Beitrag zur Berechnung und Ausführung der Staumauern [Reprint 2019 ed.] 9783486737165, 9783486737158

Table of contents :
Inhaltverzeichnis
Vorbemerkung
I. Praktische Vorbedingungen
II. Theoretische Vorbedingungen
III. Entwickelung der Bestimmungsgleichungen
IV. Anwendung
Schlußbemerkungen

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BEITRAG zur

Berechnung und Ausführung der Staumauern von

FRANZ KREUTER Ingenieur

Professor an der Technischen Hochschule in München

Mit 2 0 A b b i l d u n g e n

M f i n d i e n und B e r l i n Druck und Verlag von R. Oldenbourg

1909

Inhaltverzoichnis. Seite

Vorbemerkung I. Praktische Vorbedingungen: a) Sicherung der Mauer gegen den Auftrieb des Wassers b) Grundgestalt des Mauerquerschnittes c) Lagerflächen freistehender Staumauern . . . . II. Theoretische Vorbedingungen: a) Praktische Zulässigkeit der Trapezregel. — Größe der Randspannungen b) Festsetzung der praktischen Grenze für die Beans p r u c h u n g des Gemäuers III. Entwickelung der Bestimmungsgleichungen: a) Hypothesen und Bezeichnungen b) Widerstand gegen das Gleiten längs einer wagerechten Schnittebene c) Zusammendrückung an der talseitigen (äußeren) Böschung d) Z u s a m m e n d r ü c k u n g an der bergseitigen (inneren) Böschung e) Grenzhöhe oder praktische Grenze für die Gültigkeit des Grunddreieckes f) Fall, wo die bergseitige (innere) Wand nicht lotrecht ist. — Notwendigkeit einer inneren Böschung

5 8 10 12

14 17 23 24 25 26 27 28

IV. Anwendung: A. Abteilung der Querschnittfläche B. Berechnung der Abmessungen a) Kopf b) Hals c) Rumpf, obere Hälfte d) Rumpf, untere Hälfte e) Fuß 1. Entwickelung der Grundgleichungen . . . . 2. Ableitung der Bestimmungsgleichungen . . .

31 34 34 34 37 44 46 46 50

SchluBbemerkungen

53

Vorbemerkung. Seit

ich

eine

erste B e r e c h n u n g

lichen

Querschnittes

haben

französische

der und

Staumauern englische

Ingenieure neue G e s i c h t s p u n k t e

des

kleinstmög-

veröffentlichte 1 ),

Mathematiker

und

aufgestellt2).

') On the Design of Masonry Dams, Min. of proc. of The Institution of Civil Engineers. Vol. CXV. Session 1893—94, part. I, p. 53. Berechnung der Staumauern. Zeitschr. f. Bauw. 1894, S. 465. ') M a u r i c e L é v y : Quelques considérations sur la construction des grands barrages. Comptes rendus des séances de l'académie des sciences, tome 121 (1895), p. 288. M. L é v y : Note sur les diverses manières d'appliquer la règle du trapèze au calcul de la stabilité des barrages en maçonnerie. Ann. des p. et ch. 1897. 4 m e trim. p. 5. L. W. A t c h e r l e y and Prof. K a r l P e a r s o n : On some disregarded points in the stability of masonry dams. Abstract in Min. of proc. Inst. C. E. vol. CLXII, p. 456. Prof. K a r l P e a r s o n : On the stability of masonry dams. Engg. vol.80 (1905), p. 35, 171. M a x Am E n d e : Notes on stresses in masonry dams. Engg. vol. 80 (1905), p. 751. J. S. W i l s o n and W. G o r e : Stresses in Dams. An experimental investigation by means of india rubber models. Engg. vol. 80 (1905), p. 134, and Min. of proc. Inst. C. E. session 1907—1908. E. P. H i l l : Stresses in Masonry Dams. Ebenda. J. W. O t t l e y and A. W. B r i g h t m o r e : Experimental investigations of the Stresses in Masonry Dams subjected to waterpressure. Ebenda.

6

Vorbemerkung.

