Algebraicheskie metody sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya 592211543X, 978-5-9221-1543-8

Citation preview

УДК 519.711 ББК 32.965 К 40 К и м Д. П. Алгебраические методы синтеза систем автоматического управления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 164 с. — ISBN 978-5-9221-1543-8. В монографии рассматривается синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического управления методом желаемых передаточных функций (ЖПФ). Приводится как сам алгоритм синтеза, так и способ определения ЖПФ по заданным показателям качества: времени регулирования, перерегулированию, порядку астатизма и характеру переходного процесса. Рассматривается также алгоритм синтеза оптимальных по степени устойчивости параметров регулятора, разработанный на основе критерия маргинальной устойчивости. Для магистрантов, аспирантов и научных сотрудников.

Научное издание КИМ Дмитрий Петрович АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель Оригинал-макет: Д.В. Горбачев Оформление переплета: Д.Б. Белуха



Подписано в печать 27.02.2014. Формат 60 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,25. Уч.-изд. л. 12. Тираж 300 экз. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 E-mail: [email protected], [email protected]; http://www.fml.ru Отпечатано с электронных носителей издательства в ООО «Чебоксарская типография № 1» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15 Тел.: (8352) 28-77-98, 57-01-87 Сайт: www.volga-print.ru

ISBN 978-5-9221-1543-8



  c ФИЗМАТЛИТ, 2014 

ISBN 978-5-9221-1543-8

c Д. П. Ким, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Г л а в а 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Корневые показатели качества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Маргинальная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Необходимое условие маргинальной устойчивости (12). 1.2.2. Особые нули и их свойства (13). 1.2.3. Критерии маргинальной устойчивости (14). 1.3. Свойства определителей Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Постановка задачи синтеза систем управления максимальной степени устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Метод синтеза систем управления максимальной степени устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Алгоритм синтеза систем управления максимальной степени устойчивости (20). 1.6. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Синтез П-регулятора (22). 1.6.2. Синтез ПИ-регулятора (23). 1.7. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 3-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Синтез П-регулятора (25). 1.7.2. Синтез ПД-регулятора (27). 1.7.3. Синтез ПИ-регулятора (29). 1.7.4. Синтез ПИД-регулятора (31). 1.7.5. Численный пример синтеза типовых регуляторов (33). 1.8. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров физически реализуемого ПИД-регулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Численный пример синтеза физически реализуемого ПИД-регулятора (39). Г л а в а 2. Синтез непрерывных систем управления методом желаемой передаточной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Физическая осуществимость и грубость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Полиномиальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

10 10 12

15 17 19

21

25

34

41 41 42 44

4

Оглавление

2.4. Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости . . 45 2.5. Синтез передаточной функции регулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6. Нормированные передаточные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.1. Типовые нормированные передаточные функции (49). 2.6.2. Колебательные и биномиальные нормированные передаточные функции, не содержащие нулей (50). 2.6.3. Арифметические нормированные передаточные функции, не обладающие нулями (52). 2.6.4. Геометрические нормированные передаточные функции, не содержащие нулей (54). 2.6.5. Типовые нормированные передаточные функции с одним нулем (58). 2.6.6. Типовые нормированные передаточные функции с двумя нулями (61). 2.7. Определение желаемой передаточной функции . . . . . . . . . . . . . . 65 2.8. Синтез регуляторов для объектов, не имеющих правых нулей и полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.9. Синтез астатических регуляторов, не имеющих правых нулей и полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.10. Синтез регулятора для объекта с правым полюсом . . . . . . . . . . . 74 2.10.1. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса НПФ (76). 2.10.2. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса ЖПФ (81). 2.11. Синтез регулятора для объекта с правым нулем . . . . . . . . . . . . . 82 2.11.1. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса НПФ (83). 2.11.2. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса ЖПФ (87). 2.12. Синтез регулятора для объекта с чистым запаздыванием . . . . . . . 89 2.12.1. Аппроксимация передаточной функции звена чистого запаздывания дробно-рациональной функцией (89). 2.12.2. Определение алгоритма управления с помощью аппроксимирующей передаточной функции 1-го порядка (90). 2.12.3. Определение алгоритма управления с помощью аппроксимирующих передаточных функций 3-го порядка (94). 2.13. Синтез оптимальных по быстродействию систем управления алгебраическим методом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.13.1. Вводные замечания (97). 2.13.2. Синтез оптимальных по времени регулирования линейных систем управления (98). Приложение к главе 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Г л а в а 3. Математическое описание дискретных систем управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Линейные разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Решетчатые функции и z -преобразование. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Уравнения и передаточные функции дискретных систем . . . . . . . . 3.4. Дискретная модель АИМ-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Эквивалентная схема АИМ-системы (110). 3.4.2. Дискретная модель АИМ-системы (113).

104 104 106 108 110

Оглавление 3.5. Вычисление ZT - и ZTε -изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Вычисление ZT - и ZTε -изображений от дробно-рациональной функции (115). 3.5.2. Вычисление ZT - и ZTε -изображений от оригинала, включающего множитель e−τ s (118). 3.6. Цифровые системы управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. ШИМ-системы управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Вычисление передаточных функций дискретных систем в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Вычисление передаточной функции системы, содержащей дискретно-непрерывный фильтр за дискретным элементом (128). 3.8.2. Вычисление передаточной функций системы, содержащей дискретно-непрерывный фильтр перед дискретным элементом (130). 3.9. Преобразование структурных схем дискретных систем . . . . . . . . . Г л а в а 4. Синтез дискретных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Постановка задачи. Типовые законы управления . . . . . . . . . . . . . 4.2. Синтез дискретных регуляторов с фиксированной структурой . . . . 4.3. Синтез параметров дискретного регулятора на основе непрерывного регулятора максимальной степени устойчивости . . . . . . . . . . . . . 4.4. Метод желаемых передаточных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Определение желаемой передаточной функции . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Исследование переходной характеристики объекта 2-го порядка (147). 4.5.2. Исследование переходной характеристики объекта 3-го порядка (151). 4.6. Синтез дискретной системы по непрерывной модели . . . . . . . . . . Приложение к главе 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 115

119 123 127

131 135 135 137 138 141 146

155 159

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

ПРЕДИСЛОВИЕ В классической теории регулирования и управления одной из центральных проблем является синтез систем управления — разработка регулятора (управляющего устройства), обеспечивающего заданные требования к показателям качества синтезируемой системы управления. Так сложилось, что основным и широко известным методом синтеза линейных систем автоматического управления по заданным показателям качества (время регулирования, перерегулирование и др.) и порядка астатизма стал частотный [2, 3, 12, 29, 31, 32, 41, 42, 54]. Данный метод является трудоемким и рассчитан на синтез минимально-фазовых систем управления. Алгебраический метод, основанный на использовании желаемой передаточной функции (ЖПФ) и распределении корней характеристического уравнения заданным образом, рассматривался параллельно с частотным методом [9, 12, 27, 36, 37]. Однако он не нашел широкого распространения и применения. Это, по-видимому, связано с тем, что не были разработаны четкие алгоритмы синтеза и способы определения ЖПФ. Кроме того, ЖПФ не может быть произвольной, определяемой исключительно по заданным требованиям к качеству системы управления. При выборе ЖПФ без согласования ее числителя со знаменателем и учета передаточной функции управляемого объекта (неизменяемой части) может оказаться, что задача синтеза неразрешима или синтезированная система управления будет негрубой. В 1950-е годы прошлого столетия зародилась теория оптимального управления. Начало зарождения обычно связывают со значительным интересом к задаче максимального быстродействия. Именно благодаря ей был разработан принцип максимума Понтрягина [35, 43, 4]. Эта задача возникла и рассматривалась в рамках задачи оптимальной стабилизации. Однако в результате ее решения с помощью принципа максимума получаются программные управления, переводящие управляемый объект из одной точки фазового пространства в другую точку за минимальное время. С помощью теоремы об n интервалах и метода фазового пространства можно получить оптимальное по быстродействию управление с обратной связью. Однако это удается сделать в простейших случаях и когда характеристическое уравнение объектов не имеет комплексных корней. Кроме того, возникают определенные трудности с реализацией получаемых алгоритмов управления.

Предисловие

7

С начала 1960-х годов прошлого столетия появилось большое количество работ, посвященных синтезу оптимальных по (интегральному) квадратичному критерию систем управления [1, 13, 16, 30]. Однако такой способ синтеза подвергся критике из-за незнания того, как следует выбирать квадратичные критерии, которые соответствовали бы принятым в теории автоматического управления прямым показателям качества. Кроме того, было показано, что любая экспоненциально устойчивая система является оптимальной в смысле некоторого интегрального квадратичного критерия [30, 45]. Таким образом, надежда, связанная с теорией оптимального управления как универсальным методом синтеза систем автоматического управления, со временем сменилась некоторым разочарованием. Начиная с последних десятилетий прошлого столетия стала интенсивно развиваться теория интеллектуального (почему-то не интеллектного) управления. Это связано с появлением сложных робототехнических комплексов и мобильных роботов и соответственно с существенным усложнением задач управления. При этом в последнее время интеллектуальный подход стал использоваться при решении самых разнообразных задач управления. По мнению автора, если в сложных многоуровневых системах на верхних (стратегических, тактических) уровнях применение интеллектуальных алгоритмов управления целесообразно и необходимо, то на самом нижнем (исполнительном) уровне, если известна достаточно точная математическая модель управляемого объекта, использовать интеллектуальные алгоритмы управления нет особой необходимости. В промышленных регуляторах и при разработке электроприводов широко используются типовые законы управления. Поэтому интерес к синтезу параметров типовых регуляторов не исчезает. В работах [48–53, 24] рассматривается синтез параметров, обеспечивающих синтезируемой системе максимальную степень устойчивости. В них решение задачи синтеза основано на достаточном условии оптимальности при наличии определенных ограничений. В [14–18, 20] рассмотрен метод решения задачи синтеза максимальной степени устойчивости на основе критерия маргинальной устойчивости. Данная книга посвящена алгебраическим методам синтеза алгоритмов и параметров линейных непрерывных и дискретных регуляторов. Первая глава посвящена методике синтеза параметров систем управления максимальной степени устойчивости, основанной на критерий маргинальной (граничной) устойчивости. Сначала приводятся сведения, связанные с маргинальной устойчивостью: основные понятия, необходимые условия и критерии маргинальной устойчивости, связь условий обращения в нуль определителей Гурвица с коэффициентами характеристического полинома. Затем рассматривается алгоритм синтеза параметров регулятора, обеспечивающих максимальную степень

8

Предисловие

устойчивости синтезируемой системе. На основе предложенного алгоритма синтеза получены выражения для оптимальных параметров типовых регуляторов для объектов 2-го и 3-го порядков. Глава заканчивается решением задачи синтеза оптимальных параметров физически реализуемого ПИД-регулятора для объектов 3-го порядка. Вторая глава посвящена синтезу систем управления методом желаемой передаточной функции (ЖПФ). Метод синтеза систем управления по ЖПФ включает методику синтеза передаточной функции регулятора при заданной ЖПФ и определение ЖПФ по заданным требования к показателям качества (времени регулирования, перерегулированию, порядку астатизма и характеру переходной характеристики) синтезируемой системы управления. Определение ЖПФ основано на использовании нормированной передаточной функции (НПФ). Рассматриваются четыре типа НПФ: биномиальный, колебательный, геометрический и арифметический. Исследуется, как определять ЖПФ с помощью НПФ, когда передаточная функция объекта имеет только левые нули и полюсы, т. е. является минимально-фазовым, и правые нули или правые полюса. Рассматривается также синтез систем управления с чистым запаздыванием путем аппроксимации передаточной функции объекта дробно-рациональной функцией. Заключительная часть главы посвящена синтезу систем управления оптимальных по быстродействию. При этом быстродействие определяется по времени регулирования, принятому в теории автоматического управления, а не по времени перевода системы из начальной точки в конечную (заданную или определяемому) точку в пространстве состояний, как это принято в теории оптимального управления. Третья глава посвящена математическому описанию дискретных систем управления. Особенностью дискретной системы управления является то, что она состоит из дискретного элемента и непрерывной части. Рассматриваются импульсные и цифровые системы управления, т. е. дискретные системы управления, у которых дискретным элементом является импульсный элемент или цифровое устройство. При этом в качестве импульсных рассматриваются АИМ- и ШИМ-системы — системы с импульсными элементами с амплитудно- и широтно-импульсной модуляцией 1-го рода. При анализе и синтезе дискретных систем управления непрерывную часть дискретизируют и получают дискретную модель системы управления, которая описывается линейными разностными уравнениями. Для получения дискретной модели и ее описания используют различные подходы. Однако обычно не уделяют должного внимания процессу дискретизации. Поэтому представлялось целесообразным включение ее в книгу данной главы. Четвертая глава посвящена синтезу параметров и передаточной функции регулятора дискретных систем управления. Здесь рассматри-

Предисловие

9

вается синтез параметров цифровых ПИД-регуляторов, основанных на дискретизации передаточной функции непрерывного ПИД-регулятра, параметры которой получаются путем оптимизации степени устойчивости. В данной главе рассматривается также синтез цифрового регулятора методом ЖПФ. Хотя алгоритм синтеза дискретных систем управления при заданной ЖПФ известен [14, 15, 46], методика определения ЖПФ (желаемого характеристического полинома) в случае дискретных систем управления не разработана. Поэтому в данной главе проводится исследование влияния корней характеристического уравнения на характер и показатели переходной характеристики. Получены некоторые рекомендации по построению желаемого характеристического полинома, основанные на структуре общего решения однородного линейного разностного уравнения и на примере синтеза регулятора для конкретных объектов второго и третьего порядков.

Глава 1 СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ Данная глава посвящена методике синтеза систем управления максимальной степени устойчивости, основанной на маргинальной (граничной) устойчивости. Сначала приводятся сведения, связанные с маргинальной устойчивостью: основные понятия, необходимые условия и критерии маргинальной устойчивости, связь условий обращения в нуль определителей Гурвица с коэффициентами характеристического полинома. Затем рассматривается алгоритм синтеза параметров регулятора, обеспечивающих максимальную степень устойчивости синтезируемой системы. На основе предложенного алгоритма синтеза получены выражения для оптимальных параметров типовых регуляторов для объектов 2-го и 3-го порядков. Глава заканчивается решением задачи синтеза оптимальных параметров физически реализуемого ПИД-регулятора для объектов 3-го порядка.

1.1. Корневые показатели качества Одним из наиболее широко используемых корневых показателей качества является степень устойчивости. Степень устойчивости как косвенный показатель быстродействия САУ впервые был предложен И. Н. Вознесенским в его неопубликованном докладе [7]. Чуть позже этот вопрос рассмотрели Я. З. Цыпкин и П. В. Бромберг [47]. Заметим, что степень устойчивости может служить также алгебраическим показателем запаса устойчивости. Пусть характеристический полином САУ имеет вид

f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an

(a0 > 0).

(1.1)

Когда рассматривают показатели качества системы автоматического управления (САУ), естественно предполагается, что она устойчива. И степень устойчивости η определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего корня ее характеристического уравнения, или

η = min (− Re zi ), i

i = 1, 2, . . . , n.

Справедливо следующее утверждение.

1.1. Корневые показатели качества

11

Ут в е р ж д е н и е 1.1. Граничное (т. е. максимально возможное) значение степени устойчивости равно

ηг =

1 a1 · , n a0

и оно достигается, когда действительные части всех нулей (корней) полинома (1.1) равны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Коэффициент a1 связан с корнями zi (i = = 1, 2, . . . , n) полинома (1.1) следующим соотношением:

a1 = −a0 (z1 + z2 + . . . + zn ). Пусть −αk (k = 1, 2, . . . , n) — вещественные корни или действительные части комплексных корней. И если среди корней имеется комплексный корень zi = −αi + jβi (βi = 0), то существует комплексно сопряженный корень zi+1 = −αi − jβi . Поэтому

a1 = a0 (α1 + α2 + . . . + αn ). Степень устойчивости равна минимальному αi (i = 1, 2, . . . , n). И следовательно, при фиксированных значениях коэффициентов a1 и a0 она принимает максимальное возможное значение, определяемое соотношением (1.2), когда действительные значения всех корней характеристического полинома равны между собой. Таким образом, для степени устойчивости допустимым является значение, которое удовлетворяет условию 0 < η  ηг . Следует заметить, что не всегда система управления, имеющая б´ ольшую степень устойчивости, обладает б´ольшим быстродействием (меньшим временем регулирования). Другим корневым показателем качества САУ является показатель, который определяется следующим образом:    Im λi  μ = max  , i = 1, 2, . . . , n. i

Re λi

Этот показатель характеризует склонность системы к колебаниям и его обычно называют колебательностью. Однако один из частотных показателей называется показателем колебательности. Поэтому во избежание терминологической путаницы по аналогии со степенью устойчивости данный корневой показатель будем называть степенью колебательности.

12 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

1.2. Маргинальная устойчивость Метод решения задачи синтеза системы управления максимальной степени устойчивости основан на маргинальной устойчивости. Поэтому прежде всего рассмотрим необходимые и достаточные условия маргинальной устойчивости. О п р е д е л е н и е 1.1. Полином называется маргинально устойчивым, если он имеет нейтральные (т. е. расположенные на мнимой оси) нули и не имеет правых нулей. САУ называется маргинально устойчивой, если ее характеристический полином является маргинально устойчивым. Следует заметить, что условие, которое получается при замене в критерии Гурвица знака строгого неравенства на нестрогое, не является условием маргинальной устойчивости. Действительно, например, полином f (z) = z 4 + a2 z 2 + a4 , где

a2 = 2(β 2 − α2 ),

 2 a4 = α 2 + β 2 ,

β > α > 0,

удовлетворяет полученному таким путем условию: a0 = 1 > 0 и все определители Гурвица данного полинома равны нулю. Тем не менее среди его нулей

z1,2 = −α ± jβ ,

z3,4 = α ± jβ

два нуля являются правыми. 1.2.1. Необходимое условие маргинальной устойчивости А л г е б р а и ч е с к о е н е о б х о д и м о е у с л о в и е. Если полином (1.1) маргинально устойчив, то все его коэффициенты неотрицательны: ai  0, i = 1, 2, . . . , n. (1.2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если полином (1.1) маргинально устойчив и имеет l нейтральных нулей, его можно представить в виде

f (z) = fl (z)fn−l (z), где fl (z) — полином l-й степени, все нули которого расположены на мнимой оси, fn−l (z) — устойчивый полином (n − l)-й степени. При разложении полинома fl (z) на элементарные множители нулевому корню соответствует множитель z , а мнимым корням jβ и −jβ множитель (z − jβ)(z + jβ) = z 2 + β 2 . Поэтому полином fl (z) может быть представлен как произведение полиномов с положительными или нулевыми коэффициентами, и соответственно его коэффициенты будут положительными или равными нулю. В силу необходимого условия

1.2. Маргинальная устойчивость

13

устойчивости все коэффициенты полинома fn−l (z) положительны. Следовательно, коэффициенты полинома f (z) будут положительны или равны нулю. Ч а с т о т н о е н е о б х о д и м о е у с л о в и е. Для того чтобы полином f (z) был маргинально устойчив и имел l нейтральных нулей, необходимо, чтобы частотный полином f (jω) имел l действительных корней. Это условие следует из того факта, что полином f (z) имеет l нейтральных нулей в том и только в том случае, когда частотный полином f (jω) имеет l вещественных нулей. Действительно, если jω0 является нейтральным нулем полинома f (z), то ω0 будет корнем уравнения f (jω) = 0. 1.2.2. Особые нули и их свойства. Нуль z  полинома (1.1) называют особым, если −z  также является нулем этого полинома [10]. Все нули, расположенные на мнимой оси, являются особыми, так как если jω — нуль полинома (1.1), то и (−jω) также является его нулем. Если имеются особые нули, расположенные не на мнимой оси, то, как следует из их определения, среди них обязательно будет правый нуль. Ут в е р ж д е н и е 1.2. При выполнении необходимого условия (1.2) особый нуль не может быть вещественным числом, и если имеются особые нули, расположенные не на мнимой оси, то их количество равно числу, кратному четырем. Д о к а з а т е л ь с т в о. То, что вещественное число не может быть особым нулем, следует из того, что положительное число не может быть нулем полинома (1.1), когда выполняется необходимое условие маргинальной устойчивости (1.2), т. е. когда все его коэффициенты не отрицательны. Пусть комплексное число

z  = α + jβ

(αβ = 0)

является особым нулем полинома f (z). Тогда согласно определению особого нуля нулем этого полинома будет и число

z  = −z  = −α − jβ , и соответственно его нулями будут комплексно сопряженные им числа

z = α − jβ

и

z = −α + jβ.

Ут в е р ж д е н и е 1.3. Полином (1.1) имеет l особых нулей в том и только в том случае, когда l старших определителей Гурвица равны нулю, а (n − l)-й определитель отличен от нуля [10]:

Δn = Δn−1 = . . . Δn−l+1 = 0,

Δn−l = 0.

14 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

На основе этого утверждения легко получить критерий маргинальной устойчивости, который рассматривается ниже. 1.2.3. Критерии маргинальной устойчивости К р и т е р и й м а р г и н а л ь н о й у с т о й ч и в о с т и 1. Полином (1.1) маргинально устойчив и l нулей располагаются на мнимой оси в том и только в том случае, если выполняются следующие два условия: 1◦ ) l старших определителей Гурвица полинома (1.1) равны нулю, а остальные n − l определителей положительны, т. е. выполняется условие Δn = Δn−1 = . . . = Δn−l+1 = 0, (1.3) Δn−l > 0, . . . , Δ1 > 0; 2◦ ) полином (1.1) не имеет особых нулей, расположенных не на мнимой оси. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно утверждению 1.3, если полином f (z) имеет l особых нулей, то l старших определителей Гурвица равны нулю: Δn = Δn−1 = . . . = Δn−l+1 = 0, Δn−l = 0. Число правых неособых нулей равно [10]

k = V (1, Δ1 , Δ3 , . . .) + V (1, Δ2 , Δ4 , . . .), где V ( · ) — число перемен знаков в ряду из определителей Гурвица Δ1 , Δ2 , . . . , Δn−l внутри скобок. И это число будет равно нулю, если указанные определители положительны. Таким образом, при выполнении условия (1.3) полином f (z) будет маргинально устойчив, если все l особых нулей будут нейтральными (расположены на мнимой оси). Другой критерий маргинальной устойчивости можно получить, основываясь на частотном необходимом условии маргинальной устойчивости. К р и т е р и й м а р г и н а л ь н о й у с т о й ч и в о с т и 2. Полином (1.1) маргинально устойчив и l нулей располагаются на мнимой оси в том и только в том случае, если выполняются следующие два условия: 1◦ ) l старших определителей Гурвица полинома (1.1) равны нулю, а остальные n − l определителей положительны:

Δn = Δn−1 = . . . = Δn−l+1 = 0, Δn−l > 0, . . . , Δ1 > 0; 2◦ ) уравнение

f (jω) = 0,

1.3. Свойства определителей Гурвица

15

или, что то же, система уравнений

u(ω) = Re Q(jω) = an − an−2 ω 2 + an−4 ω 4 − . . . = 0,

(1.4а)

v(ω) = Im Q(jω) = an−1 ω − an−3 ω + an−5 ω − . . . = 0

(1.4б)

3

5

имеет l действительных корней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если выполняется условие 1◦, то полином f (z) не имеет правых неособых нулей. Если частотный полином f (jω) имеет l действительных нулей, то полином f (z) имеет l нейтральных нулей. Нулей, расположенных не на мнимой оси, в том числе особых, частотный полином f (jω) не имеет. Поэтому при выполнении условия 2◦ все l нулей полинома f (z) будут нейтральными. З а м е ч а н и е. 1 В силу утверждения 1.2 при l  3 условие 2◦ в критерии маргинальной устойчивости 2 можно не проверять, а при l  4 достаточно показать, что частотный полином f (jω) имеет k (l − k = 3) действительных корней.

1.3. Свойства определителей Гурвица В дальнейшем при рассмотрении задачи синтеза систем управления максимальной степени устойчивости важную роль играет следующее утверждение. Ут в е р ж д е н и е 1.4. Для того чтобы все определители Гурвица полинома (1.1) до k-го порядка были равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты с нечетными индексами до ak при нечетном k и до ak+1 при четном k включительно были равны нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из того, что все определители Гурвица до k-го порядка содержат строку из коэффициентов с нечетными индексами, которые меньше или равны k при нечетном k и меньше или равны k + 1 при четном k. Необходимость докажем методом математической индукции. При k = 1, 2 утверждение верно, так как   a1 a3   = −a0 a3 = 0 ⇒ a3 = 0. Δ1 = a1 = 0, Δ2 =  a0 a2  Покажем, что оно верно и при произвольном k. Сначала рассмотрим, когда k = 2m — четное число. Пусть утверждение справедливо при k = 2m − 1, т. е. все определители Гурвица до (2m − 1)-го порядка равны нулю и имеет место равенство

a1 = a3 = . . . = a2m−1 = 0.

