Allgemeine Mengenlehre [Reprint 2021 ed.] 9783112471562, 9783112471555

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D. KLAUA ALLGEMEINE

MENGENLEHRE

MATHEMATISCHE L E H R B Ü C H E R U N D

MONOGRAPHIEN

H E R A U S G E G E B E N VON D E R D E U T S C H E N A K A D E M I E D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU INSTITUTE FÜR

MATHEMATIK

I.ABTEILUNG

MATHEMATISCHE

LEHRBÜCHER

BAND X

ALLGEMEINE M E N G E N L E H R E VON

D. KLAUA

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1964

BERLIN

ALLGEMEINE MENGENLEHRE Ein Fundament der Mathematik

VON

Dr.rer.nat.habil.DIETER KLAUA Wissenschaftlicher Arbeitsleiter am Institut für Reine Mathematik der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin Dozent an der Humboldt-Universität Berlin

AKADEMIE-VERLAG • B E R L I N 1964

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, Berlin W 8, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1964 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer r 202 • 100/479/64 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg Bestellnummer: 5503 • ES 19 B 1

VORWORT

Dieses Buch entstand aus einer dreisemestrigen Vorlesung über Allgemeine Mengenlehre, die ich 1961/62 an der Berliner Humboldt-Universität gehalten habe, und setzt sich das Ziel, ein zum Selbststudium geeignetes Lehrbuch zu sein, welches dem Leser in leicht verständlicher Form die Allgemeine Mengenlehre als das Fundament der modernen Mathematik entwickelt. Dabei werden vom Leser keinerlei mathematische Vorkenntnisse vorausgesetzt, wohl aber ein geschultes abstraktes logisches Denkvermögen. Ein derartiges Denkvermögen erwirbt man am sichersten während des Mathematikstudiums, so daß es aus diesem Grunde — und auch nur aus diesem Grunde — ratsam ist, beim Leaer trotzdem ein zweisemestriges Universitäts- oder Hochschulstudium in Mathematik vorauszusetzen. Das ist kein Widerspruch zu unserem Vorhaben, ein Fundament der Mathematik zu entwickeln, da wegen der Abstraktheit der zugehörigen Überlegungen selbst an Universitäten und Hochschulen die mathematische Ausbildung der Studenten nicht mit der vollständigen Wiedergabe eines solchen Fundamentes beginnt, sondern Fragen der Grundlegung der Mathematik — wenn überhaupt — erst in den mengentheoretischen Vorlesungen späterer Semester eingehend behandelt werden. Unter der Voraussetzung eines zweisemestrigen Mathematikstudiums ist das Buch dann für Mathematiker bestimmt, wendet sich dann also — bezogen auf das Fachgebiet Mathematik — an folgenden Leserkreis: Studenten, Aspiranten, Assistenten, wissenschaftliche Mitarbeiter, Dozenten an Universitäten, Hochschulen, Forschungsinstituten, pädagogischen Institutionen; Diplommathematiker, Lehrer. Das Buch ist natürlich unter derselben Voraussetzung auch Philosophen und generell all denjenigen Lesern zu empfehlen, die sich für eine für Mathematiker geschriebene exakte Grundlegung der modernen Mathematik interessieren. Das Buch will sein Erscheinen damit rechtfertigen, daß heutzutage für das volle und klare Verständnis der Mathematik eine gründlichere Kenntnis der Allgemeinen Mengenlehre, d. h. der mengentheoretischen Grundlage der Mathematik, erforderlich ist. In sieben Kapiteln (siehe Inhaltsverzeichnis) wird das Gesamtgebiet der Allgemeinen Mengenlehre ausführlich behandelt; für noch weitergehende Spezialuntersuchungen sei auf das Literaturverzeichnis verwiesen. Wir legen der Mengenlehre dabei ein Axiomensystem zugrunde, welches eine sowohl sachlich als auch technisch möglichst unkomplizierte Darstellung der Mathematik im Rahmen der Mengenlehre gewährleistet, so daß man praktisch zwischen dem exakt mengentheoretisch fundierten und dem naiven (d. h. unaxiomatisierten) Umgang mit der Mathematik nur noch einen geringen Unterschied verspürt. Dieses Axiomensystem erhalten wir durch Verschmelzung der anschaulich naheliegenden RTJSSELLschen Axiomatisierung der Mengenlehre, der RxrsSELLschen Typentheorie, mit der eleganten v. NEUMASTNschen Axiomatisierung der Mengenlehre, dem v. NEU-

VI

Vorwort

MAHNSchen Klassenkalkül, nämlich durch eine Algebraisierung der RussELLschen Typentheorie innerhalb des v. NEUMAHNschen Klassenkalküls. Übungsaufgaben werden nicht explizit gestellt, sind aber stellenweise im Text in Form unbewiesener, doch leicht* nachzuprüfender Behauptungen vorhanden. Hierunter fallen unter anderem alle Lehrsätze, deren Beweis wegen seiner Einfachheit nur durch die Bemerkung angedeutet wird, daß die im Satz aufgestellten Behauptungen unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen folgen. Dem Leser ist zu empfehlen, die betreffenden Behauptungen als Aufgaben zu betrachten und zur Festigung seiner erworbenen mengentheoretischen Kenntnisse sorgfältig zu beweisen. Die im Literaturverzeichnis aufgeführte Lehrbuchliteratur, vor allem H . BACHMAJSTN, Transfinite Zahlen, und W. SIERPINSKI, Cardinal and ordinal numbers, ist verwendet worden, ohne dies jeweils besonders hervorzuheben. Die erste Bekanntschaft mit der Allgemeinen Mengenlehre und den Problemen der Grundlegung der Mathematik machte ich in den Vorlesungen über Allgemeine Mengenlehre und Mathematische Logik meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. K . SCHRÖTER, und in den Vorlesungen von Herrn Prof. Dr. G. ASSEB. Diesen Vorlesungen entnahm ich manche wertvolle Anregung, auch wenn in dem vorliegenden Buche ein anderer Aufbau der Mengenlehre verfolgt wird. Die verwendeten logischen Zeichen, die Methode der Ausdrucksbestimmung (in § 1) sowie ein Großteil der systematischen Zusammenstellung logischer Schlüsse (in § 2) entstammen z. B. diesen Vorlesungen. Herrn Dipl.-Math. R . HEBENSTREIT danke ich für seine während der Fahnenkorrekturen geleistete sorgfältige Mitarbeit und die daraus resultierenden zahlreichen wertvollen Hinweise. Herrn Prof. Dr. H. GBEIIL gilt mein besonderer Dank für die Aufnahme des Buches in die mathematische Lehrbuchreihe des Akademie-Verlages und dem Verlag und der Druckerei schließlich für die präzise Ausführung von Satz und Druck. Berlin, den 1. Juni 1964

D. K L A U A

INHALTSVERZEICHNIS

Einleitung 1. Charakterisierung und Bedeutung der Mengenlehre und Allgemeinen Mengenlehre 2. Mengen, Elementbeziehung 3. Aussagen, Variable 4. Existenz von Mengen, logische Widersprüche, axiomatische Methode . . . 5. Klassen, Individuen; Stufenaufbau der Dinge 6. Charakterisierung und Gliederung der Mathematik, Gliederung der Allgemeinen Mengenlehre

1 2 3 5 10 14

KAPITEL I

Das Axiomensystem § 1. § 2. § 3. § 4.

Ausdrucksbestimmung Logisches Schließen Das Axiomensystem Stufenaufbau

17 25 33 52 KAPITEL II

Klassenalgebra § 5. §6. §7. § 8. § 9. § 10.

Die elementaren mengentheoretischen Operationen Abbildungen Punktionen Auswahlsätze Verallgemeinerte mengentheoretische Operationen Äquivalenzrelationen

63 74 81 89 92 105

KAPITEL i n

Endliche Mengen § 11. Endlichkeitsdeflnitionen § 12. Sätze über endliche Mengen

113 124 KAPITEL IV

Ordnungsrelationen § 13. §14. § 15. § 16.

Quasiordnungen Halbordnungen Grundbegriffe der Verbandstheorie Ordnungen

130 138 157 175

VIII

Inhaltsverzeichnis

§ 17. Wohlordnungen § 18. Verwandte Sätze zum Auswahlaxiom § 19. Induktionsprinzipien

188 204 221

KAPITEL V

Kardinalzahlen, Ordinalzahlen, Ordnungstypen § 20. §21. § 22. §23. §24. § 25. § 26.

Ordnung der Mengen nach ihrer Elementeanzahl 234 Kardinalzahlen 248 Ordnung der wohlgeordneten Mengen nach ihrem Wohlordnungstyp . . 257 Ordinalzahlen 275 Ordnungstypen 292 Darstellung der Mathematik im Rahmen der Mengenlehre 303 Abzählbare Mengen. Die erste und zweite Zahlklasse 344 K A P I T E L VI

Arithmetik der Ordinalzahlen § 27. §28. § 29. § 30. §31. §32. § 33. § 34. § 35.

Die elementaren arithmetischen Operationen und ihre Verallgemeinerung Rechengesetze Umkehrung elementarer Operationen Arithmetische Operationen für Ordnungstypen Polynomdarstellung der Ordinalzahlen Hauptzahlen Zerlegung von Ordinalzahlen Vertauschbare Ordinalzahlen Reguläre und singulare Ordinalzahlen

355 379 403 415 434 454 461 468 485

K A P I T E L VII

Arithmetik der Kardinalzahlen § 36. Die elementaren arithmetischen Operationen und ihre Verallgemeinerung 490 § 37. Rechengesetze 502 § 38. Alephformeln 507 § 39. D e r Satz von KÖNIG

526

§ 40. Die transfiniten Zahlklassen. Reguläre und singulare Kardinalzahlen . . 529 §41. DieBeths 547 § 42. Unerreichbare Zahlen 555 Literaturverzeichnis

573

Sachregister

575

EINLEITUNG

1. Charakterisierung und Bedeutung der Mengenlehre und Allgemeinen Mengenlehre. Der deutsche Mathematiker GEOBG CANTOR ( 1 8 4 5 — 1 9 1 8 ) sah sich im Jahre 1872 bei seinen Untersuchungen über trigonometrische Reihen veranlaßt, gewisse Erörterungen vorauszuschicken, welche, wie er sagt, „dazu dienen mögen, Verhältnisse ins Licht zu stellen, die stets auftreten, sobald Zahlgrößen in endlicher oder unendlicher Anzahl gegeben sind"; es handelte sich dabei um punktmengen theoretische Begriffe wie „Häufungspunkt einer Menge von Punkten", „Ableitung einer Menge von Punkten" usw. Diese Erörterungen gaben CANTOR den Anstoß, ganz allgemein eine Theorie über beliebige Mengen von Dingen aufzustellen. CANTOR wurde damit zum Begründer der Mengenlehre, wie man die Theorie der Mengen von Dingen nennt. Es stellte sich im Laufe der Zeit heraus, daß die Mengenlehre nicht nur neue Gebiete der Mathematik ins Leben rief (wie z. B. die Allgemeine Topologie, ein neuer Zweig der Geometrie) oder schon bestehende mathematische Gebiete zu einer fruchtbaren Weiterentwicklung brachte (wie z. B. die Analysis), sondern daß sie in ihrer heutigen Form die zentrale mathematische Disziplin bildet in demjenigen umfassendsten Sinne, daß sich alle derzeitigen mathematischen Begriffe als mengentheoretische Begriffe erklären lassen und man damit jedes derzeitige Teilgebiet der Mathematik als Teilgebiet der Mengenlehre ansehen darf. Die Wissenschaft Mathematik — die in der Praxis, etwa in den Naturwissenschaften, breiteste Anwendung findet — fällt also beim heutigen Entwicklungsstand von Mathematik und Mengenlehre mit der Mengenlehre zusammen. Die Mengenlehre zählt damit zu den großartigsten Leistungen, die menschliches Denken hervorgebracht hat. Da wir uns in dem vorliegenden Buche mit moderner Wissenschaft befassen wollen, dürfen und werden wir somit „Mathematik" und „Mengenlehre" als synonyme Begriffe verwenden. Unter Allgemeine Mengenlehre oder Abstrakte Mengenlehre versteht man dasjenige Teilgebiet der Mengenlehre, das nur die allgemeinsten und für die gesamte Mathematik grundlegenden mengentheoretischen Tatsachen behandelt. Die Allgemeine Mengenlehre bildet also heute das Fundament der Mathematik. Wenn in diesem Buch ein Fundament der Mathematik gelegt werden soll, so dürfen natürlich keinerlei mathematische Vorkenntnisse vom Leser vorausgesetzt werden. Und dem ist auch so. Der Leser braucht absolut nichts von Mathematik zu wissen. Lediglich die Anforderungen, welche das Studium der Allgemeinen Mengenlehre an das Denk- und Abstraktionsvermögen des Menschen stellt, lassen es ratsam erscheinen, vom Leser trotzdem ein zweisemestriges Mathematikstudium vorauszusetzen, weil er dann den erwähnten Anforderungen am besten gewachsen ist.

