal que (x 2 +x -6)>0. Segundo paso: para todos los numeros realesx > 2, NO (x 2 +X - 6) > 0. Tercer paso: para todos los numeros reales x > 2, (x 2 +x-6) 1. Otra situaci6n donde usted debe ser cuidadoso es en Ia negaci6n de Ia proposici6n que contiene las palabras Y u 0. Asi como los cuantificadores se intercambian cuando se hace Ia negaci6n de prop~ siciones, as{ tambien se intercambian Ia palabra Y y Ia palabra 0. Especificamente, NO [A y B] se convierte en [NO A] 0 [NO B]. De igual manera, NO [A 0 B) se convierte en [NO A] Y [NO B). Por ejemplo: 5. NO [x;;;. 3 Y y 6. ~ 0 [x ~ 3 0 y

< 2] se convierte en [x < 3] 0 [y;;;;.. 2]. < 2] se convierte en [x < 3] Y [y > 2 ].

Con un poco de practica usted llegani a ser eficiente en estas transformaciones. Recuerde que cuando usted usa el metodo contrapositivo de demostraci6n, lo primero que debe hacer es escribir las proposiciones NO B y NO A. EJERCICIOS

Nota: todas las demostraciones debenin contener una explicaci6n detallada de Ia misma asi como una versi6n condensada. 10.1 Escriba Ia negaci6n de cada una de las defmiciones del ejercicio 5.1. Por ejemplo, 5.1 a) se leer{a "El numero real x• noes un maximo de Ia funci6n/si existe un numero real x tal quef(x)

> f(x*)".

10.2 Escriba las siguientes proposiciones de fonna tal que Ia palabra "no" aparezca explicitamente. Por ejemplo, Ia proposici6n "x > 0" puede pasarse a "x no es .so; on. a) Para cada elemento x en el conjunto S, x esta en T. b) Existe un angulo t entre 0 y 7r/2 tal que sen (t)..:. cos (t). c) Para cada "objeto" con una "cierta propiedad", "algo sucede".

Ejercit:iol

95

d) Existe un "objeto" con una "cierta propiedad" tal que "algo sucede". 10.3 Si se u tiliza el metodo por contradicci6n para demostrar las siguientes proposiciones, (.QUe deberia uste suponer? a) Para cada enteron ;;a. 4, n! > n 2 • b) A implica (B 0 C). c) A implica (BY C). d) Si I es una funci6n convexa de una variable, x• es un nUinero real y existe un numero real 6 > tal que para todo numero real x con Ia propiedad lx- x•1 < 6, I (x) > f (x•), entonces para todo numero real y, f (y) > f (x •). 10.4 Si el metodo contrapositivo se utiliza para demostrar las siguientes proposiciones, (.a partir de cual(es) proposici6n(es) trab&jaria progresivamente, y a partir de cual(es) (s) trabaijaria regresivamente? a) A implica (B 0 C). b) A implica (B Y C). c) Si n es un entero par y m es un entero impar, entonces mn divisible entre 4 o n no es divisible entre 4. 10.5 Demuestre por contradicci6n que six y y son numeros reales tales que x ;.:> 0, y ;.:> 0 y x + y = 0, entonces x = 0 y y = 0.

Capitulo 11

Tecnicas especiales para hacer demostraciones

Ahora usted dispone de tres tecnicas principales para tratar de demostrar que ''A implicaB,: losmetodos progresivo-regresivo, contrapositivo y por contradicci6n. Aderruis, cuando B tiene cuantificadores, usted dispone de los metodos por construcci6n y por selecci6n. Existen otras formas especiales de B para las cuales se tienen tambic!n t6cnicas bien establecidas con las cuales se tiene 6xito, Tres de est as t6cnicas se desarrollar4n en este capitulo. La primera se conoce como el metodo de unic:idad y est' relacionado con una proposici6n B, el cual no solamente requiere que usted demuestre Ia existencia de un objeto con una cierta propiedad tal que algo sucede, sino tambien que el objeto es unico, es decir, no hay otro objeto. Usted sabra que tiene que utilizar el m6todo de unicidad cuando Ia proposicion B contiene Ia palabra "1lnico" asi como el cuantificador "existe". En tal caso, su primer paso es demostrar que el objeto deseado existe. Esto puede hacerse mediante el m6todo porconstrucci6n o por el de contradicci6n. El siguiente paso sera demostrar Ia unicidad en alguna de las dos formas comunes. En Ia primera, usted supone que existen dos objetos con cierta propiedad para los cuales algo sucede. Entonces, usando esa cierta propiedad, lo que sucede y, por supuesto, Ja informaciOn en A, usted debe concluir que los dos objetos son uno s6lo y el mismo (es decir, son iguales). El metodo progresivo-regresivo es por lo comun Ia mejor forma para demostrar que son iguales. E1 proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: 97

98

Tecnka1 e1pecitlle• para haeer demo1tracione1

FJemplo 11. Demuestre que si a, b, e, d, e y f son numeros reales tal que (ad - be) =1:- 0, entonces existen numeros reales unicos x y y tal que (ax +by)= e y (ex + dy) =f. Explicacl6n detolllllla de Ia demostracl6n. La existencia de los m'imeros reales x y y se estableci6 en el ejemplo 4 mediante el mt!todo por

construcci6n. Aquf Ia unicidad se establecera por el metoda descrito anteriormente. Suponga que (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son dos objetos con una propiedad particular para los cuales alga sucede. Entonces, a(x 1 ) + b (y 1 j = e, c (x 1 ) + d(y 1 ) = f y, tambi~n. a(x 2 ) + b (x :z) = e, c(x 2 ) + d (y 2 ) =f. Usando estas cuatro ecuaciones y Ia suposici6n de que A es verdadero, se demostrani por medio del metodo progresivo-regresivo que los dos objetos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son iguales. Especificamente, Ia pregunta de abstracci6n es "1,C6mo puedo demostrar que dos pares de numeros reales ((x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 )) son iguales?" Usando Ia definicion de igualdad de pares ordenados (definicion 4 ), una de las respuestas es demostrar que x 1 = x 2 y y 1 = y 2 , o equivalentemente, que (x 1 - x 2 ) = 0 y {y 1 - y 2 ) = 0. Ambas proposiciones seobtienen en el proceso progresivo realizando operaciones algebraicas en las cuatro ecuaciones y usando Ia hip6tesis de que (ad- be) =1:- 0. Demostract6n del ejemplo 11. La existencia de los numeros reales x y

y se estableci6 en el ejemplo 4 mediante el m6todo por construcci6n.

Por consiguiente, unicamente se demostrani Ia existencia de Ia unicidad. Para este fin, suponga que (x 1 , y 1 ) y (x 2 , Y2 ) son numerosreales que satisfacen: 1. a (x 1 )

+ b (yd =

e

2.c(xJ)+d(yJl=f 3. a (x 2 ) + b (y 2 ) = e 4. c (x 2 ) + d (y 2 ) = f Restando 3 de l y 4 de 2 se obtiene: [a (X 1 - X 2 ) + b (y 1 - Y 2 ) ) = 0 Y [e(x 1 -x2)+d(y1 -Y2)]= 0.

