Apollonius de Perge, Coniques. Tome 4 Livres VI et VII. Commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe 3110199408, 9783110199406

Table of contents :
Frontmatter
SOMMAIRE
1. INTRODUCTION
2. LES DÉFINITIONS
3. L'ÉGALITÉ ET L'INÉGALITÉ DES SECTIONS CONIQUES
4. LA SIMILITUDE DES SECTIONS CONIQUES
5. SEGMENTS SEMBLABLES
6. PROBLÈMES DE CONSTRUCTION
7. DÉTERMINATION D'UN CÔNE DROIT SEMBLABLE À UN CÔNE DONNÉ ET QUI ENTOURE UNE SECTION CONIQUE DONNÉE
8. LE SIXIÈME LIVRE ET LA GÉOMÉTRIE PROTO-TRANSFORMATIONNELLE
TEXTE ET TRADUCTION
1. INTRODUCTION
2. LEMMES PRÉPARATOIRES
3. RELATIONS ENTRE LES PARAMÈTRES INITIAUX ET DE NOUVEAUX PARAMÈTRES: RELATIONS MÉTRIQUES FONDAMENTALES
4. VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES AUX PARAMÈTRES d, d/, C, c/
5. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES À d, d/, C, c/
TEXTE ET TRADUCTION
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Apollonius de Perge, Coniques Tome 4: Livres VI et VII

≥

Scientia Graeco-Arabica herausgegeben von Marwan Rashed

Volume 1

Apollonius de Perge, Coniques Texte grec et arabe e´tabli, traduit et commente´ sous la direction de Roshdi Rashed

Volume 1/4

Walter de Gruyter · Berlin · New York

Tome 4: Livres VI et VII Commentaire historique et mathe´matique, e´dition et traduction du texte arabe par

Roshdi Rashed

Walter de Gruyter · Berlin · New York

앝 Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm 앪 über Haltbarkeit erfüllt.

ISBN 978-3-11-019940-6 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 쑔 Copyright 2009 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany Umschlaggestaltung: Christopher Schneider, Laufen Druck und buchbinderische Verarbeitung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Göttingen

AVANT-PROPOS

Ce dernier tome de la nouvelle édition de l'ensemble des Coniques est consacré aux sixième et septième livres de l'ouvrage d'Apollonius. On y trouve, comme dans les autres tomes, outre l'édition du texte, une traduction française et un commentaire historique et mathématique. La méthode suivie est celle qui a été observée pour les autres livres: le texte a été établi selon les normes critiques et philologiques les plus sévères. La traduction, délibérément littérale, est soucieuse de ne pas trahir le génie des langues 1. Quant au commentaire, il a pour seul but de mettre en lumière les visées de la recherche géométrique menée par Apollonius. La tâche n'était guère aisée, faute d'explications précises de l'auteur sur ses intentions et ses méthodes. Il nous a donc fallu multiplier les points de vue, en commençant tout naturellement par examiner le déploiement de la recherche d'Apollonius dans chacun de ces deux livres à l'aide des instruments qui étaient les siens: sa propre géométrie des coniques. Mais, pour sonder la profondeur de ses concepts et de ses résultats et en apprécier la richesse, il nous a fallu prendre quelque distance et emprunter d'autres modèles mathématiques inventés plus tard pour l'étude des sections coniques. Sur le recours à ces modèles dans la recherche historique, je me suis expliqué dans les tomes précédents. Restait à situer les deux livres dans l'histoire des mathématiques. Dans ce cas, on commence par mesurer la distance parcourue par le mathématicien depuis ses prédécesseurs - Euclide et Archimède notamment. Mais on ne peut situer une œuvre mathématique dans l'histoire qui est la sienne en gardant les yeux tournés vers son passé. Une œuvre, surtout lorsqu'elle est fondatrice, est porteuse de tous ses développements futurs et s'éclaire à l'examen des travaux de ses héritiers. Nous pourrons ainsi trouver chez les e premiers successeurs d'Apollonius, ceux qui à partir du IX siècle ont engagé leurs recherches dans le même domaine et à l'aide de son ouvrage, le moyen de révéler ce qui n'était que potentiel, et pourtant bien là, dans l' œuvre du mathématicien. Certains traits de sa recherche dans ces deux livres se dégageront alors, que les historiens ont bien souvent ignorés en sautant pieds joints d'Apollonius au XVIIe siècle.

1 Sur l'histoire des textes des Livres VI et VII, voir Apollonius: Les Coniques, tome 1.1 : Livre l, Berlin / New York, 2008, p. 217-247, et tome 3 : Livre V, p. 220.

VI

Avant-propos

On sait en effet qu'Apollonius présente dans le sixième livre la première étude systématique de l'égalité et de la similitude entre les courbes coniques; mais on ne relève pas que c'est à l'aide d'une démarche prototransformationnelle (cf. plus loin) qu'il opère. On sait aussi que, dans le septième livre, il élabore une théorie des diamètres et des diamètres conjugués; mais on ne souligne pas assez que dans ce même livre il engage e l'étude de la variation des grandeurs qui y sont associées. Or, à partir du IX siècle, non seulement on se réfère aux propositions et aux résultats de ces deux livres, mais, sous leur impulsion quoique dans un style différent, on développe une étude plus ample et mieux fondée des transformations géométriques (homothétie, affinité, similitude ... )2 aussi bien que de la variation et des éléments invariants. C'est donc bien dans leurs prolongements immédiats que les sixième et septième livres trouvent tout leur sens. C'est toujours avec le même plaisir que je remercie Christian Rouzel, qui a révisé le commentaire mathématique et m'a fait profiter de ses critiques, de ses corrections et de ses suggestions. Je remercie vivement Aldo Brigaglia, qui a bien voulu lire le commentaire du sixième livre et qui a suggéré plusieurs remarques pertinentes. Madame Aline Auger a préparé ce livre à l'impression et composé les index et le glossaire avec sa compétence habituelle. Qu'elle soit ici remerciée. Roshdi Rashed Bourg-la-Reine, mai 2009

2 R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. IV : Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques, Londres, 2002 ; Œuvre mathématique d'al-Sijzi. Volume 1: Géométrie des coniques et théorie des nombres au xe siècle, Les Cahiers du Mideo, 3, Louvain-Paris, 2004 ; Geometry and Dioptries in Classical Islam, Londres, 2005.

SOMMAIRE Avant-propos Sigla

V XI

PREMIÈRE PARTIE: LE SIXIÈME LIVRE DES CONIQUES SUPERPOSITION, ÉGALITÉ ET SIMILITUDE DES FIGURES CONIQUES 1. Introduction........................................................................................................

3

2. Les définitions

9

3. L'égalité et l'inégalité des sections coniques....................................................... Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3 . .. .............. .. Proposition 4 Proposition 5 Proposition 6 Proposition 7 Proposition 8 Proposition 9 Proposition 10

13 14 14 16 17 18 19 21 21 22 23

4. La similitude des sections coniques Proposition Il Proposition 12 Proposition 13 Proposition 14 Proposition 15 Proposition 16

23 24 25 31 34 36 37

5. Segments semblables Proposition 17 Proposition 18 Proposition 19 Proposition 20 Proposition 21 Proposition 22 Proposition 23 Proposition 24 Proposition 25 Proposition 26

38 38 40 45 45 47 49 54 56 57 57

Sommaire

VIII Proposition 27

58

6. Problèmes de construction.................................................................................. Proposition 28 Proposition 29 Proposition 30

59 60 61 66

7. Détermination d'un cône droit semblable à un cône donné et qui entoure une section conique donnée Proposition 31 Proposition 32 Proposition 33

68 68 70 74

8. Le sixième livre et la géométrie proto-transformationnelle

77

TEXTE ET TRADUCTION Sixième livre du traité d'Apollonius sur les coniques..............................................

NOTES COMPLÉMENTAIRES

90

219

SECONDE PARTIE: LE SEPTIÈME LIVRE DES CONIQUES VARIATIONS ET DIORISMES 1. Introduction........................................................................................................ 239 2. Lemmes préparatoires Proposition 1 Proposition 5 Proposition 32 Proposition 2 Proposition 3 Proposition 4

248 248 249 250 250 252 254

3. Relations entre les paramètres initiaux et de nouveaux paramètres : relations métriques fondamentales.......................................................................... Proposition 6 Proposition 7 Proposition 8 Proposition 9 Proposition 10 Proposition Il Proposition 12 Proposition 13 .. . ... .. . ....... .. ... Proposition 14

257 257 260 262 263 264 264 264 266 266

IX

Sommaire Proposition 15 Proposition 16 Proposition 17 Proposition 18 Proposition 19 Proposition 20

267 267 267 268 268 268

4. Variation des grandeurs associées aux paramètres d, dl, Proposition 21 Proposition 22 Proposition 23 Proposition 24 Proposition 25 Proposition 26 Proposition 27 Proposition 28 Proposition 29 Proposition 30 Proposition 31 Proposition 33 Proposition 34 Proposition 35 Proposition 36 Proposition 37 Proposition 38 Proposition 39 Proposition 40 Proposition 41 Proposition 42 Proposition 43 Proposition 44 Proposition 45 Proposition 46 Proposition 47 Proposition 48 Proposition 49 Proposition 50 Proposition 51 ..

C,

268 268 271 272 273 277 278 279 280 280 281 281 287 288 290 294 296 297 298 300 303 305 307 308 308 310 314 318 323 324 327

Cl

.

5. Étude analytique de la variation des grandeurs associées à d, dl,

C,

Cl................. 330

TEXTE ET TRADUCTION

Septième livre du traité d'Apollonius sur les coniques

350

NOTES COMPLÉMENTAIRES

525

GLOSSAIRE ARABE-FRANÇAIS

541

x

Sommaire

INDEX Index des noms propres Index des concepts Index des traités

559 560 564

BIBLIOGRAPHIE

567

SIGLA

Ces crochets isolent dans le texte arabe ce qui est ajouté pour combler une lacune du manuscrit. Dans la traduction française, ils sont maintenus seulement pour les titres; ils sont introduits pour isoler un ajout au texte arabe, nécessaire à l'intelligence du texte français.

[]

Ces crochets sont utilisés seulement dans le texte arabe pour indiquer que le mot ou le passage ainsi isolés doivent être supprimés pour la cohérence du texte. Ce signe indique la fin du folio d'un manuscrit.

Les manuscrits sont désignés par les lettres suivantes: [A]

[1]

[B]

[y]

[C]

[~]

[D]

[~]

[E]

[0]

[F]

LJ]

[G]

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[Gh]

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[H]

[C]

[K]

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[Kh]

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[Y]

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[Z]

[~]

Istanbul, Süleymaniye, Aya Sofia 2762 Oxford, Bodleian, Marsh 667 New York, Columbia University, Smith or. 45 Meshed 5391 Téhéran, Sepahsalar 556 Florence, Laurenziana, or. 38 Alger, BN, 1446 Aligarh, Un. Coll. 1 Istanbul, Topkapi Saray, Ahmet III, 3455 Oxford, Bodleian, Thurston 1 Téhéran, Sepahsalar 557 Leiden, or. 14 Istanbul, Yeni Cami 803 Téhéran, Millï 3597 Manisa, Genel 1706 Oxford, Bodleian, Thurston 3 Istanbul, Topkapi Saray, Ahmet III, 3463 Rampur 2906 Meshed 5619 Istanbul, Süleymaniye, Aya Sofia 2724 Istanbul, Askari Müze 3025 Téhéran, Millï Malik 867 Londres, India Office, 924=Loth 745 Florence, Laurenziana, or. 22 Istanbul, Süleymaniye, Carullah 1507 Istanbul, Süleymaniye, Aya Sofia 4832 Edinburgh, or. 28

PREMIÈRE PARTIE

LE SIXIÈME LIVRE DES CONIQUES SUPERPOSITION, ÉGALITÉ ET SIMILITUDE DES FIGURES CONIQUES

1. INTRODUCTION

Dans le livre V des Coniques, nous l'avons vu!, Apollonius aborde un domaine de recherche à peine effleuré par ses prédécesseurs. Il y résout des problèmes géométriques difficiles, tel celui qu'on baptisera plus tard « la développée », et on peut dire qu'il y atteint les limites logiques accessibles à la géométrie de l'époque. Ce livre V - on l'a plus d'une fois souligné - se distingue de tous les autres, en ce sens que, même si l'exposé demeure synthétique, il est le plus analytique de tous et, de ce fait, le moins susceptible d'une rédaction dans le pur style euclidien. Avec le livre VI, en revanche, Apollonius semble reprendre le chemin suivi dans les quatre premiers livres, le premier notamment, même s'il y élabore une théorie particulière: l'égalité et la similitude des sections coniques. Ce passage du livre V au livre VI a suscité un certain désenchantement chez les historiens. Ainsi Montucla écrivait déjà: «je passe le sixième qui ne contient pas des choses fort difficiles, et qui traite des sections coniques semblables »2 ; et Th. Heath à son tour: « Book VI is of much less interest »3, comparé au livre V bien entendu. Avant lui, H. G. Zeuthen n'y observe « aucune difficulté géométrique vaincue »4. P. Ver Eecke, G. Loria, entre autres savants, expriment à quelques nuances près des sentiments semblables. Cette réaction est à première vue amplement justifiée, à moins de montrer que l'intention qui préside à la rédaction d'Apollonius dans le livre VI est tout autre, et qu'il a 1 Apollonius : Les Coniques, tome 3 : Livre V, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe, Berlin / New York, 2008. 2 J. F. Montucla, Histoire des mathématiques, nouveau tirage augmenté d'un Avant-Propos par M. Ch. Naux, Paris, 1960,1. l, p. 247. 3 Th. Heath, A History of Greek Mathematics, 2 vol., Oxford, 1921 ; reprod. Oxford, 1965, 1. II, p. 167. 4 H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Mit einem Vorwort und Register von J. E. Hofmann, Copenhague, 1886; repr. Hildesheim, 1966, p. 384 : «Aus diesen Gründen werden wir im 6 ten Buche keine Gelegenheit haben zu sehen, dass Apollonius irgendwie neue, eigentlich geometrische Schwierigkeiten überwindet ».

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Le sixième livre des Coniques

parfaitement accompli son projet, compte tenu des éléments géométriques dont il disposait. Mais pour adopter ce nouveau regard, il va falloir résister à l'admiration que l'on porte, bien légitimement, au livre V, ainsi qu'à la tentation de traduire immédiatement les énoncés du livre VI en algèbre. Cette traduction immédiate risquerait en effet de voiler la nouveauté des idées et des problèmes introduits par Apollonius. Dans le prologue au premier livre, Apollonius affirme que le livre VI, au même titre que les livres V, VII et VIII, ne traite plus des éléments d'une théorie des coniques, mais s'intéresse à une théorie spécifique: les sections de cône égales et semblables. De même que dans ces trois derniers livres, Apollonius expose dans le livre VI une recherche plus étendue et plus riche que tous les travaux accomplis par ses prédécesseurs. Dans le prologue au livre VI - la lettre d'expédition qu'il adresse à Attale - Apollonius revient sur son intention et s'explique sur son projet. Il écrit: « Mon intention dans celui-ci est d'instruire sur les sections des cônes égales et sur celles qui ne sont pas égales, sur les semblables et sur celles qui ne sont pas semblables, et sur les portions de sections »5. Il entend également répondre aux questions suivantes: « comment trouver dans un cône droit connu une section égale à une section connue?» et « comment trouver un cône droit qui entoure une section de cône connue et semblable à un cône connu? »6. L'intention d'Apollonius est limpide et le domaine de recherche bien délimité. Il affirme lui-même que son apport à ce secteur dépasse celui de ses prédécesseurs. Il écrit: « Nous en avons dit bien plus que ce qu'en ont dit et établi d'autres, de ceux qui nous ont précédé », et plus loin il rappelle: « ce que nous en avons exposé est plus développé et plus clair que ce qu'ont exposé ceux qui nous ont précédé »7. Tout le problème est de savoir ce qu'il entend par « plus développé et plus clair ». Doit-on comprendre qu'Apollonius avait ajouté quelques nouveaux résultats et amélioré l'exposé de ses prédécesseurs, ou, comme le soutient H. G. Zeuthen, qu'il avait organisé les résultats de ses prédécesseurs en y ajoutant quelques autres, nouveaux ? Même si tel était le cas, les organisations ne se valent pas. Certaines imposent en effet qu'on définisse à nouveau le domaine de recherche pour l'asseoir sur des fondements solides, jusque-là inexistants. Si donc on veut situer la contribution d'Apollonius, force est de revenir aux prédécesseurs. De ceux-ci, nous ne connaissons qu'Euclide et Archimède. Le premier, dans la définition 24 du livre XI des Éléments, évoque les Voir infra, p. 90 ; ar. p. 91, 5-7. Voir infra, p. 90 ; ar. p. 91, 8-10. 7 Voir infra, p. 90 ; ar. p. 91, 7-8 et 10-11. 5

6

1. Introduction

5

cônes et les cylindres semblables: « les cônes et les cylindres dont les axes et les diamètres des bases sont proportionnels sont semblables (O(..LOtOt) »8. Plus important pour notre propos est le groupe des propositions XII.8 à XII.15, où Euclide étudie certaines propriétés de la similitude et de l'égalité des cônes et des cylindres. Quant à Archimède, il donne, dans un corollaire de la proposition 6 des Conoïdes et des Sphéroïdes, une propriété des ellipses semblables : « [ ... ] le rapport des aires limitées par des ellipses semblables est égal au rapport des carrés sur les diamètres qui se correspondent dans les ellipses »9. Dans les propositions 7 et 8 du même livre, il montre comment « trouver un cône tel que l'ellipse donnée soit située dans sa surface» 10. Les documents aujourd'hui disponibles, on vient de le voir, n'attestent l'existence d'aucune étude réglée et systématique de l'égalité et de la similitude des figures coniques antérieure à celle menée par Apollonius au livre VI. On en conclut que les prédécesseurs d'Apollonius ont examiné certaines propriétés de l'égalité et de la similitude non pas pour elles-mêmes, mais à l'occasion de leurs recherches stéréométriques - dans le livre XII des Éléments et dans Les Conoïdes et les Sphéroïdes. Avec le livre VI, l'horizon de la recherche n'est plus le même: on entend mener une étude aussi systématique que possible de l'égalité et de la similitude de deux figures coniques - deux sections ou deux portions, arcs ou segments. Ces arcs et ces segments peuvent appartenir à une même section ou à deux sections différentes. Or, pour mener une telle étude, il a fallu trouver les moyens de faire correspondre une section à une autre, différente, une portion à une autre, différente, une figure à une autre figure, différente. Il a fallu forger les outils conceptuels permettant de faire correspondre aux éléments de l'une des deux figures ceux de l'autre figure, et réciproquement. Il a donc fallu étudier l'égalité et la similitude entre figures courbes. Apollonius ne pouvait pas étendre de manière simple l'étude que ses prédécesseurs avaient consacrée aux figures rectilignes. Ici on touche du doigt, me semble-t-il, le projet du livre VI : trouver les moyens d'étendre aux sections coniques la recherche accomplie pour les figures rectilignes et pour les arcs de cercle, et déterminer les conditions requises par une telle extension. L'outil principal auquel recourt Apollonius est la « superposition» d'une section conique ~ à une autre, ~/. Cette « superposition» exige d'abord de laisser fixe l'une des deux figures, soit J; et de faire mouvoir 8 Elementa, vol. IV : Libri XI-XIII, post 1. L. Heiberg, edidit E. S. Stamatis, Berlin, 1973, p. 3. 9 Archimède, De la sphère et du cylindre, La Mesure du cercle, Sur les conoïdes et les sphéroïdes, Texte établi et traduit par Charles Mugler, Paris, 1970, t. l, p. 171. 10 Sur les conoïdes et les sphéroïdes, éd. Ch. Mugler, p. 171-176.

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Le sixième livre des Coniques

déplacer ou transporter - J' dans le plan, de manière que le point origine de J', 0 ' , vienne au point origine deJ;O, et que les axes restent parallèles à leur direction primitive. Dans cette nouvelle position, la section J' est homothétique à la section J: Mais si, en faisant ce déplacement du point origine en 0, on fait tourner les axes d'un certain angle, alors J' occupera une position quelconque dans le plan et J' sera simplement semblable àJ: C'est précisément cette situation qu'Apollonius a voulu étudier dans le livre VI, à l'aide de cette notion de « superposition» qu'il n'a pas pris soin de définir. Les différents sens de cette notion capitale se laissent saisir dans les différents contextes. Différentes, on le vérifiera, ces significations ont toutes en commun la notion de mouvement dans le plan, pour ensuite se diversifier en homothétie, similitude, et même en symétrie axiale et symétrie centrale, lorsqu'on « plie» l'ellipse. Apollonius, non plus que ses prédécesseurs, ne définit pas ce mouvement. Celui-ci a été introduit implicitement, et il a fallu attendre Ibn al-Haytham (mort après 1040) pour que le mouvement devienne une notion primitive de la géométrie 11 • On a également introduit quelques transformations ponctuelles pour étudier des problèmes semblables, mais sans définir ces transformations. Ainsi Archimède procède par une affinité orthogonale dans la proposition 4 des Conoïdes et des Sphéroïdes; et Apollonius lui-même, on le verra, fait appel dans le livre VI à plusieurs transformations. Mais, non plus qu'Archimède, il ne définit ces transformations ponctuelles: on peut qualifier sa démarche de prototransformationnelle. La tâche qui est celle d'Apollonius dans le livre VI est donc, pour l'essentiel, de déterminer les conditions pour que deux sections soient superposables - c'est-à-dire homothétiques ou semblables -, à l'aide des symptomata, sans toutefois s'intéresser à la nature même de ces transformations ponctuelles. Il trouve des conditions de proportionnalité entre côtés droits et entre diamètres. Tout se passe donc comme si l'étude géométrique de la correspondance entre deux figures courbes avait tout naturellement conduit à privilégier celle des positions et les formes, c'est-à-dire les points des figures, leurs positions, et les relations qui les unissent. De tous les mathématiciens anciens, c'est Apollonius qui est allé le plus loin dans cette recherche géométrique, tout particulièrement dans le livre VI et très probablement dans d'autres livres comme Les Lieux plans. Pour comprendre le livre VI, on ne peut donc pas s'arrêter au bilan des difficultés géométriques vaincues, que Zeuthen disait médiocres - et d'ailIl R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. III : Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique, Londres, 2000.

1. Introduction

7

leurs cette notion de « difficulté» est bien relative. Mais on ne peut non plus se contenter de le ramener aux travaux des prédécesseurs d'Apollonius, que ce soit Euclide ou Archimède. Deux arguments supplémentaires viennent renforcer, si besoin était, cette distinction du livre VI. Le premier est historique : les mathématiciens qui les premiers ont pris davantage de distance à l'égard de la géométrie des figures et ont introduit mouvement et transformations ponctuelles se sont précisément référés à ce livre VI - ainsi Thabit ibn Qurra, al-Sijzi, Ibn Hüd, Ibn Abi Jarrada l2 , entre bien d'autres. D'autre part, et c'est un argument logique, on peut aisément traduire la principale recherche de ce livre dans le langage des transformées homographiques. Ce langage, qui n'est certes pas celui d'Apollonius, permet en effet d'élucider les principaux résultats qui s'y trouvent exposés l3 . La structure du livre VI se présente ainsi: aux définitions succèdent trois groupes de propositions. Le premier se compose de dix propositions où Apollonius étudie l'égalité de deux figures - sections ou portions coniques. À ce groupe on peut aussi associer la proposition 16 relative à l'égalité de deux branches d'une hyperbole, considérées comme égales et semblables. Le deuxième groupe comporte les propositions Il à 15, 17 à 22, 23 à 25, 26 et 27. Dans le premier sous-groupe (11 à 15), Apollonius étudie la similitude de deux sections. Dans le second (17 à 22) il examine la similitude des segments; dans le troisième (23 à 25) il s'intéresse aux cas d'impossibilité pour la similitude de deux segments. Enfin, dans les propositions 26 et 27, il montre que les sections par deux plans parallèles d'un cône à base circulaire sont semblables. Le dernier groupe (28 à 33) examine des problèmes de construction. Ces problèmes, disons-le d'emblée, diffèrent de ceux qui sont posés dans le premier livre. En effet, dans le livre l, on se donne dans un plan II une section conique définie par un diamètre et le côté droit qui lui est associé, et on cherche à déterminer un cône de révolution dont la section par le plan II est la section donnée. Le cas où le diamètre donné est l'axe est traité d'abord, 12 Cf. R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. 1: Fondateurs et commentateurs: Banu Musa, Thabit ibn Qurra, Ibn Sinan, al-Khazin, al-Quhi, Ibn al-Saml:t, Ibn Hud, Londres, 1996, p. 482-483, 603-609, 981 sqq, 10331035. Notons qu'al-Sijzï modifie le compas parfait inventé et étudié par son prédécesseur al-Qühï afin de construire des sections semblables (R. Rashed, Œuvre mathématique d'al-Sijzi. Volume l : Géométrie des coniques et théorie des nombres au xe siècle, Les Cahiers du Mideo 3, Louvain / Paris, 2004, p. 79-80 ; cf. également Geometry and Dioptries in Classical Islam, Londres, 2005). Tout se passe comme si le mathématicien du xe siècle voulait fournir au livre VI l'instrument qui manquait à Apollonius pour construire des sections semblables, aussi bien que la théorie géométrique de cet instrument. 13 Voir plus loin.

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Le sixième livre des Coniques

et Apollonius montre ensuite que, si on connaît un diamètre quelconque et son côté droit, on peut déterminer l'axe et le côté droit qui lui correspond et ainsi se ramener à la première construction. Dans le livre VI, les problèmes de construction traités sont de deux types: 1° Dans les propositions 28 à 30 on se donne un cône de révolution et une section conique caractérisée par son axe et le côté droit qui lui est associé, et on cherche à déterminer le plan JI qui coupera le cône donné suivant une section égale à la section donnée. 2° Dans les propositions 31 à 33, on cherche à déterminer un cône de révolution semblable à un cône donné et qui entoure une section donnée. Il est clair que ces constructions sont différentes de celles du livre 1 (propositions 49 et 50), dans la mesure où elles portent explicitement sur l'égalité et la similitude. Sur les relations entre ces deux livres, contentons-nous de dire qu'au livre VI Apollonius revient à un problème fondamental de sa théorie des coniques, qu'il avait soulevé au livre 1 : le passage du cône à ses sections planes et inversement, et le rôle primordial de la notion de côté droit. Dans le premier livre, Apollonius obtient les sections planes à l'aide de deux segments de droite : diamètre et côté droit, et c'est cette notion de côté droit qui assure le passage de la section plane au cône. C'est elle en effet qui relie la section plane à sa génération à partir du cône. Les symptomata établis au premier livre pour les trois sections révèlent d'ailleurs précisément comment le côté droit autorise le passage d'une section conique au cône à partir duquel elle a été engendrée. Le côté droit permet donc de transférer dans un plan une section conique engendrée dans le cône, et aussi de placer une section conique plane sur un cône. À partir de la proposition 28 du livre VI, Apollonius explicite efficacement cette notion. Notons enfin que, pour déterminer l'égalité de deux sections coniques, ou de deux portions de section, Apollonius démontre qu'elles sont « superposables» point par point. Le raisonnement fait intervenir, outre cette notion, les propositions 1.11, 1.12 et 1.13, selon le cas. Pour démontrer la similitude de deux sections ou de deux segments de section, Apollonius part en général de deux divisions semblables - sur les axes ou sur les diamètres - des sections considérées, et pour obtenir le rapport des ordonnées associées aux points de ces divisions, il fait appel aux propositions Il, 12, 13,20 et 21 du livre 1. Mais, avant de commenter les propositions et leurs démonstrations, arrêtons-nous aux définitions de l'égalité et de la similitude.

2. Les définitions

9

2. LES DÉFINITIONS Le livre VI s'ouvre sur dix définitions, dont les plus importantes sont celles de l'égalité et de la similitude, d'abord pour les sections coniques, puis pour les portions de sections coniques. Apollonius définit ensuite la notion de « placé dans» - une section conique ou une portion « placée dans» un cône; la notion d'« entourer» - un cône « entoure» une section ou une portion. Il définit aussi les notions d'axe, de diamètre et de sommet pour les portions ; et celle de « figure de section». Les définitions se partagent pour l'essentiel en deux types : celles qui portent sur la position et la forme, comme l'égalité, et celles qui opèrent sur des grandeurs à l'aide de la théorie des proportions, comme la similitude. Deux sections, ou deux portions, sont égales, si l'on peut appliquer l'une à l'autre à l'aide d'un mouvement dans le plan. Apollonius définit l'égalité de deux sections coniques : « Les sections de cônes que l'on dit égales sont celles dont les unes peuvent "se superposer (yantabiq)" aux autres et dont aucune n'excède l'autre »14. Le terme tabaq et ses dérivations, comme l'indiquent unanimement les dictionnaires de la langue classique l5 , signifie: poser une chose sur une autre de sorte que leurs extrémités coïncident. Or c'est précisément ce terme que les traducteurs des livres géométriques grecs ont choisi pour rendre È 0 pour l'hyperbole et À < 0 pour l'ellipse). Lorsqu'on la transforme par une homothétie h centrée à l'origine et de rapport k : X = kx, Y = ky, on obtient la conique J' d'équation y2 = 2pkX + ÀX2, avec le même À et un paramètre p / = kp. Inversement, il est clair que la conique J' d'équation y2 = 2pX + À~ est transformée de J par l'homothétie précédente. Considérons maintenant des segments eA'de J et eA" de J', compris respectivement entre les abscisses Xl, X2 et Xl, X 2. Si Xl = kXI et X 2 = kX2' on voit tout de suite que eA" est transformé de eA'par l'homothétie h ; en effet, les conditions Xl ~ X ~ X2 et Xl :::; kx :::; X 2 sont alors équivalentes (si on suppose k> 0 ; si d < 0, il faut écrire X 2 :::; kx ~ Xl). Il en résulte d'abord que les points (Xl, YI), (X2, Y2) de J ont pour images les points (Xl, YI), (X 2 , Y2 ) de J' ; donc la corde de eA' a pour image la corde de eA". D'autre part, l'arc de J limitant eA'a pour image l'arc de J' limitant eA". Enfin, si Xl ~ X :::; X2, la portion d'ordonnée d'abscisse X contenue dans eA' a pour image la portion d'ordonnée d'abscisse kx contenue dans eA" ; Apollonius ne fait pas mention de cette dernière propriété. PROPOSITION VI.23. - Les sections dissemblables ne contiennent pas de portions semblables. Soit J et J' deux sections qui ne sont pas semblables; aucune portion de J ne peut être semblable à une portion de J'. Dans cette proposition, Apollonius considère J et J' deux hyperboles ou deux ellipses de centre K et A. E

M

z

H N

B A

p

A

TI K

Fig. 23.1

s r

x

Fig. 23.2

e

55

5. Segments semblables

Démonstration : On suppose que les portions BME sur J et L1NZ sur le milieu de L1Z. Les droites AH et Ke sont des diamètres, d'après 1.47, tels que AH coupe l'arc BE en Met Ke coupe l'arc L1Z en N. On distingue deux cas pour AH et

J' sont semblables. Soit H le milieu de BE et

e

Ke. E M

z N

p

.... ('f-----îl----h-------=rr-------()---()--()N

A

K

z

Fig. 23.4

Fig. 23.5

a) AH et Ke sont les axes de J et J'. Dans ce cas, d'après la définition des portions semblables, on a BE _ LlZ . HM-eN'

et si on prend 1 E [MH] et I E [Ne] avec MI = MH, et si on mène Nf

IQ 1- MA et IR 1- NK, on aura IQ

MI

points tels que (l, 1), donc J l'hypothèse.

