Aplicaciones Estadisticas usando MS Excel con ejemplos paso a paso [First Edition] 9786120049211
Textbook in Spanish on Applied Statistics using MS Excel
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Spanish Pages 800 Year 2019
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Aplicaciones estadísticas usando MS Excel© con ejemplos paso a paso Autores: Ilmer Cóndor Espinoza Luis Felipe Arizmendi Echecopar
Editado por: Luis Felipe Arizmendi Echecopar Avenida Javier Prado 757 Oficina Sinergia Piso 10 Magdalena del Mar Lima 15076, Perú Primera edición digital, noviembre 2019
ISBN N° 978-612-00-4921-1
Con el auspicio y la colaboración de: DUO NEGOCIOS S.A.C. Ave. Javier Prado Oeste 757, Piso 10 (Oficina Sinergia) Magdalena del Mar, C.P. 15076, Lima, Perú Publicación electrónica disponible en www.amazon.com y en www.icedat.com El presente texto hace uso de los programas, aplicativos, imágenes, figuras, entornos gráficos y otros recursos ofrecidos y/o generados por Microsoft Office® y en particular de Microsoft Excel®, en adelante Excel®, en sus versiones para Windows ® (7, 8, 10) denominadas Excel 2003 (v11.0), Excel 2007 (v12.0), Excel 2010 (v14.0), Excel 2013 (v15.0), Excel 2016 (v16.0) y Excel 2019 (v19.0). También se emplea Microsoft Visual Basic ®, conocido también como Microsoft VBA®. Todos los derechos de propiedad intelectual de los productos informáticos Microsoft Office, Windows, Excel, Microsft Visual Basic y Microsoft VBA pertenecen a Microsoft Corporation, ubicada en Redmond, Washington, Estados Unidos de América.
Los autores hacen una declaración expresa que cualquier error contenido en este libro, ya sea de cálculo, estimación, predicción, análisis o de cualquier índole vinculado al uso del entorno de MS Excel ® y/o Microsoft VBA®, en cualquiera de sus versiones, son de entera y exclusiva responsabilidad de los propios autores, quedando Microsoft Corporation libre de cualquier reclamo o responsabilidad al respecto. La imagen de la portada es creación de John Moeses Bauan, a quién se le agradece.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Sobre los autores Ilmer Cóndor Espinoza (1946) El profesor Cóndor es un experimentado experto en Estadística y Probabilidades, con más de cuarenta años en la enseñanza universitaria. Obtuvo su licenciatura y su bachillerato en Educación Matemática en la Universidad Nacional Federico Villarreal, alternando con sus estudios de Matemáticas Puras en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Realizó también la segunda especialidad en Ingeniería de Sistemas en la Universidad de Lima. Como docente en diversos cursos, ha destacado en la Universidad Nacional Federico Villarreal, la Pontificia Universidad Católica del Perú, la Universidad del Pacífico, la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión de Huacho y, en especial, en la Universidad de Lima.
Luis Felipe Arizmendi Echecopar (1961)
El profesor Arizmendi labora actualmente como docente contratado en Banca, Seguros y Mercados de Valores en las maestrías de Economía y Finanzas de la Unidad de Posgrado de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, habiendo enseñado en diversas universidades del Perú y el extranjero. Es economista por la Universidad de Lima, así como M.A. y Ph.D. (ABD) en Economía por la Fordham University, Nueva York. Obtuvo también el grado de Master en Dirección y Organización de Empresas - MBA, por la Universitat de Lleida (Lérida), España, siendo actualmente candidato doctoral en Historia Económica por la Universidad de Murcia, España. Es miembro vigente en el Colegio de Economistas de Lima, la American Economic Association, la American Finance Association, la Econometric Society, la American Statistical Association, la Economic History Association y la Global Association of Risk Professionals, así como de la Asociación Profesional Colegial de Peritos Judiciales del Reino de España, de la Royal Economic Society (Reino Unido) y la Association Française de Science Economique (Francia).
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
ÍNDICE
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
PRESENTACIÓN ............................................................................................................ 9 PARTE I ......................................................................................................................... 10 MICROSOFT EXCEL ................................................................................................... 10 CAPÍTULO 1 ................................................................................................................. 10 1.1 Introducción .............................................................................................................. 10 1.2 Descripción básica .................................................................................................... 11 1.3 Algunas herramientas y procedimientos del Excel................................................... 68 1.4 Macros ...................................................................................................................... 79 1.5 El lenguaje Visual Basic para Aplicaciones ............................................................. 89 1.6 Controles y formularios ............................................................................................ 97 1.7 Problemas propuestos ............................................................................................. 103
PARTE II ...................................................................................................................... 104 ESTADÍSTICA ............................................................................................................ 104 CAPÍTULO 2 ............................................................................................................... 104 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ................................................................................. 104 2.1 Conceptos de Estadística……………...……………………………………………99 2.2 Variables cualitativas y cuantitativas ..................................................................... 107 2.3 Muestreo: Conceptos .............................................................................................. 108 2.4 Problemas que debe resolver un investigador ........................................................ 116 2.5 Tipos de muestreo probabilístico ............................................................................ 117 2.6 Tabla de distribución de frecuencias ...................................................................... 124 2.7 Análisis exploratorio de datos ................................................................................ 132 2.8 Estadísticos de la muestra ....................................................................................... 146 2.9 Medidas de tendencia central y de posición ........................................................... 148 2.10
Medidas de dispersión ....................................................................................... 165
2.11
Asimetría ........................................................................................................... 170
2.12
Problemas propuestos ........................................................................................ 180
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................... 182 TEORIA DE LA PROBABILIDAD ............................................................................ 182
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3.1 Fenómenos aleatorios. Espacio muestra ………………………………………176 3.2 Técnicas de conteo.................................................................................................. 188 3.3 Definiciones de probabilidad .................................................................................. 194 3.4 Probabilidad condicional ........................................................................................ 206 3.5 Probabilidad total.................................................................................................... 218 3.6 Teorema de Bayes .................................................................................................. 228 3.7 Eventos independientes .......................................................................................... 237 3.8 Problemas propuestos ............................................................................................. 266
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................... 279 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ........... 279 4.1 Variable aleatoria..…………………….………………………………………..…273 4.2 Variables aleatorias discretas. Función de probabilidad ........................................ 284 4.3 Variables aleatorias continuas. Función de densidad de probabilidad…………....279 4.4 Función de distribución acumulada ........................................................................ 303 4.5 Problemas propuestos ............................................................................................. 321 4.6 Valor esperado de una variable .............................................................................. 338 4.7 Varianza de una variable ........................................................................................ 340 4.8 Problemas propuestos ............................................................................................. 355 4.9 Distribuciones conocidas: Caso de variables discreta ............................................ 375 4.10
Problemas propuestos ........................................................................................ 417
4.11
Distribuciones conocidas: Caso de variable continua ....................................... 428
4.12
Problemas propuestos ........................................................................................ 466
4.13
Otras distribuciones continuas conocidas .......................................................... 473
4.14
Variables aleatorias bidimensionales ................................................................ 489
4.15
Problemas propuestos ........................................................................................ 534
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................... 536 DISTRIBUCIONES MUESTRALES .......................................................................... 536 5.1 Introducción……………………………………………………………………….536 5.2 Distribución muestral de la media………………………………………………...537 5.3 Distribución muestral de la proporción .................................................................. 544 5.4 Distribución muestral de la varianza ...................................................................... 549
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5.5 Distribución muestral de la diferencia de medias muestrales................................. 556 5.6 Distribución muestral de la diferencia de propociones muestrales ........................ 564 5.7 Distribución muestral del cociente de varianzas muestrales .................................. 567 5.8 Problemas propuestos ............................................................................................. 572
CAPÍTULO 6 ............................................................................................................... 576 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ........................................................................... 576 6.1 Introducción……………………………………………………………………….571 6.2 Estimación puntual ................................................................................................. 577 6.3 Estimación por intervalos ....................................................................................... 610 6.4 Intervalo de confianza para la media ...................................................................... 612 6.5 Intervalo de confianza para la proporción .............................................................. 622 6.6 Intervalo de confianza para la varianza .................................................................. 628 6.7 Intervalode confianza para la razón de varianzas ................................................... 631 6.8 Intervalo de confianza para la diferencia de medias............................................... 635 6.9 Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones ..................................... 641 6.10
Intervalo de confianza para datos pareados ....................................................... 644
6.11
Problemas propuestos ........................................................................................ 649
CAPITULO 7 ............................................................................................................... 657 PRUEBA DE HIPÓTESIS ........................................................................................... 657 CAPÍTULO 8 ............................................................................................................... 702 DISEÑO DE EXPERIMENTOS .................................................................................. 702 8.1 Conceptos básicos en el diseño de experimentos…………………………………702 8.2 Modelo de clasificación de una variable ................................................................ 704 8.3 Modelo de clasificación de dos variables ............................................................... 716 8.4 Problemas propuestos ............................................................................................. 724
CAPITULO 9 ............................................................................................................... 727 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA ........................................................................ 727 9.1 Introducción……………………………………………………………………….727 9.2 Prueba de signos ..................................................................................................... 729 9.3 Prueba de rangos con signos de Wilcoxon ............................................................. 731
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9.4 Prueba Mann-Whitney-Wilcoxon .......................................................................... 736 9.5 Prueba de Kruskall - Wallis .................................................................................... 739 9.6 Prueba de correlación por rangos de Spearman ..................................................... 742 9.7 Pruebas de bondad de ajuste ................................................................................... 744 9.8 Prueba de independencia de criterios ..................................................................... 750 9.9 Prueba de homogeneidad de proporciones ............................................................. 757 9.10
Problemas propuestos ........................................................................................ 763
CAPÍTULO 10 ............................................................................................................. 766 REGRESIÓN LINEAL ................................................................................................ 766 10.1
Introducción…………………………………………………………………...766
10.2
Estimación de parámetros y prueba de hipótesis en el modelo lineal ............... 768
10.3
Problemas propuestos ........................................................................................ 795
APÉNDICE…………………………………………………………………………...792 Respuesta a algunos problemas propuestos .................................................................. 797 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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PRESENTACIÓN El presente libro tiene por objeto utilizar toda la potencia del programa Microsoft Excel®, para resolver problemas de aplicación de la Estadística Descriptiva e Inferencial.
Desde esta perspectiva, no es estrictamente un libro de Estadística ni tampoco un manual de uso del Excel® (en adelante, simplemente Excel). Del mismo modo, no se debe entender que sea un compendio de procedimientos ni un recetario que le indica al lector lo que debe hacer sin saber para qué o por qué.
Los principales temas de la estadística son tratados de manera resumida y aplicados usando las funciones o herramientas del Excel y otros procedimientos elaborados por el autor, mediante el uso de lenguaje de aplicaciones (Microsoft VBA) disponibles en el Excel, a los cuales se recurre en todos los casos a través de archivos creados con en el mismo programa Excel, todos los cuales son parte inherente al presente libro. Todas las figuras e imágenes y muchos de los datos, mostrados en tablas, han sido generados por el autor, en muchos casos con la ayuda de la función aleatorio.entre(…).
Al enfocar cada nuevo tema, hacemos una breve explicación del mismo, no de su fundamentación teórica sino de un breve repaso del mismo, con la finalidad de refrescar dicho tema en el lector, a fin de que sepa cuándo y porqué usar una u otra herramienta estadística y cuáles de esas herramientas dispone el Excel, para resolver su problema.
Por estas razones, creemos que el presente libro es una útil herramienta obligatoria del estudiante de cualquiera de los cursos de estadística de una institución superior. Recomendamos también leer las obras de los diversos autores que aparecen en la bibliografía, dado que la variedad de enfoques permitirá a los lectores una comprensión mayor de este potente aplicativo: Microsoft Excel
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PRESENTACIÓN El presente libro tiene por objeto utilizar toda la potencia del programa Microsoft Excel®, para resolver problemas de aplicación de la Estadística Descriptiva e Inferencial.
Desde esta perspectiva, no es estrictamente un libro de Estadística ni tampoco un manual de uso del Excel® (en adelante, simplemente Excel). Del mismo modo, no se debe entender que sea un compendio de procedimientos ni un recetario que le indica al lector lo que debe hacer sin saber para qué o por qué.
Los principales temas de la estadística son tratados de manera resumida y aplicados usando las funciones o herramientas del Excel y otros procedimientos elaborados por el autor, mediante el uso de lenguaje de aplicaciones (Microsoft VBA) disponibles en el Excel, a los cuales se recurre en todos los casos a través de archivos creados con en el mismo programa Excel, todos los cuales son parte inherente al presente libro. Todas las figuras e imágenes y muchos de los datos, mostrados en tablas, han sido generados por el autor, en muchos casos con la ayuda de la función aleatorio.entre(…).
Al enfocar cada nuevo tema, hacemos una breve explicación del mismo, no de su fundamentación teórica sino de un breve repaso del mismo, con la finalidad de refrescar dicho tema en el lector, a fin de que sepa cuándo y porqué usar una u otra herramienta estadística y cuáles de esas herramientas dispone el Excel, para resolver su problema.
Por estas razones, creemos que el presente libro es una útil herramienta obligatoria del estudiante de cualquiera de los cursos de estadística de una institución superior. Recomendamos también leer las obras de los diversos autores que aparecen en la bibliografía, dado que la variedad de enfoques permitirá a los lectores una comprensión mayor de este potente aplicativo: Microsoft Excel
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PARTE I MICROSOFT EXCEL
CAPÍTULO 1 1.1 Introducción 1.2 Descripción básica 1.3 Algunas herramientas y procedimientos del Excel 1.4 Macros 1.5 El lenguaje Visual Basic para aplicaciones 1.6 Controles y formularios 1.7 Problemas propuestos
10.4
INTRODUCCIÓN
Tomando como premisa lo dicho en la presentación, en este capítulo nos dedicaremos a realizar una breve exposición del programa MS Excel y de sus principales características, en términos muy generales. Esto lo haremos en la primera sección; en la segunda trataremos de exponer algunas herramientas y funciones del Excel con el propósito de utilizarlos más adelante. En la tercera sección nos dedicaremos al estudio de los macros; en este caso lo haremos con cierto detenimiento por su importancia y por lo poco que se conoce de ella. Del mismo modo, en la cuarta sección nos dedicaremos al estudio del lenguaje Visual Basic para Aplicaciones (VBA) con la idea de darle potencia y flexibilidad a las macros. En la quinta sección daremos una breve explicación del uso de los
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controles y los formularios a fin de facilitar el acceso a las macros y potenciar la interactividad de las hojas de cálculo con el usuario. Finalmente, en la sexta sección, trataremos de resolver ciertos problemas prácticos que sean de utilidad para el lector.
10.5
DESCRIPCIÓN BÁSICA
El programa Excel genera en memoria una gigantesca matriz electrónica bidimensional, cuyas 65536 filas de la versión 2003, están enumeradas. En el caso del Excel 2007, desde la fila 1 hasta 1048576 y cuyas columnas tienen por nombre A, B, C,…, XFD, los que hacen un total de 16384 columnas. Hemos optado por las versiones 2003 y 2007, que están ampliamente extendidas en su uso. Sin embargo, en el sitio web del libro (Nota de los autores.- Sitio por determinar con la Editorial) se pueden también consultar las variaciones que los ejemplos y aplicaciones escritas en este texto pueden tener respecto a las versiones Excel 2010, 2013, 2016 y 2019.
En cada una de ellas se puede almacenar datos o fórmulas. Los datos que se ingresan en cada celda pueden ser de dos tipos:
-
Datos de tipo texto: Cadena de caracteres letras, dígitos y caracteres especiales como “,”, “.”, “:”, “/”, “?”, etc.
-
Datos de tipo numérico: Que pueden ser enteros o reales (con decimales).
Nota curiosa: En MS Excel 2003
-
En una celda se puede almacenar datos de tipo texto hasta con longitud máxima de 32767 caracteres; de los cuales, sólo puede visualizarse los primeros 1024 caracteres (hasta la columna CL) (1024 bytes = Un Kb), siempre que el dato se digite en la columna A y todas las otras columnas de dicha fila, estén vacías
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-
Esta es una forma de comprobar que el máximo número entero que se puede usar en Excel (y todo programa de computadora) es 32767 y el mínimo es 32768. Números enteros fuera de este rango son convertidos en forma automática a número reales (números de punto flotante usando la notación científica).
En MS Excel 2007
-
El número de filas es: 1048576
-
El número de columnas es: 16384. La última columna: XFD
Observación: Dependiendo de su valor, los datos numéricos pueden tener distintos formatos como números reales hasta con 14 decimales, fecha, monetario, porcentual, lógicos, etc. La representación interna del número es única; las diversasforma de visualizarlo depende del formato aplicado a dicho número.
El ancho de cada columna puede ser modificada según las necesidades del usuario.
Figura 1.1
Del mismo modo, la altura de las filas, se puede aumentar o disminuir.
Celda y rango de celdas
Cada celda de la hoja se define usando la columna y la fila correspondiente a la celda. Por ejemplo las celdas A1, B5, M253, etc.
Un rango de celdas es un conjunto de celdas; es un arreglo rectangular de celdas. El rango se denota nombrando la celda inicial y final, separado por “:”.
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Por ejemplo: A1:A1
Rango formado por una celda;
A5:A12
Rango formado por 8 celdas de la columna A, empezando en la fila 5;
B3:E3
Rango formado por 4 celdas de la fila 3, empezando en la columna B;
C5:E11
Rango formado por 21 celdas desde la celda C5 hasta la celda E11. Barra de Fórmula C1 es la celda activa.
Esta casilla se llama Cuadro de nombres
Figura 1.2
En la figura 1.2 se muestran estos rangos. En ella hemos puesto la celda inicial y final del rango.Una celda se selecciona haciendo clic en ella con el botón izquierdo.
Se puede seleccionar una celda o rango de celdas. Del mismo modo, se puede seleccionar una o más columnas enteras o una o más filas enteras. Si se desea seleccionar filas o columnas no contiguas se deberá usar la tecla y hacer clic en aquellas que deben ser seleccionadas.
La celda que está seleccionada constituye la celda activa. En la figura 2 la celda activa es la celda C1. Esto se muestra a la izquierda de la barra de fórmula, éste espacio recibe el nombre de Cuadro de nombres. Si la celda seleccionada fuera B4, en el cuadro de nombres aparecería B4. Libros … Hojas
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Dijimos que el Excel genera una matriz electrónica muy grande. Cada una de esas matrices constituye una hoja de cálculo, bajo la concepción del MS Excel. Un conjunto de hojas de cálculo, conforman un libro.
De manera que cuando se ejecuta el programa Excel, éste crea un libro compuesto por un número predeterminado (se puede modificar) de hojas.
Nota:
El número de hojas predeterminadas en las dos versiones que describimos es 3.
Nota curiosa:
En Excel 2003:
-
El máximo número de hojas que se pueden disponer es de 32.
En Excel 2007
-
He llegado a insertar 1027 hojas en un libro (claro, mediante macros; dejo esta pequeña curiosidad para el que sepa algo de macros con VBA).
-
¿Alguien podría saber cuántas hojas se puede insertar en un libro? Respuesta: 180354.
Cuando se graba el contenido de una hoja, se graba también el contenido (si hubiera) de todas las hojas del libro. Esto implica que lo que se graba es un libro y no una hoja independiente de las otras.
Del mismo modo, cuando se abre un libro, éste se abre con todas sus hojas.
Activar y desactivar opciones y demás elementos de una hoja
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En Excel 2003 Haga clic aquí opciones para indicarle cómo puede activar o desactivar barras de herramientas, opciones, etc.
En Excel 2007 Haga clic aquí opciones para aprender el uso de opciones en esta versión.
Barra de fórmula
Figura 1.3
Es la barra en la cual se visualiza el contenido de la celda activa. Si la celda contiene un dato, el valor del mismo se visualiza en la celda activa y en la barra de fórmula. Si el contenido de la celda activa es una fórmula, en la celda se visualiza el resultado de la ejecución de la fórmula mientras que en la barra de fórmula se visualiza el contenido; es decir, la fórmula.
Figura 1.4
En la figura 1.4, la celda activa es la celda C3, su contenido es la compleja fórmula que se visualiza en la barra de fórmula y el resultado del cual, se visualiza en la celda C3.
Cuadro de nombres
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El cuadro de nombres es la casilla en el que se visualiza la celda activa. De manera que si Ud. desea saber cuál es la celda donde se encuentra el cursor, es suficiente que observe esta casilla. Allí se visualiza también el nombre del rango que estuviera seleccionado. En la forma práctica, podemos usar esta casilla para definir el nombre de un rango. ¿Porqué darle nombre a un rango? Lea la siguiente sección y trate de comprenderla bien. El uso de nombres de rango le da elegancia a todafórmula que se pueda tener en una hoja de datos y facilita la comprensión de la misma.
Nombre de rango
Si bien todas las celdas de la gigantesca matriz electrónica tienen un nombre, como C1, B125, etc.; cada una de ellas o más aún, un rango de celdas puede tener un nombre particular.
Razón:
Suponga que C5 contiene la tasa igual a 5% que se aplica a un rango de celdas. Si después de 6 meses, luego de haber trabajado con múltiples hojas, libros y cálculos, Ud. vuelve a revisar la fórmula que contiene a C5, le será difícil recordar qué representa su contenido; pero si dicha celda se llamara “Tasa” le será fácil recordarlo.
Sugerencia:
En lo posible, acostúmbrese a usar nombre de celda o nombre de rango para realizar todas sus operaciones de cálculo en una hoja.
¿Cómo se da nombre a una celda o rango de celdas?
Para dar nombre de rango a una celda o rango de celdas, use una de las siguientes opciones (hay otras, para nuestros propósitos es suficiente una de las dos):
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Opción 1:
-
Seleccione la celda o el rango de celdas
-
Haga clic al interior del
-
Digite el nombre que desea darle a la celda o rango seleccionado
-
Presione
Opción 2:
En Excel 2003
-
Seleccione la celda
-
Use la secuencia: - -
-
Digite el nombre que desea
-
Haga clic en
En Excel 2007
-
Seleccionar la celda o rango de celdas
-
- En el grupo - - Digitar el nombre. Si es necesario seleccionar el ámbito. Tome nota de que dicho nombre será válido en todo el libro o sólo en la hoja donde se le definió. Del mismo modo, puede tener el mismo nombre de rango definido en hojas diferentes. Para usarlo al nombre del rango deberá estar precedido el nombre de la hoja: Por ejemplo: Hoja1!Tasa.
¿Cómo se elimina el nombre de una celda o rango de celdas?
En Excel 2003:
-
Use la siguiente secuencia: - -
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-
Seleccione el nombre a ser eliminado
-
Haga clic en
-
Haga clic en
Nota:
Como habrá visto, la secuencia anterior permite también modificar o cambiar el nombre de una celda o rango de celdas.
Nota:
Los nombres de rango de celda o rango de celdas son válidos en todo el libro. Puede usarlo en la hoja donde lo definió o en cualquier otra hoja que conforma el libro.
En Excel 2007:
- - En la ventana que se obtenga seleccionar el nombre que se desea borrar y hacer clic en la pestaña .
¿Cómo se puede obtener la lista de nombres de rango, existentes en un libro?
Simplemente haga clic en el botón del (lado izquierdo de la barra de fórmulas). También se accede a la lista de nombres de rango usando F3.
Ahora veamos en detalle la novedad de la versión 2007 respecto a nombre de rango y a su administración.
En Excel 2007
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Además de hacer uso del cuadro de nombres para definir un nombre de rango, como lo hemos indicado, en esta versión los nombres de rango y otras opciones se encuentran en la ficha , como se indica en la siguiente imagen la cual se obtiene haciendo clic en dicha ficha.
Figura 1.5
Primera forma: -
Seleccione la celda o el rango de celdas al cual se le dará un cierto nombre
-
Haga clic en del grupo
-
Digite el nombre el cuadro correspondiente a Nombre
-
Haga clic en
Segunda forma: -
Seleccione las celdas o rango de celdas incluyendo la primer fila o primera columna la cual contiene el nombre que deseamos que tenga dichas celdas.
-
Haga clic en del grupo .
-
Si los nombres se encuentran en la primera fila, desactive . Si los nombres se encuentran en la primera columna, desactive .
-
Haga clic en
Ejemplo01
Abra el archivo Pago de intereses.xlsx. Vaya a la hoja Pasiva. Haga clic en la celda B3. En el cuadro de nombres digite TasaBC y presione .
Ahora vamos a darle nombre al rango C3:C5, pero quisiéramos que su nombre sea el contenido de la celda C2. Para ello
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-
Seleccionamos el rango C2:C5
-
Hacemos clic en
-
Estando activa hacemos clic en
Deseamos asignar nombre a las otras columnas. Para ello seleccione el rango D2:I5 y luego haga clic en < Crear desde la selección> y luego haga clic en .
Observe que en este caso estamos asignando nombres de rango a 7 rangos de celdas a la vez; en este caso, usando .
Nota:
Observe el nombre asignado a la última columna: El nombre tiene un espacio en blanco y para que éste sea válido, ha insertado un guión bajo. Los nombres de rango no pueden tener espacios en blanco.
Finalmente vamos a darle el nombre Monto a la celda B7. Para ello seleccionamos el rango A7:B7 y luego hacemos clic en < Crear desde la selección>. Observe ahora que la opción activa es . Luego en
Uso de la opción
Esta opción permite definir el nombre de rango a un conjunto de celdas previamente seleccionadas o seleccionadas después de hacer clic en esta opción. En este caso la ventana que se obtiene es la siguiente:
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Figura 1.6
En esta imagen se dispone del rango seleccionado; ahora se deberá ingresar el nombre del rango y elegir el ámbito. Si hace clic en el cuadro de nombres (ámbito) verá que podemos definir el nombre para ser conocido en todo el libro o en una hoja en particular. Esto implica que podemos usar el mismo nombre en hojas diferentes; pero si va a ser definido en el libro, el nombre será único.
Crear, Editar para Modificar o Eliminar el nombre de un rango
Si se desea crear, modificar o eliminar el nombre de un rango se puede hacer uso del que se encuentra en el grupo .
Al hacer clic en esta opción se obtiene la siguiente ventana:
Figura 1.7
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Como se puede apreciar en la ventana de la izquierda, el libro no tiene ningún nombre definido. Sólo está activo el botón , mediante el cual se puede crear nombres de rangos. Al hacer clic en este botón, se obtiene la ventana de diálogo descrito al hacer uso de la opción .
En cambio en la ventana de la derecha, se dispone de los nombres creados en el último ejemplo.
Al seleccionar uno de los nombres, se activan los botones y , lo cual significa que si se selecciona un nombre y se hace clic en obtendremos la ventana de diálogo antes mencionada. Esto permitirá redefinirla.
Del mismo modo, si se selecciona un nombre y se hace clic en se podrá eliminar dicho nombre.
Ejemplo 02
Eliminar los nombres que hemos creado. Para ello debemos usar , hacer clic en el nombre a ser eliminado y luego hacer clic en . En la siguiente imagen, luego de seleccionar el nombre Año_2009, se ha hecho clic en , con lo cual se ha obtenido la ventana en la que debemos hacer clic en si realmente se desea eliminar el nombre seleccionado o hacer clic en si no se desea eliminarlo.
Combinar celdas
Una o más celdas se pueden combinar para ser tratadas como una celda. Esto es útil en muchos casos sea como título de una tabla de varias columnas o para una mejor presentación de los datos de una hoja.
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Procedimiento:
Figura 1.8
-
Seleccione las celdas que desea combinar
-
Haga clic en el icono o botón
-
Si desea puede alinearlo a la izquierda o derecha o dejarlo centrado haciendo
que permite combinar y centrar.
clic en los botones de la barra de herramienta de formato que se muestra en pantalla.
Nota: En Excel 2007
Luego de seleccionar la celda o rango de celdas a ser combinadas, debe acceder a la ficha ; en ella, en el grupo , se encuentra el icono que permite combinar y centrar.
Copiar y Pegar
En Excel se puede copiar valores y fórmulas de una celda o rango de celdas y luego pegarlas en otra celda o rango de celdas.
Para ello, -
Seleccione la celda o rango de celdas que se desea copiar;
-
Use + para copiar (puede usar el forma que Ud. desee)
-
Haga clic en la celda (o celda inicial del rango) hacia donde desea pegar
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-
Use + para pegar lo que se copió al portapapeles (memoria). La ventaja de pegar usando + o hacer clic en de la ficha le permite disponer de
. Más adelante
describimos a este botón.
Uso del portapapeles en MS Excel 2007
En esta versión el uso del portapapeles tiene algunas opciones que deseamos comentarla pues resulta altamente beneficiosa en ciertas situaciones y que optimiza el uso de la hoja de cálculo:
Para acceder al portapapeles debemos usar el grupo de la ficha . La imagen siguiente muestra este grupo, en la cual, luego de copiar el contenido de una o más celdas, el icono ha quedado activado.
Como se puede apreciar, después de copiar un cierto rango de celdas y colocar el cursor en donde se desea pegar, al hacer clic en la flecha del icono , se despliega una lista de opciones de pegado.
A la opción se puede acceder también haciendo clic con el botón derecho del ratón.
Figura 1.9
Si hubiéramos hecho clic en el cuerpo del icono, se habría pegado sin dar paso a estas opciones.
Después de pegar:
Después pegar lo copiado, se visualizará el icono de opciones de pegado, que es lo que se muestra en este caso: Si se despliega la flecha de este
icono se dispondrá de las siguientes
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opciones:
Mantener formato de origen
Mantener tema de destino
Coincidir con formato de destino
Formato de números y valores
Mantener ancho de columnas de origen
Sólo formato
Vincular celda
. Para evitar problemas de pegado de columnas de diferente ancho o amplitud se debe seleccionar la opción Mantener ancho de columnas de origen.
Observación:
El uso del procedimiento anterior no es válido en determinados cálculos, que como se verá a continuación se deberá distinguir entre celdas absolutas y celdas relativas.
Ejemplo 03
Abra el archivo Ejemplo 01.xls. En la Hoja 2. Esto se muestra en la Figura 1.10.
Figura 1.10
a) Copie los nombres y los precios de los productos del Cuadro 1 al Cuadro 2.
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b) Calcule el Monto de los ingresos para Licuadora. Copie esta fórmula para obtener el ingreso de los otros productos. Observe y analice la fórmula en cada caso. c) Ahora calcule el nuevo precio (precio proyectado) de Licuadoras para el año 2006. Copie esta fórmula para los otros productos usando el mismo procedimiento empleado en el caso b). Observe los resultados.
Solución a) Para copiar los nombres de los productos: -
Seleccione el rango A3:A5
-
Use + para copiar los nombres
-
Haga clic en la celda A12
-
Use + para pegar lo copiado
Para copiar los precios, seleccione el rango B3:B5, copie y pegue en B12. b) Calcular el Monto de licuadoras -
Haga clic en D3
-
Ingrese la fórmula: =B3*C3
-
Presione
-
Copie el contenido de D3 hacia D4:D5.
Observaciones: El contenido de D3 es =B3*C3 Al copiar esta fórmula de D3 a D4, la fórmula cambia a =B4*C4; es decir, al copiar una fila hacia abajo, las filas de las celdas que conforman la fórmula, cambian a 4. Al copiar de D3 hacia D5, estamos avanzando dos filas, como tal, las filas de la fórmula =B3*C3 también cambiarán a =B5*C5
Esto significa que las fórmulas cambian según la forma cómo se copia.
c) Precio proyectado para el 2006, vemos que el precio se incrementa en 5%
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-
En el caso de Licuadoras, en C12 ingrese la fórmula: =B12*C10.
-
Copie esta fórmula hacia el rango C13:C14.
Según el problema, en C13 debiera estar la fórmula =B13*C10; sin embargo, aparece la fórmula =B13*C11. Si hace clic en C14 verá que el contenido de C14 es =B14*C12, lo que también no es correcto. Como es lógico, al avanzar una fila hacia abajo, la fórmula que se obtiene no es correcta. Las fórmulas deben ser: En C12: =B12*C10; en C13: =B13*C10 y en C14: =B14*C10. Esto nos sugiere conocer algo más sobre celdas.
Celdas relativas y celdas absolutas.
Como la celda C10 no debe cambiar, debemos fijarla de alguna manera. Esto se hace usando el concepto de celdas absolutas. Una celda absoluta toma la forma $C$10. En este caso, al copiar a cualquier lugar la fórmula que lo contiene, la celda C10 permanecerá fija; es decir, no cambia la fila y no cambia la columna. Al usar $C10se podrá copiar a la izquierda o derecha permaneciendo fija la columna C. Por el contrario si C$10se copia hacia arriba o abajo la fila 10 permanecerá fija. La celda C10 constituye una celda relativa. Cuando se copia la fórmula que la contiene, cambiará relativamente al copiado, como lo vimos en el caso a) y b) del ejemplo anterior.
Luego ingrese en C12la fórmula =B12*C$10 o también =B12*$C$10. Y copie. La figura 1.11 muestra las fórmulas que se usan para los cálculos respectivos.
Celdas combinadas
Figura 1.11
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Modificar la altura de una fila
Si desea modificar la altura de una fila, ejecute el siguiente procedimiento:
-
Seleccione la (s) fila (s) a la (s) cual (es) desea modificar su altura
-
- -
-
Digite el ancho deseado
-
Nota: También puede usar el ratón para modificar la altura de una fila. Para ello ubique el puntero del ratón en la división de la etiqueta de la fila cuya altura desea modificar y la siguiente fila. Haciendo clic con el botón izquierdo, arrastre hacia arriba (para reducir) o hacia abajo para aumentar la altura.
Nota Si desea modificar ancho de columnas no adyacentes, haga clic en la etiqueta de la primera columna cuyo ancho desea modificar, presione , luego haga clic en las que desee modificar y luego use la secuencia: - y modifique de acuerdo a su criterio.
Nota Para modificar la altura de filas no adyacentes, seleccione la etiqueta de la primera fila a ser modificada, presione la tecla y luego haga clic en cada una de las filas a ser modificada y luego use la secuencia: - y modifique de acuerdo a su criterio.
En el MS Excel 2007 Para el uso de los atributos de una celda o rango de ellas, use la opción del grupo de la ficha .
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Ejercicio 01
Abra el archivo Ejemplo 01.xls. En la Hoja1 calcule las ventas proyectadas para el 2006 en el cual las ventas del 2005 se incrementan en el 5%. Use celdas absolutas. Luego grabe los resultados como REj01.xlsx
Ventaja en el uso de nombre de celda o rango de celdas
Solución para el caso c) del ejemplo 1, usando nombre de celda: -
Que la celda C10 se llame Tasa. Para ello, haga clic en C10; digite en el cuadro de nombres la palabra Tasa y presione .
-
Ahora en C12 digite la fórmula: =B12*tasa
-
Copie el contenido de C12 hacia el rango C13:C14.
-
Observe los resultados.
-
Grabe el libro como con el mismo nombre.
Nota: Cuando ingrese una fórmula, use nombre de celda en lugar de la celda misma.
Ejercicio 02
Estando abierto el archivo Ejemplo 01.xls, haga que la celda C1 se llame Incre y vuelva a resolver el ejercicio 1 usando el nombre de C1. Vuelva a grabar el archivo con el mismo nombre.
Las hojas de un libro
Como ya hemos dicho, en Excel un libro está compuesto de un conjunto de hojas. El número de hojas habilitadas cuando se abre un libro nuevo, puede ser diferente en
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una instalación. Cada usuario define el número de hojas que debe tener un libro nuevo.
Para definir cuántas hojas debe tener un libro cuando se crea, use la secuencia: -
- -
-
Haga clic en el botón de para seleccionar el número de hojas deseadas. Si lo desea, digite la cantidad.
Esta opción no modifica el número de hojas en el libro activo; tendrá efecto cuando se vuelva a ejecutar el Excel. En cada hoja se pude colocar diferente tipo de información, aunque los datos de uno pueden servir para hacer cálculos en las otras hojas.
Para pasar a Hoja2 haga clic aquí
Haga clic y arrastre para mover la hoja
Figura 1.12
Para pasar de una hoja a otra, hacer clic en su nombre o etiqueta de hoja. Para seleccionar una hoja, haga clic en la etiqueta o nombre de la hoja Para agrupar o seleccionar varias hojas, use la siguiente secuencia: -
Seleccione la primera hoja
-
Presione la tecla
-
Haga clic en cada una de las hojas a ser seleccionadas
Para desagrupar hojas, use una de las siguientes opciones: -
Botón derecho sobre una de las hojas agrupadas y luego
-
Clic en la etiqueta de cualquier hoja no agrupada (no seleccionada)
Para insertar una nueva hoja, use una de las siguientes opciones: -
Use la secuencia: -
Otra forma: -
Haga clic con el botón derecho sobre la hoja donde desea insertar
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-
Seleccione la opción
-
Seleccione
Si desea mover una hoja, arrastre desde su nombre y suelte encima de la hoja a cuya izquierda debe quedar la que se mueve.
Para cambiar de nombre a una hoja use una de las siguientes opciones:
-
Haga doble clic en el nombre actual y digite el nombre deseado
-
Haga doble clic con el botón derecho y seleccione
-
Use la secuencia: - -
Para eliminar una hoja haga clic con el botón derecho sobre la hoja, clic en y luego . Si fueran varias, antes seleccione a todas ellas. Para ocultar una hoja, use la secuencia: - - Para mostrar una hoja oculta, use la secuencia: - - a continuación, seleccione la hoja a ser mostrada y luego clic en . Para cambiar el color de la etiqueta de hoja, use una de las opciones:
-
Botón derecho sobre la etiqueta de hoja, , seleccionar un determinado color y luego .
-
- - , seleccionar un color, .
Para insertar una imagen de fondo, use - - , seleccione una imagen o fondo de pantalla y luego clic en .
En MS Excel 2007 Para insertar una nueva hoja: -
Ubíquese en la hoja a cuya izquierda desea insertar la nueva hoja.
-
Use la siguiente secuencia: - - -
Para copiar, mover, ocultar hoja Haga uso de la opción del grupo de la ficha .
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Llenado automático de rango de celdas
Hay dos formas de rellenar un rango de celdas a partir de una o más,que contienen los datos iniciales, a partir de los cuales se genera la serie. a) Usando el ratón Supongamos que la celda A3 contiene “Enero”. Si
Figura 1.13
deseamos rellenar las celdas A4:A14 con los siguientes meses, basta con copiar esta celda hacia el rango solicitado usando (necesariamente) el ratón. Para ello, ubique el puntero del ratón en la esquina inferior derecha del cuadro que se forma en la celda activa. En la figura de la derecha (Figura 1.13) al llevar el puntero del ratón a la esquina inferior derecha, éste se ha convertido en “+”. En estas condiciones, arrastre hacia abajo hasta cubrir la celda A14.
Haga lo mismo si desea ingresar los nombres de los días; para el cual debe ingresar en la celda inicial, el nombre del primer día. En general, todo texto que termina en número e ingresado en una celda, puede servir para generar una serie de valores secuenciales. Por ejemplo, Tienda 1, Tienda 2, etc.
En MS Excel 2003
b) Usando la secuencia - -
Esta secuencia permite generar series
numéricas
determinado
patrón.
que Se
siguen puede
generar series lineales, geométricas, cronológicas o de autorrelleno.
Figura 1.14
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Al usar la secuencia anterior, obtendrá la siguiente ventana (Figura 1.14)
Según esta ventana, puede generar series en filas o columnas. Puede fijar activar tendencia o fijar un incremento.
En el caso de activar el incremento es unitario o la diferencia entre las celdas iniciales con datos. Si hubiera más de dos celdas con datos, calcula la tendencia con ellos.
Si selecciona , los datos se incrementan según lo especificado.
Si se usa la opción , la diferencia entre los datos iniciales se usa para generar una serie geométrica: Por ejemplo: 2, 5, 15, 45, 135,…
Si elige los datos deben tener formato de fecha. El llenado se hace según la tendencia o el incremento.
Puede ser más útil la primera forma pues en muchos casos se requiere de una lista de meses, días, semanas, años o de una lista de texto pero enumerada. En todos estos casos ingrese el primer valor en la primera celda y luego copie.
En MS Excel 2007
El auto relleno se efectúa usando la siguiente secuencia: - . Con lo cual se obtiene la imagen de la izquierda. Al hacer clic en la flecha de se obtiene las opciones que se muestran en la imagen de la derecha.
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Figura 1.15
Dando formato a los datos de una hoja
Los datos contenidos pueden tener dos tipos de formatos: Formato de texto o formato numérico.
En el caso de Formato de texto, hablamos de poner en negrita, subrayado, estilo de fuente, tamaño, etc. En el caso de Formato numérico estamos hablando del número de decimales, millares, porcentaje, signo monetario, etc.
Al usar la secuencia - se obtiene la ventana mostrada en la figura 16.
En MS Excel 2007 Haga clic en el icono de (flecha de la esquina inferior derecha) del grupo de la ficha . La ventana que se obtiene es similar a la que se muestra.
Mediante esta opción se puede acceder también a la diversidad de opciones de modificación de los atributos y formatos de celdas y rango de celdas.
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Fichas
Figura 1.16
Esta ventana contiene un gran número de formatos que se puede usar en una hoja, clasificadas según el tipo de dato y formato que se desea usar. Para ello dispone de 6 fichas o pestañas. Para todas ellas se ingresa usando -
Use - -
Para dar formato a las celdas que contienen datos numéricos, sea sin formato (General), con decimales, monetario, fecha, hora, porcentaje, etc.
Un caso particular es el uso de la opción . Permite definir un formato de acuerdo a las exigencias del usuario, siempre que sean válidas para el Excel.
Use - -
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Para alinear el contenido de las celdas seleccionadas a la izquierda, a la derecha o centrarlo. Puede también alinearlo verticalmente siempre que la altura de la celda lo permita.
Use - -
Para dar a los caracteres que conforman el dato contenido en las celdas seleccionadas como tamaño, negrita, subrayado, estilo de fuente, etc.
Use - -
Para ponerle cierto tipo de borde a los datos contenidos en las celdas seleccionadas.
Use - -
Para definir el color de la fuente, de fondo de las celdas, etc., a las celdas
Use - -
Para desactivar el bloqueo que las celdas tienen activadas por omisión. Al estar desactivada una celda y estando protegida la hoja, se puede modificar el contenido de las celdas desbloqueadas. Esto es útil si en el uso posterior de la hoja se desea modificar ciertos datos y proteger otros, fundamentalmente las que contienen fórmulas o datos que no deben cambiar.
Nota curiosa - Si se hace doble clic en la línea que separa las etiquetas de columna, logrará que el ancho de la columna izquierda se ajuste automáticamente al contenido de mayor longitud. - Si desea colocar un texto en más de una línea, pero dentro de la misma celda, después de digitar una parte del texto, presione + y siga digitando. Luego presione .
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En MS Excel 2007 Esta versión dispone de los grupos , y de la ficha , para formatos de texto y número así como para alineamiento tanto horizontal como vertical.
Formato condicional
Así como podemos asignarle diversos tipos de formato a una celda o rango de celdas, así también podemos definir un determinado formato para una o más celdas pero de manera condicional.
¿Y qué uso tiene esta forma de dar formato?
Por ejemplo, si en una lista de aspirantes a 5 puestos de trabajo, quisiéramos resaltar a los que aprobaron las calificaciones, usando podríamos poner en azul las notas de los probados y en rojo a los reprobados.
Ahora suponga que en la columna C tenemos las fechas de inicio de un conjunto de proyectos y en la columna E las fechas de finalización de los mismos. Usando podríamos saber los proyectos que terminan en una fecha, o podríamos saber los proyectos que terminan en un año y cuyo costo sea menor que una cantidad.
Podríamos también usar para agrupar una lista ordenada que satisface determinados rangos.
Ejemplo 04
Abra el archivo Ejemplo 02.xls. Calcule el promedio sumando todas las notas y dividiendo entre 4. Que el promedio tenga dos decimales. Luego use Formato condicional para hacer que
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a) Nota 1, Nota 2, Nota 3 y Nota 4 estén en azul las aprobadas y rojo las desaprobadas. b) El promedio esté en rojo las notas por debajo de 11.00; en verde las notas mayores o iguales a 11.00 pero menores que 15 y, en azul, de tamaño 12 y subrayadas, las notas mayores o iguales a 15. Grabe el archivo como REj02.xlsx.
Solución
En MS Excel 2003
Primero calcule el promedio. En F6 digite: = (B6+C6+D6+E6)/4. Luego copie. Seleccione el rango de los promedios: F6:F33. Use - - y haga que tenga 2 decimales. a) Use el siguiente procedimiento: -
Seleccione el rango B6:E33
-
Use la secuencia: -
-
Complete la ventana de diálogo según se muestra en la figura 1.17 Despliegue la lista y seleccione “menor que”
Digite 11, luego clic en Formato Clic en Agregar para condición2, seleccione “mayor o igual que”, digite 11,luego Aceptar.
Figura 1.17
-
El primer cuadro de lista debe estar en ; en el segundo se debe seleccionar “Menor que”; digitar 11 (para los desaprobados)
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-
Haga clic en para definir el color que debe tener las notas menores que 11. En este caso seleccione rojo en ; luego clic en .
-
Como debemos poner en azul las notas aprobadas, debemos definir una segunda condición. Por ello haga clic en .
-
Seleccione “Mayor o igual a”; digite 11; haga clic en ; seleccione el color azul; haga clic en
-
Haga clic en
b) Procedimiento: -
Seleccione el rango F6:F33
-
Use la secuencia: -
-
Seleccione ; digite 11; clic en ; Rojo;
-
Clic en .
-
Seleccione ; Digite primer valor, 11; el segundo valor, 14. Clic en ; seleccione color Verde; clic en .
-
Clic en (Sólo se puede definir 3 condiciones)
-
Seleccione “Mayor o igual que”; clic en ; seleccione Azul y y elija , luego
-
Clic en
En MS Excel 2007
En esta versión el Formato condicional es mucho más completo.
a) -
Calculamos la columna Promedio
-
Seleccionamos el rango B6:E33.
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-
Hacemos clic en del grupo de la ficha para desplegar la diversidad de opciones de formato condicional.
-
Haremos clic en -
-
En el cuadro que se emite ingresamos 10 (para los aprobados>.
-
En el cuadro desplegamos la lista y seleccionamos
-
En la siguiente ventana seleccionamos Rojo y hacemos clic en
-
Luego de hacer clic en volvemos a usar el formato condicional pero ahora elegimos digitando 11 y seleccionando Color: Rojo en la opción .
b) -
Seleccionamos el rango F6:F33
-
En formato condicional, seleccionamos la opción
-
En el recuadro ingresamos 11 y 14.
-
En seleccionamos y en elegimos para luego hacer clic en
-
A continuación elegimos de y seleccionamos el color Azul
-
Finalmente seleccionamos de la misma opción y elegimos el color rojo. En todos los casos usamos Negrita a fin de resaltar el color de fuente
Ejemplo 05
Abra el archivo Formato condicional.xls y resuelva lo que allí se pide usando el procedimiento que se indica tanto en MS Excel 2003 como en el MS Excel 2007. Guarde la modificación al archivo.
Ejercicio 03
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Abra el archivo Ejemplo 02.xls y vaya a la hoja cuya etiqueta es “Hoja2”. Tomando en cuenta la columna de duración, haga que se liste en rojo los proyectos que tienen a) una duración mayor de un año b) un costo entre $ 100,000 y $ 400,000 c) costo menor que $ 100,000; en rojo; entre $ 100,000 y $ 400,000, azul y verde los proyectos que tienen un costo mayor o igual a $ 400,000. Grabe el libro como REj02.xls
Ejercicio 04
Abra el archivo Ejemplo 03.xls. Resuelva cada una de las preguntas que se plantean en la hoja llamada Primera. Grabe el archivo como REj03.xls.
Solución
Pregunta 01: En MS Excel 2003 -
Use la secuencia: - -
-
Desactive la opción
-
En MS Excel 2007 -
Hacer clic en la ficha
-
En el grupo hacer clic en
Las siguientes preguntas serán resueltas usando MS Excel 2007
Pregunta 02: Usando la secuencia anterior, desactive
Pregunta 03 -
En la celda A3 digite Ene y presione
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-
Ahora copie usando el ratón y arrastrando hasta Diciembre que debe ser Dic.
Pregunta 04 -
En la celda C30, digite Precio; presione + ; luego digite Unitario.
-
Haga lo mismo con Monto de; presione +; luego digite la Venta.
-
Seleccione A30:D30; clic en el tarro de pintura; seleccione el color Verde limay que el texto esté resaltado; es decir, en negrita.
-
Haga que cada una de estas celdas tenga Borde de cuadro grueso.
-
Seleccione el rango A31:A37; elija el color Azul pálido; Borde de cuadro grueso.
-
Repita lo mismo con las columnas B, C y D, del mismo rango; use color Canela para unas de las columnas y Borde de cuadro grueso.
Pregunta 05 -
Haga clic en - ; luego seleccione y elija la que corresponde; luego píntelo de amarillo.
Pregunta 06 -
Seleccione el rango D31:D37; presione la tecla
-
En D31 digite: =B31*C31
-
Copie esta fórmula hacia el rango D32:D37
Pregunta 07 -
Seleccione el rango D31:D37; copie por el método que sepa o use +
-
Presione el botón derecho del ratón; seleccione
-
Seleccione de la lista ; luego haga clic en
Pregunta 08
Estando en la hoja Primera, posicione el puntero del ratón en la división de las etiquetas de columna A y B. Cuando logre convertir el puntero en
presione
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el botón izquierdo y observe el ancho de la columna. Debe obtener 30.0; en el caso de la columna A de la hoja Segunda, obtendrá 10.71.
Para darle el ancho pedido, arrastre hacia la izquierda o derecha hasta obtener la medida indicada.
Seleccione el rango A20:D27 de la hoja Primera; presione + para copiar. Luego haga clic en la celda A5 de la hoja Segunda y use + para pegar.
Funciones básicas
Algunas funciones matemáticas =Entero(A2)
Devuelve la parte entera de A2, truncando la parte decimal (si tuviera).
=Redondear(A2,n)
Devuelve el valor de A2 con “n” decimales redondeando al inmediato anterior o siguiente.
=Residuo(A2,B2)
Devuelve el residuo de dividir A2 por B2.
=Raíz(A2)
Devuelve la raíz cuadrada de A2
=Potencia(A2,p)
Devuelve como resultado el valor del contenido en A2, elevado a “p”. =Potencia (64,1/3) devuelve la raíz cúbica de 64; esto es, 4.
=Pi()
Devuelve el valor de : 3.14159265358979
=Exp(-B2)
Devuelve como resultado de elevar a –B2 el número “e”.
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=Log10(A2)
Devuelve el logaritmo decimal de A2
=Abs(A2)
Devuelve el valor absoluto de A2
=Aleatorio()
Devuelve un número aleatorio entre 0 y 1.
=Aleatorio. Entre(a,b)
Devuelve un número aleatorio entero entre a y b.
Observación: En el libro Formato condicional.xls, hemos usado esta función para ver el efecto
=Fact(B8)
Devuelve el factorial de B2. En este caso 5! = 120
=Combinat(B2,B8)
Devuelve el número de combinaciones de B2 tomados de B8 en B8
=MMult(MatrizA,MatrizB Devuelve el producto matricial de sus argumentos ,…)
=MDeterm(Matriz)
Devuelve el determinante de una matriz cuadrada
=MInversa(MatrizA)
Devuelve la inversa de la MatrizA
=Suma(Dato1,Dato2,…)
Devuelve la suma de todos los argumentos
=Subtotales(n,d1,d2,…)
Devuelve el promedio, suma, producto, de d1,d2,… según el valor de “n”
El siguiente segmento de hoja contiene el uso de algunas de estas funciones:
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Ejemplo 06
En el siguiente segmento de hoja se dan los datos de dos vectores y dos matrices.
Figura 1.18
Vamos a realizar algunas operaciones con los vectores y matrices Antes de realizar algún tipo de operación, vamos a darle nombre de rango a los vectores y matrices.
Que el rango B4:B9 se llame A. El rango C4:C9 se debe llame B Que el rango F4:I8 se llame P. Que el rango L4:O7 se llame Q y C12:H12, Bt.
Nota importante: Para ejecutar una operación matricial debe presionar +SHIFT>+ En cada caso seleccionar el rango de celdas que recibirá el resultado de la operación.
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=A*B
=MMULT(A,Bt)
=P*Q
=MInversa(Q)
Figura 1.19
Funciones matemáticas de uso frecuente en la Estadística
Además de casi todas las funciones vistas anteriormente usados en todo tipo de aplicaciones, el Excel dispone de otras funciones matemáticas de intensa aplicación en el campo de la Estadística. A continuación describiremos su sintaxis, una breve explicación y un ejemplo de aplicación de algunas de estas funciones matemáticas.
Función SumaProducto Su sintaxis: =SumaProducto(Arg1, Arg2,…, Argk)
Devuelve la suma de los productos de todos los argumentos. Si los argumentos fueran matrices, multiplica elemento por elemento y luego devuelve la suma de ellos.
Ejemplo 07
a) Aplicado a celdas o datos constantes
El uso de la fórmula: =SumaProducto(4,5,3,2) da como resultado 120 Si A2 = 5; A3 = -2; A4 = 4; A5 = 3; la fórmula: =SumaProducto(A2,A3,A4,A5) devuelve como resultado: -120
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Tomemos en cuenta el segmento de hoja que se muestra en la figura 18.
b) Función SumaProducto aplicado a dos vectores
Si en la celda B24 se digita la fórmula (Recuerde que A y B son nombres de rango) =SumaProducto(A, B)
Se obtiene como resultado: 60
c) En la celda Q24 digite la fórmula (aquí también A es nombre del rango (matriz): =SumaProducto (MInversa (Q)),Q) ¿qué obtiene?
Se obtiene como respuesta: -3.337912088
Ejemplo 08
Dado el siguiente segmento de hoja. Haga que el rango de datos del cuadro de
Figura 1.20
créditos otorgados se llame Préstamo y el cuadro de las tasas, se llame Tasa. Use matrices para responder a las siguientes preguntas:
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¿Cómo puede obtener el cuadro “Ingreso mensual por sector”? Respuesta: Seleccione el rango y digite: =Préstamo*Tasa ¿Cómo puede obtener el “ingreso total recaudado al final del año? Respuesta: Haga clic en N23 y digite: =SumaProducto (Préstamo, Tasa)
Función Sumar.Si
Su sintaxis: =Sumar.Si (RDatos, Cond, SCol)
Devuelve la suma de todos aquellos valores ubicados en las filas de la columna SCol, que satisfacen la condición especificada en el argumento Cond, que actúa sobre la primera columna de RDatos.
Ejemplo 09
Dado el segmento de hoja que se muestra en la figura 1.21,
Figura 1.21
Figura 1.22
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La fórmula que permite obtener la cantidad de “Equipo sonido” vendido durante los 15 días es: =Sumar.Si(B2:B11,F3,C2:C11). Esto fórmula se ha digitado en G3. El primer argumento (columna B) contiene los nombres de los productos. El segundo argumento (celda F3) contiene el nombre: “Equipo sonido”. Este es el criterio.
El tercer argumento (columna C) contiene los valores que se deben sumar si el valor del criterio se encuentra en el rango de los datos. En G3 debe tenerse como resultado: 13.
Observe que el rango de datos (primer argumento) usado para calcular los montos de venta por cada día de la semana, incluye otras columna que no intervienen en la suma.
Nota 1 En cuanto al criterio, se pudo haber digitado “Equipo sonido” en lugar de F3. Pero ello no habría servido para copiar la fórmula hacia abajo.
Nota 2 La primera columna del rango de datos que constituye el primer argumento, debe contener valores sobre los que actúa el criterio.
Nota 3 Si el rango de datos (argumento 1) contiene a los datos que se van a sumar, no será necesario el uso del tercer argumento.
Nota curiosa: Puedo usar la función suma con mayores recursos (o potencia) que la función Sumar. si(…)? La función Sumar.si, le permite sumar las celdas un rango que cumple con alguna condición expresada en la misma columna o por lo general en otra columna. Como vimos en la figura 21, podemos sumar los montos de las ventas de los lunes
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solamente, de los jueves, etc.; del mismo modo podemos sumar las ventas de un determinado tipo de artículo; pero cómo podemos sumar las ventas del artículo: Equipo de sonido, pero sólo de los jueves? Aquí está la solución: =Suma((A2:A11=”Jueves”)*(B2:B11=”Equipo de sonido”)*D2:D11) Qué le parece? Ahora veamos el siguiente problema:
Figura 1.23
¿Cómo obtener el total de las ventas del lunes, correspondiente a la tienda Mega Plaza?. Supongamos que: El rango
O2:O12 se llama Tienda; P2:P12 se llama Día Q2:Q12 se llama Zona R2:R12 se llama Total
Respuesta: =Suma((Tienda=”Mega Plaza”)*(Dia=”Lunes”)*Total
Y cómo tendría que ser la fórmula si deseamos copiar para tener los otros totales? Respuesta: =Suma((Tienda=$T3)*(Dia=U$2)*Total)
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Función Sumar.Si.Conjunto
No puede ser !!!
Han creado otra función !!!. Ya no sirve lo que mi pobre cerebro hizo con la función Suma.
En efecto: Mediante la función Sumar.Si.Conjunto podemos realizar operaciones de suma condicional mucho más complejas, como en el caso descrito líneas arriba con la función suma, solo que ahora de una forma mucho más elegante y sencilla de entender y usar. Su sintaxis: =Sumar.Si.Conjunto(SCol,RDatos1,Cond1,RDatos2,Cond2,…)
En esta sintaxis se puede apreciar que la secuencia del Sumar.Si ha cambiado. Ahora la columna que se debe usar para sumar está como primer argumento. Y los siguientes argumentos se usan por pares: El rango de datos que contiene uno o más elementos que coinciden con el valor del criterio dado (RDatos1) y el criterio mismo (Cond1). Esta pareja se repite una o más veces, según lo que se requiera.
Nota: Esta y otras similares pero que están en las funciones estadísticas, pertenecen al MS Excel 2007.
Ejemplo 10
Abra el archivo Estadist Ventas.xlsx. Como puede apreciar, en la hoja Semana1 se dispone de las ventas de una semana, correspondientes a cinco productos, realizadas en varias tiendas, de una cierta zona, de un distrito y en un día
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determinado de la semana. Se desea obtener las estadísticas que se muestran en la hoja llamada Estadísticas.
a) Complete el primer cuadro de la hoja Estadísticas b) Complete el tercer cuadro de la misma hoja
Solución: Antes de resolver las preguntas vamos a darle nombre de rango a cada una de las columnas de los datos de la hoja Semana1. Para ello seleccione todos los datos; es decir, el rango A2:J597. A continuación, use la siguiente secuencia para asignar los nombres de la primera fila a cada una de las columnas de datos: . En la ventana que sale asegúrese que solo quede activada y luego haga clic en . Verifique. a) En la celda B3 de la hoja Estadísticas, debemos obtener la venta total realizadas en la tienda “Mega Plaza” correspondiente a la Zona “Este”. La primera condición es Tienda = “Mega Plaza” y la segunda Zona = “Este”. En consecuencia la función a ser digitada en B3 es: =SUMAR.SI.CONJUNTO(Total,Tienda,$A3,Zona,B$2) A continuación copie hacia abajo y a la derecha. Se ha usado $A3 de forma que cuando se copie a las otras columnas, se mantenga fija la columna A; del mismo modo, cuando se copie hacia abajo, la fila 2 debe permanecer fija, por ello se tiene la celda B$2. Podrá apreciar que sólo hay ventas en “Lago Plaza”, las otras son cero.
b) En este caso se trata de sumar la columna Total, tomando en cuenta tres condiciones: En B29 se debe digitar:
=SUMAR.SI.CONJUNTO(Total,Dia,$A29,Zona,B$28,Distrito,B$27)
Observación:
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Como puede apreciar, en B27, C27, D27 y E27 hemos digitado “Lima”, pero sólo se ve el contenido de C27. Habrá otra forma de resolver este problema? Lo dejamos para Ud.
Ejercicio 05:
Complete el segundo cuadro de la hoja Estadísticas.
Nota: Las siguientes sumatorias las veremos mediante ejemplos más adelante.
X Y n
Función Suma.Cuadrados
i 1
2
2
i
i
... Z i
2
Sintaxis: =Suma.Cuadrados(Dato1,Dato2,…)
Devuelve la suma de los cuadrados de cada uno de los argumentos. Estos pueden ser valores, celdas con valores numéricos o matrices.
X Y n
Función SumaX2masY2
i 1
2
2
i
i
Sintaxis: =SumaX2masY2(Dato1,Dato2)
Devuelve la suma de los cuadrados de los dos argumentos. Esta función se diferencia de la anterior en que sólo tiene dos argumentos. Los argumentos pueden ser valores elementales o arreglos (matrices).
X Y n
Función SumaX2menosY2
i 1
2
2
i
i
Sintaxis: =SumaX2menosY2(Dato1,Dato2)
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Devuelve la suma de la diferencia de los cuadrados de los dos argumentos. Estos pueden ser valores elementales o arreglos (matrices).
X Y n
Función SumaXmenosY2
i 1
2
i
i
Sintaxis: =SumaXmenosY2(
Devuelve la suma del cuadrado de la diferencia de X e Y. Estos pueden ser valores elementales o arreglos (matrices).
En la siguiente figura se dispone de un ejemplo de estas funciones
Figura 1. 24
Previamente definir los rangos A2:A9 como X, B2:B9 como Y, C2:C9 como Z.
Algunas funciones Estadísticas básicas
Nota: Todas las funciones que usemos en las fórmulas, serán empleadas sin el auxilio del Asistente de funciones. Las ingresaremos directamente. En el ingreso de los argumentos de las funciones obtendremos la sintaxis de dicha función.
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El Excel dispone de muchas funciones estadísticas, algunas de las cuales se muestran en la siguiente tabla. Además de éstas y de las que no las mencionamos, el Excel dispone de las llamadas herramientas estadísticas que caen en el terreno del Análisis de Datos. Esta es una opción que se encuentra en la ficha .
Algunas funciones Estadísticas de uso frecuente o de uso general =Contar(D1,D2,…)
Devuelve el número de celdas con valores numéricos en el rango. Si hay texto no se cuenta.
=ContarA(D1,D2,…)
Devuelve el número de celdas no vacías en el rango
=Contar.Blanco(D1,D2,…) Permite contar el número de celdas en blanco en el rango
=Contar.Si(Rango,Criterio) Devuelve el número de valores en Rango que cumplen con Criterio =Var(Dato1,Dato2,…)
Devuelve la varianza de los valores incluidos en el rango o lista
=DesvEst(Dato1)
Devuelve la desviación estándar del rango. Es la raíz cuadrada de la varianza
=Max(Dato1,Dato2,…)
Devuelve el valor máximo del conjunto de los datos o de la lista
=Min(Dato1,Dato2,…)
Devuelve el valor mínimo del conjunto de los datos o de la lista
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Observación: Hemos limitado esta lista a funciones de uso común. Estas funciones y las herramientas de Análisis de Datos serán extensivamente desarrolladas en el resto del libro. Pero desarrollemos cuatro de estas funciones, de la misma forma que desarrollamos la función Sumar.si y Sumar.si.conjunto.
Función Contar.si
Devuelve el número de elementos de un rango de datos que coinciden con un determinado criterio. Su sintaxis: =Contar.si(RangoDatos,Criterio)
El primer argumento hace referencia a un rango de datos, algunos de cuyos elementos contienen el valor mostrado en el segundo argumento. Por ejemplo: =Contar.si(RangoDia,”Lunes”). Si RangoDia es un rango de celdas que contienen los nombres de los días de semana, esta función devuelve el número de veces que la palabra “Lunes” se repite en dicho rango.
Función Contar.Si.Conjunto
Esta función devuelve el número de elementos en los que rango de datos (primer argumento) son iguales al valor indicado por el criterio (segundo argumento) , el rango de datos del tercer argumento coinciden con el valor del criterio del cuarto argumento, etc. Su Sintaxis: =Contar.Si.Conjunto(Rango1,Crit1, Rango2,Crit2, …)
Observe que los rangos y criterios van en pareja; es decir, el valor de cada criterio debe estar contenido o no, en el rango respectivo. Según la sintaxis de la función, se puede usar para un número indeterminado de condiciones de conteo condicional.
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Función Promedio.Si
A diferencia de la función Sumar.si o Contar.si, esta función viene a ser el cociente entre Sumar.si dividido por Contar.si.
Su sintaxis: =Promedio.Si(RangoDatos,Criterio,RangoPromedio)
Devuelve el promedio de todos los datos de RangoPromedio para todos los casos en los cuales RangoDatos contiene el valor del criterio dado en el segundo argumento.
Observe que el rango a ser usado para el promedio está en el tercer argumento.
Función Promedio.Si.Conjunto
Esta función devuelve el promedio de los datos contenidos en el primer argumento, en los que, los valores de cada criterio se encuentran en su correspondiente del rango de datos. Su sintaxis: =Promedio.Si.Conjunto(RangoProm,Rango1,Crit1,Rango2,Crit2,…)
Ejemplo 11
En el siguiente segmento de hoja, Figura 1.25 se muestran los datos y algunas tablas:
a) Completar la primera tabla: Puesto que se trata de contar el número de ventas de la tienda Lago Plaza, debemos usar la función Contar.Si usando como rango de datos, $J$4:$J$23 y como valor de criterio, la celda P6. En consecuencia la fórmula a ser digitada en Q6 es: =Contar.Si($J$4:$J$23,P6). Compruebe que hay 4 ventas.
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b) Completar la segunda tabla: En este caso, en Q11, se trata de saber cuántas ventas se realizaron en la tienda Plaza Norte, correspondiente a la zona Norte. En este caso la fórmula es: =CONTAR.SI.CONJUNTO($J$4:$J$23,$P11,$L$4:$L$23,Q$10) Compruebe que los resultados son diferentes a lo que se muestra.
Figura 1.25
c) Completar la tercera tabla: Ahora se trata de usar la función Promedio.Si. La fórmula a ser digitada en Q18 es: =PROMEDIO.SI($K$4:$K$23,P$18,N4:N23)
d) Completar la última tabla:
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Según la tabla, en la celda Q24 debemos hallar el promedio de todas las ventas realizadas el día jueves en el Distrito de San Borja. Esto se logra con la fórmula:
=PROMEDIO.SI.CONJUNTO(N4:N23,$K$4:$K$23,$P24,$M$4:$M$23,Q$23)
Funciones lógicas
Función Si
Sintaxis: =Si(Condición, Expr_SiEs_Verdadera, Exp._SiEs_Falsa)
Devuelve el resultado de ejecutar la expresión dada en el segundo argumento si la evaluación de Condición resulta verdadera; en caso contrario, devuelve el resultado de ejecutar la expresión que se da en el tercer argumento.
Esta función puede ser tan compleja dependiendo del problema.
Cuando sea posible, use la función Contar.si, Sumar.si, etc. en lugar de usar la función Si.
Ejemplo 12
=Si(14>12,12*5+8,12+5*8)
Devuelve 68 ya que 14 es mayor que 12.
=Si(14A6,A7*10,A7/10)
En este caso devuelve 120
=Si(A510.5,”Aprobado”,”Desaprobado”)
Devuelve Aprobado
Función Y Sintaxis: =Y(Condicion1,Condicion2,…)
Devuelve VERDADERO si todas las condiciones son verdaderas y devuelve FALSO si una de ellas o más, es falsa.
Ejemplo 14
Suponga que A5 = 15; A6 = 08, A7 = 12, la función
=Y(A5>10,A7>10)
Devuelve VERDADERO ya que A5 y A7 son mayores a 10
=Y(A5>10,A6>10,A7>10)
Devuelve FALSO ya que A6 no es mayor que 10
Función O Sintaxis: =O(Condicion1,Condicion2,…)
Devuelve VERDADERO si por lo menos una de las condiciones que se compara resulta VERDADERO. Esta función devuelve FALSO sólo cuando todas ellas resultan FALSAS.
Ejemplo 15
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Suponga que A5 = 15; A6 = 08, A7 = 12, la función =O(A5>10,A6>10,A7>10)
Devuelve VERDADERO.
Ejemplo 16
Dado el siguiente segmento de hoja, mostrado en la figura 1.26, la nota final (columna F), se debe obtener de la siguiente manera: Si el promedio de las tres primeras notas es aprobatoria, este promedio es la nota final; en caso contrario, el promedio final se debe obtener tomando en cuenta la cuarta nota pero eliminando la nota más baja. Tomar en cuenta que el promedio debe considerar el medio punto a favor del alumno.
Figura 1.26
Funciones de Texto
Estas funciones tienen efecto sobre una cadena de caracteres sea para convertirlas en mayúscula, minúscula, extraer una parte de ella, concatenar una con otra, etc.
A continuación desarrollaremos algunas funciones más conocidas y de uso común
Funciones de texto más conocidas =Mayusc(Texto)
Devuelve a Texto en mayúscula
=Minusc(Texto)
Devuelve a Texto en minúscula
=NomPropio(Texto)
Devuelve Texto con el primer carácter de cada palabra en mayúscula
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Funciones de texto más conocidas =Largo(Texto)
Calcula el número de caracteres de Texto
=Concatenar(Texto1,Texto2,….)
Concatena Texto1 con Texto2, etc.
=Izquierda(Texto,n)
Extrae los primeros n caracteres de Texto
=Derecha(Texto,n)
Extrae últimos n caracteres de Texto
=Extraer(Texto,Inic,n)
Extrae n caracteres de Texto desde Inic
=Encontrar(Txt_Busc,En_txto,Iniciar) Devuelve la posición a partir de la cual se encuentra Txt_busc en En_Txto.
=Espacios(Texto)
Elimina espacios en blanco y separa con un espacio una palabra de otra en Texto.
=Limpiar(Texto)
Quita todos los caracteres no imprimibles
Ejemplo 17
Figura 1.27
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En el siguiente segmento de hoja se muestra el uso de algunas de estas funciones. Las funciones que se han usado en cada caso son las siguientes:
En G3: =CONCATENAR(A3," ",B3,", ",C3)
En G7: =IZQUIERDA(A7,ENCONTRAR(" ",A7)-1)
En G11: =ESPACIOS(A11) Funciones de búsqueda en tablas
Función BuscarV
Sintaxis: =BuscarV(Dato_Buscado,Rango_Tabla,NCol,Tipo)
Devuelve el valor ubicado en la columna NCol, cuya fila contiene el dato que se busca en la tabla Rango_Tabla. Tipo puede ser VERDADERO si la tabla está ordenada o FALSO si no lo está. Esto se puede entender también que con FALSO o 0 se pide una coincidencia exacta y con VERDADERO o 1, una coincidencia aproximada.
Función BuscarH
Sintaxis: =BuscarH(Dato_Buscado,Rango_Tabla,NFila,Tipo)
Devuelve el valor ubicado en la Fila NFila, cuya columna contiene el dato que se busca en la tabla Rango_Tabla. Tipo puede ser VERDADERO si la tabla está ordenada o FALSO si no lo está. Esto se puede entender también que con FALSO o 0 se pide una coincidencia exacta y con VERDADERO o 1, una coincidencia aproximada.
Ejemplo 18
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El siguiente segmento de hoja, Figura 1.28, contiene un ejemplo de uso de estas funciones
Antes de calcular las celdas en blanco, démosle nombre a cada tabla: Rango A2:D15 se llamará TabProd Rango G2:J3 se llamará TabDes
Para obtener el precio del primer producto: Digitar en B19: =BuscarV(A19,TabProd,2,0)
Esto devuelve 200
Para obtener el Monto del descuento: Primero extraemos el Tipo de descuento de la tabla TabProd. A continuación, usamos este resultado para buscarlo en la segunda tabla TabDes; cuando lo encuentre, extrae de la segunda fila el porcentaje del descuento. Este porcentaje multiplicado por el Precio, constituye el Monto del descuento. Digitar en C19: =BuscarH(BuscarV(A19,TabProd,4,0),TabDes,2,0)*B19
Figura 1.28
El Monto Neto es: =B19-C19
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Copie el rango B19:D19 para los otros productos, hacia el rango B20:D21.
Funciones de Fecha y Hora
La siguiente lista muestra algunas de las funciones relacionadas con fechas y hora.
Funciones de fecha y hora más utilizadas =Hoy()
=Ahora()
=Dia(Número_serie) =Mes(Número_serie)
=Año(Número_serie) Figura 1.29
=Fecha(Dia,Mes,Año)
=DiaSem(Número_serie,Tipo)
=Dias.Lab(F_Inicial,F_Final,Festivos)
=Dias360(F_Inicial,F_Final,Método)
Ejemplo 19
Para poder usar las fórmulas se debe dar nombre de rango a las siguientes celdas:
B2: Nombre:
FechaHoy
B4:
FechaHoraHoy
B6:
Dia
B7:
Mes
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B8:
Año
Ejemplo 20
Abra el archivo Fechas.xlsx y estudie y analice el manejo de diversas funciones de fecha que se han utilizado en la hoja curiosidades. Noten cómo se puede saber el día que se debe volver de un descanso, cómo se manejan los feriados y del mismo modo, la forma de hacer el seguimiento de los días de descanso.
Ejercicio 06
Ingrese en la celda A1 de una hoja vacía la función =Ahora(). Luego complete la siguiente tabla:
Celda
Se desea visualizar
A2
Año (con 4 dígitos)
A3
Mes (el nombre del mes)
A4
Día (el nombre del día de la semana)
A5
Hora
A6
Minutos
Fórmula o función
Valor
Funciones financieras
De la gran cantidad de funciones financieras que dispone el Excel, la siguiente lista presenta algunas de las más comunes.
El archivo Ejemplo de funciones financieras.xlsx contiene algunas funciones que se describen en las siguientes líneas.
Función Pago
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Sintaxis: =Pago(Tasa,Nper,Va,[Vf],Modo)
Calcula el monto que se debe pagar en cada período por un préstamo realizado a una Tasa (en períodos), por el número de períodos Nper, al inicio del período (Modo = 0) o al final del período (Modo = 1).
El valor actual Va representa el monto del préstamo. El valor futuro es el saldo que queda al final de los pagos amortizados. Lo usual es que si se amortiza una deuda, el pago se completa en el último período y por tanto Vf = 0.
Función Tasa
Sintaxis: =Tasa(Nper,Pago,Va,[Vf],Modo)
Calcula la tasa que se debe pagar por período por un préstamo (Va), que se amortiza mensualmente (Pago) al inicio o final del período.
Función NPer
Sintaxis: =NPer(Tasa,Pago,Va,[Vf],Modo)
Devuelve el número de pagos periódicos que se debe efectuar por un préstamo (Va) a una tasa (Tasa) periódica.
Función Va
Sintaxis: =Va(Tasa,Nper,Pago,[Vf],Modo)
Devuelve el valor actual de una inversión o préstamo. Es igual a la suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futuro, durante los NPer períodos.
El siguiente segmento de hoja, Figura 1.30, muestra el uso de estas funciones:
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Nota: Los archivos: Funciones financieras.doc y Funciones financieras.pdf contienen abundante información respecto de la mayoría de las funciones financieras contenidas en el MS Excel. Sugerimos que lo revisen.
Figura 1.30
Ejercicio 07
Abra el archivo Funciones de búsqueda.xlsx y complete el cuadro de la hoja Ejemplo 1 usando los datos de la hoja Tablas.
Ejercicio 08
Usando el mismo archivo complete la tabla que se muestra en la hoja Ejemplo 2 usando los datos de la hoja BdPostulantes. Primero resuelva para la lista de los códigos que aparecen en la columna J y luego modifique sus fórmulas a fin de que la consulta se haga para todos los postulantes.
10.6
ALGUNAS HERRAMIENTAS Y PROCEDIMIENTOS DEL EXCEL
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MS Excel dispone de una gran variedad de procedimientos y herramientas que, complementados con las funciones, potencian la utilidad del mismo.
A continuación desarrollaremos de manera simplificada, el procedimiento de Ordenar y Filtrar datos así como diseñar Informes de tablas dinámicos. La herramienta Análisis de Datos será desarrollado extensivamente más adelante.
¿Qué es una base de datos?
Una base de datos puede ser entendida de manera simple como un conjunto de datos debidamente organizados. El hecho que estén “debidamente organizados” implica que poseen una estructura. Esta estructura puede ser del tipo jerárquica o relacional.
Una hoja electrónica como el Excel utiliza arquitectura de bases de datos del tipo relacional. Desde la óptica del Excel, un conjunto de datos, contenidos en una hoja constituye una base de datos, si cada una de sus filas representa a un elemento (registro) de la base de datos y cada una de sus columnas (campos) describe a dicho registro.
En resumen, las filas identifican a los registros y las columnas constituyen los campos del registro.
En el siguiente segmento de hoja se muestra una parte de una base de datos.
Figura 1.31
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Este segmento muestra una parte de una gran base de datos de empleado en la que cada fila identifica a un empleado y cada columna describelos atributos de dicho empleado. Cada campotiene nombre o cabecera de columna. En la siguiente figura 1.32 se muestra dos tablas relacionadas por el código de empleado de tal forma que se puede ingresar a una de ellas y extraer datos de un determinado empleado, mediante la clave de conexión, que en MS Access se denomina clave principal.
Figura 1.32
Desde el punto de vista del MS Access y otros gestores de datos, una base de datos es un repositorio de una o más tablas, relaciones, informes, formularios, etc. La versión 2007 del Excel utiliza este concepto de base de datos y le da el concepto de tabla a lo que en las versiones anteriores lo usaba como base de datos.
Si tuviéramos una tabla de postulantes a la Universidad de San Marcos o, si por otro lado se tratara de tabla de los clientes de un banco, estaríamos pensando en una gran masa de datos. En ese caso la recuperación de datos y las consultas representan un gran problema. De allí la importancia del buen tratamiento que debemos darle a los datos.
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Por lo general, los dos grandes problemas que se tienen con una base de datos o simplemente tabla, son las operaciones debúsqueda y consulta. Buscamos un registro que cumpla con ciertos criterios, con la intención de extraer y copiar aquellos que cumplen dichos criterios; del mismo modo, consultamos por un determinado registro con la idea de informarnos. Por estas razones es importante el ordenamiento de los datos.
A continuación usaremos dos procedimientos del Excel: Ordenar y Filtrar datos.
Ordenar datos usando MS Excel 2003
Abra el archivo Relacion de Personal.xls Observe que cada fila constituye un registro el cual contiene los datos de un empleado, cada uno de los cuales es mostrado en una columna.
a) Se desea ordenar por Departamento. Use el siguiente procedimiento: o Haga clic al interior de los datos o Use: - . o Complete la ventana según se muestra en la figura 1.33. Luego clic en
Figura 1.33
b) Ahora deseamos ordenarlo por Departamento, Sección y luego por Nombres
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Complete los datos según se muestra en la figura 1.34.
Figura1. 34
Limitación de la versión 2003:
Según se muestra la imagen de la figura 1.34, en el MS Excel 2003 sólo podemos ordenar nuestros datos hasta por tres niveles o categorías. Como veremos a continuación, en la versión MS Excel 2007 esta limitación no existe.
Ordenar datos usando MS Excel 2007
-
Abra el archivo Relacion de Personal.xls
-
Seleccionamos todo el rango de datos (En esta versión es suficiente dejar el cursor al interior de los datos).
-
Hacemos clic en del grupo , de la ficha
-
A continuación hacemos clic en , con lo cual se obtiene la siguiente ventana:
Figura 1.35
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-
En seleccionar Departamento y dejar en A a Z para que ordene alfabéticamente de A a Z
Para resolver la parte b): Haga clic en luego seleccione Seccion de la lista de . Vuelva a y seleccione Apellidos. Finalmente haga clic en
Ejercicio 09
Abra el archivo Balance mal consolidado.xls. Podemos apreciar que los datos que se tienen en la hoja Consolidado, no se encuentran ordenados por meses: la columna B contiene el balance de Abril, cuando debiera contener el balance de Enero. Usando el comando , ordene esta hoja de manera adecuada.
Sugerencia para MS Excel 2007:
Primero seleccione el rango B3:M43. Al ingresar a la opción use para cambiar de columna a fila (De izquierda a derecha) como Opciones de ordenamiento y luego despliegue la lista de y seleccione la opción ; finalmente seleccione la opción que se adecúe a los datos.
Filtrar registros
El Filtro automático sólo lo explicaremos debido a su sencillez.
Este procedimiento permite visualizar todos los registros que cumplen ciertos criterios al cual se conoce como filtrado de registros. El filtrado lo hace en la misma tabla, ocultando los que no cumplen con los criterios.
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En MS Excel 2003
Usando el mismo archivo, Relación de Personal.xls, use la secuencia:
- - A continuación tendrá un conjunto de botones al costado de los nombres de campos, como se muestra en la figura 1.36.
Figura 1.36
-
Haga clic en la fecha del campo , de la lista, seleccione Mercado. ¿Qué resultado obtiene?
-
Para restablecer todos los registros se debe usar: - - . Esto permite deshacer el filtrado y volver a utilizar todos los registros.
-
Si ahora se desea tener a todos los empleados de Diseño y que pertenecen a la sección Fax, ¿qué debemos hacer? En la lista de seleccione Diseño; luego despliegue la lista de y seleccione Fax.
En MS Excel 2007
Dejando el cursor al interior de los datos, haga clic en y luego .
También puede acceder a filtro automático usando la secuencia: -
Ejercicio10
Usando el mismo archivo, resuelva las siguientes cuestiones: a) Todos los empleados cuyo sueldo anual es mayor a 30,000 y menor que 80,000
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b) Todos los empleados del Departamento de Administración, cuyo sueldo sea mayor que 30,000 y menor que 80,000 c) Todos los empleados que ingresaron después de 1990 d) Todos los empleados que ingresaron a partir del 10 de Octubre de 1985, pertenecen al departamento de administración o Ingeniería, pertenecen a la sección Copiadoras y su sueldo se encuentra por debajo de 30,000 o por encima de 90,000.
Ejemplo de filtro avanzado
En el caso de la opción de debemos tomar en cuenta lo siguiente: -
Dónde se encuentran los datos a ser filtrados: Esto constituye el Rango de datos
-
Dónde se encuentran los valores a ser tomado como criterios: Rango de criterios
-
Dónde queremos que sean emitidos los resultados: Rango de salida
Nota: En Excel 2003 si lo que se desea es filtrar hacia otra hoja, el rango de datos debe tener un nombre de rango. En la versión 2003 no lo requiere.
Usemos el mismo archivo Relación de personal.xls -
Si hubiera los botones de filtro automático, desactívelos usando: - . En MS Excel 2007 use -
-
En la hoja Personal, seleccione el rango A6:H125, haga clic en , digite Personal y presione
-
Seleccione y copie los nombres de campos (cabecera de columna): A6:H6
-
Vaya a la Hoja2 y pegue lo copiado en la fila 1, a partir de A1.
-
Vamos a extraer los empleados del departamento de Mercado, que pertenecen a la sección Copiadoras o Impresoras y cuyo sueldo se encuentra por encima de 80,000. Para ello digite en D2, Mercado; en E2 digite Copiadoras; en E3 digite
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Impresoras; en F2, digite 80000; vuelva a digitar 80000 en F3; Digite también Mercado en D3. El rango de criterio será: D1:F3
-
En Excel 2003 use la secuencia: - - .
En MS Excel 2007 use la secuencia: - -
Complete los datos según la siguiente figura 1.37. Observe que estamos mostrando las ventanas obtenidas en ambas versiones del Excel. Luego haga clic en
Figura1.37
Tabla dinámica
Una tabla dinámica es una tabla de resumen. Si usamos la información contenida en el archivo Relación de personal.xls, podríamos obtener una tabla que contenga los montos anuales pagados en sueldo en una lista por departamentos, detallado por sección.
La característica de esta tabla, para ser llamado una Tabla Dinámica, es, la capacidad de modificar dinámicamente (en el instante) la estructura de la tabla original por otra en la que se podría tener la lista de empleados por Puesto, dentro de cada Sección, de cada Departamento y mostrando cada uno su sueldo anual.
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Ejemplo usando MS Excel 2003
Usemos el siguiente procedimiento:
-
Abra el archivo Relación de personal.xls.
-
- - Activar y -
-
En la siguiente ventana se debe tener el rango $A$6:$H$125 -
-
A continuación active - Clic en
Figura 1.38
-
Complete el diseño de acuerdo a la figura 1.38. Para ello arrastre los botones (campos) hacia las posiciones (áreas de filas, de columna y de datos) según se indica en la figura.
-
Haga clic en y al volver a la ventana anterior, clic en .
Ejemplo complementario
La tabla obtenida es dinámica ya que podemos modificar su estructura según nuestras necesidades y gustos.
A partir de la tabla obtenida, vamos a generar otra que nos muestre los sueldos anuales pagados a los empleados distribuidos por Puesto, por Sección y por Departamento.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
-
Para ello arrastre el botón del campo y suéltelo debajo del campo ; arrastre el botón del campo y suéltelo debajo del campo y finalmente arrastre el botón del campo y suéltelo debajo del campo .
Ejemplo usando MS Excel 2007
Abra el archivo Relación de personal.xls. Deje el cursor dentro de los datos. Use la secuencia: -. A continuación verá la siguiente ventana de diálogo: Como puede ver, ya el rango de datos
está
seleccionado.
Dejemos que la tabla dinámica lo cree en una nueva hoja. Haga clic en .
Figura 1.39
Esta es la ventana que se obtendrá a continuación que, como puede apreciar es totalmente diferente a la ventana del Excel 2003.
Figura 1.40
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
En el lado izquierdo tenemos la estructura vacía de la tabla. En el lado derecho está la lista de los campos de la tabla y en su parte inferior espacios vacíos donde se irán insertando los campos que seleccionemos. Los campos categóricos (que hacen referencia a variables cualitativas) pueden ser insertados en los rótulos de fila, columna o informe (cabecera). Si se coloca en Fila, los valores del campo se desplegarán por fila; se desplegarán por columna si se inserta como rótulo de columna y, cada imagen (tabla) mostrada corresponderá a un valor o a todos los valores de la variable que se coloque como rótulo de informe.
En este ejemplo, haga clic en la casilla del campo Departamento y observe que dicho campo se inscribe en el rótulo de fila y en la tabla vacía ya tenemos los valores de este campo.
Ahora haga clic en la casilla del campo Sueldo Anual y observe el rótulo de Valores y también la situación de la tabla.
Finalmente arrastre el campo Sección y suéltelo en el rótulo de columna (si sólo hace clic en su casilla se inscribirá debajo de Departamento, en el rótulo de fila).
Si desea cambiar la estructura de esta tabla, es suficiente arrastrar el campo indicado y soltarlo fuera de los rótulos.
10.7
MACROS
Todas las operaciones que se realiza en Excel, están formados por una serie de acciones debidamente secuenciadas. Este conjunto de acciones constituye un procedimiento. Este procedimiento puede ser, por ejemplo, calcular una determinada columna de totales para un conjunto de datos almacenados en celdas prefijadas; preparar un formato de ingreso de datos; configurar un área de
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
impresión; extraer una parte de una base de datos a otra hoja usando el filtro avanzado; etc. Mucho de estos procedimientos se deben realizar continuamente, siempre sobre las mismas celdas y con las mismas celdas, aunque con diferentes datos.
Una forma de simplificar este tipo de trabajo repetitivo y hasta tedioso, es mediante la creación de Macros. El programa Excel se convierte en un buen entorno para ejecutar nuestras macros.
Una macro es un procedimiento que permite automatizar una secuencia de acciones realizadas sobre una hoja de cálculo o un libro, o sobre grupo de ellos. Automatizar significa que dicho procedimiento puede ejecutar la serie acciones de manera automática y en forma repetitiva y siempre sobre las mismas celdas.
En Excel es suficiente asociar dos teclas o crear un botón, para ejecutar una macro.
A continuación crearemos algunas macros de uso general. Posteriormente estaremos en capacidad de crear macros más sofisticadas de tal forma que podamos automatizar ciertos cálculos repetitivos en la solución de problemas estadísticos.
La siguiente sección nos permitirá usar el lenguaje VBA para potenciar una macro.
Cómo crear Macros
Crear una macro significa grabar la secuencia de acciones que constituyen la macro. Una macro ya grabada puede ser ejecutada, modificada, o eliminada.
En MS Excel 2003
Para grabar una nueva macro se dispone de dos formas:
-
Usando la secuencia: - -
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
-
Usando la barra de herramientas del Visual Basic.
Barra de herramientas de Visual Basic
Para disponer en pantalla de la barra de herramientas del Visual Basic, use - -
Está en tiempo de Diseño
Ejecutar Macro
Cambiar modo
Editor VBA Cuadro de Controles
Grabar/Parar macro
Figura 1.41
Iniciar la grabación de una macro
Active la grabadora de macros. Para ello use uno de los siguientes procedimientos: -
- - . En esta barra haga clic en
-
- -
-
Si está presente la barra de herramientas del Visual Basic, haga clic en
.
.
En la ventana que se obtenga complete la información como se indica en la siguiente figura 1.42:
Ingrese aquí el nombre de la
La macro sólo podrá usarse en este libro
Ingrese una letra minúscula o mayúscula
Figura 1.42
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
La macro puede grabarse en el libro en uso, en un libro nuevo o en el libro de macros personal.
Después de hacer clic en , obtendrá el siguiente botón: Presiona aquí cuando decidas terminar la grabación.
Presione aquí si desea que su macro se ejecute en cualquier parte de la hoja.
Figura 1.43
Si desea que su macro se ejecute siempre a partir de una celda fija, el botón de “Referencia relativa” (botón del lado derecho) debe estar desactivado. Pero si lo que desea es que la macro se ejecute a partir de la celda que Ud. desee, haga clic en el botón “Referencia relativa” para activarla.
Ahora ya está en capacidad de iniciar la grabación de las acciones que debe ejecutar su macro.
En MS Excel 2007
En esta versión también dispone de dos formas para acceder a la ventana que le permita definir el nombre de la macro y el método abreviado para ejecutarla:
Primera forma:
Use la siguiente secuencia: - - . Obtendrá una ventana de diálogo similar a lo descrito líneas arriba.
En el lado izquierdo de la barra de estado del Excel verá un pequeño botón cuadrado, similar a lo comentado líneas arriba, que le permitirá detener la grabación de la macro, cuando así lo desee.
Segunda forma (necesario cuando se requiere usar el cuadro de controles de formulario o ActiveX, que se encuentran en la ficha ):
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Para activar la ficha use - Clic en .
Hacer clic en la ficha y luego clic en en el grupo .
Ejemplo 21
La explicación corresponde a la versión 2003, pero que no se diferencia mucho al hacerlo en la versión 2007.
Primero abra el archivo Ejemplo 1.xls. Grabe una macro llamada Mac01, que permita calcular la columna de Venta Total y el Porcentaje de contribución. Que el método abreviado usado sea +
Solución: Haga clic en el botón
para iniciar grabación de la macro (En el 2007:
- en el grupo Código)
Complete la ventana que sigue como se indica en la figura 1.44
Figura 1.44
Ahora realice las siguientes operaciones:
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
-
Haga clic en C4
-
Ingrese la fórmula: =B4*$C$1 y presione
-
Copie el contenido de C4 hacia el rango C5:C15
-
En C16 ingrese la fórmula: =Suma(C4:C15) y presione
-
Haga clic en D4.
-
Ingrese la fórmula: =C4/$C$16 y presione
-
Copie esta fórmula hacia el rango D5:D15.
Para detener la grabación de la macro haga clic en
(En el
2007, haga clic en el mismo botón, pero que se encuentra en el lado izquierdo de la barra de estado).
Antes de ejecutar esta macro, borre el contenido del rango C4:D16.
Para ejecutar la macro presione +
Guardar un libro que contenga macros
En el caso de la versión 2003:
Guarde el libro con el mismo nombre o con el nombre que Ud. desee.
En el caso de la versión Excel 2007
Guarde el libro usando - - , en cuyo caso, la extensión del libro es “xlsm”. Si no se guarda usando esta opción, se perderá la macro.
Nota: Las macros grabadas en la versión 2003 pueden ser ejecutadas en el 2007, pero no al revés.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Ejemplo 22
Grabe una macro llamada Mac02 que permita obtener la columna Ingreso para cada una de las tiendas de la hoja Ejemplo 2 del libro Ejmacros01.xls. Método abreviado: +
Solución
Antes de iniciar con la grabación de la macro, debemos tomar en cuenta la forma de resolver el problema.
La hoja Ejemplo 2 contiene la cantidad vendida de ciertos productos en cada una de las tiendas. Se necesita calcular el Ingreso obtenido. Puesto que el ingreso es el precio del producto por la cantidad vendida, y el precio de cada uno de los productos lo tenemos en la hoja Tabla de productos, debemos usar la función BuscarV para obtener el precio de los productos y multiplicarlo por la cantidad. Felizmente la hoja Tabla de productos ya tiene definido a todo el rango como TabProd y el precio está en su columna 5. Esto significa que en C5 de la hoja Ejemplo 2, debemos ingresar: =BuscarV($A5,TabProd,5,0)*B5 Nota: Usamos $A5 porque deseamos copiar esta fórmula para las otras columnas.
A continuación se copia hacia abajo y a las otras columnas de Ingreso y se termina el problema.
Pasemos a iniciar la grabación de la macro: -
Use una de las formas de iniciar la grabación de una macro, en ingrese Mac02; en ingrese m; que la macro quede grabada en . Ahora haga clic en .
-
Haga clic en C5. Ingrese la fórmula: =BuscarV($A5,TabProd,5,0)*B5
-
Copie hacia el rango C6:C13
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
-
Ahora copie el rango C5:C13 y pegue en las columnas de ingreso de las otras tiendas usando +v que es más sencillo y directo.
Borre todos los cálculos realizados y ejecute la macro usando +
Ejemplo 23
Grabe una macro llamada Mac03 que permita crear, en la hoja Ejemplo 3 del libro EjMacros01.xls, el formato de tabla mostrado en la hoja Ejemplo 2. Método abreviado: +. Grabe una nueva macro llamada Mac03A, sin la opción Referencia relativa. Método abreviado: + . La macro debe borrar todos los formatos aplicados con la macro Mac03. Grabe otra macro llamada Mac03B en el a fin de crear el formato en un nuevo libro. Método abreviado: +. La macro debe hacer exactamente lo mismo que Mac03.
Solución -
Inicie grabación completando la ventana según se pide en el ejemplo.
-
Ingrese los siguientes datos: En B2: CALCULO DEL INGRESO POR TIENDA y POR PRODUCTO; en B3, D3 y F3 ingrese Tienda 1, Tienda 2, Tienda 3 y Tienda 4; en B4, D4, F4 y H4; ingrese Cantidad; en C4, E4, G4 y I4; digite Ingreso ; en A4 ingrese Productos. En A5 ingrese “Papa blanca”
-
Seleccione el rango A5:A13 y haga que tenga borde de cuadro grueso. Haga lo mismo con las otras columnas. Las columnas C, E, G, I (del mismo rango, deben tener color de fondo: celeste.
-
Finalmente seleccione B3:C3 y haga clic en combinar celdas. Repita esto con las otras tiendas.
-
Detenga la grabación de la macro
Para grabar la macro Mac03A, sin usar asegúrese que dicho botón esté desactivado antes de iniciar con la primera acción dentro de la macro.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Para grabar la macro Mac03B en el en la ventana de seleccione esta opción.
Para ejecutar esta macro, primero grabe el libro en uso (si lo desea, pero habilitado para macros). Cierre todos los libros. Ahora proceda a cerrar el Excel. Tenga cuidado al cerrar el Excel. Allí le pedirá si desea actualizar el libro de macros personal. Haga clic en .
Abra el Excel vacío y use el método abreviado para ejecutar la macro.
Ejemplo 24. Macro para el uso de del comando
Grabe una macro llamada Mac04 que permita ingresar datos a la hoja Ejemplo 4, usando el Formulario del Excel. La macro debe estar en el libro de macros personal. Luego de ingresar los datos debe grabar y cerrar el libro. Método abreviado: +
Solución: Ante todo, luego de acceder a la hoja llamada Ejemplo 4, elimine las dos primeras filas que no contienen datos (esto es necesario para el uso de formularios). Iniciar la grabación de una nueva macro. Darle el nombre Mac04, método abreviado: +. :en el libro de macros personal .
