Azar y probabilidad. Fundamentos didácticos y propuestas curriculares 4541151543

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AZAR AZAR Y PROBABILIDAD FUNDAMENTOS DIDACTICOS y PROPUESTAS CURRICULARES lUAN DIAZ GODINO

Catedrático de E, U, del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada M.' DE L CARMEN BATANE RO BERNABEU

P rofesora Titular de Universidad del Departamento de Estadistica de la Un iversidad de Gran ada M,' lESUS CAÑIZARES CASTELLANOS

Profesora Titular de E,U. del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada

EDITORIAl

SINTESIS

Indice [ntroducción __ ... __ . __ . __ ..... ____ . ____ .. ____ ....•. ____ ... .. ____ .. ____ . __ .. ____ "" __

9

1. Fundamentos didácticos ............................................................ . .

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Primera reimpresió n: mayo de 1991 Segunda re impres ión: marlO de 1996 Diseño de cubierta: JV Diseño gnífic o Reservados todos los derechos. Est:í prohibido. bajo las sancio nes penal es y el resarcimiento civil previstos e n las leyes. reproducir. registra r o transmitir esta publicación. íntegm o parcial mente, por cua lquier sistema de recuperación y por cualquier medio . sea mecánico. e lectrónico. magnético , electroóptico, por fotocopia o por cualquier o tro, sin la au lori7.aciÓn previa por escrito ue Editori,, 1Síntesis. S. A. © JUAN D IAZ GODINO M:' C. BATANERO BERNAI3EU M." J. CAÑ IZARES CASTELLANO

Azar y probabilidad en la enseñanza obligatoria. ________________ Fenómenos aleatorios ______ . ________ .__ . ______ .__ __ . ________ .__________________ . Conceptos de probabilidad __________ . ________ """""."""""""""" , Los juegos de azar y el cálculo de probabilidades: una aproximación histórica................................ ......... ........................ 1.5. Desarrollo psicológico de la intuición probabilística en el niño ............... ........................... ......... ......................... ......... .. 1.6. Sesgos y estrategias en la estimación de probabilidades 1.6, l. Re presentatividad"" __ " """""""" """"",, 1.6.2. Disponibilidad __________ . ________ __ __ __ 1.6.3. Sesgos referidos allenguaje ____________ ___ ..... __ .____ .. .. 1.6.4. Otros errores y sesgos ________ . ________________ .... ______ ... __ . 1.6,5. Conclusiones __ . __ . __ . __________ .. ____ .. __ .. ____ ... . __ . __ . __ .... __ 2. Propuestas curriculares

Valle hermoso, 34. 28015 Madrid Tel é fono (9'1) 593 20 98 Depósito legal: M. 4.636-1996 ISDN: 84·7738·025·2 Imp resión cn Lavel S.A. Impreso en España - Printed in Spain

11 13 19 29

36

46 47 48 49 50 51 53

2,1. Consideraciones metodológicas generales ____________________________ . 2.2, Estructura de las unidades didáctica'-- __________ ________ ____ __ 2.3. Uso de las unidades didácticas en los distintos niveles de enseñanza ....... ... ............................................. .......................... . 2.4. Contenidos implícitos en las situaciones de aprendizaje ______ 2.5. Unidades didácticas" .___ ,,,,, ________ 2.5 .1. Fenómenos aleatorios __ ." __ "" __ _.. "",,.,,. ______ .",, __________ _ 2.5.2. Juegos combinatorios __ . __ . __ , _______ ." ,.",,,, .. __ ,,.,,,, ... ,__ ,,, __ , 2.5.3. Frecuencias relativas .................................... ............. . 2.5.4. El lenguaje del azaf. ____________ " ________ ." __ "".,,,,. __ .... .__ 2.5.5. Comparación de probabilidades __ "" " "" .. """" .. """"" 2,5,6, Asignación de probabilidades ______________ ... __ . __ . __ .. . __ .,, __ __ o

o EDITORIAL SíNTESIS, S, A.

11

o _ _ _ _ o . _ . __ • • __ •

______ . , __________ •

• • • • • • __ •

53 59 61 62 65 65

68 72

75 79

84 7

2.5.7. Probabilidades geométricas .... ........ ............. .. ............. . 2.5.8 . Juegos equitativos. Variable aleatoria y esperanza .... . 2.5.9. Multiplicación de probabilidades. Probabilidad condicional y dependencia ............................... ................... . 2.5.1 0. Ensayos de Bernouilli. Variaciones con repetición .. .. 2.5. 11 . Variaciones sin repetición. Permutaciones .............. .. 2.5. 12. Combinaciones ... .. .. ... ............................................... . 2. 5. l 3. Números aleatorios ....................... ...................... .... .. 2.5.14. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes ........ ..

lII 117 122 129 135

3. Teoría matemática elemental de la probabilidad..........................

143

3. l. 3.2. 3.3. 3.4. 3. 5. 3.6.

91 97

103

Sucesos aleatorios. Axiomas de probabilidad ..................... .. Rec uento sistemático de resultados: combinatoria .......... " .. .. P robabilidad condicional. Dependencia .............................. .. Variable aleatoria. Esperanza matemática ......................... .. . Distribuciones de probabilidad ...................................... " ... .. Procesos estocásticos discretos .. ..... ........................... ...... .. ... .

144 149 153 159 165 171

Anexo 1: Material probabilístico ....................... .. ......................... .. .. Anexo 2: Respuestas a los ejercifl:ios .......... .. ..... .. ....... , .............. ...... . Bibliografía ...... .. ........... .......... .. ... .... .......... ... ... ........ .. ..................... . .

