Análisis de funciones en economía y empresa : un enfoque interdisciplinar 9788499690933, 8499690939

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ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA Un enfoque interdisciplinar

ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA Un enfoque interdisciplinar

Javier A. Barrios García Profesor Titular de Universidad

Marianela Carrillo Fernández Profesora Titular de Universidad

María Candelaria Gil Fariña Profesora Titular de Universidad

Concepción González Concepción Catedrática Universidad

Celina Pestano Gabino Profesora Titular de Universidad

© Javier A. Barrios García et al, 2005 (Libro en papel) ¤ Javier A. Barrios García et al, 2012 (Libro electrónico) Reservados todos los derechos. “No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright”

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ISBN: 978-84-9969-093-3 (Libro electrónico) ISBN: 978-84-7978-660-1 (Libro en papel)

ÍNDICE

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII Parte I: El papel de las Matemáticas en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 1. Las Matemáticas en Economía y Empresa 1.1 El uso de las Matemáticas en Economía y Empresa 1.1.a Economía Discursiva y Economía Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.b Modelo económico-matemático. Concepto y construcción . . . . . . . . . . . 1.1.c Ventajas e inconvenientes del uso de las Matemáticas en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lenguaje y razonamiento matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.a Símbolos e ideas sobre el razonamiento matemático . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.b Nociones elementales sobre IR y IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Precursores del uso de las Matemáticas en la Ciencia Económica y Empresarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: William Stanley Jevons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: W. S. Jevons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5 8 11 12 14 24 24 25 26 28 34 36 38

Parte II: Cálculo diferencial de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1 El concepto de función en Economía. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tipos de funciones 2.3.a Función explícita y función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.b Función compuesta y función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.c Función par y función impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.d Función periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.e Función creciente y función decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.f Función cóncava y función convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Concepto de límite. Propiedades y cálculo 2.4.a Definición intuitiva de límite puntual. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . 2.4.b Definición formal de limite puntual. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.c Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Continuidad. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 46 49 51 54 55 56 57 59 62 64 70

VIII

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Derivabilidad. Definición y propiedades. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . Diferenciabilidad. Definición y propiedades. Diferenciales sucesivas . . . . . . Aproximaciones polinómicas. Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación gráfica de una función. Estudio analítico . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones en Economía y Empresa. Funciones notables. Marginalidad y elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia El lenguaje de la teoría de funciones en Economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: Antoine Augustin Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: A. A. Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 91 95 99 106 119 120 121 125 128 130

Capítulo 3. Funciones reales de varias variables reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

3.1 Funciones de IRn en IRm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.a Definición de funciones de IRn en IR 3.1.b Funciones de IR2 en IR. . Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Límite puntual de una función de varias variables reales 3.2.a Límite puntual de una función de IR2 en IR. Límites direccionales . . . . 3.2.b Cálculo de límites dobles. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.c Límite de una función de IRn en IRm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Continuidad. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Derivabilidad parcial. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Derivadas parciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Incremento y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Diferenciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Aproximaciones polinómicas. Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Funciones convexas. Diferenciabilidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Aplicaciones en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia Funciones reales de varias variables reales en Economía Notas Biográficas: Alfred Marshall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: A. Marshall, V. Pareto, J. A. Schumpeter . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas con Derive Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 144 151 158 161 162 164 170 172 179 180 182 184

188 190 196 199 200

Capítulo 4. Funciones compuestas, inversas e implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

4.1 Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.a La regla de la cadena para la derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205 210 218 226

INDICE

IX

4.4 Aplicaciones en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia El papel de algunas funciones matemáticas en la modelización económica . . . Notas Biográficas: Paul A. Samuelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: A. Cournot, W. Jevons, W. Pareto, P. Samuelson . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236 246 247 248 254 257 259

Capítulo 5. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

5.1 Justificación económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Definición e interpretación. Aspectos geométricos 5.2.a Definición e interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.b Aspectos geométricos de las funciones homogéneass . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Propiedades básicas de las funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Teorema de Euler. Interpretación económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Generalizaciones 5.5 a Funciones homogéneas y homotéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Aplicaciones en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las funciones homogéneas y el análisis de la distribución según la productividad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: P.H. Wicksteed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: P.H. Wicksteed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267 275 278 282 286 291 293 305 305 306 307 311 313 314

Parte III: Teoría clásica de optimización matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

Capítulo 6. Introducción a la optimización matemática. Optimización clásica libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

6.1 El problema de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.a Breve aproximación histórica a la Optimización Matemática . . . . . . . . 6.1.b Clasificación de los problemas de Optimización Matemática . . . . . . . . 6.1.c Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.d Definición y existencia de óptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.e Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 La optimización libre en el contexto económico-empresarial . . . . . . . . . . . . . 6.3 Una variable de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.a Estudio de los puntos críticos: clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Varias variables de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.a Estudio de los puntos críticos: clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325 326 327 329 330 333 336 339 341 346 351

X

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

6.5 El signo de una forma cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Condiciones suficientes de óptimo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Convexidad y optimalidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Aplicaciones en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia Optimización Matemática y Teoría Económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: Léon Walras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: L. Walras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355 361 365 367 372 373 374 377 379 380

Capítulo 7. Optimización clásica condicionada o restringida . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 El método de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.a Condiciones suficientes de óptimo condicionado . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.b El hessiano orlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Condiciones suficientes de optimalidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Aplicaciones en Economía y Empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia El uso de los multiplicadores de Lagrange en Economía . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: Francis Ysidro Edgeworth Textos Clásicos: F.Y. Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Parte IV: Cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 8: Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8.1 El concepto de integral en Economía. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 El concepto de integral en Matemáticas 8.2.a Construcción de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.b Propiedades fundamentales de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . 8.2.c Condiciones de integrabilidad 8.3 La integral como antiderivada: integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.a Resultados fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.b Cálculo de funciones primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Métodos elementales de integración 8.4.a Cambios de variables básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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XI

8.4.b Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.c Integración de funciones racionales por descomposición . . . . . . . . . . . 8.4.d Integración por desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.e Cambios de variables para integrales de funciones no racionales . . . . 8.5 El uso de la integración en la ciencia económica 8.5.a Obtención de funciones totales a partir de funciones marginales . . . . . 8.5.b Excedente del consumidor (o del demandante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.c Excedente del productor (o del oferente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.d Función de distribución en estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.e Valor actual de un flujo de dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.f Valor medio de una función en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.g Análisis dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia El cálculo integral en la Economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: Vilfredo Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: W.S. Jevons, V. Pareto y E. Barone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 9: Extensiones de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485

9.1 Integrales impropias y múltiples en Economía. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.a Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.b Integrales impropias especiales: funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . 9.3 Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.a Cálculo de integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.b Cambio de variables en una integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.c Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Aplicaciones en Economía y Empresa 9.4.a Función de distribución en Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.b Valor actual de un flujo de dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.c Valor medio de una función en un recinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de Historia Precursores del uso del cálculo integral en la Economía a través de la Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas Biográficas: Pierre-Simon Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textos Clásicos: A.A. Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas de Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prácticas con Derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485 486 491 494 499 501 505 510

Referencias Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

531

462 462 464 465 467 468 469 471 472 473 477 478 480

512 515 516

517 518 519 523 523 524 525

PRÓLOGO

Hemos elaborado este libro como un amplio manual de consulta para estudiantes del primer ciclo de licenciaturas en campos científicos, técnicos, económicos y sociales, en especial para los de las licenciaturas en Economía y Administración y Dirección de Empresas, por cuanto los ejemplos y ejercicios que se citan están relacionados con estas materias. Se puede considerar como un texto continuación de los libros de bachillerato en las opciones científicas, tecnológicas, económicas y sociales. A diferencia de estos últimos, este manual intenta aportar al alumno que ingresa en la universidad una visión más científica del lenguaje propio de las matemáticas, que aporta más capacidad de abstracción y modelización de la realidad, incentivada por las aplicaciones en campos de connotaciones sociales importantes como la Economía y la Empresa. Esta visión está encaminada a mejorar la formación científica desde el primer curso de la licenciatura y permite al alumno elegir, en un futuro, la lectura de textos económicos que de otra forma sería difícil abordar por su abundante lenguaje matemático. La importancia del análisis de funciones, tanto desde un punto de vista numérico como desde un punto de vista analítico, dentro del Análisis Económico y otras ramas de las Ciencias Económicas y Empresariales es indiscutible. A lo largo del texto se introducen numerosos ejemplos resueltos y se visualizan los conceptos, definiciones y propiedades a través de gráficos que se completan con los estudios analíticos correspondientes. Al final de cada capítulo hemos introducido un apartado dedicado a aspectos históricos basados en textos maestros dentro de la Economía y la Empresa, que muestran diferentes contextos en los que se hace uso del lenguaje de las funciones, como expresión de la relación de dependencia entre diferentes variables. Los estudiantes deberán familiarizarse con el uso de software o calculadora científica y con el uso de material disponible a través de la red ya que, sin duda, constituyen elementos importantes a la hora de efectuar cálculos y visualizar propiedades, todo ello como enriquecimiento de otras técnicas más tradicionales. El criterio de numeración que en este manual se ha seguido en las definiciones, teoremas y proposiciones es correlativo para todos ellos y ayuda simplemente a localizarlos dentro del capítulo correspondiente. Muchas de las demostraciones no se incluyen en el texto para darle más peso a las aplicaciones e interpretaciones de los resultados. En cada caso indicamos referencias adecuadas para aquellos lectores que deseen consultar estas demostraciones. Los conceptos básicos de funciones se acompañan de sus homólogos en la teoría económica. Los tipos de funciones que abordamos, en particular, las funciones convexas, las funciones compuestas, las funciones homogéneas, han sido elegidos pensando en su nivel

XIV

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

de uso en Economía y Empresa. En particular, los autores hemos considerado conveniente destacar el papel de la composición de funciones, ya que permite simbolizar las abundantes relaciones indirectas con que nos encontramos al construir cualquier modelo económico. Así mismo, hemos decidido exponer con mayor amplitud de la habitual en otros textos, los conceptos y virtudes de las funciones homogéneas por su habitual uso en la modelización dentro de la teoría económica. En definitiva, esta iniciativa permite adquirir la perspectiva de las aplicaciones en Economía y Empresa de la teoría de las funciones reales de una y varias variables reales y les inicia en el estudio de dos áreas que destacan por su importancia en estas ciencias: por un lado, la Programación Matemática que juega un papel fundamental en la toma de decisiones económico-empresariales y, por otro, la Integración de Funciones, de aplicación en multitud de modelos teóricos y econométricos. Como se observará, este manual es el resultado de un trabajo de equipo, a lo largo de varios años de experiencia docente, que surge a partir de la coordinación que llevamos a cabo los profesores que impartimos asignaturas de Matemáticas en el Departamento de Economía Aplicada de la Universidad de La Laguna, más necesaria si cabe a partir de la nueva estructura cuatrimestral de la reforma y contrarreforma de los planes de estudio en las licenciaturas de Economía y Administración de Empresas en nuestra Universidad. Los autores.

PARTE I: EL PAPEL DE LAS MATEMÁTICAS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

1 Las Matemáticas en Economía y Empresa 1.1 EL USO DE LAS MATEMÁTICAS EN ECONOMÍA Y EMPRESA 1.1.a Economía Discursiva y Economía Matemática Hasta hace pocos años, y en algún caso aún hoy en día, ha sido costumbre, al comenzar cualquier libro de texto dedicado a exponer contenidos de Matemáticas en el ámbito de la Ciencia Económica y Empresarial, lanzar una arenga, apoyada en los testimonios de economistas ilustres (a ser posible Premios Nobel) a favor de la utilización de esta herramienta en un campo cuyos especialistas se habían mostrado, históricamente, muy reacios al empleo de la misma en sus escritos1. Y es que, a lo largo de épocas pasadas se establecía una diferenciación aparentemente taxonómica, pero sutil en el fondo, entre lo que se entendía como Economía Discursiva, o aquella parte del razonamiento económico que se establece por medio del lenguaje natural, y, Economía Matemática, entendida, en sentido amplio, como aquella otra porción del razonamiento económico que emplea, en alguna medida, el lenguaje y la lógica que proveen las Ciencias Matemáticas en su desarrollo. Sin embargo, en la actualidad, ya inmersos en el siglo XXI y con él en un nuevo milenio, esta manera de enfocar el tema en cuestión se encuentra claramente desfasada, sonando esta vieja disputa a "agua pasada" dentro de la profesión. Y no podía ser de otra

1

Véase, por ejemplo, los ya clásicos autores foráneos traducidos al castellano: Chiang (1987), Arya y Lardner (1992), Colin Glass (1982), entre otros muchos. Algunos autores españoles se dedican a profundizar fundamentalmente en los aspectos matemáticos, por ejemplo, Grafe (1991), Caballero y otros (1994), o Vilar y otros (1993).

—3—

44

ANÁLISIS DEÍ AFYUNCIONES A NÁLI SI S DE F UNCI ONES EN E CONOM E M PRESAEN ECONOMÍA Y EMPRESA

forma, puesto que cualquier practicante de la disciplina no habrá tenido más remedio que echar mano de alguna herramienta matemática, aunque sea un mero gráfico, en algún punto a lo largo de su carrera. Es más, cualquiera que se adentre en el cuerpo del pensamiento económico moderno debe estar familiarizado, en mayor o en menor medida, de acuerdo con el grado de profundización que desee, con el lenguaje y las técnicas matemáticas al uso, aunque luego ni siquiera lo utilice en su propio razonamiento. En caso contrario, se verá relegado solo a consultar una fracción, en múltiples aspectos no representativa, de la literatura científica económica y empresarial. Nota complementaria complementaria 1.1: 1.1: Para Parailustrar ilustrarel elcomentario comentario anterior podríamos acudir anterior podríamos acudir al si-al 2 siguiente gráfico en el que se comparan los contendios de dos publicaciones económicas guiente gráfico2 en el que se comparan los contenidos de dos publicaciones económicas punteras en American Economic Review y Economic Journal, entre entre 1982 en EE EEUU, UU,a asaber, saber, American Economic Review y Economic Journal, y1982 1986. Para ello se desagregan los artículos publicados en ambas en dos grandes categoy 1986. Para ello se desagregan los artículos publicados en ambas en dos grandes rías, Teoría Teoría y Análisis Empírico, dividiéndose estas a su vezaen tal y como categorías, y Análisis Empírico, dividiéndose estas susubcategorías vez en subcategorías tal se y indica en los gráficos. como se indican en los gráficos. American Economic Economic Review: Review: American Composicióndel delcontenido contenido científico científico (1982-86) Composición (1982-86) Análisis empírico sin utilizar inferencia estadística 1% Análisis empírico basado en datos publicados o generados en otra parte 39%

2

Ver Morgan (1988).

Análisis empírico basado en datos generados a iniciativa del autor 5%

Análisis empírico basado en experimentos o simulaciones 6%

Metodología estadística 1%

Análisis teórico basado en modelos matemáticos sin ningún tipo de datos 41%

Análisis teórico sin ninguna formulación matemática ni datos 7%

LAS MATEMÁTICAS

EN

ECONOMÍA YE MPRESA EN E CONOMÍA Y E MPRESA 0. L AS M ATEMÁTICAS

55

Economic Journal: Economic Journal: Composición del del contenido contenido científico Composición científico(1982-86) (1982-86) Análisis empírico basado en datos publicados o generados en otra parte 37%

Análisis empírico sin utilizar inferencia estadística 1%

Análisis empírico basado en datos generados a iniciativa del autor 2%

Metodología estadística 0%

Análisis empírico basado en experimentos o simulaciones 2%

Análisis teórico sin ninguna formulación matemática ni datos 6%

Análisis teórico basado en modelos matemáticos sin ningún tipo de datos 52%

La Nota Complementaria 1.1 nos da pie también para resaltar dos de los rasgos predominantes en la Ciencia Económica y Empresarial moderna. En primer lugar, a partir de comienzos del siglo XX, el empleo masivo de las técnicas estadísticas para la validación empírica de las teorías económicas propuestas, y con ellas su base matemática; en segundo lugar, el uso del ordenador, que llega hoy en día a constituirse como una herramienta imprescindible, tanto de cara al análisis teórico como empírico, sobre todo a raíz de la popularización del PC lanzado al mercado por primera vez en 1981 de la mano de IBM.

1.1.b Modelo económico-matemático. Concepto y construcción El mundo económico y empresarial es un ente enormemente complejo. Cualquier fenómeno económico que analicemos está influido, a buen seguro, por multitud de factores. Baste pensar, por ejemplo, en la demanda de un simple bien del mercado. Sus altibajos a lo largo del tiempo pueden deberse a diferentes motivos como, por ejemplo, variaciones de su precio, variaciones del precio de bienes relacionados con él, cambios en la renta de los consumidores, cambios en los gustos de estos, cambios en la cantidad de población, aparición en el mercado de nuevos productos que realizan idéntica o similar función, cambios climatológicos, etc., etc. Dado que a nadie se le escapa que resultaría imposible detallar todas las variables que influyen en un sistema económico determinado, a los economistas no les ha quedado más remedio que hacer abstracción del mundo real y elaborar modelos sencillos que recojan lo esencial del mismo, intentando reducir los fenómenos económicos a proporciones manejables, con el fin de vislumbrar con mayor claridad las interrelaciones entre sus diferentes componentes.

66

ANÁLISIS DE F A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y UNCIONES E MPRESA EN ECONOMÍA Y EMPRESA

De igual forma que un mapa callejero nos puede ayudar a comprender y movernos por una gran ciudad, aunque no incluya todas y cada una de sus casas y edificios, un modelo económico puede llegar a ser muy útil para comprender un sistema económico, aunque no tenga en cuenta todos y cada uno de los factores que están influyendo en su comportamiento. Además, esta manera de obrar no es ajena al resto de disciplinas científicas. Así, un físico modeliza la materia sobre la base de la idea de molécula y átomo, aunque este sea en realidad un modelo muy simplificado de la estructura de la materia; un arquitecto basa sus construcciones en planos y maquetas, etc. Ahora bien, si en los comienzos del pensamiento económico tales modelos fueron construidos mediante el uso del lenguaje discursivo natural, comienza a mediados del siglo XIX un nuevo enfoque del Análisis Económico3, fundamentado en la utilización del lenguaje y la lógica propia de las Ciencias Matemáticas, con la finalidad principal de proveer de mayor racionalidad y coherencia interna a estos modelos. Esta nueva dirección en el análisis económico se consolida a lo largo del siglo XX y junto a la utilización masiva de técnicas estadísticas y del ordenador, da lugar a lo que actualmente se conoce como modelo económico-matemático, entendido este como una construcción teórica formulada en lenguaje matemático que intenta explicar las interacciones de las variables económicas en estudio (representación de la realidad económica). El proceso de construcción de un modelo económico-matemático no resulta unívoco para todos los investigadores, de la misma manera que el denominado "método científico" en realidad aglomera un conjunto de técnicas y métodos cuyo denominador común es llevar el apellido "científico"4. De cualquier manera, podríamos esquematizar su procedimiento de confección según el diagrama de flujo recogido en la Tabla 1.1 donde, en realidad, no es absolutamente necesario pasar por todas y cada una de las etapas recogidas para considerar completamente acabada la modelización. Si diéramos un repaso a fondo de los modelos económicos elaborados hasta el momento, apreciaríamos que pueden existir algunos cuyas hipótesis de partida se basan en supuestos razonables que no se encuentran corroborados por el análisis empírico, en muchos casos porque contrastar estos puede ser imposible de llevar a efecto (por ejemplo, la teoría de la utilidad del consumidor). También existen modelos cuyas conclusiones pueden ser difícilmente corroboradas por un análisis empírico (por ejemplo, el modelo de empresa maximizadora del beneficio supone que la empresa conoce toda la información relevante sobre sus costes y sobre el mercado al que vende). En muchos casos, el análisis empírico apunta

3

Véanse los Apuntes de Historia al final del presente capítulo.

4

Esto no es sino una manera formal de expresar la idea de que "cada maestrillo tiene su librillo".

LAS MATEMÁTICAS

EN

77

ECONOMÍA Y ATEMÁTICAS EMPRESA EN E CONOMÍA Y E MPRESA 0. L AS M

una posible pauta económica de comportamiento5. En otros, se comienza con un modelo teórico inicial razonable, y se va perfeccionando a través de su contrastación con los datos aportados por la realidad económica hasta obtener un modelo que refleje adecuadamente el devenir6. Sin embargo, habrá ocasiones en que nos enfrentaremos a modelos teóricos razonables que no admiten siquiera contrastación empírica por carecer de contrapartidas en la realidad económica7. Tabla 1.1: Diagrama explicativo del proceso de construcción de un modelo económicomatemático8. Análisis del fenómeno económico: Se observa el fenómeno económico real obteniendo algunos datos empíricos preliminares sobre su comportamiento. E S T A D Í S T I C A Y E C O N O M E T R Í A

Conceptualización económica: Mediante un proceso de abstracción se determinan las variables económicas relevantes (se supone que el resto se mantiene constante, esto es, ceteris paribus), así como sus interdependencias (hipótesis empíricas, ad hoc, a priori, etc.) Tª E C O N Ó M I C A

Conceptualización matemática: Se elabora un modelo matemático apropiado al modelo teórico.

Obtención de conclusiones matemáticas: A partir del modelo matemático formulado y utilizando la lógica y el lenguaje de las matemáticas (aprovechamos los resultados matemáticos existentes, o desarrollamos nuevos según necesidades).

M A T E M Á T I C A S

Obtención de conclusiones económicas: Se interpretan económicamente las deducciones matemáticas obtenidas, extrayendo nuevas "leyes" sobre el comportamiento del modelo económico analizado.

Evaluación del modelo obtenido: Se contrasta empíricamente el modelo formulado, corroborándose en caso de que haya ausencia de contradicción con la realidad económica observada. En caso de que la experiencia contradiga el modelo planteado, será necesario desarrollar un nuevo modelo a partir de la segunda etapa de este proceso.

5

Como apunta Friedman (1991): "La moda actual me incita a correr hacia el ordenador y mirar qué extrapolación econométrica me puede indicar."

6

Por ejemplo, el simple modelo de demanda y oferta de un producto como predictor del precio de mercado de este.

7

Así tenemos la Teoría del Equilibrio General, desarrollada inicialmente por los premios Nobel Arrow y Debreu (1954), o la versión más sofisticada de Auman (1964).

8

Siguiendo a Costa Reparaz (1982b) González y Gil (2000).

88

ANÁLISIS DE F A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA YUNCIONES E MPRESA EN ECONOMÍA Y EMPRESA

Así las cosas, podemos concluir que el análisis económico-matemático moderno se compone de una amalgama entre Teoría Económica, formulada en términos matemáticos, y Econometría, cuyas evoluciones, bien sea por separado o interaccionando, fundamentan y conforman buena parte de la Ciencia Económica y Empresarial contemporánea.

1.1.c

Ventajas e inconvenientes del uso de las Matemáticas en Economía y Empresa

Mucho se ha hablado y discutido a lo largo de la historia del pensamiento económico acerca del uso de las Matemáticas en el discurso económico, llegando incluso a momentos de controversia que, a mitad del siglo XX, provocaron la aparición de números monográficos en revistas científicas relevantes9. La creciente matematización de la Ciencia Económica y Empresarial, su cuantificación y la difusión de la Econometría, aparejada a la extensión y perfeccionamiento de los ordenadores como herramienta fundamental para el tratamiento de datos, es hoy un hecho manifiesto e irreversible. No obstante, y con el objetivo de que el lector las discuta y saque sus propias conclusiones, en los cuadros siguientes intentamos recopilar y sintetizar10 las principales opiniones vertidas a lo largo de la historia del pensamiento económico y empresarial a favor y en contra del uso de las Matemáticas en esta área de conocimiento. Debe tener claro el lector que solo pretendemos recoger diferentes opiniones.

PRINCIPALES VENTAJAS DEL USO DE LAS MATEMÁTICAS EN ECONOMÍA Y EMPRESA 1. Las Matemáticas constituyen un lenguaje más preciso y conciso que el discursivo normal. Como tal puede contribuir con mayor rigor lógico a la naturaleza acumulativa del conocimiento y a desarrollos analíticos innovadores, sintéticos y a la vez generales, frente a las contribuciones no matemáticas al Análisis Económico, que pecan a menudo de vagas, poco rigurosas o infladas en exceso. 2. El método matemático obliga al científico a explicitar de una manera clara y sin ambigüedades las hipótesis de partida, erradicando las posibles contradicciones que

9

El vol. 36, Nº 4, del año 1954, de la Review of Economics and Statistics se dedica íntegramente a discutir el papel de las Matemáticas en la Ciencia Económica, con interlocutores tan relevantes como los posteriormente Premios Nobel de Economía Paul Samuelson, Lawrence Klein, Jan Tinbergen o Robert Solow, entre otros.

10

Siguiendo el trabajo de Beed y Kane (1991).

LAS MATEMÁTICAS

EN

ECONOMÍA Y ATEMÁTICAS EMPRESA EN E CONOMÍA Y E MPRESA 0. L AS M

99

pudieran existir entre estas o los supuestos encubiertos en las diferentes interpretaciones que se pueden deducir del lenguaje común. 3. Permite la utilización de la amplia gama de técnicas y teorías disponibles (lemas, proposiciones, teoremas, etc.) como ayuda en el razonamiento económico. 4. Por añadidura, las Matemáticas sirven de fundamento a los trabajos econométricos y, por tanto, sin ellas difícilmente se podría llevar a cabo la contrastación científica con la realidad económica. 5. El conocimiento de las Matemáticas facilita el uso de software científico. 6. Nos obliga a utilizar las matemáticas de forma consciente y discriminada en la búsqueda de relaciones de la Economía y Empresa con otras ciencias.

PRINCIPALES CRÍTICAS AL USO DE LAS MATEMÁTICAS EN ECONOMÍA Y EMPRESA 1. Las Matemáticas no son el lenguaje materno de los economistas y, por lo tanto, pueden llevar a problemas tanto de aprendizaje como de comunicación entre economistas discursivos y economistas matemáticos11. 2. Los axiomas de la Economía Matemática12 no se corresponden con el comportamiento del mundo real. 3. El número de teorías generadas por la Economía Matemática comprobables empíricamente es pequeño en comparación con el volumen global del Análisis EconómicoMatemático. Este argumento es una consecuencia directa del punto anterior. Por tanto, si la expresión matemática de un fenómeno económico no descansa en supuestos reales, entonces, según señalan algunos autores, lógicamente no pueden llevar al científico a predicciones confirmables empíricamente. De esta manera, mientras que los economistas-matemáticos se preocupan fundamentalmente de analizar las propiedades formales de sus modelos, existe escaso interés en generar predicciones contrastables empíricamente13. 4. Algunos aspectos económicos no son naturalmente cuantitativos, en contraposición a lo que proclaman fervientemente los propulsores de las Matemáticas. Las Matemáticas evitan la atención sobre problemas económicos eminentemente cualitativos, tales como ciertos rasgos de comportamiento de los agentes económicos o la inclusión de consideraciones de equidad o de las posibles penurias transitorias en los modelos de política económica construidos a partir de la teoría neoclásica, manteniéndose una ten11 En este sentido conviene señalar que la inclusión de asignaturas con contenidos de Matemáticas en las licenciaturas de Economía y de Administración y Dirección de Empresas en todas y cada una de las Facultades de Ciencias Económicas y Empresariales a lo largo de todo el mundo está contemplada para evitar precisamente este tipo de situaciones.

