Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit [1. Aufl.] 9783030359331, 9783030359348

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XIX
Front Matter ....Pages 1-1
Der Begriff der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 3-14
Platons Philosophie der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 15-26
Die aristotelische Konzeption der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 27-43
Die Euklid’sche Axiomatik (Ulrich Felgner)....Pages 45-61
Der Finitismus in der griechischen Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 63-77
Die Paradoxien Zenons (Ulrich Felgner)....Pages 79-92
Front Matter ....Pages 93-93
Über die Gewißheit in der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 95-105
Der Descartes’sche Nativismus (Ulrich Felgner)....Pages 107-122
John Lockes Gedanken zur Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 123-131
Der Rationalismus (Ulrich Felgner)....Pages 133-148
Der Empirismus in der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 149-158
Immanuel Kants Konzeption der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 159-175
Front Matter ....Pages 177-177
Der Psychologismus in der Mathematik (Ulrich Felgner)....Pages 179-186
Der Logizismus (Ulrich Felgner)....Pages 187-197
Der Begriff der Menge (Ulrich Felgner)....Pages 199-214
Der gegenwärtige Platonismus (Ulrich Felgner)....Pages 215-225
Das Problem der nichtkonstruktiven Existenzbeweise (Ulrich Felgner)....Pages 227-240
Der formale und der inhaltliche Standpunkt (Ulrich Felgner)....Pages 241-253
Der Dedekind’sche Strukturalismus (Ulrich Felgner)....Pages 255-270
Der Hilbert’sche Kritizismus (Ulrich Felgner)....Pages 271-281
Back Matter ....Pages 283-296

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Ulrich Felgner

Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Ulrich Felgner

Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Ulrich Felgner Mathematisches Institut Universität Tübingen Tübingen, Deutschland

ISBN 978-3-030-35933-1    ISBN 978-3-030-35934-8  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 00A30, 01A05, 01A20, 01A35-60, 03A05, 03B30, 03E30, 51-03 Birkhäuser © Springer Nature Switzerland AG 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. © denisik11 / Adobe Stock Planung/Lektorat: Sarah Annette Goob Birkhäuser ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Nature Switzerland AG und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Vorwort

Dies ist ein Buch eines Mathematikers über ausgewählte Themen aus der Philosophie der Mathematik. Diese Themen liegen alle im Umkreis einer einzigen Frage, die zwar ganz zentral für die Mathematik ist, aber dennoch keine eigentlich mathematische Frage ist, sondern eine Frage philosophischer Natur. Es ist die Frage nach den Quellen, aus denen wir schöpfen, wenn wir mathematische Sätze beweisen. Mit dieser Frage hängt die Frage nach der Seinsweise mathematischer Gegenstände zusammen. Ich möchte anhand der überlieferten Texte besprechen, wie diese und verwandte Fragen von der Antike an bis in die Gegenwart diskutiert und beantwortet wurden. Ich möchte insbesondere die Antworten, die Platon, Aristoteles, Euklid, Descartes, Locke, Leibniz, Hume, Tschirnhaus, Kant, Dedekind, Frege, Hilbert und andere gegeben haben, sorgfältig und kritisch darstellen. Dabei werde ich auch die verschiedenen Standpunkte, die als Finitismus, Konstruktivismus, Empirismus, Psy­ chologismus, Logizismus, Platonismus, Strukturalismus, Formalismus etc. bezeichnet werden, behandeln. Ausgewählt habe ich nur solche Beiträge von Mathematikern und Philosophen, die sich ernsthaft um eine umfassende Antwort auf die oben gestellte Frage bemüht haben. Auch wenn vieles, was hier zur Darstellung kommt, dem Kenner gut bekannt sein wird, so denke ich, daß hier dennoch manche Zusammenhänge offengelegt werden, die bisher wenig oder gar nicht beachtet im Dunkel der Geschichte ruhten, und daß Erklärungen gegeben werden, die neu sind und zu einer tieferen Einsicht in die Denkart der Mathematiker in den verschiedenen Epochen führen. Zum ersten Male habe ich 1980 in Tübingen eine Vorlesung über „Philosophie der Mathematik“ gehalten, und von da an in größeren Abständen immer wieder, zuletzt im Winter-Semester 2011/2012 am Tübinger Forum Scientiarum. Danach habe ich in langer und intensiver Arbeit an meinen Notizen gearbeitet, um sie in die vorliegende Form bringen zu können. Die Gespräche mit Studenten, Doktoranden und Kollegen im Anschluß an die Vorlesungen haben mir sehr geholfen. Ihnen allen möchte ich sehr herzlich danken. Aber auch meinen Kollegen, mit denen ich Briefe ausgetauscht habe, die manche Teile meiner ausgearbeiteten Notizen gelesen haben, die mir kritische Fragen gestellt haben und mich zu manchen Korrekturen angeregt haben, möchte ich vielmals V

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Vorwort

danken, insbesondere Frau Laura Carrara, Frau Anke Thyen und Herrn Wilfried Sieg, die mir als Gesprächspartner zur Verfügung standen. Ein ganz besonderer Dank geht an Herrn Walter Purkert und an den Gutachter, die das ganze Manuskript sorgfältig gelesen haben, mich auf Irrtümer aufmerksam gemacht haben und Korrekturen und auch Ergänzungen vorgeschlagen haben. Meiner Frau Cornelia danke ich sehr herzlich für ihren Beistand in allen Phasen der Entstehung dieses Buches. Ich danke schließlich dem Birkhäuser-Verlag für die Bereitwilligkeit, mit der er auf meine Wünsche eingegangen ist, sowie für die sorgfältige und schöne Ausstattung des Buches. TübingenUlrich Felgner im Februar 2020

Einleitung

„Les Mathématiciens ont autant besoin d’estre philosophes que les philosophes d’estre Mathematiciens.“ Gottfried Wilhelm Leibniz in einem Brief vom 13./23. März 1699 an Nicolas Malebranche.

Das Thema dieses Buches soll „Philosophie der Mathematik“ sein. „Philosophie der Mathematik“ wird dabei verstanden als ein Bemühen um die Klärung solcher Probleme und Fragen, die die Mathematik selber aufwirft, aber mit ihren eigenen Methoden nicht lösen bzw. beantworten kann. Was ist dabei das Philosophische an diesem Bemühen? Philia tou sophou (Φιλία τοῦ σοφοῦ) ist im Griechischen ‚die Liebe zur Einsicht, zum Wissen, zum Verstehen‘, und daraus ist das Wort „Philosophie“ abgeleitet. In der „Philosophie der Mathematik“ wird es also um ein engagiertes, ernsthaftes (liebendes) Bemühen gehen, das jeweils betrachtete Problem um seiner selbst willen zu verstehen, um schließlich nach einer kritischen Prüfung zu einer Überzeugung zu gelangen, die man vertreten und verteidigen kann. Was sind die vornehmsten Fragen, die sich in der Philosophie der Mathematik immer wieder gestellt haben und die auch heute noch umstritten sind oder jedenfalls noch nicht umfassend beantwortet sind? Dies sind wohl immer noch die Fragen nach dem ontologischen Status der mathematischen Objekte und dem epistemologi­ schen Status der mathematischen Theoreme. Mit dem Wort Ontologie bezeichnet man die Untersuchungen über das, was „ist“ (was da ist, was existiert) und in welcher Weise es „ist“. Im Griechischen ist to on (τὸ ὄν) „das Seiende“, das vom Verb einai (εἶναι): „sein, vorhanden sein, bestehen“ abgeleitet ist. In der Ontologie wird also die „Seinsweise“ der Objekte besprochen. Status ist ein lateinisches Wort und bedeutet etwa „der Stand, der Zustand, die Stellung, die Lage“. Der ‚ontologische Status‘ eines Objektes ist demnach die Stellung des Objektes in Bezug auf das Sein, also das, was über den Zustand seines Seins ausgesagt werden kann. VII

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Einleitung

Im Griechischen ist epistêmê (ἐπιστήμη) „das Verständnis, das Wissen“ und Epi­ s­temologie ist die Wissenschaftslehre, die Erkenntnistheorie. In der Mathematik selber ist es nicht üblich zu fragen, welcher Natur die mathematischen Objekte sind. Wir wollen diese Frage aber dennoch stellen und fragen, was beispielsweise die Zahlen „sind“, in welcher Weise sie „sind“. Sind es Objekte, die ein „Dasein“ haben, oder sind es nur sprachliche Gebilde, also Namen, die gar nichts benennen? Bei Platon kann man lesen: „Wir setzen doch voraus, daß die Zahlen alle ein Da-Sein haben?“ Platon: ‚Sophistes‘, 238a–b.

und bei Hans Hahn das Gegenteil: „Und weil wir Zahlen als eigene Wesenheiten nicht brauchen, … so wollen wir solche We­ senheiten auch nicht annehmen.“ Hans Hahn: ‚Überflüssige Wesenheiten (Occams Rasiermesser)‘, 1930 (Nachdruck 1988, S. 34).

Bei Aristoteles heißt es sehr viel subtiler: „Womit wir uns also zu beschäftigen haben ist nicht die Frage, ob es die Zahlen gibt, son­ dern wie es sie gibt“. Aristoteles: ‚Metaphysik‘, Buch XIII,1, 1076a36.

Nicht einmal über die Frage, ob die Zahlen als Gegenstände (Dinge oder Wesenheiten) existieren, scheint Einigkeit zu herrschen. Aber handelt denn nicht jede mathematische Theorie von Objekten einer jeweils bestimmten Art, um Sachverhalte, die zwischen diesen Objekten bestehen, aufzudecken? Die Arithmetik beispielsweise handelt doch von den ganzen Zahlen und möchte die im Bereich dieser Zahlen gültigen Gesetze auffinden. Die Geometrie handelt von den Punkten, Geraden, Dreiecken, Kreisen, Winkeln etc. und möchte herausfinden, welche Sachverhalte hier gelten. Für jede mathematische Theorie stel­ len sich also zwei grundsätzliche Fragen: In welchem Sinne existieren die Objekte der verschiedenen mathematischen Theorien und aus welchen Quellen schöpfen wir, wenn wir Sätze (Theoreme) beweisen?

Die erste Frage betrifft die Ontologie und die zweite Frage die Epistemologie. Aristoteles hatte im 6. Buch seiner ‚Metaphysik‘ (1025b8–9) gefordert, daß in jeder Wissenschaft zuerst der Objektbereich anzugeben ist, d. h. der Bereich der Dinge, von denen die Wissenschaft handeln soll. Im Falle der Mathematik stellt sich demnach gleich zu Beginn die Frage, mit welchen Dingen sie sich befassen will. Existieren die Gegenstände der reinen Mathematik? Wo ist der Ort ihrer Realität? Sind sie Gegenstände einer idealen Welt oder unserer realen Umwelt? Sind sie Wesenheiten, die wir in unserem Geist konstruiert haben, oder sind sie lediglich Fiktionen, die innerhalb der verschiedenen mathematischen Theorien „existieren“ genauso wie beispielsweise Schneewittchen nur im Märchen „exi­ stiert“? Woher beziehen sie ihr „Sein“? Oder gibt es diese Gegenstände gar nicht? Sind sie nur sprachliche Gebilde? Ist die Mathematik nur „ein Spiel im luftleeren Raum“, wie es Thomas Mann in seinem Roman ‚Königliche Hoheit‘ (Berlin, 1909) etwas sarkastisch beschrieben hat?

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Über welche Dinge spricht man eigentlich in der Mathematik, da man die mathematischen Gegenstände doch gar nicht sehen kann, ja sie sich (in der Regel) nicht einmal anschaulich vorstellen kann und überdies gar nicht wissen kann, ob es sie irgendwo gibt? Gehören sie einem Geisterreich oder einem Totenreich an, über das man nur in einer wunderbaren, geheimnisvollen Sprache reden kann? Gehören sie einer anderen Welt an, und ist der Prozeß des Erkennens mathematischer Sachverhalte nur ein Wiedererinnern (anamnêsis, ἀνάμνησις) der Seele an vorgeburtliches Wissen, wie es die Orphiker, die Pythagoräer und Platon gelehrt haben? Oder gibt es all die genannten mathematischen Gegenstände auch dort nicht und ist das Manipulieren der Mathematiker mit all den schönen verschnörkelten Zeichen nur ein einziges Abrakadabra ohne jeden Bezug auf irgendwelche Wirklichkeiten? Ob es überhaupt „mathematische Gegenstände“ gibt, scheint sehr zweifelhaft zu sein, denn niemand kann sagen, wo es sie gibt. Aber dennoch existieren die mathematischen Gegenstände für jedermann, und sie sind „allen Mathematikern in allen Völkern und in allen Zeiten zugänglich“, wie Edmund Husserl einmal schrieb.1 Die Gegenstände der Mathematik scheinen eine ideale Objektivität zu haben, aber es ist dennoch ziemlich unklar, was das heißen soll. Irgendwie greifbar sind diese Gegenstände doch alle nicht. Hinter all diesen Fragen steht die Tatsache, daß die Mathematik die meisten ihrer Begriffe und Gegenstände nicht durch Abstraktion aus der realen Umwelt gewinnt, sondern sie sich selbst gibt, in dem sie unter Verwendung von Kalkülen und Axiomensystemen lediglich die Gesetze und Regeln aufstellt, wie mit diesen Dingen umgegangen werden darf. Es wird nur der Formalismus entworfen, aber die Gegenstände, über die der Formalismus vorgibt zu sprechen, werden nicht aufgewiesen. – Noch einmal: Wo ist der Ort ihrer Existenz? Die Geometrie und die Arithmetik der natürlichen Zahlen, so wie sie von den Mathematikern der Antike aufgebaut wurden, sind noch unmittelbar in der natürlichen Umwelt verankert. Aber es ist trotzdem gar nicht klar, ob es all diese abstrakten oder idealisierten Objekte irgendwo wirklich gibt und in welchem Sinne es sie gibt. Diese Problematik wird noch deutlicher, wenn wir die höheren Objekte der Mathematik betrachten. Im ausgehenden Mittelalter bildete sich langsam die Vorstellung von negativen Zahlen heraus (Leonardo von Pisa, Nicolas Chuquet, Michael Stifel und andere) und im frühen 16. Jahrhundert auch die der imaginären Zahlen (Geronimo Cardano, Rafael Bombelli). Im ausgehenden 17. Jahrhundert kamen dann noch die infinitesi­ malen Größen (Bonaventura Cavalieri, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton und andere) und im 19. Jahrhundert die idealen Zahlen der algebraischen Zahlentheorie (Ernst Eduard Kummer, Richard Dedekind) und die transfiniten Alephs (Georg Cantor) hinzu, etc. All diese Zahlen konnten nicht mehr durch Abstraktion  Edmund Husserl: „Die Frage nach dem Ursprung der Geometrie als intentional-historisches Problem“, Beilage III des Werkes ‚Die Philosophie in der Krisis der europäischen Menschheit‘. Eine separate, posthume Publikation dieser Beilage hat E. Fink 1939 veranlaßt; Ein Nachdruck erschien in Band VI der Husserliana, 1962. Das Zitat findet sich dort auf Seite 368.

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aus der natürlichen Umwelt gewonnen werden; sie konnten nur mit Hilfe von Kalkülen und Axiomensystemen eingeführt werden. Einen direkten Bezug auf die Gegenstände unserer natürlichen Umwelt haben sie alle nicht. – Woher haben all diese mathematischen Gegenstände ihr Dasein? Gibt es sie „wirklich“ und was ist ihre „Natur“, oder haben sie nur das „schattenhafte“ Dasein, das sie einem Kalkül verdanken? Schauen wir doch einmal nach, was berühmte Mathematiker in früheren Jahrhunderten dazu zu sagen hatten. Als prominente Beispiele habe ich Äußerungen über die imaginäre Einheit −1, über die infinitesimalen Größen und über den Begriff des geometrischen Punktes ausgewählt. Rafael Bombelli (1526–1573) konnte sagen, wie man das Zeichen −1 in Rechnungen verwenden darf, aber die Natur dieser „Zahl“ konnte er nicht erklären. Ge­ ronimo Cardano (1501–1576) schrieb (in seiner ‚Ars magna Arithmetica‘, Problem 38), daß −1 weder +1 noch −1 sein könne, sondern gewissermaßen etwas „drittes von verborgener Natur“ (quaedam tertia natura abscondita). Gottfried Wilhelm Leibniz (1648–1716) schrieb 1702 über die imaginäre Einheit (cf. Leibniz, Werke (Gerhard, Herausgeber) Band 5, S. 357): „Itaque elegans et mirabile effugium reperit in illo Analyseas miraculo, idealis mundi monstro, pene inter Ens et non-Ens Amphibio, quod radicem imaginariam appellamus “. [(Der göttliche Geist) hat eine feine und wunderbare Ausflucht gefunden in jenem Wun­ der der Analysis, dem Monstrum der realen Welt, fast ein Amphibium zwischen Sein und Nicht-Sein, welches wir imaginäre Einheit nennen.]

Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753–1823) hat in seinen ‚Réflexions sur la Métaphysique du calcul Infinitésimal‘ (Paris 1797) die imaginären Zahlen als „hié­ roglyphes de quantités absurdes“ bezeichnet (op. cit. S. 53). Selbst noch für Jacob Steiner (1796–1863) waren imaginäre Zahlen, „Gespenster“, die einem „Schatten­ reich der Geometrie“ angehören, wie Felix Klein in seinen ‚Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert‘ Teil 1, S. 130, berichtet hat. Der irische Philosoph und Theologe George Berkeley (1685–1753) hat sich einmal sehr ähnlich ausgedrückt, und die infinitesimalen Größen der Analysis als „Geister ver­ storbener Größen“ („Ghosts of departed Quantities“, ‚The Analyst‘, § 35) bezeichnet. – Können nicht einmal die Mathematiker selber klar sagen, womit sie umgehen? Oskar Perron gab in seinem Buch über die ‚Nichteuklidische Elementargeome­ trie der Ebene‘ (Teubner-Verlag, Stuttgart 1962, S. 11) die folgende Definition für den Begriff des Punktes: „Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harm­ lose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“ Muß man sich mit solchen Ausflüchten zufrieden geben? Ist es sogar in der Geometrie schwierig, wenn nicht gar unmöglich, den Grundbegriff des Punktes klar zu fassen? Auch die Frage, was beispielsweise die natürlichen Zahlen sind und ob oder wie es sie gibt, war noch vor gut hundert Jahren unbeantwortet. Der Mathematiker Gott­ lob Frege schrieb dazu 1899: „Es ist doch eigentlich ein Skandal, daß die Wissenschaft noch über das Wesen der Zahl im unklaren ist. Daß man noch keine allgemein anerkannte Definition der Zahl hat, möchte noch angehen, wenn man wenigstens in der Sache übereinstimmte. Aber selbst darüber, ob die Zahl eine Gruppe von Dingen oder eine mit Kreide auf einer schwarzen Tafel von Men­

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schenhand verzeichnete Figur sei, ob sie etwas Seelisches, über dessen Entstehung die Psy­ chologie Auskunft geben müsse, oder ob sie ein logisches Gebilde sei, ob sie geschaffen sei und vergehen könne, oder ob sie ewig sei, selbst darüber hat die Wissenschaft noch nichts entschieden. Ist das nicht ein Skandal? Ob ihre Lehrsätze von jenen aus kohlensaurem Kalke bestehenden Gebilden oder von unsinnlichen Gegenständen handeln, weiß die Arith­ metik nicht. ... Die Wissenschaft weiß also nicht, welchen Gedankeninhalt sie mit ihren Lehrsätzen verbindet; sie weiß nicht, womit sie sich beschäftigt. … Ist das nicht ein Skan­ dal?“ (G. Frege im Vorwort seiner Schrift ‚Über die Zahlen des Herrn H. Schubert‘.)

Frege selbst glaubte eine Lösung des Problems gefunden zu haben. Die „Null“ war für ihn die Klasse aller unerfüllbaren Begriffe, die „Eins“ die Klasse aller Begriffe, unter die jeweils genau ein Objekt fällt, die „Zwei“ die Klasse aller Begriffe, unter die genau zwei verschiedene Objekte fallen, etc. Die natürlichen Zahlen verstand Frege demnach als logische Gebilde. Mit einer noch nie dagewesenen Gründlichkeit bewies Frege die fundamentalen Sätze der Arithmetik. Aber im Sommer 1902 bemerkte Bertrand Russell in Freges Theorie einen grundsätzlichen Fehler, der das ganze Gedankengebäude zum Einsturz brachte (vergl. dazu Kap. 14). Auch Frege war es demnach nicht gelungen, die Frage zu beantworten, was eigentlich die Zahlen „sind“, wo es sie gibt und in welchem Sinne es sie gibt. Wir müssen etwas ernüchtert feststellen, daß bis in die Neuzeit hinein alle Versuche zu sagen, was eigentlich Zahlen sind und was ihr ontologischer Status ist, erfolglos waren. Ganz genauso erfolglos waren alle Versuche zu sagen, was Punkte, Linien und Flächen sind und was all die übrigen Objekte der Mathematik sind, wo es sie gibt und in welchem Sinne es sie gibt. Seit der Antike ist es den Mathematikern offenbar nicht geglückt, solche Fragen befriedigend zu beantworten. Das deutet wohl darauf hin, daß es korrekte Antworten auf all diese Fragen gar nicht gibt, und daß es ein Reich mathematischer Gegenstände weder außerhalb von uns noch in uns (in unserer Seele oder in unserem Geist) in irgendeiner Weise gibt. Wir haben nur die Formalismen, die Kalküle und Axiomensysteme, in denen be­ schrieben wird, wie mit den Zeichen, die die fraglichen Objekte bezeichnen sollen, umgegangen werden kann. Im Prinzip ist das auch ausreichend, um Mathematik betreiben zu können. Aber niemand ist leichten Herzens bereit, den dabei geforderten nominalistischen Stand­ punkt einzunehmen. Aus vielen Gründen ist es wünschenswert, Gegenstände zu ha­ ben, die von den Zeichen der formalen Systeme bezeichnet werden, um nicht die ganze mathematische Arbeit auf den Umgang mit Zeichenreihen formaler Systeme (also der Syntax formaler Systeme) beschränken zu müssen, sondern in Gedanken mit mathematischen Objekten umgehen zu können. Ist ein solcher Wunsch erfüllbar? Welchen Preis muß man zahlen, wenn man sich einen derartigen Wunsch erfüllt? Es stellen sich Fragen über Fragen. Hinter all diesen Fragen steht die eine große Frage: – Welchen ontologischen Status haben die mathematischen Objekte?

Es geht in diesem Buch auch um die Frage, wie wir mathematische Erkenntnisse gewinnen, wie wir dazu gelangen, etwas über die mathematischen Gegenstände und

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ihre Beziehungen untereinander zu „wissen“. Darf sich ein Beweis auf die sinnliche Anschauung stützen? – oder auf die reine Anschauung (im Sinne Kants)? – oder nur auf das mühsame schrittweise logische Schließen und das begriffliche Argumentieren? Wie beweist man die Existenz eines mathematischen Gegenstandes? Muß man ihn mit seinem Namen nennen können? oder muß man für ihn eine mentale Kon­ struktion haben? oder reicht es, die Annahme der Inexistenz zu einem Widerspruch zu führen? Offenbar hängt die Antwort davon ab, wie man die Seinsweise der mathematischen Gegenstände auffaßt und welche Mittel zur Erkenntnisgewinnung zur Verfügung stehen. – Die zweite Frage lautet also: welchen epistemologischen Status haben die mathematischen Theoreme?

Sind die mathematischen Sätze apodiktische Wahrheiten, was auch heute noch oft behauptet wird, oder haben sie überhaupt etwas mit Wahrheit zu tun? Ist die ­Mathematik überhaupt eine Wissenschaft (epistêmê (ἐπιστήμη), scientia), die eine vorgegebene Welt von Gegenständen untersucht, oder ist sie nicht vielmehr eine Kunst (technê (τέχνη), ars), die sich mit der Entwicklung von Formalismen und Kal­ külen befaßt? Ich wiederhole das angesprochene Problem: In welchem Sinne existieren die Objekte der verschiedenen mathematischen Theorien und aus welchen Quellen dürfen wir schöpfen, wenn wir Sätze (Theoreme) beweisen?

Seit der Antike haben sich viele Mathematiker und viele Philosophen zu den genannten Fragen geäußert, wobei ihre Äußerungen oft erheblich voneinander abwichen. Viele begnügten sich mit einer leichtfertig dahingeworfenen Antwort und nur wenige bemühten sich, ihre Antwort daraufhin zu prüfen, ob sie das Phänomen des mathematischen Denkens erklären kann und ob sie als Grundlage der Mathematik dienen kann. Über einige Antworten, die im Laufe der Geschichte gegeben worden sind, möchte ich in diesem Buch berichten. Die kritische Auseinandersetzung mit den Antworten von Platon, Aristoteles, Augustinus, René Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, John Locke, Immanuel Kant, Bernard Bolzano, Richard Dedekind, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, David Hilbert, Kurt Gödel und anderen wird uns sensibel machen für die Probleme, um die es geht. Das soll uns schließlich dazu führen, den möglichen Antworten auf die gestellten Fragen näher zu kommen und den heute üblichen Aufbau der Mathematik auf mengentheoretischer Grundlage tiefer zu verstehen. Die Frage nach der Seinsweise der mathematischen Gegenstände wurde zwar schon in der Antike gestellt, ist aber bis heute relevant geblieben. Insbesondere ist die Frage nach der Seinsweise der endlichen und unendlichen Mengen, der Wahrheit des Auswahlaxioms, der Existenz „unerreichbar großer“ überabzählbarer Kardinalzahlen, etc. immer noch aktuell. Für die Schöpfer der Mengenlehre (Bernard Bolzano, Georg Cantor, Ernst Zermelo und andere) waren Begriffsumfänge immer Mengen, also auch „Dinge“, die im Denken (der Menschen oder der omniscienten

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Götter) oder in einer idealen Welt ein Dasein haben. Dieses Verständnis des Mengenbegriffs führte zur Eroberung des Reiches der unendlichen Mengen, das David Hilbert mit einem Paradies verglichen hatte, und das zur heutigen strukturalistischen Auffassung der Mathematik führte. Dieses Verständnis des Mengenbegriffs führte aber auch zu den bekannten Antinomien der Mengenlehre (Burali-Forti 1897, Zermelo-Russell 1900/1901, etc.) und zum Grundlagenstreit zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Wir müssen einen Ausweg aus diesem Dilemma finden. Mit der Frage nach der Seinsweise der mathematischen Objekte sind viele andere Fragen verknüpft. Beispielsweise darf man fragen, ob es denn überhaupt von Nutzen ist, in der Mathematik von der Existenz mathematischer Objekte (die in irgendeinem Sinne ein „Dasein“ haben) auszugehen. Wäre das Leben leichter, wenn man alle Metaphysik aus der Mathematik verbannen würde und den reinen Nominalismus vertreten würde? – Es ist sicherlich nützlich, einmal auszuloten, welche Konsequenzen der nominalistische Standpunkt in der Mathematik hat. Genauso nützlich ist es auszuloten, welche Vorteile ontologische Annahmen bringen. Soll es ein Ziel in der Mathematik sein, mit möglichst wenigen (oder gar keinen) ontologischen Annahmen auszukommen (parsimonia ontologiae) oder ist es nicht sinnvoller, eine möglichst reichhaltige Welt mathematischer Dinge bereitzustellen (abun­ dantia ontologiae)? Was ist der Preis, den wir zu zahlen haben, wenn wir ontologische Annahmen machen, und was gewinnt man, wenn man sie macht? – Das auszuloten gelingt allerdings nur unter Verwendung der Mathematischen Logik, so wie sie im 20. Jahrhundert ausgearbeitet wurde. Im 20. Jahrhundert entstand auch der Begriff der „Mathematischen Theorie“. In einer derartigen Theorie ist alles niedergelegt, was beim Aufbau einer mathematischen Disziplin nötig ist. Alles, was aus Sicht der Mathematik über die Natur der mathematischen Gegenstände, ihrer Seinsweise und ihrem epistemologischen Status zum Betreiben von Mathematik relevant ist, ist hier ausdrücklich niedergelegt. Man kann also innerhalb derartiger Theorien Mathematik betreiben, ohne mit philosophischen Problemen in Berührung zu kommen. Wenn man jedoch begründen will, warum die jeweiligen Theorien bedeutsam sind und universelle Akzeptanz ­beanspruchen dürfen, warum die zugrunde gelegte Logik der ersten (oder gar der zweiten) Stufe adäquat ist und warum die Theorien jeweils „wahr“ oder jedenfalls „richtig“ (oder korrekt, bzw. widerspruchsfrei) sind, und welche übergeordneten (außermathematischen) Probleme in diesen Theorien behandelt werden können, dann sind philosophische Reflexionen immer noch unumgänglich. Von den Themen, die wir in diesem Buch behandeln wollen, sind jetzt viele genannt worden und wir können in die Durchführung eintreten.

Inhaltsverzeichnis

­Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Teil I  Philosophie der Mathematik in der Antike Kapitel 1 Der Begriff der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.1 Die Entdeckung inkommensurabler Größen��������������������������������������   3 1.2 Der Begriff der ‚Mathematik‘ ������������������������������������������������������������   9 1.3 Das Auftreten ontologischer Probleme ����������������������������������������������  11 Literatur��������������������������������������������������������������������������������������������������������  13 Kapitel 2 Platons Philosophie der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  15 2.1 Platons Ansichten über die Lehrart der Mathematik: Anamnesis-­Lehre��������������������������������������������������������������������������������  16 2.2 Die platonische Ideenlehre������������������������������������������������������������������  19 2.3 Die Welt der mathematischen Gegenstände����������������������������������������  21 2.4 Der Aufbau einer mathematischen Theorie bei Platon����������������������  23 2.5 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������  24 Literatur��������������������������������������������������������������������������������������������������������  26 Kapitel 3 Die aristotelische Konzeption der Mathematik . . . . . . . . . . . . . .  27 3.1 Der aristotelische Theorie-Begriff������������������������������������������������������  28 3.2 Die aristotelische Apodeixis ��������������������������������������������������������������  31 3.3 Der ontologische Status der mathematischen Gegenstände����������������  32 3.4 Aphairesis (’Αφαίρεσις) ��������������������������������������������������������������������  33 3.5 Chôrismós (Χωρισμός) ����������������������������������������������������������������������  36 3.6 Aufbau und Begründung der Arithmetik nach Aristoteles������������������  37 3.7 Der Aufbau der Geometrie nach Aristoteles ��������������������������������������  39 Literatur��������������������������������������������������������������������������������������������������������  42 Kapitel 4 Die Euklid’sche Axiomatik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  45 4.1 Die ‚Elemente‘ (Στοιχεῖα) von Euklid������������������������������������������������  46 4.2 Die Terminologie in den ‚Elementen‘ Euklids������������������������������������  48 4.3 Was sollen die ‚Definitionen‘ leisten?������������������������������������������������  49 XV

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4.4 Was sollen die ‚allgemeinen Grundsätze‘ leisten?������������������������������  50 4.5 Was sollen die ‚Postulate‘ (Aitemata) leisten? ����������������������������������  51 4.6 Axiome, Postulate, Hypothesen und Annahmen��������������������������������  52 4.7 Die Durchführung der Geometrie ������������������������������������������������������  54 4.8 Die Argumentationen in den Aufgaben I,1 und I,2 sowie I,4 ������������   55 4.9 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������  59 Literatur��������������������������������������������������������������������������������������������������������  60 Kapitel 5 Der Finitismus in der griechischen Mathematik. . . . . . . . . . . . .  63 5.1 Potentielle und aktuelle Unendlichkeit ����������������������������������������������  64 5.2 Das Fällen des Lotes in den ‚Elementen‘ Euklids������������������������������  65 5.3 Der Begriff der Parallelität������������������������������������������������������������������  68 5.4 Die Sandzahl ��������������������������������������������������������������������������������������  69 5.5 Die Existenz unendlich vieler Primzahlen������������������������������������������  72 5.6 Die Exhaustionsmethode��������������������������������������������������������������������  73 5.7 Irrationalitäts-Beweise������������������������������������������������������������������������  74 5.8 Die Ausgrenzung des „Grenzenlosen“������������������������������������������������  74 Literatur��������������������������������������������������������������������������������������������������������  76 Kapitel 6 Die Paradoxien Zenons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  79 6.1 Die Zenon’schen Paradoxien��������������������������������������������������������������  80 6.2 Die Wirkung der Zenon’schen Paradoxien im Mittelalter������������������  82 6.3 Die Frage nach der Existenz aktual unendlicher Größen wird kritisch untersucht����������������������������������������������������������������������  84 6.4 Buridans Behandlung des Unendlichkeitsproblems nach der Methode des sic et non������������������������������������������������������������������������  86 6.5 Abschließende Bemerkungen.������������������������������������������������������������  90 Literatur��������������������������������������������������������������������������������������������������������  92 Teil II  Philosophie der Mathematik im 16., 17. und 18. Jahrhundert Kapitel 7 Über die Gewißheit in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  95 7.1 Das Bekanntwerden der Werke von Euklid und Proklos im griechischen Original��������������������������������������������������������������������������  95 7.2 Die Unterschiede zwischen der aristotelischen und der euklidischen Methode ������������������������������������������������������������������������  97 7.3 Der Streit über die Frage, ob die euklidische Geometrie eine Wissenschaft im aristotelischen Sinne ist ������������������������������������������  99 7.4 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 103 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 105 Kapitel 8 Der Descartes’sche Nativismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.1 Der göttliche Ursprung der Mathematik �������������������������������������������� 107 8.2 Die griechischen und die römischen Stoiker�������������������������������������� 108 8.3 Die mathematischen Gegenstände als Gedanken Gottes (Augustinus)���������������������������������������������������������������������������������������� 109

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8.4 René Descartes: Mathematische Gesetze als Edikte einer Gottheit�������������������������������������������������������������������������������������� 111 8.5 Descartes’ Nativismus������������������������������������������������������������������������ 113 8.6 Die Ideen der mathematischen Gegenstände�������������������������������������� 114 8.7 Descartes’ Begriff der „Intuition“ ���������������������������������������������������� 116 8.8 Descartes’ Essay ‚La Géométrie‘ ������������������������������������������������������ 117 8.9 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 120 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 121 Kapitel 9 John Lockes Gedanken zur Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.1 Das Anliegen des ‚Essays‘������������������������������������������������������������������ 124 9.2 Die Entstehung der mathematischen „Ideen“ ������������������������������������ 126 9.3 Lockes Bemerkungen zu einigen geometrischen Sätzen�������������������� 128 9.4 Der Psychologismus im Werk Lockes������������������������������������������������ 129 9.5 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 130 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 131 Kapitel 10 Der Rationalismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.1 Das Problem der Definitionen in der Geometrie�������������������������������� 134 10.2 Der Verzicht auf Definitionen der Grundbegriffe ������������������������������ 135 10.3 Der Versuch, die Grundbegriffe genetisch zu definieren�������������������� 137 10.4 Die Beiträge von Hobbes (1655) und Barrow (1664)������������������������ 138 10.5 Der Beitrag von Leibniz (ca. 1676)���������������������������������������������������� 139 10.6 Leibnizens ‚Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra‘ (ca. 1676)���������������������������������������������������������������������� 140 10.7 Beweis der Gleichheitsaxiome������������������������������������������������������������ 142 10.8 Der Begriff der Axiomatik bei Tschirnhaus (1687)���������������������������� 143 10.9 „Die mathematische Lehrart“ nach Christian Wolff���������������������������� 145 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 147 Kapitel 11 Der Empirismus in der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 11.1 Berkeleys Kritik���������������������������������������������������������������������������������� 150 11.2 David Humes Kritik���������������������������������������������������������������������������� 152 11.3 John Stuart Mills Kritik���������������������������������������������������������������������� 153 11.4 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 157 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 158 Kapitel 12 Immanuel Kants Konzeption der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . 159 12.1 Kants Lebenslauf�������������������������������������������������������������������������������� 159 12.2 Die Unterscheidung: a priori – a posteriori �������������������������������������� 162 12.3 Die Unterscheidung: analytisch – synthetisch������������������������������������ 163 12.4 Der synthetische Charakter der geometrischen Sätze������������������������ 165 12.5 Der synthetische Charakter der arithmetischen Sätze������������������������ 166 12.6 Die reine und die empirische Anschauung������������������������������������������ 170 12.7 Die Apriorität der geometrischen Urteile�������������������������������������������� 171 12.8 Die Apriorität der arithmetischen Urteile ������������������������������������������ 172 12.9 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 173 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 174

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Teil III Philosophie der Mathematik im 19. und beginnenden 20. Jahrhundert Kapitel 13 Der Psychologismus in der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 13.1 Die Rolle der Psyche in der antiken Mathematik ������������������������������ 181 13.2 Die Entstehung des Psychologismus in der Neuzeit�������������������������� 182 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 186 Kapitel 14 Der Logizismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 14.1 Die logizistisch aufgebaute Arithmetik Freges ���������������������������������� 189 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 196 Kapitel 15 Der Begriff der Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 15.1 Der Mengenbegriff in der Antike�������������������������������������������������������� 200 15.2 Der Bolzano’sche Mengenbegriff ������������������������������������������������������ 201 15.3 Die Cantor’sche Mengenlehre������������������������������������������������������������ 204 15.4 Das Auftreten der mengentheoretischen Antinomien ������������������������ 206 15.5 Der Cantor’sche Mengenbegriff �������������������������������������������������������� 209 15.6 Eine implizite Definition des Mengenbegriffs������������������������������������ 212 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 214 Kapitel 16 Der gegenwärtige Platonismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 16.1 Vom Nutzen des Platonismus�������������������������������������������������������������� 217 16.2 Der eingeschränkte (oder schwache) Platonismus������������������������������ 219 16.3 Gödels Platonismus���������������������������������������������������������������������������� 220 16.4 Gödels Verteidigung des Platonismus������������������������������������������������ 222 16.5 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 224 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 225 Kapitel 17 Das Problem der nichtkonstruktiven Existenzbeweise . . . . . . . 227 17.1 Existenzbeweise in der antiken Mathematik�������������������������������������� 230 17.2 Die „Existenz“ von Nullstellen von Polynomen�������������������������������� 231 17.3 Gauss: notio oder notatio?������������������������������������������������������������������ 233 17.4 Der Hilbert’sche Basis-Satz���������������������������������������������������������������� 235 17.5 Schnelle Primzahltests������������������������������������������������������������������������ 237 17.6 Diskussion������������������������������������������������������������������������������������������ 238 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 240 Kapitel 18 Der formale und der inhaltliche Standpunkt. . . . . . . . . . . . . . . 241 18.1 „Symbole“ und „leere Zeichen“���������������������������������������������������������� 244 18.2 Das Aufkommen des formalen Standpunktes im frühen 19. Jahrhundert������������������������������������������������������������������������������������ 244 18.3 Die Verknüpfung der beiden Standpunkte������������������������������������������ 247 18.4 Freges Polemik gegen den formalen Standpunkt�������������������������������� 250 18.5 Résumé������������������������������������������������������������������������������������������������ 251 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 253

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Kapitel 19 Der Dedekind’sche Strukturalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 19.1 Der historisch überlieferte Zahlbegriff ���������������������������������������������� 255 19.2 Der Dedekind’sche Zahlbegriff ���������������������������������������������������������� 256 19.3 Der Dedekind’sche Begriff der Abstraktion���������������������������������������� 259 19.4 Die Zahlenreihe ist der „abstrakte Typus“ der sämtlichen einfach-­unendlichen Systeme ������������������������������������������������������������ 262 19.5 Die Axiomatisierung der Arithmetik�������������������������������������������������� 263 19.6 Das Aufkommen des Strukturalismus’ ���������������������������������������������� 264 19.7 Die „abstrakte“ Richtung in der Algebra�������������������������������������������� 268 19.8 Schlußbetrachtung������������������������������������������������������������������������������ 269 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 270 Kapitel 20 Der Hilbert’sche Kritizismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 20.1 Der Hilbert’sche Standpunkt�������������������������������������������������������������� 272 20.2 Die Hilbert’sche Axiomatisierung der Geometrie������������������������������ 274 20.3 Die Hilbert’sche Axiomatik und Metamathematik ���������������������������� 278 Literatur�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 280 Schlußbetrachtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Personenregister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Teil I

Philosophie der Mathematik in der Antike

Wir besprechen drei Entwürfe für eine Ontologie und Epistemologie der Mathematik. Der älteste Entwurf stammt von Platôn: Die mathematischen Gegenstände gehören der Welt der Ideen an. Das Erkennen der fundamentalen mathematischen Wahrheiten gelingt der Seele und dem Geist durch Erinnern an ihre vorgeburtliche Teilhabe an der Welt der Ideen. Wir berichten darüber in Kap. 2. Ein zweiter Entwurf stammt von Aristotelês: Die mathematischen Grundbegriffe sind an die Objekte der sinnlich wahrnehmbaren Welt gebunden. In der Mathematik studiert man daher die Objekte der sinnlich wahrnehmbaren Welt, aber man studiert sie nur im Hinblick auf ihre Anzahlen oder ihre geometrischen Formen usw. Wir berichten darüber in Kap. 3. Einen dritten Entwurf haben die Mathematiker selber ausgearbeitet. Es ist der „axiomatische Aufbau“ einer mathematischen Theorie. Wir behandeln in Kap.  4 den Begriff der Axiomatik, so wie er sich in den ‚Elementen‘ Euklids findet. Vorher wollen wir in Kap.  1 über die Entstehung der Mathematik im antiken Griechenland berichten. Damit wollen wir einige charakteristische Merkmale der Mathematik hervorheben und deutlich machen, wieso die Mathematik ontologische und epistemologische Probleme aufwirft. In den beiden Kap. 5 und 6 besprechen wir die Probleme, die sich im Umgang mit dem Unendlichen ergeben. Dazu gehen wir in Kap. 5 auf die finitistische Position der griechischen Mathematiker ein und berichten in Kap. 6 über die Paradoxien des Unendlichen, so wie sie von Zenon aufgestellt wurden und danach von Aristoteles und den Philosophen im Mittelalter diskutiert wurden.

Kapitel 1

Der Begriff der Mathematik

Wir wollen in diesem einleitenden Kapitel eine der frühesten mathematischen Entdeckungen behandeln, nämlich die Entdeckung der Existenz inkommensurabler Größen durch die Pythagoräer vor etwa zweieinhalbtausend Jahren. Mit dieser Entdeckung entstand etwas Neuartiges, das die Griechen mit dem Wort „Mathematik“ bezeichneten. Wir prüfen, worin das Neuartige gegenüber der älteren ägyptischen und babylonischen Arithmetik und Geometrie besteht. Wir werden auch auf die ursprüngliche, umgangssprachliche Bedeutung des Wortes „Mathematik“ eingehen. Insbesondere wollen wir deutlich machen, daß diese neuartige Mathematik ontologische und epistemologische Probleme aufwirft, die es zuvor noch nicht gab.

1.1  Die Entdeckung inkommensurabler Größen Wir wollen also mit der Entdeckung inkommensurabler Größen beginnen. Diese Entdeckung stammt aus der Frühzeit der Mathematik, etwa aus der Zeit um 470/450 vor unserer Zeitrechnung (v.u.Z.). Es war eine Zeit, in der die griechische Kultur zu einer überaus reichen Blüte kam. Kurz zuvor, in den Schlachten bei Marathon (490 v.u.Z.), Sálamis, Himera (480 v.u.Z.) und Platää (479 v.u.Z.), waren die feindlichen Heere der Perser und Karthager vernichtend geschlagen worden und dieser Sieg, den die Griechen eher ihrer Tugend (der aretê, ἀρετή) und ihrem Opfermut für das Gemeinwesen denn ihrer militärischen Stärke zuschrieben, machte sie stolz und selbstbewußt. Griechenland wurde zu einer politisch bedeutsamen Region. Es setzte ein wirtschaftlicher Aufschwung ein, der eine kulturelle Blüte nach sich zog. Es kam die Zeit der großen Tragödien-Dichter Aischylos (525–455), Sophokles (497–405), Euripides (485–406)

und der (vorsokratischen) Naturphilosophen

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_1

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Kapitel 1  Der Begriff der Mathematik Parmenides von Elea (515–445), Empedokles von Akragas (ca. 500–430), Zenon von Elea (490–?), Anaxagoras von Klazomenai (ca. 498–427) und anderen.

In dieser Zeit wurde im Kreis der pythagoräischen Mathematiker eine sensationelle Entdeckung gemacht, die wir heute sehr verkürzt als Beweis der Irrationalität von 2 wiedergeben. Damit wird die Entdeckung aber nur unvollkommen beschrieben. Wir wollen etwas genauer auf das Resultat und seine Hintergründe eingehen. Der Beweis der Irrationalität von 2 geht vermutlich auf den Mathematiker Hippasos ( Ἵππασος) zurück, der in Metapont, einer achäischen Kolonie am Golf von Tarent (Süditalien), ca. 50 km westlich von Tarent, geboren wurde (vergl. dazu K.v. Fritz, op. cit. 1945/1965). Hippasos gehörte zur Gemeinschaft der Pythagoräer. Pythagoras von Samos (ca. 570/560 – 480 v.u.Z.) hatte diese Gemeinschaft in Kroton (Süditalien) etwa 520 v.u.Z. gegründet. Es war eine religiös-philosophische Gemeinschaft, die in einen inneren Kreis (den Esoterikern, ἐσωτερικοί) und einen äußeren Kreis (den Exoterikern, ἐξωτερικοί) gegliedert war. Die Mitglieder des inneren Kreises weihte Pythagoras in seine tieferen weltanschaulichen Lehren ein. Er regte sie auch zu eigenen Forschungen an, die sie zu Ergebnissen und Einsichten führen sollten, die die vorgetragenen Lehren bestätigen, begründen und erweitern sollten. Ihnen war es also vergönnt, die Lehren auf dem Wege des Verstehens zu erlernen. Sie wurden deshalb auch „Mathêmatikoi“ (μαθηματικοί) genannt.1 Hippasos gehörte zu diesem inneren Kreis der „Mathematiker“. Den Mitgliedern des äußeren Kreises teilte Pythagoras ohne nähere Begründungen nur die leichter faßbaren Regeln seiner Lehre mit. Ihnen war es nur vergönnt, die Lehre auf dem Wege des Zuhörens zu erlernen. Sie wurden deshalb auch „Akousmatikoi“ (ἀκουσματικοί) genannt. Die Forschungen der Mitglieder des inneren Kreises betrafen im Wesentlichen die orphisch-pythagoräische Lehre vom harmonischen Aufbau der Welt. Diese Lehre besagt, daß die Welt aus der ungeordneten, gestaltlosen und eigenschaftslosen ­Urmasse, dem Chaos (χάος), entstanden sei und daß es ein Gott gewesen sei, der aus dem Chaos die wohlstrukturierte, harmonisch geordnete Welt geschaffen habe. Die Forschungen führten die Pythagoräer zu dem vertieften Verständnis, daß „in diesem Weltall alles in harmonischer Weise nach Zahl und Proportion geordnet sei“ (Iámblichos: ‚De vita Pythagorica liber‘, [XII] 58).

Die harmonische Ordnung zeigte sich nach Pythagoras und seinen Schülern dort, wo die einzelnen Teile in einfachen, ganzzahligen Verhältnissen angeordnet sind. Insofern haben die Pythagoräer davon gesprochen, daß alles Zahl sei. Der Pythagoräer Philolaos aus Kroton (er lebte um 400 v.u.Z.) beschrieb diese grundlegende Überzeugung mit den folgenden Worten:

 Das Verb „manthánein“ (μανθάνειν) bedeutet ganz allgemein „lernen“, und zwar „lernen durch Nachdenken“, im Unterschied zu „lernen durch Üben“ und „Lernen durch Erfahrung“. Wir werden weiter unten dieses Wort noch ausführlich besprechen. 1

1.1 Die Entdeckung inkommensurabler Größen

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„Und in der Tat hat ja alles, was man erkennen kann, eine Zahl. Denn ohne sie läßt sich nichts erfassen oder erkennen“ (cf. H. Diels-W. Kranz: ‚Die Fragmente der Vorsokrati­ ker‘, I, S. 408, Fragment 4).

Bei Aristoteles lesen wir in seiner ‚Metaphysik‘, Buch A, 986a: „Und da sie (die Pythagoräer) sahen, daß die Eigenschaften und Verhältnisse der musikali­ schen Harmonien durch Zahlen bestimmt sind, und da es ihnen schien, daß auch alle ande­ ren Dinge ihrer ganzen Natur nach den Zahlen nachgebildet und die Zahlen im ganzen Universum das erste sind, so meinten sie, die Elemente der Zahlen seien die Elemente aller Dinge und der ganze Himmel sei Harmonie und Zahl.“

Die natürlichen Zahlen und ihre Verhältnisse sind also nach Ansicht der Pythagoräer der wichtigste Schlüssel zum Verständnis der Welt und ihrer Struktur und Ordnung. Im Bereich der Musik entdeckten sie beispielsweise, daß die wohlklingenden Intervalle, die heute Oktave, Quinte und Quarte genannt werden, durch die einfachen Zahlverhältnisse 1:2, 2:3 und 3:4 bestimmt sind. Diese Zahlverhältnisse geben an, wie sich die entsprechenden nicht-stillgelegten Abschnitte der klingenden Saite zueinander verhalten. Die Pythagoräer erweiterten das System dieser harmonischen Intervalle durch den (pythagoräischen) Ganzton 8:9 und die etwas zu große (pythagoräische) große Terz 64:81. Die harmonische große Terz, die durch das Verhältnis 4:5 gegeben ist, nahmen sie nicht in ihr Tonsystem auf, da es ihnen nicht gelang, diese Terz in zwei gleichgroße Ganztonschritte zu zerlegen, die ebenfalls durch Zahlverhältnisse bestimmt sind (ein solcher Ganzton2 wäre lediglich durch die mitt4 lere Proportionale x zwischen 4/5 und 1 bestimmt: :x = x:1). 5 Auch in ihren Untersuchungen im Bereich der Geometrie und im Bereich der Arithmetik stießen die Pythagoräer immer wieder auf Strecken, die nur als mittlere Proportionalen beschreibbar sind. In vielen Fällen gelang es nicht, diese Strecken als Verhältnisse natürlicher Zahlen darzustellen. Daß dies in der Regel auch gar nicht gelingen kann, konnten schließlich die Pythagoräer einwandfrei beweisen. Es war vermutlich Hippasos von Metapont, der (etwa in den Jahren um 470/450 v.u.Z.) bewies, daß nicht einmal die mittlere Proportionale x zwischen den beiden Strecken der Längen 1 und 2 als Verhältnis natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Etwas umformuliert bewies er: Seite und Diagonale eines Quadrates werden nicht von einem gemeinsamen Maß gemessen, oder mit anderen Worten:

4 (zusammen mit der harmonischen Terz 4 ) wurde erst 5 5 im ausgehenden Mittelalter (Ramis de Pareja, 1482) in das Tonsystem eingefügt. Das so entstandene „mitteltönige Tonsystem“ löste das alte pythagoräische Tonsystem ab. Dabei wurde aller Ein solcher „mitteltöniger“ Ganzton

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1 zusammen mit 5 einer „Wolfsquint“ ersetzt. Erst in der Mitte des 19. Jahrhunderts wurde die „mitteltönige Stim1 mung“ durch die „gleichstufige Stimmung“ mit dem immer gleichen Halbtonschritt 12 ersetzt. 2

dings auch die (pythagoräische) reine Quint 2/3 durch die mitteltönige Quint

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Kapitel 1  Der Begriff der Mathematik

Satz: Das Verhältnis der Längen von Diagonale und Seite eines Quadrates ist nicht mit natürlichen Zahlen ausdrückbar; es ist irrational (ἄρρητος). Der ursprüngliche Beweis dieses Satzes ist leider nicht überliefert. Wir geben eine plausible Rekonstruktion, die Otto Toeplitz (in ‚Die Entwicklung der Infinitesi­ malrechnung‘, Springer-Verlag, Berlin 1949, S. 4–5) gegeben hat. Notation. Die Strecke mit den Endpunkten A und B bezeichnen wir mit AB. AB ≡ CD soll besagen, daß die beiden Strecken AB und CD gleich lang (also „kongruent“) sind. Beweis. Wir betrachten ein Quadrat mit den Eckpunkten A,B,C,D, der Seite s = AB und der Diagonalen d = BD. Wenn die Längen der Strecken s und d doch in einem nennbaren (oder ausdrückbaren) Verhältnis stehen sollten, d. h. im Verhältnis 1 1 zweier natürlicher Zahlen n und m, s:d = n:m, dann wäre mit g =  s =  d offenbar n m s  =  ng & d  =  mg. Im Prozeß der Wechselwegnahme (ἀνθυφαίρεσις) müßte man dann nach endlich vielen Schritten auf die Strecke g stoßen. Wir wollen prüfen, ob das der Fall ist.

Wir setzen s0 = s, d0 = d. Der Prozeß der Wechselwegnahme führt zunächst auf die Strecken s1 = d0 – s0, d1 = s0 – s1. Sei T der Punkt auf der Diagonalen zwischen B und D derart, daß BT und AB gleich lang sind, und sei P ein Punkt auf der Seite AD zwischen A und D so, daß die Strecke PT senkrecht auf der Diagonalen BD steht. Dann sind die Dreiecke Δ(B,T,P) und Δ(Β,A,P) kongruent, da sie beide rechtwinklig sind und gleiche Hypotenusen BP und eine gleichgroße Kathete s0 = AB ≡ BT haben. Also sind die Dreiecke kongruent, woraus AP  ≡  PT folgt. Da der Winkel ∠(D,T,P) ein rechter und ∠(Α,D,Β) ein halber rechter ist, ist das Dreieck Δ(D,T,P) offenbar gleichschenklig, also s1 = d0–s0 = DT ≡ TP ≡ PA.

1.1 Die Entdeckung inkommensurabler Größen

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Wir spiegeln das Dreieck Δ(D,T,P) an der Geraden DP (der Bildpunkt von T sei S) und erhalten ein Quadrat D,T,P,S mit der Seite s1 = d–s und der Diagonalen d1 = s–s1. Auch s1 und d1 sind Vielfache von g, und wir können die Konstruktion, die wir am Quadrat A,B,C,D durchgeführt haben, am Quadrat D,T,P,S wiederholen. Wir bemerken aber noch, daß s1 kleiner als die Hälfte von s ist und ebenfalls d1 kleiner als die Hälfte von d ist. Wir können die geschilderte Konstruktion ad infinitum wiederholen, indem wir

s n +1 = d n – s n ,

d n +1 = s n – s n +1 ,

bilden. All diese Strecken sind ebenfalls positive ganzzahlige Vielfache von g und deshalb größer als g. Da sie aber zugleich in jedem Schritt kleiner als die Hälfte der vorangegangenen Strecke sind, können sie nach endlich vielen Schritten kleiner als jede beliebig vorgegebene Strecke gemacht werden, insbesondere auch kleiner als g. Das ist ein Widerspruch! In einem Quadrat können also die Länge der Diagonalen und die Länge ihrer Seiten in keinem nennbaren (oder ausdrückbaren) Verhältnis stehen: ihr Verhältnis ist irrational (unausdrückbar, ἄρρητος)! – Q.E.D. Das war eine sensationelle Entdeckung! Das Dogma der Pythagoräer, „daß in diesem Weltall alles in harmonischer Weise nach Zahl und Proportion geordnet sei“ (siehe oben), war damit widerlegt worden, was zu äußerst heftigen Auseinandersetzungen im Kreis der Pythagoräer führte. Für die weitere Entwicklung der Geometrie (und der Mathematik schlechthin) war das Ergebnis von allergrößter Bedeutung. Wenn man sich vorstellt, daß (im obigen Beweis) die Striche alle mit Tinte oder Bleistift auf ein Blatt Papier – oder wie in der Antike üblich: mit einem dünnen Stab auf eine mit feinem Sand bestreute Tafel, die man abax (ἄβαξ) oder abakion (ἀβάκιον) nannte – gezeichnet werden sollen, dann kann man die Konstruktion der Quadrate nur so lange iterieren, wie man die Punkte und Linien noch voneinander unterscheiden kann. Die Frage, ob es ein gemeinsames Maß gibt, kann man offenbar nicht empirisch überprüfen. Um sicher zu stellen, daß der Prozeß der Wechselwegnahme durchführbar und ad infinitum fortgesetzt werden kann, müssen die auftretenden Geraden alle existieren, d. h., man muß sie alle noch unterscheiden können, und das heißt, daß die auftretenden Geraden alle keine Breite haben dürfen. Es war in der Geschichte der Geometrie bis dahin noch nie nötig gewesen, die Frage zu stellen, wie breit geometrische Geraden sein dürfen, aber jetzt stellte sich diese Frage erstmals und die Antwort lautete, daß sie überhaupt keine Breite haben dürfen. Ganz genauso stellte sich die Frage, wie dick Punkte sein dürfen, und die Antwort lautete, daß sie keine Ausdehnung haben dürfen. Damit ergab sich aber auch als Konsequenz, daß die Frage, ob Seite und Diagonale eines Quadrates kommensurabel sind, offenbar nicht auf der Grundlage sinnlicher Wahrnehmung (Empirie) beantwortet werden kann. Aber,

Kapitel 1  Der Begriff der Mathematik

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wenn man annimmt, daß die Linien allesamt nur Länge, aber keine Breite haben, dann erkennt man, daß der oben beschriebene Prozeß der Wechselwegnahme ad infinitum fortgesetzt werden kann und nicht abbricht, also auch auf kein gemeinsames Maß führt! Es gibt also kein gemeinsames Maß. Daher sind Diagonale und Seitenlinie eines Quadrates inkom­ mensurabel.

Auf der Grundlage einer Geometrie mit ausdehnungslosen Punkten, breitenlosen Geraden etc. gibt es also Größen, für die man überhaupt kein gemeinsames Maß finden kann. Aristoteles schrieb dazu im 1. Buch seiner ‚Metaphysik‘ (I,2, 983a15) und ähnlich in seiner ‚Zweiten Analytik‘ (I, 71b27): „Es muß ja allen, die den Grund noch nicht begriffen haben, wunderbar erscheinen, daß selbst die kleinste Größe kein gemeinschaftliches Maß sein kann“.

Vermutlich haben die Pythagoräer damals auch erkannt, daß in jedem regelmäßigen 5-Eck Diagonale und Seite inkommensurabel sind. Eine Rekonstruktion eines solchen Beweises hat Kurt von Fritz (1945/1965, op. cit.) gegeben.3 Das entscheidend Neue an der Argumentation der Pythagoräer war, daß sie sich nicht auf die sinnlich wahrnehmbaren Punkte, Linien, Flächen und Körper beziehen konnte, sondern sich auf idealisierte Punkte (ohne Ausdehnung), idealisierte Linien (ohne Breite), idealisierte Flächen (ohne Dicke) beziehen mußte. Von solchen idealisierten Punkten, Geraden, Flächen und Körpern war in der älteren ägyptisch-­ babylonischen Geometrie und auch bei Thales (ca. 624–548/545 v.u.Z.) nie die Rede gewesen. Die griechischen Geometer sprachen aber von nun an fast nur noch von diesen idealisierten Objekten. Auch Euklid (ca. 340–270 v.u.Z.) begann die berühmten ‚Elemente‘ (geschrieben um 300 v.u.Z.) mit den Definitionen: Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές, Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.

[Punkt ist, was keine Teile hat], [Linie ist breitenlose Länge], [Fläche ist, was allein Länge und Breite hat], etc.

Es entstand eine Geometrie, die von Dingen handelt, die man weder sehen noch fühlen kann und die nur für das Denken existieren. Auf empirischem Wege läßt sich nicht herausfinden, ob eine geometrische Aussage wahr oder falsch ist, sondern allein durch das Denken mit den Mitteln der Dialektik. Die ältere ägyptische und babylonische Arithmetik und Geometrie bestand weitgehend aus einer Sammlung von Methoden zur Lösung praktischer Probleme. Die Korrektheit der vorgeschlagenen Lösungs-Methoden wurde an vielen Beispielen erfahren und damit auf induktivem Wege als richtig und allgemeingültig vermutet. Zum Aufbau einer „theoretischen Geometrie“ war es nicht gekommen. Die arithmetischen und geometrischen Begriffe traten nur als Adjektive (der Umgangssprache) auf und wurden zum Sprechen über Sachverhalte in der realen Welt benutzt. Ab­ strakte Objekte, die einem deduktiven Beweisverfahren unterliegen, wurden in der ägyptisch-babylonischen Arithmetik und Geometrie nicht gebildet. Das war der  Siehe dazu auch Wilbur R. Knorr (1975), op. cit., und Árpád Szabo (1969), op. cit., S. 277–287.

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1.2 Der Begriff der ‚Mathematik‘

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griechischen Mathematik vorbehalten und wir haben soeben in dem ausführlich diskutierten Beispiel die Geburtswehen dieser neuen Mathematik miterlebt [vergl. dazu O. Neugebauer, op. cit., insbesondere Seite 120 und 122].

1.2  Der Begriff der ‚Mathematik‘ Die neu entstandene deduktive (!) Arithmetik und Geometrie wurde sehr bald schon mit dem Etikett „Mathematik“ versehen. Wir fragen uns, was dieses Wort eigentlich (dem ursprünglichen, umgangssprachlichen Wortsinne nach) bedeutet. Welche Bedeutung hatte das Wort, bevor es zum Oberbegriff für Arithmetik, Algebra, Geometrie etc. wurde? In der griechischen Umgangssprache wurden die Unterrichtsfächer häufig als Mathêmata (τὰ μαθήματα) bezeichnet. Das Verb ‚manthanein‘ (μανθάνειν) bedeutet „lernen“, und zwar „lernen durch (argumentative) Belehrung“ im Gegensatz zum „Lernen durch (sinnliche) Erfahrung“. Das aus diesem Verb abgeleitete Sub­ stantiv mathêma (μάθημα), oder im Plural mathêmata (μαθήματα), bezeichnet demnach den Gegenstand (bzw. die Gegenstände) des Lernens und Lehrens (cf. Kurt von Fritz 1960, op. cit.). Mathêsis (μάθησις) ist das „verständige Lernen“, der „Erwerb von Wissen“. Bruno Snell (op. cit., S. 72 ff.) weist darauf hin, daß bereits in vorplatonischer Zeit manthanein (μανθάνειν) die Bedeutung von „sich geistig etwas zu eigen ma­ chen“ hatte. Das Verb ist vom Verb „lernen durch üben“ (didaskesthai, διδάσκεσθαι) zu unterscheiden. Das griechische Wort manthanein (μανθάνειν) hat die indogermanische Wurzel „mendh-“ (= geistig erregt sein, seinen Sinn auf etwas richten, denken). Dieselbe Wurzel hat • im Deutschen das Wort ‚mahnen‘ (d. h. in Erinnerung bringen), • im Englischen das Wort ‚mind‘ (d. h. gedenken), • im Lateinischen das Wort ‚mens‘ (d.  h. das Denkvermögen, der Verstand, das Gewissen (= das mahnende Innere)) und • im Sanskrit das Wort ‚man‘ (= denken, meinen) und die daraus abgeleiteten Substantive ‚manas‘ (= der innere Sinn, Geist) und ‚mantra‘ (=ein Wort, das, wäh­rend es rezitiert wird, den Geist an die Inhalte des Wortes bindet und ihn insofern vor anderen Gedanken schützt). Die Mathêmata waren ganz allgemein die wissenschaftlich betriebenen Unterrichtsfächer Rhetorik, Musik, Arithmetik, Geometrie, Astronomie, Optik etc. In dieser sehr allgemeinen Bedeutung wurde das Wort ‚Mathêma‘ immer wieder bei Aris­ tophanes (z. B. ‚Aves‘ 380, ‚Nubes‘ 1231), Thukydides (II,39), Platon (‚Sophistés‘ 219c, ‚Tímáios‘ 88b, ‚Politeia‘ 504–505) und anderen gebraucht. Aber das Wort verlor im Laufe der Zeit seine allgemeine Bedeutung und wurde schließlich nur noch zur Bezeichnung der wissenschaftlich betriebenen Fächer Arithmetik und Geometrie verwendet.

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Kapitel 1  Der Begriff der Mathematik

Wie bereits oben angedeutet wurde, waren bei den Pythagoräern die „Mathematikoi“ diejenigen, die die Lehre ihres Meisters auf dem Wege des Verstehens (des Nachdenkens, Überprüfens, Verifizierens) erlernen durften. Das spektakulärste Resultat der Mathematikoi war die Aussage über die Existenz inkommensurabler Größen. Dieses Resultat führte in den folgenden Jahrzehnten und Jahrhunderten zu ­einer gründlichen Umgestaltung der Geometrie auf axiomatischer Grundlage (Eu­ klid), und zum Aufbau (in allerersten Ansätzen) einer „reellen Analysis“ (Eudoxos, Archimedes und andere). All das trug dazu bei, daß schließlich nur noch die Unterrichtsfächer Arithmetik, Algebra und Geometrie als „mathematische Lehrfächer“ bezeichnet wurden. Das Wort ‚Mathematik‘ ist selten in andere Sprachen übersetzt worden. Cassiodor (ca. 490–583) hat es in seinen ‚Institutiones‘ mit doctrina übersetzt. Er schrieb im zweiten Buch der Institutiones: „Mathematica, quam Latine possumus dicere „doctrinalem“, scientia est quae abstractam considerant quantitatem.“

Im Lateinischen heißt docere „lehren, unterweisen, unterrichten, vortragen“. Doctor ist „der Lehrer“, doctrix „die Lehrerin“ und doctrina ist „der Unterricht, die Unterweisung, die durch Unterricht mitgeteilte Gelehrsamkeit, und Kenntnis“. Doctrina ist insbesondere ein durch Philosophie oder Wissenschaft aufgestelltes System von Grundsätzen, also eine in sich geschlossene Lehre, ein in sich geschlossenes System von Aussagen. In einem Brief an Gabriel Wagner aus dem Jahre 1696 bezeichnete Gottfried Wilhelm Leibniz die Mathematik als „Wiß-Kunst“. Im Holländischen ist seit dem 18. Jahrhundert die Bezeichnung „Wiskunde“ üblich. Bemerkenswert ist, daß Leib­ niz die Mathematik als „Kunst“ (τέχνη, ars) und nicht wie Cassiodor als „Wissenschaft“ (ἐπιστήμη, scientia) bezeichnete. Es ist auch bemerkenswert, daß in vorplatonischer Zeit die Geometrie gelegentlich „Historia“ genannt wurde. Beispielsweise heißt es bei Iámblichos in seiner Schrift ‚De vita Pythagorica liber‘, [XVIII],89, daß Pythagoras die Geometrie Hi­ storia (ἱστορία) genannt habe: ἐκαλεῖτο δὲ ἡ γεωμετρία πρός Πυθαγόρου ἱστορία. [Pythagoras selbst nannte die Geometrie „Historia“.]

Kurt von Fritz (1952 loc. cit.) schrieb dazu daß das Wort „Historia“ vom indogermanischen Stamm „vid“ abgeleitet sei, den man im lateinischen Wort vid e re wiederfindet: „Ein ἵστωρ ist jemand, der etwas gesehen hat, ein Augenzeuge; ἱστορει˜ν bedeutet entweder, etwas als Augenzeuge in Augenschein nehmen und darüber berichten, oder, in etwas mehr abgeleitetem Sinn, Augenzeugen befragen, und wiedergeben, was man von ihnen in Erfah­ rung gebracht hat. „Historia“ im ursprünglichen Sinne also beruht letzterdings auf Augen­ scheinnahme.“ (K.v. Fritz 1952, op. cit., S. 202.)

„Historia“ bedeutet demnach: „Nachforschen bei denen, die aus eigener An­ schauung Bescheid wissen“ (B. Snell, op. cit., S. 62), und ist daher auch eine tref-

1.3 Das Auftreten ontologischer Probleme

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fende Bezeichnung für die Geometrie, so wie sie im alten Ägypten und Babylon betrieben wurde. In dieser alten Geometrie durfte man, wenn es darum ging, die Gültigkeit (oder Wahrheit) einer geometrischen Behauptung einzusehen, auf die  sinnliche Anschauung zurückgreifen (Aufeinanderlegen geometrischer Figuren zum Beweis ihrer Kongruenz, Herumschieben und Einschieben v­ orgegebener Län­gen, Verwendung mechanisch gezeichneter Kurven, etc.). Es ist bemerkenswert, daß in der späteren griechischen Geometrie Rückgriffe auf die sinnliche Anschauung nicht mehr zulässig waren und Beweise nur noch begrifflich mit rationalen Argumenten geführt werden durften.

1.3  Das Auftreten ontologischer Probleme Wir haben die Entwicklung, die die Geometrie genommen hat, recht unkritisch geschildert. Der Bereich der Gegenstände, von denen die Geometrie handelt, war von den Pythagoräern an nicht mehr „von dieser Welt“, sondern ein Bereich von gedachten (?), erdachten (?), unwirklichen Dingen. Aber damit waren auch neuartige Probleme entstanden. Sind die unwirklichen, ausdehnungslosen geometrischen Punkte überhaupt „Dinge“, sind sie wirkliche Gegenstände, oder sind sie vielleicht lediglich „Nichtse“? Sind die gedachten (oder erdachten) Punkte, Geraden, Kreise, Flächen, Winkel etc. reale Objekte? • In welchem Sinne können sie als „Dinge“ angesehen werden? Das sind Fragen, die die Ontologie betreffen, die die Seinsweise der mathematischen Gegenstände betreffen. Sind die ausdehnungslosen Punkte, die breitenlosen Linien etc. denn überhaupt konstruiert worden? In welcher Welt gibt es sie? Gibt es sie unabhängig von unserem Denken? Gehören sie zur erschaffenen Welt oder sind wir es, die sie erschaffen? Wem verdanken sie ihr Da-Sein? • Moritz Schlick (1882–1936) schrieb in seiner „Allgemeinen Erkenntnislehre“ (Berlin 1918, S. 117): „Linien ohne Breite sind nicht wirklich vorstellbar.“ Es stellt sich die Frage, ob die Geometrie noch einen Wirklichkeitsgehalt hat. Wo­ rüber spricht sie: über anschaulich gegebene Sachverhalte oder vielmehr über ein Geflecht von Begriffen? • Auf welchem Wege können wir die Beziehungen, die zwischen den verschiedenen mathematischen Gegenständen bestehen, erkennen? Das ist eine Frage, die die Epistemologie betrifft, d.  h. die Art und Weise des Erkennens mathematischer Sachverhalte. Bereits in der Antike wurde über all diese Fragen sehr kontrovers diskutiert und die Geometrie wurde seither immer wieder angegriffen und sogar verspottet, vergl. etwa Aristophanes in seinem Theaterstück ‚Die Vögel‘, Cicero in seinen ‚Acade­ miae Questiones‘ (Buch II, liber Lucullus, XXXVI, 116–118), Seneca (im 88.Brief) und Lukian (ca.120–180 u.Z.) in seinem Dialog ‚Hermotios oder Von den Philoso­ phischen Sekten‘. Lukian beispielsweise schrieb dort:

Kapitel 1  Der Begriff der Mathematik

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„(…) denn auch die hoch bewunderte Geometrie verlangt gleich von vornherein, daß man ihr offenbar absurde Bedingungen zugestehe, da sie gewisse unteilbare Punkte und Linien ohne Breite und dergleichen Undinge zugegeben haben will, und in dem sie auf ein so wurmstichiges Fundament baut, sich doch mit Demonstration und Evidenz breit macht.“

Auch anderthalbtausend Jahre später wurde die Geometrie immer noch für ihre ausdehnungslosen Punkte und unendlich-dünnen Linien verspottet. Voltaire macht sich in seiner Satire ‚L’Homme aux quarante écus‘ (‚Der Vierzigtalermann‘, geschrieben 1768) über die Linien, die eine Länge, aber keine Breite haben („des lingnes qui ont de la longueur sans largeur“) lustig und nennt die ganze Geometrie eine „Scharlatanerie“: „Je fus très-content de l’aveu de ce sage mathématicien, et je me mis à rire, dans mon mal­ heur, d’apprendre qu’il y avait de la charlatanerie jusque dans la science qu’on appelle la haute science.“ [Ich war mit dem Geständnis dieses weisen Mathematikers sehr zufrieden und begann in meinem Unglück zu lachen, denn ich mußte erfahren, daß es selbst in der sogenannten „hohen Wissenschaft“, Scharlatanerie gibt.] (Voltaire: ‚Oeuvres Complètes‘ Kehl 1785, Band 45, Seite 13–14)

Auch wenn der Spott von Lukian und Voltaire ziemlich oberflächlich ist, so ist es dennoch ein Problem, ( 1.) worüber man denn in der Geometrie überhaupt spricht, und (2.) woher man die Einsicht in geometrische Wahrheiten bezieht. Das war ja auch unsere oben gestellte Frage: In welchem Sinne existieren die Objekte der verschiedenen mathematischen Theorien und aus welchen Quellen dürfen wir schöpfen, wenn wir Sätze (Theoreme) beweisen?

Ist das Fundament der Geometrie so wurmstichig wie Lukian meint? Ist auch das Fundament, das Euklid in seinen ‚Elementen‘ gelegt hat, wurmstichig? – Das ­wollen wir in den folgenden Kapiteln prüfen. Die Mathematiker selbst haben kaum etwas über die Natur der mathematischen Gegenstände gesagt. Dabei ist der Umgang mit den mathematischen Objekten keineswegs unproblematisch. Wenn sich alle Überlegungen nur auf gedachte Punkte, gedachte Linien etc. beziehen, welche Rolle spielen dann die mechanischen Hilfsmittel (verallgemeinerte Zirkel zur Konstruktion von Parabeln etc, Einschiebe-­ Lineal zur Trisektion beliebiger Winkel etc.) in der Geometrie? Sind Kurven, die nur auf mechanische Weise erzeugt werden können, in der Geometrie überhaupt zulässig? Solche Kurven existieren doch gar nicht ‚in den Gedanken‘. Die Quadra­ trix des Hippias von Elis (um 420 v.u.Z.) ist eine solche mechanisch erzeugte Kurve, mit der die Winkeltrisektion (ja sogar die Teilung von beliebigen Winkeln in n gleiche Teile, n ≥ 2 beliebig) und die Quadratur des Kreises möglich ist. Ist die Quadratrix in geometrischen Existenz-Beweisen zulässig? Ist die Kissoide von Diokles (um 100 v.u.Z.), mit der die Würfelverdopplung ausgeführt werden kann, in der Geometrie zulässig? Die gleiche Frage stellt sich genauso für viele weitere Kurven. Was meinen wir damit, wenn wir sagen, daß die Punkte ohne Ausdehnung, die Geraden ohne Breite, die Flächen ohne Dicke etc. „in den Gedanken existieren“

Literatur

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würden. Was soll das eigentlich heißen? Oder existieren die geometrischen Objekte nur in den axiomatisch aufgebauten Geometrien Euklids und Hilberts? In welchem Sinne sind die Punkte und Geraden, von denen Hippasos gesprochen hat, „Objekte“ (Gegenstände) der Geometrie? – Was ist der ontologische Status der geometrischen Objekte? Es stellen sich Fragen über Fragen. Sie betreffen aber nicht nur die geometrischen Objekte. Ähnliche Fragen betreffen ganz genauso die „imaginären Zahlen“ (R.Bom­ belli, L.Euler, C.F.Gauss), die „infinitesimalen Größen“ (B. Cavalieri, G.W.Leibniz), die „idealen Zahlen“ der algebraischen Zahlentheorie (E.E.Kummer, R.Dedekind), die unendlichen Mengen und die „Alephs“ (G.Cantor), etc.  – Wir wollen prüfen, welche Antworten im Laufe der Geschichte gefunden wurden. Das wird uns helfen, unsere eigene Antwort zu finden. Eine Reihe von Philosophen haben die Entwicklung und Neugestaltung der Mathematik aufmerksam verfolgt (und zum Teil auch beeinflußt) und ihre Auffassungen ausführlich dargelegt. An erster Stelle sind hier für die Zeit der klassischen Antike bis hin zur Wiedergeburt der Antike im 15., 16. und 17. Jahrhundert Platon (ca. 427–347 v.u.Z.), Aristoteles (384–322 v.u.Z.), Plotin (205–270 u.Z.), Augustinus (354–430 u.Z.) und Proklos Diadochos (ca. 411–485 u.Z.), René Descartes (1596–1650),

und für die Zeit der Aufklärung John Locke (1632–1704), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651–1708), George Berkeley (1685–1753) und Immanuel Kant (1724–1804)

zu nennen. In der Neuzeit haben sich Philosophen und Mathematiker gemeinsam um die grundlegenden Probleme, die die Mathematik aufwirft, gekümmert. Es waren dies vor allem Bernard Bolzano (1781–1848), Richard Dedekind (1831–1916), Gottlob Frege (1848–1925), Edmund Husserl (1859–1938), David Hilbert (1862–1943), Bertrand Russell (1872–1970), Luitzen E.J. Brouwer (1881–1966), Paul Bernays ­(1888–1977), Ludwig Wittgenstein (1889–1951) und Kurt Gödel (1906–1978).

Wir werden auf ihre Bemühungen in den folgenden Kapiteln eingehen.

Literatur Fritz, Kurt von: Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont. In: O.  Becker (Herausgeber): Zur Geschichte der Griechischen Mathematik, Wiss. Buchges. Darmstadt, 1965, pp.  271–307. Ursprünglich erschienen in den Annals of Math. Band 46 (1945), pp. 242–264. Fritz, Kurt von: Der gemeinsame Ursprung der Geschichtsschreibung und der exakten Wissen­ schaften bei den Griechen. Philos. Nat. 2 (1952), pp. 200–223 & pp. 376–379.

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Kapitel 1  Der Begriff der Mathematik

Fritz, Kurt von: Mathematiker und Akusmatiker bei den alten Pythagoreern. Bayerische Akademie der Wissenschaften, Philos.-hist. Klasse, Heft 11 (1960). Knorr, Wilbur Richard: The Evolution of the Euclidean Elements, Reidel Publishing Company, Dordrecht 1975. Neugebauer, Otto: Über vorgriechische Mathematik, Abhandlungen aus dem Math. Seminar Hamburg, Band 7 (1930), pp.107–124. Snell, Bruno: Die Ausdrücke für den Begriff des Wissens in der vorplatonischen Philosophie: σοφία, γνώμη, σύνεσις, ἱστορία, μάθημα, ἐπιστήμη. Heft 29 der Reihe: Philologische Untersuchungen, herausgegeben von A. Kiessling & U. Wilamowitz-Moellendorff. Berlin 1924. Szabó, Árpád: Anfänge der griechischen Mathematik. Oldenbourg-Verlag, München, 1969.

Kapitel 2

Platons Philosophie der Mathematik

Platôn (Πλάτων) wurde um 428 v.u.Z. in Athen (oder Aigina?) geboren. Er stammte aus einer alten, hoch angesehenen Athener Familie ab. Im Alter von etwa 20 Jahren wurde er mit dem damals etwa zweiundsechzig-jährigen Sôkratês (Σωκράτης) bekannt. Den Prozeß gegen Sokrates (399 v.u.Z.) erlebte Platon mit. Er war über das Unrecht, das Sokrates widerfahren war, zutiefst empört und entrüstet. Er verließ Athen und ging nach Megara zu Eukleidês (Εὐκλείδης) und (der Überlieferung nach) einige Jahre später nach Kyrene, wo er sich von Theodôros (Θεόδωρος) in die Mathematik einführen ließ. In den Jahren 395 – 390 v.u.Z. war er vermutlich wieder in Athen, wo er die ‚Apologie‘ schrieb und seine ersten Dialoge verfaßte: ‚Euthyphron‘, ‚Gorgias‘, ‚Ion‘, ‚Kriton‘, ‚Protagoras‘ und andere. Platon ging danach nach Tarent in Süditalien, wo er sich mit dem Pythagoräer, Staatsmann und Mathematiker Archytas (Ἀρχύτας) eng befreundete. Von dort aus unternahm Platon im Jahre 388 v.u.Z. eine erste Reise nach Syrakus an den Hof des Tyrannen Dionysios des Älteren. Es kam aber schon bald zum Zerwürfnis, und Platon kehrte 387 nach Athen zurück. Nachdem 367 v.u.Z. Dionysios der Jüngere seinem Vater auf den Thron gefolgt war, erhielt Platon erneut eine Einladung an den Hof von Syrakus. Platon folgte dieser Einladung und kam im Frühjahr 366 in Sizilien an. Intrigen am Hofe raubten Platon fast jeden Einfluß und er reiste 365 wieder zurück nach Athen. Platon folgte noch einmal 361 einer Einladung an den Hof zu Syrakus, kehrte aber 360 endgültig nach Athen zurück. Hier widmete er sich ausschließlich seiner Lehrtätigkeit in der Akademie. Er starb „schreibend“ („scribens mortuus“, wie Cicero überlieferte) im Jahre 348 (oder 347?) im hohen Alter von 80 oder 81 Jahren. In der Nähe der von ihm gegründeten Akademie wurde er begraben – cf. Pausanias: ‚Beschreibung von Griechenland‘, Band I, 30. Über das Leben Platons hat Diogenes Laërtios im 3. Buch seines Werkes ‚Leben und Meinungen berühmter Philosophen‘ (‚De vitis, dogmatibus et apophthegmatibus clarorum philosophorum‘, geschrieben um 220 u.  Z.) ausführlich berichtet. Eine kurze Lebensbeschreibung gibt Apuleius in seiner Schrift ‚Platon und seine

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_2

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Kapitel 2  Platons Philosophie der Mathematik

Lehre‘ (‚De Platone et eius dogmate‘, geschrieben um 160 u.  Z.). Die Reisen ­Platons nach Sizilien hat Plutarch in seiner Biographie von Dion beschrieben (vergl. auch Platons 7. Brief).

2.1  P  latons Ansichten über die Lehrart der Mathematik: Anamnesis-Lehre Nach der Rückkehr 387 v.u.Z. von seiner ersten Sizilien-Reise gründete Platon (geleitet vom Vorbild des pythagoräischen Bundes) eine Philosophen-Schule auf dem baumreichen Gelände des Heiligtums des attischen Heros Hekademos. (Dieses Heiligtum lag etwa 2 km nord-westlich der Akropolis.) Der Name des Heiligtums ging später auf die Schule über, die daher Akademie genannt wurde.1 In Anlehnung an das pythagoräische Dogma, daß nur mit Hilfe der Mathematik (der Zahlenlehre und der Geometrie) ein Einblick in die Ordnung der Welt möglich sei (wir sprachen darüber in Kap. 1), setzte Platon (der Legende nach – cf. D.H.Fowler, op. cit., S. 200–201) über den Eingang in seine Akademie die Worte Μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω. [Kein der Geometrie Unkundiger soll eintreten].

Die Unwissenheit der Hellenen in mathematischen Sachverhalten hat Platon in seiner Schrift über die Gesetze (den ‚Nomoi‘, 7. Buch, 819d–e) mit drastischen Worten beklagt. Er meinte, ihre Unwissenheit lasse sie nicht wie Menschen erscheinen, sondern eher wie eine „Herde von Schweinen“. Platon hat in seinem Leben zwar nie Mathematik betrieben, aber er hat sich mit ihrem epistemologischen und ihrem ontologischen Status immer wieder intensiv auseinander gesetzt und dabei die weitere Entwicklung der Mathematik nachhaltig beeinflußt. Zum ersten Mal hat er sich in seinem Dialog ‚Menon‘, den er etwa in den Jahren um 386/385 v.u.Z. schrieb, zu den Grundlagen der Mathematik geäußert. In unserem einleitenden Kap. 1 haben wir über den Paradigmenwechsel in der Entwicklung der Arithmetik und Geometrie gesprochen, der in der ersten Hälfte des fünften Jahrhunderts v.u.Z. stattfand. Es wurde erst damals den Mathematikern bewußt, daß die Gegenstände, mit denen sie operieren, nicht der sinnlich wahrnehmbaren Welt angehören und daß sie auch nicht rein sprachlicher Natur sind. Es stellte sich die grundsätzliche Frage, was ihre Natur ist und wie man über sie Wissen gewinnen kann. Eine Antwort hat Platon in seinem Dialog ‚Menon‘ zu geben ­versucht.