Seleccione el rango A1:I11 Use la secuencia: - Ingrese los datos (cualquier valor como ejemplo). Use flecha abajo para cambiar a otro registro. Repita el llenado de algunos datos más. Al terminar, haga clic en el botón del formulario y detenga la grabación de la macro. Borre los datos ingresados y ejecute la macro grabada.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Nota:
Puesto que la macro se va a grabar en el Libro de Macros personal, debe tener cuidado al cerrar el Excel, pues será el momento en que se nos pregunte si deseamos grabar la modificación del libro de macros personal. En este caso haremos clic en . Claro que si no desea guardar las modificaciones hechas, hará clic en
Ejemplo 25. Macro para filtro avanzado
Grabar una macro para extraer una parte de la hoja Tabla de productos del libro EjMacros01.xls. Esta macro debe realizar el procedimiento del filtro avanzado para extraer algunos datos hacia la hoja Ejemplo 5. Como ejemplo, extraiga todas las ventas cuya categoría es Legumbres.
Solución -
Copie los nombres de campo de la hoja Tabla de productos (rango B3:F3) hacia el rango B2:F2 de la hoja Ejemplo 5.
-
Digite Legumbres en D3.
-
Observación importante: Todo el rango de los datos debe tener un nombre de rango. En este caso se llama Productos.
-
Inicie la grabación de la macro: Nombre: Extraer; método abreviado: +
-
Como ya estamos en grabación, usaremos el procedimiento de Filtro avanzado: - - . Active . En digite Productos. En seleccione el rango B2:F3. En Haga clic en . Finalmente haga clic en y luego detenga la grabación de la macro.
-
Para probar, borre sólo la cabecera del rango de salida (B5:F5) y ejecute la macro grabada.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Para modificar la extracción, digite en C3, Kilo; en F3:
25
[ 30
–
40 >
20
[ 40
–
50 >
35
[ 50
–
60 >
15
[ 60
–
70 >
15
a) ¿Más del 50% de los entrevistados tienen un consumo semanal de panes en el
desayuno, superior al promedio? Fundamente su respuesta. b) ¿Cuál es el número mínimo de panes adquiridos semanalmente para el desayuno
por el 25% de familias que más panes adquieren? c) ¿Cuál es el número máximo de panes semanales consumidas por el 15% de las
familias que menos panes consumen? d) ¿Cuál es el número de panes semanales consumido por el 50% de las familias? e) ¿Cuál es el porcentaje de familias consumen panes por encima de 55
semanalmente?
Solución Abra un libro vacío. Ingrese los datos en las columnas A, B y el número de consumidores (frec. absoluta) en la columna D, la cabecera puede tener el mismo formato de la hoja 1 del archivo Percentiles.xls. Calcule la columna del punto medio digitando en C2: =(A2+B2)/2; luego copie hacia las siguientes filas. A continuación obtenga la columna de la frecuencia acumulada digitando en E2: =D2. En E3 digite: =E2+D3. Luego copie hacia abajo.
a)
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
En B9 ingrese “Promedio = “. En B12 ingrese: “Mediana = “. En C9 ingrese =SumaProducto(C2:C6,D2:D6)/Suma(D2:D6)
Calculemos la mediana: Como n/2 = 110/2 = 55 nos permite afirmar que la mediana se encuentra en el intervalo (40, 50), entonces Linf = 40; amplitud del intervalo = 10; Fj-1 = 45; fj = 35. Usando la fórmula de la mediana, ingresamos en C12: =A4+10*(110/2-E3)/D4.
Encontramos que el promedio es 42.727273 y la mediana es 42.857143. Puesto que el 50% de los datos están por encima del promedio, desde el promedio habrá más del 50% ya que su valor es inferior a la mediana. En consecuencia la respuesta es Sí.
b) En este caso se pide encontrar el valor del percentil 25 o su equivalente, el primer cuartil. Puesto que n/4 = 25*n/100 = 27.5, entonces el intervalo al cual pertenece el primer cuartil o el percentil 25 es (30, 40). Esto implica que el LInf = 40; amplitud = 10; Fj-1 = 25 y fj = 25. Luego en B15 ingresamos: Primer cuartil; en C15, la fórmula: =A3+10*(110/4-E2)/D3.
Dejamos las siguientes dos preguntas como ejercicio.
Ejemplo 18: De generación de tabla de frecuencia y cálculo de estadísticos
Dado un conjunto de datos que se ingresa en una de las primeras columnas de una hoja de cálculo, obtener una tabla de frecuencias y los estadísticos principales.
Solución Abra el archivo Generador 2010 – II.xlsm.La extensión xlsm indica que se trata de un libro creado en la versión 2007 del Excel y que contiene macros.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Sugerimos al lector que analice la codificación de esta macro y vea que muchas herramientas estadísticas podemos construirlas de la misma forma. Sólo requiere voluntad, ingenio y un poco de esfuerzo y dedicación.
Ingrese sus datos en la columna A, B o C de cualquiera de las hojas. Si hubiera datos en la columna elegida, bórrelos e ingrese los suyos. Haga clic en la imagen de la niñita. Cuando pida nombre de la hoja, digite el nombre de la hoja donde tiene sus datos. A continuación digite la columna donde ingresó sus datos; digite S si le puso nombre de columna (o cabecera) y finalmente, ingrese el número de intervalos que desea usar. Si desea usar la fórmula de Sturges, digite 0. En cada dato que ingrese, presione o haga clic en .
Para completar este comentario, pueden abrir los archivos:
Gráficos con macros.xlsm o Ice calc v2.xlsm
Y podrán encontrar en ellos lo que se puede hacer en Excel con macros y VBA.
Diagrama de Caja
Este es un tipo de gráfico que nos permite saber si en la muestra existe datos perdidos “data missing” así como la simetría de los datos y el sesgo que pudieran tener.
Para ello el gráfico presenta una caja tomando como lados extremos a los cuartiles primero y tercero. La mediana es un segmento vertical que divide a la caja no siempre en partes iguales. Es ella la que indica si los datos están distribuidos simétricamente o no.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Para conocer el diagrama de caja en un ejemplo y analizar su estructura, abra el archivo Graf03.xls, vaya a la hoja Diagrama de caja.
Comentario: Si suponemos que los datos corresponden a una población de ingresos de 2156 trabajadores, podemos observar lo siguiente:
Los ingresos no son simétricos pues presentan cierto sesgo a la derecha. Esto lo apreciamos ya que el 50% de los empleados tienen ingresos superiores al promedio: Promedio = 2333.54 soles; Mediana = 2326.82 soles.
Los extremos del mayor rectángulo representan los ingresos mínimo y máximo de los datos. Esto quiere decir que, los ingresos de los trabajadores varían de un ingreso mínimo de 487.37 hasta 4414.95 con un rango de variación de 3927.58. En otras palabras, la dispersión de los ingresos, alrededor de la media, es de 655.07 soles.
La línea horizontal que une los extremos de dicho rectángulo representan los “bigotes”. Valores fuera de esta línea indicarían datos perdidos.
11.10 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Estos estadísticos o indicadores de la muestra nos permiten medir o cuantificar la forma cómo se distribuyen los datos en términos de su separación o aglomeración alrededor de algún estadístico de posición central.
Según esto, podemos saber cuán separados o dispersos están respecto de la media, o qué porcentaje de variabilidad (homogeneidad) presentan los datos.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Entre las medidas de dispersión más frecuentemente usadas tenemos: Rango
Es un estadístico obtenido como la diferencia entre los valores máximo y el mínimo de los datos. Puede ser interpretado como la diferencia entre dichos valores.
Si se tratara de ingresos de un conjunto de trabajadores nos mediaría la brecha entre los que menos ganan y los que más ganan. A mayor valor del rango, mayor la diferencia. Rango = Max(Datos) – Min(Datos)
Ejemplo
Veamos el siguiente conjunto de datos, que representan los jornales diarios de los trabajadores de las empresas AcerSa y PocSa.
AcerSa
16.5
16.0
15.9
16.3
16.1
15.3
15.2
15.3
16.8
15.3
13.2
16.5
14.4
PocSa
22.4
19.1
15.9
20.4
19.2
15.4
9.8
10.5
22.6
11.8
7.2
20.7
7.8
Podemos comprobar que el promedio de los ingresos diarios es de 15.6 soles Del mismo modo, la mediana en ambos casos es 15.9.
En ambas empresas el 50% de los trabajadores tienen ingresos diarios superiores al ingreso promedio.
¿Podemos afirmar que en las dos empresas los ingresos diarios son similares; es decir, son similares, coherentes u “homogéneos”?
Calculemos el rango
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
ACERSA: Rango = Max(Datos) – Min(Datos) = 16.5 – 13.2 = 3.3 POCSA: Rango = 22.6 – 7.2 = 15.4
En Excel:
Abra el archivo Dispersiones.xls. En la hoja dispersión, en la celda E4, calcule el rango ingresando la fórmula =Max(Acersa) – Min(Acersa). Haga lo mismo para obtener el rango de Pocsa en E7.
Observamos que los jornales en Acersa son menos diferenciados que los de Pocsa. Luego no podríamos afirmar que los ingresos son similares u “homogéneos” en ambas empresas.
Rango Intercuartílico
El rango intercuartílico permite conocer la diferencia entre el primer y tercer cuartil y permite saber los límites en los que se encuentra el 50% central de los datos.
Tomando en cuente el ejemplo anterior y usando la misma hoja Dispersión, haga clic en el botón RIntq para visualizar el cálculo del rango intercuartílico en el caso de Acersa. Obtenga dicho rango para los de Pocsa.
Varianza
Este indicador, al lado de la media aritmética, constituyen los estadísticos más utilizados y de mayor importancia en la estadística.
Permite conocer el promedio de la diferencia cuadrática entre el conjunto de los datos con respecto a la media aritmética, estadístico de la muestra. Indica la magnitud de la variabilidad de los datos.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Nota 1. La varianza se representa por s². 2. En el caso de la varianza poblacional, la diferencia se mide respecto a la media poblacional. 3. A pesar de su importancia en la estadística, la interpretación de la varianza es algo forzada pues si se tratara de la varianza de los sueldos de un conjunto de trabajadores, ésta estaría medida en soles cuadrados.
Cálculo de la varianza:
X n
s
2
i 1
X
2
i
n 1
n
Una forma bastante usada de la varianza es
s
2
X i 1
2 i
nX
2
n 1
En Excel
La función que permite calcular la varianza es
Var(Arg1)
donde Arg1 puede hacer referencia a una serie de valores, un rango o lista de datos.
Desviación estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Permite medir la cantidad de dispersión que existe entre los datos, respecto a la media aritmética. Mide la dispersión absoluta pues al provenir de una raíz cuadrada de la varianza, las dispersiones negativas han sido convertidas en positivas.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
En Excel
La función que permite obtener la desviación estándar es
DesvEst(Arg1)
donde Arg1 puede hacer referencia a una serie de valores, un rango o lista de datos.
Ejemplo 19
Tomando en cuenta los datos de las empresas Acersa y Pocsa, en el ejemplo anterior, ¿los valores de las desviaciones estándares confirman la observación hecha con el rango?
En la hoja Dispersión del archivo Dispersiones.xls calculamos la varianza ingresando en E17: =Var(Acersa) y en E18: =Var(Pocsa).
Calcule la desviación estándar en E22 y E23.
¿Qué comentario haría en ambos casos?
Aquí un posible comentario: Los jornales diarios de los trabajadores de Acersa presentan están menos dispersos que los de Pocsa; consecuentemente, la variabilidad es mucho mayor en Pocsa. Observe el gráfico en la hoja y podrá apreciar cuán separados (dispersos) se encuentran los jornales en una y otra empresa.
Medidas de dispersión relativa: Coeficiente de Variación
Este estadístico permite medir o cuantificar la variabilidad de los datos. Nos indica si esta variación presenta mucha o poca variabilidad.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Se define como la razón entre la desviación estándar y la media aritmética. Por lo general la interpretación se da en forma porcentual.
CV ( X )
s s2 *100% *100% X X
Como se puede apreciar, si la media o promedio es negativo, el coeficiente es negativo; esto significa que dicho coeficiente mide la dispersión relativa.
La medida de la variabilidad de los datos nos permite afirmar si son homogéneos o no (heterogéneos).
En el caso de los datos de los ingresos diarios de Acersa y Pocsa, podemos apreciar en la hoja Dispersión, que los jornales de los trabajadores de Acersa son más homogéneos que los de Pocsa ya que el coeficiente de variación de Acersa es del 6.32% mientras que el de Pocsa es 35.84%.
11.11 ASIMETRÍA
El comportamiento de los datos en cuanto a su posición y su variabilidad se puede medir mediante los estadísticos de asimetría.
Estos miden tanto la inclinación de los datos así como su dispersión. Entre las medidas de asimetría más conocidos están el Coeficiente de Pearson y las medidas de Curtosis y Apuntamiento. Mencionaremos sólo al Coeficiente de Pearson.
Primer coeficiente:
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CA
3( Media Mediana ) s
Mide la razón entre la diferencia de la Mediana y Moda y la desviación estándar.
Segundo coeficiente
CA
Q Q 2Me Q Q 1
3
3
1
Mide la razón entre la diferencia que existe la totalidad de los datos y el 100% central, y el rango intercuartílico.
Ambos coeficientes lo que pretenden medir es si los datos están sesgados respecto de su valor central Si CA = 0 Los datos son simétricos Si CA < 0 Los datos se encuentran inclinados hacia la izquierda o están sesgados a la derecha; por el contrario, son sesgados a la derecha, si CA > 0.
Ejemplo 20
En el ejemplo que estamos comentando se ha obtenido el coeficiente de asimetría de cada grupo de datos en las celdas: En E34 digite: =3*(PROMEDIO(Acersa)-MEDIANA(Acersa))/DESVEST(Acersa) En E35 digite: =3*(PROMEDIO(Pocsa)-MEDIANA(Pocsa))/DESVEST(Pocsa)
Se puede apreciar que la asimetría de los jornales en ambos casos es negativa. Los datos presentan un sesgo hacia la izquierda; es decir, los trabajadores con jornales más bajos presentan dispersión, están más alejados del promedio.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
En resumen:
Con los resultados obtenidos al calcular los estadísticos de posición o de tendencia central y los de dispersión, podemos conocer el comportamiento y variabilidad de los datos.
Si un gran porcentaje de los datos son inferiores al promedio tenderán a tener un coeficiente de asimetría negativo mientras que si la mayor cantidad de los datos están por encima de la media, el coeficiente de asimetría será positivo.
Ejemplo 21 demostrativo desarrollado en Excel
High Quality es una institución dedicada a otorgar certificaciones de calidad ISO 9001 a empresas de bienes y servicios. La Real S.A. está en proceso de evaluación por esta institución y una de las tareas es medir la satisfacción del personal de la empresa mediante una prueba con escala de 0 a 100 puntos. Los 40 trabajadores que laboran en la sede principal obtuvieron las siguientes puntuaciones:
74
89
82
83
67
81
68
85
81
72
71
74
60
64
72
84
66
84
69
81
69
66
93
63
98
70
95
82
81
80
88
80
85
85
72
81
90
89
80
87
a) Obtenga una tabla de distribución de frecuencias e interpreta algunos valores de dicha tabla b) ¿Cuáles son los dos valores entre los cuales se encuentra el 50% las calificaciones obtenidas por dichos trabajadores?
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c) ¿Cuál es la máxima calificación obtenida por el 20% de los trabajadores con menos calificación? d) ¿Cuál debería ser la mínima calificación de un trabajador para que se encuentre en el quinto superior? e) Obtenga la calificación media y luego de compararlo con la mediana de las calificaciones, diga si las calificaciones presentan un sesgo y hacia dónde. f) ¿Las calificaciones de los 40 trabajadores presentan cierto grado de homogeneidad? g) ¿Cuál es la dispersión absoluta de las calificaciones de los trabajadores? h) ¿Compare el valor del Rango y el rango intercuartílico y diga cuál de ellos proporciona una mejor interpretación? i) Obtenga el grado de asimetría de las calificaciones e interpreta su valor.
Solución Para resolver las preguntas por Excel, ingrese los datos a la primera columna colocando en A1: Puntaje. Luego debe darle el nombre Puntaje al rango A2:A41.
Ante todo, ingresamos los datos en la columna A, a partir de la celda A2. En A1 colocamos Calif como nombre de la variable puntuación obtenida por un trabajador. Haga que la columna tenga una amplitud de 7.71. Que el rango de datos se llame Calif. ¿Cómo?1 a) Procedimiento: Rango C9:I9; combinar celdas; usar borde de cuadro grueso. Ingresar el texto: Tabla de distribución de frecuencias. En C2
n = =Contar(Calif)
En C3
Min = =Min(Calif)
En C4
Max = =Max(Calif)
1
Seleccionamos el rango A2:A4; usamos - . Verifique que el rango ya existe haciendo clic en el cuadro de nombres y luego haga clic en dicho nombre para certificar que el rango es correcto.
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En C5
Rango = =C4-C3
En C6 Nro intervalos = =Entero(1+3.32*Log10(C2)+0.5) En C7
Amplitud = =C4/C5
En el rango C10:H10 ingrese: Linf Lsup
PtoMedio
fi
Fi
hi
Hi
Cálculo de los límites de cada intervalo: En D2: =Contar(Calif) En D3: = Min(Calif) En D4= =Max(Calif) En D5: = D4-D3 En D6: =ENTERO(1+3.32*LOG(D2)+0.5) En D7: =D5/D6
En C11: =Min(Calif) En D11: =C11+D$7 En C12: =D11 En D12: =C12+D$7 Copiar el rango C12:D12 y pegarlo en el rango C13:D16
Cálculo del punto medio: En E11: =(C11+D11)/2 Copiar esta fórmula y pegarlo en el rango E12:E16. Haga que el punto medio tenga dos decimales. Obtención de la frecuencia absoluta: -
Seleccionamos el rango F11:F16 y sin deshacer esta selección,
-
Ingresamos la fórmula: =Frecuencia(Calif,D11:D16)+0.001. Luego, teniendo presionadas las teclas +, presionamos .
Nota:
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Le añadimos 0.001 a la fórmula de D16 para que la función frecuencia incluya al extremo superior del último intervalo. Cada uno de los intervalos esabierto por la derecha. Luego obtenemos la suma de las frecuencias en F17. Cálculo de las otras frecuencias: En G11: =F11;
En H11: =F11/$F$17;
En G12: =G11+F12;
En I11: =H11
En H12: =F12/$F$17;
En I12: =I11+H17
Copiar el rango G12:I12 y pegarlo en el rango G13:I16 La tabla es la siguiente: Tabla de distribución de frecuencias Linf Lsup PtoMedio fi Fi hi
Hi
60.00 66.33
63.17
5
5 0.125 0.125
66.33 72.67
69.50
9 14 0.225
72.67 79.00
75.83
2 16
0.05
0.4
79.00 85.33
82.17 16 32
0.4
0.8
85.33 91.67
88.50
5 37 0.125 0.925
91.67 98.00
94.83
3 40 0.075
0.35
1
40 Comentarios: -
Hubo 16 trabajadores de la empresa cuya puntuación estuvo entre 79 y 85.33.
-
Del mismo modo, 32 trabajadores tuvieron una puntuación por debajo de 85.33
-
A 25 trabajadores se les dio una calificación entre 79 y 91.67.
-
El 40% de los trabajadores tuvieron una calificación inferior a 70. La tabla se encuentra en el archivo EjProb01.xlsm.
b) El siguiente esquema muestra los dos valores que debemos hallar, entre los cuales se encuentra contenido el 50% de los datos.
A
B
Figura 2.23
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Si en el centro hay 50%, los segmentos exteriores contienen 25% de datos cada uno; por tanto, se trata de obtener los valores del primer y tercer cuartil.
Primer cuartil: El valor que se requiere para ubicar el intervalo donde se encuentra el primer cuartil es n/4; es decir 40/4 = 10. Usando la columna F, el intervalo es el segundo. 𝐴 = 66.33 + 6.3333 ∗
40 −5 4
9
= 69.8485
En Excel: Se deberá usar la función Percentil(RangoDeDatos,k) donde k debe estar expresado en porcentaje. Si se desea el percentil 20, k = 0.20. Para obtener el primer cuartil: =Percentil(Puntaje,0.25)
= 70.75
Tercer cuartil: En este caso ubicaremos 3n/4 = 3(40)/4 = 30 usando la frecuencia acumulada. Esto indica que el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil es el cuarto; luego 𝐵 = 79.00 + 6.3333
30−16 16
= 84.5416
En Excel: =Percentil(Puntaje,0.75)
= 85
c) El 20% de los trabajadores con menor calificación indica que debemos hallar el percentil 20.
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Esto significa que debemos ubicar primero el intervalo donde se encuentra dicho valor. Puesto que 20n/100 = 20(40)/100 = 8, entonces el percentil 20 se encuentra en el segundo intervalo. Por ello, 𝑃20 = 66.33 + 6.3333
8−5 = 68.44 9
Esto significa que el 20% de los trabajadores tuvieron una puntuación por debajo de 68.44; consecuentemente, la puntuación mínima del 80% de los trabajadores fue de 68.44.
En Excel: =Percentil(Puntaje,0.20) = 69
d) Contrario a la pregunta anterior, debemos obtener el percentil 80, ya que al 20% superior, le corresponde el 80% de los valores acumulados hasta el valor de dicho percentil. De manera que, puesto que 80(40)/100 = 32, cae en el cuarto intervalo, y esto indica que, el 80% de los datos alcanzan un valor máximo de 32; diremos que ésta es la mínima calificación del 20% de los trabajadores. 𝑃80 = 79.0 + 6.3333
32 − 16 = 85.33 16
Resuelto por Excel: =Percentil(Puntaje,0.80) 85.4
e) La solución a esta pregunta la daremos hallando primero el promedio y mediana. Cálculo del promedio: Usando los resultados en Excel (archivo EjProb01.xlsx) Promedio = 𝑋 =
𝑆𝑈𝑀𝐴𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂(𝐸11:𝐸16,𝐹11:𝐹16) 𝑆𝑈𝑀𝐴(𝐹11:𝐹16)
= 78.368
Cálculo de la mediana: Usando la tabla mostrada líneas arriba, 𝑀𝑒 = 79.0 + 6.3333
20 − 16 = 80.5833 16
En consecuencia, las calificaciones de los trabajadores presentan una asimetría negativa y están sesgadas a la izquierda.
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En Excel: =Mediana(Puntaje)
= 81
f) Para responder a esta pregunta debemos hallar el coeficiente de variación; y para calcularlo necesitamos obtener primero la varianza en datos agrupados. Cálculo de la varianza: Usando el archivo EjProb01.xlsm, 𝑠² =
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜(𝐸11: 𝐸16, 𝐸11: 𝐸16, 𝐹11: 𝐹16) − 40(78.368²) 40 − 1 = 88.0285754
De donde s = 9.38235447 Finalmente 𝐶𝑉(𝑋) =
9.38235447 78.368
= 0.11972175
Puesto que las calificaciones presentan una variabilidad del 11.97%, diremos que son homogéneas.
Resuelto en Excel =Var(Puntaje)
= 89.025
g) La dispersión absoluta se mide utilizando la desviación estándar. Puesto que la desviación estándar es 9.383, entonces diremos que las calificaciones presentan una dispersión de 9.383 respecto de la calificación promedio.
En Excel: =DesvEst(Puntaje) = 9.435306 h) Según los resultados obtenidos en el libro mencionado,
Rango = 38 RIQ = Rango inercuartílico = Q3 – Q1 = B – A = 84.5416 – 69.8485 = 14.6931 Ambos indicadores son complementarios. Mientras el rango nos indica la dispersión que hay entre la mínima y máxima calificación, el rango intercuartílico nos indica qué tan dispersos están el 50% de las calificaciones centrales.
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i) Calcularemos el coeficiente de asimetría. Esto es, 𝐶𝐴 =
3(𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎−𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎) 𝑠
=
3(78.3667−80.5833) 9.383
= −0.7087
Esto refuerza a una conclusión anterior (g); es decir, presentan un grado de asimetría negativo.
En Excel =Coeficiente.Asimetria(Puntaje)
-0.064944
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11.12 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. BATCOM es una empresa líder en la venta de baterías para diferentes tipos de vehículos. El gerente de ventas Los siguientes datos corresponden a la vida útil (en años) de 48 baterías similares de automóvil de la marca POWER. El fabricante garantiza que estas duran tres años.
4.1
3.5
4.5
3.2
3.7
3.0
2.6
3.4
1.6
2.2
3.1
3.3
3.8
3.1
4.7
3.7
2.5
4.3
3.4
3.6
2.9
3.3
3.9
3.1
3.3
3.1
3.7
4.4
3.2
4.1
2.0
3.4
4.7
3.8
3.2
2.6
3.9
3.0
4.2
3.5
1.7
2.3
2.6
3.2
3.5
4.3
4.8
4.0
Los datos ya han sido ingresados en la primera columna del archivo EjProb02.xlsm. Resuelva cada una de las siguientes preguntas: a) Que el nombre del rango de los datos se llame Tvida. b) Obtenga una tabla de distribución de frecuencias e interpreta algunos valores de dicha tabla c) ¿Cuáles son los dos valores entre los cuales se encuentra el 50% de las baterías de la muestra? d) ¿Cuál es el máximo tiempo de vida del 20% de las baterías de la muestra? e) ¿Cuál debería ser el mínimo tiempo de vida de una batería para que se encuentre en el quinto superior? f) ¿Qué porcentaje de baterías tienen un tiempo de vida máximo de 4 años? g) Obtenga la duración media y luego de compararlo con la mediana de la duración de las baterías, diga si la duración de las baterías presentan un sesgo y hacia dónde. h) ¿Las calificaciones de las 48 baterías presentan cierto grado de homogeneidad?
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i) ¿Cuál es la dispersión absoluta de la duración de las baterías? j) ¿Compare el valor del Rango y el rango intercuartílico y diga cuál de ellos proporciona una mejor interpretación? k) Obtenga el grado de asimetría de la duración de dichas baterías.
2. Copie los datos del archivo EjProb01.xlsm y péguelos en una de las hojas del archivo Genera tabla frec y estadísticos.xls. En la primera fila de dicha columna debe ponerle un nombre y todos los datos que conforman la muestra deben tener un nombre de rango. Luego haga clic en la imagen de la niñita de las otras hojas e ingrese los datos de manera adecuada a fin de obtener todos los estadísticos de la muestra.
3. Haga lo mismo que en el problema 3 pero usando el archivo EjProb02.xlsxm.
4. Haga clic en el botón para crear un gráfico con los datos de la tabla del archivo EjProb01.xlsm. Tome nota que los valores del eje X son los límites superiores de cada intervalo.
5. Copie el módulo MacroGraff01 del archivo anterior. Abra el archivo EjProb02. Inserte un módulo en el editor y pegue lo copiado. Luego modifique los rangos de la serie de datos así como los del eje X, de acuerdo a los que corresponden a la tabla de frecuencia del archivo EjProb02.xlsm. Vuelva a grabar el archivo.
6. Grabe otra macro a fin de crear otro gráfico con las mismas características con los datos del archivo EjProb02.xlsm. Inserte un botón de formulario y asígnele la macro que ha creado. 7. Diseñe y codifique un formulario que permita el ingreso de datos a una hoja de un determinado libro.
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CAPÍTULO 3
TEORIA DE LA PROBABILIDAD 3.1 Fenómenos aleatorios. Espacio muestral 3.2 Técnicas de conteo 3.3 Definición de probabilidad. Teoremas básicos 3.4 Probabilidad condicional 3.5 Probabilidad total 3.6 Teorema de Bayes 3.7 Eventos independientes 3.8 Problemas propuestos
12.1
FENÓMENOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL
Fenómenos aleatorios
La realización o ejecución de una acción, experimento o ensayo cuyos resultados son impredecibles, constituye un fenómeno aleatorio.
Ejemplos 01
a) Lanzar al aire una moneda una sola vez y observar el resultado. b) Lanzar al aire una moneda tres veces y observar el resultado. c) Registrar el color de los primeros 4 vehículos que pasan cada 10 minutos.
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d) Yaco lanza un dado hasta obtener la cara con el número seis. e) Registrar el monto total depositado en una agencia bancaria, cada hora. f) Registrar la temperatura del ambiente cada media hora.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles obtenidos al realizar un fenómeno aleatorio.
Ejemplo 02
El espacio muestral asociado a los fenómenos aleatorios del ejemplo anterior son: 1 = {C, S} 2 = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC} 3 = {(rojo, verde, negro, blanco), (rojo, negro, blanco, azul),…} 4= {6, x6, xx6, xxx6, xxxx6, xxxxx6,… donde x representa la cara 1, 2, 3, 4 ó 5} 5 = {1200.35, 34564.17, 0, 17.18, 272634.0,…} 6 = {22ºC, 22.2ºC, 23.17ºC, 22.8ºC,…}
Eventos Sea un experimento aleatorio y , el espacio muestral asociado a; diremos que A es un evento de si A . A
Figura 3.1
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Ejemplo 03
Al lanzar una moneda tres veces, definimos el evento A como "Sale cara por lo menos dos veces". En este caso definimos al experimento como “Lanzar al aire tres monedas”, para el cual, = {(S, S, S), (S, S, C), (S, C, S), (C, S, S) (S, C, C), (C, S, C), (C, C, S), (C, C, C) }
De acuerdo a la definición, A = {(S, C, C), (C, S, C), (C, C, S), (C, C, C)}
Ejemplo 04
Fuji, Vladi y Couri, cada uno desde su trinchera, deben recibir un premio por su destacada labor de "convencimiento" a los congresistas. El amauta Kenyi sólo otorgará dos premios, diferentes entre sí. El experimento consiste en seleccionar a dos de ellos para entregarles los premios. a) Defina el espacio muestral, mostrando todos sus elementos b) Si el evento A se define como: "El primer premio lo gana Fuji”; el evento B se define como “Los dos premios lo ganan Vladi y Couri”. Describa A y B.
Solución a) Puesto que Fuji, Vladi y Couri, deben competir por los dos premios, ={(Fuji,Vladi),(Fuji, Couri),(Vladi, Fuji),(Vladi, Couri), (Couri, Fuji),(Couri, Vladi)} b) El evento A está formado por pares ordenados en donde la primera componente es Fuji; es decir, A = {(Fuji,Vladi),(Fuji, Couri)} En el caso del evento B tenemos B = {(Vladi, Couri), (Couri, Vladi)}
Evento imposible El conjunto vacío constituye un evento imposible. Es un evento que nunca ocurre.
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Evento cierto El espacio muestral recibe el nombre de evento cierto. Siempre ocurre.
Nota: Los eventos y son eventos contrarios. nunca ocurre, mientras que siempre ocurre.
Eventos mutuamente excluyentes
Diremos que dos eventos definidos sobre el mismo espacio muestral son mutuamente excluyentes si no ocurren simultáneamente; es decir, si no ocurren juntos. Sean A y B dos eventos de . Diremos que A y B son eventos mutuamente excluyentes si AB = .
Complemento de un Evento Diremos que A’ es el complemento del evento A siempre que en A’ no estén ninguna ocurrencia de A; es decir, A’ = - A. Nota: Los eventos A y A’ son eventos complementarios. Los eventos y son también eventos complementarios.
Ejemplo 05 Sean A y B eventos de . Si A y B son mutuamente excluyentes a) Exprese los eventos A
y B como la unión de dos eventos mutuamente
excluyentes
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b) Exprese los eventos A’ y B’ como la unión de dos eventos mutuamente excluyentes.
Solución
Figura 3.2
En el diagrama anterior distinguiremos tres niveles de grises: Gris 1, lo que corresponde a una parte de B; Gris 2, lo que corresponde a una parte de A y Gris 3, lo que está fuera de A y B.
Por definición
A - B = AB’ B - A = A’B Al evento A’ le corresponde el Gris 2 Al evento B’ le corresponde el Gris 1 Al evento A’B’ le corresponde el Gris 3 Al evento AB le corresponde la parte blanca
Según esto, a) A = AB AB’
B = AB A’B
b) Juntando la parte gris y azul, tenemos A’; es decir, A’ = A’B’ A’B Del mismo modo, gris y naranja es B’; es decir,
B’ = A’B’ AB’
Eventos mutuamente excluyentes
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Una colección de eventos A1, A2,..., An, definidos sobre un mismo espacio muestral, constituyen Eventos Mutuamente Excluyentes, si la ocurrencia de uno de ellos, excluye la ocurrencia de los otros; es decir,
AA i
j
, i j ; i, j 1,2,n
Eventos colectivamente exhaustivos
Se dice que una colección de eventos A1, A2,..., An , definidos sobre un mismo espacio muestral son Colectivamente Exhaustivos, si la unión de todos ellos es el espacio muestral; es decir,
A1 A2 An
n
A i 1
i
Ejemplo 06
Un portafolio de acciones contiene cuatro acciones comunes. Durante un determinado día de negociación, se define los siguientes eventos: A: “Más de la mitad de las acciones subirán de precio” B: “Más de la mitad de las acciones bajarán de precio” C: “Más de la mitad de las acciones no cambiarán de precio”
a) Exprese en palabras la ocurrencia de los siguientes eventos: AC y AB b) ¿Son los eventos A y B mutuamente excluyentes? ¿Y A y C? ¿Y B y C? c) ¿Son los eventos A, B y C colectivamente exhaustivos?
Solución a) El evento compuesto AB representa: “Más de la mitad de las acciones subirán o bajarán de precio”. El evento compuesto AB representa: “Más de la mitad de las acciones subirán y bajarán de precio”, esto no ocurre, por lo que AB es un evento imposible.
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b) Los eventos A y B sí son excluyentes porque cuando se pacta para una negociación, esta se realiza con los precios en alza o en baja, pero no tiene sentido en ambos. Los eventos A y C también son mutuamente excluyentes por el mismo razonamiento. Del mismo modo los eventos B y C se excluyen mutuamente ya que nadie (en su sano juicio) paga el mismo precio si las acciones están de baja o se mantienen constantes. c) No son exhaustivos ya que “más de la mitad” significa más del 50%; esto implica que si ocurre “más de la mitad” suben de precio, “menos de la mitad” podrían bajar de precio.
12.2
TÉCNICAS DE CONTEO
Principio de adición
Supongamos que los elementos de A se pueden agrupar de m maneras y del mismo modo los elementos de B se pueden agrupar de n maneras. El número de maneras de agrupar los elementos de A ó de B, sin que se repitan, es m + n;en otras palabras, podemos formar otro conjunto, digamos C, que constituye la unión de A y B. En este caso, n(C) = n(A) + n(B). En efecto, si A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, entonces n(C) = n(A B)= 9; es decir, el número de elementos que pertenezcan a los eventos A óB; es 9.
Principio de multiplicación
Supongamos ahora que se dispone de un mecanismo el cual se puede manifestar de m maneras; y otro mecanismo puede también manifestarse de n maneras; el número de maneras de manifestarse el primero y el segundo, es, m x n.
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En efecto, si el número de maneras de obtener una cara, al lanzar al aire tres monedas, es 3, y si el número de caras menores a 3, que se puede obtener al lanzar un dado, es 2, entonces, el número de maneras de obtener una cara con la moneda y un número menor a 3 con el dado, es 6; es decir, = {(SSC; 1), (SCS; 1), (CSS; 1), (SSC; 2), (SCS; 2),(CSS; 2)} Esquemáticamente
SSC
SCS
1
CSS
2 Figura 3.3
En general, si se dispone de r procedimientos donde el i-ésimo procedimiento puede ser ejecutado de ni maneras, entonces el número de maneras de ejecutar el procedimiento 1 y el procedimiento 2 y...y el procedimiento r, es ni n2 n3... nr . Visto desde la perspectiva de los conjuntos, si un conjunto tiene m elementos y otro conjunto tiene n elementos, el número de grupos (léase pares ordenados) que se puede formar con los dos conjuntos es m x n.
Permutación
Si de un conjunto de n elementos, deseamos obtener grupos de tamaño r cada uno, en los que interesa la ubicación de los elementos, el número de maneras de hacerlo se define como "permutaciones de n elementos tomados de r en r", el cual se denota por P(n,r) y se define como P(n, r) =
n! (n r )!
,n r
Del mismo modo:
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P(n, r) =
n! n(n 1)(n 2)...(n r 1) (n r )!
Si se considera la repetición de sus elementos, se tiene permutación con repetición: Pr(n, m) = nm
Permutaciones cuando no todos los elementos son diferentes. Si de un conjunto de n elementos, se desea formar grupos que contengan n1 elementos de una clase, n2 de una segunda clase,…, nk elementos de una k-ésima clase, con n = n1 + n2+…. + nk, entonces el número de permutaciones de esos elementos está dado por
P(n, n1 , n2 ,..., nk )
n! n1!n2!...nk !
Ejemplo 07
Cuántos cifras de tres dígitos se pueden formar con los dígitos decimales, a) si no se deben repetir los dígitos y no se considera el 0? b) Si no se deben repetir los dígitos y se considera el 0? c) Si se repiten los dígitos y se considera el 0?
Solución Ante todo, el número de dígitos decimales es 10; es decir, n = 10. Como se desea formar número de tres dígitos, entonces m = 3. Por otro lado, en cada grupo de tres dígitos nos interesa tomar en cuenta la ubicación de los mismos; el "grupo" 267 es diferente al 672; diferente al 762, etc. Esta es la razón por la cual debemos usar permutaciones: nos interesa el orden de ubicación de los elementos.
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a) Si no se considera el 0, disponemos de 9 dígitos, n = 9. Como ninguno de los nueve debe repetirse, P(9, 3) es la cantidad de números que podemos formar; es decir, P(9, 3) =
9! = 9x8x7 = 504 (9 3)!
b) Aquí, debemos tomar en cuenta n = 10, con lo que se tiene P(10, 3). Pero de esta cantidad debemos eliminar los casos en los cuales el dígito cero ocupa la primera posición. Según esto, la posición de las centenas puede ser ocupada solamente por los 9 dígitos (estamos eliminando el cero); esto no da P(9, 1) maneras. La posición de las decenas y de las unidades puede ser ocupada por cualquiera de los 9 dígitos restantes (donde sí se considera el cero); por lo que, el número de cifras de 2 dígitos será P(9, 2). Ahora, como debemos formar números tomando en cuenta la cantidad de maneras de obtener las centenas y la cantidad de maneras de obtener las decenas y unidades, usando el principio de la multiplicación, tendremos que El número de cifras es P(9, 1)xP(9, 2) = 648. c) Ahora sí debemos considerar permutaciones con repetición, por cuanto se permite la repetición de cualquiera de los diez dígitos en las posiciones de las decenas y unidades y sólo 9 de ellos en la posición de las centenas. Esto indica que el número de maneras será P(9, 1)xPr(10,2) = 9 x 102 = 900
Ejemplo 08
De cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres damas y tres varones en una banca, a) ¿Si no interesa la ubicación de entre ellos? b) ¿Si tanto las damas como los varones deben estar juntos? c) ¿Si sólo los varones deben estar juntos? d) ¿Si los varones ocupan los lugares impares?
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Solución A diferencia del respecto al ejemplo anterior, aquí las personas no pueden repetirse, pero sí interesa quién está junto a quién; por ello interesa el orden, por lo que usaremos permutación. a) Como no interesa la ubicación entre ellos, simplemente tenemos 6 elementos para formar grupos de 6 en 6. Por ello, el número de maneras será P(6, 6 ) = 6! = 720 b) Si las damas deben estar juntos, debemos contemplar de cuántas maneras pueden sentarse juntas; esto es P(3, 3). Del mismo modo, P(3, 3) es la cantidad de maneras en que los varones se sentarán juntos. Usando el principio de la multiplicación, P(3, 3)xP(3, 3) es el total de maneras. Algo más: las damas pueden sentarse a la izquierda o a la derecha. Esto genera dos maneras diferentes de formar cada uno de los P(3, 3)xP(3, 3) grupos. Luego, el total de maneras de sentarse será 2 x P(3, 3)xP(3, 3) = 2 x 6 x 6 = 72. c) Aquí sólo los varones deben estar juntos. El esquema siguiente refleja la situación. M
VVV M
M
Figura 3.4
El total de maneras de ubicarse los varones es P(3, 3). Tomémoslo como si fueran una unidad. Esta unidad puede insertarse antes, después y entre las tres damas. Esto implica que pueden ubicarse en 4 lugares diferentes. Como las damas se pueden ubicar de P(3, 3) maneras, el total de maneras pedido será 4 x P(3, 3) x P(3, 3) = 144
d) Si los varones deben ocupar los lugares impares, entonces deben sentarse en los lugares 1, 3 y 5. El número de maneras de ubicarlos es P(3, 3). Ahora bien, las damas ocuparán los lugares pares de P(3, 3) maneras. El número de maneras de ubicar a los varones en los lugares impares y a las damas en los lugares impares es, P(3, 3) x P(3, 3) = 36.
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Combinaciones Si de un conjunto de n elementos, deseamos obtener grupos de tamaño m cada uno, donde no interesa el orden de ubicación o selección de los elementos, el número de maneras de hacerlo se define como "combinaciones n elementos tomados de m en m",
n el cual se denota por C y se define como m n n! C m m!(n m)!
Ejemplo 09
Una firma comercial tiene 10 vendedores. ¿De cuántas maneras puede asignarse los vendedores en dos escritorios con a) Cinco vendedores en cada escritorio? b) Siete vendedores en un escritorio y 3 en el otro? c) Si ahora se dispone de 3 escritorios, de cuántas maneras se puede asignar 3 vendedores al primero, 3 al segundo y 4 al tercer escritorio?
Solución a) Puesto que cualquier vendedor puede sentarse en cualquiera de los 5 escritorios, el número de maneras de asignarse escritorios a los 5 primeros será C(10, 5). El otro escritorio puede ser asignado a los restantes 5 vendedores de C(5, 5) maneras. Luego, el número de maneras de asignar los dos escritorios a los 10 vendedores es C(10, 5)x C(5, 5); es decir C (10,5) x(C (5,5)
10 x9 x8 x7 x6 x1 252 5 x4 x3x2
b) En este caso C(10, 7) es el número de maneras de asignar el primer escritorio a 7 de los vendedores. Los restantes 3 se ubican en el segundo escritorio, de una sola manera. Luego C(10, 7) = 120 es el total de maneras de lograr lo pedido.
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c) Siguiendo el mismo razonamiento: Tres vendedores son asignados de C(10, 3) maneras. Los siguientes 3 se asignan de C(7, 3) maneras y los restantes 4 se asignan de C(4, 4) maneras en el tercer escritorio. Esto es, de C(10, 3) x C(7, 3) x C(4, 4) = 120 x 35 x 1 = 4200 maneras.
Ejemplo 10
Un testigo de un accidente automovilístico informa a la policía que la placa del automóvil que originó el accidente era amarilla y comenzaba con la letra A y terminaba en 5. ¿Cuántos automóviles deberá investigar la policía de la ciudad de Lima a fin de ubicar al vehículo en cuestión?
Solución Como sabemos, en Lima todas las placas amarillas están formadas de 3 letras y 3 dígitos. A
5
Siendo la primera letra A, la segunda y tercera letras pueden ser escogidas de Pr(26, 2) maneras; es decir, de 26² maneras. Del mismo modo, los dos dígitos que faltan pueden ser elegidos de Pr(10, 3) = 1000 maneras. Luego el número de placas que debe investigar la policía es 26²x1000 = 676000.
12.3
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD. TEOREMAS BÁSICOS
La Teoría de la Probabilidad nos dirá que para medir la ocurrencia de un evento existen tres formas equivalentes:
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a) Mediante el concepto de frecuencia relativa b) Mediante el concepto de probabilidad clásica c) Mediante la forma axiomática
Antes de continuar veamos el siguiente experimento realizado en Excel:
Este ejemplo consiste de dos experimentos realizados por el autor: a) Lanzar una moneda 100 veces y observar el número de veces que sale cara b) En MS EXCEL, realizar simulaciones de lanzamiento de una moneda mediante el uso de números aleatorios, y observar los resultados
Resultados
a) En este caso, luego de lanzar al aire una moneda de S/. 5.00 obtuve los siguientes resultados: Número de caras
48
Número de sellos
52
Según lo dicho anteriormente, f = Casos favorables n = Casos posibles
48 100
Si dividimos f entre n obtenemos 0.48. Esto significa que en el 48% de las veces obtuve cara.
b) La siguiente imagen muestra los resultados de la simulación, usando Excel. Debemos indicar que estos resultados se ha obtenido sin haber fijado los números aleatorios que se generaron inicialmente2 y habiéndolos dejado “flotar”, y estando activado el re cálculo automático. En esta figura se muestra la frecuencia del número de caras obtenidas.
2
Como es fácil de comprobar, cuando una hoja de cálculo posee alguna fórmula que depende de una celda cuyo contenido ha sido generado usando la función "=Aleatorio()" o cualquier otro nombre en otro que no sea Excel, y al dejar activado el re cálculo automático, cada nueva fórmula o cálculo introducido en cualquier parte de la hoja, genera un nuevo valor en todas las celdas ya que toda la hoja se re calcula.
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Figura 3.5
Observando la gráfica para las tres situaciones vemos sorprendentemente que la frecuencia, porcentaje o proporción de caras tiende a ser constante; y analizando los datos numéricos, encontramos que, muy cerca de la mitad del número de lanzamientos corresponde a las veces que ha salido cara y la otra mitad a sello. En efecto, en promedio, luego de las diez simulaciones, casi exactamente el 50% de las veces ha ocurrido cara y 50% de las veces ha ocurrido sello. Esto me autoriza a decir que si lanzo al aire una moneda, una sola vez, la confianza que tengo de que salga cara es de 50%, es decir de 1/2?
Y si ahora lanzo un dado, tendré la confianza del 16.6667%, es decir de 0.16667 de que la cara superior obtenida sea 4? ¿Y que la confianza aumenta a 1/2 si la cara mostrada es par? Finalmente, ¿querrá esto decir que, sujeto a resultados previos en otros experimentos; es decir, sujeto a resultados y datos históricos de otros ensayos o experimentos, puedo planificar acciones futuras con la certeza que me proporcione esta forma de medir resultados favorables respecto a resultados posibles en la realización de un experimento? .... Interesante ¿no?
En ambos ejemplos y de lo verificado con los experimentos, debemos ser capaces de cuantificar la relación que existe entre los resultados favorables y los resultados
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posibles. ¿Podríamos usar el concepto de proporción de resultados que favorecen la ocurrencia de un evento, que como hemos visto nos ofrece conclusiones muy interesantes? Sea como proporción, como porcentaje o como fracción, ¿no estaremos "midiendo" la ocurrencia de un evento en particular, es decir la medida de un resultado favorable respecto a los resultados posibles?
En efecto, la Teoría de Probabilidades nos dirá que la forma de medir la ocurrencia de un determinado evento, digamos A, dentro de un espacio muestral , el cual está asociado a un experimento , constituye la Probabilidad de la ocurrencia de dicho evento, lo cual se denotará por P(A)
Definición de probabilidad como una frecuencia relativa Supongamos que el experimento se repite un número de veces muy grande. Sea el espacio muestral asociado a , donde n() = n. Supongamos que el evento A ocurre un número determinado de veces, digamos nA , es decir, n(A) = nA . Diremos que P(A) representa la probabilidad de la ocurrencia del evento A, la que se define como la frecuencia relativa del número de ocurrencias del evento respecto al número de veces que se ha realizado el experimento; es decir, P( A)
n
A
n
Definición clásica de probabilidad Supongamos que el experimento se repite un número determinado de veces. Sea el espacio muestral asociado a , donde n() = n. Supongamos que el evento A ocurre un número de veces, digamos nA , es decir, n(A) = nA . Diremos que P(A) representa la probabilidad de la ocurrencia del evento A y se define como la razón
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entre el número de casos favorables a la ocurrencia de A, sobre el número de casos posibles; esto es,
P( A)
n( A n()
n
A
n
Definición axiomática de probabilidad Sea un experimento y el espacio muestral asociado a . Sea A un evento de , de tal manera que A . A cada evento A, le asociamos una función real, denotado por P(A) siempre que se satisfaga las siguientes propiedades:
i)
0 P(A) 1
ii)
P() = 1
iii)
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(AB) = P(A) + P(B)
iv)
Si A1 , A2 , A3 … An … son eventos que se excluyen mutuamente, dos a dos, entonces
P( Ai ) i 1
P( A1) P( A2) P( An)
Probabilidad del evento complementario Si A’ es el evento complementario de A, entonces P(A’) = 1 – P(A)
Probabilidad de la unión de dos eventos cualquiera Si A y B son dos eventos cualquiera de , entonces
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P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Figura 3.6
En el caso de tres eventos: Si A, B y C son tres eventos cualquiera de entonces, P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P( AC) - P( AB) + P( ABC)
Ejemplo 11
El neumático del auto de un alumno tiene un clavo y el 20% del neumático es visible. Si el automovilista se detiene, ¿cuál es la probabilidad de que el clavo quede en la parte visible?
Solución
En la siguiente figura cada sector representa la quinta parte del círculo.
V
Si suponemos que el sector V es el sector visible y definimos al evento A: “El sector V es visible”, entonces P(A) = 1/5 = 0.20 Figura 3.7
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Ejemplo 12
Sea P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(C)=0.7, P(AB) = 0.2, P(AC)=0.2, P(BC) = 0.2 y P(ABC)=0.1. Evalúe las siguientes probabilidades. a) P(A B C) b) P(A B C’) c) P(A B)
P(AB’)
d) P(A’ B’ )
P(AB)
e) P(A’C’)
P(ABC)
f) P(A’B’C’) Figura 3.8
Solución
a) Por propiedades sabemos que P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) = 0.4 + 0.5 + 0.7 – 0.2 – 0.2 – 0.2 + 0.1 = 0.11 b) P(A B C’) = P(A) + P(B) + P(C’) – P(AB) – P(AC’ ) – P(BC’ ) + P(ABC’ ) Como P(C’) = 1 – P(C) Si P(A)=0.4, P(AC’ ) = P(A) – P(parte naranja) – P(parte roja) = 0.4 – 0.1 –0.1 =0.2
Si P(B)=0.5, P(BC’) = P(B) – P(parte roja) – P(parte verde) = 0.3 P(ABC’) = P(parte azul) = P(AB) – P(ABC) = 0.1 Luego P(A B C’) = 0.4 + 0.5 + (1-0.7) – 0.2 – 0.3 + 0.1 = 0.8 c) P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.4 + 0.5 – 0.2 = 0.7
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d) P(A’ B’ ) = P[(AB)’] = 1 – P(AB) = 1 – 0.7 = 0.3. e) P(A’ C ’) = P[(A C)’] = 1 – P(A C) = 1 – ( 0.4 + 0.7 – 0.2) = 0.1 f) Como A’B’C’ = (A B C)’, y
de
a)
tenemos P(A B C) = 0.11,
entonces P(A’B’C’) = P(A B C)’ = 1 - P(A B C) = 1 – 0.11 = 0.89
Ejemplo 13
¿Cuál o cuáles de los siguientes incisos representan eventos que son: (1) colectivamente exhaustivos, (2) mutuamente excluyentes dos a dos?
a) P(A) = 0.6, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1, P(AB) = 0.0 b) P(A) = 0.1, P(B) = 0.4, P(C) = 0.5, P(A B ) = P(C), P(A C) = 0.6 y P(BC) = 0 c) P(A) = P(B) = 0.2, P(C) = 0.6, P(AB) = 0, P(A C)= P(B C) = 0.8 d) P(A) = P(B) = P(C) = 0.35, P(AB) = P(AC) = 0
Solución Ante todo, recordemos que: i)
A, B, C son eventos colectivamente exhaustivos si A B C = .
ii)
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no ocurren ambos a la vez.
iii) En este caso, como A B C = , entonces se cumple que P(A B C)=1.
Veamos: a) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC). Como P(AB) = 0, entonces AB = , con lo cual, P(ABC) = 0.
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Si por otro lado, P(A) + P(B) + P(C) = 0.9, al restarle los otros términos seguirá siendo menor que uno, con lo cual diremos que A, B y C no son colectivamente exhaustivos. Del mismo modo, no son mutuamente excluyentes dos a dos, a pesar de P(AB) = 0, ya que si así fuera, P(A B C) sería uno, lo que no es cierto. b) Si P(BC) = 0, entonces P(ABC) = 0 ya que ABC = . Como 0.5=P(C )=P(AB)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0.1 + 0.4 – P(AB) con lo cual P(AB)=0. Del mismo modo, si P(A C) = 0.6, podemos concluir que P(AC) = 0 (¿?). Por tanto, A, B y C son colectivamente exhaustivos ya que P(A B C ) = 1.0
Son también mutuamente excluyentes ya que P(AB) = P(AC) = P(BC) = 0 c) Como en el caso anterior, si P(AB) = 0, entonces P(ABC) = 0; con lo cual diremos que los eventos son mutuamente excluyentes dos a dos. Por otro lado, y siguiendo el mismo razonamiento del caso anterior, los tres eventos A, B y C son colectivamente exhaustivos.
d) Con los datos de la pregunta, P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) = 0.35 + 0.35 + 0.35 - 0
-0
- P(BC) + 0
Como P(A B C) no puede ser mayor que uno, P(BC) debe ser 0.05. Esto indica que -
los tres eventos no son colectivamente exhaustivos
-
los pares de eventos A, B y A, C son mutuamente excluyentes, pero B y C no lo son.
Ejercicio 01 Sean X, Y y Z eventos de . Supongamos que P(X) = 0.7, P(Y) = 0.5, P(XY’) = 0.3 y P(XY’Z’) = 0.1. Evalúe
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a) P([X (X’Y)]’)
c) P(X’ Y’Z)
b) P(XY [X X’Y’ ]
d) P(X’Y XY’ )(exactamente ocurre uno)
Ejercicio 02 Si P(X) = 0.5, y P(X (Y’Z’ )’ ) = 0.8, determinar P(X’ (Y Z))
Ejercicio 03 Sean X, Y, Z eventos de . Exprese en términos de P(X), P(Y), P(Z), P(XY), P(XZ) y P(XYZ), para k = 0, 1, 2, 3 la probabilidad de que
a) ocurran exactamente k de los eventos X, Y, Z b) ocurran por lo menos k de los eventos X, Y, Z c) ocurran cuando menos k de los eventos X, Y, Z
Ejemplo 14
Yaco se presenta a dos universidades A y B. Su padre estima la probabilidad de que logre ingresar a la Universidad A en 0.8; a la Universidad B, en 0.75; en, al menos una de ellas, en 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a ambas universidades?
Solución. Según los datos, P(A) = 0.8, P(B) = 0.75, P(A B ) = 0.95. Debemos hallar P(AB). De 0.95 = P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.8 + 0.75 – P(AB), obtenemos P(AB) = 0.6 Y como AB es el evento “ingresar a ambas universidades”, la probabilidad pedida será 0.6
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Sugerencia: Represente los eventos usando Diagramas de Venn para visualizar el problema.
Ejemplo 15
De una urna que contiene dos bolas rojas, una azul y tres verdes, se extraen aleatoriamente dos de ellas. Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean verdes o una roja y otra azul.
Solución Sea A: “las dos bolas extraídas son verdes” B: “la primera bola es roja y la segunda azul” Debemos encontrar P(A B ). Aunque el problema no lo dice, supondremos que la primera bola extraída no es devuelta a la urna. Es decir, se realiza experimentos sin reposición por lo que los casos posibles y favorables se obtiene usando combinaciones. Es equivalente si se extrae las dos bolas a la vez
Lugo el número de maneras de extraer dos bolas de un total de 6, es C(6, 2) Dos verdes se obtiene de C(3, 2) maneras. Luego P(A) = C(3, 2) / C(6,2) = 3/15 Otra forma de obtener P(A): La probabilidad de obtener una verde en la primera extracción es 3/6. La probabilidad de obtener verde en la segunda, sabiendo que ya salió en la primera, es 2/5 (ya que sólo quedan 5 de las cuales dos son verdes). Luego la probabilidad de que salgan verde la primera y verde la segunda, es (3/6)(2/5) = 3/15.
Por otro lado, usando cualquiera de las formas, P(B) = (2/6)(1/5) = 1/15 Por tanto, P(A B) = P(A) + P(B) = 3/15 + 1/15 = 4/15. (A y B son mutuamente excluyentes)
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Ejemplo 16
Un conjunto de alumnos tienen acceso a tres páginas de Internet: Web1, Web2 y Web3. Una encuestadora de opinión realizó una consulta y obtuvo los siguientes resultados. El 20% de los alumnos acceden a la página Web1, 30% acceden a Web2 y 25% acceden a Web3; 10% acceden a Web1 y Web2; 8% acceden a Web1 y Web3; 12% acceden a Web2 y Web3; 3% acceden a las tres páginas. Si se selecciona a un alumno, ¿cuál es la probabilidad de que acceda a una de las tres páginas?
Solución El siguiente diagrama adjunto muestra la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los sectores del mismo. Tomando en cuenta el diagrama anterior, definamos los siguientes eventos: B
A
0.07 0.11
0.05
0.03
0.08
C
Figura 3.9
A: “Acceden a la página Web1” B: “Acceden a la página Web2” C: “Acceden a la página Web3” Sean W el evento: “Accede por lo menos a una página”. Según esto, “accede por lo menos a una página” está representado por A B C. Luego P(W) = P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(AC) + P(ABC) = 0.20 + 0.30 + 0.25 – 0.10 – 0.08 – 0.12 + 0.03
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= 0.48
Otra forma: “Acceder a por lo menos a una página” es el complemento del evento W’: “Acceder a cero páginas”. Esto implica que P(W) = 1 - P(W’ ) = 1 - P(A’ B’ C’ ) = 1 - 0.52 (en la figura, todo lo que no está en A, B y C).
Ejercicio 04
Un agente vendedor intenta colocar un determinado producto a tres de sus probables clientes A, B y C. La probabilidad de que el cliente A o B, pero no C compren el producto, es 0.65, la probabilidad de que el primero y el segundo compren, es 0.20. La probabilidad de que haga la primera venta pero no la tercera es 0.25. La probabilidad de que ni el primero ni el segundo compren, es 0.25; la probabilidad de que no compre el segundo pero sí el tercero, es 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los dos primeros, pero no el tercero, compren?
12.4
PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea el espacio muestral asociado al experimento . Sea A y B dos eventos de . Supongamos que el evento A, ya ha ocurrido con P(A) > 0. Según esto, diremos que P(B/A) representa la “probabilidad condicional de que ocurra el evento B, sabiendo que ha ocurrido el evento A”, el cual se define como P( B / A)
P( A B) , dado que P(A) > 0. P( A)
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Esquemáticamente, supongamos que la probabilidad de que el evento A ocurre, es de 0.40. Si ocurre A, la probabilidad de que ocurra B, es 0.20; si no ocurre A, la probabilidad de que B ocurra es 0.30. En el diagrama siguiente, conocido como Diagrama de árbol, se muestra estas probabilidades. Observe que en la primera “etapa” hablamos de la ocurrencia o no del evento A; en la segunda “etapa”, estamos interesados en averiguar la ocurrencia o no, de B.
P(B/A) P(A)
B
A P(B’/A)
Según los datos: P(A’)
B’ B
Figura 3.10
P(B/A’)
A’
P(A) = 0.40 P(A’) = 0.60
P(B’/A’)
B’
P(B/A) = 0..20 P(B’/A) = 0.80 P(B/A’) = 0.30 P(B’/A’) = 0.70
Teorema de la multiplicación
De la definición de probabilidad condicional, podemos extraer las siguientes ecuaciones: P( A B) P( A / B) P( B) igualmente P( A B) P( B / A) P( A)
A estas dos ecuaciones se les conoce como el teorema de la multiplicación o probabilidad de la intersección. Es decir, la probabilidad de que ocurran los dos eventos simultáneamente, sabiendo que uno de ellos ya ocurrió, es el producto de la probabilidad de la ocurrencia del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero, por la probabilidad de la ocurrencia del primero.
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En general: Sean A1, A2 ,... An , eventos del espacio muestral . Si suponemos que todas las probabilidades existen, entonces P( A1 A2 ... An) P( A1) P( A2 / A1) P( A3 / A1 A2)...P( An / A1 A2 ... An 1)
Ejemplo 17
Si P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 y P(AB) = 1/4 , evaluar P(AB), P(A/B), P(B/A) y P(AB/B).
Solución P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 7/12 P(A/B) =
P( AB ) 1 / 4 3 P( B) 1/ 3 4
P(B/A) =
P( AB ) 1 / 4 1 P( A) 1 / 2 2
Evaluemos P(AB/B). Si (AB) B = B entonces P(AB/B) = 1
Ejemplo 18
Dos radios defectuosos son mezclados con otros dos buenos. Se prueban los radios, de uno en uno hasta encontrar los dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de queel a) último radio defectuoso sea encontrado en la segunda prueba? b) el último radio defectuoso sea encontrado en la tercera prueba?
Solución Sea A: “El último radio defectuoso es encontrado en la segunda prueba”
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B: “El último radio defectuoso es encontrado en la tercera prueba”
En el diagrama de la figura 3.11,
a) El segundo defectuoso sale en la segunda prueba con P(A) = P(D2/D1) P(D1 )= 1/6
1ra. Prba.
2da. Prba.
3ra. Prba.
4ta. Prba.
D2 D1
D3 D’2
D4 Fig. 3.11
D’3 D3 D2
D4 D ‘3
D’ 1 D’2
D3
D4
b) El Segundo defectuoso sale en la tercera prueba de dos maneras: Que en la segunda salga D2’ habiendo salido D1 en la primera: Que en la segunda salga D2 habiendo salido D1’ en la primera Esto es P(B) = P(D3 / D2 ‘ )P(D2‘ / D1) P(D1 ) + P(D3 / D2 )P(D2 / D1 ‘)P(D1 ‘) = 1/2 x 2/3 x2/4 + 1/2 x 2/3 x2/4 = 1/3
Ejemplo 19
Piero Petroni tiene dos vehículos para trasladarse a su centro de trabajo. Como consecuencia de haberlo sometido a grandes jornadas de trabajo, los dos vehículos
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tienen problemas en el momento del arranque inicial. La probabilidad de que uno u otro arranquen es 0.1; la probabilidad de que arranque el segundo, pero no el primero, es 0.2; la probabilidad de que ninguno de ellos arranquen es 0.4. Hallar la probabilidad de que El primer vehículo arranque Arranque el primero, sabiendo que el segundo arrancó. Arranque el segundo, si el primero no arrancó
Solución Sean los eventos A: “El primer vehículo arrancó”
A
B
B: “El segundo vehículo arranco”
Por los datos del problema, tenemos P(AB ) = 0.1;
Figura 3.12
P(A’B ) = 0.2; P(A’B’ ) = 0.4
En este caso debemos hallar, la probabilidad de A. Empecemos encontrando B, en base a los datos del problema. Según el diagrama, B es la “suma” de los eventos AB y A’B. Es decir, pretendemos encontrar una ecuación cuya variable sea B el cual debe estar formado por eventos mutuamente excluyentes, pero con probabilidad de ocurrencia conocidas. De allí que no expresemos a A, como la “suma” de AB y AB’, ya que no sabemos de P(AB’ ). En efecto B = AB AB’, de donde, P(B) = P(AB)+ P(A’B )=0.1+0.2 = 0.3 Como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B), y también P(A B) = 1 – P(A’B’) Luego P(A) + P(B) – P(AB) = 1 – P(A’ B’ ), de donde, P(A) = 1-0.4-0.3+0.1= 0.4
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Debemos hallar la probabilidad de que ocurra A, dado que ya ocurrió B, es decir, P(A/B). Por definición, P( A / B)
P( A B) 0.1 1/ 3 P( B) 0.3
En este caso, debemos hallar P(B/A’). Por definición de probabilidad condicional, tenemos P( B / A' )
P( A'B) 0.2 1/ 3 P( A' ) 1 0.4
Ejemplo 20
Una urna contiene 8 canicas blancas y 4 canicas negras. Se extrae una muestra de tamaño 4, a) en el primer caso se devuelve la canica extraída, b) en el segundo, la canica extraída se retira. Encuentre la probabilidad de que la canica observada en la tercera extracción, haya sido blanca, si se sabe que se extrajeron 3 canicas blancas.
Solución Definamos los eventos: A: “Se extrajeron tres canicas blancas” y B: “La tercera canica extraída es blanca”. Según esto, debemos encontrar P( B / A)
P( A B) P( A)
Caso a) La muestra se selecciona con reposición
En este caso, la probabilidad de extraer una canica blanca, es la misma en cualquiera de las cuatro oportunidades, 8/12.
Ahora bien, si bien P(B/A) no ofrece ningún inconveniente en calcular por definición, sí debemos tomar nota que P(AB) y P(A), no son directos. En efecto, A consiste en extraer tres canicas blancas, de un total de 4 que contiene la muestra. Como las canicas son indistinguibles, el número de maneras de seleccionar 3 canicas blancas de un total de 4, constituye una combinación de 4 elementos, tomados de 3 en 3, C(4,3). Como
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cada una de las canicas blancas puede repetirse, el número de maneras de seleccionarlas constituye una permutación con repetición, de 8 canicas tomados de 3 en 3. Con esto, tenemos una muestra, digamos BNBB; una negra se obtiene como una combinación de 4 elementos tomados de uno en uno, C(4,1). Con todo ello, el número de casos favorables a que ocurra A es n(A) = C(4,3)x 83 x C(4,1). El número total de maneras de seleccionar cuatro canicas del total de 12, donde cada una de ellas puede repetirse hasta cuatro veces, constituye una permutación con repetición; es decir, Pr(12, 4). Luego, la probabilidad de la ocurrencia de A se evalúa
3
P( A)
nro. casos favorables, n( A) C (4,3)8 xC (4,1) 4 nro. casos posibles , n() 12
Encontremos ahora, P(AB). Una muestra de AB es “BNBB”, de los cuales tenemos 4 casos. Ahora debemos tomar en cuenta que la segunda B es fija, con lo cual, el número de maneras de obtener el grupo es C(3,2); y como por permutación obtenemos las tres canicas, el número de casos favorables de AB es n(AB) = C(3,2)x 83 x C(4,1). Luego, la probabilidad pedida será
3
C (4,3) 8 xC (4,1) 4
P( B / A)
P( A B) 123 P( A) C (3,2) 8 xC (4,1)
3 4
4
12
Caso a) La muestra se selecciona sin reposición
En este caso, n() está formado por grupos de 4 canicas que pueden ubicarse en cuatro formas diferentes (puede considerarse: posiciones diferentes), lo que constituye el número de permutaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4, P(12,4). En cuanto a la ocurrencia del evento A, “NBBB”, es una muestra de lo que se desea; en donde, las tres blancas se obtienen como C(4,3), la canica negra, C(4,1) y como estas blancas son
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elegidas del total de 8, esto constituye una permutación de 8 elementos tomados de 3 en 3, es decir, P(8,3). Finalmente, n(A) =. C(4,1)xP(8,3)xC(4,1), P( A)
C (4,1) P(8,3)C (4,1) 224 P(12,4) 495
En el caso de n(AB), una muestra representativa podría ser “BNBB”, donde fijamos B en la tercera posición. Estas tres canicas se pueden ordenar como C(3,2), se pueden elegir como permutaciones de 8 de 4 en 4, P(8,3) y la canica negra se elige como C(4,1); con lo cual P( A B)
C (3,2) P(8,3)C (4,1) 56 P(12,4) 165
56 Luego. P(B/A) = 165 0.75 224 495
Ejemplo 21
IMAGINA está construyendo un edificio en un clima de aparente calma. La probabilidad de que la construcción se termine a tiempo es 17/20. La probabilidad de que no haya huelga es 3/4; la probabilidad de que la construcción del edificio se termine a tiempo, dado que no hubo huelga, es 14/15; la probabilidad de que no haya huelga y no se termine la construcción a tiempo, es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad de que: la construcción se termine a tiempo y no haya huelga? no haya huelga, dado que la construcción se terminó a tiempo? la construcción no se termine a tiempo, si hubo huelga?
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la construcción no se termine a tiempo, si hubo huelga? T
9/10 1/4
H 1/10
3/4
T’ T 14/15
H’ Figura 3.13
1/15
T’
Solución Definamos los siguientes eventos: H: “Haya huelga” T: “La construcción se terminó a tiempo Según los datos, y tomando en cuenta el diagrama: P(T) = 17/20 , P(H’ ) = 3/4 , P(T/H’ ) = 14/15, P(HT’ ) = 1/10 Debemos hallar P(TH’). Del diagrama podemos deducir que el evento TH’ proviene del tercer ramal condicional, ya que
P(T / H ' )
P(T H ' ) de donde P(TH’) = P(H’)P(T/H’) = 3/4x14/15 = 0.7 P( H ' )
El evento condicional “No haya huelga, dado que la construcción se terminó a tiempo” es H’/T, por lo que, de acuerdo a lo encontrado en a)
7 P( H 'T ) 10 14 P( H ' / T ) 14 P(T ) 17 15 En este caso el evento condicional es T’/H. Por lo que P(T ' / H )
P( H T ' ) 1/ 10 2 0.4 P( H ) 1/ 4 5
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Finalmente, P(T ' / H ' )
P( H 'T ' ) 1 . Observando el diagrama, este es un dato P( H ' ) 15
Ejemplo 22
Dos amigos, A y B, participan de un juego que consiste en extraer, alternadamente, una canica de una urna que contiene 7 canicas rojas y 5 blancas. El juego se repite hasta que uno de ellos extrae una canica blanca, en cuyo caso gana y termina el juego. Si el amigo A inicia el juego, ¿cuál es la probabilidad de que gane?
Solución Sea el Gi el evento: “El amigo A obtiene la canica blanca en el i-ésimo juego y gana” Pi el evento: “El amigo A no obtiene la canica blanca en el i-ésimo juego y pierde”
1
GA
GB
GA
GB
GA
GB
GA
2
3
4
5
6
7
8
PA
PB
PA
PB
PA
PB
PA
GB
Figura 3.14
El diagrama anterior muestra la secuencia del juego. Como se puede ver, empieza jugando A; si extrae una canica blanca, gana con probabilidad P(GA) = 5/12; pierde con P(PA)=7/12, en cuyo caso juega B; si extrae una blanca gana, con P(GB) = 5/11; pierde con P(PB)=6/11. Vamos a preocuparnos por evaluar la probabilidad de que gane A. Sea X el evento “Gana A”. Podemos expresar a X como una unión de eventos condicionales según se indica:
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X = G1 G3/PA/PB G5/PA/PB/PA/PB G7/PA/PB/PA/PB/PA
P(X) =P(G1 ) + P( G3/PA/PB ) + P( G5/PA/PB/PA/PB ) + P( G7/PA/PB/PA/PB/PA )
P(X) =
5 7 x6 x5 7 x6 x5 x4 x5 7 x6 x5 x4 x3x2 x5 62 0.63 12 12 x11x10 12 x11x10 x9 x8 12 x11x10 x9 x8 x7 x6 99
Ejemplo 23
En una ciudad, el 70% de los adultos escuchan radio; el 40% lee periódico; y el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio, el 30% lee periódico y el 4% ve TV; el 90% de los que ven TV, leen periódico; y sólo el 2% de la población total, lee periódico, ve TV y escucha radio. Si se elige una persona al azar, cual es la probabilidad de que lea periódico, escuche radio o vea TV vea televisión, sabiendo que lee periódico.
Solución Sean los eventos Pe: Leen periódico Ra: Escuchan radio Tv: Ven televisión Según los datos: P(Pe) = 0.70; P(Ra) = 0.40; P(Tv) = 0.10. Por otro lado, tenemos las probabilidades: P(Pe/Ra) = 0.30; P(Pe/Tv) = 0.90; P(Tv/Ra) = 0.04; P(Pe Ra Tv) = 0.02 Aquí debemos hallar: P(Pe Ra Tv). P(Pe Ra Tv) = P(Pe)+P(Ra)+P(Tv)-P(PeRa) – P(RaTv) – P(PeTv)+ P(PeRaTv) = 0.70 + 0.40 + 0.10 –P(Ra)P(Pe/Ra)-P(Ra)P(Tv/Ra)-P(Tv)P(Pe/Tv) +0.02 = 1.2 - .70x0.30 – 0.70x0.04 – 0.1x0.90 + 0.02 = 0.872 Debemos encontrar la probabilidad del evento “Tv/Pe”. Según esto
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P(Tv/Pe) = P(Tv Pe)/P(Pe) = 0.11/0.40 = 11/40.
Ejemplo 24
La urna 1 contiene x bolas blancas e y bolas negras. La urna 2 contiene z bolas blancas y v bolas rojas. Se extrae una bola de la urna 1 y se deposita en la urna 2; luego se extrae una bola de esta segunda urna. Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea blanca?
B B
xy
r v
Figura 3.15
R
Figura 3.16
Solución Las figuras3.15 y 3.16 muestran la realización del experimento y el diagrama de árbol correspondiente. Sea Y el evento: “La segunda bola extraída sea blanca”.
Según la figura 3.16, bola blanca se obtiene por dos ramas del árbol, como nos lo muestran las flechas. En la primera rama debemos obtener la probabilidad de que la primera bola haya sido blanca y la segunda sea blanca; y en la segunda rama opcional, la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea blanca; es decir Y = Y B Y R.
Usando propiedades, tenemos P(Y) = P(Y B) + P( Y R) = P(B)P(Y/B) + P(R)P(Y/R)
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(
x z 1 y z )( )( )( ) x y z v 1 x y z v 1
Ejemplo 25
Se almacenan, en un mismo depósito, dos tubos buenos con otros dos defectuosos. Se prueban los tubos de uno en uno, hasta encontrar los dos defectuosos. Cuál es la probabilidad de que ¿el último tubo defectuoso sea obtenido en la segunda prueba? ¿el último tubo defectuoso sea obtenido en la tercera prueba? ¿el último tubo defectuoso sea obtenido en la cuarta prueba?
Solución Los elementos del espacio muestral son: DD, DBD, BDD, BDBD, BBDD, DBBD. Sea X el evento “El segundo defectuoso se obtiene en la segunda prueba”. P(X) = P({DD}) = (2/4)(1/3) = 1/6 Sea X el evento “El segundo defectuoso se obtiene en la tercera prueba”. P(X) = P({DBD, BDD}) = (2/4)(2/3)(1/2) + (2/4)(2/3)(1/2) = 1/3 Sea X el evento “El último defectuoso se obtiene en la cuarta prueba” P(X) = P({BDBD, BBDD, DBBD}) = (2/4)(2/3)(1/2)(1) + (2/4)(1/3)(2/2)(1) + (2/4)(2/3)(1/2)(1) =1/2
12.5
PROBABILIDAD TOTAL
Partición de un espacio muestral Sea el espacio muestral asociado al experimento . Sean B1, B2, B3,..., Bk eventos de . Diremos que B1, B2, B3,..., Bk constituye una partición del espacio muestral , si se satisface las siguientes condiciones:
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i) Bi Bj = i j , con i, j = 1, 2, … k. ii) P(Bi ) 0, i = 1, 2, …, k k
iii)
B i 1
i
En la figura adjunta, podemos apreciar que los eventos Bi no son vacíos; la unión de todos ellos genera el espacio muestral; y son eventos mutuamente excluyentes, dos a dos. B3
B2
B8
Figura 3.17
B1
B4
B6
Luego la secuencia de eventos B1, B2, B3,..., Bk constituye una partición de .
Ejemplo 26 Sea el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados por una sola vez. En este caso = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),..., (6,4),(6,5),(6,6)}. SeaB1 : “La caras superiores son iguales” B2 : “La suma de las caras es igual a 5” B3 : “El producto de las caras es 12” B4 : “La suma de las caras es 11” B5: “El producto de las caras es 32” B6: “Los números de las caras mostradas es (4,5)
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La colección de eventos B1, B2, B3, B4, B5, B6 constituye una partición de. Dejamos para el lector la comprobación del mismo.
Teorema de la probabilidad total Sea B1, B2, B3,…, Bk, una partición de eventos del espacio muestral . Sea A un evento cualquiera de . Entonces P( A) P( B1) P( A / B1) P( B2) P( A / B2) ... P( Bk ) P( A / Bk )
donde P( A / B j ) 0 , j 1, 2, ... k
A B4 B8 B3
B5
B6
Bk
Figura 3.18
Según el diagrama de Venn de la Figura 3.18, el evento A es un evento compuesto que puede ser expresado como A A B1 A B2 ... A Bk
Tomando probabilidades a ambos lados de la igualdad tenemos P( A ) P( A B1 A B2 ... A Bk ) = P( AB1 ) P( AB2 ) ... P( ABk )
(1)
Recordando que A ocurre sabiendo que Bj ya ha ocurrido, podemos usar la probabilidad condicional para encontrar la probabilidad de cada uno de los términos de la suma, ya que
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P( A / B j )
P( A B j ) P( B j )
de donde
P( A B j ) P( B j ) P( A / B j )
Aplicando esto a cada uno de los términos de (1), tenemos P(A) P( B1) P( A / B1) P( B2) P( A / B2) ... P( Bk ) P( A / Bk ) Ejemplo 27
Una encuesta realizada en el centro de Huacho, encontró que el 70% de los vehículos que se desplazaban por sus principales arterias, presentaban fuerte emanación de monóxido de carbono. De todos estos vehículos, el 80% eran de transporte público. De aquellos que no despedían monóxido, sólo el 10% eran de transporte público. Si un día determinado, nos ubicamos en la esquina de las avenidas Echenique y 28 de Julio, y elegimos un vehículo cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al transporte público?
Solución Sean los eventos: G: “El vehículo seleccionado emite monóxido” T: “El vehículo seleccionado perteneceal transporte público” T
M T’
Fig. 3.19
En el diagrama de árbol de la figura 3.19 podemos apreciar, según nos muestra
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las flechas, que el evento T ocurre dedos formas: Que sea de transportepúblico(T) y emita monóxido (TM) oque sea de transporte público y no emitamonóxido (TM’ ). Por ello, T = TM TM’. Y como los eventos M y M’ forman una partición de , podemos aplicar el Teorema de la Probabilidad Total. Por lo que P(T) =
P(M)P(T/M) + P(M’ )P(T/M’ )
= 0.7 x 0.8 + 0.3 x 0.1 = 0.59
Ejemplo 28
Una máquina es sometida a evaluación. Por recientes resultados, se sabe que el 20% de los productos que elabora, son defectuosos. Si el control del rendimiento se le encarga a un técnico, la probabilidad de que diagnostique correctamente cuando el producto es defectuoso, es 0.85, mientras que se equivoque en su diagnóstico, es 0.35. Si se elige un producto controlado por dicho técnico, calcule la probabilidad de que a) sea un producto diagnosticado como defectuoso b) sea un producto que pasó como bueno
Solución Sean los eventos: A: El producto es diagnosticado como defectuoso D: El producto es defectuoso
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.85
A
D .2
A’ .15
Figura 3.20
a) Según la figura 3.30, P(A) = P(D)P(A/D) + P(D’ )P(A/D’ ) = 0.2 x 0.85 + 0.8 x 0.35 = 0.45 b) Contrariamente al caso a), se trata de trabajar con los ramales no indicados por las flechas. Según la figura, P(A’ ) = P(D)P(A’ /D) + P(D’ )P(A’ /D’ ) = 0.2 x 0.15 + 0.8 x 0.65 = 0.55
Ejemplo 29
Una fábrica produce diariamente 10 recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay una probabilidad constante de p = 0.1 de producir uno defectuoso. Antes de que estos depósitos se almacenen son inspeccionados y los defectuosos puestos a parte. Supongamos que hay una probabilidad constante r = 0.1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado. Si todos los recipientes que se fabrican en un día se inspeccionan el mismo día, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un producto de aquellos que están clasificados, se encuentre que es un producto defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que un producto defectuoso sea bien clasificado?
Solución Este es un problema similar al anterior. Hagamos un razonamiento analítico, antes que gráfico:
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Sea D: “El producto es defectuoso” y B: “El producto fue bien clasificado”. Si se elige un producto y éste es defectuoso, entonces puede ser un producto realmente defectuoso y estar bien clasificado; es decir ocurre el evento compuesto: D B. Del mismo modo, puede ser que siendo un producto no defectuoso, se clasificó mal, en cuyo caso está entre los defectuosos; es decir, D’ B’. Luego D ocurre cuando el evento D B ó D’ B’ ocurre. Como esta unión está formada por eventos mutuamente excluyentes, P(D) = P(D B) + P(D’ B’). Pero B ocurre sólo cuando D ha ocurrido, igual que B’ y D’; es decir, usando el Teorema de la probabilidad Total, tenemos P(D) = P(D)P(B/D) + P(D’)P(B’/D’) = 0.1 x 0.9 + 0.9 x 0.1 = 0.18
En cuanto a la segunda pregunta, diremos lo siguiente: Como sabemos que el producto es defectuoso y queremos que también esté mal clasificado, entonces, debemos encontrar la probabilidad del evento D B. En efecto, P(D B) = P(D)P(B/D) = 0.1 x 0.9 = 0.09.
Ejemplo 30
Una Compañía dedicada al transporte de petróleo crudo desde la selva cuzqueña desea construir un túnel trasandino para el transporte desde los pozos hasta el Callao. Para ello, el gobierno peruano debe dictar ciertas normas que traban la inversión y la forma de distribución final de las utilidades. Si el gobierno aprueba estas normas, la probabilidad de que la Cía. construya dicho túnel, es de 0.95, mientras que sólo se tiene la probabilidad 0.15 de construcción del túnel, si no se aprueban dichas normas.
Basándose en la información disponible, la compañía estima que hay una probabilidad de 0.80 de que el gobierno apruebe las normas. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el túnel interandino?
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Solución Definamos los eventos:
.95
A: “El gobierno aprueba las normas” C: “La compañía construye el túnel interandino” Según
el
problema,
C
A .8
podemos
C’ .05
construir nuestro diagrama de árbol, como se muestra en la figura 3.20.
Debemos hallar la probabilidad del
Figura 3.21 .15 C
evento C, que como sabemos, implica aplicar el teorema de la probabilidad total. En este caso P(C ) = P(A C) + P(A’ C) = P(A) P(C/A) + P(A’)P(C/A’) = 0.8x0.95 + 0.2x0.15 = 0.79
Ejemplo 31
Los servicios de estudio de una empresa que proyecta introducir su producto en un mercado donde sólo tendría un competidor, estima que, al finalizar el ejercicio económico, sus ventas superarán las 200,000 unidades con una probabilidad de: i)
0.1, si el precio fijado por la empresa competidora para su artículo es “bajo”;
ii) 0.5, si el precio fijado por la empresa competidora para su artículo es “medio”; iii) “x”, si el precio fijado por la empresa competidora para su artículo es “alto”
Además por situaciones anteriores, el servicio de estudios determina que la probabilidad de que la empresa competidora: Fije precio “bajo” es 0.2 Fije precio “medio” es 0.5 Fije precio “alto” es 0.3
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También el estudio de la empresa determina que la probabilidad de que las ventas de la empresa superen las 200,000 unidades es 0.51. Determine el valor de “x”.
Solución
A continuación se muestra el diagrama de árbol para el problema
x
S
1-x
S´
0.5
S
A 0.3
Figura 3.22 0.5
M
En este caso, definimos A: “El precio es alto” M: “El precio es medio” B: “El precio es bajo” S: “Supera las 200,000 u.” Del mismo modo, el evento S=SASM SB
de donde
P(S) = P(A)P(S/A) + P(M)P(S/M) + P(B)P(S/B) 0.51 = 0.3 x X + 0.5 x 0.5 + 0.2 x 0.1 despejando X, encontramos X = 0.8
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Ejemplo 32
De una baraja de cartas se extrae una muestra de 3, de la siguiente manera: se empieza con un grupo de 12 cartas: 7 espadas y 5 diamantes. En cada ensayo se extrae una carta, se observa el tipo de carta y se devuelve, junto con otra carta adicional del mismo tipo. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de espadas en el grupo de cartas, antes de la tercera extracción, sea 8, dado que la muestra contiene dos espadas y un diamante?
Solución Sean los eventos: A: “La muestra contiene dos espadas y un diamante” B: “El número de espadas antes de la tercera extracción es 8” E: “La carta es una espada” D: “La carta es un diamante” El evento A es un evento compuesto, tal que A = EED EDE DEE; con lo cual, P(A)
= P(EED)+P(EDE)+P(DEE)
= P(E)P(E/E)P(D/EE) + P(E)P(D/E)P(E/ED) + P(D)P(E/D)P(E/DE) =
7 8 5 12 13 14
7 5 8 12 13 14
5 7 8 = 15/39 12 13 14
Por otro lado,
7 5 8 5 7 8 P( A B) P( EDE ) P( DEE ) 12 13 14 12 13 14 2 P( B / A) 3 15 P( A) 39 ya que AB = EDE DEE
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E:10 E:9 P(E/E)
... EEE
P(E/EE)
P(D/EE)
E:9 ... EED
E:8 E:9 ... EDE
P(E/ED) E:8
P(E)
P(D/E)
E:7
P(D/ED)
E:8 ... EDD
E:9 ... DEE
P(E/DE) E:8 P(E) P(D/DE) E:7
E:8
P(E/D)
... DED
E:8 ... DDE
P(D/D)
P(E/DD) E:7 E:7 P(D/DD)
... DDD
Figura 3.23
12.6
TEOREMA DE BAYES Sean B1, B2, B3,…, Bk, una partición de eventos del espacio muestral . Sea A un evento cualquiera de . Entonces
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P( Bi / A)
P( Bi ) P( A / Bi )
j 1 P( B j) P( A / B j) k
,
i 1, 2, ..., k
Ejemplo 33
Una compañía de seguros de taxis clasifica a los choferes en tres categorías: A, B y C. El 30% de los choferes que recurren para asegurarse, pertenecen a la categoría A; el 50% a la categoría B y sólo el 20% de la categoría C. La probabilidad de que un chofer de la categoría A tenga un accidente durante un año determinado, es 0.01. Para uno de la categoría B, es 0.03 y 0.10 para los de la categoría C. Si un día uno de los taxistas asegurados sufre un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría A, B ó C?
Solución Como primero se detecta (primer experimento) la categoría a la que pertenece el taxista, diremos que los eventos: “Categoría A, B o C”, ocurren primero. El segundo experimento consiste en la ocurrencia o no del accidente, lo que genera los nodos de la derecha del árbol.
0.01
X
0.99
X´
0.03
X
A
Sea MA: “El chofer pertenece a la categoría A”
0.3
MB: “El chofer pertenece a la categoría B” MC: “El chofer pertenece a la categoría C” X: “El taxista sufre un accidente”
Según esto, debemos encontrar
-
0.5
B 0.97 Figura 3.24 1
X’
La probabilidad de que el taxista pertenezcaa la categoría Mi, sabiendo que ha ocurrido X;es decir, P(Mi/X), i = A
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- La probabilidad de que el taxista pertenezcaa la categoría Mi, sabiendo que ha ocurrido X;es decir, P(Mi/X), i = B - La probabilidad de que el taxista pertenezcaa la categoría Ci, sabiendo que ha ocurrido X;es decir, P(Mi/X), i = C. Aplicando el Teorema de Bayes, tenemos
P( M A / A)
P( M A) P( A / M A)
P( M A) P( A / M A) P( M B) P( A / M B) P( M C ) P( A / M C )
Del mismo modo,
P( M B / A)
P( M B ) P( A / M B )
P( M A) P( A / M A) P( M B) P( A / M B) P( M C ) P( A / M C )
Para la categoría C, tenemos
P( M C / A)
P( M C ) P( A / M C )
P( M A) P( A / M A) P( M B) P( A / M B) P( M C ) P( A / M C )
Dejamos para el lector reemplazar las probabilidades correspondientes tomando en cuenta los valores que se tienen en el diagrama de árbol.
Ejemplo 34
Todas las noches el señor García llega tarde a su casa. La señora García, que es una buena esposa, le deja encendida la luz de la entrada a la casa. La probabilidad de que el señor García llegue pasado de copas es 0.60. Si ha bebido, hay una probabilidad de 0.90 de que olvide apagar la luz, en tanto que ésta es sólo de 0.05, si llega sobrio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el señor García apague la luz en una noche cualquiera?
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b) Dado que el señor García apagó la luz, una cierta noche, ¿cuál es la probabilidad de que haya llegado pasado de copas?
Solución Sean los eventos: A: Llega pasado de copas B: Apaga la luz .10
B
A .6
Figura 3.25
.90
B’
a) Debemos hallar la probabilidad de B. Según el diagrama anterior, para encontrar la probabilidad de B, debemos usar el teorema de la probabilidad total. En efecto, P(B) = P(A)P(B/A)+P(A’)P(B/A’) = (0.6)(0.10) + (0.4)(0.95) = 0.44 b) Sabiendo que el evento B ha ocurrido, se nos pide encontrar P(A/B). Usando el Teorema de Bayes
P( A / B)
P( A) P( B / A) 0.6 x0.1 3 P( A) P( B / A) P( A' ) P( B / A' ) 0.6 x0.1 0.4 x0.95 22
Ejemplo 35
El profesor Márquez dicta un curso de Estadística y quiere tomar una prueba en cada clase. Sabedor de que a veces se olvida de ir a preparar su clase, ha dado
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instrucciones a su Jefe de Prácticas que se haga cargo de la clase cuando él está ausente. Si el profesor Márquez hace clase, la probabilidad de que tome la prueba es de 0.70, en tanto que si la clase lo desarrolla el Jefe de Práctica, dicha probabilidad es sólo de 0.10. Si el profesor Márquez falta el 80% de las clases, a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una prueba en una clase dada? b) Suponiendo que hubo prueba en una clase determinada, ¿cuál es la probabilidad de que el profesor Márquez haya estado ausente?
Solución Sea X el evento: “El profesor Márquez falta a clase(no da la clase)” Sea Y el evento: “Se tomó una prueba en una clase determinada” a) Se toma una prueba en una clase determinada cuando el profesor Márquez está presente o cuando no lo está. En otras palabras Y = X Y X Y. Esto nos lleva a aplicar el teorema de la probabilidad total.
P(Y)
= P(X)P(Y/X) + P(X’)P(Y/X’) = (0.80)(0.10) + (0.20)(0.70) = 0.22
b) Si se tomó una prueba entonces el evento Y ha ocurrido. La probabilidad de que el profesor Márquez haya estado ausente, sabiendo que hubo una prueba, significa encontrar la probabilidad condicional P(X/Y). Si sólo aplicamos la probabilidad condicional, tendremos
P( X / Y )
=
P( X Y ) P( X ) P(Y / X ) P(Y ) P( X ) P(Y / X ) P( X ' ) P(Y / X ' )
0.80 x0.10 4 0.80 x0.1 0.20 x0.70 11
Nota:
Naturalmente P(X/Y) constituye la aplicación del Teorema de Bayes. En muchos casos no es fácil reconocer si para calcular una determinada probabilidad
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condicional se debe aplicar el teorema de Bayes. En estos casos ayuda muchísimo el trazar un diagrama de árbol. En todo caso, se puede calcular también como una simple aplicación de la probabilidad condicional, como lo hemos hecho en este ejemplo. Sólo recomendamos tomar en cuenta el diagrama para contemplar todas las aristas del problema.
Ejemplo 36
La compañía DataCont está considerando comercializar una calculadora electrónica, una agenda, correo y acceso a Internet, además de acceso telefónico, todo en un mismo equipo celular. De acuerdo con una investigación realizada en un mercado financiero, la probabilidad de que el producto tenga éxito, es 0.80 siempre que CalNet no introduzca aún su nuevo equipo hasta dentro de 6 meses; en tanto que la probabilidad de éxito es de sólo 0.30, si la firma competidora empieza a comercializarlo desde ahora. Por otro lado, expertos en mercadeo afirman que la probabilidad de que el competidor comercialice el producto es 0.40. Si DataCont tuvo éxito con su producto, ¿cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya comercializado su producto? Solución
Definamos los eventos: I: “La competencia introduce (comercializa) su nuevo producto” E: “El producto de DataCont tuvo éxito”
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.3
E
I .4
Figura 3.26 .7 E’
Según el problema, debemos encontrar la probabilidad de la ocurrencia de I, dado que ocurrió E, es decir, P(I/E).
Observe Ud. el diagrama de la figura anterior y coincidirá con nosotros que debemos aplicar el teorema de Bayes.
P( I / E )
P( I E ) P( I ) P( E / I ) P( E ) P( I ) P( E / I ) P( I ' ) P( E / I ' )
0.4 x0.3 0.2 0.4 x0.3 0.6 x0.8
Ejemplo 37
Dany tiene dos bolsas de canicas. La bolsa I contiene 3 bolas rojas y 2 blancas; la bolsa II contiene una bola roja y cuatro blancas. Dany cogió aleatoriamente una bola de la bolsa I y la colocó en la bolsa II. Luego cogió una bola de la bolsa II. Si esta bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bola transferida de la bolsa I a la bolsa II, haya sido roja?
Solución
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La figura3.27 indica la forma de experimento realizado y la figura 3.28 constituye el diagrama de árbol para dicho experimento.
Según el diagrama RII 1/3 .6
R: 3
R: 1
B: 2
B: 4
RI 2/3
BII
.4
Figura 3.27
Figura 3.28
Bi: “La bola extraída de la i-ésima bolsa es blanca” Ir: “La bola extraída de la i-ésima bolsa es roja” Debemos encontrar P(RI /RII ). Usando probabilidades condicionales tenemos
P( R I / R II )
P( R I ) P( R II / R I )
P( R I ) P( R II / R I ) P( B I ) P( R II / B I ) 0.6 x(1 / 3) 0.75 0.6 x(1 / 3) 0.4(1 / 6)
Ejemplo 38
Los registros de la policía local revelan que sólo el 10% de las víctimas de accidentes que llevaban cinturones de seguridad sufrieron heridas graves; en tanto que el 50% de los que no lo usaron sufrieron también serias heridas. La policía estima que el
60% de las personas que viajan en automóviles emplean los
cinturones de seguridad. Se llama a la policía para que investigue un accidente en el
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que una persona resulta seriamente herida. Estime la probabilidad de que llevara puesto el cinturón de seguridad en el momento del choque. El conductor del otro vehículo no sufrió heridas graves. Determine la probabilidad de que este último llevara puesto el cinturón de seguridad.
.1
G
U .6
Figura 3.29
.9 G’
Solución Sea U el evento “La persona lleva puesto el cinturón de seguridad” Sea G el evento “La persona sufre heridas graves” En el diagrama de la figura anterior se describe gráficamente el problema. Podemos observar que los ramales indicados con la flecha verde nos proporciona la probabilidad de que la persona haya sufrido accidente grave. Es decir P(G) = P(U)P(G/U) + P(U’)P(G/U’) = 0.6 x 0.1 + 0.4 x 0.5 = 0.26
a) La primera pregunta corresponde a encontrar la probabilidad de que haya usado cinturón sabiendo que tuvo accidente grave, es decir debemos hallar P(U/G). Usando el Teorema de Bayes, tenemos P(U / G)
P(U ) P(G / U ) 0.6 x0.1 0.06 0.2307 P(U ) P(G / U ) P(U ' ) P(G / U ' ) 0.6 x0.1 0.4 x0.5 0.26
b) En cuanto a la segunda pregunta, debemos hallar la probabilidad de que estuviera puesto el cinturón de seguridad si se sabe que no sufrió accidente grave; esto significa encontrar P(U/G’) lo cual, usando Bayes, tenemos.
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P(U / G ' )
12.7
P(U ) P(G ' / U ) 0.6 x0.9 0.54 0.7297 P(U ) P(G ' / U ) P(U ' ) P(G ' / U ' ) 0.6 x0.9 0.4 x0.5 0.74
EVENTOS INDEPENDIENTES Sea un experimento y el espacio muestral asociado a . Sean A y B dos eventos de . Diremos que A y B son eventos independientes si P(A/B) = P(A) ó P(B/A) = P(B)
En otras palabras, si la ocurrencia o no de un evento no afecta a la ocurrencia de otro, diremos, que dichos eventos son independientes, en el sentido estadístico. Esto no quiere decir que los eventos sean mutuamente excluyentes. Teorema Sea el espacio muestral asociado a . Si A y B dos eventos independientes de . Entonces P(A B) = P(A) P(B)
En efecto.