10 10

EN ECONOMÍA Y EMPRESA NÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONESAEN E CONOMÍA Y E MPRESA

dencia a sesgar la información, reduciendo la importancia de aquellas cuestiones que no son convenientemente cuantificables. Como consecuencia de ello, la teoría matemática conduce y da forma a los problemas que son analizados. 5. La traducción del discurso económico sostenido en el lenguaje natural a las Matemáticas puede ser simplista e ilegítima, a pesar de la estricta equivalencia entre símbolos matemáticos y lenguaje literario que proclamaban autores como Paul Samuelson o George Stigler. Esta crítica se centra, principalmente, en dos características. Una, las Matemáticas no son efectivamente un lenguaje natural y por lo tanto no pueden expresar sino un rango limitado de relaciones y acciones humanas; y otra, la expresión de procesos económicos en términos matemáticos puede conllevar connotaciones sobre el comportamiento de los mismos que estos no poseen. Por consiguiente, las explicaciones de fenómenos económicos que incluyen rasgos culturales, sociológicos, históricos o psicológicos, entre otros, son difícilmente reducibles a expresiones matemáticas. 6. No existe una manera objetiva de comprobar cuándo la Economía Matemática es más precisa o más simple que la Economía No Matemática. La claridad, precisión y concisión de las Matemáticas pueden ser cuestionadas. ¿Cuál es la definición objetiva de los términos claridad, precisión o simplicidad? Perfectamente pueden existir sistemas económicos analizados más hábilmente por las Matemáticas que sin ellas, y viceversa. 7. Se suele criticar a la Econometría el preocuparse más por adecuar ecuaciones de comportamiento, prescindiendo a veces de la Teoría Económica, en aras del mayor poder predictivo del modelo y en detrimento de sus posibilidades explicativas. Por otro lado, también se suele criticar la forma de extrapolar información de una determinada muestra al caso general, pero esto ya es cuestión más propia de la Teoría Estadística.

En un esfuerzo de tolerancia e integración, podemos concluir de la discusión anterior que parece acertado aceptar la pluralidad de métodos existentes en el Análisis Económico moderno, tanto matemáticos como no matemáticos, pues todos ellos contribuyen, cada uno con sus correspondientes costes y beneficios, ventajas e inconvenientes, a desnudar la verdad económica. Ahora bien, también debe quedar claro que los desarrollos modernos de la Ciencia Económica y Empresarial se han guiado, en múltiples ocasiones, por métodos mate-

12

Hay que reseñar que esta crítica es aplicable no solo a la Economía Matemática sino también a la Economía y Empresa, en general. 13

Valga como ejemplo el libro de texto de Microeconomía Intermedia escrito por Varian (1991), en el que no se indica explícitamente cómo o cuándo cualquier teorema matemático produce predicciones empíricamente comprobables.

LAS MATEMÁTICAS

EN

ECONOMÍA EMPRESA EN E CONOMÍA Y E MPRESA 0. L AS MYATEMÁTICAS

11

máticos, y que trabajos basados en estos constituyen una rama del Análisis Económico de gran peso en la actualidad y de gran aceptación en la comunidad científica internacional. Esta perspectiva nos permite afirmar que las causas de la inclusión de asignaturas con contenidos de Matemáticas en las licenciaturas de Economía y de Administración y Dirección de Empresas de todo el mundo residen en dos pilares fundamentales. Por una parte se intentan corregir los defectos de comunicación existentes en el pasado entre economistas matemáticos y no matemáticos, introduciendo a los futuros economistas o administradores de empresas en diferentes teorías y técnicas matemáticas que les serán de gran utilidad a la hora de comprender con mayor profundidad diferentes aspectos del Análisis Económico moderno. Por otro lado, el poseer este bagaje básico en el terreno matemático permitirá también a los profesionales del área de las próximas generaciones utilizar las herramientas matemáticas adecuadas a sus desarrollos analíticos abandonando la antigua aversión a su empleo. Teniendo en cuenta todo lo dicho anteriormente, podemos concluir que entre los conocimientos de cualquier economista moderno deben figurar ciertas nociones y técnicas matemáticas que le proporcionen una cultura general en diferentes teorías matemáticas, que, junto con otros métodos, le serán de gran ayuda en el desempeño de su labor. En palabras del ilustre Frank Hahn14 «Tengo que decir que alguna clase de formación cuantitativa será de utilidad. Con esto quiero decir que será útil para los economistas ser de aquella clase de personas a las que les gustaban las Matemáticas en la escuela y que no se atemorizan al ver una x. Habrá también otras salidas especiales para aquellos estudiantes más matemáticos. Pienso que también es importante que el economista esté, como se dice generalmente, "ampliamente educado". Por ejemplo, debería leer poesía».

1.2 LENGUAJE Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En este apartado pretendemos dar un breve repaso, primero a la simbología matemática básica que emplearemos –fundamentalmente la propia de la Teoría de Conjuntos– así como intentar asentar diversas ideas elementales acerca del razonamiento matemático. Posteriormente trataremos aquellas nociones y propiedades del conjunto de números reales y su producto cartesiano que utilizaremos a lo largo de todos los capítulos de este manual.

14

Entrevista a Frank Hahn en Parkin y King (1992), pág. 261.

12 12

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

1.2.a Símbolos e ideas sobre el razonamiento matemático Las siguientes tablas recogen, con cierto orden, los símbolos matemáticos de uso frecuente y aquellos aspectos del razonamiento matemático que pensamos debe tener muy claros el lector15, para avanzar posteriormente en el conocimiento y uso de las Matemáticas como herramienta.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS DE USO FRECUENTE SÍMBOLOS

SIGNIFICADO

EJEMPLOS A={1,2,3,4}, B={1,2}

{ } IN Z Q

conjunto de los números naturales conjunto de los números enteros conjunto de los números racionales

IR

conjunto de los números reales

IR+

 ⇒

conjunto de los números reales no negativos (incluye el 0) conjunto de los números reales no positivos (incluye el 0) pertenece, no pertenece contenido, contenido o igual, no contenido unión, intersección conjunto complementario del subconjunto A X: Ac = X-A conjunto vacío tal que menor, menor o igual, mayor, mayor o igual infinito implica



si y soolo si

 

para todo existe

IR ,  , ,  , Ac

 ,

15

se utilizan para describir un conC={números enteros positivos mayores junto que 4}

Ver, por ejemplo, de Guzmán (2003).

IN = {0, 1, 2, 3, 4...} Z= {..., -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Q = {...,-2, -3/2, -1, -1/3, 0, 1/2, 1, 2, 5/2...} IR = {...,-2, -3/2, -1, -1/3, 0, 1/2, 1, 2, 5/2, ...} IR+ = {0, 1/2, 1,

2,

2 , 2, 5/2, ...}

IR - ={...,-,-2, -3/2, -1, -1/3, 0} 1A, 3B BA, CA, Sea D un conjunto tal que DA, IN Z  Q  IR AC= IN, A B=B BA: Bc=A-B={3,4} A C=

A={x  x entero positivo menor que 5} 34}. Sea xZ tal que x 5, o bien x 7. x perro ⇒ animal cuadrado  polígono de cuatro lados iguales aA, a1, n>1, x,y x,yIR + ... +(x( nxn– yny) n.)Además, . n de definir lo que se conce como norma vectorial de x IR generalizando el concepto de valor aboluto en IR es: kxk  d(x,0)=dx21+…+x2n.

16 16

A NÁLISIS

DE

EN ECONOMÍA Y EMPRESA NÁLISIS DE FUNCIONES F UNCION ESAEN E CONOMÍA Y E MPRESA

Ejemplo 1.1: Ejemplos de cálculo de distancias en IRn . a) En IR

d(-1,2) = -1-2 = 3 d(2.5,10) = 2.5-10 = 7.5

Nótese que, en consecuencia, la distancia entre dos números reales nos da el número de unidades que se encuentran entre ellos (concretamente entre sus representaciones gráficas). b) En IR2

d((1,2),(5,4))= (1  5) 2 + ( 2  4) 2 = 20 k(3,4)k=((0,0),(3,4)=d(0 – 3)2+(0 –=4)2 =d =25 = 5

Adviértase que la distancia entre dos puntos del plano euclídeo coincide con el número de unidades que contiene el segmento que los une. Gráficamente podemos ver esto de forma simple aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que aparece a continuación: x2

20

4 2

(5,4)

(1,2) 1

5

x1

Propiedades de la distancia euclídea en IRn x,y,zIRn , se tienen las siguientes propiedades de la distancia euclídea definida en IRn cuya demostración dejamos al lector debido a que se derivan fácilmente de la definición dada: 1. d(x,y) 0. Además, d(x,y)=0  x=y 2. d(x,y) = d(y,x) 3. d(x,y) d(x,z) + d(z,y) (Esta última propiedad es más difícil de demostrar, pues hay que utilizar ciertas desigualdades para ello. Sin embargo gráficamente en IR2 o IR3 el lector la podrá comprobar sin dificultad). Pasamos a continuación a recordar en primer lugar la noción de intervalos abiertos, cerrados o semicerrados en IR, para después definir los subconjuntos de IRn denominados bolas abiertas o cerradas centradas en un punto y de radio dado. Este concepto nos permitirá dar la definición de entorno de un punto de IRn ; estos conjuntos serán clave en los capítulos siguientes.

LAS MATEMÁTICAS

EN

ECONOMÍA EMPRESA EN E CONOMÍA Y E MPRESA 0. L AS M YATEMÁTICAS

17 17

Definición 1.3.- Sean a,bIR, a0, B(x,r) A . c) de acumulación del conjunto A, si r>0, (B(x,r)-{x}) A . d) aislado del conjunto A, si r>0



B(x,r) A={x} .

e) frontera del conjunto A, si r>0, B(x,r) A y B(x,r) Ac  .

Definición 1.7.- Sea AIRn , definimos los conjuntos: o

a) Conjunto interior de A, y se denota A , como el formado por todos los puntos interioo

res al conjunto A, esto es, A ={xIRn  x es punto interior de A} . b) Conjunto clausura o adherencia de A, y se denota A , como el formado por todos los puntos adherentes al conjunto A, esto es, A ={xIRn  x es adherente a A} . c) Conjunto derivado de A, y se denota A', como el formado por todos los puntos de acumulación del conjunto A, esto es, A'={xIRn  x es punto de acumulación de A} . d) Conjunto frontera de A, y se denota Fr(A), como el formado por todos los puntos frontera del conjunto A, esto es, Fr(A) ={xIRn  x es punto frontera de A} .

LAS MATEMÁTICAS

EN

ECONOMÍA EMPRESA EN E CONOMÍA Y E MPRESA 0. L AS MYATEMÁTICAS

21 21

Puntualizaciones a las definiciones anteriores: a) Fácilmente se comprueba que el interior de un conjunto está siempre incluido en el o

mismo, esto es, A A. Asimismo, todo conjunto contiene a sus puntos aislados.

b) Obviamente, todo punto de un conjunto será adherente, esto es, pertenecerá a su clausura, A A . Lo mismo ocurre con el conjunto frontera y el derivado de un conjunto, esto es, A' A y Fr(A) A . Adviértase que los puntos frontera o de acumulación no tienen porqué pertenecer al conjunto.

c) De la definición de punto frontera se infiere inmediatamente que Fr(A)=Fr(Ac). Por otro lado, un punto frontera necesariamente es un punto aislado o de acumulación. Además, un punto interior no puede pertenecer a la frontera del conjunto. Ejemplo 1.5: Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y fronteras de conjuntos en IRn. a) En IR: Sean a,bIR, a0)

67 67

d) Cuando x+, se puede comprobar que son infinitésimos equivalentes las funciones sen

1 1 ! x x

arcsen

1 1 ! x x

Ln(1+

1 1 )! x x

tg

1 1 ! x x

arctg

1 1 ! x x

a1/x-1 !

Lna (para a>0) x

e) Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites indeterminados empleando infinitésimos equivalentes lim

sen2 x 2x = lim = lim 2 = 2 x  0 senx x x 0

lim

ex 1 x = lim = lim 1 = 1 Ln(1 + x) x 0 x x 0

lim

Ln (1 + t ) Ln x = ( hacemos cambio de variable x = 1 + t ) = lim =1 t  0 x-1 t

x0

x0

x 1

lim

x  +

e1 /x  1 x = lim = lim 1 = 1 x  + x x  + 1 Ln(1 + ) x

CASOS PARTICULARES FRECUENTES DE INDETERMINACIÓN:  , entonces podemos deshacer la dividiendo por la potencia máxima de x entre las que aparecen en el numerador y en el denominador y surge así la llamada ley de grados según la cual ⎧ an si n = m ⎪b n m a x + ... + a 0 ⎪ a ( x) = lim n m = ⎨  si n > m lim x  b( x ) x b x + ... + b0 ⎪ m 0 si n < m ⎪ ⎩

1. Cociente de polinomios. Si la indeterminación es

0 , entonces el numerador y el denominador 0 tendrán la raíz común x=a, con lo que basta factorizar ambos polinomios y simplificar para deshacer la indeterminación.

Por otro lado, si la indeterminación es

68 68

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

2. Indeterminaciones -. En algunos casos podemos resolverlas sacando factor común la mayor potencia de x que aparezca en la función. Otras situaciones pueden ser reducidas a un cociente multiplicando y dividiendo por el binomio conjugado. 3. Regla de L'Hôpital9. Sean f y g funciones derivables y lim f ( x) = lim g ( x) = 0 xa

xa

(respectivamente, lim f(x) = lim g(x) = ), siendo aIR r {+, –}, entonces si  lim xa

también  lim x a

xa

xa

f ' ( x) g ' ( x)

f ( x) y se tiene g ( x) lim xa

f ( x) f ' ( x) = lim x  a g ( x) g ' ( x)

donde f ' ( x) y g ' ( x) denotan las derivadas respectivas de f (x) y g(x).

4. Consecuencias de la Regla de L'Hôpital. Podemos resolver también a través de ella indeterminaciones de la forma 0, 00 y 0, haciendo las siguientes transformaciones10:  g ( x) ⎧ lim = ⎪ ⎪ x a 1 / f ( x)  a) Indeterminaciones 0. lim f ( x)  g ( x) = ⎨ x a f ( x) 0 ⎪ lim = x  a ⎪ 1 / g ( x) 0 ⎩ 0

b) Indeterminaciones 0 .

lim f ( x)

g ( x)

x a

c) Indeterminaciones (+) . 0

lim f ( x)

xa

g ( x)

x a

5. Indeterminaciones 1. lim f ( x) g ( x ) = lim e xa

x a

= lim e

Ln ( f ( x )) 1/ g ( x)

= lim e

Ln ( f ( x )) 1/ g ( x)

xa

Ln ( f ( x )) 1/ g ( x)



= e 

= e

0

= e0

También se suelen resolver, empleando el número e, ya que: x

⎛ 1⎞ a) lim ⎜1 + ⎟ = e x⎠ x  +⎝

9

Aunque el concepto de derivada de una función real de una variable real y su cálculo se abordará en el próximo apartado, dado que el alumno ya debe estar familiarizado por sus estudios preuniversitarios con esta materia optamos por incluir aquí la Regla de L'Hôpital para cerrar en este apartado las técnicas básicas que utilizaremos en el cálculo de límites. El orden lógico obligaría a incluir esta regla después del Apartado 2.6.

10

Naturalmente, en los casos de funciones exponenciales, la base la debemos suponer una función que toma valores positivos en su intervalo de definición para que tenga sentido (y por tanto, podemos tomar logaritmos de la base).

FUNCIONES REALES

b) Sea  (x) c) Sea  (x)

/

/

UNA VARIABLERREALES EAL DE UNA V ARIABLE R EAL I. F UNCIONES

DE

69 69

lim  ( x) = 0 . Entonces lim (1 +  ( x) )1 /  ( x ) = e

x a

x a

⎛ 1 ⎞ ⎟ lim  ( x) = + . Entonces lim ⎜⎜1 +  ( x) ⎟⎠ xa⎝ x a

 ( x)

=e

Ejemplo 2.17: Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones reales de una variable real. 3 1 + 2 x  3x + 1  2 x x3 a) lim = = lim = 3 2 3 5  x+ x + 5 x  2 x  3 5  x2 x3 3

2

2

3 1 2 + x x3  b) lim = = lim = + 2 2 3  x+ 5 x + 5 x  2 x  3   x x 2 x3 2 x 3  3x 2 + 1

2  x  c) lim = = lim x  + 5 x 3  2 x  3  x + 5 2 x 2  3x + 1

3

+

2

x 2

x2



1 x3 = 0 3 x3

Adviértase que estos tres ejemplos anteriores siguen la ley de grados.

d)

e)

⎛ 1  3x 2 + 1  x  2 =    = lim x⎜⎜ 3 + x + x+ ⎝ x2

lim

3x + 1  3x  2 =    = lim

lim

x +

x+

3

= lim

x +

3 x + 1 + 3x  2

=0

1 2  x x2

3x + 1  3 x + 2 3 x + 1 + 3x  2

⎞ ⎟ = + ⎟ ⎠

=

(nótese que en este límite multiplicamos y dividimos

por el conjugado11 del binomio puesto que, si sacamos factor común la mayor potencia de x, x , la indeterminación no se deshace, pasando a ser 0).

f)

lim

x 0

g)

11

lim

0 cos x senx = = lim = 1 , (aplicando la regla de L'Hôpital). 0 1 x x 0

ex

=

x2 L'Hôpital). x +

 ex  ex = lim = = lim = +  x+ 2 x  x+ 2

El conjugado de a+b es a-b y viceversa.

(aplicando dos veces la regla de

70 70 h)

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

e1 / x  ( 1 / x 2 )e1 / x = = lim+ = lim+ e1 / x = + (reescri x0 (1 / x 2 ) x 0 x0 1 / x x 0 biendo el límite inicial como un cociente para aplicar la regla de L'Hôpital). lim+ xe1 / x = 0   = lim+



Lnx

i)

2 2 lim+ x  x = 0 0 = lim+ e 1 / x = e  y aplicando la regla de L'Hôpital al exponen-

x 0

x 0

te obtenemos lim x  x = lim 2

x 0 +

x 0 +

1/ x 3 2 e /x

Lnx

j)

x 0 +

= 1.

+

lim x1 / x = + 0 = lim e x = e +  y nuevamente aplicando la regla de L'Hôpi-

x +

x +

1/ x

tal al exponente lim x x  +

k)

= lim

x2 e2

⎛ x 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x +⎝ x + 5 ⎠

3x + 2

= lim

x  +

1/ x e 1

= 1.

= 1 . Para resolverlo podemos optar por poner la base en la

forma lim (1 +  ( x) )1 /  ( x ) , para cierta función  (x) tal que lim  ( x) = 0 . Para x +

x +

ello, tengamos en cuenta que si sumamos y restamos 1 a la base se tendrá que 6 x 1 ⎛ x 1 ⎞ =1+ ⎜  1⎟ = 1 + . x+5 x+5 ⎝ x+5 ⎠ Por tanto, ( x) =

6 (cumple los requisitos), y el límite pedido se podrá escribir x+5 6

3x+2

⎛ x 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x  +⎝ x + 5 ⎠

x +5 ⎞ x +5 ⎛ ⎜⎛  6 ⎞ 6 ⎟ = lim ⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟ x +5⎠ x  +⎜ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠

(3 x + 2)

=e

lim

x  +

18 x 12 x +5

= e18 .

2.5 CONTINUIDAD. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES La definición de límite en un punto recogida en el apartado anterior nos lleva, de una manera natural, a la definición de continuidad de una función en un punto. Intuitivamente, una función será continua en un punto si en sus alrededores (en un entorno del mismo) se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. De un modo más formal, una función será continua en un punto cuando se verifica que existen los límites por la izquierda y por la derecha de la función en ese punto, son iguales (es decir, existe el límite de la función en ese punto) y coinciden con la imagen del punto mediante la función, tal y como se pone de manifiesto en la siguiente definición.

FUNCIONES REALES

DE

U VARIABLE R REALES EAL DE UNA V ARIABLE R EAL I. NA F UNCIONES

71

Definición 2.20.- Una función real de una variable real y=f(x) se dice continua en el punto x=a si se verifican las tres condiciones siguientes: 1) aDom f 2)  lim+ f ( x),  lim f ( x) y ambos coinciden x a

3)

xa

lim f ( x) = f (a ) x a

Si una función f es continua x=aDIR, se dirá continua en el conjunto D. Si una función f es continua x=aDom f, se dirá simplemente continua. Nótese que, para que exista el límite de f cuando xa, el punto x=a debe ser de acumulación del Dom f.

Definición 2.21.- Una función real de una variable real y=f(x) se dice discontinua en el punto x=aIR, si x=aDom f o la función no es continua en este punto12. Además, se dirá que la discontinuidad es a) Evitable, si falla la primera o la tercera condición, es decir,  lim f ( x) , pero o x a

bien lim f ( x)  f ( a) o bien la función no está definida en x=a (aDom f). x a

b) (Inevitable) De primera especie, o también, de salto, si  lim f ( x) , xa 

 lim f ( x) pero son diferentes o bien alguno de ellos es infinito. Además, se xa +

dice de salto infinito si alguno de estos límites laterales es ±, y se dice de salto finito, si los dos límites laterales son finitos. En este último caso se suele decir que la magnitud del salto es el valor absoluto de la diferencia de los dos límites laterales. c) (Inevitable) De segunda especie, si no existe alguno de los límites laterales en x=a.

Ejemplo 2.18: Funciones continuas y diferentes tipos de discontinuidades. a) Cualquier función constante y=kIR es continua xIR . Obviamente, su gráfica es una línea recta paralela al eje X que se puede trazar en todo IR sin levantar el lápiz del papel, o formalmente, lim k = k = f (a ) aIR . x a

b) La función y=x2 es continua xIR . Esto lo podemos ver intuitivamente puesto que su gráfica se puede trazar en todo IR sin levantar el lápiz del papel (véase Ejemplo 2.12a). De una manera más rigurosa, también podemos ver la continuidad de esta función comprobando, análogamente al Ejemplo 2.15a), que

12 Hemos optado por incluir en los puntos de discontinuidad aquellos en los que no está definida la función extendiendo de esa forma el estudio de la continuidad a todo IR . En algunos manuales solo se estudia la continuidad en los puntos del dominio de la función, esto es, considerando como hipótesis nuestra condición 1 (Definición 2.20). Incluso en algunos se conviene que la función es continua en los puntos aislados del dominio aunque en ellos no se verifique la definición.

72 72

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

lim x 2 = a 2 = f ( a) , aIR .

x a

⎧2 si x  1 es continua x IR -{1} (puesto que c) La función definida a trozos y = ⎨ ⎩0 si x = 1 es constante). Además, posee una discontinuidad evitable en x=1, puesto que  lim f ( x) = 2  0 = f(1). Gráficamente, x1

y

f(x)

x

x=1

⎧2 si x > 1 es continua x IR -{1} (puesto que d) La función definida a trozos y = ⎨ ⎩0 si x 1 es constante). Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, ahora no existe lim f ( x) , puesto que lim f ( x) = 2  lim f ( x) = 0 . Por tanto, esta función posee x 1+

x1

x 1

una discontinuidad de primera especie o de salto en x=1, siendo el salto finito y de amplitud 2. Gráficamente, y

f(x)

y=2

x

x=1

e) La función y=

1 1 1 es continua x IR -{0} (puesto que lim = = f(a) , si a  0 ). a x x a x

Sin embargo, en x=0 posee una discontinuidad de primera especie o de salto infi1 1 nito, puesto que lim =  y lim = + . Gráficamente, x0 x x0 x 

+

y

f(x)=1/x x

FUNCIONES REALES

DE

U VARIABLE RREALES EAL DE UNA V ARIABLE R EAL I. NA F UNCIONES

73 73

1 es continua x IR-{0}. Además, en x=0 posee una disx continuidad de segunda especie pues, como ya vimos en el Ejemplo 2.15d), no existe 1 lim sen . x x 0

f) La función y=f(x)=sen

Seguidamente recogemos, de forma sintética y sin demostrar, las propiedades más relevantes relativas al concepto de continuidad en funciones reales de una variable real.

PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL: 1. Sean f y g dos funciones reales de una variable real continuas en x=a IR, entonces, las siguientes funciones también son continuas en x=a: a)  f± ± g, , IR b) fg c)

f ( x) , siempre que g(a) 0 g( x)

2. Sean las funciones: f : D IR x

g : E IR

IR y=f(x)

x

IR y=g(x)

tales que f es continua en x=a y g es continua en f(a) E=Dom g. Entonces, la función compuesta g° f es continua en x=a. 3. Si y=f(x) es una función continua en x=a y admite inversa global o local en x=a, f -1(x), entonces, la función inversa f -1 es continua en el punto f(a). 4. Las siguientes funciones son funciones típicamente continuas. a) Las funciones polinómicas son continuas en todo IR . En este caso se comprueba fácilmente que si y=P(x)=anxn +an-1xn -1+...+a1x+a0 (a0,...,anIR), entonces lim P ( x ) = P (a ) ,a IR. x a

b) La función exponencial y=ax, con a>0, es continua en todo IR . m

c) La función potencial y= x n , m,nIN-{0}, es continua para x>0. d) Las funciones trigonométricas y=sen x e y=cos x son continuas en todo IR.

74 74

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

e) La función y=tg x es continua en todo IR, salvo en los puntos x= ± ( 2n + 1)

 , 2

con n=0,1,2,... en donde no está definida. 5. Si f es continua en x=a, siendo f(a)0, entonces, existe un entorno de x=a para el que la función f tiene el mismo signo que en el punto x=a.

Ejemplo 2.19: Discusión de la continuidad de diversas funciones.

a) La función y=x4-12x3+3x-1 es una función continua en todo IR pues es una función polinómica. b) La función y=(x2-1)sen x, es continua en todo IR por ser producto de dos funciones continuas (x2-1 y sen x). c) La función y =

x3  5x2 + 3x  2

es un cociente de funciones continuas en IR . x2 + x  2 Por tanto, será una función continua en todo IR salvo donde se anule el denominador, esto es, IR -{-2,1}.

d) La función y = sen( 2 x ) es continua en todo IR por ser una función compuesta de dos funciones continuas en IR ( f(x)=g° h(x), donde h(x)=2x y g(x)=sen x ). e) La función y= x es continua x>0, pues es la función inversa local de f(x)=x2, x>0, y esta última es continua en IR .

La definición de continuidad anterior da pie para formalizar análogamente el concepto de continuidad a derecha e izquierda, así como el concepto más general de continuidad sobre un intervalo cerrado de la recta real.

Definición 2.22.- Una función real de una variable real y=f(x) se dice continua por la izquierda (respectivamente, por la derecha) en el punto x=a Dom f, si se cumple que  lim f ( x) = f ( a) (respectivamente,  lim f ( x) = f (a ) ) xa 

xa +

Una función y=f(x) definida sobre un intervalo cerrado [a,b]IR se dice continua en [a,b], si lo es x]a,b[, y es continua a la derecha en x=a y continua a la izquierda en x=b. Terminamos este apartado recogiendo, sin demostrar, otros resultados clásicos en torno al concepto de continuidad, en los que entra en juego la definición de continuidad sobre un intervalo cerrado.

FUNCIONES REALES

DE

U VARIABLE R REALES EAL DE UNA V ARIABLE R EAL I. NA F UNCIONES

75

RESULTADOS RELEVANTES SOBRE LA CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL EN INTERVALOS CERRADOS 1. Teorema 2.23. Teorema de Bolzano.- f es continua en [a,b] y f(a)f(b) 0 o bien sustituyendo p por su valor y teniendo en cuenta el signo esencialmente negativo de F ' (p),

37

Sobre la Figura I, la interpretación geométrica de maximizar pD es hacer máximo el área del rectángulo que tiene por base Oq, o p, y por altura qn o D. Una conocida proposición en Geometría dice que esta área es máxima cuando Oq=qt. En realidad, esta ecuación es una forma geométrica de la ecuación (I), que puede F ( p) escribirse p= , donde el miembro de la izquierda viene representado por Oq, y el miembro de la  F ' ( p) derecha por qt (pues F(p) es nq y F ' (p), la pendiente de la curva en n, es

nq , con lo que  qt

F ( p) nq = = qt ).  F ' ( p) nq / qt 38 Solo el examen de la derivada segunda permite distinguir si el producto pF(p) es un máximo o un mínimo, cuando la primera derivada es nula, es decir, cuando F(p) + pF ' (p) = 0 . Derivando el primer miembro se obtiene fácilmente la derivada segunda: 2F ' (p) + pF ''(p). Según sea esta negativa o positiva el valor de p pertenecerá a un máximo o a un mínimo. Esta derivada segunda puede transformarse sustituyendo p por su valor –F(p)/F ' (p) obtenido de (I), con lo que esta se convierte en:

2 F ' ( p) 

F ( p) F ' ' ( p) 2[F ' ( p)]2  F ' ' ( p ) F ( p ) = (...) F ' ( p) F ' ( p)

124 124

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

2[F ' (p)]2 – F(p)F ''(p)

>
i

d 2 ) f ( x) = ∑ f ii" ( dxi ) 2 + 2∑ f ij" dxi dx j poniéndose de manifiesto, una vez más, la importancia del concepto de continuidad tanto de la propia función como de sus derivadas parciales. De todo lo anterior se deduce el interés teórico de las funciones diferenciables de varias variables. Es por ello que, tradicionalmente en Economía y Empresa, como en otras ciencias aplicadas, se intenta construir modelos haciendo uso, si es posible, de este tipo de funciones.