= Rf ,

Nf

Ne

ce qui est vrai pour tout couple de

et J' sont semblables; ce qui est contraire à

b) MA et NK ne sont pas des axes. Soit AA et rKles axes et c et c/les côtés droits associés. Menons MIT 1- AA et NX 1- rK, puis MP tangente à J (P sur AA) et NE tangente à J' (E sur rK). D'après VI.18, les triangles MPA et NEK sont semblables et les triangles MPIT et NXE le sont aussi ; on a donc AIl MIl

= KX et NX

PIl MIl

= XE NX '

d'où AIl·PIl MIl 2

-

KX·XE NX 2

or, d'après 1.37, on a AIl . PIl = 2AA et KX· XE = 2rx MIl 2 c NX 2 c"

56

Le sixième livre des Coniques

d'où 2AA

2TK

S'il en était ainsi, alors, d'après VI.I2, ~ et ~/ seraient semblables; ce qui est contraire à l'hypothèse. Il est donc impossible que BME et L1NZ soient semblables. Pour mener la démonstration rigoureusement, le traducteur s'est référé au lemme 8 des Banu Musa32 • Remarque: L'énoncé d'Apollonius est équivalent au suivant: si deux coniques contiennent des segments semblables, elles sont semblables. En utilisant la similitude comme transformation ponctuelle, on établit la proposition de la manière suivante: supposons que les segments ~de ~ et ~' de ~' sont semblables et soit h une similitude telle que h(e/l) = ~/. alors ~ est semblable à h(~) ; cette dernière conique possède un arc commun avec ~' (l'arc qui sous-tend ~/), donc elle coïncide avec ~/, et ~ et ~ 1 sont semblables.

La proposition VI.23 reste vraie si l'une des deux sections est une parabole et l'autre une hyperbole ou une ellipse; et si les deux sections sont une hyperbole et une ellipse. Soit ~ une parabole et ~' une hyperbole ou une ellipse, BME une portion de ~ et L1NZ une portion de ~' ; elles sont nécessairement dissemblables. PROPOSITION VI.24. -

B

H

MLt----o-----

e

N

z

E

Fig. 24.1

Fig. 24.2

Démonstration : Supposons BME semblable à L1NZ, alors, en utilisant les propriétés qui résultent de la définition des portions semblables et en rai32

Voir Les Coniques, Tome 1.1, p. 493-494 et 524-527.

57

5. Segments semblables

sonnant comme dans VI.14 pour les sections entières, on aboutit à une impossibilité. Si J est une hyperbole et J' une ellipse, on montre l'impossibilité de la similitude de BME et KNZ, en raisonnant comme dans la proposition VI. 15. PROPOSITION VI.25. - Aucune partie d'une des trois sections coniques ne peut être un arc de cercle.

r K M

TI

x

Fig. 25

Démonstration: Supposons que l'arc ABT d'une section conique soit un arc de cercle. On mène les cordes AB et TE non parallèles et une troisième corde HZ qui n'est parallèle ni à AB ni à TE. On mène ensuite ze Il AB, HK Il TE et EA Il HZ. Désignons par M, N, S, 0, IT, X les milieux respectifs des cordes AB, ze, HZ, EA, TE et HK. Les droites joignant les milieux de deux cordes parallèles sont des diamètres. Si de plus l'arc ABTétait un arc de cercle, on aurait MN...L AB, OS...L HZ et XIT...L ET, et les trois droites distinctes MN, OS et ITX seraient alors trois axes de la section; ce qui est impossible, car une section conique a, au plus, deux axes, d'après II.50. Il n'est donc pas possible qu'un arc d'une section conique soit un arc de cercle. Les deux propositions suivantes traitent des sections planes d'une surface conique à base circulaire par deux plans parallèles. Apollonius montre que ces sections sont semblables. Dans ces propositions, la figure est rapportée à un plan de référence défini par le sommet A du cône et un diamètre BTdu cercle de base. Comme dans le premier livre des Coniques, les plans sécants sont perpendiculaires au plan de référence ABT. Dans VI.26, il considère l'hyperbole et, dans VI.27 l'ellipse. Cas des sections hyperboliques. Soit deux plans parallèles P et P/, leurs intersections avec le plan de base sont les cordes KAN et eHM perpendiculaires au diamètre BT et leurs

PROPOSITION VI.26. -

58

Le sixième livre des Coniques

intersections avec le plan de référence sont deux droites parallèles A.10 et HZE qui coupent la demi-droite [AB) en .1 et Z et le prolongement de [An en Oet E.

N

Fig. 26

D'après 1.12, on sait que dans ce cas les sections sont des hyperboles de diamètre .10 = d et ZE = d/. On mène AlI parallèle à ces droites, II sur BT, les côtés droits relatifs à .10 et ZE sont les segments .15 = c et Z1 =c/ définis par AII 2 BII ·rII d c

d' c

.10 EZ --.18 ZI'

d'après 1.12. d d'

c

On a donc - =-; ; ce qui est équivalent à - =-. De plus, on a c'

.1ÂN = ZHM (angles à côtés parallèles) qui sont les angles des ordonnées avec les diamètres. Les deux sections sont donc des hyperboles semblables, d'après VI.12. Elles sont inégales car d ;j:. d/. Cas des sections elliptiques. Que les plans parallèles P et P/ donnés ne soient ni parallèles ni antiparallèles au plan de base. Ils coupent tous deux les demi-droites [AB) et [An; les sections sont alors deux ellipses, d'après 1.13. Les notations pour les points utilisés sont les mêmes que dans VI.26. Les diamètres sont .10 = d et EZ = d/ et les côtés droits associés sont c = .1E et c / = Z1 tels que

PROPOSITION VI.27. -

59

5. Segments semblables

AIl 2 BIl . TIl

d'après 1.13.

K

8

r

B

H

A

M

TI

N

Fig. 27 d d'

c

A

On a donc - = - ; et d'autre part KAi! c/

= eHZ, angles des ordonnées A

avec le diamètre. Les deux ellipses sont donc semblables, d'après VI.13, et elles sont inégales car d * d/. Remarques: 1° Dans les deux propositions précédentes, aucun des plans donnés ne passe par le sommet A. Les sections obtenues se correspondent dans

l'homothétie de centre A et de rapport k = AZ = AB . AL!

AD

2° Si P et P/ sont parallèles à AB, les sections seront deux paraboles. Mais Apollonius a établi dans VI. Il que toutes les paraboles sont semblables. 3° Si P et P / sont parallèles ou antiparallèles au plan de base, les sections seront des cercles. On peut conclure: les intersections d'une surface conique par deux plans parallèles dont aucun ne passe par le sommet A sont des sections semblables; elles sont homothétiques dans une homothétie de centre A. 6. PROBLÈMES DE CONSTRUCTION

Dans les trois propositions suivantes - VI.28, VI.29 et VI.3ü Apollonius propose de trouver sur un cône droit, donné par son sommet A et un diamètre Br du cercle de base, une section plane égale à une section

59

5. Segments semblables

AIl 2 BIl . TIl

d'après 1.13.

K

8

r

B

H

A

M

TI

N

Fig. 27 d d'

c

A

On a donc - = - ; et d'autre part KAi! c/

= eHZ, angles des ordonnées A

avec le diamètre. Les deux ellipses sont donc semblables, d'après VI.13, et elles sont inégales car d * d/. Remarques: 1° Dans les deux propositions précédentes, aucun des plans donnés ne passe par le sommet A. Les sections obtenues se correspondent dans

l'homothétie de centre A et de rapport k = AZ = AB . AL!

AD

2° Si P et P/ sont parallèles à AB, les sections seront deux paraboles. Mais Apollonius a établi dans VI. Il que toutes les paraboles sont semblables. 3° Si P et P / sont parallèles ou antiparallèles au plan de base, les sections seront des cercles. On peut conclure: les intersections d'une surface conique par deux plans parallèles dont aucun ne passe par le sommet A sont des sections semblables; elles sont homothétiques dans une homothétie de centre A. 6. PROBLÈMES DE CONSTRUCTION

Dans les trois propositions suivantes - VI.28, VI.29 et VI.3ü Apollonius propose de trouver sur un cône droit, donné par son sommet A et un diamètre Br du cercle de base, une section plane égale à une section

60

Le sixième livre des Coniques

conique donnée, soit J. Le plan ABr sera pris comme plan de référence. Il s'agit de déterminer la position du plan JI qui donnera la section J. La section J est une parabole de côté droit c. La figure de cette parabole telle qu'elle se présente dans le texte est la suivante: axe L!A et côté droit L!Z = c. Seule la longueur c intervient dans le raisonnement. On cherche une parabole dont le sommet est sur le côté AB du triangle de référence ABr.

PROPOSITION VI.28. -

A Li

Z o

E A

r

B

K

Fig. 28

Soit HIe point de AB tel que TB 2

c AH

AB·AT

TB 2 AB 2 •

Menons par HIa droite He Il Ar. Le plan perpendiculaire au plan ABr suivant He est le plan JI cherché. Démonstration: En effet, d'après 1.11, ce plan coupe la surface du cône suivant une parabole d'axe He et de côté droit Cl qui vérifie l'égalité TB 2 _ AH - AB·AT' C1

donc Cl = C ; et, d'après VI.1, la parabole KH obtenue est égale à la parabole donnée. Aucune autre section parabolique ayant son sommet sur AB ne sera égale à la parabole donnée. S'il existait une telle section de sommet I;j:. H, son plan serait parallèle au plan de KH et son axe serait parallèle à la droite Ar. Son côté droit serait C2 tel que

61

6. Problèmes de construction ~_ Br • AI - AB·Ar ' 2

donc -

C2

AI

*

_

-

C

AH

*

Or AI AH, donc C2 c. La parabole de sommet l ne peut donc pas être égale à la parabole donnée. Ainsi, à chaque génératrice correspond une solution et une seule.

Remarque: Notons que cette démonstration est valable pour un cône quelconque, droit ou oblique (voir plus loin la remarque aux propositions 31 à 33). La section est une hyperbole $ d'axe HL1 = d et de côté droit L1Z = c. Soit A e l'axe du cône droit et AB r le plan de référence. On cherche une hyperbole égale à $ et ayant son sommet sur la génératrice AB et son axe dans le plan ABT. Apollonius montre que le problème n'est possible que si

PROPOSITION VI.29. -

TI

H

z

B ()----- -. L'hyperbole

2

· . SI. -Ae dl" h / / . du cone " - 2 = -, a ors a caque generatrlce correspon d une A InsI,

Be

c

solution et une seule.

Remarque: Construction de NIl, telle que NIl Il AB et NIl = d. il

x ....

A

N

Bo---------------b r

e

Fig. 29.3

Posons a

= BÂB.

On a ANIl = AfIN = a ; le triangle IlAN est

isocèle. Soit XIe milieu de NIl, NX = ~ et AN = AIl = _d_. 2

2cosa

Sans faire intervenir a, on a le triangle ANX semblable au triangle ABe et NX = ~, donc AN = AIl = ~ 2

2

.

AB. Ae

Notons qu'il s'agit d'un problème d'intercalation: entre les droites AB et AIl, intercaler une droite parallèle à une direction donnée et d'une longueur donnée.

64

Le sixième livre des Coniques

b) Supposons que

Ae 2 d c; d'" ou

AS AM

d - C < 1. d

-===== = -

Le point S est donc l'intersection du cercle ABT avec la droite homothétique de la droite BT dans l'homothétie ( A, d/ ) . Cette droite coupe le cercle en deux points S et S/ auxquels correspondent les points M et M/. Le problème a donc deux solutions pour lesquelles un sommet de grand axe est sur la droite AB ; l'ellipse de grand axe ail, avec AO < Ail, est celle mentionnée par Apollonius, et l'ellipse de grand axe O/Il/, avec

68

Le sixième livre des Coniques

AO/> A11/, pour laquelle le sommet du grand axe le plus proche de A n'est

pas sur AB, mais sur Ap3. A

M'

r

B

M

Fig. 30.2

Dans les trois dernières propositions du livre VI, Apollonius entend déterminer un cône droit semblable à un cône donné et sur lequel se trouve: VI.31 une parabole donnée, VI.32 une hyperbole donnée et VI.33 une ellipse donnée. Ces trois propositions sont des raffinements des propositions 49 et 50 du livre 1. 7. DÉTERMINATION D'UN CÔNE DROIT SEMBLABLE À UN CÔNE DONNÉ ET QUI ENTOURE UNE SECTION CONIQUE DONNÉE PROPOSITION VI.31. -

Soit BAT la parabole donnée dans un plan 11, soit

AA son axe et AL! son côté droit. Le cône donné a pour sommet E et pour

base le cercle de diamètre ZK.

......

e()---------~

N

M

B E

1\

Z

K

Fig. 31

33 Pour la deuxième intercalation, conduisant à la construction de comme dans la remarque suivant la proposition 29.

on, on procède

68

Le sixième livre des Coniques

AO/> A11/, pour laquelle le sommet du grand axe le plus proche de A n'est

pas sur AB, mais sur Ap3. A

M'

r

B

M

Fig. 30.2

Dans les trois dernières propositions du livre VI, Apollonius entend déterminer un cône droit semblable à un cône donné et sur lequel se trouve: VI.31 une parabole donnée, VI.32 une hyperbole donnée et VI.33 une ellipse donnée. Ces trois propositions sont des raffinements des propositions 49 et 50 du livre 1. 7. DÉTERMINATION D'UN CÔNE DROIT SEMBLABLE À UN CÔNE DONNÉ ET QUI ENTOURE UNE SECTION CONIQUE DONNÉE PROPOSITION VI.31. -

Soit BAT la parabole donnée dans un plan 11, soit

AA son axe et AL! son côté droit. Le cône donné a pour sommet E et pour

base le cercle de diamètre ZK.

......

e()---------~

N

M

B E

1\

Z

K

Fig. 31

33 Pour la deuxième intercalation, conduisant à la construction de comme dans la remarque suivant la proposition 29.

on, on procède

7. Détermination d'un cône droit semblable à un cône donné

69

Soit Q le plan passant par AA et perpendiculaire à II. Dans Q on considère le point M défini par AÂM

= EZK

et

Ail = ZK. Sur A M AM ZE

comme base, on trace le triangle isocèle ABM semblable au triangle KEZ. On a donc BUA = EZK

= AÂM, d'où BM Il M.

Dans le plan perpendiculaire à Q suivant la droite AM, on considère le cercle de diamètre AM; alors le cône de sommet B ayant ce cercle pour base répond au problème. Démonstration: Puisque BM Il AA, le plan II est parallèle à la génératrice BM du cône; il coupe donc le cône suivant une parabole f?JJde sommet A et d'axe AA. On a posé Ail = ZK et la similitude des triangles AM

ZE

ABM et ZEK donne ZK

AM

ZE

Me

AM Ae'

-=--=--

d'où Ail _ AM . AM - Ae '

ou

AM = Ail· AB, d'où Ail

Ail

eM

Ae

---

Cette égalité exprime, d'après 1.11, que Ail est le côté droit de g;; celleci est donc la parabole donnée BAT. Il n'y a pas de cône semblable à EZK, dont le sommet est du même côté que B par rapport au plan II, et qui réponde au problème posé. Démonstration: Supposons qu'il en existe un et soit l son sommet, I:t B. Le plan passant par l'axe du cône et perpendiculaire au plan II coupe ce plan suivant l'axe AA de la parabole donnée. Ce plan est donc le plan Q, alors lA et la parallèle IN à M menée de l sont les génératrices du cône Q. On a IN Il BM et ZÊK = AÎN = AêM , donc le point l est sur la droite AB; la droite AM coupe IN en S. D'après 1.11, le côté droit c de la section du cône AIS par le plan II est tel que

AI

et c = Ail par hypothèse.

AI ·IE

70

Le sixième livre des Coniques

A-Id AM AM AB, . '1'Itude d e AM/.:) L a Simi ~ et ~ onne - =-AB et - =Ae

AI

Me

lB

d'où 2

AB AI·IE

2

AM et AL1 = AL1 Ae·eM AI Ae'

donc AB = AI ; ce qui est absurde, car l

* B.

Ainsi de chaque côté du plan II de la parabole, on peut trouver un cône droit et un seul, semblable au cône donné, et dont la section par le plan II est bien la parabole donnée. Remarque : Il est clair que le cône symétrique du cône (8, AM) par rapport au plan II répond aussi au problème posé. Notons que, dans la proposition 1.49, il n'y avait pas unicité. La section donnée est une hyperbole ABT dans un plan II, le diamètre porté par l'axe AN = d et le côté droit AT= c. Le cône droit donné est EZK de sommet E, avec H centre du cercle de base. Posons EZK = 2a, EH = h, HZ = HK = r. PROPOSITION VI.32. -

o

r M B

A

Ko-------u---~

p

Z

Fig. 32.1

Dans le plan Q perpendiculaire au plan II suivant la droite NAA on considère le cercle ABNP de diamètre BP perpendiculaire à AN tel que AêN=n-2a et APN=2a.

7. Détermination d'un cône droit semblable à un cône donné 2

71

2

EH- = AN h d] a) Supposons - [ Ç:::}-=-. 2 2

ZH

AT

c

r

Soit ME [NB) tel que AM Il pe, la droite PB est bissectrice de NÊJA. On a donc eMA == eÂM, et le triangle eMA est isocèle. On montre que le cône de sommet e et dont la base est le cercle de diamètre AM dans le plan perpendiculaire à Q suivant AM est semblable au cône (E, ZK) ; et que le plan II donné coupe le cône (B, AM) suivant l'hyperbole donnée A Br. Démonstration: En effet, AÊJM == APN == ZÊK, les triangles AeM et ZEK sont isocèles et semblables. Si on mène .1 AM, on a

en

d'où

en

2

EH 2 KH·HZ

Mn ·An '

EH 2 KH·HZ

EH 2 ZH 2

•

or par hypothèse -

AN AT'

donc

en

2

Mn·AIT

AN

AT

et, d'après 1.12, AN est le diamètre et ATle côté droit de la section plane du cône (e, AM) par le plan II donné. Cette section est donc l'hyperbole donnée BAr. Le cône (B, AM) répond donc au problème posé. Il n'existe aucun autre cône droit, ayant son sommet du même côté que par rapport au plan II, qui réponde au problème. Supposons qu'il en existe un et soit J son sommet. Le point J est nécessairement dans le plan Q. Soit AO le diamètre de sa base, on a AJO semblable à KEZ, donc AÎO == AÊJM . Les points N, J, 0 sont alignés, car la gén~ratrice JO doit passer par l~ sommet N de l'hyperbole. Il en résulte que AJN est supplémentaire de AJO, donc égal à AeN et J est donc sur l'arc AeN. Comme e est le milieu de l'arc AN sous-tendu par APN == AÎO, la droite Je est bissectrice de AÎO et AO, qui lui est perpendiculaire, est parallèle à JP.

e

72

Le sixième livre des Coniques

On mène lç Il AN, le point ç sur [AD] ; puisqu'on suppose que la section du cône (l, AD) par le plan II est l'hyperbole BAT, on a alors, d'après 1.12

on aurait donc 2

(*)

2

çI EH _ • Aç-çO - ZH -HK '

or les triangles AID et KEZ sont semblables et ZH = HK, donc Aç = çD ; par ailleurs Aç

çO

= IN = NX 10

XA

(X l'intersection de AN et PI; triangles semblables NXI et NAD) ; donc NX = XA ; ce qui est impossible, car l est supposé différent de e. L'égalité (*) est donc impossible. Remarque : Il est clair que le cône symétrique du cône (e, AM) par rapport au plan II répond aussi au problème. 2

2

AN [ 2" h < -d] · b) Supposons -EH -2 < HZ

AT

c

r

Avec les mêmes constructions que dans a) les triangles AeM et KEZ sont semblables. Si II désigne le milieu de AM, on a

d'où EH 2 ZH 2

Mais eII = AS et IIA EH 2 ZH 2

-

eIT 2 ITA 2

•

= es, d'où AS 2 -

es 2

ps-es PS AN --=- 0, c'est-à-dire lorsque 1 est une involution elliptique. Notons que /l(/, 1) = 0 signifie que a = -1, c'est-à-dire que les points fixes de 1 sont ± 1: 1, conjugués par rapport à J ; en outre, /l(/, 1) = 1 signifie que a = 1, c'est-à-dire que 1 =J. Lorsque 1 est hyperbolique, ses points fixes P, Q séparent M et N puisque le birapport (P, Q, M, N) est égal à -1. LEMME 1 : Soient J une involution elliptique et {M, N} une paire de points

de Ll conjugués par rapport à J. a) Il existe une involution parabolique unique de point singulier M ; b) pour tout nombre réel À n'appartenant pas à l'intervalle ]0, 1[, il existe une involution unique 1 telle que Jl(I, J) = À et que M, N soient conjugués par rapport à 1. Supposons en effet que N n'est pas un point singulier de l'involution cherchée 1 et choisissons les coordonnées de manière que M = 1:0 et N = 0: 1 et que l'équation de J soit x 2 + y2 = O. L'équation de 1 est de la

80 forme

Le sixième livre des Coniques

ax 2 + y2

= 0 où a = 0 si 1 est parabolique et 11(/, J) = Ca + 1)2 = À 4a

dans le cas contraire; cette équation en l'autre,

a a deux racines inverses l'une de

a et ~, qui définissent la même involution car on peut les échanger a

en permutant M et N. Appliquons ces remarques au cas dans lequel J = J, involution qui définit l'orthogonalité, et 1 est l'involution à l'infini d'une conique J : J est une parabole dans le cas où /leI, J) = 00 ; c'est une hyperbole dans le cas où /leI, 1) ~ 0 et une ellipse dans le cas où /l(/, 1) 2:: 1. Ajoutons que J est une hyperbole équilatère lorsque /leI, J) = 0 et un cercle lorsque /leI, J) = 1. Enfin l'excentricité e de J est égale à -)1- a si on utilise les notations précédentes en choisissant M, N de manière que a < 1 ; on en déduit que

-J

2 = 2( 1- /l) + 2 f.1(f.1 - 1) où /l

e

2

- e )2 = /leI, 1) et, inversement, /leI, 1) = (24(1e ) 2

•

Il résulte immédiatement de ce qui précède qu'une parabole ne peut être semblable ni à une ellipse, ni à une hyperbole; c'est l'objet de la proposition 14 d'Apollonius. Une hyperbole ne peut pas être semblable à une ellipse; c'est l'objet de la proposition 15 d'Apollonius. De plus, si une hyperbole est semblable à une hyperbole équilatère, elle est elle-même équilatère et si une ellipse est semblable à un cercle, c'est un cercle. LEMME 2 : Considérons trois involutions l, l'et J sur ~, et supposons que J

soit elliptique. Si f.l(l, J) = f.l(I', J), il existe une homographie h de ~ transformant l'en 1 et laissant J invariante. Soient {M, N} et {M/, N/} des paires de points de L1 conjugués par rapport à J et, respectivement, par rapport à 1 et à 1/; dans le cas où 1 et 1/ sont paraboliques, on suppose que M et M/ sont leurs points singuliers respectifs. Il existe une homographie h transformant M/ en M et N/ en N ; dans un système de coordonnées homogènes (x, y) tel que M/ = 1:0, N/ = 0: 1, . M = a: a / et N = b : b / ,la matrIce de h est de la forme

L'invariance de J, d'équation x 2 + y2

(Àa Àa'

Jlb] . Jlb'

= 0 impose ab + a/b/ = 0 (vérifié car

M et N sont conjugués par rapport à 1) et À2(a 2 + a Il) = /l2(b2 + b Il) ; ceci détermine le rapport

À:, d'où deux valeurs opposées pour

Jl

~

et deux

Jl

homographies h. L'homographie h transforme 1/ en une involution Il telle

8. Géométrie proto-transformationnelle

81

que Jl(It, 1) = Jl(I/, 1) = Jl(I, 1) et que M et N soient conjugués par rapport à J et par rapport à chacune d'elles. Il résulte du lemme 1 que Il = 1. COROLLAIRE: Lorsque ~(I, J)

= ~(I', J) et que 1 et l' sont paraboliques,

il existe deux homographies laissant J invariante et transformant l'en 1 ,. lorsqu'elles sont non paraboliques et distinctes de J, il en existe quatre.

LEMME 3 : Considérons une homographie h de ~ et deux points A, A' du plan affine TI-~ ,. il existe une homographie R de TI telle que R(A') = A, H(~) = ~ et que la restriction de H à ~ soit h. Soient B, B' deux autres points tels que B "* A et B' "* A' et soient U, U' les points où L1 rencontre respectivement les droites AB, A'B' ,. si heU') = U, on peut imposer que H(B') = B et H est alors entièrement déterminée. On sait en effet qu'une homographie de TI est déterminée par la donnée des images de quatre points formant un repère projectif, c'est-à-dire dont trois quelconques ne sont pas alignés. On prend comme repère projectif (A /, B /, M/, N/), où M/ et N/ sont des points de L1 distincts entre eux et distincts de U/; on pose H(A /) = A, H(B/) = B, H(M/) = h(M/) et H(N/) = h(N) . Les deux premières conditions impliquent que H(U/) = U = h(U/), et il en résulte que H laisse L1 invariante et coïncide avec h sur L1. LEMME 4 : Soient /

et / ' deux coniques réelles non dégénérées du plan TI et A, B des points distincts de / et A', B' des points distincts de / ' . On désigne par 1 (resp. l') l'involution à l'infini de / (resp. /'), et par {M, N} (resp. {M', N'}) une paire conjuguée commune à J et à 1 (resp. l'), par U (resp. U') le point à l'infini de la droite AB (resp. A'B') et par T (resp. T/) le point à l'infini de la tangente à / en A (resp. à / ' en A'). On suppose que: ]0) ~(I, J) = ~(I', J) ; 2°) U' ~ {M', N'} ; 3°) il existe une homographie h de L1 qui laisse J invariante et qui transforme M'en M, N' en N, U' en U et T/ en T. Soit H l'homographie de TI qui laisse L1 invariante, induit h sur ~ et transforme A' en A et B' en B ,. H transforme / ' enJ: Lorsque /n'est pas un cercle, la paire {M, N} est déterminée d'une manière unique. Lorsque / est une parabole, l'un des points M, N est singulier pour 1 et correspond à la direction de l'axe de / ; l'autre correspond à la direction perpendiculaire et l' hypothèse 2° signifie que A /B / n'est pas perpendiculaire à l'axe de J'. Lorsque / est une conique à centre, ces points correspondent aux directions des axes de / et de même pour / ' ; l'hypothèse 2° signifie donc que A /B / n'est pas parallèle à l'un des axes de / ' . Lorsque / est un cercle, M et N correspondent à deux directions orthogonales et par ailleurs quelconques; on peut choisir M/ et N/ distincts de U/ pour vérifier l'hypothèse 2°.