Die Arbeiten von M a u r i c e L £ v y müssen fortan als die wichtigste Grundlage für die B e r e c h n u n g hoher Staumauern gelten." Eine im Jahre 1904 veröffentlichte, elementare Berechnung der Staumauern von Prof. K r e s s n i k 1 ) führt L i v y ' s Arbeiten zwar an, geht jedoch nicht darauf ein. Das gleiche gilt von der Berechnungsweise, welche T u d s b e r y und B r i g h t m o r e in ihrem Buche vorführen. 2 ) L6vy selbst begnügt sich damit, die Aufg a b e ganz allgemein zu behandeln, ohne sich auf Anwendungen einzulassen. Auch die übrigen Forscher weisen zwar auf Mängel der älteren Berechnungsarten hin, schlagen aber keine neue vor. Ich habe daher den von L i v y gewiesenen Weg weiter verfolgt, meine ursprüngliche Abhandlung umgearbeitet und die Lösung der Aufgabe gefunden, welche ich den Fachgenossen hiermit übergebe. Sie bildet einen Abschnitt aus meinen Vorlesungen an der Münchener Technischen Hochschule und ist das schlichte Endergebnis vieljähriger Arbeit. S i e erfüllt die neueren Anforderungen, ist also vollständiger, richtiger und überdies genauer als die frühere. Trotzdem ist sie einfacher und übersichtlicher. Immerhin bleibt die Berechnung einer hohen Staumauer auch jetzt noch eine mühsame Arbeit. Sie lohnt sich aber, denn es gibt kein anderes Mittel, um das kleinstmögliche Profil eines solchen Bauwerkes herzustellen und dadurch an einer großen Anlage Hunderttausende in einwandfreier Weise zu ersparen. Die Berechnung ist so eingehend entwickelt, daß der weniger geübte Leser dem Gedankengange leicht zu *) P. K r e s s n i k : Das kleinstmögliche Profil der Talsperremauern. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1904, S. 534. •) J . H. T. T u d s b e r y and A . W . B r i g h t m o r e : Waterworks Engineering. 3. ed. London 1905, p. 210, 214, 230.

Vorbemerkung.

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folgen vermag, und, wie ich glaube, so übersichtlich dargestellt, daß der Geübte mit Dingen, die ihm nebensächlich erscheinen, sich nicht aufzuhalten braucht. Als Einheiten halten wir fest: M e t e r und T o n n e . Wir betrachten stets ein Stück Mauer zwischen zwei Querschnittebenen im Abstände E i n s .

I. Praktische Vorbedingungen. a) Sicherung der Mauer gegen den Auftrieb des Wassers. Damit die Mauer nicht gefährdet wird durch Wasser, welches unter hohem Druck zwischen die Schichten dringt, genügt es nicht, daß die Druckspannung am inneren Rande bei vollem Teiche nicht kleiner wird als Null. Nimmt man das spezifische Gewicht des Wassers als Einheit, so ist die Stärke (Intensität) des W a s s e r d r u c k e s in der Tiefe von y Metern gleich y t/qm. Ist (in t/qm) ßm die Stärke des R a n d d r u c k e s im Gemäuer auf der Wasserseite in der Tiefe y, so hätte man an Stelle der Bedingung ßm = 0 zu setzen. ßm =

y.

Diese Bedingung bezieht sich auf wagerechte Lagerfugen; dann kann das Wasser nicht mehr durch den hydrostatischen Druck hineingepreßt werden, sondern es ist ein Bestreben vorhanden, es hinauszupressen. Will man aber an der Bedingung festhalten, daß die Spannung am inneren Rande der Lagerfläche bei vollem Teiche den Wert Null habe, so kann man die von L£vy vorgeschlagene S c h u t z - oder S c h i r m m a u e r an-

Sicherung der Mauer gegen den Auftrieb des Wassers.