De P( A / B)
P( A B) , obtenemos P( A B) P( B) P( A / B) P( A) P( B) P( B)
Puede deducirse también tomando en cuenta la otra forma condicional.
Teorema Sean A y B dos eventos del espacio muestral , asociados a . Si A y B son eventos independientes, entonces i)
los eventos A y B’ son independientes
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ii) los eventos A’ y B son independientes iii) los eventos A’ y B’ son independientes Teorema Sean A, B y C tres eventos del espacio muestral , asociados a . Diremos que los tres eventos son mutuamente independientes si se cumple las siguientes condiciones: i)
P(A B) = P(A)P(B)
ii) P(A C) = P(A)P(C) iii) P(B C) = P(B)P(C) iv) P(A B C) = P(A)P(B)P(C)
Teorema Si A1, A2, A3,…, An, son eventos independientes dos a dos, entonces P(A1 A2 A3 … An ) = P(A1)P(A2)P(A3) …P(An)
Ejemplo 39
Si P(A) = 1/6, P(AB) = 1/18, P(B) = 1/3. ¿Son A y B eventos independientes?
Solución Según el teorema, dos eventos A y B son independientes si P(AB) = P(A)P(B). Verifiquemos si esto se cumple con los datos: Como P(AB) = 1/18 Y P(A)P(B) = 1/6 x 1/3 = 1/18. Entonces A y B son dos eventos independientes.
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Ejemplo 40
Una urna contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se extraen sucesivamente y sin reposición dos bolas. Sean los eventos: A: “La primera bola extraída es negra” B: “La segunda bola extraída es blanca” ¿Son los eventos A y B, independientes?
Solución Como en el ejemplo anterior, si P(AB) = P(A)P(B), entonces son eventos independientes. Pues bien, P(A) = 5/9. La ocurrencia de B depende del resultado de la primera extracción. Por ello, debemos trabajar con la probabilidad condicional, P(B/A).
En efecto, P( B / A)
P( AB ) 5 4 , de donde P( AB ) P( A) P( B / A) x 5 / 18 P( A) 9 8
Por otro lado, ocurre blanca(es decir, ocurre B) sea por que salió blanca o negra en la primera; es decir, B = A B A’ B. De donde P(B) = P(AB) + P(A’B) = P(A)P(B/A) + P(A’)P(B/A’) = 5/9x4/8 + 4/9x3/8 = 4/9
Como P(A)P(B) = 5/9x4/9 = 20/81 y P(AB) = 5/18, entonces A y B no son independientes
Ejemplo 41
Cuatro hombres lanzan, cada uno, un dado. Cuál es la probabilidad de que: a) cada uno obtenga un cuatro b) cada uno obtenga un número par de puntos Página 239 de 800
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c) todos obtengan el mismo número de puntos
Solución a) Sea Ai el evento “El i-ésimo hombre obtiene un cuatro” Para que cada uno obtenga un cuatro, debe ocurrir el evento compuesto; A1A2A3A4 Puesto que el resultado del lanzamiento del segundo hombre no depende de lo que haya ocurrido con el resultado del primero, entonces ambos eventos son independientes. Esto es cierto con los cuatro hombres. Por lo que P(A1A2A3A4 ) = P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) = (1/6)4 = 1/1296 b) Sea Ai el evento “El i-ésimo hombre obtiene un número par de puntos” En este caso también los resultados de cada lanzamiento son independientes uno de otro. Sólo que, a diferencia de a), la probabilidad individual cambia ya que P(Ai) = 3/6 =1/2. Luego P(A1A2A3A4 ) = P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) = (1/2)4 c) Sea B el evento “Los cuatro hombres obtienen el mismo número” Si lanza el dado el primer hombre, la probabilidad de que obtenga un número cualquiera, es 1. Ahora bien, supongamos que el número obtenido es x, para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilidad de que el segundo obtenga dicho número es 1/6; de que cada uno de los tres obtenga dicho número es 1/6. Luego, la probabilidad de que los tres hombres obtengan el número x, obtenido por el primero será (1/6)3.
Ejemplo 42
Ocho boletos numerados: 111, 121, 122, 122, 211, 212, 212, 221 son colocados en una bolsa y luego revueltas. Se va a escoger uno al azar. Si se definen los siguientes eventos: A: “El primer dígito del boleto escogido es 1” B: “El segundo dígito en el boleto escogido es 1”
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C: “El tercer dígito en el boleto escogido es 1” a) ¿Son los eventos A, B y C independientes entre sí? b) Calcular P(A B/B C)
Solución a) Para que A, B y C, sean independientes entre sí, se debe cumplir i) P(AB) = P(A) P(B) ii) P(AC) = P(A) P(C) iii)P(BC) = P(B) P(C)
Según los datos, P(A) = 1/2 ; P(B) = 1/2 ; P(C) = 1/2 Por otro lado P(AB) = 1/8; P(AC) = 2/8; P(BC) = 2/8
Verificando las igualdades, i), ii) y iii), encontramos que los eventos A y C son independientes, así como B y C, pero A y B no son independientes; por tanto los tres eventos no son independientes entre sí.
b) P( A B / B C )
P(( A B) ( B C )) P( ABC BC ) 1/ 8 2 / 8 1/ 8 1 P( B C ) 2/8 2/8
Ejemplo 43
Suponga que un misil tiene la probabilidad 1/2 de destruir su blanco y la probabilidad 1/2 de no destruirlo. Suponiendo que el lanzamiento de los misiles forman pruebas independientes, determínese el número de misiles que debe lanzarse para conseguir que la probabilidad de destruir el blanco sea por lo menos de 0.99.
Solución
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E
1
E
2
E
3
E
4
...
...
E
r-1
E
r
Figura 3.30
Supongamos que es necesario realizar “r” pruebas para alcanzar por lo menos 0.99 de probabilidad de destruir el blanco. Si D el evento “El blanco queda destruido” entonces D = E FE FFE FFFE FFF...FE, entendiendo que en el último término de la igualdad, ocurren “r-1” fracasos y el “r-ésimo” es exitoso. Por los datos del problema, P(D) 0.99 De la igualdad, P(D) = P(E) + P(FE) + P(FFE) + P(FFFE) + ... + P(FFF...FE) Es suficiente que 0.99 1/2 +(1/2)(1/2)+(1/2)2(1/2)+(1/2)3(1/2)+…(1/2)(r-1)(1/2) 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 + 0.0078125 lo que corresponde al lanzamiento de 7 misiles, por lo menos.
Ejemplo 44
¿Cuántas personas deben escoger una carta, cada una de diferente baraja, para tener una probabilidad mínima de 0.90 de que, por lo menos se escoja un as? Solución Bien sabemos que una baraja de cartas tiene 52 cartas. Hay cuatro ases. Luego, si una persona cualquiera toma una carta de una baraja, la probabilidad de que extraiga un as, es 4/52 = 1/13.
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Sean los eventos A: “Una determinada persona extrae un as” B: “Las otras personas no extraen un as” C: “Se obtiene por lo menos un as” Según el ejemplo, con todas las personas se debe extraer, por lo menos un as. Esto quiere decir que, si fueran 10 personas, sólo una de ellas podría extraer un as y las otras no, que dos de ellas extraigan un as y las otras no, o que haya 8 personas que extraen un as y las otras dos, no; etc. En otras palabras debe ocurrir el siguiente evento.
Una sola persona extrae un as con P(A) = 1/13 Dos personas extraen por lo menos un as según el evento C = AB + BA + AA con P(C) = P(AB) + P(BA) + P(AA) = C(2,1)(1/13)(12/13)+C(2,2)(1/13)²= 1 12 1 2x 13 13 13
2
Con tres C = ABB + BAB + BBA + AAB + ABA + BAA + AAA, por lo menos un as.
En este caso
2
1 12 12 P(C ) C (3,1) C (3,2) 13 13
1 13
13
2
3
1 C (3,3) 13
Si suponemos que deben ser “n” personas para que la suma sea mínimo 0.90, entonces
x
1 12 C (n, x) 13 13 n
n x
0.90
x 1
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desarrollando esta serie debemos encontrar el valor de n. Una manera de resolverlo sin usar series de potencia es mediante una hoja de cálculo con lo cual se puede encontrar el valor de n = 28.
Ejemplo 45
Se dispara cada uno de los fusiles A, B y C; las probabilidades de dar en el blanco es 0.15, 0.25 y 0.35, respectivamente. Calcular la probabilidad de que a) al menos uno de los tres dé en el blanco b) acierte uno sólo
Solución Sean los eventos A: “El fusil A da en el blanco”
con P(A) = 0.15
B: “El fusil A da en el blanco”
con P(B) = 0.25
C: “El fusil A da en el blanco”
con P(C) = 0.35
a) Sea X: “Uno de los tres fusiles A, B ó C da en el blanco” Debemos recordar que el hecho que un fusil dé o no en el blanco, no afecta a los otros. Entonces P(X ) = P(A B C ) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABC)
Pero también, P(X)
= 1 – P((A B C)’) = 1 – P(A’)P(B’)P(C’) = 1 – (0.85)(0.75)(0.65) = 0.585625
b) Sea X: “Sólo uno de los tres fusiles acierta en el blanco” En este caso X = AB’C’ + A’BC’ + A’B’C, de donde
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P(X)
= P(A)P(B’)P(C’) + P(A’)P(B)P(C’) + P(A’)P(B’)P(C) = 0.15x0.75x0.65 + 0.85x0.25x0.65 + 0.85x0.75x0.35 = 0.434375
Ejemplo 46
Un antiguo teatro tiene un solo proyector. La bombilla del proyector funciona; la probabilidad de que se queme antes de terminar la película es 0.40. De las 20 lámparas de reserva, una de ellas tiene un defecto no visible. De las restantes, la probabilidad de que se quemen antes de terminar la película es 0.20. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se queme la lámpara en funcionamiento y seleccionada al azar una extra, se escoja la lámpara defectuosa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se queme la lámpara en funcionamiento y seleccionada una perfecta para reemplazarla, se queme a su vez antes de terminar la película?
Solución Definamos los eventos: A: “La lámpara en funcionamiento se quema antes de terminar la película” B: “La lámpara seleccionada de reserva es la defectuosa” C: “La lámpara seleccionada no defectuosa, se quema antes de terminar la película” a) Si definimos el evento D: “Se quema la lámpara en funcionamiento y se escoge de las de reserva, la defectuosa”, entonces D = A B. Debemos hallar P(D). Como A y B son eventos independientes y como P(A) = 0.40 y P(B) = 1/20, tenemos P(D) = P(A B) = P(A)P(B) = 0.40 x (1/20) = 0.02 b) Aquí se pide encontrar P(A C). Como en el caso a), el hecho de que la lámpara en funcionamiento se queme o no, en nada influye a que cualquiera de las 19 perfectas de reserva, se queme también antes de terminar la película. Por ello A y C son independientes. Según esto P(A) = 0.40, por datos; la ocurrencia de C implica la ocurrencia de dos subeventos: Seleccionar una perfecta de los
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de la reserva, cuya probabilidad es 19/20, y que se queme antes de terminar la película, con probabilidad 0.20. Por lo que P(A C) = P(A)P(C) = 0.40 x 19/20x 0.20 = 0.076.
Ejemplo 47
Una persona A padece una cierta enfermedad; consultado los médicos, las opiniones están en la relación de 9 a 7 en contra de que la persona viva cinco años más. Otra persona B tiene 45 años, y las opiniones están en la relación 3 a 2 en contra de que viva hasta los 5años más. Hallar la probabilidad de que cuando menos una de estas personas viva cinco años más.
Solución Sean los eventos: A: “La persona A, viva cinco años más” y B: “La persona B, viva cinco años más”; C: “Por lo menos una de las dos personas vive cinco años más” Debemos encontrar la probabilidad del evento C, el cual lo definimos como C = A B. En efecto, P( C) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B), en donde A y B son independientes P( C) = 7/16 + 2/5 – (7/16)(2/3) = 53/80 = 0.6625
Ejemplo 48
Una pieza de un equipo electrónico tiene tres partes esenciales. Anteriormente la parte A ha fallado el 20% del tiempo; la parte B, 40% del tiempo y la parte C, 30% del tiempo. La parte A opera independientemente de las partes B y C. Las partes B y C están interconectadas, de tal manera que la falla de cualquiera, afecta a la otra; por ello, cuando falla la parte C, dos de cada tres veces puede también fallar la parte B.
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Supongamos que por lo menos dos de las tres partes deben operar para permitir el funcionamiento del equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione?
Solución Sean los eventos: A: “Falla la parte A”
P(A) = 0.2
B: “Falla la parte B”
P(B) = 0.4
C: “Falla la parte C”
P(C) = 0.3
Además se sabe que
P(B/C) = 2/3
Sea D el evento “Funcionan por lo menos dos de las partes” Decir que funcionan, por lo menos dos, significa que funcionan dos o tres. -
Funcionan dos partes puede ser expresado por: A’ (B’ C’)
-
Funcionan tres partes puede ser expresado por: A’ B’ C’
Luego
D = A’ (B’ C’) A’ B’ C’
Los dos eventos de la derecha son excluyentes, por lo que P(D) = P(A’ (B’ C’) ) + P( A’ B’ C’ ) P(A’ (B’ C’) ) = P([A (B C)]’ ) = 1 – { P(A) + P(BC) – P(A P(B C))}
= 1 – { 0.2 + P(C)P(B/C) – P(A)P(C)P(B/C)} = 0.64 P(A’ B’ C’ ) = 1 – P(A B C ) = 1 – {P(A) + [P(B C)] – P(A ( B C)}
=1 – {0.2 + [0.4 + 0.3 – 0.2(0.3)(2/3)] – (P(AB)+P(AC)-P(ABC))} = 0.2 Luego
P(D) = 0.64 + 0.2 = 0.84
Ejemplo 49
La probabilidad de que un cazador dé en el blanco en un disparo cualquiera es 0.40. a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle en cuatro tiros consecutivos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que dé en el blanco por lo menos una vez en 4 tiros consecutivos? c) ¿Cuántos tiros debe disparar para tener una seguridad aproximadamente de 0.95 de dar en el blanco por lo menos una vez?
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Solución Sea B el evento: “El cazador da en el blanco con un disparo”. a) Falla cuatro veces si ocurre el evento compuesto A = B’ B’ B’ B’. Como los disparos son independientes uno de otro, P(A) = P(B’ B’ B’ B’) = [P(B’) ]4 = 0.64 = 0.1296 b) Sea C el evento “Da en el blanco por lo menos una vez en cuatro tiros” De acuerdo a la definición del evento C, podemos decir que C’ es el evento “Da en el blanco cero veces”. Y según la definición de eventos, C C’ = . Ahora bien, P(C) =P(A) = 0.1296, obtenido en el inciso a). Por ello, P(C’) = 1 – P(C) = 1 – 0.1296 = 0.8704 c) Si Bi es el evento “Da en el blanco en i-ésimo disparo”, entonces se debe cumplir lo siguiente P(B I ó B i B 2 ó B I B 2 B i ó B I B 2 B 3 B 4 ó …) = 0.95 Desarrollando por partes el primer miembro, tenemos En un tiro: P(B I) = 0.4 En dos tiros: P( B I B 2 ‘ó B I ‘B 2 ó B I B 2) = 2(0.4(0.6)) + 0.16 = 0.64 En tres tiros: Sumando las siguientes opciones, tenemos 0.784. 3x P(Dé una vez en el blanco y los otros no) = 3(0.4)(0.36) = 0.432 3x P(Dé dos veces en el blanco y uno de ellos no) = 3(0.16)(0.6) = 0.288 P(Dé las tres disparos en el blanco) = (0.4)(0.4)(0.4) = 0.064
Nota: Si definimos el evento R: “En tres disparos dar cero veces en el blanco” entonces P(R) = 0.6(0.6)(0.6) = 0.216. De donde P(R’) = P(Dar en el blanco por lo menos una vez en tres disparos) = 1 – P(R) = 0.784 En cuatro disparos: Usando la nota anterior: La probabilidad pedida será = 1 – (0.6)4 = 1 - 0.1296 = 0.8704 En cinco disparos tendremos: La probabilidad pedida será = 1 – (0.6)5 = 1 - 0.07776= 0.92224 En seis disparos tendremos:
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La probabilidad pedida será = 1 – (0.6)6 = 1 - 0.046656= 0.953344 Con lo cual concluimos que el número de disparos necesarios para dar en el blanco, por lo menos una vez, debe ser 6 de suerte que se tenga la probabilidad de 0.95 de que eso ocurra.
Ejemplo 50
Un sistema consiste de cuatro componentes: A, B, C y D. Las probabilidades de falla son 0.01, 0.02, 0.10 y 0.10 para A, B, C y D, respectivamente. Si para el funcionamiento del sistema son necesarios los componentes A y B y al menos uno de los componentes C o D, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?
Solución Sea F el evento “El sistema funciona”. Este evento se produce si ocurre el siguiente evento compuesto: A B ( C D ). En consecuencia P( F ) = P(A B ( C D )) = P(A) P(B) P( C D ) = (0.99)(0.98)[1 – P(C’ D’)] = (0.99)(0.98)(1 – 0.01) = 0.960498. Ejemplo 51
Considere tres urnas. La urna I contiene una bola blanca y dos negras; la urna II contiene tres bolas blancas y dos negras; la urna III contiene dos blancas y tres negras. Se extrae una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las bolas extraídas haya i)
una blanca y dos negras
ii) por lo menos dos negras iii) más negras que blancas
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Solución Supongamos que Bi es el evento “Se extrae una bola blanca de la i-ésima urna” Ni es el evento “Se extrae una bola negra de la i-ésima urna” Definamos también los eventos X, Y y Z de la siguiente manera: X: “Se extrae una bola blanca y dos negras” Y: “Se extrae por lo menos dos bolas negras” Z: “Se extrae más negras que blancas” i) El evento X puede ser definido como X = B1 N2 N3 + N1 B2 N3 + N1 N2 B3 P(X) = P(B1 N2 N3 ) + P(N1 B2 N3 ) + P(N1 N2 B3 ) =
123 355
233 355
222 355
= 0.42666667 ii) El evento Y se define como Y = B1 N2 N3 + N1 B2 N3 + N1 N2 B3 + N1 N2 N3 Por lo menos dos negras, significa que puede obtenerse dos o tres negras. Luego P(X) = P(B1 N2 N3 ) + P(N1 B2 N3 ) + P(N1 N2 B3 ) + P(N1 N2 N3 ) =
123 355
233 355
222 223 355 355
= 0.58666667 iii) El evento Z es equivalente al evento Y ya que las únicas formas en las que el número de bolas negras extraídas es mayor que las bolas blancas extraídas es cuando Z = Y Luego P( Z ) = P( Y ) = 0.5866667
Ejemplo 52
Una urna contiene 12 bolas, de las cuales 7 son negras y 5 son blancas. Se extraen dos bolas y se devuelven a la urna. Se vuelven a sacar dos bolas y se devuelven a la urna. El experimento continúa hasta hacer 5 extracciones.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas negras en cada uno de los tres primeros experimentos y una pareja de una blanca y una negra en los últimos dos experimentos? b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas negras tres veces y las otras dos veces, dos blancas?
BB ó BN ó NB ó NN BB ó BN ó NB ó NN BB ó BN ó NB ó NN
BB ó BN ó NB ó NN 5B 7N
BB ó BN ó NB ó NN
Figura 3.31
Solución El esquema de la figura anterior nos muestra la urna con 5 bolas blancas y 7 negras, y las cinco extracciones realizadas, con las diferentes posibilidades de pares de bolas a extraerse. a) Sea X el evento: “Obtener dos negras en las tres primeras extracciones y una blanca con una negra en las dos últimas extracciones”. En el esquema también apreciamos en color azul los eventos que deben ocurrir para que ocurra X. Esto implica que P(X) = P(NN NN NN (NB BN)) = = [(7/12)(6/11)]3 [(5/12)(7/11)+(7/12)(5/11)] 2 = (7/22) 3 (35/66) 2 b) Sea R el evento “Obtener dos bolas negras tres veces y dos blancas las otras dos” . La ocurrencia de R puede darse en varias instancias: {NN NN NN xx xx }, {NN NN xx NN xx }, {xx NN xx NN NN }, entre otras. En cada uno de estas
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secuencias “xx” representa cualquier combinación de B con N. El número total de estas instancias es 10. Obengamos la probabilidad de una cualquiera de ellas: P(R) = P({NN NN NN xx xx }) = 10 x [(7/12)(6/11)]3 [(5/12)(4/11)]2 .
Ejemplo 53
La producción diaria de una máquina que produce una pieza muy complicada da las siguientes probabilidades para el número de piezas producidas: p({1}) = 0.10, p({2}) = 0.30, p({3}) = 0.60. Por otro lado, la probabilidad de producir piezas defectuosas es 0.3. Las piezas defectuosas pueden aparecer independientemente durante el proceso de producción. En un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de no se hayan producido piezas defectuosas?
Solución Sean los eventos A: “La máquina produce una pieza complicada”
P(A) = 0.1
B: “La máquina produce dos piezas complicadas”
P(B) = 0.3
C: “La máquina produce tres piezas complicadas”
P(C) = 0.6
N: “La máquina produce una pieza no defectuosa”
P(N) = 0.97
D: “La producción del día no registra defectuosos”
Debemos hallar. Si se produce una pieza entonces P(N) = P(A)P(N) = 0.1x0.97 = 0.097
Si se produce dos piezas entonces P(N) = P(A)P(N)P(N) = 0.1x0.97x0.97 = 0.282270 Si se produce tres piezas entonces P(N) = P(A)P(N)3 = 0.1x0.973
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= 0.5476038
En consecuencia la probabilidad de que no se produzca piezas defectuosas en un día determinado es 0.097 + 0.282270 + 0.5476038 = 0.92687
Ejemplo 54
Si una máquina que produce engranajes está trabajando correctamente, el 92% de las piezas satisfacen las especificaciones. Si la máquina no trabaja bien, sólo el 60% de los engranajes producidos satisfacen las especificaciones. La máquina trabaja correctamente el 90% del tiempo. Se seleccionan 4 engranajes y todos satisfacen los requerimientos. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no haya estado trabajando bien?
.92
S
T .9 .08
Figura 3.32
S’
Solución Sean los eventos T: “La máquina trabaja correctamente” S: “El engranaje producido satisface los requerimientos” Según los datos debemos encontrar P(T’ / S ), es decir, la probabilidad de que no haya estado trabajando correctamente, dado que los engranajes producidos satisfacen los requerimientos.
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Por el teorema de Bayes tenemos
P(T ' / S )
P(T ' ) P( S / T ' ) 0.1(0.6) 0.06756 P(T ) P( S / T ) P(T ' ) P( S / T ' ) 0.9(0.92) 0.1(0.6)
Ejemplo 55
Un fabricante está considerando comprar un lote grande piezas de un proveedor. El fabricante estima la proporción de piezas defectuosas en el lote de la siguiente forma: Proporción de piezas defectuosas () Probabilidad de la proporción P() 0.10
0.20
0.15
0.30
0.25
0.50
Suponga que se elige tres piezas al azar del lote a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres piezas sean de calidad aceptable? b) Si las tres piezas resultaron de calidad aceptable, ¿cuál es la probabilidad de que el lote contenga 10% de piezas defectuosas? Solución Sean los eventos: P1: “La pieza proviene de la proporción de 10% defectuosas” P2: “La pieza proviene de la proporción de 15% defectuosas” P3: “La pieza proviene de la proporción de 25% defectuosas” A : “La pieza es de calidad aceptable” T : “Las tres piezas son de calidad aceptable”
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El diagrama de árbol de la figura 3.33 muestra las características del problema 0.8
A
0.2
A´
P1 0.10 Fig. 3.33
0.15
0.3
A
0.7
A’
P2
0.25
En este diagrama los ramales del primer nodo sólo toman en cuenta la proporción de defectuosos de cada sublote más no los no-defectuosos; que serán de 90%, 85% y 75%, respectivamente. De acuerdo al problema, debemos hallar primero, en a) la probabilidad de que sean aceptables las tres piezas; es decir P(A) y en b) debemos hallar P(P1/A); es decir , la probabilidad de que las piezas provengan del grupo de los de 10%. Por otro lado, para los propósitos del problema, no interesan. Puesto que se eligen tres piezas aleatoriamente y se desea que las tres sean aceptables, tenemos entonces la repetición del experimento “Elegir una pieza” tres veces. Los eventos que se generan son eventos independientes por lo que el resultado que obtengamos debe ser multiplicado tres veces. a) Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, tenemos P(T) = [ P(A) ]3 = = P( P1) P( A / P1) P( P2) P( A / P2) P( P3) P( A / P3) 0.105625 3
b) Según lo dicho en los considerandos, P( P1 T ) P( P1) P( A / P1)3 0.000512 0.032768 P(P1/A) = P(T ) 0.015625 P(T ) 3
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Ejemplo 56
De tres eventos A1, A2, A3 se sabe que son mutuamente independientes; que la probabilidad de la ocurrencia del primero es el doble de la ocurrencia del segundo; que la probabilidad de la ocurrencia simultánea de los dos primeros eventos es 0.02; y que la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos, es 0.64. Calcular la probabilidad de la ocurrencia de cada uno de dichos eventos.
Solución Debemos encontrar P(A1), P(A2) y P(A3 ). Por los datos del problema sabemos que: P(A1) = 2 P(A2) y que P(A1 A2) = 0.02 Puesto que los eventos son mutuamente independientes entonces P(A1 A2) = 0.02 = P(A1) P(A2) = P(A1) P(A2) = 2[P(A2)]² . De donde P(A2) = 0.1 y también P(A1) = 0.2 Por otro lado, el evento “Por lo menos uno” con tres eventos se expresa como A1A2A3 . Luego P(A1A2A3 ) = 0.64. Si por lo menos uno tiene probabilidad de ocurrencia de 0.04 entonces la probabilidad de que ninguno ocurra(ocurra cero) es 0.36. En otras palabras Si P(A1A2A3 ) = 0.64 , entonces P(A1‘ A2‘A3 ‘) = 0.36. Usando esto último, tenemos 0.36 = P(A1‘ A2‘A3 ‘) = P(A1‘) P(A2‘ ) P(A3 ‘) = 0.8x0.9x P(A3 ‘), simplificando y despejando, obtenemos P(A3 ‘) = 0.5
Ejemplo 57
Un aparato tiene cuatro válvulas que funcionan independientemente, sus probabilidades de falla son respectivamente, 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 para la primera, segunda, tercera y cuarta válvula. Se sabe que dos de estas válvulas han fallado. Hallar la probabilidad de que hayan fallado la primera y la segunda válvulas.
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Solución Sea F el evento “Una válvula determinada falla” y N, “Una válvula determinada no falla” Con cuatro válvulas en las que dos de ellas fallen, podemos tener las siguientes posibles combinaciones, donde el orden representa el número de válvula: F F N N,
F N F N,
F N N F,
N F N F,
N F F N,
NNFF
Si definimos al evento A como “Fallan dos de las cuatro válvulas” , entonces A = { F F N N,
F N F N,
F N N F,
N F N F,
N F F N,
NNFF},
y si ahora definimos a B como el evento B = { FFNN}, de acuerdo a la pregunta, debemos encontrar la probabilidad de que hayan fallado las dos primeras válvulas, si se sabe que han fallado dos de las cuatro válvulas; es decir, P(B/A). Encontremos primero P(A). P(A) = P({FFNN})+P({FNFN})+P({FNNF})+P({NFNF})+P({NFFN})+P({NNFF})
= 0.1x0.2x0.7x0.6+0.1x0.8x0.3x0.6+0.1x0.8x0.7x0.4+0.9x0.2x0.30.6+0.9x0.8x.3x.4 =0.2144
Usando el teorema de Bayes, tenemos P( B / A)
P( A B) P( B) 0.1x0.2 x0.7 x0.6 0.0391791 P( A) P( A) 0.2144
Ejemplo 58
Se lanza una moneda repetidamente hasta que salga cara. Si Ud. es la persona que juega, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga cara alguna vez?
Solución Este es un modelo de experimentos que se repiten indefinidamente y que generan por tanto, espacios muestrales infinitos.
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Sea A el evento “Ganar el juego”
C
C
C
C ….C ..…
C Fig. 3.34
S
S
S
….
S
…… S
El esquema de la figura 3.34 refleja la posible secuencia del juego.
Cada vez que salga sello, S, se vuelve a lanzar la moneda. En el momento que sale cara, termina el juego. Luego, algunos de los elementos del espacio muestral son = {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC, SSSSSC, ......}, sin duda, un espacio muestral infinito. Como el evento A se define como “Ganar el juego”, entonces A = . Encontremos la probabilidad de A (suponemos que debe ser 1, por lo que ya sabemos). Como se trata de eventos independientes, entonces P(A) = P({C})+P({SC}) + P({SSC}) + P({SSSC}) + ... + P({SSSS…SC}) + … P( A)
1 1 1 11 1 111 1 1111 1 1 x x x ... ... x ... 2 2 2 22 2 222 2 2222 2 2
(el último factor 1/2 es la probabilidad de que salga cara) 2
3
24
n
1 1 1 1 1 1 P( A) ... 2 2 2 2 2 2
n 1
...
Usaremos un recurso matemático, que luego de esta línea pasaremos a comentar
1 1 1 (2) 1 . Que en efecto, comprueba que P(A)=P() = 1. P(A) = 2 1 1 2 2
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Nota: Puesto que se trata de experimentos aleatorios infinitos, el espacio muestral , asociado a dichos experimentos, debe ser también infinito, salvo si algún(os) resultado(s) se repitiera(n) indefinidamente. Del mismo modo, podemos estar interesados en evaluar la probabilidad de eventos infinitos, como es el caso de este problema. Para hallar dicha probabilidad debemos resolver una suma de términos que cae en el terreno matemático de las series de potencia; sean estas finitas o infinitas. Según la evaluación de series infinitas en matemática se sabe que, bajo ciertas condiciones, como que la razón “r”, de la serie debe ser r ½ , en cuyo caso
Si
r i 0
i
1 r r r ... 2
3
r
La suma de sus términos es
i 0
i
1 r r r ..... 2
3
1 1 r
Por ello en el problema anterior hemos hecho r = ½.
Ejemplo 59
Se trata ahora de lanzar un dado y una moneda. Si sale un seis, se gana y termina el juego, de otra manera, se lanza una moneda. Si sale cara, se pierde y termina el juego; si sale sello se vuelve a tirar el dado. Esto se repite indefinidamente hasta ganar(que salga un seis). Encuentre la probabilidad de ganar el juego.
Solución Globalmente tomemos en cuenta que primero se lanza el dado y después la moneda. Esto se repite indefinidamente. El esquema siguiente muestra el experimento. 6
C
S
6
S
C
S
….
….
C
S
..…
……
6
S
Figura 3.35 Página 259 de 800
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Cada vez que se lanza la moneda, el resultado del lanzamiento del dado fue un número diferente de 6. Sean los eventos A: “Sale un 6”
P(A) = 1/6
N: “Sale un número diferente de 6”
P(N) = 5/6
S: “Sale sello”
P(S) = 1/2
C: “Sale cara”
P(C)= ½
G: “Ganar el juego”
P(G) es lo que debemos encontrar
El espacio muestral está definido como = {A, NC, NSA, NSNC, NSNSA, NSNSNC, NSNSNSA, ...} El evento G contendrá sólo a los elementos que terminan en A y contengan series de NS, es decir G = {A, NSA, NSNSA, NSNSNSA, ...} Luego 3
3
4
4
4
...
1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 1 5 1 1 P(G) ... 6 6 2 6 6 2 6 2 6 6 2 6 6 2 6
1 5 1 5 1 5 1 5 P(G) 1 6 6 2 6 2 6 2 6
3
3
1 5 2 6
4
1 2
La razón en esta serie infinita es r = 5/12.
Por ello
1 1 1 12 2 P(G ) 6 1 5 6 7 7 12
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Ejemplo 60
Tres jugadores A, B y C, lanzan al aire un dado, en ese orden. Empieza el jugador A. Gana el jugador que obtiene un 3 ó un 4. El juego continúa hasta que uno de ellos gane. Encuentre la probabilidad de ganar de cada uno de ellos.
Solución Sean los eventos A: “Gana el jugador A” B: “Gana el jugador B” C: “Gana el jugador C GA
GB
GC
GA
GB
PA
PB
PC
PA
PB
GC
GA
PA
GB
PB
Figura 3.36
Nomenclatura: GA significa que el jugador A gana dicha jugada al haber obtenido un 3 ó un 4. GB significa que el jugador B gana dicha jugada al haber obtenido un 3 ó un 4. GC significa que el jugador C gana dicha jugada al haber obtenido un 3 ó un 4. Según el problema, las probabilidades de ganar de cada uno de ellos, cada vez que juegan es P(GA ) = 2/6 = 1/3 P(GB ) = 2/6 = 1/3 P(GC ) = 2/6 = 1/3 A, B y C pueden ganar en cualquiera de las siguientes situaciones: A={ GA , PA PB PC GA , PA PB PC PA PB PC GA , .... } B={ PA GB , PA PB PC PA GB , PA PB PC PA PB PC PA GB , .... } C={ PA PB GC , PA PB PC PA PB GC , PA PB PC PA PB PC PA PB GC , .... }
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Tomando probabilidades, la probabilidad de que gane A P(A)
= P({ GA , PA PB PC GA , PA PB PC PA PB PC GA , .... })
= P(GA ) + P(PA PB PC GA ) = 1/3
+ P(PA PB PC PA PB PC GA ) + ...
+ (2/3)(2/3)(2/3)(1/3) + (2/3)(2/3)(2/3)(2/3)(2/3)(2/3)(1/3) + ...
= 1/3 + (2/3)3(1/3) + (2/3) 6 (1/3) + = (1/3)(1+(2/3) 3 + (2/3) 6 + (2/3) 9 + ... ) =
9 1 1 3 3 1 (2 / 3) 19
Del mismo modo, la probabilidad de que gane B P(B)
= P({ PA GB , PA PB PC PA GB , PA PB PC PA PB PC PA GB , .... })
= P(PA GB ) + P(PA PB PC PA GB ) + P(PA PB PC PA PB PC PA GB ) + .... = (2/3)(1/3) + (2/3)4(1/3) + (2/3)7 (1/3) + ....... =
6 2 x1 1 3 3x3 1 (2 / 3) 19
Finalmente, la probabilidad de que gane C P(C)
= P({ PA PB GC , PA PB PC PA PB GC , PA PB PC PA PB PC PA PB GC ,
.... }) = P(PA PB GC ) + P(PA PB PC PA PB GC ) + P(PA PB PC PA PB PC PA PB GC ) + ... = (2/3)2(1/3) + (2/3)5 (1/3) + (2/3)8 (1/3) + ...
4 1 2 1 = 3 3 3 1 (2 / 3) 19 2
Ejemplo 61
Un jugador arroja dos dados. Si en su primera jugada obtiene un total de 7 ú 11 puntos, gana el juego, si en esta primera jugada obtiene un total de 2, 3 ó 12, pierde el juego, por el contrario, si obtiene un total de 4, 5, 6, 8, 9 ó 10 puntos, continúa jugando hasta obtener el puntaje que obtuvo en la primera jugada, o hasta obtener un total de 7. En el primer caso gana y en el segundo(obtener un total de 7) pierde el juego. ¿Cuál es la probabilidad de que gane?
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4 7,11
(2/3)(1/12)1/1 2
7 (2/3)1/6
(2/3)1/1 2
5
2/9 (2/3)1/9 (2/3)5/3 6
6
p(x)
Fig. 3.37 8
(2/3)5/3 6 1/9
2, 3, 12
(2/3)(5/36)²
(2/3)1/9
2,3,11,12
(2/3)1/1 2 10
Solución El esquema de la figura 3.37 pretende reflejar lo que puede suceder al realizarse el juego.
Describámoslo: En el primer lanzamiento puede salir: i)
Un 7 ú 11 con probabilidad = 2/9, en cuyo caso se gana
ii) Un 2, 3, ó 12 con probabilidad = 1/9, en cuyo caso se pierde iii) Un 4, 5, 6, 8, 9 ó 10 con probabilidad = 1/12, 1/9, 5/36, 5/36, 1/9, 1/12; opciones en las que se sigue jugando hasta obtener uno de estos números en cuyo caso se gana. Y se pierde cuando sale un 7. Si salió un 4, p(x) = 1/12, etc. Entremos en detalle: Si en la primera salió un 4 con p(4)=1/12, el segundo cuatro puede salir en la segunda jugada, con p(x) = (1/12)(1/12); saldrá en la tercera siempre que en la segunda no salga un 7, esto ocurre con p(x) = (1/12)(9/12)(1/12); es decir, la
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probabilidad de que salga en la primera un 4, es 1/12, de que no salga un 4 en la segunda es 11/12 menos la probabilidad de que no salga el 7 (11/12 – 1/6 = 9/12) y que salga el segundo 4 en la tercera, con probabilidad 1/12. La serie que se genera para ganar con 4 es la siguiente: Cuatro: 2
3
2
1 1 1 9 1 19 1 19 1 1 1 1 ..... 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1 9 / 12 36
La serie que se genera para ganar con 5 es la siguiente: 2
3
2
1 1 1 26 1 1 26 1 1 26 1 1 1 2 Cinco: ..... 9 9 9 36 9 9 36 9 9 36 9 9 1 26 / 36 45
La serie que se genera para ganar con 6 es la siguiente: Seis: 2
3
5 5 5 25 5 5 265 5 5 25 5 5 ..... 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
2
1 25 1 25 / 36 396
2
1 25 1 25 / 36 396
La serie que se genera para ganar con 8 es la siguiente: Ocho: 2
3
5 5 5 25 5 5 265 5 5 25 5 5 ..... 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
La serie que se genera para ganar con 9 es la siguiente: 2
Nueve:
3
2
1 1 1 26 1 1 26 1 1 26 1 1 1 2 ..... 9 9 9 36 9 9 36 9 9 36 9 9 1 26 / 36 45
La serie que se genera para ganar con 10 es la siguiente:
2
3
2
1 1 1 9 1 19 1 19 1 1 1 1 Diez: ..... 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1 9 / 12 36
Si definimos ahora el evento G como “Ganar el juego”, P(G)
= P(De que primero salga un 7 o un 11) + P(dos veces un 4 , 5, 6, 8, 9 ó
10)
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2 25 25 2 1 244 2 1 = 0.4929292 9 36 45 396 396 45 36 495
Ejemplo 62
Jaimito se presenta a un examen de competencia de salto alto e intenta pasar una determinada altura. Para ello Jaimito puede repetir el salto varias veces hasta lograr el éxito. Suponga que la probabilidad de tener éxito en un intento cualquiera es de 0.1 y que los intentos son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que a) Le tome más de 4 intentos? b) Le tome más de 10 intentos?
Solución Sea A el evento “Jaimito pasa limpiamente la altura exigida, en el k-ésimo intento, por lo menos” Designaremos con E cuando hay éxito y con F cuando hay fracaso. Según esto, el espacio muestral viene dado por = {E, FE, FFE, FFFE, FFFFE, FFFFFE, ... } a) En este primer caso, el evento A viene dado por A = {FFFFE, FFFFFE, FFFFFFE, ..... } Luego P(A)
= P({FFFFE, FFFFFE, FFFFFFE, ..... }) = P(FFFF){P(E) + P(F)P(E) + P(FF)P(E) + P(FFF)P(E) + …} = (P(F))4(P(E){1+P(F) + P(FF) + P(FFF) + ... }
=
1
0.9 (0.1) 1 0.9 0.6561 4
b) En este caso el evento A ésta formado por A = {FFFFFFFFFFE, FFFFFFFFFFFE, FFFFFFFFFFFFE, +++ } De donde P(A)
= (P(F)10P(E){ 1 + P(F) + P(FF) + P(FFF) + … } =
10
0.9
(0.1)
1 0.34868 1 0.9
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12.8
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una firma de gran prestigio está interesada en elevar la calidad de los productos que ensambla. Por esta razón luego de un proceso de ensamble de un lote del día, todos ellos se someten a revisión. Se identifican tres tipos de defectos como: defectos críticos, defectos mayores y defectos menores. Se designa a una empresa de envíos por correo, quienes se encargan de clasificarlos en a, b y c, respectivamente. Al analizar los datos se obtienen los siguientes resultados: Aparatos que sólo tienen defectos críticos
2%
Aparatos que sólo tienen defectos mayores
5%
Aparatos que sólo tienen defectos menores
7%
Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores
3%
Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores
4%
Aparatos que sólo tienen defectos mayores y mayores
3%
Aparatos que tienen los tres tipos de defectos
1%
a) ¿Qué porcentaje refrigeradoras no tienen defectos? b) Los aparatos con defectos críticos o mayores deben reemplazarse para un nuevo ensamble. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?
2. Usando diagramas de Venn muestre la veracidad de las siguiente propiedades: Leyes asociativas: A (BC) = (AB) C A (BC) = (AB) C Leyes distributivas:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C) Si AB, entonces AB = A Si AB, entonces A B = A Si AB = , entonces AB Si AB y BC, entonces AC
3. Describa el espacio muestral para este experimento
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a) La oficina de la calidad de DiskitSA, fabricante de discos ópticos lleva a cabo pruebas de validación, de un lote de producción diaria. La prueba se realiza de uno en uno a la vez y se marcan ya sea como defectuoso o como no defectuoso. Esto continúa hasta encontrar dos artículos defectuosos o cuando se han probado cinco artículos.
Describa el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos: b) Un lote de 120 tapas de tanque de gasolina para un determinado vehículo contiene varias defectuosas debido a un problema con el material empleado. Se selecciona tres tapas al azar(sin reemplazo) y se inspecciona con cuidado siguiendo un procedimiento de ajuste c) Una tarjeta de video formado por 10 piezas fundidas a cierta temperatura, contiene una unidad defectuosa y nueve en buen estado. Se selecciona cuatro piezas al azar(sin reposición) y se inspecciona.
4. Se desea determinar el número de maneras de asignar trabajadores aptos para la construcción al primer turno. Se cuenta con 15 hombres que pueden servir como operadores del equipo de relleno, 8 que pueden desempeñarse como personal de armado y 4 que pueden ser asistente. Si el turno requiere de 6 operadores, 2 trabajadores de armado y un asistente, ¿de cuántas maneras puede formarse el primer turno?
5. DrySA. es una empresa que fabrica equipos de audio. Durante el proceso de inspección se comprueba que estos equipos pueden tener 5 tipos de defectos mayores y 5 tipos defectos menores. ¿de cuántas maneras pueden ocurrir un defecto mayor y otro menor? ¿De cuántas maneras dos defectos mayores y dos defectos menores?
6. Las probabilidades de los eventos A1 y A2 son P(A1 ) = 0.40 y P(A2 ) = 0.60. También se sabe que P( A1 A2 ) = 0. Suponga que P(B/A1 ) = 0.20 y que P(B/A2 ) = 0.05.
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a) Son mutuamente excluyentes A1 y A2? ¿por qué sí o por qué no? b) Calcule P(A1 B ) y P(A2 B ). c) Calcule P(B) d) Aplique el Teorema de Bayes para calcular P( A1 / B ) y P(A2 / B ).
7. Las probabilidades de los eventos A1 , A2 y A3 son P(A1 ) = 0.20, P(A2 ) = 0.50 y P(A3 ) = 0.30. Las probabilidades condicionales de B, dados A1 , A2 y A3 son p(B/ A1 ) =0.50; que p(B/ A2 ) = 0.40 y P(B/ A3 ) = 0.30. a) Calcule P(A1 B ), P(A2 B ) y P(A3 B ). b) Usando el Teorema de Bayes encuentre P(A2 / B)
8. Data Consult es una empresa dedicada a la consultoría informática. Se ha presentado a un concurso para un gran proyecto de investigación. Inicialmente la dirección de la empresa pensó que tenía una oportunidad de 50% de obtener el contrato. Sin embargo, la dependencia a la que fue presentada la propuesta ha solicitado más información al respecto. Por experiencias anteriores se sabe que, cuando la dependencia solicita información adicional, la probabilidad de obtener el contrato (éxito) es el 75% de aquellas a quienes se les solicitó información adicional y sólo el 40% de las propuestas a quienes no se les solicitó información adicional, obtienen el contrato (éxito). a) ¿Cuál es la probabilidad de tener éxito? b) ¿Cuál es la probabilidad de tener una solicitud de informes adicionales, dado que al final la oferta será seleccionada? c) Calcule la probabilidad de que la oferta tenga éxito, dado que se ha recibido información adicional.
9. Debido a problemas de recesión regional, una entidad bancaria ha decidido cancelar cuentas de crédito impagas. En el pasado, aproximadamente el 5% de los tarjetashabientes han dejado de pagar sin que el banco haya podido recuperar la deuda. En consecuencia, la gerencia estableció que hay una probabilidad
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previa de 0.05 de que un tarjetahabiente incurra en cartera vencida. Además, el banco ha visto que la probabilidad de que un cliente regular se atrase en uno o más pagos mensuales es de 0.20. Naturalmente, la probabilidad de atraso en uno o más pagos para los clientes que incurren en cartera vencida es de 1. a) Si un cliente se atrasa en un pago mensual, calcule la probabilidad posterior de que el cliente incurra en una cartera vencida. b) Al banco le gustaría cancelar la línea de crédito de un cliente si la probabilidad de que éste incurra en cartera vencida es mayor que 0.20. ¿debe cancelarse una línea si un cliente se atrasa en un pago mensual? ¿Por qué sí o por qué no?
10. Datos históricos indican que la probabilidad de que un hombre tenga un accidente automovilístico durante un año es dos veces la probabilidad de que una mujer lo tenga. Las probabilidades indicadas son de 0.113 para los hombres y 0.057 para las mujeres. Suponga que el 55% de los conductores en una cierta población son hombres. Al llenar una encuesta en la que se preguntaba sobre el historial de manejo, una persona de esa población indica que durante el último año tuvo un accidente automovilístico. ¿cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer?
11. Un estudio reciente, efectuado por CPO (Consultora Peruana de Opinión) fue enfocado hacia las tecnologías usadas en el hogar. La encuesta determinó que el 60% tienen TV, el 50% tienen computadora; el 29.3% tienen una computadora y TV por cable, a la vez. De las que tienen computadora en su casa, el 64.1% dijeron que la habían usado durante la semana previa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga computadora en su casa y la haya usado la última semana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona posea tv por cable, si se sabe que ella tiene una computadora en casa?
12. Un gerente de finanzas ha realizado dos nuevas inversiones, una en la industria petrolera y otra en bonos públicos. Dentro de un año, cada una de las
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inversiones se calificará como buena o mala. Considere que un experimento consiste en efectuar las dos inversiones. a) ¿Cuántos puntos muestrales existen para este experimento? b) Trace un diagrama de árbol y haga una lista de los puntos muestrales. c) Sea A el evento en que la inversión petrolera es buena y B el evento en el que la inversión en bonos públicos también lo es. Haga una lista de los puntos muestrales en A y en B. d) Haga una lista de los puntos muestrales en la unión de los eventos A y B e) Haga una lista de los puntos muestrales en la intersección de los eventos A yB f) ¿Son mutuamente excluyentes los eventos A y B?
13. En una encuesta de opinión realizado a visitantes de Punta Sal, se les preguntó si estaban satisfecho o no con la atención que el hotel les brinda. En la tabla siguiente se muestran las respuestas de todos los adultos y la distribución en grupos de edades.
Satisfecho (%)
Insatisfecho (%)
Otros (%)
Todos los adultos 61
37
2
18 – 34
64
35
1
35 – 49
58
41
1
50 – 64
57
40
3
65 a más
70
26
4
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar esté satisfecho? b) ¿Qué grupo de edad está más satisfecho que el promedio de todos los adultos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de más de 65 años diga que no está satisfecho?
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14. Se llevó a cabo una encuesta usando Call Center para determinar la respuesta del espectador a un nuevo programa de televisión, y se obtuvieron los siguientes datos: Calificación
Frecuencia
Mala
4
Por debajo del promedio 8 Promedio
11
Por encima del promedio 14 Excelente
13
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un espectador seleccionado al azar considere al nuevo programa como promedio o mejor que eso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un espectador seleccionado al azar califique al nuevo programa como debajo del promedio?
15. Las cajas de ahorro municipal han observado que el monto de los ahorros han crecido durante el último año. En una muestra de 200 cuentas se obtuvieron los datos de la siguiente tabla: Saldo(dólares) Frecuencia 1000 – 1099
62
1100 – 1199
46
1200 – 1299
24
1300 – 1399
30
1400 – 1499
26
1500 a más
12
a) Si A es el evento “La deuda del cliente es menor que $1200”. Hallar P(A). b) Si B es el evento “La deuda del cliente es más de $1300”. Determine P(B).
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16. Una gran empresa de bienes al consumidor ha estado pasando un anuncio en televisión de uno de sus jabones. Llevó a cabo una encuesta y, con base en ella se asignaron probabilidades a los eventos siguientes: S: “una persona compró el producto” B: “una persona recuerda haber visto el anuncio” BS : “ una persona compró el producto y recuerda haber visto el anuncio” Las probabilidades asignadas fueron: p(B) = 0.20; p(S) = 0.40; p(BS) = 0.12. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre el producto, dado que recuerda haber visto el anuncio?El haber visto el anuncio, ¿aumenta la probabilidad de que una persona compre el producto? Al tomar decisiones, ¿recomendaría Ud. continuar con el anuncio, suponiendo que su costo fuera razonable? b) Suponga que las personas que no compran el jabón de esta empresa lo compran de la competencia. ¿cuál sería su estimado de la participación del mercado para esta empresa? ¿espera Ud.que si continúa el anuncio aumente la participación del mercado para esta empresa? ¿Por qué sí o por qué no? c) La empresa también ha probado otro anuncio y le asignó los valores P(S) = 0.30 y P(BS) = 0.10. ¿cuánto es P(B / S) para este otro anuncio? ¿cuál de los anuncios parece haber tenido el mayor efecto sobre las compras por parte de los clientes?
17. Una empresa ha realizado un análisis cuidadoso de una promoción de precios, bajo prueba en este momento. Un 20% de las personas en una gran muestra de individuos en el mercado de prueba, están enterados de la promoción y han realizado una compra. Además el 80% están enterados de la promoción, y antes de ella, 25% de las personas de la muestra compraban el producto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre, dado que está enterado de la promoción?
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b) Son independientes los eventos “compró” y “enterado de la promoción de precios”. ¿Porqué sí o por qué no? c) De acuerdo con estos resultados, ¿recomendaría Ud. que la empresa introdujera esta promoción a nivel nacional? ¿Porqué sí o por qué no?
18. De un lote de 1000 productos se selecciona un producto aleatoriamente. Los defectos de fabricación se clasifican en tres tipos: A, B y C. Los defectos de tipo A ocurren el 2% de las veces; los de tipo B, el 1 % y los de tipo C, el 1.5%. Se sabe también que el 0.5% tienen los defectos de tipo A y B; el 0.6% los defectos B y C y el 0.4% presentan los defectos A y C, en tanto que sólo el 0.2% presentan los tres tipos de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo seleccionado tenga por lo menos uno de los tres tipos de defectos?
19. Por experiencias anteriores se sabe que 20 productos de un lote de producción de tamaño 100, son defectuosos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 4 productos, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra no contenga más de dos unidades defectuosas?
20. Una firma comercial utiliza la siguiente regla de inspección antes de almacenar los lotes de 300 artículos adquiridos: se selecciona una muestra al azar de 10 artículos. Si la muestra contiene a lo más un artículo defectuoso, se acepta el lote. De otro modo se devuelve al proveedor. Si la fracción defectuosa en el lote original es p, determinar la probabilidad de aceptar el lote como una función de p.
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0.8 0.8 0.7
0.99 0.9
0.9 I
II
III
Figura 3.38
21. Considere el diagrama de la Figura 3.38 de un sistema electrónico que muestra las probabilidades de que los componentes del sistema operen de manera apropiada. ¿cuál es la probabilidad de que el sistema opere si el ensamble III y al menos uno de los componentes en los ensamble I y II deben operar para que funcione el ensamble completo?, si los componentes de cada ensamble operan independientemente y que la operación de cada ensamble también es independiente.
22. ¿Cómo se afecta la probabilidad del sistema si, en el problema anterior, la probabilidad para la operación exitosa del componente en el ensamble III cambia de 0.99 a 0.9?
23. Considere el ensamble en serie y en paralelo que se muestra en la Figura 3.39. Los valores ri (i = 1, 2, 3, 4, 5) son las confiabilidades de los cinco componentes indicados. Esto es, Ri = probabilidad de que la i-ésima unidad funcione de manera adecuada. Los componentes operan (y fallan) de manera mutuamente independiente y el ensamble falla sólo cuando se rompe la trayectoria de A a B. Exprese la confiabilidad del ensamble como una función de R1 , R2 , R3 , R4 y R5 .
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R2 R5 R4
B
A R1 R3 Fig. 3.39
24. Por decisión del responsable del INPE, un prisionero político será enviado a Yanahuanca o Carquín. Las probabilidades de que lo envíen a estos lugares son 0.6 y 0.4, respectivamente. Por otro lado, si se elige al azar a un residente de Puno, la probabilidad de que lleve un abrigo de piel es de 0.5, mientras que para los de Huacho dicha probabilidad es de 0.7. Al llegar al lugar de presidio la primera persona que el prisionero ve es un una persona que no lleva abrigo de piel. ¿cuál es la probabilidad de que esté en Yanahuanca?
25. Para dar solución a los problemas de patinado durante el frenado de un automóvil, que puede ser muy peligroso en los meses de lluvia, una empresa automotriz diseña un dispositivo que incluye piezas electrónicas e hidráulicas. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas en serie que operan de manera independiente: un sistema electrónico, uno hidráulico y un accionador mecánico. En un frenado particular las confiabilidades de estas unidades son, aproximadamente de 0.995, 0.993 y 0.994, respectivamente. Estime la confiabilidad del sistema.
26. De una urna que contiene m bolas numeradas de 1 a m, se extraen dos bolas. Se conserva la primera bola si tiene el número 1, y se regresa en caso contrario. Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída tenga el número 2?
27. Suponga que hay n personas en un cuarto. Si se elabora una lista de todos los cumpleaños (el mes específico y el día del mes), ¿cuál es la probabilidad de Página 275 de 800
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que dos o más personas cumplan años el mismo día? Suponga que hay 365 días en el año y que la ocurrencia de un cumpleaños sea igualmente probable para cada persona. Sea B el evento de que dos o más personas cumplen años el mismo día. Encuentre P(B) y P(B’) para n = 10, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 40, 50 y 60.
28. En cierto juego de dados, los jugadores continúan lanzando los dados hasta que ganen o pierdan. El jugador gana en el primer lanzamiento si la suma de las dos caras es 7 ú 11, y pierde si la suma es 2, 3 ó 12. De otro modo, la suma de las caras viene a ser la puntuación del jugador. El jugador continúa sus lanzamientos hasta el primer tiro bueno con el que logra su punto(en cuyo caso gana), o hasta que lanza un tiro malo (en cuyo caso pierde). ¿cuál es la probabilidad de que el jugador con los dados gane al final el juego?
29. Un grupo de consultores dirige una investigación detallada de accidentes aéreos. La probabilidad de que un accidente por falla estructural se identifique correctamente es 0.9 y la probabilidad de que un accidente que no se debe a una falla estructural se identifique en forma incorrecta como un accidente por falla estructural es 0.2. Si el 25% de los accidentes aéreos se deben a fallas estructurales, determine la probabilidad de que un accidente aéreo debido a falla estructural sea diagnosticado como falla de este tipo.
30. En la evaluación de un programa de adiestramiento en ventas, una empresa encontró que de 50 vendedores que se hicieron acreedores a un bono el año anterior, 20 habían participado en un programa especial de adiestramiento en ventas. La empresa tiene 200 vendedores. Sea B el evento en que un vendedor merece un bono y S el evento en que un vendedor participa en el programa de adiestramiento en ventas. a) Determine P(B); p(S / B); p( SB). b) Suponga que el 40% de los vendedores han asistido al programa de entrenamiento. ¿cuál es la probabilidad de que un vendedor alcance un bono, dado que asistió al curso de adiestramiento en ventas?
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31. Una empresa estudió la cantidad de incapacidades laborales por accidente en su planta de acero en Chimbote. Los registros históricos muestran que el 6% de los empleados tuvieron incapacidades por accidente el último año. La administración cree que con un programa especial de seguridad se reducirán esos accidentes al 5% durante este año. Además estima que el 15% de los empleados que tuvieron accidentes de incapacidades durante el año pasado, volverán a tener uno durante este año. a) ¿Qué porcentaje de los empleados tendrán incapacidades por accidente en ambos años? b) ¿Qué porcentaje de empleados tendrán, cuando menos una incapacidad por accidente durante dos años? 32. En un estudio de hábitos de ver televisión entre casados, un investigador encontró que el 25% de los esposos y el 30% de las esposas veían con regularidad un programa popular de los sábados. El estudio indicó que en los matrimonios en que el esposo veía con regularidad el programa, el 80% de las esposas también lo veían con regularidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos, marido y mujer, vieran el programa con regularidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos uno de ellos, marido o mujer, vea el programa con regularidad? c) ¿En qué porcentaje de los matrimonios, al menos uno de los esposos no ve el programa con regularidad?
33. Un vendedor de sistemas empresariales vende equipo de rotulación automática de sobres, a empresas pequeñas y medianas. La probabilidad de que con un cliente nuevo se concrete una venta es de 0.10. Durante el contacto inicial con un cliente, a veces éste le pide al vendedor que lo llame después. De las 30 ventas más recientes, 12 fueron a clientes que inicialmente habían pedido al vendedor que le llamara después. De 270 clientes que no compraron, 46 habían pedido inicialmente al vendedor que los llamara después. Si un cliente pide al
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vendedor que lo llame después, ¿lo debe hacer? ¿cuál es la probabilidad de vender a un cliente que le ha pedido a un vendedor que lo llame después?
34. El directorio de una empresa decidió realizar una auditoría externa para que identificaran posibles declaraciones de impuestos fraudulentas. Estos auditores consideran que la probabilidad de encontrar una declaración fraudulenta, si esa declaración se acoge a deducciones por contribuciones mayores que la norma estipulada es de 0.20. Si las deducciones por contribuciones no rebasan la norma, la probabilidad de una declaración fraudulenta disminuye a 0.02. Si el 8% de todas las declaraciones rebasa la norma para deducciones por contribuciones, ¿cuál es mejor valor estimado del porcentaje de declaraciones fraudulentas?
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CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4.1 Variable aleatoria 4.2 Variables aleatorias discretas: Función de probabilidad 4.3 Variables aleatorias continuas. Función de densidad de probabilidad 4.4 Función de distribución acumulada 4.5 Problemas propuestos 4.6 Valor esperado de una variable 4.7 Varianza de una variable 4.8 Problemas propuestos 4.9 Distribuciones conocidas: Caso de variable aleatoria discreta 4.10 Problemas propuestos 4.11 Distribuciones conocidas: Caso de variable aleatoria continua 4.12 Problemas propuestos 4.13 Otras distribuciones continuas conocidas 4.14 Variables aleatorias bidimensionales 4.15 Problemas propuestos
13.1
VARIABLE ALEATORIA
Definición de variable aleatoria Sea un fenómeno aleatorio y el espacio muestral asociado a dicho experimento. Diremos que la función X es una variable aleatoria si para cada
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elemento s del espacio muestral, le hace corresponder una imagen x = X(s), el cual es un número real. Es decir, X es una variable aleatoria si s , x X / x = X(s). Esto se aprecia en la siguiente figura.
X
X
s x=X(s)
Figura 4.1
Ejemplo 01 1: Supongamos que se lanza al aire una moneda tres veces. Si es el fenómeno aleatorio, su espacio muestral será = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC}. Si definimos a X como la variable aleatoria que representa “el número de veces que ocurre cara”, entonces, X(SSS) = 0; es decir, el número de caras obtenidas puede ser cero, y esto ocurre cuando se obtiene tres sellos; del mismo modo, se obtendrá una cara cuando X(SSC) = X(SCS) = X(CSS) = 1; o dos caras cuando X(SCC) = X(CSC) = X(CCS) = 2 y también, X(CCC) = 3. De todo ello deducimos que, si al lanzar una moneda tres veces y se define a X como el número de caras obtenidas, los posibles valores que tome X serán 0, 1, 2, 3. Luego el espacio rango de X será X = { 0, 1, 2, 3 }.
Ejemplo 02 2: De un lote de productos en donde el 10% son defectuosos, se eligen al azar una muestra de 5 productos. Se define a X como el número de productos defectuosos en la muestra.
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En este caso X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 por lo que X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Ejemplo 03 3: De 5 varones y 4 damas se elige un comité de 3 miembros. Se define a X como el número de damas que puede conformar el comité. En este caso X toma los valores: 0, 1, 2, 3 y el espacio rango es X = {0, 1, 2, 3}.
Ejemplo 04 4: Una nave de combate lanza proyectiles a una vía férrea. Esta quedará destruida, si el proyectil cae a 30 metros de la vía. Se define a X como la distancia entre el punto de impacto del proyectil y la vía férrea.
La variable aleatoria X en este caso, toma infinitos valores dentro de un rango; es decir, X = {x / - c x c }, donde “c” es la máxima distancia entre el punto de impacto del proyectil y la vía férrea.
Eventos equivalentes Sea un fenómeno aleatorio. Sea , el espacio muestral asociado a . Sea X una variable aleatoria definida sobre y X su espacio rango. Si B es un evento de X ;es decir, si B X y A se define comoA = {s / X(s) B} entonces diremos que A y B son dos eventos equivalentes. En otras palabras, un evento B, del espacio rango es equivalente a otro evento A, del espacio muestral, si cada elemento del evento A del espacio muestraltiene como imagen otro evento B del espacio rango, según la definición de X. Ejemplo 05
En el primer ejemplo visto en esta sección, vimos que si se define a la variable aleatoria X como el número de caras obtenidas, el evento B: “Obtener 0 caras”
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será equivalente con el evento A: “Obtener 0 caras”. En efecto, A = { SSS } y según la definición, B = {x / x = X(SSS) = 0 }. Si ocurre A entonces, y sólo entonces, ocurre B.
Ejemplo 06
Tomando el mismo ejemplo supongamos ahora que se define el evento B como “Salen por lo menos dos caras”. En este caso B = {x X / x = 0, 1, 2 }; B = { 0, 1, 2 }. En el espacio muestral debe ocurrir el evento A: “Obtener a lo más dos caras”, lo que por extensión se define como A = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS }.
En este caso 0 = X(SSS), 1 = X(SSC) = X(SCS) = X(CSS) 2 = X(SCC) = X(CSC) = X(CCS)
Probabilidad en eventos equivalentes Sea X una variable aleatoria y B un evento deX. Sea A un evento de con A , equivalente con B. Si P(A) es la probabilidad de la ocurrencia de A y P(B) es la probabilidad de la ocurrencia de B, entonces P(A) = P(B) siempre que A y B sean eventos equivalentes, es decir siempre que A = {s / X(s) B}.
Ejemplo 07
Tomando en cuenta el ejemplo anterior, sea B = {X / X = 0 }. El evento equivalente a B deberá ser A = {SSS}. En consecuencia, P(B) = p(0) = P(X = 0) = P(X(SSS)) = P(A) = 1/8
Nota: Evaluar probabilidades en el espacio rango de X es evaluar probabilidades en A.
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Ejemplo 08
Si se lanza al aire una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más, dos caras?
El espacio muestral para este ensayo ya lo hemos visto. Según la pregunta, X se debe definir “como el número de caras obtenidas”, entonces definimos a B como “Obtener a lo más dos caras”. Según esto, B = {0, 1, 2 } = {x / x ≤ 2 }. Y el evento equivalente a B será
A = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS }
Como se sabe, P(A) = 7/8. Si B y A son eventos equivalentes, entonces P(B) = 7/8.
Tipos de variables aleatorias
Una variable aleatoria es discreta si su espacio rango es finito (toma valores enteros) o numerablemente infinito (se puede identificar a cada uno de ellos y se puede ordenar) mientras que una variable aleatoria es continua si su espacio rango es infinito.
Nota:
Si bien en el caso de una variable discreta el espacio rango se puede expresar por comprensión o extensión, en el caso de una variable continua sólo se puede expresar por comprensión mediante el uso de cualquiera de las forma de intervalo.
Ejemplo 09: De identificación
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Diga si las siguientes variables aleatorias que se mencionan son discretas o continuas:
a)
El número de caras que se obtiene al lanzar al aire una moneda 1000 veces
b)
El tiempo que un cliente tarda en la cola de una caja hasta ser atendido
c)
El tiempo que el cajero tarda en atender el cliente
d)
El tiempo en minutos que un conductor espera para pagar el peaje en una garita
e)
El número de alumnos que repiten el curso de Estadística en cierto semestre
f)
El número de veces que un alumno se matricula en una determinada asignatura
g)
El valor estimado en dólares de una casa de dos plantas
h)
El número de cuentas por pagar que una oficina bancaria tiene en cierto momento
i)
El número de kilómetros que recorre un taxista diariamente
j)
El número de demandas por día que recibe una compañía de seguros
k)
El número de accidentes que se registra anualmente en la Vía Expresa
l)
El tiempo entre un accidente y otro durante un año, en la Vía Expresa
Solución Son variables aleatorias discretas: a)
e)
f)
j)
k)
Son Variables Aleatorias Continuas: b)
13.2
c)
d)
g)
h)
i)
l)
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: Función de probabilidad
Sea X una variable aleatoria. Diremos que X es una variable aleatoria discreta si su espacio rango es un conjunto finito o numerablemente infinito.
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Nota:
Decir que es finito significa que los valores que tome pueden ser cualquier número real; por lo general, toma valores enteros. Y decir que es numerablemente infinito, significa que siendo infinito, es posible enumerar cada uno de sus elementos; es decir, se puede saber quién es el anterior o el siguiente.
Ejemplo 10
Si se define a X como el número de accidentes ocurridos en la panamericana sur durante el año 2012, entonces X puede ser 0, 1, 2, 3, ...
Ejemplo 11
Se elige a 20 alumnos de una sección de Estadística Aplicada de la U. de Lima y se les pregunta por sus edades en días. En este caso definiremos a X como el número de días de un alumno. Según esto, X puede tomar valores entre 5840 días y 9125 días, considerando que se puede tener alumnos entre los 16 a 25 años.
Seguramente si X se define como la talla de estos alumnos, estaremos convencidos que X no constituye una variable aleatoria discreta.
Función de probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta, con X su espacio rango. Los posibles valores que toma X serán x1, x2, ... xn, xn+1,... Si a cada resultado posible xi le asociamos un número real p(x i ) tal que p(x i ) = P(X = x i ), diremos que p(x i ) es la función de probabilidad de X, siempre que cumpla las siguientes condiciones:
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i ) p( xi ) 0 xi , i 1,2,3... i
ii ) p( xi ) 1 i 1
Podemos mostrar la función de probabilidad de X en una tabla como se indica en la siguiente figura:
X x1 x2 x3 ... xn p(x) p(x1) p(x2) p(x3) ... p(xn)
Gráfica de la función de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta, con
(xi, p(xi) ) su distribución de
probabilidad. La gráfica de la función de probabilidad se muestra en la siguiente figura. p(x)
x1 x2 x3 x4
x5
x6
x
Figura 4.2
Ejemplo 12
Se lanza al aire una moneda tres veces. Supongamos que se define a X como el número de caras obtenidas. Encuentre la función de probabilidad de X.
Solución Por lo ya que sabemos de este ejemplo, X = 0, 1, 2, 3. Encontremos p(xi ). Si x = 0 entonces p(0) = P(X = 0) = P({SSS}) = 1/8 Si x = 1 entonces p(1) = P(X = 1) = P({SSC, SCS, CSS}) = 3/8 Si x = 2 entonces p(2) = P(X = 2) = P({SCC, CSC, CCS}) = 3/8 Si x = 3 entonces p(3) = P(X = 3) = P({CCC}) = 1/8
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En consecuencia, la distribución de probabilidad se muestra en la siguiente tabla. X p(x)
0 1/8
1 2 3 3/8 3/8 1/8
Ejemplo 13
Se sabe que al lanzar al aire una moneda, se obtiene cara tres veces más frecuentemente que sello. Si se lanza una moneda tres veces y se define a X como el número de caras obtenidas. Encuentre la distribución de probabilidad de X.
Solución Si se define a X como el “Número de caras obtenidas”, entonces X = 0, 1, 2, 3. Como sale cara tres veces más que sello, entonces la probabilidad de que salga cara en cualquier lanzamiento será 3/4, con lo cual p = 3/4 y q = 1 – p = 1/4 . Si queremos obtener x caras, p(x) = P(X = x) es la probabilidad de obtener “x caras” y “3-x” sellos. La probabilidad de obtener x caras es (3/4)x y “3-x” sellos es (1/4)(3-x).
En los tres lanzamientos debemos obtener x caras. Esto lo hacemos de C(3, x) maneras. Luego la distribución de probabilidad de X será p(x) = P(X=x) = C(3, x) (3/4)x (1/4)(3-x) x = 0, 1, 2, 3.
La función de probabilidad mostrada en forma tabular es la siguiente X p(x)
0 1/64
1 2 3 3(¾)(1/4)² 3(3/4)²(1/4) (3/4)3
Ejemplo 14
De un lote que contiene 25, cinco de los cuales son defectuosos, se seleccionan en forma aleatoria a 4 de ellos. Sea X el número de defectuosos hallados.
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Obtener la distribución de probabilidad de X si a) los artículos son extraídos con reposición b) los artículos son extraídos sin reposición
Solución Caso a) La probabilidad de que el primero extraído sea defectuoso es 5/25. Si cada uno de los productos extraídos se repone, entonces la probabilidad de que el siguiente extraído sea defectuoso sigue siendo la misma ya que los defectuosos siguen siendo 5 de un total de 25. En este caso el experimento genera una distribución de probabilidad conocida coma la binomial que la estudiaremos más adelante. Por ello si p(x) = P(X = x) es la función de probabilidad de obtener x artículos defectuosos y 4-x no defectuosos, entonces x 4 x 4 p(x) = P(X = x) = (1 / 5) (4 / 5) x
x 0, 1, 2, 3, 4
Caso b) En este caso los artículos se extraen sin reposición y esto implica que, si la probabilidad de extraer un defectuoso en la primera es 5/25, la probabilidad de que el segundo también sea defectuoso es 4/24(ya que si salió defectuoso la primera vez ahora sólo quedan 4 defectuosos de un total de 24).
Usaremos la definición de probabilidad clásica para encontrar la función de distribución de probabilidad de X; es decir,
p(x) = P(X = x) =
número de casos favorables número de casos posbiles
En cuanto al: Número de casos favorables:
Debemos obtener x defectuosos:
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El número de maneras de obtener x defectuosos de un total de 5 es lo mismo que formar grupos de x cada uno, de un conjunto de 5 elementos; esto es lo que se conoce como “combinaciones de 5 tomados de x en x”; es decir, C(5, x) El número de maneras de obtener 4-x defectuosos de un total de 20, es formar grupos de 4-x tomados de un total de 20 que constituye “combinaciones de 20 tomados de 4-x en 4-x”; es decir C(20, 4-x). El número de maneras de obtener x defectuosos y 4-x no defectuosos es C(5,x)C(20,4-x) por el principio de multiplicación.Esto nos da el número de casos favorables.
Veamos ahora los casos posibles: Aquí se trata de formar grupos de 4 de un total de 25 en donde no interesa el orden. El número de maneras de hacerlo es C(25, 4), lo que constituye el espacio muestral.
Luego la probabilidad de la ocurrencia del evento X = x es
p( x) P( X x)
5 20 x 4 x 25 4
, x 1, 2, 3, 4
Ejemplo 15
Una dulcería tiene en su vitrina cinco huahuas de chocolate y cinco de guanábana, al mismo precio. Toda vez que el cliente no especifica su pedido y solicita dos, el encargado selecciona aleatoriamente dos de ellas. Si un cliente compra dos y no especifica el tipo de huahua, cuál es la función de probabilidad del número de huahuas de chocolate entregadas?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de huahuas de chocolate seleccionadas y entregadas al cliente”. Como se extrae sólo dos huahuas, los valores posibles de X son 0, 1 y 2. Debemos observar también que el modelo de
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ensayo que representa seleccionar las dos huahuasimplica que el ensayo es sin reposición, como es lógico.
Usando la definición de probabilidad clásica para encontrar la función de distribución de probabilidad de X; es decir,
p(x) = P(X = x) =
número de casos favorables número de casos posbiles
Elegir 0 huahuas de chocolate (X = 0) significa que las dos elegidas son de guanábana. Es decir, debemos encontrar el número de maneras de elegir 0 huahuas de chocolate y 2 de guanábana. De cuántas maneras elegir 0 huahuas de chocolate de un total de 5 y de cuántas maneras elegir 2 huahuas de guanábana de un total de 5 significa C(5,0)xC(5,2), lo que constituye el número de casos favorables. En cuanto a los casos posibles es C(10, 2). Luego
5 5 0 2 10 2 Si X = 0, p(0) = 45 9 10 2
Usando el igual razonamiento, encontramos las probabilidades para los otros valores de X. Luego la distribución de probabilidades de X viene dada por
X p(x)
0 2/9
1 5/9
2 2/9
Observación: Si se selecciona “x” tortas de chocolate, cuál será el valor de p(x)?. Siguiendo el mismo razonamiento hecho para X=0, concluiremos que
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5 5 x 2 x Si X = x , p(x) = , esto cuando x 0, 1, 2 10 2
Este será el modelo de función de probabilidad hipergeométrico cuando el ensayo es sin reposición, en el cual la probabilidad de un resultado individual, favorable cambia cada vez que se hace un nuevo ensayo; a diferencia de los modelos binomiales que son generados por ensayos con reposición, donde la probabilidad de una ocurrencia favorable es constante. Este modelo de distribución lo estudiaremos también más adelante.
Ejemplo 16
Supongamos que los productos fabricados por tres máquinas A, B y C, se juntan al final del día. Supongamos que 8 productos provienen de la máquina A, 4 de la máquina B y 2 provienen de la máquina C. Un empleado que se encarga de transportar del almacén a los camiones recibe por cada producto proveniente de la máquina A, dos soles; por cada producto proveniente de B, recibe un sol; y por cada producto de C, recibe 0 soles. Si el empleado debe transportar dos productos, encuentre la función de probabilidad de la ganancia obtenida por el empleado.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como la “cantidad de soles recibido por el empleado al transportar dos productos cualquiera”.
Si los dos productos que transporta son de C, X = 0 Si los dos productos que transporta son de A, X = 4 Si los dos productos que transporta son de B, X = 2 Si transporta uno de A y uno de B, X = 3 Si transporta uno de A y uno de C, X = 2
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Si transporta uno de B y uno de C, X = 1
Luego los posibles valores de X son X: 0, 1, 2, 3, 4 Como en el ejemplo anterior, usaremos la probabilidad clásica y tomaremos en cuenta que el transporte de los productos constituye un ensayo sin reposición.
2 12 2 0 1 p(0) = P(los dos productos son de C) = 91 14 2 4 2 1 1 8 p(1) = P(un producto de B y uno de C) = 91 14 2 8 2 1 1 p(2) = P(uno de A y uno de C ó dos de B)= 14 2
4 10 2 0 22 91 14 2
8 4 1 1 32 p(3)=P(uno de A y uno de B) = 91 14 2
8 6 2 0 28 p(4) = P(dos de A) = 91 14 2 Luego, la función de distribución de X será
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X
0
p(x)
1/91
1 8/91
2
3
22/91 32/91
4 28/91
Ejemplo 17
Una agencia bancaria tiene tres cajeros automáticos. La probabilidad de que uno cualquiera de ellos falle después de un tiempo determinado de uso, es 0.1. Los cajeros operan independientemente uno de otro. En una hora determinada, cuál será la distribución de probabilidad del número de cajeros que fallen?
Solución De acuerdo al problema, el funcionamiento de cada cajero es independiente uno de otro. La probabilidad de que uno de ellos falle es igual a 0.1. Sea X la variable aleatoria definida como “el número de cajeros que fallan en una hora determinada”. Según esto, pueden fallar 0, 1, 2 o los 3 cajeros; por lo que los valores posibles de X son 0, 1, 2, 3. Sea F el evento “Un cajero falla” tal que P(F) = 0.1 y P(F’) = 0.9. Con lo cual p(0) = P(X=0) = P(F’F’F’) = 0.93 =0.729. Esto porque los eventos son independientes. p(1) = P(X=1) = P(FF’F’ ó F’FF’ ó F’F’F)=C(3,1)P(FF’F’)=3(0.1)(0.9) 2 = 0.243 p(2) = P(X=2) = C(3,2)P(FFF’) = 3(0.1) 2 (0.9) = 0.027 p(3) = P(X=3) = C(3,3)P(FFF) = (0.1) 3 = 0.001
Luego la distribución de probabilidad del número de cajeros que fallen será X p(x)
0 0.729
1 0.243
2
3
0.027 0.001
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Ejemplo 18
Supongamos que la máquina 1 produce diariamente dos veces más items que la máquina 2. Sin embargo, el 4% de los items producidos por la máquina 1 tienden a ser defectuosos, mientras que sólo el 2% de los items producidos por la máquina 2 son defectuosos. Supongamos que la producción diaria de las dos máquinas se combina al final del día. Si se toma una muestra aleatoria de 10 items de este lote, cuál es la probabilidad de que la muestra contenga dos defectuosos?
Solución De acuerdo a los datos, de tres items que se produzca, dos provienen de la máquina 1; esto significa que si se extrae un item del lote, la probabilidad de que provenga de la máquina 1 es 2/3 y que provenga de la máquina 2 es 1/3. El diagrama siguiente refleja el resto de los datos.
D
M 1
Figura 4.3
N
D
P(M1) = 2/3;
P(M2) = 1/3;
P(D/M1) = 0.04
P(D/M2) = 0.02
Si D es el evento: el item elegido es defectuoso, entonces P(D) = (2/3)(0.04) + (1/3)(0.02) = 1/30 Sea X la variable definida como el número de items defectuosos hallados en la muestra de 10. Sea p = P(D) = 1/30 la probabilidad de éxito; es decir, de que un item de la muestra sea defectuoso. Sea A el evento definido como “La muestra contenga dos defectuosos”
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Según los datos, P(A) = p(2) = P(X = 2). Como la probabilidad de que un producto sea defectuoso es p = P(D) = 1/30, entonces, ocurre éxito cuando se extrae un artículo defectuoso, en este con p = 1/30. Ahora bien, el número de maneras de seleccionar x = 2 defectuosos en una muestra de tamaño 10 es C(10, 2). La probabilidad de que en un grupo cualquiera de estas C(10, 2) maneras haya 2 defectuosos es (1/30) 2 “y” los otros 10-2 sean no defectuosos es (29/30)8. Por ello, la función de probabilidad para x defectuosos será
8 1 29 p( x) P( X x) x 39 30 x
10 x
x 0, 1, 2, .... 10
de donde
8 1 29 p(2) P( X 2) 2 39 30 2
8
Ejemplo 19
Se tiene una urna con tres fichas negras y dos rojas. Si se extrae sucesivamente y sin reposición de una en una hasta obtener una negra y se define a X como el número de extracciones que se debe realizar hasta que salga una ficha negra, determine la función de probabilidad de X.
Solución
3N
3R
N
R
N
R
R
N
Figura 4.4
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Ante todo, el espacio muestral , está formado por = {N, RN, RRN }. Sea X: El número de extracciones que debe realizarse hasta obtener una ficha negra
Como en la urna hay dos rojas, los tres rectángulos muestran las tres situaciones que pueden presentarse, no importa el orden. En el primer caso X toma el valor 1, ya que se ha realizado una extracción. En el segundo se han realizado dos y en el tercero X tomará el valor 3. Luego los posibles valores de X son 1, 2 y 3. Si X = 1 entonces p(1) =
3 = 0.6 5
Si X = 2 entonces p(2) =
23 = 0.3 54
Si X = 3 entonces p(3) =
213 = 0.1 543
Luego la función de probabilidad de X viene dada por X p(x)
1 0.6
2 0.3
3 0.1
Ejemplo 20
Se lanza un dado hasta que salga un 3 ó 5. Si se define a X como el número de veces que debe lanzarse el dado hasta obtener éxito, encuentre la función de probabilidad de X.
Solución Este ejemplo es una generalización del tipo de ensayo del ejemplo anterior. Cada vez que se lanza el dado, puede ocurrir dos únicos posibles resultados: éxito (sale un 3 ó un 5) ofracaso(sale otras caras). En el momento en que ocurre éxito por primera vez, termina el ensayo. Si p = P(E) es la probabilidad de que ocurra éxito, entonces p = 1/3 y si q = P(F) es la probabilidad de fracaso, q = 1 – p = 2/3. El siguiente esquema orientará nuestro análisis.
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E
E
E
F
F
F ……
E
Figura 4.5
Algunos de los elementos del espacio muestral son los siguientes: = { E, FE, FFE, FFFE, FFFFE, ...} de igual manera, los posibles valores que pueda tomar X son: 1, 2, 3, ... X = 1 significa que se obtuvo éxito en el primer ensayo. Como p(1) = P(X = 1) = P(E) tenemos p(1) = P(X=1) = 1/3.
X = 2 significa que se obtuvo éxito en el segundo ensayo, lo que significa que el primero tuvo que ser fracaso. Luego p(2) = P(X = 2) = P(FE) = (2/3)(1/3).
Ocurre lo mismo con X = 3. Es decir p(3) = P(X = 3) = P(FFE) = (2/3)(2/3)(1/3). Del mismo modo, X = 4 significa que p(4) = (2/3)3(1/3). Supongamos que “X = x “ es el evento “el primer éxito” ocurre en el “x-ésimo” ensayo. Diremos entonces que en los “x-1” ésimo ensayos hubo fracaso y éxito en el último. Por ello, la función de probabilidad de X será
2 p(x) = P(X = x)= P(FFFFFFF…FE) = 3
x 1
1 3
Ejemplo 21
Un grupo de investigadores de mercado está formado por tres hombres y tres mujeres. Si el responsable del grupo desea elegir aleatoriamente a dos de ellos para una labor especial y definimos a X como el número de mujeres seleccionadas, obtenga la función de probabilidad de X.
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Solución Como en el grupo hay tres mujeres y tres hombres y se extrae a dos de ellos, X tomará valores 0, 1, 2. Hallemos la probabilidad para cada valor de X
X = 0 significa que debe elegirse a dos hombres. El problema consiste ahora en elegir a dos hombres de un grupo de 3. Esto constituye una combinación de 3 elementos tomados de 2 en dos. Podríamos decir lo mismo de las mujeres: El número de maneras de elegir cero mujeres
de un total de 3, representa
combinaciones de 3 tomados de 0 en 0. Y como deben ocurrir los eventos “cero mujeres” y “dos hombres” entonces, la probabilidad de que ocurran será el producto de ambos, por el principio de multiplicación. El espacio muestral estará constituido por el número de combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en dos. Por ello la probabilidad de elegir “cero” mujeres es
3 3 0 2 3 0.2 p(0) = P(X = 0) = 15 6 2
Analicemos el caso X = 1. Se trata de elegir una mujer dentro de un total de 3, y un hombre dentro de un total de 3 hombres. La probabilidad de que esto ocurra es
3 3 1 1 9 0.6 p(1) = P(X = 1) = 15 6 2 Dejamos para el lector el caso X = 2. La función de probabilidad viene dada por: X p(x)
0 0.3
1 0.6
2 0.1
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Ejemplo 22
La probabilidad de que un agente vendedor realice una entrevista efectiva (realice una venta) es igual a 30%. Cierto día entrevista a 3 clientes potenciales. Si se define a X como el número de clientes que firman un contrato de venta, encuentre la distribución de probabilidad de X.
Solución Sea X la variable aleatoria que representa “el número de clientes que firman un contrato de venta”. Según esto, los posibles valores de X son 0, 1, 2 y 3. Como la probabilidad de que la entrevista sea efectiva(firmen un contrato de venta) es igual a 0.30, definamos Sea F el evento: “Firma un contrato de venta”, y N el evento “No firma el contrato”. X = 0 significa que ninguno de los tres clientes firma, es decir ocurre el evento compuesto NNN. Luego p(0) = P(X = 0) = P(NNN) = 0.73 . Esto se puede expresar en función de los que firman el contrato: P(X = 0) = P(NNN) = (0.3)0 (0.7)3 . “X = 1” puede ser expresado como FNN ó NFN ó NNF. Como P(FNN) = PNFN) = P(NNF). El número de ocurrencias de una F dentro de un grupo de tres se representa mediante las combinaciones de 3 elementos tomados de uno en uno; es
3 decir, 3 . Luego 1 3 p(1) = P(X=1) = (0.3)1 (0.7) 2 1 3 Del mismo modo, “X=2” tiene por probabilidad p(2) = P(X=2) = (0.3) 2 (0.7)1 2
Por ello, la función de distribución de X viene dada por
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X p(x)
0 0.343
1 0.441
2 0.189
3 0.027
Ejemplo 23 La empresa “Refrigerando” tiene dos talleres para la fabricación de refrigeradoras. Al final de un día de producción se tiene 4 unidades del taller A y 4 del taller B. Puesto que uno de los talleres ha estado funcionando mal, se sospecha que la mitad de la producción de ese día sea defectuosa. Obtenga la distribución de probabilidad del número de refrigeradoras defectuosas provenientes del taller A, si se selecciona 4 del grupo y se somete a prueba. Construya su gráfica.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de refrigeradoras del taller A que son defectuosas”. Al seleccionar una refrigeradora y probarla, esta puede ser defectuosa con probabilidad 0.5 y no defectuosa con probabilidad 0.5. Como se extraen 4 del grupo producido en un día, los valores de X son 0, 1, 2, 3 y 4. Como la forma de selección de las refrigeradoras constituye un ensayo sin reposición, usaremos combinaciones para encontrar el número de casos favorables y posibles para usar la probabilidad clásica y responder a la pregunta.
Si X = 0, p(0) = P(X=0) =
C (4,0)C (4,4) 1 C (8,4) 70
Si X = 1, p(1) = P(X=1) =
C (4,1)C (4,3) 4 x4 16 C (8,4) 70 70
Si X = 2, p(2) = P(X=2) =
C (4,2)C (4,2) 6 x6 36 C (8,4) 70 70
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Dejamos para el lector completar para X = 3 y X = 4, con lo cual la distribución de probabilidad del número de defectuosos provenientes del taller A será X
0
1
2
3
1/70 16/70 36/70 16/70
p(x)
4 1/70
36/70
Figura 4.6
16/70
0
1
2
3
4
Ejemplo 24 La firma “Pregunta S.A.” realiza su acostumbrado trabajo de campo durante una campaña electoral. Para lograr una entrevista debe realizar varios intentos independientes, por la dificultad de conseguir personas que acepten la entrevista. Si la probabilidad de lograr una entrevista exitosa es 0.70, determine la distribución de probabilidad del número de intentos realizados hasta conseguir una entrevista exitosa.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como el “Número de intentos realizados hasta obtener una entrevista exitosa”. Sea p = 0.7 la probabilidad de una entrevista exitosa.
Por cada entrevista exitosa se tiene p = 0.7 y por cada entrevista fallida q = 1-p = 0.3. El siguiente esquema podría graficar la secuencia de nuestros intentos, en donde todos son fallidos hasta el último y sólo éste, que es exitoso.
F
F
F
F
F x-1
F
Figura 4.7
F … E x
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Supongamos que se han realizado “x” intentos hasta que se produjo el primer éxito. Esto significa que los “x-1” – ésimo intentos han sido fracasos y sólo el “x”-ésimo ha sido éxito. Como cada fracaso ocurre con probabilidad q = 0.3, siendo independientes los intentos, los “x-1” intentos ocurren con probabilidad q(x-1) y en conjunto: los fallidos con el exitoso ocurren con probabilidad (q(x-1) )(0.7). Luego la función de probabilidad de X será ( x 1)
p(x) = P(X = x) = (0.3
(0.7) para x = 1, 2, 3, …
Ejemplo 25 Sea X la variable aleatoria definida como el número de cuentas que tiene un cliente en SUPER BANK. Suponga que la función de probabilidad de X está definida por
, si x 0 0.1 kx , si x 1 ó 2 p( x) si x 3 k (5 x) , 0 otros
a) Qué porcentaje de clientes tiene: a.1) exactamente dos cuentas? a.2) a lo más dos cuentas? b) El Gerente financiero de SUPER BANK afirma que “con las nuevas políticas adoptadas por SUPER BANK se ha logrado que más del 85% de nuestros clientes tengan al menos dos cuentas”. ¿Se puede decir que el Gerente tiene razón?
Solución De los datos del problema podemos inferir que X es una variable aleatoria discreta. Ante todo encontremos el valor de k de forma que p(x) sea la f. de probabilidad de X.
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Si p(x) 1 , entonces k+2k
+k(5-3) = 1. Despejando k obtenemos k = 0.2
a) a.1) Debemos encontrar p(2) = P(X = 2) = 0.2(5-3) = 0.4. Es decir, el 40% de clientes tienen exactamente dos cuentas. a.2) Qué porcentaje de clientes tienen, a lo más dos cuentas, significa obtener la probabilidad de que X = 0, ó X = 1, ó X = 2. Es decir, debemos hallar P(X=0 ó X=1 ó X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0.0 + 0.2 + 0.40= 0.60. En otras palabras, el 60% de los clientes tiene a lo más dos cuentas.
b) Para saber si el Gerente tiene razón o no, debemos encontrar la probabilidad de que X sea mayor o igual a 2. En efecto P(X 2) = p(2)+p(3) = 0.2(2) + 0.2(5-3) = 0.8. Según esto, el 80% de los clientes tiene al menos dos cuentas en el banco, lo que contradice al Gerente, por lo que diremos que él no tiene razón.
13.3
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Función de densidad de probabilidad de una variable continua Sea el espacio muestral asociado al experimento . Sea X una variable aleatoria. Diremos que X es una variable aleatoria continua si existe una función f a la cual llamaremos función de densidad de probabilidad de X, que satisface las siguientes condiciones: i)
f(x) 0, x
ii)
f ( x)dx
1
iii) Para cualquier intervalo (a, b) X tal que -< a < b < + se tiene x b
P(a X b) =
f ( x)dx
xa
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Observaciones La gráfica de la función de densidad de probabilidad de X se muestra en la siguiente figura.
Figura 4.8
1. En el caso de las variables aleatorias discretas la gráfica de la función de probabilidad son barras verticales cuyo valor probabilístico viene determinado por la altura de dichas barras. En el caso continuo la gráfica de la función de densidad es una curva y las probabilidades de que X esté en un intervalo (a, b) ó a x b, es el área de la región formada por la curva y las rectas x = a y x = b, como se muestra en la figura anterior. 2. En el caso de las variables discretas existe p(x i) 0, por lo que P(X = x i) 0. Sin embargo, en el caso continuo se tiene que P(X = x i) = 0. Por ello, podemos concluir, sin mayores detalles matemáticos que
P(a x b ) = P(a x < b ) + P(X = b) = P(a x < b)+0 Luego, P(a x b ) = P(a x < b ) = P(a < x b) = P(a < x < b) Si X es una variable aleatoria continua cuyo espacio rango es el intervalo (, ) y f es su función de densidad de probabilidad, entonces
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a
b
b
a
b
a
f ( x)dx 0dx f ( x) 0dx 0 f ( x)dx 0 1 , por las condiciones
para que f sea función de densidad de probabilidad.
3. Por otro lado, si X es una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por
f ( x) cxd 1 f ( x) f ( x) mxn 2 en otros casos 0 entonces c
i)
d
0dx
c
m
f
1
d
n
( x)dx 0dx
f
2
d
( x)dx 0dx
m
n
n
f
1
( x)dx
c
f
2
( x)dx 1
m
d
ii) Si x (c, d) entonces P( c x < d ) =
f
1
( x)dx
c
n
Igualmente, si x (m, n) = P( m x < n ) =
f
2
( x)dx
m
Ejemplo 26
Verifique si las siguientes son funciones de densidad de probabilidad de X
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1 ,0 x 2 6 1 a) f ( x) ( x 1) ,2 x 4 6 otros 0
x e b) f ( x) 0
1 c) f ( x) 0
x 0 otros
1 1 x 2 2 en otros
,
3 (1 x ²) d) f ( x) 4 0
,1 x 1 otros
Solución a) Para que f sea función de densidad de probabilidad de X, se debe cumplir que i)
f(x) 0. En efecto, para cualquier valor de x en los intervalos dados, f(x) 0
2
ii)
4
1 1 0 6 dx 2 6 ( x 1)dx
2
1 1 1 2 (2 0) ( x x) 42 1 6 6 2 3 3
b). En este caso, si -< x < 0 entonces
e
e e x
0
de donde 0 f ( x) 1
Ahora vamos a verificar si se cumple la segunda condición Página 306 de 800
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0
e dx e ) x
x 0
1 e
1 0 1
Luego f es una función de densidad de X 1 2
c)
1
1 1 1 2dx 2 ) 2 12 1
2
d) En este caso tenemos Si –1 x 1 entonces –1 -x3 1. Sumando uno a la desigualdad, tenemos 0 1- x3 2 de donde 0 ¾(1- x3 ) 6/4, que satisface a la primera condición Igualmente 3
1
3 3 1 34 2 x 1 3 1 1 4 (1 x )dx 4 ( x 3 ) 1 4 (1 3 (1 3)) 4 3 1
Ejemplo 27
Considere la siguiente función
kx , 0 x 2 f ( x ) k ( 4 x ) , 2 x 4 0 , otros casos Hallar un valor de k para que f sea una función de densidad de probabilidad
Solución
Usando la segunda condición (
f ( x)dx 1 ), se debe cumplir que
2
4
0
2
kxdx k (4 x)dx 1 . Desarrollando la expresión del primer miembro, tenemos
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2
2
Si 1= k x2 ) 02 k (4 x
x) 2
4 2
k (4) k (16 8 (8 2)) 4k 2k 6k k = 1/6
Ejemplo 28
Suponga que X es una variable aleatoria cuya función de densidad está representada por la siguiente figura
Figura 4.9 1/2
0
1
2
3
1 a) Si P( 1 x a) , det er min ar el valor de a 3 2
1 b) Calcule P( x 2) 2
1/2
(1,1/2)
y=-1/4x + 3/4
Figura 4.10
(3,0)
0
1
2
3
Solución Las ecuaciones de las rectas que definen a la función de densidad son: L1: y = ½ L2: y = -¼X + ¾ Por ello la función de densidad viene dada por
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0 x 1 1 / 2, f ( x) 1 / 4 X 3 / 4, 1 x 3 0 , otros (Nota: Se puede verificar que f es una función de densidad. Dejamos esto para el lector) a) P(1/3 x a) = ½ significa que a
0.5 =
1
a
f ( x)dx 1 / 2dx (3 / 4 1 / 4 X )dx 1 / 2(1 1 / 3) (3 / 4 X 1 / 8 X ²)
a 1
1/ 3
1/ 3
1
Efectuando y simplificando, tenemos 12 = 8 + 18a - 3 a² - 15. Las soluciones son: -0.91578 y -6.91578 1
2
3 1 b) P(1/2 < X < 2) = 1 / 2dx ( x)dx 0.5 (1 (3 / 4 1 / 8)) 3 / 8 4 4 0 1
Ejemplo 29
Una estación gasolinera recibe provisión semanalmente. Las estadísticas anteriores sugieren que la función de densidad de probabilidad de las ventas semanales X, medidas en miles de galones, se aproxima a la función cuya gráfica se muestra en la siguiente figura
(2,1)
1
y=-x + 3
y=x-1
0
1
Figura 4.11
2
3
a) Obtenga la función de densidad de X b) Evalúe P(3/2 < X < 5/2 )
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Solución a) Sea f la función de densidad de X. Según la gráfica, f se define de la siguiente manera:
k ( x 1) , 1 x 2 f ( x) k (3 x) , 2 x 3 0 , otros
La condición
f ( x)dx 1 , nos permitirá encontrar el valor de k. En efecto
2
1
3
k ( x 1)dx 1
k (3 x)dx k ( x
2
2
2
2
x)
2 1
k (3x x ) 2
3 2
k
Luego f viene dada por
x 1 , 1 x 2 f ( x) 3 x , 2 x 3 0 , otros Por otro lado, es fácil verificar que f(x) 0 para todo valor de x b) Encontrar P(3/2 < X < 5/2 ) significa trabajar con las dos definiciones de f ya que el intervalo cae dentro de los dos.
