Approccio deterministico e statistico all’instabilità di Benjamin-Feir dalle fibre ottiche agli acceleratori di particelle [1 ed.]

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “FEDERICO II”

Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Area Didattica di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Dipartimento di Fisica “Ettore Pancini”

Laurea Triennale in Fisica

Approccio deterministico e statistico all’instabilità di Benjamin-Feir: dalle fibre ottiche agli acceleratori di particelle

Relatore: Prof. Renato Fedele

Candidato: Annamaria Pane Matr. N 85001148

Anno Accademico 2019/2020

Indice 1

Introduzione

4

2

Equazione integro-differenziale NLS per la propagazione lungo la linea di trasporto di un acceleratore ad alta energia

9

3

Equazione integro-differenziale NLS per la propagazione in fibra ottica di un impulso laser al femtosecondo 14

4

Analisi dell’instabilità coerente 19 4.1 Approccio deterministico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Approccio statistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5

Conclusioni e prospettive

28

1

Lista dei simboli e degli acronimi usati Simboli indicati con lettere greche • α – parametro di diffrazione; • β−1 – velocità di gruppo; 1 • γ (capitolo 2) – fattore relativistico (rapporto tra l’energia relativistica totale e l’energia a riposo); • γ (capitolo 3) – coeffiente non lineare associato alla propagazione non lineare nelle fibre ottiche; • γI (sezione 4.2) – fattore di crescita dell’instabilità; • γT – energia di transizione; • ∆V – guadagno di energia per unità di carica in un giro di macchina; • ² – emittanza longitudinale del fascio; • η = (1/γ2 ) − (1/γ2T ) – slip factor; • λ(x, s) – densità numerica longitudinale; • ρ w – operatore densità di Von Neumann; • ψ – beam wave function; • ωI (sezione 4.2) – fattore di crescita dell’instabilità nell’approssimazione gaussiana.

Simboli indicati con lettere latine • K I (sezione 4.1) – fattore di crescita dell’instabilità; • P = ∆E /E 0 – spread energetico delle particelle del fascio rispetto all’energia della particelle sincrona E 0 ; • R(t ) – funzione di risposta descrivente la propagazione non lineare in fibra ottica; 2

• Z I – parte reattiva dell’impedenza di accoppiamento; • ZR – parte resistiva dell’impedenza di accoppiamento.

Acronimi • ADIM – approccio deterministico all’instabilità modulazionale; • ASIM – approccio statistico all’instabilità modulazionale; • BEC – Bose-Einstein condensate; • BWF – Beam Wave Function; • EM – elettromagnetico; • IM – instabilità modulazionale; • NLS – non lineare di Schrödinger; • QLLD – Quantum-Like Landau Damping; • TWM – Thermal Wave Model.

3

1 Introduzione Scopo di questo lavoro di tesi è la descrizione sia deterministica che statistica dell’instabilità modulazionale che può insorgere in un mezzo non lineare a causa della generazione, spontanea o stimolata, della modulazione di ampiezza in treni d’onda quasi monocromatici di grande ampiezza. Sotto opportune condizioni, la suddetta modulazione può evolvere come un modo puramente crescente. Tuttavia, nei mezzi dispersivi, man mano che l’ampiezza cresce, la non linearità può essere bilanciata dalla dispersione portando il sistema in una condizione stazionaria a cui corrisponde la formazione di strutture localizzate e/o periodiche a profilo stazionario. Prenderemo in considerazione due esempi piuttosto significativi, ma molto diversi tra loro, di propagazione non lineare. Si tratta, rispettivamente, dell’evoluzione spaziotemporale di un pacchetto d’onde EM di grande ampiezza in fibra ottica e di quella di un pacchetto di particelle cariche e relativistiche che si propaga nella linea di trasporto di un acceleratore di particelle ad alta energia. Per essi, svilupperemo un’analisi comparativa al fine di mettere in luce similarità e differenze. In particolare, si intende mostrare che problemi all’apparenza assai diversi dal punto di vista della loro natura fisica, ad una più attenta e approfondita analisi, evidenziano delle forti similarità che permettono di costruire delle corrispondenze tra parametri caratteristici, aspetti peculiari, equazioni caratteristiche e fenomeni da queste governati. Ciò permette lo sviluppo di linguaggi che stigmatizzano analogie e isomorfismi, nonché il travaso di know-how da un problema fisico all’altro.

1.1

Equazioni modello e forma generale di equazioni modello

Per sviluppare un’analisi comparativa, è necessario mettere in corrispondenza le equazioni modello associate ai due processi fisici sopra menzionati. Si dicono equazioni modello le due equazioni associate a questi processi distinti, le quali sono di forma simile. Nei casi di interesse di questa tesi, il confronto sarà effettuato tra le due equazioni modello che governano la propagazione in fibra ottica di un fascio di luce laser e la propagazione di un fascio di particelle cariche lungo la linea di trasporto di un acceleratore di alta energia, rispettivamente. Le equazioni modello (2.14) e (3.10) che saranno prese in considerazione in questa tesi sono nella forma generale seguente i

1 ∂2 ψ ∂ψ =− +U N L ψ , ∂ζ 2 ∂ξ2

(1.1)

dove U N L = U N L (ξ, ζ) è il potenziale non lineare, funzionale del modulo al quadrato h¯ ¯2 i ¯ ¯ della funzione d’onda ψ (ξ, ζ), i.e., U N L = U N L ψ (ξ, ζ) . 4

Per quest’ultimo scegliamo la seguente espressione [1] Z ξ h¯ ¯2 i 2 ¯ ¯ U N L ψ (ξ, ζ) = ψ(ξ, ζ)|ψ(ξ, ζ)| + ψ(ξ, ζ) |ψ(ξ0 , ζ)|2 d ξ0

(1.2)

0

La presenza del mezzo non lineare può portare all’insorgenza di una modulazione dell’ampiezza. Infatti, un’onda che attraversa un mezzo di questo tipo e che subisce una modulazione di ampiezza relativamente piccola, sotto opportune condizioni, esibisce il fenomeno dell’instabilità modulazionale.

1.2 Scenario internazionale nell’area di ricerca dell’instabilità modulazionale L’instabilità modulazionale (IM), nota anche come instabilità di Benjamin-Feir, è un fenomeno generale che si verifica quando un’onda quasi monocromatica si propaga in un mezzo debolmente non lineare. È stata discussa e persino osservata sperimentalmente in quasi tutti i campi della fisica in cui sono presenti queste condizioni. Citiamo in particolare la propagazione delle onde in acqua molto profonda (onde di gravità superficiali oceaniche), nella fisica dei plasmi (onde di plasma elettrostatiche ed elettromagnetiche), negli acceleratori di particelle (dinamica del fascio di particelle cariche ad alta energia), nell’ottica non lineare (mezzi Kerr, fibre ottiche), nelle linee elettriche di trasmissione (propagazione di impulsi elettrici analogici o digitali lungo cavi radiotelevisivi e telematici), nella fisica delle onde di materia (condensati di Bose-Einstein), nella fisica delle vibrazioni reticolari (cristalli molecolari) e nella fisica dell’antiferromagnetismo (dinamica delle onde di spin). Per quanto concerne le onde di gravità di superficie oceaniche, l’instabilità modulazionale è stata scoperta indipendentemente da Benjamin e Feir e da Zakharov negli anni Sessanta. L’instabilità predice che in acque profonde un’onda monocromatica è instabile sotto opportune perturbazioni relativamente piccole. Questa instabilità è ben descritta da vari tipi di equazione non lineare di Schrödinger (NLS). In questo quadro, è stato stabilito che l’IM può essere responsabile della formazione di onde anomale, note anche come freak waves, come è possibile osservare in Figura 1.1. Nei plasmi, si possono creare onde di Langmuir di ampiezza finita quando qualche sorgente di energia libera è disponibile nel sistema come risultato di un accoppiamento non lineare tra onde di Langmuir ad alta frequenza e onde iono-acustiche a bassa frequenza. In condizioni fisiche adeguate, la dinamica può essere descritta da un’equazione NLS e l’instabilità modulazionale può essere analizzata direttamente con questa equazione. Nelle macchine acceleratrici circolari ad alta energia, la dinamica del fascio di particelle cariche è stata opportunamente descritta in termini di un’equazione NLS per una funzione d’onda complessa il cui modulo al quadrato è proporzionale alla densità del fascio (Thermal Wave Model). Nell’ottica non lineare, la propagazione di onde elettromagnetiche di grande ampiezza produce una modifica dell’indice di rifrazione che, a sua volta, influisce sulla propagazione stessa e rende possibile la formazione di inviluppi d’onda. Nell’approssimazione di