(1.5)

16 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

Нужно показать, что оно справедливо и при k = 2m, т. е. Δ2m = 0 тогда и только тогда, когда a2m+1 = 0. Определитель Гурвица 2m-го порядка имеет вид   a a a . . . a a4m−1  4(m−1)+1  1 3 5   a4m−2  a0 a2 a4 . . . a4(m−1)    0 a1 a3 . . . a4(m−1)−1 a4m−3     .. .. .. ..  Δ2m+1 =  ... . . ... . . .   0 0 0 ... a2m a2(m+1)     a2m−1 a2m+1   0 0 0 ...    0 0 0 . . . a2(m−1) a2m  Коэффициенты, у которых индексы больше n, естественно равны нулю. Перепишем этот определитель с учетом (1.5), переместив все строки, у которых коэффициенты имеют четный индекс, в верхнюю часть. Тогда получим   a0 a2 a4 . . . a2(m−1) a2m ... . . .    0 a a ... a . . .   0 2 2(m−2) a2(m−1) . . .    0 0 a0 . . . a2(m−3) a2(m−2) . . . ...    .. .. . . .. .. .. ..   .. . . . . . . . .   2m =  Δ .  0 0 0 ... a0 a2 ... . . .     0 a2m+1 . . . ...   0 0 0 ... . .. .. .. .. .. ..  .. . . . . . . . . .     0 0 0 ... 0 0 . . . a2m+1  Исходный и соответственно преобразованный определитель имеет m строк с нечетными индексами и m строк с четными индексами, и они в зависимости от m могут различаться только знаком. На главной диагонали последнего определителя находятся только a0 и a2m+1 ,  2m будет равен с точноа слева от них нули. Поэтому определитель Δ m  2m = 0 и соотстью до знака выражению am a . Следовательно, Δ 2m+1 0 ветственно Δ2m = 0 в том и только в том случае, когда a2m+1 = 0, так как a0 = 0. Теперь перейдем к случаю, когда k — нечетное число. Пусть k = 2m + 1. Так как при k = 2m утверждение справедливо, то все коэффициенты с нечетными индексами, включая a2m+1 , равны нулю. И так как все определители Гурвица до 2m-го порядка содержат строки с нечетными индексами, не превышающими 2m + 1, то они все равны нулю. Что и требовалось доказать.

1.4. Постановка задачи синтеза систем управления

17

Из утверждения 1.4 вытекает следующее следствие. С л е д с т в и е. Для того чтобы все определители Гурвица полинома f (z) были равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты с нечетными индексами были равны нулю.

1.4. Постановка задачи синтеза систем управления максимальной степени устойчивости Задача синтеза САУ максимальной степени устойчивости ставится следующим образом. Дано: передаточная функция объекта управления и передаточная функция регулятора (закон управления) с неизвестными параметрами (рис. 1.1). Требуется определить значения параметров регулятора, доставляющие максимум степень устойчивости синтезируемой системе. Пусть характеристический полином САУ имеет вид

Q(λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an . Его коэффициенты и соответственно степень устойчивости η будут функциями от указанных параметров. Рассматриваемую задачу синтеза можно сформулировать как следующую задачу на экстремум: определить α (α — вектор параметров регулятора) из условия

η ∗ = η(α∗ ) = max η(α). α

∗

При этом η называется оптимальной степенью устойчивости и α∗ — оптимальным (векторным) параметром.

Рис. 1.1. Структурная схема

Число параметров регулятора (размерность вектора α) m не должно превышать n − 1 (n — степень характеристического уравнения): m  n − 1. Если m  n и с помощью его параметров можно произвольно изменять n коэффициентов ai (i = 1, 2, . . . , n), то в этом случае корни характеристического полинома и соответственно степень устойчивости можно сделать равными произвольно заданным числам. И в этом случае постановка задачи синтеза становится бессмысленной. Если число параметров m = n − 1 и с их помощью коэффициенты ai (i = 2, . . . , n) можно произвольно изменять, то всегда можно обеспечить степень устойчивости, равную граничному значению. Таким образом, число параметров m = n − 1 является максимально допустимым.

18 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

Широко известны типовые законы управления, наиболее общим среди которых является пропорционально-интегродифференциальный закон (ПИД-закон)   1 u = kп + kд p + kи e. p

Здесь p обозначает оператор дифференцирования. В этом случае регулятор называется ПИД-регулятором и его передаточная функция в операторной форме имеет вид 1 p

Wр = kп + kд p + kи . Из ПИД-закона в частных случаях получаем: при kд = kи = 0 пропорциональный закон (П-закон) и соответственно П-регулятор с передаточной функцией Wр = kп ; при kи = 0 пропорционально-дифференциальный закон (ПД-закон) и соответственно ПД-регулятор с передаточной функцией

Wр = kп + kд p; и, наконец, при kд = 0 пропорционально-интегральный закон (ПИ-закон) и соответственно ПИ-регулятор с передаточной функцией 1 p

Wр = kп + kи . ПИД-закон и ПД-закон можно реализовать точно только в том случае, если производную pe можно измерить, так как «идеальный» дифференциатор физически нереализуем. В противном случае при использовании реального дифференциатора, имеющего передаточную функцию k Tp Wд = д 1 , Tp + 1

передаточная функция ПИД-регулятора принимает вид

Wр = где

k1 = (kп T + kд T1 ),

k1 p2 + k2 p + k3 , (T p + 1) p

k2 = kп + kи T ,

k3 = kи .

Отсюда видно, что коэффициенты ki (i = 1, 2, 3) можно произвольно менять путем изменения исходных коэффициентов регулятора. Дальше будем предполагать, что передаточная функция объекта в изображениях Лапласа имеет вид

Wо (s) =

P (s) , Qо (s)

1.5. Метод синтеза систем управления

19

где полином числителя P (s) имеет только левые нули, а передаточная функция регулятора имеет вид

Wр (s) =

k1 sm + k2 sm−1 + . . . + km . Qр (s)

(1.6)

При этом полином Qр (s) знаменателя передаточной функции регулятора включает полином P (s) числителя передаточной функции объекта. Так что нули передаточной функции объекта компенсируются полюсами передаточной функции регулятора. При принятом выше допущении последние m коэффициентов an−m+r (r = 1, 2, . . . , m) характеристического полинома Q(λ) будут зависеть от параметров регулятора и их при решении задачи синтеза можно будет произвольным образом изменять.

1.5. Метод синтеза систем управления максимальной степени устойчивости Метод решения задачи синтеза САУ максимальной степени устойчивости основан на преобразовании характеристического полинома

Q(λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an в маргинально устойчивый полином путем постановки

λ = q − η, где η — искомая степень устойчивости. При такой постановке получим полином Qn (q) = Q(q − η) = c0 q n + c1 q n−1 + . . . + cn , (1.7) где



1 ∂ n−k Q(λ)  ck = , (n − k)! ∂λn−k λ=−η

k = 0, 1, . . . , n.

(1.8)

В соответствии с (1.8) для коэффициентов преобразованного полинома имеем

cn = a0 (−η)n + a1 (−η)n−1 + . . . − an−1 η + an , cn−1 = na0 (−η)

n−1

+ (n − 1)a1 (−η)

n−2

+ . . . + an−1 ,

(1.9а) (1.9б)

............................... c2 =

n(n − 1) a0 η 2 − (n − 1)a1 η + a2 , 2

(1.9в)

c1 = −na0 η + a1 ,

(1.9г)

c0 = a 0 .

(1.9д)

20 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

Из (1.9) следует, что коэффициент преобразованного характеристического полинома ck (k = 0, 1, 2, . . . , n) зависит от коэффициентов ai (i = 0, 1, 2, . . . , k) исходного характеристического полинома

ck = ck (a0 , a1 , . . . , ak ). И, следовательно, последние m коэффициентов an−m+r (r = 1, 2, . . . . . . , m) исходного характеристического полинома и соответственно последние m коэффициентов cn−m+r (r = 1, 2, . . . , m) преобразованного характеристического полинома зависят от параметров регулятора и их можно произвольно изменять. Коэффициенты ai и ci (i  n − m), предшествующие им, от параметров регулятора не зависят. Согласно утверждению 1.1 степень устойчивости принимает максимально возможное (граничное) значение, когда действительные части всех нулей характеристического полинома равны между собой. Для этого все нули преобразованного полинома должны быть нейтральными. А это согласно критерию маргинальной устойчивости возможно в том и только в том случае, когда все определители Гурвица равны нулю и частотный полином Q(jω) имеет n действительных нулей. В соответствии со следствием утверждения 1.4 все определители Гурвица равны нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты этого полинома с нечетными индексами равны нулю. Поэтому условие маргинальной устойчивости полинома (1.7), когда все его корни являются нейтральными, можно записать следующим образом:

c1 = 0, c2  0, c3 = 0, c4  0, . . . ,

(1.10а)

Re Qп (jω) = cn − cn−2 ω 2 + cn−4 ω 4 − . . . = 0,

(1.10б)

Im Qп (jω) = cn−1 ω − cn−3 ω + cn−5 − . . . = 0.

(1.10в)

3

Поскольку, когда степень устойчивости принимает граничное значение, все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю, уравнение (1.10б) при нечетном n и уравнение (1.10в) при четном n можно исключить. 1.5.1. Алгоритм синтеза систем управления максимальной степени устойчивости. Когда передаточная функция регулятора содержит максимально допустимое число параметров (m = n − 1), коэффициенты ci (i = 2, 3, . . . , n) зависят от параметров регулятора. Первое уравнение (1.10а) от параметров регулятора не зависит и имеет вид (см. (1.9г)) c1 = −na0 η + a1 = 0. Отсюда находим степень устойчивости, равную граничному значению:

η = ηг =

a1 , na0

21

1.6. Синтез оптимальных параметров для объекта 2-го порядка

Подставив ее в остальные соотношения (1.10а) и решив их совместно с (1.10б) при нечетном n и с (1.10в) при четном n, получим искомые значения параметров регулятора. В общем случае (m  n − 1) алгоритм определения оптимальных значений параметров регулятора основан на тех же соотношениях (1.10) и состоит в следующем. Шаг 1. Из первого уравнения (1.10а) находим степень устойчивости, равную граничному значению. Шаг 2. Подставляем полученное на первом шаге значение степени устойчивости в первое неравенство (1.10а) и находим новое значение степени устойчивости следующим образом: если это неравенство выполняется, то в качестве нового значения принимаем степень устойчивости, найденную на предыдущем шаге; если не выполняется, т. е. c2 принимает отрицательное значение, то, приравняв его нулю, находим новое допустимое (т. е. не большее ηг ) значение степени устойчивости. Шаг 3. Далее переходим к следующему соотношению (1.10а) и проделываем то же самое, что и на предыдущем шаге. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не дойдем до соотношения, которое содержит параметр регулятора. По достижении указанного соотношения, если найденная степень устойчивости равна граничному значению, то дальше придерживаемся того же алгоритма, что и при m = n − 1. В противном случае найденная степень устойчивости подставляется во все остальные соотношения (1.10а) и в уравнения (1.10б) и (1.10в). Дальше можно поступить двояким способом: 1) в оставшихся соотношениях (1.10а) все неравенства заменить на равенства и, решив полученную систему уравнений, найти искомые параметры; 2) оставшиеся соотношения в (1.10а) решить совместно с уравнениями (1.10б) и (1.10в). При первом способе в общем случае возможно, что будут получены не все решения.

1.6. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 2-го порядка Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

b0 , s2 + a1 s + a2

b0 > 0,

a1 > 0.

(1.11)

22 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

Найдем оптимальные параметры П- и ПИ-регулятора. В случае ПДи ПИД-регулятора число параметров равно степени характеристического уравнения и степень устойчивости может быть сделана равной произвольному заданному числу. 1.6.1. Синтез П-регулятора. Ут в е р ж д е н и е 1.5. Выражение для оптимального параметра П-регулятора (Wр (s) = kп ) имеет вид  1 a21 ∗ 2 kп = ω + − a2 , (1.12а) 4

b0

где ω — свободный параметр, пропорциональный степени колебательности, и оптимальная степень устойчивости равна граничному значению: a η ∗ = ηг = 1 . (1.12б) 2

Здесь и дальше свободные параметры представляют собой мнимые части корней исходного характеристического уравнения, и их можно произвольно изменять. При этом, естественно, степень устойчивости не изменяется. Д о к а з а т е л ь с т в о. Передаточная функция разомкнутой системы равна bk W (s) = Wр (s)W0 (s) = 2 0 п , s + a1 s + a2

и характеристический полином замкнутой системы принимает вид

Q(λ) = λ2 + a1 λ + a2 + b0 kп . Для коэффициентов преобразованного полинома

Qп (q) = c0 q 2 + c1 q + c2 в соответствии с (1.8) имеем

 c2 = Q(λ)|λ=−η = (λ2 + a1 λ + a2 + b0 kn )λ=−η = η 2 − a1 η + a2 + b0 kn ,  ∂Q(λ)  c1 = = (2λ + a1 )|λ=−η = −2η + a1 ,  ∂λ λ=−η  1 ∂ 2 Q(λ)  c0 = = 1. 2  2

∂λ

λ=−η

Так как число параметров регулятора m = 1 и степень характеристического полинома n = 2 (m = n − 1), то оптимальная степень устойчивости будет равен граничному значению. Поэтому условия маргинальной устойчивости (1.10) принимают следующий вид:

c1 = −2η + a1 = 0, c2 = η 2 − a1 η + a2 + b0 kп  0,

1.6. Синтез оптимальных параметров для объекта 2-го порядка

23

un (ω) = −c0 ω 2 + c2 = 0. Из первого уравнения находим

η=

a1 . 2

Из последнего уравнения имеем

c2 = ω 2. Подставив в это равенство выражения для c2 и η и решив его, получим  1 a21 2 kп = ω + − a2 . 4

b0

При подстановке этого выражения для kп в характеристическое уравнение, получим a2 λ2 + a1 λ + 1 + ω 2 = 0. 4

Корнями последнего уравнения являются

λ1,2 = −

a1 ± jω. 2

Отсюда следует, что ω — мнимая часть корней исходного характериω стического уравнения и степень колебательности μ = 2 . a1

1.6.2. Синтез ПИ-регулятора. Ут в е р ж д е н и е 1.6. Оптимальные параметры и оптимальная k степень устойчивости ПИ-регулятора (Wр (s) = kп + и ) определяs ются следующим образом:  1 a21 ∗ 2 kп = ω + − a2 , (1.13а) b0 3  a a2 kи∗ = 1 ω 2 + 1 , (1.13б) 3b0

η ∗ = ηm

9 a1 = . 3

(1.13в)

Здесь ω — свободный параметр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Передаточная функция разомкнутой системы

W (s) = Wр (s)W0 (s) =

b0 (kп s + kи ) , s(s2 + a1 s + a2 )

и характеристический полином принимает вид

Q(λ) = λ3 + a1 λ2 + (a2 + b0 kn )λ + b0 kn . Коэффициенты преобразованного полинома

Qn (q) = c0 q 3 + c1 q 2 + c2 q + c3

24 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

определяются следующим образом (см. (1.8)):

 c3 = Q(λ))|λ=−η = [λ3 + a1 λ2 + (a2 + b0 kn )λ + b0 kn ]λ=−η = = −η 3 + a1 η 2 − (a2 + b0 kn )η + b0 kn , c2 =



 ∂Q(λ))  = (3λ2 + 2a1 λ + a2 + b0 kn )λ=−η =  ∂λ λ=−η  1 ∂ 2 Q(λ))  c1 = 2 ∂λ2 

= 3η 2 − 2a1 η + a2 + b0 kn , =

λ=−η

1 (6λ + 2a1 )|λ=−η = −3η + a1 , 2



1 ∂ 2 Q(λ)  c0 = = 1. 3! ∂λ3 λ=−η

Число параметров равно максимально допустимому числу. Следовательно, и в этом случае оптимальная степень устойчивости

η ∗ = ηг . Условие маргинальной устойчивости (1.10) принимает вид

c1 = −3η + a1 = 0, c2 = 3η 2 − 2a1 η + a2 + b0 kn  0, c3 = −η 3 + a1 η 2 − (a2 + b0 kn )η + b0 kn = 0, u(ω) = −c0 ω 3 + c2 ω = 0. Решив первое уравнение, получим

η= Из последнего уравнения

a1 . 3

c2 = c0 ω 2.

Подставив сюда выражения для коэффициентов c0 и c2 , получим 3η 2 − 2a1 η + a2 + b0 kn = ω 2 . Решив это уравнение совместно со вторым уравнением относительно kи и kп , с учетом найденного выражения для степени устойчивости получим (1.13а) и (1.13б). Так как при синтезированных параметрах регулятора c0 = 1, c1 = 0, c2 = ω 2 и c3 = 0, преобразованный полином имеет вид

Q(q) = q 3 + ω 2 q.

25

1.7. Синтез оптимальных параметров для объекта 3-го порядка

Его нулями являются q1 = 0, q2,3 = ±jω. В силу преобразования λ = q − η нулями характеристического полинома синтезированной системы будут a a λ1 = − 1 , λ2,3 = − 1 ± jω. 3

3

3ω

Следовательно, степень колебательности μ = пропорциональна ω a1 и обращается в нуль при ω = 0.

1.7. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 3-го порядка В случае объекта 3-го порядка с передаточной функцией

Wо (s) =

b0 , s3 + a1 s2 + a2 s + a3

b0 > 0, a1 > 0,

(1.14)

найдем оптимальные по степени устойчивости параметры всех четырех типовых регуляторов. 1.7.1. Синтез П-регулятора. У т в е р ж д е н и е 1.7. Оптимальный параметр и оптимальная степень устойчивости П-регулятора (Wр (s) = kп ) определяются следующим образом: а) при условии a2 −

kп∗

a21 0 3

1 = b0



a1 3

  2a21 a2 − − a3 ,

9 a η ∗ = ηг = 1 ; 3

(1.15а) (1.15б)

a21 ηг = 1 , 3 т. е. он не является допустимым. Поэтому максимально возможным значением степени устойчивости является корень η1 , совпадающий со значением (1.15г). Подставив его в третье соотношение (уравнение) условия максимальной степени устойчивости и разрешив его относительно kп , получим (1.15в). 1.7.2. Синтез ПД-регулятора. Ут в е р ж д е н и е 1.8. Оптимальные параметры и оптимальная степень устойчивости ПД-регулятора (Wр = kп + kд p) определяются следующим образом:  1 a31 ∗ 2 a1 kn = +ω − a3 , (1.16а) 27

b0

3

 1 a2 kд∗ = ω 2 + 1 − a2 , b0

3

η ∗ = ηг =

a1 , 3

(1.16б) (1.16в)

где ω — свободный параметр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Передаточная функция разомкнутой системы

W (s) = Wр (s)Wо (s) =

b0 (kп + kд s) , s + a1 s2 + a2 s + a3 3

и характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Q(λ) = λ3 + a1 λ2 + (a2 + b0 kд )λ + a3 + b0 kп . Для коэффициентов преобразованного полинома

Qn (q) = q 3 + c1 q 2 + c2 q + c3 имеем

 c3 = Q(λ))|λ=−η = [λ3 + a1 λ2 + (a2 + b0 kд )λ + a3 + b0 kп ]λ=−η = = −η 3 + a1 η 2 − (a2 + b0 kд )η + a3 + b0 kп ,

28 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

c2 =



 ∂Q(λ))  = (3λ2 + 2a1 λ + a2 + b0 kд )λ=−η =  ∂λ λ=−η = 3η 2 − 2a1 η + a2 + b0 kд ,



c1 =

1 ∂ 2 Q(λ))  1 = (6λ + 2a1 )|λ=−η = −3η + a1 , 2 2 ∂λ2 λ=−η



c0 =

1 ∂ 2 Q(λ)  = 1. 3! ∂λ3 λ=−η

Число параметров регулятора равно максимально возможному значению. Поэтому условие маргинальной устойчивости можно записать в виде c1 = −3η + a1 = 0,

c2 = 3η 2 − 2a1 η + a2 + b0 kд  0, c3 = −η 3 + a1 η 2 − (a2 + b0 kд )η + a3 + b0 kп = 0, −ω 3 + c2 ω = 0. Из первого уравнения получаем

η = ηг =

a1 . 3

Последнее уравнение, подставив выражение для c2 , представим в виде 3η 2 − 2a1 η + a2 + b0 kд = ω 2 . Подставив найденное выражение для η в это уравнение и решив его, получим выражение для kд , которое совпадает с (1.16б). Подставив полученные выражения для kд и η во второе уравнение и решив его, получим выражение для kп , совпадающее с (1.16а). При полученных значениях параметров регулятора c1 = 0, c2 = ω 2 и c3 = 0. Поэтому преобразованный полином имеет вид

Q(q) = q 3 + ω 2 q = 0 и его нулями являются q1 = 0 и q2,3 = ±jω. Соответственно для нулей исходного характеристического полинома имеем

λ1 = −

a1 a , λ = − 1 ± jω. 3 2,3 3

Таким образом, свободный параметр является мнимой частью корней исходного характеристического уравнения, степень колебательности 3ω μ= . a1

1.7. Синтез оптимальных параметров для объекта 3-го порядка

29

1.7.3. Синтез ПИ-регулятора. Ут в е р ж д е н и е 1.9. Оптимальные параметры и оптимальные степени устойчивости ПИ-регулятора (Wр (s) = kп + kи /s) определяются следующим образом: 3 а) при условии a2 − a21  0 8  1 a1 a2 a3 kп∗ = − 1 − a3 , (1.17а) b0 2 8

   1 8 5 4 a2 a kи∗ = ω 2 a2 − a21 − ω 2 − a1 + 1 2 , (1.17б) 3

b0

256 a1 η = ηг = ; 4

16

∗

б) при условии a2 −

3 2 a 0 и c2 = 0. Поэтому действительными корнями двух последних уравнений могут быть только ω = 0. Число действительных корней будет равно кратности этого корня. А кратность корня ω = 0 будет больше единицы, если c3 = 0 и c4 = 0. Таким образом, при η = η1 имеем c3 = −4η13 + 3a1 η12 − 2a2 η1 + a3 + b0 kп = 0,

c4 = η14 − a1 η13 + a2 η12 − (a3 + b0 kп )η1 + b0 kи = 0. Решив эту систему уравнений относительно kп и kи , получим kп∗ и определяемые формулами (1.17д,е). Следовательно, при выполнении условия б) тройка (kп∗, kи∗, η ∗ ), определяемая формулами (1.17г,д,е), удовлетворяет условиям максимальной степени устойчивости и η ∗ является оптимальной степенью устойчивости, а kп∗ и kи∗ — оптимальными параметрами.

kи∗,

1.7.4. Синтез ПИД-регулятора. Ут в е р ж д е н и е 1.10. Оптимальные параметры и оптимальная степень устойчивости ПИД-регулятора (Wр = kп + kд p + kи /p) определяются следующим образом:  1 a31 ∗ 2 2 a1 kп = (ω + β ) + − a3 , (1.19а) 2

b0

16

  1 3 kд∗ = ω 2 + β 2 + a21 − a2 , b0

8

(1.19б)

32 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

kи∗

1 = b0





1 4 a2 a1 + (ω 2 + β 2 ) 1 + ω 2 β 2 , 256 16 a η ∗ = ηг = 1 , 4

(1.19в) (1.19г)

где ω , β — свободные параметры, являющиеся мнимыми частями корней исходного характеристического уравнения:

λ1,2 = −

a1 ± jω , 4

λ3,4 = −

a1 ± jβ. 4

Д о к а з а т е л ь с т в о. Характеристический полином синтезируемой системы и преобразованный полином имеют соответственно вид

Q(z) = λ4 + a1 λ3 + (a2 + b0 kд )λ2 + (a3 + b0 kп )λ + b0 kи , Qn (q) = q 4 + c1 q 3 + c2 q 2 + c3 q + c4 , где

c4 = Q(λ)|λ=−η = η 4 − a1 η 3 + (a2 + b0 kд )η 2 − (a3 + b0 kп )η + b0 kи ,  ∂Q(λ)  c3 = = −4η 3 + 3a1 η 2 − 2(a2 + b0 kд )η + a3 + b0 kп ,  ∂λ λ=−η  1 ∂ 2 Q(λ)  c2 = = 6η 2 − 3a1 η + a2 + b0 kд , 2  2!

∂λ

λ=−η



1 ∂ 3 Q(λ)  c1 = = −4η + a1 . 3! ∂λ3 λ=−η

В данном случае степень характеристического полинома n = 4 и число параметров регулятора равно максимально допустимому значению m = n − 1 = 3. Поэтому условие маргинальной устойчивости (1.10) можно записать в виде

c1 = 0,

c2  0,

c3 = 0,

c4  0,

ω 4 − c2 ω 2 + c4 = 0. Из последнего равенства

c4 = (c2 − ω 2 )ω 2 . Неравенства c4  0 и c2  0 будут выполнены, если c2 − ω 2  0. Введя дополнительный параметр β , последнее неравенство преобразуем в равенство c2 − ω 2 − β 2 = 0, и условие граничной степени устойчивости можно записать в виде

c1 = −4η + a1 = 0, c2 = 6η − 3a1 η + a2 + b0 kд = ω 2 + β 2 , 2

1.7. Синтез оптимальных параметров для объекта 3-го порядка

33

c3 = −4η 3 + 3a1 η 2 − 2(a2 + b0 kд )η + a3 + b0 kп = 0, c4 = η 4 − a1 η 3 + (a2 + b0 kд )η 2 − (a3 + b0 kп )η + b0 kи = ω 2 β 2 . Решив эту систему уравнений, получим оптимальные значения коэффициентов регулятора и степени устойчивости (1.19). Здесь ω и β — свободные параметры, представляющие мнимые части корней исходного характеристического уравнения. Действительно, подставив выражения для коэффициентов ci (i = 0, 1, 2, 3, 4) из полученной выше системы уравнений в полином Qп (q), получим   Qп (q) = q 4 + ω 2 + β 2 q 2 + ω 2 β 2 . Нулями этого полинома являются

q1,2 = ±jω

и q3,4 = ±jβ ,

и соответственно нулями исходного полинома

λ1,2 = −η ± jω

и

λ3,4 = −η ± jβ.