 Die platonische Akademie bestand insgesamt etwa 300 Jahre lang. Im Jahre 88 v.u.Z. ließ sie der römische Konsul Sulla zerstören. Einige Jahrhunderte später haben die Neuplatoniker die Akademie wieder errichtet. Aber im Jahre 529 u.Z. wurde sie von dem oströmischen Kaiser Justinian endgültig geschlossen, weil sie der hellenistischen Tradition treu bleiben und sich nicht christianisieren lassen wollte. – Vergleiche dazu aber auch den Aufsatz von Alan Cameron: ‚The Last Days of the Academy at Athens‘ in seinem Buch ‚Wandering Poets and other Essays on Late Greek Literature and Philosophy‘, Oxford 2016, S. 205–245 & 331–335. 1

2.1 Platons Ansichten über die Lehrart der Mathematik: Anamnesis-Lehre

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Es geht in diesem Dialog zunächst nicht um Mathematik, sondern um die Frage, ob Tugend (ἀρετή, Trefflichkeit, Edelmut) gelehrt werden kann. Platon hatte sich bereits einige Jahre zuvor unter dem Einfluß des sokratischen Philosophierens mit dieser Frage beschäftigt und war damals zu dem Ergebnis gekommen, daß sich gar nicht genau und umfassend sagen läßt, was „Tugend“ ist, und daß sich deshalb auch die Tugend schlechthin weder lehren noch erlernen läßt (cf.  ‚Protagoras‘: 361a). Unter dem Begriff des Lernens verstand Platon damals noch das Lernen durch Einüben (Platon benutzt hier im ‚Protagoras‘ das Wort διδακτός = „lehrbar, verkündbar“). Jetzt aber gelang Platon mit einem neuen Begriff des Lernens eine positive Antwort auf die Frage, ob Tugend gelehrt und erlernt werden kann. Dieser neue Begriff ergab sich aus einer Umdeutung der mathêsis (μάθησις) als Anamnêsis (ἀνάμνησις, d. h. Wiedererinnern). Die menschliche Seele, die nach Platons Meinung unsterblich ist (cf. Platons ‚Politeia‘, Buch X, 608d), hat vor ihrem Eintritt ins irdische Dasein alles Existierende kennen gelernt und muß sich nur erinnern an das, was sie in ihrem früheren Dasein gesehen hat und was sie an „Ideen“ (ἰδέαι) in sich trägt. Auch die Tugend läßt sich, wovon Platon jetzt überzeugt ist, erlernen durch Wiedererinnern an das, was die Seele vor ihrer Reinkarnation, also vor ihrem Eintritt ins gegenwärtige menschliche Dasein bereits kennen gelernt hat und deshalb weiß. Das, was „Tugend“ wirklich ist, kann (nach Platons Meinung) zwar nicht mit Worten durch eine allumfassende Definition gesagt werden, wohl aber durch ein Besinnen auf das Urbild (παράδειγμα, Vorbild, Muster) aller Tugend ins Bewußtsein gebracht werden, also auf ein Urbild, das die Seele in sich trägt (cf. Platons ‚Eutyphron‘, 6e–7a). Zum Nachweis, daß alles Lernen letztlich auf einem Wiedererinnern beruht, verwendet Platon im ‚Menon‘ (im Abschnitt 80d–85e) ein Beispiel aus der Geometrie. Durch geschicktes Fragen läßt Sokrates einen jungen Diener, der nie in Mathematik unterrichtet worden war, aus sich selbst heraus die Lösung eines geometrischen Problems holen. Es geht also darum nachzuweisen, daß ein in Geometrie ungebildeter Diener ganz aus sich selbst heraus, allein durch ein sich Wiedererinnern an das, was seine Seele noch „von früher“ weiß, zum Erlernen geometrischer Sachverhalte kommen kann. Im ‚Menon‘ läßt Platon den Sokrates das Gespräch mit dem Diener führen. Auch Sokrates hält die Seele (ψυχή) für unsterblich, und weil sie alles, was hier auf der Welt und alles, was in der Unterwelt ist, erblickt hat, so ist „nicht zu verwundern, wenn sie … sich auch dessen zu erinnern vermag, was sie früher gewußt hat.“ (81c–d)

Um zu zeigen, daß es sich so verhält, läßt Sokrates – wie gesagt – einen jungen Diener hereinrufen. Das Gespräch verläuft wie folgt (82b–85e) – wir zitieren aus der Übersetzung von Schleiermacher: „Sokratês: Sage mir also, Knabe, weißt du wohl, daß ein Viereck eine solche Figur ist? Knabe: Das weiß ich.“

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Kapitel 2  Platons Philosophie der Mathematik

Sokrates befragt sodann den Knaben, wie groß ein Quadrat ist, dessen Seiten man verzweifacht. Der Knabe erkennt, daß es vervierfacht wird. Sokrates: Aus der zwiefachen Seite also entsteht uns nicht das zwiefache, sondern das vierfache Viereck? Knabe: Du hast recht.

Daraufhin stellt Sokrates die Frage, wie groß die Seite sein muß, wenn das Quadrat insgesamt aber nur verdoppelt werden soll. Sie diskutieren lange darüber. Schließlich hält Sokrates das Ergebnis fest (85a–c): Sokrates: Schneidet nun nicht diese Linie, welche aus einem Winkel in den anderen geht, jedes von diesen Vierecken in zwei gleiche Teile? … Diese nun nennen die Gelehrten die Diagonale; so daß, wenn diese die Diagonale heißt, alsdann aus der Diagonale … das zwiefache Viereck entsteht. Knabe: Allerdings, Sokrates.

Am Ende des Gesprächs hat also der Knabe erkannt, daß das Quadrat über der Diagonalen das vorgegebene Quadrat verdoppelt. – Der Knabe darf jetzt wieder an seine Arbeit zurückkehren. Sokrates meint, daß er den Knaben nicht unterrichtet, sondern nur ausgefragt habe, und daß dieser „wie im Traume“ (85c–d) die Erkenntnis aus sich herausgeholt habe. Da sie ihm nicht (in diesem Leben) beigebracht worden sei, könne er sie nur aus der Erinnerung an ein früheres Wissen, das die Seele vor ihrer Geburt besaß, geschöpft haben. Die Wiedererinnerungslehre hat Platon im ‚Phaidon‘ und im ‚Menon‘ dargestellt. Ihr liegt die alte Lehre der Orphiker und Pythagoräer zugrunde, daß die Seelen der Menschen, bevor sie in diese Welt hineingeboren werden, einer andern Welt angehört haben. Platon folgert daraus, daß die menschliche Seele in dieser anderen Welt Gegenstände und Sachverhalte gekannt hat, die sie bei ihrer Geburt in diese Welt zwar wieder vergessen hat, an die sie sich aber wiedererinnern kann. Die Seele hat die gesamte Wirklichkeit gesehen. Das menschliche Lernen ist Platons Meinung nach nur ein Widererinnern der Seele an ein Wissen, daß sie schon „von früher“ (a priori) besitzt und an das sie sich nur zu erinnern braucht. Die platonische Wiedererinnerungslehre wurde schon in der Antike kritisiert. Aristoteles wandte ein (‚Erste Analytik‘, Buch II, 67a 22–27), daß Sokrates das Gespräch lenke und daß dabei der junge Diener in jedem Schritt lerne und Wissen erwerbe. Es sieht nur so aus, als ob er sich erinnere. Oskar Becker weist im Vorwort zu dem von ihm herausgegebenen Band ‚Zur Geschichte der Griechischen Mathematik‘ (Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1965, Seite X) darauf hin, daß an der entscheidenden Stelle Sokrates die Diagonale als Hilfslinie einzeichnet. Becker bemerkt: „darin liegt gerade der „springende Punkt“, der eigentlich schöpferische Gedanke der ganzen Betrachtung. Und auf diese Hilfslinie kommt der Sklave nicht „aus der Erinnerung“, sondern der in der Geometrie erfahrene Lehrer Sokrates zeichnet sie ein und teilt dadurch dem Schüler den entscheidenden Gedanken mit.“

Die Einwände von Aristoteles und Becker sind überzeugend. In der von Platon vorgetragenen Form kann die Wiedererinnerungs-Lehre nicht als wohlbegründet gelten.

2.2 Die platonische Ideenlehre

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Aber bemerkenswert ist, daß Varianten dieser Lehre auch in späteren Zeiten immer wieder vorgetragen wurden. Beispielsweise ist die Lehre Descartes’, daß die geometrischen und arithmetischen Grundbegriffe (Gerade, Kreis, Fläche, Raum, Zahl, etc.) in unserer Seele von Geburt an vorhanden seien, und insofern als ideae innatae bezeichnet werden könnten, eine solche Variante der platonischen Lehre – wir werden darauf in Kap. 8 zurückkommen. Man kann dem Gedanken Platons, der zur Wiedererinnerungslehre führte, auch entnehmen, daß in ihm der apriorische Charakter der mathematischen Erkenntnis behauptet wird. In einem anderen Kleide werden wir diese Behauptung insbesondere bei Immanuel Kant wieder antreffen (Kap. 12). Aber zunächst wollen wir zur platonischen Wiedererinnerungslehre zurückkehren und die oben gemachte Aussage wieder aufgreifen, der zufolge die Seele von allem, was sie in ihrem früheren Dasein gesehen hat, eine „Idee“ in sich trage. Was ist dabei mit dem Begriff „Idee“ gemeint?

2.2  Die platonische Ideenlehre Wie viele vorsokratische Denker und Dichter (Epicharm, Heraklit, Parmenides et al.) war auch Platon überzeugt, daß die sinnlich wahrnehmbaren Dinge einer ständigen Veränderung unterliegen. Sie entstehen, blühen auf und vergehen wieder. Niemals bleiben sie sich gleich. Das, was im ständigen Werden und Absterben begriffen ist, ist nicht wahrhaft seiend, denn das wahrhaft Seiende ist (nach Platons Überzeugung) sich immer gleich, ist unerschaffen und unvergänglich. In der ‚Politeia‘ (521d–527c) drückt sich Platon wie folgt aus: „Die Dinge der Welt haben kein wahres Sein, weil sie immer nur werden, aber nie sind. Daher taugen sie nicht zu eigentlicher Erkenntnis, denn solche kann es nur geben von dem, was immer auf die gleiche Weise an und für sich existiert“. (Übersetzung von Schleiermacher)

Platon war überzeugt, daß es neben der Welt der sinnlich wahrnehmbaren Dinge (κόσμος αἰσθητός, mundus sensibilis) auch eine Welt von Dingen gibt, die nur geistig wahrnehmbar ist (κόσμος νοητός, mundus intelligibilis). Er vermutete, daß das, was wir von der Umwelt (φύσις) mit den Sinnen erfahren, nur schwankende Abbilder einer anderen Welt von eigentlich seienden Dingen sind. Das führte Platon dazu, der Welt der sinnlich wahrnehmbaren Dinge einen Kosmos von Urbildern gegenüberzustellen. Die sinnlich wahrnehmbaren Dinge sind die Abbilder2 der entsprechenden Urbilder (vergl. Platons ‚Timáios‘ 28a–29d). Diese Urbilder sind unerschaffen, unvergänglich und existieren immer auf die gleiche Weise. Platon bezeichnete sie als Ideen (ἰδέαι). Die Welt der Ideen ist das Reich des eigentlichen

2  Platon benutzt das Wort εἰκών (=Abbild). Im genauen Wortsinne ist εἰκών, das, was dem Angeschauten gleich ist.

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Kapitel 2  Platons Philosophie der Mathematik

‚Seins‘ (οὐσία), und ist, wie es schon Parmenides gelehrt hatte, nur dem Geist (νοῦς) zugänglich. Platon versuchte, seine Überzeugung mit einem Gleichnis plausibel zu machen. Es ist dies das berühmte Höhlengleichnis (wir werden nur einen Ausschnitt davon wiedergeben). Platon verglich darin die menschliche Wahrnehmung mit der Wahrnehmung von Menschen, die in einer unterirdischen, höhlenartigen ­Wohnung leben. Das Höhlengleichnis (‚Politeia‘, 7. Buch, 514a–518b). Der Höhleneingang liegt in der Sonne. An dem Höhleneingang führt ein Weg vorbei, auf dem immer wieder Menschen vorbeiziehen. In der Höhle leben Menschen, die den Höhleneingang nicht sehen können; sie sehen aber an einer der Wände der Höhle die Schatten der draußen vorbeiziehenden Menschen. Sie können die vorbeiziehenden Menschen selber nicht sehen, aber sie können sie hören wie sie miteinander reden und lachen. Offenbar müssen die Höhlenbewohner glauben, daß die Geräusche von den vorüberziehenden Schattenbildern her kämen. Platon stellte die Frage, ob unsere Situation in der Welt nicht mit der Situation der Höhlenbewohner vergleichbar sei. Die Höhlenbewohner wissen nicht, daß ihre Wahrnehmung sich nur auf Schattenbilder bezieht. Platon stellte die Frage, worauf sich denn unsere Wahrnehmung bezieht. Er wollte uns überzeugen, daß wir mit unseren Sinnen auch nur Schattenbilder wahrnehmen, und zwar Schattenbilder von Dingen, die einer höheren Sphäre des Seins angehören. Diese höhere Sphäre des Seins ist die Welt der Ideen. Die Ideenlehre. Als ‚Idee‘ (ἰδέα, εἶδος) bezeichnete Platon das ‚Erscheinungsbild‘, das allen Dingen, die unter einen vorgegebenen Begriff fallen, gemeinsam ist. Dieses ‚gemeinsame Erscheinungsbild‘ wird als ein selbständig existierendes Objekt aufgefaßt und auch als „Urbild“ (παράδειγμα, Vorbild, Muster) der Einzelerscheinungen bezeichnet. Das Wort εἶδος ist vom Verb ἰδεῖν (sehen, kennen, die sichtbare Form erkennen, wissen) abgeleitet. Ursprünglich bedeutete es nur die „Gestalt, die äußere Erscheinung, die sichtbare Form“. Platon gab diesem Wort die abstraktere Bedeutung von „Erscheinungsbild aller Objekte einer Gattung oder einer Art“. Eine „Idee“ ist bei Platon demnach etwas, das zwar nicht mit den sinnlichen Augen gesehen werden kann, wohl aber etwas, auf das die Seele eines Menschen hinschauen kann (cf. Platon: ‚Euthyphron‘, 6e–7a). Aus dieser Beschreibung wird bereits deutlich, daß der platonische Begriff der „Idee“ nicht mit dem identisch ist, was im Deutschen üblicherweise mit „Idee“ bezeichnet wird. Insbesondere werden die „Ideen“ bei Platon als Dinge (!) verstanden, deren Dasein unvergänglich ist. Platon postuliert die Existenz von Ideen nicht nur von Dingen dieser Welt, sondern auch von Begriffen. In der Welt der Ideen gibt es demnach die Idee des Baumes, die Idee des Guten, die Idee des Schönen, und ganz genauso auch die Idee der geraden Linie, die Idee des Kreises, die Idee des Punktes, etc.

2.3 Die Welt der mathematischen Gegenstände

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2.3  Die Welt der mathematischen Gegenstände Zwischen der Welt der sinnlich wahrnehmbaren Dinge und der Welt der Ideen liegt nach Platon das Reich der mathematischen Dinge (vergl. Aristoteles ‚Metaphysik‘, 1.Buch, Kap. V, 987b15–20). Die Zwischenstellung ist so begründet: Die Gegenstände der Mathematik sind nicht die Ideen selber, denn es gibt beispielsweise nur eine Idee des Kreises, aber viele einzelne Kreise (alle diese mathematischen Kreise sind Abbilder der Idee des Kreises) und nur eine Idee der Einheit aber viele einzelne Einheiten. Die mathematischen Dinge sind jedoch wie die Ideen nur geistig wahrnehmbar (und daher von den sinnlich wahrnehmbaren Dingen verschieden). Zur Erkenntnis der Sachverhalte im Bereich des Mathematischen bedarf es der Wiedererinnerung (ἀνάμνησις), der Denktätigkeit (διάνοια) und auch der geistigen Wahrnehmung (νόησις). Genauso wie Platon zwischen den mathematischen Kreisen, die nur geistig wahrnehmbar sind, und den sinnlich wahrnehmbaren Kreisen auf dem Papier oder im Sand unterscheidet, so unterscheidet er (in seinen Dialogen ‚Philebos‘, 56d–e, und ‚Politeia‘, 526a–b) auch zwischen den mathematischen Zahlen, die nur für das Denken da sind, und den Zahlen, mit denen „die Handelsleute und die vielen anderen Menschen“ im täglichen Leben umgehen. Im täglichen Leben „werden immer ungleiche Einheiten zusammen gezählt“, etwa zwanzig Menschen (die ja alle untereinander verschieden sind), oder zehn Äpfel (die ebenfalls alle untereinander verschieden sind) etc. In der „wissenschaftlich betriebenen Rechenkunst“, also der „reinen Mathematik“, operiert man dagegen mit unbenannten Zahlen und hier sind die Zahlen Mengen (oder Vielheiten) von ununterscheidbaren Einheiten. Diese Einheiten kann man nicht in der sinnlich wahrnehmbaren Welt finden, sondern nur denken. Diese Zahlen der reinen Arithmetik gehören der Welt der mathematischen Gegenstände an, genauso wie die ausdehnungslosen Punkte, die breitenlosen Geraden und Kreise etc. der reinen Geometrie. Beachtenswert ist hier, daß Platon die Zahlen nicht mit den Zahlwörtern (oder Zahlzeichen) identifizierte, wie es in den älteren Kulturen immer üblich war, sondern als Dinge verstand, die von ihren Namen und Bezeichnungen verschieden sind (vergl. Platons siebten Brief, 342b–c). Es sind seiner Meinung nach Dinge, die zwar nicht der sinnlich erlebbaren Welt angehören, wohl aber der geistig wahrnehmbaren Welt der Ideen und der mit ihnen verwandten mathematischen Gegenstände. Über den ontologischen Status der Zahlen hatten sich die Mathematiker zuvor nie geäußert. Ebenso gehören auch die Gegenstände der wissenschaftlich betriebenen Geometrie nicht der sinnlich erlebbaren Welt an. Zur Rolle der Zeichnungen sagt Platon in der ‚Politeia‘, Buch VI, 510d–e (in der Übersetzung von Fr. Schleiermacher): „Auch, daß sie sich der sichtbaren Gestalten bedienen und immer auf diese ihre Reden beziehen, unerachtet sie nicht von diesen handeln, sondern von jenem, dem diese gleichen, und um des Vierecks selbst willen und seiner Diagonale Beweise führen, nicht um dessen willen, welches sie zeichnen, und auch sonst überall: dasjenige selbst, was sie nachbilden und abzeichnen, wovon es auch Schatten und Bilder im Wasser gibt, dessen bedienen sie

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Kapitel 2  Platons Philosophie der Mathematik sich zwar als Bilder, sie suchen aber immer jenes selbst zu erkennen, was man nicht anders sehen kann als mit dem Verständnis.“

Die Zeichnungen begleiten nur die Beweise; sie können Sachverhalte andeuten, die man in Worten oft nur schwer und umständlich wiedergeben kann. Eine Kon­ struktions-­Anweisung hat in der platonisch konzipierten Geometrie nur die Funktion, daß sie zeichnerisch das wiedergibt, was eigentlich in Worten und Begriffen mitgeteilt werden sollte. Wenn Strecken unter Zuhilfenahme von irgendwelchen mechanischen Hilfsmitteln konstruierbar sind, dann mag das für die (praktische) Geodäsie nützlich sein, aber in der platonisch konzipierten (theoretischen) Geometrie sind derartige Kon­ struktionen unzulässig. Kurven sind bei Platon zulässig, wenn sie „ideelle Beschreibungen“ besitzen, d. h. wenn sie ausschließlich unter Verwendung von „Ideen“ beschrieben werden können. Kurven, die in ihrer Beschreibung vom Abrollen von Kreisen auf einer „rauhen“ Unterlage (ohne abzurutschen oder auszugleiten) oder vom Einpassen bestimmter Strecken mit vorgegebener Richtung (νεῦσις, inclinatio) Gebrauch ­ ­machen, sind daher nicht zugelassen. Allgemeiner sind Kurven, die nur mit mechanischen Hilfsmitteln gezeichnet werden können und dabei ganz wesentlich von phy­sikalischen Eigenschaften oder der sinnlichen Anschauung Gebrauch machen, in der platonisch konzipierten Geometrie unzulässig. Diese Forderung wird von vielen mechanischen Konstruktionen (z. B. der archimedischen Konstruktion der Dreiteilung beliebiger Winkel, der archimedischen Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks, der Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen zur Verdopplung eines Würfels durch Hippokrates von Chios, etc.) nicht erfüllt. Solche Konstruktionen sind in der Praxis zwar sehr nützlich, gehören aber nicht zur theoretischen Geometrie, so wie Platon sie sich vorgestellt hat. Plutarch hat in seinen ‚Tischgesprächen‘ (Συμποσιακά, VIII, 2) die Auffassung Platons überliefert (vergl. auch Plutarch: ‚De vita Marcelli‘, 14.9–12): „Vorzüglich ist es die Geometrie, die … den von der Sinnlichkeit befreiten und allmählich gereinigten Verstand umlenkt. Daher tadelte auch Platon den Eudoxos, Archytas und Menaichmos, daß sie die Verdopplung des Kubus auf mechanische Instrumente und Vorrichtungen zurückzubringen suchten …. Eben dadurch, sagte er, geht der Nutzen und Vorzug der Geometrie ganz verloren, wenn sie zu den sinnlichen Dingen wieder zurückkehrt, anstatt sich emporzuschwingen und nur mit den ewigen unkörperlichen Bildern sich zu beschäftigen …“

Die platonisch konzipierte Geometrie handelt von den unkörperlichen Punkten, Linien, Flächen und Körpern. Platon selbst schreibt in seiner ‚Politeia‘, 527b7: τοῦ γὰρ ἀεὶ ὄντος ἡ γεωμετρικὴ γνῶσίς ἐστιν. [… denn die Geometrie ist Erkenntnis des beständig Seienden.]

Abschließend wollen wir fest halten, daß sich die Welt der Dinge nach Auffassung Platons insgesamt in vier Objektbereiche gliedert. Man kann sie wie folgt schematisch darstellen (vergl. Platons ‚Politeia‘, 509c–511e, und Aristoteles ‚Metaphysik‘, 1.Buch, § VI):

2.4 Der Aufbau einer mathematischen Theorie bei Platon

mundus intelligibilis,νοητὸν γένος (das Gebiet des Seins: οὐσία)

(1) Die Welt der Ideen.  ( 2 ) Die Welt der mathematischen  Gegensttände (Abbilder der Ideen). 

Mundus sensibilis, ὁρατὸν γένος (das Gebiet des Werdens γένεσις)

( 3 ) Die Welt der sinnlich wahr   nehmbaren Dinge.  ( 4 ) Die Welt der Schatten- und Spiegel bilder (dassind die Abbilder der   sinnlich wahrnehmbaren Dinge).

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2.4  Der Aufbau einer mathematischen Theorie bei Platon Über den ontologischen Status der mathematischen Objekte haben wir oben ausführlich gesprochen. Wir hatten festgestellt, daß nach Meinung Platons die mathematischen Objekte Abbilder von Ideen sind und daß die Anzahlen und Figuren der sinnlich erfahrbaren Welt Nachahmungen der mathematischen Objekte sind. [Das erklärt auch in sehr einfacher Weise, warum Mathematik in der Physik anwendbar ist.] – Wir wenden uns jetzt der Frage zu, wie man Kenntnisse von Sachverhalten, die zwischen den mathematischen Objekten bestehen, erlangt. Wie kommt man zu Einsichten in das, was im Reich der mathematischen Gegenstände gilt? Wie ist eine mathematische Disziplin aufzubauen? Mathematische Aussagen sind immer Behauptungen. Sie behaupten das Bestehen von Sachverhalten, d.  h. daß bestimmte mathematische Objekte in gewissen Beziehungen zueinander stehen. Platon geht davon aus, daß der Bereich der mathematischen Objekte ein wohlbestimmter Bereich ist und daß hier alles festgelegt ist, also nichts mehr von irgendwelchen Voraussetzungen abhängt. „Einsichten“ in die Welt der mathematischen Objekte vermittelt uns der Geist (νοῦς) und das Denken (διάνοια), aber auch die Seele (ψυχή), indem sie sich an früheres Wissen erinnert.3 Wir können daraus die folgenden Konsequenzen ziehen, die allerdings im überlieferten Werk von Platon in dieser expliziten Form nicht zu finden sind. Beim Aufbau einer mathematischen Theorie, etwa der Geometrie, muß man zunächst die grundlegenden Gegenstände nennen und soweit beschreiben, daß die Ideen, von denen sie Abbilder sind, hinreichend klar werden und vom menschlichen 3  Im Anhang zu den ‚Nomoi‘ (der sogenannten ‚Epinomis‘) wird gesagt, daß die Götter uns die Wissenschaften verliehen hätten (4, §  11), daß die Geometrie eine göttliche Erfindung wäre (12,  §  45) und daß die Götter uns auch in der Erkenntnis der arithmetischen Wahrheiten leiten würden (4, § 11). Derartige Thesen finden sich sonst nirgendwo in den Schriften Platons. Es handelt sich um Thesen, die die Stoiker vertreten haben. (Wir werden in Kap. 8 darüber berichten.) Man geht aus diesen und aus einigen anderen Gründen schon seit dem Altertum davon aus, daß die ‚Epinomis‘ nicht zu den echten Schriften Platons gezählt werden kann.

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Kapitel 2  Platons Philosophie der Mathematik

Intellekt (Geist, Nous) erfaßt werden können. Man muß beispielsweise den Grundbegriff der geraden Linie soweit beschreiben, daß der anschauliche Gehalt dieses Begriffs hinreichend klar ist. (Für eine ausführlichere Diskussion dieses schwer zu fassenden Begriffs verweisen wir auf Kap.  4) Man muß keine Axiome, Postulate oder Hypothesen an den Anfang der Theorie stellen und ihre Akzeptanz fordern, denn die Wahrheit dieser Axiome, Postulate oder Hypothesen sollte (nach Auffassung Platons) evident sein. Die menschliche Seele sollte sich an ihr vorgeburtliches Wissen erinnern können und auf diese Weise die in den Axiomen, Postulaten oder Hypothesen ausgesprochenen Sachverhalte bestätigen können. Man kann also mit der Durchführung einer mathematischen Theorie im Anschluß an die Beschreibungen der grundlegenden Ideen, von denen die Gegenstände der Theorie Abbilder sind, immer sofort ohne Voranstellung von Postulaten (oder Axiomen, Hypothesen) beginnen (vergl. Platons ‚Politeia‘, Buch VI, 510 c–d).

2.5  Diskussion Die Auffassungen Platons und seiner Schüler haben wir ausführlich geschildert. In mancherlei Hinsicht sind sie beeindruckend und viele Menschen ließen sich beeindrucken und faszinieren. Die Tatsache, daß die arithmetischen und die geometrischen Objekte in gewisser Weise unserer natürlichen Umwelt „entrückt“ sind, kommt hier sehr schön zum Ausdruck, und ebenso der apriorische Charakter der mathematischen Erkenntnis. – Die platonische Konzeption hat aber auch erhebliche Mängel. (1) Grundsätzlich ist zu beklagen, daß Platon seine Antworten auf die grundlegenden ontologischen und epistemologischen Probleme der Mathematik nicht aus einer Analyse mathematischer Methoden und mathematischer Beweise gewonnen hat, sondern daß er umgekehrt nur versucht hat, die Mathematik in sein Weltbild, das durch die Ansichten der Orphiker und Pythagoräer geprägt ist, einzuordnen. (2) Platon meint, die mathematischen Objekte würden vom Menschen nicht erfunden, sondern (in der Welt der Ideen) gefunden. Die mathematischen Objekte sind für Platon nicht nur onta (ὄντα) sondern ousiai (οὐσίαι). Dabei ist τὸ ὄν ganz allgemein „das Seiende“. Die platonische οὐσία ist hingegen die dem Raum und der Zeit entrückte Art des Seins. Die mathematischen Objekte sind für Platon immaterielle Gegenstände, die nicht unserer raum-zeitlich gegliederten Welt angehören. Sie sind den Ideen verwandt. (3) Wie will man herausfinden, welche mathematischen Gegenstände existieren? Mit dem Wiedererinnern an vorgeburtliches Wissen wird man die Existenz wohl nicht ernstlich begründen können. Existieren die unendlich fernen Punkte, von denen man in der Projektiven Geometrie sprechen möchte? Existieren die imaginären Größen wie etwa −1 , von denen man in der Algebra und der Funktionentheorie sprechen möchte? Sie treten ja auch nicht in der realen Um-

2.5 Diskussion

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welt auf und man kann nicht behaupten, daß sie in der Welt der Ideen Urbilder besitzen müßten. (4) Wie sind uns die mathematischen Gegenstände zugänglich? Wie läßt sich beispielsweise herausfinden, ob es zu einer gegebenen Geraden g genau eine Pa­ rallele gibt, die durch einen vorgegebenen Punkt P, der nicht auf g liegt, geht? Wie viele Parallelen gibt es? In einer praktischen Geometrie, in der nur solche Linien vorhanden sind, die mit den mechanischen (!) Hilfsmitteln Lineal, rechtem Winkel und Zirkel konstruiert werden können, gibt es zu jeder Geraden g und zu jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, immer nur genau eine Parallel-Linie, die durch P geht. Kann man daraus schließen, daß auch in der (reinen, theoretischen) Geometrie der Urbilder all dieser gezeichneten Geraden und Kreise immer nur eine Parallele existiert?  – Welchen Status haben aber dann die nicht-euklidischen Geometrien? Kann es dem Nous gelingen festzustellen, ob es in der Welt der idealen mathematischen Gegenstände zu einer Geraden und einem Punkt P, der nicht auf ihr liegt, genau eine, oder mehrere oder vielleicht gar keine Parallele gibt, die durch P geht? Daß in der platonisch konzipierten Geometrie ein solches Problem überhaupt nicht entschieden werden kann, hatte schon Euklid vermutet und daher seiner Geometrie eine Liste von Postulaten (αἰτήματα = Forderungen) vorangestellt, darunter das Parallelen-Postulat. – Wir werden darüber in Kap. 4 noch ausführlich sprechen. (5) Wieviel muß man über die Grundbegriffe einer mathematischen Disziplin sagen, damit der Nous in der Lage ist, die entsprechenden Ideen zu erkennen? Um die genaue Wesensbestimmung der Grundbegriffe war es ja in den frühen Dialogen Platons immer gegangen. Aber in der Regel blieben seine Bemühungen erfolglos, weil es sich um undefinierbare, „primitive“ Begriffe handelte, d. h. um Begriffe, die nicht mit noch allgemeineren Begriffen beschrieben werden können. Man nennt solche Begriffe auch „irreduzibel“, Immanuel Kant nannte sie „Stammbegriffe“. Wir gehen heute davon aus, daß beispielsweise die Grundbegriffe der Geometrie und der Mengenlehre primitive Begriffe sind und daher keine Wesens-Definitionen haben. Man kann sich nicht auf die vermeintlichen Fähigkeiten des Nous verlassen, sondern muß in einem Postulaten-System alle mathematisch relevanten Eigenschaften aufführen und die Akzeptanz dieser Postulate fordern. Resumierend halten wir fest, daß es Platon nicht gelungen ist, die ontologischen und epistemologischen Probleme, die die Mathematik aufwirft, zu klären. Aber es ist ihm gelungen, die wichtigsten Fragen und Probleme, die die Philosophie der Mathematik betreffen, zu benennen und anzugehen. Vor ihm hat niemand diese Probleme erkannt und besprochen. Platons Gedanken hingegen haben die Mathematiker und Philosophen bis in die Gegenwart angeregt, die großen Fragen und Pro­ bleme der Ontologie und der Epistemologie der Mathematik erneut zu untersuchen. Bei vielen von ihnen findet man die platonischen Antworten in modifizierter Form wieder.

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Kapitel 2  Platons Philosophie der Mathematik

Einige dieser Antworten (von Descartes und Kant) haben wir schon oben im Text genannt. Die Auffassung, daß die mathematischen Gegenstände ein Sein haben, das von unserem menschlichen Denken unabhängig ist, hat im sogenannten „Platonismus“ des 20. Jahrhunderts (im Sinne von Paul Bernays) eine starke Nachwirkung erlebt. (Siehe dazu Kap. 16) Auf diese und andere Nachwirkungen in der Neuzeit werden wir an späterer Stelle ausführlich eingehen. Platon hat das Denken über die Grundlagen der Mathematik initiiert und bis in die Gegenwart hinein wesentlich beeinflußt.

Literatur Platonis Opera, recognovit brevique adnotatione critica instruxit Ioannes Burnet, 5 Bände, Scriptorum Classsicorum Bibliotheca Oxoniensis, Oxford University Press, Oxford 1903. Platon: Sämtliche Werke, in den Übersetzungen von Friedrich Schleiermacher und Hieronymus Müller mit der Stephanus-Numerierung, herausgegeben von Walter F. Otto, Ernesto Grassi und Gert Plamböck, 6 Bände. Rowohlt Verlag Hamburg 1957–1959. Buchmann, Klara: Die Stellung des Menon in der Platonischen Philosophie. Philologus, Supplementband 29, Heft 3, Leipzig 1936. Fowler, D.H.: The Mathematics of Plato’s Academy, a New Reconstruction. Clarendon Press Oxford 1987. Fritz, Kurt von: Philosophie und sprachlicher Ausdruck bei Demokrit, Platon und Aristoteles. Leipzig 1938. Nachdruck bei der Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1966. Wedberg, Anders: Plato’s Philosophy of Mathematics. Almquist & Wiksell Stockholm 1955 (Nachdruck: Greenwood Press Westport-Connecticut, 1977).

Kapitel 3

Die aristotelische Konzeption der Mathematik

’l maestro di color che sanno [„Aristoteles, der Meister aller Wissenden“] Dante Alighieri: La Divina Commedia, I, IV,131.

Aristotelês (Ἀριστοτέλης) wurde 384 v.u.Z. in Stageira (im Grenzgebiet zwischen Thrakien und Makedonien) geboren. Er trat 367  in Platons „Akademie“ ein und blieb ihr Mitglied bis zu Platons Tod im Jahre 348/347. Im Jahre 343 wurde er am makedonischen Königshof Lehrer des damals 13-jährigen Alexander (später ‚der Große‘ genannt). 336 kehrte er nach Athen zurück und wurde schon bald darauf Leiter des Lykeions. Zum Gebäude gehörte eine Wandelhalle (Peripatos, περίπατος). Die Mitglieder dieser Schule wurden daher „Peripatetiker“ genannt (περιπατέω = her­ umgehen). Nach Alexanders Tod im Jahre 323 wurde Aristoteles in Athen der Gottlosigkeit angeklagt. Er floh aus Athen nach Chalkis auf Euböa, wo er kurz danach (ca. 322 v.u.Z.) starb. In der aristotelischen Philosophie der Mathematik ist die Rangordnung der Dinge in Bezug auf das Sein im Vergleich mit Platons Philosophie umgedreht. Während bei Platon die Ideen das höchste Sein (ὄντως ὄν) haben, und die Dinge der sinnlich erfahrbaren Welt nur ein abgeleitetes Sein niederer Ordnung haben, ist für Aristoteles jedes einzelne Ding unserer sinnlich erfahrbaren Welt Träger des Seins, wobei den mathematischen Objekten nur ein abgeleitetes Sein zukommt. – Die Ideenlehre hat Aristoteles völlig verworfen. Über die Grundlagen der Mathematik spricht Aristoteles hauptsächlich in den folgenden Werken: ‚Zweite Analytik‘ (Ἀναλυτικὰ ὕστερα, Analytica posteriora), ‚Physik-Vorlesung‘ (Φυσικὴ ἀκρόασις, Physica), ‚Metaphysik‘ (Τὰ μετὰ τὰ φυσικά, Metaphysica). © Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_3

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

Aber auch in der ‚Topik‘ (Τοπικά, Topica) und den Büchern ‚Über den Himmel‘ (Περὶ οὐρανοῦ, De Caelo) und ‚Über die Seele‘ (Περὶ ψυχῆς, De anima) spricht er gelegentlich von mathematischen Dingen. Es ist bemerkenswert, daß sich Aristoteles in diesen Schriften insgesamt sehr ausführlich zu grundsätzlichen Problemen des Aufbaus einer mathematischen Theo­ rie äußert. Wir beginnen mit einer Darstellung seiner Ansichten zum allgemeinen Theoriebegriff und wenden uns dann dem Begriff einer mathematischen Theorie zu.

3.1  Der aristotelische Theorie-Begriff Über den Aufbau einer wissenschaftlichen Theorie spricht Aristoteles in den beiden Büchern seiner ‚Analytica posteriora‘. Alle Wissenschaften (Theorien)1 studieren nach Aristoteles die sinnlich wahrnehmbare Welt. Sie studieren vielleicht nicht die ganze Welt, sondern nur irgendwelche Dinge einer Art oder einer Gattung, und sie studieren die Dinge dieser Art auch nicht in jeder Hinsicht, sondern nur in bestimmter Hinsicht. Nach Aristoteles studiert die Physik die Dinge der Welt nur unter dem Gesichtspunkt der Bewegung, die Musik die Dinge nur unter dem Gesichtspunkt des Klanges und die Medizin die Lebewesen nur unter dem Gesichtspunkt der Gesundheit. Die Geometrie untersucht die Dinge der Welt nur unter dem Gesichtspunkt der Form ihrer Ausdehnung, also ihrer Gradlinigkeit, Kreisförmigkeit, Kugelförmigkeit, Würfelförmigkeit, etc. Die Mathematiker unterscheiden sich demnach von den Physikern nicht darin, welche Objekte sie studieren, sondern nur darin, unter welchem Gesichtspunkt sie sie untersuchen. Aristoteles sagt, daß in jeder Wissenschaft zuerst der Objektbereich (die Gattung, das ‚genus‘) anzugeben ist, d. h. der Bereich der Dinge, von denen die Wissenschaft handeln soll (vergl. dazu auch das 6. Buch der ‚Metaphysik‘, 1025b8-9) und in welcher Hinsicht die Dinge untersucht werden sollen (d. h. „als was“ oder „inwiefern“ (ᾗ, qua) sie untersucht werden sollen). Danach sind alle Grundsätze (ἀρχαί, principia)2 anzugeben. Die Grundsätze teilen sich auf in (1.) allgemeine (κοιναί) und (2.) spezielle (ἴδιαι): (1.) Die allgemeinen Grundsätze sind die allgemeingültigen Aussagen, die „allgemeine Meinungen“ (κοιναὶ δόξαι, ‚Metaphysik‘ III,2, 997a20-22), die gelegentlich auch „Axiome“ (ἀξιώματα) genannt werden. Dies sind Aussagen, die in allen Theorien gültig sind. Aristoteles nennt als Beispiele einige Gleichheits-­ Axiome, etwa „wenn a  =  b & c  =  d, dann a−c  =  b−d“ (‚Zweite Analytik‘,  Platon lehrte, daß sich die Natur stets verändere und daß es deshalb keine wahrhafte Erkenntnis der Natur geben könne. Aristoteles hingegen versuchte zu zeigen, daß es dennoch möglich ist, die Natur jedenfalls wissenschaftlich zu untersuchen. Dies hat er in seiner ‚Physik-Vorlesung‘ zu zeigen versucht. Dabei hat er allerdings auch die Mathematik der Physik untergeordnet. 2  principium = id quod primum cepit (das, was zuerst erfaßt wird). 1

3.1 Der aristotelische Theorie-Begriff

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76a41, und ‚Metaphysik‘ XI,4, 1061b18-24) und die quantorenlogischen Syllogismen. Aristoteles nennt aber auch das Prinzip, daß jede Aussage, die in der zur Theorie gehörenden Sprache formuliert ist, entweder wahr oder falsch sein soll (‚Zweite Analytik‘ 71a14, und ‚Metaphysik‘ III,2, 996b29-30) und das Prinzip, daß eine Aussage nicht zugleich wahr und falsch sein soll (‚Zweite Analytik‘, 77a11). (2.) Die speziellen Grundsätze sind die Thesen (θέσεις). Dies sind die den einzelnen Wissenschaften eigentümlichen Grundsätze. Diese zerfallen in zwei Klassen, je nachdem ob sie etwas behaupten, oder ob sie etwas erklären. Die Thesen, in denen etwas behauptet wird, werden „Hypothesen“ (ὑποθέσεις) ge­nannt. Die Thesen, in denen etwas erklärt wird, werden „Definitionen“ (ὅροι) genannt. Sie bilden die eigentliche Grundlage der zu untersuchenden Disziplin, da sie im Unterschied zu den Hypothesen über die wesentlichen (!) Eigenschaften der Dinge Auskunft geben. (2a) Die vorangestellten Definitionen3 sollen von den zu untersuchenden Objekten aussagen, (∗) was sie sind, (∗∗) oder auch, warum sie existent sind, (∗∗∗) oder warum andere Dinge existent sind, aus deren Existenz sich Informationen über die zu untersuchenden Objekte gewinnen lassen. Aristoteles unterscheidet demnach drei verschiedene Typen von Definitionen (cf. ‚Analytica posteriora‘, 2. Buch, Kap. 9, und ‚Topica‘, 6. u. 7. Buch). Zum ersten Typ gehören die Essential-Definitionen (auch „Wesens-­Definitionen“, definitiones essentiales, genannt). Es handelt sich um Definitionen, in denen alle Eigenschaften, die ein Objekt wesentlich haben muß, damit es unter den zu definierenden Begriff fällt, angegeben sind. Das „Wesen“ (griech. οὐσία, lat. essentia) be­ steht in der Angabe von all dem, was ein Objekt schon immer „ge-wesen“ ist: τὸ τί ἦν εἶναι (beispielsweise, daß es schon immer rund oder spitz oder dreieckig ge-wesen ist, etc.). Eine Essential-Definition (ὅρος οὐσιώδης) liegt nach Aristoteles vor, wenn für die zu definierende Art von Dingen die nächst höhere Gattung (das genus proximum) und der artbildende Unterschied (die differentia specifica), der sie aus dieser Gattung aussondert, angegeben wird. Begriffe, die in keinen höheren Gattungsbegriffen enthalten sind, nennt man irreduzible Begriffe oder (seit I. Kant) auch Stammbegriffe. Sie besitzen keine Wesensdefinitionen. Als Beispiel eines solchen undefinierbaren Begriffes wird oft der Begriff des „Seins“ genannt. Ob auch die Grundbegriffe der Mathematik undefinierbar sind, etwa die Grundbegriffe der Geometrie (Punkt, Linie, Fläche, Raum, ...) und der Mengenlehre (Menge, Elementschaft), ist ein Problem, mit dem wir uns an späterer Stelle noch ausführlich beschäftigen werden.

 Die sogenannten Nominal-Definitionen, in denen nur festgelegt werden soll, wie ein bestimmtes Wort (nomen) oder Zeichen im nachfolgenden Diskurs verstanden werden soll, spielen hier keine Rolle. Nominal-Definitionen sind eliminierbar und daher grundsätzlich entbehrlich. 3

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

Im Unterschied zu den Nominal-Definitionen sind Essential-Definitionen sogenannte „Real-Definitionen“, da sie nicht Wörter erklären wollen, sondern Dinge. Essential-Definitionen legen also von dem Definierten fest, „was es ist“ (quid sit res). Der zweite Typ ist die Kausaldefinition (αἰτιώδης ὁρισμός). Sie enthält Informationen über die Ursachen der Existenz des Definierten, „warum es ist“ (cur sit res). Der dritte Typ von Definitionen enthält Informationen über die Ursachen der Existenz irgendwelcher anderer Dinge, aus denen die wesentlichen Eigenschaften des zu Definierenden (in einem Syllogismus) gefolgert werden können. (2b) Die Hypothesen können unmittelbar einsichtige Feststellungen sein oder Aussagen, die durch Induktion aus unmittelbar einsichtigen Feststellungen gewonnen werden können (vergl. ‚Zweite Analytik‘ II,19; 99b15-100b5, und ‚Physik-­ Vorlesung‘ VIII, 3, 253a33ff). In jedem Fall müssen es wahre Sätze sein (‚Zweite Analytik‘ I,2, 71b25-26). Das Wort „Hypothese“ wird hier also ganz anders gebraucht als in der heutigen Zeit. Das Wort ὑπόθεσις ist aus ὑπό und τίθεσθαι gebildet (vergl. Á. Szabó, op. cit., S.  310). Es bedeutet eigentlich soviel wie „Grundlage“ oder „zugrundeliegender Sachverhalt“. In diesem Sinne wird das Wort auch in den antiken Dramen verwendet, wo die vorangestellte „Hypothesis“ den zugrunde liegenden Stoff in Kurzform (oft in einer von der Überlieferung abweichenden Weise) andeutet. Aristoteles war der Erste, der von „Induktion“ (ἐπαγωγή) sprach. Er bezeichnete damit den „Aufstieg vom Einzelnen zum Allgemeinen“ (‚Topica‘, 105a13-14), sagte aber nicht genau genug, was damit im Detail gemeint ist (vergl. dazu den Kommentar von W. Detel in seiner Ausgabe der ‚Zweiten Analytik‘, op. cit., Band 2, S.  844–846). Um Mißverständnisse zu vermeiden, muß zunächst gesagt werden, daß der aristotelische Begriff der Induktion vom heute üblichen Begriff der (unvollständigen) Induktion, der auf Francis Bacon (1561–1626) zurückgeht, verschieden ist. Aristoteles hat mit dem Wort „Induktion“ den Übergang von einer Aussage Φ(c) zur Aussage ∀xΦ(x) gemeint. Dabei ist (in heutiger Ausdrucksweise) x eine Variable, die eine Klasse 𝒦 von Objekten (ein genus) durchläuft. Er hat diesen Übergang nur zugelassen, wenn der Nachweis, daß das Objekt c die Eigenschaft Φ hat, auch auf jedes andere Objekt d der Klasse 𝒦 übertragbar ist, wenn also das Allgemeine durch das Besondere erfaßt werden kann (vergl. ‚Zweite Analytik‘ I,2, 71a8-9 und II,19, 100a3-100b5). Chr. Sigwart (op. cit., Band 2, § 93, 17, S. 436–438) hat diese Art der Induktion „generalisierende Induktion“ genannt4 – vergl. dazu auch Kurt v. Fritz, op. cit., 1964 und U. Felgner: op. cit., 2012.

 Das „Konstanten-Theorem“ der modernen Mathematischen Logik ist mit dieser aristotelischen „generalisierenden Induktion“ verwandt – vergl. etwa J. Shoenfield ‚Mathematical Logic‘, 1967, S. 33. 4

3.2 Die aristotelische Apodeixis

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3.2  Die aristotelische Apodeixis Aus den vorangestellten Grundsätzen und den vorangestellten Definitionen gewinnt man durch „Beweis“ (ἀπόδειξις, demonstratio) die sämtlichen Aussagen einer jeden Wissenschaft. In den Beweisführungen dürfen keine weiteren Voraussetzungen verwendet werden. Ausgehend von den vorausgesetzten Grundsätzen (den allgemeingültigen Aussagen, den Definitionen und den Hypothesen) wird in einem Beweis in einer Folge von logisch korrekten Schlüssen, die aber allesamt die Form von Syllogismen haben müssen, die Wahrheit der Behauptung gezeigt. Von einer wissenschaftlichen Theorie fordert Aristoteles, daß die allgemeinen Prinzipien und die speziellen Hypothesen allesamt wahr (ἀληθεῖς) sind. Beweise sollen also von wahren Sätzen zu wahren Sätzen führen. Damit sich eine wissenschaftliche Theorie von einer Sammlung bloßer Erfahrungssätze (d.  h. empirisch gefundener Aussagen) oder bloßer (unbegründeter) Fest­stellungen von Sachverhalten unterscheidet, wird von Aristoteles verlangt, daß in einem Beweis nicht nur aus Feststellungen, sondern aus den Begründungen der jeweiligen Feststellungen geschlossen wird. Diese Begründungen müssen natürlich unter den Thesen der Theorie vorkommen. Aristoteles unterscheidet also zwischen einfachen Beweisen, in denen nur aus Feststellungen, „daß“ (hoti, ὅτι, quod) es sich so-und-so verhält, geschlossen wird, und wissenschaftlichen Beweisen, in denen stets aus den Ursachen, „warum“ (­dihoti, διότι, quare, cur) es sich so-und-so verhält, geschlossen wird (Aristoteles, ‚Zweite Analytik‘, 1. Buch, Kap. 12: 78a23). Ein wissenschaftlicher Beweis muß sich demnach auf die Gründe (Ursachen) stützen, aus denen hervorgeht, warum der jeweils behauptete Sachverhalt gilt. Die möglichen Gründe (oder Ursachen) hat Aristoteles wie folgt schematisch gegliedert. Das Vier-Ursachen-Schema. Das von Aristoteles benutzte Wort „aitía“ (αἰτία) kann man mit „Anlaß, Grund, Ursache“ übersetzen. Im Lateinischen ist die Übersetzung „causa“ üblich. Den Begriff der „Ursache“ erläutert Aristoteles im 1. Buch der ‚Metaphysik‘, Kap.  2 und im 1. Buch, Kap.  2, der ‚Physik-Vorlesung‘ (siehe auch das 2. Buch, Kapitel 10, der ‚Zweiten Analytik‘). Er unterscheidet vier Arten von Ursachen: • die causa materialis (die materiale Ursache, auch Stoffursache genannt): hier wird als Ursache angegeben, woraus der Gegenstand entsteht oder besteht; • die causa formalis (die Formursache): hier wird als Ursache die „Wesenheit“ (εἶδος καὶ τὸ παράδειγμα) des Gegenstandes angegeben; • die causa efficiens (auch causa agens genannt, Wirkursache): hier wird als Ursache dasjenige angegeben, das eine Veränderung bewirkt; • die causa finalis (die Zweck-Ursache): hier wird als Ursache angegeben, warum oder weshalb der Gegenstand besteht. Damit die Mathematik eine „wissenschaftliche Theorie“ im Sinne von Aristoteles ist, muß sie für alle Theoreme Beweise geben, in denen nicht aus dem „Daß“, sondern aus dem „Warum“ geschlossen wird. Es darf also nicht aus Aussagen, in

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

denen lediglich das Bestehen bestimmter Sachverhalte behauptet oder gefordert wird, geschlossen werden, sondern es muß aus den Ursachen für das Bestehen der jeweiligen Sachverhalte geschlossen werden. Von den vier möglichen Ursachen (causa materialis, causa formalis, causa efficiens, causa finalis) ist in der Mathematik offenbar nur die causa formalis relevant. Das dabei verwendete Wort εἶδος wird üblicherweise im Lateinischen mit figura, forma, species übersetzt, und daher im Deutschen mit „Figur, Form, Art“ wiedergegeben. Mit diesem Wort ist nicht die sinnlich wahrnehmbare „Form“ gemeint, sondern die geistig wahrnehmbare Form, also die Wesenheit eines Dinges, d. h. die Gesamtheit all dessen, was dem Ding eigentümlich ist, was zu seinem „Wesen“ gehört. Dies ist der Grund, warum in der Scholastik die genannte Ursache als causa formalis bezeichnet wurde. Daß in der Mathematik nur die causa formalis relevant ist, hat Aristoteles selbst in seiner ‚Physik-Vorlesung‘, Buch II, Kap. 6, 198a16-18, betont. Es heißt dort: οἷον ἐν τοῖς μαθήμασιν. εἰς ὁρισμὸν γὰρ τοῦ εὐθέος ἢ συμμέτρου ἢ ἄλλου τινὸς ἀνάγεται ἔσχατον. [Wie in der Mathematik, wo die Folgerungen letztlich auf den Definitionen (der Begriffe) der geraden Linie, der Kommensurabilität, oder ähnlichen Dingen, beruhen.]

Mit den „Definitionen“ sind dabei die „Wesens-Definitionen“ (definitiones es­ sentiales) gemeint. Die aristotelische Forderung lautet also, daß man sich in einer wissenschaftlich betriebenen Mathematik in den Beweisen nur auf die causa formalis (die Formursache) stützen darf, also auf Definitionen, und zwar auf Nominaldefinitionen und die Wesensdefinitionen der betrachteten Gegenstände. Aristoteles ist überzeugt, daß Arithmetik und Geometrie, wenn sie nach seinen Vorstellungen aufgebaut werden, wissenschaftliche Theorien bilden. Ob auch die euklidische Geometrie und die euklidische Arithmetik „wissenschaftliche Theorien“ im aristotelischen Sinne sind, wurde im Zeitalter der Renaissance intensiv und kontrovers diskutiert. Wie werden darüber in Kap. 7, berichten.

3.3  D  er ontologische Status der mathematischen Gegenstände Über die Seinsweise der Zahlen und der geometrischen Objekte spricht Aristoteles in seiner ‚Physik-Vorlesung‘, in seinen Schriften ‚Über die Seele‘, ‚Über den Himmel‘ und in der Sammlung von eigenständigen Texten, die unter dem später hinzugefügten Titel ‚Metaphysik‘ überliefert sind. Aristoteles wollte eine Begründung der Arithmetik und der Geometrie geben, in der (anders als bei Platon) eine Verdinglichung (Hypostase) der Grundbegriffe vermieden wird. Das gelang ihm unter Verwendung der Vergleichspartikel „als“ (ᾗ, qua). Wenn man, wie Platon es tat, die Grundbegriffe verdinglicht, dann ­entsteht das Problem, wie es dazu kommt, daß die Grundbegriffe an ihrer Verdinglichung

3.4 Aphairesis (’Αφαίρεσις)

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teil haben. Aristoteles vermied dieses Problem, indem er die Grundbegriffe zu Affekten (d.  h. Beschaffenheiten) der natürlichen, materiellen Objekte machte. Das war seine große Entdeckung in der Begründung der Geometrie. – Was damit gemeint ist, wollen wir im Folgenden erklären. Im 13. Buch der ‚Metaphysik‘ bespricht Aristoteles die verschiedenen Auffassungen über den ontologischen Status der Grundbegriffe der Arithmetik und der Geometrie, die in den Philosophenschulen der damaligen Zeit diskutiert wurden. Es geht um die Frage, ob die mathematischen Objekte an (oder in) den sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen der Welt oder unabhängig von ihnen existieren. Verdanken die mathematischen Objekte ihr Sein den sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen der Welt oder haben sie gar ein eigenständiges Sein, wie es die Platoniker lehrten? Daß die mathematischen Gegenstände in irgendeinem Sinne da-seiende Dinge sind, will Aristoteles nicht in Frage stellen. Einen reinen Nominalismus will er also nicht vertreten. Er sagt, daß Geometrie und Arithmetik nur dann Wissenschaften sein können, wenn sie von Seiendem handeln. Er geht also davon aus, daß Arithmetik und Geometrie über da-seiende Dinge (ὄντα) sprechen und daß es nur um die Frage geht, in welcher Weise sie „sind“, d. h. welchen ontologischen Status sie haben. Er schreibt (‚Metaphysik‘, XIII, 1, 1076a36): ὥσθ’ ἡ ἀμφισβήτησις ἡμῖν ἔσται οὐ περὶ τοῦ εἶναι ἀλλὰ περὶ τοῦ τρόπου. [Unsere Meinungsverschiedenheit wird also nicht das Sein (der mathematischen Dinge) sondern die Weise des Seins betreffen.]

Aristoteles kommt nach langem hin und her zu der Überzeugung, daß die mathematischen Gegenstände nicht vollständig getrennt von den sinnlich wahrnehmbaren Dingen existieren können, aber auch nicht die sinnlich wahrnehmbaren Dinge selbst sind. In irgendeinem schwachen Sinne müssen sie also abgetrennt (oder losgelöst) sein. Um diese Art des „abgetrennt Seins“ genauer beschreiben zu können, benutzt Aristoteles die beiden Wörter „Aphairesis“ und „Chorismós“: ἀφαιρεῖν (wegnehmen, etwas absprechen, subtrahieren, entfernen, tilgen, berauben, das Unwesentliche abziehen, abstrahieren) – und χωρίζειν (trennen, abtrennen, lösen einer Bindung, absondern).

3.4  Aphairesis (’Αφαίρεσις) Aphairesis (das Wegnehmen) bezeichnet (im allgemeinen) den Prozeß, bei einem konkreten Gegenstand von manchen seiner Beschaffenheiten abzusehen, etwa, daß er aus Holz ist oder eine Farbe hat. So wird beispielsweise in der ‚Analytica posteriora‘ (74a33-74b1) der Prozeß, bei einem bronzenen Dreieck von der Beschaffenheit, aus Bronze zu sein, abzusehen, ‚Aphairesis‘ genannt. (Das Wort ist vom Verb „φέρω“ (= tragen) abgeleitet.) „Aphairesis“ wird häufig mit „Abstraktion“ übersetzt. Aber wenn man „Aphairesis“ so übersetzt, dann kann es Verwechslungen geben. Um sie zu vermeiden, sei

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

betont, daß hier bei Aristoteles nicht gemeint ist, daß im Prozeß der Abstraktion neue (abstrakte) Gegenstände entstünden, sondern nur, daß bei der Betrachtung konkreter Gegenstände, manche ihrer Eigenschaften außer Betracht bleiben sollen.5 Julia Annas (op. cit., S. 135) hat diese Art der „Abstraktion“ sehr treffend als „gezielte Unaufmerksamkeit“ bezeichnet. Aristoteles selber gibt keine genaue Beschreibung des Prozesses der Aphairesis. In seiner ‚Metaphysik‘ (Buch XI,3, 1061a29-b2) gibt er lediglich die folgenden Andeutungen: „Wie der Mathematiker das aus Abstraktion Hervorgegangene untersucht, indem er nämlich alles Sinnliche, z. B. Schwere und Leichtigkeit, Härte und das Gegenteil, ferner Wärme und Kälte und die anderen Gegensätze der sinnlichen Wahrnehmung wegläßt und nur das Quantitative und das nach einer oder zwei oder drei Richtungen Kontinuierliche übrig läßt und die Affektionen derselben nicht in einer anderen Beziehung, sondern nur, insofern sie ein Quantum und ein Kontinuum sind, untersucht und bei einigen die gegenseitigen Lagen und das an ihnen sich Findende betrachtet, bei anderen die Meßbarkeit und Unmeßbarkeit, bei anderen die Verhältnisse, und wie wir dabei doch die Geometrie als eine einzige Wissenschaft von diesem allen und als dieselbe aufstellen, ........“ (Übersetzung von Hermann Bonitz).

Da Aristoteles selbst keine allzu genaue Beschreibung des Prozesses der Aphairesis gibt,6 wollen wir versuchen, etwas genauer zu sagen, was alles in diesem Prozeß außer Betracht bleiben soll. Wir meinen, daß der Prozeß der Aphairesis dazu führen soll, daß ein sinnlich wahrnehmbarer Gegenstand, der irgendeiner Gattung von Dingen angehört, wie ein generisches Objekt dieser Gattung behandelt wird, wobei also alle Eigenschaften, die nicht zur Definition der Gattung gehören, außer Betracht bleiben, also im wörtlichen Sinne „weggenommen“ werden.7 Der Prozeß der Aphairesis ist also nur erklärt für Dinge relativ zu der Gattung, der sie ­angehören!

 Das Wort „Abstraktion“ wird auch benutzt, um den Prozeß zu beschreiben, von einem wahrgenommenen Gegenstand im Verlaufe des Denkens etwas fortzunehmen (oder außer Betracht zu lassen) und das Übriggebliebene als etwas selbständig Existierendes herauszuheben. Eine solche Heraushebung als etwas eigenständig Existierendes findet nicht bei Aristoteles statt. Aber sie findet in der Neuzeit vom 17. Jahrhundert an statt und sie wurde die seither übliche Auffassung. 6  Die von Aristoteles gegebene Umschreibung des Begriffs der Aphairesis ist nicht genau genug. Wenn beispielsweise Bleistiftstriche oder Tintenstriche „als“ Linien im Sinne der Geometrie betrachtet werden sollen, dann reicht es nicht aus zu sagen, daß „alle sinnlich wahrnehmbaren Eigenschaften weggelassen werden und nur das Quantitative und das ... Kontinuierliche übrig gelassen werden“ soll, denn die Bleistiftstriche haben immer eine gewisse Länge und Breite und man muß etwas genauer sagen, was alles unbeachtet bleiben soll. Man muß dabei offenbar auf die jeweiligen Gattungen, denen die Dinge angehören, Bezug nehmen. 7  Ein Objekt wird generisch genannt, wenn es ein allgemeines, namenloses, typisches Objekt einer Gattung (eines genus) ist und keine besonderen Eigenschaften hat, die es hervorheben oder auszeichnen. In diesem Sinne spricht man in der Algebraischen Geometrie von generischen Punkten, in der Mengenlehre von generischen Mengen und in der Modelltheorie von generischen Typen. Im kaufmännischen Bereich spricht man von generischen Produkten, wenn sie nur den Hinweis auf die Gattung des Produktes, aber nicht den Namen der Hersteller-Firma tragen. 5

3.4 Aphairesis (’Αφαίρεσις)

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Wenn beispielsweise die Gattung G aller kreisrunden Dinge der sinnlich wahrnehmbaren Umwelt betrachtet wird, dann ist der übliche Begriff des Kreises (als Objekt, das wie mit einem Zirkel in einer vollen Umdrehung gezogen zu sein scheint) das Allgemeine (τὸ καθόλου), das die Gattung G kennzeichnet. Nach der Auffassung von Aristoteles ist dieser allgemeine Begriff des Kreises in allen Gegenständen, die zu G gehören, verwirklicht. Im Prozeß der Aphairesis (relativ zu G) werden bei jedem Gegenstand G, der zu G gehört, alle Eigenschaften von G ausgeblendet mit Ausnahme der definierenden Eigenschaft von G. Es wird dann G als (ᾗ, qua) Kreis im mathematischen Sinne angesehen, auch wenn G in der sinnlichen Wahrnehmung durchaus eine gewisse Dicke und Unregelmäßigkeit aufweisen sollte. Es werden also auch alle Eigenschaften von G ausgeblendet, die für das Abweichen von der „Idealform“ verantwortlich sind. In der Schrift ‚De Caelo‘ (268 a 1-6) sagt Aristoteles, daß man in der Mathematik auch die Grenzpunkte, Grenzlinien, Grenzflächen etc. von sinnlich wahrnehmbaren Körpern als Punkte, Linien bzw. Flächen (im mathematischen Sinne) betrachten kann, sofern alles Sinnliche, wie z. B. Schwere, Härte, Temperatur etc. außer Acht gelassen wird, oder etwas genauer – wie oben ausgeführt wurde – wenn man sie als generische Objekte ihrer jeweiligen Gattungen (d. h. der Gattung der Punkte, der Gattung der Linien, etc.) betrachtet. Aus der Antike ist ein schönes Beispiel überliefert. Sextos Empeirikos hat (in seinen Schriften ‚Gegen die Geometer‘, § 57, und ‚Gegen die Physiker‘, Buch I, § 412) berichtet, daß nach aristotelischer Auffassung auch eine gradlinig errichtete Mauer als grade Linie betrachtet werden darf, und zwar im Sinne der Geometrie ausdrücklich als Linie ohne Breite, weil sie Länge hat und insofern zur Gattung der geradlinien-förmigen Dinge gehört. Wir ergänzen, daß dieselbe Mauer aber auch als Fläche betrachtet werden kann und auch als Quader etc., da sie auch zu all den entsprechenden Gattungen gehört. In einer geometrischen Untersuchung muß man daher immer angeben, als was die einzelnen Bestandteile der untersuchten Konfiguration anzusehen sind, da dies zwar meistens, aber doch nicht immer, von vornherein klar ist. Die Gegenstände, die die Mathematiker betrachten, sind vordergründig die sinnlich wahrnehmbaren Körper. Insofern „existieren“ die Gegenstände der Mathematik. Die Mathematik handelt also von „da-seienden“ Dingen (ὄντα). Der oben erwähnte aristotelische Grundsatz ist damit verifiziert. Die Mathematik handelt (nach Aristoteles) vordergründig von den Gegenständen der sinnlich wahrnehmbaren Welt. Aber sie handelt von ihnen nur in einer besonderen Weise, nämlich in Hinblick auf jeweils bestimmte Affekte, wie „Unteilbarkeit“ (in der Arithmetik), bzw. „Punktförmigkeit“, „Linienförmigkeit“, „Flächenförmigkeit“, etc. (in der Geometrie). Die sinnlich wahrnehmbaren Gegenstände selber werden also in der Mathematik nicht als solche untersucht, sondern nur als Einheiten, bzw. als Punkte, als Linien, als Flächen, etc. (vergl. ‚Metaphysik‘, 1002b14-­19). In der Mathematik geht man allerdings nicht mit den materiellen Trägern der Einheiten, der Linien, der Kreise, der Flächen etc. um, sondern löst sich gewissermaßen von ihnen, um mit den Einheiten, Linien etc. selber (jedenfalls, wenn über sie gesprochen wird) frei umgehen zu können. Die Zahlen und die geometrischen

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

Gegenstände sind der sinnlich wahrnehmbaren Welt (in irgendeinem Sinne) „enthoben“. Sie sind vielleicht nicht in der Weise „enthoben“, wie es die Platoniker lehrten (nämlich als Objekte, die den Ideen verwandt sind und von denen die weltlichen Punkte, Strecken, Kurven und Flächen etc. nur Abbilder sind), aber auch Aristoteles ist davon überzeugt, daß sie von den sinnlich wahrnehmbaren Dingen irgendwie als „getrennt“ betrachtet werden können. Um das erklären zu können, benutzt auch Aristoteles den Begriff „Chôrismos“, aber anders als Platon.

3.5  Chôrismós (Χωρισμός) Chôrismos (die Trennung) bezeichnet den Prozeß, einen mathematischen Begriff, der zunächst nur an einem konkreten natürlichen Gegenstand realisiert ist, durch Lösen dieser Bindung zu verselbstständigen. Die Bindung kann dabei jedoch auf sehr unterschiedliche Weise gelöst werden. Die Art der Trennung ist also das Pro­ blem. Sind die mathematischen Begriffe absolut trennbar oder nur in Gedanken trennbar? Diese beiden Alternativen unterscheidet Aristoteles mit der folgenden Wortwahl: (†) χωριστὸν ἁπλῶς ist ein abgetrenntes Ding, das selbständig existiert (vergl. ‚Metaphysik‘ 1042a31). (ἁπλῶς=unbedingt, schlechthin). (‡) Λόγῳ χωριστόν ist ein Ding, das nur im Sprechen oder Denken wie ein abgetrenntes Ding behandelt wird, aber nicht wirklich getrennt ist (vergl. ‚Metaphysik‘ 1042a29 und ‚De anima‘ 432a20 & 433b24-25). Für die Platoniker sind die mathematischen Dinge von ihren sinnlich wahrnehmbaren Abbildern verschieden und daher auch von ihnen „unbedingt getrennt“, wie in (†). Die mathematischen Eigenschaften sind nach Aristoteles jedoch allesamt an ihre materiellen Träger gebunden und können von ihnen nicht absolut abgelöst werden. Aber sie können in Gedanken abgelöst werden. Bei dieser „Loslösung“ (oder „Abtrennung“) entsteht kein neuer (abstrakter) Gegenstand, denn die Abtrennung spielt sich nur in unseren Gedanken oder in unserem Sprechen ab. Für Aristoteles sind die mathematischen Dinge λόγῳ χωριστά (wie in (‡)). Die mathematischen Dinge sind nicht wirklich getrennt von ihren materiellen Trägern. Erst das Denken, wenn es sich auf sie richtet, kann mit ihnen umgehen so, als ob sie eigenständige Dinge wären. Im 2. Buch der ‚Physik-Vorlesung‘ (2, 193b31-36) beschreibt Aristoteles diesen Prozeß der „Abtrennung“ wie folgt (in sinngemäßer Übersetzung):

3.6 Aufbau und Begründung der Arithmetik nach Aristoteles

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„Die Physiker, die Astronomen und die Mathematiker arbeiten mit Linien, Figuren usw. Aber die Mathematiker arbeiten mit ihnen immer nur unter Ausklammerung der Tatsache, daß sie Begrenzungen von natürlichen Körpern sind. Und auch ihre Eigenschaften betrachten sie nur unter dieser Ausklammerung. Daher behandeln sie diese [begrenzenden Flächen und Linien, etc.] auch wie losgelöst (abgetrennt) von den natürlichen Körpern, denn sie können in dieser Trennung gedacht werden, und eine solche Trennung führt zu keinen falschen Schlüssen.“

So wie etwa die Farbe „rot“ nicht für sich allein dasein, sondern nur an gewissen Dingen existieren kann und an diesen Dingen ein Fundament ihrer Realität hat, so sind nach Aristoteles auch die mathematischen Gegenstände nur an den natürlichen Dingen vorhanden und haben in ihnen ihr Fundament. Sie können nicht bedingungslos von ihren materiellen Trägern getrennt werden. Sie existieren nicht aus sich selbst heraus, sondern brauchen zu ihrer Existenz einen stofflichen Träger. Aristoteles schreibt in der ‚Metaphysik‘ (XIII, 3, 1078a30): διττὸν γὰρ τὸ ὄν, τὸ μὲν ἐντελεχείᾳ τὸ δ’ ὑλικῶς. [Denn das Seiende ist ja zweierlei, das eine in selbstständiger Wirklichkeit, das andere stofflich.] (Übersetzung von H. Bonitz)

Das Wort „Entelechie“ (ἐντελέχεια), das hier auftritt, ist aus ἐν (in), τέλος (Ziel) und dem Verb ἔχειν (haben) zusammengesetzt. Es hat die wörtliche Bedeutung von: „was sein Ziel in sich selbst hat“, und bedeutet hier etwa „aus sich selbst heraus“. Die mathematischen Gegenstände existieren nach aristotelischer Auffassung also nicht „wirklich“ (d. h. sie sind keine selbständig existierenden Substanzen, wie es die Platoniker gelehrt haben), sondern nur „nach der Art der Hyle“ (hylikôs, ὑλικῶς, d. h. stofflich). Die mathematischen Gegenstände existieren also nur in gleicher Weise wie ihre stofflichen Träger, – vergl. Aristoteles, 3. Buch der ‚Metaphysik‘, 1001b1-1002b11. Im Prozeß der „Loslösung“ (oder „Trennung“) entsteht kein neuer Gegenstand. Die Trennung führt nicht zu selbständig existierenden Dingen, sondern nur zu einer geänderten Sprechweise.

3.6  Aufbau und Begründung der Arithmetik nach Aristoteles Nach der Forderung von Aristoteles ist beim Aufbau der Arithmetik zuerst der Bereich der Dinge anzugeben, von denen sie handeln soll und „inwiefern“ (oder „als was“) diese Dinge untersucht werden sollen. In seiner ‚Zweiten Analytik‘ (72a23-24) sagt Aristoteles, daß man in der Arithmetik die Dinge der Welt als Einheiten auffaßt und von allen anderen Eigenschaften absieht. Insbesondere wird davon abgesehen, daß sie (physikalisch gesehen) möglicherweise teilbar sind. In der ‚Metaphysik‘ (Buch XIII, 3, 1077b27-34) heißt es, daß in der Arithmetik die Natur qua Unteilbarkeit untersucht würde. In der Arithmetik werden (nach Aristoteles) also Vielheiten von Dingen der Welt betrachtet, aber

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

nur im Hinblick auf ihre Anzahl, wobei die einzelnen Dinge selbst als „Einheiten“ (und damit im jeweiligen Kontext als „unteilbar“) angesehen werden.8 In der Arithmetik wird also nach Aristoteles nur eine einzige Gattung von Dingen untersucht, nämlich die Gattung ℰ aller einzelnen Dinge der Welt. Alle Dinge dieser Gattung werden in der Arithmetik so behandelt, als wären sie generische Objekte von ℰ, und werden daher als Einheiten angesehen. Nachdem dies vorausgeschickt ist, müssen die Grundsätze der Arithmetik angegeben werden. Die „allgemeinen Grundsätze“ sind die üblichen logischen Prinzipien und die allgemeinen wissenschaftlichen Grundsätze. Sie müssen nicht noch einmal angegeben werden. Sodann sind die „speziellen Grundsätze“ (die Thesen) anzugeben. Da „eines zu sein“ von allen Dingen ausgesagt werden kann (‚Metaphysik‘ X, 2, 1053b20), muß der Begriff der Einheit nicht definiert werden. In einer Hypothese muß jedoch die Existenz von Einheiten formuliert werden (‚Zweite Analytik‘, 71a15-17 und 72a24). Auf dieser Grundlage kann mit dem Aufbau der Arithmetik begonnen werden. Insbesondere kann jetzt der Zahlbegriff eingeführt werden. Aristoteles definiert ihn wie folgt. In der ‚Physik-Vorlesung‘ (III 7, 207b8) schreibt er: (∗) „Zahl ist Vielheit von Einheiten“ (πλῆθος μονάδων), und in der ‚Metaphysik‘ XIII, 9, 1085b22): (∗∗) „Zahl ist eine Vielheit von Unteilbarem“ (πλῆθος ἀδιαιρέτων). Einige Zeilen später heißt es in der ‚Metaphysik‘ (XIII, 9, 1085b33-34): „Die Zahl ist aus Unteilbarem zusammengesetzt“. Zahlen sind also Vielheiten von sinnlich wahrnehmbaren Dingen, die ausschließlich unter dem Aspekt der Unteilbarkeit (und damit als Einheiten) angesehen werden sollen. Eine Vielheit von sinnlich wahrnehmbaren Dingen ist in der Regel selber kein sinnlich wahrnehmbares Ding. Das Wort „Vielheit“ wird hier bei Aristoteles immer nur im umgangssprachlichen Sinne verwendet und nicht als terminus technicus. „Vielheiten“ haben hier immer mindestens zwei Elemente und sind selber keine Dinge (anders als in der heutigen Mengenlehre). Da „Einheiten“ keine „Vielheiten“ sind, ist die Einheit auch keine Zahl. Es heißt bei Aristoteles: οὐκ ἔστι τὸ ἓν ἀριθμός. [Die Eins ist keine Zahl], (‚Metaphysik‘, XIV, 1, 1088a6-7.)

Die Zahlen „Zwei“, „Drei“, „Vier“, … können jetzt eingeführt werden, indem man verabredet, daß die Verwendung des Wortes „Zwei“ nur besagen soll, daß „eine und noch eine, aber keine weitere Einheit“ vorliegt, und daß die Verwendung des Wortes „Drei“ nur besagen soll, daß (analog umschrieben) drei Einheiten vor-

 In Kap. 2 haben wir gesehen, daß nach Platon in der wissenschaftlich betriebenen Arithmetik die Zahlen keineswegs Vielheiten von Dingen der natürlichen Umwelt sind, sondern Vielheiten von Einheiten, die durch Abstraktion gewonnen werden und die alle untereinander vollkommen gleich sind und nur dem Denken zugänglich sind. 8

3.7 Der Aufbau der Geometrie nach Aristoteles

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liegen, etc. Diese Terme „Zwei“, „Drei“, „Vier“, … nennt Aristoteles „Zahlen“ und schreibt (in seiner ‚Physik-Vorlesung‘, Buch III, Kapitel VII, 207b9), daß es sich lediglich um „Paronyma“ handelt, also um Wörter (Substantive), die von anderen Wörtern (Adjektive) abgeleitet sind. Die Frage, ob die Zahlen „Zwei“, „Drei“, „Vier“, … für sich selbst bestehen können, oder ob die „Zwei“ immer nur an zwei Dingen, die „Drei“ immer nur an drei Dingen, etc., beobachtet werden kann, ist in der Antike oft gestellt und besprochen worden. Aristoteles hat die Frage wie folgt beantwortet: die einzelnen Einheiten können für sich selbst bestehen (sie sind da-seiende Objekte), aber die Zahlen „Zwei“, „Drei“, „Vier“, … sind nur sprachliche Konstrukte (und keine daseienden Objekte).9 Aber wie werden die Addition, die Multiplikation etc. eingeführt? Aristoteles geht auf die arithmetischen Operationen (Addition, Multiplikation) nicht ausdrücklich ein (vergl. jedoch ‚Metaphysik‘ XIII, 7, 1081b14), aber es scheint klar zu sein, daß die Addition für Aristoteles keine Operation ist, die definiert werden muß. Sie ist eine Operation, die als Zusammenfügen (oder Hinzunehmen) von Dingen unserer Umwelt allen Menschen aus dem täglichen Leben vertraut und bekannt ist. Es ist eine Handlung, die (nach Meinung aller Mathematiker von der Antike an bis ins frühe 19. Jahrhundert) in der Mathematik nicht thematisiert werden muß, da sie auch außerhalb der Mathematik wohlbekannt und wohlverstanden ist. Aristoteles nimmt in der Arithmetik einen Standpunkt ein, der mit dem Nominalismus verwandt ist. Nur die Einheiten haben ein Dasein; die Zahlen selbst sind sprachliche Konstrukte. Eine solche Auffassung macht den Aufbau der Arithmetik allerdings sehr beschwerlich und man kommt nicht sehr weit. Vielmehr als die Aufstellung von Additions- und Multiplikationstafeln ist hier kaum möglich.

3.7  Der Aufbau der Geometrie nach Aristoteles (1) Die Objekte der Geometrie Aus der Beschreibung des Theorie-Begriffs ergibt sich, daß beim Aufbau der Geometrie zuerst die Gattungen (Genera) zu nennen sind, mit denen sich die Geometrie befassen will. Es ist zuerst die Gattung der Dinge zu nennen, die Länge haben und zu sagen, daß ihre Objekte so zu behandeln sind, als wären sie generische Objekte ihrer Gattung und daß sie daher als gerade Linien ohne Breite angesehen werden sollen. Es ist sodann die Gattung der Dinge zu nennen, die kreisförmig sind und zu sagen, daß alle Dinge dieser Gattung so zu behandeln sind, als wären sie generische Objekte dieser Gattung, und daß sie daher als Kreise betrachtet werden sollen, etc. Für all diese Gattungen müssen mathematisch korrekte

  Platon spricht über diese Frage im ‚Hippias maior‘, 301b-302d. Auch Plotin, der Begründer des Neuplatonismus, hat sie ausführlich und sehr subtil in seiner Abhandlung‚Von den Zahlen‘: Περὶ ἀριθμῶν, 9,6, behandelt.

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

­ esensdefinitionen angegeben werden. Allerdings läßt sich „Geradlinigkeit“ nicht W mit elementaren Begriffen definieren. Eine Wesensdefinition dieses Begriffes (mit elementaren Hilfsmitteln) ist nicht bekannt (vergl. ‚Topik‘, VI, 148b23-32). Aristoteles bespricht in der ‚Topik‘ die damals üblichen Definitionen: „Der Punkt ist Grenze der Linie“ (141b6-22), „Die Linie ist Begrenzung einer Fläche“, und „Linie ist Länge ohne Breite“ (‚Topik‘, VI, 143b13-33), etc. Er übte an ihnen Kritik, weil sie das Wesen der Objekte nicht umfassend beschreiben, aber er konnte auch keine besseren Definitionen geben. (2) Die Grundsätze der Geometrie Die allgemeinen Grundsätze sind die allgemeinen wissenschaftlichen Grundsätze und die üblichen logisch-allgemeingültigen Aussagen und Schlußregeln, soweit sie damals bekannt waren. Sie müssen nicht noch einmal aufgezählt werden (siehe oben). Die speziellen Grundsätze sind die Thesen, d. h. die Definitionen und die Hypothesen. Für die Grundbegriffe sind aussagekräftige Essential-Definitionen aufzustellen. Dann können die Definitionen der abgeleiteten Fachbegriffe (wie „Dreieck“ (vergl. ‚Zweite Analytik‘ I,1; 71a14-15), „spitzwinkliges Dreieck“, etc.) wie üblich formuliert werden. Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen, schweigt sich Aristoteles weitgehend aus. Er verlangt jedoch, daß die reinen Existenz-Sätze „Es gibt Punkte“, „Es gibt Geraden“, „Es gibt Kreise“ etc. unter den Hypothesen vorkommen (vergl. ‚Zweite Analytik‘ I,10; 76a34-36; 76b6). Dies bedeutet, daß die einzelnen Gattungen geometrischer Objekte nicht-leer sind (vergl. ‚Zweite Analytik‘, 76b18) und daß folglich die sämtlichen 24 Syllogismen, die Aristoteles in seiner ‚Ersten Analytik‘ hergeleitet hat, uneingeschränkt zur Verfügung stehen.10 So wie es Aristoteles in seiner ‚Zweiten Analytik‘ beschrieben hat, können weitere Hypothesen aufgestellt werden, sofern sie „wahr“ sind (vergl. ‚Zweite Analytik‘ I,2; 71b26). Diese Hypothesen können unmittelbar einsichtige Feststellungen sein oder Aussagen, die durch Induktion (ἐπαγωγή, siehe oben) aus unmittelbar einsichtigen Feststellungen gewonnen werden können (vergl. ‚Zweite Analytik‘ I,2; 99b15-­ 100b5). Damit wären die Grundlagen der Geometrie im Sinne von Aristoteles andeutungsweise umrissen und es könnte damit begonnen werden, die einzelnen Theoreme der Reihe nach zu beweisen. Sobald ein Diagramm unter Zuhilfenahme von Linealen, rechten Winkeln, Zirkeln (eventuell auch verallgemeinerten Zirkeln zum Zeichnen von Kegelschnitten) etc. vorgelegt wird, soll der Übergang zu den generischen Objekten festlegen, daß die Zeichnung nur als sinnlich wahrnehmbare Darstellung dessen verstanden werden soll, was eigentlich (aufgrund der zugrunde liegenden Wesensdefinitionen der einzelnen Gattungen von Objekten) nur mit den Augen des Geistes gesehen werden  Dazu muß man die Syllogismen in einer Sprache mit mehreren Sorten von Individuen-Variablen formulieren, wobei die Variablen einer Sorte immer nur eine Gattung von Objekten durchlaufen – cf. Timothy Smiley ‚Syllogism and Quantification‘, J. of Symbolic Logic 27 (1962), S. 58–72. 10

3.7 Der Aufbau der Geometrie nach Aristoteles

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kann, und daß sich die nachfolgende Beweisführung nur auf diese gedachte ab­ strakte Konfiguration bezieht und dann auch exakt ist. Wenn man beispielsweise eine kreisförmige Linie auf einem Blatt Papier sieht, dann ist die Linie vielleicht an manchen Stellen etwas dicker oder dünner und vielleicht auch an manchen Stellen etwas eckig und ungenau. Aber für den Gebrauch in der Mathematik ist die Linie genau dann ein „Kreis“, wenn man weiß, daß sie aufgrund einer bestimmten Regel (etwa durch Anwendung eines Zirkels) gewonnen (oder: erzeugt) wurde und deshalb der Gattung der kreisförmigen Gegenstände angehört. Es sind die Eigenschaften, die sich aus der zugrunde liegenden Regel ergeben, die für die Verwendung in der Mathematik relevant sind, und nicht das empirisch feststellbare Erscheinungsbild. Aristoteles schreibt in seiner ‚Zweiten Analytik‘, I,X (76b39-77a1): Οὐδ’ ὁ γεωμέτρης ψευδῆ ὑποτίθεται, … τὸν δὲ γεωμέτρην ψεύδεσθαι λέγοντα ποδιαίαν τὴν οὐ ποδιαίαν ἢ εὐθεῖαν τὴν γεγραμμένην οὐκ εὐθεῖαν οὖσαν. ὁ δὲ γεωμέτρης οὐδὲν συμπεραίνεται τῷ τήνδε εἶναι γραμμὴν ἣν αὐτὸς ἔφθεγκται, ἀλλὰ τὰ διὰ τούτων δηλούμενα. [Auch der Geometer setzt nichts Falsches voraus, … (wenn) er die gezeichnete Linie, die nicht ein Fuß lang ist, einen Fuß lang nennt, oder gerade nennt, obwohl sie nicht gerade ist. Ein Geometer zieht keine Folgerungen aus dem Erscheinungsbild einer vorhandenen, konkreten Linie, über die er spricht, sondern nur aus dem, was mit ihr klar gemacht wird.]