5

Figura 1.1: Sopra: la generazione di una freak wave nell’oceano. Sotto "La grande onda di Kanagawa" di Hokusai.

ampiezza lentamente variabile, questa propagazione è governata da opportune equazioni NLS, e l’IM gioca un ruolo molto importante. Nelle linee elettriche di trasmissione, la propagazione delle onde auto-modulate può essere anche governata da equazioni discrete che, a loro volta, possono essere ridotte a una o due equazioni di Schrödinger non lineari accoppiate. Pertanto, l’IM può essere prevista e osservata sperimentalmente. Nella fisica della materia condensata, le condizioni dell’IM per lo spettro fononico si verificano per una serie di trappole contenenti condensati di Bose-Einstein (BEC) con ciascuna trappola collegata a trappole adiacenti mediante tunneling; inoltre, l’IM delle onde di materia delle BEC - periodicamente modulate da un fascio laser - si verifica anche in una serie di situazioni fisiche. La dinamica 3D delle BEC è, infatti, governata dalla ben nota equazione di Gross-Pitaevskii, la quale è una sorta di equazione NLS. Nella fisica delle vibrazioni reticolari, l’equazione discreta di auto-intrappolamento rappresenta un modello utile per diverse proprietà di cristalli molecolari non lineari unidimensionali per i quali l’IM è stata ampiamente studiata. Nella fisica dell’antiferromagnetismo, le onde di spin modulate di grande ampiezza mostrano una varietà di effetti associati all’IM (per esempio, l’IM che si verifica nella propagazione delle onde di spin a scambio dipolo ad alta dispersione attraverso un film di granato di ferro e ittrio sottile con rotazioni superficiali fissate a frequenze situate vicino al gap di dipolo nello spettro delle onde di spin a scambio dipolo). Dal punto di vista applicativo è stato dimostrato che l’IM è tra i maggiori fattori che limitano le prestazioni 6

di diversi dispositivi. D’altra parte, è di fondamentale importanza per la formazione di robuste eccitazioni non lineari del mezzo [13]. Infatti, il comportamento asintotico dell’IM può essere caratterizzato dalla formazione di soluzioni localizzate molto stabili, come i solitoni inviluppo (Figura 1.2), cavitoni, buche, ecc., le quali, a loro volta, sono coinvolte in dinamiche che hanno luogo su scale temporali molto grandi.

Figura 1.2: Raffigurazione di un solitone inviluppo bright e dark

1.3

Travaso di know how su piattaforma internazionale

Dallo scenario sopra descritto, risulta evidente che l’IM può essere approcciata con lo stesso formalismo e gli stessi strumenti matematici in tutti i rami della fisica non lineare di cui sopra. Ciò, negli ultimi decenni, ha stimolato una serie di approcci interdisciplinari e il trasferimento di know how da una disciplina all’altra, ottenendo, a sua volta, una forte crescita dell’importanza delle metodologie utilizzate per indagare fenomeni fisici molto diversi tra loro governati da equazioni formalmente identiche. Due vantaggi sono assolutamente evidenti in questo “modus operandi” interdisciplinare. Una è che comunità di fisici di diverse aree sono stimolate a collaborare maggiormente e scambiare le proprie esperienze e mettere a disposizione le proprie competenze; l’altro è il successivo rapidissimo miglioramento sia delle metodologie da utilizzare sia degli obiettivi da raggiungere in ogni specifica disciplina.

1.4

Approcci deterministico e statistico all’IM

Sono possibili due modi distinti di descrivere l’IM. Il primo, e il più utilizzato, è un approccio deterministico, in cui viene considerata l’analisi di stabilità lineare attorno a un’onda portante. Ciò corrisponde a considerare la stabilità / instabilità delle onde monocromatiche (insieme di onde coerenti). Il secondo, è un approccio statistico e il suo obiettivo principale è introdurre le proprietà statistiche del mezzo (sia continuo che discreto). In queste condizioni fisiche, l’analisi di stabilità non può essere eseguita come nel caso monocromatico. Occorre infatti tenere conto di un insieme di onde parzialmente incoerenti. Pertanto, l’IM rivela una forte dipendenza dai parametri che caratterizzano le condizioni iniziali (distribuzione iniziale del numero d’onda o distribuzione della quantità di moto iniziale delle onde). Di recente, questo secondo approccio è stato studiato a fondo.

7

1.5

Metodologie quantistiche

In tutti i contributi di cui sopra, l’idea di base è quella di passare dalla descrizione dello spazio delle configurazioni, dove l’equazione NLS governa la particolare propagazione dell’inviluppo d’onda, a quello delle fasi, dove un’appropriata equazione cinetica è in grado di mostrare una versione statistica dell’IM. Ciò è stato fatto utilizzando lo strumento matematico fornito dalla quasidistribuzione di Wigner (trasformata di Fourier della matrice di densità) ampiamente utilizzato per i sistemi quantistici. Per qualsiasi sistema non lineare, la cui dinamica è governata da un’equazione NLS, si può introdurre una funzione di correlazione a due punti che svolge un ruolo simile a quello svolto dalla matrice di densità di un sistema quantistico. Di conseguenza, l’equazione cinetica dominante non è altro che una sorta di equazione di Wigner-Moyal non lineare. L’effetto più importante che può essere previsto da questo approccio cinetico è un fenomeno di smorzamento di un pacchetto d’onda di grande ampiezza, molto simile a quello che è stato previsto da Landau nel 1946 per il sistema Vlasov-Poisson in regime di onde di plasma di piccola ampiezza. L’interazione tra questo smorzamento di tipo Landau (attribuito al carattere casuale dello spettro d’onda) e l’IM può fornire un effetto stabilizzante nel sistema non lineare. Nel prossimo capitolo, dopo avere introdotto il lettore al Thermal Wave Model (TWM), viene presentata la derivazione dell’equazione NLS per la propagazione di un bunch di particelle cariche e relativistiche attraverso il canale di trasporto di una macchina acceleratrice di alta energia [5, 7]. Nel capitolo 3, presentiamo la derivazione dell’equazione di Blow e Wood [1], una sorta di equazione NLS con due termini di non linearità di tipo cubico, uno dei quali è anche un termine di memoria. Una tale equazione descrive la propagazione di un impulso laser in fibra ottica e governa l’evoluzione spazio-temporale dell’IM che ha luogo in treni d’onda quasi monocromatici. L’equazione di Blow e Wood è del tutto simile a quella del TWM, la quale fornisce una interpretazione ondulatoria dell’instabilità coerente che insorge nella dinamica longitudinale di un fascio di particelle cariche. Nella prima parte del capitolo 4, viene sviluppato l’approccio deterministico all’instabilità modulazionale (ADIM) riferito al canale di trasporto di un acceleratore di particelle di alta energia attraverso l’equazione NLS ricavata nel capitolo 2. Nella seconda parte del capitolo 4, viene sviluppato l’approccio statistico all’instabilità modulazionale (ASIM) con un’equazione cinetica data in termini della quasidistribuzione di Wigner. Successivamente, nel capitolo quinto, sono riassunte le conclusioni e le prospettive future scaturite da questo lavoro di tesi.