В полученных решениях степень устойчивости принимает максимально возможное значение. Следовательно, они являются искомыми решениями и совпадают с (1.19). 1.7.5. Численный пример синтеза типовых регуляторов. Рассмотрим численный пример. П р и м е р 1.1. Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

1 s(0,5s2 + 1,5s + 1)

и требуется определить оптимальные параметры П-, ПД-, ПИ- и ПИД-регулятора. Р е ш е н и е. Преобразовав передаточную функцию объекта к виду

Wо (s) =

2 , s 3 + 3s 2 + 2s

получаем: b0 = 2, a1 = 3, a2 = 2 и a3 = 0. П-регулятор. Проверим, какое из условий, (а) или (б), утверждения 1.7 выполняется:

a2 −

a21 = 2 − 3 = −1 < 0. 3

Выполняется условие б). Поэтому согласно формулам (1.15в,г) имеем  a a21 − 3a2 1 − 3− 9−6 ∼ ∗ η = = = 0,43,

kп∗

3 3 1 1 ∗3 ∗2 ∗ 3 = (η − a1 η − a2 η − a3 ) = (0,43 − 3 · 0,432 + 2 · 0,43) ∼ = 0,19. b0 2

2 Д. П. Ким

34 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

ПД-регулятор. Согласно формулам (1.16а,б)  1 a31 ∗ 2 a1 kп = +ω − a3 = 0,5(1 + ω 2 ), 27

b0

3

 1 a21 ∗ 2 kд = ω + − a2 = 0,5(1 + ω 2 ). 3

b0

Напомним, что ω является свободным параметром, который можно задать исходя из дополнительных требований. ПИ-регулятор. Проверим, какое их условий, (а) или (б), утверждения 1.9 выполняется:

a2 −

3 2 3 a = 2 − · 9 < 0. 8 1 8

Выполняется условие (б). Поэтому в соответствии формулами (1.17г,д,е) имеем

 1 8 η∗ = a1 − a21 − a2 ∼ = 0,27, 4

kп∗ =

3

 1  ∗3 4η − 3a1 η ∗2 + 2a2 η ∗ − a3 ∼ = 0,25, b0

kи∗ =

 η ∗ 2  ∗2 3η − 2a1 η ∗ + a2 ∼ = 0,022. b0

ПИД-регулятор. Согласно формулам (1.19а,б,в) имеем    1 a31 ∗ 2 2 a1 kп = (ω + β ) + − a3 = 0,5 1,5(ω 2 + β 2 ) + 1,69 , 2

b0

16

  1 3 kд∗ = ω 2 + β 2 + a21 − a2 = 0,5(ω 2 + β 2 + 1,375), kи∗ =



8

b0



  1 1 4 a1 + (ω 2 + β 2 ) + ω 2 β 2 = 0,5 0,32 + 0,56(ω 2 + β 2 ) + ω 2 β 2 . b0 256 16 a21

1.8. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров физически реализуемого ПИД-регулятора Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

bо . s + a1 s + a2 s + a3 3

2

Требуется синтезировать оптимальный по степени устойчивости физически реализуемый ПИД-регулятор.

1.8. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров

35

Как отмечалось, передаточная функция физически реализуемого ПИД-регулятора может быть представлена в виде

Wр = где

k1 = (kп T + kд T1 ),

k1 p2 + k2 p + k3 , (T p + 1) p

k2 = kп + kи T ,

(1.20)

k3 = kи .

(1.21)

Ут в е р ж д е н и е 1.11. Оптимальная степень устойчивости и оптимальные параметры физически реализуемого ПИД-регулятора определяются следующим образом: 2 а) при T a2 + a1 − (T a1 + 1)2  0 5T

η ∗ = ηг = k1∗ = k2∗ =

T a1 + 1 , 5T

 1  10T ηг3 − 6(T a1 + 1)ηг2 + 3(T a2 + a1 )ηг − T a3 − a2 , b0

(1.22б)

1 −5T η 4 + 4(T a1 + 1)η 3 − 3(T a2 + a1 )η 2 + b0

 + 2(T a3 + a2 + b0 k1 )η − a3 + ω 2 β 2 ,

k3∗ =

(1.22а)

(1.22в)

1 5 T ηг − (T a1 + 1)ηг4 + (T a2 + a1 )ηг3 − b0

 − (T a3 + a2 + b0 k1∗ )ηг2 + (a3 + b0 k2∗ )ηг ;

(1.22г)

2 (T a1 + 1)2 < 0 5T   (T a1 + 1) − 2(T a1 + 1)2 − 5T (T a2 + a1 ) /2

б) при T a2 + a1 −

η ∗ = η1 = , (1.23а) 5T   1 k1∗ = 10T η13 − 6(T a1 + 1)η12 + 3(T a2 + a1 )η1 − T a3 − a2 , (1.23б) b0

k2∗ =

k3∗ =

1 −5T η14 + 4(T a1 + 1)η13 − 3(T a2 + a1 )η12 + b0

 + 2(T a3 + a2 + b0 k1∗ )η1 − a3 ,

(1.23в)

1 5 T η1 − (T a1 + 1) η14 + (T a2 + a1 ) η13 − b0

 − (T a3 + a2 + b0 k1∗ )η12 + (a3 + b0 k2∗ )η1 . (1.23г)

В (1.22в) ω и β — свободные параметры (мнимые части корней характеристического уравнения). 2*

36 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

З а м е ч а н и е. Оптимальные параметры ПИД-регулятра остаются такими же и в случае, когда передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

bо M (s) , s + a1 s2 + a2 s + a3 3

где M (s) — полином не выше 3-й степени с левыми нулями, если для компенсации нулей передаточной функции объекта включить полином M (s) в знаменатель передаточной функции регулятора:

Wр (s) =

k1 s 2 + k2 s + k3 . M (s) (T s + 1) s

Д о к а з а т е л ь с т в о. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W (s) = Wо (s) =

bо (k1 s2 + k2 s + k3 ) . (T s + s)(s3 + a1 s2 + a2 s + a3 ) 2

Соответственно для характеристического полинома замкнутой системы имеем

Q(λ) = T λ5 + (T a1 + 1) λ4 + (T a2 + a1 ) λ3 + + (T a3 + a2 + b0 k1 ) λ2 + (a3 + b0 k2 ) λ + b0 k3 . Отсюда для коэффициентов преобразованного полинома

Qп (q) = c0 q 5 + c1 q 4 + c2 q 3 + c3 q 2 + c4 q + c5 в соответствии с (1.8) получаем

c5 = Q(λ)|λ=−η = −T η 5 + (T a1 + 1)η 4 − (T a2 + a1 )η 3 + + (T a3 + a2 + b0 k1 )η 2 − (a3 + b0 k2 )η + b0 kг , c4 =



∂Q(λ)  = 5T η 4 − 4(T a1 + 1)η 3 + 3(T a2 + a1 )η 2 −  ∂λ λ=−η

− 2(T a3 + a2 + b0 k1 )η + a3 + b0 k2 , 

1 ∂ 2 Q(λ)  c3 = = −10T η 3 + 6(T a1 + 1)η 2 − 2 ∂λ2 λ=−η

 1 ∂ Q(λ)  c2 = 3! ∂λ3 

− 3(T a2 + a1 )η + T a3 + a2 + b0 k1 ,

3

λ=−η

= 10T η 2 − 4(T a1 + 1)η + T a2 + a1 , 

1 ∂ 4 Q(λ)  c1 = = −5T η + T a1 + 1, 4! ∂λ4 λ=−η

1.8. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров

 1 ∂ 5 Q(λ)  c0 = 5! ∂λ5 

37

= T.

λ=−η

Запишем условие маргинальной устойчивости (1.10):

c1 = 0,

c2  0,

c3 = 0,

c4  0,

а) T a2 + a1 −

c5 = 0,

(1.24а)

Re Qп (jω) = c5 − c3 ω + c1 ω = 0,

(1.24б)

Im Qп (jω) = c4 ω − c2 ω 3 + c0 ω 5 = 0.

(1.24в)

2

4

2 (T a1 + 1)2  0. 5T

Из первого равенства

c1 = −5T η + T a1 + 1 = 0 находим степень устойчивости

η = ηг =

T a1 + 1 , 5T

совпадающее с (1.22а). Подставив это выражение в первое неравенство (1.24а), получим

T a 2 + a1 −

2 (T a1 + 1)2  0. 5T

Если это неравенство (т. е. условие (а)) выполняется, то найденная степень устойчивости будет оптимальной. Второе равенство (1.24а) при подстановке найденного значения степени устойчивости принимает вид

c3 = −10T ηг3 + 6(T a1 + 1)ηг2 − 3(T a2 + a1 )ηг + T a3 + a2 + b0 k1 = 0. Отсюда для первого оптимального параметра находим выражение  1  k1∗ = 10T ηг3 − 6(T a1 + 1)ηг2 + 3(T a2 + a1 )ηг − T a3 − a2 , b0

которое совпадает с (1.22б). Из равенства (1.24в) имеем

  c4 = ω 2 c2 − c0 ω 2 .

Отсюда следует, что оба неравенства в условии маргинальной устойчивости (1.24а) будут выполнены, если

c2 − c0 ω 2  0. Введя дополнительный параметр β , преобразуем это неравенство в равенство: c2 − c0 ω 2 = β 2 .

38 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

С учетом этого выражения приведенное выше соотношение для c4 можем записать в виде c4 = ω 2 β 2 , или

c4 = 5T η 4 − 4(T a1 + 1)η 3 + 3(T a2 + a1 )η 2 − − 2(T a3 + a2 + b0 k1 )η + a3 + b0 k2 = ω 2 β 2 . Отсюда для второго оптимального параметра получаем выражение

k2∗ =

1  −5T η 4 + 4(T a1 + 1)η 3 − 3(T a2 + a1 )η 2 + b0

 + 2(T a3 + a2 + b0 k1 )η − a3 + ω 2 β 2 .

И, наконец, из последнего равенства условия маргинальной устойчивости (1.24а) находим выражение для третьего оптимального параметра:

k3∗ =

1  5 T ηг − (T a1 + 1)ηг4 + (T a2 + a1 )ηг3 − b0

 − (T a3 + a2 + b0 k1∗ )ηг2 + (a3 + b0 k2∗ )ηг ,

которое совпадает с (1.22г). б) T a2 + a1 −

2 (T a1 + 1)2 < 0. 5T

В этом случае степень устойчивости не может принять граничное значение, так как первое неравенство в условии маргинальной устойчивости (1.24а) не выполняется: c2 принимает отрицательное значение. Найдем новое значение степени устойчивости, приравняв c2 нулю:

c2 = 10T η 2 − 4(T a1 + 1)η + T a2 + a1 = 0. Это уравнение имеет два действительных корня:

η1 = η2 =

(T a1 + 1) − (T a1 + 1) +





 2(T a1 + 1)2 − 5T (T a2 + a1 ) /2 5T

 2(T a1 + 1)2 − 5T (T a2 + a1 ) /2 5T

,

.

Коэффициент c2 как функция от η представляет собой квадратный трехчлен и на интервале между корнями принимает отрицательное значение, а вне этого интервала положительные значения. Корень η2 не может быть степенью устойчивости, так как он больше граничного значения (т. е. не является допустимым). Степень устойчивости не может быть больше η1 . Следовательно, η1 является оптимальной степенью

1.8. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров

39

устойчивости, так как в остальные соотношения условия маргинальной устойчивости входят параметры, и они могут быть удовлетворены. Из второго равенства условия маргинальной устойчивости (1.24а)

c3 = −10T η 3 + 6(T a1 + 1)η 2 − 3(T a2 + a1 )η + T a3 + a2 + b0 k1 = 0. Отсюда, подставив полученное выражение для оптимальной степени устойчивости, для первого оптимального параметра находим  1  k1∗ = 10T η13 − 6(T a1 + 1)η12 + 3(T a2 + a1 )η1 − T a3 − a2 . b0

Так как c2 = 0, то условие маргинальной устойчивости (1.24в) можно представить в виде

c4 + c0 ω 4 = 0. Это равенство возможно только при ω = 0 и c4 = 0. Поэтому имеем

c4 = 5T η 4 − 4(T a1 + 1)η 3 + 3(T a2 + a1 )η 2 − − 2(T a3 + a2 + b0 k1 )η + a3 + b0 k2 = 0. Подставив в это уравнение найденную степень устойчивости и разрешив его относительно неизвестного параметра, получим выражение для второго оптимального параметра, совпадающее с формулой (1.23в):

k2∗ =

1  −5T η14 + 4(T a1 + 1)η13 − 3(T a2 + a1 )η12 + b0

 + 2(T a3 + a2 + b0 k1∗ )η1 + a3 .

Последнее равенство из условия маргинальной устойчивости (1.24а) принимает вид

c5 = −T η 5 + (T a1 + 1)η 4 − (T a2 + a1 )η 3 + + (T a3 + a2 + b0 k1 )η 2 − (a3 + b0 k2 )η + b0 kг = 0. Отсюда находим третий оптимальный параметр: 1  5 k3∗ = T η1 − (T a1 + 1)η14 + (T a2 + a1 )η13 − b0

 − (T a3 + a2 + b0 k1∗ )η12 + (a3 + b0 k2∗ )η1 ,

который совпадает с (1.23г). 1.8.1. Численный пример синтеза физически реализуемого ПИД-регулятора. Рассмотрим численный пример синтеза оптимальных по степени устойчивости физически реализуемого ПИД-регулятора.

40 Гл. 1. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

П р и м е р 1.2. Передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

bо , s + a1 s + a2 s + a3 3

2

где b0 = 1, a1 = 3, a2 = 2, a3 = 0. Требуется определить оптимальные параметры регулятора с передаточной функцией

Wр =

k1 p2 + k2 p + k3 , (T p + 1) p

где параметр T = 0,1. Р е ш е н и е. Сначала проверим, какое из условий, (а) или (б), выполняется:

T a 2 + a1 −

2 (T a1 + 1)2 = 0,1 · 2 + 3 − 4 · 1,69 = −3,56 < 0. 5T

Выполняется условие (б). Поэтому воспользуемся формулами (1.23). Сначала найдем оптимальную степень устойчивости по формуле (1.23а): ∗

η = η1 =

(T a1 + 1) −



 2(T a1 + 1)2 − 5T (T a2 + a1 ) /2

=    = 2 1,3 − (3,38 − 0,5 · 3,2)/2 = 0,7132. 5T

Подставим найденное значение степени устойчивости в формулы для оптимальных коэффициентов (1.23б,в,г). Тогда получим:  1  k1∗ = 10T η13 − 6(T a1 + 1)η12 + 3(T a2 + a1 )η1 − T a3 − a2 = b0

= 0,358 − 3,93 + 6,82 − 2 = 1,242, k2∗ =

1  −5T η14 + 4(T a1 + 1)η13 − 3(T a2 + a1 )η12 + b0

k3∗ =

1  5 T η1 − (T a1 + 1)η14 + (T a2 + a1 )η13 − (T a3 + a2 + b0 k1∗ )η12 + b0

 + 2(T a3 + a2 + b0 k1∗ )η1 + a3 = −0,125 + 1,86 − 1,61 + 4,61 = 1,4983,

 + (a3 + b0 k2∗ )η1 = 0,018 − 0,325 + 1,146 − 1,64 + 3,36 = 0,2625.

Таким образом, передаточная функция синтезированного регулятора имеет вид 1,242p2 + 1,4983p + 0,2625 Wр = . (0,1p + 1) p

Степень устойчивости синтезированной системы управления при выбранном типе регулятора принимает максимальное значение и равна η ∗ = 0,71.

Глава 2 СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ЖЕЛАЕМОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ Метод синтеза систем управления по желаемой передаточной функции включает методику синтеза передаточной функции регулятора при заданной желаемой передаточной функции и определение желаемой передаточной функции по заданным требованиям к синтезируемой системе управления. Определение желаемой передаточной функции основано на использовании нормированной передаточной функции. Рассматривается четыре типа нормированных передаточных функций: биномиальный, колебательный, геометрический и арифметический.

2.1. Общие положения Метод желаемых передаточных функций заключается в синтезе передаточной функции регулятора, при которой передаточная функция синтезированной системы равна желаемой.

Рис. 2.1. Структурная схема

Пусть задана передаточная функция объекта Wо (s) и желаемая передаточная функция Wж (s) замкнутой системы. Тогда передаточная функция регулятора Wр (s) может быть получена из равенства передаточной функции Wyg (s) замкнутой системы (рис. 2.1) желаемой передаточной функции:

Wyg (s) =

Wр (s)W0 (s) = Wж (s). 1 + Wр (s)W0 (s)

Разрешив это равенство относительно передаточной функции регулятора, получим 1 Wж (s) Wр (s) = , Wо (s) 1 − Wж (s)

42

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

или, если принять

Wо (s) = то имеем

Wр (s) =

P (s) , R(s)

R(s) Wж (s) . P (s) 1 − Wж (s)

(2.1)

При задании желаемой передаточной функции Wж (s) и определении передаточной функции регулятора Wр (s) необходимо учитывать условия физической осуществимости (реализуемости) передаточной функции регулятора и грубости (робастности) синтезируемой системы. Поэтому прежде всего, рассмотрим эти условия.

2.2. Физическая осуществимость и грубость Ф и з и ч е с к а я о с у щ е с т в и м о с т ь. Под физической осуществимостью или реализуемостью передаточной функции или системы, заданной этой передаточной функцией, понимают принципиальную возможность построения такой системы. Физическая осуществимость системы означает, что ее реакция на какое-либо воздействие не может предшествовать прикладываемому воздействию. Передаточная функция физически осуществима, если ее относительная степень, равная разности степени знаменателя и степени числителя, неотрицательна. Условие физической осуществимости передаточной функции

W (s) =

b0 sm + b1 sm−1 + . . . + bm a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

имеет вид n − m  0. Если система определяется весовой функцией w(t), то условие ее физической осуществимости принимает вид

w(t) ≡ 0 при t < 0,

или

w(t − τ ) < 0 при t < τ.

Это условие как раз выражает тот факт, что реакция системы не может возникнуть до начала приложения воздействия, вызывающего эту реакцию, или следствие не может предшествовать причине. Г р у б о с т ь. Система называется грубой или робастной, если при малом изменении ее параметров свойство системы качественно не меняется. В случае линейной системы негрубость означает, что устойчивая система при малом изменении параметров становится неустойчивой. При синтезе систем управления по желаемой передаточной функции грубость может быть нарушена, если правый полюс передаточной функции объекта компенсируется правым нулем передаточной функции регулятора и правый нуль объекта — правым полюсом регулятора.

2.2. Физическая осуществимость и грубость

43

Покажем это на примерах. Пусть, например, передаточная функция объекта имеет вид 1 Wо (s) = , Ts − 1

а желаемая передаточная функция

Wж (s) =

1 . s+2

По формуле (2.1) для передаточной функции регулятора имеем

Wр (s) =

Ts − 1 . s+1

Для передаточной функции разомкнутой системы получаем

W (s) = Wр (s)Wо (s) =

Ts − 1 1 1 · = . s + 1 Ts − 1 s+1

В данном случае правый полюс передаточной функции объекта компенсируется правым нулем регулятора. Передаточная функция замкнутой системы совпадает с желаемой и синтезированная система устойчива. Однако допустим, что постоянная времени принимает значение T + δT (δT — малая величина). Тогда передаточная функция регулятора принимает вид

Wр (s) =

(T + δT )s − 1 . s+1

Передаточная функция разомкнутой системы

W (s) =

(T + δT )s − 1 1 · , s+1 Ts − 1

и характеристическое уравнение замкнутой системы принимает вид

T λ2 + (2T + δT − 1)λ − 2 = 0. Таким образом, при малом изменении параметра синтезированная система становится неустойчивой, и, следовательно, она не обладает свойством грубости. В данном случае это происходит из-за того, что правый полюс объекта компенсируется правым нулем регулятора. Теперь рассмотрим, что произойдет, если правый нуль передаточной функции объекта компенсируется правым полюсом передаточной функции регулятора. Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

Ts − 1 , s+1

а желаемая передаточная функция

Wж (s) =

1 . s+2

44

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

В этом случае передаточная функция регулятора в соответствии с (2.1) принимает вид 1 Wр (s) = . Ts − 1

Для передаточной функции разомкнутой системы получаем

W (s) =

1 . s+1

Передаточная функция замкнутой системы совпадает с желаемой. Однако если параметр T регулятора изменяется и принимает значение T + δT , то для передаточной функции разомкнутой системы получаем

W (s) =

1 Ts − 1 . (T + δT )s − 1 s + 1

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

(T + δT )s2 + (2T + δT − 1)s − 2 = 0. Следовательно, синтезированная система при малом изменении параметра становится неустойчивой, т. е. она не является грубой. Итак, при использовании метода синтеза системы по желаемой передаточной функции нельзя допускать компенсации правых полюсов передаточной функции объекта правыми нулями передаточной функции регулятора и правых нулей передаточной функции объекта правыми полюсами передаточной функции регулятора.

2.3. Полиномиальное уравнение Произведем факторизацию передаточной функции объекта, т. е. представим ее следующим образом:

Wо (s) =

P (s) P − (s)P + (s) = − , R(s) R (s)R+ (s)

(2.2)

где P − (s), R− (s) — полиномы с левыми нулями; P + (s), R+ (s) — полиномы с правыми и нейтральными нулями. Если полиномы P (s) и R(s) не содержат левых нулей, то P − (s) и R− (s) положим равными константе; если они не содержат правых и нейтральных нулей, то P + (s) и R+ (s) положим равными единице. Подставив (2.2) в (2.1), получим

Wр (s) =

R− (s)R+ (s) Wж . P − (s)P + (s) 1 − Wж

(2.3)

Для того чтобы правые полюсы и нули передаточной функции объекта (2.2) не компенсировались соответственно правыми нулями и полюсами передаточной функции регулятора (2.3), последняя не должна содержать полиномов P + (s) или R+ (s). Это возможно, если

2.4. Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости 45

в (2.3) Wж (s) содержит множитель P + (s), а 1 − Wж (s) — множитель R+ (s), т. е. если желаемая передаточная функция удовлетворяет условиям P + (s)M (s) Wж (s) = , (2.4а) G(s)

1 − Wж (s) =

+

R (s)N (s)srр , G(s)

(2.4б)

где M (s) и N (s) — неизвестные полиномы, которые должны быть определены в дальнейшем в процессе синтеза; G(s) — знаменатель желаемой передаточной функции. В (2.4б) множитель srр вводится для обеспечения требуемого порядка астатизма синтезируемой системы. Показатель степени rр представляет собой число последовательно соединенных интегрирующих звеньев, включаемых в регулятор, и определяется требуемым порядком астатизма к синтезируемой системе. Условимся называть этот показатель порядком астатизма регулятора. Аналогично, если передаточная функция объекта будет содержать множитель srо, то показатель rо будем называть порядком астатизма объекта. Порядок астатизма системы r равен сумме: r = rр + rо . Подставив (2.4) в (2.3), получим

Wр (s) =

R− (s)M (s) . P − (s)N (s)srр

(2.5)

Исключив W6 (s) из (2.4), найдем полиномиальное уравнение

P + (s)M (s) + R+ (s)N (s)srр = G(s),

(2.6)

откуда определяются полиномы M (s) и N (s).

2.4. Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять степени неизвестных полиномов M (s) и N (s), чтобы регулятор был физически реализуем, синтезированная система была грубой и полиномиальное уравнение было разрешимо. При этом условимся степень полинома обозначать буквой n с индексом, обозначающим сам полином. Например, nT будет обозначать степень полинома T (s). Ус л о в и е р а з р е ш и м о с т и. Коэффициенты полиномов M (s) и N (s) определяются из системы уравнений, которые получаются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения (2.6). Число уравнений равно (nG + 1), а число неизвестных — (nM + nN + 2). И чтобы система

46

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

была разрешима, число уравнений nG + 1 не должно превышать числа неизвестных nM + nN + 2:

nG  nM + nN + 1.

(2.7а)

Ус л о в и е ф и з и ч е с к о й о с у щ е с т в и м о с т и. Очевидно, что относительная степень передаточной функции регулятора (2.5) будет неотрицательной, если

n R − + n M  n P − + n N + rр .

(2.7б)

Ус л о в и е г р у б о с т и. В левой части соотношения (2.4б) относительный порядок равен нулю. Поэтому относительный порядок его правой части также должен быть равен нулю, т. е. степени полиномов числителя и знаменателя равны между собой:

n G = n R + + n N + rр .

(2.7в)

Соотношение (2.4б) получено из условия обеспечения грубости синтезируемой системы. Поэтому условие (2.7в), полученное из этого соотношения, будем называть условием грубости.

2.5. Синтез передаточной функции регулятора При условии что желаемая передаточная функция известна и соответственно известен желаемый характеристический полином, порядок синтеза регулятора по методу желаемой передаточной функции состоит в следующем: — производится факторизация передаточной функции объекта; — выписываются условия разрешимости (2.7а), физической осуществимости (2.7б), грубости (2.7в), и по ним определяются наименьшие возможные значения степеней nM и nN полиномов M (s) и N (s) (выбор наименьших значений nM и nN делается для упрощения передаточной функции регулятора); — записываются полиномы M (s) и N (s) с неопределенными коэффициентами, степени которых равны найденным значениям nM и nN , а затем, используя их, составляют полиномиальное уравнение (2.6); — выписывается система уравнений приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в левой и правой частях полиномиального уравнения, и, решив эту систему, определяют неизвестные коэффициенты полиномов M (s) и N (s); — подставив найденные полиномы M (s) и N (s), а также полученные при факторизации передаточной функции объекта полиномы R− (s) и P − (s) в формулу (2.5),

Wр (s) =

R− (s) (s) r , P − (s) N (s)s р

определяют искомую передаточную функцию регулятора.

2.5. Синтез передаточной функции регулятора

47

П р и м е р 2.1. Передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

1 . (s − 1)(s + 1)

Синтезировать регулятор, при котором статическая ошибка равна нулю и характеристический полином синтезированной системы имеет трехкратный корень, равный −1: λ1 = λ2 = λ3 = −1. Р е ш е н и е. Желаемый характеристический полином имеет вид

G(s) = (s + 1)3. Статическая ошибка будет равна нулю, если регулятор имеет одно интегрирующее звено, т. е. в формуле (2.5) степень rр = 1. Произведем факторизацию передаточной функции объекта: числитель и знаменатель передаточной функции объекта раскладываются на множители:

P − (s) = P + (s) = P (s) = 1, R− (s) = s + 1, R+ (s) = s − 1. Степени желаемого характеристического и факторизованных полиномов принимают значения

nG = 3,

nP − = nP + = 0,

nR− = nR+ = 1.

Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7) принимают вид 3  nM + nN + 1, 1 + nM  nN + 1, 3 = 1 + nN + 1. Отсюда находим

nN = 1,

nM = 1.

Неизвестные полиномы представим в виде

N (s) = a0 s + a1 ,

M (s) = b0 s + b1 .

При подстановке этих и других входящих в полиномиальное уравнение (2.6) полиномов получим

b0 s + b1 + (s − 1)(a0 s + a1 )s = s3 + 3s2 + 3s + 1.

48

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Приравняв коэффициенты этого уравнения при одинаковых степенях слева и справа, получим систему

s3 : a0 = 1, s2 : a1 − a0 = 3, s : b0 − a1 = 3, s0 : b1 = 1. Решив ее, находим

a0 = 1,

a1 = 4,

b0 = 7,

b1 = 1.

И соответственно имеем

N (s) = s + 4, M (s) = 7s + 1. Подставляя их и выражения для P − (s) и R− (s) в (2.5), найдем искомую передаточную функцию

Wр (s) =

(s + 1)(7s + 1) . (s + 4)s

2.6. Нормированные передаточные функции Определение желаемой передаточной функции при синтезе систем автоматического управления (САУ) алгебраическим методом основано на использовании нормированных передаточных функций (передаточных функций в форме Вышнеградского). Использование нормированной передаточной функции намного упрощает нахождение желаемой передаточной функции с заданными свойствами. Пусть задана передаточная функция

Φ(s) =

b0 sm + b1 sm−1 + . . . + bm . a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

Произведем замену переменных:

q = αs,

α=

n

a0 . an

Тогда получим

 Φ(q) = где

bi =

b0 q m + b1 q m−1 + . . . + bm , q + a1 q n−1 + . . . +  an−1 q + 1 n

bi , an αm−i

 ak =

ak , an αn−k

(2.8)

i = 0, 1, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n − 1.  , у которой в знаменателе коэффициент Передаточная функция Φ(q) при старшей степени и свободный член равны единице, называется

49

2.6. Нормированные передаточные функции

нормированной передаточной функцией (НПФ) или передаточной функцией в форме Вышнеградского. Установим связь между аргументами t и τ оригиналов изображений  X(s) и X(q). По определению имеем

 X(q) =

∞ 

−qτ

x (τ )e

dτ =

0

∞ 

x (τ )e−αsτ dτ .

0

Произведем замену переменных q = αs и t = ατ. Тогда получим 1  X(q) =

α

∞ 

0

∞    t 1 1 −st x  e dt = x(t)e−st dt = X(s).

α

α

α

0

Отсюда следует, что преобразование q = αs для переменной преобразования Лапласа равносильно преобразованию τ = t/α для переменной оригинала. Поэтому время регулирования tр исходной системы и время регулирования τр для системы с нормированной передаточной функцией связаны соотношением

tр = ατр ,

или

α=

tр . τр

(2.9)

На последнем равенстве основано определение желаемой передаточной функции, обладающей заданным временем регулирования. По заданным требованиям к качеству синтезируемой системы, кроме требования к времени регулирования, находится нормированная передаточная функция

Wн (q) =

b0 q m + b1 q m−1 + . . . + bm , sn +  a1 sn−1 + . . . +  an−1 q + 1

и для нее определяется время регулирования τр . По полученному τр и заданному tр находится коэффициент  (параметр) преобразования α = = tр /τр . Учитывая равенство α = n a0 /an и формулы (2.8) и положив an = 1, для коэффициентов желаемой передаточной функции

Wж (s) = находим: n

a0 = α ,

b0 sm + b1 sm−1 + . . . + bm a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

bi = bi αm−i , i = 0, 1, . . . , m, ak =  ak αn−k , an = 1, k = 1, 2, . . . , n − 1.

(2.10а) (2.10б)

2.6.1. Типовые нормированные передаточные функции. Как отмечалось, определение желаемой передаточной функции при синтезе систем управления алгебраическим методом основано на использовании НПФ. При этом в качестве основных, как правило, рассматриваются четыре типа нормированных передаточных функций — передаточных функций с четырьмя типовыми характеристическими нормиро-

50

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

ванными полиномами (знаменателями), которые различаются набором корней [23]. Такими полиномами являются: 1) полином с одинаковыми корнями, представляющий собой бином Ньютона: (q + 1)n ; 2) полином из произведений n/2 трехчленов

(q 2 + 2zn βn q + βn2 ) при четном n и произведений (n − 1)/2 указанных трехчленов и одного двучлена (q + αn ) при нечетном n; 3) полином, корни которого образуют арифметическую прогрессию; 4) полином, корни которого образуют геометрическую прогрессию. Будем называть эти полиномы и передаточные функции с такими характеристическими полиномами соответственно биномиальными, колебательными, арифметическими и геометрическими. Если характеристический полином (знаменатель) желаемой передаточной функции и соответственно НПФ можно выбирать произвольно, руководствуясь только требованиями к качеству синтезируемой системы, то ее числитель зависит от передаточной функции объекта, требования к порядку астатизма синтезируемой системы и выбранного типа НПФ. Поэтому числитель желаемой передаточной функции произвольно задавать нельзя. Если его задать произвольно без учета передаточной функции объекта, требования к порядку астатизма и выбранного типа нормированной передаточной функции, то может оказаться, что задача синтеза неразрешима или синтезированная система может оказаться негрубой. Поэтому тип нормированной передаточной функции определяется только ее знаменателем. 2.6.2. Колебательные и биномиальные нормированные передаточные функции, не содержащие нулей. В литературе известны два вида колебательных нормированных полиномов. Первый — это колебательный нормированный полином, когда все его параметры не зависят от степени n: αn = βn = 1, zn = z = 0,75 [36]. Такой полином и передаточную функцию с таким характеристическим полиномом будем называть соответственно колебательным нормированным полиномом и колебательной НПФ с коэффициентом демпфирования z = 0,75. Второй — колебательный нормированный полином, характеризующийся тем, что время регулирования передаточной функции с таким характеристическим полиномом и не обладающей нулем является минимальным [27]. Нормированный колебательный полином второго вида и передаточную функцию с таким характеристическим полиномом будем называть оптимальными.

2.6. Нормированные передаточные функции

51

Оптимальный колебательный нормированный полином характеризуется тем, что его корни имеют одинаковые действительные части η и мнимые части образуют арифметические прогрессии с разностью и первым членом, равными γ. Существует оптимальное значение отношения μ = γ/η , которому соответствует наименьшее время регулирования. В табл. 2.1 приводятся коэффициенты оптимальных колебательных нормированных полиномов для шести значений степеней [27]. Т а б л и ц а 2.1

n

Коэффициенты

2

1 1,38 1

3

1 2,05 2,30 1

4

1 2,60 3,80 2,80 1

5

1 2,50 5,30 5,46 3,64 1

6

1 3,73 8,0 10,3 8,56 4,18 1

Кроме указанных выше двух видов колебательных полиномов, рассмотрим еще колебательный полином, отличающийся от колебательного нормированного полинома первого вида только тем, что коэффициент демпфирования z = 0,7. Этот полином характерен тем, что время регулирования колебательной НПФ второго порядка с таким характеристическим полиномом и не обладающей нулем принимает минимальное значение. В табл. 2.2 приводятся коэффициенты колебательного нормированного полинома с коэффициентом демпфирования z = 0,7 при n = 2, . . . , 6. Т а б л и ц а 2.2

n

Коэффициенты

2

1 1,40 1

3

1 2,40 2,40 1

4

1 2,80 3,30 2,80 1

5

1 3,80 6,70 6,70 3,80 1

6

1 4,20 8,88 11,14 8,88 4,20 1

Переходные процессы звеньев с колебательными нормированными передаточными функциями, не обладающими нулями, являются, как правило, колебательными. Хотя бывают и исключения. Например, переходная характеристика оптимальной колебательной НПФ является практически монотонной.

52

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

В табл. 2.3 приведены коэффициенты биномиальных полиномов при n = 2, . . . , 6. Переходные процессы звеньев с биномиальными передаточными функциями без нулей являются монотонными. Но если биномиальные передаточные функции имеют нули, то соответствующие переходные процессы являются апериодическими. Т а б л и ц а 2.3

n

Коэффициенты

2

1 2 1

3

1 3 3 1

4

1 4 6 4 1

5

1 5 10 10 5 1

6

1 6 15 20 15 6 1

2.6.3. Арифметические нормированные передаточные функции, не обладающие нулями. Первый член и разность прогрессии корней арифметического нормированного полинома n-го порядка связаны соотношением

a(a + d)(a + 2d) . . . (a + (n − 1)d) = 1.

(2.11)

Как будет показано ниже, арифметические НПФ, корни которых образуют возрастающие и убывающие арифметические прогрессии, совпадают. Поэтому дальше рассматриваются только арифметические НПФ, корни которых образуют возрастающие арифметические прогрессии. В табл. 2.4 приведены разности d в зависимости от первого члена для возрастающей арифметической прогрессии. При арифметический нормированный полином обращается в биномиальный. Ут в е р ж д е н и е 2.1. Два арифметических нормированных полинома одной и той же степени, корни которых образуют возрастающую и убывающую арифметические прогрессии, совпадают, если первый член первой и последний член второй прогрессий равны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два арифметических нормированных полинома с одинаковыми степенями. Пусть их корни образуют возрастающую и убывающую арифметические прогрессии, у которых a и a1 — первые члены, а d и −d1 — разности этих прогрессий соответственно. Произведения членов этих прогрессий должны быть равны единице, так как они равны последним слагаемым нормированных полиномов (см. (2.11)):

a(a + d) . . . (a + (n − 1)d) = 1, a1 (a1 − d1 ) . . . (a1 − (n − 1)d1 ) = 1.

(2.12а) (2.12б)

53

2.6. Нормированные передаточные функции

Т а б л и ц а 2.4

HH n a HH H

2

3

4

5

6

0,1

9,9000 2,1612 1,1249 0,7519 0,5634

0,2

4,8000 1,4319 0,8205 0,5738 0,4412

0,3

3,0333 1,0682 0,6430 0,4600 0,3582

0,4

2,1000 0,8225 0,5106 0,3705 0,2908

0,5

1,5000 0,6328 0,4013 0,2939 0,2320

0,6

1,0667 0,4751 0,3060 0,2257 0,1789

0,7

0,7286 0,3381 0,2203 0,1634 0,1299

0,8

0,4500 0,2155 0,1417 0,1056 0,0841

0,9

0,2111 0,1036 0,0686 0,0513 0,0410

И поскольку по условию первый член возрастающей прогрессии и последний член убывающей прогрессий равны, имеем

a = a1 − (n − 1)d1 , откуда

a1 = a + (n − 1)d1 .

Подставив это выражение в (2.12б) и записав левую часть полученного выражения в обратном порядке, получим

a(a + d1 ) . . . (a + (n − 1)d1 ) = 1. Из (2.12а) и последнего равенства заключаем, что d1 = d. Следовательно, корни обоих полиномов и соответствующие им арифметические полиномы равны. У НПФ, полюсы которых образуют возрастающие арифметические прогрессии, их степени устойчивости равны первым членам, убывающие арифметические прогрессии — последним членам. Дальше будем рассматривать только арифметические НПФ, полюса которых образуют возрастающие прогрессии. В табл. 2.5 приведены коэффициенты арифметических нормированных полиномов для n = 2, . . . , 6 и первого члена a = 0,5. На рис. 2.2 представлены кривые зависимости времени регулирования арифметической НПФ от степени устойчивости (первого члена арифметической прогрессии ее полюсов). Из этого рисунка видно, что время регулирования принимает минимальное значение, когда степень устойчивости равна единице, т. е. когда арифметическая НПФ превра-

54

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления Т а б л и ц а 2.5

n

Коэффициенты

2

1 2,5 1

3

1 3,3984 3,4493 1

4

1 4,408 6,883 4,465 1

5

1 5,439 11,401 11463 5,498 1

6 1 6,480 17,025 23,160 17,158 6,544 1

Рис. 2.2. Кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости арифметической НПФ

щается в биномиальную. Таким образом, если желаемая передаточная функция и соответственно НПФ не имеет нулей, арифметическую НПФ использовать не имеет смысла. 2.6.4. Геометрические нормированные передаточные функции, не содержащие нулей. Первый член a и знаменатель q прогрессии корней геометрического нормированного полинома связаны соотношением

an q (n−1)n/2 = 1,

или

q=

1 . a2/(n−1)

(2.13)

При первом члене a = 1 геометрический полином, так же как и арифметический, обращается в биномиальный.

2.6. Нормированные передаточные функции

55

Ут в е р ж д е н и е 2. Два геометрических нормированных полинома одной и той же степени, корни которых составляют возрастающую и убывающую геометрические прогрессии, совпадают, если первый член первой прогрессий и последний член второй равны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два геометрических нормированных полинома с одинаковыми степенями. Пусть их корни образуют возрастающую и убывающую геометрические прогрессии, у которых a и a1 — первые члены, а q и q1 — знаменатели этих прогрессий соответственно. Знаменатели геометрических прогрессий связаны с первыми членами соотношениями (см. (2.13))

q=

1 2/(n−1)

a

,

q1 =

1

a21/(n−1)

.

(2.14)

Члены возрастающей и убывающей прогрессий соответственно имеют следующий вид:

a, aq , . . . , aq n−2 , aq n−1 ; a1 , a1 q1 , . . . ,

a1 q1n−2 ,

a1 q1n−1 .

(2.15а) (2.15б)

Подставив выражения для q1 из (2.14) в последний член (2.15б) и приравняв его к первому члену возрастающей прогрессий (2.15а), получим 1 1 a = , или a1 = . (2.16) a1

a

Соотношение (2.14) для q1 , после подстановки в него выражения для из последнего равенства, принимает вид

q1 = a2/(n−1).

(2.17)

Корни (2.15а), после подстановки выражения для q из (2.14), и корни (2.15б), после подстановки выражений для a1 и q1 из (2.16) и (2.17) соответственно, примут вид

a, a(n−3)/(n−1) , . . . , a(n−3)/(n−1) , 1/a; 1/a, a(n−3)/(n−1) , . . . , a(n−3)/(n−1) , a. Отсюда видно, что корни обоих рассматриваемых полиномов совпадают: вторая последовательность отличается от первой только порядком расположения ее членов. У НПФ, полюсы которых образуют возрастающие геометрические прогрессии, их степени устойчивости равны первым членам; убывающие геометрические прогрессии — последним членам. В табл. 2.6 приведены коэффициенты геометрического нормированного полинома для степеней n = 2, . . . , 6 и степени устойчивости η = a = 0,5. У геометрической НПФ, не имеющей нулей, как и у арифметической НПФ, переходный процесс монотонный и, следовательно,

56

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

перерегулирование равно нулю. Поэтому рассмотрим зависимость времени регулирования от степени устойчивости. Т а б л и ц а 2.6

n

Коэффициенты

2

1 2,5 1

3

1 3,5 3,5 1

4

1 4,5536 7,1341 4,5536 1

5

1 5,6213 11,9246 11,924 5,6213 1

6 1 6,6997 17,8796 24,3715 17,8796 6,6947 1

На рис. 2.3 представлены кривые зависимости времени регулирования НПФ, не имеющей нулей, от степени устойчивости. Как следует из этого рисунка, время регулирования с ростом степени устойчивости убывает и достигает минимума, когда степень устойчивости достигает единицы, т. е. когда геометрическая НПФ становится биномиальной.

Рис. 2.3. Кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости геометрической НПФ

Таким образом, когда желаемая и соответственно НПФ не имеют нулей, нет необходимости использовать геометрические (как и арифметические) НПФ. Поэтому при определении желаемой передаточной функции, не обладающей нулями, из четырех рассмотренных НПФ достаточно ограничиться двумя — биномиальными и колебательными НПФ.

2.6. Нормированные передаточные функции

57

В табл. 2.7 приведены время регулирования τр для биномиальной НПФ (перерегулирование σ = 0), а в табл. 2.8 — время регулирования τр и перерегулирование σ для колебательных НПФ. Из указанных таблиц следует, что время регулирования для n = 2 меньше всего у колебательной НПФ с коэффициентом демпфирования z = 0,7, а для остальных n — у оптимальной колебательной НПФ. Т а б л и ц а 2.7

n

2

3

4

5

6

τр 4,74 6,30 7,75 9,15 10,51 Т а б л и ц а 2.8

n z = 0,7

2

3

4

5

6

τр 2,90 4,41 7,26 5,99 9,43 σ 4,60 1,52 6,69 3,45 8,08

z = 0,75

τр 3,13 4,69 5,02 6,43 6,80 σ 2,84 0,77 3,88 1,79 8,08

опт

τр 4,38 4,07 4,57 5,71 6,22 σ 5,00 0,49 4,73 0,00 5,00

Таким образом, при определении желаемой передаточной функции, если требуется, чтобы у синтезируемой системы был монотонный переходный процесс, нужно воспользоваться биномиальной НПФ. Но если для синтезируемой системы важно время регулирования и небольшое перерегулирование допустимо, то при определении желаемой передаточной функции можно воспользоваться при n = 2 колебательной НПФ с коэффициентом демпфирования z = 0,7, а при остальных значениях n — оптимальной колебательной НПФ. Однако следует иметь в виду, что при преобразовании НПФ в желаемую передаточную функцию производится постановка

q = αs и время регулирования tр желаемой передаточной функции и время регулирования τр НПФ связаны соотношением

tр = ατр . Поэтому время регулирования tр можно подкорректировать до нужного значения путем выбора параметра α при преобразовании НПФ в желаемую передаточную функцию.

58

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

2.6.5. Типовые нормированные передаточные функции с одним нулем. Пусть передаточная функция объекта не содержит правых нулей и полюсов, и синтезируемая система управления обладает астатизмом второго порядка (r = 2). Как будет показано, в этом случае передаточная функция синтезируемой системы управления и соответственно желаемая и нормированная передаточные функции имеют числители, которые совпадают с суммой двух последних слагаемых их знаменателей. Таким образом, они имеют один нуль. При наличии нулей в передаточной функции система управления обладает большим перерегулированием. Поэтому в этом случае важно определить тип НПФ, при которой указанный показатель принимает минимальное значение. В табл. 2.9 приведены перерегулирование и время регулирования биномиальной НПФ, а в табл. 2.10 — перерегулирование и время регулирования колебательных НПФ. Т а б л и ц а 2.9

n

2

3

4

tр

4,14

6,57

8,60

5

6

10,45 12,20

τр 13,53 24,89 34,75 43,68 51,81 Т а б л и ц а 2.10

n z = 0,7

tр

2

3

4

5

6

2,34

5,63

6,41

7,67

11,44

σ 21,03 33,84 54,32 63,88 84,23 z = 0,75

tр

4,32

5,78

6,68

8,06

10,95

σ 19,42 31,98 50,21 59,49 76,89 опт

tр

4,34

4,94

6,07

6,47

9,95

σ 21,37 38,86 55,67 70,77 83,37

Из этих таблиц видно, что перерегулирование колебательных НПФ велико, и оно значительно больше перерегулирования биномиальной НПФ. Поэтому дальше при наличии нуля в НПФ имеет смысл рассматривать только арифметические и геометрические НПФ, так как биномиальная передаточная функция представляет собой частный случай указанных передаточных функций. На рис. 2.4 и рис. 2.5 представлены соответственно кривые зависимости перерегулирования арифметической и геометрической НПФ от значения их степени устойчивости. Из графиков следует, что как для

2.6. Нормированные передаточные функции

59

Рис. 2.4. Кривые зависимости перерегулирования от степени устойчивости арифметической НПФ (r = 2)

Рис. 2.5. Кривые зависимости перерегулирования от степени устойчивости геометрической НПФ (r = 2)

арифметической, так и для геометрической НПФ при росте степени устойчивости перерегулирование увеличивается, достигая максимума при граничном значении a = 1, т. е. при биномиальной НПФ. При этом, когда n = 2, перерегулирования обеих НПФ при всех значениях степени устойчивости одинаковы. В остальных случаях перерегулирование при одних значениях степени устойчивости меньше у арифметической

60

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

НПФ, при других — у геометрической НПФ. Если при выборе НПФ в качестве показателя качества принять только перерегулирование, то, выходит, нужно остановиться в зависимости от n на арифметической или геометрической НПФ с как можно меньшим значением степени устойчивости. При этом надо учитывать, что чрезмерно малое значение степени устойчивости может привести к нарушению грубости системы. Однако следует иметь в виду, что при преобразовании НПФ в желаемую передаточную функцию степень устойчивости умножается на 1/α. На рис. 2.6 представлены кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости для арифметической и на рис. 2.7 — для геометрической НПФ. Как видно из этих графиков, однозначной закономерности поведения времени регулирования в зависимости от степени устойчивости не существует. Время регулирования для арифметической НПФ с ростом степени устойчивости при n = 2 монотонно возрастает, при n = 3 сначала возрастает, затем убывает и при n = 4, 5, 6 монотонно убывает.

Рис. 2.6. Кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости арифметической НПФ (r = 2)

Время регулирования геометрической НПФ с ростом степени устойчивости при n = 2 монотонно возрастает, при n = 3, 4, 5 сначала возрастает, а затем убывает, при n = 6 монотонно убывает. Сравнивая времена регулирования арифметической и геометрической НПФ, находим, что при n = 2 они одинаковы, при у арифметической НПФ меньше, чем у геометрической (при степени устойчивости, близкой к единице, времена регулирования у обоих передаточных функциях равны), т. е. по времени регулирования арифметическая НПФ имеет преимущество перед геометрической НПФ. Однако чтобы удовлетворить заданным требованиям к перерегулированию и времени

2.6. Нормированные передаточные функции

61

регулирования, в зависимости от порядка НПФ можно будет в одних случаях использовать геометрическую НПФ, в других — арифметическую.

Рис. 2.7. Кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости геометрической НПФ (r = 2)

Таким образом, когда желаемая передаточная функция имеет один нуль в числителе, при ее определении потребуется использовать обе НПФ: арифметическую и геометрическую. 2.6.6. Типовые нормированные передаточные функции с двумя нулями. Пусть теперь передаточная функция объекта не содержит правых нулей и полюсов, и синтезируемая система управления обладает астатизмом третьего порядка (r = 3). В этом случае, как будет показано ниже, числители желаемой и нормированной передаточных функций совпадают с суммой трех последних слагаемых их знаменателей, и, следовательно, они содержат два нуля. В табл. 2.11 приведены перерегулирование и время регулирования биномиальной НПФ, а в табл. 2.12 — то же для колебательных НПФ. Из этих таблиц видно, что перерегулирование колебательных НПФ Т а б л и ц а 2.11

r=3 n

2

tр —

3

4

5

6

2,71

7,12

9,92

12,21

σ — 20,60 40,60 59,88 78,57

62

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

велико и оно значительно больше перерегулирования биномиальной НПФ. Поэтому в дальнейшем, как и в случае с одним нулем, имеет смысл рассматривать только арифметические и геометрические НПФ, так как биномиальная НПФ, как отмечалось, представляет собой частный случай указанных передаточных функций. Т а б л и ц а 2.12

r=3 n z = 0,7

2

tр —

3

4

5

6

5,05

7,43

8,86

12,37

σ — 25,62 57,00 80,80 116,0 z = 0,75

tр —

2,93

7,47

9.06

10,09

σ — 24,60 53,71 76,59 108,3 опт

tр —

5,50

6,96

7,23

9,13

σ — 30,59 60,72 97,61 121,1

На рис. 2.8 представлены кривые зависимости перерегулирования от степени устойчивости для арифметической НПФ. На рис. 2.9 приведены кривые зависимости перерегулирования от степени устойчивости

Рис. 2.8. Кривые зависимости перерегулирования от степени устойчивости арифметической НПФ (r = 3)

2.6. Нормированные передаточные функции

63

Рис. 2.9. Кривые зависимости перерегулирования от степени устойчивости геометрической НПФ (r = 3)

для геометрической НПФ. В обоих случаях с ростом степени устойчивости перерегулирование монотонно возрастает при всех порядках передаточной функции. И чем выше порядок n, тем больше перерегулирование. При этом перерегулирование арифметической НПФ при всех значениях степени устойчивости и порядка НПФ больше, чем перерегулирование геометрической НПФ. Однако с ростом степени устойчивости разница между перерегулированиями арифметической и геометрической НПФ убывает и стремится к нулю. На рис. 2.10 и рис. 2.11 представлены кривые зависимости времени регулирования арифметической и геометрической НПФ от степени устойчивости. Время регулирования арифметической НПФ при всех значениях степени устойчивости больше времени регулирования геометрической НПФ, когда n = 3, и меньше — когда n = 4, 5, 6. Итак, и в случае, когда желаемая передаточная функция имеет два нуля, потребуется использовать обе передаточные функции: арифметическую и геометрическую НПФ. Как известно, степень устойчивости является показателем быстродействия. Однако это, в какой-то мере, справедливо, когда корни характеристического уравнения являются действительными. Когда же характеристическое уравнение имеет комплексные корни или все его корни действительны, но передаточная функция имеет нули, степень устойчивости не может служить мерой быстродействия. Действительно, степень устойчивости биномиальной НПФ равна единице, а степень

64

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Рис. 2.10. Кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости арифметической НПФ (r = 3)

Рис. 2.11. Кривые зависимости времени регулирования от степени устойчивости при геометрической НПФ (r = 3)

устойчивости колебательной НПФ меньше единицы. Но тем не менее время регулирования колебательной НПФ меньше времени регулирования биномиальной НПФ. Точно так же время регулирования арифметической и геометрической НПФ, имеющих нули, во многих случаях тем меньше, чем меньше их степень устойчивости.