Es kommt hier sehr schön zum Ausdruck, daß es in den Beweisen der Geome­ trie nicht um das geht, was sinnlich wahrnehmbar ist, sondern um die Begriffe, die den geometrischen Figuren zugrunde liegen, die geistig wahrnehmbar sind, und daß es nicht ausreicht, die Diagramme nur mit den Sinnen wahrzunehmen, sondern, daß man erkennen muß, daß sie unter Anwendung bestimmter Regeln (!) entstanden sind. Allerdings läßt sich die Geometrie insgesamt als wissenschaftliche Disziplin auf der Grundlage der aristotelischen Philosophie nicht in jeder Hinsicht adäquat durchführen, weil die Existenz geometrischer Objekte von physikalischen Gegebenheiten abhängig ist. Es lassen sich die üblichen Beweise der geometrischen Theoreme nur dann in der aristotelischen Geometrie durchführen, wenn auch alle Hilfslinien vorhanden sind, die im Beweis benötigt werden, und diese Hilfslinien gegebenenfalls eindeutig bestimmt sind. Der von Aristoteles angesprochene Satz von der Summe der Innenwinkel eines Dreiecks (‚Metaphysik‘ IX, 9, 1051a22-26, sowie ‚Eudemische Ethik‘, II,6, 1222b23-41)

benötigt zum Beweis eine Hilfslinie, die durch einen Eckpunkt des Dreiecks geht und zur gegenüberliegenden Dreiecksseite parallel ist. Es ist unklar, ob es für jedes Dreieck eine solche Hilfslinie in der aristotelisch konzipierten Geometrie überhaupt gibt, und wenn es sie gibt, ob sie eindeutig bestimmt ist. Immer dann, wenn eine solche Parallel-Linie vorhanden ist und eindeutig bestimmt ist, läßt sich der übliche Beweis (wie in den ‚Elementen‘ Euklids, Buch I, § 32) auch in der aristotelischen Geometrie einwandfrei durchführen. Aber wenn diese Parallele nicht bereits zusammen mit dem Dreieck gegeben ist, dann gibt es keine Hypothese in der ­aristotelischen

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Kapitel 3  Die aristotelische Konzeption der Mathematik

Geometrie, die ihre Existenz und Eindeutigkeit garantiert und der Beweis ist nicht durchführbar! Das ist das zentrale Problem der aristotelischen Geometrie: sie verfügt nicht über die Postulate, die in der euklidischen Geometrie vorhanden sind. Die Existenz von Hilfslinien ist in der aristotelischen Geometrie nur dann gesichert, wenn sie unter Anwendung der Methode der Abstraktion (Aphairesis) gewonnen werden können. Dazu müssen die Hilfslinien „nach der Art der hyle“, d. h. „stofflich“, vorhanden sein, damit sie mittels Aphairesis und Chôrismos als Gegenstände der Geometrie gewonnen werden können. Bereits Simplicius (Σιμπλίκιος) hat (nach dem Zeugnis von Anaritius, das ist Al-Nayrizi) bemerkt, daß es fraglich ist, ob man überall auf der Erde (beispielsweise auf der gekrümmten Meeresoberfläche) und im Weltraum die benötigten Hilfslinien herstellen kann. Und selbst wenn man sie herstellen könnte, ist es fraglich, ob sie eindeutig bestimmt sind, wie es das euklidische Pa­ral­ le­len-­Postulat fordert. Die Beweisbarkeit geometrischer Sätze hängt hier bei Aristoteles offenbar von physikalischen Gegebenheiten der natürlichen Umwelt ab. Aber darüber kann die Geometrie keine Aussagen machen. Das macht die aristotelisch konzipierte Geometrie letztlich undurchführbar! (Vergl. dazu Kap. 4) So sehr Aristoteles die Entwicklung der Logik und der Exakten Wissenschaften initiiert und gefördert hat, und dabei auch über die Grundlagen der Mathematik sehr viel Tiefliegendes ans Licht gebracht hat, so hat er doch die Mathematik viel zu eng an die natürliche Umwelt gekoppelt. In seiner These, daß die Objekte der Mathematik solche Dinge sind, die durch Abstraktion gewonnen werden (τὰ ἐξ ἀφαιρέσεως), hat er die Mathematik der Naturwissenschaft untergeordnet und damit Fragen, die die Ontologie der Mathematik betreffen, nicht angemessen beurteilt. Aus diesem Grunde ist auch eine Fortentwicklung der Mathematik auf dem Boden der aristotelischen Philosophie kaum möglich. Die negativen Zahlen, die komplexen Zahlen, die unendlich-dimensionalen Hilbert-Räume, etc. können alle nicht durch die Prozesse der Abstraktion und der Trennung (Aphairesis und Chorismos) gewonnen werden. Auch hier erlaubt die allzu enge Bindung an die empirisch wahrnehmbare Welt nicht die Entfaltung der mathematischen Denkweise.

Literatur Aristotelis Opera, ex recensione I. Bekker, edidit Academia Regia Borussica, 5 Bände (Bd. 1–2: griechischer Text, Bd.3: lateinische Übertragungen, Bd. 4: Scholia, Bd. 5: Fragmente). Berlin 1831–1870. Aristoteles: Metaphysik (griechisch – deutsch), Übersetzung von H. Bonitz. F. Meiner-Verlag Hamburg, 1989/1991. Aristoteles: Werke in deutscher Übersetzung: Band 3,II: Analytica posteriora, übersetzt und erläutert von Wolfgang Detel, Akademie-Verlag Berlin 1993, 2 Bände. Anderson, T.C.: Intelligible Matter and the Objects of Mathematics in Aristotle. The New Scholasticism 43 (1969), pp. 1–28 & 555–576.

Literatur

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Annas, Julia: Die Gegenstände der Mathematik bei Aristoteles. In: „Mathematik und Metaphysik bei Aristoteles“, Akten des X.  Symposium Aristotelicum in Sigriswil 1984 (Herausgeber: A. Graeser), Bern 1987, pp. 131–147. Apostle, H.G.: Aristotle’s Theory of Mathematics as a Science of Quantities. Philosophia Nr. 8–9 (1978/79), pp. 154–214. Barnes, Jonathan: Aristotle’s Arithmetic. Revue de Philosophie Ancienne, Nr.  3 (1985), pp. 97–133. Cleary, John: On the Terminology of »Abstraction« in Aristotle. Phronesis, a Journal for ancient Philosophy, Band 30, (1985), pp. 13–45. Felgner, Ulrich: ‚Das Induktionsprinzip‘, Jahresbericht der Deutschen Math.-Vereinigung, Band 114 (2012), pp. 23–45. Fritz, Kurt von: Die Archai in der griechischen Mathematik. Archiv für Begriffsgeschichte Nr. 1 (1955), pp. 13–103. Fritz, Kurt von: Die ἐπαγωγή bei Aristoteles. Bayerische Akademie der Wissenschaften, Phil.Hist. Klasse, Sitzungsberichte 1964, Heft 3, München 1964. Heiberg, Johann Ludwig: Mathematisches zu Aristoteles. In: Abhandlungen zur Geschichte d. math. Wiss., Band 18 (1904), pp. 1–49. Heath, Thomas: Mathematics in Aristotle. 1949. Nachdruck Thoemmes Press Bristol 1993. Hussey, E.: Aristotle on Mathematical Objects. pp. 105–133 in Jan Mueller (Herausg.) Peri Ton Mathematon. Edmonton, Alberta: Academic Printing and Publishing (=Apeiron 24: 4 (1991)). LEAR, J.: Aristotle’s Philosophy of Mathematics. Philosophical Review 91 (1982), pp. 161–192. Moukanos, Demetrios D.: Ontologie der ‚Mathematika‘ in der Metaphysik des Aristoteles. Athen 1981. Mueller, Ian: Aristotle on Geometrical Objects. Archiv für Geschichte der Philosophie, Band 52 (1970), pp. 156–171. Sigwart, Christoph: Logik, 2 Bände, Mohr-Siebeck Verlag, Tübingen 1904. Szabó, Árpád: Anfänge der griechischen Mathematik, Oldenbourg-Verlag München 1969. Vassiliou, Ph.: Aristotle and the Philosophy of Mathematics. Philosophia Nr. 8–9 (1978–1979), pp. 144–153.

Kapitel 4

Die Euklid’sche Axiomatik

Die geometrischen Gegenstände waren für die Ägypter, Babylonier und auch für die Griechen in vorpythagoräischer Zeit die gezeichneten geraden Linien und Kreise, ihre Schnittpunkte und die von den gezeichneten Linien eingeschlossenen Flächen. In der Astronomie betrachtete man auch Punkte, Linien und Flächen, die man sich in das Himmelsgewölbe eingezeichnet dachte. Von den gezeichneten und den gedachten Linien beachtete man nicht die Breite; man ging aber nicht soweit anzunehmen, daß sie überhaupt keine Breite hätten. Auch von den Punkten nahm man nicht an, daß sie ausdehnungslos wären – sie wären andernfalls auch gar nicht wahrnehmbar gewesen. Genauso wie die Existenz all dieser ausgedehnten Größen bereits durch den Augenschein gesichert ist, sind auch die geometrischen Aussagen, die sich auf solche ausgedehnten Größen beziehen, Feststellungen, die durch die sinnliche Anschauung verifiziert werden können. Wir haben in Kap. 1 gesehen, daß die Entdeckung der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale eines Quadrates (um 470/450 v.u.Z.) dazu führte, ausdrücklich davon auszugehen, daß in der neuen theoretischen Geometrie Punkte ausdehnungslos und Linien breitenlos sind. Solche Punkte und Linien sind nicht mehr sinnlich wahrnehmbar und es ist daher unklar, in welchem Sinne sie existieren und aus welchen Quellen wir schöpfen können, wenn wir irgendwelche Aussagen über Konfigurationen aus solchen Objekten beweisen wollen. (Diese Frage hatten wir schon in der Einleitung gestellt) In den Kap. 2 und 3 haben wir die Versuche von Platon und Aristoteles besprochen, den ontologischen Status der mathematischen Gegenstände und den epistemologischen Status der mathematischen Theoreme und Theorien zu deuten und zu klären. Ihre Versuche waren tief durchdacht, konnten aber dennoch die Mathematiker nicht vollständig überzeugen. Die Mathematiker haben beim Aufbau der Arithmetik und der Geometrie einen Weg beschritten, der weitgehend unabhängig von weltanschaulichen Positionen sein sollte. Dieser Weg war der der Axiomatik. Euklid hat einen solchen axiomatischen

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_4

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

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Aufbau in seinen ‚Elementen‘ ausgearbeitet und darüber wollen wir im Folgenden berichten. Über das Leben Euklids weiß man so gut wie nichts. Der Geburtsort und die ethnische Abstammung sind unbekannt. Man weiß nur, daß er vermutlich um 340 v.u.Z. geboren wurde und um 270 v.u.Z. starb (cf. Heiberg 1882, op. cit., S. 25–26), daß er eine Zeit lang in Athen lebte und etwa um 300 v.u.Z. herum von Ptolemaios I an das Museion in Alexandria berufen wurde. Das Museion war ein Musenheiligtum, das etwa die Funktion eines Forschungsinstituts hatte und auch eine große Bibliothek besaß. Mit dem Wechsel Euklids von Athen nach Alexandria verlor Athen die Führungsrolle in der Mathematik. Euklid schrieb zahlreiche Werke zur reinen und zur angewandten Mathematik. Sein großes Hauptwerk sind die dreizehn Bücher der ‚Elemente‘ (Στοιχεῖα), die er vermutlich in den Jahren um 300 v.u.Z. herum schrieb.1 Proklos (Πρόκλος, ca. 411–485 u.Z.) berichtete, daß Euklid in den ‚Elementen‘ viele Ergebnisse des Eudoxos (Εὔδοξος, ca. 400–347 v.u.Z.) zusammenfaßte, viele Ergebnisse des Theaitêtos (Θεαίτητος, 415/413–369 v.u.Z.) zum Abschluß brachte und die weniger stringenten Beweise seiner Vorgänger in unwiderlegbare Form brachte. Von besonderer Wirkung der ‚Elemente‘ war der wohlorganisierte Aufbau, die Architektur dieses dreizehnbändigen Kompendiums. Der strenge, logische Aufbau wurde sprichwörtlich für eine exakte Darstellung: „more geometrico“ (d. h. nach Art und Weise der Geometrie Euklids).

4.1  Die ‚Elemente‘ (Στοιχεῖα) von Euklid In den ‚Elementen‘ behandelt Euklid Geometrie und Arithmetik. Zu Beginn der Darstellung der Geometrie werden alle wichtigen Begriffe definiert, wie es auch Platon und Aristoteles verlangt haben. Zusätzlich gibt Euklid noch eine Liste von Postulaten und eine Liste von allgemeinen Grundsätzen, die sich auf die Begriffe der Gleichheit und der Größe beziehen. Bei Euklid sieht das so aus: Definitionen (ὅροι, lat.: definitiones): 1. Ein Punkt (σημεῖον, signum) ist, was keine Teile hat. 2. Eine Linie (γραμμή) ist breitenlose Länge. 3. Die Enden (πέρατα, die Grenzen) einer Linie sind Punkte. 4. Eine gerade Linie (Strecke, εὐθεῖα γραμμή, linea recta) ist eine Linie, die gleichförmig (ἐξ ἴσου, ex aequo) zwischen ihren [End]-Punkten liegt. etc. ………………

 Aristoteles schrieb im 5. Buch seiner ‚Metaphysik‘ (1014a37-1014b3), daß die Beweise, die als Bestandteile in anderen Beweisen wiederkehren, „Elemente der Beweise“ genannt wurden. Das mag den Titel von Euklids Buch erklären. 1

4.1 Die ‚Elemente‘ (Στοιχεῖα) von Euklid

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Es werden danach die Begriffe Fläche, Winkel, Kreis, Durchmesser, Parallelität etc. definiert. Der Begriff des Kreises wird wie folgt festgelegt: 15. Ein Kreis (κύκλος, circulus) ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfaßte Figur mit der Eigenschaft, daß alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind. Postulate (αἰτήματα, lat.: postulata, franz.: demandes): Gefordert soll sein: 1. daß man von jedem Punkt zu jedem Punkt eine gerade Linie ziehen kann, 2. daß man jede begrenzte gerade Linie [beliebig weit] zusammenhängend gerade verlängern kann,2 Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν. 3. daß man zu je zwei Punkten A und B einen Kreis mit dem Mittelpunkt A ziehen kann, auf dessen Peripherie B liegt, Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι, 4. daß alle rechten Winkel einander gleich sind, 5. [das Parallelen-Postulat] (siehe Kap. 5 und 8). Allgemeine Grundsätze (κοιναὶ ἔννοιαι, lat.: communes animi conceptiones): 1. Wenn zwei Größen einer dritten gleich sind, dann sind sie auch untereinander gleich. 2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich. 3. Wenn Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich. etc. ……………… 7. Was einander deckt, ist einander gleich. 8. Das Ganze ist größer als der Teil. 9. Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum. Wir wollen im Folgenden auf einige Details des Textes von Euklid sorgfältig eingehen.

2  Im griechischen Text wird das Wort ἐκβαλεῖν (verlängern, herauswerfen, in die Ferne werfen) verwendet. Es ist bemerkenswert, daß in manchen frühen lateinischen Übersetzungen das zweite Postulat mit dem Zusatz „quantumlibet protrahere“ (so in der Übersetzung, Version 2, die Adelhard von Bath um 1120 aus dem Arabischen anfertigte), oder „quantumlibet protrahatur“ (so in der auf Boethius zurückgehenden Lüneburger Handschrift aus der 2. Hälfte des 12. Jahrhunderts) formuliert wird – vergl. dazu M. Folkerts, op. cit. Dieser Zusatz findet sich jedoch nicht im Kommentar von Proklos (op. cit., S.  296) und auch nicht in der lateinischen Übersetzung, die um 1160 in Palermo direkt aus einer griechischen Handschrift aus Byzanz gemacht wurde – vergl. dazu H.L.L. Busard, op. cit., S. 28.

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

4.2  Die Terminologie in den ‚Elementen‘ Euklids Euklid verwendet nicht die übliche Terminologie. Bei allen älteren Geometern ist „stigma“ (στίγμα, στιγμή) das Fachwort für „Punkt“. Es hat die ursprüngliche Bedeutung von „Stich“, ein durch Stechen (στίζω) hervorgebrachtes kleines Loch, eine eingestochene Öffnung, genauso wie das lateinische Wort „punctum“, das vom Verb „pungere“ (stechen) abgeleitet ist. Das Wort „Zentrum“ (κέντρον) ist die „Markierung“, die mit dem „Stachelstab“ (d. h. dem Zirkel) gestochen wird. Auch das Wort κέντρον wird im Lateinischen mit „punctum“ wiedergegeben, wie Cicero in seinen ‚Tusculanae Disputationes‘, I,40, berichtet. Die Wörter „stigma“ und „kentron“ beziehen sich also auf etwas, was sinnlich wahrnehmbar ist und der natürlichen Umwelt angehört. Bei Euklid ist jedoch semeion (σημεῖον, lat. signum) das Fachwort für ‚Punkt‘. Dieses Wort bedeutet „Zeichen, Kennzeichen, Marke, Markierung, Merkmal, Mal“. Da sich die Geometrie Euklids auf gedachte (erdachte oder ideale) Objekte bezieht, sind die Stellen, wo sich zwei Geraden oder zwei Kreise schneiden, und die Stellen, wo Strecken beginnen und wo sie enden, nicht durch „Einstiche“ gegeben. Für derartige Stellen ist das abstraktere Wort „Semeion“ (Markierung) sicherlich treffender als das Wort „Stigma“ (Einstich). Die meisten griechischen Geometer übernahmen die euklidische Terminologie, insbesondere auch Heron von Alexandria (er lebte vermutlich um 62 u.Z.). Aurelius Augustinus (354–430) verteidigte die Wortwahl Euklids nachdrücklich in seinem Dialog ‚De quantitate animae‘ (XI.18). Er übersetzte sie ins Lateinische und nannte die Anfangs- und Endpunkte von Strecken und die Schnittpunkte von Kurven signa. Nur für den Mittelpunkt eines Kreises ließ er (genauso wie Cicero) die Bezeichnung punctum gelten. Aber Euklid, Heron, Augustinus und andere haben sich mit ihrer Terminologie nicht durchsetzen können, denn das Wort στίγμα (punctum) scheint eine größere Realität zu suggerieren als das Wort semeion (signum). In der lateinischen Literatur hat sich schon in der klassischen Zeit die Übersetzung punctum durchgesetzt. Es ist daher nicht überraschend, daß auch im Deutschen ganz analog das Wort „Punkt“ üblich geworden ist. Aber dennoch muß man in der Geometrie immer wieder ausdrücklich darauf hinweisen, daß „Punkte“ keine „Einstiche“ sind und auch nicht sinnlich wahrnehmbar sind. Simon Jacob tut das in seinem Rechenbuch aus dem Jahre 1565 sehr treffend: „Ein Punct ist ein untheilbares reines stüpflein, welches mit keinem Instrument mag gemacht, sondern muß allein mit dem verstandt gefaßt werden“. (Simon Jacob: ‚Ein New und Wolgegründt Rechenbuch, auff den Linien un Ziffern, …‘, Franckfurt am Mayn, 1565.)

Bemerkenswert ist, daß Euklid nie von „Zirkel“ (κίρκος, κρίκος) und „Lineal“ (κανών), sondern immer nur von „Kreis“ (κύκλος) und „gerader Linie“ (εὐθεῖα γραμμή) spricht. Die mechanisch ausführbaren Konstruktionen sind also nicht das Thema der ‚Elemente‘, sondern immer nur die begrifflich gegebenen Objekte. Es

4.3  Was sollen die ‚Definitionen‘ leisten?

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fragt sich, wie diese Objekte eingeführt werden. Wie werden sie definiert? Ist der Begriff der „geraden Linie“ einwandfrei definiert?

4.3  Was sollen die ‚Definitionen‘ leisten? Euklid beginnt das erste Buch der ‚Elemente‘ mit einer Liste von 23 Definitionen. Einige Definitionen können als Nominal-Definitionen und andere als Real-­Defini­ tionen bezeichnet werden (vergl. Kap.  3). Solche Definitionen sind unproblematisch. Aber die ersten sieben Definitionen, in denen die Grundbegriffe Punkt, Linie, gerade Linie, Fläche und ebene Fläche eingeführt werden, sind weder Nominalnoch Real-Definitionen. Sie werfen große Probleme auf und wir müssen sie analysieren und interpretieren. Die Übersetzung der ersten Definition ins Deutsche besagt, daß ein Punkt etwas ist, „was keine Teile hat“. Bemerkenswert ist, daß nicht versucht wird, den anschaulichen Gehalt einzufangen, sondern nur die formale Eigenschaft der Unteilbarkeit. Unter den geometrischen Gegenständen sind die Punkte die einzigen Objekte, die nicht in echte Teile zerlegbar sind. Unteilbarkeit ist also in der euklidischen Geometrie eine kennzeichnende Eigenschaft von Punkten, aber der Begriff des Punktes wird auf diese Weise nicht definiert. In der zweiten Definition heißt es, daß Linien (gerade Linien und Kreise) solche Dinge sind, die Länge, aber keine Breite haben. Es wird also die Auffassung zugrunde gelegt, die sich seit der Entdeckung irrationaler Verhältnisse (vermutlich durch Hippasos) in der Geometrie herausgebildet hat (siehe Kap. 1). In dieser Definition wird zwar eine wesentliche Eigenschaft von Linien mitgeteilt, aber der Begriff der Linie ist damit noch nicht vollständig definiert, da nicht gesagt wird, was „Länge“ und was „Breite“ ist. Die vierte Definition soll die „Idee“ der geraden Linie beschreiben. Die Formulierung ist nicht leicht verständlich: Εὐθει˜α γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοι˜ς ἐφ᾽ ἑαυτƞ̴ς σημείοις κει˜ται.

Cristoph Clavius (1538–1612) hat in seiner Edition der ‚Elemente‘ Euklids (3. Auflage, Köln 1591) die folgende lateinische Übersetzung gegeben: Recta linea est, quae ex aequo sua interiacet puncta.

Eine „gerade Linie“ (Strecke) ist demnach eine Linie, die gleichmäßig oder gleichförmig (ἐξ ἴσου, ex aequo) zwischen „ihren“ Punkten liegt. Es wird dabei vermutlich nur von „ihren“ Endpunkten gesprochen, wie in der dritten Definition. Eine „gerade Linie“ scheint demnach eine Linie zu sein, die sich ohne Änderung der Richtung von einem Endpunkt zum anderen Endpunkt erstreckt. Aber es ist nicht ganz klar, ob Euklid das sagen will. Kann man den Begriff der „geraden Linie“ überhaupt mit einfachen geometrischen Begriffen definieren, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen?

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Die Definitionen 5, 6 und 7 sprechen über Flächen, die Ränder von Flächen und ebene Flächen. Sie sind Übertragungen der entsprechenden Definitionen 2, 3 und 4, und können deshalb hier übergangen werden. Aber es muß betont werden, daß die Definition des Begriffes der ebenen Fläche (Definition 7) genauso problematisch ist wie die Definition der geraden Linie in Definition 4. Es ist deutlich geworden, daß die ersten sieben Definitionen ihrem Charakter nach von den restlichen Definitionen völlig verschieden sind: es sind weder Nominal- noch Real-Definitionen. Aber es werden in ihnen dennoch (im Geiste einer platonistisch konzipierten Geometrie?) wesentliche Merkmale der in Frage stehenden geometrischen Gegenstände mitgeteilt und insofern sind sie im Aufbau der euklidischen Geometrie unverzichtbar. Es stellt sich aber dennoch die Frage, ob diese ersten sieben Definitionen überhaupt von Euklid stammen, oder ob sie nicht von späteren Herausgebern der ‚Elemente‘ interpoliert wurden. Es wurde bereits von Johann Ludwig Heiberg 1882 (op. cit., S. 193–194) vermutet, daß sie erst von Heron (der in der zweiten Hälfte des 1. Jahrhunderts u.Z. lebte) in die ‚Elemente‘ eingefügt wurden (siehe dazu auch Lucio Russo 1998, op. cit.).

4.4  Was sollen die ‚allgemeinen Grundsätze‘ leisten? Euklid spricht von κοιναὶ ἔννοιαι, was sinngemäß übersetzt „allgemein übliche Vorstellungen“ oder „wohlvertraute Begriffe“ bedeutet. Euklid erwähnt hier einige Aussagen, die die Gleichheit (nicht die Identität! ) betreffen. Im Unterschied zu den Postulaten, deren Akzeptanz gefordert werden muß (da sie ja nicht allgemein gültig sind), handelt es sich hier um Aussagen, deren Gültigkeit wohl kaum jemand bestreiten wird. Da nach dem üblichen Sprachgebrauch zwei Dinge „gleich“ sind, wenn sie in den wesentlichen Merkmalen übereinstimmen, ist beispielsweise unmittelbar einsichtig, daß die Gleichheit eine transitive Relation ist, die mit den Operationen des Hinzufügens und Wegnehmens verträglich ist. Das wesentliche Merkmal einer Strecke ist nach Definition 2 ihre Länge. Insofern sind zwei Strecken „gleich“, wenn sie (unabhängig von ihrer Lage) in ihren Längen übereinstimmen. Aber wann sind zwei Winkel gleich? Eine solche Definition fehlt in den ‚Elementen‘ Euklids. Es wird im 7. Grundsatz ausgesagt, daß Kongruentes untereinander gleich ist: Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ᾽ ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

Das hier verwendete Wort epharmózein (ἐφαρμόζειν: anpassen, zur Deckung bringen, lat.; congruere) wirft Probleme auf, denn es wird nicht gesagt, wie es ohne Verweis auf die sinnliche Anschauung in der theoretischen Geometrie verwendet werden kann. Árpád Szabó (op. cit., S. 359) vermutete, daß der achte „allgemeine Grundsatz“ („Das Ganze ist größer als der Teil“) aufgestellt wurde, um lästige Diskussionen zu vermeiden, die sich mit den Anhängern Zenons ergeben könnten. Zenon (etwa 490

4.5  Was sollen die ‚Postulate‘ (Aitemata) leisten?

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v.u.Z. in Elea geboren) hatte beispielsweise das Paradoxon aufgestellt und ­verteidigt, daß die halbe Zeit der doppelten gleich sei (cf. Aristoteles: ‚Physik-Vorlesung‘, Buch VI, 240a1). In den ‚Nomoi‘ (Buch III, 690 e) läßt Platon den Gastfreund aus Athen daran erinnern, daß Hesiod „sehr richtig“ behauptet habe, „daß die Hälfte häufig mehr als das Ganze“ wäre. Der neunte „allgemeine Grundsatz“ („Zwei gerade Strecken umfassen keine Fläche“) ist vermutlich erst in späterer Zeit eingeschoben worden, um den Beweis von Lehrsatz I.4 abzusichern. Er gehört nicht in die Rubrik der „allgemeinen Grundsätze“, wie schon Proklos in seinem Kommentar zu der ‚Elementen‘ gemeint hat (op. cit., S. 302 & S. 333–334). Man könnte den neunten „allgemeinen Grundsatz“ weglassen, wenn man das erste Postulat wie folgt etwas verschärfen würde: 1*. Gefordert soll sein, daß man von jedem Punkt zu jedem Punkt eine, aber auch nur eine gerade Linie ziehen kann.

4.5  Was sollen die ‚Postulate‘ (Aitemata) leisten? Aitema (αἴτημα) ist „das Geforderte“, lat. postulatum. Das Wort ist vom Verb αἰτέω (ich verlange, fordere, erbitte) abgeleitet. Es wird in den Postulaten gefordert, daß man einerseits gewisse Linien „ziehen“ (genauer: „herbeiführen“, ἄγειν) kann, und andererseits, daß man akzeptiert, daß alle rechten Winkel einander gleich sind und daß eine bestimmte Aussage über pa­ ral­lele Linien anerkannt wird. Euklid fordert also von demjenigen, der Geometrie betreiben will, daß er die aufgestellten Postulate als grundlegende Aussagen in voller Allgemeinheit anerkennt. Euklid fordert nicht, daß man in der natürlichen Umwelt um jeden Punkt mit jedem Radius einen Kreis schlagen kann, und er fordert auch nicht, daß man in der natürlichen Umwelt von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt mit einem geeignet langen Lineal eine Strecke zeichnen (γράφειν) kann. Solche Forderungen wären sicherlich nicht immer erfüllbar. Man kann ja beispielsweise keine Strecke von der Erde bis zum Mond zeichnen und auch auf der gekrümmten Meeresoberfläche keine geraden Linien produzieren, wie schon Simplicius (Σιμπλίκιος) bemerkt hat (vergl. Kap. 3). Euklid spricht nicht vom (sinnlich wahrnehmbaren) „zeichnen“ von Linien, sondern nur (ganz unbestimmt) vom „herbeibringen, herbeiführen“. Die Postulate beziehen sich nicht auf den Umgang mit mechanischen Werkzeugen (etwa Zirkel und Lineal), denn Euklid spricht, wie bereits erwähnt, nirgendwo in seinen ‚Elementen‘ über diese Werkzeuge. Die Postulate fordern vielmehr die Bereitschaft, mit den angegebenen Begriffen (!) in der angegebenen Weise gedanklich umzugehen. Die euklidischen Postulate fordern demnach, daß man in Gedanken von zwei gedachten (oder erdachten?) Punkten immer zur gedachten (oder erdachten?) Verbindungslinie übergehen kann und daß man von zwei gedachten Punkten immer zur

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

gedachten Kreislinie, die den ersten Punkt als Mittelpunkt hat und durch den zweiten Punkt hindurchgeht, übergehen kann, etc. Die Postulate bei Euklid sind Aussagen, die sich auf eine Welt von gedachten (oder idealisierten) Objekten beziehen. Sie fordern, daß die grundlegenden Kon­ struktionen, die man bisher (in der vorpythagoräischen Geometrie) mit mechanischen Geräten ausführen konnte (z. B. Verbinden zweier Punkte durch einen geraden Strich, Verlängern von geraden Strichen, Parallelverschiebungen von geraden Strichen, Schlagen von Kreisen, etc.) auch in der neuen Geometrie der gedachten (oder idealisierten) Objekte zur Verfügung stehen sollen. Insbesondere wird die von Aristoteles vorgeschlagene Ontologie der geometrischen Objekte (vergl. Kap.  3) nicht übernommen. Die euklidischen Postulate erlauben vielmehr, die Lücken zu schließen, die in der von Aristoteles vertretenen Ontologie der geometrischen Objekte nicht geschlossen werden können. Bemerkenswert ist, daß in den ‚Elementen‘ Euklids der ontologische Status der geometrischen Objekte nirgendwo besprochen wird. Euklid selber ist sehr zurückhaltend mit derartigen Erläuterungen. Aber an einigen wenigen Stellen spricht er ausdrücklich von „gedachten“ Kreisen und „gedachten“ Linien. Im 12. Buch beispielsweise wird die gestellte Konstruktionsaufgabe §17 gleich mit den folgenden Worten eröffnet: Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α. [Fingantur duae sphaerae circum idem centrum A. Gedacht seien zwei Kugeln um denselben Mittelpunkt A. ]

– Es ist schon lange üblich, die euklidischen Postulate auch „Axiome“ zu nennen. Ist eine solche Bezeichnung zulässig? Was ist der Unterschied zwischen „Axiom“ und „Postulat“?

4.6  Axiome, Postulate, Hypothesen und Annahmen In wissenschaftlichen Untersuchungen und auch in dialektischen Auseinander-­ setzungen war es schon in der Antike üblich, die Aussagen, auf die man sich stützen wollte, die man aber nicht begründen wollte (oder konnte), ausdrücklich zu nennen. Solche Aussagen wurden Axiome (ἀξιώματα), Lambanomena (λαμβανόμενα), Hypothésen (ὑποθέσεις) oder gelegentlich auch Postulate (αἰτήματα) genannt. Was ist die ursprüngliche Bedeutung dieser Wörter? 1 . Axiome. Den etymologischen Wörterbüchern kann man entnehmen, daß im ionischen und attischen Dialekt axia (ἀξία) soviel wie „Wert, Lohn“ bedeutete, wo­ raus die Wörter axiôsis (ἀξίωσις, die Werterachtung, und daher auch die Ehrerweisung, das Ansehen, die gute Meinung, aber auch der Anspruch, die Forderung, die Geltung) und axiômatikos (ἀξιωματικός, gewichtig, würdevoll, gravitätisch) entstanden sind. Das Verb ἀξιοῦσθαι bedeutet gelten.

4.6  Axiome, Postulate, Hypothesen und Annahmen

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Das Wort Axíôma (ἀξίωμα) hat die umgangssprachliche Bedeutung von Werterachtung, Würde, Geltung, Wichtigkeit. Bei Polybios bedeutet ἀξίωμα τοῦ βασιλέως die „Würde des Königs“. Wenn eine Aussage als „Axiom“ bezeichnet wird, dann handelt es sich um eine Aussage, die Geltung hat, oder jedenfalls Geltung beansprucht (deren Geltung postuliert wird). Das bedeutet, daß einer solchen Aussage ein besonderes Gewicht zukommt. In der Mathematik hat ein „Axiom“ die Würde und das Gewicht, unter den ersten Sätzen einer Theorie vorzukommen. So wurde das Wort „Axiom“ auch von Aristoteles gebraucht. Er hatte die logisch allgemeingültigen Aussagen κοιναὶ δόξαι (‚Metaphysik‘ III,2, 997a20-22) genannt, und, um ihre besondere Wichtigkeit zu betonen, auch als Axiome (ἀξιώματα) bezeichnet. Archimedes gab in seiner Schrift über ‚Kugel und Zylinder‘ der Liste der Definitionen die Überschrift Axiome, ebenfalls um anzudeuten, daß sie zu den ersten Sätzen seiner Theorie gehören. Die anschließende Liste von Hypothesen, deren Wahrheit er für evident hielt, was er aber nicht beweisen konnte, nannte er in Anlehnung an die Dialektiker „Lambanomena“ (λαμβανόμενα), d.  h. „übernommene Aus­ sagen“. In der Stoa bekam das Wort Axiom die leicht abgeänderte Bedeutung von „Aussage, die ohne weitere Erklärung unmittelbar verständlich ist“. Der Stoiker Chrysipp (ca. 280–205 v.u.Z.) gab die folgende Definition: „Ein Axiom ist, was für sich allein als Aussage oder Behauptung gebraucht werden kann.“ (zitiert nach M. Hossenfelder, op. cit. S. 241.)

Aulus Gellius (er lebte um 130 u.Z.) hat in seinen ‚Attischen Nächten‘ (‚Noctes Atticae‘, Lib. XVI, Cap. 8) die folgende Erläuterung gegeben. Er sagt, daß das Wort „Axiom“ (lat. pronunciatum) einen absolut unabhängigen Grundsatz bezeichnen würde, der nur durch sich selbst erklärt sei, und deshalb nicht bewiesen werden müsse. Er zitiert den römischen Dichter und Gelehrten Marcus Terentius Varro (116–27 v.u.Z.), der „Axiome“ im Lateinischen mit „profata“ (Sprüche) oder auch „proloquia“ (Aussprüche) wiedergegeben habe, und gesagt haben soll, daß unter einem Proloquium (Axiom) eine Meinungsäußerung verstanden werde, in der nichts vermißt wird3 (d. h., deren Inhalt unmittelbar klar ist): „Proloquium est sententia, in qua nihil desideratur.“

Aulus Gellius nennt einige Beispiele: „Hannibal Poenus fuit“ (Hannibal war ein Punier), „neque bonum est voluptas neque malum“ (Das Vergnügen ist weder ein Gut noch ein Übel), etc. Wir entnehmen diesen Zitaten, daß in der Antike unter einem „Axiom“ eine Aussage verstanden wurde, die für sich allein aussagekräftig ist, und die deshalb an den Anfang einer Theorie gestellt werden kann und Geltung beanspruchen darf.  Profari heißt im Lateinischen „herausreden, vorhersagen, weissagen“ und proloqui „aussprechen, verkünden, weissagend verkünden“. Pronunciare heißt „verkünden, proklamieren, ausrufen, ansagen, ankündigen“. 3

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

2 . In den Postulaten, die Euklid seinen ‚Elementen‘ vorangestellt hat, wird gefordert, daß die grundlegenden Konstruktionen, die man in der vorpythagoräischen Geometrie mit mechanischen Geräten ausführen konnte (z.  B.  Verbinden zweier Punkte durch eine Gerade, Verlängern von Geraden, Parallelverschiebungen von Strecken, Schlagen von Kreisen, etc.) auch in der neuen Geometrie der Punkte ohne Ausdehnung, der Linien ohne Breite etc. als gültig ansieht. Es handelt sich nicht um Aussagen, die von vornherein Geltung haben, sondern um Aussagen, deren Geltung gefordert werden muß. Die euklidischen Postulate sind Sätze, die erst verstanden werden können, wenn die in ihnen auftretenden Begriffe bekannt sind. Deshalb werden die „Postulate“ auch erst im Anschluß an die „Definitionen“ genannt. Die euklidischen Postulate sind also keine „Axiome“, weder im Sinne von Aristoteles noch im Sinne der Stoa. Da sie sich lediglich auf den Umgang mit idealisierten Objekten beziehen, sind sie weder wahr noch falsch. Aber es sind Sätze, die im Rahmen der Geometrie Geltung beanspruchen. Es sind Sätze, die zusammen mit den Definitionen die „ersten Sätze“ der Geometrie sind. Man kann sie daher, wenn man will, auch „Axiome“ nennen. Da dieser Sprachgebrauch üblich geworden ist, wollen wir ihn übernehmen. Der euklidischen Axiomatik liegt die folgende Idee zugrunde: es werden zuerst alle Quellen genannt, aus denen geschöpft werden darf, wenn man geometrische Einsichten gewinnen will. Diese Quellen bestehen aus Listen von Definitionen, Listen von Postulaten, sowie Listen von Allgemeinen Grundsätzen. Aus diesen genannten Quellen zu schöpfen heißt, aus den Aussagen, die in den genannten Listen vorkommen, mit den Mitteln der reinen Logik Folgerungen zu ziehen. Der gesamte Inhalt der Geometrie ist demnach in den vorangestellten drei Listen enthalten. - Nachdem wir die Grundlagen ausführlich diskutiert haben, wollen wir uns noch kurz ansehen, wie die Geometrie selbst abgehandelt wird und auf welche Art und Weise aus den genannten Quellen geschöpft wird.

4.7  Die Durchführung der Geometrie In der Antike konnten viele geometrische Probleme unter alleiniger Verwendung von Zirkel (κίρκος) und Lineal (κανών) gelöst werden. Daß eine Zeichnung, die mit diesen Hilfsmitteln ausgeführt wurde, die Lösung des gestellten Problems enthält, konnte mit den Augen sinnlich wahrgenommen werden. Wenn man jedoch beweisen wollte, daß in der Tat eine Lösung vorliegt, dann mußte man die Argumentation von allem „Erdenrest“ befreien und rein begrifflich vorgehen. Man mußte also in der Argumentation den Bezug auf die Geräte „Zirkel“ und „Lineal“ durch die Begriffe „Kreis“ (κύκλος) und „gerade Linie“ (εὐθεῖα γραμμή) ersetzen.

4.8  Die Argumentationen in den Aufgaben I,1 und I,2 sowie I,4

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Eine derart beweisende Geometrie hat Euklid in seinen ‚Elementen‘ ausgearbeitet. Die Propositionen sind hier entweder Konstruktionsbeschreibungen (Aufgaben, προβλήματα) oder Lehrsätze (Theoreme, θεωρήματα). Ein gelöstes Problem wird mit dem Kürzel QOF (quod oportebat fieri, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι, was ausgeführt werden sollte) und ein bewiesenes Theorem mit dem Kürzel QED (quod erat demons­ trandum, ὅπερ ἔδει δεῖξαι, was zu beweisen war) beendet. Das dabei verwendete griechische Verb deiknymi (δείκνυμι) heißt zeigen, sehen lassen, begreiflich machen, beweisen. In den Beweisen der Theoreme werden sehr oft Hilfslinien oder auch andere Konfigurationen verwendet und diese müssen im Verlauf der Beweise eingeführt werden. Dazu greift Euklid auf die Konstruktions-Aufgaben zurück. Umgekehrt greift Euklid bei der Lösung von Konstruktionsaufgaben auf Theoreme zurück, wenn gezeigt werden muß, daß die vorgeschlagenen Konstruktionen das Gewünschte leisten. Es werden also Konstruktionsaufgaben und Theoreme eng miteinander verwoben. Genauso wie die Theoreme von gedachten (oder idealisierten) Punkten, Linien, Flächen etc. handeln, handeln also auch die Aufgaben von derartigen gedachten/idealisierten Objekten. Die Objekte müssen in den Aufgaben denselben Definitionen genügen, wie in den Theoremen. Das heißt insbesondere, daß die Aufgaben nicht von Konstruktionen mit mechanischen Geräten (wie Zirkel und Lineal) handeln. – Das wird in der Literatur oft übersehen. Wir wollen jetzt einen kurzen Blick auf einige Beweise in Euklids ‚Elementen‘ werfen. Wir betrachten zunächst die ersten zwei Aufgaben im ersten Buch.

4.8  D  ie Argumentationen in den Aufgaben I,1 und I,2 sowie I,4 Aufgabe I,1: Über einer vorgegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Lösung: Wenn A und B die Endpunkte der vorgegebenen Strecke sind (Definition 3), dann gibt es nach Postulat 3 den Kreis um den Mittelpunkt A mit dem Radius AB. Genauso gibt es den Kreis um den Mittelpunkt B mit dem Radius AB. Einer der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise sei C. Nach der Definition des Begriffes ‚Kreis‘ sind die beiden Strecken AB und AC gleich lang. Ganz analog sind auch die beiden Strecken BA und BC gleich lang. Nach dem ersten allgemeinen Grundsatz sind dann auch die Strecken AC und BC gleich lang. Also haben die drei Strecken AB, AC und BC alle die gleiche Länge und die drei Punkte A, B, C bestimmen ein gleichseitiges Dreieck, QOF (quod oportebat fieri).

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

Man sieht an der Beschreibung der Lösung der Aufgabe sehr schön, wie die vorausgesetzten Definitionen, Postulate und allgemeinen Grundsätze benutzt werden. Man sieht aber auch, daß Euklid bereits in der allerersten Aufgabe etwas unachtsam ist. Daß die beiden Kreise sich schneiden, wird nicht bewiesen, sondern nur der sinnlichen Anschauung entnommen. Zu einem vollständigen Beweis benötigt man die Einsicht, daß die beiden Kreislinien stetig sind und sich deshalb schneiden. Im Hilbert’schen Axiomensystem (wir werden darüber in Kap.  20, sprechen) wird die Aufgabe I,1 wie folgt gelöst: Man zeigt zunächst, daß die Strecke AB halbiert werden kann (vergl. David Hilbert: ‚Grundlagen der Geometrie‘, 10. Auflage 1968, §6, S. 25, Satz 26) und daß folglich auch die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB errichtet werden kann. Diese Mittelsenkrechte schneidet die beiden Kreise in einem gemeinsamen Punkt, was leicht unter Verwendung des Dedekind’schen Stetigkeitsaxioms bewiesen werden kann. Wir betrachten noch die nächste Aufgabe I,2, in den ‚Elementen‘ Euklids, weil sie gut geeignet ist, eventuell auftretende Mißverständnisse auszuräumen. Aufgabe I,2: An einem gegebenen Punkte eine einer gegebenen Strecke gleiche Strecke hinzulegen. Wenn ein Punkt A und irgendeine Strecke mit den Endpunkten B und C gegeben ist, dann liegt es nahe, zunächst durch A irgendeine Linie zu zeichnen, die man nach Postulat 2 beliebig verlängern kann, und dann mit dem Zirkel die Strecke BC abzugreifen und sie auf dieser Linie abzutragen. – So geht Euklid aber nicht vor! Er geht sehr viel komplizierter wie folgt vor: Euklids Lösung der Aufgabe I,2: Der gegebene Punkt sei A und die gegebene Strecke sei BC. Wie in Aufgabe I,1 gezeigt wurde, kann man über der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichten. Der dritte Eckpunkt dieses Dreiecks sei D. Nach Postulat 3 gibt es um den Punkt B einen Kreis mit Radius BC. Nach Postulat 2 kann die Strecke BD verlängert werden, so daß sie den Kreis in einem Punkt G schneidet, wobei B zwischen D und G liegen möge. Nach Postulat 3 gibt es auch um D einen Kreis mit dem Radius DG. Nach Postulat 2 kann auch die Strecke AD verlängert werden, so daß ihre Verlängerung diesen zweiten Kreis in einem Punkte L schneidet, wobei A zwischen D und L liegen möge. Da die Strecken DG und DL

4.8  Die Argumentationen in den Aufgaben I,1 und I,2 sowie I,4

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gleich lang sind, und auch die Strecken DB und DA gleich lang sind, sind auch ihre Differenzen nach dem 3. allgemeinen Grundsatz gleich lang. Also sind BC und AL gleich lang. QOF.

Die Lösung von Aufgabe I,2 zeigt, daß die freie Beweglichkeit von Strecken gewährleistet ist. Das ist der eigentliche Sinn dieser Aufgabe. In I,2 wird also die folgende Verallgemeinerung von Postulat 3 bewiesen: Zu je drei Punkten A, B und C gibt es einen Kreis mit dem Mittelpunkt A und einem Radius, der mit der Strecke BC kongruent ist (d. h. der Strecke BC gleich ist).

Damit ist auch deutlich geworden, warum die von Euklid angegebene Lösung der Aufgabe I,2 so kompliziert ist: in den von ihm angegebenen Formulierungen des dritten Postulats ist die freie Beweglichkeit von Strecken noch nicht enthalten und muß erst in I,2 sicher gestellt werden. Aber zum Beweis von I,2 braucht man die folgende Präzisierung von Postulat 2 (siehe dazu auch Fußnote 2): Zu je drei verschiedenen Punkten A, B und C gibt es eine geradlinige Verlängerung der Strecke AB, die den Kreis um B mit Radius BC schneidet.4

Abschließend wollen wir uns noch den Beweis des ersten Kongruenz-Satzes für Dreiecke anschauen.

 Die von Clemens Thaer in seiner Edition der ‚Elemente‘ Euklids (Wissenschaftl. Buchges., Darmstadt 1962) vorgeschlagenen Übersetzungen des zweiten und des dritten Postulats sind etwas ungenau. Euklid will im 2. Postulat nicht fordern, daß man vorgegebene Strecken „irgendwie“ ein wenig verlängern kann, sondern daß man sie über jedes Maß hinaus (also „indefinit“) verlängern kann. Im 3. Postulat soll nicht gefordert werden, daß man um jeden Punkt A mit jeder Strecke BC als Radius den Kreis schlagen kann, sondern nur um jeden Punkt A mit allen Strecken AB. Die Übersetzung von diastêma (διάστημα) mit „Abstand“ ist ungeschickt. 4

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

Euklid, Satz I,4: Dreiecke sind gleich, wenn jeweils zwei Seiten und die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind, Beweis: Gegeben seien zwei Dreiecke mit den Eckpunkten A,B,C, bzw. D,E,F. Vorausgesetzt sei, daß die Strecken AB und DE kongruent sind und daß auch die Strecken BC und EF kongruent sind. Ferner wird vorausgesetzt, daß auch die ­Winkel zwischen diesen Strecken einander gleich sind. Es muß gezeigt werden, daß auch die Strecken AC und DF kongruent sind. Aus I,2 folgt (aufgrund der freien Beweglichkeit von Strecken), daß die Strecke DE auf AB und die Strecke EF auf BC gelegt werden kann. Dabei wurde auch der eingeschlossene Winkel zwischen DE und EF deckend auf den Winkel zwischen den Strecken AB und BC gelegt, da ja diese Winkel nach Voraussetzung „gleich“ sind. Aufgrund des neunten allgemeinen Grundsatzes ist die gerade Linie, die A mit C verbindet, eindeutig bestimmt. Also muß die Strecke, die D mit F verbindet, bei der angegebenen Verschiebung auf die Strecke AC fallen. Daher sind beide Drei­ ecke insgesamt kongruent, Q.E.D. Der Beweis von Euklid ist nicht ganz schlüssig, da es unklar bleibt, wie die Gleichheit (oder Kongruenz) von Winkeln gezeigt werden kann. Euklid verwendet dabei das Wort epharmózein (ἐφαρμόζειν, aufeinander legen, zur Deckung bringen), das in der euklidischen Geometrie undefiniert ist. [Das Wort ist aus der Präposition ἐφ (darauf, dabei) und dem Verb άρμόζειν (zusammenfügen, verbinden) gebildet.] Das Wort kann keine physische Bewegung bedeuten, da die Punkte und Linien, die bewegt werden sollen, „keine Teile haben“, bzw. „breiten­los“ sind und folglich nicht zur sinnlich wahrnehmbaren Welt gehören. Andererseits kann man sich Punkte und Linien, die „keine Teile haben“, bzw. „breitenlos“ sind, nicht wirklich vorstellen und daher auch nicht „in Gedanken“ bewegen. Bereits Jacques Peletier (1517–1582) war der verunglückte Beweis von I,4 in seiner Edition der euklidischen ‚Elemente‘ (aus dem Jahre 1557) aufgefallen (cf. Heath, op. cit., Band 1, S. 249). Peletier stellte die Frage, warum im Beweis von I,4 das Aufeinanderlegen von Figuren erlaubt ist, aber in anderen Beweisen (z. B. von I,2) nicht. Wenn es immer erlaubt wäre, dann könnte man viele Beweise erheblich abkürzen. Er meinte, daß man die Gleichheit von Winkeln doch nur dann feststellen kann, wenn zuvor der Begriff der Gleichheit von Winkeln definiert wurde. Arthur Schopenhauer (1788–1860) hat das „zur Deckung bringen“ als etwas „ganz Empirisches“ aufgefaßt und im 2. Band seines Werkes ‚Die Welt als Wille und Vorstellung‘ (Sämtliche Werke, Edition P. Deussen, 1911, Band 2, S. 143) geschrieben, daß „allein die Materie“ beweglich sei und deshalb das „zur Deckung bringen“ nicht zur reinen Geometrie gehöre. (Erst im Strukturalismus gelang es, Deckbewegungen als Automorphismen der gesamten Struktur, also als rein mathematische Gegenstände, einzuführen – vergl. Kap. 19) Bertrand Russell (1872–1970) hat in seinen ‚Principles of Mathematics‘ (Cambridge 1903, S. 404–405) diese Unstimmigkeiten in Euklids ‚Elementen‘ kommentiert und dazu etwas spöttisch geschrieben, daß die ‚Elemente‘ wohl sehr zu Unrecht für ihre angebliche logische Strenge gelobt würden. Zum Beweis von Satz I,4 schrieb er:

4.9 Diskussion

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„indeed Euclid’s proof is so bad that he would have done better, to assume this proposition as an axiom,“

– so wie es David Hilbert in seinen ‚Grundlagen der Geometrie‘ (1899, 10. Auflage 1968, op. cit., S. 14, Axiom III, 5) auch getan hat. Auch Russell beklagte, daß Euklid in diesem Beweis Dreiecke wie starre Körper behandele und sich auf den Begriff der Bewegung stützen würde. Hilbert gelang es 1899 in seiner Axiomatisierung der „elementaren“ Geometrie, die Berufung (!) auf die sinnliche Anschauung in den Beweisen vollständig zu eliminieren und alle Argumentationen rein begrifflich durchzuführen (vergl. dazu Kap. 20). Mit den von Hilbert formulierten Kongruenzaxiomen ließe sich der Beweis von I,4 kurieren.

4.9  Diskussion Der kurze Blick in die ‚Elemente‘ Euklids zeigt uns, daß manche Aufgaben und Theoreme mit bewundernswürdigem Scharfsinn und völlig exakt abgehandelt wurden (z. B. I,2), und daß in anderen Aufgaben und Theoremen die Argumentationen nicht immer ganz schlüssig sind (z. B. I,1 & I,4). In der Behandlung der Aufgabe I,1 fehlte lediglich der Begriff der Stetigkeit, der in seiner vollen Bedeutung erst im 19. Jahrhundert in der nötigen Klarheit formuliert wurde. Euklid lag dieser Begriff noch nicht vor und es ist ihm deshalb auch kein Vorwurf zu machen, daß er das Problem der Stetigkeit übersah. Die Schwachstelle im Beweis von Satz I,4 betrifft den Umgang mit Winkeln. Hier zeigt es sich, daß die euklidische Geometrie trotz intensiver Bemühungen noch nicht von allem „Erdenrest“ befreit ist, da sie sich auf die Beweglichkeit starrer Körper stützen muß. Es sind noch nicht alle Ideale einer exakten Darstellung der Geometrie erreicht. Aber insgesamt sind die ‚Elemente‘ Euklids ein bewundernswürdiges Werk, das auch heute noch begeistern kann. Proklos Diadochos (ca. 411–485) hat in seinem Kommentar zum ersten Buch der ‚Elemente‘ überall einen Einfluß der platonischen Philosophie gesehen. Dieser Kommentar enthält viele wertvolle Bemerkungen und historische Zeugnisse, verdunkelt aber die rein mathematischen Leistungen Euklids. Proklos hat seinen Kommentar in einer Zeit geschrieben, als das aufkommende Christentum die alte antike (heidnische) Kultur auszulöschen drohte und zu einem großen Teil auch ausgelöscht hat. In einer Gegenbewegung (die in der Mitte des dritten Jahrhunderts unserer Zeitrechnung einsetzte) wurde versucht, den alten Platonismus wiederzubeleben, was zum sogenannten „Neuplatonismus“ führte. Das Werk von Proklos gehört zu dieser neuplatonistischen Bewegung und versucht, die ‚Elemente‘ Euklids in die Tradition des platonischen Denkens hineinzustellen. Proklos sagt jedoch nur sehr wenig zu den innermathematischen Zielsetzungen, die zu der vorliegenden Form der ‚Elemente‘ Euklids führten. Von großer Wirkung war der axiomatische Aufbau der ‚Elemente‘ Euklids (vergl. Hermann Schüling, 1969, op. cit.). Vermutlich gab es schon vor Euklid einzelne Abhandlungen mathematischer Disziplinen auf axiomatischer Grundlage. Unbestritten

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Kapitel 4  Die Euklid’sche Axiomatik

ist, daß in der Ausarbeitung der axiomatischen Methode Mathematiker und Philosophen sich gegenseitig stark beeinflußten. So finden sich auch in der Axiomatik Euklids sehr deutliche Spuren der aristotelischen Denkweise. Die aristotelische Wissenschaftstheorie, die wir in Kap. 3 behandelt haben, ist auch eine Form der Axiomatik. Sie ist aber von der euklidischen Axiomatik ­wesentlich verschieden. Die Gegenstände einer aristotelisch konzipierten Geome­ trie entstehen durch Abstraktion; demgegenüber sind die Gegenstände der euklidischen Geometrie Idealisierungen. Die Hypothesen, die einer aristotelisch konzipierten Geometrie zugrunde gelegt werden können, müssen (und können) „wahr“ sein, da sie über Gegenstände der sinnlich wahrnehmbaren Welt sprechen. Universell gültige Theoreme sind hier allerdings nicht beweisbar, da sie immer von der Struktur der realen Umwelt abhängen. Demgegenüber sind die Postulate (oder Axiome), die der euklidischen Geome­ trie zugrunde liegen, weder „wahr“ noch „falsch“, da die idealisierten Gegenstände nicht unserer realen Umwelt angehören. Was in dieser Welt der idealisierten Gegenstände gilt, wird von den Postulaten festgelegt. Auf der Grundlage der Postulate läßt sich die Geometrie unabhängig von epistemologischen Problemen entwickeln. Die axiomatische Methode, die in den ‚Elementen‘ Euklids erstmals angewandt wurde, ist in der Neuzeit gründlich überarbeitet worden und hat schließlich in den Jahrzehnten um 1900 herum ihre endgültige Form gefunden. Wir werden darüber in Kap. 10, 18, 19 und 20, berichten.

Literatur Busard, H.L.L.: ‚The Mediaeval Latin Translation of Euclid’s Elements‘, F. Steiner-Verlag Wiesbaden. Stuttgart 1987. Euklid: Ευκλειδου Στοιχειων Βιβλ. ιε´ ἐκ των Θεωνος Συνουσιων. Adiecta praefatiuncula in qua de disciplinis Mathematicis nonnihil. Basileae apud Ioan. Hervagium Anno M.D.XXXIII. (Herausgegeben von Simon Grynaeus) Euclidis ‚Opera Omnia‘, ediderunt I.L.Heiberg et H.Menge, 8 Bände, Teubner-Verlag Leipzig 1883–1916. Felgner, Ulrich: ‚Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ und ihre Stellung in der Geschichte der Grundlagendiskussion‘. Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung, Band 115 (2014), pp. 185–206. Folkerts, Menso: ‚Anonyme lateinische Euklidbearbeitungen aus dem 12. Jahrhundert‘, Österreichische Akad.Wiss., Math.-Nat. Klasse, Denkschriften, Band 116, Wien 1971. Heath, Thomas L.: The 13 Books of Euclids Elements. 3 Bände. Cambridge Univ. Press 1956. Heiberg, Johann Ludwig: ‚Litterargeschichtliche Studien über Euklid‘. Leipzig, Teubner Verlag 1882. Hilbert, David: ‚Grundlagen der Geometrie‘, Festschrift, Teubner-Verlag Leipzig 1899, zweite Auflage 1903, zehnte Auflage 1968. Hossenfelder, Malte: ‚Zur stoischen Definition von Axioma‘. Archiv für Begriffsgeschichte, Band 11 (1967), pp. 238–241. Knorr, Wilbur R.: ‚The wrong text of Euclid: On Heiberg’s text and its alternatives‘. Centaurus, Band 38 (1996), pp. 208–279.

Literatur

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Mueller, Ian: ‚Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements‘. MIT-­ Press 1981. Proklus Diadochus: ‚Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen‘, Edition P.L. Schönberger und Max Steck, Halle (Saale) 1945. Russo, Lucio: ‚The Definitions of Fundamental Geometric Entities Contained in Book I of Euclid’s Elements‘. Arch.Hist.Exact Sci. 52 (1998), pp. 195–219. Schüling, Hermann: ‚Die Geschichte der axiomatischen Methode im 16. und beginnenden 17. Jahrhundert‘. G. Olms-Verlag, Hildesheim 1969. Sextus Empiricus: ‚Adversus Geometras‘ (Buch III der Schrift: ‚Adversus Mathematicos‘). The Loeb Classical Library Nr. 382, Band 4 der Werke von Sextus Empiricus, Harvard Univ. Press 1971, pp. 244–303. Szabó, Árpád: ‚Anfänge des Euklidischen Axiomensystems‘. Archive for History of Exact Sciences, Band 1 (1960), pp. 37–106. Nachdruck in „Zur Geschichte der Griechischen Mathematik“, herausgegeben von Oskar Becker, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1965, pp. 355–461. van der Waerden, B. L.: ‚Die Postulate und Konstruktionen in der frühgriechischen Geometrie‘. Archive for History of Exact Sciences 18 (1977/78), pp. 343–357.

Kapitel 5

Der Finitismus in der griechischen Mathematik

In der heutigen Mathematik ist das Unendliche fast überall gegenwärtig, und so, wie es Herrmann Weyl beschreibt, kann man es kaum besser sagen: „Will man ... ein ... Schlagwort, welches den lebendigen Mittelpunkt der Mathematik trifft, so darf man wohl sagen: sie ist die Wissenschaft vom Unendlichen“ (H.  Weyl, op.  cit., 1927, S. 54).

Diesen „lebendigen Mittelpunkt“ scheint die Mathematik aber erst allmählich in der Neuzeit gefunden zu haben. In früheren Zeiten galt der Unendlichkeitsbegriff als schwieriger und problematischer Begriff. Aktual-unendliche Größen spielten von der Antike an bis in die frühe Neuzeit keine große Rolle. Wenn man in der Mathematik vom Unendlichen sprach, dann fast immer nur im synkategorematischen Sinne als einem „potentiell-Unendlichen“. In diesem Sinne hat sich noch Carl Friedrich Gauss geäußert: „... so protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine „façon de parler“, indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während andern ohne Einschränkung zu wachsen verstattet ist.“ (C.F. Gauss, Brief an Schumacher, in Band 8, S. 216 ff, der ‚Gesammelten Abhandlungen‘ von Gauss, Berlin 1932.)

Gauss hat in diesem Brief sogar davon gesprochen, daß es vermessen wäre, das „Unendliche als etwas Gegebenes ... betrachten zu wollen.“ In der Beurteilung der Frage, ob das Unendliche in der Mathematik mehr als eine „façon de parler“ sein kann, waren die Mathematiker offenbar zu verschiedenen Zeiten sehr unterschiedlicher Meinung. Es ist daher eine interessante Aufgabe zu prüfen, ob der Gebrauch des Unendlichen in der Mathematik ganz und gar problemlos ist, oder ob er vielleicht doch irgendwelchen Einschränkungen unterliegen muß. Wir wollen in diesem Kapitel untersuchen, wie die Mathematiker der Antike mit dem Unendlichen umgegangen sind. Ganz vermieden haben sie es sicherlich nicht, denn in der Theorie der Parallel-Linien, im Beweis der Irrationalität von 2 , in den Anwendungen der Exhaustions-Methode etc. wird das Unendliche berührt. Es © Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_5

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

wird auch im wohlbekannten Primzahlsatz: „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ berührt. Aber das Unendliche tritt hier nur als potentielle Unendlichkeit und nicht als aktuale Unendlichkeit auf. Diese Unterscheidung geht auf Aristoteles zurück. Wir wollen zunächst deutlich machen, was damit gemeint ist.

5.1  Potentielle und aktuelle Unendlichkeit Den Begriff der „Unendlichkeit“ bespricht Aristoteles im 3. Buch seiner ‚Physik-­ Vorlesung‘ (Φυσικὴ ἀκρόασις). Er stellt zunächst fest, daß alle Gegenstände der natürlichen Umwelt begrenzt sind und daß es daher (aufgrund seiner Ansichten über die Natur der mathematischen Gegenstände – vergl. hier, Kap. 3) auch in der Mathematik keine unbegrenzt großen, unendlichen Gegenstände gibt. Aber Aristoteles erkennt an, daß es in einem gewissen Sinne das Unendliche doch gibt, nämlich in der Zeit, die seiner Meinung nach ohne Anfang und ohne Ende im ständigen Fließen ist, etc., und in der Reihe der natürlichen Zahlen (Buch III, Kap. 5, 206a9-12). Unendlich lange Strecken und Linien gibt es nach Aristoteles nicht. Er argumentiert (im dritten Buch seiner ‚Physik-Vorlesung‘, Kap. 7), daß es für die Geometrie keine Einschränkung bedeuten würde, wenn man nur begrenzte Strecken, begrenzte Flächen und begrenzte Körper als Gegenstände zuließe. Dies ist weitgehend richtig, denn in der euklidischen Geometrie werden (mit wenigen Ausnahmen, z.  B.  Aufgabe I,12) nur solche Geraden betrachtet, die als Verbindungsgeraden zweier Punkte auftreten. Es steht in der euklidischen Geome­ trie auch das Postulat zur Verfügung, daß jede endliche Strecke in beide Richtungen „beliebig weit zusammenhängend gerade verlängert werden kann“. Allerdings macht der Begriff der Parallelität bei dieser Auffassung gewisse Schwierigkeiten, wie wir noch weiter unten ausführen werden. Aristoteles steht vor dem Dilemma, daß er von der Inexistenz unbegrenzter, unendlicher Objekte in der natürlichen Umwelt und in der Mathematik überzeugt ist, aber zugleich anerkennen muß, daß es Unendlichkeit irgendwie doch gibt, weil sonst die Zeit einen Anfang und ein Ende hätte, und es sonst in der Geometrie unteilbare Strecken gäbe und die Zahlenreihe ein Ende hätte (cf. Kap. 6 des dritten Buches der ‘Physik-Vorlesung’). Aristoteles schreibt, daß es so aussieht, „als lasse sich die Existenz des Unendlichen weder bejahen noch verneinen.“

Das, was „für und wider“ die Existenz des Unendlichen spricht, bespricht Ari­ stoteles in aller Ausführlichkeit und kommt dabei in eine scheinbare Ausweglosigkeit. Aber dann gelingt ihm doch noch ein bemerkenswerter Ausweg. Er stellt die folgende These auf: These: Das Unendliche gibt es nicht als etwas Vorhandenes, wohl aber im Modus der ­Möglichkeit.

Er unterscheidet zwischen dem „Aktual-Unendlichen“ (infinitum in actu, dem kategorematischen Unendlichen) und dem „Potentiell-Unendlichen“ (infinitum in

5.2 Das Fällen des Lotes in den ‚Elementen‘ Euklids

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potentia, dem synkategorematischen Unendlichen).1 Das Wort „potentiell“ (δυνάμει, d. h. der Möglichkeit nach) will er hier nicht im umgangssprachlichen Sinne verstehen, wie wenn man beispielsweise sagt, daß in einem Marmorblock „der ­Möglichkeit nach“ eine Statue enthalten ist (cf. Aristoteles: ‘Physik-Vorlesung’, III. Buch, § 6, 206a18-21). Die Statue könnte man in endlich vielen Schritten produzieren; aber von der unendlichen Reihe der Zahlen kann man in endlicher Zeit immer nur endlich viele Zahlen herstellen, d. h. in Worten oder Zeichen hinschreiben. Vom „Unendlichen“ kann man nach Aristoteles nicht im kategorematischen Sinne, sondern nur im synkategorematischen Sinne sprechen, denn mit dem Wort „unendlich“ kann kein einziger vorhandener Gegenstand und auch keine einzige fertiggestellte Menge von Gegenständen angesprochen werden. Vom „Unendlichen“ kann man nach Aristoteles nicht im kollektiven Sinne sprechen, denn unendliche fertige Gesamtheiten (oder Kollektionen) von einzelnen Dingen gibt es seiner Meinung nach nicht. Vom „Unendlichen“ kann man nur im distributiven Sinne sprechen, d. h. von einzelnen Dingen in endlicher, aber beliebig großer Anzahl. In der griechischen Mathematik wird das Unendliche im Primzahlsatz, im Beweis der Irrationalität von 2 und im Begriff der Parallelität angesprochen. Aber auch bei allen Problemen, die mit der Exhaustionsmethode gelöst werden, wird das Unendliche berührt, also bei der Quadratur des Kreises (Deinostratos, Archimedes und andere), bei der Quadratur der Parabel (Archimedes), bei der Bestimmung des Volumens einer Pyramide und eines Kegels (Demokrit, Eudoxos)2, etc. Es stellt sich die Frage, in welcher Form das Unendliche verwendet wird, als Aktual-Unendliches oder lediglich als Potentiell-Unendliches. Wir wollen im Folgenden auf all diese Probleme eingehen. Zuerst behandeln wir in den Abschn. 5.2 und 5.3 die Fragen nach der Verwendung unendlicher Größen, danach in 5.4 und 5.5 Fragen nach der Verwendung unendlicher Vielheiten und schließlich in 5.6 und 5.7 Fragen nach der Verwendung unendlicher Prozesse.

5.2  Das Fällen des Lotes in den ‚Elementen‘ Euklids In der euklidischen Geometrie ist in der Regel nur von Strecken endlicher Länge die Rede. In den Postulaten im ersten Buch der ‚Elemente‘ beispielsweise wird nicht verlangt, daß man unendlich lange Linien ziehen kann, sondern nur, daß man „von  Kategorematisch ist ein Ausdruck, der für sich allein eine Idee bezeichnet und daher für sich allein aussagekräftig ist. Synkategorematisch wird ein Ausdruck genannt, der für sich allein noch keinen Gedanken ausdrückt und nur dazu dient, eine andere Idee zu modifizieren. Κατηγόρημα ist der Gegenstand der Rede, also das, was angesprochen wird. Κατηγορέω heißt „ich zeige an“. 2  Schon Demokrit (ca. 460–370 v. u. Z.) hatte für das Volumen einer Pyramide die Formel „Grundfläche mal Höhe dividiert durch 3“ angegeben. Einen exakten Beweis hat aber erst Eudoxos, der von etwa 400 bis 347 v. u. Z. lebte, mit der Exhaustions-Methode gegeben – siehe Euklid: ‚Elemente‘, Buch 12, § 10. Siehe aber auch Dehns Lösung des dritten Hilbert’schen Problems: Max Dehn: ‚Über raumgleiche Polyeder‘, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1900, S. 345–354, sowie Max Dehn: ‚Raumteilungen‘, Math. Ann. 55 (1900), S. 465–478. 1

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke (Linie) ziehen kann“ (Postulat 1). In Definition 3 wird gesagt, daß Linien endlich lang sind, denn sie haben Enden und ihre Enden sind Punkte. Aber in Postulat 2 wird gefordert, daß man „begrenzte gerade Linien [beliebig weit] zusammenhängend gerade verlängern kann“. Das heißt, daß gerade Linien potentiell-unendlich sind. Es ist überraschend, daß Euklid dennoch gelegentlich aktual-unendliche, unbegrenzte Linien verwendet, beispielsweise in Aufgabe I,12, wo von einem Punkt aus auf eine unbegrenzte (!) gerade Linie das Lot gefällt werden soll (siehe oben). Wie man mit Zirkel und Lineal von einem gegebenen Punkt C aus auf eine gegebene Linie das Lot fällen kann, hat der Überlieferung nach Oinopidês (Οἰνοπίδης, um 440 v. u. Z.) entdeckt. Bis dahin war es wohl üblich, einen rechten Winkel einzuschieben, so daß der eine Schenkel auf der vorgegebenen Linie liegt und der andere Schenkel den vorgegebenen Punkt berührt. Eine solche Konstruktion spielt sich im Bereich des sinnlich Wahrnehmbaren ab und kann daher ihren Platz nicht in den ‚Elementen‘ Euklids haben. Euklid hat es in Aufgabe I, 12 vorgezogen, die Konstruktion von Oinopides anzuwenden. Es ist die auch heute noch übliche Kon­ struktion. Das Problem in Aufgabe I, 12 ist, daß man das Lot nicht fällen kann, wenn der gegebene Punkt nicht „über“ der vorgegebenen endlichen Strecke liegt. Um die Konstruierbarkeit nicht mit einer Einschränkung formulieren zu müssen, setzt Eu­ klid kurzerhand voraus, daß das Lot auf eine aktual-unendliche, „unbegrenzte ­gerade Linie“ gefällt werden soll: ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον .... Ob es aber legitim ist, unendlich lange, unbegrenzte Linien in der Geometrie zuzulassen, wird von Euklid nicht diskutiert.

Proklos hat in seinem Kommentar zum ersten Buch der euklidischen ‚Elemente‘ sich ausführlich mit der Verwendung unbegrenzter, unendlicher Linien in der Geometrie auseinander gesetzt (op. cit., S.  363–365). Er gibt zu, daß es unendliche ­Größen in der natürlichen Umwelt nicht gibt und bezieht sich dabei auf den „unsterblichen Aristoteles“. Aber er meint, daß „das Unendliche in der Vorstellung existiere“ und schreibt (op. cit., S. 364):

5.2 Das Fällen des Lotes in den ‚Elementen‘ Euklids

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„Das Unendliche ist also nicht Gegenstand der erkennenden, sondern vielmehr der in bezug auf das Erkenntnisobjekt unbegrenzt schweifenden, aber nicht erkennenden Vorstellung, die das als unendlich anspricht, wovon sie, da es unermeßlich, ablassen muß, und was sie denkend begrifflich nicht erfassen kann.“

Das Unendliche ist also für Proklos eine Fiktion und existiert nur in der Vorstellung der Menschen. Er fährt wie folgt fort (op. cit., S. 365): „Wenn wir daher die als unendlich gegebene Linie wie auch alle anderen geometrischen Formen, wie Dreiecke, Kreise, Winkel, Linien in die Phantasie (Vorstellung) verlegen, werden wir uns nicht verwundert fragen, wie es eine in Wirklichkeit unendliche Linie gibt und sich diese trotz ihrer unendlichen Ausdehnung in die begrenzten Erkenntnisobjekte einreiht? Der Verstand aber, dem die Begriffe und die Beweise entstammen, bedient sich des Unendlichen nicht zum Beweise: Denn das Unendliche ist durch die Wissenschaft überhaupt nicht erfaßbar, sondern er zieht es nur als Hypothese heran.“ (Übersetzung von P. Leander Schönberger, op. cit.)

In der Geometrie darf man sich nach Proklos mit gedachten Objekten befassen und dabei das Unendliche als Fiktion (als erdichtetes Objekt) verwenden, sofern damit ein allgemeiner Sachverhalt beschreibbar wird, der sich in jedem konkreten Einzelfall nur auf Begrenztes bezieht. In der Tat wird in I,12 die aktual-unendliche Linie nur zur (eleganten) Formulierung der Aufgabe herangezogen; in ihrer Lösung benötigt man mit Hilfe von Postulat 2 nur begrenzte Größen. Eine ähnliche Meinung vertritt auch Plotin (205–270 u. Z.). Es ist für ihn keineswegs widersprüchlich, von unendlichen Linien zu sprechen, weil es „im Begriff der Linie an sich keinen Gedanken an eine Grenze“ [ἢ ἐν τῷ λόγῳ τῆς αὐτογραμμῆς οὐκ ἔνι προσνοούμενον πέρας.] Plotin: Περὶ ἀριθμῶν (‘Über die Zahlen’), op. cit., S. 210–211.

gibt. Aber das, was in uns Vorstellung und Gedanke ist, läßt sich, wie Plotin meint, nicht immer an seiende Dinge binden. Die Pforten zur Unendlichkeit haben sich damit einen kleinen Spalt geöffnet. Anders als Aristoteles, der das Unendliche nur als ein Endliches, das beliebig vermehrbar ist, zugelassen hat, wird bei Proklos und bei Plotin erwogen, das Unendliche jedenfalls als gedankliche Fiktion zuzulassen. Auf unendliche Geraden hat sich zuerst Girard Desargues (1591–1661) in der von ihm entworfenen Projektiven Geometrie (1638) gestützt. In der von René Descartes (1596–1650) ausgearbeiteten Analytischen Geometrie (1637) werden die Geraden durch lineare Gleichungen beschrieben, und weil es unnatürlich wäre, die algebraische Beschreibung auf Geraden endlicher Länge zu beschränken, hat es sich schließlich im Laufe der Zeit ergeben, in der Geometrie Geraden immer als unbeschränkte, unendliche Geraden zu verstehen. Bei David Hilbert (1862–1943) sind in den ‚Grundlagen der Geometrie‘ (1899) die Geraden stets unbegrenzte, unendlich lange Geraden. Mit diesen stärkeren ontologischen Annahmen kann die Geometrie sehr viel eleganter und einfacher als bei Euklid aufgebaut werden.

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

5.3  Der Begriff der Parallelität In der euklidischen Geometrie ist in der Regel nur von Strecken endlicher Länge die Rede. Lediglich in der Formulierung von Aufgabe I,12 (nicht jedoch in ihrer Lösung) werden unbegrenzte Linien verwendet. Es wäre ganz natürlich, auch in der Theorie der Parallel-Linien unbegrenzte Linien zu verwenden, aber hier zieht es Euklid vor, nur Strecken endlicher Länge zuzulassen. Unter Verwendung unbegrenzter Linien wäre es leicht, das Parallelen-Postulat (Postulat 5 im ersten Buch der ‚Elemente‘) ganz direkt wie folgt zu formulieren: (#) Zwei unbegrenzte gerade Linien, die von einer dritten geraden Linie so geschnitten werden, daß auf einer Seite die beiden inneren Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte sind, schneiden sich, und zwar auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.

Aber Euklid formuliert das Parallelen-Postulat anders, um die Verwendung unbegrenzter Geraden zu vermeiden. Zunächst definiert er im 1. Buch seiner ‚Elemente‘ (op. cit., Def. 23): Definition. Zwei Strecken s und t, die in derselben Ebene liegen, heißen parallel, wenn jede Strecke s´, die s gerade verlängert, mit jeder Strecke t´, die t gerade verlängert, in keinem Punkt koinzidiert.

Wir haben die Formulierung etwas abgeändert, um deutlich zu machen, daß in der Definition zwei All-Quantoren versteckt sind. Euklid spricht von „unbegrenzten Verlängerungen“ der gegebenen Strecken s und t und nicht von unbegrenzten Linien. Er benutzt dabei den adverbialen Ausdruck εἰς ἄπειρον (unbegrenzt, endlos). Man weiß also nur dann, daß s und t parallel sind, wenn man auch weiß, daß sich die sämtlichen Verlängerungen (und das sind unendlich viele) von s und t nicht schneiden. Es wird dabei zwar über unendlich viele Strecken quantifiziert, aber die Strecken selber sind allesamt endlich. Insofern wird hier nur auf das Potentiell-­ Unendliche Bezug genommen. Euklid beweist ohne mit dem Unendlichen in Berührung zu kommen (Buch 1, § 27), daß zwei gerade begrenzte Linien (d. h.: zwei Strecken), die beim Schnitt mit einer dritten geraden Linie gleiche Wechselwinkel haben, parallel sein müssen. Da sich die Umkehrung dieser Aussage nicht beweisen ließ, hat Euklid ihre Gültigkeit postuliert. Er formuliert sie (etwas verkünstelt) wie folgt: Parallelen-Postulat: Zu je zwei Strecken, die von einer dritten Strecke so geschnitten werden, daß auf einer Seite die beiden inneren Winkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, gibt es gerade Verlängerungen, die sich schneiden, wobei der Schnittpunkt P auf der Seite liegt, wo die beiden Winkel liegen, deren Summe kleiner als zwei Rechte ist.

Das Parallelen-Postulat dient somit zur Kennzeichnung der Parallelität. In seiner Formulierung kommt nur das Potentiell-Unendliche zur Anwendung (und das ganz bewußt). Es ist jedoch bemerkenswert, daß die Elimination des Aktual-Unendlichen, die ja in der vorherigen Formulierung (#) noch verwendet wurde, ihren Preis verlangt hat. Während in (#) der Punkt P als Schnittpunkt der beiden gegebenen Geraden

5.4 Die Sandzahl

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definierbar ist, und insofern in allen weiterführenden Konstruktionen verwendet werden kann, ist in der euklidischen Formulierung des Parallelen-Postulates der Schnittpunkt P nicht konstruiert worden. Es wird nur ausgesagt, daß der Schnittpunkt P „an sich“ vorhanden sein muß.3 Bemerkenswert ist, daß schon in der griechischen Mathematik nicht jeder Existenzbeweis durch eine Konstruktion des in Frage stehenden Objektes geführt wurde (mehr dazu in Kap. 17). Die Diskrepanz zwischen den Aussagen I,12 und Postulat 5, in denen unendliche gerade Linien benutzt werden bzw. vermieden werden, legt nahe zu vermuten, daß eine der beiden Formulierungen nicht von Euklid stammt und erst von einem späteren Herausgeber der ‚Elemente‘ interpoliert wurde. Belegen läßt sich diese Vermutung nicht. Auch wenn die Formulierung von I,12 oder von Postulat 5 nicht von Euklid stammen sollte, handelt es sich dennoch in beiden Fällen um Formulierungen aus der Antike.

5.4  Die Sandzahl Wir besprechen jetzt in 5.4 und 5.5 Fragen nach der Verwendung unendlicher Vielheiten in der griechischen Mathematik und beginnen mit der Frage, in welchem Sinne die Vielheit aller natürlichen Zahlen unendlich ist. Es war den Mathematikern der Antike sehr schwer gefallen, sich dem Unendlichen überhaupt zu nähern. Mit den gewöhnlichen Zahlwörtern des alexandrinischen Zahlsystems kann man, wenn man dem griechischen Sprachgebrauch keinen Zwang antun will, nur bis 100000000 (= 108, μύριαι μυριάδες) zählen. Es war im „normalen, täglichen Leben“ auch nicht nötig, noch größere Anzahlen benennen zu können. Statt der heute üblichen indisch-arabischen Ziffernfolgen benutzte man im alex­ andrinischen Zahlsystem endliche Folgen von griechischen Buchstaben:

1 = α, 2 = β, 3 = γ, 4 = δ, 5 = ε, 6 = Digamma, 7 = ζ, 8 = η, 9 = θ.

Mit dem Zeichen ι für 10 werden die Zahlen 11, 12, 13, ..., 19 durch Nebenei­ n­anderschreiben als Summen dargestellt: 11 = ια, 12 = ιβ, 13 = ιγ, ..., 19 = ιθ. Mit dem Zeichen ϰ für 20 werden die Zahlen 21 = ϰα, 22 = ϰβ, 23 = ϰγ, ..., 29 = ϰθ ­gebildet. Ferner steht λ für 30, μ für 40, etc. und ϱ für 100, σ für 200 etc. Mit weiteren Hilfszeichen kann man weiterzählen und alle Zahlen, die kleiner als 108 sind, benennen (vergl. G.  Ifrah, ‚Universalgeschichte der Zahlen‘, Frankfurt/M 1989, S. 289 ff). Größere Anzahlen waren „unnennbar“. Aber die Dichter spielten gerne an solche „unnennbaren“ oder „unerreichbaren“ Zahlen an, etwa an die Anzahl der Sandkörner auf der Erde, die Anzahl der Sterne  Proklos schreibt in seinem Euklid-Kommentar (op. cit., S. 294), daß das Parallelen-Postulat nur eine Eigenschaft von rechten Winkeln wiedergibt, aber die postulierte Existenz des Schnittpunktes in keiner Konstruktion verwendet wird. 3

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

am nächtlichen Himmel, die Anzahl der Meereswogen, die Anzahl der Heu­ schrecken, etc. Manche Dichter trieben auch ihren Spaß mit der Nennung solcher übergroßen Zahlen, etwa Aristophanes, der (in den ‚Acharnern‘) sogar vom Produkt aus Wüstensand-mal-Meeressand sprach. Die „Sandzahl“, d.  h. die Anzahl der Sandkörner auf der Erde, wurde jedoch zum Musterbeispiel für eine unnennbar große, und in gewisser Hinsicht „unerreichbare“ und daher „unendlich große“ Zahl. Die „Sandzahl“ findet sich bereits in Homers ‚Ilias‘, im 9. Gesang, Vers 385. Auch danach haben die Dichter und Philosophen der Antike (Pindar, Platon, Kallimachos, Ovid, Catull, et al.4 immer wieder die „Sandzahl“ als Sinnbild einer Zahl benutzt, die so groß ist, daß sie an die Unendlichkeit heranzureichen scheint und daß sie den Menschen unbekannt ist und immer unbekannt bleibt. Aber der pythische Apollon verkündete in einem Orakelspruch, die Zahl der Sandkörner im ganzen Kosmos zu kennen. Herodot (ca. 480–428? v. u. Z.) hat im 1. Buch „Klio“, §  47,3 seiner ‚Weltgeschichte‘ (ἱστορίης ἀπόδεξις) diesen Spruch überliefert. Er beginnt wie folgt: Οἶδα δ᾽ ἐγὼ ψάμμου τ᾽ ἀριθμὸν καὶ μέτρα θαλάσσης, ... [Wahrlich, ich weiß des Sandkorns Zahl und die Maße des Meeres, ...]

Das Orakel von Delphi hatte dem König von Lydien, Krösus, diesen Spruch verkündet, als dieser wissen wollte, ob er einen Krieg gegen den Perser-König Kyros beginnen könne. Er begann diesen Krieg im Jahre 558 v. u. Z. und daraus kann man entnehmen, daß der Spruch kurz zuvor (also etwa 560 v. u. Z.) erteilt worden war. Etwa 320 Jahre später, um 240 v. u. Z., stellte Gelon, der älteste Sohn des sizilianischen Königs Hieron II. dem Mathematiker Archimedes (287–212 v.  u.  Z.) die Frage, ob die Zahl der Sandkörner unendlich sei, „wie etliche glauben“, oder ob sie nicht vielmehr endlich sei. Vermutlich kannte Gelon den Spruch, den das Orakel in Delphi verkündet hatte und wollte nur wissen, ob auch die Menschen die Zahl der Sandkörner wissen können und ob Archimedes diese Zahl berechnen könne. Archimedes fühlte sich herausgefordert und schrieb eine lange Abhandlung mit dem Titel ‚Psammitês‘ (Ψαμμίτης, lat.: ‚Arenarius‘, dt. ‚Sandrechnung‘), in der er ein Bezeichnungssystem für Zahlen entwickelte, das so weit reicht, daß auch die Sandzahl in diesem Bezeichnungssystem (jedenfalls im Prinzip) ausgedrückt werden kann und folglich endlich ist (siehe Archimedes: ‚Opera Omnia‘, Band II, S. 242–291). Archimedes geht dabei wie folgt vor. Er geht vom üblichen alexandrinischen Bezeichnungssystem aus und nennt alle Zahlen, die hier ausdrückbar sind, das sind die Zahlen, die in heutiger Notation allesamt kleiner als 108 sind, „Zahlen der ersten Ordnung“. Die Zahl 1 bezeichnet er als „Einheit der ersten Ordnung“. Die erste Zahl (das ist die Zahl 108), die im alexandrinischen System nicht mehr ausdrückbar ist, nennt er „Einheit der zweiten Ordnung“ und mit ihr und den Bezeichnungen für die Zahlen der ersten Ordnung  Pindar in der 2. und in der 13. ‚Olympischen Hymne‘, Platon im ‚Euthydemos‘, 294b, Kallimachos in den Hymnen H3, Zeile 253, sowie H4, Zeilen 28 und 175, Catull in den Gedichten 7 und 61 etc., Ovid, Tristia I,5 und der ‚Liebeskunst‘ und später wieder bei Christoph Martin Wieland in seinem ‚Musarion‘, etc. 4

5.4 Die Sandzahl

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kann er Zahlen ausdrücken, die er „Zahlen der zweiten Ordnung“ nennt. Es sind dies die Zahlen von 108 bis 1016, wobei 1016 die „Einheit der dritten Ordnung“ ist. 1024 ist die „Einheit der vierten Ordnung“, etc. Auf diese Weise lassen sich durch Einführung immer neuer Einheiten höherer Ordnungen schließlich alle Zahlen, die

( )(

108

)

(in heutiger Notation) kleiner als 108 sind, bezeichnen (vergl. Nesselmann, op.  cit., S.  122–125). Alle Zahlen, die dabei bezeichnet werden können, werden „Zahlen der ersten Periode“ genannt. Unter Verwendung eines Namens für die erste Zahl, die auf alle Zahlen der ersten Periode folgt, können die Zahlen der „zweiten Periode“ benannt werden, etc. Unter Einführung immer neuer Namen für die Grenzen der einzelnen Perioden und unter Zusammenfassung aller Perioden zu einer Serie etc. kann man Zahlsysteme gewinnen, die immer weiter reichen. Aber die Reichweite eines jeden einzelnen Systems ist begrenzt. Unter Verwendung einiger astronomischer Daten findet Archimedes schließlich, daß in der Erdkugel höchstens 1051 und im ganzen Kosmos höchstens 1064 Sandkörner Platz haben. Die Anzahl der Sandkörner auf der Erde ist daher insbesondere bereits mit einer Zahl der 1. Periode (und der 7. Ordnung) ausdrückbar und daher endlich. Ein Zahlsystem, das mit einem festen endlichen Alphabet von Zeichen auskommt und jede endliche Anzahl auszudrücken gestattet, haben die Griechen nicht aufgebaut. Das gelang jedoch bereits den Babyloniern in der seleukidischen Zeit und danach erneut den Indern etwa im 6. Jahrhundert. Sie entwarfen „Stellenwertsysteme“, die mit einem endlichen Vorrat von Zeichen auskommen und die Bildung von Bezeichnungen für alle endlichen Anzahlen gestatten. Der wesentliche Gedanke war hier die Verwendung eines Zeichens, mit dem leere Plätze (d. h. unbesetzte Stellen) bezeichnet werden konnten. Wohlbekannt ist uns heute das indische dezimale Stellenwertsystem, das mit den zehn Ziffern 0, 1, 2, ..., 9 auskommt und durch die Vermittlung von Alchwoárismi (ca.  780–850) in Europa bekannt wurde. Wir kehren zur Diskussion des Zahlbegriffs bei den Griechen zurück. Es zeigt sich hier erneut die Diskrepanz zwischen der platonischen und der aristotelischen Auffassung. In der aristotelischen Auffassung sind die Zahlen nur sprachliche Konstrukte und bilden daher  – wie die Untersuchungen von Archimedes zeigen  – lediglich eine potentiell-unendliche Vielheit (vergl. Kap. 3). In der platonischen Auffassung sind die Zahlen Mengen von ununterscheidbaren Einheiten und nicht mit den Zahlwörtern identisch. Die Zahlen sind den Ideen verwandt und gehören dem Gebiet des Seins an. In diesem Gebiet des Seins sind alle Zahlen vorhanden, unentstanden und unvergänglich. Sie bilden dort im Gebiet des Seins eine aktual-unendliche Gesamtheit (vergl. Kap. 2). Euklid ist in der Zahlentheorie weitgehend der platonischen Auffassung gefolgt und hat im 7. Buch seiner ‚Elemente‘ ebenfalls die Zahlen als „Mengen (oder Vielheiten) von Einheiten“ definiert. Ein Bezeichnungssystem für Zahlen hat er nicht aufgebaut. Insofern geht er, ähnlich wie Platon, nicht davon aus, daß wir die Zahlen der Reihe nach erst konstruieren müssten, sondern, daß sie uns allesamt irgendwie

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

vorgegeben sind. Man darf daraus wohl schließen, daß die Reihe der natürlichen Zahlen für Euklid aktual-unendlich ist. – Aber ist auch die Reihe aller Primzahlen aktual-unendlich?