AI multiplicar Ia primera de estas ecuaciones por d y Ia scgunda por b y luego, restando Ia segunda de Ia primera, uno obtiene [ (adbe) (x 1 - x 2 )] = 0. De Ia hip6tesis de que (ad- be) =I= 0, se tiene que

Tlcnictls especltlles p11ra h11cer demostraciones

99

x 2 ) = 0 y, por consiguiente, x 1 = x 2 • Una secuencia similar de operaciones algebraicas establecenl que y 1 = y 2 y asi, queda demostrada la unicidad. U El segundo metodo para demostrar la unicidad le permite suponer que existen dos objetos diferentes con una cierta pr:opiedad y para los cuales algo sucede. Pero, supuestamente, esto no puede suceder, entonces, usando "aquella" cierta propiedad, lo que sucede, Ia informacion en A y, especfficamente, el hecho de que los objetos sean diferentes, usted debe llegar a una contradicci6n. Este proceso se demuestra en el siguicnte ejemplo. (x 1

-

E;iemplo 12: Sires un numero real positivo entonces existe un unico numero real x tal que x 3 = r. Explicaci6n detallada de Ia demostraciOn. La presencia del cuantificador "cxiste" en Ia conclusi6n sugiere que se podria utilizar el m~todo por construcci6n para producir un numero real x tal que x 3 =r.. Esta parte de Ia demostraci6n se omitira para enfatizar 1a demostraci6n de 1a unicidad. Con esta finalidad, suponga que x y y son dos numeros reales diferentes tal que x 3 r y 3 r. Usando esta infonnaci6n junto con Ia hip6tesis de que res positivo y, especialmente, el hecho de que x =I= y, se obtendra una contradicci6n demostrando que r = 0, contradiciendo asi Ia hip6tesis de que res positivo. Para demostrar quer=O, se trabaja progresivamente. En particular, ya que x 3 = r y y 3 = r, se deduce que x 3 = y 3 • Entonces, (x 3 - y 3 ) = 0, y factorizando, [(x - y) (x 2 + xy + y 2 ) ) =0. Aqui es donde usted puede usar el hecho de que x =I= y para dividir entre (x - y), y obteniendo (x 2 + xy + y 2 ) = 0. Considerando esta como una ecuaci6n cuadnitica de Ia forma (a.x 2 + bx +c)= 0, en Ia cual a = I, b =y, c = y 2 , Ia formula para las ecuaciones de 2o. grado establece que

=

x=

=

2

Como x es un numero real y Ia formula para x requiere obtener Ia rafz cuadrada de -3y 2 , cntonccs, y = 0, y si y = 0, entonces r =y 3 = 0, y sc ha obtenido la contradicci6n.

100 ~rad6n

del eJelllplo 12. Solamente se demostrar' Ia unicidad.

Con elta fimilidad, suponga que x y y son dos n1lmeros reales diferentes para los cuales x 3 r y y 3 r. Por consiguiente, 0 =(x 3 - y 3 ) [(x - y) (x 2 + xy + y 2 )]. Dado que x ::It= y, entonces (x 2 + xy + y 2 ) = 0. De Ia f6nnula cuadnftica se deduce que:

=

=

=

-y

x=

±J -3y2 2

=

Puesto que x es un n11mero real y 0, pero entonces r tradiciondo asi hip6tesis que res positivo.1.

=y =0, con3

Otra t6cnica especial para hacer demostraciones, es el metodo de ill o exclusil'tl surge cuando B es de la forma "Co Des verdadero pero no ambas" (donde C y D son proposiciones)(definici6n 10). En otras palabms~ el metodo de Ia o exclusiva debe utilizane cuando se quiere demostrar que la preposici6n "A implica CoD" es verdadera. Aplicando el metodo progresivo-rep-esivo, usted empezada por suponer que A es verdadera y quisiera concluir que C es verdadera o que D es verdadera. Suponp que hace Ia suposici6n adicional de que C no es·verdadera. Oaramente, en este caso lo mejor serla que D fuera verdadero. Asf, en el metodo de Ia o excluslva. usted supone que A es veNadero, y C es falso, y debe concluir entonces que D es verdadero, fX)mo se ilustra en el quiente ejemplo: E;jemplo 13. Si (x 2 - Sx + 6);;;;.. 0, entonces x < 2 ox > 3. Expllctlcldn detlllltlda de Ia demostracldn. Del analisis anterior, usted supone que (x 2 - Sx + 6) > 0 y x > 2. Su trabajo es concluir que x ;;;;.. 3. Trabajando proJfesiVamente desde la suposici6n (x 2 - Sx + 6) > 0, se deduce que [(x - 2) (x- 3)];;. 0. Dado que x > 2, (x- 2)> Oy, porconsiguiente, (x :- 3);>0, y ,entoncesx> 3, como se desea. Dmrostracldn del ejemplo 1J. Suponga que (x 2 - Sx + 6) ;> 0 y x > 2. Se deduce que [(x - 2) (x - 3)] ;> 0 y dado que (x - 2) > 0, entonces x ;> 3 como se desea.u Vale Ia pena mencionar que el metodo de la o exclusiva bien podria haberse aplicado igualmente suponiendo que A t\lera verdadera y D es falsa, para concluir que C es verdadero. Trate de usar este enfoque en el ejemplo 13.

101

La ultima tecnica para hacer demostraciones que se desarrollar4 en este capitulo es el metodo mdx/mfn, el cual surge en problemas que tratan con miximos y mfnimos. Suponga que S es un conjunto no vacio de numeros reales el cual contiene tanto al mayor como a1 ~enor

elemento. Para un numero real dado x, usted podrfa estar interesado en Ia posici6n del conjunto S con respecto a1 numero x. Por ejemplo, usted podrfa estar interesado en demostrar cualquiera de Jas siguientes proposiciones: 1. Todo S est4 a Ia derecha de x (figura 12 a)). 2. Parte de S esta a Ia izquierda de x (figura 12 b)). 3. Todo S est4 a Ia izquierda de x (figura 12 c)). 4. Parte de S esta a Ia derecha de x (figura 12 d)).

Fipra 12 a) Todo S a Ia derecba de x

s

Fipra ll b) Parte de S a Ia izquierda de x

s

ejede los

----------~0------------+-------------;-------------~r~--------------numerosr~s

Fitun 1l c) Todo deS a Ia izquierda de x

Fipra ll d) Parte de S a la derecha de x

lOl

-En problemas matenuUicos estas cuatro proposiciones aparecen probablemente como: D) mfn-{s;

s est4 en S}>.x.

b )min {s: s esta enS}< x.

en S}~x -d) max {s: s est4 en S}>x c) max {s: s esta

La t~cnica de demostraci6n relacionada con los primeros dos incisos se estudia a continuaci6n y los dos 1lltimos se dejan como ejercicios. La idea de Ia t~cnica max/min es convertir el problema en otro equivalente que contenga un cuantificador. Entonces, puede utilizarse el m~todo por selecci6n o pot construcci6n. Considere, por lo tanto, el problema de determinar si el elemento mas pequefto de S es > x. Se puede obtener un problema equivalente que col\terts,a un cuantificador considerando Ia proposici6n correspondiente al inciso I). Dado que "todo" S deberfa estar a Ia derecha de x, usted necesita demostrar que para todos los elementos s en S, x -1/4. Explkacion deta/ltula de Ill demostl'tlci6n. Dada Ia forma de B, se usa-

ra el m~todo m4x/min. Del analisis anterior, Ia proposici6n B puede convertirse a "para todo numero real x, x(x -I) > - 1/4". Una vez en esta forma, es claro que el metodo por selecci6n deberia usarse para escoger un numero real x para el cual se debe demostrar que x(x -I) > - 1/4, o que (x 2 - x + 1/4) > 0. Pero, (x 2 - x + 1/4) = (x- 1/2)2 , y este numero es siempre > 0 y termina Ia demostraci6n. Demostl'flcion del ejemplo 14. Para demostrar que min {x (x- I): x

esta en R} > - 1/4, seax cualquier numero real. Entonces,x(x - I) es > -1/4 debido a que (x 2 - x + 1/4) =(x - 1/2)2 , lo cua1 es siempre

;;;;. 0·I Regresando ahora al problema de demostrar que el menor elemento de S es .;;; x, el enfoque es un poco diferente. Considera Ia proposici6n correspondiente al inciso 2). Dado que "parte" deS deberia estar a Ia izquierda de x, un problema equivalente es demostrar que existe un elemento s en S tal que s < x. En otras palabras, cuando se

Ejercielo1

103

enfrente a Ia pregunta de abstracci6n "(.C6mo demuestro que min {s: s esta en S} EO; x?", usted puede contestarla demostrando que hay una sen S tal ques:EO;;x. Entonces, puedeutilizarse el m~todoporcons­ trucci6n o por contradicci6n. En este capitulo se han descrito tres tecnicas especiales para hacer demostraciones las cuales son apropiadas cuando B tiene Ia forma especial correspondiente. En el capitulo final se proporciona un resumen completo. EJERCICIOS Nota: Todas las demostraciones deber4n incluir una explicaci6n detallada de Ia misrna asi como una version condensada.