82

Le sixième livre des Coniques

Il existe une homographie h de L1 laissant J invariante et telle que h(M/) = M et h(Nj = N, d'après le lemme 2. D'après le lemme 3, h se prolonge d'une manière unique en une homographie H de Il telle que H(A/) = A et H(B/) = B. Soit JI la transformée de J' par H; c'est une conique qui passe par A et B et qui est tangente à J en A, car H(A /T/) = AT. CommeJet~ ont la même involution à l'infini /, on en déduit que ~ = ~ car une conique est entièrement déterminée par un point et sa trace sur deux droites distinctes ne passant pas par ce point (cela revient à se donner cinq points). Notons que, si J et J' sont des hyperboles, l'hypothèse h(T/) = T implique que h transforme le segment de L1 extérieur à J'en le segment de L1 extérieur à ~ donc le segment de L1 intérieur à J'en le segment de L1 intérieur àJ. COROLLAIRE: Pour que deux coniques réelles non dégénérées J et J' d'involutions à l'infini 1 et l' soient semblables, il faut et il suffit que 11(1, J) =11(1', J). On sait déjà que la condition est nécessaire. Inversement, supposons que /1(/,1) = /1(//, 1) et considérons {M/, N/} une paire de points de L1 conjugués par rapport à [/ et par rapport à J, un point U/ de L1 distinct de M/ et de N/, un point A / de J' tel que la tangente à J'en A / rencontre L1 en un point T/ distinct de U/ et le point B / où A /U/ recoupe J ' . Dans le cas où J'est une hyperbole dont les points à l'infini sont P / et Q/, on suppose que N / appartient au segment P/Q/ de L1 extérieur à J'. Soit {M, N} une paire de points conjugués par rapport à / et par rapport à J ; dans le cas où J est une hyperbole de points à l'infini P, Q, on suppose que N appartient au segment PQ de L1 extérieur à J. Soit h une homographie de L1 qui laisse J invariante et qui transforme M/ en M et N/ en N ; on pose h(U/) = U et h(T/) = T ; lorsque J est une hyperbole, on voit que T est extérieur à J. Soit A le point de contact d'une tangente à J issue de T et soit B le point où A U recoupe ut: Les trois conditions du lemme 4 sont vérifiées, donc l'homographie H définie dans ce lemme transforme J'en J; comme H laisse L1 et J invariantes, c'est une similitude. En particulier, toutes les paraboles sont semblables entre elles, car elles sont caractérisées par /1(/, 1) = 00 ; c'est l'objet de la proposition Il d'Apollonius. Tous les cercles sont semblables entre eux, car ils sont caractérisés par /1(/, J) = 1 et toutes les hyperboles équilatères sont semblables entre elles, car elles sont caractérisées par /1(/, 1) = O. Explicitons la condition /1(/, J) = /1(//, J) dans le cas de coniques à centre. Dans le plan affine II-L1, prenons comme axes de coordonnées le diamètre passant par A et la tangente AT à J en A ; l'équation de J dans ces axes s'écrit y2 = 2px- ax 2 . Les points à l'infini des axes sont T et son conjugué S par rapport à / ; si

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10

98

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rectangles AM et EZ sont semblables et semblablement placés car ils sont semblables aux deux rectangles L1E et NA. Mais les deux droites AK et Te sont égales, donc les deux rectangles EZ et AM sont égaux ; or les deux rectangles KE et eA sont égaux, donc les deux rectangles AZ et TM sont égaux et les deux droites qui les peuvent sont BK et He, comme on l'a montré dans les propositions 12 et 13 du livre 1. Si donc on place l'axe sur l'axe, la droite BK tombe sur la droite eH et le point B tombe sur le point H; or [M-1 OOV] il ne tombait pas sur la section TH; ce qui est absurde. La section AB tout entière se superpose donc à la section rH B

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Fig. 2.2

De même, nous posons les deux sections égales, nous posons [B-122 les deux droites AK et re égales, nous menons à partir d'elles les perpendiculaires KB et eH et nous complétons le tracé de L1E, L1Z, NA et NM. La section AB se superpose à la section rH et l'axe AK tombe sur l'axe re, car, s'il ne tombait pas sur lui, l'hyperbole aurait alors deux axes et l'ellipse trois axes, ce qui n'est pas possible 3 . La droite AK tombe donc sur la droite re et lui est égale; [A-240f ] le point K tombe sur le point e et la droite KB tombe sur la droite eH; et le point B tombe sur le point H Mais la section AB se superpose à la section rH; la droite KB est donc égale à la droite He et le rectangle AZ sera pour cette raison égal au rectangle TM. Mais la droite AK est égale à la droite re, donc la droite KZ est égale à la droite V

]

eM De même, nous posons AS égale à rIl et on montre, comme nous l'avons montré précédemment, que Sç est égale à IIy, ce pourquoi ZP est égale à MT et la droite Pç est égale à la droite Ty. Les rectangles Zç et My

3 L'unicité de l'axe des coniques à centre a été établie dans la proposition 11.50 (11.48 de la version d'Eutocius).

99

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15

100

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

sont donc égaux et semblables, ce pourquoi les rectangles L1B et NA sont semblablés et les deux rectangles L1Z et NM sont eux aussi semblables. Mais les deux droites KZ et eM sont égales, donc les deux droites L1K et Ne sont égales. Mais les deux droites AK et sont égales, donc les deux droites L1A et NT sont égales. Mais les deux rectangles L1B et NA sont semblables, donc les deux droites AB et rA sont égales, les deux rectangles L1B et NA sont égaux et ce sont les deux figures sur les deux axes. Ce qu'il fallait démontrer.

re

[3] Si on a des sections paraboliques telles que les ordonnées qui tombent sur l'un des diamètres rencontrent les diamètres suivant des angles égaux, et telles que leurs côtés droits soient égaux, alors les sections [MlOIr] sont égales. Si on a des sections hyperboliques ou elliptiques telles que les ordonnées qui tombent sur l'un de leurs diamètres rencontrent les diamètres suivant des angles égaux, et si les figures construites sur ces diamètres sont égales et semblables, alors les sections sont égales. On montre cela comme on l'a montré pour les axes 4 • - 3 - . Quant à l'ellipse5, il est manifeste qu'elle n'est égale à aucune des autres sections. En effet elle est finie alors que les autres sont infinies. Je dis également qu'aucune parabole ne peut être égale à une hyperbole. Soit une parabole ABTet une hyperbole HlKN. Qu'elles soient égales, si c'est possible, [A-240 V] que les axes des deux sections soient BZ et KM, que le diamètre transverse de l'hyperbole soit Ke et que les droites BB et BZ soient égales aux droites KA et KM. Menons à partir des axes les perpendiculaires AB, L1Z, lA et HM. La section se superpose à la section car elle lui est égale, et les points B, Z, A, L1 tombent sur les points A, M, l, H. Le rapport de ZB à BB est égal au rapport du carré de L1Z au carré de AB,

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Voir Note complémentaire [1]. Voir Note complémentaire [2].

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106

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

- 6 - Si on a une section de cône dont une partie tombe sur une partie d'une autre section de cône 8 et se superpose à elle, alors la section est égale à la section9 • Soit le segment AB de la section AB tel que, s'il tombe sur le segment TL1 de la section TL1E, il se superpose à lui. Je dis que la section AB est égale à la section TL1E. /). E

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Fig. 6

S'il n'en est pas ainsi, qu'une partie de AB tombe sur une partie de TL1, et que le reste de la section ne tombe pas sur le reste de l'autre section ; mais qu'elles soient comme les deux sections L1TM et L1TN. Marquons sur TM le point 8 que nous joignons au point L1, et menons dans la section TL1E un diamètre KA, qui coupe L18 en deux moitiés. La droite tangente au point K à la section TL1E est parallèle à la droite L18. Le diamètre KA coupe les droites parallèles à la droite L1A8 en deux moitiés. Menons donc du point T la droite TZ parallèle à la droite L18. La droite KA la coupe alors en deux moitiés et elle est parallèle à la droite tangente à la section L1TM au point K ; cette droite est aussi tangente à la section L1TN , donc la droite KA est un diamètre de la section L1TN, comme on l'a montré dans la proposition 7 du livre II ; elle coupe donc la droite L1N en deux moitiés au point A ; [A-242f ] mais elle divisait L18 en deux moitiés au point A 10 ; ce qui est absurde. La section AB tout entière tombe donc sur la section TL1E et se superpose à elle. Elle lui est par conséquent égale. Ce qu'il fallait démontrer.

8 On traduit indifféremment l'expression par « section de cône» ou « section conique ». 9 Voir Note complémentaire [5]. 10 Voir Note complémentaire [6].

107

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110

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Soit le segment eK un autre segment, non séparé par ces deux perpendiculaires. Je dis que, si on pose le segment L1E sur lui, il ne se superposera pas à lui. S'il n'en est pas [M-102f ] ainsi, qu'il se superpose à lui, si c'est possible. Si on place L1E sur Ke et qu'elle se superpose à elle, la ligne rL1 tombera sur le segment contigu au segment BK, comme on l'a montré dans la proposition précédente; le point r du segment r L1E tombera sur un point autre que r du segment Ker car le segment [A-242 V ] KeBr n'est pas égal au segment r L1E et l'axe rH tombera sur une position autre que sa position ; et ainsi chacune de la parabole ou de l'hyperbole aurait deux axes; ce qui est absurde. Le segment L1Ene tombe donc pas sur le segment eK. Ce qu'il fallait démontrer. - 8 - Si dans une ellipse on mène des perpendiculaires à son axe et si on les prolonge de l'autre côté de celui-ci, alors elles séparent de la section, de part et d'autre de l'axe, des segments tels que, si on les place les uns sur les autres, ils se superposent. Et si on place les segments séparés par les perpendiculaires dont la distance du centre à l'autre côté est égale à la distance des perpendiculaires menées, alors ils se superposent à eux et ils ne se superposent à aucun autre segment de la section. Soit une ellipse ArL1B, d'axes AB et KA. Que l'on mène dans celle-ci deux perpendiculaires à BA qu'on prolonge des deux côtés ; soit rE et L1Z. Qu'elles séparent de l'ellipse deux segments TL1 et EZ. Que l'on mène dans la section également deux autres perpendiculaires, ME et Ne, selon cet exemple, dont les distances au centre soient égales aux distances de ces deux perpendiculaires. r

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112

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Quant à Tl1 et EZI2 , si on les place l'une sur l'autre, elles se superposent; on démontre cela comme on l'a démontré dans la proposition précédente. On montre de même que MN se superpose à se. Mais puisque, si on place la surface KAA sur la surface KBA, elle se superpose à elle, comme on l'a montré [B-124f ] dans la proposition 4 de ce livre, alors la droite TE tombe sur la droite Ne car leur distance au centre est la même, l1Z tombe sur MS [A-243 f ] et le segment TL1 tombe sur le segment MN. Il car chacun d'eux se superpose à l'autre. se superpose donc au segment De même pour le segment EZ. Soit un segment rrx de la section autre que ces quatre. Je dis qu'un quelconque de ces segments ne se superpose pas à lui. S'il était possible que le segment MN se superpose à lui, il s'ensuivrait nécessairement ce qui s' ensuivait dans les propositions qui précèdent, à savoir que l'ellipse aurait plus de deux axes ; ce qui est absurde. MN ne se superpose donc pas à rrx. Ce qu'il fallait démontrer.

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- 9 - Les parties de sections égales dont la distance à leur sommet est égale se superposent les unes aux autres ; et celles dont la distance à leur sommet n'est pas une distance égale ne se superposent pas les unes aux autres. Soit deux sections égales d'axes r L1 et KA telles que la distance du segment AB au point T soit égale à la distance du segment EH au point K. Je dis que AB se superpose à EH. Démonstration: Si on place la Z E A section AT sur la section KE, le H point B tombera sur le point H car e B la distance de chacune au sommet de chacune des deux sections est [ ' 0 - - - - - - Ko------A égale, le point A tombera sur le point E et le segment AB tombera sur le segment EH. Je dis qu'il ne tombera sur aucun autre segment et ne se superposera pas à lui. Fig. 9

12

Voir Note complémentaire [8].

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114

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

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Si c'est possible, qu'il tombe [A-243 V ] sur le segment Or nous avons montré qu'il se superpose à EH. Le segment se superposerait donc au segment EH. Or les segments ze et EH ne sont ni deux segments séparés par deux perpendiculaires, ni à des distances égales du centre 13 ; ce qui est absurde, comme on l'a montré dans les deux propositions précédentes. Ce qu'il fallait démontrer. [M-1Ü2 V]

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- 10 - Des sections étant inégales, alors aucune partie de l'une ne se superpose à une partie de l'autre. Soit deux sections ABr et f1EZ inégales. Je dis qu'aucune partie de l'une ne se superpose à une partie de l'autre. A

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Fig. 10

Si c'est possible, que la partie AB se superpose à la partie f1E. La section ABrtout entière se superposerait alors à la section f1EZ, comme on l'a montré dans la proposition 6 de ce livre. Le segment ABr serait donc égal au segment f1EZ; ce qui est absurde. Aucune partie de ABr ne se superpose donc à une partie de f1EZ Ce qu'il fallait démontrer.

- Il - Toute parabole est semblable à toute parabole. Soit deux paraboles AB et Tf1 d'axes AK et ra. Je dis que les deux sections sont semblables. Démonstration : Posons leurs côtés droits Arr et rx et posons le rapport de KA à Arr égal au rapport de ra à rx ; partageons AK aux points Z et e d'une manière quelconque et partageons ra en un même nombre

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Voir Note complémentaire [9].

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118

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

- 12 - Les hyperboles et les ellipses dont les figures construites sur leurs axes sont semblables sont elles aussi semblables ; et si les sections sont semblables, alors les figures construites sur leurs axes sont semblables. N

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Soit deux hyperboles ou deux ellipses. Que les figures construites sur leurs axes [A-244 V ] soient semblables. Soit les sections AB et rL1, leurs axes AK et leurs diamètres transverses AIl et Séparons des deux axes et que le rapport de AK à AIl soit égal au rapport les segments AK et à Partageons AK d'une manière quelconque aux points Z et de et partageons en un même nombre de parties que AK, et selon les mêmes rapports, aux points M et E. Menons des points K, e, Z, M, E, 0 les perpendiculaires BK, eH, ZE, 0L1, NE, MA aux deux axes. Puisque les deux figures des deux sections sont semblables, le rapport du carré de BK au rectangle obtenu du produit de IlK par KA est égal au rapport du carré cela se montre à de L10 au rectangle obtenu du produit de XO par partir de la proposition 21 du livre J. Mais le rapport du rectangle IlK par KA au carré obtenu de KA est égal au rapport du rectangle obtenu du

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120

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

produit de XO par or au carré de or; le rapport du carré de BK au carré de KA est donc égal au rapport du carré de LlO au carré de or. Le rapport de BK à KA est donc égal au rapport de LlO à or et le rapport de Bç à KA est égal au rapport de Lly à or. D'autre part, le rapport de lIA à AK est égal au rapport de xr à ro et le rapport de KA à AB est égal au rapport de or à rs ; le rapport de AlI à Ae est donc égal au rapport de xr [M-103 f ] à rs. À partir de cela on montre, comme on l'a montré précédemment, que le rapport de HP à eA est égal au rapport de NT à sr et que le rapport de El à ZA est égal au rapport de Ar à Mr. Le rapport des perpendiculaires Bç, HP, El à ce qui se sépare de l'axe, c'est-à-dire AK, AB, AZ, est égal au rapport des perpendiculaires Lly, NT, Ar à ce qui se sépare de l'axe, c'est-à-dire or, sr, Mr; et les rapports des parties de AK, qui est l'axe de AB, qui sont séparées par les perpendiculaires, aux parties de ro, qui est l'axe de r Ll, qui sont séparées par les perpendiculaires, sont des rapports égaux. La section AB est donc semblable à la section rLl. B

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D'autre part, nous posons [A-245 f ] la section AB semblable à la section rLl. . Étant donné que les deux sections sont semblables, nous menons dans la section AB des perpendiculaires quelconques, çB, HP, El, à l'axe; et dans la section rLlles perpendiculaires Lly, NT, Ar~ ~ ~ -i: (;- ,~, ct- -: " 1= . ct· ~IJ· ~,'~!L l ~ -C- ~I -c (, 't -:0ct- Cr -L~ ~~ §: Ji, ' ~ - r-

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20

140

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Soit TE et ME leurs diamètres, BL1 et AN leurs bases, et T et Mies points de leurs sommets; que les droites TZ et MO leur soient tangentes en ces deux points. Je dis que les angles AZT et KOM sont égaux et que le rapport de ET à TZ est égal au rapport de ME à MO. Nous menons les droites que nous avons menées précédemment. Étant donné que les deux segments sont semblables, les deux angles entourés par les droites L1B et TE sont égaux aux deux angles entourés par AN et ME. Or les droites ZT et OM sont parallèles aux droites BL1 et AN, et les angles aux points T, M, E, E sont égaux. S'il en est ainsi et que les angles ZTE, OME sont obtus, alors l'angle ZTE est égal à l'angle OME et l'angle [B127 V] qui est au point Z est égal à l'angle qui est au point O. De même, le rapport de L1B à ET est égal au rapport de NA à EM en raison de la similitude des deux segments des sections ; le rapport de L1E à ET est donc égal au rapport de NE à EM. [M-I0S f ] Or le rapport de PT à L1E est égal au rapport de L1E à ET et le rapport de çM à NE [A-249 V ] est égal au rapport de EN à EM: le rapport de PT à TE est donc égal au rapport de çM à ME. Or le rapport de pr au double de TZ est égal au rapport de er à TH et le rapport de çM au double de MO est égal au rapport de IIM à MX. Mais le rapport de er à rH est égal au rapport de IIM à MX; le rapport de ZT à TP est donc égal au rapport de OM à Mç - en raison de la similitude des deux triangles TeH et IIMX. Le rapport de TZ à TE est donc égal au rapport de OM à ME. Or on avait montré que les deux angles aux points Z et o sont égaux.

- 18 - De même, nous posons les sections que nous avons mentionnées des hyperboles ou des ellipses, toutes les autres choses demeurant comme nous les avons mentionnées dans la proposition précédente. Que les deux diamètres TE et ME aboutissent aux centres des deux sections, qui sont les points l et T; que le rapport de TE à la tangente TZ soit égal au rapport de EM à MO et que les angles AZT, KOM soient égaux. Je dis que les segments L1TB et NMA sont semblables.

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142

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

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Fig. 18.1-2

Que le rapport de PT au double de TZ, tangente à la section L1T, soit égal au rapport de à TH; et que le rapport de çM au double de MO, tangente à la section NA., soit égal au rapport de IIM à MX; alors rp et çM sont les côtés droits relatifs aux diamètres TE et ME, comme on l'a montré dans la proposition 50 du livre 1. Menons des points A, K, r, MIes perpendiculaires AH, KX, rr, Mfl aux deux axes. Puisque les deux sections sont semblables, alors les figures construites sur leurs axes seront elles aussi semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Mais si les figures de ces sections construites sur les deux axes sont semblables, alors le rapport du rectangle Ir par rZ au carré de Tr est égal au rapport du rectangle Typar yO au carré de My, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre 1. Or nous avons posé égaux les deux angles aux points Z et O. Mais les angles aux points r et y sont égaux car ils sont droits ; les triangles TrZ et MOy sont donc semblables. Mais nous avons montré que le

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154

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

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- 21 - Si on mène dans des paraboles des droites telles qu'elles soient perpendiculaires aux axes et telles qu'elles coupent des axes, du côté des sommets des sections, des parties dont les rapports aux [M-1 Ü7 f ] côtés droits - pour tous les segments - soient des rapports égaux, alors les segments séparés par ces perpendiculaires dans l'une des sections sont semblables aux segments séparés par les autres perpendiculaires dans les autres sections, et ils sont semblablement placés ; et ils ne sont pas semblables à d'autres parmi les segments pris dans ces sections. Soit AB et EZ deux paraboles d'axes AE et E8. Soit leurs côtés droits [A-253 f ] AIl et EP. Menons dans l'une des sections les perpendiculaires BM et i1E et dans l'autre section les perpendiculaires Zr et X8. Soit le rapport de AM à AIl égal au rapport de Er à EP et le rapport de EA à AIl égal au rapport de E8 à EP. Je dis que le segment BAO est semblable au segment ZEL, le segment LiA semblable au segment XE et le segment i1B semblable au segment ZX.

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158

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

donc égal au rapport de 8B à Br, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 20 du livre 1. Par conversion, le rapport de AE' à E'M sera égal au rapport de B8 à 8r. Or nous avons montré que le rapport de KE' à E'M est égal au rapport de a8 à 8r ; le rapport de KE' à E'A est donc égal au rapport de a8 à 8B. Mais le rapport de E'A à E'.1 est égal au rapport de B8 à 8X, donc le rapport de KE' à E'.1 est égal au rapport de a8 à 8X. Mais les angles qui sont aux points E' et 8 sont droits, donc les triangles K.1E' et a8X sont semblables et les deux angles aux points K et a [A-253 V ] sont égaux. Mais le rapport de .1K à KB28 est égal au rapport de Xa à aZ et, par conversion, le rapport de K.1 à .1B est égal au rapport de aX à XZ. Mais .1B a été partagée en deux moitiés au point e et XZ a été partagée en deux moitiés au point ç ; le rapport de K.1 à .1e est donc égal au rapport de aX à Xç. C'est pour cela que le rapport de E'.1 à E'A est égal au rapport de 8X à 8T. Mais la droite AE' est égale à la droite rN et la droite 8T est égale à la droite Ho ; le rapport de .1E' à rN est donc égal au rapport de X8 à Ho, et c'est pour cela que le rapport de E'A à AN est égal au rapport de 8B à Bo, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 20 du livre 1. Par conversion, le rapport de AE' à E'N est égal au rapport de B8 à 80. Mais on avait montré que le rapport de KE' à E'A est égal au rapport de a8 à 8B ; le rapport de KE' à E'N est donc égal au rapport de a8 à 80. C'est pour cela que le rapport de K.1 à .11 est égal au rapport de aX à XY. Si nous séparons, on a le rapport de KI à 1.1 égal au rapport de aY à YX. Or le rapport de Ke à e.1 est égal à çX, donc le rapport de Ke à est égal au rapport de au rapport de à Mais le rapport de à est égal au rapport de à çH car les triangles 1er et sont semblables. Le rapport de Ke à er est donc égal à çH. Mais la droite Ke est égale à la droite tangente au rapport de menée de r à l'axe, car elle est parallèle à la droite eK et elles sont entre deux droites parallèles. De même également, la droite est égale à la droite tangente menée du point H à l'axe; le rapport de la droite tangente menée

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162

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

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164

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

à ZT. C'est pour cela que le rapport de BK à KM est égal au rapport de Da à aT. Par conversion, le rapport de KB à BM est égal au rapport de aDà DT. Mais le rapport de BM à BA est égal au rapport de DT à DE, car le rapport de BA à AM est égal au rapport de DE à ET. Le rapport de KB à BA [Ml üS f ] est donc égal au rapport de aD à DE. Or le rapport de BA à BL1 est égal au rapport de ED à DX, donc le rapport de KB à BL1 est égal au rapport de 0'8 à 8X. Mais les angles aux points B et 8 sont droits ; les angles aux points K et a sont donc eux aussi égaux. C'est pourquoi les angles aux points yet sont égaux. Les deux sections sont semblables, leurs figures sont donc semblables. Mais les droites Ty, He sont tangentes ; le rapport du rectangle AN par Nyau carré [A-255 f ] de TN est donc égal au rapport du rectangle To par oe au carré de Ho, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre J. Mais le rapport du carré de rN au carré de Nyest égal au rapport du carré de Ho au carré de oe, en raison de la similitude des triangles TNyet Hoe. Le rapport du rectangle AN par Nyau carré de Ny est donc égal au rapport du rectangle To par oe au carré de eo ; c'est pour cela que le rapport de AN à Nyest égal au rapport de To à eo. Mais le rapport de yN à NT est égal au rapport de eo à oH, en raison de la similitude des triangles; le rapport de AN à TN est donc égal au rapport de To à Ho. Mais les angles en N et 0 sont droits ; les triangles ANr et ToH sont donc semblables. Les angles qui sont aux points A et T sont alors égaux; or les angles aux points yet sont égaux; le rapport de yA à Ar est donc égal au rapport de eT à TH, et le rapport de yK à re est égal au rapport de ea à Hç, car la droite ry [B-13Ü V ] est parallèle à la droite BK et la droite He est Mais les deux figures des sections sont elles aussi parallèle à la droite semblables, donc le rapport de AM à MB est égal au rapport de ET à ZT et le rapport de MB à MK est égal au rapport de ZT à Ta; le rapport de AM à MK est donc égal au rapport de ET à Ta; si nous séparons, on a le rapport de AM à AK égal au rapport de ET à Ea. De même, le rapport de AA à

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168

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

de Hf) à f)T, en raison de la similitude des triangles TyA et Hf)T, donc le rapport de Ty à yK est égal au rapport de Hf) à f)(j. Or nous avons montré précédemment que le rapport de yK à Te est égal au rapport de f)(j à Hç, donc le rapport de Ty à Te est égal au rapport de Hf) à Hç. Mais les deux angles aux points yet f) sont égaux, donc les deux segments L1TB et XHZ sont semblables et semblablement placés, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 18 de ce livre. D'autre part, si nous posons un segment le, non séparé par les perpendiculaires que nous avons mentionnées et sans que, dans l'ellipse, il soit non plus séparé par des perpendiculaires dont les distances au centre sont égales aux distances des autres perpendiculaires, alors je dis qu'il n'est pas semblable au segment L1TB. Si c'est possible, qu' il lui soit semblable. Mais le segment L1B est semblable au segment XZ, donc le segment le est semblable au segment XZ, et ils ne sont séparés ni par les mêmes perpendiculaires ni par des perpendiculaires dont les distances au centre sont égales à leurs distances ; ce qui est absurde, comme on l'a montré dans les propositions 19 et 20 de ce livre. Le segment le n'est donc pas semblable au segment XZ, ni au segment L1TB. Ce qu'il fallait démontrer. [A-256f ; B-131 f ; M-I08 V

]

- 23 - Dans les sections dissemblables, aucun segment de l'une n'est semblable à un segment de l'autre. Soit AB et TL1 deux sections dissemblables. Qu'elles soient d'abord toutes les deux des hyperboles, ou toutes les deux des ellipses. Je dis qu'aucun segment de AB n'est semblable à aucun segment de TL1. Si cela est possible, que le segment BE soit semblable au segment L1Z. Joignons les droites BE et L1Z et partageons-les en deux moitiés aux points H et e. Soit les points A et K les centres des deux sections. Joignons les droites HMA et eNK qui sont les diamètres des deux sections, comme on l'a montré dans la proposition 47 du livre 1. Les droites HMA, eNK ou bien sont des axes ou bien ne le sont pas. Si elles sont des axes et si les deux segments BE et L1Z sont semblables, alors on mène jusqu'à l'axe les droites

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176

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

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]

- 26 - Si des plans parallèles coupent le cône dans une même direction et si, parmi ces plans menés dans la direction du sommet du cône, certains sous-tendent l'angle extérieur, alors les hyperboles engendrées sont semblables et inégales. Soit le cône ABr; qu'il soit coupé par deux plans parallèles. Soit les deux droites KN et eM leurs intersections avec la base. Menons du centre de la base du cône une perpendiculaire à ces deux droites ; soit BAHr. Coupons le cône par un plan passant par la droite Br et par l'axe du cône; que ce plan coupe la surface du cône suivant les deux droites AB et Ar et que les deux intersections de ce plan et des deux plans parallèles soient les droites LlA et ZH. Prolongeons-les jusqu'aux points a et E. Je dis que la section eZM est semblable à la section KLlN sans lui être égale. N Fig. 26

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20

178

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Démonstration: Menons du point A une droite Arr parallèle aux droites L1A et ZH et posons le rapport de OL1 à L1E égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Posons également le rapport de EZ à Z1 égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Si la droite BA est perpendiculaire à la droite KN, alors les droites menées dans l'hyperbole KL1N jusqu'à la droite LiA, et qui sont parallèles à la droite KN, peuvent les rectangles appliqués à L1E, qui est le côté droit, en les excédant d'un rectangle [A-258 f ] semblable au rectangle entouré par les droites OL1 et EL1, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre J. De même, les droites menées dans l'hyperbole eZM jusqu'à la droite ZH et qui sont parallèles à la droite eM peuvent les rectangles appliqués à Z1, qui est le côté droit, en les excédant d'un rectangle semblable au rectangle [B-132 entouré par les droites EZ et Z1. Les angles entourés par la droite KN avec la droite L1A sont égaux aux angles entourés par la droite eM et la droite ZH, car ces droites sont parallèles deux à deux. Les deux sections sont donc semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Mais le rectangle OL1 par L1E est plus petit que le rectangle EZ par Z1. Les deux sections eZM et KL1N sont donc inégales, d'après ce qu'on a montré dans la seconde proposition de ce livre. Ce qu'il fallait démontrer. V

]

- 27 - Si des plans parallèles coupent un cône et rencontrent les deux côtés du triangle qui passe par son axe, sans être parallèles à sa base, ni antiparallèles à celle-ci, alors les ellipses engendrées seront semblables et inégales.

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186

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

le rapport du diamètre transverse, qui est l'axe de la section connue, à son côté droit. Soit le cône droit connu le cône dont le triangle qui passe par son axe est ABT et son axe AB. [A-260 r ] Soit L1E l'hyperbole connue, d'axe L1L', dont la figure est le rectangle entouré par les droites HL1, L1Z. n

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Fig. 29

Que le rapport du carré de AB au carré de BB soit d'abord égal au rapport de HL1 à L1Z. Menons dans l'angle BAlI une droite parallèle à la droite AB et égale à HL1 ; soit lIN. Faisons passer par la droite lIN un plan perpendiculaire au plan du triangle ABT; qu'il coupe le cône; son intersection sera une hyperbole dont l'axe est IN. Puisque la droite AB est parallèle à la droite lIN, le rapport de lIN, diamètre transverse, au côté droit de la section est égal au rapport du carré de AB au rectangle obtenu du produit de BB par Br, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre l ; et est égal au rapport de HL1 à L1Z. Mais la droite lIN est égale à la droite HL1, donc la droite L1Z est égale au côté droit de la section dont l'axe est IN. La figure de la section dont l'axe est IN est donc égale à la figure de la

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188

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

section L1E. La section L1E et la section dont l'axe est IN sont donc égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre; et il n'existe aucune autre section égale à la section L1E telle que le point du sommet de son axe soit sur la droite AB. Si cela est possible, alors l'axe de cette section sera dans le plan du triangle ABr, comme on l'a montré dans la proposition qui précède 33 , et le triangle ABr sera perpendiculaire au plan où se trouve cette autre section. Mais puisque c'est une hyperbole et qu'elle est égale à la section L1E, alors son axe rencontre Ar au delà du point A et la partie de l'axe qui dépasse le triangle jusqu'à sa rencontre avec Ar est égale à la droite L1H, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre; et ce n'est pas la droite JIN, ni une parallèle à celle-ci, car si elle lui était parallèle, elle ne lui serait pas égale. S'il en est ainsi, alors, si on mène du point A une droite [M-111 r] parallèle à cet axe, [A-26Ü elle tombe entre Ae et Ar ou entre Ae et AB. Que la droite qui lui est parallèle soit la droite AM; alors le rapport du carré de AM au rectangle BM par Mr est égal au rapport de L1H à L1Z, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre 1 et la proposition 2 de ce livre. Mais le rapport de L1H à L1Z est égal au rapport du carré de Ae au rectangle obtenu du produit de Be par er; le rapport du carré de AM au rectangle BM par Mr est donc égal au rapport du carré de Ae au rectangle obtenu du produit de Be par er; ce qui est absurde car le carré de AM est plus grand que le carré de Ae et le rectangle obtenu du produit de BM par Mr est plus petit que le rectangle obtenu du produit de Be par er. De même, si nous posons le rapport du carré de A e au carré de e B plus petit que le rapport de HL1 à L1Z, si nous circonscrivons un cercle ABr au triangle ABr et si nous prolongeons la droite Ae jusqu'en P, alors le rapport de Ae à ep est plus petit que le rapport de HL1 à L1Z. Soit le rapport de Ae à er égal au rapport de HL1 à L1Z. Soit la droite XE parallèle à la droite Br. Joignons les droites AME et AKX; que chacune des droites JIN, çO soit égale à la droite L1H et que la droite çO soit parallèle à la droite AM et la droite JIN parallèle à la droite AK. Faisons passer par les droites V

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Cette démonstration se trouve dans celle de VI.28.

