Álgebra Lineal

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ALGEBRA

IJNEAL~’

CLAUDIO DE J. PITA RUIZ.

Escuela de Ingenierl'a'

-

Universidad Panamericana

Revisién te’cnica Fernando Vera Badillo

In'g. Civil, Universidad La'Salle Maestro en Ciencia‘s, UNAM

a? 7,

yew”

wvfiv

r

Profesor Investigador‘ ’ _ ‘Universi‘dald La Salle

McGRAW-HILL MEXICO -. BUENOS AIREs _- cARAcAs - GUATEMALA .V LISBOA . MADRID .' NUEVA YORK: . - . PANAMA - SAN JUAN'.--. SANTAFE DE BOGOTAA SANTIAGO _- sAo PAULO _ , AUCKLAND . HAMBURGO -- LONDRES . MILAN - MONTREAL - NUEVA DELHI . PARIs SAN FRANCISCO - SINGAPUR - ST. LOUIS . SIDNEY . TOKIO - TORONTO

. /_ / V

_ ALGEBRA

LINEAL

i

'5

Not being familiar with the concepts of Linear Algebra such as linearity, vector, linear-space, matrix, etc. nowadays amounts almost to being illiterate in the natural sciences and

perhaps in the social sciences as well. Lars Gdrding

. ‘ Este libro eontiene on curso introductorio de algebra lineal. Hace algnnos afios esta disciplina matematica era estudia'da ‘solamente por personas que se estaban forman-

do dentro de alguna carrera de “cieneia pura”, como matemalicas o fisica. Es por

eso que aetualmente existen en el mercado algunos textos escritos preeisameme para este pfiblico. Estes textos son, sin duda alguna, exeelentes libros sobre el tema, pero tienen la caracteristica de ser muy rigurosos o muy ambiciosos en lo que respecta a la generalidad de la teotia tratada. ‘ Mas recientemente, el algebra lineal se ha cdnvertido en una parte de la matemética que resulta set indispensable para eualquier persona que estnclia una

carrera cienu’fica o técniea, como lo es cualqui'er rama de la ingenieria. Es entonces

ahora, que han comenzado a aparecer algunos libros sobre este tema eon earaete~

ristieas distintas (le aquéllas que mencionaba anteriormente. La inteneién de esta

nueva generacion de textos de algebra lineal es introducir a1 estudiante a esta parte de la matemzitica de un modo “didactico”, pattiendo dc situaeiones eonetetas y simples, reeortiendo paso a paso e1 camino de la generalizacion y desemboeando

vii

u

'0 de-ciencia aplicada. ' ' . - ‘ . Este es precisamente el espiritu que tiene la presente obra. El material aqui presentado tiene un caraeter elemental (lo eual no significa que sea facil) en cuanto que no pretende resaltar los aspectos mas generales de las ideas expnestas. Sin embargo, se ha tratado siempre de explotar al maximo estas ideas con el fin de obtener en cada tema el mayor nfimero de resultados que este tratamiento elemental permita.

~

finalmente ,en las grandes y maravillosas ideas que aparecen. en esta leoria, -las cuales r'esultan serde'capital importancia en estu‘dios posteriores rde malematieas

Mam,‘w..wm..

.6.

PROLOGof

--...-..._.. ‘ «—-— Supéngase que [x] n [y] 9* 1?). Se probarzi entonces que en 6511: 0:150 1215 clascs [x] y [y] coinciden. Seaz E [x] n [y]. Entonces

z~x

(1)

Z"y

(2)

que x ~ y y y ~ 2. Existen cntcros k y k; tales que x ~ y = km, y — z = k2”. Entonces

x—z=x-y+y—z=k1n+k2n = (k +kz)n,k1 +k2 E Z,esdccirquex~z,loque muestra quc la reiacion ~ posiee la propiedad transitiva. Se conciuyc pucs quc ~ es una relacién dc equivalencia La clase de equivalencia de 1111 clemento x E Z es 61110110133

[x]= iy€Zly~xl =(y€.Zly'-x=kn.k€zi= {y€ZIY='x+_k12 kéZ} Pot ejemplo,sin=4setiene

10}-{yely= [1]={y€Zy= [2]={yeZy= [3]=[yEZy= [4]={y€Zy==

4k,kEZ} ={0,i4,i8,...} 1+4k,kEZ}:{...,—11,~7,—3,I,5,9,...) 2+4k,k€Z}=[iZ,ié,ilO,...} 3+4k,keZ}=1{...,—9,—5,—1,3,7,11,...} 4+4k,k€Z}={yEZy=4k,k€Z}=[0]

En este caso existcn solamente 4 ciascs dc cquivaiencia distintas, a saber [01,[1 J,

[2}, [3]

E1 resultado principal de esta seccio'n se encuentra 611 CI siguientc teorema:

TEOREmAzzn

_ Sea X1111 conjunto y sea~ una relacién de equiValencia 611 X. Las disiin1as clasm dc equivalencia obtenidas en esta relacion proporcionan u11a descomposicién de X como una union de subconjuntos ajenos Reciproca-

mente, dada 1111a descomposicio’n de X como union dc subconjuntos ajenos no vacios, es posible definir una reiacién dc equivalencia ~ on X

ta] que estos subconjuntos scan precisamente las clases de equivalencia obtenidas de la relacién ~.

Tomese 1m cicmcnto 11 en {x} Entonccs a ~ x; pero pot (l), x ~ 2 (pucs ~ 63 snnetr1ca)yportantoaz(pues~Lstrans1uva)1301(2) a"~ y(pucs~ cst1ansi1iva) lo que quiere decir entonces que a E [y] Entonces [x] C [y]. U11 2111311a10 simila1 nos conduct: a 121 otra contL'nciOn [y] C [1']. Se; concluyc . _

piles que [x]= [y]

'

Esto muLstra la‘ primera partc dcl (comma. Supéngasc 11110111 que X es una union dc subconjumos ajenos no vacios.

Dcfi'nasc en X la rclacién ~ como

x ~ )2 to x y y pertcnccen a1 mismo subconjumO Se verifica dc inmedialo quc ésta es una rclacion dc equivalencia y que las clases dc cquivaienciu son precisamcmc los subconjumos en que cstubu dcscompucsto inicialmcmc X. Q.E.D. Cuando en un conjunto X 56 cstablcce 1111a rciacion dc cquivalcncia cntre sus elementos, se dice que “X queda partido —-—o dividido— en ciases de eqqivalcncia", indicando con 6510 L1 hccho dL quc X puedc 561 contpiado como la union , disjunta dL las clases dc cquivalcncia dc sus clcmcntos. Eslc tho rLsulta 501 do capital importancia dcntto dc algunas situacioncs concretas Ln mataticas. P01

ejempio, esto permite hacer una identificacio'n dc todos los clomentos dc X que pertenezcan a una misma cluse de equivalencia: identificaindosc cada clemento x 6 X con la ciase de equivalencia a la que pertenece, y de esta manera dos elementos. que pertenezcan a la misma clase serén, bajo esta perspectiva, indistinguibles (esta situacio’n se presenta en la discusién sobre isomorfismos de espacios vectoriales; subseccién 6.2 dei capitulo 3).

8

mmoouccuén 9

ALGEBPIA LINEAL

' Otra'simacionquc Sc cnc‘om-ra'ré tambiénlcn cstc libro, 'rclacionada con la

particic’m dc un conjunto X en clascs dc equivalencla, seré la‘ dc’procura'r “rcprcscntza cs adecuados” en una cicrta clasc dc cquivalcncla: supongasc quc a cada

elcmcmo dc un conjunto X 56 1c puede asociar una y solamcnte una clase dc . cquivalcncla dc 01m conjunto Y. Habrzi quc prcguntarsc cntonccs si dentro dc la clasc dc equivalencia que lc cortespondc a un cicrto clemenlo x E X, cxislc un

0 su coclomihio-(el conjuhto B) r

" 0 ’lalrcgl’a'dc correspondencia por mediode la cual a cada clomcmo a'dcl conjumo A SC 16 asocia cl clemento b = fia) dcl conjunto B.

En los primeros curses dc czilculo sc cstudian funcioncs para las cualcs cl conjunto B es cl conjunto dc nfimcros rcales R ylcl conjumo A es un subconjumo

elemento (un rcprcscntantc do la clasc) con clcrtas caractcn'sticas. Esta es de hccho

dc R; un intervalo. Es decir, funciones dcl tipof: A Q R —+ R, llamndas “funcioncs rcalcs dc variable real”. En esta scccién no 5c insistirzi dcmasiado sobrc cstc tipo dc funciones pues aqucllas funciones quc aparcccn en cl csludio dcl zilgcbra lineal

dc cquivalencia, desde el punto de vista del Lilgebra, cs la siguicnte: supongasc quc cl conjunlo X poscc una cicrta cstmctura algebraicu (grupo, anlllo, espacio vectorial, modulo). En X so establece una relacio’n dc cquivalcncia cntrc sus clcmentos de- modo que X qucda dividido en clascs dc cquivalcncia. Denétese por X al conjunto de todas las clases de equivalencia asi obtcnidas. Habré quc

son de un tipo mzis general. Véanse ahora algunos cjemplos. Sea A 1111 conjunto no vacio cualquicra. Seaf: A ——» A dada porf(a) = a, V a E A. Es claro qucfcs um: l'uncién dcl conjumoA on 51' mismo. Esta funcién cs llamada fimcio’n identidad (on A) y sc dcnota pot IdA.

la situacion abstracta dc la quc tram cl capitulo 6 dc cs'tc libro. Pot filtlmo, quizds la situacién més importanlc relacionada con particién dc un conjunto X on clases

preguntarsc si cl conjunto X posse también la misma cstructura algebraica dc X. En tal caso se dice que X posee la estructura cociente y se ascribe X = X/~, cn doncle ~ es la rclacion dc cquivalencia qua se dcllnié cm X. En el apéndice II dcl

capllulo 4, se prescnta una discuslc’m detallada dc cémo es quc sc obticnc la cstructura cocicnte en un cspacio vectorial.

Scan ahora A y B dos conjumos no vacios cualcsquicra. Témcse un clcmcnto

fijo b, E B. Si 56 consideraf: A —+ B co‘mofla) = bu, V a E A, es clam quc 5c tcndré también una t’uncién dcl conjuntoA al conjunto B. Esta funcio'n cs llumadufimcio’n constante. Algunos olros cjcmplos dc funcioncs son:

flN~Mflx>=2x

\ 7 c, FUN-CIONES V -Sean'A y' B doscohjuntos no Qac‘los. Se dict; quc fcsi'una funcio’fl dcl cohjunto A al conjunto B, 10 cual se ascribe como

f: A —+ B

fi.Rr~R,flx).=_3c’+5x.+n

fiZAMflxM‘Z'

'

f-‘RUR, flx,y)=x+y f-‘N-* N’. f(x) =(xy2x) f: Zz -» Z3‘, fix, y) = (x+y,x—y, 2x+2y), ctcélcra.

si a cada clemento a e A le correspondc un {mice elemento b E B, el cual se dcnola pot b =fla). Sc dice en tal caso que b es la imagcn de a bajo f, y quc cl elemento a E A es el argumen‘t‘o de la funci‘én f. Al conjtmto A se la llama domz'm'o dc 1a funcién f, y al conjunto B se la llama

Se dicc quc las l‘uhcionesfi: A —-> B; yf21A2 ~> Bz son iguales, lo cual sccscribe comofi =fi, siA. = A2, Bl = B2 yfi(a) =f2'(a), V a e AI(=A2). Sea ahora f: A —> B una funcién del conjunto A a1 conjunto B. Si A. es un subconjunto do A, so dice quc e1 conjumoflAl), subconjunto dc B, dado por

codominio dc la funciénf. Esquemzilicumente tenemos

fiA,)=ma)|aeA,};B es la imagen (directa) de A I bajo f.

' Esqu’cmzitlcamcme

A (dominlo)

B (codamlnlo)

‘

Estableccr entonces una funciénf consists cn dar

0. su dominio (cl conjunto A)

\

f —-—--> AI

“A I)

A

B

tNTRoDUCCIoN 11

1O ALGEBRA UNEAL flax) =fl02) =’ .01 = a:

Si B1 es un subcdnjuntddc B, a1. conjuntofKBg), subconjunto do A, dado pot

f" (8;) = {aEA lfla) 6 Bl} QA Clemente, se le llama imagen inversa de 8,. Si 81 esté constituido por un solo

digasc b, entonces se escribe

f'| (b) =‘{0 E A l-flfl) = 17} 9A y se dice que ate subconjunto deA es la imagen inversa do b.

Si una funcién es 3 la vcz inyectiva y sobreyecliva, so dice quc es una fzmcibn biyecn‘va. Pot ejemplo, la funcionf: N —‘ N,fix) = 2x :25 inyectz‘va pero no sobreyecliva. La funcionfi Z \{O} -—» N,fix) = m, es sobreyectiva pero no inyectiva. La funcién f: R —-> R,flx) = x‘ no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Pot filtimo, Ia funcién f: R —+ R, fix) = x3 es inyectiva y sabreyectiva; cs por tanto una funcién biye‘ctz'va.

Sea ahoraf: A —> B una funcién del conjunto A a1 conjunto B y g: B —4 C una funcién del conjunto B 81 conjunto C. Definase lafuncidn composicio’lz (1e g con f, denotada por gof, como la funcion

f

g9f. A -> C

(8°f)(a) = 80(0))

%

Esquemziticamente

c = (g . 0(a) - 9(f(a)) = 90:)

r‘'R,j(x) if, so tienc .7

f‘(-1)= «5

f‘(0) = {0} f‘(1)= {1,-1} Obsérvese que aunque so pueda cslablecer la composicién dc gof, puedc ocurrir que la composicién fog no esté dcfinida. Afin mais, si ambas composicioncs gof y

Mzis generalmcme:

f‘O’) = ‘5 Si)’ < 0

f‘(0) = 0

f‘0’)= {‘57, ~ '5} siy>0

Al conjunto de elementos b E B para los cua'lesf“(b) no es vacl’o, so 1e llama rango

de la funcionf" Pot ejemplo, para la misma funcic’mf: R —v R, fix) = x2, so tienc

que

tango def= _{y‘€ R_| y 2 0}

Si path la funoionfi_A —-> “B sci-cu-mplc que. - , ' tango def= B digase que f es una funcion sobreyectiva (o suprayectiva). Si ocurre que para cualesquiera (1., (22 E A, tales quc a1 95 (12, se ticneflaz) 9* flaz), so dice quef es una fimcio’n inyectiva. Equivalentcmente, la funcio’n f: A —> B es inyectz‘va si *En e! 221 gobra lineal 1a palabra rango aparcce dcsigmmdo un concepto distinto ul aqui prescntado. En su momento (soccién 2, capitulo 5) so hard dc nucvo la aclaracion correspondientc.

fog cstuvieran definidas, no es cicrto en general quc gof = fog. cido a csto, se dice que la composicion dc funciones es una operacién no conmutativa. Por ejemplo, si se ticncn las funcioncs f-‘R2”R3>flXJ)=(X+Y,x‘M 1)

WP ~'R,g(x,y.2)=x+y+z se pucde format 1a composicién gof; R? —» R. La cual fitzi dada pot

18°13“; y, i) =-g(f(x, y, z» =‘ g(x'+y,x-y,1)'=x W H -y+1= 2x +1 En eslc caso no se pucde format la composicion fog (apor qué?). Pot otro lado, si se consideran [as funciones

f:R—»RfL\C)-—'x2 g:R—>Rg(x)=2.x

1'} ¢¢ .1,

ALGEBRALINEAL

sc lienc que . .

.

V

go]:- R 4R

V

_

(8°J‘Xx) = 803-0) = 8062) = 2x3

fog: R —+ R (figxx) = flg(x)) = flZx) = (2202 = 4x2 Sc licnc pues que gof $ fog,

Se dice que la funciénf: A —+ B tiene inversa, si cxiste una Vfunciénf": B -+ A (llamada inversa def) ta! quc

f"'°f= “A fif" ‘ Ids

.. Q...” ,.____-..__.

12

iNTRODUCCIéN 13

Entonces fes _biyectiva, co__m‘ovse queria. ‘ , . , 3 Supéngase ahorai' que f es una 'funcién bi‘yectim. Se quieie vcr que f ticnc

invcrsa. Para un elemento b E B, cxistc un clemento a E A :31 qucfla) = b (pucs fes sobreyectiva). Esta elemento es L'mico (puesfes inyectiva). Deflna la funcién f“: B —’A comof'(b) = a. Es immediate verificar quef“°f = [dd y fOf‘ = My. Esto mueslrzx quef (ienc inversa.

Q.E.I). Por ejemplo, sif: R —> R es la funciénflx) = x3, 56 ticne qucftienc invcrsa, pucs es una funcic’m biyectiva. La funciénf": R -» R, inversa defesf“(x) = 3/36..

EJERCICIOS (INTRODUCCIéN) ,rp'ri-Id;

A.

l.""Seanlbs conjuntos , . '

'.'rl;t-'IdA

Un rcsultado importante, que da condiciones equivalentes a1 hecho de que una funcién. tenga inversa, estzi contcnido en c1 siguiente teorema:

TEOR EMA 3.1

A = {e,s,t,u,tl,i,a,r} B = {m,a,t,e,m,ri,t,i,c,a,s} C = {e,s}

La funcién f: A -> B tiene inversa si y solamente si cs una funcién biyectiva. .

DEMOSTRA CIO’N Supéngasc primeramcnte que la funciénf: A -—» B ticne inversa. Véase que fes sobreyectiva: dado b E B 56 tiene

D = {fia,s,c,i,n,a,n,t,e}

a)

c)

Si (2 =f‘(b), hemos mostrado qucfla) = b. Entonccs b E tango def Es decir, range def = B. For tanto, fes sobreye'ctiva. , ' » » ‘ ' '-» . . ~ Véase ahor‘a quefes iny'ectiva: scan (1;, a2' 6 A tales que

fla 1) = f(az) Entonccs

f" (Add) =f" 01%))

Comof"of= IdA, se concluye que ax = a2, lo que muestra quefLb inyectiva.

Demucstre quc A n D C B n D

d) Compruebe queA \ D = A \B e)

b = 1613(1))= (f°f")(b) =f(f‘(b))

Dcscriba los conjuntosA U B,A U D,A n B,A n D.

b) Comprucbe que C as subconjunto dc A, B y D

Dcmuestre que {f,r,a,n,c,é,s] C A U D

f) Compruebc que (t,f,a} es subconjunto de A, B y D 2. Sea A un conjunto no vacio y a un elemento de A. Sea B = {a}. Diga cua‘les dc [as siguientcs cxprcsioncs son correctas, cu-élcs no, 0 him, sobrclcu éjes dc ellas no so ' puede dccidir (pot falta dc informaci'én). Jgstil‘iquc su respucsta. '

'éjaeB

and};

b) aEA

g) BCA

c) BEA

h) 3cm}

m) [a1CAnB

d) ((1)68

i) {aJEA

n) {a}€AnB

e) {MCB

j) {MC/4

‘

k)AnB=a l) aEAUB

.

0) A UB={0}

3‘ ScanlosconjumosA = (0,1),B= {1,0}, C= {0, {I}},D= HO}, l},E= ({0}, {0,1 } }, F = {{0}, {1,0} }. Manifieste cuéles dc )as siguicmes cxprcsioncs son correctas y

ALGEERA LINEAL

INTRODUCCION 15 cuzile's' 110:1u'sfifiquc 511 rcsp'ixeSta.

a)ACB b)A=B c)ACC d)ACD e)A=D

--

a) 15 Suponga que el conj unto A lienc'n elementoS._Dc1nuestrc que el conjumo p(A) licnc

1). ECF 19c 11)“): i)ACE J')AnB=A

1k) EnF=[1,0}.

11'.

subconjumos de A de k elementos cada uno. Concluya cntenccs que p(A) ticnc 2" elementos. CD 16. Sea A un conjunto cualquiera y a un elemento dc é}. LPuedc ocurrir que a E p(A)? Explique. 17. Si 105 conjuntos A y B son iguales, claramente 56 time p(A) = p(B). LES vcrdadera 1a afirmacién reciproca?

Sea A = {95, [(0 } ) (Q) es c1 conjumo vac1'o). Diga cuéles do las siguientes cxpresiones son correctas y cuziles no. Pruebe su rcspuesta.

a) A cs 61 conjunto vacio

b)¢CA

® 18. Se define la diferencia simc’trica de los conjuntos A y B denotada pct A A B, como

0Anf¢l=1¢1

'

g)An¢=¢

c) (236A~

h) AU{¢}=A

d) {me/1

1) An[¢}=¢

e>1¢1CA

11An¢=1¢1

AAB={x|x€A o xEB y xeAnB] Dcmuestre que

AAB = (A\B) U (B\A)

19. Sean A, B, C y D conjumos cualesquiera. Compruebe que "'a)..AA(BAC)=(AAB)AC

. Sean (1 y b dos nfimeros cualesquiera y sea

.

b) A AA = (25

A = ((1,1). {011.1171}

LC1erto o falso?: c1 conjunto A ticne 5610 dos elementos distimos. (Sugerencia: considers los dos cases a = b y‘a 5* b.)

c) A A ¢ = A

d) A n(BAC)=(A n'B)A(A n C)

. Con los numeros 0 y 1 construya un c'onJ'un't'o que' té'nga 5 elcmentbs distintos. . Sea A= [xv] x, y 6 N}. DemUestrc queA= N

e) (A U B) A (C'U D) C (AAC) U'(BAD)

. _,-2o. DE 11113 intel‘pfetacién‘ gé‘qt‘nétdca de los conjuntos R X'R = R7 y RX R X R = R3 ’5 el para mismo lo Haga N. X cohJ'untoN cl e geométricamgm 7 21'. Encl 11111110 .xy describa '

. Sea 8 =_ {x + y l x,y E_ Z}. Compruebeque B‘= Z. “

' ' ' conjunto Z x Z. ? CD X A conjunto (:1 es LQué 22. Sea A un conjunto cualquicra. 23. Suponga que para dos conjuntos A y B 36 tieneA x B = (D. LQué pucde decir de cslos

. Sean A, B y C [res conjuntos tales que

ACB CCCA

Dcmuestrc qucA = B = C. Més generalmenle, si Al, A2, . . . , A" son n conjuntos mlcs que

conjuntos? 24. a) Suponga queA C B y C C D. Demuestrc entonces que A X C C B X D.

AJ CAZC. 11CA,._1CA1.CAI

pruebe entonces queA1 = A2 =- . . . = A".

b) Piense que para los conjuntos A, B, C y D 56 tiene A X C C B X D. LES posiblc concluir queA C B y C C D?

'

10. Dcmuestre c1 leorcma 1.1. 11. Demucstre cl (comma 1.2. 12. Dcmuestrc cl (comma 1.3.

25. Sea X (:1 conjumo (1e todos 10$ seres humanos. En X dcfina la rclacién ~ entre sus

clemcmos como a) x~ysixeshermanodey b) x~ysixespadredey

13. Sean A, B y C [res conjuntos cualcsquicra. Dcmuestrc las leycs dc Dc Morgan

8) C\(A U B)=(C\A) 0 (CU?) b) C\(A fl B)= (CM) U (CU?)

c) x~ ysixcsamigodey

b) 81/! = {1,2,3}, describa p(A)

...~;..

c)

._

SiA = (D, describap(A)

_,.

P(A)= {15. {11112}, (1.21} a)

-_ .

PM) = {BIB CA) For cjcmplo, si A = {1,2} emonces

1...

Dado un conju'mo A, $6 define su co‘njunto potencia, de'nolado por p(A) condo cl conJunto fo1'1n'z'1do por t(1dos los subcpnjuntos dc A Es decir

Si A = {1,2}, describa p(p(A))

._..._..,,... A.-.

.14

_ i ' n!

1.- " 11101—11)!

1) EUF={O}UA m) EnC={O} n)EnD={O} o)BCF

OOO\IO\

14

. Ad) ‘ x~ y s1 1: nacié en la misma ciudad en que naci'é y e) x~ y six vivc en la misnia casa que y t) x ~ y si .1: habla la misma lengua que y Diga en cada case 51 ~ es una relacién de equivalencia an X. En el caso de que lo sea, describa las clases de equivalencia correspondientes. 26. Considere 1a relacio’n ~ en el conjunto Z definida como

x~v~=3k€Ztalquex-y=3k

liLGEBRA LINE-SAL INTRODUCCION 1 7

Demuestre que .~ es una relacion de equ-ivalencia y Que el'coirju nto cocieme Z/~ esté .formado por las clases de equivalencia [O], [I]? [2].

c) {(43), (12,3), (c,3),~-((1,3)) d) («2.1), (5.4), (cam/,2);

27. sea X ell conjunto de iodas las rectas en el piano. En Xidefina la relacién ~ como

a) x~ysixesparalelaay

8) 0 g) h) i) j)

b) x ~ y si xcs perpendicular a y

Acepte que toda recta es paralela a si misma. Demuestre entonce s que la rclacion

definida en a) es una relacion de equivalencia, acuéles son las clases de equivalencia asi generadas? (3133 la relacién definida en b) una relacién de equivale ncia?

28. Sea X cl conjunto de todos los triéngnlos. Define en X la relacién ~ como

a) x ~ y si .2: es semejante a y b) x ~ y si x es congruente con y Demuestre que c’szas son relaciones de equivalencia en X. 29. En el conjunto’ dc nfimeros enteros Z se ha definido una cierta relacién de cquivalencia ~‘de modo que Z ha quedado descompueslo como la union de los siguient es conjuntos

fix) = x3 + x - l g(x) = (1(x ~1)’ + b(x + 2)2 + ex + (1

Determine a, b, c y d para quef = g.

(disconjuntos)

34. Se dice que la funeion f: R —> R es lineal sificxl + n) == cfixl) +fix2), en donde of, x1, x; E R. Determine cuziles de las siguientes funciones son lineales:

{... —1o,—5,o,5, 10,...} {...,—9,-4,1,6,11,...]

a) fix) = x

35.

_‘ (..., —6,-1,4,9.14.... 1

(1) fix) = 2x3 + 1 e) fix) = mx, m una constante 0 fix) = mx + b, m y b constantes

c) fix) = x + 1

{.. ., ~7,—2,3,.8,13,... ]

y

'

b) fix) = 3x2

[..., —8,—3,2,7, 12,.. 1

Describe larelacione'.

{ (a.1), (M). (0,1), (6,2). ((1,2)) {(41), ((1,2), ((1,2), (1A3), (6,4)! ((0,4), ((1,3), (6,2), (19,1)1 {(0.1) (b3). (52,2), (0,3). (07.2)} {(173). (0,2), (0,2), (612)} { (6,1), ((1,1), (61,2). (192)}

33. Sean las funcionesf, g: R —+ R dadas por

Demuestre que la funciénf: A -f B es una biyeccién Si, y 3610 si cumple con la siguiente ‘ pr0piedad_: dado b” e B '61 .corijuntof1(b) C A consla deun solo elemento. '' ' '36. . ‘Sea'A un conjuntofinite y considere‘ unafunciéns —~r A. Demuestre qde‘fes inyeetiva si, y 3610 sifes biyeciiva.

' I‘

30. Eh cl eonj unto N X N defina l'a‘rel’acién‘ ~ co'mo

37.

(a,b)~ (ad) a a+d=b+c

Pruebe que ~ es una relacién de equivalencia.

31. El siguieme argumenlo “demuestra” que si una relacio’n bin‘aria R es un conjunto X

Precise todas las posibles funcioncs biyeclivas del conjunto {1, 2, 3} en 51’ mismo (véase ejercicio 36).

38. Si A es un conjunto de M elementos, acuéntas funciones biyectiva s deA enA dislimas

es simétrica y transiliva, emonces es reflexive: scan x, y E X tales que n. Como R cs‘sime'trica y so time n. Como R es transitiva, n y n implica xRx, lo que muestra que R es reflexiva.

existen?

39. Seanf: A —¢ B y g: B —+ C dos funciones. Demucstre que a) sify g son inycclivas entonces gofes inyectiva.

Ehcuen'tre e] error en este razonamiento.

b) sif y g son sobreyectivas entonces gofes sobreyectiva. e) sif y g son biyeclivas entonces gofes biyectiva.

32. Considere los conjuntos

40. Suponga que las funciones del ejercicio anterior son tales que gof es una funcioni a) inyecliva, b) sobreyectiva, c) biyectiva. (,Qué pucde dccir de las funciones fy g?

A'= {a,b,c,d]

B = { l,2,3,4}

Se dan a continuacién conjuntos de parejas ordenadas (x, y), x E A,‘y E B. Diga on cada caso si se‘ticne una 'funciénf: A —»_ B'en donde y = fix). En caso ai‘irmat‘iyo determine ‘_ ' . . . , , . _ 1 ‘ ' 1) el range de la ffincién 2) si la funcion es inyectiva 3) si la funcién tiene inversa. En lal caso determine la funcionf 1: B —-+ A

a) {(0.1). (b2). (0,3), (4,4)} b) {(arl)! ((1,2), (b3), (Q4), (6.1), (0,2)}

41. Seaf: A —* B una funcion biyectiva. Demuestre que la funcion fl: B —> A tiene inversa

3! (11190"”0-! -f- ,

-'\- 1

16

' 42,

Seénf: A —’ B y g B -> _C dos funciories biyeelivas,ppmebe qUe la funciorr gof: A -—v

43.

Sean f: A -~ B, g: B ~» C, h: C -—> D tres funciones. Demuestre que las funciones

C tiene inverse y que (gqf)“ =f“og".

lz°(g°f), (h0g)°f: A —+ D son iguales. 44. Considere la funcién: f: N —» N tal que

fix + y) =10) +167). Vx. y E N

fil) = 2

Compruebe quefix) = 2x V x 6 N.

1.8

ALGEBRA LlNEAL (D

45. Seaf. A —~ B'una funcién c-a-B y Scan X y YSiibconjumos (16A y B resp-cctivamcnte.’ Demuestre que _ a) flf’ (3’)) E Y

CAPI’TULO UNO V? '

b) flf‘ (1’)) = Y si, y 5610 sif as sobreycctiva.

C) X 9f“ UGO) d) X =f-1 (flXD si, y 5610 sif as inyectiva. G) 46. Sea f: A -’ B una funcién deA a B y scan X; y X2 subconjuntos de A. Demucstre que

Sistemas de ecuaciones

lineal'es y matrices

a) fix! U X2) =fCXI) Uflxz) b) flX: n X2) §f(Xl) n flXz) Compruebe queflxl n X2) ='fix1) n flXz) si, y 5610 si f es inyectiva.

En este capilulo se exponen las ideas y resultados preliminares que aparecen en el

estudio dcl algebra lineal. Se discutiré, per una parte’, el método dc eliminacién dc Gauss-Jordan para resolver sistcmas de ccuaciones lineales, sicndo éste una

herramicnta fundamental que se usara en cl resto del libro. Por otra parte, se introducira fomnalmente el concepto dc matriz y 56 hard un estudio meis o menos detallado de las principales propicdades que tienen estos f‘entes matematicos”

llamados matrices, que aparccen también como elementos fundamentales dc trabajo en el algebra-lineal. Para introducitse en el-tcma, se retoma la tan familiar situacic’m de resolucién de un sistema de dosecuaciones-lincales con-dos ingéguitas (x y— y), digase: .

m¥®=mv cx + dy = n (dondc a, b, c, d, m, )1 son m’nneros reales dados). Uno do 105 procedimicntos mas con‘oCidos para oblencr la solucion de este sis-

tema es c1 llamado‘“método do eliminacién”, quc consiste en, por mcdio dc operaciones algebraicas (permisibles), eliminar un'a dc las incognitas y producir asi una nucva ecuacién en la qua apare‘ce ento‘nccs 5610 la mm. For ejcmplo, si 50 mulli~ plica por (-c) la primera ecuacién y por (a) la segunda, y luego so suman, se obticne

(ad — bc)y = (m - cm dc donde so we que si ad - bc ¢ 0 cntonces cl sistcma posec por solucion

_ an — cm

. ad — bc _-dm - biz ad — bc (cl valor dc x sc obliene sustiluyendo cl valor para y encontrado en cualquicra de las ecuaciones y despcjando).

Desde cl punto dc vista geomélrico, cada una do 1215 ecuacioncs dcl sistema dado representa una rccta en el plano. Hallar una solucién dcl sistcma consiste en localizar el punto en cl quc tales rcctas so intersecan (punto cuyas coordenadas _

19

20

ALGEBRA UNEAL SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

satisfaqen simultdneamente ambas ecuaciones). Asiplies; si ad 4 be 3* 0 se ticnc la siguiente situacién:

21

.en donde a), a2, . . .', a", b sc‘m nfimeros (rcales) dados. Al numero a; que multiplica a la inoégnita x,- (i = 1, 2, . . . , n) se la llama

coeficieme de la incognita cortespondiente. Al némer o b 5:: le llama te’rmz'no independiente de la ecuacién. Si b = 0, SC dice que la ecuacion (1.1) es homoge'nea. En caso contrario, se dice que es no homoge’nea. '

ax+by=m

yo

——————

t-csx-malinea

:1

: any]!

j—ésima columna *Aunque el concepto dc matriz aparecc en este momcnlo 5610 por una cuestién dc ahorro en la

notacxén en cl proccso dc solucién de un sistema dc ecuaciones, vénse més adelanlc que en realidad

estos elementos muteméticos tiencn “Vida propia" la cual se estudiarzi detenidamentc.

EJEMPLO1

Asi pues, para el sistema de 2 ecuaciones con 4 incégnitas 2x1—x2 + SXJ " 3X4 =1

x1 — 5x2 + 10x; — 2x4 = -7

Se asocia la matriz del sistema(2 X 4)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

34 ALGEsaA UNEAL

EJEMPLo 3 ' , ' "_ 22—1 5 —3' A'[1 ~5 10 a]

/

y Ia matriz aumentada (2 x 5)

A22—15~3: 1 "1-510—2:~7

XJ=4

EJEMPLO 4,

F100

0014

00000

[000

001

Por ejemplo, suponga que la matriz

1 O 0 0 1 0 10 0. 1

1000 4 0100—2 A‘

00101

030014

_I . I.

2) Para cada linea de la matriz que no consta exclusivamente dc ceros, el primer elemento distinto de cero (leyendoéstos en el orden natural de izquierda a

derecha) de mi linea cs 1. , i ' ‘ V ' el ceros,’ de exciUsivameme no’eonstan que 3) Para eada'dos Iin‘eas conseeutivas primer elemenro distinto de cero de la linea superior se encuentra a la izquierda del primer elemento distinto de cero de la Iinea a la que precede. 4) Cada columna que contiene un primer elemento distinto dc cero de alguna linea, tiene en las posicibnes restantes 0. Si la matriz A satisface las condicionesl), 2) y 3), pero no la 4), se dice que ésta se encuentra en la forma escalonada.

~x1+1-x2+0'x3+01x4=~2 'x1+0-x2+1~x3+0-x4= 'X1+O'X2+O'X3+1'X4=4

. 0 sea, xx = 4,-x2 = -2, x3» = 1, x4 =_ 4. Las soluciones del sistema estén dadasrpues,

en la misma matriz‘. Pot otrzi 'parte,.si la matriz OM93

Si la matriz posee alguna o algunas lineas que consten exclusivameme dc ceros, éstas se encuentran concentradas en la pane inferior de la matriz.

-x1+0~x2+0-x3+0-x4=4

Ov—o

cumplen las siguientes 4 condiciones:

correspondiente es:

01—10

Se dice quc la matriz A estz’x en la for-ma escalonada reducida si en ella so

cida anteriormente (correspondencia entre (2.3) y (2.5)), se ve que el sistema

OOH

Antes dc comenzar a describir Ia metodologia de la climinacic’m Gaussiana, se introduciré cl concepto dc matriz en forma escalonada reducida.

representa la matriz aumentéda de un sistema de ecuaciones lineales, de modo que

atendicndo a la correspondencia entrc matrices y sistemas dc ecuaciones estable—

II

1 0 O t 2 0 1 0 : 1 O 0 1 : 4

D;

Aa=

1)

33?

se encuentran en la forma escalonada. La propiedad més importante que posse una matriz en la forma escalonada reducida es que si ésta represema la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, las soluciones de éste pueden leerse muy fécihnente.

X2=1

,yvlva matrii-aument‘ddneil

00102

0010,2100 1032 0101,00014~,001 0010 00000 0014

x1=2

A=

1002

0101,-00014,000,[010 miemras que las matrices

Del mismo mode, para el sistema de 3 ecuaciones con 3 incégnitas

1a matriz del sistema es:

For ejemplo, las'siguientesmatri’cesse encuentran en 'la' forma escalonada reducida: ‘

0001-

EJEMPLO 2 '.

35

es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, éste seria entonces

36 ALGEBRA LINEAL SISTEMAS DE ECUACIONES UNEALES Y MATRICES 37

" Obsérvese tambiéniquc mta relacién que se‘ha establecido entre las matrices

X1 = 3

(B es equivalentc 'a A) es, de hecho, una relac'io'n de equivalen'cia, es decir, ‘es

X; + X3 ‘ 2

rcflexiva, simétrica y transitiva. En efecto:

Dando cualquier valor a x;, digase x, = t, se obtiene cl valor x2 = 2 - ty entonces el conjunto (infinito) (le soluciones del sistema esté dado por

l)

2) {Xy=3,X2=2-I,x;=t,t€R}

EJEMPLO 5

Como L'lltimo ejemplo, si se tiene la matriz A en forma escalonada reducida

_1oo'

A”[001]

Toda matriz cs equivalente a si misma (obvio); (reflexibidad). Supéngase que B es equivalente a A. Esto significa que, partiendo de A, se realizan en e’sta operaciones elementales que conducen eventualmente a B. Como cada operacién elemental tiene su “invetsa” que ademas es del mismo tipo,* se' puede, a partir ahora de B realizar las operaciones elementales inversas y llegat asi a A. Esto significa que A es equivalentc a B (simetria).

Por filtimo:

se ve que el sistema correspondiente

3) Supongase que A es equivalente a B y B es equivalente a C. B se obtuvo entonces a partit dc C haciendo operaciones elementales. Pero A se obtuvo asimismo partiendo de B. Juntando esta sec‘uencia de operaciones elementales, se puede, a partir de C, obten’er A (pa'sando p‘or B). Esto significa que A

1 -x. + 0 - x2 = 0

o-x,+o-'x2='1 no tiene solucién. ' En conclusion, la forma escalonada reducida de una matriz, cuando ésta representa la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, es muy conveniente

es equivalente a C (transitividad).

para de ella leer las soluciones del sistema.

Se podra entonces decir, cuando la matriz B es equivalente a la matriz A, que “las

matrices A y B. son equivalentes.” sin temor a confusion. -

EJEll/llSLO'S ' 2.2.

" Por'ejernplo, considere la matriz:

OPEHACIONES ELE‘MENTALES EN LAS LlNEAS DE UNA MATRIZ Al tenerse siempte en mente (por el momento) que las matrices representan sistemas de ecuaciones lineales, se puede‘n transportar las operaeiones elementales en las ecuaciones del sistema, discutidas en la seccion anterior, a operaciones

elementales en las lz’neas de la marriz (pues cada linea de la matrix cotresponde a una ecuaeién del s‘istema y viceversa).

=[1325.-

A [2413

Si sustituye: la segunda linea de A- pot ella misma menos 2 veces suprimera linea obtenga la matriz

1

Estas serian pues:

3

2

5

A" [o -2 —3 4]

l) Intercambiar dos lineas de la matriz.

2) Multiplicar una linea por una constante distinta de cero. 3) Sustituir una linea pot ella misma mas k veces otrar linea _de la matriz. .

La mattiz A1 es entonces equivalente a la matriz A2.

Multiplique ahora 1a segunda linen de A. pot - -1-, obteniendo asi 1a matriz

2

(4:713 2 5

Se difa que la mattiz B es eq'uiva‘lente a la matrii A, 10 coal se escriBirzi B ~‘A si

2

se puede obtener B a partir de A, realizando en ésta una seeuencia (finita) de

operaciones elementales en 5115 lineas. Véase que, dcsde cl punto de vista de la correspondencia matrices-sistemas’ de ecuaciones, no se esté definiendo mas que la equivalencia entte sistemas (es decir, si el sistema que representa la matriz 8 es equivalente a1 sistema que representa la matriz A, entonces se dice que B es equivalente a A).

'012/2 7/2

*1) Si 56 han intercambiado las lineas i y 1', la operaeién inversa es en este easo ella misma, esto es,

volviendo a intercambiar las lineas i yj se regresa a la matriz original. 2) Si se ha multiplicado una linea por la constante k at 0, multipliquc ahora esa misma linea per la constants k“. 3)

Si la linea r fue sustituida pot ella misma mas k veces la linea s, sustituya ahora la linea r pot

ella misma menos k veces la linea s.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 39

38 ALGEERA LINEAL

LamatriiA'z es equivalonte‘ 3.1a matriz A; y por tanto es‘equivalcme a A. -

‘

Si suslifixye ahoré "la prir‘fiera linea‘ ‘de 'A poi ella mi'sma tnc 3 veces su-

ramcntc la primera y sogunda- linea‘s (pubs csta-linea: comicnza when -1) con cl ' obj cto dc rctrasar el manejodc fracciones. Sc obtic‘n‘e—pucs la matriz

segunda linea obtanga

A3 =

1 0 -5/2 31/2 O 1 3’2 7/2

La matriz A3 es equivalents a la matriz A2, por tanto equivalents a la matriz A, y por tanto equivalente a A. Observe quc A3 cstzi en forma escalonada reducida. Se dice que la matriz A3 es

“la forma cscalonacla reducida de la matrizA”. En general 56 dice que la matriz B es la forma escalonada reducida de la matriz ' A si l)

La sig’uicnte erapa es, por medio de sustituir lineas por ellas mismas més mfiltiplos de otras, haccr ceros en las posiciones restantes de la columna dcbajo del l logrado en cl primer paso. Llamando (L.) a la linea i, se hace (L2) —* (L2) — 3(L1), (L3) -—> (L3) -— 2(L1), (L4) .4 (IA) - 4(Ll). Se obtiene entonccs la malriz

1 ;l_:_1--:3:-Q,

B es una matriz en form'a escalonada reducida.

o .1 5 10 11 0 :3 4 10 5}

2) B es cquivalentc a A.

0 1-9-3-.1-4-42

2.3. EL METODO DE ELIMINACléN GAUSSlANA Las ideas Bésicas del rnétodo ya fheron-disoutidaé en laé ‘subsec‘ciones anteriOrcs. ' . Sélo falta ponerlas ‘en-orde'nz' dado-cl sistcma do ecuacionm (2.3) delcual so quicron conocer sus soluciones, escribase la matriz aumentada aSOCiada a1 sistema y' llévese, por medio de operaciones elementalcs en sus lineas, a la forma cscalonada

rcducida.* E1 sistcma que representa esta nucva matriz tienc las mismas solucioncs que el sistema original (Lpor qué?). El método dc eliminacio’n Gaussiana indica co’mo ** se puede llevar una matriz dada a su forma cscalonada. reducida. Las diferentes ctapas dcl mélodo sc explicarén con un ejemplo particular.-

~ repitc-de‘nucvo‘el prbceso. Sc tiene ya um I como primerelemento, por lo tanto‘ _. matriz solo resta hacer ceros debajo de él. Se realiza (L3) —> (L3) — 3(L2) en la ' ‘ anterior obteniéndose asi

1

0

o

-1

«l

-3

0

1.--__5-_____1-9_____2-2;

0 5—11 —20

0 .0 E----5-----14-4.:

Supéngase que se Ilene 1a matriz

.5010»—

l

,N-t-d

I -

LHH

_>—-NHN

Sc rcitcra en la submatriz sofialada. Se realiza entonces en la matriz anterior (L3) A'NHw

EJEMPLO 7

, Se conocntm ahora la Iatencion enla ‘sfibxnatriz scfialada en el paso anterior- Sc '

Se hace que el primer elemento distinto de cero de la primera llnea sea 1. Esto es

posible’multiplicando poré— tal linea. Sin embargo, se pucde intercambiar prime*Se puede demostrar quc la forma escalona'da reducidn de una matriz es \inica. **Ciertamcme no existe una manera (mica dc procodcr para llcvar una matriz a su forma escalonada reducida. El método aqui expucsto proves una sislcmarizacién de mi proccdimicmo.

a — ill (L3)'para lograr un 1 como primer elemento no nulo de la tcrcera linea

'1 '-1 I i O

‘1' 24-3.. 5

0

O

1

0

0

5

Se hace ahora (L4) —-> (L4) — 5(L3)

10

0._.. 1

20/11 —’-’/11 l4

4

40 ALGEBHA LINEAL

SISTEMAS 0E ECUAClONES LINEALES Y MATRICES

41

’ y'cl. sistema que represema esta matrii es entonccs x17= 2,172 = l, x: = -2', x4 = l . ‘1' '—1, Fl 5—3 0 1 5 10

0 0

O 0

1 0

que es ia_soluci'0n dc'lisistem'a. (Compzirese e1 procedimiemo Con el que sc cmplcé

'0 1

20/11 54/11

para resolver este mismo sistema en la pégina 27). Véanse 1111 par de ejemplos més.

—2/11 54/11

EJEMPLO 8 Para tenet um I como primer elemento no nulo de la cuarta linea se realiza (L4) -+ , 11 54 (IA)

Se quiere resolver el sistcma

.

22“ + 6552 + 14x; + 4X4 = 4 X1-2X2+X3-4X4=1 xg— 12X2—llX3-16X4= 15

1 0

-1 1

—1 5

0 O

0 0

1 0

—3 10

20/11 l

0 1

La matriz aumentada es:

4/11 11

2 6 l4 4 4 1 -2 l -4 1 1-12-11-16 15

Obsérvcse que esta matriz se encuentra ya en la forma escalonada. Para llegar a la forma escalonada reducida, se comienza con el u’ltimo uno lagraa'o (en el

Se exponen en seguida los pasos para llegar a la forma cscalonadu reducida de esta ‘ matriz. En cada paso s‘e indican las operaciones elementales que se cfcctfian

paso anterior) y se procede a velvet ceros las posiciones restantes (encima de. e’l). Para esto se realiza (L1) —+ - (Ll) + 3(L4)_, (L2) -> (L2) - 10(L4) y (L3) -v (L3) 2.0.,

11¢”),-

'2‘6_144..4_v. 152 - ‘ 1: ,—4 [1’ '1 1—12—11~16715'(111)1'4-2-(Ll)

1—1—10‘3 015 0—9 0 010—2 00011

'1

3

7

11.3 7.22

2 2

1

0—5 —6—6—1 0 -15 -18 ~18 13

Ahora con el siguiente uno se hace lo mismo: so realiza (L1) —->‘ (L1) + (L3), (L2) (L2) — 5(L3)

.

'

13—2 _.1 —4_ 1 '(L2)}~(L2)-—A(L1)i . 1412-11-1615 (L3)-+(L3)'-(Ll) 3

7

2 2

016/56/51/5 (L2):+31‘(L2)

0 -15 -18 -18 13

(L3); (L3)+15(L2)

-

13722 016’56’51/5

1 0, o 0

—1 o 0 1 1 0 0 1 o 1 o —2 o 0 1 1

000016

A pesar de que no se ha llegado min a la forma escalonada rcducida de la matrix,

se pucde observar quc en este (ultimo paso esté contenida toda la informacién que se necesita: 1a ecuacién del sistema que representa esta filtima matriz (equivalente a~la primera)'es: _ ’ ' ‘ ' v --' ' '

1 ’ Finalmentese efeotfia'(L1) '4'(L1)+,('L2) '

0'x1+0~x2+0'x3+0~x4=16

1 o o 0 0 1 0 0 1 o o 1 0 — 0 0 o 1 1

Es claro, entonccs, que el sistema es inconsistente.

EJEMPL09

Un ultimo ejemplo. Se quicre resolver cl sistema

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 43

42 ALGEBHA LINEAL

21,+212+'4c3+ 9+ =10”

(111-51 + 0123‘; +

+ 611,117,. = I)" .

x2+ZX3+ZX4+12X5= 0

(12m 1" 022X2+

+ a211,, - I);

xx + x2 + Zr, + 5x4 + 30.15 = amlxl + amzxz + - - - + anmxn = bl"

x1 +132 + 2x; +212+12X5= 3

E1 prooedimiento dc climinacién se ve como Sig—us:

112005 2240010 0122120 0122120 1125300 ~1 1125300 112 212 3 (“PH“) 1 12 212 3 112005 112005 0122120 0122120 0 0 0 1 6—1 q_ (L3)”—»(L3)—(L1)_ 0 0 0. 530 —5

(L4)—-»(I.4)—(L1) 0 0 0 212 —2 (L3) 112005 0122120 00016—1 (L4):*(L4)—2(.L3) 0 0,010 _0 0

’

compottamiento de las soluciones del sistema de acuerdo a 105 posiblas valorcs de 10:»; términos independientes. El método de eliminacién Gaussiana ayuda :1 dat respucsta a este problema.

EJEMPLQ 10

Si 51: considcra el sistcma 3.11 + X2 + 5X3 = b1

(L3) 0 0 0 212 —2

2311+ 4X2. +X3= b2

112005 012002 00016—1 (L2)?—3(L2)~2(L3) 0 0 0 0 ,0 0 .

-4.\"1 + 2X1 - 9X3 =

y um 51: prcgunm, pm cjcmplo, para qué valores dc bl, b; y b, cl sistcma tienc solucién, se pucdc proccder con 01 método dc eliminacién dc la 51gu1u1t1. manera: . Illcvar1do la 111111.112 aumcntada a su forma escalonada reducid11

'

10:0 0033

‘

Supéngase dados los coeficientes a.-,-, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, tcnicndo , b,,.. Se trata de ver el indeterminados los términos independientes b1, b2, .

0120‘ 0 2 0 0 016—1

(L1)"—1(L1)-(L2)

0 0 0 o 0 0

4

1

b2

4

2

9

b3.

1

V3

5/3

_

11/35/3 121/3

I

3 1 5 b1 2

(L1)

~ __1__

3 (L1)

2

4

4

2

_

_

El sistema equivulcntc 111 original es:

1

1’2

9

b3

~

(L2)-—)(L2) *2 (L1)

(113)4(1‘3) +4 (L1)

1 10 5/3 121/3 3122—2h1

111/3

0 1 7/”

010/340-122—2121/3

{1:3

10

3 0 1 0/3 -7/3 b3+4bll3 (L2) 4—O(L2) 010/3-7/3 W15;

x2+2x3=2 X4+6.t5=r'1

'1 Véase cmonces quc S1: pucdcn dar valorcs arbitrarios 11 x; y 0 x5, digasc x3 = r, x5 = s, y qucdan asi dctcrminados. los valorcs dc x; y x1, x2 = 2 - 2mg = ~1—6s.

,

'

El 00111111110 50111011311 do] sistcma cs cntonccs M(x.'—;3,x2=22rx3—r11=~1—6s,=x5

s,

‘

'

(r 3611)}

Antes dc pasar 11 la siguicmc subseccién, so quisicm en 0516 memento 5110111 1111 poco mzis dc provccho a1 método dc climinacién Gaussiana discutido aquipara resolver otros lipos dc problemas rclacionados con sistcmas dc ecuaciones que aparccerén postcriormcnle en el libro. Considércsc 1:1 sislcma dc ecuacioncs

10

0

1/3 5/3 [71/3

3b —2b

1-7/10 "2’16’;

(.L31>L ) .( 31.——— 3142) 0 11 003—02121); ,

1

0

0

1 -7/10

0 o

57/3o

(Ll)11(l.12) 5% (L2)

4b1‘b2

10

3b2-2b1

10

0 b1~b2+2bn

véase entonces quc, 11 moms quc b; — b; + 2171 = 0, cl 'sistcma no ticnc solucién.

44 ALGEBRA LINEAL SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

En el caso b, _— b; + 2b, = O, 1215 solucioncs del sistema serian

1111-4 ,0

=.4b‘1‘bz_§z

x‘

10

-3b2‘2b1

x;-

10

l

+10r

rER

que representa a un sistema sin solucic'm. For 10 tanto, se concluye quc si 71 = 1 1:1 sistcma no tiene solucién. ‘ Supo'ngase ahora quc 7L 9* 1 y siga adelante en la elimin acién Se realiza (Li)

_’ 7» _l_ 1 (L011. = 2, 3, 4, para obtener

cxiste un parémctro indeterminado dcntro dc los coeficicntes del sistema. Sc pregunta tambic’n sobre cI comportamicnto dc las solucioncs en funcién de los

' valorcs de este parzimelro.

For ejemplo, considers e1 sistcma

f1

1

-1 —(l+l) 7:;-

1

x

~

(L4) '4 (L4) + (12)

4 '

o

o

1

> 1

1 H1

o

0 91 . «My. —“f4 ” ~ elementales .

dc mode que el sistema

, '

7 ,'

— -----------

x1-§.r4=0

’

cares W

I

3 Xz+§.r4=0

x3+§81x4=0

lineas de

matriz del sisteme.

.

n 4!“ variables forma escalanada reducida

libres

Obsérvese, sin embargo, que el teorema no dice nada accrca de las soluciones para un sistema con manor 0 iguai nfimero de incégnitas que ecuaciones, pudiéndose presentar siempre los dos cases (5610 la solucién trivial o infinidad dc soluciones).

SlSTEMAS DE ECUACIONES UNEALES Y MATRICES

50 ALGEBRA LINEAL

Suponga quc las matrices dcl eje1cicio anterior representan matrices aumentadas de sistemas de ecuacio‘qcs linealfi Determine las solucioncs de estos sistemas. En cada uno dc los s1gu1entes incisos, la matriz A; se ha pbtenido de la matriz Ax pot medio de una operacion elemental en las lineas de esta ultima Identifique ral

Ya eh el primer ejcmplo visto en esta subseccion se tenia un sistema con menus incégnitas que ecuacioncs y sin embargo el sistema también posee una infinidad dc solucioncs.

operacion elemental y describa qué operacién habra de rcalizar en las lineas de A;

EJERClCIOS (SECCléN 2, CAPlTULO 1)

para recuperar 2131' A (la operacion elemental inversa correspondiente).

Para cada uno de los sistemas de ecuaciones dados a continuacién, ascribe la matriz del sistema, 351 como la matrix amnentada del mismo. a)

3) A1:

C) X1:

2x;+x1=0

X3“1

2xl+3X1‘4X3=7

d) Xx+x:=0

3x1-4x2+7x3-4

X2+X3=0

6x—7x2+8x,=4 8x1—4xz+7x3=9

x3+x.=0 x4+x,-=‘O n+n=0

'4

5

1

2

A2=1

3

2

1

2

o

3

1

o

3

'1

3

A2" 3

9

4

2 1

1

4

00°

OWN

121---3 b)[01131]

1

o

1

3

1

2

‘1 c)A1= 3 4

2 1 1

1 2 o

3 1 3

1

_ 2

1

2

3

1

_o

4

8

4

3

1

1

1

3

6

o

'7 14 A2= 3 1 4 1

7 21 2 1 o 3

1: 12-1-

[111,

Dcscriba todas las posibles formas escalonadas reducidas para una matriz cuadrada 9.

'

En esta scccién so presentaron 3 tipos dc operaciones elementalcs en las lineas dc una matrix: 1) Intcrcambiar dos llncas de la malriz.

escalonada reducida o cuéles no estain en ninguna dc estas dos formas.

.

3

o

Lo

1

1

dc orden 3.

De las siguientes matrices, diga cuéles estzin en la forma escalonada, cuéles en la fomm

a)10 3 o 012.11 ’. ._ ' ,

4

CS

1o 0 0, o o 010 o 0 o o 010 o o o o o 10 o o o o 010

e)

1

‘ Describa todas las posibles formas escalonadas rcducidas para una matriz cuadrada de orden 2. LBajo qué condicioncs Ia formaescalonada reducida de la matrix,

0 o o o 4 010 o 2 d)10 010 01112 10 o o 3

1111 b)1111 1 1

2

\

11010 2 01013 ,°)1o1.0.4 12.012015

17 s 0 ”[2 1 4:1] 1 -. .

ONO

1

l

0

b) A1

Cada una de las siguie'r'rtes matrices es la matriz aumentada de un slstema de ccuaciones lineales. Escriba e1 sist'ema correspondiente a cada matriz.

1

2

5

4

'1. 3

x4=0

b)

’1 ‘3

x2=0

3x1—x2=5

OOH

l.

51

10 o o o o o d)0 010 o 3 2 0,0 0212'14 '0’ o 'o__o_o o o_

En la matriz .

0 o

1_ o

2 o

3 o 01 010 3

o

o

o

o

o

o

o

o

o

14

o

3) Sustituir una linca por clla misma mas k vcces 011a llnca de la matriz. Dcmuestre que la operacic’m del tipo 1 puedc scr sustiluida por una sccucncia adecuada dc operacioncs del [1110 2 y 3.

0 o

6)0 o o

2) Multiplicar 1111a linea (11: la matriz per una constante dislinla dc cero.

o

intercambie la primera y tcrccra llneas, usando solamemc operaciones elementalcs del tipo 2 y 3. 10. Sean A y B dos matrices del mismo orden. Suponga que cstas matrices son las matrices aumentadas de los sistemas de ecuaciortes 3,1 y 83 respectivamcnte.

52 ALGEBRA LINEAL

S1STEMAS DE ECUACIONES UNEALES Y MATRICES 53

Demuestre qua la mam; A cs 'equivale'mc a la matriz B 51 y 5610 51 e1 sistema 51-" y el sistema 53 son equivalentes'. 11. Use c! método de climinacion de Gauss—Jordan para resolver 10$ 51 gmentcs sistemas dc ecuaciones lineales a)

k)

2x; + 3x; ‘ 5

x1+2x2+3x3+SX4+5x5=15

x2+2x3+3x4+4x5= 10

x1 — 7x; = 4 b)

3):: HQ : 1

X3+2x4+35=6

X4+2.rs=3

.751 + x2 = - 1

c)

d)

5x1+7x2—x3=o

x5=1

l+10xg—2x:5=4

2x1-4x2+ 8.13— 14x4 =0

x1+x2+'x3=0

3x1—x2+2x3-7x4-0

2x1+3X2-x3+5x4=0

xl+2xz+x3=4

e)

m)

4xl+xz+5x3+3x5=3

2.761- 5x2 + 3x3;— 3X4 =“6

g)

x1+7x2—5x3—5x4+5x5=0

x1 +‘2x2 +1335- 3x451

' 2x1 + x2 ax; — 4X4”+ 4x5 =. 0 . 3x15x2'i 2X3 4X4—xs»_=0 -

'

3x1+2x2—x3+x4=7

o) "

1)

3x1+2xz+x3+X4—3x5=—2

5x1+4xz+3x3+3X4—x5= 12

4x1+x2~x4=6

5x1+5x2+5x3+5x4+5x5=35

2x1+3x2—x3+6x4-x5=1

x1+2xz+x3—2x4+3x5=—3

x1+(2a+b)x+3a-b=x‘+5x—l

b) Determine los valores de a y 1) para que se cumpla la igualdad 2x + 1

2x1+x2—6x3+5x4+3x5=2

l+x2+3x3+X4~SX5+x6=O

3x1+2x2—x3-x4+x5=0

x1+2x2+x3—2x4+2x5ax6=4

xl—xz+6x3-x4—3x5=0

xl—x2+x3+4x4+4x5+3x5=6

2x1+x2-7x3+x4+xs=0

xl—xz-x3+x4+x5—x5=1 x1+x2—X3—x4-x5-x6=—1

2x1+3x2—x3+5x4—2x5=4

x-2

3353:2221; = .11.. 1 ._b_x_:_c_

X“1 x’-+x+1 x3-1 (Sugerencia: multiplique ambos miembros por x3 — 1). d) Determine los valorcs de a, b, c y (1 para quc se cumpla 1a igualdad

x3+x1+x+ 1'= a + b +cac+d x 1 x + 1 x2 + 1 x‘- 1 ‘ ~ (Sugerencia: multiplique ambos miembros per 1:“ — 1).

l4; '[JPam qué valores dc [1,-61 sistema. v ax. + x2 = 1 x1 + ax; = 2

tiene una solucién linica, Leuél es esta solucién? 15. Considerc e1 sistema dc ccuaciones lineales

m+n+n+m+m+m=3

P)

__a___ ___b_ 2) =x-1

(x— Mac

4x1+3x2+2x3+2x4—2x5=5

x1—x2+x3—2x4=5

h),

xi-s+xg+3X4—3X5=0

2x1+3x2—x3+2x4=3

'_ 2x14- x2;‘- 6x3 +£64-== -l

a) Determine Ios valorcs de a y b para que se cumpla la igualdad dc polinomios

(Sugerencia: mulliplique ambos miembros por (x — l)(x — 2)).

x1+3J€2—2X3+5X4—7X5=2

n).

Se dice que el polinomio p(x) es igual a] polinomio q(x), 10 cual se ascribe p(x) = q(x),sia;= b; 1 = O 1,.

c) Detemfine los valores de a, b y c para que sc cumpla 1a igualdad

5x1+5x3—ZX4+4x5=l

3x1+6x2+x3+7x4=~6

p(x)=ao+mx+...+a,r‘ q(x)=bo+b1x+...+b,v

4x1+x2—3x3+6x4=0

5x1—7x2 + 8x3~2x4-10 x1+3x2—7x3+3X4=—10

‘

3x1+2x2-2x3+x4—x5=1

5x1+x2+6x3=0 2xl+3x2+3x3=4

’ cndondpaij =I.i '+.j, b1=i,i, j=1,’2,..‘. ,n... 13. " Sean p(x) y q(x) dos polinomios dcl mismo grade, diga

— 3axz = 1 2cm + (6a + 1)x2 =

Determine cl valor dc a para el cual

:1) el sistcma se tienc una solucién finjca b) 61 sistema no tiene soluciones 16. Considere e1 sistema de ecuaciones linealcs x1+x1+(az~1)x=1

x1+2x2+x3+3x4—x5=—1 Zx1+x2— 6x3+7x4+3x5=1

x1+2x1+3x3=1

5xi+11x2 +7x3+12X4- 10x5 = 4'

2X] + 5x:- + X3517

® 12. Re‘suelva el siguientc sisteina de 11 ecuaciones con n incégnims:

aux; + aux; + . . . + ainxn =

(121351 + “zzxz +

anlxl + an2x2 +

. + aznxn =

b1 b2

..+a,..x.. ab"

Clasifiquc las difcrentcs posibilidades para el conjunto solucién de este sistema en lérminos dc los parametros a y b

17. Considers c1 sistema de ecuaciones lineales -2ax.—5x2+2x,=1 2x1+X2+GXJ‘1

2x1+3x2+ax3=2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 55

54 ALGEBFIA LINEAL

DDDDDDDDDDDDDDDD

Demuestre que independientememe del valor de a, el sistema posee Ima solucion

E1

Clasifique las diferentcs posibilidades para e1 conjunto solucién del sistema siguicme

en ténninos de 105 parametros 5’ a, b», c +

x

+

sistemas dc ecuaciones lineaies, en un intento de ahorro en la notaeién . para e1 . . ., . .

=

proceso de ehmmacmn Gaussmna. A partIr de este memento se va a oiv1dur esa correspondencia matrices—sistcmas de ecuaciones, amenos que se haga referencia expiicita 21 e113. Seemprenderé ahera un estudio de estos nuevos entes matemziticos

‘ 2 x, a 6x, + 2‘3 + x3 = b 52x. + 4x2 + x3 = C u

u

.

D

3x1—x2+ax3=2

ax1+2x3+x3=2

(111B

012'

x1+7xz~6x3.=b

xI+ax2+ax3=b+2

an

(122

2 _ 2x1 + m + 0 x3 - 1 4271 + 7X2 0x3 = 17 20. En los sislemas de ecuaciones siguiemes, delemlihe Ios valores dc a para los cuules -

Se usu'ran letIas syL'Iscui as (A, B C, . . .) para denomr melrices y min‘usculas‘ (a.,~,b.7, Cy, ,. .) para denot__ar a sus elementqs. Se define e1 orde/I de una matIiz eomo: numcro de [Incas X IIL'Imero de b' . 1 . coiumnas. Perla 1a InatrIz A de orden m X n, cuyos elementos son ag, se usa tam 1m .1 notacmn A - (GI-j) i-l, . . . , m. j!l,...,n . . . enA = (my) i-1,...,m,0CUlTCIIl = n, se dIce que A es una mam: cuadrada. E11121] SI

2M + 5x2 + 3'x3-10 .2 .3 + Q as " x1+ 3x: + x3 - x4 = 4 4) 3m + 7x; + 4x; _ 2x4 = a2 + 5 ~x1—2xz+x3+x4=2

J '1‘ ‘ ’ ' ’"

21. Resuelva los siguientes sistemas lmmogéneos dc ccuacioncs; lineales:

—4x1+2x2—9x3=

2x1+.r2—x3+x4=0

x1+2x2+x3=0

EJEMPL81

x1+ x2 _ x3 = O

5)

.-

-

.-..

ZXI+7x2+7x3=O 2x1+7x2+6x3=0

22. LES verdadero ei teorema 2.1 para sistemas no homogeneos de ecuaciones lineaies? En caso afirmativo demuéstrelo, (16 mm modo, dé un contraejempio.

.

.

Por ejemplo, la matrIz

2xI-x3+3x3=0

l+2x2+2x3=0

3) x1+3x¢+3xg=o= »

.

clemenlos correspondIentcs comclden.

=

,

D

mn—

_

_

+

x1 x2 x3 2x4 0

x2 x3

2x1+ x2 Me; = 0

2)

_-

=

1

Se dIce que ias matrices A y B son Iguaies $1 ellas lienen el mIsmo orden y sus

‘

0

+

.5

2x + 4

case sc escribeA = (ay).-,j.,,...,,. y se dice que A es una matriz (cuadrada) dc orden 11.

4) x1 + in + 2x3 + x4 = 0

'-Jl r"—-"‘—I

1)

an!"

ag- es, pues, e1 elemenlo de la matriz que se cncuentra en la z—ésmIa linea y en iaj— ésima eolumna.

2x1 + 8x; + 6x3 — 2x4 = 2(a2 + 1) 3x1 + x2 + 5x3 = 0

. . -

. , . . (constltuIdo por m lmeas, o filas. o renglones, y n colunmas). A 105 numeros a ’1) 56165 llama elementos de la mamz. a.-,» (l = 1’ ' ‘ ' I ”’11 = 1:

. \

e1 sistema tie'ne solucién(es). En Ial caso determine 13(5) solucién(es). x1 +x2 +x3 = 3 . . 3)} , ‘1) ’Fl ,+‘ax2 = 1- . .

v

a2n

gum

and

ax1+ l + 4X3 = b + 2

2x1+ax2+4x3=1

2xI+3xz+x3=1

. , 0x1 4 x2 .= a ., . x1 + x2 + x3 = 1 2) ax1+ x2 + x3 = a al _ x2 + 3x3 ._. a: + 1

g

ClIn

I'

4)

'

x1 + x2 " 4x3 = 0

"

. . o

\

2)

.

.

A

gu

g

x1+x2+x3=1

3)

2xI+3x2+x3=5

0E

)

el sistema‘ tenga 1111a solucién Iinica; 2) e1 sistema no tcnga solueién; 3) cl sistema Ienga una infinidad de soluciones l)

-

N“

.

_ . _ . pensando Ln 61105 como ObJCiOS 501} ex1$tcla propla ' A P359? de quc ya fueron estableCIdas algunas (16135 defimcmnes preilmmares, éstas se repetirén en su momento para 10n mm continuidad e11 nuestro estudio. Se llama marriz a un am: 10 rectan 1211 do III'Imeros come 61 si uiemc:

n

19. Para los srgmentes SIStemas de ecuacxones, determme 105 valores a y b para que: 1)

wN

x

1

1

1

(1 concepto 6 matrix aparecio ya en a seccir'm anteIior en re acion con 05

_‘L__l

'

18

3.7_ - MATRICES (I): OPERACIONES cQN MATRICES

_

es iguai a la maIriz

“I: I] 51 y 5610 51, y = 2, mientms que la matriz

56

SlSTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

ALGEBRA LINEAL

C=Iig

..

CS déferente a la matriz A (5113 érdcnes no COinCidénj:fimw

I

..

_

fl

I ..._

'

V

‘lf'lu'u'axz'Wu iam'

H

I

I. i

I

I

-

E

8]

(33

HH

.

V

(121

(122

.. .

(12»

am]

[11:12

- - .

anm

Haida la matriz cuafiradaA dc orden n,A = (qi)i,i-I,...,n, sc dice que Ios cicmentos a.-,-, z - l, . . . , n, constituyen la dzagonalprmczpal de la mairlz.

=

+

I)“.

b1!

'51}

57

bu

bzz

---

by;

bml

bull!

. - -

bum

(111+b11 (121+ b21

(112+b12 (122+ [72:

‘. . .. .

a “1+121,. 02M [91,.

aml+bml

a71l2+b.lli.2.

- - -

amu+bmn .

A

Véase que la suma dc matrices se ha definido soiamentc para matrices del mismo orden. A la matriz dc orden n

'

1 0 _ 0

O 1 _O

. i

O O

0 0 ... O

12=i0

0

1

O

0

1“: O

0

1

0

O

1

0

I}

0

1 3 5

y

1

en la cual (0:105 8113 elementos‘ son‘ cerO, oxccpto {‘03 d6 la diagonal principal, que son unoz so 16 llama matriz identidad (dc ordcn n), y se denota pot I,,.As1’,por V . _ . . V ,. eje'mpl'o. _ 1. . 0v 0 :0 ' .. :_ ' ..' n l

Por ejempio:

EJEMPLO 2

,

O

»

- - . V

—1 4 2

Se define tambiéh la matriz ccro dc ordcn m X n, denotada por 0m _,.(si cl orden cs claro en el contexto, se va a_ escribir 5610 0), como la matriz que tienc todos sus

02 *2 = [ 0

k O 0M4 =

0 ]:

.

0

O

0

0

0

O

0

0

0

0

O

-

E

V

v

-

'

-

EJEMPLO 3

012

-~-

(11,.

021

(122

---

(12"

and

“"12

- - ‘

am“

-.. 3.1;. SUMA Y PRODUCTQ POR UN ESCALAR ‘ Sean 133' matrices A ’= (av) 3-1..... m, y B '= (bij)i-1,1..,m- Se define 1a suma de A y DEFIN/ClON 3- 7 . J '1""" " f' l'''' " . (Suma de ma trlces) . B, denotada porA + B, como la matrlz (CU) ,2- i . _ ,,, en donde C1} == (1,, + by. Es declr,

.

,

.

2 7-1

1 2,.

...

=

kg”

[“112

-.-

kam

[“121

[(1122

--~

kflzn

kaml

kamZ

- - -

kamu

...

For ejcmplo 3

.

M = (kay)i-: ..... m [- ..... n

an

Pésese ahora a ver qué tipo de operaciones se pueden realizar con las matrices y

cémo se efcctfian. -

2 6 7

5 7 6

5 1 l2

=

0 him

.

elementos iguales a cam. Pot ejemplo: 0

3 2 5

Esdecira >

O

3 5 -'i

4 + -2 7

Sea Ia matrizA 3' (011) i: 1,. '. :1,” y sea k-un escalar ((112353 k' E R)15F11NICI-QN 3-2 ' ( rO ucio por un ’ ‘ v-Se define e1 producto de la m‘a‘t-riz A por el escalark, denotado per 104, como la y :' ' . 9.8631301 " . .matriz(c,j)j.-i:: Amendondc cgu=ka.-j. ‘

-

.

2 2 7

_

.

7.

4 5

3 i

=

6 ~3

3 6

12 15

9 3

Aunque'e’stas OperaCiones no pareican a primera ViSta muy em0cionan'tes, resulta (como se aclararé en el capitulo 3) que el conjunto (inerme). dc matrices sc convierte, conlas opei'aciones anteriormente definidas, en una estructura algebrai— ca muy importante: la de espacio vectorial.

]- .....n

A + B= (m, + buy-1, ,,m .....

*EI término escalar y su uso para dcnotar csta operaciéri se ham claro en el capitulo 3. For cl memento, identifiqucse escalar con “mimero''(rcal o complejo).

58 ALGEBRA UNEAL

SiSTEMAS DE ECUAClONES LINEALES Y MATRICES 59

Las principales propieda‘des de que gozan estas operaciohcs csta'ij c'ontenidas _ en e} Siguiente (comma:

TEOREMA 3.1

'Obsérvese q-ue ei producto dc A- por B se ha dLi'mido 5010 en el cas’o en que (:1 '7 numero dc coiumnas do A coincide con el mieo d‘e lineas dc B, en cuyo cas'o la matriz producto tendra orden (mimcro dc linens de A) x (mimeto dc columnas dc B). Esqueméiicamentc

Sean A, B y C (res matrices cuaiesquiera del mismo orden (m X 11) con cicmentos ay, by y cy respectivamentc. Scan k y l dos cscalarcs. Entonces:

p

n

A

1) A + B = B + A (la suma es conmutativa). 2) A + (B + C) = (A + B) + C (la suma es asociativa) 3) Existe una matriz “cerc”, tal que A + 0 = A. 4) Dada la matriz A, existe una matriz (-A) lai quc A + (- A) = 0 (la matriz cero). 5) k(A+B)=kA+kB 6) (k+l)A=ka+la

‘

4A

-

’"

n

A

F—‘M B

p:

AB

m

7) (kl) A 3 WA) 8)

1 'A =A

La mancra mas facii dc aprender Como se efectiia la operacion dc producto entre

DEMOSTRAC/O’N Se trata dc verificaciones de simple rutina, en las que se emplcan propiedadcs

matrices es simplemcnte recordar la frase“l1’neas (dc A) por columnas (dc B)”. Mas concretamcnte, cl elemento de la i-ésima linca y j—ésima coiumna de AB

”on." :13...) m: 105 mimeros reales. For ejempio, A + B es‘ una matrizm >< n c‘uyo'sz elementos son ay + by, mientras que B + A es una matriz m X n cuyos elementos

50 obtiene “multiplicando” la i¥ésima linea de A con la j-ésima coiumna dc B (0

son by + ay. Son, pues, matrices del mismo orden y ademas, por la propiedad _

sea, multiplicando e1 r—ésimo elemento de 111 i ésima linea de A con el r--és-imo V elemento dc la _] ésima columna de B, donde .r - l, . . . , p-= numero dc columnas , .

con'mutativ‘a de la suma de numeros realcs, ay + by= by + (1.7, es decir, sus elementos. correspondientes coincideh.Ento'11cesA + B= B + A El resto‘ 'se deja de cjercicio al lector.

dc A =. mimero de’ lineas dc B, y lueg'o sumando cstos productos) Esqucmaticamente

Q.E.D. i3..n -.-___

nnnnl|‘~_‘. J's—“awful UL. IvInlIIIuI—O

Ademzis dc las operaciones descritas en la subscccién (3.1), con las matrices se

lmea z

puedc efcctuar otra operacién sumamente i11tcrcsa11tc: se pucden muitiplicar matrices entrc si (bajo cierlas condiciones, como se vera a continuacion).

La definicion que se darzi de mulliplicacion de matrices cs, sin duda, la menos natural posible. Sin embargo, a pesar de que resultarzi muy sofisiicada la manera

Sea A una matriz dc ordcn m x p c011 elementos ay, y B una malriz dc oxden p X 71

con clem‘entos b. Se define e1 producto de A por B, dcnoiado por AB, come in matriz dc Orden m X 11 con elementos cy,z =1, . . . , m, j= 1, ._ . . , n defiaidos por cy .

.

p

Cy = Gabi} 4' [112s + . . . + (1;?i = 2 (Ii/(bk;

-

Es decir

k -1

P

AB =

2

(15k

1-1 1' -i , . . . , m

1"! . . . . . n

012

columna

J'

J'

__ .-.

flip

A

W

by

I

ey__. iinea

=

bpj

l

B

AB

i.

donde

dc multiplicar una malriz con otra, sera también, sin duda, la manera ma’s conveniente de hacerlo.

DEF/NICIéN 3.3

a“

coiumna

P CU = ailb1j+ [1,-2s + . . . +aipbpj = 2

aikbkj

k-l

EJEMPLO4.

- Por ejemplo

'

2-_ ‘13.; 5

4 -1 - 5 .8

(2)(5)+(3)(6)

(2X 2)+(3)(8)

(415114— 1x (41—2M 00%)

20

14 “15

Existen razones de fondo para definir e1 producto de matrices de la manera como se hizo. La mas importante podré verse en ci capitulo 4 (apa reccré en relacién a1 estudio de la reptcsentacién matricial de 1111a composicién dc transformaciones lineales entre espacios vectoriaies de dimension finita). Sin embargo, en estc

SISTEMAS DE ECUACIONES UNEALES Y MATRICES

60 ALGEBRA UNEAL

Asimismo, lzi matrix deisistema (,C) en-ia's~nile1/als.inco'gnitas yl, yz cs:

memento se puede yer un problema relaciohadc con sistema's de ecuacioncs en dondc aparcce naturalmentc la mUitiplicacién dc matrices. * Supéngasc que 50 time cl sistcma do 3 ccuaciones con 4 incégnitas.

x1+2x2+6x3—x4=0

61

3 C=9 1

_

1s —2 5

(A)

211 - X2 + X3 + X4 = 0

Pete

3X1 - 2x; + 2x; " 3X4 = 0

12' 6—1 j g 3 15 AB=2-111=11=9-2-=C 1 5 3_2 3—2 2-3

Se quiercn cambiar las variables x1, x2, x; y x4 de este sistema por las nuevas

variables y., yz relacionadas por

x1 = 2)“ ’" Y2 Es decir, el sistema “compuesto” {e1 resull'antc de la sustitucio'n dc (B) en (A)] time pot matriz e1 producto de las matrices de (A) y de (8). También reiacionado con sistcmas de ecuaciones, s'e pucde ver que ei producto

x; = —y1 + By;

(3)

x3 = y: + y:

de matrices tiene una gran ventaja‘ para denotar “matriciaimente” un sistema.

x4 = 3y; - 2y;

Considércse‘ ei sistema de m ecuaciones con n incégnitas

Al hacer las sustitucioncs rcqucri'das se obticnc flux; + 012.172 + . . . + amt” " b1

(2?! + Y2) + 2(‘3’1 + 3Y2) "‘ 60’! + Y!) “ (3)5 " 2k) = O

_

021x1+ (122952 + - - -+ “Zn-x11 = b2

2(2M + Y2) ’ ("3’1 + 3)’2) + 0’1 fyz) * (33’1 -‘ 2Y2) = 0 :

_' 3(2):} W2) -= 2(-y:: 4. 3X2) +301? Y2) - 361': -.222) f 0

“mi-xi'k aln2x2 + - - - + anmxn = bin

0 sea

Sea A = (ay) 1-. 1!. . .,m la matriz (m X 71) del sistema. Considérese también 1a ma—

3y1+ 15y; = 0

j-'1,. . . ,u

9yI - 215 = 0

'

triz X de orden n X 1 formada por las incégnitas 361,132, . . . , x,. y la matrizl B» de orden m X 1 formada por los términos independientes b1, b2, . . . , b,,..

(O

)H + 5y2 = O

Entonces cl sistema puede escribirse como

Obsérvese que la matriz dci sistema (A) es:

126—1 A=2~111 3~22~3

an L121

an (122

. . . . . .

(11,; (12"

X1 12

and

and

- - -

amn

xn

lob—H.91—

un sistema de ecuaciones, en donde x1, x2, x3, x4 sondados y las incégnitas son 3'1, . , .‘yg’,_La mattiz de este sistema es: 1 _

B:

*Comemario para set leido después dc esludiar e1 capitulo 4: En realidad éste es un problema de composicio'n dc transformaciones lineales: se eslzi realiznndo la suslitucién de un s1stcma lineal en otro.

1 b1 b; bu

0 sea

Las ecuaciones dc cambio dc variable (B) pucden también ser contempladas como

2 -1 1 3

V =

"AX=B»

7' (dondc AX rcbrescnta la muitiblicacién dc la matriz A per la mstriz X y {:1 signo = ‘ indica una iguaidad entre matrices).

EJEMPLO 5

Por ejemplo, e1 sistcma 3x1 + 2x; - 6x; = l xl-x2+2x3=2

,

62 ALGEBRA LINEAL

SISTEMAS DE ECUAQIONES UNEALES Y MATRICES

sq denota mattidalm’eme comp AX .= B, {:11 donde

‘

_ x‘ A ,B = _ 3 __12 —62],.X—[X2

A—[l

' ‘ en dondc at, cs 61 elemento-dc 1a _ijésima_ linea y sjésima columna 116 AB,- 0 sea

1

2

at: =i aik bk: 11:1

353 Entonces

Las propiedades mzis importantcs dc quc goza la multiplicacién dc matrices se encuentra en el siguicnte tcorema:

r

r

'

91:2

011-563; =2

s -1

3-1

Sean A, B y C ties matrices de érdenes tales que las operacioncs indicadas

TEOREMA 3.2

p 2 (Libbey-=61,-

k-l

e11 scguida tienen sentido. Sea k un escalar. Entonces

Q.E.D.

1) A(BC) = (AB)C (1a multiplicacién w asociativa).

Se pucde vcr entonces que la multiplicacién dc matrices goza dc muchas propie-

2) A(B + C) = AB + AC (distributividad). 3) (A+B)C=AC+ BC 4) k(AB) = (kA)B = A(kB)

dadcs anzilogas a la multiplicacién de nfimeros reales. Es asociativa, es distributiva, 1a matriz identidad I'actfia neutramente en c1 producto (como el 1 en 105 mimcros realcs), etc. Sin embargo, existcn algunas propiedades dei producto de mimeros

5) ‘ IA = A, A] = A, donde I es la matriz identidad. 6) 0 ' A = O, A ~ 0 = O, donde 0 es la matriz cero.

DEMOS TRACION

reales, quc no son vélidas para matrices. Primeramentc obsérvese quc, dadas las matrices A y B' para las cuales tiene sentido eI producto AB, :31 ptoducto BA podria no tencr sentido (por e} emplo, 51 A

Se hara 1a dcmostracion de la primera propiedad (asociatividad), dejando como ejcrcicio a1 lect'o‘r ias 'restante‘s. Sea A una matriz m x p (113 elementos a0, B 1111a

‘ 1: matriz p X r de elementcs by, y C 1111a matriz r x 11 de elementos Cy. Ticnen pues

133 de orden m >‘< r y B de orden r>’< p con :11 9* p). Afin més, siA y B fueran matrices cuadradas, en cq caso se pueden realizar los productos AB y BA, no es cicrto 611

1

general que- AB= BA En rcalidad,1a propiedad AB= BA es una propiedad muy

sehtido todos 10's productc‘s indicados Se ve facilmcnte que tanto la matrizA(BC.) '

como la matriz (AB)C tienen ordcn m X n. Entonccs 5610 se de‘be dc verificar que sus eiementos correspondientes coinciden Llamese 6;, (9,) a1 elemento de la i—c’sima iinea yJ—es1ma coiumna deA(BC) (dc (AB)C respcctivamcnte) Entonces

91' = i M 1311‘ k-l

dondc (31,- es el elemento dc 1a k-ésima linea y j-ésima columna dc BC, 0 sea

especial; en estc caso se dice qua A y B son matrices que conmufan. La multipli- ‘ cacic’m entre matrices, es pues, no conmutativa. EJEMPLO 6

Por cjemplo, 51 A es una matriz 3 X 2 y B 11113. mattiz 2 X 3 AB y BA no pueden ser iguaies, pues sus érdenes son distintos (AB dc orden 3 y BA (16 ordcn 2). A1311 51 AB y BA tienen ei mismo orden, puede ocurrir AB 95 BA, por cjemplo:

_3514-s_ _12_—13 A“[5 —1]’B‘[2 1]’AB"[—7 14]*[7 3}“ For 0110 lado, tampoco es vélida la “Icy de la cancelacién”*'para matrices: si

13*] = Z bk: Carl 5 -l

”‘11 11,314 516 13 10] __ 2

Entonces I

r

p -

30:2 0&2 bbcsj=z

1 -1

1 -1

s -1

X (1,1171:c

2

_ 2

I

3

= 3

settieric

s -1

,_1216= 8] AC AB—[6

Por otra parte

Pd = Z 01.; CS!

63

pero B 1* C. *Si a, b, c e R yab = ac,a 9* 0, cntonccs b = c.

-2

\

64 ALGEBRA LINEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Por’ ditimofla pro‘piedad de los nfimcros' realcs “a“, b E R, ab ‘- 0 a a = 0

65

en donde Aggi, j. = 1, 2 son las submatriccs resultantes de la particién de A

' o b = O”, también es falsa para matrices.‘Por_ejcmpIoz

[3 Sim éH8 8] pcro ambas matrices en el producto son distintas de (la matriz) cero.

1

1-1 ..... n

numeros que representa A, 56 dibujan lineas verticales y horizontales como se muestra a continuacién: Entonces se escribe :

013 g -

i

3

6123 E - - i Gan-1

02:.

hue—i I I

(131 i (132

(133 E - - Edam-1‘

|

i

i

I

l

5

i

:

i

1

.

E amz

amn ‘

Por ejemplo, si A es la matriz‘ 1 1 3

_._,Au"=[31__A.n=['1; 4_1Ajn_ [01"

.

I

llamarén submatrices de la matriz A.

4 3 4

0 2 5

A21=[—1]A22=[3

3 _1' 4

A=-_2._-.1.....3

4

2

Esta misma matriz se puede escribir como:

En tal case se escribe

= Auo

= A

An [A21

A12 A22]

A23=[5]

l) Para simplificar la notacién. Por ejemplo, supéngase que se tiene la matriz

g 0 g 5

4]

Es claro que existen muchas maneras dc efectuar particiones en una matriz‘. Fundamentalmente existen 3 razones per 1213 que puede ser importante efectuar una determinada particic’m en una matriz:

se puede efectuar en ella la particién

3

A23

en donde

a-—-s l'

—1

A13

A22

l

amS E L- - 1: an:',n.—l

3 A= 2 '1

A12

A21

(13::

La matrizA queda entonces dividida en bques rectangxlares de sus elementos. Sc dice asi que se ha efectuado unaparticidn en la matriz A. Los bloques resultantes de esta partlclén pueden ser considerados pct Si mismos como matrices; se

EJEMPLO 7

A= A11

A [W] en donde

.HF#OOO

|

OHHOOO

i

and

am

‘oowooo

5

€

- galm-l

.éQOw—N

6112

Aboooo~

i

an :

1121 E 022

_

4]:A22=[51

351430 A‘2§13§2 453435

Conslderese la matrizA =(a,y)i -1,,,,, n. de orden m x n. En el arreglo rectangular dc

A:

3

En la matrix A anterior se puede efectuat también la particién

PARTICICN DE MATRICES

"

:],A12 =[g],A21=[‘1

aboomo

3.3

Au=[:

66 ALGEBHA LINEAL

SISTEMAS DE ECUACtONES LINEALES Y MATRICES 67

”1. jo *2 A11?

0

2

.1

O

O

3

3 i

.

A22:

'3

155. 4

0

1.1

0

0

ed don'de

\

I

y 105 acres que aparecen en la forma siinplii'icada de la matriz A se refieren a [a

mx +1111 = m

,

p1+ p2 = p

y que la matriz B queda escrita 001110

matriz care. ’21

”2

F“! .

2) Para resaltar a1gL'm aspecto de la estructura de la matriz. Por ejemplo, 51 A es

311

la 111211112

B:

g

F“

312

}

P1

1

P2

......... i .........

321

E

322

I

2 '4

A: 3

8 O

o

20 5

o

1 0 0

0 l 0

0 O 1

l 0

0

0 1

10

0 0

0 3 1

7 5 1

0 0 0

en donde

1

H] + n: = ’1

Véase que del mismo modo como se efectuc’i la particio’n en las columnas de A, se realizé en las lineas de B. So demostrarzi enseguida que. el producto AB puede efectuarse como

se puede escribir

= =

A11 13

e11 donde

2' 8 20 ”'4

0

5

3

0

0

A12 A22

.1311 321

B12 322

=

1422=

o

7

o

3

5

1,0

1

1

i 0

quedando asi explicita la existencia de dos submatrices identidad en la matriz A.

A11312+A12322 A21312+A22322

con la hecha en las lineas de B) pucde efe'ctuarse come 51 las submatrices resultantes de las particiones correspondiemes fucran elementos dc 121s matricesA y B, y realizando entonces la multiplicacién c'ntre ellas segfin lo discutido e11 111 subscccién anterior. _ Si se ascribe c1 producto AB come 11.

3)

A11311+A12321 A21Bi1+A22321

Es deci1, que la multiplicacién entre dos 111a11iccs A y B en las que se ha efectuado una particién (de modo que la division que sc hizo en las co‘iumnas de A coincide

I

All=

A11 A21

Para simplificar los célculos con matrices, especialmente eI producto de ellas.

Este es el punto que se discutiré con cierto detaile. Se verzi cémo se puede efectuar la multiplicacién de dos matrices en las que se ha realizado previamente 1ma determinada particién.

712 I

C11

1

C12

1

"11

C21

1

C22

}

mz

AB = ...........1 .......... se debe entonces mostrar que

Se concentrara el estudio, con fines de simplificacién, a1 caso en el que las matrices correspondientes quedan dividida‘s en cuatro submatrices.

sea A una matriz dc orden m X p y_ B una matriz de o'r'den p x n. Digase que en _ -_ la matriz A se ha efecujado la particibn que permite escribirla como P1 11—1-1 An

p2 . :

M A12

i

ml

)

m;

A = __________ 5.---.. .....

A21

1

A22

. C

=A113“ +A12321 ,

C12 =A11312 + 141s2

C21= A21311+VA22321 I

022 — A21812 +A22822 I

Obse’rvese primeramente que todas las operacioncs entre matrices indicadas en las formulas anteriores estzin bien definidas. Se demostrara solamente la primera de estas formulas siendo la demostracién de las restantes completamente anziloga a la que se hard y quedando como ejercicio para 61 lector. Se ticne entonces que el producto de la matrizA “ dc orden m, X p, por la matriz Bu de orden p1 x m, es la matriz AnBu de ordcn m, X m dada por

SJSTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 69

68 ALGEBRA LENEAL

. La ma't1iiAB e5: V I .all-

.

A113“ = 6121

(112

- .1

a 22

.. . ¢ . .

J

l.

-

(111,1

b“

bu '-

,7.

b”?

a 2p.

b21

1922

...

b2,“ _ ”ma.:1} --_--.

awn

bmxl

. . .

1717:":

2

1

3

1

AB = 0 3

—1 1

4 1

2 —2

,

.

...

0,1112

am}!

.

bP17-

I

5

” —2 11

11

4 = —10 - 5 8 3 3 -

8 4

1 —1' 3 2

en donde

Esta mismo resultado se puede obtener haciendo una previa particién de las

1 s is m

041; = 011b1j+ “12s + - - - + 01121p

matrices A y B y procedicndo segfin 10 analizado anteriormente. Por ejemplo:

1 Sj S n;

Similarmente, e1 producto de la matriz A; de orden m; X p; por la matriz Bu d‘e orden p; X m, es la matriz A128“ (16 ordcn m. X m dada por

2a

AB= -0..§ a1,

bpflhl

by] + 1,2

. . .

bp1+1.n1

!

p1+2,2

--~

b12142. n.

----- 1317""1

(11mm

£11m”;

. . .

02.14141 1112l =

“2.12142 .. .

.. -

02p

bp.+2.1

a'"1.pl+2

. - .

am”;

by!

.

amhpl (-1

bPz

3 4 J

g

J131111+1111J.§J [3111—1141111J2 3

J14} 4 4.41

.15 i 51711. 1_ 1) en el teorema 4.7. Bajo la hipétcsis de que A cs equivalente a la matriz identidad 1,., se concluyé que A es inversible. A1 premultiplicar 1a matriz A por la matriz elemental E. se obtiene A., que es la

a A en el proceso para alcanzar I,,, etc. Se tiene 1a importante formula

DEMOS'TRA C‘léN 7 1) =>' 2):- Si A e_s"'in‘verSible, por el te‘orem'a' 4. 3, cl sistema homoge'ne'o de ecua—'

e1

En la s'ubseccién anterior se desarrollé més 1a teori'a accrca de 121 inversibilidad dc matrices. Se obtuvieron resultados importantes (corno cl» teorcma 4.7) que se usartin postcriormente e11 otros capltulos. Sin embargo, se Vera que, como fruto

(2.11.1)

(a)

wr’

de 1a and so puecle concluir que A es inv‘crsible'.‘ ' ' . Acontcc'e que en realidad s_e puede conclu‘ir nuts todavia. T211 formula nOS esté diciendo cudl 'es la "matrizA 1 En efect'o, 's'egun 'el 1corema 4.4 so time ' A'1 = E,E.. . . . EgEi'I

(11)

De csta formula, por simple que pare'zca, se pucde dcducir un ingenioso c intercsante método para hallar la inversa (1c una matriz. Sc 1111 de leer 1a formula (a) tie 1a siguiente mancra: “al efcctuar Ias operacioncs elementaies correspOndientes a E,, E2, . . . , E, (on e'ste‘orden) en la matriz. A, $0 obtiene 1”. Al leer entonces de la misma manera 1a formula (b) so tiene: “al efeetuar las operaciones elementaie's correspondientes a E;, E2 . . . , E, en la matriz 1, se obtiene

A"”.

.y he aqul e1 método para hallarA"!: las mismas ope'racioncs eiemcntales que se hagan en A para obtener 1, se hacen en I y c1 resultado es 111 mas 111 me1105 que A.‘

En la‘ pra’ctica, para hallar A ‘ se va a escribir 1111a matriz de la forma

Sc pucde ahoraprobar cl resultado. 'que Se habia. prometido'en 1a 'subscecién anterior.

COROLARIO

Sea A una inat'riz dc orden n. Si e1 sistema de ccuacion'es AX = 0 tienc 5610 la solucién trivial, entonces A es inversible.

[All] A1 centrar 1a atencién en 121 parte izquierda de esta matrix (en dondc se encuentra A) 56 realizan las operaciones elementales que conduzcan a llevar a A a la malriz

identidad (obsérvesc entonces que esas mismas operaciones se estan clectuando en 1) Cuando se llegue a I, la matriz que aparczca en cl lado derecho dcbc scr A 1.

SISTEMAS DE fiCUACION ES LINEALES Y MATRICES

92 ALG-EBRA LINEAL

-.

3/8 ,-1/3" “' 2110 112/3) _ o'0 '11 1%1/}; ~2/4 1 ~1L11~+3is 1L31"

I Bqucmétiéamente:" [/1 I 1]

0

Considércsc que si llegara a aparecer una ll’nca dc acres en la pane izquicrda de la matriz. durante cl proccso dcscrito, csto indicaré que A no es equlvalcnte a I“, y pot lo tanto, segflm cl teotema 4.7, que en tal case A no es 1nvers1b1e. . Es decir, este método ayuda a detectar también la no 1nvers1b111dad de una matrix.

EJEMPLO 6

0'

1

1 0 ~ 0’ 1 0

0 o 1

[I l A"]

1 —5/g

9/8

-1

(L2) —. (L2)—(L13

1-3/3 7/8 —1 1 3/1 —3/4 1 1 —5/8 9/3 —1

2 (L1)’*(L1)—3(L2)

Emonces

Observe funcionar este método en un ejemplo concrcto. Sea

A =

3 —1 -3

2 2 1

r3 ~1

2 2

-1 3

1 1

1 Q

o o 1 1 0 ~

*3

. 1

3

1

0

0

2/3 —1/3

1

1/3

2 1

3 3

1 1

o 0

1

2/3 -1/3 8/3 8/3

1 1

1/3 1/3

o 1

_ 1

~ —1 —3 F 1 ~ 0

0

3

2

1

o1

( )

3( )

0~ (L2) —» (L2) +(L1) 0 (L3) -» (L3)+3(L1)

1

”'1 ~ 0

2}3 —‘1/3- 1. ”NI/3 , o_ -o." (1'13)'—§I.I(L3)—I3(L2)_‘ 1' 1 ‘1 '1/8 ’3/8 —1

F 1

2/3

*1/3

~ 0 o

1 o

1 1

|

5/8

I

1/3

1 1/8 1 —5/8

0 3/1; o

o 1

L1 .4. 1 L1

2/3 ~1/3 1 1 3 2

0

1/3 1/3 1

0

0"

'9/8 0

0’ L2 _, 3 L2 0 ( ) 8( ) 1

1 0

3/3 0 9/8 -1

-l

1

9/8 -1

Observe un ejemplo més. Considerc 1a malriz

.A

‘1 ~ 0 o

0

1 1 1

1

EJEMPLO 7

7/8

3/4 —3/4 “5/8

Se irzi cscribiendo en la part1: iz‘quierda la matriz obtenida y en la parte- derecha las operaciones elementales que se realizaron p‘ara obtcnerla (de la anterxor)

1

~3/g

A" =

-1 3 3

1 _ 3

2 ~1 2 1

4 2

.3- T2, 5

1

5‘. 6 —1 -1o._ -

Obtenga

11 3 5 3

2 2 _6 —2

~1 1 —1 3

4 2 10 1

1 1 1 1

1 o 0 0

o 1 0 o

o o 1 0

o" 0 ~ 0 1

F1 ~ 0 o 0

2 —4 —4 —8

—1 4 4 8

4 —1o -10 —11

1 1 1 1

1 —3 —s ~3

o 1 o 0‘

o o 1 o

0' (L2) —» (L2)—3(L1) 0 (L3) —+ (L3)—5(L1) 0 (L4) —» (L4)—3(L1) 1

' 1'1 ; 2 ~, 0 -4 o o o -8

—1 4 o 8

1 4 —1o o —11

1 1 1 1

1 —3 —2 —3

--o ‘ 1 —1 ‘0

o 0 1 o

0‘ (L3) 4» (L3)—(L2) o ‘ " 0 1

(L3) -—> -(L3)

Se ha obtenido una lfnea dc ccros en la matriz dc la izquierda. La matriz A _es, pues, no invetsiblc.

93

9'4 ALGEBRA LINEAL

SisTEMAs DE ECUACIONES LtNEALES v MATRICES 95

4.4. XMAS SOBRE iNVERSIBiLiDlAD

A”!

La matrix A es inversible si, y 5610 si, se puede escribir corno producto de matrices clementales.

TEOREMA 4.8

DEMOSTRAC'ION

Si la matriz A sc pucde escribir como producto dc matrices elementales, es claro qucA cs inversible, pues las matrices elementales lo son y el producto dc matrices

inversibles es inversible. Reciprocamente, supo’ngase que existe A". La formula (b) dice quc

Segt'm el teorema anterior A debc de expresarse como el producto de matiices

eiementales. At’m més, el mismo teorema dice que A = Ei‘Ei‘ . . . E;‘, donde

EI‘E51,... ,E,‘I representan las matrices elementaies inversas de las matrices

correspondientes alas operaciones elementales que se tuvieron que rcalizar en A para llcgar a I. En nucstro ejemplo se tiene:

OPERACION

14-1 = ErEr-1 . . . E2E1

ELEMENTAL

donde E1, E1, . . . , E, son matrices clementalcs. Entonces

J

Q.E.D.

1 3 0

2 6 1

E1 = «3 o

(L1) —+ (L1)~2(L2)

l 0

1 o

V

0 1

"1 o o’ E2 =- o , 0 .1 7. “-0 1.9

(L2) H (L3)

'

A =

E-1

”1 o 0"

(L2) —-> (L2)-3(L1)

Las matrices E11 (i=1, 2, . . . , r) son‘ inversas dc matrices clementales, y son, por tanto (véase teorema 4.6), matrices elementales.

_ Por'ejcmplo‘,consigie'relarnatriz -

E

_

A =(A-1)—1=(ErE_l' ~ . 13‘2E1)'l = E} E51 - . 1 5'

' '- EdEMPLOB‘

I

Para terminar esta seccion, se va a explotar un poco més la idea del método que se acaba de describir, para obtener aigunos otros resultados mteresantes.

WOH

Entohces '

E3 =

‘1 — o 1 o

0‘ 0 1

E11 =

"1 o 0‘ 3 0

Eil-‘ ..

‘1 o 0

155‘ =

”1 o 0

1 o

o 1

o 0~ ,0. 1-1‘0

1

0‘ 0 1

Observe que A es inversible

‘1

2

0

1

1

3 0

6 1

1 0

1 1

o 0

~1 ~ 0 0

2 0 1

0 1 o

1 1 1 —3 1 o

0

1 0

o 1 0

Entonces

0

0 ~ 1

1 A = 5111551531 = 3 0

0‘ (L2) —» (L2)—3(L1) 0 1 05621,

'1 12 o- 1 o 1

1

1 1 —3

o

o' 1

o 1 o 0 1. o

0 0 1

o 1 o

1 0 o

1 0

o o 1

1

o o 1

o 0 1

0 1 0

1 0 0

2 1 o

o 0 1

,

0 (L2). H (L3):- . 1 o

~ 0o

1

‘1

0

0

1

l

0

—2

1 o

0 1

1 0 1 -3

o 1

1 o

~ 0 o

1 o

1 3 o

2 6 1

o 1 1 = 3 o 0

1 o 0

(L1) —* (L1)-2(L2) Otto resultado interesante, dc carécter més general que el anterior, estzi contenido en e1 siguiente teorema:

StSTEMAS DE ECUAClON ES LINEALES Y MATRICES

96 ALGEBRA LINEAL

TEOREMA

.

Sea Anna-matriz m X nCEntonces Alpucde factorizarse coino’A = QA’, ‘.

dondeA' es la forma cscalonada reducida deA y Q es una matriz inversi-

1.1.2.32=

—1'45

ble (de orden m).

J

invcrsible

1/3

014/:

—14

v——4

A

1,0

>1. 2,_

97

l

v

forma escaionada

rcducida de A

DEMOSTRAC/ON La idea de la demostracién es la misma que so 1151') para demostrar 2) => 1) en ei

Un t’iltimo resultado que rclaciona la propiedad (lo in'vezsibiiidad dc una matriz A

tcorcma 4.7. Partiendo do A, por meciio de operaciones elementales, se llega a A‘. Cada operacién elemental que se realiza en A equivale a premultiplicar por una matriz elemental. Existen pues, k matrices elementales E1, E2, . . . , E1 de 01‘

den m tales que E1 . . . EZEIA = A’. Entonces A = (El1 . . . EE‘)A’. Llamese Q = E? . . . EE‘. Es claro que Q es inversible.

con las soluciones del sistema no homogeneo de ecuaciones iineales cs:

TEOREMA 4.10

Las siguientes afirmaciones sobre la matrizA de orden n son equivalentes: l) A es inversible. 2) El sistcma AX = B tiene solucién finjca.

Q.E.D. El mismo tcorcma anterior proporciona cl método para hallar la factorizacién mencionada de una matrix. Esqueméticamente e1 método sc ve como

DEMOSTRA CION [AmxnlIJnJN

EJEMPLO 9

-'-

l) =v 2).

~[AllQJ]

Siendo A inversiblc, el sistema AX = B tiene al menos la solucic’m X = A"B (pues A(A“B) = B es una identidad). Para ver que esta solucion es

finica, sea X' cuaiquier otra solucién del sistema. P01 10 tanto, AX' = B.

Premuitiplique pot A ‘ y obtenga X'= A ’B= X (otro argumento para

Por ejemplo, si A es la matriz

la unioidaud sea X cualquier solucién del sistema AX= B. Entonces X = 33,, + __X;. donde X, es una solucién particular a1 sistema y X. es la solucion general dcl sistema homOgéneo asociado. Pero A inversible implica X1.— 0 (teorema 4. 3). Entonoes X= X y la solucion es unica).

so tienc

~

2) =3 1).

La demostracion del corolario dcl teorcma 3.3 permitc concluir quc si AX = B tiene una soiucién (mica, cntonccs e1 sistema homogéneo

123110~N101/3|2/3—I/3 014/311/6l/6

asociado tiene 5610 la solucién trivial. De este modo, por el corolario del teorema 4.7, la matriz A cs invcrsible.

Entonces,

Q.E.D.

Esle teorema propotciona un nucvo mélodo para resolver sistemas no homogéncos dc ccuacioncs “cuadrados” (numero dc ecuaciones = numero dc inco’gnitas) cuando éstos tienen una solucién unica.

Ahora obtenga Q = ((2‘)‘1

2131-1/31 1'0; 1/5 '1/6 .|

0.1'1'.

-1""'0.I'._1 2' 0 '1

'l'1 7.4

-

‘EJEMPLO '10

. -' Por ‘ejemplo, considcrc .el sistcma 331+ 2X2 “X3 = 4

Entonces

“X14” 2314:3123 =1

'3‘] + X2 + 3x; = 2

La factorizacién dc A so ve entonces como

o bien, AX = B con

98 ALGEBRA LINEAL SISTEMAS DE ECUACION ES LINEALESY MATRICES

3W2 A=

-1

>

-l

2

3'

—3

1

3

_

_

x1

.

X='x'2

'

.

B=

99

4.

1

_

B ——

X3

I

O O

2 0

' (Cuya invetsa fue determinada

3 3

. . en la pagxna 86.)

ya so vio (primer ejemplo de la subseccién 4.3) que A es invetsible y que Demuestre cl peclproco del tcorema 4.1: si A y B son dos mam‘cm del mismo orden

—3/8 3/4 —5/8

A" =

7/13 -3/4 9/8

tales que el producto AB es inversible, entonces A y B son matrices inversibles.

—1 1 ~1

(Observe que no puede usar la formula (A B)—1 = B-*A~l, pues ésta prmupone precisa-

meme lo que se quiere demostrar.) SeaA la matriz

‘ Por consiguiente, 1a solucion (finica) del sistema estai dada por -3/8

X=A“B =

7/8

~1

4

3/4 ~3/4 1 ~5/s 9/8 —1

1 2

..

4

A ‘1—9 -5]

'21/8

=

7

17/4 -27/8

Compruebe que A es inverslble y hallc su inversa. En el ejerciclo 10 de la seccién antérior'se'demostré qu'e

es decir,x1 = -21/8, at; = 17/4, x3 = —27/8.

"_

1+6"

4n

A -[-9n

en donde n = 1, 2, . . Pruebe que esta formula tambie'n es vélidapara “potenclas .

EqE-RioiCIios' (sEco-16N '4,”CAP11ULO 1) 1.

- neg'atlvas-deA”: "

Encuentre la inversa'de' 1a matriz"

Veriflque que la matriz 5 -9 l

B =

-4 8 -l

A =

2.

2 l l

(kA)'l son inversibles, en donde n es un nfimero natural cualquiera.

4 *1 4

ScanAl, A2, . . . , A" matrices inversibles y k1, k2, . . . , k,l nfimeros no nulos. Demuestre

(pot induccién) quc e1 producto

(klsAz) . . . (Mn)

Demuestrc quela maltiz 0 - l

0‘

0

5

0

~1

A“ 10 20 —1‘ 0-

4.

-18 ’ 33 -3

(Sugerencia: Use e1 teorema 4.2 y el ejercicio 1.) Si A es una matriz inversible y kes un nfimero distinto (16 core, demucstre que [01" y

1. ‘o 'o '_o

3.

" ‘

15 -12 B = -27 24 3 *3

-6 11 "1

es la invetsa de la siguieme matriz A. LCuzil es la inversa de B? 3 2 1

1-6n]

—8

. ‘es'invcrvsiblc y qn'e su inyersa es

1

es inversible y que ella es su ptopia invetsa. (Vet ejercicio 25 do la seccién anterior.) Demuestre que una matriz con una 111163 0 con una columna de ceros no puede scr inversible. Verifique la validez del teorema 4.1 con las matrices A del ejercicio l y la matriz

1

———————_

‘l '1...

k1k2...k,, AM“

“

A‘

10. Use cl ejcrcicio 1 y el leorema 4.3 para resolver cl sistema homogéneo do ecuacloncs lineales 5x1 — 4x1 — 6x, = O

100 ALGEBRA UNEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES UNEALES Y MATRICES

101

Sea A Una matriz cualqui'cra dc ordcu 3. Dcscriba lajs siguientes matrices:

. ~9x.j+ 8.1;, +11x3 =20 _. 3'. ~ KrixJ': 0

a) m b) m c) EA

ll. En esta seccién (pég. 86) se demostré que si ad — bc aé O entonces la matriz

g) 53m h) EaEiA i) 5.51%

__d) 5.13.14 0) 5.5.4 1) 52m.

j) 35.4 k) EE‘EiEx/i 1) Hagan

17. Sea A una matriz m X p y H mm matriz p X n. aCémo sc altera cl producro AB si en la

matrizA

cs inversible. Dcmucstrc 1a al'trmacién rcclproca: si A es invérsiblc cutonccs ad — bc

a) intercambia dos de sus lliieas,

9‘ 0.

12. Utilicc el “método” descrito en la pégina 85 (para hallar inversas dc matrices) para demostrar que la matriz

A =

1

l

l

1 2

l 5

l 4

no es inversible.

13. Dada la matriz

b) multiplica uua dc sus [£11033 por el cscalar k 5* 0, c) sustituye una de sus lineas por ella misma més k veces otra linea (Sugerencia: use e1 tcorema 4.5 y la propicdad asociativa del producto dc matrices.) 18. Eu esta scccién se discutic') cuél es elvcfecto dc premultiplicar una matriz A por una matriz elemental E (teorema 4.5). LQué ocurrc si a la matriz A la multiplicamos par la. derechq por la matriz elemental E? Es decir, Lcémo es la matriz AE respecto dc 13 matrix A? 19. Sea A una matriz m X p y B una matrizp X n. (,Cémo se altcra el producto AB si en la matriz B,

A -

3

-1

4

0

2

l

a) intercambia dos de sus columnas, b) multiplica una de sus columnas por el escalar k 9* 0,

. ' c) su’stitt‘xye una‘ 'de 5115' lineas pot ella 'misir‘ia‘ mask-Woes otra cbliimna

1‘791'52

20..

dc'muc'strc qua A3 - 3A2 ~ 7A Jr 1813 = 0 (la martriz‘ccro dc brdcn 3)

Seal A una matriz inversiblc. Describa '1oé'cambibs qué oclirren 'e_nA-l si en lal'ma- triz A

A partir de este resultado pruebe‘ (1116 A es inversible y halle A-l. 14. Dada la matriz

a)

se intercambian dos dc sus lineas,

b) se multiplica una de sus lineas por el cscalar k 6* 0,

c) sc sustituye una de sus 11’ncas por ella misma més k vcccs otra ’linca.

(Sugerencia: use 108 teoremas 4.6 y 4.1, asi como el resultado del ejercicio anterior.) 21. Repita e1 ejercicio anterior cambiando 1a palabra ”linea“ por la palabra “columna”.

112 A==311 231

22. Use cl tcorema 4.7 para dcmostrar quc [21 matrix

comprucbc qucA3 - 3A2 — 7A — 111; = O. Encucntrc A-'.

. D1 ga cuélcs dc las siguicntcs matrices, son matrices clcmcntalcs. En la! caso, encuentre su inversa usando cl tcorcma 4.6 (su (lemostracién).

20 ”[0]

A =

120 100 c)001d)010

0

o.-1,o

,

3‘01

4

7 0

1 -2

23. Sea A la matriz

16. Considcre las siguicmcs matrices clemcntalcs:

El:

5

e_s inversible.

lb) [(1)- 71‘]

1

8 0 0

0

0

0

3

O

0

0

l

1 E2=

0

4

O

1

0

0

0

l

a“

E1}:

1

0

0

0

1

0

l

0

(ll:

- ~ .

aln

(122

. . .

dz"

SISTEMAS DE ECUACIONES LtNEALES Y MATRICES 103

102 ALGEBRA LIN EAL .en donde dung; . . . i1“. recupemtxe‘stre queA es inversibie. iQu‘e’ acontece Sign tan

...ann= o7 .

, J '

_ ..

_ . -

.

'

(Sztgeréncia: tise e1 trtisme argumento que en el ejercicio anterior.)

:10_‘ 0 0

0o 0 1

n

-

24. Como un caso particular del ejercicio anterior, concluya que la matriz diagonal

1 2_0.of u . 'o-. 1) o 1 0 0

A 3“ diag (at, 02, - - 5 an)

.

en donde ma; . . . a,l 3* 0, es inversible. Caleuie su inversa.

' 1 -1

o ~2

3)

(Sugerencia: véase ejercicio 15 de la seccién anterior.)

25. SeaA una matriz 11iipote11te (ver ejercicio 14 de la seccién anterior). Compruebe que

ittvetsible, eiltonce's' A es la matri'z‘identidad.

o —1 o 1

‘ 1

1

o

2 1

1 o

o 1

2 1 2 -1

o 1 2 —1

“D —2

'

A no puede ser inversibie.

26. Sea A una matriz involutoria (ver ejercicio 26 de la seccién anterior). Demuestre que A e's itwersibte. Determine su invezsa. 27. Pruebe que 'si A es una matriz idempotente (ver ejereicio 13 de [a seccién anterior) e

0 1

2'8". SeariA y B dos matrices inVersibles de orden it. Dem'uestre que la matriz C de or-

1

1

L1

3

1

2

1

L.0

2

0 -1

2

3 o

5 1

0 —1 —2

3 —1 —2

'2

k)

2 . 30=._—23 ,12 1]1 1°~ 2 o o —4 —2 o 1 o 2 —3 o —1 2 1 1

0

‘1

o ~6

o ~5 —9 2

“2

3

1 —1

3

4

0 —2 —6

den2n A

30. (E1 mensaje secreto.) En este problema se da un mensaje para tOdas aquellas personas

O

“[0 si

que estudian este libro. Considerela equivalencia letrasmt’lmeros: A = 1, B = 2, C = 3,

. . . , Z = 27. Se proporcio‘na la matriz BA de orden 4 X 8 siguiente:

es inversible; Determine suinvcrsa. Use este hecho para-hallar la inversarde 1a matriz

"7 '3 '"o o-"' 2 1 o o

'BA

C = o o 3 ~2 o

o —1

1

33 ‘”t8- "7o. . 29- g 60 , 24 ,-16 112 '106 70 ' 165 94h 130 117 = 12 34 -46 ~10 —45 15 21 50 30 65 30 76 68 48

36 " 184 10 52

a)

'1 12

3 1]

e)

b) ”4 _2

4

‘

c) 33 . 5_ 1 d) o

2 _ 4

62

98

-0

2

3

3]

'2 1 o 2 L1 —1

o 1 4

31. En cada uno de los ejercicios siguientes, X es una matriz de orden 2. Resuelva para X. -

1 o 2 0 —2 3 1 _o 3 5 1 1 5 3 2 7 3 g) _ 3 9 4

o

2

h) —1 — 2

1

W1. é] [131

1» 1.: -1] 212, a]

3 —2

2

3

o —1

1 —1

u

E11 [as lineas de la matrizA se lee eI mensaje. Si 10 descubre, pongalo e11 prz'tctica.

_

' 1

u—‘N-Pno

La llave que descubre el mensaje es la matriz

(Sugerencia: véase e1 ejercicio 23 de la seccién anterior.) 29. Diga c'uéles de las siguientes matrices son inversibles. En .caso de que lo sean, halle su inversa '

1B i]: 'X—[i 5T [3 3.]