11.1 Demuestre que si x es un numero real mayor que 2, entonces existe un numero real unico y < 0 tal que x = 2y /( 1 + y ). 11.2 Demuestre, usando e1 segundo m6todo de unicidad, que si m y b son numeros reales con m 0, entonces existe un numero real unico x tal que mx + b = 0. 11.3 Demuestre que si a y b son numeros reales tales que al menos uno \: ~ ellos es diferente de cero i = v"T, entonces existe un numero complejo unico c + di tal que (a + bl) (c + di) = I. 11.4 i,Cu4les serfan las ventajas y desventajas de usar el metodo por contradicci6n en Iugar del metodo de Ia o exclusiva para demostrar que "A implica (B o C)"? 11.5 Demuestre que si n es un entero par y m es un entero impar, entonces 4 divide a mn o 4 no divide an. 11.6 Considere Ia proposici6n "Si x es un nOmero real tal que x 3 + 3x 2 -- 9x- 27 ;;> 0, entonces lx I;;;;;.. 3.

*

a) Formule Ia proposici6n de tal manera que sea de Ia forma "A implica B o C". b) Demuestre Ia pro posicion suponiendo que A y NO B son verdaderos. c) Demuestre Ia proposici6n suponiendo que A y NO Cson verdaderos. 11.7 Convierta los siguientes problemas de max/min en proposiciones que posean el cuantificador adecuado. (Nota: S es un conjunto de numeros reales y xes un numero real dado).

IN

a) mix{.r: .r est4 en S}x.

En Jo que resta de este problema a,b,c y u son n6meros reales dados y x es una variable. c)mln{cx: a.x O}by x > 0};> u. e) min {a.x: b < x < c};;> u. /) mi.x{bx: a b, x ;;> O}es por lomenos tan grande como mix {ub: ua < c, u ;;> 0 ~

Capitulo 12

Resumen

La lista de tecnicas para hacer demostraciones esta completa. Las teonicas presentadas aqui de ning6n modo son las !micas, pero constituyen un conjunto basico. Sin duda usted se encontrara otras a medida que a vance ~s en el campo de las matematicas. Quiz4s usted desa~ lle algunas tecnicas propias. En cualquier caso, existen muchos detalles y trucos que usted obtendr8 con la practica. A continuaci6n, se pr~ porciona un resumen final para saber como y cumdo se deben usar las divenas tecnicas para demostrar Ia proposici6n "A implica B". Con el metodo progresiv~regresivo usted puede suponer que A es verdadero y su trabajo es demostrar que B es verdadero. A traves del proceso progresivo usted deducini a partir de A, una secuencia de p~ posiciones A 1 , A2, ... las cuales son necesariarnente verdaderas como resultado de que se ha supuesto que A es verdadera. Esta secuencia no es aleatoria, sino que esta guiada porel proceso regresivo, segdn el cual. a traves de Ia formu1aci6n y respuesta de Ia pregunta de abstraccion, usted obtiene a partir deB una pro posicion, B1 , con la caracterlstica de que si B • es verdadera, B tam bien lo es. Este proceso de abstraccion puede aplicarse a B 1 obteniendo una nueva proposici6n 8 2! y asf' sucesivarnente. El objetivo es unir Ia secuencia progresiva con Ia secuencia regresiva, generando una proposici6n en Ia secuencia progresiva, 1a cual es precisamente igual a la Oltirna proposici6n obtenida en Ia secuencia regresiva. Entonces, como en una columna de fichas de domino, usted puede hacer Ia demostracion progresivamente siguiendo Ia secuencia 105

106

desde A basta B. Cuando este tratando de obtener esta secuencia de proposiciones, sea cuidadoso con los cuantificad.ores que aparezcan, porque, entonces, los metodos por construcci6n, selecci6ri~ inducci6n y particularjzacj6n pueden ser de utilidad para hacer Ia demostraci6n. Por ejemplo, cuando el cuantificador "existe" se origina en el proceso regresivo en Ia fonna usual: Existe un "objeto" con una "cierta propiedad" tal que "algo sucede" usted deberfa considerar el uso del metodo por construcci6n para producir el objeto deseado. Con el m~todo por construcci6n, usted trabaja progresivamente desde Ia suposici6n de que A es verdadero para generar (producir o diseftar un algoritmo que produzca, etc.) el objeto. Aseg6rese de verificar que el objeto satisface dicha propiedad y, tambien, que algo sucede. Por otro lado, cuando el cuantificador "para todo" se origina en el proceso regresivo en Ia fonna usual: Para tod.os los "objetos" con una "cierta propiedad", "algo sucede"' usted deberia considerar'el uso del metodo por selecci6n. Aquf suo~ jetivo es diseftar una maquina ·que haga demostraciones y que sea capaz de t~mar cualquier ·'objeto con cierta propiedad y demostrar que algo sucede. Para hacerlo, usted selecciona o escoge un objeto, el cual titme cierta propiedad: Usted debe concluir que, para dicho objeto, algo sucede. Una vez que usted ha seleccionado el objeto, lo mejor es proceder trabajando progresivamente partiendo del hecho de que el objeto seledcionado tiene cierta propiedad (junto con Ia informacion que hay en A. si es necesario) y, regresivamente, desde' lo que sucede. El metodo por inducci6n deben\ tomarse en cuenta (aim antes que el metodo por selecci6n) cuando Ia proposici6n B tiene Ia forma: Para todo entero n mayor o igual que alg(ln entero inicial, Ia proposici6n P(n) es verdadero. El primer paso del metodo de inducci6n es verificar que Ia proposici6n es verdadera para el primer valor posible den. El segundo paso requiere demostrar que si P(n) es verdadero entonces P(n + I ) es verdadero.

ReiiUmen

107

Recuerde que el exito de una demostraci6n por induccion reside en su habilidad para relacionar Ia proposici6n P(n + 1) con P(n ), de modo que pueda hacer uso de Ia suposici6n de que P(n) es verdadera. En otras palabras, para realizar el segundo paso de Ia demostraci6n por inducci6n, usted debe escribir Ia proposici6n P(n), cambiar n en .dicha proposici6n por (n + I) para obtener P(n + I) y, entonces, ver si usted puede expresar P(n + 1) en terminos de P(n). Solo entonces podra usar Ia suposici6n de que P(n) es verdadero para llegar a Ia conclusion deseada de que P(n + 1) es tambien verdadero. Finalmente, cuando el cuantificador "para todo" surge en el proceso progresivo en Ia forma usual: Para todos los "objetos" con una "cierta propiedad" "algo sucede" usted probablemente deseani usar el metodo por particularizaci6n. Para hacer esto, identifique estos objetos cuando aparezcan en el proceso regresivo, porque entonces, con el metodo por particularizaci6n, usted puede concluir que algo sucede para el objeto particular bajo consideraci6n. Este hecho debeni ser util para llegar a Ia conclusion de que B es verdadero. Cuando utilice la particularizaci6n, asegilrese de verificar que el objeto especifico satisface cierta propiedad, porque solamenttfen ese caso algo sucedera. Cuando Ia proposici6n original B contiene Ia palabra "no", o cuando falle el metodo progresivo-regresivo, entonces, usted debe considerar el metodo contrapositivo o el metodo por contradicci6n dando preferencia al primero. Para utilizar el metodo contrapositivo, debe escribir inmediatamente las proposiciones NO B y NO A, usando las tecnicas delcapftulo 10 si es necesario. Entonces, empezando con la suposici6n de que NO B es verdadera, su trabajo es concluir que NO A es verdadera. Esto se realiza mejor aplicando el metodo progresivo-regresivo, trabajando progresivamente a partir de Ia proposici6n NOB y, regresivamente, a partir de NO A. Una vez mas, recuerde que tiene que obseJVar los cuantificadores que pudieran aparecer en el proeeso progresivo o en el regresivo, ya que, entonces, los metodos por construcci6n, por selecci6n, por inducci6n y particularizaci6n pueden ser iltiles. En el caso de que fallara el metodo contrapositivo, existe todavfa una esperanza con el metodo por contradicci6n. En este metodo, se le perrnite a usted suponer no solamente que A es verdadera sino