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20

194

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

AM à MS égal au rapport de L1H à L1Z. Il est clair que cela est possible et facile. Menons dans le triangle ABTune droite orr parallèle à la droite AM et égale à la droite L1H. Faisons passer par la droite orr un plan qui coupe le cône et qui est perpendiculaire au plan du triangle ABT. Il engendre dans le cône une ellipse; son axe sera la droite orr et le rapport de orr à son côté droit est égal au rapport du carré de AM au rectangle BM par MT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 13 du livre 1. Mais le produit de BM par MT est égal au produit de AM par MS. Le rapport de orr, [A-262 f ] le diamètre transverse, à son côté droit est donc pour cette section égal au rapport du carré de AM au rectangle AM par MS. Mais le rapport du carré de AM au rectangle AM par MS est égal au rapport de AM à MS. Mais le rapport de AM à MS est égal au rapport de L1H à L1Z. Le rapport de orr au côté droit de la section dont l'axe est orr est donc égal au rapport de L1H à L1Z. Les deux figures de la section L1E et de la section dont l'axe est 0 rr sont donc semblables et égales. Les deux sections sont donc elles-mêmes égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre.

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Je dis qu'il n'existe dans ce cône aucune autre section dont le sommet du côté de A soit sur la droite AB et qui soit égale à la section L1E.

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196

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Si cela est possible, alors nous montrons, comme nous l'avons montré dans la proposition 28 de ce livre, que son axe est dans le plan du triangle ABr et que son plan est perpendiculaire au plan ABr. Si cette section est une ellipse, alors son axe rencontre la droite Br. Si elle est égale à la section L1E, alors son axe est égal à la droite L1H, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre, et son sommet du côté du point A sera sur la droite AB. Son axe ne tombe donc pas sur orr et ne lui est pas parallèle. Si nous menons du point A une droite parallèle à cet axe, elle ne tombe pas sur la droite AM. Qu'elle soit comme la droite [A-262 V ] A T. La droite A T coupe donc l'arc AT car elle n'est pas parallèle à la droite Br; et le rapport du diamètre transverse de la section à son côté droit est égal au rapport [B135 f ] du carré de AT au rectangle BTpar TT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 13 du livre 1 ; il est aussi égal au rapport de L1H à L1Z. Mais le rectangle BT par TT est égal au rectangle A T par TL. Le rapport du carré de A T au rectangle A T par TL est donc égal au rapport de L1H à L1Z. Quant au rapport du carré de AT au rectangle A T par TL, il est égal au rapport de AT à TL. Quant au rapport de L1H à L1Z, il est égal au rapport de AM à ME. Le rapport de A T à TL est donc égal au rapport de AM à ME ; ce qui n'est pas possible. Il n'existe donc pas dans ce cône une section égale à la section L1E, telle que le point de son sommet, du côté du point A, soit sur la droite AB, autre que la section dont l'axe est orr. Ce qu'il fallait démontrer.

- 31 - Nous voulons montrer comment trouver un cône droit qui entoure une parabole connue et qui soit semblable à un cône droit connu. Soit la parabole BAr d'axe AA et le côté droit AL1 de cette section. Soit le cône droit connu EZK et le triangle EZK qui passe par son axe. Faisons passer par la droite AA un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section BAT. Soit le plan eAA. Menons dans ce plan la droite AM et faisons en sorte qu'elle entoure avec la droite AA un angle égal à l'angle EZK.

197

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15

198

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Faisons le rapport de L1A à AM égal au rapport de KZ à ZEe Construisons sur AM un triangle AeM semblable au triangle EZK. Prolongeons les droites eA et eM à partir des points A et M. Construisons un cône de sommet le point e et de base le cercle construit sur la droite AM et tel que cette droite soit un de ses diamètres et qu'elle soit perpendiculaire au plan AeM. L'angle MAA est donc égal à l'angle EZK. Mais l'angle EZK est égal à l'angle eMA, donc l'angle MAA [A-263 f ] est égal à l'angle [M-112 f ] eMA et la droite AA est parallèle à la droite eM qui est le côté du triangle passant par l'axe. Le plan où se trouve la section connue engendre donc dans le cône une parabole. Or le rapport de L1A à AM est égal au rapport de KZ à ZE, qui est égal au rapport de AM à Me. Le rapport de AL1 à AM est donc égal au rapport de AM à Ae, car Ae est égal à Me. Le rapport du carré de MA au carré de Ae est donc égal au rapport de AL1 à Ae. Mais le carré de Ae est égal au rectangle Ae par eM. Le rapport du carré de MA au rectangle obtenu du produit de Ae par eM est donc égal au rapport de L1A à Ae ; le côté droit de la section engendrée dans le cône est donc la droite L1A, et elle est aussi le côté droit de la section BAT. Mais les paraboles dont les côtés droits sont égaux sont égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 1 de ce livre. La section BAT est donc placée dans le cône que nous avons construit. Or le cône que nous avons construit est semblable au cône EZK, car le triangle EZK est semblable au triangle AMe. Je dis que la section ne se trouve dans aucun autre cône semblable au cône EZK et tel que son sommet soit de ce côté-ci du plan de la section, à l'exception de ce cône. N

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208

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

PS par se au carré de se, lequel est égal au rapport de PS à se. Mais le rapport du carré de EH au carré de ZH est plus petit que le rapport de NA à AT. Le rapport de PS à se est donc plus petit que le rapport de NA à A T. Posons le rapport de PS à Sy égal au rapport de NA à AT, faisons passer par le point y une droite IyçL parallèle à la droite NA, joignons les droites [A-265 IP, IN, lA et menons du point A la droite AG parallèle à la droite IP. On montre, comme on l'a montré précédemment, que les deux triangles GIA et ZEK sont isocèles et semblables. Si nous construisons un cône tel que son sommet soit le point l et sa base un cercle de diamètre AO, dont le plan est perpendiculaire au plan eAA, alors le plan où se trouve la section BAT coupe ce cône et de son intersection on a une hyperbole telle que l'axe de cette section soit la droite AA, son diamètre transverse AN et telle que le rapport de NA à AT soit égal au rapport de PS à Sy, qui est égal au rapport de PX à XI. Mais le rapport de PX à XI est égal au rapport du rectangle PX par XI au carré de XI. Or le rectangle PX par XI est égal au rectangle NX par XA. Le rapport du rectangle NX par XA au carré de IX est donc égal au rapport de NA à AT. Mais le rapport du rectangle NX par XA au carré de IX est égal au rapport du carré de Iç au rectangle Oç par çA, car la surface AçIX est un parallélogramme. Le rapport de NA à AT est donc égal au rapport du carré de Iç au rectangle Aç par çO. La droite AT est donc le côté droit de la section engendrée dans le cône AIO. On montre à partir de cela, comme nous l'avons montré précédemment dans cette proposition, que le cône de sommet le point l entoure la section BAT, laquelle sera aussi entourée par un autre cône, comme ce cône dont le sommet sera alors le point L, si on joint les droites NL et AL et si on prolonge la droite NL. Ces deux cônes sont semblables au cône EZK. Je dis que cette section ne sera pas entourée par un troisième cône semblable au cône ZEK et tel que son sommet soit situé du côté où se trouve le point l par rapport au plan où se trouve la section BAT. [B-137 f ] V

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216

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rapport est égal au rapport de ex à XO. Le rapport de AT à A.1 est donc égal au rapport de ex à XO. Mais il était aussi égal au rapport de eA à AI. Le rapport de ex à XO est donc égal au rapport de eA à AI; ce qui n'est pas possible. Il ne peut donc se trouver un troisième cône qui entoure cette section et qui soit semblable au cône EZK. Ce qu'il fallait démontrer. Le sixième livre de l'ouvrage d'Apollonius sur les Coniques est achevé.

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NOTES COMPLÉMENTAIRES

[1, p. 100; ar. p. 101, 7] Dans les deux traditions manuscrites, ce paragraphe est placé au début de la troisième proposition. Le numéro de celle-ci a été noté au début du paragraphe. Il est cependant évident que celui-ci est un complément - un corollaire pour ainsi dire - des deux premières propositions. En effet, dans les propositions VI. 1 et VI.2, Apollonius rapporte les sections coniques à l'axe et au côté droit qui lui est relatif. Il lui restait donc à recommencer avec un diamètre quelconque, pas nécessairement l'axe, et son côté droit relatif, et par conséquent à tenir compte de l'angle formé par ce diamètre et les ordonnées. Problème assez facile; Apollonius n'éprouve aucun besoin de s'y appesantir, puisque, comme il le rappelle, le modèle de la démonstration est le même que dans le cas de l'axe. Il écrit: «~W ~ ~~J \ l+-J\ tj (on montre cela, comme on l'a montré pour les axes) ». Si on désigne par (9 et (9/ les angles des diamètres et de leurs droites ordonnées, on aura immédiatement les résultats suivants: paraboles: 9= 9/ Ç::} C = c/ et (9 = (9/ coniques à centre : ~ = ~ / Ç::} C = C ~ d = d/ et (9 = (9/. Le paragraphe complète donc les deux premières propositions. Cette conclusion s'est imposée aux lecteurs - commentateurs et traducteurs - des Coniques. Ainsi al-Shïrazï (seconde moitié du xr siècle) place ce paragraphe, dans son Examen des Coniques (Ta~afful:t), à la fin de VI.2 et le sépare ainsi de VI.3 (ms. Istanbul, Ahmet III, 3463, fol. 111 J. Na~ïr al-Dïn al-Tusï, dans sa Rédaction des Coniques, sépare ce même paragraphe de la troisième proposition et le place là où il doit être (mss Rampur, 2906, fol. 207 ; India Office, Loth 745, fol. 161 Ibn Abï Jarrada écrit en marge du manuscrit A, face au début de la proposition VI.3 : V

).

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Dans sa traduction latine, E. Halley fait de même (p. 68).

[2, p. 100 ; ar. p. 101, 13-15] Dans les deux premières propositions et dans le corollaire évoqué dans le paragraphe rédigé à leur suite, Apollonius établit les conditions pour que deux sections coniques d'un même genre soient égales. Il est naturel de soulever

220

Notes complémentaires

ensuite la question de l'égalité entre deux sections coniques de genres différents. C'est précisément ce qu'il fait. Or on s'attendrait à un énoncé qui englobe tous les cas qu'il considère ensuite où il distingue d'une part entre l'ellipse - courbe fermée - et les autres courbes ayant des branches infinies, et puis d'autre part entre ces dernières; c'est-à-dire un énoncé du genre :

. « -û\)\ ~\ i.fJL.: '1 t}l5:1\ ~\J ,yy\ t~\ i.fJ~ '1 ~W\ ~\» « L'ellipse n'est pas égale aux sections qui restent, et la parabole n'est pas égale à l' hyperbole» ou, comme l'a proposé N a~ïr al-Dïn al-Tüsï dans sa Rédaction:

« une section n'est pas égale à une section qui n'est pas d'un même genre» (mss Rampur, 2906, fol. 207 ; India Office, Loth 745, fol. 161 V

).

On note que le paragraphe débute par la locution ~W\ ~\ ~i (quant à l'ellipse) ; ceci suggérerait donc qu'un énoncé plus global a précédé cette locution. En tout cas, tout indique que, s'il y avait eu une omission (dans le texte grec ou dans la version arabe), celle-ci n'aurait pas dépassé quelques mots. C'est pour cette raison que nous avons placé cette phrase dans le texte, à titre bien entendu conjectural. Dans son commentaire du traité d'Archimède De l'équilibre des figures planes, Eutocius rappelle la définition d'Apollonius des segments semblables. L'examen de cette définition citée par Eutocius montre qu'elle n'est pas identique à celle effectivement donnée dans le livre VI. Il manque à la définition rapportée par Eutocius la condition sur les angles, ce qui ne pouvait pas échapper à Eutocius s'il avait entre les mains le texte du livre VI. Voir la discussion de cette question au Tome 1, p. 21-22, de cette édition des Coniques.

[3, prop. 3, p. 102 ; ar. p. 103,4] Glose d'al-Tüsï :

~ ~J~J? eLJi~J~~eL~~i,J? Ji~~0P:~6.» ~JL-,

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«Glose: le rapport de MK à KA, c'est-à-dire le rapport du rectangle MK par AB au rectangle KA par AB, est donc égal au rapport du rectangle BM par MK au rectangle BA par AK, donc BM par MK est égal à AB par MK, donc BM est égal à eA ; ce qui est absurde» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 122).

221

Notes complémentaires

[4, prop. S, p. 104 ; aI. p. lOS, 14] Au lieu de AKe et BAe, on trouve AK et BA dans les deux familles de manuscrits représentées par A et B ; ce qui indique qu'il en était ainsi dans la traduction du manuscrit grec, et très vraisemblablement dans le manuscrit lui-même. Or cet exemple - entre bien d'autres que nous ne relevons pas - est significatif de la traduction latine de Halley, et de l'impact qui fut le sien sur les traductions française et anglaise. Commençons par rappeler le texte : ,(ms. 31) ~ .JAJ ,~L:J\J ~ ~ ~ 1, ~ 1, ~ \

0H '( ~ 1, ~ 1, 01J ,~iJ» 0 \

~ ~ ~ .~ J~.w..;~ ~.1>J ,(ms. J ~)1, J~.JAJ ,~L:-U;~

.«~J~ \.w..~.1>J~J~ \~~;~ De ce texte, voici la traduction, littérale, que nous avons donnée: « De même ABe est égale à eBH; Are est alors égale à eBL1 et le reste, qui est AKe (ms. AK), est égal au reste, qui est BAe (ms. BA) ; et la ligne AKL1 est égale à la ligne rAB. La surface AKL1B tout entière est donc égale à la surface ArAB tout entière, et la ligne AKL1B à la ligne ArAB. » Ainsi, une fois montré que Are est égale à eBL1, on entend établir que AKL1B est égale à ArAB ; les restes sont aussi égaux: AKe plus un quart d'ellipse d'une part, BAe plus un quart d'ellipse d'autre part. La conclusion s'ensuit nécessairement. Dans sa traduction latine, Halley s'est arrêté à AK et BA, et les a considérés non pas comme deux segments (il arrive souvent que dans le texte un segment ou une surface soit désigné par deux lettres seulement), mais comme deux courbes, estimant que le texte est lacunaire. Il a donc ajouté une phrase pour combler ce qu'il pensait être une lacune. Il écrit : « Triangulum autem ABe aequale est triangulo BHe : Area igitur Are Areae BL1e aequalis est, ac Area residua AeK residuae BAe ut & Curva AK Curvae BA aequalis. » (p. 69). Or cette lacune, comblée par la phrase soulignée, n'existe pas. On remarque aussi que Halley ajoute des termes tels que triangle, aire, courbe, absents du texte. Disons-le une fois pour toute : la traduction de Halley, grâce à laquelle le texte d'Apollonius a été connu, est bien de son temps, une traduction libre, qui s'autorise certaines gloses. Ver Eecke l'a rendue rigoureusement telle quelle, jugeant lui aussi le texte lacunaire. D'autres ont depuis suivi le même chemin, mais avec moins de bonheur.

[5, prop. 6, p. 106; ar. p. 107, 2 ; trad. p. 20] Ibn Abï Jarrada écrit en marge de l'énoncé de cette proposition la glose suivante (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 241 V) :

222

Notes complémentaires

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'«;;~\ft '-Ii ~~ ~ ~ ~J Sur cette question, voir le commentaire mathématique, p. 20.

[6, prop. 6, p. 106 ; are p. 107, 13] Ibn Abi Jarrada propose la formulation suivante:

W' ,J ~ ~ ~ ~ .b>. ~

* \ ~ ~ ~ ~~\ :\~ 0~ 0i ~ :~»

'«;;~\ft'-li ~~ ~ ~~J·(;;j~~~)YtlLQ1\ ~ j~\~~ « Je dis: il faut que ce soit ainsi: la tangente à la section L1rM coupe la droite L1N en deux moitiés au point 1\., comme on l'a montré dans la proposition 7 du livre II. Rédigé par Mu1)ammad ibn (Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 241 V) ».

[7, prop. 7, p. 108 ; ar. p. 109, 13] Ibn Abi Jarrada a écrit dans une glose une remarque sur la démonstration par Apollonius de l'égalité des droites BZ et ZL1 d'une part, et AH et EH, d'autre part:

.~ û~i ~i ~ ,~\ ~~.rJ 1,.# ~~ ,tlL1~\ o.a ~J~ ~J~

o.a :~»

'«;;~\ft'-li ~~~ ~~J « Je dis : celles-ci (les droites) sont égales, sans qu'il soit besoin de s'étendre, car elles sont des ordonnées à l'axe et sont partagées aussi en des moitiés par lui. Rédigé par Mu1)ammad ibn (Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 242) ».

[8, prop. 8, p. 112 ; are p. 113, 1] À la lecture de ces lignes, on constate que l'énonciation avec l'expression habituelle ÀÉyw OTt rendue en arabe par 01 J~i manque. D'aucuns pourraient croire qu'il y a là une omission qu'il faudrait restituer. Or l'examen des quatre premiers livres des Coniques, c'est-à-dire ceux qui nous sont parvenus dans la version d'Eutocius et dans une traduction arabe d'un manuscrit indépendant, nous montre qu'une telle situation se présente plus d'une fois, par exemple dans les propositions 2, 26, 29 du second livre, pour ne considérer que lui, aussi bien dans le texte grec que dans le texte arabe; c'est dire que rien n'autorise à faire endosser la responsabilité de cette absence aux traducteurs ou aux copistes. Mais cela confirme d'autre part qu'Eutocius n'a pas omis cette énonciation lors de son

Notes complémentaires

223

édition. L'examen des situations où celle-ci manque également montre qu'il s'agit ou bien d'une proposition dont tout ou partie découle d'une - ou des - propositions précédentes, ou bien d'une proposition qui traite d'un problème de construction, ou bien enfin d'une proposition qui n'est qu'une réplique d'une autre, démontrée dans une précédente section. Dans cette proposition 8, Apollonius veut démontrer: a) que le segment ril se superpose au segment EZ, ainsi qu'aux segments MN et

se; b) qu'il ne se superpose à aucun autre segment. Or a) découle directement de VI.7 et V1.4. C'est donc un corollaire. On comprend qu'Apollonius n'insiste pas et donne directement la démonstration. Mais b) est une affirmation nouvelle qu'Apollonius démontre par réduction à l'absurde. Ainsi, avant cette démonstration, il en énonce l'objet par l'expression habituelle. Or cette situation n'est nullement unique: Apollonius procède ainsi dans 1.51 par exemple. Nous voulons dire par cette remarque qu'il s'agit là, selon toute vraisemblance, d'une variante du style de rédaction d'Apollonius, style uniforme certes, mais non mécanique et qui parfois varie.

[9, prop. 9, p. 114 ; ar. p. 115,2-3] « or les segments )~

ze et EH ... du centre »,

~J

... L 01, j.

Cette locution est parfaitement correcte et n'a subi aucune altération. Elle signifie que ze et EH ne sont pas découpés par deux mêmes cordes perpendiculaires à l'axe, ni par deux couples de cordes symétriques par rapport au centre de la section, cas qui peut se présenter pour l'ellipse et les deux sections opposées. Dans sa rédaction des Coniques, al-Shirazi a introduit le terme « mêmes» (4L:c~), terme utilisé par Apollonius en d'autres endroits, par exemple VI.22, pour faire ressortir le sens. Il écrit ainsi:

«car deux mêmes perpendiculaires ne tombent pas sur eux (les deux segments) et leurs distances du centre ne sont pas égales (ms. Istanbul, Carullah 1507, fol. 115) ».

[10, prop. 12, p 122 ; ar. p. 123, 8] « ... et que le rapport de KA à An est égal au rapport de or à rx », J~ J~ ~ t ~ J \ J~ E ~J . Ibn Abi Jarrada a isolé cette phrase dans le texte même entre deux signes "'1" et "J~" . Il écrit alors en marge:

224

Notes complémentaires

~J ,4-)i ~~ :i ;;~L:) ~J ,\~ ~\ ~ ~ ~J

~ ~~ 4...;J~~ ~\ ~ ~~\

~ ~ d:..iJj.4 ~ ~\ '4...;J~\

Ji ~J lf)J .J"k 0~~~ ~\~\

v

r

)

~

·~JJiJt ~ .kJ

Ji JS

..

\~: ~»

~J ,t~.,l\ ~ ~

Ji 4...;J~\ ~ wl$ II cûi ~J' ~ 0~y-:J\

.... ~ ·l:QJ~\\ü ~,I- A",Y\-;i ~J

"Ji" ":i" ~Y\c ~ ~jJ\

~wi ~~"k

JJ

' . W~\\I...-l·.:.1\ \II...-l . .:.1\ L-.;5 ,1 -A",YWi 0-4 r . ~ t5~ . ...r--. ~

~

~~'~~Ji~t~~JiU ~J

.«;;~\~ ~i ~ ~ ~ ~ ~J .o.J~ W' '0~y-:J\ \11 ~ ~J « Je dis: ce qui est entre les deux signes "la" "i/cr' se trouve ainsi dans toutes les copies [des Coniques] ; c'est un ajout dont on n'a pas besoin et qui ne relève pas du sujet. Sa [Apollonius] démonstration est longue, et il est possible de parvenir à ce que l'on cherche de cette proposition d'une manière plus accessible, mais il sous-entend au cours de la démonstration la chose suivante: puisque le rapport du produit au produit, qui est composé des deux rapports de leurs côtés, est égal au rapport du produit au produit, composé des deux rapports de leurs côtés, alors les deux rapports composés sont égaux et le rapport de KA à Ae est égal au rapport de OT à TE. Il reste donc le rapport de Kn à ne égal au rapport de OX à XE. C'est sur cela que l'on bâtit l'achèvement de la démonstration, comme il [Apollonius] l'avait mentionné. Rédigé par Mu}:1ammad ibn ~Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 245 r ). La remarque d'Ibn Abi Jarrada est exacte, mais l'authenticité de la phrase d'Apollonius n'est pas objet de doute: elle figure dans tous les manuscrits de la traduction. Al-Tüsi, à son tour, isole cette même phrase et écrit la glose suivante:

«Glose : car les rectangles proportionnels sur les côtés proportionnels sont semblables» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 125r ).

[11, prop. 13, p. 128 ; ar. p. 129, 14; voir supra, p. 33] Voici le texte d'Ibn Abi Jarrada: Ü

\J~~ b\S.,J ~~'~\~EJ~~0~:ii~W\~\~~:~»

~~ ~ ~\ wW

't ~~~ ~Jü~~ ~ \ 0 1SJ ,~~ J~~ ~.rJ\~t

~

~ ~~J.~~ ~yAJ\~J'0-=~\J.c;;~i ~,~~~~\..illJ~ [) .«;;~\~~i~~

225

Notes complémentaires

« Je dis : Il faut dans les deux ellipses que les deux points T et y ne soient pas sur les sections, car, s'ils y étaient, et si AT et .1y étaient des ordonnées pour les diamètres Ar et ME , alors Aç serait égale à çT et .1r serait égale à 'l'Y, et ainsi ATet ~y seraient divisées en deux moitiés par les diamètres ZH et IX des deux cercles et elles seraient donc des perpendiculaires aux diamètres; or ceci n'est pas l'hypothèse. Rédigé par Mu1).ammad ibn ~Umar ibn Abi Jarrada » (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 246 ». V

)

[12, prop. 13, p. 128 ; ar. p. 129, 14] Au cours de la démonstration de cette proposition VI.13, Apollonius déduit l'égalité des deux angles Z et !, sans justification aucune. Les Banu Musa ont ajouté à cet endroit du texte la phrase « d'après les lemmes qui précèdent ce traité ». Il s'agit du septième lemme (voir Tome 1.1, p. 492-493 et 520-525). Dans sa Rédaction des Coniques, al-Tusi modifie en quelque sorte la rédaction de cette proposition. Il commence par établir un lemme qu'il utilisera dans la démonstration de cette proposition, comme dans quelques autres par la suite. Lemme d'al-Tusi : ." ~lil\ \ ~ v. w,li.., v. ~ ~ ~J)0'4(rJ A

j1."J\

".

\.

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G ~b \~ ~ .1l>i ~..J \)\

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~LsJ ~ ~çi-=J\j~JL..:J -~ 0Y L ~'~ 0 L~J'iJ'"'O ~ 10

226

Notes complémentaires ~ o .

~

~

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- [~] ~4Jlj : ~41Jj 8 -

[J] ~ [~]

d 2

Le septième livre des Coniques

=0

pour l'ellipse; ou encore les autres proposItIons conclues à partir de VII.2I. Plus généralement, on cherche dans ce livre à savoir comment se comportent les diamètres dans l'ellipse, entre le grand axe et le petit axe; quels sont les rapports entre les diamètres et les diamètres conjugués dans une hyperbole, en fonction des axes ; ou comment se placent les parallélogrammes évoqués plus haut par rapport à la courbe: inscrits ou circonscrits, etc. On comprend alors la nature des relations entre le premier livre et le septième d'une part; et entre ce dernier et le cinquième d'autre part. Le septième livre dépend des résultats du premier, mais les exploite dans une autre perspective, pour un autre projet. Cette fois on s'intéresse bien plus aux courbes coniques et à certaines de leurs propriétés qu'aux sections planes, comme dans le premier livre. Apollonius tire efficacement parti dans le livre VII de ce qu'il avait établi au premier, mais pour explorer un autre terrain : l'étude de la variation des relations métriques entre certaines grandeurs, aussi bien que les rapports qui les lient. Or c'est bien là que réside toute la nouveauté et la force de la recherche géométrique à l' œuvre dans ce livre. On y traite des relations métriques (parfois affines) intrinsèques aux courbes coniques et à leurs variations. Et c'est d'autre part cette étude de la variation des distances qui rapproche le livre VII du livre V, et justifie sa place dans l'ordre des livres des Coniques. Mais ici - comme dans le livre V - étudier les variations d'une grandeur géométrique, c'est déterminer les limites entre lesquelles elle varie, c'est-àdire le maximum et le minimum qu'elle peut atteindre, aussi bien que son comportement entre ces deux valeurs limite. Cette étude n'a rien de classificatoire, dans la mesure où Apollonius ne cherche pas, par exemple, à ordonner les diamètres entre deux valeurs extrémales, mais à décrire le comportement d'un diamètre quelconque entre les valeurs extrémales que peut prendre cette grandeur. Or déterminer ces valeurs extrémales et décrire le comportement de la grandeur géométrique considérée entre ces valeurs, c'est d'abord formuler les conditions sous lesquelles cette grandeur varie aussi bien que les conditions requises pour qu'elle puisse atteindre ces valeurs extrémales; c'est-à-dire procéder par l'établissement des diorismes. C'est dire, in fine, qu'on ne peut séparer la recherche sur les variations de celle qui mène aux diorismes. Le diorisme est partie intégrante de la proposition que l'on veut démontrer. Ainsi par exemple la proposition VII.2I - comme celles qui la suivent - englobe le diorisme des limites de possibilité. C'est l'étude de la variation qui permet de concevoir et d'énoncer le diorisme. Sans doute est-ce dans cet esprit qu'il faut comprendre la formule d'Apollonius selon laquelle le septième livre contient « des théorèmes relatifs aux diorismes ». -

d;

247

1. Introduction

Reste à comprendre ce qu'Apollonius écrivait à Attale: les théorèmes du septième livre sont utiles à de nombreux genres de problèmes dont certains appartiennent au huitième livre. Tout ce qu'on sait de ce dernier, c'est qu'il était consacré aux problèmes. Or, si Apollonius a jugé bon d'achever son magistral traité consacré à la géométrie des coniques par un livre voué aux problèmes et non aux théorèmes, il y a bien des chances que ces problèmes fussent de ceux susceptibles d'être étudiés au moyen des sections coniques et grâce aux outils forgés dans les livres précédents et notamment le septième, selon ce que lui-même affirme. Au moins une partie des problèmes du livre VIII devaient recourir aux « théorèmes relatifs aux diorismes » établis au livre VII. Ceci étant, et d'après ce que l'on sait des prédécesseurs alexandrins d'Apollonius, il s'agissait selon toute vraisemblance de problèmes de construction géométrique à l'aide de l'intersection des coniques. Depuis Conon d'Alexandrie, on sait en effet que la préférence allait aux sections coniques pour la solution des constructions géométriques - ce qui impose de concevoir des diorismes. N'oublions pas la critique qu'Apollonius adresse à Nicotélès dans le prologue du livre IV, où il lui reproche de n'avoir pas compris que l'étude de l'intersection et du contact des sections coniques permet de concevoir des diorismes. Tels sont les problèmes qu'on pourrait s'attendre à voir figurer dans le huitième livre. Mais, si on souscrit à cette conjecture, reste à se demander quelles sont les propositions du septième livre, celles « relatives au diorismes », qu'Apollonius aurait pu utiliser dans le huitième. Le mathématicien du XIe siècle Ibn al-Haytham a répondu pour ainsi dire à cette question. Dans son livre intitulé L'Achèvement de l'ouvrage des 16 Coniques où il propose une restitution du huitième livre, il a conçu un ensemble de problèmes de construction dont les solutions font appel aux « théorèmes relatifs aux diorismes » du livre VII. En voici deux exemples: • Trouver sur une conique à centre un point tel que le diamètre d issu de ce point et le côté droit, c, qui lui est associé vérifient dc = k, avec k une / 17 1ongueur donnee . • Trouver dans une conique à centre d'axe transverse do et de côté droit associé d~ un diamètre d et le côté droit associé c, vérifiant d + c = k, avec 18 k longueur donnée . Pour construire ces grandeurs, Ibn al-Haytham fait appel aux propositions 12, 13, 21, 22 et 23 du septième livre et à l'intersection de la conique avec un cercle. Ces problèmes, comme d'autres proposés par Ibn al16 17 18

Les Mathématiques infinitésimales du Ibid., p. 123-126 et 242-249. Ibid., p. 126-135 et 249-255.

Ixe

au

XIe

siècle, vol. III, p. 147 sq.

248

Le septième livre des Coniques

Haytham au cours de sa restitution du huitième livre, sont des problèmes plans. Cependant les diorismes sont loin d'être simples: pour les problèmes qui viennent d'être évoqués, il n'a pas fallu moins de cinq propositions du livre VII. Par « théorèmes relatifs aux diorismes », il semble donc qu'Apollonius entende deux choses à la fois. Il s'agit de propositions qui d'une part renferment elles-mêmes des diorismes, et qui d'autre part interviennent dans la conception des diorismes lors de la construction des problèmes au moyen de l'intersection des coniques. Tel est bien le cas pour un bon nombre des propositions du septième livre. Or cette dualité de sens, seulement implicite, ne pouvait qu'intriguer les commentateurs. Venons-en à présent aux propositions de ce livre VII, que nous allons commenter successivement et systématiquement.