104 ALGEBRA LINEAL

SISTEMAS DE ECUAC!ONES UNEALES Y MATmces 105 1

_

,

J

V

v .. .-

.- . 4_

,

-

-

.

32. Enrcada uno de los ejercicios siguientes, X es una matriz de orden 3. Resuelva para X.

['1

a)

O

4

_3

'

1

2

34

5

3';

O

l

O

2

8

4J

F4 b)

0‘

1

3

x = —1

X=

1

3x, +4x;= 2

1

2

1 o

0

l 1

1

' ‘23-) 2n+3x3=1

2

o 4

2

(Véasc dcmostracién’ dcl lcorcma 4:10):

.

'

r1

3

1'

2 0

2 3

3 '2J

f1

0

0 0

2 0

d)

I

o O 3

1 X

2 3

4x.—5x,+2.r,=1

5xl‘6x2+4x;=3

1

4

X

2 —3 -1 2

0 -4

2

o o

0 0

3 0

2

1

1

=

3 2

l l

2 1

=

O 0

3

1

0 4

o 1

0 2

1

33. Demuestre quc la matriz

A1

0' o- o '-

50" 70 0 1

0

3

0

O

4' O

4

5

es inversiblc y escribala como un producto dc matrices clcmcntales. 34. En cl cjcrcicio 24 se demostré que la malriz diagonal

A = diag ((1,, a2, . . . , an)

en dondc :11, a; . . . (1,, 1* 0 cs inversiblc. Escriba csta matriz como un ptoducto de )2

matrices elementalcs.

35. c1’m el Icorcma 4.9 toda matrizA sc pucdc esc ribir como el producio QA’ en dondc Q es una matriz inversiblc y A’ es [a forum escalonada reducida de A. aCémo se ve

este producto si A es una matriz inversible? , 7 36. Escribai'cada una de 1215 siguicnte‘s matrices ¢omo e1 productp dc uga matfiz invggsiblc Q y la forma escalonada reducida ‘de A:

a)[(l)

i

i]

b)

3

2

1

.‘

4

1. 3

*1—1—2

-' ‘

’.

‘

'1

-

"

2 3

c) 1

1

4

1

37. Resuclva los siguienlcs sistcmas dc ccuaciones, invirlicndo primcramenle la malriz

dcl sistcma y mul.l_iplicando lucgo Ia invcrsa‘ por la malriz dc términos indcpcnd icnms

c)‘

xl+x,-xj+x1=3' 2x, — 3x; +4.15 —2.m=l 3X1 -.T2 '23) — 2X4: '2

b) 3x,—3x_,+2x,=1

'

c)

I

"*+""Z""5""5

DETERMINANTES

107

con objelo de ganar precision y una adcada notacién para este concepro, .establézcase formalmen'te la definicién de permnmcién

CA’PiTU-Lo DOS DEFINIC/ON 1.1

Se llama permutacién del conjumo S = { 1, 2, . . . , n} a una funcién biyectiva" 0‘: S —-¢ S.

EJEMPLO 1

For ejemplo, 51 S = { 1, 2} existen dos funciones biycctivas 0'1 y 02 de S en 51 mismo

Determinantes El objclivo principal de este capi1ulo es crear una hermmienta adicional de trabajo quc ayudarzi a avanzar en la teoria (1110 SC desarrollarzi en los préximos capitulos. Esta herramienta csté relacionada con la teorl'a dc determinantes. Sc debe dccir, sin embargo, que la teoria dc determinantes liene por sf misma un carécter propio, indepcndientcmeme del uso que de clla sc hacc como herramicnla de trabajo en el algebra lineal. E11 este capilulo se pretcncle también vet algunos aspectos -——clemcnlalcs-— dc esta interesanle teoria. Uno de los conceptos mas importantcs que han aparecido hasta este memento

a1

a1(1)==1,

62

02(1) I 2,

01(2)=2

02(2) I 1

en el libro, es el concepto de inversibilidad de una matriz. Relacionado con él, aparecera’n postcriormentc muchas otras ideas y resultados. En eslc capitulo sc verzi (1110 con la ayuda (le los (leterminantes cs posible “eliqu‘etar” a las matrices cuadraclas con informacion sobre- la inversibilidad de éstas. Mas concretamcnle, se establee‘eta una tune-ion det: Mn x ,. -—> R llamada (funeién) determinante dcl conjunto de matrices cuadiadas de 016611 11' a los numerOS reales, tal que det(A) 6 R —-valor que se calcula con los coeficientes de A— dira si 121 matrix A es inversible o no lo es.

La manera como se escribira 1a permutacién 0: S —-» S es .1 ‘ 0(1) >

.

2 0(2)

1.,

n

~-

- 0(n)

o bien, abreviadamente

En cl capllulo anterior sc vio que 51 ad - bc ¢ 0, la malriz

( 0(1), 0(2), - . - . C(12)) A =

a c

b d

Asi, en el ejemplo anterior la primera permutacién es (1, 2) y la segunda ‘(2, l).

EJEMPLO 2

cs inversible. Resultaré que el nfimero ad — bc 6 R es precisamente el determinante de la matriz A. Sc veré que en general una condicién necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A sea inversible es que su determinante sea distinto de cero (corolario 1 del teorema 3.1). ’ Para poder abordar adecuadamente la teoria que se desarrollarzi sobre determi-

nantes, se deben desarrollar previamente algunas ideas sobre permutaeiones. Este es el objetivo de la primera seccion que ahora se co'mien‘za a estudiar.

1.

PERMUTACIONES Considércse cl conjunto do mimeros {1, 2, . . . , H}. Um permutacio’n dc eslc conjunto no es mzis que 1111a detorminada ordenacion de sus clcmcnlos. Pot cjcmplo, si cl conjunlo cs { l, 2 }, 50 11011011 dos diferentes petmutaciones; a saber

(1,2)Y(2, 1)106

‘

Para el conjunto S = {1, 2, 3) se tienen las siguientes 6 permutaciones

(1,2, 3) (1, 3, 2) (2,1,3) (2,13, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) Véanse cuales son las permutaciones del conjunto de cuat'ro elementos S =‘{ 1, 2, 3, 4). *Es decir, inyectiva (11110 a uno) y sobreyectiva, 211111u en este case (cl oonjunto S es finite) cualquiem de estas dos propicdades i111plica a la olra.

108

DETERMINANTES

ALGEBRA LINEAL Si's'c cscribc 0(1) ¥ 1,:ct1tonccs 0(2) (1c $010. 3 posibilidédes ,2, 3 o 4 (pués _, . la funcién 0.es inycctiva). Analiccnsc las trcs allomaiivas po'rvseparado'. a)

Si 0(2) = 2, cntonccs 0(3) 110110 5010 2 posibilidadcs: 3 0 4. a.l) Si 0(3) = 3, necesariamcntc 0(4) = 4, cntonces una permutacién es:

(1,2,3,4)

Eshuemétidamcm'e' se pucde reprcsémar este- razonamicnto p01 'mcdio dc" la _ Siguicmc 141113. [.113 0112100 difcremcs colunmas indica‘ti las respec'tixkas posiblés posiciones dc Ios cuatm elcmcnlos dc S 011 1a permutacién. Una vcz quc 50 ha dccidido sobrc la primera columna (esto cs, 33 ha dado e1 valbr dc 0(1)), 56 ticncn

$010 3 posibilidadcs pam la siguientc. Dccidido ya 01 valor de esta columna (esto

es, dado cl valor 21 0(2)), 50 tienen $610 dos posibilidades para la siguicnte. Dado cl valor a és‘ta (dando 0(3)) 5010 resta escribir cl 111'1mcro (1110 1211111 cm In 1'1111mz1 columna (0(4)).

21.2) Si 0(3) = 4, ncccsariamcntc, 0(4) = 3, 61120110135 otra permutacién cs

0 (1)

(1,2,4, 3) 1))

U (2) 2

0 (3)

0 (4)

3

4

4

81' 0(2) = 3, c11tot1ccs 0(3) pucdc set 2 o 4.

b. 1) Si 0(3) = 2, necesariamcme 0(4) = 4, y 50 ticnc cntonces‘ la permutacién

(l, 3, 2, 4) b.2) Si 0(3) = 4, ncccsariamcntc 0(4) = 2, y 50 ticne 2131' la pcrmutacién

(1, 3., 4, 2) - c)

Sir 0(2) '=' 4,0n‘1011cés 0(‘3):pucd§ set 20 3

c.1) 31 0(3) = 2, ncccsarimncnlc 0(4) = 3, y 50 ticnc la pcrmutacién cn «3516

case come (1, 4, 2, 3) c.2) Si 0( 3) = 3, ne'ccsaria'mcntc 0(4) = 2 y se tienc entonces la permutacién

(1, 4, 3, 2) E11 conclusién, 51 0(1) = 1, so ligncn las siguicntcs 6 pcrmutacioncs

(1,2, 3,4) .1 . (1,2, 4, 3) . (1, 3,2,4).

(1, 3,4, 2) (1,4,2, 3) (1,4, 3, 2) E310 mismo 11 p1) dc razonamicnto sc pucdc rcpctir on C! caso quc so cscoja 0(1) = 2, 0(1) = 3 0 0(1) = 4.

109

1 2

Se tiencn, entonces, las 24 pcrmfitaciones dc ( 1, 2, 3, 4} siguientééi ,

(1,2, 3, 4) (1,2,4, 3) (1, 3,2, 4) (1,3,4, 2) (1,4,2, 3)

'(2, 1,3, 4) w(2, 1,4, 3) (2, 3, 1, 4) (2, 3, 4, 1) (2, 4, 1, 3)

(3, 1, 2,4) (3, 1, 4,2) (3,2, 1,4) (3,2,4, 1) 1 (3,4, 1,2)

.(4, 1,2, 3) (4,1,3,2) (4, 2, 1, 3) (4,2,3, 1) (4, 3, 1, 2)

(1,4, 3, 2)

(2, 4, 3. 1)

(3.4: 2, 1)

(4, 3,2, 1)

i 12

ALGEBRA LINEAL

DETERMINANTES ' ; ocurr1e1 on en 103 1113265 realizados (cuidando que no existan interscccioncs ‘de 3 o .' mas trazos a la vez). Este es :31 1111111610 111: inversiones do la permutacic'm. *

EJEMPLO 6

'

Se tiene: _

'nfimero dainverSiones en 0 =' 3. Entoncé's sgn 0 = '—1.

Para los dos cjcmplos anteriores

mimero dc inversiones en 11 == 2. Entonces sgn 11 = 1. Formc Ias composiciones 71 a 0 y '0 o 11

1 interseccién ( - 1 inversién)

0011:1234 4

0:1234 ““2134 5 interseociones ( - 5 inversiones)

DEF/NICIO’N 1.3

Se tiene:

mimero de inversiones en 11 o 0 = I. Entonces sgn 11 o 0 = ~ 1.

Sea 0 una permutacién del conjunto { 1, 2, . . . , 11}. Sea k1 = mimero dc invetsiones

nfimero de inversiones en 0 ° 11 = 5. Entonces sgn 0 ° 11 = - 1.

do 0. Si k1, es par, '50 dice quc 0 es una permutacidn par; caso comrario, so dice que es una permutacio’n impar. Sc define cl signo de la permutacio’n 0, dcnotado pm 3311 0 como

Observe que tanto sgn 11 o 0 y sgn 0 o 11 como el producto(sg11 0)(sgn 11) vaien —1. E510 no es una coincidencia. El siguientc teorema nos dice que es un hecho general:

sgn 0 =8 (-1)“ For 10 tanto, si 0 es unapermutt‘zcidn par, sgn 0 = l, caso contrario, si 0 es una ' permutaciénimpar, sgn 0 = —1.

E-JEMPLQ 7

TEOREMA 1.1

Sea 0 y 11 dos petmutaciones del conjunto { 1, 2, . . ., r1]. Entonces sgn 0 o 11 a (sgn 0)(sgn 11) = sgn 11 o 0

. Considere, pot ejemplo,1as permutaciones délconjumo (1, 2, 3} En la siguiente I ‘

' tabla s‘e encflentra Ia informaclon correspondiente sobre la paridad de estas . ‘ permutaciones p

EJEMPLO 8 I

1 13

NUMERO DE

PERMUTACION

TIPO DE

INVERSIONES

PERMUTACICN

(1, 7-, 3)

0

par

1

SIGNO

(2, 3, 1)

2

par

1

(3, 1, 2) (1,3,2) I

2 1

par impar

1 —1

(2, 1, 3)

1

impar

(3, 2, 1)

3

impar

.

-1

—1

Se quiere ver ahora co’mo esté relacionado el signo de una composicién dc permutaciones con el signo dc cada una dc las permutaciones componentes. Véasc primero un ejempI-o. - -

Sean 0, 11 las permutaciones" -

0:1234 4123

=1234 4342

*En efecto: Si 1' < j, considerc 105 1111203 que unen 0 (1‘) con e’l mismo y 0 (1) con él mismo. Estes

trazos sc intersectan si, y 8610 si 0 (1) > a (1'), es dccir, sisxistc una inversion.

'bEMOSTR’ACiON

Sé demostrai‘é que sg11' 0'0 11 -.—- (sgn 0)(sgn 11). Se debe de contar e-I nfimero de inversiones que ocurtan en- 11, en 0 y en 0 ° 11-. Témense los enteros i, j E (1, 2, . . . , 11}, tai que 1‘ < j._ La permutacion 11 tendré una inversion si 110) > 11(1); similarmente, 0 ° 11 tendra una inversion si (0 0 100) > (0 0 10(1). Obsérvese que,

partiendo del orden de los enteros 11(1) y 11(1) se puede decidir, usando 1a informacién del orden de (0 0 100) = 0010)) y (0 ° 10(1)= 001(1)) si 0 tiene o no inversion.

Es decir, si 11(1) < 11(1) (en cuyo caso 11 no tcndrzi inversion respecto de i y 1), y si 001(1)) > 001(1)), 0 tendré una inversion, asi como también si 11(1) > 11(1) y 001(1)) < 001 (1))(en cuyo case 11 si tiene inversion rcspecto (16 i y 1). Se deben entonces de considerar 4 casos

CASO _ ORDEN RELATIVO 1' < j 11(1) < 11(1)

1

0( 11(1)) < 0( 110))

_ .

_

2

, 4

3

4

_' ‘

No hay inversién para 010 11

i 0( 11(1))

Hay inversion para 0 011

DETERMWANTES

114

ALGEBRA LINEAL

115

' .Se observa, cntonccs, que cxisiirzin 20' i——l) + 1 interseccioncs enttc 10$ trams efcctuados; Estc as 1111 mimgro impar- P01: 10 1111110, so 11a probado e1 siguiemc

limese k5. ., k0, k a 105 cdrrcs p'o_11dic11tc:: 1111mc1os dé 1nversioncs; en 0 ° 11 1 a - y 11 Obsérvcsc que CUando hay una inversién en 0 ° 1:,ento11cesl1ay una inversién

' " Iteorem'a:

en 0' o (exclusivo) en 1: (cases 2 y 4 rcspectivamemc). P01 10 1111110,

TEOREMA 1.2

kw»: kc +kn -2r

donde r es cl mimcro dc veccs en los quc hay inversioncs en 0 y en 11 simulténcamentc (0350 3). Entonces

Una transposicién es una permutacién impair. Por ejemplo, 1a transposicidn de 105 entcros 3 y 9 del conjunto [1-, 2, . . . , 10}

53"" “5 “(‘IY‘M = (‘1)k”"‘"2’ = (=1)"”(-1)k‘(—1)'2’ = ('1)""(-1)kn = (sgn o)(sgn 1:).

10 9 8 6 7 4 5 3 2 1 310 678 129..45

Q.E.D. tiene 2(j—i- 1)+1—= 2(9»~3- 1)+1 = 11 inveisiones, lo cual se pucde verificar directu-

meme COROLARIO

Sea 0 unaperm‘utacidn del conjunto { 1, 2, . . . , I1}. Entonccs sgn o = sgn o"

COROLARIO

Sea 0 1111a pcrmutacié‘n cualquiera del conjunto { 1, 2,- . . . , n}, Sea T una

ttansposicién. Asi,

DEMOSTRACION Como ('1' o a“ = id 56 116116, sgn 0‘ o 0‘ =(sgn o)(sgn 0‘ ‘)—= l (pucs sgn id= ( 1)°

“S'gnr on = '58” o- = Sgt-loot

= 1'). Entonc‘es 5311- 0 = Sgn o“.Q.1B.1).

DEFINICION 1.4

Se dice 'que la permutacién 0 del conjunto { 1, 2,. . . , n} es una transposicidn dc

DEMOS'TRA’CIéN

Sc sigu‘c inmcdiatamchte do los'lteor'emas 1.1.. y 1.2. Q.E.I)

103 61116105 1',j E {1,2,.. .,n} 510(1) =j, 0(1) = i y 0(k)= kpam k #1,}

E1 rcsultado anterior dice quc 51 en 1111a pcrmutacion sc intercambia la posicién dc

Una transposicion cs, pues, un tipo muy simple dc pcrm‘utacic’m en la cual sélo cs

alterada la posicic’m de 2 mimcros i y J cl n1’1mcro z' pasa a ocupar la posicion dej y viccvcrsa. Una transposicién se ve cntonccs come

i j

12 12

j 1'

n n

Cuéntesc e1 mimcro de inversioncs quc iieno una transposicién de 105 entcros i y

j. 1111n Con’ la r‘egia dc “contar interseccioncs dc trazos”. La sitqacio'n se vc como

“no ON “no o...o

o...o

0 \—__..._-__.__-Y——————--v-|—8

I

1- 1elementos

do 111 dos de sus elementos, cste hecho se rcfiejaré en un cambio dc signo dc 1a a] contrario signo tcndra c resultam ién permutuc la decir, cs pcrmutacio’n, permutacién original.

EJERCICIOS

(SECCION 1,CAP1TULO 2) = 4 y o(2)= 1. .LCuam'as pennutaciones o (101 conjumo {1, 2, 3, 4} son tales que 6(1) ellas dc lista 111111 -. .--3? Haga =6 0(2) 2. LCuz’mtas pcfinutaciones cdelconjumo {1, 2, 3, 4, 5, 6) sontales quc o(=1) 611115. dc lista una Haga 4'? = 5, o(3)=

3. Para las siguicntes permulaciones o y n obtenga 0 ° 71, 11 0 c, 0 0 o, 71 0 1t

=123 8)0321

n=123 132

ALGEBRA LINEAL

DETERMINANTES

1‘ 223. 4' 5

'2 1'4? ,_ .12_,_"3"4 ._ 1,1041 ' 413 2 7‘ 3‘2 c)o='1

2

3

4

“=1

2

3

4

4

2

31

4

2

3

1

ma...”

5

e)”

3

214

2

3

4

5

~12

5

4

3

3

“"4 5 3

06-12 3 45 67 6

6 .7 8. 9710,11 12

10. Sea a una transposicién del conjunto (l, 2, . . . , 11). Obtanga 0-1.

@11 Dada la pcrmutacién 0 dc! conjunto (1, 2,.

5

4

3

H11) defina la matrix asociada a esta

permutacion denotada 1101 A6, como la matriz cuadrada de ordcn n, cuyos elemcmos 11,-J estés dados per

5

I si j

0(i)

fly =

12 4 3 5.] 7

3

“=1

4 '5

2

214

117

d)i--0.= '1 1111-374 '5- 6 "'7 ’ 8 ‘ 9'10 H 2 12"]

14

21

4

5

P112 3 4 5 5

713

0-sij 1* 00')

21] 4

67 2

P01 cjcmplo, si

5

. Para las permutaciones del ejercicio anterior obtenga 04,11 1 ,(0 o 11) 1 11 1 0 0‘1. Compare Ia permutacién (o o 11) 1 can 11 1 ° 0 1.

. Considcre la siguiente permutacién dcl conjunto {1, 2, . . . , 11):

o _

1 n

2 n~1

n 1

.

.=1 [ _ \._.._.z

-

Vang-[3. '2'

J.

b. 1)

0)

1

2

3

° " 3

2

1

=

7‘

1

2

3

2

1

3

Halle las matrices Au y A,,.

b. 2)

Encucntre la matriz Ac , ,,

b. 3)

Verifiquc que A0,, — AnAo

Compruebe que, 611 general, 51 A, y A, son las matrices asociadas a las permuta— n), entoncesAg.,,11.A,,A,, _ , 7 0101165 U y 11 del conjunto {1, 2.

d) Sea 111a permutacién

>

'

=1234 b“’{1432} ___123456 °)°[6234]

'or—OO

21) Dcmuc‘slrc’ quc en cada lined dc la 111211112110 56 ti‘ene exactame‘nte un 11110 y ccros en las posicioncs r'eslautes y que esta propicdad tamblén vale para las columnas dc csla matriz. b) Scan 0 y 111as pcrmutacioneS

a) Determine 6111111111110 dc inversioncs de ‘0.

b) Obtenga el signo dc esta pcrmutacién. ' c) obtenga 0-1. . Considers las siguientcs transposiciones 0. Determine cl mimero de inversiones on cada una de ellas y verifique quc'se satisface cl teorcma 1.2. Obtcnga 0-1 C11 cada caso.

9001-1

.Aq.‘

"Hooo

. Determine cl mimero de inversiones para cada una de las permutaciones 0,11, 0 o 11, 11 ° 0, a 0 1;, 11 0 11 del .ejcrcicio 3 Obtenga 1:1 signo de cada una de estas pcnnutacioncs . '_ y verifiq'ue que se satisface e1 teOrerna 1.1. . Establczca cl numcro de 1nversiones para cada una dc las pcrmutacioncs a-1,11-1, (0 ° 11) 1 del ejercicio 4. Verifique .que se satisface e1 corolario del reorcma 1.-1.

N

‘

se ticne "(SOHO

. Sean 0 y 11 dos permutacioncs del conjunto (1, 2,. . . , 11). Demuestrc quc (a 0 11)-1 =11'10 0-1.

w

1 16

(1.1)

Hana A0.

(1.2)

Determine Aa— 1.

11.3) Verifique que A0, A0 -1 = A0' 1A,, = 14-

118

DETERMINANTES

ALGEBHA LINEAL

' Antes que 11min, so dcbc dccir qtle cl-determinantc cs unafimcién, cuyo I ' dominio- CS cl conjunlo (1e matrices cuadradas, quc so Lienotaré 1101 M. (11 cs c1 orden Lie 111s matrices) y cuyo codominio son los 111imcros rcales. Sc Lienomrzi csta funcién pot def. Entonccs (let: M, —+ R. 5610 l‘alta entonccs Liar 1a rcgla (1e asociacién que define :1 def, cs Llccir, falta Liar una fo'rmula para cl determinante Lie 1111a matriz cundrada. Eso es precisamcnte lo que so haré ahora.

c) Dcmuestrc que en g'c11eral,si A-u es 111 11121111/ asoc—iada a la permutucion 0 del . ' conjunlo {1, 2,. -. . , 11}, entoncesAoAu.1 = A0. 1/1,, =- I,.. 12. E1 objL‘tivo dc cslc cjcrcicio cs probar c1 signientc resultado general sobrL permutaS del conjunto S = (1, 2,. . . , n) sc pucdc escribir cioncs: ioda pcrmumcion o . S

come 1111a composicion Lle transposicioncs do clcmentos dc S. Es dccir, dada la permutacién o : S -—v S, existcn“21151105161011t 12, . .. ,Tk : S —1 S tales que o ——- 1. a 1'2 0 . . . . o Tk. Esta expression no es (mica, pcro 51' 10 es la pariclad dc k. (Observe

entonccs que, bajo csln pcrspcctiva, 5c pucdc Llclinir una pcnnutacic'm par «impar— como 1111a que se prcsenta como composicién L10 1111 1111111610 par ~impar— dc transposicioncs). La Licmostracién dc estc l1ccho sc 112m: [101 induccion sobre 11. Observe que cl rcsultado es obvio para 12 = 2. Suponga entonces vz'lliLlo e1 resultado para 11 - l y pruébelo para 11, signiendo los incisos siguicntes: a) Sea 0: S —+ S, S = {1, 2. .,n} una pennutacidn cualquiera. Si 001) =11. Asocie

2.1.

DEFI‘NICION DE DETERMINANTE Sea A la matriz cuadrada Lie orden 11 siguicntc:

(rcstrinja) a a una permutacio110*:S* .—> S* 5* = (1,2,. .,Il—l] delinida como o*(i)- 0(1), 1 = 1, 2,.. ,11.—1 Apl 1que 111 11ipélcsis Llc induccion a 0* para obtcner que 0* = Tie 75:: . . .012, an donde 11 son transposiciones del conjumo S*.Extie11da las transposiciones 11‘ a transposiciones T.~ del conjunto S y concluya, finalmcnte, que o = T, a 1’2 0. . . o ‘11., como se querta.

b) S‘uponga ahora que C(11) 9* n (y entonccs C(11) < 12). Sea 1’ la transposicién que cambia dc posicién a los elementos C(11) y 11 en 0. Observe, cntonccs que '1 o 0 es una per'mutacion de S en la que (1’0a) = n. Concluya, del inciso anterior, que existen transposiciones n, 12, . . ,1} tales que '1 o a—= 1,012 o. . .o '11. Dcmuestre por lo tanto que. 0= 1’ o n .o 1'; 0.. .011, quedando asi probaLlo lo que 5;. qucna. c) - Dclma e1 111ir1'1c'ro 17,. como

=H (1—1)

Lies

nZI>j21

A=

an

(112

021

£122

anl

0112

£12" ...

aim

- - -

La dererminame de A, dcnotado por del A, csté definida ml‘ 111 formula detA = Z (sgn o)a1 0(1) (120(2) . . . (1,. 00,) 0

L1L111Lle la sumzi so 1111a: sobre to'dus 1:13 (11!) pcrm11tz1cioa del conjunt'o (l, '2,...,11} E11 .11 gunas ocasioncs, con objcto Llc ganar claridad en la cstructura Lie, csta 1'L'1r111ulz1 y en lass propicdadcs qu'c'sc cstudia‘r‘zin on 05121 secciL'm, s'c cs'cribir'zi esta 1'L'1r111ula come det A =

002..) = [1 (ca) — 0(1))

(11,,

. . .

Observe que [9,, es positive. Dada 111 pcrmutacién o : S ——> S, L1e1'111a cl 111'lmcro o(p,,) como

119

20;

sg n

1

2

0(1)

0(2)

n . . .

0,01)

a1

0(1)

a 2 0(2) . . . a n 001)

Para hallar c1 detenninante dc 1a matriz A Lie orLlcn 11 so Llcbe pucs cousidcrar cada

1120/21

una de las permutacioncs 0 del conjunto (1, 2, . . . , n}, (ligasc (0(1), 0(2), . . . , c.l)

C(11)); con e113, so 10111121 e1 produeto

Comprucbc que 0(1),.) = 11)".

c2) Demuestrc que 51 T es 1111a transposicién, cutonccs (1°o)(p,,) = —o(p,.). Escriba o = T] o “r; o . . . o 11.. Demucstre que (— 1)‘ = 00),.) [1)...

c.4)

Concluya entonces que la paridad dc k depende solamente dc 1a_pe_r111uta— 61611 0 y no de la manera Llc cxpresarla como composicién do transpoSicio-

' nes.

2.

010(1)(Izo(21- ~ . (1110(1))

c.3)

'

' -

,

'-

’

DEFINICION Y PROPIEDADES Una vez establecidas 1as ideas y resultados que sobrc pcrmutaciones so estudiaron en la sccciL'm anterior, so csté en condiciones de dar 1111a Llcfinicic'm satisfactoria de la funcién detcnninantc.

, (q11L s'e llamani prozl‘ucro elemental) c1 enal .estzi 1om1aclo per 11 factore's cada 11110 ‘

Lie los cualcs pe1tenece a una Lletermin'ada linca y una determinada columna (10 1a matriz A, y en cl cual 120 my dos lactores que proveng 111 do la misma 1111011 y/o do la misma columna (Nola: el hecho Lie que no hay dos lactores dc la misma linea es cvidcnte do 121 formula misma; cl hcch‘o dc que no hay dos factorcs de la misma columna se debc a la inycetividad dc la pcrmutacio’n a). Una V07. formado cstc product'o elemental, multipliquclo por el signo dc la pcrmutacién O que sc cstzi considerando y linalmentc sumo todos cstos “productos clomcntalcs c011 signo", obtcnicndo 2151' el Lietc‘nninante Lie k1 matrix A.

1.20

ALGEBHA UNEAL

, EJEMPLO 1

DETERMINANTES . For ejcmplo,‘ cbnsidcre 1a matrix de‘ ordcn 2

121

Suma = auan'a'i; + (1126123431 ' ’ 1‘ 013022a32'-0na23032 :- .

A =

a”

a 12

‘ (112021033 ‘ 0x30225131

(121

(122

= det A

Para el caso particular dc matrices dc orden 3, se ticne la siguiemc rcgla que Sc tiene

permite obtener 1a férmula del determinants: reescriba en la part6 dcrccha dc 1a

matriz fuera de clla sus dos primeras columnas, qu'cdando de esta manera trcs PERMUTACIONES DEL C ONJUNTO

cuadrados sobrcpuestcxs (en un recténgulo do 3 por 5) con “6 diagonales” como

PRODUCTO ELEMENTAL

{1, 2}

Sgn 6

alu(l)a2t7(2)

(1. 2)

1

(111022

en la figura. Forme los productos de 105 clementos en cada diagonal. Si 13 diagonal cs “dccrcciente”, cl' producto es positive, caso contrario, cs negativo. La suma dc estos productos con signo es el dcterminantc de la matrix.

(sgn U) alsflflZoa) an (122

—a320230n

—a31a2261u

(2,1)

—1

(112021

.

A

41336121012

~a12 (121

SUMA = (111012“(112021 =d€lA

+anflzzass

0 sea,

+012023031

c EJEMPLO 2

+013021a32 V

. d

.

'EJEMPL'O '3'

.

Véahs‘e un par de cjizmpi‘os; ‘

Para la matriz dc orden 3

det[§ :] = (2)(4)—(5)(3) = -7 A =

all (121

012 £122

an

032

La dctcrminantc de la matn‘z

G13 (123 033

A=

14—1 2 3 4 —2 1 3

Se ticne

PERMUTACIONES DEL CONJUNTO . . {1,2, 31 ,

' (1,2,3)

PRODUCTO ELEMENTAL ”axduflzmflsom '

, '_ sgn G_

1 '

.

(Sgn U) . amiflmzfliao)

an @2333

an'an 013 an 022 031

(2. 3. 1)

1

an (123 an

(3. 1, 2)

1

(113 [121 an

an 021 an

(1. 3, 2)

‘ -1

0116123 (132

~01; (123 032

(2, 1, 3)

—1

an 021033

-a12 021032

(3. 2, 1)

-1

013 022 £131

«Us £122 (13;

+('9) +(—'32) Entonces,

der A = (9) + (-32> + 1(au O si i < j, respectivamcntc). El aspecto quc ticnc una malriz triangular superior cs:

124

DETERMINANTES

ALGEBRA LINEAL

125

. que tiene una matrizv diagonal es 0

(111 £122

all]!

clonde el cero indica que la parte de la matriz en donde se encuentra tione todos sus elementos iguales a core.

Se tienen los siguientes corolarios:

Similarmente, el aspecto de una matriz triangular inferior es: an 021

(122

COROLARIO 1 -*

0

A es una matriz diagonal, entonces ( detA = (111012. . . (I’m

“"2

“Ill

- - -

arm

El siguiente teorcma dice que es particularmcnte sencillo e1 célculo del determinante de una matriz en forma triangular:

DEMOS TRA CION Obvio, del teotema anterior. Q.E.D.

Un easo mas particular se encuentra en el siguiente corolario:

Sea A una matriz triangular (superior o inferior). Entonces

TEOREMA 2.2

//

DEMOS TRACION

"

Obsérvese que la transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior. Pet 10 tanto, segun cl teorcma 2.1, es suficiente probar e1 resultado para ’Una matriz triangular superior.

DEMOSTRAC/ON

En este case an =' (1;; = . ..= (1,." =1.

Q.E.l). El siguien‘te resultado es un resultado téenico. Servira para establecer una propiedad muy importante del dcterminante en la préxima subseccién.

. , n} acontece que 00') 3* j, entonces debe existir i E {1, 2, . . . , n} tal que 1’ > 0(1). En tal caso aim = 0. Siendo asi, c1 unico producto elemental que no es cero (que no tiene un factor igual a eero) es aqUel en el cUal 0(i) = i para toda 1'. Se trata, pues, de la permutacién identidad para la cual sgn 0 = 1. Entonces

_

'

Sea a una permutacion del conjunto [1, 2, . . . , n}. Si para algunaj E {1, 2,

detA = Z

. -

CORQLARIQZ j » "detl,.= _1. .

'dezA=a1.a22..t.a,l,l,.

.

V,

TEOREMA 2.3

Sean las matricesA = (ay)g.1,_,r,,., B = (173).“ .1,._,,,,, C =('c“,-,-).-J-1,..r,,,. Supongase que para alguna r E {1, 2, . . . , n} so tiene c,, = (1,, + b,,-, micntras que si 1' at r, 0;,- = av = by. Entonces

(sgn 0')(11 5(1) . . . an 00.) = (111022 . . . (1m.

0

det C = detA + (let B

Q.E.D.

Por ejemplor

(let

2 0 0

5 10 4 9 0 3

= det

.

.

. 2 0 0

9 4 0

27 35 3

DEMOS-TRAEClON 2 = del 59 5

0 4 ‘20

0 0 3

/'

Se tiene que

= (2X4)(3) = 24 that C

2

(sgn (5)01 0(1) 02 0(2) - . . cro(r) . - ~ Cno(n)

U

Un tipo especial de matriz triangular es la llamada matrix diagonal: se dice, que la matriz A = (ay)l,j-|,2‘.U,n es una malriz diagonal si (1.; = 0 si 1‘ $j. El aspceto

2 a

(sgn O')C1 0(1) 62 0(2) . . . (a, 00-) + br 00)) - . ~ Cu o(n)

126

Z

(sg/zo)c11,(1,c20(2). . .larc(r)~ . $110011 J

Se’liene por lo tanto,

.-_O

+

Z

det A’ = Z (sgn o)ai 5(1) . . . (1,330,) . . . [11,0011 . . . 21,100.)

(Sgll G)C10(1)C20(2) . . . bro“) . . . 0,. gm)

(1

0

= Z (sgn (1)01 0(1) . . . (1400;) . . . (11,00!) . . . and")

Z (sgn O)a1 U(1)02 0(21- - . aro(r) ~ - J1" 001) +

0

X

.

O

Esta formula 56 parece mucho a la que dcscribe cl determinante dc la matriz A.

(38" 0)b1 0(1) 172 5(2) - - - brc(r) - ~ - bn C(19)

$610 quc se tiene un problema: la permutacién o que aparecc en (sgn o) no

o

corresponde a la permutacio’n que aparece en cl segundo subfndice del producto elemental correspondicnte. Para vet més claro el problema se escribe

Q.E.D.

= detA + det B

EJEMPLO 5

127

DETERMINANTES

ALGEBRA‘LIMEAL

Pot cjcmplo si '

1.113111; :1. c1; :1

A y B). (la scgunda llnca (le C es la suma do 1215 lincas corrospondicmcs do

de A t

,

=

1

X” 55’” [ 0(1)

I7

0(1))

q

’1

001)] “1 m

0(q)

a

L—————————-]__

I

...

“4 ‘1’) g

...

11,, (q)

.

0

...

a " "on

l

mientras que la formula de det A dcbe ser

Enlonccs, 1 _ detA—det [-2

4 __ _3]— ll

detB

=

1 (1et[4

.detc=dez[éfif ‘5‘] =—19.= —11- 8

4 =_ 8 8]

dEIA ‘ =I In:1

1 Sgfl [1(1)

p “(1’)

q “((1)

1

*

n aml)...aq,(q)...apn(p)...an_.1(,,) 7:01)]

detA+ den; Este problema so resuelve con una transposicién: Sea T la transposicién

2.3

OPERACIONES ELEMENTALES Y'DETERMIN'ANTES sc afccla Sca (lacla 121 11121111! A dc ordcn 12. Se cncucntra uno inlcrcsado cn ver cémo n operacio alguna c’sta cn rcaliza sc cuando A cl valor dc] dctcnninamc do clcmcmal.

T =

Entonc'es 71 = o 0 '1' es la per‘mutacion 7:=

TEOREMA 2.4

Si A’ es la matriz quc so obticnc do A intercambiando dos do sus llncas, cntonccs def/1' = - detA

DEMOSTRA Clo/v

e11 ésta Sea A'= (a{,- ).,,- 1, , '_ .,,..Sup‘c’mgase que A’ se obtuvo 'de A intercambi21ndo tiene se A ..... 1 j 121$ llneas p y q_ Entonces si A= (a.,-)

1 ... P .,. q . .. n n 1... q ...p

n q 1.. p .1t(n) (p)...7t(q).. 111(1)...11

=

n q 1... p o(1)...o(q)1..0(p)...o(n)

Obsérvesc que mienttas o recorre todas las permutaciones do (1, 2, . . . , n}, asi~

mismo 1a har'é 1t (5610 quc en otro ordcn). Ademés, sgn 1: = sgn (o 0 T) = ~sgr1 o (corolario del tcorema 1.2). Entonces ' - (let A

2 (523" 1041 no):- ~ - amq). 1421,10,). - ' duo-1

'2 (sgn (7)611 0(1) - - - a400,). . 4110(4) - - - an 00:) au—aijsii¢p,q I

...

U

= ~ detA’

a?! _ aqi

alu- = 0m"

Q.E.D.

DETERMINANTES' 129 128

ALGEBRA LINEAL

EJEMPLO a l

EJEMPLO’?

V For éjemplo':

..

_

Pm ejefnplb, Si

V_

1 V 2

A —[5 (let [:1

8]

‘

u

.

(detA — -2)

Z] = ad — be

y A’ es la matriz que sc obtienc dc A multiplicando su primcra linea pot 6, es decir, a '_ __ - (ad—bc)--det [c

d = cb—da b]

c 7 (1Lt[a

b d]

,__ 612

“[5 8]

Un corolario importante del teorcma anterior es el siguiente:

. COROLARIO

$6 ticne

detA' = det [65

Si A es una matriz de ordcn n, que posee dos lineas iguales, entonces

detA = 0. ' DEMOS TRA Cl OW

Supéngase queA ticne las Iineas p y (1 iguales. Sea A’ la matriz que se obtiene de A mtercamblando las [Incas p y (1. Es claro que A' = A.- Pure, segfin e1 teorema

TEOREMA 2.6

anterior

Sea A’ la matriz que 56 obtiene dc A sustituyendo su r-ésima linea por ella més k veces su s-ésima linea, Entonces. det A' = detA

detA' = detA = —detA En‘t’on‘ces-detA = O.

‘

VQ.E.D.

'

= ~12 = 6(—2) = 6 det A 12] 8

DEMQSTRAACION' Se'a B awn-1.1... .- . Imam ml q'ue ' bi] =' (1;,- Si 1 ¢ r

TEOREMA 2.5

Sea A’ la matriz que. sc ha obtenido de A multiplicando una de sus lineas

Q.

por la .constante c. Entonces

brj = kasj

Sea A’ = (a’y);,1.x,.,.,,.. Obsérvese que detA'=cdetA aij=aij=bijsii#r

a},- = (1,,- + ka,, = 0r} + [7,,-

DEMOSTRAC/O’N Sea A’ a (aij)1,j.1,,,_,,.' A = (09‘);’j-1,,.,,n. Digase que la linea r de A fue mulliplicada pot c para obtener A’. Entonces

concluyc Se csté cntonccs dcntro dc las hipétesis dc} tcorcma 2.3, do! cual se

a{,- = (1;; Si i 9* r detA’ = deIA + det 8

a’U-=ca,j

qus tiene sus Hero, segfin cl tcorema 2.5, def B = k det A donde A es una matriz

Entonces

O; 'esto lfneas 'f y s igualcs,-y'por tanto, por clv corolario del fieorcma‘ 2.4, det A = .~ . . . _ . sc;qucr1’a mo detA,‘co = srdetA' " cs..deft B '= 0. Enlt'once

idet A’ :2 (sgn n)ain(1.).'.,.lafin(,)v. pain“): It

Q .E.D. 2

(sgn “)0! n(l) - - - (car n(r)) - - - allflOl)

1: I!

EJEMPLO 8 C 2

(sgn 70011;“) . . . arm) - . - 0:11:01)

1:

= c det A

Q.E.D.

Por ejcmplo, si ‘

130

ALGEBRA LINEAL

DETERMINANTES

I'Haga.(Ll')~-* (Ll) + 100.2), obteniendo ' "

j- —19

column'as. [Antes de' atlaliiar algfinos ejemplos en los' que se apliquen estas propiedades, véase un nlllmo- resultaclo acerca del compor’tamicnto del determi—

45

nante.

“la 4] Setienc detA

,=

~19

det[_2

45

4]

=

14

=

131

1

5

det [“2

4]

___

TEOREMA 2.7 detA

Si la matriz cuadradaA ticne una ll’nea (o columna) de ceros, entonces det ' A = O.

En resumen, en el siguiente cuadro se muesira Como afectan las operaciones

DEMOSTRACION Si 1‘ es la linea deA que consta solode ceros, esto es, ad = 0, j = 1, 2, . . . , n, basta

elementales en una matriz cl valor de su detenninante:

OPERACION ELEMENTAL Intercambio de lincas en A

observar que todos los productos elementalcs que aparecen en la definicion de det A ticnen siempre como factor un elemento de esta linea. Por tanto todos son cero, y entonces detA = 0. Por la nota anterior, el resultado vale también para colunmas.

EFECTO EN det A V detA' = — detA

Mnltiplicar unalinea por la constants; _c_

(2.19.1).

detA’ =._c detA

Sustituir Una linea pot ella mism'a mas un

-

Infiltiplode otra _ .

,

I

_det A a a'et A

COROLARIO

Si A es una mattiz no inversible, entonces detA = 0.

(A’ es la matriz que se obtiene deA haciendo en esta liltima la opetacién elemental indicada).

_ DEMOSTRA Cid/v

‘ NOTAlMPO'RTANTE

Primerarnente obséryese Que s-i A ‘65 Una-matrizno inversible, entonces-su forma

escalona‘da reduCida tcndré al menos una linea'de cefos. En efecto, supéngase, ' para obtencr una contradiccion, que la forma escalonada reducida de A no tiene

En el teorema 2.1 se ha probadoque el determiname de una matriz cuadrada A es igual al determinante de su matn'z transpucsta A'. Una consecuencia importante de este hecho es que toda propiedad de los detcnninantes relacionada con las lineas de una matriz sigue sicndo valida si en lugar do [as llneas de la matriz se consideran

linea alguna de ceros. La finicamatriz dc orden n enforma escalonada reducida

sin lineas de 66105 (-35 la matfiz identidad 1”. Pen), siendo asf, esto querrla dccir qn'e partiendo de A se p‘uede llegar, reallza'n‘do en é‘sta operaciones clementales, a la matriz I,-.. Es decir, A scrla equivalente a In. Entonces, por el teorema 4.7 (capllulo l), A serla una malriz inve'rsible, lo cual es una contradiccion.

sus columnas (pues las columnas de la matriz son las llneas dc la matriz transpues-

ta, y el determinante no se ve afectado por este cambio).

A1 partlr entonces do A y haciendo operac‘idnes elementales, se llega a A’, su forma escalonacla reducida, quc es una matriz que tiene al menos una llnea de

Entonces, las propiedades cnunciadas en los teoremas 2.4, 2.5 y 2.6 son igualmente validas si sc cambia la palabra “linens” por la palabra “columnas”. Mas precisamente, combinando cl teorema 2. 1 con los teoremas 2.4, 2.5 y 2.6, so tienen los siguientes resultados.

OPERACION REALIZADA EN A

Intercambio dc...coluxnnas.de,A

..

Mnltlpllear una-columnapor la letra c . _ I Sns'iltui'r una cdlfifima por ella mlsma rnés " I

un mfiltiplo de olra

ceros. El valor dcl detenninante dc A so irzi afectando en cada operacién elemental, por un cambio dc signo 0 por la multiplicacion (le una constante (segl'xn lo discutido anteriormente). Pero finalmente se llcga a A’, cuyo determinants es igual a com (teorema anterior). Entonces det'A = O. .

EFECTO EN detA

Q.E.D.

dezA’ -= — detA

. Véanse a1gunos‘ ejemplosz.

detA’ -_= .c detA

detA' = detA

(A' es la matriz que se obtiene do A realizando las operaciones indicadas en esta filtima). Las ideas anteriores pu eden set usadas para realizar calculos dc determinantes dc una man-12 haciendo en ella operaciones adecuadas en sus llneas y en sus

EJEMPLO 9

Se quiere calcular

-1

d“ —3

4

3

2 2

1 —2

2

.1

o

—3

1

1

DETERMINANTES 132

133

A10 EBRA LINEAL

. (co. 2.6

l"

Haga operficiOnes clerri'entaies en las .lineas (ie'A con objei‘o dc llcvarla a la for'ma . escalonada. Se ticne'» I

2 2

—1 3

dc!

1

—3

1 -2 =

1

d” o

—6

6

1 —1 =

2 4

-1 2

,o

0J1

1

2

1 o

4

7

1 o

d” o

-6 o

o

-4 l

~7

—1 2

2 4

7

o

1 —1

0

EJEMPLO. 11

Aunque e1 objetivo era l‘levar 1a matriz a la forma escaionada, sc ha cncontrado ya con una iinea dc ceros. Por e1 teorema 2.7 el valor dcl determinante es cero. Observe que todas las operaciones elementales quc se realizaron en la matdz no alteraron el valor del determinants.

‘E‘JEMPLO 10 ’

:

-l

AVID—‘10

det

5 5_

4 2

jA-p-pmu.

2 2 1

—2 1

2*‘det'o

5 4 2 -5—1o—1o=_

—3 —1s —1s

6 o 4 1 (L2) -» (L2)—3(L1) (L3) —--» (L3)-4(Ll)

5

' '

1 1 o _ det o = (5) o l (L3) w (L3)+3(L2)

1L4) —> (L4)-6(L2)

'

.

Como ultimo cjempio, considers la siguiente ecuacién: 1 x

1 x)

1 x;

y

3’1

VI

_

. , $.11 cl‘primcr caSo Sc 1121111112. el clotcrminanle do una matriz con su‘primeray Segunda y primcra su con matriz una de ame determin el , scgundo en‘ei 7 colu‘mfia‘ iguales,-y tercera columna iguales; en ambos cases el determinante es ccro). En conclusion, so tiene una ecuacién lineal en x y y que se satisface con los

valores x = x.-,'y = y. y x = x;, y = y2. Es pues, la-ecuacic’m dc una rcota que pasa por

1 o

o

2 1

4 2

5 2=

6

5

9

TEOREMA 2.8

4

Sea A una matriz cuadrada dc orden n, digase A = ((15):, j-I ..... ua)

detA = detA‘.

b) Si A es una malriz triangular (superior o inferior) entonccs cl determinante do 'A 65 igual al producto do 105 clementos dc su diagonal fl ‘ . ' principal. , , jb.1)_ ' def ding (a1, (12, . , an),= (1)01. 12,. b.2) I'detl,’."—r l."

(60.2.5'

1 5 1 4 2 _ _ 12) det o0 1o _122 _122 = (5)( o o —7 —3 l

Para finalizar csta scccién, sc enuncia el siguiente teorema on 6111110 56 rcsumcn la's ptincipa’l'es propiedades de la funcién determinante estudiadasaqui;

—3 —18 -1a

1 (L2) _. —§(L2)

_1_ (L3) 7‘12“”

'

(x;, M) y (x;, yz)~

(5)“ o

9

= O

' Adcmés, yea quc tanto x = x1, y = y. comox = x;, y_ "—1): satisfaccn la gouacién (pues

(L4) -* (L4)+(L1)

160.2.6

4

240

obtendria una cxprcsion del tipo Ax + By + C = 0 para ciertas constantes A, B, C).

leo. 2.5

1 o

o

‘= ,

( 5)( 12x4)

En efecto, observe que se trata de una ecuacién lineal en 1: y en y (tanto x come y aparecen solo en una linca y en una columna. Al desar’r’ollar cl dcterminante se

teor‘ema sobre determinantcs aplicado en cada paso

l

0 _ o

1

Se afirma que ésta es la ecuacién de una recta que pasa por los punto's' (x1, y)) y

Sc expone enseguida 1a secuencia dc 'opcracioncs rcalizadas en la matriz y el

teo. 2.6

2 -= _ ' _

1

(X2, y2)'

.PUIr-‘N

‘r—I-bUJt—t

det-

2'

det

Supongaahora que se quicre calcular

4

5.1 "

Y asi, en lugar dc las 4! = 24 operaciones que se hubieran tenido que rcalizar para haccr e1 célculo dcl determinante, Solo 56 tuvieron que hacer 8 operaciones en las linear: de la matriz y aplicar las propiedades correspondientcs do 105 dctcrminantes.

(L4) —» (L4)+(L3)

(L2) —'» (L2)+(L1)

160. 2.2

= ( _ 5)( _ 12) det '0" o o1 (1A) -’ (L4) + 7(L3)

4

(L3) ~> (L3)'+ 3(Ll)

'

.» p . 4 12.

'-

l

.

(L4) ~> (L4)—4(L1)

.

2 01 0

4 21 —7

5 21 —3

.

'

.

7

7

c) Si A’ es la matriz que se obticne do A intercambiando en ésta dos de sus lineas, entonces detA’ = — detA.

(1) Si A’ es la matriz que resulta dc A multiplicando una de sus lincas por la constante k, entonces detA’ = k detA. 6) Si A’ es la matriz que se obtiene de A sustitend'o una dc sus lincas por ella misma més un multiple do otr‘a linea, entonces detA’ = derA.

134

ALGEBRA LINEAL

DETERMINANTES

135

1) Si la matriz A tiene "dos de sus lineas iguales, entonces det A= 0. g) Si lamatriz A tiene una de sus lineas formada exclusivamente de ceros,

A=

8'7 50 3a-2

entonces det A= O. h) Las propiedacles enunciadas en los incisos c), d), e), f) y g) anteriores,

siguen sicndo vélidas Si en lugar de la palabra “lineas” se escribe la palabra “columnas”. i) Si la matriz A no es inversible, entonces detA = 0.

DEMOS TRA CIGN

Sin hacer el célculo del determinante de esta matriz, encuentre ei cocficicnte de (13 en

la expresion (ie detA.

8. Considere la matriz

Dispersa en las pa’ginas anteriores.

A =

Q.E.D.

2

“I

2x

x 5 l 3

-2 3 -x 4

3 2 4 8

4

1 3x

4 1 2 3x

1

En la expresion de detA aparece un termino del tipo kt’. Calcule el valor dc k. 9. Considere la matriz

EJERCIClOS (SECCléN- 2, cAPiTULo 2) A B

11 Considere la matrizA de ordenS con elementos (1y, 1",} =, l, 2, . . . , 5. Determine cuziles

de los.s_iguie1_11es productos de elementos de la matriz A aparccen en la expresién de_ det A y con qué signo. 1) aiiafiasaattass- ‘ 2) alsafiaizaaiast 3) anagagzauag

4) auawkfluau

. 5)“ afidnauasgan

I 1 V .'

_ -6)_ -aisasga42a21a“

7) asflazauaziau'

2a

2

3b

5

*1

1)

2a

4

8'

a

b

2b

“1)

~10

5

3a

Determine euélcs de los 51gulentes términ‘os aparccen en la expresi'on de detA En el. caso de que-aparez‘can, calcuie el coet'icicntc k

21) ka4 b) kb4

1c) kbs 11) kazbs

8) assauaazazflu

v Haga una lista de todos losproductos elementales que aparccen en la expresién del

10. Calcule cl (lctcrminante de la mzitriz (le orclcn 11

determinante de una matriz de orden 4 A = (410).; ,-.,, , , , ,4 que incluyen e1 factor (123 y encuentre su signo. Realicemna lista de todos losproductos elementales-queaparecen en la expresién del determinante de una matriz de orden 5 A = (av),~,,-.l,,_q5 que incluyen el factor a; [(134 y determine su signo. Haga una lista de todos los productos elementales que aparecen en la expresién del detenninante de una matriz de orden 6 A = ((1.7).;1.1, . . . , 5 tales que

a) aparezca el factor a; Ian y que tengan signo positive, b) descubra ei factor (111032043 y que tengan signo positivo, c) aparezca cl factor a; land]; y que tengan 51giro negative, 11) descnbra e1 factor 011022433a44 y que teiigan siguo négzitivo. I Determine para qué valores de 1 yj el producto [112a21a3sa4fl54 es un producto elemental

ll. Sea A0 la matriz asociacla a la permutacién 0 del conjunto { l, 2, . . . , n} (ver ejercicio

l 1 de la seccion anterior). Demuest're que (letAo = sgno. 12. Al usar la definicién (le determinante, calcule O

'I

02',“

'42"

awn-l

an"

que aparece en ia expresién del determinante de una matrix de orden 5 con signo

positive. Determine para qué valores de 1', j, k el producto afiauailagjagzayan es un producto elemental que se lialla en la expresion del determinante de 1111;: matrtz A tie orden 7 con signo negative. Considere la matriz

an!

0’12

'

-

-

13. Al usar la regla para calcular determinantes de ordeu 3 dada en la subsecci'on 2.1, evalt'ie los siguientes determinantes:

137

DETERMiNANTES

ALGEBHA LINEAL

8 2

1

-1

4

—2 1

l det 2

l 8

4 -1

3

9

3

d)

17. Suponga que a

b

c

det d

e

f = 3

g

h

i

LES esta regla valida para matrices de orden 4? Si es as l, dcmuéstrelo. Caso contrario, dé 1111 contraejemplo.

Calculc:

14. En la subseccion 2.2 so definio e1 concepto dc transpuesm de una matriz cuadracla. Compmebe las siguientes propieclades de la transpuesra (A y B 5011 matrices cuadradas del mismo orden)

a) (A + B)’ = A’+ B'

c) (AB)' = B'A'

b)- (cA)' : cA'

15. Sea A una matriz dc orden n y c un nfimcro real. Dcmuestre que

b) det

det (cA) = c” detA (Sugerencia: use e1 teorema 2.5.) 16. Se dice que la matriz 'cuadrada A es una matriz: (1) simétrica 31 A = A‘; (2) antisime’trica siA - -A'. a) Demuestre que sirA vy :B‘s‘on matrices siinétricas del mismo orden,_emonc'cs la,» ' ' ' ' matrix/1 '+ B- también es 'simétri'ca. .

'b) COmpruc'be que si'A es" 1111a matriz sime’trica y-c'es' 1111 nt’xrr'ier'o real, entonces laf --

c) det

’ 2a

2b

2c

d+~2f

f

e

g

h

l

L 3d

e) det (1 +20

36

3f

6

b

8 + 2i

1

h

'a+d

b+e

f+c

g

h

i

L d

e

f

A =

' '

.

1.1) A = [g 13] j)

-

'

1 3 —2 7 8 4 5 —10

1.2) A = 5

.

Compruebe quc la matriz cero de orden n es simélrica y antisimétrica a la vez. M213 211’111, demuestre que ésta es la 1'1nica matriz con lal pr‘o‘piedad.

b

2 6 10' 14

1 5 9 3

Ac=

16 A _ 12 c” 8 4

4 8 12 16

3 7 11 15

9 6 3

8 5 2 15 11 7 3

7 4 1 14 10 6 2

13 9 5 1

LCémo cs cl valor dcl (lctcrmirmme do 121 matrizAc rcspecto dcl valor dcl dctcrminantc de la matriz A?

'

h) Sea A una- matriz cuadrada dc orden n. Prucbe quc la matriz A2 = A - A’ es

Veriliquc csteresultado con las matrices

e+b

a

c

3 6 9

2 5 s

1 A= 4 7

g) Sea A una matriz cuadrada de ordcn I1. Dcmuestrc que la matriz A1 = A + A! e5

cs'cribirv como la‘suma--'§lc una matriz simétrica y una matriz antisimétri‘ca.

—h

posicion simétrica rcspecto dcl centro de la matrix. For cjemplo:

El si-guicnte argumenlo "dcmuestra" que toda matriz cuadrada cs simc’trica: Sea A una matriz cuadrada cualquiera. Segi’m cl tcorema 2.1 sc tienc quc (MA = (let A'. Entouccs A = A'y por tantoA cs simc’trica. Di ga e11 dondc sc encuentra e1 error (1e estc argumcnto.

anti‘simétrica. ‘ i), Use 105' incisos b), c), 'g')'y 11) para dcmostrar que toda matriacuadrArIa A vse-pu‘ede :

—g

d+a

(1c camblar dc posicion lo's elementOS de'A do morlo qu‘e cada elemeiito q'uede

d) Dcscriba 1a cstructura general de 1215 matrices Simétricas (1e orden 2 y do ordcn 3. e) Dcscrlba [a estrucrura general dc las matrices antis‘imétricas dc ordcn 2 y de orde113.

simétrica.

-i

1) gig: f+c

13. Para 1a..mania-665111611121 1166111611.}. Se deli 11c lama’triiiAc, Como aque‘lla que rcs‘ul'ta‘ e11 la

. . matriz 0A también cs sim‘étrica. matrices para anteriores incisos ([05 los de rcs‘ultados c) Demuestr‘e la va'lidez de los antislmétricas.

1)

I) e I1

40 4d 4g

c d) det f i

f c i

e b h

—b a) det a g

_19._

Resuelva la ccuacién

1

x

.' .xz»

‘ x3,

’1 1 1

2 3 4

4‘ 9

8' 27

16

64

..

r.

" " 0b) M

NOQ‘G

2 4

2 2

axe-3-

1 det ”3

'c) 'det 32

6

b)

'

—2 '. 4

wow:

~21) det 3. 4 1 1

k) » Demuestre que siA es una matriz antisime'trica de orden mean 11 impar, entonces _ . i __ . . . detA =10. (Sztgerencia: 'use e1 resultado del injciso anterior.) 1) Por medio de un ejemplo concrete, muestre que la afirmacién del inciso anterior es falsa si 11 no es impar.

4» 8.571

5

hoax.

2

,‘j- _ 1

A

136

(Sugerencia: inciso a): observe que el micmbro izquicrdo dc csta cxprcsién es un

. polinomio dc grado 3. El problema es entonccs hallar las ralces dc cstc polinomio b): cl Aplique e1 corolario del teorema 2.4. Una obscrvacién similar para c1 inciso

polinomio del miembro izquierdo cs ahora de grado 4.)

DETERMINANTES

ALGEBRA LINEAL

_

1'20. -Rcsuelva121 eCuacién .1

'

..

_

l

1 1-1: l

1

1

1 det

l 1 1

1 ... 1 2—x . . .

I

a1

“my g

a) det

(03+ b3)2

(a2 + [31)2

— (01+bl)2

a§+b§

ag+bg

b) det 2mm

a

02

6) det 1

b

b2

C

02

1

agba

azbz

01b:

1

“ c) det ..

c f

b e

a ~d

_

1 ; a

42 52

42

52

62

52

62

72

-

.,

‘

al

I); (111+ b1y+c,

a1

b1

cl

a) dc! a2

122 azx'+ lbw-02

= det a2

b2

62

.. 03

b3 0:115" bay +C3

(13

b3

(:3

_

_

b)

(let

a

b

c

be

ac

ab

a3

1

a

a’

c) det i

b

b: = (a+b+'c)det 1

b

b:

c

c

1

, - . 42 . 02- 2 ' ‘ ._ (17”): ' C): I” + ”1291““? f! 172 d). ‘ 4t b: . V. (c :2“) ' (a + b) 1 C _

e) de:

_

1+a 1

1 1:12

1

1

1 11

1c

1 i

1 +d

abc

a

e

C’

62

C

1

d5

d3 ' d

1

b- 1

b2

‘0

4

10

0

e) det 4

o

o6

48

'89'

'0

o

0 12

1

1

1 l

3

2

1

1

4

3

2

1 b) det 4_

2 5

3 V 6

L7

8

9

.

> . '

. ‘ '

»

.

.‘ ' . _ ~ '

_

. V . . ' '

‘ ‘

"

c) d“

".1" 1 l

m0d

‘

1,1

.El

1' O 0 - .1

1,

11. 1.

1‘1“ ‘ 1

d) det —1 2 0

3

0 l 0

5

. 1 0 2

3.

i

,

.

,

,

l

0

1

1

1’

0

l

1

1

1

0

:- . . 1 .. 1 -

1

- ' . fl

-3

3

92:33:: 3

6

3 2

5 3

_'

2 1 -'l

h) det

'

.

11 7

16 10

21 13

1.

2

3

4

5

2

~7

7

7

2

1

4

5

3

10

EL DETERMINANTE DE UN PRODUCTO DE MATRICES Esta seccién seré muy cotta. Resulta quc su contenido mcrccc la pena dc set

.1 ’

1 ’

dab

'

a

:

f.

= (b-a)(c—a)(c- b)

c

1 1

I. I

_

-1

c

C

1

a2

a3

cda =21; b3

'

‘

l

1

1

bed

0

»_® 22; Sin hac’er‘el célculo-de 10$ determinantes.inVolucradOs, pniébe 121 validez de lasi ‘ ‘ " ' " ' ‘ ' " siguien‘tes expreSionesi

_

1

1

b

d

Z

32

"

1

a

6’

a) der 2

42

e

x+d

d1

5

32 42

.

c

' . _'s' —x(x+a+b+c+d)

23. Ca1cu1e 105 Siguientes déterminautcs llevando 1a matriz correspondiente a su forma escalon’a’d‘a (y aplicando en cada paso los 1coremas 2.4, 2.5, 2.6 y 2.7).

i

11 . 22 dt 22 32 f)

ma‘+nd mb+nc> mfc+nf

b

l

I

.

—

d. d

a cosa cos (a+d) cos b cos (b+d) cos c cos (c + d)

sena d) det ‘ sen b sen 0

c a + b 1

-

j

2.4, 2.5, 2.6 y 2.7, caiculc 105 signicntcs dctcrminantcs: b a+c 1

d-

6 x+c

a

21. Aiusarsolameme [as propicdadcs dclafuncién detcnninantc dcscritas cn 105 [commas a b +c l

' Haa Ddet

' . . ".1

1

C

x11? b

_ . ._ x+a

139

= 0

.

138

..

~ .2. ~

. ‘ - _. .. ' '

. ., , ‘

= abc(“1 +21“ +1)" +04 +11“)

~ :.

1 "

1 7 ‘

_

separadc dc resto .deI ma_teria1 quesc esté estudiahdo. E1 objctivo es estableccr - solamentcuna f61mu1a; .una de1as férmulas mas bellas del élgebra’fineal. Al estudiar la'multiplicacién do matrices ycl cz'xlculo'de dcterminantcs, pucde surgir naturalmentc 1a siguicnte prcgunta: Lqué relacién ticne cl determinante dc un producto dc matrices cuadradas con los determinantcs de cada una de las . matrices en el producto?

Siendo tanto la muhiplicacién dc matrices como el cé1culo dc dctermmantcs operacioncs altamcntc no triviales (aprimera vista), en principio no sc podrl’a esperar una relacién sencilla cntre det (AB) y 105 determinamcs del A y del B.

140

141

DETERMINANTES

ALGEBRA LINEAL

ES de espcrarse que el'lector puecla apre'ciar 1a Sencillcz y la elegancia de la férmula anterior, par'a- la' cum. se. veré un. argumento también sumamente ,sencillo,‘ que

. Por ejemplo, para la su'ma de las matrices cuadradas A y B (operacien mucho més seneilla que la intlltiplieaeién deciles) uno se pfiede plantear la mismapregunta‘ anterior. Por supuesto que seria agradable que aconteciera (let (A + B) = detA +

estableceré su validez.

Primeramente se establecen un par dc lemas preliminares.

det B. Sin embargo, esto es false. Considérese per ejemplo:

=:[ .2] Bf: 2]-

I

LEMA 1

i) Si E es una matriz elemental qtie provino de 1,; intercambiando en e’sta dos de sus lineas, entonecs det E = -1. ii) Si E es una matriz elemental que provino de I,l multiplicand'o en ésta

una de sus lineas per 6, entonces det E = c.

: 417 A+B[617]

iii) Si E es una matriz elemental que provino do 1,, sustituyendo en ésta

una de sus lineas por ella misma mais un mt’iltiplo dc otra linea, entonces dez E = l.

Setiene etA

d

=

5 det [2

8 10]

=

DEMOS TRACION

34

i), ii) 6 iii) son censecnencia inmediata cle los teoremas 2.4, 2.5 y 2.6, resmctiva—

mente, y del hecho de que det L, = l. Q.E.D.

-l _ detB—det [ 4

9 7]

= _

43

LEMA 2“ =

i_.

A. det(A+B)—det

“ > .

I7_. .4. 17 --34 9* detA + det B 6 DEMOS TFiA C/(jN

Ante esta perspectiva parecerl’a ilusorio esperar una relacio'n seneilla para el producto. Considérense las mismas matrices del ejemplo anterior. Setiene

= AB

5 [2

8 -l 10][4

9 = 27 7] [38

101 88]

' Sea-A una matriz de orden ll .y sea E una matriz- elemental. Entonces '/'/ de'i(EA) é,(de1E)(derA). ‘ Si A’ es la matri'z que se obtiene de A realizando en ésta una operacién elemental,

l entonces, por el teorema 4.5 (capitulo 1), A' = EA, doncle E es la matrix elementa cl Entonces l. elementa n operacié misma la ésta en o realizand 1,, de que provino lema (1). lema se sigue inmediatamente de los teorcmas 2.4, 2 .5 y 2.6 junto con el

Q.E.D.

TEORElVlA 3.1

Sean A y B dos matrices cuadradas. Entonces det(A B) = (detAXdetB)

Entonccs

-. an (AB) = det [ 73‘;

12;] ‘= —146_2_ =' (sax-4,3) .=‘ (det-AXdétB)?

“ i DEMOS TRA CION

Se van a considerar (loseaso's. ' Case 1.

LCoinciclencia?

Aforlunadamente no. Result-21rd que, en general, si se multiplican dos matrices cuaclraclns A y B y se calcula el delerminante del producto AB, lo que darzi per rcsulluclo el proclucto de los determinantes de A y de B, es decir,

det(AB) = (det A)(det B)

A es una matrix no inversible.

En este caso se afirma que AB también es una matriz no inversible, independientemente cle cuz'tl sea la matriz B. En efecto, supéngase por contradiccién que AB es inversible. En tal caso existirr’a una matriz C tal que (AB)C = I". 0 sea; A(BC) = 1,.. Pero esta filtima expresién nos

dice que A es inversible(seg1’m e1 teorema 4.4 del capitulo, 1) y que

142

DETERMINANTES

ALGEBRA LINEN.

Case 2.

ovslea,‘ qne det A cs'un factor de un producto que da por resnltado L Enronces det

AI = BC, una.00n{radiécién. Entonces, por el éorolario dcl teor'ema 2.7, '56 tiene {let/1i = 0,3! det(AB) = 0. En estc gaso sescumplevel rcsultado del teorema (ambos miem‘bros de la igualdad son cero). A es una matriz inversible. En este caso, segfin el teorema 4.8 (capitulo 1), A puede cscribirse como producto dc matrices elementales, digasc

143

A at o; '

\ , Q.E.D.

COROLARIO 2

A = E1 E2 . - - Er

Si A es una matriz inversiblé /

.

(detA -l )

=

(detA) -1

l = ....___

det A

Entonces lema 2

DEMOS TRA CION

l det (AB) = det (Es . . .EkB) = det (E1E2E3 . . . EkB)) = (det E1)

Consecucncia de la férmula (detA)(det A") = 1

det (EgEg . . . EkB)

cstablecida en el corolario (1). Q.E.D.

lama 2 ‘ l‘

Los resultados anteriores perm‘iten tenet la siguiente representacién csqucmética dc 1a funcién determinants:

. . . EkB) = (det E))(det(E2(E3‘E4 . . . E38») = (det E1)(det E2) d8! (E3E4

= . '. . = (det E1)(det E2) '. . . (det Ek)(det B)

- _ .Pero ppr un argumento similar a1 anterior (aplicaciones succsivas (161

"2' lg'maZ)

_ '

I'

'

"

"

- ‘

Matrices

detA = (detEIXdet E2) . . . (det Ek)

INVERSIBLES

Entonces,

det (AB) = (detA)(det B) Q.E.D.

CONJU NTO DE MATRICES CUADRADAS

Una consecucncia inmediata de estc resultado es que se-pucde establecer (como ya

56 mencionaba a1 principio del capitulo) una caracterizacién dc la propiedad dc inversibilidad de una matriz en términos del valor de su dctcrminantc.

COROFARIO 1

[La matriz A de orden n es invetsible si, y 5610 si det A 9* 0.

EJ-ERCICIOS (SECCION 3, CAPiTULo 2) l. Considere [as matrices

7 2 ‘1' 13 . f

DEMOSTRAC/é/V La Kim-re “Si” yfi‘fuc demostr'a'da' en'e'l'corol'arid del-teorema 2.7. Sc firebarzizentonc'ésel “5610 si”. Supéngase que A es inVers'ible. Entonces existe A"l lal quc AA" = 1. Por tanto,

det (AA") = (let I II

A=1"4‘5 -2

l

7 3' -1 4

a) Vetifiquc que det(AB) = (detAXdetB). b). Sea C = $991,).t 1a matriz cuyos elementos son: C5; = dub); + 0520,: + 0.3013

.-1V

‘B=',1-2'1V

2

'

(detA)(de‘tA") = 1

'

i,j = 1, 2, 3

2

6

144 ALGEBRA LINEAL

'

Es decir la matri-z C se obtiene' multiplicando lineas do A 11111 lineas dc B" For ejemplo,- e-l elementovczg so obtiene multiplicando la segunda linea do A por la

.

‘

'.

-

‘

i _

f;

'

I

DETERMINANTES

>

d) Calcnle (19’(5A) ‘

.

e) Calcuie det(2A-l)‘.

terccra linen de B

a) 'Demuestrc que el producto AB es una matriz inversible. LE5 el producto BA

también inversible?

Demucstre que det C = (detAXdetB) c) Sea D = ((1.31, I", 3 1a matn’z euyos elementos son:

d) = (11.-b1) + £12.02,- + aybgj

b) Ca lcule det(AB)~ ‘, y det(BA)-1.

c) Calcule det A-IB.

i,j = 1’ 2’ 3

d) Calcule det(2A-l)(BB-l).

Es decir, la matriz D se obtiene “multiplicando columnas de A per columnas (Ie

e)

B". For ejemplo, e! clemento 1131 se obtiene multiplicando la tercera columna de

COmprUSbe que der D—- (detA)(detB).

(D 2.(Generalizac1_o11 del ejercicro anterior.) Sea11A= (411'): f4... . . , ,, y B.‘= (hwy-1, _,,. dos

»,"

-d-1",.2,

,,

~ ,

I

, .‘

:7

__

.'

I.I 7

.

A

_

_,

3. Sin calcular el determiname, pruebe que

a _b

det ~c '

-d

b ' d

Ld c

c (l

,_ .

-

..

_

,

.1 .

_

.

_

, .

1@

.

_

..

V.

r

a ‘ b B (a2 + 172 + c: + (F?

'

a

-

,.

+3 n

)

11. SeaA la matriz de orden n cuyos elementos son (1;,- = i + j, i, j = 1, 2, . . . , n.

b) Prucbe queA no es inversible para 71 Z 3. 12. Sea A una matriz nilpotente (véase ejerciclo 14 de la seccién 3, capltulo I). Calcule (161A.

13. Sea A 1111a mat riz involuroria (véase cjercicio 26 do la seccién 3, capitulo 1). Calcule 105 valores posibles para detA.

A1 usar e1 teorema 3.1, dé una nueva de111ostracion(ve’ase ejercicio 14 de la seccién anterior) de que , '

...

.

4.

DESARROLLO PCB COFACTORES

_. def (CA) = 0" de’ A

Cor1s1dere la matriz de orden 3

en donde A es una matriz de orden n y 0 es un nfimeto real cualquiera. . . _

(Sugerencm: cons1dere la matnz CL.)

A =

6. Sea A 11113. matriz de orden 3 cuyo determinante es igual a 2.

a) Compruebe que A es inversible. Cfllcuie der(5A-l).

(__n

30

_

t__6_23'+ .

'...

a) Calcule la traza de A y demuestre que su valor coincide con la suma do 105 elementos de su diagonal secundaria.*

4. Sea A 1111a matriz dc orden n. Demuestre queel determiuame de la matriz A2 es un mimero no negative. -

b) Calcule (IetA-l.

14

16

b) Compruebe que M,. es una matriz 11oi11vcrsible para 11 2 3.

-

.

C)

13

. 15

y que este valor coincide c011 la suma (114.61% elemcmos de la diagonal secundana de M,.* i

(Sager9716'ia: use ‘31 resultado dd ejercicio anterior.)

5

8”

§,M3= 91011,M.= 12

,_

__

-b

M,=[1],M2=[i

7

a) De1nues1re que [:1 traza de la matriz M,. es

..

I

Demucstrc que det(AB) = (detA)(detB) = det C = det D.

G)

-

,

-i,.j ='l,2;_...-,n_'

k '1

)

6

. .~

(lb-by:

X

@ 10' Considere 135 matrices

"1 "‘ 1.2,....n

y sea D = (611;);H, . ,__,. la matriz cuyos elementos son: .

)f

.,,. 1a matriz cuyos elementos son:

_. cw k-l 24.1121.

1(1158" 2A 68.

a on e e (

8. SeaAa la matriz asociada a la permulacion o‘del conjumoj l, 2, . . . , n} (véase ejcrcicio l 1 de la seccion l). Compruebe que Aa es una matriz inversible. Determine A5‘. 9. Demuestre que 51 A es una matriz antisimétrica do orden 12, con 21 impar, entonces A no puedeser inversible. (Sugerencia: véase ejercicio 16 (k) de la seccién 2.)

0'31 = (3X3) + (5X1) + (2X4) “ 23

matrices cualesquiera de orden n Sea C= (cm1.1,

Cl

D Calcule det(SB)- (2A)(6B)‘

A por la primera columna de B

_

.

7. Sean A y B dos matrices dc orden 4 tales que detA= 3 y det B = -2. c” . (3(4) + (4X2) + (5X6) = 42

.

145

.

£111 6121 a3;

(112 £122 (132

*La diagonal secundaria de la matriz A=-= (411)11 1.. '

a2. n-la ' - -: anl

(113 £123 (133 ,, esta constituida por los clementos 01m

146

A’LGEBRA LINEAL

.

DETERMINANTES

Sc ha visto quc e1 detenninant'e dc 'es'ta’ matfiz'Icsté'd‘a‘do por ' _

,

>

:_’

.

'

_ ’.

_

-

147

Slipllarmente

detA =" 612111225133 +1112023031 + (113021032 * alsflzzasx ‘ animus: * (11261216133

A1 reescrlblr esta expmsién factorizando los elementos de la primera linea de A

ticne

(121

A =

as

(123

= [a -

a ]

31

33

'

£16! A = (022033 " Gunman + (0231131 ' 61210310012 + (“21(13'2 “ (122030 013

(4.1)

A =

=

Obsérvese que las expresioncs entre paréntesis lienen un gran parecido a1 valor dc] determinante de una matriz dc orden 2. De hecho‘

3 . ,

(122

(133]

coeficientc de (112 ='(l23(13| _ am,” =. _ de, a?!

“23

(131

£133 '

. .

coeflc-Ientc deal; = (1216132 - (122031 = det an

' Inlroduzc : '

‘

’

(132

'

V _

.

U32

=

AU’Z)

a2:

[an

A(1, 3) = ["2‘ “3‘

orden 3 per medic de la evaluaclén de 3 determmantes de matrlces de orden 2 -que se calculan muy fécilmente—.

.

2

'

,

\

lienc csta férmula es en relacié'n' a la facilidad de los célculos para hallar cl detemxinantc de !a matriz, pues germitc evaluar ‘?1 dgterminantefie' 1a matriz de

\

‘

I ' .. ‘ In asela nOtamén

AU, 1) = a”

6232

Sigue sicndo véiido para cualquier‘ linea obolum'na c.) La ventaja mzis obvia que

an

16131

(122

La férmula (4.2) que establece el valor del determinants de A “con los elementos de la primera linea de A factorizados” se llama desarrollo por cofactores del determinante de A respecro de Imprimera lined. (Se veré que un rcsultado similar

£123

coefmemc de a“ = ”21“” — “23032 = 'der [an

(121

€131

,

-

-.EJE_MPLO .1. ' Y

..

v.

' ~.‘Potej‘empvlo,siA esla‘m'atriz

z

.

'

-

-

'

.

a”

2

£133

A =* —1

.

5

3

5

8

7- ‘

2 —4

(4.3)

6123

(133]

so ticne quc aplicando la férmula (4.2) .

“22] “32

dams 2 detA(1, 1) - 3 detA(1, 2) + 5 detA(1, 3)

V.case cntonces, que la formula . . . como (4.1) puedc escrxbnse

‘

-

detA = a“ detA(1, 1) ~ an detA(1, 2) + an detA(1, 3) ('

.

_

_

2 —47

— 2 det 8

- 3 (let

—15 ~47

+ 2 (let

—15 28

= 2(45) ‘ 3(13) + 5('18) = “37

3413553111}: 'obsérvese q'u‘e IA“; 1) Tila matriz cO’dé-t‘ennihantep's c1 éocficiente . . 2

(13;

,.

(4.2)

« c_l_e (1x 1' gqrdetAf—I-“cs Ila submatriz que seipbtiene .de Aw“borrand0”, de ellavJaprimera linca y la primera columna (que es precisamcntc la‘ linea y la columna a la que pertcnecg 31 elemento an). 0863, a2;

‘

_ - -

I '3 -

2- ' I -

.

1 -

' ' ' '

- .

V

resultado que puede'cémprobars'e' haciendo el' célculd del détéfininante de A

' directaméme cdn‘ la definicién. ' " E1 objetivo de esta seccién cs extender'este tipo de ideas a matrices de orden arbitrario y obtener algunas consecucncias précticas de los resultados quc se establecerén. . Sea A una matriz dc orden 11 con elementos (11;.

Se denotaré por A(i,j) Ia submatriz de A, de ordcn (n — 1), obtenida eliminando en A su i-ésima linea y suj-ésima columna. Es decir,

148

DET ERRMINANTES

ALGEBRA LINEAL

A(i j) = I

(Ii-1.1 aim a“

--- - ‘ ‘ '

01.1.1.1 (Ir-1.1+: . . . Gnu-1 anun - - atl

and-l

" exhibc todos los sumandos do (4. 5) en los quc apg‘irece. an como factor cotnun E11 general, la parte dc la formula (4.5) en la que so cxhibe explicitamcnte el factm

:a-u.

any)

aiJ—l

Vll-

' - 1

149

01-1,,

11-1

am,"

linens

am es:

an"

0 a (1-1 1 411101) . it "‘(~)"'

n 7501)

‘ - ...

2 “(2)

1 k

S ’N X " (g RES n(-l)=k

n—l columnas

EJEMPLO 2

Entonces, la formula (4.5) pucde escribirse como

Por ejemplo, para la matriz (4.3) so tiene

A(2.2>=[§ 3] A(3,1)=[§ j] A(3,3)=[_f 3]

datA

n(1)-‘i

cl, determinants de A de tal m‘ahera que los olementos do su primera linea a1 1-, an, . , (1..., aparezcan factorizados. Es decir, se procur‘aré 'una expresion' del tip'o n

detA = 'Y11(Iu +‘Y12012 + ~ - - +Y1naln = Z ’Yualk 17-1 . . _ _ . . _

(4-4)

V 'Al coeficiente y"- que aparece multipliéando al elemento (:1,- (i=1, 2,.

, 11) 'en la?

.

._

- ~ 1

It ' 011, aIn: ()

+

11(1):;

n(n)]az"m"-“"n(n) (11"

“(2)

+ ...+ 122's’il Sgn[n

n

. . .

2

1

._

x(l)-

‘

R.

'ex'p'resion anterior se le llama co'fac'tor (d'el elemento (1..) Se tiene, segun la detmicion do detcnninantc, quc

n(n)]a3(N1)

75(2)

i HI+ n;$53n[k

+

n

2

1

En el caso genoral (sicndo A una mattiz dc orden 11) se ptoceclé'ré analogamente a

como se hiz'o a1 principio dc la'seccion‘con la matrizl'de or‘den 3'. La icleaes expresar

+ 1t(n)]az"(2l"'qnn(n) an

”(2)

11;? sgn[1

,

n

2

, 1

_

I.‘

.1

_.~

.7"2"{

‘..7.

.

:

I

V"

-ann(1u)

=1;

n(n)]a2'n(2)H.

15(2)

"é bgn[ k 11(1):;

I

‘

(11;;

A1 comparar csta oltima formula con (4.4) se ve que detA = 2

(58" ”)0! x(l)al 11(2) . - .annOI)

II

Se llamaré 8,. a1 conjunto de todas las n! pemmtaciones de [ 1, 2, . . . , n}. Se escribiré

més explicitamente la formula anterior come

ylk

/

=

n

2

l

Z sgn[ k

“(2)

n00] (1211(2). . . anMn)

(4-5)

I: E S. 1t(l)=k

Se quierc vet que en tealidad y“. es (excepto quizas por un signo) el valor clel det A = Z (58” 7001 210102110). . .(lnnol)

(4.5)

determinantc de la matriz A(1, k). Mas concretamente, se afirma quc

1168,.

De los 11! sumandos que aparecen en la fonnula anterior, sc agrupan aqucllos quc t1cnen al elemento (1“ Como factor comon. Estes son: 2

nES,

5-”,1

.2._

1

112(2)

g

n_

' 'nm)

.

«(n-1'

2 sgn n(l)-2

=det AU, 1)

En efecto, segfin la formula (4.6) so tiene que

l.

2

---

n

2

TE (2)

. . .

17,01)

1

_ “I?“ha) ' - - “111101)

(47)

Se probaré, primerarn‘ento‘, que esta formula es cierta para k'r- 1; es decir, que _

a11612,(2).,,a”(n).

Similarmente, la formula

1: e S,.

w = {—1)"" det A(1, k)

"[1 7“"n n. E 5,. n(l)-1

2

11(2)

n

n(n) “2"‘2"““""‘"’

150

ALGEsRA LINEAL

DETERMINANTES

151

Primeraxnente ‘ob'sé‘r‘vesequo en el téfini‘noagna, . . . an”, dc oSta filtim‘a formula,

' no aparcce ningfm Clemente dc la primera linea do A (31 primer_s_ub1’ndicc~ es (liferente de 1611 todos 10$ facto'rc‘s) asx’ como tampoco aparcce ningfin elemento de su primera columna (el segundo subfndice es n0) para 7: E S,.; pero 7t(l) = 1 y cntonces 7:0) 9t 1 para j = 2, . . . ,12). Eslos son, puss, productos do n - 1 elemenlos dc A(1, 1) cada uno de los cuales proviene dc una linea y de una columna diferentes (son enlonces productos clementalcs). Véase, ademés, que para cada pennutacion 7: E S,l tal que 7t( 1) = 1, le corresponde dc manera obvia una pcrmutacion 7c' 6 SM (16] conjunto {2, 3, . . . , n} (dcfina 7c'(/) = n0),j = 2, 3, . . . ll). Es claro lambién que dada una pcr’mutacién n’ €S,,.1 del conjunto [2, 3, . . . , n}, puecle asociétsele a elstala permutacién 1c 6 3, ml qua 1c(1) = 1y 7:0) = n’0)j = 2,. . . , n.

1

=

. s n u; _g

1 1

V

2

n 7C (’1)

a

a

_ .2 HZ} . .. .

n n(n)

cu.

2

3

0..

[(—1

on.

det'A =‘ (—1)“ detA’ Por otra partc, scgt’m lo “hablado” on (4.9) so ticnc quo =

detA’ == (deity/1‘0, 1))a-h + . . .

'YH

y qileda asi estableoida la formula (4.7) para k = 1. Hasta este momento so lienc que + Ymam

1

V

o'séa,

detA = (detAU, 1))(111 + 'Y12a12 +

.-_>

0 bien,

n , . #00] alu(2)v'-ann(n)

15(2)

[(-4

detA’ = (-1)“ detA

"£5,“

_

In.

Obsétvesc quc se ha logrado dejar en el mismo or‘dcn rclativo el rcslo do 135 columnas dc A; limeseA' = ((113),;MW," a la matriz obtenida por cste intercambio dc columnas. Sbgfin lo visto en la subseccién 2.3, so ticne qua

, Existc, pues, una correspondencia uno a uno entre las permutaciones 1: E S.

.. .

3

ppp

tales que 11(1) = 1 y las permutaciones 15’ E S,._, del conjunto {2, 3,. . ., n}. Ademés, la permutacion 76' E S _, do {2, . . . , n} tendré una inversion si, y 5610 si la pormutacién correspondientc n E S", 7r(1) = 1 la tiene (pues ninguna de las inversiones de (l, 1c(2), . . . , 1:01)) involucra al clemento 1). For 10 tanto,

2 detA(1, 1) = Z sgn[ 75(2)

2

'

detA’ =’ (—1)“"'detA’ = ((—1)"”‘detA' (1, 1)a11 + , .. Pero A’(l, 1) = A(l, k) y a’“ = all. Entonccs,

(4-8) det A = ((~1)"" cletA(1, k))a.k + . ..

Antes de proceder a probar la formula (4.7) para un k arbitrario, se desea dejar establecido “con palabras” lo que se ha ya probado:

Al comparar esta cxprési‘én con la formula (4.8) (igualando los coeficicntcs do a”.

on ambas expresiones) sc obtiene Sea A una matriz dc otden 11. El factor quc multiplica a1 clemento de la pn'mera linca y primera columna, en el dcsarrollo del determinanlc de A, es el valor del determinants de la submatriz de orden (n — l) que so obtiene de A eliminando su primera linea y su ptimera columna. (4.9)

Sea ahora k > 1. Procédase a intercambiar la posicién de la k-ésima columna dc A con la posicién de su primal-a columna, hacienda so’la inrercambio elztre c0 lurmms adyacentes. Esqueméticamente:

Y1]: = (- l)“ (let/Kl, k)

quc era lo que sc querl'a dcmostrar.

_

En conclusion, se ha demostrado el siguiente tcorema:

TEOREMA 4.l

(DESARROLLO pox cop/lemmas RESPECTO DE LA PRIMERA LlNE/X ms UNA MATRIZ.) Sea A una matriz dc orden n dc elementos a;,-. Sea A(1, k) In submalriz dc orden (11 ~ 1) quc se obtiene de A eliminando de ésta su primera linen y su k—ésima columna. Entonces

detA = (detA(1, 1))a1, + . . . + ((—1)“"detA(1,k)_))alk + . . . + + ((—1)“" detA(1, n))a,,.

.

(4.10)

1 52

DETERMINANTES

ALGEBHA LINEAL (el'hfiméto y“; = (—1)” detA(l~,yk), k = 1, 2, . 3 ' ' ' a! elemento an).

, n es el cofactor, cpr-respohdicme ' ‘ ' _ ' ''

153

,9 sea' que

En realidad, estc {comma es un case particular del siguicntc resultado meis

detA = (—1)"H detA' = Z ((-1)“"detA'(l,k))aik

general.

'1

Pete A'(1, k) = AU, k) y (1,”; = (1,1. Entonces

(DESARROLLO POR COFACTORES RESPBC'X‘O DE LA LESIMA LKNEA m: UNA MATRIZ.) Sea A una matriz de orden :2 dc elementos (1,7. Sea A(i, k) la submatriz dc order: (n 1) que se obtienc deA eliminando en ésta su bésima Ifnca y su k—ésima columna. Entonces

detA = Z , ((~1)M detA(1, k))a;.

-

TEOREMA 4.2

k'l

como se querfa.

n))ai,, def A = CH)“ demo, 1))Cli1+ . . . + ((-1)~ detA(i,

Q.E.D.

= R ((~1)"*" det (A(i, k))a.-,,

El desarrollo por cofactores dcl determinants dc una matrix A, puedc hacersc también respecto dc Ias columnas dc e'sfa. E1 ’siguienteteorem‘a hace explicito es'tc

21.,

hecho’. Su dcmostracién debe set, ugando el teorema 4.2, un ejercicio elemental

(cl mimero w = (—1)“ detA(i, k) cs cl cofactor asociado a1 elemento aik).

quc so deja para cl Icc‘tor; /' Interczimbiese 1a i~ésima linea de A con su primeta lfnea, rcalizando sélo intercam-

'o15)., com osc ‘ 'teream-b1 ' tonces (1'- 1') 1n ' fox-pargyen ‘eptes (cstp biosdell’ne‘asy a (1X30: ‘ mucstra csquemaucamgnte cnsgzgulda: V _

up)”;

§ 5

g

.

-

‘

TEOREM A 43 ‘ r ‘

)———>

>

W

(DBSARROILQ POR’CQFACI‘ORESRESPECTO DE LA J-ESIMA COLUMNA DE UNA MATRIZ.)

" ‘

'

'

' . Sc tiene’ la siguientc columna para detA: _

' dezA' 9 ((4i)1'fde}A('1,Tj))a‘.,-'+ . . . + ((—1)"*J‘derA'(n,j))éz,.,

XWFW 2 3

= ;" ((‘Uk'jdetJDak1‘

i~—1

Considércse por ejemplo, la misma malriz (4.3) y realiccsc cl Célculo de su determinante rcspccto de 1a 3a. columna. Se obticnc

Sea A’ = ({1},- )1, , 1, , , , , ,. la matriz tenida después de este cambio de lineas de A.

3

-

DEMOS TRA C/ON

For una parte se tiene

, det A’ = (.1)'~l detA o séa, - '

den! = (-1)“ detA’ P01- otra parte, so puedc aplicar el teorcma 4.1 a la matriz A’ obteniendo

detA’ = f; ((-1)"*’detA‘(l,k))n{k k'l

I

‘ i

;. ” ’

detA = z ((—1)“3 detA(k, 3))ak3 ._1

,

"

(\~ g- r: K) . y

,

.1

«wirééntw— m)“ gum-

= (-1)“3 (let/Ml, 3)a13 + (~1)2"3 detA (2, 3)a23 + (-1)“3 detA(3,3)(133

: (‘18)(5) " (1)04) + (7X7) = ‘37

A1 determinantc det A(i, j) so 16 llama manor de A, de ordcn n — 1. Con csla

terminologia, so ha vislo que el doterminante do A puedc expresarsc como una

suma de los clementos dc su i-ésima linca o j—ésima columna multiplicados pot (—1)"*i veccs sus correspondicntes menorcs dc orden 12 ~ 1.

154

ALGEBRA LINEAL DETERMINANTES Una maner'a fécil'dc rccordar los‘signos que ticnon cstm.menorcs (para clar 2151' 105 cofaclorcs.corr'cspondientcs). cs obsorvando que éstos estzin d1strlbp1dos

laltcmad’amcnte en la matriz A: 61 menor do an tienc signo (-1)”1 = +1, el de (11'; cs (-1) “2 = — l , clc., quedando emonces distribuidos como Sigue:

210118147

_ =

111000

_7+7

=

425120 011001

Dcsde cl punto dc vista computacional, cl desarrollo por cofactorcs do un determinantc de una malriz de orden n no licnen en principio vcntaja alguna respecto del célculo del determinants usando directamente la definicién dc él: e1 célculo del determinante de la matriz sc reduce al célculo do n determinames dc matrices do orden (n — 1); portanto,habr1’a que realizar (n)(n — 1)! = 11.! operaciones para

[211 célculo, el mismo nfimero de operacioncs que si se cvahia cl determinanle usando directameme su definicién. Sin embargo, se pucdencombinar las ideas expuestas en la subseccion 2.3 con el desarrollo pol” cofactores, procediendo primeramente a hacer operacioncs con las lineas y/o con las columnas dc 1a matriz,

de [211 forma que se logrc la mayor cantidad do ccros posible on adguna dc las lfncas o columnas, y luego desarrollando. por cofactotcs, con. rCSpecto a 6821 Hum: o columna. Dc cstarfonnase puedc ahorrar‘c'l {enema do los menores correspondien-. tcs a‘los clementos que son ccro-(pucs en la expresién- del dcszi‘rr'ollo pot cofaetorés . apareccn éstos multiplicados po‘r cl menor‘correspondiente). Véase un cjemplo.

-~JOOO~O

(JP-0000A

OONOOfi—‘OO

OO~OOOH

o~m~»—»—o

D = det

_o»—-mo»—4>H

Suponga que so quiere calcular c1 detenninantc OOAwu—v—N

EJEMPLO 3

,Al aplicar 1a (iefinioién do delerminante, 'sc t’icndrfa'q'ué real'izzir 7! 4? 5040

operacion'es para cz‘ilcu'l'ar D. 3111 embargo, so verz’i quc proccd'i'endo intcligcntemcnte so puedc ahorrar mucho lrabajo.

4

111000

de’301000 425120 011001

cofactor do an = (-1)7'7detA(7, 7)

La columna con mayor mimero dc ceros es la 621. columna. Si desarrol la D por cofactores respecto dc csa columna obtendré solo 2 (de 105 6) sumandos difcrcnte s

dc cero. Sin embargo, si sustituye la primera linea por 011a misma mcnos 4 vcccs

la scxta linea, e1 determinante no altera su valor y quedaria

2 —3 —4 1 1 4 1 0 = 1 1 1 o D d“ 3 0 1 04 2 5. 1 0 1 1 0

8 1 0 0 2 0

0 0 0 0 0 1

do ta! modo c ahora lartil'iimacolilmna ti one $610 an elemento distinto do cero. Al desarrolla't pot cofactofes respecto de 0521 columna so obtienc

2 1 D = (1)(*l)‘5"6 (let 1 3 4

-3 4 1 0 2

—4 l l l 5

l 0 0 O l

8 l 0 0 2

2 l = (161 l 3 4

-3 4 l 0 2

-4 l 1 l 5

l O 0 O l

8 l O O 2

Nucvamente, si sustituyc la primera linca per 6110. misma menos la quinta linea, e1

valor D no so altcra y se obtiene

—2 —5 —9 0 6 14 101 D=detl 1 10 0 3 010 0 442.512 Ahora lacuarta-columna tiene solo un elémento no 111110; Dcsarrolle‘p'or 'c‘o'fa'ctore's

respecto dc esa columna para obtener

En principio, vca quc la fillima Ifnca de la matriz tiene todos sus clemen-

tos igualcs a ccro excepto cl filtimo de ellos (que es 1). Convienc, cntonccs, hacer el desarrollo' de D por cofactores respecto dc‘ esa linea, pucs 2131 se reduce cl célculo a

8

141010

Dm(1)de‘301000

an

211101

_1»41010

155

D = (1)( ._ l) 5+4 det

-2 I

-5 4

-9 1 l

0

3

0

l

0

1

1

6 1

= _ (let

—2 1

-5 4

-9 1

’6 1

3

0

l

O

1

1

l

O

ALeeeeA UNEAL

DETERMINANTES

dcsarroltando por cotactores rcspectq de

(M1

1

3

o

1

1o

‘

0) la terccra 1111611

(1) la primera columna

. Considers cl (lclermiuame

10 det

Al desarrollar D por cofactores respecto de la filtima columria queda

61 determinautc de una matriz con una 111163 0 con una columna dc ccros vale ccro (teorcma 2.7),

. Calculc los siguicmes dcterminantes: 2 a) det 0

1 4

0

3

1

o 8

2

1

3

2

6) (let 4

47

29

A1 désarrollarporcofactores rcspeclo dc1atercera linea quad-a finalmentc

—2

]=' «371(1) (21(291121“'

Los resultados o'btcnidos en esta sec‘cién lichen también importancia desdc el punto de vista teérico En la proxim‘a seccion se usar‘an y se obtcndian varios tesullados nuev03 interesantes.

4 3 1 // "-1 3 -1 1 ‘10 3

o

6

(SECCIéN 4, CAPiT'ULO 2)

3

s

2

1

~10

18

1

(compare

d) d“ 0

0

3

0

cone»

det

5 3 -1

-1 2 2

2 4 -2

7

46

2

1 2 1 3

o 3 o 1

1 —1

1

9

o

- - -

o 1 o 1

7-

1

-

'2

4 7 3 9

3

o

1 ' 2

1

4

1

3

o 1

1

2

1

7

1

’5) d" 9

6

2

4

15

3

5

1

,

1 13

-

2

1 9

o 3

2 6

3 21

1

1 5

' .. Demuc'sire 1a validez'de las siguicn'tes»expresi011cs~(1asmai'rices ii11lo1ucradas son de orden n)

2 1 a) det 0

N

2. Ca 101116 61 delenninanle

3

——1

3-4

Sea Ci,- cl cofaclor aSociado 111 01611161110 [11,- de 121 malriz AJCalcule C12, C31, C22, C33 y C13.

o

2

6

132 A==-145

3

-1

J

1. Sea A la mairiz

2 1

7

L

EJERCICIOS

2 4 1) (let 0 2

2»

1

,—1, as

so

.

4

-0

C) de’ 0

o

'21-'90 100

1"..5

1

O

1

3

b_),d¢t 2..

0

-—2 170.

0

= ~(1)(—1)3*32dz[57 29]__,_—d [ [37 ~29

'_.

3

o

—29 —15 1 1 0 1

. A1 usar 1a férmula del desarrollo pot cofactores dc un determinante, demue'stre que

OO

37 D = — det —2 0

c)_ 1,1301 qué cl valor dc estc determinante no dependc dc x, y, z?’

1-;

Sustituya la‘ primera columna por ella misma menos 3 veces 1a tcrcera y obtenga

a) LCuz’mto vale estc determinante si (1 = 0? b) LCuz’mto vale 51 a at O?

.—

-8 —29 ~15 —8 —29 as] 1 1 1 = ~det_ 1 1 1 3 o 1 3 0 1J

N

= ~(1)(~1)2*4dez

oomr—H

4

'

1)) la segunda columna

NVNJA

"

1

0 1

15

oaoo'

__

-29

-

a) la primem [inea

-8

00¢

.. Svustimyé. ahdra 12: 1111111613 11116313096113 memos 6 veccs'ia segundai y bbtengal

w-d

156

ooo‘o...12

=n+1

157

DETERMINANTES

ALGEBRA LIN EAL

1_

1

1

—1

l

l

1

0

0

“1

l

= 2""

(en dondc 0 es la matriz cero de orden n). Sean A 1 y A2 135 matrices (dc orclcn 2n)

siguienres:

c) det

x

0

0

0

x

In“

x

0

0

0

x

0

0

0

0

x

1+1:2

1+x2. 0

= l+x’+...+x1"

4

0

0

1

6

0

o

0

0

3

2

3

A’ o 0 5 a) CalculcdetA.

® 10. Sean P,,Q.yj Rzrnarr'iceiscuadrafdas deiordcnn, Considcro la‘matriz A dc orden 2n

b) C'a‘lcule cl dct'errninante do {a matriz .

.2. 4'96. -.0 A‘

0

0

0

1

0

0

0

1

6

o 0

y compare su valor con cl dclcrminantc dc la matriz

“[i 2]

NLQOO

wmoo

ooh-o

5

Demucs'tre que det A = (det P)(det Q). @ 11. Sean P; Q, R y S matrices de'orden n'. Supo'n‘ga que Q es una mmriz inversiblc y quc S conmuta con Q) Prucbequc

g] = det (PQ - RS)

(Observe quc cl micmbro izquicrdo ’de e‘sta igualda’d se‘ rcfi’ere a1 determinantc dc Una matriz dc ordcn 2n, miemras que 6! miembro derecho de la misma se refierc a un

'y' compnrc' sn’valo‘r concl determinante dc la_ matriz

_

' 1A. [g g]

detfi

c) Calcuie cl dcterminnnlc dc la malriz.

A2:

A 3.41.41.

OOOHD)“

2

1

Compruebe que:

b) det A z = det P, detAz = det Q. Concluya entonces que detA = (det P)(det Q). 9. Use cl ejercicio anterior para calcular el dcterminanle de la matriz

. Sea A la matriz

L

“[0 0]

A' [o In] a)

(Sugerencia; use induccién.)

~

0

In

..

O

P

_1e:2

Humooo

0

159

_,,[0 .0].

, '_ _

e—‘ooo

0

HHNOOO

b) (let

1_

a-1

COO-ah)»-

1

GOOD->150.)

1

‘1' .-

OOOH

158

3 '

Q * [a 2] d) Verifiquc queA = A1142.

e) Calcule det (PQ) y verifique quc den! = det (PQ) = (det P)(det Q).

CD 8. (Generalizacién del ejcrcicio anterior.) Sean P y Q dos matrices cuadradas do ora n y considcre la matriz A de orden 2n

determinantc de una maltiz dc ordcn n.)

12. Use e1 cjercicio anterior para calcular el dcterminante dc la matriz

13—13~1_2 o 2'.5‘21"1. _‘A= 3V_‘0 o 4' 2:0 31012—1’ ' 0 31012 0 o 3 o 01 (ED 13. Demuestre e1 resulrado del ejercicio 11 climinnndo la hipétcsis de la inversibilidad de la matriz Q. _ 14. Use cl ejercicio anterior para dcmostrar que el dcterminantc

DETERMINANTES

161

ALGEBRA LINEN. J ‘

160

def

1 0

L .' 1 2 ’2'

1 2

1 1 2 "2

a 0

0 '0 b .‘OV

0 0-

'40 0

O 0'

0 0

0 0

3 0

3 4

3 4

3 4

0 0

0 0

c 0

0 d

0 0

0 0

0 0 4 3 2 1 0 0

5 0 5 4 3 2 l 0

5 6 6 5 4 3 2 1

0 0 0 0 0 0 0. 0

O 0 0» 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0- 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

e 0 0 0 0 1 0 0

0 f 0 0 O 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 L0

0 0 2 1 0 0 0 0

0 O 3 2 1 0 0 0

‘ Sesabe'que, 2C1] + 5C12 + C13

desarrollopor cofackores rcspecto de 1 as 1f neas d‘A c

7C2; - C22 + 3C23 2C3; + 4C3: + C33

desarrollopor

2C“ + 7C2x + 2C3!

cofa‘ctotes respecto de

5C12 " C22 + 4C3:

las columnas de A

C13 + 3C23 + C33

___ (let/1 = ,1

Uno sc podria preguntar qué sucederia si se hace e1 desarrollo por cofactores con respecto de la linea i (1 S i S 3) *“desordenadamente”, en el sentido dc que cada

sumando en el desarrollo no sea cl producto del elemento (1,; por su cofactor asociado CU, sino que sea e1 producto dc a;,- por el cofactor i con k 9* i. For ejemplo‘,

valeabcdef.

‘

si i = 1 y k = 3 Se obtendria

axn. + anCsz + 013C33 = (2X16) + (5X1) + (1)("37) = 0

5. LA ADJUNTA DE UNA MATRIZ

seré Se podrfan intentat algunas otrés vatiantes y se veria que el resultado siempre pot o desarroll cerg. Lo mismo sucederia si se hace este c§lculo “desordenado” del. cofactores respecto dc algU‘na de-sus columnas.

E1 objelivo dc _esta seccién es wtablecer, per una partc, una férmula para la inversa de‘ una matriz‘ A y, por otra, obtcner 1a conocida regla dc Cramer para resolver

La razén' decste hecho 1w muy simple y esté explic‘ada en la demostracién del

sistemas dc ecuaciones."Pafa10grar taste, 5:: téndré quaintroducir el concepto dc

‘ '

“adjunta’ide‘una matriz.‘

'

'

'

Primeramente se hatzin alg‘unas obSerVaciones concretas sobre la matriz

2 5-«1 A= 7 —1 3 2 4 1

(312 = (-'1)“2 detA(‘1,2) = “mg

4-13

3

—_

31'] = -1

_

detA si s=r

‘Za’kC‘k_

0 sis¢r

-

I

El caso s = r es el teorefna 4:2 (desarrollo por cofactores con respecto dc la r-ésima

Hnea). Se demuestra entonces el caso S 3‘ r. Sea A’ = (a7)- ).-,,~.1, , , , ,‘,. 1a matriz de que elementos a.) = av si i at s y as} = a,, (i=1, 2, . . . , n). A’ es pues una matriz

coincide conA en todos sus elementos excepto los de la s—ésima linea, enla cual

A’ tiene una copia de la r—ésima linea de A (por tanto, A’ time dos lineas iguakes,

correspondientesV cofactores , de la llamaré k a los la r-ésima y la s-ésima). Se ‘ ~ . ,. ‘ . matrizA-f.“.'_ . Qalcfilese detA’ desargollaqd‘o por cofaétOrés cpfi respectp de 511 s—éSima 'linea. "' ’ " x Se tiene '

Similarmente se obtienen

.

Sea/1 = ((1.1).,I up..." una matriz cualquiera de orden 11. Sea C4, el cofactor asociado a‘l elemento a”. Entonces

k-l

, DEMOSTRA CION

‘7

-

'

-"

C]; =. (€1)1*%'det’A(1,3) ‘=. MB '1] ,._. 30 ’

C2; = -1

TEOREMA 5.1 (5.1)

. Se llamaré C5; a1 cofact'or asociado a1 clemento a,-,-. Se tiene

cu = (—1,)m detAO, 1) = det [:14 ,

'

sig’uien‘te‘ teorema: --

'-

n

detA\= k; assk .

C3: = 16

C22 =

C32 = 1

C23 =

C3} = '37

Obsérvesc queA'(s, k) = A(s, k) y por tanto Cw = C; . Ademés, [IQ = a,;., dc modo que

162

ALGEERA LlNEA‘L

DETERMINANTES

(siendo 351, by: -C,-.-)'. . ‘ ' El clemento de la r ésima lihea y s—ésima colUmna do A(ad) es:

def/'1' =. I!" 4}.s)... . 1" '

I!

Pero (corolario dci teorema 2.4) detA’ = 0.

.

; a,kb13> '»1

Q.E.D. 0 sea,

Este teorema jugaré un papel muy importantc en la préxima subseccién, en la cuai . se estableceré una férmula para la inversa de una matriz. Dada la matriz A = (ab-)1j.., . _ , , ,, se puede construir la matriz (1e cofactores dc

n

los elementos de A, poniendo-C = (Cg);,;.1,...,,. donde C,-,- es el cofactor asociado ai

k *1

EJEMPL01

. alsk

.

elemento a,-,-.

Por cl teorcma 5.1s este elemento es diferente de cero (y vale det A) 5610 cuzmdo r = s. For tanto, cl productoA(adj A) se ve como

Por ejempio, para la matriz (5.1), su matriz C de cofactores cs:

det A

—13 c = —1 16 DEFINlC/éN 5. 1

163

~1 .0 1

30 2 ~37

A (adj A) =

(5.2)

'

O det A

O

= (det A)I,,

. . (let A

SeaA una matriz de orden 11. Se llama matriz adjuma de A, denotada por adj A, a

Q.E.D.

la transpuesta de la matriz de cofacto‘res dc A. La matriz adj A es pugs una matriz del mismo orden queA, que se o'btien‘e intercar'nbiando linea's por Columnas en la nizittiz de cOfActor'es de‘ A.‘

' COROLA‘IRIIO’ '

(UNA mini/[um PAiIA LA 1NVERS'A.) ' Si' A es 'inversible; entonces

EJEMPL02

For ejemplo 1a matriz adjunta de (5.1) es 121 transpuesta de (5.2). Es decir,

. ~13 adj A = —1 ‘ 3o

—1 o 2

i

16 1 ~37

En general so tiene entonces que adj A= (C101) 1 ,. donde CV es el cofactor asociado ~

a1 clemento a‘, de la matriz A.

I

QEMOSTRACICN

A"1 =

1’

det, A

ad

’

I

(5 3)

‘

Por cl teorcma anterior se tienc

' A(adj A) = (detA)I,.

5.1. UNA FORMULA PARA LA INVERSA

SiA es inversible se tiene detA 9* 0 (coroiario del teorem21'3.\1) y entonces 5c puede El resuit'ado principal de esta subseccién sc encuentra en cl siguiente teorema:

TE‘O‘fiE‘MA 5.2

escribir

—--(A(adj de1A A))=

Sea A firm métriz tie ordeh 11. Sea day/1 su'matriz adjunta. Ehtonces 15A. ‘3;

i

;» ‘Ti‘ "1‘

(A) (adj A)= (detA) I

Segfm cl teorema 3.2 inciso (4) (capiluio l), esta liltima férmuia sc puedc espribir

DEMOS TRACION Escribase A = (a011,). 1,...,

a

como

£1d =(b1i)i,j-s1,...,:

I "@311 : \l.\ ' '3,

A[detA £1d] =

164

DETERMINANTES

ALGEERA UNEAL

1 65

Se puede calcula‘r det A desarroilando p0: cofactores con 1espcc1o a la p11me'ra ' ' '

de dome" - '

‘

-

lijnea para obten'e‘r

detA = (INCH + alzcxz 1‘ (113C13 = (2X’8) 1‘ (1.)(22) + (5X17) =

A“: +11 1112 “d

Entonces

Q.E.D. En 610313111110 1(4.3) se desatrollé un me’todo para encomrar 1a inversa de una matriz (basado en el proceso de eliminacién Gaussiana). Véase, sin embargo, que el tesultado del corolario anterior no es solamente “otto método” para encontrar

1

A‘1 '

detA

1 —8 22 — ad =

91

17

3 —31

5

14 7

_7

(1

1a inversa. En él se esté dando unafo'rm 111a explicita para A“ en términos de A, la cual permite vet 1a “estructura intema” de la inversa de una matriz, informacién a la que no se tiene acceso con 61 método del capitulo 1. Se debe aclarar que la importancia do este corolario no es de carécter practice: en general so ticnen que hacer un mayor nfimero do operaciones para hallarA 1 Con la formula establecida que con el método del capitulo 1. Su importancia es solamente de carécter teorico (y estético,-c1aro 65111).

EJEMPLO 3

5.2.

LA REGLA DE CRAMER

Considé'rese e1 sistema do n ecuaciones con 11 incégnitas

6111171+ (112x: + 1 - . + “11’6" = 171

A manera de ejem‘plo de aplicacién dc 1a formula (5.3) considere 1a matriz

a21x1+a22x2+..-+a21x1 = b2 (5.4)

2 1 5 4‘53 -—2- 4

'

_

-2 1

cm = detA(1,2) = ~det[3

+ annxn = big ‘ ,

o bien, 'escrito niatricialmente, AX= B, conA (ay)11,--1, . .11, X 121 111211112 11 X 1 dc elementos x1(1'-=1,. ,n) y B la matriz 'n x 1 de elementos b--(i=1, . . . , n). Supéngase que 1a matriz A es inversibie. E1 teorema 4.10 (capitulo 1) dice entonces que el sistema (5 4) tiene soiucién unica dada por

Encucntte los cofactores de losclementos de esta matriz

C11 - detA(1, 1) = det

Haul-xi + anixz +-

X =A"B

4] = 22‘

A1 usar 1a formula (5.3) se puede escribir esta solucién como

C1; = detA(l,3) = MP '2] = 17 X: deltA

Similarmente cncuentre

(321:3 I 'C21'=-31,'

_ ,Realicese e1 producto (ad)(B) E1 resultado soré una matriz n x 1 dc elementos 01,-, donde a; se obtiene 1nu11iplicando 1a1és-ima linea de adj A (= 1—ésima columna , do la matriz dc cofacto‘res de A) por la matriz B; es décir, '

._ C31=14 . , c32=7_--'

I _' ..

C23=5

C33="7

a: = C11'b1 1” C2ib2 1” . . - + Cm'bn

Entonces 1a matriz adjun'ta de A es: ad =

(adj AXB)

~8 22 l7

3 ~31 5

"14

7 1 -7

'

/’A‘~~~

(5.5)

Conside'rese 1a matrizA; do orden n cuyos elementos coinciden con los correspondientes do A, excepto en la i-ésima columna, en donde se han colocado los elementos de la matriz BL Es decir,

166

ALGEBHA UNEAL

DETERMINANTES

A1 -

41..

- aiii

b1

211,») - -

5121 ~ ~ ~ 02.1.1

b2

02m - - - 02:1

all

.

4. '

" 1

, .

detA =det

I?”

= —27

2

1

5 3

a,E . . . 2.,“

167

~

1

am. . . .a,.,.. 31

2

4 .

detA1 =det‘ 29

i~ésima columna = matriz B Calefilese det A,- desarrollando pot cofactores respecto de la i-ésima columna

2

10

-1

= '81

l

(.16 A1.

Obsétvese que los cofactores involucrados serén los mismos cofactotes correspondiemes a la matrizA (pues para su céleulo no se emplea la i-ésima columna de A, que es en la {mica que difiere de A’). Entonces

detA2=det

detA, "‘ Cubx + Czlbz + . . . + Culbn

detA3=det

Al comparar con la férmula (5.5) se ve pues que 01. = detA,, por lo que la solucién del sistema es:

l

31

4

5

29

2

3

10

1

l 5 3

2 1 -1

31 29 1'0

= —108

_ — -135

Ento'necs

X= de1A (detAi).. ..... n

_(IetA1_:§}__

5‘ (MA '—27 ” 3’ ’5- "

- 0 11155 explicit‘amétite]

_ dL’l‘Ai

xi~dezA

. __

t—l,...,n

._

:detA3_-13_5=

4’ 5“ [ta/1

~27

5

Se quiere lideer hineupié 11110varnenle en el 1100110 (16 que a1 reSéliier sisteirias de ecuaeiohes, 1'11 regla 'de Cramer (cuando ésta p'ued'e a'plica'rs'e) resulta en general,

(5.6)

(113s el punto de vista computacional, 1111 método mcnos el‘ieiente que el método dc eliminaeién Gaussiana descrito en el capilulo 1. No se puede negar, sin

Las férmulas (5.6) dan la solucién cxplieita del sistema (5.4). Véase que ellas son aplieables 5610 en el caso en el que la matriz del sistema sea inversible (esto es

detA 1* 0). Se tiene en ese caso el siguiente método para resolver e1 sistema AX = B: se calcula cl determinants de A (que tiene que ser distinto dc eero para poder aplicar el método), asi como también los determinantes de las matrices A., las cuales se obtienen de A sustituyendo cn e/stales’elementos dc su i- ésima columna por los elementos 'de ia-rnatriz dc términos independientes B. La solucién del det A1 sistema es x. = 1' = 1, . . . , n. A este znétodo se le conoce como regla de Cramer. det A

embargo, el gran valor estético de las férmulas (5.6).

EJERCICIOS (SECCIéN 5, CAPlTULO 2) 1. Sean A y B las matrices

A=

EJEMRLM _-

_detA2_—IQS_=

1 1 2

2

1 4 1 —2'

B=

—2 3 4 2 7 —1

1 3

7 'Supopgalppr ejernple,_ que se. q'uiefre reselver' elsist‘e‘ma ' a) Determine la mairiz adjunta de A y la matriz adjuma de 8. x1+2xz+4x3=31

b) Calcule cl producto (adj B)(adj A).