65

2.7. Определение желаемой передаточной функции

2.7. Определение желаемой передаточной функции Прежде всего нужно установить порядок желаемой передаточной функции (ЖПФ), т. е. степень ее характеристического полинома nG . Для этого воспользуемся условиями разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7):

nG  nM + nN + 1, n R − + n M  n P − + n N + rр , n G = n R + + n N + rр . Из последнего уравнения имеем

n N = n G − n R + − rр . Подставив это выражение в предшествующие неравенства, с учетом равенства nR = nR− + nR+ (nR — степень полинома R(s)), получим

nM  nR+ + rр − 1,

(2.18а)

nG  nR + nM − nP − .

(2.18б)

Исключив из неравенств (2.18) степень nM , находим условие, которому должна удовлетворять степень характеристического полинома ЖПФ: nG − nR  nR+ + rр − nP − − 1. (2.19) Кратко сформулируем порядок действий для определения передаточной функции регулятора методом ЖПФ. П о р я д о к о п р е д е л е н и я п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и р е г ул я т о р а. 1. Произвести факторизацию передаточной функции объекта, т. е. представить ее в виде (2.2)

Wо (s) =

P (s) P − (s)P + (s) = − , R(s) R (s)R+ (s)

где P − (s), R− (s) — полиномы с левыми нулями, P + (s), R+ (s) — полиномы с правыми и нейтральными нулями. Если полиномы P (s) и R(s) не содержат левых нулей, то P − (s) и R− (s) положить равными константе; если они не содержат правых и нейтральных нулей, то P + (s) и R+ (s) положить равными единице. Если какие-либо левые нули и полюсы не нужно компенсировать, то их нужно включить в P + (s) и R+ (s) соответственно. 2. По заданным требованиям к порядку астатизма к синтезируемой системе управления определить порядок астатизма регулятора rр . 3 Д. П. Ким

66

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

3. Определить порядок ЖПФ по формуле (2.19)

nG − nR  nR+ + rр − nP − − 1. 4. На основе заданных требований к качеству синтезируемой системы управления: характеру переходного процесса (монотонный, апериодический, колебательный), перерегулированию выбрать НПФ, порядок которой совпадает с порядком ЖПФ. 5. Путем моделирования определить время регулирования τр выбранной НПФ и по заданному времени регулирования tр синтезируемой системы управления произвести расчет коэффициента преобразования α = τр /tр . 6. Определить коэффициенты ЖПФ по формулам (2.10):

bi = bi αm−i , n

a0 = α ,

i = 0, 1, . . . , m,

ak =  ak αn−k ,

an = 1.

7. Выписать условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7):

nG  nM + nN + 1, n R − + n M  n P − + n N + rр , n G = n R + + n N + rр , и, решив их, определить степени nM и nN неизвестных полиномов M ∗ (s) и N ∗ (z). 8. Записать полиномы M ∗ (s) и N ∗ (z) с неизвестными коэффициентами, показатели степени которых равны найденным значениям nM и nN , и составить полиномиальное уравнение (2.6)

P + (s)M (s) + R+ (s)N (s)srр = G(s). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях полиномиального уравнения слева и справа, определить коэффициенты полиномов M ∗ (s) и N ∗ (z). 9. Получить искомую передаточную функцию регулятора, подставив найденные и другие полиномы в формулу (2.5)

Wр (s) =

R− (s) (s) r . P − (s) N (s)s р

Выбор типа НПФ. Если передаточная функция объекта имеет только левые нули и, кроме левых полюсов, один нулевой или правый полюс, и левые нули и полюсы объекта компенсируются левыми полюсами и нулями передаточной функции регулятора, то передаточная функция САУ, синтезируемая алгебраическим методом, не содержит нулей. И в этом случае при определении желаемой передаточной функ-

2.8. Синтез регуляторов для объектов, не имеющих правых нулей

67

ции можно использовать биномиальную или колебательную нормированную передаточную функцию. В тех случаях, когда передаточная функция синтезируемой системы обладает нулями, при определении желаемой передаточной функции, нужно воспользоваться арифметическими или геометрическими нормированными передаточными функциями. При этом, как было установлено, во многих случаях чем меньше степень устойчивости, тем меньше перерегулирование и время регулирования. Степень устойчивости может служить алгебраическим запасом устойчивости, так как она характеризует близость системы к границе устойчивости. При малых ее значениях система может стать негрубой. Поэтому возникает проблема, каким должно быть минимальное значение степени устойчивости, при котором не нарушается грубость (робастность) системы. На подобную проблему, которая возникает при синтезе САУ в связи с компенсацией близких к мнимой оси левых нулей и полюсов передаточной функции объекта, впервые было обращено внимание в [39]. При синтезе регулятора методом ЖПФ предполагается, что все левые нули и полюсы передаточной функции объекта компенсируются левыми полюсами и нулями регулятора. Однако не исключено, что если левые нули и левые полюсы объекта расположены близко к мнимой оси, то будет нарушена грубость синтезируемой системы, если их компенсировать.

2.8. Синтез регуляторов для объектов, не имеющих правых нулей и полюсов При рассмотрении НПФ было отмечено, что выбор типа НПФ зависит от того, обладает ли ЖПФ нулем. Поэтому установим, когда передаточная функция синтезируемой системы и соответственно ЖПФ не имеет нулей. ЖПФ имеет вид (см. (2.4а))

Wж (s) =

P + (s)M (s) . G(s)

Отсюда следует, что ЖПФ не имеет нулей, если передаточная функция объекта не имеет правых нулей и степень полинома M (s) равна нулю. Как следует из (2.18а), последнее имеет место, если передаточная функция объекта не имеет правых полюсов и порядок астатизма синтезируемой системы не превышает единицы или передаточная функция объекта имеет один правый полюс и синтезируемая система является статической. Все это справедливо при условии, что левые нули и полюсы передаточной функции объекта компенсируются левыми полюсами и нулями передаточной функции регулятора соответственно. 3*

68

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

П р и м е р 2.2. Передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

1 1 = . (s + 1)(0,5s + 1)(0,2s + 1) 0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1

Синтезировать регулятор, при котором переходный процесс является монотонным, время регулирования tр  3,15 и статическая ошибка равна нулю. Р е ш е н и е. Статическая ошибка будет равна нулю, если система будет астатической. Примем порядок астатизма регулятора rр = 1. Произведем факторизацию передаточной функции объекта. Очевидно, имеем

P − = P + = P = 1,

R− = 0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1,

R+ (s) = 1.

Отсюда находим

nP − = nP + = 0,

nR− = 3,

nR+ = 0,

nR = 3.

Установим, обладает ли ЖПФ нулями. Как будет показано ниже

nM = 0. И поскольку передаточная функция объекта не имеет правых нулей, то ЖПФ не обладает нулями. Определим порядок желаемой передаточной функции (см. (2.19)):

nG − 3  1 − 1 = 0 =⇒ nG = 3. Как отмечалось, если ЖПФ не обладает нулями, в качестве НПФ принимается биномиальная или колебательная. Но так как требуется, чтобы переходный процесс был монотонным, то принимаем биномиальную НПФ 1 1 Wн (q) = = 3 . 3 2 (q + 1)

q + 3q + 3q + 1

Путем моделирования ее переходного процесса находим τр = 6,3. Используя это время регулирования для коэффициента преобразования, получаем 3,15 α= = 0,5. 6,3

По формулам (2.10б) для коэффициентов полинома знаменателя ЖПФ находим

A0 = α3 = 0,125,

A1 = α 2  a1 = 0,75,

A2 = α a2 = 1,5,

A3 = 1.

Следовательно, для характеристического полинома ЖПФ имеем

G(s) = 0,125s3 + 0,75s2 + 1,5s + 1.

2.8. Синтез регуляторов для объектов, не имеющих правых нулей

69

Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7) принимают вид nG  nM + nN + 1,

n R − + n M  n P − + n N + rр , n G = n R + + n N + rр . При постановке численных значений известных показателей степеней получаем 3  nM + nN + 1,

nM  nN + 1, 3 = nN + 1. Отсюда находим Положив

nN = 2,

nM = 0.

N (s) = a0 s2 + a1 s + a2 ,

M (s) = b0 ,

составим полиномиальное уравнение (2.6):

P + (s)M (s) + R+ (s)N (s)srр = G(s). При подстановке в это уравнение входящих в него полиномов получим

b0 + (a0 s2 + a1 s + a2 )s = 0,125s3 + 0,75s2 + 1,5s + 1. Из этого уравнения находим

a0 = 0,125,

a1 = 0,75,

a2 = 1,5,

b0 = 1

и соответственно для полиномов M (s) и N (s) имеем

N (s) = 0,125s2 + 0,75s + 1,5, M (s) = 1. Подставляя эти выражения, а также выражения для P − (s) и R− (s) в формулу (2.5)

Wр (s) =

R− (s) (s) rр , − N (s)s P (s)

получим искомую передаточную функцию регулятора:

Wр (s) =

0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1

(0,125s2 + 0,75s + 1,5)s

.

70

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

2.9. Синтез астатических регуляторов, не имеющих правых нулей и полюсов Пусть передаточная функция объекта (неизменяемой части) имеет вид P (s) Wо = rо , R1 (s)s

где полиномы P (s) и R1 (s) имеют только левые нули. Требуется синтезировать систему автоматического управления с астатизмом r -го порядка (r > 1) относительно задающего воздействия и обладающего характеристическим полиномом

G(s) = c0 sn + c1 sn−1 + . . . + cn . Произведем факторизацию передаточной функции объекта:

P − (s) = P (s),

P + (s) = 1,

R− (s) = R1 (s),

R+ (s) = srо .

В данном случае имеем

nG = n,

nP − = nP ,

nP + = 0,

nR− = nR1 ,

n R + = rо .

Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7) принимают вид n  nM + nN + 1,

nR1 + nM  nP + nN + rр

(rр = r − rо ),

n = rо + n N + rр . Отсюда для минимальных степеней неизвестных полиномов получаем

nN = n − r ,

nM = r − 1.

Представим эти полиномы в виде

M (s) = b0 sr−1 + b1 sr−2 + . . . + br−1 , N (s) = a0 sn−r + a1 sn−r−1 + . . . + an−r , При этом полиномиальное уравнение (2.6) примет вид

b0 sr−1 + b1 sr−2 + . . . + br−1 + (a0 sn−r + a1 sn−r−1 + . . . + an−r )sr = = c0 sn + c1 sn−1 + . . . + cn . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим

a0 = c0 , a1 = c1 , . . . , an−r = cn−r , b0 = cn−r+1 , b1 = cn−r+2 , . . . , br−1 = cn .

2.9. Синтез астатических регуляторов, не имеющих правых нулей

71

Следовательно, имеем

M (s) = cn−r+1 sr−1 + cn−r+2 sr−2 + . . . + cn , N (s) = c0 s

n−r

+ c1 s

n−r−1

+ . . . + cn−r .

(2.20) (2.21)

Передаточная функция регулятора принимает вид (см. (2.5))

Wр (s) =

R1 (s)(cn−r+1 sr−1 + cn−r+2 sr−2 + . . . + cn ) . P (s)(c0 sn−r + c1 sn−r−1 + . . . + cn−r )sr−r0

(2.22)

Для ЖПФ в соответствии с (2.4а)

Wж (s) = получаем

Wж (s) =

P + (s)M (s) , G(s)

cn−r+1 sr−1 + cn−r+2 sr−2 + . . . + cn . c0 sn + c1 sn−1 + . . . + cn

Таким образом, в рассматриваемом случае, когда передаточная функция объекта не содержит правых нулей и полюсов и синтезируемая система обладает астатизмом r -го порядка, числитель ЖПФ совпадает суммой r последних слагаемых знаменателя. Естественно, такой же вид будет иметь соответствующая НПФ. П р и м е р 2.3. Дана передаточная функция объекта

Wо (s) =

1 . s(s + 1)

Требуется определить передаточную функцию регулятора, при которой синтезированная система обладает следующими свойствами: — коэффициенты позиционной и скоростной ошибок равны нулю; — перерегулирование σ  12; — время регулирования tр = 3. Р е ш е н и е. Для того чтобы коэффициенты позиционной и скоростной ошибок были равны нулю, система должна обладать астатизмом второго порядка (r = 2). Но так как объект содержит одно интегрирующее звено (rо = 1), то достаточно, чтобы регулятор также включал одно интегрирующее звено (rр = 1). Как было показано выше, в этом случае ЖПФ и соответственно НПФ имеют один нуль. Поэтому для обеспечения заданного требования к перерегулированию необходимо воспользоваться геометрической или арифметической НПФ. Произведем факторизацию передаточной функции объекта.

P − (s) = P + (s) = 1,

R− (s) = s + 1,

R+ (s) = s.

Для степеней этих полиномов имеем

nP − = nP + = 0,

nR− = 1,

nR+ = 1.

72

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Условие (2.19), которому должен удовлетворять порядок желаемой передаточной функции nG , принимает вид

nG − nR  1 + 1 − 1 = 1. Поэтому имеем

nG = nR + 1 = 3.

Для обеспечения заданного требования к перерегулированию примем геометрическую НПФ. Из рис. 2.5 при n = 3 перерегулирование σ = 12, когда первый член прогрессии (степень устойчивости) a = 0,2. В соответствии с формулой (2.13) для знаменателя прогрессии находим 1

g=

2/(n−1)

a

=

1 = 5. 0,2

Нормированный характеристический полином имеет вид

Gн (q) = (q + a)(q + a · g)(q + a · g 2 ). При подстановке численных значений для a и q , получим

Gн (q) = q 3 + 6,27q 2 + 6,27q + 1. Соответствующая НПФ имеет вид

Wн (q) =

6,27q + 1

q + 6,27q 2 + 6,27q + 1 3

.

Путем моделирования находим для найденной НПФ время регулирования τр = 8,97 и более точное значение перерегулирования σ = 11 (см. рис. 2.12). Для коэффициента преобразования получаем

α=

tр 3 = = 0,334. τр 8,97

Для коэффициентов ЖПФ по формулам (2.10) находим

a0 = α3 = 0,0373,

a1 =  a1 α2 = 0,699,

a2 =  a2 α = 2,094,

a3 = 1.

Коэффициенты числителя ЖПФ нет необходимости вычислять, так как ее числитель совпадает двумя последними слагаемыми знаменателя ЖПФ. Поэтому имеем

Wж (s) =

2,094s + 1 0,0373s3 + 0,699s2 + 2,094s + 1

.

Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7) принимают вид 3  nM + nN + 1, 1 + nM  nN + 1, 3 = 1 + nN + 1.

2.9. Синтез астатических регуляторов, не имеющих правых нулей

73

Рис. 2.12. Переходная характеристика НПФ

Отсюда для степеней неизвестных полиномов получаем

nM = 1, nN = 1. Положив

M (s) = b0 s + b1 ,

N (s) = a0 s + a1 ,

составим полиномиальное уравнение (см. (2.6)), которое принимает вид

b0 s + b1 + (a0 s + a1 )s2 = 0,0373s3 + 0,699s2 + 2,094s + 1. Отсюда для коэффициентов неизвестных полиномов находим

b0 = 2,094,

b1 = 1,

a0 = 0,0373,

a1 = 0,699.

И соответственно имеем

M (s) = 2,094s + 1,

N (s) = 0,0373s + 0,699.

Подставив эти и другие полиномы, входящие в (2.5), в искомую передаточную функцию регулятора, получим

Wр (s) =

(s + 1)(2,094s + 1) . (0,0373s + 0,699)s

На рис. 2.13 представлен график переходной характеристики синтезированной системы, откуда видно, что требования к качеству, которые предъявлены к синтезируемой системе, выполнены: время регулирования tр = 3 и перерегулирование σ = 11.

74

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Рис. 2.13. Переходная характеристика синтезированной системы

2.10. Синтез регулятора для объекта с правым полюсом Пусть передаточная функция объекта управления имеет правый полюс и имеет вид P (s) Wо (s) = rо . R1 (s)(s − β)s

Здесь P (s) и R1 (s) — полиномы с левыми нулями. Требуется синтезировать систему автоматического управления с астатизмом r -го порядка и обладающую характеристическим полиномом

G(s) = a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an . Произведем факторизацию передаточной функции объекта:

P − (s) = P (s),

P + (s) = 1,

R− (s) = R1 (s),

R+ (s) = (s − β)srо .

В данном случае имеем

nG = n,

nP − = nP ,

nP + = 0,

nR− = nR1 ,

nR+ = rо + 1.

Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7) принимают вид n  nM + nN + 1,

nR1 + nM  nP + nN + rр

(rр = r − rо ),

n = rо + 1 + n N + rр .

2.10. Синтез регулятора для объекта с правым полюсом

75

Отсюда для минимальных степеней неизвестных полиномов получаем

nN = n − r − 1,

nM = r.

Запишем неизвестные полиномы в виде

M (s) = d0 sr + d1 sr−1 + . . . + dr , N (s) = c0 sn−r−1 + c1 sn−r−2 + . . . + cn−r−1. При этом полиномиальное уравнение (2.6) примет вид

d0 sr + d1 sr−1 + . . . + dr + (s − β)(c0 sn−r−1 + c1 sn−r−2 + . . . + cn−r−1 )sr = = a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях sn : c0 = a 0 ; n−1 s : c1 − βc0 = a1 ; n−2 s : c2 − βc1 = a2 ; .. .. . . r+1 s : cn−r−1 − βcn−r−2 = an−r−1 ; sr : d0 − βcn−r−1 = an−r ; r−1 s : d1 = an−r+1 ; r−2 s : d2 = an−r+2 ; .. .. . . s0 : dr = an . Отсюда получаем

d0 = an−r + βcn−r−1 , d1 = an−r+1 , d2 = an−r+2 , . . . , dr = an ; (2.23а) c0 = a0 , c1 = a1 + βc0 , c2 = a2 + βc1 , . . . , cn−r−1 = an−r−1 + βcn−r−2 . (2.23б) Передаточная функция регулятора принимает вид (см. (2.5)) Wр (s) =

R1 (s)(d0 sr + d1 sr−1 + . . . + dr ) , P (s)(c0 sn−r−1 + c1 sn−r−2 + . . . + cn−r−1 )srр

(2.24)

где dk (k = 1, 2, . . . , r ) и ci (i = 0, 1, 2, . . . , n − r − 1) определяются из соотношений (2.23).

76

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

2.10.1. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса НПФ. Передаточная функция синтезированной системы и соответственно желаемая передаточная функция принимают вид (см. (2.4а))

Wж (s) =

(an−r + βcn−r−1 )sr + an−r+1 sr−1 + . . . + an . a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

(2.25)

Числитель желаемой передаточной функции, кроме первого слагаемого, совпадает суммой последних r слагаемых знаменателя. Соответственно НПФ будет иметь вид

Wн (q) = где (см. (2.10а))

d0 q r +  an−r+1 q r−1 + . . . +  an−1 q + 1 , n q + a1 q n−1 + . . . +  an−1 q + 1

(2.26)

d a + βc d0 = 0r = n−r r n−r−1 , α

α

или, учитывая равенство an−r =  an−r αr из (2.10б), a + βc βc 1 d0 = n−r r n−r−1 =  an−r + n−r− . r α

α

Из рекуррентного соотношения (2.23б) имеем

cn−r−1 = an−r−1 + βan−r−2 + . . . + β n−r−1 a0 ,

(2.27)

или, учитывая (2.10б),

cn−r−1 =  an−r−1 αr+1 + αr+2 β an−r−2 + . . . + αn β n−r−1 . Подставив это выражение в выражение для d0 , получим d0 =  an−r + αβ an−r−1 + (αβ)2 an−r−2 + . . . + (αβ)n−r  a0 .

(2.28)

В данном случае без дополнительных вычислений невозможно определить НПФ, с помощью которой можно было бы определить время регулирования и соответственно параметр α = tр /τр , так как ее числитель зависит от этого параметра. Для определения нужной НПФ необходимо выбрать тип НПФ и, задавшись коэффициентом преобразования α, по формуле (2.28) определить d0 , который является единственным неизвестным коэффициентом НПФ (2.26) при известном ее характеристическом полиноме. Тогда получим НПФ для заданного коэффициента преобразования. Путем моделирования получаемой НПФ при различных значениях коэффициентах преобразования α и определяя время регулирования τр и перерегулирование σ , находим искомую НПФ. П р и м е р 2.4. Дана передаточная функция объекта

Wо (s) =

2(0,5s + 1) , (s + 1)(s − β)

где правый полюс β принимает два значения: 0,25 и 2,5.

2.10. Синтез регулятора для объекта с правым полюсом

77

Требуется определить передаточную функцию регулятора, при котором синтезированная система обладает следующими свойствами: — коэффициенты позиционной и скоростной ошибок равны нулю; — перерегулирование σ  15; — время регулирования tр  1 с. Р е ш е н и е. Произведем факторизацию передаточной функции объекта:

P − (s) = 2(0,5s + 1),

P + (s) = 1,

R− (s) = s + 1,

R+ = s − β.

Для степеней этих полиномов имеем

nP − = 1,

nP + = 0,

nR− = 1,

nR+ = 1.

Как отмечалось, для того чтобы коэффициенты позиционной и скоростной ошибок были равны нулю, система должна обладать астатизмом второго порядка (r = 2). Но так как объект не имеет интегрирующего звена, то регулятор должен содержать два интегрирующего звена (rр = 2). Определим порядок желаемой передаточной функции. В соответствии с (2.19) находим

n = nG = nR + 1 = 3. В качестве нормированного характеристического полинома выберем геометрический полином. При выборе первого члена геометрической прогрессии (степени устойчивости) воспользуемся графиком зависимости перерегулирования от степени устойчивости (рис. 2.5), построенным для астатической системы второго порядка без правых нулей и полюсов. Так как нам заранее не известно, как отличается зависимость перерегулирования от степени устойчивости для рассматриваемого случая от зависимости, приведенной на указанном рисунке, примем степень устойчивости a = 0,2 соответствующей перерегулированию σ = 12, а не требуемому значению. Для знаменателя прогрессии при этом получаем (см. (2.13))

g=

1 2/(n−1)

a

=

1 = 5. a

Соответственно геометрический характеристический нормированный полином принимает вид

Gн (q) = (q + 0,2)(q + 0,2 · 5)(q + 0,2 · 52 ), или

Gн (q) = q 3 + 6,2q 2 + 6,2q + 1.

78

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

В соответствии с формулой (2.26) для НПФ получаем

Wн (q) = где (см. (2.28))

d0 q 2 + 6,2q + 1 , q + 6,2q 2 + 6,2q + 1 3

d0 =  a1 + αβ a0 = 6,2 + αβ.

В табл. 2.13 приведены результаты моделирования (перерегулирование σ и время регулирования τр ) при β = 0,25 и разных значениях α, а в табл. 2.14 — то же при β = 2,5. Т а б л и ц а 2.13

β = 0,25 α

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

σ

11

11

12

12

12

12

12

13

13

τр 1,62 1,7 1,65 1,6 1,68 1.68 1,69 1,71 1,61 Т а б л и ц а 2.14

β = 2,5 α 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7 0,8 0,9

13

16

18

21

24

26

29

32

34

2

2

2

σ

τр 1,8 1,77 1,87 1,94 1,92 1,99

Как следует из приведенной табл. 2.13, при β = 0,25 нужное перерегулирование обеспечивается при любом коэффициенте преобразования, а время регулирования — при α  0,5:

tр = α · τр = 0,5 · 1,68 = 0,84  1. Используя максимально допустимый коэффициент преобразования α = 0,5, обеспечивающий максимальную степень устойчивости, для коэффициентов характеристического полинома ЖПФ, получаем

a0 = α3 = 0,125,

a1 =  a1 α2 = 6,2 · 0,25 = 1,55,

a2 =  a2 · α = 6,2 · 0,5 = 3,1,

a3 = 1.

В рассматриваемом примере

P (s) = 2(0,5s + 1),

R1 (s) = R− (s) = s + 1,

и для передаточной функции регулятора при β = 0,25 получаем

Wр (s) =

(s + 1)(1,58s2 + 3,1s + 1) . 0,125s3 + 0,25s2

2.10. Синтез регулятора для объекта с правым полюсом

79

На рис. 2.14 представлена переходная характеристика синтезированной системы при указанном значении β. Из этого рисунка следует, что время регулирования (tр = 0,842) и перерегулирование (σ = 12) синтезированной системы удовлетворяют заданным значениям.

Рис. 2.14. Переходная характеристика (β = 0,25)

При β = 2,5, как следует из табл. 2.14, допустимым является только значение коэффициента преобразования α = 0,1, так как при остальных его значениях перерегулирование превышает требуемое значение σ = 15. Определим характеристический полином ЖПФ при этом значении коэффициента преобразования:

a0 = α3 = 0,001,

a1 =  a1 α2 = 6,2 · 0,01 = 0,062,

a2 =  a2 · α = 6,2 · 0,1 = 0,62,

a3 = 1.

В соответствии с соотношениями (2.24) находим неизвестные коэффициенты в числителе передаточной функции регулятора:

c0 = a0 = 0,001,

d0 = a1 + β · c0 = 0,062 + 2,5 · 0,001 = 0,0645, d1 = a2 = 0,62,

d2 = a3 = 1.

Поэтому формула (2.24) принимает вид

Wр (s) =

(s + 1)(d0 s2 + d1 s + d2 ) , 2(0,5s + 1)c0 s2

80

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

В соответствии с соотношениями (2.23) находим

c0 = a0 = 0,125, d0 = a1 + β · c0 = 1,55 + 0,25 · 0,125 = 1,58, d1 = a2 = 3,1,

d2 = a3 = 1.

И для передаточной функции регулятора при β = 2,5 получаем

Wр (s) =

(s + 1)(0,0645s2 + 0,62s + 1) . 2(0,5s + 1)0,001s2

На рис. 2.15 представлена переходная характеристика синтезированной системы при втором значении правого полюса. Из этой характеристики следует, что перерегулирование (σ = 13) синтезированной системы управления меньше требуемого значения. Но время регулирования получается очень маленьким, что достигается большим максимальным значением управления: максимальное по модулю значение управления um = 65. Чтобы управление по модулю не превышало допустимых значений, нужно при больших значениях правого полюса ослабить требования к перерегулированию. Если требования ко времени регулирования оставить прежними, а перерегулирование изменить и принять равным 25, то эти требования будут обеспечены при коэффициенте преобразования α = 0,5 (см. табл. 2.14).