2. LEMMES PRÉPARATOIRES

Dans ce livre VII, Apollonius consacre en tout trois propositions à la parabole: 1, 5 et 32. Commençons par rappeler ces propositions avant de reprendre dans l'ordre toutes les autres. Soit une parabole f?lJ de sommet A, d'axe AT et de côté droit AL1 = co. Soit B E f?lJ quelconque; on mène l'ordonnée BT, alors

PROPOSITION VILI. -

AB2 = TA · TL1. y B

x

r

Fig. 2

Ce résultat est une conséquence immédiate de la proposition 1.11. En effet, posons Ar=x, BT=y; on a, pour B(x, y), y2 = cox. Or - AB 2 = BT 2 + Ar 2 = x ( Co + x ) = AT . L1r .

248

Le septième livre des Coniques

Haytham au cours de sa restitution du huitième livre, sont des problèmes plans. Cependant les diorismes sont loin d'être simples: pour les problèmes qui viennent d'être évoqués, il n'a pas fallu moins de cinq propositions du livre VII. Par « théorèmes relatifs aux diorismes », il semble donc qu'Apollonius entende deux choses à la fois. Il s'agit de propositions qui d'une part renferment elles-mêmes des diorismes, et qui d'autre part interviennent dans la conception des diorismes lors de la construction des problèmes au moyen de l'intersection des coniques. Tel est bien le cas pour un bon nombre des propositions du septième livre. Or cette dualité de sens, seulement implicite, ne pouvait qu'intriguer les commentateurs. Venons-en à présent aux propositions de ce livre VII, que nous allons commenter successivement et systématiquement.

2. LEMMES PRÉPARATOIRES

Dans ce livre VII, Apollonius consacre en tout trois propositions à la parabole: 1, 5 et 32. Commençons par rappeler ces propositions avant de reprendre dans l'ordre toutes les autres. Soit une parabole f?lJ de sommet A, d'axe AT et de côté droit AL1 = co. Soit B E f?lJ quelconque; on mène l'ordonnée BT, alors

PROPOSITION VILI. -

AB2 = TA · TL1. y B

x

r

Fig. 2

Ce résultat est une conséquence immédiate de la proposition 1.11. En effet, posons Ar=x, BT=y; on a, pour B(x, y), y2 = cox. Or - AB 2 = BT 2 + Ar 2 = x ( Co + x ) = AT . L1r .

249

2. Lemmes préparatoires

Soit une parabole g; d'axe AH, de sommet A, BI un diamètre quelconque, AT = C le côté droit relatif à l'axe et BZ .1 AH. Le côté droit relatif au diamètre BI est alors égal à Cl = AT + 4 AZ. PROPOSITION VIL5. -

E

B

e Z

H

1

Fig. 3

Démonstration : La tangente en A coupe B.1 en e et BI en E, la normale en B coupe l'axe en H. Les triangles B.1H et BEe sont semblables ; on a

donc, d'après 1.49, HL1 = .!.(c,). 2

Mais BZ2 = .1Z· ZH et BZ2 = AT· AZ (d'après 1.11), donc .1Z· ZH = AT· AZ. D'autre part, .1Z = 2AZ (d'après 1.35) et donc AT= 2ZH et Cl = 2H.1 = 2HZ + 2.1Z = AT + 4AZ = C + 4XB. PROPOSITION VII.32. Soit une parabole d'axe AZ et de côté droit AK = c. Soit TH et Be deux diamètres quelconques, Cl et C2 les côtés droits associés. Si l'abscisse de r, soit X2, est plus grande que l'abscisse de B, soit Xl, alors C2 > Cl.

M

A

B --------~De lhl---t--------oH

Cette proposition est un corollaire de VII.5. En effet, d'après celle-ci, on a Cl = C + 4x 1 et C2

=

C

A

Q-D-O----------Oz

E

~

+ 4X2. K

Fig. 4

250

Le septième livre des Coniques

Remarque : Ce corollaire établit que le côté droit C associé au diamètre issu du point B(x, y) est une fonction croissante de l'abscisse x, C = Co + 4x. Notons qu'Apollonius n'utilise plus loin ni la proposition ni le corollaire. Tout indique donc qu'il voulait démontrer cette propriété c = Co + 4x pour elle-même et que le côté droit est une fonction croissante de l'abscisse du point. Ce corollaire porte donc sur la variation du côté droit en fonction de l'abscisse. Apollonius l'a placé dans le groupe des propositions où il étudie une telle variation - VII.33, VII.34 - au lieu de le placer à la suite de VII.5. Le choix est à la fois thématique et logique. Dans le reste du livre VII, Apollonius traite des sections à centre. PROPOSITION VII.2. -

côté droit A.1. Soit (1)

Soit une hyperbole cJ? d'axe transverse AT et de

e un point de [AIl tel que

eT _ AT _ do . eA - AL! -~'

alors pour tout point B(x, y)

E

cJ? tel que BE 1- AT, on a AB 2

AT Te

-

eE·AE y

B

e

r

A

E

Z

x

~

Fig. 5

Démonstration: Soit Z tel que AE· EZ = BE 2 donc rectangle. D'après 1.12, on a pour tout point B 2

C _BE _ _ -----!L •

AE·TE - do ' Co . on a d onc -EZ =; d'" ou -EZ =-eA ; on en de~d Ult

TE

do

TE

eT

;

le triangle BAZ est

251

2. Lemmes préparatoires TE+EZ TE

= Te+eA et Te

TZ TE

= TA Te'

d'où AZ eE

TA Te

---

AZ·AE eE·AE

Mais AZ . AB = AB2 (le triangle ABZ est rectangle) ; d'où le résultat.

B

A

['

E

z

e

Fig. 6

Remarques: laC' est dans cette proposition qu'Apollonius définit le concept de « segment semblable en proportion ». Il s'agit du segment eA défini par la proportion (1). 2 0 Dans le repère (Ax, Ay), on a pour tout B(x, y) E d?

d'où

. on a pose"Te do d' ou" malS -==:= =-, eA

Co

d'où 2 TA ( - - ) TA AB =AE·-==:= AE+eA =-·AE·eE. Te Te

252

Le septième livre des Coniques

On a ainsi le résultat annoncé que l'on peut écrire sous la forme

Notons que dans le raisonnement on ne fait appel au point Z que pour écrire le symptôme sous une nouvelle forme. Comme dans la proposition 1 pour la parabole, il s'agit ici d'une transformation du symptôme de la courbe, qui servira comme lemme pour la suite. Soit une ellipse ~ d'axe AT (grand axe ou petit axe) et de côté droit Ad, et soit le point de la droite AT défini par

PROPOSITION VII.3. -

e

er _ Ar _ do

. eA - Ail -~'

y

B

B A O---O-----0---o-------{::>----------?>

r

z

e

--(}------O----U---------------Dr

x

(*)

AB 2

Ar

AE·eE

re

z

e

Fig.7.!

alors pour tout point B(x, y) de

-_

Fig. 7.2 ~avec

BE 1.. AT, on a

Démonstration: D'après les figures, Apollonius prend l'ellipse, donc

e en dehors de

253

2. Lemmes préparatoires

Si AT est le grand axe, on a do > Co, le point B est au delà de A. Si AT est le petit axe, on a do < Co ; le point B est au delà de T. On définit Z dans les deux cas par AB . BZ = BB 2 ; le triangle ABZ est donc rectangle. 2

"

D'apres 1.21 on a ,

BE AE·Er

C EZ c eA " = -.JL donc - = -.JL =d'ou

do'

Er

do

zr Ar AZ Ar AZ . AE Er = er :::} eE = er :::} eE· AE

er'

Ar. er'

or AZ· AB = AB2 (dans le triangle ABZ), donc AB 2 eE·AE

Ar er

Remarques: 1° Si AT est le grand axe, on a BB · AB> 0 et Ar > 0 ; et si AT est le er

petit axe, on a BB . AB < 0 et Ar < 0, les deux membres de (*) ont bien le er

même signe. 2° Apollonius donne le résultat en fonction des longueurs. 3° Soit le repère (Ax, Ay), on a pour tout point B(x, y), y2

c = -.JLx(d o-

do

x) et AB2

d -c d -c cd J. = x 2 + y2 = X ( x_o_ _o + Co J= x_o_ _o ( x + _0_0_

do

do

On a

d'où

on a donc 2 rA rA AB =AE·-(AE+eA)=-·AE·eE re re

qui est le résultat cherché; on peut donc l'écrire sous la forme

do -

Co

254

Le septième livre des Coniques

Soit une hyperbole ou une ellipse d'axe AT et de La tangente en un point B de la courbe coupe AT en Ll. Soit BZ centre le diamètre issu de B et eH le demi-diamètre conjugué de BZ, et BE l' ordonnée de B, alors on a

PROPOSITION VII.4. -

e.

BL1 2 BH 2

-

L1E BE H

B

E

z

M

Fig. 8

Démonstration : La tangente au sommet A de la courbe coupe BZ en A et B.1 en O. On mène .1K .lAT (K sur Be). D'après 1.50, la longueur M définie par M OB --BL1 BA

est celle de la moitié du côté droit relatif au diamètre BZ. Les triangles BAO et BK1 sont semblables, donc

d'où

K A

H cr-------(,r---u----~----__vr

e

z Fig. 9

2. Lemmes préparatoires

255

D'après les secondes définitions du premier livre des Coniques (d/ = dc), on a ici BH2 = M· BB et par conséquent 2

2

BL1 BH 2

-

BK. BB '

or

donc

Remarque: Ainsi, le rapport du carré de la tangente au carré du demidiamètre conjugué est égal au rapport de la sous-tangente à l'abscisse par rapport au centre.

Dans les propositions suivantes (6 à 20) et qui concernent l'hyperbole et l'ellipse, Apollonius définit des segments sur l'axe de référence Arpar (1)

rN

EA

_do

AN

Er

Co

-=-=+-

(A le sommet de la courbe; le signe supérieur pour l'hyperbole et inférieur

pour l'ellipse). Ce sont les rapports entre ces segments donnés sur l'axe transverse qui serviront à exprimer les valeurs des rapports entre les grandeurs étudiées dans ce livre. Ces segments de l'axe donnent une représentation du rapport fondamental do. Co

Dans le texte, la position des points N et S par rapport à A et r est précisée sur les figures. a) Dans le cas de l'hyperbole, les points N et S sont symétriques par rapport au point B, milieu de Ar, et se trouvent entre A et r. Supposons l'axe orienté de rvers A, alors: si do > Co, on a rN > NA, le point N entre A et B et S entre e et r; si do < Co, on a rN < NA, le point N entre r et B et S entre B et A. De la définition des points N et S, on déduit des relations qui interviendront fréquemment dans les démonstrations :

256

Le septième livre des Coniques

(1)

or rA

~

rA _ do + Co • rN do '

NA _ Co rN do

---==>----

= do, donc 2

rN= SA

d0 _ . = __

do + Co

'

et on en déduit AN = sr

=

do Co do + Co

•

Pour l'ellipse, N et S sont symétriques par rapport à e, et ils sont extérieurs à l'ellipse. Si Ar est le grand axe, do > Co ; le point N est au delà de A et S au delà de r. Si Ar est le petit axe, do < Co ; le point N est au delà de r et S au delà deA. De la définition des points N et S, si l'on suppose Ar orienté de A vers

r, on déduit les relations: (1)

d'où __ _d2 rN=SA=--O- . do - Co '

et on en déduit AN=Ar+rN

-dc

=_0_0

=sr.

do -co

Jusqu'à la proposition 20, les figures sont définies de manière unique pour l'hyperbole et pour l'ellipse. L'hyperbole: à tout point de la branche ~ de l'hyperbole, on associe le diamètre transverse BK et la tangente BL1. On mène Ai\. Il BL1 (A sur ~), i\.M -.L AT et BE -.L AT, donc à tout point B on associe les points E et M

257

2. Lemmes préparatoires

On désigne par d, d/ et c les longueurs du diamètre BK, de son diamètre conjugué et de son côté droit. On a

L'ellipse: À tout point B de l'ellipse d'axe ATon associe le diamètre BK et la tangente BL1. On mène TA Il BK, BE 1- ATet AM1- AT.

3. RELATIONS ENTRE LES PARAMÈTRES INITIAUX ET DE NOUVEAUX PARAMÈTRES: RELATIONS MÉTRIQUES FONDAMENTALES

Le second groupe comprend quinze propositions, de 6 à 20. Dans cellesci, les hypothèses sont celles de VII.6 pour l'hyperbole et VII.7 pour l'ellipse. En possession de la définition des segments de rapport semblable à l'aide des points symétriques N et E, Apollonius s'efforce de déterminer un certain nombre de relations - somme, différence, produit - entre les diamètres conjugués, l'axe transverse et le côté droit. Il s'agit pour ainsi dire d'un « calcul» sur les diamètres conjugués, qui servira dans le groupe suivant pour étudier la variation de d, d~ d ± d/ et c, d ± c. Voici ces relations:

d~

d2 + d'2 = d2 + d' 2 0 0 ,

d 2 + d'2 '

C

PROPOSITION VII.6. -

d~ (d =+= C)2'

2 '

d~ d· C'

d~ d 2 ± c2

•

Soit une hyperbole d'axe transverse AT, de centre

8, BK = d un diamètre et ZH = d/ son conjugué, BL11a tangente en B. On mène AA Il BL1, AM 1- AT et BE 1- AT. Si les points N et E sur AT sont

tels que A

o M K

Z

Fig. 10

257

2. Lemmes préparatoires

On désigne par d, d/ et c les longueurs du diamètre BK, de son diamètre conjugué et de son côté droit. On a

L'ellipse: À tout point B de l'ellipse d'axe ATon associe le diamètre BK et la tangente BL1. On mène TA Il BK, BE 1- ATet AM1- AT.

3. RELATIONS ENTRE LES PARAMÈTRES INITIAUX ET DE NOUVEAUX PARAMÈTRES: RELATIONS MÉTRIQUES FONDAMENTALES

Le second groupe comprend quinze propositions, de 6 à 20. Dans cellesci, les hypothèses sont celles de VII.6 pour l'hyperbole et VII.7 pour l'ellipse. En possession de la définition des segments de rapport semblable à l'aide des points symétriques N et E, Apollonius s'efforce de déterminer un certain nombre de relations - somme, différence, produit - entre les diamètres conjugués, l'axe transverse et le côté droit. Il s'agit pour ainsi dire d'un « calcul» sur les diamètres conjugués, qui servira dans le groupe suivant pour étudier la variation de d, d~ d ± d/ et c, d ± c. Voici ces relations:

d~

d2 + d'2 = d2 + d' 2 0 0 ,

d 2 + d'2 '

C

PROPOSITION VII.6. -

d~ (d =+= C)2'

2 '

d~ d· C'

d~ d 2 ± c2

•

Soit une hyperbole d'axe transverse AT, de centre

8, BK = d un diamètre et ZH = d/ son conjugué, BL11a tangente en B. On mène AA Il BL1, AM 1- AT et BE 1- AT. Si les points N et E sur AT sont

tels que A

o M K

Z

Fig. 10

258

Le septième livre des Coniques TN = AE =do AN TE Co

(c est le côté droit relatif à AI), alors BK 2 d 2 EM ZH 2 - d,2 - MN A

H

o M K

z Fig. Il

Démonstration : On a (1)

LlB

AM AM

- -

BB

D'autre part, AA Il BL1 et AA Il HZ, donc BB coupe AA en son milieu 0; mais e est milieu de AT, donc TA Il eo, d'où (2)

BB

AM.

Be

MT'

de (1) et (2) on a LlB AM --Be MT

Mais, d'après VII.4, on a LlB

LlB

2

Be - eH 2 ' donc

259

3. Relations métriques fondamentales

Mais les triangles eB~ et TM sont semblables, donc

BB 2 L1B

--2

T/12 Ai\.

= - 2 ' d'où

BB 2

T/12 AM BH 2 = A/12 • MT ·

Mais, d'après VII.2, T /12 = AT et AM· MN = TN . TM . ME AE A/12 AT

Or, puisque AS= TN, on a 2

T/1 A/12

2

TM ·ME et BB = TM ·ME . AM = ME AM . MN BH 2 AM . MN MT MN

Soit C le côté droit associé à BK, on a ZH2 = C • BK, d'où

donc d ME --c MN

Remarques: la On a donc pour l'hyperbole

On a deux cas de figure selon que do > Co et do < Co. La démonstration fait appel à la similitude des triangles ~EB et AMA, celle des triangles EBe et MAT, ainsi qu'aux résultats établis dans les propositions VII.4 et VII.2.

e;

2 0 Les points N et S ainsi définis sont symétriques par rapport au centre d'où deux figures selon que c > d et c < d.

260

Le septième livre des Coniques

Pour c > d, on a AN> Ae, le point N entre e et T et le point S entre Aet e. Pour c < d, on a AN < AB, le point N entre A et e et le point E entre eetT. PROPOSITION VIL? -

Soit une ellipse d'axe AT = do, les points N et S tels

que TN

AE

AT

AN

TE

Co

-=-=-

(co le côté droit associé à do). Soit BK = d et ZH = d/ deux diamètres conjugués. On mène AA Il ZH et AM ..1 AT, alors

Remarquons d'abord qu'il Y a deux cas de figure : Si AT = do est le grand axe, alors Co < do, d'où TN> AN; N est du côté du sommet A et TE < AS ; S est du côté du sommet T. Mais si AT = do est le petit axe, on a au contraire N du côté de Tet E du côté de A. A

r

N

K

z z

K

Fig. 12.2

Fig. 12.1

Démonstration: Soit BL! la tangente en B, BL! Il AA. Les triangles BEe et AMT sont semblables, de même que les triangles BEL! et AMA, donc L1B = AM BB AM

et BB Be

d'où L1B AM ---Be MT

= AM

MT'

261

3. Relations métriques fondamentales

Mais, d'après VII.4, Bi1 2

i1B

Bi1 2

AM MT

-=--= :>--=-2 2

Be eH

eH

•

Les triangles L1Be et AATsont semblables, d'où

Be 2 eH 2

AM T/12 = MT . A/12

Be: = TA: ,d'où Bi1

AA

•

Mais, d'après VII.3, AT AS

2

2

T/1 et AT = A/1 • TM·MS TN AM·MN'

et AS = TN, donc 2

T/1 A/12

TM ·MS et AM·MN

Be 2 = AM. TM ·MS MS eH 2 MT AM.MN·= MN'

donc

Si

C

est le côté droit associé au diamètre BK, on a ZH2 = BK · c, donc

BK 2

BK MS ZH 2 =-c-= MN

Remarques: 1° On a donc pour l'ellipse

On a deux cas de figure selon que do > Co et do < Co. La démonstration fait appel à la similitude des triangles LlBB et AMA, celle de BBe et MAT et celle de LlBe et AAT, ainsi qu'aux résultats établis dans VII.4 et VII.3. 2° On vient de montrer que

d2 -2

d'

';;'M

= ~

NM

3° Il est évident que, si Mtombe en

et

d2 -2

d'

d

=-.

c

e, on aura le corollaire d = d/.

262

Le septième livre des Coniques

PROPOSITION VIL8. -

Avec les notations et les hypothèses précédentes, on

a d~

(d + d')

2

=

SM·TN (SM + -V NM . MS)

2 •

A

H

o M

/K

z

K

z Fig. 13.2

Fig. 13.1

Démonstration: Par 1.37 (division harmonique), on a BA 2 = eE· e1\, d'où AT 2 BK 2

Ae 2 Be 2

-

on en déduit AT 2 TA·TM = 2 (car Mil 1\BetATII Be). BK TA

-2

D'après les propositions VII.2 pour l'hyperbole et VII.3 pour l'ellipse, on a

TA2

TA

SM·TM

AS

avec AE = TN, d'où (*)

TA·TM TN.TM

TA·TM TA2

---~---

SM·TM

TN SM '

on a donc (1)

AT 2 BK 2

-

TN SM

TN·SM SM 2

•

Du résultat établi dans VII.6 pour l'hyperbole et dans VII.7 pour l'ellipse, on déduit

263

3. Relations métriques fondamentales

BK 2 ZH 2

SM 2 MN·SM A

['

K

z

z Fig. 13.3

K

Fig. 13.4

Posons Sl2 = SM ·MN (les points let M ont été pris de part et d'autre de S, donc lM = IS + SM). On a donc (**)

BK

SM

ZH - SI '

d'où BK

SM

BK +ZH

SM +SI

et (2)

BK 2 SM 2 (BK + ZH)2 - (SM + SI)2 .

De (1) et (2), on déduit Ar 2

rN·SM

(BK +ZH)2 = (EM +."JEM oMNf'

le résultat cherché. Remarque: Par la suite, on utilise la relation (1) plutôt que l'énoncé de VIL8. PROPOSITION VII.9. -

On a pour l'hyperbole et l'ellipse

264

Le septième livre des Coniques

La démonstration se déduit de VII.8 avec sP définition du point 1. On a

PROPOSITION VILlü. -

d2

a

= SM· MN,

d'après la

rN

-

----;:====

-J NM . SM ·

d .d' -

La démonstration se déduit des relations (*) et (**) (proposition VIL8). Pour l'hyperbole seulement, on a

PROPOSITION VIL Il. -

rN MN+MS'

que l'on peut écrire

rN 2MB'

car, d'après VII.6, on a 2

BK MS -2 =- ==> ZH

MN

BK 2 BK 2 + ZH 2

MS =- -MN + MS

et on a vu dans la relation (1) de la proposition VII.8 que

Ar 2 BK 2

rN -

MS'

d'où

rN MN+MS PROPOSITION VILI2. -

Soit ~ une ellipse, alors pour tout diamètre d, on a

'2 d' "d~ " . 0 n salt . que d oc = d 0 do D emonstratlon: ' OU --;:l =-. o

do

Co

Mais, par définition dans le cas de l'ellipse, on a pour les points N et S

Nr = SA = do NA sr Co donc

(avec AT= do),

265

3. Relations métriques fondamentales TN d2 AN - do'2

___ 0

'

d'où TN

(1)

AN+TN

r

...

r

N

K

z

Fig. 14.1

Fig. 14.2

Mais AN = TE et, pour l'ellipse, dans les deux cas de figure NT + TE = NE, donc d~ d~ +d~2

TN

NE'

et d'après VII.7

d'où 2

d 2 d +d '2

ME NE'

et, d'après la relation (1) de la proposition VII.8, on a

donc (2)

d~

d 2 +d '2

TN

NE'

de (1) et (2), on a d 2 + d '2

= d~

+ d~2.

266

Le septième livre des Coniques

Soit ~une hyperbole d'axe transverse AT= do ; alors on a pour tout diamètre d 2 d~ - d~2 = d - d '2 .

PROPOSITION VILI3. -

A

A

K

z

H

K

z Fig. 15.1

Fig. 15.2

Démonstration: On conduit le raisonnement comme dans VII.12 pour l'ellipse en utilisant les résultats de VII.6 et VII.8 et en tenant compte de NE= IME-MN). Notons que si do > Co, on a ME> MN; et si do < Co, on a ME < MN. PROPOSITION VILI4. -

Soit

~une

ellipse, alors pour tout diamètre d, on a

Démonstration : On a (1) 2

et, d'après VIL7, d 2 = EM dans les deux cas de figure, d'où d'

(2)

d

MN

2 _

EM

Id 2- d'21- ISM - MNI

. '

de (1) et (2), on a do2 TN _ 2 Id - d'21-'EM - MN'·

Or lEM - MNI

= IME + MNI = 21Mel = 2Me

; d'où le résultat.

267

3. Relations métriques fondamentales

Soit l'hyperbole ~ou l'ellipse droit associé à BK (diamètre quelconque BK = d) ; on a

PROPOSITION VILI5. -

G: et soit c le côté

d~ _ rN·MS

--:! -

MN 2

•

Démonstration: D'après VIL6 et VIL7 et la relation d 2 = ~, on a 2

d'

d

2 _

--:! -

MS 2 MN 2

c

• '

mais, d'après la relation (1) de la proposition VIL8, on a

~~ =

r:;s,

donc d~ _ rN·MS

MN 2

c2

-

c2

d ·MN_ = _0"'------_

'

d'où 2

2

rN·SM PROPOSITION VILI6. -

Soit une hyperbole ~ ou une ellipse

~

on a

~

on a

d~ _ rN·MS (d - C)2 - [MS - MN]2 .

PROPOSITION VILI7. -

Soit une hyperbole ~ ou une ellipse d~ _ rN·MS (d+C)2 -[MS+MN]2·

Remarque : Les propositions VII.16 et VII.17 se démontrent à partir des propositions 6, 7, 8 de ce même livre: d'après VII.6 et VII.7, on a d c

MS MN

d d±c

-=--==>--=

MS d2 MS 2 ==>--2 = 2 MS±MN (d±c) [MS±MN]

et d'après la relation (1) de la proposition VII.8, on a d~ _ rN·MS

d2

d'où les conclusions.

-

MS 2

'

268

Le septième livre des Coniques

PROPOSITION VII.18. -

Soit une hyperbole d?ou une ellipse ~ on a d 2 = __ rN d·c MN

_0

Démonstration: D'après VIL8, on a Ar 2 BK 2

-

rN ME '

et d'après VII.6 et VII.7, on a BK

ME

-c-- MN'

d'où BK 2 ME c·BK = MN'

d'où la conclusion. Soit une hyperbole d? ou une ellipse ~

PROPOSITIONS VII.19 et VII.20. -

on a ~_

d 2 ± c2

-

rN·ME ME 2 ± MN 2

'

le signe supérieur pour VII.19 et le signe inférieur pour VII.20. Les deux démonstrations se font à partir des propositions 6, 7 et 8 de ce livre.

4. VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES AUX PARAMÈTRES d, d/,

C,

c/

Dans les trois propositions suivantes - 21 à 23 - Apollonius considère un point B qui décrit l'hyperbole d? de sommet A et étudie la variation du d

rapport d'. Soit une hyperbole d?d'axe transverse AT= do tel que AT > ID = d~. Si BK = dl est un diamètre transverse et d; son diamètre conjugué, alors dl > d;. Si de plus ZH = d2 est un diamètre transverse plus éloigné de l'axe que le diamètre BK = dl et d; son conjugué, on

PROPOSITION VII.21. -

a

268

Le septième livre des Coniques

PROPOSITION VII.18. -

Soit une hyperbole d?ou une ellipse ~ on a d 2 = __ rN d·c MN

_0

Démonstration: D'après VIL8, on a Ar 2 BK 2

-

rN ME '

et d'après VII.6 et VII.7, on a BK

ME

-c-- MN'

d'où BK 2 ME c·BK = MN'

d'où la conclusion. Soit une hyperbole d? ou une ellipse ~

PROPOSITIONS VII.19 et VII.20. -

on a ~_

d 2 ± c2

-

rN·ME ME 2 ± MN 2

'

le signe supérieur pour VII.19 et le signe inférieur pour VII.20. Les deux démonstrations se font à partir des propositions 6, 7 et 8 de ce livre.

4. VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES AUX PARAMÈTRES d, d/,

C,

c/

Dans les trois propositions suivantes - 21 à 23 - Apollonius considère un point B qui décrit l'hyperbole d? de sommet A et étudie la variation du d

rapport d'. Soit une hyperbole d?d'axe transverse AT= do tel que AT > ID = d~. Si BK = dl est un diamètre transverse et d; son diamètre conjugué, alors dl > d;. Si de plus ZH = d2 est un diamètre transverse plus éloigné de l'axe que le diamètre BK = dl et d; son conjugué, on

PROPOSITION VII.21. -

a

269

4. Variations des grandeurs

1\

z

E

M

K H

Fig. 16

Démonstration : Soit N et E définis comme précédemment par TN AN

AE TE

AT

-=-=-

c

a) Soit AL! et AA les droites ordonnées pour les diamètres BK et ZH respectivement et L!E .1 AT, AM .1 AT; on a d'après VII.6 (1)

Or par hypothèse AT > JO, donc AT > c, d'où EE > EN, et ME> MN ; on a donc BK = dl > d; et ZH = d2 > d;. b) On a EE= EA + AEet EN= EA + AN, avec AN < AE, d'où EE EA ---'

et d'après (1) BK

ZR

->-

d;

d;'

d'où Ar

BK

ZR

JO

d;

d;

->->-.

Remarques:

1° Si c est le côté droit relatif à AT = do, on a cdo = d~2 d

2

= 10 2, d'où

d

----f2 = ~, donc do > d~ {:::} do > c ; dans ce cas, AN < AB et AS> AB. do

c

2° Le raisonnement est le suivant: d'après la définition des points symétriques S et N, on a pour tout point M de l'axe transverse à l'intérieur de dt: MS> MN. Or, pour tout point B de la courbe, les diamètres d et d/ qui lui correspondent vérifient, d'après VII.6, 2

d d' 2

-

MS. MN '

on a donc d> d/. D'autre part, AN = TS < AS et MS> MN; on en déduit

271

4. Variations des grandeurs

on a donc

Quand B(x, y) décrit d? de sommet A, en partant de A, le point M ~ . Ax et 1e rapport ME "de -AE =-AE,a 1. d ecrIt - d,/ecrolt

MN

TE

AN

PROPOSITION VII.22. - Si dans une hyperbole l'axe transverse AT= do est plus petit que l'axe conjugué 10= d~, si BK = dl et HZ = d 2 sont deux diamètres transverses, BK le plus proche de AT, et si d: et d; sont leurs diamètres conjugués respectifs, alors dl < d: et d 2 < d; et

A

o

Fig. 17

On procède à la démonstration selon la même méthode que dans les propositions précédentes, en tenant compte des positions des points S et N ; on a ici AS< Ae< AN. Remarques: 10 L'hypothèse do < d~ entraîne do < Co. Dans ce cas, d'après la définition de S et N, pour tout M pris sur l'axe à l'intérieur de l' hyperbole de sommet A, on a MS < MN. On raisonne comme dans VII.21 en partant de

272

Le septième livre des Coniques d2 d 1'2

_1

-

MS _ MN'

résultat établi dans VII.6, et on montre que d2 d;2

d2

_1 >_0

d~2·

Le rapport dl croît de do à 1. d~

d;

2° Le résultat de VII.22 peut se déduire directement de VII.21 si on considère l'hyperbole conjuguée pour laquelle /0, dl et d2 sont respectivement l'axe transverse et deux diamètres transverses vérifiant les hypothèses de VII.22. Si les axes d'une hyperbole sont égaux, alors deux diamètres conjugués quelconques sont égaux.