5x1+x2 +2x3 = 29

c) Encuentrc la matriz adjuma del producto AB (compare c1 resullado con el del ineiso anterior).

3x1—xz+x,= 10 Se tiene

®

2. [,Cierto 0 false? Tocla malriz cuadrada de A comnula con su matriz adjuma.

3. Determine 1a adjunla de la matriz

168

DETERMINANTES

A'LGEBRA LINEAL

169

- setiene V. I ' 078 009

Demuestre que la matriz adjunta de una matrix triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior, respectivamente). Compruebe que la matriz adjunta de una matriz diagonal es una matriz diagonal. . Sea A una matriz involutoria (véase ejercicio 26 de la seccién 3, capitulo 1). Determine la matriz adj A. Sea A una matriz idempotente (véase ejercicio 13 de la seccién 3, capituio l). Suponga que A no es la matriz identidad Demuestre que A(adj A) = 0 (Sugerencia: véase

1' 3 10 A(3,C)= 20 5 20 (—1 2 «2

1' 10 8 A(2,C)= 20 3o 4 -1 —2 1 .

10 3 8 A(1,C)= 3o 5 4 —2 2 1

Considere ahora e1 sistema de 71 ecuaciones con n incégnitas AX = B.

a) Demuestre que (A)(I,.(1',X)) = A(1', B).

b) Compruebc que det 1,,(1',X) = x,- (la j—ésima incégnita del sistema). c) Concluya de los dos incisos anteriores, que (det A)'x,- = det (A (1,8)) y entonces, si det A at 0 se tiene

capitulo 27 de la seccién 4, capitulo 1.)

Sea A una matriz nilpotente (véase ejetcicio 14 de la seccién 3, capitulo 1). Compruebe

x =

det (adj A) = (det A)"'l

10. Compruebe quc si A es una ma‘triz inversible, su matriz adjunta es también inversible.

LES valida la afirmacién reciproea‘? _ 11. Sea A la matriz

.

deaf A

J

j

que A(adj A)--.0

9. Demuestre que si 61 detemunante de la matriz A de orden n (n > 2) es distinto de cero, entonces

det At 1', B)

= 1 2 .

’ ’

Esta es una nueva demostra'cién dc la regla 'de Cramer.

16. Al usar 1a regla de Cramcr, dé una‘ nueva demostracién del teorem'a 4.3 del capitulo. 1: 51 A es una matriz inv‘ersible, en ese caso e1 sistemahomogéneo de ecua‘ciones lineales AX = 0 tiene 5610 la solucién trivial. 17. A1 u'sar 1a 'regla de'Crame'n resu'elva 10's s'i'guien't'es sis'tc'mas de ecuaciones:

a) 2x1+3fx1=1

d) 4x1—3x2+3x,=8

b). x1- 7x2=

:32 x2+2rs'1-

-

..

e) x1+2x1+2x1

8x1+4x2= 3

Detnuestre que‘adjmdj A) = A. 12. Sea A una matriz cuadrada de orden n (n 2 2). Pruebe que si detA 1* 0, en ese caso

adj (adj A) = (detA)"'2A

det (adj (adj A)) = met/11M)” 13. Determine la inversa de las siguientes matrices, usando 1a formula (5.3)

(D

o 2 4

b)

2 5 -1

3 1 4

1_ 7 1

2 2 1 c) 3 -1 —1 8 o 3

que ' 14'. Sea A 1'1na matriz de orden 11 con elementos- enteros tal que detA - 1'. Demuestre su inversa tiene todos sus elementos enteros 15. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea C una matriz dc orden n x 1. Denote por en la A(1', C) la matriz (de orden n) cuyos elementos coinciden con los de A excepto si columnaj, en donde la mattiz A(1',C) ticne los clementos de la matriz C. For ejemplo

1 A ——- 20 —1

3 5 2

8 4 1

y

2x1+X2" 2.\3=—1

3x1~5x1+2x1=—4

2x1—2x2+x1=—6

2x1-x2+3x3=9' 4x1-7x2+x,=5

18. En este ejercicio se obtendrén algunos otros resultados interesantes sobre la t‘uncion determinante, consecuencia de los cuales 51:16 ]a formula para la adjunta de un

Concluya entonces que

1 o a) 1 1 3 1

C)

x1+3x2+x3= 7

‘

-

.441 2xz=: '

10 c = 30 *2

producto de matrices adj(AB) = (adj B)(adj' A), on donde A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden. Sean A y B dos matrices de orden n,A=(azj)1,j-1,_..,n, B = (by-)1,).1,.,,,,,. Introduzca la notacién A( , j) para la matriz de orden n X (n — 1) que proviene dc la matriz A suprimiendo on ésta su j—ésima coiumna. Similarmente, A(i, ) denotarzi la matrix (11:

otden (n - 1) X n que proviene de A suprimiendo en ésta su i-ésima linca. En particular, la matriz A( 1})(1', ) = A(t', )( ,j) es la matriz dc 0111011 (11 — 1) X (n— 1) que proviene deA eliminando en ésta sui—ésima linca y su j-ésima columna. _' ~ Denote a esta matriz comoA(i j). Recuerde también la deimicion de determinantc de ' la matrix A. detA = Z (sgn G)£Z| 9(1) (120(2) . . . 0111(1) a

que escribira como

detA =

(n o) H ara(r) «€51;

r-l

170

ALeEeRA UNEAL

DETERMINANTES

171

y coneiuya cntonces Que

en dofideia sums sc, haee sobre ias n! permutaciories.deijconjumg S = 111, 2, . . - t I?) ' (al conjunto de todas estas permutaciorics’Se esta 'denotartdo per 8").

N

a) Considere ias matrices

detAB = 2 detA( ,s)B(s, ) .r ' I

t -2 B= 73 _14

A=l2 41 31

(2) Sean ahora A y B dos matrices de orden n. Demuestre que

AU. )3( .D = A3021) a. 1) Determine e1 producto AB. :12) Calcuie detAB.

(1) En base a los rcsuitados de los dos incisos anteriores, demucstre que sicndo A y 8 matrices de orden n so tiene

_

23.3) Encuentre las matrices A( ,1), A( ,2), A( ,3), 13(1, ), 8(2, ) y 8(3, ).

detAB(i, J)

3.4) Determine los productos A( ,1)B(l, ), A( ,2)B(2, ) y A( ,3)B(3, ). a.5.) Verifique que

Ejemplilique este resultado con las matrices

detAB = detA( , 1)B(1, ) + detA( ,2)B(2, ) + dctA( ,3)B(3, ) Este es tm resu‘ltado general que se probaré en (:1 siguiente inciso: b) Considere Ias matricesA = (fly)i.~ 1,...,n~1 y B.= (huh- L ,

1* 1,..., n

2 (let/407, k)B(k, j) k =' 1

10 1 2

A=

,,. . El producto AB

j‘-1,...,n-‘1 es entonces una matriz cuadradade orden' (n - 1). Se q'uterc establecer c1 resultado

8 4 1

5 3 1

A=

1 3 7

-2 4 “l

8 7 2

con

detAB =' Z derj,A( ,S).B(s'. ) ‘ us.’

‘

.

‘

(1.!) i_= 1 yj = 3 (véasc e1 inciso 3))

.

"(1.2) .i = 2vyj_=1 (1.3) i = 3' yj =’ 2

' 13.1) Demuestre que c1 restiitado "para- el casdn = 2. ' b2) Compruebe que para 11 Z 3 n- 1

055. ..

[ 2 flabby)“ r- l

k“!

b3) Dcmu'estre que para 71 2 3 u

Z (sgn '0) 0 G 5,,

n- l

Z

i

ambk W).

k - 1

, .,

e) Considct'e'ahora las matriceS'ac/j A y adj B, adj untas de las matrices A y B (it: orden n. Se quiere ver que adj (AB) = (adj'B)(ad/‘A). e. 1) Sean Aij, 8;,- y AB.) 105 cofactores asociados a 105 elementos my, 11,; y cil- = (lulu,- +' ai2b2j + . . . + (Iiubnj dc las matrices A, B y AB, respectivamente. Compruebe que cl elcmento de la i-ésima linea y j-ésima columna de la matriz (adj B)(adj A) es:

n

detAB = Z (sgn a) i:

_ '

r- 1

= 0

i

BMAJ'I':

k‘l

'

el cual pucde escribirse como b.4) Prucbe que para cualquierj y para n 2 3 n7!

.

n.

‘n_

,

‘n-lv

ivlt-l‘r-I

r-tf’k-r‘

‘-

n-l

n}

i.

-

Zed—by . + Z .H'amb‘j

'_n

,

,

=._ 2 ,_ H 2 :1,k “1-

--r

2::

1‘

.

(—1)“ Z detAU,k)B(k,i)_r 1‘21 _

_. .

(:2) Use c1 resullado‘ dc 6.1)”y dbl iiici'so d)"para cbnc'itiir que ei'eiemento de la i-ésima linea yjvésima columna de la matriz (adj B)(aaji A) es:

b.5) Use 103 resultados de los [res subincisos anteriores para demostrar que

(—1)” detABQ‘, i) = A8,.1-

_

11-!

detAB = 3-21 “E2; (sgn G) ’11 I»!

n

”Zlarkbkou) k"

1)

e.3) Conciuya, entonces, que (adj B)(adj A) = adj AB. Use 1a férmula (5.3) para dcmostrar nuevamente la validez de la férmuia ad8 = (adj B)(adj A) on donde A y 8 son dos matrices dei mismo orden inversibles.

172

ALGEBRA LINEAL

DETERMINANTES

En‘ cl Céso n = '4 se‘teodrian 6 fact-ores éortésbondientes a 4 > 3,.4 > 2, 4 >31, . 3>2,3>1,.2>1,estoes

ApéNDloE, E-L' DETERMiNANTE-DE VANDERMONDE Un determinante que suele aparecer en relacién a varios problemas en la matemé-

V4 = (x4 ‘ x,)(x. ‘ 1't - 130(t ' x2)(x3 " x.)(x; ' X1)

tica (por ejemplo, problemas de interpolacién) es el llamado determinants de Vandermonde, quc esté dado por

V,. = del

1

I

l

. . .

l

11

X2

13

. . .

x.

x}

x%

x§

xi'l‘l

xg-l

xg‘!

Obsérvese que VJ = (X: " X2)“: - x1)V2

(A2)

K = (x. — xs)(x4 - x2)(x4 — xl)V3

_xfi _ . ~

173

Para demostrar en general la formula (A1) so va a proceder por induccion. Se ha visto ya su validez para 11 = 2 y n = 3. Supéngase entonces que tal formula es vélida para n = k; 0 sea que

xnn'l

en donde xx, .762, . . . , x" son mimeros distintos dados.

Pot ejemplo si 11 = 2 se tiene

VIN:

H

(331‘ i)

k21>121

V2“d€t[1

1]

Xx

y pruébese que también esvélida para 11 =-k + 1.

X2

Obsérvcse primeramente, que la diferencia entre Vm y Vk son los factores =X2"x1 (xm ”300(q " xH) . . . (xm — x1) =

_Véase también el caso n = 3. . _Se tiene

'

11V3 = def

i-

x.

x2

X3

2

.11

.2

xi

X1

'_

'

--

(XL-a ‘ x1) W912i .

como pnede verse en [05 casos concretos n = 2, 3 y 4 ch 121 formula (A2){ Es decir, Vm y K estz’m relacionadas por

7

VM = (xlul " XOOCM ' Xk—1)- ~ - (Km -' XOVk

Se puede reducir cl czilculo dc V3 :11 de un determinante dc una matriz dc orden 2

1H (Xbrxj) H (xi-xi)

haciendo ceros las posiciones debajo del 1 en la primera columna y desarrollando

k+l>j21

por cofactores con respecto do ella =

H

(A3)

k21)j‘al

“‘39).

b12012:

1

V3 = det 0 0

1

1

xz‘xl x%_x%

xa'xl xg_x}

_ .

= det x; l: 12”.}?

_.

Sc procederzi entonces a [a dcmosttacién de la tesis dc induccio'n (es dccir, la formula (A3)).

x: I; .XJ—xl

Considérese entonces Vm = (x2 ‘ xl)(x3 “ x?) ‘ ($3 " x9073 “ x1) = (X3 ~ X2)(x3 ' 350052 " x1)

,1..1_..._1

- .En el caso general, so afirma que

-.'

nx

x2

'xfiq

1d?

XL;

-, “ 14¢+1=det .16? x3 VVn- = I H

(x.- ' x,)

‘

ItAl)

xf

n20]?!

esto es (x, — x2)(x, — x1)(x2 - x,).

1J2“

Realicense las siguientes operaciones elementales en las lineas dc la matriz: cada Hnea va a sustituirse por ella misma menos xm veces su linea anterior (comenzan-

'.

Es decir, V,I es el producto de todos los factores del tipo (x; — xi) con i > 1'. Por ejemplo, en el caso n = 2 5610 se tiene cl factor correspondiente a 2 > 1, esto es x2 — x.. En el case n = 3 so tienen 3 factores correspondientcs a 3 > 2, 3 > 1, 2 > 1,

.1

xl-‘x2---I_.xk

do por la filtima linea y yendo hacia arriba). El valor dc Vm no se allera y 2151' se obtiene

‘

174

DETERMINANTES' 175

ALGEERA UNEAL ,..

.

V111 = d8!

1 x1 -.x,,,, -x1071 ‘ x1111)

[ff—'00 'xku)

I- 1I;._..-: 1" , x2 211,11- " " xk.’-¥k+1 x2012 ' xk+1) ~ .. x1051: ' 561+ 1)

l

0 0

xii—ICE "XI“ 1) --- x1"(xk‘xk+1)

3.56311 11,112, x;. tresI11131116103 males d1stintos Compmebe qué ex'iste uInI11111co 1101111011110 pk) deI graIdo 2 p(gc)= ax? + bx + c, 1211 c1116 p(x1)== yI1,p(x3)= yz, p(x,)= y; en donde . ' y;, 112, y; son nfimeros dados

(Sugerencia: demuestre que el sistema de ecuaciones pm) = y;, i =1, 2, 3 116111: 111121

fini'Ca solucic’m para los coeficientes a, b, 0.)

0

4. Sean x1 x2, . . . xm n + 1 nfimeros reales distintos. Demuestre 11c existe un finico ’

.

’

1301111011110 p(x) de grado n

A1 desarrollar por cofactores respecto de la ultima columna sc obiicne (cl signo dcl cofactor es (-1)m = (-1)")

p(x) = 11,1" + a,_1.1"“‘ + . . . + alx + a0

x1_xk+l

Xz‘xku

xk-a

xx—x kn) 1(1

xx—x kn) 2( 2

x.x—x. 1+1) L( k

x1—'(x1“xk+1)

xii-1(x2—xk1-l)

11"(xk‘xm1)

. Vk+1=("1)" det

Multipliquese 1111 ésima column'a de esta matriz por——-——-I(1'= 1,. .,k). Obsérx1

vese que c1 valor del determinantc quedara' alterado por 1051 1110-101 es (x,- - x..1)(1' = 1, 2, . .-1 , k). Quedacntonces 1

l

X1

V1111 = (-1)l'(xl I—'x1.1)'(xfikI¢1I)-I-X(

' ‘ '

'

.

.

“X100 dIet

. x1". I

1

K1..'..'Xk

.

.

2’," . . . 1115“

0 sea, V1.1 = (X111 " x.) . . . (Xhl " x:)(xp| — NOV]:

rclucién que sc queria establccer.

EJERCICIOS

(APENDICE, CAPiTULO 2) 1. Demuestre que V" == 051, y 5610 51 x; = x,- para algl'm i séj, L] E {1, 2, . . . , n}. 2. Calcule los siguientes determinantes:

_.

1‘ 1 1 aj'det. 1 2 3 . 1 .4; 49.

1 1 1 —1

1 1 2 —2

1 —1

8 ~11

b) d“ 1

1

4

4

.1. 1 -1 o c) (Jet/1,0 —1 o 1 o

1 1 1.: 1 1

1. 1 _3 I-3 9 9 27 ~27 81 81

tal quc p(x,-) = y.-, i = 1, 2, . . . , n + 1, en donde y1, y2, . . . , ym son nfimeros dados.

Pruebe también que si e1 polinomio p(x) se anula en x1, x2, . . . , xm cmonces p(x) es el polinomio idénticamente nulo.

ESPACIOS VECTORIALES 1 77

Dado uri elemento a E A, cXist'e siémpre otro clememo( a) E A (e1 111vcrso ' aditivo deA)1alque a +(— a)= 0. De heclio‘,( 0)= 0, (— 1)= 2, (——2)—= l. 5) Si a, b E A, se tiene siempre ab ba. 6) Si a, b, c E A 56 tiene siempre a (be) = (ab) c. For ejem‘plo, 2(2 ~ 1) = 2(2) = 1y(2~2)-l=(l)-l=1,demodoque2-(2- 1)=(2-2)- 1. 7) Para cualquier a E A 56 tiene siemprc a - 1 = a.' 8) Dado un elememo a E A, a 1* 0, exists siempre un elemento ((1") E A (61 inverse multiplicative de a) tal que a(a‘“) = 1. De hecho, (1") = 1, (2“) = 2. 9) Si a, b, c E A se tienesiempre (1(1) + c) = ab + ac. Por ejemplo, 2(2 + 1) = 2(0) =0y2-2+2~1= 1 +2=0,demodoque2(2+1)=2-2+2- 1.

I ~ . 4)

-

"CAPI’TUL'O' TRES’ Espacios vectoriaies

Todos conocen las siguientes propiedades de los nfimeros reales (pues en ellos dcscansa la manipulacién algebraiqa que se ha aprendido dcsde la secundaria): $1 a, b, 0 son mimeros reales sc tiene 1) a+b=b+a

De modo, pues, que el conjunto A= {0,1,2} c011 1215 operaciones (11: suma y ' producto dadas, tiene las mismas propiedades (1)— (9) de los numeros reales. Existen muchos otros ejemplos interesantes de conjuntos en los que se tienen

definidas 1215 operaciones dc suma y producto, que también satisfacen 1115 11101111:-

2) a+(b+c)=(a+b)+c

dades (l) - (9) (‘11: 1051611165. Pot ejemplo:

3) a+‘0=a

4)‘ a+,(-a) =‘0

a)

5)_ab=_ba

m El conjunto dc mimeros racionales Q= {—11—

'

operaciones usuales

6) .a_(,b‘,c-) = (a'b1c' '9 -

m, n e Z,n at 0} con las .

' '

n .-'m'n'+‘mn. m 12, .21 __1+'l_2+

7) a-‘1::¥a ' 8) 810150, (a)(a“)=1

I11

”2

"1’12

Conside’rese cl conjunto A = {0, l, 2] y en él definanse 121s operaciones dc suma

1111

M2

I11

112

-

9) a(b+c)=ab+ac

_____n_1_un2 ”1112

y products entre sus clementos scglin las siguientes “tablas dc suma y multiplicac1611”

b) El conjumo dc 11111116105 90mplcjos C= {a + ib | a, b 6 R} con las operacioncs

+ 0.12 o 012 112*0;

2

2

0,1

usualcs

o

012 0 o o 012

(a + ib) + (c + id): ((1 +1c)' + i(b + d)

2.0.21

Sepu‘e'cle'v'er que‘ las nueve propiedadesd'c los mimerOS feales mencionadas '7 j-z111ter1orment¢_.son't'ambién v_a’1i'das para este‘ conjunto A co‘n'estas‘ operaciones dc suma y de producto..En efecto

(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + be)-

17.611111: 01105. Un conjunto 11o vaci'o en 1:1 que. existen las operaciones. dc suma- y producto I i satisfaciendo las propiedades (1)— (9) enunciadas en la pagina anterior se le llama

CA MPO 1)

Si (2, b E A,setiene sicmprea + b = b + a.Por1-:jefi1plo, l + 2 = 0 = 2 +1.

2) Sid, bc€A,sctienesiemp1ea+(b+c)= (a+b)+c Porcjemp10,1+(2 +2)=l+l=2y(l+2)+2= 0+2= 2,dcmodoquel+(2+2)= (1+2)

+2. 3)

176

Para cualquier a E A, $1: tienc siempre a + 0 = a.

Un campo cs, pues, una estmctura algebraica, la cual es comparlida por R, Q, C y nuestro conjuntoA = {0, 1, 2}. Ante esta situacién, la dinzimica natural de la matemética lleva dc inmediato :11 Si guienle plantcamiemo: (,qué se puede decir-en general sobre 1m campo? Dcntro de 11lgunas partcs del :11 gebra (abstracta) se da respuesta a esta preguma.

178

A'LGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES

Una si1ui1ci611complctamentc ah'ziloga a la planteada anterimmenle es lei q'11e _. se comenzarfi a'abordar- 011 este c'apitulc'); se‘ estudiaré (en abstracto) una nueva ' estructura algebraica: la de espacio vectorial. En los enrsos de fisica se ha aprendido a sumar vectores en el plane (0 en el espacio), asi como a multipliearlos per 1111 mimeto real. Estas operaciones cnlre vectores y reales poseen eiertas propiedades que son compartidas por otros conjuntos en los que existen tambie’n ciertas operaciones de suma y producto por mimeros reales. Tales conjuntos (con sus operaciones) se les llama e11 general

espacz'os vectoriales.

I

La estructura algebraica de espacio vecto1ial es la ma’s importante dentro del

a'lgebm lineal.

179

llamadas suma y producto par escalares (réspectivamcnte) y las c'uules Satisfacen _ los signicnte's axiomas: l) u + v = v + 11, V 11, v E V(la suma es commutative)

2) u +4‘(v+ w) = (u + v) + w, V 11, v, w E V(la suma es asociativa) 3) Existe un clemento 0 E V, llamado cero, con la propicdad u+O=u

‘v’ u E V

4) Para cada v E V, existe un elemento (—v) E V, llamado “el inverse aditivo de v” con la propiedad v + (-v) = 0

Este es, pues, e1 capitulo en el que se abre propiamente el desfile de ideas y

resultados importantes del élgebra lineal. Se advierte al lector que el sabor de la

5) 9L(u+v) = Au+91v, V71ER,Vu,v€ V.

abstraccion matemética, que se mantuvo apenas insinuado en los dos capitulos anteriores, se dejarzi sentir més fuertemente a partir de este capitulo.

6) (71+11)v=?tv+pv, V141 E R,Vv€ V. 7)(k11)v= Mpv), V 71,11 6 R,V v E V. 8) l-v=v,Vv€ V.

1. 11514111016111 1' OBSERVACIONES PRELIMINARES En esta primera seccién del capitulo, se definira formalmeme e1 coucepto dc

espacio vectorial y se obtendran algu'nas co11seci1encias inmediatas de mi defini- ' ClOl’l.

Aclaracio’n: Como se veré a continuacién, una de las caraeteristicas que definen a un espacio vectorial es la operacién llamada “multiplicacién por escalates”. En ‘ un acercamiento mzis abstracto a la teoria de espacios vectoriales, se pide solas mente que estos escalates scan elementos de 1111 campo K cualquiera. En tal caso se dice que se trata de un “espacio vectorial sobre el campo K”. For ej emplo, si K es el campo de los mimeros reales, se dice que el espacio vectorial es “sobre los reales” o simplemente que es un espacio vectorial real. Similarmente, cuando K

es el campo de los mimeros complejos, se dice que se'trata de un espacio vectorial complejo. En este libro no se seré pretencioso en cuanto a la generalidad del campo de escalates. Se limitaré 11110 a considerar el caso en el que tal campo es el de los nfimeros reales. Es decir, todos 10s espacios vectoriales serén espacios vectoriales reales. Pot tanto, cuando se hable de “escalares” se estaré uno refiriendo siempre a mimeros reales (a memos que se diga explicitamente lo contrario).

ibEHwKwéNJJT

Unespacio Vectorial es 'un conjunto no Vacio V'en elicual 'estzin definidas dos o'fié‘i‘acibhés 1) +3 V x V" V: (V1: V2) —’ V1+V2

mqV~Kmo~m*

*El hccho de que las'funeiones + y - {omen valores en V, indica la propiedad de cerradura de las operaciones en el espacio vectorial.

A 105 elementos de un espacio vectorial se les llama “vectores”. A partir de este momenta, entonces, la palabra “Vector” no tendré relacion alguna con cl con-

eepto geométrico de “flecha” (relacién que se encuentra naturalm‘ente e11 el estudiante por su eXperie'ncia en- cursos de fisica), aunque se ver'a que si existen _de heeho algunos? espaeio‘s Vectoriale's de flech‘as”. E11 vista dc la generalidad de la definicio’n de espa'cio vectorial, se podran tei1er,-- ' entonces, espacios vectoriales de‘‘objetos enalcsquiera” (estos objetos se1 an 105

vectores) 0011 ml de que en ese conjunto de objctos exista una suma y 1111 producto por escalates, y que éstos verifiquen lbs axib‘mas r'equeridos. En la siguiente seccion se estudiarén varios ejemplos de espacios vectoriales importantes en matematicas El resto de la presente s‘eccién se dedicara a obtener a1gunas consecuencias de la definici6n de cs‘pacio vectorial establecida anterior— mente. Primeramente observese que en un espacio vectorial Vse tiene dctlnida la operacién do suma entre dos vectores. A cada par dc vectores u, v E Vle corresponde un nuevo vector u + v E V llamado “la‘ suma do u y v”. Se puede, sin embargo, extender esta operacion a un mimeto cualquiera (finite) de vectores v1, v1, . . . , v" en

el espacio vectorial V. Es decir, para un conjunto de n veetores 13, v2, . . . , v,. en el espaciovectorial V, se puedevasociar un nuevo vector v1 + v; +. .+ v, E_ V, ,”de la siguiente manera: de 121 definicién de llamado “la 511s de v1, v2, . .

espaeio vectorial se sabe cual es el vector u_ =’_v, + v,. Se define entonces la suma do V1, 122, v3, como el vector 11; — 141 + v3. Similarmente, ia su‘ma’de v1, v2, v3, wserzi " e1 vector u; = 112 + v.1, etc. En general, una vez definido (:1 vector 11,.-2 E V, se define la suma de v1, v2, . . . , v, como el vector u,,.1 = u,..; + v" (n 2 3). (Se trata pues de una definicién inductiva.) Ademés, en vista de la propiedad asociativa de la suma, este vector se puede denotar como v, + V2 + . . . + v,., sin temor a confusion. En el axioma (3) se establece la existencia de un elemento del espacio vectorial que actfia dc manera neutra para la suma. Este elemento se llama “cero” y se denota

.

180

ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES

por 0.135 fécil ver que en un espacio vectorial solamente puede existir.u_n cero En _ efecto, supéngase que existen dos (zeros e11. V digase 01 y 0;. Enton'ces 01: ”W;

l

1

l

Am)

Ax(3)

'

1) v+O v..=1_...-v+0 v:= (1+.0)-_v=1.- v=v _ Entoriees (utiicidad deleero),0 v= 0. 2) v+ (-1)v=1- v+ (-1) v= (1+(-1)) v= 0- v= O — -v Entonces (unicidad dcl inverse aditivo), (— 1)v-

Oz+01=02

Ax(3)

.

181

3) N0=M0~v)=(7t-0)-v=O-v=0

En el axioma (4) se establcce la existencia de 1111 inverso aditivo para cada clemen— to v del espacio vectorial. También es fzicil ver qua éste es Linico: supéngase que

4) v + (~v) = (—v) + v = O. Entonces (unicidad del inverse aditivo), ~(-v) = v. 5) (4)1; = ((4)71) v = (~1)(7tv) = -7Lv

= (7»(-1))V = 7»((-1)V) = M-V)

para v 6 Vexisten dos inversos adit'ivos (-v)1 y (42);. Entonc'es

6) (-?~)(~V) = (-7~)((-1)V) “ (~?~)(*1)V) = M 7) u+w=v+w= u+w+(—w)=v+w+ (~w)=>u+0= v+0 = u=v

t-v)1 :(—V)1 + 0 1: (—v)1 + (v+(—V)2) '1‘ ((-V)1 + V) +' H): =

8)M=7w==tkl()tu)=71.“(7tv)=’(7t'1?t)u=()t"?t)v=a1-u=l-v==u=v

Ax(3) Ax(4) Ax(2) =(v+(—V))+(.-V)2= 0+( v)2=l (~V)2+0=l (--V)2

9) Supéngasekato.Entonceskv=0=17r(7»v)=?1‘0=0=*(7~‘7~)v=0 =91 v= O=v= O.

Ax(1)

Ax(4)

Ax( 1)

(1" 9)

Q.E.D.

Ax(3) Obsérvese entonces "que el inverse aditiv'odel vector v. E Vseobtienje multiplicia'n-

E11 el Siguiehte teorer‘n‘a 's‘e .e'stablec‘en alg’uhds hechos bas‘ieOs (algunos deellos I ‘ son consec'uencia inmediata de la defir‘iicion de espacio vectorial) que son validos para toclos 105 espacio's Vectoriales.

do e1 vector v por el escalar ~1 (inciso (2) del teorema anterior). También, nétese que en 1111 espacio vectorial se tienen “le‘yes decancelacién” (11101505 (7) y (8)). Sedesea haccr hin'capié en el hecho deque'un esphciovectori’al noes solamente

.un c’onjumo _de‘bbjetos ('de vectores).-Pura'que un conjuntofsea u'n'espa'eio . . vectorial, deben cxistir definidas en él operaciones de suma y producto por

escalates, y afin 111515, estas operaciones dcben de satisfacer 10$ 8 axiomas de la '

TEOREMA 1.1

Sea Vun espacio vectorial. Entonces

delinicién de e‘spacio vectorial. Por ejemplo, con'sitlérese e1 conjunto dc reales positives

1)O-v=0 VvEV

= {xERlx>0}

2) (—1)v==-v VvEV 3)A.-O=O VAER

4) —(—v)==v VvEV 5) (~7L)v=—(7tv)=9t(-v) VKERVVEV 6) (—?t)(—v)=7tv VKER, VvEV

7)u+w=v+w =»u=\v, 8) SilER,y7.¢O,_.=M

Vu,v,w€V Xv=>u= vVu,v€V_

'~'9) Sikv=0nk= Oov= O.

DEMOS TRACICN

La justificacién de cada paso realizado en la demostracion se basa en :11 guno (0 a1 gunos) de los axiomas que definen un cspacio vectorial, o bien en alguno de los incisos previamente demostr‘ado: déjase a1 lector que “complete” 121 demostracion indicando cuzil o cuziles hechos se estzin usando en cada signo de i gualdad establecido.

Este es, pues, 5610 um conjunto. Denétense 21 105 elementos de este conjunto con las operaciones “usuales” de suma y producto por escalates (51 u, v, E R*, u + v es la suma de 105 males u y v y si 7» E R y v E R“, Av es el producto del real 9» por el real v). Este hecho no garantiza ai'm que se tenga ahora 1m espacio vectorial, pucs si bien se tiene ya un conjunto y operaciones dc suma y producto por escalates dctmidas en é1,aun no se sabe si

'estas ope1ac'iones satisfacen 10$ 8 axiOmas de la definicion de espacio vectorial. De hecho, es facil ver que R‘ codestas oper'aciones- “ustiales’ no es un espacio vectorial (e11 principio, la operacién de producto por escalates no es cerrada, en el sentido de que para cualqu‘ier 7» E R y v E R’ so tenga 91v 6 R”; tome pot ejemplo 3‘. E R, K < 0). Sin embargo, véase que este mismo conjunto R‘,»dotado con otras operaeiones de suma y producto por escalares, puede convertirse en 1111 espacio vectorial.

Definase:

182

ESPACtos VECTORIALES 183

ALGEBRA UNEAL

‘ _u, v E ,R‘, u +' v = 12112 (elp1oducto usualde u y v) 7» E R, 'v ER“; M =' v’~ (eh-eal velevado 11a potencia 71) i (p01 ejemplo, si u = 3, v = 9, se tiene u + v = 3 + 9 = (3)(9) = 27, y si 9» = -2 y v

'c) (x,_y,z)+(ic”,v,) (11x,_11y-'.,.’zz) 0(l y.z)'= (CV cy,c'z)

CER'

1d) (x,y.z)+(x',y' z’=) (111’ W) z+1’)

cER 60‘, y. Z)= (50x, 5cy, 5cz) . Considere e1 conjunto M2x2 de todas las matrices cuadradas dc ordcn 2

= 4, Se t1ene Kv= (—2)(4)= (4) 2 = —1-. En principio, obsérvese que para 11, v E R' 56 tiene u + v~= W E R' (el producto de reales positives es 1111 real positivo) y si 71 E R y v E R‘ se tiene Av = v1 2‘ R* (211 elevar 1111 real positive a cualquier potencia se obt1ene 1111 real pos1t1vo)

b] | a,b,c,’d€R]

sz = {[11c

d

Defina en M; x 2 la suma y el producto p01 escalates como

A1 usar algunas propiedades eiementales de los numeros reales asi como algunas leyes de los exponentes, es facil verificar que en este 0350 R' es 1111 espacio vectorial (el cero dc este espacio es 1 E R‘ y, para un vector v 6 R3511 inverso

a

b

+ 'a’

b’

c

d

c’

d'

a k[c

aditivo (—v) (as-1‘; E R’).

=

a+a'

b+b’

c + c’

(I + tl’

b _ ka d]'[kc

, kb m],k€l{

Demuestre quc cl conjunto M2 x 2 con estas operaciones es un cspacio vectorial.

En el mismo conjunto M2 x 2 del cjercicio anterior dclina ~1a suma como

E'JERCICIOS (SECGIoN 1, GAPiTULO 3)

a c

l. Considcre e1 conjunto

_

_ a)

Ri'l(x.y)lx.y€R}

Defina las ope1aciones de suma y product'o pot ESCalares en este conjunto eomo

(m) + (1121’) = (x+x'.y+y')‘ C(x, y) = (cx, cy)

b d

+

a’ c'

b’ (1’

=

aa’+bc’ ca’ +dc’

ab’+db' cb’ +dd’

Dcmuestre gm: esta Sttma mes asocial1va.-

b) Dcmuestrc qu'e cxiste un clemento neutrofi para esta suma, esto es, una matriz C _ ' do orden 2 tal que A + C= A- para mm A en M2x2. ‘ c) LExiste 1111 inverso aditivo para toda matrix dc estc conjunto?

(l) Dcmuestrc que cl conjunto M2x1 con csta oporacion (le suma y cl 111ismoproclucto

c 6R

Dcmuestrc que el conjumo R2 con estas operacioncs es un espacio vectorial. . En el mismo conjunto‘ R2 (161 cjercicio anterior, delina las operaciones dc suma‘ y

por escalates del cjercicio anterior no es un espaeio vec‘torial. . Considerc cl conjunto Z cuyo tinico clemento cs “zapalo” (Z cs 1111 conjunto constituido por mi zapato)

producto por escalates como

Z = {zapato}

(X: J?) + (X'J') = (X ' x'sy ' Y)

c(x. y) = (we, cy)

En Z (lcfina las operacioncs dc suma y producto por escalares como

ceR zapato + zapalo = zapato

LES R2 con estas opcraciones un cspacio vectorial? . Consid'ere el conjunto

= {(36.1% z)|x,y,,z E R}.. ~. En e’l se definen las operacmnes do suma y 11191111910 [19; escalates como se indica e11 cada 11110 de los s1gmentes ineisos. Determine e11 cada caso si cl conjumo R3 con 1alcs ' operac1ones CS UH espamo vectonal.

11) (x. y. z) + (2121', 2’) = (x + x31 + y', z + z’) 609 y. 2) 3 (ex, cy, cz)

b) (x. y, z) + (x’; y’. Z') = (x + x’. y + 130) C(x, y, z) = (cx, cy, 0)

c E R

c E R

k(zapato) = zapato,

k E R

Demucstre que el conjttnto Z con cslas operacioncs (16 31111121 .y. producto p01 cscalares

es un cspacio vectoriaL ; En el ejercicio anterior sc ha mostrado un (21131111110 (le 1m cspacio vectorial con U11 solo elemento. bExisien cspacios vectot iales con solo dos eletncntos?, Leon trcs?, Leon un mimero finito dc elementos? . Sean v1, v2, . . . , v,. n vcctoresdel espacio vectorial Vy cl, C2, . . . , c,. n escalares

cualesquiera. En base a la definicién 1.1, cstablezca un scntitlo preciso para el vector w E Vdado por w= c.v, + c2v2+

.+ c.v,.

184

5513115103 VECTORIALES 185

ALGEBRA LINEAL

' Verifiquese quc R" con estas operaciones cs etumamente 1111 espacio vect1>1ial Seanx= (x1, x2, .' ., r,‘.),' y= 0., y2, . .: . , y,,),z =(z1, Z2, . . . , 2,.) has \Icctorcs

' 2. .-EJEMPLOS-DE EspAelos VECT’ORIALES. Considérese e1 conjunto { v} formado por un solo clemento v. En este conjunto definanse las operaciones de suma y producto por escalares de la siguiente manera:

cualesquicra de R" y 71, 11 dos escalates. Se tiene 1)

La suma es conmutativa

v+v=v x+y=(x1+y1,x2+y2,...,x,.+yn)

71v=v,

716R =(y.+x1,y2+xz,...,_v,.+x,.

Es fécil vcr que el conjunto {v} con estas operaciones forma 1m cspacio vector-ial. En particular, por el axioma (3) de la definicion de espaeio vectorial, e1

elemento v dcbe ser e1 cero del espacio. Se escri-birzi entonces este espacio como

(propiedad de commutatividad de la suma dc ndmcros‘realcs)

=y+x

2)

La suma es asociativa

{0] con sus operaciones O + 0 = O, )10 == 0,- 71 E R. Este es un cspacio vectorial

poco interesante. Se llamaré espacio vectorial trivial. Laimportancia de este espacio es de carzicter teorico.

.

x+ 0+z) _’='(x1,x2, . 2 ~ ,x,.) + (1’1”123’2 +12: . - ~ ’3’" +1")

= 1x. +12. + 2.), x2 + 12. + 2.), . . . ,x. + on x») asociativa (proviedaddc +

>

El objetivo de esta seccion es presentar algunos otros esPacios vectoriales (mats interesantes que el trivial) con los que se trabajaré en el resto del libro.

=

((361

. + 3”)I + Zf') M) + 21, (x2 + 3’2) + Z21 . - - 1 0‘"

‘ (x1 + bz + yz, , ,. .. , xn.+-y,,) + (1,, 22, . . . , Z1.)

2.1.

la suma dc

numeros rcales)

=‘ (36+)?) +2.

EL ES-PACIO R” Este es el ejemplo mzis im-portante de espacio vectorial, pues en cierto sentido que- se pre‘eisara despue's (en la seccién 6.2), muchos de losespacios vectoriales . ' con ['05 que se trabajara, s‘on‘ equwalmtes 21 este cspacio. El conjunto de vectOres en este espacio es el conjunto de 114111115 ordehadas de 111111112105 r‘ealesxl, x2, . . . ,x,‘.,es decir

3) "

Existe e1 cero en R". Escribase O E R" como O= (0,0. .0). Entonces-

'

x + 0 = (x1 + 02 x2 + 02 - - - ,x” + 0) =(x1, x2, . . . ,x") = x

(propiedad neutra para la suma del care en los n1'1meros rcalcs)

= {(x1,x2,...,x,.)|x;€R, i =1,...,n}* 4) A! vector (xl', x2, . . . , x,.) E R" se le denotaré simplemente como x. Es decir, se cscribiréx = (x1, x2, . . . , x,,). A 105 n1'1meros x1, x2, . . . , x,. se les llama coordenadas (o componentes) del vector x. Similarmente se escribiré y = 01,, y:, . . . , y,.), z =

Parax E I ", existe (—x) E R" 131 quex + (—x) = 0. Escribase -x = (-x., —x2, . .1. , —x,.) E R"

(21, Zz, . . . , 2,.) etc., para denotar a los vectores de este espacio.

En R" 51: define la suma de los vectores x = (x1, x2, . . . , x,.) y y = (11., 1);, . . . , y") coordenada a coordenada, es decirx + y es el vector R" cuyas coordenadas son ' [as correspondientes sumas dc coordena‘das de x y y. 0 sea,

For 10 tanto x+(-x)=(x1—x1,x2-x2,...,x,.—x,.)=(0,0,...,0)=O

x+y= (x1+y1,x2+y2,_~-,xn+yn)

‘Similarmefite, e1 p10d1'1cto del vectorx= (x1, x2, . .,. , x,.) E l " por el cscalar X E' ' R se define coordenada a coordenada, 0 sea,

1x=(1x1,>.x2,...,7.1.)" *En este conjunto 51: define 1:1 igunldad entrc sus elementos como: (x,,x1,...,xn)-=(x’.,x'z,...,x;‘)si,ysélosixi'=x}, i=1,...,n.

5)

'

Mx+y)=?~(x1+yn,x2+12,...,xu+yn) 3

= (M961 + yl), M352 + 312), . . ,Mx. + 11.)) = (1.761 + 713’1: “2 + 7"”, ‘ ' ' ’ M" + Ay") = (”1.9052, 1 - ~ 2 71:6,.) + 0‘)”. 7‘1”: ' ' ‘ 9 Ky")

= 91.1: + 91y.

, (propiedad distributiva de 105

nfimcros reales)

186

ESPACiOS VECTORIALES 1 87

ALGEBRA UNEAL

. , 6) (W W) x: ((7.1 + 103511 (7» +10% - 1 (7L + PM) _ =(Nc1+ 11.1., M: + 11x;, . . . , 71.13. + 11x,,‘)‘ fl " I ' (Propiedad ' _

— (in, 71.762, . . . , 93.11,.) + (11.311, 11.112, . . . , 11.1,.)

distributiva tic ios

ntimcros reaics)

= LN 11):.

atos dirigidos en ei piano xy bSLiil verdad ia aiirmaLién reciproca? E‘s dccii- £31111

7) (71 11)! = (01111114110112, - ~ - 1 (MOW = (Mina M11412), ' ' ' ’ MW”)

= Mpxl, 11x2, . . . , 11.1,.)

A partir de ahora no Se.hara Liistincion aiguna cniic‘ pimios cici pinno” y‘‘scgmcn" tos- dii‘igidos con inicio 6'11 ‘6] origen y' final e11 ei punto cn' cucsiion’. Obsérvese que ei vector 0610 do Rz es identificado con cl oiigen dei piano xy. En este espaci'o vectoriai se puedc enionces ver a 105 vectorcs (a 103 eicmcntos dci espacio' vectorial) como “vectores” (segmentos Liirigidos) en ci piano xy. Es dccir, bajo esta perspectiva, todos los vectores dei espacio vcciorizii Rz son seg-

(propicdad asociativa Liei

producto de niiineros reaics)

scgmento dirigido cn cl piano xv cs 1111 VLcior dc R? For ejcmpio, so podi'111 picguniar si (:1 segmento dirigido PQ que so muesua en la figura es un vector dc R2.

= Mix) 8) 1 ‘x = (1 -x1,i ~x2, ‘ ‘ ' ’ 1 1x") = (x;, 142, . . . , x") = x

(propicdad neutra para cl producio dei uno en ios mimeros rcaies)

Esto demuestr'a entonces que R" es un espacio vectorial. cido a in importancia del caréctcr geoinétrico de este cspacio en io's casos n = 2 y n = 3, se harzi una discusién particular para cada uno de estos dos casos.

L. E! espaoio R2: El 'co'nj'unto R2 65 61110110635 éi‘conjunio' dc pa'fcja's ordonadas Lie mimc'ros wales _7 (x1, x2). Se escribirzin en este caso ias parejas como (x, y). Enionces

' Rocuérdese qua se dijo" quL ios vectOrcs ('x, y) de R2 podrian ser identificados . geometncamcntc cOn segme'm'o‘s dirigidos q‘ue parten ciei origLny iic'gan ai punt'o' (x, y). Por 10 1131110, e'n prihcipio,cisegme11fo ding1do PQ'no SLria un vectoi (16 W. Sin embargo, esto no es asi. Véase Lomo proceder para identiiicar a PQ con

un vector de R2.

W = {(x,»y) |x, y E R}

Las operacioncs en R2 dc sum‘a y producto por- escalates definidas p01-

Sean P= (1)., p2), Q=(q1, qz), R= (r1, r2), S= (5,, s2) puntos dei piano xy. Considérense los segmentos dirigidos PQ y RS Se dira’ que estos segmentos diiigidos son eq14ivalentes si

(x,, YA) + (x2, )’2) = (361+ x;, Y! +312) Mx, y) = (71.1, 71y),

“‘11- P1, (12‘P1)=(Sl"r" 53-22. 73 E R

hacen dc Ré un espacio vectoriai. A cada vector (x, y) E R2 so 16 puede identificar con un punto dci piano xy. Atin més, para dar un scntido més geoméirico a los elementos de este espacio vectorial, identifiquese a1 vector (x, y) E R2 con 61 segmcnto dirigido que licne su punto iniciai en el origcn y su pimto final en ei punto (x, v) como se muestm en la

geométi icamente, cl hecho dc quc PQ sea equivalents, a RS 51gmiica (1310 por medio dc un movimionto rigido (sin alterar ei lamafio dc PQ) y pamlcio a 123 dircccion do . PQ, se puede hacer que este segmento coincida c011 RS.

.112

.

fig11123.

.

.

'F’2 1

82

S

|

1

---r-----—--1'-----.

'2

l .l

(X: Y) |

p1

|

I

i

I

I I.

BI

1

£71

’1

Si

>

X

'ESPACIOS VECTORIALES 1 89

ALGEBRA LINEAL

Obsc'rvcse que los t1ié1‘1gulos OPQ y- RMT 5011 congruuites EntoncLs I 0Q |=

Es fécil vet que esta relacic’m enne segmcotos dirigidos del plano es 1111a relacion " dc equivalencia (es reflexiva, es si’me’t'rica y' es transitiva). For 10 1111110, sc puedc identificar (como siendo los mismosLscgmentos din g1dos que scan equivalentes. En particular, el segmento dirigido PQ cs equivalente al vector (q, — pl, 42 — 1);) (es decir, al segmento dirigido cuyo punto inicial es cl origcn y cuyo punto final

lRT| = |SN|,po'1 loque

lONl=IOSl+IOQI 0 sea

i

es el punto (q, — p1, q; — 172)). a = X] + X2

U11 argumento similar conduce a

b = y1 + 1'2 lo que prueba la afirmacion. Considérese ahora la multiplicaci6n p01 escalates. Sea v-= (X, y) 1111 vecto1 dc

R2. Sc ha definido la multiplicacion de v por ellescalar 71 E R corno siendo (:1 vector I

q: - p1

9» v 6 R2 de coordcnadas (M, 1}»). El etto gcométrico dc Lsta operacion consisle en, sin salir de la linca dc accion del vector v:

'41 ~ P1

Se tiene entonces asi 1111a idehtificacién completa entre vectores dcl espacio vectorial R2 y segmentos dirigidos del plano xy (a partir de este 1110111121110, tamb1c11 so 11521121 121 palabra vector para dcnotar los segmentos dingtdo’s dLl plano xy) El cspacm R2 es entonces 1111 esPacio “(1111: so puede vet” (geométricamente). Véase ahora el caracter geometrico do 1113 Operacioncs del inidas en este espacio '

1)

reducir s11 12111121110 L11 1111 factor k conservando s11 sentido (0 < 71 < l);

2)

aumentar su tamano en 1111 factor X conservaodo s11 sentido (71. > 1);

3) ca111biar S11 sentido (9» < 0).

'

vectorial.

Sean v1= (x1, y) y v3= (x2, y2) dos vectores dc R2 Sc defir’iio la 51111111 do éstos

como cl vector v1 + V; dc R2 de coordenadas (.11 + y,, .1; + y;) Sc afirma que ésta

no es mas quc la deimicién (abstracta) de la vieja cohocida “Legla del paralelogt amo" que sc usaba para sumar vectores en el plano.

En efecto, considérese la figura (o°0nx,vy,z GR-Osea-

,-

.

R3= {(X.y,z)1x,y. z E R] Las operaciones de espacio vectorial sc ven en este caso como - v2 Dados los vectotes v1 = (x1, yr), v2 = (x2, y;) an R2, sc puedc definir la resta v. 3, — (7 F4 v2 v1 ticne so 1), (3, = v2 y 4) (7, = v1 si como v1 + (—v;). For ejemplo,

4 - l) = (4, 3).

fue Geométricamentc, e1 vector rcsta v1 — v2 se obtiene sumando (segt’m como del regla la segl'm v2 dc aditivo inverso el con v1 vector cl resta) la definida paralelogramo como se muestra en la figura

(X1, yr, Zr) + (12, yz, 22') = (161"f X2, )’1 + 3’2, 21 + 72)

Mx, y; z.) = (XX. Ky, M), X E R Cada vector'(x, y, 2) de estc cspacio so pucclc identificar con el vector (geométrico) en cl espacio tridimensional xyz cuyo punto inicial es cl origen y cuyo punto final es el punto de coordcnadas (x, y, z).

i-

Obsérvese quc un vector cquivalente al vector v, — v2 obtcnido en la figura anterior es aquél cuyo pu‘nto inicial es‘tz’r en el pu‘nto final dc v2 y cuyo punto lmal esta en el punto final dc vl

Todas las propiedades geornétricas discutidas para el espacio vectorial R2 36 tiencn

también en este espacio: la suma dc vectore's on R3 sc hacc dc acucrdo a la rcgla dcl paralclogramo (en el plano en el que sc c‘n‘cuentran los vcctores sumandos), la multiplicacién pot escalates tione cl efecto geométrico dc alterar cl tamafio dcl

192

ALGEBHA UNEAL

ESPACIOS VECTORIALES 193

vector dejandolo con mismo sentido (71 > O) o invirtiendo e1 sentido 01 < 0), etc - Se d-eja como ejercicio a1 lector que reproduzca la discusion geométrica que se hizo en el caso de RZ,(‘01‘1 e1 espacio vectorial R3. En el caso general del espacio R", so podrIa también metablecer 1111a geometria para los vectores que lo constituyen: 1111 vector (x1, x2, . . . , 17..) 116 R" se puede identificar con el vector (geométrico) cuyo punto inicial esta en el origcn (cl ccro del espacio R") y cuyo puntor final esta en el punto (x1, x2, . . . , x.) del espacio n-dimcnsional.

Se 'pucde verificar ficilInentL- quc P Lon" estas' oeacioa es un espaLio‘ V vectorial: cl cero de este espaLio es cl polinomio que lia todos sus Loeficicnt . igualcs a acre, :11 quc sc denota simplcmcntL per 0; L510 cs 0= 0 + 01' +. .+ 01‘". Dado el polinomiop= a0 + (1.x + . . . + 11,1" E P,., su inverso aditivo L5 6 11301111011110 —p = -ao - 0.x — . . . - an" 6 PM etc.

2.3

EL ESPACIO Mm).

El problema que surge con este sentido geométrico dc R", es que no se puede

Sca M... .1 .. cl conjunto dc todas las matrices dc ordcn m X 11. ES dccir

ver (solo “imaginar”) a los vectores para 11 2 4.

MmXu={A

N OTA Se ha visto que R" es un ‘espac'io vectorial real Se considero 1a geometria de los casos particulates n = 2 y n = 3 El caso particular 11 = 1 no fue considerado, puss, bajo la perspectiva dc espacios vectorialcs, resulta poco

interesante cl hecho de‘ que R es 1111 espacio vectorial sobre R, con las operacioa operaciones usualcs de suma y produclo' por reales En rcalidad, es 1111 hecho general que un campo K es un espacio vectorial sobre K La razo’n por la cual no se hace hincapié en el caso particular n= 1 es, pucs, quc si biLn R es un

espacio vectorial sobre R, éste Ls mucho mas que eso: es un campo (cosa quc

no ocurre con R", n 2 2).

=

(“UM-l...

m

I

”HE R)

i-=l:--'1m’j= l>'--9”]

i=1. ..,n

E11 (:1 capitulo I 56 ha dcfinido la suma dc elcmcnlos dc M... x ,. asi como la multiplicacién de un clcmcnto M... x .. por cl es‘calar 71 E R (seccién 3.1 dcl capitulo 1). El tcotema 3.1 dcl capitulo 1 atirma quc cl conjunto M... x In con estas opera-

ciones, es un espacio VectOria‘l.

2.4. EL ESPACIO F(I) Sea F(I) cl conjunto dL todas las func-iones realcs dclinidas Ln cl subLonjunto [do 121 recta real. Es .de'cir '

-2.2..- i-ELE'SPZVACIO P,.

F(I) = 1fi1-+'R1*

Sea P,. cl conjunto dc todos los polinomios con coeficicntcs rcalcs dc grado manor 0 igual que :1. Es decir

Sean f y g dos funciones dc F(I). Dcfinase la suma dc f y g como la funcion f + g: I —+ R 1a] quc

P,. = {ao+a.x+ . . .+a..x" | (10,111, . . . ,a,. E R]*

En este conjunto, sc define la suma dc polinomios “coeficiente a cocficienle", 0 sea, Sip. = (10+ (1.x + . . . + a.,x" ‘y p; = bo+ [7.x + . . . + bx" son dos polinomios do P", 311 suma es el polinomio p. + p; definido por

0“r gXx) =flx) + 30)

,

(cl valor do 111 l'11nci1'111f+ g on cl punlo .1' E 1, es la 51111111 do 105 valorcs do 1115 l’uncioncsfy 3 en csc pun-10). Sif E F(.1) y 2. E R, dcfinasc cl producto dcfpor cl cscalar 9» como la funcién AJ‘EI”r Rialquc

pI+P2=iao+b0)+(€li+b1)x+...+(a,.+bu)x"

Obsérvcse que p. + p; E P,.. Para cl po_1inomio p= ao + 61.x +. .+ a..x“ E P,. y el cscalar )1 E R, 51: dcl'mc' .el producto do [2 por 71, come siendo el polinomio. 71p=lao+1a1x+...+xa.,x"

Nucvamcnte obsérvese quc 71p E P,.. *Ln igualdad en we conjunto 56 define como: p. = (10 + a.x + . . . + aux" cs igual a p; = 120 + b.x

+. ..+b,,x",si,ysolosiao= 170,11.=b,, ..,a,,=b,,.

(mm = W) (cl valor dc la funcion 1» f on cl punto r' E 1, cs cl producto- dL 2. por Ll valor (c1 'n1'1eo m211) dLf L11 x) Sc verilicam QUL Ll c6njunto F(I) Lon cstas OperaLioa dL suma y produclo ' por LscalarLs es un cspacio vcclorial. Scanfi g. h E F(I) y )1. 11 E R. 1)

La suma cs conmumriva. *La igualdad cnlrc clcmcnlos dc cslc conjunlo so dclinc como: f, g E F(I), f = g 51, y 5610

siflx) = g(x) Vx E I.

194

ALGEBRA LINEAL ESPActos VECTORIALES 195 ' Sea.1: e I. Entonees

'_ ‘oseae+-.1ofij=5xf¥pf’77f

(“906) ”105) +806)= 806) 4400‘ (g+j)(x)

* .

7) Six e I, come) = (X111f= Muflx»

como (f+ g)(x) = (g +f)(x) V x E I, concluimos quef+ g = g +f(es decir, la funciénf+ g es igual a la funeic’m g +f).

= 7~((Hf)(X)) = (MP/DOC) en donde (7t 11') f = Mpf),

2)

La suma es asociativa.

8)

Parax 61, (1 -f)(x) = 1- jflx) =f(x), es decir‘, 1 -f=f

Sea x E I. Entonces

Esto demuestra, entonces que F(1) es un espacio vectoriai. Los ejemplos de espacios vectoriales aqui dados’ muestran solamente a1 gunos

(f+ (g + (0)06) “fm + (g + Iz)(x) =flx) + (SOC) + h(x)) = (fix) + 806)) + (106) ‘ (f+ 900 + (10¢) ‘-‘ ((f + g) + 11106)

de los muchos espacios con 105 que se trabaj aré en el resto del libro. Estos nuevos espacios podrén obtenerse de 105 ejemplos aqui estudiados considerando “porciones" de ellos. En la siguiente seeeion vse estudiaré cémo han de ser estas “porciones” para que ellas mismas scan también espacios vectoriales._

Nuevamente, como x E I fue arbitrario, so concluye que

f+tg+h)=(f+g)+h

3)

Considérese 1a funeiénO: I —+‘ R,- definida por 0(x)==0 V x E I. VObs'érvese que para x E I

(f+ 01(11—flx) + 0(x) = flX) + 0= 1126) Es (16011",f + 0 = f La 1111101611 0 es el cero de este espacio veetorial.

4)

Dadaf E F(I), defina 1a funcién (—f): I ——» R como (—j)(x) = —f(x). Entonees, parax E I

(f+ (-f))(x) =flx) + (-f)(x) =f(x) -f(x) = 0

5)

EJERCICIOS

(SECCION 2, CAPiTULO 3) 1. Escriba explicitamente

a) E1 vector com (18 R4.

b) C) d) e) t) g)

Para x E I so ticne

h) i) 1') k)

Es decir Mf + g) = 71f + Kg.

11' .

fixEI

(0» + 1111706) = 0» + 10106) = Mix) + Hflx) = WXX) + (M0) = (W) + (111))(16)

E1 vector cero (1e R7. E1 vector 5(8, -1, 3, 2) on R“. El inverse aditivo del vector (1, 1, 1,3, 8, ~l, 7) on R7 multiplicado por el escalar El vector (1, 3, 8, —1, 4) + (4, 2, —1, 7, 0) 611 R5 multiplicado por el cscalar ~3. -E1 inverse aditivo del vector2(1 —l, 8, 5, 10, 4, 0, 1) en R3. El vector (1, 1, 3, 27, 45) de R5 multiplicado por el escalar 0. El Inverso aditivo del vector (1, 1, 1, 1, 1, 1) dc R5 multiphcado por el escalar— 1. La propiedad conmutaliva de In sum de vectores en R4; E1 vector 2(1,1,—1,3)+ 4(8, 1, 7, _—1)‘de R4.

,

m) E1 vector (5,7, 9, 10, 45, 86, —70) do R7 muitipiicado pOf e1 esca1ar 1. n) E1 vector 5(1, 3, ~1, 4, 8) de R5 multiplicado por el escalar 2.

0)

6)

E1 vector (1, 3, 2) '1 ((1, 4, 3) + (2, —1, —3)) en R3.

4.

0 sea, f + (-f) = 0, y entonces (~f) es el inverso aditivo def.

(W+ 8))_('x)= 710"“ gXx)3= 1000+ g(x))= lfix) -+ 71806) = (11306) + (9kg)(x)= (W) + (713))00

E1 inverse aditivo (1e1 vector (1, —2, 0, 3, 8) on R5.

E1 vector de R5 multiplicado por el escalar-S da per resultado e1 vector (7, l, —1,

0, 4). 2. D'emuestre que la relacién entre‘ segmentos dirigido‘s en el plane :13) establecida en la pégina 187 es una relacién de equivalencia.

3. Considere los segmcntos dirigidos en (:1 plane xy mostrados en la siguiente figura:

196

ESPACIOS VECTOREALES 197

ALGEBRA UNEAL

Desctiba geométricamcme Ias_Siguienles metas en 61 plano: . '

x=2+t a) {y=—1+t

tER

x=t d) {y=t

b)

x=3t y=—2—t

teR

6)

C)

{yn3-s

SER

D

xaa3+5

A continuacion sc dan el punlo inicial (P1) y 01 punto final (PF) dc varios scgmentos dirigidos en el plano xy Diga en cada caso si el segmcnlo dirigido cs cquivaicntc a v1, 11 v2, 3 v; o a ning'uno de cllos.

a) PI-(l,6) b) p1=(2,1)

1>1==(3,s) PF=(3,4)

e) Phi—10,4) f) P1’='(3,9)

PF=(—8,6) p1==(5, 10)

c) P1"= (12, —4)

PF=(10,—1)

g) PI=(§, 10)

PF=(4,13)

d) PI=(4,-2)

PF=(7,—1)

11) p1-=(1,3)

PF-(0,4)

‘ L1.

e) ~3v

b) 1.5V

(1) -2v

0 3V

. Dado e1 vector no nulo v = (a, b) y-el vector'vo = (x0, yo), dcml‘lcstrc quc la recta que p_asa. pot vo y es paralela a la' room en la que sc-en‘cuentra v p‘ucde scr dcscrita de la s1guiente manera

3"“

[y=3t+1

L2..

tER

t'ER

a) Compruebevque L, y L2 36 cortan en un solo punto si, y 5610 Si a'b — ab’ at 0. b) Dcmuestre que si a'b — ab’ 1* 0, el punto en donde L1 y L; so cortan es

x.x-xo+la

= y

M ,6 — 1), .- bfcxa — xv) ajb~ab'.

a'g'xa— 2) - was xo)‘ °+ b

a’b - ab'

Dado elvcctor no nulo v = (a, b, c) 611‘ R3 y cl.ve(x) + . . . + aLf’(.\‘) + aofix) = 0

0) [Cruxu - - uxn) lxl +x2=2l

c)

2X] + 21'; + 2X3 = 0

x.+x;-x,=0 2.1] + 2X2 - 2X3 7‘ 0

3x;—x;+x;=0

d)

b) 3X|~X2-2X3=0 , I E R)

_

.xl +x2'. 2x.) =.0 ‘ Mr3x2f2x5¢05

' '3. 'Expliduefsi cadapnoj de los éiguiemes sxibconjumos, del esp‘acio vectorial (15.36113.

c){ao + (1.x +a2x’ + (Mala; =1} d) {ao+a‘x+azx’+a}r’|ao=al =a2=0)

(matrices simélricas)

(matrices antisiniélricaS)

@fi' 6. Ccinsidere'el ‘cSpficio vect'olial C2(R) ———véas’e ejercicid anterior. Sean (1, b y c [res

pacios of no lo son

a){ao+a.x+azx’+a,\4|ao+a, =0) b) {(10+a',x+(1yc2 + ayfilao=m = (1; =03)

(malriceslriangulares inferiorcs)

- , subédnjumo' de F(l) fornia‘dop‘dr las fimciones declase Ck (denolado her 0(1) es’urj

-'

2. Diga si cada uno de‘los siguientes subconjuntos del espacio vectorial R'l son subcs-

subespac'ibs de él o no lo son

si 1' < j)

Considere el espacio vectorial F(1) dc las t‘unciones realcs definidus en 01 subconj unto

' a) my, z) W '+ by we 0'}

D

{A = (al‘j)iJ=1,..,,nl an +012+ . - ~ +aln = 0}

(matrices diagonalcs)

I de R. Sc dice que la t‘unciénf E F(I) es de class Ck (k un nflmcro natural)s ifes Una funcién derivable k‘vece's' 'y la fL'J‘n'Ciénflkles un‘a 'funci'é'n continua.’ Demuestre quc cl

l. Demuestre quc los Sigulentes. subconjuntos de R3. son subespacios de este espacio--

V

C)

i) {A E» Mnx" [A = ~A'} j) {A E Mum. l Aesinversiblc}

(SE-CCIéN 3, CAP’I'TULO 3) V vectorial.

{A = ((1.3),;- 1,. ..,,. I 0"] = 0 Si i #1) {A = (ab-)5»:..... "I an +022+ ...+am = 0}

d) {A = (ayhjnwmlvaa‘: 0 i,j= 1,. ..,n} c) {A = (aij)i,j-l,...,nlaij=0 ' si 1' >j} (matrices triangularessuperiorcs)

F(R)= WI EB W2

E‘JERCICIOS

b)

x. — x; + x) - x4 = 0

I

2,\'1+X2-XJ+2X4=0 .

-.

.'

,.

3713+ 3.";f2X) +11. =0. ,' ,; ..V - I 7

Sea A una malriz inversible de orden n. Describa el espacio solucién dcl sistema

homogénco de ecuaciones lineales AX = 0. Sea A una matriz cuadrada dc ordcn n. Considcre el sistcma no homogén co de

ecuaciones linealcs AX = B. LES cl conjumo solucidn de este sistema un subcspacio dc R”?

. Dcmuestre que el vector (2, 5) dc R2 es una combinacién lineal de los vectores v. = (l, 3) y v2 = (2, —1).

216

/

ALGEBRA UNEAL ._

.

, _

*1

11. :'Dern111estre que elyector '3

11

""311

I

3

, 2

V3:

° ,

‘

'.

.~

“. ,

.

I

' I

_1] de M; x 2 es una combmacmn 'lmeal do 103 vectores

=13 0

4

01

"323—1

c) p(x) = 1 — 4x + X2

b) 110:) = 3 + 2x = x2

d) p(x) = 10 — 2x + 8x"

13. Determine ,01 menor de 105 subespacios (10 R2 en el que se encuentran los vcctores v, = (1, 3) y V2 = (=1, 2).

Determine e1 menor de los subespacios de M2 x 2 en el que se cncuentran los vectores

‘

v g —1

3

8

1

2

o

a) v,= (1,o,-0),1.= (0 1,011» (001) b) v,= (1, 1, 1),vz= (2 3, 5),v,= (0, 1, 0)

”"01

a) p(x) = —2 — x + x2

v = 1

22. 'Demuestre quc cl 'e'spamo vectoria! R3 cs generado por cada 11110 dc 10$ sxguiemes _ ‘ ' . conjuntos de vectores

,_00

12. Determine cuéles de 105 siguientcs vectores de P2 son combinaciones 1111611105 de los vectores p1(x) = x + x2 y p2(x) = 1 + x

2

0) Vx= (2 3 1). 12

(1, 0, —1), V2 = (0, 2, —2) y v; = (0, -2, 2) es el planox + y +2. = 0. 16. Dcmuestre que el menor subespacio de R3 en 01 que se encuentran los vectores v1 = (4, =2, 6) y v2 = (=2, 1, =3) es la rccta x = 2t, y = -t, z = Br (t € R).

VCCIOI‘CS'

a) v.=(2,1,3,1),v,=(3,1,1,1)

b) v,= (0, 1, 3, 2),vz= (1, 3, =1, 4),v3= (0,1 1, 0) C)

, espacio?. 19. Describa explicitamcnte los siguientes subespacios dc R3:

a) 51((1,2.~1)) 39 ((1, 1, 0), (=3, 3, 0)) £1((2, 1, 4), (3, —1, 0)) $9((5,1,2),(6, 1, 3), (=1,0, =1)) SI ((2, l, 2), (-1, 0, 4),(3, 1, 4))

1),V3=(5,5,-1,3),VJ=(3,1,0,0)

1,x,x2, . . . ,x".

25. Pruebe que el espacio vectorial P,. no es generado por 105 vectores 1, (x + 1), (x + 1)2,-

.

. , (x + 1)n — 1.

26. Demuestre que 01 espacio vectorial R" no es generado por los vectores (1, 1, . . . , 1,

1,0).(1, 1,-

1.0.0), - - - , (1,-0,0.---.0,0).

27. Considers e1 subesp'a'cio de' R2 dado per

5 = {0.11. 1) L2: = 3y + 51 = 0] Encuenttc dos vector'es v; y v2 en S que generen e‘ste sube'sp'acio. (,P-uede S 501 generado‘ _ por un solo vector?

28.

Cier'to 0 121130 , 'a‘)

El espa‘cio qu‘e genera un vector on R3 es 111121 recta que pasa por el origin

b) Un plano Clue pasa por el orige‘n en R3 es un subespacio que es genetado p01 2 vectores cualesquiera sobIe e1 plano c) E1 espacio que generan dos vectores no 1111103 en R3 es 1m plano que pasa por el origcn d) U11 solo vector on R3 no puede generar un plano.

e) E1 espacio que generan 3 o mzis vectores an R3 cs todo R3.

f) 53 ((1; 1, 2), (4, 2, 1),(3, 1, =1),(-1,1, 5)) g) 51’. ((1, O, 0),(0,1, 0), (0, 0,1)) h) Sf ((1, 1, l), (2, 2, 2), (=3, =3, =3), (4, 4, 4), (-5, =5, —5)) 20. Considers e1 subespacio S de M2 x2 generado porlOs vectores

v =

1

3

‘

0

1

v = 2

1

0

“I .

4

Determine cuéles dc'los siguicntcs vectorcs pcrtenecen a S:

a)[3”-“§] wig]

V1=(3.1.111),V2=(1,2,—,l

24. Damnestre que el espacio vectorial P,. es generado por- el c011Junto do n + 1 vectorcs

17. Demuestre que no existesubespacio propio dc R3 en el que se encuentren los vectores V1*(1,1, 1),vz_== (1,1,0)yv;= (1,0,0)

18. bCuél cs, 01 menor sobespaci-o dc R" en el que se encuentra (:1 .vector .cero de este

(3,4,2),V1=(0.1.3).v4=(1.3.-1)

23. Pruebe que e1 espacio vecto'fia} R4 no es generado por. los siguicmcs conjuntos. d1:

1

15. Detnuestre que el menor subespacio de R3 en el que se encucntran los vectores v, =

b) c) d) 6)

ESPACXOS VECTORIALES 21 7

up, 1]»? ~31 0 Cl+Cz+203=y

{0 six_ 2 1211 quc v,- es una combmacién lineal de los vectores precedentes v1, v2, . . . , v,-.1.

-1

3

For 10 lanto, los vectores v1, v2, v3 generan R3.

Ademés, por el lootema 4.3 63103 vectores son también linealmcnte indepenclientes.

Enlonces v., v; y v3 constituycn una base de R3.

230

ALGEBRA LINEAL ESPACIOS VECTORIALES

EJEMPLO 2

Ea", 105 vectores _

231

En efcctb, en-la

scccién anterior se mostré que estos vectores sdn lineulm eme . independicmes. Ademds, dado cualquier pol-indmio a0 +"a;x + . . .- + am an R, es ' " clam que

-e,¥(1,0,-0;...,0,0) €z=(0,1,0,...,0,0)

(70 + 01x + . . . + aux“ = aoV1+ (11V; + . . . + [I,.vm

e..=(0,0,0,...,0,1)

lo que mucstra quege (l,x, . . . ,x”) = P... Esta base también cs Ilamada base candm'ca de P...

fotman una base, Ilamada base candnica (o estandar) de R". ' En efecto, dado (xx, x;, . . . , x,.) E R" se‘puede escribir

Vea un filrimo ejemplo:

EJEMPLO 5

(X:,X2, . . . ,Xn) = X181+Xgez + . . . +xnen

Considere cl sistema homogéneo dc ecuaciones lineales x.+3x2-2x3+x4=0

lo que muestm que ‘3? (el, e2, . . . , e,.) = R". For otra parte, Ia matriz cuyaj-ésima columna es e,- (j = 1, 2, . . . , )1) es la ma~ triz identidad I,., de modo que det 1,. = 1 ¢ 0, y por el teorema’ 4.3, se concluye que los vectores e., e,, . . . , e. son Iinea’lmente independientes. Son, por tanto, una base

x1+x2-4x3+3x4=0

~2xl — 8x2+2x3=0

de R", Observe que en R3 los vectores de la base canénica son los conocidos

vectores e, v i = (1, 0, 0), e2 =j = (O, 1, 0), e; = k = (0, O, I) que usaba en los cursos de fisica.

EJEMPLO 3

En el espacio M," x", considere las m X n matrices siguientes: la matriz AU’ (i = l, ' ._ 2', . , m;j = 1, 2,1". . ,h). es Iamatri'zde orden m’x 1‘1 que tiene tgdos Sus‘ ele‘mentos igualesa cero, excepto-el_que-se"encue'ntrale‘n su irésima l'fnea yj—é’sim‘a colm‘rma, que es igual a 1. Es facil verificar que estas m X n matrices forman una base de M," x n, llamada también base canénica de Mm”: dada 1a matrizA = ((1.7).- -1. , _,,,,. se puede escribir j'l,. . . . 1:

m,n

—x2—x3+x4=0

Se sabe que su conjunto solucién forma un‘ subespncio dc R4 (véase seceién 3). Se trata dc cncontrar una base para tal subcspacio. Primeramentc, procédase a resolver el siste'ma usando cl método dc elimina-

cién Gaussiana.

,

, _ -‘

- ‘

'

Se tiene l l

3 l

-2 -4

l 3

-2

—8

2

0

0

-l

—l

l

N

N

V

A = 2 05A,}, 10 quemuestra que SE ({A,-,-, i= 1, . . . ,m;j = 1,. . . ,n}) = M,,,x,,. i,j-'1

‘

'

'

l 0

0 l

*5 l

0

0

0

0

0

0

0

0

de modo que las soluciones dcl sistema qucdan dcscritas por

*1

la matrix 11 x 1.

mm

Ademés la expresién 2 c,-,-Ai,- = O impllca que 0,, = 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n, '

Li‘l

X=

2

X3

5r~4z =

*

r

+t r

r,IER

-

pues la matriz del Iado izquierdo de esta expresién es la matriz C = (c,-,~),- 1; _ , , , ,,.

x1 x

j- I, . . . , n

Esto muestra entonces que Ias matrices AU, i = 1, . . . , m,j = 1, . . . , :2 son linealmente independientcs. S0121

Por ejemplo, en Mug, las 2 X 3 =' 6 matrices que'consti‘tuyeri la base canénica _- ' _

.

_.

100 010 001 000 000 000 ooo,ooo,ooo,100,010,001 EJEMPLO 4

Considcre ahora los vectores v, = 1, v; = x, . . . , v... = x" en cl cspacio P". Sc vcra que constituycn um base de él.

X4

I

_ o bien, idemificando esta matriz con un'vector de R4, 'se tie'ne '

' ' 7 (5)4 L 4t,‘ :r 4 t, r',""t),

r', t é R

Obsérvese que se pucde escribir c‘l vector solu'cién como (5r - 4t, —r + t, r, t) = r(5, —l, l, 0) + l(-4,1, 0,1)

Llémese v. = (5, —1, 1,0) y v2 =(l4,1,o,1).

—"

232

ALGEBHA LINEAL

ESPACIOSVECTORIALES

_

233

Véase entonces que toda solucién del sistema se pilede escribir eorno combi~ nacién lineal de los vectores v1_ y 122. For 10 tanto, estos ve‘ctores gene1 an el cspacio

solucién. Ademas es facil verificar que ellos son linealmente independientes. Entonces una base para el cspacio solucién del sistema estzi constituida por los

TECH-EMA 5.1

' Elsubconju'nto [5 = {V1, 1);, ~.

',‘v,'.} del espacio veeiorial' Ves unabas‘e

de Vsi, y 5610 si cada vector v E Ves expresado de manera finica como una combinacién lineal de los vectores de 13.

veetores v1 y v2.

DEF/NIC/ON 5.2

Si e1 espacio vectorial Vposee una base formada por un mimcro finite dc vectores, se dice que -V es un espacio de dimensidnfinita. Caso contrario se dice que Ves 1111 espacio de dimensio’n infinita.

Los ejemplosantcriores muestran entonces que R", M... x ,1 y P,. son espacios de dimension finita. En este libro secentrara e1, estudio en espacios vectoriales de dimension finita. Sin embargo, so pucde ver ahora un ejemplo de un espaeio Vectorial de dimension

infinita. Considérese e1 espacio P formado por todos los polinomios con coeficicntCS reales‘. Se ve‘rii’ica facil'm'ente que P'e's 1111 eSpacio vectorial (clel cual, para cada 11, P1. es‘un sub‘espa'cio de‘ '61). Se afirma' que este esp'acio no {1.0566 mm base con un

nfimero finit'o de'Véctores. Para 'Ver la 'validei de esta afirmaci'én sup‘éngase por - contradiccién quet'al base existe; d1’gase que'es fi= {V1, 132,-. . . ,- v1}. En- part1cular, " estoesignifi'c'a‘ quelo's vectOresV“ V1,»... ., v1 gEneran a1 espacio P- Sea run numero mayor‘q'uie' e1: gradomrixi'ino de'l'os poliiiomi'o‘s v1, v2, . . . , w, y sea p, un polin’oinio de grade r-con coefici'entes realizs. Entonces p, e P'y 1). 6£ 51’. (v1, v2, . . . , 1-1.), lo

que contradice el hccho de qu'e'p es 1111a baSe de P (en particular contradice que los vectores v1, v2, . . . , v1 generan a P). Es 151cm Ver que' este'espacio de polinomios tiene como base el conjunto infinite S={1,x,x2,...,.r",...}

Claramenlc 22 (S) = P. Ademas, al usar cl mismo argumento que se utilizo en la scccién anterior para demostrar que 1, x, . . . , x" “eran vcctorcs (11: P, linealmente indcpcndie'ntes,‘ s'e pu‘cde veri'fi ~ar“ que cualquier' subcdnjunto finito cle S cs linealmente indepcnciiente. Per 10 tanto (véase nota al final de la seccion anterior) S es un conjunto linealmente indepcndiente, que genera a P Es entonces 1111a base de P.

'

Considérese el espacio vectorial Vy digase que [3-= [111,- v2, . .. . , v.1} es 11na base 'de él. En particular so tiene que 51’. (v1, v2, . . .', v,.)= V E310 signilica que cada

vector v E Vse puede rcpresentar como una Combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , v,,. El primero de una serie de resultados impOrlantcs (e intercsantes, por supuesto) que se verzi a lo largo de esta seceién, (lice que esta representacién dc v como combinacién lineal de los vectores de la base [5 es (mica Alin mas, se vera que esia unicidad en la representacion de v caracteriza al l1ec11o de que 1} es una base dc V.

DEMOS TRAC/ON Supo’ngase‘que 13 = {121, v2, . . . , v1} es-una base de V. Sea v E Vun vector arbitrario (16 V. Existen entonces escalates c1, 62, . . . , c" tales que V = c1v1+ 02112 + . . . + C11V,,

Supéngase por contradiccién, que v también tiene 1a representacién v =’ civ1+ cz’vz +

+ c,’1v,,

Entonce's 0m + czvz +

+c1.v,, = c1111 + c5122 +

+ 0,111,,

osea

*'(¢1~qi)vx”+'(02*¢é)V2+-

+(c..— c1)». .0' 7

1511-“

Has'ta abora «310a 1111 usad'o el hccho dc qfie‘gil(v1,' v2, . . ,v,.)= V. Pero siendo [3 ={v1, v2, . . . , v.1] 1111a base de V, lambién se sabe que los vectores v1, 112, . . . , v,. son linealrnente independientes.En10nces (5.1) implica que c, — c1= 0, es (lecir c1= c1,i =,1 2. , 11, lo que muestra entonces que la representacién de v E V como combinacién lineal de los vectores de la base [3 es finica.

Reciprocamenle, supongase que cada v 6 Ves representado de mancra (mica como combinacio’n lineal dc v1, v2, . . . , v,,. En tal caso se ticne obviamcnte que 89 (v1, v2, . . . , v.) = V. 5610 faita verificar, cntonces, que los vectorcs do [3 son

linealmeme indepcndientes. Considérese 1a combinacic’m lineal c1v1+c2v2+ . . . +c,.v,.= O

Esta cxpresién se puede ver como la representacién dcl vector 0 E V como combinacion lineal de los ve'ctorcs v1, v2, . . , v,,. Pero obviamcnte e1 vector cero tlcne tamblen la represeniaeion " " '

Q=0'v1+O-v2+...+0~v,.

En vista de la unicidad dc la representacién supuesta en la hipotesis, se concluye que 6. = c1 = . . . = c. = 0, es decir, que v1, v1, . . . , v,. son linealmenie independientes y que por tant’o constituyen un‘a base (11: V.

Q.E.D.

234

ALGEBRA UNEAL

ESPACIOSVECTORIALES

E1 sigu’icnte teorema; quc relaciona cl nfiméro dc vectores qua generana un espacio.

'ygctorial V con 61 nfimero méximo do vectorcs linealmente independientes que 'puédcn existir‘en él, prepata el terrcno para definir (como consecucncta del corolario que de él sc dcducirzi) uno de los conceptos més importantcs de este capitulo (y de todo el libro): El concepto dc dimension.

TEOREMA 5.2

DEMOSTRA’CION Scan (3, -= {vb-1J2, . .,. , 15,} y {32 ;= (.u,, u,,-. . . , _u,,,) do$ bases-dc V. For una part0 so ' ' , _. tiene gucgfifio, ,=-' Vy [5,65 uniconjuntolineeilmentc independientc dc Ve'ctores dc V. For el teorcma anterior se tienc entonccs m _ n, existen c'ntonc‘es c,, c2, . . . , 0,, no

En el siguientc teorema se cstablccerzin c‘oncxiones entre los conceptos “conjunto dé‘gencra'dores”, “conjunto linealmcnte independientc” y “base” para un

espacio vectorial dc dimension finita. Dc él sc pucde dcducir un resultado

todos cero tales qua AX = 0, do‘nde )7 es la matriz dc orden m X I de elementos cl,

“przictico” que facilitarzi la tarea dc verificar si Lm conjunto dado dc vectorcs en un espacio vectorial, es una base de él o no, cuando se sabe dc antcmano 121

Cz, . . . , Cm.

Entonces se satisfacen los rclaciones

dimension dcl espacio. Pero antes dc cnunclarlo, sc verz’m un‘par de lcmas técnicos

Ill

quc sc usardn en su dcmostracién.

i= l,2,...,n

Al sustituir estas ‘exprésionejsen (5.4), se obtien'e fmalmente q‘ue ct‘u, + c2112 + . -. . + .' '

* c».u-.~-== 0, .en dondc novtodosiloscscala'res '63, c2, . .' ,- -, c,,. son'igu'a'l'es a cam. E's'decir, : cl conjunto S as linealmcntc dcpcndientc.

Q.E.D.

COR'OLARIO

A

_ - En general dim R," = n, 'puesla, bas'efianénioa do. R" cticne i1 ve'ctores.

can + C2": + . . . + c,,,u,,, = Z llj = Z c,- 2 aw,- = Z 2 age] v,- (5.4) j-l i-l i-l jul 1-1

2 agcj = 0, i=1 -

235

Sc’a Vun espacio 've‘ctotial dc dimension finita. Entonccs cualesquiera dos bases [3. y B, de V, (ienen cl mismo nfimcro dc vectorcs.

LEMA 1 . 1- . _ ~ ’ ' -

: ' '

SeaS =‘{-v1,‘v2, . . . , 1),} un conjunto dé-gcncradoros del espa’cio vector‘ial V,-Supong£i'se que 'e'xiste-vj, l S")? S n' tal ‘que puede'es‘cribirse cotno

combinacién lineal de los n — l vectorcs restantes. Entonccs g2 (SH v,-}) =

353(3) (donde S\l} = {V E SIV“ Vii) DEMOS TRA CION La contencién g9(S\{v,-)) C 32(8) es clam. Se vcré cntonces quc 22(5) C g9(S\{ v,}). Sea v E St! (S).

236

ALGEBRA LINEAL

ESPACIOSVECTORIALES Existcn escalates c,,,c2,‘. . . , c,. tales que

DEMOS TRACICN V 1)

4.1 existe un vector v,, 1 S j S kque se puede escribir como combinacion lineal de 105 k - 1 vectores restantes. Sea S, = S\{v,-}. Por el lema 1, 29 (S,) = V. Si 31 ES linealmente independieme, S, es entonces la base requerida. Case

Segt’m la hipo'tesis del teorema, existen también escalates d,-, i = l, 2, . . . n, i at j tales que

contrario repita el proceso anterior. En algt’m memento se obtendra' un conjunto S, (1 S i S n ~ 1) llnealmente independientc y ése seré la base procurada. (El peer de los casos se presentaria cuando se pueda llegar a S,. . 1,

V,‘ = d1V1+ . . . + dqjq + djuvj'u + . . . + dnvn ,

que es un conjunto con un solo vector. En este caso S, es linealmente hndependiente, y set-é la base requerida.)

Al sustituir esta expresic’m on (5.5) y agrupando, se obtiene al vector v expresado como combinacion lineal de 105 n - 1 vectores v1, . . . , Vj.1, v1”, . . . , v,.. Entonces

2)

v 6 5,2 (S\{ v,}) como se querla demostrar. Q.E.D.

independiente. Escribase VI = S£(Sx). Si V, = V, S; es la base requerida [5. Case contrario existe w; E V, w; (f. 2,9(S1), etc. Al continuar este proceso de adjuhci'én de vectores de Val conjunto S, se llegaréa lo mas-en 11 ~ In etapas, a un conjunto

Sea S unsubconjuntolinealmen‘te independientedel espacio vectorial V. Supéngase-que e'l' vector v E V110: pertenece al espacio generado por S (esto es, v 6?, SE (S)),.entonces el conjunto S' == S U {v} as linealmente

independiente.

Sea S = {141,142,“ ., um}. Escribase Vo = Q (S). Si Vo = V, entonces S es la base requerida (pues S es.linealmente independieme y SflS) = V). Caso contrario (0 sea 5122(5) es un subespacio propio de V), existe un vector w; E Vtal que w, €£ g€(S). Segt'm el lema 2, e1 conjunto S; = S U {m} as lincalmente

\a‘

LEMA 2

Sea S = [v,, v2, .'—.- . , v1} un'conjuhto de generador'es de V. Si-S ‘cs llnealmemc

independientdentonces S es; una base de' V. Ca‘so contrario,‘ segun el tcorcma

(5.5)

v = c1v1+ sz + . . . + c,.v,.

237

linealmcnte independientevque genera V. Esta sera la base [3 procurada.

Q.E.D.

DEMQSTRA CIoN

Sean £41,142, .._ . ,uk vectores de S. Considércse la combinaciénlineal

‘

c,u(+c;u;-+ 1..-+'Ckll§+Ckfl:Vf=-0 '

'

- La parte 2 del tcoreni‘a ahterior, dice que “todo conjunto linéalmente independiemef ' ' en unespacio veetorial dc dirfier‘ision'finitz; pfiede'ser completado‘hasta l'orr'na‘r,

. -~(5.6).-

una base del' espacio”. La misma demostraclon de este hecho dice Como se dcbe proceder para obtener tal base. Véase un cjcmplo que ilustra las dos partes del te‘Orema 5.3.

Se afirma que cm = 0. En efecto, si cm at 0 se podria escribir V"

Cl

“‘“‘ 111+ cm

(:2

'

——“‘llz+...+ Cm

'

Ck

"—1”; _ck+l

EJEMPLO 7

Sea Vel espacio generado por los vectores v1 = (l, 2, 3, —l), v; = (— 1, 1, O, 4),

v3 = (3, 4; 7, —5), y v, a (2, 5, 7, —1). Ves, pues, un subeSpacio de R4. La parte 1 del teorema 5.3 asegura que del conjunlo de generatiores S = [v.,

lo que contradice la hipétesis de que‘ v '5 5,? (S). . Entonces la expresion (5.6) queda como

v1, v3, v4} 56 pucde oxtraer una base para V. Proceda como sigue:

Escriba la combinacién lineal

c1u1+czu2+...+ckuk=0

C1V1+ C2V2 + 03V} + C4V4 = 0

Como S cs linealment‘e lndependientc, se concluye que 6, = . . . = c, = 0, lo que mueslra entonces que S’ es linealmeme independiente.

- (2.13.1).

b’

'C1_(1> 2’ 3: __l) + C2(-17 1: 0:4) + C3(37 4: 7? ‘5) + 6;“ (2: 5: 7} ‘1): O

" dc dohde so obtiene l

TEOREMA 5.3

Sea Vun espacio vectorial dc dimension finita. l) Cualquier conjunto de generadores de Vcontiene una base para V. 2) Si {u,, 141, . . . , u,,,} es un conjunlo linealmente independiente dc V, , existen vectores w., W2, . . . , w,._,,. (n = dim V) tales que [3 = {uh M2, ., um, w,, w;, . . . , w,..;,.] es una base de V.

CI‘C2+3C3+204=0 2c.+c2+4c3+5ct=0 3C1+

+7C3+7C4=0

'Cl+4C2"503—C4=0

(57)

238

ESPACIOSVECTORIALES

ALGEBRA UNEAL

S'e tiene emoncesel conjunto T. {v,, vb m} quc cs (scgt’m e1 1cmz12) linealmemc

Al.proeeder per e1 méte‘do. de eliminacién' Gaussiena se obtiene 1 2 3 —l

-l

3

l 4 0‘ 7 4 -5

2 5 7 -1

l 0 0 O

239

, independienle. Escéja‘se ahora‘ w; é (0;1, O, O)? y verifiqnese que w: '6 $1903, vz: ' ' ' w,). Alcs‘cribir ‘ "

0 7/3 7/3 1-2/31/3 0 O O O 0 O

(0.1.0.0)= c1(1.2,3,~1)+ c2 R" de la siguiente maneta: para v E Vescriba fiv) = (v),,. (El vector de coordenadas (16 v respecto de la base [5.) Se afirma quefes un isomorhsmo entre V y R". El hecho de quefes inyectiva, esta establecido en el teorema 5.1 (unicidad de la representacién de cada vector v E Vcorno combinacién lineal de los elementos de la base [3). La funcmnftambien es sobreyectiva: dado e1 vector (cl,- c1, . . ., c") E R" defina v E Vescribiendo

Considérese 1a fun'ci'énfal 0 1",: Vi —-> V1. Esqucmzi'tic‘amentc se tiene la siguiente situacién:

V= C1V1+ C2V2+ . . . + cnvn

Es claro queflv) .= (Ci, 02, - 1 6n);

-Se veté ahora quefsatisfacé las condieiones 1) y 2) die la definicic’m 6. 3. Sean ' v, u, E V, digase que V=T1V1+T2V2+. . .+T;.Vn "=M1V1+P2V2+n-+an

*La palabra isomorfismo tiene por raices' “i505“ =‘ig1'ml, “morfos” = {011113.

V‘ —-—-——-—e—-——-—-—--—->V2_ ,

. .

.

1? °f1

_ I

.

Seg1’111 e1 teorema 6 2 ,fz“ a fi es un isomorfismo. Esio prueba ehionces que V;-

V .* 2

Q.E.D.

*Una demostracién mzis directa de este corolario (usando el teorema 6.3) ms: si 71 = dim V, = dun V1 se tiene V, S R" E V,, y por'm‘nto V, 5‘ Vi, Se‘Quiso a'qui dar cxplicilameme e1 isomorfismo enlre "

-

n 1

I

,

I

Vl y V2 pues nos re feriremos a é] en la d1scu51on que 513116 a ,este corolano.

262

ALGEBHA LINEAL

ESPACIOSVECTo'niALES

‘ 7 Para establecerel1somorl1smof2 of V, —> V2 en el corolario anterior es necesario ' ‘

fiJ'ar bases (11: V, y V3, digaSe 15, de V, y 11 de V2. Este isomorl’ismo scria entonees ,

2)

(véasc demostracion dc‘l teorema 6.4)

263

5 es 111-1 conjunto linealmeme 1ndcpend1emcen Vsi, y solo s1flS) es un conJunto linealmente independiente en W.

y por tanto,

+ cnv"

(fi‘°fn)(V) = cm + 62v: +

3)

en donde 132 = (11,, 112,. . . , v,.} y (v), = (c,, c2, . . . , 0,.)

En particular, para identificar a los vectores de P,. con'los vectores RM, se podria hacer por medio de una base concreta 13 de P,. (y la base canénica de R“), asociand'o a cada vector v E P, so vector de coordcnadas (v), E R“. Al tomar 13 como la base canonica dc P., esta identificacién se ve como ao+a1x+ ...+a,,x" E P,. H (ao,a,, ...,a,) E R’”1 Similarm‘ente‘con [14,... se tiene‘ la siguicnte identificacion via la base canonica de

Mm.

(3 es una' base dc Vsi, y 5510 si flfi) cs 1111a base de W.

La demostracién de estos hechos no es difieil. Sin embargo, se dejara para el proximo capitulo (seccion 6) en donde se retomara la discusion que sobrc isomor— l‘ismos se hizo en esta subseccién. Por lo pronto, en la préxima seceion se explota-

ran estas propicdades para establecer un método scncillo que permita cncontrar bases de subespa'cios generados por un conjunto dc vectores en un espacio veetorial de dimension n. Para terminar la (liscusion que se ha presentado en esta subseccién sobre isomorfismos, se desea hacer algu nos comentarios im portantcs sobre la‘ perspectiva que se abre a la 1112 de los resultados aqui obtenidos. Sc tiene entonces que

todos los espacio's vectorialcs dc dimension n 5011 isomo‘rfos. Si dos cspacios vectori‘alcs V, y V Son isomorfos,d1’gasc q11e f: Vl —» V2 es un isomo'rlismo, la

(111

(112

. . .

an:

(121

£122

- . a

112:1 E MIIIXII

: and

.

(11112

.

_ - - -

_ ¢

- anm

.

.

(€111,012, . . . , a1", 021, an, . . . ,azn, . . .,a,,,1,am2, . . Ham") e R”'" E1 ocasioncs se s'uele referir a esta identificacio’n como cl “isomorfismo natural" entre P,.(Mm x ,,) y R'“ (R"’"respcctivamente) Ya en un par de ocasiones anteriores se ha ht In identificacion de una matriz

n X 1 con un vector dc R" (por ejemplo cuando se trata sobre el espacio de solueione's de un sistema homogcneo de ecuacioncs linealcs, en la seccién 3). a1 (12

.

E Mnxl

H

((11, £12, . . . , a,.) E R

n

an

‘ ~ Esta identificacion no es peligrosa en modo alguno, pues ya so yio que M,” , - R". Una de las Caracteristieas importantes que tienen los espaeios vectoriales V y ue son isomorfos es que- algunas propiedades- importantes ——bajo la perspccu ' liva del algebra lineal— que posec un conjunto de vectores en uno do 105 espacios, se conservan a través del isomorfismo hacia el otro cspacio. Mas concretamente, sif: V —> Wes un isomorfismo se tiene

l) S es un conjunto que genera a Vsi, y 5610 siflS) es un conjunto que genera a W.

estru'ct‘ura d'e cspa'c'io vectOrial dc V, es “copiada fielmente” porf11.10121 V2, pue‘s por un‘a partefcstablcce 1111a correspondencia biyectiva entre los elementos de V, y V2 (sen identificados 11110 a 11110) y por o1ra partc f 11aslada sumas y productos por escalates“ ———las operac‘iones de cspacio vcctorial— de los elementos dc V,a 511111215 y productos pot escalates de 105 com espond1entes clementos (11: V2 Asi pues, desde el punto de Vista. (101 algebra lineal, V, y Vz‘ son espacios vectoriales '7 indistinguibles. Sc llega entonccs a la conclusion dc q1'1'e todOS los eSpacios vectorialcs de dimension n. son, baJ'o la opticadel algebra lineal, indis1ir‘1g11ibles resp'ce'lo del espacio R". 51501 que no estudiar entonces solamcntc cl cspacio R"? Existen muchas razones por las cuales esto no es convenicnte. Sin pretender cntrar en una discusion dctallada sobre este respeclo, véase solo un ejei'n‘plo. Los cspacios‘Mm y R"2 son isomorl‘os,pucs ambos ticnen dimension 112. Supongase que se quiere estudiar el espacio M,, 11,, via cl cspacio R" por medio dcl isomorfismo natural entre estos espacios. (Primera objecion: se han compromctido con bases, concretas de M... , y R", las bases canonicas; (,por que no otras bases?) Existen algunas propiedadcs do 105 vectores cn cl cspacio M,, 11,, que ticnen un carzictcr cxclusivo para este espacio. Eslas propicdacles haccn del espacio M,.x,., a pesar de su isomorfismo con R": un espacio con caraclerislicas propias y exclusivas. Picnse, por ejemplo, en la multiplicacién de matrices, 1a inversibilidad, los determinantes de estas matrices, etc. Debc rcsullar claro e1 panorama lan .tencbroso que se presentaria si se pre1encliera establecer estas. propiedades enlr'e las matrices via sus imagenes en R” La idcntificacién preporcionada por‘ los ismnOrlisinos entre cSpacios vecto-

rialcs de la misma dimension resulta ser importante cn cicrlos nivelcs del algebra lineal que estén fuera de los alcances de este libro. Asi cntonccs, para uno seguirzin siendo “distintos” los vectores de M, x,., P”.n., y R’" x", aunque estos espacios scan isomorfos. Solamente se scguiran iden1ilicando las matrices dc orden n x 1 con su correspondiente vector de coordcnadas (respecto de la base canonica) en R". Es claro que csto sc hace 5610 por una cuestién de comodidad en la escritura.

264

ESPACIOSVECTOFUALES

ALGEBRA UNEAL del espacio P" en térm'inos de la base

'EJERC'IC'IOS ' (seeicréu 6, oAPiTULo 3) 1. a)

13={1x-1(X-1)2

Sea [3 la base canc’mica de R" y sea x un vector cualquiera de este espacio, encuentre

.

(XML

b) Sea 5 la base cano’nica de M,,. x ,, y sea A una matriz cualquiera de este espac1o, encuentre (A)p.

. Sea [3 = {v1, v2, . . . , v,.} una base cualquiera‘ del espacio vectorial V, a) Lcuél es el vector de coordenadas del vector cero de Vrespecto de la base [5?

'b) Lcual es el vector de coordenadas del vector v.- i = 1, 2, . . . , n respecto de la base (3?

-(x-1)"}

(Sugerencia: e1 resultado se' expresa facilmente en .términos de las derivadas del polinom10p(x) evaluadas en x = 1.) 10. En R3 considere las dos bases

13= {(11 1).(l 10) (10 0)}

c) Sea (3 la base canonical de P, y sea p 1111 polinomio cualquiera de este espacio, encuentre (mfg.

132 ' {(211, 2). (1, 0, 3), ('1, 4. 4)} a) Encuentre ((1, 1, 3))p,.

b) Halle ((1, 1, 3))92. c) Encuentre Ia matriz de cambio de base de [31 a [52. ' d) Halle la matriz de cambio de base de [52 a [51. e) Reobtenga 10$ resullados de los mcisos a) y b) usando las matrices oblenidas en los mcisos c) y (1).

Considere e1 conjumo de'vectores en R3 B: {(3.1 I, 2)!(_1! 0: 2), (43 3’ 5)}

11. En R“ considere-la‘s dos bases

a) Demuestre que [5 es una' base de R3.

151={(1,0,0,0).(0.1,0,0),(0.0,1,0),(0,0. 0.1)) 132 = [(1, 0,0. 0). (2, 2, 0. 0.), (3, 3, 3. 0), (4. 4, 4. 4))

b) En'cucntrer((1, 1, 1))p y ((3, 4, 6))p. c) Para un vector cualquiera (x, y, z) E R3, encuentre ((x, y, z));;.

. Considere e1 c011junto de vectores en P3 13= {1+x+x’+x‘2+xz

a) 1311911911116 la. matrizde cambio debase de [3; a [3.4.

. .b)- Ha1le 1a matriz de cambio dé base de {5; "a 52. €3x+x32+3xnx2y

a) Compruebe que [3 es una base de P3

c') Use' 1a matriz obtenida en el 1ncis'o antemor' para hallar las coordenadas de 1111 ' vecto'r' cualquiera (a, b c, (1) en téiminos de 1a base {52

12. 1311 R5 considere las dos bases

b) Encuentremp. (x11, (x2); y (13»Sea fiuna basedel espacio.Vectorial V. Sean v1 y V2 dos vectores dc Vy c un escalar,

‘31 = {(1901 0: O) 0): (051: O) 05 0): (0’ 011) 05 0)! (o: 0! 0:19 0)’ (O, 0) 09 011)}

demuestre que

152 = “0.0.0.0,1),(0,0,0,1.0),(0,0,1,0,0),(0.1,0,0,0),(1.0,0,0,0)] _ a) Encuentre 1a matriz de ca'mb‘io de base de 132 a 13;.

(V1 + V2)»: (V011 + (V99

b) Halle 1a matriz de cambio de base de 131 a [32. c) Encuentre las coordenadas de un vector cualquiem x = (x1, x2, x3, x4, x5) en términos

(CV01: = “"09

de la base {32.

. Use e1 ejercicio anterior para hall’ar

13. Sea Vun espacio vectorial de dimension 4, considere las dos bases de V

(a0 + alx + (1:13 + 1139):;

151 = [V1, V2. V3. Va]

en donde 1% es la base de P3 de1 ejercicio 4. en donde

. Sea 13 = {vb V2) una base de R2, suponga que

((1 1))p= (2 3)

(( 1 ~1))n'= (3 3)

Determine los vectores de la base [3. . Encuentre e1 vector de coordenadas del vector

p(x)=ao+alx+...+a,,r"

, =3v1 + 5v, + 2V4

=3v1 + 6v; + 4v: + 3v. =~3v, + v; + v; + 214

— {v}, 122, v3} una base de Pz', suponga que > . Sea 13(2-x+x2)9=(11191)

132 = {“11 “2, “a. “4]

= —4v1 + v; + 2v, + 3V4

Determine 16s vectores-de la base (5

(1+x)fl=(2:130)

265

(x-X2)p=(-1,3,2)

Halle 1a matriz de cambio de base de [32 a (51. 14. En- el es'pacio vect'orial F(R), co'nside’re e1 subespacio Vgenerado por sen x y cos x. a) Demues‘tre que 131 = [sen ,1, cos x} es una base de V.

b) Compruebe que 6; = {sen(x-+ 11/4), cos(x + 11/4) es otra base de V. c) Encuentre 1a matriz de cambio de base de [32 a 11..

266

ESPACKDSVECTORIALES

ALGEBHA LINEAL id) Hallo ia matriz dg: cambio dc base de [5, a [32 En e1 espacio vectorial F(R) considerc cl subespacio Vgenerado pot seiflx y cos-x. a) Demuestre que (3; = {sen2x, coszx) es una base de V.

267

I .- 7.. EL ESPACIO LiNEA D'E-U‘NA MAT’RIZL'I ' Sea la matrizA dc orden m X n

b) Compruebe quc [52 = {1, cos 2x) as otra base de V.

c) Encuentrc 1a matriz dc cambio dc base de 62 313,.

d) Halic 1a matrix de cambio dc base dc [3, a 132. . Sea Vun cspacio vectorial dc dimensién n. Considers 1as dos bases dc Vdadas per

A

[51: {“12 ll;,...,lln)

[3]: {V1,V;,...,V,.)

LCémo se afecta P 51 en la base [31 se intercambia la posicién de dos de sus vectores? b) aCémo sc afecta P si en la base {32 se intercambia 1a posicién d_e dos de sus vectores? a)

BIZ = Ill", un-ls - ' . : uli

Pc es la matriz definida en cl ejercici‘o' 17 de la seccién 2 dei capitulo 2.

Establczca un isomorfisniof: P2 -+ R3 p01 medio de la base [3. . En c1 cspacio vcclorial M2 1: 2 considers la base [3 dada por

1

a2"

aml

(2:112

' ~ 1

am"

i=1, 2, . 1 . , In

Las coordcnadas del vector L? coinciden 0011 105 correspondientes elementos de la i-ésima linea de la matrizA. A estos vectores se les llama (pot razoncs obvias)

DEF/NIC/ON 7. 1

Con la notacién anterior», se llama espa'cio final de la matriz A 211 subcspacio dc

R". generado por los vectores linea dc A.

'15: {1+x—xz,2+3x+x2,—1—5x+x3]

i 1

(1111

. . .

Se denotara pot ELA al espacio linea de A, el cual es enronces

17.' Con'sidere e1 espaciovectori'al P2 6011111 112136 13 dada por

'1 1

- - -

022

vectores linea de la matriz A.

Sea Q la matriz dc cambio (16 base (16 {ii a Bidemucstrc quc Q= Pc, en dondc

_

.012

(121

L,4 = (an, (1,2, . . . , (1,")

c) Scan [51 y [32 ias bases dc Vdadas por ‘3'1:{V,,,V,,_l, . . . , V1]

all

Considércnse 105 m vectores L? E R" definidos por

Sea P 1a matriz dc cambio dc base de 131 a (32.

p-

=

1 —1

1 —1

11,~1—1,1~1,—11

a) Es'!'abiczca‘ un isomorfismo f1 M2 )1 2 -—» R4 por medio dc la base [3. LCuzil scré e1

isomor‘fisr‘no inversof'lz' R4 —» M2 x2? b) Dcmucstm quc c1 conjumo

pg: 1:]. [3 31: ii 3] }

cs un conjunto linealmcntc independientc.

, _ ic) Deihucstre qué e1 lconjuntoflS) an R4 dado por ‘ -

111: 11111: 2111121111

es un conjunto lincaimcnle independiente (y emonccs cl isomoriismoftransformo

EL‘= g€(L’,‘, L9,) . . ,,L,,) C R’! En csta scccién se propone‘ Ver cémo hallar una base para c1 cspacio EL" (y por lo tamo, s11 dimensién) y aplicar esta's ideas, junto con las dcsarrolladas en la scccién anterior, para establccer 1m método sencillo quc pc‘rmita dcscribir 10$ subcspacios

generados por un conjunto dc vectorcs.en un cspacio do dimensién finita. El primer paso que se darzi en esta direccién es relacionar el espacio linca dc una matriz A‘ con el' espacio linca de la forma escalonada reducida de A. Sc verzi en 01 teorcma 7.1 qu'e cstos cspacios son iguaies. Primcro sc harzi una observacién de carzicter técnico accrca dc una mancra convenienle (para los propésitos en esta scccio'n) dc ver un producto dc matrices. Sea A una matriz dc orden m X p con elementos (1,) y B una matriz dc orden

p X n con elcmcntos by. Férmes'e su producto C = AB. C es entonccs una matriz de ordcn m X 11, con elementos digase c;,. Sc sabc quc » Ci] => 2 [Iii-big

i

k-i

Entonces

e1 conjunto linealmentc independicntc S en el conjunto lincalmcmc1ndcpcnd1cnle

KS»19L Eslablczca u1'1 isomorfismof: P3 —> M2 x 2 (considcre las bases canc’nncas en ambos espacios).

. C = (CH) 01.25 - - - 9 Ci") =

p

I)

.

2 (likbkl, X aikk, -

k-I

k—i

p ‘ 1 Z

1-1

(likbkn

268

ESPACIOSVECTOHIALES

ALGEBRA LINEAL I

P ‘ I I "I ifliubkl: bar”; [31,.) = 2 0,.k

- k-l

=

.

.

269

muestra-éntohcé‘s quo" . . -

.

Q(u1, liz, . . . , 11,)n

k”

If = [1111}? + (1,213+ , . . +£1.-P L}?

los coeficientes de estos vectores son los correspondientes clementos de la iiésima linea de A.

Q.E.D. mm

Esta expre'sién nos dice entonces que el i-‘ésimo vector linea de la matriz producto C = AB es una combinacién lineal de los vectores linca de la matriz 8, en la cual

TEOREMA 7.1

Sea la matriz A = (ab),- -1, . ‘ . ,,,,, denotese por A’ a la forma escalonada '

j-l, . . . . n

reducida deA. Entonces e1 espacio linea dc A cs i gual a1 espacio ll'nca

EJEMPLO1

do A’.

For cjemplo:

7]

[2.—3 1] _f 5 i =[1o 4 4

*1 A

2

3

2

4

15

B

19

8

DEMOSTRA CIéN Se debe mostrar que EL" =g€(L’1‘,l/’2, . . . ,L3,) = 3(L'1",L§‘",...,L¢,’) = ELA'

C

Segfin cl teorema 4.9 del capltulo 1, existe u'na matri'z inversible Q dc orden m tal que A = QA’. Entoncos (por la observacién previa al lema) cada vector Lf‘ es una combina-

Entonces

L? = 011L111 + (1121/5i + £11n

. , lo» sea

cién de los vectores L7“. Por cl lema anterior (con S1 = {L1} L5", . . . ,L#.'} y S; =

’ (13‘, ~L’3,‘ . j. . , Li“) se'con'cluye entonces quc

* L9 '.~‘ aa+~ (12s +; £13n , ‘ l l3 I I ' ''

‘ EL" 2 EL"

(10, 4, 7) = 2(2: 1, 3) + ('3)(‘150, 1) + (3, 2, 4)

P'cro si'e‘ndo Q inversibl'e, se puede eS'Cribi'r A' =' Q"A, de modo quc por un

argumento a‘n‘élogo a1 anterior se obtie'ne

(1-5) 89 19) =>4(2) 1, 3) + ('1)(‘1:O> 1) + 2(3, 2: 4)

como se puede comprobar directamentc. Véase ahora el siguiente lema que se usaré en la demostracién del teorema 7 . 1.

EL" .C_ ELA 0 sea que E ' A = EL", tal y como‘ se queria.

LEMA

Sea Vun espacio vectorial y scan S; = {v}, V2, : . . , v,} y S; = M, u2-, . . . , 14,}

dos conjuntos de vectores dc V. Llém'esc Wal espacio generado por los vectOr‘es v’._, v;, . . . , v,. Si cada vector u], 1 S j S t se pucde escribir como combinacién lineal dc los vectores vi, 1 5 i S r, entonces

, 39(lt1,ll2,. ‘ ., u,‘) QW

DEMOS TRACIéN

Ciertamente para cada j, 1 Sj S tse tiene uj E W. Si a1, 0.2, . . . , a, son escalarcs arbitrarios se tiene también que all.“ + a2u2+ . . . + mu, E W

pues Wes un subespacio (cerrado bajo la suma y el producto por escalares). Esto

QED. EJEMPLO‘2

Por ejemplo, si se tiene 1a mattiz

,1;34 A=213~ 3'4-7 su forma escalonada rcducida es:*Otra clemostrucién: Témcse x E 22(ul, uz, . , u,), entonccs x se cscribe como combinacién lineal de los vectores ul, uh . . . , u,. Pero por hipétcsis, cada uno de estos vectorcs es unn combinacién liv ncal de los vcctores v“ v,, .~ . . , v,. Poniendo todo esto junto, sc vc quc x pucdc escribirse como combi-

nacién lineal de los vectores v“ 11;, . . . , v,. Entoncesx E W.

270

ALGEBRA LlNEAL

ESPACIOS VECTORIALES

1.10" 1'—

" En ot'ras palabras,‘ la primera. coordenada distinta de cer'o en .L" es lajl-ésim'a , coorderiada que es iguai a 1, y en los ve‘ctores restantes 1151’ , . .- , L" la j.-ési-

‘

-A'= 0.111 0 0 0 0

271

ma coordenada es cero.

"-

'

Fijese la atcncio’n en la jrésima coordenada del vector de la izquierda en la expresion (7 1)

El teorema anterior asegura quc los dos subcspacios dc R4

c,(...,_1,...) + c;(...,_g,...) +

Elf = 29((1, 3, 4, 2), (2, 1, 3, -l), (3, 4, 7, 1))

j1

ELI = 53“}, 031’ '1),(Orla1>1)a(01 0: O: 0))

c,(..-.,£),...)=O

j1

11

se ve entonces que 0, = 0. Queda asi (7.1) como

=C°C((11 0’1)_l))(0’ 191) 1))

son iguales. Ade-mas, observe que los vectores linea no nulos do 111 matrizA' son linealmente independienlcs pucs

c214” +

+ c,L’," = 0

Repitase e1 argumento anterior para mostrar que c2 = 0. De la misma manera se muestra que 03 = . . . = c, = O, y entonces los vectores

61(1) 0:1: ”1)... 62(0112131)=(Os 0: O: 0)

Lé’, . . . , LI," son linealn'zente independientes y por tanto constituyen una base del espacio EL‘.

=

(32 =

:Ici'i‘Cz':

"—c.+c2 ;

"or:

C1

o o

implica quc

Q.E.D.

=’.

cl=c2=10 E1 te'Orema anterior proporciona cl fundamento del siguie’nlte método para

obtener una base del espacio ge’nerado por un conjunto de k 'vectores v1,- vz, . . . . ', ' '

For 10 tanto, los vectores v1= (1, O, 0,--l)‘ y v2=(0, 1,1,1) forman una base (11:1 espacio linca do A’, y cutonccs, dcl espaeio linea do A. [1510 es un hccho general

v1 en R".

qUC se enuncia y dcmuestra a continuaeion.

1) Férmese la matriz A que t’enga por vectores linea a los veetores dados v1, v2, . . . . , v, (A es entonces una matriz de orden k X n).

TEOREMA 7.2

Los vectores linea distintos de cero en la forma escalonada reducida de

una matriz A constituycn una base para su cspacio llnca. I

2)

Llévese la matriz A a su forma escalonada reducida.

3)

Los vectores distintos do cero en la forrn'a' escalonada reducida de la matriz A constituyen una base dcl espacio linea de A (teorema anterior). Esta serzi entonces una base para el espacio generado pot los vectores v1, v2, . . . . , v1.

I

, . . DEMOS TRAC/oN Sean L? , L’z‘ , . . . , L’,‘ I 105 vectorcs llnca distintos do care en la forma escalonada

reducida do A. For (:1 teorema 7.1, estos vectores gc-neran al espacio linea do A.* Considérese la combinacién lineal

0,1,1" +

+ c,L¢’ = 0 .

.

.

(7.1)

' (Se demostrara qua c,= O

Recuérdcse que 611 A’ el primer elemento distinto dc cero en su primera linea es 1. Elsie se encuentra, por decir, en la columnaji. Adcmas, en las lineas rcstantes los elementos correspondientes dc lajz—ésima columna (en dondc sc encuentra el

primer elemento distinto de cero de la primera linea) son {odes ccro. *No se estziri considcrzmdo los vociorcs linea quc son cero cn c1 cspacio linea do A', pucs cs claro quc észos no allcran tal cspacio.

EJE'MPLO 3

Por ejemplo, suponga que se quiere determinar 1111a base para el subespacio de R5 generado por los vectores vl= (1, 2, —1, 4, 3), v2= (3, l, 2, 2, 4), v3=(2,1,1,—,1

0) y v, — (2, 41, 6, —11, -5). For-me entonees la matriz

1 '2"~—1'

= 3 1 A 2 1 2 —4

4

3

2 2 4 1 —1 o 6 -11 -5

Al llevar ésta a la forma escalonada reducida se obtiene:

272

ESPACKDSVECTORiALES

ALGEBRA UNEAL

"1:01

A

.0:

1311110110125, 103 poiinomios. .

1.

,= 01—10—1 0 0 o 1 1 0 0 0 0 0

de modo que los vectores u1=(1,0, 1,0,1),u2=(0, 1,10 -1) y u3= (0,0,0 1,1) constituyen la base procurada. (E1 cspacio que generan los vectores v1, v2, v3, v4 es cntonces de dimension 3.) El método anterior se puede usar en cualquier espacio de dimension finita, (digase n), por medio de la identificacién, a través de una base concrcta [3 dc V, de los vectores W E Vcon sus vectores de coordenadas. Esto se puede hacer, puss, como se vio en la seccién anterior, Ves un espacio isomorfo a R“ y 'se cumple: f5 es 1111:: base de Vsi, y 5610 si flfi) es una base dc R"

273

q]

q;

1+2x2"-—§'x3

=

1

l‘— )1.4+ 3x3

forman una base del espacio generado por pl, 122, p3, p4, el cual' es entonces do dimension 2.

Para terminar, vea un ejemplo en el que intervienen varias ideas que se han estudiado a lo largo dei presente capitulo. EJE-MPLO 5

Considers los 3 vectores de R4

6'11 dondezf: V -+ R" es un isomorfismo entre Vy R" (hecho que se demostrara en

v1 = (1, —1, 0, 2)

el pro’ximo capituio; véase teorcma‘ 6.4).