Рис. 2.15. Переходная характеристика (β = 2,5)

2.10. Синтез регулятора для объекта с правым полюсом

81

2.10.2. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса ЖПФ. Выше синтез передаточной функции регулятора производился традиционным путем: сначала определялась передаточная функция НПФ, а затем путем моделирования находилось ее время регулирования и перерегулирование, а по ним вычислялся коэффициент преобразования. Однако в данном случае, чтобы определить числитель НПФ, необходимо было определить ЖПФ. Очевидно, можно избежать дополнительных вычислений, связанных с определением числителя НПФ, если воспользоваться ЖПФ для определения искомого значения параметра преобразования. Сформулируем процедуру синтеза передаточной функции регулятора для объекта с правым полюсом

Wо (s) =

P (s) , R1 (s)(s − β)srо

основанную на моделировании переходного процесса ЖПФ. 1. Произвести факторизацию передаточной функции объекта и установить показатели степеней полиномов

P − = P (s),

P + (s) = 1,

R− (s) = R1 (s),

R+ (s) = (s − β)srр .

2. По заданным требованиям к порядку астатизма синтезируемой системы определить порядок астатизма регулятора rр (rр = r − rо ). 3. Определить степень nG характеристического полинома ЖПФ из соотношения (2.19)

nG − nR  nR+ + rр − nP − − 1. 4. По заданным требованиям к качеству синтезируемой системы управления выбрать НПФ и записать ее характеристический полином (см. (2.26))

Gн (s) = q n +  a1 q n−1 + . . . +  an−1 q + 1. 5. Задавшись коэффициентом преобразования α, определить коэффициенты характеристического полинома ЖПФ по формуле (2.10б)

a0 = α n ,

αk =  ak αn−k ,

an = 1,

k = 1, 2, . . . , n − 1.

6. Вычислить коэффициент cn−r−1 по формуле (2.27)

cn−r−1 = an−r−1 + βan−r−2 + . . . + β n−r−1 a0 . 7. Подставить коэффициент cn−r−1 в формулу (2.25)

Wж (s) =

(an−r + βcn−r−1 )sr + an−r+1 sr−1 + . . . + an , a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

82

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

и путем моделирования по переходной характеристике ЖПФ определить время регулирования tр и перерегулирование σ. 8. Произвести процедуру 5–7, изменяя коэффициент преобразования в интервале (0, 1), и определить его значение α∗, при котором показатели качества становятся приемлемыми. 9. При α = α∗ определить коэффициенты ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) (см. процедуру 5), и коэффициенты di (i = 0, 1, . . . , r ) и ck (k = 0, 1, . . . . . . , n − r − 1) по формулам (2.23):

d0 = an−r + βcn−r−1 , d1 = an−r+1 , d2 = an−r+2 , . . . , dr = an ; c0 = a0 , c1 = a1 + βc0 , c2 = a2 + βc1 , . . . , cn−r−1 = an−r−1 + βcn−r−2 . 10. Подставить найденные коэффициенты в формулу (2.24):

Wр (s) =

R1 (s)(d0 sr + d1 sr−1 + . . . + dr ) . P (s)(c0 sn−r−1 + c1 sn−r−2 + . . . + cn−r−1 )srр

2.11. Синтез регулятора для объекта с правым нулем Пусть передаточная функция объекта управления имеет правый нуль и имеет вид P (s)(s − δ) Wо (s) = 1 . rо R1 (s)s

Здесь P1 (s) и R1 (s) — полиномы с левыми нулями. Требуется синтезировать систему автоматического управления с астатизмом r -го порядка и обладающую характеристическим полиномом

G(s) = a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an . Произведем факторизацию передаточной функции объекта:

P − (s) = P1 (s),

P + (s) = s − β ,

R− (s) = R1 (s),

R+ (s) = srо .

В данном случае имеем

nP − = nP 1 ,

nP + = 1,

nR− = nR1 ,

n R + = rо .

Условия разрешимости, физической осуществимости и грубости (2.7) принимают вид n  nM + nN + 1,

nR1 + nM  nP1 + nN + rр

(rр = r − rо ),

n = rо + n N + rр . Отсюда для минимальных степеней неизвестных полиномов получаем

nN = n − r ,

nM = r − 1.

2.11. Синтез регулятора для объекта с правым нулем

83

Запишем неизвестные полиномы в виде

M (s) = d0 sr−1 + d1 sr−2 + . . . + dr−1 , N (s) = c0 sn−r + c1 sn−r−1 + . . . + cn−r . При этом полиномиальное уравнение (2.6) примет вид

(s − δ)(d0 sr−1 + d1 sr−2 + . . . + dr−1 ) + (c0 sn−r +c1 sn−r−1 + . . . + cn−r )sr = = a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях: sn : c0 = a 0 ; n−1 s : c1 = a 1 ; n−2 s : c2 = a 2 ; .. .. . . r+1 s : cn−r−1 = an−r−1 ; sr : d0 + cn−r−1 = an−r ; r−1 s : d1 − δd0 = an−r+1 ; sr−2 : d2 − δd1 = an−r+2 ; .. .. . . s: dr−1 − δdr−2 = an−1 ; 0 s : −δdr−1 = an . Отсюда получаем

dr−1 = −

an d − an−1 d − an−r+1 , dr−2 = r−1 , . . . , d0 = 1 , δ δ δ

c0 = a0 , c1 = a1 , . . . , cn−r−1 = an−r−1 , cn−r = an−r − d0 .

(2.29а) (2.29б)

Передаточная функция регулятора принимает вид (см. (2.5))

Wр (s) =

R1 (s)(d0 sr−1 + d1 sr−2 + . . . + dr−1 ) . P1 (s)(c0 sn−r + c1 sn−r−1 + . . . + cn−r )srр

(2.30)

2.11.1. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса НПФ. Передаточная функция синтезированной системы и соответственно желаемая передаточная функция принимают вид (см. (2.4а))

Wж (s) =

(s − δ)(d0 sr−1 + d1 sr−2 + . . . + dr−1 ) , a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

или

Wж (s) =

b0 sr + b1 sr−1 + . . . + br , a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

(2.31)

84

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

где

b0 = d0 , b1 = d1 − δd0 , . . . , br−1 = dr−1 − δdr−2 , br = −δdr−1 . (2.32) Из рекурретного соотношения (2.30а) с учетом (2.10б) получаем 1 δ

dr−1 = , dr−2 =

dr−1 − α ·  an−1 d − αr−1  an−r+1 , . . . , d0 = 1 , δ δ

(2.33)

НПФ имеет вид

Wн (q) =

b0 q r + b1 q r−1 + . . . + br−1 q + br . qn +  a1 q n−1 + . . . +  an−1 q + 1

(2.34)

В ней известен только знаменатель. Числитель предстоит найти путем моделирования. Задавшись коэффициентом преобразования α, по формуле (2.33) определяют коэффициенты dk (k = 0, 1, . . . , r ). Затем в соответствии с (2.32) определяются коэффициенты bi (i = 0, 1, . . . , r ) ЖПФ. И наконец, из соотношения (2.10а) находим коэффициенты числителя НПФ: bi = bi , i = 0, 1, . . . , r. r−i α

Далее путем моделирования полученной НПФ определяется нужный коэффициент преобразования. П р и м е р 2.5. Дана передаточная функция объекта

Wо (s) =

2(0,5s + 1)(s − δ)

(s2 + 3s + 2)s

,

где правый полюс δ принимает два значения: 0,25 и 2,5. Требуется определить передаточную функцию регулятора, при котором синтезированная система обладает следующими свойствами: — коэффициенты позиционной и скоростной ошибок равны нулю; — перерегулирование σ  25; — время регулирования tр  5,5. Р е ш е н и е. Произведем факторизацию передаточной функции объекта:

P − (s) = 2(0,5s + 1),

P + (s) = s − δ ,

R− (s) = s2 + 3s + 2,

R+ = s.

Для степеней этих полиномов имеем

nP − = 1,

nP + = 1,

nR− = 2,

nR+ = 1.

Как отмечалось, для того чтобы коэффициенты позиционной и скоростной ошибок были равны нулю, система должна обладать астатизмом второго порядка (r = 2). Но так как объект имеет одно интегрирующее звено, то достаточно, чтобы регулятор содержал также одно интегрирующее звено.

2.11. Синтез регулятора для объекта с правым нулем

85

Определим порядок желаемой передаточной функции. В соответствии с (2.19) находим n = nG = 3. В качестве нормированного характеристического полинома выберем геометрический полином. При выборе первого члена геометрической прогрессии (степени устойчивости) воспользуемся графиком зависимости перерегулирования от степени устойчивости на рис. 2.9, построенным для астатической системы четвертого порядка без правых нулей и полюсов и при котором ЖПФ имеет два нуля. Как следует из этого графика, при порядке ЖПФ n = 4 перерегулированию σ = 25 соответствует степень устойчивости a = 0,25. Для знаменателя прогрессии при этом получаем (см. (2.13))

g=

1 1 = = 4. a a2/(n−1)

Соответственно геометрический характеристический нормированный полином принимает вид

Gн (q) = (q + 0,2)(q + 0,2 · 4)(q + 0,2 · 42 ), или

Gн (q) = q 3 + 5,25q 2 + 5,25q + 1.

В соответствии с формулой (2.33) для НПФ получаем

Wн (q) =

b0 q 2 + b2 q + b3

q + 5.25q 2 + 5,25q + 1 3

.

Коэффициенты ее числителя согласно соотношениям (2.34), (2.32) и (2.10а) вычисляются по следующим рекуррентным формулам: 1 δ

d1 = ,

d0 =

d1 − α a2 , b0 = d0 , b1 = d1 − δd0 , δ b0 = b0 , b1 = b1 , b2 = b2 . α α2

b2 = −δd1 ,

Задаваясь различными значениями коэффициента преобразования α, путем моделирования НПФ найдем для нее перерегулирование σ и время регулирования τр . В табл. 2.15 приведены результаты моделирования при δ = 0,25, а в табл. 2.16 — при δ = 2,5. Интересно отметить, что при наличии у объекта правых нулей в начальный момент наблюдается отклонение переходной характеристики в отрицательную сторону: возникает отрицательное перерегулирование σ . Из табл. 2.15 следует, что при δ = 0,25 при всех значениях коэффициента преобразования перерегулирование получается большим и оно намного превосходит требуемое значение σ = 25. Поэтому дальше ограничимся определением и исследованием регулятора при правом

86

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления Т а б л и ц а 2.15

δ = 0,25 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

σ 4170 1160 579

358

272

191

153

127

108

8,4

7,09

6

α

0,1

0,2

σ 

250

72,9 35,4 21,8 15,1 11,3

τр

34

28,2

25

23,4 21,5 20,6 19,5 18,8 17,9 Т а б л и ц а 2.16

δ = 2,5 α

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

σ

94

42

29

23

20

18

17

16

15

σ  5,12 1,86 1,07 0,723 0,529 0,409 0,32 0,27 0,22 τр 17,3

14

12,7

11,4

10,6

10

9,8

9,7

9,5

нуле δ = 2,5. Из табл. 2.16 следует, что заданные требования перерегулирования и времени регулирования (tр = α · τр ) удовлетворяются при коэффициенте преобразования α = 0,4 и α = 0,5. Синтезируем регулятор, который обеспечивает указанные показатели качества, соответствующие показателю преобразования α = 0,5. Передаточная функция регулятора (2.31) принимает вид

Wр (s) =

(s2 + 3s + 2)(d0 s + d1 ) . 2(0,5s + 1)(c0 s + c1 )s

Из (2.30) имеем

d1 = −

a3 , δ

d0 =

d1 − a2 , δ

c0 = a 0 ,

c1 = d0 .

В соответствии с (2.10б)

a0 = α3 = 0,53 = 0,125,

a1 =  a1 α2 = 5,25 · 0,52 = 1,313,

a2 =  a2 α = 5,25 · 0,5 = 2,625,

a3 = 1.

Поэтому для коэффициентов передаточной функции регулятора получаем

d1 = −

1 = −0,4, 2,5

d0 =

−0,4 − 2,625 = −1,21, 2,5

c0 = 0,125,

c1 = 1,3.

И соответственно передаточная функция регулятора принимает вид

Wр (s) =

(s2 + 3s + 2)(−1,21s − 0,4) . 2(0,5s + 1)(0,125s + 1,3)s

2.11. Синтез регулятора для объекта с правым нулем

87

На рис. 2.16 представлен график переходной характеристики синтезиррованной системы управления, откуда следует, что перерегулирование σ = 25, время регулирования tр = 5,58 и отрицательное перерегулирование α  = 0,53.

Рис. 2.16. Переходная характеристика (δ = 2,5)

До сих пор в качестве основных показателей качества в переходном режиме рассматривались время регулирования и перерегулирование. Однако как показывает приведенный пример, когда объект и соответственно синтезированная система обладают правым нулем, в начальный момент скачка входного воздействия возникает отрицательное перерегулирование, которое может создать определенные проблемы. Поэтому в подобных случаях представляется необходимым, помимо наиболее широко используемых прямых показателей качества (время регулирования и перерегулирование), рассматривать дополнительный показатель качества, который можно назвать отрицательным перерегулированием, и при постановке задачи синтеза устанавливать определенные требования и к этому показателю качества. 2.11.2. Синтез регулятора путем моделирования переходного процесса ЖПФ. Как и в случае синтеза регулятора для объекта с правым полюсом, при синтезе регулятора с правым нулем для определения НПФ (ее числителя) требуется сначала определить ЖПФ как функцию от коэффициента преобразования. Однако и в данном случае нет необходимости после выбора типа НПФ определять коэффициенты ее числителя. Достаточно, воспользовавшись ее характеристическим полиномом, получить ЖПФ и путем моделирования ее переходного процесса определить нужный коэффициент преобразования.

88

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Сформулируем процедуру синтеза передаточной функции регулятора для объекта с правым нулем,

Wо (s) =

P1 (s)(s − β) , R1 (s)srр

основанную на моделирования переходного процесса ЖПФ. 1. Произвести факторизацию передаточной функции объекта и установить степени полиномов:

P − (s) = P1 (s),

P + (s) = s − δ ,

R− (s) = R1 (s),

R+ (s) = srр .

2. По заданным требованиям к порядку астатизма синтезируемой системы определить порядок астатизма регулятора rр (rр = r − rр , rр — порядок астатизма объекта). 3. Определить степень nG характеристического полинома ЖПФ из соотношения (2.19):

nG − nR  nR+ + rр − nP − − 1. 4. По заданным требованиям к качеству синтезируемой системы управления выбрать НПФ и записать ее характеристический полином (см. (2.26)):

Gн (s) = q n +  a1 q n−1 + . . . +  an−1 q + 1. 5. Задавшись коэффициентом преобразования α, определить коэффициенты характеристического полинома ЖПФ по формуле (2.10б):

a0 = α n ,

αk =  ak αn−k ,

an = 1,

k = 1, 2, . . . , n − 1.

6. Вычислить коэффициент di (i = 0, 1, . . . , r − 1) по формуле (2.29а):

dr−1 = −

an d − an−1 d − an−r+1 , dr−2 = r−1 , . . . , d0 = 1 . δ δ δ

7. Произвести моделирование переходного процесса ЖПФ (2.31):

Wж (s) =

(s − δ)(d0 sr−1 + d1 sr−2 + . . . + dr−1 ) . a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an

8. Выполнить процедуру 5–7, изменяя коэффициент преобразования α в интервале (0, 1), и определить его значение α∗, при котором показатели качества становятся приемлемыми. 9. При α = α∗ определить коэффициенты ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) и di (i = 0, 1, . . . , r − 1), используя процедуры (5) и (6), а также коэффициенты ck (k = 0, 1, . . . , n − r ) по формулам (2.29б):

c0 = a0 , c1 = a1 , . . . , cn−r−1 = an−r−1, cn−r = an−r − d0 .

2.12. Синтез регулятора для объекта с чистым запаздыванием

89

Подставив найденные коэффициенты в формулу (2.24),

Wр (s) =

R1 (s)(d0 sr−1 + d1 sr−2 + . . . + dr−1 ) , P1 (s)(c0 sn−r + c1 sn−r−1 + . . . + cn−r )srр

получим искомую передаточную функцию регулятора.

2.12. Синтез регулятора для объекта с чистым запаздыванием По синтезу систем автоматического управления с запаздыванием опубликовано значительное количество работ. Эти работы посвящены синтезу оптимальных и квазиоптимальных по быстродействию систем управления, оптимальных по интегральному квадратичному критерию систем, а также модальному управлению [25, 11, 55, 44]. Достаточно подробный обзор и список литературы по оптимальным и квазиоптимальным по быстродействию системам управления с запаздыванием представлен в [25]. То же, посвященное оптимальным по интегральному квадратичному критерию системам автоматического управления, представлено в [55]. В монографии [44], посвященной спектральной декомпозиции систем с запаздыванием, рассмотрены вопросы модального управления объектами с запаздываниями и приведен обзор большого количества работ по решению широкого спектра задач, связанных с системами управления с запаздыванием. Недостатком оптимальных по быстродействию алгоритмов управления для объектов с запаздыванием, особенно высокого порядка, является их сложность и поэтому трудность, а порой и невозможность их практической реализации. Кроме того, при их использовании на конечном участке процесса управления возникают проблемы, связанные с отклонением от оптимальных траекторий и возможностью появления автоколебаний [25]. Недостатком метода синтеза оптимальных по интегральному квадратичному критерию систем управления является нерешенность проблемы, связанной с выбором квадратичной формы в критерии оптимальности, отвечающей заданным прямым показателям качества [30, 45]. 2.12.1. Аппроксимация передаточной функции звена чистого запаздывания дробно-рациональной функцией. Передаточную функцию запаздывающего звена

Wτ (s) = e−τ s =

1 , eτ s

разложив eτ s в ряд Тейлора и ограничившись тремя первыми членами разложения, можно привести к виду

Wτ 1 (s) =

1 1 + τ s + 0,5τ 2 s2

.

(2.35а)

90

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Аналогично, представив ее в виде

Wτ (s) = e−τ s =

e−τ s/2 , eτ s/2

разложив числитель и знаменатель в ряд Тейлора и ограничившись двумя и тремя членами разложения, соответственно получим

Wτ 2 (s) = Wτ 3 (s) =

1 − τ s/2 , 1 + τ s/2

1 − τ s/2 + τ 2 s2 /8 1 + τ s/2 + τ 2 s2 /8

(2.35б) (2.35в)

.

Представление передаточной функции в виде (2.35б) называют аппроксимацией Паде (Pade). Частотная передаточная функция запаздывающего звена Wτ (jω) и ее первая аппроксимирующая частотная передаточная функция Wτ 1 (jω) (см. (2.35а)) различаются как по амплитуде, так и по фазе. В то же время частотная передаточная функция Wτ (jω) и аппроксимирующие ее две другие частотные передаточные функции, Wτ 2 (jω) и Wτ 3 (jω) (см. (2.35б) и (2.35в)), отличаются только по фазе: их амплитудные частотные функции равны. Фазовые частотные функции различаются и это различие возрастает с ростом частоты [14]. 2.12.2. Определение алгоритма управления с помощью аппроксимирующей передаточной функции 1-го порядка. Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Wτ (s) =

R1 (s) −τ s e , T (s)srо

где R1 (s) и T (s) — полиномы с левыми нулями степени m и n (m  n) соответственно, rо  1. Сначала рассмотрим синтез системы управления с использованием второй аппроксимирующей передаточной функции звена чистого запаздывания (аппроксимацией Паде):

Wτ 2 =

2 − τs 1 − (τ /2)s = . 2 + τs 1 + (τ /2)s

При этом передаточная функция объекта принимает вид

Wо2 (s) =

P (s) R (s)(2 − τ s) = 1 rо . R(s) T (s)s (2 + τ s)

Произведем факторизацию:

P − (s) = R1 (s),

P + (s) = 2 − τ s,

R− (s) = T (s)(2 + τ s),

R+ (s) = srо .

Степени полученных полиномов равны:

n P − = m,

nP + = 1,

nR− = n + 1,

n R + = rо ,

nR = n + rо + 1.

2.12. Синтез регулятора для объекта с чистым запаздыванием

91

Дальше принимаем, что объект имеет одно интегрирующее звено (rо = 1) и синтезируемая система является астатической с астатизмом первого порядка. Поэтому регулятор не должен содержать интегрирующего звена: rр = 0. В этом случае условие (2.19) принимает вид

nG − (n + 2)  −m, и для степени характеристического полинома ЖПФ получаем

nG = (n + 2) − m.

(2.36)

Условия физической реализуемости, грубости и разрешимости (2.7) принимают вид n + 1 + nM  m + nN ,

(n + 2) − m = 1 + nN , (n + 2) − m  nM + nN + 1. Отсюда находим

n N = n + 1 − m,

nM = 0.

(2.37)

Далее выбирается НПФ степени nG и определяется характеристический полином G(s) ЖПФ (см. (2.10б)) как функция от параметра преобразования. Затем выписываются полиномы M (s) и N (s) с неизвестными коэффициентами и составляется полиномиальное уравнение, откуда находятся коэффициенты указанных полиномов. Подставив найденные и другие входящие в (2.5) полиномы, получим передаточную функцию регулятора, зависящую от параметра преобразования α. Затем путем моделирования находим требуемое значение α, как в случае объекта с правым нулем. В качестве конкретного примера рассмотрим задачу синтеза регулятора для управления технологическим процессом окисления серы. И на этом примере исследуем качество системы управления, синтезируемой с помощью принятой аппроксимации передаточной функции звена чистого запаздывания, и то, как зависят показатели качества (время регулирования и перерегулирование) от параметра преобразования α. Математическую модель указанного процесса по основному каналу «расход серы–температура газа» с учетом запаздывания и ограничения на скорость перемещения исполнительного механизма можно представить в виде [25] Ke−τ s Wτ (s) = . (2.38) (T0 s + 1)s

Запаздывание и постоянная времени принимаются равными соответственно значениям τ = 0,6 и T0 = 0,95, передаточный коэффициент

92

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

K = 0,8. Размерности запаздывания τ и постоянной времени T должны быть одинаковыми, но не обязательно выражены в секундах. При принятой выше аппроксимации передаточной функции запаздывающего звена (2.35б) передаточная функция объекта принимает вид P (s) 0,8(1 − 0,3s) Wо2 (s) = = . (1 + 0,3s)(0,95s + 1)s

R(s)

В данном случае R1 (s) = 0,8, T (s) = 0,95s + 1 и

P − (s) = R1 (s) = 0,8,

P + (s) = 1 − 0,3s,

R− (s) = (1 + 0,3s)(0,95s + 1),

R+ (s) = s.

Степени полиномов принимают следующие значения:

nR1 = m = 0,

nT = n = 1,

nR− = 2,

nP − = 0,

nR+ = 1,

nP + = 1,

nR = 3.

Соответственно имеем (см. (2.36) и (2.37))

nG = 3,

nM = 0,

nN = 2.

В качестве НПФ принимаем биномиальную НПФ

Wн (s) =

1 . s 3 + 3s 2 + 3s + 1

Выбор такой НПФ связан с желанием получить монотонный переходный процесс, если это возможно для систем с запаздыванием. Характеристический полином ЖПФ принимает вид (см. (2.10б))

G(s) = α3 s3 + 3α2 s2 + 3αs + 1. Положив

M (s) = b,

N (s) = c0 s2 + c1 s + c2 ,

для полиномиального уравнения получаем (см. (2.6))

(1 − 0,3s)b + (c0 s2 + c1 s + c2 )s = α3 s3 + 3α2 s2 + 3αs + 1. Отсюда находим

c0 = α 3 ,

c1 = 3α2 ,

c2 = 3α + 0,3,

b = 1,

и соответственно имеем

M (s) = 1,

N (s) = α3 s2 + 3α2 s + 3α + 0,3.

Передаточная функция регулятора принимает вид (см. (2.5))

Wр (s) =

(1 + 0,3s)(0,95s + 1) 0,8(α3 s2 + 3α2 s + 3α + 0,3)

.

2.12. Синтез регулятора для объекта с чистым запаздыванием

93

При ее преобразовании к виду, удобному для моделирования в системе Simulink MatLab’а, получим

Wр (s) = где

k=

0,285 0,8α3

,

k(s + 3,33)(s + 0,0526) , s2 + d1 s + d2

d1 =

3 , α

d2 =

3α + 0,3

α3

.

Ниже приводятся значения параметров передаточной функции регулятора при четырех значениях коэффициента преобразования:

k = 0,356, d1 = 3, d2 = 3,33

при α = 1;

k = 0,844, d1 = 4, d2 = 6,044 при α = 0,75; k = 2,85, d1 = 6, d2 = 14,40

при α = 0,5;

k = 22,8, d1 = 12, d2 = 67,2

при α = 0,25;

k = 356,2, d1 = 30, d2 = 600

при α = 0,1.

На рис. 2.17 представлена схема моделирования на Simulink’е при α = 0,5. Ввиду отсутствия в указанном пакете моделирования колебательного звена для набора передаточной функции регулятора, звено s+β с передаточной функцией вида охватывается отрицательной обs+γ

ратной связью звеном с аналогичной передаточной функцией.