9

bringen, wie sie beim Réservoir du Ban ausgeführt wurde. (Abb. 1.) An der Wasserseite der Staumauer 5 stellt man lotrechte Rippen oder Pfeilervorlagen P her, an welche die Schirmmauer M sich anlehnt. Hierdurch bildet man Schächte von etwa 2 m im Geviert, die sich über die ganze innere Wandfläche der Staumauer erstrecken. Ein allenfalls entstehender Sprung führt das eindringende Wasser in einen oder mehrere von diesen Schächten, aus denen man es ableiten kann, ohne ihm zu gestatten, daß es eine bedenkliche Höhe erreicht. Aus der Wasserführung der Entwässerdohle oder -Röhre wird man gewahr, was hinter der Staumauer vorgeht. Ist die Abflußmenge beträchtlich, so kann man die Schächte untersuchen und die Abb. 1. Sprünge verstopfen. Gegen lotrechte Sprünge schützt bogenförmiger Grundriß. Der Wasserdruck auf das Gewölbe wird die Sprünge dichten, da der Druck in den Stoßfugen an sich größer sein wird als der Wasserdruck. Auf die Bogenform wird bei der folgenden Berechnung nicht Rücksicht genommen. Wir betrachten also die Staumauern als f r e i s t e h e n d , nicht als eingespannt. Wichtig ist es, von Fall zu Fall das Gemäuer, welches zu einer Staumauer verwendet werden soll, in einem mechanisch-technischen Laboratorium prüfen zu lassen, um nicht nur seine Druckfestigkeit, sondern auch seine Scherfestigkeit sowie seine Ausdehnungs- und Elastizitätverhältnisse festzustellen. Geringere Bedeutung hat die Zugfestigkeit, da es sich vermeiden läßt und stets vermieden werden sollte, Gemäuer auf Zug zu beanspruchen.

10

I. Praktische Vorbedingungen.

b) Grundgestalt des Mauerquerschnittes. Der Wasserspiegel reiche bis an die Krone (Abb. 2). Diese Annahme entspricht einem ungünstigsten Falle. Wir gehen also dabei sicher. Es sei Eins die Schwere des Wassers, y die des Gemäuers in t/cbm. Wir stellen die Bedingung, bei vollem Teiche solle die Spannung am inneren Rande der wagerechten Lagerfugen Null werden, bei leerem Teiche am äußeren. Die eine Drucklinie hat daher am äußeren, die andere am inneren Kernrande zu verlaufen, somit hat jede der beiden Drucklinien durch ein Drittel der Fugenbreite zu gehen 1 ). Die innere Wand sei eine lotrechte Ebene. Für eine wagerechte Fuge in der Tiefe erhalten wir die Gleichgewichtbedingung wie folgt: a) Die Schwerlinie soll durch das innere Drittel der wagerechten Fuge gehen, daher J"« 1 » "0 * 1C"1 /2 dy hltdy^-

i t^tdy = \^Pdy yt

yI

b) Die Mittelkraft aus dem Wasserdruck und dem Gewichte der Mauer soll durch das äußere Drittel gehen: 1 1 ^ y i z = 7 ^ k l t d y oder O

rt 1 j-yf^^tdy, ' A

') Diese Annahme setzt die Zulässigkeit der sog. .Trapezregel" voraus. Wir kommen darauf wieder zurück.

Grundgestalt des Mauerquerschnittes.

1]

das ist nach o b i g e m ,

differenziert:

'

o

3

2V

(1) D e r Querschnitt ist daher ein rechtwinkeliges D r e i e c k . D i e innere Kathete ist lotrecht. D i e B r e i t e / in irgendeiner T i e f e n ist nach Gl. (1) zu b e r e c h n e n . B e i d e Stützlinien sind G e r a d e und b e g r e n z e n mittlere Drittel der Querschnittfläche.

das

D e r Randdruck wächst, wie sich leicht zeigen läßt, proportional mit der H ö h e y. In der Ausführung kann man die Mauer o b e n nicht in einer scharfen Kante enden lassen, sondern die K r o n e m u ß mindestens zu einer B r ü s t u n g ausgebildet werden. Häufig wird über die Mauerkrone ein W e g geführt, am einfachsten, indem man den oberen Teil der Mauer zu e i n e m rechtkantigen B l o c k ergänzt. Allein, auch wenn die Fahrbahn auf irgendeinem b e s o n d e r e n Unterbau — einer Art J o c h b r ü c k e aus Holz oder E i s e n , o d e r B o g e n s t e l l u n g e n — ruht, muß man dies B a u w e r k , für den Z w e c k der B e r e c h n u n g , durch einen statisch g l e i c h wertigen Mauerklotz ersetzt sich denken. Wenn man aber die dreikantige Grundform durch einen solchen Aufbau oben belastet, so werden die Stützlinien durchweg v e r s c h o b e n ; und wenn man alsdann noch die B e d i n g u n g gleicher Standsicherheit beibehalten will, so wird sich für den, unterhalb d e s rechtkantigen Aufbaues oder „ K o p f e s " g e l e g e n e n Teil d e s Mauerquerschnittes eine Form e r g e b e n , welche um so m e h r von der dreikantigen Grundform a b w e i c h t , j e

