Aufgabensammlung der höheren Mathematik [11. Aufl.] 978-3-528-84060-0;978-3-663-06809-9

Table of contents :
Front Matter ....Pages 1-10
Analytische Geometrie der Ebene (W. P. Minorski)....Pages 11-49
Vektoralgebra (W. P. Minorski)....Pages 50-60
Analytische Geometrie des Raumes (W. P. Minorski)....Pages 61-75
Höhere Algebra (W. P. Minorski)....Pages 76-86
Einführung in die Analysis (W. P. Minorski)....Pages 87-103
Ableitung und Differential (W. P. Minorski)....Pages 104-119
Anwendungen der Ableitung einer Funktion (W. P. Minorski)....Pages 120-132
Das unbestimmte Integral (W. P. Minorski)....Pages 133-147
Das bestimmte Integral (W. P. Minorski)....Pages 148-162
Die Krümmung ebener und räumlicher Kurven (W. P. Minorski)....Pages 163-168
Partielle Ableitungen, vollständige Differentiale und deren Anwendung (W. P. Minorski)....Pages 169-186
Differentialgleichungen (W. P. Minorski)....Pages 187-203
Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale (W. P. Minorski)....Pages 204-215
Reihen (W. P. Minorski)....Pages 216-229
Back Matter ....Pages 230-316

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W. P. Minorski Aufgabensammlung der höheren Mathematik

VIawegs Fachbücher der Technik

W. P. Minorski

Aufgabensammlung der höheren Mathematik

11. Auflage

Mit 92 Bildern und 2570 Aufgaben mit Lösungen

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

Aus dem Russischen

übersct~t

von EIHrhard Lacher, Schwancnbcra

und Gerhard Liebold, Karl Marx-Stadt Bearbcituna der deutschsprac:hiaen Ausaabc von Heinz Birnbaum, Leipzia Titel der Oriainalausaabc: C6opHHK 3aAa• no awcweA waTewaTHKe 7. Auflaae Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur, Moakau 1962

ISBN 978-3-528-84060-0 ISBN 978-3-663-06809-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-06809-9 Softcoverreprint ofthe hardcover llst edition 1988

1988 © Springer Fachmedien Wiesbaden 1988 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden 1988 Satz: Offizin Andersen Nexö, Graphischer Großbetrieb Leipzig- III/18/38

Vorwort zur deutschsprachigen Ausgabe

Gute Studienergebnisse setzen in der Mathematik nicht nur Kenntnisse, sondern auch Fertigkeiten voraus. Dies zu erreichen, bedarf es einer umfangreichen und unablässigen Übung im Lösen mathematischer Aufgaben. Das vorliegende Buch von Minorski setzt mit seiner großen Anzahl von Übungsaufgaben eine alte Tradition fort und ergänzt die vorhandenen Lehrbücher, in denen- entsprechend ihrem Charakter- nicht genügend Raum für ein reichhaltiges Aufgabenmaterial zur Verfügung steht. Die in der deutschen Auflage vorgenommenen Überarbeitungen verfolgten insbesondere das Ziel, in der Darstellungsform und Symbolik mathematischer Sachverhalte zu einer Übereinstimmung mit hiesigen Lehrbüchern zu gelangen und die Übersichtlichkeit durch straffere und günstigere Anordnung der Aufgaben und deren Lösungen zu erhöhen. Die den einzelnen Aufgabenkomplexen vorangestellten, leitfadenähnlich dargestellten Sätze und Formeln wurden drucktechnisch so gestaltet, daß sie sich gut von den Aufgaben abheben. In einigen Punkten erfolgten aus Gründen der bei uns üblichen Erklärungen und Definitionen Überarbeitungen, die sich besonders auf den Funktionsbegriff, Grenzwertprozesse und den Vektor bezogen. Die Schreibweise verschiedener Relationen und Größensymbole wurde so verändert, daß sie weitgehend mit unserer Literatur übereinstimmen. Die Aufgaben wurden nachgerechnet und deren Lösungen, teils mit Lösungsweg, am Ende der Sammlung übersichtlich aufgeführt. Weitere Hinweise und Wünsche, die einer Verbesserung der Aufgabensammlung dienen, nehmen wir dankbar entgegen. Verlag und Bearbeiter

Aus dem Vorwort zur dritten Auflage

In der vorliegenden Aufgabensammlung wurden Aufgaben und Beispiele aus der analytischen Geometrie und der mathematischen Analysis ausgewählt und methodisch erläutert. Sie umfassen den gesamten Lehrstoff der höheren Mathematik für Höhere Technische Lehranstalten. Am Beginn eines jeden Paragraphen sind die Formeln, Definitionen und andere kurze Erläuterungen zur Theorie angeführt, die für die Lösung der folgenden A'lfgaben unbedingt erforderlich sind. Am Ende eines jeden Paragraphen = 2. Stellen Sie ihre Gleichung auf und bestimmen Sie die Abstände des Punktes P von den Brennpunkten.

191. Stellen Sie die Gleichung der Hyperbel

auf, deren Scheitel in den Brennpunkten und deren Brennpunkte in den Scheix2

teln der Ellipse 25

y2

+9 =

1 liegen.

192. Stellen Sie die Gleichung der Hyperbel

auf, die die Exzentrizität e

=

J2

hat,

29

1.10. Hyperbel

durch den Punkt (2a; a .J3) geht und symmetrisch zu den Koordinatenachsen liegt. 193. Konstruieren Sie die Hyperbel y2 = a2 + x2

und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Brennpunkte sowie den Winkel zwischen ihren Asymptoten. 194. Stellen Sie die Gleichungen der Tangenten vom Punkt A(O; -2) an die Hyperbel x 2 - 4y 2 = 16 auf.

x-Achse verläuft, werden die Strecken BP 1 und BP2 , die beide gleich AB sein sollen, von B aus nach links bzw. nach rechts abgetragen. Bestimmen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P 1 und P 2 • 202. Gegeben sind die Geraden x = ± b und x = ±a (b < a). Ein beliebiger Strahl OA (Bild 3) schneidet die Gerade x = b

195. Gesucht sind der Abstand des Brennx2 y2 punkts der Hyperbel a 2 - b 2 = 1 von

den Asymptoten und der Winkel zwischen den Asymptoten. 196. Gesucht ist die Seite eines Quadrats, dessen Eckpunkte auf der Hyperbel x2

y2

-a2 - -b2 =

1 liegen. Ermitteln Sie, für

welche Hyperbeln man ein solches Quadrat finden kann. 197. Gesucht ist die Exzentrizität einer Hyperbel, deren Asymptote mit der reellen Achse einen Winkel von a) 60°, b) a bildet. 198. Bestimmen Sie den Wertevorrat der Funktion y == 9 + x 2 • Zeichnen Sie die Kurve.

.J

199. Bestimmen Sie die Bahnkurve des Punktes P(x; y), der bei seiner Bewegung stets halb so weit von der Geraden x = 1 entfernt bleibt wie vom Punkt F(4; 0). 200. Gegeben sind die Punkte A(- 1 ; 0) und B(2; 0). Der Punkt P bewegt sich so, daß im Dreieck APB der Winkel ß = 1e xy = -4 undformen SiedieGleichung durch eine Achsendrehung um cp = -45° um. 264. Verwandeln Sie folgende Kurvengleichungen durch Verschiebung des KoordinatenursprungsindieForm xy= k: a) xy- 2x = 6; b) xy- 2x- y + 8 = 0;

37

c) xy - x + 2y = 6; d) xy + 2x = 3y. Hinweis: Die Gleichung xy+Ax+By+C=O läßt sich in der Form (x + B) (y + A) = AB-C schreiben.

265. Zeichnen Sie .die Parabeln: a) y = (x- 2) 2 ; b) y = (x- 2) 2 + 3; c)y= (x+ 2) 2 ; d)y= (x+ 2) 2 -3; 266. Zeichnen Sie die Parabeln: a) y = x 2 - 4x + 5; b) y = x 2 + 2x + 3; c) y = - x 2 + 2x- 2. (Auf den rechten Seiten der Gleichungen sind vollständige Quadrate zu bilden und abzutrennen.) 267. Zeichnen Sie die Parabeln: a) y = 4x - x 2 und b) 2y = 3 + 2x - x 2 und ermitteln Sie deren Schnittpunkte mit der x-Achse. 268. Der Wasserstrahl eines Springbrunnens erreicht die größte Höhe von 4 m in einer Entfernung von 0,5 m von der Vertikalen, die durch den Punkt 0, den Ausgangspunkt des Strahles, geht. Gesucht ist die Höhe des Strahls über der Horizontalen, der x-Achse, in einer Entfernung von 0,75 m vom Punkt 0. 269. Stellen Sie die Gleichung der Parabel auf, die symmetrisch zur y-Achse verläuft und auf ihr einen Abschnitt b erzeugt, auf der x-Achse aber die Abschnitte a und - a. Hinweis: In die Parabelgleichung der Form y = Ax2 + Bx + C sind die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte (-a; 0), (a; 0) und (0; b) einzusetzen. Dann lassen sich A, Bund C bestimmen. 270. Die Parabel y = ax 2 + bx + c geht durch die Punkte 0(0; 0), A( - I ; - 3) und B(-2; -4). Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, der den von der Parabel auf der x-Achse erzeugten Abschnitt zum Durchmesser hat.

38

J. Analytische Geometrie der Ebene

271. Um welchen Winkel muß man das Koordinatensystem drehen, um in den folgenden Gleichungen das Glied, das xy enthält, verschwinden zu lassen? a) x 2 - xy + y 2 - 3 = 0; b) 5x 2 - 4xy + 2y 2 - 24 = 0. Zeichnen Sie die alten und neuen Koordinatensysteme und die Kurven.

schiebung des Koordinatenursprungs die Gleichungen der Kurven: a) 2x 2 + 5y 2 - 12x + 10y + 13 = 0; b) x 2 - y 2 + 6x + 4y- 4 = 0;

272. Bestimmen Sie die Bahnkurve der Bewegung eines Geschosses, das mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 und unter einem Winkel rp zur Horizontalen abgefeuert wird. Bestimmen Sie auch die Flugweite dieses Geschosses und den höchsten Punkt der Bahnkurve. (Der Luftwiderstand bleibt unberücksichtigt.)

277. Vereinfachen Sie durch Drehung des Koordinatensystems um 45° die Gleichung 3x 2 - 2xy + 3y 2 - 8 = 0. Bestimmen Sie die Koordinaten der Brennpunkte im alten Koordinatensystem.

273. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x; y) auf, für die~ das Verhältnis der Entfernungen vom Punkt F(4; O) zu den Abständen von der Geraden x = - 2 stets gleich 2 ist. 274. Zeigen Sie, daß durch Verschiebung des Koordinatenursprungs in den linken Scheitelpunkt der Ellipse

x2 02

yz

+ b2

= 1

oder in den rechten Scheitelpunkt der x2

Hyperbel a2

-

y2 bz = 1 beideGleichun-

gen in die gleiche Form y 2 = 2px

+ qx 2

b2

gebracht werden, wobei p = - und q=s 2 -1ist. a 275. Bestimmen Sie nach den Ergebnissen der Aufgabe 274 die Exzentrizität und die Art folgender Kurven: 1 1 a) y2

=

x -

4 x2;

b) y2

= x + 4 x2;

c)y 2 =x.

Zeichnen Sie die Kurven und ermitteln Sie flir die beiden ersten deren Schnittpunkte mit der x-Achse und die Parameter a und b.

Wiederholungsaufgaben 276. Vereinfachen Sie durch Abtrennen vollständiger Quadrate und durch Ver~

c)y 2

d) x 2

+ 4y = 2x; - 10x = 4y -

13.

Zeichnen Sie alte und neue Koordinatensysteme und die Kurven.

278. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, dessen Durchmesser der Abschnitt ist, den die Parabel y = 3 - 2x - x 2 auf der x-Achse erzeugt. Zeichnen Sie beide Kurven. 279. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, dessen Durchmesser der Abschnitt der Geraden x + y = 6 ist, der durch die Hyperbel xy = 8 erzeugt wird. Zeichnen Sie alle drei Kurven. 280. A sei der Scheitelpunkt der Parabel y = x 2 + 6x + 5, B der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse. Stellen Sie die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke AB auf. 281. Stellen Sie die Gleichung der Parabel auf, die symmetrisch zur x-Achse liegt, auf ihr den Abschnitt - 4, auf der y-Achse hingegen die Abschnitte 4 und -4 erzeugt. Hinweis: Die Gleichung der Parabel muß die Form x = ay 2 + c haben (warum?).

282. Zeichnen Sie mit Hilfe von deren Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen die Parabeln a)3y=9-x 2 ; b)y 2 =9-3x; c) y 2 = 4 + x; d) x 2 = 4 + 2y. 283. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x; y) auf, für die das Verhältnis der Abstände vom Punkt F(4; 0) zu den Abständen von der Geraden x = 10 stet& gleich 1 : 2 ist.

39

1.14. Vermischte Aufgaben zu Kurven 2.0rdnung

Vermischte Aufgaben zu Kllrven 2. Ordnung

1.14.

284. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, dessen Durchmesser diejenige X

y

Strecke auf der Geraden~- + b

=

1

ist, die von den Koordinatenachsen abgeschnitten wird. 285. Gesucht ist der Abstand des Mittelpunkts des Kreises x 2 + y 2 + ay = 0 von der Geraden y = 2 (a - x). 286. Durch den Mittelpunkt des Kreises x 2 + y 2 = 2ax wird eine Parallele zur Geraden x + 2y = 0 gezeichnet, die den Kreis in den Punkten A und B schneidet. Geben Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AOB an. 287. Zeigen Sie, daß der geometrische Ort der Punkte P, die von einem gegebenen Punkte A m-mal so weit entfernt sind wie von einem anderen gegebenen Punkt B, eine Gerade ist, wenn m = 1 ist, dagegen ein Kreis, falls m =I= 1 ist. 288. Die Strecke AB wird in die Teile A 0 = a und OB= b geteilt. Zeigen Sie, daß die Menge P der Punkte, von denen aus die Strecken AO und OB unter gleichen Winkeln zu sehen sind, eine Gerade bildet, wenn a = b ist, ein Kreis hingegen, falls a =I= b (Kreis des Apol/onius).

289. Bestimmen Sie die Bahnkurve des Punktes P(x; y), der sich so bewegt, daß die Summe der Quadrate seiner Abstände von den Geraden y = mx und y = - mx konstant bleibt und gleich a 2 ist. 290. Eine Ellipse, die symmetrisch zur x-Achse und zur Geraden x = - 5 liegt, geht durch die Punkte ( -1; 1,8) und (- 5; 3). Stellen Sie die Gleichung der Ellipse auf. Zeichnen Sie die Kurve. 291. Gesucht ist der Flächeninhalt eint:s gleichseitigen Dreiecks, das der Hyperbel x 2 - y 2 = a 2 einbeschrieben wird.

292. Gesucht ist der Winkel zwischen den Diagonalen des Rechtecks, dessen Eckpunkte sich in den Schnittpunkten der Ellipse x 2 + 3y2 = 1212 und der Hyperbel x 2 - 3y2 = 6/ 2 befinden. 293. Ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung gehtdurch die Brennpunkte der Hyperbel x 2 - y 2 = a 2 . Geben Sie seine Schnittpunkte mit den Asymptoten der Hyperbel an. 294. Zeichnen Sie die Hyperbeln xy = -4 und x 2 - y 2 = 6 und ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wobei A und B die Scheitelpunkte zweier sich schneidender Äste der Hyperbeln sind und C der Schnittpunkt der beiden anderen Äste der Hyperbeln ist.

295. Beweisen Sie, daß das Produkt der Abstände eines beliebigen Hyperbelpunktes von deren Asymptoten eine kona2b2

stante Größe, -

e

2-

,

ist.

296. Gesucht sind Länge und Gleichung des Lotes vom Brennpunkt der Parabel

x2

y = --

8

auf die Gerade mit den

Achsenabschnitten a

=b=

2.

297. Zeichnen Sie die Ellipse x 2 + 4 y 2 = 4 und die Parabel x 2 = 6y und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapezes, dessen Basen die große Achse der Ellipse und die gemeinsame Sehne von Ellipse und Parabel sind.

298. Um den Brennpunkt der Parabel y 2 = 2px als Mittelpunkt wird ein Kreis geschlagen, so daß die gemeinsame Sehne beider Kurven gleich weit vom Scheitelpunkt und vom Brennpunkt der Parabel entfernt ist. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf. 299. Gesucht sind Länge und Gleichung des Lotes vom Scheitelpunkt der Parabel

40

I. Analytische Geometrie der Ebene

= x 2 + 2ax + a 2 + h2 auf die Gerade mit den Achsenabschnitten a und b.

by

300. Zeichnen Sie mit Hilfe ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen die Parabeln 4y = 12-x2 und 4x = 12-i~ und bestimmen Sie die Länge ihrer gemeinsamen Sehne. 301. Gesucht ist der Flächeninhalt des Vierecks, dessen Eckpunkte die Schnitt.punkte der Parabel y = 4 - x 2 mit der x-Achse und mit der Geraden y = 3x sind. 302. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, der durch den Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Parabel y = x2 - 2x + a mit den Koa

Ordinatenachsen geht. 303. Gegeben ist die Ellipse x 2 + 4y 2 = 16. Von ihrem Scheitelpunkt A(4; 0) aus werden alle möglichen Sehnen gezogen. Bestimmen Sie die Gleichung der Menge aller Sehnenmittelpunkte und zeichnen Sie die Kurven. 304. Bestimmen Sie die Bahnkurve des Punktes P(x; y), der sich so bewegt, daß die Differenz der Quadrate seiner Abstände von den Winkelhalbierenden der Quadranten stets gleich 8 bleibt. 305. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Mittelpunkte der Kreise auf, die durch den Punkt A (3; 4) gehen und die x-Achse berühren. 306. Durch Abtrennung vollständiger Quadrate und Verschiebung des Koordinatenursprungs ist die Gleichung der Kurve x 2 - y 2 - 4x - 6y - 9 = 0 zu vereinfachen. Zeichnen Sie das alte und das neue Koordinatensystem und die Kurve.

307. Gesucht ist die Gleichung qer Menge aller Mittelpunkte der Brennpunktradiusvektoren, die vom rechten Brennpunkt zu allen Punkten der Hyperbel x2 y2 9- 16 = 1 führen. 308. Stellen Sie die Gleichung der Ellipse auf, die durch denPunktA(a; -a)gehtund deren Brennpunkte sich in den Punkten F 2 (a; a) und F 1 ( -a; -a) befinden. Vereinfachen Sie die Gleichung durch Drehung des Koordinatensystems um 45°. 309. Durch Drehung

des Koordinaten-

systems um den Winkel (/J = arctan ..!. 2 ist die Gleichung der Kurve 2 2 3x + 8xy - 3y = 20 zu vereinfachen. Zeichnen Sie das alte und das neue Koordinatensystem und die Kurve. 310. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, flir die die Differenz der Quadrate der Abstände von der Geraden 3 x + 4 y = 0 und von der x-Achse konstant und gleich 2,4 bleibt. 311. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x; y) auf, flir die das Verhältnis der Abstände vom Punkt F

(__L_ ;o) zu den-pAbständen 8+1

der Geraden x

= ( 8

)

e+ 1

von

gleich 8 ist.

312. Zeichnen Sie die Gebiete, flir deren Punkte die Koordinaten folgende Ungleichungen befriedigen: r2 a) r 2 < x 2 + y 2 < 4r 2 und x 2 > 4; b)x 2 - y 2 > a 2 und x 2 a2 und lx + Yl < 4a; d) 2x < y 2 + 4y und x 2 + y 2 + 4x + 4y < 0.

41

I.JS. Allgemeine Gleichung einer Kurve 2.0rdnung

1.15.

Die allgemeine Gleichung einer Kurve 2. Ordnung

1. Als Kurve 2. Ordnung bezeichnet man eine Kurve, die durch eine Gleichung 2. Grades definiert wird. Diese Gleichung kann in allgemeiner Form so geschrieben werden:

Ax2

+ 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F=

(1)

0.

Aus den Koeffizienten der Gleichung (1) bilden wir zwei Determinanten:

6=

lA BI BC

ABD

und LI =

BC E

DEF

Die DeterminanteLI heißt die Diskriminante der Gleichung (1), die Determinante(} Diskriminante ihrer quadratischen Glieder, der Leitglieder. Je nach Wert der Diskriminanten (} und LI bestimmt die Gleichung (1) folgende geometrische Gebilde: LI =I= 0

Ll=O

Ellipse (reell oder imaginär)

Punkt

Hyperbel

ein Paar sich schneidender Geraden

Parabel

ein Paar paralleler Geraden (reell oder imaginär)

2. Transformation der Gleichung (1} auf Mittelpunktsform

Ist(}=~~~~ =I= 0, so besitzt die Kurve einen Mittelpunkt,

dessen Koordinaten sich nach

partieller Differentiation aus den Gleichungen

F:ix, y) = 0, F.,(x, y) = 0

(2)

ergeben, wobei F(x, y) die linke Seite der Gleichung (1) darstellt. Verschiebt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt 0 1 (xo; y 0 ) der Kurve (Zeichnung 10), erhält man statt Gleichung (1) die Form (3)

wobei

(4)

42

1. Analytische Geometrie der Ebene

3. Transformation der Gleichung (3} auf Hauptachsen.

Durch Drehung des Koordinatensystems 0 1 (xr und YrAchse) um einen gewissen Winkel q; (Bild 10) wird die Gleichung (3) in die Normalform (5)

gebracht. Die Koeffizienten A 1 und C1 sind die Wurzeln der Gleichung (A

). 2 -

+ C)). + ~ =

(6)

0.

Den Drehwinkel q; entnimmt man der Formel tan q;

B

= Al-

(7)

C

y

y

YT

Bild 10

0

Bild 11

X

4. Transformation der Gleichung einer Kurve 2. Ordnung, die keinen Mittelpunkt hat. Ist(} = 0, so hat die Kurve keinen Mittelpunkt bzw. keinen bestimmten Mittelpunkt. Ihre Gleichung kann man dann in folgender Form schreiben: (ax

+ ßy) 2 + 2Dx + 2Ey + F=

0.

1. Fall: D und Esind a undß proportional: D = ma, E Form (ax + ßy) 2 + 2m(cxx + ßy) + F= 0,

= mß. Die Gleichung (8) erhält die

daraus folgt cxx+ßy= -m± Jm 2

-

F,

das ist aber ein Paar paralleler Geraden. 2. Fall: D und E sind a und ß nicht proportional. Die Gleichung (8) läßt sich in die Form (ax

+ ßy + n) 2 + 2m(ßx- ay + q) =

0

(9)

43

1.15. Allgemeine Gleichung einer Kurve 2.0rdnung

bringen. Die Parameter m, n und q findet man durch Koeffizientenvergleich aus den Gleichungen (8) und (9). Wählt man nun die Gerade ax + ßy + n = 0 als ~-Achse und die Gerade ßx- ay + q = 0 als ?]-Achse (Bild 11), findet man: ?]

=

ax

+ ß~ + n

± J a2 + ß2,

~

=

ßx - ay + q. ± a2 + ß2

J

Danach erhält die Gleichung (9) die Form ?] 2

= 2p~,

wobei p

=

J o::2lml+ ß2

ist. Die neue

~-Achse zeigt in diejenige Halbebene, in der ßx- o::y + q das entgegengesetzte Vorzeichen von m besitzt; dieses ist aus Gleichung (9) ersichtlich.

313. Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der Gleichungen a) 4x 2 - y 2 = 0; b)4x 2 + y 2 = 0; c) x 2 + y 2 + 2x + 2 = 0; d) x 2 + y 2 - 6x- 8y + 25 = 0; e) x 2 + xy = 0; f) y 2 - 16 = 0; g) x 2 - 3xy + 2y 2 = 0.

318. Bestimmen Sie mit Hilfe der Diskriminanten c5 und LI die geometrische Bedeutung der Gleichungen: a) x 2 - 4xy+3y 2 -8x+ 14y+ 15=0; b) x 2 + 2xy+ 4y 2 - 2x+4y+4= 0; c) x 2 + 4xy + 4y 2 + 3x + 6y+ 2=0. Die Kurven, die durch die Gleichungen (a) und (c) bestimmt werden, kann man zeichnen, nachdem man die Gleichungen nach y aufgelöst hat.

314. Suchen Sie die Mittelpunkte und transformieren Ste die Gleichungen der Kurven auf Mittelpunktsform: a) 2x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0; b) x 2 - y 2 - 4x + 2y - 4 = 0; c) 2x 2 + 5xy+ 2y 2 - 6x- 3y- 8 = 0.

319. Transformieren Sie die Gleichung 3x 2 - 12x + 4 y= 4x- 8 auf Hauptachsen und zeicnnen Sie die Kurve.

315. Transformieren Sie durch Drehung des Koordinatensystems die folgenden Gleichungen auf Hauptachsen und zeichnen Sie die Kurven: a) 5x 2 - 4xy + 2y 2 = 24; b) 2x 2 + 4xy- y 2 = 12.

320. Stellen Sie die Gleichung einer Kurve 2. Ordnung auf, die den Punkt 0 1 (1 ; 2) zum Mittelpunkt hat und durch den Koordinatenursprung sowie durch die Punkte (0; 4) und (1; -1) geht. 321. Zeigen Sie, daß die Gleichung

J-;+ Jy= J~

316. Transformieren Sie folgende Gleichungen auf Hauptachsen und zeichnen Sie die Kurven: a) 3x 2 - 2xy+ 3y 2 - 4x- 4y-12=0; b) x 2 - 6xy+ y 2 - 4x- 4y+ 12= 0.

ein Bogenstück einer Parabel bestimmt. Zeichnen Sie die Parabel und geben Sie ihren Scheitelpunkt an. Hinweis: Das Koordinatensystem ist um den Winkel cp = -45° zu drehen.

317. Transformieren Sie die Gleichungen der Kurven auf Hauptachsen a) x 2 +4xy+4y2 -20x+ lOy-50=0; b) x 2 -4xy+4y2 -6x+ 12y+8=0 und zeichnen Sie die Kurven.

322. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P (x; y) auf, für die das Verhältnis des Abstands eines jeden vom Punkt F(m; n) zum Abstand von der Geraden x cos o: + y sin a - q = 0

44

I. Analytische Geometrie der Ebene

gleich e ist. Bezeichnen Sie die Koeffizienten der entstandenen Gleichung mit A, B, C, ... und bestimmen Sie die Invarianten A

+ C und b = ~~ ~~·

Wiederholungsaufgaben

323. Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der Gleichungen: a) x 2 - 4y 2 = 0; b) x 2 + 2y 2 + 4x- 8y + 12 = 0; c) x 2 + 5xy - 6y 2 = 0. 324. Bringen Sie folgende Gleichungen auf Hauptachsen und zeichnen Sie die Kurven: a) x 2 - xy+ y 2 - 2x-2y- 2= 0; b) 3x 2 + l0xy+3y 2 -l2x-12y+4= 0. 325. Bringen Sie die Gleichungen a) x 2 -2xy+y 2 -I0x-6y+25=0; b) x 2 + 2xy+ y 2 - 4x- 4y+r3 = 0 auf Hauptachsen und zeichnen Sie die zugehörigen Kurven. 326. Bestimmen Sie mit Hilfe der Diskriminanten b und L1 die geometrische Bedeutung der Gleichungen a) x 2 - 2xy + y 2 - 4x + 4y + 3 = 0; b) x 2 - 2xy- 3y 2 + 6x+ IOy-1= 0.

1.16.

Lösen Sie beide Gleichungen nach y auf und zeichnen Sie dann die durch sie bestimmten Kurven. 327. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x;y) auf, für die das Verhältnis der Abstände vom Punkt F(3; 3) zu den Abständen von der Geraden x + y = 0 a) e =

1

2,

b) e = 2 ist.

328. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x; y) auf, die vorn Punkt F ( ~ ;

~)

und von der Ge-

raden x + y = 0 gleich weit entfernt sind. Bringen Sie die Gleichung auf Hauptachsen. 329. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, fllr die die Differenz der Quadrate der Abstände von der Geraden x - 2y = 2 und der x-Achse konstant und gleich 3,2 bleibt. Bringen Sie die Gleichung auf Hauptachsen und zeichnen Sie die Kurve.