175 177 182

8

Introducción En nuestra enseñanza básica los te mas de azar y probabilid ad están prácticamente ausentes: basta tener en cuenta la orde nación educativa vigente y los libros de texto de EGB para observar este hecho. ¿Existen razones de tipo psicológico, referentes a la falta de capacidad de adquisición de los conceptos probabilísticos en niños menores de 13-1.4 años, para evitar en la escuela las situacio nes problemáticas en las que interviene el azar? Si bien los estudios de Piaget sobre estas cuestiones muestran el requisito de las operaciones fo rmales para la adquisición de la noción de pro babilidad -en su interp retación clásica laplaciana- , estudios mas recientes, como los de Fischbeio, han probado la capacidad de los niños, incluso desde preescolar, de procesar información probabilística de un modo significativo y útil y los efectos positivos de la instrucción sobre estas cuestiones. La situación curricular en Bachillerato es bien distinta. En los cuestionarios oficiales de primer curso, la administración educativa se ha expresado en términos muy escuetos: «Introduci r la teoría combinatoria y noción de probabilidad para el caso de un universo finito». Pero la formulación de este objetivo, sin ningún fund amento, ha conducido a los autores de libros de texto hacia una presentación de la teoría matemática de la probabil idad prácticamente igual a la que aparece en muchos textos uni versitarios, a lo sumo adornada con algunos ejemplos y ejercici.os. Esto plantea un grave problema didáctico, ya que la gran mayoría de los alumnos de Bachillerato y de Formación Profesional no pueden comprender un desarrollo axiomático formal de la teoría matemática, sobre todo cuando les falta la preparación intuitiva previa necesaria. Por ello, a la vista de esta situación, muchos de los especialistas en probabilidad concluirían que es preferible suprimir cualquier referencia a estas cuestiones en los niveles preuniversitarios, ya que son conscientes de su ni vel de abstracción y dificultad. Por otra parte, recientes investigaciones llevadas a cabo mediante encuestas a alumnos universitarios muestran que la gran mayoría de dichos alumnos tienen un conocimiento escaso o nulo de las nociones probabilísticas, así como errores sistemáticos, profundamente arraigados, en su intui9

ción probabilística. Asimismo, se ha probado que una mera exposición a la teoría matemática de la probabilidad es ,nsuficiente para corregir dichos sesgos, y que éstos pueden dificultar la asimilación de los conceptos formales. Pensamos, por tanto, que la solución no es de naturaleza quirúrgica: «cortar por lo sano», suprimiendo la probabilidad de los currículos o «injertarla)} como un objeto extraño e incomprensible en la mente del alumno. Por el contrario, el problema es esencialmente didáctico y cabe formularlo

1.

en los siguientes tér minos: ¿Es posible y conveniente el desarrollo de intuiciones probabilísticas acertadas en el período de enseñanza 6-16 años? ¿Cómo organizar el correspond iente proceso de enseñanza / aprendizaje?

Fundamentos didácticos

La finalidad de este libro consiste en presentar un «estado de la cuestión» sobre las distintas facetas de este problema didáctico, tanto en sus aspectos psicológicos, conceptuales, históricos, como también, en sus aspectos curriculares, mostrando al profesor modelos concretos que facil iten el

tratamiento de este tema en los niveles de la enseñanza obligatoria (niños con edades entre 6 y 16 años). El libro está estructurado en tres capítulos. El primero de ellos, dedicado a los fundamentos didácticos, comienza con una sección en la que se ex-

1.1.

AZAR Y PROBABILIDAD EN LA ENSEÑANZA OBLIGATORIA

La cuestión básica que hemos formulado en la Introducción consiste en

ponen los principales argumentos que distintos autores han expresado en favor de que los fenómenos de azar y las nociones probabilísticas elementales

determinar si es necesario promover el desarrollo de la intuición probabi-

sean tratadas en la enseñanza básica, incluyendo, en las restantes secciones,

contrario, es preferible esperar a que sea posible una enseñanza de la teoría matemática correspondiente. En esta sección vamos a sintetizar los princi-

los aspectos conceptuales, históricos y psicológicos del tema. El Capítulo 2 del libro está dedicado al desarrollo del currículo teniendo en cuenta el análisis anterior. En consecuencia, se sugiere a los profesores

de EGB, Bachillerato y Formación Profesional una colección de elementos útiles para el diseño de una programación reaJista, basados en experiencias

llevadas a cabo en otros paises. El Capítulo 3 incluye un breve resumen de los contenidos matemáticos

implícitos en las actividades propuestas para el alumno en el Capítulo 2. De esta forma, el profesor puede tener una referencia a mano para recordar es-

tos temas sin necesidad de acudir a otras fuen tes, al tiempo que se facilita la conexión entre los conceptos matemáticos y los fenómenos para los que proporcionan un modelo.

Esperamos que este libro contribuya a que las nociones elementales de probabilidad sean tratadas en la enseñanza obligatoria, pero con una metodología orientada hacia la constitución de intu iciones acertadas, que per-

mita a los alumnos apreciar las posibilidades de aplicación a la vida real de esta rama de la Matemática.

10

lística en los alumnos duran te el período de enseñanza obligatoria, o por el

pales argumentos que autores como Freudenthal, Fischbein, Glayman y Varga, etc., han aportado a favor de la primera alternativa.

Las razones por las que un tema cualquiera debe ser incluido en el currículo de la educación obligatoria pueden sintetizarse en las siguientes:

• Que sea una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos adultos. • Que sea útil para la vida posterior, bien para el trabajo o para el tiempo libre. • Ayude al desarrollo personal. • Ayude a comprender los restantes temas del currículo, tan to de la educación obligatoria como posterior. • Constituya la base para una especialización posterior en el mismo tema u otros relacionados.

Estas cinco razones están ampliamente cubiertas por la Estadística. Ahora bien, la probabilidad proporciona un modo de medir la incertidumbre; en consecuencia, los modelos probabilísticos son e/ fundamento de /a mayor parte de la teoría estadística. Esto implica que es necesario el conocimiento de la teoría de la probabilidad para una comprensión adecuada de 11

los métodos estadísticos, que son hoy útíles indispensables en los campos científico, profesional y social.