108

tambi6n que B es falsa. Esto le proporciona a usted dos suposiciones a partir de las cuales debe deducir una contradicci6n a algo q~ usted sabe es verdadero. No es siempre obvio d6nde surge Ia contradicci6n, pero esta se obtendra trabajando progresivamente las proposiciones A yNOB. AI tratar de demostrar "A implica B", permita que Ia fonna deB lo gufe tanto como sea posible. Especfficamente, usted deberfa explorar Ia proposici6n B buscando ciertas palabras claves, ya que estas le indicaran a menudo c6mo proceder. Por ejemplo, si usted encqentra el cuantificador "existe", considere el metodo por construcci6n; en tanto que el cuantificador "para todo" sugiere el metodo por selee> cion o el metodo por inducci6n. Cuando Ia proposici6n B tiene Ia palabra "no"' usted deseari probablemente utilizar el metodo contrapositivo o el m~todo por contradicci6n. Otras palabras claves que se deben buscar son "6n.ico", "o", "m4ximo" y "mfnimo", ya que al encontrarlas, usted utilizara los correspondientes metodos de unicidad, o exclusiva, y max/min. Si no pudiera escoger un metodo basaindose en Ia fonna de B, entonces proceda con el metodo progresiv~regresi­ vo. La tabla 4 proporciona un resumen completo. Ahora ya est4 usted capacitado para "hablar'' el lengu~e de las matematicas. Su nuevo "vocabulario" y "gra.m8tica,. estan completos. Usted ha aprendido los tres m~todos de demostraci6n mAs importantes para demostrar proposiciones, teoremas, lemas y corolarios. Estos son: los m~todos progresiv~regresivo, contrapositivo y por contradie> ci~n. Usted conoce ahora los diferentes cuantificadores y los metodos correspondientes por construcci6n, selecci6n, inducci6n y particularizaci6n. Para situaciones especiales, su bolsa de maftas tecnicas para bacer demostraciones incluye los metodos de unicidad, o exclusiva y mb/mfn. Si todas estas tecnicas para hacer demostraciones fallaran, usted posiblemente desearfa quedarse con el idioma chino, porque a rmal de cuentas todo lo antes escrito jesta en chino! EJERCICIOS

12.1 Para cada una de las siguientes proposiciones, indique que tecnica utilizarfa usted para hacer demostraciones al comenzar Ia demostraci6n, y explique por que. a) Si p y q son enteros impares, entonces Ia ecuaci6n x 2 + 2px + 2q = 0 no tiene como soluci6n para x un numero racional.

fil

Tabla 4 Resumen de t6coicu para hacer demoetraciones. TecniCil de demostracion Progresiv~regresivo

ft• 8"

Cudndo umrla

(p8gina 8)

Como un primer intento o cuando B no tiene forma reconocible

Contrapositivo (pqina 72)

Contradicci6n (p4gina 64)

Construcci6n (pAgina 34)

Seleccion (p4gina 40).

Quemponer

Que concluir

A

B

Cuando B contiene Ia palabn "no".

NOB

NOA

Cuando B contiene Ia palabn ..no" o cuando los dos primeros m6todos fallen. Cuando B contiene el t6rmJno ..existe".

A y NOB

Alpna contradicci6n.

A

Existe el objeto deseado.

Cuando B contiene el t6nnino •'para todo", ..para cada'', etc.

Seleecione UD objeto con cierta propiedad, y A.

Que also sucede.

Como hllcerlo

Tnbaje propesivamente partiendo de A y aplique el proceao de abatraeci6n a B. fraiMQe progresivamente partiendo de NO B y regresivamente partiendo de NO A. Tnbaje progresivamente partiendo de A y NO B para obtener una contradicci6n. Adivine, construya, etc. .el objeto que tiene cierta propiedad y muestre que alao sucecle. Tnbaje progresivamente partiendo de A y el he cbo de que el objeto tiene Ia cierta propiedad. Tnbaje regresivamente partiendo de lo que sucede.

.

-

s

0

Tabla 4 (continuaci6n) Tecnica de demostraciim lnducci6n (pagina SO)

Quemponer

Que concluir

Cuando B es verdadero La proposici6n es para cada entero empezando verdadera para n. con alguno en particular, por ejemplo, n 0 •

La proposici6n es verdadera para n· + 1. Tambien d.,. muestre que es verdadera para n 0 •

Cutindd u&arla

Particularizaci6n (pagina 59)

Cuando A contiene el termino "para todo", "para cada", etc.

A

B

Unicidad I (pagina 83)

Cuando B contiene la palabra "unico".

Existen dos objetos, y A.

Los dos objetos son iguales.

Como hacerlo

Primero sustituya n 0 en todas partes y demuestre que es verdadero. Segundo, recurra a Ia hip6tesis de inducci6n para demostrar que verdadero para n + I. Trabaje progresivamente particularizando A a un objeto en especial, es decir, al obtenido en el proceso resresivo. Trabaje progresivamente utilizando A y las propiedades de los dos objetos. Tambien, trabaje prosresivamente para mostrar que los objetos son iguales.

es

-

~

; ~:a

Tecnica de demostracion

Que suponer

Cutindo usarla

Que concluir

Unicidad 2 (pagina 85)

Cuando B contiene Ia palabra "unico·•.

Existen dos objetos diferentes, y A.

Alguna contradicci6n.

0 exclusiva I (pagina 86)

Cuando B tiene Ia forma "C 0 D".

A

D

y

NOC

0 exclusiva 2 (pagina 87)

Cuando B tiene Ia forma "COD".

A

c

y

NOD Mh/m{n I

(pagina 87)

Mflx/mfn 2 (pcigina 89)

Cuando B tiene Ia forma ..max S :sO; x" o "min S;;.. x ...

A y seleccione unas enS.

Cuando B tiene la forma ..mAx S ;> x" o "m(n S 0 tal que para todos los elementos X enS, lxl 0 tal que para todos los elementosx en T, lxl 0 y M = M'. Por io tanto, queda sblo por demostrar que:

B,: Para todos los elementosx enS, lxl 0 tal que, para todos los numeros reales y con Ia propiedad lx- Yl < 6, se cumple que lflx)- .fty)l 0. P2: Se demc:)strar! que existe un S > 0 tal que, para today con 1x- Yl < 6, !f(x) + g(x)- (fly)+ g(y))l 0 tal que, para today con lx -yl 0), y sea y tal que

lx -YI 0 tal que, para toda y con lx- Yl < 8, !f(x)- .fty)l 0. Es recomendable utilizar un sfmbolo diferente a "e" para Ia selecci6n especffica y, asf, evitar confusiones. En Ia demostraci6n condensada usted escribirfa "sea e' > 0 .. :•. Una vez que ha seleccionado e' > 0, el metodo por selecci6n requiere que demuestre que algo sucede, en este caso: B 2 : Existe un 6

.fty)l < e'.

> 0 tal que, para today con lx- yl < 6, IJ{x)·

Observando B2 , usted debe identificar el cuantificador "existe" y, por consiguiente, utilizar el metodo por construcci6n para generar el valor deseado de 6. Cuando se usa el metodo por construcci6n, es recomendable cambiar al proceso progresivo para generar el objeto deseado. Trabajando progresivamente partiendo de Ia hip6tesis de que existen numeros reales c > 0 y 6' > 0 para los cuales algo sucede, usted debe intentar generar 6. Tal vez 6 = 6' (o tal vez 6 =c). ~Por que no suponer que 6 = 6' y ver si esto es correcto? Si no, tal vez

Aplleullm delo ~~pre11dldo 2&

12.6

~

usted descubrira cual debe ser el v.alor apropiado de 6. Para verificar si Ia actual suposici6n de que 6 = 6' es correcta, es necesario ver si Ja propiedad deseada en 8 2 se cumple para 6' y, adem4s, si algo sucede. Partiendo de B,, "aquella'' cierta propiedad es que 6 > 0, pero dado que 6 = 6' y 6' > 0, debe ser que 6 > 0. Entonces, s6lo queda verificar que para ,6 = 6': B 3 : Para today con

Ix - y I < 6, lf(x) - .ttY )I < e'.

En 8 3 , usted debe haber observado Ja existencia del cuantificador ''para todo'' en eJ progresO regtesivo y debe usar eJ m~todo por selecci6n para escoger un valor particular dey, (y'), con lx- y'l < ·~. El m6todo por selecci6n requiere entonces que usted demuestre que algo sucede, en este caso:

Para ver si 8 4 es verdadero, Ia hip6tesis tiene infonnaci6n que aun no se ha utilizado. Especificamente, el numero c > 0 nose ha utilizado, como tampoco Ia proposici6n: A 1 : Para today con lx - y I< 6 ', lf(x) - f(y )I

.;;;; c lx - y 1.

Despuh de notar Ia existencia del cuantificador "para todo" en el proceso progresivo, usted deber{a considerar el uso de m~todo por particularizaci6n. La (mica pregunta es a qu~ valor dey particuiariza. (.Por qu~ no tratar con el valor dey' que se ha obtenido en el proceso regresivo? Afortunadamente, y' fue escogida para tener "cierta propiedad" en A 1 ( es d edr, I x - y' I < 6 y li = li ', en tonces Ix - y' I < 6'), por lo tanto, usted puede particularizar A 1 a y' obteniendo: A2: lf(x}- f(y')l.;;;; clx- y'l.