Die Polarkoordinaten

In einer Ebene seien ein Punkt 0 (der Pol) und ein Strahlp (die Polarachse) gegeben (Bild 12). Dann wird die Lage eines Punktes P der Ebene bestimmt

1. durch die Abweichung oder Anomalie cp, 2. durch den Fahrstrahl oder Radiusvektor r = OP. In den r und cp verbindenden Gleichungen ist es nützlich, die Polarkoordinate cp geeignete positive oder negative Werte annehmen zu lassen. Dabei werden negative Winkel cp im Uhrzeigersinn gezählt. Wählt man den Pol als Ursprung eines rechtwinkligen cartesischen Koordinatensystems und die Polarachse als x-Achse, so besteht zwischen den cartesischen Koordinaten (x; y) des PunktesPund dessen Polarkoordinaten (cp; r) folgender Zusammenhang: x = r cos cp,

y = r sin cp ;

tan cp

(l)

y

= -. X

(2)

45

1.16. Polarkoordinaten

Wählt man den Brennpunkt einer Ellipse, einer Hyperbel oder einer Parabel als Pol und die Symmetrieachse durch den Brennpunkt als Polarachse und orientiert sie der Richtung zum benachbarten Scheitelpunkt entgegen, so läßt sich für alle drei Kurven eine gemeinsame Gleichung, die Polargleichung, angeben:

.Y

r=

p 1-BCOSqJ

(3)

,

wobei e die Exzentrizität und p der Parameter sind. Für Ellipse

h2

und Hyperbel ist p = -. a

Bild 12

330. Zeichnen Sie im Polarkoordinatensystem (qJ, r) die Punkte A(O; 3),

2), C (~; 3), D(1t; 2), Ee;;3). B

(~;

331. Zeichnen Sie die Punkte A (

~;-

2) ,

3) , C (- .:::_.4, -4) , ne;;-3). B (- .!:_. 2,

332. Zeichnen Sie die Kurve r = 2 + 2cos qJ. Hinweis: Stellen Sie eine Wertetafel der Werte vonrauffürq~=

0;

1t

1t

2x

± 3; ± 2; ± 3;x.

333. Zeichnen Sie folgende Kurven (siehe dazu Seiten 296 und 297, Bilder 84, 85 und 90) (Archimedische a) r = aqJ Spirale); b) r = a(l - cosqJ) (Kardioide); (Lemniskate); c)r 2 = a 2 cos 2qJ (Hyperbolische d) r _ .!!... Spirale), - qJ e) r = a(l + 2cosqJ) (Pasca/sche Schnecke). 334. Zeichnen Sie die Kurven: 1t

o~~~---4~P~-1r ----:::..-.__,~

b

a) r = a; b)qJ = - ; c) r = -.-. smqJ 4

335. SteHen Sie in Polarkoordinaten die Gleichung a) einer Geraden, die auf der Polarachse den Abschnitt a erzeugt und senkrecht auf ihr steht, b) einer Geraden, die durch den Punkt A(o:; a) geht und parallel zur Polarachse verläuft, auf. 336. Stellen Sie in Polarkoordinaten die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt A(o:; a) geht und mit der Polarachse den Winkel ß bildet. 337. Stellen Sie in Polarkoordinaten die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt in M(O; a) und dem Radius a auf. 338. Zeichnen Sie die Kurven: a) r = 3- 2sin2qJ; b) r = 2 + cos3qJ; c) r = 1- sin3qJ. Hinweis; Bestimmen Sie zunächst die Winkel, fllr die ein rmu bzw. rm1,. entsteht.

339. Zeichnen Sie die Kurven (siehe dazu Seite 296, Bild 86 und 87): a) r = Ia sin 3f1JI (dreiblättrige Rose oder Kleeblattkurve); b) r = Ia sin 2f1JI (vierblättrige Rose). 340. Drücken Sie die Gleichungen folgender Kurven durch Polarkoordinaten aus: a)x2-y2=a2;_

46

1. Analytische Geometrie der Ebene

b) x2 + y2 = a2; c) x cos IX + y sin IX - p = 0; d)y = x; e) x 2 + y 2 = ax; f)(x2 + y2)2 = a2(x2 _ y2).

341. Drücken Sie die Gleichungen folgender Kurven durch cartesische Koordinaten aus und zeichnen Sie die Kurven: a) rcosq; = a· b) r = 2a sin q; ; c) r 2 sin 2q; = 2a 2 ; d) r sin ( q; + :) e) r

= a(l

=

a

J2;

+ cosq;).

342. Stellen Sie die Normalform der Gleichungen folgender Kurven 2. Ordnung auf: 9 a) r = ; 5-4 cosq; b)r

=

c) r

=

9

4- 5 cosq; 3 . 1-cosq;

;

343. Konchoide. Durch den Punkt A

(~. a)

wird eine Gerade gelegt, die parallel zur Polarachse verläuft. Ein beliebiger Strahl OB schneidet diese Gerade im Punkt B. Auf dem Strahl werden vom Punkt B aus nach beiden Seiten die Strecken BP = BP1 = b abgetragen. Bestimmen Sie die Gleichungen der Punktmengen P und P 1 in Polarkoordinaten und zeichnen Sie die Kurve. 344. Strophoide. Die Gerade x = a schneidet die x-Achse im Punkt A und einen beliebigen Strahl OB im Punkt B. Auf dem Strahl werden vom Punkt B aus nach beiden Seiten die Strecken BP1 und BP2 abgetragen, die beide gleich AB sind. S.tellen Sie die Gleichungen der Punktmengen P 1 und P 2 in Polarund cartesischen Koordinaten auf (Bild 88, Seite 308).

345. Cassinische Kurve. Der Punkt P(q;; r) möge sich so bewegen, daß das Produkt seiner Abstände von den Punkten F(O; a) und F 1 (7t; a) stets konstant, etwa gleich b2 , bleibt. Stellen Sie die Gleichung der Bahnkurve des beweglichen Punktes P in Polarkoordinaten auf. 346. Kardioide. Auf einem beliebigen Strahl OA wird von dessen Schnittpunkt A mit dem Kreis r = a cos q; aus nach beiden Seiten die Strecke AP = AP1 = a abgetragen. Stellen Sie die Gleichungen der Punktmengen P und P 1 in Polarund cartesischen Koordinaten auf. 347. Kardioide (Epizykloide). Ein Kreis vom Durchmesser a rollt ohne zu gleiten auf der Außenseite eines Kreises gleichen Durchmessers ab. Stellen Sie die Gleichung der Kurve auf, die von einem Umfangspunkt P des rollenden Kreises beschrieben wird, wenn man als Pol und Anfangslage des Punktes P den Berührungspunkt beider Kreise wählt und die Polarachse durch die Mittelpunkte der Kreise (in der Anfangslage) führt. Wiederholungsaufgaben

348. Zeichnen Sie die Kurven: a)r=3+2cos2q;; b)r=3-sin3q;; c) r = acos2q; (siehe Hinweis zur Aufgabe 338). 349. Zeichnen Sie: a) r = 4(1 + cosq;); b) r = 2- sinq;. 350. Stellen Sie in Polarkoordinaten die Gleichung einer Geraden auf, die durch die gegebenen Punkte A(a; a) und B(ß; b) geht. Hinweis: Betrachten Sie die Abhängigkeit zwischen den Flächeninhalten .der Dreiecke AOP, BOP und AOB, wobei P(qJ; r) ein beliebiger Punkt der Geraden ist.

351. Stellen Sie die Normalform der Gleichungen der Kurven 2. Ordnung auf: a) r

=

l

2-

J3 cosrp

;

47

1.17. Algebraische Kurven 3. und höherer Ordnung

b) r

=

1

_

2- J5coscp;

;

1 c)r=----2- 2coscp

352. Bernoullische Lemniskate. Der Punkt P(cp; r) bewege sich so, daß das Produkt seiner Abstände von den Punkten F(O; c) und F 1 (1t; c) gleich c 2 bleibt. Stellen Sie die Gleichung der Bahnkurve des beweglichen Punktes in Polarund cartesischen Koordinaten auf. Hinweis: Nach dem Cosinussatz sind ppz = r 2 + c 2 - 2rc cos rp und

F 1 P 2 = r 2 + c2 + 2rc cos rp, wobei der Bedingung entsprechend FP 2 • F 1 P 2 = c4 ist.

353. Pascalsehe Schnecke. Auf einem beliebigen Strahl OA werden von seinem Schnittpunkt A mit dem Kreis r = acoscp aus nach beiden Seiten die Strecken AP = AP1 = b abgetragen. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P in Polarkoordinaten auf. 354. Vierblättrige Rose (Kleeblattkurve). Die Endpunkte der Strecke AB = 2a gle'iten auf den Achsen des cartesischen Koordinatensystems. Vom Koordiqatenursprung aus wird auf AB das Lot 0 P gefällt. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x; y) für alle möglichen Lagen der Strecke AB auf.

Algebraische Kurven 3. und höherer Ordnung

1.17.

355. Zeichnen Sie die Kurven {siehe Seite 305, Bilder 70 bis 73): x3 a)y=(kubische Parabel), 3 b) y 2 = x 3 (semikubische c) y3 = x2 Parabel); d) y 2 = x(x- 4 ) 2 (Parabelschlinge). 356. Zeichnen Sie die Kurven: a) x2/ 3 + y 213 = a 2 ' 3 (gleichseitige Astroide); b) ( :

r/3 + ( ~ r/3

= 1

b :j= a

(ungleichseitige Astroide). Hinweis: Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Kurven mit der x- und y-Achse, die der ersten Kurve mit den Geraden y = ± x und die der b zweiten mit den Geraden y = ± - x (Bild 82 aufS. 307)! a

357. Zeichnen Sie im Intervall [-1 ; 1] die Kurven:

a) y = x2n+l, b) y = x2n, c) x2n + y2n = 1 für n = 1, 2, 4. Welchem Streckenzug nähern sich diese Kurven für n ~oo?

Hinweis: Ermitteln Sie die Schnittpunkte der

ersten Kurve mit der Geraden y =

X

2,

der zwei-

! n ten mit der Geraden y = 2n und der dritten mit der Geraden y = x. Nehmen Sie als Einheit des

Koordinatensystems jeweils 10 Kästchen des quadratisch karierten Papiers. 358. Astroide. Die Endpunkte der Strecke AB = a gleiten auf den Achsen des cartesischen Koordinatensystems. Die Geraden AC und BC, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, schneiden sich im Punkt C. Von C aus wird auf AB das Lot CP gefällt. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P(x; y) bei allen möglichen Lagen der Strecke AB auf. 359. Zeichnen Sie die Kurven: x3 a) y 2 = - - (Zissoide, Bild 89,

a-x

Seite 308); 8a 3 b) y = x 2 + 4a 2 Bild 80, Seite 306).

(Lockenkurve,

48

1. A1111lytische Geometrie der Ebene

360. Jeder Punkt P0 (x0 ;y0 ) der Parabel y 2 = 2px wird parallel zur x-Achse um die Strecke P0 P = ± OP0 verschoben. Gesucht ist die Gleichung der Menge aller Punkte P. 361. Der Stab OA = a rotiert um den Koordinatenursprung 0. Im Punkt A wird an ihm der Stab AB = 2a mit einem Gelenk befestigt. Das Ende des Stabes AB soll auf der x-Achse gleiten. Stellen Sie die Gleichung der Kurve auf, die der Mittelpunkt P der Strecke AB dabei beschreibt. 362. Zissoide. Ein beliebiger S~rahl OA (Bild 89, Seite 308) schneidet den Kreis x 2 + y 2 = ax im Punkt A und die Gerade x = a im Punkt B. Auf dem Strahl wird die Strecke OP =AB abgetragen. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P auf. 363. Ein beliebiger Strahl OB (Bild 89) schneidet die Gerade x = a im PunktB. C ist die Projektion des Punktes B auf die y-Achse, P ist die Projektion des Punktes C auf die Gerade OB. Zeigen Sie, daß die Punktmenge P eine Zissoide ist. 364. Fällt man vom Scheitelpunkt der Pa~abel y 2 = -4 ax aus Lote auf die Tan-

1.18.

genten an diese Kurve, so bildet die Fußpunktmenge eine Zissoide. Beweisen Sie das. 365. Lockenkurve. Ein beliebiger Strahl OA schneidet den Kreis x 2 + y 2 = 2ay und die Gerade y = 2a in den Punkten A und B. Durch A und B werden parallele Geraden zu den Koordinatenachsen gezogen, die sich in P schneiden. Bestimmen Sie die Gleichung der Punktmenge P. 366. Cartesisches Blatt x 3 + y 3 - 3axy = 0. Zeigen Sie, daß diese Gleichung durch Drehung des Koordinatensystems um • d. F 2 e(3b - ~ 450 m 1e orm 17 = 3(b + ~) ge-

bracht wird, wobei b =

j1.

ist. Zeich-

nen Sie diese Kurve, nachdem Sie im neuen Koordinatensystem den Bereich des Kurvenverlaufs, die Symmetrie, die Schnittpunkte mit der Geraden y = x (d.h. mit der neuen ~-Achse) und die Asymptote bestimmt haben. Zeigen Sie, daß die Gleichung der Asymptote im neuen Koordinatensystem ~ = - b sein wird, im alten aber x + y + a = 0 (Bild 83, Seite 307).

Transzendente Kurven

367. Zykloide. Ein Kreis mit dem Radius a rollt ohne zu gleiten auf der Geraden y = 0. Stellen Sie die Parametergleichungen der Kurve auf, die durch einen Punkt P des Kreisumfangs beschrieben wird. Parameter t sei der Drehungswinkel des rollenden Kreises. Wir wollen voraussetzen, daß sich der Punkt P bei t = 0 im Koordinatenursprung befinden möge. 368. Kreisevolvente. Ein Faden, den man sich auf den Kreis x 2 + y 2 = a 2 auf-

gespult denkt, werde abgewickelt und bleibe dabei immer straff gespannt. Stellen Sie die Parametergleichungen der Kurve auf, die vom Fadenende beschrieben wird, wenn sich das Fadenende anfangs im Punkt (a; 0) befand. Als Parameter t wähle man die Länge des abgewickelten Bogens (im Bogenmaß gemessen). 369. Quadratrix. Ein beliebiger Strahl OP, der mit der y-Achse einen Winkel t (im Bogenmaß gemessen) bildet, schneidet

1.18. Transzendente Kurven

die Gerade x = at im Punkt P. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte P auf. 370. Epizykloide. Ein Kreis mit dem Radius r rollt ohne zu gleiten auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius R. Stellen Sie die Parametergleichungen der Kurve auf, die durch den Punkt P auf dem Umfang des rollenden Kreises beschrieben wird. (Für r = R verwandelt sich die Epizykloide in eine Kardioide, siehe Aufgabe 347.)

4

Minorski, Aufgabensammlung

49

371. Hypozykloide. Ein Kreis mit dem Radius r rollt ohne zu gleiten auf der Innenseite eines Kreises mit dem Radius R > r. Stellen Sie die Parametergleichungen der Kurve auf, die durch den Punkt P auf dem Umfang des rollenden Kreises beschrieben wird. (Für r = R/4 verwandelt sich die Hypozykloidein dieAstroide x2/3+ y2/3=a2/3.)

2.

Vektoralgebra

2.1.

Die Addition von Vektoren Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

1. Definitionen

Vektor heißt die gerichtete Strecke AB (Bild 13), wobei der Punkt A als An/angspunkt, der Punkt B als Endpunkt betrachtet wird. Ein Vektor wird entweder durch Angabe seines Anfangs- und Endpunktes mit einem Pfeil darüber oder durch einen Buchstaben, z.B. a (in Fraktur ohne Pfeil, sonst mit Pfeil darüber) dargestellt. Der Betrag (die Maßzahl der Länge)

eines Vektors wird entweder mit

lißl oder Iai, AB oder a bezeichnet.

Vektoren, die parallel zu einer Geraden verlaufen, heißen kollinear; Vektoren, die parallel zu einer Ebene verlaufen, heißen komplanar. Zwei (freie) Vektoren a und b heißen gleich (Bild 13), wenn sie a) gleiche Beträge haben, b) kollinear sind, c) nach einer Seite gerichtet sind. 2. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Als Produkt des Vektors a und einer reellen Zahl (einem Skalar) m bezeichnet man den neuen Vektor, der den Betrag am hat und (beim> 0) die gleiche bzw. (beim< 0) die entgegengesetzte Richtung wie a besitzt.

Bild 14

3. Addition von Vektoren --+

Als Vektorsumme a + {J + c bezeichnen wir den Vektor t = OC (Bild 14), der den gebrochenen Streckenzug OABC, der sich aus den gegebenen Vektoren zusammensetzt, -----;.

schließt. Speziell ist in einem Parallelogramm, das über den gegebenen Vektoren OA --+

--+

und OB= b konstruiert wird, die eint" Vektordiagonale OC die Summe a ----+

Vektordiagonale BA die Differenz a- b der gegebenen Vektoren.

+

=

a

b, die andere

51

2.1. Addition von Vektoren- Vektor mit Skalar

4. Projektion eines Vektors auf eine Achse

Der Vektor a bilde mit der x-Achse den Winkelcp. Dann wird der Betrag der Projektion dieses Vektors auf die x-Achse bestimmt nach der Formel a"' = acos

cp.

Die Projektion einer Summe von Vektoren auf eine Achse ist gleich der Summe der Projektionen der einzelnen Vektoren auf die gleiche Achse: Cx

=

ax

+

hx

mit

Q

+ fl = C.

372. In Richtung der Seiten OA und OB eines Rechtecks OACBwerden die Basis- oder Grundvektoren (d.h. vom Betrag 1) i und i (Bild 15) gelegt. Drücken Sie die ~~~~__...,

Vektoren OA, AC, CB, BO, OC und ~

BA durch i und i aus, wenn die Seitenlängen OA = 3 und OB = 4 sind. M

B.---+---,C

375. Gegeben sind drei komplanare Einheitsvektoren m, n und IJ. Dabei sind < (m, n) = 30° und 2 =OB, ~ 3 = OC an. Zeichnen Sie die Resultierende ----+

381. Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck OABCDE mit der Seite OA = 3. Wir

ffi = OM, ermitteln Sie deren Projektionen auf die Koordinatenachsen und

wollen die Einheitsvektoren der Rich-

den Betrag von 0 M. Drücken Sie die

tungen OA, AB, BCmit m, n und .p bezeichnen. Leiten Sie eine Abhängigkeit zwischen ihnen her (z. B. durch Betrachtung des Trapezes OABC). Drücken Sie

Kräfte OA, OB, OC und OM durch die Basisvektoren i und j der Koordinatenachsen aus.

-+

--+

--+

--+~~~

danach die Vektoren OB, BC, EO, OD --+

382. In dem gleichschenkligen Trapez OACB (Bild 16) sind unkte P 1 (2; 2; 0) und P2 (4; 0; 0) geht. Zeichnen Sie die Ebene. 466. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt P 1 (1 ; - 3; 5) geht und auf der y- und z-Achse jeweils einen doppelt so großen Abschnitt erzeugt wie auf der x-Achse.

Grundlegende Aufgaben zur Ebene

1. Der Winkel zwischen zwei Ebenen: (1)

wobei tt 1 und tt2 die Richtungsvektoren der Ebenen A 1 x A 2 x + B2 y + C2 z + D, = 0 sind.

+

B 1y

+

C1 z + D 1

=

0 und

Bedingung der Parallelität: (2)

63

3.2. Grundlegende Aufgaben zur Ebene

Bedingung der Orthogonalität: A 1 A 2 + B 1 B2

+

C1C2

=

(3)

0.

2. Abstand des Punktes P0 (x0 ; y 0 ; z0 ) von der Ebene Ax d=

1Ax0 + By0 +

Cz0

n

+ Dl .

+ By +

Cz

+ D = 0: (4)

3. Gleichung des Büschels aller Ebenen, die durch die Schnittgerade zweiergegebener Ebenen gehen: (5)

Setzt man :x = 1, hat man die zweite der Ebenen in Gleichung (5) aus dem Büschel ausgeschlossen. 467. Gesucht ist der Winkel zwischen den Ebenen: a) x - 2y + 2z - 8 = 0 und X+ Z - 6 = 0; b) x+2z-6=0 und x+2y-4=0. 468. Gesucht ist die zur Ebene x- 2y- 3z = 0 parallele Ebene durch den Punkt (2; 2; -2). 469. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt (- 1 ; - 1 ; 2) geht und senkrecht auf den Ebenen x - 2y + z - 4 = 0 und x

+ 2y

-· 2z

+4

= 0

steht.

470. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt (0; 0; a) geht und senkrecht auf den Ebenen x - y- z = 0 und 2y = x steht. 471. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Punkte P 1 (-1; -2; 0) und Pil; 1; 2) geht und senkrecht auf der Ebene x + 2y + 2z - 4 = 0 steht. 472. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Punkte P 1 (I ; -1 ; 2), P 2 (2; 1; 2) und P 3 (1; 1; 4) geht. 473. Durch die z-Achse wird eine Ebene ge= 0 legt, die mitder Ebene 2x+ y- z einen Winkel von 60° bildet. Wie lautet die Gleichun~ dieser Ebene?

J5

474. Gesucht ist der Abstand des Punktes (5; 1; -1) von der Ebene x - 2y - 2z + 4 = 0. 475. Gesucht ist der Abstand des Punktes (4; 3; 0) von der Ebene, die durch die Punkte P 1 (1;3;0), P 2 (4; -1;2) und P 3 (3; 0; 1) geht. 476. Gesucht ist der Abstand der beiden parallelen Ebenen 4x + 3y- 5z- 8 = 0 und 4x + 3y- 5z + 12 = 0 voneinander. Hinweis: Wählen Sie in der ersten Ebene einen beliebigen Punkt, etwa (x* ; 0; 0), und ermitteln Sie dessen Abstand von der anderen Ebene.

477. a) Stellen Sie die Gleichungen der Ebenen auf, die parallel zur Ebene x - 1y + 2z - 5 = 0 liegen und von ihr zwei Einheiten entfernt sind. b) Stellen Sie die Gleichengen der Ebenen auf, die das Zweiflach halbieren, das durch die Ebenen 2x+ 2y= z und z = 0 gebildet wird. Zeichnen Sie die gegebenen und gesuchten Ebenen. 478. a) Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Schnittgerade der Ebenen 2x - y + 3z - 6 = 0 und x + 1y - z + 3 = 0 sowie durch den Punkt (1; 2; 4) geht. b) Gesucht sind die zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen, die

64

3. Analytische Geometrie des Raumes

durch die Schnittgerade der Ebenen x = y und z = 0 gehen, wenn eine der gesuchten Ebenen durch den Punkt (0; 4; 2) geht. Zeichnen Sie die Gerade und die gesuchten Ebenen. 479. Gesucht ist der Schnittpunkt der Ebenen 2x- y + 3z- 9 = 0, x + 2y + 2z - 3 = 0 und 3x + y - 4z + 6 = 0. Wiederholungsaufgaben 480. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt (2; - 1 ; 1) geht und ·senkrecht auf den Ebenen 3x + 2y - z + 4 = 0 und

x+y+z-3=0 steht. Zeichnen Sie die Ebene. 481. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Punkte (0; -5; 0) und (0; 0; 2) geht und senkrecht auf der Ebene x + 5y + 2z - 10 = 0 steht. Zeichnen Sie die Ebene. 482. Gesucht ist der Winkel zwischen der x,y-Ebene und der Ebene, die durch die Punkte 0(0; 0; 0), P 1 (a; -a; 0) und P 2 (a; a; a) geht.

3.3.

483. Gesucht ist der Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene, die durch die Punkte P 1(a; 0; 0), P 2 (0; a; 0) und P 3 (a; a; a) geht. 484. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die x-Achse geht und mit der Ebene y = x einen Winkel von 60° bildet. 485. Gesucht ist der Abstand des Punktes (a; b; c) von der Ebene, die auf den Koordinatenachsen die Abschnitte a, b und c erzeugt. 486. Stellen Sie die Gleichungen der Ebenen auf, die parallel zur Ebene

2x + 2y + z - 8 = 0 liegen und von ihr einen Abstand d = 4 haben. 487. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Schnittgerade der Ebenen 4x - y + 3z - 6 = 0 und x + 5y - z + 10 = 0 geht und senkrecht auf der Ebene

2x - y steht.

+

5z - 5 = 0

Gleichungen der Geraden

1. Die Gleichungen der Geraden, die durch den Punkt P 0 (x 0 ; y 0 ; z0 ) geht und parallel zum Vektor a{ax; ay; az} verläuft: ----+

P(x; y; z) sei ein beliebiger Punkt der Geraden (Bild 21); dann ist P0 PI!a, und nach der Bedingung für die Parallelität von Vektoren ergibt sich: X - Xo y - Yo Z - z0 ---=---=--

(I)

Die Gleichungen (I) heißen (kanonische) Gleichungen der Geraden in cartesischen Koordinaten. Der Vektor a heißt Richtungsvektor der Geraden. 2. Die Parameterform der Geradengleichungen erhalten wir, wenn wir jeden der Quotienten (I) dem Parameter A. gleichsetzen : X=

axA

+ Xo

= ayA. + Yo z = azA + Zo

y

(2)

65

3.3. Gleichungen der Geraden

z

3. Die Gleichungen der Geraden, die durch zwei Punkte geht, lauten: y - y,

=

z,

z-

(3)

4. Die al/gemein!ln Gleichungen einer Geraden:

+ B 1y + C1z + D 1 = A 2 x + B 2 y + C2 z + D 2 =

A 1x

0

0

0

(4) X

y Bild 21

5 Die Gleichungen einer Geraden in zwei projizierenden Ebenen 1 ) erhalten wir, wenn wir in den allgemeinen Gleichungen (4) einmal x, das andere Mal y eliminieren: (5)

Die Gleichungen (5) kann man in der (kanonischen) Form schreiben: x - x0

=

y - y0

Dx

=

z - 0

Dy

488. Gesucht sind die Spuren der Geraden a) x = z + 5, y = 4 - 1z und x-3 y-1 z-3 b)-.- = = -.-

z-

in der x, y- und in der x, z-Ebene. Die Geraden sind zu zeichnen. Hinweis: Setzen Sie in den Gleichungen der Ge-

raden a) z = 0, b)y = 0.

489. Die Gleichungen der Geraden x + 1y + 3z - 13 = 0 3x + y + 4z - 14 = 0 sind zu schreiben a) in der Form projizierender Ebenen, b) in kanonischer Form. Gesucht sind die Spuren der Geraden in den Koordinatenebenen. Zeichnen Sie die Gerade und ihre Projektionen. 490. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt P 0 (4; 3; 0) geht und parallel zum Vektor a( -1; 1 ; 1) verläuft. Gesucht ist die Spur der Geraden in der y, z-Ebene. Zeichnen Sie die Gerade. 1)

Hier z.B. die x, z- und y, z-Ebene.

5 Minorski, Aufgabensammlung

491. Zeichnen Sie die Gerade x= 4, y = 3 und ermitteln Sie ihren Richtungsvektor. 492. Zeichnen Sie die Geraden a)y=3,z=2; b) y = 2, Z =X+ J; c) x = 4, z = y und bestimmen Sie ihre Richtungsvektoren. 493. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte A( -1; 2; 3) und B(2; 6; -2) geht. Geben Sie die Richtungscosinus der Geraden an. 494. Zeichnen Sie die Gerade, die durch die Punkte A(2; -I; 3) und B(2; 3; 3) geht und stellen Sie deren Gleichungen auf. 495. Stellen Sie die Gleichungen der Bahnkurve des Punktes P(x; y; z) auf, der sich vom Punkt P0 ( 4; - 3 ; 1) mit einer Geschwindigkeit tl (2; 3; l) fortbewegt. 496. Stellen Sie die Parametergleichungen der Geraden auf, die a) durch den Punkt t- 2; ·I; -I) .geht

66

J. Analytische Geometrie des Raumes

und parallel zum Vektor a{1; - 2; 3} verläuft; b) durch die Punkte A(3; -1; 4) und B(l ; 1 ; 2) geht. 497. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt (a; b; c) geht und a) parallel zur z-Achse verläuft; b) aufder z-Achsesenkrechtsteht. 498. Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden x = 2z - 1 ; y = - 2z + 1 und der Geraden, die durch den Koordinatenursprung und den Punkt (I; -1; -I) geht. 499. Gesucht ist der Winkel zwischen den Geraden x-y+z-4=0 2x+ y- 2z + 5 = 0 und x+y+z-4=0 2x+ 3y'- z- 6= 0. Hi11weis: Den Richtungsvektor jeder Geraden .kann man als Vektorproduktder Normalvektoren der zugehörigen Ebenen (a = n1 X n2 ) bestimmen. 500. Zeigen Sie, daß die Gerade 3._ = ~ = : 2 3 I senkrecht auf der Geraden x = z + 1, y = 1 - z steht. 501. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt (-4; 3; 0) geht und parallel zur Geraden x- 2y + z = 4, 2x + J' - z = 0 verläuft. 502. Stellen Sie die Gleichung des Lotes auf, das vom Punkt (2; - 3; 4) auf die z-Achse gefällt wird. Hi11weis: Die gesuchte Gerade geht außerdem durch den Punkt (0; 0; 4). 503. Gesucht ist der Abstand des Punktes P(2; -1; 3) von der Geraden x+l y+2 z-l - 3 - = -4- = -5-.