PROPOSITION VII.23. -

A

z

E

M

K H

Fig. 18

Démonstration: L'hypothèse do = d~ entraîne do = Co. Dans ce cas, les points S et N sont confondus et se trouvent au point 8, milieu de AT. On a donc

donc d = d~ ce qui entraîne d = c. Dans ce cas, tout diamètre est égal à son côté droit et à son diamètre conjugué. Le rapport :' est constant et égal à 1.

Remarque: Ce cas correspond à l'hyperbole équilatère.

273

4. Variations des grandeurs

Soit une ellipse de grand axe AB = do, de petit axe rf1 = d~, de centre e, (do > d~). À tout point E de l'arc AT est associé un diamètre EZ = d et un diamètre conjugué HK = d/, avec d > d/ et H sur l'arc rB. On a :

PROPOSITION VII.24. -

a) do > ~ d~ d'

et

b) :' décroît quand E décrit Ar. ['

H

N E A()-ü---ü------=~=__----__oB

A

e

X

Il

z

K

Fig. 19

Démonstration : a) On mène EA 1. AB et HM 1. rf1 ; on a d'après 1.21

Ae.eB er 2 AA.AB - AE 2

•

Mais AB· BB = Ae2 > er 2 , donc AA· AB > AE 2 • Or AA· AB eA - eA2 • On a donc

=

2

et par conséquent

(1)

do > d.

D'après 1.21, on a également

er .eL! _ eB 2

•

Mr.ML! - MH 2

'

mais er· Bf1 = Br 2 < eB 2 , donc Mr· Mf1 < MH 2 • Or Mr· Mf1 er- - eM2 , donc er2 < BM2 + MH 2 , et on a er2 < BH2 , et ainsi

=

274

Le septième livre des Coniques

(2)

De (1) et (2) on déduit do d ->-. d~ d'

b) Soit N sur AT tel que AN > JfÈ , et soit NE = dl le diamètre issu de N et orr = d: son diamètre conjugué avec dl > d:. On mène NX ..1 AB et OP.l Tf1. D'après 1.21, on a AA . AB _ AE 2 AX.XB - NX 2

or AA . AB = BA2 - BA2 et AX· XB

•

'

= BA2 -

BX 2 , donc

AX· XB>AA· ABetNX>AE;

on a alors AA·AB AX . XB - AA· AB

AE 2

Or AA . AB > AH ; on a donc AX · XB - AA . AB > NX 2 - AE 2 ,

d'où

d'où

d'où

On raisonne de la même manière pour les points H et 0 rapportés au diamètre Tf1, et on montre ainsi que BH2 < B0 2 , d'où

On a donc do > d> dl et

d~

< d/ < d:, d'où l'on déduit

do> d >_ dl . d~ d' d;'

275

4. Variations des grandeurs

donc le rapport :' associé à un point qui décrit l'arc AT en partant de A décroît. Quand ce point vient en r, le diamètre associé à r est ri1

= d~

et

son conjugué est AB =do, donc ~ décroît de do à d~ (do > 1 ; d~ < 1). d~

d'

do

d~

do

c) Apollonius ne s'arrête pas là, mais donne un résultat relatif à l'excédent d'un diamètre sur son conjugué: AB - ri1 > EZ - HK> NE -

orr ~

[do - d~ > d - d/ > dl - d;].

Ce résultat est une conséquence immédiate de ce qui précède; peut-être est-ce pour cela qu'Apollonius n'en donne pas de justification 19. Apportons toutefois la remarque supplémentaire suivante. On a vu que AB ri1

EZ HK'

->-

d'où AB AB-ri1

--->

EZ . EZ-HK'

or AB > EZ, on a donc AB - r i1 > EZ - HK. Soit l le point de l'arc Ar tel que son diamètre Il = d 2 soit égal au diamètre conjugué d; :d 2 - d; = O. Si le point N est comme le point E sur l'arc AI, on aura de même NE > orr et on montrera que EZ - HK > NE - orr. Avec les notations précédentes, on a donc

Quand un point vient sur l'arc Ir en T, le diamètre qui lui correspond TU est plus petit que son conjugué et la différence est négative. On peut résumer en désignant par le point variable.

ç

d) Le dernier paragraphe de cette proposition est relatif au côté droit. Si on désigne par Co, C, Ch C2 et c~ les côtés droits relatifs à AB = do, EZ = d, NE = dl, Il = d 2 et r i1 = d~, on a T i1 2 = Co· AB, H K 2 = C . E Z, orr 2 = Cl • NE, Il 2 = C2 · Il - d'où C2 = Il = d 2 = d; - et AB 2 = c~ . Ti1 ; on a alors Co

19

< C < Cl < C2
d/. Mais on a montré dans VII.25 que d + d/ croît indéfiniment quand XE, l'extrémité du diamètre d, décrit l'hyperbole à partir de son sommet A. Donc d - d/ décroît à partir de do - d~ (d 2 - d,2 = (d + d')(d - d')) ; ainsi d - d/

2

= d0

d,2 -

0

d+d'

•

280

Le septième livre des Coniques

Remarques: 1° Si do = d;, on est dans le cas de l'hyperbole équilatère et on a pour tout diamètre d = d/, donc d - d/ = O. 2° Si do < d;, on a pour tout diamètre d/ - d > 0 ; et

d/ + d croît indéfiniment, donc d/ - d décroît de d; - do à O. Étude du produit dd/ pour l'hyperbole et l'ellipse. • Dans le cas de l'hyperbole, on sait que: d croît indéfiniment à partir de do, d/ croît indéfiniment à partir de d;, donc le produit croît indéfiniment à partir de dod;. • Dans le cas de l'ellipse, le raisonnement se fait à partir des résultats de VII.I2 et VII.26. 2 D'après VII.I2, on a pour tout diamètre d, d + d '2 = d~ + d;2 et, d'après VII.26, si l'on s'en tient, comme Apollonius, aux diamètres d tels que do > d> dI, on a d + d/ < 2 dI, car dl = d; ; on a (d + d/)2 croissant de (do + d;)2 à (dl + d;)2 ; donc dd/ croît de dod; à dl d; = d:. Mais si on considère les diamètres qui ont une extrémité x sur l'arc IT, on écrit le tableau comme dans VII.26. PROPOSITION VII.28. -

x

T

l

A

PROPOSITION VII.29. - Dans l'hyperbole, la différence entre le carré d'un diamètre et le produit de ce diamètre par le côté droit qui lui est associé est constante. ~ - dc = cte.

Démonstration: On sait que dc = d '2 et on a établi dans VII.I3 que = d~ - d~2 pour tout diamètre d de l'hyperbole. Par conséquent

d 2 - d '2

2 d - dc

= d~ -

doc o'

différence constante.

Remarque: Si do > Co, ce qui entraîne do > d~, on a d 2 - dc > 0, et si do < Co, on a do < d; et ~ - dc < O. Cette proposition est donc un corollaire de VII.13.

281

4. Variations des grandeurs

Dans l'ellipse, la somme du carré d'un diamètre et du produit de ce diamètre par le côté droit qui lui est associé est constante:

PROPOSITION VII.30. -

cP + dc

= ete.

Démonstration: On a établi dans VII.12 que d 2 + d '2 = do + d~2 pour tout diamètre d. Or d/ = dc et d~2= doco ; par conséquent, on a somme constante. Remarque: Cette proposition est un corollaire de VII. 12. Soit une ellipse ou deux sections opposées conjuguées. L'aire du parallélogramme déterminé par les tangentes aux extrémités de deux diamètres conjugués est constante et égale à l'aire du rectangle produit par les axes. Démonstration : Soit AB = do et T11 = d~ les deux axes, le centre, ZA = d et NB = d/ deux diamètres conjugués quelconques, les tangentes aux points Z et A sont parallèles ainsi que les tangentes aux points N et B. Elles déterminent le parallélogramme HKMX On démontre PROPOSITION VII.31. -

e

aire (HKMX)

= AB . TL1 = dod~.

H

Fig. 23.1

La droite AB coupe HX en B et HK en ç. On mène zn 1.. AB et on prend 0 sur zn tel que n0 2 = nB . ne (0 est donc sur le cercle de diamètre Be).

282

Le septième livre des Coniques

D'après 1.37, si IlE . Ile IlZ

Co

est le côté droit relatif à AB, on a20 AB 2 rL1

AB 2 AB· Co

AB

Il0 2 IlZ

eA 2 er

eA 2 er

IlO IlZ

eA er'

- - -2 = - = - - = - - 2= - ==>--=--==>-=_. 2 2 2 Co

on en déduit IlO.BE AB 2 ==>--IlZ ·BE IlO·eE

Mais, d'après 1.37, on a A& =

Ae·Br IlZ·eE

Brr· BE, d'où

eIl·BE OIl·BE

AB·Br. IlZ ·eE '

on en déduit aIl rrz· eE=Ae· er·-. eIl

(1)

H

K B

E

x

A

TI A

M

Fig. 23.2

D'autre part, on a es Il ZE, donc, d'après VII.4, on a ZE 2 BE 2

On a aussi

20

-

EIl Ile

ze Il Sç ; les triangles eZE et eSÇ sont semblables et

Comme BIl· BE = BA2 (propriété de la tangente), on a

eIl· IlE = BIl· (eE - BIT)

= BA2 -

eIl2 = IlA . IlB.

283

4. Variations des grandeurs (2)

aire( eZE) _ ZE 2 aire( eE;) - eE 2

_

En

-

ne

On a également aire( eZE) _ ZE _ eE aire(eZH) - ZH - e;

et, de la même manière, on a 2aire( es;) aire( eZHE)

= e; eE .

L'aire (eZHS) est le quart du parallélogramme (HKMX). Posons aire (eZHE) = S. Des deux dernières égalités, on déduit 2aire( eZE) S

=

S

2aire( eE;)

=> S2

= 4aire( eZE) . aire(es!;))

,

d'où, d'après (2), 2

ne

S2 = 4aire( eZE) .-

En

=

ne

nz 2 • eE 2 • • En '

et d'après (1), on a

mais par hypothèse oIF =

eIT . EIT, d'où

et S = Ae · eT et 4S = AB . Til. L'aire cherchée est donc aire (HKMX)

= AB· Til = dod~.

Ainsi l'aire du parallélogramme déterminé par les tangentes aux sommets de deux diamètres conjugués ne dépend pas des diamètres considérés ; elle est constante et égale à l'aire du rectangle déterminé par les tangentes

284

Le septième livre des Coniques

aux sommets des axes 21 • Si a est l'angle aigu de deux éléments conjugués d et d/, on a

À la fin de la proposition VII.31, Apollonius mentionne pour l'hyperbole et l'ellipse des propriétés relatives aux diamètres, à leurs conjugués et à leurs côtés droits. Ces propriétés, comme l'affirme Apollonius, peuvent être déduites des résultats établis précédemment. Peut-être est-ce pour cette raison qu'il ne les démontre pas. Considérons donc ces propriétés. L'hyperbole: Soit une hyperbole d'axe transverse AB, de centre e. Posons AB = do et soit d~ son conjugué et Co son côté droit. Soit M un point qui décrit l'hyperbole en partant du sommet A. À toute position Mi de ce point correspond un diamètre transverse di ; soit d: et Ci son conjugué et son côté droit. Notons Mi et M i+ 1 des positions successives ifM;
Co =::} do > di> di+1 > 1. On a donc d~ d: d:+ 1

On a également

Dans VII.22, on a vu que do < Co ===> d~ < di, < di,+l < 1 ; on a alors do di di+l

286

Le septième livre des Coniques

On a également

· SI. da = Co, on a pour tout l: . di = Ci et -do = -..l... d. = 1. E n f ln, Co

Ci

L'ellipse: Pour une ellipse de centre (9, de grand axe AB = do et de petit axe T L1 = d~, l'étude faite dans VII.24 et VII.26 a mis en évidence le rôle des diamètres conjugués égaux. Soit un point l sur l'arc AT qui donne dl = d:. À tout point M pris sur l'arc AT on associe le diamètre d, son conjugué d/ et son côté droit c. Les résultats connus pour d et d/ donnent: 1) cP décroît constamment de d~ à d~2 ; 2) d/ 2 croît constamment de d~2 à d~ ; 3) d 2 - d /2 décroît de d~ - d~ 2 à d~ 2 - d~ ; au point !, cette différence s'annule, puis elle devient négative. Quand M décrit l'arc AI, de A vers l, la différence cP - d/ 2 est positive et décroissante, ce qui correspond à la propriété annoncée par Apollonius. Quand M décrit l'arc IT, de l vers T, la différence ~ - d/ 2 est négative et décroissante, donc si M décrit TI, de Tvers l, la différence d/ 2 - cP est positive et décroissante. On a donc

et Id 2 - d'21 décroît quand les diamètres considérés s'éloignent des axes. La seconde propriété mentionnée par Apollonius fait appel au côté droit C relatif à un diamètre d. On peut formuler cette propriété de la manière suivante, en notant di, d: et Ci les éléments associés à un point Mi. Soit Mi et M i+! deu~ points sur l'arc AI avec ÂMi+~ > AM;' ; on a dol > c.I t d i di+l. >{d + > C + e Ci C+ ' i 1

i 1

i 1

et pour Mi et M i+ 1 pris sur l'arc IT, avec fMi+~ > 11J;, on a dol < c.I t d i di+l d 1l et d 2 > d'2 et -do > -dl > d~

d(

d;

On en déduit

mais do < dl < d2, on a donc nécessairement PROPOSITION VII.34. -

< Cl < C2.

Avec les mêmes notations que dans la proposition

précédente, on prend comme hypothèse Co

Co

Co

2

~ do < Co et on démontre que

< Cl < C2· Démonstration : Apollonius fait intervenir dans cette démonstration les

points N et S définis sur l'axe transverse AT = do par TN AN

= AE = do TE

Co

y

A

M

Fig. 26

On a alors TN = AS et TS = AN, d'où

x

289

4. Variations des grandeurs

or par hypothèse, on a do < Co entraîne TN = AS < AN et do ~

Co

2

entraîne

AS~ AN. 2

On mène TA Il BK, Ti1 Il

Tç, puis AM 1- AT, i1E 1- AT; on a AN

MN + NA = MA + 2NA > 2NA et AS ~ - , 2

d'où (MN + NA)·AS> AN. On a alors (MN +NA)·AM = AM < (MN +NA)·AM (MN+NA)·AS AS AN 2

'

d'où AM +AS AS

(MN +AN)·AM +AN AN

2

--- AS. 2

291

4. Variations des grandeurs

Soit M tel que SM = SN et AM 1- AT. On joint AT et on mène le diamètre BK Il AT. Si on pose BK = dl et Cl le côté droit associé à dl, on a Cl = 2d l , car, d'après VII.6,

!iL =dl = EM =! cId}

c}

MN

2

8

Fig. 27

b) Soit Tet E des points de la courbe entre A et B tels que XT < XE < XB, EL1 et Tç les diamètres qui leur correspondent. On mène TX Il L1E, ra Il Xo 1- AT et arr 1- AT. On a MS = SN et MS > So, d'où MS · So < SN. On en déduit

Tç,

MS· So + (No + SN)· So < SN + (No + SN)· So,

d'où (MS + SN + No) . So < (SN + SO)2,

donc (MN + No)So < Nd ;

292

Le septième livre des Coniques

on en déduit (MN +No)·Mo > (MN + No) Mo 2 (MN +No)·So N0

-=---_----:-._-

~

Mo -Mo > (MN + No) 2

~-_-----:....--

So

N0

et Mo+So (MN + No)Mo+N0 2 > 2 So No

•

Mais MN + No = Mo + 2No, d'où

(MN + No) Mo + N0 2 = (Mo + No)2

= MN,

on a donc MN 2 N0

MS So

->-2

'

d'où Ms·rN MN

So·rN N0

--> - -22

"VII.15, rN· MS or d , apres 2 MN

2

2 = -Ar 2et rN . So

No

c2

( C2

2

Ar = 2-

(

Cl

lecote "" drOlt · assoCIe . " au d·Iametre " BK)

Cl

lecote "" d ' assoCIe . " au d·Iametre "AB ) ,on a d onc rOlt L.l

On démontre de même que oS, srr < en déduit que, si C3 est le côté droit associé à

sN- et srr . SA < SN,

Tç, on a

et on

b) Soit Z et r deux points de l'hyperbole tels que Xo < Xz < X r , ZH et ry les diamètres qui leur correspondent, c; et c; les côtés droits. On démontre par le même procédé que Cl

donc

C

décroît de

Co


3do 2co - do > do + Co,

donc

d'où

Xl>

do . 2

Si, pour une hyperbole, on a do "* co' alors, pour tout diamètre d de cette hyperbole, on a Ida - col> Id - cl et Id - cl décroît quand le diamètre s'écarte de l'axe transverse AT.

PROPOSITION VII.36. -

Démonstration : Soit Bd et BK deux diamètres quelconques, Bd = dl et BK = d2 • On mène rz Il Bd, TA Il BK, AM -.L Aret zn -.L Ar.

295

4. Variations des grandeurs A

z

r M K

Fig. 28.1

Comme dans VII.34, on a do _ rN _ rN ~- AN- rs'

d'où rN rN-rS

rN SN

« 0 si do < Co ; > 0 si do> co) ; et, d'après VII.16, on a rN·SA

A

M K

Fig. 28.2

Si

Cl

est le côté droit associé à Ei1

= dl' on a

296

Le septième livre des Coniques

De la même manière, d'après VII.16, si BK= d2 , on a

C2

est le côté droit associé à

or srr < SM , on a donc

Remarques: la On peut montrer la décroissance de Id - cl à l'aide de VII.29. D'après cette proposition, on a d(d - c) = do (do - co), d'où

ainsi (d - c) est une fonction de d. Or on sait que, pour un point B qui décrit l'hyperbole à partir du sommet A, le diamètre d qui lui correspond croît indéfiniment à partir de do. On a donc d - c différence décroissante si do > Co et croissante si do < Co. 2 0 Apollonius étudie (d - C)2 d'où il déduit Id - cl. Dans les deux cas Id - cl décroît de Ido - col à O. 3 0 Le cas où do = Co n'est pas considéré; il correspond à l'hyperbole équilatère. Dans ce cas, pour tout diamètre, on a d - c = O. PROPOSITION VIL37. -

Soit une ellipse de grand axe AT= do, de petit axe

El1 = d~ ; on a do > co' d~


C et d < C, sans toutefois préciser quel est le point de l'arc A.1 qui sera l'extrémité du diamètre qui permet de séparer les deux axes. On a vu dans VII.24 qu'il existe un point 1 sur l'arc AT tel que le diamètre Il qui lui correspond est égal à son conjugué C

=

XI

C /.

Si

17~

Ainsi d

= d/ et

e est le centre de l'ellipse, l'abscisse de 1 comptée à partir de e est

= d~ Considérons les deux cas. 2"/2

a) Si un point B décrit l'arc AI, le diamètre d qui lui est associé décroît de do à dl. D'après VII.24, le côté droit C associé à d croît de Co à CI ; donc d> C et d - C décroît de do - Co à dl - CI = O. b) Si le point B décrit l'arc 1.1, le diamètre d qui lui est associé décroît de dl à d~ et, d'après VII.24, C croît de CI à c~, donc d < C et d - C < 0 décroît de 0 à d/ - c/. Remarques: la On sait que d aca

= d,2a

et d'c' a a

= d 0'2

d'où d' c~

a

= do

On en déduit

Co

C~

- d~ _ do - co. d' d 1 d' d 1 ,or o>co' oncco - 0> a-co· do Co 2 0 Il est clair qu'Apollonius considère dans cette proposition Id - cl et montre que Id - cl décroît de do - Co à 0 quand B décrit l'arc AI de A à l, et croît de 0 à Id~ - c~1 = c~ - d~ quand B décrit l'arc 1.1, avec Id~ - c~1 > do - co. On a bien le résultat énoncé par Apollonius.

Les propositions 38, 39 et 40 portent sur l'hyperbole et sont consacrées C quand l'extrémité d'un diamètre décrit l'hyperbole en partant du sommet A. Dans la proposition 38 l'hypothèse est à l'étude de la somme d +

do ~ Co' dans la proposition 39,

Co

3

~ do < co.

Dans les deux cas d + c > do + Co et d + c croît quand le point B qui décrit la courbe s'éloigne du sommet. PROPOSITION VII.38. -

Si dans une hyperbole de sommet A et de centre

e, do ~ Co' alors pour un diamètre quelconque d, on a d + C > do + Co et la somme d + C croît quand le diamètre s'écarte de l'axe.

298

Le septième livre des Coniques

K A

\.,}------------=oiJ"--------()

r

B

T

Fig. 30

Démonstration: Soit BK = dl et Tç = d2 , avec XB < XT; on a do < dl < d2, et, d'après VII.33, on a Co < Cl < C2 ; donc do + Co < dl + Cl < d2 + C2' PROPOSITION VII.39. -

L'hypothèse est

Net S déjà définis, on mène TL1 Il

Co

3

~ d < C • On considère les points

Tç, TA Il KB, L1E 1- Aret AM 1- Ar.

A

B

r

-0----0----0.-

---~-~

E

K

Fig. 31

0 n salt . que -rN = ~ AE do / . D emonstratlon: = - , avec do NA

TN ~

r~

Co

~

-Co . 0 n a done 3

.!. NA. Or rN = AS, donc AS ~ .!. NA. On en déduit 3

3

d'où AS ~ ~(NA + AS) et 4AS (NA + AS) ~ (NA + AS)2. 4

4. Variations des grandeurs

On en déduit AM = 4AM(NA + AE) < 4AM(NA + AE) AE 4AE(NA + AE) (NA + AE)2 ,

d'où AM + AE = ME < 4AM(NA + AE) + (NA + AE)2 AS AS (NA + AE)2

4AM(AM + NA + AE) + (NA + AE)2 (NA+AE)2 ,

4 EM (NM + Eo) > 4Eo (NM + Eo),

d'où (NM + EM)2 - 40M (NM + Eo) > 4(NM + Eo) (EM - Mo),

d'où (2)

(No + EO)2 > 4(NM + Eo) . Eo.

301

4. Variations des grandeurs

De (2) on en déduit Mo = 4(NM +30)·Mo > 4(NM +30)·Mo 30 4(NM + 30)·30 (No + 30)2

et Mo+30 30

>

4(NM +30).Mo+(No+30)2 2 ' (No + 30)

d'où M3 (MN+M3)2 -> 30 (No + 80)2

==}

rN·SM rN·30 >---(NM + 8M)2 (No + 30)2

donc d'après VII.17 d02

d2

_--..::..0_>

(dl

+ C I )2

(d2 + C2)2

(si on pose BL1 = d2 )

;

on a donc d2 +

C2

> dl + Cl·

De la relation (2), on déduit, en observant que

srr < So et No < NM,

(No + SO)2 > 4(No + SIl) · srr.

À l'aide de la même méthode et de VII.17, on aura

c) Pour les diamètres ZH et 'l'y plus éloignés de l'axe, toujours par la même méthode, on aura

Remarque: Si le point B est l'extrémité d'un diamètre qui vérifie do

= CB

,

3

alors, quand un point décrit l'hyperbole en partant du sommet A, la somme d + C qui lui correspond décroît quand ce point décrit l'arc AB, passe par un minimum au point B et croît ensuite indéfiniment.

302

Le septième livre des Coniques

Remarque sur les propositions 38, 39 et 40 : étude de d + On a vu que de la proposition VII.29, on déduit C

= d + C0 d0 d

d2 0

==> C + d = 2d +

d - d2

C 0

0

d

0

= g( d)

C

avec d 2:: do.

On a alors

et gl(d) a le signe de cp(d) = 2d 2 - (codo - d~). a) Puisque d 2:: do, gl(d) > 0 pour tout d si

Si do

= ~,

c2 2 cp(d)=2d _2 ;, d'où

qJ(d)

= 0 et g/(d) = 0 si d = c; = do

et cp(d) > 0 ==} gl(d) > 0 si d> do, c'est-à-dire pour tout d. Si donc do 2::

Co

3

(cas étudié dans VII.39 pour

Co

3

~ do
Xl.

3

X

croît de 0 à Xl' puis croît

c) Calcul de l'abscisse ç1 dans un repère d'origine L'équation de ~ dans ce repère est

e milieu de AT. d

avec Ç2 2.. 2

303

4. Variations des grandeurs

On cherche sur une hyperbole de sommet A le point B(Çl' 1]1)' tel que dl

= 2eB = S-, condition qui correspond à 2d 3

2 1

= codo - dg.

On a

On doit donc avoir

d'où

Vérifions qu'avec l'hypothèse do < Co , on a bien 3

~

'=>\

;1

> do : 3

do ~2 dg 3co - do Co • > - '=>1 > - ( ) > 1 Co > 3do do < - , 2 4 2 do + Co 3

c'est la condition posée dans l'hypothèse. PROPOSITION VII.41. - Soit une ellipse de grand axe AT = do et de petit axe BL1 d~. Soit B et Z sur l'arc AB, B plus proche de A. Si BK dl et

=

=

ZH = d2 sont les diamètres issus de B et Z, on a

Z

A

E

B

e N

A

o

r K H

Fig. 32

Démonstration: Soit TA Il BK, TI Il ZH, AM 1- AT et JO 1- AT. On pose

304

Le septième livre des Coniques rN _ AB _ do . AN - rB - -;;;; ,

on a alors TN = EA et AN = ET, d'où ~= rN do +co rN +AN

rN NB'

d'où rN·BA NB 2

(1)

"1 15 ,on a d 0'2 a) D ' apres.

--

•

d oC o' d'" ou

d~

do, ----;2 -- do Co

d' ou"

(2)

on a donc

d'où d'o d~ +c~

rB Nr+rE

rB NE

et (3)

De (2) et (3), on a rN·rE NE

rN·AE NE '

--< - -22

d'où, en comparant à (1), on a

4. Variations des grandeurs

305

b) D'après VII.17, on a dg

(d1 +C1)

2

rN·MS rN·MS (MS + MN)2 NS 2

or AS> MS, d'où

D'après VII.17 également dg

(d2 + C2 )2

_ rN·SO NS 2

-

or MS> SO, d'où

Et enfin de SO > ST, on déduit

Remarques: 1° Apollonius vient de montrer que d + C croît de do + Co à d~ + c~. 2° On peut raisonner également comme suit: on a vu dans VII.30 que la somme cP + dc est invariable,

Le produit d(d + c) est constant; or, quand un point décrit l'arc AB, le diamètre d décroît de do à d~, donc d + C croît de do + Co à d~ + c~. Dans une hyperbole d'axe transverse AT = do, on a pour tout diamètre transverse d, doco < dc, et le produit d · c croît quand le diamètre s'écarte de l'axe.

PROPOSITION VII.42. -

306

Le septième livre des Coniques

Démonstration: Soit BK = dl et Tç = d 2 deux diamètres quelconques tels que x B < XT les abscisses des points B et T. Par définition de N, on a rN NA

= do = d~ Co

Co

do

Or, d'après VII.18,

Or NM> NA, d'où

E

Fig. 33

D'après VII.18, on a également rN _ d~ . NE - d2 c2 '

Remarques: 1° Apollonius montre donc que, lorsqu'un point B décrit la courbe en s'éloignant du sommet A, la longueur NM croît indéfiniment, donc le produit dc croît indéfiniment à partir de doc o. 2° Apollonius utilise dans la démonstration le résultat établi dans VII.18. On peut également partir de VII.29 ; on aura alors

307

4. Variations des grandeurs

différence constante. Mais on sait que d croît en fonction de l'abscisse de B, à partir de do ; dc croît donc à partir de doco. 3 0 Si on considère l'angle a que le diamètre d fait avec l'axe transverse, on voit que le rectangle cd dépend de cet angle. En effet, on a

pour a

= 0, on a d = do et c = Co.

Dans une ellipse de grand axe AT = do et de petit axe BL1 = d;, avec les hypothèses de VII.41, on montre

PROPOSITION VII.43. -

do . Co < d . c < d; .

c~.

Démonstration : Soit BK un diamètre, le point B décrit l'arc AB, donc d décroît de do à d;. Par définition de N, on a

d'où TN _ d~c~ --NA

A

do Co

E

B

r N

A

M

e

0

.....

K ~

Fig. 34

ç

308

Le septième livre des Coniques

TN d 2 = -.JL ; or NM> NA, donc dc NM dc

D'après VII.18, on a -

> doco. Quand B

décrit l'arc AB, NM croît de NA à Ne (e milieu de AI), donc dc croît de

doco à d; c~. Remarques: 1° On peut aussi raisonner ainsi: d'après VII.30, on a

somme invariable. Or d décroît de do à d;, donc dc croît de doco à d; c~. 2° On voit, comme dans la proposition précédente, que le rectangle cd dépend de l'angle a. Ainsi on écrit d '2 d2

et on a pour

d o2sin 2 a + d0'2 cos 2 a d2o cos 2 a + d'2 ' 2 0 sIn a

C

2

- + tan a _---=-d~_ _ C

-

1 + _ tan 2 a d

'

'TC a = 0, d = do et d/ = d;, donc c = co' et pour a = -, on a d =

2

d; et d/ = do. Dans les trois propositions suivantes, 44, 45 et 46, Apollonius étudie la variation de la somme d 2 + c 2 pour l'hyperbole quand l'extrémité du diamètre d décrit la courbe en partant de son sommet, soit A. Si do ~ co' alors ~ + c 2 croît à partir de d~ + c~. Démonstration : On sait que d croît à partir de do, et on a montré dans VII.33 que c croît également à partir de co' donc d 2 + c 2 croît à partir de do + co' PROPOSITION VII.44. -

PROPOSITION VII.45. -

Si do < Co et

dg ;: : .!.(Co - dS, 2

alors d 2 + c 2 croît à

. d e d02 + Co2 • partIr

Démonstration : On a recours dans le raisonnement aux points N et S définis par TN NA

Or

= AE = do ET

Co

309

4. Variations des grandeurs

or par hypothèse d~ ~ .!.(co - dO)2, donc 2A2 ~ N2. 2

E

Fig. 35

Au diamètre variable BK on associe TA Il BK et AM .l TA, alors MS> AS, donc 2MS · AS> Ne ; et on déduit 2MS· AS+ 2NA· AS> Ne + 2NA· AS.