5.5  Die Existenz unendlich vieler Primzahlen Man kann den klassischen Primzahlsatz von Euklid in der Form (†) „Es gibt unendlich viele Primzahlen“

mitteilen. Dann wird behauptet, daß es die sämtlichen Primzahlen alle irgendwo und irgendwie gibt, daß sie alle vorhanden sind und gewissermaßen „fertig“ vorliegen und insofern eine aktual-unendliche Gesamtheit bilden. – Aber Euklid selber formuliert den Satz ganz anders, nämlich: Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν. ­(Euklid: ‚Elemente‘, Buch 9, § 20) [Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Menge von Primzahlen.]

Die „vorgelegten Mengen (Vielheiten)“ sind hier endliche Mengen, so wie es der umgangssprachliche Gebrauch des Wortes τὸ πλῆθος (Vielheit) besagt. Es sieht in dieser Formulierung des Satzes so aus, als ob das Unendliche nur als Potentiell-­ Unendliches behandelt wird. Euklid beweist den Primzahlsatz wie folgt: zu jeder vorgelegten Menge von Primzahlen p1, p2,..., pn ist jeder Primteiler q von z = 1+(Πpi) von den sämtlichen Zahlen p1, p2,..., pn verschieden. – Übrigens, man sieht, daß Euklid genau das als Satz formuliert, was er beweist: Zu jeder vorgelegten (endlichen) Menge von Primzahlen gibt es mindestens eine weitere Primzahl. Das Wort ‚unendlich‘ wird hier also nicht künstlich umgangen! Eine kurze Abschweifung: In der Mengenlehre hat Georg Cantor 1873 den Satz bewiesen, daß die Menge ℝ aller reellen Zahlen überabzählbar ist. Diese Formulierung gibt nicht genau das wieder, was Cantor beweist. Er beweist nämlich (mit einem Diagonal-Argument) nur, daß es zu jeder vorgelegten abzählbaren Folge reeller Zahlen mindestens eine weitere reelle Zahl gibt. Mit Euklids Worten könnten wir auch sagen: es gibt mehr reelle Zahlen als jede vorgegebene abzählbare Menge von reellen Zahlen. In dieser Formulierung besagt der Satz von Cantor nur, daß die Gesamtheit aller reellen Zahlen potentiell überabzählbar ist. Ob diese Gesamtheit ein selbstständig existierendes (fertiges) Ding ist, steht auf einem anderen Blatt und ergibt sich nicht aus dem Cantorschen Beweis (Vergl. dazu auch Kap. 15). Wir kehren zum Primzahlsatz zurück. – Man kann, wenn man will, im Satz von Euklid den Bezug auf „endliche Mengen“ sehr leicht vermeiden, und behaupten, daß es zu jeder Primzahl p eine größere Primzahl q gibt. Für q muß man ja nur einen Primteiler von 1 + p! wählen. (Hier ist n! das Produkt aller Zahlen z mit z ≤ n.) Es gilt auch der folgende etwas stärkere Satz (der aber erst von Adrien-Marie Legendre 1798 bewiesen wurde):

5.6 Die Exhaustionsmethode

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Satz: Wenn p eine Primzahl ist, dann ist jeder Primteiler von 2p–1 echt größer als p. Zu jeder Primzahl gibt es also eine größere Primzahl.5

Diese Überlegungen zeigen, daß Euklid in seiner Primzahltheorie zwar nur vom Potentiell-Unendlichen Gebrauch macht, daß er aber andererseits das Aktual-­ Unendliche nicht bewußt vermeidet. Der Beweis, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, kommt mit einfachen Mitteln aus.

5.6  Die Exhaustionsmethode Im zwölften Buch der ‚Elemente‘ gibt Euklid einige Anwendungen der Exhaustions-­ Methode (Methode des Ausschöpfens, haurire schöpfen, exhaurire ausschöpfen), so wie sie wohl von Eudoxos (ca. 400–347 v. u. Z.) zuerst erdacht und später von Archimedes präzisiert worden ist. Die Methode beruht auf dem sogenannten „Axiom von Eudoxos“, das auch (historisch nicht ganz korrekt) „archimedisches Axiom“ genannt wird (vergl. Euklid: ‚Elemente‘, Buch V, Def. 4, und Archimedes‘ Einleitung zur Schrift über die ‚Quadratur der Parabel‘ und Lambanómenon 5 in ‚Kugel und Zylinder‘): Wenn A und B zwei Größen gleicher Art sind (z. B. Strecken, oder Flächen, oder Zahlen), und etwa A kleiner als B ist, dann kann man ein solches Vielfaches von A finden (etwa nA), das größer als B ist.

Daraus ergibt sich als unmittelbare Folgerung (Euklid ‚Elemente‘, Buch X, § 1): Wenn A und B zwei Größen gleicher Art sind und etwa A kleiner als B ist, und wenn man von B im ersten Schritt mindestens die Hälfte wegnimmt, und vom Rest anschließend wiederum mindestens die Hälfte und so fortfährt, so wird man es nach endlich vielen Schritten erreichen, daß der Rest kleiner als A sein wird.

Diese Folgerung ist die Grundlage der Exhaustionsmethode. Auf dieser Grundlage können die Quadraturen (Kreis, Parabel) und Volumenberechnungen (Pyramide, Kegel, Kugel) so durchgeführt werden, daß das Unendliche nur im Sinne des Potentiell-Unendlichen in die Rechnung eingeht. Zum Beispiel muß Archimedes in der ‚Quadratur der Parabel‘ die geometrische Reihe ∞



n

1 1 4 1 ∑  4  = 1 + 4 + 16 +… = 3  n=0 

 Beweis: Sei p Primzahl und sei q ein Primteiler von 2p–1. Dann ist (nach dem kleinen ­ ermat’schen Satz) 2q–1 ≡ 1 (mod q). Sei r die kleinste natürliche Zahl so, daß q ein Teiler von 2r–1 F ist, also r ≤ q–1 und r ≤ p. Dann ist q –1 = xr + y (Division mit Rest) mit y < r. Also 1≡2q–1≡ (2r)x⋅2y≡2y (mod q). Da r minimal gewählt war, muß y = 0 gelten. Division mit Rest liefert p–r = ar + b (mit 0 ≤ b  p, und alles ist bewiesen. 5

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

berechnen. Dazu muß er aber nur den Limes der Partialreihen bestimmen, und diesen Limes findet er mit der oben beschriebenen Exhaustions-Methode. (Dies stimmt mit der Aussage, die C.F. Gauss in dem oben zitierten Ausspruch macht, überein) Im Axiom von Eudoxos, bzw. seiner Folgerung, wird das Unendliche offenbar nur im Modus der Möglichkeit angesprochen. Das zeigt sich bei Euklid auch darin, daß er in solchen seltenen Fällen das Futur verwendet: λειφθήσεται (übrig bleiben wird) und ὃ ἔσται ἔλασσον (kleiner sein wird) statt λείπεται (übrig bleibt) und ὅ ἐστιν ἔλασσον (kleiner ist). Darauf hat Susumu Yamamoto, op. cit., hingewiesen.

5.7  Irrationalitäts-Beweise Auch im Beweis der Irrationalität von 2 ist jeder Bezug auf das Aktual-­Unendliche vermeidbar. Man muß ja nur zeigen, daß bei einem vorgegebenen Quadrat im Prozeß der Wechselwegnahme, wenn er mit der Diagonalen und der Seite begonnen wird, jede gegebene noch so kleine Strecke unterboten werden kann. Das Unendliche tritt also auch hier (in ganz natürlicher Weise) nur im Modus der Möglichkeit auf. Im Beweis der Irrationalität von 2 , den Euklid in seinen „Elementen“ (Buch X, § 115a) gibt, tritt das Unendliche überhaupt nicht mehr auf, denn wenn 2 eine rationale Zahl wäre, etwa 2 = a/b mit teilerfremden natürlichen Zahlen a und b, dann wäre 2b2 = a2, also a gerade und folglich (aufgrund der Teilerfremdheit) b ungerade; aber in einer Quadratzahl muß der Primfaktor 2, falls er auftritt, geradzahlig oft auftreten, ein Widerspruch!

5.8  Die Ausgrenzung des „Grenzenlosen“ Wir können abschließend feststellen, daß die griechischen Mathematiker in ihren Werken vom Unendlichen fast immer nur im Modus der Möglichkeit sprachen. Auf das Aktual-Unendliche griffen sie wohl nur äußerst selten zurück. Aber sie haben gelegentlich darauf zurück gegriffen. Hermann Hankel schrieb (op. cit., 1874): „Solange es griechische Geometer gab, sind dieselben immer vor jenem Abgrund des Unendlichen stehengeblieben,“

und Johann Ludwig Heiberg sprach davon (op. cit., 1925, S. 4), „daß ... die Mathematiker ... [der Antike] ... den Begriff des Unendlichen in ihren Beweisen völlig vermieden“

hätten. Aber hat diese Vermeidung einen tieferen Grund? Abraham Robinso(h)n meinte, in den vorsichtigen Formulierungen Euklids „a trace of the distaste for infinity“

5.8 Die Ausgrenzung des „Grenzenlosen“

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zu finden (A. Robinso(h)n: ‚Some thoughts on the history of mathematics‘, Compositio Math. 20 (1968), pp.  188–193). Heinrich Scholz sprach sogar von einem „strengen Finitismus“ in der griechischen Mathematik (cf. H.Hasse-H.Scholz: ‚Die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik‘, 1928). Auch wenn manche dieser Äußerungen etwas übertrieben sind, so kann dennoch festgestellt werden, daß man das Aktual-Unendliche nur äußerst selten in der Mathematik der griechischen Antike antrifft. Die Vermeidung des Aktual-Unendlichen wurde jedoch von den Mathematikern nie zum Programm erhoben und insofern ist es nicht richtig, von einem „strengen Finitismus“ zu sprechen. Man darf aber durchaus von finitistischen Tendenzen sprechen, denn die Behandlung mancher Kapitel der euklidischen Geometrie (beispielsweise die Theorie der Parallel-Linien) auf der Basis endlicher Strecken hat etwas Gewolltes an sich. Eine ausdrückliche Ablehnung des Unendlichen in der Mathematik läßt sich in den Schriften der antiken Mathematiker nicht finden. Man findet solche ablehnenden Äußerungen nur bei einigen Philosophen, beispielsweise bei Aristoteles (wir sprachen darüber) und dann wieder bei Plotin. In Plotins Schrift ‚Über die Zahlen‘ (Περὶ ἀριθμῶν), op. cit., S. 164–165, lesen wir: Τί οὖν ἐπὶ τοῦ λεγομένου „ἀριθμοῦ τῆς ἀπειρίας“; ἀλλὰ πρῶτον, πῶς ἀριθμός, εἰ ἄπειρος; οὔτε γὰρ τὰ αἰσθητὰ ἄπειρα, ὥστε οὐδὲ ὁ ἐπ᾽ αὐτοῖς ἀριθμός, οὔτε ὁ ἀριθμῶν τὴν ἀπειρίαν ἀριθμεῖ. [Wie steht es nun aber mit der sogenannten Zahl der Unendlichkeit? Indes, wie kann sie Zahl sein, wenn sie unendlich ist? Denn weder sind die Sinnendinge unendlich, also auch nicht die Zahl an ihnen, noch kann der Zählende die Unendlichkeit auszählen. – Übersetzung von R. Harder]

Plotin will damit sagen, daß unendliche Zahlen keine Realität haben, denn es gibt (seiner Meinung nach) in unserer natürlichen Umwelt keine Gesamtheiten von unendlich vielen Dingen, und es gibt auch Niemanden, der solche Gesamtheiten „auszählen“ könnte. Zahlen existieren für Plotin nur, wenn sie entweder als Anzahlen (von realen Dingen) auftreten, oder das Resultat des Abzählens (also eines Aktes) sind. Er betrachtet Zahlen nicht als selbstständige Größen (ϰαθ᾽ αὑτό). Plotin folgert (op. cit., S. 164–165): Ἀλλὰ τὸ ἄπειρον δὴ τοῦτο πῶς ὑφέστηκεν ὂν ἅπειρον; ὃ γὰρ ὑφέστηκε καὶ ἔστιν, ἀριθμῷ κατείληπται ἤδη. [Aber dies Unendliche, wie kann es denn überhaupt als Unendliches Existenz haben? Denn was Existenz hat und ist, ist damit schon durch Zahl erfaßt.]

Der Begriff der „unendlichen Zahl“ ist demnach für Plotin ein widersprüchlicher Begriff. Auch für Aristoteles gibt es keine unendlichen Zahlen, denn sie können weder gerade noch ungerade sein (‚Metaphysik‘, M8, 1084a1-6). Im Unterschied dazu ist es nach Plotin keineswegs widersprüchlich, von unendlichen Linien zu sprechen, denn hier kann das Adjektiv „unendlich“ im Sinne von potentieller Unendlichkeit verstanden werden (siehe Abschn. 5.2). Das Aktual-Unendliche gibt es nach Plotin also weder in der Arithmetik noch in der Geometrie. Bei Aristoteles und bei Plotin finden wir die ausdrückliche Ablehnung aktual-­ unendlicher Größen, und man kann, wenn man will, davon sprechen, daß beide ei-

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Kapitel 5  Der Finitismus in der griechischen Mathematik

nen „strengen Finitismus“ vertreten haben. Aber die griechischen Mathematiker haben eine solche „strenge“ Konzeption nie formuliert. Sie haben nie den Bereich der mathematischen Objekte ausdrücklich auf endliche Objekte eingeschränkt. Wir wiederholen deshalb, daß es problematisch ist zu behaupten, daß auch sie einen (mehr oder weniger strengen) Finitismus vertreten hätten. Aber es ist zweifellos richtig zu sagen, daß ihren Werken finitistische Tendenzen zugrunde liegen. Aber was spricht denn gegen eine Verwendung des Aktual-Unendlichen in der Mathematik? Aus der Sicht der griechischen Mathematiker und Philosophen wohl nur, daß der Begriff der aktual-unendlichen Größe widersprüchlich sein könnte, wie die Paradoxien von Zenon zeigen, und daß der Begriff des Unendlichen in der natürlichen Umwelt nicht interpretierbar zu sein scheint. Andere Vorbehalte wurden in der Antike nicht geäußert. Die Paradoxien Zenons wurden in der Antike, und danach auch in der Hochscholastik (ca. 1240–1300) und der Spätscholastik (ca. 1300–1450) intensiv diskutiert. (Wir werden darüber im folgenden Kap. 6 berichten.) Aber erst im 17. Jahrhundert konnten sie befriedigend aufgelöst werden, nachdem der Begriff der Funktion und die Begriffe der abhängigen und der unabhängigen Variablen eingeführt waren. Eine mathematisch exakte Theorie unendlicher Mengen konnte erst im 19. Jahrhundert unter Verwendung der Mengenlehre (Bernard Bolzano, Georg Cantor, Ernst ­Zermelo et al.) gegeben werden. Daß eine solche Theorie widerspruchsfrei ist, läßt sich (nach den Sätzen von Kurt Gödel, 1931) allerdings nicht mit finiten Methoden exakt beweisen. Die Einbeziehung aktual-unendlicher Größen in die Mathematik wurde erst in der Neuzeit nötig und möglich. Es konnten auf mengentheoretischer Grundlage die Bereiche der natürlichen Zahlen, der reellen und der komplexen Zahlen etc. als aktual-­unendliche Bereiche eingeführt werden. Auf ihrem Fundament konnten die Begriffe der Differential- und Integral-Rechnung erklärt werden. Es konnte beispielsweise der wichtige Satz bewiesen werden, daß jede holomorphe Funktion um jeden Punkt ihres Definitionsgebiets in eine konvergente Potenzreihe entwickelbar ist, d. h. als Polynom unendlicher Länge geschrieben werden kann (und insofern eine „bekannte“ Funktion ist), etc. All diese Begriffe benötigen zu ihrer Einführung die Existenz aktual-unendlicher Vielheiten. Insofern ist der eingangs zitierte Ausspruch Hermann Weyls für die heutige Mathematik uneingeschränkt gültig.

Literatur Archimedes: ‘Opera Omnia, cum Commentarii Eutochi, iterum edidit Johan Lvdvig Heiberg’, 4 Bände, Teubner Verlag Leipzig, Band 1: 1910; Band 2: 1913; Band 3: 1915, Band 4: 1975. Euklid: ‘Die Elemente’, übersetzt von Clemens Thaer. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1962. Hankel, Hermann: ‘Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter’, Leipzig, 1874. Heiberg, Johann Ludwig: ‘Geschichte der Mathematik und Naturwissen-schaften im Altertum’, Handbuch der Altertumswissenschaft, 5. Band, München 1925. Hintikka, Jaakko: ‘Aristotelian infinity’. Philosophical Review, Band 75 (1966), pp. 197–218.

Literatur

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Kapitel 6

Die Paradoxien Zenons

„Die Theorie des Unendlichen hat ihre Schwierigkeiten; mag man die Existenz eines Unendlichen annehmen oder nicht, sofort drohen viele unangenehme Konsequenzen.“ Aristoteles: ‚Physik-Vorlesung‘, Buch III, Kap. 4, 203b32.

Der Begriff der Unendlichkeit hat von der Antike an bis in die Neuzeit als schwieriger und problematischer Begriff gegolten. Die Auffassung, die Descartes gelegentlich in seinen Briefen an Mersenne formuliert hatte: „nostre ame, estant finie, ne peut comprendre l‘infiny“ (Brief vom 11.  November 1640, Oeuvres de Descartes, vol. III, S. 234.)

war weit verbreitet. Man traute sich nicht zu, mit dem Unendlichen widerspruchsfrei umzugehen. Man stellte sich auch die Frage, ob es denn überhaupt sinnvoll und nützlich sein kann, sich mit dem Unendlichen zu beschäftigen. Vielleicht müht man sich nur ab, ohne etwas zustande zu bringen, wie beispielsweise Sisyphos, der in der Unterwelt einen Felsbrocken einen Berg hinauf wälzt, der aber immer wieder zurückrollt, eine sinnlose unendliche Arbeit. Lukian (ca. 120–180 u. Z.) hatte den Unendlichkeitsbegriff mit der „unendlichen Arbeit“ am gewebten Tuch Penelopes verglichen: da sie alles, was sie tagsüber webt, des Nachts wieder auftrennt, wird sie nie fertig und richtet nichts aus (Lukian: ‚Die entlaufenen Sklaven‘, In: Sämtliche Werke, G. Müller Verlag München 1911, Band 2, S. 419.) Voltaire (1694–1778) schrieb in seinem ,Dictionnaire Philosophique‘ (Oeuvres complètes de Voltaire (70 Bände), Band 41, Kehl 1785, S. 305) unter dem Stichwort „Infini“: „Il semble que la notion de l‘infini soit dans le fond du tonneau des Danaides“.

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_6

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Den Unendlichkeitsbegriff vermutete Voltaire auf dem Boden des Fasses der Danaiden – das sind jene 49 Töchter des lybischen Königs Danaos, die in der Unterwelt ein durchlöchertes Faß mit Wasser vollschöpfen sollen. Mit diesem Beispiel illustrierte Voltaire nicht nur den Unendlichkeitsbegriff, sondern brachte ihn – genauso wie Lukian – zugleich in die Nähe des Nutzlosen und Lächerlichen. Am Ende gab Voltaire den guten Rat, sich nicht länger über die Unendlichkeit den Kopf zu zerbrechen, sondern lieber an seine eigene Gesundheit zu denken: „Il vaut mieux sans doute penser à sa santé qu’à l’espace infini.“

Wir wollen uns im Folgenden dennoch mit dem Unendlichkeitsproblem beschäftigen. Wir werden uns jedoch auf die Diskussion der Paradoxien Zenons und ihrer Wirkungsgeschichte beschränken.

6.1  Die Zenon’schen Paradoxien Im fünften Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung begannen die vorsokratischen Philosophen sich mit dem Problem auseinanderzusetzen, was die Grundbegriffe der Kosmologie sein könnten. Dabei stießen sie sehr bald auf das Problem, ob die sinnliche Wahrnehmung oder das begriffliche Denken größere Überzeugungskraft hat. Parmenidês (Παρμενίδης, geboren ca.  515 v.  u.  Z.) meinte, daß das wahrhaft Seiende nicht durch die Sinne, sondern nur durch das Denken gefunden werden könne. Nur das Denken kann das, was wahrhaft ist, erkennen; die Sinne vermitteln nur scheinbare Einsicht. Das Entstehen und Vergehen der Dinge ist seiner Meinung nach nur Blendwerk der Sinne. Insbesondere sind Bewegungen nur sinnlich feststellbar und für das reine Denken inexistent. Sein Schüler Zênôn (Ζήνων, er war um 490 v. u. Z. in Elea geboren) hat das zu beweisen versucht. Die Zenon’schen Beweise haben Aristoteles (in seiner ‚Physik-­ Vorlesung‘, Φυσικὴ Ἀκρόασις, Buch VI) und Simplikios (in seinem Kommentar zu diesem aristotelischen Werk) überliefert. Zenon will zeigen, daß man sich in Aporien verstrickt, wenn man annimmt, daß Bewegung dem reinen Denken zugänglich wäre. Zenons Argumente haben die Form von Paradoxien. Sie sind allerdings fehlerhaft, denn in ihnen treten stets zwei Grenzprozesse auf, die voneinander abhängig sind, wobei aber Zenon immer so tut, als ob sie unabhängig voneinander wären. Statt diese beiden Grenzprozesse simultan auszuführen, führt er erst den einen und dann den anderen aus. Dies ist der Fehler, der in allen Paradoxien Zenons gemacht wird. – Wir wollen auf diese Paradoxien trotz ihrer Fehlerhaftigkeit eingehen, weil sie bis in die Neuzeit hinein eine große Wirkung ausgeübt haben. Ihre Wirkung im Zeitalter der Scholastik war außerordentlich. (1) Die berühmteste aller Paradoxien Zenons ist unter dem Namen „Paradoxie von Achilles und der Schildkröte“ bekannt (Aristoteles, ‚Physik-Vorlesung‘, Z9, 239b15; Diogenes Laërtios, II, p. 174; Diels-Kranz im Abschnitt über Zenon: A26, Seite 253):

6.1 Die Zenon’schen Paradoxien

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„Der langsamste Läufer wird niemals vom schnellsten eingeholt werden. Zuerst einmal muß der Verfolger nämlich den Punkt erreichen, von dem der Verfolgte gestartet ist, so daß der langsamere notwendig immer etwas Vorsprung hat.“

Achilleus ist der stärkste, schönste und schnellste Mann unter den Griechen vor Troja. In Homers Ilias wird er immer „der mutige Renner Achilleus“ genannt. Ausgerechnet ihm wird in der Paradoxie nachgesagt, daß er nicht einmal eine Schildkröte, wenn ihr ein kleiner Vorsprung eingeräumt wird, einholen könne. Wenn Achilleus im Punkt A startet und die Schildkröte im Punkt M1, dann wird, sobald Achilleus den Punkt M1 erreicht haben wird, die Schildkröte schon etwas weiter gekrochen sein und einen Punkt M2 erreicht haben, und wenn Achilleus den Punkt M2 erreicht haben wird, dann wird die Schildkröte bereits einen Punkt M3 erreicht haben, und so fort, ad infinitum. Aber es stimmt natürlich nicht, daß der Verfolgte „immer“ etwas Vorsprung hat, denn die Folge der stets kürzer werdenden Zeitintervalle konvergiert gegen einen Zeitpunkt t0, und sobald dieser Zeitpunkt t0 überschritten ist, eilt der schnellere Läufer dem langsameren voraus. Damit ist der „Fehler“ in der Paradoxie schon erkannt. Zenon tut so, als ob man den Prozess des Einholens unabhängig von der dabei benötigten Zeit diskutieren könne. Mit diesem Paradoxon will Zenon beweisen, daß Bewegungen nicht in Ge-­ danken nachvollzogen werden können, weil sie – jedenfalls in Gedanken – nicht beendet werden können. Dem Beweisversuch liegt die Konstruktion einer unendlichen Folge von Punkten zugrunde, die der Reihe nach durchlaufen werden müssen. -A

M1

M2 M3

(2) Die Paradoxie vom Läufer im Stadion ist dagegen etwas schwieriger aufzulösen (Aristoteles, ‚Physik-Vorlesung‘, Z9, 239b11; Diels-Kranz A25): Ein Läufer im Stadion, der sich vom Startpunkt A zum Zielpunkt B bewegen will, müßte vorher an den Mittelpunkt M1 der von A nach B führenden Strecke gelangen, und dazu aber vorher den Mittelpunkt M2 der von A nach M1 führenden Strecke durchlaufen, und dazu wiederum vorher den Mittelpunkt M3 der von A nach M2 führenden Strecke durchlaufen, etc. Er müßte

A ...M4 M3 M2

M1

B

also, um zum Zielpunkt B zu gelangen, die unendliche Folge der Zwischenpunkte M1, M2, M3, M4,... durchlaufen, aber in umgekehrter Reihenfolge: um Mn erreichen zu können, muß er vorher Mn+1 durchlaufen haben! Da es aber in dieser invertierten Reihenfolge keinen ersten Punkt gibt, kommt er überhaupt nicht vom Ausgangspunkt los.

Aristoteles meint (im 8. Buch, Kap. 7, der ‚Physik-Vorlesung‘, 263a15-18, und 263a29), daß der Fehler in Zenons Argumentation darin besteht, daß die unendliche Folge von Zwischenpunkten zwar denkbar ist, daß es aber unmöglich sei, eine

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Kapitel 6  Die Paradoxien Zenons

aktual-­unendliche Folge diskret liegender Punkte auf der Bahn im Stadion wirklich anzugeben. Das ist richtig, trifft aber nicht Zenons Argumentation. Zenon stellt nicht in Frage, daß der Läufer sich im Stadion augenscheinlich bewegt, sondern behauptet nur, daß das Phänomen der Bewegung nicht in Gedanken nachvollziehbar sei. Aber Aristoteles deutet auch an, daß der eigentliche Fehler in Zenons Argumentation darauf beruht, daß außer Acht gelassen wird, daß sich Bewegungen in einem Kontinuum von Raumpunkten und einem Kontinuum von Zeitpunkten abspielen. Er erwähnt in seiner ‚Physik-Vorlesung‘ V,2 (233a34) auch, daß der zurückgelegte Weg von der verstrichenen Zeit abhängt. Aber er hat noch nicht den Begriff der Funktion, f(t)=s (also der unabhängigen und der abhängigen Größe), um Bewegungen beschreiben und dem Denken zugänglich machen zu können. Zenon suggeriert, daß der Läufer im Stadion, beim Durchlaufen der Zwischenpunkte ... M4, M3, M2, M1 (in dieser Reihenfolge) einen ersten Punkt und dann einen zweiten Punkt etc. erreichen müßte. Man hält das für selbstverständlich, weil es im Falle von endlich vielen diskret liegenden Punkten so ist. Aber einen solchen ersten Punkt gibt es in der betrachteten unendlichen Punktmenge nicht. Zenon nimmt also stillschweigend an, daß eine Eigenschaft, die für endliche Punktmengen gilt, auch für unendliche Punktmengen gültig wäre. Dies ist ein Fehler in Zenons Argumentation. Zenon macht auch den Fehler, daß er so tut, als ob man das Durchlaufen der Zwischenpunkte unabhängig vom Ablauf der dabei verwendeten Zeit betrachten könne, und daß sich dabei alles wie im Endlichen verhalten müsse. Dem Beweisversuch liegt die Konstruktion einer unendlichen Punktfolge zugrunde, die in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen werden muß. Mit diesem Paradoxon will Zenon beweisen, daß Bewegungen nicht in Gedanken nachvollzogen werden können, weil sie nicht begonnen werden können. Aristoteles berichtet noch über zwei weitere Paradoxien Zenons (den „fliegenden Pfeil“ und das „Stadion“) und Simplikios (er lebte um 530 u. Z.) erwähnt in seinem Kommentar zur aristotelischen ‚Physik-Vorlesung‘ noch die sogenannte „Teilungs-­ Paradoxie“ (siehe Diels-Kranz, I, Fragmente B1, B2). Da sie nicht zu den hier zu behandelnden Themen gehören, wollen wir auch nicht näher auf sie eingehen. Die Paradoxien Zenons haben in der Antike und im Mittelalter eine ungeheure Wirkung gehabt. Es waren nur sehr wenige Menschen in der Lage, die Fehler in den Argumentationen genau zu benennen. Die meisten standen ihnen ratlos gegenüber. Manche hielten sie sogar für überzeugend. Im Mittelalter spielten sie erneut eine große Rolle, als sie in zahlreichen Disputationen paraphrasiert wurden. Wir berichten darüber.

6.2  Die Wirkung der Zenon’schen Paradoxien im Mittelalter Seit der Spätantike hatte es in Europa für eine lange Zeit weder Mathematik noch Philosophie als eigenständige Disziplinen gegeben. Erst vom 11. oder 12. Jahrhundert an erwachten beide zu einem neuen Leben. Eine Zeit lang verstand sich die

6.2 Die Wirkung der Zenon’schen Paradoxien im Mittelalter

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Philosophie als ancilla theologiae, als Dienerin der Theologie. Das Ziel war, den „neuen“ christlichen Glauben in das Gesamtgebäude der „alten“ (heidnischen) ­Wissenschaften einzuordnen. Man wußte, daß man die Glaubenssätze nicht rational begründen kann, aber man bemühte sich, sie durch die ratio besser zu erklären. Insbesondere bemühte man sich, die Glaubenssätze mit den großen philosophischen Gedankengebäuden von Platon und Aristoteles in Einklang zu bringen, oder – falls nötig - sie gegen diese philosophischen Lehren zu verteidigen. Aber vom ausgehenden 12. Jahrhundert an befreite sich die Philosophie und insbesondere auch die Naturphilosophie langsam mehr und mehr von den Fesseln der Theologie. Das führte zu immer größeren Konflikten, und schließlich 1277 zu einem folgenreichen Éclat. Die Auffassung Aristoteles’, daß die Zeit ohne Anfang und ohne Ende sei, und daß es keinen ersten Menschen gegeben habe und keinen letzten geben wird, stand im Widerspruch zur Lehre der christlichen Kirche, daß Gott die Welt und die Menschen vor endlicher Zeit erschaffen habe und irgendwann in der Zukunft wieder vernichten werde. Die Pariser Synode (1210) und der päpstliche Legat Robert von Courçon verboten im Jahre 1215 die Aufnahme der aristotelischen ‚Metaphysik‘ und aller naturwissenschaftlichen und naturphilosophischen Schriften des Aristoteles in den Lehrplan an der inzwischen gegründeten Pariser Universität (Die Gründungsdaten: 1190–1208). Der Erlaß von 1210 enthielt das Verbot: „Nec libri Aristotelis de naturali philosophia nec commenta legantur Parisius publice vel secreto.“ (zitiert nach H.Denifle-A.Chatelain: ‚Chartularium Universitatis Parisiensis‘, Band 1, Paris 1899, S. 70, Nr. 1).

Auf der Pariser Synode von 1210 wurde u. a. auch das Hauptwerk ‚De divisione naturae‘ von Johannes Scotus Eriugena verworfen und die Lektüre verboten. Im Erlaß von 1215 heißt es ferner: „Non legantur libri Aristotelis de metafisica et de naturali philosophia“ (zitiert nach Denifle-Chatelain, loc. cit., S. 78–79, Nr. 20).

Allerdings hob Papst Gregor IX diese Verbote bereits 1237 wieder auf. Aber die Lehre von der Ewigkeit der Welt wurde 1270 in Paris ausdrücklich verdammt. Am 7. März 1277 verurteilte der Bischof von Paris, Stephan Tempier, 219 Thesen des Aristotelismus und Averroismus. Er sprach von verabscheuungswürdigen Irrlehren und falschen Hirngespinsten: execrabiles errores ... et insanias falsas.1 Insbesondere verurteilte er die aristotelische Kosmologie und die Lehre von der überindividuellen menschlichen Seele (die nicht fähig ist zu sündigen). Auch einige Lehren von Roger Bacon, Zeger (=Siger) von Brabant, Thomas von Aquin et  al. wurden verurteilt. Im Prolog seines Verurteilungsschreibens bedroht der Bischof unnachsichtig jeden, der eine der 219 Thesen lehrt oder ihre Anhänger nicht anzeigt. Er droht mit der Exkommunikation und fordert zur Selbstanzeige und Denunziation auf.

 Siehe: H.Denifle-A.Chatelain: ‚Chartularium Universitatis Parisiensis‘, Band 1, Paris 1899, oder auch Roland Hissette: ‚Enquête sur les 219 articles condamnés à Paris le 7 Mars 1277‘. Louvain-Paris 1977.

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F. van Steenberghe (in: ‚La Philosophie au XIIIe siècle‘, 1991, S. 422) beschrieb die Verurteilung als die schwerwiegendste Verdammung des gesamten Mittelalters: „la plus grave condamnation du moyen âge“. Die Verdammung von 1277 hat ­dennoch nicht verhindern können, daß die aristotelischen Schriften gelesen wurden2 und daß ihre Bedeutung für die universitäre Forschung und Lehre größer und größer wurde. Die Verdammung blieb dennoch lange Zeit bestimmend für die öffentlich vertretenen Lehrmeinungen. Wir werden das im Folgenden bei der Diskussion über den problematischen Unendlichkeitsbegriff verfolgen können.

6.3  D  ie Frage nach der Existenz aktual unendlicher Größen wird kritisch untersucht Aristoteles hatte im dritten Buch seiner ‚Physik-Vorlesung‘ behauptet, daß die Welt in ihrer räumlichen Ausdehnung endlich sei und daß es aktual keine unendlichen Größen in der natürlichen Welt gäbe. Die Endlichkeit der Welt ist für Aristoteles eine empirisch feststellbare Tatsache, da seiner Meinung nach der ganze Weltraum im sichtbaren Himmelsgewölbe eingeschlossen ist. Roger Bacon3 (1214–1292) war dagegen der Meinung, man könne die Endlichkeit der Welt sogar logisch-zwingend beweisen. In seinem ‚Opus tertium‘ (op. cit.,  Boethius hatte bereits in den Jahren 510–522 die aristotelischen Schriften zur Logik ins Lateinische übersetzt. Weitere Schriften von Aristoteles wurden erst von Jakob von Venedig, Wilhelm von Moerbeke, Gerhard von Cremona, Robert Grosseteste et al. im 12. und 13. Jahrhundert ins Lateinische gebracht. Vom ausgehenden 13. Jahrhundert an waren damit die sämtlichen Schriften (mit Ausnahme der ‚Eudemischen Ethik‘ und der ‚Poetik‘) von Aristoteles in lateinischen Übersetzungen im westlichen Europa zugänglich. In der Scholastik war Aristoteles die dominierende Gestalt. – Vergl. M. Grabmann: ‚Forschungen über die lateinischen Aristotelesübersetzungen des XIII. Jahrhunderts‘. Aschendorffsche Buchhandlung Münster 1916. Die Schriften Platons wurden erst sehr viel später im westlichen Abendland bekannt. Den Platonischen ‚Timaios‘ hatte schon der Neuplatoniker Chalkidios im 4./5. Jahrhundert ins Lateinische übersetzt, aber erst im 12. Jahrhundert wurden die Dialoge ‚Menon‘ und ‚Phaidon‘ (von Henricus Aristippus) ins Lateinische übersetzt. Chrysolorus (gestorben 1415) hatte Platons ‚Republik‘ übertragen. Die anderen platonischen Schriften wurden erst von etwa 1450 an im westlichen Abendland bekannt, als die griechischen Gelehrten vor den vordringenden Osmanen flohen und dabei die noch vorhandenen antiken Schriften mit in den Westen brachten. Konstantinopel wurde 1453 durch die Türken erobert. In Westeuropa begann eine Renaissance des Platonismus, was allerdings auch zu einem Kampf gegen Aristoteles und die Scholastik führte. Die Mediceer stifteten 1459 in Florenz eine platonische Akademie, deren Haupt Marsilius Ficinus ­(1433–1499) wurde. Ficinus hat viele platonische Schriften ins Lateinische übersetzt, die 1483 gedruckt wurden. Angelo Poliziano (1454–1494) hat Platons ‚Charmides‘ ins Lateinische übertragen. Im griechischen Original erschienen die platonischen Dialoge erst 1513 bei Aldus Manutius in Venedig. 3  Der englische Philosoph und Naturforscher Roger Bacon wurde 1214 in Ilchester in der Grafschaft Somerset geboren. Er studierte an den Universitäten in Oxford und (von 1235 an) in Paris. 1252 kehrte er nach England zurück und trat 1255 in Oxford in den Franziskaner-Orden ein. Hier begann er sich intensiv mit Problemen der Physik zu beschäftigen. Die übrigen Geistlichen seines Klosters sahen darin nur teuflische Zaubereien und denunzierten ihn beim Papst in Rom. Der 2

6.3 Die Frage nach der Existenz aktual unendlicher Größen wird kritisch untersucht

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Cap. 41, S. 141–142) argumentierte er wie folgt: Wenn sich der Weltraum überallhin ins Unendliche erstrecken würde, dann könnte man eine endliche Strecke AB über den Punkt B hinaus ins Unendliche erstrecken. Die unendliche Strecke, die im Punkt B beginnt, kann auf die unendliche Strecke, die im Punkt A beginnt, gelegt werden. Nach Euklid (‘Elemente’, Buch I, siebtes allgemeines Gesetz) sind Größen, die sich decken, einander gleich. Also sind die beiden Geraden einander gleich, obwohl die eine doch ein echter Teil der anderen ist, ein Widerspruch! Das Weltall kann also nicht unendlich sein. Der Pariser Bischof Tempier hatte 1277 jedoch eine solche Meinung, wie sie Bacon und andere geäußert hatten, ausdrücklich verurteilt. Tempier schrieb: (LXXXVI) „ ‚Prohibemus et ... totaliter condemnamus‘: Quod substantie separate sunt actu infinite. Infinitas enim non est impossibilis, nisi in rebus materialibus“. (Nr.  49 bei R. Hissette) [86: ‚Wir verbieten und verdammen vollständig die Aussage‘, es gäbe zwar eine aktual-­ unendliche Vielheit unterschiedlicher geistiger Wesen, aber Unendlichkeit sei nicht möglich in stofflichen Dingen.]

Tempier wollte damit u. A. sagen, daß es falsch sei zu behaupten, es könne in der natürlichen, materiellen Welt grundsätzlich keine aktual-unendlichen Größen geben, denn Gott könne doch in seiner Allmacht auch im Bereich der materiellen Dinge aktual-unendliche Größen erschaffen. Robert Grosseteste (auch Greathead genannt, 1175–1253) beispielsweise war bereit zuzugeben, daß es aktual-unendliche Mengen gibt, beispielsweise die Menge aller Punkte auf einer Linie. Er meinte, daß für uns Menschen diese Anzahl potentiell unendlich sei, daß aber für einen Gott die sämtlichen Punkte einer Linie eine aktual unendliche Menge bilden würden. Die Anzahl der Punkte wäre eine gewisse Zahl (certus numerus), die aber nur Gott bekannt sei (cf. R. Grosseteste: ‚Kommentar zur aristotelischen Physik, IV‘, Herausg. von R.C. Dales, S. 53). Man fühlt sich an den Ausspruch des Orakels von Delphi erinnert, daß nur Apollon „des Sandkorns Zahl kenne“ – vergl. Kap. 5, Abschn. 5.4. Heinrich von Harclay (ca. 1270–1317, er war von 1312 bis 1317 Kanzler der Universität Oxford) meinte ebenfalls, daß Gott die sämtlichen Punkte einer Linie überschauen könne. (Er bejahte also die Existenz aktual-unendlicher Mengen.) Er meinte sogar, daß Gott auch die beiden Punkte einer Linie sehen könne, die einem Ordensgeneral Johannes Fidanza, der sich Bonaventura nannte, bewirkte ein Schreibverbot und die Überstellung in Klosterhaft. Bacon trat die Haft 1257 in Paris an. Er kam erst frei, nachdem Clemens IV 1265 den päpstlichen Stuhl bestiegen hatte. Clemens IV wünschte sich von Bacon eine Darlegung seiner Ansichten. Daraufhin schrieb er jenes Werk, das den Titel ‚Opus majus‘ trägt (der 4. Teil dieses Werkes ist etwa 300 Seiten lang und trägt den Titel ‚Specula mathematica‘). Aber Nicolaus III, der Nachfolger von Clemens IV und Gregor X, ließ Bacon 1279 erneut in Klosterhaft nehmen und verbot das Lesen seiner Schriften. Die Gefangenschaft währte 10 Jahre. Er starb am 11. Juni 1292 wenige Jahre nach seiner Freilassung. Berühmt wurde Bacon für seine Forschungen in der Optik. Er entdeckte, daß Segmente von Glaskugeln vergrößernde Wirkung haben können. Das führte im frühen 14. Jahrhundert zur Erfindung der Brillengläser. Der Schlüssel zur Erkenntnis der Natur ist für Bacon die Mathematik. Er schrieb in seinem ‚Opus Majus‘ (Band I, p. 106): „Sola in mathematica est certitudo sine dubitatione“ [Allein in der Mathematik gibt es Sicherheit frei von allen Zweifeln].

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beliebig vorgegebenen Punkt am nächsten sind, d. h. unmittelbar benachbart sind. Diese Auffassung würde natürlich Zenons Paradoxie vom Läufer im Stadium lösen. Er machte sich allerdings nicht klar, daß eine linear geordnete Punktmenge nicht sowohl in-sich-dicht geordnet als auch diskret geordnet sein kann. Aber kann denn Gott den Prozeß, eine vorgegebene begrenzte Linie zu halbieren, dann die beiden Hälften ebenfalls zu halbieren, und so fort ad infinitum, überhaupt vollständig zu Ende bringen? Wenn er omnipotent ist, dann müßte es ihm möglich sein; aber wie soll ein solcher Prozeß ablaufen? Adam Wodeham, ein Schüler von Wilhelm von Ockham, meinte, daß Gott einen solchen Teilungs-Prozeß nicht zu Ende bringen könne, auch wenn er eine ganze Ewigkeit dazu zur Verfügung hätte, „si deus eternaliter divisisset.“

Wenn er nämlich zu irgendeinem Zeitpunkt diesen Teilungsprozeß beenden könnte, dann hätte er (rückblickend) vor unendlicher Zeit damit beginnen müssen; aber dann könne es keinen ersten Halbierungsschritt geben, meinte Wodeham. – Das Modell dieser Argumentation ist wieder die Zenonsche Paradoxie vom Läufer im Stadion. Der Augustiner-Eremit Gregor von Rimini (gestorben 1358), auch ein Schüler von Wilhelm von Ockham, setzte dagegen, daß sich der unendliche Teilungsprozeß durchaus in endlicher Zeit abspielen könne. Gott könne zu irgend einem Zeitpunkt den ersten Halbierungsschritt ausführen, eine halbe Stunde später die beiden Hälften nochmals halbieren, eine viertel Stunde später alle vier Teile wieder halbieren, eine achtel Stunde später alle bis dahin gewonnenen Stücke wieder halbieren, und so fort ad infinitum.

6.4  B  uridans Behandlung des Unendlichkeitsproblems nach der Methode des sic et non Johannes Buridan (geboren etwa 1292 in Flandern in der Nähe von Artois, gestorben ca. 1363) hat das Problem, ob die Existenz unendlich großer Körper möglich sei, in seinen Kommentaren zu den beiden aristotelischen Schriften ‚Physik-­Vorle­ sung‘ und ‚De Caelo‘ nach der üblichen scholastischen Methode des sic et non („so und nicht-so“) ausführlich abgehandelt. Es handelt sich um eine Methode, eine strittige Frage zu entscheiden, indem man aus der Literatur die gegensätzlichen Meinungen der Autoritäten zusammenträgt, zuerst die Argumente, die für eine bestimmte Behauptung sprechen, und sodann die Argumente, die dagegen sprechen. Sobald auf diese Weise die gegensätzlichen Meinungen zusammengetragen sind, ist in einer abschließenden Betrachtung entweder der Widerspruch zu lösen, oder das herauszuschälen, was unbestritten ist. Diese Methode geht auf Abelard (1079–1142) zurück. Buridan stellt zunächst („arguitur quod sic“) das Argument des Gregor von Rimini vor. Er sagt nicht, daß es von Gregor stammt, sondern nur, daß es „von

6.4  Buridans Behandlung des Unendlichkeitsproblems nach der Methode des …

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anderen“ stamme (siehe Buridan im 1. Buch der ‚Quaestiones in Aristotelis De Caelo et Mundo‘, Quaestio 17, Seiten 317–323 in der Edition von B. Patar, und ganz ­genauso4 in seinem Kommentar zur aristotelischen Physik, Buch 3, Quaestio decimanona, Seiten 63v–65v). Es lautet wie folgt: Es ist möglich, daß Gott in seiner Allmacht aktual Unendliches erschaffen kann. Man kann sich nämlich vorstellen, daß Gott in einer halben Stunde irgendeinen Gegenstand (etwa einen Stein) erschaffen könnte, und in der nächsten Viertelstunde noch einmal denselben Gegenstand, und in der nächsten Achtelstunde noch einmal einen solchen Gegenstand, und so fort ad infinitum. Die Zerlegung der Stunde in unendlich viele Teile würde es so plausibel machen, daß Gott in einer einzigen Stunde unendlich viele Gegenstände erschaffen könnte und somit insgesamt eine aktual unendliche Vielheit. „cum infinite sint medietates proportionales hore sequitur quod in fine hore essent infiniti lapides pedales.“ [und so wie eine einzige Stunde unendlich viele proportionale Teile besitzt, so gibt es am Ende einer Stunde unendlich viele ein-Fuß große Steinquader.] (J. Buridan, Quaestio 19 zur aristotelischen Physik, Seite 63v).

Buridan behandelt sodann (im Abschnitt „arguitur quod non“) eine Reihe von Einwänden. Ein erster Einwand: „Ideo contra istam imaginationem ego volo probare quod, quamvis in qualibet medietate proportionali unius horae possit Deus facere lapidem pedalem, tamen impossibile est quod in qualibet medietate proportionali illius horae faciat lapidem pedalem, quoniam hoc implicat contradictionem, ut probabo. Et est prima probatio: ... Modo ultra ponamus quod Deus, quo ordine fecit illos lapides in una hora, e converso ordine posset illos destruere in una alia hora; et tunc nunquam destrueret duos lapides simul; .... Et sic esset dare unum lapidem primo destructum, et ille non esset nisi qui ultimo fuit factus. Et sic habeo propositum.“ (Seiten 319–320 in der von B. Patar besorgten Edition.) [Deshalb will ich gegen dieses Gedankenexperiment beweisen, daß, obwohl Gott in jedem (einzelnen) beliebigen proportionalen Teil einer Stunde einen ein-Fuß großen Stein erschaffen könnte, es dennoch unmöglich ist, daß er (insgesamt) in allen proportionalen Teilen einer Stunde einen ein-Fuß großen Stein erschaffen könnte, denn das impliziert einen Widerspruch, wie ich beweisen werde. Hier ist der erste Beweis: ... Nehmen wir schließlich an, daß Gott so wie er die geordnete Reihe der Steine in einer Stunde erschaffen hat, die Steine alle in umgekehrter Ordnung wieder in einer Stunde vernichten kann, und daß er niemals zwei Steine gleichzeitig zerstört .... Und so muß man zugeben, daß es einen Stein geben müßte, der zuerst vernichtet würde. Und auf diese Weise habe ich den Beweis erbracht.]

Ausgelassen habe ich in der Wiedergabe des Textes den Teil, in dem Buridan zeigt, daß es im Prozeß der Erschaffung der unendlichen Folge der Steine zwar einen ersten erschaffenen Stein und einen zweiten erschaffenen Stein gibt, etc., daß es aber offenbar keinen letzten erschaffenen Stein gibt. Bemerkenswert ist das Ende des Beweises, wo Buridan sagt, daß man Gott mit gleichem Recht unterstellen könne, daß er alles, was er in der einen Stunde erschaffen hat, wieder rückgängig  Die Seitenangaben in dem Pariser Druck sind nicht immer korrekt. Die Seite 63 trägt fälschlich die Zahl 62. 4

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machen könne. Dabei nimmt er das Wort „rückgängig“ sowohl im Sinne von „das Erschaffene wieder vernichten“ als auch im Sinne der Umkehrung der Reihenfolge. Dieses Gegenargument ist offenbar der Zenon’schen Paradoxie vom Läufer im Stadion (siehe oben) nachgebildet. Die Behauptung, daß ein omnipotentes Wesen, wenn es eine Reihe von Gegenständen vernichten soll, mit der Vernichtung eines ersten Gegenstandes beginnen müsse, scheint evident zu sein. Aber die Evidenz stammt aus der Erfahrung im Umgang mit endlichen Mengen von Gegenständen, und die Einkleidung der Paradoxie in Prozesse des Erschaffens und des Vernichtens von Gegenständen unserer natürlichen Umwelt legt nahe, sich auf diese Erfahrung zu stützen. Für unendliche Mengen müssen die Gesetze, die für endliche Mengen gelten, aber keineswegs gelten. Es spricht also nichts dagegen, daß ein omnipotentes Wesen die Steinquader S1, S2, S3, S4,  .... Stein für Stein in umgekehrter Reihenfolge vernichten kann. Wenn es Sn vernichten will, dann muß es vorher (in sehr viel kürzerer Zeit) Sn+1 vernichtet haben. Einen ersten Akt der Vernichtung muß es (und kann es) keineswegs geben. Buridan gibt in den ‚Quaestiones in Aristotelis De Caelo‘ (liber I, Quaestio 17) auch noch einen zweiten Einwand. Buridans zweiter Einwand: Wenn das obige Argument gültig wäre und Gott nach Ablauf einer Stunde eine aktual-unendliche Menge von ein-Fuß großen Steinen erschaffen könnte, dann könnte man mit gleichem Recht Gott eine vorgegebene endliche Strecke im Verlauf einer Stunde in unendlich viele Teile wie folgt zerlegen lassen. In der ersten halben Stunde zerschneidet er die gegebene Strecke in der Mitte in zwei gleich große Teilstrecken. In der nächsten Viertelstunde zerschneidet er jede der beiden Teilstrecken wieder in der Mitte in jeweils zwei Teilstrecken. In der nächsten achtel Stunde zerschneidet er jede der vier Teilstücke in der Mitte in gleich große Teilstrecken, etc ad infinitum. Nach Ablauf einer Stunde wäre die vorgegebene Strecke in unendlich viele paarweise disjunkte Teilstücke zerlegt. Wenn der Prozeß der Zerlegung nach Ablauf einer Stunde als Ganzes abgeschlossen vorliegen würde, dann wäre die vorgegebene Strecke die Vereinigung all der unendlich vielen Teilstücke. Diese Teilstücke hätten alle die Länge 0 und wären daher Punkte. Die vorgegebene Strecke wäre also eine Gesamtheit von Punkten. Aber durch Nebeneinandersetzen von Punkten entsteht niemals eine Linie, wie schon Aristoteles in seiner ‚Physik-Vorlesung‘ (Buch VI, Abschnitt 1, 231a24-26) gezeigt hat. (Siehe dazu auch die Aristoteles zugeschriebene Schrift ‚Über unteilbare Linien‘ – De Lineis Insecabilibus – Περὶ ἀτόμων γραμμῶν). Der Widerspruch zeigt, daß ein solcher unendlicher Prozeß niemals als beendet gedacht werden kann. In diesem Gegenargument werden die beiden Zenon’schen Paradoxien mit-­ einander verbunden, die von Achill und der Schildkröte und die vom Läufer im Stadium. Es werden jetzt Teilungspunkte in allen bisher konstruierten Teilstücken eingeführt. Es liegt derselbe Fehler vor wie in den Bewegungs-Paradoxien. Es wird so getan, als ob man die beiden Prozesse, Erhöhung der Anzahl der Teile und Verkleinern der Teile, unabhängig voneinander betrachten könnte. Die beiden Prozesse hängen aber voneinander ab, und nach endlich vielen Schritten hat man endlich viele Teile, deren Summe der anfänglich vorgegebene Gegenstand ist. Dieser Sachverhalt bleibt während des ganzen Prozesses bestehen.

6.4  Buridans Behandlung des Unendlichkeitsproblems nach der Methode des …

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Buridans drittes Gegenargument: In der Quaestio 19 des 3. Buches seines Kommentars zur aristotelischen Physik gibt Buridan auch noch das folgende Gegenargument. Wenn man Gott zugesteht, daß er in den proportionalen Teilen einer Stunde eine aktual-unendliche Folge von gleichgroßen Gegenständen erschaffen kann, dann könnte er analog in den proportionalen Teilen einer Stunde ein aktual-­ unendliches Quadrat wie folgt erschaffen. Er beginnt mit irgendeinem Quadrat etwa der Seitenlänge von einem Fuß. In der ersten halben Stunde legt er an dieses Quadrat ein „Gnomon“ (d. h. einen Winkelhaken) an, so, daß ein Quadrat der Seitenlänge von zwei Fuß entsteht. In der nächsten Viertelstunde legt er einen noch größeren Winkelhaken an, so daß ein Quadrat der Seitenlänge von 3 Fuß entsteht. In der nächsten Achtelstunde vergrößert er es zu einem Quadrat der Seitenlänge von 4 Fuß, und so fort ad infinitum. Gott würde so nach Ablauf einer Stunde ein Quadrat mit unendlicher Seitenlänge erschaffen haben. Auch die Diagonale des Quadrates wäre unendlich. Aber Seite und Diagonale können so aufeinander gelegt werden, daß sie sich decken und folglich gleich lang sind (Vermutlich nimmt Buridan an, daß Axiom 7 aus den ‚Elementen‘ Euklids, Buch I, auch in der vorliegenden Situation gilt.) Folglich wäre das Quadrat über der Seite gleich dem Quadrat über der Diagonalen. Aber wie bereits im platonischen ‚Menon‘ bewiesen wurde, ist das Quadrat über der Diagonalen doppelt so groß wie das Quadrat über der Seite, ein Widerspruch! Buridan gibt noch weitere Gegenargumente, die wir aber nicht alle behandeln wollen. Er behandelt all diese Probleme in einer Quaestio, in der gefragt wird, ob die Existenz eines aktual-unendlichen Körpers möglich sei: „utrum possibile sit esse corpus infinitum.“

Nachdem die Argumente „für“ (sic) und „wider“ (et non) dargelegt sind, versucht Buridan in der abschließenden Responsio den Widerspruch zu lösen. Er bedient sich einer sprachlichen Analyse, die schon vorher Adam Wodeham (gestützt auf Aristoteles) gegeben hatte, und will damit den Widerspruch entschärfen. Buridan läßt am Argument von Gregor von Rimini gelten, daß Gott zu jedem Zeitpunkt einen Gegenstand der besprochenen Art erschaffen könne. Man könne daher von unendlich vielen erschaffenen Gegenständen im synkategorematischen Sinne sprechen (d. h. von endlich vielen in beliebig großer Anzahl). Aber Buridan fügt hinzu, daß die Gegenargumente zeigen, daß man nicht von unendlich vielen erschaffenen Gegenständen im kategorematischen Sinne sprechen könne (d. h. von einer aktual-unendlichen Gesamtheit von erschaffenen Gegenständen). In Anlehnung an Adam Wodeham macht Buridan auch die folgende sprachliche Analyse. Wenn von „allen“ erschaffenen Steinen gesprochen wird, dann ist das Wort „omnes“ (oder „qualibet“) nur im distributiven und nicht im collektiven Sinne zu verstehen. [Das Wort „alle“ im distributiven Sinne meint „jedes einzelne“, und „alle“ im collektiven Sinne meint „alle insgesamt“. Diese Unterscheidung macht bereits die lateinische Sprache. Statt von „omnes“ im collektiven Sinne spricht man auch von „cuncti“.] Buridan läßt also gelten, daß man im Argument von Gregor von Rimini von „omnes“ im distributiven Sinne sprechen kann (d. h. von jedem einzelnen erschaffenen Gegenstand), aber er bestreitet, daß man es im collektiven Sinne

Kapitel 6  Die Paradoxien Zenons

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verstehen dürfe, d. h. im Sinne einer fertigen, vollständig vorhandenen Gesamtheit von erschaffenen Gegenständen. Auf diese Weise hat Buridan das gestellte Problem nach der Methode des sic et non ausführlich abgehandelt und die Widersprüche zwischen den entgegengesetzten Argumenten geschlichtet, – aber gelöst hat er sie nicht. Die Frage, ob es aktual-unendliche Gesamtheiten von natürlichen Dingen gibt, wurde im 19. Jahrhundert wieder gestellt. Bernard Bolzano (1781–1848) versuchte in seiner Schrift ‚Paradoxien des Unendlichen‘ (op. cit., Leipzig, 1851, § 25) eine Antwort zu geben. Er hielt die Existenz eines Gottes für selbstverständlich und folgerte aus der üblichen Definition des Gottesbegriffes, daß ein solcher Gott „unendlich Vieles (nämlich das All der Wahrheiten) weiß, unendlich Vieles ... will, und daß er Alles, was er will, durch seine Kraft, nach Außen zu wirken, in Wirklichkeit setze“.

Bolzano glaubte aus diesem Gottesbegriff folgern zu können, daß die Menge aller geschaffenen Dinge unendlich sei. Ein solcher „Beweis“ konnte im 19. Jahrhundert allerdings nicht mehr überzeugen. Es ist bemerkenswert, daß Richard Dedekind (1831–1916) wenig später argumentierte, daß aber seine eigene „Gedankenwelt, d. h. die Gesamtheit S aller Dinge, welche Gegenstand [seines] Denkens sein können“, unendlich sei. Jedem Gedanken läßt sich nämlich der Gedanke an diesen Gedanken (gewissermaßen als Nachfolger) zuordnen. Dedekind formulierte die Aussage, daß seine Gedankenwelt ein „unendliches System“ sei, als Satz 66 in seiner Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ (1888) und gründete darauf seine Theorie der natürlichen Zahlen (vergl. dazu Kap. 19).

6.5  Abschließende Bemerkungen. Der Unendlichkeitsbegriff wurde in der Antike und in der Scholastik lebhaft diskutiert. Aber die enormen Schwierigkeiten, die mit diesem Begriff verbunden sind, konnten nicht behoben werden. Der Unendlichkeitsbegriff blieb dunkel und verschwommen und konnte so nicht Eingang in die Mathematik finden. Aber die Diskussion trug dazu bei, daß die vielen Schwierigkeiten genannt wurden und so im Laufe der Zeit geklärt werden konnten. Langsam wich die Scheu, sich mit dem Unendlichkeitsbegriff zu befassen. Der „Einbruch“ des Unendlichen in die Mathematik geschah bereits im frühen 17. Jahrhundert, • zuerst in der Projektiven Geometrie (Girard Desargues, 1638) bei der Einführung von Geraden unendlicher Länge, • dann in der Infinitesimal-Rechnung (Leibniz ca. 1675, und andere) bei der Einführung unendlich-kleiner Größen,

6.5 Abschließende Bemerkungen.

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• dann im Infinitär-Calcül (Paul du Bois-Reymond, op. cit., im Frühjahr 1873) bei der Entdeckung, daß es in der Menge aller divergenten positiven reellen Funktionen im Hinblick auf ihren Endverlauf überabzählbar viele Grade des Unendlich-­ Werdens gibt, • und schließlich in der Mengenlehre (Georg Cantor, im Dezember 1873), als die Existenz von unendlichen Mengen verschiedener Mächtigkeiten entdeckt wurde. Dabei ist zu betonen, daß der Begriff des Unendlichen erst dann in die Mathematik Eingang finden konnte, nachdem ihm alle kosmologischen und theologischen Bezüge genommen wurden. Ob es in der natürlichen Umwelt Dinge in unendlicher Anzahl oder unendlich große Dinge gibt, oder ob ein omnipotenter Gott unendlich viele Punkte auf einer Geraden simultan erkennen könne, ist keine Frage, die die Mathematik angeht. In Kap. 3 kamen wir zu einem vergleichbaren Ergebnis. Dort scheiterte der ari­s­ totelische Zugang zur Geometrie an der allzu engen Bindung der geometrischen Gegenstände an die reale Umwelt. Wir sehen jetzt, daß auch eine mathematische Behandlung des Unendlichkeitsbegriffes scheitern muß, wenn er allzu eng mit kosmologischen oder theologischen Problemen überfrachtet wird. Damit eine logisch-­ mathematische Analyse des Unendlichkeitsbegriffes möglich wird, muß der Begriff nicht nur von allem „Erdenrest“ sondern auch von jeder theologischen Bindung befreit werden. In der Mathematik geht es nur um das „Fachwerk der Begriffe“, wie sich David Hilbert immer wieder ausgedrückt hat (vergl. Kap. 20). Diese Einsicht hat sich allerdings erst im Laufe des 19. Jahrhunderts allgemein durchgesetzt. So wurde es im ausgehenden 19. Jahrhundert möglich, auf der Grundlage einer neuen Theorie, der Mengenlehre, den Unendlichkeitsbegriff in abstrakter Form zu behandeln. Für die Geschichte der Mathematik ist die Diskussion der Zenon’schen Paradoxien im Altertum, in der Scholastik und in der Neuzeit auch deshalb von großer Bedeutung, weil sie mit dazu beigetragen hat, den Begriff des Kontinuums (und damit den Begriff der reellen Zahl) zu klären. Dieser Begriff zählt zu den fundamentalen Begriffen der Mathematik. Die Klärung gelang erst allmählich im 19. Jahrhundert. In früheren Zeiten mochte der Rat Voltaires, statt sich mit dem Unendlichen abzuquälen, lieber an die eigene Gesundheit zu denken, wohl noch ein guter Rat gewesen sein. Heute ist die Begrifflichkeit so gut entwickelt, daß der Umgang mit unendlichen Größen in der Mathematik keine Gefahr mehr in sich birgt. Allerdings müssen wir vorsichtig sein und dürfen nicht so einfach behaupten, daß alle Gefahren gebannt seien, denn die Gefahren sind erst dann wirklich gebannt, wenn für die axiomatische Mengenlehre ein Widerspruchsfreiheitsbeweis vorliegt. Aber ein solcher Beweis ist nach den Gödel’schen Unvollständigkeits-Sätzen nicht möglich. Eine vollständige Absicherung des mathematischen Denkens ist nicht möglich.

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Kapitel 6  Die Paradoxien Zenons

Literatur Aristoteles: Werke in deutscher Übersetzung, Band 11: Physik-Vorlesung, übersetzt von Hans Wagner. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1967. Bacon, Fr. Rogeri: Opera quaedam hactenus inedita, Band 1: Opus Tertium (Herausgegeben von J.S. Brewer), London 1859. Bolzano, Bernard: ‘Paradoxien des Unendlichen’ (aus dem Nachlaß herausgegeben von Fr. Prihonsky), Reclam-Verlag Leipzig 1851. Buridanus, Johannes: ‘Kommentar zur Aristotelischen Physik’ (Faksimile Nachdruck der Ausgabe Paris 1509), Minerva Verlag Frankfurt a. M. 1964. Buridanus, Johannes: ‘Expositio et Quaestiones in Aristotelis De Caelo et Mundo’, Herausgegeben von Benoit Patar, Reihe: Philosophies médiévaux Band 33, Éditions Peeters, Louvain-­ La-­Neuve 1996. Cohn, Jonas: ‘Geschichte des Unendlichkeitsproblems im abendländischen Denken bis Kant’. Leipzig 1896, Nachdruck G. Olms Verlag Hildesheim 1983. Descartes, René: ‘Œuvres’, publiées par Ch. Adam et P. Tannery, Paris 1902, Nachdruck: Librairie Philosophique J. Vrin, Paris 1973–1976, 11 Bände. du Bois-Reymond, Paul: Über die Paradoxien des Infinitärkalküls. Math. Annalen 11 (1877), pp. 149–167. Murdoch, John E.: ‘Infinity and Continuity’, in: The Cambridge History of Later Medieval Philosophy, (Herausgegeben von N.Kretzmann  – A.Kenny  – J.Pinborg), Cambridge 1970, pp. 564–591. Murdoch, John E.: ‘Henry of Harclay and the Infinite’. In: Maierù e Paravicini Bagliani: Studi sul XIV Secolo in Memoria di Anneliese Maier. Rom 1981, pp. 219–261. Sesiano, Jacques: ‘Vergleiche zwischen unendlichen Mengen bei Nicolas Oresme’. In: „Mathematische Probleme im Mittelalter, der lateinische und arabische Sprachbereich (Menso Folkerts, Herausgeber), Wolfenbüttler Mittelalter Studien Nr. 10; Harrassowitz Verlag Wiesbaden 1996, pp. 361–378.

Teil II

Philosophie der Mathematik im 16., 17. und 18. Jahrhundert

Im 16. Jahrhundert wurde mit sehr viel Beredsamkeit und Sachkenntnis die Frage diskutiert, welchen Status die euklidische Geometrie unter den Wissenschaften hat. Man war sich weitgehend einig in der Einschätzung, daß sie die aristotelischen Anforderungen an eine Wissenschaft nicht erfüllt, aber dennoch unter allen Diszi­ plinen den höchsten Grad an Klarheit und Gewißheit besitzt. Wir berichten über diese Debatte in Kap. 7. In dieser Debatte wurde die Mathematik immer wieder für ihre „apodiktische Gewißheit“ gerühmt. Dabei ist „apodiktische Gewißheit“ eine Gewißheit, die durch unwiderlegbare und voraussetzungslose Beweise gestützt ist. Die Frage, ob die Be­ weise in der Mathematik wirklich völlig voraussetzungslos sind, wurde vom 16. Jahrhundert an kontrovers diskutiert. Es wurde schließlich die etwas genauere Frage gestellt, wie groß der Umfang unserer Erkenntnisse a priori wirklich ist. In Kap. 8 besprechen wir den sogenannten „Nativismus“, den René Descartes und andere vertreten haben. Hier wird der Standpunkt eingenommen, daß die Er­ kenntnis der mathematischen Wahrheiten auf der „klaren und deutlichen“ intellek­ tuellen Anschauung der uns angeborenen Ideen beruht (nativus = angeboren). Der Umfang unserer Erkenntnis a priori ist dieser Auffassung zufolge sehr groß. In Kap. 9 diskutieren wir die Auffassung des „aufgeklärten“ John Locke, der sich vehement gegen den cartesischen Nativismus gewandt hat und deshalb auch den Umfang unserer mathematischen Erkenntnis a priori eher für sehr klein hielt. In Kap. 10 geht es um den „Rationalismus“ , demzufolge alle Wahrheiten der Arithmetik und der Geometrie allein aus der Ratio (dem menschlichen Geist, der menschlichen Vernunft) geschöpft werden können (Hobbes, Leibniz et al.). In Kap. 11 behandeln wir den „Empirismus“ von David Hume, George Berkeley, John Stuart Mill und anderen, demzufolge es überhaupt kein Wissen a priori in der Mathematik gibt. In Kap. 12 kommen wir zur „kritischen Philosophie“ Immanuel Kants und sei­ nen Bemühungen, den Umfang unserer Erkenntnis a priori neu zu bestimmen.

Kapitel 7

Über die Gewißheit in der Mathematik

„Je me plaisois surtout aux Mathématiques, a cause de la certitude & de l’evidence de leurs raisons.“ René Descartes, ‚Discours de la Méthode‘ (1637).

Die Frage, welchen Status die euklidische Geometrie unter den Wissenschaften hat, wurde im 16. Jahrhundert, dem Zeitalter der Renaissance, sehr intensiv diskutiert. Man war sich weitgehend einig in der Einschätzung, daß sie die aristotelischen Anforderungen an eine Wissenschaft nicht erfüllt, aber dennoch unter allen Disziplinen den höchsten Grad an Klarheit und Gewißheit besitzt. Aber führt die euklidische Geometrie auch zu „apodiktischer Gewißheit“, d. h. zu einer Gewißheit, die sich im Sinne von Aristoteles auf eine „wissenschaftliche Beweisführung“ stützen kann? Läßt sich die euklidische Axiomatik der aristotelischen Apodeixis unterordnen, oder ist die euklidische Axiomatik gar der aristotelischen Apodeixis überlegen? Über die Diskussion dieser Streitfrage im 16. Jahrhundert wollen wir in diesem Kapitel berichten. Wir beginnen mit einer Schilderung, wie es überhaupt dazu kam, daß die euklidische Axiomatik der aristotelischen Apodeixis gegenüber gestellt wurde.

7.1  D  as Bekanntwerden der Werke von Euklid und Proklos im griechischen Original Im lateinisch sprechenden Westeuropa waren die griechisch-sprachigen mathematischen Werke schon im frühen Mittelalter in Vergessenheit geraten. Im 10. Jahrhundert war in diesem Teil des Abendlandes beispielsweise kein einziger vollständiger © Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_7

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Kapitel 7  Über die Gewißheit in der Mathematik

Text der ‚Elemente‘ von Euklid mehr vorhanden. Nur die lateinische Übersetzung aus dem Griechischen, die Boëthius (ca. 480–524) kurz nach 500 u. Z. angefertigt hatte, war noch in knappen Auszügen verfügbar. Erst im 12. Jahrhundert erwachte hier wieder das Interesse an mathematischen Abhandlungen. Mit den ‚Elementen‘ Euklids beispielsweise konnte man im Abendland aber erst wieder vertraut werden, nachdem vollständige lateinische Übersetzungen aus dem Arabischen angefertigt wurden [Adelhard von Bath (ca. 1120), Gerhard von Cremona (ca. 1150) und Campanus von Novara (ca. 1255)]. Eine vollständige lateinische Übersetzung aus dem Griechischen, die um 1160 in Palermo angefertigt wurde, wurde nur einem sehr kleinen Kreis von Gelehrten bekannt. Erst nach 1453, als der türkische Emir Mehmet II Konstantinopel eroberte, was dazu führte, daß die Gelehrten des kaiserlichen Hofes und viele Mönche nach Italien flohen und die alten Handschriften der griechischen Philosophen, Dichter und Wissenschaftler aus ihren Bibliotheken und Klöstern mitnahmen, gelangten auch viele griechisch-sprachige mathematische Werke nach Italien. So kam es, daß in Westeuropa zahlreiche Werke, die man gar nicht oder nur noch in lateinischen Übersetzungen aus dem Arabischen kannte, endlich wieder im griechischen Original bekannt wurden (vergl. Kap. 6, Fußnote 2). Der Kommentar von Proklos (410–485) zum ersten Buch der euklidischen ‚Elemente‘ war nicht ins Arabische übersetzt worden und wurde erst jetzt in der westlichen Welt bekannt. Insbesondere löste das Bekanntwerden vieler platonischer Schriften eine wahre Begeisterung aus. Es begann eine Renaissance des Platonismus, was aber auch zu einem Kampf gegen Aristoteles und die Scholastik führte. Gedruckt wurde die griechische Urfassung der euklidischen ‚Elemente‘ zusammen mit dem Kommentar von Proklos zum ersten Mal 1533 in Basel in der Offizin von Johannes Herwagen. Der Herausgeber war Simon Grynaeus (1493–1541). Eine lateinische Übersetzung des Kommentars von Proklos hatte etwas später Franziscus Baroccius (F. Barozzi, 1537–1604) angefertigt und 1560 in Padua publiziert. Seiner Ausgabe der euklidischen ‚Elemente‘ stellte Grynaeus ein Vorwort (Praefatiuncula) von 8 Seiten voran. Darin beklagte er zunächst den schlechten Unterricht in allen Fächern, der ein wildes Durcheinander ohne vorausbestimmte Ordnung sei und von den Schülern die Zustimmung zu jeder vorgetragenen Behauptung verlangen würde, ohne daß ihre Wahrheit geprüft werden könne. Er empfahl die ‚Elemente‘ Euklids als Lehrbuch der Arithmetik und der Geometrie, weil in den ‚Elementen‘ der Stoff überzeugend und in wohldurchdachter Reihenfolge vorgetragen und jede Behauptung durch einen klar formulierten Beweis gestützt würde. Für Grynaeus war die axiomatisch aufgebaute Geometrie der vollkommene Maßstab der wissenschaftlichen Methode: „… Geometriae, quae methodi totius absoluta et perfecta formula est.“

Damit hatte Grynaeus die führende Rolle, die die aristotelische Wissenschaftslehre bis dahin immer noch spielte, in Frage gestellt. Als vollkommener Maßstab der wissenschaftlichen Methode galt damals immer noch die Methode, die Aristoteles in seiner ‚Zweiten Analytik‘ ausgearbeitet hatte. Sie war das unbestrittene Ideal

7.2  Die Unterschiede zwischen der aristotelischen und der euklidischen Methode

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aller Disziplinen. Selbst die Theologie wurde von den Scholastikern nach dem aristotelischen Vorbild entwickelt und die Glaubensartikel (articuli fidei) als wahre Prinzipien der Theologie erklärt (vergl. dazu H. Schüling, op. cit.). Die aristotelische Methode ist auch eine Form der Axiomatik, die aber von der euklidischen Axiomatik in mancher Hinsicht sehr verschieden ist. Proklos hat in seinem Euklid-Kommentar zwar versucht, die euklidische Axiomatik der aristotelischen Wissenschaftstheorie anzupassen, ist aber damit den ‚Elementen‘ Euklids nicht gerecht geworden. Es begann im 16. Jahrhundert eine intensive Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Formen der Axiomatik und ihren jeweiligen Vorzügen und Nachteilen. Über diese Diskussion wollen wir im Folgenden berichten.

7.2  D  ie Unterschiede zwischen der aristotelischen und der euklidischen Methode Über den aristotelischen Wissenschaftsbegriff haben wir in Kap.  3 und über die euklidische Axiomatik in Kap. 4 ausführlich berichtet. Beide sollen im Folgenden einander gegenübergestellt werden. Die Auffassung von Geometrie bei Aristoteles und bei Euklid unterscheidet sich bereits in ihren Gegenstandsbereichen. Die Gegenstände einer aristotelisch konzipierten Geometrie müssen einen stofflichen Träger besitzen, also „nach der Art der hyle“ in unserer natürlichen Umwelt vorhanden sein, und ergeben sich durch eine abstrahierende Betrachtungsweise. Demgegenüber sind die Gegenstände der euklidischen Geometrie Idealisierungen. Sie sind gedachte (oder erdachte) Punkte, Linien, Flächen, Körper und Winkel. Die Anforderungen, die Aristoteles an eine wissenschaftlich betriebene Geometrie stellt, haben wir in Kap. 3 ausführlich beschrieben. Eine solche Geometrie beruht auf einem System von Wesensdefinitionen der Grundbegriffe, Nominaldefinitionen der abgeleiteten Begriffe und einem System von reinen Existenzsätzen als weiteren Hypothesen. Bei Euklid hingegen wird ein System von Aussagen aufgestellt, in dem Forderungen über den Umgang mit den durch Idealisierung gewonnenen geometrischen Objekten, die nur begrifflich gefaßt wurden, mitgeteilt werden. Diese Aussagen werden Postulate genannt. Die Geometrien von Aristoteles und Euklid unterscheiden sich auch ganz wesentlich in den jeweils zugrunde liegenden Beweisbegriffen. Bei Euklid muß ein Beweis nur zeigen, „daß“ (hoti, ὅτι, quod) es sich, wie behauptet, aufgrund der vorangestellten Definitionen und Postulate so-und-so verhält. Aristoteles hingegen verlangt, daß ein wissenschaftlicher Beweis nur von Thesen ausgehen darf, in denen gesagt wird, welche Eigenschaften die untersuchten Objekte ihrem Wesen nach (also καθ᾽ αὑτό, per se) besitzen. Solche Thesen sind in den Wesensdefinitionen enthalten: aus ihnen ergibt sich, „weshalb“ (dihoti, διότι, quare,

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Kapitel 7  Über die Gewißheit in der Mathematik

cur) es sich so-und-so verhält. Diese Wesensdefinitionen sind in der aristotelischen Aus­drucks­weise also die wahren Ursachen für das Bestehen der jeweils behaupteten Sachverhalte. Ein wissenschaftlicher Beweis darf sich nach Aristoteles nicht auf Postulate stützen, da aus ihnen ja nur hervorgeht, welche Eigenschaften die untersuchten Objekte κατὰ συμβεβηκός, also per accidens1, (d. h. aufgrund von Zuschreibung, nicht zum Wesen gehörig) besitzen sollten. Wir erinnern an die Formulierung der Formursache (im 1. Buch der aristotelischen ‚Metaphysik‘, Kap. 3): Die causa formalis (die Formursache) besteht in der Angabe des „Wesens“ (εἶδος καὶ τὸ παράδειγμα) des in Frage stehenden Gegenstandes.

Die aristotelische Forderung lautet also, daß man sich in einer wissenschaftlich betriebenen Mathematik in den Beweisen ihrer Theoreme nur auf Aussagen über die Existenz und das Wesen der betrachteten Gegenstände stützen darf. Die Wirkung dieser Forderung war enorm. Alle Philosophen des Mittelalters und der Scholastik haben diese Forderung angenommen und in ihren Schriften unterstützt und verteidigt. Thomas von Aquin (1225–1274) beispielsweise hat in seinem ‚Kommentar zum Trinitätstraktat des Boethius‘ (‚Expositio super librum Boethii De trinitate‘, Quaestio VI, Articulus I, Responsio) die aristotelische Auffassung vom wissenschaftlichen Charakter der Mathematik wie folgt beschrieben: „In scientiis enim mathematicis proceditur per ea tantum, quae sunt de essentia rei, cum demonstrent solum per causam formalem.“ [Denn in den mathematischen Wissenschaften wird nur durch das vorangeschritten, was zum Wesen der Dinge gehört, weil sie (die Mathematiker) nur durch die Formursache beweisen.]

Die Frage ist, ob dies auch für die euklidische Geometrie gilt. Beweise, die sich nur auf das „Daß“ (ὅτι, quod) stützen, wurden in den schola­s­ tischen Kommentaren demonstrationes quia genannt, und Beweise, die sich auf das „Warum“ (διότι, cur, quare) stützen, wurden demonstrationes propter quid genannt. Der arabische Philosoph Áverróës (1126–1198) hat in seinem Kommentar zur ari­s­ totelischen Physik Beweise, die nicht nur das „scire quod“ (wissen, daß) sondern auch das „scire propter quid“ (wissen weshalb) liefern, also simul et quia et propter quid, „demonstrationes potissimae“ genannt. In vielen mittelalterlichen Kommentaren findet sich die etwas voreilige Behauptung, daß in den mathematischen Beweisen nicht nur das „Daß“, sondern auch das „Weshalb“ bewiesen würde, und daß sie folglich demonstrationes potissimae wären und deshalb den höchsten Grad an Gewißheit hätten.

1  Wir wollen schon an dieser Stelle hervorheben, daß im Unterschied zu den Akzidenzien die Attribute diejenigen Eigenschaften eines Gegenstandes sind, die er aufgrund seines Wesens (also per se) hat. Im Lateinischen ist „attributum“ das Zugeteilte und „accidentia“ das unvorhergesehen Eintretende, das Unwesentliche einer Sache.

7.3  Der Streit über die Frage, ob die euklidische Geometrie eine Wissenschaft im …

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7.3  D  er Streit über die Frage, ob die euklidische Geometrie eine Wissenschaft im aristotelischen Sinne ist Der Erste, der diese tradierte mittelalterliche Auffassung gründlich untersuchte, war Alexander Píccolomíni (1508–1578). Er meinte (1547, op. cit.), daß die Beweise in der Mathematik keine demonstrationes propter quid wären, weil in ihnen nicht aus Ursachen, also nicht aus Wesens-Definitionen geschlossen würde, und daß sie folglich auch keine demonstrationes potissimae wären. Die mathematischen Disziplinen wären somit nach Píccolomíni keine Wissenschaften im aristotelischen Sinne. Píccolomíni fügte hinzu, daß die Mathematik dennoch den höchsten Grad an Klarheit und Gewißheit habe. Er begründete seine Meinung damit, daß die mathematischen Objekte vom menschlichen Geist erschaffen worden seien, und der menschliche Geist über die Dinge, die er selber erschaffen habe, genauere Aussagen machen könne als über Objekte, die er in der Natur außerhalb seines eigenen Denkens vorfände.2 Die Überzeugung, daß der menschliche Geist Schöpfer der mathematischen Dinge sei, hatten schon vor ihm Proklos, Roger Bacon, Nikolaus von Kues3 und andere geäußert. Geronimo Cardano (1501–1576) schloß sich in seinem großen naturphilosophischen Buch ‚De subtilitate, libri XXI‘ (Nürnberg, 1550) dieser Auffassung an und meinte, daß es daher nicht verwunderlich sei, daß die Geometrie die subtilste (d. h. die genaueste und sicherste) aller Wissenschaften ist: „Nihil mirum igitur Geometriam esse omnium scientiarum subtilissimam“. Der Streit über die Frage, ob die euklidische Geometrie eine Wissenschaft im aristotelischen Sinne sei, wurde auch an den deutschen Universitäten mit aller Heftigkeit und Polemik ausgetragen. Simon Simonius (aus Lucca gebürtig), der in der zweiten Hälfte des 16. Jahrhunderts in Genf, Heidelberg und Leipzig lehrte, war genauso wie Píccolomíni überzeugt, daß die Mathematik keine Wissenschaft im aristotelischen Sinne sei. Eines seiner Argumente machte geltend, daß die Beweise in der Geometrie keine demonstrationes potentissimae wären, weil die Geometer ihre Sätze aus Postulaten ableiten, die offenbar keine wahren Seinsprinzipien seien. Simonius war „ein unruhiger Kopf, der viel Zänkerei anfing“ heißt es in Johann Heinrich Zedlers ‚Großem vollständigen Universallexikon‘, Band 37, (Leipzig 1743). Eine seiner vielen Zänkereien fing er in seinem Buch ‚Anti Scheckiana‘ (Basel 1571) mit dem Tübinger Philosophen Jacob Schegk an.