Cabe destacar, en segundo lugar, que la probabilidad puede ser aplicada a la realidad tan directamente como la aritmética elementol, no siendo preciso el conocimiento de teorías físicas ni de técnicas matemáticas comp licadas. Por sus muchas aplicaciones, adec uadamente comprendida, la proba-

fuertemente enraizados en la vida del niño. En consecuencia, nos parece conveniente utilizarlo s con fines educativos. Por ejemplo, lanzando una simple

moneda al aire (una ficha, etcétera) incluso alumnos de preescolar pueden

bilidad proporciona una excelente oportunidad para mostrar a los estud ian-

contar el número de veces que resulta cara o cruz, y esta actividad puede ser útil en el aprendizaje de los primeros conceptos numéricos, al mismo tiempo que realizan un experimento aleatorio . Por último, aportamos una nueva razón de tipo social a favor de tratar

tes cómo matematizar, cómo ap licar la matemática para resolver problemas reales. En consecuencia, la enseñanza de las nociones probabilísticas puede ser lleyada a cabo mediante una metodología heurística y activa, a través

de educar la intuición probabilística de todo ciudadano en el período de enseñanza obligatoria. Se trata de hacerles conscientes de la naturaleza probabilística de los distintos juegos de azar (loterías, máquinas «tragaperraS» ,

del planteamiento de problemas concretos y la realización de experimentos

bingos, etc.). Con frecuencia estos juegos constituyen magnificos negocios

reales o simu lados. Otro aspecto señalado por Fischbein es el carácter exclusivamente de-

para sus promotores (en 1987 los españoles gastaron más de dos billones y medio de pesetas en juegos de azar), pero para el ciudadano puede no ser

terminista de los currículos actuales, y la necesidad de mostrar al alumno una imagen más equilibrada de la realidad: «En el mundo contemporáneo, la educación científica no puede reducirse a una interpretación unívoca y

dinero. ¿Es racional la conducta del hombre qu.e expone sus bienes a una casualidad tan poco favorable para él?

una mera actividad lúdica , sino un riesgo desproporcionado de perder su

determinista de los sucesos. Una cultura científica eficiente reclama una edu-

Creemos que las razones expuestas son suficientes para concluir que es

cación en el pensamiento estadístico y probabilístico. La intuición probabilística no se desarrolla espontáneamente, excepto dentro de unos límites muy estrechos. La comprensión, interpretación, evaluación y predicción de fenó-

preciso incorporar en los programas de la enseñ.anza obligatoria un objetivo referente al pensamiento probabilístico y combinatorio. No obstante, se

menos probabilísticos no pueden ser confíados a intuiciones primarias que

han sido desprecíadas, olvidadas, y abandonadas en un estado rudimentario de desarrollo bajo la presión de esquemas operacionales que no pueden articularse con ellos.). Esta tendencia determinista de la enseñanza no es motivada por razones

científicas. A pesar del carácter aproximado de las leyes del azar, desde el momento en que se conoce su grado de aproximación, es posible hacer predicciones, como ocurre con las restantes leyes experimentales, ya que ninguna magnitud se puede medir con una precisión absoluta. Por otro lado, nuestro sistema de educación tiende a dar a los niños la impresión de que para cada pregunta existe una sola respuesta sencilla y cla-

ra, que no existe nada intermedio entre lo verdadero y lo falso. Esto no es demasiado acertado, ya que los problemas que encontrarán a lo largo de su vida tendrán un carácter mucho menos defin ido. Así pues, parece importante que durante los años de escuela se enseñe a los niños el carácter

requiere responder previamente a dos cuestiones claves:

• ¿Es posible, desde el punto de vista psicológico, emprender una instrucción efecti va sobre estas nociones desde la escuela primaria? • ¿Cómo realizar esta instrucción?

En este libro trataremos de aportar respuestas a estas preguntas.

1.2_

FENOMENOS ALEATORIOS

Como hemos indicado en la sección anterior, la principal razón que nos

induce a incluir el estudio matemático de los fenómenos aleatorios es que el azar está presente en nuestro entorno . Analizaremos esta presencia en dos

aspectos: lenguaje y realidad.

especifico de la lógica probabilística, la forma de distinguir grados de incertidumbre y que se le enseñe a comparar sus predicciones y extrapolaciones particulares con 10 que realmente sucede; en una palabra, que se les enseñe a ser dueños de su propia ineertidumbre. A los argumentos que acabamos de exponer, basados en opiniones au-

torizadas de distintos autores, podemos añadir algunos matices. En primer lugar, ¿qué niño de estas edades no practica juegos de azar en casa o con otros compañeros? Creemos que j uegos como el parchis, la oca, etc., están 12

1.2.1.

Azar y lenguaje

En el lenguaje ordinari o, tanto en las conversacio nes como en la prensa o literatura, encontramos con frecuencia refere:ncias al aza r. ¿Cuál es el sig-

nificado atribuido a esta palabra?

13

. El Diccionario del uso del español de M.a Moliner (1983) define la cuahdad de ser aleatorio como aquello que es «Incierto. Se dice de lo que depende de la suerte o el azam, siendo el azar la «(supuest.a causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural ni a una intervención intencionada humana ni divinru), Informa también del origen etimológico de la palabra azar' «Del árabe "~ahr",. flor" p.or la que se pintaba en una de las caras del dadQ)~. Esta acepcIón elIm~ l oglCa ll OS evoca un experimento en gran medida paradigmático de los fenomenos aleatonos: el lanzamiento de un dado, que permite apreciar ~on mtIdez el carácter imprevisible del resultado o acontecimiento en cuestión. . Mu~hos. otros térm in os son usados frecuentemente en el lenguaJe ~rdllla.no, c?n un significado similar, aunq ue pueden presentar mahces dlferencladores según el contexto. Ent.re ellos citamos los siguientes: • • • • • • • • • •

casual accidental eventual fortuito impensado imprevisible inesperado inopinado ocas ional por s uerte

1.2.2.

El alar en la realidad

La presencia de fenómenos imprevisibles en sus resultados o manifestaciones en la realidad que nos rodea es bien patente. El carácter aleatorio de un fenómeno será apreciado por el niño a través de la observación de múltip les aspectos de su entorno, así como por medio de la realización de actividades y juegos, que son fáciles de generar en el aula (lanzamiento de dados, fichas , extracción de bolas en urnas, etc.) . A título de ejemplo y sin la pretensión de hacer un recuento exhaustivo, enumeramos a continuación, fenómenos aleatorios que pueden ser evocados por el profesor en situaciones didácticas, y para los cuales las técnicas estadísticas y el cálculo de probabilidades son, sin duda, pertinentes. En un intento de clasificar la fenomenología del azar vamos a utilizar los cuatro grandes grupos que se describen en Tanur y cols. (1971) para clasificar los campos de ap licación de la estadística: el hombre y su mundo biológico, físico, social y político.