2
5/ 2
( x 1)dx 3/ 2
2
(3 x)dx ( x
2
2
2
x)
2 3/ 2
(3x x ) 2
5/ 2 2
3 3 0.75 8 8
Ejemplo 30
Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por
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, x 10 0 f ( x) ( x 10) , x 10 e a) Hallar el valor de k tal que X sea igualmente probable de ser mayor que k o menor que k. b) Encuentre el valor de r tal que la probabilidad de que X sea menor que r sea igual a 0.05.
Solución a) De acuerdo a los datos se debe cumplir que P(X > k ) = P(X < k). k
( x 10)
e
P( X k )
10 k
dx 1 e
10 10 k
P( X k ) 1 P ( X k ) e
10 k
Igualando ambos términos, obtenemos 2 e
0.5 ; de donde k = 10.69
b) P(X < r ) = 0.05 implica que r
0.05
( x 10)
e
10 r
dx 1 e
de donde
10 r
e
0.5
10
Tomando logaritmo neperiano tenemos 10 – r = Ln(0.5) . Luego r = 10.69
Ejemplo 31
Supongamos que la variable aleatoria X representa la resistencia al corte de ensayos de punto de soldadura, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
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x 250,000 1,000 x f ( x) 250,000 0
0 x 500
, ,
500 x 1,000
,
otros
Determinar el valor deay btal que P(X 0) = 1 – P( X-40 0) = 1 - P( -40 X 40 ) Evaluemos P( -40 X 40 ): P( -40 X 40 ) = P( -40 X 0 ) + P( 0 X 40 ) =
100 x 100 x 1 2 2 dx dx ((100 x 0.5 x ) 040 (100 x 0.5 x ) 040 ) 0.64 4 10000 10000 40 0 10 0
40
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Sea A: “La vía queda lo suficientemente destruida”. Entonces P(A) = P( X-40> 0)=0.64. Si se lanzan los tres misiles, pueden caer en el intervalo uno, dos o los tres de ellos para destruir la vía. Sea B el evento: Por lo menos uno cae en el intervalo. Sólo si ninguno de ellos cae en el intervalo, la vía no queda destruida. Y este último evento es complemento de B. Luego P(B) = 1 – P(B’) = 1 – P(X=0) = 1 – [P(A)]3 = 1 – 0.363 .
Ejemplo 33
El tiempo (en días) que una empresa constructora tarda en colocar los cimientos de un moderno edificio de 500 metros cuadrados, se define como una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad viene dada por 1 , 0 x 100 f ( x) k 0 , otros casos
i)
Hallar el valor de k para que f sea reconocida como una función de densidad de X
ii) Cuál es la probabilidad de que el tiempo máximo requerido sea de 60 días. iii) Cuál es la probabilidad de que se tarde por lo menos 70 días? iv) Según el proyecto la empresa constructora está obligada a completar el 80% de los cimientos en 90 días. Cumple la empresa con el proyecto?
Solución Usando la segunda condición para que f sea f.d.p. de X, tenemos 100
i)
1
k dx 1 . De donde k = 100 0
ii) P( X 60)
60
0
1 dx 0.60 100
100
iii) P( X 70)
70
1 100 70 dx 0.30 100 100 Página 314 de 800
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iv) P( X 90)
90
0
1 dx 0.90 . 100
Esto significa que el 90% de los cimientos serán completados hasta los 90 días. Luego la empresa sí está cumpliendo con el proyecto.
Ejemplo 34
Una gasolinera tiene dos bombas que pueden bombear cada una hasta 10 mil galones de gasolina por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en unidades de diez mil galones), con una función de densidad de probabilidad dada por
0 x 1 x , f ( x) 2 x , 1 x 2 0 , otros
a) Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes b) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 10000 galones en mes en particular, cuál es la probabilidad de que haya bombeado más de 15000 galones durante un mes?
Solución Sea X: Cantidad de gasolina bombeada en un mes(en unidades de diez mil) a) P(0.8 X 1.2) = 1
1.2
0.8
1
xdx
2 1
1.2
2 2 x x 0.18 0.18 0.36 2 2 0.8 1
(2 x)dx x
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b) Esta es una probabilidad condicional donde el evento “X>1.0000” ya ha ocurrido y se debe encontrar la probabilidad del evento “X > 1.5000”. Es decir, debemos encontrar
P(X>1.5 / X > 1 ) = 2
(2 x)dx 4 2 (3 1.125) 0.125 P( X 1.5) 1.5 2 0.25 P( X 1) (4 2) (2 0.5) 0.5 (2 x)dx 1
Ejemplo 35
La tasa principal de interés en el sistema financiero, predicho para el mes de Enero de 2010, fue considerada una variable aleatoria por la coyuntura del momento. Según los analistas, su función de densidad de probabilidad está dada por
3 f ( x) x 0
2
0 x 1 otros
Si se selecciona aleatoriamente a un analista a) Cuál es la probabilidad de que la predicción respecto a la tasa de interés sea mayor que 9%? b) Cuál es la probabilidad de que la predicción sea menor que 16%?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “Valor de la tasa de interés predicha por un analista” Según esto
1
a) P(X > 0.09) =
3 x dx 2
x
31 0.09
0.999271
0.09
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0.16
b) P(X < 0.16 )=
3 x dx 0.004096 2
0
Ejemplo 36
Las ventas diarias(excluyendo los sábados) de un restaurante pequeño siguen un modelo de comportamiento definido por una variable aleatoria X(expresada en dólares), cuya función de densidad de probabilidad viene dada por 1 f ( x) 2000 0
500 x 2500 otros
a) En un día dado, cuál es la probabilidad de que las ventas excedan 900 dólares? b) El restaurante requiere ventas diarias de por lo menos 800 dólares para cubrir sus gastos, cuál es la probabilidad de que en un día dado el establecimiento no cubra los gastos?
Solución a) De acuerdo a la definición de la variable aleatoria X debemos hallar P(X > 900). En efecto
2500
P(X>900)=
1
1
2000 dx 2000 (2500 900) 0.8
900
b) Para ver si cubre o no sus gastos debemos encontrar P(X > 800). Si el valor de esta probabilidad es bastante alta(digamos 0.8 o más) diremos que es muy probable que cubra sus gastos, de otra manera no lo hará.
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P(X > 800) =
1 (2500 800) 0.85 2000
Podemos afirmar con cierto grado de confianza que probablemente cubra sus gastos.
Ejemplo 37
Debido a la eficiente labor de publicidad desarrollada por una aerolínea de bandera nacional, la demanda de clientes se ha incrementado considerablemente a tal punto que la gerencia de operaciones se encuentra preocupada por el tiempo de vuelo entre Lima y el Cuzco. Si el tiempo de vuelo entre esas dos ciudades se define según la siguiente función de densidad de probabilidad
1 f ( x) 20 0
180 x 200 otros
a) Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos? b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado, cuál es el tiempo máximo para que un vuelo no llegue retrasado?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que tarda el vuelo entre Lima y el Cuzco”. a) Según los datos, 96
P(84 X 96)
1
1
12
20dx 20 (96 84) 20 0.60
84
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b) Decir que un vuelo llega retrasado significa que el tiempo que tarda el vuelo debe ser mayor que un tiempo “límite”, digamos t0. Según el problema tenemos P(X> t0 )=0.05 Como lo que queremos saber es cuál es ese límite y no sobrepasarlo, debemos hallar t0 tal que P(X t0 )=0.05.
t0
En efecto, P(Xt0 )=0.05 implica que P(X t0 )=
1 t 0 180 0.05 , de dx 20 20 180
donde t0 = 180+0.05(20) = 181. Luego el tiempo máximo que debe tardar el vuelo para no llegar retrasado es 181 minutos.
Ejemplo 38
La duración (en horas ) de cierto producto perecible es una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
150 2 f ( x) x 0
,
x 150
,
otros
a) Si un producto determinado todavía es aceptable después de 200 horas, cuál es la probabilidad de que dicho producto dure a lo más, 300 horas? b) Se adquieren tres de tales productos. Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga que ser reemplazado en las primeras 200 horas de uso? Cuál es la probabilidad de que los tres productos tengan que ser reemplazados durante las primeras 200 horas?. Cuál es la probabilidad de que, exactamente uno tenga que ser sustituida en las primeras 200 horas de uso?.
Solución a) Sea X la variable aleatoria definida como la duración (en horas) de cierto producto.
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Debemos encontrar la probabilidad condicional de que el producto dure a lo más 300 horas, sabiendo que estuvo funcionando (mayor de) después de 200 horas. En efecto
300
P(200 X 300) P( X 300 / X 200) P( X 200)
200
200
300
150
x
dx 2
150
x
2
dx
150 x 200
150 x 200
1 3
b) i) Definamos el evento M: “Ningún producto tenga que ser reemplazado en las primeras 200 horas de uso”. Según esto, debemos encontrar primero la probabilidad de que uno de ellos no tenga que ser reemplazado antes de las 200 horas. Esto es debemos hallar P( X > 200 ).
P(X > 200) =
200
150
x
2
dx
3 4
Ahora, encontrar P(M) significa evaluar P(M) = P(X>200)3 . Luego P(M) =
27 64
ii) Sea N el evento “Los tres transistores deben ser reemplazados en las primeras 200 horas”. Esto es P(N) = P(X 200)3 = (1 – P(X > 200) ) 3 = (1 – 3/4 ) 3 = 1/64 Definamos ahora el evento R : “Exactamente uno de los tres productos deben ser reemplazados en las primeras 200 horas de uso”. Según esto, sólo uno de los tres productos debe ser reemplazado. Esto implica el uso de combinaciones para hallar el número de maneras de elegir uno de un total de tres. Esto multiplicar por la probabilidad de que uno de ellos se reemplaza antes de las 200 horas y los otros dos, después de las 200 horas. Luego P(R) = C(3, 1)P(X 200)P(X > 200) 2 = 3(1/4)(3/4) 2 = 27/64.
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13.4
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
Caso discreto Si X es una variable aleatoria discreta, para un valor xi de X, F(xi) se define como F(xi) = P( X xi ) =
p( x )
xi x
i
Propiedad 1: 0 F(x) 1, x ya que F(x) es una función de probabilidad para todo valor de X = x del espacio rango de la variable. Y según sabemos, las funciones de probabilidades están limitadas entre 0 y 1. Propiedad 2: F(x) es una función no decreciente. Esto significa que si x1< x2 , entonces F(x1 ) F( x2 ). Propiedad 3: F( ) = P(X k ) c) La forma de presentar la función de distribución acumulada en el caso continuo será
0 x F ( x) f (t )dt a 1
xa at x xb
Teorema
Si X es una variable aleatoria continua en el intervalo (a, b) y F es su función de distribución acumulada entonces P( a ≤ X ≤ b ) = F(b) – F(a) Obtención de la función de distribución de probabilidad a partir de la distribución acumulada de la variable X.
Caso discreto: Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2, …, xn, xn+1, … . Si F es la función de distribución acumulada de X, entonces p(xi) = P( X = xi) = F(xi) – F(xi-1) Esto es cierto ya que p(xi) = P( X = xi) = P(X xi) – P(X < xi) =
F(xi) – P(X xi-1 ) = F(xi) - F(xi-1)
El siguiente ejemplo nos exime de mayores explicaciones: Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad está dada por X p(x)
0 0.4
1 0.20
2 0.25
3 0.15
F(2) = P(X 2) = p(0) + p(1) + p(2)
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F(1) = P(X 1) = p(0) + p(1) Restando miembro a miembro y cambiándolos, tenemos: p(2) = F(2) – F(1)
Caso continuo: Sea X una variable aleatoria continua con f su función de densidad de probabilidad. f ( x)
F ( x) , para todo valor de X en la cual F es diferencia ble. x
Ejemplo 41
Sea X una variable aleatoria continua con su función de densidad de probabilidad definida por 2 3 x f ( x) 0
, 0 x 1 otros
a) Obtener la función de distribución acumulada de X b) Usando F, obtener P(X < 1/2 ) c) Si se sabe que X es mayor que 1/2 , cuál es la probabilidad de que sea menor que3/4 ? Use F para evaluar esta probabilidad.
Solución a) Por definición F(x) = P(X x ) x
Es decir, F ( x) P( X x) 3t dt t 2
3 x 0
3
x
0
Luego
0 3 F ( x) x 1
x0 0 x 1 x 1
b) Como X es una variable continua F(1/2) = P(X 1/2)= P(X < 1/2)=1/8 c) Se nos pide evaluar la probabilidad condicional del evento {X < ¾} dado el evento {X 2, entonces f(x) = 0 x Lugo f(x) = 2 0
0 x2 otros
b) Sea A el evento {x/x >1} definido como la primera determinación Sea B el evento {x/x >1} definido como la primera determinación Sabemos que F(x) = x²/4 , 0 x 2. Entonces P(A) = P({x/x >1}) = P( X 1) 1 P( X 1) 1 F (1) 1
1 3 4 4
Como P(A) = P(B), tenemos P(A B) = (3/4)(3/4) = 9/16
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c) Ahora se sabe que se realizaron tres determinaciones. Queremos que, exactamente dos de ellas sean mayores que uno. Debemos definir otra variable que represente el número de determinaciones que cumplan dicha condición. Sea Y la variable aleatoria definida como el “Número de determinaciones que son mayores que uno”.
Según esto, Y es una variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1, 2 y 3. Si de un total de tres determinaciones, queremos encontrar la probabilidad de que dos de ellas cumplan con la condición de ser mayores que uno, podemos usar el modelo binomial para resolverlo. Afirmamos que Y es una variable binomial por cuanto se tiene n = 3 elecciones(determinaciones), cada uno de los cuales son independientes uno de otro. La probabilidad de éxito p = P(X>1) = ¾, encontrado en b).
Luego la función de probabilidad para Y = 2, usando un razonamiento dado en dos ejemplos anteriores de variable discreta será: P(Y = 2 ) = C(3, 2)(3/4)2(1/4) = 27/64
Ejemplo 44
Sea X la demanda de un producto en tiempos de recesión. Estudios anteriores han demostrado que el comportamiento de X se puede expresar mediante la siguiente función bx
f ( x) b e
, x0
Sea pj = P(j X < j + 1). a) Demuestre que, b, b>0, f es la función de densidad de probabilidad de X b) Demuestre que pj es de la forma (1 – a )aj y determine a. Solución a) f será la función de densidad de probabilidad de X si se cumple que
bx
be
dx 1 . Desarrollando la integral e igualando a 1, tenemos
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bx
be
bx
dx (1) e
0
(1)(0 1) 1
0
b) Evaluemos pj . pj = P(j X < j + 1) = j 1
bx
be
bx j 1
dx (1) e
j
b ( j 1)
(1) e
bj
e
e
bj
b
(1 e )
j
Si hacemos a =
b
e
1 b
, entonces
e
bj
a e j
Luego pj = aj(1-a). Con lo cual tenemos a =
.
e
b
Ejemplo 45
La variable aleatoria continua X tiene por función de densidad de probabilidad a f ( x) 3 x , 1 x 0. Si “b” es un número que satisface –1 < b < 0, calcule la 2
probabilidad P(X>b / X < b/2)
Solución b/2
P(b X b / 2) P(X>b / X < b/2) = P( X b / 2)
x 3 x dx x
3x
2
b b/2
2
dx
3 b/2 b 3 b/2 1
7b
3
8b
3
1
Ejemplo 46
Supongamos que f y g son dos funciones de densidad de probabilidad en el mismo intervalo, a x b. a) Demuestre que f + g no es una función de densidad de probabilidad en el intervalo a x b. b) Demuestre que, con 0 3/2 X2 >3/2 X3 >3/2 ) Puesto que los Xi son variables independientes entonces P(X>X1 ) = P(X>X2 ) = P(X>X3 ) Por lo que P(A) = P( X 32 18 3
Ejemplo 50
Supongamos que el diámetro de un cable eléctrico, digamos X, es una variable aleatoria continua con su función de densidad es f(x) = 6x(1-x) , 0 x 1. a) Verifique que f es efectivamente la función de densidad de probabilidad de X b) Obtener una expresión para F, la distribución acumulada de X c) Determinar un número b tal que P( X < b ) = 2 P(X > b) d) Calcular P(X ½ /
1 3
X 23 ).
Solución
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a) Debemos usar la condición
f ( x)dx 1 que hace de f una función de densidad
de probabilidad de X. En efecto 1
1
6 x(1 x)dx (6 x 6 x²)dx 3
0
0
x
2
2
3
x
1
1 0
b) Una expresión para F es F(x) = P(X x) =
x
x
6t (1 t )dt (6t 6t ²)dt 3
0
0
t
2
2
t 3
x
3 x 2 2 x3
0
c) Según la relación P( X < b ) = 2 P(X > b) y de acuerdo a la definición de F, F(b) = 2(1-F(b)) de donde F(b) = 1. Reemplazando b en la expresión de F tenemos 3 b2 2 b3 1 . Dejamos para el lector la solución de esta ecuación usando algunos de los métodos que la matemática registra para las cúbicas, método que, por supuesto no cae dentro de las inquietudes de la estadística ni los ámbitos de la probabilidad. d) Usando probabilidad condicional P(X ½ /
1 3
X 23 ) =
P( 13 X
1
2)
P( 13 X 23 )
F ( 12) F ( 13 ) F ( 2 3 ) F ( 13)
13 54 13 27
1 2
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13.5
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Tres egresados tienen entrevistas programadas para empleo durante las vacaciones en el Montero Mark. El resultado de cada entrevista es Obtener el empleo o no obtenerlo. a) Haga una lista de los resultados obtenidos. b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas. Es una variable aleatoria discreta o continua? c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los casos. 2. La tasa de interés de préstamos otorgados por las entidades financieras de la ciudad se encuentra muy diferenciada. Suponga que la variable aleatoria de interés es la cantidad de instituciones crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años, de 8,5% o menos. ¿Qué valores puede asumir esta variable aleatoria? 3. YacoBas es un técnico en laboratorio y diariamente debe realizar diversos tipos de análisis de sangre para el cual debe seguir uno de dos procedimientos. El primero requiere uno o dos pasos separados, y el segundo puede requerir uno, dos o tres pasos. Haga una lista de los resultados experimentales asociados con la ejecución de un análisis.Si la variable aleatoria de interés es la cantidad de pasos requeridos para terminar el análisis, indique qué valor asumirá la variable aleatoria en cada uno de los resultados experimentales 4. En un juego de póker una mano de cartas puede contener de cero a cuatro ases. Si X es la variable aleatoria que denota el número de ases, enumere el espacio rango de X. ¿Cuáles son las probabilidades asociadas con cada valor posible de X?
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5. El encargado de un almacén de ropa de mujeres está interesado en el inventario de polos, que en ese momento es de 30(todas las tallas). El número de polos vendidos desde ahora hasta el final de la temporada se distribuye como 20
f ( x)
e 20
x
x 0,1,2,...
x!
Encuentre la probabilidad de que le queden polos sin vender al final de la temporada 6. Una variable aleatoria X tiene por función de distribución acumulada a 1 F ( x) 1 2 0
x 1
x 0,1,2,... x0
a) Determine la función de densidad de probabilidad de X b) Encuentre P(0 < X 8 )
7. Dada las siguientes funciones de densidad de probabilidad de X, a) encuentre el valor de la constante k para que f sea la función de densidad de probabilidad de X b) Encuentre la función de distribución acumulativa de X 0 x2 2 x4 otros
i)
kx f ( x ) k ( 4 x ) 0
ii)
0 xa kx f ( x ) k ( 2 a x ) a x 2a 0 otros
8. Encuentre la función de distribución acumulada de X, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por 2
f ( x) exp( x 2t t x
2
2
)
t 0,
x0
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13.6
VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE
Caso discreto Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores son x1, x2, x3, ... xn , pertenecen a su espacio rango. Sea p(xi )=P(X = xi ), i =1, 2,..., n su función de probabilidad. Diremos que E(X) es laEsperanza Matemáticade X y se define como
E ( X ) xi i 1
p( x ) i
Ejemplo 51
Sea X la variable aleatoria que representa el número de caras obtenidas al lanzar una moneda 3 veces. Cuál será el número esperado de caras?
Solución Según el Ejemplo 12 la distribución de probabilidad de X es x 3 x 3 p(x) = P(X = x ) = (1 / 2) (1 / 2) , x 0, 1, 2, 3 . x
Otra forma de presentar la distribución de probabilidades de X es
X p(x)
0 1/8
1 2 3 3/8 3/8 1/8
Con lo cual, el valor esperado del número de caras, E(x) es x 3
E(x) =
xp( x) 0(1 / 8) 1(3 / 8) 2(3 / 8) 3(1 / 8) 12 / 8 1.5 x 0
Podríamos decir que el número de caras que esperamos que ocurra es “una cara y media”. Otra forma de interpretarlo es: El número esperado de caras es uno o dos.
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Ejemplo 52
Una agencia bancaria tiene tres cajeros automáticos. La probabilidad de que uno cualquiera de ellos falle después de un tiempo determinado de uso, es 0.1. Los cajeros operan independientemente uno de otro. En una hora determinada, cuál es el número esperado de cajeros que fallen?
Solución La distribución del número de cajeros que fallen, resuelto anteriormente, es X
p(x)
0
0.729
1
0.243
2
3
0.027 0.001
Luego el valor esperado de X es E(X) = 0(0.729) + 1(0.243) + 2(0.027) + 3(0.001) = 0.3
Ejemplo 53
La probabilidad de que un agente vendedor realice una entrevista efectiva(realice una venta) es igual a 30%. Cierto día entrevista a 3 clientes potenciales. Si se define a X como el número de clientes que firman un contrato de venta. Cuál es el número esperado de clientes que firmen el contrato?.
Solución La función de probabilidad al hemos hallado en el Ejemplo 22. Como esta función de probabilidad de X viene dada por
3 p(x) = P(X=x) = (0.3) x (0.7) 3 x , x = 0, 1, 2, 3 x entonces, el número esperado de clientes que firmen el contrato será E(X) = 0x(0.7) 3 + 1x3x(0.3)(0.7) 2 + 2x3x(0.3)2(0.7) + 3x(0.3)3 = 0.9 ; es decir, el agente vendedor debe esperar que sólo uno de los tres clientes firmen el contrato.
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Ejemplo 54
Una empresa ensambladora de celulares recibe tarjetas de control en lotes de 20 cada uno. El Departamento encargado de la recepción utiliza la siguiente regla de inspección: Se prueban dos tarjetas de control de cada lote. Si ninguno de ellos es defectuoso, se pasa a otro lote. Si resulta defectuoso, por lo menos uno de ellos, se prueba el lote completo. ¿Cuál es el número esperado de tarjetas de contgrol inspeccionados por lote, si se sabe por experiencia que cada lote contiene exactamente el 25% de defectuosos?
Solución Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de tarjetas de control inspeccionados por lote” Como en la primera fase se prueban dos, entonces X = 2. Si por lo menos uno de ellos es defectuoso, se prueban los 20, en cuyo caso X = 20. Luego los valores de X son 2, 20. En este caso, p = 0.25 es la probabilidad de que una tarjeta sea defectuosa. Esto significa que en el lote de 20 tarjetas, habrá 5 defectuosas. Sea A el evento “Una tarjeta de video es defectuosa”. Si X = 2, significará que sólo se probaron dos tarjetas, esto es, que ninguna de ellas fue defectuosa, es decir, ocurrió el evento A1’ A2’. Luego p(x = 2) = P(A1’ A2’ ) =
C (5,0)C (15,2) 15 x14 21 C (20,2) 20 x19 38
Ahora, X = 20, significa que se encontró por lo menos una tarjeta defectuosa. Es decir, p(x = 20) = 1 – p(x=2) = 1 – P(A1’ A2’ ) =
17 38
La distribución de probabilidad de X es X p(x)
2 21/38
20 17/38
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Finalmente E(X) = 2(21/38) + 20(17/38) = 10.05
Ejemplo 55
Una urna contiene 4 bolas rojas, 6 negras, 8 verdes y 2 blancas. Un jugador extrae una bola de la urna. Si esta es roja, el jugador gana $ 30.00, si es negra, gana $ 20.00. Cuánto debería pagar el jugador si extrae una verde y cuando extrae una bola blanca para que el juego sea equitativo?. Además, si extrae una bola verde el jugador deberá pagar la cuarta parte de lo que pagaría si extrae una bola blanca.
Solución Nota: Consideraremos que un juego es equitativo si su esperanza o valor esperado del beneficio obtenido con el juego es cero. Sea B el evento “Se extrae una bola blanca” Sea N el evento “Se extrae una bola negra” Sea R el evento “Se extrae una bola roja” Sea V el evento “Se extrae una bola verde” Sea X la variable aleatoria que representa “La ganancia del jugador”.
Si ocurre B, X = k con P(B) = 2/20 Si ocurre V, X = x/4 con P(V) = 8/20 Si ocurre R, X = $ 30 con P(R) = 4/20 Si ocurre N, X = $ 20 con P(N) = 6/20 Luego podemos formular la siguiente distribución R X
N
V
B
2/20 8/20 4/20 6/20 30
20
-k/4
-k
Encontremos el valor esperado
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E(X) =- 30(4/20) + 20(6/20) +(-k/4)(8/20) + (-k)(2/20 = 0
De donde k = 15 Luego el jugador debe pagar $ 15.00 si extrae verde y $ 60.00 si extrae una bola blanca.
Ejemplo 56
Una empresa comercializadora de productos con valor agregado recibe lotes de 40 artículos de vestir para damas. La empresa debe realizar la última fase que es el estampado. Esta empresa acepta las prendas de vestir sabiendo que, por lo general, el lote contiene 5% de prendas defectuosas. El plan de aceptación consiste en extraer una muestra aleatoria de 5 artículos. Si se encuentra una prenda defectuosa se rechaza el lote. a) Hallar la probabilidad de que se encuentre exactamente una prenda de vestir defectuosa en la muestra, si el lote se considera en su calidad mínima (Un lote se encuentra en su calidad máxima, si no contiene productos defectuosos). b) ¿Cuántas prendas defectuosas espera encontrar en la muestra?
Solución Sea X la variable aleatoria que representa “Número de prendas defectuosas en la muestra”. La probabilidad de que se extraiga una prenda defectuosa es 0.05. Si en la muestra de tamaño 5 deseamos encontrar “x” prendas defectuosas, entonces (0.05)x es la probabilidad de encontrar x defectuosas y (1 – 0.05)
(5-x)
es la
probabilidad de que las otras “5-x” sean no defectuosas. Y como las “x” defectuosas pueden ser extraídas en cualquiera de las 5 extracciones, el número de maneras de obtener “x” defectuosas en 5 es combinaciones de 5 tomados de x en x. Todo esto nos lleva a formular la función de probabilidad de X siguiendo el modelo binomial de acuerdo a p( x) P( X x) C (5, x) 0.05
x
5 x
0.95
, x 0,1,...,5
a) La probabilidad de encontrar exactamente una prenda defectuosa es
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p(1) = P(X = 1) = C(5, 1)(0.05)(0.95)4 = 0.2036 b) El valor esperado de X, usando la definición será x 5
E ( X ) xC (5, x) 0.05 x 0
x
5 x
0.95
0.25
Ejemplo 57
Un conductor decide cambiar la válvula que regula el termostato de su vehículo. Para ello acude a un taller en donde el técnico dispone de cuatro válvulas, una de las cuales es el que debe usar para el vehículo en cuestión. Si las selecciona al azar una después de otra, y sin reposición, cuál es el número esperado de válvulas que ha de probar para colocar el correcto?.
Solución Sea X el “número de pruebas que debe realizar el técnico hasta encontrar la válvula correcta”. Observe que en este caso definimos a X como el número de ensayos y no como el número de veces que debe ocurrir éxito. En el caso binomial, el número de ensayos es conocido y además los ensayos se realizan con reposición, por lo que la probabilidad de éxito no cambia. Sin embargo en este caso, las pruebas implican realizar ensayos sin reposición; por lo que la probabilidad de éxito (ubicar la válvula correcta) cambia conforme se realizan más pruebas.
Sea C el evento “Encontrar la válvula correcta”. Si X = 1, p(1) = P(X = 1) = P(C) = ¼ Si X = 2, p(2) = P(X = 2) = P(C’ C) = (¼)(1/3) Si X = 3, p(3) = P(X = 3) = P(C’ C’ C) = (¼)(1/3)(1/2) Si X = 4, p(4) = P(X = 4) = P(C’ C’ C’ C) = (¼)(1/3)(1/2)(1) Por lo que el número esperado de pruebas que debe realizarse será
E(X) = 1(1/4)+2(1/4)(1/3)+3(1/4)(1/3)(1/2)+4(1/4)(1/3)(1/2)(1) = 0.70833
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Ejemplo 58
Ud. lanza una moneda tres veces. Si obtiene al menos dos caras, se le permitirá lanzar un dado y recibirá tantos soles como puntos obtenga en el dado. Qué cantidad de dinero espera ganar Ud. en este juego?.
Solución Sea A el evento “Sale por lo menos dos caras”. P(A) = 4/8 Sea B el evento “Lanzar un dado y obtener un punto” Sea X la variable aleatoria que representa: “Cantidad de dinero recibido”. Los valores de X son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilidad de que salga cualquiera de las caras, digamos x, es
p(x) = P(X = x) = 1/6
El evento B ocurre sólo si ocurre A. Luego P(B) = P(A)1/6 = (4/8)x(1/6) = 4/48
x 6
E(X) =
7
7
x( 48 ) 48 (1 2 3 4 5 6) 1.75 x 1
Luego espero ganar S./ 1.75.
Ejemplo 59
Todos los que participan en un determinado juego deben inscribirse pagando S./ 1.0. El juego consiste en lanzar tres argollas hacia una clavija, a la cual se ha amarrado una botella de vino. El jugador debe lanzar las argollas de uno en uno. Si ensarta una argolla gana un premio de S./ 5.0 Si logra ensartar dos argollas, gana S./ 10.0. Si logra ensartar las tres argollas, el premio es de S./ 50.0. Si suponemos que
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la probabilidad de ensartar en la clavija es 0.10. Cuál es la ganancia esperada del jugador, si juega a) sólo una vez. b) si juega diez veces?.
Solución Sea X la variable que representa: “Número de argollas que logra ensartar el jugador”. Según el problema, los valores de X son: 0, 1, 2, 3.
Como la probabilidad de éxito(ensartar una argolla) es 0.1 y es constante, X es una variable que tiene distribución binomial cuya función de probabilidad viene dada por
3 x 3 x p( x) 0.1 0.9 , x 0, 1, 2, 3 x
La ganancia del jugador se puede expresar de acuerdo a la siguiente distribución -0.25
0.25
0.75
4.75
0.729 0.243 0.027 0.019 x 3
Luego E(X) =
xp( x) 0.0965 x 0
Si se realizan diez jugadas, tendremos E(X) = 0.965 soles
Ejemplo 60
En un determinado juego de dados, Manuel debe pagar a la mesa $ 1.0, luego del cual lanza tres dados. Manuel recibe $ 2.0 si aparece un as; recibe $ 4.0 si aparecen dos ases y $ 8.0 si aparecen tres ases. En los otros casos no recibe nada.
a) Es equitativo el juego? Justifique su respuesta b) Si no lo fuese, cuánto debería recibir A por sacar tres ases?
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Solución Sea X la variable aleatoria definida como “Cantidad de dinero recibida por Manuel”. Sea A el evento “Sale un as al lanzar los tres dados” Según el problema: Si sale un as, X = 2; si sale dos ases, X = 4 y si sale tres ases, X = 8. Con las siguientes probabilidades:
X = 2 con P(X = 2) = P({(A, A’, A’), (A, A, A’), (A’, A’, A)}) = 3(1/6)(5/6)(5/6) = 75/216 X = 4 con P(X = 4) = P({(A, A, A’), (A, A’, A), (A’, A, A)}) = 3(1/6)(1/6)(5/6) = 15/216 X = 8 con P(X = 8) = P({(A, A, A)}) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216
Obtención del valor esperado de X: E(X) = 2(75/216) + 4(15/216) + 8(1/216) = 218/216
a) Sin duda el juego no resulta equitativo. Para que esto ocurra E(X) debería ser $ 1.0 ya que al pagar $ 1.0 para jugar, al final no ganaría ni perdería. b) Para que sea equitativo, debería recibir $ 6.0, si obtiene tres ases.
Ejemplo 61
Yaco decide participar en un juego que consiste en lo siguiente: Luego de firmar una boleta en blanco para participar en el juego, recibe tres bolitas para lanzarlas hacia un depósito que contiene cuatro casilleros. Gana si logra colocar dos de las bolitas en un mismo casillero. Una bolita puede caer en cualquiera de los cuatro casilleros con igual probabilidad. Yaco tiene tres oportunidades para lograr éxito. Si tiene éxito, recibe $ 219.70. Si no logra tener éxito en los tres intentos, debe pagar una determinada cantidad. Si pierde Yaco cuánto debe pagar para que el juego resulte equitativo?
Solución
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Sea R el evento “En un casillero sólo caen dos bolitas”. Y sea G el evento “Gana Yaco”. La probabilidad de que una bolita caiga en cualquiera de los cuatro casilleros es 1/4 . La probabilidad de que dos bolitas caigan en el mismo casillero es 1/16. Y que la tercera bolita no caiga en dicho casillero es 3/4 . Pero este casillero pudo haber sido cualquiera de los cuatro. Luego P(R) = 4x(1/4)(1/4)(3/4) = 4x3/64 = 3/16. Como Yaco tiene tres intentos, Sea X la variable que representa “El número de intentos que debe hacer Yaco para ganar el juego. Según esto, Yaco gana el juego si X = 1 ó X = 2 ó X = 3. Con probabilidades p(1) = P(X=1)
= 3/16
p(2) = P(X = 2) = (13/16)(3/16) = 39/256 p(3) = P(X = 3) = (13/16)² (3/16) = 507/4096 Luego P(G) = 3/16 + 39/256 + 507/4096 = 1899/4096 El juego es equitativo si E(X) = 0. Esto significa que E(X) = 219.7(1899/4096) + k(2197/4096) = 0. Despejando k de la ecuación, tenemos k = 189.9 Luego, si Yaco pierde deberá pagar $ 189.9 para que el juego sea equitativo.
Ejemplo 62
Un parroquiano pasado de copas llega a su casa y desea abrir la puerta de entrada. En el llavero tiene 5 llaves las que prueba una tras otra, al azar. Suponga que se encuentra suficientemente despierto como para eliminar las llaves ya probadas. Sea X la variable que representa el “número de llaves que debe probar hasta que la puerta se abra”. Hallar el número esperado de llaves que debe probar. Solución Sea X: Número de llaves que debe probar hasta abrir la puerta. Sea A el evento “El parroquiano logra abrir la puerta” El siguiente esquema muestra lo que podría ocurrir.
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E F
E
F
E
F
E F
E F
Figura 4.17
El parroquiano logra abrir la puerta si ocurre uno de los siguientes eventos: E
,
FE
,
FFE
,
FFFE ,
FFFFE
Esto quiere decir que X tomará valores 1, 2, 3, 4 ó 5.
Con probabilidades (1/5), (4/5)(1/4), (4/5)(3/4)(1/3), (4/5)(3/4)(2/3)(1/2) y (4/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1), respectivamente.
La distribución de probabilidades viene dada por 1 2 0.2 0.2
3 0.2
4 0.2
5 0.2
Luego E(X) = 1(0.2) + 2(0.2) +3(0.2) + 4(0.2) + 5(0.2) = 3
Ejemplo 63
Un fabricante de televisores utiliza cierto tipo de componente electrónico en el ensamblaje de televisores a color. Cada televisor requiere de 6 de estos componentes. Un componente defectuoso no puede ser detectado hasta que el televisor haya sido ensamblado completamente. El costo de detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es de $ 15. El fabricante ha estado comprando estos componentes en lotes de 100 a dos proveedores diferentes. El costo por lote del proveedor A es $ 100, en tanto que del proveedor B es $ 120. Basadas en experiencias anteriores, las calidades comparadas de los lotes comprados a los dos proveedores, son los siguientes:
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Proveedor A Nro. estimado de componentes Probabilidad defectuosos por lote 1
0.30
2
0.25
3
0.20
4
0.15
5
0.10
Proveedor B Nro. estimado de componentes Probabilidad defectuosos por lote 1
0.30
2
0.25
3
0.20
A qué proveedor debe comprar el fabricante dichos componentes electrónicos? Solución Sea X el número de componentes defectuosos encontrados en un lote. Encontremos el número esperado de componentes defectuosos por lote para los dos proveedores: Para el proveedor A: E(X) = 1(0.30)+2(0.25)+3(0.20)+4(0.15)+5(0.1) = 2.5 Para el proveedor B: E(X) = 1(0.60)+2(0.35)+3(0.10)
= 1.5
Para una adecuada decisión calcularemos el costo total que se espera tener por lote y por cada proveedor. Sea CT la variable que representa el Costo total esperado por lote. Según el problema En el caso del proveedor A, CT = 100 + 15 X de donde E(CT ) = $ 100 + $ 15(2.5) = $ 137.5
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En el caso del proveedor B, CT = 120 + 15 X de donde E(CT ) = $ 120 + $ 15(1.5) = $ 142.5
Sin duda el fabricante elegirá al proveedor A para que le suministre dichos componentes.
Caso continuo
Sea X una variable aleatoria continua. Sea f su función de densidad de probabilidad. Diremos que E(X) es su Esperanza Matemática y se define como
E( X )
xf ( x)
Todas las observaciones expuestas para el caso discreto rigen también para el caso
continuo, excepto que la sexta debe decir que
xf (x) debe ser una serie convergente.
Propiedades de la esperanza de una variable
i)
E(K) = K
ii) E(K + X) = K + E(X) iii) E(KX) = KE(X) iv) Si Y = A + BX entonces E(Y) = A + B E(X)
Nota: Aceptaremos esto último como propiedad excusándonos del rigor ya que siendo Y = H(X) = A + BX, una función de una variable aleatoria, debiéramos haber desarrollado dicho tema. Sin embargo, lo tomaremos como válido.
Ejemplo 64
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Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad definida por 2 3 x , 0 x 1 f ( x) 0 , otros
Encuentre el valor esperado de X
Solución Por definición E(X) =
1
0
xf ( x) x(3x²)dx 0.75
Ejemplo 65
Sea X la variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por
0 x 1/ 2 x , f ( x) 5 x 2 , 1 / 2 x 1 0 otros
Encuentre E(X)
Solución Usando la definición de esperanza de X, tenemos
1/ 2
E(X) =
x( x)dx 0
x(5x 2)dx (1 / 3) x 1
3 1/ 2 0
1/ 2
1
[(5 / 3) x x² 1 / 2 ] 3
1 9
Ejemplo 66
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Una máquina produce un artículo que es revisado(inspección de 100%) antes de ser despachado. El instrumento de medición es tal que es difícil leer entre 1 y 1
1 3
(datos codificados). Después que se realiza el proceso de codificación, la división medida tiene la siguiente función de densidad de probabilidad 0 x 1
kx² f ( x) 1 0
1 x 1
1 3
otros
a) Determine el valor de k b) Qué fracción de los artículos estará fuera de la “zona confusa”(estará entre 0 y 1) c) Calcule la media de X
Solución a) Por la segunda condición:
1
k 3 k 1 4/3 1 = kx²dx 1dx x x 1 . De donde k 2 3 0 3 3 0 1 1
4/3
b) Sea F el evento “El producto está fuera de la zona confusa”. El producto está fuera de la zona confusa si la medida de su división se encuentra en el intervalo (0, 1). No se considera “fuera de la zona confusa” a los intervalos (-, 0) y (4/3, + ) por cuanto la función de densidad es 0 en dichos intervalos. Por ello, para saber qué fracción de los artículos caen fuera de la zona confusa, debemos calcular la probabilidad del evento F.
1
P(F) = P( 0 x 1) = 2 x ²dx 2 / 3 0
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c) E(X) =
13.7
1
4/3
0
1
x(2 x²)dx
25
x(1)dx 18 1.389
VARIANZA DE UNA VARIABLE
Sea X una variable aleatoria. Sea E(X) su valor esperado. Diremos que V(X) es la varianza de la variable aleatoria de X y la definiremos como la esperanza del cuadrado de los desvíos de la variable respecto de su valor esperado o media; es decir, 𝑽(𝑿) = 𝑬[(𝑿 − 𝑬(𝑿))(𝒀 − 𝑬(𝒀))]²
TEOREMA. Si V(X) es la varianza de la variable aleatoria X, entonces 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝐸(𝑋)2
Notación: 1)
V(X) = E(X²) – ²
2)
2 X
V (X )
Desviación estándar Sea X una variable aleatoria. Si V(X) es la varianza de X, definimos a X como la Desviación Estándar de X tal que
𝜎𝑋 = √𝑉(𝑋) Propiedades de la varianza
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i)
V(K) = 0
ii)
V(K + X) = V(X)
iii) V(KX ) = K² V(X) iv) Si Y = A + BX entonces V(Y) = B²V(X)
Nota: Hacemos la misma acotación mencionada en el caso de la esperanza de X.
Ejemplo 67
Si se lanza una moneda tres veces, cuál es el número esperado de caras que se obtendría? Con que varianza y desviación?
Solución La función de probabilidad para X es X 0 1 2 3 p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 X 3
Ya hemos visto que E(X) = 12/8 = 1.5 Obtención de la varianza V(X). Por el teorema V(X) = E(X²) – (E(X))² Cálculo de E(X²): E(X²) = 0²(1/8) + 1²(3/8) + 2²(3/8) + 3²(1/8) = 24/8 = 3 Luego V(X) = 3 – 1.5² = 0.75 La desviación estándar: X = (0.75)(1/2) = 0.866
Ejemplo 68
La demanda de un determinado producto es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la siguiente:
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2 d k , d 1, 2, 3, 4, 5 p(d ) 16 0 otros
a) Hallar el valor de k b) ¿Cuál será la demanda que se espera tener de dicho producto? c) ¿Cuál es la desviación estándar que experimenta la demanda?
Solución a) Para que p(x) se la función de probabilidad de X se debe cumplir
d
p(d ) 1 2
Según esto 1
k d16 d
4 9 16 25 55 1 k k 16 16 16 16 16 16
De donde k = 16/55 b) Como D es una variable aleatoria discreta entonces d 5
E ( D) dp(d ) d 1
16 1 4 9 16 25 1 1 2 3 4 5 (225) 4.09 55 16 16 16 16 16 55
c) En cuanto a la varianza, de acuerdo al teorema V(x) = E(X²) – (E(X))²
Cálculo de E(X²):
E(X²) =
16 1 4 9 16 25 1 4 9 16 25 17.8 55 16 16 16 16 16
Luego V(X) = 17.8 – 4.09² = 1.0644
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De donde X = 1.03173
Ejemplo 69
Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada viene dada por
0 1 / 8 F ( X ) 1 / 2 5 / 8 1
, x0 0 x 1 1 x 2 2 x3 x3
Calcule la varianza de la variable
Solución Ante todo encontremos la función de probabilidad de X. De F podemos decir que X es una variable aleatoria discreta.
Si X < 0 entonces
p(x) = 0
Si 0 x < 1 entonces p(x) = F(0) – P(X < 0) = 1/8 – 0
= 1/8
Si 1 x < 2 entonces p(x) = F(1) – P(X < 1) = 1/2 – 1/8
= 3/8
Si 2 x < 3 entonces p(x) = F(2) – P(X < 2) = 5/8 - 1/2
= 1/8
Si X 3 entonces p(x) = 1 – P( X < 3 ) = 1 – F(2) = 1 – 5/8 = 3/8
En otras palabras, la función de probabilidad de X viene dada por
, 1 / 8 3 / 8 , p ( x) 1 / 8 , 3 / 8 0 ,
x0 x 1 x2 x3 otros
Para calcular la varianza debemos primero encontrar E(X) y E(X²):
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E(X) = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(1/8) + 3(3/8) = 1 E(X²) = 0²(1/8) + 1²(3/8) + 2²(1/8) + 3²(3/8) = 2 Luego V(X) = E(X²) – (E(X))² = 2 – 1 = 1
Coeficiente de variación Sea X una variable aleatoria con X y X su media y desviación, respectivamente. Diremos que CV(X) es el coeficiente de variación de X tal que 𝜎 𝐶𝑉(𝑋) = 𝜇 En términos porcentuales el coeficiente de variación mide el porcentaje de variabilidad de los valores de una variable respecto a su media esperada. Expresa el grado de dispersión de los datos alrededor de su promedio esperado.
Ejemplo 70
Una empresa dedicada a la comercialización de materiales de construcción ha establecido que la demanda de sus clientes potenciales en una nueva zona de Lima, está definida por la variable aleatoria X, en miles de unidades, con función de densidad definida por
x 2 f ( x ) 4 x 0
2 x3 3 x4 otros
a) ¿Cuál es la demanda esperada diaria? b) Calcule e interprete el coeficiente de variación
Solución a) Obtención de la esperanza de X:
3
4
1 3 1 3 E[ X ] x( x 2)dx x(4 x)dx x x² 2 x² x 3 3 3 3 2 2 3 3
4
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Debemos encontrar E[X²] para obtener V(X). 3
4
1 4 2 3 4 3 1 4 55 E ( X ²) x²(x 2)dx x²(4 x)dx x x x x 4 3 2 3 4 3 6 2 3 3
Luego V[X] =
4
55 1 3² 6 6
b) Evaluemos ahora el coeficiente de variación: 1 CV(X) = 6 0.1361 3
La demanda de materiales de construcción por los clientes potenciales de la empresa presentan un grado de dispersión relativa de 13.61%. Esto sin duda representa un margen de variabilidad muy leve.
Ejemplo 71
La media y la varianza de una variable aleatoria X son 50 y 4, respectivamente. Calcular a) La media de X² b) La varianza de 2X + 3 c) La desviación estándar de 2X + 3 d) La varianza de –X
Solución De acuerdo a los datos X = E[X] = 50; X = 4, con lo cual ² = V[X] = 4 Del mismo modo, si V[X] = E[X²] – (E[X])², entonces E[X²] = 2504. a) La media de X²:
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X² = E[X²] = 2504 b) La varianza de 2X + 3 Sea Y = 2X + 3. Aplicando propiedades de varianza de una variable definida como una función de otra variable ( Y = H(X)), tenemos: V[Y] = V[2X + 3] = 2²V[X] + V[0] = 4V[X] = 4(4) = 16 c) Puesto que la desviación de una variable es la raíz cuadrada de la varianza de la variable entonces, usando el resultado del inciso anterior 2X + 3 = V [2 X 3] 16 4 d) Sea Y = -X Arreglando adecuadamente a Y, tenemos Y = (-1)X. Apliquemos ahora la propiedad de varianza de una constante por una variable (P2): V[Y] = V[(-1)X] = V[X] = 4
Ejemplo 72
Una tienda de accesorios para vehículos está rematando cierto número de artículos entre ellos un lote formado por cuatro productos al precio de $ 40.0 por todo el lote. Un comerciante puede todos los artículos en buen estado a $ 20.0 cada uno, pero todo artículo defectuoso representa una pérdida completa de $ 10.0. Basado en su amplia experiencia, el comerciante asigna probabilidades de 0.1, 0.5, 0.2, 0.1 y 0.1 a los eventos que haya 0, 1, 2, 3 y 4 artículos defectuosos en el lote, respectivamente. Si no es posible ninguna inspección, deberá comprar el lote?
Solución Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de artículos defectuosos en el lote”. Según los datos, X puede tomar valores 0, 1, 2, 3, 4 con una distribución definida
X p(x)
0
1
2
3
4
0.1 0.5 0.2 0.1 0.1
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por
Costo total de los cuatro productos: $ 40.0 Ingreso total si los cuatro productos son buenos: $ 80.0 Si por cada producto defectuoso se pierde $ 10.0, entonces 10X es el total de la pérdida. Para responder a la pregunta definamos a Y como la ganancia obtenida al vender los cuatro productos. Según el problema, Y = 80 – (40 + 10X) = 40 – 10X. Hallemos la esperanza de Y. Si Y = 40 – 10X entonces E[Y] = 40 – 10E[X]. Puesto que E[X] = 0(0.1) + 1(0.5) + 2(0.2) + 3(0.1) + 4(0.1) = 1.6; con lo cual E[Y] = 28. Por tanto, el comerciante debe comprar el lote.
Ejemplo 73
Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidades es la siguiente: X p(x)
0
1
2
3
4
1/8 1/4 1/4 1/4 1/8
Calcular E[2X +1]; V[X]; V[2X + 1]
Solución Hallaremos primero E[X] y V[X]: E[X] = 0+1/4+2(1/4)+3(1/4)+4(1/8) = 2 V[X] = E[X²] – (E[X])² = 0+1/4+4(1/4)+9(1/4)+16(1/8) – (2)² V[X] = 1.5 Si hacemos Y = 2X +1 entonces, aplicando propiedades E[Y] = E[2X+1] = 2E[X] + 1 = 2(2) + 1 = 5 V[Y] = V[2X+1] = 4V[X] + 0 = 4(1.5) = 6
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Ejemplo 74
Sea X una variable aleatoria con función de densidad definida por f(x) = x/18, 0 x 6. Si Y = 10 + 2X, hallar la esperanza y la varianza de Y usando dos procedimientos diferentes.
Solución Usaremos propiedades de esperanza y varianza para resolver el problema: Como para hallar la esperanza y varianza de Y se requiere conocer previamente la esperanza y varianza de X, hallaremos primero estos valores: Según los datos f(x) = x/18, 0 x 6. Con lo cual 6
E[X] =
x 0
6
E[X²] =
6
x x3 dx 4 18 54 0
x
x² 18 dx 18 0
Luego V[X] = 18 – 4² = 2 Si Y = 10 + 2X entonces E[Y] = 10 + 2E[X] = 10 + 2(4) = 18. Igualmente, V[Y] = 0 + 4V[X] = 8
Ejemplo 75
Imagina es una compañía constructora de rascacielos en el centro financiero de Lima. El suministro de estos materiales está sujeto a un tiempo de demora, digamos X, cuyo comportamiento es reflejado mediante la función de densidad f(x) = 1/3 en el intervalo de uno a cuatro días. Y f(x) = 0 si el número de días cae fuera de este intervalo. Si el material almacenado le permite prescindir del pedido hasta por dos días, el costo de la demora se fijó en 100 soles, para cualquier demora de hasta dos días. Sin embargo, después de dos días, el costo de la demora es de 20 soles adicionales
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por cada día de demora. Calcular el valor esperado del costo para la compañía debido a la demora en el suministro de estos materiales?
Solución Sea X el tiempo de demora en recibir los materiales. La función de densidad de X es 1 f ( x) 3 0
1 x 4 otros
Sea C la variable que representa el costo por la demora en el suministro de los materiales. De acuerdo al problema, si x 2, entonces C = 100; pero si x > 2, entonces C = 100 + 20(X – 2) ya que por cada día adicional a los dos primeros días, se tiene un costo de 20 soles. Esto no sugiere que C puede definirse de la siguiente manera
100 C 100 20( X 2)
x2 x2
Podemos apreciar que C es una función de una variable aleatoria, por lo que, de acuerdo a los teoremas de valor esperado de una función de variable aleatoria, tenemos
2
4
1 340 E[C ] 100( )dx 100 20( X 2)dx 3 3 1 2
Luego, el costo esperado de demora para la compañía será de 113.33 soles.
Ejemplo 76
El tiempo X, que un cajero tarda en atender a un cliente durante las horas de mayor demanda, se distribuye exponencialmente con una función de densidad dada por f(x) = 0.2e-0.2x donde x > 0. Suponga que la media y varianza de X son 5 y 25. Si el costo que el cajero tarda en atender a cada cliente se define según la ecuación Página 364 de 800
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C = KX² - 5X + 8 Obtenga el valor de K si se espera tener por cliente un costo total de 83 soles
Solución Si el costo total esperado es de 83 soles, entonces E[C] = 83. Aplicando propiedades de valor esperado a la función del costo total, tenemos E[C] = E[KX² - 5X + 8] = K E[X²] – 5 E[X] + 8
(1)
Por otro lado, como V[X] = E[X²] – (E[X])² entonces E[X²] = V[X] + (E[X])² = 25 + 25 = 50 Reemplazando los valores conocidos en (1), tenemos 83 = K(50) – 5(5) + 8. Luego K = 2.
Ejemplo 77
Una institución benéfica decide recaudar fondos mediante la realización de un evento popular sorteando un automóvil 0 Km. Para ello se deben vender 8000 boletos a $ 5.0 cada uno. El premio consiste en la entrega al ganador de la rifa de un automóvil cuyo costo es de $ 12,000. Si una persona adquiere dos boletos, ¿cuál será la ganancia esperada de esta persona?
Solución Sea X la ganancia esperada de una persona. Veamos qué valores toma X: En principio la persona gasta $ 10.0 en los dos boletos de la rifa. Si ninguno de los boletos sale premiado, en cuyo caso su ganancia será 0 que recibe como premio menos lo que le costó los boletos: 0 – 10. Si uno de los boletos sale premiado, su ganancia será $ 12000 – 10; luego los valores de X son: -10 y 11990. Encontremos ahora sus respectivas probabilidades. X toma el valor –10 siempre que ocurre el evento P1 P2
,
que corresponde al
cuarto ramal inferior.
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P2 P1
P2’ P2 Figura 4.18
Observamos que la persona que compró los dos boletos puede ganar el automóvil por cualquiera de tres primeros ramales del árbol. Sólo pierde por el último. Como la ocurrencia de los eventos “Tres primeros ramales” y “El último ramal” son complementarios, entonces p(-10) = P(X = -10) = P(P1’ P2’) = P(P1 ’) P(P2’/ P1’ ) =
7999 7998 x .99975 8000 7999
p(11990) = P(X = 11990) = 1 - P(P1’ P2 ’) = 1- 0.99975 = 0.00025 Luego la distribución de probabilidad de X viene dada por
X p(x)
-10 0.99975 11990
11990 0.00025
Con lo cual E(X) = (-19)(0.99975) + 11990(0.00025) = -7 Se concluye que se espera que la persona pierda $ 7.0.
Ejemplo 78
Una persona desea asegurar su vehículo por un monto de $ 50,000 pagando una prima igual a K dólares. La compañía aseguradora sabe que la probabilidad de que el vehículo sufra un accidente contemplado en el contrato es 0.01. Qué prima deberá cobrar la compañía si espera ganar $1,000 dólares?.
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Solución Monto asegurado
: $ 50,000
Monto de la prima
:$K
Probabilidad de un accidente
: 0.001
Probabilidad de que no haya accidente : 0.991 Si X se define como
: Ganancia de la compañía de seguros
Entonces los valores de X son: X = 50000–K siempre que ocurra un accidente; es decir P(X = 50000 – K) = 0.001 X=K
siempre que no ocurra ningún accidente; es decir, P(X = K) = 0.991
La distribución de probabilidades de X es la siguiente
X p(x)
K-50000 0.01
K 0. 99
Puesto que la compañía desea que E[X] = 1000, entonces 1000 = E[X] = (K - 50000)(0.01) + (K)(0.99) Despejando K, obtenemos K = 1500. Luego la compañía aseguradora debe cobrar una prima de $ 1,500 por el yate.
Ejemplo 79
Un agente de bolsa cobra mensualmente honorarios fijos de $ 1000 más una comisión del 5% sobre el beneficio que su empresa obtiene por gestiones de consultoría que realiza. El beneficio que la empresa recibe mensualmente(en miles de dólares) se define como una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
x 2 f ( x ) 4 x 0
2 x3 3 x4 otros
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a) ¿Cuánto de utilidad espera obtener el consultor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consultor obtenga utilidades superiores a $ 1180?
Solución a) Sea X la variable aleatoria que representa el beneficio que obtiene la empresa mensualmente. Sea Y la variable que define la utilidad que obtiene mensualmente el consultor. Como éste recibe honorarios fijos de 1000 más el 5% del beneficio que es X, entonces sus utilidades mensuales se define como Y = 1000 + 0.05X . Obtendremos ahora E[Y]. Aplicando propiedades a Y, tenemos E[Y] = E[1000 + 0.05X] = 1000 + 0.05E[X]. Obtención de E[X], que representa el beneficio mensual que la empresa espera obtener. 3
4
2
3
E[ X ] X ( x 2)dx X (4 xdx 3 . Es decir los beneficios de la empresa se espera que sean de $ 3000. Reemplazando en E[Y], tenemos E[Y] = 1000 + 0.05(3000) = 1150 Finalmente diremos que las utilidades esperadas del consultor son de 1150 dólares mensualmente. Utilidades del consultor superiores a $ 1180 se puede expresar como Y >1180. Luego debemos encontrar P(Y >1180). Esto es posible si pudiéramos conocer la función de densidad de Y, como no es así, usaremos el siguiente procedimiento: P(Y >1180) = P( 1.000 + 0.05X >1.180) = P(0.05X>1.180 – 1.000) = P(X > 3.6) = 4
(4 x)dx 0.08 3.6
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Es decir, la probabilidad de que las utilidades del consultor sean superiores a $1180 es de 0.08
Ejemplo 80
Un comerciante desea adquirir una póliza de seguro de $ 20,000 para asegurar su nueva casa asentada en un área que, de acuerdo a datos históricos, puede sufrir una pérdida total en un año, con una probabilidad de 0.001 y una pérdida parcial del 50%, con una probabilidad de 0.01. ¿Qué prima tendría que cobrar la compañía de seguros por una póliza anual para “salir a mano” con todas las pólizas de $ 20,000 de ese tipo, ignorando todas las otras pérdidas parciales? Solución Según los datos: Monto de la póliza
: $ 20,000
Monto de la prima
:K
Probabilidad de una pérdida total
: 0.001
Probabilidad de una pérdida de 50%: 0.010 Sea X la variable aleatoria que representa : Ganancia de la compañía de seguros Veamos los valores que toma X: Si hay una pérdida total, entonces X = K – 20,000 con probabilidad igual a 0.001 Si hay una pérdida de 50%, entonces X = K – 10,000 con probabilidad igual a 0.01 Si no hay pérdida, entonces X = K, con probabilidad igual a 1 – (0.001 + 0.010) Luego podemos construir la distribución de probabilidad de X
X p(x)
K-20000 0.001
K-10000 0. 010
K 0.989
Como por otro lado, E[X] debe ser cero para que la compañía pueda “salir a mano”, entonces 0 = E[X] = (K – 20000)(0.001) + (K – 10000)(0.010) + K(0.989)
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de donde K = 120; es decir que la compañía de seguros debe cobrar una prima anual de $ 120 “para salir a mano”.
Ejemplo 81
Los accidentes registrados por una Compañía de Seguros de automóviles, aportan la siguiente información: La probabilidad de que un automovilista asegurado tenga un accidente automovilístico, es de 0.15. Si ocurre un accidente, el daño al automóvil representa el 20% de su valor en el mercado, con una probabilidad de 0.80; representa un 60% de su valor en el mercado con una probabilidad de 0.12; mientras que la probabilidad es de 0.08, si se produce una pérdida total. ¿Cuál debe ser el valor de la prima que la Compañía de seguros debe cobrar por un automóvil que vale $ 4,000 de forma tal que su ganancia esperada sea cero?
Solución Según los datos: Precio del automóvil
: $ 4,000
Monto de la prima
:K
Probabilidad de accidente con 20% de daño: 0.80 Probabilidad de accidente con 60% de daño: 0.12 Probabilidad de una pérdida total
: 0.08
Sea X la variable aleatoria que representa : Ganancia de la compañía de seguros Veamos los valores que toma X:
0.80
0.15
A
0.12
20%
60%
0.08
0.85
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El diagrama de árbol anterior nos permite obtener los valores de X. Como el valor del automóvil es de $ 4,000 y la prima a cobrar es K, entonces X = K – 800, si hay un accidente con 20% de daño; es decir P(X = K –800) = 0.80x0.15 X = K – 2400, si hay un accidente con 60% de daño; es decir P(X = K –2400) = Figura 4.19
0.12x0.15 X = K – 4000, si hay un accidente del 100% de daño; es decir P(X = K – 4000) = 0.08x0.15 X = K, si no hay accidente. Y esto ocurre con probabilidad igual a 0.85 Debemos tomar en cuenta que X toma los tres primeros valores siempre que hay un accidente, y esto ocurre con probabilidad igual a 0.15. Por ello es que hemos multiplicado por 0.15 a cada uno de estos valores. Finalmente, como E[X] debe ser cero, entonces 0 = E[X] = (K - 800)(0.12) + (K - 2400)(0.018)+(K - 4000)(0.012)+K (0.85) de donde K = 187.2. Luego la Compañía debe cobrar una prima de $ 187.2 para no perder ni ganar.
Ejemplo 82
Sea X una variable aleatoria que representa el peso de un artículo en onzas, cuya función de densidad viene dada por
x 8 f ( x) 10 x 0
8 x9 9 x 10 otros
El precio de venta de cada artículo se fija en US $ 8.5. El costo de producción está relacionado al peso del artículo de acuerdo a la siguiente función de X: C = 0.5X + 2. Determine la utilidad esperada por artículo. Solución Sea Y la variable aleatoria que representa la utilidad por artículo. Página 371 de 800
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Según los datos Y = 8.5 – C; es decir Y = 6.5 – 0.5X. Tomando valor esperado a Y, de acuerdo a las propiedades tenemos: E[Y] = 6.5 – 0.5E[X]. Según esto debemos encontrar el valor esperado del precio por artículo primero. En efecto 9
10
1 3 1 3 E[X] = x( x 8)dx x(10 x)dx x 4 x² 5 x ² x 9 3 9 3 8 8 9 9
10
Por tanto E[Y] = 6.5 – 0.5(9) = 2. La utilidad esperada por artículo es US$ 2.0
Ejemplo 83
Una estación de gasolina recibe provisión semanalmente. Los datos recogidos en épocas pasadas sugieren que la función de densidad de probabilidad de las ventas semanales, X, medidas en miles de galones, se aproxima a la función cuya gráfica se muestra en la siguiente figura:
C
0
1
2
2.5
Figura 4.20
a) Encuentre el promedio de ventas semanales b) Supongamos que el administrador de la estación tiene un sueldo básico de 1200 soles por semana. Tiene también una bonificación de 50 soles por cada millar de galones vendidos semanalmente. ¿Cuál será el ingreso total que espera tener el administrador por semana? Solución Obtención de la función de densidad de X. Ecuación de L1: y = cx Página 372 de 800
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Ecuación de L2: y = c Ecuación de L3: y = 5c – 2cx
L1
L2
c L3 0
1
2
2.5
Figura 4.21
Luego la función de densidad de X, en términos de la constante c es.
0 x 1 cx f ( x) c 1 x 2 5c 2cx 2 x 5/ 2 Obtención de la constante c: 1
2
5/ 2
0
1
2
Puesto que cxdx cdx
(5c 2cx)dx 1 , evaluando hallamos c = 4/7.
a) Obtención del promedio de ventas semanales: E[X] =
1
2
5/ 2
0
1
2
57
xcxdx xcdx x(5c 2cx)dx 42 = 1.357
b) Si definimos a Y como la variable que representa el ingreso semanal del administrador, entonces Y = 1200 + 50X. El ingreso total esperado es E[Y]. Esto es E[Y] = 1200 + 50E[X] = 1200 + 50(1.357) = 1267.85
Ejemplo 84
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La Futura, compañía de Seguros vende una póliza de seguros a MillWard, una empresa líder en mercadeo en Europa, pero que decide expandirse al mercado latino el cual no conoce y que por lo mismo decide cubrir las posibles pérdidas en la comercialización de su nuevo producto. Si el producto no tiene salida, la compañía sufrirá una pérdida de US $ 80,000. Si el éxito que obtiene es moderado, la pérdida será de US $ 20,000. Basados en historias de mercadeo en dicha región se sabe que las probabilidades de que el producto resulte ser un completo fracaso o un éxito moderado son 0.01 y 0.05, respectivamente. Qué prima deberá cobrar la compañía de seguros por la póliza si sólo desea cubrir sus gastos, sin considerar otros tipos de posibles pérdidas?. Solución Definamos a X como la ganancia que la compañía de seguros obtendrá. Sea K la prima a cobrar. Puesto que sólo desea cubrir sus gastos, entonces se debe cumplir que no debe tener ganancia; es decir, E[X] = 0. Ahora bien, Si el producto resulta en un completo fracaso, X = K – 80,000 con probabilidad 0.01 Si el producto resulta con éxito moderado, X = K – 20,000 con probabilidad 0.05 Pero si no hay pérdida, entonces X = K; esto ocurre con probabilidad 1 – (0.01 + 0.05) = 0.85 Luego E[X] = (K-80000)(0.01) + (k-20000)(0.05) + K(0.85) = 0 De donde se tiene K – 1800 = 0. Por tanto la compañía de seguros debe cobrar una prima de US $ 1800 si sólo desea cubrir sus gastos.
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13.8
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una máquina posee 10 posiciones del torno diferentes que permite productos de diferente calibración. Si dicha máquina no tiene la unidad posicionada de manera apropiada, éste cae, y la posición del torno permanece abierta, resultando de ese modo un ciclo que produce menos de diez unidades. Un estudio del funcionamiento pasado de esta máquina indica que si X es una variable aleatoria que representa el número de posiciones abiertas, su función de probabilidad viene dada por
x0 0.6, 0.3 x 1 p( x) x2 0.1 0 otros
Si la pérdida debida a posiciones vacías viene dada por Y = 20x², encuentre a) la función de probabilidad de Y b) la media y varianza de Y (E(Y) y V(Y))
2. El contenido de cloro de un determinado compuesto es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad:
x f ( x) 18 0
0 x6 otros
La utilidad que se obtiene de esta aleación es P = 10 + 2X a) Encuentre la distribución de probabilidad de P b) ¿Cuál es la utilidad esperada?
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3. Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía de restitución gratuita si el tubo de imagen falla. El fabricante estima el tiempo de falla(en años), T, como una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
f (t )
1 4
t / 4
e
t 0
a) ¿Qué porcentaje de aparatos tendrá que reparar? b) Si la utilidad por venta es de $200 y la sustitución del tubo de imagen cuesta $200, encuentre la utilidad esperada del negocio.
4. Un contratista ofrece realizar un proyecto. Los días requeridos, X, para la terminación sigue la siguiente distribución de probabilidad:
0.1 0.3 0.4 p( x) 0.1 0.1 0
x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 otros
La utilidad del contratista es Y = 2000(12 – X) a) Encuentre la distribución de probabilidad de Y b) Determine E(X), V(X), E(Y) y V(Y).
5. El porcentaje de cierto aditivo en gasolina, determina el precio de venta. Si Z es la variable aleatoria que representa el porcentaje, entonces 0 Z 1. Si el porcentaje de Z es menor que 0.70, la gasolina es de 95 octanos y se vende a 9.92 soles por galón. Si el porcentaje de Z es mayor o igual a 0.70, la gasolina es de 97 octanos y se vende a 10.98 soles por galón.
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Determine el ingreso esperado por galón en el caso en el que f(z) = 1, 0 Z 1; y 0 en otros casos, f(z) = 0.
6. La estación terrena de Lurín tiene una antena rotatoria que recibe señales de dos formas. La posición rotacional(ángulo) se representa por X, y puede suponerse que esta posición en el tiempo en el que se recibe una señal es una variable aleatoria(por la variabilidad de la señal) con la densidad que se indica a continuación.
1 2 0
f ( x)
0 x 2 otros
La señal puede recibirse si Y > y0, donde Y = tan(X). Por ejemplo, y0 = 1, corresponde a
4
x
2
y
5 3 . Encuentre la función de densidad para x 4 2
Y.
7.
La demanda de un anticongelante en una determinada temperatura se considera como una variable aleatoria X, con función de densidad definida por
f(x) = 10-6, 106 x 2x106
donde X se mide en litros. Si el fabricante encuentra una utilidad de 50 centavos de dólar por cada litro que vende al final de año, y se debe conservar cualquier exceso durante el siguiente año a un costo de 25 centavos de dólar por litro, determine el nivel “óptimo” de existencias para un final de temporada particular.
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13.9
DISTRIBUCIONES CONOCIDAS: CASO DE VARIABLE DISCRETA
Experimento de Bernoulli Sea un experimento y el espacio muestral asociado a . Supongamos que estamos interesados por la ocurrencia o no, de un determinado evento A . Diremos que este experimento constituye un Ensayo de Bernoulli si posee las siguientes características:
La realización de este experimento genera dos únicos resultados posibles: ocurre el evento A o no ocurre; diremos que hay éxito si ocurre A, con p = P(A), probabilidad de éxito y diremos que hay fracaso si A no ocurre, en cuyo caso, si q representa la probabilidad de fracaso, entonces = 1 – p = 1 – P(A) = P(A’). Cada vez que se ejecuta el experimento p es siempre la misma; es decir, la probabilidad de éxito es constante La ocurrencia o no del evento A no influye en los resultados de la repetición del experimento; es decir, los resultados son independientes
Distribución de Bernoulli Sea un Experimento de Bernoulli y el espacio muestral asociado a . Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no de un cierto evento tal como A. Sea p = P(A) la probabilidad de la ocurrencia de A. Si definimos a X como la variable aleatoria que representa “El número de veces que ocurre éxito cada vez que se realiza el ensayo de Bernoulli”, diremos que X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli con parámetro “p”, entendida como la probabilidad de éxito. Usaremos como notación la siguiente expresión: X Be(p) para indicar que la variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p. Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli, con parámetro p, entonces su función de distribución viene dada por p(x) = P(X = x ) = p ( 1 – p ) 1 – x para X = 0, 1
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Teorema
Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli, entonces X = E[X] = p ² X = V[X] = p (1-p) = pq
Distribución Binomial Sea un Ensayo de Bernoulli y el espacio muestral asociado a . Sea A el evento en el cual estamos interesados. Supongamos que dicho ensayo se repite n veces y de manera independiente. Supongamos también que, cada vez que ocurre el evento A, diremos que se obtuvo éxito con probabilidad p y no hubo éxito con probabilidad q = 1 – p. Si X es una variable aleatoria definida como “El número de veces que ocurre éxito en las n repeticiones del experimento”, diremos que X es una variable aleatoria que tiene Distribución Binomial con parámetros n y p, lo cual denotaremos por X B(n, p).
Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros n y p, entonces su distribución de probabilidad es
n p( x) P( X x) C x
p (1 p) x
n x
,
x 0, 1, 2, ..., n
Teorema
Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros n y p, entonces X = E[X] = np ² X = V[X] = n p (1-p) = npq
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Problemas de Binomial usando Excel
Excel dispone de la siguiente función para resolver problemas de Binomial: = P(X ≤ k)
=Distr.Binom(m,n,p,tipo)
Donde m: Representa el número de éxitos que se desea que ocurra n : representa el número de veces que se realiza el experimento p : representa la probabilidad de éxito tipo
: Es 1 o Verdadero si se desea P(X ≤ k). Es 0 o Falso si se desea P(X = k)
Ejemplo 85
Se lanzan dos dados cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma 9 aparezca exactamente dos veces?
Solución Si lanzamos una vez los dos dados, la probabilidad de que la suma sea 9 es 1/9. Llamemos a esta ocurrencia éxito, con lo cual p = 1/9. Sea X la variable aleatoria que representa “El número de veces en que la suma es 9”. Según lo dicho, X tiene distribución binomial B(n = 4, p = 1/9). Según la definición, su función de probabilidad será
4 p( x) P( X x) C x
p (1 p) x
4 x
,
x 0, 1, 2, 3, 4
De acuerdo a la pregunta, p(2) = P(X = 2) = C(4, 2)(1/9)²(8/9)² = 0.058527
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Usando Excel: P(X = 2) = Distr.Binom(2,4,1/9,0)
Ejemplo 86
Una máquina produce cierto tipo de piezas, de las cuales el 5% en promedio son defectuosos. En una muestra aleatoria de 5 piezas ¿cuál es la probabilidad de obtener a) exactamente dos piezas defectuosas? b) por lo menos una pieza defectuosa?
Solución En este ejemplo la probabilidad de extraer una pieza defectuosa es 0.05. Esta probabilidad sigue siendo la misma cuando se extrae la segunda o las siguientes piezas, hasta completar los 5 de la muestra. No sabiendo cuántas defectuosas tiene el lote, supondremos que la probabilidad de éxito(la de extraer una pieza defectuosa) es constante. Por ello si X representa el número de piezas defectuosas en la muestra, entonces diremos que X tiene distribución Binomial y X B(n=4, p=0.05). Luego p(x) = P(X = x) = C(5, x)(0.05)x(0.95) 5-x para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Respondamos ahora a las preguntas a) Exactamente dos piezas defectuosas significa encontrar p(2) = P(X = 2) = C(5 , 2)(0.05)²(0.95)3 = 0.02143
Usando Excel: P(X = 2) = Distr.Binom(2,5,0.05,0) b) Por lo menos una pieza defectuosa significa es P(X 1) P(X 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C(5, 0)(0.05)0(0.95) 5 = 0.22622
Usando Excel: P(X ≥ 1 ) = 1 – P(X < 1) = 1 – Distr.Binom(0,5,0.05,1)
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Ejemplo 87
La probabilidad de hacer una venta en un intento, de cierto vendedor, es 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a)
exactamente dos ventas en tres intentos de ventas consecutivas?
b)
¿por lo menos una venta en tres intentos de ventas consecutivas?
c)
¿Cuántos intentos de ventas consecutivas deben hacerse para obtener una seguridad de 0.9375 de obtener por lo menos una venta?
Solución a)
Si definimos a X como “El número de ventas en tres intentos de ventas consecutivas” y p = 0.5, con n = 3, diremos que X tiene distribución binomial con función de probabilidad definida por p(x) = P(X = x) = C(3, x)(0.5)x(0.5) 3-x = C(3, x)(0.5) 3 , x = 0, 1, 2, 3 Según esto, p(2) = P(X = 2) = C(3,2)(0.5) 3 = 0.375
b)
Por lo menos una venta significa que ocurre el evento X 1. Por lo que debemos encontrar P(X 1). Como P(X 1) = 1 – P(X = 0), entonces P(X 1) = 0.875
c)
Por lo menos una venta significa X 1. De acuerdo a los datos, su probabilidad de ocurrencia es P(X 1) = 0.9375; es decir, P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 0.9375, de donde P(X = 0) = 0.0625 De acuerdo a la función de distribución, P(X = 0) = C(n, 0)(0.5) n = 0.5 n = 0.0625 Tomando logaritmo a ambos miembros tenemos n = Ln(0.0625)/Ln(0.5) = 4.25
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Luego el número de intentos necesarios será 4, para tener la probabilidad de por lo menos una venta igual a 0.9375.
Ejemplo 88
Suponga que la máquina A produce el doble de artículos que la máquina B. Se sabe que el 6% de los artículos que produce la máquina A son defectuosos, mientras que solo el 3% de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. Si al final de un día de producción se juntan las dos producciones y de ella se toma una muestra aleatoria de 10 artículos, calcular la probabilidad de obtener tres artículos defectuosos. Solución (2/3)(0.06) 0.06
D
A 2/3 (1/3)(0.03) 0.03
D D’
1/3
Figura D’ 4.22
El diagrama de árbol grafica claramente la característica del problema. Como lamáquina A produce el doble de artículos que la máquina B, entonces, al seleccionar un producto, la probabilidad de que este provenga de la máquina A es 2/3, y de que provenga de la máquina B es 1/3. Por otro lado, un defectuoso puede provenir de la máquina A o de la máquina B; es decir la probabilidad de obtener un producto defectuoso del total de la producción de un día es p = (2/3)(0.06) + (1/3)(0.03) = 0.05. Esta es la probabilidad de éxito; la probabilidad de extraer un producto defectuoso.
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Ahora volvamos al problema. Si X es el número de productos defectuosos en una muestra de n = 10 artículos, entonces X tiene distribución binomial con parámetros n = 10 y p = 0.05. Luego su función de distribución es p(x) = P(X = x) = C(10, x)(0.05)x(0.95) 10-x ; x = 0, 1, 2, 3, …, 9, 10 Con lo cual p(3) = P(X = 3) = C(10, 3)(0.05)3(0.95) 7 = 0.01047
Ejemplo 89
El departamento de finanzas de una empresa capitalina contrata los servicios de dos empleados a tiempo parcial: Yaco y Báslavi. Yaco trabajará los Lunes, Miércoles y Viernes, mientras que Báslavi lo hará los Martes, Jueves y Sábado. Yaco archivó erróneamente uno de cada cinco documentos, mientras que Báslavi lo hace uno de cada seis. Con el propósito de evaluar los errores que ellos cometen, se elige un día de la semana y en ese día se toma una muestra de 6 documentos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente tres documentos mal archivados? Suponiendo que la muestra contiene exactamente tres documentos mal archivados, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido archivados por Yaco?
Solución Definamos la variable aleatoria X como el “Número de documentos mal archivados”. En primer lugar el número de documentos mal archivados por Yaco y por Báslavi es constante. Yaco archiva mal con probabilidad 1/5 y Báslavi, con probabilidad 1/6. Como la muestra de la que se extrae los documentos a ser examinados es n = 6, entonces X B(n=6, p).
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Encontremos el valor de p: la probabilidad de que el documento seleccionado de la muestra sea defectuoso. Como Yaco y Báslavi trabajan el mismo número de días de la semana, la probabilidad de que se haya elegido uno de los días en los cuales trabaja Yaco, es 1/2. De suerte que la probabilidad de extraer un documento mal archivado por Yaco será p = (1/2)(1/5) + (1/2)(1/6) = 11/60, por cuanto Yaco archiva mal uno de cada 5, mientras que Báslavi lo hace uno de cada 6. Ahora respondiendo a las preguntas, tenemos: p(3) = P(X = 3) = C(6, 3)(11/60)3(49/60) 3 = 0.0671 Sea X la variable aleatoria definida como el Número de documentos mal archivados Sea A el evento definido como “El documento fue archivado por Yaco” Sea B el evento “Hay 3 documentos mal archivados”; es decir B = {x / x = 3 } Según esto debemos buscar la probabilidad P(A/B). Como P(A/B) = P(AB)/P(B). Debemos encontrar P(AB) ya que P(B) = 0.0671 P(AB) = P(AX = 3) = 0.5xC(6,3)(0.2)3x(0.8)3 = 0.04096 Luego P(A/B) =
P( A B) P( A X 3) 0.61019857 P( B) P( X 3)
Ejemplo 90
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial, cuya media es 12 y varianza 4.8. Calcular P(X > 5) P(5 < X < 10) P( X < 10)
Solución Si X B(n,p) entonces X = np = 12 y ² X = np(1-p) = 4.8
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Resolviendo el sistema de ecuaciones: 1 – p = 4.8/12 = 0.4 de donde p = 0.6. Reemplazando p en la media obtenemos n = 12/0.6 = 20 Luego X B(n=20, p = 0.4)
20 x 20 x cuya función de distribución es p(x) = 0.6 0.4 x P(X>5) = 1 – P(X 5) = 1 -
20
5
x 0.6 0.4 x
20 x
1 0.002 0.998
0
Usando Excel: P(X > 5) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 – Distr.Biniom(5,20,0.06,1) 9
P(5 0 ) = 1. Por ello la proposición es verdadera
Ejemplo 97
En una localidad muy alejada de la capital, se impugnaron los resultados de un proceso electoral. Por ello el Jurado Nacional de Elecciones procedió a examinar 10 mesas con un total de 1450 votos. De acuerdo a las actas del escrutinio, se tenía 48 votos impugnados. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 votos del total de las 10 mesas, se encuentren por lo menos, 2 votos impugnados?
Solución De acuerdo al esquema, X H(1450,48,5)
48 1402 x 5 x , Por ello p( x) P[ X x] 1450 5
x 0, 1, 2, 3, 4, 5
Sea A es el evento “Se encuentren por lo menos dos votos impugnados”.
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P(A) = 1 – P(A’) = 1 – P(X < 2 ) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1 ) = 1 - 0.84488 + 0.6057 = 0.145 En Excel P(A) = P( X ≥ 2 ) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X ≤ 1 ) = 1 – Distr.Hipergeom(1,5,48,1450)
Ejemplo 98
María José, es la encargada de la elaboración de la planilla para los 11 trabajadores de su empresa. Debido a su estado emocional de ese día, confecciona 7 nóminas con errores. Puesto que esta no es la única vez que comete ese tipo de error, el Gerente de la empresa se encuentra descontento. Con la intención de tomar decisiones elige 5 nóminas aleatoriamente y encuentra errores en tres de ellas. La Señorita María José se defiende argumentando que el porcentaje de error es muy bajo para ser tomado en cuenta. ¿Cree Ud. que este es un buen argumento?. ¿La teoría de probabilidades respalda este argumento?
Solución De acuerdo a los datos, consideraremos como tamaño de la población, N = 11, con r = 7; tamaño de muestra, n = 5. Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de nóminas confeccionadas con error”. Según esto X H(11, 7, 5). Debemos hallar la probabilidad de que el número de errores en la muestra sea igual a 3. Si esta probabilidad es pequeña(digamos menor que 0.1), diremos que el argumento de la Señorita María José es válido y la teoría de probabilidades respalda su argumento, en caso contrario, estará equivocada y como tal, sus errores son probabilísticamente altas. Veamos P( X 3)
C (7,3)C (4,2) 0.4545455 C (11,5)
Luego el argumento de la Señorita María José no es válido Página 396 de 800
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Distribución de Poisson
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1, 2, ..., n-1, n, n+1, ... Diremos que X tiene Distribución de Poisson cuyo parámetro es y su función de probabilidad es
p( x) P[ X x] e
x!
x
,
x 0, 1, 2, ..., n,...
Notación Usaremos la notación X P() para indicar que X tiene una distribución de Poisson. Teorema Si X una variable aleatoria con distribución de Poisson, entonces = y ² = . Observación El programa Excel no dispone de una función que permita evaluar probabilidades cuando se trata de variables con distribución de Poisson.
Ejemplo 99 Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson, con parámetro y si P(X = 0) = 0.2 Calcular P(X > 2). Solución p ( x) e
Si X tiene distribución de Poisson con de parámetro, entonces
x!
x
.
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Como P(X = 0) = 0.2 entonces p(0) e
0
= 0.2, de donde
0!
e
0.2 .
Tomando
logaritmo neperiano tenemos - = Ln(0.2), con lo cual = 1.6094 Luego P(X > 2 ) = 1 – P(X 2) = 1 – [p(0) +p(1) + p(2) ] = 1 – 0.2(1 + 1.6094 + 1.6094²/2) P(X > 2 ) = 0.21908
Ejemplo 100
Suponga que X es una variable aleatoria con distribución de Poisson. Si P( 2) 23 P( X 1)
Calcular P(X = 0) y P(X = 1)
Solución
e
Como P( 2) 23 P( X 1) entonces
2!
e
2
2 3
1!
1
. Al simplificar encontramos
= 4/3. 43
Luego P( X 0) e
( 4 3 )0
0!
43
e
0.26359
43
Del mismo modo,
P( X 1) e
( 4 3 )1
1!
43
e
( 43 )
4
3 (0.26359)
0.35146
Ejemplo 101
Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson tal que el 85% de sus valores son mayores o iguales que 1, ¿cuál es la probabilidad de que X tome como valor 2?
Solución
e
Si X P(), entonces p(x) = P[X=x] =
x
x!
Por ello, según los datos P(X 1) = 0.85. Resolvamos esta ecuación para encontrar y encontrar después P(X = 2).
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P(X 1) = 0.85 implica que 0.85 = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0), de donde
e
0!
0
0.15
Resolviendo para , tenemos = 1.8971 Por tanto P(X = 2) =
(0.15)0.897119² 0.26993 2!
Ejemplo 102
El número de embarcaciones que llegan diariamente al muelle de Huacho tiene una distribución de Poisson con parámetro = 2. Las actuales instalaciones portuarias pueden atender un máximo tres embarcaciones por día. Si en un día determinado llegan más de 3 embarcaciones, todos los excedentes deben ser enviados al muelle de Huaura. En un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de enviar embarcaciones a Huaura? ¿En cuánto deben ampliarse las actuales instalaciones portuarias de Huacho para permitir la atención de aproximadamente el 90% de la demanda diaria? ¿Cuál es el número esperado de embarcaciones que llega diariamente? ¿Cuál es el número más probable de embarcaciones que llegan diariamente? ¿Cuál es el número esperado de embarcaciones atendidos diariamente? ¿Cuál es el número esperado de embarcaciones enviados a Huaura diariamente?
Solución Si X P( = 2) entonces p(x) = P[X=x] = e
x!
x
, aquí X se define como “El
número de embarcaciones que llegan al muelle de Huacho diariamente”. De acuerdo a esto Si la capacidad de atención del muelle es hasta 3 embarcaciones, se debe enviar al muelle de Huaura siempre que X > 3. Esto se hace con probabilidad
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3
P( X 3) 1
2
e 2 x 0
x
x!
1 (0.13534 0.27067 0.27067 0.18045) 1 0.85712 = 0.1428 X=0
X =1
X=2
X=3
Sea K la capacidad máxima de atención del muelle de Huacho después de ampliar hasta aproximadamente el 90% . La pregunta consiste en encontrar el valor de K. Para ello tomemos en cuenta la suma de los valores dentro del paréntesis y que están indicados por las flechas. Dicha suma, como lo indica el lado derecho, es 0.85712. Si a ello le sumamos P(X = 4) = 0.09022, tendremos 0.94735. Esto quiere decir que si hacemos K = 4 entonces P(X 4 ) = 0.94735. Luego las instalaciones portuarias debieran ampliarse de tal forma que pueda atender hasta 4 embarcaciones, en aproximadamente el 90% del tiempo. Por otro lado, puesto que E[X] = , siendo X la variable aleatoria que representa “El número de embarcaciones que llegan al muelle diariamente”, entonces = E[X] representa el “Número esperado de embarcaciones que llegan diariamente”, esto es = = 2. Ante todo diremos que “El número más probable” es el valor que toma una variable aleatoria para el cual se tiene el mayor valor de probabilidad que en todos los otros valores de la misma. Es decir, K será el valor más probable de X siempre que se cumpla que p(K) p(x), x / x X . En el problema esto ocurre cuando X = 1 ó cuando X = 2. Luego es muy probable que lleguen al muelle de Huacho uno o dos embarcaciones diariamente. Sea Y la variable aleatoria que representa “El número de embarcaciones atendidos diariamente”. Siempre que X 3 se atiende a la embarcación. Esto ocurre con P(X3)= 0.85712. Si por otro lado llegan en promedio dos embarcaciones, entonces El número esperado de embarcaciones atendidas será 2(0.85712) = 1.71424. Igualmente, si cuando ocurre X > 3 se envía embarcaciones a otro muelle, y esto ocurre con P(X > 3 ) = 0.14288, el número esperado de embarcaciones enviadas a otro muelle será 2(0.14288) = 0.28576
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Aproximación de Poisson a una binomial Supongamos que se tiene la siguiente situación: El 6% de vehículos que transitan por las calles de Lima Metropolitana tienen tubos de escape defectuosos. Si un día determinado se seleccionan al azar a 100 automóviles y se les examina el tubo de escape, ¿Cuál será la probabilidad de que más de 20 de estos vehículos presenten un tubo de escape defectuoso? Si definimos a X como “El número de automóviles cuyo tubo de escape es defectuoso”, con p = 0.06 y n = 100 entonces X B(n = 100, p = 0.06).
100
x 20
Con lo cual P(X > 20) = 1 -
x 0.06 0.94
100 x
x
1 1.0 0.0
x 0
Esto ocurre cuando la probabilidad de éxito “p” es pequeño y n es lo suficientemente grande. Una forma de obtener un resultado más aceptable es aproximar la solución mediante la distribución de Poisson. Siendo X B(n, p) con μ = np y sabiendo que en el caso de una Poisson = μ, podemos utilizar la distribución de Poisson como una forma de aproximar problemas con distribución Binomial.
Teorema Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente B(n, p) cuya función de n x
distribución es px) P( X x) p
x
n x
(1 p)
, x 0, 1,, n
Si n y p 0 cuando np = permanece constante o de manera equivalente, si n con p 0 y np entonces
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e
Lim
P ( X x)
n
x
x!
Ejemplo 103
Supóngase que la probabilidad de que un artículo producido por una máquina especial sea defectuoso es igual a 0.2. Si se seleccionan aleatoriamente 10 artículos producidos por esta máquina, ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre más de un artículo defectuoso? Use la distribución binomial y la de Poisson y luego compare los resultados.
Solución Definamos a X como “El número de artículos defectuosos extraídos”. Según los datos del problema la probabilidad de éxito es p = 0.2 y el tamaño de muestra(número de repeticiones del experimento) es n = 10. Está demás decir que la variable tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Por ello es natural responde a la pregunta resolviendo 1
P( X 1)
10
x 0.2 0.8 x
10 x
0.810 10(0.2)(0.8)9 0.10737418 0.26843546 0.37580964
x 0
Si bien n = 10 no es suficientemente grande y p = 0.2 no es muy pequeño, de acuerdo a lo pedido en el problema, encontraremos una solución aproximada por la distribución de Poisson: En este caso = np = 10(0.2) = 2. Por ello e2 2 x e 2 (1 2) 0.13533528 0.27067057 0.40600585 x ! x 0 1
P( X 1)
Puesto que n y p no satisfacen adecuadamente las condiciones para usar el teorema, es lógico que la aproximación no sea buena. Veamos el siguiente ejemplo
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Ejemplo 104
Una compañía de seguros ha descubierto que sólo alrededor del 0.1 por ciento de la población tiene cierto tipo de accidente cada año. Si 10,000 asegurados fueran seleccionados aleatoriamente de la población, ¿cuál será la probabilidad de que no más de 5 de estos clientes tengan un accidente de este tipo el próximo año?
Solución Sea X la variable definida como “Número de clientes de dicha compañía de seguros que tiene ese tipo de accidentes al año”. X B(n=10000, p=0.001). Si Ud. compara los datos de este problema con el anterior, verá claramente que debemos usar casi necesariamente el Terorema de la aproximación por Poisson. Por ello, = np = 10000(0.001) = 10. Luego e1010 x 0.067085963 x! x 0 5
P( X 5)
Sugerimos a nuestro amable lector que encuentre la probabilidad pedida por Binomial. Creemos que en este caso el resultado debe ser 0.066991373, que ahora sí vale la pena aproximar por Poisson.
Ejemplo 105
En una planta ensambladora de equipos eléctricos han ocurrido cierto tipo de accidentes a razón de uno cada dos meses. Suponiendo que estos accidentes ocurren de forma independiente, ¿cuál es el número esperado de accidentes al año?. ¿Cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año?. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes de este tipo en un determinado año?
Solución Si definimos a Y como el Número de accidentes cada mes, entonces Y es una variable aleatoria con distribución de Poisson en el cual la probabilidad de un accidente es p = 1/2
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Puesto que los accidentes ocurren en un período de tiempo cuya longitud es de un año, definiremos a X como “El número de accidentes que se registra al año”. De acuerdo a esto, diremos que X sigue un proceso poissoniano por ello =rp = 12(½) = 6. El número esperado de accidentes al año es = = 6. Como la varianza es la misma que la media, entonces = 6 . Finalmente P(X = 0 ) = e-6(6)0/0! = 0.60653
Ejemplo 106
Suponga que el número de reclamos que recibe cierta compañía telefónica, por semana, sigue una Ley de Poisson, de manera que la probabilidad de que ocurran dos reclamos es 2/3 de la probabilidad de que ocurra un reclamo. Calcular la probabilidad de que no ocurra ningún reclamo en tres semanas consecutivas.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de reclamos recibidos en una semana”. Como X tiene distribución de Poisson con parámetro , entonces p ( x)
e x . Por otro lado, puesto que P(X = 2 ) = x!
e 2 2
2 3
2 3
P(X = 1) entonces
e 1 de donde = 4/3. 1
Esto significa que el número de reclamos que la compañía telefónica reciba en un período de una semana es 4/3. Para responder a la pregunta definiremos otra variable Y que representa “El número de reclamos recibidos en tres semanas”. De acuerdo a lo dicho en el proceso poissoniano, Y tendrá también una distribución de Poisson con parámetro = rt = 3(4/3) = 4.
Por ello P(Y = 0 ) =
e4 40 e 4 0.018316 0!
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Ejemplo 107
Se estima que un libro de 400 páginas contiene 400 errores tipográficos repartidos aleatoriamente en todo el libro. Si se supone una distribución de Poisson, ¿cuál es el número de páginas que contienen ningún error? exactamente un error? más de dos errores? Si se seleccionan aleatoriamente 10 páginas de dicho libro, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas tenga errores? Que 8 páginas no tengan errores?
Solución Ante todo y de acuerdo a las primeras tres preguntas, definamos a X como “Número de errores por página”. Puesto que los errores se distribuyen por todo el libro, la probabilidad de que una página contenga un error de los 400 errores que hay, constituye la probabilidad de éxito p = 1/400, el cual guarda relación con la variable X. Por ello = np = 400(1/400) = 1 representa el número de errores por página del libro y es el parámetro de la distribución de X. Luego, como X se define como número de errores por página P( X = 0 ) = e-1 = 0.36789 con lo cual, El número de páginas sin errores = 400(0.36789) = 147.152 Como P(X = 1) = 0.36789 entonces, el número de páginas con un error = 147.152 Si P(X > 2 ) = 1 – P(X 2) = 1- e-1 (1 + 1 + 1/2) = 0.0803. Por tanto, el número de páginas con más de 2 errores será 400(0.0803) = 32.12
Definamos ahora a Y como el “Número de páginas sin error tipográfico”. Piense un poco en la forma cómo se define a X y para qué y también porqué debemos definir otra variable como Y, y por qué así.
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En este caso, como se eligen 10 páginas, y Y es el número de páginas sin error, la probabilidad de éxito: que una página no tenga error es p = P(X = 0) = 0.36789. Con este nuevo dato 10 P(Y 0) 0.367890 (1 0.36789)10 0.010184 0
10 P(Y 8) 0.367898 (1 0.36789)2 0.0060319 8
Ejemplo 108
Suponga que un libro de 585 páginas contiene 43 errores tipográficos. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro, ¿cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleccionadas al azar, no contengan errores?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “Numero de errores por página”. Según esto X puede tomar valores 0, 1, 2, ..., 43. La probabilidad de que un error caiga en una página es p = 1/585. Usando el proceso poissoniano, X P() donde = np = 43(1/585) = 43/585. Luego, la probabilidad de que una página tenga 0 errores es p(0) = P(X=0) = e(-43/585) =0.929 Por otro lado, para responder a la pregunta debemos definir otra variable tal como Y que represente: “Número de páginas sin errores”. Y de acuerdo a esta definición, la probabilidad de éxito será p = 0.929. Como por los datos Y B(n=10, p = 0.929), entonces 10
P(Y = 10) = (0.929)10 (1 0.929)0 0.4788 10
Ejemplo 109
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Suponga que un libro de 1000 páginas contiene 500 errores tipográficos. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 páginas, de 10 seleccionadas al azar, no contengan errores ¿Cuál es el número de páginas que no contienen errores? ¿Cuál es el número de páginas que contienen exactamente un error?