12

I. Praktische Vorbedingungen.

breiter die Krone, kurz, je größer und schwerer jener wirkliche oder stellvertretende Mauerklotz ist.

c) Lagerflächen freistehender Staumauern. In einem prismatischen Körper, wie eine Staumauer, gibt es in jedem Querschnitte zwei Gruppen von Linien, die sich überall rechtwinklig schneiden und welche L a m é die isostatischen Linien genannt hat. Sie haben die Eigenschaften: a) Daß sie nur streng senkrechte (normale) Drücke erfahren, b) daß in jedem Punkte die eine Linie die größte, die andere die kleinste Druckspannung erleidet, welche an diesem Punkte entstehen. Die Linien der ersten Gruppe sollen A, die der zweiten B heißen. Offenbar wären nach der Liniengruppe A die Lagerfugen anzulegen, da hierdurch jedes Bestreben, längs der Lagerflächen zu gleiten, vermieden würde. Die Erfüllung dieser Bedingung vereinfacht sich, da man vorweg zwei isostatische Linien kennt, d. h. Linien, die nur normale Drücke erleiden. Das sind die beiden Häupter des Staumauerquerschnittes. Das äußere oder talseitige Haupt entspricht notwendigerweise der Gruppe ß , wenn es den Druck Null erleidet. Das innere, berg- oder wasserseitige Haupt gehört ebenfalls zu dieser Gruppe, wenn die Bedingung

ßm^y

erfüllt ist. Folglich müssen alle Linien der Gruppe A, d. i. alle Lagerfugen, die beiden Stirnen rechtwinkelig schneiden. Es genügt, die Lagerfugenlinien durch Kreisbögen zu ersetzen, welche die Stirnen rechtwinkelig schneiden.

Lagerflächen freistehender Staumauern.

13

D a n n wird an den Stirnen kein B e s t r e b e n , zu gleiten, vorhanden s e i n und im Inneren nur ein s c h w a c h e s , was sehr wichtig i s t , namentlich für die Grundfläche des D a m m e s . D a s hindert natürlich nicht, u n r e g e l m ä ß i g e s B r u c h s t e i n g e m ä u e r und Stufen an der Grundfläche anzuwenden. D i e s e Art zu mauern, erleichtert auch den Abfluß der N i e d e r s c h l ä g e während der Arbeit, namentlich, wenn sie zeitweise unterbrochen werden muß.

II. Theoretische Vorbedingungen. a) Praktische Zulässigkeit der Trapezregel. Gröfse der Randspannungen. Die Trapezregel oder die Annahme, daß die Belastungsfläche über der Angriffachse ein Trapez sei, beruht bekanntlich auf N a v i e r s Hypothese vom ebenen Querschnitt und dem Satze vom festwertigen Elastizitätmaß. Sie wurde bei der Berechnung von Staumauern angewendet 1. durch D e l o c r e auf die wagerechten Schnitte, 2. durch B o u v i e r auf die Schnitte normal zur Druckkurve, 3. durch G u i l l e m a i n , ausgehend von demjenigen Schnitte durch jeden Punkt der talseitigen (äußeren) Stirne, welcher den größten Normaldruck in diesem Punkte ergibt. Da der durch Guillemain vorgeschlagene Weg den stärksten Druck ergäbe, so würde die Vorsicht empfehlen, ihn einzuschlagen, obschon er der mühsamste wäre. L ä v y weist nach, daß praktisch die Berechnungsarten von Delocre, Bouvier und Guillemain annähernd gleichwertig sind; daß die Trapezregel g e n a u ist, d. h. den Grundsätzen der mathematischen Elastizitätstheorie entspricht für d r e i e c k i g e Querschnitte, d. i. mit der

Praktische Zulässigkeit der Trapezregel.