3.8 APROXIMACIONES POLINÓMICAS. DESARROLLO DE TAYLOR Este apartado lo planteamos como una generalización de lo visto para funciones de una variable. Recordemos, por tanto, el Teorema 2.33, Teorema de Taylor para funciones de una variable, escrito utilizando diferenciales. La generalización para funciones de varias variables quedaría escrita de la siguiente forma:

Teorema 3.25.- Sea f(x) una funci n real de varias variables reales x=(x1,...,xn) definida sobre un conjunto abierto B…IRn , diferenciable hasta el orden q+1 sobre B, y sea aDB, a=(a 1,...,an). Entonces, para x en un cierto entorno de a, si llamamos dxi=x i-ai, i=1, ,n1 se verifica que GI  D G  I  D G T I D f(x)= I  D





(T  [   T donde Eq(x) representa el t rmino de error o resto que resulta de aproximar f(x) por los q+1 sumandos anteriores, y que viene dado por la forma Q

-

Eq(x)=

L  LT  

L

 I LT  F  [  < D  L  [ T  < D T  T  LT 

 T   donde cDIRn , c=(c1,...,cn) es tal que F < D  [ < D .

Puntualizaciones al desarrollo de Taylor: 1. Si q=0, obtenemos el Teorema del Valor Medio. 2. Si q=1, podemos considerar en términos aproximados que f(x)!f(a)+df(a), o lo que es lo mismo, #f(a)!df(a) en un cierto entorno de x=a. De hecho, y=f(a)+df(a) es la ecuaci n del plano tangente a la superficie y=f(x) en el punto x=a.

VARIAS VR ARIABLES FUNCIONES REALES II. DE F UNCIONES EALES DEREALES V ARIAS V ARIABLES R EALES

181

3. An logamente al caso de una variable, se puede probar que el t rmino de error tiende a cero cuando x est cada vez m s pr ximo al punto a.

Ejemplos 3.21: Desarrollo de Taylor para funciones reales de varias variables. a) La fórmula de Taylor para la función exy ofrece la posibilidad de encontrar una función polinómica en las variables x e y semejante a la exponencial cerca del punto en el que se desarrolle la fórmula. Por ejemplo, cerca del origen y haciendo uso de la primera diferencial se obtiene una aproximación lineal exy!1. Observar que z=1 es la ecuación del plano tangente a exy en el origen. Si hacemos uso de las dos primeras diferenciales obtenemos una aproximación cuadrática para la función dada cerca del origen, exy!1+xy/2. Presentamos en el siguiente cuadro valores numéricos de la función y estas dos aproximaciones. x

y

exy

1+xy/2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0 0.001 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901

1 1.00001 1.00202 1.00605 1.01211 1.02025 1.03052 1.04297 1.05768 1.07475 1.09428

1 1.00001 1.00101 1.00302 1.00602 1.01003 1.01503 1.02104 1.02804 1.03605 1.04505

b) Sea z=x2y3. La fórmula de Taylor de orden 5 coincide con la función, ya que se trata de una función polinómica de grado 5. Vamos a calcular el desarrollo de Taylor en el punto (2,1) utilizando las dos primeras diferenciales. En efecto,

z(2,1)=4 dz(2,1)=4 dx+12 dy=4(x-2)+12(y-1) ya que, en este caso, dado un punto (x,y) en un entorno del punto (2,1), dx=x-2, dy=y-1 d 2) (2,1)=2(dx)2+24 dx dy+24 (dy)2=2(x-2)2+24(x-2)(y-1)+24(y-1)2 Por tanto, z!4+4(x-2)+12(y-1)+(x-2)2+12(x-2)(y-1)+12(y-1)2 en un cierto entorno del punto (2,1). En particular, z=4+4(x-2)+12(y-1) es la ecuación del plano tangente a la superficie z=x2y3 en el punto (2,1). Por ejemplo, en el punto (2.1,1.005) se tienen los siguientes valores: x

y

2.1

1.005

2 2 4+4(x-2)+12(y-1) 4+4(x-2)+12(y-1)+(x-2) +12(x-2)(y-1)+12(y-1) 4.476300 4.476481 4.460000

x2y3

Y en términos incrementales o diferenciales:

182 182

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE F UNCIONES EN E CONOMÍA Y E MPRESA

dx

dy

0.1

0.005

#z 0.476481

dz

dz+d2)z

0.46

0.4763

Error (aprox. lineal)

0.01648

Error (aprox. cuadrática)

1.813 10-4

Se observa en estos ejemplos que la aproximaci n polinomial mejora a medida que aumentamos el orden del desarrollo de Taylor y, para un mismo orden, mejora a medida que nos acercamos al punto base elegido.

3.9 FUNCIONES CONVEXAS. DIFERENCIABILIDAD Y CONVEXIDAD La convexidad ya fue definida de manera intuitiva en el segundo capítulo para funciones de una variable. Teniendo en cuenta que dicha interpretación es igualmente válida si la función tiene dos o más variables, recogemos a continuación las definiciones formales más generales.

Definición 3.26.- Una función f:IRn IR es convexa si x1 , x 2  Dom f se tiene f (x1 + (1   ) x 2 ) f ( x1 ) + (1   ) f ( x 2 ) , [0,1].

Análogamente, una función se dice cóncava si f (x1 + (1   ) x 2 ) f ( x1 ) + (1   ) f ( x 2 ) , [0,1].

x1 , x 2  Dom f

se tiene

Dada la definición anterior, es evidente que si una función f es convexa, entonces su opuesta, -f, será cóncava.

Ejemplo 3.22: En funciones de una variable ya conocemos la interpretación gráfica de la definición de función convexa y cóncava, de forma que somos capaces de reconocer este tipo de funciones, si las podemos dibujar en un plano. Cuando las funciones se representan mediante superficies (funciones de dos variables), entonces la función será convexa si la superficie se parece a un cuenco, y cóncava si la superficie se parece a una campana. Lo visualizamos en esta gráfica.

Cóncava

Convexa

VARIAS VR ARIABLES EALES FUNCIONES REALES II. DE F UNCIONES EALES DERV ARIAS V ARIABLES R EALES

183 183

Definición 3.27.- Una función f : IRn  IR se dice estrictamente convexa si x1 , x 2  Dom f se tiene f (x1 + (1   ) x 2 ) < f ( x1 ) + (1   ) f ( x 2 ) , ]0,1[. Análogamente, f se dice estrictamente cóncava si x1 , x 2  Dom f f (x1 + (1   ) x 2 ) > f ( x1 ) + (1   ) f ( x 2 ) , ]0,1[.

se tiene

Ejemplo 3.23: En el caso de funciones de una variable, habíamos dicho que cualquier recta se podía considerar tanto cóncava como convexa. Sin embargo, una recta no será ni estrictamente cóncava ni estrictamente convexa. Análogamente, en el caso de funciones de dos variables un plano es tanto cóncavo como convexo, pero no en sentido estricto. De igual forma, una superficie que tenga una forma parecida a una colina será cóncava, pero si en lo alto de la colina tiene una planicie (meseta), entonces no será estrictamente cóncava. En otras palabras, la propiedad de ser estrictamente convexa o cóncava elimina la posibilidad de que la función dada presente fragmentos rectos o planos. Existen distintas formas de caracterizar las funciones convexas, que en muchos casos son más operativas que la propia definición para los desarrollos teóricos y prácticos, pero normalmente es necesario hacer hipótesis adicionales sobre la naturaleza de la función. La siguiente caracterización es válida para funciones diferenciables, y la señalamos para destacar el interés de este tipo de funciones. Veremos posteriormente que, además, juega un papel importante en la Optimización Matemática.

Teorema 3.28.- Si f es diferenciable en un conjunto convexo KcIRn, entonces f es convexa en K f(x) f(a)+df(a) (x-a), siendo a y x puntos arbitrarios del conjunto K. Diremos que

f es estrictamente convexa en K  f(x)>f(a)+df(a) (x-a), siendo a y x, xa, puntos arbitrarios del conjunto K. Análogamente, si f es diferenciable en un conjunto convexo K, entonces

f es cóncava en K  f(x) f(a)+df(a) (x-a), siendo a y x puntos arbitrarios del conjunto K. Diremos que

f es estrictamente cóncava en K  f(x)0, los factores productivos K y L son normales, esto es el aumento (disminución) de uno de ellos, permaneciendo el otro constante, hace aumentar (disminuir) la productividad marginal del otro.

b) Sea D = 10  p12  p1 + p2 + 0.1 R la cantidad demandada de un bien en el mercado, siendo p1 el precio de dicho bien, p2 el precio de otro bien relacionado y R la renta disponible por parte del consumidor. Se tiene que la demanda marginal respecto al bien demandado es DMg / p1 = 2 p1  1 0, y, x= 

y , si a2 factores productivos y bajo las condiciones del teorema de la función implícita, podemos garantizar que en un entorno de un punto una de las variables (factores productivos) es función implícita de las restantes, la RST del factor i por el factor j medirá la variación que se ha de producir en el factor i ante variaciones en el factor j (supuesto que las cantidades del resto de factores no varían) para que la cantidad producida se mantenga en el mismo nivel. En tal caso, derivando respecto a x j(j=1,…, i-1,i+1,…,n), la expresión x i / x j = –F 'x j / F 'x i es la RST entre los factores i y j.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

243

Desde la perspectiva del estudio de los modelos de equilibrio general, la frontera de posibilidades de producción constituye un instrumento útil para el análisis simultáneo de varios mercados. En concreto, este concepto muestra las diferentes combinaciones de dos bienes que pueden producirse con una cantidad dada de recursos si estos se utilizan eficientemente. Gráficamente se representa como una curva de oferta que permite definir el coste de oportunidad de producir una cantidad mayor de un bien como la reducción de la cantidad del otro bien. El cálculo de este coste de oportunidad se puede obtener precisamente a través de la diferenciación implícita. Veamos su cálculo a través de un ejemplo.

Ejemplo 4.27: Supongamos que la ecuación 2x2+y2=225 representa la frontera de posibilidades de producción para dos bienes. Existe, pues, un número infinito de puntos que satisfacen dicha ecuación. Posibles combinaciones de ambos bienes en dicha frontera serían los puntos ( 112.5 , 0), (10, 5), (0,15), como observamos gráficamente y (0,15)

(10.6, 0)

x

En este caso, podríamos comprobar sin dificultad que se verifican las condiciones dadas por el Teorema 4.12, por lo que la ecuación dada define a y como función implícita del bien x para x 0, y>0. Podemos calcular la derivada y ' ( x ) de forma sencilla, con solo derivar respecto de x la ecuación F(x,y)=2x2+y2-225=0, y' ( x) = 

2x Fx' 4x = = ' Fy y 2y

244

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

Esta derivada representa la pendiente de la frontera en un punto o, en términos económicos, el coste de oportunidad, es decir, el número de unidades del bien y a las que debe renunciarse para producir una unidad más del bien x15. Así, por ejemplo, para x=10, tenemos que y=5 e y ' ( 2) = -4, por lo que el coste de producir una unidad más del bien x es una reducción de la producción de y en 4 unidades; en x=4, y= 193 , por lo que el coste de oportunidad es -8/ 193 =-0.57. Observamos pues que cuando se producen menos unidades de x, el coste de oportunidad es menor, es decir, el número de unidades de y a las que debe renunciarse para producir una unidad más de x es cada vez menor. También en el estudio de otros modelos económicos (modelos de mercado que incorporan funciones de oferta y demanda, modelos de renta nacional que incorporan como variables el ahorro, la renta nacional, los impuestos, la inversión y el gasto público…) encontramos aplicaciones relevantes del uso de funciones implícitas y de sus técnicas de derivación. En tales casos, la relación entre las variables que intervienen viene descrita por una o por varias ecuaciones simultáneas que –bajo ciertas condiciones para las funciones y derivadas que intervienen– definen la existencia de soluciones implícitas para las variables endógenas del modelo. La realización de un análisis de estática comparativa para conocer el efecto que cambios en los parámetros o en las variables exógenas provocan en las endógenas y, por tanto, en la solución o posición de equilibrio del modelo, pasa precisamente por obtener las derivadas de la correspondiente función o funciones implícitas que define el modelo. A modo ilustrativo, consideremos un modelo de mercado para un único bien dado por

⎧ Qd = Q s ⎪ ( f p' < 0; f M' > 0) ⎨ Qd = f ( p , M ) ⎪Q = g ( p ) ( g ' > 0) p ⎩ s donde la cantidad demandada Qd depende del precio p y de la renta M determinada exógenamente y la cantidad ofertada Qs es función únicamente del precio p. Supongamos que tanto f como g son continuas con derivadas continuas. Podríamos plantearnos la siguiente cuestión siguiendo un análisis de estáticacomparativa: Si consideramos que M es la única variable exógena al modelo, ¿cómo afectará un cambio en M al equilibrio del modelo?

15

El valor negativo de la pendiente de la curva de posibilidades de producción se denomina Relación de dy Transformación del Producto (RTP): RTP (de y por x)=  . Este muestra, por tanto, cómo puede interdx cambiarse técnicamente x por y si se utilizan eficientemente los factores productivos.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

245

Está claro que si tenemos en cuenta la condición de equilibrio de mercado Qd=Qs y P representa el equilibrio inicial, podemos reescribir el modelo mediante la ecuación F(P,M)= f(P,M)-g(P)=0 Considerando en esta expresión P y M variables, si se satisfacen las condiciones del Teorema de la función implícita, podremos garantizar que existe una función implícita p=p(M) continua y derivable que para cada valor de M da lugar a un único valor de p en el entorno de una solución de equilibrio. De hecho, la verificación de las hipótesis del Teorema no presenta dificultad, pues F(p,M) será continua y con derivadas parciales continuas, ya que f y g lo son. Además, por hipótesis, Fp' = f p'  g 'p 0)

Por tanto, la respuesta en la cantidad de equilibrio a aumentos en la renta será positiva. En términos numéricos, el valor de la derivada se obtiene una vez se conocen los valores de las derivadas parciales que intervienen en el punto de equilibrio.

246

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

APPUNTES UNTES DDE E HHIST ISTOORIA RIA: E LL P E LLG U A E EL APEL DE ALGUNAS MA MÁ ÁT TIIC CA AS SE EN N E P AP PE ELL D D EA A GU UN NA AS SF FFUNCIONES UN NC CIIO ON NE ES SM M AT TTEMÁTICAS EM PA LL A M O D E L I Z A C I O N E C O N O M I C A AM ODMODELIZACIÓN ELIZACION ECON OMICA EN LA ECONÓMICA Desde la publicación del trabajo de Cournot Investigaciones acerca de los Principios Matemáticos de la Teoría de las Riquezas (1838), que ofreció el primer esfuerzo formal del empleo del lenguaje de funciones en la construcción de modelos económicos, numerosos estudiosos de la Economía han basado también sus contribuciones en la utilización, entre otras, de las funciones compuestas, inversas e implícitas. En particular, en el trabajo de Jevons La Teoría de la Economía Política (1871), encontramos una muestra de la utilización de las funciones compuestas y de la regla de la cadena en tanto que participan del análisis de la producción de mercancías que el autor realiza en el capítulo que dedica al trabajo. También la consideración de relaciones causa-efecto en las que intervienen variables intermedias forma parte de su discurso sobre la teoría del intercambio, cuando al analizar la relación entre trabajo y valor concluye que no es esta una relación directa sino que es el trabajo el que afecta a la oferta y esta a su vez al grado de utilidad que gobierna al valor o relación de intercambio. Por su parte, si nos remontamos a comienzos del siglo XIX, ya el propio Cournot en su análisis del monopolio puro contemplaba la utilización, por ejemplo, de funciones inversas de demanda. En este sentido, consideraba que los monopolistas pueden maximizar los beneficios con respecto a las variaciones ya sea en el precio o en la producción. Dadas sus curvas de demanda respectivamente, podrían seleccionar la producción que deseen vender y dejar que los consumidores determinen el precio o pueden establecer el precio y dejar que los consumidores determinen la cantidad que tomarán. Finalmente, la consideración que en el análisis económico han tenido los modelos en los que intervienen funciones definidas implícitamente conoce sus primeros pasos de nuevo con Cournot y el análisis de la maximización del ingreso del productor en régimen de monopolio. Más recientemente, sin que ello haya supuesto una discontinuidad en la utilización de este tipo de funciones en el tiempo, Paul Samuelson, en su obra Fundamentos del Análisis Económico (1953), señala que en el marco de cualquier sistema las relaciones entre variables son de interdependencia mutua y que al ser impuestas las condiciones de equilibrio, todas las variables quedan simultáneamente determinadas. La formulación que establece de tales condiciones es precisamente a través de relaciones funcionales –que vinculan variables y parámetros– escritas en forma implícita. El establecimiento de dichas condiciones de equilibrio permitirá conocer las reacciones posibles de las variables al cambiar los datos.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

247

NOTAS BIOGRÁFICAS : PAUL ANTHONY SAMUELSON (1915-) Paul Anthony Samuelson, economista estadounidense Paul Anthony Samuelson, economista estadounidense , nació nació en Gary, Indiana. Realizó sus estudios en las universidades en Gary, Indiana. Realizó sus estudios en las universidades de de Chicago y de Harvard,donde dondefue fuedistinguido distinguidocon con los máximos máximos Chicago y de Harvard, honores. En formar parte deldel cuerpo docenhonores. En elelaño año1941 1941pasó pasóa a formar parte cuerpo dote de la Facultad de Económicas del Instituto de Tecnología de cente de la Facultad de Económicas del Instituto de TecnoloMassachussets (MIT) donde 1966 en fue1966 catedrático y es en lay gía de Massachussets (MIT)endonde fue catedrático actualidad catedrático emérito. En 1970 fue con el es en la actualidad catedrático emérito. Engalardonado 1970 fue galardoPremio "por Nobel sus contribuciones al análisis al estático y nado conNobel el Premio "por sus contribuciones análisis estático dinámico la teoría yeconómica y por sus aportadinámicoy de la teoríadeeconómica por sus aportaciones al uso ciones al uso de lasenmatemáticas la de economía, a finelde inde las Matemáticas la Economía,en a fin incrementar rigor crementar rigor y relevancia de los trabajos económicos". y relevanciaelde los trabajos económicos".

Su principal mérito es quizá haber realizado la llamada "síntesis neoclásica", es decir, la fusión de la economía de Keynes con la de sus predecesores. Con tal fin, ha analizado los problemas de las economías avanzadas en la consecución del desarrollo manteniendo la estabilidad. Para Samuelson dos son las armas claves en esta tarea: la política monetaria y la política fiscal. Se le considera de hecho uno de los progenitores del resurgimiento paretiano en microeconomía y de la síntesis neokeynesiana durante el periodo de postguerra. Paul A. Samuelson (1915-)

Además de pedagogo y divulgador, ha cubierto prácticamente todos los temas de la Economía, con especial interés en sus aspectos dinámicos. Por su obra más importante, Foundations of Economic Analysis (1947), se le reconoce haber contribuido al resurgimiento de la economía neoclásica y a relanzar la matematización de la Economía. Sus contribuciones se sitúan tanto en la microeconomía (la teoría de las preferencias reveladas (1938,1947), la medida de la utilidad y la integrabilidad (1937,1959), el uso de la estática comparativa y dinámica a través del principio de correspondencia (1947), la estabilidad dinámica del equilibrio general (1941,1944), el estudio de funciones de bienestar social, el establecimiento de la moderna teoría de la producción, la teoría del progreso técnico, el análisis de los sistemas dinámicos de Leontief...), como en la macroeconomía (el modelo macrodinámico del multiplicador-acelerador (1939), la presentación de la curva de Phillips (1960), la difusión del modelo de generaciones solapadas de Allais...), amén de importantes aportaciones también en el ámbito de la teoría del comercio internacional.

248

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

TEXT OS CLÁSICOS : A. COURNOT, INVESTIGACIONES ACERCA DE LOS PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE LA TEORÍA DE LAS RIQUEZAS , 1838. FRAGMENT O DEL CAPÍTULO V : “DEL MONOPOLIO” "(...) Lo que el productor debe esforzarse en hacer máximo ya no es la función pF(p) o ingreso bruto anual, sino el ingreso neto o función pF(p)-(D), siendo (D) los gastos que exige la fabricación de un número D de litros. Como D está ligado con p por la relación D=F(p), la función pF(p)-(D) puede considerarse implícitamente dependiente de una sola variable, p, aunque en general los gastos de producción sean una función explícita, no del precio del bien producido sino de la cantidad producida. En consecuencia, el precio p al que el productor debe ofrecer la mercancía vendrá determinado por la ecuación:

D+

dF ⎡ d ( D ) ⎤ p =0 dD ⎥⎦ dp ⎢⎣

Este precio determinará a su vez el ingreso neto anual o renta del inversor y el valor capital de su secreto o fondo productivo, cuya propiedad está garantizada por las leyes y puede comercializarse como la de un lote de terreno o un bien mueble".

TEXT OS CLÁSICOS : W. S. JEVONS, LA TEORÍA DE LA ECONOMÍA POLÍTICA , 1871. FRAGMENT OS DEL CAPÍTULO IV : “TEORÍA DEL INTERCAMBIO” Y DEL CAPÍTULO V : “TEORÍA DEL TRABAJO”. "(…) Los casos de producción conjunta, lejos de ser algunos casos especiales, constituyen la regla general, a la que es difícil señalar alguna excepción clara o importante. Todas las grandes mercancías especiales se producen en cualquier caso conjuntamente con mercancías menores. En el caso del grano, por ejemplo, están la paja, la barcia, el salvado y las diferentes calidades de harina, que son producto de las mismas operaciones(…) Sin duda, los productos secundarios a menudo carecen casi de valor(…) Pero incluso estos casos sirven para mostrar de la manera más impresionante que no es el coste de producción lo que regula el valor, sino la demanda y oferta de los productos. Supongamos que hay dos mercancías, X e Y, producidas mediante una sola operación, que siempre los produce en la misma proporción (…) Si dx no se puede producir sin dy, siendo estos los productos del mismo incremento de trabajo, dl, entonces el cociente del producto y el trabajo no puede escribirse de otro modo que como

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

249

E IMPLÍCITAS

dx + dy dl

Es imposible dividir el trabajo y decir que se gasta tanto en la producción de X y tanto en la de Y. Pero debemos estimar separadamente las utilidades de dx y dy, multiplicando por sus grados de utilidad du1/dx y du2/dy, y tenemos entonces la relación agregada entre la utilidad y el trabajo como

du1 dx du2 dy + dx dl dy dl (…) Si comparamos X e Y con una tercera mercancía Z, por lo que se refiere a su producción, llegamos a la ecuación

du1 dx du2 dy du3 dz + = dx dl dy dl dz dl En otras palabras, el incremento de utilidad obtenido aplicando un incremento de trabajo a la producción de Z debe igualar a la suma de los incrementos de utilidad que se obtendrían si el mismo incremento de trabajo se aplicara a la producción conjunta de X e Y".

TEXT OS CLÁSICOS : W. PARET O, ÉCONOMIE MATHÉMATIQUE, 1911. ENCYCLOPEDIE DES SCIENCES: MATHEMATIQUES, I. TRADUCIDO AL INGLÉS EN INTERNATIONAL ECONOMIC PAPERS, 5, 1955. "(...) Una posición de los individuos analizados se denomina posición de equilibrio si es tal que, de acuerdo con las leyes dadas, los individuos pueden continuar indefinidamente en ese estado (...)

Para abreviar la discusión, cuando un individuo se comporta de forma que logra un aumento en el valor de cierta variable x, diremos que se mueve en la dirección positiva dx. Cuando pase por sucesivos estados en los que se encuentre en relación con ciertas variables x,y interconectadas por la ecuación f(x,y)=0

(1)

diremos que recorre el camino o la senda dada por esa ecuación. Se pueden describir las teorías de la economía matemática sin utilizar explícitamente el concepto de precio, y esto puede ser útil desde un punto de vista didáctico, pero el concepto de precio es útil para evitar largas discusiones y es conveniente comenzar utilizándolo. El precio de un bien X en términos de otro bien Y es la cantidad P=

dy dx

estando relacionada y con x por la ecuación (1). En general si

250 250

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES A NÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

f(x,y,z...)=0 se tiene Py = 

x x , Pz =  , ... y z

y Py es el precio de Y en términos de X, Pz es el precio de Z en términos de X, etc. En este caso se dice que X es dinero".