Solución Como en los dos ejemplos anteriores, definamos a X como la variable que representa “El número de errores por página”. Por ello su probabilidad de éxito es p = 1/1000; es decir, la probabilidad de que un error caiga en una página. Como son 500 los errores, definimos a = 500(1/1000) = 0.5 como el parámetro de la distribución de X(Poisson). Por ello, la probabilidad de que una de las 1000 páginas no contengan error es P(X = 0 ) = e-0.5 = 0.6065. Sin embargo, para responder a la pregunta en a) debemos definir otra variable Y que represente “Número de páginas que no contienen errores”. En cuyo caso, su probabilidad de éxito es p = P(X = 0) = 0.6065 y Y B(n = 10, p = 0.6065). Por tanto 10
P(Y = 2 ) = (0.6065)2 (0.3935)8 0.009515 2
El número de páginas que no contienen ningún error es 1000(0.6065) 607 Volviendo a la distribución de probabilidad de X, debemos hallar P(X = 1), el cual es P(X = 1 ) = e-0.5 (0.5) = 0.30325. Por lo que, el número de páginas que contengan exactamente un error será 1000(0.30325) 303
Distribución geométrica Sea un experimento. Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no de un evento, digamos A. Supongamos también que la probabilidad de que ocurra A es p, en cuyo caso diremos que ocurre éxito. Contrario a ello, q = 1 – prepresenta la probabilidad de la no ocurrencia de A, es decir, q es la probabilidad de fracaso.
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Si este experimento se realiza indefinidamente “hasta que ocurra A, por primera vez” y definimos a X como el “Número de veces que se repite el ensayo hasta obtener éxito por primera vez”, diremos que X tiene distribución Geométrica con parámetro “p” cuya función de probabilidad viene dada por p( x) P[ X x] p
q
x 1
, x 1, 2, 3, ...
Notación X G(p) significará que X es una variable aleatoria que tiene distribución geométrica con parámetro p
Teorema
Si X es una variable que tiene distribución Geométrica entonces
1 p
y
2
q p²
Ejemplo 110
Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución geométrica con parámetro p = 0.2. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: El rango de X , X es X = {0, 1, 2, 3, .....} El valor esperado de X es 2 La varianza de X es ¼ Como p = 0.2, el valor esperado de X² es 0.04 El 80% de los valores de X son mayores que 1
Solución Puesto que X representa el número de veces que se realiza el experimento hasta que ocurra el primer éxito, X no puede tomar valor 0. Luego la proposición es falsa De acuerdo al teorema, si E[X] = 1/p, y p = 0.2 entonces E[X] = 5. Es falsa la proposición Como V[X] = q/p² = 0.8/0.04 = 20. La proposición es falsa.
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Si V[X] = 20 y E[X] = 5 entonces E[X²] = V[X] + E[X]² = 25. Es falsa P(X > 1) = 1 – P(X = 1 ) = 1 – pq0 = 0.8. La proposición es cierta
Ejemplo 111
Un juego de dados consiste en lanzar el dado hasta que salga un número múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego en el quinto lanzamiento?
Solución Puesto que el experimento consiste en lanzar una moneda hasta obtener un 3 o un 6, definamos a X como “El número de veces que debe lanzarse el dado hasta obtener por primera vez un número múltiplo de 3”.
Si definimos el evento A como “Se obtiene un número múltiplo de 3” entonces A = {3, 6} por lo que p = P(A) = 1/3 es la probabilidad de éxito, de obtener un número múltiplo de 3. Luego por la definición de X diremos que tiene distribución geométrica X G(p=1/3). Para que ocurra A en el quinto lanzamiento del dado, entonces debe ocurrir el evento X = 5. Por ello P(X = 5) =
1 1 16 (1 ) 4 0.06584 3 3 243
Ejemplo 112
Se lanza el dado hasta que aparezca el 5. ¿Cuál es la probabilidad de que haya que lanzarlo más de 6 veces?
Solución
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Como en el ejemplo anterior, sea X la variable aleatoria definida como el “Número de veces que se debe lanzar el dado hasta que aparezca el 5”. Aquí, X G(p = 1/6), por lo que debemos encontrar la ocurrencia del evento “X > 6”. P(X>6) = 1 – P(X 6) = 1 -
6
x 1
1 5 5 ( ) 6 6
1 0.55425 0.445748
Ejemplo 113
En una población muy grande el 25% de las personas tienen ojos azules. Si se escogen aleatoriamente voluntarios de esta población, uno cada vez, hasta escoger a un voluntario de ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que la quinta persona sea la primera que tiene ojos azules? ¿Cuál es el número esperado de personas escogidas? Solución Sea A el evento “La persona escogida tiene ojos azules”, Si p es la probabilidad de éxito, entonces p = P(A) = 0.25. Si definimos a X como “El número de veces que debe repetirse el experimento hasta escoger a la primera persona de ojos azules”, entonces X G(p = 0.25).
Pedir que la quinta persona se la primera con ojos azules significa que el experimento se repite hasta que en el quinto se obtiene éxito. Luego P(X = 5) = 0.25(0.75)4 = 0.0791 El número esperado de personas escogidas es E[X] = 1/p = 1/0.25 = 4
Ejemplo 114
La máquina A produce el 5% de piezas defectuosas, mientras que la máquina B produce el 10%. Si se extraen piezas de la producción de cada una de ellas, alternativamente, hasta encontrar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de
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que de la producción A tenga que extraerse exactamente 4 piezas y de la producción B, exactamente 6 piezas?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción A hasta obtener una defectuosa” y sea Y la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción B hasta obtener una defectuosa” Sea A el evento “Extraer una pieza defectuosa de A en la cuarta extracción” y B el evento “Extraer una pieza defectuosa de B en la sexta extracción” Según el problema, debemos encontrar P(A B). X es una variable con distribución geométrica de parámetro pA = 0.05 y Y tiene también una distribución geométrica con parámetro pB = 0.10. Luego P(A) = p(4) = P(X = 4) = 0.05(0.95)3 = 0.04286875 P(B) = p(6) = P(Y = 6) = 0.10(0.90) 5 = 0.059049 Con lo cual P(A B) = 0.002536 Ejemplo 115
En una población estudiantil que se reúnen todas las mañanas en el patio, se encuentra que, en un día determinado, los 2/3 de los alumnos están ausentes debido a una epidemia en la zona. Si el Profesor Díaz Cubas pasa lista en su sección de 25 alumnos y definimos a X como el número de alumnos que deben ser llamados hasta encontrar a uno conteste presente, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño llamado sea el primero que responda presente? Calcular P(X 2).
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38. Tres tiendas de repuestos venden cierto tipo de autopartes. El vendedor A provee el 50 %, el vendedor B, el 40% y el vendedor C, el 10%. Si se seleccionan aleatoriamente 5 autopartes del suministro total y se les someten a prueba para ver si están defectuosos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 los haya proporcionado el vendedor A? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean de A, dos de B y uno de C?
39. El 30% de los alumnos de una universidad local son del primer año, 30% del segundo, 20% del tercero y 20% del cuarto año. De una lista general se toma una muestra aleatoria de 8 estudiantes. Calcule la probabilidad de que en esa muestra resulten a) dos alumnos de cada año b) tres del primer año, tres del segundo, dos del tercero y ninguno del cuarto
40. Una serie de ocho lámparas se conectan de tal forma que si una de ellas falla, el sistema no funcionará. Si dos lámparas fallan: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera que se inspeccione sea la que haya fallado? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar las dos que fallan si se inspeccionan cuatro de ellas? c) ¿Cuántas lámparas se deben inspeccionar para tener un 70% de probabilidad de encontrar las dos lámparas defectuosas?
41. Siete alumnos de una determinada asignatura no ha expuesto aún su tema. El profesor debe seleccionar a dos de ellos para la exposición de hoy. Sin embargo, uno de ellos se disculpa por no estar preparado debido a problemas familiares. El profesor conviene en ello, pero no puede recordar quién es este alumno. Cuál es la probabilidad de que el alumno que se disculpó no sea escogido, suponiendo una selección aleatoria de entre los siete?
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42. El diez por ciento de las plantas que se adquieren en el vivero local mueren generalmente antes de dar fruto. a) Si se compran 10 plantas, ¿cuál es la probabilidad de que no muera más que una, antes de dar fruto? b) ¿Cuál es el menor número de plantas que se deben comprar si se quiere tener el 95% de seguridad de que 10 ó más no morirán antes de dar fruto?
43. La probabilidad de que un solo billete de lotería sea premiado es de 1 en 1000. Si una persona desea comprar 50 billetes, ¿cuál es la probabilidad de que con ninguno gane?
44. Se sabe que los defectos en rollos de papel tapiz se aproximan mediante una distribución de Poisson con una media de 2 defectos por cada 10 metros de rollo. Si se compra la mitad de un rollo, ¿cuál será la probabilidad de encontrar más de un defecto?
45. De acuerdo con las estimaciones de una compañía de seguros, la probabilidad de que se registre un incendio en una casa es del 1% al año. La compañía llega a asegurar 400 casas a) Si muchos de los asegurados viven en casas adyacentes, por qué invalidaría esto el uso de la distribución binomial o de Poisson? b) Suponga que los asegurados están suficientemente separados entre casa y casa. ¿cuál es la probabilidad de que no se registren incendios? ¿Al menos uno?
46. Suponga que el 5% de las facturas de venta de una compañía presentan errores en las especificaciones del material o en los números del catálogo, si se examinan cuidadosamente una muestra de 15 facturas, cual es la probabilidad de encontrar uno o menos con estos errores?. ¿Cuántas facturas se espera encontrar con estos errores?
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47. Debido a la naturaleza destructiva de la verificación del estado de una tubería a prueba de explosiones, se inspecciona una muestra de partes bastante pequeña. Si de una remesa de 20, una parte está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre ésta, si se toma una muestra de 4 partes?
48. Suponga que el 20% de los adultos que viven en una ciudad nacieron allí, que el 25% nacieron en el estado pero no en la ciudad y que el 40% nacieron en el país pero no en ese estado y que el resto nacieron fuera del país. Si se toma una muestra de cuatro adultos ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra estén representados cada uno de los 4 casos?
49. La probabilidad de que una casa se incendie en cierta área es de 0.002. El costo del daño promedio, causado por dicho incendio es de $ 20,000. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el propietario de una casa por un seguro contra incendio?
50. En una escuela superior de turismo hay 25 alumnos: 14 hombres y 11 mujeres. Cinco de ellos faltaron el jueves de la presente semana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los ausentes fueran alumnas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no hubiera alumnas ausentes?
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13.11 DISTRIBUCIONES CONOCIDAS: CASO DE VARIABLE CONTINUA
Distribución uniforme Sea X una variable aleatoria continua definida sobre el intervalo (a, b). Diremos que X es una variable aleatoria que tiene Distribución Uniforme sobre el intervalo (a, b) y lo denotaremos por XU(a,b) y su función de densidad de probabilidad será 1 , f ( x) b a 0
a xb otros
Observaciones f 1 ba
a
b
Figura 4.25
1. La figura 4.25 muestra la gráfica de la distribución uniforme 2. Su distribución acumulada La función de distribución acumulada F de una variable que se distribuye uniformemente es 0 xa F ( x) b a 1
xa a xb xb
El programa Excel no dispone de alguna herramienta para la distribución Uniforme; sin embargo podemos hacer uso de la distribución acumulada para evaluar probabilidades referidas a la distribución uniforme. Veamos: Si X U(a, b) entonces 𝑃(𝑋 < 𝑘) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) =
𝐤−𝐚 𝐛−𝐚
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Teorema Si X es una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre el intervalo (a, b) entonces
ab 2
(b a)
2
2
12
Ejemplo 121
Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre el intervalo (10, 20). Diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: a) El espacio rango de X es (0, + ) b) El valor esperado de X es 15 c) La desviación estándar de X es 15 d) El valor esperado de X² es mayor que 15 e) El 80% de los valores de X son superiores a 18
Solución a) De acuerdo a la definición si X tiene distribución uniforme sobre (10, 20) 1 , entonces su función de densidad viene dada por f ( x) 10 0
10 x 20
como
otros
tal, su espacio rango es el conjunto RX = {x / 10 x 20 }. Por lo que la proposición es Falsa. b) Puesto que E[X] =
ab entonces E[X] = 15. La proposición es Verdadera. 2
c) Sabemos que V[X] =
b a ² . La desviación estándar = 2.887. Luego la X 12
proposición es Falsa. d) E[X²] =
20
x² 10 dx 3x10 x ) 10
1
1
3 20 10
700 . 3
Esto implica que E[X²] > 15. Luego es
Verdadero
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e) “El 80% de los valores de X son superiores a 18” se interpreta matemáticamente como que P(X > 18 ) = 0.80. Veamos si esto es cierto: P(X > 18) = 1 – F(18) = 1 -
18 10 1 0.8 0.2 La 10
proposición es Falsa.
Ejemplo 122
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme sobre el intervalo (-2, 2). Calcular: P(-1 < X 1)
a) P(X < 3/2 )
b) P( | X | > 3/2 ) P( | X - | 1) c) P( - 2 X + 2 )
Solución Como X es una variable aleatoria con distribución uniforme sobre (-2, 2), entonces su función de densidad viene dada por 1 f ( x) 4 0
2 x2 otros
Según esto 3/ 2
a) P( X < 3/2 ) =
2
P( -1 < X 1 ) =
1 3/ 2 2 7 dx 4 4 8 1
4 dx 4 x 1
1
1 1
1
1 2
b) P( | X | > 3/2 ) = P( X < -3/2 ó X > 3/2 ) = P(X < -3/2 ) + P(X > 3/2) 3 / 2
=
2
1 dx 4
2
1
1
3
1
3
1
4 dx 4 ( 2 2) 4 (2 2 ) 4
3/ 2
Para hallar P( | X - | 1) debemos tener el valor de . Como = E[X] =
ab , entonces 2
=0
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Luego P( | X - | 1) = P( | X - 0 | 1) = P( | X | 1 ) = P( -1 < X 1 ) =
1 2
c) Obtención de la desviación estándar, :
b a 2 , entonces =
Como ² = V[X] =
12
16 1.155 12
Con lo cual P( - 2 X + 2 ) = P(0 – 2(1.155) X 0 + 2(1.155)) = 1 ya que P(0 – 2(1.155) X 0 + 2(1.155)) = P(-2.31 X 2.31 ) =
2.31
1 dx 4
2.31
2
1
4 dx 1
2
Ejemplo 123
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (-a, a) , donde a > 0. Cada vez que sea posible, determinar a, de manera que se cumpla lo siguiente: a) P( | X | > 1 ) = P( | X | < 1 ) b) P( X > 1 ) =
1 3
1 2
c) P(X < ) = 0.7
Solución a) Si P( | X | > 1 ) = P( | X | < 1 ) entonces 1 - P( | X | 1 ) = P( | X | < 1 ). Simplificando y “despejando la incógnita”, tenemos P( | X | 1 ) = 0.5. Esto significa que
xa ba
1
b) Si P( X> 1 ) = =
1
1 2a
1 3
entonces
1 2
dx 0.5 .
Luego
2 1 ; de donde obtenemos a 2 2a 2 2 3
entonces P( X 1) . Como por otro lado sabemos que F(x) 1 a 2 2a 3
de donde a = 3. 1 2
c) P(X < ) = 0.7 implica que F ( ) 0.7 de donde a = 10/8 = 1.25
Ejemplo 124
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Isabel Ventura es una eficiente y preocupada gerente de operaciones de una aerolínea local. Sus investigaciones sobre el servicio de vuelos en la ruta Lima Miami – Lima indican que se ha incrementado considerablemente debido a una fuerte promoción al turismo. Puesto que este servicio depende de la ruta Lima – Cuzco, que también la cubre, el incremento observado puede verse afectado si el tiempo de vuelo entre Lima y Cuzco se incrementa. Ella sabe que el tiempo de vuelo en esta ruta sigue una distribución uniforme con un promedio de 1.5 horas. Sabe además que la diferencia entre el mayor y menor tiempo que puede tardar un vuelo en esta ruta, es de 20 minutos. En la idea de mejorar sus servicios
a) ¿Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos? b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado en la ruta nacional, ¿cuál es el tiempo máximo para que un vuelo no llegue retrasado?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que tarda un vuelo entre Lima y Cuzco”. Puesto que X tiene distribución uniforme, supondremos que el intervalo sobre el cual está definida su función de distribución f , es (a, b); valores que debemos determinar ante todo. Como el promedio del tiempo de vuelo es 1.5 horas, entonces
ab 3 , de donde 2 2
a+b=180, expresado en minutos. Por otro lado, se sabe que b – a = 20 minutos. Recordando nuestros viejos métodos de solución de sistemas de ecuaciones encontramos a = 80 y b = 100, por lo que la función de densidad de X es f(x) = 1/20 con 80 X 100. Ahora resolvamos las preguntas. a) Usando la función de distribución acumulada de X, P(84 X 96 ) = 96 84 0.6 20
b) Un vuelo no llegará retrasado si su tiempo de vuelo, X es menor que un valor, digamos K. Esto ocurre con la probabilidad P( X< K) y como se desea que esto sea sólo el 5%, entonces P( X < K ) = 0.05, de donde
k 80 0.05 . 20
Por
tanto, el máximo valor de K será de 81 minutos.
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Ejemplo 125
La Agente de corretajes “ISA” recibe de sus clientes un pago fijo de $ 1200 más una comisión del 8% sobre el beneficio que obtiene el cliente en cada transacción realizada por la agencia. Si este beneficio varía por lo general entre $ 10,000 y $ 12,000 a) ¿Cuánto espera obtener de utilidad la agente ISA? b) ¿Cuál es la probabilidad de que su utilidad supere los $ 2,100?
Solución Sea X la variable aleatoria que representa “El beneficio obtenido por el cliente(en unidades de 10,000)”. Puesto que X se distribuye uniformemente entre 1 y 1.2 entonces su función de densidad viene dada por 1 f ( x) 0.2 0
1 x 1.2 otros
Definamos también a Y como “La utilidad de la agente ISA”. Según el problema Y = 1200 + 0.08X. a) E[Y] = E[1200 + 0.08X] = 1200 + 0.08E[X] Como X tiene distribución uniforme entonces E[X] = 1.1 Luego E[Y] = 1200 + 0.08*1.1x10000 = 2080. La agencia “ISA” espera obtener una utilidad de $ 2080. b) Debemos encontrar P( Y > 2100). Recordemos que esta probabilidad podemos hallarla usando la función de distribución de Y, pero como esta no es conocida, y no deseamos obtenerla, usaremos el procedimiento acostumbrado: Reemplazar la definición de Y y despejando X, resolveremos la probabilidad para X, ya que conocemos la función de distribución de X. En efecto
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P(Y > 2100 ) = P( 1200 + 0.08X > 2100) = P(0.08X > 900). Como X está en unidades de diez mil, para usar las mismas unidades en ambos lados de la inecuación tenemos P(0.08xXx10000 > 900 ) = P(X > 9/8) = P(X > 1.125) = 0.375
Ejemplo 126
El tiempo medio en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estación de trenes es un fenómeno aleatorio que obedece una ley de distribución uniforme, en el intervalo de 20 a 25 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estación a las 7:28 a.m. en punto, si sale de su casa exactamente a las 7:05 a.m.? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que la persona tarda en de su casa a la estación”. Como X se distribuye uniformemente en el intervalo (20, 25), entonces su función de densidad de probabilidad es f ( x)
1 5
20 x 25.
Si sale de su casa a las 7:05 y el tren sale de su estación a las 7:28 entonces el tiempo que se tarde en llegar a la estación debe ser menor que 23 minutos; es decir, X < 23. La probabilidad de que esto ocurra es P(X k ) = 1 – P(X k ) = 1 – F(k) = 1 – ( 1 P( a< X b ) = F(b) – F(a) = 1 -
b
e
-(1-
k
e
a
e
k
)=
e
)=
e
a
-
b
e
Teorema Si X es una variable aleatoria con distribución exponencial, de parámetro , entonces = 1/ ² = 1/²
Usando MS Excel:
La función que permite resolver preguntas referidas a la distribución exponencial es: P(X ≤ x) = Distr.Exp(x,,opción)
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Donde opción puede ser Verdadero ( 1) si se desea usar la distribución acumulada.
Ejemplo 128
La vida útil (en cientos de días) de ciertos repuestos para vehículos es una variable aleatoria que se distribuye exponencialmente con parámetro 2/3. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un repuesto de este tipo dure entre 110 y 130 horas? b) Cuántos días durará un repuesto en el 90% de las veces? c) ¿Cuántos días se espera que dure este tipo de repuesto? d) Un perito inspecciona 5 repuestos de este tipo, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos dure menos de 150 días?
Solución Sea X la variable aleatoria que representa “La vida útil de dicho repuesto”. Como X tiene distribución exponencial de parámetro 2/3, entonces = 2/3, con lo cual la función de densidad de probabilidad será 2 23 x , f ( x) 3 e 0
x0 otros
Vamos a obtener la función de distribución acumulativa F para luego trabajar con ella. F(x) = P(X x ) = 1 -
e
2 x 3
Según esto debemos hallar a) P(110 x 130 ) = F(130) – F(110) = 1 -
2 (1.3) 3
e
-(1-
2 (1.1) 3
e
) = 0.244= 0.05995
Usando Excel: =Distr.Exp(1.3,2/3,1)-Distr.Exp(1.1,2/3,1)
b) De acuerdo a los datos tenemos P(X > c) = 0.90 Debemos encontrar c tal que se cumpla la igualdad. Usando la distribución acumulada, tenemos
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P(X > c) = 1 – P(X c) = 1 – F(c) = 1 – ( 1-
( 2 / 3) c
e
( 2 / 3) c
)e
. Igualando a 0.90 y
tomando logaritmo neperiano a ambos miembros tenemos: c = -(3/2)Ln(0.90) de donde c = 0.158 ; por lo que el repuesto puede durar hasta 6 días aproximadamente.
c) Puesto que X representa la vida útil del repuesto en cientos de días, E[X] representa el tiempo esperado de vida útil. Y como E[X] = 1/, entonces E[X] = 3/2 = 1.5 cientos de días; es decir el número de días que se espera que dure este repuesto es de 150 días. d) Por la naturaleza de la pregunta podemos definir a la variable Y como el “Número de repuestos cuyo tiempo de vida es inferior a 150 días”. Y puesto que se selecciona 5 repuestos, n = 5 y la probabilidad de éxito es p = P(X < 150 ). Lo que tenemos es que Y es una variable cuya distribución de probabilidad es Binomial con parámetros n = 5 y p = P(X < 150). Hallemos primero p: p = P(X < 150) = F(150) = 1 -
2 (1.50) 3
e
= 0.6321
5 Luego P(Y = 2 ) = (0.6321)²(0.3679) 3 = 0.1990 2
Ejemplo 129
El tiempo de vida de una batería tiene distribución exponencial, con una desviación estándar de 6 horas. La utilidad por batería es el 20% de su costo C de fabricación cuando el tiempo es mayor que 6 horas; mientras que si dura menos de 6 horas, se pierde el 10% de su costo C. Para qué valor de C se tiene una utilidad esperada mayor que 0.1 por batería?
Solución Sea Y la variable aleatoria definida como la utilidad por batería. Según el problema, Y se define como
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x6 x6
0.20C Y 0.10C
Decir que la utilidad esperada deba ser mayor que 0.1 por batería significa que E[Y] > 0.1. Será suficiente encontrar un valor de C tal que E[Y] = 0.1. De acuerdo a la definición de Y, tomando valor esperado a Y, tenemos E[Y] = 0.20CP(X 6) + (-0.10C P(X < 6) = 0.20C(1-P(X s ) = P(X > t ). En este caso, según el problema s = 800 , t = 400, por lo que, aplicando la propiedad tendremos P( X 800 400 / X 800) P( X 400) 1 F (400)
0.4
e
0.67032
Verifiquemos esto: P( X 1200 X 800) P( X 1200) P( X 800 400 / X 800) P( X 800) P( X 800)
1.2
e e
0.8
0.67032
Ejemplo 133
Considere unos focos producidos por una máquina, de los que sabemos que su duración X, en horas, es una variable aleatoria con distribución exponencial y una media de 1000 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 5 focos no contenga focos con duración menor que 1020 horas? b) Supongamos ahora que la muestra de 5 focos se coloca en una caja. Si se selecciona aleatoriamente un foco de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que el foco seleccionado tenga una duración mayor a 1020 horas?
Solución
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Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo de vida un foco producido por esa máquina”. Como X se distribuye exponencialmente con X = 1000, entonces = 1/1000 con lo cual f ( x)
1 1000
e
1 x 1000
x0
a) Como se tiene una muestra de 5 focos, n = 5. Según la pregunta debemos hallar la probabilidad de que ninguno de estos focos tenga una duración menor a 1020 horas. Esto nos obliga a definir otra variable, digamos Y como “El número de focos cuya duración sea menor a 1020 horas”. La probabilidad de éxito para una ocurrencia particular de Y es
p = P(X 1020) = 1 – P(X1020) = 0.3606
Relación entre la distribución Exponencial y Poisson Sea X la variable aleatoria definida como “El número de éxitos obtenido en un período de tiempo t” Sea el parámetro que representa “El número de esperado de éxitos obtenidos por unidad de tiempo”. Esto significa que, en t unidades de tiempo, el número esperado de ocurrencias será t , por ello, la distribución de probabilidad de X, así definida será
p(x) = P(X = x ) =
t x et x!
,
x 0, 1, 2, ... ,
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Si ahora definimos a la variable aleatoria Y como “La longitud de tiempo entre la primera y segunda ocurrencia de un evento”, entonces Y es una variable aleatoria continua cuyo espacio rango el conjunto Y = {y / y 0 } y que se distribuye exponencialmente con función de densidad dada por y
f(y) = e
y0
0
otros
Ejemplo 134
En un conmutador telefónico se reciben llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con parámetro 5 por hora. Si hay una persona en el conmutador, ¿cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 15 minutos antes de la siguiente llamada? ¿De que no pasan más de 10 minutos? Si ya han transcurrido 10 minutos desde la última llamada, ¿cuál es la probabilidad de que transcurran a lo más 5 minutos más para la siguiente llamada?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de llamadas telefónicas llegadas a dicho conmutador por hora”. Por la forma de la definición de la variable, podemos decir que X tiene distribución de Poisson con parámetro = 5. Sea Y la variable aleatoria definida como “El tiempo transcurrido antes que llegue la segunda llamada”, entonces Y tendrá distribución exponencial con parámetro = y. y
Es decir f(y) = e
,
y0
A la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 15 minutos (0.25 horas), antes de la siguiente llamada?, respondemos encontrando la probabilidad de { Y / Y > 0.25 }; es decir, P(Y > 0.25 ) = 1 – F(0.25) = 1 – (1 -
5( 0.25)
e
)
1.25
e
0.2865
La probabilidad de que no pasen más de 10 minutos( 1/6 horas) es
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P(Y 1/6 ) = F(1/6) = 1 -
5(1 / 6)
e
0.5654
La última pregunta hace referencia a una probabilidad condicional. Para ello las conversiones de minutos a horas son: 15 minutos = 1/4 horas; 10 minutos = 1/6 horas. Por ello debemos encontrar P(Y 5/12 / Y > 1/6 ) P(Y 5/12 / Y > 1/6 ) =
P(1 / 6 Y 5 / 12) F (5 / 12) F (1 / 6) 0.5169 5 / 6 P(Y 1 / 6)
e
Ejemplo 135
El tiempo (en años) que un satélite permanece en el espacio es una variable aleatoria exponencial T, cuya función de distribución acumulada está dada por F(t) = 1 -
0.5t
e
, t0
Hallar la probabilidad de que un satélite permanezca en el espacio entre uno y tres años ¿Cuál es la probabilidad de que un satélite permanezca en el espacio más de cuatro años? Si se lanzan tres satélites simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno permanezca en el espacio más de cuatro años?
Solución Sea T la variable aleatoria que representa el “Tiempo que un satélite permanece en el espacio”. T tiene distribución exponencial con parámetro = 0.5, según los datos. Puesto que tenemos la función de distribución acumulada de T, usaremos a esta para responder a las preguntas 0.5(3)
P( 1 T 3 ) = F(3) – F(1) = 1 e
(1
0.5(1)
e
) 0.3834
Permanezca más de 4 años significa encontrar. P( T > 4 ) =
0.5( 4)
e
0.1353
En este inciso observamos las siguientes características: Número de veces que se realiza el experimento (nro. de satélites) n = 3 Probabilidad de éxito p = P(el satélite permanezca más de 4 años) = 0.1353 La permanencia de los satélites más de 4 años o no son eventos independientes. Página 444 de 800
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Con estas característica, si definimos a X como el “Número de satélites que permanecen más de 4 años”, diremos que X tiene distribución Binomial con parámetros n = 3 y p = 0.1353 ( B(3, 0.1353) ). Si definimos ahora el evento A: Por lo menos uno permanezca más de 4 años, entonces debemos hallar P(A) = P( X 1 ) = 1 – P( X < 1 ) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0.13530 (0.8647)3 = 0.35345
Ejemplo 136
Suponga que el tubo de imagen plana de un determinado tipo de televisor tiene una longitud de vida X (en años), la cual es una variable aleatoria exponencial con una vida media de 5 años. Si el costo de fabricación de un tubo para estos televisores es de $ 40.0 y el fabricante vende a estos tubos a $ 75.0, garantizando un reintegro total si el tiempo de vida del tubo es menor a 4 años, cuál es el beneficio esperado por tubo del fabricante?
Solución X es una variable exponencial definida como el tiempo de vida del tubo. Como en el caso de una distribución exponencial = 5 = 1/, entonces = 0.2. Por otro lado, sea Y el beneficio del fabricante. Según el problema 75 40
Y= 0 40
X 4 X 4
Tomando valor esperado tenemos E[Y] =35 P(X > 4)+(-40)P(X 4) = 35(1 - P( X 4) – 40 P( X 4) = 35 – 75 P( X 4)
De donde E[Y] = - 6.30. Esto significa que el fabricante espera tener una pérdida de $ 6.30 por tubo. Ejemplo 137
Supongamos que X representa el tiempo de vida (en unidades de 1000 horas) de un determinado producto, el cual se considera como una variable aleatoria con función de densidad dada por
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mx ,x 0 m e f ( x) otros 0
Donde m representa el factor de producción. El tiempo promedio de vida del producto es de 2000 horas. a) Suponiendo que el costo de fabricación de tales productos es de $ 2.0, y el fabricante los vende por $ 5.0, pero garantiza un reembolso total si el tiempo de vida es, a lo más 900 horas. ¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante? b) Si ahora se selecciona cinco de estos productos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga por lo menos cuatro productos con tiempo de vida, a lo más, 900 horas?
Solución Sea X la variable aleatoria definida como el “Tiempo de vida del producto”. Como X se distribuye exponencialmente, con una media de 2000 horas, entonces 1/ = 2000; de donde = 1/2000. Y puesto que m es el factor de producción y además coincide con , entonces la función de densidad de X es f ( x)
1 2
1 x 2
e
x 0 (recuerde que X está en
miles). La función de distribución acumulada de X es F(x) = 1 -
e
1 x 2
.
a) Sea U la utilidad del fabricante. De acuerdo a los datos, la utilidad es de (5-2) por producto siempre que el tiempo de vida, x es mayor que 900 (0.9 miles) será de (02) cuando x es menor a 0.9 puesto que el producto se devuelve, en cuyo caso sólo hay costo. La función que define a U es 5 2 U 2
Si x 0.9 Si x 0.9
Luego el valor esperado de U será E[U] = 3P(X > 0.9) + (-2)P(X 0.9 ) = 3(1-P(X 0.9 ) –2P(X 0.9) = 3 – 5 F(0.9) E[U] = 3 – 5(1 -
1 ( 0.9) 2
e
) = 1.188.
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Según esto, la utilidad que el fabricante espera obtener será de $1.188 c) En este caso se trata de obtener una muestra de 5 productos ( n = 5). Definamos a la variable aleatoria Y como “El número de productos cuyo tiempo de vida no sobrepasan las 900 horas”. De acuerdo al problema, Y se distribuye binomialmente con parámetros n = 5 y p; es decir Y B(5, p), donde p = P(X 0.9 ) = 0.3624 Si A es el evento: “Obtener por lo menos 4 productos con tiempo de vida a lo más de 900 horas”, entonces 5
4
1
5
5
P(A)=P(Y4) = p(4) + p(5)= (0.3624) (0.6376) (0.3624) =0.0612 4 5
Distribución normal
Sea X una variable aleatoria continua con -< X 21)
e) P(| X – 5 | < 5 )
f) P(|X - 5| < 10)
g) P(| X – 5 | > 14.8
Distribución normal en MS Excel Para obtener: P(X ≤ a) = Distr.Norm(a,μ,σ,opción), donde opción = 1 o Verdadero para usar la distribución acumulada. P(X ≥ a) = 1 - P( X < a ) = Distr.Norm(a,μ,σ,1)
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P(a ≤ X ≤ b) = Distr.Norm(b,μ,σ,1)-Distr.Norm(a, μ,σ,1) Si se trata de hallar c tal que P(X ≤ c) = α, se debe usar: =Distr.norm.inv(α,μ,σ)
Solución Si X N(5, 25), entonces = 5 y ² = 25 de donde = 5. Resolvamos cada pregunta: P(5 X 12 ) = P( 555
X
1156 ) P(0 Z 1.2) (1.2) (0) 0.8849 0.5 0.3849
P(0 X 8) P( 055
X
855 ) P(1 Z 0.6) (0.6) (1) 0.7257 (1 0.8413) 0.5670
La tabla que usa Paul Meyer da valores de probabilidad para valores de Z negativos. P(2 X 0) P( 255
X
0 5 ) 5
P(1.4 Z 1) (1) (1.4) (1.4) (1) 0.0779
Aquí hemos usado (-1.4) = 1-(1.4) y (-1) = 1 - (1). P( X 21) P(Z
215 ) 5
P(Z 3.2) 1 P(Z 3.2) 1 (3.2) 1-0.9993
= 0.0007
Ejemplo 139
Suponga que X tiene una distribución N(2, 0.16). Evalúe las siguientes probabilidades: a) P(X 2.3)
b) P(1.8 X 2.1)
Solución Si X N(2, 0.16) entonces = 2 y ² = 0.16 de donde = 0.4. P(X 2.3) = 1- P(X < 2.3) = 1 P( X 2.03.42 ) 1 P(Z 0.75) (0.75) 0.7734 P(1.8 X 2.1) = P( 1.08.42
X
2.1 2 ) 0.4
P(0.5 Z 0.25) (0.25) (0.5)
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De acuerdo a la tabla (0.25) =0.5987. Como por otro lado (-0.5) = 1- (0.5) entonces (-0.5) = 1 – 0.6915 = 0.3085. Luego P(1.8 X 2.1) = 0.5987 – 0.3085 = 0.2902
Ejemplo 140 Si X N(25,36), determinar la constante c de tal manera que P(|X-25| c ) = 0.9544
Solución Si X N(25,36) entonces = 25 y = 6. Usando las propiedades de valor absoluto en desigualdades, tenemos P(|X-25| c ) = P( -c X – 25 c ) . Dividiendo entre , obtenemos P( 6c
X 25
6c ) P( 6c Z 6c ) ( 6c ) ( 6c ) 2( 6c ) 1 .
Puesto que esta diferencia es igual a 0.9544 entonces 2( 6c ) 1 0.9544 de donde ( 6c ) 0.9772
Debemos hallar el z0 de la tabla para el cual (z0 ) = 0.9772 Este valor es z0 = 2. Luego c 6
z
0
2 de donde c = 12.
Ejemplo 141
Si X es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con parámetros 3 y 4, hallara el valor de k si P(X k ) = 2 P(X < k).
Solución Si X N(3,4) entonces = 3 y = 2. Por ello P( X k ) 2P( X k ) 1 P( X k ) 2P( X k ) P( X k )
1 3
.
Pasando
a
Z,
tenemos que P(Z k 23 ) 0.3333 de donde ( k 23 ) 0.3333 . Como el área es menor que 0.5, el z que nos dé la tabla deberá ser negativo. Esto quiere decir que si se usa una tabla que muestra valores para z positivos, luego de encontrar el valor de z buscado, se debe
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cambiar de signo. Por esta razón, si ( k 23 ) 0.3333 y el valor de z que da la tabla es – 0.43, entonces
k 3 2
0.43 de donde k = 2.14
Ejemplo 142 Los tubos fabricados por cierta máquina tienen un diámetro medio de 9.8 mm, con una desviación = 0.53 mm. ¿Qué porcentaje de tubos será rechazado, si no se aceptan diámetros inferiores a 9.0 mm? Asuma que los diámetros tienen una distribución normal.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “La longitud del diámetro de un tubo”. Sea A el evento definido como “Longitud de diámetro inferior a 9.0 mm”; es decir A = {X/X 0.025}. Y la probabilidad de que ocurra este evento es P(A) = 1- P(-0.025X-0.025) de donde P( A) 1 P( 00..025 Z 02
0.025 ) 0.02
1 P(1.25 Z 1.25) 1 (2(1.25) 1) 1 0.7888 0.2112
Ejemplo 144
Suponiendo que la duración de los instrumentos electrónicos D1 y D2 tienen distribuciones N(40,36) y N(45, 9), respectivamente. ¿Cuál debe preferirse para usarlo durante un período de 45 horas? ¿Cuál debe preferirse para usarlo durante un período de 48 horas?
Solución Analicemos un poco los datos: La desviación en el primero es igual a 6 horas(supondremos horas ya que el problema no lo dice) mientras que en el segundo es de 3 horas. Tanto el período de 45 horas como el de 48, presentan menor diferencia de medición, respecto a su promedio. Al dividir estas diferencias entre la desviación(para obtener Z) tendremos valores z0 de Z, para los cuales, P(Z < z0 ) será menor en el segundo tipo de instrumento, con lo cual preferiremos a éste. Bueno y qué tanto de razón tendremos en nuestra “sospecha lógica”? . Observe y analice la siguiente figura.
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Figura 4.32
Analíticamente: Si D1 N(40,36) entonces 1 = 40 y 1 = 6. Del mismo modo, si D2 N(45, 9) entonces 2 = 45 y 2 = 3. Se debe preferir aquel instrumento cuya probabilidad de duración en el período de 45 ó 48 horas sea mayor. Para averiguarlo, vamos a encontrar P(D1 < 45 ) y P(D2 < 45); y lo mismo haremos con el período de 48 horas. Veamos en el caso del período de 45 horas P(D1 45 ) P( Z P(D 2 45 ) P( Z
45 40 ) (0.833) 6 45 45 ) (0) 0.5 3
0.7967
Según esto, es más probable que el segundo instrumento dure menos 45 horas En el caso del período de 48 horas: P(D1 48 ) P(Z
48 40 ) 6
(1.333) 0.9082
P(D1 48 ) P(Z
48 45 ) 3
(1) 0.8413
Como en el primer caso, también aquí debemos preferir al segundo instrumento. Nuestra “sospecha lógica” estaba bien fundamentada.
Ejemplo 145
En un examen de suficiencia para ingresar al doctorado se tiene como calificación media la nota de 11 con una desviación igual a 2. Si se desea desaprobar al 40% de los examinados, ¿cuál debe ser la máxima calificación desaprobatoria?
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Solución Sea X la calificación obtenida por un postulante. Según el problema, X N(11, 4). Por ello = 11 y = 2. Sea X0 la calificación máxima para desaprobar el examen. De manera que si X X0 el postulante desaprobará y P(X X0 ) es la probabilidad de que este evento ocurra. Si queremos que el 40% desapruebe, entonces debemos hallar el valor de X0 tal que P(X X0 ) = 0.40. Esto significa que P( X X 0 ) P(Z
X 0 11 ) 2
0.40 .
El valor de Z0 para el cual se tiene un
área igual a 0.40 es Z0 = -0.2575 (recuerde que siendo el área menor a 0.5 el Z que le corresponda será negativo y por otro lado, le rogamos que lea la nota para una adecuada aproximación de Z si la tabla no muestra el área que buscamos). Continuemos: igualando el valor encontrado con Z0 , tenemos
X 0 11 2
0.2575 de
donde
X0 = 10.485. Luego la máxima calificación que debe considerarse para desaprobar el examen es 10.485
Ejemplo 146
Un ictiólogo esté interesado en estimar cuánto tiempo puede sobrevivir cierto tipo de pez de mar en aguas del río Amazonas. Luego de una serie de experimentos llega a estimar que la vida media de este tipo de peces alcanza los 210 días después de haber sido colocado en el agua del río, con una desviación estándar de 40 días. El ictiólogo estima que la distribución de los días vividos es normal. Un pez particular ha sobrevivido 230 días, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva más de 240 días?
Solución Supongamos que X representa “El número de días vida de cierto pez en las aguas del Amazonas”. Por los datos del problema X N(210,1600), por lo que = 210 y = 40. Sea A el evento “Un pez particular ha vivido 230 días” y B, el evento “Que dicho pez sobreviva 240 días”. Por la forma cómo se plantea la pregunta, debemos encontrar P(B/A), ya que es sabido de antemano que dicho pez ha sobrevivido los primeros 230 días. Página 456 de 800
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P( B / A)
P ( A B ) P ( A)
P ({ X 230}{ X 240}) P ({ X 230})
P ( X 240) P ( X 230) .
Evaluaremos estas probabilidades por separado:
P( X 240) P(Z
240 210 ) 40
P(Z 0.75) 1 (0.75) 1 0.7734 0.2264
210 P( X 230) P(Z 23040 ) P(Z 0.5) 1 (0.5) 1 0.6915 0.3085
Por ello P(B/A) = 0.2264/0.3085 = 0.7339
Ejemplo 147
Un determinado programa del gobierno consiste en construir viviendas en los sectores de mayor densidad de Lima. Para la instalación de las redes de agua y desagüe se están utilizando tuberías en los que el 9.512% de ellos tienen una duración que exceden los 15 años y otra clase de tuberías en los que el 62.556% tienen períodos de duración que exceden los 9 años. Si se considera que la distribución de probabilidades del período de duración de estas tuberías es normal, determine los parámetros de esta distribución.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El período de duración de las tuberías”. De acuerdo a los datos P(X > 15 ) = 0.09512 y P(X > 9 ) = 0.62556. Usaremos estas dos igualdades para obtener dos ecuaciones con y y luego proceder a resolverlas; naturalmente para ello, debemos pasar a Z y plantear cada ecuación por normal.
P( X 15) P(Z
15
) 1 (
15
) 0.09512 .
El valor de Z tal que (z) = 0.09512 es z = -1.31, con el cual obtenemos la ecuación 15 - = -1.31
(1).
Del mismo modo, P( X 9) P(Z 9 ) 1 ( 9 ) 0.62556 . En este caso z = 0.32, con el cual 9 - = 0.32
(2)
Resolviendo el sistema (1) y (2) obtenemos = 7.82 y ² = 13.54
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Ejemplo 148
El gerente de producción de una fábrica piensa que la vida útil de una máquina M está distribuida normalmente con una media de 3000 horas. Si el gerente piensa además que hay una probabilidad de 0.50 de que la máquina dure menos de 2632 horas ó más de 3368 horas, ¿cuál es la desviación estándar?
Solución Sea X la vida útil de la máquina M. X N(3000, ² ). Por los datos del problema se sabe que P( X < 2632 ó X > 3368 ) = 0.5. Si tomamos el complemento, obtenemos P( 2632 < X < 3368) = 0.5. Pasemos a Z
P(2632 X 3368) P( 26323000 Z
33683000
) P( 368 Z
) 2( 368 ) 1.
368
Como esta última expresión es 0.5 entonces ( 368 ) 0.75 de donde = 545.18 horas.
Ejemplo 149
Una empresa comercializadora, dedicado a la industria alimentaria distribuye harina en bolsas que llevan la etiqueta “Contenido neto: 500 Kg”. La empresa consciente de la dificultad de los consumidores para adquirir bolsas de 500 gramos, está automatizando el llenado de las bolsas de forma que el peso medio de las mismas pueda ajustarse al nivel que se desee, a fin de bajar los precios(retirando previamente la etiqueta). Si la cantidad de harina por bolsa se considera una variable con distribución normal, con una desviación estándar de 0.2 onzas, a) ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que sólo el 0.1% de las bolsas tengan un peso neto inferior a 12 onzas? b) ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que sólo el 5% de las bolsas tengan un peso neto superior a 12.4 onzas? c) El Gerente de comercialización decide cambiar los parámetros de ajuste si en una muestra de 10 bolsas encuentra más de 2 bolsas con peso inferior a 12 onzas, ¿cuál es la probabilidad de que el Gerente tenga que cambiar los parámetros?
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Solución Sea X la variable definida como “Cantidad de harina por bolsa”. Según el problema X tiene distribución normal N(, 0.2). Recuerde que 500 gramos de harina igual a 17.637 onzas. a) Si se desea que sólo el 0.1% tengan peso inferior a 12 onzas, entonces P(X 2) que será la probabilidad pedida. x2
P(Y 2) 1 P(Y 2) 1
10 0.05 x 0.9510 x 0.0115 x x 0
Ejemplo 150
En una distribución normal hay 40% de valores inferiores a 50 y 30% de valores superiores a 70. Determine el porcentaje de valores entre 55 y 70.
Solución Sea X la variable definida en el problema con y ² sus parámetros.
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Se sabe que P(X 70 ) = 0.30. Estas dos igualdades nos permitirán obtener los valores de y ² para luego encontrar la probabilidad P( 55 X 70 ) que es el porcentaje pedido.
P( X 50) P( Z
50
) (
50
) 0.40 .
De donde obtenemos - 0.253 = 50
P( X 70) 1 P(Z
(1) 70
) 1 (
70
) 0.30 (
70
) 0.70
Con lo cual +0.526 = 70
(2)
Resolviendo el sistema de las dos ecuaciones obtenemos = 56.496 y = 25.67. Finalmente
P(55 X 70) P( 552556.67.496 Z
7056.496 25.67
)
(0.526) (0.058) 0.70 0.4775 0.2225 Esto significa que el 22.25% de los valores están entre 55 y 70.
Ejemplo 151
Una persona viaja diariamente de su casa a su centro de trabajo, y ha observado que el tiempo que tarda en llegar a su oficina tiene una media = 35.5 minutos, con una desviación estándar = 3.11 minutos. Si sale de su casa todos los días a las 8:20 y debe estar en su oficina a las 9:0, ¿cuántos días al año espera llegar tarde? Suponer que el tiempo que tarda de su casa a su oficina sigue una distribución normal y que realiza 240 viajes anualmente.
Solución
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Sea X la variable definida como “El tiempo que se tarda la persona en ir de su casa a su oficina”. X N(35.5, 3.11). Si sale de su casa a las 8:20 y debe estar en su oficina a las 9:0 entonces el tiempo que se tarde en el viaje debe exceder los 40 minutos para llegar tarde. Esto significa que debemos encontrar P(X > 40). Si ahora definimos a Y como “El número de veces que llega tarde a su oficina al año” , E[Y] será la cantidad de días que espera llegar después de las 9:0. Como Y sigue una distribución binomial con n = 240 y p es la probabilidad de éxito, entonces E[Y] = np = 240p. Por lo que será suficiente encontrar el valor de p = P(X < 40). P( X 40) P(Z
4035.5 ) 3.11
1 (1.447) 0.075 .
Con lo cual E[Y] = 240(0.075) = 18
Luego la persona espera llegar tarde a su oficina 18 días durante el año.
Ejemplo 152
Un combustible para cohetes va a contener cierto porcentaje X, de un compuesto particular. Las especificaciones exigen que X esté entre 30 y 35 por ciento. El fabricante tendrá una utilidad neta en el combustible(por galón) la que está definida según la siguiente función T $0.10 por galón T ( X ) $0.05 por galón $0.10 por galón
si 30 X 35 si 35 X 40 ó 25 X 30 otros
Si X se distribuye normalmente como N(33,9), encuentre la utilidad neta esperada Supóngase que el fabricante desea aumentar su utilidad neta esperada en 50% aumentando su utilidad por galón en aquellas partidas de combustible que satisfacen las especificaciones 30 < X < 35. ¿Cuál debe ser su utilidad neta?
Solución Sea X la variable definida como “El porcentaje de cierto componente contenido en el combustible”. Según a), X N(33,9) implica que = 33 y = 3. Si E[T] es la utilidad neta esperada, entonces
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a) E[T ] 0.10P(30 X 35) 0.05 [ P(25 X 30) P(35 X 40) ] 0.10 [ P( X 25) P( X 40) ]
Resolviendo por Normal cada una de las probabilidades indicadas, tenemos E[T ] 0.10P(1 Z 23 ) 0.05 [ P( 83 Z 1) P( 23 X 73 ) ] 0.10 [ P(Z 83 ) 1 P(Z 73 ) ] E[T ] 0.10[( 23 ) (1)] 0.05 [(1) ( 83 ) ( 73 ) ( 23 ) ] 0.10 [( 83 ) 1 ( 73 ) ]
(1)
E[T] = 0.07744. Esto es, la utilidad neta esperada será de $ 0.07744 b) Puesto que debe aumentarse la utilidad neta esperada E[T] en 50% de la misma, y esto debe recaer sobre las especificaciones 30 < X < 35, entonces se tiene la siguiente ecuación final, a partir de (1). Sea m el nuevo precio por galón que debe tener el combustible en las especificaciones 30 < X < 35. Entonces E[T ] 0.5E[T ] m[( 23 ) (1)] 0.05 [(1) ( 83 ) ( 73 ) ( 23 ) ] 0.10 [( 83 ) 1 ( 73 ) ]
que al resolver obtenemos para m = 0.1656, es decir el precio de la ganancia neta en las especificaciones 30 < X < 35 debe elevarse a $ 0.1656 para poder incrementar la utilidad neta esperada en 50%.
Ejemplo 153
Los gastos de publicidad que tienen el personal por la introducción en el mercado de un nuevo producto se distribuyen normalmente por semana con una media de $ 950.25 y una desviación de $ 30.35. El gerente de ventas ha decidido premiar con una bolsa de viajes al personal de mercadeo si los gastos que realiza se encuentran en el 15% inferior. Si uno de los miembros del equipo en particular ha gastado $ 912, conseguirá la bolsa de viaje?
Solución Definamos a X como “Los gastos semanales realizados en publicidad por un miembro del equipo de mercadeo”. Como X N(950.25, 30.35²), entonces encontraremos la
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probabilidad P(X < 912), de manera que si esta probabilidad es menor que 0.15, entonces dicho empleado recibirá la bolsa de viaje. P( X 912) P(Z
912950.25 ) 30.35
(1.26) 0.1038
Esto significa que el empleado recibirá la bolsa de viaje ya que 10.38% < 15%.
Ejemplo 154
El tiempo de vida de un determinado componente en ensamblaje de un carburador de automóvil tiene una distribución normal con media = 1170 días con una desviación estándar = 180 días. El costo de fabricación de cada uno de estos repuestos es de $ 8.0 y se vende en $ 11.0. El fabricante garantiza la calidad de estos repuestos con la devolución del dinero si dicho repuesto deja de funcionar antes de los 36 meses de uso(un mes tiene 30 días). Halle la utilidad esperada por cada repuesto ¿Qué cantidad de dinero se espera devolver en un lote de 100 repuestos vendidos? ¿Cuál es la probabilidad de que de un lote de 10 repuestos, a lo más tenga que devolverse el dinero en dos de ellos?
Solución Sea X la variable definida como la vida útil del repuesto de carburador. Según los datos del problema, X N(1170, 180²). Si U es la variable que representa la utilidad obtenida por repuesto, entonces 5 3 U 3
Si X 36(30) Si X 36(30)
La utilidad esperada será E[U] = 2P(X>1080) – 3P(X L2 ) = 0.25 encontramos L2 = 11,012.50 b) Puesto que el máximo descuento que se obtiene es $ 11,012.50, entonces el pago que el cliente haga debe estar en el cuarto superior, 0.25; que es justamente lo que se nos pide: P(X >11012.50) = 1 –P(Z < 1012.5/1500) = 1 – P(0.675) = 10.75=0.25
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13.12 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sea X una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo (0, 4). Encuentre las siguientes probabilidades: a) P(|X| < 3/2)
b) P(|X – E[X] | < 1)
c) P( - 2 X + 2 ) 2. Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre el intervalo (a, b). Si gráficamente su media está en el origen y su varianza es 3, construya su gráfico. 3. María Isabel es una agente de ventas de “Laboratorios MIVMSA” cuyos honorarios se fija en $ 50.0 más una comisión de 6% sobre las ventas que tiene durante el día. Si las ventas diarias se definen como una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y 2000 dólares, a) ¿Cuánto espera tener de utilidad María Isabel? b) ¿Cuál es la probabilidad de que su utilidad supere los $140.0?
4. Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente con una varianza igual a 4/3 y una media igual a 2 a) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté entre –1 y 3.2? b) ¿Qué valor máximo tomará X con probabilidad 0.85? c) Si Y = 4 – 2X, calcule la probabilidad de que Y sea mayor que 0 5. Air Cóndor realizó un estudio sobre el comportamiento del precio de la gasolina de aviación el año pasado. Encontró que el precio promedio fue de 53.5 centavos de dólar por litro. A lo largo del año alcanzó un máximo de 59.5 centavos y parece haber seguido una distribución uniforme. ¿Durante cuántas semanas, el precio rebasó los 56 centavos por litro?
6. El proceso de destilación dela caña de azúcar depende de la temperatura a la cual se le somete el producto a ser destilado. Suponga que T representa dicha temperatura
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la cual varía entre 150 y 300 grados. Supongamos que el costo para producir un litro de azúcar destilada es C1 dólares. Si el destilado se realiza a temperaturas inferiores a 200, se obtiene un tipo de azúcar destilada que se vende a C2 dólares por litro, mientras que si la temperatura fuera superior a 200, se vende a C3 dólares por litro. ¿Cuál es la utilidad promedio que se espera por litro? 7. Los buses que hacen viaje en la ruta Lima – Huacho – Lima salen de su paradero inicial cada 15 minutos. Si Ud. llega a la estación, encuentre la probabilidad de que tenga que esperar el bus menos de 7 minutos.
8. En el problema anterior, si se sabe que los buses llegan uniformemente cada media hora y si Ud. llega a la estación a las 10:00, ¿cuál es la probabilidad de que Ud. tenga que esperar durante 10 minutos? Si a las 10:15 el bus aún no había llegado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 10 minutos adicionales?
9. Acerca de la cantidad de materia prima demandada por una empresa textil, durante cierto período de tiempo, sólo se sabe que no supera los 1000 kilos. Determinar para dicho período de tiempo, la probabilidad a) de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos b) de que la demanda esté comprendida entre 800 y 900 kilos
10. Las clases del Profesor Mario Bunge están programadas para comenzar a las 7:00 a.m.; pero él tiene por norma de trabajo comenzar su clase en un tiempo X, que tiene distribución uniforme en el intervalo 6:57 y 7:02 a.m. ¿Cuál es la probabilidad de que él a) inicie su clase a lo más, 2 minutos más temprano? b) inicie su clase por lo menos, 2 minutos más tarde? 11. Sea X una variable aleatoria que se distribuye exponencialmente con parámetro . ¿Cuál es la probabilidad de que X se desvíe de su media en no más de 2 ?
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12. Se sabe que el tiempo de servicio(service time) en las cajas de un gran supermercado siguen un modelo exponencial con un promedio de 3.2 minutos. Si un cliente llega a una caja a las 5:00 p.m., encuentre la probabilidad de que a) aún se encuentre a las 5:03 b) todavía esté allí a las 5:04, si se sabe que estuvo allí a las 5:03. 13. El gerente de ventas de la Empresa “MISABEL” solicita a su diseñador más experimentado, que elija el proceso de manufactura para la fabricación de cierto componente nuevo, para el cual hay dos postores. Empleando el proceso A cuesta $ 2.50 fabricar un componente. Empleando el proceso B el costo es de $ 3.2. Los componentes tienen una distribución exponencial del tiempo transcurrido hasta la falla con medias de 200 y 300 horas, respectivamente para los dos procesos. Debido a una cláusula de garantía si un componente dura menos de 400 horas, el fabricante debe pagar una pena de $ 1.20 ¿Cuál de los procesos debe adoptar el diseñador?
14. La cantidad de algodón requerido para la elaboración de ropas de vestir de invierno tiene una distribución exponencial con una media de 4 toneladas, hasta los 25 días antes de que termine dicha estación. a) Encuentre la probabilidad de que la demanda supere las 5 toneladas b) Qué cantidad de algodón habría que almacenar para que la probabilidad de agotar la existencia sea sólo de 0.05?
15. Enfrentando a la creciente competencia en la introducción de nuevos productos de exportación, las tiendas de Gamarra deciden fijar como objetivo el realizar cada proyecto en el tiempo medio de 4 días. Las tiendas de Gamarra saben que los competidores extranjeros pueden realizar un proyecto en 1.2 días. Si la probabilidad de que dichas tiendas puedan alcanzar a la competencia es inferior al 50%, se deberá establecer un nuevo plan de fabricación. ¿Cuál es su decisión respecto al nuevo plan de fabricación?
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16. El número de emisiones de una sustancia radioactiva tiene una distribución de Poisson con una media de 30 por hora. Encuentre la probabilidad de que el tiempo que transcurra entre dos emisiones sucesivas sea superior a 5 minutos.
17. Investigaciones realizadas por un estudio jurídico contable indican que el tiempo requerido para un proceso de auditoría está distribuido exponencialmente. Indican también que el 70% de las auditorías realizadas duran más de 6 días. a)
Si el responsable del estudio se compromete a iniciar un trabajo de auditoría dentro de 20 días pero debe terminar una que ya ha comenzado, qué tan probable es que cumpla su promesa?
b)
Si el responsable del estudio realiza auditorias consecutivas independientes, ¿cuál es la probabilidad de que la cuarta auditoria que realiza sea la primera que tarda más de 15 días?
18. Supongamos que X es una variable aleatoria que tiene distribución normal con media igual a 10 y una desviación estándar de 2. Encuentre las siguientes probabilidades: a) P(X 13.5)
b) P(X > 13.5)
c) P(X < 8.2)
d) P(10.4 < X < 10.6)
e) P(9.4 < X < 10.6)
f) P(|X| 11)
g) P( | X – | > 2 )
h) Para qué valor de a, P(X > a ) = 0.0495
19. Una variable aleatoria que se distribuye normalmente tiene una desviación de 1.8. Si la probabilidad de que X sea mayor que 14.4 es 0.3, encuentre el valor de .
20. Las ventas(en miles de dólares por día) de una gran tienda comercial se distribuyen normalmente con parámetros desconocidos. Si se sabe que la probabilidad de que las ventas sean superiores a 4 es 0.9772, y la probabilidad de que las ventas sean mayores que 5 es 0.9332, encuentre dichos parámetros.
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21. Los gastos mensuales de administración de una pequeña tienda de abarrotes tienen una media de $ 410.0, con una desviación estándar de $87.0. El propietario se compromete a mantener sus gastos para el presente mes, por debajo de $ 300 .0. Si los gastos mensuales se distribuyen normalmente, el propietario cumplirá con su promesa?
22. Los ingresos semanales que tiene un humilde cuidador de vehículos en una playa de estacionamiento público se distribuyen normalmente con una desviación de 5 soles. Sabiendo que sólo el 15.87% de los propietarios de los vehículos cuidados han pagado 15 soles o más; y que 125 propietarios pagaron 8 soles o menos; ¿Cuántos propietarios parquearon sus vehículos en dicha playa durante la semana?
23. La firma TomaBien tiene dos plantas cerveceras. La planta A produce 4,000 botellas diariamente, cuyo tiempo de llenado(en segundos desde su lavado hasta que sea enchapado) es una variable aleatoria con distribución normal N(50, 0.25). La planta B produce 6,000 botellas, y su tiempo de llenado también es normal N(50, 0.16). Si se extrae al azar una botella de la producción diaria y resulta tener menos de 49 segundos de tiempo de llenado, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la planta B?
24. El gerente de ventas de MARSA piensa que la vida útil de sus refrigeradoras está distribuido normalmente con una media de 50 mil horas. Si además, el gerente piensa que hay una probabilidad de 0.20 de que la refrigeradora dure menos de 30 mil horas o más de 70 mil horas, ¿cuál es la desviación estándar?
25. El tiempo medio para completar una obra es de 73.2 minutos, con una desviación estándar de 6.3 minutos. Si uno de los trabajadores inicia la obra con un retraso que le significa disponer sólo de 61 minutos para completar la obra, ¿qué probabilidad hay de que lo haga?
26. Un estudio realizado respecto al tiempo de vida de ciertos componentes de computadora personal, afirma que si dicho tiempo es inferior a 115 semanas o
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superiores a 135 no generan las utilidades proyectadas. Si se supone que el tiempo de vida sigue una distribución normal con una media de 130 semanas y una desviación estándar de 12 semanas, y se adquieren 1000 componentes, ¿cuántos componentes no generarán las utilidades proyectadas?
27. Una imprenta recibe un pedido para elaborar un cartel publicitario. El tiempo requerido para completar el pedido se distribuye normalmente con una media de 18.6 horas y una desviación de 2.2 horas. Si el cliente desea que el cartel le sea entregado en 16 horas, se terminará el trabajo en ese tiempo?
28. La variable grosor (en mm.) en una población de coleópteros sigue una distribución N(, ). Si se estima que el 77% de la población miden menos de 12 mm y el 84% más de 7 mm., ¿cuál es el ancho promedio de la población? ¿y la desviación estándar?
29. El tiempo de vida (en meses) de cierto tipo de bombillas es una variable aleatoria con distribución exponencial de media 12. Un vendedor se compromete a lo siguiente: Si la bombilla se funde antes del cuarto mes, devuelve al comprador 60 pesetas. Si se funde en un instante x entre el cuarto y sexto mes, le devuelve 180 – 30x pesetas. Si se funde a partir del sexto mes, no devuelve nada Si el vendedor gana en cada bombilla 100 pesetas se pide: a) Obtener la distribución de la ganancia obtenida por bombilla, b) Calcular la ganancia media por bombilla Si una persona compra 10 bombillas, calcular la distribución de probabilidad del número de bombillas que devolverá antes del primer mes. 30. En el grupo étnico A, la estatura de las personas(en cm.) sigue una distribución N(165, 25); en el grupo étnico B sigue una distribución N(170, 25) y en el grupo étnico C, N(175, 25). Los tres grupos étnicos son muy numerosos. a)
Si elegimos aleatoriamente a una persona del grupo A, ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 170 cm?
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b)
Si elegimos a 10 personas del grupo A, ¿independientemente unas de otras, cuál es la probabilidad de que entre todas midan más de 1600 cm?
c)
En una ciudad, el 50% de la población pertenece a la etnia A, el 20% pertenece a la etnia B y el 30% restante a C. Si elegimos una persona al azar en esta ciudad y mide más de 172 cm., ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo étnico C?
d)
Si elegimos 100 personas al azar del grupo B, independientemente unas de otras, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 midan más de 172 cm?.
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13.13 OTRAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS
La estadística dispone de otras variables aleatorias con distribuciones conocidas las que por lo general son útiles en la aplicación de problemas de muestreo, cuando el tamaño de muestra es pequeño; es decir, cuando no se puede aplicar el TLC.
Estas distribuciones son: χ² : La distribución Chi – cuadrado t : La distribución t de Student F : La distribución F de Fisher
Haremos un estudio muy breve de cada una de ellas y emplearemos el Excel para resolver problemas de probabilidad; y más tarde volveremos a usarlas para resolver problemas de muestreo y distribución muestral en los casos en que el tamaño de muestra sea pequeño.
Para ello empezaremos definiendo la distribución Gamma ya que, como veremos, las anteriores son derivaciones de ésta.
Función gamma Diremos que f es la función gamma si se cumple que
x
Si = 1 entonces (1) e dx 1 0
Si = n , n N, entonces (n) (n 1)!
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Distribución gamma Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X es una variable que tiene distribución Gamma, de parámetros y , si su función de densidad de probabilidad viene dada por
y la denotaremos por X G(, ) donde ( ) es la función gamma. Un esbozo de la gráfica de esta distribución es la siguiente
Gráfico de la Distribución Gamma 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1
0.05 0 0.2 0.95 1.7 2.45 3.2 3.95 4.7 5.45 6.2 6.95 7.7 8.45 9.2 9.95 Figura 4.34
En la cual se muestra la gráfica para distintos valores del parámetro .
Propiedades P1. Si X G(, ) entonces µ=
y ² = ²
P2. Si X G(, ) y = 1 entonces X se define como una variable con distribución exponencial de parámetro 1/ Página 474 de 800
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Nota Estas gráficas se han construido usando el programa Excel. Para ver cómo se han elaborado, abra el archivo Gráfica de Chi - t - F.xlsx.
Otra gráfica: La siguiente figura muestra la gráfica de la distribución gamma para diferentes valores de sus parámetros, construidos en MS Excel. 0.06 0.05 0.04 a = 2; b = 10
0.03
a = 1; b = 20 a = 5; b = 10
0.02 0.01 0
Figura 4.35
Distribución chi – cuadrado: ²
Sea X una variable aleatoria. Diremos que X tiene distribución Chi – cuadrado a la que denotaremos por X (v) , donde v es el parámetro, si su función de 2
densidad viene dada por
Observación: Esta distribución también es un caso particular de la distribución gamma en la cual hemos hecho = 2 y = v/2.
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Propiedades P1. Si X χ² (v) entonces µ = v
y
σ = 2v ; donde v representa grados de
libertad P2. Si Z N(0, 1) entonces Z² χ² (1) n
P3. Si Z1, Z2, …, Zn son tales que Zi N(0, 1) entonces T Z i χ² (n) 2
1
P4. Si X N(µ, ²) y si definimos a Z
X
entonces Z² χ² (1)
P5. Si X1, X2, …, Xn son variables tales que X N(µ, ²) entonces 2 X 2
(n 1) s ² P6. Si V ²
X X V
2
o
²
entonces V
2 ( n 1)
Su gráfica
0.5
Gráfica de la distribución Chi-Cuadrado
0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.2 1.7 3.2 4.7 6.2 7.7 9.2 10.712.213.715.216.718.219.7 Figura 4.36
Obsérvese que, a diferencia de la normal, ésta no es una distribución simétrica.
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Distribución t de student Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene distribución t de Student lo que denotaremos por T t(m), si su función de densidad viene dada por m 1 ) 2 f ( x) m ( ) m 2 (
1
(1
1 x²) m
m 1 2
x
donde el parámetro m representa los grados de libertad. La gráfica de esta distribución se muestra en la figura
Figura 4.37
Observación 1: Si expandimos los valores de la variable en los alrededores de su valor central, la gráfica podría presentar un máximo bastante suavizado visualizándose como la campana de Gauss.
Esto se aprecia en la siguiente figura
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0.8 0.7 0.6 0.5
k=B2
0.4
k=C2 k = D2
0.3 0.2 0.1 0 1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121 133 145 157 169 181 193
Figura 4.38
Observación 2 Como se puede apreciar en la definición, esta función es simétrica y gozar por tanto de la misma propiedad de una variable normal: P(-a < X < a) = 2 F(a) -1 Teorema Si X t(m) entonces µ = 0 y ² =
m m2
, m>2
Propiedades P1.
T
Si Z N (0,1);V
2 ( n)
entonces
la
variable
T
definida
como
Z (n) V n
P2. Z
X
n
N (0,1) y V
2 (n 1) s ² entonces T ( n 1) ²
Z (n 1) V n 1
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P3. Si T
X s n
entonces
T (n 1)
Distribución f de Fisher Sea X una variable aleatoria continua con f su función de densidad de probabilidad. Diremos que X tiene distribución F de Fisher y lo denotaremos por X F(n, m) con nnúmero de grados de libertad del numerador y m número de grados de libertad del denominador, cuya función de densidad es la siguiente: mn m ) m2 2 f ( x) m n n ( ) ( ) 2 2 (
m2 2
x m 1 x n
m n 2
x0
donde (.) es la función Gamma. La gráfica de esta distribución se puede apreciar en la siguiente figura
0.2
Gráfica de la Distribución F de Fisher
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.1 0.32 0.54 0.76 0.98 1.2 1.42 1.64 1.86 2.08 2.3 2.52 2.74 2.96 3.18 Figura 4.39
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Propiedades P1. Si X F(m, n) entonces µ = n /(n-2) y
σ = [2n(n+m-2)] /[ m(n-2)²(n-4)]
donde n representa los grados de libertad del numerador y m los grados de libertad del denominador.
P2. Si U
2 (m )
y Si V
2 (n )
entonces F
U /m F (m, n) V /n
P3. X i N ( , 1 ) y Yi N ( , 2) entonces 2
2
2
1
F
s12 / 12 F (n1 1, n 2 1) s 23 / 22
P4. F1 (n, m)
1 F (m, n)
Ejemplos usando el programa Excel: El programa Excel dispone de las siguientes funciones referidas a estas distribuciones continuas.
Distribución Gamma Para calcular P(X ≤ K)
=Distr.Gamma(K,α, β,tipo) Donde α y β son los parámetros y tipo=1 para acumulada.
Para hallar K si P(X ≤ K) = p
=Distr.Gamma.Inv(p, α, β)
Distribución Chi – cuadrado Para calcular P(X ≤ K)
=1-Distr.Chi(K,gl) Donde gl representa los grados de libertad
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Para hallar K si P(X ≤ K) = p
Excel no dispone de una función para resolver este problema.Para ello hemos creado un procedimiento que se encuentra en el archivo ValorInv ChiCuadrado.xlsm. Para usarlo es suficiente usar el método abreviado: +i
Distribución t de Student Para calcular P(X ≤ K)
=1-2*Distr.t(K,gl,2) donde 2 indica doble cola.
Para hallar K si P(X ≤ K) = p
=Distr.t.inv(2*p,gl)
Distribución F de Fisher Para calcular P(X ≤ K)
=1-Distr.f(K,gln,gld) donde gln: grados de lib. en el numerador gld: grados de lib. en el denominador.
Para hallar K si P(X ≤ K) = p
=Distr.F.Inv(1-p,gln,gld)
Ejemplos de aplicación directa: A continuación presentaremos algunos ejemplos directos que no merecen mayor comentario ni procedimiento: Para una variable aleatoria X, con distribución Chi-Cuadrado con 15 gl, encuentre:
a) P(X < 3.89)
b) P(X > 12.495 )
Rpta: a) 0.0019243
b) 1-0.358759
c) P( 1.58 < X < 10 ) c) 0.180260 - 0.0000061
Para una distribución Chi-Cuadrado, encuentre el valor de a, en cada caso: a) P(
2 (8)
a) 0.95
Rpta. a) 15.5073
b) P( b) 18.3070
2 (10)
a) 0.5 c) P(
2 (18)
a) 0.99
c) 7.01491
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Para una variable aleatoria X con distribución t de Student y con 20 grados de libertad, encuentre:
a) P(X < -1.594)
b) P(X > 2.49)
c) P(-1.58 a) = 0.025
b) P( t(15)> a ) = 0.10
Rpta. a) 2.22814 b) 0.34061
c) P(1.476 0.875) b) 1-0.462061
c) P(0.25 k ] = 0.10 Como X N(40, 25), al dividir la expresión entre 25 obtenemos
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( X 40)² k k X 40 ] 0.10 de donde P[ ] 0.10 25 25 25 5 2
P[
La expresión del primer miembro es Z² lo cual, según la propiedad 2 de χ² se distribuye χ² con un grado de libertad. Por tanto P(χ² (1) > k/25 ) =.10 De donde P(χ² ≤ k/25 ) = 0.90 Usando el archivo ValInv ChiCuadrado.xlsm encontramos k = 67.6385
b) Hallar P(k < W + Y < 27.488 ) = 0.95 En este caso las W e Y tienen distribución χ² y como son dos variables, el número de grados es de libertad es 2. Luego P( k < χ² (12) < 27.488 ) = 0.95 Esto significa que F(27.488)-F(k) = 0.95 F(k) = 0.974997 – 0.95
De donde k = 6.262. Hemos usado grados de libertad = 5 + 10 = 15 c) Encuentre P(
W k ) = 0.90 Y
Qué variable se genera al dividir dos variables que son χ² ?
F(5, 10)
P( | U | > k ) = 0.20 P(|U| Y )
Solución Página 504 de 800
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Definamos a X como “El número de ases que se extraen” e Y como “El número de espadas extraídas”, según el problema. Esto significa que X toma valores: 0, 1, 2 ; así como Y toma 0, 1
y 2. Con esto, el espacio rango de (X, Y) es fácil
encontrarlo(el producto cartesiano). Encontremos las probabilidades individuales: p(0, 0) = P(X = 0, Y = 0) . Como se trata de extraer 0 ases de un total de 4, el número de maneras de obtenerlo es C(4,0). Igualmente, 0 espadas se extrae de C(12,0) maneras. Hemos quitado una espada ya que el as de espadas no debe ser tomado en cuenta. Hasta este punto, tenemos 0 ases + 0 espadas ; pero como se extraen 2 cartas, seguramente las cartas que “faltan” (las dos), deben ser cualquiera del naipe; estas se extraen de C(36, 2) maneras. Luego: el número de maneras de extraer 0 ases “y” 0 espadas “y” 2 cartas cualquiera es C(4, 0) x C(12, 0) x C(36, 2), lo que constituye “el número de casos favorables a extraer 0 ases y 0 espadas. Por otro lado, el número de casos posibles de extraer 2 cartas viene dado por C(52, 2). Por ello
p(0, 0) = P(X = 0, Y = 0) =
4 12 36 0 0 2 1260 2652 52 2
p(1, 0) = P(X = 1, Y = 0). Esto significa que no debe extraerse el as de espadas. Por ello, sólo quedan 3 ases disponibles. El número de casos favorables será C(3, 1)x C(12, 0) x C(36, 1). Por ello p(1, 0) = 216/2652
p(2, 0) = P(X = 2, Y = 0). Esto significa extraer 2 ases, de los cuales ninguno debe ser el de espada, lo que hace disponible sólo a 3 de los ases. El número de maneras de lograr esto es C(3, 2) x C(12, 0) x C(36, 0). Luego p(2,0) = 6/2652 Calculemos p(0, 1): El número de maneras de obtener una espada que no sea el as y una cualquiera de las restantes, es C(4, 0) x C( 12, 1) x C(36, 1). Luego la probabilidad pedida es p(0,1) = 864/2652
Ahora p(0,2) = C(4, 0) x C(12, 2) x C(36, 0)/ 2652 = 132/2652
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Calculemos ahora p(2, 1): La probabilidad de extraer el as de espadas y otro as cualquiera es 1/52 x 3/51 = 3/1326. Esto significa que hemos extraído 2 ases y una espada.
Por el contrario p(1, 2) significa extraer dos espadas, de las cuales una es el as de espadas. La probabilidad de hacerlo es 1/52 x 12/51 = 12/1326 p(2, 2) = 0. No se extraen tres o cuatro cartas.
Finalmente p(1,1) significa la probabilidad de extraer el as de espada y una espada que no debe ser el as de espada. La probabilidad de extraer el as de espada es 1/52. Una espada que no sea el as de espada se obtiene con probabilidad 12/51. Pero hay 12 formas diferentes de extraer una de tales cartas. Luego la probabilidad p(1,1) = (1/52) x (12/51) x 12 = 144/1326 Esto completa la distribución de probabilidad pedida, que se muestra en el siguiente cuadro:
q(y) Y\X 0
0 1260 2652
864 2652
1 p(x)
132 2652 2256 2652
1 216 2652 144 2652
24 2652 384 2652
2 6 2652
1482 2652
6 2652
1014 2652
0
156 2652
12 2652
Las distribuciones marginales2también se muestran en la figura anterior Sea A el evento definido como “El número de ases sea mayor que el número de espadas”. Esto significa que A = {(X, Y) / X > Y }. Según esto, P(A) = P({(1,0), (2, 0), (2, 1) } ) = 228/2656
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Distribuciones condicionales
Caso discreto: Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función de probabilidad conjunta es p(xi, yj). Sea p(xi) y q(yj) , i =1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... , las distribuciones de probabilidad marginal de X e Y. Diremos que pX/Y(xi/Y = yj) es la función de probabilidad condicional de X, dado Y = yj, si p X Y ( xi / Y y j )
p( xi , y j )
q( y y j ) 0, i 1, 2, ..., n, ...
,
q( y y j )
Del mismo modo, diremos que pY/X(yj/X = xi) es la función de probabilidad condicional de Y, dado X = xi , si
pY X ( y j / X xi )
p( xi , y j ) p( X xi )
,
p( X xi ) 0, j 1, 2, ..., m, ...
La distribución de probabilidad de X, dado Y se representa en la siguiente tabla
X/Y
x1
x2
....
xn
p(x/y)
Ejemplo 169
Obtener las distribuciones condicionales de X, dado Y = 1 e Y, dado X = 2, del problema planteado en el Ejemplo Nº 10.
Solución Sea (X, Y) la variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad conjunta es, de acuerdo al Ejemplo 10,
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p( x, y )
x² y ² , x = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1 32
Para obtener la distribución de probabilidad condicional de X dado Y = 1, debemos encontrar primero la distribución marginal de Y, de ella extraemos q(y = 1). Del mismo modo, para obtener la distribución de probabilidad condicional de Y dado X = 2, debemos encontrar primero la distribución marginal de X, de ella extraemos p(x = 2). En consecuencia debemos encontrar las dos distribuciones marginales y luego proceder a encontrar la condicional respectiva. Distribución Marginal de X: p( x)
2 x² 1 , x 0, 1, 2, 3 32
Distribución Marginal de Y: q( y)
14 4 y ² , 32
y 0, 1
Distribución Condicional de X, dado Y = 1: x² 1 x² 1 p( x / y 1) 32 , 18 18 32
x 0 ,1, 2 , 3
Distribución Condicional de Y, dado X = 2: 4 y² 4 y² p( y / x 2) 32 , 9 9 32
y 0 ,1
Ejemplo 170
Un inversionista tiene que adquirir dos paquetes de acciones de un conjunto de 5 paquetes disponibles en el momento de la apertura de la bolsa. Antes de seleccionar el paquete a ser adquirido, realiza un concienzudo análisis de rentabilidad y si estos resultados le satisfacen, adquiere el paquete. Puesto que dicho análisis implica un alto costo, decide realizar las pruebas sólo hasta encontrar los dos paquetes que le satisfacen. Denotemos por X el número de pruebas que debe realizarse hasta encontrar el primer paquete aceptable e Y el número de pruebas adicionales hasta encontrar el segundo aceptable.
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a) Obtenga la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y) b) Obtenga las distribuciones marginales de X e Y c) Obtenga la distribución condicional de X dado Y = 2 y la distribución condicional de Y dado X = 3.
Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de pruebas realizadas hasta adquirir el primer paquete de acciones”. Igualmente sea Y, “El número de pruebas adicionales hasta adquirir el segundo paquete de acciones”. Según esto, los valores que tomen las variables serán: X: 1, 2, 3, 4; Y: 1, 2, 3, 4. Nos explicamos: Si el primer paquete le satisface al inversionista, lo adquiere, de manera que X = 1, esto implica que el segundo paquete puede adquirirse después de la primera, segunda, tercera o cuarta prueba, lo que significa que Y puede tomar valores 1, 2, 3 ó 4.
El primer paquete debe ser adquirido en la primera, segunda, tercera o cuarta prueba, necesariamente. Sea A el evento que representa la opción de “Adquirir el paquete” y B, el evento “Adquirir el segundo paquete”. De acuerdo a esto, p(1, 1) = P(X = 1, Y = 1) representa la probabilidad de que el primer paquete se adquiera en la primera prueba y el segundo, en la siguiente prueba(una prueba adicional). Usando A y B, tenemos p(1, 1) = P({AB}) = (2/5)(1/4) = 0.1. Del mismo modo, p(1, 2) = P(X = 1, Y = 2 ) = P({AB’B}) = (2/5)(3/4)(1/3) = 0.1 Es decir, la probabilidad de que se adquiera el primero en la primera prueba y el segundo en la tercera es 0.1. p(1, 3) = P({AB’B’B}) =(2/5)(3/4)(2/3)(1/2) = 0.1 p(1, 4) = P({AB’B’B’B}) = (2/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1/1) = 0.1 p(2, 4) = P({A’AB’B’B’B}) = 0 este es un evento imposible
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a) En el siguiente cuadro se muestra la distribución de probabilidad conjunta de X e
Y\X
1
1
2
3
4
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0
0
0.1
0.1
0
q(y) 0.4
0.3
2 0
0.1
0
0 0.2
0.4
p(x)
0.3
0.2
0.1
3
0.1
b) En el mismo cuadro de distribución hemos sumado por fila para encontrar la distribución marginal4 de Y, y luego hemos sumado por columna para encontrar la distribución marginal de X.
De manera que, la distribución marginal de X es
X
1
p(x)
2
0.4 0.3
3
4
0.2
0.1
3
4
0.2
0.1
La distribución marginal de Y es Y p(y)
1
2
0.4 0.3
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c) Distribución condicional de X dado Y = 2:
Recuerde que q(2) = P(Y = 2) = 0.3 Si x = 1 p(1/Y=2) =
X/Y=2
1
p(x/y=2)
p(1,2) 0.1 1 p(2) 0.3 3
2
3
1/3 1/3
1/3
4 0
Si x = 2 p(2/ Y=2) =
p(2,2) 0.1 1 p(2) 0.3 3
Si x = 3 p(3/ Y=2) =
p(3,2) 0.1 1 p(2) 0.3 3
Si x = 4 p(4/ Y=2) = 0
X/Y=2 p(x/y=2)
1
2
1/3 1/3
3 1/3
4 0
Marginal de Y, dado X = 3 Igualmente, recuerde que p(3) = P(X = 3) = 0.2 Si y = 1 p(1/X=3) =
p(3,1) 0.1 0.5 p(3) 0.2
Si y = 2 p(2/X=3) =
p(3,2) 0.1 0.5 p(3) 0.2
Si y = 3 p(3/X=3) =
p(3,3) 0 p(3)
Si y = 4 p(4/X=3) =
p(3,4) 0 p(3)
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Esperanza condicional
Caso discreto: Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(xi, yj) , i = 1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... su función de probabilidad conjunta. Sea p(xi) y q(yj) las funciones de distribución marginal de X e Y, respectivamente. Diremos que E[X/Y = yj] es la esperanza condicional de X, dado Y = yj, tal que
E[ X / Y
y ] x p( x / Y y ) j
i
i 1
i
j
Del mismo modo, E[Y/X = xi] es laesperanza condicional de Y, dado X = xi, tal que
E[Y / X
x y q( y / X x ) i
]
ji 1
j
i
i
Ejemplo 171
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad conjunta es
p( x, y)
2x y , x 1, 2, 3; 63
y 2, 3, 4
Encuentre las esperanzas condicionales E[X/Y] y E[Y/X], para todos los valores de X e Y.
Solución Como para E[X/Y] se requiere la marginal de Y y la probabilidad condicional de X, dado Y, así como para E[Y/X] se requiere la marginal de X y luego la probabilidad condicional de Y, dado X, procedamos de manera ordenada:
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Distribución Marginal de X: p( x)
6x 9 , x 1, 2, 3 63
Distribución Marginal de Y: q( y)
12 3 y , 63
y 2, 3, 4
Distribución condicional de X, dado Y: p( x, y 2) p( x / Y 2) q(2)
2x 2 63 x 1 , x 1, 2, 3 18 9 63
p( x, y 3) p( x / Y 3) q(3)
2x 3 63 2 x 3 , x 1, 2, 3 21 21 63
p( x, y 4) p( x / Y 4) q(4)
2x 4 63 x 2 , x 1, 2, 3 24 12 63
Distribución condicional de Y, dado X: 2 y p( x 1, y ) 2 y p( y / X 1) 63 , 15 p(1) 15 63
y 2, 3, 4
4 y 63 4 y , 21 21 63
y 2, 3, 4
6 y p( x 3, y ) 6 y p( y / X 3) 63 , 27 p(3) 27 63
y 2, 3, 4
p( x 2, y ) p( y / X 2) p(2)
Con toda esta información: 3
E[ X / Y 2]
xp ( x / y 2) 1 x 1
11 2 1 3 1 20 2 3 9 9 9 9
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3
E[ X / Y 3]
xp ( x / y 3) 1 x 1
3
E[ X / Y 4]
23 43 6 3 46 2 3 21 21 21 21
1 2
xp ( x / y 4) 1 12 x 1
2
22 3 2 26 3 12 12 12
Igualmente 4
E[Y / X 1]
yq( y / x 1) 2 y 2
22 23 2 4 47 3 4 15 15 15 15
4
E[Y / X 2]
yq ( y / x 2) 2 y 2
4
E[Y / X 3]
yq ( y / x 3) 2 y 2
42 43 4 4 65 3 4 21 21 21 21
62 63 6 4 83 3 4 27 27 27 27
Ejemplo 172
Se sabe que la probabilidad de que llueva en un día cualquiera es 10% en una determinada ciudad. Si se define a X como el número de días que llueve en los cuatro primeros días de la semana y a Y como el número de días que llueve en los cuatro últimos días de la semana, a) Determine la distribución de probabilidad conjunta de X e Y b) Encuentre la probabilidad P(X < 2 / Y > 2) c) Encuentre la probabilidad de que llueva exactamente en 4 días de la semana
Solución Sea X: “Número de días que llueve entre el Lunes, Martes, Miércoles, Jueves” , del mismo modo, sea Y: “Número de días que llueve entre el Jueves, Viernes, Sábado, Domingo”. De acuerdo a esto, X: 0, 1, 2, 3, 4 y también, Y: 0, 1, 2, 3, 4. La probabilidad de que llueva en un día cualquiera de la semana es 0.10. Si sólo se definiera a X como el número de días que llueve en la semana, entonces estaríamos frente a una distribución binomial de parámetros n = 7 y p = 0.10.
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Sinembargo, no estamos muy alejados de ella pues por la manera cómo se define a X e Y, daría la impresión de estar frente a una distribución “binomial conjunta”, excepto por lo del Jueves que está siendo incluido tanto en X como en Y. Por ello encontraremos las probabilidades individuales y luego armaremos el cuadro de distribución para, a partir de ella encontrar resolver la(s) pregunta(s). a) p(0,0) = P(X = 0, Y = 0) significa que no debe llover los 4 primeros días, ni menos los últimos 4 días. Esto es, p(0, 0) = C(7, 0)(0.1)0(0.9)7 = 0.97. p(0, 1) = P(X = 0, Y = 1) significa que no debe llover de Lunes a Jueves, pero sí Viernes, Sábado o Domingo; esto es, p(0, 1) = 0.94 . C(3, 1)(0.1)0.92 = 3(0.1)(0.9) 6 p(1, 0) = 3(0.1)(0.9)2. (0.9) 4 ; es decir, p(0, 1) = p(1, 0). p(0, 2) = p(0, 2) = C(3, 2)(0.1)22(0.9) 5 = 3(0.1) 2(0.9) 5 p(0, 3) = p(3, 0) = C(3, 3)(0.1)3(0.9)4 = (0.1) 3(0.9)4. p(0, 4) = p(4, 0) = 0. Imposible. No debe llover el jueves y debe llover, también, el jueves. p(1,1)=P(Llueve Jueves)+P(No llueve Jueves) = = (0.1)(0.9)6 + C(3,1)(0.1)(0.9)3C(3,1)(0.1)0.92 p(2, 2) = C(3,2)(0.1)2(0.9)2C(3,2)(0.1)2(0.9) + C(3, 2)(0.1)2(0.9)2C(3,2)(0.1)(0.9)2 p(3, 3) = (0.1)6(0.9) + 9(0.1)3(0.9)(0.1)2(0.9) p(4, 4) = (0.1)4(0.9)0(0.1)3(0.9)0 = (0.1)7 Y\X
0
1
2
3
4
q(y)
0
.4783 .1594 .0177
.0006
.0001
.6561
1
.1594 .1063 .0236
.0021
.0001
.2915
2
.0177 .0236 .0065
.0006
.0001
.0485
p(x)
.6561
.2915 .0485 .0036
.0003
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Dejamos para el lector el cálculo de las siguientes probabilidades individuales. La distribución de probabilidades se muestra en el siguiente cuadro.
b) P(X 2 / Y 2 )
P(X 2, Y 2) P(Y 2)
0.0029 0.0039
29 39
c) Sea A el evento: “Que exactamente llueva 4 días en la semana”. Si definimos a la variable Z como “Número de veces que llueve en la semana” entonces Z B(n = 7, p = 0.10). Por ello, P(A) = P(Z = 4 ) = C(7,4)(0.1) 4 (0.9)3 0.0026
Ejemplo 173
Si la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y) viene dada por la siguiente tabla: Y\X
0
1
2
3
q(y)
0
0.020 0.050 0.070 0.045 0.185
1
0.015 0.106 0.146 0.140 0.407
2
0.140 0.126 0.121 0.021 0.408
p(x) 0.175 0.282 0.337 0.206
Calcule: E[X]
E[Y] E[3X + 4Y]
P(X = 1 / Y = 1)
E[Y²]
E[X / Y = 1]
E[2X + Y / Y = 1 ]
V[Y]
E[XY]
E[2X + 1/ Y = 1]
E[ XY / Y = 1]
Solución En la tabla conjunta ya hemos calculado las distribuciones marginales de X e Y. E[X] = 0(.175)+1(.282)+2(.337)+3(.206) = 1.574 E[Y] = 0(.185)+1(.407)+2(.408)
= 1.223
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Sea Z = 3X + 4Y. Si X , Y = 0, 1, 2, 3, 4 entonces Z = 0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14; con lo cual su distribución será
Z
0
3
4
6
7
8
9
10
11
13
14
17
p(z) .020 .050 .015 .070 .106 .140 .045 .146 .126 .140 .121 .021
Luego E[Z] = 0(.02) + 3(.05) + 4(.015) + ... + 4(.121) + 17(.021) = 9.614 E[Y²] = 0²(.185) + 1²(.407) + 2²(.408) = 2.039 V[Y] = E[Y²] – (E[Y])² = 2.039 – 1.223² = 0.543271 Antes de evaluar E[XY], encontremos la distribución de XY. Para ello, sea Z = XY. Los valores que toma Z son 0 = {(0,0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 2)}, 1 = {(1, 1) }
2 = {(1, 2), (2, 1) }
4 = {(2, 2) }
6 = {(3, 2) }
3 = {(3, 1)},
Luego su distribución es
0
1
.340 .106
2
3
.272
..140
De acuerdo a esto, E[XY] = E[Z] = P(X = 1 / Y = 1) = x 3
E[X / Y = 1] =
6
.121 .021
1.680
P( X 1, Y 1) p(1,1) .106 0.2604 p(Y 1) q(1) .407
xp ( x / Y 1) 0 x 0
4
p(0,1) p(1,1) p(2,1) p(3,1) 1 2 3 2.0098 q(1) q(1) q(1) q(1)
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E[2X + 1 / Y = 1 ] Aplicando propiedades, E[2X + 1/Y= 1]= 2 E[X / Y = 1] + 1 = 2(2.0098) + 1= 5.0196 E[2X + Y / Y = 1]. Como ya ha ocurrido el evento { Y = 1 } entonces ya se conoce el valor de Y, por ello E[2X + Y / Y = 1] = E[2X + 1 / Y = 1] = 5.0196 Igualmente, E[XY / Y = 1 ] = E[X(1) / Y = 1] = E[X / Y = 1 ] = 2.0098
Variables aleatorias independientes
Caso discreto: Sea (X1, X2, ..., Xn) una variable aleatoria n-dimensional discreta donde p(x1, x2, ..., xn) es su función de probabilidad conjunta y p(x1), p(x2), ... p(xn) sus funciones de distribución marginal respectivas. Diremos que X1,
X2, ...,
Xnson variables
aleatorias independientes si p(x1, x2, ..., xn) = p(x1,)p( x2,) ...,p( xn) Caso continuo: Si (X1, X2, ..., Xn) es una variable aleatoria n-dimensional continua conf su distribución de probabilidad conjunta y g(x1), g(x2), ..., g(xn) son sus funciones de distribución marginales respectivas. Diremos que X1, X2, ..., Xnson variables aleatorias independientes si su función de densidad conjunta es el producto de sus respectivas distribuciones marginales. Esto quiere decir que f(x1, x2, ..., xn) = g(x1,)g( x2,) ...,g( xn) Ejemplo 174
Dada la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y), determine si X e Y son independientes o no.
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Y\X
0
1
2
q(y)
0
0.2
0.1
0.1
0.4
1
0.1
.03
0.2
0.6
p(x)
0.3
0.4
0.3
Aplicando la definición, tenemos Según la distribución conjunta p(0, 0) = P(X = 0 , Y= 0) = 0.2 y Del mismo modo, P(X = 0) . P(Y= 0) = 0.3 x 0.4 = 0.12 Como existe un (x, y) en la cual no se cumple la definición, entonces X e Y no son variables aleatorias independientes.
Ejemplo 175
Dada la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y), determine si X e Y son independientes o no.
Y\X
0
1
2
q(y)
0
0.21
0.14
0.35
0.70
1
0.09
0.06
0.15
0.30
p(x)
0.30
0.20
0.50
Aplicando la definición, tenemos Si p(0, 0) = 0.21 y P(X 0) . P(Y 0) = 0.3 x 0.7 = 0.21
Se cumple
Si p(1, 0) = 0.14 y P(X = 1) . P(Y= 0) = 0.2 x 0.7 = 0.14
Se cumple
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Si p(2, 0) = 0.35 y P(X = 2) . P(Y= 0) = 0.5 x 0.7 = 0.35 Si p(0, 1) = 0.09 y P(X = 0) . P(Y = 1) = 0.3 x 0.3 = 0.09 Si p(1, 1) = 0.06 y P(X = 1) . P(Y= 1) = 0.2 x 0.3 = 0.06 Si p(2, 1) = 0.15 y P(X = 2) . P(Y= 1) = 0.15
Se cumple Se cumple Se cumple Se cumple
Por tanto, como para todo (x, y) se cumple que p(x, y) = P(X = x, Y = y) entonces X e Y son variables aleatorias independientes.
Covarianza de dos variables
Sean X e Y dos variables aleatorias con X = E[X], Y = E[Y], del mismo modo,
2 X
= V[X] y
2 Y
= V[Y]. Diremos que Cov(X, Y) es la covarianza de X e Y
la que será definida como
Cov( X , Y ) E [ ( X X ) (Y Y ) ] Teorema Cov( X , Y ) E[ XY ]
X
Y
En efecto, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
= 𝐸[𝑋𝑌 − 𝑋𝑌 − 𝑋 𝑌 + 𝑋 𝑌 ] = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝑌 − 𝑋 𝐸(𝑌) + 𝑋 𝑌
= 𝐸(𝑋𝑌) − 𝑋 𝑌 La covarianza permite saber si existe alguna relación entre las dos variables. En las siguientes figuras hemos trazado la gráfica de la venta del pollo y su precio.
En la primera figura tenemos la demanda (X) vs el precio (Y); en la segunda, la oferta (X) vs el precio (Y); en la tercera, en la tercera gráfica, X puede ser considerada como la demanda u oferta del pollo mientras que Y será el precio. Página 520 de 800
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En la primera figura podemos apreciar que, cuando la demanda aumenta, también aumenta el precio mientras que en la segunda, cuando aumenta la oferta del pollo, el precio del mismo disminuye. En la tercera figura cuando la variable X aumenta, nada puede decirse de Y pues ésta aumenta o disminuye, independientemente de X.
En la primera y segunda figura existe relación entre la demanda u oferta del pollo y su precio. En el primer caso hay una relación directa positiva; en la segunda existe una relación inversa negativa. En la tercera figura podemos apreciar que las dos variables (X e Y) son independientes.
Cov0
Cov=0
Ejemplo 176
El administrador de una playa pública desea realizar un estudio sobre los ingresos que tiene en cada temporada veraniega. Estos ingresos son de preocupación ya que en cada nuevo verano se van reduciendo. Sin embargo sospecha también que esto podría deberse al incremento de la gasolina que impide que los usuarios tengan un gasto adicional. ¿Se podría decir que sus ingresos dependen del precio de la gasolina? Los datos se encuentran en el siguiente cuadro:
Verano
Ingreso
Gasolina($/litro)
Enero
290
0.40
Febrero
200
0.34
Marzo
250
0.31
Abril
490
0.25
Mayo
410
0.25
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Junio
360
0.34
Julio
300
0.27
Agosto
150
0.39
Septiembre 200
0.33
Octubre
0.35
100
Solución Obtenga la covarianza de los ingresos y el precio de la gasolina. Sea X la variable Ingresos y Y la variable Gasolina. Ingrese los datos a una hoja del Excel, como se muestra en la siguiente gráfica:
Figura 4.48
Cómo calcular la covarianza en Excel:
Podemos hacerlo de dos formas:
Primera forma: Usando la función: =Covar(Mariz1,Matriz2)
Donde Matriz1 y Matriz2 representan los rangos de la primera y segunda variable, respectivamente.