8

2 Equazione integro-differenziale NLS per la propagazione lungo la linea di trasporto di un acceleratore ad alta energia L’introduzione, in ottica elettronica, di un modello simil-quantistico (quantum-like), denominato Thermal Wave Model (TWM) for relativistic charged-particle beams [4, 5, 6, 7], ha reso possibile la descrizione di carattere ondulatorio della dinamica e del trasporto di un fascio di particelle cariche in numerosi contesti fisici: dalle macchine acceleratrici convenzionali (lineari o circolari) agli schemi ultra-compatti di accelerazione non convenzionali basati sui plasmi, dalle trappole elettromagnetiche ai sistemi di manipolazione dei fasci di particelle cariche. Nel TWM si assume che la dinamica, trasversa o longitudinale, di un fascio di particelle cariche e relativistiche sia governata da un’equazione del tipo Schrödinger per una funzione complessa, detta Beam Wave Function (BWF). Il modulo al quadrato di quest’ultima è proporzionale al profilo (trasverso o longitudinale) della densità del fascio. Qui, la costante di Planck è sostituita dall’emittanza (trasversa o longitudinale) del fascio, e il potenziale in generale si compone di due parti: la prima è una funzione assegnata delle coordinate spaziali e del tempo, mentre la seconda è un funzionale della BWF. Quest’ultimo rende non lineare l’equazione di Schrödinger. Il TWM mostra una sorprendente analogia formale con l’ottica dei fasci elettromagnetici in approssimazione parassiale (equazione di Fock-Leontovich) e con la meccanica quantistica lineare o non lineare (equazione di Gross-Pitaevskii per un condensato di Bose-Einstein). In questo capitolo, in accordo alle regole di quantizzazione àla Gloge e Marcuse [3, 4] del TWM, deriviamo l’equazione integro-differenziale non lineare di Schrödinger (del tipo di Blow e Wood), che descrive la dinamica longitudinale di un fascio coasting di particelle cariche e relativistiche che si propaga attraverso il canale di trasporto di un acceleratore di alta energia. Successivamente, con questa stessa equazione sarà descritta l’instabilità modulazionale nell’ambito dell’approccio deterministico. Determiniamo anzitutto l’Hamiltoniana di singola particella relativa al moto attraverso il canale di trasporto, le cui pareti sono metalliche. Per tale ragione, le singole particelle del fascio inducono sulle pareti cariche e correnti immagine. Queste ultime, a loro volta, generano campi elettrici e magnetici che agiscono sulle particelle del fascio stesso e lo seguono come farebbe la scia dietro un’imbarcazione. Essi sono perciò detti wake fields 9

(campi di scia). In particolare, sotto opportune condizioni, le componenti longitudinali di questi campi accelerano oppure decelerano le particelle del fascio. Assumiamo che un tratto rettificato del sistema "fascio + canale di trasporto" sia a simmetria cilindrica. Esso è, dunque, costituito da un tubo cilindrico di raggio b corrispondente al canale di trasporto e il fascio cilindrico di raggio a , con a < b .

Figura 2.1: Fascio di particelle nella camera a vuoto di un acceleratore

È importante osservare, allora, che detta struttura cilindrica caratterizza il sistema "tubo + fascio" come quella di un condensatore cilindrico che impegna un’energia capacitiva durante il funzionamento della macchina. D’altra parte, l’energia magnetica impegnata nell’interazione del fascio con i campi magnetici è coinvolta nella generazione degli effetti di autoinduzione e alla quale è associabile un’induttanza equivalente. Inoltre, date le parti metalliche ohmiche, alla struttura è anche associabile una resistenza equivalente. Di conseguenza, adottando una descrizione a parametri distribuiti, si può attribuire alla struttura "tubo + fascio" una capacità C 0 , un’induttanza L 0 e una resistenza R 0 per unità di lunghezza, rispettivamente, e assimilare il canale di trasporto a una linea elettrica di trasmissione (simile a un cavo coassiale). A tale scopo, introduciamo una perturbazione della corrente del fascio. Per ogni frequenza ω associata ad una data componente di Fourier della suddetta perturbazione, le quantità X C0 = 1/ωC 0 e X L0 = ωL 0 sono le reattanze induttiva e capacitiva del sistema, rispettivamente, mentre Z I0 = X L0 − X C0 e ZR0 = R 0 sono la parte immaginaria e la parte reale dell’impedenza complessa per unità di lunghezza: Z 0 = ZR0 + i Z I0 . Z è anche detta impedenza longitudinale di accoppiamento e schematizza l’interazione del fascio con il mezzo circostante. Questo può essere schematizzato come nella Figura 2.2.

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Figura 2.2: Schema di una linea elettrica di trasmissione

Ai fini della nostra trattazione, si considera dapprima l’hamiltoniana di singola particella con carica elettrica q facente farte di un fascio stazionario all’interno di un macchina acceleratrice di raggio R 0 .

Figura 2.3: Canale di trasporto di un acceleratore di particelle

La dinamica, originata dai discostamenti delle particelle non sincrone rispetto alla particella sincrona, viene descritta dalle equazioni di Hamilton [14] dx ∆E =η = ηP ds E0 dP ∆V = −q ds cT0 E 0

(2.1) (2.2)

dove P = ∆E /E 0 rappresenta lo spread energetico delle particelle del fascio rispetto all’energia della particelle sincrona E 0 , mentre ∆V è il guadagno di energia per unità di carica in un giro di macchina e tiene conto dell’interazione con il mezzo circostante. 11

η = (1/γ2 ) − (1/γ2T ) è lo slip factor, dove γ è il fattore relativistico (rapporto tra l’energia relativistica totale e l’energia a riposo) e γT la cosiddetta energia di transizione,

la quale tiene conto degli effetti di focalizzazione e di mantenimento delle particelle in orbita. Il ruolo giocato da 1/η è quello di una massa efficace, la quale può essere positiva o negativa; quindi, al di sopra dell’energia di transizione la massa efficace è negativa, mentre al di sotto dell’energia di transizione η è positiva. Esse descrivono la dinamica per t À T0 . Dalle equazioni (2.1) e (2.2) si ricava l’hamiltoniana 1 (2.3) H = ηP 2 +U 2

Applicando le seguenti regole di corrispondenza àla Gloge e Marcuse [3] per il TWM ∂ P → Pˆ ≡ −i ² ∂x ∂ H → Hˆ ≡ i ² ∂s

(2.4) (2.5)

dove ² è l’emittanza longitudinale del fascio, si ottiene la seguente equazione del tipo Schrödinger per il fascio i²

∂ψ 1 ∂2 ψ = − η²2 2 +U ψ ∂s 2 ∂x

(2.6)

in cui la funzione d’onda ψ è legata alla densità numerica λ(x, s) = λ0 |ψ(x, s)|2 . Dato che la macchina acceleratrice è circolare, deve restituire soluzioni periodiche per la ψ, ovvero, deve rispettare le condizioni ψ(πR 0 , s) = ψ(−πR 0 , s) ∂x ψ(πR 0 , s) = ∂x ψ(−πR 0 , s)

(2.7) (2.8)

Con queste condizioni, la norma quadra della funzione d’onda del fascio è definita come Z πR0 2 N = |ψ(x, s)|2 d x (2.9) −πR 0

dove abbiamo posto per semplicità U = R 0 . Questo risultato è compatibile con la richiesta Z πR 0

−πR 0

λ(x, s) d x = N

(2.10)

Un tratto di lunghezza dell’acceleratore molto minore delle dimensioni della macchina è assimilabile a un elemento rettificato, quindi l’integrale sopra definito diventa un integrale esteso tra −∞ e ∞. Al fine di descrivere esclusivamente fenomeni di natura collettiva nella macchina acceleratrice, generati dall’interazione del fascio con il mezzo circostante, manteniamo spenta la cavità a radiofrequenza e osserviamo che l’energia potenziale nella (2.3) può essere scritta come la somma dell’energia reattiva e dell’energia resistiva.