Recuerde que Ia ultima proposici6n obtenida en el proceso regresivo fue B 4 , entonces Ia idea es ver si A 2 puede modificarse de modo que se parezca a B4 • Por ejemplo, como y' fue seleccionada de modo que lx- y'l < 6, A 2 puede escribirse en Ia fonna:

Aplicaci6n de lo aprendido 2& parte

117

8 4 se obtendrfa si se supiera que c6 < e'. Desafoitunadamente, 6 = 6', pero usted no sabe que c6' 0, por qu~ no escoger 0 < 6 < e' /c. Para ver si Ia nueva suposici6n de 0 < 6 < e' /c es correcta, es necesario verificar si, ·para este valor de 6, .. aquella" cierta propiedad en 8 2 se cumple y, ademas, si algo sucede. Qaramente, 6 se ha escogido > 0 y, por lo tanto, tiene "aquella" cierta propiedad. S61o queda por verificar si 8 3 es verdadero. Como antes, uno procederfa con el m~todo por selecci6n para seleccionar y' con lx - y'l < 6 y, otra vez, serfa necesario demostrar que 8 4 es verdadero. El enfoque previo fue particularizar A 1 a y'. Ahora, sin embargo, hay un problema, porque nose sabe siy' satisface "aquella" cierta propiedad en A 1 , es decir, que lx - y'l < ·6 '. Desafortunadamente, todo lo que sabe es que lx- y'l < 6 y 0 < 6'/c ... Si usted pudiera aplicar el metodo por particularizaci6n a A 1 , entonces obtendrfa. precisamente A 3 y, finalmente, dado que c 6 < e', usted podria llegar a Ia conclusi6n deseada de que 8 4 es verdadero. (,Puede usted imaginarse c6mo seleccionar 6 tal que c 6 < e' y tal que A 1 puede ser particularizado a y'? La respuesta es seleccionar 0 < 6 y'in {6', e'/c}, entonces, cuando y' se selecciona con lx- y'l < 6, se obtendra que 1x- y'l < 6' porque 6 < 6'. Entonces, sera posible particularizar A 1 a y '. Ademas, a partir de A 2 y del hecho de que 6 < e'/c, sera posible concluir que lftx) -f(y')l..;clx -y'l C)

A=> (B= >C)

v

v

F

F

v v v F

v v

v v v v v v

b)( V = verdadera, F = falsa)

A

B

v v v v v F v F F v F v F F

F F

c v F v F v F v F

(A=> B)

v

v F F

v v v v

(A=> B)=> C

v F

v

v v F

v F

Clrpitulo 2

131

CAPITULO 2 El proceso progresivo es aquel en el que se usa especfficamente Ia infonnaci6n contenida en Ia proposici6n A, Ia hip6tesis. El proceso regresivo es aquel en el que se intenta encontrar una serie encadenada de proposiciones que Ueven directamente a1 hecho de que B, Ia conclusi6n, es verdadera. En el proceso regresivo se encuentra incorporado el proceso de abstracci6n, el cual tiene por objeto generar dicha serie encadenada de proposiciones, una a Ia vez. Especfficamente, el proceso regresivo se lleva a cabo empezando con Ia proposici6n B, cuya veracidad es 1a que se quiere concluir. A continuaci6n, se aplica el proceso de abstracci6n para plantear y responder las preguntas de abstracci6n, .derivandose asf una serie de proposiciones nuevas con Ia propiedad de que si esta serie de nuevas propoSiciones es verdadera, entonces B tambien lo sera. El proceso de abstracci6n continuara de esta manera hasta que se llegue a Ia proposici6n A, o bien, hasta que ya no sea posible plantear o responder una pregunta de abastracci6n. En el proceso regresivo pueden presentarse dificultades, como Ia posibilidad de que haya mAs de una pregunta de abstracci6n. En tal caso, debe utilizarse Ia informaci6n de Ia proposici6n A como apoyo para elegir la pregunta adecuada. Una segunda dificultad es que puede haber mas de una respuesta para una pregunta y algunas de elias pueden no conducir a Ia terminaci6n de Ia demo• traci6n. El proceso progresivo se inicia con Ia proposici6n A, Ia cual se supone verdadera y, a partir de ella, se deriva una serle de proposi.ciones nuevas cuya veracidad resulta del hecho de que Ia proposici6n A es verdadera. Todas las proposiciones nuevas derivadas de A deberan tener por objeto su vinculaci6n con Ia ultima proposicion derivada del proceso regresivo. La Oltima proposici6n del proceso regresivo act(la como punto de referencia en el proceso progresivo, justo como Ia ultima proposici6n del proceso progresivo sirve de ayuda para elegir Ia pregunta de abstracci6n correcta asf como su respuesta correcta. 2. 2 c) es incorrecta porque utiliza Ia notaci6n especffica para el problema dado. 2.1

2.3 a) es correcta porque en ella se pregunta, en terminos abstractos, como puede demostrarse Ia veracidad de Ia proposici6n B.

Ul

b) y c) no son va.Iidas porque utilizan Ia notaci6n especifica del problema El inciso d) es una pregunta incorrecta para este pr~ blema. 2.4 a) tC6mo puede demostrarse que dos rectas son paralelas? t.C6mo puede demostrme que dos rectas nose intersec:an? ;,C6mo puede demostrarse que dos rectas tangentes a una circunferencia son 'paraleJas? ;. C6mo puede demostrarse que dos rectas tangentes que pasan por los extremos del di4metro de un circulo son paralelds? b) LC6mo puede demostnme que una funci6n es continua? t.C6mo puede demostrarse que Ia suma de dos funciones es contiAua? ·i. C6mo puede demostnme que Ia suma de dos fun clones continuas es continua? c) ;.C6mo puede demostrarse que un entero es par? z.C6mo puede dem'OStraJSe que un n6mero es un entero par? ;. C6mo puede demostrarse que un entero no es impar? ;. C6mo puede demostrarse que el cuadrado de un entero es par? d) ;;C6mo puede demostrarse que Ia soluci6n de un polinomio de segundo grado es un entero especffico? ;;C6mo se resuelve una ecuaci6n de segundo grado? ;. C6mo puede demostrarse que dos ecuaciones de segundo grado tienert una rafz comun? 2.5 a) Demuestre que su diferencia es igual a cero. Demuestre que uno de ellos es menor o igual que el otro y viceversa. Demuestre que su cociente es igual a uno. Demuestre que ambos son iguales a un tercer numero. b) Demuestre que los lados-4ngulos-lados correspondientes son iJU&(es. Demostrar que los angulos-lados-4ngulos correspondientes son jguales. Demostrar que los lados-lados-lados c~ rrespondientes son iguales. Demostrar que ambos tritnaulos son congruentes con un tercer tri4ngulo. c) Demuestre que las dos rectas estan en el mismo plano y que no se intersecan. Demuestre que ambas son perpendiculares a una tercera recta. Demuestre que sus pendientes son iguales. Demuestre que sus respectivas ecuaciones son identicas o que no tienen una so1uci6n comim. Demuestre que ambas son paraJelas a una tercera recta. d) Demuestre que el cuadrilatero tiene tres angulos rectos. Demuestre que es un cuadrado. Demostrar que es un paralelogramo con un angulo recto.

133

Olp(tu/o 2

2.6 a)

l.~C6mo

puede demostrarse que Ia soluci6n de una ecuacion de segundo grado es positiva? 2. Demostrar que Ia formula para resolver una ecuacion de segundo grado da un resultado positivo. 3. Demostrar que Ja solucion -b/a es positiva. b) 1. ~ C6mo puedo demostrar que un trilingulo es equilatero?. 2. Demuestre que son iguales las longitudes de los tres lados o demostrar que los tres angulos son iguales.. c) Demuestre que 1fT = ST = SR o que ellingulo R = Angulo S = angulo T.