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En este ejemplo, En F3 digitemos: =Covar(B1:B11,C1:C11) Lo que nos dará como resultado: -3.885.
Segunda forma: Usando la herramienta Covarianza del grupo de la ficha
En la ventana que se obtiene a continuación, se debe ingresar los datos como se muestra en la siguiente imagen:
Al hacer clic en obtendremos los siguientes resultados a partir de E2:
Ingreso Gasolina Ingreso
13065
Gasolina -3.885
0.002541
Esta herramienta del Excel, además de la covarianza = -3.885, nos proporciona la varianza poblacional de cada una de las variables, las que se encuentran en la diagonal.
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Figura 4.49
Antes de interpretar la covarianza, construyamos el diagrama de dispersión de estas dos variables. Dicha gráfica se muestra en la figura 4.49 En ella podemos apreciar que, a medida que el precio de la gasolina se incrementa, los ingresos se reducen. Interpretación de la covarianza
Tomando en cuenta lo dicho anteriormente, podemos concluir en lo siguiente: La covarianza permite saber si dos variables están relacionadas o no. Si Cov(X, Y) > 0 se dirá que la relación existente es directa; es decir, cuando una variable aumenta, la otra variable también aumenta.
Figura 4.50
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Si Cov(X, Y) < 0 se dirá que la relación existente es inversa; es decir, cuando una variable aumenta, la otra variable se reduce.
Si Cov(X,Y) = 0 diremos que no existe relación entre las dos variables, o lo que es lo mismo, las dos variables son independientes.
Coeficiente de correlación Sean X e Y dos variables aleatorias con X = E[X], Y = E[Y], del mismo modo,
2 X
= V[X]
y
2 Y
= V[Y]. Diremos que
( X ,Y )
es el coeficiente de
correlación entre X e Y, la que estará definido como
( X ,Y )
Cov( X , Y ) V [ X ]V [Y ]
Propiedades 1. Si las variables aleatorias X e Y son independientes entonces = 0 2. Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces Cov(X, Y) = 0 3. Si Z = aX bY V[aX bY] = a² V[X] + b² V[Y] 2 a b Cov(X, Y) 4. Si es el coeficiente de correlación entre X e Y entonces
1 ( X ;Y ) 1
Observación: 1. Si = +1, diremos que entre X e Y existe una correlación perfecta positiva. 2. Si = -1, diremos que entre X e Y existe una correlación perfecta negativa. 3. Para valores de , cercanos a ½
diremos que existe una correlación
moderadamente perfecta positiva o negativa, respectivamente. 4. El hecho de que = 1, implica que existe una relación de una variable respecto de la otra. Por costumbre y porque coincide con el tratamiento que hemos hecho de X e Y, supondremos que, bajo las circunstancias en que 1, es posible definir a Y como una combinación lineal de X; es decir Y = A X + B, donde A y B son números reales con A > 0 cuando = +1 y A < 0 cuando = - 1.
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Esta última observación da origen a un teorema, que lo enunciaremos sin demostración.
Ejemplo 177
Dada la función de probabilidad conjunta de X e Y Y\X
0
1
0
0.13
0.13
1
0.25
0.13
2
0.25
0.13
Hallar a) Cov(X, Y) b) V[X], V[Y] c) (X, Y) d) V[X + Y] e) (2X, 3Y + 4)
Solución
X
0
p(x)
5/8
1 3/8
Distribución Marginal de X:
Y
Distribución Marginal de Y:
q(y)
0
1
2/8
3/8
2 3/8
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E[X] = 0(5/8) + 1(3/8) = 3/8
XY
E[Y] = 0(2/8) + 1(3/8) + 2(3/8) =
q(xy)
0
1
6/8
1/8
2 1/8
9/8
E[XY] = 0(6/8) + 1(1/8) + 2(1/8) = 3/8 a) Cov(X, Y) = E[XY] – E[X] E[Y] = 3/8 – (3/8)(9/8) = -3/64 b) E[X²] = 0²(5/8) + 1²(3/8) = 3/8 E[Y²] = 0²(2/8) + 1²(3/8) + 2²(3/8) = 15/8 Luego V[X] = 3/8 – (3/8)² = 15/64 y
V[Y] = 15/8 – (9/8)² = 39/64
c) ( X , Y )
Cov( X , Y ) V [ X ]V [Y ]
3 64 15 39 64 64
1 65
d) Puesto que X e Y son dos variables cualquiera(no se dice que sean independientes), entonces V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov(X, Y) =
15 39 3 48 2( ) 0.75 64 64 64 64
e) De acuerdo al último teorema, (2X, 3Y + 4) = (X, Y) =
1 65
Ejemplo 178
Un puerto tiene capacidad para acomodar 4 naves de cierto tipo durante la noche. Las tarifas del puerto producen una utilidad de $ 1,000 por nave atracada. Sea X la variable aleatoria que representa el número de naves buscando atracadero por noche, donde p(X = k) = 1/6, para k = 1, 2, 3, 4, 5 es la función de probabilidad de X. Un segundo puerto está disponible para manejar el exceso de naves, si existen. Sea Y representa el número de naves buscando atracadero en el segundo puerto (lo cual sólo ocurrirá si el primer puerto está lleno).Calcular
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a) La distribución de probabilidad conjunta de X e Y b) Las distribuciones marginales de X e Y c) La distribución condicional de Y, dado X = 4 d) ¿Son independientes las variables X e Y? e) V[X], V[Y] f) La covarianza de X e Y g) El coeficiente de correlación de X e Y Solución Sea X la variable que representa “Numero de naves que obtienen espacio en el primer puerto” Sea Y la variable que representa “Número de naves que van a un segundo puerto” Nota: Observe que el número de naves que puede aceptar el primer puerto es hasta 4. Por lo que diremos que X = 0, 1, 2, 3, 4. Pero como k = 1, 2, 3, 4, 5, entonces P(X >4) = 2/6. Toda vez que X 4, no hay naves que vayan al segundo puerto, por lo que Y = 0 Toda vez que X > 4, las restantes naves van al segundo puerto, por lo que Y = 1, 2,... Pero por noche sólo son 5 naves que buscan atracadero. Esto quiere decir que tomará valores entre 0 y 1. Por tanto X = 0, 1, 2, 3, 4; mientras que Y = 0, 1. a) La distribución de probabilidad conjunta de X e Y es
p(x)
0
1
2
3
4
0
0
1/6
1/6
1/6
1/6
1
0
0
0
0
2/6
0
1/6
1/6
1/6
q(y)
4/6
2/6
3/6
b) Las distribuciones marginales de X e Y se muestran en el cuadro anterior
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c) p(y / X 4)
p(4, y) p(4,0) p(4,1) 1 p(x 4) p(4)
d) Puesto que p(xi)q(yj) p(xi,yj) para algún i = 1, 2, 3, 4, 5, ó j = 1, 2 entonces X e Y no son variables aleatorias independientes. e) Para encontrar las varianzas: E[X] = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 12/6 = 3 E[Y] = 0 + 2/6 = 2/6 E[X²] = 0 + 1/6 + 4/6 + 9/6 + 48/6 = 62/6 E[Y²] = 0 + 2/6 = 2/6 Luego V[X] = 4/3 ; igualmente V[Y] = 2/9 f) Antes de encontrar la covarianza debemos hallar E[XY]. E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0 + 8/6 = 4/3 Cov(X, Y) = 4/3 – (3)(2/6) = 1/3 g) Cálculo del coeficiente de correlación:
( X ;Y )
Cov( X , Y ) V [ X ]V [Y ]
1 3 8 27
0.6124 . Era de esperarse este resultado.
Ejemplo 179 Construya una macro que permita realizar todos los cálculos relativos a una variable aleatoria bidimensional discreta a partir de la distribución de probabilidad conjunta ingresada en una hoja del Excel. La macro debe ser capaz de recibir una tabla de cualquier tamaño y realizar todos los cálculos como las distribuciones marginales, las esperanzas, esperanzas condicionales, varianzas, covarianza y el coeficiente de correlación.La siguiente imagen corresponde a un segmento de la hoja que se debe diseñar. Toda la información obtenida a partir de la fila 8 debe ser obtenida mediante la macro.
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La siguiente es la macro que resuelve lo pedido: Dim nx, ny, mx, my As Integer Sub DistrBid()
'Hoja = InputBox("Nombre de la hoja") 'Sheets(Hoja).Select Range("C2").Select ny = Selection.End(xlToRight).Column Range("B3").Select nx = Selection.End(xlDown).Row Cells(2, ny + 1) = "Marginal de X" Cells(2, ny + 1).ColumnWidth = 14 Cells(nx + 1, 2) = "Marginal de Y" mx = nx - 2 my = ny - 2
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For j = 3 To nx Cells(j, ny + 1).Select Cells(j, ny + 1) = "=Sum(RC3:RC[-1])" Next For j = 3 To ny Cells(nx + 1, j).Select Cells(nx + 1, j) = "=Sum(R3C:R[-1]C)" Next ValEsp ValEspXY
End Sub Sub ValEsp() Cells(nx + 3, 2) = "E(X) = " Cells(nx + 7, 2) = "E(Y) = " Cells(nx + 4, 2) = "E(X²) = " Cells(nx + 8, 2) = "E(Y²) = " Cells(nx + 5, 2) = "V(X) = " Cells(nx + 9, 2) = "V(Y) = "
ActiveWorkbook.Names("Rx").Delete ActiveWorkbook.Names("Ry").Delete ActiveWorkbook.Names("Rpy").Delete ActiveWorkbook.Names("Rpx").Delete ActiveWorkbook.Names("Rxy").Delete
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ActiveWorkbook.Names("Rpxy").Delete
Range(Cells(2, 3), Cells(2, ny)).Name = "Ry" Range(Cells(nx + 1, 3), Cells(nx + 1, ny)).Name = "Rpy" Range(Cells(3, 2), Cells(nx, 2)).Name = "Rx" Range(Cells(3, ny + 1), Cells(nx, ny + 1)).Name = "Rpx" Cells(nx + 3, 3).Select ActiveCell = "=SUMPRODUCT(Rx,Rpx)" ActiveCell.Name = "Ex" Cells(nx + 4, 3).Select ActiveCell = "=SUMPRODUCT(Rx,Rx,Rpx)" Cells(nx + 5, 3).Select ActiveCell = "=R[-1]C-R[-2]C^2" ActiveCell.Name = "Vx" Cells(nx + 7, 3).Select ActiveCell = "=SUMPRODUCT(Ry,Rpy)" ActiveCell.Name = "Ey" Cells(nx + 8, 3).Select ActiveCell = "=SUMPRODUCT(Ry,Ry,Rpy)" Cells(nx + 9, 3).Select ActiveCell = "=R[-1]C-R[-2]C^2" ActiveCell.Name = "Vy" End Sub
Sub ValEspXY() Cells(nx + 3, 5) = "XY "
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Cells(nx + 4, 5) = "p(xy)" k=5 For i = 3 To nx For j = 3 To ny k=k+1 Cells(nx + 3, k) = Cells(i, 2) * Cells(2, j) Cells(nx + 4, k) = Cells(i, j) Next Next Range(Cells(nx + 3, 6), Cells(nx + 3, 5 + mx * my)).Name = "Rxy" Range(Cells(nx + 4, 6), Cells(nx + 4, 5 + mx * my)).Name = "Rpxy" Cells(nx + 7, 5) = "E(XY) = " Cells(nx + 7, 6) = "=SumProduct(Rxy,Rpxy)" Cells(nx + 7, 6).Name = "Exy" Cells(nx + 8, 5) = "COV(X,Y) = " Cells(nx + 9, 5) = "ro(X,Y) = " Cells(nx + 8, 6) = "=Exy-Ex*Ey" Cells(nx + 8, 6).Name = "Cov" Cells(nx + 9, 6) = "=Cov/sqrt(Vx*Vy)" 'Cells(nx + 8, 6) = Cells(nx + 7, 6) - Cells(nx + 3, 3) * Cells(nx + 7, 3) 'Cells(nx + 9, 6) = Cells(nx + 8, 6) / Sqr(Cells(nx + 5, 3) * Cells(nx + 9, 3)) End Sub Sub Clear() Range(Cells(2, ny + 1), Cells(nx + 1, ny + 1)).ClearContents Range(Cells(nx + 1, 2), Cells(nx + 1, ny + 1)).ClearContents End Sub
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13.15 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La distribución de probabilidad conjunta de X e Y se define como 0
1
2
3
4
0
0
0.05
0.12
0.15
0.18
1
0.05
0.08
0.25
0.10
0.02
q(y)
p(x)
(X: 0, 1, 2, 3, 4
Y: 0, 1 )
a) Encuentre las distribuciones marginales de X e Y b) Calcular p(x / Y = 1) c) Calcular p(y / X = 3) 2. Dos firmas financieras de gran prestigio en el mercado local controlan el 50 y 30% del mercado, respectivamente. Si se escoge al azar una muestra de 2 clientes para una investigación, ¿cuál es la distribución de probabilidad conjunta del número de compradores que favorecen a cada firma de la muestra? Calcular E[X], E[Y], E[X + Y] y E[XY]. 3. Considere las variables aleatorias independientes X e Y, las cuales sólo pueden tomar los valores –1, 0, 1. Suponga que p(-1) = P(X = -1) = P(X = 1) = ¼ . Por otro lado, suponga que P( Y = -1 ) = P(Y = 0 ) = 1/3. a) Calcular E[X] y E[Y] b) Si T = 3X + 4Y, evalúe E[T]
4. Suponga que se extraen aleatoriamente dos cartas de un naipe de 52 cartas. Sea X el número de diamantes e Y el número de ases obtenidos. Encuentre las distribuciones marginales de X e Y.
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5. En una población muy grande de familias con 3 hijos consideramos las variables aleatorias: X: “Número de hijos varones en la familia” Y: “Número de rachas en el sexo de los hijos”. a) Si cada hijo tiene la misma probabilidad de ser varón que de ser mujer, hallar la función de distribución de probabilidad de X e Y. b) Hallar las distribuciones marginales de X e Y. Son X e Y independientes? c) Obtener las distribuciones condicionales de Y sabiendo que X = 1 d) Calcular el valor esperado de Y sabiendo que X = 1
6. En un estudio sobre rotación del personal policial en una determinada población se encontró que el número de cambios que experimentaba un personal subalterno era una variable aleatoria, X y que en cada cambio dicho personal tenía un ingreso salarial, definido por la variable aleatoria Y. Si la distribución de probabilidad conjunta de estas dos variables se da en el siguiente cuadro
1
2
3
4
800 0.0
0.0
0.10
0.10
1,200 0.05
0.05
0.10
0.10
2,000 0.05
0.20
0.05
0.0
5,000 0.10
0.05
0.05
0.0
a) Calcular P(X = 2) b) P(X = 2 / Y = 1200) c) Son independientes X e Y? d) Hallar V[X], V[Y] e) Hallar V[X + Y] f) Hallar V[X Y]
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CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIONES MUESTRALES 5.1 Introducción 5.2 Distribución muestral de la media 5.3 Distribución muestral de la proporción 5.4 Distribución muestral dela varianza 5.5 Distribución muestral de la diferencia de medias 5.6 Distribución muestral de la diferencia de proporciones 5.7 Distribución muestral del cociente de varianzas 5.8 Problemas propuestos
14.1
INTRODUCCIÓN
Empecemos este capítulo abriendo el archivo DistribMuestrales.xlsm. Haga clic en el botón . En este ejemplo se dispone de los ingresos mensuales de 1200 trabajadores de una determinada empresa. El objetivo del muestreo es estimar el ingreso mensual promedio así como la variabilidad de los mismos, a fin de comparar con los ingresos mensuales promedios de otros sectores. Para ello se han tomado muestras aleatorias de tamaño 383. Como puede apreciar, se han extraído 5 muestras del mismo tamaño. Se ha calculado la media y la varianza de cada una de ellas. Se puede apreciar que las medias muestrales difieren una de otra en una cantidad muy pequeña. Para 3
¿Cómo se obtuvo 38? Lo veremos en la sección: Estimación del tamaño de muestra para la media.
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propósitos de esta introducción, supondremos que se puede obtener la media poblacional, en este caso es 2400.66. Comparando cualquiera de las medias con el de la población se puede ver que cualquiera de ellas podría ser seleccionada como un representante de la media poblacional (que es desconocida). Del mismo modo también se ha obtenido la media de las medias muestrales, que se encuentra en la celda L41. Creemos que este indicador de la muestra puede ser el mejor representante de las cinco medias correspondientes a estas cinco muestras. Este nuevo promedio de promedios no es el resultado de un cálculo sobre los datos de la muestra. Por ello podemos considerarla como una nueva variable, pero en este caso en una muestra, a la cual podríamos llamarla media muestral.
Si hacemos lo mismo con las varianzas muestrales, podríamos crear otra variable muestral que la podríamos llamar varianza muestral.
Esto sugiere el estudio de nuevas variables llamadas variables muestrales. Cada una de ellas tendrá su media, su varianza, su propia distribución y por tanto podemos resolver problemas de probabilidad relativo a estas variables pues cada una de ellas constituye una variable aleatoria. En el presente capítulo nos ocuparemos del estudio de estas variables.
14.2
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
Media muestral
Una muestra de tamaño n,extraída de una población cuya media es μ y varianza σ², constituida por un conjunto de variables aleatorias independientes X1, X2,…, Xn es una muestra aleatoria y los n valores que toma X serán los datos que conforman la muestra.
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Tomando en cuenta lo dicho en la introducción, supongamos que se han extraído k muestras aleatorias de la población de tamaño N. Si 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 son las medias muestrales de cada una de las muestras, entonces podemos afirmar que 𝑋, media aritmética de las medias muestrales, es una variable aleatoria definida como Media muestral. Siendo 𝑋
una variable aleatoria, entonces debe tener una distribución de
probabilidad la cual estará definida por su media 𝜇𝑋 y su varianza 𝜎𝑋2 , donde 𝜇𝑋 = 𝐸(𝑋) = 𝐸 (
∑ 𝑥𝑖 1 1 ) = 𝐸 (∑ 𝑥𝑖 ) = 𝑛𝜇 = 𝜇 𝑛 𝑛 𝑛
𝜎𝑋2 = 𝑉(𝑋) = 𝑉 (
∑ 𝑥𝑖 1 1 𝜎2 ) = 2 𝑉 (∑ 𝑥𝑖 ) = 2 𝑛𝜎 2 = 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
Nota 1 Siendo 𝑋 una variable aleatoria y tiene una distribución de probabilidad, es natural preguntarnos: ¿Se puede calcular P(𝑋 ≤ k)?
El siguiente teorema nos autorizará el uso de la distribución normal para resolver problemas como se plantea en la pregunta, bajo ciertas condiciones.
Teorema del Límite central Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población de parámetros 𝝁 y 𝝈𝟐 . Si 𝑋 es la media muestral, entonces 𝑍 =
𝑋−μ
es una variable normal
𝜎 √𝑛
estándar, siempre que n sea suficientemente grande (n ≥ 30).
Nota 2: 𝑋−μ
Según esto P(𝑋 ≤ k) = P (σ
⁄ n √
k−μ
≤σ
k−μ
) = 𝑃 (𝑍 ≤ σ
⁄ n √
), cuando n ≥ 30.
⁄ n √
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Cuando la varianza poblacional es conocida La Distribución muestral de la media muestral 𝑋, cuando la varianza poblacional 𝜎 2 es conocida, aplicando el Teorema del Límite Central, será normal con 𝜇𝑋 = y 𝜎𝑋2 = ²/n, según la deducción realizada líneas arriba. Luego 𝑋 N( , ²/n). Cuando la varianza poblacional es desconocida
Si la varianza poblacional es desconocida y la población desde donde se extrae la muestra es normal, entonces la variable 𝑇 =
𝑋− 𝑠 √𝑛
t(n-1). Esto es, cuando la
varianza poblacional no sea conocida, usaremos la distribución t de Student para resolver el problema.
Ejemplo 01
Los ingresos mensuales que perciben los médicos de EsSalud, de una cierta área, se distribuyen normalmente con un ingreso medio de 3500 soles y desviación estándar de 700 soles. a) Si el 18% de ellospagan impuestos, ¿cuál es el ingreso mensual mínimo de un
médico de esta áreaque paga impuestos? b) Si se escoge al azar una muestra de 150 médicos de dicha área y se registran sus
ingresos, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio de la muestra se diferencie de su valor real en no más de 100 soles?
Solución Sea X la variable definida como “El ingreso mensual de un médico” Según el problema: X N(3500, 700²) Esto es = 3500 y = 700
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a) Sea K la cantidad mínima a partir de la cual se paga impuestos. Esto significa que un médico pagará impuestos si X ≥ K. La probabilidad de que esto ocurra es P(X ≥ K ) = 1 – P(X < K) = 0.18. Despejando P(X < K ) = 0.82
En Excel: Luego P(X < K ) = Distr.Norm.Inv(0.82,3500,700) = 4140.76
b) En este caso n = 150. La frase “El promedio de la muestra se diferencia de su valor real” se puede expresar simbólicamente como |𝑋 − 𝜇| ≤ 100. Usamos valor absoluto puesto que la diferencia puede ser positiva o negativa. Luego 𝑃(|𝑋 − 𝜇| ≤ 100 ) = 𝑃( − 100 ≤ 𝑋 ≤ + 100) = 𝑃(3400 ≤ ≤ 3600)= F(3600) – F(3400) =Distr.Norm(3600,3500,700,1)-Distr.Norm(3400,3500,700,1) = 0.5567985 – 0.4432015 = 0.113597
Nota: Recuerde que, cuando se usa la función Distr.Norm, el último argumento debe ser 1 para que devuelva la probabilidad acumulada.
Ejemplo 02
MoviClaro afirma que el tiempo que emplean los clientes en pagar sus facturas es una variable normal de valor medio 30 días y desviación estándar 8 días. a) Si se escogen al azar las cuentas de 40 clientes, ¿cuál es la probabilidad de
observar un promedio muestral inferior a 32 días? b) Si la muestra es de 25 cuentas, ¿qué tan probable es de tener un promedio
entre 28.5 y 32.5 días?
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c) En una muestra al azar de 16 cuentas, ¿qué valor máximo tomará el promedio
con probabilidad 0.90?.
Solución Sea X: Tiempo que un cliente se tarda en pagar sus facturas Según los datos: X N(30, 64) Donde es = 30 y = 8 a) Con n = 40, se pide hallar P(𝑋< 32 ) Como la varianza poblacional es conocida (² = 64) usaremos la distribución normal para resolver la pregunta. Como 𝑋𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 )𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝜇𝑋 = = 30
𝑦𝜎𝑋 =
𝜎 𝑛
=
8 √40
= 1.2649
Luego P(𝑋< 32) = Distr.Norm(32,30,1.2649,1) = 0.943078 b) En este caso, cuando n 25, 𝑋 → 𝑁(30,1.62 ) Luego P(28.5≤ 𝑋≤ 32.5 ) =Distr.Norm(32.5,30,1.6,1)-Distr.Norm(28.5,30,1.6,1) = 0.940915 – 0.17425 = 0.7667 c) Debemos encontrar K tal que P(𝑋≤ K ) = 0.90 sabiendo que n = 16 En este caso 𝑋 → 𝑁(30,0.52 )
En Excel: K = Distr.Norm.Inv(0.90,30,0.5) = 30.64
Ejemplo 03
De un lote de focos ahorradores enviados por un proveedor, se han tomado al azar, 12 focos. El propósito es observar la duración del producto para determinar su conveniencia en compras futuras. Se les dejaron encendido hasta que se quemen. Los datos (en horas) obtenidos con el experimento fueron: 120, 128, 132, 130 124, 127, 130, 135, 122, 129, 131, 130. Si el proveedor indica que su producto tiene una duración media de 127.5 horas.
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a) Calcule la media de la muestra y luego determine la probabilidad de que una
muestra del mismo tamaño arroje un promedio superior al que usted calculó. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se aparte del valor real en
a lo más 2 horas?
Solución Ingrese los datos a una hoja en un nuevo libro o abra el archivo Prob01.xlsx. Calculemos primero la media de la muestra; es decir, 𝑋. Por lo que sabemos, 𝑋 =
∑ 𝑋𝑖
= Promedio(B2:B13) = 128.167
𝑛
Por si fuera necesario, calculamos también la varianza y la desviación estándar s² = Var(B2:B13) = 18.515 y
s = DesvEst(B2:B13) = 4.303
a) Debemos calcular P(𝑋> 128.167) Como la varianza poblacional no es conocida, usaremos la distribución t. Para ello, debemos construir la variable 𝑇 =
𝑋−𝜇 𝑠 √𝑛
𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑇 → 𝑡(𝑛 − 1)
Luego P(𝑋 > 128.167) = P (
𝑋−𝜇 𝑠
>
128.167 − 127.5
√𝑛
4.303
)
√12
= 𝑃(𝑡(11) > 0.5367) = Distr.t(0.5367,11,1) = 0.3011
Nota: Recuerde que Distr.t(a,gl,1) = P(X > a)
b) En este caso se pide P(|𝑋 – μ | ≤ 2). Aplicando el valor absoluto P(|𝑋 – μ | ≤ 2) = P(-2+127.5 ≤ 𝑋 ≤ 2 + 127.5 )=P( 125.5 ≤ 𝑋 ≤ 129.5) Transformando 𝑋 a una variable t(n-1), tenemos
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P(
125.5 − 127.5 4.303
≤
𝑋−𝜇 𝑠
≤
129.5 − 127.5 4.303
√𝑛
√12
)
√12
= P(−1.61 ≤ t(11) ≤ 1.61) = 1 - Distr.t(1.61,11,2) = 1 – 0.1357 = 0.8643
Ejemplo 04
Un exportador de espárragos envasa sus productos en frascos cuyo contenido medio es de 300 gramos. Para controlar el proceso automático de llenado, se selecciona cada hora una muestra de 36 frascos. Si el peso neto medio de la muestra está entre 301 y 302 gramos, el proceso continúa; en caso contrario, se detiene y se reajusta la máquina. a) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso que está operando con una
desviación estándar de 7.5 gramos? b) Si Ud. fuera el responsable del proceso, ¿deberá reajustar la máquina?
Solución Sea X: El contenido de un frasco de espárragos (gramos). Nótese que en cada hora se está tomando la muestra de tamaño n = 36. Como el frasco contiene 300 gramos, supondremos que este indicador constituye el contenido medio. No se conoce la varianza. a) El proceso continúa si 301 ≤ 𝑋 ≤ 302. Sea A: El evento definido como el proceso debe ser detenido. Si la probabilidad de que el proceso continúe es P(301 ≤ 𝑋 ≤ 302) Entonces P(A) = 1 – P(301 ≤ 𝑋 ≤ 302). Si 𝑋 = 301.5 y s = 7.5, usando la distribución t de Student tendremos: 301−300
P(A) = 1 – P(301 ≤ 𝑋 ≤ 302) = 1-𝑃 ( 7.5
⁄ √36
≤
𝑋−𝜇 𝑠 √𝑛
≤
302−300 ) 7.5⁄ √36
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P(A) = 1 – P( 0.8 ≤ t(35) ≤ 1.6) = 1-[1-Distr.t(1.6,35,1)-(1-Distr.t(0.8,35,1))] P(A) = 0.15526
Creo que el proceso debe ser detenido para reajustar la máquina pues el porcentaje de veces que el contenido no está en el rango especificado es suficientemente considerable.
14.3
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN
Dada una población formada por elementos que poseen o no cierta característica, diremos que el indicador o parámetro π constituye la proporción de elementos que poseen dicha característica. Si un experimento aleatorio tiene dos únicos resultados: éxito o fracaso y se ejecuta una sola vez, diremos que la población es de Bernoulli donde π representa la proporción de éxitos y 1 – π. Si el experimento se repite n veces, podemos afirmar que la población es Binomial. Y cuando se realiza un muestreo con reposición, se dice que la población desde donde se extrae la muestra es una población Binomial. Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria independiente extraída de una población de Bernoulli en donde si Xi = 1 ocurre éxito, si Xi = 0 ocurre fracaso. Si ahora definimos a 𝑋 = ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 como el número de éxitos obtenidos en esta muestra, entonces X constituye una variable Binomial tal que su valor esperado es E(X) = μ = nπ y su varianza V(X) = σ² = n π(1- π).
Si definimos a 𝑝 =
𝑋 𝑛
como la proporción de éxitos o la proporción, diremos que p
es una variable muestral cuya distribución de probabilidad viene dada por p y 𝜎𝑝2 . 𝑋
1
𝑛
𝑛2
Donde p = μ y 𝜎𝑝2 = 𝑉 ( ) =
𝑉(𝑋) =
𝜋(1−𝜋) 𝑛
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Por el Teorema del Limite Central y considerando que X B(n,p) se aproxima a una normal, podemos decir que 𝑍=
𝑝−𝜋
N(0,1)
𝜋(1−𝜋) √ 𝑛
De esta forma todo problema relativo a distribución muestral de la proporción 𝜋(1−𝜋)
muestral será resuelto usando la distribución normal; es decir, 𝑝 → 𝑁(𝜋, √
𝑛
)
Ejemplo 05
El gerente de McAllum Inc. cree que el 30% de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos. Para comprobar esta afirmación se toma una muestra aleatoria de 100 clientes que hicieron sus pedidos en la empresa. a) Suponga que el presidente está en lo correcto y que π = 0.30. ¿Cuál es la
distribución muestral de p para este estudio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a 0.05 o menos de
la proporción poblacional?
Solución Sea π la proporción de pedidos provenientes de clientes nuevos. Según el problema, π = 0.30. Igualmente n = 100. a) Si definimos a p como la proporción muestral de pedidos provenientes de clientes nuevos, entonces la distribución muestral de p será p 𝑁(𝜋,
𝜋(1−𝜋) 𝑛
);
es decir, p𝑁(0.30,0.0021). En este caso σp = 0.04582576 b) Se pide encontrar P( | p – π | ≤ 0.05) P( | p – π | ≤ 0.05) = P(0.25 ≤ p ≤ 0.35 ) = Dstr.Norm(0.35,0.3,0.04583) - Distr.Norm(0.25,0.3,0.04583) = 0.724722
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Ejemplo 06
Un mayorista compra vasos de vidrio en grandes cantidades directamente de la fábrica. Inspecciona una muestra al azar de 50 vasos de un lote recién adquirido para determinar la proporción de vasos rotos o defectuosos. Suponiendo que en realidad el lote ha sido enviado con 4% de vasos rotos o defectuosos a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga como máximo 3 vasos rotos? b) ¿Qué diferencia máxima encontrará Ud. entre la proporción de la muestra y su valor real con probabilidad 0,95?
Solución Sea X: El número de vasos rotos o defectuosos en el lote. Sea π: La proporción de vasos rotos o defectuosos en el lote. Según el problema π = 0.04 Tamaño de la muestra, n = 50. a) Se pide P(X ≤ 3). Se sabe que P(X ≤ 3) = P (
X 50
≤
3
) = 𝑃(𝑝 ≤ 0.06)
50
Como p N(0.04, 0.000768) en donde σp = 0.02771281 Entonces P(p ≤ 0.06) = F(0.06) = Distr.Norm(0.06,0.04,0.02771281) = 0.764757 b) Según el problema debemos hallar una diferencia máxima, digamos K tal que 𝑃( |𝑝 − 𝜋|≤ 𝐾) = 0.95 Aplicando valor absoluto tenemos: P(-K ≤ p – π ≤ K ) = 0.95 Para hallar K debemos estandarizar la variable muestral p. Para ello es suficiente dividirá toda la inecuación entre la desviación estándar de p; esto es, −𝐾
𝑃
0.04(0.96
(
√
50
≤
𝑝−𝜋 √
𝜋(1−𝜋) 𝑛
𝐾
≤ √
0.04(0.96 50
= 0.95
)
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𝑃(
−𝐾 𝐾 ≤𝑍≤ ) = 0.95 0.027713 0.027713
En la siguiente gráfica se muestra
0.95
0.025 −𝐾 0.027713
0.025 𝐾 0.027713
Figura 5.1
En este gráfico tenemos 𝑃 (𝑍
15) Transformando hacia una Chi-cuadrado, lo que está dentro de los paréntesis: 𝑃(𝑠 > 15) = 𝑝(𝑠 2 > 225) = 1 − 𝑃(𝑠 2 ≤ 225) = 1 − 𝑃 (2 (11) ≤
11(225) ) 100
= 0.0099
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b) Supongamos que K es el valor mínimo que debe tomar la desviación estándar de las calificaciones, tal que la probabilidad de que esto ocurra sea 0.95. Esto significa que P(s ≥ K) = 0.95; de donde P(s < K ) = 0.05 Procedamos como antes P(s < K ) = P(2 (11) ≤ 0.11𝐾²) = 0.05
En este punto debemos usar el procedimiento de la inversa en Chi - Cuadrado; pero como MS Excel no tiene esta herramienta, disponemos de un libro que contiene los valores de la Chi-Cuadrado para un determinado valor de los grados de libertad y una determinada probabilidad.
Es suficiente abrir el libro ValorInv ChiCuadrado.xlsm y luego ejecutar una macro usando el método abreviado: +i.
Completar los datos en el formulario que se activa y presionar o hacer clic en . Cuando desee terminar, simplemente haga clic en .
Según esto el valor obtenido es 4.5748; con lo cual tendremos: 0.11K² = 4.5748, despejando K, obtenemos K = 6.449. Nota: No se olvide de usar el archivo ValorInv ChiCuadrado.xlsm toda vez que necesite obtener el valor de Chi – cuadrado para una determinada probabilidad y un determinado grado de libertad.
Ejemplo 11
Se sabe que el tiempo que necesita un cajero en la ventanilla de un banco para atender a un cliente es una variable aleatoria normal con = 1.5 minutos. Este cajero es observado en la atención de 25 clientes seleccionados al azar. a) Determine la media y la varianza de s² (varianza muestral)
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b) Qué valor máximo tomará la desviación muestral, con probabilidad 0.975?
Solución Sea X: Tiempo necesario para atender a un cliente Recordemos que 𝑠 2 =
∑(𝑋𝑖 −𝑋)² 𝑛−1
.
De esta ecuación, podemos despejar la sumatoria y tener ∑(𝑋𝑖 − 𝑋 )2 = (𝑛 − 1)𝑠 2 a) Hallaremos primero la media o valor esperado de s². 2
𝜇𝑠 2
∑(𝑋𝑖 − 𝑋) 1 2 = 𝐸(𝑠 2 ) = 𝐸 [ ∑(𝑋𝑖 − 𝑋) ) ] = 𝐸( 𝑛−1 𝑛−1 =
(𝑛 − 1)𝑠 2 1 1 𝐸[(𝑛 − 1)𝑠 2 ] = 𝐸 [𝜎 2 ] 𝑛−1 𝑛−1 𝜎2
=
(𝑛 − 1)𝑠 2 𝜎2 𝜎2 𝐸[ = 𝐸[2 (𝑛 − 1)] ] 𝑛−1 𝜎2 𝑛−1
𝜎2 (𝑛 − 1) = 𝜎 2 = 𝑛−1 Veamos ahora la varianza de s². 2
𝜎𝑠2 = 𝑉(𝑠
2)
∑(𝑋𝑖 − 𝑋) 1 2 = 𝑉[ ∑(𝑋𝑖 − 𝑋) ) ] = 𝑉( 𝑛−1 𝑛−1 (𝑛 − 1)𝑠 2 1 1 2] 2 = 𝑉[(𝑛 − 1)𝑠 = 𝑉 [𝜎 ] (𝑛 − 1)2 (𝑛 − 1)2 𝜎2 (𝑛 − 1)𝑠 2 𝜎4 𝜎4 = 𝑉[ 𝑉[2 (𝑛 − 1)] ]= (𝑛 − 1)2 𝜎2 (𝑛 − 1)2 =
𝜎4 2𝜎 4 2(𝑛 − 1) = (𝑛 − 1)2 𝑛−1
b) Si K representa el valor máximo que toma la desviación estándar de la muestra, entonces se tiene que P(s ≤ K) = 0.975
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Como ya hemos visto, P(s ≤ K) = P(s2 ≤ K 2 ) = P (2 (n − 1) ≤
(n−1)K2 σ2
)=
0.975 Reemplazando valores n y σ² y simplificando, tenemos 𝑃(2 (24) ≤ 10.67𝐾 2 ) = 0.975 Para hallar el valor de K abriremos ValorInv ChiCcuadrado.xlsm, Ejecutamos la macro usando el método abreviado: +i Digitamos los grados de libertad 24 y la probabilidad 0.975 y obtenemos 39.439 Y despejando K de 10.67K² = 39.439 encontramos K = 1.9226.
Ejemplo 12
Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de onzas por botella. Se ha observado que las onzas de contenido que vacía la máquina embotelladora tiene una distribución normal con = 1 onzas. Supóngase que se selecciona una muestra aleatoria de 10 botellas y se mide el contenido de cada botella. Usando las 10 observaciones hallar los números b1 y b2 tales que P(b1 s² b2 ) = 0.9. (Sugerencia: Suponga que el 90% se encuentra en la parte central de la distribución a usar).
Solución Dado P(b1 s² b2 ) = 0.9, para encontrar los extremos por Chi-Cuadrado, debemos realizar la transformación de s² hacia una variable Chi.Cuadrado. 2
P(b1s b2 ) = P (
9b1 (n − 1)s2 9b2 ≤ ≤ ) = P(9b1 ≤ 2 (9) ≤ 9b2) 2 1 σ 1
= 0.90 Según sabemos: P(2 (9) ≤ 9b1 ) = 0.05 y P(2 (9) ≤ 9b2 ) = 0.95 Usando +i en el archivo mencionado en el ejemplo anterior hallaremos 9b1 = 3.325 de de donde b1 = 0.3694
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Del mismo modo, 9b2 = 16.918 de donde b2 = 1.8798 Valores Chi-Cuadrado se muestra en el siguiente gráfico
Figura 5.3
Ejemplo 13
AirCon S.A. desea adquirir dispositivos electrónicos en el cual la varianza de las resistencias no debe exceder los 0.40 ohmios². Para evitar la aceptación de remesas que no cumplen con esta especificación, el departamento de control de calidad toma una muestra aleatoria de 25 componentes de cada remesa y mide la resistencia de cada uno. Si la varianza de la muestra es demasiado grande, el departamento rechaza el pedido. Se considera que una varianza muestral es demasiado grande si la probabilidad de que ocurra esto es superior a 0.02. Se acaba de seleccionar una muestra de una remesa y se obtiene s² = 0.75. Debe aceptarse la remesa?
Solución De acuerdo al problema: n = 25; σ² = 0.40; s² = 0.75 Si P(s² > 0.75) > 0.02 entonces se debe rechazar la remesa. 𝑃(𝑠 2 > 0.75) = 1 − 𝑃 (2 (24) ≤
24(0.75) ) = 1 − 𝑃(2 (24) ≤ 45) 0.4
= 0.005875 Puesto que la probabilidad es inferior a 0.02, se debe aceptar la remesa.
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14.5
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS
MUESTRALES Sea X1, X2,…, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población de parámetros μ1 y 𝜎12 . Del mismo modo, sea Y1, Y2,…, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población de parámetros μ2 y 𝜎22 . Supongamos también que ambas poblaciones son independientes. Sean 𝑋1 y 𝑋2 las medias de cada muestra con 𝑠12 y 𝑠22 las varianza de las mismas. Diremos que 𝑋1 - 𝑋2 es una variable muestral llamada Diferencia muestral de medias, cuya distribución de probabilidades viene dada por 𝜇𝑋1−𝑋2 y 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
.
Donde 𝜇𝑋1 −𝑋2 = 𝐸(𝑋1 − 𝑋2 ) = 𝐸(𝑋1 ) – E( 𝑋2 ) = 𝜇1 − 𝜇2 y 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
= 𝑉(𝑋1 - 𝑋2 ) = 𝑉(𝑋1 ) + 𝑉(𝑋2 )
El problema se presenta ahora en obtener 𝑉(𝑋1 ) y 𝑉(𝑋2 ) Así como al estudiar a 𝑋, la media muestral de medias, tuvimos que tomar en cuenta si la varianza poblacional era conocida o no, así también debemos tomar en cuenta en este caso el mismo criterio. Caso 1: Cuando 𝝈𝟐𝟏 𝒚 𝝈𝟐𝟐 son conocidas. En este caso usaremos la distribución normal, por lo que 2 𝑋2 − 𝑋2 → 𝑁(𝜇¯𝑋_2−¯𝑋_2 , 𝜎¯𝑋_2−¯𝑋_2 )donde
𝜎𝑋2
1 −𝑋2
=
𝜎12 𝑛1
+
𝜎22 𝑛2
y
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Y aplicando el Teorema del Límite Central, podemos construir la variable Z tal que 𝑍=
(𝑋1 −𝑋2 )− (𝜇1 −𝜇2 ) 𝜎2 𝜎2 √ 1+ 2 𝑛1 𝑛2
→ 𝑁(0,1)
Caso 2: Cuando 𝝈𝟐𝟏 𝒚 𝝈𝟐𝟐 son desconocidas. Siendo desconocidas las varianzas poblacionales, podría ocurrir que sean iguales o diferentes. En ambos casos usaremos la distribución t de Student para el cual supondremos también que la población desde donde se extraen ambas muestras son poblaciones normales.
Siendo desconocidas, supondremos que son iguales: 𝝈𝟐𝟏 = 𝝈𝟐𝟐 Bajo este supuesto se deberá calcular una varianza ponderada por el tamaño de las muestras y sus varianzas; esto es, 𝑠𝑃2 = 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
1
= 𝑠𝑃2 (
𝑛1
+
1 𝑛2
(𝑛1 −1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 +𝑛2 −2
con lo cual tenemos
)
De esta forma, la variable 𝑇 =
(𝑋1 −𝑋2 )− (𝜇1 −𝜇2 ) 1
1
2( + ) √𝑠𝑃 𝑛1 𝑛2
→ 𝑡(𝑛1 + 𝑛2 − 2)
Siendo desconocidas, suponer que son no son iguales: 𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐 En este caso𝜎𝑋2
1 −𝑋2
=
𝑠12 𝑛1
+
𝑇=
𝑠22 𝑛2
y la variable
(𝑋1 − 𝑋2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √
𝑠12 𝑛1
+
𝑠22
→ 𝑡(𝑔)
𝑛2
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2
S12 S 22 n n donde g 1 2 2 2 2 S12 S 22 n 1 n2 n1 1 n 2 1
Nota importante: Toda vez que necesite calcular la varianza de 𝑋1 - 𝑋2 o cuando necesite calcular el número de grados de libertad “g”, use el archivo Cálculo de la varianza.xlsx.
Ejemplo 14
Una muestra de tamaño 25 se toma de una población normal con media de 80 y desviación estándar 5; una segunda muestra de tamaño 36 se toma de una población normal con media 75 y desviación estándar de 3. Hallar la probabilidad de que la media de la muestra de tamaño 25 exceda a la media de la muestra de tamaño 36 en por lo menos 3.4 pero menos de 5.9.
Solución Según el problema: n1 = 25; μ1 = 80; σ1 = 5 n2 = 36; μ2 = 75; σ2 = 3 Se pide 𝑃(3.4 ≤ 𝑋1 − 𝑋2 < 5.9) Como las varianzas poblacionales son conocidas, usaremos la distribución normal. En cuyo caso, 𝑋1 − 𝑋2 N(𝜇𝑋1 −𝑋2 = 𝜇1 − 𝜇2 ; 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
=
𝜎12 𝑛1
+
𝜎22 𝑛2
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Según los datos 𝜇𝑋1−𝑋2 = 5 y 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
=
25 25
+
9 36
= 1.25 y
𝜎𝑋1−𝑋2 = 1.118
Luego 𝑃(3.4 ≤ 𝑋1 − 𝑋2 < 5.9) = = Distr.Norm(5.9,5,1.118,1)-Distr.Norm(4.5,5,1.118,1) = 0.713396
Ejemplo 15
Suponga que en el Ministerio de Trabajo se tiene registrado 20 mil trabajadores de construcción civil (C) y 15 mil trabajadores mineros (M). El ingreso promedio mensual de los primeros es 900 soles con desviación estándar de 300 soles mientras que en el segundo, el ingreso promedio es de 1200 soles con un coeficiente de variación de 15%. El gobierno otorga un aumento general de 120 soles por costo de vida y 30 por movilidad. Si luego del aumento se realiza un muestreo de 45 trabajadores de construcción civil y 64 mineros, ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia de a lo más 350 soles entre las medias de ambas muestras?
Solución La tabla siguiente muestra los datos del problema:
Después del aumento C.Civil (C)
Mineros (M)
Ingreso medio (μ)
μC = 1050
μM = 1350
Desv. estand. (σ)
σC = 300
Coef. variac. Tam. Muestra
0.15 nC = 45
Como CV(M) = 0.15 entonces 0.15 =
nM = 64
𝜎𝐶 𝜇𝐶
de donde σC = 180
Como las varianzas poblacionales conocidas, usaremos normal con
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𝑋𝐶 − 𝑋𝑀 N(-300, 2506.25) Luego P( | 𝑋𝐶 − 𝑋𝑀 | ≤ 350) = P(-350 ≤ 𝑋𝐶 − 𝑋𝑀 ≤ 350) = Distr.Norm(350,-300,50.06,1)-Distr.Norm(-350,-300,50.06,1) = 1 – 0.158945 = 0.841055
Ejemplo 16
Según los registros históricos de ONER las bombillas fabricadas por la empresa PHIL, tiene una duración media de 6000 horas, mientras que las bombillas fabricadas por la empresa NATI tienen una duración de 8000 horas. En una investigación de control de calidad de bombillas se encuentra que una muestra de 20 bombillas fabricadas por PHIL se encontró una desviación estándar de la vida útil de 1600 horas. Otra muestra aleatoria de 16 bombillas fabricada por la compañía NATI se encontró que la desviación estándar de la vida útil fue de 2600 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de vida útil de las bombillas fabricadas por NATI no difiera en más de 800 horas del promedio de vida útil de las bombillas fabricadas por PHIL?
Solución El siguiente cuadro muestra los datos de este problema: Media poblacional: μ
PHIL(1)
NATI(2)
6000
8000
Muestra Tamaño: n
20
16
Desv. Estándar: s
1600
2600
Como se puede ver, las varianzas poblacionales son desconocidas. Según esto, supondremos que ambas marcas de pila presentan homogeneidad en la duración o vida útil.
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Según esto, 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
= 𝑠𝑃2 (
1 𝑛1
+
1 𝑛2
) donde 𝑠𝑃2 =
(𝑛1 −1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 +𝑛2 −2
Realizando los cálculos tenemos 𝑠𝑃2 = 496455.882 con lo cual 𝜎𝑋1−𝑋2 =704.5963 Pasamos a resolver la pregunta: 𝑃( |𝑋2 − 𝑋1 |≤ 800) = 𝑃(−800 ≤ 𝑋2 − 𝑋1 ≤ 800) Siendo varianzas desconocidas usaremos t de Student con (n1+n2-2) grados de libertad. Esto significa que debemos realizar transformación de variables. 𝑃(−800 ≤ 𝑋2 − 𝑋1 ≤ 800) = = 𝑃(
≤
−800 − (𝜇2 − 𝜇1 ) (𝑋2 − 𝑋1 ) − (𝜇2 − 𝜇1 ) ≤ 𝜎𝑋1 –𝑋2 𝜎𝑋1 –𝑋2
800 − (𝜇2 − 𝜇1 ) ) 𝜎𝑋1–𝑋2
Reemplazando valores, se tiene = 𝑃(−2.5547 ≤ 𝑡(𝑛2 + 𝑛1 − 2) ≤ −0.2839) = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑡(0.2839,34,1) − 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑡(2.5547,34,1) = 0.3814845 Ejemplo 17
El año 2011, una investigación tuvo por objetivo analizar el comportamiento de los ingresos y gastos municipales de los distritos de Lima Metropolitana. A falta de cifras completas, se estudia una muestra de 11 distritos. Los datos son los siguientes: Para los ingresos: 𝑋1 = 0.60727272 s1 = 0.029014103 Para los egresos: 𝑋2 = 0.55454545 , s2 = 0.04251203 a)
Si se considera como logrado uno de los objetivos cuando: “La probabilidad de que en promedio los ingresos de todos los distritos de Lima Metropolitana sean no menores a 0.58802 miles de millones de soles fuera alta”.
Se
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considera que la probabilidad es alta cuando esta sea mayor que 95%. ¿Puede afirmarse que se logró la meta? Presente los supuestos empleados. b)
Calcular la probabilidad de que en promedio el ingreso de todos los distritos de LM no exceda en más 0.095 miles de millones de soles al nivel de egresos. Suponga que según cifras anteriores, la heterogeneidad de los ingresos es similar a la de los egresos de LM. Presente los supuestos empleados.
c)
Calcular la probabilidad de que en promedio el ingreso de un grupo de 11 distritos de LM no exceda en más de 0.0341 miles de millones de soles al nivel de egresos. Suponga que según cifras anteriores, la heterogeneidad de los ingresos es diferente a la de los egresos de LM. Presente los supuestos empleados.
d)
Cómo cambiaría su respuesta en las preguntas a), b) y c) si se sabe que por cifras anteriores, la variabilidad de los ingresos debe ser de 0.0234 y la de los egresos 0.0456 miles de millones de soles?
Solución Según el problema las varianzas poblacionales no son conocidas. De manera que, donde corresponda, usaremos la distribución t de Student. Para ello recuerde que 𝑋−𝜇
debemos construir la variable 𝑇 = 𝑠
⁄ 𝑛 √
t(n-1).
Supondremos que la población de los ingresos y egresos de todos los distritos de LM son normales e independientes. a) De acuerdo a la pregunta, si P(μ ≥ 0. 0.58802) > 0.95 se habrá logrado la meta. Calculemos dicha probabilidad. P(μ ≥ 0. 0.58802) = P(-μ ≤ -0. 0.58802) = 𝑋−𝜇
= 𝑃 (𝑠
⁄ 𝑛 √
≤
0.60727272−0.58802 ) 0.029014103⁄ √11
= 𝑃(𝑡(10) ≤ 2.20079347) = 1-distr.t(2.20079347,10,1) =1-0.0261853 = 0.97381
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Como esta probabilidad es mayor al 95% entonces podemos afirmar que sí se lograron los objetivos. b) Por la forma cómo se plantea la pregunta, debemos hallar: P(μ1 – μ2 ≤ 0.095) Como en el caso anterior, usaremos la distribución t de Student. Supuesto: Varianzas poblacionales desconocidas pero iguales (según datos) Según esto𝜎𝑋2
1 −𝑋2
Luego
= 𝑠𝑃2 (
1
𝑛1
+
1 𝑛2
) = 0.015519²
P(μ1 – μ2 ≤ 0.095) = P(−(μ1 – μ2 ) ≥ −0.095) = P(t(20) ≥-
2.7239) = 1-(1-distr.t(2.7239,10,1) = 0.01071
c) Siendo desconocidas las varianzas, supondremos que son diferentes, de acuerdo a los datos. Debemos hallar P(μ1 – μ2 ≤ 0.0341) En este caso 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
=
𝑠12 𝑛1
+
𝑠22 𝑛2
= 0.01551858², con lo cual,
𝑷(𝜇1 − 𝜇2 ≤ 0.0341) = 𝑷(−(𝜇1 − 𝜇2 ) ≥ −0.0341) = 𝑃 (𝑡(𝑔) ≥
(0.607272 − 0.554545) − 0.0341 ) = 𝑃(𝑡(30) ≥ 1.195126) 0.01551858
= 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑡(1.195126,30,1)=0.1207
d) Dejamos como ejercicio esta pregunta. Sólo se trata de volver a calcular cambiando las desviaciones estándares.
Recuerde que: Cuando se trate de diferencia de medias, ante todo ver si se conoce las varianzas poblacionales. Si son conocidas, usar la distribución muestral. Si no fueran conocidas, usar la distribución t de Student con varianzas iguales o diferentes.
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14.6
DISTRIBUCIÓN
MUESTRAL
DE
LA
DIFERENCIA
DE
PROPORCIONES Sea X1, X2,…, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli. Del mismo modo sea Y1, Y2,…, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli. 𝑛1 Si definimos a 𝑋 = ∑𝑖=1 𝑋𝑖
y
𝑛2 𝑌 = ∑𝑖=1 𝑌𝑖 como el número de éxitos en
laprimera y segunda muestra, respectivamente entonces ambas variables tendrán distribución Binomial de parámetros π1 y π2.
Si definimos a 𝑝1 = muestra y 𝑝2 =
𝑌 𝑛1 2
𝑋 𝑛1
como la proporción muestral de éxitos en la primera
como la proporción muestral de éxitos en la segunda muestra,
entonces diremos que 𝑝1 − 𝑝2 es una variable aleatoria muestral definida como la diferencia de proporciones muestrales cuya distribución muestral viene dada por su media y su varianza; es decir, por 𝜇𝑝1 −𝑝2 𝑦𝜎𝑝21 −𝑝2 .
Donde 𝜇𝑝1 −𝑝2 = 𝐸(𝑝1 − 𝑝2 ) = 𝐸(𝑝1 ) − 𝐸(𝑝2 ) = 𝜋1 − 𝜋2 . Del mismo modo 𝜎𝑝21 −𝑝2 = 𝑉(𝑝1 ) − 𝑉(𝑝2 ) =
𝜋1 (1−𝜋1 ) 𝑛1
+
𝜋2 (1−𝜋2 ) 𝑛2
Y por el teorema del Límite Central, podemos afirmar que 𝑝1 − 𝑝2 → 𝑁 (𝜇1 − 𝜇2 ,
𝜋1 (1 − 𝜋1 ) 𝜋2 (1 − 𝜋2 ) + ) 𝑛1 𝑛2
A partir de la cual podemos obtener
𝑍=
(𝑝1 −𝑝2 )−(𝜋1 −𝜋2 )
N(0,1)
𝜋1 (1−𝜋1 ) 𝜋2 (1−𝜋2 ) + 𝑛1 𝑛2
√
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Ejemplo 18
Se cree que el 30% de las mujeres y el 20% de los hombres aceptan cierto producto. Si se hace una encuesta a 200 hombres y 200 mujeres, elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que más mujeres que hombres acepten el producto?
Solución Ante todo, formulemos las definiciones que sean necesarias y extraigamos los datos del problema según estas definiciones: Sea X: Número de mujeres que aceptan dicho producto. Π1: Proporción de mujeres que aceptan dicho producto Sea Y: Número de hombres que aceptan dicho producto. Π2: Proporción de hombres que aceptan dicho producto Según esto: Π1 = 0.30, Π2 = 0.20; n1 = 200 y n2 = 200 Debemos calcular: P(X > Y) Como no tenemos información sobre las distribuciones de X e Y (aunque sí se sabe pues ellas tienen distribución Binomial; pero debemos resolver el problema por variables proporcionales) haremos la siguiente deducción:
𝑃(𝑋 > 𝑌) = 𝑃 (
𝑋 𝑌 > ) = 𝑃(𝑝1 > 𝑝2 ) = 𝑃(𝑝1 − 𝑝2 > 0) 𝑛1 𝑛2 𝜋1 (1−𝜋1 )
Como la distribución de 𝑝1 − 𝑝2 es N(𝜋1 − 𝜋2 ,
𝑛1
+
𝜋2 (1−𝜋2 ) 𝑛2
);
es decir que 𝑝1 − 𝑝2 N(0.10,0.0431163²) Luego 𝑃(𝑝1 − 𝑝2 > 0) = 1 − 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑁𝑜𝑟𝑚(0,0.10,0.0431163,1) = 0.9898
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Ejemplo 19
Los asesores de un candidato presidencial opinan que la proporción de ciudadanos a favor de su líder es de 52.5% en Lima Metropolitana y 50% en provincias. Si se seleccionan muestras aleatorias de 400 y 250 en LM y provincias, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de LM supere a la proporción muestral de provincias en más del 5%?.
Solución Π1: Proporción de ciudadanos a favor de su líder en LM Π2: Proporción de ciudadanos a favor de su líder en Provincias. p1: Proporción de ciudadanos en la muestra a favor de su líder en LM p2: Proporción de ciudadanos en la muestra a favor de su líder en Provincias. Según el problema: Π1 = 0.525
Π2 = 0.50
n1 = 400 y n2 = 250
Se pide que encontremos 𝑃(𝑝1 − 𝑝2 > 0.05) Para resolver por normal, necesitamos encontrar su media y su varianza. 𝜇𝑝1 −𝑝2 = 0.025 𝑦 𝜎𝑝21 −𝑝2 = 0.04029² Luego 𝑃(𝑝1 − 𝑝2 > 0.05) = 1 − 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑁𝑜𝑟𝑚(0.05,0.025,0.02029,1) = 1 − 0.732536 = 0.267464
Ejemplo 20
Se cree que, de cada 100 baterías producidas por SOURCE, 10 son defectuosas y de cada 100 baterías fabricadas por FUENTE, 5 son defectuosas. Si se toma muestras al azar de 250 baterías tomadas de la producción de SOURCE y otra de 300
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unidades de las fabricadas por FUENTE, ¿cuál es la probabilidad de observar una diferencia menor o igual a 0.02 en las proporciones muestrales de baterías defectuosas?
Solución Si definimos a Π1: Proporción de baterías SOURCE defectuosas, entonces Π1 = 0.10 Y si Π2: Proporción de baterías FUENTE defectuosas, entonces Π2 = 0.05. Debemos encontrar P( | p1-p2 | ≤ 0.02) P( | p1-p2 | ≤ 0.02) = P( 0.02 ≤ p1-p2 ≤ 0.02) Ahora sólo falta encontrar la media y varianza de p1-p2 . Realizando los cálculos: 𝜇𝑝1 −𝑝2 = 0.05 𝑦 𝜎𝑝21 −𝑝2 = 0.0276694² Con lo cual P( 0.02 ≤ p1-p2 ≤ 0.02) = Distr.Norm(0.02,0.05,0.02277,1)-Distr.Norm(-0.02,0.05,0.02277)=0.09278
14.7
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL COCIENTE DE VARIANZAS
Sea X1, X2,…, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población normal de parámetros 𝜎12 . Del mismo modo, sea Y1, Y2,…, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población normal de parámetros 𝜎22 . Supondremos también que ambas poblaciones son independientes.
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Definimos a
𝑠12 𝑠22
como una variable aleatoria muestral de forma que si T
=
s2 1 σ2 1 2 s2 σ2 2
entonces T F(n1-1,n2-1). Nota: Toda vez que se necesite resolver probabilidades de la forma 𝑃(𝑠12 < 𝑠22 ) o algunas de sus formas, deberemos realizar una transformación de variables hasta conseguir la forma cómo se define a T para luego utilizar la distribución F de Fisher a fin de encontrar la probabilidad buscada.
Nota: Si las varianzas poblacionales son iguales u homogéneas entonces la variable muestral cociente de varianzas muestrales debe tomar la forma 𝑇 =
𝑠12 𝑠22
para tener
una distribución F de Fisher con n1-1 y n2-1 grados de libertad en el denominador y denominador, respectivamente.
Ejemplo 21 Se tienen dos variables normales independientes, tales que: 12 2.8 , 22 3.4 a) Calcular P(S12 S 22 ) , siendo: n1 = 12 y n2 = 15. b) Hallar k tal que: P(S12 kS 22 ) 0.88 , siendo: n1 = 24 y n2 = 20.
Solución
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𝑠12
a) 𝑃(𝑠12 < 𝑠22 ) = 𝑃 (
𝑠22
< 1)
Ahora vamos a transformar este cociente en una variable F(n1-1,n2-1) 𝑠2
= 𝑃(
𝜎12 𝜎12 𝜎22
1 𝑠22 𝜎22
𝜎12 3.4 < 1) = 𝑃 ( 2 𝐹(11,14) < 1) = 𝑃 (𝐹 (11,14) < ) 2.8 𝜎2 = 𝑃(𝐹(11,14) < 1.2143) = 1 − 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝐹(1.2143,11,14) = 0.63984
b) Dado P(S12 kS 22 ) 0.88 , primero dividiremos entre 𝑠22 y luego debemos transformarla en una variable que se distribuya como F(: n1 -1, n2 -1) y finalmente lo igualamos a 0.88. En efecto
Figura 5.5 𝑠2
= 𝑃(
𝜎12 𝜎12 𝜎22
1 𝑠22 𝜎22
𝜎12 3.4𝑘 < 𝑘) = 𝑃 ( 2 𝐹(23,19) < 𝑘) = 𝑃 (𝐹 (23,19) < ) 2.8 𝜎2 = 𝑃(𝐹(11,14) < 1.2143𝑘) = 0.88
Puesto que no se conoce el valor para el cual se tiene P(F < 1.2143k) = 0.88, Usando la función inversa en F obtenemos:
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Distr.F.Inv(0.12,23,19) = 1.7074745 Esto significa que 1.7074745 = 1.2143k, de donde k = 1.40614
Ejemplo 22
Estudios anteriores plantearon que la heterogeneidad en el nivel alcanzado por el PBI en América Latina, medida a través de la variabilidad de esta variable al interior de la región latinoamericana, siempre ha existido; esto es, de un año a otro puede esperarse que exista una similar variabilidad en el nivel del PBI registrado por los países latinos. Partiéndose del PBI, expresado en millones de dólares, se obtuvieron los siguientes resultados: Que la desviación estándar del PBI registrado para el 2003 en una muestra de 16 países latinos fue de 67,803 mientras que para 2004 fue de 95,136.09. Cuál es la probabilidad de que exista una mayor variabilidad en el año 2004 respecto a 203? Plantee los supuestos necesarios e interpreta los resultados.
Solución Supondremos que la población (niveles de PBI de América Latina) desde donde se extrae la muestra durante los años 2003 y 2004, son normales e independientes. Supondremos también que las muestras tomadas son del mismo tamaño e igual a 16
Si 𝑠12 y 𝑠22
las varianzas muestrales de los años 2003 y 2004, respectivamente.
Sabemos que σ1 = 67803 y σ2 = 95136.09. Debemos calcular 𝑃(𝑠22 < 𝑠12 ). Para ello debemos transformar el cociente en una variable F(n2-1, n1-1).
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𝑠2
𝑃(𝑠22 < 𝑠12 )
𝜎22 𝜎22 𝑠22 𝜎22 2 = 𝑃 ( 2 < 1) = 𝑃(𝑃 ( 𝑠2 < 1) = 𝑃 ( 2 𝐹(15,15) < 1) 𝑠1 𝜎1 𝜎2 1 1 𝜎2 1
= 𝑃 (𝐹(15,15)
ε)
=0 Es decir, si la probabilidad de que la desviación entre el valor del estimador y el valor del parámetro sea mayor que un cierto valor, es insignificante.
Se comprueba que es un estimador consistente de
si
se debe seguir el siguiente
LimE( )
LimV ( ) 0
y
n
n
Observación
Para probar que
es un estimador consistente de
procedimiento:
Obtener E( ) y V( )
Evaluar Lim E( ) y LimV( ) cuando n Si
LimE( ) n
y LimV ( ) 0 entonces es estimador consistente de
n
Ejemplo 07
Es
X
un estimador consistente de = µ?
Solución
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Usemos el procedimiento dado en la observación anterior.
E ( ) E ( X )
V ( ) V ( X )
² n
Lim E ( ) Lim
Evaluando los límites:
n
n
Del mismo modo Lim V ( ) Lim ² 0
n
Según esto,
X
n
n
es un estimador consistente de = µ
Ejemplo 08
Sea
1 2 X1 3 3
X
2
un estimador de = µ. Demuestre que
es un estimador
consistente de = µ. Solución Tomando esperanza:
E ( ) E[ Y
1 2 1 2 1 2 ] E ( ) E ( )] 3 X1 3 X 2 3 X1 3 X 2 3 3
Lim E ( ) Lim n
n
Por otro lado V ( ) V [ 1 X 1 2 X 2] 1 V ( X 1) 4 V ( X 2)] 1 ² 4 ² 5 ²
3
Y
5 ²
LimV ( ) Lim 9n n
3
9
9
9 n
9 n
9n
0
n
Luego, es cierto que 1 X 1 2 X 2 es un estimador consistente de = µ. 3
3
Ejemplo 09 Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población N(µ, ²).
X n
Demostrar que
s
2
i 1
X
2
i
n 1
es un estimador consistente de ².
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X n
Demostrar que ²
i 1
X
2
i
es un estimador consistente de ².
n
Solución a) E ( s ²) E (
²( n 1) s ² (n 1) s ² ² ² ² ) E( ) E ( ²( n 1)) (n 1) ² (n 1) ² n 1 ² n 1 n 1
Tomando límites, cuando n tiende al infinito:
Lim E(s²) Lim ² ² n
La primera condición se cumple.
n
Calculemos ahora la varianza: V ( s ²) V (
²( n 1) s ² (n 1) s ² 4 4 4 2 4 ) V( ) V ( ²( n 1)) 2(n 1) (n 1) ² (n 1)² ² (n 1)² (n 1)² n 1
Tomando límites, tendremos: V ( s ²)
Lim n
Lim n
2 4 0 n 1
Como la segunda condición también se cumple,
entonces s² es un estimador consistente de ². Seguiremos los mismos pasos que en a)
²) E(
E(
( X X )² ) ² E( (n 1)s² ) ² E( ²(n 1)) ² (n 1) ² ² n
²
n
n
n
n
Tomando límites a ambos extremos:
Lim ²) Lim ( ² E(
n
² n
n
) ²
La primera condición se
cumple
V(
²) V (
²( n 1)s ² 4 (n 1) s ² 4 4 2 4 2 4 ) V( ) V ( ²( n 1)) 2(n 1) n ² n² ² n² n² n n²
Tomando límites:
Lim V(
n
²)
Lim
(
n
2 4 2 4 )0 n n²
Luego ² es un estimador consistente de ² (a pesar de no ser insesgado).
P3. Debe ser un ESTIMADOR EFICIENTE
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Un estimador es un estimador EFICIENTE del parámetro si es INSESGADO
y de VARIANZA MINIMA. Se dice que un estimador es de varianza mínima ya que si existiera otro estimador
, entonces se debe cumplir que V( ) < V( ).
insesgado, digamos
Ejemplo 10
Sea X1, X2, X3, X4 , X5 una muestra aleatoria extraída de una población N(μ, σ²) y sean T1 y T2 las estadísticas
T
X 1
T
y
2
X X 1
2
2
X
3
X
6
4
X
5
los estimadores de .
Alguno de ellos es un estimador más eficiente que el otro?
Solución Paso1: Primero probaremos si son insesgados, encontrando E(T1) y E(T2 ) Paso 2: Obtendremos V(T1) y V(T2 ) Paso 3: Comparar las dos varianzas. La de menor varianza será el más eficiente. En efecto: E(T1) = E (X ) E(T2 ) = E ( X 1
X
2
2
X
3
X
4
X
5
6
1 ) ( 2 ) 6
Según esto, ambos estadísticos son estimadores insesgados. Calculemos sus varianzas: V (T 1) V ( X )
T
V(
) V( 2
X X 1
1
2
X 6
3
X
4
X
5
²
)
3 1 8 ( ² ² 4 ² ² ²) ² 36 36
Se puede apreciar que T2 es un estimador más eficiente pues es insesgado y de menor varianza que T1.
Ejemplo 11
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Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de cualquier población con μ y σ² sus parámetros. ¿Cuál de los dos estadísticos que se definen a continuación, es el estimador de μ más eficiente?. X X 4X X 1
2
3
4
1
2
4
X X 1
3
X
4
4
Solución
Primero debemos probar si son insesgados, encontrando E( 1 ) y E(
1) E ( X X 4 X X 1
E(
2
3
4 2 ) E ( X X4 X 1
E(
3
4
)
)
4
)
2
1 (4 ) 4
1 (4 ) 4
Ambos son insesgados? Sí son insesgados los dos estimadores.
Ahora debemos obtener la varianza de cada uno de ellos; es decir, V(
) y V(
1
2 ).
V( 1 ) = V ( X 1
V(
2
) = V(
4
X
2
X
3
X
4
X X 1
3
X
4
4
)
4
)
1 ² = 0.25 ² ( ² ² ² ²) 16 4
1 18 9 (16 ² ² ²) ² ² = 1.125 ² 16 16 8
Luego el primer estimador es un estimador eficiente de μ ya que es insesgado y de varianza mínima.
Ejemplo 12 Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de cualquier población con μ y σ² = 1. De los siguientes estimadores de μ:
1
1 6
X
1
1 3
X
2
1 2
X
3
2
1 ( 3
1
3
X X X
) 3
3
1 4
X
1
1 6
X
2
1 3
X
3
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¿Cuáles son estimadores insesgados de μ? ¿Cuál es el estimador de varianza mínima?
Solución Veamos si son insesgados:
E(
) E[ 16 X
E(
E(
1
1 ) E[ ( 2 3
3
) E[
1 4
1
1 3
X
2
1 2
X X X 1
X
1
3
1 6
X
2
1 3
X
]
3
1 1 1 6 3 2
1 )] ( ) 3
3
X
]
3
1 1 1 9 4 6 3 12
Los dos primeros son insesgados; por tanto calcularemos la varianza sólo de los que son insesgados:
V(
) V [ 16 X 1
V(
1 ) V[ ( 2 3
1
1 3
X
2
1 2
X X X 1
3
X
]
3
1 1 1 14 ² ² ² ² 0.38888889 ² 36 9 4 36
1 3 )] ( ² ² ²) ² 0.333333 ² 9 9
3
Sin duda
1
es de var ianza mínima
P4. ESTIMADORES o ESTADISTICAS SUFICIENTES Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población cuya función de densidad es f(X; ) y sea t una estadística muestral tal que T = t(X1, X2, …, Xn ). Recordemos que T = t(X1, X2, …, Xn ) es una estadística obtenida en la muestra y como tal, define el comportamiento de la muestra y un estimador obtenido a partir de esta estadística permite estimar el parámetro determinando por tanto, el comportamiento poblacional.
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n
Por ejemplo T X i = X1+ X2 + …+ Xn es una estadística; del mismo modo, i 1
T
n
X i 1
i
es otra estadística. Y podemos obtener diferentes estadísticas.
Naturalmente alguna de ellas será considerada un estimador de algún parámetro poblacional. Por tanto, si dicho estadístico contiene suficiente información acerca del parámetro poblacional a quién pretende estimarlo, diremos que es un estadístico suficiente.
Definición de Estadística suficiente. Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población cuya función de densidad es f(X; ) y sea t una estadística muestral tal que T = t(X1, X2, …, Xn ). Diremos que T es un estadístico suficiente para sí y sólo sí, la distribución condicional de X, f(X1, X2, …, Xn ) dado T = t(X1, X2, …, Xn ) es independiente del parámetro ; es decir, P(X = x / T = t ) = r(X1, X2, …, Xn ) que no depende de como sí ocurre con f(X; ).
Teorema: Criterio de la factorización Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población cuya función de densidad es f(X; ). Una estadística T = t(X1, X2, …, Xn ) es suficiente para sí y sólo sí la función de densidad conjunta f(X1, X2, …, Xn; ) puede ser factor izado como sigue: f(X1, X2, …, Xn; ) = g(t(X1, X2, …, Xn )) h(X1, X2, …, Xn ) donde g depende de X1, X2, …, Xn y h es independiente de .
Ejemplo 13
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Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población cuyo parámetro n
es . Sea T X i . Es T una estadística suficiente para ? i 1
Primera forma: Usemos la definición P(X = x / T = t ) =
P( X ; , t ( X 1 , X 1 ,...X n ) P(T t ) n
Como Xi P() µ = E(Xi) = . Si T X i E(T) = n y TP(n) i 1
n
P(T t ) P(T X ) e
(n ) t t!
Por otro lado, P( X ; , t ( X 1 , X 1 ,... X n
)e
x1
e
... e
x! x ! 1
2
n
e Luego P(X x / T t )
x2
P( X ; , t ( X 1 , X 1 ,...X n ) P(T t )
e
x1
x ! 1
x1 1
e
x!
n
n
x !
n
xn
(n )
t
t!
n x ! t
1
t!
Siendo la función resultante, independiente del parámetro , entonces la estadística T
n
X i 1
i
es una estadística suficiente para .
Segunda forma: Usemos el teorema de la factorización
En este caso hallaremos primero la función de densidad conjunta y trataremos de descomponerla factor izándola en por lo menos dos factores, f(x;) = g(x; ).h(x), uno de los cuales h(x), debe ser independiente del parámetro en cuestión. Si es así, diremos que la estadística que forme parte de g(x; ) constituirá una estadística suficiente de .
En efecto:
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; ) e n
P(
X ,X 1
Si h( x)
1
,...
X
1
i 1
e x! n
X i
X! i
X
i
e . ! x n
1
X
i
n
1
x !
entonces T X i será un estadístico suficiente de . i 1
i
Ejemplo 14 Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población cuya función de densidad es f(x; ) = x-1 , 0 < x < 1; > 0. Hallar una estadística suficiente para . Solución Usemos el teorema de la factorización. n
f(
1
x , x ,... x ; ) xi 1
2
n
i 1
Si hacemos g ( X ; )
( x ) n
1
1
x1 x 2 n
xn
h( x)
y
i
...
1
n
(
x
i
entonces T xi , parte de g, será una estadística suficiente para .
Ejemplo 15 Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población cuya función de densidad es f(x; ) = e-x , 0 < x < 1; > 0. Hallar una estadística suficiente para . Solución Encontremos primero la distribución conjunta, f(X1, X2, …Xn; ) f(X1 , X 2 , X n ; )
e
xi
e
x1
e
Hemos logrado descomponerla en g(x; ) =
x2 ...
e n
e
x1) ( x ) 1 x n
1
xn
e n
xi
e n
xi . 1
xi y h(x) = 1
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Por lo que T xi será una estadística suficiente para .
Métodos de obtención de estimadores
En el tema anterior nos hemos dedicado a verificar si un determinado estimador goza de una o más propiedades. Esto nos permitirá tomar la decisión de seleccionar el estimador que goza de la mayor cantidad de propiedades. Pero la gran pregunta que nos hacemos es: ¿Cómo obtener un estimador para un determinado parámetro? ¿Cómo o qué procedimiento debemos usar para encontrar un buen o el mejor estimador?.
Sin duda podríamos tomar una muestra y encontrar en ella uno o más estadísticos que puedan comportarse como verdaderos estimadores de algún parámetro. Esta podría una forma de encontrar estimadores. Otros procedimientos a ser utilizados son conocidos como los métodos para estimar los parámetros. En consecuencia, en esta sección nos ocuparemos del estudio de los diferentes métodos de estimación más conocidos.
Los métodos de estimación de estimación de parámetros más conocidos son: Método de los Momentos Método de Máxima Verosimilitud Método de los Mínimos Cuadrados
Método de los momentos
Antes de presentar este método, definamos lo que son los momentos de una variable. Definición de momento de una variable aleatoria
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Los momentos de una distribución variable son los valores esperados de las potencias de la variable E(Xr). La potencia de la variable indica el “orden” o grado del momento.
Notación: Usaremos
' r
para designar al momento de orden r de la variable.
Caso de una variable continua:
Y se define como
' r
E(
x ) x r
r
f ( x)dx
Observación: El momento de orden 1, de X es µ’1 = E(X1) = E(X) = µ El momento de orden 2, de X es: µ’2 = E(X2) = ² + µ² (recuerde que ² = V(X) = E(X²) – (E(x))² , desde donde hemos despejado E(X²).
1
Si X Exponencial (), entonces µ’1 = E(X ) = E(X) =
1
x
x e
dx
0
µ’2 = E(X2) =
x
2
x
e
dx
x e
x
2
0
0
x = 2
2x
x
e
0
x
e
0
1
x
e 0
1 dx 2 ²
x
e
dx 0 2 x
y que
dx
0
x
e
2 ² 0
Nota 1: Como ² = V(X) = E(X²) – (E(X) )² entonces V(X) = µ’2 – (µ’1 )²
Nota 2: Podríamos haber usado momentos para encontrar la media y varianza de cualquier variable aleatoria, sea uniforme, exponencial, normal, etc.
Caso de una variable discreta El momento de orden “r” de una variable aleatoria discreta se define como
' r
E(
x ) x p( x ) r
i 1
i
i
donde p(xi) es la función de distribución de
X Página 594 de 800
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Observación Si X Poisson() entonces: El momento de orden 1, de X es
x x x e µ’1 = E(X ) = x e x e ( x 1)! x! x ( x 1)!
i
i
1
i
1
1
i 1
i
i
i 1
i
i
i 1
i
i
Aquí hemos hecho y = x – 1. La última sumatoria es 1 ya que
e y!
j 1
yj
j
p(x) 1
Usando el mismo procedimiento podríamos hallar el momento de orden 2 de esta variable y encontraríamos que E(X² ) = ² + .
Momento muestral Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria de tamaño n, extraída de una población de parámetro µ (esto es E(X) = µ). El momento muestral de orden “r” de la variable X, n
n
define como M’r = E(Xr) =
xri
i 1
1 n
xr i 1
i
Hemos usado p(x) = 1/n ya
n
que siendo una muestra aleatoria, cada uno de los elementos de la muestra tienen igual probabilidad de ser seleccionados. Observación n
El momento muestral de orden “1” de X es M 1'
x x X i
i 1
n
n
n
El momento muestral de orden “2” de X es
M
' 2
x
2
i
i 1
n
Otra observación: n
Si restamos
M
'
2
M ' 2
1
x i 1
n
n
2
i
X 2
x i 1
2
i
2
n
x x n
n X
i 1
2
i
n
s²
Es decir, el estimador asintóticamente insesgado de ² puede ser obtenido restando al momento de orden 2, el cuadrado del momento de orden 1, de X.
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Estimación por el método de momentos Sea f(x; 1, 2, …, k) una función de densidad con k parámetros y sean µ’1, µ’2, … , µ’k los primeros k momentos poblacionales. Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de la población anterior cuya función de densidad es f.. Si M’1, M’2, …, M’k son los primeros k momentos muestrales. Si solución, en función de de las k ecuaciones
M '
i
' i
1, 2..., k es
la
i = 1, 2, …, k
Entonces diremos que dicha solución constituyen los estimadores obtenidos por el método de los momentos. Procedimiento: Obtener el primer momento poblacional y muestral. Igualando los dos resultados y despejando el parámetro, se tendrá el primer estimador. Obtener el segundo momento poblacional y muestral. Igualando los dos resultados y despejando el parámetro en cuestión y usando el estimador del primer parámetro encontrado en el paso anterior, se tendrá el estimador del siguiente parámetro. Continuar con el paso anterior hasta obtener el k – ésimo estimador.
Observación: Si la población tiene r parámetros, se deberán obtener r estimadores; esto es, resolver r ecuaciones, usando los estimadores de los primeros parámetros.
Ejemplo 16
Sea X una variable aleatoria con función de densidad f(x; ) = e-x x > 0; > 0. Si X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de la población, obtenga un estimador de por el método de los momentos. Solución
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Puesto que la población dada sólo tiene un parámetro, = , deberemos resolver sólo una ecuación. Para ello empezamos obteniendo el primer momento muestral y poblacional:
M
' 1
' 1
X X
(1)
n
x
x e
E( X )
0
dx
1
(2)
En realidad no era necesario integrar puesto que, siendo exponencial la función dada, por propiedades E(X) = 1/.
Ahora, formando la ecuación (1) = (2), obtenemos:
concluir que
1 X
1 con lo cual podemos X
es el estimador de
Ejemplo 17
2
Dada la función de densidad poblacional f(x; ) ( x) ²
0 x . Estímese
por el método de los momentos. Solución Momento muestral de orden 1:
M
' 1
X X n
Momento poblacional de orden 1:
2 2 x ² x 3 E ( X ) x ( x)dx 1 ² ² 2 3 0 3 0 '
Igualando ambos momentos obtenemos
3X
Observación: Si la muestra fuera de tamaño 2, el estimador de = 3(X1+X2+X3)/2
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Ejemplo 18
Sea
X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de la población N ( , ²) .
Obtenga los estimadores de los parámetros µ y ² por el método de los momentos. Solución Puesto que la población posee dos parámetros, deberemos resolver dos ecuaciones: Momento muestral de orden 1:
M
' 1
X X n
Momento poblacional de orden 1:
' 1
E ( X ) , puesto que la población es
normal.
Igualando los dos términos obtenemos: Momento muestral de orden 2:
M
Momento poblacional de orden 2: entonces E( X ²) ² ². Luego Igualando
X ² ² ²
2
' 2
2
(1)
n ' 2
E ( X 2 ) . Como ² = V(X) = E(X²) – (E(X))²
E( X 2 )
²
(1)
n
X
'
X
de donde
2
(2) y
X² ² X²
²
n
n
X
(2): 2
X ² n X ² s² n
Estimación por el método de máxima verosimilitud
Función de verosimilitud La Función de Verosimilitud de n variables aleatorias independientes X1, X2, …, Xn es la función de densidad conjunta de las n variables g(X1, X2, …, Xn; ) . Esto es, si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población cuya función de densidad es f , y su parámetro es , diremos que g(X1, X2, …, Xn; ) constituye la Función de Verosimilitud de dichas variables.
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En otras palabras: g(X1, X2, …, Xn; ) = f(X1; ). f(X2; )… f(Xn; ) = n
f ( x ; ) i 1
i
Observación:
Para hallar la función de verosimilitud de n variables es suficiente multiplicar n veces su función de densidad.
Ejemplo 19 Si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población es exponencial, encuentre la función de verosimilitud para estas variables.
Solución x
Si X1 E(), entonces f ( xi ; ) e Luego g(X1, X2 , … Xn; ) =
n
.
f ( x ; ) e
x
i
i 1
x
e
...
x
e
e n
xi
Nota: Para simplificar las expresiones, si es posible, podríamos obviar el uso de los subíndices, como en la expresión anterior, pero siempre teniéndolos presente. Además, si usamos g(X1, X2 , … Xn; ) podríamos simplificarlo por g(X; ).
Ejemplo 20 Si X1, X2, …, Xn es una muestra de tamaño n, con Xi N(µ, ²), encuentre la función de verosimilitud para estas n variables.
Solución Puesto que f ( xi ; , ²)
1
2
1 x 2
e
2
, la función de verosimilitud será
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f(
; , ²) i
x
n
i 1
1 2
1 x i 2
e
1 2
1 x i 2
e
1 2
1 x i 2 ...
e
1 x i 2
1 2
e
n
1
(2 )
n/2
n
1 n 2 i 1
i
x
e
2
n / 2
1 2
(2 ) e n
x 2 1
2
Ejemplo 21 Si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población con función de densidad f(x; 1, 2) encuentre la función de verosimilitud para estas variables, donde
f ( x;1 , 2 ) 2 1
x 1
2 1
0 x 1
1 0 2 0
Solución Usando la definición: f(x;1 , 2 ) 2 i 1 1 n
xi 1
2 1
n 2n 1
i 1
x
2 1
n 2n 1
x
( 2 1)
i
1 (
2
1)
n 2n 1
x 1
n ( 2 1)
i
n ( 2 1)
Estimador máximo -verosímil Sea L() = g(x1, x2, …, xn; ) la función de verosimilitud para las variables x1, x2,
…, xn. Si = t(x1, x2, …, xn) es el valor de que maximiza a L(); es decir,
L( ) Max{L( )} diremos entonces que = t(x1, x2, …, xn) es el Estimador
Máximo Verosímil de .
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Observaciones Recordemos que, si f(x; ) es la función de densidad poblacional y x1, x2, …, xn es una muestra aleatoria entonces L(x; ) = f(x1; ) f(x2; )… f(xn; ) Condición de regularidad: El estimador máximo verosímil (EMV) satisface la siguiente ecuación:
L( x; ) 0
La función L(x; ) y log(L(x; )) tienen su máximo en el mismo valor de . Y como se puede apreciar, usando la observación anterior, será más conveniente usar log(L(x; )) en lugar de L(x; ) para derivar y hallar su máximo. n
Si L(x; ) contiene k parámetros; esto es, si L(1 , 2 ... k ) f ( x;1 , 2 ... k ) los 1
EMV de cada uno de estos parámetros son estadísticos de la muestra
1 t1 ( x1 , x2 ...xn ), 2 t 2 ( x1 , x2 ...xn ), ... k t k ( x1 , x2 ...xn ) que maximizan L(x; ).
Para el caso de múltiples parámetros, en el caso de que se satisfaga las condiciones de regularidad, el punto en el cual L(x; ) es máxima es una solución del sistema: L(1 , 2 ,... k ) 0 1 L(1 , 2 ,... k ) 0 2
……………….. L(1 , 2 ,... k ) 0 k
Usar Ln(…) es más adecuado que usar log(…).
Nota: Procedimiento a seguir para obtener el Estimador Máximo Verosímil (EMV): Paso 1: Obtener la función de verosimilitud L(X; ) Paso 2: Tomar Ln(L(X; )) y simplificar todo lo posible Paso 3: Obtener las derivadas parciales respecto a cada parámetro
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Paso 4: Igualar a cero las ecuaciones resultantes en el paso anterior Cada una de las soluciones encontradas constituirá un EMV de .
Ejemplo 22 Si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población es exponencial con f(x; ) su función de densidad, obtenga un estimador máximo verosímil para =
Solución x
Si X1 E(), entonces f ( xi ; ) e
.
Usando el procedimiento: 1: L(X;) = L(X1, X2 , … Xn; ) =
n
f ( x ; ) e
x
i
i 1
x
e
...
x
e
e n
xi
2: Ln[L(X;)] = n Ln - X 3: Como solo hay un parámetro, derivaremos respecto a . Ln[ L( x; )] n
X
4: Igualando a cero:
El EMV de es
n
X 0
n
X
n
X
1 X
1 X
Ejemplo 23 Si X1, X2, …, Xn es una muestra de tamaño n, con Xi N(µ, ²), obtenga el EMV para µ y ². Solución Puesto que f ( xi ; , ²)
1
2
1 x 2
e
2
1 2 ²
1 x 2
2
e
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n
La f. de ver. L(X; µ,²)
1 2 i 1
1
(2 ²)
n/2
e
i
x n
2
(2 ²) e n / 2
x 2 1 1
2
2
Ln [ L(X; µ,²) ] = n 1 Ln(2 ²) 2 2
X ²
2
n n 1 Ln(2 ) Ln ² 2 2 2
X
2
²
( X ) Derivando respecto a µ: Ln[ L( X ; , ) 0 0 1 2 X (1)
2 ²
²
Igualando a cero: (X - µ ) = 0, simplificando X - n µ = 0 de donde X Derivando respecto a ²:
Ln[ L( X ; , ) n 2 1 0 2 ² 2
X .(2 2
3
Igualando a 0 y despejando ².
n
X ² 0 ² X ² X X ²
3
n
n
Luego los estimadores MEV de µ y ² son: X y ²
X X ² n
respectivamente.
Ejemplo 24 Si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población con función de densidad f(x; 1, 2) f ( x;1 , 2 ) 2 1
x 1
2 1
0 x 1
1 0 2 0
Hallar una estadística suficiente para = (1, 2 ) Obtener el EMV para 1/2 suponiendo que 1 es conocido.
Solución Recordemos que para obtener una estadística suficiente para un parámetro debemos encontrar la función de distribución conjunta de X. Esta función es equivalente a encontrar la función de verosimilitud. Por lo que
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F(X1, X2, …, Xn; 1, 2 ) = 2 1
x 1
2 1
X n
i
2 n
n
1
1
T
1 Xi
2 1
Desdoblemos en dos factores g(X; ) y h(x)
X =
2
n
2
i
n
1
1 Xi
Según
esto,
es
una
estadística
suficiente.
La función de verosimilitud: L(X; 1, 2 ) = 2 1
x 1
2 1
X 2 n 1 n
n
1
i
2 1
Tomando logaritmo: Ln[L(X; 1, 2 )] =
nLn
2
nLn
( 2 1) Ln 1
X
n 1
i
Derivando respecto a 2 e igualando a cero ( sabiendo que 1 es conocido):
Ln[ L( X ; 1 , 2 )] n 0 Ln 2 2
n
2
Ln
X
n 1
i
1 1 Ln(1 ) n
X
1
X
i
n
i
0
Ejemplo 25
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Si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población poisoniana con f(x; ) e x!
función de densidad
x
. Encuentre el EMV para .
i
Solución
x La función de verosimilitud: L(X; ) = L(x;) e e x x!
x
n
i
i
i
Tomando logaritmo: Ln[ L( X ; )] n X Ln Ln X i
Derivando respecto a :
Ln[ L( X ; )] n
X
1 i
0
de donde X será el EMV.
Ejemplo 26 Si X1, X2, …, Xn es una muestra aleatoria extraída de una población función de densidad f ( x; ) (1 x) (1 )
x 0, 0
Hallar el estimador de por el método de los momentos, suponiendo que > 1 Hallar el EMV de 1/. Solución
X
'
M
1
Momento poblacional de X, de orden 1:
Momento muestra de X, de orden 1:
n ' 1
i
X
E ( x) x (1 x) (1 ) dx
Usando integración por partes y evaluando adecuadamente, tenemos
x(1 '
1
x) 0
(1 x) 1 1 1 (1 x) dx 0 (0 1) 1 0 1 1 0
Igualando los dos momentos: X
1 1 X , de donde 1 X
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La función de verosimilitud: 1
L( X ; )
n
1 x 1
1
(1 )
i
1
1
n
1 xi x 1 n
1 (1 )
Tomando Ln: Ln[ L( X ; )] nLn (1 ) Ln (1 xi 1
Derivando respecto a :
1
Ln[ L( x; 1 )] 1
1
n Ln 1/
(1 x ) i
n
Igualando a cero: n Ln (1 xi ) de donde
Ln(1 x ) i
x 1
n
Estimación por el método de los mínimos cuadrados
Las poblaciones desde las cuales hemos extraído muestras aleatorias, presentan una distribución o función de densidad definida por una sola variable aleatoria. En base a ella, la teoría de la estimación puntual ha tratado de encontrar una estadística en la muestra capaz de ser usada como un estimador para cada uno de los parámetros de dicha población; esto es, los modelos poblacionales estudiados usan una sola variable.
Sin embargo, los modelos reales provienen de poblacionales con múltiples variables. Por ejemplo, si hablamos de la función de distribución de los ahorros de una familia, esta variable no sólo dependen de sus ingresos sino también de sus gastos, de su renta, de los impuestos que paga, etc.
De manera que el modelo general para este tipo de poblaciones, podríamos formularla como f(X1, X2, …, Xk; 1; 2, …, k ; e) = 0 .
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Una forma simplificada de este modelo puede ser expresado como Yi = g(X1i, X2i, …, Xki; 1; 2, …, k ) + ei ; i = 1, 2, …, n donde la variable 1; 2, …, k son los parámetros a ser estimados y ei son variables que deben satisfacer las siguientes condiciones:
E(ei) = 0 Var(ei) = ² Cov(ei , ej ) = 0
Nota: 1. Una de las formas del modelo Yi 0 1 X 1 2 X 2 ... k X k e 2. El modelo general Yi = g(X1i, X2i,…, Xki; 1; 2,…,k ) + ei ; i = 1, 2,.., n
Estimador minimo cuadrático Sea Yi = g(X1i, X2i,…, Xki; 1; 2,…,k ) + ei ; i = 1, 2,., n . Diremos que
( 1 , 2 ,..., k ) es un Estimador Mínimo Cuadrático (EMC) de (1 , 2 ,..., k )
siempre que minimice a la función G( ) G((1 , 2 ,..., k )
n
n
e [Y i 1
2
i
i
g (1 , 2 ,..., k )]2
i 1
esto es G( ) Min[G( )]
Procedimiento: Paso 1: Dada la función Yi = g(X1i, X2i,…, Xki; 1; 2,…,k ) + ei , despejar ei ; elevar al cuadrado y sumar para i = 1, 2, ..., n; esto es, obtener n
n
e [Y g ( , ,..., i 1
2
i
i
1
2
2 k )]
i 1
Paso 2: Derivar a esta sumatoria, respecto a cada uno de los parámetros e igualar a 0 Paso 3: Resolver el sistema de k ecuaciones
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El conjunto de soluciones obtenidas, constituirán los valores de estimaciones mínimo cuadráticos de los respectivos parámetros.
Ejemplo 27
Sea Yi = A + BXi + ei el modelo lineal en donde Y constituye la variable explicada y X, la variable explicativa. Supongamos que X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria extraída de esta población. Obtenga los EMC de los parámetros A y B.
Solución Paso 1: ei = Yi – (A + BXi )
Paso 2:
G(A,B) = e²i = [Yi – (A + BXi )]² G 2 B
G 2 A
[Y ( A BX )]( X )
[Y ( A BX )](1)
Paso 3: Igualando a 0 las dos ecuaciones: [Y – (A + BX)] = 0
Y – nA - BX
[XY – AX – BX²] = 0
XY - AX - BX² = 0 (2)
=0
(1)
Paso 3: Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
B
n
XY X Y n X ² X 2
y
AY B X
Que son los estimadores mínimo cuadráticos de Y = A + BX + e
Ejemplo 28
Supongamos que 8 ejemplares de cierto tipo de aleación fue producido en diferentes temperaturas y que se observó la durabilidad de cada ejemplar. La
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siguiente tabla muestra estos datos donde Xi representa la temperatura y Yi la durabilidad del i-ésimo ejemplar, Ajustar una línea recta de la forma Y = + X + e a estos valores por el método de los mínimos cuadrados. i
Xi
Yi
1
0.5
40
2
1
41
3
1.5
43
4
2
42
5
2.5
44
6
3
42
7
3.5
43
8
4
42
Ajustar una parábola de la forma Y = 0 + 1X + 2X² + e a estos valores por el método de los mínimos cuadrados.
Solución Usando la solución del ejemplo anterior, si Y = + X + e, entonces
n
XY X Y n X ² X
y
2
Y B X
Para calcular estos estimadores las sumatorias correspondientes son: X = 18 Y= 337
XY = 764
X² = 51
Con lo cual 40.8928571
0.54761905
Por lo que la recta estimada será: Y 40.89286 0.54761905X
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ei =Yi – (0 + 1X +2X²) G(0, 1; 2) = e²i = [Yi – (0 + 1X +2X²)]²
Derivando respecto a cada parámetro, simplificando e igualando a cero: Respecto a 0 : Y – n0 - 1X - 2X² = 0
(1)
Respecto a 1 : XY – 0X- 1X² - 2X3 = 0
(2)
Respecto a 2 : X²Y – 0X²- 1X3 - 2X4 = 0
(3)
Resolviendo dicho sistema: 2[
X ( X ²)² n X X X ² ] n X ² ( X )² n X X X ² n X Y X ² Y n XY X Y n X ² ( X )² n X X X ² 4
n
3
3
2
3
Sin despejar 2 , reemplazamos las respectivas sumatorias y encontramos: 2 = -0.64285714 1 = 3.44047619 0 = 38.4821429 Con lo cual, la ecuación parabólica estimada es: Y = 38.482 + 3.441X – 0.643X²
Nota: El archivo Solución estimación puntual.docx contiene muchos ejercicios resueltos.
15.3
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
¿Porqué estimar por intervalo?
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El estudio de la estimación puntual nos ha permitido analizar uno o más estadísticos de la forma T = t(X1, X2,…, Xn) y determinar si éste puede ser un buen estimador
de .
Y gracias al fundamento teórico en el cual nos basamos para deducir que
es un
estimador del parámetro , podemos inferir, deducir o aproximar un valor a dicho parámetro de manera que , sin conocer su verdadero valor, podemos aproximarnos a él con sólo encontrar el estadístico en la muestra, capaz de ser usado como su estimador.
Por ejemplo: Si a una muestra de 40 trabajadores de la empresa CONSIL de 320 trabajadores se les pregunta por sus ingresos familiares y se encuentra que el ingreso medio en la muestra es de 1200 soles, la estimación puntual nos permitirá estimar el ingreso familiar promedio de todos los trabajadores y afirmar que dicho promedio es de 1200 soles.