 Diesen Gedanken haben auch René Descartes (vergl. Kap. 8, Fußnote 4) und Kurt Gödel (vergl. Kap. 16, Beweis von (†)) geäußert. 3  Proklos schrieb in der ersten Vorrede zu seinem Euklid-Kommentar, „daß der menschliche Geist der Schöpfer der mathematischen Seinsformen und Begriffe“ sei. Nikolaus von Kues (1401–1464) schrieb etwa tausend Jahre später in seinem Essay ‚Über den Beryll‘ aus dem Jahre 1458 (dort Kap. 33), daß es unser Geist sei, der die mathematischen Dinge herstelle: „ut mentem nostrum, quae mathematicalia fabricat“ und daß die mathematischen Dinge, auch wenn sie durch Abstraktion gewonnen würden, doch wahrer in unserem menschlichen Geist als im Sinnfälligen seien: „mathematicalia, quae a sensibus abstrahuntur, vidit veriora in mente.“ 2

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Kapitel 7  Über die Gewißheit in der Mathematik

Schegk wehrte sich und schrieb eine harsche Entgegnung mit dem Titel ‚Antisimonius‘ (Tübingen, 1573). Schegk war einer der berühmtesten Aristoteliker seiner Zeit. Er nahm sich vor, in seiner Schrift nachzuweisen, daß die euklidische Geometrie doch eine Wissenschaft im aristotelischen Sinne sei. Zum Beweis diskutierte Schegk den berühmten Satz von der Winkelsumme im Dreieck (Euklid, ‚Elemente‘, I,32). Schegk argumentierte (in Anlehnung an Proklos, op. cit., S. 311), daß die Aussage, daß in einem Dreieck die Summe der drei inneren Winkel zwei rechten Winkeln gleich sei, eine Eigenschaft von Dreiecken sei, die ihnen nicht zufällig (d. h. nicht per accidens) aufgrund von Postulaten zukomme, sondern zu ihrem Wesen gehöre (und somit zur Wesensdefinition des Begriffes „Dreieck“ gehöre) und daß folglich der von Euklid gegebene Beweis von der causa formalis Gebrauch mache. Insofern, meinte Schegk, würde dies Beispiel zeigen, daß die euklidische Geometrie in der Lage wäre, die Ursachen der behaupteten Sachverhalte aufzuzeigen und daß sie folglich doch eine Wissenschaft im aristotelischen Sinne sei. Um prüfen zu können, ob Schegk Recht hat, wollen wir uns den Beweis dieses Satzes von der Winkelsumme im Dreieck etwas genauer ansehen. Zum Beweis sagt Euklid, daß man bei einem beliebigen vorgegebenen Dreieck A,B,C etwa durch den Punkt C die (eindeutig bestimmte) Parallele π zur Dreiecksseite AB ziehen muß. Dann erkennt man, daß der Winkel ∠(B,A,C) als Wechselwinkel zwischen den Linien AC und π, und der Winkel ∠(C,B,A) als Wechselwinkel zwischen den Linien CB und π

auftritt. Zusammen mit dem Winkel ∠(A, C, B) ergänzen sich die beiden Wechselwinkel im Punkt C zu zwei rechten Winkeln. Q.E.D. Proklos berichtete, daß der genannte Satz über die Winkelsumme im Dreieck zuerst von den Pythagoräern bewiesen worden sei. Vermutlich war der Satz aber schon Thales und vielleicht auch schon den Ägyptern und den Babyloniern ein wohlbekannter Sachverhalt, die ihn auf empirischem Wege gefunden hatten, aber noch keinen begrifflich geführten Beweis besaßen. Adrien Marie Legendre bewies (vor gut 200 Jahren), daß die Gültigkeit des Satzes über die Winkelsumme im Dreieck mit der Gültigkeit des Parallelen-Axioms äquivalent ist (vergl. Bonola-Liebmann, op. cit., S. 126). Daraus ergibt sich, daß der Winkelsummensatz nicht allein aus der Wesensdefinition des Begriffes „Dreieck“ gefolgert werden kann! Die Eigenschaft, die der Winkelsummensatz ausdrückt, ist also keine Eigenschaft, die ein Dreieck von sich aus (per se) hat, sondern eine Eigenschaft, die sich erst aus der Lage des Dreiecks im System aller Punkte und aller Geraden ergibt. Das, was im System aller Punkte und aller Geraden gilt, wird bei Euklid von den vorangestellten Postulaten festgelegt. Die Eigenschaft, die der Winkelsummensatz ausdrückt, ist also keine Eigenschaft, die zum Wesen eines Dreiecks gehört, also kein Attribut von Dreiecken, sondern eine Eigenschaft, die ein Dreieck nur per accidens besitzt, da sie sich lediglich aus der durch die Postulate bestimmten ­geometrischen Struktur ergibt. Dies festzustellen ist aus mathematischer und aus philosophischer Sicht von hoher Relevanz.

7.3  Der Streit über die Frage, ob die euklidische Geometrie eine Wissenschaft im …

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Aus heutiger Sicht können wir also feststellen, daß Schegk und Proklos sich geirrt haben: der euklidische Beweis schöpft nicht die Essential-Definition des Begriffes „Dreieck“ aus, sondern ergibt sich erst aus den axiomatisch geforderten ­Eigenschaften des Systems aller Punkte, aller Geraden und aller Kreise der euklidischen Geometrie. Der von Euklid gegebene Beweis des Winkelsummensatzes fällt also nicht unter die aristotelische Apodeixis! Der spanische Gelehrte Benedictus Pererius (Perera, Pereyra: 1535/1537–1610), der in Rom am Collegio Romano die Fächer Philosophie und Theologie unterrichtete, untersuchte in seinem Werk ‚De Communibus omnium rerum naturalium Principiis & Affectionibus‘ (Rom 1576, Lyon 1585) ebenfalls die Frage, ob die Mathematik, die Physik, etc. Wissenschaften im aristotelischen Sinne sind. Auch er (wie schon zuvor Píccolomíni und Simonius) kam zu dem Ergebnis, daß die mathematischen Disziplinen, Arithmetik und Geometrie, keine wahren Wissenschaften (im aristotelischen Sinne) seien.

Zum „Beweis“ zeigte er (im dritten Buch des oben genannten Werkes, Cap. III, S. 114 ff.), daß in der Mathematik keine der vier aristotelischen Ursachenarten behandelt würden. Einleitend diskutierte er die Aufgabe I,1 aus den ‚Elementen‘ Eu­ klids, wo über einer beliebig vorgegebenen Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichtet werden soll (wir sprachen darüber in Kap. 4). Pererius argumentierte, daß für die Gleichheit der drei Seiten keine „Ursache“ (im aristotelischen Sinne) angegeben wird, und daß die Gleichheit der drei Seiten sich nur ergibt, weil den Dreiecksseiten nicht ihrem Wesen nach sondern nur (aufgrund von Postulaten) „beiläufig“ (akzidentiell) die Eigenschaft zukommt, zugleich Radien von Kreisen zu sein und daß insofern nur per accidens geschlossen wird. Er folgerte, daß dieser Beweis sicherlich keine demonstratio propter quid sei. Pererius gab auch eine Untersuchung des Beweises des Satzes über die Winkelsumme im Dreieck (Euklid, ‚Elemente‘, I,32). Er meinte (op. cit., S. 40–41), daß der Beweis ganz wesentlich von der Konstruktion der Parallelen abhängt, die zu einer Dreiecksseite durch den dieser Seite gegenüberliegenden Punkt gezogen wird. Aber die Existenz der Parallelen und ihre Wesensdefinition kann nicht als „Ursache“ (im aristotelischen Sinne) für die Gültigkeit des Winkelsummensatzes herangezogen werden, weil die Eigenschaft, daß die Winkelsumme zwei rechten Winkeln gleich sei, eine Eigenschaft des Dreiecks sei und nicht der Parallelen. Er schloß daraus,

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Kapitel 7  Über die Gewißheit in der Mathematik

daß auch dieses Beispiel zeige, daß in den Beweisen der Mathematik nicht aus Ursachen geschlossen würde. Pererius hat mit vielen weiteren Argumenten seine Auffassung, daß die Mathematik keine Wissenschaft (im aristotelischen Sinne) wäre, zu untermauern versucht. „Mea opinio est, Mathematicas disciplinas non esse proprie scientias“

heißt es auf Seite 40. Er faßt seine Gedanken wie folgt zusammen: „Scire est rem per caussam cognoscere propter quam res est; & scientia est demonstrationis effectus: demonstratio autem (loquor de perfectissimo demonstrationis genere) constare debet ex his quae sunt per se, & propria eius quod demonstratur; quae verò sunt per accidens, & communia, excluduntur à perfectis demonstrationibus: sed Mathematicus neque considerat essentiam quantitatis, neq; affectiones eius tractat prout manant ex tali essentia, neque declarat eas per proprias caussas, propter quas insunt quantitati, neque conficit demonstrationes suas ex praedicatis propriis, & per se; sed ex communibus, & per accidens, ergo doctrina Mathematica non est propriè scientia.“ (Pererius 1585, op. cit., liber primus, Cap. XII, S. 40). [Wissen heißt, ein Ding durch die Ursache zu erkennen, deretwegen es existiert, und Wissenschaft ist das, was durch einen Beweis hervorgebracht wird. Ein Beweis (und ich spreche hier von der perfektesten Art eines Beweises) darf nur von solchen Dingen abhängen, die per se existieren und die zu dem gehören, was bewiesen wird. All das, was nur akzidentiell und allgemein ist, ist von perfekten Beweisen ausgeschlossen. Aber ein Mathematiker betrachtet weder das Wesen der [zu untersuchenden] Größe, noch behandelt er die Beschaffenheiten (Affektionen), die Ausfluß aus dem Wesen sind, noch erklärt er die Beschaffenheiten durch die eigentümlichen Ursachen, aufgrund derer sie in der Größe vorhanden sind, noch macht er seine Beweise mit echten und eigentümlichen Eigenschaften, sondern nur mittels allgemeiner und akzidentieller Eigenschaften. Also ist die Mathematik keine echte Wissenschaft.]

Martinus Smiglecius (Marcin Smiglecki, 1564–1618), ein polnischer Philosoph, Theologe und Logiker, hat in seiner ‚Logica‘ (Ingolstadt, 1618) den oben geschilderten Gedanken von Pererius aufgegriffen. Genauso wie Pererius betont er, daß in der Mathematik nicht aus Ursachen geschlossen wird. Insbesondere wird beispielsweise in der Aufgabe I,1 aus den ‚Elementen‘ Euklids nicht aus der Wesensdefinition des diskutierten Dreiecks geschlossen, sondern aus dem Verhältnis des Dreiecks zu der umfassenderen, größeren Figur. Smiglecius schreibt (wir zitieren aus Schüling, op. cit., S. 51 und 135): „(…) in Mathematicis non probantur proprietates ex essentia subjecti, sed ex habitudine ad aliam figuram: Ergo non probantur per veram causam essendi.“ (Smiglecius, op.  cit., S. 306). [In der Mathematik werden die Eigenschaften nicht aus dem Wesen des Subjektes, sondern aus seiner Beziehung zu einer anderen Figur erschlossen. Also wird nicht aus wahren Seinsgründen bewiesen.]

Das ist eine sehr gute Bemerkung, die zugleich deutlich macht, daß die Antwort auf die Frage, ob in einem vorgelegten geometrischen Beweis aus Ursachen geschlossen wird oder nicht, von den Figuren, in die die vorgegebene Figur eingebettet ist – und damit von den strukturellen Eigenschaften des gesamten umgebenden Raumes, abhängt.

7.4 Diskussion

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Joseph Blancanus (1566–1624), ein Schüler des Mathematikers Christoph Clavius, hat sich in einem umfangreichen Traktat zu Wort gemeldet. Dieser Traktat erschien 1615 als Anhang zu seinem Werk ‚Aristotelis loca mathematica‘. Blancanus schließt sich Proklos, Schegk und vielen anderen an und will zeigen, daß die euklidische Geometrie doch unter die aristotelische Apodeixis fällt. Im 2. Kapitel seines Traktats diskutiert er die Aufgabe I,1 aus den ‚Elementen‘ Euklids, die auch schon Pererius diskutiert hatte (siehe oben). Aber während Pererius zeigen wollte, daß die Lösung der Aufgabe nur per accidens und nicht durch Angabe von Ursachen erfolgt, will Blancanus ganz im Gegenteil zeigen, daß die Lösung doch aus Ursachen erschlossen wird. Dazu muß er allerdings die gestellte Aufgabe ein wenig umformulieren, sinngemäß: Wenn eine Strecke AB gegeben ist, dann ist das Dreieck A,B,C, wobei C einer der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise mit Radius AB um den Punkt A, bzw. um den Punkt B ist, ein gleichseitiges Dreieck.

Diese Umformulierung erlaubt es Blancanus, die Gleichseitigkeit aus der (üblichen) Essential-Definition des Kreises zu folgern. Nach Aristoteles ist eine solche Folgerung ein Schluß durch die causa formalis. Das ist richtig, aber es muß festgestellt werden, daß Blancanus von einer anderen Konfiguration spricht als Euklid. Außerdem hat Blancanus die Pointe vermasselt, denn der „Witz“ des Vorgehens Euklids besteht darin, die Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks durch Schlagen zweier Kreise zu bewerkstelligen. Die Einführung der beiden Kreise ist der schöpferische Gedanke. Diesen Gedanken übergeht Blancanus, indem er annimmt, daß die beiden Kreise schon vorgegeben seien. Andererseits hat Blancanus mit seiner Bemerkung durchaus den zentralen Nerv der aristotelisch konzipierten Geometrie getroffen, die nur dann durchführbar ist, wenn in allen Diskussionen von Diagrammen stets alle benötigten Hilfslinien bereits vorhanden sind (vergl. unsere Diskussion in Kap. 3).

7.4  Diskussion In der Auseinandersetzung haben wir einige prominente Philosophen, Logiker und Theologen zu Wort kommen lassen. Unter denen, die überzeugt waren, daß die Mathematik keine Wissenschaft im aristotelischen Sinne ist, waren Alexander Píccolomíni, Benedictus Pererius, Simon Simonius, …

und unter denen, die die Mathematik doch als Wissenschaft im aristotelischen Sinne gelten lassen wollten, waren Thomas von Aquin, Jacob Schegk, Joseph Blancanus, et al.

Auffallend ist, daß sie alle über die unterschiedlichen Auffassungen von Aristoteles und Euklid in Bezug auf den ontologischen Status der geometrischen Objekte schwiegen. Auch Christoph Clavius (eigentlich Christoph Schlüssel, 1537/38–1612)

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Kapitel 7  Über die Gewißheit in der Mathematik

hat in seiner monumentalen Euklid-Ausgabe (op. cit., Rom 1574, Köln 1591) die Position Euklids im Hinblick auf den Seins-Status der mathematischen Gegenstände nicht verteidigt. (Euklid selbst hatte ihn auch nicht explizit dargelegt.) Clavius hat nur versucht, die Mathematik gegen den Vorwurf, sie sei keine Wissenschaft, zu verteidigen. Im Vorwort schreibt er unter dem Absatz „Nobilitas atque praestantia scientiarum Mathematicarum“ (Der Ruhm und die Vortrefflichkeit der Mathematischen Wissenschaften): „Quoniam disciplinae Mathematicae de rebus agunt, quae absque ulla materia sensibili considerantur, quamvis re ipsa materiae sint immersae; perspicuum est eas medium inter Metaphysicam, et naturalem scientiam obtinere locum, si subiectum earum consideremus.“ [Weil die mathematischen Disziplinen von Dingen handeln, die losgelöst von jeglicher sinnlich wahrnehmbaren Materie betrachtet werden, obwohl sie in die Materie eingetaucht sind, ist es klar, daß sie einen Platz zwischen der Metaphysik und der Naturwissenschaft einnehmen, wenn wir ihre Gegenstandsbereiche betrachten.]

Das ist wieder die aristotelische Position: Die Mathematik handelt von den sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen der Welt. Aber sie handelt von ihnen nur im Hinblick auf Anzahl, Länge, Breite, Tiefe oder Form, und unter Absehung aller übrigen Eigenschaften, aber doch so, als ob sie eigenständige Objekte wären. (Wir sprachen darüber in Kap. 3.) Clavius meint, daß die Mathematik deshalb einen Platz zwischen der Metaphysik und den Naturwissenschaften einnimmt. Aber er fährt fort, daß man nur in der Mathematik Aussagen von absoluter Gewißheit gewinnen könne. In den Naturwissenschaften hingen die Ergebnisse von vielen empirischen Beobachtungen ab, und in der Metaphysik stehe man unentschlossen zwischen den Ansichten der Peripatetiker, der griechischen, der lateinischen und der arabischen Kommentatoren, der Nominalisten und der Realisten, etc. Der Mathematik gebühre also unter allen Wissenschaften der erste Platz. Der Streit über den Status der Mathematik ging weiter. Wer sich insgesamt noch etwas ausführlicher über die Ansichten den streitenden Personen unterrichten möch­te, sei auf die sorgfältig recherchierten Bücher von Hermann Schüling 1969, op. cit., und Paolo Mancosu 1996, op. cit., verwiesen. Vom frühen 17. Jahrhundert an erlosch allmählich das Interesse an der großen Streitfrage, ob die Mathematik eine Wissenschaft im aristotelischen Sinne sei oder nicht. Dazu trug die Entstehung der neuen physikalischen Theorien und der neuen mathematischen Disziplinen (insbesondere der Algebra, auch „Coss“ genannt, der Projektiven Geometrie, der Analytischen Geometrie und der Differential- und Integral-­Rechnung) bei, die offensichtlich nicht in das aristotelische Schema paßten. Mit dem Ausgang der Renaissance verlor die aristotelische Wissenschaftstheorie allmählich ihre Vormachtstellung und wich einem neuen Wissenschaftsideal, das sich aus einer Modifikation der euklidischen Axiomatik ergab. Das Ansehen, das die axiomatische Methode Euklids inzwischen gewonnen hatte, führte dazu, daß sie auch in Gebieten, die nicht zur Mathematik zählen, angewandt wurde. Man sprach davon, daß diese Gebiete more geometrico abgehandelt würden. Ein berühmtes Beispiel für diese Darstellungsweise ist die ‚Ethik‘ des portugiesisch-niederländischen Philosophen Benedictus de Spinoza (1632–1677).

Literatur

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Aber die große Streitfrage war nicht entschieden worden. Sie beschäftigte die Mathematiker, Logiker und Philosophen daher auch noch in den folgenden Jahrhunderten. (i) Kann man die Grundbegriffe der Geometrie und der Arithmetik so definieren, daß sich alle wahren Sätze der Geometrie und alle wahren Sätze der Arithmetik allein aus dem, was in den Definitionen niedergelegt wurde, beweisen lassen? Die Beweise müßten sich dann nicht auf Postulate stützen. Die wahren Sätze dieser Disziplinen wären Erkenntnisse a priori und im Sinne von Kant analytische Urteile (cf. Kap. 12). Sie wären apodiktisch gewiß und durch unwiderlegbare, voraussetzungslose Beweise gestützt. (ii) Läßt sich das in (i) angegebene Programm mit Wesens-Definitionen realisieren? – Wenn die Antwort negativ ausfallen sollte, stellt sich die Frage, ob das Programm mit den etwas aussagekräftigeren Kausal-Definitionen (auch „genetische Definitionen“ genannt) ausführen läßt? Auf diese Frage kommen wir in Kap. 10 zurück. (iii) Es stellt sich aber auch die Frage, ob denn die Grundbegriffe der Geometrie und der Arithmetik überhaupt definierbar sind. – Darüber werden wir in den Kap. 10 und 20 sprechen.

Literatur Aristoteles: ‘Analytica posteriora’, übersetzt und erläutert von Wolfgang Detel, Band 3, Teil II, der von E. Grumach und H. Flashar herausgegebenen Werke von Aristoteles in dt. Übersetzung. Akademie Verlag Berlin 1993. Blancanus, Josephus: ‘Aristotelis loca mathematica ex universis ipsius operibus collecta, et explicata, … Accessere de Natura Mathematicarum scientiarum Tractatio, … ’, Bologna 1615. Bonola, Roberto  – Liebmann, Heinrich: ‘Die Nichteuklidische Geometrie’. Reihe: Wissenschaft und Hypothese, IV, Teubner Verlag Leipzig, zweite Auflage 1919. Clavius, Christoph: ‘Euclidis Elementorum Libri XV, Accessit XVI de solidorum regularium comparatione, etc.’ Romae, apud Vincentium Accoltum, 1574 (2. Auflage Rom 1589; 3. Auflage Köln 1591). Mancosu, Paolo: ‘Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century’, Oxford University Press 1996. Pererius (Pereyra), Benedictus: ‘De Communibus omnium rerum naturalium Principiis & Affectionibus, libri XV’. Lyon 1585 (1. Auflage: Rom 1576). Piccolomini, Alexander: ‘In mechanicas questiones Aristotelis, Paraphrasis paulo quidem plenior … Ejusdem commentarium de certitudine Mathematicarum Disciplinarum, etc.,’ Romae (Antonius Bladus Asulanus) 1547. Proklus Diadochus: ‘Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen’. Aus dem Griechischen ins Deutsche übertragen u. m. textkrit. Anm. versehen von Leander Schönberger, eingel. etc. von Max Steck, Halle/S. 1945. Schüling, Hermann: ‘Die Geschichte der axiomatischen Methode im 16. und beginnenden 17. Jahrhundert’. Georg Olms-Verlag Hildesheim 1969. Smiglecius, Martin: ‘Logica’, Ingolstadt 1618.

Kapitel 8

Der Descartes’sche Nativismus Der Prometheus-Mythos, der augustinische Illuminismus und der cartesianische Rationalismus

In der Antike haben die epischen Dichter immer wieder die Musen angerufen mit der Bitte, sie zu inspirieren und ihnen bei der Abfassung ihrer Gesänge die Feder zu führen. Die Musen sind die Töchter des Zeus und der Mnêmosynê; sie sind die Göttinnen des Gesanges, des Wissens und der Erinnerung. Der Anruf der Musen beruht auf der Überzeugung, daß die Musen als Göttinnen allem Geschehen beiwohnen und daher von Allem das richtige Wissen haben. Es kommt hinzu, daß die Sprache der Dichter als die Sprache der Götter verstanden wurde, denn sie ist durch den Rhythmus (und im Abendland auch durch Reime und Alliterationen) geprägt, und ist in ihrer Würde und Erhabenheit nicht die gewöhnliche Sprache der Menschen. Im Heiligtum von Delphi sprach die Pythia, nachdem sie aus der heiligen Quelle getrunken hatte und damit „des Gottes voll war“, und nachdem sie sich durch Kauen von Lorbeerblättern in einen Rauschzustand versetzt hatte, in Hexametern das aus, was ihr der Gott Apoll (Apollon Pythios) eingegeben hatte. Platon läßt in seinem Dialog ‚Ion‘ den Sokrates sagen, daß auch die Dichter die Sprecher der Götter seien, und daß die schönen Gedichte nichts Menschliches seien, sondern „Göttliches von den Göttern“ (534e) und daß es die Götter selber seien, die durch die Münder der Dichter zu uns sprächen (534d).

8.1  Der göttliche Ursprung der Mathematik In einem mathematischen Werk sucht man die Anrufung der Götter oder der Musen vergebens. Das liegt wohl daran, daß es unter den neun Musen keine Muse für die Mathematik gibt. Es gibt eine Muse für die Kommödie (Thália, die „Heitere“), eine Muse für die Tragödie (Melpoménê, die „Liederkundige“), eine Muse für den heroischen Gesang und die Elegie (Kalliópê, die „Schönstimmige“) etc. und sogar eine Muse für die Astronomie (Uranía, die „Himmlische“). Aber dennoch glauben

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_8

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

viele Mathematiker, daß auch die Mathematik göttlichen Ursprungs sei: Göttliches von den Göttern. Beispielsweise schrieb René Descartes (1596–1650) in einem Brief an Marin Mersenne (1588–1648) vom 15. April 1630: „Les verités mathématiques, lesquelles vous nommé eternelles, ont esté establies de Dieu.“ [Die mathematischen Wahrheiten, die Sie als ewige Wahrheiten bezeichnet haben, sind von Gott aufgestellt worden.] (Œuvres de Descartes, Band 1, 1974, S. 145.)

Ähnliche Äußerungen findet man auch bei vielen anderen Mathematikern, von der Frühzeit der Mathematik an bis in unsere Gegenwart. Von Sriniwasa Ramanujan (1887–1920) ist die folgende Äußerung überliefert: „Eine Gleichung hat für mich keinen Sinn, wenn sie nicht einen Gedanken Gottes zum Ausdruck bringt.“

Solche Überzeugungen gibt es also über die ganze Welt verstreut in den verschiedensten Kulturen. In Europa können wir die Spuren derartiger Überzeugungen bis in die Frühzeit der griechischen Kultur zurückverfolgen. Sie zeigen sich bereits im Prometheus-Mythos (Hesiod, Aischylos, Platon) und dann erneut in der Stoa, im Neuplatonismus, in der Patristik und in der Renaissance. Bei Hesiod (‚Theogonie‘, Verse 507–616, und ‚Werke und Tage‘, Verse 45–89) ist Prometheus einer der Titanen, der den Menschen das Feuer gebracht hat. Bei Platon (‚Philebos‘, 16c-d, und ‚Protagoras‘, 320c–322a) ist die Gestalt des Prometheus weiterentwickelt zu einem Gott, der den Menschen nicht nur das Feuer, sondern auch viele Kunstfertigkeiten und das Licht der Erkenntnis gebracht hat. Bei Aischylos (‚Der gefesselte Prometheus‘) ist es Prometheus, der den Menschen die Arzneikunst geschenkt hat, das Rechnen mit Zahlen, das Schreiben mit Buchstaben, etc. Aischylos läßt den Prometheus die lange Liste aller Wohltaten, die er den Menschen gebracht hat, wie folgt beenden: „Mit einem Worte: Alle Kunst der Menschen und alle Wissenschaft ist mein Geschenk.“

Prometheus hat den Menschen demnach nicht nur das Feuer, sondern auch das „Licht der Erkenntnis“ gebracht. Er hat den Menschen die Wissenschaften und insbesondere auch die Mathematik geschenkt. Der Prometheus-Mythos ist nur eine dichterische Ausformulierung der Überzeugung, daß alle Künste und alle Wissenschaften göttlichen Ursprungs seien. In der Stoá nahm diese Überzeugung sogar einen ganz zentralen Platz ein.

8.2  Die griechischen und die römischen Stoiker Zu den vier großen Philosophenschulen Athens1 gehörte auch die von Zenon von ­Kition um 300 v. u. Z. gegründete „Stoá“ (Στοά). Sie wird „Stoa“ genannt nach dem Versammlungsort, der Stoa Poikilê (στοὰ ποικίλη) im Zentrum von Athen.  Es waren dies Platons Akademie (vergl. Kap. 2), Aristoteles’ Perípatos (vergl. Kap. 3), Epikurs

1

8.3  Die mathematischen Gegenstände als Gedanken Gottes (Augustinus)

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Diese Stoa Poikilê war eine mit großen farbigen Wandgemälden ausgestaltete offene Wandelhalle, deren Dach von hohen Säulen getragen wurde. Die Stoiker lehrten, daß die Welt von der Gottheit aufs beste eingerichtet2 und alles von ihr vorausgeplant sei. Insbesondere hätte die Gottheit den Menschen den Verstand geschenkt. Der Stoiker Lucius Annäus Seneca (ca. 4 v. u. Z. – 65 u. Z.) drückte diesen Gedanken (in seinem 66. Brief an Lucilius) wie folgt aus: „Ratio autem nihil aliud est, quam in corpus humanum pars divini spiritus mersa.“ [Der Verstand (die Vernunft) ist aber nichts Anderes, als ein in den Menschenleib gesenkter Teil göttlichen Geistes.]

Nach der Lehre der Stoiker ist der göttliche Verstand wie ein Samen durch das ganze Weltall verstreut und in allen Menschen wirksam. Das ganze Menschengeschlecht hat am logos spermatikos (λόγος σπερματικός) teil. Der Stoiker Epiktêt (Ἐπίκτητος, ca. 50–138 u. Z.) war überzeugt, „daß wir unseren Leib mit den Tieren gemeinsam haben, daß wir aber unseren Verstand und unsere Vernunft mit den Göttern teilen“ (cf. Arrian: ‚Unterredungen mit Epiktet‘, I,3, Diederichs Verlag Leipzig 1905, S. 9).

Man kann diesen Zitaten entnehmen, daß der alte Prometheus-Mythos auch in der Philosophie der Stoiker noch immer eine große Wirkung ausübte und dabei neben einigen anderen Disziplinen auch die Mathematik in den Rang eines Betätigungsfeldes der Götter erhob. Die aufkommende Philosophie des Christentums absorbierte vom dritten Jahrhundert an die platonische Ideenlehre, die Philosophie der Stoa und auch den Neuplatonismus. Die platonischen „Ideen“ wurden dabei zu „Gedanken Gottes“. Insbesondere wurden auch die Gegenstände der Mathematik bei dieser Transformation zu „Gedanken einer Gottheit“.

8.3  D  ie mathematischen Gegenstände als Gedanken Gottes (Augustinus) Aurelius Augustinus (354-430 u. Z.) ist einer der bedeutendsten Vertreter der Patristik, d.  h. der Philosophie der Kirchenväter. Er hat mit dazu beigetragen, daß die Lehren der Platoniker, Stoiker und Neuplatoniker (Platon, Seneca, Plotinos, Porphyrios und andere) im Sinne des Christentums umgedeutet wurden. Er lehrte, daß unsere Erkenntnisse nichts anderes als inwendige Offenbarungen Gottes seien. Das ist offenbar eine Umdeutung der platonischen Wiedererinnerungs-Lehre, über die wir in Kap. 2 berichtet haben, aber natürlich auch eine Anlehnung an den Mythos von der Wirksamkeit der Götter (wie er beispielsweise auch der ‚Aeneis‘ Vergils zugrunde liegt) und der Musen (wie oben geschildet wurde).

Garten und Zenons Stoa. Epikur lebte von 341 bis 270 v. u. Z. 2  Was bekanntlich Voltaire bestritt, und in seinem ‚Candide‘ mit Spott überzog.

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

Augustinus behandelt in seinem Dialog ‚De Magistro‘ (geschrieben etwa im Jahre 390) die Funktion der Sprache. Aussagen, die wir lesen oder hören, bewirken seiner Meinung nach, daß in uns Vorstellungen aufsteigen. Wenn die Aussagen von Dingen der natürlichen Umwelt handeln, dann sind die Vorstellungen Erinnerungen an Wahrnehmungen, die wir schon einmal gemacht haben. Wenn die Aussagen von Gegenständen handeln, die nur geistig wahrnehmbar sind, dann sind die Vorstellungen, die in uns aufsteigen, „inwendige Offenbarungen“ einer Gottheit. Augustinus schreibt über seine eigene Rolle als Lehrer: „... docetur enim non verbis meis, sed ipsis rebus deo intus pandente manifestis.“ [..... (der Schüler) wird nämlich nicht durch meine Worte belehrt, sondern durch die Dinge selbst, die durch Gottes inwendige Offenbarung handgreiflich (=sichtbar) werden.] (Augustinus: ‚De Magistro‘, § 40, op. cit. S. 370.)

Um zur Erkenntnis der Wahrheit zu kommen, befragt die vernunftbegabte Seele die Weisheit Gottes (‚De Magistro‘, § 38). Alles Erkennen, auch das Erkennen mathematischer Wahrheiten, ist für Augustinus eine inwendige Offenbarung Gottes (‚De Magistro‘, § 40). Die Wahrheit kann nur erkannt werden, wenn ein höheres Wesen sie uns zeigt (Augustinus: ‚Contra Academicos‘, §  5). Wir erblicken die Wahrheit im (übernatürlichen) Licht Gottes. Der menschliche Geist wird vom göttlichen Geist erleuchtet (illuminiert). Die Lehre des Augustinus, die sich hier in allerersten Andeutungen zeigt, wird daher als „Illuminismus“ bezeichnet (cf. Alexander Koyre, op. cit., S. 166 ff.). Die platonische Ideenlehre hat Augustinus nicht verworfen. Er hat lediglich den Ort der Welt der Ideen auf neue Weise bestimmt und ihn in die göttliche Vernunft verlegt: „ideae ... quae in divina intelligentia continentur“ heißt es in der Quaestio 46: „De ideis“ seiner Schrift: ‚De diversis quaestionibus octoginta tribus‘. Daraus ergibt sich, daß auch die mathematischen Gegenstände ihren Ort in der göttlichen Vernunft haben. In dieser Feststellung ist eine Aussage über den ontologischen Status der mathematischen Gegenstände enthalten, aber nichts über ihren epistemischen Status. Es heißt lediglich, daß das, was wir wissen, ein Geschenk Gottes sei, also lediglich ein Ausfluß aus dem göttlichen Wissen. José Ortega Y Gasset (1883–1955) hat in seinem Buch ‚En Torno a Galileo‘ die Auffassung von Augustinus sehr prägnant wie folgt zusammengefaßt: „El hombre por si solo no es capaz de pensar la simple verdad: 2+2=4. La intuición de toda verdad, eso que llamamos sensu stricto inteleccion, es operación de Dios en nosotros.“ [Für sich allein ist der Mensch nicht fähig, die einfache Wahrheit: 2+2=4 zu denken. Die Erkenntnis jeglicher Wahrheit, wofür auch im genaueren Wortsinne »Einsicht« gesagt werden kann, ist das Wirken der Götter in uns.] (Ortega Y Gasset: ‚En Torno a Galileo, esquema de las crisis‘, Collection Austral, Madrid 1965, Seite 183.)

Die Frage nach dem „Woher“ des Gewußten haben Augustinus, Aristoteles, Platon, Plotin und andere auf sehr unterschiedliche Weise beantwortet. Aber das, was gewußt wird, ist bei keinem von ihnen eine schöpferische Eigenleistung des menschlichen Geistes, sondern nur etwas, was entweder im Bereich der Gedanken eines

8.4  René Descartes: Mathematische Gesetze als Edikte einer Gottheit

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Gottes oder im Bereich des an sich Seienden, der Welt der Ideen oder der sinnlich erfahrbaren Umwelt als Sachverhalt besteht. Daß beispielsweise „drei-mal-drei gleich neun“ ist, ist dieser Auffassung nach wahr, weil es in der Gedankenwelt eines Gottes bzw. im Bereich des an sich Seienden wahr ist. Die Schöpfung des Zahlbegriffs und die Aufstellung der Regeln des Rechnens mit Zahlen werden hier nicht als kreative Leistungen der Menschen angesehen und es ist auch egal, ob die Menschen die zahlentheoretischen Wahrheiten zur Kenntnis nehmen, oder nicht. Sie bestehen unabhängig von ihnen: „Daß drei mal drei neun ist, ... bleibt notwendigerweise wahr, auch wenn die ganze Menschheit schnarcht.“ (Augustinus: ‚Gegen die Akademiker‘, op. cit., S. 122.)

8.4  R  ené Descartes: Mathematische Gesetze als Edikte einer Gottheit Die Frage, warum (beispielsweise) 2+2=4 ist, hat sich Augustinus vermutlich nie gestellt. Auch in den folgenden Jahrhunderten hat sich wohl niemand diese Frage gestellt. Man war mit der Antwort, daß es ein Gott so eingerichtet habe, zufrieden. Auch René Descartes (1596–1650) war etwa tausend Jahre später mit dieser Antwort immer noch zufrieden. Descartes war in seiner Jugend Zögling (alumnus) des Jesuiten-Collegiums „Collège Royal“ in La Flêche (ca. 65 km nord-westlich von Tours) und dort gründlich in der Philosophie und Theologie von Augustinus und Thomas von Aquin unterrichtet worden. Descartes wurde so zu einem Erben der augustinischen Philosophie. Descartes verglich Gott mit einem souveränen Gesetzgeber, der die physikalischen Gesetze und ebenso die mathematischen Gesetze nach seinem Willen aufgestellt hat, „ainsy qu’un Roy establist des lois en son Royausme“. [so wie ein König die Gesetze seines Reiches dekretiert.] (Descartes, Œuvres (J. Vrin, Paris, 1974), Band 1, S. 145).

In einem Brief vom 27. Mai 1630 an Mersenne schrieb er, daß es Gott auch hätte einrichten können, „... qu’il ne fust pas vray que toutes les lignes tirées du centre à la circonference fussent égales“. [... daß die Radien eines Kreises nicht alle einander gleich sind.] (Descartes, Œuvres (J. Vrin, Paris, 1974), Band 1, S. 152).

Das macht allerdings keinen rechten Sinn, denn Kreise sind definitionsgemäß solche geschlossenen ebenen Kurven, in denen alle „von einem eindeutig bestimmten Punkt bis zur Kurve laufenden Strecken einander gleich sind“ (Euklid: ‚Elemente‘, Buch I, Definition 15). – Descartes schrieb in den Jahren 1636–1640) in seinen ‚Meditationes‘:

Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

112

„... nec voluit tres angulos trianguli aequales esse duobus rectis.“ [...und so sehr er (Gott) gewollt hat, daß die Winkel eines Dreiecks insgesamt zwei rechte Winkel ausmachen sollen.] (R.  Descartes: ‚Meditationes de prima Philosophia, Sextae Responsiones‘, Œuvres (J. Vrin, Paris, 1973), Band 7, Seite 432.)

In nicht-euklidischen Geometrien ist die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks nicht zwei rechten Winkeln gleich. Die Gesetze einer solchen Geometrie hätte der „souveräne Gesetzgeber“ für unsere natürliche Welt tatsächlich erlassen können, und vielleicht hat er es sogar auch getan, wie Albert Einstein vermutete. Aber Descartes war ebenso davon überzeugt, daß auch die arithmetischen Gleichungen 2.4=8 und 2+3=5 (op. cit. Band VII, S. 436, S. 445; Band IX-1, S. 28) dem göttlichen Willen entsprungen seien. Er schrieb dazu: „Nec proinde putandum est aeternas veritates pendere ab humano intellectu, vel ab aliis rebus existentibus, sed a solo Deo, qui ipsas ab aeterno, ut summus legislator, instituit.“ [Und daher darf man nicht glauben, daß die ewigen Wahrheiten vom menschlichen Verstand abhängen, oder von der Existenz irgendwelcher Dinge, sondern ganz allein vom göttlichen Willen, der wie ein souveräner Gesetzgeber von Ewigkeit her diese aufgestellt hat.] (R.  Descartes: ‚Meditationes de prima Philosophia, Sextae Responsiones‘ ‚Œuvres (J. Vrin, Paris, 1973), Band 7, Seite 436).

Da die mathematischen Sachverhalte vom göttlichen Willen abhängen, kann (nach Descartes) ein Atheist sie nicht wirklich wissen. „Quantum ad scientiam Athei, facile est demonstrare illam non esse immutabilem & certam.“ [Was die Wissenschaft eines Atheisten betrifft, ist es leicht zu zeigen, daß er nichts mit Unveränderlichkeit und Sicherheit wissen kann.] (R.  Descartes: ‚Meditationes de prima Philosophia, Sextae Responsiones‘, Œuvres (J. Vrin, Paris, 1973), Band 7, Seite 428).

Aber hätte ein Gott statt 2+3=5 auch 2+3=6 oder irgendeine andere Gleichung erlassen können? Das hätte er nicht tun können, denn die Identität 2+3=5 folgt (unter Verwendung des Assoziativ-Gesetzes) unmittelbar aus den Definitionen 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1 und 5=4+1 wie folgt:

5 = 4 + 1 = ( 3 + 1) + 1 = ( ( 2 + 1) + 1) + 1 =

(((1 + 1) + 1) + 1) + 1 = 2 + ((1 + 1) + 1) = 2 + 3.

Darauf hatte Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) in seinem Dialog ‚Confessio Philosophi‘ (op. cit., S. 50–51) hingewiesen. (Leibniz hatte dort allerdings das augustinische Beispiel 3.3=32=9 diskutiert, vergl. auch Leibnizens ‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘, F. Meiner Verlag Hamburg 1971, S. 490). Bereits in der Antike hatte Cajus Plinius Secundus (23/24 – 79 u. Z.) in seiner ‚Naturgeschichte‘ (2. Buch, § 11) bemerkt, „daß es ein Irrtum wäre anzunehmen, daß die Götter.... allmächtig wären, und daß sie auch nicht bewirken könnten, daß beispielsweise 2.10≠20 wäre.“ Descartes selber hatte in seinen ‚Regulae ad Directionem Ingenii‘ (1628) aber auch geschrieben, daß beispielsweise 4+3=7 „notwendig wahr“ sei („haec compositio necessaria est“, cf. Œuvres X, S. 421) und daß wir etwas anderes gar nicht denken

8.5  Descartes’ Nativismus

113

könnten. Descartes scheint sich damit zu widersprechen. Er tut es aber nicht, denn in einem Brief an Mersenne (vom 27. Mai 1630, cf. Œuvres I, S. 152) heißt es ergänzend, daß in der Welt, in der wir leben, beispielsweise 4+3=7 eine notwendige Wahrheit ist, daß aber ein „Gott“ in seiner Allmacht und Willensfreiheit auch eine ganz andere Welt hätte erschaffen können, in der die Gegenstände einer anderen Arithmetik und einer anderen Geometrie gehorchen würden. Insofern können (nach Descartes’ Meinung) die arithmetischen und geometrischen Wahrheiten vom göttlich Willen abhängen. Zwischen den Äußerungen von Descartes, Leibniz und Plinius besteht also kein Widerspruch. Zur Begründung der Mathematik tragen solche Überlegungen allerdings nichts bei, aber sie zeigen, wie sehr Descartes noch im Denken der Patristik und der Scholastik verhaftet war.

8.5  Descartes’ Nativismus Die Frage, wie es uns Menschen gelingen kann, die „ewigen Wahrheiten“ der Mathematik zu erkennen, beantwortete Descartes anders als Platon und Augustinus. Er bezog sich nicht auf den „Nous“ und die „Wiedererinnerung an vorgeburtliches Wissen“, wie Platon es lehrte, und auch nicht auf eine „inwendige göttliche Offenbarung“, von der Augustinus sprach, sondern auf eine „unmittelbare Anschauung der Ideen, die uns angeboren sind.“ Descartes sprach dabei in Anlehnung an Cicero und Thomas von Aquin von „angeborenen Ideen“ (ideae innatae).3 – Man bezeichnet die Auffassung, daß bestimmte Vorstellungen, Begriffe und Grundeinsichten etc. angeboren seien, als „Nativismus“. Descartes meinte, daß er in seinem Geist viele Ideen von Dingen vorfände, die außerhalb des Denkens nicht existieren würden und auch nicht von seinem Geist ­erschaffen worden seien und deshalb bereits von Geburt an in seinem Geist vorhanden sein müßten. In seinen ‚Meditationes‘, Objectiones Quintae, drückte er sich da­ rü­ber wie folgt aus: „Sed quantum ad essentias quae clare & distincte cognoscuntur, qualis est ea trianguli alteriusve cujusvis figurae Geometricae, facilè cogam te ut fatearis illarum ideas, quae in nobis sunt, a singularibus non esse desumtas.“ [Was jedoch die Wesenheiten, die klar und deutlich erkannt werden, betrifft, wie beispielsweise die des Dreiecks und der anderen geometrischen Figuren, so wird es ein Leich-

 Descartes schrieb in einem Brief vom 23. April 1649 an Clerselier, daß er die Lehre von den angeborenen Ideen aufgestellt habe, um denjenigen widersprechen zu können, die sagen, daß der Gottesbegriff von uns Menschen geprägt worden sei: „pour prevenir l’opinion de ceux qui pourroient dire que l’idee de Dieu est faite par nous“ (Descartes, Œuvres V, S. 354). In den Schriften ‚Regulae ad directionem ingenii‘ (ca. 1628) und ‚La Recherche de la verité par la Lumière naturelle‘ (Descartes, Œuvres X) bezeichnet Descartes die angeborenen Ideen in Anlehnung an die Stoiker als „semina“ und schreibt, daß sie „per lumen quoddam ingenitum“ bewußt gemacht würden. 3

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus tes sein, Dich zu zwingen zuzugeben, daß ihre Ideen, die in uns sind, nicht von den einzelnen Erscheinungen hergenommen sind.] (Descartes, Œuvres VII (‚Meditationes‘), S. 380.)

Die Ideen der geometrischen Figuren sind nach Descartes’ Meinung also nicht durch die Sinne in uns hineingekommen (loc. cit., S. 381). Wir haben sie als angeborene Ideen in uns und können deshalb die gezeichneten, sinnlich wahrnehmbaren geraden Linien, Dreiecke, Kreise etc. als Linien, als Dreiecke, als Kreise etc. erkennen. Er schreibt dazu: „Ac proinde, cum primum olim in infantia figuram triangularem in chartâ depictam aspeximus, non potuit illa figura nos docere quo pacto verus triangulus, ut a Geometris consideratur, esset concipiendus, quia non aliter in ea continebatur quam velut in rudi ligno Mercurius. Sed quia jam ante in nobis erat idea veri trianguli, & facilius a mente nostra, quàm magis composita figura picti trianguli, concipi poterat, idcirco, visâ istâ figurâ compositâ, non illam ipsam, sed potius verum triangulum apprehendimus. Eodem plane modo quo, dum respicimus in chartam, in quâ lineolae atramento ita ductae sunt ut faciem hominis repraesentent, non tam excitatur in nobis idea istarum lineolarum, quàm hominis: quod omnino non contingeret, nisi facies humana nobis aliunde nota fuisset.“ [Und genauso, als wir einst in unserer Jugend zum ersten Mal die Darstellung einer dreieckigen Figur auf einem Blatt Papier erblickten, konnte jene Figur uns nicht belehren, wie ein wirkliches Dreieck, wie es von den Geometern betrachtet wird, aufzufassen sei, weil es nicht anders in ihm enthalten war, als wie in einem groben Holzschnitt die Gestalt Merkurs. Aber weil die Idee eines wahren Dreiecks schon vorher in uns vorhanden war und sie von unserem Geist leichter erfaßt werden konnte als die zusammengesetztere Figur des gezeichneten Dreiecks, so erfaßten wir beim Anblick jener zusammengesetzten Figur nicht sie selbst, sondern vielmehr das wahre Dreieck. Ebenso, wenn wir ein Blatt betrachten, auf dem schwarze Striche so gezogen sind, daß sie das Gesicht eines Menschen darstellen, dann rufen diese Striche in uns nicht die Idee jener Striche wach, sondern die des Menschen. Und das wäre überhaupt nicht möglich, wenn das menschliche Angesicht uns nicht von anderer Seite bekannt gewesen wäre.] (Descartes: ‚Meditiones de Prima Philosophia‘, Œuvres VII, S. 382.)

Descartes ist offenbar der Auffassung, daß uns die Ideen der geometrischen Punkte, der geraden Linien, der Kreise, der Dreiecke etc. angeboren sind. Er ist auch der Auffassung, daß wir immer in der Lage sind zu erkennen, ob irgendeine vorgelegte einfache Kritzelei unter einen der oben genannten angeborenen Begriffe fällt. Wenn wir beispielsweise eine Kritzelei sehen, die aus drei zusammenhängenden einigermaßen geraden Strichen besteht, dann sind wir nach Descartes’ Auffassung in der Lage zu erkennen, daß mit der Kritzelei ein „Dreieck“ gemeint ist. Die „Idee eines Dreiecks“ ist ja einfacher (und früher) als das konkret hingekritzelte Dreieck und insofern leichter in seiner Form zu erkennen.

8.6  Die Ideen der mathematischen Gegenstände Von den Gegenständen der Arithmetik und der Geometrie sind uns (nach Descartes) deren „Ideen“ vertraut, da sie uns angeboren sind. Die Gegenstände der Arithmetik und der Geometrie sind aber nicht die Ideen selber. Es ist deshalb zunächst zu klären, was Descartes unter „Ideen“ versteht. Er sagt nur sehr wenig dazu.

8.6 Die Ideen der mathematischen Gegenstände

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In der 3. Meditation (Œuvres, Band VII, S. 37; Band IX-1, S. 29) schreibt Descartes, daß eigentlich nur solche Inhalte unseres Bewußtseins (oder unserer Gedankenwelt) „Ideen“ genannt werden sollten, die Erscheinungsbilder von Dingen sind. Descartes ist der Meinung, daß all die Ideen, die sich in unserem Geist (oder in unserem Bewußtsein) „klar und deutlich“ zeigen, die Ideen von wahrhaft existierenden Dingen sind. Zum Beweis sagt er, daß solche Ideen für Objekte stehen, von denen wir (eben weil sie „klar und deutlich“ wahrnehmbar sind) im Prinzip alles wissen können. Nur von wahrhaft existierenden Objekten können wir (jedenfalls im Prinzip) alles wissen; von Fiktionen, d.  h. von Objekten, die wir selbst erdichtet haben, können wir nur soviel erfahren, wie wir in ihre Beschreibungen hineingelegt haben. Von fiktiven Gegenständen können wir (nach Descartes’ Meinung) keine Beschreibungen geben, in denen von jeder Eigenschaft feststeht, ob sie zutrifft oder nicht.4 Es folgt aus diesen Überlegungen, daß die Gegenstände der Arithmetik und der Geometrie, deren Ideen sich alle in unserem Geist „klar und deutlich“ zeigen, keine Fiktionen, sondern wahrhaft existierende Dinge sind: „vera entia“ (Descartes, Œuvres V, S. 160; vergl. dazu auch G. Brown, R.G.Kottich und Å. Petzall, op. cit.). Problematisch ist hier der Schluß von der „klaren und deutlichen“ Wahrnehmbarkeit der Erscheinungsbilder (der Ideen) auf das wirkliche Dasein des bildhaft Dargestellten. Ist ein Dasein außerhalb der Gedankenwelt gemeint, unabhängig vom eigenen Denken? Wo ist der Ort der Existenz der Dinge, deren Ideen sich in unserem Bewußtsein zeigen? Descartes sagt nichts dazu. Die Adjektive „klar und deutlich“ verwendet Descartes so oft, daß sie zu Schlüsselwörtern seiner Philosophie geworden sind. Gleichbedeutend verwendet er auch die Adjektive und Adverbien: „klar und deutlich“ („claire & distinct“, cf. Œuvres VI, S. 18), „sehr klar und in die Augen fallend“ („tres-clairement & tres-évidemment“, cf. Œuvres IX,1, S. 51), „klar und sicher“ („claire & assurée“, cf. Œuvres VI, S. 4) oder „genau und scharf“ („precis & exact“, cf. Œuvres VI, S. 389), etc.

Die Bedeutungen der Wörter „klar“ und „deutlich“ sind allerdings selbst nicht sehr klar und deutlich. Aber für Descartes soll die „klare und deutliche“ ­Anschauung von Ideen die Gewißheit geben, daß es sich um Ideen von wahrhaft existierenden Dingen handelt. Diese Gewißheit soll sich nicht auf dem Wege einer sorgfältigen, schrittweisen Deduktion ergeben, sondern durch eine Tätigkeit des Intellekts, die Descartes Intuition nennt.

 Einen Gedanken, der mit diesem Gedanken Descartes’ sehr eng verwandt ist, hat Kurt Gödel 1951 in seiner berühmten ‚Gibbs-lecture‘ ausgesprochen (vergl. Gödels ‚Collected Works‘, Band III (Oxford 1995), S. 311). Wir werden in Teil III in der Diskussion des modernen Platonismus darauf zurückkommen. 4

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

8.7  Descartes’ Begriff der „Intuition“ Die „unmittelbare Anschauung der uns angeborenen Ideen“ gelingt unserem Intellekt durch eine Tätigkeit, die Descartes mit dem Wort „Intuition“ bezeichnet. In seinem Essay ‚Regeln zur Leitung des Geistes‘ (Regulae ad Directionem Ingenii‘, geschrieben ca. 1628, Opuscula Posthuma, erschienen in Amsterdam 1701, ­Œuvres X) behauptet er (im Kommentar zur dritten Regel): „Sed ne deinceps in eumdem errorem delabamur, hic recensentur omnes intellectus nostri actiones, per quas ad rerum cognitionem absque ullo deceptionis metu possimus pervenire: admittunturque tantum duae, intuitus scilicet & deductio.“ [Aber damit wir nicht in denselben Irrtum verfallen, sollen hier alle Tätigkeiten unseres Intellekts überprüft werden, durch die wir ohne jede Furcht vor Täuschung zur Erkenntnis der Dinge gelangen können: es sind nur zwei zulässig, nämlich Intuition und Deduktion.] (R. Descartes: ‚Regulae ad Directionem Ingenii‘, Œuvres (J. Vrin, Paris, 1974), Band 10, Seite 368).

Den Begriff der „Intuition“ erläutert Descartes sodann wie folgt: „Per intuitum intelligo, non fluctuantem sensuum fidem, vel malè componentis imaginationis judicium fallax; sed mentis purae & attentae tam facilem distinctumque conceptum, ut de eo, quod intelligimus, nulla prorsus dubitatio relinquatur; seu, quod idem est, mentis purae & attentae non dubium conceptum, qui à solâ rationis luce nascitur, & ipsâmet deductione certior est, quia simplicior, quam tamen etiam ab homine malè fieri non posse suprà notavimus. Ita unusquisque animo potest intueri, se existere, se cogitare, triangulum terminari tribus lineis tantùm, globum unicâ superficie, & et similia,....“ [Unter Intuition verstehe ich nicht das unbeständige Zeugnis der Sinne oder das trügerische Urteil, das sich auf die verworrenen Bilder der sinnlichen Anschauung stützt, sondern das unmittelbare und unterscheidende Begreifen des reinen und aufmerksamen Gei­s­ tes, so daß über das Erkannte überhaupt kein Zweifel bestehen bleibt, oder, was dasselbe ist, das über jeden Zweifel erhabene Begreifen des reinen und aufmerksamen Geistes, das allein dem Lichte der Vernunft (Ratio) entspringt. Die Intuition selbst ist sogar gewisser, weil sie einfacher ist als die Deduktion, die ja auch, wie oben bemerkt wurde, von uns ohne Fehl ausgeführt werden kann. So kann jeder durch Intuition mit dem Geist erfassen, daß er existiert, daß er Bewußtsein hat, daß das Dreieck von drei Seiten begrenzt wird, die Kugel durch eine einzige Oberfläche und dergleichen mehr (.....).] (R. Descartes: ‚Regulae ad Directionem Ingenii‘, Œuvres (J. Vrin, Paris, 1974), Band 10, Seite 368).

Ob die Intuition „gewisser als die Deduktion“ ist, kann bezweifelt werden. Für Descartes ist jedenfalls die Intuition auch im Bereich des Mathematischen die Quelle und Grundlage aller Erkenntnisse. Das (mittel-lateinische) Wort „intuitio“ bezeichnet ganz allgemein die unmittelbare geistige Anschauung, die visio intellectualis, die nicht diskursive, nicht auf Reflexion beruhende Erfassung von Sachverhalten oder Vorgängen. Das Wort ist von „intueri“ („auf etwas sehr genau hinschauen, betrachten, bedenken“) abgeleitet. Für Platon war „Intuition“ (νόησις) das nichtsinnliche Schauen und Erkennen der Ideen. Für Descartes ist die „Intuition“ das „unmittelbare und unterscheidende Begreifen des reinen und aufmerksamen Geistes“. Das, was dabei angeschaut und begriffen werden soll, sind die Ideen. Im Falle der angeborenen Idee eines Dreiecks

8.8  Descartes’ Essay ‚La Géométrie‘

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beispielsweise ist es (nach Descartes’ Meinung) dem menschlichen Geist möglich, diese Idee „klar und deutlich“ anzuschauen und dabei unmittelbar zu „sehen“, daß ein Dreieck drei Seiten hat, daß die Summe der Innenwinkel zwei rechten Winkeln gleich ist (und, wie wir – etwas skeptisch – ergänzen könnten: daß folglich das euklidische Parallelen-Postulat gilt), etc. (cf. Descartes Œuvres VII, S.  432; IX-1, S. 233). Diese Einsichten kann der Geist durch Intuition, d. h. durch ein aufmerksames Anschauen der Ideen, die sich ihm in seinem Geist zeigen, unmittelbar gewinnen. Aus dieser Diskussion können wir entnehmen, wie man nach Ansicht von Descartes zu mathematischen Einsichten kommen kann. Mathematische Theoreme können entweder durch Deduktion aus bereits bekannten Theoremen gewonnen werden oder durch Intuition, d. h. durch ein „klares und deutliches“ Erfassen der Ideen, die den betrachteten Gegenständen zugrunde liegen. Descartes war der Meinung, daß er deshalb die geometrischen und die arithmetischen Wahrheiten ganz aus sich selbst heraus schöpfen könne, allein aus der „ratio“ (dem Verstand, der Vernunft), also ohne sich auf Sinneseindrücke oder unbewiesene Postulate berufen zu müssen. Es bürgerte sich ein, eine solche Überzeugung als Rationalismus zu bezeichnen. Nach dem angegebenen Muster hat Descartes den Aufbau der Analytischen Geometrie in seinem Essay ‚La Géométrie‘ durchgeführt. Der Essay erschien als Anhang zu seinem ‚Discours de la Méthode‘ (Leiden, 1637).

8.8  Descartes’ Essay ‚La Géométrie‘ Dieser Essay ist ein kleines Buch, dessen Bedeutung für die weitere Entwicklung der Mathematik kaum überschätzt werden kann. In dem Essay wird eine neue mathematische Disziplin geschaffen, die sogenannte „Analytische Geometrie“, auf deren Fundament etwa 40 Jahre später die Differential- und Integral-Rechnung (Leibniz 1675/1684) und die Fluxions-Rechnung (Newton 1672, 1687, 1704, 1736) aufgebaut wurden. Die Darstellung ist frei von philosophischen Argumenten. Aber die philosophischen Grundüberzeugungen Descartes’ sind dennoch deutlich zu erkennen, da er die klassische euklidische Geometrie (siehe Kap. 4) nur um solche Objekte erweitern will, die von unserem Geist „genau und scharf“ („precis & exact“, cf. Œuvres VII, S. 389) wahrgenommen werden können. Solche Objekte sind „vera entia“ und insofern handelt der geometrische Kalkül nur von „wahrhaft seienden Dingen“ und liefert ausschließlich wahre Aussagen. Descartes will die euklidische Geometrie, die ja an Linien nur gerade Linien und Kreise kennt, um solche krummen Linien erweitern, die „ein genaues und scharfes Maß zulassen“ („qui tombent sous quelque mesure precise et exact“, Œuvres VI, S. 392). Er zeigt, daß es sich dabei um Kurven handelt, die mit Instrumenten gezeichnet werden können, in denen alle Teile reibungsfrei aneinander oder längs gerader Linien gleiten können. Solche Instrumente sind den gewöhnlichen Zirkeln

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

verwandt. Die damit gezeichneten Kurven haben „klare und exakte“ Beschreibungen und werden von Descartes als „geometrische Kurven“ bezeichnet. Beispiele solcher Kurven sind die Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln, die Konchoide des Nikomedes, die Kissoide des Diokles (Œuvres de Descartes, Band VI, S. 390), das cartesische Blatt und noch viele andere. Die Parabeln sind die Ortslinien von geworfenen Körpern, die Ellipsen sind (nach Johannes Kepler) die Ortslinien der um die Sonne kreisenden Planeten. Kurven, die nur mit mechanischen Hilfsmitteln gezeichnet werden können, wobei auf physikalische Eigenschaften (wie etwa Schwerkraft, Haftung, Reibung, gleichförmige Geschwindigkeit etc.) zurückgegriffen werden muß, werden in der cartesischen Geometrie nicht zugelassen. Solche Kurven werden „mechanische Kurven“ genannt. Beispiele solcher Kurven sind die Kettenlinie (die Linie einer durchhängenden, schweren Kette), die Quadratrix des Hippias von Elis, die archimedische Spirale, die Zykloide (auch ‚Roulette‘ genannt) von Galilei (1599), die trigonometrischen Kurven ‚sinus‘, ‚cosinus‘, ‚tangens‘ etc. (Œuvres, VI, S. 390). Das Kriterium für die Akzeptanz einer Kurve in der cartesischen Geometrie ist offenbar, daß man sich im Geist von ihrem vollständigen Verlauf ein klares und deutliches Bild machen kann. Damit eine Kurve von unserem Geist „klar und deutlich“ erfaßt werden kann, ist erforderlich, daß die Punkte, die auf ihr liegen, „in einer exakt meßbaren Beziehung zueinander stehen“ („qu’on puisse mesurer exactement“, Descartes, ‚Œuvres‘, Band VI, S. 390),

und damit ist gemeint, daß sich ihre Beziehungen in der Sprache der Algebra ausdrücken lassen. So sagt er es am Ende der Diskussion: „(...) je ne sçache rien de meilleur que de dire que tous les poins de celles qu’on peut nommer Geometriques, c’est a dire qui tombent sous quelque mesure precise & exacte, ont necessairement quelque rapport a tous les poins d’une ligne droite, qui peut estre exprimé par quelque equation, en tous par une mesme.“ [(...) ich weiß es nicht besser auszudrücken, als zu sagen, daß zwischen den Punkten solcher Kurven, (...) und den Punkten einer geraden Linie notwendigerweise eine Beziehung bestehen muß, die durch eine Gleichung ausgedrückt werden kann, und zwar in einheitlicher Weise für alle Punkte.] (Descartes, ‚Œuvres‘, Band VI, S. 392.)

Eine „geometrische Kurve“ ist also (in heutiger Ausdrucksweise) der geo-­ metrische Ort aller Punkte (x,y), welche einer Gleichung (k-ten Grades in y)

f ( x,y ) = a0 ( x ) + a1 ( x ) ⋅ y + a2 ( x ) ⋅ y 2 +…+ ak ( x ) ⋅ y k = 0



mit gebrochen-rationalen Funktionen ai(x) einer reellen Variablen x (als Koeffizienten) erfüllen (d. h. ai(x) ist ein Quotient zweier teilerfremder Polynome über dem Körper ℝ der reellen Zahlen). Solche Kurven hat Leibniz später als „algebraische Kurven“ bezeichnet (cf. Leibniz: ‚De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum‘, Acta eruditorum, Juni 1686, S. 292–300). Die zugelassenen Kurven sind also die „geometrischen Kurven“ und das sind die „algebraischen Kurven“. Die „mechanischen Kurven“ sind allesamt „transzendent“

8.8  Descartes’ Essay ‚La Géométrie‘

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und sind nicht zugelassen. (Für eine ausführliche Diskussion der Descartesschen Unterscheidung zwischen geometrischen und mechanischen Kurven siehe Henk Bos 1981, 1990, S. Krämer 1989 und Paolo Mancosu, op. cit., S. 71–79.) Wie die Beschreibung der zugelassenen, geometrischen Kurven durch algebra­ ische Gleichungen gelingt, erläutert Descartes anhand eines (cartesischen) Koordi­ naten-­Kreuzes (genauer: durch Anlegen eines rechten Winkels, so daß die betrachtete Figur vollständig zwischen den beiden Schenkeln liegt). Unter Verwendung des Strahlensatzes und des Satzes von Thales läßt sich zunächst eine Streckenrechnung einführen. Es werden dazu die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Strecken definiert und ebenso das Ziehen von Quadratwurzeln, so daß die üblichen Rechengesetze gelten. Mit dieser Streckenrechnung lassen sich für die „geometrischen Kurven“ Beschreibungen durch algebraische Gleichungen herstellen. Die „geometrischen Kurven“ sind folglich „klar und deutlich“ beschreibbar und sind somit „vera entia“. Die Umkehrung, daß auch jede „algebraische Kurve“ mit einem zirkelartigen Instrument gezeichnet werden kann, beweist Descartes nicht. Ein solcher Beweis ist erst etwa 240 Jahre später von A.B. Kempe, op. cit., gegeben worden. Zusammenfassung  Die Gegenstände der cartesischen analytischen Geometrie sind die „wahrhaft seienden“ geometrischen Objekte, also all die Objekte, für die es „klare und deutliche“ Ideen gibt. Also sind Punkte, Strecken, Kreise und die sämtlichen algebraischen Kurven Gegenstände der analytischen Geometrie Descartes’. Die cartesische analytische Geometrie benötigt im Unterschied zur euklidischen Geometrie kein System von Postulaten (oder Axiomen). Es ist nicht nötig, die Akzeptanz von irgendwelchen Prinzipien zu fordern, denn die sämtlichen Quellen, aus denen wir schöpfen, wenn wir geometrische Sätze beweisen wollen, liegen, wie Descartes meint, als angeborene Ideen in uns. Da die menschliche Ratio – nach Descartes’ Überzeugung – die Erscheinungsbilder aller „wahrhaft seienden“ geometrischen Objekte in sich selber vorfindet, kann sie das, was sie über diese Objekte wissen will, durch aufmerksames Anschauen ihrer Erscheinungsbilder erkennen. Die Erkenntnis geometrischer Sachverhalte gelingt der menschlichen Ratio also einerseits durch Intuition und andererseits durch Deduktion aus dem, was bereits erkannt wurde. Dabei darf die Ratio neben den wohlbekannten Gegenständen der euklidischen Geometrie auch alle algebra­ ischen Kurven zu Hilfe nehmen. Mit diesem sehr viel reicheren Vorrat an geometrischen Objekten lassen sich auch Sachverhalte konstruieren und exakt beschreiben, die in der euklidischen Geometrie nicht darstellbar sind. In der analytischen Geometrie Descartes’ läßt sich die Gültigkeit aller Postulate der euklidischen Geometrie „einsehen“. Aber auch die antiken „Verfahren der gerichteten Einschiebung“ (νεῦσις, inclinatio) lassen sich exakt nachvollziehen. Die Verfahren der Winkeltrisektion (Archimedes, Nikomedes, Al-Kaschi, Viète, Descartes) und der Würfelverdopplung (Hippokrates von Chios, Archytas von Tarent, Menaichmos und andere) beispielsweise, die sich in der euklidischen Geometrie nicht ausführen lassen (und deshalb als unexakt verpönt waren), lassen sich in der cartesischen analytischen Geometrie exakt beschreiben und ausführen. Aber auch

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

die Lehre von den Kegelschnitten, die im Wesentlichen Apollonius von Perge (ca. 262–190 v. u. Z.) ausgearbeitet hatte, und die in der Geometrie der euklidischen ‚Elemente‘ keinen Platz hatte, läßt sich innerhalb der cartesischen analytischen Geometrie abhandeln. Wir wollen noch erwähnen, daß auch die Methode des persischen Mathematikers Omar Chajjam (um 1070), kubische Gleichungen unter Verwendung von Kegelschnitten auf geometrischem Wege zu lösen, in der analytischen Geometrie Descartes’ in völlig einwandfreier Weise durchgeführt werden kann. Als Lösungen kubischer Gleichungen (mit positiven reellen Beiwerten) konnte Omar Chajjam nur Strecken geeigneter Längen angeben, aber keine algebraischen Terme, wie es später Scipione dal Ferro (um 1515), Nicolo Tartaglia (um 1535) und Geronimo Cardano (um 1539) gelang.

8.9  Diskussion Es gibt bei Descartes nur eine einzige Geometrie, nämlich die Geometrie aller „wahrhaft seienden“ geometrischen Objekte, also aller Objekte, für die es „klare und deutliche“ Ideen gibt. Da in der „geistigen Anschauung“, also der auf Intuition beruhenden Betrachtung, „gerade Linien“ nur durch wirklich gerade Linien vorgestellt werden können, und diese sehr leicht durch lineare Gleichungen beschrieben werden können, ergibt sich ohne Schwierigkeiten die Wahrheit aller geometrischen Postulate (Axiome) aus Buch I der euklidischen ‚Elemente‘. Insbesondere ergibt sich die Wahrheit des Parallelen-Postulats in der analytischen Geometrie Descartes’. Aber damit wird zugleich klar und deutlich, daß das „intuitive“ Erfassen von Sachverhalten nicht immer eine logische Analyse erlaubt. Denn der anschauliche Begriff der „geraden Linie“ läßt sich bekanntlich nicht mit (finiten) rein geometrischen Begriffen definieren, und dies ist auch der eigentliche Grund, warum Euklid in seiner Geometrie das Parallelen-Postulat benötigte. Welche Axiome in der cartesischen analytischen Geometrie sonst noch gültig sind, ist nicht so einfach zu beantworten. Wenn man großzügig ist, wird man alle Axiome der Hilbert’schen Geometrie nennen. Dann ergibt sich, daß die cartesische Geometrie die n-dimensionale Geometrie über dem Körper der reellen Zahlen ist, wie David Hilbert in seiner Schrift Grundlagen der Geometrie‘ (1899/1902) gezeigt hat (vergl. dazu U. Felgner, op. cit.). Diese cartesische Geometrie ist keine synthetische Geometrie, wie die euklidische Geometrie, d. h. eine Geometrie, in der durch „Zusammenführung“ (Synthesis) von Definitionen und Axiomen Schlüsse gezogen werden, sondern eine analytische Geometrie, in der unter Zuhilfenahme des algebraischen Formalismus’ durch Auflösen (Analysis) algebraischer Gleichungen geometrische Probleme gelöst werden können. Für Descartes spielte der weltanschauliche Überbau eine große Rolle, da er auf diese Weise begründen konnte (wie er meinte), daß auch die Objekte seiner Geo-

Literatur

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metrie „wahrhaft seiende Objekte“ sind und daß die Resultate, die in seiner Geometrie gewonnen werden können, beanspruchen können, wahr zu sein. Descartes stützte sich auf die Begriffe der „eingeborenen Ideen“ und der „Intuition“. Dem Begriff der „Intuition“ haftet jedoch etwas Subjektives an, von dem die Mathematik frei sein sollte. Wenn ein einzelner Mathematiker überzeugt ist, irgendeinen Sachverhalt „klar und deutlich“ eingesehen zu haben, dann ist es fraglich, ob auch jeder andere Mathematiker diesen Sachverhalt ebenso „klar und deutlich“ einsehen kann und einsehen wird. Wenn man also die Mathematik auf dem Fundament von „Intuitionen“ errichten will, dann gibt man die Zuverlässigkeit und Gewißheit der Mathematik auf. Hinzukommt, daß der Begriff der „Intuition“ selbst ziemlich unklar ist. Dieser Begriff ist vieldeutig, „chargé d’ambiguité“, wie Henri Bergson (1859–1941) sich einmal ausgedrückt hat. Er kann bei der Grundlegung der Mathematik keinen Platz haben. Diese von Descartes entworfene „Analytische Geometrie“ wird etwa seit 1920 auf dem Fundament der Mengenlehre und der Algebra errichtet. Die geometrischen Kurven sind hier Mengen von n-tupeln reeller Zahlen, die durch algebraische Gleichungen definiert sind. Dabei haben die geometrischen Gegenstände zwar ihre eigentlich geometrische Natur eingebüßt, aber die algebraischen Kurven sind jetzt unmittelbar gegeben und müssen nicht mehr als „vera entia“, als wahrhaft existierende geometrische Gegenstände gerechtfertigt werden. Der weltanschauliche Überbau, der Descartes noch geleitet hatte, kann auf dem mengentheoretischen Fundament vollständig beiseite geschoben werden. So konnte die „Analytische Geometrie“ Descartes’ zu einem der wichtigsten Bestandteile der heute üblichen Mathematik der Strukturen werden.

Literatur Augustinus, Aurelius: ‘De Magistro’ (Der Lehrer). In: Augustinus, Philosophische Spätdialoge, eingeleitet, übersetzt und erläutert von K-H.  Lütcke und G.  Weigel. Artemis Verlag Zürich 1973. Augustinus, Aurelius: ‘Contra Academicos’ (Gegen die Akademiker). In: Augustinus, Philosophische Frühdialoge, eingeleitet, übersetzt und erläutert von B.R.Voss et  al. Artemis Verlag Zürich 1972. Bos, Henk J.M.: ‘On the Representation of Curves in Descartes’ Géométrie’, Archive for History of Exact Sciences, 24 (1981), pp. 295–338. Bos, Henk J.M.: ‘The Structure of Descartes’ Géométrie’, Nachdruck in H.J.M. Bos: Lectures in the History of Mathematics. 1990. Brown, Gregory: ‘Vera Entia: The Nature of Mathematical Objects in Descartes’, Journal of the History of Philosophy, 18 (1980), pp. 23–37. Descartes, René: ‘Œuvres’, publiées par Ch. Adam et P. Tannery, Paris 1902, Nachdruck: Librairie Philosophique J. Vrin, Paris 1973–1976, 11 Bände. Descartes René: ‘Geometrie’, deutsch herausgegeben von Ludwig Schlesinger. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1969. Enskat, R.: ‘Kants Theorie des geometrischen Gegenstandes’, Berlin 1978.

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Kapitel 8  Der Descartes’sche Nativismus

Felgner, Ulrich: ‘Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ und ihre Stellung in der Geschichte der Grundlagendiskussion’, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 115 (2014), pp. 185–206. Kempe, A.B.: ‘On a general method of describing plane curves of the nth degree by linkwork’, Proc. London Math. Soc. Band 7 (1876), pp. 213–216. Kottich, R.G.: ‘Die Lehre von den angeborenen Ideen seit Herbert von Cherburry’, Berlin 1917. Koyre, Alexander: ‘Descartes und die Scholastik’, Verlag von F. Cohen, Bonn 1923. Krämer, S.: ‘Über das Verhältnis von Algebra und Geometrie in Descartes’ „Géométrie“’. Philosophia Naturalis 26 (1989), pp. 19–40. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‘Confessio Philosophi’, Klostermann Verlag Frankfurt/Main, 1967. Mancosu, Paolo: ‘Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century’. Oxford University Press, Oxford 1996. Petzall, Åke: ‘Der Apriorismus Kants und die „Philosophia pigrorum“’, Göteborgs Högskolas Årsskrift XXXIX (1933), Heft 3. Thomas de Aquino: ‘De spiritualibus creaturis, Quaestiones disputatae’, Editio Leonina 24, 2. Rom 2000.

Kapitel 9

John Lockes Gedanken zur Mathematik

„Je lus des scolastiques, je fus comme eux dans les ténèbres; je lus Locke, et j’aperçus des traits de lumière.“ [Ich las die Scholastiker, und ich befand mich wie sie im Dunkeln; ich las Locke, und ich gewahrte den Schimmer des Lichts.] Voltaire: ‚Le Philosophe ignorant‘, Œuvres, Kehl 1785, Band 32, S. 92.

John Locke wurde am 29. August 1632 in Wrington (Somerset/England) geboren. Er studierte von 1652 an in Oxford Medizin, Naturwissenschaften und Philosophie. 1658 wurde er magister artium und lehrte von da an als Tutor am Christchurch-­ College in Oxford. Von 1675 an lebte er in Frankreich, vorzugsweise in Montpellier und Paris, und ging erst 1679 zurück nach England. Bereits 1683 sah er sich gezwungen, (erneut?) zu emigrieren. Er ging nach Holland und konnte erst 1689 nach England zurückkehren. Er starb 72-jährig am 28. Oktober 1704  in Oates in der Graf­schaft Essex. Einen tiefen Eindruck machten auf Locke die Schriften von René Descartes (1596–1650) und ganz besonders die Werke von Wilhelm von Ockham (ca. 1285– 1347) und der darin vertretene Nominalismus. Während seines Exils in Holland schrieb Locke sein Hauptwerk: ‚An Essay Concerning Humane [sic!] Understanding‘, das 1690 in London erschien. Eine Übersetzung ins Französische erschien 1700 in Amsterdam (op. cit.). Erst in dieser Übersetzung wurde der „Essay“ auf dem Kontinent gelesen und wirksam. Deutsche Übersetzungen brachten zuerst Heinrich Engelhard Poley (Altenburg, 1757) und etwas später auch Wilhelm Tennemann (Jena, 1795–1797) heraus. Eine neue Übersetzung hat Carl Winckler (Hamburg, 1981) publiziert. Der ‚Essay‘ zählt zu den einflußreichsten philosophischen Werken des Zeitalters der Aufklärung. Locke hat auf Voltaire einen bedeutenden Einfluß ausgeübt. In

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_9

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Kapital 9  John Lockes Gedanken zur Mathematik

seiner Schrift ‚Le philosophe ignorant‘ (1767) sprach Voltaire ehrfurchtsvoll vom „weisen Locke“ („Le sage Locke“, cf. Band 31, S. 45, Band 32, S. 133, in der Ausgabe der Werke Voltaires, Kehl 1785). Voltaire übernahm die These, daß sich alles Wissen auf sinnliche Erfahrung gründe und daß es ebensowenig angeborene Ideen gäbe wie ein angeborenes Sittengesetz. Voltaires Schriften haben viel dazu beigetragen, daß die Gedanken Lockes auf dem europäischen Kontinent bekannt wurden. Die ‚Briefe an eine deutsche Prinzessin‘, die Leonhard Euler (1707–1783) auf Wunsch des preußischen Königs in den Jahren 1760–1762 an die Tochter Sophie-­ Friederike-­Charlotte des Markgrafen von Brandenburg-Schwedt, der späteren Äbtissin von Herford, schrieb und in denen Euler zahlreiche Gedanken Lockes übernahm, bewirkten, daß auch im Gebiet der Grundlagen der Mathematik der von Locke vertretene Psychologismus Einzug hielt.

9.1  Das Anliegen des ‚Essays‘ In der „Vorrede“ sagt der Autor, daß er in seinem ‚Essay‘ das Ziel verfolge, „das Vermögen des menschlichen Verstandes und die Objekte, welche in seiner Sphäre liegen, zu untersuchen“. Zu Beginn des ersten Buches (Kapitel 1, § 2) umschreibt er seine Absicht noch einmal mit ähnlichen Worten: er will eine Untersuchung „über die Gewißheit und den Umfang der menschlichen Erkenntnis“ geben. Locke benutzt im Titel seines Buches das Wort „understanding“ (l’entendement), was im Deutschen mit dem Wort „Verstehen“ wiedergegeben wird. Es ist somit vom „Verstand“ und nicht von der „Vernunft“ die Rede (vergl. dazu auch Kap. 12). Es geht in dem ‚Essay‘ also darum zu prüfen, zu welchen Erkenntnissen (zu welchem Wissen) der menschliche Verstand fähig ist und mit welchen Gegenständen sich der Verstand überhaupt befassen kann. Ein ganz zentraler Begriff ist hier der Begriff der „Idee“. Locke sagt (I,1,§ 8), daß er mit dem Wort „Idee“ alles, was Gegenstand des Verstandes beim Denken sein kann, bezeichnen will. „Ideen“ sind also ganz allgemein die Bewußtseinsinhalte, also das, womit sich der menschliche Geist beim Denken beschäftigt. Im zwei­ten Buch (II, 8, § 8) sagt er es etwas ausführlicher: „Whatsoever the mind perceives in itself, or is the immediate object of perception, thought or understanding, that I call idea.“ [Was das Gemüth (der Geist, der Verstand) in sich selbst wahrnimmt, oder was das unmittelbare Objekt der Wahrnehmung, des Denkens oder des Verstehens ist, das nenne ich Idee.]

Lockes Gebrauch des Wortes „Idee“ weicht also beträchtlich vom Gebrauch des Wortes von Platon an bis hin zu Descartes ab. Die erste Frage, die Locke sich stellt, lautet (I,1,§ 8): wie kommen die Ideen in den Verstand? Bevor er eine Antwort gibt, grenzt er sich gegen die Kirchenväter (Augustinus und andere) und gegen Descartes ab. Er behauptet, daß es im Verstand keine ange-

9.1 Das Anliegen des ‚Essays‘

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borenen Grundsätze und keine angeborenen Ideen gibt. Beweisen kann er das natürlich nicht, aber er polemisiert recht heftig und diskutiert viele Beispiele. So sagt er beispielsweise, daß „Kinder und geistig Behinderte“ („les enfans & les Idiots“, S. 11 in der Übersetzung von Coste, op.cit.) den logisch-allgemeingültigen Satz „ein Ding kann nicht zugleich sein und nicht-sein“ (I,1, § 4 und IV,7, § 9: „Il est impossible qu’une chose soit et ne soit pas en même temps.“)

nicht kennen, ja nicht einmal verstehen. Es könne also nicht sein, daß alle Grundsätze, die von allen Menschen anerkannt werden müssen, seit der Geburt in ihren Seelen wären. Der abstrakte Begriff des „Seins“ ist den Menschen sicherlich erst dann verständlich, wenn sie mit einigen Traditionen der europäischen Kultur und Philosophie in Berührung gekommen sind. Die Frage, wie die Ideen in den Verstand kommen, bespricht Locke im 2. Buch seines ‚Essays‘. Er meint, daß sie aus der Sinneswahrnehmung und aus dem Nachdenken (Reflektieren) über das sinnlich Wahrgenommene entspringen. Locke meint, daß das Bewußtsein anfangs leer sei, wie ein unbeschriebenes weißes Blatt Papier, also eine tabula rasa, und erst im Laufe des Lebens aufgrund von Erfahrungen (experiences) mit Inhalten beschrieben würde (siehe auch Lockes ‚Essays on the Law of Nature‘, Draft A, 1663/1664). Erfahrung ist dabei • entweder sinnliche Wahrnehmung („sensation“) • oder mentale Selbstbeobachtung („reflexion“). Das Wort „Reflexion“ ist vom lateinischen Verb „flectere“ (beugen, umbiegen) abgeleitet und bedeutet (wie es in den Wörterbüchern heißt) „Zurückbeugung des Geistes nach Vollzug eines Erkenntnisaktes“. Somit ist „Reflexion“ eine Selbstbeobachtung des Geistes, also ein seelischer Vorgang, in dem das Erkannte überdacht wird. Alles, was unsere Sinne wahrnehmen, wird auch der Seele gewahr und sie bildet sich vom Wahrgenommenen eine Idee. Da es sich dabei um Ideen handelt, die aus Sinnes-Empfindungen (sensations) entspringen, werden sie auch „Empfindungsideen“ genannt. Sie stellen uns einzelne, wirklich existierende Dinge vor gemäß ihrer durchgängigen Bestimmungen. Aus diesen Ideen kann sich die Seele weitere Ideen durch verstandesmäßige Reflektion bilden. Da gelegentlich von der „Seele“ gesprochen wird, sei betont, daß für Locke „der Verstand das erhabenste Vermögen der Seele“ ist („l’entendement … la plus sublime faculté de l’âme“), wie er in der Vorrede seines ‚Essays‘ schreibt. Die Tätigkeiten des Verstandes sind somit Tätigkeiten der menschlichen Seele. Eine der wichtigsten Tätigkeiten der Reflexion ist die „Abstraktion“ (II, 11, § 2). Durch „Abstraktion“ kann der menschliche Geist aus den Empfindungs-Ideen „allgemeine Ideen“ bilden. Dabei ist (nach Locke) „Abstraktion“ der Prozeß, von einem einzelnen, wahrgenommenen Gegenstand einige Bestimmungen (Eigenschaften) außer Acht zu lassen und das Übrig gebliebene als Vorstellung, und damit als Ding, im Gedächtnis zu behalten (II, 11, § 9 und IV, 17, § 8).

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Kapital 9  John Lockes Gedanken zur Mathematik

Wissen (Erkenntnis, knowledge) wird durch die Ideen vermittelt, einerseits durch die Inhalte, die die Ideen selbst beinhalten, und andererseits durch den Vergleich der Ideen miteinander. „Intuitives Wissen“ ist das, was wir von den Inhalten der Ideen wissen und „demonstratives Wissen“ ergibt sich durch Schlußfolgern (reasoning) aus intuitivem Wissen (‚Essay‘, IV,2, §  1). Neben dem Wissen, das wir aus der ­sinnlichen Wahrnehmung gewinnen, kann der Verstand also auch zu einem Wissen kommen, das von aller Erfahrung unabhängig ist, weil es sich auf Ideen bezieht, die durch Reflexion oder durch Abstraktion gebildet wurden. Es zeigt sich, daß Locke offenbar kein reiner Empirist ist. Damit sind insgesamt die grundlegenden Begriffe genannt mit denen Locke untersuchen will, was menschliche Erkenntnis ist und wie weit sie sich erstreckt. Diese Untersuchungen wollen wir hier allerdings nur soweit verfolgen, wie sie die Mathematik betreffen. Lockes Ziel ist zugleich aufklärerisch, denn er möchte seine Leser zum eigenen Denken erziehen. „Reason must be our last judge and guide in every thing“ [Die Vernunft muß unsere höchste Richterin und Führerin in allen Dingen sein.]

heißt es in Buch IV, Kap. 19, § 14. Im 2. Buch seines ‚Essays‘ spricht Locke die viel zitierte Überzeugung aus, daß „alle Erkenntnis sich auf Erfahrung gründe und aus ihr entspringe“. Einen ähnlichen Gedanken hatten auch schon Cicero (in Anlehnung an Epikur) und Thomas von Aquin ausgesprochen. Bei Cicero heißt es: „Quicquid porro animo cernimus, id omne oritur a sensibus“, [Ferner, alles, was wir mit dem Geiste schauen, geht aus sinnlichen Wahrnehmungen hervor] (Cicero: ‚De finibus Bonorum et Malorum‘, I, 64)

und bei Thomas von Aquin heißt es: „Nihil est in intellectu, quod non fuerit prius in sensu.“ [Nichts ist im Intellekt, was nicht zuvor in den Sinnen war] (Thomas von Aquin: ‚Questiones disputatae de veritate‘, II,3)

Aber bei Locke wird etwas anderes behauptet, nämlich: Nichts ist im Verstand, was nicht zuvor in der äußeren sinnlichen Wahrnehmung war oder in der inneren geistigen Reflexion. Es zeigt sich erneut, daß Locke kein reiner Empirist ist, aber doch ein Philosoph, der Thesen vertritt, die dem Empirismus sehr nahestehen.