TEXT P.. A A. SAMUELSON, FUNDAMENT OS T O C .. S A U TE EX XT TOS OS S CLÁSICOS CLLÁ ÁS SIIC CO OS S:: P P A S AM MU UE ELLS SO ON N,, ""F F UN ND DA AM ME EN NT TO OS S S D A E ,, 11995533 .. F DEL FRAGMENT OS ME EN NT TO ODEL S D DE ELL ELL ANÁLISIS AN NÁ ÁLLIIS SIIS S ECONÓMICO, EC CO ON NÓ ÓM MIIC CO O""1953. FR RA AG GM DE C IIII::: S E Q E CA AP PÍÍT TU ULLO O II SIIS ST TE EM MA AS SD DDE EE EEQUILIBRIO QU UIILLIIB BR RIIO OY YYD DDE EE ES ST TÁ ÁT TIIC CA A CAPÍTULO “SISTEMAS C CO OM MP PA AR RA AT TIIV VA A.. ARATIVA”. ESTÁTICA COMP "(...) El concepto de un sistema de equilibrio se aplica tanto al caso de una única variable como al llamado equilibrio general, que entraña miles de variables. Lógicamente, la determinación de la producción de una empresa dada, en competencia perfecta pura, equivale precisamente a la determinación simultánea de miles de precios y cantidades. (…) Dentro del marco de cualquier sistema, las relaciones entre nuestras variables son estrictamente de interdependencia mutua. Al ser impuestas las condiciones de equilibrio, todas las variables quedan simultáneamente determinadas. El único sentido en que se puede admitir el empleo del término causa se vincula con los cambios en los datos externos o parámetros. Se puede decir, metafóricamente, que los cambios en éstos causan cambios en las variables de nuestro sistema. Un aumento en la demanda, v.g., por un desplazamiento de la función de demanda debido a una modificación de los datos –los gustos–, puede decirse que es causa de un incremento de la producción ofrecida en venta. Pero también aquí, cuando varios parámetros se modifican simultáneamente, no se puede hablar de causas imputables a cada uno en particular, excepto con respecto a los límites de las razones de incrementos (derivadas parciales). Todo lo precedente puede enunciarse sintéticamente en forma matemática. Dadas n variables o incógnitas (x1,…,xn) y m –mayor o menor que n– parámetros ( 1,…,m), admitimos n relaciones funcionales independientes y compatibles, que vinculan nuestras variables y parámetros. De un modo más general, tales relaciones funcionales pueden ser escritas en forma implícita, de manera que cada ecuación comprenda todas las variables y parámetros.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

251

E IMPLÍCITAS

f 1 ( x1 ,..., x n ,  1 ,...,  m ) = 0 f 2 ( x1 ,..., x n ,  1 ,...,  m ) = 0 

(1)

f n ( x1 ,..., x n ,  1 ,...,  m ) = 0 o más brevemente f i ( x1 ,..., x n ,  1 ,...,  m ) = 0

(i=1,...,n)

El número de ecuaciones no debe ser mayor que n porque si lo fuera, las ecuaciones no podrían ser a la vez compatibles e independientes; si fuera menor, nuestro sistema sería, en general, indeterminado. Si las ecuaciones poseyeran determinadas características podrá considerarse que ellas determinan un único conjunto de valores de las incógnitas ( x10 ,..., x n0 ) correspondientes a cualquier conjunto prefijado de parámetros ( 10 ,...,  m0 ) . La relación funcional que precede puede expresarse matemáticamente en la siguiente forma: xi=gi(1,…,m)

(i=1,…,n)

(2)

Esto no significa, entiéndase bien, que estemos autorizados a expresar las variables incógnitas por una función elemental cualquiera de los parámetros (tales como funciones polinomiales, trigonométricas o logarítmicas). Por el contrario, las condiciones de equilibrio para el conjunto (1) no podrán expresarse generalmente en términos de un número finito de funciones elementales, y aún admitiendo tal posibilidad, no estaría asegurada su resolución explícita en forma sencilla. (…) Si fuéramos omniscientes, es decir, si todas las implicaciones de cualquier supuesto nos fueran intuitivamente evidentes, llegaríamos al conocimiento instantáneo de las ecuaciones (2), apenas el conjunto (1) nos fuera dado. A falta de poder semejante, estas ecuaciones sólo podrían resolverse con el grado de aproximación requerido a costa de mucho esfuerzo. Cuando se tiene en cuenta la importancia del esfuerzo requerido, se podría caer en la tentación de preguntarse: ¿cuál es la ventaja de tomar como punto de partida las ecuaciones de equilibrio (1)? ¿Por qué no partir directamente de las ecuaciones (2)? (…) La utilidad de formular condiciones de equilibrio –fuente de nuestra solución– está en el hecho de que, obrando así, nos encontramos a menudo en condiciones de adquirir conocimientos acerca de las reacciones posibles y necesarias de nuestras variables al cambiar los datos. Sin tales especificaciones, nuestras teorías carecerían de sentido. Enunciar simplemente que existe una relación funcional final entre todas las variables y parámetros (así como entre una infinidad de circunstancias acompañantes) es estéril y de

252

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

pura forma, ya que tal aserto no comprende ninguna hipótesis relativa a los datos empíricos. (…) Las propiedades de las funciones (2) están necesariamente vinculadas a las características estructurales del conjunto de equilibrio (1). (…) Apliquemos el análisis precedente. Consideremos una empresa con una determinada curva de demanda, que vincula el precio y la producción, y una cierta curva de costos que relaciona el costo total y la producción. Supongamos, además, que la producción de la empresa está sujeta a un impuesto de t dólares por unidad. El beneficio de la empresa podrá expresarse como

=ingreso total – costo de producción total – monto total del impuesto = xp(x)-C(x)-tx donde xp(x)=ingreso total en función del volumen de producción, C(x)=costo total mínimo al cual cada unidad de volumen puede ser producido, tx= monto total del impuesto. Es obvio que para cualquier tasa de impuesto prefijada, supongamos t0, la empresa decidirá qué cantidad será producida y vendida; es decir, x0=g(t0), donde la relación funcional g corresponde a las funciones en (2). (…) ¿Cuál es la naturaleza de la dependencia de nuestra variable respecto de la tasa de impuesto, considerada como parámetro?¿Conducirá a una producción mayor o menor el aumento del impuesto unitario? Veamos si podemos aportar una solución a través de la formulación de las condiciones de equilibrio. (…) El valor de equilibrio de la producción surgirá como solución de un simple problema de máximo. (…) Para el problema que consideramos, las condiciones del equilibrio pueden obtenerse mediante simple derivación, llegando a  [xp( x )  C ( x )]  t = 0 x

(11)

La ecuación (11) corresponde al conjunto de equilibrio (1) que, en este caso, comprende solamente una ecuación, puesto que sólo hay que determinar una incógnita. A cada valor de t corresponderá una raíz de la ecuación resultante en x y éste será nuestro valor de equilibrio. (…) Derivando (11) con respecto a t, obtenemos

[x x 2

2

0

]

0

⎛ x ⎞ p( x 0 )  C ( x 0 ) ⎜ ⎟ = 1 ⎝ t ⎠

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

donde 0

⎛ x ⎞ 0 ⎜ ⎟ = g ' (t )  t ⎝ ⎠ que nos brinda la contestación que estamos buscando, ya que es condición suficiente para la existencia de un máximo relativo que 2 x 2

[x

0

]

p( x 0 )  C ( x 0 ) < 0

Luego, 0

⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ < 0, ⎝ t ⎠

ó

g ' (t 0 ) < 0

Por lo demás, la intuición nos dice que se llegará a este resultado con tal impuesto. Se supone que la empresa está siempre en equilibrio, antes y después de la aplicación del impuesto, y que el impuesto afecta al equilibrio únicamente del modo indicado en la ecuación (11)".

253

254

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

PRRÁCTICAS ÁCTICAS DDE E ININFORMÁTICA FORMÁTICA P R O E P RÁ ÁC CT TIIC CA AS SC CCON ON ND DDERIVE ER RIIV VE E PRÁCTICAS 1. Dadas las funciones a) f(u)=u5, g(x)=1-x3, hallar f(g(x)) y

d ( g ( x)) . dx

b) w(x,y)=x2y-y2, x(t)=sent, y(t)=et, hallar w' (t ) cuando t=0. c) w(x,y)=2xy, x(s,t)=s2+t2, y(s,t)=s/t, hallar ws' , wt' y evaluarlas en (s,t)=(2,1) d) w(x,y,z)=xy+yz+xz, x(r,t)=rcos t, y(r,t)=rsen t, z(t)=t, hallar w'r , wt' cuando r=1 y t=2 .

Pasos a seguir: En el primer caso, introducimos las funciones f y g con el comando Editar expresión o con el botón . Editando la expresión f(g(x)) se obtiene la correspondiente función compuesta. La derivada de esta función se obtiene con el d comando DIF(f(g(x)),x), que se simplifica a la expresión ( f ( g ( x)) . Si se quiere dx calcular la derivada para un valor de x, en el menú SimplificarSustituirVariables damos a la variable el valor que corresponda. En el resto de los apartados, la expresión para la función compuesta se obtendría de forma análoga considerando las funciones y variables que intervienen en cada caso; las derivadas parciales se calcularían análogamente con el comando DIF. A modo de ejemplo, para obtener la derivada parcial de la función compuesta W(x(s,t),y(s,t)) respecto a la variable t o s, utilizamos el comando DIF(W(x(s,t),y(s,t)),variable). Su valor en un punto (s,t) se obtiene sustituyendo el mismo en la expresión obtenida. 2. Para cada una de las siguientes funciones

1) f(x)= 2 x  3

2) f(x)= e  x

2

3) f(x)=3Log2x

4) f(x)=sen x

a) Hacer su representación gráfica. b) A la vista de la gráfica, estudiar si existe o no su función inversa f -1 analizando si es biyectiva o no.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

255

E IMPLÍCITAS

c) Estudiar la monotonía de f y confirmar, en su caso, la existencia de inversa. d) Resolver en x la ecuación y=f(x) y dar la expresión de su inversa (cuando exista). e) Representar gráficamente f y su función inversa f -1 (cuando exista) ¿Qué relación se observa entre la gráfica de una función y la de su inversa? f) Comprobar que en los puntos (a,b) y (b,a) de una función y de su inversa, las pendientes de f y f -1 son recíprocas. g) Calcular f o f -1 y f

-1

o

f.

h) Para las funciones f(x)=tg x, f(x)=x/(x2-4), su derivada tiene el mismo signo x Dom f y, sin embargo, no son biyectivas. ¿Cuál es la razón de esto?

Pasos a seguir: Tras introducir en cada caso la expresión de la función, la seleccionamos con el cursor y elegimos el comando Ventana Nueva Ventana 2D o el botón . Para analizar si una función es biyectiva observamos si, en general, g(x1)g(x2), para x1x2. Esto se puede realizar trazando rectas horizontales, de manera que si alguna de ellas corta a la gráfica en 2 ó más puntos la función no será biyectiva. Podemos estudiar la monotonía de la función, es decir, su carácter creciente o decreciente, calculando su derivada y estudiando su signo a través del comando Cálculo Derivar o el botón . Recordar que si una función es estrictamente monótona en un intervalo será biyectiva en él y existirá su inversa. Mediante el comando Solve(y=f(x),x) resolvemos la ecuación y=f(x). Si la solución real que se obtiene es única, esta será la expresión para su inversa; en otro caso, no habrá inversa global, si bien puede haber inversa local. Tener en cuenta que para representar la función inversa en el mismo plano cartesiano que f, intercambiamos la x por la y en la expresión que Derive calcula para la inversa. Comprobar que las pendientes de f y f -1 son recíprocas resulta sencillo una vez obtenida la expresión de f -1. Para ello elegimos arbitrariamente sobre las gráficas de f y f -1 puntos (a,b) y (b,a) respectivamente, sustituimos estos puntos en la expresión de sus derivadas y verificamos la relación pedida.

Finalmente, si f y f -1 son funciones inversas, f(f -1)=x x Dom f x Dom f. Comprobar esto le será sencillo al lector.

-1

, f

-1

(f)=x

3. Repetir los pasos del ejercicio 2 y estudiar la existencia de inversa para cada una de las siguientes funciones de demanda: a) D=30P-1/3

b) D=157.8/P0.3

c) D=32/5-3P/10

4. Representar, si es posible, las gráficas de las siguientes ecuaciones por funciones derivables:

256

ANÁLISIS

a) x2+y2=0

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

b) x2+y2=1

c) x2+y=1

d) x+y2=1

¿En qué puntos la pendiente no está definida? 5. Dadas las ecuaciones a) F(x,y)= x2-y=0

b) F(x,y)=y3-x=0

c) F(x,y)=4x2-3sen y+2xy=0 ( cte)

¿Define la ecuación F(x,y)=0 en cada caso una función implícita y=f(x) en un entorno del punto (0,0)? ¿Y una función implícita x=g(y) en el entorno de dicho punto? Razona en cada caso la respuesta. 6. Dada la ecuación F(x,y)=y3x-y2=0, a) ¿Resulta posible obtener una expresión explícita para y? b) ¿Define la ecuación F(x,y)=0 una función implícita y=f(x) en un entorno del punto (1,1)? c) Calcular y ' (1), y ' ' (1) . d) Obtener el desarrollo de Taylor de y=f(x) hasta los términos de segundo orden en el punto x=1. Utilizar el resultado para estimar f(1.1).

Pasos a seguir: Introducimos en los ejercicios 5 y 6 la función F(x,y) y comprobamos las condiciones del Teorema de la función implícita en el entorno del punto dado. Tener en cuenta que para verificar la no nulidad en un punto (a,b) de la derivada parcial que corresponde a la variable que se considera dependiente, evaluamos la expresión LIM(DIF(F(x,y),variable dependiente),[x,y],[a,b]). Para calcular la derivada de la función implícita y(x), que sabemos viene dada por y' ( x) =- Fx' ( x, y ) / Fy' ( x, y ) , escribimos (-1)*DIF(F(x,y),x)/DIF(F(x,y),y). Para obtener y ' ( a ) bastará con hallar el valor de la expresión anterior que resulta en x=a ó bien con escribir el cociente anterior haciendo uso en el numerador y denominador de la la expresión LIM. Otra opción para el cálculo de y ' ( x ) sería cargar el fichero de utilidades DIF_APPS.MTH que viene con el Derive (Carpeta Math) y utilizar la función IMP_DIF(F(x,y),x,y,1). Si se quiere obtener la derivada en un punto (a,b) escribimos LIM(IMP_DIF(F(x,y),[x,y],[a,b]). Para calcular y ' ' ( x ) , llamando g(x,y) a la expresión y ' ( x ) , se tiene que y' ' ( x) = g ' ( x) + g ' ( y) y' ( x) . Utilizando el comando DIF(G(x,y),x)+DIF(G(x,y),y)*G(x,y) se obtiene y ' ' ( x ) . Una vez obtenidas las expresiones de estas derivadas, generamos la aproximación de Taylor de orden 2. 7. Sea Q=f(L,K)=25KL-K2-2L2 (L y K trabajo y capital respectivamente). a) Calcular la productividad marginal de cada factor.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

257

b) Para un nivel de producción Q=300, hallar la RST (Relación de Sustitución Técnica entre los factores). c) Si la acumulación de capital en el tiempo (t) es K=t-0.2t2 y la de trabajo viene dada por L=t-0.3t2, hallar Q ' (t ) .

Dejamos al lector la resolución de este ejercicio haciendo uso de las herramientas ya explicadas.

A N T W ACTIVIDADES INTERNET (WWW) AC CT TIIV VIID DA AD DE ES SE EEN N IIN N TE ER RN NE ET T ((W W WW W)) Encontramos en Internet numerosas páginas web que incorporan abundante material didáctico y actividades relacionadas con el contenido de este capítulo. Citamos algunas de ellas a continuación, actualizando las denominaciones si fuera necesario.

1. http://www.interactiva.matem.unam.mx/index_flash.html (En español).. Web del Instituto de Matemáticas de la UNAM (México) en relación con un proyecto universitario de enseñanza de las matemáticas asistida por computadora. Resulta de especial interés visualizar en el link Cálculo-Funciones el proceso interactivo de construcción de la composición de funciones y experimentar los cambios que se producen ante variaciones en los parámetros que intervienen. 2. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Funciones_inversas/Indice_funcio nes_inversas.htm (En español).. Página del Ministerio de Educación, Cultura y Deportes que contiene un libro electrónico con temas de matemáticas para su descarga. Entre las unidades didácticas aparecen contenidos relacionados con este capítulo. 3. http://alpha.rec.uabc.mx/matdidac/matematicas/principales/FRAMES2.HTM (En español).. Web que contiene en el apartado de Lecciones sobre Gráficas y Funciones un tutorial sobre funciones inversas. 4. http://cursos.itam.mx/calc2/calcII.html (En español).. En esta página encontrarás ejercicios propuestos relacionados, entre otros, con las funciones abordadas en este capítulo. 5. http://cow.math.temple.edu/~cow/ (En inglés).. Contiene tutoriales on-line con apuntes y test de autoevaluación sobre funciones compuestas, implícitas e inversas en el vínculo Precalculus Book FunctionsFunction Operations.

258

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

6. http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/index.html (En inglés).. Contiene tutoriales on-line sobre diversos temas relacionados con el cálculo diferencial. En concreto, hay uno sobre diferenciación implícita y otro sobre funciones inversas. 7. http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/RealWorld/calctopic1/inverses. html (En inglés).. En esta dirección puedes encontrar varios tutoriales on-line sobre temas de cálculo diferencial. En particular, hay uno sobre funciones inversas.

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

259

ERCICIOS PPROPUEST ROPUESTOOS S EJJERCICIOS

1. Si g(u)=u2+3u+1 y h(x)=x+1, a) Hallar la función compuesta g[h(x)]. b) Si f(x)=5/(x-2)+4(x-2)3, hallar un par de funciones g(u) y h(x) tal que f(x)=g[h(x)]. 2

2

2. Calcular dz/dt siendo z la función siguiente z=1+ e x /1+ e y con x=et , y=e-t. 3. Dada la función F(x,y)=f(u), siendo u =

1 1  , calcular Fx' , Fy' . x y

4. Dadas las funciones z=(x-y)/(x+y), x=ew+r, y=ewr, obtener z w' , zr' . 5. Sea W=f(u), donde u=x2+y2+2z, x=r+s, y=r-s, z=2rs. Calcular las derivadas parciales segundas cruzadas Wrs'' , Wsr'' . ¿Son iguales? 6. Dada w=f(u,v) donde u=x2+2yz, v=y2+2zx, calcular a) wx' , w'y , wz' . b) Primera diferencial de u y de v en función de x, y, z. c) Primera diferencial de w en función de x, y, z. '' 7. Sea la función z=f(x+ay)+g(x-ay) donde a es una constante. Calcular z x' , z 'y , z xx cualesquiera que sean las funciones f y g. '' 8. Demostrar que u=f(v+g(w)) satisface la relación uv' uvw = uw' uvv''

9. Sea f(x,y)=Ln g(u,v) con (u,v)=(x2, exy). Determinar f x' , f xx'' , f xy'' . 10. Sea z=f(u,v), con u=x2+y, v=y-x2. Calcular dz(x,y) en x=1 e y=1, sabiendo que zu' (2,0)=3, zv' (2,0)=-1. 11. La función f C(IR2) permite definir a z como función de las variables x, y, t de acuerdo con la expresión

z=f(x+at, y+bt)

(a,b IR)

260

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

Si denotamos u=x+at, v=y+bt, y sabiendo que f(3,2)=1, f u' (3,2)=5, f v' (3,2)=-3, f uu'' (3,2)= f uv'' (3,2)= f vv'' (3,2)=2, calcular cuando a=2, b=1, a) dz(1,1,1). b) Calcular aproximadamente z(1.1,0.8) ¿Podrías conocer su valor exacto? 12. Sea Q=f(L,K)=10KL-K1/2-L1/2 una función de producción. Suponiendo que L y K son funciones del tiempo t, esto es, K=0.2t+5 y L=5e0.1t, hallar dQ/dt en t=0. 13. La demanda D de aceite de oliva en millones de litros en una cierta región depende del precio P de dicho aceite y del precio P1 de otros aceites. Las demandas marginales vienen dadas por D P' = (5-P1)/3P2, D p' 1 =(5-P1)/3PP1. Se sabe además que el precio del aceite de oliva depende de la cantidad de trabajo (L) empleado y del capital (K) utilizado, siendo P=P(L,K)=1/LK, P1=P1(L,K)=2L/(L+K). ¿Cuál sería la variación en la cantidad demandada de aceite de oliva respecto a los factores de producción empleados para una dotación (L,K)=(2,3)? 14. Si f es una función que expresa cuántos kilos de pescado se pueden comprar con cierta cantidad de dinero, ¿qué representa la función f -1? 15. Dada la función y = f ( x ) = e

x

,

a) Hallar f ' ( x ) . ¿Para qué valores es positiva? ¿Es f(x) biyectiva? ¿Admitirá inversa global? En caso afirmativo, ¿cuál es su expresión? b) ¿Se cumplen las hipótesis del Teorema de la función inversa x Dom f ? 16. Dada la función y=f(x)=x5-x3, a) Estudiar el signo de f ' ( x ). ¿Es biyectiva? ¿Tiene entonces la función inversa global? b) ¿Se verifican las hipótesis del Teorema de la función inversa x Dom f ? Si no fuera así, ¿en qué puntos no se verifican? ¿Permite dicho Teorema establecer alguna conclusión al respecto sobre la existencia de inversa local? c) ¿Podrías saber en cuáles de dichos puntos existe una inversa local y en cuáles no? 17. Probar que la función f(x)=x7+5x5+2x-2 tiene una inversa g. Calcular g ' ( 2) . 18. Sea C=x3-2x2+x (x 0, C 0) la función de costes de una empresa, donde x indica la cantidad producida. a) Representar gráficamente la función de costes y la función de producción x(C). b) ¿Puedes obtener una expresión exacta para x(C)?

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

261

c) Calcular una expresión aproximada para x(C) cerca de C=12. 19. Dada la función y definida implícitamente por xy-ey+ex+1=0, a) ¿Puedes despejar y en función de x? b) Aunque no puedas despejar, ¿puedes calcular sus derivadas y ' ( x ), y ' ' ( x ) ? ¿Qué condición se tiene que verificar para que estén bien definidas? c) Calcular y ' (0), y ' ' (0) . d) Encontrar una expresión explícita aproximada para y(x) en un entorno del origen a través de la fórmula de Taylor. 20. Dada la ecuación x2y+zy2-cos(xy)=0, a) ¿Es posible explicitar y como función de x? b) ¿Podemos afirmar que en un entorno del punto (0,1,1) esta ecuación define a la variable y como función implícita de x, z? c) Calcular sus derivadas parciales en dicho punto. 21. La ecuación F(x,y)=x-y3=0, a) ¿Define a y como función implícita de x? b) En un entorno del (0,0), ¿qué valor toma Fy' ? ¿Se verifican todas las hipótesis de Teorema de la función implícita? c) Por tanto, ¿es posible que una ecuación defina una función implícita sin que se verifique el Teorema? 2

22. Dada la ecuación e xy -2x-4y=a, a) ¿Se puede resolver explícitamente en y? b) Suponiendo que la ecuación define a y como función implícita de x, hallar un valor de la constante a tal que f(0)=1 y calcular y ' (0) . 23. Dada la ecuación F(x,y)=4x2-3a sen y+2xy=0 (a cte.), a) ¿Para qué valores de a se puede asegurar la existencia de la función implícita x=f(y) en un entorno del punto (0,0)? b) ¿Y para qué valores de a se puede asegurar la existencia de la función implícita y=g(x)? 24. Sea f una función con f(x)>0, f ' ( x ) >0 y f ' ' ( x ) 0. a) Si la ecuación f(x)/ f ' ( x ) -x=t define a x implícitamente como función de t, hallar dx/dt y estudiar su signo. b) Demostrar que la elasticidad de f ' ( x ) respecto a t es –t/(t+x).

262

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

25. Dada la ecuación F(x,y,z)=3x2yz-yLnx-3=0, estudiar la existencia de las funciones implícitas x=x(y,z), y=y(x,z), z=z(x,y) en un entorno del punto (1,1,1). 26. Hallar z 'y , z 'yy' para la función z=z(x,y) dada implícitamente por la expresión

y3+2x3+z3-3xyz-2x+3=0. 27. Sabiendo que z=f(x,y) viene dada en forma implícita por la expresión ez+x2y+z+5=0, calcular z xy'' . 28. Dada z=f(x,y) definida implícitamente por la ecuación x+y+z=sen(xyz), calcular dz(0,0). Utiliza la diferencial para escribir una expresión lineal aproximada para z en un entorno del origen. 29. Sea z=f(x,y) dada en forma implícita mediante la ecuación F(x2-y2,y2-z2)=0, calcular z x' , z 'y . 30. Sabiendo que z viene definida implícitamente por la ecuación x2+y2+3z2-2x+2z=0, a) Calcular las derivadas parciales de primer orden en el punto (1,1). '' b) Calcular z xy con los mismos valores.

31. La función z=f(x,y) viene expresada implícitamente por la x2+y2+z2=yF(z/y). Calcular las derivadas parciales de primer orden de z.

igualdad

32. Sea z(x,y) la función implícita definida por y=xf(z)+g(z) siendo f y g funciones suficientemente diferenciables. Calcular las derivadas parciales de z de primer y segundo orden. 33. Sea z=f(x,y) una función dada implícitamente por F(x-z, y-z)=0 donde F es una función de dos variables diferenciable. Calcular las primeras derivadas parciales de z. 34. Sabiendo que la demanda Q de un producto está relacionada con su precio mediante la ecuación QP1/2=38, a) Calcular dQ/dP por derivación implícita. b) Comprobar la respuesta utilizando un método distinto de cálculo de la derivada. 35. Hallar la elasticidad de la demanda con respecto al precio p que se indica en cada caso, utilizando derivación implícita: a) Q2+4P2=160

(P=56)

b) 10P2Q=7

(P=3)

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

c) P+PQ+Q-2=0

E IMPLÍCITAS

263

(P=0.5)

36. La demanda de un bien A como función implícita de los precios PA y PB de dos bienes A y B está definida por la expresión

Q 1A.,5 PA0.,8 PB0.,3 = 50 Hallar la elasticidad de la demanda con respecto al precio del bien A así como la cruzada. 37. Dada la ecuación F(x1,x2,x3)=x1x2x3-x1-x2+x3 =0, en la que las variables representan las cantidades anuales que un consumidor gasta en tres bienes, a) ¿Podemos afirmar que el gasto en el bien 3 es función de las cantidades gastadas en los otros dos bienes en un año en el que el consumidor no adquiere ninguna unidad del bien 2 y gasta 2 u.m. en cada uno de los dos restantes bienes? b) En caso afirmativo, calcular la tasa de variación correspondiente. 38. Sea D=f(x,y) la función de demanda de un bien donde x es el precio del bien e y el precio de otro bien relacionado. Suponiendo que D está implícitamente definida por la ecuación F(D y3x2, x/y)=0 siendo F una función suficientemente diferenciable, a) Obtener las demandas marginales, las elasticidades y su suma.

Si F(u,v)=u-1/v, hallar: b) La cantidad demandada cuando los precios de ambos bienes toman el valor 1. c) Escribir una expresión lineal aproximada para la demanda para precios en un entorno del punto (1,1) y utilízala para aproximar el valor de la demanda cuando x=1 e y=0.9. d) Obtener las elasticidades cuando x=y=1 y clasificar los bienes. 39. Dada la función de utilidad U(x,y)=-1/xy, x,y>0, a) ¿Define U curvas de indiferencia para niveles de utilidad constantes? b) Estudiar el crecimiento de las curvas de indiferencia como funciones de x. c) Demostrar que las curvas de indiferencia son convexas. 40. Sea U(x,y) la función de utilidad de dos bienes siendo x e y las cantidades de ambos bienes respectivamente. a) Calcular la Relación Marginal de Sustitución (RMS) entre ambos bienes. b) ¿Es creciente o decreciente la RMS?

264

ANÁLISIS

c) ¿Cuál es el signo de

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

d2y ? dx 2

d2y >0? dx 2 41. La relación entre la cantidad producida (Q) de un cierto bien y las cantidades de los factores empleadas (x,y) es de la forma d) Geométricamente, ¿qué significa que

Ln Q-

x2 y +1=0, x,y,Q>0 Q

Se sabe que si x=y=1, el nivel de producción es Q=1. a) ¿Define esta ecuación la producción de la empresa como función de los factores productivos cerca de estos niveles de contratación? b) Calcular, si es posible, las productividades marginales de los factores. c) Calcular la Relación de Sustitución Técnica (RST) entre los factores e interpretar el resultado. 42. Las funciones de demanda y oferta de un bien vienen dadas respectivamente por las siguientes funciones:

Qd=-P2+4M1/2+M3

Qs=600P2/3+140P

siendo P el precio del bien y M la renta. Se pide: a) Demostrar que el precio de equilibrio, Pe, es función implícita de la renta en un entorno del punto (P,M)=(1,9). b) Hallar dPe/dM(9). 43. Si la función de producción z viene dada por z2+4x2+5y2-12xy=0, calcular las productividades marginales y estudiar la complementariedad o sustituibilidad de los factores de producción. 44. Sea Q=f(L,K) una función de producción dada implícitamente por la ecuación

⎛ L + 2K Q 2 ⎞ F ⎜⎜ , 2 ⎟⎟ = 0 K ⎠ ⎝ L a) Calcular las productividades marginales de los factores.

Suponiendo que F(u,v)=u-v, b) Teniendo en cuenta solo las productividades marginales, ¿qué factor contrataría? c) Para una dotación (L,K)=(10,10), Q=(300)1/2 , ¿cómo son los factores entre sí?

