Algebra Lineal [1 ed.]

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3

MODULO

ALGEBRA LINEAL

CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. JORGE ELIECER RONDÓN D.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2010 -1-

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COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Gloria Herrera Vicerrectora Académica

Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General

MÓDULO CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN

© Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN

2010 Bogotá, Colombia

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AL ESTUDIANTE

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. El curso académico se estructura básicamente en tres unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos y la tercera Espacios Vectoriales. A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los diferentes campos de formación disciplinar. Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información disponible en la plataforma virtual de la universidad. La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.

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TABLA DE CONTENIDO Pag.

UNIDAD 1- Vectores, Matrices y Determinantes CAPITULO 1:

CAPITULO 2:

CAPITULO 3:

VECTORES EN R 2 Y R 3 ……… ……………………….……………..8 Lección 1.1.1 NOCION DE DISTANCIA ……………………………………….10 Lección 2.1.1 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR…………………..20 Lección 3.1.1 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………………23 Lección 4.1.1 VECTORES BASE…………………………………………………..66 Lección 5.1.1 PRODUCTO VECTORIAL………………………………………..72 MATRICES……………………………………………………………...81 Lección 1.2.1 OPERACIONES CON MATRICES………………………….….83 Lección 2.2.1 SUMA DE MATRICES………………………………………….…84 Lección 3.2.1 MULTIPLICACION DE MATRICES………………….………..88 Lección 4.2.1 OPERACIONES SOBRE MATRICES………………………….92 Lección 5.2.1 MATRICES ELEMENTALES……………………………………105 DETERMINANTES…………………………………………………..131 Lección 1.3.1 DETERMINANTES DE 3 X 3………………………………….131 Lección 2.3.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.138 Lección 3.3.1 INVERSAS…………………………………………….……..…….140 Lección 4.3.1 AREA DE UN PARALELOGRAMO……………………….…..147 Lección 5.3.1 VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO……………………..152

UNIDAD 2 – Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales CAPITULO 1:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………………….163 Lección 1.1.2: PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: ELIMINACION GAUSSIANA………………….186 Lección 2.1.2: SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: METODO DE GAUSS – JORDAN……..…….189 Lección 3.1.2: TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: REGLA DE CRAMER…………………………….195 Lección 4.1.2: CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……198 Lección 5.1.2 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA……….203

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CAPITULO 2:

CAPITULO 3:

RECTAS EN R 3 ……………………………………………………….208 Lección 1.2.2: CONCEPTUALIZACION……………………….……………….208 Lección 2.2.2: ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA…….…………….210 Lección 3.2.2: ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA….…………..213 Lección 4.2.2: ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA………..………….214 Lección 5.2.2: RECTAS EN R 3 PARALELAS Y ORTOGONALES….……217 PLANOS……………………………………………………………….221 Lección 1.3.2: CONCEPTUALIZACIÓN…………………………….…….……201 Lección 2.3.2: ECUACION DEL PLANO……………………………………….222 Lección 3.3.2: COMO GRAFICAR UN PLANO……………………………….223 Lección 4.3.2: PLANOS PARALELOS…………………………….…………….224 Lección 5.3.2: ECUACION DE INTERSECCION DE DOS PLANOS QUE NO SON PARALELOS…………………………..……….225

UNIDAD 3 – Espacios Vectoriales CAPITULO 1:

ESPACIOS VECTORIALES…………………………………..…….241 Lección 1.1.3: CONCEPTUALIZACIÓN……………………………..………….241 Lección 2.1.3: ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL………………..….……….246 Lección 3.1.3: COMBINACIONES LINEALES.……………………………….247 Lección 4.1.3: CONJUNTOS GENERADORES.………………...……………251 Lección 5.1.3: ESPACIOS GENERADORES.……………………..…..………254 CAPITULO 2: DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL………………………256 Lección 1.2.3: GENERALIDADES……………………………………..…………256 Lección 2.2.3: BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.………..……….……258 Lección 3.2.3: DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.…………...263 Lección 4.2.3: ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA………..………….264 Lección 5.2.3: RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ………….………..265 CAPITULO 3: SUBESPACIOS……………………………………………………….269 Lección 1.3.3: GENERALIDADES.……………………………………..………..269 Lección 2.3.3: SUBESPACIO TRIVIAL Y SUBESPACIO PROPIOS….…269 Lección 3.3.3: PRUEBA DE SUBESPACIO.……………………….………….271 Lección 4.3.3: INTERSECCIÓN ENTRE SUBESPACIOS.……………..….273 Lección 5.3.3: DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO…………………………273

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UNIDAD 1

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

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OBJETIVO GENERAL Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos.



Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales.

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CAPITULO 1 VECTORES EN R 2 Y R 3

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LECCION 1.1.1 NOCION DE DISTANCIA Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que:

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a 2  62  82 a 2  100 a   100 Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir, a  10 unidades.

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LECCION 2.1.1

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LECCION 3.1.1

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LECCION 4.1.1

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LECCION 5.1.1

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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 251

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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 263

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CAPITULO 2 MATRICES

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LECCION 1.2.1

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LECCION 2.2.1

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LECCION 3.2.1

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LECCION 4.2.1

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LECCION 5.2.1

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1 0 0 1   1 E1  1 1 0 , por lo tanto E1   1 0 0 1  0

 1  E2   0  0 

0 1

0 0  1 

0

 0 1 0 0  1 0  , por lo tanto E2  0 6 0  0 0 1 1  

0 1 6 0

1 E3   0  0

2 1 0

 1 2 0   , por lo tanto E 1  0 1 0  3     0 0 1  1 

1 E4   0  0

0 1

0 0

 1  E5   0  0 

 1  E6   0  0   1  E7   0  0 

6

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0 0

 1 0 0  , por lo tanto E 1  0 1 0 4     0 6 1  1

 0 1 0 0  1 0  , por lo tanto E5  0 1 0  0 0 3 1 3 

5    1 3   0  , por lo tanto E61   0     0 1     0 1  1  , por lo tanto E71   0 6   0 1  

0 1 0

0 1 0

Ahora realicemos el siguiente producto E11  E 21  E 61  E71

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 5 3   0   1    0  1  6 1  

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1  1   0

  1   0   0 

0 1 0

0 1 0

0 0

 1 0 0 1 2 0  1 0 0 1 0 0   0 6 0  0 1 0   0 1 0  0 1 0           1  0 0 1  0 0 1  0 6 1  0 0 3

 5  1 3     0  0   1   0  

0 1 0

 0  1  6 1  

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

1  1   0

0 6 0

 1 0  1 2 0 1 0 0 1 0 0   0   0 1 0  0 1 0  0 1 0   0  1  0 0 1  0 6 1  0 0 3   0

0 1 0

 5  1 3     0  0   1   0  

Seguimos

1  1   0

2 4 0

 1 0  1 0 0 1 0 0   0   0 1 0  0 1 0   0  1  0 6 1  0 0 3   0

0 1 0

 5  1 3     0  0   1   0  

Seguimos 1  1   0

2 4 6

 1 0  1 0 0   0   0 1 0   0  1  0 0 3   0

0 1 0

 5  1 3     0  0   1   0  

Seguimos 1  1   0

2 4 6

 1 0   0    0  3    0

0 1 0

 5  1 3     0  0   1   0  

0 1 0

 0  1  6 1  

- 116 -

0 1 0

 0  1  6 1  

0 1 0

 0  1  6 1  

0 1 0

 0  1  6 1  

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Seguimos   1   1   0 

2 4 6

 5  1 3   5    0 3   3   0  

0 1 0

 0  1  6 1  

Finalmente 1 1   0

2 4 6

 2 1  2 

En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.

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CAPITULO 3 DETERMINANTES

LECCION 1.3.1 DETERMINANTES DE 3 X 3

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LECCION 2.3.1

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LECCION 3.3.1

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LECCION 4.3.1 AREA DE UN PARALELOGRAMO

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LECCION 5.3.1 VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO

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UNIDAD 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES

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OBJETIVO GENERAL Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento.

OBJETIVOS ESPECIFICOS



Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.



Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en el caso en que sea posible)

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CAPITULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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LECCION 1.1.2

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LECCION 2.1.2

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LECCION 3.1.2

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LECCION 4.1.2

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LECCION 5.1.2

QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA El objetivo es resolver un sistema de la forma AX  b (con A de n  n ), donde A es invertible. Partiendo del sistema AX  b , podemos multiplicar a izquierda por A 1 (Que existe, dado que A es invertible), con lo que nos queda: A 1 AX  A 1b Agrupando obtenemos 1 1 A AX  A b Simplificando I X  A 1b Finalmente

X  A 1b La ultima afirmación, nos indica que se A es de n  n e invertible, entonces la solución del sistema lineal AX  b , la encontramos de la forma X  A 1b .