9.2  Die Entstehung der mathematischen „Ideen“ Wir wollen jetzt prüfen, wie sich die Auffassungen und Gedanken Lockes in der Mathematik auswirken. Wir gehen zunächst auf den Zahlbegriff ein. Der Zahlbegriff (‚Essay‘, II,16, §§ 1–8). Wenn man irgendwo einen Gegenstand sieht, dann kann man sich die (Empfindungs)-Idee dieses Gegenstandes bilden und

9.2 Die Entstehung der mathematischen „Ideen“

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durch Reflexion sodann im Geist (oder in der Seele) auch die Idee der Zahl „Eins“ (als Gegenstand des Verstandes). Wenn man irgendwo einen und noch einen weiteren Gegenstand sieht, dann kann man sich die (Empfindungs)-Ideen dieser beiden Gegenstände bilden und durch Reflexion sodann im Geist aus beiden Ideen die Idee der Zahl „Zwei“ bilden (ebenfalls als Gegenstand des Verstandes). Auf ähnliche Weise erhält man die Ideen der Zahlen „Drei“, „Vier“ etc. Sodann kann „die Seele weiter gehen und sich Ideen von größern Zahlen (...) machen, ohne daß sie jemals gerade so viel Dinge zusammen gesehen hätte“ heißt es bei Euler im 100. Brief an die deutsche Prinzessin (op. cit.). Die Ideen der einzelnen Zahlen erhält man (nach Locke, II, 21, § 73) demnach in Verbindung von sinnlicher Wahrnehmung (sensation) und Selbstbeobachtung (reflexion). Den Ideen der natürlichen Zahlen gibt man wie üblich Namen (aus einem geeigneten Bezeichnungs-System, etwa dem dezimalen Stellenwert-System), um über sie sprechen zu können. „Zählen“ (oder „abzählen“) ist dann nichts anderes als das Aussprechen oder Aufschreiben der Zahlwörter (oder Ziffernfolgen) des zugrunde gelegten Bezeichnungssystems in der vorgeschriebenen Reihenfolge (vergl. Lockes ‚Essay‘: II, 16, § 7). Um nachzuweisen, daß das menschliche Wissen nicht auf angeborenen Ideen beruhe, sondern ausschließlich auf sinnlicher Erfahrung und Reflexion, diskutiert Locke auch ein Beispiel aus der Arithmetik. Er sagt (Buch I, Kap. 2, § 16), daß ein Kind erkennt, daß 4 + 3 = 7 ist, nicht weil es eine angeborene Idee sei (wie Descartes es behauptet hat) oder weil es sich à la Platon an vorgeburtliches Wissen erinnere, oder weil es ein Gott ihr offenbart habe (wie Augustinus es gelehrt hat), sondern weil es gelernt hat, bis drei, bis vier und bis sieben zu zählen. Das klingt verblüffend einfach, aber ist das wirklich so einfach, wie Locke es hinstellt? Jedes Kind kann, wenn es die Summe n+m zweier Zahlen n und m berechnen soll, hinter eine Reihe von n Strichen eine Reihe von m Strichen setzen. Dazu muß es zunächst nur bis n und im Anschluß daran auch bis m zählen können. Wenn es den Algorithmus zur Bildung der Namen aller Zahlen gelernt hat, dann kann es die Reihe der sämtlichen Striche abzählen und das Ergebnis aussprechen. Wir entnehmen dieser Diskussion, daß Locke durchaus Recht hat. Nur so ganz einfach ist das Verfahren der Addition nicht, denn man kann die Addition nur dann ausführen, wenn man gelernt hat, den üblichen Algorithmus der Addition im dezimalen Stellenwert-System anzuwenden. Wenn man Additions-Aufgaben lösen will, dann muß man Regeln befolgen können. Das Bestehen einer Gleichung, beispielsweise 4 + 3 = 7, besagt, zu welchem Ergebnis die Anwendung der hier relevanten Regeln führt. Die Gültigkeit des Urteils 4 + 3 = 7 läßt sich also nur mit dem Verstande überprüfen, indem man überprüft, ob die Regeln korrekt angewandt wurden. Mit den Sinnen allein läßt sich ein solches Urteil nicht verifizieren! Die elementaren arithmetischen Urteile sind also keine Urteile, die nur auf Sinneswahrnehmung (Empirie) beruhen. Sie beruhen auch auf verstandesmäßiger Reflexion, wie Locke mit Recht betonen würde. – Als Einwand gegen Descartes Lehre von den angeborenen Ideen ist Lockes Argument sicherlich überzeugend.

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Kapital 9  John Lockes Gedanken zur Mathematik

Wie der Prozeß der Bildung der Zahlen „Zwei“, „Drei“, …, „Eine Billion“, … etc in der Seele wirklich abläuft, verraten Locke und Euler nicht. Die kleineren Zahlen können vielleicht noch durch Abstraktion gewonnen werden, aber die ganz großen Zahlen? Wir müßten ja eine Billion Dinge irgendwo zusammen gesehen haben, um durch Abstraktion die (reine) Zahl „eine Billion“ in der Seele bilden zu können. Offenbar ist der Hinweis auf die Konstruktion der Zahlen „in der Seele“ irreführend, denn am Ende kommt es nur auf das Zahlwort an, das zur Bezeichnung der Zahl im Gedächtnis aufbewahrt wird. Das System der Bezeichnungen der Zahlen kann man auf dem Papier direkt ohne Berufung auf psychische Prozesse beschreiben. Leibniz hat in seinen ‚Neuen Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘ (geschrieben 1703–1705, posthum 1765 erschienen) beklagt, daß Locke nichts über die Einführung der negativen Zahlen, der reellen Zahlen und der komplexen Zahlen gesagt hat (op. cit., Buch II, Kap. 16). Es ist noch viel mehr zu beklagen, beispielsweise, daß Locke nichts über die Einführung der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation im Bereich der natürlichen Zahlen sagt. Wenn er überall den algorithmischen Standpunkt einnehmen will, dann wird er große Schwierigkeiten haben, die negativen, die reellen und die komplexen Zahlen und ihre arithmetischen Operationen einzuführen.

9.3  Lockes Bemerkungen zu einigen geometrischen Sätzen Locke hat leider nichts über die Begründung der Geometrie gesagt. Aber er hat gelegentlich einige Sätze aus den ‚Elementen‘ Euklids besprochen, beispielsweise den Satz I.16, worüber wir im Folgenden berichten wollen. Locke unterscheidet ganz allgemein zwischen Aussagen, die unsere Erkenntnis erweitern (d. h. in denen mehr ausgesagt wird, als in den Definitionen der Begriffe, die in den jeweiligen Aussagen vorkommen, enthalten ist) und solchen, die sie nicht erweitern. Beispiele für Aussagen, die unsere Erkenntnis nicht erweitern, lassen sich leicht angeben, etwa Aussagen der Form „A = A“ (das heißt: A ist A). Es ist sehr viel schwieriger Aussagen anzugeben, die unsere Erkenntnis erweitern. Als Beispiel gibt Locke (IV, 8, § 8) den einfachen geometrischen Satz an, daß in jedem Dreieck jeder Außenwinkel größer als jeder Winkel ist, der im Innern des Dreiecks diesem Außenwinkel gegenüber liegt.1 Euklid beweist den Satz im ersten Buch seiner ‚Elemente‘ (dort in § 16). Locke behauptet, daß die hier ausgesprochene Beziehung zwischen den Winkeln nicht im Begriff des Dreiecks enthalten ist und daß insofern dieser Satz das Wissen echt erweitert, d. h. mehr sagt, als in der Definition des Begriffs eines Dreiecks enthalten ist. Die im Außenwinkel-Satz angesprochene Beziehung zwischen den Winkeln im Dreieck findet sich natürlich nicht explizit in der üblichen Definition eines Dreiecks, aber es könnte sein, daß sich diese Beziehung dennoch aus der Definition lo Die Außenwinkel sind die sogenannten Nebenwinkel der inneren Winkel.

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9.4 Der Psychologismus im Werk Lockes

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gisch folgern läßt. Aber Locke behauptet, daß der genannte Satz (Euklid, I.16) nicht allein aus der Essential-Definition des Begriffs eines Dreiecks auf rein logischem Wege gefolgert werden könne. Die Behauptung ist etwas kühn, denn beweisen konnte er sie nicht. Es ist aber bemerkenswert, daß sie in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bewiesen werden konnte. In der Tat hat Bernhard Riemann am 10. Juni 1857  in seinem Habilitations-Vortrag in Göttingen ein Modell einer elliptischen, nicht-­ euklidischen Geometrie vorgestellt, in dem der genannte Außenwinkel-Satz (Euklid, I.16) nicht universell gilt. In diesem Vortrag, der den Titel „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“ trägt, hat Riemann eine Geometrie des Raumes entworfen, in der der Raum zwar unmeßbar groß (im Sinne der zugrundegelegten Maßbestimmung), aber doch nicht unendlich (der Ausdehnung nach) ist (op. cit., III, § 2). „Gerade Linien“ sind in dieser Geometrie gewisse Linien, die in sich zurückkehren. Je zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch in einem zweiten Punkt. Der neunte euklidische Allgemeine Grundsatz (siehe Kap. 4, Abschn. 4.1 & 4.4) ist in dieser „elliptischen Geometrie“ also ungültig. Man kann zeigen, daß auch der Außenwinkelsatz (Euklid, I.16) hier nicht universell gilt (vergl. dazu auch Heath, op. cit., Band I, S. 280). Daraus folgt die Gültigkeit der Bemerkung Lockes. Die Bemerkung Lockes besagt (in der Sprechweise Aristoteles’), daß der Beweis des Außenwinkel-Satzes nur das „daß“, aber nicht das „warum“ aufzeigt (vergl. Kap. 3 und 7), und in der Sprechweise Immanuel Kants (siehe Kap. 12), daß der Außenwinkel-Satz kein analytisches Urteil ist. Ebensowenig ist der Satz von der Summe der Innenwinkel eines Dreiecks (Euklid, I.32) ein analytisches Urteil, wie wir schon in Kap. 7 gesehen haben, da auch hier der Beweis des Satzes die axiomatisch geforderten Eigenschaften des Systems aller Punkte, aller Strecken und aller Kreise verwenden muß. Wir werden auf die sich hier zeigenden Probleme bei der Diskussion von Kants Konzeption der Mathematik in Kap. 12 zurückkommen.

9.4  Der Psychologismus im Werk Lockes Locke hat zu einigen wenigen mathematischen Sätzen kurze Bemerkungen gemacht, aber leider nichts zu den Problemen der Grundlegung der Mathematik ausgeführt. Aber einige Andeutungen können wir dennoch seinem allgemeinen Programm entnehmen. Es zeigt sich hier, daß er  – im Gegensatz zu den tradierten Auffassungen – der Meinung war, daß die menschliche Seele (die Psyche, ψυχή) die Schöpferin der mathematischen Gegenstände wäre. Locke war einer der Ersten, der die Bildung der mathematischen Gegenstände als psychisches Geschehen deutete. Wir erinnern uns, daß Platon meinte, daß die Gegenstände der Mathematik nicht der sinnlich wahrnehmbaren Welt angehören würden, sondern einer eigenständigen Welt, der Welt der Ideen, die nur geistig wahrnehmbar sei (vergl. Kap. 2). Diese Welt der Ideen sei uns vorgegeben und zur Erkenntnis der Sachverhalte, die in die-

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Kapital 9  John Lockes Gedanken zur Mathematik

ser Welt der Ideen bestehen, bedürfe es der Wiedererinnerung (ἀνάμνησις), der Denktätigkeit (διάνοια) und auch der geistigen Wahrnehmung (νόησις). Wir erinnern uns ebenfalls, daß Aristoteles der Meinung war, daß die mathematischen Gegenstände durch „Trennung und Verselbständigung“ (ἀφαίρεσις und χωρισμός) aus den sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen entstünden (vergl. Kap. 3). Bei dieser „Trennung und Verselbständigung“ entsteht allerdings kein neuer Gegenstand, denn die „Trennung und Verselbständigung“ spielt sich nur in unseren Gedanken oder in unserem Sprechen ab. Wir erinnern uns schließlich auch an die Auffassungen der Stoiker und Kirchenväter (insbesondere Augustinus), die die Gegenstände der Mathematik für Gedanken einer Gottheit hielten. Die Wahrheit eines mathematischen Theorems kann bei dieser Auffassung nur erkannt werden, wenn ein höheres Wesen sie uns zeigt (vergl. Kap. 8). Bei Locke finden wir eine ganz andere Auffassung, denn hier wird argumentiert, daß die mathematischen Gegenstände „Ideen“ sind, die die menschliche Seele auf dem Wege der sinnlichen Wahrnehmung (sensation) in Verbindung mit der geistigen Selbstbeobachtung (reflexion) gewinnt. Wie dieser Prozeß der Gewinnung der mathematischen Gegenstände tatsächlich abläuft, wird allerdings nicht gesagt. Trotzdem wurde diese Auffassung Lockes in den folgenden zweihundert Jahren zu der allgemein vertretenen Auffassung, insbesondere weil auch Leonhard Euler in seinen ‚Briefen an eine deutsche Prinzessin‘ (op. cit.), besonders im 100. Brief, die Auffassung Lockes übernahm und propagierte. Allerdings hat diese psychologistische Deutung der Seinsweise mathematischer Gegenstände ihre großen Schwächen. Diese Schwächen zeigten sich allerdings erst, als man gegen Ende des 19. Jahrhunderts daran ging, die Grundlagen der Mathematik neu zu überdenken. Die psychologistische Deutung verschwand in dieser Zeit von der Bildfläche und wird heute nirgendwo mehr vertreten.

9.5  Diskussion Wenn auch die Diskussion mathematischer Probleme im Oeuvre Lockes nicht sehr ergiebig ist, so hat der kritische Blick Lockes doch zu einigen wesentlichen Neuerungen geführt. (a) In Kap. 8 sind wir zu dem Ergebnis gekommen, daß das „Woher“ des Gewußten in der Mathematik von der Antike an bis auf Descartes nicht als schöpferische Eigenleistung des menschlichen Geistes angesehen wurde. Aber Locke war einer der Ersten, der diesen Überzeugungen widersprach und das Erkennen einer Wahrheit wie 4  +  3  =  7 als kreative Eigenleistung des menschlichen Geistes behauptete und auch bewies. Aus heutiger Sicht mag diese Behauptung wie eine harmlose Kleinigkeit erscheinen, aber im Lichte einer zweitausend-­ jährigen Tradition von Platon über Augustinus bis hin zu Descartes handelt es sich um einen signifikanten Bruch mit einer überlieferten Überzeugung. (b) Die Freiheit, über das sinnlich erkannte hinauszugehen, hatte Aristoteles in seiner Philosophie der Mathematik nicht gestattet. Es ist daher bemerkenswert,

Literatur

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daß Locke diesen Schritt über Aristoteles hinaus gewagt hat. Er hat den Bereich der mathematischen Gegenstände von den Empfindungsideen (die sich nur auf die sinnlich wahrnehmbaren Gegenstände der natürlichen Umwelt beziehen) auf den Bereich der durch verstandesmäßige Tätigkeit konstruierbaren Dingen erweitert. Er ließ die Idee der Unendlichkeit zu und ließ damit auch eine „Analysis infinitorum“, so wie sie sich zu Lebzeiten Lockes herausgebildet hat (Leibniz, Newton und andere), zu. Wo er die Grenzen zu „wilder Phantasterei“ sieht, ist allerdings nicht so ganz klar. (c) Mit der Fragestellung, wie groß die Reichweite unserer Erkenntnis a priori ist, hat Locke ein neues Feld philosophischer Untersuchungen erschlossen, auf dem später insbesondere Gottfried Wilhelm Leibniz, David Hume und Immanuel Kant wirkten. (d) Schließlich war es Locke, der den Empirismus und den Psychologismus jedenfalls ansatzweise in die Grundlagendiskussion der Mathematik gebracht hat. Das war, wie wir noch sehen werden, keine glückliche Tat, aber es war eine Tat, die die Grundlagendiskussion das ganze 18. und 19. Jahrhundert dominiert hat. (e) Die Beiträge Lockes im Bereich der Philosophie der Mathematik waren nicht sehr gründlich durchdacht. Sie waren recht oberflächlich, aber dennoch von großer Wirkung. Sie haben sich letztlich nicht durchgesetzt, aber sie haben Untersuchungen angestoßen und damit die Entwicklung sehr gefördert.

Literatur Aaron, Richard: ‚John Locke‘, Oxford University Press 1937 (2nd Edition 1955). Euler, Leonhard: ‚Lettres à une princesse d’Allemagne‘, 3 Bände, St. Petersburg, 1768–1772. Eine deutsche Übersetzung (von Joh. Müller) erschien unter dem Titel: ‚Briefe an eine deutsche Prinzessin über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie‘ (in 2. Auflage) 1773 in Leipzig. Heath, Thomas L.: ‚The thirteen Books of Euclid’s Elements, with Introduction and Commentary‘, 2nd edition, Cambridge 1956. Klemmt, Alfred: ‚John Locke, theoretische Philosophie‘, Meisenheim 1952. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘, übersetzt von Ernst Cassirer, F. Meiner-Verlag Hamburg 1971. Locke, John: ‚An Essay concerning Humane Understanding, in four books‘, London 1690 (2. Auflage 1694, 22. Auflage 1812). Eine Übersetzung ins Französische erschien 1700: ‚Essai philosophique concernant l’entendement humain, ou l’on montre quelle est l’étendue de nos connoissances certaines, et la manière dont nous y parvenons‘. Traduit de l’anglois par Pierre Coste. Amsterdam 1700 (chez Henri Schelte). Eine Übersetzung ins Deutsche: ‚Versuch über den menschlichen Verstand‘. Aus dem Englischen übersetzt etc. von D. Wilhelm Gottlieb Tennemann, drei Bände, Jena 1795–1797. Eine neue Übersetzung hat Carl Winckler (Hamburg, 1981) publiziert. Riemann, Bernhard: ‚Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen‘. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Band 13 (1867).

Kapitel 10

Der Rationalismus

Die Frage, ob uns die Sinne oder der Verstand zu wahrer Erkenntnis führen, ist sehr alt und ist im Laufe der Geschichte immer wieder gestellt und immer wieder auf sehr unterschiedliche Weise beantwortet worden. Im Empirismus wird der Vorrang der Sinneswahrnehmung vor dem Denken und im Rationalismus umgekehrt der Vorrang des Denkens vor der Sinneswahrnehmung behauptet. Das, was in der Arithmetik und in der Geometrie wahr ist, kann nach Ansicht der Empiristen durch sinnliche Wahrnehmung gefunden werden, und nach Ansicht der Rationalisten in der eigenen Ratio. Wir wollen in diesem und dem folgenden Kapitel einige Thesen dieser beiden Positionen behandeln. Wir wollen hier in Kap. 10 jedoch nur den einen Aspekt der rationalistischen Denkweise behandeln, nämlich die These, daß es möglich sei, Arithmetik und Geometrie völlig voraussetzungslos aufzubauen, also ohne Verwendung von Prinzipien (Axiomen oder Postulaten) , die nicht schon zur reinen Logik gehören.1 Es wird behauptet, beispielsweise von Leibniz (siehe unten), daß es dazu nur nötig sei, die grundlegenden Begriffe „richtig“ zu definieren. Dann könnten die sämtlichen wahren Aussagen dieser Disziplinen auf der Grundlage der Definitionen allein durch Nachdenken und Nachgraben im eigenen Bewußtsein (in der eigenen Ratio) hervorgeholt werden. Die einzige Quelle, aus der wir schöpfen, wenn wir Sätze der Arithmetik oder der Geometrie beweisen, wäre dieser rationalistischen Position zufolge die Ratio (der Verstand, die Vernunft). Beim Aufbau einer mathematischen Theorie muß man üblicherweise einerseits sagen, über welche Objekte man sprechen will und andererseits, in welchen Beziehungen die Objekte untereinander stehen sollen. Der Aufbau einer jeden mathematischen Theorie sollte also mit einer Reihe von Definitionen (den Realdefinitionen der Objekte) und – falls nötig – mit einer Reihe von Postulaten (oder Axiomen) beginnen.  Da die Prinzipien der reinen Logik in der klassischen Mathematik schlechthin gültig sind, muß man sie nicht zu den vorausgesetzten Annahmen zählen. 1

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_10

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Kapitel 10  Der Rationalismus

Wenn die in den Postulaten geforderten Beziehungen nicht bereits aus den vo­ rangestellten Realdefinitionen gefolgert werden können, dann gehören die Postulate ganz wesentlich zur Theorie und können nicht einfach weggelassen werden. Man muß sich in den Beweisen auf sie stützen können. Die Annahme der Gültigkeit der Postulate ist dann eine Voraussetzung für die Beweisbarkeit der Theoreme. Wenn man also erreichen will, daß alle Theoreme der betrachteten Theorie voraussetzungslose Beweise haben und insofern apodiktisch gewiß sind, dann darf man die Theorie nur auf der Grundlage von Definitionen der Grundbegriffe errichten und muß dafür sorgen, daß die Aufstellung von Postulaten (oder Axiomen) unnötig ist. – Ist ein solcher Aufbau möglich? Diese Frage wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts (im Anschluß an die Diskussion über den Status mathematischer Theorien als Wissenschaften im aristotelischen Sinne, vergl. Kap. 7) intensiv diskutiert. An der Diskussion haben sich insbesondere Thomas Hobbes (1588–1679), Isaac Barrow (1630–1677), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651–1708) und Christian Wolff (1679– 1754)

beteiligt. Sie alle waren überzeugt, daß es möglich ist, die klassischen mathematischen Theorien auf einem Fundament von Definitionen aufzubauen, ohne irgendwelche Postulate voranstellen zu müssen. Allerdings reichen dazu nicht die üb­ lichen Wesensdefinitionen aus, in denen nur versucht wird, alle wesentlichen Eigenschaften der zu definierenden Dinge anzugeben (vergl. Kap.  3 und 7). Sie meinten, daß es aber mit den sogenannten „genetischen Definitionen“ gelingen könnte. In genetischen Definitionen wird angegeben, wie die Dinge, die unter den jeweiligen Begriff fallen, erzeugt werden können. (Genetische Definitionen werden gelegentlich auch Kausal-Definitionen genannt.) Wir wollen darüber berichten und müssen dazu zunächst ganz allgemein über das Problem der Definierbarkeit der Grundbegriffe der Geometrie sprechen.

10.1  Das Problem der Definitionen in der Geometrie Es scheint in manchen mathematischen Theorien sehr schwierig zu sein, adäquate Definitionen der grundlegenden Objekte zu geben. Wie kann man beispielsweise in der Geometrie die Begriffe „Punkt“, „Linie“, „gerade Linie“ , oder in der Arithmetik die Begriffe „Zahl“, „imaginäre Zahl“, oder in der Mengenlehre den Begriff der „Menge“ definieren? Darf man die gesuchten Definitionen in der vertrauten Umgangssprache (mit ihrer üblichen Semantik) formulieren, oder darf man in den Definitionen nur Begriffe verwenden, die zur Theorie gehören und die vorher eindeutig definiert wurden? Bei Euklid heißt es in den ‚Elementen‘ beispielsweise, daß eine Linie „breitenlose Länge“ sei. – Ist damit wirklich gesagt, was eine Linie ist? – Nach dieser Definition wäre eine Linie die „Verdinglichung“ (Hypostase) des Begriffs der Länge.

10.2 Der Verzicht auf Definitionen der Grundbegriffe

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Es stellt sich die Frage, ob sich Euklid in seinen ‚Elementen‘ wirklich mit derartigen Objekten beschäftigt. Hätte Euklid den Begriff der Linie auch anders definieren können? Wie hätte er den etwas schwierigeren Begriff der „geraden Linie“ (vergl. Kap. 4) einwandfrei definieren können? Heron (‛Ήρων), der vermutlich im ersten Jahrhundert unserer Zeitrechnung in Alexandria lebte, gab in seiner Schrift, die den einfachen Titel ‚Definitionen‘ trägt, die anschauliche Beschreibung, daß die Vorstellung einer Linie sich aus der Vorstellung eines im Fluß befindlichen Punktes ergibt (op. cit., S. 14/15). Es handelt sich um eine umgangssprachliche Beschreibung, die sich auf den (in der Geometrie) undefinierten Begriff der Bewegung stützt und insofern problematisch ist. Proklos gab in seinem Kommentar zum ersten Buch der ‚Elemente‘ Euklids die Definition, daß eine gerade Linie durch das „gleichgerichtete und unabgelenkte Fließen eines Punktes“ entsteht (op. cit., S. 292, 296). Proklos betont, daß dabei keine körperliche Bewegung, sondern nur eine vorgestellte Bewegung gemeint sei (op. cit., S. 296). Aber diese Definitionen sind problematisch, weil ungeklärt ist, was ein Punkt ist und insbesondere, wie der Prozeß des (stetigen) gleichgerichteten Fließens exakt zu fassen ist. Es sieht so aus, als ob exakte und begrifflich einfache Definitionen der geometrischen Grundbegriffe vielleicht gar nicht gegeben werden können.

10.2  Der Verzicht auf Definitionen der Grundbegriffe (Descartes, Pascal, Arnauld) René Descartes (1596–1650) und Blaise Pascal (1623–1662) meinten, daß es gar nicht nötig wäre, exakte Definitionen dieser Begriffe zu suchen, da es sich um Begriffe handele, die allen Menschen so wie so bekannt und wohlvertraut seien. Descartes war überzeugt, daß die Grundbegriffe der Arithmetik und der Geometrie nicht durch die Sinne in uns hinein gekommen seien, sondern als Ideen von Geburt an in unserer Seele vorhanden wären und insofern uns bekannt wären. Des­ cartes sprach von eingeborenen Ideen, ideae innatae, vergl. Kap. 8. Die Grundbegriffe müssen also nach Descartes’ Ansicht nicht definiert werden. Pascal äußerte sich in einem Essay, der unvollendet blieb und etwa in den Jahren 1655–1658 geschrieben wurde (posthum veröffentlicht) und ‚De L’Esprit Géomé­ trique‘ genannt wird, ähnlich wie Descartes. Pascal meinte, daß man in einer mathematischen Disziplin zuerst diejenigen Begriffe aufsuchen solle, die auch ohne genauere Festlegungen jedem Menschen unmittelbar verständlich seien. Diese Begriffe nannte er „mots primitifs“. Beispiele solcher „primitiven Begriffe“ sind seiner Meinung nach: Raum, Zeit, Bewegung, Zahl, Gleichheit („espace, temps, mouvement, nombre, égalité“) etc. Er hielt sie für transsubjektive Selbstverständlichkeiten, die allen Menschen, die der Sprache mächtig sind, unmittelbar vertraut sind (vergl. J.-P. Schobinger 1974, op. cit.). Die Art dieses Vertrautseins (die über die ratio hinausgeht) nannte Pascal ein „sentiment du coeur“, also eine Art natürlichen Prinzipienwissens des Herzens. Das

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Kapitel 10  Der Rationalismus

„Herz“ spielt bei dem Jansenisten Pascal offenbar die Rolle des platonischen „Nous“ (νοΰς). Unter Verwendung der „mots primitifs“ können alle übrigen Begriffe der Mathematik durch reine Nominal-Definitionen eingeführt werden. Ausgehend vom Zahlbegriff, der als „mot primitif“ undefiniert bleibt, gab Pascal als Beispiel die übliche Definition des Begriffes der „geraden Zahl“ und nannte diese Definition mit Recht eine Nominal-Definition. Das große Problem, die Grundbegriffe der Geometrie und der Arithmetik durch geeignete Definitionen einzuführen, umging Pascal mit der etwas verwegenen Bemerkung, diese Grundbegriffe könne man nicht definieren und wären sowieso allen Menschen vertraut. Pascal meinte insbesondere, daß der Begriff der „Zahl“ nicht definiert werden müsse und wohl auch nicht definiert werden könne. Pascal hat zu seiner Zeit die Probleme, die mit der Einführung der primitiven Grundbegriffe auftreten, richtig eingeschätzt. Allerdings hat er sich geirrt mit der Meinung, daß die Bedeutungsfülle der primitiven Grundbegriffe (der mots primitifs) uns durch eine „natürliche Einsicht“ (la lumière naturelle) offenbart würde. Was ist die „natürliche Einsicht“, von der Pascal spricht, und wie kann man sie kontrollieren? Darauf gibt Pascal keine Antwort. Es zeigt sich hier, daß das Pascalsche Gedankengebäude der Patristik (insbesondere Augustinus) und der platonisch-neuplatonischen Renaissancebewegung verpflichtet ist, über die wir in Kap. 8 gesprochen haben. Eine gründliche Analyse der Grundlagen der Mathematik hat weder der Neuplatonismus noch die Patristik angestrebt. Auch Pascal hat sie nicht gegeben und auch gar nicht zu geben versucht. Die Auffassungen von Pascal hat Antoine Arnauld2 seinen Büchern ‚La Logique, ou L’Art de Penser‘ (Paris 1662) und ‚Nouveaux Élémens de Géometrie‘ (Paris 1667, Nachdruck der zweiten Auflage: Den Haag 1690) zugrunde gelegt und damit zu ihrer Verbreitung beigetragen. Ganz im Sinne von Aristoteles geht Arnauld davon aus, daß die Gegenstände der Arithmetik und der Geometrie die begrenzten Dinge der natürlichen Umwelt sind, die man aber nur im Hinblick auf Größe, Anzahl, Ausdehnung und Form betrachtet. Insofern hat jeder Mensch aus dem alltäglichen Umgang mit den Dingen der Welt ein Wissen, was Entfernung, Länge, Anzahl etc. ist. Ausdrücklich verzichtet er deshalb auf eine Definition der Begriffe „gerade Linie“, „Fläche“ etc., und meint beispielsweise, daß es genüge zu sagen, daß die Enden von Strecken „Punkte“ genannt würden. Er schreibt in seinen ‚Nouveaux Elemens de Geometrie‘, Livre V, (op. cit. S. 146): „Les idées d’une surface plate et d’une ligne droite sont si simples, qu’on ne feroit qu’embrouiller ces termes en les voulant definir. On peut seulement en donner des exemples pour en fixer l’idée aux termes de chaque langue.“

 Antoine Arnauld wurde am 16.02.1612  in Paris geboren. Er promovierte 1641 im Gebiet der Theologie. Von 1643 bis 1656 lehrte er an der Sorbonne in Paris. Aufgrund seiner religiösen Überzeugungen mußte er die Pariser Universität verlassen. Am 17. Juni 1679 floh er aus Frankreich in das Fürstbistum Lüttich und blieb hier bis zu seinem Tod. Er starb dort am 08.08.1694. 2

10.3 Der Versuch, die Grundbegriffe genetisch zu definieren

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[Die Begriffe einer ebenen Fläche und einer geraden Linie sind so einfach, daß man sie nur verwirren würde, wenn man sie definieren wollte. Man kann nur einzelne Beispiele geben, um die (jeweilige) Idee mit umgangssprachlichen Wörtern anzudeuten.]

Arnauld ist offenbar genauso wie Pascal der Meinung, daß man die Grundbegriffe einer mathematischen Theorie nicht explizit definieren müsse, und daß es ausreichend sei, das, was gemeint ist, mit einzelnen Beispielen anzudeuten. Pascals Essay ‚De L’Esprit Géométrique‘ hat auf viele Mathematiker eine enorme Wirkung ausgeübt. Auch noch im 20. Jahrhundert findet man Anhänger seiner Methode. So schreibt beispielsweise Emil Borel (1871–1956) in seinen ‚Leçons sur les fonctions de Variables réelles‘ (Paris, 1905, S. 1) über den grundlegenden Mengenbegriff: „L’idée d’ensemble est une notion primitive dont nous ne donnerons pas de définition. Citons seulement quelques exemples d’ensembles: l’ensemble des points d’une droite, etc.“ [Der Begriff der Menge ist ein primitiver Begriff, den wir nicht definieren werden. Wir wollen nur einige Beispiele von Mengen nennen: die Menge aller Punkte einer Geraden, etc.]

Auch Felix Hausdorff (1868–1942) hat in seinen Werken zur Mengenlehre den Standpunkt Pascals und Borels übernommen. Er schreibt beispielsweise gleich zu Beginn seines Buches über die ‚Mengenlehre‘ (de Gruyter-Verlag, Berlin-Leipzig, 1927): „Eine Menge entsteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht. Wenn diese oder ähnliche Sätze Definitionen sein wollten, so würde man mit Recht einwenden, daß sie idem per idem oder gar obscurum per obscurius definieren. Wir können sie aber als Demonstrationen gelten lasen, als Verweisungen auf einen primitiven, allen Menschen vertrauten Denkakt, der einer Auflösung in noch ursprünglichere Akte vielleicht weder fähig noch bedürftig ist.“

Es ist allerdings unbefriedigend, dort, wo Definitionen gegeben werden müssen, so zu tun, als ob man sie gar nicht nötig hätte. Das Problem, wie dieser „primitive, allen Menschen vertraute Denkakt“ kontrolliert werden kann, bleibt ungelöst. Eine solche Kontrolle ist aber nötig, wenn man die bekannten Antinomien der Mengenlehre vermeiden will.

10.3  Der Versuch, die Grundbegriffe genetisch zu definieren Aus welchen Quellen schöpfen wir, wenn wir mathematische Theoreme beweisen? Diese Frage haben wir uns zu Beginn dieses Buches vorgelegt, aber eine befriedigende Antwort immer noch nicht gefunden. Auch die Antworten, die Descartes, Pascal und Arnauld im Falle der Definitionen der grundlegenden Begriffe der Geometrie gaben, können nicht befriedigen, wie wir sahen. Sie meinten, daß es nicht immer nötig wäre, für die Grundbegriffe einer mathematischen Theorie genaue Definitionen zu geben.

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Kapitel 10  Der Rationalismus

Wenn man die Quellen wirklich angeben will, dann muß man mit klaren und aussagekräftigen Definitionen der Grundbegriffe beginnen (sofern das möglich ist) und muß sodann die sämtlichen Axiome oder Postulate nennen, auf deren Grundlage man Beweise führen will. Die intensiven Diskussionen, die im 16. und beginnenden 17. Jahrhundert über den Status der Geometrie geführt wurden, führten allmählich zu Erwägungen, ob es vielleicht ratsam sein könnte, die bis dahin üblichen, aber doch mißglückten euklidischen Definitionen durch Definitionen zu ersetzen, die die Erzeugung der in Frage stehenden Objekte beschreiben. Solche „genetischen“ Definitionen fand man in der Schrift von Heron, die den Titel ‚Definitionen‘ trägt (op. cit.). Wie Heron den Begriff der Linie definiert, sagten wir bereits. Für den Begriff des Kreises beispielsweise gab Heron zuerst die euklidische Definition, daß ein Kreis der geometrische Ort aller Punkte sei, die von einem festen Punkt alle denselben Abstand haben, und im Anschluß daran die folgende kausale (oder genetische) Definition, daß ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke, indem sie in derselben Ebene bleibt, während der eine Endpunkt fest liegt, mit dem anderen herumgeführt wird, bis sie wieder in dieselbe Lage zurückgebracht ist, von wo sie sich zu bewegen anfing.

Clavius hat in seiner kommentierten Ausgabe der ‚Elemente‘ Euklids (Rom 1574; Köln 1591) auf die Definitionen Herons hingewiesen und damit bewirkt, daß in den folgenden Jahrzehnten manche Autoren versuchten, die klassischen Definitionen Euklids durch die (vielleicht?) besser verständlichen, aussagekräftigeren genetischen Definitionen zu ersetzen. Das führte allmählich zu einer neuen Auffassung der axiomatischen Methode.

10.4  Die Beiträge von Hobbes (1655) und Barrow (1664) Eine solche neue Auffassung der axiomatischen Methode findet man in ersten Ansätzen bei Thomas Hobbes (1588–1679) in der ersten Abteilung seiner ‚Elemente der Philosophie‘, die den Titel ‚De Corpore‘ trägt und 1655 in London erschien. In diesem Werk wollte er zeigen, daß eine bestimmte Form der axiomatischen Methode Euklids auch in der Philosophie anwendbar ist. Er nannte sein Werk ‚Elementa Philosophiae‘ (Elemente der Philosophie) in bewußter Anspielung auf Euklids ‚Elemente‘ (der Geometrie und der Arithmetik). Dazu ging er zunächst auf die euklidische Geometrie ein. Hobbes schlug vor, daß man in der Geometrie diejenigen Objekte, „die eine Ursache und Erzeugungsweise besitzen“, eben durch diese Ursachen, bzw. Erzeugungsweisen definieren sollte (Hobbes, op. cit., S. 90). Für die „geraden Linien“ und die „Kreise“ zitierte er die Heron’schen Definitionen (siehe oben): diese Objekte werden durch das Fließen von Punkten erzeugt. Hobbes erwähnte noch, daß bei einem solchen Aufbau der Geometrie die „Ausgangspunkte von Beweisen die Definitionen sind“ (op. cit., S. 89). Postulate müssen nicht aufgestellt werden.

10.5 Der Beitrag von Leibniz (ca. 1676)

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In zwei weiteren, umfangreichen Schriften, die die Titel ‚Examinatio et Emendatio Mathematicae Hodiernae‘ (Hobbes: ‚Opera Philosophica quae latine scripsit‘, Bd. 4, London 1845) und ‚Six Lessons to the Professors of Mathematics‘ (Hobbes: ‚The English Works‘, Bd. 7, London 1845) tragen, gab Hobbes einige Ergänzungen. Aber auch aus ihnen wird nicht klar, ob das Programm, das er für die Geometrie vor Augen hatte, durchführbar ist. Das Programm, das er für die Philosophie vor Augen hatte, ist jedoch damit klarer geworden. Philosophie handelt nach seiner Auffassung von „der Ordnung, den Ursachen und Wirkungen der Dinge in der Welt“ wie er in der „Einleitung: An den Leser“ seines Werkes ‚Elemente der Philosophie‘ schrieb. Dazu müssen die Dinge, über die nachgedacht werden soll, mit genetischen Definitionen eingeführt werden, um aus den erkannten Ursachen auf die Wirkungen (auf rationale Weise) schließen zu können. Die Aufstellung von Postulaten wäre hier nicht nötig. – Das Programm ist ehrgeizig, blieb aber Fragment und wurde nie durchgeführt. Isaac Barrow, der Lehrer Newtons in Cambridge, ging in seinen ‚Lectiones Mathematicae‘ auch auf das Problem der Definitionen ein. Diese ‚Lectiones Mathematicae‘ hatte Barrow in den Jahren 1664–1666  in Cambridge vorgetragen; sie wurden aber erst 1683 (in London) publiziert und konnten erst von da an wirksam werden. In seinen ‚Lectiones Geometricae‘ (London 1670) vertrat er die aristotelische Auffassung, daß die Geometrie von den sinnlich wahrnehmbaren Größen der Welt und dem sinnlich wahrnehmbaren Fließen der Zeit handele. Dementsprechend verlegte er den Gegenstandsbereich der Geometrie in den Bereich der sinnlich wahrnehmbaren Dinge. Kurven sind durch das Fließen von Punkten gegeben. Die Komposition algebraischer Kurven, die Descartes in seiner ‚Géométrie‘ (1637) behandelte, wurden bei Barrow zu Kompositionen von Bewegungen (op. cit., Lectio III, S. 185 ff.). Barrow war wie Hobbes der Meinung, daß die Sätze der Geometrie allein aus Definitionen erschlossen werden sollten (op. cit., Lectio Math. VII, S.  106–107), mochte aber einen Aufbau der Geometrie, in dem nur (kausale) Definitionen und keine Postulate auftreten, nicht im Detail ausführen. – Mit der Ausarbeitung eines solchen Aufbaus begann erst Gottfried Wilhelm Leibniz etwa von 1676 an.

10.5  Der Beitrag von Leibniz (ca. 1676) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) war  – ähnlich wie Descartes (vergl. Kap. 8) – überzeugt, „daß die ganze Arithmetik und die ganze Geometrie eingeboren und auf eine potentielle Weise in uns sind, dergestalt, daß man sie, wenn man aufmerksam das im Geiste schon Vorhandene betrachtet und ordnet, darin auffinden kann, ohne sich irgendeiner Wahrheit zu bedienen, die wir durch Erfahrung oder Überlieferung kennen gelernt haben.“ (Leibniz, ‚Nouveaux Essais‘, op. cit., S. 42–43).

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Kapitel 10  Der Rationalismus

Insofern hat auch Leibniz, genauso wie Descartes, die Position des Rationalismus vertreten, daß die arithmetischen und geometrischen Wahrheiten (sic!) ganz allein aus der Ratio (dem Geist, der Seele, dem Verstand) geschöpft werden könnten, ohne sich auf Sinneseindrücke berufen zu müssen. Aber sie haben diese Position doch auf sehr unterschiedliche Weise vertreten. Wir hatten schon in Kap. 8 darauf hingewiesen, daß Descartes der Meinung war, daß wir durch die unmittelbare Anschauung der Ideen, die uns angeboren sind, auch die mathematischen Wahrheiten erkennen könnten. Diese Art der Anschauung nannte er „Intuition“. Leibniz hingegen wollte sich bei der Erkenntnis der mathematischen Wahrheiten nicht auf die Intuition stützen. Er war überzeugt, daß es zum Betreiben einer mathematischen Disziplin nur nötig wäre, die Definitionen der jeweiligen Grundbegriffe zu kennen.3 In seinen ‚Nouveaux Essais‘ (op. cit., S. 544, Zeile 9) schrieb er, daß es weder in der Arithmetik noch in der Geometrie nötig wäre, in den Beweisen Postulate (oder Axiome) zu verwenden. Es wäre möglich, in diesen Disziplinen alles aus Definitionen und „identischen Sätzen“ abzuleiten. Die Sätze, die Leibniz „identische Sätze“ nannte (aber doch nicht genau definierte), wurden später (von Paul Bernays und Moses Schönfinkel, Math. Annalen 99 (1928), S. 342–372) „logisch allgemeingültigen Sätze“4 genannt. Es handelt sich um Aussagen, die nach Leibniz uns allesamt eingeboren sind.

10.6  L  eibnizens ‚Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra‘ (ca. 1676) Daß es in der Arithmetik und der Algebra möglich sei, auf der Grundlage von einigen Definitionen und einigen „identischen Aussagen“ (Tautologien) allein alle Theoreme zu beweisen, hat Leibniz in seinem ‚Dialog zur Einführung in die Arithmetik  „Nonne definitio est principium demonstrationis?“ [Ist nicht die Definition das Prinzip jeder Beweisführung?] – heißt es in Leibnizens ‚Dialogus de connexione inter res et verba‘ – siehe Leibnizens ‚Philos. Schriften‘, (Band IV, Edition H. Herring, op. cit., S. 28/29). 4  Ludwig Wittgenstein nannte sie in seinem ‚Tractatus logico philosophicus‘ (1918, Ziffer 4.26) Tautologien. Das Wort kommt aus dem Griechischen ταὐτὸ λέγειν (= dasselbe sagen). Wenn man eine Aussage Φ der Junktoren-Logik (auch ‚Aussagen-Logik‘ genannt) in seiner konjunktiven Normalform Ψ1∧Ψ2∧…∧Ψn schreibt, dann ist Φ nach einem Satz von Paul Bernays (1918, publiziert in der Math. Zeitschr. 25 (1925), S. 305–320) genau dann eine Tautologie, wenn jedes Konjunktionsglied Ψi die Form (Αki∨¬Αki)∨Γi, also (Αki → Αki)∨Γi hat. Man sieht hier sehr schön, daß in Tautologien zweimal dasselbe ausgesagt wird, nämlich Αki. Für einen „identischen Satz“ gab Leibniz das Beispiel: „Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck“. Identische Sätze notierte er in der Form A = A. Er meinte, daß eine Aussage „identisch“ sei, wenn das Prädikat im Subjekt enthalten ist (vergl. Hobbes, ‚De Corpore‘ I,4, op. cit., S. 48, und Leibnizens ‚Metaphysische Abhandlung‘, op. cit., S. 16/17). In seinen ‚Nouveaux Essais‘, S. 420, schreibt Leibniz: „Die ursprünglichen Vernunftwahrheiten sind diejenigen, die ich … identische nenne, weil sie, ohne uns zu belehren, nur dasselbe zu wiederholen scheinen.“ Man darf sie daher mit den Tautologien identifizieren. 3

10.6  L eibnizens ‚Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra‘ (ca. 1676)

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und Algebra‘ zu zeigen versucht. Besondere Postulate oder Axiome seien hier  – nach Leibnizens Meinung – also nicht nötig.5 Diesen ‚Dialog‘, den er etwa 1676 schrieb und der allerdings unpubliziert blieb und erst dreihundert Jahre später 1976 posthum erschienen ist, hat Eberhard Knobloch übersetzt und herausgegeben (op. cit.). Er sagt in seinem Nachwort (S. 185), daß Leibniz in dieser Schrift die prinzipielle Richtigkeit der platonischen Erkenntnislehre und Wiedererinnerungslehre jedenfalls für die Arithmetik demonstrieren wollte. Leibniz selbst hat sich dazu in seinem ‚Discours de Métaphysique‘ (Metaphysische Abhandlung, §  26 (1686), op. cit.) ganz ähnlich geäußert: „Et rien ne nous sçauroit estre appris, dont nous n’ayons déja dans l’esprit l’idée qui est comme la matiere dont cette pensée se forme. C’est ce que Platon a excellement bien consideré, quand il a mis en avant sa reminiscence qui a beaucoup de solidité, pourveu qu’on la prenne bien qu’on la purge de l’erreur de la preexistence et qu’on ne s’imagine point que l’ame doit déja avoir sçeu et pensé distinctement autres fois ce qu’elle apprend et pense maintenant. Aussi at-il confirmé son sentiment par une belle experience, introduisant un petit garçon qu’il mene insensiblement à des verités tres difficiles de la Geometrie touchant les incommensurables, sans luy rien apprendre, en faisant seulement des demandes par ordre et à propos. Ce qui fait voir que nostre ame sçait tout cela virtuellement, et n’a besoin que d’animadversion pour connoistre les verités et par consequent qu’elle a au moins les idées dont ces verités dependent.“ [Nichts kann uns gelehrt werden, dessen Idee wir nicht schon im Geist haben, die gewissermaßen die Materie ist, aus der sich dieser Gedanke bildet. Das hat Platon sehr gut bedacht, als er seine Wiedererinnerungs-Lehre vortrug (‚Phaidon‘ 72e–75f), die gut begründet ist, vorausgesetzt, daß man sie richtig versteht, daß man sie vom Irrtum der Prä-Existenz reinigt und sich nicht einbildet, die Seele müßte schon früher klar und deutlich gewußt und gedacht haben, was sie momentan erfährt und denkt. Er hat seine Auffassung auch durch eine hübsche Erfahrung bestätigt, indem er einen jungen Burschen einführt, den er unmerklich zu sehr schwierigen Wahrheiten der Geometrie hinführt, die die inkommensurablen Größen betreffen, ohne ihn irgend etwas zu lehren, nur indem er ihm in geordneter und passender Weise Fragen stellt (‚Menon‘, 82a–85b). Dies zeigt, daß unsere Seele all das virtuell weiß, und daß sie zur Erkenntnis der Wahrheiten nur aufmerksam sein muß und daß sie folglich jedenfalls diejenigen Ideen besitzt, von denen diese Wahrheiten abhängen.]

Leibniz meinte also, daß unser Wissen von den Eigenschaften der mathematischen Dinge angeboren sei, und daß wir dieses Wissen im Laufe unseres Heranwachsens „durch Nachgraben“ (‚Nouveaux Essais‘, op. cit., S. 9) ins Bewußtsein holen könnten. Der ‚Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra‘ hat einen ähnlichen Aufbau wie der platonische ‚Menon‘. In dem Leibniz’schen Dialog führt Charinus das Gespräch mit dem „kleinen Sohn des Aretaeus“, der „die Rechenkunst noch nicht erlernt hat“ (op. cit., S. 12/13). Der Gesprächsführer Charinus will zeigen, daß der „kleine Sohn“ nur den Wortlaut von einigen Definitionen kennen lernen muß, um die gesamte Rechenkunst (gewissermaßen „durch Nachgraben“) aus sich selbst heraus in sein Bewußtsein holen zu können. Charinus sagt, daß er dem Knaben  Vergleiche dazu auch den Leibnizschen Essay ‚Prima Calculi Magnitudinum Elementa demonstrata in Additione et Subtractione, usque pro ipsis Signorum + et –‘, In ‚Leibnizens math. Schriften‘ (herausg. Gerhardt), Band 7 (Halle, 1863), S. 77–82. 5

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„nicht bestimmte neue Wahrheiten oder Lehrsätze vorsetzen [würde], sondern ihm nur neue Bezeichnungen und Zeichen mitteilen [wolle], die geeignet sind, die Gedanken auszudrükken.“ (‚Dialog‘, op. cit., S. 26/27.)

Es geht im Verlauf des Gesprächs um die Buchstabenrechnung (à la Viète), die Addition, Multiplikation, Potenzierung, die Subtraktion und das Rechnen mit imaginären und komplexen Zahlen. Im Falle der Addition wird nur an die umgangssprachliche Bedeutung des Wortes „zusammentragen“ erinnert („Ut enim duas res in unum locum conjicere est addere,…“, loc. cit., S. 38/39). Der Knabe kann dieser Definition der „Addition“ (angeblich ohne weitere Belehrung) sofort entnehmen, daß die Addition kommutativ ist: a + b = b + a. Charinus stellt fest, daß dieses Gesetz im Geist des Knaben war, aber noch ungeordnet, und nur noch „aus dem Schatz seiner Seele“ („ex tuae ipsius animae thesauro“) hervorgelockt werden mußte (loc. cit., S. 36/37 und 48/49). Wir müssen gegen dieses etwas vorschnelle Argument einwenden, daß durch „zusammentragen“ nur die Addition von Kardinalzahlen a und b definiert wird. Eine solche Addition von Kardinalzahlen ist wohldefiniert und kommutativ. Das läßt sich mit einigen mengentheoretischen Begriffen leicht beweisen. Die Zahlen wurden auf den Seiten 16–27 (loc. cit.) jedoch als Ordinalzahlen eingeführt, da sie mit den rekursiv definierten Zahlwörtern (oder Zahldarstellungen im dezimalen Zahlsystem) identifiziert wurden. Die Addition (und ebenso die Multiplikation) der Ordinalzahlen müßte somit auch durch Rekursion eingeführt werden und der Beweis der Kommutativität der Addition (und ebenso der Multiplikation) müßte durch „vollständige Induktion“ bewiesen werden (so wie es Richard Dedekind in seiner berühmten Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ 1888 ausgeführt hat). – Das Argument von Leibniz ist also hier nicht schlüssig. Für Leibniz ist die Arithmetik frei von jeder Empirie aufgebaut. Die Empirie ist tatsächlich ausgeschaltet worden, aber es hat sich gezeigt, daß sich die Gesetze der Arithmetik doch nicht unter Verwendung von Definitionen allein aus der ratio „ausgraben“ lassen. Die Voraussetzung von bestimmten Postulaten bleibt unverzichtbar. Dasselbe ist über den Aufbau der Geometrie allein auf der Grundlage von genetischen Definitionen zu sagen, den Leibniz in seiner Abhandlung ‚In Euclidis Πρωτα‘ (posthum publiziert in: ‚Math. Schriften‘, herausg. von C.I. Gerhardt, Band 5, op.  cit., S.  183–211) ausgearbeitet hat. Wir wollen darauf nicht eingehen und wenden uns statt dessen dem Versuch Leibnizens zu, die Gleichheits-Axiome aus einer hinreichend starken Definition des Begriffes der Gleichheit zu beweisen.

10.7  Beweis der Gleichheitsaxiome Daß sich die Axiome der Gleichheit, die zur Logik gerechnet werden, allein aus Definitionen beweisen lassen, hat Leibniz in einem kleinen Essay zu zeigen versucht.

10.8 Der Begriff der Axiomatik bei Tschirnhaus (1687)

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G.W. Leibniz: ‚Prima calculi magnitudinum elementa demonstrata in additione et subtractione, usuque pro ipsis signorum + et –‘ (posthum publiziert in: ‚Math. Schriften‘, Band 7, S. 77–82). Er beginnt seine Beweise mit der folgenden Definition der Gleichheit: Definition der Gleichheit: Aequalia sunt quorum unum alteri substitui potest salva magnitudine. Et ita designatur a = b. [Solche Dinge sind gleich, die sich gegenseitig ersetzen lassen, ohne die Größe zu verändern.]

Leibniz zeigt, daß aus dieser Definition die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der Gleichheit geschöpft werden können. Reflexivität: Offenbar ist jeder Term t sich selbst gleich: t = t. Die Symmetrie beweist Leibniz wie folgt: Es wird a = b vorausgesetzt. Weil die Reflexivität bereits klar ist, gilt auch b = b und aufgrund von a = b dürfen wir in b = b das zweite b durch a ersetzen und erhalten b = a. Q.E.D. Transitivität: „Was demselben gleich ist, ist auch untereinander gleich.“ (Quae eidem aequalia, et inter se sunt aequalia.) Vorausgesetzt wird also a = c & b = c. Da b und c gleich sind, kann man aufgrund der Definition der Gleichheit in dem Satz a = c das c durch b ersetzen (salva magnitudine) und erhält den Satz a = b, wie behauptet. Q.E.D. Auf ähnliche Art und Weise beweist Leibniz auch noch einige andere Axiome der Gleichheit, beispielsweise den folgenden Satz, der sich schon im ersten Buch der ‚Elemente‘ Euklids als das zweite „allgemeine Axiom“ findet: Satz: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich („Si aequalibus addas aequalia, fiunt aequalia.“):

a = b & x = y ⇒ a + x = b + y.

Die Leibniz’sche Definition der Gleichheit gehört in die Logik der 2. Stufe und verwendet eine Quantifikation über alle konstanten Terme. Sie ist keine eigentliche Definition, sondern ein Prinzip, mit dem alle Gleichheits-Aussagen der 1. Stufe aus dem Begriff der Identität von Größen („salva magnitudine“) abgeleitet werden können. Für eine ausführliche Diskussion der Leibniz’schen Gleichheits-Definitionen und ähnlich lautender Definitionen der Identität von Begriffen („Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salva veritate“) verweisen wir auf den Aufsatz von Raili Kauppi (1966), op.  cit. und unseren eigenen Aufsatz: Ulrich Felgner: ‚Die Begriffe der Äquivalenz, der Gleichheit und der Identität (2020)‘, op. cit.

10.8  Der Begriff der Axiomatik bei Tschirnhaus (1687) Die neue Auffassung der Axiomatik, die Hobbes nur mit wenigen Strichen angedeutet hat, hat Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651–1708) in seinem Traktat ‚Medicina mentis, sive artis inveniendi praecepta generalia‘ (Amsterdam 1687, Leipzig

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Kapitel 10  Der Rationalismus

1695) systematisch entwickelt. Er hat die Kausal-Definitionen, in denen gesagt wird, wie die Dinge, die unter den jeweiligen Begriff fallen, erzeugt werden können, „genetische Definitionen“ genannt. Tschirnhaus hat eine Philosophie ausgearbeitet, die er ‚Medicina Mentis‘ (Geistesheilkunde) nannte. Um eine Sache wahrhaft begreifen zu können, muß man sie, seiner Meinung nach, im Geist nachbilden können. Die Definitionen der Grundbegriffe müssen daher auch die Methoden zur Konstruktion bzw. der mentalen Rekonstruktion der Gegenstände enthalten. In seinem Buch ‚Medicina Mentis‘ schrieb er: „Circà definitiones notanda in principio; Definitionem, juxta dicta, esse primum alicujus rei conceptum, seu primum quod de re concipitur. Hinc clarum Primò, nostri planè esse arbitrii tales à nobis formari conceptûs. … Secundò patet, omnem rei singularis definitionem semper ejusdem rei primum formationis modum debere includere, quem alicujus rei Generationem nuncupabo. Rem enim quandam verè concipere nihil aliud est, quam actio seu formatio mentalis alicujus rei; … omnis legitima seu bona definitio, includet generationem.“ (Tschirnhaus: ‚Medicina Mentis‘, Amsterdam 1687, S. 49–50.) [Betreffs der Definitionen muß zu Beginn bemerkt werden, daß eine Definition nach dem Gesagten der Grundbegriff einer Sache ist oder das erste, was von ihr begriffen wird. Daraus ist klar erstens, daß solche Begriffe von uns gebildet werden können oder daß es völlig in unserem Willen liegt, Definitionen aufzustellen. … Zweitens ist offenbar, daß jede Definition einer einzelnen Sache immer die erste Art der Bildung dieser Sache in sich schließen muß, eine Bildungsart, die ich die Generation (Erzeugung) einer Sache nennen werde. Denn eine Sache in Wahrheit begreifen ist nichts anderes, als die Tätigkeit oder der gedankliche Prozeß ihrer Bildung; … so wird in der Tat jede regelrechte oder gute Definition eine Erzeugung in sich schließen. (Deutsche Übersetzung von J. Haussleiter, op. cit., S. 98.)]

Seine Wissenschaftslehre umreißt Tschirnhaus mit wenigen Worten wie folgt: „… primò omnes possibiles primos conceptûs, ex quibus formantur reliqui, redigam in ordinem, atque imposterum Definitiones nominabo: secundò has ipsas definitiones in se considerabo, & hinc deductas proprietates appellabo Axiomata: tertiò definitiones inter se jungam omnibus modis, quibus id fieri potest, ac veritates inde derivatas Theoremata dicam.“ (Tschirnhaus: ‚Medicina Mentis‘, Amsterdam 1687, S. 49) [ … zuerst werde ich alle möglichen Grundbegriffe (primi conceptus), aus denen die übrigen gebildet werden, in eine Ordnung bringen und sie späterhin Definitionen nennen; zweitens werde ich eben diese Definitionen an sich betrachten und die hieraus abgeleiteten Eigentümlichkeiten Axiome nennen; drittens werde ich die Definitionen auf jede mögliche Weise untereinander verbinden und die hieraus abgeleiteten Wahrheiten (sic!) Theoreme nennen. (Dt. Übersetzung von J. Haussleiter, op. cit., S. 97.)]

Die Axiomatik besteht hier lediglich aus einer Liste von Definitionen, nämlich den genetischen Definitionen der Grundbegriffe. Aus diesen Definitionen „destilliert“ (oder „extrahiert“) man die besonderen „Eigentümlichkeiten“ der definierten Dinge und formuliert sie als Axiome der Theorie. Aus den Axiomen können dann (wie üblich) die Theoreme der Theorie durch rein logische Schlüsse gewonnen werden. Es handelt sich hier um eine neue Konzeption der Axiomatik. Im Unterschied zu Hobbes, Barrow, Leibniz et al. wird nicht unmittelbar aus den Inhalten, die in den

10.9 „Die mathematische Lehrart“ nach Christian Wolff

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Definitionen niedergelegt sind, geschlossen, sondern aus Axiomen. Inhaltliche Überlegungen führen von den Definitionen zu den Axiomen; formal-logische Schlußweisen führen von den Axiomen zu den Theoremen. Für viele geometrische Begriffe kennt man seit Heron genetische Definitionen. Wie aber im Falle der Geometrie der Begriff des „Punktes“ oder den Begriff der „geraden Linie“ genetisch eingeführt werden kann, kann auch Tschirnhaus nicht sagen. Es zeigt sich, daß auch mit der Einführung von genetischen Definitionen noch nicht alle Schwierigkeiten, die bei der Grundlegung der Geometrie auftreten, gelöst worden sind.

10.9  „Die mathematische Lehrart“ nach Christian Wolff Das Werk ‚Medicina Mentis‘ schloß Tschirnhaus bereits 1682 ab. Es erschien 1687 in erster Auflage in Amsterdam und 1695 in zweiter Auflage in Leipzig. Es hat in jenen Jahren einen bedeutenden Einfluß ausgeübt. Christian Wolff6 (1679–1754) hat das Werk sorgfältig studiert und hat sich, wie man aus seiner Autobiographie (1643) weiß, 1705 von Tschirnhaus bei einer Begegnung in Leipzig viele Details erklären lassen. Wolff war von der axiomatischen Methode, so wie sie von Tschirnhaus vorgetragen wurde, stark beeinflußt. Er legte sie allen seinen mathematischen Lehrbüchern

 Christian Wolff wurde 1679  in Breslau geboren. Er studierte in Jena Mathematik, Physik und Theologie und habilitierte sich 1703 mit einer Abhandlung zur Differential-Rechnung. 1707 wurde er Professor für Mathematik und Naturlehre in Halle/S. 1710 publizierte er sein mehrbändiges Werk von den ‚Anfangsgründen aller Mathematischen Wissenschaften‘ und 1716 sein berühmtes ‚Mathematisches Lexicon‘. 1720 erschien sein Traktat ‚Vernünftige Gedancken von Gott, der Welt und der Seele des Menschen, auch allen Dingen überhaupt‘. Auf Betreiben pietistischer Theologen verlor Wolff im Jahre 1723 durch eine Kabinettsorder des „Soldatenkönigs“ Friedrich Wilhelm I seine Professur in Halle. Es wurde ihm unter Androhung des Strangs befohlen, Halle binnen 24 Stunden und die preußischen Staaten binnen zwei Tagen zu verlassen. Wolff fand Aufnahme an der Universität Marburg. Der Kronprinz Friedrich (das ist Friedrich II, auch ‚Friedrich der Grosse‘ genannt) schätzte den Wolff’schen Traktat jedoch so sehr, daß er ihn ins Französische übersetzen und Voltaire zuschicken ließ. Im September 1736 bedankte sich Voltaire für das Buch und schrieb: 6

„Je regarde ses idées métaphysiques comme des choses qui font honneur à l’esprit humain. Ce sont des éclairs au milieu d’une nuit profonde; c’est tout ce qu’on peut espérer, je crois, de la métaphysique.“ (Œuvres Complètes de Voltaire, Band 64, Kehl 1785, S. 16.) [Ich erachte seine metaphysischen Gedanken für etwas, das dem menschlichen Geist zur Ehre gereicht. Es sind Blitze inmitten einer tiefen Nacht; das ist alles, was man sich, wie ich meine, von der Metaphysik erhoffen kann.] Unmittelbar nach der Thronbesteigung Friedrichs wurde Wolff 1740 rehabilitiert und nach Halle zurückberufen. Dort starb er am 9. April 1754. Christian Wolff hatte auf die Entwicklung der Philosophie im 18. Jahrhundert einen großen Einfluß. Immanuel Kant nannte ihn „den gewaltigsten Vertreter des … Vertrauens in die Macht der Vernunft“.

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Kapitel 10  Der Rationalismus

zugrunde. Das hat zu einer starken Verbreitung dieser Form der Axiomatik geführt. Wolff hat im ersten Band seiner berühmten ‚Anfangsgründe aller Mathematischen Wissenschaften‘ (Leipzig, 1710) einen „Kurtzen Unterricht von der Mathematischen Methode oder Lehrart“ eingefügt. Er schreibt dort, daß die Prinzipien einer mathematischen Theorie die wohldefinierten Grundbegriffe sind, und daß sich aus den Inhalten dieser Grundbegriffe die Axiome der Theorie (durch Auslegung) ergeben und daß aus den Axiomen durch formal-logisches Schließen die Theoreme gewonnen werden können. Dies ist „die Ordnung, deren sich die Mathematiker in ihrem Vortrage bedienen“ (Wolff, op. cit., § 1). Die Grundlagen einer mathematischen Disziplin bestehen nach der Tschirnhaus-­ Wolff’schen Auffassung aus einer Gesamtheit von genetischen Definitionen. Aus den Inhalten dieser Definitionen gewinnt man die Axiome der Disziplin. Die Axiome sind also ex terminis gewiß, denn was in ihnen zum Ausdruck kommt, muß sich unmittelbar aus den in den Definitionen niedergelegten Inhalten ergeben. Die Gesamtheit der zugrundegelegten genetischen Definitionen kann nach Wolffs Auffassung nicht auf zwei sich widersprechende Theorien führen. (Die Erzeugbarkeit der verschiedenen Arten von Grundobjekten ist ja in dieser Welt überall, zu jeder Zeit und immer mit demselben Ergebnis möglich.) Die Axiome ergeben sich demnach als notwendige Konsequenzen aus den Definitionen und sind daher allesamt apodiktisch gewiß. Aus der Liste der Axiome gewinnt man durch logisches Schließen die Theoreme der Disziplin. Auch die Theoreme wären dann allesamt apodiktisch gewiß. Die Tschirnhaus-Wolff’sche Auffassung vom axiomatischen Aufbau einer mathematischen Theorie blieb (jedenfalls in Deutschland) die vorherrschende Auffassung bis ans Ende des 19. Jahrhundert. Ein prominentes Beispiel ist die Cantor’sche Mengenlehre. Seiner großen abschließenden Abhandlung ‚Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre‘ (Math. Annalen Band 46 (1895), S. 481–512, und Band 49 (1897), S. 207–246; Nachdruck in Cantors ‚Gesammelten Abhandlungen‘, Berlin 1932, S. 282–356) stellte Cantor seine berühmte Definition des Mengenbegriffs voran. „Unter einer »Menge« verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche »Elemente« von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

Es handelt sich offenbar um den Versuch einer genetischen Real-Definition, denn es wird einerseits angedeutet, was Mengen sind (nämlich „fertig gestellte“ Gesamtheiten von irgendwelchen Dingen zu einem neuen Ding) und andererseits ­angedeutet, wie Mengen entstehen, nämlich durch den Akt der Zusammenfassung. Axiome oder Postulate stellt Cantor nicht auf. Unmittelbar im Anschluß an die Definition des Mengenbegriffs beginnt er damit, den Inhalt dieser Definition auszuschöpfen, so wie es Tschirnhaus und Wolff empfohlen hatten (vergl. dazu Kap. 15). Es ist gut bekannt, daß Cantor in seiner Mengenlehre das Auftreten von logischen Widersprüchen nicht verhindern konnte. Der Prozeß der Mengenerzeugung ist im allgemeinen kein finiter Prozeß (vergl. Kap. 15). Es zeigt sich hier, daß – ganz

Literatur

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allgemein gesprochen – der Begriff der „Erzeugung“ selbst ein höchst problematischer Begriff ist, mit dem der Begriff der „genetischen Definition“ überladen wird. Die Inhalte, die in solchen Definitionen enthalten sind, sind nicht klar genug erkennbar, um auf ihnen eine mathematische Theorie gründen zu können. Auf die Frage, wie man die Definitionen im axiomatischen Aufbau einer Theorie gestalten soll, haben auch die Neufassungen von Pascal, Arnauld, Hobbes, Leibniz, Tschirnhaus und Wolff keine befriedigende Antwort gegeben! Keine der bisherigen Bemühungen um den Begriff der Axiomatik scheint erfolgreich gewesen zu sein. Die Versuche von Aristoteles, Euklid, Tschirnhaus, Wolff et al., die Grundbegriffe einer mathematischen Disziplin explizit zu definieren, sind ebenso gescheitert, wie die Versuche von Pascal, Arnauld et  al., sie gar nicht zu definieren. Die Situation scheint ausweglos zu sein. Es mag überraschen, daß ein Mittelweg zwischen den beiden Extremen dennoch möglich ist, und daß er im ausgehenden 19. Jahrhundert gefunden wurde. Dieser Mittelweg läßt sich beschreiten, wenn man die Position des Formalismus einnimmt. Darüber werden wir aber erst in Teil III sprechen. – Zuvor wollen wir wieder in die Zeit der Aufklärung zurückkehren und verfolgen, wie sich die Empiristen der Diskussion über die grundlegenden philosophischen Probleme der Mathematik gestellt haben.

Literatur Arnauld, Antoine: ‘Nouveaux Élémens de Géometrie, contenant, outre un ordre tout nouveau, etc.’, Paris 1667 (2. Auflage: Paris 1685). Barrow, Isaac: ‘Lectiones Mathematicae’, London 1683. Nachdruck in I. Barrow: ‘The mathematical Works’, herausgegeben von W. Whewell, Olms-Verlag, Hildesheim 1973. Felgner, Ulrich: ‘Die Begriffe der Äquivalenz, der Gleichheit und der Identität’, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Band 122 (2020), 109-129. Heronis Alexandrini ‘Opera quae supersunt omnia’, herausgegeben von J.L. Heiberg, Teubner-­ Verlag Stuttgart 1976. Hobbes, Thomas: ‘Elementorum Philosophiae, Sectio Prima: De Corpore’. London 1655. Deutsche Übersetzung von Karl Schuhmann im Meiner Verlag Hamburg 1997. Kauppi, Raili: ‘Einige Bemerkungen zum Principium identitatis indiscernibilium bei Leibniz’, Zeitschrift für philos. Forschung 20 (1966), pp. 497–508. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‘Mathematische Schriften’, herausgegeben von Carl Immanuel Gerhardt, 7 Bände, Berlin 1849–1863, Nachdruck Olms-Verlag Hildesheim 1962. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‘Metaphysische Abhandlung’, herausgegeben und übersetzt von H. Herring, F. Meiner-Verlag, Hamburg 1958. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‘Nouveaux essais sur l’entendement humain’, posthum publiziert 1760. Eine deutsche Übersetzung gab E. Cassirer im F. Meiner-Verlag, Hamburg 1971. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‘Ein Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra’, he­r­ ausgegeben, übersetzt und kommentiert von E. Knobloch, Frommann-Holzbook Verlag, Stuttgart 1976. Leibniz, Gottfried Wilhelm: ‘Philosophische Schriften IV: Schriften zur Logik und zur philosophischen Grundlegung von Mathematik und Naturwissenschaft’, herausgegeben von H. Herring, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1992.

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Kapitel 10  Der Rationalismus

Proklus Diadochus: ‘Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen’. Aus dem Griechischen ins Deutsche übertragen u. m. textkrit. Anm. versehen von Leander Schönberger, eingel. etc. von Max Steck, Halle/S. 1945. Schobinger, Jean-Pierre: ‘Blaise Pascals Reflexionen über die Geometrie im allgemeinen: »De l’esprit géométrique« und »De l’art de persuader«, mit deutscher Übersetzung und Kommentar’. Schwabe & Co-Verlag, Basel 1974. Tschirnhaus, Ehrenfried Walter von: ‘Medicina mentis, sive Tentamen genuinae Logicae in quâ disseritur de Methodo detegendi incognitas veritates’. Amsaterdam 1687 (dt. Übersetzung: Acta Hist. Leopoldina 1953). Wolff, Christian: ‘Der Anfangsgründe aller Mathematischen Wissenschaften erster Theil’, Rengerische Buchhandlung Frankfurt/Leipzig 1738 (5.  Auflage,  – die erste Auflage war bereits 1710 erschienen).

Kapitel 11

Der Empirismus in der Mathematik

Ogni nostra cognizione prencipia da sentimenti. [Unsere Erkenntnisse beginnen alle mit Empfindungen.] Leonardo Da Vinci, Tagebuch ‚Trivulzio‘, 20v.

Empirismus ist die Position in der Philosophie, in der alle Erkenntnis letztlich aus der Sinneserfahrung (Empirie) abgeleitet wird. Das, was wir Menschen wissen können, beruht nach dieser Position letztlich auf sinnlicher Wahrnehmung. Alle Fragen, die sich auf den Ursprung und die Rechtfertigung unseres Wissens beziehen, können letztlich nur unter Berufung auf unsere Sinnesempfindungen entschieden werden. Im Griechischen ist „Empirie“ (ἐμπειρία) die Erfahrung, die Kenntnis, die durch die Sinne vermittelt wird. Seit der Antike haben sich immer wieder Philosophen mehr oder weniger stark zum Empirismus hingezogen gefühlt (Aristoteles, Lukrez, Protagoras und andere). Aber im 17., 18. und 19. Jahrhundert traten vor allem in Irland, Schottland und England eine Reihe von Philosophen auf, die sich zum Empirismus bekannten und mit unbeirrbarer Verbissenheit die Mathematik, so wie sie seit der Antike betrieben wurde, kritisierten und in großen Teilen auch nicht gelten lassen wollten. Sie mischten sich insbesondere in den Streit über die neu entstandenen Rechnungen mit Indivisibilien, Infinitesimalien und Fluxionen (Cavalieri, Leibniz, Newton und andere) ein und bekämpften zugleich den Rationalismus, der auf dem europäischen Kontinent vorherrschend war. Wir wollen sehen, was sie zu sagen hatten und beginnen mit dem irischen Theologen und Philosophen George Berkeley.

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_11

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Kapitel 11  Der Empirismus in der Mathematik

11.1  Berkeleys Kritik George Berkeley (1685–1753) hat in vielen Schriften die ontologischen Auffassungen, die der euklidischen Geometrie und Arithmetik einerseits und der Leibniz-­Newtonschen Infinitesimal-Rechnung andererseits zugrunde liegen, heftig kritisiert. Er hat eine Revision der Grundlagen dieser Theorien auf empiristischer Grundlage verlangt. Berkeley bezeichnete alles, womit sich der Verstand beim Denken beschäftigt, – ähnlich wie John Locke – als „Ideen“ (vergl. Berkeleys ‚Treatise‘, in ‚Works‘, Bd. 2, § 1, § 4). „Ideen“ kommen nach Berkeleys Meinung nur durch unmittelbare Sinnes-­ Empfindungen (Wahrnehmungen, perceptions) und durch die Verstandestätigkeiten des Zusammensetzens, Teilens und Vorstellens des ursprünglich sinnlich Wahrgenommenen in das Bewußtsein. Berkeleys Credo war der Satz des Protagoras: „esse est percipi“ (so sagte er es 1710 in seinem ‚Treatise‘, §§ 2,3,6). Berkeley notierte sich in seinen ‚Philosophical Commentaries‘ (in ‚Works‘, Bd. 1, Nr. 429): „Existenz ist Wahrgenommen werden (percipi) oder Wahrnehmen (percipere)“.

Das ist sein oberster Grundsatz, dem sich alle Wissenschaften (mit Ausnahme der Theologie) zu fügen haben. Berkeley beklagte, daß in vielen Wissenschaften „allgemeine abstrakte Ideen“ („general abstract ideas“) verwendet würden. Insbesondere beklagte er dies im Falle der Arithmetik. Wenn Zahlen (wie bei Euklid) Mengen von Einheiten sein sollen, dann ergibt sich die Schwierigkeit, daß den Worten „Einheit“ („unity“) und „Menge von Einheiten“ keine „Ideen“ (in Berkeleys Sinne) entsprechen1 (vergl. Berkeleys ‚Treatise‘, § 120). Wenn es also keine „Einheiten“ gibt, dann gibt es auch keine abstrakten „Zahlen“. In der Arithmetik gibt es also nach Berkeleys Meinung keine Objekte, die als Zahlen angesehen werden können. Was es gibt, sind nur Zeichen oder Figuren oder Wörter, die zum Abzählen dienen können. Er schrieb in seinem ‚Treatise‘, § 122: „In Arithmetic therefore, we regard not the things, but the signs, which nevertheless are not regarded for their own sake, but because they direct us, how to act with relation to things, and dispose rightly of them.“ [In der Arithmetik betrachten wir also nicht die Dinge, sondern die Zeichen, die dennoch nicht um ihrer selbst willen betrachtet werden, sondern weil sie uns anleiten, wie mit den Dingen zu handeln und richtig umzugehen ist.]

Zahlen sind für Berkeley nicht abstrakte Entitäten, sondern lediglich Wörter oder Figuren, etwa die Ziffernfolgen im indisch-arabischen Stellenwertsystem. Arithmetik und Algebra sind für ihn bloße Namenswissenschaften (vergl. ‚Philosophical Commentaries‘, Nr. 354a, 767, 768, 780, 881). Die arithmetischen Operationen können daher bei Berkeley auch nicht wie bei Euklid unter Verwendung von Mengen von Einheiten eingeführt werden, sondern nur über die indisch-arabischen Algorithmen.  Man kann beispielsweise „einen“ Stein mit den Sinnen wahrnehmen, aber keine „Einheit“. Ebenso kann man „zwei“ Tiere wahrnehmen, aber keine „Zweiheit“, etc. 1

11.1  Berkeleys Kritik

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In seinem Werk ‚Arithmetica absque Algebra aut Euclide demonstrata‘ (in ‚Works‘, Bd. 4) behandelte Berkeley lediglich die Algorithmen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im dezimalen Stellenwertsystem, die Auflösung quadratischer und kubischer Gleichungen, etc. Diese können im Rahmen einer nominalistischen Auffassung auch problemlos behandelt werden. Allerdings treten große Schwierigkeiten auf, wenn man (auf der schmalen Basis der Berkeleyschen Arithmetik) erklären will, was diese Algorithmen bedeuten sollen. Daß die „Multiplikation“ bei Euklid und bei Berkeley dasselbe sind, kann man nur unter Verwendung der allgemeinen Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze beweisen. Aber diese Gesetze stehen in der Berkeley’schen Arithmetik nicht zu Verfü­ gung. Überhaupt können Gesetze, die für alle Zahlen gelten sollen (z.  B. ∀x∀y: x + y = y + x), in der Berkeley’schen Arithmetik nicht bewiesen werden, da sie nicht aus endlich vielen empirischen Beobachtungen gewonnen werden können. Insbesondere steht das Prinzip der vollständigen Induktion in der Berkeley’schen Arithmetik nicht zur Verfügung. Solange man die Arithmetik nur für die Bedürfnisse des täglichen Lebens braucht (Abzählen des Geldes beim Einkaufen, etc.), mag die von Berkeley favo­ risierte nominalistische Auffassung ausreichen, aber eine wissenschaftliche Arithmetik kann auf dieser Grundlage nicht durchgeführt werden. Die Reihe der natürlichen Zahlen würde nur als potenziell unendliche Reihe zur Verfügung stehen und viele klassische Ergebnisse würden sich nicht mehr so einfach – wenn überhaupt  – beweisen lassen. Eine allgemeine Zahlentheorie ließe sich nicht mehr durchführen. Die euklidische Geometrie lehnte Berkeley rundweg ab, denn Punkte ohne Ausdehnung und Linien ohne Breite sind im sensualistischen Sinne nicht wahrnehmbar und daher auch nicht existent (cf. Berkeleys Schrift ‚The Analyst‘, 1734, in ‚Works‘, Bd. 4, deutsche Übersetzung in Breidert, op. cit.). Berkeley hat (in Anlehnung an Lukrez ‚De Rerum Natura‘, I, 749–752) eine alternative Geometrie skizziert, in der Punkte ausgedehnte Flecken sind, die gerade noch wahrnehmbar sind. Seiner Geometrie liegt der Begriff der kleinstmöglichen wahrnehmbaren Größe („minimum sensible geometric magnitude“) zugrunde. Linien sind Striche, deren Breite nicht mehr sinnlich wahrnehmbar ist. Die unendliche Teilbarkeit von Strecken und von Winkeln verwirft er konsequenterweise. In Berkeleys Geometrie sind Seite und Diagonale eines Quadrates kommensurabel, da sie aus endlich vielen „kleinstmöglichen wahrnehmbaren Größen“ zusammengesetzt sind (cf. ‚Philosophical Commentaries‘, Nr. 258). Deshalb lassen sich Quadrate nicht verdoppeln und auch der Pythagoräische Lehrsatz gilt nicht in Berkeleys Geometrie (cf. ‚Philosophical Commentaries‘, Nr. 500): „One square cannot be double of another. Hence the Pythagoric theorem is false.“ [Ein Quadrat kann nicht das Doppelte eines anderen Quadrates sein. Folglich ist auch der pythagoräische Lehrsatz falsch.]

Auch den Begriff der Kongruenz verwirft Berkeley, denn er meint, daß, wenn man ein gezeichnetes Dreieck auf ein anderes legt, das darunter liegende Dreieck nicht mehr sichtbar ist und somit auch nicht existiere. Er schreibt:

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Kapitel 11  Der Empirismus in der Mathematik

„The Mathematician should look to their axiom Quae congruunt sunt aequalia. I know not what they mean by bidding me put one Triangle on another, the under Triangle is no Triangle, nothing at all, if not being perceived.“ (Berkeley, ‚Philosophical Commentaries‘, Nr. 528). [Die Mathematiker sollten ihr Axiom betrachten: Was deckungsgleich ist, ist einander gleich. Ich weiß nicht, was sie meinen, wenn sie mich bitten, ein Dreieck auf ein anderes zu ­legen, aber das darunter liegende Dreieck ist kein Dreieck mehr, es ist überhaupt nichts mehr, wenn es nicht mehr wahrgenommen werden kann.]

Das alles macht seine alternative Geometrie wenig plausibel. Es gibt in ihr wohl nur negative Resultate; positive Aussagen scheint es nicht zu geben. Der Mathematik will er den Umgang mit dem Unendlichen nicht zugestehen, sondern nur der Theologie. Unendliche Objekte können nicht sinnlich angeschaut werden. Also erweisen sich für Berkeley auch die Grundbegriffe der damals neuen Infinitesimalmathematik als unsinnig. Eine unendlich kleine Größe ist für Berkeley nichts anderes als ‚Nichts‘. Leute, die sich mit solchen Nichtsen abgeben, werden von ihm „Nihilarians“ genannt. Die infinitesimalen Größen sind für Berkeley Geister verstorbener Größen: „the Ghosts of departed Quantities“ (Berkeley: ‚The Analyst‘, § 35). Aus all diesen Zitaten ergibt sich, daß Berkeley nicht bereit war, die seit der Antike herrschende Auffassung von der Mathematik als „Fachwerk von Begriffen“, wie es David Hilbert ausdrückte, zu akzeptieren. Wenn die Begriffe keine sinnlich wahrnehmbaren Objekte beschreiben, dann taugen sie – so möchte man Berkeley interpretieren – vielleicht für Feenmärchen und Geistergeschichten, aber nicht für eine Disziplin, wie die Mathematik. Die von Berkeley geäußerte Kritik am Vorgehen der Mathematiker war in manchen Fällen berechtigt (etwa in der damals noch nicht sorgfältig genug durchdachten Infinitesimal-Rechnung) und hilfreich, aber sein strikter Empirismus taugte nicht als Grundlage für den Aufbau der klassischen mathematischen Disziplinen.

11.2  David Humes Kritik David Hume war ein schottischer Diplomat, Historiker und Philosoph. Er wurde am 7. Mai 1711 in Edinburgh geboren und starb dort auch am 25. August 1776. In den Jahren 1739–1740 publizierte Hume sein Hauptwerk: ‚A Treatise of Human Nature, Being an Attempt to introduce the experimental method of Reasoning into Moral Subjects‘. Das Buch brachte ihm nicht den erhofften Erfolg. Er arbeitete es um und publizierte die neue Version unter dem Titel ‚Essay‘. Im ‚Treatise‘ behandelt Hume im ersten Teil des ersten Buches den Begriff des Raumes. Die Gegenstände der Geometrie sind für Hume die „Ideen“, die wir von den Raumgrößen haben. Er gebraucht das Wort etwas anders als Locke oder Berkeley. Für Hume sind die „Ideen“ die schwachen Abbilder („faint images“), die wir uns in unserer Seele von den „lebhaften Impressionen“ machen, die uns die Sinne von den Größen des Raumes vermitteln.

11.3  John Stuart Mills Kritik

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Ausführlich bespricht er die Frage, was ein mathematischer Punkt sei (loc. cit., Seite 88 ff.). Er geht von der üblichen Definition der Mathematiker aus: Ein Punkt (im 3-dimensionalen Raum) ist eine räumliche Größe, die weder Länge, noch Breite, noch Tiefe hat und insofern unteilbar ist (loc. cit., Seite 96). Eine solche Definition macht nach Hume nur Sinn, wenn es unteilbare räumliche Größen ­(„extensions“) gibt. Wenn der Begriff des Punktes nur in der Seele vorhanden wäre, und wenn Punkte nirgends in der sinnlich wahrnehmbaren Welt vorhanden wären, dann wäre der Begriff des Punktes (für Hume) unbefriedigend und leer. Punkte müssen also als Raumgrößen in der sinnlich wahrnehmbaren Welt sein. In seinem ‚Essay‘ schreibt er: „The idea of extension is entirely acquired from the senses of sight and feeling.“ [Die Idee der Raumgröße erlangt man durch den Gesichtssinn und den Tastsinn.]

und etwas später: „an extension that is neither tangible nor visible, cannot possibly be conceived.“ [Eine Raumgröße, die weder berührbar noch sichtbar ist, kann unmöglich begriffen (verstanden) werden.]