15

Kronenbreite Null, nicht aber für trapezförmige Querschnitte und noch weniger für Staumauern mit nicht ebenen Stirnen. Allein, da die Trapezregel für dreieckige Profile richtig ist, so darf man annehmen, daß sie noch annähernd richtig sein werde für Profile, die vom Grunddreieck nicht allzusehr abweichen. Was die Größe der Randspannungen betrifft, so wird tatsächlich der stärkste Druck ausgeübt auf das Element, welches normal ist zur äußeren (talseitigen) Stirne. Das ist streng richtig, d. h. unabhängig von der Trapezregel wie von jeder anderen Hypothese. Es sei ab (Abb. 3) ein Flächenelement (Länge 1 m), normal zur Stirne im Punkte a. ac sei ein beliebiges Element, mit der Normalen einen Winkel # einschließend, cb sei gleichlaufend zur Berührenden im Punkte a. Das unendlich kleine Prisma abc ist im Gleichgewichte unter dem Einflüsse erstens der Drücke, die auf seine Seitenflächen wirken, zweitens seines Gewichtes. Die Drücke sind unendlich klein von erster Ordn u n g , das Gewicht ist unendlich klein von zweiter Ordnung und kann vernachlässigt werden. Dasselbe gilt von dem Drucke auf das mit der Wandfläche gleichlaufende Element bc\ denn, wenn wir das Rechteck abcd vervollständigen, so erleidet das Element ad auf der Wand einen Druck Null, daher ist die S t ä r k e des Druckes auf das Element bc || ad unendlich klein, und diese, multipliziert mit dem Flächeninhalt, ist unendlich klein von zweiter Ordnung.

16

II. Theoretische Vorbedingungen.

Das Dreieck abc ist somit vollkommen im Gleichgewichte unter dem Einflüsse bloß der zwei Drücke, welche auf die Seiten ab und ac wirken. Diese Drücke müssen daher gleich und entgegengesetzt sein und längs einer Geraden wirken, welche die Mitten der beiden Seiten verbindet, d. h. sie sind gleichlaufend mit der Berührenden an der Stirne im Punkte a. Daher der Satz: D e r G e s a m t d r u c k , w e l c h e r auf i r g e n d e i n E l e m e n t a u s g e ü b t wird, d a s von e i n e m P u n k t e der t a l s e i t i g e n (äußeren) B ö s c h u n g a u s g e h t , ist par a l l e l zur B ö s c h u n g in d i e , s e m P u n k t e ; woraus der Folgesatz: D e r D r u c k auf ein zur talseitigen Böschung senkr e c h t e s E l e m e n t ist s e n k recht zu d i e s e m E l e m e n t e . Es sei (Abb. 4) a die Stärke Abb. 4. des Druckes auf das Element ab, welches in a auf der Böschung senkrecht steht; ß die Stärke des Druckes auf das Element ac, welches mit dem senkrechten Elemente den Winkel £ macht. Dann sind die auf die Elemente ausgeübten Drücke a • lib und ß • ac, und, da sie im Gleichgewichte sind, o • ab — ß • ac, ab ß = — • a = a • cos ac Sind ßH und ßt die normale und die tangentiale Komponente von ß, so wird man haben ßn — ß cos & = a cos 2 & . . . . (2) wonach

Praktische Grenze der Beanspruchung.

17

ß, = ß sin 9 = a cos & sin d- = ~ sin 2 &

.

(3)

Nach dem ersten Ausdrucke wird ß„ ein Größtes f ü r # = 0 und wird gleichet, d . h . d a s n o r m a l e E l e m e n t e r l e i d e t d e n s t ä r k s t e n D r u c k . Wenn man daher irgendwie die senkrechte Druckstärke ßn gefunden hat, die auf ein Element ausgeübt wird, welches den Winkel # mit dem n o r m a l e n Elemente macht, so ist der größte Druck auf die Flächeneinheit des n o r m a l e n Elementes ¡> (2a) c o *s 2 # Bemerkt man noch, daß nach Formel (3) die größte Scherkraft für ein Element der talseitigen (äußeren) Böschung stattfindet bei # = 45° —

und daß sie immer gleich ist

so folgt der für die

Z e r s t ö r u n g von Staumauern wichtige Satz: Die g r ö ß t e S c h e r s p a n n u n g an e i n e m P u n k t e der ä u ß e r e n B ö s c h u n g t r i t t auf in d e n z w e i u n t e r 45° g e g e n d i e s e B ö s c h u n g g e n e i g t e n R i c h t u n g e n und e r r e i c h t i m m e r die Hälfte d e r g r ö ß t e n D r u c k stärke'a.