Hinweis: P0 (-l; -2; 1) ist ein Punkt der Geraden, a(3; 4; S} ein Richtungsvektor der Geraden. Dann ergibt sich: -

--+

. PoP·ia X PoPI d = .-~p • SID .x = = 0 a·P0 P

--+

Ia Xl',0 P:·. a

504. Gesucht ist der Abstand der parallelen Geraden x-2 y+ 1 z+3 - 1- = - 2- = - 2 - und

x-1 -1-

y-l

= -2-

z+l = -2-

voneinander. Wiederholungsaufgaben

505. Gesucht sind die Spuren der Geraden

x-4

y-2

z

- 1 - = - 2 - = -2

in den Koordinatenebenen. Zeichnen Sie die Gerade. 506. Die Gleichungen der Geraden 2x + y + 8z - 16 = 0 X - 2y- Z + 2 = 0 sind anzugeben a) in der Form projizierender Ebenen, b) in kanonischer Form. Gesucht sind die Spuren der Geraden in den Koordinatenebenen. Zeichnen Sie die Gerade und ihre Projektionen. 507. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt P0 (0; -4; 0) geht und parallel zum Vektor a{1; 2; 3} verläuft. Gesucht ist die Spur der Geraden in der x, z-Ebene. Zeichnen Sie die Gerade. 508. Zeichnen Sie die Gerade x = 3, z = 5 und geben Sie ihren Richtungsvektor an. 509. Gesucht ist der Richtungsvektor der Geraden x + y - z = 0, y = x. Geben

Sie die Winkel zwischen der Geraden und den Koordinatenachsen an (siehe Hinweis zur Aufgabe 499).

510. Stellen Sie die Gleichungen des Lotes auf, das vom Punkt (2; - 3; 4) auf die y-Achse gefällt wird.

67

3.4. Gerade und,Ebene

511. Gesucht ist der Winkel zwischen den Geraden d 3x-2y+8=0 2x-y-1=0 2x-z+5=0 un z=3x. 512. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf. die durch den Punkt (- 1 ; 2; - 2)

3.4.

gehtund parallelzurGeraden x- y= 2, y = 2z + 1 verläuft. 513. Gesucht ist der Abstand des Punktes P(3; 0; 4) von der Geraden y= 2x+ 1, z= 2x (siehe Aufgabe 503).

Gerade und Ebene X -

Xo

Yo

Y -

Z -

z0

1. Der Winkel zwischen der Geraden - - - = - - · = - - und der Ebene a. ay a., Ax + By + Cz + D = 0: . sm f{J

lnal

= ---;;;; =

IAa.,

+ Bay + na

Ca,l

(1)

.

Bedingung der Parallelität von Gerade und Ebene (nll a):

(2) Bedingung der Orthogonalität von Gerade und Ebene (n .l a): A

B

c

(3)

2. Schnittpunkt von Gerade und Ebene

Man gibt die Gleichung der Geraden in Parameterform: x = a.,Ä + x 0 ; y = a) + y 0 ; z = ~Ä + Zo' setzt in der Gleichung der Ebene Ax + By + Cz + D = 0 mr X, y und z die Ausdrücke in Ä ein und findet so ein Ä. 1 , daraus aber sofort die x 1 , y 1 , z1 , die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes. 3. Bedingung, daß zwei Geraden in einer Ebene liegen:

(4)

=0.

514. Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden y = 3x- 1, 2z = -3x + 2 und der Ebene 2x + y + z- 4 = 0. 515. Zeigen Sie, daß die Gerade z-3 y+1 x+1 - 2 - = --=-!"= -3-

parallel zur Ebene 2x + y - z läuft, die Gerade z+3 y+1 x+1 --=--=-3 -1 2 aber in dieser Ebene liegt.

= 0 ver-

516. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt (- I ; 2; - 3)

68

3. Analytische Geometrie des Raumes

x - x

geht und senkrecht auf der Geraden x = 2, y - z = 1 steht. 517. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Gerade x-2 y-3 z+1 -1-=-2-=-3und den Punkt (3; 4; 0) geht. 518. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Gerade x-1 y+l z+2 ----= ----= ---1 2 2 geht und senkrecht auf der Ebene 2x + 3y - z = 4 steht. 519. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die beiden parallelen Geraden x-3 y z-1 --2-- = - = - 2 - und x+1 y-1 z ---- = ---- = -

2

2

geht.

520. Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf, die durchden Koordinatenursprung geht und gleiche Winkel mit den Ebenen 4y = 3x, y = 0 und z = 0 bildet. Geben Sie diese Winkel an. 521. Gesucht ist der Schnittpunkt der Geradenx= 2A -l,y = Ä. + 2, z= 1-Ä. mit der Ebene 3x- 2y + z = 3. 522. Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden z+1 -2x = y-1 ---= ---1 2 mit der Ebene x + 2y + 3z - 29 = 0. 523. Gesucht ist die Projektion des Punktes (3; 1; -1) auf die Ebene x + 2y + 3z - 30 = 0. 524. Gesucht ist die Projektio,n des Punktes (2; 3; 4) auf die Gerade x = y = z. 525. Gesucht ist der kürzeste Abstand zwischen den nichtparallelen (windschiefen) Geraden a) x-

Xt

Utx

= ~ = za1>'

Zt

Utz

und

y - y

z- z

-----2 = -----2 = - - 2; b) x + 1 1 -

L. - z- 1 1 -

2

und

x y+1 z-2 -=-3-=-4-. Hinweis: Wir nehmen den allgemeinen Fall an, daß die Geraden wind&chief zueinander sind, und zeichnen zwei parallele Ebenen, in denen die Geraden liegen. Von den Punkten P 1 (x 1 ; y 1 ; z1) und P 2 (x 2 ; y 2 ; z2 ) lassen wir die Vektoren --+

P1B1 --+

=

--+

P2B2 --+

=

at{at>;; a1,; a~z} und

Pt C1 = P2C2 = a21a2,.; a2:r; a2zl ausgehen. Die Höhe des Prismas P 1 B 1 C 1 P 2 B 2 C 2 ist gleich dem gesuchten Abstand.

526. Zeigen Sie, daß die Geraden x = z- 2, y = 2z + 1 und x-2 y-4 z-2 -3-=-1-=-1einander schneiden. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, in der sie liegen. 527. Stellen Sie die Gleichun&.!n des Lotes auf, das vom Punkt (2; 1 ; 0) auf die Gerade x = 3z- 1, y = 2z gefällt wird. Wiederholungsaufgaben

528. Zeichnen Sie die Ebene x + y - z = 0 und die Gerade, die durch die Punkte A(O; 0; 4) und B(2; 2; 0) geht. Gesucht sind der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene und der Winkel zwischen ihnen. 529. Zeichnen Sie die Ebene y = z und die Gerade x = - z + 1, y = 2 und ermitteln Sie a) ihren Schnittpunkt, b) den Winkel zwischen ihnen. 530. Gesucht ist die Projektion des Punktes (3; 1; -1) auf die Ebene 3x + y + z - 20 = 0. 531. Gesucht ist die Projektion des Punktes (1; 2; 8) auf die Gerade x- 1 y ---- = - = z. 2 -1

69

3.5. Sphärische und zylindrische Flächen

53 2. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die parallelen Geraden x-1

y+1

-.- =

x

--=2

z-2 = -3-

y+1

z-1

-2

3

- = -- = --

und

geht.

sich schneiden. Geben Sie ihren Schnittpunkt an. 5J4. Stellen Sie die Gleichung des Lotes auf, das vom Punkt (l; 0; -1) auf die Gerade x+ 1 y- 1 z ---=---=-

1 2 gefällt wird.

533. Zeigen Sie, daß die Geraden

x+3

y+1 2

z+1 I

- - = - - = --1

x

3.5.

=

3z - 4, y

und

=z+2

-3

535. Gesucht ist der kürzeste Abstand der Geraden x = - 2y = z und x = y = 2 voneinander.

Sphärische und zylindrische Flächen

1. Die Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M(xm; Ym; zm) und dem Radius r lautet: (l)

2. Die Gleichung F(x, y) = 0, die kein z enthält, definiert eine zylindrische Fläche mit einer zur z-Achse parallelen Erzeugenden. Analog dazu bestimmen die Gleichungen 1) F(y, z) = 0 und 2) F(x, z) = 0 zylindrische Flächen mit 1) zur x-Achse und 2) zur y-Achse paralleler Erzeugenden. 3. Gleichung einer zylindrischen Fläche mit der Leitkurve F(x, y) = 0, z = 0 und der zum Vektor a{ax; ay; az} parallelen Erzeugenden: Die Gleichung einer beliebigen Erzeugenden lautet

wobei (x 0 ; Yo; 0) ein Punkt auf der Leitkurve ist. Bestimmen wir daraus x 0 un·d y 0 und setzen die Werte in die Gleichung der Leitkurve ein, erhalten wir die Gleichung der zylindrischen Fläche ayz) =0. F ( x - -axz , y - (2) az az 536. Gesucht sind Mittelpunkt und Radius der Kugel a) x 2 + y 2 + z 2 - 3x + 5y - 4z = 0; b) x 2 + y 2 + z 2 = 2az. Fertigen Sie für b) eine Skizze an. 537. Stellen Sie die Gleichung der Kugel auf, die einem durch die Ebenen 3x - 2y + 6z - 18 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 begrenzten Tetraeder einbeschrieben ist.

538. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, die halb so weit vom Punkt A (2; 0; 0) wie vom Punkt B(-4; 0; 0) entfernt sind. 539. Stellen Sie die Gleichung der Kugel auf, die durch den Kreis x2 + y2 + z2 = a2' x + Y + z = a und durch den Punkt (a; a; a) geht. Hinweis: Die gesuchte Gleichung muß die Form x 2 + y 2 +z 2 -a 2 + Ä(x+ y+z-a)=O haben.

70

3. Analytische Geometrie des Raumes

540. Zeichnen Sie in einem Linkssystem die Flächen a) y 2 + z 2 = 4; b) y 2 = ax; c)xz=4; d)x 2 +y 2 =ax. 541. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, die von der Geraden x = a, y = 0 und der y,z-Ebene gleich weit entfernt sind. Zeichnen Sie die Fläche. 542. Stellen Sie die Gleichungen der drei zylindrischen Flächen auf, dieder Kugel x2 + y2 + z2- 2ax = 0 umbeschrieben werden können, wenn die Erzeugende jeweils a) der x-Achse, b) der y-Achse, c) der z-Achse parallel verlaufen soll. 543. Zeichnen Sie im ersten Oktanten eines Linkssystems die Vivionische Kurve x 2 + y 2 + z 2 = 16,x 2 + y 2 = 4x, wobeiSie zunächst derenPunkte für x= 0, 2 und 4 aufsuchen. Zeigen Sie, daß die Projektion der Kurve auf die x, z-Ebene eine Parabel ist. 544. Gesucht sind Mittelpunkt und Radius des Kreises

+ y2 + z2 = 10y, + 2y + 2z- 19 = 0.

x2 x

Hinweis: Der Mittelpunkt eines Kreises ist die

Projektion des Kugelmittelpunkts auf die Ebene (siehe Aufgabe 530). 545. Stellen Sie die Gleichung der Zylinderfläche mit der Leitkurve y 2 = 4x, z = 0 und einer zum Vektor a{l; 2; 3} parallelen Erzeugenden auf. 546. Zeichnen Sie im ersten Oktanten die Fläche (x + y) 2 + az = a 2 mit Hilfe der Schnitte mit den Ebenen x = 0, y = 0, z = 0, z = h ~ a und zeigen Sie, daß diese Fläche zylindrisch ist und Erzeugende besitzt, die parallel zur Geraden x + y = a, z = 0 verlaufen. 547. Die Kugel x 2 + y 2 + z 2 = 4z wird durch Strahlen beleuchtet, die parallel zur Geraden x = 0, y = z einfallen. Gesucht ist die Form des Schattens in der x, y-Ebene.

Hinweis: Es ist die Gleichung der zylindrischen Fläche aufzustellen, die von den die Kugel berührenden Strahlen gebildet wird. Als ihre Leitkurve wählt man die Schnittlinie der Kugel mit der Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt geht und auf dem Strahlenbündel senkrecht steht. Wiederholungsaufgaben

548. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Mittelpunkt M der Fläche xz + y2 + z2 - 2x + Y - 3z = 0 geht und senkrecht auf der GeradenOM steht. 549. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, die doppelt so weit vom Koordinatenursprung entfernt sind wie vom Punkt (0; -3; 0). 550. Geben Sie die Projektion des Schnittes der Kugel x 2 + y 2 + z 2 = 4 (x- 2y- 2z) mit derjenigen Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt geht und auf der Geradenx = O,y + z = Osenkrechtsteht, auf die Ebene z = 0 an. 551. Zeichnen Sie in einem Linkssystem die Flächen a) z = 4- x 2 ; b) y 2 + z 2 = 4z; c) yz

= x3.

552. Zeichnen Sie im ersten Oktanten eines Linkssystems die Schnittlinie der beiden Zylinder x 2 + z 2 = a 2 und x 2 + y 2 = a 2 Hinweis: Zeichnen Sie in der x, z- und in der x, y-Ebene die Viertelkreise der Leitkurven, teilen

Sie diese in annähernd gleiche Teile (z.B. in vier) und zeichnen Sie durch diese Teilpunkte die Erzeugenden der Zylinder bis zum gemeinsamen Schnittpunkt (siehe Bild 64, Seite 295). 553. Stellen Sie die Gleichung der Zylinderfläche miteinerzum Vektor a{l; 1; l} parallelen Erzeugenden und der Leitkurve x 2 + y 2 = 4x, z = 0 auf. 554. Zeichnen Sie den Körper, der durch die Flächen y 2 = x, z = 0, z = 4 und x= 4 begrenzt wird. Stellen SiedieGleichungen für die Diagonalen der Grenzfläche auf, die in der Ebene x = 4 liegt.

71

3.6. Konische Flächen und Rotationsflächen

3.6.

Konische Flächen und Rotationsflächen

1. Konische Flächen Eine konische Fläche habe die Spitze im Koordinatenursprung, die Leitkurve F(x, y)

=

0

= L= hz, wobei (x 0 ; y 0 ; h) Xo Yo ein Punkt der Leitkurve ist. Bestimmt man hieraus x 0 und y 0 und setzt die Werte in die liegeinderEbene z=h. DieGleichungderErzeugendenlautet~

Gleichung F(x, y) = 0 ein, erhält man die Gleichung der konischen Fläche mit der Spitze im Koordinatenursprung:

yh) = 0.

xh F ( --;-• --;-

(1)

Liegt die Spitze dieses Kegels im Punkt (a; b; c), erhält die Gleichung die Form F[

(x - a) (h - c)

z-c

+ a,

(y- b) (h - c)

z-·c

+

b]

=

0.

(2)

Die Gleichung (1) ist homogen in x, y, z; die Gleichung (2) homogen in (x- a), (y- b), (z - c). An der Homogenität der Gleichung kann man eine Kegelgleichung erkennen. 2. Rotationsflächen:

Gleichung der Kurve F(x,y)

=

0

z=O F(x,z)=O y=O F(y, z) = 0

x=O

Rotationsachse x-Achse y-Achse x-Achse z-Achse y-Achse z-Achse

Gleichung der Rotationsfläche F(x, -J y 2

+ z 2 )= 0

+ z 2 ,y) = F(x, .jy2 + z = F(-J x + y z) = F(y, -Jx 2 + z = F( -Jx 2 + y 2 , z) = F(--/x 2

2)

2

2 ,

2)

0 0 0 0

0

555. Stellen Sie die Gleichung eines Kegels mit der Spitze im Koordinatenursprung und der Leitkurve x 2 + y 2 = a 2 , z = c auf. Skizzieren Sie die Fläche.

557. Bestimmen Sie die Spitze des Kegels x 2 + (y- a) 2 - z 2 = 0 und dessen

556. Stellen Sie die Gleichung eines Kegels mit der Spitze im Punkt A(O; -a; 0) und der Leitkurve x 2 = 2py, z = h auf. Skizzieren Sie die Fläche.

558. Bestimmen Sie die Spitze des Kegels

Leitkurve in der Ebene z Sie den Kegel.

= a. Zeichnen

= 2yz und dessen ·Leitkurve in der Ebene z = h. Zeichnen Sie den Kegel. x2

72

3. Analytische Geometrie des Raumes

559. Untersuchen Sie die Fläche des Konoids 1) oder Keils (a 2 - x 2 ) y 2 = h 2 z 2 mit Hilfe von Schnitten mit den Ebenen z = 0, y = h, x = ± c (c ~ a). Zeichnen Sie das Konoid im Bereich z ~ 0.

562. Stellen Sie die Gleichung des Kegels mit der Spitze 0(0; 0; 0) und der Leitkurve x 2 + (y - 6) 2 + z 2 = 25, y = 3 auf und zeichnen Sie die Fläche.

560. Stellen Sie die Gleichung der Fläche auf, die durch Rotation der Kurve z = x 2 , y = 0 erzeugt wird, und zwar a) durch Rotation um die z-Achse, b) durch Rotation um die x-Achse. Zeichnen Sie beide Flächen.

563. Stellen Sie die Gleichung des Kegels mit der Spitze C(O; -a; 0) und der Leitkurve x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , y + z = a auf und zeichnen Sie die Fläche.

561. Stellen Sie die Gleichung der Fläche auf, die durch Rotation um die z-Achse erzeugt wird: a) der Kurve z = e-x\ y = 0; 4 b) der Kurve z = 2• y = 0. X

Zeichnen Sie beide Flächen (in einem Linkssystem).

3. 7.

564. Stellen Sie die Gleichung der Fläche auf, die durch Rotation der Geraden z = y, x = 0 erzeugt wird: a) durch Rotation um die y-Achse, b) durch Rotation um die z-Achse. Zeichnen Siebeide Flächen. 565. Zeigen Sie, daß der Schnitt des Kegels z 2 = xy mit der Ebene x + y = 2a eine Ellipse ist. Geben Sie deren Halbachsen an.

Ellipsoid, Hyperboloide, Paraboloide

1. Gleichungen in Normalform

Außer den zylindrischen Flächen gibt es sechs Grundtypen von Flächen 2. Ordnung. Diese werden (im einfachsten Falle) durch folgende Gleichungen definiert: I. Ellipsoid

li. Hyperboloide

einschalig

III. Kegel 2. Ordnung IV. Paraboloide (beipq

xz

y2

x2

y2

p

q

p

q

> 0) - + - = 2z elliptisch - - - = 2z hyperbolisch.

1 ) Als Konoid bezeichnet man eine Fläche, die durch Bewegung einer Geraden erzeugt wird, die parallel zu einer gegebenen Ebene verläuft und eine gegebene Kurve sowie eine gegebene Gerade schneidet.

73

3.7. Ellipsoid, Hyperboloide, Paraboloide

2. Geradlinige Erzeugende Durchjeden Punkt eines einschaligen Hyperboloids gehen seine zweigeradlinigen Erzeugenden:

a{: + ;) =ß(1+ :) ß{:- ;) =a(1- ~)

r(: + ;)=~(•- ~) und

~(:- ;) =r(1+ ~)·

Durch jeden Punkt eines hyperbolischen Paraboloids gehen ebenfalls dessen zweigeradlinigen Erzeugenden (bei p > 0 und q > 0)

Jj; + Jq) =

2ß

ß(Jp - Jq) =

az

a(

und

r( Jj; + Jq) = ~z ~(;; ~

Jq) =

2y.

3. Kreisschnitte Alle Flächen, die elliptische Schnitte aufweisen, besitzen auch Kreisschnitte. Die größten 2

2

2

Kreisschnitte des Ellipsoids x 2 + Yb 2 + z 2 = 1 (bei a > b > c) liegen auf'der Kugel x 2 + y 2 a c x2y2 + z 2 = b 2 • Die Kreisschnitte eines elliptischen Paraboloids - + - = 2z, die durch den Scheitelpunkt gehen, liegen auf der Kugel x 2 + y 2 + z 2 566. Stellen Sie die Gleichung der Fläche auf, die durch Rotation der Ellipse x2

z2

-+-=1 a2 c2 , y=O um die z-Achse erzeugt wird. 567. Zeichnen Sie die Fläche x2 y2 z2

9+4+25=

und ermitteln Sie den Inhalt ihrer Schnittflächen mit den Ebenen a) z = 3, b) y = I. 568. Stellen Sie die Gleichung der Fläche auf, die durch Rotation der Kurve x2

z2

---=1 a2 c2 '

y=O

a) um die z-Achse; b) um die x-Achse erzeugt wird. Zeichnen Sie beide Flächen (in einem Linkssystem).

=

p q 2pz (bei p > q).

569. Zeichnen Sie die Flächen: a) x 2 + y 2 - z 2 = 4; b) x 2 - y 2 + z 2 + 4 = 0. 570. Zeichnen Sie das Hyperboloid x2 y2 z2 16 + 4- 36 = 1 und bestimmen Sie dessen Erzeugenden, die durch den Punkt (4; 1; -3) gehen. 511. Ein Fadenmodell eines Zylinders wird durch Drehung des Deckkreises um o: 0 (Bild 22) "zugedreht". Bestimmen Sie die Gleichung der entstandenen "Regelfläche", wenn die Kreise ihrer Grundflächen in den Ebenen z = ± c, deren Mittelpunkte auf der z-Achse liegen und ihre Radien gleich 2a sind. Betrachten Sie die Sonderfälle für Y. = 90°, 120', 180°.

74

3. Analytische Geometrie des Raumes

nis der Abstände eines jeden vom Punkt F(O; 0; 2a) zu den Abständen ist. von der Ebene z = a gleich Zeichnen Sie die Fläche.

.J'i

577. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, die vom Punkt F(-a; 0; 0) und von der Ebene x = a gleich weit entfernt sind. Zeichnen Sie diese Fläche. 578. Gesucht sind die größten Kreisschnitte x2

Bild 22

des Ellipsoids 169

y2

z2

+ 25 + 9 =

1.

579. Bestimmen Sie die Kreisschnitte des 2

Hinweis: Der Punkt P(x; y; z) teilt den Abstand zwischen den Punkten A(2a cos t; 2a sin t; -c) und B[2a cos (t + .x); 2a sin (I+ a:); c] im Verhältnis AP: PB= (c z): (c- z).

+

572. Stellen Sie die Gleichung der Fläche auf, die durch Rotation der Parabel az = x 2 , y = 0 um die z-Achse erzeugt wird. Zeichnen Sie die Fläche mit Hilfe von Schnitten mit den Ebenen z = a, x = 0, y = 0. 573. Zeichnen Sie die Flächen: a) 2z = x 2

y2

+ -· · 2'

2

elliptischen Paraboloids ~ + ~ = z, 25 9 die durch den Koordinatenursprung gehen. Wiederholungsaufgaben

580. Benennen und zeichnen Sie die folgenden Flächen: a).x 2

+ y2 + i2 =

b) x 2 + y 2 = c) x 2 + z 2 = d) x 2 - y 2 = e) x2 - y2 =

2az;

2az; 2az; 2az; z2;

f)x 2 = 2az;

= 2yz; h) z = 2 + x 2 + y 2 ; i) (z- a) 2 = xy; g) x 2

574 Zeichnen Sie (in einem Linkssystem) die Fläche x 2 - y 2 = 4z und bestimmen Sie deren Erzeugenden, die durch den Punkt (3; 1 ; 2) gehen. 575. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, für die das Verhältnis der Abstände eines jeden von der Ebene x = 2a zu den Abständen vom ist. ZeichPunkt F(a; 0; 0) gleich nen Sie die Fläche.

.J2

576. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, für die das Verhält-

j) (z- 2x) 2

+ 4 (z-

2x)

= y 2•

581. Stellen Sie die Gleichungen der geradlinigen Erzeugenden des Hyperboloids x 2 - y 2 + z 2 = 4 auf, die durch den Punkt (2; 4; 4) gehen. 582. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, die vom Punkt F ( 0; 0;

~

)

und von der Ebene

75

3. 7. Ellipsoid, Hyperboloide, Paraboloide

z= - ~

gleich weit entfernt sind.

Zeichnen Sie die Fläche. 583. Stellen Sie die Gleichung der Menge aller Punkte auf, die vom Punkt F ( 0; 0; ; )

z

=

und von der Ebene

3a

2 gleich weit entfernt sind. Zeich-

nen Sie die Fläche.

584. Gesucht sind die kleinsten Kreisschnitte x2 y2 3z2 des Hyperboloids 25 + 9 - 25 = 1. 585. Stellen Sie die Gleichungen der geradlinigen Erzeugenden des hyperbolischen x2

y2

Paraboloids 16 - 9 = 2z auf, durch den Punkt (4; 3 ; 0) gehen.

die

4.

Höhere Algebra

4.1.

Determinanten

1. Determinanten

Unter einer Determinante 2. Ordnung versteht man eine Zahl, die durch das Symbol \a 1 ausgedrückt und durch die Gleichung az

l

al

b11 =

az hz

: 11

z

(1)

athz- azb!

definiert wird. a1 b 1 c 1 Unter einer Determinante 3. OrdnungverstehtmaneineZahl,die durch das Symbol a 2 b 2 c 2 ausgedrückt und durch die Gleichung a 3 b 3 c3 al bl Ct

az hz Cz = al lbbz Cz,_ bl laz 2 c3

a3 b3 c3

Czl +

a 3 c3

cllaz bbzl a3 3

(2)

definiert wird. Die Determinanten 2. Ordnung, die auf der rechten Seite der Gleichung (2) auftreten, erhält man aus der gegebenen Determinante 3. Ordnung durch Streichen jeweils einer Zeile und einer Spalte; man bezeir.hnet sie als Unterdeterminanten. Zur Formel (2) sagt man auch, sie sei eine Entwicklung der Determinante dritter Ordnung nach den Elementen der ersten Zeile. 2. Eigenschaften von Determinanten I. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man die Zeilen mit den Spalten vertauscht und umgekehrt.

II. Eine Determinante ändert lediglich ihr Vorzeichen, wenn man in ihr zwei parallele Reihen von Elementen vertauscht. Aus den Eigenschaften I und li folgt, daß man eine Determinante nach den Elementen einer beliebigen Reihe entwickeln kann, da man diese Reihe ja zur ersten Zeile machen kann. 111. Eine Determinante mit zwei gleichen parallelen Reihen hat den Wert Null. IV. Einen allen Elementen einer Reihe gemeinsamen Faktor kann man vor die Determinante ziehen. V. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man den Elementen einer Reihe die mit einer beliebigen gleichen Zahl multiplizierten Elemente einer anderen Reihe hinzufügt, z. B.

a 1 b1 c 1

az hz Cz a3 b3 C3

+ mc 1 b1 + nc 1 a2 + mc 2 .b2 + nc2 a 3 + mc 3 b3 + nc 3 a1

c1 c2

c3

•

4.1. Determinanten

77

Mit Hilfe dieser Eigenschaft kann man in einer beliebigen Reihe einer Determinante 3. Ordnung zwei Nullen erhalten, wodurch sich die Entwicklung der Determinante nach den Elementen dieser Reihe vereinfacht. 3. Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Eckpunkten A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; Y2), C(x 3 ; y 3 ): A

1

= ±2

XI

Y! (3)

X2 Y2 X3

Y3

-x

Berechnen Sie die Determinanten: 586.1!

x

a -a

I

596. a

3 -21 588. -4 5

a

a -a

a -a -a

-11

I J~a.Ja-

5 597. 3 -4 7 -3 12 -15 l

590 _1 sin a c~s t 0 ist. (Speziell kann t die·zeit bedeuten.)