V2 ”(2113113)

EJEMPLO 4

For ejemplo, considérese en el es'pacio vectorial'P3 los vectores

p, =2'+x+'3'.1c7-x3

p;V=4-+51c-+3xv2~x3

‘ pl: ='1+ 5x -‘3x="+'1~=“ Se quiere'encontrar una base para e1 sube‘spac‘i‘o‘ dc P3 genera‘do por estos‘ cuatro . 'vcctor'es.

Sea[5labasecanénicadeP3,estoes,[3’-{1,x,xz,x’} Entonces

(P)1s= (21,113-1)

(Pa)1=(~,,11*,31)

(p2),,= (4,5,,3 ~1)

(p1)p= (1,5, —3, 1)

V3 = (‘L 7a 29 ’4)

Estes vectores generan un cierto subesgacio de Rf‘ (1116 se llamara W. Pot 011a parts, se ha visto que [as soluciones de un sistema. homogéneo de .ec'ua'ciones lineales for1113n 1.111 espacio vectorial Mas concretamente, si 56, 110110 1111 sistema homogéneo .de 6011110101165 611 has incognitas x1, x2, x3, 1:4, el espaci‘oi solucién sera (segun sc discutié en la seccién 3) un subwpacio de R‘ Uno se pregunta entonces pot unsistema homogéneo dc ecuaciones lineales (con 4 incognitas) cuyo espacio solucién sea precisamente W. E1 primer paso que se tiene qua dar para resolver este problema es describir cxplicitamente el subespacio W. 13510 significa, por ejemplo, dar una base de él Segon' lo visto en esta seccién, para hallar 1111a base (10 W33 forma la mairiz

1—1 0 2 2113 ~17 2—-4

A=

Se forma la matriz

A.

=

'2

1

3 —1

4

5

3

._1

5

~3_

3151—31

-i

y se llcva a su forma escalonada reducida. Esta es

1-

1.

A".='.'

1 01/31/3' 4/3 .523

0 .. 1 0 0

0

0'

Lleve esta matriz a su forma escalonada rcducida, obtenicndo

10 2—2/3 ,=01—11/3 A 0 0 0 0 0000

P01 10 tanto, 1111a base de W 05121 dada por los vectores

15 w[1,,o,3-3-]

ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES

'_. . ‘6

_1_ _._1_3]

‘Z'f:[03:133>

H

,

'

275

' 'EJERCICIIOS. 155001611 7,70APiTULo; 3)

Se tiene entonces que un vector (x,, x2, x3, x4) 6 R‘ se encuentra en Wsi, y 5610 si

existcn escalates c1 y 02 tales que

1. Verifique e1 teorema 7.1 con la matriz

1210 7 A=34_111 0—2 41—20 71012 4

1 5 1 1 (x1,x2,x3,x4) = Cl[1,0,‘3—,§]+ C2[0,1,§,—§]

o lo que es lo mismo

2. Sea A 11113 matriz inversible de orden 11, describe: e1 espacio linea de A. 3. Encucmr’e. una base-para e} subespacio de R4 generado per 105 vectores (1, 3, — 1, 2), C1=X1

(“1:21-2, 2)),(2911 1: 0)-

4. Determine Ia dimensién de cada uno de 105 siguientes subcspacios de R4

. '5. Eti'cuentre 1111a b11se' para 'cada 11110 de 105 s1gu1entes Subespacios de M2 x 2 1

1'

a) 5-”. [0' o M

5/3

-1/3

214

"

N

0

1

X2

0

O

—x1/3 —x2/3+x3

O

0 ~5x./3 +x2/3 +x.

.

b) 51’

1

-1 '

FEntonces (x,, x2, x3, x,) E Wsi, y sélo si ias dos filtimas lineas de la matriz de la derecha constan 5610 de cerOs. Es decir, si

c)s,1[3

1,

O‘

1 I 1

bub»)

X3

1

1/3

L

1/3

LON

1

0

1

1

1

F 0'

F2

3

ODIN

E516 es un sistema no homogéneo dc 4 ecuaciones en las inco’g‘nitas c1 y c2. Uno - ' j 56 'p'r'eguh'tja‘ ento'jnces qué reIac1on deben guardar x1, x2, .x3, 10, para que este sistema _ tehga so’lu‘c‘ién p'a‘ta c", _fy 02 (y por tafitc‘) para que (x1,- x2, x2, 20,) E W) Con el método _ 1e ehmmacmn G‘a‘ussian'a se bbticne

3'

3

2

L__.J

301 _lc 3 2 =x4

\__./

é'

a) gm, 2, 1, 1),.(3, 4,2, 1)) b) 51((1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2)) C) 22((3,1,2.45) d) 21((1’, 0, -1, 2), (6, 1, 1, 2), (4, 1, 3, ~2), (8, 1, —1, 6)) e) 21((0, 3, 1,1),(2, 0, o, 3),(4, 1 7, 2),(3, 2 3, 3)) _022((1,,-,000)(1, 1,,,00)(1,110),(11,1, 1))

I'“—_! DON

1

NO

1

561+§v62 = X3

I_

€2=X2

I hay-a

274

1J,[6 2]]

—11‘"21“33 —14 mg [-3 01, 3 11,[9 2],[12 1]]

x1+x2-3x3=0

1

l-x2—3x4-‘O

'-. P01 otra parte, és1e es un siStema homogeneo de dos ecuamoncs lineales. en 1:13. I i11c6gnitas x1, x2, x,, x,. Se afirma que (17,, x2, x3, n) as solucio'n de este sistema, lo que equivale a afirmar que (15,, x2, x3, x0 6 W For 10 tanto, es el sistema requerido,

cuyo espacio solucién es precisamente W

_ 6. Encuentre una base para cada uno de los 51 gu1cntes subespacios de P2

a) 22(— 1+x .,r’3x+14) __ b) Q(2v+x+x’,~1+5x+6x’,I'-5+3x+'4xz) c) 22(1—x-x2,4+5x+x’,11+7x-x3,7+2x-Zx¢) d) Q(—1+2x,5+x-—x’,12+9x—3x3)

® 7. Sean W1 y W2 los subcspacios de R" dados pot W! = 9(V1, v21 ' ' ' 9 Vt)

W2 =§l(111,uz, . - - , m)

ALGEBRA UNEAL

'Demuestre que uria baée dcl 'espabié W, + W; 6516 constituida por los, vectores‘ difer'entes de'cerb-'¢n,,1a fox-ma cscaldnada reducida 'de la man-12A de-grd‘en (k + r)_>$

, 'n cuyos vectores lihéa son v1, . . . , vk, u], . . . , u,. Sean W1 y W2 los subespacios dc R4 dados por W, = $9((2, 3, ~1, 1), (8, 12, -9, 8), (2, 3, 9, —7)) W2 = 513((4, 6, 3, —2), (6, 9, ~10, 9), (2, 3, —28, 23)) Encuentre una base para los subespacios W n W2 y W; + W2.

CAPI'TULO CUATRO

Transformaciones Iiheales

Repita‘ 61 ejercicio anterior con los subespacios W, = 93((1,1,1,1),(1, —1,1, —1), (1, 3,1, 3))

W: = 39((1, 2, 0, 2), (l, 2,1, 2), (3, 1, 3,1))

@ 10. Encuentre un sistema homogéneo dc ecuaciones lineales cuyo espacio solucién sea: a) Larectax= 2t,y = t,z= 3t,t E R.

1)) El plano'Sx + 2y — 3z = 0.

e) E1 subespacio R".1 generado por (2, 1, 3, 0), (1, «1, l, 1), (7, -1, 9, 3) (1) El subespacio (16 R5 generado por (1, — 1, 2,1, 0), (4, 0, 2, 0, —1),(3, 1, 0, —1,—1), (4) 69 2’ 0) '1');

En la introduccién se establecié cl concepto dc fimcidn de un conjunto A a un conjunto B, f: A —+ B, como una regIa' que 'a cada elemento a dc! conjunto A (e1 dominio de la funcién) l'e. hace corresponder un- finico element‘o b = fla) del conjunto B ('el codominio de la funciéh); En la experiencia previa en' curso‘sde matemzitié'a‘s (pot ejemplo en'los cu'rsos de célculo) se ha trabajado con fun'ciOnes cuyo co‘dominio es el conjunto dc

nfimeros realcs Ry cuyo' dominio es algfin subconjl'mto dc R. Es decir, funciones de la forma f: I Q R —+ R. Un tipo especial de estas funciones son las llamadas

- “'1’uncionesl1néalés”, las cuales 5011)”: R .—+ R, flx)=}nx +’ Z), en donde-‘m y b s‘on ' A nfilfiétos males dct'ermiriados. B'stas funciones, como se sabe, representan'gcbmé-

tricamenfe (en el'pl'ahd xy) recfa's de pendiente'm ybrdeti'z’ida a1 origen‘ 17.

Se desea resaltar aho'ra un par de propicdades quc poseen algunas funciones lineales: coh‘s‘idérésc 1a ffi'n‘ciéri li‘healfiR -'-v R,flx)‘ '= mx. Su gréfica es entonces una recta de pendientc m que pasa por el origen (su ordenada a1 origen es ccro). Obsérvese que se ticne

1) fix, + x2) = m(x1 + x2) = "l + mxz =f(xr) +flX2) 2) flex) = m(cx) = C(mx) = cflx)

Es decir, la funciénftransformer “sumas en sumas" y “productos por escalares en productos por escalates”. Geométricamente esto se vc como y 11

Y A

Km) + “"21 ---------[(Xz) ------

V

xx.) ——-—

1

x

i

.

1

'

X1 X2

X1”:

c/(x) ————————

7

"X’

_____

1

I

g I

I

I

xx}

276

277

278

ALeEanA LlNEAL TRANSFORMACION ES LINEALES

279

Desd'e laperspectiva 'de los curses de'célcnlo, estaspropiedades resulten ser . poco interesantes‘, pues- 1a mayorz'a de las funcio‘nes queen tales curses aparecen ' no cumplen con ellas (pot ejemplo, si f: R —> R es f(x) = sen x, no es‘ cierto que ' f(x1 + x2) = sen(xl + x2) = sen x; + sen x2 =flxl) +f(x2) y f(cx) = sen ex = c sen x = cflx». Sin embargo, desde el punto de vista del élgebra lineal, éstas serian (las funcionesflx) = mx) lasfimciones importantes ”a estudiar. En este‘capitulo cs dc interés la generalizacién (la abstracaion) algebraica de este tipo de funciones; estas funciones tendrén por dominio y codominio a espacz'os vectoriales (de los quc un caso particular es R, como en el cjemplo) y cumpliré u los propiedades 1) y 2) citadas anteriormente: transformarén sumas (de element os ——de vectores—- en su dominio) en sumas (de las correspondientes imé genes on . su codominio) y producto por escalates (cv, v un vector del dominio) en producto por escalates (cflv), flv) la imagen dc v). A estas funciones se les llamaré transformacz'ones lineales.

(T preserve sumas)

T

.

En la siguiente “observacién preliminar” se obtienen algunas consecuencia‘s innlediatas de‘ la definicién’ dc transforma‘cién lineal.

Las transformaciones lineales son el tipo de funciones mais importantes estudiadas en el zilgeb'ra lineal. Estas‘ representan el prototipo de “buen comportamiento” (idesde e1 punto de vista del élgebra lineal!) de una funcién. El capilulo anterior se ha dedic'ado entonces a estudiar la estructura algebraica del dominio y codomi nio de estas funciones. .

OBSERVACION PRELIMINAR. Sea T: V —» U una transformacio'n lineal. Entonces '

l)

T(O) = 0 (la imagen del vector cero en Ves e1 vector cero en U). 2) T(-v) = —T(v) .(la imagen del inverso‘aditivo del vector v 6 Ves e1 inverso ' aditivo del vector T(v) E U). _ ,

Este capltulo', a1 igual que el anterior, constituyc uno de los temas centrales en

el estudio del élg'ebra lineal.

- .1”. . berm-rem YEJEMPLLos'. . .-

,V3I)IT 2"; cm: ..= 2 ' c;T(v.-), dondevci, cz, . . . , c,, €_-_ R ' i-l

.

2) T(“") = T((‘U") = (' 070’) = “T(V)‘ 3) Este rcsultado se obtiene por una aplicacio’n repetida dc la deliriiciéri dc transformacion lineal. Se deja al lector quc dc un argumento detallado quc pruebe esta propiedad (véase obscrvacion en la seccion 1 del capilulo 3 sobre como se define una suma de n vectores en un cspacio vectorial).

Tpreserva sumas

7m+mtnm+nm

mmwev

Tpreserva producto por escalates T(cv)=c(v)‘

Vi,V2,..'.,VnEV

En vista de la unicidad del vector cero en U, se concluye que T(O) = 0.

es una transformacio’n lineal si

'_

i'l

En efecto: l) T(O) = T(O + 0) = T(O) + T(O)

T:V-—>U'

2)

'

(Tpreserva combinaciones lineales dc vectores en V).

Sean Vy» U dos espacio's' vector‘ialcs. Se dice que la funcion

1)

(T preserva producto por escalares)

El resto de la presente seccién se dedicarzi a ver varios ejemplos cle transfor—

‘Vve V,

_

maciones lineales. Algunos de los ejemplos que se darzin serén “triviaies” (pero importentes ’de considerar), algu’nos otros serén (no ‘triVi-ales y) anali’ticos y

VCER

En el caso particular en. que V = U se dice-Que T es» un ‘operador' lineal. Una‘ transformacién lineal es, pucs, una funcién entre dos cspacios vectoriales “quc

preserva las operaciones de espacio vectorial”, en el sentido de que: 1) la imagerr de u’na suma de vectores en su dominio es la suma de las imégene s de cada uno de los vectores, y 2) la imagen del producto de un vector en su dominio por

u‘n escalar es el producto do In imagen del vector por el escalar. ESqueméticamente

también'se veré un ejemplo puramerite~ g‘eométri‘co cle una transformacié’n lineal.

EJEMPLOW

'El primer ejemplo que se veré (uno de los ejemplos triviales) es la transformacio’lz

./’

""cero: sea T: V —+ ,U la transfonnacién tal que T(v) = 0 \7’ v E V. Entonces Tes una

transformacién lineal pues

T(Vg + V2) = 0 = 0 + O = T(Vl) +T(V2)

y

T(cv)=0=c~0=cT(v)

Se denotaré a esta transformacién per 0.

280

TRANSFORMACIONES LINEALES

ALGEBRA UNEAL

EJEMPLO 2'

V . Otto ejer’nplo (tarnbi'én trivial como el anterior) esté dado pOr la transforngacio’n ‘ identidad T: V —~ Vdefinida 1501- T(v) v V v E V(obsérvese que Tes un op‘érador lineal). Tes 1111a transfonnaoion lineal pnes

' _ " ' '. ' V

'

-

' -/ '1

SC puede hacer una descripcién analitica de la transforma'cion anterior

“analiticamente” que sc trata de una transformacion lineal

y verificar‘

' Obsérvese que

T(vi + V2) = V1 + V2 = T(Vl) + T(VZ)

'(X. y)

T(cv) = cv = cT(v)

1-

Se denotaré esta transfonnacién por Id (0 més explicitamente como Idy). Véase ahora un ejemplo geométrico. Considérese dc transformacio’n T: R2 -1 R2

definida de la siguiente manera: para v = (x, y) 6 R2, T(v) es el vector de Rz que geome'tricamente representa la reflexién del vector v respecto del eje x. ..y
cAv = c-T(v)

(1.2)

lo que muestra como antes, con un ahorro considerable de espacio y de tinla, que Tes lineal.

EJEMPLO 5

. _. EJEMPLQ‘T > i - 1- Sea ahora V— C([a,- b.]), e1 espaeio (ie 1215 funcione's cominua's en e1 intervalo [11,: ' ' b]. Definase T: V —> R como

Mas generalmente, considérese 1a transformacion T: R" -—r R"_' dada por

. T02) = 11;", donde A es una matriz m X n (v E R", 0 sea, una matriz n X 1, de modo que Av es

una matriz m X 1, o bien, AV E R'", 1a imagen de v bajo T). Tes una transformacién lineal puesto que sigu'en siendo vzilidas en este caso las formulas (1.2). ‘ Este es un ejemplo importante pues se vera después (seccio'n 3) que siendo T

una transformacién lineal del espacio Vde dimension 11, a1 espacio U de dimension

71/) =Lbf(x)dx Que Tes una transformacién lineal se puede Verificar (como en cl ejemplo anterior) usando los conocimientos del curs‘o de calculo. b

b

1) 7121 +12) =10 m +f2-)(x)dr =1“ (f1(x)+f2(x))dx b

=_|'a fi(x)dx +11, f2(x)dr = Tm) + Toe) b

2) ‘T('cf‘>_=fabdx =jfcfdx= Cfabflxflx = cm) en donde se usa que la integral de una suma de funciones es la sxima de las integrales de cada una de las funciones y la integral de una constante por una funcion es la constante por la integral de la funcion (“las constantes salen del signo de integral”). Véase ahora un ejemplo de una transformacién enlre espacios vectorial que no es lineal.

284

TRANSFORMAClONESLINEALES

ALGEBRA LINEAL

7:.EJEMPLO, 8 _

Entonees

Sea T: R3 V—f Rlatransfornraeic-Sn dada p-o'r- . .

285

v + v’ = (a; + ai)v. + (a; + aé)vz + . . . + (a,.+a,’.)v,,

Toay) =>x+y +Il de modo que

Se tienc

\

T(-(x,y) + (x’,y')) = T(x+x’,y+y‘) =x+x’ +y +y’ +1

7(v + v’-) = (or; + ai)u1+ (a2 + afluz + . . . + ((1,. + a,'.)u,.

= (mm + azuz +

Pero

. +a,.u,,) + (aim + (15142 + . . . + a,’,u,,)

= RV) + 7W)

T(x,y)+ T(x’,y’)=x+y+1+x’+y’+1,=x+x’+y+y’+2

Sic E R dc modo que T(Ev) = T(calv, + 6am + . . . + cam.) =_: calu, + cazuz + . . . + ca,.u,.

T((x. y) + (x’. y’)) r T(x’ y) + T(X’, y’)

= C(axul + mu; + . . . + anu") = cT(v)

por lo que T no es entonces una transformacién‘ lineal. Para finalizar esta seccién Se Vera un res‘ultado basico sobre “construccién’Lde lransformaciones lineales, el cual se usara posteriormente durange el desarrollo de la tcoria que sobre transformaciones lineales’ se har’a en este capitulo.

‘TEO'REMA 1,1

lo que muestra entonces quc; T es lineal. Para probar la unicidad a2: T, supongamos que 7‘: V —+ U es una transformacio’n .lineal con la propiedad T(vi) = ui, i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquicr v E V, se tienc ‘

T(v) =_7‘(a1v| + azvz + . . . +a,.v;.)-=‘oc17ln)‘+ (12%s . . +oc,.7.(v;,)

* Scan V y U.dos capacios Vectdriales, e'n donde V’e‘s‘ de diincns‘ién finifa . (diga'se que dim V= n). Scab ,='{'v1,'v2_,. . . , v,._}-una_ base de V yHSean' ,“1: 112, . . . , u,. vectores cnalesquiera dc U. Existe una finica transfor'macién lineal T: V—»' Utal que T(vi) =_u.-, i = 1, 2,... , n.

T‘es lineal I 3i

= mu, + a2”; + . . . + anun = T(v)

es decir T(v) = T(v) V v E V, 10 que‘significa enlonccs que 7" = T. DEMOSTRACION Para el vector v E V, existen finicos escalates al, a2, . . . , on. tales que

Q.E'.D.

v=a1vl+a2v2+...+a,,v,.

Una consccuencia inmediata del tcorema anterior se enuncia en cl siguicntc corolario, cuya demostracién se dcja como ejercicio para el lector.

Definase T: V —+ U ponicndo T(v) = T(alv, + azvg + . . . + am.) = mm + (1.2112 + . . . + a,.u,. .a-p

COROLARIO

Obsérvese que

Con la notacio’n dcl teorema 1.1., si T, y T; son dos transformacioncs ' lineales tales que T,(v;) = T2(vj), j = 1, 2, . . . , 12 (T1 y T2 coinciden en los

__ ‘

demodo qne esta transformacio’n psee la prop’iedad'requerida cn'la conclusién del teorema. Véase que Tes una transformacién lineal. Sean v, v’ 6 V, digase que

~._____

elementos de la base p dc V), entonces T1 = T2.

T(v1)=-T(O-v1-+‘...+1-rv,'+...-+.Ov,.)=O-u-1+...+1-u,+..-.0‘u,,'=1‘z.-

EJERCICIOS

(SE-CCION 1, CAPITULO 4) 1. Determine cuélcs‘ de las 'siguientcs transfonnacioncs T: R2 -—~' R son lineales

V = 011v; + (12V2 + . ~ - + anvil

, a) T(x, y) = 2x +y.

v’ = aivl + 06i + . . - + (1/.l

. b) T(x, y) = x.

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBRA 1.1115111

(610; a1, a: son constantes dadas) es una transfomiacién lineal. 10.‘ Sean T,. y T; dos- transformaeiones lineales del espacio vectorial V a R. Demuestrc que la transformacién S. V —1 R2 dada pot S(v)= (T1(v), T2(v)) es una transfonnacién lineal.

' c) 7117 y>= d) 71x y)= 5.1”». e) T(x,y)=3x-8y+1.

0 71x.y)=1. Determine cuales de las siguientes transfonnaciones T: R2 —» R2 son lineales

C2)

11.

Sea Vun espacio vectorial de dimension 1 y sea T: V —- Vuna transformacién lineal. Demuestre que existe un escalar c E R 1211 que T(v) = cv V v e V.

CD 12. Sea T: V ~ U una transformacién lineal del espacio vectorial Val espacio vectorial

2:) 71x.y)=(x+y.x-y) b) 71x.y)=(5x.8y)

0) d) 6) 1)

287

U. Sean v1, v2, . . . , v1. vectores de Vtales que T(vl), T(v2), . . . , T(v).) son vectores

linealmente independientes en U. Demuestre entonces que V1, V2, . . . , vk son linealmente independientes. LES vélida la afinnacion reciproca? . Sea T: V -> U una transformacion lineal del espacio vectorial Val espacio vectorial

71x.y)=(1.x+y) T(x.y)=(x+y.0) T(x.y)=(2x—y.3x+4y) T(x.y)=(0.y) ‘

. Determine cuéles de las siguientes transfonnaciones T: R3 —-> R3 son lineales

U. Sean V1, V2, . . . , v1 vectores de Vtales que las imégenes T(vl), T(vz), . . . , T(vk) generan a1 espacio. U. Demuestre que Tes sobreyectiva, esto es, pruebe que dado u E U existe v E Vtal que T(v) = 11. U una transformacién lineal del espacio vectorial Val espacio vecto~ 14. Sea T: V -

286

a) 71x. 1. z)=(x. y, z) b) T(X.y.z)=(x+y+z,0,0)

rial U.

c) T(x,y,z)=(2x.+y-z,3xl—y~21,x+2y+3z)

a) Si V1 es un subespacio (16 V, demuestre que

T(V1) = {u E Ulu =T(v),v€ V1}

d) Hx,y,z)=(x,y+1,z+2)

0) 71x.y.z)=(0,o,z) D Tlx.y.z)=(x+y+z.11)

es un subespacio de U.

. DetErmine 'cuéles de las siguientes transformaciones T. P2 -+ P3.son lineales a) T(ao + (1.x + agx’)= a0 +_ (12112 + f b) T(ao+a.1c+az)e’)=ao+S+1:2

c) T(ao + alx + (12x2) = (no +,a1) + (a0 + a,)x + (12x2 + (a1 + (12)):3 (1) R00 + (11.1: + azxz) = 00 + aox + (11112 + azx’ 0) Ha.) + 11.51 + azx’)== (ao- + a1 +' 11,)1:3 O 71ao + 11.x + azx’)=- (110— a.) + (a0— a2)x + (a0- (10x1 + (a0— (12)::3 a de . Considere la transformacién T: M,...." -* M,. x ,. dada pot T(A)= Al (la transpuest

b) Si U1 es un subespacio de U, demuestre que

T‘(U1)= {111's V1101) 2 11,1

'

’ es 1111 subespac‘io cle V. l 5'. Considere 1a s1gu1ente descripcién geométrica de la transformacién T. R2 —~ R2: para un vector v e R2, T(v) es el vector de R2 rcflexién rcspeclo del eje y (101 vector v

y

1

. TM

la matriz A). Demuestre que Tes una transforrnacién lineal.

. Sea B una matriz cuadrada dc orden n. Considere la transformacién T. M,. x ,. —’ ,, x ,, una dada pot T(A) AB— BA (B es una matriz fija de orden n). Demuestre que Tes de matrlz una de cion transforma esta bajo transformacion lineal bCual es la unagen orden n que conmute con la matriz B? De al menos dos ejemplos distintos de matrices A para las cuales T(A)==0.

. a)

Considere 1a transfonnacién T: M" x ,. —1 R dada por T(A) = tr A (la traza dc la

matriz A) Demuestre que T es una transformacién lineal. b) LES T. M,.xn —» R T(A)=c_1etA unatransi’onnaclonlincal? . Demuestre que la transformacién T: R" -r R dacla por Hxhxz,“.,x,,)=a1x1+a2x2+...+a,;c,. (a1, a2, . . . , a,. son constantes dadas) es una transformacién lineal. . Compruebe que la transformacién T: C2(R) —~ C(R) dada por

To) =a1f”+a1f’+aqf

a) Demue‘stre q1ie Tes una transfonnacion lineal. b) LCuél ‘es la:'1magen bajo Tde Ios vectores que se encuentran sobre el eje y?

16. Sea T: R2 -> R2 la transformacién T(x, y)= (x, 0).

a) Demuestre que Tes una transformacion lineal. b) Dé una descripcién geométrica de T. c) LCuél es la imagen bajo Tde los vectores que se encuentran sobre el eje y?, Lde los vectores que se encuentran sobre el eje x?

288

ALGEBRA LlNEAL

TRANSFORMACION ES UN EALES 17.. Sea T. R2 4—» R2 la transformacmn T(x, y)

(_—x,‘ '.—y)

- a) Demuestre que Tes una transformacion lineal.

289

el snbconjunto dc Vdado por I

KerT= (v 6 VI T=(v)

b) Dé una descripcién geometrica de T.

O} = T"(O)

Se define también la Imagen de la transformacion T: V -’ U denotada pot 1121 T como el subconjunto de U dado por

18. Sea T. R2 —-r R2 una transfonnacién lineal ml que T((1, 0)) = (2 3) y T((0, 1)) = (1 1)

a) Demuestre que Tes finica.

ImT= {u E UIElvE V,talqueT(v)=u}

b) Obtenga la imagen bajo T del vector (3, 4).

Esquemziticamente estos conceptos se ven como T

c) Obtenga la imagen bajo T de un vector cualquiera (x, y). . 19. Sea T: R2 —‘> R2 la transformacién lineal tal que T((2, 5)) = (3, l) y T((1, 2)) = (0, 3). Calcule 7((3, 2)). 20. Sea T: R3 =1 P2 la transformacién lineal tal que

Ker T

T((1,l,1))=1—x +112

T((2, 0, 0)) = 3 + x —-x2 T((0, 4, 5)) = 2 + 3x — .14

Calcule T((2, 4, —2)). ""

>

21. Demuestre-el corolario del teorema 1.1.

lmT

22. Sezi T: V —+ Wuna transfozmacié'n lineal del espacio vectorial Vde dimension 11111111 :11 cspacio Vectorial W. 51:11 {5—= {vb V2, . . ,v,.) una base de V. Suponga que T611) = T(vz) = . . =‘ T(v,.)=0.Dem11'estr‘e que Tesla transforma'cléu cero. ' 23. Sea T: V -'> V1111 opemdor lineal en el espa'cio veetorial V1113 cli111cns1dn 11111111.S1:'a t} 7, ={'vr,'vz, . .-,v,.} una base de V. Demuestr'e que si T(v.)= v,,i. =1,2,-. ,n,e1110_11ces

Tes e1 operador identidad en V.

'

B del conjunto A 211 conjunt‘o B, se tiene dclmido N01A:Para una func1onf A e1 concepto de rango de la funcion como el subconjunto 111: B {b88|3a€Atalquefla)=b}

2. NUCLEO E IMAGEN

Con esta perspectiya lo que se ha dcfinido como imagen de una 112111sl’or1x1z1c11'111 lineal T: V —1 U es preeisamenle cl tango dc lafuncion T: V —+ U. En el 2'11 gebra

lineal, la palabra “tango” se destina para 0116 uso, el cual se verzi en esta misma

En la seccién anterior se ha establecido la del'inicién dc lransl‘ornmcion lincnl y se ha ilustrado este concepto con varios cjemplos particulares. Se vio tzixnbién un

seceion. Pam 1111a transformaeiéu lineal T: V -—1 U, e1 111icleo y, la 1111.1gen no son solo

teorema bzisieo, que es cl primcro dc muchos resultados interesantes que sc

subconjunros de Vy U respectivamente. Resulta que éstos son subespacios. Esto

obtendra’n a lo largo de 6311: capilulo. E11 esta seccion se comienza formalmemc el estudio de las transformaciones lineales. Existen dos coneeptos fundamentalcs que inlervicnen en este estudio, que se refieren a dos subcspacios (uno del dominio y 0110 (11:1 codominio), cuyo

conocimiento repona 1111a gran canticlad dc informacion sob1e la “ estruelura ' intema” de 121' transfort'nacio’n 111112.11 e11c011siclerz1cion._.Estos 511besp.1cio's, cuyos . .. nombrcs clan e1 titulo a esta seccion, aparecerzin continuamente en 1a 1001 1’21 que sc desarrollarzi en este capilulo. Esta es, pues, la seceién en 111 11111: so aborda de lleno e1 estudio de 111 teoria de transformaciones linealcs.

DEF/NICION 2. 1

Sea T: V-—-1 U una transformaeio'n lineal del espacio veclorial Val espacio vectorial U. Definase e1 nu’cleo de esta transfdmaeio’n, cl cual se denotarzi por Ker T, como'

es lo que dice el siguiente teorema: 4 .

. TEOREMA 2.1

Sean Vy U dos'espacios vectoriales y T: V-—> U una transfonnacion lineal.

Entoliees ker’ Tes 1111 subespacio de Va 1111 Tes 1111 subespacio de U. A

DEMOS TRA CION

Sean v y v’ vectores de Ker T, entonces T(v + v’) = T(v) + T(v') =O+0 =o

'

(pucs Tes lineal) (pucs v, v’ E. Ker 7)

290

ALGEBRA UNEAL

TRANSFORMACIONESUNEALES

Entonces v + v’ E Ker T.Similatmente, para 0 E R

1--' [211-1 _ 3 -1

T(cv) =0TO®= cO= o lo que pmeba que cv E Ker T, y cntonces Ker Tes un subespacio (11: V. Tomese ahota u, u‘ 6 Im T. Esto significa entonces que existen v, v’ E Vtales que T(v) = u, T(v’) = u’. P01 10 tanto,

'7

*2 -6

N

1 N

0. "1-17 1 1 0

0 O

dc dondex = t, y = -t, z = t, t E R, representa 1a soiucio'n del sistema.

Entonces se cOncluye que (x, y, z) E Ker Tsi, y 5610 si (x,y, z)=(t, —t, t)=t(1,-1,1)

T(v + v’) = T(v) + T(v’) = u + u’

lo que implica que u + u’ 6 Im T(pues existe v + v’ E Vtal que T(v + v’) = u + u'). También, si c E R

16R

El vector v = (1, ~1, 1) as entonces 1111a base para el subespacio Ker T (que geométricamente representa una recta quc pasa por el origen x = t, y = —t, z = t, t

‘6 R). Describase ahora 1171 T. El vector (b1, b2, b3) 6 Im Tsi, y 5610 si existe (x, y, z) E R3, tal que

T(cv) = cT(v) = cu

lo que implica que cu 6 Im T.

x+2y+z=b1

Entonces Im Tes un subespacio de U.

3x+y~2z=bz

(2.11.1). V Vé'a'nse un par de ejemplos

EJEMPLO1

1 -7

291

~x—7y-6z=b3-

' ’Procédasc por el método do eliminacio’n G'aussiana para describir como -(ie11c que set 61 Vector (bl, b2, b3) 6 R3 .para que el sistema anterior posca sol11cion

Sea T: R'3 -> 1R3 121 tfansformaciéh T(x; y, z) =‘ (x+ 2y +=z, 3x +' y — 21,-—x — 7y ~ 6z) Se vetifica fécilmente que Tes un operador lineal. Se prOpohe describirrexplicitamente su nficleo y su imagen (hallar, por ejemp10, u‘na base para cada 11110 de estos subcs’pacios). Pot definicién

Ker T= {(16,152) I T(x.y,z) = 0}

1 3 -1

b1 b2 b3

NH...“ '

“'1

0

1

1

0

0

0

1

2

*‘b1+“‘b2

35 15 “bl-"b2 5 5 l 1 4. ~§b1+§b2~§b1

4b; — b2 + b, = 0 sea

106,1. z)? Ini‘T =» 4x - 11240,» .

x >+ 2y + Z = 0: ‘ 3x + y - 22 = O

1 '2 -6

0

Per 10 tanto, e1 sistema tiene solucién si, y 8610 si

= {(x,y,2) l (x+2y_tz,3x+y- 22,-x- 7y - 6z) = 0} For tanto, el vector (x, y, z) E R3pertenece a Ker Tsi, y 5610 si

2 1 ‘7

1

o bien,

—x — 7y — 62 = 0

Im T= {(x, y,z)|;1x-yi+z = 0} Este' es un sistcma homogéneo en las incégnitas x, y, z cuyo espacio solucién es

precisamente Ker T. Resuélvase por el método dc eliminacién Gaussiana

(subespacio de R3 que geométricamente representa 1111 plano que pasa por el origen; e1 piano 4x — y + z = 0).

292

Una base 'de' éste S'llbespébid‘VSC Puede Omen-81'“ Se eSCfibé El Véctor (X, y, 2) E .

.,

.'

- . a. . l) ,0)+z(0,1, (x,4x+z,z)=x(l,4 '

'

'

Im‘T'como. ,'

" - .

' '

‘ '

'

'

V-

'

-.

'

'

_' '

,

'-

_.

' Una base de" eslc 'subespacio sc' puedc obtencr cscribicndo .

V I

'

l

' -

-_

'

_

c +

d

‘

d

_1—2

1111 ccocc l- 1’ T.

>

.'

..

.

.

.

.‘

.(

_'.,

.1

'

:

,'

.

'-

.

-

x1

a + 3b + 5c. + 9d

x;

b +

c +

d]]=2a+3b+4c+6d=x2

.

-

1-

'

.

‘

-.

-

..

"

' -

.

a+b¥c+d=xi

1

,

‘

'2a,+3b.+4c,+-6d=x2i +

2a + 3b + 4c

a+3b+5c+9d=x3

'

»

a+b+c+d=0 =

6d

A1 resolver estc sistcma sc obtienc

.

0

’

a+3b+5c¥9d=0

‘

I‘

1

Alresolverestesistema‘se obtienenlos valores Clea, b, c,d tales (1118'; Z]€KerT. .

i

g

i

é

:;

1

3

5

9

X3

~ -. ,. N

(l)

(1)

__ t:

_Z

0

0

0

0

_ 3:: —:j 3X31 ‘ 2Q + x3

Al proccder por el método dc eliminacion Gaussiana,

1 _ 2

1

I

1 3

3

1 4

5

1 .. . . . ~

6

9

1

0 ~1

0

1

0

0

0

4 _-

,

o

x1

-

_ J

—3

For 10 tanto, e1 vector x; E M,“ pertenccca [m T, 51, y 5610 si

'

’

x3 _

4

'3X1f2-X2+X3=0

dc dondc _. f I

,.

1:] 50“ lmcalmentc 111dc-

(1

' a +

b

(1

'

.

~3—4-

0] Y V2 '“ [0

csdecir,

V dc'dondc,

- '

l

'

.

0

a + 3b + 5c + 9d

0

‘

c 0

d

C +

11]]: 2a + 3b. + 46 + 6d = o

TH: .

TH

V

+

O

c

El vector a b 6 M2.” pertenece al micleo dc Tsi, y 5610 si b

l

cxistc un vector [a Z] 6 M2 x2 tal que

,

‘

Dcscriba su nucleo y su imagen.

+

, ‘ -4

x3

'

\

Se deja al lector verificar que Tcs lineal.

a

w + d 3

-

x1.

/

b

.—2

Por otra parte e1 vector x2 E M311 pertenece a la imagen de Tsi, y 5610 si

a + 3b + Sc + 9d

10"

d

c-

_ 1

pcndicntcs y por tanto (ya quc cllos generan a Ker T) constituyen una base dcl

‘

\

b c+6d TH a d]=2a+3b+4

c

c

, ‘j , ‘ c+3d . —2c-4d = c

..

\

b +

' b —=

Se venflca que 105 vectores V1 ‘ [I

Considerc ahora la transformacio’n T: M112 -> Max 1 dada por

a +

., a

-‘

los vectores v, = (1, 4,0) y v2 = (O, l, 1) constituyen una base de [m T. EJEMPLO 2

293

TRANSFORMACIONESLINEALES

,

ALGEBHALINEAL

.

.

wa=c+3d_

. I I

V

. II

I

I.

H

.

2 I

H

_

‘Esd’ccir, x

b = -2c ~4d

Im T =

Por tanto,

KerT = {[21 Z] eMmlc = c+3d,b=—2c-4d}

.

1

M

E M3x1 {3x1 - 2x2 + x3 = 0

x3

Una base dc Im Tse puede obtcncr escribiendo

TRANSFORMACION ES LINEALES

294

295

ALGEBRA' UNEAL

x1

"xx

0

= x1

X2'

=

X2

"1" -0’.

1

Se verifica que los vectores v, =

'

p2 = {V1, V2, . . . ,Vk, Vku, . . . ,Vn}

2

es una base de V(teorema 5.3 capitulo 3).

0

0 y v2 = 1 son linealmcnte independientesy -3

en VtaleSque '1 '

1

+ X2

‘3

.2132 ‘ 3X1

X3

vectores ‘vm, . . . , v,, DEMOSTRACION‘. Sea [31 = '{Yh V2, - - . ., i} Una 52136 {16': Ker ,T'- Se ‘ sabe q’uer. eiisten . . , :

2

Se demostrara que fig 3 {T(vm), . . . , T(vn)} es una base do In: T.

Esquematicamente se tiene la siguiente situacién:

por lo tanto forman una base de 1m T.

DEF/NIC/CN 2.1

Im T

Ker T

2.2. EL TEOREMA DE LA DIMENSION Sean V y U dos cspacios vectorialcs, V dc dimension finita y T: V -> U una transformacién lineai. Se define 1a nulidad de la transformacién como la dimen-

sion de su nficleo, y el rango de la transformacion como la dimension de su imagen.

EJEMPLO 3

Véase primeramente que los vecto'res de [53 generan Im T. Sea u 6 1m T. Existe

Por cjemp‘lo, para la transformacién T: R3 —r R3

entonces v E Vtal que TOO = u.

T(X,y,z)=(x+2y+z,3x+y-Zz‘,—x—7y—6z)

Para cl vector v E V so ascribe V = 5xV1+ 52‘12 + . . . + 516’]; + 5k+1vk+l + . . . + 5,0)"

vista anteriormente se tiene

‘- Nulidad de_,T‘= dim Kg} :rj= 1 _. Range de T= dim 1m T= 2

TH“ c

= 61T(v1) + 52T(V2) + . . . + 5kT(Vk) + ékflTo’kfl) + . . . + 6,.T(V,.)

a+b+c+d

d]J=2a+3b+4c+6d a+3b+5c+9d

se tiene

Nulidad de T = dim Ker T F 2

Pero T(v1) = . . . = T(vk) = 0, pues, v1, . , . , vk son vectores de Ker T. Entonces u = ball-($3M!) + . . . + 611T(vn)

lo que prucba que Tm”), . . . , T(v,.) generan a [m T. Véase ahora qua estos vectores‘ son linealmcntc independiemes. Témesc la combinacién lineal

Range de T = dim 1m T= 2

Ck+lT(Vk+l) + . . . 4' C”T(V,,) = 0

E1 siguiente teorema dice cémo estén relacionadas 1a nulidad y el tango dc una transformacién con la' dimension 'de su dominio (en el caso "dé que éste sea u'nf "

espaciovectorial de dirhohsion finita).

TEOREMA 2.2

.

u = To?) = 715:1“ + 52V2 + . . . + 5k + 5k.;vk.; + . . . + EN")

y para la transfor‘macién T: s2 ‘-> M; H b‘

(pués‘ [32. as unabasé do IV).‘Ento't’1c'es' '

'

(E1 teorema de la dimension.) Sean Vy U dos espacios vectoriales, Vde dimension finita. Sea T: V —+ U una transformacién lineal. Entonces

ran go do T+ nulidad de T = dim V.

Se debe mostrar‘que cm = _.. . = c,. -'.= 0. La expresién anterior, sc puede recscribir

. como (usando o1 hecho dc qua/Tea lineal) -T(Ckq+1+- -' 1+ Cnvn) = 0- '

lo cual dice entonces quc Ckuvkfl + ~ . - + CnVn E Ker T

*Sc presenta la demostrucion en el caso en el quc Ker T es un su_b_espacio no trivial dc V. La

para cl lcclor. dcmostracién en 105 03305 on quc Ker T= (0) o Ker T= Vsc dcja coma ejcrcicio

296

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBRA LINEAL Pcro los vebtores v1,,v2,'. .' . 'izvk‘co'ns'lituycn una‘baso deKer T...Exlsten entonees

' 3 escalates c1, C2,

, 01.13105 qu'c

EJERcIc‘iois3._(sEccloN 2, CA'PlTULO 4).

297

y'

1. Demuestre que el micleo y la imagen de una transfonnacién lineal son siempre

614+ Vk¢1+ . . .'+ C,,V,. = clv1+ C1V2 + . . . + Ckvk

conjuntos no vacx’os.

. Considere la transfomracién lineal D: P -+ P (P es el espacio vectorial dc toclos los polinomios) dada por D(p) = p‘ (la derivada del polinor'nio p). Dacriba e1 nL'leleo de D.

cxpresio'n quc se puede rccscribir como

. Considere la transfonnacién lineal T:7C([—n, 1t]) -» R dada'por

c.v1+ (3s + . . . + ckvk + (“Ck+1)kl+ - ~+ (—c")v.. z 0

Pei-o los veetorcs v1, v2, . . . , v,. constituyen una base V. En particular ellos son linealmente independientes. Entonees la cxpresron

m=fmm

anterior impliea que

Campruebe que cos x E Ker T. Describa en general cl tipo de funciones clel espacio C([—1t, 7:1) que pertenecen al nficleo dc T.

Ci=C:=---=ck=ck+1=-~~=Cn=0

.

. Sea T: V —» U la transfoxmacién cero, describa el nficleo y la imagen de T. . Sea T. V —-> Vel operador identidad en V; describa elm’icleo y la imagen de T.

2

Lo' que muestra que T(vk.1), . . . , T(v,.) son linealmenle independiemes y que por

. Sea Ti V —» R una transfomiacién lineal del espacio Vectorial Vde dimension 1 a los

tanto eonstituy'en una base de [m T. Se (ic‘ne cnt'onces qu‘c

rcalcs, suponga quc existeun vcetojr no nulo v E Vtal que T(v) 6* 0. Dcmueslre c'nlonccs que T(x) # 0.para todo vector no nulox E V.

. Sea T: R2 -> R2 la lransfomiacién‘ lineal tal quc 7((1, 1)) = (0,0) y T((0, 1)) = (1, 1),

Nulidad de T = dim Ker T = k

dcmucstreque Ianto cl nficleo co‘mO la imagcn dc'Tson rcetas en el piano xy que pasan por el origcn, Encucntre lasecuacioncside cst'as rectas'. . . ' '

Rango dc T = dim [In T = n —_k- . ,

. Sea T. R2 4:412: aha trans-formacién lineal tailq'u'e T((3,. 2)) '= (0,0) y T((1,3))- =lrv 7e

' ‘ dé modo qiiic ,

0, prucbe (we (21- miclco de T es -una room on cl plano xy quc pas'a por cl o'rigen. Eneucntre su ecuacién. , N . I 1‘ l . Sea T: R3 '-»‘ R2 una lransfomia'ei'én Iincal‘tal Que T((l, 1,0)) = T((0, 2, 1)) #51,..911/ T((—l,.2, 4)) = v =75 O, dcmuestre que el nL’iclco de Tes un plane on R3 quc pasa por cl

Range dc Taciiulidiid d6 T r? n 4k + k '= n = diiu V'eomo'se que‘r‘i’a clemosirar. ' QED.

origcn. Encuemre su ecuacién.

. Sea T: R" -> R" la lransfonnacién lineal T(X) = AX, en dondeA es una malriz m X n,

Para las transformac’iones lineales de los ejcmplos dados aniorionncnte so none

EJEMPLO 4

aqué rclacién guardan cl nl’lclco de Ty cl cspacio solucic’m del sislcma homoge’neo de ecuaeiones lineales AX = 0?

ll. Sea T: M2” —+ M1x2 la lransl'omracién lineal

awafi

T(A) = A8 - BA en dondc B =

0 0

l 0

T(x, y, z) = (x + 2y + 2, 3x + y — 2z, ~x - 7y ~6z)

rango dc T+ nulidad T= 2 + l = 3 = dim RJ .

y

.,

-

..

Dcscriba cl nficlco dc T. . 12. Sea T: M"... —’ ”)1" 1a transfonnacion lineal T(A) = A — A'.

TE-M2x2 ’T’ir

a) Demuestre 'que'Tcsvuna transfémiaciénv’lineal.

‘- '.

a ,+ ‘17: +_."c.;.+

d -

Cd

(2+3b+5c+9d

T "‘ b ] £ 2a + 3b'+‘4é + 6d

tango de T+ nulidad dc T= 2 + 2 = 4 = dim Mm.

b) Describa el nficleo y la imagen' dc T._-

13.

Considerc la transfonnacién lineal T: R4 —~» R2

T(x;, x2, x3, x4) = (x1 — x2 + 2x; + 3x4, x. - 3x; + 4x; + in) a) Dcmueslrc quc v1 =(—1,1, l, 0) y v; = (-2, 1, 0, l) forman una base para el nncleo ' dc T.

b) Compruebe quc la imagen dc Tes R2.

TRANSFORMACICNESUNEALES 298

ALGEBHA LlNEAL sten-vectores vyy ' c): S'ea‘fi = {141, 112‘] Una.ba5c cual‘éfiicradc R2; demuestr‘c que'exi 3 u;. -= T(v4) y u; v; en R‘la‘lcs que T(VJ) d) Pruebe que [3 = {vb V2, V3, v4} es una base dc R4.

es una recta en 14. Sea 7‘: R2 -+ R3 una transformaclén lineal cuyo micleo

I

3 “REPRESENT/53°19“- .P'OR M5919 DE'MATB'CES . Considérese 1a transformacioa: R” —+ R’“ dada por

R2 que pasa

recta en R3 que pasa por el origen. Dcmucstre que el miclco dc Tes una

Vde dimension flnlta, suponga 16. Sea T: V -> Vun operador lineal en el cspacio vectorial cxistc al menos un vector v E que stre Demuc V. dc propio acio que 1m Tes un subesp Vno nulo tal que T(v) = 0. vectorial V, suponga que 17. Sea T: R2 -~ Vuna transformacién lineal dc R2 all espacio no existe v E Vno nulo que ebe Compru 1m Tes un subespacio dc Vde dimension 2. tal que T(v)~= 0.

ine bases para su

18. Para cada una dc las transfomiaciones lineales siguientcs, determ e cl teorema dc la micleo y s'u imagcn, y verifiqu'e en cada caso que, se satisfac dimension.

(3.1)

T(X) = AX

rccla on R3 que pasa por el origen. por el origen. Dcmuestre que la imagcn dc Tcs una

es un plano en R3 que pasa 15. Sea T: R3 -3 R3 una transformacién lineal cuya imagen por el origen.

299

en dondc A es la matrix de otden m X n , A =

i

3

an

[112

...

am

an

6122‘ ' I. . -

(Izn

am

am

- --

am"

(3.2)

la matriz n x 1. > y se esté pcnsando en el vector X = (x1, x2, . . . , x") E R" como

3)’ 75R” ~‘* 112.7133» =' (53+ y, 3c"- y)

b) T: R3 .. R2,17(x,y,2)*'(x +y-'z.x-y '2)

c) 22R: .. R2,T(x,.y. z). =‘ (x + 'y + 22,23 + 2y + 21),

bajo 7). V (sim’ilar‘mente‘la m‘afirizfiz X 1 AX‘cs e1 _vccto'r an R'" imagen de'X

' d) 72. 122.3,. Rs, m, y) _= (x + y, 5;: + Sy,.x — y). ‘

Se h‘a visto en" la iseccién‘ 1 que Tes- u'na transfon'nacién lineal.-En estc caso se

c) 13162—3 R3,- 11x;y,z);=:'(x +y..lx + 2J3 Z)

.

1

2

1'1'

4

0

1

1

_1

”2

5

8

—2

-7

t) 7BR“ —. R4, T(X) = AX en donde A es-la matnz 1

1

l

dice que 7‘65 121 transfonnac'ion 'dc “multiplicacién por la tfiatrizA”.‘ "

' '

VéaSe ’ahora qUe para ins/transfor‘maciones lineales de esta forma rcsulla una

tarca muy simple describir‘su nficleo y su imagen. 3? Primeramentc obscr'vc que

nco AX = 0 Ker T= {X E R" | AX = 0} = espaoio solucién del sistema homogé .

.

.

1 3

2 4

7

8

5 g) T: R2 —» R4, T(X) = AX en donde A es la mamz

h)

Es dccir, para describir cl miclco de la transformacién (3. 1), so tiencn que dcscribir

6

las soluciones del sistema homogén’co do In ccuaciones lineales con AX = O. También so afirma que

+a2x+ 03x1 T: P3 " P2, “00+ a1x+ azx1+an3)=ao+.a,

Im T = espacio llnca de A'

i) 73P2HP3,T(P)=XP j) TIP: "KP-s, 7(1)) ‘xfl’

a que ' ' 9 En efccto, supénfiasetluc cl vector Y E R’", pertenece a _Im T. Esto signlllc ' ‘ ' ' .' _ Y. = AX = T(X) v: cxisteX ER" tal que

k)- T: Mm —» Mm, T(A) =.'A' ' 1)

X) tales que Mas explicitamentc,..existcn.xl, x2, ... . , 5,, (las coordcnada’s‘dc

TI MJxJ “’ RI, HA)= TFA H

l m) T: Mm —3 Mm, T(A) = BA en dondc B es la matriz 1 -1

n) T:Mm—>P3,T[[i

2]] = a+bx+cxz+dx3

n incégnilas

0 1 0

A =

(112362

+

azixi

+ 022262 +

amlxl

+

amZxZ

+

+

£11m

+

am?"

+ 421%” - - -

+

anmrn

300

ALG EBRA LINEAL

TRANSFORMAClONES LlNEALES ' 301

Enlonces 10S vé'cl‘ores Y1 = (‘I,O,-5,'1)y.Y2=(O,1,1,1)_ consliluy'cn una- base de

obien,

Y = xx

011 ‘

011

a

a

.2‘

+ x2

:

am 1

.22

:

i

i

+

’

(i111

+ x,.

”ml

.

(12

."

(3.3) ,/

:

-

’

1

1

am"

Obsérvcse que los vectorcs (a 11, (12;, . . . ,a,,.;) E R'" i = 1,2, . . . , :1, son los vectores linea de A'. Resumicndo, la expresién (3.3) dice que el vector Y E R’" pertenece a [m Tsi, y 5610 51 Y pucde escribirse como combinacion lineal de las vectores linea de A’.

1111 T (leorema 7. 2 capilulo 3), y éntonccs Ran-go dc T= 2 En la siguiente subseccion se vcra que cuando sc tiene una transl’ormacién lineal dc un espaeio veetorial Vde dimension finita a otro espacio vectorial U también de dimension finita, se podrzi ver, por medio (11: bases concrelas dc V y de U, a la transformaeién Tcomo si l'uera una transformacién del tipo (3.1).

3.1. LA MATRIZ ASO'ClADA A UNATRANSF'O'RMACION LINEAL Sean Vy U dos espacios vectoriales dc dimension finita dfgase que dun V= n y dim U—- m. T(Smese basas [31 de Vy {52 do U

En otras palabras, Ypertenece a [111 Tsi, y 5610 si Y pertenece al espacio linea

de 11'. E510 prueba la afirmacién.

Entonces, 50 ha clcmoslrado el siguientc teorcma:

~-

pl: {V1,V2,.. wvn]

" TEOREMA 3.1

Sea/1 una matriz m X My sea Ti R" ~1 R’” la lransformacién lineal T(X) =

‘32 = {ll}, “2) - 1 1 : um}

AX; Balances

l) Ker T=-cspacio.50111eién de AX = 0.

Sea T: V ~> U 'una transl‘orrnacién lineal enlrc estosespacios. Para cl vector v E V exislcn cscalarc‘s x1, x2, . . . , x,. tales que

’

2) 1111 T = espacio linca de A‘.

V =K~X§vl + x2v2 + v v . + xlxvn

i-EJEMPLO 1}

’

l’or ejen1plo,'sea-T: R-J ?» R.‘ dada noruT(X):= AX dongle/l cs

1

A

*

3 l

-l' 3

4

2

$dmm

‘11

.

-1

-3 ~14 8 3

';

'

-.w~

[V1151 = x"

Para describir Ker T’r’esuelva c1 sistema hotnogc’neo AX = O.

l 2 -3 3

3 1 —14 4

—l 3 8 2

~ ''' "

1 0 O 0

O l 0 O

La imagen de v bajo Tcs cl vector

2 —1 O 0

'

.

T(v) = T(xm + xgvz + . . . + x,.v,.) = x1 T(v1)+ x; 7113) 1 . . .

'1' x" T(Vn) = Z I; T(Vj)

.

'‘ l

J

Las solueiones dcl sislema son enlonces x. = -21, x2 = 1,113 = I, I E R, de modo quc

Cada vceloi T(v,),= ' . , use encuentra on U (mas conerelamente, en 1111 7), dc modo que exislen csczalares (11,», (121:a.,,,,,- tales que

KerT-= {(x;a .r2,x3) |x_( ='.-_2-’.t x; =1,- x3= 1,16 R]

'

T(vj)=a-x,-u1 +_ (121-11; +

Una- base para Ke'r' Tes' (--2, l, 1) (tome t = l), y entonces Nulidad de T —— l. Deseriba ahora [m T. Para 6l tome A' y halle una base de su espacio llnca

' M *

‘f

’

1

II

+ al,,,,-u,,‘,= 2 11.7111, j = 1, 2, . . . , 11

Es dccir,

/ (11}

1 3 -1

2 —3 1 44

3 4 ~.H~

1 0

0 fi 1 '1

1 1

3

2

0

O

O

8

0

(an

T i

11111-111. = “3" a1111‘

1 = 1, 2,. ,1,

.

- (3'5)

302

ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONESLINEALES

- A1 sustituii- las 11 expresiqiiesiafi) c11_(3.4_) se obtiene

:. ,Esquematicameme --

I"

(3.6)

u;

2 ayxj

1-1

1-1

j-l

' .

3 t. l

ll

T(V)= Z i(V1)= 2 xj}: agui = E i-1

303

A = ,

j-l‘

En vista de la unieidad de la expresién del vector T(v) E U como combinacién lineal de los vectores 111, Hz, . . . , um de 121 base [32 de U, se concluye que

[Tlvflim [71611, l l

~--

[TU/«Hp; i

Segfin (3.7), esta matriz A tiene la propiedad de que multiplicada por la matriz de coordenadas del vector v F. - Vcon respecto a la base £31, da por resultado la matriz de coordenadas del vector T(v) E U con respecto a la base [3; (16 U.

A la matriz A se le llama matriz de la rransformacidn Tcon respecto a [as J21- 01}n

(RV))D:=

2 02,11], ~ ' - a

Z amixj

j'l

j-l

bases [31 y 132 (A es pues la. matriz asociada a T).

Obsérvese que los clementos’ que constimye‘n esta matriz asoeiada a la trans— formacién Tdepende de las bases [5. y {52 elegidas para Vy U respectlvamente.

o bien,

Para remarc‘ar esta dep‘en‘dencia, se es'cribira: A = [T113192

El analisis anterior queda entonces resumi'do a la formula (3.8)

[7700]». = [flexible 'S‘i-A‘P.‘

En el caso particular'en que se tenga m1 operador lineal T: V —-> Vy que la base del domiaio y codo'minio sea la .misma (digase (3), se escribira a la matriz A (de . ' .- orden n= dim V) co‘mo [i y 56 die qu‘e“ ésta' es la mat1iz_' del operador lineal _T ' ' ’reSpecto de la base {3 Asi entonces, cada transformacién lineal T: V ~+ U, donde Vy U son espacios de dimension finita, tieiie asociada‘una matriz de orden dim U X din-1‘ V (1a cual, se

Considérese la matrizA=(aU)1-1,,..,m.Obsérveseque

insiste, depende de las bases elegidas para Vy U) de tal manera que Tpuede ser vista como una transformacién de multiplicaeién por la matriz [TJM2 (la matriz

j-1,.

".

asoeiada a 7) en el sentido de lacxpresién (3.8).. En otras palabras, se ha establecido unafimcio'n F (quc depende de las’ bases dc V.

2 alixi j-l

Atvim =

an

(112

611"

a

a

0

2‘

and

n

and

~ - .

x1

2"

. x21

' anm

x11

y U) del conjunto de transformaciones lineales de Va U a1 conjunto de matrices m X n.

a“

-"

9" =mv111, ,2 (12"

F:

II

Transformaciones lineales T: V ——r U dim V= n,vdim U = m

->

Matrices A de orden a _

0

Z anuxi j-l

F0) = [73111132 En la seceion 5 se r’etomara esta discu'sién para investigar un poco mas e1 earacter de esta funcién F Ahora véase algunos ejemplos,

V ' Esdecir,’

1711911: A1111.

EJEMPLO 2

Sea Tla transformacion

, (37)

La matriz A es tal que en‘ su j—ésima columna se encuentran los elementos de la matriz de coordenadas’ del vector 7(1),) (la 1magen del j-ésimo vector de la base 11. de V) con rcspecto de la base {32 de U

T: M212 fl Mm

T“:

ZU=

2a+3b-

c

a+2b+ c+2d a+

b-3€~4d

304

ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACION ES LINEALES‘ 305

Se deja a1 lector variflca‘r quc'c's unzi’tfansfo'rmacién lineal. Tome 133 bases

EJEMPLo-s

'_ canonicas d6 [3; y 5; cm y Mm respectivamente‘, cs decir- .

. _ Considere dhora la transforth'acién T: P.‘ —» P. dada’ por T(p’) ; p' '(xa derivéda’dcl polinomio 12). En la seccio'n 1 so vio que Tes un operador lineal. Tome la base canénica dc P., [5 = l l, x, x2, x3, x‘}. Obtenga [7%.

_ 10 01 o 0 o o fi"{[o o]’[o o]'[1 o} o 1 1 0 o [32: 0:1: 0 o o 1

Setienc

'

T0) = (1)' = 0 =f (T(1))o " (0, 0, 0, 0, 0) T(X) = (X), = 1 '1’ (T(x»p = (1: 0’ O: 0: 0)

T(xz) = (x2)' = 2x =’ (TWM " (0, 2. 0, 0, 0) Obtenga la matriz [TJW Primeramcnte vca cuélcs son las imégencs T(Vj), j = l, 2, 3, 4 de los vectorcs de la base [31 = {v1, v2, v3, v4} dc M2”.

7:063) = (X3)' = 32:2 => (T(x’))o = (0. 0, 3, 0. 0)

T(x“) = (x‘)’ = 4x3 ‘F’ (firm? (0: 0, 0, 4, 0) Entonccs

w 2H w W TM? 21% i: . Ta: 31% .:

» [Tl‘p = '

2/

Obsérvese queen este caso,- co'mo se csté' tomando la base cahénibzt 9, ‘dc M,.

‘,, sc‘

, _"

[v)]pz =

1 » [T(Vflloz = 1

1

2

3

-l

0

l

l

'3

-4

\

se-ré la mafriz dc coordenadas del véctor T(v) reSpcc’to do la Base '32 (quc en cstc " caso coincide con T(v)). For cjemplo:

z

2 3 —1 0 1 2 1 2 1 1 —3 —4

l

H."

y

Al usar esta matriz, se pucde obtencr la imagcn decualquicr vector v.€ Mm. Basta csctibir 1a mattiz dc coordctiadas >[v]p."y hacetj cl producto [T_]p',p2 _[V]p‘. E1‘_resultado

2 _3 U 4 8 m

0 0 O 4 O

5 8 [Pls=“10 6 ~7

‘/‘

= mm“

0 0 3 O O

derivada dc p respecto de la base [5. Por ejemplo, sip - 5 + 8x — 10x2 + 6x3 — 71‘,

se tiene

mm = 1 2 1 i2

2 _3 l l4 8]]0:

0 2 0 0 O

-4

—3

de modo que

T

l O O 0 O

en el scntido de que' mulliplicando csta‘ matriz por la matriz dc coordenadas del polin‘omio p E P4 reSpecto-de la" base {3, se obtiene e1 vector dc coordenadas de la

'o —1 3 = 2 [7041)l » 1 = [nvsfloz , 2

'

0 0 0 0 O

Esta es cntohccs “una‘ maitri‘zquqdcriva polinomios 'de grado‘me'n'or o igual a 4”,

tiene, T(v,) = [T(Vl‘flpzj = 1,2, 3, 4. Es decir, 2

'

2 3 j;

=

9 “2 25

‘-\

071.000.5‘ .2 co 2. 0.0 38 I [T(p)]n='[p’]b='[7]p[p]p='o 0 o 3 0 ~10 6 0 o o o 4 ’ —7 o 0 0'0 0 0 sea que

1'

p' = 8(1) + (—20)x + 18x2 + (—28)x3 + (0)24

=8 -20x+18x2—28x3 .

=

g ~20»18 —28 o

307

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBRA LlNEAL

EJEMPLO 4

' ‘_ Al hacer las operaciones i'ndi'eadgs obten‘ga eI sistema

' ' , Como ultimo cjempl‘bmon'sideye la tréngforfnécio'n T: R’ _. R"

I (-33- +6; I: I1

q+m+a=n

T(x,y,z)=(x+3y~z,2x+yx+3z,-3x~14y+82,3x+4y+22) T65 una transformaclén lineal. Mds afin, si [3; y [3; son las bases canénicas de 12’ y R4 respectivamente, la matriz de esta transformacién respecto de [3, y p2 es

[Tlpxm

=

1

3

-1

2

1

3

3

4

2

_3 _14

Cl+Cz+Ca+Cl=X4

Resolviéndolo con el método dc eliminacién Gaussiana queda

O 0 1 l

8

+ C4 = x3

C: +

0 1 O“. 1

1 1 1 1

1 l 0 l

x: x2 X3 x4

"

"

X4 -x2 x2 —x1 xl-x2~x3+x4' x2+x3—x4

0 0 0 1

0 0 1 0

.0 1 0 O

1 0 0 0

de modo qfie Tpuede escribirse como

x

T y

- z,

1 2

3 1

~1 3

3

4

2

—3 — 14

8

dc donde

x

_ \

Z

X4 — X2

_

, =

X2 "x1

x1 _ x2 _ x3 + x4

[(x1, x2, x3,x4)]p=

Este es precisamente el ejemplo que se estudia a1 inicio dc csta seccién. Con esta mi‘sma tfan'sfbrmacién, obtengaI’I’ipi en dondc;

m = {(1,0,0),'

Rm

L0 que se quiere mostrar entonces es que

dimensién finite, se ha visto que se puede asocia'r a ésta una matriz A per medio de bases co'ncretas Vy de U, de modo que la transformacién Tpuede verse como una “multiplicacién por la matriz A". A1 principio de esta seccién se vio que las transformaciones de este tipo (ias que son multiplicaciones por matrices) tienen

@(Kerfl) = Ker TA \y(Im I) = 1171 TA Se expondrzi delalladamente e1 argumento que conducira a concluir la primera de estas afirmaciones

la ventaja de que su micleo y su imagen se describen facilmente e11 tér'rninos de la matriz correspondieme (teorema 3.1) Esto'mvita ehtonces a inv‘estigar el nucleo y la 1mage'n de la transformaeién T: V —+' U usando para e110 “la” matriz‘ que la representa. Sin embargo, es claro que

v 6 Ker T

a»

est'e procedimiento esl'a sumamente comprometido‘ c011 la elece'i'én de las bases de V y U, pues ella's determinan la estructura de “la” matriz que representa a la tra'hsforndacion. Surge ehtonces la interrogante: LSe logran dcscripciorics equiva-

T(v) = 0

‘

4:)

_

cs obvio

a

_

WWW» ' 111(0) _

, (T(v)}p-, - 0

_' , ‘ ,

a

[ R'"

dadas por cp(v) = (10¢, y 11/(u) = (u),;,. Es decir, (p y 1y asocian a los vectores de Vy U, 5113 correspondientes vectores de coordenadas respecto de las bases [31 y [32, respectivamente.

309

(9 come 1;; son isomorfismos de espacios vectoriales', es decir, son fuhciones lineales biyectivas.

THC

2—2

308

b

a +

b +

C ‘l'

d

11]]: 2a+3b+4c+6d a + 3b + Sc + 9d

(véase subseccion 2.1) para la cual ya se ha investigado “directamente’ su nficleo y su imagen. Se vio que

TRANSFORMACION es LINEALES

ALGEBRA LINEAL

31 1

I!

mwxo

t—-l

N

HO

\—_./ ‘12

|____l

P-‘H

"I

/—-\

F‘"—!

,_.

ll '5"

I...

\_—_/

l_._l

(310)

6 M3“ I3X1—2X2+X3:0

I’—

Im T:

._‘

161 X2

H

‘ , ‘kef'T‘=. {[2

(3.9) f 1 ' r—\

'yentohccS ' '

3]}: M21; |a=c+'3d,ba;2c—.4d] .

I'_"'l

310

X3

ms 511-? 5N $112.11} 132-—

1111 0,1,1 01 0

per lo que la matrizA es: A = r

y describa Ker Te Im Tpor medio de la matriz A = [71%. Para construir 1a matriz A, halls 1a imagen, bajo Tde los vectorcs de la base (31

111—111: -1

11-? 511:

Tome ahora Ias siguientes bases [3. de M: x 2 y [52 de M; x]

-3 1 ‘4

l 1 ~2

-9 -3 15

0 2 -1

' Se tiene, pues, e11 mete ejemplo, un‘a situacién como la que describe cl siguicnte diagrama:

y exprésela como: combinacién lineal de los vectores de.la base (32., Se ticnc

:111116 "111211;. 1%1152.211 11‘: :11 -: 2

en donde T4:- R‘ ~+ R3 cs TAX) ‘= AX. Se describirai cntonces cl micleo y la imagcn dc T(quc correspondcn a la pane. “superior” del diagrama) trabajando con TA (es decir, trabajando en 121 parte “inferior” del diagrama). El m'lcleo dc CI} es, como se sabe, el espacio solucién del sistema homogéneo ’7. AX = 0. Resuelva entonces cste sistema.

Escriba en general

X7,

= C1

+ C3

1

+ C:

0

7

I

,

I.

=>

"62+ 63 ; X2

.

Cll— x2

x 1 —-—’x 2 3 - —1-2X4 V .

'

- '62 = 162* x3-

,.

3 x2 =3); 23 — 2x4

C1; = X3

03 = X3

103/21/2 01-9/23/2 O 0 0 O

dedondc

A1 haccr las operaciones indicadas se obtienc el sistcma C|+C2+C3=Xr

Nu...

1 1

0

'0

X3

1

1

1

x1

—31~90 2 11—3 4 -2 15 -1

demodo quc X1 “ X2

X1 =

X2

Esdecir,

X2 “X3

Ker TA = {(X1,X2,X3,X4) E R4 X3

92

X3

x1

x ”Ex 24 23 ~21” 24,2 23 =—§x—-1-x

THANSFORMACIONES LINEALES

ALGEBHA LINEAL H 'M2- 2 y Ma---1

[Ac—151,21:— ,d ER“,c,dER . 2 2‘1”] 2

2

313

So s'ugiere a1 lecter que rehaga este ejcmple temande las b:15es canOnicus dc

Un vector representativode Ker'TA es entonces ,

I

Pasese entonces ahora a cst‘udiar come so afecta la matriz dc una transformacion lineal T: V —+ U cuando se cambian las bases de Vy U.

-

312

“Subiendo” en el diagrama, per medio de q), se ve entonces que 1111 vector representative de Ker Tes:

Q32. CANI‘IBIOS DE BASES

[ ic‘idiio iiiicidH—‘I’ 3H? WU 4]

Sea T: V —+ U una transformacion lineal, en donde Vy U son espacios vecteriales

de dimension finita. Dtgase que n = dim Vy m = dim U. Sean 61 y 61 dos bases de Vy’ 62 y 6i dos bases de U. Se quiere investigar la relacién que existe entrc las matrices

2

obien,

1

1

BC—d

_--2-(c+d) 7 - _.5 __, 2c+2d

c

[71151111

~d.

6i ) tal que

(3.9). La

im‘agen TA es el espacio‘ linea de A'.

”

71 0-..‘3/2 0 :1 4/2

3—31-53..."

o

0

2 —1

0

,

, ..

0

0 0

‘

0

Pixim = [l

(3.11)

Sirnilarmente, para cualqmer vector dado Y en U, existe 1111a matriz i11versible Q ' de ordeh 112 (1a matriz 'de cambio de base de 62 a 62 ) tal que

I,

I

ts, =[Yio1_'

- (3.12)

Se sabe que para cualquier vector v E Vse ticne

1

3

‘

Una base de TA estzi dada per 105 vectores [1, 0, - '2‘] , [0, 1, ‘ ‘2‘]

~

Entonces un vector representative de Im TA es del tipo 1 3 ci[1,O,—E]+02[O,1,-'2— =

[Tim

Para esto, recuérdese la subseccién 6.1 del capitulo 3, gm si X es un vector dc V, existe una matriz inversible P de orden 11 (la matriz de cambio de base de 6. a

Se comprueba fécilmente que esta descripcio’n coincide exactamente con

~37'1 41}. 13—2

y

mm... = 1711,1131.

(3.13)

[TWIN = [Timmivi'm

(3.14)

Y

_1_ ' 3 01,02,‘501“262

De nucvo, “subiendo” en el diagrama, por medio de w, se ve que un vector

clin (3.12) se puede rccscribir (cl lado izquierdo de) la cxpresion (3.13) como

representative en 1111 Tes:

1

1 Ci

0

0

+62

1

0

'Q-|[T(v)]fli = I[7]91i51[v][31

+1Q _1m ,2 . 2- 7 +["’3‘Ci"’l'C2]

2

2

1

-1

=

"éci’i‘lCz

2

3

2

‘ [Al'susti-tuir (31'i'4).eni ester 11mm expresién sevgbtiene . ' 01,02ER

03711105 [Vim = [TJsMm

1

'ECl“'2"’Cz

Finalmente, segfin (3.11) se puede reescribir esta expresién come (sustituyendo

[Vim For PMm)descripcién que se comprueba con facilidad que coincide con (3.10).

Q’liTJMMPMm ‘= [Tms

314

ALGEBRA LINEAL TRANSFORMACIONES LINEALES

315

"Esta expresién es valida para todo vector v E V. Entonces se puede concluir quc* ' de donde

[mas 0417191941" '

. y 2 mm 1115 bases canonicas de‘ R’ y R‘ res I>ectivamente Es decir,

15= {(10 0,),(O 1 0) (0 0 1)} [32 = [(110,0,0),(0.1,0,0),(0.0,1,0),(010,0,1)}

Esta es 1a relacién que se queria establecer. Se ha probado entonces el siguiente teorema:

Si {Si y {35 son 1213 bases Sea T: V .1 U una transformacién lineal del espacio vectorial V dc

TEOREMA 3.2

131 = {(1,010).(1,1,0),(1,l,1)]

dimensién n 211 espacio vectorial U de dimensic’m m. Sean [31 y Di dos

135 z=“0,0,1,1).(0111011),(1.1,0,1),(1,1,1,1)}

bases de Vy [32 y [35 dos bases de U. Si P es la matriz dc cambio dc base de [31 a [5; (dc orden n) y Qes 1a matriz dc cambio (16 base de [32 a [35 (de orden m), entonces las matrices de la transformacién Trespecto de [3, y [32 y respecto de 131 y [55 estén re‘lacionadas por

de R3 y R" halle [i usando e1 teorema 3.2. Llame v.-, u], v,-’, u}, iv= 1, 2, 3,j = 1, 2, 3, 4, a 10s vectores de las bases 51»

[32, {‘31 y 05 respectivamente. Si P es la matrix de cambio de base de [31 a 5i entonces P“ es la matriz de cambio de base de {3} a [31. Esta filtima matriz es fécii de construir pues 10s.vectores

mm = 041713t

v,’ coinciden con sus vectores de coordenadas respecto de la base {31 (1)1165 p1 es la base canéniea de R3). Entonces

0 equivalentemente

(3J5)

'

[T115105 = 01719.131P"1

P‘

I ' , COROLARSIO‘; , I .-

i

» "

.

'

-matr'iz de cambio (16 base ‘de {3y [3’ entonces

Similarmente, construya 1a matriz Q (mattiz de cambio de base de [32 a [32) colocando en sus columnas 1as coordenadas de 108 vectores u} (que coinciden con sus vectorcs de coordcnadas rcspecto de la base canénica [32).

En este caso U = V y [31 = 132. El resultado se sigue entonces del teorema anterior. -1:

Q

Q.E.D. _

EJEMPLO 6

Para ilustrar este teorema, tome 1a transformacién del ejemplo dado en la pégina 306 de esta seccic’m. T: R3 —> R‘

T(x, y, z) = (x+3y—z,2x +y+ 3z, -3x~14y+8z,3x+4y+2z)

. ,

Se tenfa que . ,

_1 5

‘ .

" [1:113:32 =

3

1

1 '

3 V

_3

,14

8

3

4

2

1 1

.' ~

(3.16)

'

[7111 = P171111“ DEMOS TRA ClN

'

' - Sea T: V —> -V.-u11 operadotlmealy sean {3 y [5’ dos bases de V. Si P es 1a

1 1 0 1' '0. ‘1 0

*Si .4» y B son matrices m X n y Xes una matriz r1 X 1, se tiene:_AX = BX VX E M"... = A = B.

Para ver esto, basta tomar X = X,,j = l, 2, . .. n, donde X,- son las matrices de 121' base canénica de M" x 1 y ver que AX]. = BX,.dice que lasj-ésimas columnas de A y B coinciden.

0011 0111 1001 1111

Obtenga Q = (0")-1 0011|1000“ 01'11|01OO 1001|0010” 1' 11110001

100010—101 0100|—1100 ~_00>1‘0_|1-—1_-ll,_ 100701l'10111—1

demodbquc

r0-101 =-1100 0 '1-1—1 01 -1

TRANSFORMACIONES LINEALES

ALGEBRA LINEAL

3-1 2 1 323 4-M 8 o 3 4 2

ii 01

resultado que coincide con el que se-habia obtenido directamente en la pégina 307. .3

E‘JERCICIO'S (SEC-CIéN 3, CAPiTULo 4) 2‘2 0 —.1_ ~47. o, 2

N

c) T:R‘-—1 R’T(X)=AX A

1|

”-1 2

l)

Tiszfisz

T(A)‘A’

m)

T: M2122 "’ M3122

T[[

a

-b ]] =

n) T:M2.2’—>R

TH“

12) T: Mm —» R

71A) = trA

a+b

c

d

0'26

b+c

b+d

a+b+c+d

. Sean Vy U espacios vectoriales de dimensién fmita y scan 13 y 13’ bases de Vy U respeciivam'en‘te, 1511211 es 121 matriz asocia'da a la transformacién cero 0: V ~» U respecto de las bases [5 y 13’?

-

. Sea Vun espacio vectorial dc dimension finita y sea 13 una base de 6], demuestre que la matiiz asociada a1 operador identidad en V rc's’pec‘to dc la base [3 es la matriz . Para cada una de las transfonnaciones lineales del ejercicio 2, describa s11 nucleo y su imagefi por medio de alguna de sus matrices asociadas (teorema 3.1) . Considete 1a transfomiacién lineal T. M2 x2 —+ M2 112 .dada p91 T(A)_=- A— A1. En el

conelusién usando:

3 17 4 3 14

a) la matrix de la transforma’cién Tresp‘ecto de la base canéhica de M2 2 2.

111211111: :11 :1

b)' la ‘matriz de la transfoxmacién Trespecto dc la base 13 de M2 x 2 dada por

2 10 w

0

Hao+a1x+a2x2+a3x°)=(2czo+a1+az,ao-2112+301,a1)

eje‘r‘c‘icio 12 dc 1a sjeccion anterior so dcmostrp que cl nlicleo dc Test21 constituido pot ' la's' matrices simét‘ricas (mairice's tales queA =A‘) y (1111; {a imagen dc Tesia constituida por las matrices antisimétrica’s (matrices tales Que B ='-B’).Obtc1‘1'ga esta- misma' I

.1;

1'1 7 1 2 2 h—l.‘>_D-‘A)—I

’2

b) T:R‘—+RW‘(X)=AX A =6.

.

identidad

1. A1 usar el teorema 3.1 , d'escriba‘ el'm'lcleo y la imagen 'de las transformaciones lineales siguientes: a) T'fflks -R2'T(X)==AX A

317

T(p)= (x’+x2+x+1)p

‘3

1 4 3 1 4 3 5 x u 4—m—nj

"

k) T:P1-'P4

_

-

R21 b)=a+bx

11

[I

ll

[71111111 = QiTJmmP "

04 o 1 —11 o o 1—14 1 o 1 11

'

-

Tfpf'” R3

H

i) T: R243. j)

Qt"

Entonces Segfln la férmula (315) S1: tiene que} "

L—_.—J

316

. Considere la transfonnacién lineal T: s 2 ~» M2 xzdada por T(A) = BA en donde B es la matriz 211 2 . Obtenga 1a matriz 1T respecto de la base canénica de M2 x 2.

Describa e1 nficleo y la imagen de T. 2. Encuentre 1a matriz asociada a cada una de las transformaciones lineales siguie‘ntes, respecto de las bases canénicas dc los espacios correspondientcs

amm4w,

.flxw=6mflxfi+fl

mmmaw

11'Raxz)sfix+Zy—23x+4y9201f‘

c) T:R2-->RJ

T(x,y, z) =(2x+y—z,3x+2y-27., 8x—y)

mnw~m

T(x, )7) = (2?s " 3y! X, y)

e) T:R‘—*R2

T(x,y, z, u) =(x+y,z+u)

f) T:R’-—+R

T061112, xa,-x.., x5) = x1 + x2 + 2x: + 3x4 + 8x5

g) T:R‘;—»RJ

T(x1, x2, x1, x1, x5, x6) = (x1 + x1, x2 + x5, x3 + x2) .

h) T:P2—fP3

T0?) = I!)

. Considere 1a transformacién lineal T: M2 x 2 —-1 M2 x 2 dada pot T(A) = BA en donde B

es la matriz

b

d . Sea C la matriz de Trespecto de la base canénica de M2 x 2.

Demuestre que det C= _—(ad be)! Concluya cntonces que existc A_ E M2 22, A 2* 0 tal que T(A)=-0 si, y solo 51 B es una matriz no inversiblex - 1 . Sea Tlatransformacion lineal T: M112 _. M313 dada p01 T(A)==AB- BA, (:11 donde B es la matriz

o 10 a=oo h 00

fl

Por medio de la matriz asociada a Trespecto dc la base cano’nica dc M; x 3 describa la

estructura de las matrices que conmutan con B.

TRANSFORMACIONES LINEALES

319

38 '- ALGEBRA LiNEAL ,, . . . . (Sug'erenciaase traia de dcéscfibirel miclejo de‘1). sién finita tales que ® 10. Sean W1 y W2 dos subespacios del espacio vecterial Vde dimen 2,..., u.) una de W1 y {32 = {1l1,lt V= W169 W2. Sea {31 = {vb V2, . . . , vi} una base base de W2. una base de V. 3) Demuestre quefi = (W, . . . , vk, m, . . . , u,} es

Ia)

,.

,

.

‘31 g “’2: Vlsjv4’v3}

b)p3:{vhvi+V2,V1+V1+V3,V;+V2+V3+V¢}

c) 13; = {v[ + v;, v; + v;, v, + v4, v4}

15. Sea Vun espacio vectorial de dimensién 3 y U un espaeio vectorial de dimensién 4. Sean (5, = {v1, v;, v;] y (32 = {uh u;, 143, us} bases de Vyde Urespectivamente. Sea T:

b) Sea T: V ~w Vlatransformacién

V —+ U la transfonnacién lineal tal que

,) = cm + . . . +ckvk 1(cm + . . . + cm. + dxu, + . . . +d,u

T(v.) = 2m - 3112 + u, - u.

Compruebe que Tes una transformacién lineal.

T(V2) = "1 + 112 + U; + ”4

la base [5. 0) Determine la estruclura de la matriz de Trespecto dc d) Describa e1 micleo y la imagen de T. V1, V2, V3 y V4 subespacios de . Sea Vun espacio vectorial dedimensién finita y sean n tal que T(v) = v

T023) = u; — 2a;

a) determine la mam'z de Trespecto de las bases £31 y [32. b) determine la matriz de Trespeclo de 135 bases

Vla transformacié Vtales que V = V; (B V2 GD V3 63 V4. Sea T: V -+ V... U sivE V; U nT(v)=kvsiv€ V;

{51 = {w + V2 + vs, 3v; - 2v; + 2V3, V3}

a) Demueslre que Tes una lransformacién lineal.

[35 = {m —. “3, u. + 2n; + 3m, u, ~ 2a.,vu; + u, + u.) 4

que [5 = U {3,- es una base de V. b) Si [3.) es una base ale V.-, i = 1,_.2, 3, 4, demues‘tre Ivrl clo de la base [5. c)‘ Descrlba la estructura‘ de la matriz del operadot Trespe

: V —. VDU) = f’ (1a de V(la cons’tituida , dada base. la de. specto ‘ ,der‘ivada' def). Obtenga la‘malii; depure . caso's: tes siguien lbs de uno cada en V) a generan s-qae _ “per-los vector'e

r lineal-D 12. Sea Val.espacioyectofialC‘(R').., Considere e1 operado

de Vy U reSpeclivamente. 16. Cons'idere’la transfonnacién lineal T: P, _. P3 dada por T(p) = (x2 + x + l)p a) Determine 1a matriz vde Trespec‘to de las bases‘canénieas (16 P1 y P3.

_b) Determinella mattiz 'de' Trespecio de _l_as bases

fii'é'{l,x+_l}"

a) V = $3033 e“) e)

b) V = we: e126“) c) V’="Q(e‘, 8”", xe‘)

Verifique‘ que se satisfaee e1 teorema 3.2;

17. Sea 1': R3 -» R3 e1 operador lineal dado pot

d) V = gm“, x’e‘, x1e: x’e')

T(x.y;Z)=(2x—y+1.x+z.3y—2z)

e) V = mean x, cos x)

f) Vv= 9.9(sen x, cos .x,.-x sen x, x COS x)

a) Detennine la matrig de Trespecto de la base canénica de R3.

g) V = ge(e‘sen x, e'cos x)

b) Determine la matriz de Trespecto de la base

al Val espacio vectorial . Sea T: V —' U una transformacién lineal del espacio vectori nte. bases deVy U, respectivame U. Sean 6.; = {-v1-, v2, . . .-,v,,.} y p; = {141,112, . -. . , un} las bases [31 y [32. de cto Trespe n Sea A la matriz de la transformacié

de posicié , a) LCémo se altera 1a matriz A si en 61 se intercambian vj?

_

[35 = [2, x + 2, (x + 2)’, (x + 2W

, b) (396nm sealierailai' matriz A'sl en 62 se'intercéambian‘de posicib

n los vectores -u.- y

is.

La matriz de la transformaci‘én lineal T: R3' —{ R3 r'especlo de la base [i = [(1, 0,‘ 0),

~

(1', 1,0),(1, 1, 1)} deR’es: .

u}?

espacio vectorial de dimensién 14. Considere cl operador lineal T: V —-> Ven donde Ves un {v., V2, V3, v4} es = 5 base la de cto Trespe de 4. Suponga que la matriz

13—1 Ho 21 [np's

0

2 1

A=

'_

_

'-

i

'

21-1 2 3 2 2 4 3

Encuentre la matriz de Trespecto de la base {3 = {(2, l, 1), (3,2, -4), (2, 3, 3)}

214

2

'' ’

c) Verifique que se satisface el corolario del teorema 3.2.

n los vectores v.- y

.

-

p, = {(15 2: '1)>(3’0:1):(02 ‘49 0)}

4—1 tes bases de V:

Encuenlre la matriz de T respeeto de cada una de las siguien \

'

-

320

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBRA LINEAL

1321513 ento'nces mo'strar que los Vectores ,u“ 11;, ,L' .'

=4”. SEMEJANZA 7

C1111 + c2112 + . . . + cnun = 0

(euadradas) asoeiadas a ellos. Considérese el conjunto M" 1 ,. de todas ias matrices cuadradas de orden n. En este conjunto se va a defirtit 1111a relacién entre sus elementos, llamada (telacién dc) semejanza. Esta relacién ayudaré a entendet mejor 1a correspondencia que se establecié en la seccién anterior de transformaciones lineales -—matrices.

(4.2)

A1 sustimir las expresiones (4.1) en (4.2) queda ’I

C! 2 pilvi + C2 2 PIZVE+

- - + Cu 2 PinVi = 0

1-1 -

1

i-i

SeanA y B dos matrices cuadradas dc orden 11. Se dice que A es semejante a B, si

n

existe una matriz P (de orden n) inversible tal que A = P"BP.

n

2 012171;“ = 0 1-1

EJEMPLO 1

.7 , 11,. 5011 linealmente

independien'tes‘ (corolario del teore'ma 5.3 capitulo 3).Escribase la combinacién lineal

En toda esta seccién se considerarén solamente operadores lineales T: V —> Ven cionde V es un espacio vectorial de dimensic’m finita, asi come ias matrices

DEFINIC/ON 4.1

321

1-1

P01- ejempio, si T: V —>. Ves un operador lineal en Vy [3 y {3’ son dos bases distintas

de V, la'vférmula-(3.16)_ dice que la matriz [i es semejante a la matriz [Th pues

)"1 z p-U-cj v.- = o

[Up = 1“ [Tlp'P en dondc- P- resulta set. la matriz de cambio de base de [3 a (3’. E11 realidad, ése es el“1inico‘” (tipo de) cjemplo que se puede dar de. matrices semejantes. Es decir,

(4.3)

Los vectores v1, V2,. . . , v,. for‘m‘an por hipétesis, una base de V E11 particular ellos

. dadas dos matrices A y B. de orden 11 en dondeA es semejante a B, existe 1m operador T: V ——> Ven do11de Ves 1111 espacio vectorial de dimension n y bases [3 y [3 de’ V‘-

"

son linealm‘ente iadependientes. Entonces (4. 3) implica que

‘tales queA = [T]p- y B.-= [7],,

’1

Para ver 1a validcz dc esta afirmacién, se. demostrara primetamerite el siguiente lema técnico:

2!)i = 0

i=1,2,...,11

o bien, en términos matriciales, PC = 0, en donde

LEMA

Sea P una matriz inversible de orden n y sea Vun espacio vectorial de dimensién 11. Si [5 es una base de V, entonces existe una finica base [5’ de V tal que P es la matriz de cambio de base de [3’ a [3 (esto es, tal que M1) =

PM”: Vv e V). 03

/

DEMOS TRAC/ON Denétese porpij, ij= 1, 2, . . . , n a los clementos de la matriz P. Escribase [5 = {v.,

Siendo P inversible, e1 sistema homogéneo PC = 0 tiene 5610 1a solucién trivial. 0 sea que 0. = c; = . . . = c1. = 0, lo que prueba que ul, ”2, . . . , 11,. 5011 linealmente

v2, . . . , v,,}. Definase

independientes como se queria.

. (2.11.1); ‘

u, wepav; + . fpm'vn = 2 pm 1= 1,2,; . . 9 ,n "' ' ' "(45.1) . 1"!

Si 5e logra mostrar que [3’ = {uh M2, . . . , un} es una base de V, ésta sera emonces la (finica, por la manera como se definieron los vectores 11,-) base de Vtal que P

es la matriz de cambio de base de [3’ a {3 (pues los elementos de laj-ésima columna de P 5011105 correspondientes elementos de las matrices de coordenadas u,- respec-

to de la base 13 —ver subseccién 6.1 capitulo 3).

TEOR EMA 4.1

Sean A y B dos matrices de orden n tales queA es semeJante a B Enton'ccs existe un operador lineal T: V —-> V, en donde Ve's un espacio vectorial de

dimensién n, y bases 15 y 13’ de Vtales que A= [Tb y B= [T]p

322

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBRA LtNEAL

DEMOSTRACION

Escribase by, 1j= 1, 2, . . . ,n para denotar a los elementos de la matriz B. Sea Vun '- ' ,vn} una base 'de él. espacie vectorial. de dimensién n y sea [3= {111,112, Considérense los vectores W, =

2

ball;

A51 pues, e11 particular se pijede.decir “las matrices A y B son sizmejantes sin ’ temor a confusién.

La relacién de semejanza permite entonces asociar en clases de equivalencia a todas las matrices que representan a1 mismo operador T: V —+ Ven diferentes bases de V. Esta esvun heeho muy importante que se usara‘en la seccién 6 e11

j=1,2,.

relacién al estudio ,de la inversibilidad de operadores lineales. Para terminar esta seccién, se desearia hacer un comentario sobre la perspec—

Seglin e1 teorema 1.1 existe una(1'1nica) transformacién lineal T: V —» Vtal que

T(v,~)=w,-=Z bijvi

323

tiva que se abre ante los resultados que se acaban de obtener (corolario del teorema

j=1,2,...,n

Obsérvese que [T]p=

Por otra parte, come A es semejante a B existe una matriz Q inversible de

orden n tal que A= Q lBQ Segiin e1 lema anterior existe una base [3' de Vial que Q es la matriz de cambio de base de [3' a [3. Por tanto, P= Q ‘ es la matriz de cambio dc base de [3 a [3’. Como

4.1 y teorema 4.2). Dado un operador lineal T: V —> V, se ha Visto que su micleo y su imagen se pueden describir usando la matriz que representa a éste en a1 guna base de V. Mas aim, en la préxima seccién sc vera’ que la matriz que representa a un operador es- “un fiel reflejo” (en cl sentido de isomoriismos) de él, de modo que toda la informacién sobre el operador esté contenida en su representacién matricial. Es natural preguntarse entonces si Ttiene alguna representacién matri~ cial simple, pues finalmente con ella es con la que se puede trabajar en sustitucién del operador mismo. Por ejemplo, uno se preguntaria si Ttiene asociada una matriz diagonal Para ponerlo con las palabras de la relacion de semejanza que se estudia

en esta seccion, uno se pregunta 51 en la clase de equivalencia de las matrices que

A =- we 1317111“ p

la férmula, (3. 1.6) dice que A = [flp:..

representan a T existe alguna mattiz de forma especialmente simple, d1 gase diagonal. Esta es una pregunta sumam‘ente interesante, a la que se dara respuesta

en el c'a'pitulo 6.

En resumen, se tiene e1 signiente corolario: COROLARIQ

SeanA y B dos matrices de orden n. A es semejante a B si, y sélo si A y B representan el mismo operador T: V ——> V, en donde V es un espacio vectorial de dimensién n, respecto de dos bases [3 y [3" de V.

EJERC-ICIOS (SEC-Cl'éN 4, CAPlTULO 4) 1. En el espacio R2 considere la base [3 - {(2,3), (5, —l)). Sea P 1a matriz

_

1

4

P"Ls

7]

1.

TEOREMA 4.2

La relacién dé semejanza en el conjunto de matrices M. 1,. es una relacién . de equivalencia.

Determine la base [3’ de R2 1211’ que P es la matriz de cambio de base de [3’ a [3. 2. En el espacio R3 considere la base [3 = {(1, 0, 0), (0, 2, 4), (0, l, 1)}. Sea P la matriz

P=

DEMOS TFiA CIQN' a) BS claro que toda matriz A7 E Mn x ,. es semejante a si misma, pues se puede escribirA==,;1 ‘ A 1,. b). Supongase abora que A es Semejante a B Existe entonccs Lina matriz inversibl'e , P ta1 que AM; P ’BP. Es‘cribase Q= P -‘ Entonces Bj= Q ‘AQ, l6 que muestra que B es semejante a A c) Si A es semejante a B y B es semejante a C, existen matrices P1 y P; inversibies

tales ql‘Je A= PI‘BPl y B= P2‘CP2 Entonccs A=P1‘(P2‘CP2)P1(PI‘P2‘) C(P2P1) = (PxPz) ‘C(P1P2). Es decir, existe Q= P1P; inversible tal que A=

Q'lCQ; Enton‘ces’A es semejante a C. Q.E.D. .

'l 3 0

2 4 2

1. 5 0

Determine la base [3’ de R2 1:11 que P es la matriz de cambio de base de [3 a [3' (110 do _ '-~

’53 13) 3. Demuestre que si las matrices A y 3 son semejantes entonces det A= det B.

4. Con las matrices

14w]

21:. :1

_co’nstruya u‘n contraejemplo que muestre que la afirmacién rectproca del ejcrcieio anterior es falsa.

TRANSFORMACIONESLINEALES

325

324 'ALGEBRA UNEAL Q ~ 5; Demuestre que si las matrices A y'B son semejantes, entonces'trA - tr B 313.5 valida '1

la afirm'acién‘ reciproca? ' 2

.

6. Sea A la matnz [1

Z], demuestre que las stgurentes matnces no son semej antes a A.

w a] mi; 2]

at? a] «m 1]

at: ‘3]

Rx. y, z) - (x+y,x +z,y +1) Sean 5;, [32 y {3; las bases de R3 dadas por

15. Los tres ejercicios anteriores dcmuestran que las matrices semejantes a una matriz

nilpotente, involutoria, idempotente, son matrices nilpotentes, involutorias o idempo— tentes, respectivamente. Esto N0 significa que todas las matrices nilpotemes, involutorias o idempotentes scan semejantes entre 51.- Proporcione ejemplos concretos que muestren csta afirmacién. En este ejercicio se comideraré un bonito e interesante problema de la tcoria de 16. ® nfimeros, conocido como “el problema de la suma dc Gauss”: se trata dc calcular e1 n-1

140’ en donden es un nt’lmero impar y w es una rafz n—écima primitiva de la unidad, es

decir, w es el n'fimcro complejo .

.,

,

. P la Vm‘atriz de cambio de base de {3, 1a [32

c) Obtenga la matriz de Trespecto de la base {53. d) Verifique que

[719. = F‘lnmp mp: 5 0%a [7113. = 13%“e R = (QP)"

_

-- 13.2]: .-

son semejantes.

,

'

1-0

7

1..

Wii a

(Stagerencia: use la idea de lademostracién del teorema 4.1.)

9. _ 10.-

n— l

SS= 2 (of

8. Demuestre que las matrices

H "

.21:

qu‘e resuelve e1 problema. La herramienta u‘tilizada es principalmente tomada del algebra lineal, dc modo que el lector que haya seguido cl material presentado en el 'texto hasta esta seccién pucde completar los detalles del mismo. Este es el objetivo del ejercicio. a) Primeramente so calculara e1 modulo del ntimcro complete S. Justifique los siguicntes pasos

b) Obtenga la; matriz dc Trespecto‘de la base [32.

8 .,4:

,121r ..

‘ siguicntés's‘e presenta cl eSqueleto de un argumento, un poco largo, pero muy simple,

Obtenga 1a matriz dc Trespecto de la base {31.

-A.=

'

*w = cos--+tsen—n'11.. ..

Este es u'n' problema no trivial del cual Se tienen‘rcporta'das en la bibliografia diversas I maneras“ dereso'lverlo (alguna's de cllasmuy 'técnicas-y‘complic adas). En los incisos

Q la matriz de cambio de base cle [32 a {3, R la matriz de cambio de base de [53 a [3, ‘a)

1

S = 2 w:

t3: = {(3, ~1,0), (2,0, 3), (o, 1, 1)} . -

que la matriz B es semejante a A. Demuestre que B es nilpotente. 13. Sea A una matriz involutoria (véase cjcrcicio 26 de la seccién 3,'cap1’tulo l), suponga que la matrix B es semejantc a A.~ Demuestre que B es involutoria. 14. Sea A una-matriz'idempotenre (véase cjerc‘icio 13 dc la seccién 3, capitulo 1), suponga

valor de la suma

131={(1,0,0).(0,1. 0),(0.0.1)} [32 ={(2,1.3),(3,2,2),(1. -1,4)l ' . Sea

.

,

matrices A" y Brl son también‘ semejames.

que la matriz B es semejantc a A. Demuestre que B es idempotente.

7. Sea T: R3 —> R3 la transformacién lineal

_,

‘Sean A "y- B dos matrices-semejantes, 'demLiestre Que para cualqnier natural in, las

12. Sea A una matriz nilpotcnte (véase' ejercicio 14 .de la seccién 3, capitulo 1), suponga

.

.

.

‘ 11,.

Sea A una matriz inversible dc orden n, demuestre que la clase de equivalencia (bajo 1a relacxon de semejanza entre matrices) en la que se encuentra A esta constituida solo por matrices inversibles. Desc‘riba la clase de' equivalencia (bajo la relacién de Semejanza entre matrices) en la ,; que se encuentra la marriz: a) cero, b) identidad.

2 w"‘

n- l

n‘ l

1

n-l

= z WV'W") = Z w"" mv-o

Lk-o

k-o

- ail yam-2 K21 f w'" .=E(1)+")L_f(0)=vn v-O

u'l

v-O

‘

_v-0

_u-1

.

Concluya entonces'que cl modulo dc S es ‘5] = [II—.1 b) Defina el conjunto G come 6 = {1, w, W, . . . , wn-l}. Verifique que G posee n

elementos distintos. Los mimeros complejos wwywb (a, b enteros) se identificaran como sicndo el mismo si a a b mod n (cs decir, si cxistc k entero tal que a = b + kn). Justifique este hecho. Demuestre las siguientes propiedades del conjunto G: b1) g E G si, y 5610 si 3 es una raiz n-ésima de la unidad. (Sugerencia: la parte “solo 'si" de la afirmacién es muy simple dc probar. Para ver 1a parte SI ,

»: iv r i r

326

TRANSFORMAClONESLINEALES

ALGEBRA UNEAL

> determinante cle este~sistema Es un datcnxlinarrte'de[Vandennonde‘ distinlo de-_

I obsarve qure‘s-iendog una raiz hr-éslmade. la ‘tlrljdad; éxiéta k, entero tal'que

' g = M}; Aplique el algoritmo de la divislén en los enterqs, para conclulr que k - qn + j, 0 Sj S 11—1. Identifique entonces a 3 com w’). 132) Si g1-,g2 E G entonces glgz E G (es decir, G es un conjunto cerrado bajo e1 producto). b3) Dadog € G, existe g’1 E G tal que (g)(g“) = 1.

' ccro.) Concluya entonces que £32 lambién cs una base dc C(G).

g) Dada la funciénf E C(G), defina la funciénfi [32 _. C como fies) = n: f(w’)w"‘ = A: f(w’) 2,09") r-O

r-O

.

b4) La suma de todos los elementos de G as igual a care. Es decir

Al usar e1 hccho dc que [32 es una base de C(G), cscriba la exprcsién anterior como

1+w+w’+...+w""=0

flea) = Z [Z akek(W’)Je;(W")

c) Considere cl Conju'nto C(G) fonnado portodas las funcionas complejas definidas defina

r-o

en el conjunto G, es'decir', funciones del tipof. G —> C. En este conjumo las‘ operacidnes de' suma y de produ'cto por nfimeros complejos de la manera natural

f1 +f2=G —* C cf:G—-C

k=0

que el conju’nto C(G) con estas operacioncs dc suma y producto pot escalarcs es un espacio vectorial (complejo).

a = fine»

d) Considers e1 conjijnto {31 =‘ {1%,fl, . . . ,fM} C C(G) en donde ~ : lsli=j . . ,1)!“ g. 0’,-1"7",”.1._ 1_ . . . fllv)J: {051' i¢j

Concluya emonces que la funcién f E C(G) s.e cscribe en términos de la base {3;

come Sigue

1:HWI'A.

‘

k-o

h)

Considere la funcién T: C(G) —o C(G) dada por

pendencia lineal l3!- Demuestre ahora que dada f E C(G), ésta puede escrlblrse

mm = —‘J77- 2_0 f(W‘)W" , = 34m.» J71"

como

H); am e) Seasun mflmcro entero. Defina la funcién e; : G —+ C como e,(w') = w". Considcre

Demuestrc que T es un opcrador lineal en el cspacio vectorial C(G). Dada la funcién f 6 C(G) defina la funclén f E C(G) como fv(w ’) = flw -r).

Demuestre que TM‘) = 1X.

j)

'eZ) -|e,_(w')|=sl Vs,lr=‘0.1.--~'..n'..1 ' smats ~ -r) = {O "03) "" Z ek(wr) es(w n sl k = S

:t,;.

V={f€C(G)|f=-f} V

Demuestre que U y Vson subespacios de C(G).

Demuestr'e que C(G) = U 63 V. (Sugerencz'mdadaf E C(G) cansldere las funciones' g', h 96(0) definidascomog = é—(fl by I1 = év .. f).-V¢l‘ifiquc~que-g E U,

h E Vy quef= g + h. Compruebe pot fillimo que U n V= {0}).

r-O

Demuestre que (has un conjunto linealmente independiente C(G). (Sugerencia: al evaluat la combinacién lineal coco + cm + .- . . + c,._1e,.-1 = 0 en WI‘ 0 Sj S ml, se obtiene co + clwi + . . . + c,.-nv.i12

‘c

i-lj-l

Definansc las futiciones

Es decir,

f-n—iU

i=1,2,...,m,j=1,2,...,11

de la siguicnte manera‘: para y E Vescribase V: 711v. + 7x12V2 + . . . + Xavn

m

22

cufi,(v)=

VvEV

1'-l j-

*El simbolo O que aparece a la derecha de esta expiesién se. refiere a1 cero del espacio L( V, U), el cual es la transformacién care 0: V —+ U, 0(v) = 0 V v E V. (Véase seccién 1.)

TRANSFORMACIONES UNEALES

335

334 ALQEBRA LINEAL

"I

X 2

C"U(vk) = Z

I") j-l

['1

[791119132 =

k=1,2,...,ll

Cum-‘0

= 0, k = 1, 2, . . . , n, i = 1, 2, . . . , Esta filtima expresién implica a su vcz que cur nchentes). Pot tanto, 105 m (pues los vectores ux, ug, . . . , um son linealmentc indcpc termina la demostracmn. Vtzctoresf,7 de 6 son linealment‘e independie‘nt'es. Esto

[161219191 =

vectorial L(V, U) tiene pot base Por ejemplo, si dim V= 2 y dim U = 3, e1 espacio U, i = 1, 2, 3, j = 1, 2 dadas por ‘ a las 6 tran§fomaciones linealesfgz V -+

O

0

0

0

0

1

0

0 1 172110102 =

1

0 3 V221”: = .

0

0

0

0

0 1

, etcétera.

Es decir, que [)3]!t es la matriz de orden 3 X 2 que tiene pot elementos solamente ceros, excepto e1 elemento de la i-ésima linea y j—ésima columna que es 1.

Se encontraté ehto‘nces, sorpresivamente, con las vicjas cOnocidas matrices de

aHVI 4' 7V2V2) "= 11111

.

la base canénica de M, .2.

fizowvt + 3.2%) = Mu, Vf21(>\'lvl + sz) '= Mu;

En‘ el siguiente te‘orcma se mostraré que la correspondencia que se establecié en la seccién 3 cntre transformaciones lineales y matrices

; 10220»t 4' MW) “" Mu

.

0 0

Unos cuantos calculos mas muestra‘n que

Q.E.D.

_ Transformacioncslineales - _ ~ T:=V—> U F:_. ,

qHVI + MW) = Mu; ,f320.1w + M132) = 95214}, ‘

Vy dc U, respectivamente. En V en donde [31 = (v1, v2} y 132 (m, u;, u;) 501’) basics d'c cxpresarsc como cste caso cualquier transformacit'm T E L(V, U) puedc

’ MatricesA deorden

-—>

l.’” V=”.,dimU=ni' -

U

(5.1)

mxn'

esdc hecho unisomorfismo dc es'pacios Vectorialcs (véase 's'u'bseccién 6.2 capitulo

3). Unade las propiedades de 105 isomorfismos, que 'ya 56 usaron en la seccién' 7 del capitulo 3 y que se mo'straré'in mas adelafite es’que éstds llevan bases (de su

dominio) en bases (de su codominio). Pot lo tanto, e1 cncucntro “sorpresivo” que

+ Olazfiz T= 0611f“ + atzftz + a21f21+ 0122f22 + 0131t

se tuvo de las matrices en la base canénica de M; .2 en el ejcmplo anterior queda

cxplicado por el siguiente teorema.

en donde

NOTA: El que el espacio L(V, U) sea isomorfo 21 MM”, es un hecho quc sc puede deducir de los teoremas 6.3 y 6.4 del capitulo 3 asi como del teorema 5.1 de esta

T(v1) = anul + aztuz + (131143 T(V2) = 011214: + azzltz + anus

Uno se podria preguntar por la forma de las matri

antertor) con respecto de las bases formacionesfij, i=1, 2, 3, j=1, 2 (del ejemplo

seccién: se tiene que tanto L(V, U) como M,,I x" son isomorfos, a R'"", y por tanto, son isomorfos cntre 51'. El hecho que se presenta novcdoso en este memento es que la funcién F definida an (5.1) sea un isomorfismo cntrc cl espacio L(V, U) y

[3.y [52.

el espacio M". x ,..

ces que representan a las trans-

'-l ._'Setiene

~

.

" figtvo“:‘u; "

2'

”'[fut’vm‘mi

OOv—‘_

Obténgase por cjemplo [fuhmr

TEOREMA 5.2'

‘ Sea V'un espacio vectorial dc dimensié'n n y.' U tm espacio vactorial- dc dimensién n'con bases [3| _='{vi,jvz, . ._~. .1 v,.} 'yfiz {1.141, H2, . . . tum} . ’ ‘ '

' I

téspectivamehte.

'

La funcién

F: L(V, U) _. mn dada per

fll(v2) = 0

[fn(vz)]n: =

000

EJEMPLO 1

1 0

000

II

"I

Entoncés

3' . [1 Sc ficnc

_ En particular. parav'é Vk, k' =1, 2,

17(7) = [71913: es un isomorfismo del espacio vecton'al L(V, U) a1 espacio vectorial M,,. x ,,. /

336' ALGEBHA LINEAL

TRANSFORMACICNESUNEALES

7. DEMOSTRACION Se dcb‘e mostrar (3116-: (1) F es lineal, esto és, F(T1 + -T_2)= F(T1) + F03), T1, T26

__ S‘smma‘al’a‘cdeR’fl {(1,0),'(1,1)),se11cn¢ . _3 _5 ' = l:_1 _ —2 1 6] [T2]p [Tllrs — I: 5 4:]

L(V, U) y F(c7) = CPU), c _6 R, T E L(V, U); (2) F65 1111a biycccién. ' Véase que F es lineal: Los elementos de laj-ésima columna de la matriz [T1 + T2] 13113: son los elementos de la matriz [dc coordenadas dc (T, + T2)(v,-) rcspecto de la base [3;]

'

yportanto

“TI + TZXVI'nDz‘

Pero

1T1+T211=17111+1T211=[§ 3+ [Ii 2] = [i 13]

[(T1+ T2)(Vj)lp; = [T1099 + T200911):

come puede verificarse directamente.

= [T1(Vi)]5z + [T203112

Como la relacién anterior es vélida para toda columna j, se concluyc que

5.2

con/11303101611

F(Tl + T2) = [TI + T215192 = [T111341 + [Tzlmisz = HT!) + F(T2)

Sean V, U y Wespacios vectoriales, y scan 7]: V—v U y T;: U —-9 Wtransformaciones lineales. Se puede format la composicién T; 0 T,: V —> Wdeflnida por (T, o 7])(v) = T;(T,(v)), v E V.

Similatm'ente 5e prueba que F(c1) - cm). Véase (1116 F‘ es una biyeccién. Sea A = (ab); .1, . . , , ,,. una matriz an M». x ,.. Definase

vv

j-l,-. .- 1 , n

w,=a1,-u1+a2ju2+

..+(l,,u‘llm€U

337

T:

T2

'=u

>w

j=l,2,...,n W

131' teorema 1:.1 dice qei .

Se afirma qué T2 0 71-: V —> Wes una tranéforinacién lineal. En efecto ' ~ -

'a): exfs'te1111a't'tansf611‘nacién'T: V —+ U tal que' T(v,>) = w, = auu. + azjuz + . . .+ a,,,ju,,.

I

(T2 0 T,)(v + v’) = T,(T,(v + v')) = T2(T1(v) + T1(V’))

j= 1, 2,. . . , :1

= 72(T1(v')) + T2(T1(V')) = (T2 °' 700’) + (T2 ° TOW") Se verifica fécilmentc quc F(.7) = [7]”, = .4. E510 mucstra que F es sobreycctiva. b)

y$c€R

(T2T1)(cv) = T2(T.(cv)) = T2(cT,(v)) = cT2(T1(v))

esta transfoi‘macién Tcs linica.

= C(T2 o T,)(v)

Esto muestra que‘ F es inycctiva. For 10 [211110,fes un isomorflsmo.

En el siguiente teorema se establecen las propicdades mzis importantes de la co111posicién de transformaciones lineale‘s:

Q.E.I). EJEMPL02

Por ejemplo, considére‘nse [as t1ansform'aciones T1, T2, R2

R2 dadas por

L(x' y)= (3x+ 21, 5x— y)_ T2(x. y)= (——4x + 5y, -x + 7y) La suma dc T, y T2 es la tramformacién T. + 7}: R2 —+ R2

(T1+ T2)(x, y) = T106, 1’) + T2(x1y)

TEOREMA 5.3

1) Si T, e L(V, U), T, e L(U W), T; 6 MW, R), entonces .

73 (r, T1>=1T3 T2) 17.,

(6 L(V .R))

2) Si T, E L(V, U) y T2, T3 6 L(U, W), entonces

(T2+T3)°°Tl= T2°T1+T3°T1

(5 L(V, W»

3) Si T. 6 L(U, W)‘y T2, T, E L(V, U) entonces

= (3x’+ 2y, 5x — y) + (-4x'+ 5y, —x + 7y)

= (-x + 7y, 4): + 6y)

T1°(T2+TJ)=T1°TL+TI°T3

(€L(V,W))

THANSFOHMACIONES‘UNEALES

339

338 VVALGEBRA LlaNEAL

‘ Entoncés‘ s 4) SlC‘E Ry T; E L(V,' U)y‘T2’, E L(il, W);éntonce (5 L(V, W»

C(Tz ° T1) = (0T2) ° T! = T2 °(CT1)

i-l

Pero, pot otra partc

Se trata de un cjercicio dc simple aplicacic’m de la definicién. Se haré 1a demostra4). cién dc 1) y 2) y se dejara’n como ejercicio para e1 lector 10s ejempios 3) y

(T2 ° T000) = T2(T1(Vi» = T201111“ + “21112 + - - ~ + a,,~u,)

Sea v E V, entonces

T2[ 2r: akin] k-l

(T3 ° (T2 ° Tx))(v) = 73((Tz ° TIM» = 73(7'2(T1('V)))

r

= (T: ° T2)(T1(V)) = ((73 ° T2) ° T00”)

2 dig-T20”)

k-l

dc donde se sigue I). Pruébese 2).

I'

ll

,.

((T; + T3) 0 T1)(v) = (T2 + T3)(T.(v)) = T2(T1(V)) + T3(T1(V))

-1

-1

Supéngase..ahor.a.que V, U y Wson espacios vectorialcs dc dimensién finita, digasc = {u., dim Vi n, dim U= r, dim W: m. Témen'se bases [31 = {v1, v2, . . . , v,,}, [32-

lo cual dice entonces que la matriz asociada a la composicién T2 0 T1 (respecto de las bases [31 y [33) no es mzis que el producto dc las matrices asociadas a cada una

y considércnse 142, . . . , u,} y [33 = {w,, w, . . . , Wm} dc V, U y Wrespcctivamentc,

de las transformaciones T; y Tl" (respecto de las bases correspondientes). 0 sea

las transformaciones lineales Tl y T2. T2

T1

dc las bases Tanto T, como T; y T2 O T; tienen matrices asociadas rcspccto

mamz correspondicntes: [Tflmz es una matriz dim U X dim V= r X n, [Tflmaes una

dim WX dim U = m x r y [TfTflM2 es una'matriz dim W X dim V = m x n.

an

6112 . ...‘

" “z"‘i‘

[aim-i421» 422. an

(1,-2

'

din'

. . -

.

.

'

bit

-b12 - 3.. _ bu

~[T21n293 =. b“ 1’32. j" b? bml

a",

bmz

. . .

EJEMPLO 3

Por ejemplo, scan Tl: R3 -—> R2 y T2: R2 —+ R2, las transformacioncs dadas por T1(x, y, z) = (2x + 6y - 3x, 5x

m, y) = R2 esté da_da pot

' (1;: 0‘ Tog, y, z')..= mm, .y, z))’ =-T2(22c + 6y '— 3z, 5x173y + 8z) .7 = (2(2x + 6y — 3z) + 5(5x — 3y + 8z), —(2x + 6y - 3z) + 6(5x — 3y + 82))

= (29x ~ 3y + 34 z, 28,? — 24y + 51Z) [T2 o TQM: =

Cu

012

- . -

Cln

612

6‘22

- . .

02»

Cm}

s

. . .

Cm"

*Véase emonces quc la definicién de producto de matrices que se dio en cl capitulo 1 corresponde, segfin este elegantc resultado, a la rcpresenlacién matricial de la composicio'n dc dos ti‘nnsl‘ornmcio/ nes llncaics.

340

TRANSFORMAGONES UNEALES

ALGEBRA LINEAL

. Tomese la base de R3131= {(1,1,1),(1-0_,1),(0,1,1-)_.} y en 11210111656111 base canonica fiz= [(1, O),(0, 1)) Entonces T1(1, 0, 1) = (—-l, 13),

T1(1,1,1)=(5,10),

341

.APE‘ND'IC'E. ALGEBRA-s REAL-Es En este apéndicsse vama reconsiderar algunos de 105 rcsuitados que se obtuvieron

en esta seccié'n, bajo 1a perspectiva deuna nueva estructura algebraica més general

TKO, 1, 1) = (3, 5)

que la de espacio vectorial: 1a estructura dc éigcbra.