FUNCIONES COMPUESTAS, INVERSAS

E IMPLÍCITAS

265

d) Estudiar la posible modificación que puede experimentar la producción si para unos niveles de L=5 y K=5, se decide adquirir una unidad adicional de capital y prescindir de una de trabajo. Utilizando este resultado, estimar el valor de Q(4,4). 45. Para una cierta economía se observa que para tres sectores relacionados sus niveles de producción x,y,z respectivamente verifican las siguientes relaciones:

F(x,y,z)=x2+3xy+y2+2z-xyz=11, G(x,y,z)=x2+3xyz+xz3+y=23 a) ¿Se puede afirmar que los niveles de producción de los sectores 1 y 2 dependen del nivel de producción del sector 3 en un entorno del punto (1,2,2)? b) En caso afirmativo, determinar las correspondientes tasas de variación. 46. Supongamos un modelo lineal de oferta y demanda dado por las ecuaciones Qd=a-b(P+T), Q s=c+dP, donde a,b,c,d son constantes positivas, P es el precio por unidad y T un impuesto por unidad a los consumidores. Se pide: a) Expresar la ecuación que determina el precio de equilibrio. b) Sabiendo que la ecuación del apartado a) define implícitamente al precio P como función del impuesto T, calcular dP/dT por derivación implícita e interpretar su signo. ¿Cómo se ve afectado en tal caso el precio (P+T) que paga el consumidor? c) Comprobar el resultado resolviendo la ecuación de equilibrio en P y luego calcular explícitamente dP/dT. d) Considerar ahora que Qd=f(P,T) depende del precio P sin impuestos y del impuesto T, que representa el IVA unitario. Si Qs=g(P) y el precio de equilibrio P depende de T, hallar la expresión y signo de dP/dT suponiendo que la ecuación de equilibrio define implícitamente a P como función de T. 47. Consideremos el siguiente modelo de determinación de la renta nacional para una economía abierta descrito por las tres ecuaciones siguientes:

Y=C+I+X-M, C=f(Y), M=g(Y)

(0< f ' (Y ) 0 por las ecuaciones x(px,py,M)=x(tpx,tpy,tM)

1

En el próximo capítulo abordaremos en detalle el estudio de las técnicas de optimización que permiten resolver este tipo de problemas.

2

Nótese que en este punto se verifica la igualdad entre la pendiente de la restricción presupuestaria (- px/py) y dy . Dicho de otra forma, en ese punto se verifica la igualdad la pendiente de la curva de indiferencia, dx U = cte

entre la relación a la que pueden intercambiarse estos bienes en el mercado (px/py) y la relación de intercambio de ambos bienes (Relación Marginal de Sustitución (RMS)), que en el capítulo anterior veíamos que se definía como RMS= −

dy dx U = cte

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

269 269

y(px,py,M)=y(tpx,tpy,tM) Esta característica que presentan las funciones de demanda es, en términos matemáticos, la de homogeneidad de grado 0 en precios y renta. Veamos un ejemplo concreto. Supongamos que para un consumidor los niveles óptimos de demanda x=dx(px,py,M), y=dy(px,py,M) que maximizan su utilidad vienen expresados por las funciones

x=

0.6M 0.4 M , y= px py

Se observa que dx(2px,2M)=dx(px,M)=x dy(2py ,2M)=dy(py,M)=y es decir, una duplicación de los precios y la renta (de hecho si los multiplicamos por una constante positiva cualquiera) no afecta a los niveles de demanda. Son, pues, homogéneas de grado 0 en precios y renta. No le resultará difícil al lector observar que sucede lo mismo para las siguientes funciones de demanda,

⎛ py x=⎜ 2 ⎜p +p p x y ⎝ x

⎞ ⎛ 1 ⎟M = ⎜ ⎟ ⎜1+ p / p x y ⎠ ⎝

⎞M ⎟ ⎟p ⎠ x

⎛ p y=⎜ 2 x ⎜p +p p x y ⎝ y

⎞ ⎛ 1 ⎟M = ⎜ ⎟ ⎜1+ p / p x y ⎠ ⎝

⎞M ⎟ ⎟p ⎠ y

En general, si extendemos el problema de maximización de la utilidad del individuo a n bienes, los niveles óptimos de demanda vendrán expresados como funciones de los precios p1,…,pn de dichos bienes y de la renta M del consumidor, esto es, x1 =d1(p1,…, pn ,M) x2 =d2(p1,…, pn,M) … xn =dn(p1,…, pn,M)

En términos matemáticos, para cualquier bien i (i=1,…,n) se verifica x i = d i ( tp1 ,..., tpn , tM ) = d i ( p1 ,..., pn , M ) ∀t > 0 por lo que una variación en la misma proporción t (t>0) de los precios y la renta no alterará la cantidad real demandada de los n bienes. Las funciones de demanda individuales son, en consecuencia, homogéneas de grado 0 en precios y renta. En definitiva, una situación de inflación generalizada en la que los precios y la renta aumentan proporcionalmente no afectará a las decisiones de compra de los individuos,

270 270

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

que continuarán demandando la misma cesta de bienes. Evidentemente, la situación sería otra si unos precios subieran más deprisa que otros. Como ya comentamos en la introducción, las funciones homogéneas encuentran también un importante campo de aplicación en las funciones de producción, permitiendo determinar el cambio sistemático en la producción ante cambios proporcionales en los factores utilizados. Analicemos cuál sería el planteamiento en este caso. Ejemplo 5.2: Consideremos una función de producción Q=f(K,L) que establece una relación entre la producción Q de un cierto bien y los factores productivos capital (K) y trabajo (L) contratados para tal fin.

Podemos plantear la siguiente cuestión: ¿cómo responde la producción ante variaciones de ambos factores en la misma proporción? Por ejemplo, si para niveles dados K0, L0 de los factores el nivel de producción es Q0=f(K0,L0) y duplicamos las cantidades de ambos factores (K1=2K0 y L1=2L0), por lo que el nivel de producción es ahora Q1=f(K1,L1), ¿qué relación hay entre Q0 y Q1? ¿Es Q1 necesariamente el doble de Q0?3 Consideremos la siguiente especificación para la función de producción: Q=f(K,L)=28K1/4L2/3

Si duplicamos las cantidades de ambos factores se tiene que f(2K,2L)=28(2K)1/4(2L)2/3=211/1228K1/4L2/3=211/12f(K,L) Dado que 211/122f(K,L)

3

Este experimento conceptual de duplicar los factores o la escala de operaciones le permitió a A. Smith (1776) identificar dos fuerzas en el proceso: por un lado, observar cómo un aumento de la división del trabajo y de la especialización de las funciones da lugar a un aumento en la eficiencia y, por tanto, a un aumento más que proporcional de la producción y, por otro lado, observar la pérdida previsible de eficiencia ante la dificultad en la supervisión conforme aumenta la escala de la empresa. Tratar de analizar cuál de estas tendencias provoca un efecto mayor es en realidad una cuestión empírica.

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

271

por lo que el cambio que se produce en la producción será mayor que el experimentado en los factores. Finalmente, si suponemos que Q=10K1/3L2/3

al duplicar los factores, el nivel de producción es f(2K,2L)=10(2K)1/3 (2L)2/3=23/310K2/3L2/3=2f(K,L) En este caso, la producción experimenta el mismo cambio que los factores. Luego, en general, para una función de producción tipo Cobb-Douglas, Q≡ ≡f(K,L)=AKαLβ (A>0, α y β >0) si modificamos los factores productivos K y L en una misma proporción t>0, podemos escribir f(tK,tL)=A(tK)α(tL)β=Atα+βKαLβ=tα+βf(K,L)

con lo que la producción cambiará en la proporción tα+β. El cambio en la producción con respecto al que experimentan los factores será más que proporcional si α+β >1, menos que proporcional si α+β 0, f(tK,tL)=tmf(K,L)=tmQ

4 Es importante observar que este tipo de análisis de la función de producción es el que se plantea en el largo plazo, cuando se varía la escala de operaciones y modificamos todos los factores en una misma proporción. Ya hemos visto en los capítulos anteriores que en un análisis a corto plazo se analizaría la productividad, es decir, el cambio en la producción cuando se modifica la cuantía de un factor, permaneciendo la de los otros constante.

272 272

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

la producción varía en la proporción tm (m∈IR) . Esta forma de caracterizar el cambio en la producción es la definición, en términos matemáticos, de una función de producción homogénea de grado m. Dependiendo de los valores que tome m (grado de homogeneidad), podemos analizar el cambio resultante en la producción y determinar el tipo de rendimientos a escala que presenta.

GRADO DE

EFECTOS EN LA PRODUCCIÓN

RENDIMIENTOS A

HOMOGENEIDAD

ESCALA

m=1

f(tK,tL)=tf(K,L)=tQ ⎬> tQ  f (tK , tL) = t m f ( K , L) ⎭  < tQ

si t ≥ 1

m>1

⎬< tQ  f (tK , tL) = t m f ( K , L) ⎭  > tQ

si t ≥ 1

m 1 , que presenta, por tanto, rendi3 mientos a escala crecientes. Finalmente, si es homogénea de grado menor que 1 (rendimientos a escala decrecientes), la producción varía en una proporción menor que la del cambio proporcional experimentado por los factores. Sirva como ejemplo la función

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

Q=f(K,L)=28K1/4L2/3, homogénea de grado m =

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

273

11 < 1 , que presenta, en consecuencia, 12

rendimientos a escala decrecientes.

Nota complementaria 5.1: Los rendimientos a escala5 1. En los procesos productivos, la presencia de los rendimientos a escala constantes suele ir ligada a la independencia de dichos procesos y a la existencia de factores productivos divisibles. De hecho, este tipo de rendimientos ocupa un lugar importante en la teoría económica, pues hay razones para esperar que en ciertos casos la función de producción de una industria muestre rendimientos constantes: si toda la producción de una industria se realiza en plantas de un tamaño eficiente, la manera más razonable de duplicar todos los factores sería duplicar el número de plantas. No obstante, este argumento de la "repetición" deja de ser razonable cuando no es posible subdividir un proceso de producción o cuando queremos aumentar la escala en proporciones enteras ¿Cómo hacemos una vez y media lo que hemos hecho antes? Aún así, estas dos situaciones de incumplimiento de los rendimientos constantes son slo importantes cuando la escala de producción es pequeña en relación con la escala mínima de operaciones. 2. La presencia de rendimientos crecientes a escala tiene como causa más importante la existencia de factores productivos indivisibles. Conforme aumenta la escala de operaciones de una empresa, los factores indivisibles como el trabajo especializado y la maquinaria se pueden emplear de forma más eficiente, lo que conduce a un incremento más que proporcional de la producción. De igual forma, si disminuye la escala de operaciones, se produce una disminución más que proporcional en la producción6. 3. En los procesos productivos, la presencia de rendimientos decrecientes va normalmente asociada a procesos no independientes y a la presencia de algún factor fijo, cuyo uso no es posible repetir. Es decir, en algunos procesos ciertos factores tienen que permanecer fijos (o imperfectamente variables). Cuantos más procesos

5

La definición de los rendimientos a escala puede generalizarse fácilmente al caso de una función de producción con n factores productivos. En efecto, consideremos la relación Q=f(x1,…,xn)

Si al multiplicar todos los factores por una constante t>0, f(tx1,…,txn) = tmf(x1,…,xn) = tmQ (m∈IR) la función presenta rendimientos a escala crecientes, decrecientes o constantes según m sea mayor, menor o igual a uno respectivamente. 6 Dada la función Q=f(K,L)=10K2/3L2/3 del Ejemplo 5.2, si disminuye la escala de operaciones, reduciendo a la mitad las cantidades de factores empleados (t=0.5), entonces Q(0.5K,0.5L)=0.4Q, con lo que la disminución en la producción es más que proporcional.

274 274

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

de producción haya en una empresa, más líneas de comunicación habrán de ser supervisadas y más complicado se hace planificar y coordinar la producción. Si además de la previsible pérdida de eficiencia que se ocasiona por la mayor dificultad de supervisión, resulta también imposible repetir el uso de un determinado factor, esta situación deriva en incrementos menos que proporcionales de la producción7. Pensemos también en el caso de una explotación agraria en la que la producción puede depender de la fertilidad del suelo. En tal caso, puede resultar imposible duplicar la superficie sembrada y mantener la fertilidad puesto que la calidad de la nueva tierra puede ser diferente de la ya cultivada. 4. Los distintos tipos de rendimientos a escala que hemos definido son de carácter global, pero es posible que una función de producción presente rendimientos a escala constantes con algunos niveles de utilización de los factores y decrecientes o crecientes con otros8. En cualquier caso, los economistas suelen referirse al grado de rendimientos a escala suponiendo que se considera un intervalo relativamente reducido de variación del uso de los factores y del correspondiente nivel de producción.

Ejemplo 5.3: Analicemos la característica de homogeneidad asociada a la existencia de rendimientos a escala en otra de las funciones habitualmente utilizadas en el análisis económico, la función de producción CES (Elasticidad de Sustitución Constante), cuya especificación es la que sigue9: Q=f(K,L)=A[δK-ρ+(1-δ)L-ρ] -ε/ρ (A>0, 00)

Si hacemos variar los factores en una proporción t>0, podemos escribir f(tK,tL)=A[δ(tK)-ρ+(1-δ)(tL)-ρ] -ε/ρ =tεA[δK-ρ+(1-δ)L-ρ] -ε/ρ =tεf(K,L)

7 También, una disminución de los procesos productivos facilita la planificación y coordinación. Pensemos en la función de producción Q=f(K,L)=28K1/4L2/3 del Ejemplo 5.2. Presenta rendimientos a escala decrecientes, por lo que si disminuye la escala de operaciones, reduciendo a la mitad las cantidades de factores empleados (t=0.5), entonces Q(0.5K,0.5L)=0.53Q, con lo que la disminución en la producción es menos que proporcional. 8

Por ello, una medida útil local de los rendimientos a escala es la elasticidad-escala, que mide la variación porcentual que experimenta el nivel de producción cuando se incrementan todos los factores un uno por ciento. En general si f:IRn →IR es la función de producción y t>0, la elasticidad-escala, E(x) se define como

E( x) =

9

df (tx ) t dt f (tx ) t =1

Véase Arrow, K.J. y otros (1961). En la especificación de la función CES, A es un parámetro de eficiencia, un indicador del estado de la tecnología. Se introduce una ponderación distributiva δ para indicar la importancia relativa de los factores. Por su parte, el parámetro ρ determina el valor de la elasticidad de sustitución (constante) y ε define el rendimiento de la función de producción.

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

275 275

La producción varía en la proporción tε, por lo que podemos afirmar que la función es homogénea de grado ε. En este caso, hablaremos de rendimientos a escala crecientes, decrecientes o constantes si ε >1, ε 0 se verifica (tx,ty)∈ ∈Dom f y f(tx,ty) = tm f(x,y) En otras palabras, una función f(x,y) es homogénea si, dado un cambio proporcional en las variables independientes, la variable dependiente varía según alguna potencia de la proporción de dicho cambio. Análogamente se generaliza esta definición para el caso de n variables 11.

Nota Complementaria 5.2: Sobre la definición la literatura literaturasobre sobre tema se observa que gran de las definiciones sobre la En la el el tema se observa que gran parte parte de la definiciones sobre la homogehomogeneidad de una función carecen sobre de precisión el campo defunción definición de neidad de una función carecen de precisión el camposobre de definición de la y sobre función ydesobre la constante que de proporcionalidad quevariables debe actuar sobre las variables la constante proporcionalidad debe actuar sobre las independientes. -En cuanto al dominio de definición, el concepto de homogeneidad se vuelve más restrictivo cuanto más amplio sea el conjunto de valores que se considera para t, puesto que funciones que cumplan los requerimientos de homogeneidad para

10

En particular, el caso de la homogeneidad de grado 1 para la función Cobb-Douglas es un caso especial de la homogeneidad de grado uno para la función CES. Así, cuando ρ→0, la función CES tiende a la función Cobb-Douglas. La demostración de este resultado puede verse, por ejemplo, en Chiang, A. (1987). 11 En el caso general de una función real de n variables reales (x1,…,xn) se dice que es homogénea de grado m∈IR si ∀(x1,…,xn)∈Dom f y t>0 se verifica

(tx1,…,txn)∈ Dom f y f(tx1,…,txn) = tm f(x1, …,xn)

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EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

un conjunto menor de valores de t pueden dejar de cumplirlos para un conjunto mayor. -En cuanto a la elección de la constante de proporcionalidad t, las posiciones se sitúan en elegir cualquier valor o bien cualquier valor excepto el cero o incluso la consideración únicamente de valores reales positivos. Si consideramos la utilización de este tipo de funciones en el ámbito de las relaciones entre variables económicas, está claro que estas tendrán sentido normalmente solo si las variables toman valores positivos y también lo es la constante de proporcionalidad. Por ello, hemos adoptado en la definición la hipótesis de valores positivos para t.

En virtud de la definición dada, si consideramos valores de t>1, la interpretación del efecto sobre la función de cambios proporcionales en las variables independientes sería la siguiente: a) Si m=0, el valor de la función permanece constante, es decir, f(tx,ty)=f(x,y). b) Si 00 y la curva de nivel en la que se sitúa será f(x,y)=tmc, puesto que

f(tx1,ty1)=tmf(x1,y1)= tmc Ahora bien, ¿cómo podríamos construir otro punto sobre la misma curva de nivel en la que se encuentra el punto A? Para ello bastaría simplemente con dibujar una recta que una el origen con otro punto (x2,y2) de la curva de nivel inicial f(x,y)=c tal y como se observa en el gráfico; las coordenadas del nuevo punto B (tx2,ty2) se hallarán partiendo del valor de t antes calculado. Nótese que los puntos A y B estarán en la misma curva de nivel puesto que f(tx2,ty2)=tmf(x2,y2)=tmc=tmf(x1,y1)=f(tx1,ty1)

De esta forma, podremos hallar cuantos puntos deseemos sobre la nueva curva sin más que repetir el proceso para otras rectas que la corten. En consecuencia, la forma de una función homogénea está determinada por su grado de homogeneidad y por cualquiera de sus curvas de nivel. Es también importante observar que la característica de homogeneidad de grado mayor, menor o igual a uno de una función se refleja geométricamente en la menor, mayor o igual distancia respectivamente que existe entre curvas de nivel sucesivas. En efecto, supongamos que el gráfico anterior representa el conjunto de curvas de nivel para una función homogénea de grado 1. Si denotamos por Q al punto (x1, y1) situado en la curva de nivel f(x,y)=c y elegimos las coordenadas (2x1,2y1) para el punto A, este estará en la curva de nivel f(x,y)=2c; para ambos ___ puntos, _____ que se sitúan en una misma recta que pasa por el origen O, se verifica que OA = 2 OQ . En efecto, cualquier radio que parta del origen en el plano xy cortará a la curva de nivel en puntos en los que el segundo está a doble distancia del origen que el primero. La curva f(x,y)=2c será de la misma forma que f(x,y)=c pero de medida radial doble. Para cualquier otro par de curvas de nivel sucederá lo mismo; cualquier curva de nivel será una proyección de otra cualquiera. Por tanto, podemos concluir que en una función f(x,y) homogénea de grado 1, las curvas de nivel son de la misma forma y varían únicamente en su dimensión radial, de acuerdo con los distintos valores de c. Numéricamente, si en el gráfico anterior Q representa, por ejemplo, el punto (1,1) sobre la curva f(x,y)=10, el A(2,2) se sitúa en la curva f(x,y)=20,

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

281 281

y

A(2,2) f(x,y)=20 Q (1,1) f(x,y)=10 O

x

Ahora bien, si el gráfico representa las curvas de nivel para una función homogénea de grado m mayor que uno, el punto A(2,2) se situaría en la curva f(x,y)=2mc, en nuestro caso, f(x,y)=2m10, siendo 2m>2 por ser m>1. Un gráfico representativo podría ser el siguiente: y

A(2,2) Q (1,1)

f(x,y)=25

f(x,y)=20 f(x,y)=10

O

x

En tal caso, resulta obvio observar que si una función es homogénea de grado mayor que uno, la distancia entre curvas de nivel sucesivas que vayamos dibujando será cada vez menor. Finalmente, si el gráfico representa las curvas de nivel para una función homogénea de grado m menor que uno, el punto A(2,2) se situaría en la curva de nivel f(x,y)=2mc, en nuestro caso, f(x,y)=2m10, siendo 2m0] siendo Q(K,L) homogénea de grado m, las sendas de expansión de H(K,L) (al igual que las de Q(K,L)) son lineales.

⎛ H' ⎞ La razón está en que las isocuantas de H tienen la misma pendiente ⎜⎜ − K' ⎟⎟ que ⎝ HL ⎠ las isocuantas de Q, esto es, −

18

H K' h' (Q )QK' QK' = − = − H L' h' (Q )QL' QL'

Estas condiciones son equivalentes a las que se obtienen para un problema de minimización del coste sujeto a un nivel de producción determinado.

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EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

Por la linealidad de las sendas de expansión de Q tenemos que −

QK' = cte ∀L / K QL'

H K' = cte ∀L / K , lo cual significa que H(K,L) también produce senH L' das de expansión lineales. Por tanto, −

Ejemplo 5.20: Consideremos la función H=h(Q)=Q2 donde Q=AKαLβ . ¿Es H homotética? ¿Genera una senda de expansión lineal?

Está claro que Q es homogénea de grado α+β y que h' (Q ) =2Q>0 ∀Q>0. Por tanto, H(K,L) es homotética. Además, H=Q2=(AKα Lβ)2=A2K2αL2β. La pendiente de las isocuantas de H vendrá dada por −

H K' A 2 2αK 2α −1 L2 β αL = − =− H L' A 2 K 2α 2 βL2 β −1 βK

En consecuencia, la senda de expansión que genera H es lineal. Además de las aplicaciones económicas aquí seleccionadas podrían citarse otras de interés en diversos ámbitos de la Economía, haciendo en cada caso la interpretación apropiada de las variables y resultados.

FUNCIONES

30

HOMOGÉNEAS

305

APPUNTES UNTES DDE E HHIST ISTOORIA RIA:

D LLIIS N M U LLAS RII-STTR DIIS A E LLA DE SD SIIS ÁANÁLISIS NÁ A LA ELY YE SY HOMOGÉNEAS EL DE LA AS EA NE ÉN GÉ OG MO O HO SH ES NE ON CIIO NC UN S FFFUNCIONES AS LA C B ALL MARGINAL NA GIIN RG AR MA DM AD DA VIID CTTIIV ULA DU OD RO PR AP N LLA ÚN GÚ EG SE NS ÓN CIIÓ UC BU DISTRIBUCIÓN SEGÚN PRODUCTIVIDAD A principios de 1890, algunos marginalistas (Clark, Hobson...) se percataron de que la teoría clásica de Ricardo se podía aplicar a todos los factores productivos y no solo a la tierra, lo que hacía posible extender la teoría marginal de la renta y construir sobre esa base una teoría más general de la distribución. A partir de entonces se comenzó a formular, casi simultáneamente por diversos economistas (Clark, Marshall, Edgeworth, Wicksell y Walras...), el análisis de la distribución según la productividad marginal. Todos expresaron en pocos años los principios esenciales de este análisis. Sin embargo, de entre los escritos de la época destaca el ensayo La Coordinación de las Leyes de la Distribución de P.H. Wicksteed, publicado en 1894. Wicksteed trató de impulsar la coordinación del análisis de la distribución por medio del principio marginal y consideraba que la base para una explicación coordinada de la distribución a los factores de producción debía ser el servicio prestado por estos factores. Este problema lo aborda examinando la teoría clásica de la renta residual y demostrando que esta puede ser construida como una teoría de la productividad marginal de las dotaciones de capital y trabajo. Partiendo de esta base, la tarea de Wicksteed sobre la explicación coordinada de la distribución a los factores de producción consistiría en demostrar que cuando todos los factores han recibido remuneración según la tasa medida por su productividad marginal, el producto total queda exactamente "agotado", enteramente distribuido, lo que requiere según él que la función de producción sea tal que un aumento constante de todos los factores eleve el producto en la misma proporción. En otras palabras, el agotamiento del producto requiere la presencia de rendimientos constantes a escala. Si bien Clark (1889) e independientemente Hobson (1891) dieron una demostración verbal a esta proposición, fue Wicksteed el primero en probarla matemáticamente en su ensayo (1894). No obstante, Flux en Economic Jour nal (1894) afirma que la demostración matemática del "teorema de agotamiento del producto" de Wicksteed no es más que una aplicación del teorema del matemático Euler (1707-1783) para funciones homogéneas de grado uno. De todas formas, existe evidencia, según Steedman (1999), para sugerir que Wicksteed era totalmente inconsciente de la existencia del Teorema de Euler antes de leer la revisión de Flux.

306 306

FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS ANÁLISIS DE FUNCIONES EN EDE CONOMÍA Y EMPRESA

Wicksteed afirmaba en su ensayo que los rendimientos constantes son generalmente ciertos: "Si se considera cada tipo de factor como único y separado, es obvio, que un incremento proporcional de todos los factores asegura un incremento proporcional en el output". Esta afirmación le acarreó las críticas de otros colegas economistas, entre ellos, Pareto (1897,1901), Edgeworth (1904,1911) y Chapman (1906), que sostenían que los rendimientos constantes ignoraban la realidad del monopolio, las indivisibilidades de la producción y los diferentes rendimientos a escala que permean al "mundo real". Este hecho le llevó a Wicksteed en sus últimos trabajos a retractarse de su afirmación. Walras (1874) y Wicksell (1901,1902) ofrecieron una solución al dilema de Wicksteed: los rendimientos constantes a escala no necesitan ser asumidos por las funciones de producción; la competencia perfecta asegura que los productores producirán en el punto de coste medio mínimo, esto es, aquel en su función de producción donde hay rendimientos constantes. Por tanto, la posibilidad de incrementar/disminuir los rendimientos a escala puede ser ignorada: la competencia asegura que los rendimientos a escala se mantienen en el equilibrio. En realidad, Wicksteed era consciente de que las situaciones monopolistas, en la que los empresarios consiguen ganancias, son inconsistentes con los rendimientos constantes y, por tanto, la competencia perfecta era una precondición necesaria para su teorema. De lo que él no se percató, y en eso insistieron Walras y Wicksell, era que la competencia perfecta implica rendimientos constantes a escala en el equilibrio. En cierto sentido hay que decir que Wicksteed se sobrepasó a sí mismo o al análisis de su tiempo. La demostración de que las condiciones perfectamente competitivas limitan exactamente los pagos de los factores a sus productos marginales, requería según él un análisis más avanzado del papel y retribución del empresario y de las condiciones de coste de las empresas, análisis del que no disponía Wicksteed en 1894. Esto apenas disminuyó el logro de su ensayo, el cual hasta su nueva edición, por el profesor Robbins, de sus trabajos en la década de 1930, no recibió de los economistas ingleses el aprecio con el que hoy se le estima.

--11992277)) S IIC LLIIP IIO S N D ((11884444(1844-1927) ED EE STTE K CK WH. H.. W PH H PH S:: P AS CA ÁFFIIC RÁ GR OG BBIOGRÁFICAS SB A OTTA NO NOT AS : IIPHILIP WICKSTED Philip H. Wicksteed nace en Leeds, Inglaterra. Hijo de un clérigo unitario, de quien recibe una sólida formación ética, realiza sus estudios en el University College de Londres y en el Manchester New College, obteniendo su licenciatura con medalla de oro en clásicas. Tras su graduación, continúa el ministerio de su padre e inicia un amplio campo de exploraciones teológicas y de escritos en este campo. En 1897 abandona el púlpito y se concentra en la lectura, el estudio y la escritura. Este fue el punto de partida para otras áreas de investigación, en particular, su interés por Dante, que ha contribuido a convertir a Wicksteed en uno de los medievalistas más importantes de su tiempo.

P. H. Wicksteed (1844-1927)

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

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Su interés en la teología y su preocupación por la ética de la moderna sociedad industrial en relación con la desigualdad en materia de salud e ingresos le lleva hacia la mitad de su vida al terreno de la Economía. Aún así, en pocos años publicó algunos trabajos significativos, convirtiéndose en todo un experto de la nueva economía marginalista. Desempeñó una importante labor como profesor de economía en el movimiento de Extensión Universitaria para la educación de adultos e impartió numerosos cursos sobre Aristóteles, Dante, economía, sociología… bajo los auspicios de las universidades de Cambridge, Londres, Manchester y Oxford. Tanto él como Edgeworth fueron más bien economistas de economistas que economistas de estudiantes. Fue además un activo liberal, una figura habitual en las plataformas de reuniones londinenses y un miembro activo del movimiento socialista de su tiempo. Con anterioridad al desarrollo de su teoría de la productividad marginal en el Ensayo sobre la Coordinación de las Leyes de la Distribución (1894), publicó una introducción a la economía matemática de la teoría de la utilidad bajo el título de El Alfabeto de la Ciencia Económica (1888). Aunque este trabajo reflejaba principalmente la influencia de Jevons, la posterior publicación por Wicksteed de El Sentido Común de la Economía Política (1910), muestra el impacto del pensamiento tanto de los austriacos como de Walras y Pareto. Si bien la escuela austriaca ejerció una importante influencia en él, no perteneció a la misma en sentido estricto. Los elementos en el trabajo de Wicksteed que a menudo se identifican con esta escuela han sido el resultado de la elaboración propia de los descubrimientos que hizo del trabajo de Jevons. Bajo la influencia de los austriacos y de Pareto, Wicksteed abandonó el utilitarismo de Jevons y desarrolló sus argumentos en función de las escalas de preferencia. Sus pensamientos sobre la naturaleza de la economía política se anticiparon a las formulaciones luego desarrolladas por L. Robbins en su Ensayo Sobre la Naturaleza y la Significación de la Ciencia Económica (1932), el más destacado tratado de los métodos económicos hasta el advenimiento de la macroeconomía. La referencia de Wicksteed a la "intencionada selección entre las aplicaciones alternativas de los recursos" resonaría también más tarde en la definición de Robbins de la economía.