2

Einleitung

2. Mengen, Elementbeziehung. Wollen wir Mengenlehre betreiben, so müssen wir uns zunächst Klarheit über den Gegenstand mengentheoretischer Untersuchungen verschaffen. Den Untersuchungsgegenstand der Mengenlehre bilden die Mengen. Der Mengenbegriff, nicht zu verwechseln mit dem Anzahlbegriff, wird dabei als nicht näher erklärbarer Grundbegriff verwendet, mit dem man sich lediglich an Hand von Beispielen vertraut macht. Andere Bezeichnungen für eine Menge, die den Mengenbegriff anschaulich noch etwas untermalen, sind etwa: Ideelle Zusammenfassung zu einem einheitlichen Ganzen, Gesamtheit, Charakteristisches Gemeinsames. B e i s p i e l e für Mengen: (1) Die Menge der Weizenkörner in einem bestimmten Sack Weizen. (2) Die Menge der gegenwärtig in Deutschland existierenden Städte und der gegenwärtig ins Schwarze Meer mündenden Flüsse. (3) Die Menge der vollen Umläufe des Mondes um die Erde im Laufe des Jahres 1960. (4) Die Menge aller Menschen, die im Zeitraum vom Jahre 1500 bis zum Jahre 2500 das 60. Lebensjahr erreichten bzw. erreichen. (5) Die Menge aller Himmelskörper unseres Milchstraßensystems aus Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft. (6) Die Menge der Urlaubsreisen, die ein bestimmter Herr A in seinem Leben unternimmt. (7) Die Menge der Traumbilder, die ein bestimmter Herr A — auf einen festen Zeitpunkt bezogen — während seines letzten Traumes hatte. (8) Die Menge aller Mengen, welche — auf einen festen Zeitpunkt bezogen — je aus zwei die englische Sprache beherrschenden Personen bestehen. (Diese Menge besteht also aus Mengen und nicht etwa aus Personen.) (9) Die Menge, welche aus den drei Mengen der Beispiele (2), (3), (4) besteht. (Diese Menge besteht also aus Mengen und nicht etwa aus den in den drei Mengen (2), (3), (4) enthaltenen Dingen.) (10) Die Menge aller Dinge, die bei vorgegebenen Mengen M und N in M oder in N enthalten sind. (11) Die Menge, welche aus den neun Mengen der Beispiele (1) bis (9) besteht. (12) Die Menge aller Dinge, die gleichzeitig in den beiden Mengen der Beispiele (9) und (11) enthalten sind. Alle Dinge, also auch die Mengen, sind Dinge der objektiven Realität', sie existieren also in der Realität und existieren dabei objektiv, d. h. sind unabhängig davon, welcher einzelne Mensch und ob überhaupt ein Mensch diese Dinge in sein Bewußtsein aufnimmt. Die Dinge, welche durch eine Menge zusammengefaßt werden, heißen die Elemente der betreffenden Menge. Man sagt von einer Menge, sie bestehe aus ihren Elementen; man sagt von einer Menge und irgendeinem ihrer Elemente, daß sie dieses Element besitzt bzw. enthält und daß dieses Element in der Menge enthalten ist, in der Menge liegt bzw. zu der Menge gehört, aus der Menge ist. Als Abkürzung für ist ein Element von hat sich das Zeichen £ eingebürgert, ein stilisiertes griechisches s; 6 liest man als: Element und nennt die durch 6 ausgedrückte Beziehung zwischen Dingen die Elementbeziehung oder s-Beziehung. Bezeichnet z. B.

3

Einleitung

M die Menge des obigen Beispieles (4) und c den Mathematiker ein Element von M ; also abkürzend:

C A N T O B , SO

ist c

c 6 M (gelesen: c Element

M).

Eine Menge muß nicht unbedingt ein Element besitzen. Unternimmt Herr A aus dem Beispiel (6) nie in seinem Leben eine Urlaubsreise, so enthält die Menge seiner Urlaubsreisen kein einziges Element; sie ist leer. Eine Menge ist als ideelle Zusammenfassung von Dingen selbst ein abstraktes Ding, das wir also in keinem Falle mit unseren Sinnen wahrnehmen können; eine Menge von Menschen kann man z. B. nie sehen, höchstens die Elemente dieser Menge, nämlich die betreffenden Menschen. Der Mengenbegriff ist extensional; d.h. eine Menge ist bereits durch ihren Umfang eindeutig bestimmt oder genauer: Eine Menge ist, unabhängig von ihren Beschreibungsmöglichkeiten, bereits durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt. Bezeichnen also M und N gewisse Mengen, welche dieselben Elemente besitzen, so sind M und N in jedem Fall identisch, auch wenn M und N verschiedenartig beschrieben sind wie im folgenden B e i s p i e l : M sei die in Beispiel (1) beschriebene Menge. Man schütte die Weizenkörner des betrachteten Sackes Weizen auf 5 leere Blechkanister um und bezeichne mit N die Menge aller in diesen 5 Blechkanistern befindlichen Weizenkörner. Dann sind M und N identisch. Auf Grund der Extensionalität, des Mengenbegriffes kann man von einer Menge M als von derjenigen Menge sprechen, die genau die Elemente von M als Elemente besitzt; denn M ist durch seine Elemente eindeutig festgelegt. Die Mengen fallen mit den Eigenschaften zusammen. Eine Eigenschaft ist ja beim näheren Hinsehen weiter nichts als das charakteristische Gemeinsame, welches alle die durch die betreffende Eigenschaft gekennzeichneten Dinge aufweisen; die Eigenschaft „grün" ist z. B. das charakteristische Gemeinsame, das allen grünen Dingen zukommt. Eine Menge ist andererseits das charakteristische Gemeinsame ihrer Elemente, also diejenige Eigenschaft, welche auf genau die Elemente dieser Menge zutrifft. Eigenschaft ist also eine weitere Bezeichnimg für eine Menge. Von einem in einer Menge M gelegenen Element e sagt man dann auch, e besitzt die (oder ist von der) Eigenschaft M oder die Eigenschaft M trifft auf e zu. In der Mengenlehre wird von allen bisher aufgeführten Bezeichnungen für Mengen vorwiegend die Bezeichnung „Menge" verwendet. 3. Aussagen, Variable. Die Mengenlehre untersucht nun in ganz allgemeiner Weise die Mengen im Hinblick auf die e-Beziehung. Die Untersuchungen beginnen in der offenbar allgemeinsten Form, nämlich unter Zulassimg nur solcher auf ihre Richtigkeit zu prüfenden Aussagen über Mengen, deren durch sie ausgedrückter Sachverhalt sich auch, wenn man von unwesentlichem sprachlichen Ballast absieht, allein mit Hilfe von Variablen für Mengen, der e-Beziehung £ und mit Hilfe rein logischer Begriffe ausdrücken läßt wie z.B. nicht, und, das nicht-ausschließende oder (d. h. A oder B ist auch richtig, wenn A und B beides wahre Aussagen sind; im Gegensatz hierzu ist beim ausschließenden entweder A oder B die eine der beiden Aussagen A und B wahr, die andere falsch), wenn - so, genau - dann - wenn, für jedes, es gibt (mindestens) ein, es gibt höchstens ein, es gibt genau ein, der bestimmte

4

Einleitung

Artikel dasjenige und (ist) gleich (im Sinne der Identität, d. h. der völligen Übereinstimmung von Dingen; jedes Ding ist nur sich selbst gleich, nur mit sich selbst identisch). Die Erfahrung lehrte, daß man in der Mengenlehre mit den eben als Beispiele angegebenen logischen Begriffen sogar vollkommen und bequem ausreicht. Aussagen (auch: sinnvolle Aussagen) sind vom Menschen vereinbarte Signale, wie z. B. bestimmte Schriftzeichenreihen, bestimmte Lautfolgen, welche zum Zweck der gegenseitigen menschlichen Verständigung und gemäß der ihnen vom Menschen beigelegten Bedeutung wohlbestimmte — tatsächlich vorliegende oder gedachte — Sachverhalte der objektiven Realität (d. h. daß sich gewisse Dinge in gewisser Weise verhalten) widerspiegeln (ausdrücken, beschreiben, bedeuten). Je nachdem, ob der von einer Aussage widergespiegelte Sachverhalt tatsächlich in der Realität vorhegt oder nicht, heißt die betreffende Aussage wahr (richtig, gültig) oder falsch (unwahr, unrichtig, ungültig). Jede Aussage ist also entweder wahr oder falsch (Satz der Z w e i w e r t i g k e i t der Logik). Die Entscheidung darüber, ob eine vorgelegte Aussage wahr oder falsch ist, bildet oft ein schwieriges Problem; jedes wissenschaftliche Problem besteht letzten Endes darin, Wahrheit bzw. Falschheit gewisser Aussagen festzustellen. Wir verabreden, als Aussagen der Mengenlehre ausschließlich Schriftzeichen reihen, als die präzisesten Verständigungsmittel, zu verwenden; genauer: Schriftzeichenreihen der internationalen Schriftsprachen aus Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft (wie die lateinische, griechische, deutsche, englische, russische, französische, . . . Schriftsprache); dabei sind diese Schriftsprachen für unsere mengentheoretischen Belange gegebenenfalls durch Hinzunahme neuer, abkürzender Symbole (d. h. Schriftzeichen) zu ergänzen — wie z. B. durch Hinzunahme von von Variablen oder von logischen Zeichen (s. u.). Speziell wird in dem vorhegenden Buche bei der Wiedergabe von Aussagen der Mengenlehre die durch evtl. Hinzunahme neuer, abkürzender Symbole erzänzte moderne deutsche Schriftsprache verwendet. Variable (Veränderliche) für gewisse Dinge (in unserem Fall etwa für Mengen) sind ausgewählte Schriftzeichen (etwa bestimmte Buchstaben), deren jedes zur Formulierung von Aussagen über die betreffenden Dinge als Bezeichnung für jedes dieser Dinge im Sinne des folgenden B e i s p i e l e s verwendet werden darf: Wählen wir die kleinen lateinischen Buchstaben a, b, c, m und x als Variable für Mengen, so besagt das, daß etwa Für jedes a gibt es ein b, das gleich demjenigen m ist, für welches für jedes x gilt: x £ m ist genau dann gültig, wenn x gleich a ist. eine Aussage ist, welche die Bedeutung hat: Für jede Menge a gibt es eine Menge b, die gleich derjenigen Menge m ist, für welche für jede Menge x gilt: x 6 m ist genau dann gültig, wenn x gleich a ist. Da natürlich Dinge nicht von ihrer Bezeichnung abhängen, kann man den durch unsere Aussage beschriebenen Sachverhalt u. a. auch ausdrücken durch die Aussage Für jedes c gibt es ein a, das gleich demjenigen x ist, für welches für jedes b gilt: b € x ist genau dann gültig, wenn b gleich c ist.