(1e modo que

DEFINICIGN

= [,3 1; 2]

U11 a'lgebra sobre cl campo de 105 males (0 un élgebra real) as 1111 espaeio vectoriai real A en 61 cual $6 (16116 definida una operacién adicionai, llamada multiplicacidn de vectores, 1a c1131 asocia a cada par de vectores v,, v; E A un nuevo vector vxv2

E A llamado producm de v1 y V; dc mode que se satisfacen 1as sigui’entes propiedades:

Similarmente

1) La multiplicacién cs asociativa

DU, 0) = (2, —1)

Rm, 1) = (5,6)

y

11105113) = (V1V2)V3'

de mode que

2)

[T2191 = [_i

La" multiplicac-ién es distributiva respecto 'dc la- suma V1(V2 + V3) 5 WW + W";

g]

(V; + V2)V3 = V1V3 + V2113

f Por lotanto,seg‘1’1n1aférmu1a (5.2) (0011131: 132)

'_

2 ’5" '5'-1

[72°T11111fiz~[_1

6:1[10

13

Vl‘, V25 V} E A

3) Para c e 'Rse tiene

V1, V2, V3 E A

'

3 I: 60'63""31' " 5]

[55

79

27

a lo cual sc comprueba directamente observando que de la férmula que define T2 0 T1 56 obtie‘ne (T2 ° T1)(l, 1, 1) = (60, 55) (T2 0 T.)(1, 0, 1) = (63, 79)

T2 ° T1)(0, 1, 1) = (31, 27) La férmula (5.2) toma un aspecto més simple cuando T, y T2 son opcrzldorcs linealcs en el espacio vectorial V. En el 51 gulente tcorcma se resume cl amilisis ‘ ' v anterior p‘a‘r’a este caso‘ parlieuiar.

C(V1V1)= (cv1)v2= v1(cv2)

v1, v2 6 A

Si ademas cxisto un elemento e E A 1211 que ev= ve= v \7’ v E A, se dice que A es un a'lgebra con unidad, y al elemento e E Vse 1e llama elemento unidad (o identidad) deA. Por otra parte, si la multiplicacio’n en el algebraA eumple la condicién adiciona1v1v2=v2v. V v1, v; E A, se dice queA es un a'lgebra canmutativa. La estructura dc élgebra cs cntonces mzis rica que la estructura de espacio

vectorial, pues un algebra A ademés de set espacio vectorial tiene 1a operacién de multiplicaci-én cntre sus elementos. A continuacién se verzin dos ejemplos dc espacios vectoriales (con los que ya so 1121 trabajado anteriormente) que de hecho son élgebras. E1 espacio vectorial M" x ,. de las matrices cuadradas de ordcn 71, con la multiplicacion de matrices definida en el capitulo 1 es un a1geb1a con unidad (1a matriz 1,, es el elemcnto u1iidad de M. 1,.)

En efccto, 011-1:1 te‘orema 3.2 del capitulo 1 se prueba que para cualesquiera matrices cuadmdasA B, C del mismo orden y cualquier escalar c e R se tiene

TEOREMA 5.4

Sea V1111 espacio vectorial de dimensién n, y sean T1, T; E L(V, V). Si [3 es una base de Vse tiene

[T1 ° T2111 = [T1111 [T2115

A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A +B)C=AC+BC C(AB) = (cA)B = A(cB)

342

TRANSFORMAClONES LINEALES

ALGEBHA LINEAL

. Esidecir:

. Lo qixe maestra, segfin la definicién, angerlor, qqe M. _x ,.. es un es an algebra.__ ‘ -- I ObsérVese-que esta algebra noes co'nm’utatwa: les en unlespaei‘o yectorial ‘ ' vectorl' al L( V, V) de los operaderes lmea El espaclo

F(Tl 0 T2) = F(Tl)F(T2)

“L(V,. V) como su Ves un algebra, si se define en él la multiplicaclén de operadores en

Pero esta afirmacién es precisamente cl contenido del tcorema 5.4.

(pot del’imclon) Tl 0 T2. composicién. Es decir, e1 producto de T;, T; E L(V,- V) es T1, T2, T; E L(V, V) para que ir conclu puede se En efecto, del teorema 5.3 .cR

Q.E.D.

EJERCICIOS (T1° T2) ° T3 = T1 ° (T2 ° T3)

1. Sean T; y T; las transfonnaciones lineales de R3 a R3 dadas por

(T1+T2)°T3=T1°T3+T2°T3

T10“, y,z)=(2x+y+z,x—y+z, 3x+2y—Zz) Tz(x,y, z) ==(5x+z,2y+ 3z,x—y —z)

lo que muestra que L(V, V) es un algebra.

DEFINICICN

(SECCION 5, CAPITULO 4)

Tx°(T2+T3)=T1°T2+T1°T3

C(T1 0 T2) = (6T1) ° T2 "“' T1 ° (CTz)

A --> A2 es un Sean A y A2 dos algebras r‘e‘ale’s’. Se dice que la funciéh F: todo v1, v: e A se isomorfismo de a’lgebras si F es una biyeccio’n y ademas, para cumple

a) EV'rlhie (Tl + T2)(2. 1. 3), (3Tx)(1. 1, 1) y (-2T2X2, 4. 0)‘ b) Encuentre una férmula general para las transformaciones T. + T2, cT. y 0T; (c E R). 2. Demuestte que L(V, U) es un espacio vectorial. LCuél es el cero dc este espas:io?, Lcual

es el inverse aditivo de una transfoxmacién lineal Ten este espacio? 3. Determine explicitamente bases para los siguientes espacios vectoriales: a) L(Rz, R) .

1) F(V1 + W) = .F(V1)w+ F(V2)

A2, s1 F Es decir, la biyeccic’m F es un isomorfismo flel a1gebra A. al algebrs snmas; s‘respeta?~ las operaciones que se tienendefimclas en el algebra (man (:1 4, a sumas, plro uc o lpo producto pot escalates y multiplicaeién de vectores en

las cen 1c‘1ones ); escalates y multiplicacién de vectptes enAz). Observese que blyectlva) que F 2) de la definicién anteriordicen (junto cen el hechedeque es 1: c ’ les.’ es en particular un isomorfismo de espacxos vectorla anon u reform una que mas es no El resultado principal de este apéndice, que condensada de varias de las ideas desarrolladas en esta secelo

n, se encuentran en

' e) um R3)

g)” "um... Mm)

d) L(R’, R3)

h) L(Mm. Mm)

4. Suponga que la transfoxmacién lineal T:-.R2 -—+ R3 tiene asociada rcspecto de las bases canénicas de R? y R3 la siguiente matriz: 14 A=21 03

mientras que la transformacién T2: R2 -—> R3 tiene asociada la matriz

~13 B= 2 8. —4 2

el siguiente tcorema:

La Sea Vun espacio vectorial de dimensién n y sea f3 una base de V. -funcic’>n

,

e) L(Pi,a)

‘

b) “L(Rz. R2) m“ f

.- 2) F(cv.)"’=’= cF(vl), c 62R. -__ r. 3) F(v1v§)= F(vl‘)F(v2)

TEOREMA

343

-‘

_

..

.

- - F:-L(V, y)» MM...-

‘

M) = mp

es un isomorfismos del algebra L(V, V) al algebra Mn...

fismo de espacios vectoriales. Sélo QEMOSTRA CION En el teorema 5.2 se probé'que F es un isomor s. falta verificar que F respeta las operaciones de multiplicaeic’m de vectore

Determine las matrices asociadas a las transfonnaclonesj S: R2 .9 R3 (respecto dela ., . . - . " : ' . .- ‘ ' base canénica) si a) S=T1+T2 b) S=2T,

c) S=T.+3T2 '

d) S'=‘5Tl~2T2

@ 5. Suponga que la transformacién Tl: R2 —» R2 Ilene asociada la malriz

My; 3]

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBRA LINEAL T; R” ‘respecto de la base [i—= [(2 1), (.3, ~2)} de R2 mientras que latransfonnacio'n . -—' R1 tiene asociada la matrix

T106 y)= (2r-y.i‘+31,3X- 8))

1.1111-

y T; : R3 —-> R3 el operador lineal

Tz(x1y,z)=(x—y-z,2x+5y+z,3x+say—2;)

respecto de la base [3’ = [(3, l), (3, —2)} de R1. Determine la matriz de la lransfonnacién

a) A1 considerar las bases canénicas dc R2 y R3, obtenga las matrices asociadas a T1

T1 + T2: R2 ~ R2 respecto de la base

b)

y T2.

d) [32=[(21)1(1 1)]

a) [3

6)

p,

1)) Obteng‘a una férmula explicita para T2 ° T1: R2 -1 R3.

B3: [(431)3(532)}

c) Obtenga 1a matriz asociada a la transformaeién T2 0 T1 del inciso anterior (respecto de las bases canénicas de R2 y R3) y compruebe que ésta es el producto de 133

1) fia={(110),(0,1')l

C) fix={(0,1),(3,-2)}

matrices asociadas a T; y T1 obtenidas en el inciso a).

es una Demucstre que la operacién de composicién de transformacmnes l1nea1es a. operacién no conmutativ

15. Sea Vun espacio vectorial de dimensién 3 ysea i) = {V1, v2, v1) una base dc V. Suponga

que el operador T1: V -» Vtiene asociada la siguieme matriz respecto de la base [3:

Sean T1, T; y T; las transfonnaciones lineales de R2 a R2 dadas por

l A=2 l

T106, 1') = (21: - y, x+ 3)) T1(x, y) = (5x + 2y, 3x + 2))

T106. y) = (-X. -x, -y)

y que el operador T2: V

Determine expresiones explicita's para cada una de las siguientes Iransformacwnes:

.

b) T1°

c) T1°T:_°Ts'

'

___e)T10(T1+T1)

1) T10 (T1+'2T1)o “(3T2 T1)

térr'nula para ‘ . Combrueb‘e ‘que s'_i T1 E L_(U, W) _y T2, T3 6 L(V, U), 515 tiene la sig‘ui‘e'me la transformamon T10 (T1 + T3) 6 L(U, W)

Vtiene asociada la malriz (también respceto de la base [3)

—1 1 o as 3121 1‘4 2

d) 712°'(3T1)°T3

3) T1°TT2

345

14.3% 111112 a R3 la transforrnacién lineal

-

344

Determine la matri-z‘asocia‘da a los ope'r'ado'res‘T1 0 T2 y' T; 0 'T1 respecte de la base [3.

(D

16. Suponga que el operadot lineal T1: R2 —. R2 ticne asociada la matriz

1 11

Ti°(T2+T5)=T1°T2'+T1°73

l

(distributividad de la composicién de transformaciones lineales respecto de su

sum-a).

. Demuestre que 51 T1 6 L(V, U) y T2 6 L(U, W) se tiene

3

respecto de la base {3 = {(3, l), (2, 3)} de R2, y el operador T2: RZ ~+ R2 liene asociada

la matriz C(T2° T1) = (CT;) 0 T1: T2 °(CT1)

C E ]{

define e1 operador 10. Dado el operador lineal T, V -+ V en el espacio veetorial V, se lineal T": V —-+ V(n E R) como

T'=T°T° ..°T

respecto dc la base [3 ’= [(1, l), (—2, 4)} dc R2. Determine las matrices asoeiadas a los operaclores T1 0 T2 y T2 0 T1 respecto de la base

(nvcces)

que el Sea T: R2 —. R2 el operadot lineal dado por' T(x, y)= (2x~ y, 5x + 2y) Pruebc operador el es R2) en identidad operad-er 7?- 4T + 9 Id. R2 -~ R2 .(M es el operador . . , ' ' cm) (:11 R2.

1,1: .Sea T. R3 —'+

R3 e1 operador lineal

.

' ®

a) i3 b) 11' . .13) [51 {(2 3). (3 1)}

cero en P").

13. Sea T: M,' x ,1 F» M,1 x ,1 el operador lineal dado por T(A) = A'. Demuestre que Tz es el operador identidad en M,' x ,1.

.

i.

d) i32= [(1 1) (2 3)} 0) i53= {(0 1) (1 0)} 1) 134= [(1,o),(o,1)}.

'17. Considere las transfonnaciones lineales

T(x. y, z) = (x. 2y. 32) Demuestre que T5 - 673 + llT — 6Id es el operador cero de R3. 12. Sea D: P" —1 P1 el operador derivacién D(p) = p', compruebe que D"H = 0 (e1 operador

.

T1zV—?U

TzzU—»W

T2°T1:V.—*W

Demueslte que a)

KerT1g KerTz ° T1

b) Im n o T1 ; Im T2

346

TRANSFORMAClONESUNEALES

ALGEBRA LlNEAL @ 18. Sean T; y T2 dos ‘opéradores li‘neale's en, el'espacio vectorial Vde divmensién- finila, " ldemueslre qu’e. ‘ . .' . . . . . . " ' I

a) .t + y) = Fix) + F0) :15)- Hex) = cF(x)

b) Rango (T2 0 T2) S min (tango Tb tango T2)

d) F es inyecliva

@ 27. (Un ejercicio sobre algebras dc Lie.) Sea Vun espaclo vectorial. Si en Vesta definida una “operacién corchete” [ , ]: Vx V —> Vcon las propiedades siguientes:

. Sea T: V ~w Vun operador lineal en el espaclo vectorial V, compruebe que [m T n Ker T= {0} si, y 3610 si se tiene la siguiente implicacién para todo v E V

1) [19 y] = ~ ly; 1] 2) [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z], a, b,

. Sea T: V —+ Vun operador lineal en el esPaeio vectorial V dc dimension finita,

se dice que Ves un‘dlgebm de Lie. a) Considere el espacio vectorial R3. Para X, Y E R3 defina el corchete dc X y Y como [X, Y] = X X Y(elprodl1cto vectorial o producto cruz de X y Y), es-clecir, 51 X = (x1

demuestre que si tango T1 = tango T, entonces Im Tr) Ker T= {0}.

® 21. Sea T: V —’ Vun operador lineal en Vtal que T2 = T, pruebe que

x2, x3) y Y = 01,3’2. y:)

a) Ker T = Im (Id — T) (Ides e1 operador identidad en V) b) Ker (Id - T) a 1m T

22.

KerT n Im T= {0}

d)

V= Ker'TéB‘ Im T

R

3) [x, D’. 1]] + [2; ix. Y1] + Ly, [2,113 = 0

vEKerY2 =vv€ KerT

c)

'

0) FC’Q’) = F(x) FOO

\

a) Nulidad (T2 0 T1) 2 n1:ix(nu1idad Th nulldad T2)

347

X x Y = (x9); - xsya, xsy. -‘ xlys, My: ’ x23“)

Damnestre que R3 con esta operacién corch'ete es un algebra de Lie.

b) Conside're e1 e'spacio' vecto'rial Mn 3: ,,. Sean‘A y B dos matrices dc este espacio, ' defin'a el corchete deA y B como

Verifique los ljesullados del ejercicio anterior con el operador lineal T: R3 ~v R3 dado

per T(xi. y; z)" = (2x; y + z, —3x+ 4y 4 3:, —5x + 5y — 42,)

'

[Ayah/1373A .-

Compiuébe'qué-M. x,. eon esla pracién co‘r‘che’te es un'élgeb'ra de Lie. c) Considers el espacio vectorial L(’V, V) de los operadores lineales en el espacio vectorial V. Sean T; y T2 dos operadores de este espacio, defina el corchcte dc T1 y T2 como

APE-NDICE (ALGEBRAS-REALES)

[T1,T21“T1°T2'T2°TI

23. Demuestre que el conjunto‘P'de todos los polino'mios es un algebra conmutativa con unidad. 24. Sea A un algebra real, cl subconjunlo no vaclo A0 Q A es una subdlgebra de A si A0 es por sf mismo un algebra con las operaciones quc estaban definidas on A (on particular, Ao es un subespacio del espacio vectorial A). Demuestre que (:1 conjunto A°= {xE'Alxy =yxVyEA}

es una subalgebra do A. (A esta subélgebra se le llama “centre de A".) 25. Sea A un algebra real y sea x0 e A un elemento fijo deA. Considerc la funcion T: A -—~ A * _ dada pot TO’) -=_ xay. De'muestge que Tes'un opelador lineal'en el'espacio vectorial A, _ ' esto es, demue‘stre que

TO! + M) = T01) + 702) RC” = 0T0)

® 26.

V'y, y.,y2 E A

C E R

Sea A unalgebra real con unidad. Considere el algebra L(A, A) de todos los operadores

lineales en A. Sea Fi A '4 L(A, A) la funcién dada por F(x) = T, en donde T,: A -> A es el. operador lineal 71.0)) = xy (véase ejercicio anterior). Pruebe que para todo x, y E A y todo c E R se tiene

Demuestre que L(V, V) con esta operacién corchete es un algebra de Lie.

(1) Sean V; y V2 dos algebras dc Lie, se dice que el algebra V1 es isomorfa al algebra V2 sl existe un isomorfismo dc espacios vectoriales T: V2 ~v V2 tal quc [Tx, Ty]2 = T([x, y]1)

V x, y E V,

en donde [ ,11 y [ , ]2 son los corchetes dc V; y V2, respectivamente. Compruebe que el algebra de Lie M,' x" es isomorfa al algebra do Lie L( V, V) en donde Ves

un espacio vectorial de dimension n.

6. "INVERSA DE UNA TRANSFORMAc-IéN LINE-AL ‘ En esta seccio'n se aborda cl siguiente problema: dada una transformacion lineal T: V -—> U del espacio Val espacio U, Lbajo qué condicioncs se puede hablar de “una inversa" de T? (En el sentido de funciones, po'r 'ejemplo.) El objetivo es dar

condic'iones equivalentes al hecho de que la trans formacié‘n T sea inve‘rsiblc (en el scntido preciso de la definicién qu'e so data a continuacién), estudiar las

348

TRANSFORMACIONES'LINEALES

ALGEBRA UNEAL

propiedad‘es deli; inveréa'de T, cuando é'sia- existe y? por ultimo, relecmnai cste : ‘

Sin embargo, si (139* 0 '

anfilisis con _las matrices qiie representan a las transior'macmnes correspondlenies (en el caso cle set V y U espacios de dimension finite):

(S°T)(ao+mx+ . . . + aa")=S(a; + 2a2x+ . . . +kakxk")

Algunas de las ideas que aparecerzin en esta secc-ion ya fuel-on piesexitadas en

=a1x+azrz+ . . . +ai-x"

el capitulo anterior, cuando se hablo de isomoriis‘mos (subseccmn 6.2). Sin

embargo, para presenta‘r una continuidad en el anélisls que ahora se emprendera, tales ideas se expondrén cle nuevo, en su memento.

DEFINIC/ON 6.1

349

#ao-I-axx +02X2 + . . . + tax“

de modo-que S 0 T #14,, y entonces Tno es inversible. Se puede demostrar (véanse ejercicios al final de esta seccién) que situaciones' como la que muestra el ejemplo

Sean Vy U espaeios vectoriales y T: V —+ U una transformaeio'n lineal. Se dice

anterior no pueden ocurrir si V es un espacio de dimension finita.

que la transformacién Tes inversible si exists una transformacmn lineal S: U a V tal que S o T= [dyy To S = Ida, en‘donde Idye Idu son los operadores identida en Vy U'respectivamente [arc es, Ic) = v V v (5 Va Idu(u) = u V u E U]. Esqueméticamente

Antes de comenzar a desarrollar la teorx'a sobre inversibilidad de transforma» ciones lineales, véase el siguiente ejemplo:

EJEMPLO1

Sea T: R2 ~+ P. la transformac‘ién T(a, b) = a + b+ (2a + 3b)x. Se verifiea fzicilmenlc que Tes lineal. Uno sc pregunta si Tes inversible. Proceda directamente con la definicién 6.1 para contestar esta pregunta. Si Tfuera in‘versible, deberla existir una transformacién lineal S: P, -—> R2 1211 que S ° T=Idk’

>‘SoT-Jdv T 0 S =.~ Id»l

Obsérvese que en la definieién, anterior .56 Ride qua Para que T : V —> U sea, inversible, debe existir S: U —» Vtal queS o T= Idyy To S = Idu. Aun cuando se tenga un operador lineal T:. V —’ V, el hecho de que exista S: V —> Vial que S of cion e = Idy, esto no garantiza que To S = Idu pues, como se .sabe, la composx

transformaciones lineales es unu operacién no conmutauva. '

.

. '

Per cjcmplo, si P es el esp‘acio vectorial de todos-loslpolmomios, considerese cl operador lineal T: P —+ P, dado pot T(p) = p’(la derivada de p). Sea S. P -—i P cl operador

Al usar la primera de estas relaciones vea Como tendria que set la transformacién S. Se tiene (a, b) =IdR1(a, b) = (S ° 7)(a, b) = S(T(a, b)) = S(a + b + (2a + 31))x)

Al escribir a + b = y y 2a + 3b = 5, se puede resolver para a y b en términos de y y 5 y obtener

xk+l

53+ + a12 k — S(ao+alx+...+akx)—aox

+a kk+1

' x2

xktl

(TOS)(ao+a‘1x+...+akx*)=T[a°*+“‘?+"'+a"k+1 = ao+a,x+...+akx" dc modo que T0 S = Id,»

b+6~2y

Entonces la lransformacio’n’ S: P1 —> R2 tendn’a que ser

Es fécil i/efiiicar que S as lineal. , ,, Obsérves'e q‘Ue ' .

a=3y-5

S(Y + 5x) = (3v - 5, ’5’"— 27) Se puede verificar que en efecto S es una transformacién lineal y que T o S .= ldpl. Se concluye entonces que Tes inversible.

_ Una primera observacion importante que se debe hacer de la definicio’n 6.1 es que si Tes una transformacién lineal inversible, la iransl’ormacién lineal S es (mica.

350

THANSFOHMACIONESIINEALES

ALGEBRA LINEAL

. En efeeto, supon‘ga' que eXisten SI'Y S2 saiisfaciendo las Condiciones de la

definiciénfi. 1 .'Ent‘of1ees ‘

ZTEOREMA. 6.2-l '

351

- I La' transfonnaeién lineal T: V -—~ Ue‘s inversible si, y 5610 si Tes inyecliva ' y sobreyectiva.

S1=IdV°S1=(S2°7)°S;=52°(T°Sg)=S2°IdU=S2

Por l0 tamo, si la transformacién lineal T: V —-» U es inversible, se puede deiimr a la transformacién S como [a inversa de T, la cual se denotara pot T". Otro par de consecuencias inmediatas de la definicrén 6.1, se encuentra en el siguiente teorema:

DEMOSTRACION

Supo’ngase primeramente que T es inversible. Sea v un vector del micleo T. Entonces

‘

T‘(T(v)) = TKO) = O

(pues T" cs lineal)

Pero T'l ° T= Idy. Es decir,

TEOREMA 6.1

1)

Si 1a transformacién lineal T: V —+ U es inversible entonces T“: U

—> Vtambién es inv'ersible y (T‘)" = T.

V = (7‘l ° TX") “ T“(T(V)) = 0

2) Si T1: VM U y T2: U —-+ Wsontransformacioneslineales inversibles, entonces T2 0 T,: V —~> W también es inversible y (T2 0 T1)'1 =

For 10 tanto, Ker T = [0} y entonces, segfin e1 lema anterior, Tes inyectiva. Sea ahora u E U. Se debe mostrar que existo v E Vial que T(v) = u (esto es, que Im T = U). Como la transformacion T'l esté definida en U, escribase v = T"(u).

5W e 7511.:

DEMOS TRACION

Entonces

1) Es una conSeCuencia directa de la‘ definicién 6.1 y de la uni‘cidad de la inyersa de una transformacién. Para verificar 2) basta observar que 7';1 o 75‘ as lineal

T(v) = T(T'(u)) = (To T")(u)’ = [du(ll) = u

(composicion de transformaciones lineales) y ademés

lo’quemuestfa'entonCes que Tes sobreyeetiva._

(13‘ 073‘) omen): n1 '°(7‘§‘V°.T‘2.)°Tr= nl'dildrv)‘°rT1"I—‘.Tilb,T|=Idv - . “in o‘T‘l) ° (Tr-1% 73*)? TNT. o Til")? 15‘; T2 0 (Idu) o 731= T2. 75‘ '=Idw

,

queexisre’ur’ia trah’sf’drrhaeib’n lineal T"! U ~> Vtalque TLl o T= Idyy To T" = Idu.

y por tanto, (T2 0 T1)"l = 7? ° T51.

Para cada vector u E U, existe un vector v 6 V tal que T(v) = u, pues Tes

sobreye‘c‘tiva’. Ademé's este vector ‘v‘ es finico,‘pues Tes inyectiva. Deflnase T": U —+ Vcomo T""(u) = v. Es olivio que‘ se satisface‘n T"I ° T = Idyy T° T“1 = My. 3610

QED.

resta p'robar’que T‘l es una transformaeién lineal.

El préximo objetivo es caracterizar la inversibilidad de una transformacién lineal en términos de su inyectividad y de su sobreycctividad. Se veré en el tcorcma 6.2

Sean u y u' dos Ve’ctores' cuales‘quiera die U y considerense los correspondientes vectores v y v' en Vta‘les qu‘e‘ T(v) =‘ u, T(v’) = u’. Entonces u + u’ = T(v) + T(v’) = T(v + v") pues Tes lineal, dc donde

quc la transform‘acién Tes inversiblc si, y 5610 si es inyectiva y sobteyecuva. Pero antes véasc el siguiente lema que caracteriza 1a propiedad de lnyecuv1dad de una transfor'macié’n lineal en términos de su micleo.

LEMA

_

Reciproeamenfe, supéngase q'fi'e Tes inyectiya y Vsobreyeetiva. Sedebe mostr‘ar

T"(u + u') = v + v’ = T“ (u) + T"(u’) Sic E R, 56 tiene que.T(cv) = cT(v) = cu, por lo que T‘(cu) = cv = cT"(u). Esto muestra entonces que T‘l es lineal, y por lo tanto Tes inversible.

Sea T: V —> U una transformacién lineal, entonces Tes inyectiva si, y 5610 si Ker T = {0}.

QED. ‘ Sufiéngase que-T eé'ii1yectiv3y sea-v unycctor-dcl nficle'o dc. T. E11tO11ces.T(.v) = 0,. pero también T(O) = 0 (por ser T lineal). Entonces v = 0, esto es, Ker T = {O}. Reciprocamente, supongase queKer T = {0}, y scan v, v’ E Vtales que T(v) = T(v’). Entonces T(v) - T(v’) = T(v v’) = 0, lo quc diee que v — v E Ker T. For tanto, v — v’ = 0, esto es, v = v'. Esto muestra que Tes myecllva.

En el ca‘pituio anterior, se definié e1 concepto de isomorfis’n'zo como una transfor— macién lineal biyectiva (inyectiva y sobrcyectiva). Con el lenguaje de esta seccién se tiene entonces la siguiente definicién (consecuencia del teorema anterior).

-

‘ I’DEMOSTRA-‘CION

Q.E.D.

DEFIN/CION 6.2

Un isomorfismo es una transformacion lineal inversible.

TRANSFORMACIONESUNEALES

352

ALGEBRA UNEAL

353

causas (independientes); Tno cs‘=inyccti\)a y/o -T no essobreyectiva. Si T no es

ios vcctorialcs V y U Con

También en’el capitulo anterior se probé qnc'dos espac

in'yec'tiv‘a, no hay 'man'cra alguna-de definir una transfor‘maoion inveréa T“: U

existc nn isomorfiSnio T: V ' la misina dimension (finita) Son isomorfos (es decir, de

—* V, pues en este caso existirian dos ve'ctorcs v,, v: E Vtalcs que T(v,) = T03) = u., E U, de modo que T"(u.,) no estaria bien definido. Sin embargo, si Tno es sobreyectiva, pcro sl es inyectiva, se podria modificar

especie dc rcciproco —’ U). Ahora se csté en posibilidadcs dc dcmostrar una

esta afirmacion.

su codominio de modo que T (con su codominio reclefinido) sea inversible. Basia

considerar el codominio de T como siendo su imagen (que sc sabe que es un espacio vectorial, subespacio de U) y entonces 1a transformacion T’: V -—> [m T T’(v) = T(v) V v E Ves ya inversible (pues ahora claramente es sobreyectiva). Las transformaciones linealcs que son inyectivas (independicntcmcnte si son sobreyectivas o no lo son) reciben un nombre especial.

al espacio vectorinl U. Supéngase que Ves un espacio vectorial isomorfo de dimension finita es U si 5610 y Entonces V es de dimension finita' si,

TEOR EMA 6.3

(y dim U = dim V). Supo’ngase qua Ves dc dimension finita. DEMOSTRA CION Sea T: V —» U un isomorfismo dc Va U. sion (tcorema 2.2) que dice: ran-

Se puede cnto'nccs aplicar el teorema do la dimen Ker T = {0} y por tamo nulidad go do T+ nulidad de T '-= dim V. Siendo Tinyectiva, part6, T es sobrcyectiva, dc otra por de T =' 0. EntOnccs tango 'de T "= dim V. Pcro

dim; U = dim V(f1nita).La modo que 1»: T = U. Ento‘n‘c‘es rango de T= dim ImT= do cl isomorfismo inver— impliéacion're‘ciproca so pr‘ueba similarmente Consideran

, .coRomhio 1

.

so T“l : U -—> V.

{DEFINICIO'N 6.3

Se (lice quc la transformacién lineal T: V —> U es no singular si Tes inycctiva (o equivalentc Si Ker T = {0}).

EJEMPL02

Entonces, toda transformacion lineal inversiblc es no singular. La afirmacién rcciproca es (obviamentc) falsa, comq lo muestra e1 siguiente ejemplo: SeaT: R2 —+ R’- la transformacion lineal T(x, y) = (x, y, x). Obsérvese quc si

(x, y, x) = 0 = x -= y = 0, dc modoquoKer Ti-"-- {.0}. Enlonccs Tes no singular.

Q.E.D.

Sinembargo, T no puode sct inVersible piles-dim R2 = 2 vi. 3 = dim R3 (corolario 2 dcl tco'rcma 6.3).

En el. casorpzirlicular en el quc Vcs un cspacio vectorial dc dinicnsién' .finita, existen una 'seric do propiedadcs que caracleriza‘n la inversibilidad dc la transfor- , m‘acion-IT: V"—+ U.» Estas‘pi'opiedndcs se cnun‘cian en'. el siguioiitc tcorema, cuya -.

son isomoi'l'os-si, y 5610 _si. " ‘ DOS (mpacio's vectoriales‘ do dimension finita ' "- ‘ ' ‘ ' ' ticncnlam‘isma‘ dimension; -'

dcmostracion ya so habia prometido anteriormentc (subscccion 6.2, capitulo 3 y subscccién 3.1 (101 presentc capitulo). Obsérvcse quc en 0l caso sc tienc ncccsariumcnte dim U = dim V(corolario 2 del tcorema 6.3).

or y en el tcorcma 6.3. DEMOS TRACICN Por lo probado en el capitulo anteri Q.E.D.

Scan Vy U cspacios vectorialcs dc dimension finita tales quc dim V = dun U. Las siguicntcs al‘irmncionés accrca dc la transformacién lincul T: V —+ Uson equivalentcs

TEOREMA 6.4 COROLARIO 2

y sea T: V —1 U Lina Sea V un cspacio vectoria‘l do dimension finita (no suficicntc) para quc transformacion lineal. Una condicion ncccsnria sea dc dimensién finitn y la transformacion T sea invcrsiblc cs quc U

l) T cs invcrsiblc (csto cs, Tcs un isomorfismo)

2) Tcs sobrcyccliva 3) Tcs inyectiva

que dim U = dim V.

4) Tcs no singular 5) Si {vb v2, . . . , vi} es un conjunto dc voctorcs linculmcntc inde— ' pcndicn‘tcs .cn V, cntonccslT(v.), T(Vz),. . J, T(v,.)) es un conjumodc

DEM DSTRAG/ON Scsiguc inmodiatamcnte dcl teorcma 6.3.

0.13.11; -~ anterior no garantiza en absolute Non: La condicién dim U = dim Vdel corolario Lo que se sabe es que si dim U = que la transfonnacién T: V —-> U sea inversible. S: V ~+ U (que no tiene por qué dim V, existe una transfonnacion lineal inversible coincidir con T). de una 'tmnsformacién lineal T: Retomcse cl anilisis sobre la inversibilidad

pucdc no set inversiblc pOl' dos V —-> U. Segx’m cl tcorcma 6.2, csta transl'ormacion

,

' ‘ ' ‘ _ _ ' ' ycetores linealmcnte indcpcndicntes on U. ’ T(v,.)) , . . . T612), {'T(’vi), 6) Si {V1, V2, . . . , V") cs um basc (105V, ontonces cs um base dc U.

DEMOSTRACION Se dcmostmré (l) = (2) = (3) =’ (4) = (5) =’ (6) = (l). (l) = (2). Obvio (tcorcma 6.2) (2) = (3). For hipotcsis Tcs sobrcycctiva. Entonccs [m T = U y tango (le T =

1354

ALGEERA LlNEAL

THANSFOBMACIONESLINEALES 355 diln 1m T= dim U= dim V. For el teorema de la dimension se tiene nulidad de T = O Entonc'es Ker T={0}.Entor1ces Tes inyeetiva- (lema previo al teorema 6.2) ' (3) (4). Obvio (por el lema previo a1 teorema 6.2). (4) == (5). Sea entonces {V1, v2, . . . , v1} un conjunto de vectores linealmente independz'entes en V. Considérese la combinacién lineal

TEOREMA65

Sean V y U espacios veCtoriales de la misma dimensién (finita), la transformacion lineal T: V -—> U es inversible si, y 5610 si la matriz de la transformacién Trespecto de cualesquiera bases de Vy U, es una matriz inversible.

c1T(v1)+ cam) + . . . + cmv.) = 0' DEMOS TRAC/ON 0 sea

T(C1V1+ (32"; + . . . + Ckvk) = 0

I = [112%, = [S ° 735. = [Slam man.

Como T es no singular, la relacién anterior implica que C1V1+ C2V1+ . ; .+Ck=0

la cual a su vez implica que c; =‘ c2 =

I = [Idjfiz = [T 0 sh: = [”5192 [$5201

10 cual dice ento‘hces que [7]”, es una matriz inversible. Sup‘én‘gase ahora que la matriz A = [T191152 cs inversible. Considércse la transformacién TA: R"—+ R", n — dim V= dim U, dada por TA(X)= AX y scan cp: V

. = c. = 0 (pot la independencia lineal de

105 vectores v1, v2,. . ,_ v1) lo que mueStra que los v‘ec’tore‘s T(v.), T(v)), . . . ,T(v.)

son linealmente independiemes

-* R“ y \y: U —* R" 105 isomorfismosnaturales u 19 i

T(v) = u, es clecir, que Tes sobreyectiva. Por otra parte, supéngase que v = d1v.

cién T.

Supéngase que T: V —> U es inversible. Existe entonces una transformacién lineal S: U —> VtalqueS° T= Idyy T°S = Idy. Sean £31 y [32 bases de Vy U respectivamente, obsérvese que [111149, = I e [ML/k, = I. Entonces, segi'm la férmula 5.2 se tiene que

en donde [31 y [3; son bases de Vy U, respectivamente. DEMOS TRACION

Es una consecuencia de las férmulas

[Slbzblmmbz =1Tm. [5113.111 = I

'

.

.

.

TRANSFORMACIONES LINEALES

356

357

ALGEBRA LINEAL

' Considere ahora el caso particular de un operador lineal T: V

obteifidas en la demestracién dcl1eoremaar'1'terier. en‘dofidc S. '_=,I_T'1.

Q-E-DEJEMPLO 3

Ven d011dc v_

‘ _ Ves de dimension 11111111. Sea [3_una base cualquicra dc V

DEFINICION 6.4

Ve'ase de nuevo el primer ejcmplo que se consideré en esta seccién a la luz dcl

Sea T: V -—> V1111 operador lineal en el espacio vectorial Vde dimensién finita. Se llama delerminante de T, denotado por det T, 211 determinanie de la matriz que representa a Ten cualquier base de V.

teorema anterior. Se tcnia la transformacio'n lineal Verifiquese primeramente que esta definicién es. una buena definicién, en el

T(a, b) = a + b + (2:: + 3b).:

T: R2 —» Pl

sentido de que el valor det Tno depende de la base que se escoja dcl espacio V. Sean [3 y 13’ dos bases distintas de Vy considerandose las matrices [T]p y [TJpH

Scan 131 y [3, las bases canénicas dc R1 y P., rcspcc1ivamente. Hallc la matriz

ciin el corolario del teorema 4.1, estas matrices son semejantes. Existe entonces una matriz inversible P tal que

“

[npnpa' ~

.‘ 1

m. = P'llTla'P

~

[711,0)]111=I:2]

T(1,0)= 1+2x

/‘

(dc hecho se sabe quc P es la matriz de cambio dc base de [3 a 13'). Entonces: 1 T(0: 1) =

618117111 = del(P"[.7:]p'P) = (def P“)(det[Tla')(der P.)

[7(0: 1)]0: a [ 3]

1 '1'n

= (detP')“1(det[T]p,)(det P) '= damp. lo que mucstra entonccs que cl valor dc det T110 dcpende de la base que se escoja .c. Se ha asociado entonc'es a cada operador lineal T. V r» V1111 .111'1mcro bien , 'determinado: det T. Este‘ n1'1mcrd diet: si e! operado‘r es inversible, como 1o m‘ue‘stra‘ e1 si-‘guiente reore'ma‘:

Entonces

"1- "[Theft "_' 1

1

; 3]. .

Como det [7]”2 = 1 at 0, se concluye que Tes inversiblc (pucs la matriz [7113.13 10

es). Mas aun, si se halla [TM12,_ ésta seré la matriz de la transfonnacio'n inversa T‘: P1 —1 R2 respecto de las bases Dz y [3.1

TEOREMA 6.6

Se 110116

1

1

'|

1

0

2

3

l

0

1

""'"

,El operador lineal T: V -—> V, donde 'Ves un espacio vcctorial dc dimensién finita, es inversible si, y 5610 si det T 95 0.

3 —1

1

o

1

0

1

| *2

de modo que

1

DEMOSTHACION

Consecuencia direcia dcl teorema 6.5 y de la definicién de det T.

Q.E.D. P01 ejemplo, considérese el operador T: M2 :2 —-1 M2112 dado por

map = [T1111 = [-3

i]

T

'

y en'tonc‘es‘ 51 p = 7+ 5x, se tie'nc '

[T‘1(17)lp.= [7"]112111 [P101 = [3

-_

“3' _1

i ] [g] = [4:11 6]

0 sea

T‘W + 6x) = (37 - 6, —2y + 5) rcsultado a1 quc se habia llcgado ya anteriormenle.

b a c"c

'

2a-b+c a+b+'2d

=5a+b 3c+2d

' Témese la base canénica de M... p. Entonc'es 5

0

0

_ 2 —

1

0

0

2

[711- o 0 3 l

l

2

358

ALGEBRA UNEAL

TRANSFORMAClONESUNEALES

7 . Como det [71p — —34 3* 0', sc cencluye que Tes inversible. se que mental problema‘‘ele un considerar a va se 'seccion, Para 1erminar esta ' es. objetive El capitule este en desarrellado han se que ideas las con atacai-a reobtener, a la 1112 de la teen’a de transfermacienes lineales estudlada lmsta este memento, e1 teorema 6.1 del 02113111110 3, en el que se resumia la discusie’n hecha

en la subseccien 6.1 de tal capllulo sobre cambie de bases. Censidérese e1 opetador identidad en el espacie vectorial Vde dimenslén finita Id: V -> V, Id(v)= v V v E V. Se van a censidel a1 dos bases distintas de V, a saber: la base [3; en su dominie y la base [32 en su codeminie Esc'ribase Bx - {v}, v:,

.,v,.}

y [32= M, 11,1»:1 }. Obsérvese que la matriz de este operader respecto de las bases [31 y [3; es (esquematicamente) -

[161113.131 ‘4

T

T

[V1111

[V2102

l

l

l

---

[Vllhz

359

Cemoya se habia observade en la seccien 1:61.? este capitule, D (5' un opemder . lineal pues ’ '

flgE V

D(f+g)=(f+g)’=f’+g’=D(f)+D(g) D(cj) = (613’ =cf’= cD(f)

cER

Se van a considerar algunes cases particulates e11 los cuales, el eperader D es inversible Sea 13= m,f2, . . . ,f,,} una base de Vy sea A la matriz que represema a D

respecto de la base [3. Si 3 E V, entonces, como se sabe

[D(g)lp= A[g]1

(A1)

Siendo D inversible, se sabe también que el operador D": V —+ Ves representade respecto de la base [3 per la matriz A". Es decir,

l

[D '(8)]p= (“[811 que es precisamente la matriz que se definié en la subseccién 6.1 del capitulo 3 come “matriz de Cambio de base de‘ [31 a [32”, y que se denote per Q. Se sabe que (seccién 3), para v 6 V

(A2)

Qbse'r'ves‘e queD "(g) es la funcic’m en Vfcuya imagen bajo D es g. En ettas palabras D"(g) es la funcien cuya derivada es g. Entonc'es

D"(g).= f goo-(1x 'osea‘

I (la antiderivada de g)

f

[V1111 = QlVlrn . (férmula que ya conOclamos del capitulo 3). Ademzis, obviamente el operador Id es inversible, de mode que I " = Id tiene per matriz respecte de 135 bases [32 y [31. [Id-1192131 = [Idjfilpz = 0-1

Es claro que [Id‘l]p,pl = [Id]p,p,,' es la matriz de cambio de base de [32 a [5,, la cual se denotaba come P. Estes son precisamente los resultados que se obtuvieron en la subseecio'n 6.1 del capltulo 3. Clare que en aquel memento temémucho mas ttabajo llegar a ellos.

Segtin la formula (A2), se tiene entences que para ballar la antiderivada de una fu'ncien g e V(su matriz dc coordenadas respecto de la base [5), 5610 se tiene que

delemiin'ar la" inverse de la matriz A. Este' es entoneesun “métode”, que emplea herramientas del algebra lineal, para halla‘r'antiderlvadas defunciones. Véanse funcionaf estas‘ ideas en algu'n'es caSos concr‘etos. Sea Vel espacio generado por las funciones sen ax, cos ax, x sen ax, x cos av. Se puede demostrar que estas funciones s'en line'almente independientes. Entonces (3 = {sen ax, cos ax, x sen at, x cos ax} es una base de V. Hallese la matriz de D

respecto de la base {3. Se tiene D(sen ax) = a cos ax D(ces ax) = —a sen ax

No se puede negar que, en contraste, la manera como se han estableoido aqui tales tesultados es una manera sumamente simple y elegante. -

D(x sen ax) = sen ax +_ax cos we: a _

yentenees ' "

APENDICE. UNA APLICACIéN AL CALCULO DE ANTIDERIVADAS

D(x ces ax)'=ces-a'x - ax senrax ~ (D(sen ax))p = (O, a, O, O) (D(cos (1.0),; = (-a, 0, 0, O)

En tede este apéndice, Vdenotaré un subespacie de dimension finite del espacio vectorial de las funeiones reales eon derivadas de todos los érdenes.

(D(x sen 1120),, = (l, O, 0, a)

Censidérese el operador D: V —> Vdade per DU) = f ' (la derivada def).

(D(x cos ax))p = (O, l, —a, 0)

TRANSFORMACIONESLINEALES

' .360

361

ALGEBRA LINEAL y 331' cntonccs '

. . , /. J = (Z/a + 5/02) sen ax + (—3/a - 4/a2) cos ax - 4/a x scn ax — 5/0 x cos ax .

La mat'rii A es‘pucs.- . _

0 a

—a O

1 O

0 l

O

0

a

0

0 ~1/a

I/a 0

V02 0

0 Va",

0

0

~1/a

0

Como siguicnte ejcmplo, considéresc cl cspacio V generado pot Ins funcioncs e“ sen bx y ea'cos- bx. Nuevamcnte, es fécil probar quc cstns funcioncs son linealmcme independicntes, dc mo'do que cllas constituycn unu base [5 dc V. Determinesc la matriz (16 D rcspccto dc la base [5. Se ticnc quc

0 o —a

A " o cuya inversa es la matriz

D(e’“ sen bx) = ae‘“ sen bx + be“ cos bx

_

Va

0

o

0

A1:

0(6'“ C05 bx) = —be'“ sen bx + (18""cos bx y cntonces

(D(e‘“‘ scn mm = (a, b) cfih’ l‘a formula (A2) so time emonces que

[D ‘(scn ax)]p= A“1 [sen ax]p =

(D(e""cos bx=))p

0 ~1/a O

Va O O

Va2 0 0

0 Va2 Va

1 0 0

0

0

—1/a

0

0

=

O - Va 0

asi que la matriz A dc D r'cspccto dc laba'se [3 cs

O

_0 sea bqnc’

: y su in'Vc‘rsa -

GLACM

"

a

D“ (sen ax) = I son m (x

.. .

A“

Dc la misma mancra se oblicncn las formulas

1 I cos ax dx = 3 son ax

1

(.~~,b a)

a

b

(1‘2 +112

(12 + b2

b a2 + b2

a (12 + b2_

Entonccs

IX scn axa'x = ;; scn ax

s 1axcos. a.,6 _

1 1 cos ax - - x sen ax f x cos at (be = 7 a a-

[

,A

D ‘ ( e-“scn bx )1! ) = A“1 l 6’" son bx]l5 =

a

b

2 2 (1+b

2 2 (1+1)

1

a

b

(I

O

a2 + b2

02 + b2

Supéngqse quc sc quicrc calcular la integral

,dc dondc'

4x .cos (it) (1.x '. J= :f (3 son ax~ 2 cos ax + 5x scn axula (3, -2, 5, -4) Por tanto, scgun 1a form Entoncc = D ‘(g), cn dondc (g),= ‘ (A2) so licnc quc

'

[J10 = A‘Wghfi

V02

0

0

Va

4/“0

o0

00

V02 Va

0

0

— Va

0

3

3% + 5/02,

— 4/0. —25 z 4/“_% -4

—5/11

\

D“(e““ scn bx) =

a

2 + [)2

e“ scn bx —.

b

(12 + b2

0"“ cos bt '

0 $08

. e[LY f 6‘“ son bx (1x = —’- (a sen bx ~ b cos bx)

a2 + b2

=-

2 v Ir+b ‘1.)

(I2 + [)2

TRANSFORMACEONESUNEALES

363

ALGEBRA UNI-EAL

Comb el interés se encuentta 'sblamente en la i’mzigen inversa de'la futic‘ién flé‘,

Pofotvrgiipartg .

cuyo vector de coorden'adas rcspecte de la base 13 65 (O, 0; . , 1), 5610 se‘ necesita deteminar la \iltima columna de la matriz A", la cual se denotaré por Y, [31165

[0“(1“’e‘)]9 = A“[x"e‘]p = Y

(13+!)2 [ 0I] _— [12+b2 a. a

az+b2 b

[D‘Kem cos mm = A ’[e"r cos bxh =

I)

b

a -

[13+];2

(12+b2

-—a2+b'~’

Escn'base yo, yl, . . . , y" para denotar a los elementos de Y. Entonces

AA" ...L

D -l (e4u cos bx) - a2 + b2 e ..

a:

b

sen x

+ .__g_..eax

02 + ()2

-

de donde

0 2

O 0

0

l

.3 .

O 0

0 O

0 O

1 0

1

0

0 0

...

0 0

0 0

0

0

l 0

11 l

yo 3’1 *

);2

= [Ml

. b

cos x

O SEQ

a2+b2(bsenbx+acosbx) fedr cosbxdx :4:

... ...

MM y"

de donde se obtiene el siguicnte sistema dc n + 1 ecuacioncs en las 11 + 1 incégnitas '

yo,y1,....y..

Como filtimo cjemplo, se va a conside‘rar cl espacio. V generado por las n + 1 funciones e', xe‘, x’e*, . . . , x"‘e'. Eslas funciones son linealmeme 1ndependlentes y

Yo+y1 = 0

y1+2y2 = 0

por tanto constituyen una base [3 de V. El objetivo es estableccr una férmula para. la integral _

)‘2 “5s = 0 y‘n—‘lvi' "yin = O

I x"e‘ dx

yl; =. 1

A1 comenzar con la filtima ccuacién y sustituycndo en reversa en las restantes, sc

Las imégcncs-bajo D de los Vectores de la base [3 son

obtiene

D(e') = e‘.

D(xe‘)

N

362

e‘+ xe‘

y" = 1

D(x2e‘) = 2xe'+x2e‘

yn-l = "’1

>‘n-2 = (")(n - 1)

D(x"e‘) = nx"“e‘ + x"e‘

dc modo que

)’x = (-1)"“(II)(N"1)~--(3)(2) yo = (—1)"(")(n “ 1) - - - (3)(2)(1)

(13(39):: = (1,0,0,---.0) (IX/vet)» = (1,1,0, - ‘ ' 10)

osca quc

(D(x29‘))p = (0 2 1 -~-:0) )

Q

(D(x"e‘j)p = (0, O, .

’

y,- = (#1)"?1'343.“ j='_0,.1-,.. .,",_1- -‘

,n,‘1)

‘ y énionécs' la matriz A. de orden n + 1 Que represent'a a D respecto dc la base [3 es:

1 0 0

1 l

O 2 1

0 0 3

0 O 0

O O 0

Como

w '

I

‘ yo

[D-lccnexnp =

}:x

y" s

TRANSFORMACION ES LINEALES

384 :ALGEBRA LINEAL

9.

» sc liene'quc1 D'l('\~llex')

"

=

'

+ ynxnei‘ = )‘06‘ +y1xer + yZXZeV + ' . '

=

-

ll

1

X

)j‘tjcr

‘

3

[Sugcrencim Segfin el eje'rcicio 17 de la seccién anterior solameme falta mostmr que Ker (T1 0 T2) ; Ker T; 6 Im T; Q [1110] ° T2).]

'

Z (__1)n-j .11.. Kiev

1 .

10. (D 11.

1‘

P0

Entonees la 113111111121 que se quena estableccr cs: "

. n!

._0

j-

. .

If?" (1x = Z (-1)"" Tx’e‘

EJERCICIOS

Sea Vun espaeio vectorial dc dimension finila. SeainTl y T; opei'adores lin'ca‘les on V, dcmdestre: a) si T1 es inversible,-enlonces Ker T2 '= Ker(T. ° T2),-'b) Si 7'; es inversible, entonces [m T1 = Im(T1 0 T2)

1-0 M

Demuestre que el operador derivaeion D: P,, —+ P", 0(1)) = [2’ no es inversible.

Sea Tun operador lineal en el especio vectorial Vial que T2 cs cl operador cero en V. Compr‘uebc que el' operador Id — T: V —~ Vcs no singular.

12. Demuestre que cada una de las eransfonna'ciones lineales siguientes es inversiblc. En cada caso, determine una fémiula explicila para la inversa de la transformacion correspondicnte

(SECCIéN 6, CAPiTULO 4) aciones 1. En cl [corcma 6.1 so demostré que si T]: V ~v U y T2: U -v W son transform

le. 5E5 cicrla la lineales inversibles, entonces T2 0 T1: V —+ Wes lnmbién inversib afirmacién reciproca?

2. DE: 1111 ejemplo que un operador lineal T: V —+ V a) inyectivo pero no sobteyeelivo.

a) T: R2 —~ R2

T(x, y) = (5x — 2y, 3x + y)

b) T: R3 .. R3 c) T: RJ —’ P2

T(x, y, z) = (2x + 4y — 6z, 5y ~ 22. 92) T(a, b, c) = a + (a + b)x + (b + c).\'-’

(1) T2 Mm —‘ s2

TM) = A,

0) 7": Mm ~ Mm

TM) = BA e11 donde B = 1

1) Ts—J’g

TH"c

1’] =a+b+c+d

'

'

13; Sea V1111 "c'spacio vectorialde dimension 11. Sea (ii—j (vi, 122, . , _v,.-) 11113 base de V,~ .considefecl'operadojrlineal: T V51, Vpar‘a el-eual T(v,-)_ = 15,411] = 41,12, . . . ,11.:De111lle§lre

‘

Demuestre qne T2 'cs inycctivo.

que Tes un operaclor inversible. Describa el opefador inverse T": V —- V.

b) Compruebe quc 7‘, es sobreyeclivo. c) LES neccsariamente T2' sobrcyectivo? (1) (ES neccsariamente T. inyeclivo? 4. Demueslre que el operador lineal T: R2 -+ R2 dado por

(D 14.

1

a) Demuestre quc el operador Tno cs inversible usando direclamenle cl leorema 6.2. (Sugerencia: véase ejerciclo 6 de la scccion l).

b) Sea [3121 base de M2 5. 2 dada per

cs inyeclivo si, y 3610 si ad — bc 9* 0. Sea T: V ——» U 1111a 5. Sean Vy U espacios vectoriales de la misma dimension (finite).

U .. Vlal qne transfommcién lineal para. la cual existe una iransformacién lineal S: inversibie. 'I‘es que S 0 T = Idy. Pruebe re que T2 0 6. Scan T.: R3 _. R2 y T2: R2 ——> R3 dos.lransl‘onnaciones lineales. Demuest T,: R3 -~ R3 no puede ser inversible. onse Slgue del . '(Sugeréti'eia: véas‘c ejercic’iolSde la scccién anterior. La conclnsi

_téoren1a 6.2) Demuestreque 7. Considere'lastranél‘onnacioncslinealcs T1: R" —+ R'" y T2: R’Ii a R". sin > In, enlonces T2 0 T1: Ru .. Rn no pnede scr inversible.

T: V ... U es un 8. Sean V y U espacios vcelorialcs dc dimension t'inila, supongu que isomorlismo. Prucbe que la l‘uncion F(S)=T°S°’I"l

Considerc el operador T: M2,. 2, —» A42 x2 dado por T(A) = A8 — BA en donde

_ 2

T(.\‘, y) = (a.\' + by, ex + dy)

F:L(|/,V)—+L(U,U)

.

+ (a + b + C): + (a + l)).\'2 + at“

3. .S‘e'an T; y" T; opc'radore'slineale's‘ en el 'cspacio yeeto'rial' V tales que T1 0 '73e —+ V es " inyectivoysobreyectivo; _ .

f]

d

b) sobreyectivo pero no inycctivo.

a)

365

\

U). LCual es la malm, es un isomorlismo entre los espacios vectorialcs L(V, V) y L(U, ? espaems eslos de s asociada a F respecto dc las bases canonica

13 x

1

o

O

0

’

1

1

1

1

0

O ‘

l

0

’

1

11

l

l J

Obtenga la matrix de T respceto de la base [3. For medio dc ella, deduzca

®

nuevamenlc que Tno cs inversible. ' 15. Sea T: Mnx" --0 ")1“ el operador lineal dado por T(A) = BA en donde B es una mairiz fija 'de'orden n. Demuestre Que cl operadOr'Tes' inversible shy 5610 si B cs unu malriz - '

inversible. En taleéso, describe T-‘l. ‘

'

.

'

'

mi Caleule el dele’rthinanle de'eada uno delOS siguientes operadores lineales; En cadacaso, deeida si el operador dado es inveréible o no lo es. a) T: R’ —+ RJ

70‘, y, z) = (x — y + 2z, 3x + By - 91, 10x — 22,)

b) T: R3 —+ R3

T(x, y, z) = (,1, 2x + 6y + 21, 8x + 9y + 31)

c) T; R4 —’ R4

T(x., .1’;,x,, .11) = (.12, .11, x3, x.)

d) T: P; —+ P;

T(ao + (M + (m3) = (ao + a.)x + (11.12

C)

T: My: —' M2112

T(A) = A " A,

i)

TIM3.3 —’ M313

RA) =14 +A'

I

‘

'

366

TRANSFORMACQONES LINEALES

ALGEBHA LINEAL

367

scan

, 7'. ‘ ‘ 'APLICACIONES A‘ L‘A‘jTEQRiADE-S’ISTEMAS C DE ECUACIONES LINEALES En esta seccién se pretends Usar la teoria de transformaciones lineales que se ha

desarrollado en este capftulo (més concretamente, se usarén las ideas estudiadas en las secciones 2 y 6) con el fin de reobtener y precisar, pot mm mm, algunos de los resultados que sobre ecuaciones lineaIes se estudiaron en cl capitulo 1, y por otra parte, también obtencr nuevos resultados importantes dentro de la teoria de

'i21’2,'n’,,l

C?=(aljaalj:"~ia"li)

j=172)~--)n

los correspondicntes vectorcs linca y vectores columna de A. Supc’mgase quc cl ' espacio linea de A tiene dvimensién k. Sea [3 '= {v1, v2, . . . , .vk} una base de tal espacio. Existc‘n entonces escalates 0;,-

tales qué k

matrices y sistemas dc ecuaci‘ones lineales, los cuales han sido dejados para su

cstudio hasta este capitulo, puss as con 61 lenguaje de las transfonnaciones Iinealcs con el que sc pucden dar demostraciones simples y directas dc 61105.

L’i‘=(ai1,a12,--a,ain)

L1‘ = Ci1V1+CQV2+ . . . +0k = X CirVr

i: 1:2, - - - ’m-

r -l

-

Escribase v, = (bu, b0, . . . , b,,,), r = 1, 2, . . . , k. Entonces k

k H

7.1. RANGO DE UNA MATRIZ

2 Cirvr = Z Cir(brl, br2, - - - , brn)

L14

r‘l

r-l

En la seccién 7 del capitulo 3 se estudié cl espacio linea dc una matriz A = (05),-1,,,_,,,,. Esta fue definido como el espacio generado por los vectores

k

ll

k

j -I, . . . ,n

i Clibrl,

Z cire, - - - , 2 Cirbrn

r-l

r-X

r-O

‘

linea de A.

Se van ahora a considerarlos rectoreq columna de A, qua se denotarén pot C‘

_y que se-definen comp CA =, (av, 11%. . ,~.a,-‘,) 65R?j = 1, 2, . . L , [1.135t son pues

losveétotes cuyas cdordenadas coinciden con los elementOS de las co‘rr‘espondien-

tes columnas de A. El espacio columna de A es el espacio generado por los vectores columna dc A. Obviamcnte se tienen las siguientes relaciones:

Al'igualar las‘j—iésimas coordenadast d;- 105 vectores de'R" que aparecen_ en ambos" micmbros‘de 1a 'cxpxesién antgrior se tiene k, i=l-,2,...,m aii=ZcirbU~ r-l

Entonces

X Clrbrj, X Czrbrj, . . . , 2

(am a2j: - - - , amj) = 1: =

Mzis min, se tiene el siguiente resultado:

2

C,,,,-/),;

r-1

r-l

r-l

cn donde A’ dcnota la transpuesta dc la matriz A.

k

k

k

cspacio linea (1611 = espaoio columna de A' espacio linea deA"= es'pacio columna deA

. brj(clr, C2r, . > - y Cmr)

r-l

Es decir, TEOREMA 7.1 .

1:

. Sea A una matriz m x n con clementos a,-,u Entonces dim (espacio linea dc

'

A) = dim (espacio columna de A).

-'

'

‘

C11

-

-

=>

2

brjur

'_ 'i _ r-l ,

en do'n'de' u, = (ch, (325". . . , cm) r = 1, 2,. . . ,‘k.

cada vectdr columna C} 56 ha escrito entonces como una combinacién lineal de los vectores ul, U2, . . . , at. For tanto, es claro que

DEMOSTRACION Se tiene pucs la matriz A =

an

a 12

021

6122

a,“

a,,.2

. . .'

a!"

(12"

. ..

n,,.,.

espacio columna de A Q SQ (u 1, U2, . . . , uk) (véase lema previo a1 teorema 7.1 del capitulo 3).

TRANSFOHMACIONESLINEALES‘

368 ALGEBRA LINEAL

369

‘ , So puede ahora caracterizai 1a inyéisibilidad de una matriz onadrada en términos“

For 10 lanto

de su tango.

= dim (espacio 11nea de A) dim (espacio columna do A) S k

la matriz A1 repetir este mismo argumento con

TEOREMA 7.3

A', so concluye que

acio linea de A’) dim (espacio columna do A’) S dim (esp 0 sea

DEFINICION 7.1

DEMOSTRACION Considérese la transformacién lineal T: R" —» R" dada por T(X) = AX. Segnn el teorema 6.5, A es inversible si, y 5610 si T lo es. Pot otra parte, segfin el teorema 6.4 Tes invetsible si, y 5610 si Tes no singular, es decir, Si y 5610 si Ker T = l 0) .

(espacio columna de A) dim (espacio linea de A) S dim

y por tanto

acio columna de A) dim (espacio linen do A) = dim (esp

En tal caso dim Ker T= O. ciin cl tcorema de la dimension so tiene entonces que dim Ker T + dim Im T = dim R" = n. For lo tanto, A es inversible, si y 5610 si dim

Im T -= tango do T = n = tango de A. Q.E.D.

Q.E.D.

El teorema anterior afiade una equivalencia més de la propiedad de inversibilidad de una matriz cuadrada, a una larga lista do equivalencias de esta propiedad que han sido estudiadas desde el capitulo 1 hasta el momento. En cl siguiente

ensmn de llama rango de la matrizA a la dim Sea 1a matrizA = (ay),' .1,,....,,,,. Se 1‘ -1, . . . , n

teorema so prescnta una tecopilacién de estas equivalencias mencionadas anteriormcnte,

d

su‘ espdcio linéa.

Sea A una matriz dc orden n. A es inversible si, y 5610 si 61 tango do A es n.

' entemente el tango e nna ' equival de defimr Segfin el teorema anterior-,- se pue . . , N ‘fna. ' .co lum ' ' n de su espacxo‘ ' nsm es ' ' como la dlmc man-12; tnz nm una~ de o 7,2 dol capitu-loa, cl tang Obséese-quo, sogt’ln el leo'tema , . ‘ lriz ‘ma und dc _ . . éi escaIOnndn reduglda , el'nfimero do lineasno nulas .en su form , o rang e to concep2 _ , I ‘ 1 parts cl . . . _ . Se tien'e entoncés definido pot una, , 1:; I 1112 maoio: so dofinccl .rango do una, transfor A. En la seccion zvde estecapitulo clio ((11) 103 tinsa con a vera KSe esta gen do T‘ V --+ U como la dimension de la ima y , —v U (con rcspcclo a bases fijas o A es la matriz‘rque reprosonta a T: V rangos do A y' de Tcoinciden.

T-EOREMA 7,4

Sea A una‘ matriz enadiada de'ofdén 11. Las siguicn'tes ’afir'mziciones sobfe ’_ ‘

_ _la matriiA son agnivglcntcsz,

.

' 4 ' ,

'‘

'

1) A es-una matr-iz inversiblc:

2) A es equiVaIentezpor rengloncsa la matriz identidad I,.. 3) El sis‘tcma homogénco do ecuaciones lineales AX = 0 (ions 5610 la solucién trivial.

'

4) El sistema no homogéneo do ecuacioncs linealcs AX = B tienc una finica solucién para cada matriz n X 1 B.

5) DetA 9* 0. TEOREMA 7.2 1

lineal del espacio vectorial V de Sea T: V —+ U una transformacion do dimensmn m. Sea A = [Tlglpn en dimension n al espacio vecto‘rial U U, respectivamente. donde [5; y (52 son ciertas bases do Vy Entonces tango de T“ tango de A.

6) Los vectores linea do A son linealmente independientes.

7) Los vectores columna deA son linealmcntoindependicntes. 8) 9) 10) 11) 12)

DEMOSTRACIGN Seftieneqn'e:

.

. ;

13) La tinnsfor'macionlinealT: V -> .U tal qq = [Tlpp' ([3 y {13' bases do

" tango de T

" Vy U respectivam'entc) es sobr'oyectiva. » -

dim (éspaéi'o line‘a do A')

dim (cspacio columna‘ do A)

tango de A (la primera de estas igualdades sc

'

'

14) La transformacién lineal T: V —’ U tal queA- = [figpvzes inyectiva. 15) La transformacién lineal T: V'—~ U tal que A' = [TJW-es no singular. 16) La transi'or'tnacioh lineal T: V —-> U tal qucA = [Hpgves inversible.

dim (cspacio line'a do, A)

de este capit‘ulo).

Los vectores linea de A generan a R". Los vectores columna do A generan a R”. , Los vectores linea do A forman una base de R". Los vectores columna deA forman una base de R". A . 7 El tango c es n. _

secciéri 3.1 deduce del anélisis hecho en la sub Q.E.D-

DEMOS TRA C/ON

Contenida en las péginas anteriores.

Q.E.D.

370

ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONESLINEALES

Exists una serie de rcsuliados clésicos sobre el tango do matrices que puedon set I - probados fzicilmente usando cl lenguaje dc las transformaciones lineales, a1 explotat cl hecho de que cl tango de la ttansformacién T(X)= AX es cl tango de la mattiz A Algunos do @5105 resultados son

371

Como consecuencia de las telaciones (l) y (2) quc se acaba do probat, s‘c concluye que ‘

tango (T2) 5 tango (T; o T.) nulidad (T;) s nulidad (7;)

tango (A + B) S tango A + tango B tango AB S min (tango A, tango B)

Pot otta patte, el teotema de la dimension aplicado a la ttansfotmacién T; establece que -

tango AB 2 tango A + tango B - n

dimension del dominio de T2 = tango T; = tango (T2) + nulidad (T2)

on dondeA y B son matrices cuadtadas de orden 11. Se ptobatzi la tercera de ellas, dejando como ejercicio las dos restantes.

Entonces

tango (T; 0 T1) 2 tango T; = tango T; — nulidad T2

TEOREMA 7.5

2 tango T1 ~ nulidad T2

Sean A y B dos matrices cuadtadas de otden n. Entonces

tango T1 - (n — tango T2) i

tango AB z-tan'go B + rangoA ~ 11

tango T; + tango T; -

Al escribir esta filtima relacién en ténninos matticiales (tcotema 7.2) so tionc

DEMOSTRACION Considétense'las transformaciones lineales T1, T;: R" ._-. R" dadas pot:

TAX): EX 1

(por el teorema de la dimension

aplicado a T2)

tango (AB) 2 range B +- range A — n

Imam

.-_.éomo se'de'scab'a, ' " Q.E.D.

‘ Como so sabé, 1:1 composic'ion T; o T121 R" 9- R" es una transi‘otmacién lineal cuya matriz a'sociada respect'o dc-la base canc'm'ica de‘ R" es AB, esto es, (T; o T;)X = (AB)X.. Se ’t'ie'ne ento‘nce‘su'na situacién‘ 00171013 siguiente: n R

T1

_

r

H"

.

(B)

T2

_

r R

7.2.

CONDlClONES DE‘ CONSISTENCIA DE UN SISTEMA DE EGUACIONES En esta subsection 51: ptob'até Un' par de tcoremas relacionados con la solucién dc sistemas do ecuaciones linealcs‘. La impOttancia de estos resultados es de catécter teérico.

,,

0“) T2 0 T1

Considétese ptimemmente el (3350 homogéneo. (A8)

En el punto clave del argumento (1116 so pr‘esenta estzi on considerat la transforma—

cion 7;: ImT.

R", definida como T;(X)= T;(X). Es decit, 7‘; es la restriccion do

la transformacion lineal T; 211 subcspacio ImTl do R. Se afirtna que

1) Im(T2) ; [1720”; o T.) 2) Ker T2; KerT; . " 'Se prueba la Primeta de estas rclaciones Sea y 6 MT; Exists entonces z E ImT, tai que T;(z)= T;(z)= y. Peto 51 z E ImT;, existox E R" 1111 que T,(x)= 1 Al poner todo esto junto, so ve que si y 6 [11172, existex 6 R" tal que (T;ooT.)(x)= y

Entonces y E ImT;° T; y asi ImT; C ImT2° T, Para probar (2), supo’ngase quex e KerT; Entonces 73(x)= T;(x)= 0. Es decit,

que x E KerT;. Sc tiene pues que KerT; C KerT;

TEO‘REMA 7.6

Sea A= (111)). .1,,,,, ,,. una mattiz m X n. Considérese el sistema homogé-

1-1..

neo de ecuaciones lineales AX= 0. El espacio soluclén de este sistema es

un subespacio de R" de dimension n - tango de A. El sistetna posee soluciones no ttiiales si, y 5610 si 11 > tango de A Sin = tango deA, e1 . sistema posee solo la soiucién trivial.

DEMOSTRACIOfNH Sea T: R" .4, Rfllawttansi‘otmacion lineal T(X) = AX. SegLin ei teorema 3.1, so tiene: Ker T= espacio solucion deAX = 0, de donde nulidad de T= dim (espacio solucién do AX = 0). Por otta patte, segfin e1 tcotema de la dimension

nulidad (is T ,= dim R" — tango do T = n — tango de A

TRANSFORMACIONES LlNEALES

372

373

ALGEBRA UNEAL

I de donde laisoluciénid‘el SislemE cs: '

V Es 'deci'r; '

1

tango deA dim (espacio solucién de AX = 0) = n —

0 se ueria robat. do T si, y 8610 si nulidad dc T > 0. En comObséiese qie n > tango dc'A == tango distinto deI subespacio {0} (lo R”; pot tal case, 61 nticleo do Tes-un subespacio T. Tales vectores son soluciones (no tanto, existen vectores no nulos en Ker

triviales) del sistemaAX --'= 0. Similannente, sin =

(x1, x2, x3, x43 = 1-5-3-3- 1)

tango deA = tango [dc Tentonces

de dondc se vc que el espacio solucién tienc dimension 1. Obsérvese que el tango do A = 3 (=m’1mcro dc lincas no nulgs en la forma cscalonada reducida de A), de modo que, seglin cl teorema 7.4 seconcluye que la dimension del espacio solucion

Q.E.D.

del sistema es n — rang0~de‘A_,§.-4 "- 3 = 1, como se ha comprobado directamente. En el caSo no homogéneo se tiene cl siguiente resultado:

se el teorema 2.1 del capitulo 1.

Como 'un corolario de este tcorema, reobténga

' DEMOSTBACION

I

Es decir, el vector x1, x2 , x3, x4 6 R‘ es solucién dcl , sistema si : 3’ 5610 si

nto,1a finlca soluc1on del Sistema nulidad de T= 0. En tal caso Ker T = {0} y porta AX = 0 es la solucion trivial.

COROLARIO

3

X1=-EI,X2“X3‘='2't,x4‘t,t€R

iopsc licne que, Con '13 notacién‘ dela demostrac-iénzdel tcorema anter

Sea AX = B un sistema de’ m' ecuacion'e's lineales con n incégnitas. Este

TEOREMA 7.7

= 0 es tal que m < n, Si cl sistema dc m ecuaciones con n incognitas AX entonces' el sistema p‘o‘see soluciones no trivmles.

sis'tcma es consiste‘ntc si, y 5610 si 61 range d-e la matriz aumentada del sistema coincide con el tango de A.

,. _

DEMOSTRACION -

o de A m '= din-LR“ > dim ImT= tango de T = rang 5.4 del capitulo 3). Entonccs (pues ImTes un subespacio dc Rm —-véase=tcorc_ma ior, e1 sistema AX = 0 posec anter a tango c S m < n, y por tanto, segun cl tcorem soluciones no triviales.

Sea T: 'R" —.f R") 1a tifansform'acién lineal T(X) = AX._Obsérveseque clsistema AX = B es consistentc‘ si, y 5610 si B E IInT(est0"e‘s und consecucncia inm'ediata d'e'lzi' dcfinicion de imagen de la transformacion 7).Se dcnotarzi pot [A i B] a la matriz aumentada del sistema [de ordcn m x (n +

1)].

Supéngase cntonces que el sistcma AX = B es consistente. Por la obscrvacion anterior se tienc que B 6 MT. Se afirma cntonccs que en estc caso

(2.13.1).

cspacio columna de A = espa’cio columna do [A g B]

EJEMPLO1

Por ejemplo, considcre cl sistema

En efecto, la contcncion

-x1 + 2x; — 3x; + 2X4 = 0 x1~3X2+4X3—

cspacio columna do A Q espacio columna do [A : B]

X4=0

2X1,+ 2l ~ 2X3"? Xe: 0

cs obvia. Por otr'a_ p'artc, como B E ImT = cspacio columna dc A, se’ tiene lambién .

>4X1V+‘ X2 " X3 £236; ‘0 cspacio columna do [A [B] Q espaCio colurnna do A L siana so obticne Al proceder pot el método de eliminacién Gaus

l 1

””2 4

2 -3

-3 4

2 —1

2—21""'“ 1

-l

2

0 1

0 O

1/2 4/?

0

01—3/2

O

0

0

O

1 0

lo que prueba la afirmacio'n. Entonces

/

Rango deA = dim (esp'ac‘io columnade A) = dim (espacio columna de [A 1 BJ) rango de [A : B]

374

TRANSFORMACIONESUNEALES

ALGEBRA LINEAL

375

.. Encuenttelos vaiores de tpara los cuales la mattiz

Reciprocamente, supongase que tango de A = tango de [A,’ B], as decir, 121's-

dimensiones de los espa‘cios coiut'nna deA y eo‘iumna de [A ' B] son iguales. En- .

este case, so debe tenet neeesatiamente que o B'= 0 o bien B E espacio columna de A. En ambos easos, B E ImTy pot tanto AX = B es consistente.

(1H):

t-‘l

~t

0

2

“I

—2z) Q.E.D.

4—2: 2—2

tiene tango menor que 3. . Sean A y B matrices cuadtadas de orden n, demuestte que

EJERCICIOS

tango (A + B) S tango A + tango B

(SECCION 7, CAPlTULO 4)

. Sean A y B matrices euadtadas de orden n, demuestre que X -1 10

2 5 1

~1 9» “'6

-3 -8 ~'1

., ,-/"-""““'*-\

1. Determine el tango de la mattiz

tango (AB) 5 min (tango A, tango B)

(Sugerencia: véase ejercicio 18 de la seccion 5.) . Considete 1a ttansfotm'acién T: M,, xn -’ M" x" dada pot T(A) = AB on donde B es una

mattiz dada dei espacio M,l x n. Cbmptuebe que

en tértninos del paramctto A. 2. Useel. teorema 7.3, para demosttar que si 9» *- 0, la mattiz

tango T = n (tango B)

7, —5 —4 —3 7

5

' 3

'2

1 '51

A= 1

‘

® 10. a) Sea A una mattiz de otden n X m y sea B'una matriz invetsible do orden n.

2

3'

Demuestre que tango-A =1 tango BA.

3 2 . 3 v

b) Si A es una tnaltiz cuadtada de onion )1 y B, y B; son matrices inversibles de orden n, demuestre que tango A= tango 81A 32.

11. Sea A una matriz dc o1den 11. Si la maltiz B cs semcjante a A, demuestre que el tango

no es intetsible.

de B es el mismo que el tango de A. LES cicrla la afitmacion tcciproea? 12. Para cada uno de 105 siguientcs sistcmas homoge'neos dc ccuaciones linealcs use c1 teo'tema 7.6 para determinar 1a dimension dci 'espacio soiucién cortespondiente

G) 3. LPata qué valo‘tes de 9a 1a matriz

I

13 o' 1 —3 1

—1 5 2 -6 A E 1 —1

~16

4

10

A.

a) 2x. —x2 = 0 x1+x2=0 b) x1+Xz~X3=0

1

tiene rango minimo? ‘ CD 4. Determine e1 tango de las siguientes matrices en términos del patzimetro a

a)

6+a

5

3

1

2 -5 19

4—a -2 12

3 l-a 6

2 1 1

1‘ b)

l+2a 2-a 5a

1-2a

1

-1+2a ~1-a 2a 3a 1 - a _ 1 + 3a

2x1 — 3x2 + x, = 0

1—2a l-a 2—a 0

A _

b

— a+b -2a

b

b

a

a

-a

—b

a+b

2a

-2a

2a

a+b

a+b

es cuatro a menos que a + b = 0 o b = 30. Encuentte e1 tango de A en cada uno de

- estos casos.-

a)

2x. ~4x,+5x, + 3x, = o

4x. — 8x, + 17x, + 11x. = 0 3x,—f6x2+4.'r_;+2.y,=‘ 0 .

e1, an new“

, -' CD ' 5. Demuestte qne e1 tango de la mattiz a

c) 3x, +x, + x, = o x.~xz-x3=0 I|+X1+X3=0

5xl+8x2+xg==0

3x,+10x,+2x,= 5x1+14x2+8x3=0

f)

4):. + 7x; +105 - 7x, = 7x1+10x2+4xrx4=0 7xl+13x2+22x3—16x,=0

4161+ 10x: + 28x; — 22x, = 0 g) 6x, + 4x; + 3x, + 5xd + 7x, = 9x.+6x2+5x,+7x,+9x5= 6x.+4x2+5x,+3x,+x,=o

3

x'

+2

1‘) = -‘ _

x’

+

+

+

4x“ 8’“

=

x1 ‘ x: = 0 - xz—x,=0 '

*i‘fi’-;i?;8.--.. x1“

3+

5:0-

2 x‘ "f; xl‘x2+""*°"°

13. Para cada uno de los siguientes sistemas no homogéneos de eeuaciones linealcs use e1 teotema 7.7 para determinant si e] sist'ema es 0 no consistente.

376

TRANSFORMACIONESLlNEALES

ALGEBRA UNEAL

." ~

xl+x2=l

a),

2x,+x;+x;+x4=2

3x1—2x;=4 2.!1-X:+X3=3

ll)

4x. + x2 + 3x; =15 c)

fixhxz, . . .x,.) = a1x1+ (12132 + .

5xl+3x2+x3+X4=-2

xI+-T:+X1=6

b)

Més gehefalmente, si Ves e1 eSpacio R" y 41,112, . -. . , a" Son n‘escal'ares fijbs, ~ ' ' entoncesf: R" -» R dado per i

'g) ,4x1+-3x2—-x,_+1x4': R (161 espa‘cio vectorial Val campo de los realcs (el cual también es un espacio vectorial—re’al) se le llamafimcional linefal (2-11 V En este apéndicc se estudiarzin a'lguno’s temas rclacionados con tunmonalcs lineales. Pbdrl’a parece a primera vis’ta‘ que’ los rc’sUltadOs que se encuentran en cl

En la primera subscccién dc cstc apéndicc se-csludiarzin “conjumos dc funcionalcs lineales”.

estudio de los l‘ijncion’a’les linealcs Son solamcm’e particularizaciones do aquellos

rcsultados que se cstudian durante este capltulo, para transformaciones linefxlcs cn general T: V -+ U, al caso en el que U es R (plies finalmenie los funcionalcs lmealcs

EL ESPACIO DUAL Y EL BIDUAL

sOn un tipo ‘muy es especial dc transforma'c‘ione’s lineal‘es). Sin embargo, se vcra ' que exislen al gunos resultados muy importantcs (e intercsamcs) rclacionados con funcionalcs linealcs en los cu’alcs sc cXplota precis‘amcntc 1a particularizacién del condominio de la transformacién lineal. Véase primcramcntc a1 gunos cjemplos dc funcionales lineales.

En la subseccién 5.1 dc cste capitulo sc vio quc cl conjumo de todas las lransformacioncs linealcs T: V —> U del espacio vectorial Val cspacio vectorial U, el cual

sc dcnota por L( V, U)‘ es de hecho un cspacio vectorial y que si Vy U eran cspacios dc dimensién finita su dimensién cs igual al producto de las dimensiones dc Vy U (teorema 5.1). En el caso particular U = R, se tiene cntonccs que L(V, R) es cl espacio vectoriul _

Si Ves el espacio R5 y (1,, a; y a, son escalates fijos, entoncesf: R3 —-> R dado

~ por

dc'todqs los funcidnales linealcé on V. Este cspacio'sc denota pot V* y 50 llama ' ' '7 l 7 espa'cio dual de V. Las operaciones en: V" son

‘ fix. y, z) = dxx My '+ (1:2

(cv)(v) = cflv),

En cfecto, se comprueba fécilmente que

flccxl Y» Z» = cflxi yr Z)

c E R,f, g E V*

Si Ves de dimensién finita, V* seré también de dimensién finita y dim V* = dim “Wu—w. ,__..._.

y

'

0"“ 8X") #10 + 8(1))

es un funcional lineal en R3. 110,352) + (x’, y’, z’)) =f(x. y, z) +flx’, y’, z')

I

V, 10 cual es una consecuencia del teorema 5.1 y del he'ch‘o de que R es un espacio vectorial (real) de dimensién 1. -

378

ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONES LINEALES

jTarnbién como una consecuoncia del teorcma 5.1 (de su demostraci611)seticne que. dada la base [3, =_ {v., v,, . L, ,,.v] (161 espacio vectorial V, 105 n funcionalcs

linealcsfi E V" 1' = 1, 2, . . . , n dados por

DEMOS TRA CION

Considérese la base dual [3

03,13, . . . ,fi,} deli. Dadof E' W existen'escalares‘

d1, (12,. . ,dn tales que

f= d1i1+dzfi+...+d,f,, = X (if;

1 si j.= 1

___

379

flu) {o si j¢i

i=1

Obsérvese que

forman una base de V‘*. Esta base es llamada base dual de [3. For ejemplo, si V = y [3 es la base cano’nica dc V, 56 tiene que, segun cl anallsis anterlor, los 11

funcionalesf i R" —* R 1‘ == 1, 2, . . . ,n dados por

_ lsij=i Sij¢i

fi(el') =fi(0101--')O:1>0:---10)‘* {o

j

de modo que se puede escribir It

i'l

x = x1e1+x2e2+...+x,.e,, = z xjej

Si v es un vector en Vy (V)p = (c1, c2, . . . , 0,.) , se tiene que, por la observacion previa al teorema

flV) XflV‘WV’= :11a

sc tiene que ll

Z" 36191 = 2 x1fi(e1-)= “.fi(x)'= , _ 1 fi__ .1” .1'.1i

' que es precis'ai'fri‘eritel‘dque'sé queria‘ (1611165112111; . ‘

dcmodo que el i-ésimo funcionalfi de la base dual dc fies cl funcional que a cada vector x E R" leasociasu i-ésima coordcnada respecto de la base [3.

Q.E.D.

Este es un hecho general que se verifica fécilmente. En efccto, si [3 = {v1, v2, . . . , v,.} es una base dcl espacio vectorial Vy sc escribc el vector v E Vcomo

Dado e1 espacio vectorial Vde dimension finita, dlga‘se que dim V = n, se tiene entoncesasociado a él su cspacio, dual V*, también dc dimension 1'1, cuyos vectorcs

v = cm + c2v2+ . . . + c,.v,,, entonces si [3’ == {fhfb . . . ,fi.} eslgiaase dual dc [350 tiene que "

1%)) = fl

2 cjv,» 1:1

= 2 Cf(1),) j‘l

i-ésima coordcnada dc v

Q:- rcspccto dc la basefi.

Més min, 56 tiene e1 sig’uiente resultado que dice cémo son en general los funcionales lineales pertenecicmes a1 espacio vcctorial V* dual del espacio Vde

TE O'R'EMA 111.1

1-1

f = 2 flVilfi

constituyen la basc‘dual de [3. Obsérvese que dado x = (x1, x2, . . .xn) e R",

,

flvj) = z (11-17(11) = d;

dimension finita

Sea Vun espacio dc dimenSic’Sn iini't'a y sea 6 = (v1, v2, . . . , v.1} una base dc él. Si f. V ~> R es uh funcional lineal en V, emonces

fl") =f(V1)CI +flV2)02 + - - - +f(vn)c.. en donde (V)p = (Cl, 02, . . . , c,.)

son funcionales linealcs f: V —» R. Se podria considerar similarmente e1 dual dc este cs‘pfacio vectori'al V*. 13516 seria pues e1 dual del CSpacio dual dc V. Este cspa'cio es dcnotado como V“ y es llamado cl bidual del cspacio vectorial V. El espacio bidual V** tiene la misma dimension que el espacio dual V", y por tanto, la misma dimension que el espacio V. Los vectores on V** son funcionales linealcs en V*, es decir, funcionalesllineales de la forma v: V* R.

Lo finico que sc pucde afirmar a priori sobre el espacio vectorial Vy su bidual

V** es que éstos son espacios isorriorfos, pucs ambos ticnen la misma dimension Sin embargo, so veré a continuacion que cxiste una mancra muy natural (10' ' identificar es'tos cspacios (sin referencia alguna 21 bases. dc Vy. V**, que es como en primera instancia' se podria establcccr u11 isomo‘rlismo cutie estos espacios) de‘ modo que permila ver el bidual V“ como una“autér11ica copia” de V.

A cada vector v 6 Vse le puede asociar un funcional lineal e11 V* (que también se dcnotaré por v, cl cual es entonces un elemento (16 V**) de la siguiente manera: v: V* —> R

f'M/(f) =flv)

380

TRANSFORMACIONES LINEALES

ALGEBRA LINEAL

(identifieadonaturalinente confim funeional linealen V*. Esta “duali’da’d” es 'i'aei 1

.' ‘Ob'sérvese‘quepa'rafifz E V* y c E R seticne V

de reco'rdar con la formula: v(f) =flv) para v E 'V(‘=V‘**)‘n -V*. i

vm +f2) = m +fi)(v)

Al.2

=fi(v) +120!) = ”van + v02)

LA TRANSPUESTA DE UNA TRANSFORMACION LINEAL dmz U. Sea T: V -> U una transformacién lineal. Considerando ahora los espaeios

de modo que efectivamente v es un funcional lineal on V*. Es decir, el vector v E

V, visto como un vector del bidual V**, es el funcional lineal en V* que evaluado

enf E V" da por resultadoflv). Asi pues, los vectores del espacio veetorial Vtienen

una doble Vida: 1) come elementos de V, y 2) come i’uneionales lineales en V". Esta identificaeién natural es de hecho un isomorfismo.

duales V’r y U*, se puede, por medio de la transformacion T, definir una nneva transfonnacién T': U* —> W de la siguiente manera: para g E U*, T'(g) E V* es

el functional lineal en V, T'(g): V —+ R dado por (T'(g))(v) = g(T(v)). Esquematicamen e, ' TV V—+U VHT(V)

T‘

Sea Vun espaeioyectorial de dimension finita, digase que dim V = n.

Considérese la funcién (p: V -+ VM definida como: para v E Vescriba

U*—>V*

g e. mg)

cp(v) = v E V** en donde v: V* -» R, v(f) = flv). Ento'nces q) es un isomorfismo entre Vy V**.

DEMOS'TBAC/ON

‘

Sean Vy U espaeios vectoriales de dimension finita, digase qua n = dim Vy m =

V(Cfi) = (cram = em) = was)

TEOREMA AL2

38'1

Verifiquese primeramente que (p es lineal. Si v,, v2, E Vl'y c E 'R Se tiene cp(v. +

en donde

v H (T'(g))(V) = 8070)) l'e‘s facil verifiear qne T' es una transformacio'n lineal: si g1, g, E U* y c E R 50 tiene para cualquier'v' E V

V2),'=._- vi + v: E V**_ en donde. vi_+ v;: V?“ ~>‘R es el funcional on V* dado por I 7‘ (V{_+‘i';)f'=.tf(vl.+v2).,Coinofes_ lineal setiene qua (35+ 5.39m =flv, +171) =fly1) + . _ - . - , fin); Entdnec (9(1); + v;)' =4 (pm) +'cp(v2), Sirnilarmente,.cp(Cvl) = cvl E V” en

. (T'(g‘l- + R es el funeional cero en V*. Es decir, W) =fli7) = O V-f E V".

(32 X )

T‘(gi + 82) = T'(gx) + T'(g2)

Similan'nente,

Se afirma que 9 = 0.

(T'(Cgl))(V) = (a)(T(V)) = a(-T(V))

En efecto, supéngase por contradiccién que 9 ¢ 0. Existen entonces vectores

Ln, u2,. ..,u,,_1, E Vta'les'ufi = {3, u,, . . . , um] es una base de V. Definasefe

= C(T'QxXVD _= (6T’(gn)(v))

(en V*,f: V —-* R comof(v) = cl en donde (\’)p = (c1, c2, . . . , en). Claramente, fat 0

‘ V*) puesflg) =, V1.7Esto e'ontradice entonces que v(f) = f(v) == 0 para todof E V*.

" Entonees,‘K1ércp = {0}. Como dim V,= dim V*-*. = n,"el teorema 6.4 dice que (p ' , es'un isomorfismo. ‘

T’(g): V —» R

'

de clondes "T'(cg1) = c T'(gl')

Q.E.D.

A la transformacién lineal T' descrita anteriormente se le llama transpuesta de la En base a esta identifieacién establ‘ecida en‘ el teorema anterior, se tiene entonees

transformacidn T.

‘ uno con respecto a1 otro: V* es el dual dc Vy V(= V**) es el dual de V*. Cada'

Seanp1= {V1,V2,...,v,.} Y $2 = {uh 142, - . - um} bases dc Vy Urespectivamente, y considerense las correspondientes bases duales [if = {fi, f2, . . . , ,.] de V* y [35

que los 'e's'pacio‘s vectoriales Vy V* juegan una relaeién perfectamente simétrica

vector f E V* es un funeional lineal en V y también oada vector v E V es

= {ghgh - ' ‘ ’87") d6 (1*.

382

ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONESLINEALES

1a transformation trairispuesta 11c Tcs precisam‘cnte la transpuestIa de la matriz de la transformacién T. . ‘ Dada la transformacién lineal T: V —> U, 56 ha visto co'mo 215001211 11 ésta su transformacién transpuesIta. Se podria preguntar también por la transpucsta dc esta filtima transformacién. Esta seria entonces 1a transformacién transpuesta de la transformacién transpuesta de la transfonnacién T, (T ’)‘: V** —+ U**, definida

Sea A=(a1-,-).--. ,,,,,-,,, 111 matriz que represents a Trespecto de 1215 bases {51 y [32 1,-11

.1" ,

'

‘l1estoes A=17111111.>yB=1b11-)1:1,.

383

Ia matriz que representa a T’ respecto a Ias

bases [35 y Bi (esto es, B = Bragg”). Se tiene cntonces que

en 1:1 bidual de V y con codominio e1 biduai do U. 'Si solamcntc se atiende a las T(v,- =

.23.

matrices que representan a Ias transformaciones lineales correspondiemes, se podria concluir que la transformacion (T‘)' tiene asociada la misma matriz de T

111111,-

(pues 1a transpuesta de la transpuesta‘ de una matriz es la matriz original). Lo anterior hace pensar que la transformacién (T ')’ es “la misma” que la transformacién T. Efectivamente, esto es ciert'o. En realidad este hecho no es mas que el

T'(g1-)= 2 buf, 1-1

reflejo de la identificacién natural de V‘** con Vy de U** con U que se analizo en la

También, per in definicién de T’ se tiene que

subseccion anterior en este apéndice, de modo entonces que la transfonnacién (T')‘ : V** —-> U** es una aute'ntica copia (en el sentido en el que V*’r 10 es de Vy

(T’(g,-))(Ve) = 810111)) = g;

X awa-

U** Ides de U) de‘ la transfonnacién Original T: V —> U.

= 2 a11g11u1) = a»

1m

k=1

(en d'onde‘ para establecer la 1111111111 igualdad, se usé Ia definicién de la base dual de [32).

Se s‘a‘be que para 'cualqui'er func‘iona1fen Vse tienc

Al.3.

HIPERESPACIOS E HIPERPLANQS

f‘= £11111"

ISe veré 1111111 9911117 estabiecer an concepto geometnco que generaliza la idea de ‘

“piano en el esacio tridimensional” usando para e110 funciot1a1cslinea1.es '

Seafz. V —> R 1111funcmnal linealnanulo en el .cspacio vectorial Vdc dimension n. Laimagcndefes .enionccs un .subelspacio no trivial 111: R. Como 0 < dim 1111

(véase demostracion del teorema ALI). Emonces, para cl funcional Tm) en V debctcn'c'r'se

fS dim R = 1, so lienc que dim Im.f = 1 y cmonccs Im f = R. cfin cl lcorcma dc 1a dimension sc tienc

T181) = 2 113,111.»:

nulidad def = n — 1

i -1

Pcro scgi’m lo visto anteriormente, (T'(g,))(V.-) = (1,1. Entonccs

Es decir, cl miclco 111:1 funcionaifes un subcspaeio 111: cya dimension as manor en una unidad a la dimension de V.

T'(g,) = i 01173 1-1

Comparando con

I DEFIN/CIONAI.I1 Tfigj) = 2 b-I 1-1.

y en vista de la unicidad de la rcprcsentacion del vector T'(g,-) como combinacion

lineal de los vectores de la base [31 ,se tiene que “If = 1717

y por lo tanto se concluye que B = A’, 0 sea [T 1,559; = [7%,92. Es decir, 1a matriz de

Sea Vun espacio vectorial do dimension n Se dice que elIsubospacio H do Ves un hiperespacio deI. Vsi dim H= n — 1. Un. hiperplano en Vcs e1 conjunlo do la , forma vo + H= {v0 + h | h.IE H} en 1101-1116 H es un hiperespacio de Vy v1, es un vector en V.

For ejcmplo, on R2 105 hiperespacios son los subespacios dc dimension 2 — 1 = 1. Estas son rectas que pasan por e1 ori gen. U11 hiperplano cs R2 (101 tipo vo + H, con H hiperespacio 111: R2, es una rccta que pasa por vo y es paralela a la recta que rcprcsenta H.

TRANSFORMACIONESLINEALES

ALGEBHA LINEAL

385

En R3 considéreéc olfonoioriol linealf R3 —> iclado por '

111,111+}: El micleo (11-: fcs cl hipercspacio

Kerf = {(x,y,z) l x+y-z = O} Obsérvese quc al escribirflx, y, z) = 71, A E R, se obtienen hiperplanos paralelos al hiperespacio Kerf Pésesc ahora a1 anélisis qua conduciré a la caractctizacio’n do 105 hiperplanos dc 1.111 espacio vectorial por med io dc funcionales- lineales.

En R3105 hipercspacios son los subespacios dc R3 de dimension 3 — 1 = 2. Estes son planos que pasan por el origen. U11 hiperplano an R3 dcl tipo 1/1, + H, con H 1.111 hipcrespacio dc R3, es un plano que pasa por v0 y es paralelo a1 plano quc representa H

LEMA

Sea Vun espacio vectorial de dimension n y sea Hun hiperespacio de él.

Supéngase que '17 E V\H. Entonces wda vector v E V puede ser escrito en forma finica como v = W + 12, en donde 9» es un escalar y it E H. (Obsérvme que esté lema puedereenunciarse equivalentemente como: si H’ es el espacio generado pot 17 6 V\H, entonces V= H’ EB H.)

c1311 el andlisis previo a lay dcfinicio’u ALL todos los 111301005 111: funcionalcs linealcs no nulos en un espacio vectorial Vde dimension n, son hipcrcspacios d1: él. Sutgc 61110111265 dc modonatural la interrogantezvétodos los hipctespacios de un

espacio vectorial Vde dimension finita son micleos dc funcionalos linealcs no nulos en V? La 165111125121 a. esta prégunta els afitmativa. Mas 111111, 51: puedc usar una

caractenmmon muy. simple do los hipcrplanog do 1111 espac1o vectorial pot mcdio ' de funcionalcs lineales, de la cual so obtiepc on particular la caracteri/acion do los hipercspacios dc unespacio vectorial como nucleos dc funcionales linoalcs no

1111103 en V. Antes de enunciar y probar cl tcorema principal (lo csta subseccién, véansc algunos ejemplos. Sea V—- R2 y f- R2 ~> R cl funcional dado por fix, y)—= 2x- y

El miclcc de fcs por definicion: Kerf

{(x, y) | 2x-—y= 0].

Este es un hiperespacio en R2 quc geométricamente es representado por la recla y= 2x. Obsérvcse que al escribir fix, y=) 7k, 91. E R, sc obticncn los hipctplanos en R2, 21: — y = 71., 105 cuales son paralelos al hipcrespacio Ker f. ‘90

V

1gi K 11‘»

x

384

DEMOS TBA CION

Sea [3”: {vb 112,3 . .

v,_..1] una ba'se de H Como v es un vector (11. _.V quc no

pertepe'c'e a H, e1 conjpnto [3 = [V1, v2, . . . , v,._ 1, v} es una base de V, pues dim'

V= n y el conjunto [3 es 1111‘ conjunto de n v‘ector'es llnealmente independientes en V(véase lema 2 seccion 5 capitulo 3). Dado v 6 V, existen finicos escalates c., Q, . . . , 0,. tales qua

v = cm + 6‘s + . . . + c,,_.v,,-1+ c"? Escribasc [2 = cm + . . . + c,..w,..1. Es claro que h E H. Ponicndo (3,, = 91, se oblicnc la conclusion dcscada dcl lcma. Q.E.l). E11 el caso dc R2 cl contcnido do 6511: lama pucde vemc geométricamcntc scgfmsc mueslra en la siguicnte figura:

386

ALGEBRA UNEAL

TRANSFORMACIONESLINEALES

Bl Siguiente teor‘ema asegura que todds ios hiperespacios en 1111 espacio ’vectorial .

El siguiente teorema catactetizn a los hiperplanos de 1111 espacio vectorial Ven'

Vdc dimension finita son micleos de funcionaies‘ iineales no 1111103 en ese espacio

TEOREMA Al.3

Sea H 1111 hiperespacio de 1111 espacio vectorial Vde dimension 11 Sea '17 E V\H y c 1111 escalar no 111110, entonces exists un unico funcional lineal f:

387

term 11105 funcionalas lineales on V. TEOREMA AL4

V —-> R 1211 que a) Ker f = b) fi'fi) = c

U11 subconjunto M del espacio vectorial V dc dimension finita es un hiperplano de Vsi, y 5610 si M= {vE V|flv)=c} para algfin c E R y algiin funcional lineal no nulof: V —1 R.

DEMOS TRAC/ON

Definase e1 funcional f: V ——> R de la siguiente manera: dado v E V, escn’basc, segiin e1 lema previo a este teorema v = W + h, on donde 71 E R y h E H (ambos

dctemiinados por v). Definase cntonces

'

DEMOSTRACION M

\N.

flv)=kc

Se afirma que f es el funcional lineal en V que cumple con la conclusion del tcorcma. En efecto, si v1, v; E Vy k E R, 56 escribe v, = 9119' + 11;, v2 = 7129 + hz, do modo

que v1 + v; = (9». + 712)? + (711 + 112). Enionces flvl + V2) = Q»; +_ 9‘90

Sea M = {v E V|f(v) = c} en donde c E R yf: V -+ R es un funcionai lineal en V no nulo. Comofes no nulo, se tiene que [111 f = R, de modo que existe v0 E Vtal

queflvo)= c. Entonces se afirma queM = v0 + Kerf En efecto, sea v E M. Entonces

flv)= c =f(vo), de dondeflv- v0) 0 y por tanto, v— v0 E Kerf, 0 sea v = v0 + h, h E Kerf. Es decir, MC V.) + Kerf. Recipr'ocamente, si v = v0 + h, e11 donde h E Kerf, s‘e tiene queflv) =1 flvo + h)

=flvo)-=-'-'fUI) c + 0= 0, y por tunto v E M. Es decir, que V.) + Kerf C M. Entonces M'= v0 + Kerf Como Kerfes hipe1espacio de V, se concluye que M as hiperplano de V: Recipr‘ocamente, sea Mun hiperplano de -V, ento'nce‘s M'= v0 + H,.en donde H

=1 1..c +_'1,c =1111.) ',+'f(v2)’

.e‘s ‘un hiperespa‘ciode Vy v1; .5 ,V'(e1c'as'o de interés es cua'ndo v0 E V\H, pues si. vo' E" H, 111. conclusion de 'e'sta pal-ta del‘ tebl'em'a s'e reduce a Aguell'a del'teor‘ema

Similarmente, kvl =' k9“? + kh1, y entonces

anterior, pues’ en este case M S‘eria un hiperespacio). Sea 0 E R un escalar no nulo. Se' ‘sabe’ que existe u‘n finic'dfuncional lineal f: V —> R tal q'Ue Ker f = H y f(vo) =

c. Entonces, por un argumento similar a1 usado en la primera parte de la demos— tracio’n de este teore'm‘a se Conclu'y'e' que M = v0 +"H =1 {v E V1f(v) = c}

flkvl) = (kh1)c = [(01169 = kflvl)

lo que mucstra quefes lineal. P01 otra parte, si v e H, so tiene trivialmente 1a expresion v = 0 - i5 + v. Como esta cxp‘resién para v‘e‘s finica, se concluye qucflv) = 0 - c = 0 y por tanto, v E Ker f Esto muestra quc H C Ker f. Como dim H = dim‘ Ker f = n -- 1, so conciuye finalmentc que H = Ker f. También como V = 1 1 T1 + O,setienefl'13) = 1 - c = c. Véase pot filtimo quc este funcional lineal cs (mico. Supc’mgase que existe otro funcional lineal g: V -> R, 1211 que Kerg = H y g(17) = c. Entonces para cualquier

v E V, v= W'+ h setiene

EJERCICIOS (APENDICE 1, CAPlTULO 4) 1. En el espacio vectorial Mm, considere la funciénf: Mm. —» R dada p01: flA) = trA .Detnnestre quefes un fiincional lineal 611 Mm. . 2. En el espacio 've'ctOrial C([—1,1])considetela funciémpz' C([ 1,11) —~‘ R dada pot

1») 1 gm: 30‘ a + h) ‘ 718071 1801') = 1c =1

lo que muestf'a'que g = f

Q.E.D.

(2.11.1).

Con cste teorema se responde la pregunta que se plantcaba a1 principio de esta subseccién: el subcspacio‘ H dcl espacio vectorial Vde dimension finita es un hipcrespacio dc Vsi, y 5610 si H es el micleo de unfuncional lineal no nulo on V.

W) "110) Prucbe que cp es 1111 funcional lineal en C([—1 1]) 3. Considere los vectores v1= (1, 1), v;— (O, 3) de R2. Demuestre quc 6115311: 1111 unico

funcional lmeal f R2 —» R tal queflw) = l ,flvz) = —1.Desctiba explicitamente el funcionalfl '

TRANSFORMACIONESLINEALES ALGEBRA LlNEAL

(23' 13. End espacio vectorial R3 ‘conéideite el subespacio

lineal f: v, y v'z'en Rz-exis'le ununico funclon'al . [ACiert’o'o faléo? Dados dos vectores s.dado s reale eros dbnde a y 1) son 'mim R2 -—> R 131 queflvl) = a yflvz) = b; es

" H? Q 1m T, cp(v + Ker 7) = T(v) csté

con su representacién geométrica.

Una caracten’stica importantc en 6316 cspacio, quc win no se ha cstudiado, es que en él cxiste una nocién dc perpendicularidad” entre sus elemenlos. 'No esdifl‘cil est‘ablece'r‘ cendicioncs equivalentcs a1 hecho de quc los vectores v1= (x. yl) y v2= (x2, y;) en R2 scan perpendiculares: ,

bien definida y es un isomorfismo.

EJEERCIGI'OS (APEND‘ICE-II, CAPiTULO 4).

Y

1. Sea V1111 espacio veCtoria1,ccriba los espacios cociente V/V y V{O]. ' 2. En cl especio.vec‘tprial R3 sea. Wei subcsp'acio gegerado por los- vectores' v1 = (1 O, ' ‘ 0), V2 " (1,1,0).

' V

(X1.'y1)

a) LCoino son los clementos dcl espacio cocielite R3/ W?

b) Halle una. base dc RJI W.. 3. En c1 cspacio vectorial RJ sea Wcl subcspacio generado por el vector (0, 0, 1). 1,, a) Describa u'n clemcnlo tipico dc R3] W.

b) LCémo se ve geométricamente e1 espacio R3/W'.’ 0) Mafia u11a base de R3/ W 4. En el espacio vcctm ial P (10 todos los polinomios considerc e1 subcspacio P1 10111121110 por los polinomios de grado menor o igual que 4 Dcscriba e1 espacio c'ocicme PIP. ’ Ha11e una base de 151. 5. Sea Vel espacio de 1113 matrices 1riangularcs superiorcs de orden 2 y U c1 espacio dc

) . ‘ v . . La pcnd1cntc de la rccla on 111 quc sc encucntra v. cs =——' ~. S111111armcntc, 111 pcndicnlc 1

x1

do la rccta en la quc SL cncucnlru v2 cs %.'RCC()I‘(1811(10 quc cslas reclas son 2 I

las matrices diagonalcs dc ordcu 2 (subespacio dc V), demucstrc que el espacio

,

l

i

i

2

u

perpendiculares 51, y 5610 31 c1 pioducto de sus pcn‘die‘ntes cs igu'aI a--,1 so oblicnc

cocicnte V/U es isomorfo al subcspacio dc M x 2.

entonces 1a condicién de pelpendicularidad entre los vectmes v = (x1, y.) y 12=

(x2, yz) come

113?] “ii“fdii 6. Sea Vun espacio vec1oria1 de dimensién finita y sea Wun subespacio dc Vial que dim VlW = 1. A 103 elementos 111:1 espacio cociente V/ W 51, les llama en cstc caso “hipcrplanos [111111111105 11 W“. Concilie esla definicién con el analisis presenlado en la, seccién 3 del apéndicc I.

0 bien, ‘

M.~.,_,.N.-.«q...w.,

'Xlxz + yl = 0

E! 1111111610 x1x2 + My; que aparece e11 e1 iado izquiercio de esta 1'111'11ma igunidnd no es mas que el conocido “producto punto” de 103 vectores v y v2

401

ESPACIOS CON PRODUCTO ‘NTERNO

ALGEBRA LINEAL

, La funCion qoc ascciafh c'ada papde Vectorcsv. y v5 fen Ri su' producto pumo '

abre todo un zmin'd‘o dc contenido geométrico para c1 csp'iacio R2. Escriba‘sc esta' ' funcion como f: R2 x R2 —+ R

403

, En cfecto, la primcr'adc estas definiciofies-es. Clara por el anélisis original.

La ma‘gnitud dcl vector v = (x,:=y) E R2 segx’m la definicioh (2) cs': ,

llVll = VflV,V) = w/v-v = W quc coincide precisamcnte con la nocién geométrica dc “tama "‘o”\dcl vector v E ..\ R2.

(V1: V2) Hflvl, V2) = V1 ' v;

(on donde v1 - v2 denota a1 producto punto de lqs vectotes v, y v2). Obsérvesc que esta funcién posee las siguicntes propiedadcs:

P1)j(v, v)ZOVv E Rfiflv, v)= Osiysolosiv=0 P2) flvx, v2) = flV2, v.) V v1, v: E R2

P3) flv, + v2,v3)=f(v1, v;) + Jim, v3) P4) flcvl, v2) = cflvl, v2)

En. efccto, si v = (x, y) es un vector cualquiera dc R2, sc ticne

Por ultimo, si v, =‘ (x1;y,)y-v2 =. (x2, yz).Se tienc, segfin 1a definicién (3.)

f(v,v)='\>*v='x'2+y’20

_ dCVl, V2) = {7(v V2, V1 "‘ V2), = J(V1, " V2) ' (V1 " V2)

.x2+_y‘z=ov.-=,'x_=y=o ‘

TMM&5WF0mmywémJJ

ll

, .\/(x_1 ”X2, Y1T“I)’2) '(xl "x25y1 ".y2)

'"'

I

402

, W) 2 = xl + Y2)’; = v2 . v, =flv2 fivl, V2) = vl - v 2 = 11x2 + y1y (x,, 3,2), V3 = (x;, y;) Por filtimo, sic E R, v: = (Xx, yo, v2 =

Jm—mworfiy

quc coincide también con la nocién geométriCa-de distancia cntre (x1, y1)

y (X2. V2) \

, Y3) V3 = (0x: + X2, CY: + Y2) - (X3 flew + vz’ v3) = (cv, + v’)‘

s + cyxys + X23C3 + my; = (Cx‘ + 162))“ + (63" + my; = cxlx

= Cf(V1, V3) +flv1: v3)

y (x2, y2)

\\ d(V1.V2) - V (x1-X2)2+(y1—y2)2 \ (X1.y1)

Obsérvese también que con esta funcién f, sc pucden defiuir 'los concoptos dc petpcndicularidad cntre vcctorcs dc R2, magnitud dc un vector en R2, distancia cntre dos vectores dc R2 como: 1) 'Los vectores 'v,, v: E R2 son perpendicol'arcs si, yl'sélo ~sif(v,,’v2') = O.

2) ‘La magnimd del vector-v E R, denotada poi 1M], cs:

1 I

“V" = Vflv, V) 3)

La distancia entre los vectores v1, v2 6 R2, denota'da por d(v,, v2) es:

(1(v1, V2) =- Vf(v1 — v2, V1 '“ V2)

Todos cst'oscohccptos(pc'rpendicularidad entrc vcctores, magnitud de un vector ' y distahc'ia cntre vect'orcs),los' cua‘lcs pucdcn set definidos por mcdio de la funcién gran una' con l vectOria espa‘ci'o un R2, pues',‘de f(e! producto pimtd de R2), hacen, * tiqu’ez‘a geométriCa. 1a generalizacién dc éstas ideas a estudiar pr’oponc so me En cstc’ capitulo » espacios vectoriales abstractos’. un Una funcién fquc a cada par' dc vector’es dc un espacio vcctorial le asocia P3 P2, P1, R2) en punto nfimero real y que satisface las propiedades (del producto les para los y P4 se llama en general un “producto intcmo”. Los espacios vectoria

404

ALGEBRA LtNEAL

ESPACIOS CON Pnooucm INTERNO

que ekiste ta'l luricién (llamados- espaeios c011Iprodueto interim) son (:1Iobjeto c‘le . esiudio de este eapitulo. , .

Sc estudiaran también algunos tipos especiales de operadores lineales dciini-

405

I‘

y‘

Wow) = (V l CV1) = (W; l v) = C(V1 I v) ='c(v] v1) = 0 141011)

dos en espaeios con produeto interim.

A una funeion de dos variables que es lineal respecto de cada 1111a de el 1215 (es decir es lineal come funcion de cada una de sus dos variables, cuando la 0113 se mantiene

11J11) se le llamafiuzcmwzlmeal

1.

DEFINICICN Y EJEMPLOS

DEF/N/CION 1.1

En resumen, se tiene que el producto mtemo es una funcioii bilineal,si1nétrica y definida positiva. “E11 cl siguiente teorema se recogen algunas consecuencias inmediatas de la deiinlcion 1.1.

’

Sea V1111 espacio vectorial. * U11 producto interizo e11 Ves 1111a funcion (- l -:) V X V ~> R que a cada par de vectores v1, vz en Vle asocia e1 111'1111ero real (v | v;) y

que satisface las siguientes propiedades: 1)

(v1v).>.0VvEVy (viv)=0«=~v=0.

2)

VV[,V2 E V. (vllv2)=(vz|v1) Vv.,v2,v3 E V. (v1 +v2|v3)=(v,|v3) +(v21v3) Vc E R,Vv1,v2 E V. (CV; |v2)=c(v1|v2)

3) 4)

Un espacio veetorial Ven el cual exisfe un producto intemo (; l -) es llamaclo espacio con producto inter/lo y es denotado por (V ( l )). En particular, 51 Vcs. 1111 espacio veetorial de d_.imc115i .1' = O

.- - ,

'

En clecto, la propicdad '_

*

’ '

.

I :I 1-

.

'

.

(v I W = ((1011 | (v11) 2' o

y-v e V

'(vlv)p=oé>v=0 es directa dei hecho de que (- I ') es un producto interno Lie R". Simiiannente, ia propiedad (v | 11),; = (u | V)p es también consecuencia de que (' | ') es un producto inferno de R" pues

1v1u11= «v1.1 I (1.11.1) = ((1411 (v1.11 = (u 1 v1.»

408

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

ALGEBHA UNEAL

lPialra verilidal; las” pxibpiedades (3)y '(4) dé la defihiciéxl (ll) _en la fmltpléhl'l ‘)b,

409

..=- j; figlgolfll‘ + In fi(x)g(x)d,x:’= (f1 l8) +0313)

' sé debe recordér que (p es una funcién lineal; Se ticnc

l

(V + V' I ”)v = (CPU) + V') I 4300) = (CPU) + 0 la] quef(x) ¢ 0 pal-a

l .3 qno . q [mm $ ‘ . LSpflCl . , . O, 56 Sixnih‘ rmcntc v si V = P,. y [3 es la base canomca dc cstc

toda x en. la vecindad x0 ~ 6 < x < x0 + 5.* Entonces como (f(xo'))2 > O existe un

_

k > O tal que ()‘(x))2 > k > 0 para xo' — 6 < x < x0 + 6. For 10 tanto,

(1.6)

. v+aubn (Pl‘Dlir’aobo'l‘albl‘l’.

(fl!) = _[0 (1mm > f: (100)d > 21:25 > o

+ cm" y q = 170' + bx + . . . +Ib,.x", es un procllucgo mist-m: an dohdc p ’“ (10 + alx‘ + ‘ a ase , 0 . 3 ' ((llcP ’ ' cb dc .R’.‘ por buldlo canom ' " ' . I to mterno F do del produc en P,. (hcrcda

como so qucria dcmostrar. Para finalizar csta scccién, so probarzi una de las dcsigualdadcs mzis importa ntcs en cl {algebra lineal, llamada desigua-ldad (1e Cauchy—Sc/martz.

c ,1. m M con cual (ambién es ll'amado product'o' interno canomco.(o cstzulc at) m 1 lon dunem de Véase ahora un cjcmplo, dc un espacio vectorlal producto intcmo. el intervalo [0, 1]. Sea V = C ([0 1])e1espacio de las funciones continuas en Sean f, g 6 C ([0, 1]). Definage

(flg)»=._foz-flx)g(x)dx‘

l

(f | f) = ID flx)f(x)dx = L (fld’CZ O

(cv l u)p == (@(cv) | W» = (WW) I W» = c( 0).;El hecho de queflt) Z 0 \7' t E R indica que la parébola m cruza a1 eje x en ningfm punto. Esto implica entonces que la ecuacién cuadra’tica ax2 + bx + c = 0 tiene

discrimin’anté no positive.

b) (x I Y) = My: + 2X2Y2 + 3w; + )5s + xfll + xt)’; + XJYI + zxzfi + 2X3)’: c) (x I y) = xt)’: + x3)’: “ xt ” xz)’: ' My: ' XJ)’: ‘I’ Xz)’: + My:

d) (x I y) = 2x1» + xzyz - xsya + My; + xzys + xay. c) (x I y) = my. + 2x99, + 3x3y, + 2x.” + 2m, + 4x3),

1

I

5i

1

I

_

‘

._

‘

ALGEBHA LINEAL

2

ESPACtOS cow PRODUCTO INTERNO

~ [— 1, . 1] X q _ 1‘, U'_.R. ' so 11 1 ntes futtetones (- I.-’).~-C Detenfiine Hc'uéles de las siguie , . 1]) , C([—1 ‘al 'veCton o produotos infemos an at espaci t

=

VI

c) (fig) L wage) r

t

a) (fig) = [fingmdx

V

i='1,2,3,4."