12

Pertanto, in accordo a quanto mostrato in [7], si dimostra che U si scrive come funzione esplicita di x e s nella forma seguente U (x, s) = eβc ZR λ(x, s) + eβcR 0

Z I ∂λ n ∂x

(2.11)

Di conseguenza, si va a sostituire la (2.11) nell’equazione seguente ∂ψ 1 η 2 ∂2 ψ ψ i² =− ² + 2 2 ∂s 2β ∂x (E 0 /e)βcT0

x

Z

U (x 0 , s)d x 0

(2.12)

0

dove il primo termine a destra tiene conto dello spread longitudinale del fascio, mentre il secondo descrive l’interazione tra il fascio e il mezzo circostante ed è caratterizzato dal potenziale autoconsistente U (x, s). Sapendo che la densità lineare di carica λ(x, s) è legata in maniera autoconsistente alla densità del fascio |ψ(x, s)|2 dalla relazione seguente λ(x, s) =

N |ψ(x, s)|2 2πR 0

(2.13)

e combinando le equazioni (2.11)-(2.13), si ottiene l’equazione non lineare generalizzata di Schrödinger che governa l’evoluzione spazio-temporale della funzione d’onda del fascio che si propaga lungo il canale di trasporto ∂2 ψ ∂ψ = α 2 + κψ|ψ(x 0 , s)|2 + µψ i ∂s ∂x

Z 0

x

|ψ(x 0 , s)|2 d x 0 ,

(2.14)

dove α=−

η² 2β2

Ne 2 Z I 2πE 0 ²T0 n Ne 2 µ = ZR . 2πE 0 ²R 0 T0 κ=

(2.15)

È facile notare che essa è analoga alla (3.10), ossia, all’equazione NLS generalizzata per un fascio elettromagnetico all’interno delle fibre ottiche.

13

3 Equazione integro-differenziale NLS per la propagazione in fibra ottica di un impulso laser al femtosecondo Nel presente capitolo, deriviamo l’equazione integro-differenziale NLS che governa l’evoluzione spazio-temporale di un impulso laser al femtosecondo che si propaga in fibra ottica, nota anche come equazione di Blow e Wood [1]. La non linearità è espressa da un termine cubico, nella funzione d’onda, in forma locale e un altro in forma non locale (forma integrale). Quest’ultimo rappresenta un termine di memoria. La derivazione dell’equazione di Blow e Wood è stata originariamente effettuata studiando il fenomeno dello scattering Raman stimolato in fibra ottica. L’effetto Raman avviene per diffusione anelastica di un fascio di luce su una molecola. Si parla di scattering Raman stimolato, invece, quando avviene l’interazione tra i fotoni e i fononi ottici, i quali si generano per trasferimento di energia dalla pompa, un segnale ad alta frequenza, a un’onda di frequenza minore (onda di Stokes). Durante la propagazione, la pompa tende ad attenuarsi e l’onda di Stokes, per converso, si amplifica. Vi è quindi un accoppiamento tra le onde forward e le onde backward. Una fibra ottica è una guida d’onda per la radiazione elettromagnetica attraverso cui essa può propagarsi per riflessione interna su percorsi anche curvilinei. Essa è costituita da una parte più interna in materiale vetroso chiamata nucleo (o core) (il quale permette alla luce di passare) e da una parte più esterna chiamata mantello (o cladding), con indice di rifrazione minore di quello del nucleo. La luce che entra all’interno del nucleo a un certo angolo limite si propaga mediante una serie di riflessioni totali all’interfaccia tra il nucleo e il mantello.

Figura 3.1: Riflessione totale di un fascio EM che si propaga in fibra ottica

Si osservano le interazioni non lineari attraverso la silice vetrosa. In questo mezzo, il campo elettrico ottico E (t ) è descritto dall’equazione scalare delle onde (equazione 14

di D’Alembert), forzata da un termine di polarizzazione non lineare e da un indice di rifrazione non omogeneo µ

¶ ²(r ) ∂2 ∂2 ∇ − 2 E = µ P. 0 c ∂t 2 ∂t 2 2

(3.1)

Quando un’onda si propaga in un mezzo, il campo elettromagnetico interagisce con gli atomi, ciò di solito significa che l’impulso perde potenza o si disperde. Il secondo effetto avviene perché le differenti componenti di lunghezza d’onda dell’impulso viaggiano a velocità di fase diverse a causa della dipendenza dell’indice di rifrazione dalla lunghezza d’onda. Al fine di caratterizzare la propagazione di un impulso non lineare, è necessario includere la polarizzazione non lineare del mezzo nelle equazioni di Maxwell. La polarizzazione può essere espressa come la somma di un termine lineare e di un termine non lineare P (r, t ) = P L (r, t ) + P N L (r, t ) , (3.2) dove P è dato dallo sviluppo in serie di Taylor di E con coefficienti ²0 χ(i ) . Il primo termine dello sviluppo χ(1) rappresenta la suscettività lineare, χ(2) si annulla per simmetria della molecola di silice, mentre χ(3) è la suscettività non lineare. Ne consegue che 3

P N L (r, t ) = ²0 χ E (t )

Z

R(t − t 0 )E 2 (t 0 ) d t 0

(3.3)

dove R(t − t 0 ) esprime la funzione di risposta non lineare dipendente dal tempo, la quale ha due scale di tempo dominanti. La scala di tempo più breve è grossolanamente dell’ordine del femtosecondo e ci dà il contributo dominante alla parte reale di χ(2) R(ω): esso viene descritto con una funzione di risposta istantanea delta. La scala di tempo più lunga è dell’ordine dei 100 fm ed è più grande del tempo di vita dei fononi. Questa parte dell’interazione è descritta da hR . Dunque, la funzione di risposta si presenta nella forma R(t ) = (1 − f R )δ(t ) + f R h R (t )

(3.4)

dove f R rappresenta il contributo del ritardo della risposta Raman alla polarizzazione non lineare. Una nota di approfondimento merita questo argomento [12]. Quando un’onda elettromagnetica, cui è associato un campo elettrico E , incide su un mezzo ottico, ivi viene indotta una polarizzazione P che dipende dal campo E stesso. Questo fenomeno può essere descritto in termini di un mezzo composto da cariche elettriche (nella fattispecie, elettroni e nuclei) che iniziano a oscillare seguendo quasi istantaneamente il campo elettromagnetico che in esso si sta propagando. Data la natura del mezzo materiale ottico in gioco (che non è un conduttore), queste cariche sono localizzate nel mezzo e, di conseguenza, contribuiscono alla creazione di dipoli elettrici oscillanti e, quindi, alla propagazione del campo EM nel mezzo. Finché il campo elettrico esterno è piccolo, la polarizzazione è legata ad esso da una semplice relazione di proporzionalità P (t ) = ²0 χE (t ) ,