Einleitung

5

Ausdrücke wie a £ b oder Für kein c gilt: c d a oder c £ b — a, b, c seien wieder Variable für Mengen — sind nach dem eben festgelegten Variablengebrauch keine Aussagen, sondern nur Aussagenformen, da sie dann zu Aussagen werden, wenn man für die in ihnen auftretenden Variablen a und b die Bezeichnungen ganz konkreter, wohlbestimmter, aber dabei beliebig ausgewählter Mengen einsetzt, wofür man auch kurz sagt, daß die angegebenen Ausdrücke dann zu Aussagen werden, wenn man die Variablen a und b beliebig fest ausgewählte Mengen bezeichnen läßt. Bei Verwendung von Variablen braucht man zur Formulierung immer längerer Aussagen im allgemeinen immer mehr Variable. Für unsere augenblicklichen Betrachtungen seien die Schriftzeichen °o> °i> aa> ••• Variable für Mengen. Das bedeutet ausführlich: Der Buchstabe a, indiziert mit irgendeiner Schriftzeichenreihe, welche durch endlichoftmaliges Nebeneinanderschreiben bestimmter Zeichen aus der Menge der Schriftzeichen 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 entsteht, soll Variable für Mengen sein. Zugelassene Mengenvariable sind also z. B. a ®03611 l i ®9 > °25 > (gelesen: a eins, a neun, a zwei fünf, a null drei sechs eins eins). Bei Verwendung der eingeführten Variablen für Mengen unterhegt dann die Bildung von Mengenaussagen keinerlei Beschränkungen mehr in Hinsicht auf die eventuell zu kleine Anzahl der zugelassenen Variablen. 4. Existenz von Mengen, logische Widersprüche, axiomatische Methode. Die ersten Fragen mengentheoretischer Untersuchungen sind Fragen nach der Existenz gewisser Mengen, wobei, wie bereits erwähnt, zunächst solche Aussagen über Mengen auf ihren Wahrheitsgehalt untersucht werden, deren durch sie ausgedrückter Sachverhalt sich auch (bei Verwendung der eben eingeführten Mengenvariablen) allein mit Hilfe der Mengenvariablen a 0 , a x , a2, . . . , der e-Beziehung £ und der obigen logischen Begriffe ausdrücken läßt. So fragt man z. B. — M, X, Mlt M2 seien im folgenden ebenfalls Variable für Mengen —, ob es für behebige Mengen Mx und M2 jeweils diejenige eindeutig bestimmte Menge M gibt, welche alle Elemente von M 1 , die selbst Mengen sind, und alle Elemente von M 2 , die selbst Mengen sind, enthält und nur diese Elemente als eigene Elemente besitzt. (Sind also speziell Mlt M2 Mengen von Mengen, so ist M diejenige Menge, welche als Elemente genau die Elemente von Mx und M2 enthält.) Auf Grund der Extensionalität des Mengenbegriffes genügt es, die Frage zu beantworten, ob es für beliebige Mengen M1 und M2 überhaupt eine Menge M von Mengen gibt, welche genau diejenigen Elemente von M1 und M2 enthält, die selbst Mengen sind. Noch allgemeiner hat man schließlich die Aussage

6

Einleitung

Für jedes Mr und jedes M2 gibt es ein M, das als Mengenelemente (d. h. als Elemente, welche Mengen sind) genau diejenigen Elemente von M1 und M2 enthält, die selbst Mengen sind. auf ihren Wahrheitsgehalt zu prüfen. Der Sachverhalt dieser Aussage läßt sich auch wirklich mit den von uns zugelassenen Hilfsmitteln (a0, , a 2 , . . . ; £ und die logischen Begriffe) ausdrücken. Präpariert man nämlich die logische Struktur der Aussage heraus und verwendet, lediglich als rein technische Hilfsmittel zur eindeutigen Wiedergabe dieser logischen Struktur, etwa noch die Klammern ,,(" — gelesen: Klammer auf — und „)" — gelesen: Klammer zu—, wobei in Klammern Zusammengefaßtes logisch zusammengehörig sei, so erhält man der Reihe nach: Für jedes M1 und für jedes M2 gibt es ein M, so daß für jedes X gilt: X £ M gilt genau dann, wenn X £ M1 oder X £ M2 gilt. Für jedes M1 gilt: für jedes M2 gilt: es gibt ein M mit: für jedes X gilt: X £ M gilt genau dann, wenn gilt: X £ M1 oder X £ M2. Für jedes Mt für jedes Mz es gibt ein M für jedes X (X £ M genau dann, wenn (X £ M1 oder X £ Mt)). Zur Vereinfachung derart logisch präzis formulierter Aussagen, wie sie in der Allgemeinen Mengenlehre zumindest am Anfang vorwiegend verwendet werden, benutzen wir zweckmäßig noch Abkürzungen der logischen Begriffe. Es haben sich für die logischen Begriffe die folgenden logischen Zeichen eingebürgert, die entsprechend ihrer Bedeutung gelesen werden: nicht,

und,

~

für jedes,

es gibt ein,

V

3

oder,

wenn-so,

\/

—>

genau-dann-wenn, •«-*

es gibt höchstens ein,

es gibt genau ein,

3!

3H

dasjenige, I (ein stilisiertes griechisches i)

gleich. =

(Für Aussagen A, B bedeutet und liest man die Aussage 4 - > ß : wenn A, so B. Das Zeichen v ist das stilisierte ,,v" aus dem lateinischen nicht-ausschließenden „oder", nämlich „vel"; ist das zu v duale Zeichen, da die Begriffe „und" und „oder" duale Eigenschaften besitzen, wie wir in § 2 sehen werden. V soll an „alle" und 3 an „existiert" erinnern; denn statt „für jedes" und „es gibt ein" kann man auch sagen „für alle" und „es existiert ein.") Damit erhält man aus unserer obigen Aussage, wenn man noch statt der Variablen M, X, Mu M2 die Variablen a0, ax a2, a3 verwendet, endgültig die AusV « 2 V « 3 3«o V®i K € o0

K ea2\y a1ea3)).

(*)

7

Einleitung

Die Schriftzeichen V , - > , -e*, v , 3 . 3 ! , 3 ! ! , I, = ; (, ) heißen die „zunächst zugelassenen Ausdrucksmittel" der Mengenlehre. Auf Grund der anschaulichen Vorstellungen, die wir mit dem Mengenbegriff verbinden, gelangen wir zu der Feststellung, daß es bei der Aussage (*) betreffs ihres Wahrheitsgehaltes gar nichts zu untersuchen gibt: Selbstverständlich gibt es zu jedem a 2 und jedem a3 ein gesuchtes a 0 ; die Gültigkeit der Aussage (*) ist evident und bedarf also keines Nachweises. Kürzt man den Ausdruck («! £ a 2 v

É a3)

der Aussage (*) mit Hi («i) (gelesen: von ax) ab, so erscheint uns in Betrachtung von Ht (aj die Gültigkeit von (*) erneut als evident mit der Begründung, daß doch, bezeichnen a 2 und a 3 behebig fest ausgewählte Mengen, für eine Menge ax die Aussage Hi (a x ) entweder richtig oder falsch ist; diejenigen alt für die H1 (a-¡) gilt, können wir dann natürlich zu einer neuen Menge a 0 zusammenfassen. Kürzt man mit H2 (at) und H3 (aj etwa die Ausdrücke \/a2 V « 3 ((«2 € % /n a3 e a2) -+a3e

ax)

und

6 a a /\ 3 a3 (a3 É ^ A U j f a 2 ))

ab, so erscheint uns, nach denselben Argumenten wie eben bei der Betrachtung von H1(a1), auch die Richtigkeit der folgenden beiden Aussagen als evident: 3AO V®i («i e «o ^

H2Í'H))

,

V « 2 3 ®o V % K € a 0 + + H 3 K ) ) . Bezeichnet schließlich, in Fortsetzung solcher Beispiele, H{a 1 ) irgendeinen mit Hilfe der zunächst zugelassenen Ausdrucksmittel in bezug auf deren Bedeutung sinnvoll gebildeten Ausdruck (wie es etwa die Ausdrücke H^a^), H2(a1), H3(ax) sind), in dem die Variable a t und eventuell noch die weiteren Variablen a 2 , a 3 , . . . frei vorkommen, d . h . diese Variablen alt ... kommen in H(a-¡) vor, und auf keine dieser Variablen bezieht sich an irgendeiner Stelle in dem Ausdruck H(a1) ein diese Variable „bindendes" logisches Zeichen \/> 3> 3 !> 3 - > 1 (in (ai) kommen z. B . alt a2, a3 frei vor, in H2(a¡) nur ax und in Hs(ar) die Variablen , a2), so erscheint uns, nach denselben Argumenten wie oben bei der Betrachtung von H1(a1), ganz allgemein die Richtigkeit der Aussage (V) 3 « o V « i K € «o ^

(«i))

(**)

als evident (sind etwa a 2 , a 3 , . . . die in H ( a j ) außer a x noch weiter frei vorkommenden Variablen in der Reihenfolge ihres ersten Auftretens in H{al) (von links nach

8

Einleitung

rechts gelesen), so bedeutet (V) •' V®2 V«3 • • •! kommt außer keine Variable weiter frei in H(a x ) vor, so bedeutet (**) die durch Weglassen yon (V) entstehende Aussage), wobei a 0 nicht in H(a1) vorkomme und wobei noch — damit (**) eine sinnvolle Aussage ist — stillschweigend vorausgesetzt sei, daß jede in H(ax) vorkommende, aber nicht frei vorkommende Variable gebunden in H(at) vorkommt, d. h. auf jede solche Variable bezieht sich an jeder Stelle ihres Auftretens in H(a1) eines der Zeichen \/, 3,3'»3! !> , , v , 3 , 3 ! , 3 ü , i, = ; (, ); welche Aussagen untersucht werden, hängt von dem durch sie erweckten Interesse ab; die Untersuchungen werden axiomatisch geführt, wobei die angeführten Ausdrucksmittel als die Ausdrucksmittel des axiomatischen Aufbaues verwendet werden. Indem die verwendeten Variablen jetzt Variable für Dinge sind und nicht nur für Klassen wie zu Beginn unserer einleitenden Betrachtungen, wird gleichzeitig auch die als störend zu empfindende Erscheinung beseitigt, daß man bei Verwendimg nur von Klassenvariablen (also bei den in den Abschnitten 3 und 4 begonnenen mengentheoretischen Untersuchungen in der offenbar allgemeinsten

Einleitung

15

Form) stets nur solche Elemente von Klassen, welche selbst Klassen sind, zu neuen Klassen zusammenfassen kann. Wir haben nun zwar eine präzisere Definition der Mathematik angegeben, man erhält aber durch diese Definition wegen ihres Bestandteiles „hängt von dem durch sie erweckten Interesse ab" trotzdem keine befriedigende Abgrenzung derjenigen wissenschaftlichen Untersuchungen, welche mathematischer Natur sind; man weiß nur, daß sich die derzeitige Mathematik in den in unserer Definition aufgeführten axiomatischen Rahmen einfügt. Die realste Definition der Mathematik scheint bis heute folgende triviale Definition zu sein: Die Mathematik ist diejenige, etwa im, zweiten Jahrtausend vor unserer Zeitrechnung mit der Zahlen- und Raumlehre der Ägypter und Babylonier beginnende Wissenschaft, welche in der mathematischen wissenschaftlichen Literatur behandelt wird. Den besten Einblick in die heutige Mathematik gewinnt man also durch einen guten informatorischen Überblick über die vorhandene mathematische Literatur. Eine solche Information erleichtern die enzyklopädischen Werke: E n z y k l o p ä d i e der M a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n (mit sachlicher Gliederung des Stoffes), Mathematisches Wörterbuch (mit alphabetischer Reihenfolge der Begriffe), in denen ein Überblick über den (allerdings nur bis zum Zeitpunkt des Erscheinens der enzyklopädischen Werke) in der mathematischen Literatur behandelten Stoff gegeben wird, und die (periodisch erscheinenden) Referatenorgane: Mathematical Reviews, Pe$epaTHBHuit JKypiiaji MaieMaTHKa, Zentralblatt für Mathematik, in denen ein laufender Überblick über die mathematischen Literaturtitel (nach Sachgebieten geordnet) mit jeweils kurzer Besprechung des unter den einzelnen Titeln behandelten Stoffes gegeben wird. Je nach der Art der Aussagen, die bisher in der Mathematik untersucht wurden, haben sich die verschiedenartigsten Teilgebiete der Mathematik herausgebildet (vgl. die mathematische Literatur). Die Mathematik kann man heute in folgende sechs große Bereiche gliedern: G r u n d l a g e n der M a t h e m a t i k ; Algebra, Zahlentheorie; Analysis, Funktionentheorie; Geometrie, Topologie; Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik; Automatentheorie. Die einzelnen Bereiche zerfallen weiter in Teilbereiche; z. B. zerfallen die Grundlagen der Mathematik in: Allgemeine Mengenlehre; Das Z a h l e n s y s t e m ; M a t h e m a t i s c h e L o g i k und G r u n d l a g e n der M a t h e m a t i k .

16

Einleitung

Die Allgemeine Mengenlehre gliedert sich schließlich in die Gebiete: Das Axiomensystem; Klassenalgebra; Endliche Mengen; Ordnungsrelationen; K a r d i n a l z a h l e n , Ordinalzahlen, O r d n u n g s t y p e n ; Arithmetik der Ordinalzahlen; Arithmetik der K a r d i n a l z a h l e n .