(x I .3’) = xx?! + 5x»); + 2x93

Determine al menos tres vectores x = (X1, x;, x;) ta1cs que

,, -—> R son productos 6. Delemtine cuéles de las siguientes funciones (- I ‘):M,, x ,, X M,, x ' ,.. x M" vectorial espacio el en internos

(-¥|(1,1.2))=0 12. En R3 considere'et producto intemo canénico. Sean v; y V2 dos vectorcs fijos on R-‘, demuestre que cxisten una infinidad dc vectores x = (x1, x2, X3) 6 R3 talus quc

a) (A l B) = dot (A8)”

x» b) (A | B) = tr (AB)

3 c) (A | B) = tr (AB') En clcspacio vectorialP,,,scan 7. 6)

(II VI) = (‘1 V2) = 0 13. Sea Vun espacio vectorial con el producto interno (- I -). Sean M, v dos vectores

P,(x) = a0 + a,x + . . . + aux"

cualesquiera de V.

P2(x)= bo+b1x+. . . +b,,x"

..

a) Demuestre qu‘e la funcién ("I ')1: P“ X P,.- —'-> R.

_ n. (PIIP2)I'

Si v 9* 0, sea w 6 Val vector definido pot

\

.

Demucstre quc

i+j+1

i.j-0 .

t

. .

.

. r

~

(w|w) == ("ltd—M'Wlu)

.

.

t .

.

'

es Uri producto in’te'mo en P,..

(3W! ‘ m2 - X2yt + 4mg)2 S (3x? - 2sz’+ 4.r3)(3y1 — 2N; + 4.1%)

S

(Sugerencia: Considere R2 con el producto interno introduciclo en la pdg. 406). 15. Sean xx, x2, . . . , x,.-, y:, ya, . .. . ,,y,. nt’tmeros reales cualesquiera'y. sean c1, ca, . . . , c,. nt’tmeros reales positives, demuestre que

los dos mctsos an ertore . c) Compare las productos intemos (- l -)1 y (' l -)2 de | -): P; X P2 —+ R dada por 8. En el espacio vectorial P2 considers la funcién (-

(p I q) pq g) A partir dc una métrica d: M X M métricas on M definiendo

n

z |2v=1

i W=1

l'l

I'I

en dondc p y q son dos exponentcs conjugados. Use cl rcsuhado dcl inciso amcrior para demostrar que para cualquieri = l, 2, . . . , n so tienc

d1(x,y) = V’d(x,y) dgx, y}

lx yl

W Y) ‘ 1+ am) d,(x?y)=min11,d(x,y)l, .

_

‘L

5 Ed:p 4, w:q

y concluya cntonccs (sumando desdc i =,l hasta n) que . ‘

y d; §on también métrica'son' M. -. h)* Pruebc quc d1, d2

V es un Sea Vun espacio vectorial normado. En el inciso a) sit demdstré qua y”. En [[x = y) d(x, como R V X V d: métriéa la' o espacio métrico definiend tre que una este caso, se dic'e que la me’trica d pr'ovie'ne de la norma ||'|1. Demues ga de condici'én necesaria y suficient'e para que una métrica d en Vproven una norma || ' || en Ves que para todo v, u E Vy c E R 56 cumpla

3‘"!

-

-; 53

‘

a) Sea p E R, p > 1. Defina cl nfimero q E R como el nilmerorcal tal qucp-x + (1-1 = 1. Se diré qua p y q son exponentes conjugados. Demuestre que si p y (1 son exponentes conjugados entonces (p - l)(q — 1) = 1. Concluya entonces que si y = x94, entonces x = y'I-l, en donde p y q son exponentes conjugados, 13) Sean p y q dos exponentes conjugados, considere la funciénf: [0, a] —~ R, f(x) = )0" -1. Use argumentos geomélricos. para cstablecer la dcsigualdad ab 5 LaxP"dx +Lby ‘1“dy

.e) Defina la funcién d: 'C([*1,_1D .X ‘C([~1, 1]) ‘7' R como

‘

j. l) Todo cspacio con producto in'tcmo es un espacio nomlado.

i=1,2,...,u)

Demuestre que d"; es una méirica on R". 5 ‘1:

j) Concluya dc estc cjercicio que:

matemélicas conocidas como desigualdad dc Holder y desigualdad dc Minkowski.

en dondex = (xx, x2, . . . ,x"), y = 0);, yz, . . ‘ , y“). Compruebe que d; es una mémca an R" .

1

provicnc de una norma.‘ ' - -

® 22. El objetivo dc este cjetcicio es cstablecer dos desigualdadcs muy importantcs cn

Demuestre que esta funcién w-una métrica an M. Defina 1a funcién dx: R'l X R" _. R como

(12(1', y) =‘m2ix {pa-yd,

"Si Mbsfunospacio 'vecto‘rial. Demucstre que la mét‘rica en M (191 inciso b)_ no

j.2) Todo espacio normado es un espacio métrico. j.3) Todo espacio con producto intemo es un espacio métrico. Dé ejcmplos que mucsucn que las afirmaciones reciprocas son falsas.

0 six = y

(1106,30 " 2 IXI‘Ytl

d)

Vi)

-

.8)

425

d(v+w,u+w)=d(v,u),w€ V d(cv, cu) = lcl d(v, u)

e) Demucstre Ia desigualdad de Hé‘lder Va

VI n

i P‘IYI‘I 5

II

Z W”

Z M“

i-“l

I -’1

ESPACIOS CON PRODUCTO 1111511110

26

427

ALGEBRA LINEAL .endondc .11, x2, . . ., x", y,, y;, . . 1 ,y,. son ntimeros'l‘reales cualesqui'era y p y q 5011 *

.

.expoirentcs conjugados. ' '

[-

vectorial ,y estudiar algun'as propicdades import'ames de eslc cspacio para cicrtos 'vaiores concrctos dep a)

(Szlgerencia: considere dos vectores eualesquiera de R" x= (x1, x2,. . . ,3"), y = (Yr, y;,...,y,.) Definalos vectoresx= (x1,x2,... ,x,.),y = (yi,y2,...,yn)com0

;[=__._:‘7.L..__

“1="“LT

v,

i 11.1»

Primeranicnte, extienda Ia desiguaidad de Minkowski establecida en cl inciso i) deI cjercicio anterior para el caso de snmas infinitas. Es dccir, demucstre que VI

Vr

i=l,2,...,n

VP

0°.

2 Ix.+y1p 5 £111” + it»?

2 1114

en donde 1;, y.-,i =,I 2,. son mimeros cualesquiera. b) En c1 conjunto l” defina 1a suma de la sucesion (a) E l” y 121 sucesio’n (b) E i”

(Apliqu‘e ahora'eliresuitado del inciso anterior.)

come

1) LA qué equiva‘le 1a desigualdad de Héider cuando p = q = 2?

(01) + (bi) = (01 + 111)

g) Sean :1 = (xx, 112, . . . , x"), y =1 (3);, y;, . . . , y") dos vcctores cuaIesquiera de R".

y si k E R, defina e1 ,producto deI escalar k por la sucesion (a1) 6 l” como

Demucstre que para cualquier 1' - I, 2, . . . , 11 se tiene

k(a.-) = (kat) IX: +}’1I” S (Ixxi 4" LVII) IX1+y1Y’" do don'de p E R, p‘ '> 1. Concluya entonc'es, sumando desde 1' = 1 hasta n que n

z |xr+y.-i" s 2"; 1x1 1.41114 + f; 11.11v1+yr-' I 1'-1

1'1

1"]

Ii) Apqite 1a desiguaIdad de Holder :1 cada 1111a de Ias sumatorias que aparccen en . eI mie'mbro derec‘Ii'o de la desiguaidad Estable'cida en el inciso anterior para demos'trar qii'e' si p y q son exponentes conjugados‘ entonccs '

Demuestrc que si (11;) y (1)..) son sucesiones do 1” entonces ((11) + (b) y k(a,v) son también sucesiones dc 1P (Sugerencia: para demostrar quc Ia suma de sucesioncs de 1” es una succsién de 1”, use 61 resultado dei inciso anterior.) c) Compruebe que el conjunto 1” con Ias operacioncs de suma y producto por

esc‘aiares definidas en el inciso anterior es un espacio vectorial. aCuzil cs cl vector cero de este espacio?, acuél es cl Inverse aditivo de una succsio’n ((1,) do I"?

(I) En el espa‘cio l” dcf‘ma Ia funcién || ",2 l” —+, R wind

1|(a.-)11= 2 1:111

V41

+ 1-1211.1

ilhwyiv s 1-1£11111 1,!

2 Ivy!" F“!

d.1) Demu'estre que "(11,-m, .>. 0 V (111) E 1")! que “(01)"; = 0 51, y 5610 si ((11) = 0

(e1 vector cero de l”).

i) Concluya dcl rcsuitado deI inciso anterior Ia desigualdad de Minkowski

121' IXI+Y1IP

5

VP

”11

.

VP

12-31 IXiI’

d.-?.) Compruebe que si k E R y (12,-) E 1”, entonces ||k(a,-)]|,, = [kl l](a.-)||,,.

d3) Demuestre que'si (a1), (11;) 6 i", entonces

+/ 1); D’ii’

no.) + (b1)l II(ai)IIP + l|(b1)l|p en donde x1, x2, . . . , x", y1, y2, . . . , y" son mimeros rcales cualesquiera y p e R,

(Sugerencia: use e1 resultado del inciso 11).)

p > 1. ©

j) ;A qué cquivale la desiguaidad de Minkowski cuando p = 2? 23. Una sucesion de mimeros rcales es una funcion deI tipo f N -> R. Denotando afli) como a,-,i= _I', 2,. ,se escribira Ia sucesiénf: N —. R como ((1,, (1'2, . . . a,,, . . .)o . bie11, mas abrevmdamentc como (11,) Sea p 1111 real mayor o igual a 1 (arbitrario pero fijo). Denote por 1” (so lee “eIe pc“) 111 conjunto de todas Ias sucesiones de numeros reales (ai) tales que

5: 11.1 < «1 I'l

Nucstro interés en este ejercicio es demostrar que el conjunto 1" con ciertas operaciones de suma y de producto por escalares que se definirén miis adciante es un cspacio

d.4) Concluya entonces que la funcién ”'“p es una norma en el espacio l” y que por tanto, 1” con esta nonna es un espacio vectoriaI normado. e)’ Demuestre qne 1:1 cspacio 1” no es de dimension iinita f)

Su'ponga que Ves un espacio vectorial normado con la norma II M y que existe unit

sucesion dc vectores on V, diga v., V2,. . . , v,.,.1aies que para cuauicr vec1or v E Vexiste 111121 sucesion de niimeros 11321165 1:], C2,. . ,c

.(bien determinada

por a! vector v) con Ia propiedad Iim |[v ~(c.,v1 + czv; + . . . + c,.v,.)I| = 0 n—uuo

Se dice cntonccs que el conjunto (infinite) {vb v2, . . . , v,., . . .] es una base (liamada

ESPACiOS CON PRODUCTO INTERNO

ALGEBRA LINEAL

" base-dc Senoudefid'el espacio‘nonnadoy. En *tal gaso, se puede escribir ‘

429

. _e) DemueStre que T: o T; no es el operador identidad en 11’ - ' .

_. a, . v=2civg

0 (Es TI m opemdor inversible?, 3,10 as T2?

> -

[Notaz los incisos b), c) y d) dan una respucsla a los ejercicios 2 y 3 de la seccio’n

i'l

6 del capitulo 4.]

En el espacio normado 1‘u con la norma “'i considerc los vectorcs e; = (l,0,0,0,...)

3.

€2:(0’]’0’0"”)

ANGULO ENTRE DOS VECTORE-S. ORTOGONALIDAD

€3=(oso’1:09”')

En el‘espacio vectorial R2 se tiene bien definida la nocién do éngulo B entre dos vectores v, u, E R2

Es decir, e, es el vector dc P, ((1,) diga, [a1 que a,- = O sij 5* i y a; = I. Prucbc quc

estos vectores constituyenuna base del espacio lP. Més aim, demuestre que $1

ll" (X2. Y2)

(ta) 6_ 1"», cntonces ((11) = i are:

V'O‘nm)

g) Considere el cspacio 12. Demuestre que la norma ||‘||2 dcfinida antcriormentc m

v:

“(a)“: = )3 W 1-1

’V

\

de ' . ' provie‘ne de'uh productointernom'lz (v’éanse incisos. f). y j) del ejercicio 20.

.

est'a sec‘cién)',‘Miis a‘L'm, demuestrezqe tal producto. interno gs (. la); 12 >_< 1? 3 R . .

((a.) 1 (12.» = iarb:

En efecto, usando un argumento elem__ental dc gebmotria analitica se puede .

establo‘c'cr c1 valor ace:

' '

' -

I

pcndicnte do In recta en la quc so encucmra u = tan (8 + on) = 23 X2

i- 1

inciso d). 11) Considcro uhora el espacio I” con p #4 2, con la norma || - ||,, dcfinida on cl que v. y (observe .) . 0,. 0, —1, (1, = v; y .) . . O, 0, 1, Tome los ve‘ctores v, = (l, quc Dcmues‘lrc l”). vectores v2 son

pendiente do In rccta en la que so encuentra v = tan a = 21 xx

Entonces Y - arc tanLl 6 = arc tan —— V

2

“V: + V2" = “VI " V2” " 2

X2

x1

”V1”= “V2” s 2”” i)

Use 105 rcsultados dcl inciso anterior para demostrar que la norma l|~||,, del cspacio

1”, p 5* 2, no proviene de un producto imerno en 1” (véase inciso f) (161 eje’rcicio 20 1 do csta scccién). como dcfinidos l” —+ 1” T2: Th cs operador los @ 24) En el espa'cio vectorial l" considorc

= arc tan

_)] r= ((12,113,

)

,. -

T2[(a;, a5, a",,’. . . )1 = (0, mm, (1,, . . .) r a) Demuestrc quc T. y 7'; son operadores lineales en 11'. b) Comprucbe quc T, es sobrcycctivo pcro no inycctivo. c) Demueslre quc T2 es inycctivo pero no sobrcyccrivo. y d) Prucbc que T1 o T; es el operador idcnlidad'cn I” (y por lo tanlo es inycctivo sobrcyccrivo).

M 2 * X2 1

167,761 + Y2)“

A1 cxpresar 1a formula anterior en términos de la funcién coscno so obticnc .

7.‘ “(an :72, a3, -

-

428

='

X112+sz‘

“5.9" (x?+y?)(x3,+y?z)

. ‘

'

.' (3'9;

Obsérvese que tanto en el numerador como en el denominador do In formula (3. l) aparccen expresionc‘s familiares, a saber

(V l u) = XIX: + yr}’2

IMF

x? + Y3

““112

x3)“ y5

430

ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO en dondc ( | )es el producto Intomo canonico do R2, do modo qua (3.1) pucdo sor

EJEMPLO1 .-

'recsc rito como

- 'A’si. pot cjemplo, si V= P3 con .el producto intemo canonico, el angulo cntre e1 -

' - polinomio _

“’5

:

_ 8 —-

-

(v I u}

p=1+3x~2x2+1c3

.

“vn 1q

431

(3 2)

y cl polinomio

Nada impide intorpretar 1a formula (3.2) independientcmente del anailisis provio a clla, y usarla para definir cl zingulo entre dos vectores v y u on cualquicr espacio

q=—2+x—x2+x3

vectorial Vcon producto interno (' I '). Esto es precisamente lo que so hard ahom.

as

=

(2 I {12

e W“ [ ”12””q ]

3.1. ANGULO ENTRE DOS VECTORES

=

Sea (V, (- | -)) un espacio con producto intemo y scan v, u dos vectores no nulos do V. La dcsigualdad dc Cauchy-Schwartz establece que

|(V-l 10] 5 “VII llllll

(1>(—2)+(3>+(uIv.-) + 1-1 IIWHZ = (q)~ 2 (qxu | v» - I~1 j-l

Entonces k

k

.

k

= I uI Z — 1:;z (uIvJ)z

(u I w) = [/2 (u I Vi)Vi I W ] = 2 (u I VEXVI‘ I W) i=1

' i=1

Q.E.D.

TE OREMA 3.6

439

ESPACIos CON PROGUCTOINTERNO

ALGEBRA LINEAL

Como, “WW 2 0, se obtiene .

{W ~ [-12 (MY 2 o

(DESIGUALDAD DE BESSEL.) Sea (V, (- l -)) un espacio con producto intemo, y soa S = (v., 1);, . . . , v1} un conjunto ortonormal de vectores on V. Si u es un vector on Vse tiene la desigualdad

k-

osea, I:

(ulv')2

Null2 2

k

IIuIP z 13 (um-)2 1-1

La igualdad en la desigualdad anterior se cumplc'si, y 5610 si u pertcnece . a1 espacio generado pot S

como so queria dcmostrar Por liltimo, en vista dél 16011211121 3.3, el vecto1 u' pelte‘ncce a1 espacio gamer-ado _ pot o1 conjunto ortonorma15= {v1,v2,..,v'1} si, y_solo.'si 1 I . k

w = u - Z '(ul‘vj)v,- = O

DEMOS TRACION'

.

Al considerar-el vector

j=l

Entalcaso k

w = u~

(1411,01);

k

= IIwII2 = llull’ — z (uh/)2

1-)

j-l

Se tienc ’ 0 sea, k

k

i'l

j'l

“W"2 = (WIW) = u~ 2 (WWW.- u ‘ Z (HIVJM

W=

I:

= (alto—[u 2(uivj)v,-]— [Z(u|vi)vilu]+[2(u|w)v,

i-l

'

i-l

k-ik'

v

:(ul-M]

(utu)— ); (utw)(-~-ulw)- 2 (uIvI)(V1lu)+ Z Z (ulv.)(ul\a)(V.lV;) i-x j-l

k

,2 (u I v-IZ’

que es la igualdad do 121 dcsigualdad dc Bessel. Q.E.D.

EJERoIoIos . .(sEcoIoN 3, CA'P-iT-ULO 5) 1. Considere c1 espacio vcctorial R2 con cl producto intemo canonico. Encucmre e1 éngulo enlrc cada uno do 105 siguicntes pares dc vectores:

Obsérvese que k

k

k

z )3 (u I v.->(u I vj) H teorema _ ‘ . ._ _ c

=

”W"

Hullz = (u l u) = i (u l Vi)(V-' ‘ u) = 2 (u l v.-)2 H i-l _ . obuene Vse E u vector cualquxer 4) =~ 1). Se tienc pot hipétesis que para

m

”g: _2__ 3 3 .+

2 2

2 2

,

i

IlII2=[§]+[—§]+[5]=l k

loqucprueb43) ,. 3) =3 4).1Témese:en_3l)W=u-‘Eaces

.2.

.1. i 3 + 3

2 .2

Enton'ces k

.2.

y

“Elm”

-

i

W [3][3]+[3][3]+[3][3]o

.

.

k

445

.

(Cori CI prodixcto interno canénico) es una base ortonorma1,'pu¢5

-

‘

‘ .

v

. . ., _.

-

_

ALGEBRAUNEAL.

-

444

_

_

‘

~ a I ion fimt de,. ..dimens

4‘1'

con pmducto intemo tienc, segim cl tcorema, ventajas dc carécter “préctiCO '

. o posee unalbase orton.or11r1a con'prbducto intern

le

‘

~ -

EL PROCESO DE GRAM'SCHMIDT

Sea (V, ( ~ I - )) un espa‘cio vcctorial dc dimension finita con producto intemo. Sea

Véase un ejcmpIOLabasc 1 2 2 {3 = {v I) v2 , v3} = U 3.- _ Er; }[ %’ 21;;- -§- ],[ '3“, g, 3 ] } do R3 3’

3

-

‘ fi={vla v2’ ‘ ~ - a v}unabasedeél n Se va a demostrar que el espacio Vtiene una base ortonormal. Para lograr cslo, se exhibird tal base, usando para ello un procedimiento que pcrmitc construir, a

446

ESPACiOS CON PHODUCTO INTERNO

ALGEBRA LINEAL

- . partir' de la base [3, una‘base OrtohorrhaigBéteprocc‘difriiento es ‘conocid’o' como

f‘proceso (de ortonormalizacioh de bases) deGrem-Schmidt’f,

v En taicaso, e1 vector u; procurado' seria‘ simpleme'nte’

" Se anaiizarén primerameme los casos n = 1, 2 y 3. Si n = 1 (e1 especio'Vticne base una a base esta de pasar para V, de base una es {1);} = {3 y dimension 1)

ortonormal 5610 se tiene que ajustar ia norma de vi a1 valor 1. Sea u

‘

=

447

u; =

W2

IlH

Encue’ntrese pues e1 vector W2. Como w; 6 5,9 (m) se puede escribir

A

IIVxll

w, = cul

= {m} Entonces es claro que: 1) 22 (u1) = $9 (v1) = V, 2) ““1“ = 1, de modo que pm es la base ortonormal deseada

para algfin escalar c E R. [E1 valor de c se halla imponiendo la condicion (w; | ul) - 0.]. Entonces :W2=V2-W1=V2’CM1.

‘

Se quiere que (w; I u1) = 0, es decir, Véase ahora el caso n = 2. Se tiene entonces la base {3 = {VH v2} de V y se quiere construir a partir de eila una base ortonormal. [30” ~= {uh uz}. Para construir m, 3610 se ajusta 1a nor-ma de v1 a1 valor 1 (como en el caso anterior), es decir, se normaliza e1 vector v,.

0 = (W2 i ”1) = (V2 " cu,|u,)=(v2|u1)— 0041 IV!) = (V2 I ”1) — C ““1“2 =(v2iur)—c

de donde‘se ve que ei valor .de c debe set

.1,“

filiVlH V}

”

.

dc La idea para construir‘ e1 vector ”2 es-descomponer-cl vector v; como una suma que espacio c1 en ra encuent sc que vector uu es wr donde dos vectores w, + w, en

la genera ul (e1 Vector previamen'te construido) y'w: es un vector-que es ortogona u1.Es decir, V2 = W1 + W2

.I 'c =(v2l‘u1)"',

i A I

I

y entonces e1 vector W2 seria

'

W2=Vz-Cu1=V2"(V2lul)ul

y finalmente "2 =

V2 " (V2 I “1W1

HVz ' (V2 I “Quill

en donde

Se coinprueba que en efecto [3m = {u,, “2} es una base ortonormal dc V.

w. E $9010 Geométricarnente esto se veria como

y

(W2! u1)= 0

Véase por filtimo e1 caso n = 3. A partir de la base {3 = {v,, 1);, v3} de Vse quicre construir una base ortonormai DON = {uh 14;, U3} . Se escribe . Ln

V1 = —“-'

M

» .

(4.1)

El vector u; ee halla como en el caso anterior

u;

-— '— l—-— v2 _ (V2 “om

= IIV2 ~ (v2 I uourn

(4.2)

Para construir cl vector u; (a partir de v; y los vectores previamente construidos

in y uz) Sc use la misma idea que en el caso anterior: se presenta e1 vector v; como

ESP'ACIos CON PHODUCTO'INTERNO

ALGEBRA LINEAL

‘tra en el ospacxo. generado w; esun vector que sé encuen I I-una Sum-aim +.Wz, en donde stra-.ex11a--figura.) I ala m y 'a' u;- (Cotfio se mue I per in y' 112, y w: es ortogon simpIomente

En tel 02150, eI vector u; procurado

449

”pot lo que e'l- vectdr u; procurado es: I

= v3'~ (vs I m - (vs I am: I

seria

“3

W2

‘V’ M

-

IIV3 ' 0’: I in)“: ‘ (V3 I £12)“l

' (43)

Se tiene en efecto que (u; I u.) = (u3'|‘142)= 0, “11;“ = l, por lo que {30” = {u,, 112,113} es una base ortonormal de V. ' '

Con el anélisis de estos 3 cases particulates se puede generalizar e1 procedi-' miento para construir una base ortonormal (30” a partir de una base da'da [5 del espacio Vde dimension 11. De hecho no es difl’cil “adivinar”, a'partir de las fénnulas'(4.1), (4.2) y (4.3), que definen a ul, uz,‘y ”3,1'espectivamentC, que el vector to seria

u4 - (v4 |uou1 — (v4 | u2)u2'— (v4 I us)”; ”“4 ' (W | “Om ‘ (V4 I "2)112 ‘ (V4 I "201““

N4

Mzis generalmente, supén'g'ase queya se han Constru'ido los primeros k vectores u], “2, . . -. , uk (1 S k < n) .de la base 'ortonor-‘mal. EntonCes e1 vector um so construirzi

a partir de ellos y del Vector V“; de la base dada, siendo

Esctibase entonces V; = W] + W2

-‘ vo‘ctorw.2‘ - * «,1 ' I m) —“ 0 yltm"llos‘o cn do-nde w, E 22 (m, u;) y (w; | 141) = (W2 c y dzfia LS guy ' ' Como WI 622041, 112) existen escalates

I

‘

_ .

Mk 1

I

= vm - (Van: “any: - (k I 1221142 — . . . ~ (VIM Imam: I v . “vkflf- (vm |u1)u1 ~(vk+1 |uz)u2 -

. -(vk'.1_|uk)1q|| _

La‘ discusién anterior 's‘e resume eh cl sigoiéhte teoréma:

'I - Ivl"="éul+dtt'2- " ~

I I S

ndo 1as condiciones (w; l m) = 0 est'os escalares so halla n imponie

Los valorcs'lde

TEOREMA 4.2

y (W2 I "2) = 0‘ Como

cu; - dug W2 ‘1 V3 " W1 = V3 “

)

seliene'

=(v,|u1)— C(m | m) 0 =(W2Iu1)= (v, — cu, — duzlul)

—

(1(II1IM1 I

=

(v I“)

c

3 >

‘

1

-

448

Sea [3 = [v,,. v2, . . . , v") una baéc del espacio Vcon producto interno ( - | ' ). Entonces el conjumo :30" = {111, M2, . . . , uh}. en donde 10s vectores uh uz, . . . , to. son definidos inductivamente como u

‘

= 1L

uvlu

‘

IqII2 = 1

=0

Y

o= (W2Iu2) = 05- cut _ duz I m) = (v3 I 112) — can I 142) — don I m) = (V: I "2) ‘ ‘1 ,

,

=

. “2

V§“(Y2IH1)L¢1

'

”Ia—(mum!

it: = w “(V3Iu1)lll"(V3[u2)U2 IIV3 “ (V3 I will ‘ (V3 I “23th”

=_0 , IImII2=I

I do donde -

k’l

c=(v3[ug)

V: " 2 (W: I ”0141*

d=(V3Iu2) ilk:

-y entonces

i-l k-l

IIVk ‘ 2 M I WWII I"!

W2 = v - w: = V: *(V3I“1)”1'(V3I“2)"3

450

ALGEBRA UNEAL

ESPAC¥OS CON PRODUCTO INTERNO

Ii-l'

_

’17““ l llj)'*'l\7 '2; (VkullliXuiilij)

I

v,, - 2 (v, | u,)u, i-l

ll" _

1

1

= fi+1%(1, 1,0)

V2"(V2lll1)l41 = x~[f; xdr](1) = x-

) = (1,1,1)—-;-(2)(1,1,0) = (1,1,1)~(1, 1,0) = (0,0,1

‘lQh—a

'7 Para 11211121171112 calcule

La norma de estc vector es:

ado es: Como la norma de este vector cs 1, cl vector u; procur “2 = (0’ O, 1)

pot 10 quc e1 vector u; seté

Pot filtimo, para hallar u; so calcula

'Vs ‘(V31M1)u1“(vslu2)uz =(o,1.1)— 71~Z=t++(1)(0)17‘-2-(1, 1,0) ’- [(0)(0) + (1X0) + (D0)] (0, 0, 1) _ [ -li 1 2,2,0] (0)021) a1)—2(1:1:0)

Para hallar 143 calcule

v3 — (V3lu1)u1-(V3|uz)u; = x2 ~ [Jixz dx] (1) — fif[f;x2[x — %] dx]

”(03.1

new? i]

Entonces _

= xzi-é—{x—i] = xz—x+— Como

y asi,

, ._1_..

[SON "

{ff—(1,1,0),(0,0,1),‘ff[

-1 i

2’ 2’0]}

es una base ortonormal dc R3.

Considere ahora e1 espacio vcctorial P2 con el producto interno

as = #180 [xZ-x+%]

l

(p l q) = L) p(x)q(x)dx .

- dc modo qfie

Transforme la base canonical dc P2, [3 = { 1, x, H en una base ortonormaL

p0” = {1,n7[x—%],n§6[x2 —'H%]1

Como

1

2 '

"VIII 1/10 (1) =

e1 vector u, de la base ortonormal es u, = 1.

dx

_

=

1

es una base ortonormal dc P2.

_ WWW." N..w...-«

EJEMPLO 4

sc ticne que

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

454 ALGEBRA UNEAL

Entonces la mattiz P tiene‘ pot elementos en su j—c’sima columna a (u, I v,), i -'

'4.2. MATRICES ORTOGONALES

(“l2)y~ ' .,(qV.,,)

Considérese el espacio R3 con el producto intemo canc’mico. Ciertamente la base

Es decir,

151= {(1,010),(0,1.0),(0,0,1)} P =

es una base ortonormal de R3. En la seccién anterior se vio que 52

455

= .1.

{5(11110)3(01011)1‘/§-[

~13—

2’2’O]}

’

P'P=

cada vector de la base [32 en términos de la base fix y colocando los vectores de cootdenadas correspondientes como columnas de la matriz P. En este caso se tiene

1/«2‘

0

47/2

1/12". o

o 1

52 0

0

0

1

(11,, 1 1),) (11,4112)

(m 1 V”)

(11211").

. . .

(11,. l V")

(”1W0

(mlvz)

(ullvn)

(mlvx)

(1121111)

(1121121)

.(uz'lv?)

(uln)

. (H1 l V1)

. ("2. l V2)

(unlvo (unlw)

(unlvn)

(unlvl)

.1

1 1

(mlvn) (zelvn)

("n l "2)

(n..|v..)

= 112-1 (u.- l V)(H1' I V-11 1 1 011 = (u:[V1)(ujlv1)+(u1|V2)(ujlv2)+~- . +(u1lvn)(u-lv..)

J272

2"; (m 1v11(v11u,-1= - ' ivz=-(o,1;o,1)k

. Supéhgaée por I'll-limo que w GIWh Wkenfbhceslw 1 w) QO‘QIQ ctxal impliea que 7 W =’ 0. Es dec‘if, q'U'e W n Wl =' {0}, y'éntdnc'es pot e1 teOfema 3.6 dél capitfilo 3 se tiene V = W 69 Wi

Q.E.D.

Suponga que se quiere expresar e1 vector. v = (2‘ 3, «1, 4) E R“ como v = v1 + v'z, en donde V] E Wy v2 6 Wi. Para aplicar las. ideas anteriormente analizadas, se necesita primeramente disponcr de una base ortonormal de W. Sea [3 = [14,, L43} ta! base. Sc precede

entonces con el proceso dc Gram-Schmidt a obtencr D.

De hecho, se puede ser més explicito con la conclu'sién del teorema anterior.

Sea [3? [u1,u2, . . . , uk} una base ortonormal dcl subespacio W. Entonccs todo

ul

1 1 0=-—-=————-—-—— [5(1) 1 :0 ,0 ) ) ”(1,1,0’0)”(1>120’

vector v E Vsc puedc escribir de manera finica como

V1€WV2€WL

V=V1+V2,

V2

= ~1101 2:2! , : J 1 — (Vzllll)u1 =(0101)~ EE —'(1100) a 9 ) —1—-—1

11

1

en donde

- v; =, Z (VluQm f -

i--l-

_ 2 -11

“2 is.“ [ WM [ MI 292)

’

'

= .

Entonces V2=V-V1

En efecto, ciertameme v = v, + v2 y vi 6 W, pues v; es una combinacién lineal de

los vcctores de la base {3 de W. 8610 falta verificar que v2 = v — v; E Wi.

_L 1,1,0,0), 1/ _2_3 [ __1._1. 2,2,o,1]] p—_ {,2—( es una base ortonormal de W.

460

ESPACIQS CON PRODUCTO INTERNO 461

ALGEBRAUNEAL. .

,

‘ Elvectér-v, E-Wseré-,seg1'm cl artél‘istsyanter10r-._. V

J] AO (“/23 22 MF 2 2 3

s 1

= (N11014:+(Vill2)“2=[T-2‘]fi(l,lro, )

2,210,,1 :(L&OJ) 5 ,1,0,0>+3[ —i = 5(1

ES-decir, queW’f es precisa-menteel espacio solueién del 'sistema (S). . Ademés es. claro que los vectores Ci, 1' = 1, 2, . . . , m, son los vectores linca dc la matriz A del sistema (S), dc modo que Wes e1 espacio linea de A. Como, segt'm e1 teorema 4.5 se tiene

R" = We) Wl se debe tcner entonces, por el corolario del teorema 5.6 del capitulo 3, que

a de v con v. E1 vector v2 6 Wise obtiene por diferenci

n = dim R" = dim W+ dim Wi

= (l,—1, —1, 1) v2=v-v.= (2,3,-1,4)—(1,4,0, 3) .

Etttonces, se tiene

dim W1 = n - dim W

+ (19 ’1: "1: 1) (2: 3: '19 4) = (154i0, 3)

dc . . . , ' —1, — 1,1)6 Wi. ,4,0,3 €Wy(1, mas slste do ia teor n dcl teorcma 4.5 a la en dIgfrdfifiltno se virzi una aplicacié ccuaciones linealcs. ' ‘alcs con n incé g nilns ' cs' lme m ecuaclon C nsidércse e1 sistema homogéneo de

aztxl + anxz + - - - + 02»i = 0

(S)

annx. + (Luz-‘72 + - - - + amnxn = 0

.2m '=1y 2.. 9

"

l

puc VLISC Coulo tcllla d0 ecuacloncs

elm—.0. t

'_'(62IX).=.10.- ‘

(cmméo en donde X = (x., x:, . . . , A9,).

CSG quc C , - . . 3 C In - ObSLt‘V/ pot 105 Vectotm C l , 2 1 O d (a R g C nCtado Sea " 61 SUbCSpaC

’

,

O

u

v

para ajustar curvas a una seric de dalos experimentales. ' ‘ Sea Vun espacib vectorial de dimension finita con cl producto intcmo ( - I - )

e1 vector Vw’ E' Wes la mejor apr'oximacidn delvedbr v par vectores de W si

E R Ci=(ail, ai2,--«,ain)

1

En esteapén'dice seaexplota‘rzi la idea dc “mejor.‘apr'oximaci‘én” quc so cstableccrzi mz'ts adelantecon e1 objeto 'de obtener e‘l fitil métodode minimos cuadrados, usado y sea Wun subcspacio de él. Tomese un vector (arbitrario) fijo v E V. Sc dice quc

Scan 105 vectores cl, definidos como

—

Es decir, la dimension del espacio solucién del sistema (S) cs n mcnos Ia dimension dcl espacio l-fnea deA (= tango de A). En el teorcma 7.6 del capitulo 4 se habl'a ya establecido este resulta'do con un arg‘umento completamente distinto a1 aqut’ presentado.

APENbIC‘E. ‘ EL‘ME‘TO‘DO' DE ‘Mi‘N'IMVOS' CU'ADRADofS

V-' -+ “tux" = O .- all-xll.+lallxul + v

X ~ ()1. x2

de donde

' E W .1. , x") es solucién del srstema (S) a X

Iqsm—w

VWEW

A1 recordaqo 1a norma de la diferencia entre dos vectore's es la distancia entrc

ellos, la definicién anterior establ‘ece que el vector Va! 6 Was la mejor aproxima-

cién del vector V' E V pot vectores de Wsi- él es el Vbbtord'e Wmds pfidximo a v.

Es deeiri, de entre todos Ios vector‘e‘s del s‘ubes’pa‘cio W, e1 was; vw IE Wes e1 vector cuyamdistaneiaa ves'lérme'nor po‘s‘iblei' ‘ “ ' "’ I ' "''

Véanse un par de casos concrctos, en los que la geometria dcl problema ayuda a descub‘rir a! vector vw.

Sea V = R2 con el producto inter-no canonico, y sea W e1 subespacio de V representado geométrica’mente por el eje x. Para'un vector arbitrario v E R2 es fécil ver (de la figura siguiente) que el vector vw ——la mejor aproximacién de v por vectores de W— 65 la proy’eccién ortogonal del vector v sobre el eje x, pues

es claro que la distancia més corta de v a Wes ”v — vwfl.

462

ESPACIOS CON Pnooucro [NTEHNO 463

ALGEBHA LINEAL Port). "

(w. 1w>s11suw1| uwn ilV- ll

y entonccs

IIV-wil

”V — WIP 2 HM“2 + “MW + “WW - 211M” ”W“ = iliF + (“will - “WHY 2 ”MHz = “V - will2

>W

Es decir,

Una situacién similar se presenta en el caso del espacio vectorial R3 con el producto interno canonico, siendo W un plano que pasa por el origen: l‘a proyeccion

I

VwE W

||v—w,||. V (V dc dimensién finita) que preserva distancia's, es decir tal que

l lsir= j Osiraéj

d(T(V). T00) = (10’. u) nal. Entonces llTuu = Hull, qUedando asi probado que Tes ortogo

se llama transformacio’n isome’trica (o' isometria). El siguiente teorema dice que la propiedad de una transformacién lineal, set or't'o'g'onal y ser isométrica», son

Q.E.D. EJEMPLO 1

V V, u E V

equivalentes.

cto intemo canénico la Considere, p‘or ejemplo, en el espacio R2 con el produ

_ TEOREMA5.2' .

transformacién T. R2 -—-'> R? dado pot

T(x. y): (x, W)

La transformacion lineal T: V -—> V,- en donde Ves un espacio vectorial de

dimensiéh finita con produeto inieino, es una transformacién ortogonal 1 ~ si, y sélo si es isométrica.

T es iina tran‘sformacién or'togonal pues

1711201 = 11x, —y>n = «12 + (—17 = w +y2 = 11x, ylll

11m) e R2

DEMOSTRACIGN Supéngase que Tes ortogoml. Entonces, para v, u E V, d(T(v), T(u)) =1 |lT(v) - T(u)|| = ||T(v -'- u)” = ”v — u“ = d(v, u) lo que muestra que Tes isot‘nétrica.

Reciprocamente, supéngase que Tes isome'trica. Entonces,

Geometricamente, T es una reflexié'n respecto del eje x.

||T(V)“ = IITO’) ~ Oil = l|T(V) - Tiolll '= d(’T(V), W») = 610’, 0) = “V - 0H = llvll lo que muestra que Tes ortOgon‘al (X. y)

Q.E.D. En la seccién 6 del capitulo anterior se habia definido (definicién 6.4) el determi-

'

-.'_-——~—.

nante de una transfo‘rm’acion lineal T: V —> V (V dc dimensic’m finita) como el determinante de la matriz que representa a Ten cualquier base de V. Si se toma _' una base ortonomial (3 de V, el determinante de la transforcidn ortogonal T: V

nx. yi= 4x. ~21 .

' —» Vsera el determinante de la matriz ortogonal A= [i Pero, segu'n e1 tcorema _

4.4, dei‘A es 1 O — 1’. Ehtohces déi Tes I o -— 1 . Seha prcb‘adc 2131 el Si’gfiiefité‘teofefii‘a: Obsérvese que si v1 = (x,, y;) y 122 = (x2, y2) se tiene

(TV1 i TVz) "‘ «xi: *Y1) 1 (x2 - Y2» = (150052) + (‘Yl)(‘y2) = x!“ + yM = (V‘ i V2) lo asegura el ieerema 5.1. Es decir,»que Tpreserva el producto interno, tal como (que es de la base canonlca También, segfin este teorema, la matriz de Trespecto

TEOR EMA 5.3

Si T: V —i Ves una transformacién ottogo‘nal, ent'onc’es

detT= 10-1

482

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 483

ALGEBRA LINEAL = 1,: se llama rotacio’n..-' A Anna tfahsformacioh oftog'onal T: R}! '4’ _R"-,-,tal_que det T

R2, Torto'gonal', det T' . Esta defihici'én esté ‘insp'irada en el caso particular-T: R2 .—i E R2 es una rotacion v = 1, en el cual el efecto geométrico de Tsobre un vector acién. de éste por un éngulo 6, como se veré a continu tal que del T = 1. Sea [1 = {v,, Sea T: R2 —> R2 una transformacion ortogonal

b), T(v2) = (c, d). w} una base ortonormal de R2, y se escr'xbe T(v;) = (a, es [5 base la de o respect T Entonces 1a matriz de

c

a

_

[TJE=A-[b

d]

A’ = A". Se sabe que Segt’m e1 teorema 5.1, A es unamatriz orto'go‘nal, es decir 'l

H:

T

I ' 5c

x“

cosB I —senfl6r

=

E

(x,_y) A[y]

[sene

c056‘ WISH-16 I

=

[xsme ~ycose]

0050] [y]

For 10 tanto, e1 vector (x’, y') = T(x, y) es tal que x'=xcosG-ysen6-y’=xsene+ycose vector de R2 que se obtiene del vector (x, y) E R2 un es y’) (x’, que vet Es fécil

girando éste un éngulo 6. En efecto, considérese la siguiente figura:

-c

d

1

:

(1]

del A {ch

A

y entoriccs 1e transform‘acién T: R? 11-» R’puede'describirse coxho

Como detA = 1, se tiene'entonces

i '1x

=db=d—c=_l

A’

[c d]

a]

[—b

A

de donde se obfi'ene que a = d y- b '= —'c. Es'deci'r, ‘

'A TIT-[‘2' 2]

L'lémese K '21. 1a nonfia dc V. Es decir, K =‘ [MI =1 Hv’flfi Dela figura se tiene K sen. a =. l

en donde a y b deben ser‘ ta‘l‘es que det A = a2 + b1 = 1

Al escribir el vector (a,- b) E R2 en coordenadas polares se tiene a=rcose

;x

sen(a+6)=xIE

K cos on = E. cos(a+6)=£K~

Entonces, x’=Kcos(a+6)=(Kcosa)cose—(Ksena)sen6=xcosevysene

b=rsen6

y'=Ksen(a+6)=(Ksena)cosB+(Kcosa)scn9=ycose+xsene

Pero,

que son las expresio‘nes que definen a la‘s coordenadas de T(x, y).

r = Via“ b2 = 1 Ehtohces,

,

7’

’. »,

a=eos..6"‘

I

b = sen 6

de modo que la matriz A de Tes: A =

c056 sen 9

—sen6 cos 6

Se tiene entonces 1a siguiente situacién geométrica:

ESPACIQS CON PRODUCTO lNTERNO 485

‘ 1

‘ 484 .ALGEBRAU'NEAL

. se Ve quc‘la matriz. quc representa a R-° S (quc'es e1 producto (16' la malt-i2 que te— presenta a R por la matriz que representa a S) es precisamente A = matriz quc teprescnta a la transformacio’n ortogonal T: R2 -» R’, en el caso dc det T = — 1. Se puede concluir entonces qua

tal que I Esto ju'stlficé 'entoh'ées *(‘iue'a' la ttansformééién o'rtégoha-l T: R' A». R'- final de al ios ejercic se —véan trar demos Ie llama rotacio’n (se puede dez T= 1, se

det T = 1, el efecto esta seccién— que también en el caso T: R3 —-* R3, Tortogonal, se! —— es tamblén dibujar puede cual gel -— R3 E v vector el geométrlco de Tsobre una rotacién).

T=ROS

R2 tal que Véase ahora el caso de la transformacién ortogonal T: R2 —> .det T = — 1. a la fétmula Repltase el mismo argumento del caso det T= l, hasta que se lleguc

dc A". Como en este caso det A = -1, se tiene

___

d]

c

[ b

'11]

Al cscribir ‘elvvector.(d, b) en coogdgnadas pola‘resi se'vé: queA pneklc

eScribirse

‘

A=

c036 sen‘B

yv= (/7,2v/7),seve que

$272

W mlla—il I272

en donde,de_tA = -a2 - b? = 71, o §ea a2 + 121 = 1. '

[w]

=62

A

“[35]

como-'

Por ejemplo, si T: R2 —-> R1 es la transformacién‘ortogonal T(v) = Av en donde

4

z

base (5 cs: de donde a = —d, c = b. Es decir, que la matriz de Trespecto de la

'

geometricamente una reflexién respecto del eje x seguida de una rotacién. EJEMPLO 2

-d

=

b

a

A: ' [c

Es decir, en el caso det T = -1, la transformacién ortogonal T: R2 —’ R2 es

”272

ff

En e's'_te casd,-det T= — 1, dc ‘modo quelel efecto geo'métrico dc TSObre v as primero lina reflexién de é's'te reSpe'cto dc] e‘je x'yj‘lueg'o una f‘o‘tacién (en estc also de n/4), , ' - .' . - ' . - - . ‘ " 'como Se muestra en la siguient'e-figura:

sane ~cose

(x, —y), o bicn‘, S(v) = Sc habia visto ya que la transformacién S: R2 —> R2, S(x, y) -= Bv,endondc

=

0

1

B [o 4] es una transformacién ortogonal Ia cual representa geométricame

ntc una ret‘lexién

Obsérvesc quc I tespecto del eje x (véasc ejcmplo después del teorema 5.1). -,

_

90.5.6

~sen6

~5::e .0056

1

0

=

0 91"

0956

senG

=A

_ 36:18 1030,.

o'ride a la La primera matriz que aparece en este producto és la matriz qte corresp es una rrlmtrlz det R = l, esto es, transformacio’n ortogonal R: R2 ——> R", en el caso dc rotacién. For 10 tanto, si se considera la co‘mposicién R _ S R2 t a? , R2 (rolaeién)

(rellexlén)

Ros.

JSM - «2‘. 4/?)

.EJEBClCIQS (SECC’IZC'JN 5,_CAPlTUL'O'5_) 1. Considere la transformhcién lineal T: R2 —+ R2 para la cual

_ _1_ T _1_ .1. ,. _1_ f2" v’i‘ f2" (7

T__1_; . 4.; «w: [my] Demuestre que Tes una transformacién ortogonal.

’

ALGEBRA LINEAL ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 487

- (Sagerencia: considere T: V—+ V, T(v) 1= 2v.) Describa cl efecto geométrico de la transformaclén T: R2 —+ R2, T(X) == AX en donde

[1

b) A

[l/lf

Compruebe que Tes una transformacién ortogonal.

(Sugerencia: véase ejercicio 1 de la seccién anterior.) . Sea T: R3 —~ R313 transformaclOn lineal T(X) = AX, en donde

10 o A=062~m 0672/92 Demuestre que Tes una transformacién ortogonal. (Sugerencia: Ve'ase ejercicio 18 de la secclén anterior).

. Dé tres argumentos distintos que m‘u‘estre’n que la transforma'cién identidad Id: V —> V, en donde Ves un espacio vectorial de dimension finita con el producto interno ( ~ I ' ), es una transfonnacién ortogonal. (Sugeren‘cia: vé‘ase teorema 5.1.)

0 —1

a) A

tantra)» = (v.- I v.)

i. f= 1.2; 3

Pruebe que Tes una transformacién ortogonal. . Determine el vector (u, b) E R2 tal que la transformacién T: R2 —. R2 para la cual l

‘

War]

sea una transformacién ortogonal.

Determine una transformacién ortogonal T: R3 .. R3 para la cual

7m) = %(2v1+ v2 +' 2V3)

Tlvi) =71=2(vr—v2): ' . Se dice que la transformacién lineal T: V a V, en donde Ves un espacio vectorial de dimension finita con producto intemo ( - l ' ), es una transformacio’n canforme, si T preserva angulos, es de‘cir, si para cualesquiera dos vectores v y u (16 Vcl angulo cntre v y u es el mismo que el angulo enlre T(v) y T(u).

a) Demuestre que 51 T: V -v Ves una transformacién ortogonal entonccs Tcs una

transformacién conforme.

- 3/2

V2]

[372 4/2

detTl°T2=detT29T1= 1.

11. Interprete geométricamente el ejer‘cicio anterior en el caso en el que Ves el espacio

Vectorial R2 con el producto interno canénico. . ® 12. [15513 suma de dos transforrnaciones onogonales una transformacién ortogonal? Si es asl, demuéstrelo. Caso 'c'o‘ntra‘rio, dé 'un contraejcmplo.

13. Describa e1 efecto geométrico de la transformacién T: R2 6 R2, T(X) =‘ AX en donde 1 0]

_ 1/2 c)A-[

5/2, .57 .

.

V b’*".‘[l‘§yz‘” -552]. -.

5/2 i]

,. ryz

V2 .

" d) A {la ~3/2]

® 14. ' Si T: V 4» Vcs un opetadbr lineal en el espacio veetorial Vde dilncnsio'n 3‘, cs posible ' demostrar- (véase ejerclcio 25 de la scccién 1 del siguiente capftulo) quc existc una base ortonormal [3 de Vrespecto de la cual 1a matriz quc rcprescnta a Tcs do Ia for-ma

1

. Sea [3 = {vb v2, v3} una base ortonormal (16 R3.

1/2

[5/2

10. Sean T1, T2: V —> Vdos transformaciones ortogonales tales que det T1 = det T2 = l. Demueslre que T, 0 T2 y T2 0 T1 son también transformaciones ortogonales y que

711,0) = [7:275]

7(0. 1) = (tab)

=

d) A g [ Ix? ”372]

b d f

00$

Sea 13 = {111, V2, v3} nna base o'rt‘ononnal Ida-V; Supon‘ga que

C) A

WI ~e

. _ 0 a)A—-[1

. Sea Vun espacio vectorial de dimension 3 con producto'interno( ~ 1 ' ).

_

o]

03mm

0

W 2W 121"“[1‘3'31rl-‘5:l hm W a “H3 art-:21

b) [,Es valida la afinnacién 1‘eeiproca del inciso a)?--:

n

. Consldere la transformacién lineal T M2 3:; 7-3 M; x 2 para la cual

>—

486

Use este hecho para demostrar que la matriz que represcnla a una lransl‘onnacién ortogonal T: R3 —> R3 para la cual det T= 1 es dc la forma

1

0

0

0 0

cos 6 sen 0

*sen 9 cos 6

para alglin 6. LCual es el efe‘cto geomérrico de la transformacion T?

._I Sea A una matriz antisimétriea de orden n (A! = ~A‘) , . . .a) Dibmuesire qu'e...para.cualquicr vectorLX E R" se Ilene (AX- |- X) = 0-(clvproducto‘ intemo canonico dc R"). b) Compruebc que para X E R".

"(A — 1)q = IMF + "X“2 c) Concluya del inciso anterior que la matriz A — 1 cs inversible. [Sugar'encim demuestre que (A - I) X = 0 = X = 0.]

488

ESPAczos CON PRODUCTO INTERNO 489

A'LGEBRAVLINEALV d) .Dernueétrcique peracualquierx E R" setiehe

DEMOS TRA CION ‘ Se darén dos demostraciones distintas de la existeneiai delivecto’r'uo.‘

'i, ' .,

“(A + DXII2 = “(A - 0X“:

DEMOS TRACION 1

r lineal T(X) = UX, 6) Sea U = (A + I)(A — I)‘l E M,, x". Sea T: R" -—> R” el operado pruebe quc Tes una isometria.

SegL'm e1 corolario dcl teorema 4.2 existe una base ortonormal [3 = {vb v2, . . . v,,} ’ de V. Sea

(Sugerencia: use el inclso anterior). t)

”0 = fll +flV2)V2 + . . . +flvn)v,, = E"; flvi)v,-

I es inversible. Demuestre que U ~ I a 2 (A - l)-l. Concluya entonces quc U -

rnl

r T: R'I -» R", g) Compruebe que si U es una matriz ortogonal (o bien, si e1 operado + I)(U ~ I)", (U A si y lc inversib cs I U que tal a), T(X) ‘== UX es una isometrl trlca. antisimé matriz una es A entonces A.) (Nota: A la matriz U se le llama transformada de Cayley de la matriz

y sea g: V —’ R el funcional lineal en Vdaclo per

80’) = (v I no) Se afirma quef= g. En efecto, para cualquier vector v e Vse time

APENDICE.

FUNCIONALES LINEALES EN ES’PACIOS CON PRODU‘CTO INTERNO

n

v = clv1+cm+...+c,.v,, = z CjVj

1-1 Entonces

Sea (V, ( - | - )) uh espacio‘ con “p‘rodu’cto intemo. s f: V -+ . 7. Co‘n' cl producto inter-no mVSC pueden construir funcionales lincgle

R de‘lasigpiente manera; ‘

Sea u", un vector 'fijo de V3; derma'séfi- V» R'corno ' '

"800' = '(Vluo) =: 20')"; ifiW)": 1-‘1

flv) '= (V l “0)

flcv)=(cvluo)=c(v|uo)=cflv)

VceR,

lo que prueba que g(v) = flv) V v E V, GS (160-113 que g =f-

V V1, V2 5 V

VveV

DEMOS TRACIéNz

Considérese-el nficleo def

alcs Esta construccién da entonces una gran cantidad de ejemplos de funcion finita, ion dimens de Ves si que aré lineales en el espacio V. Més min, se demostr

es esta “gran cantidad” abarca de hecho a todos los‘ funcionales lineales en V;

ion decir, que para cualquier funcional linealfen el espacio vectorial Vde dimens

V tal quef(v) = ‘ finita eon producto interno (- |-- ), existe un (finico) vector uo €

' (m2?) v’v- e, V. _ TEOREMA A1

j-x‘ M

)3 cif=f j-‘I2 cm =fiv) = j-l

:

interno E1 hecho de quefes lineal se sigue de las propiedades del producto

flvl + V2) = (Vi +""2 I “0) = (v.1u0)+(v2|uo) “film ”("9

b iiCflvxvjlw) V '

:41

Kerf= {v6 Vlflv)=0} Se sabe que Kerfes un subespacio de V. Si Kerf ='- V, entoncesflv) = 0, V v e V, V. y en tal caso, cl teorema se cumple con uo = 0.(e_sto es,f(v) = (v | 0) Vv E V).

- considerese entonces el Aoaso en el que Kerf % .V-. .

.

-

En-tal case, elf subespa'cio. (Ke'r J‘)l es distinto idel subespaelojtrivial {0}“ (dc

Sea Vun espacio vectorial dc dimension finita con p'roducto interno ( ' l - ), y sea f: V —-> R una funcién lineal, entonces existe un finico vector no 6 Vtal que flv)=(v|uo)

VvEV

hecho dtm (Kerfli == 1, L'por‘qué?) Existe entonces un vector w E (Kerfil', w 9* 0. Sea v E Vy considere el vector u = flv)w - flw)v Obsérvese que

flu) =flflv)w -l)V) “ml/(W) film/(V) = 0

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 491 490

ALGEBRA LINEAL

I For ejemplo, considé'rese el espacio C_([0,1]) de 1213 foncionos co'ntinuas on cl » » . " intervalo [0,1] con el produdo inferno

' p01 10 qiie u E Ke'r-f Entonees ('u | w) .='= 0. Esi'decir, .. (flv)w -flw)v] w) = 0

l

0‘ I 3)

=

. dx f0 fix)g(t)

expresién que pucdc reescribirse como

Se veré que existe (al menos) un funcional lineal F2 C([O, 1]) —+ R que no puede ser reptesentado como 1111 proclucto intcmo en-'C([O, 1]). Es decir, que no existc g E C([O, 1]) talque

flVXW l W) = MN" I W) obien,

F(f)=(f|g)

1” I I WI Z =

V

W

V

Sea F: C([O, 1]) —’ R cl funeional lineal dado por

FU) =fl1/2)

Dcfinase

“0:

f6 C(IO, 1])

y supéngase, pot contradiccién, que existe g E C([O,.1]) tal que

MW IIWIIZW

1

(obsérvese quc uo E (Ker f)1). Se ha probado entonces que para cualquier otro vectorv E V'se time

En particular, siflx) = (x — 1/2)2g(x) E C([O, 1]);setend1ia

'- (fig) = 137‘" '— 1/2>2g(x)‘g R3 respecto de la base [3; es:

_ B‘1 = [7“]‘3, =

Considérese e1 operador lineal T: R3 —+ R3 dado por:

1 0 O

0 1/2 0

l 0 1/3

TOGY:Z)=(x‘z:x*‘2}’+zs2x‘l‘2y+ 31)

La matriz que represe’rita a T’respecto de la base cam’mica [51 de R3

1 A=[Tlp.= 1 2

sentacién matricial de Tdada per la matrlz A, Sin embargo, debe resultar claro que

0 ~1, 2 l 2 3

la cantidad de trabajo que se requiere para llegar a establecer, por ejemplo, la inversibilidad de Ta partir de la matriz'A, es inuoho mayor respecto del irabajo requerido para concluir la inversibilidad de Ta partir de la matriz B.

_ Véase cual es larepresentacién matricialdel operador. Trespecto de la‘base [32 f

m, {mg} en donde:

I

V1;(l,-1,0)

Vz = (2, -1, 4)

v3 = (1, -.1,- —2)

Es decir, las imagenes de cada 'uno de los vectores de la base [32 resullan ser ' ' milltiplos de ellos mismo's}

Para un vector arbitrario (x0, yo, Zn) 6 R3 se tiene que: 1

1

((x0, Yo, 10))“: =

—y0 + .510: x0 + Yo )- 510 — x0 — yo

En general, uno se podria pregunfar si sie'rnpre es‘ posiblc co‘nscguir'uria' baSe dcl espacio vectorial V, tal que la representacién matricial dcl operador' T: V ——> V

sea una matriz diagonal. Esta misma pregunta se pucde plantear en términos “puramente matriciales”: bajo la relacién de semejanza en el conjunto dc matrices

cua’dra‘das (véase seccic’m 4 del capitulo 4), las matrices A y B del ejemplo anterior pcrtenecen a la misma clase de equivalenclalesto es, A y B son semejantes). Sc

Entonccs,

((L’LODa; = (1,0,0)

KW) = 7(L‘LO) = (1,—1.0)

' 7M) =" 712,91, —'2)' = (4, —2, ~4) - m3) = 7m, 11-—2)-= (‘3's"3;"'6)

'«4, 72,4)»: ‘= (0,2, or ((3, —-3-,‘—"6))p-,=9= (0;?or'3)

B=lTlrlz=

OOH-

de modo que la mattiz dc Trespccto de la base {3; es:

494

OhsérVese que. los vectores de la base [52, re’sp‘e‘cto de la cual T tiene una

' representacién111atlri'cial’a'gradable, tienen la particularidad‘siguientc:

» * Itvi‘) m1;-1;0>)= (lg—1,0) a“ v1 m2) = m2, —1,—2» = (4,—2, ~4) = 2(2, ~1,—2> = 2v: ma) = m1,~1,~2» = (3,—3.—-6) = 3(1,—1,—2> = 3v;

‘-

I

Ciertamente. estav informacién se podrla haber obtenido también de la repre—

0

0

2

0

O

ha visto entonces que en la clase dc equivalencia de la matriz A existe una matriz diagonal (la matrizB). En general, uno se pregunta si dada una matriz cuadrada . A, existe una matriz diagonal B semejante a A, esto es,‘iina matrii diagonal B en ‘ ‘ ' la elase de equivalencia deA. ‘ ‘ esta a respuesta dar es capitulo este de Uno de los objetivos principales pregunta (la respuesta sera ——desgrac’iadamente— N0).

El primer paso que 56 data es estudia‘r lo 'r‘elacionado con vectores v E V cuyas imégenes bajo lavtransfonnaci’o'n lineal T: V 4 Vsean mfiltiplos de ellos mismos

(cnelejemplo analizado anteriormente, e’sta es la caracteristica de los vectores dc

la base {32 respecto de la cual la matriz‘que’repres’enta a Tes diagonal).

VALORES Y VECTORES PROPIOS

496

ALGEanA UNEAL

-

-' _ esdecir,' "

PfiELlllIllNARfES” 1Q D'EFlNlCléN Y'RESULTAD‘OS DEFINICIGN 1.1.a)

497

[lslvla = la

io (valor n. El m’unero a es llamado valor prop Sea A una matriz cuadrada de orden AX = que existe un vector X G. R" no nulo tal caractedstico o eigenvalor) do A 51 o o istic cter cara le llama vector propio (vector 7»X. En tal easo, a1 vector X se . asociado) al valor propio 7». eigenvector) correspondientc (o

lo cual se puede escribir come

[T0019 = [Mp

El

de donde

dc dimension n. rador lineal en el espacio vectorial V DEFlN/CICN1.1.b) Sea T: V a Vun ope rpropio (valor caracterlstico o eigenvalor) de Tsi existe mimero 7» es llamado valo

T(v) = 7w

a vector = 7M En tal caso, al vector v se le llam un vector v 6 Vno’n'ulo, tal que T(v) ) iente (o asociado a1 valor

tor) correspond propio (vector carac‘terlstico o eigenvec propio 7».

E V (que es no nulo pues lo que muestra que 7. es un valor propio dc Ty que v

X = (V)p es no nulo) es un vector propio a‘soeiado a 7». dc, la base [3. Sea Mas aim, supongasc que se toma otra base [3’ de Vdistinta

-‘ definiciones 1.1. a) y 1.1. b), proporcio Exists una cquivalencia’ natural entre’las se n. scgfi , ales line es s ”transformacioh nada por la correspondencia matrice torial de dimension n y sea T: V

B = [Thu Se sabe que

acio vec muestra a contiriuacién~: sea Vu‘n esp 5, . . . , v,.} es una‘ base de V, considérese {V57 " [5 Si V. en —+ Vun operador’ lineal e entonces que

A = P'IBP

nces existe X E

[3. Se don la matriz A de Trespecto dc la base

para alguna matriz inversible P. Si 7 es un valor propio de A,ento R" no nulo, tal que

ri valor propio do A = [1],; 7» es un valor ptopiodp T a 7» esu

'En efecto,zsup6ng_a5e que 7; es un valor

AX'= ax

io -

propio dc" Ty Que-v 'E‘ Ves u'n'v'ector pro‘p

definicion 1.1. b), so tiene asociado a 7. Entonccs, se‘gt'm 1a

. ’

obien,

(P'lBP)X = xx

T(v) = 7w

izquier‘da por la expresién que se puede reescribir como (multiplicando por la

de donde

matnz P y asociando)

[T(v)]u= [Mn

B(PX) = MPX)

,

0

(Lpor que?) dc manera Como X at 0 y P es una matriz inversible, cntonces PX 9* 0

(113:: 7. es tamblén un valor propio de la matriz B (y PX es un vector

[715l =' lp

'

a ).

propio asociado

'

b), como: Obsérvese cntonces que se puede replantear la definicién 1.1.

es decir,

_

.

, fix an;

.

DEFINICIoNJL 1.b)' Sea T: ‘V _.

la matrizA' mimero 7» es llamado valor propio dc T si’ 7 es fifi ““alor'prcpio' de

es un vector esun valor progio do A y X = [v19 en donde X = [V]p'. Por lo tanto, 7»

--w X 1* O). prOpio asociado a 7» (obsérvese que v 9* 0 un valor propio de A = [Th5 y que X = es 7» que e ReciprOcam'ente, supongas ..+ io asociado. a 7», Sea v = cm + cm + . (c,, c2, . . . , 0,.) E R" es un vector prop tiene se a), 1.1. n im la definicié cnvn E V(esto 65, X = (v);,), entonces, segx AX=7.X

El ,H V un operador lineal en el cspacio vectorial' V dc dimension 'n.

asociada al operador Trespecto dc alguna (de cualquiera) base

EJEMPLO 1

Pot ejemplo, sea A la matriz

“[3 a

de .V.v. ,,

498

VALORES Y VECTORES memos

ALGEBRA LINEAL

_;l 1' ‘El-m'imero 7t =-= 5 es un valorpropio de A, plies para el vector n‘o'nulo X_= (,1, 3) en .-setien_e-

=

' ‘

'

.

.

5

.

'

.

'

,

=2 aprisl==lér==

A“K1=

an ‘3‘1

I'aizh

a“ 21

a7.2 —2.

a,“

(1,.2

499

01;.

. . .I p.

a 2n

’

annfl

/.

Uno de los productos elementales que aparecen en'eldesarrollo del determinante de esta matriz es el producto de los elementos de su diagonal principal

Si se considera a1 operador T; R2 -+ R2 dado por T(X) = AX, entonces, segt'm cl

anélisis anterior, 7‘. = 5 sera también un valor propio de T. Mas aim, observe que Tpuede describirse explicitamente como

\

(an _ 1X02: " 7v) . . . (arm " 9")

may) = (2x+ y. 3x + 4y)

Afin mas, entodos los restantes productos elementales del desarrollo de det(A M) apareceré siempre como factor al menos un clemento fuera de la diagonal

dada La representac‘ién matricial dc Trespecto de la base f5 = {(1, 1), (0, 1)} esté por la matriz

principal deA -- M. Entonces, a1 desarrollar det(A — M) se obtendra un polinomio en 7» de grado 11 (de hecho, el térr'nino a N‘ de este polinomio proviene del producto elemental arriba mencionado, con a = (—1)"). Por‘ ejemplo, si A es la matriz

3'1

Elm]

=2 2:]

Segfin se vio anteriormente, 7» = 5 deberé ser tambie’n un valor propio de la matrix B. En efecto, para el vector X‘ =‘ (1-, 2) se ticne

-Iseti_ene-

det(A,-M)—det

2

ysi

1.1'. VALORES PROPIOS

3 2 8

El siguient‘e teo‘r'erna‘ da luz acerca de la manera como se pueden determinar los valores propios de una matriz.

B=

filtima _ ‘ cxpresiénse puede reescribir come (A — -M)X = 0. Se puede contemplar csta del matriz. (la lineales es ecuacion de expresién come un Sistema. homagéneo.

sistema's'iendOA ‘— M) 2.1 enal'se sa'l'i'é que pasee'=solucionc§ 'r'mtriViales (a ‘. . 'cxiste' -

sistema un vector X no‘nulo . . .). Esto equivale, como se sabe ya, a que la matriz del 0. = M) — det(A caso, tal En . A M sea no inversible

Q.E.D.

5 0

7 7

'DEF/NICION 1.2

7t)(5 - 7t)(7 - 1)

(3

-7L3 + 15k2 - 713. + 105

-

8 2 7 5-?» 7*). 0

ll

det(B—M)=

3-?» O 0

ll

DEMOSTRA’CIO’N Si 7t es un valor propio ‘de A, existe un vector X E R" no nulo tal que AX = XX. Esta

O 0

setiene

Sea A un'a matriz cuadrada, el nfimero Q. es un valor propio do A si, y sélo si detwubA - M) = 0.

TEOREMA 1.1

4“)» —(3—x)(4—x)+2p—7t2—7x+14

Sea A nna' matriz cuadrada de orden n, al polinomio (de grade n en 7») p0») = dei(A ‘ ' ' ;

- M) se lo llama polinbmio caracterfstico deA.

.‘

, j. ,

Obsér‘vese' entonce's que el teor‘ema 1-..1 establece que 7t. es un valor propio de la matriz A si, y solo si pa.) = 0, 0 sea, si, y 5610 si 7» es una rat'z del polinomio

cara'cterfstico de A. Bste hecho da entonces la pauta para encontrar los valores propibs de una matrii A: se halla primeramente e1 polinomio caracteristico de A y se determinan las talces de éste. Estas serén los valorcs propios de A.

Obse'rvese que si A = (am; .1,2,,.=,,,. entonces,

Ve’anse a1gums ejemplos.

VALORES Y VECTOHES PROPIOS

500 ALGEBR-ALINEAL. EJE‘MPLO 2

.

501

,-1.‘2. VECTOR'ES PRQPIQS}ESfiAClOS'PBOPIQS -

Si A as la-rnatriz ‘-

Se ha visto ya co’mo so pueden determinar los valor'es propios de una matriz cuadradaA. Se vera ahora co'mo determinar los vectorm propios correspondientes. Sea 7L un valor propio de A. Entonces, det(A - M) = 0. El vector X E R" es un vector propio de A asociado al valor propio 2. si X as no nulo y si AX = XX. En otras palabras, Xes un vector propio asociado a1 valor propio 9; Si X es una solucién no trivial do (A — M)X = 0. La existencia do soluciones no triviales de este sistema homogéneo de ecuacionos lineales (esto es, la existencia de vectores propios deA asociados a1 valor propio A.) esta asegurada por el hecho de que 2. siendo un valor propio de A, la matriz A - M es no inversible [puss det(A - M) = 0]. En resumen,ipara determinar vectores propios asociados al valor propio 7L, 5610

se tiene

s—x pm) = dam-M) = de‘[ 2

9 24‘]

(5 — 70(2- 7») - 18 xZ-u—s =(x-8)(7~+1)

Las ralces do p0.) son entonces, x1 = 8 y M de A.

= -1. Estes son los valores propios

se tienen que hallar soluciones no triviales del sistema homogéneo do ecuacione‘s lineales (A - MX = 0.

EJE‘MPLO 3

Para la matriz

EJEMPLO 5

V

. '

.

V

se lierre

--1 ”1]

[2(1) =fdet(B;-'M)‘=‘ det‘: 8

V (1, A.) ,1. f

[55” 23r][:;]=[8] Para e1 valor M = 8 se tiene el sistcma

“la 2] 2

—1

sctiene

2—7r

p(k)=det(C—M)=dez[ 3

—1

2_7~]

=

(2

1 3 = 9»2-4x” _ n+

[-2 2mm

cuyas soluciones son x1 = 3r, x2 = r, r E R. Entonces, los vectores propios do A asociados al valor propio M = 8 son vectores de la forma (3r, r), r e R, (r 9* O).

Para e1 valor propio k2 = ~1 cl sistema por resolver es:

s - .‘ La ecuacién-p(7»)= X? — 47.. + 7 = O'tieno por raice

4i¢16~28 = 4H—12 = 4225; = 2 i Hi 2

' son '9»! = 8 y 7»; 9' - l. Para detormirrar losrvécroros propios correSpondiontes a cada . V _‘ur11'o demestos valores propios, so tiéne‘que conside‘rarc‘l Siste'ma homogén'eo (A — M)X‘= 0; es decir,

Por filtimo, para la matriz

_

=5 2]

I

Entonces, el finico valor propio do B es 9» = l.

EJEMPLO 4

Por ejemplo, se habia visto ya quc los valores propios de la matriz

2

2

en este libro son rrumadros lrezlre: Los nfimeros con los que sc esté trabajando mgl ‘o a :dim

ido cohsrtlcra‘dos so ha restr (en los espaclos vectoriales que ya han's la matrrz C dcl ejemplo atltercror s tiene po de los homeros reales). Ento'nces, para matrlz no

con esto que la que “no tiene valores propios” significando valores propios reales.

“6' :9" ‘2

3

x," =‘o x2

0

cuyas soluciones son x, = #31, x2 = r, r E R. Entoncw, los vectores propios deA

asociados a1 valor propio M = -1 son de la forma [- g— r, r , r E R, (r at 0).

Obsérvese que el conjunto do vectores propios do una matriz A asociados a1 valor propio 7», siendo éste cl conjunto dc soluciones no triviales del sistema

502

wrongs Y VECTORES PROPIOS

ALGEBRA LINEAL

‘ {homogéneo (A‘~ M)?X 0,110 es en 51’ mismo 1111 subespacro de R" (pues carece

Para’k} = 1 so tienc' el'sistcma _

-del vector cero).. Sin embargo, si se considcra la union de' 6516' conjurito con el. (conjunto formado por) el vector cero, lo que se obtiene es precisamentc cl cspacio solucién del sistema homogéneo (A~ 'M)X= 0,61 cual so who que es un subCSpacio do R”

DEF/NICION 1.3

‘

Sea A una matriz cuadrada dc orden n y sea 9» un valor propio de A. Sea E1 la union

0

3

0

X1

0

"3

0

X;

0

6

0

x3

0 =

0

0

cuyas soluciones son x1 = r, x; = 0, x3 = s, r, s E R. Entonces, el espacio propio

del conjunto de vectores propios deA asociados a1 valor propio 2. con (el conjunto

EM CS

formado por) cl vector ccro. E1 es entonces un subespacio dc R" llamado espacio propio' (espacio caracteristico o eigenespacio) de la matriz A correspondiente al

EM = (r, O, s),

1

valor propio A.

503

r, s E R

la cual tiene dimension 2 [una base de él cstzi constituida por los vectores (l , 0, O)

EJEMPLO 6

En cl ejemplo visto anteriormente, para la matriz

y (0,.0, 1)}

=:[ z] setiene

.

Para 7»; = —2 $6 11611:: cl sistema

3 0 O

. Eli-8 =

0 0 3

x1 x2 x3

=

0 O 0

{(3t,l),t E R}

.

3

“"t,t

Exp-1=

3 0 6

1

_1

cuyas solucrones 5011 x. = ~2- r, x; = ~2 r, x;

,tER

r, r E R. Entonces, e1Icspacio propio

' E712 CS:

EJEMPLO 7

-' - -

I I J

_Vé‘a‘séuniéjothpl‘o m5s.

E12 - H 2r,

Considere la matriz

A =

1 3 0 '-2 0 6

'

'

r ER]

el cual time per dimension I [una base do 61 es [( 1-, - 1, 2) ] ].

0 0 1

Hasta este memento, se ha estudiado lo relacionado con valores, vectores y

espacios propios para una matriz cuadrada A de orden n. Véasc ahora como se ~ven estos mismos conceptos cuando se consideran operadores linealcs en lugar do matrices. El siguiente teorema es el anélogo del teorcma 1.1. En él se da una caracteriza— cién de los valores propios de un operador en términos de la inversibilidad dcl 0pc—

El polinomio caracteristico do A cs:

1.101) = det(A - M) = (let

2r,r],

1 - A. 0

3 -2 - K

O O

0

6

1 - 9»

Las raices del polinomio caracteristicoA son 71, = 1 y 712 — -2 E5105 son los valores - propio's doA Dctermirie 10s espacios propios correspondierites a cada uno de estos valores propios. ,

rador T~ M, an donde I denota al operador identidad I: V —+ V, [(v) = v, v E V.

TEOREMA1.2

Sea T. V —+ Vun operador lineal en el espacio vectorial Vde dimension 1;, e1 numero 71. es un valor propio de Tsi, y solo si cl operador T— M: V -+ V._es no inversible. 1

Se tiene que considerar cl sis1ema homogénéo (A- M)X= 0 Es decir,

DEMOSTRACION Se ticnen las siguientes equivalencias (véase teorema 6.4 del capitulo 4).

1—71 o

3 ~2~x

0, 0

0

6

1-4..

0 x1 x2 = 0 o x;

71. esun valor propio do T a exist-o v E V, v15 0, tal qua T(v) = 7w 9 existc v E V,

v 9‘ 0,1al’qu‘e (T— M)(v) = 0 a Ker (T— 711) 91 {Q} G. T— M no es inversible. Q.E.D.

504

VALORES Y vecroees FROPIOS

ALGEBHA LINEAL.

I Se define abora e1 polinomio caracteristico de un operador lineal T V —1 V._ Para T poder hacerlo, se necesi'tara el siguiente teorema:

TEOREMA 1.4

505

- Sea A una matiiz cu’a’drada de orden n y sea 7. un valor propio dc A'. 'Si 5;. ' es el‘espacio propio asociado al valor propio 71, entonces la dimension de

E1 no excede a la multiplicidad de 71 come raiz del polinomio caracteris-

Si A y B son matrices semejantes, entonces e1 polinomio caraetetistico de

TEOREMA 1.3

tico 1201) = del (A — 711).

A coincide con le polinomio caracteristico de B. En particular, A y B tienen

los mismos valores propios.

DEMOSTHACION Sea T: R" —+ R” el operador lineal T(X) = AX. Sea [3, = {v., 11,, . . . , 11.} um base del espacio propio E1, existen vectores vm, . . . , v,. tales que {3 = {v1-, v2, .. . . , v,.} es

DEMOSTRACION

Si A y B son matrices semejantes, entonces existe una matriz inversible P tal que A = P"BP. En tal caso,

- 11q - 11) = det (11i - 11) = det (P"(B - mp) = (detP")(det(B - 711))(det P) = (det-P)“(det(B - 711))(detP) =der(B - 711)

una base de R". Sea B = [T111 En laj—ésima columna de 13 aparecen las coordenadas del vector (T(v,)),. Obsérvese que para 1 S j S k se tiene

T01) = Mpues los vectores v1, v2, . . . , v1, de la base [51 de E1. son —por definicion— vectorcs

Entonces,.el polinomio caracteristico de A (= det(A — 711)) y el polinomio caracteristico de B (a det(B — 711)) coinciden.

propiosdeA asociados a1 valor propio 71. Entonces, co1no(T(v,-))p = 01(1),)» = (0, 0, . . . , 71 , . . .. , 0) se tiene quevB es una matriz de la forma

Q.E.D. ‘

D,

' ,-Se pficdeestablecerentoncesla'ISiguientedefi‘nicién:‘ ' ~ '

i DEFINICION 1.4

Sea T: V ~+ Vun operador lineal en el espacio vectorial Vde dimension 11 Se llama . polinomio c'aracter‘istico del operador Tal polinomio caracteristico de la matriz A que representa a Ten alguna (cualquiera) base de V. La definicién anterior hace perfecto sentido, pues si [3 y [5' son dos bases distintas

de V, las matricesA= [7],, y B= [i , son semeja‘ntes En tal caso, segl'm el teorema 1.3, el polinomio caracteristico deA es 1gua1a1 polinomio caracteristico de B (1gual

a1 polinomio caracteristico de 7) Obsérvese por ultimo, que si e1 vector v E Ves un vector propio de Tasociado a1 valor propio 2., entonces v 9* 0 y T(v)= 71v, 0 bicn, v es un vector no 111110 tal que (T- 7J)v= 0. Si se considera la union del conjunto de vectores propios de T con

(el conjunto formado por) el vector cero, se obtiene asi e1 conjunto de todos los . vectores v E Vtales que (T— 7~I)v = 0. Estos vectores son precisamente los que

' constituyen cl nucleo del operador T- 711, el cual s'e sabe quc es un subcspacio de ‘

V. Este‘ es entonces el .espacio propio E1 asociado a1 Valor propio 71. Es decir,

E1, = Ker (T— 71) Para finalizar esta seccién, se vera un teorema que relaciona la dimension del espa'c‘io propio E1 cor'reSpon‘diente al valor propio 7. de una matriz A (0 de un operador T) con la multiplicidad dc 71 como raiz del polinomio caracteristico de 'A(odeT).

B=

._ if

k

'

1 c' e11 donde C es una matrizcuadrada de orden n — k y D es una matriz de ora k X (n — k). Las matrices A y B son semejantes (ambas representan a1 mismo operador T)

y por lo tanto, tienen cl mismo polinomio caracteristico p(x). Este polinomio es: 71-x

D

'x-x

P(X)=det(B-x1)=det

l

o

i

0111.-.]

Al desarrollar por cofaetores a lo largo de la primera columna y repitiendo k vec'es . “ ? este desarrollo en los determinantes obt'enidos', se llega finalmemc a

1106) = (1 - x)* det(C - x1...) Entonces, 1a multiplicidad de 71 come raiz del polinomio c'aracteristico de A es al menos k = dim E1. Esto era precisamente‘lo que se queria probar. Q.E.D.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

>306

507

ALGEBRA LINEAL

EJEVMPL‘ZO ‘8

Como lo asegufe e1. teorema-l 34 7V 1

Como m1 fillimoejemplo consldem lamatliz '

dim Ex; = 1 S 3 = multiplicidad de 7L; en p0»).

__

l

l

1

1

O

2

O

0

O

3

3

1

A' 0 o

Para el valor propio X2 == 2, el sistema homogéneo pot resolver es:

1 o

El polinomio caracteristico de A es: .

_

p0.) — dam—M) ~ (fat

'2‘?» 0 =(I-K)‘d'et 3‘

0

1 O

1-2.

l_ 0

3

3

1—9».

1-?» 0

1 2-K

0

0

0

1 0 -1 3

l 0 0 —1

x; X2 X3 I4

0 0 0 0

=

' 1 . cuyas soluc1ones sonxl = ~37 r, x; = 3 r, x; = 0, x4 = r, r E R. Entonces, e1 espaclo propio EA, es:

E1,,

0 0. 1—)»

0 1-1. 3-

l O 0 3

-1 0 O 0

.__

:4. 1 ,0,r],r€R} {[Br,3r

el cual tiene dimenslo'n 1 (3111a base develes {(41 1, O,_ 3) } )1 De nueva cuenta se tiene, tal come 10‘ asegura el tedrema 1.4,

a = _(1— 90(2— Mdezr 3" 71978]

idim‘ EH: '1 s 1"=.mt;1tip1ic_idad de '2»: eh pm.

= (1 1.9030 ~K) ‘ _.'. =- ('1 “l ”(2- 7'»)(1.— 7‘)2

For 10 tanto, los valores propios de A son M = 1 (ralz de multiplicidad 3 en el polinomio p00) y M = 2 (mil de multiplicidad 1 en 11(1)).

Para hallar 10's Vectofes propio's correspondientcs se tiene que considerar cl

sistema homqgéneo:

1 - 7» O 0 0

1 2~1 0 3

1 O 1 ~ 7» 3

1. 0 0 l — 9»

x1 x2 x3 x4

_ ‘

0 0 0 0

1. Sea A la matriz

=:[ 2] Determine cuziles de los siguient'es vectores de R2 son vectorcs propios de A. En Ial cas'o, determine el valor propio asociado.

Para el valor propio 7», = 1, este sistema es:

X1 0_ 1 ‘1 1 x2 1 _0, 0 0 '0, '0 0-'_ O.--_x3 3 0 ' x4 0 3

EJERCICIOS (SECCIéN 1, CAPlTULO 6)

;=

0 00' 0

e1 espacio propio cuyas soluciones son xx = r, x; = x3 = x4 = 0, r E R. Entonces EM es: IE1: = {0.9 0, 0’ 0)9r€ R}

tiene, tal La dimensién de E12 es entonces 1 (una'base de él es {(1, O, 0, 0)}). Se

d) (3,-3)

a) (3,—1)

vb) (2,2) ’ c) (4,4)]

'

‘

.e) (510,10) : ‘_ i in (M)

‘

- 2. SeaA una malriz de orden n, suponga que para un vector no nulo X E R'- sc Ilene AX =‘ 0. Demuestre que k = 0 es un valor propio de A. 3. Sea T; R3 —» R3 el operador lineal + 2):, 5x _ 7y + 31) e‘y, Z) = (x, 3x

Determine cua’les de los siguientes vectores (16 R3 son vectores propios de T. En ml

508

VALORES v VECTORES‘PROPIOS

ALGEBRA UNEAL

a') Demu'estre q'ue Si 1 — AB es inversible,vvemonceszi ;- BA tainbie’n lo es y

case, deter-mince} valor propio 'asofeiado.

a (3,2,6), b) (0,1,7) c) (0,0,1>' d)

(0,-2,—l4)

' "

“mam 1) (—13.13) g) (0,0,7) h)

(—2,6,26)

610.3421) 1) (0,0,5) k) (3,4,2) 1)

(1,1,1)

tos de la diagonal principal son . Sea A una matriz diagonal de orden n cuyos elemen A asi como sus valores propios. de ristico caracte io M, 112, . . . , 7t". Determine e1 polinom ine el polinomio caracten’stico de A Sea A una matriz triangular de orden )1. Determ

asi como sus valores propios. mine el polinomio caracteristico, . Sea Vu'n espacio vectorial do dimension finita. Deter identidad en V, Id: V —-» VId(v) dor opera del s propio es los valores propios y los vector = v V v E V.

Determine el polinomio caracteristico, Sea Vun espacio‘ vectorial de dimension finita. —> V, 0(v) = 0,

cero on V, 0: V los valores propios y los vectores propios del operador V v E V. tiencn el mismo polinomio . Sea A una matriz de orden n, demuestre que A y A' s. (,Tien'en los mismos propio s valore s mismo los tienen caract'eristic'o'y por lo tanto vectore's‘propios? A, entonces NI es‘un valor propio dc (D9. Pruebe que 81 7t es un valor propio de la matriz . 1 la mam-21A", (n E N).

>'_®_1o,

valorlp‘ropio de A. En 151- I Sea Alina matriz de orden r‘t-inver'sible, stipongafqtie 9» es an propiofde A ‘ l ”LCM-ales valor ’un es W1. due estre 'ejercicio 18 se probara ‘que '7. 5* O. De'm‘u

son los 'vectores propios de A“? Si 9» es un valor propio de A 11 Sea A u‘na matriz de orden n y sea e um mimero real. demuestre entonces que ck es un valor pr'opio de cA. que A posee al menos un valor 12. Sea A una matriz (1e orden n‘, n impar. Compruebe _ propio (real). 13.

(I — BA)" - 1+ B(I-AB)"‘ A. b)

B. LBS M + 1; Un Valor prepi‘o deA + 8? ro real. Si 7» es un valor propio de 14. Sea A una matriz cuadrada de orden n y c an nfime‘ are con el ejercicio anterior. A, demuestre que A, + c es un valor propio deA + cl. Comp

es, existe k 6 N tal que A" = 0). 15. Sea A una matriz nilpotente de orden n (esto = (-1)" WI. Compruebe que el polinomio caracteristico de A es pO») el que polinomio caracten’stico 16. SeaA u'na matriz cuadrada de orden 2. Demuestre de A es:

Use 6I 1110150 antcflol p313 demOSltaI que 18$ IllafllCCS AB V BA [1611611 108 11 IS 1 mos

20. $113133:essiiuiente Idemostracién“ (iel teorema 1.3 (Si A y B son matrices semejanuh; matriz invsgegl: 13323112:fill-r1331;Ifasractiristico): siendoA semejante a B existe ‘Ilnn vector v a 0, ml que Av - 7w. EntonCes, P631 13:3 313? (1:2:21; ((1:31), :Xitggmggces “Sigma/33511323153: at 0. For 10 tanto, A. es un valorpropio de B (y Pv es un vector'progi: Un a1- “me t. . o muestra que todo valor propio deA es también valor propio de 8.

g,

.n 0 Similar muestra que todo valor propio de B es también valor'propio de ' ‘. ' ' caracten’sticos deA y B, rcspcctivamentc. P OPIOS 86mm“) ”’30” 105 P011110m108

A. Entonces A y B. tienen los mismos v alores r

Se ha demostrado ' _ ' . . . entonces ' " ias mismas . quepAO») ' y' p301.) trenen a'

son polmomtos del mismo grado, se concluye que pAOt) = pm»; Ices. Como ambos (D 21. Sea? ana matriz de orden n dada‘, cons'idere‘el opera'dor lineal T: M,l x ,, -—> ' x T(A) . . LCémo son los valores propiosde. Trespecto a los valores propios deuB'?” 22. Sea A la matriz 2

3

1

A.-_4_ 1. 2.

w

a) i ‘ Deniue‘stre que'el po'linom'io earaeterfs’ztico do A 651' " p(9\.) =‘ ~13 + 393 +117» + 5

b) Comprucbe que p(A) es la matriz cero. Es decir, verifique que:

~A3+3A2+11A+51=0

valor propio de la matriz Suponga que 7»; es un Valor propio de la matriz A y 7»; es un

O

.

.

,

.

'

.

' ge5:31:30: triatriz A “anula‘ a su polmonuo caracteristico. Este es un hecho . ,_., , > out. 0 come .. teorema de Hamilton-Ca yle uesedemo ' ’-

seccron 3 de este capxtulo.

y, q

23. Para cada una de las siguientes matrices, determine 1) su polin‘omio carac‘teristico 2) sus valores propios 3) base's'para los cspa’cios propios correspondientes.

, Compruebeencada caso que se'satispface la conclusion delteorerna 1.4.

I pm '= a? — (tr'Afl-f'detA" término independiente del 17. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Pruebe que el polinomio caracteristico de A es det A.

509

matriz cuadrada de orden n cs 18. Use e1 ejercieio anterior para demostrar que una de A. Obtenga una nucva propio valor un es no 0 = A. inversible si, y Solo 51 clemestracién del ejercicio 2 a la luz deeste ejercicio. 19. Sean A y B dos matrices de orden n.

a) [0

6]

b) [3 g]

d) [4

-3 j] e) [1 1

c)

1

1

i]

f)

3

slrara Ln la

5‘10

VALORES YVECTORES PROMOS

ALGEBRA LINEAL

. . —3

. g)

h)

4 _ 3 g .2. 0 .2. o ,3o ,. 1 1);_o o_ 2, o 0 ,4. 4 2 .

2,. ‘1, ._ =

o ~5. -74 .1 _ . . 0. , 2 .,.

o

0

o

o

1

o

o

4 2

7 3

2 4

1 2

1

2

8

7

0

3

1

.

0 *1

1

J)

,

.-,x,.(t) 5011 eieftas .fun'ciones diierenciabies de 1 deiiiiidas en I 7‘ ' en donde X10), x20), algfin ihtervaio I (11: R y- 01;, 1 < i, j < 11‘ 50111161116105 reales dado's. A1 considerar e1 . sistema (S), 61 objelivo es estudiar las soluciones de é1, esto es, estudiar (de ser posiblc haciéndolas explicitas) las funciones x10), x20), . . . , x,.(t) que satisfacen e1 sistema

.

(es decir, que sustituyéndoias en las ecuaciones dcl sistema, convierten a todas y cada una de éstas en identidades). Si 30 ascribe:

11(1) =

24. Para cada uno dc los siguientes operadores lineales determine

x.(t)

an

'(112

...

(111:

x f

a:

0:2

. . .

(1:1.

an‘l

' ' ‘

am:

A=

2f)

b) sus valore‘s prOpios c) bases para los espacios prgpios correspondientes.

Compruebe en cada caso que se satisface '1a conclusién del teorema 1.4 (para la matriz asociada a1 operador). a) T: P1 —’P1, T(ao+a1x)==ao+(ao+a1)x.

‘

[1111

x"(t)

a) su polinomio caracten’stico

y se define la derivada- de la matriz X(t), denotada pot X’(t), como la matriz n x 1 cuyos elemento's ‘50a (t), i - 1, 2, . . . , n (es decir, .X’(t) se obtiene derivando cada ciememo de X(t)), se puede escribir ei‘sistema (8) come

xx» = 1111(1)

(S’)

c) T1R3aR3,T(x,y,z)=(y,2x+4y—z,3x+5y—2z)

Visto de esta manera e1 siste’m‘a (S), e1 objetivo es estudia1-(describir) 1a matriz X0) que conVicrte a esta fiitima expresién en una identidadi Para lograr esto, se procuranin v solucidnes‘ del tipo X(t) = amen donde xes algfin nfimero real y v es un vector dc

d) T:M2x2“'M2X2

R" (1111a matriz n X 1). Sustituyendo en-(S’)vse obtiene

b) T:R2~*R2.11x,y)=(x+y1y).

T [a b Le

2b

3 4a+5b

7Le"’v = Ael‘v

c+3d

20+d

d

1:.)s P3-4P3,IT_(p)_-= p' (121 derivada de'p)

I

_de donde Av =1 M y se ve enton‘c‘es que X(t)= eNv es 11na solucion dc (S’) cuando 7. es

I

un valor propio. .de la’ miltriz A y v es un vector propio asociado a 7.. De la teoria. dc ' las ccuaciones diferenciales se s'abc que si 11111111112 A tiene .n vaiores propios (males) ' distintos 7.1, 71.2,. . .,71..., entonces 1a soiucion general del sistema (S’)p11ede escribirsc como

1) M2x2~+sm71A7 5115'

g) T1P3~P3.T(do+a1x+fazx2+asxa) = ~2ao - 2m); + (8m - 4a; + 2113M2 + (7m + a2 —- 3a3)x3

X(t)' = c.6411. + c'zeMv. + . . . + c.e‘-'v.

h) T: M2512 —~ M2112, T04) "= BA, en doh‘de

(2) 25.

51 1‘

“[3 :1

en donde c1, C2,. ., a. son constantes arbitrarias q11e pucden dctetminarse a parlir de la condicién inicial X.(0).= X0 (X0 es__ una malriz dada) y v1, V2, . . ,v,. son vectorcs

Sea Vun espacio 'vectorial de dimension 3 con el producto intemo ( l ) Sea T: V -v Vun opcradOr lineal en V. Dcmuestrc que cxiste una base 0110110111131 6 dc Vrcspecto do 111 cual e1 operador Tliene una representacién matricial de la forma

propios asociados a los valores propios 7.1, 71.2,. . .,71,,, respectivameme. Por- e1 emplo, estudie e1 sistcma x('(t) = 5x.(t) + 9x20)

x50) = 2x10) + 2x20)

abc

[i=0de Ofg

Enestecaso,1a matrizA = 1::

ejereicio (Sugerencia': dcmuestre primero que exists un vector propio v e V -—véase

12_—-—. Complete luego a una base ortotiormai de V.)

C21 26." -E11 'este ejereicio S'e' estudiaré un cierto tipo de Sisten‘i'as de ecuacion'e's diferenciales' lineales con coeficientes constantes,1os cuaies son de la forma

x;(r) = a..x.(t) + a.1x1(t) + . . . + (11.16.07 x50) = a..x.(t) + anxzm + . . . + a1.x,.(t)

x10) = 0.1x1(t) + a.2x1(t) + . . . + a1...x1(t)

(S)

:Jfiem: los valores propios 7., = 8 y 713 = —1 y v. =

(3,1) y "=v; (——'3, 2) son vectores propios correspoxidientes a 7.. y a M, respectivamente (vé‘ase ejemplo 5) Entonc‘es 13 soiucién general del sistema cs: ' X(t) = me" [:1] +c2e" [—32]

(es dec‘ir, x1(t)= 301e8’— Bezel, xi!) = c1e3' + 2cze I). Si adcmés se imponcn 111$ condiciones iniciales x1(0) = 0, 112(0) 8 3 (o bien en témfinos de 111 matrix X(t) la

3 ]), se obtiener condicién inicial X(0) = [0

W_ .

WWAWMW

V .

VALORES v VECTORES PROMOS

512, ALGEBRA 1.: NEAL

HHH

b') Resuelva cl Sistema anterior para oblene'r Ia'snllr'éién general

X0) = c: [i]+ c2e'°-2' [J]

i ., . r del sistema que se dlce que la solucron part cula nces ento y 1, c: = c; e dond de satisface estas condiciones iniclales es:

Kawasmm —

c) Impqnga 1a condicio’n inicial X(0) = [33 J para concluir que las I'unciones x10) y 162(1)

—3

que dan la camidad de jarabe en los tanques 1 y 2, respectivamente a1 ticmpo t son:

sistema a) Obtenga la solucién general del

x10) = 15--15e'°-2' x20) = 15 +15e"°-2'

x10) = x10)

xém = 2x20)

d) Observe que 11m 13(1) = limxza) = 15‘ Interprete este resultado.

, .. w

ma b) Obtenga la solucién del siste

xi“). = ~2xr(t) + 2x120)0)

x£(t) = ~15x,(t) + 9x2

les x1(0) = x1(0) = 0. que satisfaga las condiciones_inicia sistema: c) Obtenga 1a solucién general del t) =' 9x10) — 11x20) ~ 5x30) xi“) = 43‘1“) ‘ 4x20) " 3x30)

A p

. _ -_

xs Como-v1.1 ¢ 0 (131135 VI... es-un vectorpropio do A)7_se conclu

_Q.E.D.

c... = 0' COROLARIO

DEMOSTRACION

1 —1 —1 P‘IAP= .0 1 0 0 o 1

Si la matriz A de orden n ticne n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable.

Q.E.D. do ordon

n tcnga n valorcs propios distintos, es una condicién suficmnto para que esa matru sea diagonalizable. Sin embargo, tal condicién no es necesana, como lo muestra cl siguiontc ejemplo:

.‘ TEOREMA 2.3

- Considere la matriz A de ordcn 3

--' .—11. .1

2 O

0 0

A i

1 o 2

1 o o

1 1 o

1 1 o = o o 1

o 2 o

0 o 2

de que A pudo diagonalizarse gracias a quc en el espacio propio E1, se pudicron tomar dos vectores propios lineaimcnte independientes (que junto con aquel dcl espacio propio EM formaron una base de R3 de vectores propios do A). El valor propio 712 aparece como raiz do multiplicidad 2 en el polinomio caractcristico do A y la dimension del eSpacio propio E1, cs, como se observa, 2. Este es un hecho general que se establece en el siguiente tcorema:

Estos constituyen .cntonces una base de R” formada por vectores propios do A.

Sea A una matriz cuadrada dc orden n. Sean 7”, kg, . . . , 9.1» 105 valores propios distintos do A y EM, EM, . . . , E1) 105 espacios pro‘pios correspondientes. Las siguie'ntes afirm'aciOnes son equivalefites:

1) ’ AE1espoli'n diagonaliZabl ._ 2) omio c‘fira‘e.-, c‘teristié‘o deA es: .

1 0‘ 2 V Z

E1 polinomio caracteristico deA es:

p0) =’ (M - x)“ (712 - x)“2 . . . (7t. — x)“: ydinti=a.-,.i=1,2,...,k

3) dim Ex. +dim E12+ . . . +dim E1k= n

1 [20.) : det(A-M) = der

-

EJEMPLQ 3

1 2 o

Se ha mostrado entonces una matriz de orden 3 con 5610 2 valores propios distintos

promos do R . un conjunto linealmentc independicnte (teorema 2.2) do n vectores

Obsérvese que, segt'm el oorolario anterior, la condicién de que una mamz

1 0 o

que es diagonalizable. Si se ve un poco més de cerca este ejemplo, unose da cuenta

A1 tomar un vector propio v.- pata cada valor propio 71,-, i = 1, 2, . . . , n, so obt1en:: Entonces, A es diagonalizable (teorema 2.1).

525

0 O

X

‘

1 2-7. 0

l 0 2 - ?»

2 = (1—7.)(2—>.)

Entonccs A posce solo dos valores propios 9». = 1 y .912 = 2. El espacio propio E1, es: E1. = {(r50,0),r€ R}

I '. En éI so tom‘a e1»vectorbfopiolv1-= 030,0). ._-

E1 cspaoio 1511111103., es:

DEMOS TRACIO'N Se dcmostraré quc 1) => 2) => 3) =5 1). 1) = 2). Ya se habia obscrvado que siA es una matriz diagonalizablc cntonccs su polinomio caracteristico se puede factorizar por complete como un ptoducto

de factores lineales (corolatio dc Ias definiciones 2.1 a) y 2.1 b)). For otra parte, 1a dimension del espacio propio EA, es la dimension del cspacio solucion del Si’stemé homogéneo (A - MDX =‘ 0 (véass teorema 7.4 capitulo 4). Sea D = P'I‘AP

la forma diagbnal doA (en la diagonal principalde D aparcocn [osvaloros propios dew/1). Las matrices A ~ 71,-! y D — 71.15011 semejsntes y por tanto su tango coincide (igual a1 tango del operador T - 71.1 que ambas representan).

Ex. = {(r +s,r,s).r.SER} V3: (1, 1, 0) En él se pueden tomar los dos vectores linealmente independientcs _ v = (1 0, 1). — (1, O, v3: y 0) 1, (1, = v2 '0), O, (1, = v1 propios s vectore y 356 comprueba que los hecho, 51 P es 121 1) constituyen una base R3. Entonces, A es diagonahzable. De

El tango do D — 71.1 es el nt'lmero de lineas no nulas on D — NI. Estc mimero cs 71 401; (Lpor qué?) Entonccs dim E1, = n — tango (A — 9111') = n-rango(D - 2.1) = n — (n — 01,-) = 01;, como se quetia probar. 2) a 3). Se tiene dim E1, + dim E1, + . --+di"”EA.=Ot1+OL2+...+ak=grado de p(x) = n

VALORES Y VECTORES PROPIOS

ALGEBRA UNEAL

E14105 vectot‘es 3) =1). Sea (5.: =,:{'_v1,,.v1,,-. . . , 1);,i}.u11abase del espééio propio

. ' véctore ,‘ Vinson ‘ S-al valo'r propio 7.1). a, s propios de A asociadO .

liil+lt2+...+lilk 90

base de R". Se propone quc 1a union [5 dc las bases [31, z = 1, 2, . . . , k, es una que los probzn‘ basta R", dim = Como por hipotesis on, + a; + . . . + a1 = n mc'm combina la s cntonce Tomese vectorm; de {3 son linealmcntc independientes.

(la— 2,)u2+ . . . +(?.k-— 2.1M. = O

0. - 7111(13— Mu. + . . .+ 0... wok — Mm. ~

lineal

(7‘1. “ 7.00% “ 7‘2) ' ~ ~ 0% " 9Vic—lluk z 0

Gk

£1:

a,

(2 . 3)

2 C11“; + Z 621”;, + . . . + Z €19k = O jal 1-1 1-1

0

v.-,-, 11,, .>

527

como las siguiontes}

'

I

526

De la filtima expresion se obtiene que 11,. = 0, pues pot hipotcsis se ticnc que

(7.1 - 9.1) (9.1 —- 7.2) . . . (7.1 - 9.1-1) 9* 0. Al sustituir en reversa en las exprcsiones anteriotes, se obtiene que um = um == . . . m = u1 = 0. Entonces, se ticne qua:

Llémese us, i = 1, 2, . . . , kal vector

a:

a‘

/

(«ti = Z ivk/

.=1

i=1,2,...,k

u1=261ivij=0

j-l

La cxpres'ién (2.3) se vc entonccs como

Como los vectores v.-,,j = 1, 2, . . . , a, son linealmente independientes, esto implica quc 01, = 0,j = 1, 2, . . . , a1, 1' =-=' 1, 2, . . . , k. Esto muestra que los vectores de la base [5 son linealmente independiente's. Por‘t'a'n'to, (336‘s un‘a base de R" de vectores propios de A, lo que muestra que A c5 diagonalizable, come so quen’a.

(2-4)

u1+u2+...+uk=0 Obsérvesc que para i = 1, 2,_ . . . , ks‘e Ilene

I -.

I All: =.A

z .6514}

‘-1

=

2 (2.12.1)

.

‘11"

i CgAVEI. I: Z 9115)); .= 7»; 2 CM}. =7 7.1“;

j-x’

(2.5) .

Pam finalizar esta Seccién, considércse el silguientc» ejemplo:

1-1

1-1

propio (esto N0 estzi diciendo‘ que u.- sea un vector propio do A asociado a1 valor

que u.- sea no 9.1, pues para que esto fuese cierto se tendria que cumplir ademzis nulo. De hecho, so probaré que u,- '= O, i = 1, 2, . . . , k), obtener Multiplique‘sc la exprcsién (2.4) por la mattiz A y fiscse (2.5) para Mu, + M112 + . . . + Milk

=

0

(236)

Al multiplicar (2.4) pot 7., a1 restar cl rcsullado a (2.6) so obtiene

0.2 - 7.1)112 + (7.3 - 7.1)u3 + . . . + (7% — 2,)uk = O Multipliquese esta filtima exprcsién porA-yfiscso (2.5) nuevamento

' '(M—M‘Wz+cx3'— 1.1m....-'+'»‘- mil J») . ‘ , ~ j) PW = 4W —' 473 + 4) 6. Sea A una matriz dc orden n. Sean A], 12, . . . , A" los valores caracterfsticos dc A.

Supon‘ga mm A es diagonafizable’. Demuestre entonces que

trA-M+A¢+...+x,, detA = MN; . . . kn

[Sugerenciw use el corolario dc las dcf’miciones 2.1 a) y 2.1 b);] 2. Demuestre que la matriz

7. Considers cl operador dcrivacién D: P,. —» P", D(p) = p’. Demuestrc que D no es diagonalizable. 8. Sea 7‘: M2” —* M2” (:1 operador T(A) = A‘. LES Tdiagonalizable?, ' 9. Dcmuestrc que los siguicntes operadorw T: R3 -» R3 son diagonalizables. En cada caso. encuentre una base 5 dc R3 respecto de la cual la matriz que representa

a Tes una matriz diagonal. Calcule también en cada case 61 determinante del operador T.-

-

no es diagonalizable.

Oww‘w‘

CONN‘

'3. V Demuestre que ld’r'nattiz

es diagonalizable. Encuentre una matriz inversible P tal que P-lAP sea una matriz diagOnal.

' 'a')‘ my; 2) = (2x? 3x + 2y? 2, 45c + y + 22)

b) Tor; y. z>'=' (5;, — 3y.,+ 2z...‘6.x — 4y +‘ 4;,- 4: 14y + sz'). 2 c) T(x, y, z) = (7x — 12y + 61,, 10x — 19y +101,12x - 24y +13z d) T(x,y,z) = (x+y—2z,—x+2y+z,y-z)

e) T(x, y, z) = (7x ~2y — 4z, 3x — 22, 6x - 2y _, 32) 10. Prilebe que los signientes operadores 7‘. M5 3: 2 7-. M; x 2 son diagonalizables. En cada cas’o, encue‘nt‘rc un‘a base [3' de M2 x 2 respecto de la cual 1a matriz que representa a T es una matriz diagonal. Calcule también en'cada case 61 determinante del operador T:

VALORES YVECTORES PROMOS

ALGEBRA LINEAL

b)T

I): Qa+2b V'Zz'z—c d'

a

b

c

d

a

b

a

f-a_+5b 4a-8c+'3d

71.1,2=liflc--

Poi' tanto, A as diagonalizable. d) Demuestre que una base del espacio propio asociado al valor propio 2.1 a l +

b-c+2d

2a-20+3d

3b—3c-6d

2b‘2c+4d

a+6b+12c

4b+6c

1/7? es {6/17, 1)) y una base del espacio propio asociado al valor propio 712,

=1—fIEes{(-J1?,1)}.

c)T[[c

_

pot:

11

la expresién general de su n—ésima 11‘ Para'cada una de las siguiemes matrices, detennine potencia. a)A'[2

-1]

3 .2

_ 4 3 b)a=[_2 _1] . _

7

—12

3 —2

d)A=

=k—W

—4 o o —2

—2 8 6 e)A= —4 1o 6 4 -'-8 a4

421/55

f)

11

P‘

P[11]

-2

c> A {123]

2W5

Demuestre que A=

1

[1

k

'1”?

=

1] P[ o

o

1—JF]P

1

g) Clompiiuebe que-x,. y y" (las coordenadas del vector'z,, definiclo a1 principio del ejercwio) son:

1"" .1 %‘1[(1'+_/F)".‘1+(1—fl' --'

-

-

'*

AX = 3C)? es y XX = XX.) es una matriz con elementos rcai (56 1153 queAX = AX = AX puesA riz simétrica se obticnc

‘o dc queA es una mat

Al tomar transpuestas y al usar e1 hech

X‘A = 73'

>

/

e PULde 519ml)“:

i ' . para una matrl < -E: 653 epilgggn ggnflral ' valoms los vectores propios correspondientcs ‘ hechoimcre s [S mtos ’son linealmentc m ' d‘cpendlcntes ' i (teorema K 2 2) U vectors promos santecone que sc vera. a contin uacron ' ' cs-que paras unam atrrz ' sunctrrca ' ' l' ’ los11 , . V . ‘ spondrentes . a valorcs _ ro 'ros drsnntos ‘ ' n *' ' ’ mentc “1‘n canénico . V independrentes dc R“) > s'mo' quc sonJ adcmas V ' ‘ orto P gorrrrlcs (consrdcrando P 7 ‘ i 0 son' 5010 Hel Vproducto 77 1111631-

AX=XX

esta igualdzid se obfielic --'

'

La im ortanc' matricpcs “ mm dcl lteorcma ~ {.1 es qrxc srtua ' a todas las matrices simétricas como polinomi p encra meme dragonahzables" ya que en él sc establcce quc l o caractcristico .. , dc la matri7r slmctrlca ' ’ ' A de orden n s ' , 0

‘

A1 toinar conjugaCién compleja en

I

Q.E.D.

donde x1, x2, . . . ,x,. E entonces X = (x1, x2,. . . , men

Se tiene entonccs

l, 2, - - ' ’ n ‘

0 (7‘ ” XXI-W2 + |l2 + . . . + my) =

,

TEU'REMA 4.1

V V

X'?~X= =5CX'X

l) cs uric;

(ta! quc P"AP esuna matriz diagona

i i 3,

553

TEOREMA 4.2

Sean ' distmtos X50:: y, 9»,- dos valore_s propros ' " de la matriz simétrica A. Si XA y , ectorcs propros correspondientcs a X,- y 7k,- respectivamcnic 3 cntonces X; cs ortogonal a X - [ estoes, X. X =' _

Producto mtcmo canonico die R"].

( t l I)

3

. .

0’ en dondr, ( I ) CS 61

554

ALGEBRA LINEAL

DEMOS TRAC/O’N

VALORES YVECTOHES PROPIOS

Es claro entoncezs, que X, es 1111 vector“propio unitario correspondiente a1 valor . _.propio_?1,-, 1= , .. ,n Obsérveso1q11cl3= {X11 X2, . . , Xn } es una base ortoiiormal dc R" {01111111111 por

Sc _tien_c cntonces‘que . fiv = KiXi.

I

‘

vectores propios de A (la ortogonalidad del conjunto de vectores do {3 so deduce dcl teorcma anterior). Sea [5’ la base canonica dc R" y sea P in matriz dc cambio

AX} = 91.i

de base do 13 a (3’.Bntor1ccs,

Al tomar transpuestas en la primera de estas expresiones y al 115211 cl hecho dc que

A cs simétrica 5e obliene

l) 2)

Xi A = MXi

Al multiplicar por la izquierda pot Xj y al usar la segunda do 1215 exprcsiones iniciales se obtiene

P tiene por vectores columna a los vectores propios X1, X3, . . . , X,,. P es una matriz ortogonal (teorema 4.3 capilulo 5).

Entonces de la demostracién del teorema 2.1 so concluyc P‘1AP = P’AP = D, cn donde D es una matriz diagonal. Es dccir, A es diagonalizablc ortogonalmcntc.

Q.E.D.

XWXJ z XiXi EJEMPLO 1

dc donde

Por ejemplo, considerc la matriz simétrica

(71-; " 7w) XiX; =

A =

Obsérvese que

l 0 2

0 2 0’

El polihotn’iolc‘a‘racter‘isticofidc A .63: _"-.

Xi — [Ill-XL 1 . .x,,,]

I.xil'

- _

x2

= tli‘i' (12,111+ . . i" . 4" x,,,x,,i = (Xi I Xj)

'./'

'.

1

.

-,-

1

. ,

Se puede escribir emonces,

/

2 0 4

.

1'4'11’,'~0.'

[)(71.) = det(A -‘ M) = det

0 2

x",

2 — )1 O

2

‘

0' 4 — 91.

.

= M2 ” 7»)(_5 + 71)

Los vaiorcs propios c son todos rcalcs tal como lo ascgura cl 113011211121 4. l . Eslos SOUKI=O,K2=2y)\3=5.

-

Encuentre vectores propios correspondientcs a cadu uno dc cstos vulorcs

111— 1111x1119) = 0

propios. Considcrc cl sistcma homogénco.

Como 71.- 9% 91,-(porl1ipétesis) la exprcsion anterior obliga enlonccs a quc (X; | Xj) = O, como se queria.

Q.E.D

COROLARIO

555

1—71. 2 2

0 2-91 0

2 0 4-71,

o

2

2- .- ‘ x1? "'0- 1 x:

2

0

x1 X2 x;

=

0 0 0

Para )1; = 0 so licnc cl sistcma

Sea A un'a matriz simétrica dc orden n. Si A ticnc n valo1es propios distintOs, entoocesA cs diagonalizable ortogonalmente.

DEMOS TRA 0/c Sean 2.1, 912, . .,71,. los 12 valorcs propios distintos do A y scan X1 X2, . . ,X,, vecto1cs prOpios correspondientcs a cada uno dc cstos valores propios Escri’base Xi=‘?vl-v

i=l,2,...,l'l

4

X3

0 o 0

cuyas solucioncs son x1 = —2r, )5; = 0, x3 = r, r E R. Entonccs, 1111 vector pi-opio asociado a1 valor propio 71. = 003 v1 = (-2, 0, l). Similarmentc, hallo que 1»; = (0, l, 0) es un vector propio asociado a1 valor 'pro'pio 712 = 2 y v3 = (1,0, 2) cs 1111 vector propio asociado a1 valor propio 7.3 = 5.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

.

556 i-‘ALGEBHA LlNEAL

_ Sean 2.1, M, . . .., X" 105 valores pr’opios de-A (no se supone queestos valores. . ~

e Tal com'o l0 asegura'iel 'ieor'en'ia 42-56: tim 0’: l V2) = ('ZXO) "’ (0)0) 4” (1X0) = 0 (V: l V3) = (‘2)(1) + (0X0) + (00) = 0 (VlJ) = (0)(1)+(1)(0) + (0X2) ? 0

V

seah distintos). Sea v1 un vector propio asociado al valor propio 1.1. Exislen vectores V2, v3, . . . , v” E R" tales que [3' = {v., v;, . . . , v,,] es una base dc R". Apllquese cl proceso de Gram-Schmidt a los vectores dc la base [5' para obtencr

la base ortonotmal de R" pl: {XbXZ’ ’ -"Xfl}

Sea X.--—-1—-' v,-, i = 1, 2,3. Entonces,

llvill

V1

’5— f5

’ ’

X‘ ' “(4.0.1)”

= ,L,0’_LW

Considérese cl operador lineal T: R" ~» R” dado pot T(X) = A X. La matriz de T

base [31 de R". Entonces,

s columna a X1, X; y' X; es: La matriz P que tiene por-ve‘ctore

4/5 0

. R =

1/5 0 1W3—

C = B“AB = B’AB

W75“ 0

Obsérvese que

"we. ”0 _2_/J_s“‘_'

n del corola'rio del teorema Tal como lo asegura 1a demostracié 1 P es una matriz ortogon‘al y qe

4/5 O 1 0 P ’AP = W3" 0

1 0 2

0 2 O

2 0 4

4/5 0 W3"

0 l 0

W3" 0 20'5"

4.2 so tiene que

ente v’alorcs propios no necesariam

W

.

DEMOS TRACION

Por otra pane, segt'm la' def’mic'lén de- la matriz C=, la primera c'olmnna dc csta

_ -

g 0

g 0

g 5

(T

0

propios es igual a ccro.

3. Com ruebe ue si dos matrices simé tricas del mismo ordcn tienen el mism .. q o olinomio caracterfstrco, entonces son semejante . . plo p mue s. Por medio de un eJem conc reto, strc que esta afirma’cio

a)?. g ‘ 1.12.

“'2

l/Jz—TI/Jgfi o al/{g

n es falsa si las matrices no son simétricas . 4. Diagonalice ortbgonalmente las sigui emes matrices:

X1=[772—.=,J§-,0,0]

-1

7_-l._-2 .0

EJERCICIOS (SECCléN 4, CAPlTULO 6)

v1=(1,1,0,0)

*5

0, ,0 .

v p’AP=v ”7””? W? 0 '-1 "752 0 'l/rz‘ 41”? 0 We 'ooor— 221000 ao2/rc~ -V/6”1/J€2/»/6”0 000w 60010 6 0 o o = o 6 0 o 0 0 6 o o o 0 12

x; = o 0 x3 0 x4

. . _ t a i. a, S 7 t E R. ) I 28, X2 '— I , x_,3 _ S ) x4 SC pubde“ ()i )‘61 [C] 3) lon dimenS fi entonc tiene (que Del CSpaCiO ptOpiO EM

W?