•

Nuestro mundo biológico

Dentro del campo biológico, puede hace rse notar al alu mno que muchas de las características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano, dependen del azar: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, recuento de hematíes, etc. , dependen incluso del momento en que son medidas. Padre

X Y

Ig~alme nte~ existen numerosas expresiones coloquiales, usadas con frecuencia en los Juegos infantiles, con este mismo significado: • o o • • • •

por chiripa por chamba de rebote de rechazo sin querer sin intención sin plan

Esta ~ariedad de e~presiones para referirse a un mismo concepto da idea de ~a vanedad d~ mallces del mismo, así como de la clara apreciación del caracter ImpreVISible de Ciertos fenómenos por parte del individuo, incluso desde edades tempranas.

14

X X X Hembra

X

x

y Varón

Xy

La transmisión de caracteres genéticos obedece las leyes del Cálculo de Probabilidades. Puesto que el hijo recibe de su madre un cromosoma X. y de su padre puede recibir un cromosoma X O y. la mitad de recién nacido s, aprox imadamente seran varo nes.

Figura 1.1

Otras aplicaciones se refieren al campo de la medicina. La posibilidad de contagio o no en una epidemia, la edad en que se sufre una enfermedad infantil, la duración de un cierto síntoma, o la posibilidad de un diagnóstico correcto cuando hay varias posibles enfermedades que presentan síntomas parecidos varían de uno a otro chico. El efecto posible de una vacuna, el riesgo de reacción a la misma, la posibilidad de heredar una cierta enfermedad o defecto, o el modo en que se determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una muestra de sangre son ejemplos de situaciones en que el azar está presente.

15

Cuando se hacen predicciones sobre la población mundial o en una región dada para el año 2000, por ejemplo, o sobre la posibilidad de extinción de las ballenas, se están usando estud ios probabilísticos de modelos de crecimiento de poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la extensión de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de un individuo. En agricultura y zootecnia se utilizan estos modelos para prever el efecto del uso de fertilizantes o pesticidas, evaluar el rendimiento de una cosecha o las consecuencias de la extensión de una epidemia, nube tóxica, etc. Por último, y en el ámbito de la psicofisiología, observamos el efecto del azar sobre el cociente intelectual o en la intensidad de respuesta a un estÍmulo, así como en los tipos diferentes de caracteres o capacidades de los individuos. •

El mundo físico

Además del contexto biológico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un medio físico variable. ¿Qué mejor fuente de ejemplos sobre fenómenos aleatorios que los metereológicos? La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas y mÍnimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias. También lo son las posibles consecuencias de estos fenómenos: el volumen de agua en un pantano, la magnitud de daños de una riada o granizo son ejemplos en los que se presenta la ocasión del estudiu dt: la estadística y probabilidad.

Una fuente de ejemplos de fenómenos aleatorios. próxima a la vida del niño, son los fenómenos meteorológicos.

Otra fuente de variabilidad aleatoria es la medida de magnitudes. Cuando pesamos, medimos tiempo, longitudes. etc., cometemos errores aleatorios. Uno de los problemas que se puede plantear es la estimación del error del instrumento y asignar una estimación lo más precisa posible de la medida. Por último, citamos los problemas de fiab ilidad y control de la calidad de los aparatos y dispositivos que usarnos: coche, televisor, etc.

•

El mundo social

El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio están llenos de situaciones en las que predomina la incertidumbre. El número de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miembros varían de una familia a otra. En la escuela, ¿podemos prever las preguntas del próximo examen? ¿quién ganará el próximo partido?, ... Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del transporte público que puede sufrir retrasos . ¿Cuántos viajeros usarán el autobús? ¿Cuántos clientes habrá en la caja del supermercado el viernes a las 7 de la tarde? En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loterías. Acud imos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos que hacer cola para conseguir las entradas ...

Aunque muchas personas prefieren jugar a un número capicúa estos dos boletos tienen igual probabilidad de ser premiados.

Figura 1.2 Figura 1.3

También en nuestro mundo físico dependemos de ciertas materias primas como el petróleo. carbón y otros minerales; la estimación de estas necesidades, localización de fuentes de energía, el precio, etc., están sujetas a variaciones de un claro carácter aleatorio . 16

Cuando hacemos una póliza de seguros no sabemos si la cobraremos o por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones en bolsa estamos expuestos a la variación en las cotizaciones ... 17

•

El mundo político

berán enfrentarse con frecuencia en su vida adulta, permitiéndoles un conocimiento más profundo de la complejidad del mundo que nos rodea.

El Gobierno, a cualquier nivel, local, nacional o de organismos internacionales, necesita tomar múltiples decisiones que dependen de fenómenos inciertos y sobre los cuales necesita información. Por este motivo la administración precisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hasta los censos de población hay muchas estadísticas cuyos resultados afectan las decisiones de gobierno y todas estas estadísticas se refieren a distintas variables aleatorias relativas a un cierto co lectivo.

íNDICE DE PRECIOS A L CONS UMO

1.3.

CONCEPTOS DE PROBABILIDAD

La teoría matemática de la probabilidad, que expondremos resumidamente en el Capítulo 3 del libro , supone que las probabilidades iniciales de los sucesos elementales se asignan «fuera de la teoría»; nada hay en la misma que sea competente para fijar el valor «propio» de tales probabilidades «básicas). Desde un punto de vista formal-axiomático, la probabilidad es un objeto que satisface unos determinados axiomas, obteniendo los resultados teóricos mediante deducciones lógicas. Se establece conscientemente una separación entre el mundo conceptual y el mundo físico del cual surgen los axiomas y al cual se aplican los resultados de la teoría. Ahora bien, cuando se quiere aplicar el modelo formal a l mundo real, cuando se toma la probabi lidad como útil para la toma de decisiones, nos ve mos obligados a pensar con más precisión sobre la noción misma de probabilidad. Si esto es necesario para los estadísticos aplicados, aún lo es más para el didacta que trata de ed ucar la intuició n probabilística y construir los cimientos del entramado de co nceptos so bre los que se asien tan las teorías de la probabilidad.