KAPITEL I

DAS

AXIOMENSYSTEM

§ 1. Ausdrucksbestimmung 1. Wir geben zunächst, um völlige Klarheit zu erlangen, eine präzise Bestimmung des Begriffes einer mengentheoretischen (mathematischen) Aussage und des später in unserem Axiomensystem verwendeten Ausdrucksbegriffes.

Name

Elementzeichen Stufenzeichen

Aussagenlogische Funktoren oder Junktoren Prädikatenlogische Funktoren oder Quantoren

Die logischen Zeichen

Die Konstanten der Mengenlehre (Mathematik)

Die Variablen der Mengenlehre (Mathematik)

Generalisator Partikularisatoren Unifikator

Zeichen

gelesen

Bedeutung

a0 a1 a2

a null a eins a zwei

Variable für Dinge

e

Element

ist ein Element von

cz

stufenkleinergleich

ist stufenkleiner als oder ist stufengleich mit

/\

nicht und oder

nicht und das nicht-ausschließende oder wenn-so genau-dann-wenn

SS

n

V 3 3! 3" i

Gleichheitszeichen

Die technischen Zeichen

wenn-so genau-dann-wenn für jedes es gibt ein es gibt höchstens ein es gibt genau ein dasjenige

für jedes es gibt mindestens ein es gibt höchstens ein es gibt genau ein der bestimmte Artikel dasjenige

gleich

ist gleich im Sinne der Identität

(

Klammer auf

)

Klammer zu

Rein technische Hilfsmittel zur eindeutigen Wiedergabeder logischen Struktur von Aussagen

18

Kapitel I. Das Axiomensystem

Die Ausdrucksmittel oder Grundzeichen (Atomzeichen) der Mengenlehre (Mathematik) sind genau die auf Seite 17 angeführten Schriftzeichen, denen wir die angegebene Bedeutung zuordnen. Die Schreibweise „a0, altat, ..." bedeutet dabei ausführlich: Der Buchstabe a, indiziert mit irgendeiner Schriftzeichenreihe, welche durch endlichoftmaliges Nebeneinanderschreiben bestimmter Zeichen aus der Menge der Schriftzeichen

0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8,9 entsteht, soll Variable für Dinge sein; z. B. sind also a1,at,

a 25 , a03611 Dingvariable.

Eine Schriftzeichenreihe, welche durch endlichoftmaliges Nebeneinanderschreiben bestimmter Grundzeichen entsteht, heißt eine Zeichenreihe der Mengenlehre (Mathematik); z. B. sind € a 5 ))

= a0cz V

V « i K £ a i)

,

Zeichenreihen. Aus den Zeichenreihen sondern wir jetzt auf Grund der Bedeutung der Grundzeichen die für die Mengenlehre sinnvollen Zeichenreihen aus, nämlich die formalen Ausdrücke, die formalen Terme und die formalen Aussagen der Mengenlehre (Mathematik): (1) Bezeichnen v1 und v 2 irgendwelche Variablen der Mengenlehre, so sind die Zeichenreihen (t^e^a), ( f i C D j ) , (®i=»2) formale Ausdrücke, was natürlich, analog bei allen weiteren Betrachtungen, ausführlich bedeuten soll, daß z. B. nicht etwa die Schriftzeichenreihe ,,(v 1 £ v2)" ein formaler Ausdruck ist, sondern diejenige Zeichenreihe, welche — von links nach rechts gelesen — aus dem Zeichen (, der durch v1 bezeichneten Variablen, dem Zeichen 6 , der durch v 2 bezeichneten Variablen und dem Zeichen ) besteht; formale Adusrücke sind also z . B . : K € °i).

(«4 6 ai) > («3 € a 1B ),

(a097 € «22) •

(2) Ist Z ein formaler Ausdruck, so ist auch die Zeichenreihe (~Z) ein formaler Ausdruck. Sind Z1 und Z 2 formale Ausdrücke, so sind auch die Zeichenreihen (Z1 ^ Z 2 ),

(ZX^Z2),

{Zx -> Z 2 ),

(Z1 , 3 ® , 3 ! v, 3 ! ! v, iv m.Z vorkommt.

19

§ 1. Ausdrucksbestimmung

(4) Sind Tl und T 2 formale Terme, so sind die Zeichenreihen (1\ € T 2 ),

(TlC=T,)f

(T 1

=

T2)

formale Ausdrücke. Dabei ist eine Zeichenreihe Z ein formaler Term genau dann, wenn Z eine Variable der Mengenlehre ist oder wenn es eine Variable v der Mengenlehre und einen formalen Ausdruck Z* (v), in dem v frei vorkommt, gibt und Z die Zeichenreihe ivZ*(v) ist. (5) Formale Ausdrücke sind nur solche Zeichenreihen, die man, ausgehend von formalen Ausdrücken der Form (1), durch endlichoftmaliges (eventuell gar kein) hintereinanderfolgendes Anwenden von (2) bis (4) erhält. Ein formaler Ausdruck H heißt formale Aussage genau dann, wenn jede in H vorkommende Variable v in H gebunden vorkommt. Dabei kommt eine Variable v in dem formalen Ausdruck H gebunden vor genau dann, wenn v in H vorkommt und folgendes gilt: Zu jeder Stelle innerhalb H, an der v auftritt, gibt es einen formalen Ausdruck H*(v), in dem v frei vorkommt, so daß eine der Zeichenreihen \/vH*(v), 3vH*(v), 3 \ v H * { v ) , 3l\vH*(v), ivH*(v) ein Teilstück der Zeichenreihe H ist, welches die innerhalb H betrachtete Stelle des Auftretens von v umfaßt. Die formalen Aussagen der Mengenlehre sind erfahrungsgemäß auf Grund ihrer Definition und der Bedeutung der Grundzeichen Aussagen im üblichen Sinne, beschreiben also wohlbestimmte — tatsächliche oder gedachte — Sachverhalte der objektiven Realität; welchen Sachverhalt eine formale Aussage beschreibt, liest man ihr unmittelbar auf Grund der Bedeutung der in ihr auftretenden Grundzeichen ab. Ebenso ergeben erfahrungsgemäß solche formalen Ausdrücke der Mengenlehre, die freie Variablen besitzen und in denen jede Variable entweder frei oder gebunden vorkommt, Aussagen im üblichen Sinne, wenn man die freien Variablen dieser Ausdrücke beliebig fest ausgewählte Dinge bezeichnen läßt; man nennt daher solche formalen Ausdrücke auch formale Aussagenformen der Mengenlehre (Mathematik), Eine Aussage der Mengenlehre (Mathematik) ist eine solche Aussage irgendeiner der durch eventuelle Hinzunahme neuer, abkürzender Symbole ergänzten internationalen Schriftsprachen aus Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft, deren durch sie ausgedrückter Sachverhalt sich auch allein mit Hilfe einer formalen Aussage der Mengenlehre (was offenbar die Präzisierung von „mit Hilfe der Ausdrucksmittel der Mengenlehre" ist) ausdrücken läßt. Die formalen Aussagen der Mengenlehre sind natürlich nach dieser Definition selbst mengentheoretische Aussagen. Die innerhalb mathematischer Aussagen formalen Termen, Ausdrücken oder Aussagenformen der Mengenlehre entsprechenden Terme, Ausdrücke bzw. Aussagenformen heißen Terme, Ausdrücke bzw. Aussagenformen der Mengenlehre (Mathematik). Als Bestandteile mathematischer Aussagen treten großenteils Formeln auf. Formeln der Mengenlehre (Mathematik) sind dabei solche mathematischen Ausdrücke, welche nur aus rein mathematischen Symbolen (wie z . B . €, c|r für die Beziehung nicht stufenkleiner gleich, 0 , c (s.u.); an logischen Zeichen darf höchstens = oder =f= für verschieden auftreten), Variablen für Dinge und Klammern gebildet sind; Formeln sind also entweder selbst schon Aussagen (wenn nämlich keine Variable in ihnen vorkommt) oder werden zu Aussagen,

20

Kapitel I. Das Axiomensystem

wenn man die in ihnen auftretenden Variablen beliebig fest ausgewählte Dinge bezeichnen läßt. Mathematische Formeln, in denen an Zeichen für Beziehungen genau das Zeichen = als selbständiges Zeichen auftritt (enthält eine mathematische 3

Formel z.B. das Symbol JJ, so tritt an der betreffenden Stelle der Formel = nicht i= i

als selbständiges Zeichen auf) und als solches genau einmal, heißen auch Gleichungen der Mengenlehre (Mathematik); mathematische Formeln, in denen an Zeichen für Beziehungen genau das Zeichen =}= oder genau das Zeichen für eine bestimmte Kleiner- bzw. Kleinergleichbeziehung zwischen gewissen Dingen als selbständiges Zeichen auftritt und als solches genau einmal (wobei für alle solchen gewissen Dinge a und b gelte, daß a und b entweder gleich sind oder a kleiner als b oder b bleiner als a ist), heißen auch Ungleichungen der Mengenlehre (Mathematik). Die Mengenlehre nur an formalen Aussagen zu betreiben, wäre unzweckmäßig, weil diese Aussagen, obwohl sie zwar die durch sie ausgedrückten Sachverhalte in der logisch präzisesten Art beschreiben, mit zunehmender Länge immer unanschaulicher werden; dieser Tatbestand der Unanschaulichkeit ändert sich auch nicht, wenn man für gewisse formale Terme oder Ausdrücke mit Hilfe neuer Symbole weitere Abkürzungen einführt. Ebenso unzweckmäßig, weil zu umständlich, wäre natürlich auch eine Beschreibung komplizierterer mengentheoretischer Sachverhalte ausschließlich im Rahmen der Umgangssprache, ohne Einführung neuer, abkürzender Symbole. Wir verwenden daher zur Formulierung mengentheoretischer Aussagen eine den jeweiligen Betrachtungen am besten angepaßte Mischling aus reiner Umgangssprache und neu eingeführte*' Symbolik. 2. Wir treffen jetzt zur Vereinfachung und übersichtlicheren Formulierung von (nicht notwendig mengentheoretischen) Aussagen einige technische Verabredungen. Man verwendet für die eindeutige Wiedergabe der logischen Struktur von Aussagen der Übersichtlichkeit halber Klammern verschiedener Formen und Längen wie z. B.

(. ); {,

[, ]; (, ); {, }; [, ]•

Man verabredet für die übersichtlichere Formulierung von Aussagen K l a m m e r einsparungsregeln: (1) Jede nicht unbedingt zur eindeutigen Wiedergabe der logischen Struktur einer Aussage notwendige Klammerung kann weggelassen werden. (2) Von den logischen Zeichen -o-, ->, / \ trennt, bezogen auf diese Reihenfolge, jedes vorhergehende Zeichen stärker als jedes nachfolgende; ein beiderseits mit einer gewissen (gleichen) Anzahl Punkten versehenes dieser Zeichen trennt stärker als jedes dieser Zeichen, welches beiderseits mit einer geringeren Anzahl (evtl. gar keinen) Punkten versehen ist; für Zeichen mit derselben Anzahl Punkten gilt in analoger Form die eingangs festgelegte Reihenfolge der Trennung. (3) Jedes der mit einer gewissen Anzahl (evtl. gar keinen) Punkten versehenen Zeichen -o-, v , / \ trennt stärker als jedes der Zeichen .—', \/> 3 > 3 • > 3 ' ' >

1

•

§ 1. Ausdrucksbestimmung

21

B e i s p i e l e : Sind a, b, c Variable für Dinge, so schreibt man für die Ausdrücke ( ( o € 6 ) A ( 6 e o ) ) A ( ( i £ c ) A ( c 6 &)), o c r 6 v [ ( 6 [ r f l v 6 6 c ) v c = 6], (® 6 i v i £ a) v (Ii 6 c v c 6 i) v (b £ c v c 6 »), (a 6 b /\ b £ c)

a £ c,

G®(VMVc[a = 6 / \ 6 = c - > a =c]))), \/o {(V6 [ 3 c ( c c a A C C 6)]) - > « [ = « } , (a=iii(iiec))vc=c jetzt auch einfacher: «6!iA66aA66cAc6i, ac!) v i c a v i f e vc

& £ c v c 6 & -v- s 6 c v c i » ,

»6 J v & 6 a a £6

=6,

£> £ a *v- ~ & £ c - > - a £ c ,

3 a V i V " (« = b

b —c

a = c),

V ® {V & 3 c (c c z : a ^ c i n & ) - > a c = a } , a = i& i > £ c v c = c . Man verabredet weiter, die Verneinung einer durch ein Symbol wiedergegebenen Beziehung auch mittels Durchstreichung des Symbols auszudrücken. B e i s p i e l e : Sind a, & Variable für Dinge, so schreibt man für ~a£&,

~a

[= &,

r^j a — b

jetzt auch einfacher: a (J 6, (gelesen: a nicht Element b,

o+ 6 a nicht gleich b, oder auch a verschieden b, a ungleich b).

a nicht stufenkleinergleich b,

Man schreibt etwa für (^4, B, C, D seien Aussagen) A

B ./v B

A + + B B C

C

C -» D, C

D

22

Kapitel I. Das Axiomensystem

auch abkürzend: A^B^C^-D, in derselben Weise schreibt man etwa für a£b/\b(Lc/\c(id, auch einfacher:

a=b/\b£c/\cc£d/\d=e a € b 6 c £ d, a —b6c

d = e.