4

17 —4

__4

11

I

1

1

~1 11 _1,1 —11 —r

‘ .1__1-_1

l..-.

.5

5. Sea T: R3 —-» R3 el operador linea l para el cual Red = T(e2) = T(e3),= (l, l, 1), en donde 81, e;, e; son los vectores de la base canénica de R3. Encuenlre una base ortonormal de R3 respecto de la cual la tepre

sentacién matricial de Tsea una malriz

diagonal.

6. Sea 7‘. R4 _. R4 el operadorlinea l para el cual T(e;) = e5.,-_, 2' = l, 2, 3, 4, en donde [ei, i = l, 2, 3, 4.} es la base canc‘mica de'R4 . En'cuent're'una baseortononnal de R‘respeclo

de la cual la representacion matricial de

Tsea una matriz diagonal.

562

VALORES Y VECTORES PROPIOS

ALGEBHA LINEAL

563

APENDICESOBRE LA TEoRiA DE GRAFloAs La ieoria dc gréficas es una partc de la materns’xtica en la que se estudian conjuntos dc puntos y lineas y sus propiedades geométricas (no métricas). Los inicios dc esta teoria se temontan al siglo xvm con Leonard Euler (la figura mas importante de la

Figura 3

matemzitica de eso siglo). El primer problema que es reconocido propiamente como problema do 1a tcoria do gréficas, conocidd como el “problema de 105 siete puentes dc Konigsberg" fue propuesto (y resuelto) pot Euler en 1111 articuio enviado a la Academia de Ciencias de San Petersburgo 61 26 de agosto de 1735, en el cual

par'de lineas(qu'c cada punto de la grzifica esté concctado por un mimem par de lineas). A un rccorrido en una gréfica como el que se ha mencionado se le conocc como “recorrido euleriano”. Asi entonces, la gréfica de la figura 3 tiene un recorrido euleriano mientras que la grafica de la figura 4 no lo tiene. La multigra— fica del problcma de los sicte puentes dc Kénigsbetg es conexa, pcro tiene pumos (do hecho todos) incidentes con un mimcro impar dc lineas, por lo que clla posee 1111 recorrido euleriano.

escribié:

En la ciudad‘de Konigsberg a1 6516 de Prusia, hay una isla llamada Knciphoff, la cual esté rodeada per una bifurcacién dc un rio enla que hay 7 pucntes [como sc muesira en la figural. La prcgunta es si uno puedecaminar a través de 105 7 puentcs cruzando todos y cada uno de ellos 5610 una vez.

mgm4 idc graficas pueden ser planteadas y 1esueltas . Algunas cuestioncs -de la teoria con herramientas'. 'del algebra lineal. En cste apéndicc so veran solamcntc a1gunos aspectos de esta concxié'n tCOria dc graficns-algcbrali11eal,en los chales aparcccn

resultados que se picns‘a' que adcmés dci valor intrinseco quc ciios poseen son resuliados sumamentobellos.

Figura l

Desdc el punto dc vista de la teoria dc graficas, cste problema es cquivalcnte a preguntarse si la multigréfica* en la que cada linea r'c'prescnta un pucnte, pucdc

ser recorrida completamcnte sin pasar dos veces por la misma linea y terminando el tecorrido en el punto inicial del mismo. Euler demostré quc tal rccorrido no

A.1. ALGUNAS DEF'INICIONES PRELiMINARES Una gra'fica G csta formada p01" un conjunto no vacio finite Vdeppuntos o ve’rtices y un conji’mto X do q pares no ordenados de puntos distimos dc V, cada uno de los cuales cs llamado lt’nea o [ado de G. Una grzifica tal es llamada una (p, q)-gr:ii'1ca. Dc una mancra obvia se asigna a cada (p, q)-gréfica 0 un diagrama en cl quc sc mueslren sus p puntos y sus q lineas. Tal diagrama es una representacidn geome’trica de G. En realidad, se identifica siempre a 1a (1), q)-grzii‘ica c011 a1guna de sus representaciones geométricas.

existe. Mas afin, haciendo una generalizacién dc esta’ situacion demostré quc para

que una gréfica (“1111 conjunto do puntos y iineas quc losunen”) pueda scr recorrida pasando por todas y cada una de sus lincas y terminando en el punto inicial del recorrido,T cs neccsario y suficicnte quc la gréfica sea concxa (que csté constiiuida “per una sola‘pieza”) y que cada uno de sus puntos sea incidenlc con 1111 mimcro

_EJEMP_LO1.

El 'eje'mpio'més sencillo de gréfica es la (1, 0)-grzifioa representada pot

9 Figura 2 *Tb'dbs los te'rminds iécnicos usados en esta introduccion serén definidos rigurosamenic mas

Figura 5

adelante.

'Es decir, que puede -trazzuse"sin leva‘nt'ar‘ el'lépiz‘ dclp'a'p'el y'te‘i‘ininando en el punto en dondc sc comcnzé cl irazo.

Esta gréfica es llamada gréfica trivial.

584

ALGEBRA UNEAL

. :E'JEMéLoé j

VALORES Y VECTORES PROPIOS

565

Como ot'rolejcm’plo‘veé 1a_(5, _7)_._-‘gr:a'._fi£a G 'en la que . ' X = {(A, 3MB, C),(C, DMD, E),(E,A). (A, C), (C, 19)] o bien, geométricamente

o Figura 9

A

.

Observe también que en la definicion de gréfica no se aceptan lados que unan un vértice consigo mismo, (llamados “loops”). Si 56 modifica la definicion de gréfica

de modo que se aceptan (ylados mfiltiples y) “loops”, se obtienc una pseudogrdfica,

como por cjemplo: Figura 6

A

B

-

D

00

Observe quc esta gréfica tiene muchas otras representaciones geométricas de

aspecto distinto a1 de la figura 6, come por ejemplo A

.

.

B

. . O

:mrflwm

“J

Figura 10

, Si u y v son d0s vérfibes die una' gréfica :0 y (u, v)fcs_un Iado (10 G, Se dice que u y

v son' ve’rl‘z'ces aa'yacentes. En tal chso; se dice qixe u y v son ve’rtices incidentes en la linea (u, v) y quc (u, v) es una lt’nea incidente en los vérticcs u y v. Si dos lineas

Flgixra 7

de G lienen un vérticc comfin, se dice quc son lt’neas adyacenzes. Por cjemplo, en la gréfica dc 1a figura 6, so tienc que A y B son vérliccs

Se hace hincapié en‘ que lo que constituyc un'a gra'fioa G son los commtos Vy X dcfinidos anteriormente y no la posicic‘m relativa dc sus vcrtlccs y fortoa de sus

adya'centcs, micntras queA y D no lo son. Similarmentc, las lincas (C, D) y (A', C)

Iados en alguna de sus representaoiones geométrlcas. A51 pues, los dos dlagramas

A

c

a

A

\0/

:

D

F

/’1V\ .

E.

,_

VF

_ D

0 E

son adyaccntc‘s, miemras quc [as lineas (B, C) y (D, E) no lo son.

A.2.

B

GRAFICAS Y MATRICES Dada una (p, rq)~grzifica G, mz-irquense sus vértices con indices 1, 2, . . . , p. Digase entonces que los p vérticcs dc G son v1, v2, . . . , vp. Sc llamaré G’ a la gréfica

marcada asi obtenida a partir de G.

Una gréfica G obviamente tiene distintas mancras dc marcarsc. Por cjcmplo, la (4, 5)-grzifica

" Figurai 8

' ' : son représéntac’iohes geométricés disiint-as de la misma (6, 9)-gréfica- G en la que

V=%&QQEH X = [(A, D), (A, E), (A, F), (B, D), (B, E). (B, F), (C, D). (C. E), (C, F)} ‘

Puede ocurrir que en una gréfica dos dc sus vértices este’n conectados por varios Iados, llamados lados' multiples, como por ejemplo en la figura 2. En tal caso, se dice que se trata dc una mulligrdfica. Otto cjemplo dc multlgrafica es:

Figara ll

566

VALORES YVECTORES PROPIOS

ALGEBRA LINEAL

o [1- »1_ _1'

puéde ser marcada como = V4

A‘

v4

V1

V2

V4

v3

etc.

l

0

1

1

0

1

l

0

l

O

l" O " ‘

V2

V1

V3

V3

A2

0'

0

‘1'

1

= ’0

0

1

1

0

l

1

1

l

O

1

1

dependicndo si la graifica es marcada como V4

V1

IVs

V4

V1

'

567

V2

Figura 12

0

\

Dada 1a (p, q)-gréfica G, mérquense dc algl'm modo 10s vértices dc ella. Se asociarzi a la gréfica marcada G’ asi obtenida una matriz cuadrada A de ordcn p cuyos

elementos 11;,- estén dados pot a _ '1

Figura l4

respectivamente.

1 si viesadyacenteavj 0 caso contrario

Si s‘e obsérva’n la‘s gréfil‘cas marcadas de la figma 14 11110 $13 (lard cucnta dc quc

A esta matriz se le‘ llama matriz de adyacencia de la grzifica (marcada) G'. Una

la segunda puede. obtcncrse dc la primera pot medio dc una permutacién (en los indices) de sus vérticcs. Esta permutacién es:

primeta observacién que se puede hacer de la matriz A es que ésta es una matriz

0: 1 3

simétrica, pues Y1 e; adyacentc con vj si, y 5610 si v; es adyaqentecqn 11,-.

2' 3 4 2f 41'

Por ejemp1a,'considere 1a gr‘éficé marcéda -

V3

V5

Ofi-‘OO

V4

y 1151 entonces cl vérticc V,- do la primera gréfiéa es el vértice v00), 1' = l, 2, 3, 4 en la scgunda. Considérese la matriz. P de ordcn 4 asociada a la permutacién 0* OOOH

V2

OOHO

Figura 13

La matriz de adyacencia de esta gréfica cs entonccs

A=

0 1 1 1‘ o 1 .1 -1 ‘0 0 031 0 o 1

0 o o o 1,.1 0"0 0 0

El intetés final cs asociar a cada gréfica G una matriz A dc 1a cual se pucda obtcner

informacién acerca de G misma. Al proceder segfin cl anélisis anterior, sc ve quc existen distintas matrices asociadas a una misma gréfica G, pues la estructura de una matriz dc adyacencia A depende dc co'mo es marcada la gréfica G. For ejcmplo, la (4, 5)-grzifica de la figura 11 tiene asociadas las matrices

Obsérvcse quc 1a matriz P es una matriz ortogonal, de modo que P“l = P’. Adcmés, Ho'oo

.

”COO

-. EJEMPLO 3

V2

V3

V2

v,

,.B“A1P =. P‘AlP =

10 00 0-11 00

*Recuétde'se qUe dada una permuwcién 0 del conjunto [1, 2, . . . , n), sc nsocia a ésm una matriz cuadtada devordcn n, P = (P131!- 1''''' ,, en dondc

, = p”

I 51 j = 0(1') 0 caso contrario,

Véasc ejerciéio 11 dc la scccién 1, cupitulo 2.

MW.W

WWWWRIWW‘.»

,

.

r—AOv—Ar—«I

Hwoo-‘i

oven-,

VALORESY VECTORES PROMOS

_ '_ 568.5 ALGEBRA‘ UNEALV

caracteri‘s'tico’de aiguna niatriz 'de.'.adyacencia asociada' a .G. Sobre esto :mo se " ‘ ocuparé més adeiante. =A2

A.3. CAMiNOS Sea G una gréfica. Un camino en G es una sucesién altemante de vérticcs y lados de G "0: (V0, V1): V1: (V1, V2), V2, . . . , (v,, 1, V"), W.

asociadas a la misma .(4, 5)-gmnca tdc Resulta entonces que las matrices A; y A2 Cia y se denmcs m

ral que se enun

-

la figura 1 1 son semejantes. Este es un hecho gene a continuacién.

TEOREMA A1

569

que comienza y termina con vértices, y en la que cada iado es incidente con el vértice que Ie precede y con e1 que 1e sigue.

marcada G' obtenxd-a’ dedCi Sea G mm (12, q)-gréfica, considere 1a gtéfica 0 una permntziclon e marcando sus vertices como v1, v2, . . . , vp. Sea vertices v00),

A1 camino que comienza en v0 y termina en v,., pasando per in, v2, . . . , v,._1, se le denota por vovl . . . v" y se llama un (vo-v,.)-camino. E1 (vo-v,,)—camino se dice ser cerrado si v0 = v,. y abierto en caso contrario. Un camino en el que no hay repeticién dc vér'tices se llama trayectOria. Si en el camino no hay repcticién de lados Se llamarg’i paseo. Un paseo cerrado en el que no hay repeticion dc vértices

marcada con los conjunto { 1, 2, . . . , p}. Si G" es la gra’fica V00), . . . , Vow entonces,

excepto el' primero y. el liltimo se llama ciclo. Por ejcmplo, considérese la (8, 9)~gréfica marcada

A0» = P ’AG:P

ia de las graficas G y G , en dondeAa y AG" son 1% matrices de adyacenc .

I.

I

I

II

V3

utamon o. respectiv‘amente y P es la. matrlz de la perm

‘ DEM OS TRA C'IGN

P son: pH-Sc‘sabe que los element'ospfj de la: matriz

Sea A'Gu = (afi)i,“;|

J cont(i)rario pu={ 0lsi'=0 caso en cada coiumna solo un elemento For 10 tanto, 1a matriz P tiene en cada iinea y i—ésima lmca todos los clemenmb no nulo, el cual es 1. Mz'xs precisamcnte, en la cual es 1. son cero, excepto el de la o(i)-ésima columna, el Sea Aa-P = (65);,1- 1,...,p. Entonces, P

I

pi

I

j

I

_

Una grzifica G se dice ser conexa si cada par de puntos dc ella pucden set unidos

por una trayectoria (si G esté constituida pot una sola pieza). Por cjcmplo, la (5, 4)-grzifica

, ‘

'

Los caminos vlvzv3v4v6v7 y V1V2V5V3VGV7 son cjemplos dc (v.—\'7)-caminos. Ambos son lrayectorias. E1 camino v1v2vsv4v3v2v5vgv6v7 tumbién es un (v. ~v7)-cmnino pero no es traycctoria. E1 camino vwzvmvsvz es un (vl-v2)—camino c1 cuul es un pasco

dc ciclos.

-1

y j-ésima columna a1 clemento La matriz P'AWP ticne en su i-ésima linea _ 1‘

EJEMPLO 4

pero no es trayectoria. Por fillimo, los caminos V2V3V4V5V2 y V5V4V5V3V5 son ejcmplos

9i; = ; aikpki = (new) ’

Miami 15

= flaw-vo _ w) . . I z1:1; Pkiekj = . Bow ento de la matriz AG".

qUe es precisamcnte cl correspondiente elem

Q.E.D.

adyacencia asomadzls a om rnisma Se tiene emonces que todas [as matrices de permue haiaiar dei pohnoinlo on gréfica G son semejantes. En particular esto e ser defimdo como el p0 inomio racterislico de una gréfica G”, el cual pued

Figura 16'

no es concxa.

570

ALGEBRA LINEAL

VALORES v VECTORES memos

La langimd de un calzgino es el nfimero dc lado's quefél comicne. POr cbmplo,‘

571

Supéfiga'sé embnces vélido cl resultado pafa n7=, K y prfiébcsf: palm n = K + 1. Sea/1” ’= (am); 1, ,,,,. Eritoncas, cl elemento que aparccc en la i—ésima h'nca 2’

respecto dc Ia'g‘rzifica do la figura 15 se tiene que' vivz-vgw y v,y2v5v.,‘son (vl-v4)—caminos de longitud 3. Similannente, los-caminos V2V3V4V5V7 y V2V5Vg\)(;V7 son (vz-v7)-caminos de longitud 4. Considércse una (p, q)-gréfica G con sus vérticcs marcados como v., v2, . . . , vp. Dados dos vérticcs dc G, dfguse v,- y vi, pregfintese por cua’ntos (v;-v_,~)—caminos cxisten,>cuya longitud estzi previamente dada, digasc 11. Se verzi que es muy t’écil dar rcspuesta a esta prcgunta a1 usar la matriz dc adyacencia dc G. Pero antes véase un ejemplo. Sea G la (5, 9)~gréfica

y j—ésima columna de la matriz A“ = AKA es:

(may

k —1 Se tiene que dcmostrar que ésta es la catiti‘dadde (v; — vj)~camin.os en G dc longitud K + 1. Sean vkl, vh, . . . . , W», 105 vértices dc G que son ady‘acentcs con cl vértice vj. Entonces, para it del vértice v.- al vértice vj por un czzmino dc longitud K + 1,

habré que it primeramente dc v,- a algx’m vk,, I = 1, 2, . . . , r por un camino de longitud

K, y posteriormente ir dc vk, a Vj. Obsérvese ademzis que

a‘ = 151 k = k1,k2,...,k, x; Figura 17

Entonces, V1

V2

12.

[,Cuzintos caminos dc longitudZ unen a v3 con vs? No es dificil darse 'cucnta que

2 aka/:1 ‘3 at}, + 0Cikz + ' ' ' + aik,

sola'mcntc- cxisten 3 de estos camino‘s, a saber vmvs, \{3v2v5 y V3V1Vs. ./."-‘II

.

k; 1‘

V5,;r’-~‘s

V4

\

V1

‘ ‘

.

hipétesi's-dc‘indxjccién

cantidad dc. caminos dc longitud K + 1

que unen a v. con v,.

Q.E.D.

v,’ .

V2

Sin embargo, inv'estigar' por ejemplo 1a cantidad dc camihos de Ion gilud 3 o 4 quc uncn a cstos vérticcs v; y v5, ya no es una labor tan sencilla. Se verd quc cxistcn

EJEMPLOS

Por ejemplo, la matriz dc adyacencia de la (5, 9)~gréfica de la figura 17 es: ,—

l 1 caminos de longilud 3 y 41 caminos dc Iongitud 4. A = TEOREMA A2

'

‘

Sea G una (p, q)-gréfica con sus vértiqes marcados v1, V2, . . . , v,,. SeaA

'- -

laj-é‘sim'a Colulmn'a 'de la matrizA"; cxislél1 M,-,- cam'igos dc longitud n qua -

'

DEMOS TRAC/GN Por induccién so'bre n = longitud del camino que um: :11 vérticc v; con el vértice v,. ’ Para n = 1 el resultado se signs directamente de la manera como se construye la matriz de adyaccncia de la gréfica G.

O

1

1

1

1

l l l

O l 0

1 0 1

0 1 O

1 1 1

1 ' 1.

[a matriz'dé adyacencia de G. Si My 63 e1 clementode la i-ésima linea y _- ‘ uncn a1 vért'i'ce v.- con cl vérlice v; en G.

.

-' (cantidad dc caminos dc longitud K "‘1 ,. que uncn a v, con v“)

V3

\/

V

71

\

/

Figura 18

0 case contrario

_1 ‘ 1 ' 0

Se tiene 'que'

‘4 2 A2= 3 2 3

2 3 2 3 2

3 2 4 2 3

2 3 2 3 2

32 3 2 4 ‘

572

ALGEBRA LINEAL

VALORES Y VECTORES PROPIOS

y entofices, tal como se habiaj'viStp directamentécn G, éxi-sfien 3 cammqs :6 longifud 2 cine u’nen-la v; con '1‘}, (plies e1 elemento dc? la 3a. line? y 7532:. 0211111111:c1 A2 cs 3). La informacién sobrc 1a camidad de cafnblossde lengnud y que u a v; con w, i, j = l, . . . , 5, se obtiene de las matrices/1 y A

A3 =

10 10 11 10' 11

10 11 6 10 10 10 6 10_ 10- 11

10 6 10 6 10

11 1O 11 10 10

A4 =

42 32 41 32 41

32 30 32 3O 32

41 32 42 32 41

TEOREMA A3

Sea G'una (p', q)-gr2ifiéé con'sus Véfiices’marcados como w, v:, . . . , vp.

Sea A la malriz dc adyaccncia dc G. Entonces,

41 32 41 32 41

32 3O 32 30 32

DEMOS TRA CION

1)

1)

tr A2 = 2q

2)

étrA3 = cantidad de ciclos de longitud 3 en G.

Segfin e1 corolario del tcorema A2, se tiene que

tr A2 =

y 2151, pues, como ya 56 habia dicho, existen ll caraiaos delox1g1tud 3 y 471 cammos 1 de longitud 4 que unen a v3 con v5. LPodrl’a descrlblrlos’ e§p11c1tamente

p

:2; grad v,-

Basta entonces observar que cada una de las q lineas de G es incidente con 2 vértices, dc modo quc a1 sumar los grados de todos los vértices de G 56 cstaré

Establézcase ahora e1 concepto (16 “grade de un vertlce : se 11ama‘grado de vértice v; en una gréfica G, denolado. por grad v,,a1.m'1mero d? lmeas meldcntes

considerando e1 doble'de 1a cantidad de lineas de G.

con vi. Asi por ejemplo, en la (5, 9)-gréfica de la figura 17 se Ilene que

2)

Sea A3 = (c;,-),-,,-. 1MP. Segt’m cl teorema A2, Ci.- = cantidad de caminos de longi-

tud 3 que uhen el vérticc v; consigomismo. Obsérvese quc cada ciclo dc lon-

grad v2 = grad v4 = 3

grad v1 - grad v3 = grad v5 = 4

573

gitud 3 en 0* en el que esté involucrado cl vértice v,- corresponde con 2 ca-

minos d6 longitud 3 que unen a v,- con v1.

Con la ayuda de la matriz dc adyacencia es posible obtencr informacién acerca

del grado den-1n vértice de una gréfica G. A51 10 muestra el siguiente corolano del ‘ . ., , . ' momma A2:

CO'R'OLAR 10

Sea G una (p, q)-gréfi,ca con sus vértices marcados como v1, v2, . . . , VP. Sea A la matriz dc adyacencia de G. Si A2 a (by); ,- . 15.... p, entonces i=1,2,...,p

gradv,=‘bu

Vi

DEMOS TRACION

Segfin el teorema A2, bu es la camidad de caminos dc longitusi 2,.que uncnal v.er11ce v.- con él mismo. Basta observar cntonces que por cada lado mcxdente con v.~ ex1ste

Vi

v.v,k(

Figura 20

Como en cada ciclo dc Iongitud 3 hay 3 vérticcs distintos de G involucrados, es

un (y 5610 un) camino dc longitud 2 que une a vi con v; "1‘

v,vkv,w

claro entOnces quc a1 sumar la cantidad dc caminos de longitud 3 que men a cada

uno de los vértices de G consigo mismo, se estarzi considerando 6 veces cl ndmero

Vi

dc ciclos de longitud 3 en G.

_ , Q.E.D. v,--'

‘

1360M ' v;)inc1dent'e -con v:

i- j

w.

, V

'

.

wvm camlnode long. 2,que une a v; conw

:EJEMPLO 6

I . Po: ejemplo, para la (5, 9)-gréfiéa de la figura17 se tiene que tr'A3 - 10+ 6 + 1.0 + 64.103142

, . , 1 . de modo que exxsten 5(42) = 7 010108 (16 longltud 3 en G. Estes son:

Figura 19

Q.E.D. 3 ’ E1 siguiente resultado telaciona los valores de 1as trazas de'las matrlces A2 y A (A G. grafica la de es la matriz dc adyacencia de G) con la estructura

V1V2V3V1, V1V3V4V1, V4V3V5V4, vmvsvh V2V3V5Vz, Vlvsvsvl y V1V2V5v1.

*Dos ciclos en G 56 identifican si ambos involucmn a 10s mismos vérliccs y licncn la misma longitud.

'

574

ALGEBRA LINEAL

VALORES Y VECTORES PROPIOS

E!16510 dc estc apéndice se dedicarz'i a estudiar cl polinomio caracteristico de ma _ g1fifica,asi como algunas dc las propicdades do 5115 raices

A.4.

DEMOSTRA CION

EL ESPECTRO DE UNA GRAFICA

Se deduce imnediatamente dci hecho de que una matriz dc adyaccncia dc G as simétrica y del 11201611111 4. 1 dc este cap1’1ulo Q.E.D. Por ejemplo, e1 espectro de la (3, 2)-grzifica de la figura 21 651151 constituido por las raices de su polinomio caractcristico 41.3 + 2?». Este es entonces,

Ya se habia observado anteriomiente que es posible definir cl polinomio caractert’stico de una (p, q)-grafca G, como c1 polinomio caracteristico de la matriz dc adyacencia de alguna (de cualquiera, por cl teorema A1 y ei teorema A3 de este capitulo) de las posibles gréficas marcadas de G Obsérvese que éste es un

Ea: {O,ff,'/§'}

polinnmio de grado p. EJ E MPLO 7

575

A continuacién so establecerén algunas propiedades muy interesantcs que poscc

el espectro de una gtéfica. Para hacerlo, sc explotarén dos hcchos ya estudiados

Por ejcmplo, considers la (3, 2)-gtéfica

en estc-capitulo. Estos son:

o————-o———-—~o

Figura 21

Para obtener e1 polinomio cata‘cterislico dc esta grzifica, marque dc algiin modo sus vérticges como v1, v2, v3, diga

TEOREMA A5

V1

a)

Toda matriz simétrica es diagonalizable (teorerna 4.3 do cste capitulo).

b)

Si A y A; son matrices semejantes, su traza es la misma (cjercicio 5, scccic'm 4, capitulo 4).

Sea G una (p, q)-gréfica y sea

o——'—-o—-—-——- a v2

V3

___

' . Figufa 22

‘

E6: [xhxh-figgxplr-

La matrii dc fidyacenoia dé ésté gféficzi eszi ' ‘

1)]71,+AQ+,..+

' i

H‘

su o'spectro. Ehionccs, 0.. "

‘

'

2) 1%+1§+...+1%= 2q3) 1%+1§+...+13 = 6C3(G) En donde C3(G) es el niimero de ciclos de longitud 3 en G. 13111011065 61 polinomio caracteri'stico de G cs:

4» 1 det = M) det(A— = 120») 1

1 -1 o

1 o ~1

DEMOS TRACION

= 49+».

Sea A una mat1iz dc adyacencia de la gréfica G. Como A es simétricu, A cs semejante a la matriz diagonal A. 1

12

O

12

O

Dcfinase el espectro de una (p, q)-gréfica G, denotado por Ea, como cl conjumo do [as p raiccs de_ su polinomio caracteristico. Es decir,

={7»|P0.~)=. .0] en donde p0») es el polinomio caracteristico dc G.

TEORE MA A4

El espectro de una grz’ifica G cs real (esto es, estzi constituido por ni'imeros rcales).

'Mz’is. 3.1.3.11, A." as. semcjantc. a. la matriz M‘

576

VALORES Y VECTORES PROPIOS

ALGEBRA LINEAL

c'uyn‘pdlinomio caractbrfs’tiéo‘esf.‘ ‘ _ . .,

' . fara cada' n E N (Véase dcmgstracién dél tcoiérfia 3.3 de este bapim1p)..Entongcs,

'

”A" = trD" = xq+'1g+...+x;”

'

577

'

~9. ' 1

p(x)=der(A—M)=dez1 1

para n = 1 se obtiene M+712+...+7x,, = trA = 0 pues 1a matriz A tiene en su diagonal principal solamente ceros (ningfm vértice de G es adyacente consigo mismo). Para n = 2 se obtiene

1‘

4» 1 =-13+31+2=~(x+1)2(2—1) 1 —1

Entonces el espectro de la gréfica G es:

E0 = {-1, -1,2} se comprueba pues que

x?+1%+...+1,2, = ”/12 = 2q

M+M+X3=—1~1+2=0

1% + 13 + 13: (~1)='+ (—1)2 + (2)2 = 6 = 2(3) "= 2 (nfimero de lados de G). 9»? + 13 + 13 = H)3 + (—1)’ + (2)3 = 6 - 6(1) = 6' (nfimero de ciclos dc longitud 3 de G).

por el i'nciso (1) del teorema A3. Finalmcnte, para n = 3 56 obtiene

1%+13+...+1;;= trA3 = 6C3(G) por el inciso (2) del mismo teorema A3.

Q.E.D.

A.5. UNA COTA PARA EL ESPECTFIO

, Se desea resaltar el hecho de quc las férmulas,.establecidas en el teorema antenor los entre as algebraw contienen en su primer micmbro relaciones puram‘ente elementos del espectro de la gréfica G, micntras quc en c1 mrcmbro dcrecho

qerépémo lacstructum geomérrica .de una-gréfica determina cotas superior 'einferior (en la recta real) para su espectro.- El resulta'do que se‘quiete demos‘trar-es‘

poseen'informacién de la gréfica ,G misma, Es, pu'es, interesante observar queen "-é‘llass'b'establéce u‘n'a ig‘fifil‘dadéntrc dds cantidédes ‘e'sencia-lmentcdist-intas: 1111a

'algebraic'aybfra'gCOmétrida. f . EJEMPLO 8

-

' ‘

-

'

'

91 siguiente:

'TEOFiEMA A6 '

8661 G um (12, q)-gréfica con vértices v., v;, . . . , vp. Sea

Verifiqim el contcnido del tcorema anterior con la (3, 3)—gréfica

1D=méx{g_radv,,

i=1,2,...,p.}

(D es cl mziximo de los grades de los vértices dc G). Si E0 = [l], 12, . . . , 2p} and espectro de G, ento’nC‘es

Ea c [—D, D} Es decir que todos Ios elementos dcl espectro dc G se encuentran en el intervalo cerrado [—D, D].

Figura 23

Marque sus vértices como v., v2, v3, digase dc la Slgulcme mancra: V3

Antes de ver 1a demoslracién dc e‘ste resullado, véanse a1 gunos ejemplos.

‘EJEMPLOQ

‘ Para 1a (3,12)-gréfica de la figu‘ra 22,. se tienTe que'grad v'; = grad v3 =. 1.y- grad vl' -'-

2. de modo queD =,:2....Seg1’m elle'orema- anterior, elsespectr0=d0 1-21- gréfica dcbc- .1 Figura 24

estar contcnido en el interValo [—2, 2]. En efecto, se habia visto que su‘ espcctro es

W

{0, {2: - 1/2"}.

La matriz de adyacencia de esta gréfica es: 011 A=101 110

Para la (3, 3)-gréfica de la figura 24 sc tiene que grad v. = grad v2 = grad V3 = 2, de modo que D = 2. Nucvamente e1 teorema anterior asegura que el espcclro de la gréfica debe encontrarse en el intervalo [—2, 2]. Se habia ya en'contrado que

E; = {—1, -1, 2}. Como filtimo ejemplo, se ve quc 1a (6, 8)-gr‘éfica: G

578

ALGEBRA LINEAL

VALORES Y vecronss PROPIOS 'V5,

‘ >'.‘_va

"

_

V5

579

D‘EMOSTRA CIéjN‘ ' Sea A un‘valioirbrofiidde .A y. x = (5cm, . . . _,_xn) u'n vectbi' promo asbciado a x. ,

-’EntonceS,‘

‘1

'

"

I AX = XX

'

'

-

Seai E {1,2,...,n} talque V1

-

'

i1= méx {l.wc,—|,j= 1,2,. . . ,n}

V3

V2

(es claro que x; 9* 0, Lpor qué7). Al igualar los i-ésimos elemcntos de las matrices en la cxptesién AX = XX 56 o‘btiene

Figura 25

tiene por polinomio caracteristico a

ailxl + aizxz + - - - 1‘ amxn = M:

pm = 16—8x4—4A3+9x2+4x— 1

o bicn,

Eh este caso se tiene que D = grad v5 = 4. Segl'm el teorema anterior, las 6 raices (reales, por el teorema A4) de [20») se encuentran en el intervalo [—4, 4]. Es interesante notar de nuevo la combinacién de informaciones algebraica y

I!

ju 1‘

geométrica que establece este teorema.

Al tomar médulo de los nfimeros complejos en ambos miembtos de esta filtima expresién se obtiene

La demostracién del tcorema A6 seré précticamentc imnediata después dc probar cl siguiente resultado de carécter. general:

10» — (1“)i = l 2 aw I

(TEQREMA DE LOS cincums DE‘ GERSHGORIN.) Sea A. una matriz c'uadrada de

j "1 in

orden n con elementos a.~,;, i, j = 1, . . . , n. Sea 120;) = de_t(A — M) 61 polinomio caracteristico de A. Si M, M; ._ '. . , A." son las 21 raices (complejas, pf '

. en general) de 120.»), entonceS' .

'Al‘usar las propiedadés del mofdiullo‘ dc nfime'ré's c'omplejos’équeda '

. ll

{)VI’M,€“>2-Ii]

C

U

I?» “ aiil il 5 Z Iaijl [l

D!

j-l

i- 1

i”

en donde D,- es el cfrculo (en el plano complejo)

obien,

[ZeC’lZ—‘afl s n] I

r, = X |a,-,|

|K-a.-.-| S 2: layl ul

j"!

"L 5 Z [a] = r; xi

jH’

M

I1

x.

II

D:

II

TEOREMA A7

aiixj

(9» " “HM =

.

Jul

jvi

en donde 1a filtima desigualdad quedajustificada por la maneta como fue escogido el indice i. Esto muestra entonccs que 7L E D; y por lo tanto,

{x,,x2,....xn} c U D; .--1 EJEMPLO 10 -

VPara ejemplit‘xcarje'l._t¢orema anterior cans‘iderg lamatriz,

_ 1 —1‘

A ‘ [2 —1] *Se usan las-propiedades Figura 26

1)

WA = 1211 I22:

2) IZ1+ZZI 5 WWW.

az E C

,

Q.E.D.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

' 5580 .ALGEBHA uNEAL

' Se ticne Entofices que los ciréulos Dirson todos cOncérit-ricos, siendo D; de radio grad vi. La unic'm dc todos cs'tos circul-Os e‘s un-huevo clrculo do centro en el origen y radio.

v .. ,

' V En cSte dasbml'c‘irculo Dldclteorcmac's:

581

|—1|=l D1= {25 Cl 12— llSl],puesau= lyr1=

el circulo D2651 esazz=—1yr2=|2[=2 D2={ZEC||Z+1|‘.hce$,

‘ Dé‘G’— A“:

D

a2 = (' 1)4 [(—1)2(2)°(5)} = ’5

y por lo tanto, e1 polinomio catacteristico de G es:

p(?») = 7x4 - 5?»2 - 4')» W,“ “my“. “.— W1

0

D

A

B

61=1

D

D

A

.——--——'—'.

.——-—-——.

...L.'.a~;—~

”mum.

/

C

D

’Las subg‘réficas de 0 con 4 vértices son:

C

D

C

32'

a

Ca’lculo de ax: Sc ticncn que considerar ahom todas [as subgrzificas dc Sachs de G con 4 vértices. Se pucdc proceder sistemz’xlicamcnte-obteniendo primero las subgrzificas de G Con 4 vértices (obtenidas eliminando de G uno dc sus vérliccs)

de Sachs con dos vértices. Entonces,

A

. Ca'1 63-1

ear-2 92-1

as '=' (—135I(~‘1)2(2')I(2)“+(~i>l(2)‘1 —2

'4

de G es una subgrz’xhca Calcdlese por filtimo a2(r = 2). Obsérvcse que eada lado

B

A

a

“-2 9'-1

come puede verificatse directamente.

E

./

C

GuE

586

VALORES Y VECTORES PROPIOS

ALGEBRA LINEAL

DeG-B:

1‘

'

>

_

:v- . ‘ .

,

,

D

'

D

D

E

587

D

/

C

E

C

E

E

C

E

\J

C

c

E o——-————-——-—o C

C

A o—-———-——o B

A o——-——-—-——o B

A

A

A

A

B

DeG-C:

ca=1

A

c7=2 37'0

e5-1

E

B

ce-z

69'2

eg-o

es=0

/D y por lo tanto,

a1 = (-1)5 [(-1)2(2)°(7) + (“1)‘(2)‘(2)] = *3 AO---——-—--—~—--OB

Cdlculo de (1;: No es dificil ver que en este caso el conjunto de subgrzificas dc Sachs de G con 3 vértices es:

DeG-.D: E

E

C

c

EO--—-—-*-—---OC

. E‘ A

3

c

Aio—-.—'g.—,pa 83 -

DeG—E:

A , D

c. . 1

02 = 1

c3 " 1

61 ' 1

62 = 1

as = 1

C

Entonces,

AO-—---————-~—‘.B

a2 = (“1)5 [(—1)‘(2)‘(3)] = 6

Entonces,

Cdlculo de (1;: Nucvamentc se observa que las subgrz’xficas dc Sachs de G coh

2 vértices son precisamente los lados de G; entonces

E

/0

5 -e

D \.. ‘

c

. 1 .

E

cu=2

e,=0

B

A

02:2

52:0

'

C

E

G

A

A

.

84-:

c

> D - /

D

/

ca=1

93:0

Ga-1

V. 82*

A‘

I

- '

E

05-2 95-0

-

.

'

V.

E"

-

‘

'

‘

a

.

Ao—--—-aB

53:2

C

D

c

a

E/

A ' A / 'Eo-————-—-oc

01-1

0231‘

c3=1

04-1

05:1

06.1

c7IE1

e1-O

ez-O

63'0

e4-O

65=0

96'0

67.0

Entonces,

as = ('1)5[(—1)‘(2)°(7)] = 7

.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

' ‘ .588, __ALGE8RA.LENEAL

p, vértices y G; con p‘zvvén‘i'ces (p. f 1): = q). Describa lavesxructura de la Inatrii dc adyacencia do '6.

_

5’ per 16 tamo, e1 polinOmi'o éaraéterisdc'o

V4

V‘,‘ .

v

2

. -

_ 8 Use el‘ teoromé de'Snchspara haIIar el nolinomio caractorififiico deja (6, 6)—gféfica

'V: -

‘

V5

una de estas graficas. a) Obtenga 1a matriz do adyacencia do cada cas‘o particular. este b) Verifique 1a validcz del teorema Al en 4

c) Detetminc su cspcctro. d) Verifique la validez del teor'ema A4. 7. Repita el ejcrcicio anterior con la (6, 5)-gréfica

tituida por dos componcmcs, digase G: con Sea G una (p, q)—grzifica no conexa cons

Determine cl espectro de esta gr'éfica y verifique la validez de 105 Icoremas A5 y A6. 9. Use 61 teorcma de Sachs para hallar e1 polinomio caracterfstico de la (7, 6)—gr;ifica

590

ALGEBRA LlNEAL

Determine también'su espectro y verifique la validcz de los teoremas A5 y A6. 10. Use 61 teorema de Sachs para dcrnoslrar que el polinomio caraclcrfstico dc la (5, 5)-gra'fica

CAP’lTULO 'S'IETE' 7 ‘ Fermas bilineales y cuadréticas

En el capitulo 4 se esludié el concepto dc linealidad para una funcic'mf; U ... V

CS?

pm = 45 + 5)? + 22.2 — 4a — 2 11. Use cl teore'ma de' Sachs para demostrar que el polinomio caracterfs‘tico dc la (6,

8)—gréfica

entre los espacids vectoriales U y V. Una generalizacién de la teoria ahr’ desarrollada va en la direccién dc estudiar funciones dc varias variables quc conservan la propiedad de linealidad en cada una de cllas; es decir, funciones dcl tipo

fIXsuxUn ~—> V (U1, U2, . . . -, U, y V'e‘sp'acio‘s vectcriale's) talq‘u'e para cada i = 1-, 2, . . . ,n 56 liene lasiguicnte propiedad: si 56 fijan n — 1 yedtores m, . . . , 11,--1, rm ;, . . . , an en los

' 'espacios Uh]. . . , Um, U“ 1‘,

.1, U,., re‘spcctiyamente, la fimcién

(1)n -) V

es:

pm = xfi—sa4—4x3+9x2+4a— 1 12. Dos graficas G, y 62 se dibcn ser iSoespectralés si' ellas poseen c1 mismo polinomio caréétcrfstico (y por lo la‘n‘lo, c1 mismo espcclro). Demueslre quc las siguientes (10-, 10)—grét‘icas son isoespcctralcs

¢(u.-) = flu“...,u:—1,u.-,um,-null.) es una transformacién lineal entre los espacios U,- y V. A las funciones de este tipo se les llamafimciones multilineales (cuando V =

R 56 les llama formas multilineales) y a la pane dcl algebra quc se encarga dc su

esludio se 16 llama dlgebra multilineal.

En este capilulo seré dc interés estudiar Ias formas bilineales (en la notadién anterior, n = 2, y V== R) y otro tipo de funciones procedentcs dc ellas llamadas

formas cuadra’tz'cas. Aunquc éstas resultcn casos muy parliculares dcl lipo dc funciones de las que se cncarga cl algebra multilineal, rcsultan set de gran utilidud

practica en muchas otras partes de la matematica. En este mismo capimlo (seccioms 3 y 4) se vera quercon la herramienta desarrollada en las seccioncs I y 2 se podré resolver un problema de clasificacién dc' lugares geométricos _dc.curvas cn .

® 13. Eneste apéndiceaparecieron los dos siguiemcs hechos.:l '

el‘plano‘ y superfic’iescn e1 cspac‘iog‘

'

>

'

a) La lraza dc cualquicr matriz dc adyaccncia de una (p, q)~grzifica G cs cero.

b) El conjunto'de subgréficas de Sachs de una (p, q)-gr2ifica G, con un solo vértice, es vacio.

Discuta la relacién cntre cstos hcchos. (Sugerencia: ambos ticncn que ver con el coeficiente de NM en c1 polinomio

c'aractcrfstico de G.)

.

1. FORMAS BILINEALES En cl capitulo 4 se introdujo cl concepto dc linealidad de una funcién cntre dos espacios vectorialcs (que se llama transfor'macién lineal). Mas concretamente, en

el apéndice 1 dc tal capitulo 36 estudié un tipo de transformaciones linealcs cuyo

591

FORMAS BIUNEALES Y CUADRATICAS

592 ALGEBBA LINEAL

funcionales lineales; codoniinio em 91 eonjpnto.denfimeros reales,’ que se llamanque era elemento riable) sob-va (una ento argum solo Este tip‘o de fimciones tenia un ahora funciones con dos de un cierto espacio vectorial. Si 56 consideran s en los reales, tales que argumentos (con dos variables) también tomando valore (un funcional lineal) fijando uno de sus argumentos se obtiene una funcién lineal respecto del otro, se obtiene una “forma bilineal”.

593

. még aasxlguifnte.ejernplo es’nn ejemblo mnyimportan‘te de formas bilineales, pues

fim‘flt

e an ese vera que toda forma bilineal en un especio vectorial dc dimension

a puede verse como una forma del tipo que ahora se describiré.

EJEMPLO 2

. . v . SeaNV=M,,.x 9 R da:d); 51:13 una matriz cnadrada de orden n flja. La funciénf; Mr: H x Mn

Més precisamente, so tiene la siguiente definicién:

flvl, CV2 + vi) = cflvl, V2) +fivi, vi),

ficX, + X2, Y) = (c + X2)‘AY = (cX{ + XflAY = cAY+ XZ'AY

c E R

r, establece la Cada una de las exgresiones en (1.1) en la definicién anterio de sus dos una cada de to respec f l condicién de linealidad de la forma bilinea variables enando 1a otta se mantiene fija. y se considera En efecto, si se fija e1 vector v; E V (la segunda variable def) 1a funcién

_

En efecto, si 6 es cualquier cscalar se tiene:

(1.1)

flX, CYl + Y2)

ii

»

ficvl + Vi, V2) = Cflvb V2) UN, V2)

a) (enesdonde una f0 3 bu. se esté ea! en identific n xla,, mattiz d e orden 1 XAY ando ‘ =' [a] con - el numero ' real

cflxla Y) +fiX2’ Y)

ll

una funciénf: V x V Sea Vun espacio vectorial. Unaforma bilineal (teal) en Ves o real flv,, v2) que mimer Vun E v; v1, s '—* R que asocia a cada par de vectore satisface

X‘A(c+ Y2) = X'AcYl +X‘AY2 = cX‘AY, + cX’AYz-

ll

DEFINICIéN 1.1

CflX, Y1) +fiX, Y2)

Por ejemp‘lo, sin = 2 y A es la matriz

(b: V 7+ R ‘

(NV) ”=’f(v, Vz)‘ _ se‘ obtiene que

(MC-v.1 + vi) = ficvx + vi, V2) = cfivi,_v2) +flvi, V2)

= c¢(v1) + ¢(Vi) “fes lineal respecto de lo que muestra que (1) es lineal y as! entonces se dice que

su primeta variable". Similarmente se puede vet que la funcién v1 6 V, fijo

su segunda variable. es Una funcién lineal, lo que muestra quefes lineal respecto de . » ‘_ » Véanse algunos ejemplos.

7 EJEMlJLO‘I

A

= y; > x1 f[ [x2] ’ [)4]

l [xi XZ] [—1

3 2] [:2] = Xxyl + 3x‘y2 .. nl + zxzyz

Suponga ahora que se tiene la forma bilineal en M2 ,1

w:V——+R -\|/(v) = flvb V)

la forma bilineal del ejemplo anterior seria:

WM x1

y

_

No es dlflcll da‘rse cnenta'que esta-forma'puede ser ’e's'cr‘ita c'o'rno

,

(- [ v)», estc J" ' ' ' ‘ ' Si Ve's un espacio vectorial en-el que esui dcf'micl'o cl produeto interno nf: V x funcio la , mente producto intemo es una forma bilineal en V. Més precisa

V —> R dada pot

flvh V2) = (W l V2)

la definicién dc es una forma bilineal en V. Esto se desprende fécilmente de producto interno dada en la seccién 1 del capltulo 5.

que es una forma del tipo descrito on (1.2).

Mas generalmente, sea Vun espacio vectorial de dimension 2 y sea [3 = {v. 7

' . una forma V2], . una base de V'- Vea cémo descr‘ib‘1r la estructura general que. tlenc blllnealfcn V.

,

594

FORMAS BlLINEALES Y CUADRATICAS

ALGEBHA LINEAL

595

Ehtonces,

l-Dados x, y E- V, existcn esc‘alares an, xi, y',,-.y2.ta'1cs que ’ x‘ = X,“ + X2V2

11355) 3 f 2 xm, Z W}

- y = Y1V1+ Y2V2

1‘1

I

= Z X fivifljfii)? i-l j'l

j-l

Al aplicar Ias condicioncs dc linealidad para festablecidas en (1.1) se obtienc

en dondc’ 1a filtima igualdad se obtiene usando repetidas vcces las condiciones (1.1) establccidas en la definicién 1.1. Escribasc (1,; =f(v.-, vi), 1', j= 1, 2, . . . , n. SeaA = ((29),,- : ,,.,,,,.. Se liene cmonces

fix; y) =flxnv1 + x2v2, ym + 1’2V2) =flvl, V1)x1)’1 +flV1, v2)x1y2 +fivz, V1)x2}’1 +flvz, V2)X2)’2

qua

Sc ascribe

1',j=1,2

a.-,-=f(v.-,v,-)

1060’) = 2 01;?“i Lj-l

Entonces 1a formafqueda escrita como Pete I)

fix, y) = allxIYI + alzxxyz + azlxzyl + (122162”

[XJEAD’JF 2 “WW = flaw)

0 bicn,

Lj-l

de modo que .

X“? y)

:1

V'du j .012 3 ”1’1

_

[Xx-X21 [(12111 £122] [5’2 ] .

Mmmg

gjmwsmwmp‘f'V‘; '@»V

,

'"

A la matriz A so 16 llama matriz de la forma bilineal f respecto de [a base (3, 1a cual se dcnota pot [f]p. Se ha asociado entonces a la forms: bilineal f en cl espacio vectorial V dc dimensién n, 1111a matriz cuadrada A dc orden n (16 modo quc vale 1a férmula (1.3). En este punto es convenientc haccr un par de observaciones importantes. Primeramente obsérvese que los elemcntos de la matriz A dependen de la base 6 que so fije en V: no se pucde hablar entonces de la matriz asociada a una forma bilineal f en V (una simacién similar acontece con las matrices asociadas a transformacioncs linealcs). Se debc refcrir a la matriz de la forma f respecto de la

en donde A = (f(v,, v,)),-_,.1,2. Sc ha podido estable'cer ento‘n'c'es quc 1a cstructura general dc una forma

bilincalfen un espacio vectorial dc dimensién 2 pucde verse, por medio de una base [3 de este espacio, como una forma bilineal del tipo‘ descrito en (1.2). E1 objetivo de la siguicn‘tc ’subscccién es llevat esta discusién a1 caso general dc un espacio vectorial dc dimensién n.

1.1. LA MATRIZ ASOCIADA A UNA FORMA BILINEAL

base [3. La segunda observacién que se debe hacer es quc 1a matriz A en la expresién (1.3) dependc (mica y exclusivamcnte de la base que se fije en el espacio vectorial Vy no" depende de los vectore‘s X y Y quc aparecen en tal expresién.

A partir de este momento y por lo que resta de la presentc seccién, sc centrarzi la

at'encién a estudiar formas bilincales cu espacios voctoriales dc dimensidnfinita. ,

Como Vun cordlario de las dos observaciones a'ntcriores se'puede concluir qua, Lina vc'z fij'a'da' la base (3170161 espacio v'ectorial V, '1a matriz asociada a la forma ' ‘ bilinealfr-V X V-w R respecto-de fies: Linicau

Sea Vun espacio vectorial de di'mensién n. FijéSe una base [5 £19., v2, 3. . . , v,.}

dc V. Seaf: VX V ~+R una fofmabilineal en V. Pixra 605 vcémrcs x, yfle ' Vse tiene n

x = x1v1+x2vz + . . . +x,,v,, = 2: MW Id

EJEMPLO 3

Por ejemplo, si Ves cl espacio- R3 y x = (x1, x2, x;) y y = (yl, y;, 3);), considerc la

forma bilinealfi R3 X R3 -—> R dada por

n._

y = y1v1+y2V2+ . . ..+.-y,.v,. = Z we in

KL )0 = 16021 + 2X2y2 + X2y1 " 3x2y3 + Xayz + 3X3y3

(1.4)

FORMAS BILIN EALES Y CUADRAUCAS

ALGEBRA LINEAL

eque - Si {31 = 12.,‘e.;'e3'1'e“s labase ‘canén’ic'zi de‘ R’, se 11e11 fl81,€1) = 1

1162,61) = 1

K0561) = O

flesez) = 0

fiez,e2) = 2

fle3,e2) =

flebes) = 0

flexes) = ‘3

1(93133) =

2

Mg, =

' de R’ es: afrespecto de la base cano' mca ‘ y entonces, 1a matriz asoc1ada

[’1 UL). = 1

o 0 2 ‘3 '

3

1

-1

{3’11}: =

flxd’) = [x1232 [2%. Mn. = [231]

8 -1

demodo que

0

- 4

.1

se observa que, segl'xn la formula (1.3) se tiene

4

3

1

0

597

- Si se toman nfieiramehie lo‘s‘veetoresxr=i(3, —2, 8))" y ?= (3, 4,7—1)2efl_n R3 se observa : que D)”

59.6

5

2

-1

18 '1

. 0

—8

4 '

= "11

4

>

1 fl

O

x, )= [x1x2x3] 1

3’1

2 ‘3

valor que ya se habia calculado con la matriz asoeiada a f respecto de la base

3’2

canonica de R3.

)’a

3

1

0

y

0

se tiene que Pot ejemplo, six = (3, -2, 8), y =‘ (3, 4, - 1), 0'.-. 3. O :1 it

_2 8] fix: y): [3

“'3

4

3

—1

0

Resulta natural espetar que las matrices [f 1131 y [f],3 del e] emplo anterior estén relacionadas entre 51 de alguna manera, pues finalmente elias representan a la

misma forma b111nealf—-en diferentes bases de RL— El objetivo de la siguiente 1:.

,

subseecio'n es analizar esta relaeio'n.

= -11

con la fortnula (1.4). como uede comprobarse directamente v3} de R3 e11 donde v2, Sige toma ahora la base p;={v1,

1.2; CAMBIO 'DE-BAS'E. RANeo DE UNA FORMA BILINEAL‘ 1 Sea f: V x V —» R una forma bilineal en el espacio vectorial Vde dimension n. Sea (31 um base V. En la subseccio'n anterior se establecio’ la formula

fix. y) = MB. AUIn.

V] a (19 0: 1)

en donde A = [fhl = (1112;, vj));,j-1,,.,,,. es la matriz de la forms frespecto'de la base

V2 = (0,—1.2) v3 = (1, 1. 0)

[31" {V1, V2, . . .,V,,).

Considérese otra base [32 = {141, u;, . . . , 14"} del espacio V. En la seccién 6

Se tiene que fim, Vl) _= 4

flw, v1) = —1

j(V2,111) = 8

. 1111,»). =5 '. fl'vz'; v2) =, 18 ' 1m, v.).=_--~8 » flv1,vz)- = 2

fi'vs'. V3) = 4

KW, 153) = “'1

(subseccién 6.1) del capitulo 3 se telacioné la matriz dc coordenadas de un vector w E Vrespecto de la base [31 con la matriz de coordenadas de w respecto de la base [32. El resultado fue [W191-P[W]pz

en donde P es una matriz inversible de orden n: la matriz de cambio de base de [32

a {31 (la ]-ésima columna de P esta cohstituida por las coordenadas del ]--e'simo

de modo que

4 V1132 =

8

-1

5

2

18

_1

—8

4

vector de la base {32 respecto de la base 13.). Entonces, para X, Y e Vse tiene

N11. = Ph'kz Mn. = PUB).

598

ALGEBRA LINEAL

FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

‘ DEF/N1Cl'1.2

de mode que sustiluyendo en (1.3) se obti'ene 2

i

' 1111 y)=(P1111)’A(P1y]11)=1x111.(I’AP)11113.

Debido a la unicidad de la matriz asociada a una forma bilineal respceto de una base dada del espacio V, se concluye de la exprasio'n anterior que 111 matrix asociada a la forma bilineal frespecto de la base [3; do Ves P'AP. En resumen, se ha probado e1 siguiente resultado:

EJEMPLO 5

"Seaf. VX V —+ R unadfixfa bilineal en el espacio Vectoria'l .Vde dimension 11. Se llama range de 1:1 for 211 range .115 la matriz asoeiada a f respceto de algun:1 , (cualQuiera) base de V. \_\._ As1’ pot ejemplo, 1a forma bilineal en R3 (11: in formula (1.4) licne range 3, pucs éste es e1 rango de la matriz asociada a f respecto de la base canonica 13. do R’

U16. = TEOREMA1.1

599

1

0

01'

1

2

“3.

0

1

3'

Sea f: V X V»1 R una forma bilineal en el espacio vectorial Vde dimension 12. Sean bl y [32 dos bases (1e V. Si [f]p,. es la mattiz asociada a la formaf

que es el mismo tango de la matriz asoeiada a f respecto de la base [52 = ((1, O,

respecto de la base [3,, i = 1, 2, se tiene

'1)» (01 '1: 2))(1111 0)}

U111, = P‘D‘p

(15)

452‘

U]n.=

En donde P es la matriz (inversible de orden 11) de cambio de base de 132 a [51.

8 18 —1

—1 —8

4

Una forma biline’al def: V x V ——1 R se dice ser no degez'zeraa'a si $11 range es igual

EJE'MPLQ 4.

a la dimension del es‘pacio V. Caso contrario, se dice q‘ue la 1ormafLs dege/zerada. La forma dada por la formula (14) cs 1111 ejemplo dc 1orma bilineal no degene‘rada. . . .

Por ejemp1o,si se considera la forma b111nea1fen R3 dada per (1. 5), se tiene, como

ya Se habia visto, que la mam;- asociada a esta forma respecto de la base canonica ‘ pl: (81, 82, e;) de R3 CS:

'

1 A=[f111.= 1 o

'

-

“

1.3.

o o 2 -3 1 3

EL ESPACIO DE FORMAS BILINEALES

Sea Vun espacio vectorial de dimension n. Considérese e1 conjunto de todas las formas bilincales e11 V, :11 cual se denolara por L.(V, R).

Se define la suma y producto p01 escalates on L2( V, R) de la mancra natural. Si se toma ahora la base D2= [(1, 0, 1), (0, —1, 2), (l, l, 0)], siendo P 1a matrix (1e

cambio de base de 132 a131, se ticne que segun e1 teorema 1.1, 121 matriz asociada a la formafrespecto de la base [3; cs:

f,,f2EL2(V,R),f,+f2: VX V—1R

(f. +f2)(x. y) =f1(x. y) +f2(x. y) U111, = P'AP=

1 0 0 ~1 1 1

1 2 0

1 1 0

0 o 2 —3 1 3

1 0 0 —1 1 2

1 1 0

=

4 5 2 8 18 ~1 —1 —8 4

fE L2(V,R),c E, R,cf: Vx V—> R

(6/)(x. y=) Cfix 1) Se afirma que 0011 la definieion anterior so nonef +f2 E [4(V, R) y of E L2(V, R).

resultadoqueyase' habia establecido anteriorrnenleealcmando di'reetamente los elementos de esta malriz. Tome ahora una forma bilinealf: V X V —> R en el espaeio veetorial V y dos

Enefeeto,s1x,x-’,y,y’ E Vy' c E R- se tiene (fl +f2)(cx + x', y) =f.(cx + x’, y) +fi(cx + x’, y)

bases distintas (31 y [32 de V. Segfin e1 ejereieio 10 de la 56001611 7 capilulo 4, se tiene que el tango de 121 matriz [f]p, es el mismo que. e1 rango de la matriz V11:

= CfIOG )0 +1010". 1’) + 01305» 1’) +f2(x'1 .V)

pues 1a matriz P de cambio de base de [32 a [3, que aparece en la formula (1.5) es una maltiz inversible. Este hccho permite establecer la siguiente definicion:

= C(fxCx, y) +f2(x. 1)) + (11631) +f2(x’. y)) = 60‘: +f2)(x1 y) + (f1 +f2)(X'. 3')

600

FORMAS BILINEALES Y CUADRAWCAS

ALGEBRA UNEAL

- 'lo qUe'muestra ,qtiefi 47f; es lineal respects de sdptimera variable. Similannente

(Ii +f2)(x, y + cy’) =fi(x. y + 63") +fz(x, y + cy’) =f1(x, y) + cmx. y’) +f2(x, y) + 61309 y') =fx(x, y) +f2(x, y) + 60106, y’) +f2(x, y’)) = (f; +fz)(x, y) + 60‘: +f2)(x, y’) lo que muestra quefi +f2 es lineal respecto de su segunda variable. Entonces, fl +f2 6 L1 (V: R)-

La verificacién de que cf 6 L2(V, R) se deja como ejercicio para el lector. Es también un simple ejercicio que se deja para el lector, verificat que cl conjunto L2(V, R) con las operaciones de suma y producto por escalates anteriormente definidas es un espacio vcctorial. El cero de este espacio es la forma bilineal.

(9130’! +f2) = [fl +1311) = Ulla + U219 en donde la filtima igualdad se justifica por la manera como se definic') la suma de matrices. Entonces )

+ fl 13 y POT

I

605

a) fix; )5) '= My:

b) flx, y) = 2x1y1 + 3262):;

C) fix, y) = 6m: 4xzy2' + 10w: -

604

> ,

.

1

1 d)_ VKXJ) ‘5 737011 + 8x93 - 635W

9"“ Y) =x1yi fxxyz "l"- xs +‘2XEY1 *:2.l‘2)’2 + 2372}: + 71m + 9X3y2'+ 10x3ygl' 22. Considcre la forma bilincal deliejcreicio 3. Suponga que los veetores u 1 y u; son

vectorw (13105) no nulosde V.D.escriba cl subespacio Wdet'mido en-cl ejercicio 16. 23. Considere las for-mas 'bilineaies en R3 fi,fi: R’ X R3 —+ R

fi(x, y) = xly; + 3x2)»; — 2x3y3 + 4xzyl

f2(x. y) = 6x021 + 7x1)’: + 8m; + 6w: — xayi + xayz a) Determine una formula explicita para la fomia

f1+3f21R3XR3 ~11 b) Si [3681a base canonica de R3, verifique que

V! + 3fzip = [flip + 3min ® 24'. (Un‘ajercz’cio sabre aplicaciones‘bilin’eales.) Scan V1, V; y U trcs espacios vectoriales, Se dice que lafuncio’nf: V] X V2 —‘+ U es una‘ aplicacidn bi-lineal si es lineal respecto de cada una de SUS‘ dos'varia‘bles, cua'ndo 121 mm se-manticne fija. Mas 'precisa‘ment'e‘

fi Vr X V; —+‘ U»e's'u'naaplicaei'énbilinea-l vsi =

'

'I

flvx + cvi, vz) = flVi, V7.) + Cflvi, "2)

[(vi, V2 + cvé) = flvn V2) + CflV1,V:1)

para todo vl, vi 6 V1, V2, vi E V; y c E R.

V

=

7 '

)

ALGEBRA LINEAL

FORMAS BILIN EALES Y CUADRATICAS

5)

C)

Via funcion dada porfic, v) = cv.

607

g) Considere la funciQn- T: L(V1,_ V2; U.)_«~141q V2, 11)) [endonde se csta denmando 'p01 L(.W, W') 31 Lspacio dc transformaciones lineales dc W21 W] (iada pot

Se'an V 3/ U dos‘ es'pacios veeloriales y T: V .. U una transformacién lineal Considere la func1énf L(V, U) X V —’ U (e11 donde L(V, U) es el espaeio vectorial dc las transformaciones lineales de Va U) dada porflT, v) = T(v). Demueslre que

((Tj)(V1))(vz) =flV1,v2)

WE V1,V25V2

fes una aplicacién‘ bilineal.

g1)

Demuestrc que Tes 1111a transfonnacién lineal.

Sean V1, V2, U1 *y U2 espacios vectorialesy T: U1 —. U2 una transformacién lineal. Suponga quef. V1 X V2 —~ U1 es una aplicacién bilineal. Demuestte emonces que

g2)

Demuestre que Tes inversible,mostranclo que T'1:L(V1, L( V2. U))

V2; U)

la composicién To f: V, X V; —r U2 es una aplicacién bilineal. d) Sean V1, V2, V3 V1 y U espacios vectoriales T1: V1 —~ V; y T2: V2 —» V4 transformaciones lineales. Suponga quef: V; X VA —-> U es una aplicacién bilineal.

-

ia) Sea Vim espacio vec'l'orial y seaf: R X V Demuc‘st‘re quefes una apli‘ca'cién bilineal

-

606

L( V1,

.1

T'ligXVI, V2) = (g(vl))(v2) es la transformacién inversa de T. Concluya entonces que Tcs unison-101— fismo.

Defina gz; V1 x. V2 -« U como g(v1, V2) =-= flT(v1), T(vz)). Demuestre que g es 11na aplicacién bilineal.

g3) Concluya que si V1, V2 y U son espacios vectoriales de dimensién iinila,

6) Defina la imagen de ma aplicacién bilineal F: V; X V2 -—> U, Llenolada per 1111 F como el conj unto

entonces

dim L(V1, V2; U) = (dim Vl)(dim V2)(dim U)

ImF= {u 6 UI 3 v1 6 V1, v2 6 V2, tales qua F(v1, v2) = 11}

Use este hecho para obtene'r nuevamente e1 resultado del corolario (lel

En este inciso 5e veré que‘este.subconju11lo (1.6 U noes en general un subespacio

teorema 1.2 de esta seccién.

dc U, al contrario de lo que aeontece con las aplicaciones (Iransfonnaciones)

lineales T: V —> U cuya imagen siempre es un subespaeio de su codominio (dei espacio vectorial U). e1) Considerela funcién2F: (R2)* X (R2)* —. L2(R2, R) (en donde (R2)* denola e12espaeio dual (1e. R2 y L2(R2, R)i11dica. el espaeio dc fomias bilincales en R2 esiu'diado en la subseccion 1.3) dada DOE ‘ '

F0: gxxry) =flx)g(yl

.2. . FOR MAS cuAD'RATICAs ' En la' seccién anterior sev'pr'cscmé e1 concepto de'fot‘ma bilineal en un cspacio

f g e R tnl que q(x) = Para vet esto, considérese la forma bilineal simétricaf:

fix, x). Entonces,

a-u ‘ 0x2. 022 012

'

determnm de modo umco a Es importante observar ‘que una forma cuadrzitica

lo que mues.t-ra quef =]f

_ , X2

[Xh _

es entonecs‘una faring cUadtética en R2. . "

(2.3)

(106) = [x15 A[x]n

Como la matriz

"2

609

se puede entonces hablar de la forma bilineal jsimégrica que genera a una forxfia cuadrética q. Segt'm el anélisis anterior, una vez fijada una base dcl espacio vectorial V dc dimensién finita, se puede hacer una identificacién biyectiva entre formas cuadrzi— ticas en Vy matrices cuadradas simétricas de orden dim V(z,por que’?). Si Ves un espacio vectorial de dimensién n y q: V —> R es una forma cuadra’tica en V, se puede entonces escribir

-

608

EJEMPLO1

Por ejemplo, la fox-ma cuadrética q: R3 —) R dada pot .'

(101}. x2, x3) =15“ 3x3 ‘ x§ ‘ 8171352 + 43133 ’+I?J§2x3

se puede escribir como

(1(xu x2, x3) = x? + 3x§ ‘ x3 + 2("4x1x2 + 2351353 + x2353) y asi, a1 comparar con (2.4), a esta fotma 1e corresponde, respecto de la base canénica de R3 la matriz simétrica 3 x 3

61 O

ALG EBRA LINEAL

#OEMAS BILINEALES‘Y CUADRATICA‘S

,1 —,4 - 2

A = -4 ' 31 1 2

l

6'1 1

, de nipdb quela ma’triz asociackal 1a forma q respeeto dc la‘base {5" cs:

-1

PAP =

y entonces se puede escribir

1/47 4/5

1

2

1/«2—

MIT

2

i

- 1/12—

VIZ“

11/7: —1

0

VJ?

3

O

(10:) = X’AX y asi, la expresién para la forma cuédrética q en esta nueva base es:

Se puedc ver fécilmente que la forma bilineal simétrica que genera a esta forma cuadrzilica cs:

(10V)

flay) = X'AY = xm " 4x1)’2 + 2x13’3 ‘ 4x731 + 3x731; + xzya " 2X3Yx + xsyz ‘ X333

-(x;)2 + 306)2 en donde (x)p' = (xi, xé)‘ Observe que respecto de la base (3’, la fomna cuadrzitica q se puede expresar como una suma de cuadrados (de las cootdenadas del vector x en que se evah’la q,

2.1. REDUCCléN A UNA SUMA DE CUADRA DOS Considérese una forma cu‘adrética q: V —+ R en el espacio vectorial Vde dimens ién

-

res‘pec’t’o dc la base [3"). El siguiente teorema establece que siempre es pdsible expresar una forum cuadrétiea q: V —> R en el espacio vectorial Vde dimensién finita como una suma dc Cuadradosr

11. Si [3 es una base de V, se puedc cscribir para la matrix simélri ca A determinada

POT "1

6100 = [XE Amp Si 'setoma una'nueva base [3" _de-.V, la matrizde la forma bilineal c‘orrespo ndicme ,

. (la que genera a q‘) respecto dc esla nfieva basescrl’a'P’AP'en dbncleP es la matriz de cambio (16‘ base de (3' a £3. En tal caso sc tendn’a enlonces,

[xJE-P‘APEXJy = [xi x51 ['5 3] [xi] 1%

_TEOREMA"27.1_ _

- seq q: V 4 Ruin; forma'ctxadrétieaten el espacid .vcc‘tbrial Vde dimenSién ' 'n. Existe una base [3 dc Vtal que n

(Xx) = Mfr P ‘APMp EJEMPLO 2

We) = Z 1.x? i-l

Per ejcmplo, sea q: R2 ~.> R la forma cuadrélica

q(x1a x2) = x? + 13+ 4’51“) Respecto de la base canénica [3 dc R2 la malriz asociada-a q es:

__

1

si se considera ahora la base R2

en donde (I); = (x1, xz, . . . ,x,.).

l DEMOS TRA CION

SeaA la matriz asociada a la forma q rcspecto de alguna (cualquiera) base 6 dc V. Es dccir, que q puede escribirse como

2

I‘

(1(x) = [xJBADCJp SiendoA unamalriz simélrica, sesabc que cxiste una matriz ortogonal P [211 que

P'AP es una malriz diagbnal ‘(Leorema 4.3 del capilulo 6); digaSe que '

fi’ Wm, ~1/m , (“V/2'; Wm] se tiene que la matriz de cambio de base de (3' a {3 es:

10 =

W2“ 4/0"

W2— 1/17

MM.O

P‘AP =

0

"x"

Sea [3 la base de Vtal que P es la matriz dc cambio dc‘base de [3 a B

i

est; I La ekp‘resién deia fofma q‘ rmép'ecto do

base’fi es entohces; -

M 7V2

W) -= [xlisP‘APMp = [xx X2 . - .xu]

.76;

. _ .0

s

2'n

O

2 2

A =

613

3' -1 -1 3

Diagonalice ortogonalmentc a la matriz A. El polinomio caracteristico dc csta matriz es:

x"

= xlx%+24xg+...+2,,xfi

PO»)

ll

I

FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

_

' _ 612 ALGEBRA LINEAL

det(A—21)=det

ostrar.

es precisamente lo quc se queria dem en dondc 00¢ = (x1, x2, . . . , x”). Esto

#2 2 2

2 3—2 —1

2 —1 3~2

=-23+622—32

-(7~. - 4020» + 2)

QED.

de modo que los valotes propios do A son k, = 1.2 = 4 y 7L; = --Z. Para 7x = 4 so obtienen los vectors propios COROLARIO

) §oa q: V ——~ R unaioimia (DE LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA Ambition. nswn n. Sea A la mamz c a cuadrétiba en el espacio vectorial Vde dime existe una base [3 de

Vi ' (1, 2. 0) v2 = (13 0: 2)]

dc V. Entonces forma q'respecto do alguna‘ base 3 para la cual

. q -—

i

_ ‘

we:

A1 aplicar el proceso dc Gram-Schmidt a cstos vectores se obtienen los vectores ortonormalms" 1 ,

% 7 y»; (0,051) = ivl+3V2+V3

7

ll

II

Se hace‘ lo mismo con ya:

400

61 7 _

se obtiené firiziiméhte l‘a expresiéfi désééda (2.9) quiz presentaug q comounagsuma ,- de cuadi‘ados. Esta és:

- 1'-

x} = y,

ll.

36 2 .4. .— 2+...— 2 7 y§ 7[}’1'+'7"Y2+7}’3]‘7U%+6Y2}’3+9)’3)+ 7 3’3 5

dedondc

1

v1 = (1,1,0)

2 g +3YJ)2 +8y§ s 2+7)1 ’3] "702 ,7[}’x+77"')’

V2 = [“33530]

A1 realizar

v3 = (v2,—1,1) 5

,

x1= Yx+77‘}’2

+1

7Y3

y enlonces la base [3 respecto de la cualvla forma q tiene 1a expresién (2.9) es:

xi ‘= y2+3yy ’53-“ Ya

3‘

ll

l

2.2. LA LEY DE LA INERCIA

31

61 6

‘—

2

7 3 7x2 +1.: 273% +5

Considérese el ejem‘plo presentado en la subseccién anterior, en cl cual sc escribié la forma q: R3 -+ R

‘Xl +1; + 3X3

x§=x3

40‘) = 3X§ + 3x3 + 4xlx2 + 4x1x3 — 2x2x3

ALGEBRA LINEAL FORMAS BILINEALES YCUADRATJCAS

como una suma do‘cuadrados 'de dos manor'as dist-inta‘s. Al obsorvar las ex pros-ionc

oorrospondicntos

'

'

‘ - . .

'

s'

.

Sean Wl 2y Wisdos subo‘spa'cios de Vdefinidosicornd

-

qm = 4cm: + 4092 — 2(v = 70:32 — 2 (x92 + so"):

Hll = $30)“ v2: ~ ' ' ) vp)

VVZ = $9011“ 19 ”km - ' - : Ll")

so ve que on ambas aparoce la misma cantidad do cuadrados con cooficientos

Obsérvoso que

positivos asi como con coefioientos nogativos: son dos cuadrad os, on ambas

cxprosionos, con cooficientes positivos y un cuadrado c‘on coeficionte negative. Esto no es una meta coincidencia. Rosulta que si una forma cuadréti ca so prescnta como una suma do cuadrados do dos manoras distintas, e1 mimero do ouadrados con coeficientes do signo similar on ambas cxprosiones sorzi sicmpro cl mismo. Esto es lo que so probaré a continuacion.

TEOREMA 2.2

dim W1 + dim W2 =p + n — k >11 COlTlO

,—\

dim (W n W;) = dim W] + dim W2 - dim (W. + W2) y obviamonte dim(W. + W2) S n, so tiono quo dim(Wg n W2) > 0. Es (locir, que

(LEY DE LA [NERCIA- PARA FORMAS CUADRAHCAS.) Soa q: V —-> R una- forma ouadrética on el espacio vectorial Vde dimension n. Si [3, y [3.2 son dos bases do Vpara lasquo se-tionon 'las exprosion'es

W1 n W2 at (b.

Tomaso entonces un vector w e: W, n W2.- So puedo oscribi r

W = YIVr + sz + - . - + vp

ll

t) = z a.(x.-')2 Z bio.” l=l

(2.11)

i=1

, en. donde (X)p'l = (xi,xé‘, .7 gal.) y or)”; =_(x1’,xfi‘,. .. ,xiif)‘, enton'oes e1 ‘ p mimero de coerficientes a, positivos-(negativos) en la primer a do estas expresiones es i gual a1 nfimero do 'coeficientes bi positives (nogati vos) en la sogunda.

DEMOS TRACION So pucclo suponor (a1 ofootuar una roordo nacion do 105 voot'oros’dc'

= 0).”l + omum + . . . + Gnu"

(pucs w 6 W2)

es docir; que 'j I

I

(w)13| -=

(’Yli‘YZa . ' ' tn» 0,-0) - ' - 2 0)

(Whig = (0’0" ' ' ) 01“), 0154-2" - - ’01!)

las bases [3, y [32

q(x) = 5,(x;)2 + 5'2(x§)2 +. . . + 54x92 — 5p. pg. ,)2 — . . . — 5,, .q(x;, .q)2

(2.12)

on dondc ahora 5;, i = l, 2, . . . , p + q son mimeros positiv os (cs dccir, so csta suponiondo que los cuadrados con coefioient'os positivos aparcco n todos agrupa-

dos en los primoros p lugaros, soguidos (lo 105 cuadrados con coofioiontcs

negati-

vos)._Similarmonte, on la base [32 = > (in, to, . . . , un} laoxprcsién para q so pucdo

' suponor oomo

.> . “ El: (”i-(x13 m)?

(2.13)

on dondc también E; > 0, i = l, 2, . . . , k + m. So ostz’t suponicndo quop + q S ny

(KW) = 51(71):) + a2(Y2)2 + ' ' ' + 5P(Yp)2

do dondo so concluy‘e quo q(w) > 0, puos todos los coolicicntos do los cuadrados son positives y p no as core. Por otra parto, seglin la exprcsién (2.13) so tiono que

(KW) = ‘Etw (”In 1)2 “ 5k+2(0k+2)2 ‘ . . . " b3. "(Gt-«n02 do donde so concluyo que q_(w) S 0,.oblcnicndo asi la contradiccion (losoada.

7 So ha moslrado' cntonces,‘_quo p S k. Do on modo similar so pucdo concluir qtto . p '2 k (a1 suponor ahora que [2 < k)! llegando a' una contradicoionanaloga a la anterior). Entonocs‘p ”=‘ k (some so quoria. La domostracién do que q = m cs oomplotamonte similar a la anterior y so dcja como ojercicio para el loctor.

k + m S 11, al acoptar quo algunos do 103 cocficiontos a; y b,- on las oxprosiones (2.1 I) scan igualos a coro. So dobc entoncos probar que p = k y q = m. Supongase, para obtonor una contradiocién, que p > k 2 O.

(pucs w 6 W,)

Segt’m la oxprosion (2. 12) so tione‘quo

Si fuora noccsario) que en la base {31 = [v], v2, . . . , v,.} do Vla oxprosion para la forma cuadrzilica q es:

I ' (1(x) _= 51(11’ )2 17 52(xé’)2 +,,. ,. .. + k')? 4 5k y 1(1); + [)2 —

619

Q.E.D. Véasc un filtimo cjemplo.

.

618

FORMAS BIUNEALES Y CUADRATmAs

620

En este case, 36 tienen dos coeficientes positives, un coeficichte cero y ningun

tfica q: R3 HR '

cbn'sidete la forlna-eefidré : EJEMPLO4 V I. . En R3

' coeficiente negative en la fémmla que e'x'preSa a (1 como una suma de c‘uadrado‘s Pot otra parte, a1 usar la misma idea presentada en la pagina 616 de ir completando cuadrados en la expresién‘ de 9705) se pue'de llegar a la férmula

(10:) = x? + 2x% + x% — 2w: - W3 obie‘n,

q(x) = (I: “ W + ()6; ~ x3)" 0

x1

_12‘11

x2 x;

1—1

'10

1 xl=xxx I123 (1U A1 diagonalizar ortogonalment

Es decir, que si se hace

e la mamz -1 2 -1

1 -1 0

A =

se tiene que la fotma q se escribe como

0 -1 1

NucVamente q csté escrita Como una suma de cuudrados y la! como‘ lo ascgura la

I

0 O 0

PA? ='

I:

coeficientc negativo. Se deja como ejercicio al lector verificar c la’ b‘a‘Se [32 de R3 ‘rcspccto de la cual q(x) toma 1a expresién dc suma de cundrados (2 14) es:

=¢ {(1 1 1;) (0' 11,—1),.(0,0,C—1)};

.

_

I"tal'queA

H

ley de la inercia, se tienen dos coeficientes positivos, un coeficiente ccro y ningfin

1/!6' W5 W3‘ —2/J€ 0 VB" 1/!6‘ W?" 4/5

P =

1‘ I. J

0 0 3

O 1 0

2.3.

FORMAS DEFINIDAS POSITIVAS Y DEFINlDAS NEGATIVAS

DEFINICION 2.3 e 0 sea que respecto de la bas

wir- NMMMWW

oa ‘51 = {Jfi(la1,1),fi(1z

la forma cuadrética q se Ve

-1. _ ’J—6‘(l1 2!

'1)

» i

5

. i

I.

V;

I

-

dcfinida positiva, si q(v) > 0 V v 6 V, v 9‘ O. definida negativa, si q(v) < 0 V v E V, v at 0.

semidefinida positiva, si q(v) 2 0 V v E V. semidefinida negativa, si q(v) S 0 ‘v’ v E V.

For ejemplo, la forma cuadrzitica q: R —> R dada pot

110:) = fix"

_

es deem '7

b) d)

gm = (x92 + 3(s

rat»

1)}

c)

coma

{an dondeflxm;l _~_‘-. (xé, xi, x5 ),

Se dice quc la forma cuadrética (1: V —» R en el espacio vectorial Vcs una forum a)

1

,_

(2.14)

6106) = 065'? + (x;’)2

se obtiene la matriz

E

621

ALGEBRA LINEAL

I—x.1+lx2'+x3,

"* ' "'r3' x4 "x3

es definidzi positiva si a 5'10, [definidaihegz’x’t’iVa Si» a? 0,’Sétfiidéfinida’positivzx si ' ' I a 2 0 y semidefinidn negativa si a S 0. M55 generalmente, supéngase que la forma cuadrética q: V —r R en c1 csgacio

vectorial Vde dimensién n 56 presenta (en alguna determinada base {3 dc V) como una suma de cuadrados

(105) = (110502 + a2(.r2)2 + - ~ - + “L002

(k 5 I?)

622

ALGEBRA L’NEAL

en dondei(.x:)p =, (1.1.x; . . . , .1'7)..Es clato cntonccsqq ue 1a for-ma q es definida positivu '' 51, y solo 51 k = Izy on, 092, .v. ,auson nfime r'os positives, y definida negativa si, . y solo 31 k = n-y on, any, . . .fin‘son mimeros negatives. Adcm'as, segfin i'a ley ‘dc la mercm preseniada en la subseccién anter ior, estc hccho no dependc de in presenlacion concrela de ia forma q como una suma de cuadrados. A.1 usar ei corolario dci teorema 2.1 se puede afirm ar entonccs que si A es in Inatrl‘z asociada de la iorma q respecto de algun a base {3 de V, esta forma scrzi definlda posmva (definida negativa) si, y 5610 si todos 10s vaiorcs propios de la matriz A son numeros posnivos (negatives). Se deja 211 [color dar los dctallcs dcl argumento que pmeba esta afirmacién.

EJEMPLO 5

FORMAS BILINEALES v CUADRATICAS

_- A las submalrices ’ '

”\

—

an

012

(121

(122

TEOREMA 2.3

4 ~14

ticnepor polinomiozcaracleri'stico a’

' . 190.») = ,VdeKA: M) f der[ 75-k' . 4 __4. ”4”]

'=

DEMOS TRA CION

POl' otra pane, ia i‘orma q: R3 —> R dada por

an all

023

031

£132

033

“13 >" ' aAn = A

an

(112

- - -

01"

an

022

. . -

(12"

aln

a2"

- - -

aim

La demostracié‘n de estc resullado so hard por induccion sobre IL Para n = 1 la forma cuadrética q se ve come

q(x) = x? + 23% + x3 — 2x1x2 - 2x2x3 para la que sc vio en la subseccién anterior que podri a

(10?) =- [X] [a] [x] = 0362

ser cscrila como

(100 = (X5)2 + (x3)2 on Liondc (9,, = (xi..¥2’,¥1) y [3 = {(1, i, i), (0, -1, —i), (O, 0, 4)}, es una forum scxm

dcfinida positiva (mot qué?). El objctlvo principal de esta subscccion es presentar un criter

io muy {nil para

dccidlt cuando una forma cuadratica es dcfin ida positiV'a (o .definicla negaii'Va).

Para esto, sc mlroducirzi primeramcnte el' conccplo dc “subm atriz an gular”. sea A 7 ' I j la matriZ cuadrada .dc'ordcn 11 an

(112

am

021

022

02"

an]

[1H2

- - -

a“ a2!

de 121 format q re‘specto de alguna (cualquicra) base ['3 de V licne la propiedad de que todos 103 determinant'e's dc sus-submalrices angulares, Ai, A2; . "'5’ A). son pdsitivos; ' . f ‘ - '

2' 2y7+197k+I5 4..

cuyas dos miccs son negativas.

9 A3 =

Sea q: V—-> R una forma euadrética en el espacio vectorial Vde dimension 11. La forma q es definida positiva si, y 5610 si la matriz

A =

A = -5 4

A=

_

[HULAZ ‘

se lcs llama submattices anguiares de A. Se denotaré pot A.- al determinante de la submatriz angular A.- de A (entonces A" = detA).

cs dchmda negativa, pues la matriz asoci ada a csta forma respecto do la base canonica dc R2

EJEMPLO 6

_ A!

Por ejcmplo, la forma q: R2 ——> R dada pot , q(x,,x2) = -5.r% — 14x; + 8xc

623

am:

en dondeA = [a]. El teorema afimia en este caso que la forma q es definida positiva si, y 3610 si a > 0, lo c‘ual es obviamente cicrto. Obsérvese ademas que un cambio dc base transforma la matriz A = [a] en la matriz P'A P, en donde P es una matriz cuadrada de orden l inversible, esto es,

P = [PLP * 0En tal caso,

gP'APj = [pi-[am =_p2a de-moddque'siendoa' > O y'17¢ 0,56 tienep2 a 5 ‘0‘, mostfando asi que la afirmacié'n

del teorema no depende de la base considerada en V, para el case n = 1. Supéngase entonces valido e1 teorema para n = k - 1 y pruébese para 11 = k. Se demostrarzi primero que si la forma q es deflnida positiva, entonces Ios determinantes A1, A2, . . . , A, son positives. Se tiene entonces la forma (1: V —» R, dim V= k. Sea [3 una base (arbitraria pero fija) de V y supéngase que respecto de esla base la matriz asociada a la forma q es

ALGEBRA LENEAL

FQHMAs BILINEALES y CUADRATICAS

la matriz deiscxionciado del teorema; Es decir,

cambio de base de [3’ a [3 segtin la formula

D = P’AP

se sabe que q(x) puede cscribirsc como

Al tomar e1 determinante de las matrices en esta filtima expres ion se obtiene

k

k

(10‘) = g; aijxixj = 2 (1:992 + 2 i; aifxixj i-l

L -l

det D = det (P'AP) = (det P')(detA)(detP) = (detA)(det P)2

Se puede reescribir esta filtima expresi‘én exhibicndo

009 = (x, > x; a"'y.xx). . explicitamente a xk de la stgmente maneta.

e n donde

i-l

Lj-l

Vla forma cuadrauca Seq Vun subespacio de Vde dimension k — 1 y considérese en

a: V —+ R tal qua k—l

("106) = 2 “Mix; Ljfll

3

1 1 detA = ___.__ (det P)2 det D = _._.._..___ (dc: P)2 along _ . . 01;., > 0

(2'15)

(10‘) = z aifxixj + 2 z aitx'r’fk + “kt-xi:

,-

de donde, como det P 9* 0

k-l

k-l

'

“2

I tabaSCB'deT/j' resion dcla forma'~4, en7 “let . . _' -

.

-

'

'

' ,

.'.~

trario."'

’ ' es ‘lzzfirma que la'formafi .es definidamsnwa. En efficlo, Suponga-5“ 1°2831)At co" ? u'c ' , 621/a— .x . , ‘_‘L1 (x)a-— (x1, x2, ’~

"" e quc E V,- dlgas Existiria entonces un vector x"~

6'1'0'éugizonimdicc1a ("10?) s o. Considéresc e1 vector x. e Vtal quc m, = (x1,:2

, q(x) luar q an x se obtienc, segi'm la cxpresién (2.15) quc va. positi n‘da def es q ma £0 hipo es's dc quc a ~ su " los dctotmlnantes do> 1215 .bma dc induccion . 1a hipétesis1‘1" segl'm '1lo tanto ,.11 Ptor V

Se ha probado asi que Ak = detA > 0, como se queria. '

Ademés, este resultado no depende de la base [3 de Vfijada en un comienzo, pues si se cambia a la base [3’ dc V, la matriz asociada a la forma q respect o de esta nueva base {3' serzi B = P‘AP, en donde P es la matriz (inversible) de cambio dc base de [3’ a {3. Pei-o en tal caso, detB = (det P)2 detA. Siendo detA > O _y det P 6*

0, se tiene también que Akpara 1a matriz B es u'n' nfimero‘ positiv e pues At = det B =' (det P)2.detA, > 0. ‘ , V ' ' .

_

Sc demostraré ahota‘ que-si‘ los determinante'sAl, A2, L . . ,_Ak de alguna matriz

(arbitraria pero fija)..asociada. a la forma cuadrética q Son positivos; entoncc

s, la

forma q es definida positiva. Digase queA (la matriz del enunciado dci teorcma) es la ma‘t'riz que se fija para la forma q.

Considérese nuevamente 1a forma 5: I7 -—> R, dz'm i7= k - 1, tal que respecio

de alguna base 5 de 756 ve como

son: A 1, A; , . . . , ' ' ' vos. Estos triccs angulares dc la matriz dc 1a forma (1~ son posm

k-l

q(x) = Z £11755i

A 1. Resta probar quc Ak es también pOSItIVO.

Ljil

l q de finlda O 1a forulq ‘ ‘ Clo“ 3 .Slelld de esta SUbSeC COI‘IIO Se obsel Va a1 Comlenlo dd 6 Cu J drad05 5 fl (1 6 Leo m Cu nd S [.1 m b Its Ce nalg U n a bc [e p OSltlva, estapucd66501 1 lb“ COIIlO ES (1601! , q(x) SC puede 6561 Con coef 10161 ltcS p031“ V05.

€10?) =0h0§i )2+ 002(Xé)2 + -

+ 0:41:02

Es decir, que la forma a tiene asociada respecto de la base 5 dc T’a la matriz 5111 _' -€112

Ak-l *

alJc-I 611 (101166 (x )5‘

625

- la‘ cual- ésté relacionada con la matriz A pox medic de la matriz invcrsible P de‘

400 = [xii/amt

‘

£112 €122

- .. .._.

C12,k~ x-

]. ‘ ‘ OSIUVOS - L s l 111411 IIUIaoS p . . ’ x k ) y 0!. h CL 22 u . ‘ ’ ak $011 (x I , x2‘ , .

asociada a q tespecto de la base [5’ es, pucs, a1 E 'u

624

..

01,k~1 flu—1

,»ak',—1,k:-i ' '

Por la hipétcsis dc induccion, 1a forma fies definida positiva pues los determinantcs A1, A2, . . . , AM son positives. Entonces, 1a forma fjpuede escribirs e, respecto dc alguna base (3’ dc Vcomo

O 012

0

(30‘) = 051002 + “2&5? + ‘ - - + (lit-lulu)?

W

en donde on, no, . . . , a“ son mimetos positivos.

ALGEBHA LINEAL FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

' Existe entoncesuna‘matfiz ihvcfiifil—ép dc'orden k_.— 1‘ (la matriz dc cambio dc]. 1

base de 5’ a 6) ml que ‘

627

Qbsérkse £11.56 065 ufia matriz inVeljsibl'e (puss d'ezf 0:31 ¢ 0) Sea‘P’ = PQ.-‘Calct§l'ese (P’)'AP" _'

‘

(P')’AP' = (PQ)’A(PQ) = Q’(P’AP)Q

an

i

Ik_,

_

in

“

‘11

Calcfilese cl producto P'AP

a2 O

0‘2

-

I b:

ab]

I b2 : bk-l

bA-l

‘ akk

. .

12H ak-l

a1

Obsérvese. que P‘es una matriz inversible, p‘ues det P = det P 6* 0.

a»

; 0 E i

b1

b2

I k-l

~—0

.bl/al : _bk-1/ak-l -

626

“~— 1

0 ”k4

b

e-ndonde

b=akk-Pi-fi— 991,112

..b%'1 '_

Qk—l

CQmo P’cs ijfi pro’ductb ’de dos matfices inversibles P’ es ’también inversible. Sea

fi’Ila base de Vtal que P' es la matriz de cambio dc base dc [3’ a [3. Se tiene emonces

que la fofma enadrzitica q se cscribe respecto de la base fi’ 00a

(1(X) = [16]?) (P'MP'D‘Ipv = (110502 + (120692 + - - - + elk—(3611.1)2 + “xi-)2 en donde (x)p' = (xi, xi, . . . , xé ). Como a1, a2, . . . , a“ son mimetos positivos, dc

la expresién anterior se sigue que la forma q es definida positiva si, y 5610 si b es un nfimero positive. Pero en donde b1, b2, . . . , b“, son tales que [an

CL. CL; . . . ab, b = der(P’)‘AP’ = (det P’)2A

a2k'-'ak-l,k]7)=[bl

- Sea ahora Q la‘matriz dc; ordgéh'k :

b2---bk-1]

dc donde

I "bl/(i;-

b' 5' ml

‘ (de't ‘P’ylifé'tA'

along . . . (IL--1

'bz/Otz

=

Ik~l

Q 0

S ‘bk—x/Ock—l

Por hipétesis Ak = detA > 0. Entonces b > O y con esto se concluye quc 1a forma q es definida positiva. Esto concluye la demostracién dcl tcorema.

628

ALGESRA UNEAL

.EJEMPLO?

" .

FORMAS} BIILINEALES Y CUADRATICAS

'Por ejemplq, considércse la formal q: .R3 5+ R. dada por

629

, deben ser posit'ivos.5Es fdecir, qué

.

q(x)‘ fi 5x} +5c§+3x§+4x1£2 92mg ‘ 2mg

A1 = (131' [—1111] = *det [a,,]

< 0

La matriz dc q respecto de la base canénica dc R’ cs: 5 2 *1

2 1 '1

-1 -1 3

Los determinantes A1, A; y A; para esta matriz son:

A1=det[5]=5>0

A2=det[52 2]=1>0 1

Como 40$ trcs determinantes A1, A2 y A; son positives, sc cqncluye, por el teoretpa

EJEMPLO 8

ticne asociada la siguiente matriz

respecto de la base canénica dc Rh

.

“19 -10

es definida positiva. Segt’m cl tcorcma 2.3 se debs tener entonces, que los determi-

*2

-2 -3

_S_e tienccntonces que ,

- -_ A; ; (Jeri—19] =. ~1'9 ~< o '

=

—19 —10 96] = ,

det[_lo '

—19 ~10

A3 = det —10

14 > O

*1

«6 —2 = ~38 < o

-l

~2

Se concluye cntonces; por el corolau'o

7 ‘ «21x»: [x15 (-Axxla'

*1

~6

-1

Con la notacic’m del teorema 2.3, la forma q: V —* R es una forma definida

es definida negativa si, y 5610 si la forma —q: V —+ R

~3

anten'or, que esta forma es definida nega tiva

EJERCICIOS (SECC‘ION 2, CAPiTUL O 7) Siiiéggn‘cspacxo ,vectona! de dune nsmn n; Sea S e] unto de fonnas bilinéales d f 1 .33 en V Dfirix‘u‘cstgg-quc figs. un subespagid deconj 140/, R) Ie-l espacio v. ,. . e onnas bllmeales en V. Determin e -1a dimensién de S ’ worm]

2. Para cada una de Ias formas cuad tauca ' ‘ s q' R2 —» R dadaI s a c la fox-m I

a

n

a blhneal sxmetrxcaf. R2 X R2 —’ R que genera a q

names

A1 = det[—an], A2 = det|:—a”

‘012

#112}. . . ,A,. = det(—A) "£122

> O

3x§ — 20121362 — 2x1x3 - 4,152,153

A = ~10

negativa si, y 5610 si A. < 0, A; > 0, A; < 0, . . . Es decir, los determinantes Al, A2, . . . , An alterhan su‘s signos, comenzando con A < 0.

W) = [161314d

an

(222

Q.E.D.

q(x) = ~19x§ - 6.17%

A2

DEMOSTRACION Es clam que la forma q: V —» R

an

Por ejemplo, la forma q: R3 —> R

formas definidas negativas es el siguiente:

COROLARIO

(122

etcetera, lo que pmeba el corolario.

5 2 *1 A3=det11~1=1>0 *1 -1 3

2.3, que la. fdrma q He's ur’ia forma definid'a fiés’it‘iva,‘ _ ' quiz. proporciona un criteria para idéniificar . - ' . .UnI corolzirio d‘eI- teor¢m3323

:a’2 = det an

12

-

A =

def :2”

H

A

'

I

‘

I

' on

a) 40‘) = 1% + x3

d) ‘10) = —5x1x2

1)) (106) = 2X?

6) (106) = 3x? + 10m: + x;

0) q(x) = 6.1%

''

mu

tmuacmn’ date ‘

.

me

ALGEBRA LINEAL

FORMAS B1LINEALES Y GUADRAnCAs . . Escriba cada una de las fo'zmas cuadraticas q. R3 4 R dadas a continii'acion cor-11o

i v; = Eng/(11., 1,0,... . ,0)

q(x)=[..t]';1A[x]p, e11 donde [5' es 121 base canénica de R3 y A es una 'matriz simetrica de orden 3

" vs'=r(-a3/a1.0,1,m.0) '

a) q(x) = 1% +11% +x§

631

V» = (-an/m. 0. 0. - - - , 1)

b) q(x) = x? + 6.11.12 + 1% + 8.1,.1J +1§ e) q(x) = at? + 10x3 + 7.1“; + 5,1,1} + 6.1g; — 10.12.13 . Repita e1 ejercicio anterior 51 b es la base de R3 dada por

Con 1a perspectiva del “cambio de variables", ;a que’ equivale escribir la fonna q respecto de la base [5 del inciso b)? Delcmfine change de la t'onna q. @

12. Considere 1a fonna cuadrética q: R" _. R, 11 ¢ 1, dada por .

15= [(1,1.1).(1.1.0),(1,0,0)}

l

H

2

_

l

I,

I

q(x) ~ 11-1 Z", (x, 11:) en donde m — n z A, ,= =

. Sea Vun espacio vectorial con el producto intemo ( - I - ). Compruebe que la forma bilineaif: Vx V-—’ R

Escriba esta fonna come q(x) = [x]’pA[x]p en donde [3 es la base canonica del " y A es una matriz simétrica de orden n. Determine e1 range de q.

fix: Y) = 0513’)

Escriba cada una de las formas cuadréticas de 105 ejercicios 13—26 como mm 51111121

de cuadrados de dos maneras distintas. En eada case: a) describa explicitamente la

es simélriea. LCuél es la fonna cuadratica q que genera f? Si Ves de dimension finita y [3 es una base de V, escriba 1a forma euadraliea q generada perfcomo q(x) = [.1']'pA[x]p.

base'b respecto de1a cual q se escribe come q(x) = [x]'pD[x]p, D 1111a mau'iz diagonal;

(Ala matriz A se‘ 1e llama “matriz de1 producto intemo" ( ' | 1 ) en relacién dc la base

b) describa explicitamente las “ecuaeiones de cambio (1e variables“, esto es, las

13). Deseriba explicitameme la mattiz A en 10$ siguientes cases:

ecuaciones que relacionan las coordenadas x1, x1, . . . , x,. de un vectorx con las nuevas coordena'da‘sxi, xi, . . . , xi, del vectorx en‘1a nueva base '13 [del inciso (11)]; e) verit‘ique que se satisface la 1ey dela' inercia.

a)

V = R3, ()1: I y) = my] + 6x2y'2 + 10x3y3, [3 es la base canénica dc R3.

b)

V= P2, (p | q)= p(0) q(O) + p(1) q(l) + 12(2) q(2) (véase ejercicio 8, seccion 1, cap1tu10 5), {5 es la base canonica (1e P2.

Sea Vun espacio vee1oria1-(1edime11516n n.y sea [5 ma base (11: V. 81: dellne e1 rango ,>

be 1111a forma cuadrauea q: V_.,_ R come e1 tango de la matriz de 111 fonna bilineal' simétrica que genera a q respecto a 121 base b. Demuestre que esta definicién no depcnde de la base p‘fijada para V. 7. Determine e1 tango de cada una de las formas cuadraticas de1 ejercicio 2. Determine e1 tango de cada una de las formas cuadratieas del ejercicio 3. 9. Demuestre que la forma cuadrélica q: R2 —+ R dada p01

q(x) .. 11121 + 2bx1x2 + 011322 tiene range 2 51, y 5610 51 ac — b2 at 0. 10. Sea Vun espacio vectorial de dimension )1. Sea q: V ~+ R una forma cuadratica on V.

Pruebe que la forma q tiene tango 11 Si, y 5610 si 71 = 0 no es un'valor propio de 111 matriz asociada a la forma bilincal sime’u'ieaf: V X V -’ R que genera a’ q respec'l'o de a1guna (eua1quiera) base 13 de V. 11. Co'nsidere 1a forma cuadrélica q: R" _. R dada por

(105)= (a1x1 + a2x2_+.

-+ (7.11"):1

611 11-0

Escriba esla forma como q(x)= [x]’pA[x]g en (1ondeA es una malriz sime’trica (1e orden ny a) {3 es la base canéniea (1e R" b) [3 es la base [vb v2, .. 1, v,.) on donde

= (1/d1,0.0,---,0)

13. (1061, x2) = 2x1 - Xi + xixz 7

' [14.

q'(x1,X2)=-x2 ‘ 44%} 8x111

1-1'5'. 'q1x,,'x2, x3)”‘=3'7x% + 71% + 7.1% 121,212 + 21,13 + 2x21, 16. 17. 18. 19. 20. 21.

q(x,-, x2, x3) = 3121+ 411% + 5123 + 4x113 — 4x2x3

q(xj, x2, x3) = 3.1% +61% + 3.1% — 41(l — 8.13113 — 4x211; (1(x1, x2, x3) = 11.121 + 5x§ + 2x3 + 16.11.12 + 411x3

-

630

20x2x3

q(x,, x2, x3) = 6.1% + 3x% + 31% + 4x,x2 + 4.1g; - 8xzx3 q(xl, x2, x3) = 7x? + 5.1% + 3.1-; — 8.1l + 8.12.13

q(xh x2, x3, x4) = 5121 + 5.16% + 5.1% + 5.1“} - 10.11.12 + 2x1x3 + (5.11.14 + 612.13 + 2.12.14 — 10,173.11.

22. (1051, ’52, x3: x4) = $21 + 1% + 1% + xg + 2x952 f 2171354 ” 2x2x3 + 2X33} 23. q(x,, x2, x3, x4) = .12, + 1% + 1'} + 1% — 2Jc,x2 + 613x, - 4.11114 — 4.12.13 + 6.12.14 — 211m 24. (1(117 x2: x3,_x4) = 8.133131 2.11214 "7 21‘72/‘73 + 8-1211: 25.. {10711 x2; 1'3, X41991) =4x¥ + 317+ 51% " 4x3. 7'“ 1% ‘ 4x115; + 1211‘s ' '

2'6. q(x,, x2, . . . , x6) = 3x} — 3.132 + 41% — 4.1% +' 4.1% + .126 + 8x1x3 — 6x312, +' 433%

@ 27. Eseribir 1a forma cuadrétiea q: R" —* R x

N

q(x) = 2 x12 + 2 Xixj i=1

1 b y definida positiva

si A < a. Dcmuéstrclo. (3E5 cierta la afirmacién reclproca?

(10‘) ‘3 ‘l + 2bxlx2 + 013%

38. Se dice que una malriz sime’trica A de orden )1 es definida positiva (definida negativa,

semidefinida positiva, semidefinida negativa) si la forma cuadratica q: R" _. R

q(x) =tx1‘pAIx1p lo es. Demueslre que una condicién necesaria y suficiente para que una matriz simétrica A sea definida positiva (definida negativa) es que [odes sus valores propios

scan nt’xmeros positivos (negatives, respectivamcnte). 39. Compruebe que'una matriz simétrica A cs definida positiva (definida negatlva) si, y 3610 si los detcnninantes de las submalrices angulares de A A1, A2, . . . , A,, son todo‘s

positives (tienen signos' altemados, comcnzando con A1 < 0, respectivamente).

a) q: R2 -+ R, q(x) = 2x} + 8x2 — 3xlx2 b) q: R3 ~+ R,-q(x) = 17x2; + 14x§ + 14% — 4x1x2 — 4x1x3 — 8x3

40. Demuestre que si A y B sen matrices del mismo orden definidas positivas (negativas),

c) q: R3 ~> R, q(x) _= 2.x? + 5% + 5x3 + 4x1x2 4x1) - 8x243

41

-

n...” .W...__..._...

Demuestre que si la forma q es definida positiva, entonces los coeficienles a y c son positives. For medio de un ejemplo demuestre que la afirmacrén reclproca es falsa. , 30. Sea Vun espacio vectorial de dimensién )2. Sea (1: V —+ R una forma cuadratlca en V. 5E5 n. es {1 de tango e1 entonces positiva definida es forma esta si que‘ be Comprue cierta esta afirmacién si se cambia “definida positiva" pot "del‘injda negauva"?, Lporv “semidefinida‘ positiva“ . , Lpor “semidefinida negativa”? 31. Detnuestre por medio de un ejemplo, que la reciprocal de la afirmacién del ejerciclo anterior e‘s fals'a. 32. Demuestre que las siguientes formas cuadraticas son definldas positivas:

.

33._ 3De'mueslre que las ~siguie‘ntes formas cua’dréf‘rcas son rlcfinldas negaufvas:- ‘

a), qz-R? -—> R,- q(x).¥' ~2x§ — Ix§ ., m

I

b) (Ii-R3 "’ R, (10‘) 3' “537% "5132' " 717.21 + 4x112 “’4xiX3‘

, 42..

ent'oncesA + B es‘también una matriz‘definida posillva (negativa, respectivamenle). (,Cierto o falso? El conjunto de matrices definidas po‘sitivas (negativas) de ordcn )1 es un snbcspaciq de M,. x-n. . ' ' ' . . ’ _ ' . .» .

Comprli'ebe qu‘e si‘A esu‘n‘a matriz definida poSltiva’, existe una ‘matriz M (del mlsmo ‘ olden ‘q'ue A)‘inversible lal que A = M'M. LES esta'matriz M uniEa? Verifigue we rcs‘ultad'o con la matriz

C) (11 R3 “’ R, QC") = —5x’% — 6x§ — 4x§ + 4x1x2 + 4m, 34. Determine los valores de a para los cualcs la forma q: R3 —v R

A=

q’(x) = 5x? + x§ + mi ’+ 4l:2 - 2x1x3 — 2x2x3

6 ~2 2

-2 5 0

2 0 7

[Sugerwzcr'm Existc una matriz ortogonal P tal que D = P’AP es una matriz diagonal

es definida positiva. 35. Compruebc que para ningfm valor dc a la forma q; R3 -~ R

q(x) = A21 + 4132 + x§ + 200cm + 10x,x3 + 6X21:

puede ser definida positiva._ 36. 'Considere la matriz simétrica

con los val‘ores propios de A (que son mimeros positives) en su diagonal principal. Escriba D como D = E. Contimie. . .] 43. (Una aplic‘acié’n a la determinacién de extremes locales dc t‘uncioncs de varias variables).

Se considerarén eneste ejcrcicio funciones suavesf: R" -* R. En czilculo dc l‘unciones de varias variables se demuestra que una condicién necesaria para que la funcién 2 3 A =. 2. 2 ~ 0 ,_2 -

0 2 1

[-1, 5]. a) Demuestre que los valores propios deA se encuentran en cl intervalo

b) Considere ahora la fon'na cuadratica q: R3 -+ R dada per

q 5 y del‘inida positlva si K < ~1.

f3 RII ~+ R' tenga un extreme local en el'pumo x06 R", es que en ese punto se anulen

' , todas las derivadasparclales def; esto es,

.. .

gr = Gag-b)

0’.

.-l

> .

=,1..’..2, i,...‘...,.n ,

En tal case, 56 dice que x0 es un punto crt’tico def. Considere ahora la malriz de derivadas parciales dc Segundo ordenA = (61.7)” . 1. . _ ,,,. en donde

Jr. axiaxjm),

a”

1,11,2,...,n

Esta es una matrlz simélrica de orden 11. Se puede demostrar la validez del siguicme

'

ALGEBRA LINEAL

FORMAS BlLlNEALES Y cuppa/1110113

/" ~ criterio, quc establec'e condicioncs snficientes para la existencia dc cxtre‘mos locales - do In fun‘cionfi 51 to es 1111 punto critico def: R" R, cntonCLs,

3)

Determine la’naturaleza. do lospuntos ‘criticos Lie la funcion

4)

Determine la naturaleza do 105 puntos criticos de la funcién

635

a) Si la malriz A= [363 6161‘,-(A0)], 1!

fix” .11) = 111111 1 - 11/3

es definida positiva, f tiene 1111 mt’nimo .

i.) '1

local on x11.

13/3

1

x

.13

flx1,.t';)= 5.1g; + (47 — x1 — x3)[ 3" + 71.}

b) Si la malriz A es delittida negativa,ftiene un ma’ximo local en .10. c) Si la matriz A tiene range 11, pero no es dcfinida positiva ni definida negativa, f tiene un punto de ensilladum en x0. (1) Si la matriz A tiene un tango menor que n, no se pucde al’innar nada acerca de la natu‘raleza del punto x0. Por ejemplo, considere la funciénf: R2 —> R dada p01

5)

Determine 1a naturaleza do 105 puntos ct'iticos de la funcién

f(x1,v\’2,xs) = xi + Xi + 1% —x1x2 + x1 ' 2x1

3. PARABOLAS, ELIPSES, HIPERBOLAS, ETC.

flx1, x1) = x1 + 1-3— 6x115;

En esta seccion seré de interés estucliar la ecuacio’n general de segm‘zdo grado

Los puntos criticos se obtienen al resolver e1 sistcma

af' _

-

-

fix, y) = s + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

.1, 6.\1"O ._

5;“3311

(3.1)

U110 do 103 objetivos seré el de clasificar cl conjunto dc puntos en el piano

(if. = 3X§—6.i‘1=0

«-

634

61;;

135105 son entonces p1 = (0, 0) y p; =- (2, 2). L-as‘ 'deriva‘dzts parciales dc segundo orden son:

_a_'-f 671

62f

=46x .,

.

.

g- __

‘-- 6x161} - - 6

I 67

..

" i

:1

,

axzax1 3T1 =6‘- ,.

11w) 6 11.21/11,” = 01* _' Tainbién interesara describir graficamentL e1 iugar geometrico que teprcsenta la _ecuz1ci(')ri(3.1). ' Esta seccion tiene un sabor predominantemcme geometrico, a Lliicrenciu Llc 1115 dos secciones anteriore-s, e11 dondL scguia .existiendo, como en toclo e1 libto, cl sabor algebraico. En rcalidad e1 estudio queen esta seccion se cmprende no so encuentra propiamente identificado dentro del élgebm lineal. Este quedu mz’ts bicn encuadrado dentro del émbito de la geometria (anall’tica). Resulta, sin embargo, que las herramicntas proporcionaclas por el élgebra lineal permitcn tenor un

'

En el punto p1 la matriz A de parciales‘ de seg‘u‘n'do o'r'de'n cs:

A =1: "3] Los valores propios de esta matriz son 7L1= 6 y 212 = —6. Se c5111 cntonces en el caso c) Sc concluye que la funcionftiene 1111 punto de ensilladura en p1, que vale fIO 0)= 0 En el punto p; la matriz B de parciales (1e segundo orden cs:

1

B

accrcamiemo bastanle elegante y ci‘iciente a la solucién (lei problema dc clztsili— cacién de los lugares geométricos descritos por la ecuacién (3.1) que, como so habia dicho, dar solucion a este problema es uno de los objetivos en esta seccion. El primer paso que se darzi en esta direccio’n serz't demostrar que siemprc es posible cl’eetuar 1111a transformacio’n do coordenadas de modo que la ccuacion (3.1) puede verso, en el sistema coordenado transformado, como 111111 ecuacion on la que no aparezca el término del producto de las coo‘rdenadas xy.

= 12 -6 [—6 12]

Mzis concretamen‘te, se verzi que existe una transformacion T. R?

cuyos valorcs prdpios son 7L1='6 y 71.2 = 18 (ambos positives), o bien cuyos det'emiinan'tes' angulares’s'on A1= .12 A2 = 108 (iambiéii a'mbos positives) Se estzi entonces en el case 21). Se— concluye que la 1‘unc1on f t1e11L un minimo loLal en el punto p2 que valeK2 2) = -8.

1)

Dcinucstrc que la 1"u11cic'mflx11 X2) = x? + xi ticne un minimo local en cl punto (O, 0). La superficie que r‘ep‘resenta esta funcién es un paraboloicle

elfptico (véas‘e pég‘. 679). 2)

Comprucbc quo la fancionflm, x2) = x? _ x; ticne un punlo dc ensilladura en 01 punto (0, 0). La superficio quc representa esta funcién es un pat‘aboloidc hipéibélico (véaSc pég. 679).

'

R2 (do

i coordenadas)

71x, y) = (x’, y’)

1

1211 que en el nuevo sistema do coordenadas x’y' la ecuacion (3.1) pucde verse como

A’x’2 + C’y’2 + 2D’x’ + 2E’y’ + F’ = *En todn esta seccién sc consideraré a R1 como un cspacio vectorial con el producto intcmo candnico.

636

Foams BILINEALES Y‘CUADRATICAS

ALGEBRA UNEAL

637

> en dohdeu‘ =(a, b), u»; -=_'~ (b, (1) son los vectorcs dc la mieva base ortonormalp'. .

" conSKdérese-bara esto‘la forma cuadratxca. A\ B

x

q(x.y)=Ax2+ZBx>’+C) ”[x y] B C

y

.2

Al sustituir estas expresioncs en la ecuac'ién (3.1) so llega a una ccuacion dc! tipo

m4 + W2 + 21w + 23y + F’ = 0

2 . = . . {e,, e_} de R as la base canomca [3 de ecto resp q a form la dc M La matrix

(3.2)

en donde D’, E’ y F’ son unos nuevos coeficientes. Si se considcra un nuevo sistema coordenado x’y’, en cl cual los ej as x’ y y’ sc encucntran en las direcciones de los vectores u. y u; do la base D’, so pucdc vcr resumido el anélisis anterior diciendo que at referir la curva que represenm la ecuacidn (3.1) (11 nuevo sistema coordenado x’y",* esta ecuacidn se transforma en la ecuacidn (3.2). Obsérvese, por otxa part6, que siendo P 1111:; matriz ortogonal, la matrix P’ ‘ también lo cs y entonces la transformacion T descrita anteriormente es una transformacio’n ortogorzal (teorema 5.1 capftulo 5). Segt’m el aneilisis quesigue ul teorema 5.3 del capitulo 5., se puede concluir entonccs que el nuevo sistema x’y’

entonces,

_ A B M ’ [B c] 36 . . ., secclon antenor, que ex15te una ba la de 2.1 . . ema tcor del lario coro el . , por Se sabe n de la forma q se ve como [3’ de R2 respecto de la cual 1a expresm q(x, y) ____ XIX/2 + WIZ

los v.1. lorcs ' tes M y M son preuVsamcnte coefic-len en donde (x') y)p' = (x’, vv') y los 0 ) _ .

se obtiene del sistema original xy’ giranda e’ste en cierto (ingulo 6.

riz M. mencionado antenormcme se, puode :11cint ()lk‘tflolf’fiffia matcorolario‘ 'ios de’ més'la del Pt o Elan .—

7: l quela base. {5 €1.51. canonlcaiocs: x [3’ es una base ortonormal (a1 igua . 2. y 1 prop os alor losy de, 'iado's a cada u_n_o porrve‘aores propio‘s asoc 65,111.11 ” 'iz’ . . P ‘ 2 "Wt one cse ' ' ' -' " . 5621' PM matriz‘ do cambio dc base‘ (1613 ’ a [3. Obscrv r

.

.

z

g g a;

.. =

'o‘rto onalor qpé?).»

-

,

.

R2 -—> R2 dada por gonsid'éresc la transforma'mon T:

TM = PM

i;

§

___ 4 . [56 seg'mge 21:31:40}; igzzzfd: 3 [3’ de base (16 bio cam dc riz mat Siendo P la

Se dice entonces que la ecuacién (3.2) se ha obtenido de la ecuacion (3.1) pmmedio de una rotacio’n de los ejes coordenados.

‘ baso’ c a , c1 es la mamz dc camb1o de la 1; 3125 1111 131 es y)] , sformaclon T [csto/cs,’T(x 3:211:21 )y) (=(x, y)p) bajo la tran . ena r coo las a la base (3’. l’unese (x , y) coordeogdas de este vector en Se tiene, pucs, que (5’. vector (x, y) es la nueva base .

v Entoncas;

>

.

.

e

.

.

m_=Tu:n%P'm=P-{:}

mm

Sc pucdc comcmplar esm \iltima cxpresién como

y = cx’+dy'

Considere pot cjemplo 1a ccuacion

3x2 ~“2xy+3y2+2x‘4)"+ 1 = 0

cuy‘o pol‘i‘fio’r’r’i’io cafaécéfi's‘tico es"? “ ‘ las ecuaciones Ida transforma.

I

I

I

.