15

(3.5)

dove χ è detta suscettività lineare del mezzo. Intuitivamente, il mezzo si deforma in maniera proporzionale al campo esterno applicato. Quando questa situazione semplice si verifica, si dice che ci si trova in una condizione di ottica lineare. In questa situazione, le cariche nel mezzo sentono un potenziale di richiamo con profilo parabolico e, se l’onda incidente ha frequenza f , tutte le cariche oscillano con la medesima frequenza. Quando il campo elettrico è molto intenso, esso non risulta essere più direttamente proporzionale a P . Ne consegue che l’equazione d’onda è descritta da uno sviluppo in serie del tipo £ ¤ P (t ) = ²0 χ(1) E 1 (t ) + χ(2) E 2 (t ) + χ(3) E 3 (t ) + . . . . (3.6) da cui si evince che la polarizzazione non dipende più linearmente dal campo elettrico. Infatti, ci sono componenti che dipendono dalle potenze superiori. Inoltre, c’è da tenere presente che sia P che E sono delle grandezze vettoriali. Di conseguenza, le suscettività χ(i ) sono, in generale, dei tensori. Tuttavia, solitamente nei mezzi isotropi molte componenti di questi tensori sono nulle o tutte uguali tra loro [12]. Una notevole differenza si riscontra nel confronto di questo caso con il regime lineare. Non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui se si immettono nel mezzo due onde monocromatiche di frequenza f 1 ed f 2 , all’uscita dal mezzo non troveremo più solo due onde di medesima frequenza, ma in generale parte dell’energia si sarà trasferita su altre frequenze. Se si considera il solo termine quadratico χ(2) E 2 (t ), si troveranno le frequenze f 1 + f 2 ed f 1 − f 2 . Questo fenomeno è usato nei laser per generare la cosiddetta seconda armonica. In altre parole, si vuole generare un’onda ad alta frequenza, ma non si possiede un materiale che ne consenta la generazione diretta. Tuttavia, si può generare un’onda di frequenza pari alla metà e poi la si raddoppia usando un mezzo non lineare. Questo fenomeno, sebbene non molto sorprendente se si considera l’ottica classica dato che avviene normalmente anche in elettronica -, risulta piuttosto interessante se lo si considera dal punto di vista quantistico, poiché comporta la contemporanea scomparsa di due fotoni e la comparsa di un fotone, ad essi coerente, di energia doppia [12]. Inoltre, si instaurano dei fenomeni di phase matching per cui, se si inviano nel mezzo due frequenze f 1 ed f 2 , nel corso della propagazione, l’energia si trasferisce gradualmente verso la frequenza f 3 = f 1 + f 2 , fino a che non si raggiunge un massimo. A quel punto, si ha un trasferimento inverso, per cui dopo un certo cammino si ottengono nuovamente le due frequenze di partenza. Per quanto riguarda la propagazione nelle fibre ottiche, i fenomeni più rilevanti sono quelli che si instaurano a causa delle non linearità del terzo ordine, quelle cioè legate al termine cubico χ(3) E 3 (t ). Uno di questi fenomeni, largamente usato in telecomunicazioni, è l’effetto Kerr ottico, in base al quale l’indice di rifrazione del mezzo cresce proporzionalmente all’intensità luminosa, ed è in grado di compensare gli effetti dispersivi del mezzo di propagazione. Quello che si ottiene sono le cosiddette onde solitarie, o solitoni: impulsi molto intensi di luce che si propagano lungo le fibre ottiche senza disperdersi. Essi sono estremamente utili perché consentono di ridurre notevolmente il numero di rigeneratori del segnale lungo la fibra, dato che il segnale non degrada durante la propagazione [12]. 16

Figura 3.2: Riproduzione digitale di una fibra ottica

Un altro fenomeno altrettanto importante è la cosiddetta auto-focalizzazione dell’onda: un impulso laser in una fibra ottica ha un profilo di intensità circa gaussiano, per cui si ha la massima intensità luminosa lungo l’asse della fibra, mentre essa decresce vicino ai bordi. Una fibra ottica ordinaria (Figura 3.2) richiede di essere formata da due strati, con indici di rifrazione diversi, in cui quello esterno è minore di quello interno, in modo che all’interfaccia si abbia riflessione totale dell’onda, che rimane così confinata all’interno del mezzo, come è visibile in Figura 3.1. In presenza dell’effetto Kerr, però, il mantello della fibra non è necessario, dato che è l’impulso luminoso stesso a modulare l’indice di rifrazione della fibra, rendendolo maggiore al centro e minore ai bordi e auto-focalizzandosi al centro. Infine, un fenomeno che è diventato di importanza fondamentale negli ultimi anni è quello dell’auto-modulazione di fase, che viene utilizzato per generare gli impulsi laser ultracorti. Un impulso laser monocromatico molto intenso al femtosecondo che entra in una fibra ottica opportuna subisce un’auto-modulazione della propria fase; questo comporta l’allargamento del suo spettro di luce, il quale diventa molto ampio, ma nel contempo la fase delle sue componenti si combina in modo che l’impulso risultante all’uscita abbia una durata temporale molto minore. Il campo elettrico E(r, t ) polarizzato linearmente lungo l’asse x può essere espresso dalla seguente equazione E(r, t ) =

1 xˆ {E (x, y, z, t ) exp(−i ω0 t ) + c.c} 2

(3.7)

Nel dominio delle frequenze, la trasformata di Fourier di E è ˜ ω − ω0 ) exp(i β0 z) , E˜ (x, y, z, ω) = F (x, y, ω) A(z,

(3.8)

˜ ω) è l’inviluppo spettrale complesso che modula l’ampiezza del campo eletdove A(z, trico, mentre ω0 è una frequenza di riferimento opportunamente scelta: spesso essa coin-

17

cide con il centro dell’impulso iniziale. β0 = β(ω0 ) è il numero d’onda a quella frequenza. F è la distribuzione trasversa dei modi d’onda. L’inviluppo nel dominio del tempo è ottenuto da A(z, t ) = F

−1

1 ˜ ω − ω0 )} = { A(z, 2π

Z

∞ −∞

˜ ω − ω0 ) exp[−i (ω − ω0 )t ] d ω A(z,

(3.9)

Effettuando la seguente trasformazione di coordinate (passaggio al co-moving frame) ½ T = t − β1 z , Z =z,

dove β−1 1 è la velocità di gruppo, nell’approssimazione di lenta variazione dell’ampiezza, l’equazione delle onde diventa: ∂A 1 ∂2 A i − β2 = −γ A(Z , T )|A(Z , T )|2 (1− f E )−γ A(Z , T ) f E ∂Z 2 ∂T 2

Z 0

T

|A(Z , T 0 )|2 d T 0 , (3.10)

che è un’equazione non lineare di Schrödinger generalizzata al secondo ordine dello sviluppo in serie di Taylor della costante di propagazione β(ω) vicino a ω0 [1]. Qui il coefficiente di accoppiamento non lineare è dato da γ=

ω0 n 2 (ω0 ) c A e f f (ω0 )

dove, inoltre, n 2 è l’indice di rifrazione non lineare e A e f f è l’area efficace della guida d’onda (inversamente proporzionale all’intensità del modo d’onda), entrambi valutati alla frequenza di riferimento ω0 . p In questa notazione, il campo elettrico scala di una costante (1/2)cn²0 , così che ˜ è l’antitrasformata |A(z, t )|2 abbia le dimensioni fisiche della potenza istantanea. F −1 { A} di Fourier della funzione A˜ . La funzione di risposta R(t ) mostrata nell’equazione (3.4) tiene conto sia del contributo dello scattering Raman, sia di quello degli elettroni. Quest’ultimo è caratterizzato da una risposta molto rapida, quasi istantanea rispetto a quella dello scattering Raman. Con lo scopo di sviluppare un’analogia tra l’equazione che descrive la teoria, in forma semplificata, della propagazione elettromagnetica in fibra ottica e l’equazione di un fascio di particelle cariche che viaggia attraverso ll canale di trasporto di una macchina acceleratrice ad alta energia, adottiamo un "toy-model" caratterizzato da una scala di tempo tale da agevolare questo confronto. Sicché, da questo punto in avanti sarà considerato solo il contributo elettronico della funzione di risposta hR , e la funzione f R , che fattorizza i due termini della (3.4), viene ridefinita come f E . Quindi, la funzione di risposta R(t ) assume la forma R(t ) = (1 − f E )δ(t ) + f E Θ(t ) (3.11) In questa approssimazione, sono trascurabili i termini dissipativi dell’equazione di Blow and Wood [1], per cui τshock → 0 (non è possibile fare questo limite se viene preso in considerazione anche il contributo dello scattering di Raman, infatti, in tal caso τshock = 1/ω0 , come dimostrato nell’appendice in Ref.[1]). L’equazione (3.10) è simile alla (2.14), ottenuta per la propagazione lungo il canale di trasporto di una macchina acceleratrice nel capitolo 2. 18