Schließlich schreibt man etwa für a£d/\b(id/\c£d, «C&AOCCAflCii, aczb/\anzcs\b=^d/\c=\=d, auch einfacher: a,b,c £ d, a er b,c,d, a er 6,c=j= 3. Das wichtigste Instrument zur Vereinfachung von Aussagen bilden die Definitionen, d. h. die Begriffsbestimmungen durch Abkürzung. Mittels einer Definition wird einem (teils unhandlichen) sprachlichen Ausdruck bzw. Term, dem Definiens, ein neugebildeter abkürzender oder besonders signifikanter sprachlicher Ausdruck bzw. Term, das Definiendum, zugeordnet. Man führt im Falle mengentheoretischer Aussagen mit Hilfe mengentheoretischer Definitionen, ausgehend von der Elementbeziehung der Stufenbeziehung er und den logischen Begriffen, nach dem Muster der folgenden Beispiele sukzessiv mittels bereits erklärter Begriffe erklärte neue, abkürzende Begriffe (d. h. sinnvolle Schriftzeichenreihen) ein, die Begriffe der Mengenlehre (Mathematik). Welche Begriffe definiert werden und wie sie definiert werden (natürlich nur in dem angegebenen Rahmen und so, daß keine Mißverständnisse oder widerspruchsvollen Überschneidungen auftreten), ist eine reine Zweckmäßigkeitsfrage. Beispiele für Definitionen: Definition, a, x seien Variable für Dinge, a ist ein Element genau dann, wenn 3 x a € x gilt; ein Element a ist ein Individuum genau dann, wenn \/a;aira; gilt; ein Ding a ist eine Klasse genau dann, wenn a kein Individuum ist. Definition. k,l,x seien Variable für Dinge. Eine Klasse k ist eine Teilklasse von der Klasse l, abgekürzt (oder statt „abgekürzt": „in Zeichen"): k er l (gelesen : k Teilklasse l), genau dann, wenn \/x(x£k^z(Ll) gilt.

§ 1. Ausdrucksbestimmung

23

D e f i n i t i o n , k, kt, k2 seien Variable für Klassen, x sei Variable für Dinge. Diejenige Klasse k, für die \/x (x d x =\= x) gilt, heißt die Nullklasse bzw. leere Klasse, abgekürzt (oder statt „abgekürzt", „bezeichnet mit"): 0 (gelesen: Nullklasse). Die Vereinigung von kx und k2, abgekürzt: kx u k2 (gelesen: kx vereinigt k2), ist dasjenige k, für welches gilt: \/x (x £ k •«-»• x £ kx x £ k2). Jeden durch eine mengentheoretische Definition (die sich meistens nur auf gewisse und nicht auf alle Dinge bezieht) eingeführten Begriff betrachten wir als gleichbedeutend mit dem im Sinne der folgenden Beispiele zugehörigen, durch die auf beliebige Dinge erweiterte ursprüngliche Definition erklärten Begriff: Der nur für Elemente erklärte Begriff des Individuums (genauer: Der nur für Elemente erklärte Begriff der einstelligen Beziehung ist (ein) Individuum) ist gleichbedeutend mit dem in bezug auf alle Dinge definierten Individuenbegriff — a,x seien Variable für Dinge —: a ist Individuum genau dann, wenn a Element ist und \/xa cz x gilt. Der für Klassen erklärte Begriff der zweistelligen Beziehung c: ist gleichbedeutend mit dem Begriff — k,l,x seien Variable für Dinge —: k c l genau dann, wenn k und l Klassen sind und \/x [x £ k -> x £ l) gilt. Der für Klassen erklärte Begriff 0 ist gleichbedeutend mit dem Begriff — k, x seien Variable für Dinge —: 0 ist dasjenige — tatsächlich existierende oder gedachte — Ding k, für welches k eine Klasse ist und \/x(x £ k - x =)= x) gilt. Der für Klassen erklärte Begriff u ist gleichbedeutend mit dem Begriff — k, ki, k2, x seien Variable für Dinge —: u k2 ist dasjenige — tatsächlich existierende oder gedachte — Ding k, für welches klt k2 und k Klassen sind und \/x (x £ k -o- x £ kt \y x £ k2) gilt. 4. Man erlangt schnell "Übung in der Formulierung mengentheoretischer Aussagen und braucht, ohne Irrtümer befürchten zu müssen, dann nicht mehr jedesmal zum Nachweis dafür, daß eine mengentheoretische Aussage vorliegt, eine nach der Definition der mengentheoretischen Aussagen zugehörige formale Aussage zu bilden. Es sei dem Leser jedoch zur technischen Einübung empfohlen, von § 3 dieses Kapitels an für etliche mengentheoretische Aussagen eine zugehörige formale Aussage zu bestimmen. Wir begnügen uns hinsichtlich der Rückführung mengentheoretischer Aussagen auf formale Aussagen der Mengenlehre ein für allemal (unter Verwendung der obigen Definitionen) mit folgendem Beispiel: Sind Klt K2 Variable für Dinge, so ist die Aussage Beliebige Klassen Kx und K2 sind gleich unter der Voraussetzung, daß Kx c K% und K2 ci Kx gilt-, außerdem ist für Klassen Kx, K2 stets 0 cz KX u K2. eine mengentheoretische Aussage; sind k, l Variable für Klassen, so sind auch die beiden Aussagen Für jedes k und l ist erstens die leere Klasse stufenkleinergleich der Vereinigung von k und l und zweitens k =1, falls k und l gegenseitig Teilklassen voneinander sind. und mengentheoretische Aussagen. Für alle drei Aussagen können wir eine gemeinsame zugehörige formale Aussage angeben. Unsere Aussagen beinhalten zunächst

24

Kapitel I. Das Axiomensystem

(a0, alt a2, . . . sind die Variablen der Mengenlehre aus der Tabelle der Ausdrucksmittel) : V « i V®2 («i Klasse /\ a a Klasse .->. 0 c

u a2

e^ analog läßt sich a 2 Klasse zurückführen. 0 bedeutet nach Definition i a3 (a3 Klasse /\ \/a0(a0 £ « 3 « a 0 = ) = « 0 ) ) , a x u a 2 bedeutet ia 3 (a1 Klasse a 2 Klasse a 3 Klasse /\ V®o (®o € a3 •• a0 £ ax v o 0 6 a 2 )); Klasse, a2 Klasse und a 3 Klasse lassen sich dabei in der für ax Klasse angegebenen Weise zurückführen. ax er a2 läßt sich nach Definition ersetzen durch at Klasse a2 Klasse \/a0 (a0 € -> a 0 6 A2)> also schließlich % C a 2 A a 2 c durch ax Klasse /\ a2 Klasse /\ \/a0 (a0 £ a x -o- o 0 £ o2), wobei man wieder Klasse und a2 Klasse in der oben für ax Klasse angegebenen Weise zurückführt. Wir erhalten damit die Aussage \/a1 \/a2 [ax Klasse /\ a 2 Klasse i o 3 {a 3 Klasse /\ \/°o (®o € a3•

so wird der durch unsere obige Aussage ausgedrückte Sachverhalt auch ausgedrückt durch die folgende Aussage: V « i V®2 t a i Klasse a 2 Klasse .->. 1 a 3 {a 3 Klasse s\ \/a0 (a0 £ a 3 -o- a 0 =j= a0)} c i O j {os Klasse /\ \/a0 (o0 f % « a 0 i % v s 0 6 a 2 )} \/°o (®o € «i « 0 € «2) -> «i = a 2 ] • Hieraus ergibt sich schließlich eine den oben betrachteten drei Aussagen zugehörige formale Aussage in der Gestalt: (V«l (V«2 (((( ~ ( 3 «o («1 € «»))) ^ (V« 0 («11= ®o)))) ^ ( ( ~ ( 3 «o («2 € «0))) v (V«o K 1= ®o))))) ((1 «3 K = «2)))))) • Man sieht sofort, daß es noch viele andere formale Aussagen gibt, die den Sachverhalt unserer drei Aussagen beschreiben. Man braucht z. B. in der gefundenen formalen Aussage nur ((A0 £ AX) (A0 6 »,)) A ((A0 £ A2) -» (aa £ «J)) für (a0 £ (o0 £ a 2 ) zu schreiben oder statt der Variablen a0, alt a2, a3 andere Variablen zu verwenden (etwa ae, o 9 , o 20 , o lx ).

25

§ 2. Logisches Schließen

§ 2. Logisches Schließen 1. Wir wollen noch einige Bemerkungen machen zum logischen Schließen an den Begriffen 3> 3 •> 3 ' < - > = , welches ja in der von uns verwendeten axiomatischen Methode des Aufbaues der Mengenlehre das einzig zulässige Hilfsmittel ist, um innerhalb mengentheoretischer Beweise, ausgehend von den als richtig anerkannten Axiomen, aus schon bekannten Sätzen der Mengenlehre neue Sätze gewinnen (ableiten, beweisen) zu können. Der Beweis eines Satzes wird also schrittweise mit Hilfe einzelner logischer Schlüsse geführt. Diese Schlüsse sind, eben weil sie rein logischer Natur sind, jedem Menschen auf Grund seines ihm eigenen Denkvermögens Selbstverständlichkeiten, welche keiner näheren Erörterung bedürfen. Obwohl die einzelnen Beweisschritte als logische Schlüsse trivial sind, kann das Auffinden des Beweises für einen mengentheoretischen Satz, also das Auffinden einer geeigneten Kette logischer Schlüsse, welche, von bekannten Sätzen ausgehend, zu dem gewünschten Satz führt, erhebliche Schwierigkeiten bereiten; der betreffende Satz ist dann ein tiefer liegender Satz der Mengenlehre. Es ist ein Wesenszug der Mathematik, daß man allein mit logischem Schließen, ausgehend von gewissen, mittels Variabler und weniger anderer Grundzeichen formulierter, anschaulicher und durch die Erfahrung erhärteter Axiome, fortlaufend brauchbare und tiefer liegende, von den Axiomen wesentlich verschiedene Sätze erhält, die in der Praxis (z. B. in den Naturwissenschaften) breiteste Anwendung finden. Diese von menschlicher Erkenntnis auch allgemein (nicht nur innerhalb der Mathematik) bevorzugte Axiomatische Methode des wissenschaftlichen Arbeitens (nur durch logisches Schließen, von gewissen evidenten Sachverhalten ausgehend, zu neuen Ergebnissen zu gelangen) hat in der Mathematik ihr bestes Beispiel. Man bezeichnet daher und wegen der unbestechlichen logischen Präzision der axiomatischen Methode jede Wissenschaft, welche ihre Ergebnisse auf eine zur Mathematik ähnliche Weise gewinnt (z. B. die Theoretische Physik), als eine Exakte Wissenschaft. Das hauptsächliche Hilfsmittel zum Auffinden mengentheoretischer Sätze und deren Beweise liefern die anschaulichen Vorstellungen, welche man über die in den betreffenden Sätzen ausgedrückten Sachverhalte besitzt. Diese anschaulichen Vorstellungen dürfen natürlich nie als Beweisschritte benutzt werden, da sie keine logischen Schlüsse sind; sie können lediglich wegweisende Anleitungen zur Durchführung von Beweisen geben. 2. Die beim logischen Schließen u. a. auftretenden logischen Begriffe ->, -o- werden folgendermaßen verwendet: Sind A, B, . . ., C irgendwelche endlich viele (nicht notwendig mengentheoretische) Aussagen, so ist jede der Aussagen A s\B,

A

4 A B A . . . A C ,

B, A ->B, A

B

A*+B, ...