Рис. 2.17. Схема моделирования

Результаты моделирования сведены в табл. 2.17. При синтезе систем управления без запаздывания, если параметр преобразования α уменьшается в два раза, то в два раза уменьшается время регулирования синтезируемой системы управления. Однако при наличии запаздывания в объекте управления и синтезе системы управления с помощью аппроксимирующих передаточных функций звена чистого запаздывания, как следует из таблицы, при уменьшении коэффициента преобразования α время регулирования уменьшается,

94

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления Т а б л и ц а 2.17

α

1

0,75

0,5

0,25

0,1

Переходный процесс

монотонный

монотонный

монотонный

апериодический

колебательный

Время регулирования

7,5

6

4,25

3,75

4,3

Перерегулирование

0

0

0

3

50

но не пропорционально изменению α. Более того, с какого-то момента меняется характер переходного процесса и время регулирования увеличивается. При дальнейшем уменьшении коэффициента α синтезированная система становится неустойчивой. Строго говоря, все эти рассуждения справедливы, пока не наступит ограничение на управление. 2.12.3. Определение алгоритма управления с помощью аппроксимирующих передаточных функций 3-го порядка. Произведем синтез системы управления с запаздыванием и проведем исследование на рассмотренном выше примере управления технологическим процессом окисления серы с помощью двух других аппроксимирующих передаточных функций запаздывающего звена (2.35а) и (2.35в). Начнем с первой аппроксимирующей передаточной функции:

Wτ 1 (s) =

1 1 + τ s + 0,5τ 2 s2

.

Передаточная функция объекта (2.38) с учетом численных значений параметров принимает вид

Wτ (s) =

0,8e−0,6s . (0,95s + 1)s

Поэтому аппроксимирующая передаточная функция объекта имеет вид

Wо1 (s) =

P (s) 0,8 = . Q(s) (0,18s2 + 0,6s + 1)(0,95s + 1)s

При ее факторизации получим

P − = 0,8,

P + = 1,

R− = (0,18s2 + 0,6s + 1)(0,95s + 1),

R+ = s.

Степени полиномов соответственно принимают следующие значения:

nP − = 0,

nP + = 0,

nR− = 3,

nR+ = 1,

nR = 4.

Так как синтезированная система должна обладать астатизмом 1-го порядка и объект содержит интегрирующее звено, то регулятор не должен содержать интегрирующего звена: rр = 0. Из (2.19) следует, что

2.12. Синтез регулятора для объекта с чистым запаздыванием

95

минимальная степень nG характеристического полинома ЖПФ должна быть равна порядку передаточной функции объекта:

nG = nQ = 4. Выбрав в качестве НПФ биномиальную НПФ

Wн (s) =

1 , s 4 + 4s 3 + 6s 2 + 4s + 1

из (2.10б) для коэффициентов характеристического полинома ЖПФ получим

a0 = α 4 ,

a1 = 4α3 ,

a2 = 6α2 ,

a3 = 4α,

a4 = 1.

И соответственно характеристический полином ЖПФ принимает вид

G(s) = α4 s4 + 4α3 s3 + 6α2 s2 + 4αs + 1. Из условия физической осуществимости, грубости и разрешимости (2.7) находим nN = 3, nM = 0. Положив

M (s) = b,

N (s) = c0 s3 + c1 s2 + c2 s + c3 ,

составим полиномиальное уравнение (см. (2.6)):

b + s(c0 s3 + c1 s2 + c2 s + c3 ) = α4 s4 + 4α3 s3 + 6α2 s2 + 4αs + 1. Отсюда по указанной выше методике находим

M (s) = 1,

N (s) = α4 s3 + 4α3 s2 + 6α2 s + 4α.

Подставив эти и другие входящие в (2.5) полиномы, для передаточной функции регулятора получим

Wр (s) =

(0,18s2 + 0,6s + 1)(0,95s + 1) . 0,8(α4 s3 + 4α3 s2 + 6α2 s + 4α)

Преобразуем ее к виду, удобному для моделирования на Simulink’е:

Wр (s) =

k(s2 + 3,33s + 5,56)(s + 1,0526) . (s2 + d1 s + d2 )(s + δ)

Здесь

k = 0,676, d1 = 2,667, d2 = 3,555, δ = 2,667 при α = 0,75; k = 3,42, d1 = 4, d2 = 8, δ = 4

при α = 0,5;

k = 54,72, d1 = 8, d2 = 32, δ = 8

при α = 0,25;

k = 2138, d1 = 20, d2 = 200, δ = 20

при α = 0,1.

96

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Схема моделировании приведена на рис. 2.18. При α = 0,75 моделирование на Simulink’е не удается, так как нули и полюсы передаточных функций звеньев, которые используются для получения модели регулятора, оказываются комплексными числами. Результаты моделирования представлены в табл. 2.18.

Рис. 2.18. Схема моделирования Т а б л и ц а 2.18 0, 5

α Переходный процесс

0,25

монотонный колебательный

0,1 незатухающиеся колебания

Время регулирования

5

4,25

—

Перерегулирование

0

7

—

Сравнительный анализ результатов моделирования системы управления, синтезированной с помощью второй аппроксимирующей передаточной функцией (табл. 2.17), с результатами моделирования той же системы управления, синтезированной с помощью первой аппроксимирующей передаточной функции (табл. 2.18), показывает, что качество системы управления получается лучшим при использовании второй аппроксимирующей передаточной функции запаздывающего звена: время регулирования меньше и перерегулирование и неустойчивость наступают при меньших значениях коэффициента преобразования. Наконец, кратко остановимся на исследовании системы управления, синтезируемой с помощью третьей аппроксимирующей передаточной функции запаздывающего звена (см. (2.35в)), не останавливаясь на выводе передаточной функции регулятора, которая имеет следующий вид:

Wр (s) =

(0,045 + 0,3s + 1)(0,95s + 1) 0,8(α4 s3 + 4α3 s2 + (6α2 − 0,045)s + 4α + 0,3)

,

2.13. Синтез оптимальных по быстродействию систем управления

97

или, после преобразования,

Wр (s) =

k(s2 + 6,667s + 2,222)(s + 1,0526) , (s2 + d1 s + d2 )(s + δ)

где

k = 0,169, d1 = 2,360, d2 = 3,507, δ = 2,973

при α = 0,75;

k = 0,855, d1 = 3,281, d2 = 7,798, δ = 4,719

при α = 0,5;

k = 13,68, d1 = 4,912, d2 = 30,015, δ = 11,088 при α = 0,25; k = 534,4, d1 = −0,557, d2 = 172,6, δ = 40,56

при α = 0,1.

Схема моделирования имеет тот же вид (рис. 2.17), что и при использовании первой аппроксимирующей передаточной функции. По той же причине, что и при рассмотрении моделирования регулятора, полученного с помощью первой аппроксимирующей передаточной функции, моделирование системы управления, синтезированной с помощью третьей аппроксимирующей передаточной функции, при α = 0,75 и α = 0,5 на Simulink’е не удается. Исследование проводилось только при α = 0,25 и α = 0,1. При α = 0,25 переходный процесс получился монотонным, время регулирования 3,25 (меньше, чем в двух других случаях). Однако уже при α = 0,1 система становится неустойчивой. Предложенный алгебраический метод синтеза систем управления с транспортным запаздыванием, основанный на использовании аппроксимирующих передаточных функций запаздывающего звена, позволяет получить хорошие показатели качества. При этом на этапе синтеза, варьируя коэффициент преобразования нормированной передаточной функции в желаемую, можно менять характер переходного процесса и показатели качества синтезируемой системы управления.

2.13. Синтез оптимальных по быстродействию систем управления алгебраическим методом В данном разделе рассмотрим задачу синтеза линейной системы управления, обладающей минимальным временем регулирования. При этом под временем регулирования понимается обычный показатель быстродействия, принятый в теории линейных систем автоматического управления, а не время перехода из одной заданной точки в другую заданную или определяемую в процессе решения точку фазового пространства, как это принято в теории оптимального управления. 2.13.1. Вводные замечания. В теории оптимального управления различают задачи программирования оптимальной траектории и задачи оптимальной стабилизации программной траектории [30, 16]. Решение первой задачи связано, как правило, с определением программного 4 Д. П. Ким

98

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

управления, решение второй — с определением управления с обратной связью. При постановке задачи программирования оптимальной траектории проблемы с выбором критерия оптимальности не возникает: он имеет ясный физический смысл (минимум расхода топлива, максимум дальности, минимум времени и т. д.) [30]. Иначе обстоит дело с выбором критерия оптимальности при постановке задачи оптимальной стабилизации. Вначале, в 50-е годы прошлого столетия, значительный интерес к оптимальному управлению был связан с задачей максимального быстродействия. Именно благодаря ей был разработан принцип максимума Понтрягина [35, 4, 43]. Эта задача возникла и рассматривалась в рамках задачи оптимальной стабилизации. Однако в результате ее решения с помощью принципа максимума определяется программное управление, переводящее управляемый объект из одной фиксированной точки фазового пространства в другую фиксированную точку (заданные или определяемые в процессе решения) за минимальное время. При этом тот факт, что в простейших случаях с использованием теоремы об n интервалах и метода фазового пространства удается получить управление с обратной связью, сути не меняет. С начала 60-х годов XX в. было опубликовано большое количество работ, посвященных синтезу оптимальных по (интегральному) квадратичному критерию систем [1, 13, 5, 30]. Однако такой способ синтеза оптимальных систем управления подвергся критике из-за незнания того, как следует выбирать квадратичные критерии, которые соответствовали бы принятым в теории автоматического управления прямым показателям качества. Кроме того, было показано, что любая экспоненциально устойчивая система является оптимальной в смысле некоторого квадратичного критерия [30]. 2.13.2. Синтез оптимальных по времени регулирования линейных систем управления. При алгебраическом методе синтеза, если ограничение на управление не задано, требуемое время регулирования можно обеспечить путем соответствующего выбора коэффициента преобразования. При этом время регулирования зависит как от выбранной НПФ, так и от коэффициента (параметра) преобразования α НПФ в ЖПФ. Если задано ограничение на управление, то можно ставить задачу синтеза оптимальной по времени регулирования линейной системы управления путем соответствующего выбора указанных факторов. Если помимо ограничения на управления задаются дополнительные требования: к перерегулированию и характеру переходного процесса, то выбор НПФ однозначно определяется дополнительными требованиями. И поэтому оптимизацию времени регулирования в этом случае

2.13. Синтез оптимальных по быстродействию систем управления

99

возможно осуществить только за счет варьирования коэффициента преобразования. Параметр преобразования α, как отмечалось, связан с временем регулирования tр синтезируемой системы и временем регулирования τр НПФ соотношением t α = р. τр

Поэтому чем меньше параметр преобразования, тем меньше время регулирования синтезируемой системы управления. Естественно уменьшение времени регулирования при уменьшении параметра преобразования происходит за счет увеличения абсолютного значения управления. Поэтому задача синтеза оптимальной по времени регулирования системы управления алгебраическим методом сводится к определению наименьшего значения этого параметра, при котором максимальное абсолютное значение управления равно ограничению um . Характеристический полином ЖПФ и полиномы M (s) и N (s), определяемые из полиномиального уравнения, зависят от параметра преобразования α. Поэтому передаточная функция регулятора, определяемая по формуле (2.5), зависит от этого параметра: Wр (s) = Wр (s, α). Из структурной схемы на рис. 2.1 для изображения управления находим Wр (s, α) U (s, α) = G(s), (2.39) 1 + Wр (s, α) · Wо (s)

где G(s) — изображение Лапласа задающего воздействия g(t). Произведя обратное преобразование, из последнего соотношения получим: u = u(α, t). Оптимальное значение α∗ параметра α, при котором время регулирования минимально при заданном ограничении на управление, определяется из соотношения

min max |u(α, t)| = um .

α∈(0,1)

t

(2.40)

В равенстве (2.39), из которого получается уравнение (2.40), входное воздействие g(t) должно быть таким, при котором максимум модуля управления принимает наибольшее значение. Обычно таким воздействием является ступенчатое воздействие. Условимся, что уравнение (2.40) получено для приведенного к единичному ступенчатому воздействию ограничения. Если к синтезированной системе может быть приложено максимально возможное ступенчатое воздействие g(t) = = A · 1 (t) и допустимое максимальное по модулю управление равно u, то приведенным к единичному ступенчатому воздействию g(t) = 1(t) допустимым максимальным по модулю управлением будет um = u/A. Рассмотрим на примере, как решается поставленная задача синтеза оптимального по времени регулирования регулятора алгебраическим методом. 4*

100

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

П р и м е р 2.6. Передаточная функция объекта имеет вид

Wо (s) =

1 0,1s + 0,8s2 + 1,7s + 1 3

,

и управление подчиняется ограничению |u|  um (um = 10, 5). Требуется определить оптимальный по времени регулирования регулятор, при котором переходный процесс является монотонным и статическая ошибка равна нулю. Р е ш е н и е. Как показывают исследования, при нечетном n переходная характеристика звена с оптимальной колебательной НПФ является почти монотонной. Поэтому при определении желаемой передаточной функции сначала воспользуемся указанной нормированной передаточной функцией. Так как передаточная функция объекта не содержит нулевого полюса, то для того чтобы статическая ошибка была равна нулю, положим rр = 1. Произведем факторизацию передаточной функции объекта. Как легко убедиться по критерию Льенара–Шипара, объект устойчив. Поэтому в результате факторизации получим

P − (s) = P + (s) = 1,

R− (s) = 0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1,

R+ (s) = 1.

Отсюда следует

nP − = np+ = 0,

nR− = 3,

nR+ = 0.

Из (2.19) следует, что порядок желаемой передаточной функции может быть равным порядку передаточной функции объекта, т. е. трем. Оптимальная НПФ третьего порядка имеет вид

Wн (q) =

1 . q 3 + 2,05q 2 + 2,3q + 1

Для коэффициентов знаменателя ЖПФ согласно формуле (2.10б) получаем

a0 = α 3 ,

a1 = 2,05α2 ,

a2 = 2,3α,

a3 = 1.

И соответственно имеем

G(s) = α3 s3 + 2,05α2 s2 + 2,3αs + 1. Условия разрешимости, физической осуществимости, и грубости (2.7) принимают вид 3  nM + nN + 1, 3 + nM  nN + 1, 3 = nN + 1, откуда находим

nN = 2,

nM = 0.

2.13. Синтез оптимальных по быстродействию систем управления

Положив

N (s) = a0 s2 + a1 s + a2 ,

101

M (s) = b0 ,

составим полиномиальное уравнение (см. (2.7)):

b0 + (a0 s2 + a1 s + a2 )s = α3 s3 + 2,05α2 s2 + 2,3αs + 1. Отсюда находим

a0 = α 3 ,

a1 = 2,05α2 ,

a2 = 2,3α,

b0 = 1

и соответственно имеем

M (s) = 1,

N (s) = α3 s2 + 2,05α2 s + 2,3α.

Подставив эти выражения для M (s) и N (s), а также P − (s) и R− (s) в (2.5), получим передаточную функцию регулятора

Wр (s) =

0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1

(α3 s2 + 2,05α2 s + 2,3α)s

.

В приложении приведен листинг 2.1 файл-программы на Matlab’е «sint1» для определения оптимального значения параметра. С помощью этой программы было получено: α∗ = 0,216 при um = = 10 и α∗ = 0,272 при um = 5. Таким образом, искомая передаточная функция при um = 10 и um = 5 соответственно принимает вид

Wр (s) = Wр (s) =

0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1

(0,0101s2 + 0,0956s + 0,4968)s 0,1s3 + 0,8s2 + 1,7s + 1

(0,0101s2 + 0,0956s + 0,4968)s

,

.

На рис. 2.19 представлена переходная характеристика для синтезированной системы при um = 10. Из этого рисунка следует, что если принять Δ = 0,05, то время регулирования tр = 0,878. Была построена переходная характеристика для синтезированной системы при um = 5, и из нее получено время регулирования tр = 1,11. На рис. 2.20 представлена переходная характеристика при um = 10, когда при определении ЖПФ была использована биномиальная НПФ (т. е. при биномиальной ЖПФ). Из рисунка следует, что в этом случае время регулирования tр = 1,36 и оно существенно больше, чем когда при определении ЖПФ была использована оптимальная НПФ (т. е. «оптимальная» ЖПФ). Следует заметить, что если при биномиальной ЖПФ переходная характеристика действительно является монотонной, то при оптимальной ЖПФ переходная характеристика имеет небольшое перерегулирование.

102

Гл. 2. Синтез непрерывных систем управления

Рис. 2.19. Переходная характеристика ЖПФ (um = 10)

Рис. 2.20. Переходная характеристика при биномиальной ЖПФ (um = 10)

Приложение к главе 2 Листинг 2.1 файл-программы «sint1» для определения оптимального значения параметра α∗ : um = 20; while um>ud wo=tf(1,[0.1

0.8

1.7

1]);

103

Приложение к главе 2 wr=tf([0.1 0.8 1.7 wz=feedback(wr,wo); [u,t]=step(wz); um=max(abs(u)); a=a+0.005; end a

1],[a^3

2,05*a^2

2,3*a

0]);

Здесь ud — максимально допустимое значение управления. При вызове этой программы нужно задать значение a, которое должно быть заведомо меньше искомого значения, и ud (например, ud=10). Начальное um должно быть больше ud. >>

a=0.2; ud=10; sint1

Глава 3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Дискретная система управления, как правило, состоит из дискретного элемента и непрерывной части. Здесь будем рассматривать импульсные и цифровые системы управления, т. е. дискретные системы управления, у которых дискретным элементом является импульсный элемент или цифровое устройство. При этом в качестве импульсных будем рассматривать АИМ- и ШИМ-системы — системы с импульсными элементами с амплитудно- и широтно-импульсной модуляцией 1-го рода. При анализе и синтезе дискретных систем управления непрерывную часть дискретизируют и получают дискретную модель системы управления, которая описывается линейными разностными уравнениями. При получении дискретной модели и ее описании используют различные методы. Поэтому представляется целесообразным краткое описание подхода, принятого в данной книге.

3.1. Линейные разностные уравнения Как отмечалось, при исследовании дискретных систем управления используют дискретную модель. Для ее получения непрерывную часть дискретизируют. При этом возможны и используются два способа дискретизации: приближенный, при котором дифференциальные уравнения преобразуются в разностные уравнения путем замены производных разностями, и точный, при котором разностное уравнение получается путем замены непрерывной функции решетчатой функцией. Линейные дискретные модели дискретных систем управления описываются линейными разностными уравнениями. Линейное разностное уравнение n-го порядка имеет вид

c0 Δn y(t) + c1 Δn−1 y(t) + . . . + cn y(t) = ϕ(t) (c0 = 0). Здесь Δk y(t) (k = 0, 1, 2, . . .) — конечные разности k-го порядка, которые определяются следующим образом:

Δ0 y(t) = y(t), k

Δy(t) = y(t + T ) − y(t), k−1

Δ y(t) = Δ

y(t + T ) − Δk−1 (t).

3.1. Линейные разностные уравнения

105

Линейное разностное уравнение n-го порядка можно представить также в виде

a0 y(t + nT ) + a1 y(t + (n − 1)T ) + . . . + an y(t) = ϕ(t),

(3.1)

где a0 = 0 и an = 0. Введем в рассмотрение оператор смещения E , который определяется соотношением Ex(t) = x(t + T ). Используя его, последнее уравнение можно записать в операторной форме a0 E n y(t) + a1 E n−1 y(t) + . . . + an y(t) = ϕ(t), или

(a0 E n + a1 E n−1 + . . . + an )y(t) = ϕ(t).

Разностный оператор перед выходной переменной

Q(E) = a0 E n + a1 E n−1 + . . . + an называется собственным оператором. Общее решение неоднородного разностного уравнения (3.1) имеет вид y(t) = y2 (t) + yA (t), где y2 (t) — частное решение этого уравнения, определяющее вынужденное движение, и yA (t) — общее решение соответствующего однородного уравнения, определяющее свободное движение. Общее решение однородного уравнения имеет вид

yc (t) =

n 

t/T

Ci zi

,

i=1

где zi — корни характеристического уравнения

Q(z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an = 0. Приведенное решение справедливо, если все корни zi (i = 1, 2, . . . . . . , n) характеристического уравнения простые. В противном случае общее решение однородного уравнения имеет вид q   kj −1  t t t/T yA = C1j + C2j + . . . + Ckjj zj . j=1

T

T

Здесь kj — кратность j -го корня, q — число различных корней характеристического уравнения.

106

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

3.2. Решетчатые функции и z -преобразование Дискретная функция x(t) по определению есть функция, которая определена в дискретные моменты времени t = lT (l = 0, 1, 2, . . .). Дальше дискретную функцию будем записывать в виде x[lT ], используя t как непрерывную переменную. В теории дискретных систем рассматривают особый тип дискретных функций, называемых решетчатыми функциями. Решетчатая функция x[lT ] характеризуется тем, что она определяется непрерывной функцией (функцией непрерывного аргумента) x(t) и принимает ее значения в дискретные моменты t = lT (l = 0, 1, 2, . . .). Кроме того, используется смещенная решетчатая функция x[(l + ε)T ](0 < ε < 1), которая принимает значения непрерывной функции в моменты t = (l + ε)T (l = 0, 1, 2, . . .). Поэтому, когда говорят о решетчатой и смещенной решетчатой функциях, предполагается, что существует непрерывная функция, которая определяет эти функции. z -преобразованием или преобразованием Лорана называется соотношение ∞  ∗ X (z) = x[lT ]z −l , l=0

ставящее в соответствие дискретной функции x[lT ] функцию комплексного переменного X ∗ (z). При этом x[lT ] называют оригиналом, а X ∗ (z) — изображением или z -изображением. Оригинал и его изображение обозначают одноименными буквами: оригинал — строчной буквой, а изображение — прописной буквой со звездочкой. z -преобразование также условно записывают в виде

X ∗ (z) = Z {x[lT ]}, а обратное z -преобразование — в виде

x[lT ] = Z −1 {X ∗ (z)}. z -преобразование от смещенной решетчатой функции x[(l + ε)T ], т. е. соотношение ∞  X ∗ (z , ε) = x[(l + ε)T ]z −l , l=0

называют модифицированным z -преобразованием. Модифицированное z -преобразование также записывают в виде

X ∗ (z , ε) = Z {x[(l + ε)T ]} = Z ε {x[lT ]}. Функцию X ∗ (z , ε) называют z -изображением смещенной решетчатой функции x[(l + ε)T ] или модифицированным z -изображением решетчатой функции x[lT ].

107

3.2. Решетчатые функции и z -преобразование

П р и м е р 3.1. Определить z -изображение единичной решетчатой функции x[lT ] = 1[lT ] и смещенной единичной решетчатой функции x[(l + ε)T ] = 1[(l + ε)T ]. Р е ш е н и е. Так как при всех l  0 имеем 1[lT ] = 1[(l + ε)T ] = 1, то

X ∗ (z) = X ∗ (z , ε) =

∞ 

z −l .

l=0

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем

Z {1[lT ]} = Z {1[(l + ε)T ]} =

1 z = −1 z − 1 1−z

(|z| > 1).

В табл. 3.1 и 3.2 представлены соответственно обычные и модифицированные z -изображения основных решетчатых функций. Т а б л и ц а 3.1

z -изображения №

F (s)

f [lT ]

F ∗ (z , ε)

1

1 s

1[lT ]

z z−1

1

2

5 6

7 8

9

(z − 1)2

1 (lT )2 2

1 T 2 z(z + 1) 2 (z − 1)3

1 s+α

e−αlT

z z − e−αT

1

lT e−αlT

1

3 4

Tz

lT

s2

s

3

(s + α)2 β s s +β β (s + α) + β

2

e−αlT sin βlT

2

e−αlT cos βlT

s+α (s + α) + β 2

z 2 − 2z cos βT + 1 z 2 − z cos βT

cos βlT

2

2

z sin βT

sin βlT

s2 + β 2

2

T ze−αT (z − e−αT )2

z − 2z cos βT + 1 2

ze−αT sin βT z − 2ze−αT cos βT + e−2αT 2

z(z − e−αT cos βT ) z − 2ze−αT cos βT + e−2αT 2

108

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления Т а б л и ц а 3.2 Модифицированные z -изображения

№

F (s)

f [lT ]

F ∗ (z , ε)

1

1 s

1[lT ]

z z−1

1

2

1

3 4 5 6 7 9

lT

s2

1 (lT )2 2

s3 1 s+α

e−αlT

1

lT e−αlT

(s + α)2 β s +β 2

2

sin βlT

2

cos βlT

s s +β 2

s+α (s + α)2 + β 2

εT

1 εT 2



εT z 2T z + z−1 (z − 1)2

e−εαT e−εαT





+

T 2 z(z + 1)



(z − 1)3

z z − e−αT

εT z T ze−αT + −αT z−e (z − e−αT )2



z 2 sin εβT + z sin (1 − ε)βT z 2 − 2z cos βT + 1 z 2 cos εβT − z cos (1 − ε)βT 

e−αlT cos βlT

z Tz + z−1 (z − 1)2

z 2 − 2z cos βT + 1

ze−εαT z cos εβT − e−αT cos (1 − ε)βT



z 2 − 2ze−αT cos βT + e−2αT

В дальнейшем потребуется вычислять z -изображение решетчатой функции по известному изображению Лапласа X(s) соответствующей непрерывной функции x(t). Поэтому в первом столбце приведены изображения Лапласа соответствующих непрерывных функций.

3.3. Уравнения и передаточные функции дискретных систем Пусть дискретная система управления описывается разностным уравнением

a0 y[(l + n)T ] + a1 y[(l + n − 1)T ] + . . . + an y[lT ] = = b0 u[(l + m)T ] + b1 u[(l + m − 1)T ] + . . . + bm u[lT ],

(3.2)

где y[lT ] — выходная переменная, u[lT ] — входная переменная, ai (i = = 1, 2, . . . , n) и bi (i = 1, 2, . . . , m) — константы. В операторной форме это уравнение принимает вид

(a0 E n + a1 E n−1 + . . . + an )y[lT ] = (b0 E m + b1 E m−1 + . . . + bm )u[lT ].