4 Analisi dell’instabilità coerente L’obiettivo di questo capitolo è l’analisi dell’instabilità coerente per un fascio di particelle cariche e relativistiche che ha luogo quando quest’ultimo subisce delle piccole modulazioni di densità in direzione longitudinale. Ciò può essere fatto ricavando la relazione di dispersione che governa l’interazione del fascio con il mezzo circostante. Sotto opportune condizioni, le piccole modulazioni possono crescere a spese dell’energia cinetica del fascio e sono sostenute dagli effetti di natura collettiva che, inevitabilmente, si originano nel sistema. Assumiamo che il fascio si muova nel canale di trasporto dell’acceleratore (vedi Cap. 2). In accordo a quanto già osservato, la sua interazione con le pareti metalliche della macchina è perciò schematizzata dai parametri dell’impedenza complessa mentre il canale di trasporto risulta assimilabile a una linea elettrica di trasmissione. Qui, studiamo l’instabilità attraverso la relazione di dispersione del sistema "fascio + canale di trasporto". Questo verrà fatto attraverso due approcci distinti: uno di natura deterministica e l’altro di natura statistica. Nel contesto ondulatorio del TWM, il primo è adatto all’analisi dei sistemi caratterizzati da uno spettro monocromatico, mentre il secondo è tipico per i sistemi nei quali la propagazione è influenzata dalle proprietà statistiche del mezzo.

4.1

Approccio deterministico

Si svolge l’analisi dell’instabilità utilizzando l’equazione di Schrödinger non lineare (2.14). L’onda piana stazionaria soluzione di questa equazione è ψs (x, s) = ψ0 exp(i θ0 (x, s))

(4.1)

dove l’ampiezza ψ0 è costante e la fase θ0 = λ1 s + λ3 s 3 + νxs e i coefficienti sono definiti come λ1 = −κψ20 , λ3 = −µψ20 e ν = 1/3αµ2 . Sia la soluzione perturbata ψ(x, s) = [ψ0 + δψ(x, s)]e i θ0 (x,s)

(4.2)

Inserendo questo ansatz nella (2.14), si ottiene i δψs − αδψxx − κψ20 (δψ + δψ∗ ) + 2i αµsψ20 δψx

− µψ20

−i δψ∗s − αδψ∗xx − κψ20 (δψ + δψ∗ ) − 2i αµsψ20 δψx − µψ20

19

x

Z 0 x

Z 0

(δψ + δψ∗ )d x 0 = 0

(δψ + δψ∗ )d x 0 = 0

(4.3)

O, in termini delle funzioni di perturbazione u e v ∂v ∂2 u ∂v i = α 2 + 2κψ20 u − 2i αµsψ20 + 2µψ20 ∂s ∂x ∂s 2 ∂ v ∂u ∂u = α 2 − 2i αµsψ20 i ∂s ∂x ∂s

x

Z

u(x 0 , s)d x 0

0

(4.4)

In questo sistema di equazioni compaiono due complicazioni: il termine integrale e il fatto che alcuni termini dipendano da s . Si ricava [7] che l’equazione ammette una dipendenza di tipo armonico in x , ad esempio u, v ∝ exp(−i Ωx). È altresì evidente che il termine dipendente da s non omogeneo implica una dipendenza da s del tipo u, v ∝ exp(i αµ Ω ψ20 s 2 ). Mentre, il restante termine dipendente da s può essere assunto di tipo armonico: u, v ∝ exp(i K s). Unendo queste considerazioni, le funzioni di perturbazione sono caratterizzate dalla seguente dipendenza £ ¤ (4.5) u, v ∝ exp i (K s + αµ Ω ψ20 s 2 − Ωx) Inserendo questo ansatz nel sistema (4.4), si giunge alla seguente relazione di dispersione ³ 2µψ20 ´ 2κ ψ20 − i K 2 = (αΩ2 )2 1 − α Ω2 αΩ3

(4.6)

K è la somma di una parte reale e di una parte immaginaria: K = K R +i K I . Eliminando K R , la relazione di dispersione può essere scritta come Z I = Z I (ZR ; K I )

(4.7)

dove K I è il rate di crescita dell’instabilità. La relazione di dispersione può essere espressa in maniera esplicita nella forma normalizzata Z¯ I = 1 + K¯ I2 − Z¯ I =

2κψ20 αΩ2

≈

ZI ηn

Z¯R =

1 2 Z¯ R 4K¯ I

µψ20 αΩ3

≈

ZR ηn

(4.8) K¯ I =

KI αΩ2

dove n è il numero armonico, un coefficiente di proporzionalità intero tra la frequenza della perturbazione e quella di rivoluzione della particella nell’orbita sincrona.

20

Figura 4.1: Plot qualitativo delle curve di livello nel piano ( ZR , Z I ) per fattori di crescita K I

Si vede dall’equazione (4.8) che curve di livello Z I = Z I (ZR ; K I ) sono parabole nel piano (ZR , Z I ), come mostrato in Figura 4.1 [7]. Esse sono delle carte universali di instabilità analoghe a quelle di Nyquist nella teoria dei sistemi e del controllo automatico. Le curve, in queste condizioni, sono sempre instabili. La stabilità si ha per K I = 0, dove le parabole degenerano in una semiretta. La concavità delle parabole è data dal segno di η, definito nel capitolo 2, espresso dalla dipendenza da α. Se η > 0, infatti, si ottengono parabole con la concavità rivolta verso il basso, come quelle in Figura 4.1, mentre se η < 0, le parabole avrebbero concavità verso l’alto. Nel caso puramente reattivo ( ZR = 0), l’analisi della stabilità è riassunta nella seguente tabella: η , ZI

ZI > 0

ZI < 0

(induttivo) (capacitivo) stabile instabile

η0

instabile

stabile

sotto l’energia di transizione Il caso η < 0 corrisponde alla cosiddetta instabilità a massa negativa.

21

4.2

Approccio statistico

In questa sezione si effettua l’analisi dell’instabilità coerente con un approccio statistico. Questo viene fatto assumendo che la propagazione sia governata da un’equazione NLS generalizzata, la quale si è visto è isomorfa alle equazioni descriventi sia la propagazione di pacchetti d’onda elettromagnetici nelle fibre ottiche che fasci di particelle all’interno degli acceleratori. L’analisi della stabilità è effettuata usando un formalismo quantistico, così come per la sezione precedente, ma passando dallo spazio delle configurazioni a quello delle fasi attraverso la trasformata di Wigner. Come già osservato, l’approccio statistico è giustificato dal fatto che in questo caso stiamo considerando una propagazione dipendente dalle proprietà statistiche del mezzo. L’equazione impiegata è analoga alla (2.14) per una funzione d’onda complessa £ ¤ ∂ψ α ∂2 ψ + + κ |ψ(x, s)|2 − |ψ0 |2 ψ + µψ i 2 ∂s 2 ∂x ηλ Ne 2 Z I α= 2 κ= β 2πE 0 λT0 n

Z 0

x£

¤ |ψ(x 0 , s)|2 − |ψ0 |2 d x 0 = 0

µ = ZR

(4.9)