\y C

entweder wahr oder falsch; ob eine dieser Aussagen wahr oder falsch ist, hängt allein von der Wahrheit bzw. Falschheit der in ihr auftretenden Aussagen A, B, ...,C ab. Die Aussage ausgedrückten ,,wenn-so"-Verknüpfving der Aussagen, der Implikation der betreffenden Aussagen, hat sich in dieser Form bewährt. Die Implikation ist die bedeutendste logische Verknüpfung von Aussagen, was auch in den weiteren Redeweisen zum Ausdruck kommt, die sich für „wennso" eingebürgert haben. Sind A und B irgendwelche Aussagen, so sagt man statt Wenn A gilt, so gilt B. auch: Aus A folgt B., A impliziert B., Unter der Voraussetzung (Prämisse) A gilt die Behauptung (Gonclusio) B., Dann, wenn A gilt, gilt B., A ist eine hinreichende Bedingung für B., Nur dann, wenn B gilt, gilt A., B ist eine notwendige Bedingung für A. An diese Redeweisen anknüpfend, sagt man analog statt auch:

A gilt genau dann, wenn B gilt.

Aus A folgt B und umgekehrt., A impliziert B und umgekehrt., A gilt dann und nur dann, wenn B gilt., A ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für B., A ist eine charakteristische Bedingung für B., A und B sind äquivalent. 3. Wir geben im folgenden als B e i s p i e l e für logische Schlüsse an den l> = Begriffen v, -, \/> 3 . 3'» eine Zusammenstellung der wichtigsten logischen Schlüsse. (1) A, B seien irgendwelche (nicht notwendig mengentheoretische) Aussagen. Dann gilt: Ist A richtig und drückt B denselben Sachverhalt aus wie A (nur z . B . mit anderen Worten oder Symbolen als A oder, bei Verwendung von Variablen, mit anderen Variablen als A), so gilt auch B. (2) A, B, C, D seien irgendwelche Aussagen. Wir verabreden, die Verneinung einer Aussage auch durch Überstreichung anzudeuten, also etwa A (gelesen:

§ 2. Logisches Schließen

27

A nicht) statt ~ A zu schreiben. Die Richtigkeit der hier aufgeführten aussagenlogischen Schlüsse sieht man formal leicht ein, wenn man die in den aufgeführten Aussagen (logischen Schlüssen) auftretenden Grundaussagen A, B, C, D nach Belieben als wahr oder falsch annimmt und in jedem der dabei möglichen Fälle nach dem oben angegebenen Wahrheitsverhalten der Negation, Konjunktion, Alternative, Implikation und Äquivalenz feststellt, daß die betrachtete Aussage wahr ist. Tritt in den im folgenden aufgeführten logischen Schlüssen genau-dannwenn als logische Hauptverknüpfung auf, so kann man sich genau-dann-wenn zerlegt denken in zweimal wenn-so B ist ja gleichwertig mit A B B A), und man erhält damit aus der betreffenden genau-dann-wenn-Aussage zwei weww-so-Aussagen, also zwei logische Schlüsse im engeren Sinne. Es gilt: (A/\B)

/\C

++ A

( A - ^ B ) s s C ++

(A ^ B)

B /\ C A sx (B

C),

4 v B v C « i v ( J B v C ) ,

C

A

(B

C).

A /\ B -o- B /\ A, A\s B o A B,

A> Ä.->.A

A ++ A ^ A,

B

> A ^y B.

B .. Ä \y B, > B,

i.^-.B^i,

A (A B) -> B ( A b t r e n n u n g s r e g e l oder M o d u s ponens), (A

B)

(B -> C) .->.

A->C

( K e t t e n s c h l u ß oder H y p o t h e t i s c h e r S y l l o g i s m u s ) .

A

3»

B

(A

(A++B)

/\(B+*

B)

(B

A),

C) .->. A ++ C,

28

Kapitel I. Das Axiomensystem (A ++ B) / x (C

D)

( 1 A C ) ^ ( B A

D)

./V (A sy C) ++ (B sy D) (A

C)

• /\• (A

(A-+ C),

( 4 A B ) - >

.4 -> (¿1 -> B) (A \y B)

C

C,

-> B, (A^C)

y\(B->C),

( A C ) \y (B A->(B

AC)

->

A^(BsyC)

D)

C) ++ (B ++ D).

A-+ {B ->C) .-o-. B A-+(B->C)

(ß

B)

(.4

(A^B)

A^(B^C)

C). C), (A^C),

(A^B)

A-+(BB.

A

B ++ A

B,

B

B,

A^B,

A < > B .< >. A Ii. A -> B

B -> Ä,

A

> B .o.B

A

(Kontraposition), A ->A A (A -> B)

(Ä

Ä

B,

B) -> B

(Satz vom ausgeschlossenen D r i t t e n oder T e r t i u m n o n d a t u r ) ,

++A, B-*A\/Ä, (A-+B)

/^.(A

(Satz v o m a u s g e s c h l o s s e n e n W i d e r s p r u c h oder R e d u c t i o a d absurdum).

29

§ 2. Logisches Schließen

Speziell folgt aus dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: B/\

(Ä->B)

->A\

d. h. eine Aussage A ist dann richtig, wenn aus ihrem angenommenen Gegenteil A die Falschheit (der Widerspruch) B einer richtigen Aussage B folgen würde. Schließlich gilt noch das HAXJBEBSche Theorem: Sind A, A*; B, B* \ C, C*; . . .; D, D* endlich viele Paare von Aussagen, erschöpfen die A, B, C, . . ., D alle Fälle, d. h. gilt 4 v B v C v ... v

D,

und schließen sich die A*, B*, C*, . . ., D* paarweise aus, d. h. gilt A* /\B*

/\ A* /\ C* /\ . . . y\ A*

/\

D*,

B* / \ C* / \ . . . / \ B* y\ D*, I j so folgt aus der Gültigkeit der Implikationen A^A*,

B^B*,

die Gültigkeit der umgekehrten A*-+A,

B*

C->C*,

...,

D-+D*

Implikationen B,

C*-+C,

...,

Denn wäre unter den angegebenen Voraussetzungen und im Falle, daß mehr als ein Aussagenpaar vorliegt, eine der behaupteten Implikationen falsch, etwa A* -> A, so wäre A* wahr und A falsch, also wären nach Voraussetzung die Aussagen B*, C*, ..., D* falsch und wäre eine der Aussagen B,C, ...,D richtig, etwa B; dann wäre also B -> B* falsch im Widerspruch zur Voraussetzung. Liegt nur das Aussagenpaar A, A* vor, so ist unter den Voraussetzungen des Theorems trivial A* —s- A wahr. (3) Die weiteren Beispiele logischer Schlüsse demonstrieren wir der Einfachheit halber anhand von Aussagen der Mengenlehre. Diese Schlüsse gelten natürlich in analoger Form in jedem anderen, nicht notwendig mengentheoretischen, Zusammenhang, in dem gewisse Dinge der objektiven Realität betrachtet werden. Ist H ein formaler Ausdruck der Mengenlehre und bezeichnen v1,v2, ... die in H auftretenden freien Variablen in der Reihenfolge ihres ersten Auftretens in H (von links nach rechts gelesen), so sei (V) B der Ausdruck V®2 • • • B; im Falle, daß keine Variablen in H frei auftreten, sei (V) B der Ausdruck H selbst. H, Hly H2- seien in den folgenden Beispielen stets solche formalen Ausdrücke der Mengenlehre, deren Variablen nur frei oder gebunden in ihnen vorkommen ; u, v, w bezeichnen stets irgendwelche Variablen der Mengenlehre, wobei jedoch verschieden bezeichnete Variablen auch verschieden seien. Die Schreibweise H (v) etwa oder H (u, v) bedeutet, daß v in H frei vorkommt bzw. u und v in H frei vorkommen; ein senkrechter Strich nach einer Variablen, wie in H (m, v | w) besagt, daß H (u, v \ w) die aus dem formalen Ausdruck H (u, v)

30

Kapitel I. Das Axiomensystem

dadurch entstandene Zeichenreihe ist, daß man in H (u, v) für v überall den nach dem Strich stehenden formalen Term, in unserem Falle also w, einsetzt. Sämtliche in irgendwelchen formalen Ausdrücken der folgenden Beispiele vorgenommenen Umbenennungen von Variablen oder Einsetzungen in Variable führen erfahrungsgemäß von diesen Ausdrücken zu Zeichenreihen, die wieder formale Ausdrücke sind. Wir lassen für die folgenden Beispiele Klammern verschiedener Länge und unsere Klammereinsparungsregeln zu. Dann gilt: Kommt in dem formalen Ausdruck H(u) nur die Variable u frei vor, so gilt die Aussage \/uH(u) genau dann, wenn für jedes beliebige, fest ausgewählte Ding u die Aussage H(u) gilt; die Aussage ~^uH(u) gilt genau dann, wenn für mindestens ein bestimmtes Ding u die Aussage H(u) gilt. Kommen allgemeiner in dem formalen Ausdruck H(u, v,...) neben u genau die Variablen v, ... frei vor, so gilt für fest ausgewählte Dinge v, ... die Aussage \/uH(u,v, ...) genau dann, wenn für diese fest gewählten Dinge v,... und für jedes beliebige, fest ausgewählte Ding u die Aussage H(u, v,...) gilt; die Aussage 3 u H(u, v, ...) gilt für die fest ausgewählten Dinge v, ... genau dann, wenn für diese fest gewählten Dinge v, ... und für mindestens ein bestimmtes Ding u die Aussage H(u, v, ...) gilt. Als Anwendung hiervon ergibt sich sofort die folgende Regel: Jeder logische Schluß aus (2) liefert, wenn man für die in ihm auftretenden Aussagen A, ... formale Ausdrücke Hlt ... der Mengenlehre einsetzt und vor den entstandenen und in Klammern gesetzten Gesamtausdruck (V) setzt (unter der Voraussetzung, daß in dem Oesamtausdruck jede Variable frei oder gebunden auftritt), einen entsprechenden Schluß für Ausdrücke. Der Kettenschluß z . B . ergibt für formale Ausdrücke Hlt Hz (unter der entsprechenden Voraussetzung) den Schluß: (V) ifli ^ (Hi -*• H^ H2). Weiter gilt:

(V) (Vm V® H(u, v)

V « H(u, v | u)),

(\/)(yuH(u,v\u)

->\/u3vH(u,v)),

(V) (3 u H(u, v | u) (V) (3 u \/v H(u, v) (\/)(\/u\/vH(u,v)

H(U,

3 u H(u, v \ u)), ++ V »

(V) ( 3 « 3 ® H(u, v,)) ist trivial. Für (b$a,

a ^ a,

a£b->b$a,

cjflCj-xici, d)

(Fundierungssatz).

Beweis, a) folgt aus Axiom I 5. b) folgt aus a). c) haben wir bereits innerhalb des Beweises zum Aussonderungssatz mit bewiesen, d) folgt aus Axiom 1 4 . und a). Aus Satz l b ) folgt u. a., daß sich keine Klasse als Element enthält, so daß also — wie man es auch anschaulich erwartet — bei unserem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre die RussELLsche und CANTOBsche antinomische Menge zusammenfallen. S a t z 2. Für beliebige Dinge a, b gilt: a) a§I++~^xx\— a, b) a 6 E

3 xa i— x,

c) a £ E /\bnza

^-b

eE,

d) a $ I / \ a n z b ^ b § I , e) a£l/\b$I^>-a

i— b,

53

§ 4. Stufenaufbau f) a e E

g) 3

/ \ b $ E - > a r —

x {x £ E

/\ \/y

b,

{y £ a

y

er

x))

a £

E .

B e w e i s , a) (-) Für jedes Individuum i gilt i i— 0 ; denn wäre i • 0 für ein i £ /, so wäre ja 0 er x für jedes Ding x (nach Definition der Individuen); da weiterhin 0 eine Menge ist, also 0 (iE ist, wäre schließlich 0 ein Individuum, also keine Klasse, was ein Widerspruch ist. Damit gilt (-»-) für den Fall a — 0, da es mindestens ein Individuum gibt. Ist aber a eine nicht leere Klasse, so gilt: 3 x x € « ; dann folgt die Behauptung aus Satz la). b) (-»-) folgt aus Axiom I 7. (-«-) Ist a i— x und wäre a $ E, so ist x (f / nach a) und x 0 nach Axiom I 6.; außerdem gilt \/y (y ix — a); denn, ist y £ x, so ist y £ E, also gibt es nach Axiom I 7. ein e £ E mit y i— e und nach dem Mengenbildungsaxiom die Menge A = M ( z r c); wäre also y r\~ a, also so wäre a der Widerspruch azz.y,

z

im Widerspruch zu a (f E. Es ergibt sich damit insgesamt yy £ x /\ a \— x /\ \/y (y £ x -+y\— a) zu Axiom I 5.