:Jb) Festsetzung der praktischen Grenze für die Beanspruchung des Gemäuers. Ist ac wagerecht (Abb. 5), so wird die Richtung von ßn lotrecht, der Winkel & wird zum Böschungswinkel t>0 im Punkte a und es ist cos2 #

0

_(dyY \ds)

=

dy* _ dy2 + rf/2

1 , , (dt\2 ' dyl

•+(ir

1 1 + e2" "

wo e das B ö s c h u n g s v e r h ä l t n i s im Punkte a zeichnet. Hätte man nach der Trapezregel den K r e u t e r , Staumauern.

2

w

belot-

18

II. Theoretische Vorbedingungen.

rechten Randdruck ßH im Punkte a g e f u n d e n (Abb. 6), so wäre [Gl. (2)] a

= ^

0

=

0 + e 2 ) ß

'

•

•

•

(2b)

u n d die zu berücksichtigende größte S c h e r s p a n n u n g im Punkte ö

«

1 +

oder, wenn a 0 die z u l ä s s i g e S c h e r s p a n n u n g ist, wie man sie für die g e g e b e n e Stampfmörtel- oder Mauer-

Abb. 6. werkgattung auf G r u n d von Festigkeitversuchen gesetzt hat, so darf ßH nicht größer sein als max/S^j-^..

. . . . .

fest(5)

Versuche zur Bestimmung der Scherfestigkeit des zu einer freistehenden Staumauer zu verwendenden Betons oder G e m ä u e r s sind also mindestens ebenso wichtig, wie die bloßen Zerdrückversuche. B r i k fand die Scherfestigkeit von Stampfbeton (1 Portlandzement, 2 Sand, 2 Schotter) . zwei Hälften getrennt werden. Die j obere Hälfte reicht bis zur Grenzj / . höhe h'u [Abb. 11 und Gl. (12)1, /;!//&: die untere Hälfte reicht bis zur / Grenzhöhe h0, müßte aber an der k Außenseite schon einer Form von A b b 13 gleicher Festigkeit entsprechen. - Wir erhielten also theoretisch fünf Abteilungen des Querschnittes, für deren jede andere statische Bedingungen gelten. Es wird sich zeigen, wie weit diesen theoretischen Anforderungen praktisch entsprochen werden kann. Man könnte nach obigem die freistehenden Staumauern in zwei Gruppen einteilen: t

/

Mauern von mäßiger Höhe, Mauern von großer Höhe. Als Mauern von mäßiger Höhe wären solche zu bezeichnen, bei denen die Grenzhöhe nicht überschritten wird, welche also aus Kopf, Hals und Rumpf bestehen. Unter Mauern von großer Höhe hätten wir jene zu K r e u t e r , Staumauern.

3

IV. Anwendung.

34

verstehen, die höher sind als die Grenzhöhe oder zulässige Belastungshöhe und welche einen Fuß erforderten. Die Berechnung beginnt naturgemäß mit dem Grunddreieck und dem Kopf, und es sollen nun die Bestimmungsgleichungen für die einzelnen Felder des Querschnittes der Reihe nach entwickelt werden.

B. Berechnung der Abmessungen, a) Kopf (Abb. 14). k-

~

AA

-

Jl W.Sp

/

/

/

/ /

D/ '

*

j

„

•1c A V i

/

/

a i » !* &t f i c Y

Abb. 14.

Die Gleichgewichtbedingung ist . k a3 ak -6=6> k J_ daher (21) a VT wie beim Grunddreieck [vgl. Gl.(l)]. Die Diagonale BD fällt mit der Hypotenuse des Grunddreieckes zusammen. b) H a l s .

A l l g e m e i n e r Fall.