Ne 2 2πE 0 λR 0 T0

Il termine integrale rappresenta un termine di memoria, il quale è un termine non locale. α, κ e µ sono costanti reali, mentre ψ0 è una quantità complessa costante, che non influenza la descrizione rispetto all’equazione (2.14). α assume il ruolo della diffrazione e µ rappresenta l’effetto resistivo esattamente come nell’approccio deterministico. L’equazione, quindi, descrive la propagazione con indice di rifrazione reale. Questa descrizione statistica è fornita dalla teoria cinetica di Wigner, governata dall’equazione del trasporto della quasidistribuzione omonima. Nell’approssimazione di piccoli numeri d’onda, quest’ultima si riduce all’equazione di Vlasov. Come già ribadito, l’equazione contiene un parametro complesso molto importante: l’impedenza di accoppiamento. Della parte reale conta il carattere resistivo, della parte immaginaria contano gli effetti reattivi, cioè capacitivi e induttivi. Ai fini della nostra trattazione, si scrive l’equazione (4.9) nella forma α2 ∂2 ψ ∂ψ =− +U ψ ∂s 2 ∂x 2 Z ¤ £ ¤ £ ¤ £ |ψ(x, s)|2 − |ψ0 |2 d x U |ψ|2 = −κα |ψ(x, s)|2 − |ψ0 |2 − µα iα

(4.10) (4.11)

Si impiega la quasidistribuzione di Wigner per passare nello spazio delle fasi, la quale è la trasformata di Fourier dell’operatore densità di Von Neumann. 1 ρ w (x, p, s) = 2πα

∞

³ ³ py ´ y ´ ³ y ´ ψ∗ x + , s × x − , s exp i dy 2 2 α −∞

Z

(4.12)

Si assume la normalizzazione Z

∞

Z

∞

dx −∞

−∞

d p ρ w (x, p, s) = 1

22

(4.13)

Se la funzione d’onda soddisfa la (4.10), allora ρ w soddisfa l’equazione di Von Neumann. ³ α ´2n ∂2n+1U ∂2n+1 ρ ∞ ∂ρ w X ∂ρ w (−1)n w +p − × =0 2n+1 2n+1 ∂s ∂x 2 ∂x ∂p n=0 (2n + 1)!

(4.14)

Inoltre, per la ρ w vale che 2

|ψ| =

∞

Z

−∞

d p ρ w (x, p, s)

∞

Z

2

|ψ0 | =

−∞

d p ρ0

(4.15)

Da cui segue che è possibile scrivere la (4.11) come ∞

Z U [ρ w ] = −κα

−∞

(ρ w − ρ 0 ) d p − µα

Z

∞

Z dx

−∞

(ρ w − ρ 0 ) d p

(4.16)

Quindi, la (4.14) e la (4.16) formano un set di equazioni accoppiate per la propagazione non lineare del pacchetto d’onda elettromagnetico. Al fine di studiare l’instabilità, si parte da uno stato di equilibrio e si perturba il sistema al primo ordine ρ w (x, p, s) = ρ 0 (p) + ρ 1 (x, p, s) U (x, s) = U0 +U1 (x, s) ≡ U1 (x, s)

(4.17)

e, in seguito, si linearizza il sistema ³ α ´2n ∂2n+1U ∞ ∂ρ 1 X (−1)n ∂ρ 1 1 2n+1 +p = × ρ 2n+1 0 ∂s ∂x (2n + 1)! 2 ∂x n=0 Z ∞ U1 (x, s) = −αZˆ ρ 1 (x, p, s) d p ≡ −αZˆ n 1 (x, s)

(4.18)

−∞

Dove n 1 è la perturbazione di densità nello spazio delle configurazioni e Zˆ è il seguente operatore integrale lineare Zˆ f (x, s) = κ f (x, s) + µ

Z f (x, s) d x

(4.19)

Effettuando le trasformate di Fourier di U1 (x, s) e di ρ 1 (x, p, s), le equazioni (4.18) diventano ³

ρ˜ 1 (k, p, ω) =

αk 2

´

i αZ k

Z

ρ0 p +

³

− ρ0 p − α

U˜ 1 (k, ω) = −

∞

−∞

αk 2

´ U˜ 1 (k, ω) kp − ω

d p ρ˜ 1 (k, pω)

(4.20)

dove Z = µ + i kκ = ZR + i Z I è l’impedenza di accoppiamento. Dal sistema (4.20), si giunge alla relazione di dispersione 1 = i αZ

∞

´ ´ ³ ³ αk ρ 0 p + αk − ρ p − 0 2 2

−∞

α

Z

dp kp − ω

(4.21)

Essa è rappresentata nelle Figure 4.3 e 4.4 [15], per valori diversi di αk , scegliendo una distribuzione di ρ 0 (p) come quella mostrata in Figura 4.2 [15]. 23

Figura 4.2: Plot della distribuzione all’equilibrio ρ 0 (p) = (1 − p 2 /4)2 /2.133.

Figura 4.3: Carta di instabilità per αk = 0.01.

Figura 4.4: Carta di instabilità per αk = 0.4.

Questa equazione è simile alla relazione di dispersione di Vlasov, che si ottiene nel limite di piccoli numeri d’onda. È stato osservato che, con lo stesso limite, l’equazione del trasporto di Wigner si riduce a quella di Vlasov. Per quest’ultima è noto il fenomeno del damping di Landau ed è quindi possibile definirne una sorta anche come conseguenza della relazione di dispersione (4.21): il QLLD (Quantum-Like Landau Damping).

24

Limite del caso monocromatico È interessante notare che l’approccio deterministico può essere visto come un caso limite di quello statistico. Infatti, attenendoci alla descrizione nello spazio delle fasi di questa sezione, si può considerare il caso limite in cui ρ 0 (p) = n 0 δ(p) con n 0 costante, ovvero, quando ρ 0 (p) non ha effetti di spread. In queste condizioni, la relazione di dispersione diventa · ¸ 1 = n0

Z k

1

αk 2 2

+ω

+

1

αk 2 2

−ω

(4.22)

la quale può essere scritta nella forma ω2 =

α2 k 2 + i αn 0 k Z 4

(4.23)

con ω = ωR + i ωI , perciò è possibile separare la parte reale da quella immaginaria, ricordando che Z = µ + i kκ = ZR + i Z I ω2R

α2 k 2 = − ακn 0 k 2 4 2ωR ωI = αµn 0 k

− ω2I

(4.24)

in questo modo, la relazione di dispersione (4.23) può essere scritta come ZI = −

αn 0 k 4ω2I

ZR2 +

ω2I αn 0 k

+

αk 3 4n 0

(4.25)

ovvero, è stata posta nella forma Z I = Z I (ZR , ωI ). Questa, per dati valori di k e ω, determina delle connessioni tra ZR , Z I e il fattore di crescita ωI . Esattamente come in Figura 4.1, nel piano (ZR , Z I ) vi è una famiglia di parabole simmetriche rispetto all’asse vericale, la cui orientazione di concavità dipende dal segno di α (∝ η), parametrizzato rispetto a ωI che possiede le seguenti caratteristiche: • Se ωI 6= 0, il sistema è instabile. • Se ωI = 0, il sistema è stabile. • Se ωI → 0, la parabola collassa in un tratto verticale, il quale rappresenta la regione di stabilità del sistema sull’asse Z I , dato dalla condizione −∞ < Z I ≤

αk 3 4n 0

αk 3 ≤ ZI < ∞ 4n 0

α>0 α 0. Tale disuguaglianza coincide con il criterio di Lighthill dell’instabilità modulazionale nel caso in cui l’equazione NLS non contenga il termine di memoria.