Mais NS = NA - AS et MS + NA

= MN + AS ; on en déduit

2(MN + AS) . AS> NA2 + A2,

d'où 2(MN +AS)·MA MA ----'---------'--->NA 2 +AS 2 AS

et 2

2

2(MN +AS)·MA+NA +AS > MA+AS . NA 2 +AS 2 AS '

mais MN+ AS= MA + AN+ AS, d'où 2(MN + AS) . MA + NA2 + A2 = = (MA + AN)2 + (MA + AS)2 = MN + Me

on a donc MN 2 +MS 2 NA +AS

MS AS

-- -2 > 2

et on déduit

;

310

Le septième livre des Coniques rN·ME rN·AE MN 2 +ME 2 < NA 2 +AE 2

•

Or d'après VII.19, on a ~_ rN·ME d 2 + c 2 - MN 2 + ME 2

'

et de la définition de N et E on déduit

=

do2 2

2

do + c0

AE 2 NA

2

_

AE·rN 2 NA + AE 2

+ AE 2

par conséquent, on a dg d +C

-2--2


d02 + Co2 •

Ainsi, quand le point B s'éloigne du sommet A, la longueur ME croît. Si B vient en T, M vient au point E et on a EE > ME. Mais on avait 2ME 2 > NE 2 , donc 2EE . ME > NE 2 ; et, en raisonnant comme précédemment, on montre que di + c; > d~ + c~, donc cP + c 2 croît quand B s'éloigne du point A. Remarques:

d~ ;:: ~ (co -

1° co> do et

do)2

-2- - -2 2MT.ME NM +ME '

soit

23

Cette conclusion est absente du texte.

12'

+ do

d'où

316

Le septième livre des Coniques

AM 2AM·Mr - - > -2- - -2 MS NM +MS '

d'où AM + MS MS

NM 2 + MS 2 + 2AM . Mr NM + MS

AS MS

- - - - = - > - - - -2- - 2 --

ou AS MS

Nr 2 + rs 2 24 NM +MS '

->-2 - -2

donc

Nr 2 +rs 2 NM +MS '

As.rN Ms·rN

- - - > - 2- - -2

ou encore rN·AS rN·MS - -2- - > ----Nr + rs 2 NM 2 + MS 2 '

donc, d'après (1) et VII.19, on a

c;.

2° Montrons que dl2 + c~ < di + Soit TI Il TÇ et ID ..1 AT, avec AD> AM. Le point 0 peut être entre M et e, en e ou entre e et T, et on peut avoir MN < DE et MN> DE.

D'autre part, DE < AE et par (5) on a NE 2 > 2TN· DE, d'où 24

Cette inégalité donnée sans explication dans le texte, se justifie ainsi

NM2 + MS2 + 2AM . Mr= (XM-XN)2 + (XM-XS)2 + 2XM(Xr-XM) 2 2 -- x N2 + XE2 - 2 x M ( x N + XE - x r ) -- x N2 + XE2 -- AN + A:;-2 - 1r:;-2 + TN I...J

-

I...J

= -AN = -XN)' 25 MN < OS ~ MN . MO < OS . MO ~ ~ MN, MO+MN' OS< OS'MO+MN' OS, d'où MN ·MS< OS· NO. Mais NM + MS= NO+ OS entraîne MN2 + MS2 + 2MN· MS = Nd + OS2 + 20S . NO, (avec Xs-Xr= rs

donc

NM2 + MS2 > N0 2 + OS2.

On montre d'une manière analogue MN~ OS ~ NM2 + MS2 ~ Nd + OS2.

4. Variations des grandeurs

317

Ne - 2NO· OS> 20S (TN - NO). Mais OT= TN-NO= OS-TS; on a (NO + 0E)2 - 2NO . OS =N0 2 + OS2 > 20S (OS - TE) ; et, afortiori, N0 2 + OS2 > OS· 2 [OS - MN] (car MN> AN et AN = TE). On a alors

-MO = MO·2[OS-MN] > MO·2[OS-MN] 2 OS

---=-----~

OS·2[OS-MN]

on en déduit MO+OS OS

MS OS

---=->

N0 +OS2

MO·2[OS-MN]+N0 2 +OS2 A. =N0 2 +OS2 B '

mais MN= ON- OMet OS-MN= OS+ OM- ON, d'où

donc A

B

Or on a rN2 ·MS 2 et - 2dg rN ·OS,....2 (d' apres "VII· 19) , --2 = 2 MN +MS d 2 +c2 ON +0:=

d'où

b) MN ~ OS, dans ce cas MN 2 + MS 2 ~ N0 2 + OS2 ; et on raisonne comme dans le cas a) ; on obtient encore dl2 + c~ < d; + c~. Et à partir des égalités rN·rs et ~= rN·OS rN 2 + rs 2

di + ci

on obtient par un raisonnement identique 2 d 2 + C 22 < d'2 a

+ Co12 .

ON 2 + OS2

318

Le septième livre des Coniques

Si d~ > .!.(do + CO)2, alors il existe un point B sur

PROPOSITION VII.48. -

2

l'arc AB auquel correspond le diamètre BK = dl tel que

d~ = .!.( dl + CI)2 ; la 2

somme d 2 + c 2 est décroissante à partir de d~ + c~ quand le diamètre d s'écarte de l'axe AT= do, passe par un minimum d l2 + c~ qui correspond au diamètre BK = dl' et croît ensuite jusqu' à d~2 + C~2.

r

e Fig. 37

Démonstration : Apollonius fait appel comme précédemment à la /f' .. de N et.!:j - : ----:::::; AE = -do de InItIon - , et engage b eaucoup d e ca1cu1s. NJ::j

do +co

D'après l'hypothèse, on a 2AE 2 > NE 2 • Soit M sur Artel que 2ME 2 = NE 2 , donc M est entre A et e. On mène MA 1- AT et le diamètre BK tel que BKII TA. Or, d'après VII.7, on a

Soit ensuite les points T et B sur l'arc AB dans l'ordre A, T, B, B ; on mène les diamètres BL1 et Tç et les droites TO Il L1B, TY Il Tç, 00 1- AT, YII 1- AT. Posons Tç = d2 et BL1 = d3 • a) Montrons que dl2 + c~ < di + c~ . On a défini M par 2ME 2 = NB 2 ; or

e

est milieu de NE ; on a donc

a- '.!:j -N =.!:j -M 2 ==> NE-ME =-MN ==> N. èY.!:j .!:j' Ma èY = M.!:j' MN . M aIS ME-Ee

Me

No < NM ==> NE . Me > ME . No ==> 4 eE · Me > 2MB· No, ce qui entraîne 4eB· Me+ 2Mo' ME > 2MN· MB,

319

4. Variations des grandeurs

d'où

4eE · Me + 2Mo . ME + 4 eM2 > 2MN· ME + 4eM 2.

Or

ME = NE - NM = 2Ne - MN = MN + 2Me ==> 2eM = ME - MN, on a donc

2ME (2Me + Mo) > 2MN· ME + (ME - MN)2 et

2ME (eM + eo) > MN 2 + ME 2 ;

on a alors 2(eo+eM)·Mo = Mo < 2(eo+eM)·Mo 2( eo + eM)ME ME MN 2 + ME 2 '

d'où Mo+ME < 2(eo+eM).Mo+MN 2 +ME 2 ME MN 2 +ME 2

•

'

mais eo + eM = Mo + 2eM = Mo + 2( eN - NM)

et

= Mo + ME -

MN

2(Mo+ ME-MN) Mo+ MN 2 + ME 2 = = (Mo + ME)2 + (MN - Mo)2 = E02 + oN2 ;

on a donc oE M0 2 +oN 2 - Me, que AE> ilE et que MN . ME> NA . ilE 27, on déduit NE· Ile> NA· ilE

et on a AE NA 2 +AE 2 -

do

(M) 'V 2 - 1 > co'

. con d·1tion

qui correspond à l'hypothèse d'Apollonius dans VII.48. Soit Xl la valeur de X pour laquelle u(x) = U I ; Xl est une solution de l'équation

322

Le septième livre des Coniques

on a donc

il faut que x?


(ME + MN)(MN - ME) . (EA + NA)(NA - EA)

On a alors rN·ME rN·EA - -2- - -2 > -2- - -2 MN - ME NA - AE '

et, d'après VII.2ü et (1), on a donc d~

-2--2 Cl - dl

>

d~

-2--2 Co - do

==}

2 Cl -

2

2

dl < Co

-

d2

o·

On montre de la même façon que c~ - d; < c: - d1 • La différence ~ croît à partir de c~ - d~ . 2

c2 -

326

Le septième livre des Coniques

Soit un point 0 au delà de K tel que BO

= Cl

;

on a BK . OK =

dl)' donc, d'après VII.29, on a BK· OK = do(co - do), d'où

dl(C I -

donc

et il en est de même pour tout diamètre d

Étude de la différence d 2

-

c 2 pour l'hyperbole (propositions 49 et 50)

Avec les notations utilisées dans l'étude des propositions 44, 45 et 46, le diamètre d issu d'un point (x, y) E dtf est donné par

D'après VII.29, on a

Posonsf(u(x)) = d 2

/

-

c 2 ; on a

(do+coJ

/

u/(x)

2(

u(x)=8x ~ et fx(u) = u2 (x)odo do-co

On a

=

d

x~ ~' donc u/(x) > 0 et j;(u) > 0 (si do '* co).

d a et d 2

-

C2

=

d~

- c~. Quand x ~

)2 0

Pour x=

+00, d ~

~'

on a

+00 et

d - c ~ 2do(d o - co), et ainsif croît de d~ - c~ jusqu'à 2do(d o - co). On doit distinguer deux cas. 1) Si do > Co - hypothèse de VII.49 -, on a d~ - c~ > d~ - doco et, par conséquent, on a 2

2

et on a donc les résultats obtenus dans VII.49.

327

4. Variations des grandeurs

2) Si do < Co - hypothèse de VII.SO -, la différence d 2 - c 2 est alors négative pour tout diamètre. Dans ce cas, Apollonius considère la différence c 2 - d 2 et montre qu'elle est décroissante de c~ - d~ jusqu'à 2do(c o - do). 3) Si do = Co' l'hyperbole est équilatère et, dans ce cas, d 2 - c 2 = a pour tout diamètre. Remarque : Dans les propositions 49 et 50, Apollonius montre que \d 2 reste dans un intervalle borné.

-

c21

PROPOSITION VIL5!. - Soit une ellipse de grand axe Ar= do, de petit axe 11E = d~ ; les côtés droits respectifs Co < do et c~ > d~. Soit çT un diamètre égal à son conjugué, çT = dl = d: = Cl' On considère sur l'arc A11 de l'ellipse les points B, A entre A et ç et les points r et a entre ç et 11 (dans l'ordre: A, B, .11, ç, r, a, 11). On considère ensuite a) les diamètres BK = d2 , AM = d3 ; b) les diamètres aD = d4 , rP = ds, 2 2 2 2 a1ors d 02 - Co2 > d 2 - C22 > d 3 - C32 et Co12 - d a'2 > C42 - d 4 > Cs2 - d s·

N

r

A

Fig. 40

Démonstration : a) On mène rIT Il BK, rx Il AM, ITy 1. Ar, Xo 1. Ar. On a y entre A et e (le centre) et By< yS, d'où EA Ey

eA er

-

Mais 2NE· ye

= YN 2 -

>

2NE·eY 2NE·eL

YE 2 et 2NE· Le = NL 2 - LE 2 , d'où

rN·EY rN·EL - -2 - -2> - 2- - -2 YN - YE NL - LE '

et d'après VII.2a

Enfin LE rE

Le

rN·LE 2NE·Le > rN·rE 2NE·re

->-==> re

et, en raisonnant comme précédemment, on a 12

Co

-

d 0'2 > Cs2

-

d2S'

4. Variations des grandeurs

329

Remarques: 1° On remarque que, dès le début de la démonstration, Apollonius mentionne l'existence d'un diamètre çT= dl égal à son conjugué, sans toutefois préciser la position du point ç qui donne ce diamètre. Dans notre commentaire de VII.24, nous avons mentionné l'existence de ce diamètre et indiqué sa construction. Ici, on doit avoir çTII .1T. On constate d'ailleurs qu'il en est bien ainsi sur la figure, mais la droite .1Tn' est pas mentionnée dans le texte. Il n'est pas mentionné non plus que, si çTest égal à son conjugué, il le sera '" "drOlt: . d 1 = d'1 =::} d 1 = Cl et d 12 - CI2 = 0. aussI. a" son cote 2° Pour les points pris entre A et ç, on ad> c. En utilisant la définition des points S et N sur AT et les résultats établis dans VII.20, Apollonius montre que d 2 - c 2 décroît à partir de d~ - c~. Il ne mentionne pas cependant que d 2 - c 2 atteint la valeur O. 3° Pour les points entre ç et .1, on a d < c et d 2 - c 2 < O. Apollonius étudie alors la différence c 2 - dl et montre qu'elle est croissante et inférieure à C~2 - d~2. 4° On pouvait très rapidement effectuer cette démonstration en partant 2 des résultats de VII.30 : d + cd = d~ + coda; alors d(c + d) est constant, donc puisque d décroît quand l'extrémité du diamètre décrit l'arc A.1, alors c croît, donc d 2 - c 2 décroît et prend la valeur 0 quand d = dl = Cl' puis devient négative et décroît jusqu'à d~2 - C~2, (d~ < c~).

Étude de la différence d 2 - c 2 pour l'ellipse (proposition 51) Avec les notations du commentaire de VII.48, on a

On a donc

quand un point décrit l'arc A.1, x décroît de do à O. On a 2

donc d 2

-

c 2 = 0 pour d 2

tive de l'équation

(Xl

= do(do + co) , c'est-à-dire pour x = Xl racine posi2

est l'abscisse du point ç)

:

330

Le septième livre des Coniques

Pourx=xl,ona

u'(x)

d -c J, = 8x( -~

donc u/(x) = 0 pour x = 0 et u/(x) < 0 pour 0 < x < do ; et 2

1

gx(u(x)) =

u'(x)

-2-

u

do2( do + Co )2

a le signe de u /(x). Donc d 2 - c 2 décroît de d~ - c~ à d~2 - C~2 ; si au contraire do < Co, U/ > 0 et d 2 - c 2 croît dans le même intervalle. Apollonius considère un point allant de A à

ç, puis de ç à .1, et étudie

Id 2 -c 2 1 qui décroît de d~ -c~ pour x = 0 pour s'annuler en Xl puis croît de 0 à C~2 - d~2 pour x = do. 2

Remarque: On peut exprimer C~2 - d~2 en fonction de do et 12 d'2 do (d02 - co' 2) done Co12 - d0'2 > d20 - Co2• Co 0 = -

Co ;

on trouve

Co

5. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES À d, d/, C, c/ Nous avons tenté de mettre en évidence, ou de restaurer, la structure de la théorie géométrique élaborée au septième livre. Quatre parties bien articulées s'y enchaînent, dont chacune dépend de celle qui la précède, quatre parties parfaitement hiérarchisées. La première se compose de quatre lemmes préparatoires ; la seconde de quatre propositions sur les relations

330

Le septième livre des Coniques

Pourx=xl,ona

u'(x)

d -c J, = 8x( -~

donc u/(x) = 0 pour x = 0 et u/(x) < 0 pour 0 < x < do ; et 2

1

gx(u(x)) =

u'(x)

-2-

u

do2( do + Co )2

a le signe de u /(x). Donc d 2 - c 2 décroît de d~ - c~ à d~2 - C~2 ; si au contraire do < Co, U/ > 0 et d 2 - c 2 croît dans le même intervalle. Apollonius considère un point allant de A à

ç, puis de ç à .1, et étudie

Id 2 -c 2 1 qui décroît de d~ -c~ pour x = 0 pour s'annuler en Xl puis croît de 0 à C~2 - d~2 pour x = do. 2

Remarque: On peut exprimer C~2 - d~2 en fonction de do et 12 d'2 do (d02 - co' 2) done Co12 - d0'2 > d20 - Co2• Co 0 = -

Co ;

on trouve

Co

5. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES À d, d/, C, c/ Nous avons tenté de mettre en évidence, ou de restaurer, la structure de la théorie géométrique élaborée au septième livre. Quatre parties bien articulées s'y enchaînent, dont chacune dépend de celle qui la précède, quatre parties parfaitement hiérarchisées. La première se compose de quatre lemmes préparatoires ; la seconde de quatre propositions sur les relations

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

331

métriques fondamentales ; la troisième de douze propositions consacrées à d'autres relations métriques; la quatrième, enfin, de trente et une propositions qui portent sur la variation des grandeurs associées aux paramètres d, d~ C, c/. L'architectonique du livre est solidement bâtie et les regroupements de signification clairement désignés. Il suffit d'examiner le schéma ci-dessous pour s'en convaincre: il reproduit les implications logiques et les réseaux de dépendance entre les propositions, tels que les a conçus Apollonius.

On a également saisi les engagements ontologiques qui sous-tendent la théorie géométrique élaborée dans ce livre. En effet, aux côtés des êtres déjà rencontrés dans les livres précédents, relatifs aux sections coniques, aux éléments qui les composent et à la théorie des proportions, il y a ici l'objet « courbe ». Nous avons noté que, dans le septième livre, Apollonius prend ses distances à l'égard du cône et des sections planes pour considérer de plus en plus les courbes et étudier les paramètres, indépendamment de la manière de les engendrer. Pour mieux comprendre la force et les enjeux de ce nouvel engagement, il nous faut chercher une voie qui nous mène plus loin pour le sonder en profondeur. Seule une autre mathématique que celle d'Apollonius pourra nous indiquer ce chemin. Il nous a donc paru adéquat de traduire la démarche du septième livre dans la langue de l'analyse, ce qui nous fournit

332

Le septième livre des Coniques

non seulement un modèle interprétatif, mais aussi un moyen de contrôle. En effet, le degré de perfection qu'il est possible d'atteindre dans cette traduction est l'indice de l'extension, et aussi des limites, de la contribution d'Apollonius dans ce livre. C'est notamment le moyen de reconnaître et d'évaluer la structure sous jacente à la théorie qu'il renferme. Partons des trois premières propositions, où Apollonius considère une conique J': Choisissons pour axes de coordonnées un diamètre Ar et la tangente à l'extrémité A de ce diamètre, et orientons l'axe Ar des x à l'intérieur de la conique. L'équation de la conique s'écrit sous la forme

où c > 0 le côté droit associé au diamètre Ar et le coefficient À > 0 pour l'hyperbole, À = 0 pour la parabole et À < 0 pour l'ellipse. Lorsque À*-O (conique à centre), Ar recoupe la conique au point r d'abscisse -~ et le centre K a donc pour abscisse _5- ; on pose d = ~, 2À

À

IÀI

de sorte que À = ±~ (signe supérieur pour l'hyperbole, inférieur pour d

l' ellipse). Dans le cas de l'ellipse, la parallèle à ATmenée par le centre K coupe la courbe aux points .1, .1 / d'ordonnées ±

~

= ± -kd

2"IÀI

2

conjugué de Ar et sa longueur d/ est égale à

-kd

; le diamètre .1.1 / est d '2

de sorte que c = -

d '2 .IL. = - - 2 . De même, dans le cas de l'hyperbole, on dit que la parallèle d

d

et

.1.1 / à

AT menée par K est le diamètre conjugué de Ar; on le limite aux points .1, Â /

L!

d' ordonnees / ±

C

fI1ï

2,,1 À

= ±~- et

1

2

on a

d '2

Â

Â

L!L!

/

r--; = d / = "cd,

À = - 2 . Le cas À = -1 correspond au cercle et le cas À d

c

= -d

'2

d

et

= 1 à l'hyperbole

équilatère; pour ces courbes on a d/ = d = c. On considère un point B de ~ de coordonnées x, y ; si J est une hyperbole, on suppose B sur la même branche que A, de sorte que x est positive dans tous les cas. En notant

e l'angle

des axes de coordonnées, on a

333

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

AB2 = X 2+ y2 + 2xycose

= x(x + e + Àx + 2ycose).

tangente A T est orthogonale au diamètre AT, donc AB2 = ex

(1)

Si J est un cercle, la

e= !!.-2 et

= AT, AE,

où E est la projection de B sur AT parallèlement à AT (c'est-à-dire orthogonalement) ; c'est une propriété bien connue du cercle, qu'Apollonius utilise d'ailleurs dans sa démonstration des propositions 2 et 3 (en faisant intervenir le point auxiliaire 2). Dans les autres cas, AB2 =

') ( C cose) (l+~)x x++2y -- .

I+À

I+À

Soit Ble point de ATd'abscisse __c_. SiJ est une parabole, eA I+À

"" drOlt; . d ans 1es autres cas, -er est lecote •

') = - À(I+À) , d onc =eA er = -~ = +-. d C

C

1

SOIent encore A sur l'axe des x et T sur l'axe des y tels que

1

= 0 et A

1

AA' 2cose = -AT I+À

-=-

e = !!.-, c'est-à-dire lorsque ATest l'un des axes de~on 2

(Fig. 41) ; lorsque a AA

=e

est confondu avec A (c'est le seul cas considéré par

Apollonius). On projette B sur AT en E parallèlement à A T et en El parallèlement à TAI; ainsi le triangle EBE I est semblable à ATA 1 et El = E 1t 0 SI. e = -. n a donc -BE

2

2cos8 . . =Y et -EE'- = - y (F'Ig. 42) ; aInSI I+À

T

T A'

B

e A K

K

E' E

Fig. 41

Fig. 42

334

Le septième livre des Coniques

x+ _c_ + 2cos8 y = AE-Ae+EE'=eE' l+À

l+À

et 2

AB = l+À AE·eE' '

(2)

indépendamment du choix de B.

Remarque. L'angle AA/T= qJ est donné par tgqJ = 1+À tg8. Dans le cas de l-À

la parabole, on a qJ = 8 ou n = 8 et le triangle A TA / est isocèle ; il en est donc de même de EBE/. Dans le cas de l'hyperbole équilatère, eA = ~ = 2

-er

et qJ = ~ ; donc 2

e est le centre de l'hyperbole et E/ est la projection

orthogonale de B sur AT.

Changement d'axes On considère maintenant un nouveau système d'axes de coordonnées: le diamètre BI passant par B et la tangente B Y à J au point B ; on suppose l'axe BI orienté vers l'intérieur de J et l'orientation de BY choisie de manière que les nouveaux axes définissent la même orientation du plan que les anciens. Les coordonnées de B dans les anciens axes sont notées (xo, Yo) ; un point quelconque, de coordonnées (x, y) dans les anciens axes a pour coordonnées (x /, y) dans les nouveaux axes et on a x = xo + ax / + {3y /, Y = Yo + rt/ + 8y/ où (a, y) et ({3, 8) sont les coordonnées respectives de vecteurs unitaires de BI et de BY dans les anciens axes. On a donc ci + y + 2aycos8 = {32+ 8+ 2{38cos8= 1 et a8- {3y> O. Lorsque J est une parabole, BI est parallèle à Ar: donc (a, y) = (1, 0). Dans le cas d'une conique à centre, le vecteur KB a pour coordonnées

xo +

~, Yo 2À

et la distance BK est donnée par BK2 =

(x o + ~)2 2À

+

y~

+

2Yo(x o + ~Jcos8 = ~((c + 2Àxol + 4A2 y~ + 4AYo(C + 2Àxo)cos8), que nous 2À 4À noterons -f 22 avec 4À

=

'

f >0 ,

" .. pour abreger· aInSI ,

J: 2Àyo o = ~ a = c + 2Àx y= f f' f

21 en posant ç = c + 2Àxo, 1] = 2Àyo. Les variables f

ç, 1] jouent le rôle de

coordonnées par rapport au centre; elles sont liées par la relation

Àç - 1]2 =

335

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

Àc 2 • Notons que ces formules, avec 1] = 0, sont aussi valables dans le cas de

la parabole, car f = c dans ce cas. La pente p de la tangente B Y dans les anciens axes est donnée par

2yop =c + 2Àxo, donc ({3, 8) est proportionnel à (1'], ÀÇ) : {3 = -2L, 8 Àg

+ À2ç 2 + 2Àç1]cos8 et g > 0 pour assurer que a8 L'angle 8 1 des nouveaux axes est déterminé par 2

2

À g = 1]2

= 1g où f3y > o.

cos81 = af3 + y8 + (a8 + f3y)cos8 =

(3)

e

(1 + À)Çll + (À ç2 + 11 2 )cosS . 8 c • SIn 1 = -sIn Àjg , fg' 2

=

e= ~, cosel = (l + À)~ll , sinel = ~ . Dans ce cas, on voit que

soit, lorsque

Àfg

2

fg

cos 8 1 a le même signe que Yo si J est une hyperbole : l'angle 8 1 est donc aigu au-dessus de l'axe AT, obtus au-dessous. Si Jest une ellipse et que AT est son grand axe, 1 + À > 0, donc cos8 l a le signe de yo(c + 2Àxo) : il est positif et 8 1 est aigu lorsque B est sur l'arc A.1, il est négatif et 8 1 est obtus lorsque B est sur l'arc AL! / ; si AT est le petit axe, 1 + À < 0 et on doit échanger les conclusions. Si Jest un cercle, 8= !!.- et À = -1, donc f2 = g2 = (c - 2XO)2 + 4y~ = c 2 2

et

f =

g =

C,

8 1 = !!.- ; si J est une parabole, À = 0, donc f2 = c 2 et 2

g2 = c + 4 y~ + 4cYocos8 = c2 + 4c(xo + yocos8). Dans les autres cas, 2

=

f2 cÀ(1 + À)

+ ~ + 2Çllcos S

c

2

À(1 + À)

Àc

cÀ(1 + À)

et _g_2_ = _c_ c(1+À)

+ ~ + 2Çllcos S 2

1+À

Àc

cÀ(1+À)

Soient N et S les points de AT d'abscisses respectives __ c_, _ 1+À

c

À(1+À)

,

qu'Apollonius introduit pour définir les droites de rapport semblable; N est le point noté plus haut -

deJOn a rN =

e et S est le symétrique de N par rapport au centre

c À(1+À)

et

---;::; r~

c

= - - , de sorte que l+À

TN

=

AN

-

=

AE

-=-

TE

1

= -- = À

336

Le septième livre des Coniques

+~. La droite issue de c

y

= Àç x n

A parallèle à la tangente B Y a pour équation

et elle recoupe /

au point A de coordonnées x

=

;2 ,Y = Ç11 ; ~

Àc

soient M et M/ les projections de A sur AT parallèlement à A T et à TA / de sorte que AM

= 2L et MM' = 2çncos S 2

cÀ(1 + À)

Àc

On a

(4)

/2

cÀ(1 + À)

= AM + MM' - AB = BM'

et 2

-gc(l + À)

= AM + MM'

On rappelle que, dans le cas où

- AN

= NM'.

a= !!.-2 considéré par Apollonius, A =A~

donc M= M~ Remarque. Lorsque /

est une ellipse, il y a trois positions particulières de B

qui simplifient les formules: a) si Xo =-~, Yo 2À

conjugué de AT),

= ± d' 2

(extrémités du diamètre

f = cd', g = dl, a ={) = 0, f3 = -y = ±1, cose = -cose. j

d

Alors A = M = M/ = T. b) si Xo = -~, Yo = 0 (B = T), À

f

= g = c, a = 8 = -1, f3 = y = 0,

cosaI = cosa. Alors A = M = M/ = A. Dans les nouveaux axes, l'équation de/s'écrit

soit (~-

À(32)y 12 = (ac - 2yyo + 2Àaxo)x/ + (ÀŒ - y)x 12 +

+ (f3c - 28yo + 2Àf3xo)Y/ + 2xy/(Àaf3 - y8).

337

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

On calcule que

f3c - 28yo + 2Àf3xo s'écrit Y

2

2

2

c C Àc 2 &- - Àf3 = 2 ' ac - 2yyo + 2Àaxo = -, Àa - y = - 2 ' Q

= 12

°

f

g

et Àaf3-y8

= 0,

f

de sorte que la nouvelle équation

g2 = CIX / + ÀIx 12" ou Cl = -

f

= Àg

et À I

2

-2 .

f

Cette équation exprime le résultat établi par Apollonius au premier livre des Coniques. Lorsque / est une parabole Cl = C + 4(yocose + xo), d'où Cl - C = 4 AZ où Z est la projection orthogonale de B sur l'axe AT. Dans le cas considéré par Apollonius, où de plus,

Cl

=

C

e= ~, on a 2

AZ

=xo, abscisse de B (proposition VILS) ;

+ 4xo est une fonction strictement croissante de Xo

(proposition VII.32). Dans le cas général,

Cl - C

=

fonction strictement croissante de Yo si Yo > - ~cos 2

minimum égal à csin 2e lorsque Yo

'''' . ..

el =

4(Y

o COS8+

e; donc Cl passe par un

= -~cose, Xo = ~cos2e. La formule (3) 2 4

2 y 0 + c cos 8 et e Il e montre que g

el = -

1orsque 2 mum : alors B est le sommet de la parabole et BI est son axe. s ecrIt ICI cos

Si / est un cercle, Cl mais pas un cercle, on a

= C et À = À = -1. Si / I

= _g_2_. c(l+ À) = NM'

Cl

c(l+À)

:~) est une

'Tt

Cl

. . est mlnI-

est une conique à centre,

. c(l+ À)

f

1

et

soit 2

(5)

d . EM' ( .. VII . 15) . = rN NM,2 proposItIon c~

Le diamètre dl issu de B est égal à ~ conjugué

d; est égal à ~cA = g

H.