1.3.1. El índice de precios al consumo es una magnitud económica suj eta a variaciones aleatorias.

EFMAMJJ ASOND

Figura 1.4

Entre las más importa ntes citaremos: el índice de precios al consumo, las tasas de población activa, emigración-inmigración , estadísticas demográficas, producción de los distintos bienes, comercio, etc., de las que diariamente escuchamos sus val ores en las noticias.

1.2.3.

Conclusión

Los ejemplos que hemos citado son tan sólo una muestra de los muchos posibles en cada una de las categorías. Todos pueden relacionarse con distintas áreas: ciencias naturales, sociedad, física, etc. Por ello, pueden ser propuestos a los ninos ya que forman parte de su vida cotidiana y les mostrarán la aplicabilidad de esta rama de las Matemáticas a situaciones a las que de18

Usos informales de la probabilidad

Como cualquier otro vocablo importante, la probabilidad tiene muchos matices de significación y ad mite varied ad de usos. Un estudio de los términos utilizados en el lenguaje ordinario, a través de los «diccionarios de usm), revela que el azar y la incertidumbre se aprecian como cualidades graduables. Entre lo cierto o lo seguro (lo que ocurrirá necesariamente o lo q ue es verdadero sin ninguna duda) y lo imposible (lo que no puede ocurrir nunca) está lo probable, término que define M.a Moliner (1983): «se dice de lo que, en opin ión del que habla, es más fácil que ocurra que que deje de ocurrir». Para expresar estas tres circunstancias (imposible, probable, seguro) existen una gran variedad de términos. ASÍ, por ejemplo, un suceso que es probable «, etc.

Describiremos estas tres fases por medio de un ejemplo desarrollado por Bisson (1983). En una situación de acción deberán plantearse al alumno problemas c.uya solución conduzca al concepto que se pretende enseñar. El problema deberá configurarse de tal modo que el niño construya la solución eligiéndola e.ntre distintas alternativas y como consecuencia del intercambio de información generado. Para el caso de las nociones re lativas al azar y la probabilidad estos contextos supondrán la práctica de experiencias donde un patrón determinista no sea conveniente. Se tratará de poner a los estudiantes en estado de construir un modelo probabilístico implícito, por medio de previsiones o decisiones (por ejemplo, bajo la forma de apuestas). Bisson propone el ejemplo siguiente. El profesor coloca en una caja, delante de los niños, tres discos del mismo diámetro: el primero tiene las dos caras rojas, el segundo las dos azules y el tercero una roja y otra azu L Se van sacando, a l azar, sucesiva mente discos de la caja, mostrando a los niños el color de una de las caras y pidiéndo les que adivinen el de la otra. En cada paso el disco utilizado se devue lve a la caja. Tras haber repetido varias veces la prueba, el alumno debe completar un cuadro como el siguiente:

-t__~--+_~--_+--~--~--~-4--~~

r-C _o_l_or_d_c_l_a_c_ar_a_m_o_s_tr_a_da______

==.J

Color previsto para la cara oculta

Etapa 4: Representación Uso de distintos sistemas de representación para los resultados posibles y sus probabilidades respectivas: tablas, diagramas de sectores, diagramas en árbol, etc. Etapa s: Propiedades de la representación Al estudiar las distintas representaciones es posi ble descubrir las propiedades elementales de la probabilidad: regla de Laplace, probabilidad de l suceso cont rario, etc. Etapa 6: Formalización del sistema Esta etapa debe ser abordada só lo después de superadas las etapas anteriores, y en niveles de enseñanza posteriores, llegando a una presentación formal del cálcu lo de probabilidades. 2.1.5.

Teoría de las situaciones didácticas

Según G. Brousseau (1986), el proceso de enseñanza( aprendizaje de una noción matemática debe realizarse a través de l planteamiento de tres tipos de situaciones ~idácticas que denomina de acción, formulación y validación. 56

Figura 2.1

Mientras se va realizando la experiencia, uno de los alumnos, que sirve de auxiliar al profesor, anota el color de la cara oculta en cada extracción sin enseñárselo al resto de los compañeros. Al finalizar las diez extracciones comparan sus previsiones con los resu ltados reales. El objetivo de esta situación es q ue el alumno, basándose en razonamientos probabilísticos, determine la estrategia que a su juicio sea la óptima para lograr el mayo r número de aciertos. Se considera también preciso que el alumno exprese el modelo intuido en la fase de acción intercambiando información con otros compañeros. Se requiere diseña r en el aula situaciones de formulación en las que unos alumnos hacen el papel de emisores y otros de receptores. En un intercambio de mensajes, orales o escritos, se establecerá un diá logo entre la situación, el sujeto y su interlocutor; el sujeto emisor prueba y controla de este mod.o su vocabulario, dándole sentido. La introducción de un vocabulario preciso debe permitir a los niños formular las comprobaciones que hacen a propósito de estas observaciones, por ejemplo, identificar los sucesos, designarlos y hablar de su comparación o de su medida. 57

En el ejemplo que hemos descrito, una vez que el alumno ha adoptado su estrategla, es preClSO que sea capaz de formularla de tal manera que sea comprendida por sus compañeros . Para ello se propone dividir la clase en parejas, preferiblemente de alumnos que no estén físicamente juntos. Uno de ellos hace de «emisor» y por medio de un mensaje (por ejemplo, escrito) mtenta explicar al compañero «recepton> su estrategia, que puede ser:

interna; o bien, lo que suele ser la situación didáctica más frecuente, toma sus convenciones de una cultura (institucionalización externa).

La estrategia E es la mejor en el caso propuesto, puesto que produce un número máximo de aciertos. Una vez aceptada por los niños, si no lo han descubierto por sus propios medios, puede dárseles un razonamiento simi-

lar al siguiente: Si tenemos en cuanta los discos disponibles y las posibles caras mostradas, obtenemos el diagrama en árbol:

• tomar alternativamente azul y rojo, DISCOS DISPONIBLES

• lomar siempre rojo; • lon: ar el mismo color de la cara mostrada por el profesor; etectera.