Ejemplo Dado el sistema lineal

2 x1  3x 2  10 x3  21 4 x1  x 2  x3  11 7 x1  5 x2  4 x3  17 Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su inversa y úsela para resolver el sistema.

Solución Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) Encontremos el determinante: 2  3 10 DetA  4 1 1  225 7 5

4

Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán 1 2. Empleando determinantes ( A 1  * AdjA ) det A

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Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la invitación a realizarlo también por el otro método.

1 f1 2

f 2  4 f1

1 f2 7

f 3  7 f1

f1 

f3 

f1 

11 f2 2

3 f2 2

 14 f3 225

13 f3 14

f2 

19 f3 7

Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa de A. Es decir, - 204 -

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1  25 1 A 1    25 3  25

38 225 62 225 11 225

13  225   38   225   14  225 

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación X  A 1b . Donde, 21 b  11 17 Por tanto, 1  25 1 X   25 3  25

38 225 62 225 11 225

13  225  21  38     11 225     14  17 225 

 2 X  1  2

Es decir, la solución es

x1  2; x 2  1; x3  2

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SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS

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CAPITULO 2 RECTAS EN R 3

LECCION 1.2.2 CONCEPTUALIZACIÓN

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LECCION 2.2.2 ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA

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LECCION 3.2.2 ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA

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LECCION 4.2.2 ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA

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LECCION 5.2.2 RECTAS EN R 3 PARALELAS Y ORTOGONALES Para establecer si dos rectas en R 3 son paralelas u ortogonales basta con revisar sus vectores de dirección.

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CAPITULO 3 PLANOS

LECCION 1.3.2 CONCEPTUALIZACIÓN

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despejando: ax  by  cz  ax0  by0  cz 0

LECCION 2.3.2 ECUACION DEL PLANO

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LECCION 3.3.2 COMO GRAFICAR UN PLANO

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LECCION 4.3.2 PLANOS PARALELOS

LECCION 5.3.2 ECUACION DE INTERSECCION DE DOS PLANOS QUE NO SON PARALELOS

Si dos planos no son paralelos, necesariamente se cortan en una recta.

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UNIDAD 3

ESPACIOS VECTORIALES

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OBJETIVO GENERAL Contribuir a fortalecer en el estudiante la capacidad para apropiarse del conjunto de conocimientos relacionados con los espacios vectoriales.

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de espacio vectorial, base, etc.



Contribuir a que el estudiante comprenda y aplique en forma clara y pertinente los conocimientos sobre espacios vectoriales; además, el estudiante debe interpretar y aplicar de manera suficiente las definiciones, axiomas y teoremas relacionados con los espacios vectoriales

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CAPITULO 1

ESPACIO VECTORIAL

Introducción. Los espacios vectoriales son una temática propia del curso de Álgebra Lineal, donde se busca que el estudiante se apropie de la fundamentación teórica y este en capacidad de analizar las particularidades de dichos principios.

El estudio de los espacios vectoriales permite al estudiante desarrollar habilidades y competencias, especialmente la abstracción, ya que comprender un espacio vectorial requiere un buen desarrollo de la abstracción. En este sentido la temática hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante y al futuro profesional.

LECCIÓN 1.1.3 CONCEPTUALIZACIÓN Al estudiar los vectores, se identificaron las operaciones de suma vectorial y multiplicación por escalar y, algunas propiedades que cumplen dichas operaciones, como la clausurativa, conmutativa y otras. Se dice que cuando un conjunto cumple dichas propiedades o axiomas se le llama Espacio Vectorial.

Al definir un espacio vectorial se debe tener presente que en sí la

definición es verdadera en sí, ya que parte de axiomas.