2.7 a)(x- 2)(x- 1) < 0. x(x- 3) 0. b)x/z = J/v 2. EJ angulo X tiene 45 grados. cos = 1/v 2. c) La circunferencia tiene su centro en (3, 2). La circunferencia tiene radio 5. La circunferencia corta el eje yen (0, 6) y (0,- 2). x 2 - 6x + 9 + y 2 - 4y + 4 = 25.

d)UV = VW = UW. Angulo u =Angulo w= angulo v = 60 grados. El triangulo es isosceles. La altura del triangulo es 3/2 veces Ia longitud de un lado.

v

2.8 d) no es vilido porque en Ia hip6tesis nose establece que "x :F 5" y, por consiguiente, six = 5, entonces no sera posible Ia divisi6n entre x - 5. 2.9 a) Descrlpclon de Ia demostraci6n. Una pregunta de abstraccion relacionada con Ia conclusion es "~C6mo puedo demostrar que un numero real (a saber, x) es 0? Para demostrarquex=O se establecera que se cumplen x < 0 y x ~ 0. Trabajando progresivarnente a partir de Ia hip6tesis se establece de inmediato que x ;> 0. Para ver que x c; 0 se demostrara que x = - y y que - y < 0. Las dos ultimas proposiciones se infieren trabajando progresivamente de Ia hip6tesis de que x + y = 0 (de donde, x =- y) y y;;. (de donde- y < 0). Solo resta demostrar que y = 0, lo cual se infiere con el proceso progresivo

U4

Soluciones de lor ejereiclo&

a partir del hecho de que x = 0 y de la hip6tesis de que x + y = 0. En particular, 0 =x + y = 0 + y = y. b) Demostrt~clon. Para ver que x = 0 y y = 0 se demostrari pnmero que x ;> 0 (lo cual esta dado en Ia hip6tesis) y que x < 0. Esto ultimo se logra demostrando que X = - y y que- y 0. Por lo tanto, x = 0. Por Ultimo, para ver que y = 0 puede usarse el hecho de que x = 0 y Ia hip6tesis de que x + y = 0 para llegar a Ia conclusi6n buscada.11

2.10a) El numero situado a Ia izquierda de las flechas del diagrama siguiente indica Ia regia que se ha aplicado.

J/'~ II

J/~

1

/,/~~

sss.rssss

"

sr

ll~ ur

srsr

1\ mst

ssrssr

1\usrsrsr

b) El numero situado a Ia izquierda de las flechas del diagrama siguiente indica Ia regia que se ha aplicado. ts

rsr

c)

A

s

A. . ss

A2

B. B d) A

.

ssss sssst tst

s

dado regia I regia 1 regla4 regia 3 dado

A. A2 A3 A4

B. B

tst tsttst tsst tssttsst tsssst ttst

por el inciso c regia 1 regia 2 regia I regia 2 re~la 3

135

Cllp(tulo 2

2.11 Descripci6n de Ia demostraci6n. En este problema se tiene· A: El triangulo rectangulo XYZ es isosceles. B: Elarea del tnangulo XYZ es z 2 /4. Una pregunta de abstraccion relativa a B es "~c6mo puedo demostrar que el area de un tri4ngulo es igual a un valor particular?" Una respuesta es usar Ia f6rmula para calcular el area de un triingulo para demostrar que

B 1 :z 2 /4=xy/2 Trabajando progresivamente a partir de la hip6tesis de que el tnangulo XYZ es isosceles se tiene: A,

X =y

A2

x- y

=

0

Puesto que XYZ es un tnangulo rectangulo, por el teorema de Pitagoras se obtiene

De la proposici6n A 2 , despu~s de elevar a1 cuadrado ambos mienbros de Ia ecuacion y de efectuar algunas operaciones algebraicas, se obtiene A4

As A6

(X- y)2

x

1

-

=0

2xy + y 2

x2 + y2

= 2xji

=0

AI sustituir A 3 en A 6 se obtiene A, : z2

= 2xy

AI dividir ambos miembros entre 4 se obtiene fmalmente el resultado buscado: As : z 2 /4 = xy /2

U6

=

DI11WIIraei6n: Por Ia hip6tesis, se sa be que x y o, en otros ter~ minos, que x - y = 0. AI efectuar algunas operaciones algebraicas se obtiene x 2 + y 2 = 2xy. Por el teorema de Pitagoras, z 2 = x 2 + y 2 ; y al sustituir x 2 + y 2 por z2 se obtiene z2 = xy/2 que es lo mismo que z 2 /4 = xy /2. Por Ia f6rmula del area de un triangulo rectangulo, elllrea de XYZ = xy/2. Por consiguiente, z 2 /4 ~s el 4rea del trutngulo. 1 2.12 DncrlpciiJn de Iii demo1t1Yid6n. Una pregunta de abstracci6n relacionada con Ia conclusi6n es "LC6mo puedo desmotrar que un tri4ngulo es equilitero?" Una respuesta es demostrar que los tres lados tienen Ia misma longitud, especfficamente, RS = ST = RT. Para ver que RS "' ST puede trab.Yar progresivamente a partir de Ia hip6tesis para establecer que el trilingulo RSU es congruente con el triingulo SUT. En particular, porIa hip6tesis RU = UT y, ademas, ingulo RUS = Angulo SUT = 90 grados. Por su·puesto SU = SU, de modo que por el teorema lado-angul~lado se establece Ia congruencia de los dos triangulos. Por ultimo, para ver que RS = RT, trabajando progresivament~partir dP. Ia hip6tesis se llega a Ia conclusiOn de que RS = 2R U = R U + UT=RT. Demo1tnld6n. Para ver que el t~lo RST es equilatero, se demostrari en realidad que RS = ST = RT. Para este fin, Ia hipO. tesis de que SU es una bicectriz perpendicular de RT asegura (por el teorema lad~ingulo-lado) que el triingulo RSU. es congruente ~ el tmngulo SUT. Por consiguiente, RS = ST. Para ver que RS = RT, a partir de Ia hipotesis se puede concluir f8cilmente que RS = 2RU = RU + UT = RT. D

CAPlTUL03 3.1 a) Preg. de abs: LC6mo puedo demostrarqueunenteroesimpar? Resp: Demostrar que el entero es igual al doble de un entero m4s uno. Resp. esp: Demuestre que n 2 = 2k + 1. b) Preg. de abs: LC6mo puedo demostrar que un numero real es un n6mero racional? Resp: Demuestre que el n6mero real es igual al cociente de dos enteros, en el cual el entero del denominador es diferente de cero.

OJplllllo J

137

Resp. esp: Demuestre que s/t = p/q, donde p y q son enteros yq + 0. c) Preg. de abs: ~ C6mo puedo demostrar que dos parejas de numeros reales son iguales? Resp. de abs: Demuestre que el primer y segundo elementos de una de las parejas de numeros reales son iguales al primer y segundo elementos de Ia otra pareja, respectivamente. Resp. esp: Demuestre que x 1 = x2 y que Y1 = Y2. d)Preg. de abs: ~C6mo puedo demostrar que un entero es numero primo? Resp: Demuestre · que el entero es positivo, mayor que 1 y que s6lo puede dividirse entre sf mismo y Ia unidad. Resp. esp: Demuestre que n > 1 y, sip es un entero que divide a n, entonces p = 1 o p =n. e) Preg. de abs: ~C6mo puedo demostrar que un entero divide a otro entero? Resp: Demuestre que el segundo entero es igual al producto del primer entero con otro, y que el primer entero es diferente de cero. Resp. esp: Demuestre que Ia expresi6n siguiente es verdadera para un entero k: (n - 1)3 + n 3 + (n + 1)3 = 9k. 3.2 (A es Ia hip6tesis y A 1 es el resultado del primer paso del proceso progresivo). a) A : n es un entero impar. A 1 : n = 2k + 1, donde k es un entero. b) A : s y t son numeros racionales con t ::1: 0. A 1 : s = pfq, donde p y q son enteros con q ::1: 0. Asimismo, t = a/b, donde a y b son enteros con b ::1= 0. c) A : El triAn......J!llO RST es equi]jtero. A 1 :RS = ST = RT, y angulo (R) = angulo (S) = angulo

/(x). c) Objeto: elemento x. Cierta propiedad: x esta enS. Algo sucede: x or;;; u.