£ A

c) Ist a £ E, so gibt es nach b) ein b i— x, also ist 6 £ E nach b).

x

mit

i— x; ist dann b e z a , so ist auch

a

d) Ist a ({ I, so gibt es nach a) ein x mit x i— a; ist dann a e r b, so ist auch xi— b, also ist b ( J I nach a). e) Ist a £ / und b $ I, so gilt nach a): \/xa er x und 3 aber mit b c n a zum Widerspruch. f) Ist a £ E und b (f E, so gilt nach b): 3 aber mit b er a zum Widerspruch.

x a 1— x

x x 1—

&» *ü es führt

und. \/xx irr b\ dies führt

g) (•) Für a £ I gilt die Behauptung. Ist a und x £ JE, so gibt es nach Axiom I 7. ein e £ E mit x\— e und nach dem Mengenbildungsaxiom die Menge A = M(y i— e); v

ist dann \Jy (y £ a -H>- y er x), so ist a c A, also a £ E nach dem Aussonderungssatz. S a t z 3. a)

b)

Für

beliebige

Dinge

a,

b

gilt:

a £ l + + \ / x a c z x , a ^ E

-o- \/xx

er

a,

c) a £ / / ^ 6 £ / - > a a 6 , d) a § E

^ b

-+at=ib,

e ) a i — b ->a £E s\b f) aczib

§1,

aeI->b£l'^'d$E^>-b$E •/v

g) 0 = / -

a $ I

b $ I,

Kapitel I. Das Axiomensystem

54

Beweis, a) folgt aus Satz 2a). b) folgt aus Satz 2b). c) Ista, b £ J, so folgt aus a): azzzb /\ b cz a, also a d) Ist a, b (f E, so folgt aus b): anzb /\bcza, also azznb. e) Ist a r~ b, so kann b nach a) kein Individuum und a nach b) keine Unmenge sein. f) Es sei ac=>b. Ist dann a £ 1 , so ist nach a) \/xa nz x, also wegen a CZD 6 auch \/xb c i x, also b £ / ; ist a $ E, so ist nach b) \/xx uz a, also wegen a • b auch \/xx \zz b, also b $ E; ist a £ M und wäre b (J M, so wäre b £ / oder b (f E, also wegen a • b auch a £ / oder a (f E im Widerspruch zu a £ M; ist a £ E und wäre b so wäre wegen azzztb auch a ^ E im Widerspruch zu a £ E; ist a $ / und wäre b £ I, so wäre wegen a czi b auch a £ / im Widerspruch zu a (f I. g) Nach Axiom I 6. ist 0 / und x £ / für jedes x mit x i— 0 . Da es nach a) ein x gibt mit x i— 0 , so gilt nach c) x i— 0 für jedes x £ /, was im Falle 0 i— I ein Widerspruch zu Axiom 15. ist; also ist 0 • / . S a t z 4. Für Klassen A, B und Abbildungen F gilt: a) A £M/\BeM++A

u £ £ M,

h)A€M^sBeM->AnB£M, c) i c M . - > . i 6 M « \JA £ M,

e)AeMAxBeM, /^A x g) V b . F £ M / \ N b F ZM++F

BeM^AeM^BeM, £M.

Beweis, a) Ist A,B£M und etwa AznB (der Fall B er A beweist sich dual), so gilt xi— B für jedes x £ A u B, also ist A u B £ M nach Satz 2 g). Ist umgekehrt A u B £ M, so ist wegen A, B c: A u B nach dem Aussonderungssatz sofort A,BdM. b) Ist A £ M ^y B £ M, so gilt wegen A n B ci A, B über den Aussonderungssatz sofort A n B £ M. c) Ist A c M, A £ M, so ist nach Satz 2g) [JA £ M wegen x i—A für jedes x £ \JA. Ist umgekehrt JJ A € M, so ist X c [JA für jedes X £ A, also auch X nz [JA für jedes X £ A und damit A £ M nach Satz 2g). d) Ist A c M , A =(= 0 , so gibt es ein X £ A mit fl A c: X; also ist f\A ^M nach dem Aussonderungssatz. Ist umgekehrt fl A £ M, so muß A =|= 0 sein, da f | 0 = E und E wegen E (J E eine Unmenge ist. e) Ist A £ M, so ist X cz A für jedes X £ P A, also P A £ M nach Satz 2g). Ist umgekehrt P A £ M, so ist A £ M nach Satz 2g), falls man zeigen kann, daß xuzP A für jedes x £ A gilt. Ist aber x £ A, so ist {x} £ P A, also insgesamt xi—{xji—PA.

§ 4. Stufenaufbau f ) Ist x £ A, y £ B, so ist {x,y}

cAuB

55

und {y} c A u B, also [ x,

y]^P(AuB)

und damit i x 5 c PP {A u B). Sind also A, B £ M, so ist A x B £ M nach a), e) und dem Aussonderungssatz. Ist umgekehrt A x B £ M und A =4= 0 , B =)= 0 und i 6 i u S , so gibt es ein y mit [x, y] € A x B [y,x] £ A x B, also ist x i— A x B; damit ist A u B £ M nach Satz 2g), also A, B £ M nach a). g) Sind Yb F, Nb F £ M, so ist nach f) und dem Aussonderungssatz F £ M wegen F c (Vb i 1 ) X (Nb .F). Ist umgekehrt F £M und x £ (Vb F) u (Nb F), so gibt es ein y mit [x, y] £F\y[y,x}£ F, also ist x r~ F; damit ist (Vb-F) u (Nb.F) £M nach Satz 2g), also Vb F, Nb F £ M nach a). 2. Nach den Klassenbildungsaxiomen existiert die Klasse K (X AUmenge) x aller Allmengen. D e f i n i t i o n 1. Mit 21 bezeichne man die Klasse K (X Allmervge) der Allmengen. S a t z 5. Für Allmengen

A, B gilt:

a) U31 = E , b) AcnB-t+A

c) A i— B

= B,

A c: B,

Beweis, a) U 21 c E ist trivial. Ist umgekehrt x £ E, so gibt es nach Axiom 1 7 . ein e £ E mit x i— e; dann ist A = M (y i— e) eine Allmenge wegen x £ A; also

A £ 21, also x £ U2t- Damit ist auch E c (J21, also schließlich U ® b) {) Ist A, B £ 21, l a 5

=E.

und etwa .4 = M (x r~ ej, X

B = M (x i— e2) für gewisse eu E2 £ E, so muß zunächst e1 CD e2 sein. Wegen X A, B 0 folgt nämlich aus Axiom I 5. sofort ei r|~ A und e2 rf" B, also Ac~e1 und B EZ e 2 ; wäre A i— e1 v B i— e2, so wäre A £ A v B £ was ein Widerspruch ist; also gilt e1^nA a 5 i=ne2. Aus e1c=:e2 folgt dann unmittelbar A B und ü c i , also = ü. c) (->-) Ist A, B €91 und etwa B = M (x i— e2), so gilt wie beim Beweis von b) X

zunächst B c=ie2. Ist also A i— B, so gilt x i— A i— Bc=te2 für jedes x € A, also 4 c 5 ; wegen A i— e2 ist .4 £ 5 ; also ist er: B wegen A £ B und A $ A. ( i c C A cz B

= B

(Transitivität), (Antisymmetrie),

Kapitel I. Das Axiomensystem

56 4 c 5 v i c i

(Linearität), Y))

(Minimalbedingung),

] I ( I e 5 l A i c l A 4 = | = I )

(Unbegrenztheit),

A cji A

(Irreflexivität),

AaBs\BAczC

(Transitivität),

A c= B

B c(i A

(Asymmetrie),

A ci B

A = 5 v £ c i

(Konnexität), (Minimalbedingung),

3 X (X £ 3 l / \ A < = X )

(Unbegrenztheit).

Beweis. Die Behauptungen folgen aus Satz 5, Satz 1, § 3 und den Axiomen 14., 7. Die Behauptung 3 X ( X e S l ^ ^ 4 c = X ) ergibt sich dabei so: Zur Allmenge A gibt es ein e £ E mit A i— e; dann ist A* = M (x i— e) wegen A £ Ä* X

eine Allmenge, und es ist A cz A* wegen A cz A*, A £ A* und A (f A. Aus Satz 6 folgt sofort für beliebige Klassen K: 0 + # c S l ^ 3 Ü X ( X £ X aVF (T e K X C D ) ; denn gäbe es mindestens zwei solche X, etwa X x und X2 (mit also X x =j= X2), so müßte X x cz X 2 X a CZ sein, also X x = X 2 im Widerspruch zu X1 =|= X 2 . Es gilt dann also auch für beliebige Klassen K: 0 +

A v y ( r e i ^ i c 7 v i

= F)).

Ist M ein beliebiges Mengensystem, so gibt es höchstens ein Element X £ M, so daß X ci Y gilt für jedes Y £ M\ denn wären Xly X2 solche Elemente X £ M, so wäre ja Xt cz X2 und X2 c Xv also Xt = X2. Ebenso gibt es in einem Mengensystem M höchstens ein X £ M, so daß F e i gilt für jedes F £ M. D e f i n i t i o n 2. Ist M ein Mengensystem, welches ein Element X besitzt, so daß X c : F gilt für jedes F £ M, so heißt das dann eindeutig bestimmte Element X 6 M mit X £ F für jedes F £ M das kleinste (erste) Element von M oder das Minimum von M, bezeichnet mit: min M (gelesen: Minimum M). Ist M ein Mengensystem, welches ein Element X besitzt, so daß F c : X gilt für jedes Y £ M, so heißt das dann eindeutig bestimmte Element X £ M mit 7 c l für jedes F £ M das größte (letzte) Element von M oder das Maximum von M, bezeichnet mit: max M (gelesen: Maximum M). Aus Satz 6 folgt dann, daß jede nicht leere Klasse von Allmengen ein erstes Element besitzt und daß 51 kein letztes Element besitzt. Da es zu jeder Allmenge A (nach Satz 6) eine Allmenge X gibt mit 4 c l , ist die nach den Klassenbildungsaxiomen für jedes A £ 81 existierende Klasse K

§ 4. Stufenaufbau

57

aller X £ SK mit A cz X nicht leer; also existiert das Minimum von K. Da es zu jedem Element e (nach Satz 5) eine Allmenge X gibt mit e £ X, ist die nach den Klassenbildungsaxiomen für jedes e £ E existierende Klasse K aller X £ 81 mit e £ l nicht leer; also existiert das Minimum von K. Wir definieren daher: D e f i n i t i o n 3. Ist A eine Allmenge und K = K (X £21 A cz X), so heißt min K der Nachfolger von A, bezeichnet mit: Ä> (gelesen: Nachfolger A). Ist e ein Element und K =K(X (i 31 ^ e £ X), so heißt min K die Allmenge von e, bezeichnet mit: Ae (gelesen: Allmenge e). Es gilt dann für Allmengen A, B und Elemente e sofort:

e £ Ae £ 91, A> = B> ++ A = B; wäre nämlich A> = B> und etwa A cz B (der Fall B cz A beweist sich analog), so wäre doch 4 > c 5 c 5 > = A>, also A> cz A>, was ein Widerspruch ist. Außerdem ist sofort: \JK3x(zeE

/\X

= Ax) = E.

S a t z 7. Für Elemente e, elf e2 und beliebige Dinge a gilt: a) a £ Ae •«->• a cz e,

Ae = M ( i c e ) , X

b) a £ Ae e1 • e 2 , h)

= / -o- e £ J .