En este caso, con n = 40, y X =1200, podemos esperar que todos los trabajadores de la empresa, tengan un ingreso familiar promedio de 1200 soles; esto es, µ = 1200
ya que X es un buen estimador de = µ porque es insesgado, es consistente y puede ser más eficiente que otros; es decir, 𝐸(X) = μ = 1200
Pero esta forma de estimar el promedio poblacional tiene un altísimo riesgo de no ser cierto.
Veamos la siguiente presentación abriendo el siguiente archivo y ejecutando la presentación.
El archivo es Intervalos.ppsx.
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Después de haber observado y tomado nota las definiciones dadas en la
presentación, si el estadístico para
es el estimador de
, el Intervalo de Confianza
se define como
Y si definimos a 100(1 - ∝)% como el Nivel de confianza, entonces ̂− 𝜺 ≤ 𝜽 ≤ 𝜽 ̂ + 𝜺 ) = 𝟏− ∝ 𝑷(𝜽
En este capítulo estudiaremos la estimación por intervalos para los parámetros poblacionales.
Gráficamente podemos visualizarlo en la figura6.1: ε = | 𝜃̂ − 𝜃 | representa el error de estimación. ̂ + 𝜺 ) - (𝜽 ̂ − 𝜺) representa la longitud del intervalo. |L = 2ε =( 𝜽
1-∝ ∝ ̂−𝜺 𝜽
∝ 𝛉
̂+𝜺 𝜽
Figura 6.1
15.4
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
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Si aplicamos lo dicho líneas arriba a la media poblacional, tendremos:
| ) P( X ) P( X ) 1
(1)
P(|
Cuando la varianza poblacional es conocida El intervalo de confianza del 100(1-)% para µ será, X X
(2)
En este intervalo sólo falta determinar el valor de ε. Esto lo haremos usando la distribución normal ZN(0, 1) y puesto que la distribución muestral de X N ( ,
² n
).
Entonces P( X ) P(
X
n
n
) 1 1
De donde 2(
) P( Z ) 1 n
n
esto implica que (
n
n
) 1 2 n
De acuerdo a la N(0, 1),
Z 1 y despejandoε, tenemos Z 1 2 2 n n
Luego el Intervalo de confianza del 100(1-∝)% para μ, cuando σ² es conocida, es:
X
Z
1
2
n
X
Z
1
2
n
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La siguiente figura muestra el Intervalo de confianza del 100(1-)% para la Media
/2
Error
/2
μ
Figura 6.2
Nota importante: Si el muestreo es sin reposición y el tamaño poblacional es finito, el intervalo será
X
Z
1
2
n
N n N 1
X
Z
1
2
n
Y se define como longitud del Intervalo a L / L 2 Z 1 De manera que 𝜀 =
N n N 1
2
n
𝐿 2
Observación importante: Uso de MS EXCEL en la Estimación por Intervalos
El programa Excel no dispone de herramientas para resolver problemas de estimación por intervalos en el caso de la media cuando la varianza poblacional es
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conocida; es decir, cuando se debe usar la distribución normal. Sólo tiene para los casos en los cuales la varianza poblacional no es conocida.
Sin embargo, hemos implementado alguna rutina de cálculo de los intervalos de estimación para estos casos y como complemento para todos los caso de estimación por intervalo. Lo veremos más adelante.
Estimación del tamaño de la muestra
Si Z 1
2
n
entonces
n Z
2 1 / 2 2
2
Esta fórmula supone que el muestreo se realiza con reposición o, si fuera sin reposición, la población se supone infinita o no se conoce, en cuyo caso se supone infinita. Por el contrario, si el muestreo se realiza sin reposición, que es lo usual y la población es finita, entonces 𝜎𝑋 =
n
N n N 1
Por lo que, cuando el tamaño poblacional es finito y se conoce el tamaño poblacional, el tamaño de la muestra es
𝑛=
2 𝑁𝑍1−𝛼/2 ∗ 𝜎2 2 (𝑁 − 1)𝜀 2 + 𝑍1−𝛼/2 ∗ 𝜎2
Nota: Como es probable que no se conozca la varianza poblacional y no se tenga idea de su valor, se debe realizar una muestra piloto de 15 o 20 elementos, con lo cual, el punto de partida no será tan vago.
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Ejemplo 29 Una máquina llena espárragos procesados en bolsas cuyo peso medio es μ gramos. Suponga que la población de los pesos es normal con σ = 20 gramos. Si una muestra aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos, Estime μ mediante un intervalo de confianza del 95%.
Solución Puesto que la varianza poblacional es conocida, usaremos la distribución normal en donde el intervalo de confianza para μ es
X
Z
1
2
n
X
Z
1
2
n
Por datos del problema tenemos: n = 16; 𝑋 = 495 ; 1 - α = 0.95; σ = 20 Si 1- α = 0.95 entonces α/2 = 0.025, con lo cual 𝑍1−𝛼⁄2 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑁𝑜𝑟𝑚. 𝐼𝑛𝑣(0.025,0,1) = 1.96 Reemplazando todo esto en el intervalo dado encontraremos: 485.20 ≤ μ ≤ 504.80
Mediante Excel:
Abra el archivo Estimación por intervalos.xlsm y vaya a la hoja IC Media 1. El segmento del lado izquierdo será usado para problemas de media cuando la varianza poblacional es conocida. Como tenemos de datos la desviación estándar, ingresamos 20 en C7; la media muestral en C9; el tamaño de la muestra en C10 y el nivel de confianza en porcentaje en C11.
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Luego de esto se puede apreciar, en la fila 20 tenemos la respuesta.
Ejemplo 30
Una gran preocupación del departamento psicopedagógico de un instituto militar es conocer los niveles de ansiedad de sus cadetes en el momento de rendir la última prueba que les permitirá el acceso al rango de oficiales. Se sabe que estos niveles en promociones pasadas ha tenido un promedio de 75 puntos con una desviación estándar de 10 puntos. Si se decide extraer una muestra de 100 cadetes y en ella se encuentra un nivel promedio de 70 puntos; ¿Cuál será el intervalo de confianza del 95% que nos permita estimar el nivel medio de ansiedad actual de todos los cadetes de la misma promoción?
Solución Según los datos, σ = 10; μ = 75; n = 100; 1 – α = 0.95; X =70. Si 1 – α = 0.95, entonces Z1 – α/2 = 1.96. Con estos datos y reemplazándolos en la fórmula, el intervalo del 95% para μ es 68.04 ≤ μ ≤ 71.96 Luego podemos afirmar que el nivel medio de ansiedad de los cadetes de la promoción ha disminuido.
Mediante Excel Como en el ejemplo 1, ingrese los datos en las celdas correspondientes de la hoja IC Media 1.
Ejemplo 31
Se desea estimar los montos impagos del año anterior en la municipalidad de san Juan de Lurigancho a fin de declarar una moratoria y puedan regularizar sus
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tributos. Se sabe que en el año anterior la desviación estándar de dichos montos fue S/. 35. a) ¿Cuál será el tamaño de muestra necesario de contribuyentes, si se desea tener
un margen de error no mayor a 8 soles, con una seguridad del 95%? b) Si se sabe que el municipio tiene 25000 contribuyentes, ¿cuál será el tamaño de
muestra necesario de contribuyentes, si se desea tener un margen de error de 5 soles con una seguridad del 95%?
Solución Según los datos: σ = 35 a) 1 – α = 0.95; ε = 8; Como
n Z
2 1 / 2 2
2
,
reemplazando tenemos 𝑛 =
2 𝑍0.975 (352 )
82
=
1.962 ∗1225 64
= 73.53
Con lo cual n = 74 En este caso hemos usado 𝑍1−𝛼/2 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟. 𝑛𝑜𝑟𝑚. 𝑖𝑛𝑣(0.975,0,1) = 1.955996389 = 1.96 b) En este caso, puesto que el tamaño poblacional es conocido, supondremos población finita y muestreo sin reposición, con lo cual, el tamaño de muestra requerido será: 𝑛=
2 𝑁𝑍1−𝛼/2 ∗𝜎 2 2 (𝑁−1)𝜀 2 +𝑍1−𝛼/2 ∗𝜎2
=
25000(1.962 )35^2 (25000−1)52 +1.96²2(352 )
= 186.839 ≅187
Cuando la varianza poblacional es desconocida
En este caso debemos analizar dos situaciones: i) Cuando el tamaño de muestra es menor o igual a 30; (n ≤ 30).
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Según hemos visto en distribuciones muestrales de la media muestral, cuando se desconoce la varianza poblacional y se supone que la población desde donde se extrae la muestra es normal, la variable
X t (n 1) . s n
En este caso, el intervalo de confianza del 100(1-α)% para μ es
X
t
1
(n 1) 2
s n
X
t
1
(n 1) 2
s n
ii) Cuando el tamaño de muestra es mayor que 30 (n > 30)
Se sabe que cuando el tamaño de muestra es mayor que 30, la distribución t de Student se aproxima a una distribución Normal N(0, 1) pues la población desde donde se extrae la muestra se supone normal. En este caso, el Intervalo de confianza para la media poblacional viene dado por
X
Z
1
2
n
X
Z
1
2
n
Nota: Para la estimación del tamaño de muestra con varianza desconocida, se usará la varianza de la muestra como estimador puntual de la varianza poblacional y si no se conoce tampoco s², se debe tomar una muestra piloto, tomando como n = 10 y calcular s².
Ejemplo 32 Página 619 de 800
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Ilumina SA, fabrica focos cuya duración tiene una distribución normal. Si una muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas: 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795, 780, 810. Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de confianza del 95%.
Solución Se conoce σ²? ............. Tamaño de muestra? ……………. Qué distribución usamos? .............................. Por qué? ........................................
Recuerde entonces que en este caso debemos usar la distribución t de Student pues la varianza poblacional no es conocida.
Procedimiento Ingrese los datos a una hoja vacía del Excel, hacia la celdas: B2:B10 En B1 ingrese “Duración” Seleccione el rango B1:B10, usando - En A12 ingrese “Media = “ En A13 ingrese “Varianza = “ En A14 ingrese “Desv. est.=” En B12 ingrese la fórmula: =Promedio(Duración) En B13 ingrese la fórmula: =Var(Duración) En B14 ingrese la fórmula: =Raiz(B13) En A15 ingrese “Valor de t” En B15 ingrese la fórmula: =distr.t.inv(0.05,8) Recuerde que el valor de t (9-1) y con un nivel de confianza del 95% es t1-α/2 (n-1) = t0.975(8) =distr.t.inv(0.05,8) = 2.306 Usando X
t
1
(n 1) 2
s n
X
t
1
(n 1) 2
s n
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Obtenemos: 781.406 ≤ μ ≤ 798.594
Abra el archivo Sol ejemplos.xlsx para ver la solución. Del mismo modo puede abrir Estimación por intervalos.xlsm y use el lado derecho de la hoja IC Media 1.
Ejemplo 33
Extraída una muestra de 30 cajas de un determinado producto de exportación, se midieron sus pesos y se obtuvieron los siguientes resultados: 250
275
287
298
307
322
265
277
289
301
309
324
267
281
291
303
311
328
269
283
293
306
315
335
271
284
293
307
319
339
Usando Intervalo de confianza, diga Usted si ésta muestra confirma la afirmación de que el peso medio de cada caja del lote debe ser de 300 Kg. Use = 0.05
Sugerencia: Abra el archivo Sol Ejemplos.xlsx y vaya a la hoja Ejemplo 05. Confirma o rechaza la afirmación? .............................. Evidentemente, puesto que el peso medio de 300 Kg no está dentro del intervalo encontrado, no se confirma la afirmación.
Ejemplo 34
En una fábrica, al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes medidas para los diámetros de dichas piezas.
10 11
11
11
12
12
12
12
13
13
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13 13
13
13
13
13
13
13
13
13
14 14
14
14
14
15
15
15
16
16
Estimar la media y varianza Construir el intervalo del 95% de confianza para la media
Sugerencia: Ingrese los datos a una hoja del Excel y proceda como en el Ejemplo 03. Puede usar también el archivo Estimación por intervalos.xlsm. Luego de calcular la media y desviación estándar de la muestra, puede usar el lado derecho de la hoja IC Media 1.
15.5
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de n poblaciones Bernoulli en donde Xi = 0 ó 1; éxito o fracaso. Si 𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 representa el número de éxitos en la muestra, entonces X B(n,π) donde μ = nπ y σ² = nπ(1-π).En este caso el parámetro es la proporción de éxitos, πpuesto que la población es Bernoulli, con p, la probabilidad de éxito y π = np .
En una muestra aleatoria, el estadístico = p debe ser un estimador de
= π.
De manera que el Intervalo de confianza para la proporción poblacional, π, proviene de
P(| | ) 1
Es decir
P( | p | ) 1 Esto indica que p p será el intervalo.
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Usando el Teorema del Límite central y estandarizando
P(
p(1 p) n
p p(1 p) n
p(1 p) n
) 1
podemos usar la inversa en una distribución normal y afirmar que el intervalo de confianza del 100(1-α)% para π es
p
Z
1
p(1 p) n
2
p
Z
1
2
p(1 p) n
Observación importante
¿Cuál es el Intervalo de confianza de la proporción poblacional en los casos de muestreo sin reposición o si la población desde donde se extrae la muestra es finita? Respuesta:
p
Z
1
p(1 p) N n n N 1
2
p
p
Z
1
2
p(1 p) N n n N 1
Tamaño de muestra para la proporción
En el caso de la proporción poblacional, el tamaño de muestra se estima por
n Z
2 1 / 2
(1 )
2
Si no se conoce π, se usa π = 0.5
Si se conoce el tamaño poblacional
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n
Z
2
p(1 p) N
2 1
2
( N 1) Z 1 p(1 p) 2
2
Ejemplo 35
Una compañía dedicada al estudio de encuestas de opinión, decidió realizar una encuesta sobre el voto en urna de una determinada población electoral. Para ello tomó una muestra aleatoria de 600 electores que terminaban de votar y encontró que 240 de ellos votaron a favor del candidato de la reelección. a) Estimar el porcentaje de electores a favor de la reelección en toda la población, usando un nivel de confianza del 95%. b) Si la proporción a favor de la reelección se estima en 40%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación, si se quiere tener una confianza del 98%? c) Si con la misma muestra la proporción a favor del candidato R se estima en 38% con una confianza del 98% de que el error no es mayor a 4.62%, ¿se puede proclamar al candidato a la reelección como ganador de la contienda? d) Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de otra muestra, si se desea tener una confianza del 94% de que el error de estimación de no sea superior al 2%?
Solución Sea π: la proporción de electores a favor de la reelección Y p: la proporción de electores a favor de la reelección en la muestra Según los datos: n = 600; m = nro. de electores a favor de la reelección = 240, con lo cual diremos que p = 240/600 = 0.40 a) Como sabemos, el intervalo de confianza para una proporción (que asumimos infinita ya que N no es conocido) es
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p
Z
1
2
p(1 p) n
p
Z
1
p(1 p) n
2
Como el nivel de confianza es del 98% , 1 - /2 = 0.975 y Z1 - /2 = 1.96
Reemplazando estos datos y simplificando, tenemos: 0.3608 ≤ π ≤ 0.4392
Usando Excel
Abra el archivo Estimación por intervalos.xlsm y vaya a la hoja IC proporción. En D4 ingrese el tamaño de la muestra; en D5 ingrese el número de votos a favor (240) y en D7 ingrese el nivel de confianza (en porcentaje).
b) Como el nivel de confianza debe ser del 98%, entonces Z1 - /2 = 2.32635 Si p = 0.40 y el Error de Estimación es Z 1 2
2
p(1 p) n
Reemplazando valores y simplificando tenemos: ε = 0.046527 En este caso el intervalo de confianza será: 0.40 – 0.0466 < π < 0.40 + 0.0466 Esto es 0.3534 ≤ π ≤ 0.4466 c) Para el candidato R, se tiene p = 0.38; n = 600; Z1 - /2 = 2.32635; ε = 0.0462 El intervalo correspondiente será: 0.38 - 0.0462 θo : Interpretado como “El parámetro es mayor a θo “
Modelo C: Llamado también De cola bilateral Ho: θ = θo : Interpretado como “El parámetro es igual a θo “ H1: θ ≠ θo : Interpretado como “El parámetro no es igual a θo “
Estadístico de la prueba Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria extraída de una población de parámetro θ. Sea 𝜃̂ = t = T(X1, X2, …, Xn ) un estadístico de la muestra. Diremos que θC es el estadístico de la prueba, al valor obtenido a partir del estadístico 𝜃̂ , tomando en cuenta la distribución muestral de dicho estadístico tomado como una variable muestral. Al estadístico de la prueba lo denotaremos por 𝜃𝐶 . Valor o valores críticos Son los valores para los cuales se tiene a α como probabilidad. En el caso del modelo de cola a la izquierda, el valor crítico es θα En el caso del modelo de cola a la derecha, el valor crítico es θ1-α
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Y en el caso de dos colas o prueba bilateral el valor del nivel de significación
α
se
divide en dos valores iguales: α/2 y 1-α/2.
Estos valores se puede apreciar en las tres siguientes gráficas correspondientes a los tres modelos: cola izquierda, derecha y doble cola.
1-α
α
α/2
𝛉α
𝛉1-α
α/2
𝛉α/2
𝛉1-α/2
Figura 7.1
Estos cuatro valores se obtendrá usando el procedimiento de la inversa en la distribución que le corresponda. Hemos usado la gráfica de la campana de Gauss sólo como un medio para representar la posición de estos valores críticos según corresponda al modelo de hipótesis en cuestión.
Regiones de aceptación y rechazo de la hipótesis nula
Cualquiera que sea el modelo de hipótesis nula Ho, implica el rechazo o la aceptación (preferiremos decir que no se rechaza Ho) de la misma.
Puesto que la comprobación de la validez de Ho se realiza con los datos muestrales, entonces el espacio de los valores muestrales se divide en dos regiones: La región de rechazo de Ho o región crítica y la región de aceptación o de no rechazo de Ho.
Para definir ambas regiones usaremos gráficos tomando en cuenta la campana de Gauss (forma de la curva normal o t de Student). El mismo esquema se presenta si se toma la curva correspondiente a las distribuciones Chi cuadrado o F de Fisher.
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Para el modelo A: Ho: θ ≥ θo : Interpretado como “El parámetro no es menor a θo “ H1: θ < θo : Interpretado como “El parámetro es menor a θo “
Figura 7.2
α 𝜽𝜶 Región de rechazo
Región de aceptación
⏞ / 𝜃̂ < 𝜃𝛼 } 𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 = {𝜃 ⏞ / 𝜃̂ ≥ 𝜃𝛼 } 𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = {𝜃
Modelo B: Ho: θ ≤ θo : Interpretado como “El parámetro no es mayor a θo “ H1: θ > θo : Interpretado como “El parámetro es mayor a θo “
Figura 7.3
𝜽𝟏−𝛼 Región de rechazo Región de aceptación
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𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 = {𝜃̂/ 𝜃̂ > 𝜃1−𝛼 } ⏞ / 𝜃̂ ≤ 𝜃1−𝛼 } 𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = {𝜃
Modelo C: Ho: θ = θo : Interpretado como “El parámetro no es mayor a θo “ H1: θ ≠ θo : Interpretado como “El parámetro es mayor a θo “ 𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 = {𝜃̂⁄𝜃̂ < 𝜃𝛼 ó 2
𝜃̂ > 𝜃1−𝛼 } 2
𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = {𝜃̂⁄𝜃𝛼 ≤ 𝜃̂ ≤ 𝜃1−𝛼 } 2
α/2
α/2 𝜽𝛼/2
Región de
2
𝜽𝟏−𝛼/𝟐 Región de aceptación
rechazo
Región de rechazo
Figura 7.4
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7.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA
Nota Previa: El programa Excel sólo dispone de herramientas para realizar las siguientes pruebas de hipótesis en el caso de comparación de dos parámetros: ** Prueba para diferencia de media con varianzas conocidas ** Prueba para la razón de varianzas ** Prueba para diferencia de media con varianzas desconocidas e iguales ** Prueba para diferencia de media con varianzas desconocidas y diferentes. ** Prueba para datos pareados. Su deficiencia es que se debe tener la lista de los elementos de ambas muestras. Nosotros hemos desarrollado macros para todos los casos y se encuentran implementados en el archivo Docimasia.xlsm y su manejo es muy trivial.
Cuando la varianza poblacional es conocida
Modelo de cola a la izquierda: Ho: μ ≥ μo H1: μ < μo
Valor crítico: Zα = Distr.Norm.Inv(α, 0,1)
Estadístico de la prueba: 𝑋 − 𝜇0 𝑍𝐶 = 𝜎 ⁄ 𝑛 √ El estadístico de la prueba es el mismo para los tres modelos.
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Criterio de decisión: Si 𝑍𝐶 < Zα
entonces se rechazará la hipótesis nula; en caso contrario no se
rechazará.
Modelo de cola a la derecha: Ho: μ ≤ μo H1: μ > μo
Valor crítico: Z1-α = Distr.Norm.Inv(1-α, 0,1)
Criterio de decisión: Si 𝑍𝐶 > Z1-α
entonces se rechazará la hipótesis nula; en caso contrario no se
rechazará.
Modelo de cola bilateral: Ho: μ = μo H1: μ ≠ μo
Valor crítico: Z1-α/2 = Distr.Norm.Inv(1-α/2, 0,1) Zα/2 = Distr.Norm.Inv(α/2, 0,1)
Criterio de decisión: Si 𝑍𝐶 < Zα/2 ó 𝑍𝐶 > Z1-α/2 entonces se rechazará la hipótesis nula en caso contrario no se rechazará.
Cuando la varianza poblacional no es conocida
Puesto que la varianza poblacional no es conocida, la distribución a ser usada es la distribución t de Student con (n -1) grados de libertad.
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El estadístico de la prueba se obtiene usando 𝑡𝐶 =
𝑋− 𝜇0 𝑠 ⁄ 𝑛 √
Los valores críticos son similares los mismos excepto que se obtienen usando la inversa en t de Student.
El criterio de decisión es equivalente, sólo debe tomarse en cuenta la distribución t de Student con n-1 grados de libertad.
Prueba de hipótesis para la media usando Excel
Excel no tiene ninguna función, herramienta o procedimiento que permita resolver problemas de hipótesis para un parámetro; sólo posee herramienta para cuando se trata de diferencia de medias y para datos pareados.
Sin embargo, el archivo Docimasia.xlsm posee procedimientos que nos permitirán resolver todo tipo de problemas de hipótesis.
Cómo debe usar este archivo:
Paso 1: Formule las hipótesis y tenga claro los datos del problema Paso 2: Abra el archivo Paso 3: Vaya a la hoja correspondiente Paso 4: Seleccione el modelo de hipótesis formulado e ingrese los datos. Para los casos de hipótesis para la media y diferencia de medias deberá seleccionar la opción de varianzas poblacionales conocidas o desconocidas.
Ejercicio de programación en VBA
Estando abierto el archivo Docimasia.xlsm vaya al editor del VBA (+F11). Observando la forma cómo está codificado los procedimientos, codifique otro a fin de que se pueda realizar una prueba de hipótesis para datos pareados.
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Ejemplo 01
El ingreso medio de los trabajadores de las industrias metalúrgicas es de 1580 soles con una desviación de 300 soles. La autoridad del trabajo afirma que en los últimos meses los ingresos medios se han incrementado. Para comprobar esta afirmación se toma una muestra de 49 empleados, encontrando un ingreso medio de 1650 soles. A un nivel del 5% de significación, apoyaría la afirmación de dicha autoridad?
Solución Datos: μo = 1580; σ = 300;
n = 49;
𝑋 = 1650;
α = 0.05
Las hipótesis: 𝐻0 : 𝜇 ≤ 1580 𝐻1 : 𝜇 > 1580 Como la varianza poblacional es conocida, usaremos normal, por lo que el estadístico de la prueba es 𝑍𝐶 =
𝑋−𝜇𝑜 𝜎 ⁄ 𝑛 √
= 1.6333 Figura 7.5
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝑍𝛼 = 𝑍0.95 = 1.645
Criterio de decisión: Como Zc no es mayor que el valor crítico, no rechazamos Ho; es decir, no apoyaría la afirmación de la autoridad del trabajo.
Ejemplo 02
Una encuesta realizada a 64 empleados profesionales de una gran empresa reveló que el tiempo promedio de permanencia en dicho centro laboral era de 5 años, con una desviación estándar de 4 años. Sirven estos datos de soporte a la hipótesis de
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que el tiempo promedio de permanencia en un centro laboral está por debajo de los 7 años? Use un nivel de significación del 5%.
Solución Datos del problema: μo = 7; σ = 4;
n = 64;
𝑋 = 5; α = 0.05
Las hipótesis: 𝐻0 : 𝜇 ≥ 7 𝐻1 : 𝜇 < 7 En este caso, la varianza poblacional es desconocida, por lo que usaremos la distribución t de Student. Según esto, el estadístico calculado es 𝑡𝐶 =
𝑋−𝜇𝑜 𝑠 ⁄ 𝑛 √
= −4
Figura 7.6
Como Zc es menor que el valor crítico = 1.669 entonces rechazamos Ho; es decir, es cierto que el tiempo medio de permanencia de estos empleados está por debajo de 7 años.
Ejemplo 03
Un proceso de envasado opera con una media de 500 ml y una desviación estándar de 5 ml. Se tiene la sospecha de que la media del proceso ha disminuido, y para verificar esto se toman al azar 25 envases, resultando una media de 498.6 ml. a) Al 1% de significación, ¿la sospecha tiene justificación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que usted decida no rechazar la hipótesis nula siendo la verdadera media del proceso 495 ml? Use 1% de significación.
Solución Datos: μo = 500; σ = 5; n = 25;
𝑋 = 498.6;
α = 0.01
𝐻0 : 𝜇 ≥ 500: La media del proceso no ha disminuido 𝐻1 : 𝜇 < 500: La media del proceso ha disminuido
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Siendo varianza conocida, usaremos la distribución normal. 𝑋 − 𝜇𝑜 𝑍𝐶 = 𝑠 = −1.4 ⁄ 𝑛 √ Zα = -2.326347 a) Criterio de decisión: Como el estadístico de la prueba no es menor que el valor crítico, no rechazamos la hipótesis nula; esto significa que la media del proceso no ha disminuido. b) La nueva media = μ1 = 495. Por la forma de la pregunta, se trata de hallar la probabilidad de cometer el error de tipo II; es decir β. Según el siguiente gráfico en el cual se muestra la curva normal cuando la media es 498.6 y cuando la nueva media es 495, debemos encontrar el valor de L, que determina la región de rechazo de Ho cuando en realidad es verdadero, error de tipo I y la región de aceptación de Ho cuando en realidad es falsa (ya que la media es otra), que es el error de tipo II o β.
𝛃 α
Figura 7.7
Por ello β = P(Aceptar Ho / Ho es F) = 𝑃(𝑋 > 𝐿⁄𝜇1 = 495) Calculemos primero L:
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Como 𝑍𝛼 =
𝐿−𝜇0 𝜎 ⁄ 𝑛 √
entonces 𝐿 = 𝜇0 + 𝑍𝛼 ∗
𝜎 √𝑛
= 496.955
Luego β = 𝑃(𝑋 > 𝐿⁄𝜇1 = 495) = 1 – P(Z≤ 1.955) = 0.02529
7.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
Sea π la proporción de éxitos en una población Binomial. Sea p la proporción de éxitos en una muestra de tamaño n extraída de dicha población. A continuación pasamos a recordar los tres modelos de hipótesis aplicados para una proporción poblacional:
Modelo de cola a la izquierda: Ho: π ≥ πo H1: π < πo
Estadístico de la prueba: Aplicando el Teorema del Límite Central,
α Zα Figura 7.8
el estadístico de prueba es 𝑝 − 𝜋0 𝑍𝐶 = 𝜋 (1−𝜋0 ) √ 0 𝑏
El valor crítico es Zα Figura 7.9
El criterio de decisión: Si 𝑍𝐶 < 𝑍𝛼
entonces se rechazará la
1- α
hipótesis nula, en caso contrario no se rechazará.
Z1-𝛂
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Modelo de cola a la derecha: Ho: π ≤ πo H1: π > πo En cuanto al estadístico de la prueba es el mismo.
El gráfico muestra que Z1- será el valor crítico.
Criterio de decisión: Si 𝑍𝐶 > 𝑍𝛼
entonces se rechazará la hipótesis nula, en caso contrario no se
rechazará.
Modelo de cola bilateral: Ho: π = πo H1: π ≠ πo En este caso tenemos dos valores críticos: 𝑍𝛼 𝑦 𝑍1−𝛼/2 , como se muestra en la gráfica.
1 -α
α/2 Zα/2
Z1-𝛂/2 Figura 7.10
Criterio de decisión: Si 𝑍𝐶 < 𝑍𝛼/2 o Si 𝑍𝐶 > 𝑍1−𝛼/2 entonces se rechazará la hipótesis nula, en caso contrario no se rechazará.
Mediante Excel
Para resolver los problemas de prueba de hipótesis para proporciones use el archivo Docimasia.xlsm. En la hoja Proporción ingrese los datos para tener la solución.
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Ejemplo 04
Un fabricante garantiza que el 90% de los equipos que comercializa están de acuerdo con los estándares exigidos. Para comprobar si en esta fábrica se cumplían con estos requerimientos se tomó una muestra de 200 unidades y se encontró 25 equipos presentaban algún tipo de defecto. A un nivel de significación del 5% ¿existe alguna evidencia que apoye la afirmación del fabricante?
Solución Sea π la proporción de equipos que cumplen con las especificaciones exigidas. Datos del problema: πo = 0.90; n = 200:
nro. de éxitos (no defectuosos) =
175. Ho: π = πo Cumple con las especificaciones H1: π ≠ πo No cumple con las especificaciones Según esto, la proporción muestral de éxitos será p = 0.80. Estadístico de la prueba: 𝑍𝐶 =
𝑝−𝜋0 𝜋 (1−𝜋0 ) √ 0 𝑛
= -1.1785
Valor crítico: 𝑍0.025 = −1.96 y 𝑍0.975 = 1.96 Según esto, como el estadístico de la prueba no es menor que ni mayor que los valores críticos, no se rechaza la hipótesis nula; por lo que no existe evidencia suficiente para no apoyar la afirmación del fabricante.
Ejemplo 05
El propietario de una casa comercial deseaba conocer la proporción de cuentas por cobrar con más de 60 días de vencimiento. Dicho propietario estima que a lo más el 20% de las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencimiento. Una muestra aleatoria de 150 cuentas por cobrar revela que 36 cuentas tenían más de 60 días de vencimiento. Al nivel del 5%, ¿es válida la afirmación del propietario?
Solución
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Sea π la proporción de cuentas por cobrar con más de 60 días de vencimiento. Datos: πo = 0.20;
n = 150:
nro. de éxitos (no defectuosos) = 36
Ho: π ≤ πo = 0.20 H1: π > πo = 0.20 Estadístico de la prueba: ZC = 1.2247 Valor crítico = Z0.95 = 1.645 Como el estadístico de la prueba no es mayor que el valor crítico, no se rechaza Ho. Por lo tanto la afirmación del propietario es válida al 5% de significación.
7.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA
Recordemos que, dada una muestra aleatoria X1, X2,…, Xn extraída de una población normal de parámetro σ², podemos afirmar que el estadístico 𝑠² = es un estimador puntual de este parámetro donde 𝑇 =
(𝑛−1)𝑠 2 𝜎2
∑(𝑋𝑖 −𝑋)² 𝑛−1
→ 2 (𝑛1 − 1) .
Las afirmaciones relativas a los valores que pueda tomar la varianza permiten formular un modelo de hipótesis, los que en general pueden ser planteados de la siguiente manera:
Para los siguientes tres modelos, el estadístico de la prueba es el mismo; es decir,
2𝐶
(𝑛 − 1)𝑠 2 = 𝜎02
El o los valores críticos dependerá (n) del modelo de hipótesis
Modelo de cola a la izquierda: Ho: 𝜎 2 ≥ 𝜎02 H1: 𝜎 2 𝜎02 2 En este modelo el valor crítico es 1−𝛼
Criterio de decisión: 1-α 2 Rechazar Ho si 2𝐶 > 1−𝛼
𝟐𝟏−𝛂
en caso contrario, no rechazar Ho. Figura 7.12
Modelo de cola bilateral: Ho: 𝜎 2 = 𝜎02 H1: 𝜎 2 ≠ 𝜎02 En este modelo debemos hallar los dos valores 2 críticos: 2𝛼/2 y 1−𝛼/2
𝟐𝟏−𝛂/𝟐
𝟐𝛂/𝟐
Figura 7.13
Criterio de decisión: 2 Rechazar Ho si el estadístico de la prueba es menor a 2𝛼/2 o mayor a 1−𝛼/2 en
caso contrario no rechazar Ho.
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Advertencia: Puesto que Excel no posee ninguna función o herramienta que permita obtener el valor inverso para una determinada probabilidad usando la distribución Chicuadrado, nuestro criterio de decisión se orientará por comparar la probabilidad con que ocurra el estadístico de la prueba, con el valor crítico correspondiente.
La probabilidad de la ocurrencia del estadístico de la prueba siempre se debe evaluar tomando en cuenta el siguiente criterio: 𝑝𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃( 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑢𝑠𝑜 < 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
Criterio de decisión usando el pValor: Si pValor < α entonces se deberá rechazar la hipótesis nula, en caso contrario no se rechazará.
Otra advertencia: Como se puede ver, hemos definido el “pValor” en términos muy generales, puesto que no hace referencia a ningún modelo de hipótesis ni tampoco a ningún parámetro en cuestión o si será para uno o más parámetros y menos aún, no hace referencia a una o más variables, el criterio de decisión planteada será válido para todos los casos en los que se formule una hipótesis estadística.
Ahora una sugerencia: Anteriormente en el capítulo de estimación hicimos referencia al archivo llamado ValorInv ChiCuadrado.xlsm. La primera hoja contiene por fila los diferentes valores de probabilidad α y las columnas el número de grados de libertad de la función chi-cuadrado. Ejecute la macro usando +i
e ingrese los datos.
Ingrese 1-α en lugar de α.
Naturalmente este cuadro presenta limitaciones: en cuanto los grados de libertad pues sólo se toma un máximo de 99 y los valores de probabilidad α se incrementan
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en unidades centesimales. Su deficiencia es que a veces quisiéramos paraun α = 0.025 ó 0.975. Esto implicaría mostrar la tabla al milésimo. Por esta razón el algoritmo usado trata de dar un aproximado para estos casos interpolando como se hacía antes de la masificación de las computadoras.
Ejemplo 06
Un fabricante de cierto tipo de varillas de acero afirma que su producto tiene una desviación estándar de la resistencia a la tensión, no mayor a 5 Kb/cm², cumpliendo de esta manera con los estándares de calidad. Una firma que comercializa este tipo de productos deseando comprobar esta afirmación, toma una muestra de 11 varillas y examina su tensión. Los estadísticos encontrados fueron los siguientes: Una resistencia media de 263 Kg/cm² con una varianza de 48 (Kg/cm²)². A un nivel de significación del 5%, ¿debemos apoyar la afirmación del fabricante?
Solución Los datos: 𝜎0 = 5;
n = 11;
𝑋=263;
s² = 48;
α = 0.05;
Las hipótesis: Ho: 𝜎 2 ≤ 25 H1: 𝜎 2 > 25 Estadístico de la prueba: 2𝐶 =
(𝑛−1)𝑠 2 𝜎02
= 19.2
Valor crítico: 2 (𝑛 Como es un modelo de cola a la derecha, entonces 1−𝛼 − 1) = 18.3070
Criterio de decisión: Puesto que 2𝐶 > 18.3070, debemos rechazar la hipótesis nula, lo que significa que la afirmación del fabricante no tiene sustento estadístico.
Nota:
El valor crítico lo hemos hallado usando el archivo ValorInv ChiCuadrado.xlsm mencionado en el capítulo de estimación. Usando el método abreviado: +i se
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activa una ventana de diálogo en el cual digitamos el número de grados de libertad (n-1) y luego el valor de (1-α). Luego de hacer clic en se obtendrá el valor inverso.
Ejemplo 07
La producción anual de una planta industrial obedece a una distribución normal con varianza 300. Luego de implementarse una nueva técnica con un nuevo equipo, se observó la producción durante 24 meses encontrándose una producción promedio de 10000 unidades con una varianza de 400 unidades cuadráticas. A un nivel de significación del 5% ¿hay razones para creer que la varianza de la producción anual en esta planta cambió?
Solución Datos: 𝜎²0 = 300;
n = 24;
𝑋=10000;
s² = 400;
α = 0.05;
Las hipótesis: Ho: 𝜎 2 = 300 H1: 𝜎 2 ≠ 300
El estadístico de la prueba:
2𝐶 =
(𝑛−1)𝑠 2 𝜎02
=
23∗400 300
= 30.6667
0.025
0.025
11.6886
38.0756
Figura 7.14 2 Valor crítico: 2𝛼/2 = 11.6611−𝛼/2 = 38.150
Estos valores son aproximados. Los más exactos son 11.6886 y 38.0756, pero para nuestra decisión no afecta. Criterio de decisión: Como el estadístico de la prueba no es menor que el primer valor crítico no mayor que el segundo, entonces no se debe rechazar Ho. Esto significa que se puede afirmar que la varianza de la producción anual no ha cambiado.
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7.5 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA RAZÓN DE VARIANZAS Sean X1, X2,…, X𝑛1 una muestra aleatoria extraída de una población normal con varianza 𝜎12 ; del mismo modo sea Y1, Y2,…, Y𝑛2 otra muestra aleatoria extraída de una población normal con varianza 𝜎22 . Si 𝑠12 y 𝑠22 son las varianzas de la primera y segunda muestra, respectivamente, podemos afirmar que 𝑠12 / 𝑠22 es un estimador de la razón de varianzas 𝜎12 / 𝜎22 sabiendo que la variable 𝑠12 ⁄ 2 𝜎1 𝑇=
𝑠22 ⁄ 2 𝜎2
→ 𝐹(𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1)
Para comprobar dicha afirmación u otras relativas a la comparación de varianzas, estudiaremos los tres modelos de hipótesis aplicadas a la razón de varianzas.
Estadístico de la prueba
Para los tres modelos el estadístico de la prueba estará basado en la variable T la que al simplificarse se reduce a 𝑠12 𝐹𝐶 = 2 𝑠2 La variable T anterior se reduce a ésta pues en los tres modelos la hipótesis nula afirmará que las varianzas poblacionales son iguales.
Modelo de cola a la izquierda 𝐻0 : 𝜎12 ≥ 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 < 𝜎22
Figura 7.15
En este modelo, el valor crítico será Fα Criterio de decisión: Si 𝐹𝐶 < Fα
𝛂 𝑭𝜶
entonces rechazaremos la hipótesis nula, en caso contrario no la
rechazaremos.
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Modelo de cola a la derecha 𝐻0 : 𝜎12 ≤ 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 > 𝜎22
Figura 7.16
1-α
En este caso el valor crítico será 𝐹1−𝛼
𝛂
como se muestra en la figura.
𝑭𝟏−𝜶
Criterio de decisión: Si 𝐹𝐶 > Fα entonces rechazaremos Ho, en caso contrario no la rechazaremos. Modelo de cola bilateral 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22 En un modelo de dos colas tendremos que obtener los valores críticos 𝐹𝛼/2 y 𝐹1−𝛼/2
𝛂/2
𝛂/2 𝑭𝜶/𝟐
𝑭𝟏−𝜶/𝟐
Figura 7.17
Criterio de decisión: Si 𝐹𝐶 < Fα/2 ó 𝐹𝐶 > F1-α/2 entonces rechazaremos Ho en caso contrario no se rechazará.
Ejemplo 08
Un inversionista desea comparar los riesgos asociados con dos tipos de inversión en fondos mutuos, diariamente: Acciones moderadas (AM) y Acciones equilibradas (AE). El riesgo de la inversión en estos fondos se mide por la variación en los cambios que experimentan los precios. El inversionista piensa que el riesgo asociado con las acciones equilibradas es superior que el riesgo asociado con las acciones moderadas. Para tener una clara idea de cómo operar con estas acciones de fondos mutuos, se tomaron muestra de 21 de acciones moderadas y 16 de acciones equilibradas. Obteniéndose los siguientes resultados. Probar con α = 0.05.
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Acciones moderadas
Acciones equilibradas
Monto promedio(miles $)
125
115
Desviación estándar
2.5
4.5
Solución AM: n1 = 21; 𝑋1 = 125; s1 = 2.5
(1)
AE: n2 = 16; 𝑋2 = 115; s2 = 4.5
(2)
De acuerdo a los datos, las hipótesis deben ser 𝐻0 : 𝜎22 ≤ 𝜎12 𝐻1 : 𝜎22 > 𝜎12
El estadístico de la prueba 𝐹𝐶 =
𝑠22 𝑠12
= 2.20327
El valor crítico: 𝐹1−𝛼 = 3.24 Según esto, debemos rechazar Ho; con lo cual, diremos que la variación de las acciones equilibradas de fondo mutuo son superiores a la variación de las acciones moderadas.
Ejemplo 09
Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política salarial es a través de las desviaciones típicas de los salarios de los empleados. La fábrica A dice ser más coherente con la política salarial que la fábrica B. Para verificar esta afirmación, se selecciona una muestra de 10 funcionarios no especializados de A, y 15 de B, obteniendo las desviaciones típicas SA = 1 salario mínimo y SB = 1.6.salarios mínimos. A nivel del 5% de significación, ¿Cuál sería su conclusión?
Solución Datos del problema: Fábrica A: n1 = 10; s1 = 1.0
(1)
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Fábrica B: n2 = 15; s2 = 1.6
(2)
Según el enunciado del problema, las hipótesis son: 𝐻0 : 𝜎12 ≥ 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 < 𝜎22 Estadístico de la prueba: 𝐹𝐶 =
1 1.6²
= 0.3906 Figura 7.18
Valor crítico: Fα = 0.330526 Como 𝐹𝐶 no es menor que Fα entonces no se rechaza Ho; es decir que no es cierto que la política salarial de la fábrica A sea más coherente que la política salarial de la fábrica B.
Ejemplo 10. Resuelto usando la herramienta de Excel
El archivo Precio CobrePlomo.xlsx contiene los precios del cobre y plomo durante el mes de marzo del 2012. Sugieren estos precios una variación homogénea en la cotización de ambos tipos de metales? Use un nivel de significación del 5%.
Procedimiento: La formulación de las hipótesis: 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22 -
Abra el archivo mencionado y vaya a la hoja Cotizaciones.
-
Use la secuencia: - -
-
En la ventana de diálogo ingrese el rango A1:A22 para la variable 1 y B1:B22 para la variable 2. Haga clic en la casilla de rótulos pues el rango contiene la etiqueta “Cobre” y “Plomo”. Verifique que en Alfa esté 0.05. Haga clic en Rango de salida y dentro de ella digite G2. Finalmente haga clic en .
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En la página siguiente se muestra la ventana de diálogo y los resultados que se obtienen.
Dos formas de decidir: Usando los valores de F: Como Fc = 3.2836 > F1-α = 2.1242, rechazamos Ho. Usando el pValor: Como pValor = 0.00531334 < α = 0.05, rechazamos Ho.
Figura 7.19
Los resultados que se obtienen al hacer clic en son
Figura 7.20
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Si ahora usa el archivo Docimasia.xlsm, obtendrá los mismos resultados.
7.6 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA IGUALDAD DE MEDIAS
Sean X1, X2,…, X𝑛1 una muestra aleatoria extraída de una población con media μ1 y varianza 𝜎12 ; del mismo modo sea Y1, Y2,…, Y𝑛2 otra muestra aleatoria extraída de una población con media μ2 y varianza 𝜎22 . De acuerdo a la teoría de la estimación de parámetros, podemos afirmar que 𝑋1 − 𝑋2 es un estimador puntual de 𝜇1 − 𝜇2 . Este tipo de afirmaciones y otros similares relacionados con las medias poblacionales, nos permiten formular modelos de hipótesis de comparaciones de medias, que es lo que vamos estudiar ahora.
Ante todo analicemos el estadístico de la prueba, válido para todos los modelos: Puesto que 𝑋1 − 𝑋2 es una variable muestral cuya distribución de probabilidad viene dada por 𝜇𝑋1 −𝑋2 = 𝜇1 − 𝜇2 y 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
, en donde éste último depende de si las
varianzas poblacionales son conocidas o no, contemplemos los siguientes casos: Caso1: Cuando las varianzas poblacionales 𝜎12 y 𝜎22 , son conocidas: En este caso, 𝜎𝑋2
1 −𝑋2
=
𝜎12 𝑛1
+
𝜎22 𝑛2
y en la cual, por el teorema del límite central se
usa la distribución normal.
Por esta razón, el estadístico de la prueba será:
𝑍𝐶 =
𝑋1 − 𝑋2 𝜎12
√
𝑛1
+
𝜎22 𝑛2
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Caso 2: Cuando las varianzas poblacionales 𝜎12 y 𝜎22 no son conocidas: Como la distribución muestral de la variable 𝑋1 − 𝑋2 debe ser transformada en una variable t de Student, debemos determinar si las varianzas poblacionales son iguales o diferentes. Lo anterior implica formular y resolver hipótesis de igualdad de varianzas: 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22 Si se rechaza Ho entonces el estadístico de la prueba será: 𝑡𝐶 =
𝑋1 −𝑋2 1
1
2( + ) √𝑆𝑃 𝑛 𝑛 1
(n1 1) s1 (n2 1) s2 2
sabiendo que
S
2
2 sP
2
n n 1
2
2
en el cual usaremos la distribución t con (n1+n2-2) grados de libertad. Pero si no se rechaza la hipótesis nula, entonces el estadístico de la prueba será: 𝑡𝐶 =
𝑋1 − 𝑋2 𝑠12
√
𝑛1
+
𝑠22 𝑛2
En el cual usaremos la distribución t con g grados de libertad donde
g
2 2 s1 s 2 n n 2 1 2
2
2
2 2 s1 s2 n 1 n2 n1 1 n2 1
Modelo de cola a la izquierda Ho: μ1 ≥ μ2 H1: μ1< μ2 El estadístico de la prueba es ZC o tC, dependiendo de la distribución.
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Criterio d decisión: Si la varianzas poblacionales son conocidas: Rechazaremos Ho si ZC < Z𝛂
Si la varianzas poblacionales son desconocidas: Rechazaremos Ho si tC < t𝛂
Modelo de cola a la derecha Ho: μ1 ≤ μ2 H1: μ1> μ2 El estadístico de la prueba es ZC o tC, dependiendo de la distribución.
Criterio d decisión: Si la varianzas poblacionales son conocidas: Rechazaremos Ho si ZC > Z1-𝛂
Si la varianzas poblacionales son desconocidas: Rechazaremos Ho si tC > t1- 𝛂
Modelo de cola bilateral Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 El estadístico de la prueba es ZC o tC, dependiendo de la distribución.
Criterio d decisión: Si la varianzas poblacionales son conocidas y supuestas iguales:
Rechazaremos Ho si ZC < Z𝛂/2 o si ZC > Z1-𝛂/2
Si la varianzas poblacionales son desconocidas y supuestas diferentes:
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Rechazaremos Ho si tC < t𝛂/2 o si tC > t1-𝛂/2
Ejemplo 11
En una industria se quiere contrastar si la productividad media de los obreros del turno diurno es igual a la productividad media de los obreros del turno nocturno. Para esto se toman dos muestras, uno de cada turno, observándose la producción de cada obrero. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: n
∑ 𝑥𝑖2
∑ 𝑥𝑖
Diurno
15
180
2685
Nocturno
15
150
2550
Suponiendo que la productividad se distribuye normalmente, ¿se puede afirmar que la productividad de los obreros del turno diurno es superior a los del turno nocturno? Use α = 0.05
Solución Las estadísticas de la muestra son: n1 = 15; 𝑋𝐷 =
180
n2 = 15; 𝑋𝑁 =
150
15 15
= 12
𝑠𝐷2 =
2685−15(144)
= 10
𝑠𝐷2 =
2550−15(100)
14 14
= 37.5 = 75
Las hipótesis a ser contrastadas son: Ho: μD = μN H1: μD ≠ μN Como la varianzas poblacionales son desconocidas, formularemos las siguientes hipótesis: 𝐻0 : 𝜎𝐷2 = 𝜎𝑁2 𝐻1 : 𝜎𝐷2 ≠ 𝜎𝑁2
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En este caso: 𝐹𝐶 =
37.5 75
= 0.5
Los valores críticos: Fα/2 = 0.33573
y F1-α/2 = 2.97859
Según esto podemos afirmar que las varianzas poblacionales son iguales. Volviendo al problema y sabiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas e iguales, el estadístico de la prueba es 𝑡𝐶 =
𝑋1 − 𝑋2 1 √𝑆𝑃2 (𝑛
1
+
1 𝑛2
12 − 10
= )
√
14(37.5)+14(75) 15+15−2
(
1 15
+
1
= 0.730296 )
15
Los valores críticos: tα/2 =-2.0484
t1-α/2 = 2.0484
Como el estadístico calculado no es menor -2.0484 ni es mayor a 2.0484 entonces no se puede afirmar que la productividad de los trabajadores del turno diurno sea superior a los del turno nocturno.
Ejemplo 12
El departamento de recursos humanos de una gran empresa desea comprobar sus indicadores
respecto al índice promedio de rendimiento en las ventas de su
personal. Por información pasada se sabe que el índice promedio de rendimiento de los empleados que reciben un curso de capacitación es mayor al de aquellos que no asisten al curso. Además se sabe que la varianza del rendimiento de los que asisten al curso de capacitación es igual a 1.44, mientas que en aquellos que no asisten es igual a 2.25. Para comprobar si la afirmación sigue siendo cierta, se tomó una muestra aleatoria de 60 vendedores adiestrados obteniéndose un índice de rendimiento de 7.35. Por otra parte, se seleccionaron 80 vendedores no capacitados resultando un índice de 6.85. A un nivel del 5% ¿se puede afirmar que la diferencia se mantiene?
Solución Sea μ1: Índice promedio de rendimiento de los empleados que asisten a un curso
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Y μ2: Índice promedio de rendimiento de los empleados que no asisten a un curso Datos del problema: 𝜎12 = 1.44; 𝑛1 = 60; 𝑋1 = 7.35 𝜎22 = 2.25; 𝑛2 = 80; 𝑋2 = 6.85 De acuerdo al problema debemos resolver el modelo: Ho: μ1 ≤ μ2 H1: μ1> μ2 Como las varianzas poblacionales son conocidas, usaremos la distribución normal El estadístico de la prueba: 𝑍𝐶 =
7.35 − 6.85 1.44
√
60
+
2.25
= 2.1900144
80
Como es cola a la derecha, el valor crítico será: 𝑍1−𝛼 = 1.645 De la comparación de estos valores podemos concluir que se rechaza la hipótesis nula, lo que significa que es cierto que el índice medio de rendimiento de los empleados que reciben el curso es superior al de aquellos que no lo reciben.
Ejemplo 13
Un analista financiero desea saber si ha habido o no cambio significativo en las utilidades por acción de un período a otro entre las empresas que participan en la bolsa de valores de Lima. Una muestra aleatoria de 15 de estas empresas entre las 150, arrojó los siguientes resultados: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Año1 4.12 2.82 2.80 3.38 2.03 4.80 2.28 4.10 6.39 1.52 2.4
12
13
14
15
2.25 5.01 1.85 1.95
Año2 4.79 3.20 3.30 2.22 -1.85 3.78 2.51 4.32 5.16 1.75 1.85 -1.31 5.06 2.15 2.07
Con un nivel de significación del 1%, ¿hay diferencia significativa en las utilidades por acción entre los dos años? ¿Qué supuestos se deben plantear?
Solución
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Debemos suponer que la población desde donde se extrae la muestra es una población norma y las muestras son independientes.
La hoja C5Ej14 del archivo Prob01.xlsx contiene los datos y los estadísticos de la Los datos de la muestra son: 𝑛1 = 15; 𝑋1 = 3.18 ,
𝑠12 = 1.99747143
𝑋2 = 2.6 ¸ 𝑠22 = 4.25811429
𝑛2 = 15; α = 0.01
Las hipótesis a formularse son Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 Siendo las varianzas poblacionales desconocidas veamos cómo son las varianzas: 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22 El estadístico de la prueba: FC = 1.99747143/4.25811429 = 0.46909766 Por otro lado, los valores críticos son: Fα/2 = 0.232597
F1-α/2 = 4.29929
Comparando el estadístico de la prueba con los valores críticos, el criterio de decisión nos permite afirmar que las varianzas poblacionales son iguales. Según esto, el estadístico de la prueba usando varianzas desconocidas pero iguales 𝑡𝐶 =
𝑋1 − 𝑋2 1
√𝑆𝑃2 (
𝑛1
+
1 𝑛2
= )
3.18 − 2.6 √0.41703905
= 0.89813089
Valores críticos: tα/2 = -2.76326 t1-α/2 = 2.76326 Comparando el estadístico de la prueba con estos valores no se rechaza la hipótesis nula, en consecuencia podemos afirmar que no hay diferencia significativa en las utilidades por acción en los dos años.
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Ejemplo 14: Resuelto usando la herramienta del Excel
Tomando en cuenta los datos del Ejemplo 15 y a un nivel de significación del 5% ¿se puede afirmar que las utilidades por acción difieren significativamente entre un año y otro?
Solución Según vimos en el ejemplo 15 el modelo a formular es el de doble cola. Ingresaremos primero los datos a una hoja de Excel Se trata de resolver primero la hipótesis de igualdad de varianzas: 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22 Usando el mismo procedimiento explicado en el Ejemplo 12, obtenemos: FC = 0.4690929 Valor crítico = 0.40262094 Esto significa rechazar Ho, en consecuencia podemos afirmar que las varianzas de las cotizaciones por acción en ambos años son diferentes.
Pasamos a resolver el modelo Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 Basándonos en el hecho de que las varianzas poblacionales son desconocidas y diferentes.
Procedimiento usando la herramienta en Excel: Usando la secuencia - - Luego de ingresa el rango para ambas variables y seleccionar la celda a partir de dónde deseamos los resultados, como se indica en la siguiente figura,
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Figura 7.21
Al hacer clic en obtendremos los siguientes resultados: Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales
Media Varianza Observaciones Diferencia hipotética de las medias Grados de libertad
Año1
Año2
3.18
2.6
1.99747143
4.25811429
15
15
0 25
Estadístico t
0.89813089
P(T Z1-α entonces se rechazará la hipótesis nula, en caso contrario no se rechazará.
Modelo de cola a la derecha: Ho: π1 = π2 H1: π1 ≠ π2
Los valores críticos a tomarse en cuenta son: 𝑍𝛼/2 y 𝑍1−𝛼/2 como se muestran en el gráfico.
𝛂/2
𝛂/2 𝐙𝛂/𝟐
𝐙𝟏−𝛂/𝟐
Figura 7.22
Criterio de decisión: Se rechazará la hipótesis nula si 𝑍𝐶 𝑍1−𝛼/2 en caso contrario, no
se rechazará la hipótesis.
Ejemplo 15
El responsable del sector de trabajo desea determinar la frecuencia de desempleo en dos grandes ciudades: Ica y Arequipa. Él sospecha que en Ica el desempleo se ha incrementado en los últimos años más que en Arequipa. Para comprobar esto, se
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realiza un muestreo seleccionando a 500 personas en cada una de estas ciudades y se encuentra que en Ica hay 35 desempleados y 25 en Arequipa. Con el 5% de significación se puede afirmar que el responsable de dicho sector tiene razón?
Solución Sea π1 y π2 las proporciones de desempleo en las ciudades de Ica y Arequipa, respectivamente. Datos: n1 = 500; n2 = 500; p1 = 35/500=0.07; p2 = 25/500 = 0.05, α = 0.05 Las hipótesis Ho: π1 ≤ π2 El nivel de desempleo en Ica no es mayor que en Arequipa H1: π1> π2 El nivel de desempleo en Ica es mayor que en Arequipa Estadístico de la prueba: (𝑝1 − 𝑝2 )
𝑍𝐶 = √
𝑝1 (1−𝑝1 ) 𝑛1
+
𝑝2 (1−𝑝2 ) 𝑛2
0.07 − 0.05
= √
0.07(0.93) 500
++
0.05(0.95)
= 1.33274
500
El valor crítico para un modelo de cola a la derecha es Z1-α = 1.645 Como 𝑍𝐶 no es mayor que Z1-α entonces no se rechaza Ho. Esto significa que no es cierta la sospecha del responsable del sector, no tiene razón.
Ejemplo 16
Se desea llevar a cabo un muestreo en Lince y Jesús María con el objeto de determinar la proporción de familias de altos ingresos mensuales que adquieren un departamento en los nuevos conjuntos habitacionales en cada distrito. De una muestra aleatoria de 600 departamentos en ocupados en Lince reveló que 150 estaban ocupadas por familias de altos ingresos mensuales mientras que en una muestra de 300 departamentos seleccionados aleatoriamente en Jesús María indicaba que 54 de ellos estaban ocupados por familias de altos ingresos mensuales. Tomando en cuenta estos resultados, a un nivel de significación del 5% se puede
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afirmar que no existe diferencia significativa en la proporción de familias que adquieren departamentos en ambos distritos?
Solución Sea π1 y π2 las proporciones de departamentos ocupados por familias de altos ingresos en Lince y Jesús María, respectivamente. Datos: n1 = 600; n2 = 300; p1 = 150/600=0.25; p2 = 54/300 = 0.18, α = 0.05 Las hipótesis Ho: π1 = π2 H1: π1 ≠ π2 El estadístico de la prueba es ZC = 2.4679 Siendo una prueba bilateral, los valores críticos son: Zα/2 = -1.96 y Z1-α/2 = 1.96 De acuerdo al criterio de decisión para este modelo, debemos rechazar la hipótesis nula, lo que significa que sí existe diferencia significativa en el número de familias de altos ingresos mensuales que adquieren departamentos en ambos distritos.
7.8 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DATOS PAREADOS
Como lo explicamos en estimación de la media de datos pareados, en esta oportunidad se trata de formular y resolver problemas de hipótesis relativas a la comparación de la media de la diferencia en los efectos respecto de 0, con la finalidad de saber si hubo efecto o no y si lo hubo saber si éste fue positivo o negativo. En los tres modelos a formularse usarán la distribución t de Student pues no se conoce la varianza poblacional y se supone que ésta tiene distribución normal. Por ello el estadístico de la prueba, basado en la distribución de la variable 𝐷 , es
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𝑡𝐶 =
𝐷 𝑠𝐷 √𝑛
Por ello los modelos a resolver son
Modelo de cola a la izquierda: 𝐻0 : 𝜇𝐷 ≥ 0 𝐻0 : 𝜇𝐷 < 0 Criterio de decisión:
Rechazaremos la hipótesis nula si el estadístico de la prueba es menor al valor crítico tα. Usando el pValor, diremos que se rechaza la hipótesis nula si pValor < α. Modelo de cola a la derecha: 𝐻0 : 𝜇𝐷 ≤ 0 𝐻0 : 𝜇𝐷 > 0 Criterio de decisión: Rechazaremos la hipótesis nula si el estadístico de la prueba es mayor al valor crítico t1-α. Usando el pValor, diremos que se rechaza la hipótesis nula si pValor < α.
Modelo de cola a la derecha: 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 𝐻0 : 𝜇𝐷 ≠ 0 Criterio de decisión: Rechazaremos la hipótesis nula si el estadístico de la prueba es menor que t𝛂/2 o que es superior al valor crítico t1-α/2. Usando el pValor, diremos que se rechaza la hipótesis nula si pValor < α.
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Nota: Recuerde que anteriormente se ha dejado como ejercicio la codificación de una macro que permita resolver problemas de hipótesis para datos pareados. Si lo ha codificado, úselo para resolver el siguiente problema.
Ejemplo 17
Una empresa farmacéutica está interesada en la investigación preliminar de un nuevo medicamento que al parecer tiene propiedades reductoras del colesterol en la sangre. Para comprobar esta sospecha se toma una muestra al azar de 6 personas con características similares, y se determina el contenido en colesterol antes y después del tratamiento. Los resultados han sido los siguientes:
Antes
217
252
229
200
209
213
Después
209
241
230
208
206
211
a) Formule adecuadamente las hipótesis nula y alternativa e indique, en términos del enunciado, en qué consisten los errores de tipo I y tipo II b) A un nivel de significación del 1%, ¿se puede confirmar estadísticamente la bondad del tratamiento?
Solución a) Si X representa el contenido de colesterol antes del tratamiento e Y representa el contenido de colesterol después del tratamiento, entonces D = X – Y representará el efecto del tratamiento. Para afirmar que sí tiene efecto, debe ocurrir que D < 0, en consecuencia se podría afirmar como hipótesis nula,
𝐻0 : 𝜇𝐷 ≥ 0 No logra reducir el nivel de colesterol en la sangre. 𝐻0 : 𝜇𝐷 < 0 Sí logra reducir el nivel de colesterol en la sangre.
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Error de tipo I: Afirmar erróneamente que el tratamiento reducirá el nivel de colesterol en la sangre. Error de tipo II: Afirmar erróneamente que el tratamiento no reducirá el nivel de colesterol en la sangre.
b) Resolveremos el problema usando la distribución t de Student con 5 grados de libertad. El estadístico de la prueba: 𝑡𝐶 =
𝐷 𝑆𝐷 ⁄ √𝑛
2.5
= 6.71565336
⁄ √6
= 0.91185832
Como el problema es de cola a la izquierda, el valor crítico es: tα = -3.36493 Y como tC no es menor que tα entonces no se rechaza Ho; en consecuencia no se puede afirmar que el medicamento tenga propiedades reductoras de los niveles de colesterol en la sangre.
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7.9 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En un proceso de muestreo se les pidió a 541 consumidores que valorasen un producto en una escala de 1 (Pésimo) a 5 (Excelente). La media muestral de las respuestas fue de 3.68 con una desviación estándar de 1.21. Suponga que se acepta el producto si la respuesta media en la población es al menos 3.75 frente a la alternativa que es inferior a 3.75. Contrastar las hipótesis usando como nivel de significación el 5%.
2. En una empresa estaban interesados en estudiar el tiempo medio necesario para terminar una unidad en una línea de armado. Se sabía que la distribución del tiempo medio de armado de una unidad era Normal con desviación estándar 1.4 minutos. Bajo condiciones de operación idóneas, el tiempo medio por unidad era de 10 minutos. Sin embargo, el gerente de planta sospecha que el tiempo promedio de armado era mayor que 10 minutos y si esto se comprueba, entonces el proceso debe ser detenido para reajustarlo. a)
Formule adecuadamente las hipótesis nula y alternativa e indique, en términos del enunciado, en qué consisten los errores de tipo I y tipo II
b)
Para comprobarlo se observaron los tiempos de armado de 25 unidades seleccionadas al azar, se obtuvo una media de 12 y se fijó como nivel de significación 0.05. ¿Está acertado el gerente en su sospecha? ¿Qué valor máximo debe tener la media de la muestra de 25 unidades seleccionadas para no rechazar Ho? = 0.02
c)
¿Qué probabilidad tiene el gerente de no rechazar Ho cuando en realidad el verdadero tiempo promedio es 13 minutos? = 0.02.
3. Las cajas de cierto tipo de cereal, procesados por una fábrica deben tener un contenido promedio de 160 gr. Por una queja ante el defensor del consumidor de que tales cajas de cereal tienen menos contenido, un inspector tomó una muestra aleatoria de 10 cajas encontrando los siguientes pesos de cereal en gramos:
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¿Es razonable que el inspector multe al fabricante? Utilice un nivel de significación del 5% y suponga que los contenidos tienen distribución normal. 4. Un artículo reciente publicado en una revista especializada indica que sólo uno de cada 5 graduados universitarios consigue empleo luego de graduarse. Las razones principales para ello son el excesivo número de graduados y la débil economía del país. Una encuesta aplicada a 200 graduados reveló que 32 tenían empleo. Con α = 2% ¿puede usted concluir que la proporción de graduados con empleo es inferior a lo afirmado por la revista?
5. En la operación de un equipo eléctrico accionado por baterías, quizás sería menos costoso reemplazar todas las baterías a intervalos fijos que sustituir cada una en forma individual a medida que falla. Suponga que este es el caso si la desviación estándar de las baterías es menor de 10 horas.
¿Cuál sería su
conclusión, si las pruebas de 12 baterías que se analizan dan una desviación estándar de 6 horas? Use = 0,05 6. Un exportador de turrones desea analizar la homogeneidad de los turrones “San José” y “Las hermanitas” que son comercializados en cajas de “Un kilogramo”. Para este fin selecciona al azar cajas de ambas marcas de turrones obteniendo la siguiente información:
Turrones San José
1.05
1.1
1.15
0.98
0.97
0.99
Las Hermanitas
0.99
0.96
0.98
0.94
1.2
1.1
1.07
¿Puede afirmarse que ambas marcas tienen la misma variabilidad? Use = 0.04. 7. Un inversionista está por decidir abrir entre dos ciudades para abrir un centro comercial. Para esto debe probar la hipótesis de que hay diferencia en el promedio de ingresos familiares de las dos ciudades. Si una muestra de 300
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hogares de la ciudad 1 revela un ingreso promedio de $ 400 con una desviación estándar de $ 90 y otra muestra de 400 hogares de la ciudad 2, revela un promedio de ingresos familiares de $ 420 con una desviación estándar de $ 120, ¿se puede concluir que las dos medias poblacionales son diferentes?; si es así, ¿en cuál de estas dos ciudades se debe abrir el centro comercial?
8. Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente programas deportivos en la televisión, es mayor que la proporción del un segundo grupo de hombres (grupo B). Al respecto se tomó dos muestras aleatorias, que arrojaron los siguientes resultados: Tamaño de la
Número de hombres que ven regularmente
Muestra
programas deportivos en la TV
A
150
98
B
200
80
Grupo
¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la tesis del sociólogo? 9. Un usuario de grandes cantidades de componentes eléctricos adquiere éstos principalmente de los proveedores A y B. Debido a los mejores precios ofrecidos, el usuario hará negocio únicamente con el proveedor B si la proporción de artículos defectuosos para A y B es la misma. De los lotes grandes, el usuario selecciona al azar 150 unidades de A y 120 unidades de B; inspecciona las unidades y encuentra que 9 unidades defectuosas en ambas muestras. Bajo suposiciones adecuadas y con base en esta información, ¿existe alguna razón para no comprar en forma única los componentes del proveedor B?
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CAPÍTULO 8
DISEÑO DE EXPERIMENTOS
8.1 Conceptos básicos de Diseño de experimentos 8.2 Modelo de clasificación de una variable 8.3 Modelo de clasificación de dos variables 8.4 Problemas propuestos
17.1
CONCEPTOS BÁSICOS EN EL DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Concepto de diseño de experimento: El diseño de experimentos es una metodología estadística que, aplicada a un problema, requiere de una secuencia adecuada de pasos planeada (diseñada) previamente que nos permitan contar con los datos apropiados de modo que el análisis sea objetivo, claro y práctico a fin de establecer deducciones válidas respecto al problema en cuestión.
Veamos el siguiente ejemplo:
Un conjunto de trabajadores de una empresa es sometido a un curso de capacitación en el que deben pasar por cuatro módulos para adquirir la certificación el cual le permite acceder a una vacante de mayores ingresos. En el curso participan los trabajadores de los tres niveles que tiene la empresa. El número de trabajadores varones que participan es nH y el de mujeres es nM. Al final del curso la gerencia de recursos humanos recibe los resultados (número de participantes con certificación en cada módulo) que se muestran en la siguiente tabla. Página 702 de 800
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Número de participantes aprobados por módulo Módulo 1
Módulo 2
Módulo 3
Módulo 4
Nivel 1 H
8
5
6
3
M
5
9
3
6
Nivel 2 H
6
6
4
8
M
2
6
5
2
Nivel 3 H
4
4
5
6
M
6
7
5
5
Frente a estos resultados Recursos Humanos se encuentra interesada en realizar una serie de comparaciones como por ejemplo: ¿Existe diferencia significativa en el rendimiento promedio entre los módulos? ¿Existe alguna diferencia significativa en rendimiento medio de los trabajadores de cada nivel? ¿Existe diferencia significativa en el rendimiento por género en cada módulo y en cada sucursal?
Todas estas preguntas significan elaborar pruebas de hipótesis de comparación de promedios en el cual se deben tomar en cuenta diferentes tipos de variables.
Distinguimos:
Variables independientes: Número de participantes aprobados por cada módulo. Variables dependientes (endógenas): Número de participantes aprobados de cada nivel. Los valores de esta variable dependen fundamentalmente del nivel alque pertenece cada trabajador. Estas variables son explicadas por las variables independientes. Variables exógenas: Aquellas cuyo aporte no son significativas en el modelo, como edad, estado civil, etc.
Tratamiento: Son la llamadas variables independientes, aquellas que deben ser controladas por el investigador.
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Unidad experimental: Es el mínimo elemento al que se aplica el tratamiento. En este caso es un trabajador.
Diseño experimental completamente aleatorizado: Es aquel modelo en el cual los trabajadores son seleccionados aleatoriamente sin distinguir nivel ni género. Sólo se toma en el número de participantes con certificación por módulo.
Diseño experimental en bloques completamente aleatorizado: Es el modelo en el cual las unidades experimentales son asignadas aleatoriamente en cada nivel de tratamiento constituyendo cada uno de ellos un bloque.
Análisis de varianza: Procedimiento estadístico que permite desagregar la variabilidad de la variable del problema tomando en cuenta la variabilidad de los resultados entre los tratamientos, dentro de cada uno de ellos, la variabilidad de los resultados por bloques y la variabilidad de los resultados en la interacción de bloques y tratamientos.
17.2
MODELO DE CLASIFICACIÓN DE UNA VARIABLE
El ejemplo anterior sugiere un modelo de dos variables con replicación pues estaríamos hablando de dos variables (por el lado de los tratamientos (módulos) y los bloques (niveles) y es con replicación porque en cada nivel se considera dos tipos de datos: hombres y mujeres.
En esta sección analizaremos el caso de una variable. Modelo Completamente Aleatorizado o PRUEBA DE K - MEDIAS
Este modelo se caracteriza por que los datos que constituye la muestra son seleccionados para cada tratamiento de manera aleatoria.
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Estructura del problema:
Supongamos que un equipo de médicos está interesado en probar si ciertos medicamentos pueden tener cierta efectividad al aplicárseles a un conjunto de pacientes. Para ello selecciona aleatoriamente a nj pacientes para aplicarles el jésimo medicamento. Los datos se presentan en la siguiente tabla:
M1
M2
…
Mj
…
Mk
x11
x11
…
x1j
…
x1k
x21
x21
…
x2j
…
x2k
… 𝑥𝑛1 1 𝑛1
∑ 𝑥𝑖1 1
…
…
…
…
…
𝑥𝑛2 1
…
𝑥𝑛𝑗1
…
𝑥𝑛𝑘1
𝑛2
𝑛𝑘
𝑛𝑗
∑ 𝑥𝑖2
…
∑ 𝑥𝑖𝑗
1
…
∑ 𝑥𝑖𝑘 1
1
𝑥.1
𝑥.2
…
𝑥.𝑗
…
𝑥.𝑘
𝑠.12
𝑠.22
…
𝑠.𝑗2
…
2 𝑠.𝑘
A partir de la cual podemos obtener n = n1 + n2 + … + nk 𝑖=𝑛
𝑗=𝑘
𝑋=
∑𝑗=1 ∑𝑖=1 𝑗 𝑥𝑖𝑗
𝑠2 =
𝑛
𝑛𝑗
𝑛
𝑛
𝑋.𝑗 =
𝑗 ∑𝑖=1 𝑥𝑖𝑗
𝑛𝑗
2
∑𝑘 𝑗=1 ∑𝑖=1(𝑥𝑖𝑗 −𝑋) 𝑛
𝑠.𝑗2
𝑗 ∑𝑖=1 (𝑥𝑖𝑗 − 𝑋.𝑗 ) = 𝑛𝑗 − 1
2
El modelo: Sea X la variable que representa la medida de una determinada característica de la población en estudio
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Si en base a esto definimos a xij como la medida o valor del i-ésimo elemento obtenido en el j-ésimo tratamiento, podemos decir que el modelo de una variable completamente aleatorizado se puede expresar como 𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛽𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 ,
i = 1, 2, …, nj ; j = 1, 2, … k
Frente a este modelo podemos formular las siguientes hipótesis: 𝐻𝑜 : 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘 𝐻1 : 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 para algún i ≠ j Nivel de significación de la prueba: α
Estadístico de la prueba:
Para esto debemos construir la Tabla del Análisis de la Varianza
Deducción de la tabla:
Como
(𝑥𝑖𝑗 − 𝑋) = (𝑥𝑖𝑗 − 𝑋.𝑗 ) + (𝑋.𝑗 − 𝑋)
Se puede probar que 𝑛𝑗
𝑘
2
𝑘
𝑛𝑗 2
𝑘
𝑛𝑗
∑ ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑋) = ∑ ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑋.𝑗 ) + ∑ ∑(𝑋.𝑗 − 𝑋) 𝑗=1 𝑖=1
𝑗=1 𝑖=1
2
𝑗=1 𝑖=1
Por la forma cómo se obtiene cada doble sumatoria, podríamos definirlas como: Suma de los cuadrados de los desvíos totales = SCT, tal que 𝑛𝑗
𝑘
𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑋)
2
𝑗=1 𝑖=1
Suma de los cuadrados de los desvíos por columna o tratamiento = SCTR, talque 𝑘
𝑛𝑗
𝑆𝐶𝑇𝑅 = ∑ ∑(𝑋.𝑗 − 𝑋)
2
𝑗=1 𝑖=1
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Finalmente, Suma de los cuadrados de los desvíos dentro de los tratamientos, llamado también suma de los cuadrados de los errores = SCE, tal que 𝑘
𝑛𝑗
𝑆𝐶𝐸 = ∑ ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑋.𝑗 )
2
𝑗=1 𝑖=1
Luego, tenemos: SCT = SCE + SCTR
(ecuación 1)
Como estas sumatorias expresan parte de una varianza, podemos estimar la varianza poblacional en cada caso por el método de los estimadores máximo verosímiles, tomando en cuenta nuestra primera advertencia, podríamos decir que al dividir a cada uno de ellos por sus respectivos grados de libertad obtendremos los llamados cuadrados medios. Esto es: Cuadrado medio de los tratamientos: 𝐶𝑀𝑇𝑅 = Cuadrado medio de los errores: 𝐶𝑀𝐸 =
𝑆𝐶𝑇𝑅 𝑘−1
𝑆𝐶𝐸 𝑛−𝑘
Del mismo modo y desde antes de esto, la varianza total; es decir los errores totales tienen por grados de libertad a (n-1) por lo que 𝑆 2 =
𝑆𝐶𝑇 𝑛−1
Como se obtuvo (n-k), simplemente de la ecuación (1): n-1 = x + (k-1)
Por lo que la tabla del Análisis de la Varianza para este modelo será: TABLA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Fuente
Número grados
Suma de
Cuadrados medios
(debido a)
de libertad
cuadrados
Columnas
k-1
SCTR
CMTR
Errores
n-k
SCE
CME
Totales
n-1
SCT
Estadístico de la prueba (FC)
𝐹𝐶 =
𝐶𝑀𝑇𝑅 𝐶𝑀𝐸
Criterio de decisión: Usado en Excel:
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𝑆𝑖𝐹𝐶 > 𝐹𝛼 (𝑘 − 1, 𝑛 − 𝑘) rechazaremos Ho; es decir, podemos decir que no hay diferencia significativa entre el efecto medio de las poblaciones a las cuales se les aplicó el tratamiento. En caso contrario, existirá por lo menos un pareja de medias en los cuales hay diferencia significativa
El siguiente paso podría consistir ahora en tratar de determinar cuáles son esas parejas de medias. El procedimiento consiste en encontrar el intervalo de confianza del 100(1-α)% para cada par de medias. Allí tendremos la respuesta y más aún, encontrar cuál de ellas difiere más o menos que las otras.
ANOVA EN EXCEL
El programa Excel posee herramientas para resolver problemas de diseño de experimentos en el caso de tres modelos mencionados anteriormente. Lo veremos para caso que contemplemos:
Ejemplo 01
El gerente de operaciones de una gran tienda de almacenes desea comparar las ventas realizadas por los 4 locales con los que cuenta la empresa. El gerente selecciona al azar las ventas realizadas durante 5 fines de semana para cada una de las sucursales. Los resultados de las ventas en miles de dólares se presentan a continuación: Locales Local A Local B Local C Local D 6.0
7.2
6.2
9.5
5.3
6.9
6.1
10.2
5.8
7.5
6.6
9.6
5.9
7.3
6.4
9.9
5.5
7.4
6.3
10.0
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Asumiendo que las ventas se distribuyen normalmente a) Pruebe si existen diferencias significativas entre las ventas promedio realizadas por las 4 sucursales. Use =0.05. b) ¿Cuál de los cuatro locales presenta las mayores ventas?
Solución Procedimiento: Primero introduciremos los datos hacia la primera hoja de un nuevo libro, conforme se muestra en la tabla anterior.
Figura 8.1
A continuación usaremos la secuencia: - -
Figura 8.2
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Luego del cual obtendremos la siguiente ventana de diálogo:
Figura 8.3
Luego de hacer clic en obtendremos los siguientes resultados:
a) El estadístico de la prueba: FC = 257.674419 Según el problema: n = 20; k = 4 El valor crítico: Fα(k-1,n-k) =Fα 3,16) = Distr.F.Inv(0.05,3,16) = 3.238871522 Criterio de decisión: Como Fc > Fα entonces rechazaremos Ho; esto significa que sí hay diferencia significativa en el promedio de las ventas entre estas cuatro tiendas.
Figura 8.4
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También podemos comparar elpValor (probabilidad) con α. Si pValor < α entonces se rechazará la hipótesis nula.
b) Dos formas de responder a esta pregunta: Se puede formular hipótesis de doble cola para todos los pares de medias usando t de Student; tema ya estudiado. Se debe tomar pares de medias μi y μj ; para i ≠ j ,con i,j = 1, 2, .. , k que es el número de tratamientos o número de columnas y se obtiene el intervalo de confianza para μi - μj.
Por Bloques Completamente Aleatorizado
En este modelo, además de los tratamientos que es un tipo de variable los datos de las muestras de cada tratamiento se agrupan para formar el concepto de FACTOR, el cual a su vez puede ser sometida a un análisis de comparación de los efectos que se encuentren entre los bloques, por ello el modelo en este caso es: 𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 ,
i = 1, 2, …, nj ; j = 1, 2, … k, i = 1, 2, …, l
Frente a este modelo podemos formular las siguientes hipótesis: Hipótesis de igualdad de medias poblaciones de los tratamientos: 𝐻𝑜 : 𝜇.1 = 𝜇.2 = ⋯ = 𝜇.𝑘 = μ 𝐻1 : 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 para algún i ≠ j
Hipótesis de igualdad de medias poblacionales por bloque: 𝐻𝑜 : 𝜇.1 = 𝜇.2 = ⋯ = 𝜇.𝑘 = μ 𝐻1 : 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 para algún i ≠ j
La deducción de la tabla del ANOVA es similar al modelo anterior, lo cual, en este caso es:
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TABLA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Nro grados
Suma de
Cuadrados
Estadístico de la
de libertad
cuadrados
medios
prueba (FC)
Columnas
k-1
SCTR
CMTR
𝐹𝐶𝑇 =
Entre bloques
l-1
SCB
CMB
Errores
(l-1)(k-1)
SCE
CME
Totales
n-1
SCT
Fuente (debido a)
𝐶𝑀𝑇𝑅 𝐶𝑀𝐸 𝐶𝑀𝐵 𝐹𝐶𝐵 = 𝐶𝑀𝐸
Criterio de decisión para tratamientos: 𝑆𝑖𝐹𝐶 > 𝐹𝛼 (𝑘 − 1, 𝑛(𝑘 − 1)(𝑙 − 1))se rechazará la hipótesis nula. Criterio de decisión para los bloques: 𝑆𝑖𝐹𝐶 > 𝐹𝛼 (𝑙 − 1, (𝑘 − 1)(𝑙 − 1)) se rechazará la hipótesis nula. Ejemplo 02
Una empresa fabricante de componentes para motores diesel debe reemplazar sus máquinas antiguas cuyo costo era bastante oneroso a fin de competir con sus competidores asiáticos. Por esta razón el gerente de producción ordenó someter a estudio cuatro nuevos tipos de máquinas y se probaron por un tiempo encontrándose la producción del número de componentes por hora de cada una de ellas; los datos se muestran en la siguiente tabla: Marca de máquinas (producción por hora) Tipo de máq.
MA
MB
MC
MD
1
502
896
725
989
2
451
900
700
950
3
631
897
826
1001
4
529
915
750
1120
Para tomar una decisión adecuada se planea formulas las siguientes hipótesis: a) No hay diferencia significativa en la producción medias entre las máquinas
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Ho: μA =μB = μC = μD H1: μi ≠ μj para algún i ≠ j b) No hay diferencia significativa en la producción promedio por tipo de máquina Ho: μ1 =μ2 = μ3 = μ4 H1: μi ≠ μj para algún i ≠ j
Ingresando los datos a otra hoja vacía tendremos
Figura 8.5
y usando la opción que se indica: Análisis de dos factores con una sola muestra, se tendrá la siguiente ventana de diálogo:
Figura 8.6
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Con lo cual obtendremos la siguiente salida de resultados:
Figura 8.7
Criterio de decisión:
En el caso de la hipótesis por máquina: Rechazaremos Ho pues el Fc es mayor que el f crítico (74.59 > 3.86254836)
Pero en el caso de la hipótesis por tipo de máquina no se rechaza Ho pues el Fc = 2.9539 no es mayor a el F crítico = 3.86254836
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Es decir, la producción promedio de componentes por hora es significativa entre los tipos de máquinas. Por otro lado, entre las máquinas no hay diferencia significativa en la producción promedio.
Si se decide usando el pValor diríamos: En el caso de las máquinas: Como pValor = 0 < α = 0.05 entonces rechazaremos Ho.
Del mismo modo, en el caso de los bloques: Como pValor = 0.0906 no es menor que α = 0.05 entonces no se rechaza Ho.
Pregunta:
Por qué la respuesta anterior (en cursiva) se expresa como dos respuestas independientes? Se responde si hay diferencia en promedios de producción por máquina y se responde si hay diferencia o no en promedios de producción por tipo de máquina. Y porqué no responde por una ocurrencia simultánea; es decir, que hay una interacción, que hay un evento que ocurre como una interacción entre tratamientos y bloques? Que la variabilidad de los errores se debe a la influencia de las máquinas y los tipos de máquinas?
Esto es lo que pretende el siguiente modelo en el cual tanto a tratamiento como a bloques se les define como dos variables independientes y se trata de encontrar explicación en la interacción entre ellas, además de la influencia entre los tratamientos, entre los bloques y dentro de los tratamientos.
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17.3
MODELO DE CLASIFICACIÓN DE DOS VARIABLES
Lo dicho en la pregunta anterior nos releva de otros comentarios. A cada variable se la considera como un Factor, uno independiente de otro. A su vez este modelo se divide en dos: Cuando por cada bloque y por cada tratamiento (una celda) se presenta un solo elemento constituyendo una muestra de tamaño uno. Y cuando en cada bloque y cada tratamiento se presentan un conjunto de elementos por lo que la muestra tiene un tamaño mayor a uno y en el cual se detecta alguna forma de interacción.
El primero constituye modelo si repetición o sin replicación y el segundo modelo con repetición o con replicación. Sin Replicación Ahora presentaremos el modelo para formular las hipótesis y pasar a presentar la tabla del análisis de la varianza correspondiente.
Como antes, se X la característica de una población bajo estudio. Un valor de esta variable puede ser expresada como xij que representa el efecto obtenido por la combinación del i-ésimo bloque y el j-ésimo tratamiento. Por lo que 𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 ,
i = 1, 2,…, nj; j = 1, 2,… k, i = 1, 2,…, l
Si se compara con el modelo anterior, se verá que sólo se ha añadido el componente de la interacción de filas y columnas: 𝑖𝑗
Este es un ejemplo esquemático del modelo:
Para optar a una maestría en una universidad extranjera se debe pasar por un período de entrenamiento y capacitación para luego presentarse el examen. Los programas de preparación son de tres tipos: Una sesión de repaso de 3 horas, un programa de un día y un curso de 10 semanas. Por otro lado, por lo general a
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este examen se presentan licenciados en Administración, Ingeniería y de Artes y Ciencia.
Según esto, un factor a ser estudiado es si la licenciatura de un postulante puede afectar a su calificación en la prueba. Un segundo factor a ser estudiado es si la forma de preparación que elija el postulante puede afectar su calificación en la prueba. Cualquiera de los dos factores constituirán los tratamientos y el otro, los bloques.
La tabla del ANOVA será la misma excepto que el componente que antes generaba una variabilidad por bloques es generado por una nueva variable o un segundo factor, siendo los tratamientos el primero.
Las hipótesis y la tabla es la misma, de manera que pasaremos a resolver un ejemplo al respecto:
Ejemplo 03
Una empresa de investigaciones prueba el rendimiento, en millas por galón, de tres marcas de gasolina. Como la gasolina tiene un rendimiento diferente en las diferentes marcas de automóviles, se seleccionaron 5 marcas de automóviles las que se consideraron como bloques en el experimento; es decir, cada marca se prueba con cada tipo de gasolina. Los resultados del experimento, en millas por galón, son los siguientes:
Marcas de gasolina Automóviles
I
II
III
A
18
21
20
B
24
26
27
C
30
29
34
D
22
25
24
E
20
23
24
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Formulación de la hipótesis:
Respecto a las marcas de gasolina:
Ho: El rendimiento medio en los tres tipos de gasolina es la misma H1: Hay diferencia significativa en el rendimiento entre el tipo de gasolina
Respecto a la marca de automóvil:
Ho: La marca de automóvil no afecta en el rendimiento medio H1: El rendimiento medio entre las marcas de automóvil es diferente. Ingresando al Excel como el ejemplo anterior, tendremos los siguientes resultados:
Figura 8.8
Criterio de decisión:
Como en ambos factores el estadístico Fc es mayor al valor crítico F a un nivel de significación del 5%, podemos afirmar que: -
el rendimiento medio difiere entre las marcas de gasolina.
-
El rendimiento medio es diferente entre las marcas de automóviles.
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Con Replicación En este último caso, se consideran dos factores y por cada valor del factor por fila y por columna se disponen de muestras de tamaño mayor que uno. De allí que el modelo pretende explicar la variabilidad de los datos debido a la interacción entre los dos factores. El modelo es el siguiente: 𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗ℎ ,
i = 1, 2,…, nj; j = 1, 2,… k, i = 1, 2,…, l
En este modelo 𝑒𝑖𝑗ℎ representa la interacción entre los dos factores i y j y además el efecto con el aporta el h-ésimo elemento de la muestra. El siguiente esquema nos muestra el estado de una celda cualquiera. Factor j Factor
n1, n2, …,
i
nh
Formulación de las hipótesis:
a) Debido a los tratamientos (Factor 1):
Ho: No hay diferencia en el efecto medio entre los tratamientos H1: Hay alguna diferencia entre los efectos medios de algunos de ellos
b) Debido a los bloques o filas (Factor 2):
Ho: El efecto medio entre los bloques o factor 2 es la misma H1: El efecto medio difiere entre los bloques
c) Debido a las interacciones entre el factor 1 y el factor 2: Ho: No existe interacción en el efecto medio de tratamientos y bloques. H1: Sí existe diferencia significativa entre ellos. .
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Tabla del ANOVA: TABLA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Fuente
Nro grados
Suma de
Cuadrados
Estadístico de
(debido a)
de libertad
cuadrados
medios
la prueba (FC)
Factor 1
k-1
SCTR
CMTR
Factor 2
l-1
SCB
CMB
Interacción
SCI
h-1
CMI
Errores
(l-1)(k-1)
SCE
CME
Totales
n-1
SCT
𝐶𝑀𝑇𝑅 𝐶𝑀𝐸 𝐶𝑀𝐵 𝐹𝐶𝐵 = 𝐶𝑀𝐸 𝐶𝑀𝐼 𝐹𝐶𝐼 = 𝐶𝑀𝐸 𝐹𝐶𝑇 =
Lo nuevo en esta tabla: SCI = Suma de cuadrados de las interacciones Grados de libertad de la varianza de las interacciones: h-1 𝐶𝑀𝐼 =
𝑆𝐶𝐼 ℎ−1
Ejemplo 04
Tomando en cuenta el problema del acceso a la maestría por postulantes egresados con diferentes licenciaturas, tenemos los datos en el siguiente cuadro. Formule las hipótesis correspondientes y a partir de la tabla del ANOVA compruebe las hipótesis formuladas.
Factor 1: Licenciados en Factor 1: Preparación Repaso de 3 horas
Programa de un día
Curso de 10 días
Administración
Ingeniería Artes y Ciencias
500
540
480
580
460
400
460
560
420
540
620
480
560
600
480
600
58
410
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Los datos se ingresaron al Excel como se muestra en la siguiente imagen:
Figura 8.9
A continuación, usando la opción y llenando la ventana siguiente como se muestra,
Figura 8.10
Figura 8.11
Se obtuvieron los siguientes resultados:
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Administración
RESUMEN
Ingeniería
Artes y Ciencias
Total
Repaso de 3 horas Cuenta Suma Promedio Varianza
2 1080 540 3200
2 1000 500 3200
2 880 440 3200
6 2960 493.333333 3946.66667
Programa de un día Cuenta Suma Promedio Varianza
2 1000 500 3200
2 1180 590 1800
2 900 450 1800
6 3080 513.333333 5386.66667
2 1160 580 800
2 658 329 146882
2 890 445 2450
6 2708 451.333333 42650.6667
6 3240 540 2720
6 2838 473 44438
6 2670 445 1510
Curso de 10 días Cuenta Suma Promedio Varianza Total Cuenta Suma Promedio Varianza
Figura 8.12
Y la tabla del ANOVA es el siguiente: ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones
Suma de cuadrados
Grdos de libertad
Cuadrados medios
F
Probabilidad
Valor crítico para F
12016
2
6008
0.32469
0.7308735 4.25649473
28596 64792
2 4
14298 16198
0.77272 0.8754
0.4901189 4.25649473 0.5151509 3.63308851
Muestra Columnas Interacción Dentro del grupo
166532 271936
9 18503.5556 17
Total
Figura 8.13
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Observando la tabla podemos comprobar que, como los estadísticos de la prueba (Fc) para cada pareja de hipótesis plantead es menor que el valor crítico correspondiente, no se rechaza la hipótesis nula, en consecuencia podemos afirmar: a) El factor preparación para el examen de postulación no tiene efecto significativo sobre los postulantes. b) El tipo de licenciatura de cada postulante no afecta significativamente en el acceso a la maestría c) No hay interacción entre la forma cómo se preparen para la prueba ni el tipo de especialidad que tengan.
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17.4
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se han propuesto tres métodos distintos para ensamblar un nuevo producto. Se eligió un diseño experimental totalmente aleatorizado para determinar cuál de los métodos da como resultado la mayor cantidad de partes producidas por hora, y se seleccionaron al azar a 30 trabajadores, asignándoles uno de los métodos propuestos. La cantidad de unidades que produjo cada trabajador fue la siguiente:
Método A
B
C
97
93
99
73
100
94
93
93
87
100
55
66
73
77
59
91
91
75
100
85
84
86
73
72
92
90
88
95
83
86
Utilice estos datos y comprueba si la media del número de partes producidas es la misma en cada método. Use un nivel de significación del 5%.
2. A continuación vemos los cambios porcentuales en el Promedio Industrial del Dow Jones en cada uno de los cuatro años de los seis períodos presidenciales. ¿Parece haber algún efecto importante debido al año del período presidencial sobre el desempeño del mercado accionario? Use α = 0.05.
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
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10.9
-18.9
15.2
4.3
-15.2
4.8
6.1
14.6
-16.7
-27.6
38.3
17.9
-17.3
-3.1
4.2
14.9
-9.2
19.6
20.3
-3.7
27.7
22.6
2.3
11.8
27.0
-4.3
20.3
4.2
13.7
2.1
33.5
26.0
3. Se probaron tres formulaciones distintas para reparación de asfalto en cuatro lugares de una carretera. En cada lugar se repararon tres secciones de la carretera; cada sección con uno de los tres compuestos. A continuación se obtuvieron datos acerca de la cantidad de días de uso hasta que se requirió nueva reparación. Estos datos se ven en la siguiente tabla. Con α = 0.01, prueba si hay alguna diferencia importante en las formulaciones.
Lugar Formulación
1
2
3
4
A
99
73
85
103
B
82
72
85
97
C
81
79
82
86
4. Una empresa manufacturera diseñó un experimento factorial para determinar si la cantidad de partes defectuosos producidas por dos máquinas es distinta, y si esa cantidad también depende de si la materia prima para cada máquina se alimentaba en forma manual o con un sistema automático. Los datos de la tabla muestran las cantidades producidas de partes defectuosas. Use α = 0.05 y vea si hay algún efecto importante debido a las máquinas al sistema de carga y a su interacción.
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Sistema de alimentación
Máquina 1
Máquina 2
Manual
Automático
30
30
34
26
20
24
22
28
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CAPITULO 9
ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA
9.1 Introducción 9.2 Prueba de signos 9.3 Prueba de rangos con signos de Wilcoxon 9.4 Prueba Mann – Witney – Wilcoxon 9.5 Prueba Kruskall – Wallis 9.6 Prueba de correlación por rangos de Spearman 9.7 Prueba de bondad de ajuste 9.8 Prueba de independencia de criterios 9.9 Prueba de homogeneidad de proporciones 9.10 Problemas propuestos
18.1
INTRODUCCIÓN
El uso que hemos hecho de la estadística ha sido para intentar explicar o comprender de alguna forma, el comportamiento de una población cuya distribución se define a partir de un conjunto de parámetros. Las muestras que hemos extraído y las herramientas utilizadas requieren de una serie de supuestos sobre la naturaleza de dichos parámetros. Por ello la estadística que hemos estudiado se la define como la Estadística Paramétrica.
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Sin embargo, podemos realizar un análisis estadístico de un conjunto de datos cuya población de donde proceden es desconocida o simplemente no es paramétrica. Supongamos por ejemplo que se desea realizar un estudio sobre el número promedio alumnos que asisten a la universidad llevando consigo por lo menos un libro o el monto promedio de dinero en monedas con el que los alumnos asisten a la universidad4. Naturalmente estas variables no provienen de poblaciones paramétricas. Por otro lado, sólo el parámetro definido como la proporción de éxitos nos permite el estudio de datos ordinales. En este tipo de datos no podemos hablar de media, varianza, etc. Por estas dos razones estudiaremos algunos casos de la Estadística No Paramétrica.
Los métodos utilizados en la Estadística no paramétrica deben satisfacer alguno de los siguientes criterios: i)
Ser utilizado con datos nominales, aquellos que identifican, sea para conteo o identificación
ii) Ser utilizado con datos ordinales, aquellos que permiten ordenarlos tanto como valores discretos (codificados) o como categóricos, además de agruparlos porcentualmente. Ser utilizado con datos cuya unidad de medida sea de intervalo o de relación cuando no se formula ningún supuesto sobre la naturaleza de la existencia o forma de la distribución de probabilidad poblacional.
4
El objetivo de estudiar estas variables pueden estar motivadas por una editorial que quiere vender más libros o una entidad bancaria que quiere regalar tarjetas de manejo de monedas.
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18.2
PRUEBA DE SIGNOS Sea X1, X2,…, Xr un conjunto de r resultados obtenidos al aplicarle a una muestra algún criterio de tratamiento. Y sea Y1, Y2,…, Yr los resultados obtenidos al aplicarle a la misma muestra un segundo criterio de tratamiento. Nuestro amigo lector estará encontrando similitud con el concepto de datos pareados. Sí, en efecto, este método también se puede aplicar a datos pareados y sin la exigencia de requerir la existencia o suposición de un parámetro. Más todavía, nuestro objetivo no consiste en evaluar la diferencia de valores como lo hace la técnica de datos pareados. Aquí queremos evaluar parejas de datos para manipular el signo de su diferencia: “*+” o “-“, para el cual, el único requisito es que ambas serie de resultados deban ser independientes.