Analisi della stabilità nel limite classico o di Landau Per effettuare l’analisi della stabilità con approccio statistico, si consideri il caso in cui p abbia un effetto di spread non trascurabile nell’approssimazione di piccoli numeri d’onda k : è come assumere che αk ¿ 1 e βph = v ph /c = ω/k À 1. Se vale ciò, allora ´ ³ ´ ³ αk − ρ p − ρ 0 p + αk 0 2 2 αk

≈

d ρ0 ≡ ρ00 dp

(4.28)

per cui, la relazione di dispersione (4.21) si riduce a quella classica di Landau 1 = i αZ (ω, k)

Z

ρ00 dp −∞ kp − ω ∞

(4.29)

Va osservato che il limite αk ¿ 1 fa sì che l’equazione del trasporto di Wigner si riduca a quella di Vlasov. Essa è formalmente identica a quella per le onde di plasma caldo (relativa a una Z puramente immaginaria) o a quella per fasci di particelle cariche non monocromatiche in macchine acceleratrici circolari (relativa a una Z complessa). Utilizzando la regola di Landau di aggiramento dei poli [10], la (4.29) può essere scritta come ³ ´¸ ´· Z ³ 0 1 = −α

ZR i Z I + k k

PV

ρ0 0 ω ω d p + πρ 0 p− k k

(4.30)

Essa può essere anche espressa nella forma seguente · Z ¸ ³Z i ZI ´ ρ00 R 0 VR + iV I ≡ α + =− i d p + πρ 0 (βph ) k k PV p − βph

(4.31)

Questa equazione determina una relazione tra VR , V I e βph . In realtà, βph è una quantità complessa, per cui la si pone βph ≡ γR + i γI . Di conseguenza, possiamo plottare le curve nel piano (VR ,V I ) per differenti fattori di crescita γI (Figura 4.5) [8]. La figura a) mostra un esempio di queste curve per distribuzioni abbastanza regolari di ρ 0 (p), un esempio di ciò è rappresentato in maniera qualitativa in figura b). 26

Figura 4.5: a) Plot qualitativo delle curve di livello nel piano (VR , V I ) al variare del fattore di crescita γI . b) Esempio di una distribuzione ρ(p).

La curva corrispondente a γI = 0 è chiusa e rappresenta una regione di stabilità. In virtù della condizione di stabilità che si ottiene per ηZ I < 0, a questa regione si aggiunge l’asse immaginario positivo. A curve aperte distinte, invece, corrispondono rate di crescita distinti. Queste curve sono descrivibili come una sorta di parabole deformate. Esse si allargano man mano che γI cresce e tendono a diventare via via più simili a delle parabole. Nel caso di Vlasov, la regione di stabilità e la deformazione delle parabole in Figura 4.5 a) sono la prova dell’effetto stabilizzante del Landau damping del fascio di particelle, il quale è in competizione con l’instabilità coerente. Questo discorso è stato esteso al caso di Wigner, dove un’analisi della relazione di dispersione (4.21) (Figure 4.3 e 4.4) ha mostrato che la regione di stabilità è più grande rispetto al caso classico, a parità di distribuzione ρ(p). Inoltre, la regione di stabilità aumenta all’aumentare di αk .

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5 Conclusioni e prospettive In questa tesi si è descritta l’instabilità modulazionale che può insorgere in un mezzo non lineare a causa della generazione, spontanea o stimolata, della modulazione di ampiezza in treni d’onda quasi monocromatici di grande ampiezza. Ciò è stato fatto, nel contesto del TWM [4, 7], tanto con approccio deterministico quanto con quello statistico, considerando due diversi processi fisici. Nella fattispecie, uno è rappresentato dalla propagazione di un fascio di particelle cariche e relativistiche attraverso il canale di trasporto di un acceleratore ad alta energia e l’altro è la propagazione di un impulso laser al femtosecondo attraverso una linea ottica di trasmissione rappresentata da una fibra ottica, in accordo al modello di Blow e Wood [1]. Le due teorie trattate in questa tesi, sebbene molto diverse dal punto di vista della loro natura fisica, hanno mostrato, invece, di avere delle forti similarità. Ad esempio, le fibre ottiche si possono riguardare come linee ottiche di trasmissione, attraverso le quali le informazioni giungono da un posto all’altro; similmente, i fasci di particelle negli acceleratori si muovono attraverso linee di trasporto che possono essere modellate come linee elettriche di trasmissione. È interessante notare che, al di là dell’analogia in termini di linee di trasmissione, le equazioni che governano la propagazione di ambedue i sistemi fisici sono isomorfe. L’isomorfismo implica l’esistenza di una corrispondenza tra i diversi termini dell’una e dell’altra equazione, rispettivamente, che sono simili fra loro. Di conseguenza, esso implica la possibilità di individuare nuove proprietà di un sistema fisico a partire da quelle note del sistema ad esso isomorfo. Un esempio rilevante di questa natura è stato individuato (capitolo 4) nel confronto tra l’instabilità coerente e l’instabilità modulazionale. In questo senso è stato effettuato un travaso di know how da una teoria all’altra, identificando i due fenomeni come lo stesso se associati a linguaggi e criteri equivalenti, senza modificare il linguaggio fisico e matematico associati a un dato processo. Con l’approccio statistico sviluppato in questa tesi, è stato effettuato il limite per αk ¿ 1 che ci ha restituito il fenomeno del Landau damping, ben noto nella fisica dei plasmi. La descrizione cinetica fatta da Landau nel 1946, basata sull’equazione di Vlasov, mostra chiaramente che la variazione netta di energia dell’onda di plasma, in prossimità della risonanza, dovuta all’interazione con le particelle, è proporzionale alla derivata prima della funzione di distribuzione all’equilibrio. Se questa funzione ha una forma non lontana da una gaussiana, il risultato ottenuto è che la variazione netta di energia dell’onda in prossimità della risonanza è negativa, il che corrisponde a uno smorzamento non dissipativo dell’onda. Infatti, dato che il sistema è stato assunto senza collisioni, su scale di tempi abbastanza lunghe, il fenomeno del damping di Landau è reversibile (l’entropia si conserva in virtù del teorema H di Boltzmann). Per cui, nel caso classico, il meccanismo del damping di Landau risulta chiaro per le onde di plasma e i fasci di particelle cariche. Tuttavia, nel dominio quantum-like, laddove sia coinvolto un sistema di onde parzial28

mente incoerenti [16, 17, 18], non è così evidente capire chi debba assumere il ruolo delle particelle risonanti e chi dell’onda. Infine, si vogliono presentare alcuni spunti di riflessione tratti da questo lavoro di tesi e che possono essere approfonditi in lavori futuri. L’impedenza - fenomeno caratterizzante in maniera per niente ambigua un acceleratore di particelle - potrebbe essere implementata anche nella teoria della propagazione in fibra ottica. In merito alla propagazione di fasci elettromagnetici in un mezzo non lineare, la definizione dell’impedenza è analoga a quella della funzione di trasferimento del sistema Z (k, ω) = kU˜ 1 (k, ω)/iG 1 (kω), dove U˜ 1 è la trasformata di Fourier del potenziale e G 1 è la trasformata della perturbazione di densità ρ˜ 1 , detta anche funzione caratteristica. Visto che le due teorie sono isomorfe, allora, l’esistenza dei parametri nelle linee elettriche di trasmissione, induce a pensare all’esistenza di analoghi parametri in ambito ottico, esibiti dalla linea ottica di trasmissione. Infine, sarebbe opportuno sviluppare un’investigazione "ad hoc" nella prospettiva di dare una risposta chiara alla eventuale predicibilità dell’occorrenza del damping di Landau nello spazio delle configurazioni. Allo stato attuale, non è ancora disponibile una teoria soddisfacente a riguardo. Tuttavia, la corrispondenza biunivoca tra le quantità definite nello spazio delle fasi e quelle definite nello spazio delle configurazioni in ambito quantum-like avvalora la congettura che il QLLD sia comunque predicibile anche nello spazio delle configurazioni.

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