LLA S Y W .. WICKSTEED, P C S T A ELA RE BR OB SO O SOBRE YO AYO SA NS EN "E D,, "ENSA ED EE STTE KS CK WIIC H P...H S::: P OS CO SIIC ÁS CLLÁ S CLÁSICOS O XTTO EX TE TEXT OS H. 4 9 8 1 , " N Ó I C U B I R T S I D A LLA D Y S E C 894 ISTRIBUCIÓN", 11894 EDE DE SD ES YE ELEYES S LLE A E LLA DDE ND ÓN CIIÓ AC NA DIIN RD OR OO CO COORDINACIÓN LAS DISTRIBUCIÓN, "(...) Al investigar las leyes de distribución ha sido habitual tomar separadamente cada uno de los grandes factores de producción, tales como Tierra, Capital y Trabajo, para examinar las circunstancias bajo las que cada factor coopera en la producción, las consideraciones que actúan sobre las personas que lo controlan y la naturaleza especial del servicio que presta, y a partir de todas esas consideraciones deducir una ley que regule la parte del producto que corresponderá en la distribución a ese factor determinado.

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EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

Ahora bien, en tanto que se siga este método parece imposible coordinar las leyes de distribución y comprobar si las partes que la teoría asigna a los diversos factores cubren o no el producto y son cubiertas por él. Porque para que esto sea posible parece esencial que todas las leyes se expresen en términos comunes (...) Las modernas investigaciones sobre la teoría del valor nos han dado ya la guía que necesitamos. En verdad, la ley del valor de cambio es en sí misma la ley de distribución de los recursos generales de la sociedad (...) Y el valor de cambio de cada bien o servicio, si puede adquirirse, está determinado por el efecto que tendría sobre la satisfacción total de la comunidad el aumento o supresión de un pequeño incremento de dicho bien, permaneciendo constantes todas las otras variables. (...) Podemos considerar la satisfacción disfrutada por la comunidad como un "producto" y los servicios y artículos de consumo como los factores de producción. Cada factor recibe una parte del producto regulada por su eficiencia marginal como productor. (...) Sea el producto especial (P) a distribuir una función (F) de varios factores de producción (A,B,C...). La tasa de participación de dP dP , y su participación total K. cualquier factor, K, será dK dK (...) Parece ahora teóricamente posible abordar la cuestión de la coordinación. Considerando que cada factor es remunerado no por la naturaleza del servicio que presta sino de acuerdo con la tasa marginal a la cual su unidad presta tal servicio, queda saber si a partir de las propiedades de F podemos deducir que dP dP dP C + .... = P A+ B+ dC dA dB dF K define la parte del producto que dK corresponde a cualquier factor K y que cuando cada uno de los factores ha recibido su contribución, el producto total es enteramente distribuido, habremos llevado a cabo nuestro propósito de coordinar las leyes de la distribución.

Si puede demostrarse que

(...) Volviendo a la relación de esta ley con la teoría económica actual, vamos ahora con la parte más exitosamente elaborada de la teoría de la distribución. Me refiero a la teoría de la renta (...) En la exposición de esta ley el producto (P) es considerado como una función de la tierra (L) y del "capital" (C), que recoge el trabajo y todo aquello que es necesario para hacer la tierra productiva. (...) Vamos a investigar la porción de P que corresponde a L y a C dP dP L y C respectivamente, y que su para demostrar que son dL dC suma es P. (...) Consideremos

FUNCIONES

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

HOMOGÉNEAS

pl=F(x)=Producto total por unidad de tierra para valores continuamente crecientes de C:L=c=x. fc(x)=Porción en pl que corresponde a C por unidad de c, para C:L=c=x. fl(x)= Porción en pl que corresponde a la unidad de L para C:L=c=x. (...) Por construcción y definición, xfc(x)+fl(x)=F(x)=pl Ahora ya tenemos que fc(x)= para fc(x)=

dP dC

dpl dp Ldp dpll dp d ( Lp )Ldpl d ( Lp l ) = fcl(x)= = == l =l = para C C dc dC dc dC dC dC d d L L

Puesto que pl es el producto por unidad de L, se deduce que Lpl es el producto total de L, esto es, Lpl=P,

fc(x)=

d ( Lpl ) dP = dC dC

Y lo que queda aún por probar es que fl(x)=

dP . dL

(...) Ahora ya tenemos un sistema perfectamente simétrico de relaciones expresado por: (1) fl(x)+xfc(x)=F(x) (2) φc(x)+xφl(x)=Φ(x)

⎛1⎞ (3) fl(x)= φl ⎛⎜ 1 ⎞⎟ , ó fl ⎜ ⎟ =φl(x) ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎛1⎞ (4) fc(x)= φc ⎛⎜ 1 ⎞⎟ , ó fc ⎜ ⎟ =φc(x) ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ Para valores sucesivos de C:L=c, (xiv.) F(c)=c Φ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝c⎠ Pero F(c) es pl, i.e., el producto de C y L, por unidad de L, cuando C:L=c. Dado que hay c unidades de C por cada unidad de L, el producto por unidad de L será c veces el producto por unidad de C, (xv.) pl= cpc Sustituyendo pl por F(c) en (xiv.), igualando los lados derechos de (xiv.) y (xv.) y multiplicando por (1/c), tenemos

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310 310

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

⎛1⎞ Φ ⎜ ⎟ = pc ⎝c⎠ ⎛1⎞ Pero Φ ⎜ ⎟ es Φ(l), luego Φ(l)=pc ⎝c⎠ dpc , se deduce (para cualesquiera valores de C, dl L y los correspondientes valores de c, l) la siguiente ecuación:

(...) Como φl(l) es

F(c)-c F' (c)=fl(c)=φl(l)=

dpc dpc d [Cpc ] dP = = = L dL dL dl d C

Y puesto que esta es la parte que corresponde a la tierra, la porción dP para L unidades será L. dL La otra proposición crucial dP dP C=P L+ dC dL

se deduce rápidamente. Considerando F el punto de partida, fl(c)+cfc(c)=F(c)=pl

ó

dP C dP = pl L+ dL L dC

Multiplicando por L se obtiene dP dP C = Lpl = P " L+ dC dL

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

311 311

P ÁCTICAS DDE E ININFORMÁTICA FORMÁTICA: PRRÁCTICAS IIV N R P E VE R ER DE ND OCON CO SC AS CA CTTIIC ÁC RÁ P PRÁCTICAS DERIVE 1. Representar gráficamente las siguientes funciones y sus curvas de nivel f(x,y)=c para valores de c=0,1,2,…,10. Observar la propiedad geométrica que caracteriza a las funciones homogéneas en cada caso.

a) f ( x, y ) =

x3 + y3 x2 + y 2

d) f ( x, y ) = x 2 e x / y g) f ( x, y ) =

x2 y2 2x 4 + 3 y 4

b) f ( x, y ) = xy

c) f ( x, y ) =

e) f ( x, y ) = 2 x + y f) f ( x, y ) = h) f ( x, y ) =

x2 y3 x− y x+ 3

y

x −3 y

1 x+ y

Pasos a seguir: Tras introducir en la ventana de álgebra la expresión de cada función, la seleccionamos y elegimos el comando Ventana→Nueva Ventana 3D o el botón . Tal y como se explicó en el Capítulo 3, las curvas de nivel se podrán obtener de una sola vez si editamos la expresión de la función, por ejemplo, z=(x^3+y^3)/(x^2+y^2), y elegimos en el menú la opción Cálculo →Vector. En el cuadro que aparece se especifica para la variable z en Valor Inicial la constante menor de todas las curvas de nivel que se quiere representar (en este caso 0); en Valor Final, la constante mayor (en este caso 10); en Salto la diferencia entre dos constantes consecutivas (en este caso 1). Con el comando Simplificar aparecerá en la ventana de álgebra un vector con todas las curvas de nivel. Otra alternativa a todo el proceso anterior es utilizar el comando VECTOR seguido, utilizando el ejemplo citado, por la expresión (z=(x∧3+y∧3)/(x^2+y^2),z,0,10,1). A continuación con el comando Simplificar→Expandir se obtiene la expresión para las curvas de nivel de la función. Seleccionando la expresión obtenida y eligiendo la opción Ventana→Nueva Ventana 2D→Representar, se pueden visualizar las curvas de nivel en diferentes colores. A fin de observar la propiedad geométrica de las funciones homogéneas hemos de recordar que si, en general, una función es homogénea de grado mayor, igual o menor que 1, la distancia entre curvas de nivel sucesivas será cada vez menor, igual o mayor respectivamente.

312 312

FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS ANÁLISIS DE FUNCIONES EN EDE CONOMÍA Y EMPRESA

2. Sea la función z = f ( x, y ) =

xy .

a) Trazar las curvas de nivel para z=2 y z=4. ¿Tiene esta última una dimensión radial doble que la anterior? b) ¿Qué característica tienen los puntos (3/4, 1/3), (3/2, 2/3), (3, 4/3)? ¿Conociendo la curva de nivel que corresponde a uno de los puntos podrías conocer las curvas de nivel para los dos restantes? c) Considerando la homogeneidad de la función, obtener la curva de nivel que pasa por el punto (3/2, 3/2) y construir otros puntos sobre la misma curva. d) Calcular las derivadas parciales y comprobar el Teorema de Euler. '' e) Calcular el valor de la expresión x 2 z xx'' + 2 xyz xy'' + y 2 z yy . Comprobar el resultado.

3. Considerar la siguiente función de producción Q = f ( K , L) = 10 L1 / 2 K 1 / 2 . a) Visualizar la función y representar sus curvas de nivel. Estudiar sus características. ¿Qué propiedad puedes atribuir a la función? b) ¿Cuál es la isocuanta correspondiente a Q=50? ¿Y a Q=100? Represéntalas gráficamente. c) Obtener las funciones de productividad marginal e interpretar su signo. Comprobar que se verifica el Teorema de Euler. ¿Se distribuye el producto total entre los factores de acuerdo con su participación? d) Calcular la RST (K por L) e interpretar el resultado. ¿Variaciones proporcionales en ambos factores alterarían su valor? ¿Sería homotética la función? e) Calcular las elasticidades respecto a los factores y obtener su suma. ¿Qué conclusión se puede establecer? f) ¿Cómo variaría el mapa de isocuantas correspondientes a la producción si la función mostrara rendimientos crecientes a escala (Q=10K2/3L2/3) o rendimientos decrecientes (Q=10K1/3L2/3)?

Pasos a seguir: En los dos ejercicios que se proponen has de tener en cuenta los comandos para definir y representar gráficamente una función así como para obtener sus curvas de nivel. Se hace hincapié en los aspectos geométricos de las funciones homogéneas explicados en el Epígrafe 5.2b) de este capítulo y en el cálculo de expresiones y propiedades para funciones homogéneas que consideran las derivadas parciales de la función. Basta con recordar que en su cálculo has de utilizar el comando Cálculo→Derivar de la barra de menús.

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

313

ACTIVIDADES EN INTERNET (WWW) Citamos a continuación algunas direcciones web de interés sobre el tema aquí tratado. Las denominaciones habrán de ser actualizadas, si fuera necesario.

1. http://cepa.newschool.edu/het/essays/product/returns.htm#homothetic (En inglés). Web que incorpora material de interés sobre el concepto de homogeneidad y sus propiedades, los rendimientos a escala (su clasificación, justificación y caracterización), el Teorema de Euler, su conexión con la teoría de la distribución de la productividad marginal, la homoteticidad y sus aplicaciones en Economía, las funciones de producción intensivas, la función de producción Cobb-Douglas... así como interesantes aspectos y referencias históricas sobre el tema. 2. http://www.depeco.econo.unlp.edu.ar/catedras/micro2/pdfs/escala.pdf (En español). En esta página se aborda el comportamiento de los costos de producción ante la presencia de rendimientos a escala en una función de producción. 3. http://tita.emp.uva.es/inf_acad/hermer/mate1/ (En español). Web en la que puedes encontrar ejercicios tipo test (enunciados y soluciones) de varios temas relacionados con el cálculo diferencial, entre ellos, sobre funciones homogéneas. 4. http://www.ucm.es/BUCM/cee/econhis/W/9902/02100266_16.htm (En español). Esta dirección te remite a la revista Cuadernos deEconomía, 1983; 11 (31) en la que encontrarás el artículo "Las funciones homogéneas y sus características de mayor relevancia en su utilización como instrumentos de modelización de ciertos tipos de relaciones entre variables económicas", de Antonio Alegre Escolano. 5. En Internet puedes acceder a diversas publicaciones y artículos de carácter científico cuyos autores utilizan en sus razonamientos las funciones homogéneas y sus propiedades y las aplican en determinadas áreas. En nuestro ámbito, la Economía, hay muchos. Intenta encontrar algunos.

314 314

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

EJJERCICIOS ERCICIOS PPROPUEST ROPUESTOOS S:

1. Dadas las siguientes funciones, demostrar si son o no homogéneas y, en caso de serlo, ratificarlo por el Teorema de Euler: a) f ( x, y ) =

x3 + y3 x2 + y2

b) f ( x, y ) = ax 2 + 2hxy + by 2

c) f ( x, y ) = y n f ( y / x) + x n g ( x / y )

d) f ( x, y ) = Lnx + Lny

e) f ( x, y ) = 6 Ln3−2 x − Ln 4 −5 y

f) f ( x, y ) = x 2 y 5 e x − y

x+ y

g) f ( x, y ) = i) f ( x, y ) =

x+ y x+ y xy Ln

k) f ( x, y ) = xe x

2

x2 + y2 xy

+ y2

⎛ x − y ⎞ x2 + y2 ⎟⎟ h) f (x, y)=cos ⎜⎜ ⎝x+ y⎠ y x

j) f ( x, y ) = x + y arctg ( y / x) l) f ( x, y ) =

x2 y3 x− y

2. Si una función f(x,y) es homogénea de grado m y está definida en el punto (0,0), entonces, ¿qué valor toma la función en ese punto? 3. La función ⎧ f ( x, y ) = ( x − y ) /( x 2 + y 2 ) ( x, y ) ≠ (0,0) g ( x, y ) = ⎨ a ( x, y ) = (0,0) ⎩ ¿Es homogénea? ¿Qué valor debe tomar a para que g sea homogénea?

4. Determinar el valor de la expresión xz x' + yz 'y siendo a) z=x2y6 b) z=4ysenx 5. Sea (z(x,y))a=y-n(xn+xyn-1), se pide: a) Estudiar su homogeneidad, calculando en su caso su grado.

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

315

b) Calcular z 'x . ¿Es homogénea? c) Determinar el valor de la expresión xz x' + yz 'y . 6. Sea z=axαyβ (a,α,β constantes), se pide: a) Encontrar la relación que ha de existir entre dichas constantes para que z(x,y) sea homogénea. b) Ídem para que z(x,y) sea linealmente homogénea. c) Aplicar, si es posible, el Teorema de Euler en ambos casos. '' '' d) Demostrar que x 2 z xx + 2 xyz xy + y 2 z 'yy' = (α + β )(α + β − 1) z

7. Dada la función f ( x, y ) =

x2 y2 +x+ , se pide: y x+ y

a) Demostrar que es homogénea de dos maneras diferentes. b) Mediante el Teorema de Euler hallar a y b para que se verifique: x 2 f xx'' + axyf xy'' + by 2 f yy'' = 0 x, y ) y= 8. Dada una función homogénea f(x,y). ¿Es posible que f x' ( x, y ) = 4 xyf x' ( xy, y ) =f y'4(xy =f 6y' (xx4, +y )3=y 36+x 42+xy3?y 3Razona + 2 xy ?laRazona respuesta. la respuesta.

9. Para las funciones del Ejercicio 1 que sean homogéneas de grado 1, se pide: a) Expresar dichas funciones en la forma f(x,y)=xF(y/x). b) Partiendo de la expresión obtenida en a), calcular f x' , f y' . c) Comprobar el Teorema de Euler. d) Expresar las derivadas parciales directas de segundo orden en función de la derivada cruzada de segundo orden. 10. Sabiendo que f es una función homogénea de grado 1/3 y que f(2,4)=6, calcular: a) f(1/2,1) b) f x' (1,2) + 2 f y' (1,2) c) Si además f x' (1,2) = 1 , calcular f xx' ' (1,2) + 2 f xy' ' (1,2) '' 11. Sabiendo que h(u,v) es homogénea de grado 3 y que huu (1,1)=6 y hu' (1,1)=7, '' hallar huv (4,4).

316 316

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

12. Sea f:IR2→ IR una función homogénea de grado 2 con derivadas parciales de primer orden continuas. Consideremos la función compuesta h(x,y)=f(u,v) donde (u,v)= 8,14,) f=v' (18, ,4f v)' (= 8,42). =Calcular 2 . Calcular =g(x,y)=(x3, x2y). Sabiendo que f u' (8,f4u)' (= a) hx' ( 2,1), h 'y ( 2,1) b) h(2,1) 13. Sea la función g(u,v)=f(x,y) y f homogénea de grado 3 con derivadas parciales '' continuas con x=u+v e y=uv2. Se sabe que f xx' ' ( 2,1) = f yy ( 2,1) = f xy' ' ( 2,1) = '' (' '2(,12),1=) =f yy 2,1) = f xy' ' ( 2,1) = f yx ( 2,1) = 1 . Calcular =f xx' f' yx 1' ' .(Calcular a) f(2,1), f x' ( 2,1) , f y' ( 2,1) ) '' b) g vu (1,1)

14. Demostrar que si en f(u,v), u y v son funciones homogéneas de grado n en x e y se verifica xf x' + yf y' = n (uf u' + vf v' )

15. Verificar que la función u ( x, y, z ) = x 3 sen

x2 + y2 satisface xu x' + yu 'y + zu z' = 3u . z2

16. Sea z=f(x1,…,xn) una función homogénea de grado m. Demostrar que ⎛x x x a) z = x1m F ⎜⎜ 2 , 3 ,..., n x1 ⎝ x1 x1 n

b)

∑x i =1

i

⎞ ⎟⎟ ⎠

∂z = mz ∂xi

17. Siendo z una función homogénea de grado 1 en x1,…,xn, demostrar que ∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2z 1⎛ ⎜ = − x + x + + x ... 2 3 n ∂x12 x1 ⎜⎝ ∂x1∂x2 ∂x1∂x3 ∂x1∂xn

⎞ ⎟⎟ ⎠

y que se obtienen expresiones análogas para las otras derivadas parciales de segundo orden.

⎛ x2 + y2 z ⎞ 18. Sea z una función implícita de x e y mediante la ecuación f ⎜⎜ , 2 ⎟⎟ = 0 , 2 x ⎠ ⎝ x demostrar que z es homogénea cualquiera que sea f y calcular su grado.

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

317

⎛x+a z ⎞ ⎟⎟ = 0 , hallar utilizan19. Dada z(x,y) definida implícitamente mediante F ⎜⎜ , ⎝ y y+b⎠ do el Teorema de Euler los valores de a y b para que z sea homogénea.

20. Sabiendo que para un individuo cuya función de utilidad para dos bienes X e Y tiene la forma Cobb-Douglas U(x,y)=xαyβ, las funciones de demanda son x=αM/px, y=βM/py siendo px, py, M los precios y la renta respectivamente, se pide: a) Caracterizar de dos formas alternativas el cambio que experimentan las funciones de demanda ante variaciones en una misma proporción de sus variables explicativas. b) Calcular el valor de la suma de las elasticidades que implica cada función (sin calcular derivadas parciales) y establecer una conclusión al respecto. 21. Dada la función de producción V=TKLn(K/T) siendo V, K, T respectivamente producción, trabajo y capital, estudiar de dos formas diferentes cuál sería el efecto sobre el nivel de producción de un cambio proporcional en los factores productivos. 22. Estudiar para la función C(K,L)=Kaf(L/K) (a cte.) el cambio que experimenta el nivel de costes C ante variaciones proporcionales en los factores productivos K y L, considerando en el razonamiento la utilización de las funciones de coste marginal. 23. La función de demanda para un cierto bien es Q=aPbMcRd, donde P es el precio del bien, M la renta y R el precio de otros bienes. a) ¿Cómo se puede caracterizar el cambio que experimenta la demanda ante variaciones en las variables de las que depende? ¿Qué propiedad puedes entonces atribuir a esta función? b) ¿Cómo indican los exponentes en términos de las elasticidades que esto es así? 24. Sea D ( P, P1 , P2 , M ) =

P1 + M ( P, P1 , P2 , M > 0) la función de demanda de un 2 P2 + P

individuo para un cierto bien donde P representa el precio del bien, P1 y P2 los precios de dos bienes relacionados y M la renta de la que dispone:

a) ¿Es cierto en este caso que ante variaciones proporcionales en todas las variables explicativas la demanda responde en la misma proporción? b) Sabiendo que D P' 2 ( 2,3,1,1) = −1 / 2 , se pide calcular el valor de la expresión '' '' 2 D PP (2,3,1,1) + 3D P''1P2 ( 2,3,1,1) + D P''2 P2 ( 2,3,1,1) + D MP (2,3,1,1) 2 2

c) Obtener el valor de la suma de las elasticidades de la demanda con respecto a todos los precios y la renta y establecer una conclusión al respecto.

318 318

FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS ANÁLISIS DE FUNCIONES EN EDE CONOMÍA Y EMPRESA

25. Un consumidor en un mercado de dos bienes tiene una función de utilidad U(x1,x2) homogénea de grado 3/2. Cuando consume 3 unidades de x1 y 2 unidades de x2 la utilidad que obtiene es 10. Se pide: a) Hallar el nivel de utilidad que obtiene si consume 12 unidades de x1 y 8 de x2. b) Calcular el valor de la expresión 6

∂U ∂U (6,4) + 4 (6,4) ∂x1 ∂x 2

26. Sea U(x1,x2,x3) una función de utilidad con derivadas parciales continuas que verifica 3

∑x i =1

i

∂U = a ∀xi > 0, i = 1,2,3 ∂xi

para una constante a. Demostrar que la función V ( x1 , x2 , x3 ) = U ( x1 , x2 , x3 ) − V − aLn x2 homogénea x 2 + x30.) es homogénea de grado 0. ( x1 , (xx2 1, x+3 )x 2=+Ux(3x)1 ,es , x3 ) − aLn ( xde 1 + grado

27. Dada la función de utilidad Cobb-Douglas U(x,y)=xαyβ (α, β constantes positivas), se pide: a) Calcular la RMS entre los dos bienes. b) ¿Depende este resultado de que α+β=1? ¿Tiene esta suma alguna relevancia para la teoría de la elección? c) Supongamos que una persona sólo obtiene utilidad de las cantidades x e y que son superiores a los niveles mínimos de subsistencia dados por x0, y0. En este caso, U(x,y)=(x-x0)α(y-y0)β . ¿Es homotética esta función? 28. Dada la función de utilidad α

xδ

δ

+β

yδ

δ

(δ ≠ 0)

a) ¿Es homogénea? ¿Es homotética? b) ¿Cómo depende la RMS del cociente y/x? c) ¿Cómo es la RMS para valores de δ AB ) , se

pide:

a) Estudiar la homogeneidad de la función. b) Demostrar que los productos medio y marginal de los factores dependen solo de la razón de las cantidades empleadas. 31. Sea Q=g(K,L) homogénea de grado 2. Se pide: a) Escribir una ecuación que exprese la propiedad de homogeneidad de segundo grado de la función. b) Hallar una expresión para Q en términos de F(k) siendo k≡K/L. c) Calcular la productividad marginal del capital. ¿Es función de k? d) ¿La función de productividad marginal del capital es homogénea en K y L? Si lo es, ¿de qué grado? 32. Deducir, a partir del Teorema de Euler, que para una función de producción con dos factores L y K que presente rendimientos constantes a escala, a) Cuando QMg/K=0, QMe/L es igual a QMg/L b) Cuando QMg/L=0, QMe/K es igual a QMg/K. ⎛ L + 2K Q 2 ⎞ 33. Sea Q=f(K,L) una función de producción dada implícitamente por F ⎜⎜ , 2 ⎟⎟ = 0 . K ⎠ ⎝ L ⎛ L + 2K Q 2 ⎞ F ⎜⎜ , 2 ⎟⎟ = 0 . L Kle ⎠afecta al nivel de producción Q un cambio proporcional en los ⎝a) ¿Cómo factores productivos K y L?

b) Calcular la suma de las elasticidades de la producción respecto a los factores productivos. ¿Podemos decir algo sobre el tipo de rendimientos a escala de la función? 34. Dada la función de producción Q(K,L)=βLαf(Kβ/Lβ) (α, β y B constantes, L y K factores productivos), se pide:

320 320

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

a) Hallar, mediante el Teorema de Euler, la relación entre α y β para que Q sea homogénea cualquiera que sea la función f. b) Razonar qué tipo de rendimientos a escala presenta Q. ⎛ Kb 35. Sea Q(K,L)= 2 K a f ⎜⎜ c ⎝ L tivos no nulos. Se pide:

⎞ ⎟⎟ una función de producción con parámetros a, b y c posi⎠

a) Hallar, mediante el Teorema de Euler, la relación entre los parámetros a, b y c para que la función sea homogénea de grado 4 cualquiera que sea f. b) Calcular el valor de los parámetros para que ante cambios proporcionales de los factores productivos, la productividad marginal del trabajo experimente variaciones menos que proporcionales. c) Si la función de producción es homogénea de grado 4 y para una dotación de factores (K 0,L0)=(2,8) la producción es de 10 unidades, calcular cuál sería el nivel de producción para una dotación (K1,L1)=(4,16). 36. Dada una función de producción de la forma Q = β 0 + β 1 KL + β 2 K + β 3 L (0 ≤ β i ≤ 1) (i = 0,...,3) Se pide:

a) ¿Qué condiciones deben verificar los parámetros β0,…,β3 para que la función presente rendimientos constantes a escala? b) Demostrar que en el caso de rendimientos constantes a escala, las productividades marginales de los factores son decrecientes y homogéneas de grado cero. 37. Dada la función de producción Cobb-Douglas Q=AKαLβ (A,α,β>0), siendo L y K los factores productivos trabajo y capital respectivamente, se pide: a) Demostrar que es homogénea mediante el Teorema de Euler. b) ¿Podemos afirmar que la función posee rendimientos a escala constantes si la suma de las elasticidades es igual a 1? c) En general, en una función tipo Cobb-Douglas, ¿podemos deducir el tipo de rendimientos a escala basándonos en la suma de las elasticidades? d) ¿Se podría generalizar el enunciado anterior a una función homogénea cualquiera? ¿Y a una función cualquiera no homogénea? e) En el caso α+β=1, expresar los productos medios y las productividades marginales en términos unitarios.