Ainsi

IÀII

Id et le diamètre c

338

Le septième livre des Coniques

soit (6)

-

d2

cId}

=

NM'

±~

rN

NM'

= - - (proposition VII.18) rN

et (7)

d}2 _

d;2 -

1 2d

_

1

_

le - ï)J -

12

c(l+À) = SM' NM'

± cÀ(l + À) -g-2-

si on tient compte de (4) (propositions VII.6 et VII.7). De plus

d1±d;= ~d(1±f~J=d~(1±~=:J = =

d (SM/± -JNM'.SM') -JrN·SM'

de sorte que (7)

d2 rN·SM' ---=--------;;::::=====-:(d} ± d;)2 (SM' ± -JNM'. SM')2

comme dans les propositions 8 et 9 d'Apollonius. On a encore

d'où (8)

Calculons maintenant d}2 ± d;2 comme dans les propositions Il à 14 d'Apollonius: on a

On en conclut qu'en prenant le signe supérieur pour l'ellipse et le signe inférieur pour l'hyperbole, on a d}2±d;2 = d(d ± c), indépendamment du choix de B (propositions VII.12, 13, 29 et 30) ; en particulier, on a toujours dl = d; dans le cas d'une hyperbole équilatère. Ensuite, si on prend le signe inférieur pour l'ellipse et le signe supérieur pour l'hyperbole,

339

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

~(21i± À?cd + 4ç1]cos8) =

d,2 ± d;2 =

À

C(l+!J( 211: +~+ 4~11 cose] = 2C(1+!J(AM À l cÀ À cÀ(l + À) À

=2 d

2

rN

(AM' _ AK)

=2 d

AK

+ MM')

2

KM'

rN

ou, comme l'écrit Apollonius,

=

(9)

On a encore

dl+CI

m

TN = (propositionsVII.11 et VII. 14). 2KM' NM' + EM' d 2 = -Cf jc

2

Àg )

=

dÀ(l+À)-

NM') (signe

(SM' -

j

supérieur pour une hyperbole, inférieur pour une ellipse), d'où (d1+Cl)2

2

= d À?(l+Ài (SM' _ j2

2

d (SM' _ = rN·SM'

= rN·';;'M'

NM')2

(SM'+NM')

NM')2

c.;j'M'

NM')2

m·SAF (SM'-NM,)2

et,

--

--==------, ..... ==--2 •

= d2Jt.~+Jt.>CSM' _

de

=

même, -

-

Comme rN· SM' est tOU]' ours positif et que SM' et NM'

ont le même sens dans le cas d'une hyperbole et de sens contraires dans le cas d'une ellipse, on peut rassembler ces deux formules en une seule, valable dans les deux cas : 2

(10)

=

d (dl

± C I)2

TN .SM' 2 (propositions VII.16 et VII. 17). (SM' ± NM')

Ensuite 2 d Jt.(l + Jt.) (SM,2±NM,2) = 2 = L(f4+ 12 g4) = d12 + - Cl 2 2 -/1" jc cSM' 2 = d (SM,2±NM,2) rN·SM'

soit 2

(11)

2d+ C 2 -

d1

-

1

rFf'SAF

SM' ±NM'

2

(propositions VII. 19 et VII.20).

340

Le septième livre des Coniques

Enfin l'aire dl d;sin81 du parallélogramme dont les côtés sont les parallèles aux diamètres conjugués passant par les extrémités des diamètres est égale à 3/2

(c J

fg!!...

2

· ~sin8 = dd/sin8, indépendamment du choix de B (proposition fg

VIL31). Dans le cas d'une ellipse, ce parallélogramme est circonscrit à la courbe; dans le cas d'une hyperbole, deux de ses côtés sont tangents à la courbe et les deux autres sont tangents à l'hyperbole conjuguée, dont

l'équation est l = d/l.

+;{

x+

~J.

Variation des diamètres dl,

d; et de l'angle

81

Comme dl = fd, l'étude de la variation de dl se ramène à celle de c

f2 = ç2 + 1]2 + 2ç1]cos8. Lorsque 8 = ~, comme dans le cas considéré par 2

Apollonius, f2 = (1 + À)ç2 - Àc 2 est une fonction croissante (resp. décroissante) de cercle),

f

ç = (c + 2Àxo)2 si À> -1 (resp. À < -1) ; si À = -1 (cas d'un

= c est constante. Lorsque J est une hyperbole, À > 0, donc ç2

croît avec Xo et il en est donc de même de f et de dl ; on voit que l'axe transverse donne le minimum de dl' Lorsque J est une ellipse, ç décroît lorsque

Xo

croît si c + 2Àxo > 0, c'est-à-dire si

Xo

< -~ ; cela signifie que B 2À

est sur l'arc L1L1/ qui contient A. Si Ar est le grand axe, c < d et À > -1, donc dl décroît de d à d / lorsque B parcourt l'arc AL1 ou l'arc AL1 / de A vers L1 ou L1 /; si au contraire Ar est le petit axe, À < -1 et dl croît de d/ à d lorsque B parcourt l'arc AL1 ou l'arc AL1/ de A vers L1 ou L1/ (L1L1/ est alors le grand axe). Ainsi le grand axe donne le maximum de dl et le petit axe en donne le minimum. Sans supposer que 8 = ~, on peut trouver les axes de J en cherchant les 2

positions de B qui donnent des valeurs extrémales de f2 au moyen de la méthode du multiplicateur de Lagrange. On annule donc la différentielle de ç + 1]2 + 2ç1]cos8 + /l(Àç - 1]2 - Àc2), ce qui donne (1 + Àtl)ç + 1]cos8 = çcos8 + (1 - /l)1]

=

°;

341

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

ce système admet une solution non nulle, ç = 1 - fl, 1] = -cos8, à condition que son déterminant Àf.l2 - (À - 1)fl - sin28 soit nul, ce qui détermine la valeur du multiplicateur fl. La formule (3) donne alors cose l

= 0,

soit

'Ir

81 = -. 2

On doit choisir la racine fl telle que la droite d'équations ç = t( 1 - fl), 1]

= -tcos8 rencontre /

2

ce qui impose ç2 - 2L > 0 ; c'est toujours vrai si À

< 1 - 1c~~e 1 si

À < 0, c'est-à-dire si J est une ellipse et c'est équivalent à Il

À > 0, c'est-à-dire si J est une hyperbole. Ainsi les deux racines fl conviennent dans le cas d'une ellipse; l'une est comprise entre 0 et 1 et donne le petit axe, l'autre est plus grande que 1 et donne le grand axe. Dans le cas d'une hyperbole, on vérifie que 1 -

c~~e 1 est compris entre les deux

1

racines et il faut donc choisir la plus petite (négative), qui donne l'axe transverse. De même, la variation de d; se ramène à celle de g2

= ;2 (À2~2 + 1}2 +

2ÀÇ17cos8) ; lorsque 8 = ~, ce que l'on supposera dans toute la suite, on est 2

ramené à À(1 + À)ç2 - Àc 2 fonction croissante (resp. décroissante) de Ç' si À < -1 ou À > 0 (resp. si -1 < À < 0). On en déduit que, lorsque J est une hyperbole, d; croît avec Xo ; le diamètre conjugué de l'axe transverse est donc minimal. Lorsque J est une ellipse et que AT est son grand axe (-1 < À < 0), d; croît avec

Xo ,

de d/ à d, si ç > 0, c'est-à-dire si B est sur

l'arc Lt1/ qui contient A ; au contraire, B étant sur cet arc, d; décroît de d à d/ lorsque Xo croît et que AT est le petit axe (À < -1). Ainsi dl et d; varient en sens contraires alors qu'ils variaient dans le même sens dans le cas d'une hyperbole. Il deviennent égaux lorsque P + Àg2 = I(À(Ç' + 1}2) + À2Ç' + 1}2)

= (l

À)(2~2

+

- c 2) s'annule, c'est-à-dire lorsque à

d'

Yo = ±-_,- ; leur valeur commune est évidemment

~d2 + d,2

2~2

La variation du rapport 2

-ig2 = À À ç ++1111 2

2

ç2

2

2

2

+ 2Ç11cos S + 2ÀÇ11 cosS

d~

dl

=

l f";f g ~-;;

2

Xo

= d 214-V 2 ,

.

se ramène à celle de

ou, si on suppose que

e = -, 2 Tt

à celle de

342

Le septième livre des Coniques

2 ç2 + 11 2 2 2 Àç +11

0,,1

=

-1;c

2 (1 + À)ç2 - Àc 2 2' À((l+À)ç -c )

d

1 d,/' ,/ ']:2'/ l ' ont a erivee par rapport a ~ est ega e a

2

2 2'

À((l + À)ç -c )

Si 0 < À < 1 (resp.

À,

> 1), c'est-à-dire si J est une

hyperbole et que d> c, soit d> d/ (resp. d < c soit d < d/) ; d~ est donc une dl

fonction décroissante (resp. croissante) de

ç, donc de Xo (propositions VII.21

et 22). Si À = ±1, c'est-à-dire si Jest une hyperbole équilatère ou un cercle (d

= c = d/), d~ = 1 est constant (proposition VII.23). Si -1 dl

À,

< À < 0 (resp.

< -1), c'est-à-dire si Jest une ellipse de grand (resp. petit) axe Ar; ~l, est 1

donc une fonction croissante (resp. décroissante) de ç2, donc une fonction décroissante (resp. croissante) de

Xo

le long de l'arc ALl et le long de l'arc

A1/ (proposition VII.24). Dans le cas d'une hyperbole, dl + d; croît avec Xo (proposition VII.25) tandis que d l2 _d(2 = (dl + d:)(d l - d:) reste constant; il en résulte que dl - d; est une fonction décroissante de Xo (proposition VII.27). Dans le cas d'une ellipse, AT étant le grand axe, dl décroît et d; croît sur l'arc A.1, donc dl -

d; décroît; mais sa valeur absolue Idl -

d; 1 décroît de d - d/ à 0

A B 0, ou'B 0 a pour coord , / Xo = d 2 -~ 2, Yo = ~, d 'pUIS . croIt "sur l 'arc onnees 4

2\12

de 0 à d - d/ sur l'arc BoLl. Au contraire, si AT est le petit axe, dl croît et d; décroît, donc dl - d; croît; Id 1 - d; 1 se comporte comme dans le cas précédent, avec un minimum nul en B o• Il reste à étudier la variation de dl + d; dans le cas d'une ellipse; le carré de cette somme est d~ + d(2 + 2d l d; et d~ + d(2 reste constant, donc on est ramené à étudier la variation de d1d;

= fg ( ~d)3/2

À((1 + À)2(ç4 -

ou aussi bien celle de C

À,2f2 g 2

= (ç2 + 1]2)(À,2 ç 2 + 1]2)

=

2 2) + Àc 2 ). C'est une fonction décroissante de ç2 si ç

2

ç2 > ~ ; on en déduit que dl + d; est croissante sur l'arc ABo et décrois2

sante sur l'arc B 0.1, avec une valeur maximale ~2(d2 + d,2) en B 0 (propositions VII.26 et 28). Dans le cas d'une hyperbole, il est clair que dl dl' croît constamment (VII.28).

343

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

Lorsque J est une hyperbole, comme dl d; sine l reste constant et que

dl d; croît, sine l décroît et l'angle 81 lui-même est donc une fonction décroissante (resp. croissante) de Xo pour Bau-dessus (resp. au-dessous) de AT. Lorsque J est une ellipse de grand axe AT, sine l varie en sens contraire de dl d; et il en résulte que 81 est une fonction décroissante de Xo sur l'arc ABo et une fonction croissante de Xo sur l'arc B oL1 ; en B o , il passe . . "1 "A . 2dd' S·' l ". d B Par un mInImum ega a rcsIn d 2 +d' 2. 1 Ba est e symetrIque e 0 par rapport à AT, el est une fonction croissante de B~L1

fonction décroissante de Xo sur l'arc .

- ArcsIn

Xo

sur l'arc A B~ et une

; il passe par un maximum égal à 'Tt

2dd' 2 2 en B~. Enfin, lorsque J est une ellipse de petit axe AT, 8 1 d +d'

croît sur les arcs ABo et

B~L1

et il décroît sur les arcs B oL1 et A B~ ; il a un

maximum en B o et un minimum en j

2d2 2d On a d)2±d;2 =7±~

B~.

2 1 = ')}(f2 + Àg ) = I}1 ( (l+À{ ~2+ ~ J+4~llcos8J 2

où le signe supérieur est relatif à l' hyperbole et le signe inférieur est relatif à l'ellipse. En supposant toujours que

e = ~, on voit que l'étude de la varia2

tian de d)2 ± d;2 se ramène à celle de (1 +

À{ ~2 +

r

J= (1 + À)(2 ç

est une fonction croissante (resp. décroissante) de

2 -

ç2

c 2 ), qui

lorsque  > -1

(hyperbole ou ellipse de grand axe AT )(resp. Â < -1 ; ellipse de petit axe

An et qui est constante lorsque  = -1 (cercle). Il en résulte que

d l2 + d;2

croît avec Xo si J est une hyperbole, ce qui était déjà connu par les résultats précédents, et que d l2 - d;2 est une fonction décroissante (resp. croissante) de Xo sur les arcs AL1 et AL1 / si J est une ellipse de grand (resp. petit) axe AT. Dans le cas d'une ellipse 1 d}2 - d;21 passe par un minimum nul au point B o et prend la valeur

Id dlll aux extrémités des axes (proposition VII.31). 2

-

Variation du côté droit 4

Son étude se ramène à celle de c 2 = L = 1

(on suppose que égale à

e=

j2

Cl

(')}'f:. 2 + 'l1 2)2 ~ '1 À4 (~2 + 11 2)

((1 + À)'f:. 2 _ C 2)2

= ---~--À2((1 + À)~2 _ Àc 2)

~) ; la dérivée de cette expression par rapport à 2

ç est

344

Le septième livre des Coniques (1 + À)((l + À)ç2 -c 2 )((1 + À)ç2 - (2À -1)c

2

)

À2((1 + À)ç2 - ÀC 2)2

et son signe est celui de À(l + À)((l + À)ç - (2À -1)c 2 ) car À((l + À)ç - c2 )

=À 2 ç2 + 1]2 > o. est une hyperbole et que 1 + À - (2À - 1) = 2 - À ~ 0, soit

Lorsque J

d ~ ~, la dérivée est positive et

Cl

2

aussi de

est une fonction croissante de

donc

(propositions VII.33 et 34). Mais lorsque À > 2 ou d < ~ ,

Xo

2

"A

d ecrolt pour

~2

~

2À -1 2 2c - d 2 . - C ; aInsI c+d

d' 2

~c-2d c+d

Cl

Cl

avant de

est égale à 2d -JÀ -1 =

et celle de dl = d;: est égale à .!.. (proposition VII.35). Notons dl

Cl

2

que, dans le cas où A > 1, Apollonius obtient le résultat en observant que dl Cl

décroît et que dl croît (proposition VII.21). Lorsque J est une ellipse de grand axe AT, la dérivée est négative et Cl est une fonction décroissante de ç2, donc une fonction croissante de Xo le long des arcs AL1 et AL1 /. Lorsque AT est le petit axe, comme ~ c 2 , on a (1 + À)ç - (2À - 1)c2 ~ (2 - À)c2 > 0 et la dérivée est positive; il en résulte que Cl est une fonction décroissante de Xo le long des arcs AL1 et AL1/.

ç

On a

Id cd = l -

1

d 2 - d,21 1

1

;

lorsque J est une hyperbole, le numérateur de

dl

cette expression reste constant et le dénominateur croît avec Xo ; il en résulte que Id l - cIl est une fonction décroissante de xo, qui tend vers 0 lorsque Xo croît indéfiniment (proposition VII.36). Dans le cas d'une hyperbole équilatère, on a constamment dl - Cl = O. Lorsque J est une ellipse, on a

(en supposant toujours que

e= ~) ; sa variation se ramène à celle de 2

345

5. Étude analytique de la variation des grandeurs

((1 + À)(Àç 2 + 11 2))2 _ À2(1 + À)2(2 ç 2 ç 2 + 11 2

-

C

2)2

(1 + À) ç 2 - ÀC 2

La dérivée de (2 ç2 _

C 2)2

(1 + À)ç2 - Àc 2

ar rapport à ~2 est égale à (2 ç 2 - c )(2(1 + À)ç2 - (3À -1)c ) et son signe est '=' ((1 + À)ç2 - ÀC 2)2 donc celui de (2ç - c2 )(2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 ) ; 2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 est 2

2

P

évidemment positif lorsque 1 + À ~ 0 et, lorsque 1 + À < 0,2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 ~ 2(1 + À)c 2 - (3À - l)c 2 = (3 - À)c2 > 0 car ç ~ c2 • Ainsi le signe de

la dérivée est celui de 2ç - c 2 : comme fonction de ç, l'intervalle

Idl - CIl décroît dans

[0, c;]puis croît dans l'intervalle [c; ,c J. Il en résulte que Id 2

est une fonction décroissante de

Xo

l -

cd

sur l'arc ABo, puis une fonction crois-

sante sur l'arc B oL1 ; au point Bo il Ya un minimum nul (proposition VII.37). On a encore dl +

Cl

=

d 2 + d,2 Il;

dl

lorsque J est une ellipse, le numérateur

de cette expression est constant, donc dl + Cl varie en sens contraire de dl : c'est une fonction croissante (resp. décroissante) de Xo sur l'arc AL1 si AT est le grand (resp. petit) axe proposition VII.41). Lorsque Jest une hyperbole,

et sa variation se ramène à celle de

À2 (2

ç2

2 _ C 2)2

2;

(1 + À)ç - Àc

comme

;2 ~ c 2;2 - c2 2

,

> 0 et 2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 ~ (3 - À)c2 est aussi positif lorsque À ~ 3, soit C ~ 3d : dans ce cas dl + Cl est une fonction croissante de ;2, donc de Xo (proposition VII.39). Notons que, pour C ~ 2d, on sait que Cl et dl croissent avec Xo et qu'il en est donc de même de leur somme (proposition VII.38). Lorsque

C

> 3d, la dérivée de

C 2)2

(2 ç2 _ 2

(l+À)ç -Àc

2

est négative pour

3À-1c 2·1 "1te que d 1 + Cl commence par d"ecroltre '" '~2 =' < ; 1 en resu et passe 2(1 + À)

. . par un mInImum pour

Xo

= -dl 2

J Y ° = -d'

3c-d -1 , 2(c+d)

2

c-3d avant de 2(c+d)

346

Le septième livre des Coniques

croître indéfiniment (proposition VII.40). La valeur du minimum est 2c~2(À -1).

La variation de la «figure» dici = d;2 est la même que celle de d/: c'est une fonction croissante de Xo dans le cas d'une hyperbole ou d'une ellipse dont le grand axe est AT (restreinte à l'arc A.1) et une fonction décroissante de Xo dans le cas d'une ellipse dont le petit axe est AT (restreinte à l'arc A.1) (propositions VII.42 et 43). Apollonius étudie enfin la variation de d2 +c2 1 -

=

1

f4

2

d ± g4 c 2 f2 c 2

= À2(ç2 + 11 2)2 ± (À2ç 2 + 11 2)2 À4 (ç2

+ 11 2)

dans ses propositions 44 à 51. On a donc

et

(1 + À)(2 ç 4 (1 + À)2 - 4Àc 2ç 2(1 + À) + c 4 ((1 + À)2 - 2) ((1 + À)ç2 - ÀC 2)2

Lorsque À > -1 (hyperbole ou ellipse de grand axe AI), son signe est celui de

et lorsque À < -1 (ellipse de petit axe AI) son signe est opposé; lorsque À = -1 (cercle) d l2 + c~ est constant et égal à 2d comme on le sait bien. 2

Le discriminant de (12) est égal à 2c 4 (1 - À 2 )2, donc les racines

" Il es et ega "1 ree es"a

2À -+ (1 - À) -V 2 c 2 2(1 + À)

ç2 sont

.. ; e Il es sont toutes 1es deux posItIves SI.

À < -1 - ~2 ou À > ~2 - 1 et elles sont de signes contraires si -1 - ~2

~2 - 1. On a h( c

2

)

1 + ~2 et il est extérieur à l'intervalle des racines dans les autres cas. Si À > 0, ~ est une hyperbole et ;2 ~ c 2 ; lorsque À > 1 + ~2 , h( ;2) est / · f pour c 2 < J:2 2À+(À-1)~2 C2 · • ·f d negatl _ s < pUIS POSltl, onc dl2 + Cl2 passe par un 2(1 + À) minimum égal à 2c 2(À - 1)(1 + ~2) (proposition VII.46)28. Lorsque 0 < À ~ ~2 + 1, c 2 est supérieur ou égal à la plus grande racine, donc h( ç2) ~ 0 et 2

dl

+ c; croît constamment (proposition VII.44 et 45). Si À < 0, ~ est une

°ç

°ç

~ c 2 ; lorsque 1 - ~2 < À < 0, h( ç) est négatif pour ~ < 2À+(1-À)~2 · . ·f d 2 2 •• - - - - c2 pUIS POSltl, onc, sur l' arc AA LJ, dl + Cl passe par un mlnl2(1 + À) mum égal à 2c 2(1 - À)(~2 - 1) (proposition VII.48)29. Lorsque À ~ 1 - ~2,

ellipse et

~

c 2 est inférieur ou égal à la plus petite racine positive, donc h( ç2) ~ d

2 I

+

2 CI

croît constamment en fonction de

°

et

ç, donc décroît en fonction de Xo

sur l'arc AL1 (proposition VII.47). On voit que d l2

-

c: est une fonction croissante ou décroissante de ç2 < -1 (elle est nulle si = ±1). Il en résulte que d c:

selon que À> -1 ou À

2

À

I

-

est une fonction croissante de Xo dans le cas où ~ est une hyperbole ou bien une ellipse de petit axe AT, restreinte à l'arc A.1 ; au contraire d l2 - c~ est une fonction décroissante de

Xo

sur l'arc A.1 si ~ est une ellipse de grand

axe AT. Lorsque ~ est une hyperbole et que d > C, d I2 ment croissante; on a

-

c: est donc constam-

donc

28

De plus

Àg 2

=-

À 1

29

j2

=

(À + 1);2 - c 2 = 1+.fi lorsque (À + 1);2 - k 2

_1

De plus À 1 = 1 -'V2 lorsque

ç2
a.~

'.L

"\..>

-

~

.. r.... t=

Q.~

-(

Q .~

.~ 1~

Il:

1

-:.

1

f t. ~ 1 · ~ .~ '1-0 r r ~ :.-,.~ r ~~ f~ ~ ~ ~~ -( r-rr 1 ~~ - t . ..,. ct c..5- . ~ 1)· _ r · .ç n, [\- L ~ -I~ r ~ r ~ t ct· .~ r r l~. F ~~. ~ ~I

F

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356

Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques

- 3 - Si on associe au prolongement de l'un des axes d'une ellipse, quel que soit cet axe, une droite telle que l'une de ses extrémités soit l'une des extrémités du diamètre transverse, que l'autre extrémité soit à l'extérieur de la section et que son rapport à la droite située entre sa dernière extrémité et l'autre extrémité du diamètre soit égal au rapport du côté droit au diamètre transverse; si on mène de l'extrémité commune au diamètre et à la droite qui a été associée à l'axe une droite quelconque à la section, et si on mène de son extrémité la perpendiculaire à l'axe, alors le rapport du carré de la droite qui a été menée au rectangle entouré par les deux droites situées entre [M-115 f ] le pied de la perpendiculaire et les deux extrémités de la droite qui a été associée à l'axe est égal au rapport du diamètre transverse à la droite située entre les deux extrémités distinctes parmi les extrémités du diamètre transverse et de la droite qui a été associée. Qu'on appelle la droite qui a été associée ayant un rapport semblable. Soit une ellipse d'axe AT [B-139 f ] et dont la figure est TL1, et la droite associée suivant le prolongement de l'axe, AB. Que le rapport de Te à Ae soit égal au rapport de TA à AL1. Que l'on mène du point A une droite AB à la section. Menons la droite BE perpendiculaire à l' axe. Je dis que le rapport du carré de AB au rectangle eE par EA est égal au rapport de AT à Te. B B

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358

Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques

au diamètre transverse, qui est AT, comme on l'a montré dans la proposition 21 du livre 1. Le rapport du rectangle AB par BZ au rectangle AB par BT est donc égal au rapport de L!A à AT, au rapport de ZB à BT et au rapport de Ae à eT. Le rapport de ZB à BT est donc égal au rapport de Ae à eT. C'est pourquoi le rapport de ZT à TB est égal au rapport de AT à Te. C'est pourquoi le rapport de ZA à eB est égal au rapport de AT à Te. Mais le rapport de ZA à eB, si nous posons AB [A-27Üf ] une hauteur commune, est égal au rapport du rectangle ZA par AB au rectangle Be par BA ; le rapport de AT à Te est donc égal au rapport du rectangle ZA par AB au rectangle AB par Be. Mais le rectangle ZA par AB est égal au carré de AB. Le rapport du carré de AB au rectangle AB par Be est donc égal au rapport de ATà Te. Ce qu'il fallait démontrer. - 4 - Si une droite est tangente à une hyperbole ou à une ellipse et tombe sur l'un des diamètres, si du point de contact on mène à ce diamètre une droite d'une manière ordonnée et si on mène du centre une droite parallèle à la droite tangente et égale au demi-diamètre conjugué au diamètre qui passe par le point de contact, alors le rapport du carré de la droite tangente au carré de la droite qui lui est parallèle est égal au rapport de la droite située entre le point de rencontre de la droite tangente et du diamètre et le pied de la perpendiculaire, à la droite située entre le pied de la perpendiculaire4 et le centre. H Soit AT le diamètre de l'hyperB bole ou de l'ellipse, son centre, BL! la droite tangente à la section ; soit la droite BB la droite ordonnée sur TAB ; soit eH une droite paralE lèle à la droite BL! et soit eH égale au demi-diamètre conjugué au diaz mètre qui passe par le point B. Je dis M que le rapport du carré de L!B au Fig. 4.1 carré de eH est égal au rapport de L!Bà Be. Démonstration: Menons du point B le diamètre BeZ et menons les droites AA et L!K [A-27ü V ] parallèles à la droite BE. Que le rapport d'une droite M à la droite BL! soit égal au rapport de OB à BA ; la droite M est

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Voir Note complémentaire [2].

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360

Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques

alors la moitié de la droite selon laquelle les droites ordonnées qui tombent sur Be peuvent les rectangles qui lui sont appliqués - dans l'hyperbole, c'est lorsqu'on ajoute un rectangle [B-139 semblable au rectangle entouré par la droite ZB et le double de la droite M; et dans l'ellipse, c'est lorsqu'on retranche un rectangle semblable au rectangle entouré par le double de M et ZB (on a montré cela dans la proposition 50 du livre 1) - et la droite eH est le demi-diamètre conjugué au diamètre BZ. Le produit de eB par M est donc égal au carré de eH, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 1 5 du livre II et dans la proposition 21 du même. Mais le rapport de OB à BA est égal au rapport de M à BLl et égal au rapport de LlB à BK ; le rectangle M par BK est donc égal au carré de BLl. Mais le rapport du rectangle obtenu du produit de M par BK au rectangle obtenu du produit de M par Be est égal au rapport de BK à Be ; le rapport du carré de BLl [M-115 au rectangle Be par M est donc égal au rapport de BK à Be. Quant au rapport de BK à Be, il est donc égal au rapport de BLl à Be ; et le rectangle Be par M, nous avons montré qu'il est égal au carré de eH. Le rapport du carré de BLl au carré de eH est donc égal au rapport [A-271 f ] de BLl à Ee. Ce qu'il fallait démontrer. V

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z Fig. 4.2

- 5 - Si on a une parabole, si on mène en elle l'un de ses diamètres et si on mène du sommet de ce diamètre la perpendiculaire à l'axe, alors la droite selon laquelle les droites menées de la section au diamètre parallèlement à la droite tangente menée du sommet du diamètre peuvent les rectangles qui lui sont appliqués, et qui est le côté droit de ce diamètre, est égale au côté droit de l'axe auquel on ajoute le quadruple de ce que la perpendiculaire sépare de l'axe, du côté du sommet de la section.

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Voir Note complémentaire [3].

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364

Le septième livre d'Apollonius sur les coniques

- 6 - Si on associe au prolongement de l'axe d'une hyperbole deux droites, à partir de chacune des extrémités de l'axe qui est un diamètre transverse, telles que chacune soit égale à la droite que nous avons appelée de rapport semblable, et qu'elles soient semblablement placées; si on mène deux des diamètres conjugués de la section et si on mène du sommet de la section une droite parallèle à celui des deux diamètres qui est droit6 , qui coupe la section; et si on mène du point où elle l'a coupée la perpendiculaire à l'axe ; alors le rapport du diamètre transverse des deux conjugués au diamètre droit est en puissance égal au rapport de la droite située entre le pied de la perpendiculaire et l'extrémité de la droite la plus éloignée des deux droites [M-116 r ] de rapport semblable, à la droite située entre le pied de la perpendiculaire et l'extrémité de la droite la plus proche des deux droites de rapport semblable; et le rapport du diamètre transverse au côté que peuvent les droites qui y sont menées et qui sont parallèles à l'autre diamètre, qui est son côté droit, est aussi égal en longueur au rapport des deux droites que nous avons mentionnées, l'une à l'autre, en longueur. Soit une hyperbole d'axe EM, de diamètre transverse porté par l'axe, Ar, et de [A-272 r] centre e. Que chacune des droites AN et TE soit égale à la droite de rapport semblable, et que deux diamètres conjugués ZH et BK passent par le point e. Menons la droite AA parallèle à la droite ZH et menons la perpendiculaire AM à la droite AM. Je dis que le rapport du carré du diamètre transverse BK au carré du diamètre droit ZH, est égal au rapport de EM à MN. A

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Fig. 6.1

6 Pour la définition du diamètre droit, voir Tome 1.1 des Coniques, p. 254, 22-25 et Tome 1.2, p. 8, 5-7.

365

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366

Le septième livre d'Apollonius sur les coniques A

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z Fig. 6.2

Démonstration: Joignons la droite TA, menons du point B la perpendiculaire BB, et menons de celui-ci également la droite BLl parallèle à la droite ZH. Cette droite sera donc tangente à la section. Mais puisque la droite Te est égale à la droite eA et que la droite AG est égale à la droite GA, la droite TA sera parallèle à la droite Be. Le rapport de LlB à Be est donc égal au rapport de AM à MT, en raison de la similitude des triangles. Mais le rapport de LlB à Be est égal au rapport du carré de LlB au carré de eH, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 4 de ce livre. Le rapport de AM à MT est donc égal au rapport du carré de LlB au carré de eH. Mais, puisque le rapport du carré de eB au carré de BLl est égal au rapport du carré de TA au carré de AA, en raison de la similitude des deux triangles ; et que le rapport du carré de BLl au carré de eH est égal au rapport de AM à MT, le rapport du carré de eB au carré de eH est composé du rapport du carré de TA au carré de AA et du rapport de AM à MT. Mais le rapport du carré de TA au carré de AA est composé du rapport du carré de TA au rectangle TM par ME, du rapport du rectangle TM par ME au rectangle AM par MN et du rapport du rectangle AM par MN au carré de AA. Le rapport du carré de eB au carré de eH est donc composé du rapport du carré de TA au rectangle TM par ME, du rapport du rectangle TM par ME au rectangle AM par MN, du rapport du rectangle AM par MN [B-14ü au carré de AA et du rapport de AM à MT. Quant au rapport du carré de T A au rectangle TM par ME, il est égal au rapport de ATà AE, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre. Quant au rapport du rectangle AM par MN au carré de AA, il est égal au rapport [A-272 V ] de TN à AT, V

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