2E {J

2Jlf56

7

lj [

I

a2 1 a,. g a, \ g-t:

Bild24

I O.J

g+r:

a,I

Bild 25

2. Grenzwert einer Zahlenfolge

Eine Konstante g wird dann Grenzwert der Zahlenfolge genannt, wenn a,. für genügend große n dem Wertg beliebignahe kommt. Es muß bei beliebig klein angenommenem e > 0 ein Glied aN existieren, für dessen nachfolgende Glieder a,. mit n > N stets Ia,. - g I < e gilt (Bild 25). Die Folge strebt oder konvergiert dann für die unbegrenzt wachsende Gliedanzahl n gegen g, und man schreibt symbolisch: lim a,. = g

......

."

oder: für n-> oo folgt a.-> g .

Speziell schreibt man: g - 0, wenn alle a,. < g und a,.-> g + 0, wenn alle a,. > g sind. Eine Nul/folge liegt dann vor, wenn insbesondere g = 0, d. h. lim a,. = 0.

a,.->

3. Grenzwert einer Funktion

Die Funktion y = f(x) strebt für x -> x 0 dann gegen den Grenzwert g, wenn bei beliebig klein vorgegebenem e > 0 eine von e abhängige Konstante ~ so bestimmt werden kann, daß für jedes x des Intervalles 0 < I x- x 0 I < ~ die Ungleichung lf(x) - g I< e erfüllt ist. Das schreibt man in der Form lim f(x) = g. IstgeineendlicheZahl,sowird/(x) konvergent x-+xo

genannt. Existiert kein endliches g, so ist die Funktion divergent und speziell bestimmt divergent, falls lim f(x)

= + oo oder lim

f(x) = - oo.

Den Grenzwert lim /(x) = g

x-+x 0 -o

[oder lim f(x) x-+x 0 +0

= g]

nennen wir linksseitigen (bzw. rechtsseitigen) Grenzwert der Funktion f(x).

91

5.2. Zahlenfolgen- Grenzwerte

702. Schreiben Sie die Folge der Werte der 1 Verän d err1~h~n a. = 21• , a. = - 2n, a" = (nieder, indem Sie für

z)

= 0, 1, 2, 3, ... einsetzen. Stellen Sie die Veränderung der Größen a. graphisch dar. Von welchem n an wird der Betrag jeder der Veränderlichen kleiner als 0,001 werden und bleiben bzw. kleiner als ein gegebener. positiver Werte? 703. Schreiben Sie die Folge der Werte der J Veran .. d er 1·IC hen an = 1 + -(. d er - l)" -1 me 2n+ und stellen Sie die Folge graphisch dar. Von welchem n an wird der Betrag der Differenz an - 1 kleiner als 0,01 sein und bleiben bzw. kleiner als ein gegebener positiver Wert e? 11

704. Addieren Sie zu 3 (oder ziehen Sie von 3 ab) anfangs 1, danach 0,1, dann 0,01 usw. und schreiben Sie die Annäherung der Veränderlichen ar. den Grenzwert a.-+ 3 + 0 bzw. a.-+ 3 - 0 als "dezimale" Folgen. 705. Schreiben Sie die Annäherung der Veränderlichen an die Grenzwerte

+

+

an-+ 5 O,an-> 5- O,a,.-+ -2 0, an-> -2- 0, a.-+ 1 0, a,.-+ 1- 0, an-+ 1,2 0, an-> 1,2-0

+

+

als "dezimale" Folgen. 706. Beweisen Sie, daß lim x 2 = 4 ist. Er-

läutern Sie den Grenzübergang durch Wertetabellen für x und x 2 •

Hinweis: Setzen Sie x = 2 + h, wobei h-+ 0, bilden Sie die Differenz x 2 -~· 4 und zeigen Sie, daß diese gegen Null strebt.

707. Beweisen Sie, daß Iim (2x - 1) = 5 ist. x-3

Für eine gegebene Zahl e > 0 ist eine solche größte Zahl 0 > 0 zu ermitteln, daß für beliebiges x aus der 0-Umgebung der Zahl 3 der Funktionswert 2x- 1 in der e-Umgebung der Zahl 5 liegt. Erläutern Sie das graphisch.

708. Beweisen Sie, daß !im (3- 2x- x 2 ) x--1

=

4

ist. Aus welcher größten 0-Umgebung der Zahl -1 ist der Wert x zu nehmen, damit sich der Wert der Funktion (3 - 2x- x 2 ) vpn deren Grenzwert um weniger als e = 0,0001 unterscheidet? 709. Beweisen Sie, daß sin Y. gegen Null kon-

vergiert, wenn nur a beliebig klein wird, also gegen Null strebt. Hinweis: Fertigen Sie eine Skizze an, und zeigen Sie, daß lsin ai < [,,[ist.

710. Beweisen Sie, daß lim sin x = sin a ist. Hinweis: Setzen Sie X c.o· a + -~ und bilden Sie die Differenz sin x ~- sin ''·

711. Beweisen Sie, daß lim 3x X-+ 00

+4=

X

3 ist.

Erläutern Sie den Grenzübergang durch Wertetabellen für x und 3x + 4 für X= 1, 10, 100, 1000, . . . X Hinweis: Zeigen Sie, daß für

X-+

oo die Diffe-

3x+ 4 renz - - - ·- 3 gegen Null strebt. X

4x- 3 712. Beweisen Sie, daß !im -2 - - = 2 ist. x- ±oc X+ 1

Für welche x-Werte weichen die Funktionswerte um weniger als 0,001 vom Grenzwert ab? l-2x 2 713. Beweisen Sie, daß lim - - -2 = -0,5 x-±co 2+4x ist. Für welche x weichen die Funktionswerte um weniger als 0,01 vom Grenzwert ab? 714. Beweisen Sie, daß lim 0,333 ··· 3 = 31 n-+oo ......_____ n Stellen

ist. Bilden Sie dazu folgende Differenzen: 1 1 1 3- 0,3; 3 - 0,33; 3-0,333; ... ; 1 3-0,~3. n Stellen

92

5. Einführung in die Analysis

715. Schreiben Sie die Folgen der Werte der Veränderlichen n a) ar.

=;; +

b)a

= __n_. = -;;-:j:1 ; =

daß a,. < eist, sobald n > Sr ist, d.h., e daß a" --+ 0 für n --+ oo strebt.

8 cosn2

n+ 4

723. Es sei r" der Inkreisradius eines regel-

e) a,. = 2n + (-tr; n 0 a" = 2-"a cos n1r

mäßigen, einem gegebenen Kreise einbeschriebenen n-Ecks. Beweisen Sie, daß lim r11 = r ist, wobei r der Radius n-+oo

nieder, und stellen Sie die Folgen graphisch dar. Existiert der Grenzwert lim a11 injedemBeispiel?Wiegroßister?

n-++oo

716. Ermitteln Sie lim - 3- und lim x-+2.+0X-2

3

x-+2.-oX-2

und erläutern Sie die Grenzübergänge durch Tabellen. 717. Ermitteln Sie lim 2 1 fx und lim 2 1 fx x-+0-0

X-+0+0

und erläutern Sie den Grenzübergang durch Tabellen. 718. Erläutern Sie den exakten Sinn der (nichtgestatteten) Kurzschreibweisen:

2

a) 00 = 0; b)

2 0=

±oo; c) 3"' = oo;

d) 3-oo = 0; e) log 10 0 f) tan 90° = ±oo.

=-

oo;

x-+oo

Stellen Sie zu diesem Zweck die Folge der Werte von sin x zusammen für 7t

b) x = -

2

des gegebenen Kreises ist. 724. Der Eckpunkt B eines Dreiecks ABC

wird auf der Geraden BEll AC verschoben und entfernt sich dabei unbegrenzt in Richtung AC. Wie werden sich bei diesem Grenzübergang die Seiten des Dreiecks, dessen Flächeninhalt, die Innenwinkel und der Außenwinkel BCD ändern?

Wiederholungsaufgaben

725. Stellen Sie die "dezimalen" Folgen der

Annäherungen der Veränderlichen an folgende Grenzwerte auf: a"--+ 4 + 0; a 11 --+ 4- 0; a""""+ -1,5 + 0; a"--+- 1,5 -0.

726. Beweisen Sie: a) lim x 3 = 27; b) lim (x 2 X-+3

X-+l

+ 2x) = 3

(siehe Hinweis zur Aufgabe 706).

719. Zeigen Sie, daß lim sin x nicht existiert.

c) x =

X

regelmäßigesVieleck der Seitenzahln und der Seite a11 einbeschrieben. Zeigen Sie,

7t

d) a11

X-+0

und zwar bei beliebiger Weise der Annäherung des x gegen 0. 722. In einen Kreis mit dem Radius r wird ein

n +I' (-l)Rn

11

c) a11

1;

1

721. Zeigen Sie, daß lim x · sin- = 0 ist,

+ 27tn ·'

7t + 2;r;n(n = 0, 1,2,3,4, ... ). -2

1 720. Zeigen Sie, daß lim sin-nichtexistiert. X x-o

+ 2 = 25 ' 2x ist. Zeigen Sie dazu, daß die Differenz 5x + 2 ~ - 2,5 gegen Null strebt, wenn x

727. Beweisen Sie, daß lim 5x x-+oo

über alle Grenzen wächst. Veranschaulichen Sie den Grenzübergang durch eine Tabelle, setzen Sie dabei X = 1, 10, 100, }()()(), ...

93

5.3. Grenzwerteigenschaften - Unbestimmte Ausdrücke

728. Beweisen Sie, daß lim cos x x-+a

= cos a ist

"

729. Stellen Sie die Folgen der Werte der Veränderlichen auf:

b) a"

= 1 + (- ~ ) =

(-1)"

f)

11

x-++oo

1

n Stellen

ist. Stellen Sie dazu die Differenzen 2 2 2 3-0,6;3- 0,66; ... ;3-0~

11-+00

1

5.3.

733. Auf der Ver1ängerung der Strecke AB = a nach rechts wählt man einen Punkt M in der Entfernung BM = x. . 1. AM Gesucht Ist 1m -=:: . x-+oo BM

1

a) lim 2"- 1 ; b) lim 2"- 1

"

Stellen

732. o: 11 sei der Zentriwinkel im Teildreieck eines regelmäßigen n-Ecks. Beweisen Sie, daß lim a,. = 0 ist.

730. Gesucht sind: ;

X-+1+0

x-+4-0

11

zusammen.

Stellen Sie die Schwankung von a11 graphisch dar. Welche der Veränderlichen besitzt einen Grenzwert für n --+00?

Jlan 2x;

a

731. Beweisen Sie, daß !im 0,666 ··· 6 = -3 n-+ oo ....____......

+1

X-+1-0

+

2

+ 2n;

. mr

c) lim

l~m . 1 + ~tanx ;

g) lim - 1 a x'

;

2nsm2 n

+ 2tanx'

X-+2-0

c)a"=(-1f(2n+ 1);

d) all =

1

X-+2+0

(siehe Aufgabe 709).

a) a11

2

e) lim

d)

lim

31an 2x.

•

"

X-+4+0

Die Grenzwerteigenschaften. Die Bestimmung einfacher "unbestimmter 0" oo" Ausdrücke" der Form -0 und " "oo

1. Der Gre11zwert einer Konstanten ist gleich der Konstanten selbst. 2.Iim(u + v) = limu + limv} . . .. I' , wenn hm u und hm v existieren. . ( ) . 3. IIm UV = 1Im U • Im V

. -u = -.-, lim u wenn 1'Im u un d I'Im v existieren · · · 4. I1m und 1·Im v ..J.. -r- 0 ISt. V bm V 5. Stimmen die Funktionen/(x) und cp(x) für alle Wertex in einer gewissen Umgebung der Stelle a - außer vielleicht für x = a - überein und besitzt eine von ihnen für x --+ a einen Grenzwert, so hat auch die zweite Funktion den gleichen Grenzwert. Diese Eigenschaft wird bei der Grenzwertbestimmung der "unbestimmten Formen" 00

"oo

H

2

2

verwendet. Zum Beispiel ist x - a 2

x- a

Eigenschaft 5 ergibt sich: lim x - a x-+a

X-

a

2

..

°0 "und

= x+a für beliebige x außer für x = a. Nach

= lim (x + a) = 2a. X-+1

94

5. Einführung in die Analysis

747. lim 3~ - 1 X-+oo X + 1

Gesucht sind die Grenzwerte: 734. a) lim x 2 X-+2

-

2x

+ 1; +1

4x

4

x2 - 4 735. lim - 2 (durch eine Tabelle zu er-

x-

läutern).

X- 2 x-+2X 2 - 3x

+2

x

737. lim

2

X-+3X 2 -

+

X-+0

J;; -

x- a

.jx-

155. lim

x ... -1

X

x 2 -x-2 1 3

+

X

156. lim J1 :- cosx

1 1

smx

x-+,.+O

151 . lim 5x: - 3x + 2 x-+oo 2x + 4x + 1

V~- 1 X

Jl+x-~

758. lim 11-+oo

3n + 1 -

J3n 2

X

+1

) 5x2 159. lim ( - - -2 + 2 1'" 1-

x-+oo

_z..._;___~--

760. lim 1

J 1 - tanx- J~n~ 2x 745. 1im x->n

x J93x- 3

X

V~ -

+1

2

+

x-+o

../9n

154. lim

Hinweis: Setzen Sie im Beispiel 742 x = t 6 und im Beispiel743 1 mx = t 3 •

744. lim

000

4

753. lim 3~ + 6 x-+-2X + 8

x ... o~-1

743. lim

1 . . :.+. . .2:=-+:===3=+'==. . .:+:. . . :.:. n 752. lim -=-

x-+3

740. Jim

x-+1

1

11->oo

Gesucht sind die Grenzwerte:

4

742. tim

2

Wiederholungsaufgaben

2x- 3

739. lim sinx- cosx cos2x " x-+-

x ... a

+1 J2n 2n _

11-+oo

738. lim t~n x x ..... sm2x

741. lim

750. lim 1 ~n2n 11-+00 0

9

-

6x 3x + 1

x-+oo

751. hm

Hinweis: Lösen Sie Beispiel 736 nach zwei Verfahren: a) setzen Sie x = 2 «; b) zerlegen Sie

den Nenner in Faktoren.

J~ -

749. lim

X-+-

736. lim

1 1

X-+00 X

b) lim 1 + sin 2x ,. 1-cos4x

x-+2

x: -+

748. lim

n-+oo

X

+ 3 + 5 + + (2n+n 1+ 2+ 3 + 000

000

0

SID

2x2 - 1 746. a) lim 3 2 _ 4 ; X .x-~ooo X

5x 3

-

1x

b) lim 1 _ 2 3 X x-+oo

Hinweis: Zwei Lösungsverfahren sind möglich: a) Division von Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x; b) Substitution x = l/t.

761. lim

2-J~

x-+7

X

2

-

49

sin 2x - cos 2x - 1 762. lim cosx- smx ,. 0

x-+4

1)

95

5.4. /im sin afa

. sin a I•m-...... o a

54 . .

Wird der Winkel o: im Bogenmaß gemessen, so gilt siniX 1I. m - - = 1 ; lim-IX- = 1. IX " .... o sin IX

IZ-+0

Gesucht sind die Grenzwerte:

771. lim 1 - ~OS X

. sin 4x 763. h m - -

772 _ lim tan x ~ sin x

X

x-+o

773.lim~ 3 x-+o

X

x ...

X

J1-

776. 1im x sin 2x X-+0

767 . 1"Im 1 - cos . 2x

1-

X-+0

. 769. 11m

1

sin 3x

.

h

h)

X

b) lim arcsin (1 - 2x) 1 4x 2 - 1 x-+-

2

Hinweis: Setzen Sie in Aufgabe a) arctan x = .x; im Beispiel b) arcsin (l ·~ 2x) = .x.

+ tan 2 x

XSinx

X-+0

770. a) lim arctan x; x-+0

X

778 _ lim 1 - cos ~

r

vx + 2- V 2 sin (x + h) - sin (x -

h-+0

COSX

777. lim 1 - c~s mx

XSinX

X-+0

. 768. hm

cos 2x, X

X-+-0

X

x-+0

- sin 4x

oJx + 1 -1

715. lim

sin2 ~ . 2 766. 1Im - - 2 X-+0

sm x

774. lim

765. lim tan x X-+0

Wiederholung saufgaben Gesucht sind die Grenzwerte:

X

sm764.lim--3 X-+0

X

X-+0

Hinweis: Multiplizieren Sie in Aufgabe 763 Zähler und Nenner mit 4 (oder setzen Sie 4x = 2,

und geben Sie die Unstetigkeitsstellen, an. 821. Ermitteln Sie die Unstetigkeitsstellen und zeichnen Sie die Bilder der Funktionen 1 a) Y. - 1 + 21/x'

a b) y = aretau - - ;

x-a

x3- x2

c) Y

b) eine ungerade Funktion. Beide ausgewählten Funktionen sollen an den Stellen x = ± 1, ±2, ± 3, ... Unstetigkeiten (1. Art) besitzen. Fertigen Sie die graphischen Darstellungen dazu an.

= 2lx- 11

822. In wieviel Funktionen läßt sich die Gleichung x 2 - y 2 = 0 aufspalten? Geben Sie aus der Menge dieser Funktionen an: a) eine gerade Funktion;

823. Geben Sie die Unstetigkeitsstelle der Funktion y = _x_ an, ermitteln Sie

x+2

die Grenzwerte

lim y, x-+-2-0

lim

y,

x-+-2+0

lim y, und zeichnen Sie das Bild der x-+±CX)

Funktion mit Hilfe der Werte für X = - 6, -4, - 3, - 1, 0, 2 . 824. Zeichnen Sie das Bild der Funktion für x = 0 und x= ±2 y =f(x) = x2 4für 0 < lxl < 2

l

(2

für lxl > 2 4 und geben Sie die Unstetigkeitsstellen an. Welche Stetigkeitsbedingungen sind an den Unstetigkeitsstellen erfüllt und welche nicht? 825. GebenSiedieUnstetigkeitsstellenan, und zeichnen Sie die Bilder der Funktionen a) y

=

lxl 2- - ; X

c)y = 1- 2 11 x;

e) y

b) y

=

1

2X-2; x3

+

x

d)y=~;

4- x 2 x 3l

= l4x -

826. Wieviel Funktionen werden durch die Gleichung x 2 + y 2 = 4 definiert? Geben Sie aus der Menge dieser Funktionen an: a) zwei im abgeschlossenen Intervall lxl ~ 2 stetige Funktionen; b) diejenige stückweise (d. h. bis auf 2 Unstetigkeitsstellen 1. Art) stetige Funktion, die im abgeschlossenen Intervalllxl ~ I negativ und für alle übrigen zulässigen x positiv ist. Zeichnen Sie das Bild der Funktion, und geben Sie die Unstetigkeiten der letztgenannten Funktion an.

5.9. Asymptoten

101

Asymptoten

5.9.

Als Asymptote einer Kurve bezeichnet man die Gerade, der sich ein auf der Kurve ins Unendliche laufender Punkt unbegrenzt nähert.

= ± oo, so ist die Gerade x = a Asymptote der Kurve y = f(x). a hat die Kurve y = --die Asymptote x = a (Bild 27). 1. Ist lim/(x)

Zum Beispiel

x~a

x-a

2. Kann man auf der rechten Seite der Gleichung der Kurve y = f(x) einen linearen Teil so absondern [y = f(x) = kx + b + o:(x)], daß der restliche Teil o:(x) für x-+ ± oo nach Null geht, so ist die Gerade y = kx + b Asymptote der Kurve. Beispiele:

a) Die K urve Y = x 3

=

Asymptote x b) die Kurve y

=-

+ x2x 2 + I = x + 1 + x2 _!_

0-

x-a

=

mx

= 0 + _a_ x-a

hat die Asymptote y

+ b Asymptote.

x-+

+ oo

x-

Kurve mit Hilfe der Werte für X = ± J, ± 2, ±4. In den Aufgaben 828 bis 830 sind die Asymptoten der Kurven gesucht. Man trenne, wie oben beschrieben, von dem gebrochenen Ausdruck einen ganzen linearen Teil ab. Zeichnen Sie die Asymptoten und die Kurven. x + 1 =-; 2

X

x2

b) y

=X+

I;

x2 c) y = - x2 + 1

829. a) y

2

= lxl -

b)y =

1;

X

I (und die

X

=

=

0 (Bild 27).

m und !im [f(x) x-+ + oo

mx]

=

b, so ist

Dasselbe gilt auch, wenn analog x-+ - oo.

827. Bestimmen Sie die Asymptoten der Kurve y = I - 4, , und zeichnen Sie die

828. a) y

=x +

0);

3. Existieren die endlichen Grenzwerte !im f(x) die Gerade y

hat die Asymptote y

) cy= 830. a) y

ax mx

+b +n

1- 4x 1 + 2x'

= --· x3

b) Y

= x2

c) Y

=

+

1;

4x- x 3 x2

+

4

Ermitteln Sie die Asymptoten, und zeichnen Sie die Kurven: 831. a) x 2 - y 2 = a 2 ; b) x 3 + y 3 = 3axy; c) y = x - 2 arctan x; d) y 832. a) y b) y c) y

=

X

arctan - a- x

= Jx2 + 1 - Jx2 = Jx2 + 1 + Jx 2 = x-

1

J-;

1; 1;

102

5. Einführung in die Analysis

und zeichnen Sie die Kurven mit Hilfe

833. Zeichnen Sie die Kurven x4

+

1

der Werte für x =

a)y=~;

x3

+ x2

2

-

b) Y = _ _x_+_1_ _

und die Parabeln, denen sich diese Kurven asymptotisch nähern.

1

835. Ermitteln Sie die Asymptoten, und zeichnen Sie die Kurven: x-4 a)y=2x+4;

x2

b) Y

Wiederholungsaufgaben

= 2-

2x;

x2

834. Ermitteln Sie die Asymptoten der Kurven

a)y=(1-~r;

±z-. ± 1, ±2.

c)y=~4; X -

b)y=-x+:2'

d) y

x3

=

1- x2

Die Zahl e

5.10.

Als Zahl e bezeichnet man den Grenzwert

..!..)" = n

lim (1 +

n-+co

lim (1 + 11-+- 00

.

..!..)n = n

]im (1 +

a)lfa

= e.

«-+0

Diese Zahl ist Irrational und angenähert gleich 2,71828 .... Logarithmen mit der Basis e heißen natürliche Logarithmen und werden mit log. x = ln x bezeichnet. Zusammenhang zwischen dekadischem und natürlichem Logarithmus: log 10 x = lg x = M ln x, Ermitteln Sie die Grenzwerte: 836. lim 11-+oo

(1 -

837. a) lim n-+oo

~

4 b) lim ( 1 +-

=

)"+3

n

838. a) lim,(l + 2x) 1 1x; X-+0

1-x

b) lim (1 - 4x) X-+0

839. a) lim n-+oo

x

(-n-)n; +1 II

ist.

1)2x

2x _ b)lim ( 2 -1 X

+

840. a) lim n [ln (n + 3) - ln n] ;

1l

(1 - ..!..)"; 3n

n-+-r.o

M = 0,43429...

x-+oo

2_)"

(Setzen Sie -

wobei

a) .

n-+oo

b) lim (1

+ 3 tan 2 x)

0012 x

X-+0

841. lim (cos x) 0012 x (Setzen Sie sin 2 x = Y-) X-->0

ln(l

842. a) lim a-+ 0

+ a) ;

0:

e-x- 1

b)lim--; X-+0

X

a2x-

1

c)lim--x-o

X

Hinweis: Setzen Sie in Aufgabe b) e-x- 1 = ".

103

5.10. Die Zahle

843. Gesucht sind die zwei aufeinander-

folgenden ganzen Zahlen, zwischen denen der Wert des Ausdrucks 6 (1 - 1,01- 100 ) zu suchen ist.

Wiederholungsaufgaben

Ermitteln Sie die Grenzwerte:

)3n ; 844. a) lim ( 1 + 2

n-+co

b) lim ll-+oo

n

(n -n 3)"'2

845. a) lim ( 3x - 2 ) 2 x; x-+ao 3x + 1 e-3x- 1

b)lim--X

x-+o

846. lim (sin 2x)tan 2

lx

X-+1t/4

(Setzen Sie cos 2 2x .

= a).

t

847. hm 1 ( 1 t-+o n + xt) ;

b) lim n [In n - ln (n n-+ ao

+ 2)]

6.

Ableitung und Differential

6.1.

Die Ableitung algebraischer und trigonometrischer Funktionen

1. Definitionen

= f(x)

Als Ableitung der Funktion y

lim f(x + Llx) - f(x)

L1x

.1x-o

an der Stelle x bezeichnet man den Grenzwert

=

lim Lly . .1x-o

(1)

L1x

Existiert dieser Grenzwert, so heißt die Funktion f(x) an der Stelle x differenzierbar; dabei ist die Funktion an dieser Stelle auch sicher stetig. Ist der Grenzwert (l) gleich+ oo (oder- oo), so sagt man, dieFunktion/(x) ist an der Stellex nicht differenzierbar, obwohl sie daselbst stetig sein kann (wie noch zu zeigen sein wird). Die Ableitung wird mit y' oder f'(x)

oder~~ oder

mit d/(x)_ bezeichnet. Das Bilden der

dx

dx

Ableitung nennt man auch Differentiation der Funktion. 2. Grundformeln der Differentiation:

(J~)' = -;=·

a) (c)' = 0,

g)

= nx"- 1 ; c) (cu)' = cu'; d) (u + v)' = u' + v';

= cos x; i) (cos x)' = - sin x; j) (tan x)' = - 1-2 - ;

b) (x")'

e) (uv)' = u'v

f)

+ uv';

(!:.)' = u'v v v

2v x

h) (sin x)'

COS

k) (cot x)'

X

1 sin 2 x

= -

v'u;. 2

848. Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen durch Berechnung des

. Lly G renzwertes I1m -:;;-

") y= 3; I

I

k) Y

X

=

3x

t1x-+o LJX

a)y=x 3 ; ,

b) y

c)y=

d) y

e) Y

J;; 1

= -; X

= =

x4 ;

sin x; 1

f)y=--:=;

vfx

h) y = tan x;

~ 2;

j)y =

I) Y

=

Jl+2x; J l + x2

Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen unter Verwendung der Grundformeln: x3 849. a) y = 3 - 2x 2 + 4x - 5 ; bx

+c

b)y=--

a

105

6.1. Ableitung algebraischer und trigonometrischer Funktionen

850. a) y = b)y =

x3

2x 3

x5

5 - - 3- + x;

862./(x) = - - x 2 + x; 3 berechnen Sie /'(0),/'(1),/'( -I)

(~- ~2r

863. f(x)

J-;;; b) y = 0) auf und zeichnen Sie Parabel, Tangente und Normale. In den Aufgaben 907 ··· 910 sind die Tangentengleichungen aufzustellen, Kurven und Tangenten sind zu zeichnen.

907. Tangente an die Kurve y = Stelle x = -1.

x3

3

an der

908. Tangenten an die Kurve y 2 = x 3 an den Stellen x 1 = 0 und x 2 = 1. 909. TangenteandieLockenkurve y= ~ 4 +x an der Stelle x = 2. 910. Tangente an die Sinuskurve y an der Stelle x = 'lt.

=

sin x

I08

6. Ableitung und Differential

911. Unter welchem Winkel schneidet die Kurve y = sin x die x-Achse?

918. y 2 = 4- x in den Schnittpunkten mit der y-Achse.

912. Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven 2y = x 2 und 2y = 8 - x 2 ?

919. y 2 = (4 + x) 3 in den Schnittpunkten mit der x- und y-Achse.

913. Bestimmen Sie die Länge der Subtangente, der Subnormalen, des Tangenten- und des Normalenabschnitts der Kurve: a) y = x 2 ; b) y 2 = x 3 an der Stelle x = I. 914. Beweisen Sie, daß die Subtangente der Parabel y 2 = 2px gleich dem Doppelten der Abszisse des Berührungspunktes, die Subnormale dagegen gleich p ist. 915. Bestimmen Sie in der Parabelgleichung y = x 2 + bx + c die Größen b und c für den Fall, daß die Parabel die Gerade y = x an der Stelle x = 2 berührt. Wiederholungsaufgaben 916. Stellen Sie die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel xy = 4 an den Stellen x 1 = 1 und x 2 = -4 auf, und bestimmen Sie den Winkel cp zwischen diesen Tangenten. Zeichnen Sie Kurve und Tangenten.

Stellen Sie die Gleichungen der Tangenten an die Kurven auf, und zeichnen Sie die Kurven und ihre Tangenten: 917. y = 4x- x 2 in den Schnittpunkten mit der x-Achse.

6.4.