CGp{tulo 5

147

d) Objeto: numero real e. Cierta propiedad: E > 0. Algo sucede: existe x enS tal que x > u- e. e) Objeto: elementos x y y, y numeros reales t. t:ierta propiedad: x y y estan en C y 0 < t < I. Algo sucede: tx + (I - t) y es elemento de C f) Objeto: numeros reales x, y y t. Cierta propiedad: 0 < t < I. Algo sucede: /(IX + (I - t)y) < t/(x) + (I - t)/(y) g) Objeto: numero real e. Cierta propiedad: e > 0. Algo sucede: existe un numero real 6 > 0 tal que, para todo numero real y que cumpla lx- Yl < 6, 1/(x)- .fty)l < e. h) Objeto: numero real e. Cierta propiedad: E > 0. Algo sucede: existe un entero IC tal que para todos los enteros k > k', lxk- xl 0. Se demostrara que existe un numero real 6 > 0 tal que, para todo numero real que cumpia IX- Yl < 6, 1/(x)- .fty)l < E. h) Sea e' un numero real tal que e' > 0. Se demostrar.i que existe un entero /( tal que para todos los enteros l > ~, 1xk - xl < e'.

g) Sea

5.3 Cuando se utiliza el metodo por selecci6n para demostrar que

"para todos los objetos que poseen cierta propiedad, algo sucede", se eligirfa un objeto particular que posee cierta propiedad especifica. A continuacion. se partirfa (proceso progresivo)

SolucloMI de lo1 ~erelclb1

148

de dicha propiedad especifica para llegar a Ia conclusion de que sucede algo especifico. Lo anterior es exactamente lo mismo que aplicar el metodo progresivo-regresivo para demostrar que "sixes un objeto con cierta propiedad, entonces algo especffico sucede", con lo cual se estarfa avanzando progresivamente a partir del hecho de que x es un objeto con cierta propiedad especffica y, regresivamente, a partir de aquello que sucede: En otros t6nninos, una proposici6n que contiene el cuantificador "para todo a" puede convertirse en una proposici6n equivalente de la t , Sl ••• , en onces. . . . tiorma ... 5.4 a) E una montana e A otra montana esta tiene una altitud mayor que el resto. b)Aangulo t, sen (2t)= 2 sen (t) cos (t). c) Apardem\merosrealesnonegativospy q, .J pq< (p + q)/2. d) A par de numeros reales x y y con x < y, E un numero racional r. e x < r < y.

S.S a) Se aplicarfa primero el m6todo por construcci6n para generar M > 0 y, a continuaci6n, se aplicarfa el metodo por selecci6n para elegir x' en S para Ia que debe demostrase que lx' l < M. b) Se aplicarfa primero el m6todo por selecci6n y se elegirfaM' > 0; a continuaci6n, se aplicarfa el n:t6todo por construcci6n para generar una x en S para Ia que lXI > M ·. c) Se aplicarfa primero el m6todo por selecci6n para elegir e' > 0 y, a continuaci6n, se aplicarfa el metodo por construcci6n para generar 6 > 0, para aplicar despu6s nuevamente el metedo por selecci6n a fin de elegir x' y y' con lx'- y'l < 6, para las que debe demostrarse que lf(x')- f(y' )l < e': 5.6 Dt1cripd6n de Ill demoltracl6n. El m6todo progresivo-regresivo da Iugar a Ia pregunta de abstracci6n "j,C6mo puedo,demostrar que un conjunto (es decir, n e$ subconjunto de otro col\iunto (es decir, S)? La definici6n proporciona Ia respuesta de que debe demostrarse que B1

:

para toda t de T, t est4 en S.

I..a presencia del cuantificador "para toda" en el proceso regresi.vo indica el uso del m6todo por selecci6n para elegir un elemen to

149

Olp,.tulo 5

1' de T para el que debe demostrarse que

B2 : 1' esta enS.

Esto se logra a su vez demostrando que 1' satisface Ia propiedad que define aS. es decir, que

B3

:

(1')2

-

31' + 2< 0.

Partiendo del hecho de que 1' esta en T, es decir, que satisface Ia propiedad que define a T, se sabe que A1

:

I < 1' < 2.

Por consiguiente, (I' - I) ;;;. 0 y (t' - 2) < 0, de don de (I' f 3t' + 2 = (I' - 1) (t'- 2) SO, con lo que se establece Ia propc; sici6n 8 3 y se termina Ia demostraci6n. Demostracion. A fin de demostrar que T c S, sea 1' un elemento de T. Se demostrara que t' esta en S. Puesto que 1' esta en T, 1 < 1' < 2, de donde (t'- I);> 0 y (t' - 2) < 0. Por tanto, (1')2

-

31'

+ 2 = (t'- l)(t'- 2) < 0.

y, por consiguiente, t' esta en S. H

5.7 Descripci6n de Ill demostl'fl£16n. La palabra clave "para todo" de Ia conclusion indica el uso del metodo por selecci6n. Para este fin, sea x' > 2 un numero real. Para construir Ia y < 0 buscada, se requiere que

= 2y/(l + y) x' + x'y = 2y

x' 0

0

X'

= 2y -

X' Y =

0

y=x'/(2-x').

y(2 - X')

150

SolucioMI de IOI ejen:klol

Por lo tanto, Ia y buscada es x '/(2 - x' ), y es sencillo demostrar que, para este valor dey, x' = 2y/(l + y). Sin embargo, tambien debe demostrarse quey < 0, como es el caso, ya que x' > 2. Demostl'fiCiOn. Sea x' > 2 y, por consiguiente, puede generarse y = x' /(2- x' ). Puesto que x' > 2, y < 0 tam bien, es sencillo verificar que x' = 2y/(l + y).ll 5.8 Descrlpcl6n de Ia demostrt1Cl6n. El metodo progresivo-regresivo

da Iugar a Ia pregunta de abstracci6n "t,c6mo puedo demostrar

que una funci6n es convexa?" Utilizando Ia defmici6n del ejercicio 5.1 /),debe demostrane que B 1 : Para todos los numeros reales x y y, y para toda t con 0 < t

0 e A y que cumple lx- Yl < 6, lftx)- fty)l < e'. d) El area del cuadrilatero QRST debe ser igual al cuadrado de Ia longitud de una diagonal, y si lo es, entonces QRST es un cuadrado. e) El angulo S del triangulo RST debe encontrarse estrictamente entre 0 y 7r/4, y si Io esta, entonces cos(S) sen (S). 7.3 Descrlpci6n de Ia demostraci6n. El metodo progresivo-regresivo da Iugar Ia pregunta de abstracci6n "t,c6mo puedo demostrar que un conjunto (es decir, R) es subconjunto de otro conjunto (es decir, n?" Una respuesta es porIa definicion, de donde se demuestra que B 1 : Para toda r de R, r esta en T.

La presencia del cuantificador "para toda" en el proceso regresivo indica que debe usarse el metodo por seleccion. Por lo tanto, se elige una r' en R y, aplicando esta informaci6n en Ia hip6tesis debe demostrarse que r' esta en T. Pasando al proceso progresivo, Ia hip6tesis dice que R es subconjunto de S y que S es subconjunto de T, lo cual por definicion significa, respectivamente, que A 1 : para toda r de R, r esta en S, y A 2 : para toda s de S, s esta en T.

AI particularizar A 1 para r' (que esta en R ), se tiene que r' esta en S. AI particularizarse A 2 para r' (que esta enS), se tiene que

156

r' est4 en T, que es Ia proposicion B1 , tenninandose de este m~ do Ia demostraci6n.

Demostracl6n. Para . demostrar que R es subconjunto de T. debe probarse que para toda r de R, r esta en T. Sea que r' este en R. Por hip6tesis, R es subco)\junto de S, por lo que r' esta enS. Asimismo, por hip6tesis, S es subconjunto de T. por lo que r' esta en 1.1

7.4 Dt!scrlpci6n de ltl demostmc16n. El metodo progresiv~regresi­ vo da Iugar a Ia pregunta de abstracci6n "i,c6mo puedo demostrar que un conjunto tS intersecci6n T) es convexo?" Una pregunta es por la defmici6n, de donde debe demostrarse que B 1 : para toda x y y de S in tersecci6n T. y para toda 0 < t < I, tx + ( 1 - t) y esta enS intersecci6n T. La presencia del cuantificador "para toda" en el proceso regresivo indica el uso del metodo por selecci6n para elegir x' y y' de S intenecci6n T, y t' con 0 < t' < 1, para las que debe demostrarse que

B2

:

t'x'

+ (1

- t')y' est& enS intersecci6n T.