Hume bezeichnet schließlich räumliche Größen als „mathematische Punkte“, wenn sie dem Gesichtssinn oder dem Tastsinn als unteilbar erscheinen. Er meint, daß es solche räumlichen Größen gibt. Zum „Beweis“ sagt er, daß Tintenkleckse auf einem Stück Papier, die man aus hinreichend großer Entfernung anschaut, wo sie eben noch sichtbar sind, dem Auge als unteilbare Gegenstände erscheinen (op. cit., Seite 95). Eine begrenzte Linie ist für Hume immer aus endlich vielen unteilbaren Teilstrecken zusammengesetzt (op. cit., Seite 78). Wohin derartige Auffassungen führen, haben wir schon im Abschnitt über „Berkeleys Kritik“ gesehen.

11.3  John Stuart Mills Kritik Der Hauptvertreter des Empirismus im 19. Jahrhundert war der englische Philosoph, Psychologe und Soziologe John Stuart Mill (geboren am 20.05.1806 in London, gestorben am 08.05.1873 in Avignon). Seine Ansichten zur Erkenntnistheorie hat er in seinem einflußreichen Buch ‚A System of Logic, ratiocinative and inductive‘ (London, 1843) ausführlich dargelegt. Die einzige Erkenntnisquelle ist für ihn die Erfahrung, die durch die Sinne vermittelt wird, und das einzige zulässige Verfahren zur Gewinnung von allgemeinen Erkenntnissen ist die (unvollständige!) Induktion im Sinne von Francis Bacon (1561–1626). Er meint, daß auch in der Geometrie die einzelnen Einsichten durch sinnliche Wahrnehmung und die allgemeinen Erkenntnisse auf induktivem Wege gewonnen würden (op. cit., Seite 147). Zur Geometrie. Mill übernimmt von Lukrez und Berkeley die Auffassung, was ein „Punkt“ sei, und schreibt (op. cit., Seite 148, Spalte 1):

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Kapitel 11  Der Empirismus in der Mathematik

„the minimum visible, the smallest portion of surface we can see.“ [das Minimum des Sichtbaren, der kleinste Teil einer Fläche, den wir noch mit unseren Augen wahrnehmen können.]

Die Definition des „Punktes“, so wie sie Euklid angegeben hat, akzeptiert er, meint aber, daß sie nichts anderes als eine Anspielung an den obigen Begriff des sinnlich-wahrnehmbaren Punktes sei. Über den Begriff der „Geraden“ als „Länge ohne Breite“ drückt er sich ähnlich aus. Er meint (op. cit., Seite 148), „We can reason …, but not conceive a line without breadth.“ [Wir können mit Linien ohne Breite in den Gedanken begrifflich umgehen, aber wir können sie uns nicht vorstellen.]

Er meint, daß Linien, die wir mit den leiblichen Augen oder mit den Augen des Geistes sehen, immer eine gewisse Breite haben. Er schreibt: „If any one doubts this, we may refer him to his own experience.“ [Dem, der dies bezweifelt, sei auf seine eigene Erfahrung hingewiesen.]

Auf Seite 148, Spalte 2, faßt er schließlich seine Auffassungen wie folgt zusammen: „Since, then, neither in nature, nor in the human mind, do there exist any objects exactly corresponding to the definitions of geometry, while yet that science cannot be supposed to be conversant about non-entities; nothing remains but to consider geometry as conversant with such lines, angles, and figures as really exist; and the definitions, as they are called, must be regarded as some of our first and most obvious generalisations concerning those natural objects. The correctness of those generalisations, as generalisations, is without a flaw: the equality of all the radii of a circle is true of all circles, so far as it is true of any one: but it is not exactly true of any circle; it is only nearly true; so nearly that no error of any importance in practice will be incurred by feigning it to be exactly true.“ [Weil demnach weder in der Natur, noch im menschlichen Geist irgendwelche Objekte existieren, die den Definitionen der Geometrie exakt entsprechen, obwohl doch diese Wissenschaft nicht so verstanden werden darf, als würde sie über Nicht-Seiendes sprechen, so bleibt nichts anderes übrig, als die Geometrie so anzusehen, als spräche sie über die wirklich existierenden Linien, Winkel, und Figuren. Die sogenannten Definitionen müssen als unsere ersten und offenkundigsten Verallgemeinerungen dieser natürlichen Objekte angesehen werden. Die Korrektheit dieser Verallgemeinerungen als Verallgemeinerungen ist ohne Fehler: die Gleichheit aller Radien eines Kreises ist in allen Kreisen genauso wahr wie in jedem einzelnen Kreis. Aber diese Gleichheit gilt in keinem einzigen Kreis ganz genau: sie gilt nur ungefähr; so „nahezu“, daß sich in der Praxis kein bedeutender Fehler ergibt, wenn man erdichtet, daß die Gleichheit exakt wahr wäre.]

Ähnlich wie Aristoteles behauptet also auch Mill, daß es keine eigenständigen mathematischen Gegenstände gibt. Da die Geometrie nicht über etwas sprechen sollte, was es nicht gibt, werden die Gegenstände der Geometrie mit den Gegenständen der natürlichen Umwelt identifiziert. Aber zwischen den Auffassungen von Aristoteles und Mill besteht ein wichtiger Unterschied, denn Mill ist (im Unterschied zu Aristoteles) bereit, den Preis für die Identifizierung zu zahlen,

11.3  John Stuart Mills Kritik

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„indem er die notwendige Gültigkeit der geometrischen Sätze auf die Geltungsebene empirischer Generalisierungen herabmoduliert – und damit seine Theorie der Mathematik hinreichend unplausibel macht“ (Günther Patzig, op. cit., S. 120).

Die Geometrie wäre nach Mill eine Wissenschaft, die Aussagen über Sachverhalte macht, die nur ungefähr bestehen. Die Arithmetik bezeichnet Mill als „Festung des Nominalismus“ („stronghold of Nominalism“, Seite 167, Spalte 1). Er schreibt (op. cit., Seite 167, Spalte 2), daß es Zahlen als abstrakte Dinge nicht gibt: „All numbers must be numbers of something; there are no such things as numbers in the abstract.“ [Alle Zahlen müssen Anzahlen von irgendwelchen Gegenständen sein; es gibt keine Zahlen als abstrakte Dinge.]

Mill meint, daß man beispielsweise nur von „zehn Äpfeln“ oder „zehn Pulsschlägen“ sprechen kann, aber nicht von einer abstrakten „Zehn“. Mathematische Sätze, in denen Zahlwörter vorkommen, sind demnach keine Aussagen über abstrakte Zahlen, sondern Aussagen, die von Objekten der natürlichen Umwelt handeln und immer wahr sind (S. 167, Spalte 2). Die Gleichung 2 + 1 = 3 beispielsweise drückt für Mill unendlich viele physikalische Sachverhalte („physical facts“, Seite 168, Spalte 2) aus. Er erwähnt das Beispiel „zwei Kieselsteine (pebbles) und ein weiterer Kieselstein sind zusammengenommen drei Kieselsteine“. „Two pebbles and one pebble are equal to three pebbles“ (S. 168, Spalte 2).

Die Gültigkeit arithmetischer Sätze kann nach Mill nur auf induktivem Wege gezeigt werden. Arithmetische Behauptungen, wie beispielsweise 3 + 7 = 11, können aber durch sinnliche Erfahrungen widerlegt werden! Die Zahl 2 ist nach Mill von der Zahl 3 verschieden, weil zwei Kieselsteine von drei Kieselsteinen verschieden sind. „The fundamental truths of that science all rest on the evidence of sense; they are proved by showing to our eyes and our fingers that any given number of objects, ten balls, for example, may by separation and rearrangement exhibit to our senses all the different sets of numbers the sum of which is equal to ten.“ (Seite 169, Spalte 1). [Die grundlegenden Wahrheiten der Arithmetik beruhen alle auf sinnlicher Wahrnehmung; sie werden bewiesen, indem unseren Augen und unseren Fingern vorgeführt wird, daß jede beliebig vorgegebene Anzahl von Dingen, beispielsweise zehn Kugeln, unseren Sinnen zeigen wird, daß bei allen Zerlegungen die Summen der Anzahlen der Dinge in den beiden Teilmengen zusammen genommen immer zehn ergeben.]

Die natürlichen Zahlen führt Mill (durch Rekursion) als Wörter ein, mit denen die Mächtigkeiten endlicher Mengen von sinnlich wahrnehmbaren (!) Gegenständen ausgedrückt werden können. Die Zahl 3 beispielsweise ist für ihn ein Wort, das immer dann zur Bezeichnung der Anzahl der Elemente einer Menge von sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen dient, wenn diese Menge in eine zwei-elementige und eine ein-elementige Teilmenge zerlegt werden kann, so daß auch diese Zerlegung sinnlich wahrnehmbar ist (S. 169). Mill schreibt:

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Kapitel 11  Der Empirismus in der Mathematik

„Three is two and one, … (because) collections of objects exist, which while they impress the senses thus 000, may be separated into two parts, thus 00 0. … We call all such parcels Threes.“ (Seite 169, Spalte 1–2). [Drei ist Zwei und Eins, … weil es Mengen von Dingen gibt, welche, während sie die Sinne wie folgt 000 wahrnehmen, auf die folgende Art in zwei Teile zerlegt werden können: 00 0. … Alle derartigen Päckchen werden Dreier genannt.]

Edmund Husserl konnte über diese Definitionen der einzelnen Zahlen 2, 3, 4, 5, … nur den Kopf schütteln und hätte Mill gern die Frage gestellt, welche Sinneseindrücke herangezogen werden können, wenn man beispielsweise von „drei“ Urteilen oder „drei“ Unmöglichkeiten sprechen möchte (cf. Husserl: ‚Philosophie der Arithmetik‘ (1891), op. cit., S. 17). Gottlob Frege (‚Die Grundlagen der Arithmetik‘, Breslau 1884, S. 9) schrieb ein wenig spöttisch: „Er [Mill] belehrt uns nämlich, daß jene Definitionen (d. h. die Definitionen der einzelnen natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, …) keine (Definitionen) im logischen Sinne seien, daß sie nicht nur die Bedeutung eines Ausdrucks festsetzen, sondern damit auch eine beobachtete Thatsache behaupten. Was in aller Welt mag die beobachtete oder, wie Mill auch sagt, physikalische Thatsache sein, die in der Definition der Zahl 777864 behauptet wird? Von dem ganzen Reichthume an physikalischen Thatsachen, der sich hier vor uns auftut, nennt uns Mill nur eine einzige, die in der Definition der Zahl 3 behauptet werden soll. Sie besteht nach ihm darin, daß es Zusammenfügungen von Gegenständen gibt, welche während sie diesen Eindruck 000 auf die Sinne machen, in zwei Theile getrennt werden können, wie folgt: 00 0. Wie gut doch, daß nicht alles in der Welt niet- und nagelfest ist; dann könnten wir diese Trennung nicht vornehmen, und 2+1 wäre nicht 3. Wie schade, daß Mill nicht auch die physikalischen Thatsachen abgebildet hat, welche den Zahlen 0 und 1 zu Grunde liegen!“

Frege kritisiert Mill auch dafür, daß er sich nur auf den sinnlichen Eindruck der 3 bezieht, etwa in der Form 000 oder 00 0, und meint, daß es dann falsch wäre, von „drei“ Pulsschlägen zu sprechen, oder von den „drei“ Geschmacksempfindungen süß, sauer, bitter, oder den „drei“ Nullstellen einer kubischen Gleichung (Frege, loc. cit., Seite 9–10). Weil die Gleichungen der elementaren Arithmetik nach Mill Aussagen über die Anzahlen von Gegenständen in der natürlichen Umwelt sind, können sie nur auf induktivem Wege gewonnen werden, und können (nach Mill, Seite 169, Spalte 2) daher nicht beanspruchen, „exakte, allgemeingültige Wahrheiten“ zu sein. Es ist beachtlich, daß Mill diese Konsequenz seines Zuganges zur Arithmetik zugibt. Das macht seine Arithmetik aber nicht attraktiver. Nach Mill sind die arithmetischen Urteile „fundamental truths, … that rest on the evidence of sense“ [grundlegende Wahrheiten, … die auf dem Zeugnis der Sinne beruhen.]

(siehe oben), also empirische Urteile. Wir haben aber schon in Kap. 9 gesehen, als wir die Ansichten von John Locke besprachen, daß das nicht stimmt. Wir hatten am konkreten Beispiel 4 + 3 = 7 erläutert, daß diese Gleichung besteht, weil die Regeln des arithmetischen Kalküls korrekt angewandt wurden, und daß es nicht mit den Sinnen sondern nur mit dem Verstand möglich ist, zu prüfen, ob die Regeln korrekt angewandt wurden.

11.4 Diskussion

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Diese Argumente zeigen, daß die elementaren arithmetischen Urteile keine empirischen Urteile sind. R.L. Goodstein (op. cit.) macht den treffenden Vergleich: wenn in einem Schachspiel der König ins Schach gekommen ist, dann besteht der Sachverhalt nicht aufgrund einer empirisch (also physikalisch) feststellbaren Bewegung einer Schachfigur, sondern aufgrund der Regeln des Schachspiels.

11.4  Diskussion Mit der Entdeckung inkommensurabler Größen durch die Pythagoräer entstand in der Antike eine Geometrie, in der Punkte keine Ausdehnung, Linien keine Breite und Flächen keine Dicke haben. Es sind Objekte, die sinnlich gar nicht wahrnehmbar sind und nur für das Denken existieren (vergl. Kap. 1). Mit dieser Entdeckung entstand etwas Neues, was die Griechen mit dem Wort „Mathematik“ bezeichnet haben. Die ontologischen und epistemologischen Probleme, die diese neuartige Disziplin „Mathematik“ aufwarf, haben von Platon an viele Philosophen und Mathematiker bearbeitet und dabei sehr viele tiefe Einsichten gewonnen, – und sich aber auch oft genug geirrt. Aber die Philosophen aus dem Lager der Empiristen haben uns enttäuscht und ganz ratlos gemacht: sie lassen nichts von dem, was seit den Griechen die Mathematik ausmacht, gelten. Mit der Zielsetzung, einen Neuaufbau der Mathematik auf empiristischer Grundlage auszuarbeiten, konnten sich weder Berkeley, noch Hume, noch Mill durchsetzen. Das Ziel, die Grundbegriffe so zu erklären, daß es möglich wird, allgemeine Gesetze und allgemeine Theoreme, die für alle (!) geometrischen Objekte einer bestimmten Gattung, oder für alle (!) Zahlen gelten, konnten sie nicht erreichen. Aber sie haben dennoch mit ihrer Kritik zu Recht auf manche Mißstände in der Mathematik hingewiesen und manche nützlichen Bemerkungen über die intendierten Bedeutungen der Grundbegriffe gemacht. Manche dieser Bemerkungen sind in späteren Zeiten aufgegriffen worden. So schrieb beispielsweise der Geometer Moritz Pasch (1843–1930) in seinen berühmten ‚Vorlesungen über neuere Geometrie‘ (op. cit., S. 3): „Allemal aber werden die Körper, deren Teilung sich mit den Beobachtungsgrenzen nicht verträgt, „Punkte“ genannt.“

Das ist eine Anspielung auf David Hume. Aber im Unterschied zu Hume versteht Pasch diese Aussage nicht als Definition dessen, was „Punkte“ sind, sondern nur als Äußerung des intendierten Inhaltes vom Begriff des „Punktes“. Seinen Aufbau der Geometrie gliedert Pasch in zwei sorgfältig voneinander getrennte Teile: im ersten Teil, den Prolegomena, werden die Inhalte der einzelnen Grundbegriffe besprochen und im zweiten Teil, dem Hauptteil, werden die Idealisierungen und Formalisierungen ausgeführt, die zu den eigentlichen Grundlagen der Geometrie, nämlich den Axiomen oder Postulaten führen. Der erste Teil handelt also von den inhaltlichen

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Kapitel 11  Der Empirismus in der Mathematik

Aspekten der anschaulichen Geometrie und der zweite Teil von der Aufstellung der Axiome für die theoretische Geometrie. Die Axiome sollen die zuvor festgestellten Inhalte so genau und umfassend wie möglich formalisieren. Auf diese Weise wird einerseits eine Verankerung der theoretischen Geometrie in der Wirklichkeit erreicht und andererseits eine mathematische Theorie aufgebaut, die es erlaubt, universell gültige Aussagen streng zu beweisen. Der von Berkeley, Hume, Mill und anderen vertretene Empirismus vermag einen Beitrag zu den Prolegomena mathematischer Theorien zu geben, aber gar nichts zu den eigentlichen Theoriebildungen selbst.

Literatur Berkeley, George: ‘The Works of George Berkeley, Bishop of Cloyne’, 9 Bände, herausgegeben von A.A. Luce & T.E. Jessop, Edinburgh-London 1948a–1957. Berkeley, George: ‘A Treatise concerning the Principles of Human Knowledge’, In: ‘The Works of George Berkeley, Bishop of Cloyne’, Edinburgh-London 1948b–1957, Band 2, pp. 19–113. Berkeley, George: ‘Schriften über die Grundlagen der Mathematik und Physik’, Einleitung und Übersetzung von Wolfgang Breidert. Suhrkamp Verlag Frankfurt/Main 1969. Breidert, Wolfgang: ‘George Berkeley 1685–1753’. Birkhäuser Verlag 1989, Reihe: Vita Mathematica, Band 4. Frege, Gottlob: ‘Die Grundlagen der Arithmetik’, Breslau 1884. Goodstein, R.L.: ‘Empirism in mathematics’. Dialectica 23 (1969), pp. 50–57. Hume, David: ‘A Treatise of Human Nature, Being an Attempt to introduce the experimental method of Reasoning into Moral Subjects’. 3 Bände, 1739–1740. Nachdruck herausgegeben von D. Fate Norton & Mary J. Norton, Oxford Univ. Press 2000. – Eine deutsche Übersetzung gab Ludwig Heinrich Jakob (in 3 Bänden) in Halle 1790–1792 heraus: ‘David Hume über die menschliche Natur’. Husserl, Edmund: ‘Philosophie der Arithmetik’ (1891), herausgegeben von L. Eley, Husserliana XII, M. Nijhoff-Verlag, Den Haag 1970. Jesseph, Douglas M.: ‘Berkeley’s Philosophy of Mathematics’. The University of Chicago Press, Chicago 1993. Kalmar, Lásló: ‘Foundations of Mathematics – wither now?’ In: Problems in the Philosophy of Mathematics, Proceedings Colloquium Philosophy of Science, London 1965, herausgegeben von I. Lakatos, pp. 187–207. North-Holland Publ. Company Amsterdam 1967. Meyer, Eugen: ‘Humes und Berkeleys Philosophie der Mathematik vergleichend und kritisch dargestellt’. Halle an der Saale 1894. Nachdruck G. Olms Verlag Hildesheim 1980. Mill, John Stuart: ‘A System of Logic, ratiocinative and inductive, being a connected View of the principles of evidence and the methods of scientific investigation’. 1843. Pasch, Moritz  – Dehn, Max: ‘Vorlesungen über neuere Geometrie’. 2.  Auflage, Springer-­ Verlag, Reihe: Grundlehren der Math. Wissenschaften, Bd. 23, Berlin 1926. Patzig, Günther: ‘Das Programm von M und seine Ausführung’, In: ‘Mathematik und Metaphysik bei Aristoteles’, Symposium Aristotelicum Sigriswil 1984, (A. Graeser, Herausg.), Verlag P. Haupt, Bern-Stuttgart 1987. Stammler, Gerhard: ‘Berkeleys Philosophie der Mathematik’. „Kant-Studien“ – Ergänzungsheft Nr. 55. Berlin 1921 im Verlag Reuther & Reichard.

Kapitel 12

Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

Das Zeitalter der Aufklärung hat zwei große philosophische Denkgebäude hervorgebracht, den Rationalismus (René Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz und andere) und den Empirismus (George Berkeley, David Hume und andere). Der fundamentale Unterschied zwischen diesen beiden Richtungen „betraf die Bemessung des Umfanges unserer Erkenntnis a priori, also derjenigen Erkenntnis, die wir unabhängig von unserer sinnlichen Erfahrung haben können. Die Rationalisten hatten die Tendenz, diesen Umfang als groß, die Empiristen hingegen als klein anzusetzen“ (zitiert nach E. Scheibe, op. cit., S. 355). Immanuel Kant setzte sich zum Ziel, diesen Umfang neu zu bestimmen.

12.1  Kants Lebenslauf Immanuel Kant wurde am 22.04.1724 in Königsberg (in Preußen) geboren. Im Alter von 16 Jahren begann er sein Studium der Mathematik, Naturwissenschaft und Philosophie an der Universität Königsberg, das er sechs Jahre später abschloß. Danach arbeitete er als Privatlehrer. 1756 wurde er Privatdozent und 1770 im Alter von 46 Jahren Professor für Metaphysik und Logik an der Königsberger Universität. Seine Vorlesungen hielt er um sieben Uhr vormittags. Kants Schüler Reinhold Bernhard Jachmann (op. cit., S. 29) schilderte Kants Vorlesungsstil: „Eine besondere Kunst bewies Kant bei der Aufstellung und Definition metaphysischer Begriffe dadurch, daß er vor seinen Zuhörern gleichsam Versuche anstellte, als wenn er selbst anfinge, über den Gegenstand nachzudenken, allmählig neue, bestimmende Begriffe hinzufügte, schon versuchte Erklärungen nach und nach verbesserte, endlich zum völligen Abschluß des vollkommen erschöpften und von allen Seiten beleuchteten Begriffes überging und so den strenge aufmerksamen Zuhörer nicht allein mit dem Gegenstande bekannt machte, sondern ihn auch zum methodischen Denken anleitete.“

Kant muß ein geistvoller Redner gewesen sein, nicht nur in seinen Vorlesungen sondern auch im privaten Kreis. Er hatte gerne Gäste um sich. Er lud sie zum © Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_12

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160

Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

­ ittagessen ein. Das Mahl war frugal, aber jedem stellte er eine kleine Flasche roM ten Medoc/Bordeaux vor. Die Zahl der Gäste sollte nicht unter 3 und nicht über 9 liegen. Er begründete das damit, daß 3 die Zahl der Grazien und 9 die Anzahl der Musen sei (cf. Jachmann, op. cit., S. 139, 146, 169). Kants Leben war ansonsten in hohem Maße diszipliniert und gleichförmig. Kant publizierte 1781 (im Alter von 57 Jahren) sein bedeutendstes Werk, die ‚Kritik der reinen Vernunft‘. Für die zweite Auflage dieser ‚Kritik‘ 1787 schrieb er manche Teile neu. Man unterscheidet daher diese beiden Versionen mit den Buchstaben A (1. Auflage) und B (2. Auflage). Wir verwenden KrV als Abkürzung für den Titel ‚Kritik der reinen Vernunft‘. Kant veröffentlichte 1788 eine ‚Kritik der praktischen Vernunft‘ und 1790 eine ‚Kritik der Urteilskraft‘. – Seine letzte Vorlesung hielt er 1796. Kant starb am 12. Februar 1804. Dem Trauerzug folgten Menschen aus ganz Deutschland und nahezu die ganze Bevölkerung Königsbergs. Hundertundzwanzig Jahre später, 1924, wurden seine Gebeine in eine klassizis­ tische Grabkapelle neben dem Königsberger Dom umgebettet. Die Stadt wurde gegen Ende des 2. Weltkrieges fast vollständig zerstört und gehört von 1946 an zur Sowjetunion. 1950 wurde das Grab in blinder Zerstörungswut geschändet. Nur noch eine bronzene Tafel an der Mauer des ehemaligen Schlosses erinnert heute daran, daß in dieser Stadt Kant gelebt hat. Das Hauptwerk Kants trägt den Titel ‚Kritik der reinen Vernunft‘. Schon bald nach seinem Erscheinen wurde es eines der wichtigsten Bücher im Gebiete der Philosophie. Madame de Staël-Holstein schrieb 1810  in ihrem Buch ‚De L’Alle­ magne‘ (Paris-London 1810/1813, Band 3, S. 67–68) dazu: „… mais lorsqu’enfin on découvrit les trésors d’idées qu’il renferme, il produisit une telle sensation en Allemagne, que presque tout ce qui s’est fait depuis lors, en littérature comme philosophie, vient de l’impulsion donnée par cet ouvrage.“ [… als man aber endlich den Schatz von Ideen entdeckte, der darin enthalten war, verursachte es in Deutschland eine solche Sensation, daß alles, was seitdem im Fache der Literatur und der Philosophie zum Vorschein gekommen ist, von dem Anstoß herrührt, welchen jenes Werk gegeben hat.]

Das Buch hat aber auch Widerspruch hervorgerufen und sein Titel hat manche Leser verwirrt. Johann Gottfried Herder (1744–1803) beispielsweise meinte: „ … der Titel befremdet. Ein Vermögen der menschlichen Natur kritisiert man nicht; sondern man untersucht, bestimmt, begränzet es, zeigt seinen Gebrauch und Mißbrauch.“

Herder1 hat das Wort „Kritik“ gründlich mißverstanden. Herder versteht das Wort „kritisieren“ nur umgangssprachlich im Sinne von „lobend oder tadelnd beurteilen“ (vergl. das Duden-Wörterbuch der dt. Sprache). An die griechische Wurzel des Wortes hatte er wohl nicht gedacht, denn hier bedeutet „kritisieren“ tatsächlich

 Siehe J.G. Herder: ‚Verstand und Erfahrung, Vernunft und Sprache – eine Metakritik zur Kritik der reinen Vernunft‘, 1799, in Herders ‚Sämmtlichen Werken‘, Abteilung: ‚Zur Philosophie und Geschichte‘, Band 14, Karlsruhe 1820, Seite 1. 1

12.1  Kants Lebenslauf

161

„bestimmen, begrenzen, den Gebrauch und Mißbrauch beurteilen“. Das Wort „Kritik“ ist vom griechischen κρίνειν abgeleitet. Es bedeutet zunächst ( 1) „scheiden, absondern, trennen, bestimmen“, aber auch (2) „beurteilen, zu Gericht sitzen, (richterlich) entscheiden“, und sogar (3) „anklagen, beschuldigen, verurteilen“. Die ‚Kritik‘ Kants will in der Tat zunächst die verschiedenen Erkenntnisvermögen Sinnlichkeit, Verstand und Vernunft bestimmen und unterscheiden. Die ‚Kritik‘ Kants will aber auch die Fähigkeiten der reinen Vernunft „beurteilen“ und Ansprüche auf zu hoch angesetzte Fähigkeiten „verurteilen“. Als Beispiel sei die Kritik an dem auf Anselm von Canterbury und René Descartes zurückgehenden ontologischen Gottesbeweis genannt. Kant hatte an seinem Buch etwa zehn Jahre lang gearbeitet. In einem Brief vom 21.02.1772 an Markus Herz schrieb Kant, daß er an einem Buch arbeite, das den Titel ‚Die Grenzen der Sinnlichkeit und der Vernunft‘ tragen könnte. Um die Bestimmung dieser Grenzen geht es denn auch hauptsächlich in der ‚Kritik der reinen Vernunft‘. Kants ‚Kritik‘ bezieht sich auf die „reine Vernunft“. Um verstehen zu können, was damit gemeint ist, wollen wir zunächst versuchen, die beiden Begriffe „Verstand“ und „Vernunft“ auseinander zu halten. Das Wort „Verstehen“ hat die ursprüngliche (wörtliche) Bedeutung von „neben einem Gegenstand stehen“ und damit auch die Bedeutung von „etwas überblik-­ ken“, und daher insbesondere „den geistigen Zusammenhang erfassen“. Die Vorsilbe „ver“ hat die gotische Wurzel „fair“ und ist hier mit dem griechischen παρά (≈ daneben, an der Seite von, …) verwandt. Der „Verstand“ (griechisch: διάνοια, lateinisch: ratio) ist das Vermögen, durch Nachdenken geistige Zusammenhänge zu erkennen und zu beurteilen. Das Wort „Verstand“ wird im Englischen zumeist mit „understanding“ und im Französischen mit „entendement“ wiedergegeben. Die „Vernunft“ (griechisch: νοũς, lateinisch: intellectus) ist dem Wortsinne nach das Organ, das die Tätigkeit des Vernehmens ausübt. Die „Vernunft“ ist also das Vermögen, durch sinnliche oder geistige Wahrnehmung Erkenntnisse zu gewinnen. Die „Reine Vernunft“ ist (nach Kant) die Tätigkeit des Vernehmens allein durch den Geist, unabhängig von aller Sinnlichkeit. (Vergl. dazu KrV: B24, und auch Jakob Friedrich Fries, ‚System der Logik‘ (1819), op. cit., S. 92). Der Titel von Kants Hauptwerk ‚Kritik der reinen Vernunft‘ ist damit etwas deutlicher geworden. Kant will in diesem Werk die philosophischen Hauptströmungen seiner Zeit, den Rationalismus (Descartes, Leibniz, Wolff et al.) und den Empirismus (David Hume et al.) kritisch untersuchen und dabei die wahren Fähigkeiten der Vernunft klarlegen. Der Titel ‚Kritik der reinen Vernunft‘ deutet an, daß Kant den Anspruch erhebt, nach den großen Vorläufern René Descartes: ‚Meditationes de Prima Philosophia‘, Paris 1641. John Locke: ‚An Essay concerning humane understanding‘, London 1690, Gottfried Wilhelm Leibniz: ‚Nouveaux Essais sur l’entendement humain‘ (geschrieben um 1704, posthum publiziert von R.E. Raspe in Amsterdam und Leipzig 1765),

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Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

Etienne Bonnot de Condillac: ‚Essai sur l’origin des connoissances humaines, où l’on réduit à un seul principe tout ce qui concerne l’entendement humaine‘, Amsterdam 1746, – und David Hume: ‚Philosophical Essays concerning human understanding‘. London 1748, zur endgültigen Antwort auf die Frage nach den Möglichkeiten und den Grenzen des menschlichen Erkenntnisvermögens (der Vernunft) vorzustoßen. Dabei stützt er sich auf zwei Begriffspaare: a priori – a posteriori und analytisch – synthetisch.

Von großer Bedeutung ist die Gegenüberstellung von „Anschauung“ und „Begriff“

und von noch größerer Bedeutung die These, daß jeder „sinnlichen Anschauung“ eine „reine Anschauung“ zugrunde liegt. – Wir wollen zunächst die beiden zuerst genannten Begriffspaare erläutern.

12.2  Die Unterscheidung: a priori – a posteriori Im Lateinischen bedeutet a priori „vom Früheren her“. Ein Urteil wird daher als „Urteil a priori“ bezeichnet, wenn es „von vornherein“ gilt, d. h. ohne jede weitere Überprüfung. Bei Kant wird ein Urteil als „Urteil a priori“ bezeichnet, wenn es ohne jede weitere empirische (!) Überprüfung gilt. Im Lateinischen bedeutet a posteriori „vom Späteren her“. Bei Kant wird ein Urteil als „Urteil a posteriori“ bezeichnet, wenn es auf empirischer Erfahrung (d. h. auf Sinnes-Eindrücken) beruht. Als „Urteil“ bezeichnet Kant einen Satz, in dem etwas behauptet wird mit dem Anspruch, daß das Behauptete wahr ist. So wird das Wort auch in den etymologischen Wörterbüchern erklärt: ein „Urteil“ ist ein „Wahrspruch, den ein Richter erteilt“. Kant spricht ebenso von „Erkenntnis a priori“, wenn es sich um Erkenntnis handelt, die „vor“ aller Erfahrung erlangt werden kann, die also von allen Sinnes-Eindrücken unabhängig ist und nur durch Nachdenken gewonnen werden kann,

und von „Erkenntnis a posteriori“, wenn es sich um Erkenntnis handelt, die erst „nach“ Erfahrung (d. h. aufgrund von Sinnes-­ Eindrücken) möglich ist, der also empirische Quellen zugrunde liegen (KrV: Einleitung, B2).

Kant meint, daß alle menschliche Erkenntnis zwei Quellen hat, „nämlich Sinnlichkeit und Verstand“ (KrV: B29). Daraus ergibt sich, daß Urteile entweder aposteriorisch oder apriorisch sind. Gibt es Urteile a priori? Kant meint, daß alle Sätze der reinen Mathematik Urteile a priori seien (KrV: B4, B8, B14). Die Meinung der Empiristen teilt er also nicht.

12.3  Die Unterscheidung: analytisch – synthetisch

163

Kant teilt aber auch nicht die Meinung der Rationalisten, die die Sätze der reinen Mathematik ganz aus der Ratio heraus schöpfen wollten, also als analytische Urteile a priori bestimmen wollten. Kant hält sie nicht für analytische Urteile, sondern allesamt für synthetische Urteile a priori.

12.3  Die Unterscheidung: analytisch – synthetisch Die Unterscheidung von analytischen und synthetischen Urteilen bespricht Kant noch in der Einleitung der ‚Kritik der reinen Vernunft‘, B10–B14. Ein Urteil nennt er analytisch, wenn zu seiner Verifikation nichts hinzutreten muß, wenn es also allein durch Zergliederung (Analyse) der im Urteil auftretenden Begriffe als wahr erkannt werden kann. Wir können es auch so sagen: Ein Urteil ist ein „analytisches Urteil“, wenn sich seine Wahrheit allein aus der Kenntnis der Essential-­Definitionen (vergl. Kap. 3) aller im Urteil vorkommenden Begriffe ergibt. Ein Urteil ist somit ein „analytisches Urteil“, wenn die Ursache seiner Wahrheit eine „Formursache“ (causa formalis) ist – vergl. Kap. 3 und Kap. 7. Die von Kant gewählte Bezeichnung „analytisch“ lehnt sich an den klassischen Gebrauch dieses Wortes in der Logik an. Aussagen, die „logisch gewiß“ sind, nannte Aristoteles „analytisch“ (ἀναλυτιϰός), Leibniz nannte sie „identische Urteile“ – siehe Kap. 10, Fußnote 4. Den Begriff der Analytizität formulierte Kant gelegentlich auch wie folgt (in Anlehnung an Hobbes): Ein Urteil ist analytisch, wenn der Begriff des Prädikates im Begriff des Subjekts enthalten ist (KrV: B10),

und auch (in Anlehnung an Leibniz): Ein Urteil ist analytisch, wenn es allein aus dem Satz vom Widerspruch bewiesen werden kann (KrV: B 190–193; und ‚Prolegomena‘ § 2, b).

Der Begriff der Analytizität läßt sich, etwas sorgfältiger formuliert, somit auch wie folgt ausdrücken: Definition. Eine Aussage Φ ist ein analytisches Urteil, wenn es möglich ist, aus Φ eine logisch-allgemeingültige Aussage (d. h. einen wahren „identischen Satz“ – vergl. Fußnote 4  in Kap.  10) zu machen, indem man einige in Φ auftretende Begriffe durch ihre Definitionen (Nominal-, bzw. Wesens-Definitionen) ersetzt. Unter Verwendung des Frege’schen Urteils-Striches ⊢ kann der Begriff der Analytizität auch wie folgt festgelegt werden: Definition (in Anspielung an Hobbes, Leibniz, Tschirnhaus, Wolff et  al., siehe Kap. 10). Eine Aussage Φ ist ein analytisches Urteil, wenn ihre Wahrheit sich allein aus den Definitionen (wie oben) der sämtlichen in Φ auftretenden Begriffe B1, B2, …, Bn auf rein logischem Wege folgern läßt, d. h. wenn gilt: die Wahrheit

Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

164

von Φ ist auf der Grundlage aller Definitionen, der in Φ auftretenden Begriffe, beweisbar:

{Def ( B ) , Def ( B ) , …, Def ( B )}  Φ. 1

2

n

Dabei soll Def(B) eine Definition des Begriffes B bezeichnen, also eine Satzmenge, aus der alles, was zur Definition von B gehört, entnommen werden kann. Bemerkenswert ist die Forderung, daß ein Urteil Φ ein analytisches Urteil ist, wenn es aus dem System aller Wesens-Definitionen und Nominal-Definitionen der in Φ auftretenden Begriffe beweisbar ist, und daß dabei nicht auf Postulate (oder Axiome) zurückgegriffen werden darf – es sei denn, man käme zu dem Schluß, daß auch die Postulate (oder Axiome) allesamt analytische Urteile wären und als Urteile auch „wahr“ wären! Kant nennt ein Urteil „synthetisch“, wenn es eine Aussage macht, die sich nicht allein aus der logisch-begrifflichen Analyse der in ihr vorkommenden Begriffe gewinnen läßt. Zur Bestätigung eines synthetischen Urteils ist also ein Beitrag nötig, der die logisch-begriffliche Analyse ergänzt. Dieser Beitrag kann aus der Sinneswahrnehmung stammen, kann aber vielleicht auch aus völlig anderen Quellen geschöpft sein (KrV: A6–7; B10). Die meisten Urteile, die Kant bespricht sind synthetisch, da zu ihrer Bestätigung eine Synthese von Begriff und Anschauung vollzogen werden muß. Verständlich wird der Begriff des „synthetischen Urteils“ erst, sobald Beispiele aus der Geometrie und der Arithmetik diskutiert wurden (siehe unten). Alle analytischen Urteile sind offenbar apriorisch und alle aposteriorischen Urteile sind synthetisch. Diese Beziehungen können wir in einem Diagramm wie folgt übersichtlich beschreiben:

Die Gesamtheit aller Urteile (d.h wahren Erkenntnisse)

a priori analytisch

a posteriori synthetisch

Kant stellte die tief liegende Frage, ob es auch synthetische Urteile a priori gibt. Wenn es sie gibt, dann sind es wahre Aussagen, die sich in ihren Beweisen auf die Anschauung stützen müssen, aber zugleich von empirischen Anschauungen unabhängig sind. – Wie soll das möglich sein? – Kants Frage lautet also: „Wie sind synthetische Urteile a priori möglich?“ (KrV: B19).

12.4  Der synthetische Charakter der geometrischen Sätze

165

Dies ist die zentrale Frage in Kants ‚Kritik der reinen Vernunft‘. Es ist eine Frage, die nicht nur das Vermögen des Verstandes, sondern auch die empirische und die nicht-empirische Anschauung betrifft (sofern es die letztere gibt). Es ist eine Frage, die (nach Kant) die Sphäre des Verstandes überschreitet und die „reine Vernunft“ betrifft. Aus diesem Grunde ist Kants Werk kein ‚Essai sur l’entendement humain‘ oder ‚Essay concerning human understanding‘ wie bei Locke, Leibniz, Hume und Condillac, sondern ein Werk über die „reine Vernunft“. – Damit ist uns endlich der Titel des Kant’schen Werkes klar und deutlich geworden. Die Antwort auf die oben gestellte Frage hat Kant selber gegeben. Er meinte, daß alle Sätze der Mathematik synthetische Urteile a priori wären, weil von der sinnlichen Anschauung in der Mathematik nur ein gewisser Anteil relevant ist, nämlich die sogenannte „reine Anschauung“ und daß ein Urteil, das nur Begriffe enthält, die in der reinen Anschauung darstellbar sind, stets ein synthetisches Urteil a priori ist. Darüber wollen wir im Folgenden ausführlich berichten. Wir beginnen mit der Behauptung Kants, daß alle Sätze der (euklidischen) Geometrie und alle Sätze der (elementaren) Arithmetik synthetische Urteile sind. Kant zieht daraus die Konsequenz, daß sich die Rationalisten irrten, als sie behaupteten, daß sich alle arithmetischen und alle geometrischen Sätze allein aus Definitionen schöpfen ließen und folglich als analytische Urteile anzusehen wären (vergl. Kap. 7 und Kap. 10).

12.4  Der synthetische Charakter der geometrischen Sätze Im 5. Abschnitt der Einleitung zur ‚Kritik der reinen Vernunft‘ (KrV: B14) macht Kant die kühne Behauptung: „Mathematische Urteile sind insgesamt synthetisch.“ Um diese These zu erhärten, diskutiert er je ein Beispiel aus der (euklidischen) Geometrie und aus der (elementaren) Arithmetik. In der Geometrie betrachtet er den klassischen Satz, daß in jedem Dreieck die Summe der inneren Winkel gleich zwei rechten ist. Wir sprachen über diesen Satz bereits in den Kap. 7 und 8. Der Satz behauptet eine Eigenschaft aller Dreiecke. Kant behauptet, daß diese Eigenschaft dennoch nicht zur Wesensdefinition von Dreiecken gehört und daß der Satz folglich keineswegs analytisch ist. Wir erinnern daran, daß Dreiecke ihrem Wesen nach durch drei nicht-kollineare Punkte und ihren drei Verbindungslinien definiert sind. Der Beweis des Satzes von der Winkelsumme in einem Dreieck verläuft wie folgt: Es sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C und den Seiten a, b, c gegeben. Man benötigt eine weitere gerade Linie, nämlich eine solche, die durch irgendeinen Eckpunkt geht und zur gegenüberliegenden Dreiecksseite parallel ist und dabei eindeutig bestimmt ist. Da eine solche Parallele zunächst noch nicht vorhanden ist, muß sie beschafft werden. Ihre Existenz kann nicht aus der Wesensdefinition des gegebenen Dreiecks gefolgert werden.2 Sie muß daher mit einem rechten Winkel,  Das ist richtig, denn in nicht-euklidischen Geometrien gibt es solche eindeutig bestimmten Paral-

2

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Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

der an einem Lineal gleiten kann, in der Anschauung konstruiert werden. Sobald sie vorliegt, kann der (wohlbekannte) Beweis wie in den ‚Elementen‘ Euklids, Buch I, § 32, fortgeführt werden. Da der Beweis von der Konstruktion einer parallelen Geraden in der Anschauung Gebrauch macht, ist der so bewiesene Satz von der Winkelsumme im Dreieck ein synthetisches Urteil, Q.E.D. Um die Argumentationsweise Kants nachvollziehbar zu machen, haben wir den Beweis des Satzes im Kontext der zur Zeit Kants üblichen Auffassung von der Seinsweise der mathematischen Objekte gegeben: man muß die Objekte konstruieren, damit sie vorhanden sind. Wir haben ihn nicht im Kontext der heute üblich gewordenen strukturalistischen Auffassung gegeben (cf. Kap. 19 und Kap. 20), wo der Aufbau der Geometrie mit der Annahme der Existenz aller (!) geometrischen Gegenstände begonnen wird. Es ist wichtig, auf diesen bedeutenden Unterschied hinzuweisen! Nebenbemerkung. Wir hatten bereits in Kap. 7 darauf hingewiesen, daß die Einführung von Hilfslinien oder Hilfsgrößen in einem Beweis sehr oft der eigentlich schöpferische Gedanke ist. Es zeigt sich wieder, daß die Definitionen nicht immer die einzigen Quellen sind, aus denen man schöpfen kann, wenn man Beweise führen will, sondern daß zu den Quellen auch die Eigenschaften der umgebenden Strukturen, in denen die untersuchten Gegenstände liegen, zu zählen sind!

12.5  Der synthetische Charakter der arithmetischen Sätze Um zu zeigen, daß auch in der Arithmetik alle Urteile synthetisch sind, diskutiert Kant den einfachen Satz 7 + 5 = 12. Man freut sich, daß Kant ausgerechnet dieses Zahlenbeispiel wählt, denn dahinter verbirgt sich eine Anspielung auf den platonischen ‚Theaitetos‘. Dort geht es um die Frage: Was ist Wissen und was ist Erkenntnis? und es wird diskutiert (195e–200a), wie Menschen reagieren würden, wenn ihnen gesagt würde, 7 + 5 wäre 11, und ebenso, 7 + 5 wäre 12. Kant schreibt: „Man sollte anfänglich zwar denken: daß der Satz 7 + 5 = 12 ein bloß analytischer Satz sei, der aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf nach dem Satz des Widerspruches erfolge,“

und spielt damit offenbar an Leibniz an, der 1715 in seinem 2. Brief an die Prinzessin Caroline (und damit an Samuel Clarke), schrieb, daß die ganze Arithmetik und die ganze Geometrie sich aus dem Satz vom Widerspruch beweisen ließe. Die Briefe waren 1717 in London publiziert worden. Etwas Ähnliches schrieb Leibniz in seiner ‚Neuen Abhandlung über den menschlichen Verstand‘ (S. 67, S. 490). Kant hält den Satz 7 + 5 = 12 für synthetisch, weil:

lelen auch gar nicht, und hier ist die Winkelsumme auch nicht zwei rechten Winkeln gleich. Kant widerspricht damit übrigens einer Behauptung von Aristoteles aus der ‚Zweiten Analytik‘ (73b32– 74a), daß im Begriff des Dreiecks enthalten sei, daß die Summe der Innenwinkel zwei rechten Winkeln gleich sei.

12.5  Der synthetische Charakter der arithmetischen Sätze

167

„der Begriff von zwölf keineswegs schon dadurch gedacht ist, daß ich mir bloß jene Vereinigung von sieben und fünf denke, und, ich mag meinen Begriff von einer solchen möglichen Summe noch solange zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölf nicht antreffen. Man muß über diese Begriffe hinausgehen, indem man die Anschauung zu Hilfe nimmt, die einem von beiden korrespondiert, etwa seine fünf Finger, oder (wie Segner in seiner Arithmetik) fünf Punkte, und so nach und nach die Einheiten der in der Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe der Sieben hinzutun. Denn ich nehme zuerst die Zahl 7, und, indem ich für den Begriff der 5 die Finger meiner Hand als Anschauung zu Hilfe nehme, so tue ich die Einheiten, die ich vorher zusammennahm, um die Zahl 5 auszumachen, nun an jenem meinem Bilde nach und nach zur Zahl 7, und sehe so die Zahl 12 entspringen. Daß 5 zu 7 hinzugetan werden sollen, habe ich zwar in dem Begriffe einer Summe = 7 + 5 gedacht, aber nicht, daß diese Summe der Zahl 12 gleich ist.“ (KrV, Einleitung, B15–16).

Wir wollen die Argumente von Kant überprüfen und müssen dazu die Definitionen aller Begriffe, die im Urteil „7 + 5 = 12“ auftreten, vor Augen haben. Wie wurden diese Begriffe zur Zeit von Kant definiert? Kant besaß die Lehrbücher3 von Michael Stifel, Christian August Hausen, Abraham Gotthelf Kästner, und insbesondere auch von Christian Wolff: ‚Die Anfangsgründe aller Mathematischen Wissenschaften, erster Theil‘, 1750. „Zahlen“ sind in diesen Lehrbüchern (wie bei Platon und Euklid, vergl. Kap. 2, Kap.  4) endliche Mengen von Einheiten, also Kardinalzahlen. Das „Wesen der Zahl“ besteht nach Wolff (op. cit., S. 39) darin, „daß man einerley Einheiten etliche mahl zusammen nimmt“. Nach damaliger Auffassung lautet beispielsweise die Wesensdefinition der Zahl „fünf“, daß sie eine Größe ist, in der eine, noch eine, noch eine, noch eine und noch eine Einheit – alle von derselben Art – zusammengenommen sind. Ähnlich lauten die Wesensdefinitionen aller anderen natürlichen Zahlen. Es wird stillschweigend angenommen, daß der Prozeß des Abzählens unabhängig von der Reihenfolge, in der die Objekte gezählt werden, immer zu derselben Zahl führt. Ferner: „Addieren heißet eine Zahl finden, welche verschiedenen Zahlen zusammengenommen gleich ist“ (Wolff, op.cit., S. 41). Die Addition ist hier keine 2-­stellige Funktion und keine Bildung einer Vereinigungsmenge, sondern eine Operation des Abzählens, deren Ausführung eine gewisse Zeit in Anspruch nimmt. Aus diesen Beschreibungen (und den analogen Beschreibungen in den anderen Mathematik-Büchern seiner Zeit) entnimmt Kant, daß das Addieren zweier Zahlen demnach bedeutet, daß „man in gegebener Zeit nacheinander eines zu einem hinzutut.“ („… in tempore datu successive unum uni addendo.“)

So beschreibt es Kant bereits in seiner Dissertation ‚De mundi sensibilis atque intelligibilis forma et principiis‘, 1770, Sectio III, § 15E (vergl. auch KrV:A163). In den oben genannten Definitionen der Zahlen 5 und 7 und des Begriffs des Addierens ist, wie Kant zu Recht bemerkt, noch nicht enthalten, daß der Prozeß des Hinzufügens von fünf Einheiten zur Zahl 7 schließlich zur Zahl 12 führt. Man muß den Prozeß konkret ausführen. Er macht vom umgebenden Raum und der verfügbaren 3

 Siehe die Aufstellung in Arthur Warda: ‚Immanuel Kants Bücher‘, op. cit.

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Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

Zeit Gebrauch. Der umgebende Raum wird (nach Kant) benötigt, um die Zahl 5 konkret (in der Anschauung) zu repräsentieren (etwa durch die fünf Finger einer Hand), und die Zeit, um die Hinzufügung der fünf Einheiten Schritt für Schritt auszuführen: 7 + 1 = 8, 8 + 1 = 9, etc. Das Urteil „7 + 5 = 12“ ergibt sich (nach Kant) also nicht allein aus einer logischen Analyse der auftretenden Begriffe, sondern erst unter Verwendung einer Darstellung des Addendus4 in der Anschauung und ist insofern ein synthetisches Urteil (KrV: B15–16 und B205). Wir sind es heute gewohnt, die Zahlen und ihre Addition ganz anders einzuführen. Dann kann die Argumentationsweise Kants nicht mehr überzeugen. Aber auf der Grundlage der Definitionen des Zahlbegriffs und der arithmetischen Operationen, die im 16. und 17. Jahrhundert üblich waren (und auch lange Zeit zuvor und noch lange danach), konnte Kant zu keinem anderen Schluß kommen. Er hat zu seiner Zeit aus den damals vorliegenden Definitionen völlig korrekt geschlossen. Dennoch waren die Mathematiker mit Kants Argumentation keineswegs zufrieden, insbesondere weil behauptet wurde, in der Arithmetik wäre es nötig, auch Raum und Zeit einzubeziehen. Aber die Mathematiker mußten zugleich zugeben, daß auch sie noch nie einen einwandfreien Aufbau des Zahlensystems gegeben haben. Der Umgang mit dem Begriff der „Addition“ bei Kant war dilettantisch, aber weder Euklid (‚Elemente‘), noch Michael Stifel (‚Arithmetica integra‘, 1544), noch Leonhard Euler (‚Algebra‘, 1770) oder sonst jemand hatte bis dahin einen ernst zu nehmenden Versuch unternommen, den Zahlbegriff so einzuführen, daß auch die Addition und die Multiplikation mit den ihnen zugrunde liegenden Gesetzen umfassend und logisch einwandfrei dargelegt werden konnten. Wir sind heute im Besitz einer derartigen strengen Begründung des Zahlbegriffs und der Arithmetik. Nach Vorarbeiten von Hermann Grassmann (1809–1877) aus dem Jahre 1860 gelang eine solche Begründung erst Richard Dedekind (1831–1916) 1888 in seiner Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ – wir werden über diese Schrift ausführlich in Kap. 19 berichten. Wir wollen aber jetzt schon andeuten, wie auf der Grundlage des Dedekind’schen Aufbaus der Arithmetik mit der Frage Kants, welchen Status die Gleichung 7 + 5 = 12 hat, umgegangen werden kann. Die natürlichen Zahlen werden bei Dedekind ausgehend von der Zahl 1 durch die Bildung ihrer Nachfolger einführt. Sei ν(m) der Nachfolger von m, also die auf m folgende Zahl. Dann gilt wie üblich: 2 ist die auf 1 folgende Zahl, also 2 = ν(1), 3 ist die auf 2 folgende Zahl, also 3 = ν(2) = ν(ν(1)), … 12 ist die auf 11 folgende Zahl, also 12 = ν(11) = ν(ν(10)) =… … etc. ….  In der Summe a + b zweier Zahlen a und b ist a der Augendus (d. h. die zu vergrößernde Zahl) und b der Addendus (d. h. die hinzuzufügende Zahl). 4

12.5  Der synthetische Charakter der arithmetischen Sätze

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Ausgehend von der Nachfolger-Funktion ν läßt sich die Addition „+“ von Ordinalzahlen (nach Grassmann: ‚Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten‘, Stettin 1860) wie folgt auf rekursive Weise definieren. (*) n + 1 = ν(n) (**) n + ν(m) = ν(n + m). Hier sind n und m Variable, die die Reihe der natürlichen Zahlen durchlaufen. Aus (*) & (**) ergibt sich, daß für jeden Augendus n die sämtlichen Summen n + 1, n + 2, n + 3, …, n + m, n + ν(m),… erklärt sind. Aus (*)&(**)kann man auch die Gleichung 7 + 5 = 12 sehr leicht herleiten:

(

)

((

))

7 + 5 = ν 6 (1) + ν 4 (1) =(∗∗) ν ν 6 (1) + ν 3 (1) =(∗∗) ν ν ν 6 (1) + ν 2 (1) =

) ) ) = ν ( ν ( ν ( ν ( ν (1) + 1) ) ) ) = ((( ν ( ν ( ν ( ν ( ν (1) ) ) ) ) = ν (1) = 12.

=(∗∗) ν ν ν ν 6 (1) + ν (1)

= ( ∗)

7

(∗∗)

6

11



Aus den Definitionen der Zahlen 2, 3, 4, 5, …, 12 und der rekursiven Definition der Addition „+“ kann also die Identität von 7  +  5 und 12 logisch einwandfrei gefolgert werden. Aber dieser Beweis liefert keine Antwort auf die Frage, ob 7  +  5  =  12 ein analytisches oder ein synthetisches Urteil ist. Das hat folgende Gründe. Die Identität 7 + 5 = 12 ist – wie wir soeben gesehen haben – im Dedekind’schen Aufbau der Arithmetik, etwa in der Form der Dedekind-Peano’schen Axiomatik der ersten Stufe, DPA (in der Sprache mit + und ·) beweisbar. Der Beweis stützt sich auf Definitionen und auf Axiome. Die Definitionen von 5, 7 und 12 lauten: 5 = ν4(1), 7 = ν6(1) und 12 = ν11(1), genau so wie auch bei Kant. Ohne Verwendung der Axiome (*) & (**) läßt sich 7 + 5 = 12 aus den genannten drei Definitionen nicht herleiten. Da diese Axiome aber keineswegs logisch-allgemeingültig sind (also keine Tautologien sind), kann man nicht folgern, daß 7 + 5 = 12 eine analytische Aussage sei. Man kann auch nicht folgern, daß 7 + 5 = 12 eine synthetische Aussage sei, denn nirgendwo im Beweis wurde die Anschauung zu Hilfe gezogen. Man kann nicht einmal dem Beweis entnehmen, daß 7 + 5 = 12 überhaupt ein Urteil ist, d. h. eine Aussage ist, die schlechthin „wahr“ ist. DPA ist lediglich eine formale Theorie, in der es nur darum geht, ob etwas beweisbar oder unbeweisbar ist. Es kann in einer formalen Theorie nicht entschieden werden, ob etwas „wahr“ ist, denn „Wahrheit“ ist ein semantischer Begriff. Auf der Grundlage des formalen Axiomensystems DPA kann also nicht behauptet werden, daß 7 + 5 = 12 überhaupt ein Urteil im Sinne Kants ist. Wir sehen, daß die Fragen Kants, ob die mathematischen Sätze analytische oder synthetische Urteile sind, nur im historischen Kontext beantwortet werden können. Im Folgenden wollen wir die Kant’schen Auffassungen wieder im historischen Kontext behandeln.

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Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

12.6  Die reine und die empirische Anschauung Die Diskussion der Beispiele aus der Geometrie und der Arithmetik, die den synthetischen Charakter der Theoreme aus diesen Gebieten belegen sollten (siehe oben), führte Kant zu der allgemeinen Überzeugung, daß in mathematischen Beweisen nicht nur die Definitionen von Begriffen sondern auch die in der Anschauung konstruierten Hilfsgrößen heranzuziehen sind. Diese Hilfsgrößen sind zu Beginn der Beweise noch nicht verfügbar; sie müssen während der Durchführung der jeweiligen Beweise eingeführt werden. Sie werden eingeführt, indem sie in der Anschauung konstruiert werden. Die Einführung der so konstruierten Hilfsgrößen hat zur Konsequenz, daß die bewiesenen Aussagen als synthetische Aussagen zu klassifizieren sind. Aber, damit diese Beweise zu synthetischen Urteilen a priori führen, darf die Konstruktion sich nicht in der empirischen Anschauung abspielen; sie muß frei von jeglicher empirischen Beimischung sein, d. h. sie muß eine „reine Anschauung“ sein. „Anschauung“ ist für Kant grundsätzlich sinnlich. Aber die sinnliche Anschauung beruht niemals ausschließlich auf den bloßen Empfindungen, die wir beim Anschauen der Gegenstände registrieren, sondern enthält immer auch einen Beitrag unseres eigenen Gemütes (Seele und Geist), nämlich die „reine Form“ des vor uns stehenden Gegenstandes, wie Kant meint, KrV:B1. Diese reine Form fügen wir zu den registrierten Empfindungen hinzu. Dieser Prozeß der Hinzufügung der reinen Formen zu den bloßen Empfindungen, wird von Kant als „reine Anschauung“ (intuitus purus) bezeichnet5 (KrV: B34–35). Eine mit dem Lineal auf ein Blatt Papier gezeichnete gerade Linie ist – mit der Lupe betrachtet  – ein länglicher Haufen von nicht überall gleichmäßig verteilten Farbflecken. Das ist das, was die Augen an Empfindungen wahrnehmen. Aber das Gemüt ordnet sie, beurteilt sie und fügt zur sinnlichen Wahrnehmung die reine Form der geraden Linie hinzu, eventuell sogar als „breitenlose“ Linie. Das Registrieren bloßer Empfindungen beim Anschauen von Gegenständen, die sich vor unseren Augen befinden, bezeichnet Kant als „empirische Anschauung“. In der sinnlichen Anschauung läßt sich – wie soeben angedeutet wurde – immer ein empirischer und ein reiner Anteil feststellen. Der reine Anteil ist immer apriorisch. Es ist dieser reine Anteil, der etwas zum Inhalt synthetischer Urteile a priori beiträgt. Es ist ein Beitrag, der nicht den im Urteil auftretenden Begriffen durch logische Analyse entnommen werden kann, sondern erst von der (reinen) Anschauung hinzugefügt wird. Diese Überlegungen führen zu dem folgenden Kriterium für die Apriorität eines synthetischen Urteils (vergl. KrV: A713–714, B741–742): Ein synthetisches Urteil, das in seiner Formulierung und im Beweis seiner Wahrheit nur Begriffe verwendet, die in der reinen Anschauung konstruierbar sind, ist ein Urteil a priori.

 Diese angeborene Veranlagung unseres Gemüts zur „reinen Anschauung“ ist mit der „unmittelbaren Anschauung der uns angeborenen Ideen“, die Descartes mit dem Wort „Intuition“ bezeichnet, verwandt. Desgleichen ist auch das „Apriori“ Kants mit dem cartesischen „Innaten“ verwandt, aber doch von ihm verschieden. 5

12.7  Die Apriorität der geometrischen Urteile

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Ein Begriff ist dabei (nach Kant, KrV: B741–742) in der reinen Anschauung konstruierbar, wenn er eine genetische Definition (im Sinne von Tschirnhaus, cf. Kap. 10) besitzt, derart, daß jeder Gegenstand, der unter diesen Begriff fällt, mit dem in der genetischen Definition angegebenen Konstruktions-Verfahren in der reinen Anschauung konstruiert (bzw. rekonstruiert) werden kann. Die Begriffe der geraden Linie und des Kreises, beispielsweise, sind (wie Kant meint, KrV: B287) in der reinen Anschauung konstruierbar, da die üblichen, schon von Heron angegebenen Verfahren zur Erzeugung von geraden Linien und von Kreisen (cf. Kap.  10) Konstruktionen sind, die in der Anschauung durchführbar sind, „aber völlig a priori, ohne das Muster dazu aus irgendeiner Erfahrung geborgt zu haben.“ (KrV: A713, B741)

Insbesondere sind auch die Begriffe des Dreiecks, des gleichseitigen Dreiecks, des Rechtecks, des Quadrates, des Parallelogramms etc. in der reinen Anschauung konstruierbar, da die Konstruktionen all dieser Objekte, die man in den ‚Elementen‘ Euklids findet, ausgeführt werden können, „ohne das Muster dazu aus irgendeiner Erfahrung geborgt zu haben“, d. h. ohne sich auf physikalische Eigenschaften stützen zu müssen (wie etwa Schwerkraft, Reibung, Haftung, gleichförmige Geschwindigkeit etc. – cf. Kap. 8).

12.7  Die Apriorität der geometrischen Urteile Kant behauptet, daß alle geometrischen Postulate und alle geometrischen Sätze aus den ersten vier Büchern der ‚Elemente‘ Euklids synthetische Urteile a priori sind. Zunächst ist festzustellen, daß sie allesamt synthetische Urteile sind, wie bereits oben am Beispiel des Satzes von der Winkelsumme eines Dreiecks gezeigt wurde. Sie sind auch allesamt apriorisch, da Punkte, Kreise, gerade Strecken etc. und rechte Winkel (nach Kant) „ursprüngliche Vorstellungen“ sind, und die Konstruktionen der benötigten Figuren sich auch in der Anschauung durchführen lassen, „aber völlig a priori, ohne das Muster dazu aus irgendeiner Erfahrung geborgt zu haben“ (siehe oben, vergl. auch KrV: B180). Die sämtlichen Postulate und die sämtlichen Sätze aus den ersten vier Büchern der ‚Elemente‘ Euklids sind also (nach Kant, KrV: B16) allesamt synthetische Urteile a priori. Aber die geometrischen Sätze, die mit der Methode der Einschiebung bewiesen werden können, sind nicht apriorisch. Man findet sie auch nicht in den ‚Elementen‘ Euklids. Natürlich sind auch alle Sätze, deren Beweise mechanische Kurven (im Sinne von Descartes, cf. Kap. 8) verwenden, aposteriorisch. Leider ist Kant auf all diese Sätze der Mathematik nicht eingegangen. Wir wollen jedoch einige wenige Beispiele kurz andeuten. (1) Der Satz, daß jeder Winkel in drei gleiche Teile zerlegt werden kann (Satz von der Winkel-Trisektion) ist aposteriorisch. Er ist nicht mit den elementaren Mitteln der euklidischen Geometrie beweisbar, da Gauss in seinen ‚Disquisitiones

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Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

Arithmeticae‘, VII, §§ 365–366, gezeigt hat, daß der Winkel von 3° nicht mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden kann (sonst wäre ein regelmäßiges 360-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wobei 360 = 5·8·9 und 3 eine Fermat’sche Primzahl ist). Aber nach Archimedes (wie in seinem ‚Liber Assumptorum‘, VIII, gezeigt wird) kann jeder Winkel mit der Methode der „gerichteten Ein̴ schiebung“ (νευσις, inclinatio) gedrittelt werden. Es muß hier eine Strecke vorge­ gebener Länge so in eine bestimmte Konfiguration aus Kreisen und geraden Linien eingeschoben werden, daß ihre Endpunkte auf bestimmten Linien liegen und ihre Richtung zugleich durch einen bestimmten Punkt geht. Eine solche Einschiebung ist nicht völlig exakt ausführbar! Sie spielt sich im Bereich des empirisch Wahrnehmbaren ab und die endgültige Lage der eingeschobenen Strecke, wenn ihre endgültige Lage überhaupt gefunden wird, ist nicht mit elementar-­geometrischen Begriffen beschreibbar. (2) Viele regelmäßige n-Ecke lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren, z. B. regelmäßige 3-Ecke, 4-Ecke, 5-Ecke, 6-Ecke, 8-Ecke, 10-Ecke, … Aber nach Archimedes lassen sich regelmäßige 7-Ecke und regelmäßige 9-Ecke nur mit der Methode der gerichteten Einschiebung konstruieren. Die Sätze über die Existenz regelmäßiger 7-Ecke und die Existenz regelmäßiger 9-Ecke sind – wie oben in (1) ausgeführt – also synthetisch a posteriori. (3) Der Satz von Frank Morley (1860–1937), daß die Schnittpunkte der anliegenden Winkeldreiteilenden im Dreieck ein gleichseitiges Dreieck bilden, ist auch kein synthetisches Urteil a priori, wohl aber synthetisch a posteriori.

12.8  Die Apriorität der arithmetischen Urteile Wir haben oben erklärt, warum Kant eine Aussage wie 7 + 5 = 12 für ein synthetisches Urteil hielt. Sein Beweis stützte sich auf die Anschauung von Raum und Zeit. Wenn man dabei unter „Anschauung“ die empirische Anschauung verstehen würde, dann würde der Beweis nur zeigen, daß 7 + 5 = 12 ein synthetisches Urteil a posteriori ist. Aber Kant behauptet, daß hier nur auf den Teil der Anschauung Bezug genommen werden muß, der frei von sinnlichen Empfindungen ist, und folglich als eine „reine“ Anschauung bezeichnet werden könne. Er argumentiert wie folgt. 7 + 5 = 12 ist zwar ein Urteil, das sich auf Anzahlen von empirisch wahrnehmbaren Objekten bezieht, aber, um zu wissen, daß 7 + 5 = 12 ist, bedarf es nicht der empirisch-wahrnehmbaren Veranschaulichung. Die materiellen Eigenschaften von 7 Dingen und weiteren hinzugelegten 5 Dingen spielen keine Rolle. Daß 7 + 5 = 12 ist, kann man zwar der Anschauung entnehmen, aber dabei spielt nur „die reine Form sinnlicher Anschauungen“ (Kant: KrV: B34) eine Rolle. In der Terminologie von Kant heißt das, daß die Summe von 7 und 5 auf rein schematische Weise gefunden werden kann und keiner empirischen Bestätigung bedarf. Weil dabei nur die zugrunde liegende reine Form der Anschauung benötigt wird, ist das Urteil apriorisch.

12.9 Diskussion

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12.9  Diskussion Das gesetzte Ziel, den Umfang unserer Erkenntnis a priori neu zu bestimmen, hat Kant – jedenfalls im Gebiet der Mathematik, wie wir dargelegt haben – weitgehend erreicht. Aber wir müssen die Einschränkung machen, daß dies nur für die Auffassung vom Wesen der Mathematik gilt, wie sie zur Zeit Kants üblich war. Kant hat das Ziel nicht vollständig erreicht, da die von ihm beschriebene „reine Anschauung“ schwer zu fassen ist und unklar ist, wie weit sie reicht und ob es sie überhaupt gibt. Nach Kants Auffassung ist „die Anschauung eine Quelle der Erkenntnis, ebenbürtig dem Denken“ wie es Hermann Cohen in seiner Abhandlung über ‚Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte‘ (1883, #21, op.  cit.) treffend ausdrückte. Kant versuchte, einen für die Mathematik relevanten Teil der Anschauung, nämlich die von ihm sogenannte „reine Anschauung“, zu bestimmen. Damit sollte erreicht werden, daß etwa die Geradheit von geraden Linien, die ja seit der Antike nicht begrifflich gefaßt werden konnte, aber doch beim Betreiben von Geometrie immer mitgemeint war, dem mathematischen Raisonnement zur Verfügung steht. Es sollte erlaubt sein, beispielsweise von der Geradheit der „geraden Linien“ im anschaulichen Sinne Gebrauch machen zu dürfen, obwohl „Geradheit“ undefinierbar war. Das hatte natürlich auch die Konsequenz, daß in einer Geometrie, die neben dem Denken auch die (reine) Anschauung als eine der „Quellen der Erkenntnis“ zuließ, das Parallelenpostulat Euklids als wahr und gültig (im Raum unserer realen Umwelt) verstanden werden konnte. Die Geometrie ist für Kant „eine Wissenschaft, welche die Eigenschaften des Raumes synthetisch und doch a priori bestimmt“ (KrV: B40). Die Wahrheit der euklidischen Postulate ergibt sich (nach Kant) unmittelbar aus ihrer anschaulichen Evidenz (KrV: B204, B760–761). Sie sind notwendig gültig, da sie (nach Kant) die Gesetze der reinen, uns innewohnenden Anschauung sind. Daraus ergibt sich, daß die Axiome der euklidischen Geometrie apodiktisch gewiß sind (KrV: B64, und ‚Prolegomena‘ §§ 6–10). Folglich wäre die euklidische Geometrie die einzig mögliche Geometrie. Kant hat die „reine Anschauung“ auch herangezogen, um die Anwendbarkeit der Mathematik auf die Naturwissenschaften zu erklären. „(Die) Geometrie legt die reine Anschauung des Raumes zugrunde“

heißt es in Kants ‚Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik‘ (dort § 10). In der ‚Kritik der reinen Vernunft‘ nennt Kant die Geometrie eine Wissenschaft, die die Eigenschaften des Raumes synthetisch und doch a priori bestimmt (KrV, B40). Die reine Anschauung ist nach Kants Meinung die Form einer jeden empirischen Anschauung (KrV: B206). Zwischen Mathematik und natürlicher Umwelt besteht daher ein unmittelbarer Bezug und es ist dieser Bezug, der die Anwendbarkeit ­ermöglicht. In seiner Dissertation ‚De mundi sensibilis atque intelligibilis forma et principiis‘ (§ 15, E) schrieb Kant:

Kapitel 12  Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

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„Natura itaque geometriae praeceptis ad amussim subiecta est, quoad omnes affectiones spatii ibi demonstratas, non ex hypothesi ficta, sed intuitive data, tanquam condicione su­b­ iectiva omnium phaenomenorum, quibus unquam natura sensibus patefieri potest.“ [Die Natur ist also allen Gesetzen, die in der Geometrie des Raumes bewiesen werden, auf das Genaueste (ad amussim) unterworfen und zwar nicht auf Grund erdichteter geometrischer Axiome, sondern auf Grund einer anschaulich gegebenen Voraussetzung als einer subjektiven Bedingung aller Phänomene, durch die sich die Natur den Sinnen überhaupt offenbaren kann.]

Der von Kant vorgelegten Diagnose wollten die Mathematiker schon bald nach 1800 nicht mehr zustimmen. Sie mußten zwar zugeben, daß seit der Antike weder die Geometrie noch die Arithmetik in befriedigender Weise aufgebaut worden waren, aber „Mathematik“ sollte lehr- und lernbar (vergl. Kap. 1) und rational kontrollierbar sein. „Mathematik“ sollte daher nicht auf Begriffen beruhen, die wie der Begriff der „Anschauung“ subjektiv sind und rational kaum, oder vielleicht auch gar nicht, analysierbar sind. Das führte zur Einsicht, daß es endlich an der Zeit wäre, die Fundamente aller mathematischen Theorien tiefer zu legen und dabei auf die Anschauung in Beweisen (!) ganz zu verzichten. Natürlich sollte die sinnliche Anschauung auch weiterhin bei der Aufstellung mathematischer Begriffe und bei der Formulierung von Theoremen und Beweisen motivierend wirken, aber das Verifizieren und Beweisen sollte nur noch auf rational kontrollierbaren Abläufen beruhen. Das führte dazu, daß das „Denken in Begriffen“ in der Mathematik den Vorrang vor dem „anschaulichen Einsehen“ bekommen sollte. Aber was sollte das Fundament sein? – Die Mathematiker hatten sich seit der Antike noch nie ernsthaft mit den Grundlagen ihrer Disziplin beschäftigt. Erst jetzt, nachdem Kant mit seinen Thesen Aufsehen erregte, wurde den Mathematikern bewußt, wie unklar sie vieles gelassen hatten! Die Klärung all dieser Probleme beschäftigte sie das ganze 19. Jahrhundert hindurch bis ins 20. Jahrhundert hinein. Diese Zeit war eine lange Zeit der „Irrungen und Wirrungen“ – aber darüber werden wir erst im folgenden Teil III sprechen.

Literatur Breidert, Wolfgang: ‘Geometrische und symbolische Konstruktion bei Kant’, Akten des 5. Internat. Kant-Kongresses 1981, Bonn 1981. Cohen, Hermann: ‘Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte’, Berlin 1883. Nachdruck in Band II von H. Cohens ‘Schriften zur Philosophie und Zeitgeschichte’, Akademie-­ Verlag Berlin 1928, pp. 1–169. Eine lesenswerte Rezension gab G. Frege, die in seinen ‘Kleinen Schriften’, Olms Verlag Hildesheim 1967, pp. 99–102, nachgedruckt wurde. Couturat, Louis: ‘La philosophie des mathématiques de Kant’. Revue de Métaphysique et de Morale, 12 (1904), pp.  321–383. Nachdruck in L.  Couturat: ‘Les principes des Mathématiques’, Paris 1905. Enskat, Rainer: ‘Kants Theorie des geometrischen Gegenstandes’. De Gruyter-Verlag Berlin 1978. Fries, Jacob Friedrich: ‘System der Logik’, Heidelberg 1819.

Literatur

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Jachmann, Reinhold Bernhard: ‘Immanuel Kant geschildert in Briefen an seinen Freund’, Königsberg 1804. Kant’s ‘Gesammelte Schriften’, herausgegeben von der königl. Preußischen Akademie der Wissenschaften, 29 Bände, G.Reimer Verlag und W. de Gruyter Verlag, Berlin, 1902–1983. Kant, Immanuel: ‘Kritik der reinen Vernunft’. Nach der 1. und 2. Original-Ausgabe neu herausgegeben von Raymund Schmidt, F.Meiner-Verlag Hamburg 1976. Koriako, Darius: ‘Kants Philosophie der Mathematik, Grundlagen  – Voraussetzungen  – Pro­ bleme’. Kant-Forschungen, Band 11, F. Meiner-Verlag Hamburg 1999. Mainzer, Klaus: ‘Kants Begründung der Mathematik und ihre Entwicklung von Gauß bis Hilbert’, Akten des 5. Kant-Kongresses, Bonn 1981. Peters, Wilhelm Servatius: ‘Zum Begriff der Konstruierbarkeit bei I. Kant’. Archive for History of Exact Sciences, Band 2 (1962–1966), pp. 153–167. Pierobon, Frank: ‘Kant et les Mathématiques, la Conception Kantienne des Mathématiques’. Paris (Librairie J. Vrin) 2003. Posy, C.J. (Herausgeber): ‘Kant’s Philosophy of Mathematics’. Kluwer Verlag, (Reihe: Synthèse Library), Dordrecht 1992. Scheibe, Erhard: ‘Kants Philosophie der Mathematik’. Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, Band 10, Heft 5 (1977), pp. 353–372. Warda, Arthur: ‘Immanuel Kants Bücher’, Berlin 1922, Verlag M. Breslauer. Wolff, Christian: ‘Die Anfangsgründe aller Mathematischen Wissenschaften, erster Theil’, Frankfurt & Leipzig 1710 (5. Auflage 1738).

Teil III

Philosophie der Mathematik im 19. und beginnenden 20. Jahrhundert

Die Wende vom 18. zum 19. Jahrhundert brachte große Veränderungen in der politischen und kulturellen Ordnung Europas. In den Bereichen der Künste, der Philosophie und der Wissenschaften verlor der Rationalismus seine allgemeine Gültigkeit. Stärker als je zuvor begann das Seelisch-­ Irrationale seine Wirkungen zu entfalten. In der Literatur und der Musik setzte etwa um 1775 die Bewegung des „Sturm und Drang“ als Vorläufer der Romantik ein, die anstelle der reinen, objektiven Vernunft die subjektiven psychischen Phänomene in den Mittelpunkt des Interesses rückte. Parallel zu diesen Umbrüchen setzten auch in der Mathematik und in der Philosophie der Mathematik grundlegende Veränderungen ein. Die bis dahin gültigen Auffassungen waren durch die Kant’sche Analyse (1781/1787) nicht mehr haltbar. Aber auch Kants eigene Auffassung war nicht haltbar. Um zu einem überzeugenden Standpunkt zu kommen, mußte man an einer Tieferlegung der Fundamente der Mathematik arbeiten. Dazu wurde einerseits die Logik formalisiert (G. Boole, G. Frege, Ch. S. Peirce, G. Peano, B. Russell und andere) und andererseits der grundlegende Begriff der „Menge“ endlich einer mathematischen Behandlung unterzogen (B. Bolzano, G. Cantor, R. Dedekind, E. Zermelo, F. Hausdorff und andere). Die Bemühungen waren von großem Erfolg gekrönt. Sie führten nicht nur zu einer enormen Expansion der Mathematik insgesamt, sondern auch zu neuen Auffassungen über den ontologischen Status der mathematischen Objekte und den epistemologischen Status der mathematischen Theorien. Diese neuen Auffassungen sind mit den Schlagwörtern Platonismus, Psychologismus, Logizismus, Konstruktivismus, Nominalismus, Strukturalismus, Formalismus etc. verknüpft. Über die wichtigsten Ansichten aus dieser Liste berichten wir in den folgenden Kapiteln 13 - 20.

Kapitel 13

Der Psychologismus in der Mathematik

„Die Seele ist ein verdächtiges Mondscheingespinst und -gespenst“ Thomas Mann: ‚Zauberberg‘, Werke II, Berlin 1955, S. 355.

Vom frühen 18. Jahrhundert an wurde häufig die Ansicht vertreten, daß die Psychologie eine „allgemeine Wissenschaft des Geistes“ sei (W. Wundt, ‚Logik‘, I, S. 1) und daher auch die Grundlage aller Philosophie, Logik und Mathematik wäre. Im 19. Jahrhundert wurde diese Auffassung sogar von vielen Mathematikern übernommen. Es wurde üblich, in den einleitenden Kapiteln der Lehrbücher die mathematischen Grundbegriffe in der Terminologie der Psychologie einzuführen. Man schrieb der Seele, dem Geist und der Vorstellungskraft die Fähigkeit der Erzeugung der mathematischen Gegenstände zu und glaubte, die Gesetzmäßigkeiten der Logik, der Arithmetik, der Geometrie etc. auf psychische Gesetzmäßigkeiten zurückführen zu können. Aber im Laufe des 19. Jahrhundert gab es auch die ersten Stimmen, die sich gegen diese Tendenzen wehrten. Es traten einige Mathematiker und Logiker auf, denen die Einmischung der Psychologie in die Logik und Mathematik gar nicht gefiel und die sich bemühten, den „verderblichen Einbruch der Psychologie“ in die Logik und Mathematik zurückzudrängen (cf. Gottlob Frege in den ‚Grundgesetzen der Arithmetik‘, I (1893), S. XIV). Johann Friedrich Herbart (1776–1841) schrieb in seiner ‚Einleitung in die Philosophie‘ (1813, S. 23): „In der Logik ist es nothwendig, alles Psychologische zu ignorieren.“ Frege schrieb sogar (in seinen ‚Grundlagen der Arithmetik‘ (1884), S. XVIII): „… die Psychologie bilde sich nicht ein, zur Begründung der Arithmetik irgend etwas beitragen zu können.“

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_13

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Kapitel 13  Der Psychologismus in der Mathematik

Dieser „verderbliche Einbruch“ der Psychologie in die Mathematik wurde etwa von 1900 an mit dem polemisch gemeinten Wort „Psychologismus“ bezeichnet. Einer der scharfsinnigsten und einflußreichsten Kritiker des Psychologismus war Edmund Husserl in seinen ‚Logischen Untersuchungen, I‘, op. cit. Mit dem Etikett „Psychologismus in der Mathematik“ ist die Auffassung gemeint, daß die Erzeugung mathematischer Gegenstände eine Tätigkeit der menschlichen Psyche sei und daß die Mathematik und die Logik auf Gesetzmäßigkeiten beruhen, die von der Psychologie zu untersuchen seien. Nicht immer, wenn in einem mathematischen Diskurs vom Geist oder dem Denken gesprochen wird, handelt es sich um „Psychologismus“. Es handelt sich erst dann darum, wenn „mit den Methoden und Ergebnissen der Psychologie ein Begründungsanspruch … erhoben wird“ (Henning Peucker, op. cit., S. 98). Die folgende Äußerung Freges mag dies im Fall von Existenzbehauptungen illustrieren: „Man nennt den Äquator eine gedachte Linie, aber es wäre falsch, ihn eine erdachte Linie zu nennen; er ist nicht durch Denken entstanden, das Ergebnis eines seelischen Vorgangs, sondern durch Denken erkannt, ergriffen.“ [Gottlob Frege: ‚Die Grundlagen der Arithmetik‘, op. cit., S. 35]

Wir wollen in diesem Kapitel darstellen, wie es zu dem genannten Psychologismus in der Mathematik und Logik kommen konnte. Wir wollen insbesondere prüfen, ob es berechtigt war, von einem „verderblichen Einbruch der Psychologie“ zu sprechen. Auf das Jahrhundert der Aufklärung (etwa von 1680 bis 1780), in dem große Hoffnungen in die Kraft der Vernunft und der Ratio gesetzt wurden, die aber nicht immer erfüllt wurden, folgte eine Zeit, in der die menschliche Seele (die Psyche) in das Zentrum der Aufmerksamkeit rückte. Es entstanden in dieser Zeit in der Literatur, in der Musik und Malerei, in der Philosophie und sogar in den Wissenschaften Richtungen, in denen die Psyche als ein reicherer und ergiebigerer Hort angesehen wurde als die Ratio. Das Wort „Psyche“ (ψυχή) wird im Deutschen zumeist mit dem Wort „Seele“ übersetzt. Die Übersetzung ist allerdings nicht ganz treffend. Im Griechischen ist ψυχή „der Hauch, der Atem“ und daher auch ganz allgemein „das Lebensprinzip“. Daraus ergab sich, daß die ψυχή als Prinzip des Wahrnehmungsvermögens und des Denkvermögens angesehen wurde. Bei Platon beispielsweise heißt es im ‚Timaios‘ (30b2–6), daß der Schöpfer der Welt der ψυχή auch die Vernunft (νους) verliehen habe. Bei Aristoteles ist die ψυχή dasjenige, aufgrund dessen wir leben, wahrnehmen und denken (‚De anima‘, I 1, 402b13 & II 2, 414a13), also die Ursache (αίτία) und das Prinzip (άρχή) des lebendigen Körpers. Aristoteles spricht von der „Denkseele“, deren „göttliches Substrat“, der νους, bei der Geburt eines Menschen dem Leib hinzugefügt wird (‚De generatione animalium‘, II 3, 736b28). Die ψυχή verfügt nach Aristoteles über eine „Nährseele“ (anima vegetativa), eine „Sinnenseele“ (anima sensitiva) und eine „Denkseele“ (anima rationalis), deren Substrat der Verstand, der Geist, ist. Im Lateinischen wird ψυχή mit „animus“ übersetzt. Das Wort ist mit dem griechischen ἄνεμος („Wind“) verwandt. „Animare“ bedeutet „blasen, wehen“ und im

13.1  Die Rolle der Psyche in der antiken Mathematik

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übertragenen Sinne auch „beleben, beseelen“. Daraus ist einerseits „anima“ (der Luftzug, der Hauch, Atem, Wind) und das Verbalsubstantiv „animus“ (siehe oben) abgeleitet. Aber auch das Wort „anima“ wird im übertragenen Sinne von „Lebenskraft, Lebensprinzip, Lebensgeist, Seele“ gebraucht. Im Deutschen wird ψυχή mit „Seele“ übersetzt. Die etymologischen Wörterbücher geben als Herkunft dieses Wortes den Ausdruck „die vom See Stammende“ an. Damit ist gemeint, daß bestimmte Seen den Germanen in alter Zeit als Aufenthalt der Seelen vor der Geburt und nach dem Tode galten. In dieser Bedeutung wird das Wort „Seele“ zwar heute nicht mehr gebraucht, aber religiöse Vorstellungen sind in dem Wort noch immer enthalten. Aus diesen Betrachtungen ergibt sich, daß die Wörter ψυχή, anima und Seele zwar weitgehend dasselbe besagen, daß sie aber doch nicht ganz dasselbe meinen. Wir werden daher im Folgenden das griechische Wort ψυχή bevorzugen, aber auch das Wort „Seele“ immer als „Denkseele“ (als anima rationalis) verstehen, also als eine „Seele“, die mit Geist und Vernunft ausgestattet ist.

13.1  Die Rolle der Psyche in der antiken Mathematik Auf die Fähigkeiten der Seele (als „Denkseele“) haben sich im Bereich der Mathematik und der Philosophie der Mathematik bereits die Philosophen der Antike bezogen. So hat Platon der menschlichen Seele die Rolle der Wiedererinnerung an all das, was sie vor Eintritt in das weltliche Leben geschaut hat, zugewiesen und ihr damit einen wichtigen Platz bei der Erkenntnis mathematischer Sachverhalte zuerkannt (vergl. Kap. 2). Proklos (ca. 411–485) hielt die menschliche Seele sogar für die Schöpferin der mathematischen Gegenstände. Er schrieb: Ψυχὴν ἄρα τὴν γεννητικὴν ὑποθετέον τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν τε και ̀ λόγων. … [Die Seele ist also … die Schöpferin der mathematischen Seinsformen und Begriffe. Wenn aber die Seele die Urbilder ihrem Wesen nach in sich begreift und ihnen das Dasein verleiht und die Erzeugungen Ausstrahlungen der in ihr bereits vorhandenen Seinsformen sind, so befinden wir uns mit solcher Einstellung in der Gefolgschaft Platons und möchten das wirkliche Sein der mathematischen Wissenschaft gefunden haben.] Proklos: ‚Euklidkommentar‘, Vorrede 1. Teil, Edition Friedlein (Leipzig 1873), S. 13, Übersetzung von P.L. Schönberger, op. cit., S. 171.