920. Bestimmen Sie den Abstand des Scheitelpunkts der Parabel y = x 2 - 4x + 5 von deren Tangente im Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse. 921. Unter welchem Winkel schneidet die Gerade y = 0,5 die Kurve y = cos x?

922. An welcher Stelle erhalten wir eine zur x-Achse parallele Tangente an die Parabel y = x 2 + 4x? 923. In welchem Punkt muß man die Tangente an die Parabel y = x 2 - 2x + 5 legen, damit sie auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten senkrecht steht? 924. Bestimmen Sie die Länge der Subtangente, der Subnormalen, des Tangenten- und des Normalenabschnitts 2 der Kurve y = - - -2 an der Stelle

1+x

x=l.

925. Welche Winkel bildet die y

=

xz

4

Parabel

mit ihrer Sehne, deren End-

punkte die Abszissen 2 und 4 haben?

Fälle der Nichtdifferenzierbarkeit stetiger Funktionen

I. Knickpunkt

Ein Punkt A(x 1 ; y 1 ) der Kurve y = f(x) (Bild 29) heißt Knickpunkt, wenn an dieser Stelle die Ableitung y' nicht existiert, aber die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung existieren und voneinander verschieden sind: lim

~Y =

Llx-+- 0 LJX

m1 und

lim

Llx-+

~Y =

+ 0 LJX

m 2 • AusdemKnick-

punktheraus kann man zwei Tangentialstrahlen zeichnen mit den Richtungen m 1 und m2 • 2. Rückkehrpunkt mit vertikaler Tangente

Ein Punkt B(x2 ; y 2 ) (Bild 29) heißt Rückkehrpunkt mit vertikaler Tangente, wenn an dieser Stelle die Ableitung y' nicht existiert, die linksseitige und rechtsseitige Ableitung aber mit

6.4. Nichtdifferenzierbarkeil stetiger Funktionen

109

verschiedenem Vorzeichen nach unendlich streben. Ein solcher Punkt erscheint als Spezialfall eines Knickpunkts. Aus dem Rückkehrpunkt heraus läuft ein vertikaler Tangentialstrahl, den man sich als aus den beiden zusammenfallenden Tangentialstrahlen des Knickpunkts entstanden denken kann.

B

Y

3. Wendepunkt mit vertikaler Tangente Xz

Ein Punkt C(x 3 ; y 3 ) (Bild 29) heißt Wendepunkt mit vertikaler Tangente, wenn an dieser Stelle die Ableitung y' nicht existiert, wenn aber gleichzeitig gilt y

'

=

hm 0

Lfx~-o

Lly Llx

=

lim

Lfx-++O

Lly Llx

= + oo

X]

X

Bild 29

(oder- oo).

In den Punkten A und B hat die Funktion y = f(x) keine Ableitung, im Punkt C besitzt die Ableitung ebenfalls keinen eigentlichen Wert, bei Annäherung an C strebt y' nach unendlich. In allen drei Punkten ist die Funktion wohl stetig, aber nicht differenzierbar. 926. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = -v/ x 2 (oder y = Jxi), und bestimmen Sie die linksseitige Ableitung lim f' (x)

und die rechtsseitige Ableitung lim f'(x) im Knickpunkt der Kurve. X-+0+0

927. Im abgeschlossenen Intervall [0, 4] ist das Bild der Funktion y = 0,5 (x- 2) 2

J

928.

929.

930.

931.

zu zeichnen. Ermitteln Sie die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung im Knickpunkt der Kurve. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = '-/sin 2 x im Intervall [-7t, +7t], und stellen Sie die Gleichungen der Tangenten im Knickpunkt der Kurve auf. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = J I + cos x im Intervall [0, 27t], und stellen Sie die Gleichungen der Tangenten im Knickpunkt der Kurve auf. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Tangenten. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = t/~ im Intervall [- 2, 2], und stellen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve an der Stelle x = 0 auf. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = 1 2) 2 im Intervall [0, 4],

-t/(x-

und stellen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve an der Stelle x = 2 auf. 932. Zeichnen Sie die Kurve y 3 = 4x im abgeschlossenen Intervall [- 2, 2], und stellen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve an der Stelle x = 0 auf. 933. Zeichnen Sie die Kurve y 3 = 4 (2 - x) im abgeschlossenen Intervall [0, 4] und stellen Sie die Gleichung ihrer Tangente an der Stelle x = 2 auf. Wiederholungsaufgaben 934. Zeichnen Sie das Bild der Funktion

J

y = 1cos 2 x im abgeschlossenen Intervall [0, 7t], und stellen Sie die Gleichungen der Tangenten der Kurve in ihrem Knickpunkt auf. 935. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = + 1) 2 - I im abgeschlossenen Intervall [- 2, 0], und stellen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve an der Stelle x = - 1 auf. 936. Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = l4x- x 2 l im abgeschlossenen Intervall [-1, 5], stellen Sie die Gleichungen der Tangenten im Knickpunkt (x = 0) auf, und bestimmen Sie den Winkel zwischen den Tangenten.

t/ = J< 4 >(x) = dx4

,

und allgemein die n-te Ableitung

d"y y = J(x) = __ . dx"

1021. Bestimmen Sie die zweite Ableitung der Funktion a) y = sin 2 x; b) y = tan x; c) y = J1 + x 2 1022. Bestimmen Sie die dritte Ableitung der Funktion a) y = cos 2 x; 1 b) y

=

2;

X

c) y = x sin x 1023. Bestimmen Sie die dritte Ableitung der Funktion a) y = xlnx; b)s= te- 1 ; X

c) y = arctan-

a

1024. s

= -t 2

J-I 2 - 1 + arcsin --; d3s J2 2

bestimmen Sie 3 . dt

Bestimmen Sie die n-te Ableitung der Funktion: 1025.a)e-xfa;

b)lnx;

c)J-;

1026. a) x";

b) sin x;

c) cos 2 x

1027. Leiten Sie durch mehrmalige Differentiation die Leibnizschen Formeln ab: (uv)" = u"v + 2u'v' + uv"; (uv)'" = u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv'"; (uv)< 4 > = u< 4 >v + 4u"'v' + 6u"v" + 4u'v"' + uv< 4 > usw. 1028. Bestimmen Sie unter Verwendung der Leibnizschen Formel die zweite Ableitung der Funktion a) y = ex cosx; b) y = axx 3 ; c) y = x 2 sin x. 1029. Bestimmen Sie unter Verwendung der Leibnizschen Formel die dritte Ableitung der Funktion a) y = e-x sin x; b) y = x 2 ln x; C) y =X COS X 1030./(x) = X exfa; bestimmen Sie f"'(x), J(o). 1032. f(x)

=

X

.J1 +X

n ~ 2 gilt J(O) = (_ 1)11 _

1

; zeigen Sie, daß für . . 1 3 5 ... (2n- 3) n. 2n-1

115

6.10. Ableitung impliziter Funktionen

1033./(x)

=-

1-

1-x2

J(O)

;

zeigen Sie, daß gilt

2 m, 0 furn =2m- 1

1 (

=2

c) y

= {n! f~r n =

Hinweis: Beachten Sie die Identität

1 1-x2

b) y

1 1 ) 1+x+1-x ·

1034. Durch dreimalige Differentation der Identität (x-l)(xz + x3 + ... + x") = x"+l_ x2

1037. f(x)

k(k _ 1) = (n

+

1)n (n - 1) k=l 3 und schließlich die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen n

L k2= 12+22+ ··+n2 k=l

a) y

b) y c) y

•

= x 3 e"; = x 2 sin~; a = xf'(a - x) + 3f(a -

x).

I 040. Es ist zu zeigen, daß die Funktion y = x · e- 1 /" der Gleichung

x 3 y" - xy' + y l041.f(x)

=

=

0 genügt.

x 2 e-xfa; es ist zu zeigen, daß

gilt J(O)

=

n(n -

a

}l2(-l)n.

=

e-" 2 ; es ist zu zeigen, daß gilt J 0 für .dx--> 0; daher ist

= y'

+ odx.

(I)

Der Hauptteil yLlx des Zuwachses.dy der Funktion ist linear in.dx, er heißt Differential der Funktion und wird mit dy bezeichnet : dy

=

yLlx.

(2)

Setzt man in Formel (2) y = x, so erhält man dx = x'.dx = I · .dx = .dx, und so gilt dy

=

y' dx

(3)

Die Formel (3) gilt auch für den Fall, daß x wiederum Funktion einerneuen Veränderlichen t ist. Aus (I) folgt, daß.dy ~ dy ist, d. h., für genügend kleines dx = .dx ist der Zuwachs der Funktion angenähert gleich ihrem Differential. Speziell gilt für die lineare Funktion y = mx + b .dy

=

dy.

Bestimmen Sie die Differentiale der Funktionen: 1064. a) y = xn; b) y = x 3 - 3x 2 + 3x 1065.a)y =

---

.JI + x

gt2

b)s=2

2;

I066. a) r = 2q;- sin 2q;; 1067. a)

d(sin2

t);

b) d(l- cos u)

+ aretau b) d (a + In a);

1068. a) d (:

c) d(cos

I

b) x = (2

; ) ;

~);

d) d ( arcsin

.J;;;

1071. a) Die Kantenlänge eines Würfels ist x = 5 m ± 0,01 m. Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehler bei der Berechnung des Rauminhalts des Würfels. b) Die Länge eines Telegrafendrahtes ists = 2b (I

~) ;

1069. Bestimmen Sie

1070. a) y = x 2 ; bestimmen Sie den angenäherten Wert der Änderung des y (.dy~ dy), wenn x von 2 nach 2,01 läuft; b) y = bestimmen Sie den angenäherten Wert der Änderung des y, wenn x von 100 nach 10lläuft.

:~

aus folgenden

Gleichungen, indem Sie zunächst das Differential jedes Gliedes der Gleichung ermitteln. a) xz + yz = az; b) xy = a 2 ; c) x 2 - xy - y 2 = 0

+

zp 3b 2

),

wobei2bderAb-

stand zwischen den Aufhängepunkten und f die Pfeilhöhe der Durchhängung ist. Um wieviel vergrößert sich diese größte Durchhängung/, wenn sich der Draht durch Wärmeeinwirkung um ds ausdehnt? 1072. a) Mit welcher Genauigkeit muß man die Abszisse der Kurve y = x 2 im Bereich x ~ 4 messen, damit der Fehler bei der Berechnung ihrer Ordinate den Wert 0,1 nicht übersteigt?

J;;

118

6. Ableitung und Differential

b) Mit welcher relativen Genauigkeit muß man den Radius einer Kugel messen, damit der relative Fehler bei der Berechnung des Rauminhalts der Kugel 1% nicht übersteigt? 1073. Bestimmen Sie angenähert a) den Flächeninhalt eines Kreisringes, b) den

Rauminhalt einer Hohlkugel. Vergleichen Sie mit den genauen Werten.

. Wiederholungsaufgaben

1 1 1074. a) y = - - 2 ; b) r=cos(a-lxp); c) s =

X

..j1- t 2

J 4u- 1;

c)s=e- 2 '

6.12.

1,98

2.

~X~

b) Die Schwingungszeit eines Pendels

J!

9 0 s, wobei 1 die Länge

des Pendels in cm ist. Wie muß man die Pendellänge I = 20 cm verändern, um die Schwingungszeit um 0,1 s zu verringern? c) Mit welcher Genauigkeit muß man die Abszisse der Kurve xy = 4 im Bereich x ~ 0,5 messen, damit der Fehler bei der Berechnung ihrer Ordinate den Wert 0,1 nicht übersteigt?

1075. a) y = In cos x; b) z = aretau

= x 3 ; bestimmen Sie Lly und dy, und berechnen Sie beide Größen für die Änderung des x im Intervall

1077. a) y

sei T = 21t

Bestimmen Sie die Differentiale der Funktionen: X

1076. a) d (..j; + 1); b) d (tano:- o:); c) d (bt- e-br)

Die Parameterdarstellung einer Kurvengleichung

Eine Kurve sei durch die Parametergleichungen x = x(t) und y = y(t) gegeben. Die Ableitungen nach dem Parameter bezeichnet man durch PUnkte über x und y. Man findet

1078. Zeichnen Sie die Kurven der in Para-

meterdarstellung tionen:

gegebenen

Funk-

1079. a) x = a cos t; b) x = acos 3 t; 1080. a) x =

b) x

e' +e-r 2

= tan t;

y

y = bsin

t;

y = asin3 t ;

=

e'- e- 1 2 2 cos t y=

1081. Zeichnen Sie die "Einhüllende" oder

Eliminieren Sie soda'nn t aus den Gleichungen, und stellen Sie die Gleichung der Kurven in der allgemeinen Form F(x; y) = 0 auf. Bringen Sie die Gleichungen der Kurven, die in Parameterform gegeben sind, in die Form F(x; y) = 0 [oder y = /(x)].

"Evolvente" des Kreises (siehe dazu Aufgabe 368): x = a(cos t + tsin t); y = a(sin t - t cos t), für t wählen Sie dabei die Werte 0, 1t

31t

2' 1t, 2' 21t.

119

6.12. Parameterdarstellung

= xt sind die Parametergleichungen des Cartesischen Blattes x 3 + y 3 - 3axy = 0 (siehe Aufgabe 366) darzustellen. Verfolgen Sie die Bewegung des Punktes auf der Kurve, wenn t monoton folgende Bereiche durchläuft: a) von 0 bis + oo, b) von 0 bis -1, c) von -oo bis -I.

1082. Durch die Substitution y

1083. Stellen Sie die Gleichung der Tan-

gente an die Zykloide (siehe Aufgabe 367) x = a(t- sin t); y = a(I- cost)

Wiederlwlungsaufgaben

1086. Zeichnen Sie die Kurven, die durch

folgende Parametergleichungen geben sind: a) x = 2t - 1; y = 1 - 4t 2 ; b) X = t 3 ; y = t 2 - 2.

ge-

Bestimmen Sie dazu zunächst die Schnittpunkte der Kurven mit den Koordinatenachsen. Achten Sie darauf, daß für die zweite Kurve dy bei

dx

ist.

t = 0 nicht existiert. Stellen Sie die Gleichungen der Kurven in der Form F(x, y) auf.

1084. Stellen Sie die Gleichung der Tan-

1087. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an die Zykloide x = a( t- sin t);

in dem Punkt auf, für den t

= ;

Zeichnen Sie Kurve und Tangente. gente an die Hypozykloide (Astroide) x = acos 3 t; y = asin 3 t im Punkt t = ~ auf. Zeichnen Sie die Kurve

und die Tangente.

r:

:7

3r:

Sie für t die Werte t = 0; 4; 2; 4 usw

231C

auf. Zeichnen Sie Kurve und Tangente. an die Kreisevolvente

x = a(cos t + t sin t; y = a(sin t - t cos t) .

1m Punkt t

d2y

=

41C au f .

1085. Bestinm1en Sie - 2 aus den Glei-

dx chungen a) x = a cos t; y = a sin t; t3 b) X = t 2 ', y = - 3 - t·, -

1m Punkt t =

1088. Stellen Sie die Gleichung der Tangente

rfimveis: Stellen Sie für das Zeichnen der Kurve eine Wertetafel für x und y zusammen, wählen

c) x = a (f

•

y = a( 1 - cos t )

sin t) y = a (I

d2y

1089. Bestimmen Sie aus den Gleidx2 chungen a) x = 2 cos t; y = sin t -

cos r)

b) X = t 2 ; c) x = elr;

)'

= (

+ t3 ;

y

e3r

=

Anwendungen der Ableitung einer Funktion

7.

Geschwindigkeit und Beschleunigung

7.1.

Ein Punkt bewege sich auf der x-Achse und habe zum Zeitpunkt t die Koordinate x = f(t ). Dann ist in diesem Zeitpunkt seine Geschwindigkeit v .

seme Beschleunigung a

Llx dx = .dtlim.... O --::.-= , LJt

=

dt

.

Llv

hm -

(x 0 )

< 0, ein Maximum,

> 0, ein Minimum.

Für stellenweise nichtdifferenzierbare Funktionen versagt das Verfahren. Untersuchen Sie das Steigen und Fallen folgender Funktionen: 1158. a) y = x 2 ; 1 c)y = - ;

d) y

X

= lnx

1159. a) y = tan x; b) y = ex; c)y = 4x- x 2

1161.y= 4x1162. y =

x3

:J

x3

:J- x 2 -

3x

x4

1163. y

= 1 + 2x2 - 4

1164. y

4= x4

x3

X

2

1165. y =

1168. Y

1170. y

+ 4x + 5

2 + -;

1) In den Aufgaben 1165, 1168, 1173 und einigen

anderen muß man zum Zeichnen der Kurve deren Asymptoten bestimmen (siehe 5.9., Seite 101).

Vx

-1

2

1 1167. Y = 1 + x2

=

1169. y =

Die Extrema der folgenden Funktionen sind zu bestimmen und die Funktionen graphisch darzustellen: 1)

1160. y = x 2

1166. y =

xz - 6x 3+ 13

x-

- x)

x 2 (1

=1-

!j,_(x---4....,.)2

1171. y = e-~2 1172. y = x (0, 1t).

+ cos 2x

im offenen Intervall

+ tan x

im offenen Interva11

1173. y = 4x

lnx 1 +__ 1174. y = ____;. X

1175. y = x- arctan 2x

1176. a) y = xe-xtz; 1177. a) y =

Jsin x 2 ; b) y =

1178. y = sin4 x

1179. y =

X

b) y = x In x

+ cos4 x

J1-

4,J~ x+2

1180.y= - -

X

Je"

2 -

1

128 118 1. Y

7. Anwendungen der Ableitung einer Funktion

=

1182. y =

X

1)(x - 4)

(x -

x2

2

e-x>Jz

X

1203. y = x- 2Inx

1 + -;

1204. y = x 2 13 (x - 5)

1183. y = x 213 + (x - 2) 2 13 xs 1184. y = 5- x 4 + x 3 1185. y = x 3 (x + 2) 2 1186. y = 2

1202. y =

(.!_x - x.!_) 2

x3

1187.y= ~3 X -

1188. y = 2 tan x - tan2 x 1189. y = x + In (cos x)

J

1190. a) y = In 1 + x 2 - arctan x; b) y = lxl (x + 2) 1191. y = x 2 e-x 1192. y = 3j(x + 1) 2 - 2x

1205. y = sin 2x - x im Intervall

(- ; ';)

1206. y = 2x + cot x im Intervall (0; 7t). 1207.y = x+ arccot2x 1208. y = 1 + :.j(x _ 1)2 1209. y = 2 sin x + cos 2x im Intervall (0, 7t) 1210. y = 3x4

8x 3

-

+ 6x 2

Inx 1211. y = X

3- x 2 1212.y = - -

x+2

1213. y

1

=X+X

Wiederholungsaufgaben

Bestimmen Sie die Extrema der Funktion und zeichnen Sie die Kurve:

1214. a) y = ae-x cos x (für x > 0); b) y = 3x 5 - 5x 3

1193.y= 4x- x 2

1215. y = (4 - x) 3 9(2- x)

1194. y = x 2 + 2x - 3

x3

1216.

1195. y = - + x 2 3

Y

1196. y = x 3 + 6x 2 + 9x

= 12j(x + 2)2 x2 + 8

1217. y = 2x2 - 1

x4

x2

1197.y= - x-2

1218. y = (1 - x 2) (1 - x 3 )

x4

1I98. y = x 3 + 4 1199. y = 1200. y

x4

4- 2x

= 2x-

2

3jx 2

(x- 1)2

1201. Y = x2 + 1

1219. Y = 1 + x + x2 1-x+x2 1220. y = 1221

X

+

2J-

X

) = (x + 3) 3 · . a Y (x + 2)2' b) y=

J1- cosx

7.5. Extremwertaufgaben

7.5.

129

Extremwertaufgaben

1222. Eine an ein Haus angrenzende rechteckige Fläche von möglichst großem Inhalt soll durch einen Zaun mit einer Länge von 120m eingezäunt werden. Bestimmen Sie die Abmessungen der rechteckigen Fläche. 1223. Zerlegen Sie die Zahl 10 so in zwei Summanden, daß deren Produkt möglichst groß wird. 1224. In ein Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h ist ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einzubeschreiben. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks. 1225. Aus einer quadratischen Pappe mit der Seite a werden an den Ecken gleich große Quadrate herausgeschnitten; aus dem übrigbleibenden Teil wird ein rechteckiger Karton zusammengeklebt. Wie lang muß eine Seite des auszuschneidenden Quadrats sein, damit der Rauminhalt des Kartons möglichst groß wird? 1226. Bestimmen Sie die Abmessungen eines offenen Bassins mit quadratischer Bodenfläche, das ein Volumen von32m 3 hat, wenn für den Anstrich seiner Wände und seines Bodens eine möglichst geringe Materialmenge verbraucht werden soll. 1227. Die Schenkel und die kleinere Grundlinie eines Trapezes sind je 10 cm lang. Bestimmen Sie seine größere Grundlinie so, daß der Flächeninhalt des Trapezes möglichst groß wird. 1228. Einem Halbkreis wird ein Trapez einbeschrieben, dessen eine Grundlinie der Halbkreisdurchmesser ist. Bestimmen Sie die Basiswinkel des Trapezes so, daß der Flächeninhalt des Trapezes möglichst groß wird. 9 Minorski, Aufgabensammlung

1229. Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts beträgt 18m. Für welchen Halbkreisradius wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten? 1230. In der Nähe des Werkes A wird entlang einer Geraden, die in Richtung der Stadt B führt, eine Eisenbahnlinie gebaut. Unter welchem Winkel a zu der projektierten Eisenbahn muß man eine Landstraße vom Werk A aus anlegen, damit der Transport von Waren aus dem Werk A nach der Stadt B so billig wie möglich wird, wenn· der Preis für den Transport einer Tonne pro Kilometer auf der Landstraße m-mal so hoch ist wie auf der Eisenbahn? 1231. Zwei Lichtquellen befinden sich 30m voneinander entfernt. Ermitteln Sie auf der die Lichtquellen verbindenden Geraden den am schwächsten beleuchteten Punkt, wenn sich die Stärken der Lichtquellen wie 27: 8 verhalten. 1232. Zwei Flugzeuge fliegen in einer Ebene und geradlinig unter einem Winkel von 120° mit gleichförmiger Geschwindigkeit v. Zu einem gewissen Zeitpunkt erreicht das eine Flugzeug den Schnittpunkt der beiden Bahnkurven, während das zweite Flugzeug noch um die Strecke s von diesem Punkt entfernt ist. Nach welcher Zeit t wird die Entfernung beider Flugzeuge voneinander möglichst gering, und wie groß ist diese minimale Entfernung? 1233. Ein Balken rechteckigen Querschnitts, der an den Enden frei aufliegt, wird in seiner gesamten Länge gleichmäßig belastet. Die Pfeilhöhe seiner Durchbiegung ist umgekehrt proportional

130

7. Anwendungen der Ableitung einer Funktio11

Flächeninhalt der drei übrigen Zimmer am größten sein?

dem Trägheitsmoment des Balken3

querschnitts J = x~ , wobei x und y die Abmessungen des Balkens sind. Bestimmen Sie die Abmessungen eines Balkens mit möglichst kleiner Pfeilhöhe der Durchbiegung, wenn der Balken aus einem kreisrunden Stamm des Durchmessers d herausgeschnitten werden soll. 1234. Wie groß ist das Volumen einer Kugel in bezug auf das Volumen des größten Zylinders, der in diese Kugel einbeschrieben werden kann? 1235. Zwei Korridore der Breite 2,4 rn und 1,6 rn schneiden einander unter rechtem Winkel. Bestimmen Sie die größte Länge einer Leiter, die man (horizontal) aus dem einen Korridor in den andem tragen kann. Wiederholungsaufgaben

1236. Einern geraden Kreiskegel mit dem Radius 4 dm und der Höhe 6 drn wird ein Zylinder maximalen Volumens einbeschrieben. Bestimmen Sie dieses maximale Volumen. 1237. Einem Halbkreis mit dem Radius r wird ein Rechteck maximalen Flächeninhalts einbeschrieben. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechtecks. 1238. Welcher Punkt der Parabely = x 2 hat den kleinsten Abstand von der Geradeny = 2x- 4? 12.W. Ein Bild wird an die Wand gehängt. Sein unterer Rand ist um die Länge b, sein oberer um a höher als das Auge eines Betrachters über dem Boden. In welcher Entfernung von der Wand muß der Betrachter stehen, um das Bild unter einem möglichst großen Winkel sehen zu können? 1240. Die Gesamtlänge der Wände eines auf einem Plan dargestellten Hauses (Bild 31) soll 90 m betragen. Bei welcher Breite x des Korridors wird der

.; Sx

3x

Bild 31

1241. Einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 8 cm und einem Winkel von 60° wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen eine Seite in die Hypotenuse fällt. Welche Abmessungen erhält das Rechteck, wenn sein Flächeninhalt möglichst groß sein soll? 1242. Gegeben sind die Punkte A(O; 3) und B(4; 5). Auf der x-Achse ist ein Punkt P so zu bestimmen, daß die Entfernung I = AP + PB so klein als möglich wird. 1243. Die Festigkeit eines Balkens gegenüber Längsdruck ist proportional dem Flächeninhalt des Querschnitts. Bestimmen Sie die Abmessungen des Balkens, der aus einem kreisrunden Stamm vorn Durchmesser d geschnitten worden ist, wenn dessen Druckfestigkeit so groß als möglich werden soll. 1244. Aus einem Kreis wird ein Sektor mit dem Zentriwinkel a herausgeschnitten. Der Sektor wird zu einem Kegel zusammengerollt. Bei welcher Größe des Winkels 1r wird das Volumen des Kegels arn größten sein?

G

Bild 32

7.6. Konvexität und Konkavität - Wendepunkte- Kurvendiskussion 1245. Eine Last mit dem Gewicht G, die auf einer horizontalen Ebene liegt, soll durch eine im Schwerpunkt angreifende Kraft F (Bild 32) weggerückt werden. Unter welchem Winkel 7. zur

7.6.

131

Horizontalen muß man die Kraft F wirken lassen, damit sie so klein als möglich sein kann? Der Reibungskoeffizient sei ,u = 0,25.

Konvexität und Konkavität. Wendepunkte einer Kurve. Kurvendiskussion

1. Konvexität und Konkavität Eine Kurve heißt (von unten) konvex (konkav) an der Stelle x= x 0 , wenn sie in einer gewissen zweiseitigen Umgebung von x 0 "über" ("unter") der in x 0 angelegten Tangente verläuft. Die Kurve ist konvex, wennf"(x 0 ) > 0, die Kurve ist konkav, wenn!" (x 0 ) < 0. 2. Als Wendepunkt wird ein Punkt bezeichnet, in dem eine Kurve von der einen Seite ihrer Tangente auf die andere überwechselt (und folglich Konvexität in Konkavität übergeht oder umgekehrt). Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts an der Stelle x 0 ist, daß f" (x 0 ) = 0 bzw. nicht existiert bei Nichtdifferenzierbarkeit. Hinreichend ist, daß/"'(x 0 ) oJ= 0 bzw.f"(x) bei x 0 unter Vorzeichenwechsel verschwindet. 3. Kurvendiskussion Um eine Kurve zu zeichnen, ist es zweckmäßig, u. a. folgende Eigenschaften zu bestimmen: a) b) c) d) e)

die Symmetrie, Definitionsbereich und Wertevorrat, die Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems, die Unstetigkeitsstellen der Funktion. die Asymptoten, f) das Steigen und Fallen der Funktion und die Extremwerte, g) Konvexität und Konkavität, Wendepunkte. 1246. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Konvexität bzw. Konkavität, und zeichnen Sie die Kurven. a)y=x 2 ; b)y=x 3 ; c)y=ex; d)y=lnx; e) y = x5f3 1247. Bestimmen Sie die Extremwerte und Wendepunkte, und zeichnen Sie folgende Kurven:

x3

a)y=6-x2; b)y=e-x2; c) y

=

2x 1 + x2 ;

d) y

=

zt!x

Unter Verwendung jeweils geeigneter Kriterien aus 3. sind die Kurven zu zeichnen, die durch die Gleichungen in den Aufgaben 1248 bis 1262 bestimmt sind: 1248. y 2

= 2x + 9

132

7. Anwendungen der Ableitung einer Funktion

1249. y = -x2 - 4x Hinweis: In Aufgabe 1248 bestimme man Symmetrie, Definitionsbereich und Schnittpunkte mit den Achsen, in Aufgabe 1249 Extremwert und Schnittpunkte mit der x-Achse. 1250. a) y = sin x,

b) y = cos x

1251. a) y = sinh x,

b) y = cosh x

Hinweis: In den Aufgaben 1250 und 1251 be-

stimme man Extrema und Wendepunkte. 1252. y = In (x + 2)

1253. y = e-x Hinweis: In den Aufgaben 1252 und 1253 bestimme man den Definitionsbereich bzw. Wertevorrat, die Schnittpunkte mit den Achsen, die Asymptote und Konvexität bzw. Konkavität. 1254. a) y 2 = x 3 ;

b) y 2 = (x + 3) 3

1255. a) y = 2 + x 2

12 _

einx 1256. a) y = - - ;

3 1 4 ; b)y = :;-- x 3

b) y = e x e-x

X

4 1 2 1257.a)y=x+--; b ) y = - - x+2 x4 x2 1258. a) y = x - In x;

a

b) y = -- (e"/a 2

+

x4

e-xfa)

1259. a) y = - - ; b) y x 3 -1 1260. a) y 2 = 2x 2

-

1261. y = (x + 2) 2 13 1262. y 2 = x e-"

4

=-

x

1

+ -

x4

x 4 ; b) x(y- x) 2 -

(x - 2) 2 13

=4

8.