3.3. Уравнения и передаточные функции дискретных систем

109

Разностный оператор при выходной переменной,

Q∗ (E) = a0 E n + a1 E n−1 + . . . + an , называется собственным (разностным) оператором, а разностный оператор при входной переменной,

P ∗ (E) = b0 E m + b1 E m−1 + . . . + bm , — (разностным) оператором воздействия. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией в операторной форме. В соответствии с этим определением передаточная функция (в операторной форме) приведенной выше системы управления равна

W ∗ (E) =

P ∗ (E) b E m + b E m−1 + . . . + bm = 0 n 1 n−1 . ∗ Q (E) a0 E + a1 E + . . . + an

Имеющее наименьший порядок отношение z -изображений выходной и входной переменных, вычисленных при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией в z -изображениях. Для вычисления передаточной функции в z -изображениях произведем z -преобразование уравнения (3.2). Используя свойство линейности z -преобразования, можем записать:

a0 Z {y[(l + n)T }] + a1 Z {y[(l + n − 1)T ]} + . . . + an Z {y[lT ]} = = b0 Z {u[(l + m)T ]} + b1 Z {u[(l + m − 1)T ]} + . . . + bm Z {u[lT ]}. В соответствии с теоремой опережения при нулевых начальных условиях y[0] = y[T ] = . . . = y[(n − 1)T ] = 0, u[0] = u[T ] = . . . . . . = u[(m − 1)T ] = 0,

Z {y[(l + i)]} = z i Y ∗ (z),

Z {u[(l + i)]} = z i U ∗ (z).

Поэтому имеем

(a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an )Y ∗ (z) = (b0 z m + b1 z m−1 + . . . + bm )U ∗ (z). Отсюда для передаточной функции в z -изображениях W ∗ (z) получаем

W ∗ (z) =

Y ∗ (z) b z m + b z m−1 + . . . + bm = 0 n 1 n−1 . ∗ U (z) a0 z + a1 z + . . . + an

Передаточную функцию в z -изображениях можно получить по передаточной функции в операторной форме следующим образом:

W ∗ (z) = W ∗ (E)|E=z .

110

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

Передаточная функция W ∗ (z) является функцией комплексной переменной z , и по определению она не должна содержать одинаковых нулей и полюсов. Поэтому, если передаточная функция в z -изображениях, полученная указанным выше способом, имеет одинаковые нули и полюсы, они должны быть сокращены. Передаточная функция W ∗ (E) является оператором, и уравнение

y[lT ] = W ∗ (E)u[lT ] представляет собой операторную (символическую) форму записи уравнения (3.2). В правой части нельзя переставлять местами оператор и входную переменную. Итак, если дискретная система управления задана разностным уравнением, то процесс вычисления передаточных функций ничем не отличается от процесса вычисления передаточных функций непрерывных систем. Однако, как правило, приходится вычислять передаточные функции, когда известны характеристики дискретных элементов и передаточная функция непрерывной части. И в этом случае возникают особенности, которые делают вычисление передаточных функций дискретных систем более трудоемким.

3.4. Дискретная модель АИМ-системы Дискретную модель АИМ-системы управления можно получить двумя принципиально разными способами. Первый способ — это замена производных разностными схемами и преобразование дифференциальных уравнений в разностные уравнения. Второй способ — это получение разностных уравнений из решетчатых функций, получаемых из соответствующих непрерывных функций. Первый способ является приближенным, второй — точным. Далее рассматривается второй способ. 3.4.1. Эквивалентная схема АИМ-системы. АИМ-система включает импульсный элемент с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ-элемент) и непрерывную часть (рис. 3.1). Для получения математического описания АИМ-системы управления АИМ-элемент представим в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного звена 1 и формирующего звена 2 (рис. 3.2 б). Простейшее импульсное звено (звено 1 на рис. 3.2 б) представляет собой звено, которое преобразует входную функцию e(t) в обобщенную решетчатую функцию,

e∗ (t) =

∞  i=0

e(t)δ(t − iT ),

(3.3)

3.4. Дискретная модель АИМ-системы

111

Рис. 3.1. Блок-схема АИМ-системы управления

Рис. 3.2. АИМ-элемент и его эквивалентная схема

где T — период выходного сигнала АИМ-элемента. В действительности элемента, преобразующего входной сигнал в последовательность модулированных δ -функций, естественно, не существует. Поэтому представление АИМ-элемента в виде указанной эквивалентной схемы следует рассматривать как математический прием. Формирующее звено (ФЗ) формирует из обобщенной решетчатой функции e∗ (t) сигнал, тождественно равный выходному сигналу АИМ-элемента (условие эквивалентности). Найдем весовую и передаточную функции формирующего звена. Если wф (t) — весовая функция формирующего звена, то на ее выходе

u1 (t) =

∞ 

∗

wф (t − τ )e (τ ) dτ =

0

∞ 

0

wф (t − τ )

∞ 

e(τ )δ(τ − iT )dτ.

i=0

Поменяв порядок интегрирования и суммирования и произведя интегрирование, получим

u1 (t) =

∞ 

e[iT ]wф (t − iT ).

i=0

Теперь найдем описание сигнала на выходе АИМ-элемента. Пусть немодулированный импульс описывается функцией s(t) (см. рис. 3.2 а). При амплитуно-импульсной модуляции амплитуда импульса умножается на значение входного сигнала в моменты съема сигнала t = iT.

112

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

Поэтому на выходе АИМ-элемента имеем

u(t) =

l 

e[iT ]s(t − iT ),

i=0

где l — целая часть дроби t/T. Но так как s(t − iT ) = 0 при t < iT , последнее равенство можно записать в виде

u(t) =

∞ 

e[iT ]s(t − iT ).

i=0

В силу условия эквивалентности u1 (t) ≡ u(t). Это тождество возможно только тогда (при произвольном e[iT ]), когда wф (t) = s(t). Таким образом, весовая функция формирующего звена равна функции, которая описывает импульс, вырабатываемый импульсным элементом. Учитывая, что передаточная функция равна изображению Лапласа от весовой функции, передаточная функция формирующего звена Wф (s) = L {wф (t)} = L {s(t)}. В качестве примера найдем передаточную функцию формирующего звена эквивалентной схемы АИМ-элемента, вырабатывающего прямоугольные импульсы с амплитудой Aи . В этом случае, когда длительность импульса τи = γT , весовая функция  Aи при t ∈ [0, γT ], wф (t) = s(t) = 0 при t ∈ [0, γT ] и передаточная функция

Wф (s) =

∞ 

0

−st

wф (t)e

dt =

γT 

Aи e−st dt =

0

Aи (1 − e−γ T s ) . s

(3.4а)

В частном случае, когда Aи = 1 и γ = 1, формула (3.4а) принимает вид

Wф (s) =

1 − e−T s . s

(3.4б)

Заменив в блок-схеме АИМ-системы управления импульсный элемент эквивалентной схемой, получим эквивалентную (расчетную) схему АИМ-системы (рис. 3.3 а). Формирующее звено объединяют с непрерывной частью в одно звено, которое называют приведенной непрерывной частью (ПНЧ) (рис. 3.3 б).

3.4. Дискретная модель АИМ-системы

113

Рис. 3.3. Эквивалентные схемы АИМ-системы

3.4.2. Дискретная модель АИМ-системы. Обозначив весовую функцию ПНЧ через wп (t), имеем (см. рис. 3.3 б):

C(t) =

∞ 

wп (t − τ )e∗ (τ ) dτ.

0

Подставив сюда выражение для e∗ (t) из (3.3), после интегрирования получим ∞  y(t) = wп (t − iT )e[iT ]. (3.5а) i=0

Из этого уравнения следует, что выходная переменная y(t) зависит от e[iT ], т. е. значений e(t) в дискретные моменты времени t = iT. Для e[iT ] имеем: e[iT ] = g[iT ] − y[iT ]. (3.5б) В любой момент времени АИМ-система описывается уравнениями (3.5). В уравнение (3.5а) входят непрерывные функции (функции с непрерывными аргументами) y(t) и w(t), а также дискретная функция e[iT ]. В уравнение (3.5б) входят только дискретные функции. Таким образом, АИМ-система представляет собой непрерывно-дискретную систему. И тот факт, что она описывается уравнениями, в которые входят дискретные и непрерывные функции, доставляет неудобство. От этого неудобства можно избавиться, если ограничиться исследованием АИМ-системы только в дискретные моменты времени t = lT. Действительно, подставив в (3.5а) t = lT , получим

y[lT ] =

∞ 

wп [(l − i)T ]e[iT ],

i=0

или, учитывая, что wп [(l − i)T ] = 0 при l − i < 0,

y[lT ] =

l 

wп [(l − i)T ]e[iT ].

(3.6)

i=0

Уравнения (3.5б) и (3.6) описывают процессы в АИМ-системе в дискретные моменты времени и представляют ее дискретную модель. Как увидим далее ниже, по дискретной модели при необходимости можно

114

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

определить значения выходной переменной y(t) не только в моменты времени t = lT , но и в произвольные моменты t = (l + ε)T (0 < ε < 1, l = 0, 1, 2, . . .). Произведя z -преобразование, из уравнений (3.5б) и (3.6) получим

E ∗ (z) = G∗ (z) − Y ∗ (z), ∗

Y (z) = где

Wп∗ (z)E ∗ (z),

(3.7а) (3.7б)

Wп∗ (z) = Z {wп [lT ]}. Из уравнения (3.7б) имеем

Wп∗ (z) =

Y ∗ (z) , E ∗ (z)

т. е. Wп∗ (z) — передаточная функция (в z -изображениях) прямой цепи с входом e[lT ] и выходом y[lT ]. На основании уравнений (3.7) можно построить структурную схему дискретной модели АИМ-системы (рис. 3.4). Передаточная функция замкнутой дискретной системы по этой структурной схеме определяется так же, как и в случае непрерывных систем. Так, например, передаточная функция относительно входа G∗ (z) и выхода Y ∗ (z) ∗ Wyg (z) =

Wп∗ (z) , 1 + Wп∗ (z)

и относительно входа G∗ (z) и выхода E ∗ (z) ∗ Weg (z) =

1 . 1 + Wп∗ (z)

Рис. 3.4. Дискретная модель АИМ-системы

Основная особенность расчета АИМ-системы состоит в вычислении передаточной функции Wп∗ (z) по известной передаточной функции ПНЧ Wп (s). Передаточная функция Wп∗ (z) есть z -изображение весовой функции ПНЧ wп [lT ]. Весовую функцию wп [lT ] можно получить путем дискретизации по времени непрерывной весовой функции wп (t), которая получается из передаточной функции Wп (s). Зная связь между изображением Лапласа непрерывной функции и z -изображением

3.5. Вычисление ZT - и ZTε -изображений

115

соответствующей решетчатой функции (см. табл. 6.1), можно непосредственно по Wп (s) определить Wп∗ (z). Введем в рассмотрение оператор ZT , который каждой функции X(s) = L {x(t)} ставит в соответствие функцию X ∗ (z) = Z {x[lT ]}:

X ∗ (z) = ZT {X(s)}. Оператор ZT соответствует трем последовательным операциям: обратному преобразованию Лапласа, квантованию по времени с периодом дискретности T и z -преобразованию. Так как все три указанные операции являются линейными, то оператор ZT является линейным. Используя этот оператор, передаточную функцию Wп∗ (z) можно определить следующим образом:

Wп∗ (z) = ZT {Wп (s)}.

(3.8)

Далее также используется оператор ZTε , который функции X(s) = = L {x(t)} ставит в соответствие модифицированное z -изображение:

X ∗ (z , ε) = ZTε {X(s)} = Z {x[(l + ε}T ]}.

3.5. Вычисление ZT - и ZTε -изображений Для получения дискретной модели необходимо определить дискретную передаточную функцию Wп∗ (z), для чего в соответствии с формулой (3.8) нужно произвести ZT -преобразование передаточной ПНЧ. По аналогии с z -преобразованием в ZT -преобразовании

X ∗ (z) = ZT {X(s)} и в ZTε -преобразовании

X ∗ (z , ε) = ZTε {X(s)} X(s) будем называть оригиналом, а X ∗ (z) — ZT -изображением и X ∗ (z , ε) — ZTε -изображением или модифицированным ZT -изображением. ZT - и ZTε -изображения от основных функций можно найти в табл. 3.1 и 3.2 соответственно. 3.5.1. Вычисление ZT - и ZTε -изображений от дробно-рациональной функции. Пусть оригинал имеет вид

X(s) =

B(s) , A(s)

116

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

где B(s) и A(s) — полиномы от переменной s степени m и n соответственно, причем m < n. Если все полюса si (i = 1, 2, . . . , n) данной функции (т. е. корни уравнения A(s) = 0) различны, то n    B(s) B(si ) z X ∗ (z) = ZT = , (3.9а)  si T A(s)

X ∗ (z , ε) = ZTε где A (si ) =





B(s) A(s)



=

i=1 n  i=1

dA(s)  .  ds s=si

A (si ) z − e

B(si ) εsi T z e , A (si ) z − esi T

(3.9б)

Формула (3.9а) получается из (3.9б) как частный случай при ε = 0. А формула (3.9б) получается следующим образом. По формуле разложения n  B(s) B(si ) 1 X(s) = = .  A(s)

i=1

A (si ) s − si

Учитывая свойство линейности оператора ZTε , имеем n    B(si ) ε 1 ε ZT {X(s)} = ZT .  i=1

s − si

A (si )

Из таблицы модифицированного z -преобразования находим   1 z ZTε = eεsi T . si T s − si

z−e

Подставив это выражение в предыдущее соотношение, получим (3.9б). П р и м е р 3.2. Передаточная функция ПНЧ имеет вид

Wп (s) =

k . s(s + α)

Требуется найти дискретную передаточную функцию Wп∗ (z). Р е ш е н и е. Полюсами данной передаточной функции (т. е. корнями уравнения A(s) = s(s + α) = 0) являются s1 = 0, s2 = −α. Производная A (s) = 2s + α. Поэтому по формуле (3.9а)

Wп∗ (z) = Если X(s) =

k z k z kz(1 − e−αT ) − = . −αT α z−1 α z−e α(z − 1)(z − e−αT )

B(s) содержит кратные или комплексные полюсы, A(s)

то изображения X ∗ (z) и X ∗ (z , ε) проще получить, разложив X(s) на элементарные дроби. В простых случаях можно введением малых параметров видоизменить функцию X(s) так, чтобы она не содержала кратных полюсов, и воспользоваться формулами (3.9), а затем произвести предельный переход, устремив малые параметры к нулю.

3.5. Вычисление ZT - и ZTε -изображений

117

П р и м е р 3.3. Определить ZT - и ZTε -изображение функции

X(s) =

10

s (s + s + 1) 2

2

.

Р е ш е н и е. Функция имеет один кратный (кратности 2) полюс s1,2 = 0 и два комплексных полюса. Найдем X ∗ (z) и X ∗ (z , ε), разложив X(s) на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов: 10

s (s + s + 1) 2

2

=

A B Cs + D + + 2 = 2 s s s +s+1

=

(B + C)s3 + (A + B + D)s2 + (A + B)s + A . s2 (s2 + s + 1)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, а затем решив полученную систему уравнений, найдем

A = 10,

B = −10,

Следовательно, 10

= 10

s (s + s + 1) 2

2



C = 10, 1

s

2

−

D = 0. 

1 s + 2 . s s +s+1

Преобразуем последнее слагаемое правой части к табличному виду: s+α α β = − , β (s + α)2 + β 2 s2 + s + 1 (s + α)2 + β 2 1

1 α= , 2

√

β=

3 . 2

Подставив это выражение в предыдущее равенство, произведем ZTε -преобразование:        10 1 1 ε ε ε ZT = 10 Z − Z + T T 2 2 2 s (s + s + 1)

 + 10

ZTε



s

s

s+α (s + α)2 + β 2



α − ZTε β



β (s + α)2 + β 2

 .

После подстановки соответствующих изображений из табл. 3.2 и преобразований получим

X ∗ (z , ε) =

    1 10T z (z − 1) ε − +1 T

+

+

(z − 1)2   10ze−εαT z cos εβT − e−αT cos (1 − ε)βT

−

z 2 − 2ze−αT cos βT + e−2αT  α 10ze−εαT z sin εβT − e−αT sin (1 − ε)βT

−

β

z 2 − 2ze−αT cos βT + e−2αT

.

118

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

Положив ε = 0, находим

X ∗ (z) =

  1 10T z 1 − (z − 1) T

(z − 1)2

+

  α 10z z − e−αT cos βT + e−αT sin βT β

.

z 2 − 2ze−αT cos βT + e−2αT

3.5.2. Вычисление ZT - и ZTε -изображений от оригинала, включающего множитель e−τ s . Пусть оригинал имеет вид

Y (s) = e−τ s X(s), где X(s) — дробно-рациональная функция: X(s) = В этом случае для Y ∗ (z) имеем: а) при (k − 1)T < τ  kT

B(s) . A(s)

Y ∗ (z) = ZT {e−τ s X(s)} = z −k ZTε {X(s)} = z −k X ∗ (z , ε),

(3.10а)

τ де ε = k − ; T

б) при τ = kT   Y ∗ (z) = ZT e−kT X(s) = z −k ZT {X(s)} = z −k X ∗ (z).

(3.10б)

Формула (3.10а) получается следующим образом. По определению оператора ZT его применение соответствует последовательному выполнению трех операций: обратное преобразование Лапласа, квантование по времени с периодом T и z -преобразование. Выполним сначала обратное преобразование Лапласа. Тогда по теореме запаздывания (свойство преобразования Лапласа) получим

L−1 {e−τ s X(s)} = x(t − τ ). Далее выполним квантование по времени с периодом T , т. е. сделаем подстановку t = lT. Полученную таким образом функцию x[lT − τ ] представим в виде

x[lT − τ ] = x[lT − kT + kT − τ ] = x[(l − k + ε)T ], ε = k −

τ . T

И, наконец, произведем z -преобразование. При этом по теореме запаздывания (свойство z -преобразования) получим

Z {x[(l − k + ε)T ]} = z −k X ∗ (z , ε). Это и есть ZT -изображение функции Y (s), что доказывает формулу (3.10а). Формула (3.10б) получается как частный случай из (3.10б) при ε = 0. П р и м е р 3.4. АИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы длительности τи = 0,1 с периодом T = 0,2 и амплитудой (высотой) 10 Aи = 1. Передаточная функция непрерывной части Wн (s) = . Треs+1 ∗ буется определить дискретную передаточную функцию Wп (z).

3.6. Цифровые системы управления

119

Р е ш е н и е. Найдем сначала передаточную функцию приведенной непрерывной части. Передаточная функция формирующего звена

Wф (s) =

1 − e−τи s 1 − e−0,1s = . s s

Передаточная функция ПНЧ

Wп (s) = Wф (s)Wн (s) = или

10(1 − e−0,1s ) , s(s + 1)

Wп (s) = (1 − e−0,1s )W0 (s),

где

W0 (s) =

B(s) 10 = . A(s) s(s + 1)

Дискретная передаточная функция

  Wп∗ (z) = ZT {Wп (s)} = ZT {W0 (s)} − ZT e−0,1s W0 (s) .

В данном случае

τ = 0,1 (0 < τ < T ),

k =1 и ε=1−

τ 0,1 =1− = 0,5. T 0,2

Поэтому (см. (3.10а))

Wп∗ (z) = W0∗ (z) − z −1 W0∗ (z , ε). Полюсами W0 (s) являются s1 = 0 и s2 = −1, производная A (s) = = 2s + 1. В соответствии с (3.9) 10z 10z − , z−1 z − e−0,2 10z 10z W0∗ (z , ε) = ZTε {W0 (s)} = − e−0,1 . z−1 z − e−0,2

W0∗ (z) = ZT {W0 (s)} =

Следовательно,

Wп∗ (z) =

10z 10z 10 10 10(e−0,1 − e−0,2 ) − − + e−0,1 = . − 0,2 − 0,2 z−1 z−1 z−e z−e z − e−0,2

3.6. Цифровые системы управления В связи с быстрым развитием микроэлектроники и микропроцессоров цифровые вычислительные устройства находят все большее применение при разработке управляющих устройств. Поэтому в настоящее время цифровые системы управления широко распространены. Если цифровое устройство оперирует с числовым представлением со значительным количеством разрядов, то квантованием по уровню можно пренебречь.

120

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

Цифровая система управления (ЦСУ) включает объект управления (ОУ), чувствительные элементы (ЧЭ), аналого-цифровой преобразователь (АЦП), цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) и цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Функциональная схема ЦСУ

АЦП преобразует аналоговый сигнал в цифровой, а ЦАП — цифровой сигнал в аналоговый. ЦВУ выполняет все необходимые вычисления в соответствии с заданным алгоритмом управления. Если пренебречь квантованием по уровню, цифровую систему управления можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.6), состоящей из прерывателя, дискретного фильтра (ДФ), фиксатора нулевого порядка (ФНП) и непрерывной части (НЧ). Прерыватель является моделью АЦП и преобразует непрерывный сигнал e(t) в дискретный сигнал e[lT ]. В дальнейшем прерыватель в явном виде на схеме не будем указывать, принимая, что он входит в состав ДФ.

Рис. 3.6. Блок-схема ЦСУ

Дискретный фильтр представляет собой модель ЦВУ и характеризуется дискретной передаточной функцией — передаточной функцией регулятора. В качестве ЦАП чаще всего используется фиксатор нулевого порядка — элемент, который запоминает значение входного дискретного сигнала на один период — до прихода следующего дискретного сигнала. Таким образом, он преобразует входной сигнал, представляющий решетчатую функцию, в ступенчатый сигнал. Поэтому фиксатор нулевого порядка можно рассматривать как АИМ-элемент, вырабатывающий прямоугольные импульсы длительности T (относительная длительность γ = 1) и амплитудой Aи = 1.

121

3.6. Цифровые системы управления

Представив ФНП в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного элемента и формирующего звена, получим эквивалентную схему цифровой системы управления (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Эквивалентная структурная схема ЦСУ

На рис. 3.7 Wр∗ (E) — передаточная функция (в операторной форме) дискретного фильтра (регулятора), Wп (p) — передаточная функция ПНЧ. Передаточная функция (в изображениях Лапласа) формирующего звена 1 − e−T s Wф (s) = . s

Поэтому передаточная функция (в изображениях Лапласа) ПНЧ

Wп (s) = Wф (s)Wн (s) =

1 − e−T s Wн (s). s

Дискретная передаточная функция ПНЧ     Wн (s) W (s) Wп∗ (z) = ZT {Wп (s)} = ZT − ZT e−T s н , s

или

Wп∗ (z) = (1 − z −1 )ZT



Wн (s) s



s

=

z−1 ZT z





Wн (s) . s

Используя эту передаточную функцию, можно построить структурную схему дискретной модели цифровой системы управления (рис. 3.8). По этой структурной схеме передаточные функции замкнутой системы определяются по известным из теории непрерывных систем правилам. Передаточные функции относительно входа G∗ (z) и выходов Y ∗ (z) и E ∗ (z) равны ∗ Wyg (z) =

Wр∗ (z)Wп∗ (z) 1 ∗ , Weg (z) = . 1 + Wр∗ (z)Wп∗ (z) 1 + Wр∗ (z)Wп∗ (z)

Рис. 3.8. Дискретная модель ЦСУ

122

Гл. 3. Математическое описание дискретных систем управления

П р и м е р 3.5. Дана цифровая система управления, у которой пере1 даточная функция непрерывной части Wн (s) = 2 и цифровое s + 3s + 2

вычислительное устройство реализует алгоритм управления, определяемый разностным уравнением

u[(l + 1)T ] − u[lT ] = 2e[(l + 1)T ] − e[lT ]. Требуется определить передаточную функцию данной системы относительно решетчатых функций входа g(t) и выхода y(t) (см. рис. 3.8). Р е ш е н и е. Запишем уравнение регулятора в операторной форме:

(E − 1)u[lT ] = (2E − 1)e[lT ]. Отсюда передаточная функция регулятора в операторной форме имеет вид 2E − 1 Wр∗ (E) = E−1

и в z -изображениях

 2z − 1 Wр∗ (z) = Wр∗ (E)E=z = . z−1

Передаточная функция приведенной непрерывной части

Wп (s) =

1 − 5−T s

s(s2 + 3s + 2)

Дискретная передаточная функция ПНЧ  z−1 ∗ Wп (z) = ZT {Wп (s)} = ZT z

.

1

s(s2 + 3s + 2)

 .

Корнями полинома

A(s) = s(s2 + 3s + 2) являются s1 = 0, s2 = −1, s3 = −2, его производная

A (s) = 3s2 + 6s + 2. Поэтому имеем  1 ZT 2

s(s + 3s + 2)

 =

1 z z 1 z − + = 2 z−1 2 z − e−2T z − e−T

= Следовательно,

Wп∗ (z) =

z(z + e−T )(e−T − 1)2 . 2(z − 1)(z − e−T )(z − e−2T )

(z + e−T )(e−T − 1)2 . 2(z − e−T )(z − e−2T )

3.7. ШИМ-системы управления

123

Искомая передаточная функция замкнутой системы ∗ Wyg (z) =

Wр∗ (z)Wн∗ (z) = 1 + Wр∗ (z)Wн∗ (z)

=

(2z − 1)(z + e−T )(e−T − 1)2 . 2(z − 1)(z − e )(z − e−2T ) + (2z − 1)(z + e−T )(e−T − 1)2 −T

3.7. ШИМ-системы управления Блок-схема ШИМ-системы управления включает ШИМ-элемент и непрерывную часть (НЧ) (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Блок-схема ШИМ-системы

Пусть ШИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с амплитудой Aи и периодом T. На выходе ШИМ-элемента ширина модулированного импульса пропорциональна модулю |e[iT ]|, а ее знак совпадает со знаком входного сигнала в момент съема (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Импульсы на выходе ШИМ-элемента

Модулированный импульс на выходе ШИМ-элемента можно представить как разность двух ступенчатых функций (см. рис. 3.11):

s(t − iT ) = Aи sign e[iT ][1(t − iT ) − 1(t − (i + γi )T )], где

γi = χ |e[iT ]|.

(3.11б)

Здесь χ является константой, удовлетворяющей неравенству 0