FUNCIONES

HOMOGÉNEAS

IV. FUNCIONES HOMOGÉNEAS

321 321

f) Utilizar el resultado del apartado e) para mostrar que la RST de una función de producción de rendimientos constantes a escala solo depende del cociente entre los factores pero no de la escala de producción. g) En términos generales, demostrar que la RST de cualquier función homogénea es independiente de la escala de operaciones. ¿Qué podemos decir de la homoteticidad de la función? 38. Dada la versión modificada de la función de producción Cobb-Douglas Q ( K , L ) = AK a Lb e cK / L (A, a, b, c constantes positivas) siendo L y K los factores productivos trabajo y capital respectivamente, se pide:

a) En la expresión dada tomar logaritmo neperiano y, a partir de la ecuación que resulta, derivar implícitamente y probar que KQK' + LQL' = Q ( K , L )( a + b) . b) Estudiar e interpretar económicamente el efecto de un cambio proporcional en los factores productivos sobre el nivel de producción. c) Hallar las funciones de productividad marginal y estudiar su signo. ¿Qué dominio sería el adecuado para la función de producción? d) Si los factores productivos varían en una misma proporción, ¿qué propiedad se puede atribuir a las funciones de productividad marginal calculadas en el apartado c)? ¿Bajo qué circunstancias un cambio proporcional en los factores productivos dejaría inalteradas dichas funciones? 39. Sea la función de producción Q=f(L,K)=αL+gK-αLe-αK/L (α>0). a) ¿Presenta rendimientos a escala? ¿De qué tipo? Justifica económicamente el resultado. b) Expresar las funciones de productividad marginal en función de la relación K/L y obtener la RST. c) ¿Es cierto, según el Teorema de Euler, que en tal situación la producción se distribuye totalmente entre los factores productivos de acuerdo con la contribución de cada factor a la producción? ¿Por qué? 40. Dada la función de producción Q = f ( L, K ) = 3K 2 α Lα / 2

Le − L / K + K , se pide: L+K

a) Estudiar e interpretar económicamente el efecto sobre el nivel de producción Q de un cambio proporcional en los factores productivos L y K. b) Determinar el valor de α para el cual la producción varía en la misma proporción que los factores productivos.

322 322

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

c) Para el valor de α del apartado b) hallar las funciones de productividad marginal. ¿Cómo interpretarías el hecho de que para una dotación de factores (L0, K0) ambas funciones fuesen negativas? ¿Y que las derivadas parciales cruzadas sean positivas? d) Las funciones de productividad marginal calculadas, ¿son homogéneas? Si lo son, ¿cuál es su grado y qué interpretación económica darías a esta circunstancia? e) ¿Podríamos afirmar que la función de producción posee rendimientos a escala constantes si la suma de las elasticidades de cada factor es igual a 1? Razonar la respuesta. 41. Sea H=eQ con Q=AKαLβ siendo Q una función de producción. a) ¿Es H homotética? ¿Y homogénea? b) ¿Cuál es la pendiente de las isocuantas de H? ¿Genera entonces una trayectoria de expansión lineal?

PARTE III: TEORÍA CLÁSICA DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA

6 Introducción a la optimización matemática. Optimización clásica libre 6.1 EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN Optimización es cualquier proceso genérico por el cual se produce la mejor solución a un problema dado (óptimo viene del latín, optimus, que significa mejor). Podemos decir que la optimización ha estado siempre ligada al comportamiento humano pues, por su propia naturaleza, el hombre invariablemente ha buscado lo mejor en casi todos los segmentos de su actividad. De hecho, la optimización caracteriza la manera en que nos enfrentamos a situaciones cotidianas conflictivas en las que deseamos escoger la opción más apropiada o beneficiosa. Precisamente, cuando en nuestro comportamiento optimizador perseguimos fines múltiples y los medios disponibles para alcanzarlos son limitados, se plantea la necesidad de elegir. Es en estas circunstancias cuando surge el problema económico1; de ahí que una de las más populares (aunque excesivamente simplificada) definiciones de la Economía se refiera a la "asignación óptima de recursos escasos", estableciendo una clara relación entre Optimización y Economía. En ocasiones, es posible formalizar matemáticamente los problemas de optimización, traduciendo las acciones en variables, los objetivos en funciones y los medios disponibles en restricciones. El análisis y resolución de tales problemas matemáticos es el objeto de la disciplina denominada Optimización Matemática, que comprende un amplio conjunto de

1

Robbins (1980).

— 325 —

326

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

técnicas encaminadas a la obtención de valores adecuados para las variables de decisión que permitan satisfacer el objetivo deseado. Desde este punto de vista, las herramientas propias de la Optimización Matemática han demostrado ser fundamentales en el desarrollo de las Ciencias Económicas y Empresariales, pues han desempeñado un papel primordial en la formalización de problemas básicos en el Análisis Económico como es la asignación eficiente de recursos escasos entre fines alternativos. En este contexto se supone la racionalidad como característica principal de la toma de decisiones. Así, el “axioma de racionalidad” asegura que los agentes económicos tienen preferencias consistentes y bien especificadas en virtud de las cuales eligen sus acciones para obtener el mejor resultado posible, mostrando por tanto su conducta un carácter esencialmente optimizador. Este comportamiento racional u optimizador supone, en definitiva, buscar la más eficiente de entre todas las asignaciones posibles de recursos, lo cual conduce a resolver problemas de optimización, como los que encontramos típicamente en la teoría del consumidor (maximización de la utilidad) y de la empresa (maximización del beneficio, minimización del coste). Por ello, en una formación de carácter económico-empresarial no pueden faltar las técnicas de optimización apropiadas para el tratamiento de tales problemas. En el presente y siguiente capítulos abordaremos una parte de tales técnicas, concretamente las encuadradas dentro de lo que se ha convenido en llamar Optimización Clásica por extenderse su origen tan atrás en el tiempo como el propio análisis matemático. Otro tipo de técnicas encaminadas a la resolución de problemas quizá más realistas han surgido desde mediados del siglo XX, siendo su repercusión notable para todas las ciencias, pero su tratamiento no se llevará a cabo en este Manual.

6.1.a Breve aproximación histórica a la Optimización Matemática La Optimización Matemática se encuadra en la actualidad en un área moderna de las Matemáticas que se denomina Investigación Operativa, disciplina que surgió a partir de la segunda guerra mundial a raíz del interés que planteaba la utilización de métodos matemáticos en las operaciones militares. Se trata de un área extremadamente amplia, pues trata un sinfín de problemas relacionados de un modo u otro con la búsqueda de lo mejor, empleando enfoques diversos en la resolución de los mismos. Sin embargo, el origen de la Optimización Matemática se remonta a épocas muy anteriores, siendo posible el tratamiento sistemático de tales problemas con el nacimiento del Análisis Matemático2. Por ello, atendiendo a razones históricas, numerosos autores siguen considerando las técnicas

2

Un repaso histórico bastante amplio se puede ver en Meneu y otros (1999).

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

327

de optimización clásica englobadas en el Análisis Matemático, reservándose la Investigación Operativa el mérito de las técnicas de optimización más contemporáneas. Al parecer, el problema de optimización más antiguo conocido, que data del siglo V a.C., consiste en encontrar de entre todas las curvas planas cerradas del mismo perímetro, aquella que abarca mayor superficie, cuyo origen se remonta, a su vez, más atrás en el tiempo. La formalización de este tipo de problemas y su resolución por procedimientos analíticos tuvo que esperar hasta el siglo XVII, con el nacimiento del cálculo diferencial, dando lugar a lo que hoy conocemos como Optimización Clásica. En el siglo XVIII se realizaron aportaciones de especial relevancia, como la que permite resolver problemas con restricciones de igualdad, debida a Lagrange. A finales del siglo XIX la teoría de optimización parecía que no daba más de sí, pero más tarde, en 1939, el matemático ruso L.V. Kantorovich, galardonado junto a T.C. Koopmans con el premio Nobel de Economía en 1975, relacionó los problemas de planificación de la producción con la búsqueda de extremos de determinadas funciones. Aunque su trabajo pasó inadvertido en occidente durante algunos años, en sus investigaciones se encuentran las bases de lo que posteriormente se llamaría programación lineal. En 1947 G.B. Dantzig desarrolló el método del Simplex para resolver eficientemente los problemas de Programación Lineal, la cual comenzó a cobrar importancia más allá del área exclusivamente militar, recibiendo la atención de economistas, matemáticos e instituciones gubernamentales. Con el tiempo, la sucesiva incorporación de nuevos algoritmos y técnicas de resolución de problemas y el desarrollo de las nuevas tecnologías informáticas que facilitan en gran medida los cálculos y las simulaciones han logrado dotar a la Investigación Operativa de gran aplicabilidad en infinidad de áreas, teniendo los métodos que esta incluye como denominador común la toma de decisiones óptimas, en una palabra, la optimización.

6.1.b Clasificación de los problemas de Optimización Matemática Las técnicas de Optimización Matemática admiten distintas clasificaciones atendiendo a las características del problema, que se refieren, entre otras, a los valores que pueden tomar las variables o los tipos de funciones que aparecen en el modelo. Sin ánimo de ser exhaustivos, estableceremos una primera clasificación que resulta fundamental en el ámbito económico en función de la inclusión o no en el modelo de una variable temporal. La optimización estática analiza modelos en un instante temporal dado, en tanto que la optimización dinámica trabaja con variables de decisión que dependen del tiempo. Dentro de la optimización estática, y dependiendo del número de objetivos a optimizar, se distingue entre optimización escalar (un único objetivo, digamos maximizar el beneficio de una empresa) y optimización vectorial o multiobjetivo (varios objetivos, generalmente contrapuestos, por ejemplo, maximizar el beneficio y minimizar el número de horas trabajadas). Cuando existen varios agentes decisores cuyos intereses pueden entrar en conflicto las técnicas empleadas pertenecen a la denominada Teoría de Juegos. La optimización diná-

328

ANÁLISIS

DE

FUNCIONES

EN

ECONOMÍA Y EMPRESA

mica también admite distintas clasificaciones atendiendo a criterios similares. Nosotros trataremos problemas estáticos en los que hay un único agente decisor y una única función objetivo. Este tipo de problemas se engloban en la Programación Matemática, que a su vez puede subdividirse en programación lineal, que trata la optimización de una función lineal sujeta a una serie de restricciones de desigualdad también lineales, programación no lineal, cuya característica es la presencia de no linealidades en la función objetivo y/o en las restricciones, y optimización clásica. Esta última, que aparece cuando las funciones que comparecen en el modelo son suficientemente diferenciables (con ciertas diferenciales no idénticamente nulas) trata problemas de optimización sin restricciones (optimización libre) o bien con restricciones de igualdad (optimización condicionada o restringida). En realidad, la optimización clásica se podría considerar contenida en la programación no lineal, y de hecho así aparece en muchos manuales. Sin embargo, y a pesar de que desde el punto de vista conceptual tal consideración es perfectamente correcta, la clasificación como partes independientes que hemos hecho aquí obedece a justificaciones de tipo histórico, que sitúan el desarrollo de la optimización clásica y de la programación no lineal en momentos y áreas de conocimiento bien distintos.

CLASIFICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA Programación lineal Programación escalar

Optimización libre

Programación matemática Optimización estática

Optimización clásica Programación vectorial o multiobjetivo

Teoría de Juegos estáticos

Optimización dinámica

Programación no lineal

Optimización condicionada

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

329

6.1.c Planteamiento del problema En Economía, así como en muchas otras áreas, es común encontrarse situaciones en las que se requiere llevar a cabo un proceso de optimización. Generalmente dichas situaciones tienen en común la presencia de un agente decisor que, ante un conjunto (finito o no) de alternativas posibles de acción, debe decantarse por una de ellas, esto es, ha de tomar una decisión, de manera que el resultado de dicha acción sea óptimo. Si se desea que la toma de decisiones se apoye en el formalismo matemático, que dota de una mayor objetividad el proceso de decisión, el primer paso a llevar a cabo consistiría en formular el problema real en términos matemáticos, o en otras palabras, construir un modelo matemático que represente la situación en cuestión. Suponiendo que la realidad que deseamos describir se pueda tratar adecuadamente con las técnicas de la programación matemática, el primer paso para la formulación matemática del problema consistirá en seleccionar las variables de decisión del modelo, es decir, aquellas variables sobre las que el decisor puede actuar (asignándoles valores adecuados) para alcanzar el objetivo deseado. Precisamente, el objetivo que se persigue, que será el de maximizar o minimizar (en definitiva, optimizar) determinado valor, debe estar claramente establecido y representado por cierta función, que se llamará función objetivo del problema, la cual dependerá de las variables de decisión, puesto que será la asignación apropiada de valores a dichas variables la que conseguirá el propósito optimizador sobre la función objetivo. Por otra parte, es necesario especificar el conjunto de valores posibles para las variables de decisión, ya que puede suceder que estas varíen libremente, o bien que existan condiciones específicas del contexto que invaliden determinados valores para las variables. El conjunto de soluciones factibles, también llamado región factible, describe la realidad que se está modelizando, delimitando el conjunto de soluciones al problema. Así, la forma más general de formular un problema de optimización arbitrario responde al siguiente esquema: Optimizar f(x1,..., xn) sujeto a

(x1,..., xn)∈X

X⊆ IRn

donde optimizar se refiere a maximizar o minimizar el valor de la función objetivo, f:IRn IR, mediante la correcta elección de valores para las variables de decisión (x1,..., xn), siendo X la región factible. Cualquier combinación de valores para las variables que pertenezca a la región factible se denomina solución factible. Aquella combinación de valores que proporcionan el valor óptimo de la función objetivo se denomina solución óptima. En estos términos, el problema consiste en seleccionar, de entre todas las soluciones factibles, la solución óptima.

330 330

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

Para el tratamiento matemático del problema, el conjunto o región factible X debe ser conocido y estar caracterizado en una forma apropiada. Lo más corriente es que dicha caracterización venga dada a través de un conjunto de relaciones funcionales, llamadas restricciones, que se establecen entre las variables de decisión. En los problemas de optimización clásica las funciones que definen el problema son suficientemente diferenciables. En la optimización clásica libre no existen restricciones sobre los valores posibles para asignar a las variables, siendo en este caso la región factible igual a todo el espacio de decisión, IRn . La formulación de estos problemas quedaría simplificada entonces a Optimizar f(x1,..., xn) En los problemas que se encuadran dentro de la optimización clásica condicionada, la región factible se puede caracterizar mediante un conjunto de restricciones de igualdad, por lo que el problema se formularía de la siguiente forma: Optimizar f(x1,..., xn) sujeto a

g1(x1,..., xn)=0 g2(x1,..., xn)=0 ... gm(x1,..., xn)=0

donde también las funciones g1,...gm se suponen suficientemente diferenciables. Los problemas típicos de la programación lineal y no lineal tienen la peculiaridad de que las restricciones vienen dadas por restricciones de desigualdad, con funciones lineales en el primer caso y generales en el segundo. El estudio de estas técnicas no se llevará a cabo en el presente Manual.

6.1.d Definición y existencia de óptimos Dado el problema de programación matemática Optimizar f(x1,..., xn) sujeto a siendo f:IRn

(x1,..., xn)∈X

(6.1) X⊆ IR

n

IRn , se tienen las siguientes definiciones:

Definición 6.1.a) Un punto x*∈X se dice máximo global de f en X si f(x*)≥f(x) ∀x∈X. Si, además, f(x*)>f(x) ∀x∈X, x≠x*, entonces x* es máximo global estricto (único).

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE V. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

331

b) x*∈X se dice mínimo global de f en X si f(x*)≤f(x) ∀x∈X. Si, además, f(x*) f ( x) ∀x ∈ X ∩ B( x ∗ , r ) , x≠x*, entonces x* es máximo local estricto (único). b) x * ∈ X se dice mínimo local de f en X si f ( x ∗ ) ≤ f ( x) ∀x ∈ X ∩ B( x ∗ , r ) . Si, además, f ( x ∗ ) < f ( x) ∀x ∈ X ∩ B( x ∗ , r ) , x≠x*, entonces x* es mínimo local estricto (único).

Ejemplo 6.1: Tomemos la siguiente función definida a trozos: 2 ⎧ ⎪ x − 4 x + 5 si 1 ≤ x ≤ 3 f(x) = ⎨2 si 3 ≤ x ≤ 4 si 4 ≤ x ≤ 5.75 ⎪ ⎩6 − x

A partir de su representación gráfica podemos identificar los distintos tipos de óptimos que hemos definido, así como la diferencia entre óptimos locales y globales y entre óptimos estrictos y no estrictos:

Máx. global estricto

Mín. local estricto

Máx. local no estricto, no global

Mín. global estricto

Por la propia definición, es evidente que todo óptimo global es también un óptimo local cuando se le considera en un entorno suyo, aunque lo contrario no siempre es cierto, como se observa en el ejemplo precedente.

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE V. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

333 333

Cuando las funciones del problema son diferenciables, el estudio de los óptimos locales interiores a la región factible se puede llevar a cabo, como veremos más adelante, gracias al desarrollo de Taylor. Si existe un número finito de óptimos locales, y siempre que podamos asegurar la existencia del óptimo global, este se puede encontrar por comparación directa entre el valor objetivo alcanzado por los diferentes óptimos locales y los valores de la función en la frontera de la región factible. Cuando esto no es posible, el problema se complica extraordinariamente a menos que contemos con propiedades de convexidad, las cuales permiten garantizar, tal y como se recoge en el siguiente teorema, que todo óptimo local será también global y, en su caso, único.

Teorema 6.4 (Teorema local-global4).- Dado el problema de programación (6.1), si la función objetivo f es continua y convexa y el conjunto factible X es convexo, entonces todo mínimo local es global. Análogamente, si la función objetivo es continua y cóncava y X es convexo, entonces todo máximo local es global. Además, si f es estrictamente convexa (cóncava), entonces todo mínimo (máximo) local es un mínimo (máximo) global estricto. Por consiguiente, la determinación de los óptimos globales en un problema de optimización clásica irá normalmente ligado a la convexidad (concavidad) de la función objetivo y a la convexidad de la región factible.

6.1.e Métodos de resolución Al abordar el proceso de resolución de un problema de optimización podemos seguir tres estrategias generales: Método gráfico: Se trata de un método intuitivo que se apoya en la representación gráfica de funciones. En el caso de problemas de optimización con una variable, la solución se encuentra en el punto más alto o más bajo de la gráfica dentro del conjunto factible. El método también se puede llevar a cabo con relativa comodidad en problemas con solo dos variables, en cuyo caso se representaría gráficamente el conjunto factible y las curvas de nivel de la función objetivo. Desplazando las curvas de nivel en la dirección de crecimiento o decrecimiento de la función objetivo (según interese maximizar o minimizar) pero sin salirnos de la región factible, identificaremos la solución óptima. Además, con algo de destreza y un programa especializado el método es aplicable si hay tres variables de decisión. Ejemplo 6.2: En la nota complementaria 6.1 ya hacíamos referencia a la resolución gráfica de un problema con una única variable. En realidad, en estos casos la dificultad se

4

La demostración se puede consultar en Balbás y Gil (1990).

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EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

encuentra más en la representación gráfica de la función objetivo que en la interpretación del resultado óptimo. Veamos algunos ejemplos un tanto más interesantes, por contener dos o más variables: max xy a) s.a. x + y = 4 xy = 4

12 8 4

x+ y=4 1

3

5

Para obtener gráficamente el óptimo debemos dibujar las curvas de nivel, dadas por xy=k para distintos valores de k, observando cuál es el mayor valor de k para el que se verifica que la curva de nivel correspondiente intersecta a la región factible, que en este caso es la recta x+y=4. Como se observa en la gráfica, las curvas de nivel para valores pequeños de k cortan a la región factible en dos puntos; existe un valor de k (k=4) para el que el punto de corte es único; por último, para todos los valores mayores de k no existe punto de corte alguno. Así, el óptimo global sería x=2, y=2, que obtenex+ y=4 mos como solución del sistema ⎧ ⎨ xy = 4 . ⎩ 2 2 b) max x2 + y s.a. x + y = 4

4

x 2 + y 2 = 16

2 -4

-2

2

4

-2 -4

y = 4 − x2

De forma similar, en este caso debemos encontrar el mayor valor de k para el cual la curva de nivel (circunferencia) intersecta a la región factible (parábola). Observemos gráficamente que este problema no tiene solución, puesto que circunferencias arbitra-

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE V. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

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riamente grandes siempre intersectarán en dos puntos con la región factible. Se dice en estos casos que el problema es no acotado. Sin embargo, existe un máximo local, que se da en x=0, y=4, el cual se obtiene como una de las tres soluciones de ⎧ y = 4 − x2 ⎨ x 2 + y 2 = 16 . En efecto, nótese que los puntos de la región factible que se encuentran ⎩ en las inmediaciones de dicho punto se encuentran en curvas de nivel inferior, lo cual no se puede decir de ningún otro punto de la región factible. 2 2 2 c) min x +2 y +2z s.a. z − x − y = 3

z=3+x2+y2

x2+y2+z2=16

x2+y2+z2=9

En este último caso, las curvas de nivel son esferas que deberán trasladarse sobre el paraboloide z=3+x2+y2 en busca de un punto del mismo que intersecte a la esfera de menor radio. Así, es claro que la solución global se encuentra en x=y=0, z=3, solución 2 2 ⎧ de ⎨ z 2= 3 +2 x +2 y . ⎩x + y + z = 9 Método analítico: Este método consiste en analizar un conjunto de condiciones necesarias y/o suficientes para la existencia de óptimo que, en el mejor de los casos, proporcionarán determinadas expresiones algebraicas cuya resolución permitirá la obtención de dichos óptimos. En el Capítulo 2 ya fueron enunciadas para funciones reales de una variable real condiciones necesarias y suficientes, basadas en la función derivada, que permitían identificar los máximos y mínimos de dichas funciones. Remitimos al lector, si lo desea, al Ejemplo 2.26. Este será el enfoque que emplearemos en este Manual. Método numérico: Consiste en definir un algoritmo que, partiendo de un punto inicial, vaya generando en un procedimiento por etapas, sucesivos puntos cada vez más cercanos al óptimo. El algoritmo debe contar con un criterio de mejora, que permita decidir si cada punto generado es mejor que el anterior, y un criterio de parada tras el cual se da por bueno el último punto generado o se concluye que no existe solución. Existe una gran di-

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versidad de métodos numéricos, que dependerán de que el problema tenga o no restricciones, pero no serán tratados en este Manual.

6.2 LA OPTIMIZACIÓN LIBRE EN EL CONTEXTO ECONÓMICO-EMPRESARIAL En el presente capítulo centraremos nuestro estudio en la búsqueda de soluciones de un problema de optimización sin restricciones, esto es, de un problema de optimización libre. En estos problemas, las variables de decisión podrían alcanzar cualquier valor arbitrario en la solución. Por tal motivo, podría pensarse que la situación que refleja este tipo de problemas no es realista, sobre todo en un entorno económico, donde siempre aparecen restricciones de naturaleza diversa, cuando menos las relativas a la no negatividad de las variables o a la limitación de los recursos disponibles. A pesar de ello, la optimización libre tiene gran interés, tanto desde un punto de vista exclusivamente teórico como eminentemente práctico. Por un lado, hay que tener en cuenta que las restricciones limitan los valores que pueden tomar las variables, pues representan condiciones sobre las incógnitas del problema, aunque en ocasiones tales condiciones se podrían eliminar si se tuvieran en cuenta variables adicionales. Por ejemplo, piénsese que una restricción presupuestaria se podría eliminar si consideramos que se pueden obtener fondos adicionales a un cierto interés, a costa de modificar la función objetivo para incluir el coste de dicha operación. Aunque lo anterior casi nunca se lleva a la práctica, entre otros motivos, porque añadir nuevas variables también complica el problema, el interés de la optimización libre va más allá de esta consideración teórica. En efecto, los problemas de optimización restringida también pueden reducirse en algunas ocasiones a problemas de optimización sin restricciones, como veremos en el siguiente capítulo. Además, muchos algoritmos numéricos destinados a encontrar la solución de un problema con restricciones requieren resolver en los pasos intermedios otros problemas no restringidos. Por otro lado, no hay que olvidar el importante papel que juega la optimización libre en la Estadística y Econometría a la hora de obtener, por ejemplo, estimadores de máxima verosimilitud, o cada vez que utilizamos el bien conocido método de los mínimos cuadrados para ajustar una función a una serie de datos. En Teoría de la Empresa, donde el comportamiento racional induce a la maximización de beneficios o la minimización de los costes, también es frecuente encontrar situaciones resolubles mediante problemas de optimización libre. Tal es el caso, por ejemplo, de la obtención de un plan de producción para una empresa que fabrica un producto a partir de varios inputs, o para una empresa que fabrica varios productos. Estos y otros ejemplos son ilustrados a continuación.

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE V. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

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Ejemplo 6.3: Formular un problema de optimización que permita resolver las siguientes situaciones: a) Supongamos una empresa que puede producir cantidades arbitrarias de un solo producto, a partir de determinadas cantidades de los inputs capital (K) y trabajo (L). Si admitimos que nos encontramos en régimen de competencia perfecta, la empresa compra sus inputs y vende su producto a unos precios que le vienen dados exógenamente, siendo el precio de venta del producto p=16 y los precios de los factores r=4 y w=8. Se sabe que la función de producción de la empresa viene dada por = 2K1/2L3/4. Encontrar los niveles de inputs necesarios para maximizar el beneficio de la empresa.

Teniendo en cuenta que la función de ingresos de la empresa es I(K,L)=pq=32K1/2L3/4, y la función de costes es C(K,L)=rK+ wL=4K+8L,, se tendrá que la función de beneficios tendrá la forma dada por B(K,L)=I(K,L)-C(K,L), por lo que habremos de encontrar los valores de K y L que resuelven el problema: max B(K,L)=32K1/2L3/4-4K-8L b) Consideremos una empresa productora de dos bienes en un mercado monopolista, donde los precios de los productos variarán según los niveles de producción de acuerdo a las funciones de demanda de ambos productos, las cuales vienen dadas por q1=20-p1+p2 y q2=10+p1-2p2 , donde q1 y q2 representan las cantidades producidas de cada uno de los bienes y p1 y p2 son sus precios respectivos. Si la función de coste total de la empresa viene dada por C(q1,q2)=3q12+4q22-2q1q2+10, calcular los niveles de producción que proporcionan el máximo beneficio a la empresa.

Puesto que se requiere obtener la función de ingresos, es necesario conocer la expresión que relaciona los precios en función de las cantidades producidas. Para ello, tan solo debemos despejar los precios, utilizando por ejemplo la regla de Cramer, de las funciones de demanda dadas en el enunciado, que son las que determinan los niveles de producción conociendo los precios. De esta forma obtenemos p1=50-2q1-q2 y p2=30-q1-q2 y posteriormente deducimos I(q1,q2)=p1q1+p2q2=-2q12-q22+50q1+30q2-2q11qq22.. Entonces, -2q beneficios se se calculan calculan como como la la diferencia diferencia Entonces, y teniendo en cuenta que los beneficios entreingresos ingresosyycostes, costes,solo solorestaría restaríaresolver resolverelelsiguiente siguiente problema optimización: entre problema dede optimización: max B(q1,q2)=-5q12-5q22+50q1+30q2-10 c) Una empresa produce un mismo artículo en dos fábricas distintas, que por su localización ofrecen distintos costes de producción. El coste de producir x unidades en la primera fábrica es c1(x)=0.25x2+80x+1000, mientras que el coste de producir y unidades en la otra fábrica es c2(y)=0.5y2+50y+2200. Sabiendo que el precio de venta del artículo es 100 u.m., se quiere conocer la cantidad que debe producirse en cada fábrica para que el beneficio sea óptimo.

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Procediendo de manera similar a los dos casos anteriores, habrá que elegir valores óptimos para las variables x (producción en la fábrica 1) e y (producción en la fábrica 2), teniendo en cuenta que la función de ingresos totales será I(x,y)=100(x+y) y la función de costes totales corresponderá con la suma de los costes por fábrica, es decir, c(x,y)=c1(x)+c2(y). En consecuencia, la solución se obtiene al resolver el problema: max B(x,y)=-0.25x2-0.5y2+20x+50y-3200

Nota complementaria 6.2: En realidad, todos los problemas de optimización presentados en el Ejemplo 6.3 contienen implicitamente una restricción de no negatividad sobre sus respectivas variables. Dicha restricción viene impuesta por el significado económico de las variables que intervienen, dado que no es posible hablar de cantidades de inputs o outputs negativas. Cuando esto ocurre en un problema, la estrategia que se lleva a cabo consiste en resolverlo sin considerar explicitamente las restricciones de no negatividad. Si al obtener la solución, esta tiene todas sus componentes no negativas (es decir, verifica la restricción), entonces es en efecto la solución del problema original. Si, por el contrario, la solución no cumple la restricción deseada, es necesario recurrir a otro tipo de técnicas encuadradas dentro de la Programación No Lineal para obtener la verdadera solución.