Das unbestimmte Integral

8.1.

Das unbestimmte Integral. Integral einer Summe

1. Als unbestimmtes Integral Jf(x) dx wird eine Funktion F(x) + C bezeichnet, die eine beliebige Konstante C enthält und deren Differential gleich dem unter dem Integralzeichen stehenden Ausdruck/(x) dx ist; das heißt, es ist

Jf(x) dx = F(x)+ C,

wenn

d [F(x)

+ C] =

f(x) dx.

2. Tabelle der Grundintegrale:

a) Jx" dx = nX: 1 + C; 1

(n =t= -1),

= Iei' + c, .na

c) Jcrdx

J~ COS

X

i) J~ 1 + x2

= tanx

_{

-

dx

d) J ex dx = ex +

e>J COSX dx = sin X+ C, g)

f-;-=Inlxl +

b)

C,

c'

f) Jsinxdx ~ -cosx + C,

+ C,

Jsm.~ x = - cot x +

h)

arctan x + C oder -arccotx + C 1 ,

fJ1-x dx

j)

2

C,

= { arcsin x+ C oder -arccosx+C:J,

3. Eigenschaften des unbestimmten Integrals:

I. dJudx = udx, III.

Il.

JAu dx = A Ju dx,

IV.

Jdu= u + C, J(u + v) dx = Ju dx + Jv dx.

Das Integral einer Summe bestimmt man also nach Eigenschaft IV als Summe der Integrale der einzelnen Summanden. 1263. Vervollständigen Sie durch Überlegung folgende Gleichungen: a) d ()

=

2x dx;

b) d ()

c) d ()

= cos x dx;

d) d ()

dx = -; X

e) d ()

= cos - -2 x;

f) d ()

= 1 + x2

dx

= x 3 dx;

1264. a) b)

dx

Bestimmen Sie danach die Integrale dx, Jx 3 dx usw.

J2x

Folgende Integrale sind zu bestimmen:

1265. a)

J(x

2

+ 2x +

JIOxsx4+

f

x- 2

!)

dx;

3 dx

~dx;

b)

1266. a) J(J~ + Vx)dx;

f

(xz

+ X

3

1)2.

dx

134

8. Unbestimmtes Integral

Wiederholungsaufgaben

Bestimmen Sie die Integrale: (x2- 1)2 dx; x3 1273. a) b)

I I(, J - -+-) ~ x2

I xJ; b) I (2J::

1274. a)

1269.a) 1270. a)

I

cos2x dx; • 2 2 cos xsm x

J.

2

dx

2

2

COS X

X

I

1276. a)

I

1272. a)

3 2 )dx; J 1-x2 I(~ 1 +x

b)

8.2.

2X dx;

b)

cos 2

2X dx

2 -

J1 ;4x2 dx

dx

dx;

1)2 dx

Je+ :2 + :3)

b) J(sin

1271. a)

sin2

1275. a)

;

sm xcos x 3- 2cot2 x d

b) J

J

b) cot 2 xdx

x-y x

f

dx;

~- cos ~f dx

e" ( 1 +

cc:: x) dx; 2"

b)

Ja" (1 + a:s") dx

1277.

f

1- sin 3 x . _ dx sm 2 x

1278.

Jtan2 x dx

Integration durch Substitution

Durch Substitution x = q;(u), dx = q;'(u) du, erhält man

J/(x) dx = J/[q;(u)] q;'(u) du.

(1)

Eine solche Umformung eines Integrals heißt Integration durch Substitution. In einfachen Fällen empfiehlt ·es sich, die Einführung der neuen Veränderlichen u im Kopf vorzunehmen, indem man folgende Umformungen des Differentials dx verwendet: 1 a

dx = -d(ax

+ b);

cos x dx = d (sin x);

usw.

dx -

X

= d(lnx)

Den Ausdruck in Klammern bezeichnet man dabei in Gedanken durch u. Ein solches Integrieren kann man als direkte Methode bezeichnen.

135

8.2. Integration durch Substitution

Bestimmen Sie die Integrale: 1279.

1295.

Jcos 3x dx

Hinweis: Die Aufgabe 1279 kann man auf zweierlei Weise lösen: u du a) Man substituiert 3x = u, x '= ·3, dx = 3 ;

+J

1296.

1280. Jsin 1281. 1282.

Je-

~

3x

dx dx

~~

J(eX/ + e- xf 1284. JJ4x- 1 dx 1285. J(3 - 2x) dx

2)

2

dX

1298.

J

1299.

Jsin2 x

1302 .

JV 5- 6x dx

1289.

Jsin (a -

J

1304.

bx) dx

2x- 5 dx 2 x - 5x + 7

nach der Formel

Jxx dx+ 1 2

J

1292.

J1 e-

dx

1- 10x 2x

dx

3 e2-'

Jcot x dx 1294. Jtan x dx 1293.

cos x dx

f

Jcos

u' dx

-~ ~~ ~c

x sin x dx

3

Jsincosx x

dx

3

1-2cosx . 2 dx sm x

Jsin x cos x

J 1306. Jex

dx

1305. ecosx Sin X dx

I

du

-~- =

In

Iu!

+ C,

d. h., ist der Zähler des unter dem Integralzeichen stehenden Bruches gerade die Ableitung des Nenners, so ist das Integral gleich dem Logarithmus des Nenners.

1291.

2smx

dx x(I +In x)

1303. J

Hinweis: Die Aufgaben 1289 bis 1298 löst man

1290.

dX

COS X.

130 1. Jco~ x dx sm 4 x

1287.JJ dx 3- 2x 1288.

sin x dx

I+3cosx

JI+

1300.

4

1286.

J

Hinweis: Die Aufgabe 1299 kann man durch Substitution sin x = u lösen oder direkt durch Ersetzen von cos x dx durch d (sin x).

• cos 5x

1283.

cos 2x dx sinx cosx

1297.

b) man bringt das Integral in die Form cos 3x d (3x).

J

x 2 dx

3

Hinweis: Die Aufgabe 1306 kann man durch Substitution x 3 = u lösen oder direkt durch Er1 setzen von x 2 dx durch ~3 d (x 3 ).

1307.

Je-xl x dx

1308.

f ";-;dx

1309.

JJ

elx

x 2 + 1 x dx

Hinweis: Die Aufgabe 1309 kann man durch Substitution x 2 + 1 = u lösen oder direkt, indem man das Integral in der Form

~ J(x 2 + 1)

112

1310. J;}x 3 1311.

J~h + -

d (x 2

+ 1) schreibt.

8x 2 dx

x2 dx x3

136

8. Unbestimmtes Integral

1312. f

x dx J1- x 2

1313 _ f

sin x dx J1 + 2cosx

1320. J cos (a - bx) dx 1321. JV~ctx 1322. JVt- 2x 3 x 2 dx

1314. f J1 + :xdx

1323. fJxdx 1 + x2

1315.JJ1 +4sinxcosxdx

1324.

1316. JV1 - 6x 5 x 4 dx 1325.

Wiederholungsaufgaben

Bestimmen Sie die Integrale: 1317. J (ex + 1318.

J sin3

e-x) 2

I

1 - 2 sin xd COS

2

dx

x cos x dx

1- 4x

Integrale von der Form

1 + sin 2x . dx sm 2 x

1327.

I

1328.

I

I---z--+ dx

2,

x2 dx 1- x 3

~xbx)3

(a

fJ

dx

x _a a2-x2 mit Angabe geeigneter Substitutionen

1329. Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Gleichungen

dx

x

1

a) I - - = -arctan- + C mit a2 + x 2 a a Hilfe der Substitution x = a tan t:

b)f

dx . x C . = arcsm- + mit v' a2- x2 a

I

lx- al +

dx = _!_In x 2 - a2 2a x + a mit Hilfe der Zerlegung

d)

-

f

1331. a)

X

C

a2

-

=

2a

x2

-

a2

LC~ a- x ~ a) ;

J xdx+ k =lnlx+yx;----+k!4-C 2

Jx 2 +k=t-x.

, fdx 1 v x2 +k

dx -25

b)I~ x2+ 9

;

b) f

dx ; 4- x 2

dx

P+5

J xdx2 - 4 ;

b)I~ x2 + 3

1333. a) f J dx ; 5- x 2

b) I x2 dx 4 + x6

1334. a) f

xdx 1

v 3- x4

;

b) I b2 x 2dx - a2

1335. a)

J

1336. a)

I 5x- 2 x 2 + 4 dx;

2

mit Hilfe der Substitution

2

fJ

1332. a) f

I a+x+a-x

I

x2

1330. a) I

1

Hilfe der Substitution x = a sin 1;

c)

X

X

1326. J e•inx cos X dx

1319. f J dx

8.3.

I

1337. a)

J

I

dx

3- 4x

2

;

b)

I

b) I

J x+ 1 dx; b) x2 + 1

I

x 3 dx Jx 8 - 1

3~- 4 dx

x-- 4

X+ 1 dx 1 y' 1 - x 2

1338.

I + Ix4

x2 dx 1

Wiederholungsaufgaben

x2

Bestimmen Sie die Integrale:

dx x2 - 3 Hinweis: In den Aufgaben 1338 und 1339 zerlege man den unechten Bruch in einen ganzen rationalen Ausdruck und einen echten Bruch. 1339.

1340.

3 1 14.

I I

dx x 2 + 4x

+5

dx x2-6x+13

Hinweis: In den Aufgaben 1340 bis 1347 trenne man aus dem quadratischen dreigliedrigen Ausdruck jeweils ein vollständiges Quadrat ab.

1342.

1343.

1344.

1345. 1346. 1347.

8.4.

I + I J1-

dx .../4x- x 2

x2

I I

dx

+ 3x + 3

dx J2+ 3x-2x2 J3x 2

dx -

1349. 1350. 1351. 1352.

2x-1

IL ~ I(..;

1354. 1355. 1356. 1357.

3

2

+ x2 ~

1 2-x2

I I

3) dx

1 + .j2+x 2)

dx

4x- 5 - 2- - dx X + 5 x2 dx x2 - 2

I ~4+

dx 2

I j1X

+3

dx 2x- x 2

I

1348.

1353.

dx Jx 2 2x

I

137

8.4. Partielle Integration

ex dx e2x

Ix4:d~,25 I + +

I

x2

dx 4x

29

dx x 2 -2x+5

I

dx J5- 4x- x 2

1358. I---=-2 _x_d_x__ X +X+ 1 1359.

I

dx J4x 2 +4x+ 3

Partielle Integration

Aus der Formel für das Differential eines Produkts d(uv) = u dv Formel für die partielle Integration

+ v du

ergibt sich die

JII dv = !IV - JV du. Diese Formel wird vornehmlich dann angewandt, wenn unter dem Integralzeichen das Produkt einer algebraischen und einer transzendenten Funktion steht, z. B. x 2 ex dx oder x 2 ln x dx. Dabei setzt man u für eine Funktion, die durch Differentiation vereinfacht wird, und dv für den restlichen Teil des Integranden einschließlich dx, flir diesen restlichen Teil möge das Integral bekannt sein oder immerhin gefunden werden können.

J

J

138

8. Unbestimmtes Integral

Unter den transzendenten Funktionen eignen sich gewöhnlich ln x, arctan x und arcsin x für eine Substitution durch u. Zum Beispiel muß m~n im Integral Jx 2 ln x dx u für ln x (aber nicht für x 2 ) schreiben, im Integral J x 2 e"' dx u für x 2 (aber nicht für e"'). Bestimmen Sie die Integrale:

1372.

1360.

1373.

Jln x dx

Jln (x + 1) dx 1374. Jcos (In x) dx

1361. Jxln(x-l)dx 1362.

Jx e

dx

2 "'

Jx 3 e-x dx 2

. Wiederholungsaufgaben

1363. J x arctan x dx

Bestimmen Sie die Integrale:

1364. J x 2 cos x dx

JJ; In x dx

1365. Je"' sin x dx

1375.

1366. Zeigen Sie, daß gilt

1376.

Jx

1377.

Jarctan x dx

I .J

+ k dx = ~ [ x J x 2 + k + kln(x + Jx 2 + k)] + C.

1367. 1368. 1369.

1370.

x2

J(In x)

2

I ~~X

1378.

dx

1379.

e-xf 2 dx

2

I

xdx -2cos X

Jex cos x dx

. f arcsmJ 2 dx X

Sill X

I---:;zJ .J +X lnxdx

1380.

arcsin x dx 1

1371. J arcsin x dx

2-

~

X

138 1.

I

1382.

Jarctan ....,hx-

x c~s x dx Sill 3

x

1 dx

Integration trigonometrischer Funktionen

8.5.

1. Integrale der Quadrate und anderer gerader Potenzen des Sinus und Cosinus ermittelt man, indem man den Grad der Potenz nach folgenden Formeln herabsetzt: . 2 Sill X

=

1 - cos 2x ; 2

COS

2

X

=

l

+ cos 2x 2

;

.

Sill X COS X

sin 2x 2- .

=-

2. Integrale der dritten und anderer ungerader Potenzen des Sinus und Cosinus ermittelt man, indem man von der ungeraden Potenz einen Faktor abtrennt und die Co/unktion als neue Veränderliche u einführt. Das Integral cosm x sinn x dx ermittelt man nach Regell, wenn m und n beide gerade sind, nach Regel 2, wenn m oder n ungerade ist.

J

1383. J sin 2 3x dx 1384. 1385.

J(1 + 2 cos x? dx

J(1 -

sin 2x) 2 dx

1386. J cos 4 x dx

Jsin 1388. Jsin 1387.

2

x cos 2 x dx

4

x cos 4 x dx

139

8.5. Integration trigonometrischer Funktionen

Jsin 2 x cos x dx 1390. Jsin x dx 1391. Jsin 2 x cos 3 x dx 1392. Jsin3 x cos 3 x dx 1393. Jcos x dx 1394. J(I + 2 cos x) 3 dx 1389.

1406. Isin (5x- :) cos (x + :) dx

4

5

1407. Leiten Sie folgende Reduktionsformeln durch partielle Integration her: 1 . a) sin"xdx = --;cosxsm"- 1 x+

I

7

1395.

I co~3 I

x dx sm 2 x

b) Icos"xdx = : sinxcos"- 1 x +

3 1396 _ sin x dx cos 2 x 1397.

I~= sm 2x

1398. a)

I

Isin2 ~ + cos2 x dx 2 sm x cos x

I

=

1401.

a) Isi:: x' b)

I

3

1407 auf die Integrale

x dx

Jcot 3 x dx

Hinweis: Wenden Sie in den Aufgaben 1403 bis 1406 folgende Formeln an: 1

sin c; cos ß = -f [sin (c; + ß) + sin (u;- ß)], 1

cos c; cos ß = 2 [cos (u; + ß) + cos (u; sin c; sin ß =

1

2

[cos (u;

~

ß)

Jsin 3x cos x dx 1404. Jcos mx cos nx dx 1405. a) Jsin 3x sin 5x dx; b) Jsin mx sin nx dx 1403.

I ~x

sm x

und

Wiederholungsaufgaben

Hinweis: Setzen Sie in der Aufgabe 1401 tan x = t, x = arctan t.

1402.

Ico~~x·

Hinweis: Wenden Sie die Formeln der Aufgabe

dx sinx- cosx

Jtan

J

J

1408. Bestimmen. Sie die Integrale

1399 _ Icos x + sin x dx sin 2x 1400.

1 cos"- 2 x dx

und bestimmen Sie nach diesen Formeln: b) cos 6 x dx a) sin 6 x dx;

?

- dx cosx

I

~

+ n

dx -. - ; b) sm x

I

+ n : 1 sin"- 2 x dx;

~

~

ß)],

cos (o; + ß)].

1409. 1410. 1411.

J(1 +

Jsin

Jsin

3 cos 2x) 2 dx

4

x dx

4

x cos 2 x dx

Jcos x dx 1413. J sin x cos 2 x dx 1414. J(1 + 2 sin x) dx 1412.

5

3

1415. 1416. 1417.

I

3

(sin x - cos x) 2 d . X sm 2x

Jsin 3x sin x dx

I

sin 3 x + 1 COS

2

X

1418.Isin(x+

dx

~)cosxdx

I~ an. cos x

140

8. Unbestimmtes Integral

8.6.

Integration rationaler algebraischer

Fuo~ktil)neo

1. Steht im Integranden eine unecht gebrochene rationale Funktion, so läßt sich diese in die Summe einer ganzen rationalen Funktion und einer echt gebrochenen rationalen Funktion zerlegen.

2. Der Nenner einer echt gebrochenen rationalen Funktion wird in Faktoren der Form a)m und (x 2 + px + q)n zerlegt. Die echt gebrochene Funktion wird dann auf folgende Weise in eine Summe elementarer Brüche zerlegt (Partialbruchzer/egung):

(x -

P(x) ----:--::-'--------:-= -A1- + 2

+ px + q)n ...

(x- a)m (x

A2

(x- a) 2

x- a

Am + ... + _ ___:.:.:_

(x - a)m

wobei P(x) ein Polynom ist, dessen Grad niedriger ist als der des Nenners. Bestimmen Sie die Integrale:

I I

1419. a) b)

1420. 1421.

x3 x _ 2 dx; x4

x

2

I

I

+

a

2

1429.

(x- 2) (x- 3)

dx

2x + 7 dx x 2 +x-2

2 1422. I 3x ~ 2x- 3 dx -X

1423. I (x2+ 1) 3 dx X

1424.

-X

I :+

2

x - 2x 2

I

5x + 2 dx x 2 +2x+10

Hinweis: Es ist im Nenner ein vollständiges Quadrat abzutrennen und danach x + l = t zu setzen.

dx;

x - 4

X

1428.

dx

I

x2

1430. I

4x - 2 ' 4 dx 0,2x + 0,17

-

2x2 + X + 4 dx + x 2 + 4x + 4 7x- 15 x3- 2x2 + 5x dx x3

1431.

I

1432.I~ x3 + 8 1433. I

3x2

+

(x

1434. a)

+ 2x + 1 dx + 1)

1)2 (x 2

I( + x

dx

2

2 2;

b)

b)

I

(x

2

dx 2 3 + b)

1425. I 3x - 2a dx x 4 - ax 3

Hinweis: Setzen Sie x = b tan t, und verwenden Sie dann (im zweiten Beispiel) die Formel b) aus Aufgabe 1407.

1426. I2x2- 5x + 1 dx x 3 - 2x 2 + x

1435. a)

1427.

I

5x- 1 dx 3 x - 3x- 2

I

b)I

(2x

(x 2

+

(x 2

-

+

1) dx · 2x + 5) 2 '

dx

6x

+

10) 3

8. 7. Integration irrationaler algebraischer Funktionen 1436.

J

1437.

f

(1

4xdx

+ x) (1 + x2)2 x+ 1

4

4 X2 + 4 dx

X+

Bestimmen Sie folgende Integrale, ohne die aUgemeine Methode der unbestimmten Koeffizienten anzuwenden:

Hinweis zu den Aufgaben 1438 bis 1442: In den Zähler des unter dem Integralzeichen stehenden Bruches schreibe man die Differenz der Faktoren des Nenners und teile dabei das Integral durch die im Zähler entstehende Zahl.

( dx a) Jxx+ dx 1439. J + p)

1446.

f

1447.

J

1448. 1449.

141

5x- 14 3

X

2

-X-

(x -

f

4X

+ 4 dx

..tx llx + 16 1) (x + 2) 2

5x- 8 dx 2 x - 4x + 4x 3

Jx

1450.

f

1452.

f

1453.

J

x+2 2

3

-2x +2x

dx

x- a dx + a2 X

3

X

1438.

1440.

1441 ·

1442. 1443.

(x

(x

f

+

b)

dx

2

x-2x

J .__3)dx_ _+_2) -

4

dx

f f

X

-X

2

dx

X

3

+ 4X

1454.

Wiederholungsaufgaben

J

1445.

2 f 2x 3x+ + x- 3 dx

2x - 1

(x- 1)(x- 2)

xdx

(x2

+ 2x +

dx

J

2)2

dx

X

2

+ 5X

1455.

f

1456.

fx dx 1

Bestimmen Sie die Integrale: 1444.

8

In den Aufgaben 1454 ··· 1457 führe der Leser die Integration ohne Zuhilfenahme der Methode der unbestimmten Koeffizienten aus.

(x 2

(x 2

dx

X3 _

dx

x

4

+ 3x

2

_

4 _

dx 1457. x 4 - x2 - 2

2

Integration einiger irrationaler algebraischer Funktionen

8. 7.

J

1. Das Integral R(x; ';,/ax + b) dx, wobei R(x; y) eine rationale Funktion sei, wird durch Substitution ax + b = t" gefunden, das Integral der allgemeineren Form R(x"'; ax"' + b) xm- 1 dx durch Substitution· xm + b = t".

J

'J

2. Das Integral

f

(x - a)

J+ ax 2

n -1-

bx

+

c

dx wird durch Substitution x - :x =

.!.. gefunden. t

8. Unbestimmtes Integral

142

3. Trigonometrische Substitutionen

In eine rationale trigonometrische Form lassen sich folgende Integrale verwandeln:

JR(x; J JR(x; J

x 2 ) dx durch die Substitution x = a sin t,

a2

-

a2

+ x 2)

=

dx durch die Substitution x

a tan t.

4. Aus dem Integral

a 1 x+ a2 x 2 Jax 2

+ ··· + anX' dx

+ bx+ c

kann man einen algebraischen Teil nach folgender Formel absondern: J= (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ··· +

+

Cn- 1X'- 1)

Jax 2 + bx + c

CniJ ax +dxbx+ c ' 2

wobei die konstanten Koeffizienten c; (i = 0, 1, ... , n) durch Koeffizientenvergleich nach Differentation beider·Seiten der Gleichung und Beseitigung des Nenners gefunden werden.

5. Integration des binomischen Differentials Jx"'(a

+ bX')P dx.

Wir unterscheiden drei Fälle:

a) Ist p eine ganze Zahl, so wird nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt und gliedweise integriert; b) ist m

+

1 eine ganze Zahl, so integriert man mit Hilfe der Substitution a

n

+ bxn

= t';

c) ist m + 1 + p eine ganze Zahl, so integriert man mit Hilfe der Substitution ax- n + b= t', n wobei s der Nenner des Bruches p ist. Bestimmen Sie folgende Integrale unter Verwendung der Substitutionen 1 : 145 8. 1459.

I I Iv

~3x

1461. 1462.

1463.

3

+1

+1+

dx

X+

J

1464.

dx

x dx

J2x

1460.

1

X+

3 ;-;;-::--;--

1465.

1 1466.

X

JxJ~ dx

I IJ

Bestimmen Sie folgende Integrale unter Verwendung der Substitution 2: dx

1467.

x 3 dx

1+z/x4 +1 x 3 dx

x2

+2

IJ I I x

x2

-

xJ2x 2

I

1

dx

+

2x

+

1

dx x-..../2ax - x 2

dx (x + 1) J x 2 + 2x + 2

Bestimmen Sie folgende Integrale unter Verwendung der Substitutionen 3: 1468.

JJ

a2

-

x 2 dx

a > 0

1469. 1470. 1471. 1472.

143

8. 7. Integration irrationaler algebraischer Funktionen

f

J(4

+ x2)3

Jx 2 J4-

f

1484.

dx

Jx+l

x 2 dx

x2 dx J 0). 1756.·Berechnen Sie die Fläche zwischen der x3 Zissoidey 2 = ---undderenAsym2a- x ptote. Hinweis: Setzen Sie x = 2a sin 2 t, und gehen Sie

zu Parametergleichungen über.

1757. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Zissoide x3 y 2 = - - - um ihre Asymptote 2a- x (vgl. Aufgabe 1756) erzeugt wird. 1758. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der-

jenigen Fläche, die durch Rotation der Kurve y = e-x im Intervall 0 ~ x < + oo um die x-Achse erzeugt wird.

1759. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Astes der 1 - x1 ) 1m . Intervall Kurve y = 2 ( -; 2

(1, 1)

+ oo)umdiex-Achse gebildet wird.

Die Funktion

Joo e-x x'- 1 0

dx

ist. 1 )

J:

x 2 e- x' dx;

d)Je~

1xlnx

Hinweis: Im Beispiel c) ist für die Bestimmung

von lim In x die I' Hospitalsehe Regel zu verwenx-+oo

den.

X

1762. a)J

00

1

b) ("'

Jo

x

J 1dx+ x dx

2

Jo + x)

; .

3 '

c) Joo dx 1x2+x4

1763. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Kurve y = e- 2 x und den Koordinatenachsen (0 ~ x < + oo) eingeschlossen wird. 1764. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Flächenstücks zwischen den Kurven xy = 4, y = 1, x = 0 um die y-Achse erzeugt wird. 1765. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Kurve y = xe-xtz (mit x > 0) um ihre Asymptote entsteht.

= F(t) heißt Gammafunktion von

t. Für ganzzahlige t> I ist, '

wie das aus Aufgabe 1760, Beispiel a) hervorgeht, F(t) = (t - 1)! Setzt man hierin t = 1, erhält man entsprechend 0! = F(l) =

J:

e-xxo dx = 1. Daher definiert man 0! = 1.

160

9. Bestimmtes Integral

9.8.

Der Mittelwert einer Funktion

Mitte/wertsatz. Ist die Funktion f(x) im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig, so gibt es

zwischen den Grenzen des Integrals

J:

f(x) dx eine solche Stelle x = Xm, so daß gilt

J: f(x) dx = (b - a) f(xm).

(1)

Der Funktionswert an dieser Stelle J:t(x) dx Ym = f(xm) = :....:;_b_ _

(2)

-a

heißt Mittelwert der Funktion f(x) im abgeschlossenen Intervall [a, b]. 1766. Bestimmen Sie den Mittelwert folgender Funktionen:

9.9.

a) y = sin x

im Intervall [0, 7t];

b) y = tan x

im Intervall [ 0, ;] ;

c) y = In x

im Intervall [1, e];

d) y = x 2

im Intervall [a, b]; 1

e)y= 1 + x 2

imintervall [-1, 1].

Zeigen Sie für jedes Beispiel den Mittelwert der Funktion in einer Skizze.

Die (Sehnen-) Trapezformel und die Simpsonscbe Regel

1. (Sehnen-) Trapezformel:

J:

f(x) dx

~

+

h [Yo.: Yn

:t: y;],

(I)

Dabei ist h = b - a, und die y 0 , y 1 , y 2 , ••• , Yn sind Ordinaten gleichen Abstands der Kurve n y ==- f(x) im Intervall [a, b] Abschätzung des Fehlers in Formel (1): (b .:.... a)h 2 l "I y max 12 e(h) ~

0

(I)

2. Simpsonsche Regel (Parabelformel oder FaßregeI) bei Teilung der Fläche in zwei Streifen: (IT)

b-a Dabei ist h= - 2- .

161

9.9. Trapezformel und Simpsonsche Regel

3. Simpsonsche Regel bei Teilung der Fläche in 2n Streifen: (ITI)

Dabei ist h= b- a. 2n Abschätzung des Fehlers in den Formeln (II) und (111): ( h)

e


+ 8y"+ 16y= 0 2212. Gesucht ist die Integralkurve der Gleichung y" - y = 0, welche die Gerade y = x im Punkt (0; 0) berührt.

Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

1. Grundlegende Eigenschaft

Gegeben seien die Gleichungen any + an_ 1y + ... + a 1y + a 0

=

S(x)- inhomogen,

any + an-lY + 5y"

Lösen Sie die folgenden Gleichungen durch Variation der Konstanten:

2236. y" + y' - 2y = 6x 2 2237. y" - 5y' + 6y = 13 sin 3x 2238. 2239. 2240. 2241.

2243. a) y" - 2my' + m 2 y = sin mx; b) n3y" - 4ny = 8

ds

+

2ts dt = e'dt

+ Jy) 2y2 + J y 4 + x4

2254. xy' = 4(y 2255. 2xyy' = 2256. xy"

+ y' =

In x

2258. y"- m2y = e-mx

+y=

2260. xy'

+ y In!.. =

2261. 2y'

+y=

X

2263. y" = y' d3

s

2264. dt 3

-

2lnx 0

y 3 (x - 1)

+

+

y' = x 2

y' 2

ds 3 dt

-

2s = sin t

2265. a) sin tds = ( 4t sin 2

+ 2 cos t

1+ s)

dt;

b) yy'x- y 2 = 1

+ y (x tan x + 1) = -1- ; COSX b) y"' + y = e-" e3" 2267. a) y" - 3y' + 2y = - -2-,.;

2266. a) xy'

b) y"'y

2257. yy" - 2y' 2 = 0

2259. y'xlnx

2262. y"'- 2y"

= y''y'

1+e

2268. Ein Zylinder vom Grundkreisradius r und einer Masse von j kg schwimmt mit vertikaler Achsenlage im Wasser. Gesucht ist die Periode der Schwingung, die sich ergibt, wenn man den Zylinder ein wenig in das Wasser eintaucht und danach losläßt. Der Bewegungswiderstand ist angenähert gleich Null anzunehmen.

201

12.12. Systeme linearer Dg/. mit konst. Koeffizienten

2269. Eine eiserne Hohlkugel mit dem inneren Radius r und dem äußeren Radius 2r hat an der Innenfläche eine konstante Temperatur von l00°C und an der Außenfläche von 20°C. Bestimmen Sie die Temperatur innerhalb der Wandung in einem beliebigen Ab-

12.11.

standevom Mittelpunkt (r ~ e und für e = 1,6r.

~

2r)

Hinweis: Die Geschwindigkeit des Absinkensder Temperatur dT/de in einem wärmeleitenden Medium mit stationärer Temperaturverteilung ist umgekehrt proportional der Fläche des Querschnitts.

Die lineare Eu/ersehe Differentialgleichung anx"y

+ an-lx"-ly 0).

Hinweis: Gehen Sie zu den verallgemeinerten Polarkoordinaten x = r cos 3 cp und y = r sin 3 cp über.

2325. der durch Schnitt mit der x-Achse

2317. Bestimmen Sie die Trägheitsmomente Jx, ly und JP der Fläche eines Rechtecks, das durch die Kurven x = 0, x = a,y = 0 und y = b begrenzt wird. 2318. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse einer Fläche, die durch die Kurven y

X

= 2,

x

=

a, y = a

begrenzt wird. 2319. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der y-Achse der Fläche eines Dreiecks mit den Eckpunkten A(O; 2a), B(a; 0) und C(a; a). In den Aufgaben 2320 bis 2323 ist das polare Trägheitsmoment JP der Fläche zu bestimmen, die durch die folgenden Kurven begrenzt wird :

13.3.

x2

entstandenen Halbellipse a 2

Yz

+ b2

= 1.

2326. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der y-Achse für die Fläche, die durch die Kurven

y = a

xz

+ -, a

y = 2x und x = 0

begrenzt wird. 2327. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse für die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A( 1 ; 1), B(2; 1), C(3; 3). Ermitteln Sie das polare Trägheitsmoment der durch folgende Kurven begrenzten Fläche: 2328. für ~ a 2329. für y

+

=

..!.'__ = 1,

b

x = 0,

y = 0

=

0 und

4 - x 2 und y

2330. r = a(l - cos cp)

Berechnung des Rauminhalts mit Hilfe des Doppelintegrals

Das Volumen 1 ) eines Körpers, der durch die Fläche z = F(x; y), durch die Ebene z = 0 und seitlich durch eine zylindrische Fläche begrenzt wird, die in der x, y-Ebene einen Bereich A ausschneidet, ist gleich V= 1)

Jf

(Al

z dx dy =

genauer: Mauzahl des Volumens

ff

(Al

F(x; y) dx dy

207

13.3. Berechnung des Rauminhalts mit Doppelintegral

Berechnen Sie die Volumina der Körper, die durch folgende Flächen begrenzt werden:

2331. z = x 2 + y 2 , x X = 0, y = 0,

+y Z

= 4,

= 0

2332. z = x + y + a, y 2 = ax, x = a, z = 0, y = 0 (für y > 0)

+ y) 2 +

2333. (x

az

z=O

=

a 2,

=

x

0,

y

=

0,

(Die Fläche ist mit Hilfe der Schnitte

0, y = 0, z = 0, z = h ~ a) zu konstruieren; siehe Aufgabe 546.

x

=

2334. x 2 + y 2 = a 2, x 2 + z 2 (siehe Aufgabe 552)

= xy, x = a, x = y = a, y = 0 2336. az = x 2 - y 2 , z = 0, 2337. z 2 = xy, x + y = a 2335. z 2

=

a2

x

=

a

a2,

+ y 2 + z2 = + y 2 ± ax =

az

2345. ~

=

x2

1 - a2

yz -

(Substitution x = r cos 3 rp, y = r sin 3 q;) Wiederholungspu.fgaben

Berechnen Sie die Volumina der Körper, die durch folgende Flächen begrenzt werden:

=

2348: z = a - x, y 2

z = 0

ax und

= x 2 + y 2 , y = x 2 , y = 1, z = 2350. y 2 + z 2 = 4ax, y 2 = ax, x = 3a

2349. z

xzyz

0

+ h2zz = a2y2

für 0

2353. x2/3 xZ/3

y ~ h (siehe Aufgabe 559).

~

+ z213 + y2f3

= a2/3, = a213 y 2 , z = 0,

-

(außerhalb des Zylinders)

= ax

b2 , z

=

+ a) 2,

2355. z 2 = (x

2343. Durch die erste Windung desHelikoids z y = x tan - im Innern des Zylinders a x 2 + y 2 = a 2 und durch die Ebene z = 0.

z

= 0 zt3

= 1

man zu Polarkoordinaten über.

a2, 0

+ y2

+ yl/3 + z213

yz

+-

bz

a2

Hinweis: In den Aufgaben 2354 ... 2358 gehe

(innerhalb der Zylinder)

2344. z 2 = 2ax, x 2

und -

2354. 4z = 16- x 2 xz + y2 = 4

(außerhalb des Zylinders)

2342. x 2 x2

2347. x2/3

xz

c e-xlfal-ylfb 2

2352. durch das Konoid

2340. az 2341.

=

(außerhalb des Zylinders)

= mx, + = z= 0 = a 2 - x 2 - y 2, z = 0 x2 + y2 + z2 = 4az, xz + Yz =

2339. z

y2

z

0,

2338. x + y + z = 3a, x 2 + y 2 = a 2 , z= 0 Hinweis: In den Aufgaben 2338 bis 2344 gehe man zu Zylinderkoordinaten über.

x2

2346.

0

2356. z

=

xz

2346 zu verallgemeinerten (elliptischen) Polarkoordinaten über: x = ar cos cp, y = br sin cp.

2

4

+y

+ Yz

2357. az = x: 2 x2 + y 2 2358. az = a 2 x2 + y2

xz

+ y 2,

z

± ax = x2

a2

z = 0,

2 ,

= 1,

-

+ y2 =

-

± ax =

+ yz = = 0,

4

0 y 2 , z = 0,

0

(innerhalb der Zylinder) xz

Hinweis: Gehen Sie in den Aufgaben 2345 und

X

x2

2359. az

yz

zz

+ bz - + -cz =

1

Hinweis: Substitution x=arcoscp, y=brsincp

208

13. Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale

13.4.

Der Inhalt gekrümmter Flächen

Der Flächeninhalt A desjenigen Teils der Fläche F(x, y, z) x; y-Ebene den Bereich (A.) bestimmt, ist gleich

=

0, dessen Projektion in die

Analog erhalten wir bei Projektion in die beiden anderen Koordinatenebenen A =J·r

J

(Ay)

1; 1 dxdz,

.l

A =!(

y

Berechnen Sie den Flächeninhalt:

x

=

2

=

X

= 2,

y

=

2x,

2361. der Fläche des Kegels z 2 = 2xy, die von den Ebenen x = a und y = a für x ~ 0 und y ~ 0 abgeschnitten wird. = x 2,

+ y2 =

die a2

2363. der Fläche az = xy, die innerhalb des Zylinders x 2 + y 2 = a 2 liegt. 2364. der Kegelfläche x 2 + y 2 = z 2 , die innerhalb des Zylinders z 2 = 2px liegt.

13.5.

dydz.

Berechnen Sie den Inhalt: 2365. der Fläche des Zylinders x 2 + z 2 = a 2 , die innerhalb des Zylinders x 2 + y 2 = a 2 liegt. 2366. der Fläche der Kugel x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , die innerhalb der Zylinder x 2 + y 2 ± ax = 0 liegt. 2367. der Fläche des Paraboloids x 2 + y 2 = 2az, die innerhalb des Zylinders x 2 + y 2 = 3a 2 liegt. 2368. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Doppelintegrals den Flächeninhalt des Teils der Erdoberfläche, der durch die Meridiane 0° und ß0 , durch den Äquator und den Parallelkreis 0:. 0 begrenzt wird. Betrachten Sie den Spezialfall o: = 30°, ß = 60°.

x 2 , die

J2 ausgeschnitten wird.

2362. der Kegelfläche y 2 + z 2 innerhalb des Zylinders x 2 liegt.

l~l

Wiederholungsaufgaben

2360. der Fläche des Zylinders 2z von den Ebenen y

s2•···· sll, ... ihrer Teilsummen für n ~ oo einem endlichen Grenzwert zustrebt: 1im S11 = S. Die Zahl S 11-+co

heißt Summe der konvergenten Reihe. Eine nicht konvergente Reihe heißt divergent. Für die Konvergenz einer Reihe ist lim u11 = 0 eine notwendige - aber keinesfails hinreichende Bedingung.

11-+co

2. Integralkriterium ( Cauchy) für die Konvergenz einer Reihe mit monoton fallenden posi-

tiven Gliedern:

Ist U11

= f(n), f(x) eine monoton fallende Funktion, und es gilt

f

cof(x) dx = { A, so konvergiert die Reihe,

oo, so divergiert die Reihe.

1

3. D'Alembertsches Konvergenzkriterium (Quotientenkriterium) einer Reihe mit positiven

Gliedern: Ist

< 1, so konvergiert die Reihe, . Un+l · d.1e R e1·he, 11m - = q ( > 1, so d"1verg1ert 11-+00 u,. = 1, so liefert das Kriterium keine Entscheidung.

4. Prinzip des Vergleichs von Reihen mit positiven Gliedern (konvergente Majorante - divergente Minorante): (1)

(2)

a) Ist (von einem gewissen n an) u11 ~ vn und Reihe (2) konvergent, so konvergiert auch Reihe (1). b) Ist (von einem gewissen n an) u11 ~ v11 und Reihe (2) divergent, so divergiert auch Reihe (1). 5. Reihe mit alternierenden Vorzeic'hen:

Die Reihe u1

-

u2

+ u3 -

u4

a) u1 > u2 > u3 > ··· und b) lim u11 = 0. n-+co

+ ··· konvergiert,

wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

217

14.1. Zahlenreihen

6. Absolute Konvergenz: Die Reihe (3)

konvergiert, wenn die Reihe (4)

konvergiert. In diesem Falle heißt Reihe (3) absolut konvergent. Konvergiert dagegen Reihe (3), Reihe (4) aber divergiert, so nennt man die Reihe (3) bedingt (nicht absolut) konvergent. Ist für folgende Reihen die notwendige Bedingung für die Konvergenz erfüllt?

2 4 8 2433.1 + 2!+ 3!+ 4! + ... 1·2

1·2·3

1 3 5 7 2422 - + - + - + - + ... . 2 4 6 8

2434.1+}:3+~+···

1 1 1 1 2423 - + - + - + - + ... . 1 3 5 7

2435. 1 +

2 4 6 8 2424 - + - + - + - + ... . 3 9 27 81

1 3! 5! 7! 2436 · 2 + 2 . 4 + 2 . 4 . 6 + 2. 4. 6. 8 + ...

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums die Konvergenz folgender Reihen:

2437.

1

1

1

2425. 1 +

3

2426. 1 +

1 J-14 + J-17 + J+ 10

2427.

+

1

2

5

+

7+

3

23 + 33 + 43 +

... ..

...

3

"2-3 +

5 9 -J== + _J___ + 2 · 32 3 · 33

1

r-;3 +

v.;) +

32 33 22 . 5 + 23 . 7 + ...

13

~

+ ...

Untersuchen Sie durch Vergleich mit der harmonischen Reihe bzw. mit einer geeigneten fallenden geometrischen Reihe folgende Reihen auf Konvergenz: 1

1

1

J2 + J3 + J4 +

1 1 1 2428. 1 + 12 + 1 + 22 + 1 + 32 + ...

2438. 1 +

1 2 3 2429. 1 + 12 + 1 + 22 + 1 + 32 + ...

1 1 1 2439. 1 + 2 . 5 + 3 . 52 + 4 . 53 + ...

I 1 1 2430. 32 - 1 + 52 - 1 + 72 - 1 + ...

1 1 1 1 2440· In 2 + In 3 + In 4 + In 5 + ..

1 1 1 243 1. 21n2 2 + 31n2 3 + 4ln 2 4 + ···

2441. Zeigen Sie mit Hilfe der Methode des Vergleichs von Reihen, daß die Reihe 1 1 1 --+--+--+·· 1+x2 1+x4 1+x6

Untersuchen Sie mit Hilfe des D' Alembertschen Kriteriumsdie Konvergenz der Reihen: 2

2432 · 3 +

4

9

6 8 + 27 + 81 + ..

...

für lxl ~ 1 divergiert, für lxl > 1 dagegen konvergiert.

218

14. Reihen

Hinweis: Ersetzen Sie beim Vergleich im ersten Falle die Potenzen x 2 , x 4 , x 6 , ... durch 1, lassen Sie dagegen im zweiten Falle die 1 in den Nennern unberücksichtigt.

Bestimmen Sie die Summe der Reihe 1 1 1 2442.-+ - + - + 3·4 1·2 2·3

...

Wiederholungsaufgaben Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz: 1 1 2449. 1 + - - - + - - - + ...

5J5

3J3

1 1 2450' 1 + 101 + 201

1

+ 301 +

legen.

3 2 1 2451. 1 + 14 + 1 + 24 + 1 + 34 + .

1 1 1 2443 ' }:4 + 4 . 7 + 7 . 10 + ...

2452. 1 +

4

Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Reihen:

2453. 1 +

42 + 72 +

Hinweis: Die u" sind in Stammbrüche zu zer-

1

1

1

2444. 1 -

J2 + J3 - J4 +

2445. 1 -

32 + 52 - 72 +

1

1

1

1

1

..

2454. 2455.

1

1

2

21

3

5

9

7 + 16 + ...

1

1

3

1 102 + .. 7 24 + ..

5

22 + 23 +

+

9

41

61 + 27 + ...

4

6

2

T + 3! + 5! +

2456.

sin 3cx sin 2a sina 2447. -1- + "22" + 32 + ...

2457. 1-

14.2.

+

+

2446· 2 ln 2 - 3 In 3 + 4 In 4 - ..

2448. Zeigen Sie, daß die Summe S der bedingt konvergenten Reihe 1 1 1 1--+----+··· 4 3 2 um die Hälfte verkleinert wird, wenn wir jedem positiven Glied zwei negative Glieder folgen lassen, daß sie dagegen auf das anderthalbfache anwächst, lassen wir jeweils zwei positiven Gliedern ein negatives Glied folgen.

3

J31

+

...

1 ... J5-

1 1 1 2458. 1 - - + - - - + ... 43 33 23 1 1 1 2459. I - - 2 + - 4 - - 6 + ··· 4a 3a 2a Bestimmen Sie die Summe folgender Reihe: 1 1 1 246o.N+ ):5+ ~+. 1

1

1

2461. - - + - - + - - + . 3·4·5 2·3·4 1·2·3

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

1. Die Gesamtheit aller Werte x, fi.ir die die Funktionenreihe u 1 (x) + u 2 (x) + ··· + un(x) + ..

konvergiert, heißt Konvergenzbereich der Reihe. Die Funktion S(x) = lim Sn(x) heißt Summe der Reihe, die Differenz Rix) n-+ CO der Rest.

(1)

= S(x) -

Six)

219

14.2. Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

2. Die Reihe (1) heißt gleichmäßig konvergent im abgeschlossenen Intervall [a, b], wenn man für jedes beliebige s > ·0 ein solches N finden kann, daß füt alle n > N und ein beliebiges x aus [a, b] die Ungleichung IR"(x)i < s erfüllt ist. 3. Kriteriumfür gleichmäßige Konvergenz (Weierstraß)

Die Reihe (1) konvergiert absolut und gleichmäßig im Intervall [a, b], wenn eine konvergente Zahlenreihe mit positiven Gliedern c1

+

+

c2

c3

+ ··· + c" + ···

existiert und iun(x)i ~ c" ist für a ~ x ~ b. 2462. Bestimmen Sie für lxl < 1 die Summe und den Rest der Reihe 1 + x + x 2 x 3 + ···, und zeigen Sie, daß sie im

+

I~tervall (o, _!_]

gleichmäßig konver-

2 giert. Für welches n gilt für den Rest IR"(x)i < 0,001 bei beliebiger Wahl von x aus dem gegebenen Intervall? 2463. Es ist zu zeigen, daß die Reihe x + x(1 - x) + x(1 - x) 2 + x(1- x) 3 + ··· im Intervall [0, 1] nicht gleichmäßig, im Intervall [

~ , 1] aber

gleichmäßig

konvergiert. Für welches n gilt für den Rest IR"(x)i < 0,01 bei beliebiger Wahl von x aus dem Intervall [

~ , 1] ?

2464. Es ist zu zeigen, daß die Reihe x x2 x3 --'--+--··· 1

2

3

im Intervall [0, 1] gleichmäßig konvergiert. Für welche n und beliebiges x gilt in diesem lntervalliR"(x)l < 0,1? 2465. Es ist zu zeigen, daß die Reihe x3 x3 x3 + I + x3 + (1 + x3)2 + ... für x > 0 nicht gleichmäßig, für x ~ 1 sogar gleichmäßig konvergiert. Für welches n ist der Rest IR"! < 0,001 für beliebiges x ~ 1?

2466. Es ist zu zeigen, daß die Reihe 1 1

---::== + - = = =

J1 + x

+

3J1

1

+ 3x

+

1

+···

J1 + 5x J1 + 1x im Intervall 0 ~ x < oo gleichmäßig konvergiert. Für welches n (bei beliebigem nicht negativem x) gilt für den Rest der Reihe IR"(x)l < 0,01? Hinweis: Die gegebene Reihe ist mit einer konvergenten Zahlenreihe zu vergleichen. 32

33

Wiederholungsaufgaben

2467. Es ist zu zeigen, daß die Reihe 1 1 1 ~- x 2 + 4 + x 2 + 9 1

- x2

+

16

+ ...

auf der gesamten Zahlengeradengleichmäßig konvergiert. Für welches n (bei beliebigem x) ist der Rest der Reihe IR"(x)i < 0,0001? 2468. Es ist zu zeigen, daß die Reihe 1 1

---+-----x(x

+ +

+ 1)(x + 2) + ... (x + 2)(x + 3)

1)

(x

1

im Intervall 0 < x < oo gleichmäßig 1 gegen - konvergiert. Für welches n X

(bei beliebigem x> 0) gilt für den Rest der Reihe IR"(x)i < 0,1?

14. Reihen

220

im Intervall

2469. Es ist zu zeigen, daß die Reihe

O~x

1

1

---=== + --;=:=== 2 J1

+x

+

J2

+

J2

1 . 4

+ 3x

+

gleichmäßig konvergiert. Für welches n gilt für den Rest der Reihe IRn(x)l < 0,01?

2x

1

J2 6

+ 4x

+ ..

Potenzreihen

14.3.

Gegeben sei die Potenzreihe (l)