CARA MOSTRADA

CARA OCULTA

RR~R

R

acierto

R

acierto

Una vez efectuada la formulación, se repite el juego y los dos miembros del equipo juegan utilizando la estrategia propuesta por el alumno «emison>. Si ésta se ha expresado correctamente, los res ultados previstos por los dos niños deben ser iguales. En caso de no ser así, discuten el contenido y

RA~:

A

fall o

R

fallo

la interpretación del mensaje hasta ponerse de acuerdo. El tercer tipo de situaciones recomendadas son las de validación o prueba, en las que se pretende que el estudiante dé un paso más avanzado en el

AA~A

A

A

acierto

A

acierto

proceso de matematización; se trata de probar la validez de su modelo ante un interlocutor oponente. El alumno deberá demostrar de este modo la validez de su solución, aportando pruebas semánticas y sintácticas. En el juego propuesto por Bisson, una vez finalizada la fase de formulación , se han propuesto por parte de los alumnos una serie de estrategias que podrían ser las siguientes ti otras parecidas: A: tomar alternativamente az ul y roja;

B: tomar siempre azul/roja; C: dar las respuestas al azar;

O: dos azu les / una roja (o similar); E: elegir el co lor de la cara mostrada;

F: elegir el color contrario al de la cara mostrada. Se divide la clase en los equipos A, B, ... , F, formados por los niños partidarios de cada una de las estrategias. Se organiza entonces una fase de

R

Figura 2.2

Vemos que en las 2/ 3 partes de las posibles extracciones la cara oculta tiene el mismo color que la mostrada, por lo que la estrategia E (elegir el color de la cara mostrada) da la máxima probabilidad de acertar.

2.2. ESTRUCTURA DE LAS UNIDADES DlDACTICAS Los módulos o unidades que proponemos para los distintos ciclos (Inicial, Medio y Superior de EGB y Bachillerato) deben considerarse como ejemplos meramente indicativos. Es posibl e, incluso deseable, que só lo sir-

van de orientación para que el profesor desarrolle con detalle y experimente otros ejemplos, dependiendo del tiempo que le permitan los apretados programas.

formulado, validado y aceptado por todos, éste es nombrado y declarado antes de ser poseído por los alumnos participantes. El grupo puede fijar li-

En la secuencia de las unidades hay un progresivo incremento del nivel de complejidad de los conceptos introducidos, que van desde la mera apreciación del carácter imprevisible del azar, la asignación de probabilidades a sucesos simples, probabilidades geométricas, juegos equitativos, probabilidad condicional, combinatoria, hasta concluir con el teorema de Bayes. Cada unidad propuesta contiene dos partes diferenciadas, que hemos titulado «(Situaciones didácticas)) y «Orientaciones metodológicas»), respecti-

bremente sus convenciones , hablándose en este caso de institucionalización

vamente. Las Situaciones didácticas son documentos ori.e ntados al alumno

prueba en la que cada equipo defiende su propuesta frente a las restantes, resultando vencedora aquella o aquellas que producen mejores resultados. Brousseau distingue, además , una cuarta fase, que denomina de institucionalización, en la cual, una vez que el nuevo conocimiento es construido,

58

59

que, en un estilo comunicativo directo, le presentan las situaciones problemáticas (generalmente apoyadas en la experimentación), una colección de cuestiones relativas a las mismas y la terminología y notación básicas. Estos documentos se conciben como material para el alumno, que pueden servir de apoyo a la acción del profesor en el aula; en ningún caso se consideran como autosuficientes para el desarro llo de la instrucción . El Cuadro 2.1 enumera la colecci6n de contextos prácticos propuestos para el tratamiento de la noción de azar, probabilidad y conceptos asociados,junto con indicación de las unidades donde se tratan. Alg unos de estos ejemplos se desarrollan con detalle, otros sólo son sugeridos.

CU ADRO 2.1 (cominuación)

Unidades

SITUACIONES DlDACTICAS 1 Paseos con componente aleatoria (parada, dirección, velocidad)

2

3

4

5

6

7 8 X

X

Defectos en articulas (o en funcionamiento)

X

X

X

CUADRO 2.1

Unidades 1 2

)

Extracción de bolas o fichas

X

X

Experimen tos con dados

X

X

Experimen tos con monedas

X

X

4

5

ordenadore~

X

X

X

X

X

Números aleatorios

X

Aplicaciones en geometría

X

X

X

X

Pruebas méd icas Construcciones

X

X

X X

X X

Elección de objetos X

X X

La segunda parte de cada módu lo o unidad va dirigida al profesor y constituye un complemento de las «Situaciones didácticas)) . Contiene la siguiente informació n:

X X X X

• • • • •

X X X X

X

Deportes

X

resumen y fin alidad de la situación didáctica; alumnos a quienes va orientada la unidad; material y planificación ; ampliación de las experiencias y comentarios sobre las actividades; contenidos implícitos en las situaciones.

X

Fenóme nos atmosféricos

X

Prensa y azar

X

Esperanza de vida

X

Experiencias científicas

X

Accidentes

X

Resu lt ados de elecciones

X

2.3. USO DE LAS UNIDADES DIDACTlCAS EN LOS DISTINTOS NIVELES DE ENSEÑANZA X

X

X

Elección de un medio dc transporte

X

Bifurcación por canales

X

60

X

X

Muestreo en la clase

Nacimiento y herencia (se xo, ... )

X

X

X

Tiro al blanco

Loterías, quinie las, etc.

