Aritmética y álgebra- Lumbreras [cuarta reinpresión ed.] 9786123073480

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Colección Compendios Académicos

Aritmética Algebra Yony Ortiz Cotaquispc Femando inga Mendizabal

César Vetósqocz Michuo

Ptiflucker Coz Flores

lumbreras Editores

Aritmética

Lumbreras Editores

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'•=6.

AM = —= 17.5 -i a + b = 35 2 MG=Ja7b = 5>/ÍQ

Además

a b = 25Q

entonces Donde a y b son los números enteros y positivos

2+6+c+d+e=65 c+d+e=57

—»

o+b=35

a

o-b=5-5-2-5

II

¡I

También se cumple que c; d y e forman una

25 10

25 10

proporción geométrica continua; entonces se

tiene

Luego calculamos el mayor promedio, es decir, el promedio aritmético de todos los números enteros comprendidos entre 10 y 25; entonces

los números son

Se sabe que

d e ek2 ek^ ek

c.d ye son impares, entonces

k es impar.

e

11; 12; 13; 14;...; 21;22;23;24 24—10= 14 números

Como c+d+e=57, reemplazamos e¿2+e¿+e=lx57

En consecuencia —

* 2+ e( * l)=lx57

11 + 12 + 13 + 14 + ...+ 23 + 24

MA -------------------------------------------------

De donde e=l

a

k=7

d = ek = 7

Por lo tanto, el mayor promedio de los 14 núme­

ros comprendidos entre 10 y 25 es 17,5.

a

c = e/?2=49

Por lo tanto, la MG de 1; 7 y 49 será ^•7-49 = ^ = 7.

l

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Problema N.° 3

15 1 l l__ 5x8+ 8xll + Hxl4 +

t’n mosquito recorre tos lados de un polígono regular con \elocidades de 40 cm/s. 88 cm/s;

154 cms. 238 cm/s;...; 2350 cms. Calcule la ve­

locidad promedio que el mosquito recorrió.

Resolución

Convenientemente multiplicamos por 3

merador y al denominador MH =

Se sabe que cuando tos recorridos son iguales,

se cumple

3x15

3 5x8

3 8x11

3 11x14

3 14x17

’

47x5ü

suma notable

*4u

3x15 nz 50

5

^ = 250

50

Por lo tanto, la velocidad promedio que recorre

Entonces calculamos la MH, porque el mosquito

el mosquito es 250 cm/s.

va a recorrer los lados de un polígono Tegular

(lados iguales). Se tiene

Problema N.° 4 número de lados

En un salón de clases, el 25% de los estudiantes tienen 15 años; 2/5 del resto tienen 13 años y los

MH -

número de velocidades lili 40 + 88+154 + 238+

27 restantes tienen 11 años. Si entran luego 3 es­

tudiantes, cuya suma de edades es 63, calcule l +2350

el promedio de edades de todos los estudiantes.

Resolución (número de lados)

Con respecto a los estudiantes que inicialmente hay en el aula, sea 20K el total inicial; entonces

• í n.° de estudiantes \=25%(20K)=l(20K)=5K

l que tienen 15 anos I

4

3K+2 n.° de estudiantes 'I

Los primeros factores tienen la forma de 3K+2;

donde K indica el lugar que ocupan. En conse­

cuencia, para que 3X'+2=47, entonces X=15; lue­ go hay 15 velocidades o también podemos decir

que el polígono tiene 15 lados. Ahora se tiene

I

r

¡=7 (15* >

-

que tienen tienen 13 13 anos años )1 5 V'—' que

■

'

í n.° de estudiantes l^que tienen 11 años

el resto

Colocamos estos datos en la siguiente tabla:

Número de estudiantes

MA Suma de

edades

Estudiantes

Estudiantes

Estudiantes

de 15 años

de 13 años

de 11 años

5K=15

6K=18

9K=27

20K=60

15

13

II

X

15x15

18x13

27x11

60 x

Total

r-r —J

Observación

La suma de las edades de todos los grupos

debe ser igual a la suma total de las edades.

Calculamos la suma de todas las edades 15x15+18x13+27x11=756 Ahora, como llegan tres estudiantes más cuya suma de edades es 63, entonces

nuevo promedio

756 + 63 = 819 60 + 3

63

Por lo tanto, el nuevo promedio de las edades de los estudiantes es 13.

Problemas Propuestos NIVEL BÁSICO

1.

6.

El promedio aritmético de las edades de ocho personas es 30. ¿Cuál es la edad máxi­

Si la edad promedio de 20 mujeres es 16,5

ma que podría tener una de ellas si ninguna

y la de 30 varones es 18 años, ¿cuál será la

es menor de 28 años?

edad promedio de todas las personas luego

de 6 años?

A) 17

A) 44 B) 17,4

B) 38

D) 40

C) 23

E) 45

E) 24,6

D) 23,4

7.

La edad promedio de 20 personas hace 5

años fue 19 años. Si en dicho grupo hay dos

2. La media aritmética de dos números es 15 y su media geométrica es 12. Calcule la dife­

gemelos, ¿cuál es la mínima edad que pue­

renciadle dichos números.

den tener si nadie tiene más de 26?

A) 12

B) 15

D) 18

C) 16

A) 5

E) 10

D) 9

El promedio de ocho números es 2n. Si el

3.

8.

B) 6

E)

10

El promedio geométrico de 10 números es 4 y el promedio geométrico de otros 5 núme­

el promedio de los otros cinco?

ros es 32. Calcule el promedio geométrico

de los 15 números. B) 2n

C) 3n

E) 5n

D) 4n

B) 7

A) 6 D) 9

c C) 8 E)

10

El producto de dos números es 6^ y la suma de sus raíces cuadradas positivas

es 6. Calcule la media armónica de dichos números.

A) 64/5

D) 42/5

9.

La MA y la MH de dos números están en la misma relación que los números 16 y 15; además, la razón aritmética de

B) 32/5

C) 23/5 E) 47/5 UNMSM 2010-1

5.

C)8

promedio de tres de ellos es n/3, ¿cuál es

A) n

4.

C) 39

Un tren recorre la distancia que separa dos

dichos números es 24. Calcule la suma de los números. A) 96

B) 80

D) 72

• C) 108 E) 98

t

ciudades (A y B) a una velocidad de 80 km/h de ida, pero de regreso a 120 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido?

10. El promedio de notas de 30 alumnos en el

curso de historia es de 52. Si 6 de los alum­

nos tienen un promedio de 40, ¿cuál es el

A)

100 km/h

promedio de los restantes?

B) llOJcm/h

C) 105 km/h

D) 96 km/h