ao + a 1 x + a 2x 2 + ··· + a"x' + ··

Die Zahl r heißt Konvergenzradius der Reihe (1), wenn die Reihe für lxl < r konvergiert, für lxl > r aber divergiert. r kann man entweder durch Untersuchung der absoluten Konvergenz der Reihe (l) nach dem D'Aiembertschen Kriterium bestimmen oder- falls alle a 1 von Null verschieden siil.d - nach der Formel r = lim

~~~.

n-+co On+l

Ist insbesondere dieser

Grenzwert r = CX>, so konvergiert die Reihe (1) absolut im Bereich der gesamten x-Achse. Eine Potenzreihe konvergiert nicht nur absolut, sondern sogar gleichmäßig in einem beliebigen Intervall [a, b]. das im Innern des Konvergenzbereichs (-r, r) liegt. Der Konvergenzbereich der Reihe ist zu bestimmen. Untersuchen Sie die Reihe auch auf Konvergenz für lxl = r.

2477. (x

+

x2

x3 2470. I + 3 . 2 + 32 . 3 + 33 . 4 + ...

x

+

1)

+

(x

(x + 1)2 + .(x + 1)3

+ 1)4

4·43

+ ...

2478 2x - 3 - (2x - 3)2

.

3

1

3. 4 2

2. 4

+

(2x - 3)3 -

5

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich und die Summe der Reihe 2479. 1 + 2x + 3x2 + 4x 3 + ... Hinweis: Zur Bestimmung der Summe S ermittle 2473.

2414.

xn

CO

f

(-x)n-1_

dS Hinweis: Man bestimme zunächst dx.

n 3"xn

oo

L, --r===-

n=l J(3n- 2) 2"

2476. a)

f xn-t. n!; b) n=lf

n=l

J:

S dx. x1 xs x3 2480.x-3+ 5 - 7 + ...

n=l n. n=l

2475.

man zunächst

L, -,

n!xn

(n + l)n

2481. 1 + 3x + 5x2 + 7x 3 + ... Hinweis: Bezeichnet man die Summe der Reihe mit S, so läßt sich der AusdruckS - Sx in Form einer summierbaren Reihe schreiben.

221

14.4. Taylor- und MacLaurin-Reihe m 2482. 1 + - 1-

+

X

+

m(m- 1) 2 1.2 X

2n- 1

n=l

2n- 1

x - 1 (x - 1? (x - 1? 2487. -1. 2 - + 3 . 2 2 + 5. 23 + ... 2x + 1 (2x + 1? (2x + 1) 3 248 8 .--+ + +··· 1 4 7

und lösen Sie diese Differentialgleichung.

Wiederholungsaufgaben Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe, und untersuchen Sie auch deren Konvergenz für !x! = r. 2x 4x 2 2483. 1 + + I 5 •5 "\) 9. 52 8x3

Bestimmen Sie Konvergenzbereich Summe der Reihe: 2489. 1 - 3x 2 + 5x4

J-

J:

-

und

7x 6 + ···

Hinweis: Zur Bestimmung der Summe S ermittle man zunächst

+ ...

.J13. 53

00

oo

m(m - 1) (m - 2) 3 1·2·3 X+···

Hinweis: Zeigen Sie, daß gilt S' S'x -+-=S, m m

+

10"x"

L J-n n=l 2486. L (-1)n-l_x_ _ 2485.

2490.

S dx.

x3 + - + ··· 2 3

x2

X

+ -

dS

Hinweis: Man bestimme zunächst dx.

2491. 1 - 4x + 7x 2 - 10x 3 + ... Hinweis: Man bilde den AusdruckS+ Sx.

14.4.

Taylor- und MacLaurin-Reihen

1. MacLaurinsche Formel: /'(0)

/"(0)

f(x) =/(0) + - 1 ,-x + 2 ! x 2 + ··· + R,lx),

dabei ist Rn(x)

= -x"1 [({}x), 0 ~ n.

(1)

{) < 1.

2. Taylorsche Formel: f(x) ..

dabeiiSt Rn(x)

= f(a)

+

f'(a)

""""I"! (x -

a) +

= (x-1 a)" [[a + {) (xn.

f"(a)

""""2! (x -

a)], 0

~

a) 2 + ··· + R,.(x),

(2)

{} < 1.

3. MacLaurin- und Taylor-Reihen: Geht in den Formeln (1) und (2) für n-+ oo Rn(x)-+ 0, so erhält man aus beiden Formeln unendliche Reihen: /'(0) /"(0) f(x) = /(0) + - - x + - - x 2 + ··· (3) 1! 2! ' f(x)

= f(a)

+

/~(~)

(x- a) +

f'~;a)

(x- a? + ···,

welche gegenf(x) konvergieren für alle x, für die gilt lim Rn(x) n-+oo

= 0.

(4)

222

14. Reihen

4. Reihenentwicklungen elementarer Funktionen: x x2 x3 e"'=1+-+-+-+··· 1! 2! 3! ' x3 xs sin x = x - - + - - ··· 3! 5! '

cosx

=

x2 x4 1 - - +-2! 4!

(1 + x)m = 1 + -

konvergieren für alle Werte von x gegen den Funktionswert.

...

m m(m- l) x + x 2 + ··· binomische Reihe, 1 l .2

konvergiert gegen (1 + x2

In (l + x) = x - -

2

x3

+ -

3

x)m für lxl
(x) =

J:

e-x> dx ist in

Gestalt einer Reihe darzustellen, der Wert 4> (

!)

ist anzugeben. Man ver-

wende dabei so viele Glieder als nötig sind, um den Fehler kleiner als O,OOI zu halten.

=

J:

y/ I

+ x 2 dx

ist in Gestalt einer Reihe darzustellen, der Wert 4> (

__1_2 = (-It-1x2n-2. I+ X n=1 Durch gliedweise Integration der entstandenen Reiheerhält man die Reihenentwicklung ftir arctan x.

x=

2521. Die Funktion 4>{x)

~)

ist anzugeben. Man

verwende dabei so viele Glieder als nötig sind, um den Fehler kleiner als 0,00001 zu halten. 2522. Die Lösung der Gleichung y" = x 2 y mit den Anfangsbedingungen x = 0 y = I, y' = 1 ist in Form einer Reihe anzugeben. 2523. Gesucht sind die ersten vier Glieder der Reihe, die durch die Lösung der Riccatischen Gleichung y' = I + x - y 2 mit den Anfangsbedingungen y = I für x = 0 bestimmt ist. 2524. Schreiben Sie die Lösung der Besselschen Gleichung xy" + y' + xy = 0 mit den Anfangsbedingungen x = 0, y = 1, y' = 0 in Form einer Reihe. ijliederholungsaufgaben

2525. Berechnen Sie J1,005; y/1,0012; Jo,993; !jo,997; unter Beschränkung auf jeweils zwei Glieder der binomischen Reihe . m(m-I)x 2

JIW; !./10; z/4ö

(1

+ x)m =

I

+ mx +

2!

+ ···.

Schätzen Sie den Fehler ab. 2526. Berechnen Sie cos I2° unter Beschränkung auf die beiden ersten Glieder der Entwicklung von cos x. Schätzen Sie den Fehler ab. 2527. Setzt man in der Reihenentwicklung . I von arcsmx (Aufgabe25Il.) x= 2, so läßt sich ozr näherungsweise bestimmen. Man beschränke sich auf die ersten drei Glieder der Reihe. Hinweis: Man berechne zunächst das erste der nicht berücksichtigten Glieder und bestimme darauf den Wert der ersten drei Glieder in Form von Dezimalbrüchen mit folgender Genauigkeit: Jeder dieser drei Werte hat einen Fehler, der kleiner als das erste unberücksichtigt gebliebene Glied ist.

14.6. Taylor-Reihe einer Funktionzweier Veränderlicher 2528. Stellen Sie

1t

unter Benutzung der

2533. Berechnen Sie

Identität

(/J(x)

2529. Setzt man in der Reihenentwicklung

2N

b) lg (N

+

N

+ 0,4343

1 1 [ N2N2

+

unter

x2 f cos -dx in eine Reihe, und x

s·1e ~ ( 1) 'P 2

. G eroJt. emer

der Reihe, die durch die Lösung der Gleichung y' = x 2 + y 2 , mit der Bedingung y = 0 für x = 0 bestimmt ist. 2536. Schreiben Sie die Lösung der Gleichung y" + xy = 0 mit den Anfangsbedingungen x = 0, y = 1, y' = 0 in Form einer Reihe. 253 7. Stellen Sie die Gleichungen einer Kurve, längs derer die Krümmung k proportional der Bogenlänge s anwächst, in Form von Reihen dar. Hinweis: Bestimmen Sie rp aus der .Bedingung

1 ] 3N3- ....

2530. Bekannt sei In 2= 0,6931. Daraussind In 5 und In 10 zu berechnen, und es ist

zu zeigen, daß für den Modul M 10 . 1 gilt M 10 = In 10 ~ 0,4343. 2531. lg 101 und lg 102 sind zu berechnen.

d'P = C, s wobe1. C eme . K onstante 1st, . undt··osen ds

2532. Die Länge des Bogens einer Ellipse

ist durch Reihenentwicklung zu bestimmen.

14.6.

+ x 3 dx

nauigkeit von 0,000001.

'

+

1

2535. Gesucht sind die ersten drei Glieder

3N

1) = lg N

=

o . bestimmen

= ..!_,so er-

+[_!_ __ 12 +-13 - .. ·]· N

J:.s J

Verwendung so vieler Glieder der Reihe als nötig sind, um den Fehler . kleiner als 0,001 zu halten. 2534. Entwickeln Sie die Funktion

1 1 arctan - + arctan 4 2 3 als Summe zweier unendlicher Reihen dar. 7t

- =

der Funktion In (1 + x) x hält man die Formeln a) In (N + 1) = In N +

225

Sie dann die Gleichungen dx = ds sin rp.

= ds

cos rp und

dy

Die Tay/or-Reihe einer Funktionzweier Veränderlicher

Die Taylorsche Formel für eine Funktion zweier Veränderlicher läßt sich in drei Formen schreiben:

F(x+ h;y+l)=

F(x;y)+~ [h! + l ~] F(x;y)+ 1. ux uy +

F(x; y)

_!_[hj_+ 2!

= F(a; b) +

+ -1

2!

dz

Llz = -

1!

l_j_] i'Jy

+

ox

2

[

0)

223. Die 0 und Bt enthaltenden Geraden sind vom n Typ y = k x. Wegen

k·a

Yt =-wird n Xt

- 1)

206. (-9, 6; ± 3 /s .jll9)

208. (-4; 3) und(-;;-~) xz yz 209. 16 - 48 = 1

212. y 2 = 8(x

+ 2)

X

(~r a

224. y 2 = 8(2- x) xz 225. y = X - 4; 01(2; 1)

.j2)

x2 yz 210. 2 -3 = 1 (f\ir a a2 x2 21l.y= 3 - 4

=

und damit yf = axk, was die von x = Xt und y = Yt erfüllte Gleichung y 2 = ax ist (k = 1, 2, ... , n).

204. (0; 0) und (6; ±2 .j3) 4 205. y = ± 3 (x + 5) 207. (± .J6; ±

2 •

689.

> 1 (x1 ~ x 2 ) 693. logax 694. ax 696.2 __!__ lg 2 3 oder n> - = 10· ' 0,3

I lglanl < e, sobald n > _e lg2 2 1 6 703. a. = 2·- · I-. _. '3' 5' 7' I 19 ........ I .

Ia.- 11 < 0,01, sobald n ~ 50; Ia.- 11 < e,

I- e 2e ·

sobaldn> - 704. a. = 4 · 3 1 · 3,01; .. :_; + 0; a. = 2; 2,9; 2,99; ........ 3-0.

3

705. a. = 6· 5 I· 5,01; .. :...:. + 0; a. = 4; 4,9; 4,99; ........ 5-0; an= -1· -1 9• -1 99· ..,--1,999; .•....... ·__:2 +'o;' a. = -3 · -2 1· -2 01· -2,001; :....... ·__: 2 _' 0'

5

706. Es mußalso lim(~ 2 -4)= x .... 2

= 0 sein, d. h., in der Umgebung von x = 2 muß lim[(x + h) 2 - 4] = o h-+0

sein. Es ist lim(4h + h 2 )

h-+0

gilt lim x 2 X-+2

=

=

4.

0, also

245

707-720 718. a)

tim~= 0;

x-+co X

2

b) lim

+oo;

-=

x-+ +O X

.

2

bm -= -oo;

x-+-0 X

c) lim 3-" = oo ; 707.

{J =

2'

708.

{J =

0,01

709. !im sin IX a .... o •

(

StniX=IX

=IX

(1

X-+00

1X2'{-1)'")

00

l: 2v+( 1)!· v=O 1X2

-

- + ...).

6 +

120 -

712. Für 713. Für

1~2k1X: 1)!

sin (-~X)~

;:; ; I~X!

lim sin j~Xj

00

=

~) ;:;;;;

-~X~

sin

IX

n-+oo

I~X!

b) -1 c) nicht vorhanden

sinO = 0

716.

X

x2•

l: (2 ) 1 (-1)'"; v=O V •

I(:;! ( -(::(~~~!)I < (2k)!

h2 cos h;:;;;; 1 - -2--;. 1.

=

X

!im sin t,

t ... oo

1 . -gesetzt Wird. t Der Limes existiert nicht, s. Lösung Nr. 719.

1 1,9 1,99 ...

1.

;

=

3 --=+ 0 und

+oo für x-+ a+O) bei -oo für x-+a-0 a< 0 2

3

m 743.3 744. 1 1

745.-2

2

3;

746. a)

b) -2,5

747. 0 748. 00 749. -2 3

750.-2 1

751.

.fi

752.

6

I

753.4 für

< a< =

1

2

754. -12

1

2

731. Vgl. Lösung Nr. 714. 2-:: lim "• = !im -

3

I

c) oo; f) 0;

a > I,

742.

1

J2

2

741. -

s. Nr. 709, und I im cos h = I, folgt

722. a,. = 2r sin ...:._ ;:;;_ 2r .2.. 8r

1 738. 2

h) -

h .... o

z

Z-+rf~·

cos a]

728. lim [cos(a +

721.limxsin- =limsinz >
1; divergent für

A dx

o 0,6 A 1 .j2g; =lOOs R2

1738. t =

~

2

0

:~01 [ (::r-~- 1J

d)

1736. 0,024Jt kpm

1718 34.jli-2 1t 9 .

1725.240 Mp ah 3 1726. Jx = - · J. 3 ' '

R

10001tR2H2 1734. 6

1735.

1716. 3Jt 1717. 47t2 ab

J

2· 1000 Jh (h-x)

h X X dx

1747. t

Rh mgR2 - - dx= '!!!______ 2 R+h x

R+h

1746.

1tr

-~2--

~

=3;a~9a

1714. 2Jt [.J2 +In (1 + 64 1715. 3 Jta 2

1724.

0,5Jta2

4

4

3~3)

1745.

J

---~-

8 5

2 J>dx

ay

1709. 4.j3 1710. 4Jtr 2 14Jt 1711.3

1713. 2Jt ( 1 +

ry2dx • 0 y,=----

-4 ba2 ••

=

Ys

1744. x, = 0;

I

ab . 3 •

0

= 4a,

x,

.J2)]

2,29p

=3

J =J

A =

1706. In 3

6

a

1730. Mx=

1705. 2:

1708. p

a3

= - '•

1729. Mx= Mv '

n~1

1749. a) 1; 1 b)

c)

2;

7t

4;

d) 1; e) In 2; f) 16 1750. a)

7t

6; 7t

ln 2

b)4+ 2 ; Jt-2

c)--

1751-1771

273

Vz;

I75l. a) 6 b) divergent; c) 6

f)

=

Joo

I752. a)

1 dx 3 o -yi +X konvergent, denn

1

~1

ist kon-

I"

x'

X

ist kon-

X

1

1754.

konvergiert

(siehe Aufgabe I749);

oo sin x2 dx d) I

.

ISt

X

X

1758.

ab-

un

d

1

xdx

X

und

Joo - dx 2

divergent; 18

X

~x"- + 1 > ~x"-+ 0'

xJ2

ist

Minorski, Aufgabensammlung

=

m

+ ~2)]

J~ e-xxm dx =

+m

X

1 1763.2

1764. 16Tt 1765. 2rt 2 1766. a) ~;

3ln 2

b)-Tt-;

1

I:

1768. a) e(h)

e-xxm-l dx

=

0;

b) \e(h)l ~

~~ +

b) mit x 2 = z und dz dx = 2~;

I:

a 2 +ab+ b 2 3

1767. Für n = 10 wird In 2 = 0,693 und ILIYI ;;;; 10- 3

4

15
dy=

=

+

I>x I:~

I:dy I:dx+

Js Js-" 4

dy

0

dx = 40. 3

2313. (3; 4,8}

231S.

c;; ;)

a4

2327. 3

a3b -3-; ab3

12

I:

+ a3b 3

9 a3

2336.3

2319.

a4

4"

7t

2337~ 12"a

(Bild 66) (Bild 62)

1r2 a 3

16-J2 3 2344.15a

7tabc 2345.-2-

2349. V= 2J dxJ

:s

= 18

23SO. V= 4 X

2338. 37ta3

0

1

x>

zdy =

(Bild 67}

I

I y;;;zy;;;

3a

0

dx X

1 V 4ax-

= 3a3 (47t- 3

(Bild 64)

2351. V= X

X

8I"oa!!_

yz dy=

-J3)

X

X

..ja2 - x2 dx X 16ab2 I~o" y'a>-x> dy=-3

2352. V= 4 3

~)

(Bild 68)

2335. (Siehe Bild SO, Seite 270) 8 -a3

17a4

2318.~

dx I:-xzdy=

=4 a3

(37t - 4)

1

2333. Schnitte mit Ebenen z =hergeben x+y= = ± a(a- h), also parallele Geraden, d. h., die Fläche ist zylindrischen Typs (Bild 63). Gesuchtes Volumen:

16

9

8 3 2348. 15 a

2332. 60 a 3

3

3

47ta 3 2347.35

79

2334.

-J3 a

4a3

2346. 1tabc ( 1 -

2 2331.423

2S6a) 2316. ( 0; 31 57t

Jp =

+ bz)

ab(a2

V=

ab3 2317. lx = - 3- ;

2342.

2343.

2326.30

(o; ~)

J, =

e:;

2341. 47t 3:)

.J

2312. (;; ; )

2314.

7tQ3

2330.~

dy =

4ma 3 3

r 2 dr=-·-

2340.2

2329. 47,S 357ta4

a 2 (37t- 2) 12 c)

-T

232S. ( 0; -: )

2328.

0

m COS9' d91X

(Bild 65)

7ta4

2323. lOS

=Ibdyib dx= •

X

88a4

2310. 7 ln 2

J: I•

2339. V= 4

2320.6

.Ja

I: I: ~ dx

2 -

1ra 2h

=-2-.

x 2 dy =

X

295

l

Bild 63

Bild64

z

z

Bild 65

Bild 66

z

Bild 67

Bild 68

296

2353-2387

z

2372J: dx

J:-x J:-x; dy

dz=

a4 24 Bild 69

2373. ( : ; : ; : ) 2374. ( 0; 0; ~-)

as 2375.4 2365. 8a 2 Das Volumen ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der Grundfläche des Keils (Konoids) und der halben Höhe (Bild 69). 128 3 2353. 105 a

2366. 4a 2 (7t- 2) 14 2 2367. 31tQ

=

ff

2355. 27ta 3

2369.

2358.~

'2

27ta 2 2363. - 3-(2.j 2-

1th4

2381.4

~~3 (RadiusderSchnitt-

2382.

I) damit

{ 10

3

3;;

1tQ3

J3)

32.jZa5

--os-

4

2384.

l

al 2385. 360

=31ta 3 ;

=3

VB- Vc Vc

a4

i2

2383. ( 0; 0; 3;)

";"Ca 3

=3

2386. 6k1ta 2 , wobei k ein Proportionalitätsfaktor ist.

4 bei Integration über die Strecke OA, y) dx =

32

.x=30° a = 6

Kegel: Vc

.J2

1tQ3

2380.6

60° und

2371. Kugel: VB

2362. 27ta 2

(x

2379.

c; 27ta 3 2370. -3- . (2 - v' 2)

8 236L-j-a 2

J+

ß=

figur r =

47tabc 2359.-3-

2387.

Z

1tR>

3 3 2357. 16 ltQ

2364. 27tp 2

.Jx2 + y2 + zz d\· dy = (A)

für

2356. 81t In 2 (siehe Bild 49, Seite 270).

2360. 13

1tQ3

2377. a) - - · b ) 60 3 '

7tß = l80R2sin"';

3

.J2

2368. A =

2354. 181t

57ta

7tas

2376.

bei Integration über den Bogen OA,

2 bei Integration über den Streckenzug OBA

297

2388-2441 a2 b)T;

2388. a) 8; b) 4 2389.

J(x dy + y dx) =

R

in beiden Fällen. Das rührt daher, daß hier

oQ

gilt: ox =

aP f)y

lla 2 c)-6-

2392. n:a2

2407.

n:mab

2393.-4-

=

+ y) dx -

(x

(C)

-

2xdy

I:I:-X=Y 3 dy dX = 3 2

I

X

Y=l

3

8

n:a

X

1

=2

3

(:

J3

Seiten

2397.-3-

2415.

2398.n:ab 8 2399. 15

(;

_

II ~ I {A, (~: cos~) ds+ +I rA)(~; (A>

dn

n:a

ds =

+ :: cosy) ds

kmM

r

=

a 2 'V 2

2404. a) -16; b) c) -12

3a3 2405. a ) 2

=

azu fJ2u JII (fJx2 + oy2 (V)

+ ::~) dx dy dz

kmM 2403. Y=Q2 52

3;

oo

I~ (2x +~2 1 = =Urnx: 1 r=~tn2 2431. 2432. 2433. 2434.

2416. 8n:a 3 2417. Die Koeffizienten von cos ~. cos ß, cos y in (2) von S.213 verschwinden identisch.

Konvergent Konvergent Konvergent Konvergent wegen . lun

cosß+

2kmM 2401. X= 0, Y = - -2-

8

2430. Konvergent wegen

+ 171:6)

=

3 2400. 2a2

(x+ 1)3 =

I~ 1 ~ x2 dx =

ergeben

4n: 2414. 3 abc

2a 3

1

2429. Divergent wegen

+ ~)

2413. Beide Seiten ergeben

~4

2425. Die Reihe divergiert 2426. Divergent

I

2410.2

1

2424. Ja

2428. Konvergent wegen oo dx n: 1 1+x2 =4

2412. Beide 4n:a 3

1 b)-2

a3 0,15a 5 Nein Ja

I

4

~

2420. 2421. 2422. 2423.

2427. Konvergent wegen oo xdx 3

2

a3

2411.

Sn: 2396. a) 6 ;

c)2-

2408. 2409.

= --az

2402. Y=

I2IY=X (.; + Y.;) X dydx

2394.0

(C)

5

also die Integrabilitätsbedingung P; = Qx erfüllt.

2391. 8a 2

I -I

-,.as

2406 ay = o(x + y) = 1 . ay ax '

2390. a) 1,5a2 ; b) a 2

2395.

2418. 3a2 2419. Beide Seiten ergeben 12

n-+oo

2435. 2436. 2437. 2438. 2439. 2440.

1 2

Un+l

--=-< u"

1

Divergent Divergent Konvergent Divergent Konvergent Divergent

2441. Für x

~

1 gilt immer:

" 1 n L 1 + 21c~2 ,atso X

k=!'

divergent.

298

2442-2465 Für x

> 1 gilt immer:

= 1

+ x2n

\R.\

1

Im Intervall [ 0;

~]

IR.\< 2•-1 < 0,001,

;

1]

aber konvergiert sie gleichmäßig, denn dann ist für beliebiges x

1

2455. Konvergent wegen . Un+i 20n + 21 . h m - - = 11m n-+ oo U 11 n-+ oo 3(20n + 1) 1

~

ist

1

2" < e, sobald -lge - ; speziell ist 1g2 < 0,01 für n ~ 7

2464. Der Rest der altemierenden Reihe ist dem Betrage nach kleiner 'als das erste unberücksichtigt gelassene Glied. Daher gilt im Intervall [0, 11 x"+l 1 \Rn(x)\ < n + 1 < n+1 ~0,1, sobald oder n ~ 9.

n+1~10

2465. DieReihehat dieSumme 1 + x 3 für x > 0, { S= 0 für x=O und den Rest Rn=

{(1+~3)"-1

für

x> 0,

fürx=O 0 Bei beliebigem n wird der Rest R. größer, z.B.

2466-2492

299

n-lftö

0,1, sobald x 3 < - 1, d. h., für X~ 0 konvergiert die Reihe ungleichmäßig. Aber für x ~ 1 konvergiert sie schon gleichmäßig, denn dann ist für beliebiges 1 x ~ 1 IRnl ~· 2,._1 < e, sobald n - 1 >

-lge - •· lg2

speziell ist IR.I < 0,001 für n ~ 11. 2466. Bei beliebigem nichtnegativem x sind die Glieder der gegebenen Reihe kleiner (oder gleich) als die Glieder der konvergenten Zahlenreihe 1 1 1 1 + - + - + - + ... ' 33 32 3 Folglich konvergiert die Reihe gleichmäßig für alle x ~ 0, R.(x) ist kleiner als der Rest der Zahlenreihe, d. h.

R.(x)
100

1

J2 x< T =

1 2476. a) r = 0; b) r 2477. -s ~ x < 3 2478. 1 dx

~

Fehler

2513 . .y/o,991 = .y/1- o,oo9~ o,997;

7t 2516. tan 6

J

rp 3

1 · 3(x-4) 3 1 · 3 · 5(x- 4)4 ] + 29 • 3! - 212 • 4! . + ...

.j9o=.J8H9=9J1

sin x x3 x5 --dx=C+x--+--... ·' X 3!3. 5!5

(1) 31- 341

r.: [ x - 4 (x-4) 2 2509. V X= 2 1 + 23. 1!- 26. 2! +

2512 .

b)

J

x

x4

x5

x2

x3

x4

x8

y=1+-+-+-+----+· .. 1 3·4 4·5 3·4·7·8 2523. y = 1 +

2- 3 + 6- ...

2524-2539

302

wobei e die numerische Exzentrizität der Ellipse und a deren große Halbachse ist (siehe Nr. 1624 und deren Lösung)

2524. Als Lösung tritt die "Besselsche Funktion nullter Ordnung" auf:

x4

x2

lo(x)= 1- 2 2 + 22. 4 2 2525.

Jlii.i5

Fl:l

1,0025;

../0,993

Fl:l

0,9965;

x6

2 2. 42 . 62 + ···

-

vwxm

Fl:l

2533.

1,0004;

1 1 1 1 65 = - + - . - . --··· FI:I-FI:I0508 2 2 4 24 128 • 1 mit einem Fehler unter 7 . 210

4 (1 + 312) = 4,125;

Fl:l

v40 (t Fl:l

2

1 1 2527. 7t = 6 ( 2 + 2

IP 2

1 . 3 . 23 +

3

Fl:l

2535. y =

3,14

5.3

oo

(-1)"

1

=

~

gesetzt und In ( 1

=

2 · x 11

Yo=O, Yö=O, YÖ'=-1,

YÖ4l = YÖ5l = 0,

YÖ6J = 1 . 4, ... '

x3

1 · 4 · x6 I · 4 · 7 · x9 y= 1 -3!+_6_!__ 9! +···

+ ~) =

= in (N + I) - In N berücksichtigt. b) Dies folgt wegen (lg x)'

x1

= - ny&"- 1>; daher sind

Yo=1,

2 ) 9" • 3

2529. a) In der Reihe für in (1 + x) von S. 222 wird x

x3

3 + 32 . 7 + 33 . 7 . 11 + ...

y~n+2l

7.3

(1 = 3 + 2. ; 2n- 1 4" + 10

•

2536. Wir differenzieren die Gleichung n-mal, setzen x = 0 und erhalten

__1_+ __1___ 1_+ ···] = 4 2 6 3.3

10

mit einem Fehler unter 27 . 220

1 1 1 ] 2 [ 1- 3 . 22 + 5 . 2" -7 . 26 + ... +

+~[t

5

1

Fl:l

F1:13(1 + 0,0417 + 0,0047) 7t =

(1) = -12 - -·21- + ···FI:I 0499805

ILIYI < 4 . 10-4

1. 3 ) + 22 . 2! 5 . 25 + ...

2528.

1 x5 1 x9 2534.1P(x) = x- 2! 42. 5 + 4! 44. 9- ... ;

+ ;o) = 2,1

2526. cos 12° ""' 0,9781;

o.s 1_ 3 0 V 1 + x dx =

x' ] j'o.s x4 = [ x+N- 22 ·2!7+ ··· o =

~ Fl:l 0,999;

.Jlio= ../100+ 10FI:I 10(1+ ;o)=tO,S; !/70

J

1

0,4343-.

y=

X

2530. In 5 ergibt sich aus der Reihe der Aufgabe 2529 a) für N = 22 ; In 10 =In 5 +in 2 2531. lg 101 ""'2,0043; lg 102""' 2,0086

J:

sin

;~ds = ;~ [}- 3 !(2~2 • 7 +·-].

wobei die Konstante C = R · L ist, R der Radius der Kreislinie, L die Länge der Kurve, der sog. Klotoide (Bild 92, Seite 298).

2538. F(x + h, y + /) = x 2 + xy + y 2 + + h(2x + y) + /(2y + x) + h 2 + hl + [2

+ 2xy = 9 + ll(x- 1) + 8(y ·- 2) + + 3(x- 1)2 + 8(x- 1) (y- 2) + + 2(y- 2) 2 + (x- 1)3 + 2(-1)(y- 2) 2

2539. x 3

_(~)2. e43 _(~)2. 2·4 2·4·6 5

e6 _

···]

•

2

303

2540-2560 x2 2540.ln(x- y)=x-(y+ 1)- 2+x(y+ 1)-

+ 1)2

(y

-

2

+ R3,

wobei R 3 = 3[0x + 1 _ O(y+ 1)] 3 2541. sin(mx + ny)= mx+ny-

+

(mx

+ ny)4 41

2542. e-xz-yz =

sin O(mx

=

~ (-1)k(x2

ist.

(mx+ny) 3 + 31

+ ny)

=

+ y 2 )k

1 2 3 - - ( x2 +y) 6

+ dx

2 -

+

wobei

- b(y

+ 8 dy)]

+ Ddx)-

ist.

2545. x 2 y= -1-2(x-1)+(y+1)-(x-1) 2+ + 2(x-1)(y+ 1)+ (x- 1) 2 (y+ 1) 2546. arctan !..._ = y - (x -1)y + ...

1tX 4 [ 3 2556. a) 4 + :t2 cos 2

:z+

21tX 2 22 cos

-

57tX

1 31tX 1 + 33 cos 2 + 52 cos 2 _ _2_ cos 67tx + ... ] . 2 [ 1tX b); sin 2

+

4 [

1t2

+;

'

2

62

2

z-+ ...] + + 2sm 2 + 31 sin 31tX 1

21tX

:rtx

1

37tx

sin2-33sin2+

;x- . .]

sin 5

41 ~ 1 . n1t . n7tX _";"z"z111z 2557 . u=2.., 2sm- sm - e I 2 1t n=l n

X

oo

. 2n+l 2n+1 a:rtt sm ---u ---u 2f'/(/;) sin 2n+1 -u 7t/; d/;

2558. u = n~oa,. cos 2547. yx = 1 + 2(y- 1) + (x- 2) · (y- 1) + +(y-1)2 + ... ; wobei a,. = l 1,12,1~ 1 + 2. 0,1 + 0,1. 0,1 + 0,1 2=1,22 . 2548. dx = -0,01, dy = 0,02; .dz = 2yx dx + (x 2 - 2y) dy + y dx 2 + + X dx dy- dy 2 +

*

sin (2n - 1)x 4 2549. -;- ..~ 1 2n - 1

1

J

]

] 21tX 1 +-;-/ [sin 1tX 1 - 2sm-1-+ ...

2544. .dz = - (a dx - b dy) sin (ax - by) 1 - 21 (a dx- b dy) 2 cos (ax- by) R 3 ,

. 1 R 3 =J!(adx- bdy)"sm [a(x

cos 5x

cos 3x

2 [cos x

+-;; 1'2 +3'2+5'2+"·

] 37tX 1 1tX 21[ I 2555 - - - 2 cos- + - 2 cos- + ... + I 3 I 1t .4

+-···

+

] sin 3x sin 2x [sin x 37t 2552.4- -1--~2-+-3- - ... +

] COS31tX 4- [COS1tX 1 ~-+--+ ... 2554. 32 12 2 +1t2

dy = -0,2; .dz = (2x - y) dx (2y - x) dy - dx dy + dy 2 = -0,63

2543. dx = 0,1;

cos (2n - l)x (2n - 1)2

] 51tX 1 31tX .! 1tX 4 [ + - sin - + ... 2553 - sin - + - sin I 5 I 3 I '1t

(2k)!

k=O

00

n~l

cos nx oo 7t2 2551.- + 4 ~ (-1)" ~2n n=l 3

(x- y- 1)3

.

4 1t 2550. 2- Tr

dx 2 dy~ -0,3203

1tX,

00 01t 2 n2 t n1tx 2559. u = ~ b,. sin - 1- cos - 1-2 -

n=l

2 wobei b,. = T '2560. /(x)

I'/(/;)

2 Ioo 1Ä. =-::... 0

,

sin -n:t/; 1- d/;

cosÄ

sin.Äx dÄ

2561-2570

304

2ß 2561. /(x) = --;-

4 2562. f(x) = -;

Joo p2 + Äx,1.2 d..1. COS

2567°

0

Joo (1 0

cos ..1.) sin . 1. . 1.2 sin Äx d..1.

3 4-

2 7t2

COS 37tX ] -1-2- + _3_2_ + Ooo -

[COS 7\'X

1 [sin 7\'X sin 2 71'X ] - - ; -1-+ - - 2 - + ooo

· 71' 2 [ cos3x cos5x ] 2563 . -4 + -7\' COS X+ -32 - + -52- + ooo

2564. lsin xl

2

= -7\' -

_ ~ [cos 2x + cos4x + cos6x + 7\' 1·3 3·5 5·7 4 [ sin3x sin5x 2565s i n x -32 - - + -52- 7\'

]

2569o u =

oo

000

2 2570./(x) =-;

2n+1

J" 0

2n+1 t sin - 2- x,

+

/(E) sin -2n 2- 1 ; dE

Joo sin . 1. ..1..cos lx d..1.. 0

)]

2271'2 +112 + ooo

a. cos - 2n=O ~

2 wobei a" = -;-

7\'X 371'X] I 41 [ cos T cos -~2566 + + 2 7t2 12 32 0

+I~

000 ]

000

0

2 sin 27\'X

1 · sin 7tX ( + 271' . rc2 -

Anhang

I. Einige Kurven (als Anscbauungsmaterial)

y

y

y=ax 3

Bild 70. Kubische Parabel

Bild 71 Semikubische Parabel

y

Bild 72. Semikubische Parabel X

ay 2 =x(x-af Bild 73. Parabelschlinge

Bild 74. Die logarithmische Kurve

306

Anhang

X

Bild 75. Die Exponentialkurve

Bild 76. Tangenskurve

y

.K

Bild 77. Kettenlinie

y-=asinh~

Bild 78. Graphische Darstellung des Hyperbelsinus

y

Bild 79. Zykloide x=a(t-sint) y=a/1-cost)

y

1

X

Bild 80. Lockenkurve (Versiera) der Maria Agnesi

Bild 81. Gaußsehe Glockenkurve (W.ahrscheinlichkeit der Fehlerverteilung)

307

Anhang

.Y

I

I I

I

/

"' "'

I

Bild 83. Cartesisches Blatt

Bild 82. Astroide

p

p

r=a(7- costp)

Bild 84. Bernoul/ische Lemniskate

Bild 86. Dreiblättrige Rose

Bild 85. Kardioide

Bild 87. Vierblättrige Rose

308

Anha~

.)(

/= x(a-x) 2

Bild 89. Zissoide

Bild 88. Strophoide

2a-.x

y I I

I

8

p

Bild 90. Hyperbolische Spirale

-~

~~

)(

Bild 91. Parabelbogen, der dem Winkel des 1. Quadranten einbeschrieben ist

309

Anhang

Bild 92. Klotoide

1. Trigonometrische Funktionen

II. Tabellen