Utilizando el proceso progresivo partiendo de Ia hip6tesis y de Ia hip6tesis y de Ia informacion anterior, se estableceni 8 2 demostrando que t'x' + (1 - t')y' esta tanto enS como en T. Especfficamente, a partir de Ia hip6tesis de que S es convexo, y porIa definicion, se infiere que

A 1 : para toda x y y de S, y para toda 0 t)y esta enS.

< t < ·l,tx +

(1 -

AI particu}arizar esta proposici6n para x', y' y t' se llega a que t'x' + (l - t')y' esta enS. Con un razonamiento similar se demuestra que t' x' + (l - t') y' esta tam bien en T. terminandose asf Ia demostraci6n.

Demostl'tiCi6n. Para ver que S intersecci6n T es. convexa, sea que x' y y' est en en S intersecci6n

T.

y sea 0 0, entonces x < -3 ox ;> 3. b) ExpUc~~ei6n detalltultl. De conformidad con el metodo de Ia disyunci6n exclusiva, puede suponerse que x 3 + 3x 2 9 - 27 ;;;;. 0 y que x > -3. Debe demostrarse que x ;;a. 3. Se tiene ahora que

x 3 +3x 2 -9x-27=(x-3)(x+3)2 ;> 0 Puesto que x > -3, (x + 3)2 es positivo y, por consiguiente, debe tenerse que x- 3 ;> 0, ox ;;a. 3. Demostracl6n. Supongase que x 3 + 3x 2

x

>

-

9x- 27 ;> 0 y que

-3. Se infiere entonces que

x3

+ 3x 2

-

9x - 27

=(x -

3) (x

+ 3)2

;;> 0

Puesto que x > -3, (x + 3 )2 es positivo, de donde x - 3 ;> 0 o, de manera equivalente, x :> 3.11 c) La demostraci6n es similar a Ia del inciso b) salvo porque se supone que x < 3.

174

Solucione1 de lo1 ejercicio1

11.7 a) b) c) d) e) /) 11.8

ParatodasenS,s x. Existe x con ax < b y x > 0 tal que ex b y x > 0 tal que ex > u. Para'toda x con b < x - 0 con

La presencia del cuantificador "para toda" en el proceso regre-

sivo indica que debe elegirse Qna x' > 0 con ax' > b, asf como u' > 0 con u'a b, y sea u' > 0 con u'a u'b y que ex' > u'ax', de don de se tiene que ex' > u'ax' > u'b y, por consiguiente, se ha terminado Ia dernostraci6n.ll CAPiTULO 12 12.1 a) El rnetodo contrapositivo o por contradicci6n, ya que en Ia b) c)

d)

e) /) g) h) i)

conclusi6n se encuentra presente Ia palabra "no". El m~todo de inducci6n, ya que Ia proposici6n B es verdadera para cualquier enteron :> 4. El metodo progresivo-regresivo, ya que B no presenta ninguna fonna evidente. El m~todo max/min, ya que en B aparece Ia palabra "maximo". El metodo de unicidad, ya que se supone Ia presencia de una y s6lo una recta. El metodo por contradicci6n o el contrapositivo, ya que en la conclusi6n se encuentra presente Ia palabra "no". El metodo progresivo-regresivo, ya que B no presenta ninguna fonna evidente. El rnetodo por selecci6n, ya que el primer cuantificador de B es "para todo". El m~todo por construcci6n, ya que el primer cuantificador deB es "existe ...

Soluclone1 de loi ejnckiol

176

12.2 a) AI utilizar el m6todo de inducci6n se supondria que n/ n2 y que n ;;.. 4, y se intentarfa demostrar que (n + 1)! (n

> >

+ I )2. Tambien·, tendria que demostrarse, por supuesto,

que 4! > 4 2. · b) A1 utilizar el metodo por selecci6n se eligiria un enteron' para el que n' > 4. Intentaria demostrarse que (n')! > (n')2. c) A1 convertir la·proposici6n a Ia forma ••si. .. ,entonces..." se obtiene "si n .es un entero mayor ·o igual que 4 entonces n! > n 2". Por lo tanto, se supondrfa que n es un entero mayor o igual que 4 y se intentarfa demostrar quen/ > n 2. d) A1 utilizar el metodo por contradiccion se supondrfa que existe un enteron > 4 tal que n! < n 2 , y se intentarfa Uegar a una contradica6n.

Glosario de simbolos

matemOticos

Sfmbolo

Significado

=>

implica si y solo si es un elemento de subconjunto conjunto vacio no para todo (para cada) existe (existen) tal que y

e

c

-

t/J

A E E

< >

0

Q.E.D.

quod erat demonstrandum

(Como se queria demostrar) 177

Pdgtna

20

39 53 55

ss 43

56

49 49 38 38 29

indice

Demostracibn c:ondensada, 30, 121 Demostrac:ion por contradiccion, 77

"A impHca 8", 20,43 "Algo sucede", 49, 56 Axioma, 41

E

c "Oerta" propiedad, 48, 56 Conclusion, 19 Conjunto, 53 vacio, SS Conjunto infinito, 53 Conjunto vacio, SS Corolario, 41 Cuantific:aclor existencial, 4 7 Cuantificador universal, 4 7 Cuantificador(es) existencial. 47 metodo de particularimciOn, 71 metoda por construc:cion (existe), 47 metodo por selec:c:ion (para todo), 53 "oc:ultos", SO, 56 por el metodo de induccion, 63 universal. 47 D

Definicion, 3 7 Definicion altemativa, 39 Definic:iones equivalente5, 39 Demostraci6n, 17

Elementos de un conjunto, 53 Equivalencia, 39 Equivalencia entre notaclones, 42 "(:;xiste", 4 7 Existencia, 48

H Hacer una demostracion, 19 Hip6tesls, 19

I lgualdad de conjuntos, ss, sa lmplica, 20 lmplicacion, 20 lnduccion matematica, 63 L

Las matematicas como un lenguaje, 17 Lectwa de demostrac:iones condensaclas, 30, 113, 121 Lema, 41 Usta infinita, 53

179

.

110

Indk• M

M4quilla que hace demostradones, 56, 65 Metodo coutraposltiYo, 85 Metodo de lnducci6n. 63 M6toclo de lnclucd6n pneraUzada, 68 M6todo de Ia 0 exdllliva, 100 M6todo de uniddad, 97 Metodo mh/m in, 1o1 t.Utoclo por comtrucc:i6n, 4 7 M6todo por coutradiccl6n, 77 Metodo por putlcularizad6n, 71 M6toclo por •leccl6n, 53 M6todo propesiYe>repeslvo, 23, 30

~ci6D,

18,24 camblos en Ia forma de Ia, 119 PropOiiclones equivalentea, 39 Q

Q.E.D., 29

s Sl y s6lo sl, 38 S61o si, 43

Suboonjunto, 55 Supoadon,21,64,66,78,8S T

N

Nepci6n. 91 Nepd6n de cuantiftcadores, 91 NO A. 43,91 "NO A implica NO 8", 43 NOB, 91 "NO 8 lmplica NO A", 43 ~·No" en Ia conclusiOn, 80

Notad6n para descrlbir conjuntoa, 54 Not1cl6n slmb6Uca, 20

0 0, 94

p

"Pua todo", "para cada", 47,53 Preaunta de abstracci6n, 24 Principio contrapositivo, 44 PriDcipio iDverso, 44 Proceso de abstracc:i6n, 25 Proceso propesivo, 24, 27 Procelo repeaivo, 24 Propiedad que deftne a un conjunto, 54 ProposiciOn, 41

Tabla de verdacl, 20 "A lmplica 8", 21 "NO B implica NO A", 44 "Tal que", 49 Tecnlcu especlales para Mcer demostracie> nes, 97 Tecnlcas para hacer demostraciones de 110 exclasiva. 100 de unlddacl, 97 del metoda contrapositlvo, 85 mb/min, 101 por construcciOn, 4 7 por contradicclOn, 77 por particularizac:i6n, 71 por selecci6n, 53 propesiVa-regresiva, 23 Teorema, 41 Termlnologia matemitica, 37

u Unlddad, 97

y Y, 38,94

ISTA OIRA SE TBRMIN6 DBIMPRIMII EL DIA 24 DE JUNI() DB 1993, BN LOS TAI.LBRI!S DE PRIOORAMAS I!DlJCATlVOS, U. DE C.V. atAIIACANO NOM. 65, LOCAL "A"

MBrco, D.P.

LA EDICJON CONSTA D6 500 EJBMPLAUS Y SOBRAJtnl!S PARA UPOSJCION

511