8 9 10 11 12 13 14 X

X X

Exp erimentos con chinchetas

Experlenclus con

7

X

Experimentos con rulet as

Extracció n de tarjetas o cartas

6

X

X X

Pruebas y exámenes

SITUACIONES DlDACTICAS

X

X

X X

Circuitos eléctricos Reparto y colocación de objetos

9 10 11 12 13 14

X

X

Las catorce unidades didácticas que proponemos en este capítul o (Secciones 2.5 .1 a 2.5.14) están secuenciadas en orden creciente de dificultad, de modo que sería deseable su utilización progresiva y coord inad a por los profesores de los distintos ciclos . Sin embargo, es posible que un profesor particular, de cualquier nivel, desee experimentar en su clase algunas actividades sobre probabilidad. Para faci litar esta labor hemos considerado úti l incluir el Cuad ro 2.2, en la que se indican los niveles de enseñanza para los cuales se propone cada módulo. 61

CUADRO 2.2

Alumn os de edades en tre: (años)

6-7

8-9

1. Fenómenos a leato rios

X

O

2. Juegos co mbin atorios

X

O

Unidades didácticas

10-12

13-14

tos y téc ni cas cuya relación completa. co n indicación de las unidad es ,dond e se tratan , se incluye en el C uadro 2.3. Rem tttm os al lector al Capltulo 3 para el res umen de la teoría matemática co rrespondiente a estos co nceptos .

15-1 6 CUADRO 2.3

3. Frecuencias relativas

X

4. El lenguaje de l azar

X

C ontenidos impllcitos detallados

O O

1)

5. Com paración de probabilidad es

X

O

O

1. 1.

6. Asignación de probabilidades

X

O

O

1.2.

J. Probabilidades geométricas

X

O

8. Juegos equitativos

X

O

9. Muhiplicació n de probabi lidades

X

10. Ensayos y BcrnouiUi

X

11. Variaciones

X

12. Co mbinaciones

X

IJ. Números combinatorios

X

14. Probabilidad total y de Bayes

X

2.4.

Ex perimento y suceso aleato rio; carácter imp revisible del azar. Frecuencia absoluta y relativa de un suceso aleatorio . Represe ntación mediante diagramas de barras .

•

La frecuencia relat iva varía entre O y 1. Estabi lidad de las frecuencias relativas. Noción frecuencial de probabilidad. Recuento de resultados elementales posibl es en experime ntos sencillos. Noción y representación co nju ntista del espacio muestra!.

1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

CONTENIDOS IMPLICITOS EN LAS SITUACIONES DE APRENDIZAJE

(Todas) ( 1,3,5 Y sig.) (1 y 8) (3 Y sig.) (6 Y sig.) (4 y sig. )

( 1, 3,6 Y siguientes) (3. 6 Y siguientes)

Comparación y asignación de probabilidades

El le nguaje del azar: • fenomeno logía del aza r. • suceso seguro, im posib le, probable. improbable. la escala ordinal de probabilidad. • la proba bi lid ad como grad o de creee ncia: asignación de proba bil id ades subjetivas. 2.2. Ax iom as 1 y 2 d e la probabilidad . • co mparación de frec uencias relat iva. • comparación de probabilidades. 2.J. S ucesos si mples eq uiprobables . • post ulado de indiferencia. • asign ació n d e pro babi lidades a los sucesos elemen tales equip robables. 2.4. Sucesos simples no equiprobables . • frec uenc ias relativas: asignación de probabilidades empíricas. • sesgo en experimentació n. • proba bilidades geomét ricas.

2.1.

Las un idades se han organizado en torno a un canten.ido dominante que n os ha guiad o en su desa rro llo y ha servido pa ra atri buirle un títul o. Sin emb argo, en cada un idad a parecen, de un modo implícito, di stintos co nce p-

62

Nociones de azar y probabilidad

2)

Con la letra X se indican las unidad es específicas pa ra cada edad y con la O aq uellas qu e además se reco miend a n e n el caso de que el alumno CO~ mience el aprendizaje de estas nociones en ese mo mento. En este segund o caso, para no prolongar excesivamente el estudio del tema, se puede n S U~ primir las acti vi dad es de ampliación sugeridas. El tiempo necesario para eI desarrollo de las unidad es propuestas variará según el núme ro de actividades realizadas entre las incluidas como ampliació n en las orientaciones metodológicas. Es timamos que las un idades de los ciclos inicial y medio de EGB pueden requerir 2 o 3 sesiones de clase mie ntras que las de los niveles de secundari a necesitan entre 3 y 5 sesiones:

U n idad es

•

3)

J.l. J.2

3.3 3.4.

(Tod as) (4 Y sig.) (4 Y sig. ) (4 y 8) (4 y sig.) (J , 5, 7. 8, 9, 10, IJ Y 14) (4 y sig.) (5 y sig.) (6 y sig.)

(6 y sig.) (5,6,7, 9, 10. 12 Y 14) (6.7 .9, 10, 14) (5 y 6) (5 y 7)

Cálculo de probabilidades elementales Sucesos co mpuestos; frecuencias rel ativas en sucesos compuestos. Unión de sucesos: re present ación conj untisla. Intersección de sucesos; sucesos incom patibles. Axio ma 3 de la probabilidad .

(5, 6. 8 Y sig.) (7,8, 10 Y 12) (7,9. 10 , 12 Y 14) (6 y sig. )

63

2.5,

CUADRO 2.3 (continuación)

Contenidos implícitos detallados 3.5. 3.6. 3.7.

Muestreo aleatorio de un elemento de una pobla~ ción finita conocida. Reg la de Laplace. Ju ego equitativo: su conexión con la cC] uiprobabi~ lidad.

Unidades (3. 5. 6, 8 Y sig.) (6, 8 Y sig.) (8)

3.8. Suceso contrario; representación; probabilidad del suceso co ntrario. 3.9. Probabilidad de la unión de sucesos compat ibles. 3.10. Experimentos compuestos. Espacio muestral producto; representación: tablas de doble entrada y diagramas en árbol. • cálculo med iante la regla de Laplnce.

4) 4.1.

4.2.

S) 5. 1. 5.2.

5.3. 5.4. 5.5.

5.6. 5.7.