(3'3)

Se tiene en este caso quc la matriz M es:

3 —1 .. M = H . ._ . -1_ 3 _ ;

nuevo sxstema x y). Estas son, pucs, 650'): (del 5152c coordcnado origmal Ly a1

x _= ax‘+by'

EJEMPLO 1

_

'

pm = det(M—M) = det[3~l 31x] = ”‘6’”8 = (“"4””) fl y entonces los valores propios (lo M son 7n = 4 y X: = 2. *A 105 ejcs x’y’ so 165 llama ejesprincipales de la curva representada per (3.1).

638

ALGEBRA LINEAL

FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

V'luL-L-l—

"1'

:1“

I"-

I

X

5’ f2“

2

2’ «2‘

“1 '

' en donde G.= F'1'-. D’Z/M ~7E’i/932. Haga laS suslituci'oncs f '

,

_

- Es 'féc'i'l vcr quc l'os vectores ‘

W7 W2— —1/¢2' 1/0~

dc modo que las ecuaciones de transformacién pot rotacién dc ejcs son:

W? 1M2"

W7 -'1/v’”2~

=

x y

I = x’+_. l

son vcclotcs propios (ortonormalcs) correspondicntcs a cada uno dc estos valorcs propios (respectivamente). Si se considcta la base (3' = (uh 112} [respecto dc la cual la forma cuadrética q: R2 —+ R, (10",)? = 3x2 - Zry + 3,); SC debc VL’F C911” (IQ: I”) = 4x” + 2y’2 en donde (x, y);y = (x’, y’)], 50 tiene que la matriz dc camblo dc base de {3’ a [5 cs:

P=

63 9

x’ y'

E'

Y" = 3" + X;

(34)

Se tienc entonces quc [a ecuacién (3.2) sc transforma cn

Mx’q + My”! + G = 0

(3.5)

Sobre esta ecuacién ya es fécil decidir sobre el lugar geométrico que representa. A continuacién, se verén la's diferentes posibilidades de lugares geométricos que puedc representar esta ecua‘cién. Observe qua cl efecto geométrico de las ecuacioncs (3.4) correspondc a uim traslacién del origen de coardenadas: cl origen dcl sistema x’y’ so traslada al punlo [- *‘- - *—

x1 ’ x2

obtemendo a51 cl Slstema x"y”. Se dlce cnlonces que Ra ecuamon

(cané'nica) (3.5) Sc ha obtenido. de la ecu‘acién (3.2) por’ medio de una traslacién de ejés coorde‘nados. . E’sqmm’zi‘ticarnentc se (icing

x = 71—506 + y’)

Y =- 715‘ (“x‘ + yd: Al sustiluir estas exprcsiones en la ecuacién (3.3) y al simplificar sc obtlcnc :2

6 2 ____~.I_....._,I

:2

4x +2y +Ex

T

-——————-~—-——T—'-‘ -—-'-———... p'.

r

V

=0

l .

T

5y+l

"15712

que es una ccuacién del tipo (3.2).

_'

i 4—,2»

El préximo objctivo seré haccr um simplificacién mzis en la ccuacxon (3.2) de

2»

mode que se llcguc a establecer asi la ecuacidn cano’nica dc [a curva quc rcprcscnta

la ccuacién (3. l) -y cntonccs poder identificar cl lugur gcométrico que representa esta ccuacién—. En cste punto, se tendrz’m quc considerar dos cases:

.

52?.

l.2.+v_;‘___;,

I

.+-?\‘

,

725' ‘ ‘ ' '

12+_____.

I

+.Fl

x

. , ”G/M

.

=

X'

112 +._X___.

E'2

I

112

x__ + L

7»,[x'+-7:l-x’] +?»z[y’+xl‘] +G = 0

=.

_-G/)»1

Como G?” < 0 (y por loitatito,~ G)»; < 0), so pucde cscribir'csm Lillima cxpl‘céicSh como 112

o bien, a1 completar cuadrados

D’ 2

0

> x‘

SL‘BCASO 1.1. 7&0»; > 0 y Gl1< 0 Se puedc cscribir la ecuacic’m (3.5) como ”2

CASO 1. MM ¢ 0 En gstc caso sc pucdc cscribir 1a ccuacio’n (3.2)‘cvomo

I

.»

0 y G)»; > 0.

A1 igual que en‘ el subca‘so 1.1, 56 gscribc la ecuacién (3.5) como 12 x,

”2 +—L~—— =

-67». -G/M

1

Poi- set G?“ > O (y tan‘ibién GM > 0), se ve que el primer miembro de esta exprusic’m es un 'n'u'mero no p05i1ivo.P.or lo‘ tanto, no existen Valores' algunos de .’x y y" que la satisfa'gan En este- caso entonces 1a ecuacién (3. 1) no repr‘esenta lugar geomé— t'ri'c‘o alguno and piano (s'e' dice que s'u grafic'a es uh conjunto vacio).

SUncAsolA.

y entonces la ecuacién se satisface si, y 5610 si I!

en este 0350 la ecuacién Esta ecuacién se satisface si, y 5610 si x” = y" B 0. Ehtonces to es punto [en 31 sistema x’ y’ as“? pun un nta rese rep )] (3.1 1a to tan (3.5) [y por lo s del sistema x”y"} [ ‘ ‘3‘“, — €— ]el origen de coordenada

en el o‘rigen (del sistema x”y”).

CASOZ. 1 1, = Sin érdida d

dos subgasos.

e geniralidad se puede Suponer que 7~1=0 Se tienen entonces

8111101130a M= 0, 12w, 0' #0. La ecuacién (3.2) tiene en este caso la forma M12 + 2Dlxl + 2Elyl + P

=

que se puede reescribir como

Kh2 "0 '>

. _‘ 20

’

flat 3’" c"- ‘5"- = det o —5

0

0

F"

_

649

en'dgnde _- ._

o = .—2000

A’ = A

20

I

B’ = B

simplificar efic1entememc Este es un hecho que se explotaré posteriormente para una ecuaclén general de segundo grade. Ahora se enuncia y se dcmumstra en general

C’ = C

D’ = Ah+Bk+D E’ = Bh + Ck+ E

TEOREMA 3.1

F’ = Ah2 + tk + Ck2 + ZDh + 25k + F

Sea la ccuacién general de segundo grade

Calcfilense las cantidadcs a), p y v para esta ecuacién transformadix por traslucién. Se tiene

Ax2+ZBxy+Cyz+2Dx+2Ey+F = 0

8 l

- A'+C’ = A+C

O

A' _ det[B,

00:

‘L’:

L_.___3

3:

.—--1 D33»

t

I

I

+

II

>-

8

Las cantida‘des

A B’ Cl] _ — de,l:B,

BY

C]

y asi-entonccs 1_ofs valorcs dc co y 1.1 semantuvieron invariantes. Se verzi quc v 50 mantiene también sin varia‘cién.

A’ ‘13"0: = d2:

a una rotac1on y/o una se manticnen invariantes si en la ecuacién se reallz

traslacién dc ejes coordenados.

= det DEM OSTHAC/ON

dcl orige11 dc. Sootdenadas Supéngasc primcramentc que se rcaliza una traslacién

se hace la sust1tuc1on al punto (h, k) Es decir, que en la ecuacién (3.1)

Sc ticne entonccs,

250% + k) + A(_x’ +,, 102 + 28(x’ + h)(y',+_ k) +_ C(y’ + k)2_+ 20(xf f h)_ +

V

H

_. I ‘

I

F =

I

+ E)y' + A122 + ZBhk + Ck" Ax’2 + ZBx’y’ + Cy‘2 + 2(Ah + Bk + D)x’ + 2(Bh + Ck +2Dh+2Ek+F = O

que es una ecuacién (transformada por traslacio’n)

El

El

Fl

All + Bk + D

A

B

B

C

8/1 + Ck + E

Ah+Bk+D

Bh+Ck+E

A112+ZBltk+Ck2+2Dh+2Ek+F

transformacioncs: sustitéyase la tercera linen por ella misma menos h vcces la primera y menos k veces la scgunda. El valor del dctcrminantc no sc altcra y qucda cntonces

y = y’ + k

o bien

C!

En la matriz dcl determinante de esta filtima cxpresio’n sc rcalizan lus siguientes

x = x’ + h

H

3' DI

del tipo

= 0 A’Jc’2 + ZB’x'y' + C’y'2 + 2D’x’ + 2E’y' + F'

A B Ah+Bk+D =de.t B y c Bk+Ck+D ' ,1) IE‘ it+Ek_+F_ Si 56 sustituyc ahora la tcrccra columna por ella misma memos h veces la primera y menos k veces la scgunda se obtiene

IRLGEBRA LINEAL

FORMAS BILINEA'LES Y CUADRATICAS ‘most'rando asi gm: (:1 Valor dc v no 'se aILEra portraslaciofi de-ejes. en la. councion

(3.1)...

.

,.

.

. ‘

-

Véasc ahora quc los valores do a) y p no se alteran si so cfectlia una romcion dc ejcs en la ccuacion general de scgundo grado original. Obsérvese quc los valorcs de a) y p dependen solamente dc los coeficicntcs dc 1a forma cuadrzitica q: R2 -—+ R

(10%)? = Ax2+23xy+ Cyz =[x H”; L

g

f).

‘

oo=A+C=A'+C’ _ A p~der[8

= P

B: AIB, C] AC ~z=,,_12 B AC B = det[B, C’

mostrando asf la inVariancia dc to y p pot rotacién en los ejcs coordcnados. Por ultimo, para vcr que v se manticne también invariante por rolucién, considéresc la forma cuadrdtica q: R3 —> R

Efe‘cluarvuna rotacién en los ejes coordenados equivalc a rcalizar 1a sustitucic’m [en la ecuacién (3.1)]. x

q(x, y, z) = s + 23xy + Cy2 + 2s + 2Eyz + F12

x:

Y

= [x y z]

y.

en dondc P es una matriZ-ortogonal (véase el andlisis que sigue a1 teorcma 5.3 del capilulo 5).-En lal caso la forma cuadrética q 50 transfor'ma en

, A B. x-‘ = ., .A” B’ x’ 4m) a 9‘t C]P[y,] [x “[13, Guy]

A

B

D

x

B

C

E

v y

D E

F

2

(3.10)

Como ya se habia, dicho, efecluar una rotacién en los ejes coordcnados on In ecuacién (3.1) equivale a hacer la sustilucio’n

5w - _

El poli'homi'o caractcrl’stico de la matriz.

en dondc P es una matriz ortogona‘l. A’ B’

B' C’

Sea-P la malrizde orden 3

8’ pa) = det[ A'-K B, 0%] = x2—(A'+C')x+(A'C'~B'2)

AI set csta matriz semcjantc a la matriz Obsérvcsc gm: 79 cs también una matriz ortogonal, pues

[3, a] P [a c] )

ambas poseen cl mismo polinomio camcten’stico. Entonccs,

pm = day]?

C131] = xz—(A+C)x+(AC-B2)

W — (A’ + C’)?» + (A'C’ ~ B’2)

. P

0

0‘ ‘

12 I {T

. AB 514...}: 73 P".

P‘ u

(pugs al scr P ortogonal so time

|

0

u

B C £1

A B

651

11¢ dondc .

‘17!

650

"Lo Mo '1 1; L6 a?“ En la exprcsion(3.10) para la forma cuadrélica q hzigase la sustitucién

FORMAS BXLINEALES Y CUADRATICAS

...- 652 ALGEBRA L1N_EAL1

A. B D . c

Se 0151112111:

q(x, y, Z)

A

B

D ~ 16'

=x'IZI]PIB

C

EP)’

D

1 3’

D E F

'B’

C’

E’

D’ E’ F

son semejantes. En particular, ambas tienen el mismo determinante. Esto cs

2’

F

E

A" ”BA D’

y

E

653

precisamente 10 que se quen’a probar.

Q.E.D.

Obsérvese que

p:

D

A

B

D

E F

B

C

E

~

P=

P

D

t

A

B

B

C P

(3.12)

1 P15“

1

'

F

[D 51p

1

Se procedcré ahora a haeer e1 21112111515 (1&1 lugar geométrico que representa una

ecuacién general de segundo grade, usando e1 teorema que se ha demostrado. Se tiene, pue‘s, que la ecuacién (3.1) Ax2+ZBxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0

' (3' . l), sc 1) en la ecuact‘ on efectfia 1a suslitucién (3.1 Pot otra parte, cuando se n transformada‘ (por 'rotacion)

es transformada, por medio ‘de una r’otacién en los ejes coordenados en

obtiene la ecuacio

(3.13)

+ 2E’y' + F’ = O A'Jc’2 + 2B‘x’y"+ C’y'2 +- 2D’x‘

‘ na dos con los , F’- esta" n rela' c1o

ficientes A’, B’ en donde 105 nueVos coe

xlx’z + My” + 2D’x’ + 2E’y’ + F' = 0 en donde K1, y 7»; son 1os valores propios de la matriz

. ”1 -‘=_ [B”A . _ ' B}C] _

,F segun

’ 'coefieientesoriginaksA, B,.

1 :. em 21 1211121

Debido a la invariancia de la cantidad 11 del teorema anterior, se debe tenor entonces qua 11

F'=F x

=

-‘

I

.

C]

=

711

det[ 0

0

K2]

=

711712

I

.

n

los ejes de coordenadas se puede establecer la ecuacién simplil‘icada I

V

3. 13

rl 2151 1aec11ac1on ( titumén (3.11) para obtcne y se rea1izi1-c11 (25111 111 sus e que Entonees, segfin (3.12) se tien .

B

‘ Considérese cl primer case, 11 9* 0. Se vio ya que en estas circunstancias (11 9* 0), pot medio de una traslacién de

[xy] 1’; g][;]+2[DE][y]+F 0 V

A

det[ B

For 10 tanto, los dos caso's que se habian considerado en la clasificacién de los lugares geométricos descritos por la ecuacion (3.1) —los casos MK; 9* 0 y 911?»; = 0— corresponden, respectivamente, a 10s cases en que 11 96 0 y 11 = O.

1a ecuacién (3.1) como

Esto se puede vcr si se esctibe

_

i .I

‘

1,122+ 112n + G -= o

. _

) .

-

A

B

D

D

E

F

~

A

I

B

I

D’

,

P2 B C E P= 13' CI E1 .

D,

El

F

.

.068

ye que las mam

mz ortogonal, sc conclu de donde, per set F 111111 ma

Segfin 10 mostrado en el teorema (3.1), e1 determinante v se debe mantencr invariantc, es decir que

A v = det B D

B C E

D E F

= det

9»; 0 0

0 712 0

0 0 G

= 711s

ALGEBRA LINEAL

FORMAS BlLlNEALES Y CUADHAHCAS

dc dondc G

=.———-

=

7~17~2

-—~

11 SUBCASO 2.2.

Se pucde decir cntonces que la forma canénjca de la ecuacién (3.1) en estc c2130 (MOMS:

1.x“? + 712y". .7“: = 0

711 = O, A; 9* O, D’ = 0 (la gtéfica cs: dos teams paralelas, una

rcéta 0 un conjunto vaclo). En este subcaso sc cstablccic') la ecuacién canénica dc la ecuacién (3.1) como

My” + c = 0

(3.14)

Por 1a invariancia dc v 56 debe tenet que

Analiccnse los subcasos cortespondiemcs al case 1.

SUBCASO 1 1.). A: > 0 y GM < 0 (la grfifica es una clipsc)

A v=det B D

En términos de las cantidades 03,11 y v, este subcaso corresponds a que 11—= 21712 >Oy v~= 611 9* O. Ademascomo (1”):

D E

0 = d8!

F

0

71.2

0

(A11 + K2)l>¥2

= 731.6 + 7.9.10

Este subcaso corresponds, pues, a v = 0. En el siguiente cuadro se resume cl anélisis anterior. Con él se cumplié cl

y 7.1 y 7.2 ticncn cl mismo signo, se vc que G111 < 0 si, y $610 51 cov < 0. En resumcn, cstc subcasc‘)‘ corresponde‘ a que 11 >0, v 99 0 y‘ cov < 0.

objetivo que se plantca a1 inicio dc esta seccién de clasil'icar los lugares geométricos que lepresenta una ecuacién general dc segundo grado

Sunc/xso 1.2. 9» 1.2 .> _0 y G-= 0 (la grafica es un punto)

ECUACION: Ax2+ZBxy+Cy2+2Dx+2Ey+F

En este. subcaso so [lane 11 > O y v = Gp_=-—._O Sunmso 1.3.

7.19.; > O y G71l > 0 (la guinea es un conjunto vacio).

' ' ’ ,A m=A+C,11=det»B

All igual que e11 cl Subcaso 1.1 51: pu'edc Ver' l‘z’xcilmc‘nté que cstc subcaso correspondca p > 0, v 9e 0 y cov > 0. 8111101150 1.4.

7.0»; < O y G 9E 0 (la grzifica es una hipérbola).

P>0

Estc subcaso co'rrcsponde a que p < O y v = 611 96 O. SUBCASO 1.5. 7.1 A; < 0 y G = 0 (la gréfica son dos rectas que se cortan): Este subcaso corresponde a p < 0 y v = 611 = O. Pasc ahora a1 case 2, 1.712 = 0, cs decir, el caso en cl que 1: = 0.

LUGAR

p 9e 0

O. Ningl’m lugar geométrico v=0

GEORéEERICO

SUBCASO 2.1. 711= 0, 7.2 9* 0, 0’ 9h 0 (la grzifica es una pardbola). En esle subcaso sc llega a establccer la ccuacién canénica de la ccuacion (3.1) .

655

Como 12 9* 0 y D 9* 0, sc tiene que v ¢ 0. Este sub’cas1‘) correspondc pues- a que ' -> - . "V¢O.-_

~-

mow

654

Dos rectas paralelas, o una recta,

.

E0 nlngfin lugar geométrico

Introdfizcasc una nueva terminologia rcSpecto de esta clasificacién. Cuando en la ecuacién general de segundo grade se tiene p 9fi 0, se dice que la curva (el lugar

geométrico) que representa tal ecuacién es una curva con centro. Caso contrario (p = 0) se dice que es una curva sin centro. Més afin, cuando 11 > 0 se (lice que la curva es de tipo elzptico y cuando p < 0 se dice que la curva es de tipo hiperbo’lico. A 105 casos en que la ecuacién general de segundo grade no representa una

FORMAS BIUNEALES Y CUADRANCAS

656» ALGEBRA LiNEAL ‘

llama cqso‘s LiegeneraLios. Se tiene parébola, una elipse 0 mm hipérbola se 1 es pues, la siguieme version del cuadro anterior.

ECUACION: M + ZBxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = o De tiho eliptico

r ‘ C

LUGAR

“in:

De tipo

Una hipérbola (v at 0)

(11 < 0)

C350 degenerado (v = O)

) hiperbéiico

GEOMETRICO W QUE ' REPRESENTA

= (125)(—250000) < o

Casos degenerados (00v 2 0)

(11 > O)

’

52 -36 [—36 73 ]

M =

i

. Una parabola (v at 0)

centm

. V . . Casos (1e enera‘dos v = 0

73 .36

Se tiene entonces que la ecuacién (3.16) representa una clipse. Para establ‘ecer la ecuacmn catiomca de esta clipse $610 so necesita, seglin 1a ecuacio’n (3.14) 103 valores propzos de la matriz M ,

' Curva sin

_. 1 = ~250000 at 0 —48J

(~36 ~52

(0 = A+C= 52 + 73= 125

Una eiipse (0w < 0)

23a

_ 52 = det —36 -52

.1). E F

A _._B -_ v = det B C D E

657

(y los valores do 11 y v que ya so calcularon). E1 polinomio caracteristico de M es: 52- 9» p(7»)= det[ ~36

—36 ' 73 _ A] = 12 - 125?» + 2500 = (7» - 25X?» - 100)

Véan'se a1g‘uhos ejemplos.-

'EJEMPLos -

representa "T‘_ en do'nde X](3 =16)25CS.y. 12 =100 Entofi c es 1 a ecuacion canonica do 121 eiipsc que

.

' , _.1?.-0ra 1a ecfiixcién

(3.15)

-

3x2 — 4xy 4y2 + 16x + my —- 12 =

xlxlq + lzyn2+ __ =

25x11} + 100y112_

250000 = >

2500

p so time

osea,

B

A

_

C]

p — det[B

=

3

det\:_2

= _ 16< O "4]

-2

x112 __

A

B

D

=detB D

C E

E F

' 3 —2 =det—2 g

—4 8

4 w

8

‘

8=0 ~12

EJEMPLO?

"2

=

1

Para 1a ecuacion

x2—10xy+y2-10x+2y+ 13 = 0 senta dos rectas que sc cortan. For 10 tanto, la ecuacio'n (3.15) repre

EJEM’PLo 6

.

_ se‘tiene‘

_

Para la.écuacion_ _

52x2—'72xy+73y2-1o4x+72y—48 = 0 se tiene

A B

52 —36 =

=

(3.16)

Hp

A'B' det[B C]

A v=detB D

B C E

,

.

.

(3.17)

.

, '1f_5' 1]: -24 < 0det[_5 1 D E=det-5 F ~5

—5 1 1

-5 1=~288¢0 13

La ecuacxon (3. 17) representa entonces una hipérbola. Hallo su ecuacién canonica.

658

ALGEBRA LlNEAL

FORMAS BILINEALES Y CUADHATICAS

Setiene-

659

‘de'donde

' pm =dct[1__—57V

1:51] = x2 — 2x — 24 = '0» — 6x7; + 4)

D’ =

—i = «1—5‘625"= 75*

La ecuacic’m cahénica de la parébola es entonces

de donde 7»: = 6 y 7.2 = -4. For 10 tanto, segfin la ecuacién (3.14) la ecuacién canénica de esta hipérbola es:

25y”2 + 150x” = 0 II

II

V

1/

1/?

-228

11x2+7~7yz+fi = 6x2-4y“+":2'z = 0

0 sea, yllz +6x"

_____

O

osea,

£3_ 3 £3 2 = EJEMPLO 8

1

3.2.

CONSTRUCCléN DE LA GRAFICA DE UNA ECUACIéN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Porfiltimo, para la ecuacion 9x2+24xy+16y2+132x-74y—81 = O

Hasta estemomento se han dediCDdo todos los esfuerzos a identz'ficar e1 tipo de lugar geométrico que representa 1111a ecuacién general de segundo grade, asi como a establecer la ecuacién canonica dc tal lugar geométrico. Sin embargo, es claro que resulta deseable disponer de una, gréficade él. Sobreesto so trabajaré en esta .

(3.18)

setiene

’ .s‘ubseCciéng

p dab3A isC] :7. def”79,12; 16] .0 ‘-

"

j:

A v=det B D

B. C E

D E F

9 = det 12 66

12 16 -37

66 —37 -81

‘

‘

.

‘

‘

'

1

-- ’

representa {ma ecuac'ién'general dc Segundo grado se obtierie realizahdo en estD

‘ = —140625 $ 0

For 10 tanto, la ecuacién representa una parébola. Vea cuzil es su ecuacién canonica. Se habia visto que en este caso (véase subcaso 2.1, pég. 641) 1a ecuacién

canonica de la parébola es:

filtima simplificaciones primeramente por rotacion de ejes coordcnados (eliminando asi’el término con el producto de las coordenndas) y posteriormente por traslacién de los ejes (eliminando asi el —-o 103— términos de primer grado).

Considérese la primera de estas transformaciones, es decir, la rotacion de los

ejes coordenados. Se verz’r ahora cémo determinar las direcciones de los nuc— vos ejes del sistema girado. SegL'ln el anélisis que se presenté a1 inicio de esta seccién, la transformacién por rotacién de ejes consists en escribir la ecuacion original (3.1) en una nueva base (ortonormal) de R2: la base constituida por vectores propios ~0rtonorma— les—— de la matriz

'

My” + 2D'x” = 0 __

A

B

M, [B c]

Halle 2.2. Se tiene

m) -=' writ; .3 16131]: mi- 25)

- . Sea [3' =_ [u,, uzl tal base.,-Véase cémo determinar las direcciones de los vectores111 y uzr

*Existe una aparente ambigfiedad en el signo D' a1 dcspejar su valor de la igualdad v = DOM. E1 hecho de que se opte por un signo o por otro en el valor dc D’ so refleja solamente en la direccidn de positividad del cjc x” en el sistema transformado (e1 sistema 1”)!” provcniente del sistema original xy después de realizar en éstc la rotacién y tmslacién correspondiente). Como cl objetivo en estc cjcrcicio

Entonces (9.1 = O y) k; = 25. For otra parte,

v = -—D%

,v

'Como'ya se ha visto anteriormentetla eeuacién cahénica dc laichrva :que.

es solamcnte establc'cer la ecuacién canonica de la parébola en cuestién, no existe m'ngl'm problema

en que se opte por un signo o pot otro para D’.

FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

. resolvor 11a ecuacion "Los valore-s propios-de 1a matriz ;M 56 obtianen a1

B

A - 7K.

C4]

po.) =det[ B

=

661

. tal eooaciori so simplifica quedando’ de la forma (3.2)

cuadrética

M” + My” + ZD’x' + 2E’y’ + F’ .= 0

0

reales, pues M es una matriz Como se sabe, esta ecuacién tiene sus dos raices

‘ ' ' simétrica. Sean M y 1.2 tales raices. vector so este de ellas) dc los (multip y y x, nadas Sea u l = (x1, yr). 'Las Coorde

Esttidiese oi caso en el que ‘u # 0 [caso en (:1 que 61 lugar geométrico que representa la ecuacién (3.1) es una curva con centre]; En este case se ha visto que la equacién canénica de la curva que representa id ecuacién (3.1) cs:

9.1x” + mm. 2’.F = o

eneo obticnen a1 considerar alguna solucién no triv1a1 del Sistema homog

W cf..][;]=[3]

Esta ecuacién carecc de términos de primer grade. Partiendo de la ecuacion (3.1) so puede lograr csta simplificacion en ella (la eliminacién de los término's dc primer grado) si se realizan las sustituciones

Es decir que, en particular x = x’ + h (A " 7L()X1+ By] = 0

y = y’ + k

de donde

y se escogen It y kconvenientemcnte. . ' En efecto, a1 sustituir x = x’ + h y y = y’ + k en la ecuacién (3.1) y simplificar

231:”-

x1

seobtierie' .

71.1—Aq'f

B

I.

‘_ ' .

" ' '

_

' ‘

-

Ax’2 + 23x'y’4 Cy'2'+ 2(Ahév Bk + 13);: '+ 2(Bh"+ Ck + E)y’ + A}? +3 iBhk pandiente fie la recta 311 Obse'rvcsc que el primer miembro de esta iguaidad es la

x del slstcma glra 0 la que se encuentra cl vector ul. Esta rccta sera cl nuevo 616 (es decir, el ejc x’). Similarmente se puede ver quc

“21 el nuevo cjc y do! . ‘

a coordcnado Ln c1 Resumiendo: a1 referir 1a ecuacién (3.1) a1 nuevo slstem

so lograra una ccuacion (simplificada) que carece de términos dc primer grade.

Obsérvese que ei sistema de ecuaciones anterior ticne una {mica solucion (/1, k) pucs se esta considerando el caso en el que p (que cs 61 determinante dc estc sistema) es no nulo.

-

Desde cl punto de vista geométrico lo que se ha hecho cs referir la ecuacién

11%;]; x”(ejexf) I

u

'~'0

,5 ,3 _—2 '3 '5 2 -2

2 -4

(ejc y”)

,

..

zxuz + 8y”2 +

—128 .=0' 16

=-128-'¢O

0 sea, "2 __+yll2

=

4 Gréficamcnle sc‘tiene la siguiente siluacién:

1

663

FORMAS 311111 EALES Y CUADRATICAS 664

665

ALGEBRA LIN-EAL

1:5 dccir, y = x

y»

ys—x

Mex”)

y cl nuevo eje y en la recta

+x

.\11 1 "-1

es decir,

”2

X_4__+yul _ 1

1 y=~x+g X“

y=x—2

(eJey)

se tiene que la ecuacio’n (3.20) se ve como __ -u2+6'l?2 +:———'+,— = 0

EJEMPLO 10

4"

Estudi'e ah‘ota la ecuacién

(3.20)

xZ-IOxy+y2+x+y+1=O

1— ' A BC]; de;[5-_ .1]5};.24" R3,flx, y)

d) Si'es una r'elacién dc Lqu1valenc1a

' j)

15(3) = 2 13(3) =

es quefes una funcién inyectiva (demostracién: scan .11, x; E A tales-queflxx) = 11212). Entonces, g(f(x1)) = g(flx2)),_esto es, (g of)(x1) = (g of)(x2) lo que implica

b) No es una rclacion dc equivalencia (no es 111 rciiexiva,11i simétrica, ni iransiliva). c) No es una reiac‘ion dc cquivalc‘nc‘ia (no es necesari'znnLnlc transiliva).

{(1 a), (2 b) (3 C), (4 d)]

136) = 3

13(2) = 3 13(2) =' 1

40) a) Suponga que g ofi A —+ C as inyectiva. En 6511: case, 10 L’lnico que se puede decir

25) a) Sies Lina relacion dc equiValéncia.

1‘)

f1(2) = 2

f4(1) = 2 BO) = 3 f6(1) = 3

'

24) b) Dela inc11'JsiénA X C C B X D no es po’siblc concluirA C B y C C D. For cjcmplo, po'n‘ga C i 11) y A, B y D conjuntbs arbitrarios.

f1(1) =1 f2(1‘) '= 1

f3(1) " 2

17) Si p(A) = p(B), entoncesA = B, puesto quex E A =1 x E p(A) =» x E p(B) = x E B.

23) 81A X B= ¢entoncesA =¢oB =11)-

,

Son 1215 6 f1111cionesf1,.. . ,fs: {1, 2, 31 —. {1,2, 3}

ll

22) A x 1) = 1;

B es tal que dado b E B (:1 (30111111110f ‘(b) consia

do 1111 5010 cicmemo. Entonces f as sobrcyectiva y 51 x, x’ E A son tales quc fix) =

-

., 712) pm): [

‘

_ ‘

f

~

,

. . ‘

0x1=-32+_7_21x2=20- 43tx3=~7+17tx4= t,t€R

g) El sistema es inconsistente.

=

_ '

_-

‘

-

1

‘ '

5:1

x4

-

44

_

“x W, ”6R

’ 5

”

=

:

‘

x3 = '15—4t—5w

x4=t,x5=w,t,wER

(x1=—2a b— t,JC2=b- a,x3=tr€R)

»

:

=-7-t+ —5—w

44

2a— 3b + c= 0 Infinidad de soluciones;

5112

x4=t’x5=w’t’WER

3

2a- 31: + c 14 0 No hay soluc1ones.

.

_

V x3 =1, ’13 +21” 18W x

(x1=b-a-t,x2=t,x3=2a-b,t€R

f

_

.

'

1

.

,

2a - 3b + c - 0. Infimdad dc soluc1ones.

2-

-

e) x1=0,,x2==0x3=1x4=—1

w x1 ..= .64 + 87‘ 79w ‘

"Zn—3b + c #0. No hay solucién.

18) ’

c) x1 = 1, x2 = 0, x3 =‘-1

1

a as 1. Solucién 11191.

1

'

xc2a—_3b+c x=c—b+.a6~b6x3=c-2b+2a?>-b8

1 (1—5x2~a’2

2—6, ’

6—1

692 ALGEBRA UNEAL

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A 15431010103 SELECCIONADOS 693

1911)

,El sistema tiene 111111 13111021 soinci‘é'n 5i a $ 8. Esta solucién ’es:

‘

=35a-Vb-3abV-IVSO x =‘b(2'a"—3)-522-6'4 15‘8" ' 11(a-8)

‘2

11(a-8)

2) xl=x2=x3=0

’3 a 8

3) x1=x2=x3=0

E1 sistema no tiene solucién siAfi8yb¢8.

2. 4) x,=%t,x2=-%t,x3*§t,x4=t»t€R

E1 sistema tienc una infinidad de soluciones 51 a = 8 y b = 8. Estas soluciones son 25 13 ,=1-—-t,1+—-t »=t,t€R.

11 x"

2)

11 ’x’

‘

a—11

’2

22)

a~11’3 a~11

El sistema no tiene solucion $1 a = 11 y b 9* 3. El sistema tiene una infinidad de soluc'ioncs si (1 = 11 y b = 3. Estas soluciones son1x1= —1+13t,x2 -1- 913x; = t,t E R. El sistem'a tiene 111111 5011121611 finica s'i'a ¢ 1. Esta solucio’n es:

El sistema‘ no tiene solucion 51 a—= 1 y 'b 1* l , El sistema tiene una infinidad de solucioncs 51 a = 1 y b = ."'1‘ Estas soluciones ‘- son: x1 =-t,x2=1, x3=t, 16R El sistema tiene una unica 5011101011 si ti 6* :2} Esta solucion esi ’ ‘ lvab-Za 1 = ——-——————_’

4 - a2

4 - a2

SECCION 3 (PAGINAS 73-80) 7 3,b

3

2) a-27,b=-17 3) g=~1,b=2,c=-3,dw=4r ,

V 12) a) Todas' 1as matrices Cuadradas "doordén 71;. b) Todas 1as matrices cuadradas‘ do otden n. a

2b+4~a 2 s *— ,X3

Es faIso para sistemas no homogéneos. Por ejemplo, x1 + x2 + x3 = 1, x1 + x2 + x = 2.

1)a

xl=a*b,j~2 . =b~a+3,x3=12_‘aiib7a+22 2x2 a-l ail

:45

5) x1=—-§-t,x2=-:-t,x3=t,t€R

E1 sistema tiene una finica solucién 51 a 1* 11. Esta solucién es:

x =13b-a-28 x =a~9b+ 16 x a b~3

3)

=3. I,x3=t_,tER .10

2111)), =——~

0.1) 8-“ b],a,beR ‘1

.0

El sistema no ticne solucién $1 a = 2 y b 3* 0.

- 2W, x: = t, x; = w, t, w E R) ytambién $1 a = —2 (quc sonxl = t

-

El sistema tiene una inflnidad de solucioncs si a = 2 y b -= O (que son: x1 = % ~ 1

3a b],a,b€R

:11!) + 1), x: =' “

t, x; = %(b +3), I e R).

20) 1)

12 c.2) B- [a

Si a = 11, hay una infinidad de‘ soluciones x1 = 1 — at, x2 = t, t E R. Si a 1* $1,121 solucic'm es finica,x. = 1, x2 = 0.

2) Si a =1 1, hay‘un'a 11111111111111 dc'soluciones‘xi 5% .- 1, 552 = t, x: = it 6 R._Sid 9* 1,

7 0.2) 12 9

19) c.1) [18 7 4]

c.3)

20) a) trA= 15, trB= 11, trA+trB= 26 b) tr(A+B)'- 26 ' . c).tr(AB)=tr(-BA)=8-27 ' oooooool

aaoooo

oonmco

HH

'oocxmoo

Si a = 13 hay una infinidad de solucioncs x; = 5r + t— 14, x2 = — 2r, x; = r, x4 = t, r, t E R ($1 a 1* :3, no hay soluciones).

24) AB =

oo-OOr-w—

(Si a at 12 no hay soluciones.)

4)

1

4 4 5 2 4 Si a= +2, hay una infinidad do soiuciones x. = -3— — 5m:23 = ~ gl-t, x3 = t, t E R.

OOOOv—IU‘

1a soluc1on es umca,x1 =- 1, x2 = ~ -, x3 = —.

3)

b

c

c.3)B= 0' a b ,a,b,c€R o 0 a

4 13 9

694 ALGEBRA LINEAL HESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJERCICIOS SELECCIONADOS

_

_‘

v

.

18

‘27) 3) AB = . .

23 574.

13 ‘ ,175 4 4 24

SQ _ —4

15

11

b) AB “ 20 13 18 6

28)

4

10

—2 3 4

3

.: C) AB =

7

4

- 40' , 40'

c) La matrizes

5J

74 28

~2

1 5

-4 -3

2 -1

1

20 25 25

20 25 25

40

4o:

60

60

20 25 25

20 25 25

30 40 40

30 40 40

r'

\.

Seconsumen28016frescosdecola/semana, 1801111101mdasy35botellasde ron/semana.

2

2»

1

O

3

1

0

0

O

0

0

0

0

2

o

o

o

o

*5 -6 -1 ~24

0 O

0 0'

O 0

0 O

1

o

o

o

-4

-2

1

o

o

o

3

1

1

~1

—4

O

0 .

0

29

_4

o

_7

o

o8

00

O

1

o1}

0

75

32

76

-7

—7

—4

0'

0

0

I

"xl‘

29 a x = -

=

'1~t

1

$

—r

+

b) x = x2

=-

1/2+z

x3

=

1/2

I

x1 ' x2

=

1

x1

1

+

30) a) Lamatrizes. 0. . 1 . 0

30

- qut, ALl L 0, so obucne 18 (713 + 3A

13.Entonces,

_

'

-.

--

-.

.. .

, .

.

-~, 1..

.'

'

.

v

-

.

-

-

,

>

‘

1 5

t

)

.1/2 0

I:

1 14) A"1

~21; 5

20 30 10 20

(1)

1/2. 0 . 0 '0 51/2 1/2

30

20 30 10 20

3o

20 30 10 20

30

_

‘2/11

5/11 -1/11

-IT(A2'—’3A~7I3),A‘l = ~l/11 7/11

4/11 ~1/11

15) a) No es elemental.

t

g

3]

”

0 52

-

’

'1._ .'-. I -1/6 1/14/2“ A *1=_-, 5 ‘66 l3(7I3+3A"_'2 1 A),A '1': -111//198 ' -1?

0

0: 0'0? 1/2- 1/2 20 30 b) La matriz as 10 20

., 3 — 3A 2 — 7A + 1813 Dela. expreswnA

9

d>x= x2=2 2=2+ 25 t x3 5+5t 5 i

CS‘ees=xz='x3=0

13)~

’

0

1

_7__§t 5 5

_

4/3

t

F _

1/3

0

1

x3 J

4/3

10) Puesto que la matriz dc cochciemes dc] sistcma es invc1siblc 111 unica solucidn dc

t

O

11 =

+

'.. , '

2/3

1/3 4/3

V3

0

.-

7‘21 " t ][0] [I] .- :..x1 . . : .” 3/24 . 3/2 0

1

7) B“ = 2/1

0

14

r

100‘. 1 00 100 100 150 15.0.: '

.

3_5 4

265

12 28 5

62

13 3

3 —1

c) x =

29. 39

17 ”1:5 5 6

27

‘ ) ")

1

2.1

SECCK'JN 4 (PAGINAS 98—105) 1

1

2

.

10

9 50

14 11

5

1

3

1

,. .

695

b) Si es elemental.Suinversa es[ (1)

it]

c) Noesele1ne11tal.

I

0

.0

" d) 81 es elemental Su 1nversa es

0

1:

0

3 ° 1 30 40 20 40

40

30 40 20 40

40

16)

Sea/l “

a d g

b e h

c f i b

a) E1A E 3: 3e 3} g

h

i

5/11 4/11

_ A2)

696 ALGEBRA LlNEAL

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJEFlClCIOS SELECClONADOS 697 ah+4gl

b+4h

b) Ezzt=

c+4i--

* 21) Si e11 A se hae’e la operacion elemental e en .sus columnas, en la 1nversa tie A se , . » efectuara la operacién elemental invexsa a 2 en sus linens. .

2.1 '.'i , f

-1

28)

a c) £3A==

e

a+4g

l

-3

O

-1_ —2

7

o

" ‘o

o

o

1

2-

0

0

1

‘3

C

d) E1E3A= [3gh 3h:f 31' b+e4h

c+4i

e) ElEgA

-1/5 3/5 29) a)A -1_—[2/5 4/5]

3f i

m ~1= [4/23/4 «11]

t) E2E1A = E1E: (inciso anterior) a+4d

b+4e

c+4f

h

i

g) E2E3A -

c) No es inversible

d) No esinversible

f h) ESE1A =

(3)14"1 =

i 3d 3e 3f

3d

”7/57

_3e_

c + 41' ‘i'

.

3f.

17)

b-4h

3d

c~4i

3e

3f

g

h

'

i—l/sj --7/3'

'2

‘1

' 7/39 1/13 22/39 9/13 h) A-l = 4/39 ~2/13 41/39 ~5/13 8/39 ~5/39

3/13 3/13

14/39 ]/39

‘c—4g+4d b-4h+4e c—4i+4f gfi

11/3

1/1

:1

e

f

Si E es la matriz elemental correspondiente se tiene (EA)(B)—— = E(AB) Entonces,

Si E es la matnz elemental correspondiente, se Ilene A(BE) = (AB)E Entonces, -.

cualqujier operacion elemental que se haga en las columnas de B, correspondera’ con la misma operacién elemental hecha en las columnas de AB. 20) Sea E la mattiz elemental que provicne de l hacienda e11 ésta la operacién elemental e (inciso a), b) o e))

Sea E’= EA. Entonces (A) l= A xE-l. Entonces, s1enA se hacela operaeién elemental

e en sus lineas, e11 la 1nversa deA se electuara la operacio’n elemental 1nve1sa a e (la

que corresponde a la matriz elemental E 1) en sus colmnnas. i

4/19

g)‘ A'-1 =, '~1/3- 4/3. —

cualquier operacién elemental que se haga en las lineas de A correspondera con la misma operacién elemental en las lineas de AB. l 8) Si E es la matri7 elemental que provino de I haeiendo la operacion elemental e11 las lineas de l e entonces AE es la matriz que proviene de A haciendo en ésta la operac1én elemental e en las colimutas de A

19') 5

21/19

1 '-2

a~4g

2"/57

8/19 ~21/19

f) Noesinversibie

“1) E§E2A= E.A (1nc1so b))

1) EilazzzaEila =

4/19

1/19 4/19

a -+ 4g b + 4h gi)E3E1E2A:,-g 311

k) E51535111 =

B_1]setiene CC'1 = C“C =1.

0

g

d

0

Ces inversible puesto que con C l = [A

.

—1=

"A

‘0

1

o

o

0

0

1

0

1 o o

o

0

1

0

O

:1 —2

. -1: 1 J) A 0

'0

.

1

]/13 1/13

1

1 o o 4 ‘1 -2

-2

1'

_- f-e ~26, 22‘ 17

_ 41:. 5-" 20 —17' -13 10A

0 -1

2 -5

ill/6 -5/3 V6

1) A”1 = —1/2

1/3

-1 4

5/4 ‘7/6 1/12

2/3 4/12

3/3 4/3 V2 4/3

-1

1/6

5/2 —1/2

1/1 —I/2

2A —1/3 5/12 4/2

1 V2

O

698 ALGEBRA LINEAL

\, .................. _ \ 20,,

.

2

p_,-_ 1 -3o

111) A

‘ ‘6‘;

. -14

~14

j.79. 115

nespuesms Y sowmowes A EJERCIClOS SELECCIONADOS 699

V

6

—22‘

111130

22

73

13

25

86

_.

14.—38 =4. 8‘ 16- - . 105

13

98

19

41

-15

36

4

8

‘6

“‘38

‘6

”‘40

‘12

‘24

25/32 3/16

. -1 “:10) LamatnzB as : B , ’ =

5/8

4/8

*33/32

5/32

8

.,

3/32 V16

1

V16 3/8 1/4

-

--

.

..

-

2

'

r

_

.

35) [A =. 71/1). I , - I) . ' * 1 p (1.. _\1 _

V

1

36) a)‘[1

4/2 0 0

b)

1/2

22

5

5

20 .

-

2122491191322

Lamatnes.A

-

mvfisxble

*9/16

26 18

1

,

3

8

16

1

12

7

5

2

19

1

12

9

14

5

1

12

L'

' 1

3

' 32) a) X =x-4/5 fl

'

33)

2

_—1

1/2 '

..1/5 '52" --2 Vs

b) X =

‘9‘" _

i V '

W5

1 48/25

F1

O

O

0

0

0

1

0

E =

1

0

'_

_4V11

o 0

41/11 .

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

O

1

0

0

O

‘1/3

:1

o

o

0

1

0

0

0

O

1

0

0

0

1

0

0

o o

3 o o 1

~71

o

0-

0

1

E3 ”2'70 '0

0 j

o

0

0 {.0

5

-.

~ ,

,_

=

0

—1

2

1

—1 2

3

I

1

4

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

~1

0

0

1

1

1

1

— 2,

1

= -1

x2

x2 =. -l/2,

X3 = 5/4

122 73 3=E3 x4=§

.

-

1 g

.‘ ,

..

-

'

., . ,1

-

. _

.'

~-

'-

' _ .

.-

.. ‘

-.

’

o o

o o

o o

1

1 o

' ‘

r

-

.

‘

:

'

-. "

.

CAPITULODOS

'

1 ) s on las d03 permutacxo ' nes(4 ,3, 1 ,2)y(4 , 3 , 2 , 1) 2) Son las 6permutaciones

(6,5,4,1,2,3)

o

4/3 1

_ ' \

1

(arespucstagoesumca) ‘ . ‘ . ’ ~ , ' 34) Sea E; 121 matuz elemental que provmo de 1,.1nult1pl1cando lat-esnma Imea dc esta p01 elescalar m, i = 1,2, . . . , n. Entonces,siA =diag (a1, a2, . . . , (1"), se licneA = ElEz . . . E”.

0

_10]

SECCION‘I (PAGINAS115i118)

1” .0

4

.

1 .

.

o

o o

.,

v

1/(2)“(3)3 0 0 l/(3)“(4)3

'

E =

3

1

3

131 173 C)x1=§§—. x2=753

0

o

2

_

{56/11"-31/11

d) X =

4

—2

2

O

0

--53

11/2” 1

E =

—1

3][1

~36 21]

1

E =

1

'

“35/11 41/11

A = E1E2E3E4E5, en donde

—1

b) x1 = ‘1,

c) X = ‘-'4‘7/11,. 27/11:, 35/11,

37/50

o 1 -l/1o 41/10

_ 91

1

4 4

) ) x1

"

5 b) X= H _21 -17]

1

37 a

= 17/2 19/10 °)X 2 -4/5

'

1

2

1

~

.

O 3

’

E1111ensajeeszHAY QUE ESTUDIAR MUCHOALGEBRA LINEAL. 1/7 . 5/7]

2] z [1

c)14=140.01

.

'11/7 31)3)X" cy7

3

3

_

forma escalonada redumda (16/1

. .-

'

. '

-

,

.

__

’

‘

(6,5,4,3,1,2)

(6) 5245211: 3)

(6) 57 4: 3,2,1)

3) a) oon=(3, 1,2)

d) o°n=(2,5,4,1,3)

n°O=(2,3,1)

11°0=(5,1,2,3,4)

0°c=(1,2,3) _,_non=(1,2,3)

‘ _'

(5,5,4,2,3,1)

(6,5,4,1,3,2)

.

V .

b) d..o.n'=(_3,1,4,2)"._,

vnqro;..(4;3,1,.2).

.-

0°0=(2,4,3,1)

15°7t=(1.2,3,4) c) 0°n=noo=ooo

=1c71 =(1,2,3’4)

0°0=(3,2,5,4,1) > n.0,n=l(152_,3,4,,5)l e) 0'0'1r=(3,"5:,4,2,.1)1

. naav=..(4,5,2-,«3,w1)

ooo=(1,2,3,4,5)

Non=(2,1.3,5,4) f) o°n=(2,1,7,5,4,6,3)

fl°G=(5, 2’4, 3,1,7, 6) 00 0= (1 23 4 5 6 7) 2:01: = (2:5,5’ 1, 3,7, 4)

700 ALGEBRA LINEAL

RESPUESTAS Y sowczowes A EJERCIQIOS SELECCEONADQS 7,01

'

won)" = 7:" co" = (4, 1,5, 3, 2)

b) o"=(2,4,3.1) n"=(3.2,1,4)

e) c“-(1,2,4,3.5> n"=] 13.=.[=1 93—12,: +3312} “ 11 11 c) fl=[1-%x2,x46x2}

d )fi =

2 l 2, 1 --—11x2,»'—-—11x

(Ve’ase a'claracién en el problema anterior.)

:4 ‘1

720 ALGEBR‘A LINEAL

65:13 = {(8,12',1,V_O)',(1-0,15,0, 1)). Unabase'de W, +' w2 es: [3 = {(1, 3/2, _0, Q),- _ _ (0,0. 1,0).(010.0.1)]‘ '

9)

Una base de W1 n W2 es: [5 = {(1,0, 1,0), (0, l, 0, 1)}. Una base de W1+ W2 es: [35 {(1, 0! 0:0)1(011,0!1)7(010)1!0)}’

10)

c) 4x1+2x2—3x3=0

a)x1—2xz=0

x1—2xz-3x11=0:

x3—3X2=0

.or

8) se tiene dehecho W1C W2, 116111101210 qua W, n WI: wk. Una base de wx = W, n w2

HESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJERClCIOS SELECClONADOS

721

vectores v1 = (1, 1) y'vz * (1,1—1)sonlinea-lmenteindepen'dient'es, pero los‘ vectoreé

T011) =.(0,~1) y s) -. (0, -1) son linealmente dependicntes.‘ ' 13) Dado u E V, existen escalares c1, 02, . . . , ck tales que cll) + ctvg) + . . . . + 217(k u, expreswn que puede reescribirse como New + 0212 + . . . + ck) = u. ome v =. cm + cm + . . . + cm 6 V. Entonces v = u , lo 11 e m * sobreyecnva. T( ) q “est” qUL T33 15) b) Si el vector v E R2 se encuentia sobre el eje y, entonces T(v) = v. 16)

b)

d) x1—2x3+3x.4=0

b) 5x1+2x2—3X3=0

ui—x3+6x5=0

CAPl‘l‘ULO CUATRO

SECCION 1 (PAGINAs 278-285) 1)

a) Sleslineal.

d) Noeslineal.

b) Sleslineal.

e) Noeslineal.

c) Slesline'al.

t) No es lineal.

i3

2) a) Sleslineal.

'

b) Si es lineal. a) Sleslln'eal. I:

b) Sle‘sliheal.

1).. Si es lineal.

.

c) No es lineal.

5)

'

'

I

1.7)_ b)

e) S1 es lineal. ‘ '

.

51 e1 vector u E R2 se encuentra sobre‘ ‘el eje-x; entor‘mes: T(u) = u.

.

fl

///

1) No es lineal.

b) No es lineal.

e) Si es lineal.

C) Si es lineal.

f) Sleslineal.

‘\\\ v

I

[I

/ ‘

d) Si es lineal.

a) 81 as lineal.

Vx

1‘,\ \

/

l

1I.

..

\

. ;x

I

\

\

TV

/ \\

,l

’/’

Tes lineal puesto que TIA1+ A2) = (A1 +A2)l = Ai + 115 = 71/41) + T(A2), T(cA) =

(M) = cA’ = cm). (Véase ejercicio 14 de la seccion 2, capitulo 2.)

6)

Si A conmuta con 8, entonces T(A) = 0. Dos ejemplos triviales (1e matrices de este

7)

b) T: M" x" —-' R, T(A) = detA, no es una transfommcién lineal.

18) a) Suponga que existe otra transformacion lineal 71R? —> R2 tal que 7((1, 0)) =

(2, 3) y 7((0, 1)) == (1, 1). Para cualquicr vector (x, y) E R2 se puede escribir (x,

1;); “1620);;{(02%)1lfjntonces. 710w» = 71160, 0) + W. 1)) = x710, 0)) + yT((0

=xmuestra , ' yqueT, -xT((1,0)) lo que +yT((0,l )) =Tx1,0+ T. ( ( ) J’( 01 1 )) = T((x,y)),,

tipo son la matriz 0 y la matriz I.-

b) {(3643): To“: 0) + 4(0,1»= 3T((1, 0» + 4T((0.1»= 3(2, 3) + 4(1,1)

11) Sea [3 = [v0] (v0 6 V, Va 9* 0) una base de V, consiclcre la imagen bajo Tdel vector

v0, T(vo) E] V. Exis'te'un escalar c E Rtal ‘que T( V0) =.cvo. Para cpalquicr-vector ~

c) Tc'cx;y).)r,= T= dim V- dim R2 3'18) a) Ké'r T=' {0}, ImT==R2, dim Ker T+ dim ImT= 0 + 2 dim0,1)} {(1,0),(. delmT= Base 1)) Base de Ker T= {(1, 0, 1)}. =3= dim R3. dim Ker T+ dim ImT=1 + 2=

.c) Base deKerT= {( 1, O, 1), (-1, 1, 0)}. BasedeImT= {(1,2)} d1mKerT+ d1mImT2+1=3= (11a

d) KerT= {0}. Base deImT= {(1, 5, 0), (O, 0, 1)} dim KerT+dimImT= 0+2= 2= dim R2

0

1

0

0

1

0

0

O

O

0

0

0

1

0

0

1

."1

0

0

'1

0

0

0

0

p

y

2

dimKerT+dim1111T=0 +4=4=dim sz

2]} 01,15 6 R}

14)

KerT=-{0}

11)

Ker T= {0} ImT=P3 dim KerT+ dimImT= 0 + 4 = 4 = dim P3

SECCION 31PAG1NAS 2911:3161 ‘ 1) a) Una base de Kéf'Tes' {'(1', 0, 2), (0, l, 0)] Un'a base 'de ImTes {(1, -2)} b) Unabasede KerTes{(1, --,1 1,0), (+1,1+,4 0,2)1 Una base de ImTes {(1,0,+3/2),(O,1,1/2)1 c) Una base de Ker Tes [(1, 5,2, +5)} UnabasedeImTes {(1,1) +1, 0, 1),(0, 1, 1/2, 0, —1/2) (0,0, 0, 1, +1/2)}

724 A'LGEBRA UNEAL

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJERCICIOS SELECClONADOS

; b) C)

3—2.

1.10

5'1]

'00'10

0

0001

52'1 _342

m)1010 0110

”21—1

0101

33%

_ ‘21 1~3 d) 10 ’01 "1100 e) 0011 L. [112—3 8] ”100100 8) 010010 001001

n)1111] o)[ 000100

:000

1070 0.1.0.

n Una base de Ker Tag ((—1, 1, 0, 0, 0), (—2, 0, 1, 0, .0), (3, 0,0, 1, 0), (~8,0,0,0,1));1mT=R ’ ’ ' g) Una base de Ker Tes {(—1,0,0, 1,0,0), (0, -1, 0,0,1, 0),(O, 0, —1,0,0, 1)) . ImT==R3 h) Ker T= {O}. Una base de ImTes: {x, x2,x3}

1) Ker T= {O},ImT=P1 j) Una base de Ker Ta {2 ~ 5.1: + x2}, ImT= R31

R) Ker T= {0). Una basede ImTes {1- x4,x +x2 +x3 + x4}

1) KerT= {0}. ImT=M2x2.

'

m) KerT= {0}, Una base de ImTes: l 0 l

0 0 l

,

0 0 2

1 . O 1 ,

0 1 0

_

-1

n) UnabasedeerTesi[l:o

~1

0]’[1

.0

0.‘ 0

‘=_..-01-1--"1 'A 0-1 1 o

o

o

o 1]}

0

0..."" o 0

A1 describir 01 ,e’spaciovsolucién del sistema AX = O, (y luego regresan‘do an M2 x 2)

se llega a la conclusién de que e1 nL’Iclé'o de Tes:

KerT= {[‘Z

2] e M2112 1 b = c}

que son prgecisamente las matrices simétricas de M2 at 2.

Similarmente, e1 espacio lInea de A‘ queda descrito por las matrices

IniT= [[3

Z] 6 M2x2.l b = -c]

que son precisamente las matrices antisimétricas de M2}: 2. GONG

OGON

,

-2

l‘"_"‘fi

wok-“O

7) [710 =

owe.—

La matriz cero de orden (dim U) X dim V)

6) Una base de Ker Tes(-'1, 1, 0, 0), (0, 0, —1,1), ImT= R2

—'1

6) a) La mat'riz de la transfbrmacién Trespecto de la base canénica de M2 x 2 es:

01

5) a) Ker T= {01, ImT= R2 b) Una base de Ker Tes {(0, 1,2)],1mT = R2 e) KerT= (0), [Ms R3 d) Ker T - {0). Un‘a base; de ImTes: {(1, 0, 3/7, 1/7), (0, 1, 1/7, —2/7) 1

0

o],|:0

o) Ve’ase inciso 1) del ejercicib 18 en la Seccién anterior.

:10

31

1

0 1 -1

ImT== R

0.0..1

‘2110 .i) 10‘23 0001 ‘10 11 k) 11 11 01 “1000 0010 1) 051.000 00, 031‘

1

O 0 _, -1'

OO

2') 0)

UnabasedeKerTes.{1

0

0 —21]]

01L)

72

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJEHCICICS SELECC1ONADOS 727

726 ALGEBHA LINEAL

0

ROWO

g

09.0%

b) Se intercambian Ias lineas i y j.

2

0 detC =det[ad—0’” ad_bc] = (ad—bc)2\\

9) Véas‘e solucién del ejercicio 12 inciso 0.3) de la seccién 3 del capitulo 1.

010;, :I

C)

5

: 4

2

1

2

—2

1

1 —1

7

2

4

5

4 —1

—6

E

—1 _- -' '

'

O

kldim‘Va' I I

1%»[Mn=é X] o

o -

b) 1011: = 0

2

0

'

-

6) [D113 =

1

.

1

o

o _ 0 . 3

— ‘31

b) [71111131 -

o

1

1

1

0

1

0

3

-2

59/24

7/6

1/2

47/24

19/8

SECCIéN 4 (PAGINAS 320-323) 1 o 1 o 1 0 -1 1 0,

1) [3' = {(42, -5), (43. 5)}

2) [3’=,.{[-:‘-%-%

’

45/4

l 3/4

7/4

5/4 5/8

4.5/8

307/24 “25/8

18) [11p = V 5/6 55/24

b) [7115' =

o _' 1

o]

'0» -1 1 o f) [Dlfi = o 0 o o

3/2

2 -1 17) a) [7313 =

1 0' 1

(I)

0

o

o 2 o

o _- "o

'1

Al 2’2

NIUI

.

—5/2

16) a) 171 131132 = 11 11

3

2 1

12'

-3

1

LAP—J

0 d) [D113 = 0

03

L—l

13) [71m =

1%»

:1

o

20/3 *1/13, .‘7/ ---"7/"

1.

.

'

o

\_._._../

o L "1 c) [0113 “* 0 o

1

1

"3

,.

. '

kldimm

‘1

1

15) a) 11111.12 = ’i’ i 3

. "Idim-Vz.

'

5

6

' 2

' ,

o

—5

or

'11) c) [7] "g

3 2

I

.

3

“1"”

':. _ ~

{TH}:

1

NIH

>

o

—3 -6

o

b) ”3‘52 =

d) Ker T= W2, ImT= W1

I‘

2

—3 —3

~\..__-._’/

quc exista A E M2112, A 9* 0 tal que T(A) = 0 cs n‘ecesario y suficiente que el sistema CX = O tenga soluciones no triviales ‘(cn donde X = [A]p, [3 la base canc’mica dc M2112). Esto ocurre Si, y 5610 51 C no es inversible, esto es, si, y 5610 51 B es no inversible.

1

4

3

2 1

Se Iienc, entonces, que la matriz B es inversiblc 51, y 5610 si la matriz C 10 es. Para

'- [dawn

1 ..

2

capitulo 2:

10) C) [7115 3 [Orxk

1

14) a) [firm 2 (I, j i

Para calcular det C se puede usar el rcsultado del ejercicio 13 dc 1a seccién 4 del

Ik

o

3

\__.J

La matriz Ces: C =

‘1]-

311191119.“

_"'1

13) 3) Se intercambian las columnaé i y j.

a

O

8)

0'3313]} " _-.1'o; 0],.[0

_- -,

Unavbase_dellrlTves.{[3

non

.

728 ALGEBRA LINEAL

RESPUESTAS Y SOLUCIONESAA eaeaomos SELECCIQNADOS 729 3) SM y B son sem'qjantes, exiSte una ma.triz_ inversiblc P 1111 que A "=‘ZP-1 BP._E11ton ces,

(por el ejercicio‘ 3) det B = (let A 9* O. Entanccs, B es inversible.

detA ~ det(P‘lBP) = (det P")(dez B)(det P) = (det P)“(de: B)(det P)

10)

b) Tiene 3610 a la niatriz identidad.

d) no ticne el mismo determinanle

b) no tiene el mismo determinante

e) no tiene el .mismo determinants . 0 no tiene e1 mismo‘determinante

P=

7/5

—1 ~8/‘5

4/5

-1-1/5

2‘7

9/7 —1

P"=

9/7

-2

17/5

2 o o 1

0

a) [7111. =

3

1

1 0

o

3/7

3

1 ~8/5 1

o

1

s“‘:4.

0 O 0

1 0 0

y

B =

son nilpotentgs pero no 5011 semejantes. a

1' .‘ 0] 0

B = [-1 .

1

0

-5/5

9f; 4/7

c) Lasmatr‘icesA =

1

O

0] y 1

B=[ 0 0

son idempotentes pero no son Semejantes.

35001611 5 (PAGINAS 331.343) 1) a) (T12 T2X2, 1, 3) = (21,110)

(3T1)(1. 1.1) = (12. 3.9) (—2T2)(2, 4, 0) ~ (~20, ~16, 4)

1

b) (T1+ T2)(x,y,z)=(7x+y+22,x+y+4z,4x+y—3z)

1

(02110:. y, 2)! = (9(2x + y + z), c(x ~ y +. z),‘c(3x _+ 2y ~ 22)) ,

13‘

(cT2)(x, y. z) =' (c(Sxf z), c(2y + 32),'c(x‘~ yV—. z))

b) 171112= ~16/5'-2_/5 144/5 , » 17/5 -9/5 43/5 ' C) [71133 =

4

~1

0 0 0

son involutorias pero no son semejanfes“.

3/7 2/1 ~25; R“= ~VI ~3/‘7 3/7

1

1

.

8)

2

Q“~ 26/5

3 ‘Ra ~1

'1'”

3

2

23/7

3

2 ~1

Q= 4/7 4/7

a) LasmatricesA ==

b) Lasmn‘tri‘ées’A _.-=

1 ~13

. 15)

._.

a) no tiene el mismo determinante

Existe k E N tal quc A" = 0. 81 B cs semcjantc a A, cntonccs 8* es scmcjantc a

A" = 0 (ejercicio anterior). Entonces, 13* = 0 [ejercicio 10, 11).] 13) Si B es semejante a A, cntonces B2 es semejantc a A2 = I. Entonccs, I32 = 1, we cs, 8 es in'volutoria. 14) Si 8 es semejante a A, entonces existe P inversible tal Que B = P'1AP, dc dondc B2 = P“A2P =‘ P‘1AP = B, esto es, 368 idempotente. OOH

6) cfm los ejercicios 3 y 5 anteriores, una condicién neccsa ria para qua dos matrices s'ean semejames es que anibas tengan (:1 mismo determinante’ o la misma lraza. Entonces 1a malriz dada no 'e'S semeja'nte a A puesto que:

12)

OOO

cioio 21 de la seccién 3 del capitulo 1—.) E1 ejercicio anterior (4) muestra que la afirm'acién rccfproca es fals’a.

. _-.7) Las matriceé P,7'Q y R jilnto can Su's invers'a's soni ' ~ ~2'"2-'1* 2

== (P"BP)(P“BP) = P“IB(PP“)BP = P“B¢P, (la mode quc A3 cs scmejantc a 83. De manera anéloga, A" es semejante a B".

1’3"] lo que obliga a que

0 = d = 0, contradiciendo la inversibilidad (16 P. . 5) _Al serA y 8 samej antes, existc una matriz invemible P tal que A = P"BP. Entonces, trA = 1‘r(P-l BP) = 11*(P‘l PB) = trB (en donde se usé que IrMN = trNM ——véase ejer-

>c) no tiene 1a misma_tra_za

11) Si A as semejanle a B, Existc una malriz inversiblc P tal quc A = P"BP.E1110nccs,A2

r—t

Z] = [a Z c

(Es decir que 51 A es scmejame a la matriz ccro -idcnlidad-—, cntonccsA es la mmriz ccro midentidad, respectivamcnlc.)

HO 1_.__..J5

= det B . 81A y B fucran semcjantes, existin’a una matriz inversible de orden 2 P = I: a b]

tal quc PA = BP, esto es, ta] que [:1

a) Tiene 5610 a la matriz cero.

)—

4)

‘ Si B 65121 pn‘l'a claseldc equivalencia de A (esto cs, 51, B cs scm'ejanté a A) cnmnccs

2

W7

3/7

"2

”9/7

5

2/7

45/7

8/7

SetieneB=PAP‘lconP=[§

31' a) B ~1‘mn. 515312 a R T1((x, y» = x, T2((x. y)) =y

b) [3“ {T1, T2, T3, T4], T1,...,‘T.;:R2 —> R2 1]

T1((x, y)) = (x, 0) T3((x, )0) = (05 x) T2((x, )0) = (y. 0) T4((x. y)) = (0, y)

\

730 ALGEBRA LINEAL

HESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJERCICKDS SELECCIONADOS 731

.037

- Tm, y». = (x, o, 0)_

;4‘ 59

. awry» = {0, y, 01'

mac, y» = (y. o, 0) T3((x, y» = (o, 3, 0)

*4

Ts((x. y)) = (0, 0,11) T6((x, y» '= (0. 0, y) , Tet'R?’ —* R2

fi={T19-~*)T6},Tl,..

T1((x,- y, z)) = (x, 0) T2((x, y, z)) = (y, 0) T3((x. y, z)) = (z, 0)

V,T4:P1—->P1

T;(a + bx) = a

T3(a + bx) = ax

T2(a + bx) = b

T4(a + bx) = bx

db"

—_

_

"a

b“

_

T15 ~

(2.

d J—

‘2]-

h) fi=.{T1,s’ T3"

T4}’

T1,.;

..-, T1: M1112 "v! M2”-

Tlaa b1) =«[3]

T2([a

T3([a

T4([a

12]) = [2]

17/7]

40/9 [Tl + T219, 2 [257/63

55,9 14/9]

.

I!

J

11

1 2%] 5/3

55/3

[ 127/2'7

V

‘-‘

8

475/139]

m + T2192

214/27

35/27

[T1 + T2103

3190/1239 —4451/189

5585/4189

759'1/189 :|

6' _4721]

1L

(T10 T2 .c T3)(x, y) = (—9x — 2y, :22): — 8y)

oo 1L

:7

—11

(T2 ° (T1 + T3))(x. y) = (5x — y13x +‘)’)

[Tnlulpfi II

2 —1 1 3

'1 [Tzlmz= 2

—1 5

—1 1

3 .-8

3

8

-2

(T20 T1)(x, y)=(-2x+4y, 12x+ 5y, 8x+37y) II_

II

70c

x I

T13 -_

14

6

(Tz'° (3T1) o Taxx. y) = (~39x — 3y, ~33x - 9y)

-2 12 8

'L

'-1

7

,,(.T1°.T2).(x,. y) 4' (7x +252, 14x .+ By), . _‘ ,

I

d

so

c _

'oo

T“ ~

aw

b“ ~ I

9

(T10 (T; + 2T2) o (3T2 — T3))(x, y) = (262x + 95y, 768x + 366y)

I l_

“a

mw

__

ma- V

b" _ d —

1!

I

'0 c

no

_ T9 —

-12

55/;

”1+s ’ 214/63

‘I I

_

25

" (no Tove. y) = (Hwy, 8:: +' 3» ll

I

aw aa-

J!

ova

aa-

.l

av

d

..

oo

_

oo

c

..

:10

T7

'

13

s

oo

b“ d .1} b-

25/;

‘

(:10

"a c -. F

_ r _

II

__ T5 —

T26:

9.0

b' d

6

[T] 4“ TZIIM '= ["31/2;

00

'a" c‘

8

4|

d 'J: a

’00

” . _ T-3 —

-.

9w

_

on

Tl

'

I.

_c

b"

d)

173/

fi={Th>i"')Tl6}’Tb"' , T15? Mp2 "" sz -. f .-

I

ma + bx) = bx2

1|

T5(a + bx) = ax2

~'a

2

[T1 + T21fl1

on._oc-

T2(a + bx) = b T3(a + bx) = ax

v

8

4

v

Ts((x. y. z)) = (01y) To((x. y. 2)) = (0, z)

[3={T1,...,T6},T1,... , T6: P1 -+ P2 T1(a + bx) = a T4'(a + bx) = bx

g)

§ o

‘

c)

5

T4((x, y. z)) = (0. X)

[3= {T1,T2, T314}, T1...

.7 '—2

4 5 37

-

=

1 2 3

—1 5 8

-1 1 *2

7

3 11

3

7

4/3

413/42

[11o =' -1_ 14-; 6" j

2 1 3

-1 3 -8

.

[T20Tj]p =

3

1—3

4

8 '10 —2 11- 5» 13

_

215/21

~565/42

[T1oT21al=[O21 287/3 _5/3],[.T2°T1]p'=|:—8/31 -71/3 22]

732 ALGEBRA UNEAL

RESPUESTAS v sowewnes A EJERCECIOS SELECCIONADOS’ 733

’ ' '

- ‘8" 5 6

'

1.91/22 395/21 -

— T204) = T(lt)~ T(tz) = 0, esto es, v E Ker T. Ent‘oncc's se ha ptobado qnc Im(ld —‘

c). ””7219! T 41W42 4/3_ .’ .{12°‘Tflw . . —565 . /42. ' '2l5./2.I .— ‘ . 21 413/6 -50/3 ~565/5 d) [Tl 07.21132 = [ 0

_5/3]; [TZGTflf’Z = l:

6

' T) C Ker T. Esto muestta cl 'inciso a).

36 ]

contencién es valida siempre). Tome ahora v E 1112 T. Existe entonces u E V (a! que v = T(u). Entonces, v - T(v) T(u) — T(T(u)) = T(u) - Tz(u) = T(u) — T(u) = 0,

47/2

_

—l3/2

-

139/6 "5/6 203/18 “/6 6) [Tl ° TZID:, = [47/2 4/2} [Twmm = [ 11/5 43/2] ~5/2

lo que muestra que v E Ker(ld ~ 7). Entonces se ha ptobado que [In T E Ker(ld ~ 7). Esto muestta el inciso b).

“/6

f) [T1°T2}p. = [—5223 131/0], [72mm ' [ 11/5 203/18]

0) Se sigue inmediatameme del ejercicio l9), puss Ker T2 = Ker T. d) Cada vector v E Vse puede esctibir do manera l'mica como v = v — T(v) + T(v). Llama u, = v— T(v) y u2 = T(v). Entonces, v = u‘ + u: on donde T(ul) = T(v - T(v)) = T(v) - 79(1)) = T(v)~~ T(v) = 0, csto es, u, E Ker Ty uz = T(v) 6 1m T. Eslo mucstra V=KerTe [m T. ‘

17) 3) Tome v E V, v E Ker T1. Enlonces, T[(v) = O y T2(T,(v)) = 72(0) = 0, esto es (T2 0 T;)(v) = 0, per lo que v E Ker T2 ° T2. Esto prueba que Ker T; C Ker T2 0 T}. b) TOme w E W, w E I/nTz o T,.Exisle entonces v E Vlal que (T2 0 T1)(v) = w. Llame u = T,(v). Dado w E Wse ha probado queexistc u = T1(v) E U ml que T204) = w. Entonces, we [/22 T2. Esto pmeba que ImTz 0 T1 C ln.

18)

25)

Segfin el inciso a) del ejerelcio anterior se tiene que nulidad (T2 0 T1) 2 nulidad T1. Similarmente, el inciso b) del ejercicio anteriOt dice que tango (T2 0 T1) S tango T2.

+ TyV- = F(XXV) + F(YXV) " (F(X) -+ F(y))(v.). de dondc F(x + y) = F(X) + F0)-

_ .

.

- . Ts(13-(V)>.=,-(7}Ty)(¥)% (F(x)F(y))(v), dc 'défidc FOO?) = F(x)F(v)r

_

nulidad5(T2 o T.) -. nnlidad T1 = tango Tl? tango'(T2 o T.) '2 0, por nulidad. (T2 0 T2) 2 nuliclad T2

s

, _d) Supon‘ga queF(x1)- 3 F(Xz) E _L(A, A). Entonc‘es'p'ara cualquiefiv E A Salient: qtie F(xi‘Xv) = F(x2)'(v),- o sea,»x1‘v = 2:21); de do'n'de (15‘ 4 x2)v = 0. En particular, 51 v =

«n

lo que

f

c) Parac‘Ualqn'ie‘t v EA se tiene qne'F(xy)(v) - T2,.(v) = (xy)(v) = x(yv) =T..(yv) ==

_ . .~

, de dondc: tango T2 — tango (T2 0 T2) -- nulidad (T2 0 T1) - nnliclacl T2 2 0 I‘

a) Pataeualquier v E A .se Ilene qu'e F(x + y)(v) = 712,.(v) = (x + y)v = xv + yv - Txv

b) Para. cualquier v E A se‘ tienc que F(cx)(v) -= T2301) = (cx)(v) ='c(.w) = CT.» = cF(x.)(v), de donde F(cx) = cF(x).

dim V- tango T1 + n'ulidad T2

I

Es una aplicacién directa de las propie'dades 2) y 3) de la del‘inicién do :21 gcbta dadn enla pagina 354, pucs TO): + y2) * Xo(-‘y: + 3/2) = xoyt + xoyz = T01) + T02) y T(CY) =

xo(cy) = 006030 -=-0T(v)26)

Segfin e1 teorem’a de la dimension so tiene - tango T2 + nulidad T2 = rango'a', c T.) ‘+ nn’lidad (T2 0 T1)

V

b) Tome v E Ker(Id — 7). Entonces, v - T(v) = 0. E510 es, v = T(v), lo que mucsira quc v E [m T. Entonces se ha ptobado que Ker(ld — T) C In: T(obsetvc que esta

e (elelernento unidad deA) s‘e tiené-(xl s 5:2)e =‘x1 - x2 = 0, dc dondc x, = x2. Esto

mucstra la inyectividad de F.

tango T, Z tango (T2 0 T1)

que junt'o con nu'lidad (T2 ° T,) Z nulldad T,

SECCléN 6 (PAGINAS 348-358)

tango T2 2 tango (T2 0 T.) demuestra que

nulidad (T2 0 T1) 2 max (nulidad T1, nulidnd 72)

1) Laafltmacién reefptoca es: SiTx: Var- U y T2: U H Wsontransfotmaciones lineales tales que T2 o T2: V —. Wes inversible, entonces T1 y T2 son invetsiblcs. Esta afinn’aeién cs falsa come 10 muestra e1 siguientc ejemplo: Sea T]: R2 —» R3 la

tango (T2 «1 T.) S min (tango T1, tango T2) 19)

Suponga que so Ilene la implicacién v E Ker T2 a v E Ker T, v E V. Sea v E Ker

1/2 transfotmacion lineal T(X) = AX en dondeA = 0

T n ImT. Como v E ImT, cxiste u E Vlal que 701) = V, dc donde 7°04) == T(v) = 0, pue's v E Ker T. Entonces, u E Ker T2 y por lama, u E Ker T. Eslo cs, v = T(u) - 0. Esto muestra que Ker T n ImT=' {0}. Suponga ahora quc Ker T n ImT= {0] y tome v E Ker T3. Se tienc T(T(v)) == 0, do (1011c T(v) E Ker T. Peto obviamente T(v) E ImT. Entonces, T(v) E Ker T n lmT. Emoncos, T(v) = 0, cslo es, v E Ker T. Enlonces

sena‘probado quev E Ker T2 ,=o__v_E Ker T. . . .

20)

.

ma'cion lineal T2(X) = BX en donde B = [ 1 0

.

Segfin el teor'cma do la dimension se'tienc: dim V = tango‘T + nulidacl T=tango

‘

. T3 + nulidad T2. Como tango Tee tango Tl, se'concluye‘que nuliclad T = nulidad 72. Segfin el inciso 3) del ejetcicio 17, so tiene queKer TC Ker 7?. Como las climensioncs de estos dos espacios (Ker Ty Ker T9) son iguales, se concluye que Ker T = Ker T2.

1/2

0

0 1

1] 0

Entonces', Tz‘o T12122 —" mes la ttansfonnacién (r20 moo =' (BAXX); ' ',. » ',1/20.

endondeBA-[l010 0 1]0

1/2

»

I‘ll010]

0

Es decit, que T2 o T1 = ldxl que es obviameme invetsible. Sin embargo, es claro quc

Por el ejetcicio 19, so concluye, finalmente, que [m T n Ker T = {0}.

21) a) Tome v E Ker T. Entouoes, v = v — T(v) = (Id - T)(V), ESto mucslm quc v E Im(ld — T). Entonccs se ha probado la contencién Ker T C [mad - T) (observe que no so 1153 T2 = T, esto es, esla contencién es vélida siempre). Tome altora v E ImUd 7). Existe cntonces u E Vial q‘ue u ~ T(u) =’ v. Entonccs T(v) = T(u — 7(a)) = T(u)

0 1 y sea T2: R3 —» R2 la transfor-

2)

ni siquieta Ilene sentido preguntarse pot la invetsibllidad de T2 y T2. Sea V = P = espacio de todos los polinomios on x. Sea T: PM —+ P cl operador mm x2

1 l,

l 1 il

i

+ (12.1“ + . . . + aux") == aor + a. ~2- + . . . + a,l

xml

n+1

..

.

.

, so alttma que Tes myecuvo. En

734 ALGEBRA LINEAL

RESPUESTAS Y SOLUClONES A EJERCICIOS SELECCIQNADOS 735_ 2 efecto, sxp(x) =.ao +a1x,_+ ., ._. + anxT‘IE-Ker- Tcntoncres, aox + (12. 35+

2” ~'-—11 . ~—' .1 +——' 2 5) ,T“; R3 ~.R3,7T'-"(x; y.I z) = [ '21-: - “y: 5 +_

. +a,.

in + 1 = 0, do donde ao =o1 = . . . = a,, = 0', esto es,p = 0.13n10n ccs Tcs inyectivo.

d) T": s2 -» M2,.2, T“(A) =A'

Considers ahora cl operador U: P -—» P, U(ao + axx + . . . + am) = a] + . . . + l?(§,,.‘C"".

e) T": M2.2 —. Mm, T"(A) i”: j] A

Se afmna que U no es inycctivo. En efecto, es claw que Ker U = {polinomios

constantes}, U sx’ es sobreyectivo. Dado cualquier p E P, sea i5 = Tp (en dondc Tcs el operador dado en el ejemplo anterior). Enlonces, Ufi = p, esto es, p e [In U = P.

3)

que Ker T2 Q Ker (T1 o T2) = {0) . Entonces, Ker T2 = {0}, esto es, T2 es inyectivo. b) Se tiene que lm (T1 o T2) = V. SegL’m el ejercicio 17 de la seccién anterior se Liane que V = 1m (T2 o T2) 9 1m T2.-.Entonces, Im T2 = V, esto es, T1 cs sobreye ctivo.

c) y d) No. Considcrc por ejemplo lo's' opcra'dores lineales T1 = U y T2 = T en cl espacio vcctorial P dados en el ejercicio anterior. Se tiene que T2 o T2 = U o T= Id.» que es inyectivo y sobreyectivo. Sin embargo, se vio que T2 = T no es

d t) TzP ~M2x2,T“(a+bx*°"”d ‘3)=[b—

I, 'bl (1:7,: 1 13) T’esmverSI epues e 5811. n

1

$0

Se tiene det [T], = 0, per lo que Tno es inversible (teorema 6.6).

15)

Tes inversible si, y 5610 si Ker T = [0}, esto es, si, y 5610 sise ticne la implicacién

_ BA = 0:» A =0.- Peroesta implicacién‘es cip'rta si, y 5610 si B csun‘a matriz inver‘sibl e. -. '. . . . -16) .Elopcradorlinversoofs TWA) = B" A,

a)" dei T = 492.

El operador sl es inversible.

b) det T = 0.

El Operador no es inversible.

c) det T = 1.

El operador sf es inversible.

d) det T = 0.

teorema 62 so concluyc quc T2 0 T1 no puedc ser inversiblc.

El opera’dor no’ es inversiblc.

6) dc! T = 0.

a) La contencién Ker T2 Q Ker (T, 0 T2) siempre es cicrta (véase ejcrcicio 17 de la

El operadot no es inversible.

f) det T w 0.

El operador no es inversiblc.

scccié'n anterior). Sea entonc’es v E Kéf (T; o 72), cstq (as, (T1 o T2)(v) = 0 o T,(T2v) = 0. Ento'nccs, T2'(v) E Ker T1 ’= {0}, esto es, 720) = O. For 10 tanlo, v e Ker T2. Esto

mucsn'a q‘ue Ker (T1 0 T2) g Ke‘r T2, y por tanto, qUe Ker T2 = Ker (Tl o T2).

b) La contencién [m (T; o T2) C; Im T. siemprc es cicrta (véase cjcrcicio 17 de la

seccion anterior). Sea entonccs v E Im T1. Existc u E Vial quc T1(u) = v. Pero V =

Im T2, por lo que sc puede cscribir u = T2(w) para algfin vector w E V. Entonccs,

T,(T2(w.)) = v, esto es, (T1 0 T2)(w) = v, lo que mucslr a que v E [m(T. 0 T2). Sc ha probado asl quc' In: T, Q [In (TI 0 T2) y por lanto, que 1m T1 = lm(T, 0 T2).

11)‘

12

—1 2 1 2 4 4 4 o b) [719 = —-3 o —1 2 o —3 —2 —2

For el cjercicio 18 dc la scc‘cic’m anterior so tiene rango (T2 0 T.) S min (tango Tl, rango T2) S m < n. Entonces, T2 0 T1: R" —» R" no pucdc scr sobreycctiva. Por cl

- 10)

2

11-1

"/36 tiene de hecho T" = T 14) a) Tno es inyectiva Puesto que I E Ker T. En efecto, T0) = [B - 81 = B — B = 0. For 61 teorema 6.2, Tno es inversible.

4) 5) Seg‘fin elcje‘rcicio 3, se lieno queisiendo Si‘a T=" [dyinye'ctivo y sobrcyectivo

9)

—a’

c :42]

sobreyectivo y T2 = U no esinyectivo. Es una consiecuencia inme‘diata del teor'ema 6;6', pueS'det T= ad — be.

, entonces Tes inyectiVo. Como dim' V = dim U (finita), el teoréma 6.4 pcrmile concluir que’ T es inversible. 6) Para la transformacién lineal T1: R3 ——> R2 se tienc qu‘e‘ rangvo T1 _ R esf(x1, x2, x), x4) =.(2x4 — 2x; + x3 - x.)c en do‘nde c

six 7(0, 1), se tiene (xlx) = -1.

es un mimero (arbitrario pero fijo) no nulo. Se none, entonces, M = {v E R [fa/2

2 O V x 6 R2, pot ejemplo

c) Si ¢é un producto inferno.

= C} O 563(0,1,1,1)+ g2((1’ 0:19 O), (0: 1’ 0’1)3(2’ 0) 0’1))= {(xh X}, X3, x4) 6 R [ZX4- 212+X3 ~x1= I).

(1) /Si' es un producto intemo. e)/ No es un producto interno: no es lineal.

APENDICE' u (PAGINAS 389-400)

a) SI es un producto intemo. b) Si es un producto interno.

1) En el espacio V/V solo exists la class de equivalencia del vector 0. lin e1 espacio V/{O} so tienen tantas clases de equivalencia como vectores en V; so none de hecho

c) No es un producto interno: no es’ cierto que (x f x) Z O V x E R3, por ejemplo six = (1, 3, 1), (x l x) = ~8.

un isomorfismo entre Vy V/ {0}. 2) a) Son pianos paralelos al plano xy.

b) Una base de R3/Westé Constituida por el finico vector (clase cle equivalencia) (0, 0, 1) + W.

5)

3) a) Una recta .delztipo x =. x0, y. =- yo, 2- = t, t e R. b) Son rectas en R3 paralelas al ej‘e z,

cl) No es un producto inferno: no es cierto que (x | y) = (y Ix) V x, y E R31 6) No es un producto interno: no es cierto que (x I y) = (y | x) V x, y E R3. a) SI es un produeto inferno. c) b) SI es un producto inter'no.

Sf es un producto intemo. d) No es un producto intemo.

6) a) No es un producto intemo: no es lineal.

z'

b) No es un producto interno: no es cierto quiz (A IA) 2 O V A E ,M’.‘?‘"’- por ejemplo,

' si (2 =25 yA = _ _1

‘

- 3,] memos (1. 1 A): -2.

C) Si es un producto inter-no.

8) Si és'u‘n producto intcmo on P), No es un conjunto intemo on P3: .

l

X

no es cicrto quc (1) l p) = 0 a p = O.__Po’r ejcmplo, si p,(x.) = x(_x — 1)(xv- 2) 6 P3 so liene (p l p) = 0. Tampo‘co es "un p'r'oducto intemo on P", n 2 4.

1 I

I

'

II

Il

II

.

l

l

9) u = (01, 02 ~ 01, ca * 62)-

c) Una base de Ra/Wes {(1, o, 0) + W,i(o, 1,0) + W]

.

.

4) Una base de P/P4 estzi constituida por el conjunto (infinite) do clascs dc cqmvulcncra [X5+P4,.X.6+P4,...,X"+P4,...}

Elisomorfismowq/U—v{[:

b _ d]|a=c—d—O}

CAPlTULO cmco

SECCIéN 1 (PAGINAS 404-411)

= A

1/9 [8/3

4/9 14/9]

Cualquier vector (x, y, z) E R3 tal que x + 5y + 42 = 0 cumple la condicion dada. Al poncr v) = ((11), (112, an), V2 = (an, an, an) se tiene quc (x | v.) = (x | v;) = 0 se vc como a) 1x, + a 12x2

+ aux; = 0 aux) + 6122.172 + am; = O que es un sistcma homogénco do 2 ccuaciones linealcs con 3 incégnilas, el cual sc sabe que liene una infinidad clc soluciones.

41:. 2114)): 8]

15)

Es 1a dcsigualdad dc Cauchy-Schwartz para los vecvtores .r- _= (xi, x2, = (y),

y;,

‘‘

1) Como (Va 1 v) = 0 V v E V, on particular (vol v0) = O, locual implica que v0 = O. 2)

11) 12)

-

5)

10)

Si ( ‘ l ' )1 y ( ~ I ' )1 son dos productos internos on V, la funcién ( - I ~ ): VX V —. R,

. , x") . , y,,) on R" con el producto intcmo introducido‘ en la péigina'453.

yy

“16) Supenga prime‘rarnentc quc los yeoto res vy u En el espacio vcctorial Vson lineal -v meme 'dopéndi'entés. Existe entonces k e R tal que :4 = kv, y (v) u)2 = (vi kv)2 = [801 I v)2 = (v[ v)(kv ] kv) = (v) v)(u l u), teniéndose as! la igualdad en la desigualdad do Cauchy-Schwartz. Suponga ahora que los vectores u, v E Vson tales quc (v) u)2 = (v [ v)(u l u) (esto es, que se cumplo la iguald ad en la desigualdad do CauchySchwartz). Si v = 0, no hay nada que hacer pues los vcctores v y u scrlan linealmente dcpendientes (teorema 4.2 (2) del capitu lo 3). Si v 9* 0, la funcién cuadréticaflt) = at2 + bi + c, con (1 = (v) v), b = 2(u j u), c = (u l u) tendn’a una ralz doble, digas e

740 ALGEBRA LINEAL

RESPUESTAS Y sowctouss A EJERCICIOS SELECCIONADOS 741

' 70' 4M ti)/(.v l VV))'-,.Em9nce5. (Fv H4 1 1711+ u) soda déiide E} +' u = o, 10 que mucsgra

16) (105g) '= 42776 < 4.6776 = do: h). Ento‘nces 13 funcién g esté this cafe; def quéjz. ~

j 1z1dependeneia lingal de 14 y v. , ' - ‘

1) a) 1 b) 1

d) [2? e) 1

c) 1

't) 1'c

2 {(1‘)

(1) (‘5? e) 1

c) 1/?

f) (5—1-

3) a) 1 b) (27

d) lfi e) 2

do”. g) = 1.667

1) J17?

Entonces g se encuentra mais cerca defque h.

4) a) m b) ~o.7385 c) 1% 6) iI-VII *‘ll(—1)v|| " 1*11 Ilvll '1 'M = 7) a) 5 b) 6 . .

if

a“

d) 1/7? e) ~1.206 1)- «1.3912 IMI c) 9 d) .24

20) (Dd-1) dl) d-3) d-4)

I-'e;3)1. 5,4)"seii1 " '

b) 11*” “II -='- 141' ‘ "[2341’234 = "VII + Vllull “ 'h '

Suponga que u -= kv 1 k 2 0 - Entonccs , “u + v” " Hkv + v” . primero . = lk + 1| ”VII ‘

(k + l)llv[[ = k||vll + “v” ‘1 “kvll + “v" . “u“ + “v”, teniéndose 1151 1a igualdad deseada. Suponga ahora que se tienen dos vectorcs u y v en el espacio vectorial V para los ftiales liu :vg = ”all + |lv|| (cstp es, para los que sc cumple la igualdad en la dcsiguald ad

+v 2 = “V” + “VII2 _(u + v| u + v) ~ [la]!2 + 204 | v) + IMP. For 10 quc (ul+ v)2M = “u“ “v”, es dccir, g0 tienll: la , pero u

1gualfiad en_1a dc31gualdad dc Cauchy-Schwartz. Por e1 ejcrcicio 16 de la scccién :ntenor, emste k E.R tal que u = kv. Sustitu‘ycndo este vector en la iguaidad “u + v" ‘ Hull + |]v1],§e obtiene [k + 1| ”v“ =' (|k| + 1)[|v[|. Si v = 0, cl resultado sc siguc dc mmedlato. 31 v 1* 0, cntonccs |k + 1] a lki + 1, lo que impiica (1116 k 2 0. 12) Se tlene “v” = ”(g-10+ u” S “v — u“ + ||u|l“de donde “v ~11” 2 “VII — "u”. También

IIuIL- nu... v + v]! s ”v — y'l|1+_“_v]|, de donde I-[lv— u“ s ”v” 711141.: Enton’ces; a I ”VI! ‘ lluill SHV 5'11"“

. .13)

Se-tiene ”v 41""? + "v -11“? = (v 4 u I y + u) + (v I. u I v’; a); ”VH2 + 2(V|1()+'|,,l|3+'

IIVII2 - 2 (v 1 u) + ”1412‘ MW + IMF) 14) a) J?

c) (55

1)) f2—

a) 56

was"

c) 1/17

d.-5) 615) C147) 4 . '

menle quc cl finico valor propio dc la matrix

l-I'A — BAB(I — ABj-l ABA = 1 + 13((I_- AB)'~_1 — AB(I '~,AB)-,1—' 1) A" =.1. + 3((1 — ABM] e .48)?! 4.1M ,= 1 + _ B(I —-I)A = Idc donde(1 4 BA}! ="I + B(I‘—

a) 12mm; 1>2

b) p(A)=A’—3A+8 c) P(A)=A’—5A+38

17) El polinomio caraclcristico de A cs p(A) = det(A — Al). Su ténn ino indcpcndicmo so obticnc hacienda 18)

' d) p(A) = (1 ~ 700.2 — 31 + 12)

a) m-W9

‘ - _.

quc mucstra quc A + c es un valo r propio doA + 01.

-

caracteristico do 121 matriz no so pucdc ‘ En cada case so pucde ver que el polinomio factorizar como producto de factores lmcales

propio dc cA.

15) Al usar e1 ejcrcicio 9 so dcmucst ra facil

1

0

SECCIéN 2 (PAGINAS 530-534)

gs Sca Xun vc’ctor propio asociado al‘valor‘p ropi o A; c‘nto nccs 'AX = AX, dc dondc 'cAX = 'c‘ A X}! 33!, c A cs on valo r

12) El polinomio caracteristic oc cs un poli-nomio do grade 12 (imp ar), cl cual time al menos' una rat'z real. 13) No, on general. 14) Sea X un vector propio asociado al valor propio A. Entonccs, (A + cl)X = AX + cX = (A + c)X, lo

0

o],[0

deA es p(x) = (a. 1 - x)

9) For induccion, Si )1 = I so lrata de la hipo tcsis del cjcrciclo, suponga valido rcsult'ado para n = k, esto es, supo el nga gue n == ordcn dc A. Entonccs,A(A" X) = A(A AkX = A" X, X on vector no nulo dc R", " X), 0 sea, A“I X = A"AX = A"AX = AM X, lo que prue'b'a' que el rcsulta'do cs valid o 15am n = k'+ 1. ' 10)

ll)

I. 3) backfire {(1,}:m

6

la Inat r12: (118 g0113 1 D = (“ag (7‘1; 7&2 9 I ‘ ' a Slendo A diagollahzable, A 65 SCIne|antL a ydelA ”detD5k19v2...1" /4‘.r.|ln A14A2 =11DSIIA l) EMOIICB )

8) Si. cs diagonalizable. Si 50 considera la base dc M; X;

pg}; 3H3 3H? élli? 2]]

"if

748 ALGEBHA UNEAL

...... «no

38)

" ' RES-PuésTAs' v SCSLUCIONES'A EJERmCIQS-SEL'ECCION 'ADOS

--

b):- "(A ~ 114?”2 = (A): - x l A)? - X) = (-Ax-l AX) - (Ax I x) - (x 1 Ar) + (x l X) = HAXH2 + ”l (usando cl resultado de a)).

-1) 2) 3 (5) ‘6: ‘2, _1)+(251) 1’ 3) w w

e W

e Wi

39)

y = 2.3913x + 0.4316

40)

a) pH = 9.0, T = 40°C , k - 0.00998727 b) pH= 9.0, T== 50°C , k =- 0.014264

1

41) y = 4.7292 x2 - 2.32352: + 1.7727

2) Sifiifz E V*y c E R entoncesLTm + C2) = Ken (londe (/1 + cf3)(v) = (v15 ), :1 E V, esto es,f1(v) + cf2(v) = (v | it) = (v | 11/“) + C(‘v ] 1%) =

(V! u/l + my.) dc domle (vl 5 ~ (u;I + 01%)) e 0. Comoel Vector v E ac arbitrario, sc concluye gm: (7 =

‘72“ 72‘

{2" «2"

11;, :+ Cit/3, esto es, Tm + tfz)= T03) + 07% ), lo'qqe mucsira Que

7) La mairizque representaa Tres pecto 'de la'ba'se fipue‘cles'ér

1/3.

3’3

w: WW o

—-V/T

4/773“

o

W}?

7/3

Tes lineal. Suponga ahOraquef e Ker-'fglestoe's,‘ quell,= 0. Enrorrces,fiv)_’_= (v1 17,) = 0 V} v E V, dc donde f =0. Se

we 4/71:

1/3

o

4/173

5631 .165 2 .131 7r) 1 1 onc' cs, cm 0,...=

£9

-

723' *1/72" 4/713"

' 8) a) Sea 6! el‘ angulo enlre cl Vector u

"704)“ u ”7.0 'V 1)“

Qcos 6‘ do. dondc 02 a

9,, esto cs, .

b) La transformacién T:- V —’ V,‘ Tv == 2v es conform'e pucs ( u .v =§2u[2v) = 411' v‘ a u v__

41111111114!

llllll llVll

»

'

- ,

WIL-{fe wmv)=0\1vs W1} W2“'=[f€V*lf{v) =OVv€ W2}

,k,j= l,.~..,m).Escriba(p =d1g1 + . +d,,.g ,,,yw =clf, + . . . +‘crfi, y observe que :9 E Wf y \p E Wfi" (por la manera como se define la base dual).

c) Una rotacién de 60°. (1) Una rotacién de 30°.

ll) La com posicién de dos rota ciones es una rotacién. No. Si 7‘. y T2 son dos lranst'o rmaciones tales que

r:

> '

son subespacios de W. Sea [31 = {vb vz, . . . , w.) una base de W1 y [32 = (111,142,. . . , um} una base de W2, Entonces p -= (w, . . . , vk, m, .. . , um) es una base de V(pues V = Wréb W2). Considere la base dual [3’ = {f}, . . . ,fi, g”. .1 . , gm} dc la base 5. Cada f E V* se puede escri'birvde manera zinica comof= cf. + . . . + ckfi+ dig. +.. . + d,,g,’,..(ci,dj€ R, i= l,...

Sin embargo, Tno es Ortogo’n al, pucs ”TM” = “2v” se ”v“.

9) a) Una r'otacién de 90° . b) Una rotacién de 45°.

ha probado as! que Ke‘r'il‘a {0). Entoncc‘s , Te‘s un isomorl‘rsmo. 3) La a'firma‘cion completa serla: “se dice’q 'uc‘ el thnciooalf 6 V* cs orrogonnl a v0 E V 51 e1 Vector u, E V (asoclado a f‘scgfin' e1 isomorl'xsmo (lcl ejereicio anterior) cs ortogonalajvo". ' ‘ _7

_4) Primerameme observe 'quc fl 4 ‘

yl-el'vc'clor v, v.02 e1. a’ngulo (grille T01) y TM (0

T csc’Onfonne.

"704)“ 1170011 11211“ "2"”

tra que Ties orto‘gonal y por tanlo, isom étrica. U71=(A +D(A-I}"*(A-D(A *1)" "(A+1-A+D(A ‘1)"=2(A J)“-

APENDICE (PAGINAS 492-493)

El vector (a, b) E R’pued e set -1-, ~1— o - i - *L

77:;

E510 prueba que A 1 es inversible.

0) "(A + DxiF = (Ax + x l Ax + x) * IWIP + IMF = ”(A - 1) I II:c) 0

88)

_

c) Suponga que (A — I)x = 0, enton ces ”(A - Dr“? = lllP + ”x“2 = 0, dc clonde ”x“ e 0, e310 cs, x = 0. Aplique el resultado dcl inciso ante rior al vector (A — I)"x para obtcncr “(A + I) (A - [)4l = IMF. Eslo mues

c) pH= 11.0, Te 40°C , L = 0.07254 (1) pH= 11.0, T= 50°C , k = 0.214076

SECCléN 5 (PAGINAS 485-4 6)

Entonccs, f = (p + \y, (p E W}, q; E Wf. Esto concluye la prucba de que W =

W.i e W).

12) ‘ 13)

creno, en general, que det (T. + T2) sea 1 o ~I.

a) Una‘r'efle‘xi‘én respeeto' del eje

det T. y det T2 es 1 o -1, no es

2r,s'eg'rrida de una rota

'cion de 909. b) Un‘a reflex'ié'n reepecro..del ejex fiseguida de una arot-a‘cion'de' 45“ . ' ' c) 'U'na reflexién respecto del eje x segulda de una rotacion de 60°. (1) Una reflexié 15)

749‘

-

.'

d) (2-, 1, o,"1')‘_= (37717;‘12/17,11/17,' 13117) + (43/17, 5/17, 51/17, 4/17). . ,, ._‘_1 ._ .., - ’ 'E W e WL (7) ‘4)

753

.

n respecto 'del eje x segu'ida de Una r'o'ta'c‘ién de 30°. Sea A = ((1.7).;1. 1.....u- Slen do A antisimétrica se tiene (1.; = 41); (y enlonccs', a.~,- = 0). II II a) Sea x = (.n, x:, . . . , x,.) E R". Se Ilene (Ax Ix) = Z X ailzrixj = 0. '

i-l j- 1

-

CA-PlTULO'SElS‘ , . sscclom (pAGINAs 50.74518.) 1) a) No es un vector propio.

d) SI es‘un vector propio con X = 0.

.b) SI es un vector propio con 7» =~ 4, e) SI es un vector propio con 9» = 0.

c) SI es un vector propio con 7» = 4. t) No es un vector propio. 2) El vectorX E R” es no nuloyAX =0=0'X 3) a) No es un vector propio. g) SI es un vector propio con 7» = 3. b) 81' es un vector propio con K = 2. h) S! es un vector propio con 9‘. = l.

OWN—mule-

I754 ALGEBHA LINEAL

'

. La inatriz qua reprIeserita a' Irespectb deIIIfi es ' -' 0

1

0

(I

0

0

0

1

‘

. , . .4 .... (Véase ejercicio 24 de la seccio’n anterior, 1110s D.) o

o

9) a) p= {(0,1,-1),(-.1,4,3),(0,1,1)} mo = 00

0

2

0 (MT = 6

b)

[up =

fl: {(1,211))(1)1’ 0): (1, 252)}

n

3((1)

3

1

0

0

0

3

(3)

det T =

I ._

I

,-

0

‘

.,

-

.-

1

o_

.0

0

1

2

0

0

[Hp =

L.

3

0

0

0

0

3

0

0

0

0

4

0

0

o

0

0

d T—o

0

0

OI 2

.

e‘

m" ‘ o o 2 0 0

. Q' '_2 . - 0‘ o

C)‘5“'.-1~1;s,0i ‘o., '-2

01

00

00

g

0

1

0

0

0

0

1

[T19

[

—2+3‘2" —3+3-2n 2_2"+1

"

,

-

*,I‘

I" I? ’.2

,I'

4.

.‘f

-10

7/5

.v--8,

-.

0 I ”5 II/S

_

,

22

017/5

J5=

I‘II

,m—5=-\/75,\/X7=

° -5 5 4/

2'2

:2

5

7

0

.I

I'

,m=—\/Z-7H

0 -2 -4

8/

' SE-CCION3 (PAGINAS 548-551)

3_2nv1]

2)

m x =x. .4 Q. Pohnomlo caracterisuco: p0.) = (c - 1) .Polmomlomfmmo: m(x) = x - c.

5)

(Se denotarzi pot p(x) a1 polinomio caracteristicoypor m(x) a1 polinomio minimo.)

8) p(x)=x’+11x+30=m(x)

c) p(x)=x’- x 1—m(x)

f) p(x)=—(x—1)’=—m(x)

g) p= (2—x)4=m(x)

h) p(x)—= (2— x)‘ m(x) =(x-2y

. . d) p(x)=. (1— xxz— xxs x)=-m(x) i) p(x)= (2- x)“ m(x>= (-x- .2”

f ,»

I

(’«)I2(x_)=-Jc‘+4x2 4x+1=_—m'(x)

'

6) Por e1 corolano del teorema34 el polmomlo caracterfstico deA debe ser p(x)

(a

- x) m(x), lo cual contradice a1 teore’ma 3.5 (cl factor (a- x) que aparece en p(x) deberia aparecer en m(x)).

detT=—2

11) a) A"=Isinespar,A"=Asinesimpar.

n

2 -10

b) p(x)= 0

(-1)n-4+2n

,

1|

.

=

(-1)"-8+2"‘1

2 —'10 -10

.

5

.5

0

2

0'2v

O

..

.~

4

..

-1 ”2—2“

—1 ”4—2”

(-1)“+'2—2~'l

g1;

.

1II.._Io.I detT= 2,. Iv . I ,. 4

- e).p';.={(1,3,0),I(o,—2,1),(2,I1,-2)) ~ mp= o ,,

0

—.

__ n

b) Existensposibles respuestas.

0 (MT a —2

o 1

[m =

d) s= ((1.0,1), (3,2, mm, 1)}

n

9 14)a)fxT1=-[§ 22],a2-—-a,,a3=[; :2],JX4=—J/T3 3

0

O

__

3((1)42)

+2)

E_1)):ol.2_2n

2!! +1

1 0 o mp = 00 01 -l0 (IN = " —1

i

' n '1

((-1) '2)

__

n

n

755

_

O

c) p={(2,1,0);(~I,o,»1),(3,5,6)}

4

E_1)):n4_2,..1

_211 +1

6

) -

— "+2“ (-1)»+2.m

' _2n a) A." =

n +2

2

_( 1) d) A" =

1

H

“((1)"-+2

'

0

+ 1

_1_

-

1322

[mpg

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A EJERCICIOS SELECCIONADOS

'

7) Elpolin‘omioca‘racterfsticodeA esp(x)=(—1)"x".Pore1teorema deHamilton-Caylcy 50 sig'ue enldnc‘es que A" = 0. E1 polinomio minimo de A es m(x) = x".

I 8)

-

0

1

A ‘

O

0

CICIOS SELECCIONADOS 757 RESPUESTAS Y sowcncmes A EJER 756 ALGEBHA LINEAL

’

0

0

' Glayniés ejemplos) ' '

0

tiz c) Se puede var que no existe mat

algu

11) 771(x) = .l 12) a) m(x) = (x— DZ b) m(x) =_(x + 2)2

c) mm = (x ~ 1)3

d) m(x)=(x-1)(x-— 2)2

2» [.a 1,]

1m

—wr

b) P

= (x — 2)4. tstico dc ambas matrices es p(x) 10) a) El pol'momio caracter as matrlces es m(x) = (x — 2)2. b) E1 polinomio minimo de amb AP = PB. na P de orden 4 inversible tal que

(DP

m

w: ’P’AP

c)[—5/2 4/2]

f) m(x) = (x - 1)4

g) 1710:) = (x - 2)“ h) m(x) = (x - 3)2

a) [a *1]

—1/3

1/3-..2/3

o

o

1

0

0

1

0

o 0

,P‘AP =

o

a] o 2] 0 5] o o

o o

SECCIéN 4 (PAGINA 561) . . , 1..) = a la matriz diagonal D = diagou, M, aqui quc A 1) Siendo A simétrica, es semejante De 0. =P P"A que tal e rsibl inve P te diag(0,_ 0, . . . , 0) == 0, esto es, exis ejemplo, A = lrica la afirma'cién es falsa. For = P0?“ = 0. Si A no es simé

‘ [3 3]. = dingo“; x2, . . .','. M)“ ejéntc a la maffiz diagonal D 2} Siondo A silnétrica, es sém . +1... . . +K2+ . Enton’ces,0 =trA = trD =7»; lizablcs, c0 es, A matrices simétricas, son diagona n, orde o los 3) Siendo A y B (161 mism apareccn en su diagonal principal

D en la que as semcjante a la matriz diagonal n el mismo propios do B (pues ambas ticne res valo 105 valor’es propios‘ de’ A = riz diagonal mat a mism la a tes cjan sem ,A y B son polinomio caracteristico). Entonces , si A y B falsa cs n acié sf. Para ver que esta afirm D. Son cntonces semejantes entre rior. ante ién 10 do 1a secc no son simétricas vea cl cjercicio

0 o

1

o

1 o 0' 18

o

o

1

o

0 1o 0

2/3

3

0

0

6

0

2/3

o .o

9

2/3 4/3 ,P‘AP =

h) P = 4/3

1 —1

1 0

0

1

0

4/3

"‘0 0 o 1

W

o

7‘ w: was 2/3

' éi’ _o. o , '

5/415 ~1/3,P’AP=

i)P= 1/2

1

[o

o 0 4/11 0 1/{2' —9 o 1/3 2/3 4/3 o 9 P= DP= 4/3 ”43 '1/3,P'A 0 o 2/3 1/3 2/3 1 4/5 2/1/15" ~1/3 =0 ‘AP 3,P ~z/ “ 4/123 ' /IS =1 g)P o 5/123 2/3 o

A

3/2

_

‘ —4 m 1/12"} PIAP [ 0 —5 2/5“ 1/5]'P'AP”[0

Wr [—WI 4/5 [7/5 W2“

e) P ==

e) m(x) s (x — 2)2

o

c) P

_7 '~1_ ‘0

w: W?

[—wz‘ 1%} PW ' [.0 ‘ 3]

0

o

9

'

0'

o 27

4/5 WW 1/3 2 ‘ w: w: Wu" 4/2 o s 1/2 = 1/17 ~1/m ~e . 0 P PA IA’ 2" 4/11 2/16 o ”P o my 1/2 o o

o 2 o o

o o o o 2 o o —2

,2/r6),(1/.r:r, 1/13: 5) Labaseesp = {(—WQ‘, 1/17,0),(—1/m, ~1/m [719 =

o

o

o

0

0

0

o

o

6) Labaseoéfi =f[ (—jwt, o, 0,

' (o, 1/17, 1/5, 0)] O -1 0 —1 [715 = O O 0 0

vm}

3

V—‘OOO

9) For ejemp10:A= 0

4) a) P

OHOO

,

1mm, 1% 1/7270), We, 0,» vm, -

i 1’

758 ALGEBRA LENEAL RESPUESTAS Y SOLUCKDNES A EJERCICIOS SELECCIONADOS

759

APENDICE (PAGINAS 587-590) 4) A= [131' _ [Ob] cnflonde A1 es la matriz dc adyacencia de 01 y :42 es la matriz de 1 I)

a)

I

0)

adyacencia de 02. B

D

B

5) a) 2

g) 0

b) o

h) 2

c) 2

i) 61

d) 2

j) 61

e) 0

k) 4

f) 20

l) 0

6) 3) p0.) = 71.2(12-4)

b) '

'

d)

c) {012]

b) [-212]

7)a) pm =- 1112—1176-4) A

0

/B\.

if

c) (0,11,:2}

b) [-3, 3]

G

8) p(?»)=.==9»? 61“ + 923- 4 =(K2— 4X}? — 1)2 Bspcctro—= {t 1,1 1,-+2). Se verifica que el espcctro sc encuemra en el intervalo [ 2, 2] Ademés,

B A c. [\

A

5‘

5‘

21+.

’l‘"

+1.,==1—1+1

1+2- 2= 0

'- 11+; +12== 1+ 1 + 1+ 1 +4+4=12~ 2(numerode1adosdeG) 211-+...+712=1-1+1- 1+ 8—" 8==O(nohay c1closde longltud 3)

2) Todas representan a la misma (5, 5) grzifica G. en la que

9) pa.) = N - 6715 + 913 — 47. = MN - 4X?»2 * 1)2

V= {IL 3» GD. E}.X= ((-4. B), (B.- C),(C. DMD. E105. A)} _

3) a) La matriz de adyacencia de la primera gréfica es: A1 = '

La matriz de adyacencia de la segunda gréfica es: A2 =

.

b) “La 11e1111u1ac1 21

> 2‘

’2‘ 1

9‘ {2‘ ‘

1

1 1 1 1,1,1,-.11,—,—1,1,w1,1,~1,—1,—1,—1,1,— -1,

.=

_ (x)1,,= (xi,xé,x53,). +18(x2) ~.9(x5) en do11de ) (x1 =9 )= q(x o com ve .1a fot‘xm q se :

i=% x’1 =a‘12x1+2x2’x3)2x

1 Res ectod e l a b.156 (ort 0110mm ) p

)

.

.

’

la forms q se ve

(x1’,x2',x5’).Las ecuaciones ————(x3’) endonde(x)p, = come q(x)=—7(x;') +—-—- (x2)

5

xa’,x3’). Las ecuaciones de x;’,2’) en donde (:01, = (x11 q(x) = 3(x1’) + ”(x3 —7(

1

+x ,x" +2.112 +2x3) ,x’2" 7%‘(2x 1 2) 3

F’(2): l

~4x 2 +-5x 3)

'.

q se ve como ,(—1,2,1),} la forma {(1, O, 0),[-—%,,,1 O} = 132 e bas la de cto Respe bio cam sde one aci ecu 435 ,x2,133.1 ’ ) endonde (2011, = (x1 —-6(x1') +Z(x2') ~7(xé’ q(x)=

1

1 . x1 + 73- x2 + 3x11, x2’ = de vanables son: xi' =

,,

-2x;, x3 = x3.

,.

. ,

.

.'

.

f .

5 .

I

,

. _ ,1)} E—(0, 1, 01), :k l,l,1 OL 1, ’ '1 (10 )’/— = 11 , [51 . {2.5154 ' (7011* . come (10;) s H-050. + (X232 + (x3)1+ 3050251 donde ‘

.

la'forma (III-‘53 ve

es. sOn: n‘es de cambio de variabl (xi, x5, x5, x1). Las ecuaeib 1 +x1) x1=E(X1'I2“Is+

,

1

x2=”2‘(x1+xg)

x4)

'

x3 =7=2(x¢

.

,_

x4 =‘12'(~x1-x‘1+xs+x4)

11.1-—

Respecto de la base {32 _~

_2,1, 0,

28 16 T9"

4

’ (1,0,0), 3;, 1, 0 , — 15

3

=

I

f

—3(22 1131212)] _ 2211

151)“ {3(1

1 —1 21112),.— r(11 — 2’0)’1/ 131 = {3(

,19

—W)13p

01101111211) 17) Respecidde la base (011

1‘ (0110110111131) 2Q) Respecto dela base

-

I' .

V

_

- ..

'i

'

' .

~

-

. 764'- ’ALGEBRA LINEAL " .

1

, ' I .

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23)

Respecto de la base (ortononnal) 1

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1 ~1,1 1 — —— I ' .— )} 1 1,-7 —— _. (1,1,1.1),2( 1, _ 1,1,1),2 , _. 1, _. 1,1),2( {20

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2 + (x5)2 + 7040.2 en' donqéiéxjpl a 1:1 for'ma q se ve como q(x) = 406152 ~(x'5) 1

. . x; — x3 + x.), . xo de varlables son: xi = 5 (x, (xi, xfi, x5, xi). Las ecuacwnes dc camb 1 1 2‘13+X4). . 1 x2+x3+x4),=x1=§(-x1+1 1-x2+x3+x4),x$=‘2-(x1+

x;=;j(—x

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Rspectodelabase [52" {(1. 0. o, 0), (—2, 1,1, 0),[~ § -% —%0],(—8, —13. 11 la forms q se ve como q(x) = (x??- 6(x2’)2 + 3 41-

1

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(x3)2 - 21002 en donde (1091 = (xi’, xé’, I

I

2x4, de variables son: xf= x, - x2 + 3x; — x5’, xé'). Las ecuaciones de cambio

7 1 ,, X2 = "Ex1+3x3"x4, xélfl‘x24'xs‘ 134,15, = x4. V 24) R'especto de la basé (01101101111211)

1"

(31

‘1 —— —(1, —— 1, 1, =— {2( 1, 1,1,1).2

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—(1, — 1.1. 1),2

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'12-1,1,1,1 )] —1— ).2(

+ 3(x5)2 + 50:4)2 en dond‘e (x)px = (xi, x5, la forma q se ve como q(x) = -5(Jci)2 - 30:3)2

HQ,” variables son: xi = —2-(-x1-x2 + x3 x§,x1). Las ecuaciones de cambio de 1

1 x1).Res1 1—x2+x3-x4),x3 = 5(x1’rx2 +x3+ x5 = '2-(x1—x2-x3+x4),x£ -= ‘2-(x

pecto de la base

1 p2

{(130)120)7[

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2,8,2,

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e “£1; (xé'f— —1§5—(x§')2 + 120 (x!)2 cm dond 1a formé q 'se ve como q(x)' = 8(xi’)2 1

. . -— . xi' = ix, + s de cambm .de vanables 5011: ' 06);), =. (3?, xéivxfi’, xé’). Las ecuacwne

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~ 1; .1 x,x" = .x1 + x2 ~4x3 —.314 3 2. 8 4, x”=4 —-x 2 3 +—x 8 2 +—x

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x3

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Respecto de la base (ortonormal)

131 = {7-1—3- (0. o, 0, —3, 2). 71:5 (1'. 2. o. o, 0), f—S—(a, 1,1104», '(O, o, 1, o, 0),7%(0,0, 0,2, 3)}

. 1

4 8 3 +x. 8. 1 +-—‘x V—-x -x'1, x”=v ‘4