Según esto, las hipótesis a plantearse son: Ho: La proporción de signos “+” y signo “-“es la misma. Ho: La proporción de signos “+” y signos “-“no es la misma.
Procedimiento:
-
Colocar en una lista los pares de resultados obtenidos en pares de 1 a r
-
Para cada par, colocar a la derecha un signo “+” si el primero es mayor, un signo ““ si el primero es menor y dejar en blanco si son iguales.
-
Sea p el número de signos positivos y m el número de signos negativos.
-
El tamaño de la muestra: n = p + m.
-
Sea k = Min{p,m}
-
Si X se define como el número de signos “+”. Como el número de éxitos es Binomial, hallar pValor = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = Distr.Binom(k,n,0.5,1)
-
Si pValor < α se deberá rechazar Ho; en caso contrario, no rechazarla.
Si el número de datos procesados es mayor a 25 (o 20), aplicando el teorema de aproximación de Binomial a Normal 𝑋−→ 𝑁(0.5𝑛 , 𝑛𝑝(1 − 𝑝)) tal que
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𝑍𝐶 =
𝑘 + 0.5 − 0.5𝑛 √𝑛𝑝(1. 𝑝)
Criterio de decisión: Si Zc > Zα entonces se rechazará la hipótesis nula.
Nota: Lo usual p = 0.5
Ejemplo 01
A un conjunto de personas presentes se les invitó a degustar un determinado tipo de queso. Luego de degustarlo se les pregustó si les parecía agradable o no, registrando “+” cuando la respuesta le parecía “agradable” y “-“ cuando manifestaba que no le era agradable y se dejaba en blanco en caso contrario. Los datos están en la hoja PrbaSigno01 del archivo Estad noParamet.xlsx. Les resultó agradable a la mayoría de concurrentes? Use = 0.05
Solución Ho: No hubo diferencia significativa en la proporción de agrado o desagrado H1: Sí hubo diferencia significativa en la proporción Observando los cálculos, pValor = P(X ≤ k) = 0.407625 Como pValor no es menor a α no se rechaza Ho; es decir, no se puede afirmar que la proporción de concurrentes a quienes les agradó, sea mayor. Podríamos afirmar también que “a más personas les agradó el producto degustado”.
Ejemplo 02
En un laboratorio se desea probar una nueva técnica que debe reducir el tiempo para saber si un paciente tiene diabetes o no. Para ello se hicieron las pruebas usando la metodología antigua y se volvió aplicar la nueva técnica al mismo paciente. Esto se repitió con 17 pacientes. El tiempo se midió en minutos. Hay
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suficiente evidencia de que la nueva técnica reduce el tiempo para saber si el paciente tiene diabetes?
Solución
Los datos y la solución se encuentran en la hoja PrbaSigno02 del archivo mencionado en el Ejemplo 01.
18.3
PRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON
El test anterior nos permitió realizar comparaciones de pares de valores obtenidos en una muestra sobre los efectos que podría tener la aplicación de una acción sobre los mismos. Como se pudo comprobar, el método está basado en una distribución Binomial con p la probabilidad de éxito (tenga el signo +), siendo necesario que los elementos de la muestra fuesen independientes. Dijimos que cuando el tamaño de la muestra fuese grande, se podría usar el teorema de la aproximación de la Binomial a una normal. Finalmente en dicho test no estábamos interesados en tomar en cuenta el valor en cada pareja de datos, de allí la hipótesis nula que se formulara como que la proporción de éxitos (signos +) es la misma que la de fracasos (signos -). En cambio en un problema de datos pareados sí se requiere de la comparación de los valores en cada pareja.
En el presente test o prueba, seguiremos tomando en cuenta el signo o diferencia entre los pares pero también tomaremos en cuenta el valor de cada elemento en la pareja de datos. A partir de la diferencia entre ellos, los ordenaremos y le asignaremos un rango a cada diferencia, le asignaremos el signo que le corresponde a cada rango, obtendremos estadísticas de estos rangos y usando criterios aportados por Wilcoxon, estaremos en capacidad de rechazar o no la hipótesis nula.
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Por ello es que el interés de esta prueba radica en tratar de probar la hipótesis de que la medida o acción aplicada a la muestra no presenta ningún efecto en uno u otro sentido; es decir, no hay diferencia significativa en la medida o acción aplicada a los elementos de la muestra.
Fundamento: Sea X1, X2,…, Xr un conjunto de r resultados obtenidos al aplicarle a una muestra algún criterio o medida de tratamiento. Y sea Y1, Y2,…, Yr los resultados obtenidos al aplicarle a la misma muestra un segundo criterio o medida de tratamiento.
Si definimos como T la variable resultante de éste método, entonces 𝜇𝑇 = 𝜎𝑇2 =
1 𝑛(𝑛 + 1) 4
1 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 24
Hipótesis:
En este caso la hipótesis nula consiste en afirmar que las poblaciones a la cual pertenecen ambos resultados es la misma o son idénticas. Esto es equivalente a formularlas de la siguiente manera:
Ho: El criterio aplicado no tiene efecto significativo en la muestra H1: El criterio aplicado sí tiene efecto significativo en la muestra Nivel de significación: 100α%
Procedimiento:
-
Calcular Di = Xi – Yi
-
Tomar el valor absoluto de ellas. De preferencia colocarlas en otra columna, acompañado de la identificación del número de elemento
-
Ordenarlo de menor a mayor con la columna de identificación
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-
Asignarle un rango a cada elemento ordenado. Si un rango se repite k veces, el rango asignado a cada elemento que se repite será el promedio de los siguientes rangos. La siguiente diferencia tendrá por rango el número de rango que corresponda, si no hubiera habido repetición.
-
Identificar el rango a cada diferencia original (sin el valor absoluto)
-
Asignarle el signo positivo o negativo según el valor de la diferencia
-
Sumar todos los valores de los rangos positivos y los negativos
-
Elegir el mínimo de estas sumas. Este será el estadístico.
-
Obtener el estadístico de la prueba usando: 𝑍𝐶 =
-
Si | ZC| > Zα entonces se rechazará la hipótesis nula.
𝑇−𝜇𝑇 𝜎𝑇
Ejemplo 03
En una clínica se aplicó un determinado medicamento a un conjunto de 8 pacientes usando el método A; se repitió el tratamiento pero usando el método B. Los resultados obtenidos se muestran en el siguiente cuadro. A un nivel de significación del 5% ¿se puede afirmar que es indiferente el método a usar?
Paciente Método A Método B 1 87 76 2 66 56 3 75 76 4 95 86 5 73 76 6 88 86 7 69 64 8 77 70 Solución
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Figura 9.1
Ho: Ambos métodos proporcionan el mismo resultado H1: Hay diferencia en la aplicación de los dos métodos. El segmento de hoja anterior tiene todo el procedimiento y la solución del problema.
Explicación: En la columna D hemos calculado las diferencias: =C2-B2 Hemos copiado la columna A (identificación del paciente) y el valor absoluto de la diferencia y los hemos pegado como valores en las columnas H e I. Hemos ordenado estas dos columnas de menor a mayor. En la columna J hemos asignado rango a estas diferencias absolutas ordenadas. Como no hay valores que se repiten los rangos se asignan como enteros secuenciales a cada rango. Usando la función buscar hemos colocado los rangos en la columna E, para cada diferencia original. En la columna F le hemos asignado el signo que le corresponde a cada rango. En F11 y F12 hemos sumado los rangos positivos y negativos. En F13 hemos hallado el mínimo de los valores absolutos de estas sumas. Ese es el estadístico T de la muestra.
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En F14 hemos calculado el tamaño de la muestra que es el número de rangos positivos y negativos. En F15 y F16 hemos calculado la media y deviación estándar. En F17 tenemos el estadístico de la prueba y en F18 el valor crítico. Finalmente, usando el criterio de decisión, no se rechaza Ho; es decir, ambos métodos proporcionan el mismo resultado.
Ejemplo 04
Una fábrica trata de determinar si dos métodos de producción tienen distintos tiempos de terminación del lote. Se seleccionó una muestra de 11 trabajadores y cada uno de ellos terminó el lote de producción con los dos métodos. Una diferencia positiva indica que el método 1 requirió más tiempo, en cambio si la diferencia es negativa, indicaría que el método 2 requirió más tiempo. ¿Indican estos datos que los dos métodos son significativamente diferentes? Los datos se encuentran en la hoja RangWil02 del archivo Estad no paramet.xlsx.
Solución Las hipótesis a ser formuladas son: Ho: Los dos métodos son iguales en el tiempo de terminación del lote H1: Hay diferencia en el tiempo de terminación del lote por ambos métodos
El procedimiento es similar al descrito en el ejemplo anterior. Luego de ingresar los datos, se obtiene la diferencia; se ordena tomando en cuenta las diferencias absolutas; se asigna un rango a cada diferencia absoluta; se le inserta el signo a cada rango según la diferencia original, Se selecciona el mínimo entre ambas sumas, tomando sus valores absolutos; se calcula la media y desviación de T; se calcula el estadístico de la prueba y éste valor se compara con el valor crítico al 5% de nivel de significación. Según apreciamos los resultados concluimos que se debe rechazar la hipótesis nula; es decir, podemos afirmar que los resultados
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obtenidos con los dos métodos es diferente y que el método 2 reduce el tiempo de terminación de producción del lote.
PRUEBA MANN – WHITNEY – WILCOXON
18.4
A diferencia del método anterior que se aplica a una sola muestra en dos comportamientos diferentes de la misma, en este método se comparan dos muestras independientes.
La diferencia que podemos encontrar con respecto a la diferencia de medias, resuelto en la estadística paramétrica son los supuestos a partir de la cual se comprobaron las hipótesis y éstos fueron: -
Las muestras aleatorias son independientes
-
Las poblaciones de donde provienen son normales.
En este caso sólo se requiere del supuesto de que las muestras son independientes. Según esto las hipótesis a ser comprobadas a un nivel de significación del 100α% son: Ho: Las muestras provienen de la misma población o las poblaciones son iguales H1: Las muestras provienen de poblaciones diferentes. Procedimiento -
Luego de disponer de las dos muestras, apilar los datos en una sola columna y en otra la forma de identificarlas. Sea n1 el tamaño de la primera muestra y n2 el tamaño de la segunda muestra.
-
Ordenar las dos columnas de menor a mayor
-
Asignar el rango a cada uno de los datos ordenados. Usando el mismo criterio de asignación: Cuando el dato se repite, se suman todas las repeticiones y se divide entre el número de datos repetidos, dicho resultado será el rango de todos ellos.
-
El siguiente dato no repetido tendrá por rango el valor entero que le correspondería si no hubiera habido repeticiones.
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-
Se suman todos los valores de los rangos correspondientes a la misma muestra. Supongamos que estas sumas son S1 y S2, respectivamente.
-
Se calculan los siguientes estadígrafos: 𝑈1 = 𝑛1 𝑥𝑛2 +
1 𝑛 (𝑛 + 1) − 𝑆1 2 1 1
𝑈2 = 𝑛1 𝑥𝑛2 +
1 𝑛 (𝑛 + 1) − 𝑆2 2 2 2
-
Sea U = Min {U1, U2} el estadístico de la muestra.
-
Calculamos la media : 𝜇 =
-
Calculamos la varianza
-
Calculamos el estadístico de la prueba 𝑇𝐶 =
-
Criterio de decisión: Si el valor absoluto de TC es mayor el valor crítico Zα,
𝑛1 𝑥𝑛2 2
: 𝜎2 =
1 12
𝑛1 𝑥𝑛2 (𝑛1 + 𝑛2 + 1) 𝑈−𝜇𝑈 𝜎
rechazaremos la hipótesis nula; es decir, las muestras no proviene de la misma población o las poblaciones de donde provienen no son iguales.
Ejemplo 05
La jefatura de atención al cliente de una empresa de servicio técnico vehicular, está preocupada en el rendimiento semanal de los obreros del turno diurno y nocturno en el sentido de que estos no tienen el mismo rendimiento. Para comprobar esta sospecha decide tomar una muestra del número de vehículos atendidos durante la semana por 22 obreros del turno diurno y 16 del turno nocturno. Los datos se encuentran en la hoja ManWitWill01 del archivo Estad NoParamet.xlsm. ¿A un nivel de significación del 5% apoyaría Ud. la sospecha de la jefatura? ¿Cuál de los turnos tiene mejor rendimiento semanal?
Solución Como puede apreciar, los datos se han ingresado en las dos primeras columnas. Hemos apilado los datos en la columna D y el turno al que pertenecen cada dato, en la columna E.
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Luego hemos ordenado por la columna D En la columna F hemos asignado el rango a cada uno de los datos. En L4 hemos calculado la suma de los rangos del turno diurno En L5 hemos calculado la suma de los rangos del turno nocturno En L11 se ha calculado el estadístico U1, para el turno diurno y en L12 el estadístico U2, para el turno nocturno. En L14 hemos obtenido el mínimo de ellos que será el estadístico de la muestra. En L17 tenemos el cálculo de la media y la varianza en L18. Finalmente en L21 hemos calculado el estadístico de la prueba. Luego de comparar su valor absoluto con el valor crítico decidimos rechazar la hipótesis nula.
Ejemplo 06
PetroSol es una empresa que tiene una cadena de estaciones de venta de gasolina de 84, 90 y 95 octanos. La gerencia de esta empresa ha decidido expandir su negocio añadiendo gasolina de mayor octanaje. Pero no han decidido si debe ser la de 97 octanos o la aditivada 98 octanos. Para tomar una decisión adecuada encarga a una empresa de mercado a fin de comparar el rendimiento por galón de ambos tipos de gasolina. Los datos se muestran en la hoja ManWitWill02 del archivo Estad NoParamet.xlsm. A un nivel de significación del 5%, ¿podemos saber si hay diferencia significativa en el rendimiento por galón de los dos tipos de gasolina? Si así fuera, ¿cuál de los dos tipos aconsejaría Ud.?
Solución La solución debidamente detallada y explicada se muestra en la misma hoja de los datos del archivo mencionado.
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18.5
PRUEBA KRUSKALL – WALLIS Esta prueba es similar a la prueba anterior, de Mann – Whitney – Wilcoxcon, excepto que se aplica para cuando el número de poblaciones es mayor que dos. El número de poblaciones cuyo comportamiento se desea analizar, la denotaremos por K. Se puede aplicar cuando se trata de variables ordinales así como también cuando se trata de variables de intervalo o de relación. A diferencia de la prueba de K – medias en el cual se requiere que las muestras sean independientes y provenientes de poblaciones normales y que sólo es aplicable para variables de intervalo o de relación, en este caso sólo se requiere que las muestras sean independientes. Es ampliamente usado cuando los supuestos de normalidad y las varianzas no son conocidas.
La prueba consiste en probar la hipótesis nula de que las poblaciones desde donde se extrae las muestras son iguales o que no existe diferencia significativa entre estas poblaciones. Para ello se procede como en la prueba anterior, a ordenar todos los datos de las k muestras siempre disponiendo de la forma de reconocer la pertenencia de los datos a su respectiva muestra. A continuación se debe asignar rangos a cada elemento. Se procede a sumar los rangos por muestra. Sea R1, R2,…, Rk la suma de estos rangos. Sean también n1, n2,…, nk los tamaños de cada una de las muestras, con n = n1 + n2 el estadístico H usando 𝐻 =
12 𝑛(𝑛+1)
[∑𝑘𝑖=1
+… + nk. A continuación se calcula
𝑅𝑖2 𝑛(𝑛+1)
] − 3(𝑛 + 1)
El atributo particular demostrado por Kruskall y Wallis es que este estadístico 2 puede ser aproximado a una distribución 1−𝛼 (𝑘 − 1)
Criterio de decisión: 2 Si el estadístico H es mayor que 1−𝛼 (𝑘 − 1) entonces se rechaza Ho en cuyo caso
estaremos en capacidad de afirmar que sí existe diferencia significativa entre las k
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poblaciones o éstas no son iguales. La prueba también nos permitirá identificar la población que mejor se adapte a nuestro análisis.
Ejemplo 07
Un agente exportador de anchoveta está interesado en comercializar estos productos y colocarlos en mercados asiáticos. De acuerdo a la información que tiene, en el norte del Perú existen tres grandes empresas pesqueras bien constituidas de las que puede adquirir dichos productos pero no sabe si existirá diferencia significativa en los volúmenes de exportación mensual. Para ello se registraron las ventas de los últimos meses de las tres empresas pesqueras, los que se muestran en el cuadro contenido en las primeras tres columnas de la hoja KruskWallis01 del archivo Estad NoParametric.xlsm. A un nivel de significación del 5%, ¿se puede afirmar que el agente puede adquirir dichos productos de cualquiera de las empresas pesqueras?
Solución Las hipótesis que vamos a probar son: Ho: Es lo mismo elegir cualquiera de las empresas (Las poblaciones son idénticas) H1: No se puede a elegir cualquiera de ellas (Las poblaciones son idénticas)
En la siguiente figura se muestran los datos y la primera parte del procedimiento. En la columna G ya se han asignado el rango a cada uno de los datos. En las celdas M4, M5, M6 y;M7, usando la función Contar.si() hemos obtenido los valores de n1, n2, n3 y el tamaño de la muestra, n, como la suma de ellas. En las celdas del rango R4:U6 hemos obtenido la suma de los rangos, su cuadrado y el cociente Ri/ni
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En la celda N9 hemos calculado el estadístico H, que es el estadístico de la prueba y finalmente al comparar con el valor crítico decidimos rechazar la hipótesis formulada, lo que significa que existe diferencia significativa en el comportamiento de las tres empresas en términos de sus ventas. Del mismo modo podríamos afirmar que se puede seleccionar a la empresa pesquera C.
Figura 9.2
Ejemplo 08
MyBody promociona un de sus métodos de bandera a fin de reducir la cantidad de calorías mediante tres tipos de ejercicios realizados durante media hora y por tres días a la semana: Método 1: Running, Método 2: Break Dance, Método 3: Subir y bajar escalera. Los datos que se muestra en las tres primeras columnas de la hoja KruskWallis02 del archivo Estad NoParamet.xlsm se obtuvieron de un grupo de participantes en cada método en una determinada semana. Indican estos datos que hay diferencia significativa entre los métodos en cuanto a la cantidad de caloría que se logra reducir por semana? Use α = 0.05. Página 741 de 800
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Solución El procedimiento empleado es el mismo descrito en el ejemplo 07. La siguiente figura muestra parte de estos cálculos.
Figura 9.3
18.6
PRUEBA DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN
Esta prueba no paramétrica es utilizada para propósitos de comparación en la relación que existe entre dos variables. A diferencia de los métodos anteriores, ésta mide el grado de asociación existente entre dos variables. En el mundo real existen muchos casos en los que se desea comparar el grado de dependencia de una característica poblacional respecto de otra. Si bien el análisis de regresión se ocupa extensivamente de estos problemas, los realiza sustentado en supuestos de normalidad y un análisis de la varianza que caen en el terreno de la estadística paramétrica.
Las hipótesis a ser probadas mediante este método son:
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Ho: No existe asociación entre las poblaciones H1: Sí existe asociación entre las poblaciones
El grado de asociación entre dos variables no es otro que el coeficiente de correlación de dos variables X e Y, denotado por 𝜌(𝑋, 𝑌) o simplemente ρ. De manera que las hipótesis debieran ser: Ho: ρ = 0 vs H1: ρ ≠ 0.
Para ello se usa el estadístico rS tal que 𝑟𝑆 = 1 −
2 6 ∑𝑖=𝑛 𝑖=1 𝐷𝑖
𝑛(𝑛2 −1)
Donde 𝐷𝑖 = 𝑅𝑋𝑖 − 𝑅𝑌𝑖 constituye la diferencia de los rangos entre una pareja de valores de X e Y.
Spearman demostró que para probar la hipótesis formulada se puede usar la distribución t de Student con (n-2) grados de libertad. Para ello se calcula el estadístico 𝑡𝐶 =
𝑟𝑆 √𝑛−2 √1−𝑟𝑆2
Y, se rechazará la hipótesis nula si 𝑡𝐶 > 𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 2) en cuyo caso diremos que sí existe un grado de dependencia entre las dos variables.
Ejemplo 09
Un estudio de mercadeo televisivo se programó la realización de un determinado número de repeticiones de un spot referido al consumo y las bondades de un tipo de bebida energizante. Luego de este período de 30 días, se les preguntó a un grupo de televidentes que dijeran cuántas veces vieron el spot y cuántas bebidas de ese tipo habían consumido. Los datos de la misma se encuentran en la hoja CxRSpearman01 del archivo Estad NoParamet.xlsm. A un nivel de significación del 5% ¿se puede afirmar que el spot televisivo no influyó en el consumo de la bebida?
Solución Hemos copiado los datos a las columnas E y G. En F y H se asignó el rango a cada valor y en la columna J se ha calculado el cuadrado de la diferencia de rangos. Las Página 743 de 800
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otras celdas de la columna J permiten obtener el estadístico de la prueba, así como el valor crítico y decidir respecto de Ho.
18.7
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Este tipo de prueba es también considerada como no paramétrica pero se diferencia de la anteriores por cuanto se trata de determinar o identificar si un conjunto de datos puede ser “ajustada” a una distribución conocida o a una particular.
Para resolver este tipo de problemas se utiliza la distribución Chi-Cuadrado cuya fundamentación se da en el siguiente teorema.
Teorema Si X1, X2, …, Xk , es un conjunto de categorías en los que se puede clasificar los resultados de las n repeticiones de un experimento, tales que 𝑝𝑋𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ), conteniendo cada uno de ellos Oi repeticiones a las cuales las llamaremos “frecuencias observadas” tales que 𝑛 = ∑𝑘𝑖=1 𝑂𝑖 . Entonces el estadístico
2𝐶 = ∑𝑘𝑖=1
(𝑂𝑖 −𝑒𝑖 )2 𝑒𝑖
se aproxima a una distribución ²
con k – 1 grados de libertad y 𝑒𝑖 = 𝑛𝑝𝑋𝑖
Una forma de aplicar este teorema es probar el supuesto de que el conjunto de resultados tienen una particular o se puede ajustar a una distribución conocida. Según esto la hipótesis nula y alternativa en esta prueba serán:
Ho: Los datos se pueden ajustar a una distribución conocida H1: Los datos no se pueden ajustar a una distribución conocida
O también
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Ho: Los datos se pueden ajustar a una distribución particular o empírica H1: Los datos no se pueden ajustar a una distribución particular o empírica
Criterio de decisión: 2 Se rechazará la hipótesis nula 2𝐶 > 1−𝛼 (𝑘 − 1)
Observación: Si las frecuencias esperadas de alguna categoría fuese menor que 5 se suman con las contiguas a fin de no dispersar los resultados con lo cual se reduce el número de categorías según el número de frecuencias fusionadas, lo que afecta el valor de k.
Observación Si el conjunto de datos deben ser ajustados a una distribución conocida, se deberá tomar en cuenta el número de parámetros a ser estimado, con lo cual, los grados de libertad a ser tomados en cuenta será: k -1 – r. Donde r representa el número de parámetros a ser estimados.
Ejemplo 10
La unidad de investigación de la Oficina de Transportes de una localidad deseaba determinar el porcentaje de tipos de vehículos que diariamente, entre las 8:00 y las 8:15 de la mañana pasan por cierta arteria de gran densidad vehicular. Esta unidad sospecha que hay 6 tipos de vehículos que con mayor frecuencia circulan en este horario por dicha arteria y que los porcentajes son de 30%, 20%, 20%, 10%, 10% y 10% de vehículos Suzuki, Nissan, Toyota, Honda, Mercedes y Kia. Para robar si estos vehículos registran este comportamiento diariamente, se registraron los vehículos que pasaron en dicho horario obteniéndose la siguiente tabla:
Suzuki
Nissan
Toyota
Honda
Mercedes
Kia
62
45
42
22
25
24
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Estos datos confirman la sospecha de la Oficina de transportes a un nivel de significación del 5%?
Solución Las hipótesis a ser probadas son: Ho: La proporción de tipos de vehículos es la misma H1: La proporción de vehículos es diferente.
En la siguiente tabla se presenta las columnas necesarias para obtener el estadístico de la prueba: En ella el número de vehículo de cada marca representa la frecuencia observada Oi, teniendo el tamaño n = 220 y tomando los porcentajes como probabilidad de ocurrencia hemos hallado la frecuencia esperada Ei, con la cual se ha obtenido la última columna. Vehículo
Oi
pi
Ei
(Oi - Ei)²/Ei
Suzuki Nissan Toyota Honda Mercedes Kia n=
62 45 42 22 25 24
0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
66 44 44 22 22 22
0.2424242 0.0227273 0.0909091 0 0.4090909 0.1818182
² calc=
0.9469697
220
Como α = 0.05 y el número de grados de libertad es k – 1 = 6 – 1 = 5, el valor crítico será: 20.95 (5) = 11.0705 Como 20.95 no es mayor que el valor crítico, no se rechaza la hipótesis nula, por lo que podemos afirmar que la sospecha de la oficina de transportes es cierta.
Ejemplo 11
Una nueva planta de fabricación de audífonos para teléfonos celulares presentaba diversos tipos de fallas. Se tomó una muestra de 200 audífonos para examinar el
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número de fallas que tuviera. A un nivel del 5% se puede afirmar que el número de fallas sigue una distribución de Poisson?
Número de fallas
0
1
2
3
4
5
Número de audífonos
40
35
38
30
32
25
Solución Sea X la variable definida como el número de fallas encontrada en una pieza. Si X P () entonces debemos estimar un parámetro. Se puede demostrar que el estimador de es la media de la muestra 𝑋
Figura 9.4
Las hipótesis a ser formuladas son: Ho: El número de fallas por pieza sigue una distribución de Poisson H1: El número de fallas por pieza no sigue una distribución de Poisson
Procedimiento: Ingresamos los datos a una hoja del Excel según se muestra en la siguiente tabla. Calculamos la media de la muestra usando: 𝑋= SumaProducto(A2:A7,B2:B7) /Suma(A2:A7) = 2.27 Promedio de fallas La función de distribución en el caso de la Poisson es 𝑝(𝑥 ) =
𝑒 − 𝑥 𝑥!
Usando esta función hallamos la probabilidad de que ocurra 0, 1, etc. fallas. Para ello digitamos en C2: =Exp(-2.27)*2.27^B2/fact(B2) = 0.1033 Copiamos hacia las otras celdas del rango Calculamos la columna E. En el caso de E2: =(A2-D2)^2/D2. Copiamos hacia las otras celdas de la columna. Página 747 de 800
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Los resultados se muestran en el siguiente segmento de hoja:
Figura 9.5
En este caso k = 6 – 1 – 1 = 4 El valor crítico es 20.95 (4) = 9.48773 Siendo el estadístico de la prueba mayor que el valor crítico, rechazaremos la hipótesis nula con lo cual, podemos afirmar que el número de fallas por componentes no sigue una distribución de Poisson.
Ejemplo 12
La inversión en publicidad realizada por las diversas empresas del sector industrial se muestra en la siguiente tabla en el cual se tiene el número de empresas y el monto promedio de sus inversiones. Sector A Inversión No. Empresas 75
10
85
15
95
40
105
25
115
10
¿A un nivel de significación del 5% es razonable pensar que el monto de las inversiones de estas empresas se ajusta a una distribución normal?
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Solución Ante todo ingresamos la tabla a una hoja del Excel, como se muestra en el siguiente segmento de hoja:
Figura 9.6
Si se trata de ajustar a una distribución normal, debemos estimar dos parámetros. En este caso la media y la varianza.
̂= 𝑋=
∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜(𝐴3: 𝐴7, 𝐵3: 𝐵7) = = 96 𝑛 𝑆𝑢𝑚𝑎(𝐵3: 𝐵7)
Del mismo modo estimamos la varianza: 2
⏞ = 𝑠2 = 𝜎
∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖2 −𝑛𝑋 𝑛−1
2
= 120.20202
La desviación estándar = σ = 10.9637
Ahora vamos a desagregar el punto medio (Inversión) en los límites inferior y superior del intervalo. La siguiente tabla muestra estos intervalos:
Ahora calcularemos las probabilidades de que un cierto monto de la inversión esté en un intervalo. Es decir, 𝑝(𝑋𝑖 ) = 𝑃(𝐿𝑖𝑚𝐼𝑛𝑓𝑖 ≤ 𝑋𝑖 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑆𝑢𝑝𝑖 ) = 𝐹(𝐿𝑖𝑚𝑆𝑢𝑝𝑖 ) − 𝐹(𝐿𝑖𝑚𝐼𝑛𝑓𝑖 ) En Excel: =DISTR.NORM(B3,$D$9,$D$11,1)-DISTR.NORM(A3,$D$9,$D$11,1)
Esto es lo que se muestra en la columna E. En la columna F se ha calculado Ei usando =npi
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Ahora bien, la columna D contiene los Oi, la columna F los Ei; con ellos hemos calculado G. En G9 se tiene el valor del estadístico de la prueba.
Como el número de grados de libertad es K-1 y se han estimado dos parámetros entonces el valor crítico es ² (2) = 5.99146 Según el criterio de decisión, no se rechaza la hipótesis nula, lo que significa que los datos se pueden ajustar a una distribución normal.
Los cálculos realizados se muestran en la siguiente tabla
Figura 9.7
18.8
PRUEBA DE INDEPENDENCIA DE CRITERIOS
En muchos casos se desea probar si existe relación entre dos criterios correspondientes a una variable o entre dos categorías de valores correspondientes a una o dos poblaciones.
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Por ejemplo: Una tienda comercial está interesada en saber si las ventas semanales de artefactos de cocina tienen alguna relación con el nivel socioeconómico de los consumidores. Con este motivo se tomó una muestra la que se presenta en la siguiente tabla.
Como se puede apreciar, la variable ventas semanales de artefactos se ha dividido en dos categorías: Tipo de artefacto y nivel socioeconómico de los clientes.
Por ello las hipótesis a ser probadas serán: Ho: La venta de artefactos es independiente del nivel socioeconómico H1: Existe una relación entre la venta de artefactos y el nivel socioeconómico
Fundamento del método: Sean X1, X2,…, Xk y Y1, Y2,…, Ym dos conjuntos de valores correspondientes a dos criterios en los que se puede dividir una variable. Sea 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋 = 𝑋𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) la probabilidad de que un elemento de la población corresponda al i-ésimo nivel de criterio X y al j-ésimo nivel del criterio Y. Del mismo modo, 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )
y, 𝑝𝑗 = 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 ) serán las probabilidades
marginales de X e Y, respectivamente.
Si los criterios X e Y no van a estar relacionados entonces se debe tomar en cuenta que 𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑖 ∗ 𝑝𝑗 para todo i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, m.
Luego las hipótesis a ser probada será:
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Ho: 𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑖 ∗ 𝑝𝑗 i = 1, 2… k; j = 1, 2… m H1: Existe por lo menos un 𝑝𝑖𝑗 ≠ 𝑝𝑖 ∗ 𝑝𝑗 para algún i ≠ j.
Estadístico de la prueba: Sea 𝑂𝑖𝑗 el número de elementos que corresponden al i-ésimo criterio X y j – ésimo criterio Y; es decir, 𝑂𝑖𝑗 será la frecuencia observada.
La siguiente tabla muestra la distribución de la muestra de acuerdo a las dos categorías, lo que se conoce también como una tabla de contingencia.
X1
Y1
Y2
O11
O11
… …
Yj O1j
… …
Ym O1k
𝑚
∑ 𝑂1𝑗 𝑗=1
X2
O21
O21
…
O2j
…
O2k
𝑚
∑ 𝑂2𝑗 𝑗=1
… Xk
𝑂𝑘1
…
… 𝑂𝑘2
…
… 𝑂𝑘𝑗
… …
… 𝑂𝑘𝑚
𝑚
∑ 𝑂𝑘𝑗 𝑗=1
𝑘
𝑘
∑ 𝑂𝑖1
∑ 𝑂𝑖2
𝑖=1
𝑖=1
𝑘
…
∑ 𝑂𝑖𝑗 𝑖=1
𝑘
…
∑ 𝑂𝑖𝑘 𝑖=1
De acuerdo a esto las estimaciones de las probabilidades marginales serán:
𝑝𝑖. =
∑𝑚 𝑗=1 𝑂𝑖𝑗 𝑛
∑𝑘𝑖=1 𝑂𝑖𝑗 𝑝.𝑗 = 𝑛
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Con lo cual estimaremos 𝐸𝑖𝑗 = 𝑛 𝑝𝑖. ∗ 𝑝.𝑗 Donde 𝑛 = ∑𝑘𝑖=1 ∑𝑚 𝑗=1 𝑂𝑖𝑗
El estadístico de la prueba será 𝑘
2𝐶
𝑚
(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 ) = ∑∑ 𝐸𝑖𝑗
2
𝑖=1 𝑗=1
El número de grados de libertad será (k-1)*(m-1) con el cual se podrá obtener el valor crítico con 100α% de nivel de significación.
Criterio de decisión: 2 Si 2𝐶 > 1−𝛼 (𝑘 − 1)(𝑚 − 1) se rechazará la hipótesis nula
Ejemplo 13
Tomemos el problema descrito al inicio de esta sección. ¿A un nivel de significación del 5% se puede afirmar que las ventas semanales de artefactos de dicha tienda son independientes con el nivel socioeconómico de los consumidores?
Solución De acuerdo a la pregunta formularemos las siguientes hipótesis: Ho: La venta semanal por tipo de artefactos es independiente del nivel socioeconómico en dicha tienda. H1: Las ventas semanales por tipo de artefactos y el nivel socioeconómico no son independientes.
Cálculo del estadístico de la prueba:
Procedimiento: Ingresamos los datos en una hoja del Excel, como se muestra en la figura
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Frecuencias observadas Artefactos Radios Televisores Equipo de video Computadora
A 18 25 30 15
B 15 18 24 12
C 25 12 22 10
D 18 25 10 16
Total 76 80 86 53
Total
88
69
69
69
295
La columna F contiene la suma de las frecuencias por artefacto. La fila 7 contiene la suma de las frecuencias por nivel socioeconómico. La celda F7 contiene el tamaño de la muestra 𝑛 = ∑𝑘𝑖=1 ∑𝑚 𝑗=1 𝑂𝑖𝑗 = 274
A continuación obtenemos la matriz de los 𝑝𝑖𝑗 =
𝑂𝑖𝑗 274
con lo cual, sumando por fila
obtenemos los 𝑝𝑖. y 𝑝.𝑗 que son las proporciones marginales. Esto se aprecia en la siguiente figura Artefactos Radios Televisores Equipo de video Computadora
A 0.0610 0.0847 0.1017 0.0508
B 0.0508 0.0610 0.0814 0.0407
C 0.0847 0.0407 0.0746 0.0339
D 0.0610 0.0847 0.0339 0.0542
0.298305 0.233898 0.233898 0.2339
0.2576 0.2712 0.2915 0.1797 1
A partir de esta matriz obtenemos otra que constituye la matriz de las frecuencias esperadas 𝐸𝑖𝑗 = 𝑛𝑝𝑖. 𝑝.𝑗 lo que se muestra en la siguiente figura Frecuencias esperadas Artefactos Radios Televisores Equipo de video Computadora
A 22.671 23.864 25.654 15.810
B 17.776 18.712 20.115 12.397
C 17.776 18.712 20.115 12.397
D 17.776 18.712 20.115 12.397
Teniendo las matrices de las frecuencias observadas y esperadas, obtenemos el estadístico de la prueba:
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𝑘
2𝐶
𝑚
2
(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 ) = ∑∑ = 17.251 𝐸𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1
Valor crítico = ²(9) = 16.919 Criterio de decisión: Como el valor calculado es mayor que el valor crítico, rechazamos la hipótesis nula; esto significa que las ventas semanales de los artefactos en dicha tienda dependen del nivel socioeconómico de los consumidores.
Nota: El archivo TestIndep.xlsx contiene la solución de este problema en su primera hoja.
La siguiente tabla muestra los resultados finales (Oij - Eij)²/Eij A B 0.962 0.434 0.054 0.027 0.736 0.750 0.042 0.013
Artefactos C Radios 2.936 Televisores 2.408 Equipo de video 0.177 Computadora 0.463 Estad. Prueba = Grados de libertad = (k-1)(m-1) = Valor crítico =
D 0.003 2.113 5.087 1.047 17.251 9 16.919
Ejemplo 14
Tres expertos fueron convocados para evaluar un lote de los primeros 500 productos con los que Perú iniciaba su comercio con Malasia. Ellos deberían clasificar a los productos de acuerdo a estándares internacionales en tres calidades C1, C2 y C3. La siguiente tabla muestra los resultados después de ser evaluados por los expertos. ¿A un nivel de significación del 5% se puede afirmar que la calificación de estos expertos es independiente de las certificaciones de calidad?
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Frecuencias observadas C1 C2 C3
E1
E2
E3
70 50 35
60 80 70
30 55 50
Solución Las hipótesis que corresponden a este problema son: Ho: La calificación de los expertos es independiente a la calidad de los productos. H1: La calificación de los expertos depende de la calidad de los productos. La solución se encuentra en la hoja 2 del archivo TestIndep.xlsx.
Procedimiento utilizado Aquí hemos variado el procedimiento: Primero hemos obtenido los totales por fila y por columna Utilizando la fórmula:
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑖𝑙𝑎𝑖 500
∗
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑙𝑗 500
∗ 500 hemos obtenido la matriz Eij. 2
La tercera matriz se ha obtenido usando la fórmula: (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 ) /𝐸𝑖𝑗
Estadístico de la prueba: En la celda D17 se ha obtenido el valor del estadístico de la prueba =20.215957 El número de grados de libertad = (k-1) (m-1) = 4. El valor crítico Chi cuadrado con 4 grados de libertad =9.48773 Usando el criterio de decisión podemos afirmar que la calificación de los expertos no es independiente a la clasificación de dicho producto.
La siguiente tabla muestra las tres matrices usadas en la solución de este problema.
C1 C2 C3
Frecuencias observadas E1 E2 70 60 50 80 35 70 155 210
E3 30 55 50 135
160 185 155 500
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C1 C2 C3
Frecuencias esperadas 49.6 67.2 57.35 77.7 48.05 65.1
43.2 49.95 41.85
(Oij-Eij)²/Eij 8.39032258 0.771428571 0.94197908 0.068082368 3.5442768 0.368817204 Estad. Calculado = Grados de libertad = Valor crítico =
18.9
4.033333333 0.510560561 1.587156511 20.215957 4 9.48773
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE PROPORCIONES
Una tercera aplicación de la distribución Chi-cuadrado, dentro de la estadística no paramétrica es aquella que se refiere a pruebas de comparación del comportamiento de dos o más muestras; esto es, afirmar que todas las muestras provienen de la misma población o de poblaciones iguales y como tal, son homogéneos en su comportamiento.
De manera que si se toman k muestras aleatorias extraídas de igual número de poblaciones y son clasificados en m grupos o criterios pre definidos, entonces Oij representará el número de observaciones proveniente de la i-ésima población, perteneciente al j-ésimo criterio. Esto sugiere el uso de la siguiente tabla en la cual se tendrán las observaciones.
X1
Y1
Y2
O11
O11
… …
Yj O1j
… …
Ym O1k
𝑚
∑ 𝑂1𝑗 𝑗=1
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X2
O21
O21
O2j
…
…
O2k
𝑚
∑ 𝑂2𝑗 𝑗=1
… Xk
𝑂𝑘1
…
… 𝑂𝑘2
…
…
𝑂𝑘𝑗
…
…
… 𝑂𝑘𝑚
𝑚
∑ 𝑂𝑘𝑗 𝑗=1
𝑘
𝑘
𝑘
∑ 𝑂𝑖1
∑ 𝑂𝑖2
𝑖=1
𝑖=1
𝑘
∑ 𝑂𝑖𝑗
…
…
𝑖=1
Por otro lado, definiremos a 𝑝𝑖𝑗 =
∑𝑘 𝑖=1 𝑂𝑖. 𝑛
∗
∑ 𝑂𝑖𝑘 𝑖=1
∑𝑚 𝑗=1 𝑂.𝑗 𝑛
como la proporción de que una
observación cualquiera de la i-ésima población, corresponda al j-ésimo criterio.
Como se podrá apreciar, el procedimiento a seguir será similar a la prueba de independencia de criterios ya los datos tienen la misma estructura y se toma en cuenta la probabilidad de pertenencia de una observación a un criterio.
En tal sentido, las hipótesis a ser formuladas serán: Ho: Todas las muestras presentan las mismas características o todas las muestras proceden de la misma población H1: Las muestras difieren en su comportamiento o no es cierto que todas las muestras procedan de la misma población.
Otra manera de formulas las hipótesis es utilizando la proporción de observaciones por criterio: 𝐻𝑜: 𝑝1𝑗 = 𝑝2𝑗 = ⋯ = 𝑝𝑘𝑗 𝐻1: 𝑝𝑖𝑗 ≠ 𝑝ℎ𝑗 para algún i ≠ h
Estadístico de la prueba: 𝑘
2𝐶
𝑚
(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 ) = ∑∑ 𝐸𝑖𝑗
2
𝑖=1 𝑗=1
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Donde 𝐸𝑖𝑗 = 𝑛 𝑝𝑖. ∗ 𝑝.𝑗 representan las frecuencias esperadas y
𝑛 = ∑𝑘𝑖=1 ∑𝑚 𝑗=1 𝑂𝑖𝑗
Grados de libertad:
Como en el modelo anterior el número de grados de libertad será: (k-1) (m-1).
Criterio de decisión: 2 Si 2𝐶 > 1−𝛼 (𝑘 − 1)(𝑚 − 1) entonces rechazaremos la hipótesis nula.
Ejemplo 15
Debido a la crítica situación del equipo Alianza Lima, una firma comercial que desea participar en la solución, decidió llevar a cabo una encuesta a los socios de tres de los distritos más identificados con el club, para saber su opinión respecto a la actual directiva. Los resultados de la muestra se presentan en la siguiente tabla: Distritos Opinión A B A favor 30 24 En contra 15 20 Indiferente 15 16
C 30 18 12
A un nivel de significación del 5% ¿se puede afirmar que la opinión de los socios es la misma en los tres distritos?
Solución Ingresamos los datos a una hoja del Excel. Como en el segundo ejemplo modelo anterior, obtenemos las sumas por fila y columna.
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Obtenemos las frecuencias esperadas Eij usando 𝐸𝑖𝑗 =
∑𝑘 𝑖=1 𝑂𝑖. 𝑛
∗
∑𝑚 𝑗=1 𝑂.𝑗 𝑛
∗𝑛
Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Frecuencia esperada Eij A favor 28.00 28.00 28.00 En contra 17.6666667 17.6666667 17.6666667 Indiferente 14.3333333 14.3333333 14.3333333
La siguiente tabla muestra los valores (Oij – Eij)²/Eij
(Oij - Eij)²/Eij A favor 0.14285714 0.57142857 0.14285714 En contra 0.40251572 0.3081761 0.00628931 Indiferente 0.03100775 0.19379845 0.37984496
Con lo cual obtenemos el estadístico de la prueba: 2𝐶 = 2.178775 El valor crítico es 20.95 (4) = 9.48773 Como el estadístico de la prueba no es mayor al valor crítico, no se rechaza la hipótesis nula; en consecuencia, podemos afirmar que la opinión de los socios es la misma en cualquiera de los tres distritos.
Nota Todo el problema se encuentra en la hoja Homg1 del archivo TestIndep.xlsx.
Ejemplo 16
El administrador de peajes de la municipalidad de Lima desea saber si hay diferencia en la proporción de vehículos manejados por un hombre o una mujer, que pasan por una caseta de control en ciertas horas de un fin se semana largo. Para realizar el estudio se observaron a 1000 vehículos que pasaron por dicha caseta, obteniéndose los siguientes resultados:
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Intervalos de tiempo tomados para la observación Total Entre las 09 y 12 Entre las 12 y 15 Hombres 90
Entre las 15 y 18
125
185
400
Mujeres
210
175
215
600
Total
300
300
400
1000
A un nivel de significación del 5% ¿se puede afirmar que no existe diferencia significativa en la proporción de vehículos que pasan por la caseta en los intervalos considerados?
Solución Ingresamos la tabla a una hoja del Excel. Como ya se tienen los totales, pasamos a calcular la matriz de las frecuencias esperadas, lo que se muestra en la siguiente tabla:
Intervalos de tiempo esperados Entre las 09 y 12
Entre las 12 y Entre las 15 y 15 18
Hombres
120
120
160
Mujeres
180
180
240
Pasamos a calcular la matriz de los cuadrados de las diferencias de las observaciones y el valor esperado. Esto se muestra en la siguiente tabla:
(Oij - Eij)²/Eij Entre las 09 y 12
Entre las 12 y 15
Entre las 15 y 18
Hombres
7.5
0.208333333
3.90625
Mujeres
5
0.138888889
2.604166667
Obtención del estadístico de la prueba: 2𝐶 = 19.35763889 El número de grados de libertad = 2
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El valor crítico =20.95 (2) = 5.99146 Luego, como la hipótesis nula se rechaza, podemos afirmar que sí existe diferencia significativa en la proporción de vehículos que pasan por la caseta en los intervalos considerados.
Nota: La solución al problema se encuentra en la hoja Homg2 del archivo TestIndep.xlsx.
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18.10 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una agencia de viajes está interesada en saber si el porcentaje de familias que asistirán a las 5 playas de su interés, cambiarán para este verano. Los porcentajes de familias que asistieron los fines de semana del verano pasado se muestra en la siguiente tabla. Playas
1
2
3
4
5
Porcentaje
10
35
10
20
25
Para averiguar si este comportamiento había cambiado, se tomó una muestra de 2000 asistentes a las playas en la última semana, obteniéndose los siguientes resultados: Playa
P1
P2
P3
P4
P5
Nº de familias
200 750 320 350 380
Usando =0.05, pruebe usted si los porcentajes de asistentes a las diferentes agencias cambió de manera significativa.
2. Una tienda de ropa femenina desea promocionar tres de sus prendas de mayor demanda, para el próximo verano: polos Z1, toallas y pareo. En la publicidad ofrece un descuento por temporada del 25% por cada una de estas prendas. Para saber si puede colocar más prendas en el mercado, realiza una encuesta sobre la preferencia de estas prendas. La muestra se llevó a cabo con 300 de sus clientes potenciales del último fin de semana. La información obtenida se muestra en la siguiente tabla:
Prenda
Polo Z1
Toalla
Pareo
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Preferencia
110
105
85
A un nivel de significación de 5%, ¿hay alguna preferencia por alguno de los regalos o todos son igualmente deseados? 3. PCB es una caja municipal de provincia con gran demanda en el mercado de prestamistas que no acuden a una entidad financiera o bancaria. En su idea de penetrar al gran mercado limeño, desea estudiar el número de solicitudes de crédito recibidas por día en el último semestre, 180 días por las diversas entidades financieras y bancarias de Lima, obteniéndose la siguiente información: Nro. Solicitudes de crédito
0
1
2
3
4
5 o más
Frecuencia (número de días)
50
77
81
48
33
11
A un nivel del 5%, ¿sería razonable concluir que la distribución del número de solicitudes diarias de préstamo es del tipo Poisson, con una media igual a 2?
4. El número de visitantes a un determinado museo durante una semana cualquiera parecen seguir una distribución normal, pues eso es lo que se puede deducir de las observaciones obtenidas durante 5 días de lunes a viernes, lo cual está contenido en la siguiente tabla en la cual se indica el monto recaudado por día, siendo X el punto medio de cada intervalo y fi el número de visitantes corresponde el valor central de cada intervalo.
Xi fi
Lunes 300 30
Martes 500 50
Miércoles 700 90
Jueves 900 45
Viernes 1100 35
A un nivel del 5% ¿se puede afirmar que el número de visitantes al museo sigue una distribución normal?
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5. A un curso de Juego de Bolsa asistieron 50 administradores, 40 ingenieros y 10 contadores. Con la intención de formar grupos afines, se les consultó si creen que las acciones mineras bajarían, subirían o se mantendría igual, en la próxima semana. El 20% de los administradores opinaron que subiría, mientras que el 40% de ellos piensa que bajará. El 50% de los ingenieros se inclinaron por que permanecerían igual y sólo el 5% creen que bajaría. La mitad de los contadores se inclina por la subida y la otra mitad por la bajada. Tomando en cuenta esta información y con un nivel de significación del 5%, ¿existe alguna relación entre el comportamiento del mercado bursátil y la profesión del encuestado?
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CAPÍTULO 10 REGRESIÓN LINEAL
10.1Introducción 10.2 Estimación de parámetros y prueba de hipótesis en el modelo lineal 10.3 Problemas propuestos
19.1
INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores en varias ocasiones hemos hablado de más de una variable. Por ejemplo cuando hablamos de variables aleatorias bidimensionales, dijimos que dos variables aleatorias estarán relacionadas si su covarianza es diferente de 0. Si la covarianza es positiva entonces existe una relación directa positiva; es decir, si una variable aumenta, entonces también aumenta la otra; por el contrario si la covarianza es negativa entonces existe relación inversa; lo que significa que cuando una aumenta, la otra disminuye. Por otro lado, si la covarianza es cero, dijimos que las dos variables no están relacionadas; es decir, son variables aleatorias independientes.
En la práctica existen muchos casos en los cuales dos o más variables aleatorias están relacionadas.
¿Qué significa que dos o más variables están relacionadas? Significa que entre ellas existe una relación funcional de la forma y = f(x) en el caso de dos variables y cuando se tiene más de dos variables entonces el modelo será y = f(x1, x2,…, xn).
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En esta caso tendremos el modelo en el cual la variable Y está en relación de X1, X2,…, Xn; es decir, Y depende de los Xi. Según esto, Y recibe el nombre de variable dependiente y X1, X2,…, En constituyen las variables independientes. Veamos el caso de la venta del pollo: Cuando la demanda del pollo aumenta, el precio también aumenta; sin embargo, cuando la oferta aumenta, el precio del pollo disminuye. Esto lo saben todas las amas de casa que diariamente hacen el mercado.
De manera que, si se desea analizar si dos o más variables están relacionadas, debemos obtener un modelo matemático que nos permita construir dicha relación.
Y ¿por qué tenemos que estudiar la relación entre dos variables? Si se tiene el modelo podemos realizar proyecciones futuras las que nos permitirá realizar una adecuada toma de decisiones.
Sin embargo, antes de construir el modelo matemático, debemos realizar un análisis de dispersión de las variables dos a dos; entre la variable dependiente y una de las variables independientes. La forma cómo se muestran los puntos en este gráfico nos indicará qué modelo construir.
En el presente capítulo estudiaremos el modelo lineal cuyo modelo matemático se representará como 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + … + 𝛽𝑛 𝑋𝑛 + 𝜀
denominado
modelo de regresión lineal múltiple. Cuando se trata de un modelo de dos variables entonces tendremos 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝜀 denominado modelo de regresión lineal simple. En ambos modelos ε es una variable llamada variable estocástica que representará los errores que afectan a Y, pero que no son explicados por el modelo, el cual se sustenta en los siguientes supuestos:
E(ε ) = 0 V(ε) = σ² Y que las variables εi no están correlacionadas.
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19.2
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS EN EL
MODELO LINEAL
Antes de hablar del modelo lineal, veamos el siguiente ejemplo:
En la página 297 del libro Problemas Econometría, A. Aznar y A. García proponen como problema 4.22 el siguiente caso: Evaluar los efectos de la “revolución verde” tomando una muestra entre los años 1957 a 1976 sobre de la producción agrícola española, Yi, conjuntamente con el volumen de fitosanitarios, X1, de la maquinaria agrícola, X2 y del financiamiento público y privado, X3. Los datos se muestran en la siguiente tabla:
Yt 172,900 211,710 220,160 222,370 249,610 281,670 319,760 320,110 341,030 386,330 403,540 433,630 462,300 471,830 535,650 578,840 675,400 813,020 917,140 1,016,000
X1t 1,179 1,018 909 930 1,668 1,647 2,096 2,264 2,170 2,769 2,976 3,029 3,480 3,642 4,151 4,708 5,614 6,095 6,660 6,850
X2t
X3t
38,079 44,511 52,756 64,143 80,191 105,390 133,490 157,980 185,180 218,230 254,800 292,210 332,450 363,680 398,770 438,290 480,110 523,490 566,950 606,070
1,636 2,142 2,135 3,507 4,214 5,640 69,048 62,964 73,876 84,599 99,652 124,050 144,850 158,490 176,780 196,320 235,340 281,960 319,250 372,840
El problema consiste en comprobar si la producción agrícola depende del volumen de fitosanitarios, de la maquinaria y parque automotor y del financiamiento público y privado.
Lógicamente la sola definición de las variables sugiere un modelo de la forma 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖3 + ε𝑖 Página 768 de 800
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Pero antes de formularlo, deberíamos estar seguros que será este el modelo. Para ello hemos realizado un análisis de gráficos utilizando el diagrama de dispersión entre la producción agrícola y cada una de las variables independientes. Todo este análisis exploratorio de datos (EDA) lo hemos realizado en el archivo RegreLineal.xlsx, uno de cuyos gráficos mostramos aquí.
1,200,000
Gráfico de dispersión X1t vs Y
1,000,000
y = 123.28x + 58060 R² = 0.9683
800,000 600,000 400,000 200,000
-
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
Figura 10.1
Este gráfico de dispersión, realizado en Excel nos dice que la producción agrícola está en relación con el volumen de fitosanitarios. Observen que Excel nos permite obtener la relación lineal Y = 58060 + 123.2X1 De manera que el modelo lineal general será el siguiente: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖3 + … + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + ε𝑖
(1)
Donde Y representa la variable dependiente o variable explicada X1, X2,…, Xk representan las variables independientes o variables explicativas k representa el número de variables independientes 𝛽0 es el intercepto o valor inicial de Y cuando todos los Xi son iguales a 0. 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑘 son los coeficientes de regresión. Y ε𝑖 es una variable estocástica que debe cumplir los siguientes supuestos:
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E(ε𝑖 ) = 0 V(ε𝑖 ) = σ² ε𝑖 es una variable con distribución normal Y que ε1, ε2,…., εk no están correlacionadas; es decir, son independientes
De (1) ε𝑖 = 𝑌𝑖 − (𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖3 + … + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 ) Podemos obtener ∑ 2𝑖 = ∑(𝑌𝑖 − (𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖3 + … + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 ))
2
(2)
El objetivo es obtener los valores críticos que hacen que la sumatoria del lado izquierdo sea mínimo. Estos valores críticos son los estimadores de cada uno de los parámetros βi del modelo.
El procedimiento para obtener estos estimadores es el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), estudiado en el capítulo de estimación puntual.
De manera que Si 𝛽̂0 , 𝛽̂1 , 𝛽̂2 , … . , 𝛽̂𝑘 son los estimadores de los coeficientes de regresión que han sido obtenidos por dicho método, entonces el modelo estimado será 𝑌̂𝑖 = 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑋𝑖1 + 𝛽̂𝑖2 𝑋𝑖2 + … + 𝛽̂𝑘 𝑋𝑖𝑘
(3)
Donde 𝑌̂𝑖 representa el estimador de Y, conocido también como Y pronosticado o Y predicho.
Propiedades de los estimadores 1. El estadístico 𝛽̂ es un estimador insesgado de β; es decir, E(𝛽̂ ) = β 2. El estadístico 𝛽̂0 es un estimador insesgado de 𝛽0 ; es decir, E(𝛽̂0 ) = 𝛽0 Página 770 de 800
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Ahora bien, restando (3) de (1) obtendremos 𝑌 − 𝑌̂ lo cual puede expresarse como 𝑌 − 𝑌̂ = (𝑌 − 𝑌) + (𝑌 − 𝑌̂) A partir de la cual se puede demostrar que 2
2 ∑(𝑌 − 𝑌) = ∑(𝑌 − 𝑌̂) + ∑(𝑌̂ − 𝑌)
2
En esta ecuación, a cada sumatoria la denotaremos por SCT = Suma de cuadrados de los errores totales = ∑(𝑌 − 𝑌)
2
2 SCE = Suma de cuadrados debido a los errores o residuos = ∑(𝑌 − 𝑌̂)
SCR = Suma de cuadrados debido a la regresión = ∑(𝑌̂ − 𝑌)
2
Los grados de libertad correspondientes son:
Para SCT es (n-1) donde n es el tamaño de la muestra Para SCR = (k-1) donde k es el número de variables en el modelo. Para SCE = (n-1) – (k-1) = (n-k)
Luego, dividiendo cada suma de cuadrados entre sus respectivos grados de libertad tendremos los cuadrados medios que constituyen las varianzas respectivas. 𝑆𝐶𝑇 𝑛−1 𝑆𝐶𝑅 𝐶𝑀𝑅 = 𝑘−1 𝑆𝐶𝐸 𝐶𝑀𝐸 = 𝑛−𝑘 𝐶𝑀𝑇 =
Finalmente, con toda esta información podemos construir la tabla del análisis de varianza para un modelo de regresión lineal general:
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Fuente
Suma de
Grados de
Cuadrado
Estadístico
cuadrados
libertad
medio
Regresión
SCR
k-1
CMR
𝐹𝐶
Residuos
SCE
n-k
CME
=
Totales
SCT
n-1
pValor
FC
𝐶𝑀𝑅 𝐶𝑀𝐸
Coeficiente de determinación
𝑟2 =
𝑆𝐶𝑅 𝑆𝐶𝑇
representa la proporción de veces que la variación de la variable dependiente Y, es explicada por el modelo; por lo general se interpreta en forma porcentual. A diferencia del coeficiente de correlación entre dos variables, 0 ≤ r² ≤ 1. Mientras ρ(X, Y) cuantifica el grado de relación entre dos variables, r² indica el porcentaje de veces que el modelo se adecúa para estimar, pronosticar o predecir los valores de Y.
Observación
En algunos casos o en ciertas situaciones, es más conveniente usar el coeficiente de determinación ajustado 𝑟𝑎2 = 1 – (1 − r²)
n−1 n−1−k
Coeficiente de correlación entre dos variables de la muestra
Definiremos a r(X, Y) es el coeficiente de correlación de la muestra entre las variables X e Y (tomado a X como una sola variable) como 𝑟(𝑋, 𝑌) = (𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝛽)√𝑟 2
y su interpretación es la misma dada anteriormente.
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Análisis del modelo lineal simple
Estimación de los parámetros:
En el caso de un modelo lineal simple tendremos 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + ε𝑖 𝑌̂𝑖 = 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑋𝑖1 En el capítulo de estimación de parámetros estudiamos el método de los mínimos cuadrados ordinarios para estimar los coeficientes de un modelo lineal.
Dicho método nos permite encontrar
𝛽̂1 =
𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌 𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2 𝛽̂0 = 𝑌 − 𝛽̂1 𝑋1
Estimación de la varianza de los errores Si Y = βo + β1X + ε entonces 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 aquí E(ε) = 0 por los supuestos. 2
De manera que ∑ 𝜀 2 = ∑ ((𝑌 − 𝑌) − 𝛽1 (𝑋 − 𝑋)) = ∑(𝑦 − 𝛽1 𝑥)2
Observe que hemos hecho x = X - 𝑋 así como y = Y - 𝑌
Por otro lado, como 𝑉 (𝜀 ) = 𝐸 (𝜀 2 ) − (𝐸(𝜀))2 =
∑ 𝜀2 𝑛−1−1
Se puede demostrar que ∑ 𝜀 2 = ∑ 𝑦 2 − 𝛽12 ∑ 𝑥 2
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2
Con lo cual 𝜎 = 𝑉 (𝜀 ) =
∑ 𝑦 2 − 𝛽12 ∑ 𝑥 2 𝑛−2
Estimación de la varianza de los coeficientes de regresión 2
1
Como ∑ 𝑥 2 = ∑(𝑋 − 𝑋) = ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2 entonces podemos deducir 𝑛
𝑉(𝛽̂1 ) =
𝜎2 𝜎2 de donde podemos obtener 𝜎𝛽̂1 = √∑ 2 2 𝑥 ∑𝑥
Del mismo modo 1 𝑋 𝑉(𝛽̂0 ) = 𝜎 2 ( − ∑ 2 ) de donde podemos hallara también 𝜎𝛽̂0 𝑛
𝑥
Estimación por intervalos
A continuación obtendremos intervalos de confianza del 100(1-α) % para cada uno de los coeficientes de regresión y para Y estimada. Intervalo de confianza para β1 Si tomamos en cuenta el supuesto de normalidad para ε entonces, por la propiedad reproductiva de la normal Y también será normal; esto es, supondremos que la muestra usada proviene de una población normal. Según esto y si consideramos que el estadístico 𝛽̂1 es una variable muestral, entonces, la variable 𝑇=
̂1 −𝛽1 𝛽 𝜎𝛽1
tendrá una distribución t con (n-2) grados de libertad.
Por lo que el intervalo de confianza del 100(1-α) % para β1 será: 𝛽̂1 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2) 2
𝜎 √∑ 𝑥 2
≤ 𝛽1 ≤ 𝛽̂1 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2) 2
𝜎 √∑ 𝑥 2
Intervalo de confianza para β0
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Como en el caso anterior, el intervalo de confianza del 100(1--α) % para β0 será 𝛽̂0 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2)𝜎𝛽̂0 ≤ 𝛽0 ≤ 𝛽̂0 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2)𝜎𝛽̂0 2
2
Intervalo de confianza para 𝑌̂ (variable predicha) Si X = X0 entonces 𝑌̂0 = 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑋1 será el valor predicho de Y. Puesto que Y se puede predecir como Yo, dada la ocurrencia de un evento en X; es decir, que ocurra X = Xo entonces podemos saber el valor esperado de Yo, dado X = Xo; en otras palabras, podemos estimar por intervalos a E (Yo/X = Xo) = 𝜇𝑌0 2
̂0 ) = 𝜎 2 [1 + (𝑋0−𝑋) Podemos deducir 𝑉(𝑌 ] ∑ 2 𝑛
𝑥
Por otro lado, siendo normal de donde se extrajo la muestra, el estadístico
𝑇=
𝑌̂0 −𝐸(𝑌0 /𝑋=𝑋0 ) tiene una distribución t con (n-2) grados de libertad. √𝑉(𝑌̂0 )
Luego el intervalo de confianza del 100(1--α) % para 𝜇𝑌0 es 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑋1 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2)𝜎𝑌̂0 ≤ 𝜇𝑌0 ≤ 𝛽̂0 − 𝛽̂1 𝑋1 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2)𝜎𝑌̂0 2
2
Prueba de hipótesis
Una primera hipótesis de trabajo surge de inmediato cuando se pretende cuestionar si realmente la variable explicada Y se ajusta al modelo estimado o, si la relación obtenida es significativa.
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Por otro lado, puesto que una variable puede depender de otra según el valor del coeficiente de regresión correspondiente, es lógico que nuestros modelos de hipótesis tengan que formularse también respecto los coeficientes β0 y β1.
Prueba de hipótesis para la regresión: H0: ρ(X, Y) = 0: La variable Y no puede ser ajustada por el modelo de regresión H1: ρ(X, Y) ≠ 0 Las dos variables están correlacionadas.
Estadístico de la prueba: De acuerdo a la tabla del ANOVA, el estadístico de la prueba es 𝐹𝐶 =
𝐶𝑀𝑅 𝐶𝑀𝐸
Valor crítico de la prueba: Como en el caso general el número de grados de libertad de SSR es (k-1) en el modelo lineal simple k = 2; por tanto, los grados de libertad del numerador será 1 y del denominador, (n-k) = (n-2). Luego debemos hallar el valor crítico para 𝐹1−𝛼 (1, 𝑛 − 2) Criterio de decisión Si
𝐹𝐶 >𝐹1−𝛼 (1, 𝑛 − 2)
rechazaremos la hipótesis nula, con lo cual estaremos
afirmando que el modelo no explica significativamente la variabilidad de la variable dependiente Y.
Prueba de hipótesis para β1: H0: β1 = 0 H1: β1≠ 0
Estadístico de la prueba:
𝛽̂1 𝑡𝐶 = 𝜎𝛽̂1 Página 776 de 800
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Valor crítico: 𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 2)
Criterio de decisión: Si 𝑡𝐶 >𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 2) se rechazará la hipótesis nula; es decir, las variables aleatorias son independientes. Prueba de hipótesis para β0: H0: β0 = 0 H1: β0 ≠ 0
Estadístico de la prueba:
𝛽̂0 𝑡𝐶 = 𝜎𝛽̂0 Valor crítico: 𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 2)
Criterio de decisión: Si 𝑡𝐶 >𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 2) se rechazará la hipótesis nula; es decir, las variables aleatorias tienen un intercepto común en el origen de coordenadas.
Análisis del modelo lineal general
En este caso la estimación de los parámetros de la regresión se deduce usando matrices: Desde el punto de vista matricial, el modelo es Y = βX + ε , donde
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La estimación de los parámetros por los mínimos cuadrados ordinarios utilizando matrices se obtiene 𝛽 = (𝑋 𝑇 𝑋)−1 𝑋 𝑇 𝑌
El análisis de un modelo lineal múltiple se basa en todo lo dicho para el modelo lineal simple 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝜀 dejaremos de lado las deducciones tanto a nivel de estimación puntual, por intervalos como para las pruebas de hipótesis.
Nos dedicaremos a resolver modelos de más de dos variables mediante el programa Excel.
Prueba de hipótesis en el modelo lineal general H0: β1 = β2 = … = βk = 0 : La variable Y no es ajustada por el modelo de regresión H1: βi≠ 0 para algún i = 1, 2,…, k: Una de las variables independientes contribuyen significativamente al modelo.
Estadístico de la prueba:
Como la tabla del ANOVA, nos proporciona este estadístico
Entonces el estadístico de la prueba es 𝐹𝐶 =
𝐶𝑀𝑅 𝐶𝑀𝐸
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Valor crítico de la prueba:
En el caso general el número de grados de libertad de SSR es (k-1) por lo que los grados de libertad del numerador será (k-1) y del denominador, (n – k -1) Luego debemos hallar el valor crítico para 𝐹1−𝛼 (1, 𝑛 − 𝑘 − 1) Criterio de decisión Si 𝐹𝐶 >𝐹1−𝛼 (1, 𝑛 − 𝑘 − 1) rechazaremos la hipótesis nula, con lo cual estaremos afirmando que el modelo no explica significativamente la variabilidad de la variable dependiente Y.
Prueba de hipótesis para βj: H0: βj = 0 La variable Y no depende de la j-ésima variable independiente H0: βj ≠ 0 La variable Y la j-ésima variable presentan alguna relación.
Estadístico de la prueba:
𝑡𝐶 =
𝛽̂𝑗 𝜎𝛽̂𝑗
Valor crítico:
En este caso los grados de libertad para t serán (n-k-1) 𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 𝑘 − 1)
Criterio de decisión: Si 𝑡𝐶 >𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 𝑘 − 1) se rechazará la hipótesis nula; es decir, las variables aleatorias tienen un intercepto común en el origen de coordenadas. Página 779 de 800
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Nota: En los ejemplos que a continuación desarrollaremos, usaremos extensivamente todo los que el Excel nos proporciona como herramienta para resolver el problema.
Ejemplo 01
La gerencia de personal de una empresa desea elevar la eficiencia de sus empleados controlando el tiempo que tardan en el ensamble de celulares. Para ello somete a 10 de sus empleados a una prueba que consiste en registrar el tiempo de ensamble de un celular y someterlo a un riguroso control de calidad. El tiempo registrado por cada uno de ellos y la eficiencia alcanzada, se muestra en la siguiente tabla. Tiempo (minutos) 27 45 41 19 35 39 19 49 15 31 Eficiencia (%)
47 84 80 46 62 72 52 87 37 68
a) Obtenga un diagrama de dispersión y diga a qué modelo se puede ajustar los
datos. Identifique la variable independiente y la variable dependiente. b) Calcule e interprete el valor de cada uno de los coeficientes de la recta de
regresión c) ¿Qué indica el valor del coeficiente de determinación?
Solución a) Procedimiento: -
Ingresemos los datos al Excel a partir de A1 colocando como nombre de columna: Tiempo y Eficiencia. La variable Tiempo será la variable independiente y Eficiencia será la variable dependiente.
-
Construiremos el diagrama de dispersión: Seleccionamos el rango A1:B11; usamos la secuencia - seleccionamos “Dispersión solo con marcadores”
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-
Observando el gráfico podemos afirmar que existe una relación entre el tiempo que se tarda en ensamblar el celular y la eficiencia obtenida. Esta es una relación directa pues a mayor tiempo de ensamble mayor porcentaje de eficiencia.
Figura 10.2
-
Vamos a añadir al gráfico Línea de tendencia. Estando seleccionado el gráfico - . En la ventana siguiente debe quedar activada Lineal, Presentar ecuación en el gráfico y Presentar el valor R cuadrado en el gráfico. Luego clic en .
-
Podemos apreciar que el modelo es adecuado para explicar el comportamiento de la eficiencia en términos del tiempo de ensamble en el 91.5% de las veces. La ecuación de regresión estimada es: Eficiencia = 18.06 + 1.42 Tiempo Gracias al modelo podemos decir, si el tiempo de ensamble es de 20 minutos, el porcentaje de eficiencia alcanzado será de 18.06 + 1.42 (20) = 46.46%
-
Estimaremos los coeficientes de regresión usando el Excel. En este ejemplo no usaremos la función Estimacion.Lineal ni la herramienta Regresión.
-
Como
𝛽̂1 =
𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌 𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2 𝛽̂0 = 𝑌 − 𝛽̂1 𝑋1
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En D15 ingresamos la fórmula que calcula el coeficiente β1. =(D14*SUMAPRODUCTO(A2:A11,B2:B11)SUMA(A2:A11)*SUMA(B2:B11))/(D14*SUMA.CUADRADOS(A2:A11)SUMA(A2:A11)^2) En D17 ingresamos la fórmula que calcula el intercepto β0: =PROMEDIO(B2:B11)-D15*PROMEDIO(A2:A11)
Interpretación: En cuanto a β0 : Si el tiempo de ensamble es 0, la eficiencia es de 18.06%. Aunque en este problema la eficiencia debiera iniciarse en 0, podríamos interpretarla como eficiencia inicial. Un ajuste más adecuado al problema podría ser obtener la ecuación cuando este coeficiente es 0.
Figura 10.3
La gráfica que acompañamos en el libro que estamos usando indica que en tal caso la ecuación con el origen en 0 será Eficiencia = 1.923 Tiempo sólo que, como se puede apreciar, el coeficiente de determinación ha disminuido. Antes era de 91.5%. Ahora es sólo de 78.6% lo que indicaría que se logra mejor ajuste cuando no se realiza una transformación de eje. Sin embargo, si el tiempo de ensamble es de 20 minutos, la eficiencia obtenida es de 38.46%. Es más comprensible que estar asumiendo una eficiencia inicial de 18.06%. En todo caso la duda será resuelto por los que tomen decisiones.
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b) Para responder a esta pregunta usaremos el coeficiente de determinación obtenido en el gráfico al añadirle la línea de tendencia. En el siguiente ejemplo obtendremos este coeficiente por otros medios. Según esto, r²% = 91.5% permite afirmar que los datos pueden ser representado por el modelo en el 91.5% o que el modelo explica el comportamiento de los datos en el 91.5% de las veces.
La solución y gráfica en Excel se encuentra en la hoja llamada Ejemplo del archivo RegreLineal.xlsx.
Cómo estimar los parámetros en Excel El programa Excel dispone de una función: Estimacion.Lineal (…) y de una herramienta para resolver problemas de aplicación de un modelo lineal general o regresión múltiple. Uso de la función Estimacion.Lineal(…)
En Excel usaremos la función
=Estimacion.Lineal(VarY,VarX,Intercepto,Detalle)
Donde VarY constituye el rango de la variable dependiente VarX es el rango o matriz que incluye a todas las variables independientes Intercepto, que puede ser Verdadero o Falso. Verdadero permite obtener el estimador del intercepto βo. Se puede usar 1 ó 0 en lugar de Verdadero o Falso. Detalle, que también puede ser Verdadero o Falso, permite incluir el detalle (Cuadro del ANOVA) o sólo el coeficiente de determinación.
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Esta función permite emitir la siguiente tabla:
mn
mn-1
...
m1
b
Coeficiente de cada variable
sen r²
sen-1 Sey
...
se1
seb
Error estándar de cada variable Coef.de determ.
Fc Df ssreg ssresid
F calculado S.C.de la Regresión
Descripción de esta tabla:
La primera fila contiene los valores de los coeficientes de regresión en orden inverso; es decir, b es el intercepto, m1 es el coeficiente de X1,…, mn es el coeficiente de Xn. La segunda fila contiene los errores estándar de las variables y del intercepto La tercera fila contiene el coeficiente de determinación r² y el error estándar de Y La cuarta fila contiene el estadístico de la prueba FC y los grados de libertad del modelo. La quinta fila contiene la suma de los cuadrados de la regresión y de los residuales.
Observación importante:
Para usar esta función primero se debe seleccionar un rango formado por 5 filas por lo descrito anteriormente y tantas columnas como variables tenga el modelo (incluyendo la variable dependiente). Digitar la función con todos sus argumentos (estando seleccionado el rango) Teniendo presionada las teclas + y presionar una sola vez la tecla
Ejemplo 02
Tomemos como ejemplo el caso planteado al inicio de este capítulo sobre la producción agrícola española entre los años 1957 a 1976. Haga un análisis completo de este problema tomando en cuenta los siguientes criterios:
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Construya los diagramas de dispersión necesarios a fin de tener una idea clara sobre el modelo que explique la variabilidad de la producción agrícola Obtenga una matriz de correlación a fin de realizar un análisis previo de relación entre pares de variables Obtenga una matriz de correlación a fin de observar el grado de correlación existente entre las variables de este problema Finalmente, a un nivel de significación del 5% ¿se puede afirmar que la producción agrícola depende de las otras tres variables?
Solución Sea Yt la variable definida como la producción agrícola total X1t la variable definida como el volumen de fitosanitarios utilizado X2t la variable que representa el parque de maquinaria agrícola X3t la variable que representa el financiamiento público y privado Ingresamos primero los datos a una hoja de Excel. Esto lo encontramos en el archivo RegreLineal.xlsx. Construimos gráficas de dispersión de las variables. En ellas podemos apreciar que la producción agrícola depende de cada una de las otras variables; por lo tanto, es muy probable que un modelo lineal explique la variación de la producción agrícola.
Para obtener la matriz de varianzas y covarianzas: Use la secuencia: - - . Complete la ventana como se muestra en la siguiente imagen:
Figura 10.3
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Luego de hacer clic en obtendremos los resultados que se muestran Matriz de covarianzas
Yt X1t X2t X3t
Yt X1t X2t X3t 58134828558 433812672.5 3704245.671 41484299760 338341844.7 35053472510 25796718403 205743763.4 19935330683 12936859285
En la diagonal principal se encuentra la varianza de cada variable. Puesto que Excel calcula la varianza poblacional (Varp(…)), hemos reemplazado por la varianza de la muestra; es decir, Var (…).
La triangular inferior muestra la covarianza de pares de variables: Como se pudo apreciar en los gráficos de dispersión, cuando el volumen de fitosanitarios (X1) aumenta, también aumenta la producción agrícola, esto se fundamenta en la covarianza de estas dos variables que es un número positivo (no interesa su valor, probablemente cuanto mayor sea la correlación entre ellas sea mayor).
Obtendremos ahora la matriz de correlación:
Usemos la secuencia: - - . Completamos la ventana como se muestra en la siguiente imagen:
Figura 10.4
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Luego de hacer clic en obtendremos los siguientes resultados: Matriz de correlación Yt
X1t X2t 1 0.984034988 1 0.967333965 0.988363487 1 0.990166508 0.989324481 0.985416632
Yt X1t X2t X3t
X3t
1
Podemos apreciar la altísima correlación entre las variables. Por ejemplo la producción agrícola y el financiamiento público y privado están correlacionados en el 99%; es decir, que la variación de la producción agrícola depende del financiamiento público en el 99% de los casos.
Pasamos a obtener la tabla del ANOVA, la que nos mostrará también la estimación de los coeficientes de regresión. Para ello primero debemos seleccionar el rango de salida. Hemos dicho que se deben seleccionar 5 filas y tantas columnas como número de variables hay en el modelo. Según esto, Seleccionaremos el rango C89:F93 Ingresamos la fórmula: =Estimacion.Lineal(C20:C39,D20:F39,1,1)
Teniendo presionada +, presionamos una vez Con lo cual obtendremos: B3 2.077349096 0.432673638 0.987510312 421.685597 1.09077E+12
B2 B1 -0.706994337 69.79667214 0.251824119 28.60358049 29363.70194 #N/A 16 #N/A 13795631861 #N/A
Bo 166174.177 29684.20428 #N/A #N/A #N/A
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En la fila superior hemos añadido la secuencia de los coeficientes de regresión a fin de facilitar su reconocimiento.
En esta matriz de resultados tenemos: El coeficiente de determinación: r² = 0.9875 El estadístico de la prueba: FC = 421.6856 La desviación estándar de los errores totales: σ = 29363.70194 Encontramos también: La suma de cuadrados de la regresión: SCR = 1.09077E+12 La suma de cuadrados de los residuos: SCE = 13795631861 Podemos hallara la suma de cuadrados totales: SCT = SCR + SCE Número de grados de libertad para cada fuente Los estimadores de los coeficientes de regresión: 𝛽̂0 = 166174.177; 𝛽̂1 = 69.79667214, 𝛽̂2 = -0.706994337; 𝛽̂3 = 2.077349096 Por tanto el modelo lineal ajustado para este problema ser:
Y = 166174.177 + 69.79667214 X1 - 0.706994337X2 + 2.077349096X3 Las desviaciones típicas estimadas para cada uno de estos coeficientes son: 𝜎𝛽̂0 = 29684.20428 𝜎𝛽̂1 = 29.60358049 𝜎𝛽̂2 = 0.251824119 𝜎𝛽̂3 = 0.432673638 Formulación del as hipótesis:
Ho: El modelo no explica la variabilidad de la producción agrícola H1: El modelo sí explica la variabilidad de la producción agrícola
Estadístico de la prueba: FC = 421.6856
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El valor crítico: Cualquier valor crítico con un nivel de 5% es menor que Fc, por tanto rechazamos la hipótesis nula; esto significa que el modelo explica el comportamiento de los datos. Del mismo modo, el coeficiente de determinación también indica el alto grado de explicación de los datos mediante el modelo estimado.
Uso de la herramienta Regresión
Vamos a resolver el mismo problema usando la herramienta del Excel. Abrimos el archivo RegreLineal.xlsx y nos vamos a la hoja Análisis de datos 1. El uso de la secuencia - - nos lleva a la siguiente ventana que la completaremos como se indica en la figura.
En dicha figura tenemos los datos correspondientes a las variables producción agrícola (Yt), volumen de fitosanitarios (X1t), maquinaria agrícola (X2t) y financiamiento público y privado (X3t). Aunque no es necesario para un análisis preliminar, le hemos pedido que nos emita en una hoja nueva, los residuales y los residuales estandarizados.
Figura 10.5
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Luego de hacer clic en , obtendremos los resultados en una hoja nueva. Aquí sólo mostramos una parte. En la nueva hoja que ha creado se apreciará todos los resultados emitidos al usar la herramienta Regresión.
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.993735534 Coeficiente de determinación R^2 0.987510312 R^2 ajustado
0.985168495
Error típico
29363.70194
Observaciones
20
ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de lib. Suma de cuad.
Promedio de los cuad.
F
Valor crítico de F
Regresión
3
1.09077E+12
3.63589E+11
421.685597
1.96578E-15
Residuos
16
13795631861
862226991.3
Total
19
1.10456E+12
Al 5% de nivel de significación; es decir cuando el valor crítico es 𝐹1−𝛼 (2,16) = 3.63373
y FC = 421.685597 rechazaremos la hipótesis nula; en
consecuencia, el modelo sí puede explicar el comportamiento de la producción agrícola.
El siguiente segmento de hoja corresponde a los resultados que nos permitirán realizar estimación por intervalos para los coeficientes de regresión así como prueba de hipótesis para cada coeficiente. Intrcpto X1t X2t X3t
Coeficientes 166174.1770 69.7967 -0.7070 2.0773
Error típico 29684.2043 28.6036 0.2518 0.4327
Estadístico t 5.5981 2.4401 -2.8075 4.8012
pValor 0.0000 0.0267 0.0126 0.0002
Inferior 95% 103246.4755 9.1598 -1.2408 1.1601
Superior 95% 229101.8785 130.4336 -0.1732 2.9946
Intervalos del 95% de confianza: En todos los casos 𝑡1−𝛼/2 (𝑛 − 𝑘 − 1) = 𝑡0.975 (16) = 2.1199
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Para βo: Si el intervalo de confianza del 100(1-α)% para βo es: 𝛽̂0 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2)𝜎𝛽̂0 ≤ 𝛽0 ≤ 𝛽̂0 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 2)𝜎𝛽̂0 2
2
Reemplazando valores obtenemos: 166174.1770 – 2.1199 (29684.2043) ≤βo ≤ 166174.1770 +2.1199 (29684.2043) Límites que aparecen en las dos penúltimas columnas de la tabla anterior. Para βj: Como el intervalo de confianza del 100(1-α) % para βj es 𝛽̂𝑗 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 𝑘 − 1)𝜎𝛽̂𝑗 ≤ 𝛽𝑗 ≤ 𝛽̂𝑗 − 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 𝑘 − 1)𝜎𝛽̂𝑗 2
2
Para β2 será: -0.7070 – 2.1199 (0.2518) ≤𝛽2 ≤-0.7070 + 2.1199 (0.2518) Prueba de hipótesis para β2 Ho: β2 = 0. La producción agrícola no depende de la maquinaria agrícola Ho: β2≠ 0. La producción agrícola sí depende de la maquinaria agrícola
Estadístico de la prueba:
En la tercera fila y la cuarta columna encontramos el estadístico tC = -2.8075 Como el valor crítico es 𝑡1−𝛼 (𝑛 − 𝑘 − 1) = 𝑡0.975 (16) = 2.11991 2
Entonces podemos rechazar la hipótesis nula; es decir, la producción agrícola sí depende de la maquinaria agrícola.
Ejemplo 03
En edición de la revista MacUser aparecieron los siguientes datos acerca de las características necesarias para que un usuario pueda seleccionar el monitor adecuado para su sistema de cómputo. Para las características de foco y brillantez, las calificaciones más altas indican mejor calidad. Para la falta de convergencia, Página 791 de 800
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distorsión y uniformidad, las calificaciones menores indican mejor calidad. Haga un análisis de los datos y realice una estimación lineal para determinar el precio del monitor.
MONITOR Sony CPD-1730 Nanao T560i Nokia 447B E-Machines T16 II Nanao F560iW
FOCO BRILLANTES CONVERGENCIA DISTORSION UNIFORMIDAD PRECIO 51.5
43.8
2
9.4
9.5
1100
66
37.5
3.6
10.9
6.4
1700
47
30.8
3
11
4.9
920
51.5
22.3
3.3
12.7
4.9
1200
58
29.6
3.4
18
9.6
1490
49.5
30.6
4.9
15.2
8.2
1100
Mitsubishi PRO 17
51
38.2
6.1
7.8
3
1175
Sony 17se
50
29.2
3.5
14
6.8
1195
Mirror 16" Trinitron
43.5
30.4
3.2
20.2
4.9
999
Altima V-Scan 70
53.5
28.4
4.1
9.3
10.4
1000
53
36.4
7.1
8.7
7.2
1010
NEC 5FGe
ViewSonic 17 Tatung CM-17MBD Philips 1720 Sigma Ergo View 17
42
30.9
4
17.5
6.7
875
50.5
27.5
5.9
13.1
5.4
1170
46
25.1
4.2
21.5
6
1035
Spectre P766D
49.5
20.8
4.7
15
8.5
880
Nanao F550iW
52.5
28.8
5.7
17.5
8.9
1225
43
25.8
4.1
16.7
8.6
875
SuperMac 17-T
47.5
23
3.3
14.2
10
1045
Orchestra Tuba
46
28.7
4.4
15.6
8.8
995
Nanao F550i
53
27.3
4.2
16.5
8.5
1120
Mitsubishi Scan 16
Relisys VividView 16
48.5
25
5.8
13.1
12.8
800
Mitsubishi Scan 17FS
52.5
19.6
6.4
15.9
9.4
1085
Solución En este problema la variable dependiente es el precio del monitor. Puesto que se sospecha que esta variable dependa de las otras, nuestras hipótesis serán:
Ho: El modelo lineal no explica el precio H1: El modelo lineal es el adecuado para explicar el comportamiento del precio Introduciremos estos datos a una hoja del Excel. El archivo RegreLinea.xlsx ya contiene los datos en su hoja Problema 2. El rango de los datos de Precio se llama Precio, el rango de las variables independientes se llama Vardep. Estos nombres nos facilitaran su uso.
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APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Usemos la secuencia: - - - La ventana que se obtiene debemos completarla de la siguiente manera:
Figura 10.6
Luego de hacer clic en obtendremos los resultados en una hoja nueva. RESUMEN Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.9451 Coeficiente de determinación R^2 0.8931 R^2 ajustado
0.8597
Error típico
76.4309
Observaciones
22
ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de Suma de libertad cuadrados
Cuadrados medios
Regresión
5
781130.1267
156226.0253
Residuos
16
93466.9642
5841.6853
Total
21
874597.0909
Coef. de reg. Intercepto Foco Brillantes Convergencia Distorsión Uniformidad
Error típico
Estadístico t
Valor crítico de F
F 26.7433
Prob.
0.0000
Superior 95% -1514.6603 385.4610
Inferior 95%
-950.0606
266.3325
-3.5672
0.0026
37.9026
3.5518
10.6715
0.0000
30.3733
45.4320
4.6232
3.5689
1.2954
0.2136
-2.9424
12.1889
-20.3175
13.5544
-1.4990
0.1534
-49.0515
8.4164
19.5725
5.6311
3.4758
0.0031
7.6351
31.5100
-24.4192
7.6442
-3.1945
0.0056
-40.6241
-8.2142
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Según la tabla del ANOVA, FC = 26.7433 El valor crítico para un nivel del 5% es: 𝐹0.95 (5,16) = 2.85241 Según esto, rechazaremos la hipótesis nula; esto significa que el modelo es adecuado para explicar el comportamiento del precio del monitor.
Tomando en cuenta los estimadores de los coeficientes de regresión, el modelo estimado será:
Precio = -950.06 + 37.9026Foco + 4.6232Brillantes -20.3175Convergencia + 19.5725Distorsión – 24.4192Uniformidad
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19.3
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Tico S.A. es una empresa que desea analizar el ingreso de los conductores de los vehículos tico, utilizado como taxi en los distritos y asentamientos humanos de la gran Lima. Para incrementar el ingreso de sus asociados decide realizar una campaña publicitaria utilizando todos los postes y paredes permitidos por la municipalidad de cada distrito. Los datos obtenidos en las observaciones realizadas en un período de 8 días se muestra en la siguiente tabla:
Ingreso diario Gasto en Publicidad
96
90
13.0
8.8
95
92
95
94
94
97
11.2 10.5 12.8 11.6 13.4 11.0
a) ¿Se puede afirmar que los gastos en publicidad favorecen a los ingresos diarios de los asociados? b) Estime los coeficientes de la ecuación de regresión c) ¿Cuál sería el ingreso de un asociado si se gastara 15 soles en publicidad? d) ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para β1?
2. Extraído de la página 230 del libro Problemas de econometría de A. Aznar y A. García, que lo proponen como problema 3.20. En un intento de predecir la cotización del régimen general de la Seguridad Social en España para1980, se estimó un modelo 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝜀𝑖 donde Y es la base media trimestral, X1 es el salario mínimo interprofesional y X2 es la retribución medida por hora trabajada. Los datos con los que se desea estimar el modelo se presentan en la tabla de la hoja Cotización del archivo RegreLineal.xlsx. Construya el modelo y diga si es un modelo significativo para este problema. Obtenga intervalos de confianza del 95% para los coeficientes de regresión y realice prueba de hipótesis para cada uno de ellos.
3. Una empresa dedicada a la venta e instalación de productos de seguridad domiciliaria desea colocar sus productos en 10 ciudades del interior del país. El
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gerente de la empresa dispone de los datos históricos de otras empresas residentes en las 10 localidades. Estos datos se muestran en la hoja Seguridad del archivo RegreLineal.xlsx. Los datos corresponden a los precios del producto de la competencia y la demanda potencial en cada ciudad, obtenida mediante un sondeo rápido de opinión. a) Determine la ecuación de regresión que puede estimar las ventas a partir del precio de la competencia y la demanda potencial encontrada. b) Interprete adecuadamente los coeficientes de regresión estimados c) ¿Cómo interpreta el coeficiente de determinación? d) ¿Cuál será la venta estimada si el precio de venta más instalación es de 200 y la demanda potencial es de 160?
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APÉNDICE RESPUESTA A ALGUNOS PROBLEMAS PROPUESTOS
Capítulo II
i. c) 3.0756
d) 2.84
e) 4.1
f) 39%
g) Sesgo a la
derecha 27. 22.28%, Sí
i) 0.757
j) Ambos prsentan info.
k) -0.31
Capítulo III
4. C(15,6)C(8,2)C(4,1)
5. 25
6. a) Sí
c) 0.11
b) 0.08, 0.03
7. a) 0.575
b) 0.6522
d) 0.72727
8. A) 0.7246
13. a) 0.61
b) Los de 65 a más
c) 0.26
16. a) 0.5
b) no c) Sí; 0.83
18. 0.032
21. 0.9982
23. R1R2R4 + R1R4R5 + R1R3
26.
1
𝑚−1 1
𝑚
𝑚 𝑚
2 +
27. (1 −
1
365
30. a) 0.25, 0.4, 0.1 b) 0.18182
𝑛
) +
9. 0.29032 10. a) 0.3205 b) 0.586
14. a) 0.5
b) 0.16
19. 0.9755 24. 0.7143
𝑛
28.
365
31. 0.9%
8 36
15. a) 0.14
b) .34
20. (1-p)10 + 10p(1-p)9 25. 0.99999
(24/36)𝑛−1
29. 0.225
0.6% 32. a) 0.20 b) 0.35 c) 0.20
Capíulo IV Relativos a 4.10
3. a) 0.0017784 5. a) 0.43
b) 0.189436
b) 0.432
7. a) 0.00078 11. 0.2376
c) Media = 17.5; Desv = 5.25
c) 0.648
b) 0.9602 12. a) 0.4096
6. a) 0.99835
c) 0.1501 b) 0.5904
4. 0.995734
b) 0.99
8. 0.265
9. 0.000342
13. 0.000737
15. a) 0.8029
b) 0.3692
c) 0.00164
24. a) 2
25.a) 0.1847
b) 0.4679
c) 0.2851
28. 0.04796
37. a) 0.1131
b) 0.7921
c) 0.2079
38. a) 0.55
10. 0.3487
14. 0.4305
b) 0.1557
c) 0.05265
30. Aproximar a Poisson b) 0.12 Página 797 de 800
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Relativos a 4.12
1. a) 0.375
b) 0.5
c) 1
4. a) 1
b) 2.4
c) 0.75
7. 0.4667
8. 0.03333
10. a) 0.2
0.6667 b) 0.8
13. Proceso A
3. a) 110
11. e-2
b) 0.25 1
6. (𝐶2 − 𝐶3 ) + 𝐶3 − 𝐶1
5. 15
3
9. a) 0.9
b) 0.1
12. a) 0.39161
b) 0.4709
14. a) 0.7135 b) 11.983 toneladas 15. Sí; debe realizarse en 2.77 días b) 0.593 (0.41) 19. 13.46
16. 0.9179 17. a) 0.69545
20. Media = 8; desv. Est = 2 21. Es muy probable que no cumpla (0.103) 22. 363
23. 0.4953
24. 15606.1
25. 0.0264
26. 556 componentes
27. Probablemente no; 0.1186.
Relativo a 4.15
2. (y,x): p(0,0)=0.35, p(0,1)=0.10, p(0,2)=0.25, p(1,0)=0.06, p(1,1) = 0.15, p(2,0)=0.09 5 . a) (y,x): p(0,0)=p(0,3)=p(2,0)=p(2,2) = 0.125; p(1,1) = p(1,2) = 0.21
Capítulo V
1. 0942826 6. 0.008
2. 026801 3. 0841345 7. 0926983, 2821
13. 0.045762
4. 0999767-0066807
8. 600
9. 0.02
5. a) 0933586 b) 105.84
10. 0.465
11. 0.158077
12. 0
14. 0.9818
Capítulo VI
1 . (0.9877, 1.0023), No 6 . (0.228, 0.438), No 12 . (-3.46, 9.47) 18 . (-3.18, 12.36)
2. 36000, (10.82, 25.18), Sí 7. (0.85, 3.95)
8. 3750
14. (-0.0826, 0.2826) 19. a) (0.5393, 0.6607)
3. 5.725, 6.955)
9. 288
11. (3,82, 16.18), la 1ra
15. (-0.197, ‘.0029)
17. ((64.77, 74.03)
b) (51.89, 58.11)
Capítulo VII
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1. No hay dif. sig.
2. Sí, 10.575
estándar es mayor que 10.
3. No hay razón suf.
6. Sí son homog.
4. No
5. La desv.
7. En la 2da.
Capítulo VIII
1 . Sí es la misma
2. No parece haber efecto significativo
entre los componentes pero sí entre los lugares.
3. No hay dif. signif.
4. Existe dif. signif. entre las
máquinas pero no entre la forma de alimentación y no existe dif. entre las interacciones.
Capítulo IX
Adecúe los datos de cada problema a los rangos usados en cada uno de los ejemplos desarrollados de cada sección y use los mismos procedimientos.
Capítulo X
La herramienta de de la ficha del Excel resuelve todo tipo de pregunta planteada.
Bibliografía
Ayala García, J. José, Richard Henry Dean Arnedo, José Antonio Mola Ávila (2009), Manual y Aplicaciones de Funciones Estadísticas y Análisis de Datos en Microsoft Excel 2007, Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas, Universidad Tecnológica de Bolívar, Cartagena de Indias, Colombia.
Faura Martínez, Úrsula, Fuensanta Arnaldos y Lourdes Molera (2004), Docencia en estadística con Microsoft Excel: Estadística Descriptiva, Universidad de Murcia, España.
Página 799 de 800
APLICACIONES ESTADISTICAS USANDO MS EXCEL
Martín, Unai, Yolanda González y Amaia Bacigalupe (2012), Estadística descriptiva básica con Excel: funciones y tablas dinámicas, Departamento de Sociología, Universidad del País Vasco, España
Mirás Calvo, Miguel Ángel y Estela Sánchez Rodríguez (2018), Técnicas estadísticas con hoja de cálculo y R. Azar y variabilidad en ciencias naturales, Servicio de Publicaciones, Universidad de Vigo, España.
Remenyi, Dan, George Onofrei, and Joe English (2009), An Introduction to Statistics using Microsoft Excel, Academic Publishing Limited.
Rose, Susan, Nigel Spinks, and Ana Isabel Canhoto (2015), An Introduction to Using Microsoft Excel for quantitative data analysis, in Management Research: Applying the Principles, chapter 13, Routledge. Schmuller, Joseph (2013), Statistical Analysis with Excel for Dummies, 3rd Edition, A Wiley Brand.
Vergara Schmalbach, Juan Carlos y Víctor Manuel Quesada Ibarguen (2010), Estadística Básica con aplicaciones en MS Excel, Programa en Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Colombia.
The Higher Education Academy (2009), A Guide to Probability and Statistics in Microsoft Excel, version 9 (June).
Toledo San Martín, Álvaro e Inés Vicencio Pardo (2015), Apunte:Herramientas Excel para Estadística, Departamento de Matemática y Física, Facultad de Ingeniería y Administración, Universidad Bernardo O´Higgins, Chile.
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