Die Exaktheit der Mathematik läßt sich nach Proklos nicht aus der sinnlichen Wahrnehmung rechtfertigen, sondern nur aus den Leistungen der Seele, der ψυχή. Bei Augustinus ist es die menschliche, vernunftbegabte Seele, die zur Erkenntnis mathematischer Wahrheiten die Weisheit Gottes befragt (cf. Kap. 8). Im ausgehenden Mittelalter schloß sich Nikolaus von Kues (Nicolaus Cusanus, 1401–1464) der Auffassung Proklos’ an. In seinen Schriften ‚De beryllo‘ (Über den Beryll) und ‚De ludo globi‘ (Über das Kugel-Spiel) heißt es, daß die „verständige Seele“ (anima rationalis) die Schöpferin der Arithmetik und der Geometrie sei und daß die Seele die Zahlen und die geometrischen Punkte, Linien und Flächen aus sich heraus „entwickeln“ (explicare), herstellen (fabricare) und hervorbringen

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Kapitel 13  Der Psychologismus in der Mathematik

(procedere) würde (Cusanus, ‚De ludo globi‘, II, 93, und ‚De beryllo‘, XXXIII, 55–56). Solche Äußerungen über die Leistungen der Seele findet man von der Antike an bis zum Zeitalter der Renaissance immer wieder (auch bei Alexander Píccolomíni, siehe Kap. 7), aber insgesamt doch selten.

13.2  Die Entstehung des Psychologismus in der Neuzeit Vom ausgehenden 17. Jahrhundert an werden sie jedoch immer häufiger. Bewirkt hat dies das einflußreiche Werk ‚An Essay Concerning Humane [sic!] Understanding‘ (1690) von John Locke. Durch dieses Werk wurde Locke von Vielen als Begründer des Psychologismus angesehen, etwa von Jakob Friedrich Fries ‚System der Logik‘ (1819), S. 29, und anderen. Edmund Husserl nannte Locke sogar den „Erzvater des modernen Psychologismus“. (Edmund Husserl, op. cit. ‚Husserliana XXIV, S. 206–207)

Der Psychologismus Lockes zeigt sich bereits in seiner grundlegenden Position, daß alles, was die Sinne wahrnehmen, auch der Seele gewahr wird und diese sich vom Wahrgenommenen eine Idee bildet (Locke, ‚Essay‘, II, 1, § 3). Aus den Empfindungsideen bildet sich der menschliche Geist durch Reflexion und Abstraktion die Ideen der natürlichen Zahlen und der geometrischen Objekte, etc. – wir berichteten darüber in Kap. 9. Der Psychologismus Lockes zeigt sich insbesondere in seiner Auffassung des Verfahrens der Abstraktion. Unter „Abstraktion“ versteht er den Prozeß, von einem Gegenstand der Wahrnehmung oder des Denkens im Verlaufe des Denkens einige Eigenschaften (oder Merkmale), die dem Gegenstand zukommen, außer Betracht zu lassen und das Übrig gebliebene als etwas selbständig Existierendes herauszuheben. Problematisch an dieser Auffassung ist die These, daß das „Übriggebliebene“ ein selbständig existierendes Ding sei, das durch das Denken entstanden sei. (Vergl. dazu Kap. 3 und Kap. 9) Leonhard Euler (1707–1783) hat dazu beigetragen, daß der Locke’sche Psychologismus auch in der Mathematik salonfähig wurde. Im hundertsten Brief seiner ‚Briefe an eine deutsche Prinzessin‘ (St. Petersburg 1768/1772) folgt er Locke und nennt die mathematischen Gegenstände „Schöpfungen der Seele“. Er beginnt seinen Brief wie folgt: „Die Sinne stellen uns nur Gegenstände vor, die in der Tat außer uns existieren, und die Empfindungsideen beziehen sich alle auf diese Gegenstände; aber aus diesen Empfindungsideen bildet sich die Seele eine Menge anderer, die zwar von jenen ihren Ursprung haben, aber doch keine wirklich existierenden Dinge mehr vorstellen. Wenn ich zum Beispiel den vollen Mond sehe und meine Aufmerksamkeit einzig und allein auf seine Figur hefte, so bilde ich mir [in meiner Seele] die Idee der Ründe, allein ich kann nicht sagen, daß die Ründe vor sich selbst extistiere. Der Mond ist zwar rund, aber die runde Figur existiert nicht besonders oder außer dem Monde.“

13.2  Die Entstehung des Psychologismus in der Neuzeit

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Beim Anblick des Vollmondes bildet sich die Seele die „Idee des Runden“. Euler schreibt, daß es in der natürlichen Umwelt keinen Gegenstand gibt, der nur rund ist und sonst nichts. Ein solcher Gegenstand „existiert nur in meiner Seele“ heißt es etwas später in dem Brief. Für Euler ist es die Seele, die die Fähigkeit besitzt, durch „Abstraktion oder … Absonderung“ die mathematischen Gegenstände zu bilden, indem sie „ihre Aufmerksamkeit ganz allein auf die Größe oder Beschaffenheit des Objekts richtet, die sie von dem Objekt absondert und die sie nicht anders ansieht, als wenn sie mit demselben nicht mehr verbunden wäre.“

Insofern meint Euler, daß die mathematischen Gegenstände Schöpfungen der Seele sind. Es sind Gegenstände, die entweder durch Abstraktion oder Reflektion à la Locke entstanden sind. Der Ort ihrer Existenz ist die menschliche Seele. Im 19. Jahrhundert wird es schließlich allgemein üblich, die menschliche Seele als die Schöpferin der mathematischen Gegenstände anzusehen. Beispielsweise heißt es in dem damals weit verbreiteten ‚Lehrbuch der Elementar-Mathematik‘ (op. cit., S. 1) von Friedrich Wilhelm Daniel Snell (1761–1827) gleich auf der ersten Seite: „Alle Zahlen sind Zeichen für die Vorstellungen von der Menge gewisser Dinge, die als gleichartig, nach dem, was sie gemeinschaftlich haben, betrachtet werden.“

„Vorstellungen“ sind Gegenstände des Denkens. Im Unterschied zur Wahrnehmung sind sie keine getreuen Abbilder sondern leichte Veränderungen, zumeist Vereinfachungen, des sinnlich Wahrgenommen. Vorstellungen sind nicht mehr unmittelbar mit den Dingen der sinnlich wahrnehmbaren Umwelt verbunden und insofern als Schöpfungen des menschlichen Geistes, oder der Seele, anzusehen. Ihnen haftet etwas Subjektives an. Gottlob Frege (1848–1925) wandte sich gegen die Snell’sche psychologistische Auffassung des Zahlbegriffs und schrieb in seinen ‚Grundgesetzen der Arithmetik‘ (Band I (1893), S. XVIII): „Man darf nie vergessen, daß die Vorstellungen verschiedener Menschen, wie ähnlich sie auch sein mögen, was übrigens von uns nicht festzustellen ist, doch nicht in eine zusammenfallen, sondern zu unterscheiden sind.“

Dennoch schloß sich der berühmte Mathematiker Karl Weierstrass (1815–1897) den Auffassungen von Snell und anderen an und behauptete in seinen Vorlesungen über ‚Analytische Funktionen‘ (Berlin 1878): „Der Begriff der Zahl entsteht durch gedankliches Zusammenfassen von Dingen, an denen man ein gemeinschaftliches Merkmal entdeckt hat, speciell von gedanklich identischen1 Dingen.“

Es mag ja sein, daß der seelische Akt des gedanklichen Zusammenfassens von Dingen die Veranlassung war, den Zahlbegriff zu bilden, aber über die Bildung des  Gemeint sind Dinge derselben Art – vergl. dazu Fußnote 11 in § 19.

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Kapitel 13  Der Psychologismus in der Mathematik

Zahlbegriffs selbst ist damit noch gar nichts gesagt. Wie wird die Bildung der Zahlen ausgeführt und was entsteht bei dieser Bildung? Wie erklärt man die Multiplikation von Zahlen? Eine Zusammenfassung von drei Birnen kann man ja schlecht mit einer Zusammenfassung von sieben Tulpen multiplizieren. Man kann doch nur Vielheiten mit abstrakten Zahlen multiplizieren. Aber was abstrakte (oder reine) Zahlen sind, sagt Weierstrass nicht. Frege hielt Weierstrass entgegen, daß „jene Zusammenstellung im Geiste kein objektives Merkmal“ sei (cf. Frege: ‚Grundgesetzen der Arithmetik‘, Band 1, S. 2). Er stellte die Frage: „in wessen Geiste?“ Wenn die Dinge nun in einem Geiste zusammengestellt werden, aber in einem anderen nicht, bilden sie auch dann eine Zahl? In seiner kleinen Schrift ‚Die Grundlagen der Arithmetik‘ (op. cit., S. XIX) beklagt er, daß eine solche psychologistische Auffassung „alles ins Subjective“ ziehe und damit objektive Wahrheiten aufhebe. Georg Cantor definierte den Begriff der Kardinalzahl einer Menge M als „den Allgemeinbegriff, welcher mit Hilfe unseres aktiven Denkvermögens dadurch aus der Menge M hervorgeht, daß von der Beschaffenheit ihrer verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins abstrahiert wird.“ (G.  Cantor: ‚Ges. Abhandlungen‘, S. 282)

Auch hier handelt es sich um einen Prozeß der Abstraktion à la Locke, der zu einem Ding führen soll, das durch das subjektive „aktive Denkvermögen“ allein erschaffen wird. Da bereits die Erschaffung einer einzigen Kardinalzahl durch das „aktive Denkvermögen“ problematisch ist, ist erst recht die simultane Erschaffung der Klasse aller endlichen und aller unendlichen Kardinalzahlen (Alephs) allein durch das „aktive Denkvermögen“ mehr als fragwürdig. Rudolf Lipschitz (1832–1903) hat sich in seinem ‚Lehrbuch der Analysis‘ (Bonn, 1880) ähnlich wie Weierstrass und Cantor ausgedrückt: „Wenn man bei der Betrachtung getrennter Dinge von den Merkmalen absieht, durch welche sich die Dinge unterscheiden, so bleibt der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge zurück.“

Es wird auch hier behauptet, daß der Begriff der Anzahl im Geist, d. h. in der vernunftbegabten Seele, zurückbleibt. Es wird allerdings nur ein psychischer Prozeß angedeutet, wobei unklar bleibt, was alles „zurückbleibt“ und was am Ende entsteht. In Einzelfällen wird man vielleicht die Kommutativität, Assoziativität und Distributivität aus dem „Zurückgebliebenen“ entnehmen können, aber diese Eigenschaften hat man dann nur in endlich vielen Einzelfällen beobachtet. Daraus ergibt sich nicht, daß das Rechnen mit Anzahlen (d. h. Kardinalzahlen) ganz allgemein immer den Gesetzen der Kommutativität, Assoziativität und Distributivität gehorcht. Man kann sich in der Mathematik doch nicht mit der Erzeugung endlich vieler Zahlen begnügen; es geht um den Aufbau einer Theorie, die von allen Zahlen handelt! Dazu sagt Lipschitz nichts. Paul du Bois-Reymond (1831–1889) hat in seiner ‚Allgemeinen Functionentheorie‘ (Tübingen, 1882, S. 16) die Einführung der natürlichen Zahlen mit sehr ähnlichen Worten beschrieben:

13.2  Die Entstehung des Psychologismus in der Neuzeit

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„Die Anzahl ist also gleichsam der Rest, der in unserer Seele zurückbleibt, wenn alles, was die Dinge unterschied, sich verflüchtigt und nur die Vorstellung sich erhält, daß die Dinge getrennt waren.“

Das ist irgendwie richtig, wenn man nur wüßte, was das ist, was da angeblich zurückbleibt. All diese blumigen Beschreibungen verraten, daß sich die Autoren ihrer Sache wohl nicht sehr sicher sind. Die Karikatur, die der Mathematiker Charles Lutwidge Dogson (1832–1898) unter dem Pseudonym Lewis Caroll in seinem ­Kinderbuch ‚Alice’s Adventures in Wonderland‘ (1865/1866) von solchen Abstraktionsvorgängen zeichnete, mag zu Denken geben. Caroll schrieb dort: „All right, said the cat; and this time it vanished quite slowly, beginning with the end of the tail, and ending with the grin, which remained some time after the rest of it had gone.“

Martin Gardner bemerkte dazu (in ‚The annotated Alice’, 1960, S. 90–91): „The phrase »grin without a cat« is not a bad description of pure mathematics.“

Aber man sollte vielleicht etwas genauer sagen, daß das Dictum „Grinsen ohne Katze“ nur eine Beschreibung einer psychologistisch konzipierten Mathematik ist, denn „Abstraktion“ à la Locke ist ein Prozeß, der sich im Geist, also in der „vernunftbegabten Seele“ abspielt. Bleibt denn irgend etwas übrig, wenn man die Abstraktionen ausführt, von denen Euler, Weierstrass, Cantor, Lipschitz, du Bois-­Reymond und andere sprachen, und wie bildet man daraus einen eigenständig existierenden Gegenstand? Kann man diese Abstraktionen überhaupt vollständig bis zu Ende ausführen und kann man aus dem Ergebnis des Abstraktionsvorganges alle benötigten mathematischen Eigenschaften herauslesen und beweisen? Über die Probleme, die sich hier zeigen, haben im 19. Jahrhundert nur wenige nachgedacht. Die meisten Mathematiker waren froh, daß an den Universitäten eine neue Disziplin eingerichtet wurde, die sich mit der Seele befaßte und „Psychologie“ genannt wurde. Ihr und den psychologistisch ausgerichteten Philosophenschulen2 vertraute man die Probleme an; man glaubte sie dort in guten Händen und mußte sich nicht mehr mit den schwierigen Problemen der Begründung der mathematischen Methode beschäftigen. Die Psychologen nahmen den Auftrag gerne an und begannen, sich auch dem Thema der Grundlagen der Mathematik zu widmen. Aber was dabei herauskam, war ungenügend und wurde später von den gründlicher denkenden Mathematikern und Philosophen als „Psychologismus“ abgetan. Sie lehnten mit Recht eine Begründung der Logik und der Mathematik auf dem Fundament der Psychologie ab. Da die Psychologie eine Wissenschaft ist, die empirisch vorgeht, kann sie – jedenfalls im Falle der Mathematik und der Logik – nicht über das hinausgehen, was der Empirismus in der Mathematik und Logik zu leisten vermag. Wie wir aber  Eine gute Übersicht über die verschiedenen psychologistischen Richtungen in der Philosophie gab Willy Moog in seinen Büchern, die wir im Literaturverzeichnis angegeben haben. Wir verweisen auch auf die Werke von Hans Pfeil, op. cit., und Matthias Rath, op. cit. 2

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Kapitel 13  Der Psychologismus in der Mathematik

schon in Kap. 11 gesehen haben, vermag der Empirismus hier keine überzeugende Grundlegung zu geben. Es ist richtig zu sagen, daß die Theorien (!) der Irrationalzahlen, der komplexen Zahlen, der Kummer’schen „idealen Zahlen“ etc. Schöpfungen des menschlichen Geistes sind, aber es ist falsch zu behaupten, daß die einzelnen Irrationalzahlen, komplexe Zahlen, idealen Zahlen etc. selbst Schöpfungen des menschlichen Geistes, oder der menschlichen Seele, wären. George Boole, Rudolf Carnap, Louis Couturat, Richard Dedekind, Gottlob Frege, Martin Heidegger, Edmund Husserl, Charles Sanders Peirce, Bertrand Russell und noch viele andere waren davon überzeugt, daß die Arithmetik zu ihrer Begründung nur der Logik bedürfe und die Logik selber ohne Einmischung der Psychologie entwickelt werden könne (cf. op.  cit.). Die Psychologen fühlten sich düpiert und sprachen von einem „Logizismus“, also einer Überheblichkeit der Logiker bei der Begründung der Logik und der Mathematik. Ob dieser Vorwurf berechtigt ist oder nicht, erfahren wir im folgenden Kapitel.

Literatur Du Bois-Reymond, Paul: ‘Die allgemeine Functionentheorie’, Lauppsche Buchhandlung, Tübingen 1882. Frege, Gottlob: ‘Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl’. W. Koebner-Verlag, Breslau, 1884. Frege, Gottlob: ‘Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet’. Band 1: Jena 1893, Band 2: Jena 1903. Verlag Hermann Pohle. Nachdruck 1962 bei der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft Darmstadt. Heidegger, Martin: ‘Die Lehre vom Urteil im Psychologismus’, Dissertation, Leipzig 1914. Nachdruck in M. Heidegger, Gesamtausgabe, Band 1 ‘Frühe Schriften’ (V. Klostermann Verlag Frankfurt/M., 1978, pp. 59–188. Husserl, Edmund: ‘Logische Untersuchungen, Band 1: Prolegomena zur reinen Logik’, Niemeyer-­Verlag Halle a.S. 1900, Nachdruck: Husserliana, Band 18, Den Haag 1975. Husserl, Edmund: ‘Einleitung in die Logik und Erkenntnistheorie’, Vorlesungen in Göttingen 1906/1907. (U. Melle, Herausgeber), Husserliana, Band 24, Den Haag 1884. Moog, Willy: ‘Logik, Psychologie und Psychologismus’, Halle 1919. Moog, Willy: ‘Die Deutsche Philosophie des 20. Jahrhunderts’, F. Enke-Verlag Stuttgart 1922. Peucker, Henning: ‘Von der Psychologie zur Phänomenologie, Husserls Weg in die Phänomenologie der »Logischen Untersuchungen«’, F. Meiner Verlag Hamburg 2002. Pfeil, Hans: ‘Der Psychologismus im englischen Empirismus’, 1934 (Nachdruck: Meisenheim a.G. 1973). Proklus Diadochus: ‘Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen’, übertragen von P.L. Schönberger, Halle 1945. Rath, Matthias: ‘Der Psychologismusstreit in der deutschen Philosophie’, Freiburg i. Brsg. 1994. Snell, Friedrich Wilhelm Daniel: ‘Leichtes Lehrbuch der Elementar-Mathematik’, 1. Theil, 8. Auflage, Gießen 1830. Weierstrass, Karl: ‘Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen’, Vorlesung Berlin 1878, Mitschrift von Adolf Hurwitz, herausgegeben von Peter Ullrich, DMV & Vieweg-Verlag Braunschweig 1988. Wundt, Wilhelm: ‘Logik’, drei Bände, vierte Auflage, Stuttgart 1919.

Kapitel 14

Der Logizismus

Die Auffassung, daß die Mathematik ein Teil der Logik sei, wird „Logizismus“ genannt. Das bedeutet zweierlei: (1) Alle mathematischen Begriffe und alle mathematischen Gegenstände lassen sich unter alleiniger Verwendung logischer Begriffe und logischer Gegenstände explizit definieren. (2) Alle wahren mathematischen Sätze sind logisch-allgemeingültige Aussagen. Bei dieser Auffassung bestehen die Prinzipien einer mathematischen Theorie aus den Gesetzen der Logik und den Definitionen der Grundbegriffe und der grundlegenden Gegenstände, von denen die Theorie handelt. Mathematische Theorien sind hier „Wissenschaften“ im aristotelischen Sinne und erfüllen in ganz besonderer Weise die Anforderungen, die Leibniz und Wolff an die Lehrart der Mathematik gestellt haben (wir sprachen darüber in Kap. 10). Die Bezeichnung „Logizismus“ tauchte kurz nach 1900 auf. Einige Anhänger des Psychologismus haben sie in die Welt gesetzt. Sie war polemisch gemeint. Genauso wie zuvor die Logiker die Einmischung der Psychologie in die Grundlagendiskussion der Mathematik als „Psychologismus“ abgetan hatten, wollten sie die Einmischung der formalen Logik in die Begründung der Wissenschaften als „Logi­ zismus“ abtun. Wilhelm Wundt beispielsweise verwendete dieses Wort bereits 1910 in seinem Aufsatz über ‚Psychologismus und Logizismus‘. Die Bezeichnung wurde schon wenig später allgemein akzeptiert und verlor schließlich den polemischen Beigeschmack. In diesem Sinne hat beispielsweise Ru­ dolf Carnap in seinem ‚Abriss der Logistik‘ (Springer Verlag, Wien 1929, S. 2–3) das Wort verwendet. Er hatte das Buch in den Jahren 1924–1929 geschrieben. Als Vorläufer der Logizisten könnte man Gottfried Wilhelm Leibniz nennen, der die Mathematik aus dem Prinzip der Identität A = A und dem Prinzip des Widerspruchs ableiten wollte. (Wir sprachen darüber in Kap.  10) Aber im Unterschied zum Logizismus hat Leibniz die mathematischen Gegenstände nicht als logische Gebilde verstanden, sondern als Gebilde, die von Geburt an in unserer Seele vorhanden sind. © Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_14

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Kapitel 14  Der Logizismus

Auch Dedekind könnte man als Logizisten bezeichnen, da er im Vorwort zu seinem berühmten Essay ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ (1888) davon sprach, daß „die Lehre von den Zahlen … ein Teil der Logik“ sei. In diesem Essay stützte er sich auf die Prinzipien der Mengenlehre, die er damals noch zur Logik zählte. Der Mengenbildung liegen jedoch ontologische Annahmen zugrunde, da Mengen den Status von „Dingen“ haben sollen und derartige Annahmen die reine Logik übersteigen. Dedekind hat an der Entwicklung der Mengenlehre sehr intensiv mitgearbeitet, hat jedoch von der reinen Logik kaum Notiz genommen. Insofern ist De­ dekind nicht den Logizisten zuzurechnen. Über Dedekind als Begründer des Strukturalismus werden wir in Kap. 19 noch ausführlich sprechen. (Vergleiche dazu auch Erich Reck 2013 op. cit.) Zweihundert Jahre nach Leibniz hat Gottlob Frege (1848–1925) den Gedanken erneut aufgegriffen, die Mathematik aus der reinen Logik heraus zu entwickeln. In einem undatierten Brief (vermutlich aus dem Jahr 1903) an den amerikanischen Mathematiker Edward V. Huntington (1874–1952) schrieb Frege: „Ich habe mir das Ziel gesetzt, die Arithmetik auf Logik allein zu begründen“ (cf. G. Frege: ‚Wissenschaftlicher Briefwechsel‘, herausgegeben von G. Gabriel et al., F. Meiner Verlag Hamburg 1976, S. 89.)

Etwas ausführlicher schrieb Frege in der Einleitung seines berühmten Werkes über die ‚Grundgesetze der Arithmetik‘ (Band 1, Jena 1893, Seite 1): „In meinen „Grundlagen der Arithmetik“ (Breslau 1884) habe ich wahrscheinlich zu ma­ chen gesucht, daß die Arithmetik ein Zweig der Logik sei und weder der Erfahrung noch der Anschauung irgendeinen Beweisgrund zu entnehmen brauche. In diesem Buche soll dies nun dadurch bewährt werden, daß allein mit logischen Mitteln die einfachsten Gesetze der Anzahlen abgeleitet werden.“

Frege wollte damit sagen, daß die Arithmetik zu ihrer Begründung weder auf empirisch gewonnenes Wissen zurückgreifen muß, wie es John Stuart Mill behauptet hatte, noch auf Konstruktionen in der „reinen Anschauung“, wie es Immanuel Kant gemeint hatte. Frege behauptete, daß die Arithmetik zu ihrem Aufbau nur ­einiger logischer Prinzipien bedürfe. In seinem Vortrag ‚Über formale Theorien der Arithmetik‘ (Juli 1885, Nachdruck in G. Frege ‚Kleine Schriften‘, loc. cit., S. 103–111) meinte er: „Es ist keine scharfe Grenze zwischen Logik und Arithmetik zu ziehen; vom wissenschaftli­ chen Gesichtspunkte aus betrachtet sind beide eine einheitliche Wissenschaft.“

Auch Bertrand Russell (1872–1970) hat in seinen ‚Principles of Mathematics‘ (Cambridge, 1903) den Auffassungen Kants widersprochen und dies mit der These, daß die gesamte Mathematik doch nur ein Zweig der Logik sei, begründet. Er schrieb: „Thanks to the progress of Symbolic Logic, especially as treated by Professor Peano, this part of the Kantian philosophy (namely the claim that mathematical reasoning is not stric­ tly formal, but always uses intuitions, i.e. a priori knowledge of space and time) is now ca­ pable of a final and irrevocable refutation. By the help of ten principles of deduction and ten other premisses of a general logical nature, all mathematics can be strictly and formally

14.1  Die logizistisch aufgebaute Arithmetik Freges

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deduced; and all the entities that occur in mathematics can be defined in terms of those that occur in the above twenty premisses …. The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age.“ (B. Russell: ‚Principles of Mathematics‘, 1903, Chap. I, 4, S. 4–5.) [Wir verdanken der Symbolischen Logik, insbesondere in der von Professor Peano gegebenen Darstellung, daß derjenige Teil der Philosophie Kants in dem behauptet wird, daß mathematisches Schließen nicht strikt formal sei, da es sich auf die reine Anschauung stützen müsse, d. h. auf Kenntnisse a priori von Raum und Zeit, inzwischen auf endgültige und unwiderrufbare Weise widerlegt werden kann. Unter Verwendung von zehn Ableitungsregeln und zehn weiteren Prämissen logischer Natur kann die gesamte Mathematik exakt und rein formal hergeleitet werden. Ferner können alle Gegenstände, die in der Mathematik auftreten, unter Verwendung der Terme, die in den oben genannten zwanzig Prämissen vorkommen, definiert werden …. Die Tatsache, daß die gesamte Mathematik nichts anderes als Symbolische Logik ist, ist eine der größten Entdeckungen unserer Zeit.]

Russell spricht etwas vollmundig von einer „endgültigen und unwiderruflichen Widerlegung“ der Kant’schen Philosophie und der vermeindlichen Einsicht, daß alle Mathematik nichts anderes als Symbolische Logik sei. Wir werden prüfen, ob Russell damit Recht hat. Auch Charles Sanders Peirce (1839–1914) vertrat gelegentlich logizistische Positionen. Er schrieb in seinem Essay ‚Upon the logic of mathematics‘, 3.20, daß sich die Sätze der Mathematik aus allgemeinen logischen Propositionen auf rein syllogistischem Wege ergäben. Im Unterschied zu Peirce haben sich Louis Couturat, Rudolf Carnap, Frank Plumpton Ramsey, Jan Lukasiewicz und andere jedoch ausdrücklich zum Logizismus bekannt. Wir wollen zunächst die Auffassungen Freges ausführlich besprechen.

14.1  Die logizistisch aufgebaute Arithmetik Freges Friedrich Ludwig Gottlob Frege wurde am 08.11.1848  in Wismar geboren. Sein Vater, Alexander Frege, war Direktor der dortigen ‚Höheren Töchterschule‘. Nach seinem Abitur zu Ostern 1869 studierte Gottlob Frege die Fächer Mathematik, Physik, Chemie und Philosophie in Jena und in Göttingen. Er promovierte 1873 in Göttingen mit einer Arbeit ‚Über eine geometrische Darstellung der imaginären Ge­ bilde in der Ebene‘. Er habilitierte sich 1874 an der Universität Jena mit einer Arbeit über ‚Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Größenbegriffs grün­ den‘. Er wirkte als Hochschullehrer in Jena von 1874 bis 1918. 1879 wurde er Titularprofessor und 1896 ordentlicher Honorarprofessor. Weitere Ehrungen wurden ihm nicht zuteil. 1908 schrieb der Universitätskurator von Eggeling an den ‚durchlauchtigsten Erhalter der Großherzoglich Herzoglich Sächsischen Universität Jena‘, „daß von einer besonderen Würdigung Freges abgesehen werden könne, da dessen Lehrtätigkeit untergeordneter Bedeutung sei, und ohne Vorteil für die Universität.“ Inzwischen wird Frege als einer der bedeutendsten Logiker anerkannt, dessen Werk nur mit dem logischen Werk von Aristoteles oder Leibniz vergleichbar ist. Frege starb am 26. Juli 1925 in Bad Kleinen (am Schweriner See).

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Kapitel 14  Der Logizismus

Frege publizierte vier Bücher und etwa 20 Abhandlungen zur Logik und zur Grundlegung der Arithmetik. 1879 erschien in Halle a/S sein Hauptwerk: ‚Begriffs­ schrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens‘. Seine logizistische These publizierte Frege erstmals 1884 in seinem Buch über ‚Die Grundlagen der Arithmetik‘. Dort spricht er (in § 87) davon, daß „die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik [sei, und] jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz sei.“

Es ist bemerkenswert, daß Frege die logizistische These nur für die Arithmetik formulierte. Die Sätze der Geometrie hielt auch er für synthetische Urteile a priori. In § 89 seiner ‚Grundlagen der Arithmetik‘, S. 101–102, hob Frege nachdrücklich Kants großes Verdienst hervor, auf diese Weise „das wahre Wesen“ der Geometrie enthüllt zu haben. In seiner Dissertation (Göttingen, 1873) schrieb er gleich in der Einleitung, daß „die ganze Geometrie zuletzt auf Axiomen beruht, welche ihre Gültigkeit aus der Natur unseres Anschauungsvermögens herleiten.“

Aber um so nachdrücklicher verfocht er die logizistische These für die Arithmetik. Mit noch nie dagewesener Gründlichkeit arbeitete er in zahlreichen Büchern und Aufsätzen ein System des logischen Schließens aus und führte auf der Grundlage dieses Systems einen Aufbau der Arithmetik durch. Frege muß sehr verbittert gewesen sein, daß kaum jemand seine Schriften zur Kenntnis nahm. Ein Beispiel mag dies verdeutlichen. Unter der Leitung von Felix Klein (1849–1925) waren von 1898 an die einzelnen Hefte der ‚Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften‘ erschienen, die von den Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien getragen wurde. Das erste Heft sollte die „Grundlagen der Arithmetik“ behandeln. Als Autoren wären neben Frege auch Richard Dedekind (1831–1916), Ernst Schröder (1841–1902), Otto Stolz (1842–1905) oder vielleicht auch Johannes Thomae (1840–1921) oder Georg Cantor (1845–1918) in Frage gekommen. Aber die He­ rausgeber hielten das Thema für ziemlich nebensächlich und hatten den Gymnasial-­ Oberlehrer Hermann Schubert zur Bearbeitung dieses Themas gebeten.1 Der Mitherausgeber Franz Meyer lobte in einem kleinen Aufsatz (op. cit., S. 296) den von Herrn Schubert eingereichten Beitrag dafür, daß er die Bedeutung, die die Psychologie in der Begründung der Arithmetik inzwischen erlangt habe, ausführlich zur Geltung bringe. Aber Frege war, als er den Bericht von Schubert zu sehen bekam, entsetzt. In einer kleinen Schrift ‚Über die Zahlen des Herrn H. Schubert‘ (H. Pohle Verlag,

 Hermann Cäsar Hannibal Schubert wurde 1848 in Potsdam geboren und ist 1911 in Hamburg gestorben. Er wurde 1870 in Halle promoviert und erhielt 1875 die Große Goldene Medaille der Königlich-Dänischen Akademie für seine Preisschrift ‚Characteristicum der Raumkurven dritter Ordnung‘. W. Burau hat in einem Aufsatz ‚Der Hamburger Mathematiker Hermann Schubert‘ (Mitteilungen der Hamburgischen Math. Gesellschaft, Band 9, 1966) eine Würdigung des Werkes von Schubert gegeben. 1

14.1  Die logizistisch aufgebaute Arithmetik Freges

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Jena, 1899) zerpflückte er das Elaborat des Herrn Schubert. Frege begann seine kleine Schrift wie folgt: „Es ist doch eigentlich ein Skandal, daß die Wissenschaft noch über das Wesen der Zahl im unklaren ist. Daß man noch keine allgemein anerkannte Definition der Zahl hat, möchte noch angehen, wenn man wenigstens in der Sache übereinstimmte. Aber selbst darüber, ob die Zahl eine Gruppe von Dingen oder eine mit Kreide auf einer schwarzen Tafel von Men­ schenhand verzeichnete Figur sei, ob sie etwas Seelisches, über dessen Entstehung die Psy­ chologie Auskunft geben müsse, oder ob sie ein logisches Gebilde sei, ob sie geschaffen sei und vergehen könne, oder ob sie ewig sei, selbst darüber hat die Wissenschaft noch nichts entschieden. Ist das nicht ein Skandal? Ob ihre Lehrsätze von jenen aus kohlensaurem Kalke bestehenden Gebilde oder von unsinnlichen Gegenständen handeln, weiß die Arith­ metik nicht …. Die Wissenschaft weiß also nicht, welchen Gedankeninhalt sie mit ihren Lehrsätzen verbindet; sie weiß nicht, womit sie sich beschäftigt …. Ist das nicht ein Skan­ dal? Und ist es nicht ein Skandal, daß eine Kette von Gedankenlosigkeiten mit Erfolg den Anspruch erheben kann, dem neuesten Stande der Wissenschaften zu entsprechen?.“

– und was dann folgt, ist beißender Spott, ätzende Ironie. Frege muß entsetzt gewesen sein, daß ein Aufsatz „von solcher Flachheit es wagen könne, sich in einer Enzyklopädie der Mathematik als Blüte der Wissenschaft hinzustellen.“ Für H. Schubert (und nebenbei bemerkt genauso für einige berühmte Philosophen, beispielsweise den Hegelianer Kuno Fischer)2 „ist die Zahl das Ergebnis des Zählens“. Frege spottet: „In der Tat, ist nicht auch das Gewicht eines Körpers das Ergebnis des Wägens?“ – Es lohnt sich, diesen Aufsatz Freges ganz zu lesen, denn um so deutlicher setzt sich dagegen Freges eigenes Bemühen ab, die Zahlen als lo­ gische Gebilde einzuführen und die Arithmetik auf dem Boden einer Symbolischen Logik korrekt und klar aufzubauen. Um sein Programm durchführen zu können, hat Frege zunächst die Logik bearbeitet. Er hat ( 1.) für die Logik eine neuartige Symbolik entworfen, – (2.) die klassische Gliederung der Aussagen nach dem Schema „Subjekt-Prädikat“ durch das Schema „Argument-Funktion“ ersetzt, und dabei (1879) den Begriff des Quantors (Quantifikators) eingeführt, – (3.) und erkannt (1893), daß an Stelle der „Gleichheit“ die „Identität“ eine logische Konstante ist, die den Grundbegriffen „nicht“, „und“, „oder“, „für alle“ an die Seite gestellt werden kann – und schließlich – (4.) den ersten vollständigen Logik-Kalkül aufgestellt. (Die Vollständigkeit wurde im Falle der Frege’schen Junktoren-Logik zuerst von Paul Bernays 1917/1918 und im Falle der Frege’schen Quantoren-Logik, eingeschänkt auf die 1. Stufe, von Kurt Gödel 1929/1930 bewiesen.) Wenn Φ ein Begriff ist, dann soll αʼ Φ(α) (in Anlehnung an Frege) den Umfang von Φ bezeichnen. Wir schreiben heute stattdessen {x; Φ(x)}, gelesen: Klasse (oder  Kuno Fischer (1824–1907) schrieb in seinem Werk ‚System der Logik und Metaphysik oder Wis­ senschaftslehre‘, I, 2, § 93, (1852): „Durch das Zählen entsteht die Zahl. Die Zahl ist gezählte, d. h. begriffene Größe“ (Nachdruck in Fischers ‚Philosophischen Schriften‘, Band 6 (Heidelberg 1909), S. 233). 2

Kapitel 14  Der Logizismus

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Menge) aller Objekte x, die unter den Begriff Φ fallen.3 Für derartige Begriffsumfänge gelten die folgenden Axiome (dabei verwenden wir nicht Freges Notation, sondern die heute übliche Bezeichnungsweise): (F1) Komprehensions-Axiom: Für jeden Begriff Φ ist sein Umfang ein Ding, d. h. ∃y : y = { x;Φ ( x )} .





(F2) Extensionalitäts-Axiom: Zwei Begriffsumfänge sind gleich, wenn die ihnen zugrundeliegenden Begriffe äquivalent sind: für Begriffe Φ und Ψ gilt also:

{x; Φ ( x )} = {x; Ψ ( x )} ↔ ∀x ( Φ ( x ) ↔ Ψ ( x ) ).



Das Komprehensions-Axiom4 besagt, daß zu jeder Eigenschaft Φ(x) der Begriffsumfang gebildet werden kann und daß dieser im Bereich der Objekte liegt, den die Variablen durchlaufen und über den quantifiziert werden darf. Die beiden Axiome (F1) und (F2) wurden erstmalig von Bernard Bolzano 1837 aufgestellt. Frege erwähnt (F1) allerdings nur im Nachwort der ‚Grundgesetze‘ Band 2, Seite 253 Mitte. Das Axiom (F2) wird von Frege jedoch explizit formuliert: es ist sein Axiom V in § 20 der ‚Grundgesetze‘, Band 1, Seite 36. Bei ihm sieht es wie folgt aus:

|–

({x;Φ ( x )} = {x;Ψ ( x )}) = (∀x ( Φ ( x ) = Ψ ( x ))) ,

denn Φ(x) und Ψ(x) werden als Funktionen verstanden, und das Axiom sagt, daß die Wahrheitswerte von {x;Φ(x)} = {x;Ψ(x)} und ∀x(Φ(x) = Ψ(x)) gleich sind.5 Frege hielt den Übergang von einem Begriff zu seinem Umfang für einen rein logischen Prozeß. Begriffe und Begriffsumfänge hielt er für logische Gegenstände! Der Umgang mit Begriffsumfängen bleibt ganz im Rahmen der Logik, denn beispielsweise ist der Durchschnitt von zwei Begriffsumfängen ja nichts anderes als der Umfang der logischen Konjunktion der beiden Begriffe. Das Fregesche Programm besteht darin, auf der Basis der beiden Axiome (F1) und (F2) und des Logik-Kalküls die gesamte Arithmetik zu entwickeln. Den Zahlbegriff führt er wie folgt ein.  Wir weichen hier offenbar von der Notation Freges ab. Er hat in seiner Schrift ‚Grundgesetze der Arithmetik‘, Band 1, Jena 1893, S. 7 & S. 15, mit αʼ Φ(α) den Wertverlauf der Funktion Φ(x) bezeichnet. Damit ist es möglich, sowohl über Objekte, die unter einen Begriff fallen, als auch über Objekte, die nicht unter diesen Begriff fallen, in einfacher Weise sprechen zu können. Um sich heutigen Lesern zu bequemen, haben wir mit αʼΦ(α) statt dessen den Umfang des Begriffes Φ(x) bezeichnet, d. h. die Gesamtheit aller Objekte, die unter den Begriff Φ fallen, und die nachfolgenden Definitionen der arithmetischen Begriffe entsprechend angepaßt. 4  Comprehendere (lat.) heißt: zusammenfassen, zusammensetzen, umfassen, verbinden, im Geiste zusammenfügen, im Geiste erfassen. 5  Siehe dazu auch den Appendix von Roy T. Cook in der neuen englischen, vollständigen Übersetzung der Frege’schen „Grundgesetze“, herausgegeben und übersetzt von Ph. Ebert & M. Roßberg, Oxford 2013, op. cit. 3

14.1  Die logizistisch aufgebaute Arithmetik Freges

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• Zwei Begriffe Φ(x) und Ψ(x) heißen gleichzahlig, wenn es eine Beziehung (Abbildung) gibt, die jedem Objekt, das unter den Begriff Φ(x) fällt, ein-eindeutig ein Objekt, das unter den Begriff Ψ(x) fällt, zuordnet (‚Grundgesetze‘, §  38, Seite 56). • Die Anzahl des Begriffes Φ(x) [in Zeichen: #Φ(x)] ist der Umfang des Begriffes „mit Φ(x) gleichzahlig zu sein“ (‚Grundgesetze‘, § 40, Seite 57). Mit anderen Worten (wenn man Begriffe mit ihren Umfängen identifiziert): die Kardinalzahl einer Menge M ist die Klasse aller mit M gleichmächtigen Mengen. • n ist eine Anzahl, wenn es einen Begriff Φ(x) gibt so, daß n die Anzahl von Φ(x) ist. • 0 = die Anzahl, die dem Begriff „sich selbst ungleich“ zukommt, • 0 = #(x ≠ x) = Klasse aller unerfüllbaren Begriffe. • 1 = die Anzahl, die dem Begriff „gleich 0“ zukommt (‚Grundgesetze‘, § 41–42, Seite 57–58). Also ist 1 die Klasse aller Begriffe, deren Anzahl „eins“ ist: • 1 = #(x = 0) = Klasse aller Begriffe, die von genau einem Element erfüllt werden. • Die Anzahl m ist der unmittelbare Nachfolger der Anzahl n, wenn es einen Begriff Φ(x) gibt und ein Objekt a, das unter den Begriff Φ(x) fällt, so daß n = #(Φ(x) & x ≠ a) und m = #Φ(x) (‚Grundgesetze‘, § 43, Seite 58). Daher ist beispielsweise 2 die Klasse aller Begriffe, die von einem und noch einem, aber keinem weiteren Objekt erfüllt werden. Die Anzahl des Begriffes Φ(x) bezeichnet Frege mit einem auf den Kopf gestellten handschriftlichen Zeichen lb [für libra (lat.) = Gewicht, Pfund]. Wir haben es durch das typographisch ähnliche Zeichen # ersetzt. Bei Frege sind die Zahlen Objekte, die ihre eigene Bedeutung tragen, wie etwa eine Goldmünze, die auf 100 DM lautet und auch dem Metall und Gewicht nach 100 DM wert ist, im Gegensatz zu Papiergeld, auf denen nur „100 DM“ gedruckt ist und diesen Wert nur aufgrund der Gebrauchsregeln hat (und daher auch beliebig oft von den Regierungen abgewertet werden kann). Mit einer bis dahin noch nie dagewesenen Gründlichkeit beweist Frege die fundamentalen Sätze der Arithmetik (für eine Beweis-Skizze siehe Freges ‚Grundlagen der Arithmetik‘, Breslau, 1884, §§ 80–82). Insbesondere beweist er, daß jede Anzahl n nur genau einen unmittelbaren Nachfolger hat, der daher mit n + 1 bezeichnet werden darf. Frege betont in seinen ‚Grundlagen der Arithmetik‘ (1884, § 82), daß solch ein Satz auf empirischem Wege nicht begründet werden kann. Einen Beweis des Prinzips der vollständigen Induktion deutet Frege in § 80 an. – Dem Aufbau des Körpers der reellen Zahlen widmet sich Frege im 2. Band seiner ‚Grundgesetze der Arithmetik‘ (Jena 1903). Etwa bis zur Jahrhundertwende 1900 konnte man den Eindruck haben, als wäre das logizistische Programm durchführbar und als könne man die wichtigsten Teile der Mathematik, die Arithmetik der natürlichen und der reellen Zahlen, auf dem unumstößlichen Fundament der reinen Logik errichten. Die natürlichen Zahlen wären logische Gebilde (!) und die Sätze der Arithmetik wären apodiktische Wahrhei­ ten, d. h. unwiderlegliche, logisch gewisse Aussagen. – Das Auftreten der mengentheoretischen Antinomien hat diesen Eindruck zerstört.

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Kapitel 14  Der Logizismus

Diese Antinomien traten um die Jahrhundert-Wende 1900 auf. Sie wurden von Cesare Burali-Forti (1897), Ernst Zermelo (1900) & Bertrand Russell (1902), Jules Richard (1905), G.G. Berry (1906), Kurt Grelling (1908) und anderen bemerkt. (Siehe dazu auch Kap. 15) Frege hat vermutlich zunächst nichts davon gehört. Aber im Juni 1902 erhielt er einen Brief von Bertrand Russell, in dem er erfuhr, daß auch sein Aufbau der Arithmetik vom Auftreten der Antinomien bedroht sei. Russell schrieb (in deutscher Sprache): Russell an Frege (16.06.1902): „Sehr geehrter Herr College! Seit anderthalb Jahren kenne ich Ihre „Grundgesetze der Arithmetik“, aber jetzt erst ist es mir möglich geworden die Zeit zu finden für das gründliche Studium das ich Ihren Schriften zu widmen beabsich­ tige. Ich finde mich in allen Hauptsachen mit Ihnen in vollem Einklang … Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funk­ tion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegenteil. Deshalb muß man schliessen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganzes sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet. … Mit hochachtungsvollem Grusse, Ihr ergebener Bertrand Russell.“

Frege antwortete ihm am 22. Juni 1902 sehr betroffen: „Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf’s Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte, in’s Wanken geräth. Es scheint danach, …. daß mein Gesetz (V) falsch ist ….“

Frege war sicherlich mehr als nur bestürzt, denn in seinen früheren Publikationen hatte er die Art und Weise, wie seine Kollegen an den Aufbau der Arithmetik herangingen, mit Ironie und Spott überzogen. Und nun passierte ihm dies! Der erste Band von Freges ‚Grundgesetzen der Arithmetik‘ war bereits 1893 in Jena erschienen. Der zweite Band war schon fast fertig gedruckt, als Frege den Brief von Russell erhielt. Frege fügte dem 2. Band ein Nachwort hinzu und ließ ihn 1903 in Jena (auf eigene Kosten) erscheinen. Im Nachwort schrieb Frege: „Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte. Es handelt sich um mein Grundgesetz (V) …. Ich hätte gern auf diese Grundlage verzichtet, wenn ich irgendeinen Ersatz dafür ge­ kannt hätte. Und noch jetzt sehe ich nicht ein, wie die Arithmetik wissenschaftlich begründet werden könne, … wenn es nicht  – bedingungsweise wenigstens  – erlaubt ist, von einem Begriffe zu seinem Umfange überzugehn. Darf ich immer von dem Umfange eines Begriffes, von einer Klasse sprechen? Und wenn nicht, woran erkennt man die Ausnahmefälle? … Doch zur Sache selbst! Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden, der nun dar­ gelegt werden mag ….“

Frege hat später versucht, einen Ausweg aus diesem Desaster zu finden, aber zu einer überzeugenden Lösung ist er nicht mehr gekommen. Frege hätte die Gefahr des Auftretens der Antinomien in seinem System schon etwa vierzehn Jahre früher wissen können, denn er hatte die Cantor’sche ­Abhandlung

14.1  Die logizistisch aufgebaute Arithmetik Freges

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‚Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten‘ aus dem Jahre 1888 gelesen und sogar eine ausführliche Rezension6 geschrieben. Hier weist Cantor ausdrücklich darauf hin, daß dem mathematischen Raisonnieren nur die endlichen und die transfiniten Mengen, nicht jedoch die „absolut-unendlichen“ Vielheiten zur Verfügung stünden (mehr dazu in Kap. 15). Frege hat die Bedeutung dieser Bemerkung offenbar übersehen. (Die Anzahlen bei Frege sind absolut-unendliche Klassen, die aber wie „Dinge“ behandelt werden, da sie im Wirkungsbereich von Quantoren stehen dürfen!) Die Antinomie, auf die ihn Russell hingewiesen hat, ist die inzwischen wohlbekannte Zermelo-Russell’sche Antinomie (vergl. Kap. 15): Die Klasse aller Klassen, die sich (als Ganzes) selbst nicht angehören, gehört sich (als Ganzes) selber an, genau dann, wenn sie sich (als Ganzes) nicht angehört. [Also für a = {x; x ∉ x} gilt: a∈a ⇔ a∉a.]

Zermelo hatte sie bereits im Winter-Semester 1900/1901  in seiner Göttinger Mengenlehre-Vorlesung vorgetragen  – siehe U.  Felgner: ‚Introductory Note‘ in Band I der Gesammelten Werke Zermelos, op. cit., S. 167–168. Russell hat sie nach seinen eigenen Mitteilungen zwischen 1901 und 1902 gefunden. Die Antinomie ergab sich nicht aus den Frege’schen Axiomen der Quantoren-­ Logik, sondern aus den Axiomen (F1) und (F2). Es wurde erst jetzt allmählich klar, daß die Prinzipien (F1) und (F2) gar nicht der reinen Logik angehören, weil sie ontologische Aussagen machen, nämlich die Existenz von Mengen oder Klassen (also nach (F1) die Existenz von Dingen), und daß solche Aussagen nicht logisch-­ allgemeingültig sind. Es ergibt sich aus (F1) beispielsweise auch die Existenz einer unendlichen Menge, etwa als Umfang des Begriffs der „natürlichen Zahl“. Als Ergebnis dieser Entwicklung können wir festhalten, daß der Logizismus daran gescheitert ist, daß er den Begriff der Logik zu weit gefaßt hat und dabei widersprüchliche Prinzipien zugelassen hat, und zwar Prinzipien, die eigentlich mengentheoretischer Natur sind. Bertrand Russell hat den Begriff der „Logik“ sogar ganz bewußt sehr weit gefaßt. In seinem Aufsatz ‚L’Importance Philosophique de la Logique‘ (Revue de Métaphysique et de Morale, vol. 19 (1911), S. 281–291) schrieb er: „En parlant de la „logique mathématique“ je désire employer ce mot dans un sens très large: j’y comprends les travaux de Cantor sur le nombre infini aussi bien que les travaux de Frege et de Peano.“ [Wenn ich von „Mathematischer Logik“ spreche, dann werde ich das Wort in einem sehr weiten Sinne verwenden: Ich verstehe darunter genauso Cantors Werk über transfinite Zahlen wie die Werke von Frege und Peano.]

In dem 3-bändigen Werk ‚Principia Mathematica‘, das Russell zusammen mit Alfred N. Whitehead verfaßt hat, wird die Mathematik auf dem Fundament der „Logik“ entwickelt, wobei aber auch die Russell’sche verzweigte Typentheorie, das  Die Rezension erschien in der Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, Band 100 (1892), S. 269–272, Nachdruck in Freges ‚Kleinen Schriften‘, op. cit., S. 163–166. Ein Entwurf zu dieser Rezension findet sich in Freges ‚Nachgelassene(n) Schriften‘, op. cit., S. 76–80. 6

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Kapitel 14  Der Logizismus

­ nendlichkeitsaxiom, das Auswahlaxiom und das problematische Reduzibilitäts-­ U axiom zur „Logik“ gezählt werden. So weit würde heute niemand mehr den Begriff der „Logik“ fassen. David Hilbert hat das Scheitern des Frege’schen Logizismus in seiner Abhandlung ‚Neubegründung der Mathematik‘ (Abhandl. Math. Seminar Hamburg, Band 1 (1922), S. 157–177, dort S. 162) wie folgt sehr treffend kommentiert: „Frege hat die Begründung der Zahlenlehre auf reine Logik, Dedekind auf Mengenlehre als ein Kapitel der reinen Logik versucht: beide haben ihr Ziel nicht erreicht. Frege hatte die gewohnten Begriffsbildungen der Logik in ihrer Anwendung auf Mathematik nicht vorsich­ tig genug gehandhabt: so hielt er den Umfang eines Begriffs für etwas ohne weiteres Gege­ benes, derart, daß er dann diese Umfänge uneingeschränkt wieder als Dinge selbst nehmen zu dürfen glaubte. Er verfiel so gewissermaßen einem extremen Begriffsrealismus.“

Der tiefere Grund für das Scheitern des Logizismus ergibt sich aus den Unvollständigkeitssätzen von Kurt Gödel (1931). Sie besagen, daß die Mathematik eine höhere Komplexität hat als die reine Logik. Die Menge Taut(ℒ) aller Tautologien, d. h. aller logisch-allgemeingültigen ℒ-Aussagen, ist rekursiv-aufzählbar, oder mit anderen Worten: semi-entscheidbar (wenn ℒ irgendeine formale Sprache der 1. Stufe mit rekursivem Alphabet ist). Aber schon die Menge aller wahren (d. h. im Standard-Modell gültigen) zahlentheoretischen Aussagen (der 1. Stufe) ist nicht rekursiv-­aufzählbar, wie der erste Gödel’sche Unvollständigkeits-Satz sagt. Wenn schon nicht die sämtlichen wahren Sätze der Arithmetik der natürlichen Zahlen logisch-­allgemeingültig sind, dann erst recht nicht die sämtlichen wahren Sätze der Mathematik. Die Mathematik kann also nicht aus der reinen Logik allein begründet werden. Die Anhänger des Logizismus haben ihr Ziel jedoch nur deshalb nicht erreicht, weil sie einerseits den Begriff der Logik viel zu weit gefaßt haben und sogar die Mengenlehre zur Logik gerechnet haben, und andererseits, weil sie in der Formulierung des Komprehensionsprinzips (F1) etwas zu unvorsichtig gewesen sind, was sich im Auftreten der Antinomien gezeigt hat. Es zeigte sich bereits im frühen 20. Jahrhundert, daß die Ziele im Rahmen einer axiomatisch gefaßten Mengenlehre jedoch „weitgehend“ erreicht werden können. Wir berichten darüber im folgenden Kapitel.

Literatur Carnap, Rudolf: ‚Die Mathematik als Zweig der Logik‘. Blätter für deutsche Philosophie, Band 4 (1930), pp. 298–310. Carnap, Rudolf: ‚Die Logizistische Grundlegung der Mathematik‘. erschienen in Band 2 der Zeitschrift „Erkenntnis“ (1931), pp. 91–105. Felgner, Ulrich: ‚Introductory Note to Zermelo’s „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I“‘, In: Ernst Zermelo  – Gesammelte Werke, Band I (H.D.  Ebbinghaus et  al., Herausgeber), Berlin 2010, pp. 160–189. Frege, Gottlob: ‚Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des rei­ nen Denkens‘. L. Nebert-Verlag, Halle a/S. 1879.

Literatur

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Frege, Gottlob: ‚Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl‘. W. Koebner-Verlag, Breslau, 1884. Frege, Gottlob: ‚Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet‘. Band 1: Jena 1893, Band 2: Jena 1903. Verlag H. Pohle. Nachdruck 1962 bei der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft Darmstadt. Eine neue englische Übersetzung haben Ph. Ebert & Marcus Rossberg herausgegeben, Oxford Univ. Press 2013. Einen Appendix „On Frege’s Logic“ schrieb Roy T. Cook. Frege, Gottlob: ‚Kleine Schriften‘, herausgegeben von Ignacio Angelelli. Georg Olms-Verlag Hildesheim 1967. Frege, Gottlob: ‚Nachgelassene Schriften‘ (Herausgegeben von Hans Hermes et al.), Felix Meiner Verlag Hamburg 1969. Henkin, Leon: ‚Are Logic and Mathematics identical?‘ Science 138 (1962), pp. 788–794. Meyer, M. Fr.: ‚Über die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften‘, Zeitschrift für Mathematik u. Physik, Supplement zum 44. Jahrgang, Leipzig 1899, Festschrift für Moritz Cantor, pp. 293–299. Pollock, John L.: ‚On Logicism‘. In: ‚Essays on Bertrand Russell‘, Herausgeber E. D. Klemke, University of Illinois Press, Urbana 1970, pp. 388–395. Putnam, Hilary: ‚The thesis that Mathematics is Logic‘. In: „B.Russell  – Philosopher of the century, essays in his honour“, Herrausgegeben von Ralph Schoenmann, London 1967, pp. 273–303. Reck, Erich: ‚Frege, Dedekind and and the Origins of Logicism‘, History and Philosophy of Logic, Band 34 (2013), pp. 242–265. Whitehead, Alfred N. – RUSSELL, Bertrand: ‚Principia mathematica‘, 3 Bände, Cambridge 1910, 1912, 1913. Wundt, Wilhelm: ‚Psychologismus und Logizismus‘, in: ‚Kleine Schriften‘, Leipzig 1910, pp. 511–634.

Kapitel 15

Der Begriff der Menge

„Die Mengenlehre … [ist] … eine der fruchtreichsten und kräftigsten Wissenszweige der Mathematik überhaupt.“ David Hilbert: ‚Axiomatisches Denken‘ (1917, Werke III, S. 152.)

Da sich die Mathematik in der Neuzeit stürmisch entwickelte, wurde eine Festigung ihrer Grundlagen notwendig. Insbesondere wurde es nötig, die Begriffe der natürlichen, der reellen und der komplexen Zahlen einwandfrei zu definieren und sich Gedanken über ihren ontologischen und epistemologischen Status zu machen. Die überlieferten Ansichten der Philosophen über die Grundlagen der Mathematik wurden eifrig studiert, fanden aber keinen Anklang. Man besann sich zu Beginn des 19. Jahrhunderts wieder auf die großen Werke der Mathematiker des klassischen Altertums und wollte bei der Grundlegung der Mathematik wieder bei ihnen anknüpfen. Insbesondere schien ihre Verwendung des Mengenbegriffs bei der Begründung des Zahlbegriffs anzudeuten, daß dieser Begriff aufmerksam studiert werden sollte, um eine einwandfreie Begründung nicht nur der Arithmetik, sondern möglichst der gesamten Mathematik zu erreichen. Es zeigte sich, daß dazu die Konturen des Mengenbegriffs verschärft werden mußten, um einen effizienten und zugleich problemlosen Umgang mit Mengen zu erreichen. Wir wollen über das, was in dieser Entwicklung philosophisch von Bedeutung ist, berichten.

© Springer Nature Switzerland AG 2020 U. Felgner, Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit, https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_15

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Kapitel 15  Der Begriff der Menge

15.1  Der Mengenbegriff in der Antike Zur Beschreibung mathematischer Objekte und mathematischer Sachverhalte haben schon die Griechen den Begriff der Menge verwendet. Bereits Thales1 und Euklid definierten den Begriff der Zahl unter Verwendung des Mengenbegriffs: Ἀριθμὶς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος [Numerus autem est multitudo ex unitatibus composita] [Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Vielheit (Menge)]

heißt es im 7. Buch der ‚Elemente‘ Euklids. Im 9. Buch, Satz 20, beweist Euklid den Sachverhalt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt und drückt sich dabei wie folgt aus (vergl. Kap. 5): Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς το υ προτεθἐντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν. [Primi numeri plures sunt quauis data multitudine primorum numerorum.] [Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte (endliche) Vielheit (Menge) von Primzahlen.]

Im Griechischen ist plêthos (πλη̃θος) und im Lateinischen multitudo das Wort für Vielheit (Menge). Die Wörter sind von poly (πολυ), bzw. multus (viel) abgeleitet. Aber die Wörter πλη̃θος bzw. multitudo sagen nicht dasselbe, was wir heute in der Mengenlehre unter „Menge“ verstehen. Der Gebrauch dieser Wörter in antiken mathematischen Texten ist immer nur umgangssprachlich. Wie die Griechen den Begriff der Vielheit (oder Menge) verstanden haben, kann man bei Aristoteles und bei Plotin nachlesen. Bei Plotin (205–270 u.Z.) heißt es in der Schrift ‚Von den Zahlen‘ (Περὶ ἀριθμῶν): „.... so wie „Menge“ (πλῆθος) nichts anderes mehr ist als eben nur eine große Anzahl von Dingen, oder „Festversammlung“ (ɛ̔ορτή) nichts anderes mehr als die zusammenströmenden, an der heiligen Feier sich ergötzenden Menschen, …“

Eine Vielheit (oder Menge) ist hier lediglich eine unbestimmt gelassene Anhäufung von Dingen, genauso wie ein Menschengedränge (ó ʼ χλος) und ein Troß von Soldaten (στρατιά) nur größere Anzahlen von Einzelwesen sind. Ontologisch betrachtet, haben hier nur die Einzelwesen ein Sein; die Anhäufungen (oder Vielheiten, Mengen) sind keine Wesenheiten und haben folglich auch kein eigenes Dasein. Aristoteles äußert sich über den Mengenbegriff in seiner ‚Metaphysik‘ (5. Buch, Kapitel XIII, 1020a6-11) wie folgt: „Größe (ποσόν) heißt, was in zwei oder mehrere Bestandteile zerlegbar ist. … Ist die Größe zählbar, so heißt sie Vielheit (πλῆθος), ist sie meßbar, so heißt sie ausgedehnte Größe (μέγεθος). Man nennt also Vielheit, was in Unstetiges, und ausgedehnte Größe, was in Stetiges zerlegbar ist.“

Aristoteles unterscheidet hier die Objekte der Arithmetik (die zählbaren Größen) von den Objekten der Geometrie (den meßbaren Größen).  Nach dem Zeugnis von Iamblichos ‚In Nicomachi arithmeticam introductionem liber‘ hatte bereits Thales um 600 v.u.Z. den Zahlbegriff auf diese Weise eingeführt. 1

15.2 Der Bolzano’sche Mengenbegriff

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Der Mengenbegriff ist in der griechischen Mathematik kein terminus technicus, sondern nur ein informeller Begriff mit dem größere (überschaubare, endliche) Vielheiten angesprochen werden können. Vielheiten sind hier immer unbestimmt gelassene endliche Anhäufungen von Dingen. Diese Vielheiten werden aber selbst nicht als Gegenstände oder Dinge angesehen. Im 17. Jahrhundert führten Antoine Arnauld und Pierre Nicole in ihrem Werk ‚La Logique ou L’Art de Penser‘ (Paris 1662), das auch unter dem Namen ‚Logique de Port Royale‘ bekannt ist, im 1. Teil, Kapitel VI, sogenannte „Begriffsumfänge“ ein. Der „Umfang eines Begriffes“ (étendue de l’idée, sphaera notionis) ist die ­Vielheit (oder Menge) aller Objekte, die unter den Begriff fallen. Die Begriffsumfänge sind lediglich sprachliche Gebilde, aber keine Wesenheiten oder abstrakte Gegenstände. Ihnen kommt kein eigenständiges Sein zu. Nur die einzelnen Objekte, die unter den jeweiligen Begriff fallen, sind Träger des Seins. Zu einem terminus technicus wurde der Mengenbegriff erst allmählich im 19. Jahrhundert. Bernard Bolzano (1781–1848), Richard Dedekind (1831–1916) und vor allem Georg Cantor (1845–1918) und Ernst Zermelo (1871–1953) haben dem Begriff der „Vielheit“ (Aggregat, Bereich, Inbegriff, Klasse, Menge, System) diejenigen Konturen gegeben, die ihn befähigten, zu einem Grundbegriff der Mathematik zu werden. Der Erste, der sich systematisch um den Mengenbegriff bemühte, war der böhmisch-österreichische Mathematiker, Philosoph und Theologe Bernard Bolzano. Er begann mit dem Aufbau einer Theorie der Mengen und publizierte seine Resultate in seiner ‚Wissenschaftslehre‘ (Sulzbach/Oberpfalz, 1837). Weitere Resultate erschienen erst posthum in seiner kleinen Schrift über die ‚Paradoxien des Unendlichen‘ (Leipzig, 1851) und in seiner ‚Größenlehre‘ (Stuttgart, 1975).

15.2  Der Bolzano’sche Mengenbegriff Die Unterscheidung zwischen den Größen der Arithmetik (den zählbaren Mengen) und den Größen der Geometrie (den meßbaren Strecken, Flächen, Körpern, etc.), die Aristoteles vorgenommen hatte (siehe oben), hat im ausgehenden 18. Jahrhundert der Göttinger Mathematiker Abraham Gotthelf Kästner (1719–1800) in seinem Lehrbuch ‚Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie etc.‘, (4. Auflage), Göttingen 1786, Seite 3, wie folgt paraphrasiert: „Man kann die Grösse blos als eine Menge von Theilen, als ein Ganzes (totum) betrachten; oder man kann zugleich auf die Verbindung und Ordnung dieser Theile sehen, welche ein gewisses zusammengesetztes Ding (compositum) ausmachet. In jener Betrachtung gehöret sie für die Arithmetik, in dieser für die Geometrie“.

Größen, die aus Teilen bestehen, können also entweder als ein totum (ein Ganzes) oder ein compositum (ein Zusammengesetztes) betrachtet werden, je nach dem ob sie zur Arithmetik oder zur Geometrie gehören. Wenn sie als ein totum betrachtet werden, dann ist eine eventuelle Anordnung ihrer Teile ohne Belang; wenn sie als

202

Kapitel 15  Der Begriff der Menge

compositum betrachtet werden, dann ist die Verbindung ihrer Teile von Belang (vergl. dazu etwa Rösling, op. cit.). Bolzano hat diese Beschreibung Kästners aufgegriffen und zu einer Definition der Begriffe „Menge“ und „Inbegriff“ erhoben.2 Größen nennt er „Mengen“, wenn die Art der Verbindung der einzelnen Teile außer Acht bleiben soll. Wenn auf die Art der Verbindung geschaut werden soll, dann heißen sie „Inbegriffe“ (vergl. Bolzano, §§ 82–85 im 1. Band seiner ‚Wissenschaftslehre‘ und §4 seiner Schrift über die ‚Paradoxien des Unendlichen‘). Aus einem Inbegriff entsteht eine Menge, wenn man von der Art der Verbindung der einzelnen Teile abstrahiert. In seiner ‚Einleitung zur Größenlehre‘ schreibt er: „Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile miteinander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen.“ B. Bolzano: ‚Größenlehre‘, Gesamtausgabe, Band II, A,7; S. 152.

Das Wort „Menge“ ist so untauglich nicht, denn das Verb „mengen“ hat in der Umgangssprache die Bedeutung von zusammenbringen, mischen, ineinanderrühren, in lockerer Weise verbinden, etc. In einer Menge werden demnach verschiedenartige Substanzen ungeordnet zusammengebracht. Die althochdeutsche Wurzel des Wortes „Menge“ ist „managi“, und das ist die Abstraktbildung zu „manac“ (neuhochdeutsch: „manch“). Bolzano unterscheidet also „Inbegriffe“ und „Mengen“. Als Beispiel nennt er in seiner ‚Größenlehre‘ (S. 102–103) den „Inbegriff aller in einem Staate lebenden Menschen“. Dies ist für Bolzano eine hierarchisch angeordnete Gesamtheit, in der zunächst der König, dann seine Minister etc. hervorgehoben sind. Die Herrschaftsstruktur soll nach Bolzano bei diesem Inbegriff mitgedacht werden. Ein zweites Beispiel ist der Inbegriff aller Punkte, die auf einer Geraden zwischen zwei vorgegebenen Punkten A und B liegen. Hier soll die stetige lineare Anordnung der Punkte mitgedacht werden (cf. A.G. Kästner ‚Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie etc.‘, Göttingen 1786, S. 3 und S. 165 ff, sowie Bolzano ‚Größenlehre‘ S. 189, auch Johann Bolyai et al.). Als Beispiel einer „Menge“ nennt er einen Haufen Geldes, wo der Wert nicht von der Ordnung (oder Unordnung) des Haufens abhängt. Im Unterschied zur Auffassung der Mathematiker und Philosophen der Antike war Bolzano der Auffassung, daß Mengen, da sie „Größen“ sind, als Dinge anzusehen sind, und zwar als unveränderlich „seiende“ Dinge. Für ihn sind „Mengen“ das Beieinandersein (Versammeltsein) bestimmter Objekte, und dieses reine Beieinandersein ist selbst ein Objekt.

 Bolzano zitiert diese Passage aus Kästners ‚Anfangsgründen‘ in seiner ‚Größenlehre‘, op. cit., S. 41. Daß Bolzano die Kästner’schen ‚Anfangsgründe‘ gut gekannt hat, kann man auch der Vorrede zu seinen ‚Beiträgen zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik‘, op. cit., entnehmen, wo er auf S. 10 schreibt, daß er die Mathematik aus „Kästners vortrefflichem Lehrbuche“ kennen gelernt habe. 2

15.2 Der Bolzano’sche Mengenbegriff

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Der ontologische Status von Inbegriffen und Mengen hat sich damit gewandelt. B. Bolzano schrieb dazu in der ‚Einleitung zur Größenlehre‘ (Gesamtausgabe, Band II, A,7, S. 100–101): „Ich behaupte also, daß Inbegriffe bestehen nicht dadurch, daß wir sie denken, sondern umgekehrt, daß wir nur dann sie mit Wahrheit denken können, wenn sie bestehen auch ohne daß wir sie denken.“ (Bolzano: ‚Gesamtausgabe‘, Band II, A, 7; S. 101).

Damit hat Bolzano eine Position bezogen, die mit der Position der „Realisten“ im mittelalterlichen Universalienstreit vergleichbar ist. Aber Mengenrealismus und Universalienrealismus sind unterschiedliche Positionen, denn Universalien sind intensional bestimmte Objekte, während Mengen extensional bestimmt sind. Bolzano betonte, daß Mengen nicht definierbar sein müssen. Sie müssen also kein Begriffsumfänge sein, sie müssen nicht gedacht werden und müssen auch nicht durch die explizite Aufzählung all ihrer Elemente gegeben sein. In seiner Schrift über die ‚Paradoxien des Unendlichen‘, §14, S. 17, schrieb Bolzano: „Es gibt also Mengen ..., auch ohne daß ein Wesen, welches sie denkt, da ist.“

Bemerkenswert ist, daß der menschlichen Seele bei der Bildung von Mengen keine Rolle zufällt. Mengen können erkannt und gedacht werden, aber sie werden nicht von der Seele (der anima rationalis) erdacht (vergl. Kap.  13). Eine Einmischung der Psychologie in den Aufbau der Mengenlehre wird also von Bolzano abgelehnt. Die Mengen gehören nach Bolzano vielmehr zur Welt der uns vorgegebenen Dinge, der materiellen und der geistigen Dinge. Auch andere Mathematiker haben von da an die Dinghaftigkeit von Mengen ganz bewußt und explizit betont. Richard Dedekind schrieb in seiner berühmten Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ (1888) gleich im ersten Abschnitt: „Ein solches System S (oder ein Inbegriff, eine Mannigfaltigkeit, eine Gesamtheit) ist als Gegenstand unseres Denkens ebenfalls ein Ding“.

Auch Felix Hausdorff schrieb in seinen ‚Grundzügen der Mengenlehre‘ (Leipzig, 1914) gleich auf der ersten Seite: „Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Dingen zu einem Ganzen, d. h. zu einem neuen Ding“.

Ähnliche Formulierungen finden sich auch bei Frege (vergl. etwa seinen Brief vom 26.04.1925 an Richard Hönigswald, in Freges ‚Wissenschaftlichem Briefwechsel‘, op. cit., S. 85) und bei manch anderen Autoren. Bolzano spricht (genauso wie Kästner) immer von den „Teilen“ einer Menge oder eines Inbegriffs. Von „Elementen“ spricht er nie. Daher ist es gelegentlich unklar, ob er, wenn er von „Teilen“ spricht, Elemente (∈) oder Teilmengen (Untermengen, ⊆) meint. Aber es ist hinreichend deutlich, daß an all den Stellen, die hier relevant sind, mit dem Wort „Teil einer Menge“ immer das gemeint ist, was wir (seit R. Dedekind 1872, G.  Cantor, 1878) mit dem Ausdruck „Element einer

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Kapitel 15  Der Begriff der Menge

Menge“ bezeichnen.3 So sind für Bolzano beispielsweise die Gegenstände, die unter einen Begriff B(x) fallen, die Teile des Umfangs von B(x), also in heutiger ­Sprechweise die Elemente des Begriffsumfangs von B(x) (vergl. Bolzano ‚Wissenschaftslehre‘, Band 1, S. 298). Da es nicht darauf ankommen soll, in welcher Verbindung oder Anordnung die Teile (Elemente) einer Menge stehen, gilt offenbar: „Die Theile, aus denen eine Menge besteht, bestimmen sie, und zwar vollständig und alle auf einerley Art“. Bolzano: ‚Größenlehre‘, Gesamtausgabe, Band II, A, 7, S. 152.

Diese Aussage wird heute „Axiom der Bestimmtheit“ oder „Extensionalitäts-­ Axiom“ genannt. Mengen sind also durch ihre Extension bestimmt, d. h. durch ihre Elemente allein. Man beachte, daß im Unterschied dazu weder Begriffe noch Inbegriffe im allgemeinen durch ihre Extension bestimmt sind! Die Verwendung des Wortes „Menge“ ist nun mehr als eine façon de parler: Mengen werden als Dinge angesehen und können daher selbst wieder Elemente von neuen Mengen sein. Bolzano sagt dies ausdrücklich: „Die Theile, aus denen ein Inbegriff bestehet, können selbst wieder Inbegriffe seyn.“ (Bolzano: ‚Größenlehre‘, Gesamtausgabe, vol. IIA7, S. 102).

Die Ausschöpfung dieser Möglichkeit, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu konstruieren, führte zu der gewaltigen Theorie transfiniter Mengen, wie wir sie seit Georg Cantor, Ernst Zermelo, Felix Hausdorff, Waclaw Sierpinski, Azriel Lévy, Ronald Jensen und vielen anderen kennen.4

15.3  Die Cantor’sche Mengenlehre Bolzano begann mit dem Aufbau der Mengenlehre. Erst Georg Cantor ist etwa 30 Jahre später über Bolzano hinausgegangen. Cantor ist sogar weit über Bolzano hi­ n­ausgegangen mit seinen Beweisen (1873, 1890), daß es im Bereich der unendlichen

 Die Gegenstände, aus denen eine Menge besteht, werden seit Dedekind und Cantor „Elemente“ dieser Menge genannt. Bereits im ersten Entwurf seiner Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ aus dem Jahr 1872 (publiziert in P. Dugac, op. cit., S. 293–309) verwendete Dedekind diese Terminologie, Cantor hingegen erst in seiner zweiten mengentheoretischen Arbeit aus dem Jahre 1878 (cf. ‚Cantors Gesammelte Abhandlungen‘, op. cit., S. 119–133). Das lateinische Wort elementum bezeichnet diejenigen Einheiten, aus denen etwas anderes zusammengesetzt ist, so wie beispielsweise ein Wort aus Buchstaben zusammengesetzt ist (vergl. Fußnote 1 in Kap. 4). Wenn a Element der Menge M ist, dann schreibt man dafür heute a∈M. Dabei ist das Zeichen ∈ ein stilisiertes ε und steht für das griechische esti (ἐστί = ist). 4  Man beachte, daß im Intuitionismus von L.E.J. Brouwer (1881–1966) eine Menge nur als sprachlich formuliertes Gesetz verstanden wird (vergl. Brouwer in den Math. Annalen 93 (1925), S. 244– 258). Mengen sind für Brouwer keine „Dinge“ und können daher in seiner Theorie auch nicht die Elemente neuer Mengen werden. Beispielsweise kann schon die Menge aller reellen Zahlen im Brouwer’schen Intuitionismus nicht mehr gebildet werden. 3

15.3 Die Cantor’sche Mengenlehre

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Mengen Größenunterschiede gibt, und mit seinen Theorien unendlicher Ordinalund Kardinalzahlen (Alephs: ℵ0, ℵ1, ℵ2, …, ℵω, ℵω+1, …) und seiner (später sogenannten) Deskriptiven Mengenlehre. Aus philosophischer Sicht ist bedeutsam, daß Cantor zu einer Abgrenzung der transfiniten Mengen von den absolut-unendlichen Vielheiten vorgedrungen ist. Bevor wir darauf eingehen können, müssen wir auf Cantors Entdeckung der Größenunterschiede im Unendlichen eingehen. Eines der spektakulärsten Ergebnisse Cantors war der Beweis der Überabzählbarkeit der Menge  aller reellen Zahlen (1873/1874). Einen zweiten Beweis veröffentlichte Cantor im Jahr 1890. Diesen eleganten Beweis wollen wir hier ­wiedergeben und analysieren. [Wir bezeichnen im Folgenden – wie üblich – mit {x; Φ(x)} die Menge (Gesamtheit oder Klasse) aller Objekte x, die die Eigenschaft Φ haben, also den Umfang des Begriffes Φ.] Satz 1 (G. Cantor, 1873/1874) Es gibt mehr reelle Zahlen als jede vorgegebene abzählbare Menge von reellen Zahlen. Beweis (1890). Es sei eine beliebige abzählbare Folge reeller Zahlen vorgelegt, r1, r2, r3, … , die ohne Beschränkung der Allgemeinheit alle im Intervall zwischen 0 und 1 liegen mögen. Jede Zahl rn aus dieser Folge besitzt bekanntlich genau eine nicht-abbrechende Dezimalentwicklung: rn = 0,rn1rn2rn3…rnk… Wir definieren eine neue Zahl s = 0,s1s2s3…sk…., indem wir sk= rkk+1 setzen, falls rkk ≤ 7, und sk= rkk–1 andernfalls. Die angegebene Dezimalentwicklung von s bricht offenbar nicht ab. Auch s liegt im Intervall zwischen 0 und 1, ist aber von allen Zahlen rn verschieden, da sich s von rn an der n-ten Stelle hinterm Komma unterscheidet. Damit ist eine „neue“ Zahl s gefunden. Q.E.D. Zum Beweis machen wir zwei Anmerkungen. (1) Der Beweis verwendet ein Diagonal-Argument,5 weil an der entscheidenden Stelle auf die „Diagonale“ {(k,k);k ∈ ℕ} Bezug genommen wird und das Element auf der Diagonalen abgeändert wird. Indem im obigen Beweis rkk zu sk abgeändert wird, wird eine neue Zahl beschrieben. (2) Wir haben uns in der Formulierung von Satz 1 an die Formulierung des Primzahlsatzes von Euklid angelehnt, um hervorzuheben, daß der angegebene Beweis – genau genommen – nur zeigt, daß die Vielheit aller reellen Zahlen potentiell überabzählbar ist (vergl. unsere Diskussion des Satzes in Kap. 5, Absatz 5.5). Cantor ging stillschweigend davon aus, daß die Vielheit  aller reellen Zahlen als wohldefiniertes (fertiges) Objekt der Mathematik angesehen werden  Mit einem ähnlichen Diagonal-Argument hat zuvor schon Paul du Bois-Reymond (op. cit. 1872/1873) gezeigt, daß es in der Menge aller strikt monoton wachsenden divergenten reellen Funktionen f: + → +, die nach ihrem Endverlauf graduiert sind, zu jeder abzählbar-unendlichen aufsteigenden Folge von Funktionen stets eine dominierende Funktion gibt (cf. U. Felgner 2002, op. cit., S. 650). Auch dem ersten Cantor’schen Beweis (vom 7. Dezember 1873) liegt ein Diagonal-Argument zugrunde, auch wenn es verborgen ist. Jede reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen im Bereich der rationalen Zahlen und zum Beweis, daß der Durchschnitt einer absteigenden Folge abgeschlossener Intervalle nicht-leer ist, muß aus den Randpunkten der Intervalle durch Diagonalisierung eine Cauchy-Folge als Element des Durchschnitts gebildet werden. 5

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Kapitel 15  Der Begriff der Menge

darf, also als eigenständiges „Ding“, und insofern eine aktual-unendliche Größe ist. Unter dieser Annahme liefert der angegebene Beweis, daß  eine überabzählbare „Menge“ ist. Der oben angegebene Satz kann dann auch wie folgt ausgesprochen werden: Die Menge  aller reellen Zahlen hat eine größere Kardinalität als die Menge ℕ aller natürlichen Zahlen. Cantor konnte den oben genannten Satz im Jahre 1890 beträchtlich verallgemeinern und zeigen, daß die Potenzmenge P(M)={X;X⊆M} einer jeden Menge M stets größere Mächtigkeit hat als die Menge M selbst. Wenn wir mit |M| die Mächtigkeit (oder Kardinalzahl) einer Menge M bezeichnen, dann gilt also stets |M| < |P(M)|. Diesen Satz trug Ernst Zermelo zehn Jahre später in seiner Vorlesung über Mengenlehre im Winter-Semester 1900/1901 in Göttingen vor. Aber er modifizierte den Beweis ein wenig und fand dabei den folgenden einfachen, aber doch wichtigen Satz (vergl. dazu U.  Felgner 2012, op.  cit., und Zermelo: ‚Ges. Werke‘, Bd. 1, S. 167): Satz 2 (Zermelo, 1900/1901): Jede Menge M besitzt wenigstens eine Teilmenge A, die nicht Element von M ist: Α⊆Μ & A∉M. Beweis: Sei A die Menge aller derjenigen Elemente von M, die sich nicht selbst als Element enthalten, A={x; x ∈ M & x ∉ x}. Es muß A∉M gelten, weil andernfalls sofort A∈A ⇔ A∉A folgen würde, was widersprüchlich wäre. Q.E.D. Diesen Satz hat Zermelo auch als Satz 10  in seine ‚Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I‘ (Math. Ann. 65 (1908), S. 261–281) aufgenommen. Auch dem Beweis von Satz 2 liegt ein Diagonal-Argument zugrunde, weil in der Definition der Menge A die Formel x∉x verwendet wurde. Aus Satz 2 ergibt sich sofort der Zusatz: Es gibt mehr Mengen, als jede vorgelegte Menge von Mengen. In der Formulierung dieses Zusatzes haben wir uns wieder an den Primzahlsatz von Euklid gelehnt.

15.4  Das Auftreten der mengentheoretischen Antinomien Aus Satz 2 ergibt sich aber auch, daß die Gesamtheit (oder Vielheit) V aller Mengen keine Menge sein kann, denn andernfalls müßte es eine Menge geben, die nicht in V liegt, obwohl doch V definitionsgemäß alle Mengen enthält. Die Annahme, das Universum V aller Mengen wäre eine Menge, führt also zu einem Widerspruch. Daß der Umgang mit unbegrenzt großen Mengen zu Widersprüchen führen kann, ahnte schon Bolzano. Er schrieb 1831 in seinem ‚Mathematischen Tagebuch‘, Heft 22, Seite 1968 (vergl. auch Bolzanos ‚Philosophische Tagebücher 1827–1844‘, Gesamtausgabe, Reihe II-B, Band 18/2, S. 29): „das All der A, wo A eine Vorstellung von beschränktem Umfange bezeichnet, z. B. Mensch – läßt sich recht wohl denken. Sobald man aber für A die weiteste aller Vorstellungen, nämlich die eines Etwas überhaupt setzt, so entsteht die Schwierigkeit, daß die Vorstellung das All der Gegenstände oder das All von Allem oder das absolute All, eigentlich auch sich selbst, weil ja dieses All auch wieder Etwas ist, umfassen sollte; welches doch ungereimt ist. Ich glaube deshalb, daß man diese Vorstellung in der Tat zu den widersprechenden (imagi-

15.4  Das Auftreten der mengentheoretischen Antinomien

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nären) zählen müsse, gerade wie die Vorstellung von der geschwindesten Bewegung. – Aber auch schon das All der Inbegriffe wäre eine solche sich selbst widersprechende Vorstellung.“ Zitiert nach Jan Sebestik: ‚La classe universelle et auto-appartenance chez Bernard Bolzano‘. Eleutheria (ELEYΘERIA), Athen 1986, S. 72–84.

Bolzano hat sich wohl sehr bald schon wieder beruhigt und in sein Tagebuch notiert: „Responsio. Nicht doch! Diese Begriffe sind nicht widersprechend.“

Leider hat er die hier geahnte Antinomie der Allmenge, d. h. der „Menge aller Mengen“, nicht weiter verfolgt. Auch George Boole (1815–1864) war auf die „Allmenge“ („class 1“ in seiner Bezeichnung) gestoßen, „which comprehends every conceivable class of objects“, aber er hat ihren antinomischen Charakter nicht erkannt (cf. G. Boole: ‚The Mathematical Analysis of Logic‘, Cambridge 1847, S. 15). Dasselbe gilt für Dedekind, der in seiner Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘ (Braunschweig, 1888, S. 14, Satz 66) „die Gesamtheit aller Dinge, welche Gegenstand (seines) Denkens sein können“ betrachtet hat. Cantor hingegen hat (etwa um 1883) den antinomischen Charakter der „Vielheit aller Mengen“ V sehr klar erkannt – vergl. dazu die Abhandlung ‚Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre‘ von Walter Purkert, 1986, op. cit. Daß die Vielheit V aller Mengen keine Menge sein kann, hat Cantor (vermutlich) wie folgt bewiesen. Wäre V eine Menge, dann wäre auch die Gesamtheit aller Teilmengen von V, sie wird mit P(V) bezeichnet, eine Menge. Es wäre P(V)⊆V, da V das Universum aller Mengen ist. Folglich wäre die Mächtigkeit von P(V) kleiner oder gleich der Mächtigkeit von V. Die Potenzmenge einer jeden Menge hat jedoch, wie Cantor 1890 beweisen konnte (siehe oben), echt größere Mächtigkeit als die Menge selbst, ein Widerspruch! Wir wissen somit nach Cantor (ca. 1883/1890) und nach Zermelo (ca. 1900), daß die Gesamtheit V aller Mengen keine Menge sein kann. Der Umfang des Mengenbegriffes (in der Fassung, daß Mengen als Dinge anzusehen sind) kann selber keine Menge sein, weil sich andernfalls Widersprüche ergäben. 1897 publizierte Cesare Burali-Forti (1861–1931) einen Aufsatz (op. cit.), in dem er das wohlgeordnete System Ω aller Ordinalzahlen betrachtete und dann durch Hintansetzung eines weiteren Elementes zum Ordnungstyp Ω+1 überging. Offenbar gilt Ω