(Abb. 15).

Die Rückwand von Kopf und Hals soll in einer lotrechten Ebene liegen. Der Kopf sei beliebig ausgestaltet. Sein Gewicht, auf die Längeneinheit zurückgeführt, sei K, der Abstand seiner Schwerlinie von der K-Achse sei c, seine Grundlinie DC = k, die Höhe von der Grundlinie CD bis zum Wasserspiegel sei a. Durch die Konstruktion des Kopfes sind sonach gegeben k, a, c, K.

Berechnung von Kopf und Hals.

35

Der Hals CDEF soll trapezförmig werden und seine Höhe z und seine Grundlinie f =. x k sind so zu bemessen, daß die Druckmittelpunkte M a und Mt an die Kernränder fallen. Die äußere Begrenzung DE könnte so berechnet werden (vgl. Kressnik a. a. 0 . ) , daß zwischen den beiden Grundlinien CD und EF die äußere Stützlinie der Kerngrenze folgt. Macht man dagegen DE geradlinig, so trifft die äußere Stützlinie nur in den beiden Grundlinien die Kerngrenze. Dazwischen tritt sie in die Kernfläche hinein. Das ist aber so geringfügig und der erzielbare Gewinn an Querschnittfläche so unbedeutend, daß wir ohne Bedenken auf diese Verfeinerung verzichten wollen. F. Man berechne die dem - X X - - * r mittleren Kopf-Querschnitt ~ Y gleichwertige Fläche Abb. 15.

Erste Bedingung: Die Schwerlinie von Kopf und Hals zusammen soll durch Mi gehen. Dann ist die Gleichung der statischen Momente um den Punkt E

2 3

(k+x)

+ \{x + 2 * ) ] = Aoo (x + k— c) +

Hieraus erhält man • 3*

(22)

36

IV. Anwendung.

Zweite Bedingung: Die Mittelkraft aus dem Gewichte von Kopf und Hals und dem Wasserdruck auf die Ebene BF soll durch den äußeren Drittelspunkt Ma der Grundlinie EF gehen. !

37

Berechnung des Rumpfes,

m

und Gl. (23) geht über in

+2

_/7

5 a 2/7

+

4/7.

woraus sich entwickelt (a +

z)2 =

oder

(3a

8 a1 =

+ az

z)

(a +

\z)

-f- 3 z2,

wonach daher a ~k

=

1,475

=

1,475 y y

X

a +

~k

2a

z

=

(23 b) 1,237

ferner a + z =

d =

k + x = f =

2,475 a =

2,475 k

/ 7

2,237 £

(23c)

und die Querschnittfläche von Kopf und Hals zusammen

A0 =

3,387

y • k2

c ) R u m p f , o b e r e H ä l f t e (Abb. 16). Bis zur Höhe y = hu [Gl. (12)] gilt die Bedingung, daß an der Wasserseite bei gefülltem Teich überall ß m — 0 sein muß, weshalb aus Gl. (11) sich ergibt G / = 6 2H und, wenn man G aus (7), ITC aus (8) einführt

oder

yt\tdy=y* o

+

y

\yt\tdy=y*

3y

(§t2dy o +

— t^t o

x

3y\Pdy

dy) .

.

.

(24)

IV. Anwendung.

38 Es ist aber Jtdy die bis ® j t2dy das 0 um

Fläche des Querschnittes von der Krone zur Wagerechten in der Tiefe y, doppelte statische Moment dieser Fläche die K-Achse. Bezeichnen wir daher y

jtdy

durch

A,

o \t2dy s o i s t

durch

* = |

t-A,

daher nach Gl. (24) 4 y tA =y* t

=

+ 2 ytA

f 2yA

.

.

.

weil aber tdy = dA, t = Abb. 16.

so hat man

mithin

A 2

C

= J~y +

. . , .

2 AdA

(25) dA dy '

1 , ,

= — y*dy,

-

Die Fläche von Kopf und Hals zusammen haben wir bereits berechnet und durch A0 bezeichnet. d4

Für y = d wird A = A0, daher C = A02 — — und 4 y »4 d4 •

•

(26)

und, wenn man den hierdurch erhaltenen Wert von A in die Gleichung (25) einführt, erhält man t.