6)

(7,8, 9, 10, 12. 14) (lO. 12)

(2,8,9. lO, 12 Y sig.) (8, 13)

Combinatoria M uestreo con reem plazamiento. • variaciones con repetición: formación, represenlación con diagramas en árbol, nÍlmero de variaciones. Muestreo sin reemplazamiento. Muestras ordenad1" ... ,A"Esi" y Pes una medida de probabilidad sobre (E, si). D iremos q ue los experimentos considerados son independientes si y sólo si para todo suceso AJ x xA,1' A¡ Ed¡ se verifica:

3.4. VARIAB LE ALEATORIA. ESPERANZA MATE M ATICA Con frecuencia, no estamos directamente interesados en los resultados de un experimento, sino en una función de los mismos, que recibe el nombre de variable aleatoria. EJEMPLO 4_ Consideramos el experimento de lanzar dos dados y anotar los resultados obtenidos. El espacio muestral será:

o o.

(2)

•

P(A, x ... xA,,)=P,(A,) ... P,,( A,,)

E= {( I, I), (1 ,2), .. , ( 1,6), ... , (6,6) )

Ensayos repetidos en las mismas condiciones

Podemos definir distintas variables aleatorias asociadas a este experimento. Una podría ser la correspondencia que asocia a cada elemento de E, la suma de puntos, esto es:

El ejemplo más importante de experimento compues to por ensayos independientes es la repetición sucesiva del mismo experimento. El espacio probabilístico asociado es el espacio producto (E', si", P), siendo E' el producto cartesiano n veces de E, y si" el álgeb ra engendrada por productos cartesianos de n elementos de A. En dicho caso, se puede definir una medida de probabilidad sobre (E', sin) , mediante la igualdad (2), en la que todas lascr-álgebras d , coinciden con si.

r--

EJERCICIOS 21 . Cada uno de los motores de un av ión puede averiarse d urante un vuelo, con probabilidad 0,01. El avión puede continu ar su vue lo si funcionan al menos la mitad de los motores. ¿Qué es más seguro, un avión de 2 o de 4 motores?

22. Problema del caballero de Meré. Sup oniendo que se juega varias veces seguidas con dos dados, ¿cuántas veces será preciso tirar, por lo menos, para que se pueda apostar con ventaja que, después de estas tiradas, se sacará doble seis?

~:

158

~

(a, b) = a+b

El conjunto imagen de esta co rrespondencia será { 2, 3, .. ., 12 } .

Bajo el punto de vista matemático, una variable aleatoria ~ se concibe como una función un iforme del espacio muestral E en un conjunto numérico, que, para más generalidad , podernos suponer que es R. Se exige, además, que la imagen inversa de todo intervalo ~ - le!) sea un elemento del álgebra d, con obj eto de poder calcular la probabilidad de que la variable tome valo res en J. Por tanto, la imagen inversa de todo conjunto de Borel, que puede ser generado por unión o intersección de intervalos, pertenece a si. Esta condició n hace que, definida una medida de probabilidad P sobre (E, si ), la variable aleatoria ~ determine una medida de probabilid ad Q sobre (R, !JI ), siendo fIiJ la O'-álgebra constituid a por los conjuntos de Borel de R, en la forma siguiente:

23. Se tienen k urnas, cada una de las cuales contiene n bolas numeradas del 1 al n. Se saca una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor número obtenido sea el m? 24. En una ciudad de n+ I habitantes, una persona cuenta una historia a otra que a su vez la repite a una tercera y así sucesivamente. Si, en cada paso, la persona a quien se cuenta el «TUrnan) es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que, después de ser contada r veces, no sea contada de nuevo al que la inventó?

E ----> R,

Q{B)= P( ~ - '(B»), para todo B E !JI

•

Variable a leat oria discreta

En el caso de que la variable ~ tome, como máximo, un conjunto numerable de valores, como en el ejemplo 4, recibe el nombre de discr eta.

159

Sea (Xi)iEI el conjunto de valores que toma una variable discreta ~ , siendo f un conjunto de índices finito o numerable. Consideremos la sucesión (P,.)iEI' siendo Pro

,~ 0,9

n

0,8

es decir, P i es la probabilidad de que ~ tome el valor xi" La sucesión (Xi' P)iEI cumple las propiedades: P i ;¡;' 0, para todo i

L Pie 1, i E I

y determina completamente a la variable ~ , recibiendo el nombre de distribución de probabilidad de la variable.

I

I

I

0,6

r--"I

I

0,5

, I,

0,4

,~

0,3

I

0,2

r--'1

Xi

3 4 5 6 7 6 9

~ - '(X,)

P i= P(~ - ' (X, ))

12,21 13,31 14, 23, 32, 41 15, 24, 42, 51 25 34, 43, 52, 35, 53 45,54

l/lO l / lO 2/10 2/10 2/10 1/10 1/ 10

'

I I

I

,

,

H O

Una urna contiene 5 fichas numeradas del 1 al 5. Sacamos sucesivamente 2 fichas de la urna, sin reemp lazamiento. Calculemos la distribución de probabilidad de la variable ~:::: «suma de los números en las fichas». Para ello, considerarnos el espacio muestral asociado al experimento y clasificarnos sus puntos en subconjuntos distintos, de modo qu'e todos los elementos de cada subconjunto tengan la misma imagen por ~ .

,,I

0,7

0,1 EJEMPLO 5.

~,

2

4

5

6

7

8

9

Figura 3.3

La función de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria, y tiene las propiedades siguientes: • F es una función definida en (_00, +00), monótona no decreciente . lim, _~ F(x)=O

limx_,~F(x)=l;

• F es continua a la derecha de cada punto.

Recíprocamente, toda función que verifica estas propiedades define una variable aleatoria de la que es su función de distribución. Entre los distintos tipos de variables aleatorias destacamos dos por su importancia:

a) En el caso de que la variable sea discreta, se verifica: F(x)= L Pi X¡ < X

3,4,1.

Función de distribución

A toda variable aleatoria podemos asignarle una función de va riable real llamada fu nción de distrib ución, definida por la igualdad: '

b) Si F es una función absolutamente continua, es derivable en todo el eje real, y su derivadaf se conoce como función de densidad. Las variables aleatorias que tienen esta propiedad se llaman continuas, y su función de distribución verifica, para todo x la igualdad:

F(x)=P( ~,;; x)

La Figura 3.3 representa gráficamente F(x) para el ejemplo 5.

160

F(x) = l:f(X)dX

161

En este caso, para dos números reales cualesquiera a y b, se verifica: P(a
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