Beweis, a) Ist a £ und wäre e i— a, so wäre e enthalten in der Allmenge A = M (x i— o), also Ae c: A nach Definition von Ae; wegen a £ Ae müßte also X auch a £ A gelten im Widerspruch zur Definition von A; also ist acz e. Ist umgekehrt e £ E, a cz e und Ae = M (x i— e*) für ein gewisses e* £ E, so ist auch a c e i — e * wegen e £ Ae, also schließlich a £ Ae. Damit gilt für jedes e £ E und jedes a: a £ .Ae a cz e; daraus folgt sofort: Ae — M (x cz e). X b) Ist a £ Ae, so ist trivial a i— Ae. Ist umgekehrt a i— .Ae und wäre a (£ Ae, so wäre e i— a nach a); für jedes x £ Ae wäre dann x er e i— a nach a), also xi— a; dies führt mit a i— Ae über Axiom I 5. zum Widerspruch. 5

Mengenlehre

58

Kapitel I. Das Axiomensystem

c) folgt sofort aus a) und b). d) Für e £ E ist wegen e £ Ae trivial e r~ Ae. Wäre e r x r i e für ein x, so folgt erstens x $ Ae aus e i— x und a) und zweitens x £ Ae aus x i Ae und b), was ein Widerspruch ist. e) Ist elt e 2 £ E und i— e 2 , so gilt nach a) x rzz i e2 für jedes a; £ ^L«!, also c Ae2; es ist aber e2 € -Ae2 und e2 $ Ae1; also ist ^Ci c= Ae2. Ist umgekehrt Ae1 cz Ae2, so kann nichfe 2 1— e1 sein, da sonst nach eben Ae2 cz Ae1 wäre; es kann auch nicht ex c=i c2 sein, da sonst nach a) Ae1= Ae2 wäre; also ist e x r— e 2 .

f) und g) folgen sofort aus e) und a). h) Ist Ae — I, so ist wegen e 6 Ae trivial e £ I. Ist umgekehrt e € I, so folgt nach a) und Satz 3a), c), f): Ae = M(xczze) =M(a;c=>e) =M(x€l) =/• :t £ a; S a t z 8. Für Allmengen A, B, Klassen K, Mengen M und beliebige Dinge a gilt: a) / = min 8t, b) a, £ A c) AA

ar~ A,

=Ä>,

e) 0 = j = Z c 3 I - > m i n Z = n ^ e 5 l . f) 0 +

J/S5i^u^ew,

g) K ( l 6 ? l A l c i ) g M , X h) A = B>-+A = B u PB, A +1

K 3 s (« € M

~ 3 X(A = X>) -> 4 = U ^

i) M^0->AM

= A\JM3x(xeM/sX=Ax),

j) i = t = / - > ~ 3 j ; ( j ; r i k) 3 X ( X e » / \ J f

X =

€ M,

€ 51 ^ ^ cz A), A0

=4/=i>,

AVl(ie5(Alc4->Irj;)),

aX).

Beweis, a) Nach Satz 7h) ist I g ® , da es mindestens ein Individuum gibt; ist weiterhin I g ® mit etwa I = M ( i r e ) für ein gewisses e £ E, so kann e X

kein Individuum sein, da sonst X = 0 wäre; also ist e stufengrößer als jedes Individuum und damit / c l nach Definition von X. b) Ist a e A, so ist trivial ar~ A. Ist umgekehrt ar~ A, A = M (x r~ e) für ein gewisses e 6 E und wäre a $ A, so wäre e er a. Tür jedes x 6 A ist aber dann x\— eczza, was mit a\— A über Axiom I 5. zum Widerspruch führt. c) Es sei Ae % dann ist AA =M{xtzz A). Damit gilt A c AA; es ist wegen X A e AA und A sogar A cz AA. Wäre A cz X cz AA für eine Allmenge X, so wäre A r~ X, also A £ X nach b), also AA c X nach Definition von AA; dies ist aber ein Widerspruch zu X cz AA. Damit ist AA — A>.

59

§ 4. Stufenaufbau

d) Ist 14= A = Ax = M {y e r x), so ist X = M (y i— x) eine Allmenge mit v

v

X er A (denn wegen /=(= A kann x nach Satz 7 h) kein Individuum sein, also 0 + J e X). Wäre Y = M(y i— e) eine Allmenge für ein gewisses e £ E mit c z

Y

er

v

so wäre x i— e wegen X c z Y (für e n z x wäre nämlich Y er X) und e n z x wegen Y c z A (für x i— e wäre nämlich A c Y ) , also x r ~ x ; Widerspruch. Damit ist A = X>. Ist umgekehrt A = X>, so ist A =|= I wegen a) und A = AX nach c). X

A ,

e) Für 0 =j= K cz 21 ist trivial min IT £ 2I. Nach Definition des Minimums und des Durchschnittes gilt weiterhin wegen m i n K £ K sofort m i n K ; da min X c l für jedes X £ K ist, gilt auch min K cz f\K; also min K = K. f) Ist 0 =|= M c 21 und M £M, so ist 0 =(= \JM £ M . A sei die Allmenge M (x i— L W ; e s genügt zu zeigen: [JM = A. Ist a; £ U M , so ist x i— \JM, X

s o also x £ A; also ist JJ J f c J.. Ist umgekehrt x i— ( J J f und wäre a; (J wäre nach b) Y nzx für jedes Y £ M \ dann wäre aber auch y i—x für jedes y ( L \ } M , was mit x i— JJ M über Axiom 15. zum Widerspruch führt. Also ist insgesamt \JM = A eW.

g) Nach den Klassenbildungsaxiomen existiert für jedes A 6 21 die Klasse A* = K (X £ 21 ^ X ci A); wegen A* c PA ist A* eine Menge. Nach den Klassenbildungsaxiomen existiert für jedes M £ M

die Klasse M*

=K^x

(x 6 M X — Ax); es ist M* C.AM (denn wenn * £ M, so ist x i— M, also Ax i— AM, also Ax £ AM), also ist M* eine Menge. h) I s t A = B>, so ist zunächst nach c) B> — AB-, also gilt x £ A x er B für jedes x . Ist x 6 A , so ist demnach x i— B oder x c = s B , also x £ B oder x 6 P B (denn nach Satz 3f) ist x im Falle eine Menge, und für jedes y £ x gilt: y i— x [=i B, also y £ B, womit x c B ist). Ist umgekehrt x £ B oder x £ PB, so ist x i— B oder xnz B (da ja im Falle x £ PB gilt: x cz B), also zusammen x ^ B und damit x £ A. Es ist also A = B u PB. Ist /=(= A £ 21, gibt es keine Allmenge X mit A = X> und ist x £ A, so ist Ax cz A (es ist zunächst Ax c A wegen x d A \ A.& A I ~ X (A — X>), kann nach d) nicht Ax = A sein); also ist A c U M (X £ 21 /n X cz ^4). Ist umgekehrt x £ {JM (X £ 21 X cz A), so ist xi— A, also x £ A. Damit gilt schließlich A =

A).

i) A 0 = AI = /> folgt sofort aus c) und den Sätzen 3g), 7g). Ist 0 =(= M £ M, so ist nach f) M* — \}M ^ x (x M X = Ax) eine Allmenge. Nach Satz 7g) brauchen wir nur noch zu zeigen: M • M*. Ist x £ M, so ist x £ Ax, also x £ M*; damit ist . M c M*, also M e r M*. Wäre M i— M*, so wäre nach b) M £ M*, also gäbe es ein x £ M mit M £ Ax; dann wäre aber M cz x im Gegensatz zu x i— M. Also ist M i=i M*. j) Ist / A £ 21 und gibt es ein X mit A = X>, so gilt A — AX nach c) und ~ 3 x (X i— x i— A) nach Satz 7d); gibt es kein X mit A = X>, so ist Ax cz A für jedes x i— A (vgl. den Beweis zu h)), also wäre x i— Ax i— x unter der Voraussetzung xi— A /\ \/X (I6?IAIC4->II— x), was ein Widerspruch ist. 5*

60

Kapitel I. Das Ariomensystem

k) Man bilde für M 6 M die Allmenge M* — M (x r~ M); dann ist M nz M* X

wegen M c= M*; wäre M i— M*, so wäre nach b) M € M*, also M\— M, Widerspruch. 3. Während der Begriff „Stufe" bisher nur im anschaulichen, nicht präzisierten Sinne auftrat, wollen wir uns zum Schluß seiner Definition zuwenden in Verbindung mit den wichtigsten Sätzen über Stufen. Für jedes Element e existiert nach den Klassenbildungsaxiomen und Satz 3f) die Klasse K (x • e), die nach Satz 2g) eine Menge ist; nach den KlassenbildungsX

axiomen existiert dann also auch die Klasse K 3 « (e G E

A

I

=

M

( x

tzzie)).

D e f i n i t i o n 4. Ist e ein Element, so heißt die Menge MX ( x t=ne) die S t u f e v o n e , bezeichnet mit: S e (gelesen: S t u f e e ) . Eine Menge S ist eine S t u f e genau dann, wenn es ein Element e gibt mit S = S e . Die Klasse K ( X S t u f e ) aller Stufen werde x mit S bezeichnet. S a t z 9.

F ü r

E l e m e n t e

a) e £ S c ,

e,

e

l t

e2

e i — S e / x ^ ^ M

gilt: 6 1

—

X l

— &

e

) >

b) ex czi e2 ] I ( I e i

\/Y(Y

€K-+Xcz

Y))

3 I ( l £ S ASCIAS=(=I) 8 r\~ S

(Unbegrenztheit), (Irreflexivität),

Si— T /\T \— U ->Si— S r- T

(.Minimalbedingung),

U

(Transitivität),

T rf S

(Asymmetrie),

8r~ T v S = T v Tr~ S

(Konnexität),

0 + i c s - > 3 i ( i 6 i A v r ( r a ^ i r r v i

= F)) (Minimalbedingung),

3 I ( I e S Ai?rl)

(Unbegrenztheit).

Beweis. Die Behauptungen folgen aus Satz 10b, Satz 1, § 3 und den Axiomen 14., 7. Die Behauptung 3 1 ( l £ 6 a ä i - I ) ergibt sich dabei so: Zur Stufe S gibt es ein e £ E mit 8i— e; dann ist S i— Se £ ® wegen S i— e i— Se.

62

Kapitel I. Das Axiomensystem

Aus Satz 11 folgt sofort für beliebige Klassen K : 0 + i c S - > 3 ! ! I ( l € i A V r ( 7 e £ - > I c

Y));

denn gäbe es mindestens zwei solche X, etwa X x und X2 (mit also Xt =j= X2), so müßte er X 2 X 2 tz: X1 sein, also Xt — X2 im Widerspruch zu Xx =f= X2. Es gilt dann also auch für beliebige Klassen K : 0 + i c S - > 3 ! ! I ( l € i A \ / F ( 7 e I - > I r 7 v I =

Y)).

Es gibt also in jeder nicht leeren Klasse von Stufen genau ein kleinstes (erstes) Element (ein Minimum) in bezug auf die Relation cz bzw. i—. Weitere Begriffe und Sätze in Verbindung mit Stufen wollen wir nicht behandeln, da der präzisierte Stufenbegriff in unserer Theorie weniger wichtig ist; der wichtigere Begriff ist der Begriff der Allmenge. E, M, 31 und S erweisen sich schließlich als Unmengen: S a t z 12.

E

M$E,

21F

=

0.

Beweis. Die Behauptungen folgen unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen. Satz 5. Für Abbildungen F, G gilt: f c G ^ V b f c V b Ö A Nb F er Nb G, FczG\/x(x£_E->F

({«}) c= G VbF

eM.

S a t z 1. Für Abbildungen F gilt: F nacheindeutig ++ \/x (x 6 Vb F F voreindeutig F"1 nacheindeutig

3 ! ! y ([x, y'] € F)),

-o- \/y [y £ Nb F F

F-1 voreindeutig

-o- F

F^1 eineindeutig

F

3 !! x {[x, y] £ F)),

voreindeutig, nacheindeutig, eineindeutig,

F nacheindeutig -> F co Vb F, F voreindeutig

F oo Nb F.

B e w e i s . Die Behauptungen folgen unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen. Für eine umkehrbare Funktion F ist also F-1 wieder umkehrbar. S a t z 2. Für Abbildungen F, G, H und Klassen A, B gilt: F voreindeutig

F (A n B) = F(A) n F(B),

F voreindeutig

F (A \ B) = F (A) \ F (B),

(F u G) voreindeutig (F u G) voreindeutig (F u G) voreindeutig

(F n G) (A) = F (A) n G (A), ->(F\G)

(A) =F(A)\G

(A),

{F n G) O H = {F O H) n (G O H),

(F u G) nacheindeutig -> HO (F n G) = (H O F) n (H O G). B e w e i s . Die Behauptungen folgen unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen.

§ 7. Funktionen

83

Satz 3. Für Funktionen F, G, Klassen A, B und, beliebige Dinge a, b gilt: [a,b]eF

-o- b = F (a),

a 6 Vb F -> F . b = F (a) -o- a = F"1 (b), F-1 (A) = KiE (x