Una vez determinada la importancia e interés en el estudio de la optimización libre en un contexto económico, pasaremos a analizar en detalle la resolución por métodos analíticos de este tipo de problemas. Comenzaremos introduciendo los resultados teóricos necesarios en el caso más sencillo e intuitivo, a la vez que familiar, que es el de funciones reales de una variable real. Los criterios para la determinación de óptimos de estas funciones ya fueron expuestos en el Capítulo 2 de este Manual, por su íntima relación con el concepto de derivada. No obstante, por razones de claridad expositiva y completitud, los recordaremos en el siguiente epígrafe para posteriormente proceder a su generalización al caso de funciones reales de varias variables reales.

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE V. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

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6.3 UNA VARIABLE DE DECISIÓN Un problema de optimización en el que tan solo hay una variable de decisión se corresponde, siguiendo en la línea del Ejemplo 6.3, con la situación descrita por una empresa que transforma un único input en un único output, o bien la que produce un único producto en una única fábrica. El problema de la optimización de una función real de variable real no es otro que el ya El problema de la optimización de una función real de variable real no es otro que el conocido ejercicio de la búsqueda de máximos y mínimos de estas ffunciones, cuestión ya conocido ejercicio de la búsqueda de máximos y mínimos de estas funciones, cuestión que a estas alturas no debería plantear mayores inconvenientes. Recordaremos que una que a estas alturas de curso no debería plantear mayores inconvenientes. Recordaremos condición necesaria para que una función alcance su máximo o mínimo local en un punto que una condición necesaria para que una función alcance su máximo o mínimo local en es qeu la tangente a la curva en dicho punto sea paralela al eje de abscisas, o en otras palaun punto es que la tangente a la curva en dicho punto sea paralela al eje de abscisas, o en bras: otras palabras:

Teorema 6.5 (Condición necesaria de optimo local).- Sea I⊆IR un intervalo abierto y sea f:I IR una función derivable en I. Si f(x) alcanza un máximo o mínimo local en x=a∈I ⎪ f ' (a)=0. La condición anterior es bastante intuitiva, si pensamos que en un punto extremo (máximo o mínimo) se produce un cambio en el crecimiento de la función, que pasará de ser creciente a decreciente o viceversa, por lo que la derivada primera tendrá distinto signo a la derecha e izquierda del punto. Formalmente, supongamos que f tiene un máximo en x=a (se podrá razonar análogamente si tiene un mínimo), y tomemos un valor h suficientemente pequeño que verifique que a+h∈I. Entonces, f(a+h)-f(a)≤0 (por ser a un f (a + h) − f (a ) ≤ 0 y tomando límites cuanmáximo de f en I). Además, si h>0, entonces h f (a + h) − f (a ) sedo h→0+ obtendríamos f +' ( a ) ≤ 0 , pero si h 0, de donde podemos afirmar que la función tiene un mínimo en x=0. Obsérvese que el hecho de que las tres primeras derivadas evaluadas en x=0 se anulen, implica que el desarrollo de Taylor de la función en x=0 hasta el grado tercero es idénticamente igual a y(0)=1, es decir, que la función original se parece mucho (localmente) a la función constante y=1. En realidad, el hecho de que en un punto se anulen varias derivadas consecutivas tiene como consecuencia un “aplastamiento” de la gráfica en torno a ese punto.

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Existe alguna rara excepción para la que se verifica que todas las derivadas se anulan en el punto crítico; ver Chiang (1987), p.271.

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c) La función de coste total de una empresa es C(q)=q3-6q2+12q+3, siendo la función de ingreso total I(q)=-q2+11q+12. Si suponemos que la producción debe estar comprendida entre un mínimo de uno y un máximo de cinco millones de unidades, para encontrar los valores de producción que maximizan el ingreso y minimizan el coste habrá que estudiar los respectivos puntos críticos. La función de coste tiene un único punto crítico en q=2, que corresponde con un punto de inflexión, como se comprueba observando que C''(2)=0 y C'''(2)≠0. Por consiguiente, y puesto que estamos trabajando en un intervalo cerrado para los valores posibles (factibles) de producción, el máximo y mínimo de la función de costes se encontrarán en los extremos del intervalo. En concreto, el coste se minimiza para una producción de un millón de unidades. La función de ingreso, por su parte, una parábola con las ramas hacia abajo, tiene su máximo en q=5.5 que, sin embargo, no se encuentra dentro del conjunto factible de soluciones. Por tanto, de nuevo, el valor que maximiza el ingreso se encontrará en uno de los extremos del intervalo, en concreto en q=5. En este caso, la función de beneficios (ingreso menos coste) es B(q)= -q3+5q2-q+9, y tiene dos puntos críticos, uno de los cuales cae fuera del intervalo factible, por lo que es descartado. El segundo de ellos, que se encuentra para un valor q*≅ 3.23 verifica la condición B''(q*)f(0,0). Igualmente, el (0,0) tampoco es un mínimo, porque los puntos de la forma (0,h) con h≠0 dan valores menores de la función (f(0,h)f (0,0) y también .1,-0.1)h&0. =-0.01por f(0,0) y también f(h,-h)=-hf(0 0 (respectivamente 0 para que se dé un mínimo en (a,b), nos referimos a que debe ser ese el signo sean cuales sean los valores de dx y dy que sustituyamos en la expresión de la diferencial, o en otras palabras, sea cual sea la dirección y magnitud del desplazamiento a partir del punto (a,b). Ejemplo 6.9: Condición suficiente de óptimo local.

Retomemos la función f(x,y)=-x2-y2 vista en el Ejemplo 6.7, de la que ya conocemos que tiene un máximo en el (0,0). Veamos que, en efecto, en dicho punto se verifica la condición suficiente definida sobre la diferencial segunda. Conocemos las derivadas parciales de primer orden, f x' =-2x y f y' =-2y, y también podemos obtener las de segundo orden, '' '' '' '' f xx = f yy =-2 y f xy = f yx =0, de donde calculamos la expresión de la diferencial segunda

d 2)f(0,0)=-2(dx)2-2(dy)2. Observemos que, para cualesquiera dx, dy muy próximos a 0 (pero no ambos nulos), tendremos d 2f(0,0)0, ∀x≠0. b) semidefinida positiva (s.d.p.) si q(x)≥0, ∀x∈IRn y ∃ x*≠0 tal que q(x*)=0. c) definida negativa (d.n.) si q(x)0 pero f(1,-2)0, D2>0,...,Dn>0 b) q(x) es definida negativa ⇔ Los menores principales de A alternan en signo, comenzando en signo negativo, esto es D10, D30... c) q(x) es semidefinida positiva ⇔ Todos los menores diagonales de A son no negativos y |A|=0. d) q(x) es semidefinida negativa ⇔ Todos los menores diagonales de A de órdenes impares son no positivos, los menores diagonales de A de órdenes pares son no negativos y |A|=0 (esto es, -A es semidefinida positiva). e) q(x) es no definida ⇔ No ocurre nada de lo anterior.

Como se puede observar del teorema enunciado y del comentario realizado anteriormente se concluye que es posible comprobar si una forma cuadrática es definida positiva o definida negativa con un esfuerzo de cálculo asequible. No ocurre así con la determinación de una forma cuadrática semidefinida (positiva o negativa), para lo cual el esfuerzo computacional puede crecer rápidamente con el número de variables consideradas. Ejemplo 6.14: Determinación del signo de una forma cuadrática.

⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ . Sus menores principales son a) f(x,y)=2x2+y2+2xy tiene por matriz asociada A= ⎜⎜ ⎝ 1 1⎠ D1=2>0 y D2=|A|=1>0; por lo tanto f es d.p. 1 ⎞ ⎛−1 0 ⎟ ⎜ b) f(x,y,z)=-x -y -3z +2xz, tiene por matriz asociada A= ⎜ 0 − 1 0 ⎟ cuyos menores ⎜1 0 − 3 ⎟⎠ ⎝ −1 0 =1>0; D3=|A|=-20; D2= 0 1 2

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2

Ver de la Fuente (2000).

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE V. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA LIBRE

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poco d.n. Para ver si es semidefinida hay que estudiar todos los menores diagonales, los cuales se comprueban que valen 0 o 1; por lo tanto, f es s.d.p.

⎛ −1 0 1⎞ ⎟ ⎜ d) f(x,y,z)=-x -y +2z +2yz, tiene por matriz asociada A= ⎜ 0 − 1 0 ⎟ cuyos menores ⎜ 1 0 2 ⎟⎠ ⎝ −1 0 =1>0; D3=|A|=3>0, por lo que f no es d.p. ni principales son D1=-1todos 0 ó 0 ó(≥0 y  > 0 (respectivamente A0 (respectivamente A0, mientras f(0,–mientras ¡)=(–¡)3suficientemente 0 suficientemente se¡)=tiene f(0, ε )= εque >0, 3 ε )= ( −ε ) que 0, y>0, z>0. 7. Obtener los extremos de la función u=2xy+3xz con las restricciones x2+y2=3, xz=2. 8. Un fabricante de piezas para la industria de triciclos vende ruedas (x) por cada armazón (y). Sabiendo que la función de costes viene dada por:

C= x2 + xy + y2 + 190

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA VI. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA

427 427

1 py donde px y py represen3 tan los precios respectivos de x e y, determinar los niveles de producción que maximizan el beneficio, los niveles de precios óptimos y el beneficio máximo.

y que las funciones de demanda son x= 63 - 0.25px, y= 60 -

9. En un almacén de piezas de recambio existe una relación entre los ingresos y el número de empleados dedicados a expender piezas (x) y el de los dedicados a inventario (y), siendo la función de ingresos:

I=150 - 2x2 + 50x - y2

Sabiendo que los costos por empleado son C(x) = x+10, C(y) = 2y+20 según estén en expendiduría o en inventario respectivamente y que el número total de empleados es 30, hallar el número de empleados que ha de dedicarse a cada trabajo para que el beneficio sea máximo. 10. La función de utilidad de un consumidor viene dada por U= (x+2) (y+1). Sabiendo que su poder adquisitivo es de 51 u.m. y que los precios respectivos de x e y son px=2, py=5, hallar los niveles de x e y que maximizan la utilidad del consumidor. 11. Una empresa de elevado prestigio en el ramo de la óptica lanza un nuevo modelo de gafas de diseño exclusivo que distribuye en los tres principales centros nacionales de la moda y complementos (Madrid(M), Barcelona (B) y Valencia (V)). En cada uno de ellos establece los siguientes precios por montura de la gafa y por cristal: En Madrid, 10 euros el cristal, 30 euros la montura; en Barcelona, 12 euros el cristal, 30 euros la montura y en Valencia, 15 euros el cristal, 21 euros la montura. Denotamos por x,y,z la cantidad de gafas que distribuye en cada uno de los mercados respectivamente. La suscripción de un convenio con Iberia le permite a la empresa asumir los siguientes costes en concepto de transporte aéreo por cada gafa transportada:

CM(x) = 2x +100; CB(y) = y + 200; CV (z) =

z + 300 2

Teniendo en cuenta que el monto de gafas a distribuir se cifra en 4999, hallar el número de unidades de este producto que la empresa debe distribuir en cada mercado a fin de maximizar el beneficio empresarial. 12. Un ganadero dedicado a la cría de reses bravas vende todas las pieles y patas de las reses que sacrifica, obteniendo unos beneficios de acuerdo con la función

B(x,y)=900x-3x2-2xy+2y2+1800y

donde x es el número de patas e y es el número de pieles vendidas. ¿Cuántas reses deberá sacrificar para maximizar sus beneficios?

428 428

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

13. Cuatro plantas fabrican cuatro productos iguales en cantidades x,y,z,t. Se tiene un pedido de 1000 unidades. Sabiendo que los costos de fabricación en cada planta son:

C1(x) = 60 + x2/10

C2(y) = 30 + y + y3/3

C3(z) = 20 + 10z

C4(t) = 25 + 2t + t2

Hallar el número de unidades que debe fabricar cada planta para que los costes sean mínimos. 14. Una compañía destina su planta a la elaboración de dos tipos de bienes A y B. Obtiene un beneficio de 4 u.m. por unidad de A y de 6 u.m. por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación del producto dada por:

x2 + y2 + 2x + 4y - 4=0

con x e y los números de unidades (en miles) de A y B respectivamente producidas por semana. Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar el beneficio así como el beneficio máximo. 15. Un sujeto dispone de una renta monetaria de 30 u.m. que dedicará a la adquisición de cantidades por determinar de dos tipos de bienes B1 y B2. Se supone que la combinación (x,y) de la cantidad x>0 del tipo B1 con la cantidad y>0 del tipo B2 reporta al sujeto una utilidad U(x,y)=Ln(xy2). Los precios de los bienes del tipo B1 y B2 son respectivamente p y q. ¿Cuál será el plan de compra del sujeto que desea maximizar su utilidad? 16. En una planta industrial se consume un único input del que se dispone en una cantidad limitada de 8 unidades que es preciso consumir completamente. En dicha planta funcionan tres procesos independientes entre los que es preciso repartir la cantidad disponible de input. Sean x,y,z las cantidades asignadas a cada uno de los procesos y

f(x)= 230 - (2x+2)2 ; g(y)= 345 - (2y+8)2 ; h(z)=186-(2z+10)2

los rendimientos obtenidos de ellos. ¿Qué cantidad de factores debe asignarse a cada uno de los procesos productivos para que el rendimiento total sea máximo? 17. Un contratista que está removiendo tierra en una gran excavación puede conducir sus camiones por dos carreteras distintas. Hay 100 m3 de tierra para remover y cada camión carga 10 m3. Por una carretera el coste por cada carga es 468+2x2 euros, siendo x la cantidad de camiones que pasan por esa carretera. Por la otra, el coste es de 300+y2 euros por carga, si y camiones la utilizan. ¿Cuántas cargas deben enviarse por cada ruta, para minimizar el coste total? 18. Para la fabricación de una mercancía se emplean dos factores de producción, de acuerdo con la siguiente función de producción:

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA VI. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA

429 429

x = 80u1 2 v 2 3

siendo u y v las cantidades empleadas de los factores productivos y x la cantidad producida. Sabiendo que los costes fijos ascienden a 10 u.m. y que los precios de los factores son pu=10 u.m. y pv=2 u.m., hallar la combinación de factores que minimiza el coste y permite una producción de 50 unidades de la mercancía. ¿Cuál sería aproximadamente el coste adicional de incrementar la producción a 52 unidades? 19. La función de utilidad de un consumidor es U=2Lx+Ly y su restricción presupuestaria es M=2x+4y. Hallar los niveles de x e y que el consumidor debe asignar a fin de maximizar su utilidad. Demostrar que la utilidad marginal del dinero es función decreciente de M. ¿Cómo interpretarías este hecho? 20. La función de producción de un fabricante es Q=4K1/2L1/2. Su función de costo es C=2K+8L. Hallar la combinación de K y L para minimizar el costo a un nivel de producción Q=32. 21. La relación entre el importe de las ventas S y las cantidades x e y gastadas en dos medios de publicidad está dada por:

S=

200 x 100 y + 5 + x 10 + y

Sabiendo que el beneficio neto es la diferencia entre 1/5 de las ventas y el costo de la promoción y que el presupuesto para publicidad es de 25, ¿cómo debe asignarse este entre los dos medios para maximizar el beneficio neto? 22. El volumen de ventas de un detergente es función del número de anuncios en la prensa x y del número de minutos de propaganda en TV, y. Estadísticamente se ha estimado que la relación entre estas variables es

V=(x+2)(y+1)

Sabiendo que un anuncio en la prensa vale 200 euros, un minuto en TV 500 euros y que el presupuesto para publicidad es de 25500 euros, determinar la política publicitaria óptima. 23. La temperatura de una placa en un punto cualquiera viene dada por la función

T(x,y)=25+4x2-4xy+y2

Para emplear esta placa en la fabricación de calefactores, la normativa en vigor obliga a situar una alarma térmica distribuida sobre los puntos de una circunferencia centrada en el centro de la placa y de radio 5 cm. Esta alarma se dispara si la temperatura sobrepasa

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FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS ANÁLISIS DE FUNCIONES EN EDE CONOMÍA Y EMPRESA

los 180 grados o bien si es inferior a 20 grados. ¿Será posible la utilización de la placa teniendo en cuenta la función térmica que determina su temperatura? 24. Dada la función de producción Q=f(L,C,R)=L2+C2+R2, sabiendo que los factores de producción deben verificar las condiciones L+C+R=6, L-C-R=1, calcular los niveles mínimos de producción. 25. La función de producción de una empresa viene dada por Q(L,K)=50L2/3K1/3 donde L y K representan respectivamente el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y Q es el número de unidades elaboradas del producto. Sabiendo que los costos por unidad de mano de obra y capital empleados son de 100 u.m. y 300 u.m. respectivamente y que la empresa dispone de una cantidad de 45000 u.m. para propósitos de producción, se pide: a) Determinar, utilizando solo las condiciones de primer orden, la combinación de mano de obra y de capital que la empresa deberá utilizar con objeto de maximizar su producción. b) Demuestre que en este nivel de producción, el cociente de las productividades marginales de los factores es igual al cociente de sus costes unitarios. 26. Dada la función de producción q=f(x,y) y la restricción C=ax+by+c, hallar las condiciones de primer orden para que la producción sea máxima, conociendo C (disponibilidades), siendo x e y factores de producción, a y b los precios respectivos de dichos factores y c los costes fijos. 27. Determinada compañía elabora dos tipos de bienes A y B. Obtiene un beneficio que viene dado por B(x,y) = 2 x 3 + y 3 , donde x e y son los números de unidades de A y B, respectivamente. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir, están restringidos por la ecuación de transformación del producto dada por: x 2 + y 2 = 100. Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar el beneficio, así como el beneficio máximo. 28. A un editor se le han asignado 60000 euros para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si se gastan x miles de euros en desarrollo e y miles en promoción, se venderán aproximadamente f(x,y) = 20 x 3 / 2 y ejemplares del libro. ¿Cuánto dinero debe invertir el editor en desarrollo y cuánto en la promoción para maximizar las ventas? Supongamos que al editor le han asignado 61000 euros en vez de 60000, para invertir en desarrollo y promoción. Calcular aproximadamente de qué manera afectarán al nivel máximo de ventas los 1000 euros adicionales. Y si le asignaran 60200 euros, ¿qué sucede, aproximadamente, con el nivel máximo de ventas? 29. La producción de una pastelería está condicionada por la disponibilidad de tres inputs fundamentales, harina, azúcar y huevos, de manera que se ha comprobado estadística-

OPTIMIZACIÓN C LÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA VI. OPTIMIZACIÓN CLÁSICA CONDICIONADA O RESTRINGIDA

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mente que existe una relación entre las cantidades empleadas de dichos inputs y la cantidad producida, dada por: u=250+4x+4y-3x2-2y2-2z2

siendo u la producción total y x, y, z, las cantidades empleadas de huevos, harina y azúcar, respectivamente. Se sabe que los precios de los inputs están fijados respectivamente en 2, 1 y 1 u.m. a) Encontrar las cantidades de cada input que deben emplearse para maximizar la producción de la pastelería, si se dispone de un total de 8 u.m. para la adquisición de inputs. b) ¿Cómo se modificaría aproximadamente la producción máxima si se pudieran gastar 10 u.m.?

PARTE IV: CÁLCULO INTEGRAL

8 Integral de Riemann 8.1 EL CONCEPTO DE INTEGRAL EN ECONOMÍA. EJEMPLOS En este capítulo vamos a aprender a resolver problemas económicos aparentemente sin relación entre sí. Sin embargo, debido a que al representarlos gráficamente se interpretan como un área o a que analíticamente aparece la operación inversa de la derivada o un sumatorio infinito (serie), van a estar todos ligados por el concepto de integral. Muchos modelos en Economía y Empresa exigen la resolución de ciertas integrales. En particular, las encontramos en el campo de la Estadística para el cálculo de probabilidades de indicadores relevantes en análisis económico, en razonamientos teóricos y análisis cualitativos dentro del contexto de modelos micro y macroecono-— micos, como herramienta para la modelización dinámica continua a través de ecuaciones diferenciales, es decir, en modelos donde la variable básica es el tiempo y se estudian trayectorias a lo largo del tiempo de variables económicas relevantes, etc. Aunque los siguientes ejemplos los comentaremos con mayor profundidad a lo largo del capítulo, ahora servirán para irnos familiarizando con algunas de las múltiples aplicaciones que tiene el tema. Ejemplo 8.1: Dada la función de demanda p(q)=11-q2, supongamos que el precio de equilibrio del mercado es p*=7; en este caso la cantidad demandada es q*=2. Evidentemente, lo que el consumidor paga por esa cantidad es p*q*=14 u.m. Nótese que gráficamente se puede considerar como el área del rectángulo de altura p* y base q*. Sin embargo, lo que el consumidor estaría dispuesto a pagar por esas q* unidades se representa gráficamente como el área de dicho rectángulo más la zona sombreada siguiente:

— 435 —

436 436

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

p p*=7

q*=2

q

Entonces, la interpretación del área sombreada es lo que el consumidor está dispuesto a pagar menos lo que en realidad paga por las q* unidades. Es por tanto de interés para nosotros poder calcular el área debajo de esa curva. Esto conlleva el cálculo de una integral definida.

Ejemplo 8.2: Suponiendo que la función de coste marginal es CMg(x)=x-2, es de interés conocer la función de costes totales sabiendo que los costes fijos son 5 u.m. Es fácil comprobar que los costes totales son C(x)= x2/2 – 2x + 5, ya que C(0)=5 y que la derivada de C(x) es CMg(x). Sin embargo, aunque en este ejemplo el calcular los costes totales a partir de los costes marginales (operación inversa de la derivada) puede parecer relativamente sencillo por ser funciones polinómicas, en general, necesita de un estudio y de la utilización de propiedades que nos ayuden a hacerlo. Esta operación es la integral indefinida.

Ejemplo 8.3: Supongamos que se quieren recibir las cantidades R1, R2, R3 y R4 en los próximos 4 años, como resultado de invertir una cantidad inicial de dinero a una tasa de interés continuo r (los intereses producidos se acumulan en cada instante de tiempo al capital conseguido). Se demuestra que lo que hay que invertir es la suma: R1e-r+R2e-2r+R3e-3r+R4e-4r. Suponiendo que R(t)dt simboliza lo que se recibe en el intervalo de tiempo [t,t+dt], lo que hay que invertir para percibir esa corriente continua de dinero durante unos años, intuitivamente (estableciendo la relación con los cuatro sumandos Rie-ir, i=1,...,4, anteriores) sería un sumatorio infinito (serie) de sumandos del tipo R(i)di e-ir. Veremos que calcular esta serie se traduce en calcular una integral definida.

INTEGRAL DE RIEMANN

VII. INTEGRAL DE RIEMANN

437

8.2 EL CONCEPTO DE INTEGRAL EN MATEMÁTICAS El concepto de integral tuvo su origen en la necesidad de resolver problemas que están ligados por la idea gráfica de área. A esto se debe el hecho de que el problema que se utiliza para ilustrar la construcción de la integral de una función de una variable es el del cálculo del área de una superficie plana, con al menos parte de su frontera curvilínea. Este problema lo planteó ya Arquímedes en el siglo III a. de C., y los sucesivos trabajos que se desarrollaron vieron sus mejores resultados a finales del siglo XVII con las aportaciones de Newton y Leibniz, iniciadores del cálculo diferencial e integral, a través del concepto de límite. Sin embargo, fue dos siglos más tarde, en el XIX, cuando Riemann definió la integral que vamos a tratar aquí.

8.2.a Construcción de la integral de Riemann Supongamos que tenemos una función f positiva y acotada sobre un intervalo finito [a,b] y queremos calcular el área A comprendida entre las rectas verticales x=a, x=b, el eje x y la curva y=f(x) f(x)

A a

b

Teniendo en cuenta que calcular el área de una superficie plana de esta forma no es sencillo, utilizaremos el área del rectángulo para facilitar la consecución de tal objetivo. Dividamos el intervalo [a,b] en un número finito n de subintervalos [x0,x1], [x1,x2], ..., [xn-1,xn], delimitados por los puntos del conjunto P = {x0,x1,...,xn / a = x0 < x1 < x2 < ...< xn-10 en ]a,b[. En general, de forma intuitiva y prescindiendo de que f sea positiva, si existe una partición P de [a,b], para un valor de n suficientemente grande, de tal forma que s(P) y

INTEGRAL DE RIEMANN

VII. INTEGRAL DE RIEMANN

439 439

S(P) son prácticamente iguales se dice que la función es integrable en el sentido de Riemann en [a,b].

Definición 8.1.- El valor "común" que mediante este proceso se obtiene para s(P) y n

∑ f (c )(Δx ) , siendo Δxi=xi-xi-1, y

S(P) se puede expresar, por ejemplo, como lim

i

max Δx i →0

i

i =1

eligiendo arbitrariamente un ci∈[xi-1,xi] para i=1,2,...,n. Si este límite existe y es finito, se dice que f es R-integrable. A esta expresión se la conoce como integral definida de Riemann de f sobre [a,b], se denota por

∫

b

a

f ( x ) dx y coincide con A (el área) si f es

positiva. El símbolo ∫ es debido a Leibniz, quien tuvo siempre una fina apreciación de la importancia que tiene una buena notación para ayudar a los procesos del pensamiento, y la que eligió en este caso del cálculo fue una S "esbelta" para representar la suma que define el concepto. Si f no es positiva en todo [a,b], el área de la superficie encerrada por la curva

∫

y=f(x), las rectas x=a, x=b y el eje horizontal es

b a

f ( x) dx . Veamos gráficamente

algunos casos en que f no es positiva en todo [a,b]; nótese que si la función cambia de signo en el intervalo, es necesario conocer los puntos de corte con el eje x.

a

bb

∫

Área =

-

Área =

∫

b a

f ( x ) dx

f(x)

a

c

bb

c a

b

f ( x) dx − ∫ f ( x) dx c

f(x)

Como consecuencia, dejamos al lector que compruebe gráficamente que el área encerrada entre dos curvas continuas, f y g, que se cortan entre sí en los puntos c1,c2,...,cn, resulta ser la siguiente expresión:

440 440

EN ECONOMÍA Y EMPRESA ANÁLISIS DE FUNCIONES ANÁLISIS DE FUNCIONES EN ECONOMÍA Y EMPRESA

∫

c2 c1

( f ( x ) − g ( x )) dx +

∫

c3

c2

( f ( x ) − g ( x )) dx + ... +

∫

cn

cn −1

( f ( x ) − g ( x )) dx

Esto es equivalente a calcular la suma de integrales con integrando la diferencia de la función superior menos la inferior entre cada dos puntos de corte entre ellas. Sin embargo, los valores absolutos en la expresión anterior solucionan el problema de no saber cuál es la curva superior y cuál la inferior en cada subintervalo, ahorrándonos así el tener que averiguarlo. Hay que mencionar que el cálculo integral también resuelve otros problemas geométricos, en los que no nos detendremos, como pueden ser el cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución o la longitud de un arco de curva1.

8.2.b Propiedades fundamentales de la integral de Riemann De la definición dada de integral de Riemann se deducen fácilmente las siguientes propiedades. Como veremos, el cálculo de la integral no es necesario hacerlo por la definición –difícil en la mayoría de los casos–, por lo que estas y otras propiedades van a servir para facilitar los cálculos. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN

Sean f,g:[a,b] → IR dos funciones R-integrables y acotadas en [a,b], -∞ ∞