1r(y4-d'

+

4yA02)

. (25 a)

Berechnung des Rumpfes.

39

Diese Gleichung liefert also, für Werte von y zwischen den Grenzen d und A„, die Breiten t. Die Rechnung wird einfacher, wenn man in den Ausdruck (25a) die Werte von d und A0 aus (23c) einführt, wonach sich für die Ausübung ergibt t =

.

Y

8

y

1 r ( y i + 8,365 f k * )

.

A = — J - j / / 4 + 8,365 y* k4 2 yr

.

.

. ( 2 5 b)

.

. (26a)

Für ¿ = 0 erhält man aus (25a) und (25b) den für das Grunddreieck gültigen Ausdruck ( l ) . Für k > 0 sind also die Breiten t stets kleiner als beim Grunddreieck und die Kurve der äußeren Böschung nähert sich asymptotisch der Hypotenuse des Grunddreieckes. Je schwerer das Gemäuer, desto schmäler wird das Profil — was sich eigentlich von selbst versteht. Schweres Gemäuer ist — gleichen Preis vorausgesetzt — wirtschaftlich vorteilhaft. Hiermit ist aber zunächst nur die Bedingung erfüllt, daß die beiden Stützlinien im Rumpfe durchweg im Abstände ^

ö

voneinander verlaufen, und zwar unter

der Voraussetzung, daß die dem Wasserdrucke ausgesetzte Fläche als lotrecht, der Wasserdruck durchweg als wagerecht angenommen werden dürfe. Wenn man einen Staumauerquerschnitt nur nach den im vorstehenden entwickelten Formeln berechnet und mit durchweg lotrechter innerer Wand aufträgt, so wird die äußere Stützlinie im Rumpfe ein wenig in die Kernfläche herein, die innere um ebensoviel aus ihr hinausrücken, so daß also bei vollem Teiche die Beanspruchung etwas günstiger wird, bei leerem Teiche aber

40

IV. Anwendung.

an d e r äußeren B ö s c h u n g kleine Z u g s p a n n u n g e n a u f treten. Diese sind aber so g e r i n g f ü g i g , d a ß man sie bei niedrigen Talsperren (z. B. bis zu 15 m H ö h e ) kaum zu berücksichtigen braucht, und auch in Fällen, wo d e r Wasserspiegel nicht regelmäßig und beträchtlich schwankt, wie bei Wildbachsperren, die innere Wand unbedenklich lotrecht machen könnte.

r/4

I

Abb. 17.

Für g r o ß e Talsperren aber, die zur Bildung künstlicher Seen zu dienen haben, darf man die Mühe einer vollständigen B e r e c h n u n g nicht scheuen. Noch zu erfüllen ist also die B e d i n g u n g , daß für j e d e wagerechte Schnittlinie der S c h w e r p u n k t des über ihr liegenden Teiles der Querschnittfläche lotrecht über d e m hinteren Drittelspunkte seiner Grundlinie liege. Diese B e d i n g u n g stellt sich f o l g e n d e r m a ß e n dar (Abb. 17): A sei die g e s a m t e Querschnittfläche ü b e r der W a g e rechten HG, die in der Tiefe y unter der Krone liegt. Die Schwerlinie von A g e h e durch den inneren Dreiteilungspunkt Mt von GH. Läßt man nun y um dy z u n e h m e n , so wächst A u m dA und die neue Schwerlinie m u ß durch den inneren

Berechnung des Rumpfes. D r e i t e i l u n g s p u n k t M'/ d e r welcher

41

n e u e n G r u n d l i n i e JK

gegen den vorigen

u m dv seitlich

gehen,

verschoben

ist. E s m u ß a l s o die G l e i c h g e w i c h t b e d i n g u n g erfüllt s e i n :

dA • = A dv o d e r , da

dA —

tdy

t2 — dy = A dv. W i r f ü h r e n für / d e n A u s druck (25)

ein

und

/2

erhalten

y6

dv=iAdy=2AfA*

dy.

N a c h G l . ( 2 6 ) ist a b e r

»-{¿-Zt' + VT1

S e t z t m a n [vgl. ( 2 5 b ) ] den Festwert - rf4 + 4 yA