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DEFINICIÓN: Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, sobre los que están definidas las siguientes operaciones: 1. Suma Vectorial: Suma entre elementos de V 2. Multiplicación por Escalar: Multiplicación de un escalar (real o imaginario), por un elemento de V. Por otro lado, sea u, v, w,… elementos que están en V; además, los escalares c, d, e,… Entonces V se le llama espacio vectorial, si cumple los siguientes axiomas. Axiomas de la Suma: 1. Si u  V y v  V entonces: (u  v )  V

Ley Clausurativa (cerradura suma)

2. u  v  v  u

Ley Conmutativa

 )  (u  v )  w  3. u  (v  w Ley asociativa   4. El vector 0  V Para todo u  V  u  0  u Ley Modulativa (Neutro aditivo) 5. Para todo u  V existe un vector  u  V tal que u  (u )  0 Inverso Aditivo. Axiomas de la Multiplicación por Escalar: 6. Si u  V y c un escalar, cv  V Ley Clausurativa (cerradura multiplicación) 7. c(u  v )  cu  cv

Primera Ley Distributiva

8. (c  d )u  cu  du

Segunda Ley Distributiva

9. c (du )  (cd )u

Ley Asociativa

10. 1 * u  u

Ley Modulativa (Identidad escalar)

De acuerdo a lo anterior se puede observar que los espacios vectoriales están compuestos por 4 entes: Un conjunto de Vectores, un conjunto de escalares, la operación suma y una operación producto por escalar. La definición establece que los elementos del espacio

vectorial son

Vectores, pero eso es solo por definición, ya que los elementos de un espacio vectorial pueden ser vectores, matrices, funciones, etc. Veamos unos ejemplos que nos ilustrar los espacios vectoriales.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 1: Sean el conjunto de pares ordenados de números reales en R2 con las operaciones normales. Demuestre que corresponde a un espacio vectorial. Solución: Sea el vector V = (u, v) donde: u = (x1, y1), v = (x2, y2).

La idea es demostrar que cumple

los 10 axiomas, pero demostrando solo algunos, los otros se cumplen automáticamente. Demostremos el axioma 1 y 6. Axioma 1: Como u y v pertenecen a V

entonces: u + v también deben pertenecer a V.

Veamos: u = (x1, y1) y v = (x2, y2) entonces: (x1, y1) +(x2, y2) = (x1+ x2, y1 + y2), se observa que tiene dos componentes, luego también pertenece a V. Axioma 6: Sea c = 4 un escalar, entonces cu = 4(x1, x2) = (4x1, 4x2) que también esta en V. Los demás axiomas se cumplen automáticamente.

Ejemplo 2. Sean el conjunto de n-adas ordenadas definidas en Rn

con las operaciones normales.

Demuestre que corresponde a un espacio vectorial. Solución: Los vectores en este espacio son de la forma V = (v1, v2, v3,…, vn) cada vector de V es una matriz de nx1.Veamos: v1 = (x1, x2,…, xn)-1, v2 = (y1, y2,…, yn)-1,…, vn = (k1, k2,…, kn)-1



Como v1  V cierto.

v2  V ... vn  V entonces: v1  v2  ...  vn  V Es evidente mostrar que esto es

v1  v2  ...  vn  ( x1  y1  ...  k1 , x 2  y 2  ...  k 2 ,..., xn  y n  ...  k n )

Así

queda

mostrado el axioma 1. Probemos el axioma 6.



Sea c Un escalar y tomemos v1  ( x1 , x2 ,..., xn ) 1

Entonces:

cv1  c( x1 , x 2 ,..., x n ) 1  (cx1 , cx2 ,..., cxn ) 1 Vemos que también se cumple este axioma. Los demás axiomas se cumplen automáticamente.

Ejemplo 3: Demuestre que el conjunto de puntos en R 2 que están en una recta, la cual pasa por el origen de coordenadas cartesianas es un espacio vectorial. Solución:

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Toda recta que pasa por el origen de coordenadas cartesianas tiene como modelo matemático el siguiente: y  mx donde m es un escalar y x valores arbitrarios en el conjunto de los reales.



y v2  V Así: y1 = mx1 y y2 = mx2

Sea v1 = (x1, y1) y v2 = (x2, y2) donde v1  V

Axioma 1: v1 + v2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, mx1) + (x2, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2)





Entonces: v1  v 2  V

Se cumple el axioma.

Axioma 5: Dada ( x, y)  V Como y = mx. Definimos el inverso -(x. y) = (-x, m(-x)) Operando (x, y) +(–x, -y) = (x – x, y – y) = (0, 0). Entonces  ( x, y )  V Axioma 6: Sea c un escalar y si planteamos cv1 = c(x1, y1), donde cy1 = cmx1 que también esta en V, entonces se cumple el axioma. Los demás se cumplen automáticamente.

Ejemplo 4: Sea el conjunto de matrices rectangulares Mmxn de componentes reales. Demostrar que es un espacio vectorial. Solución: Axioma 1: Si tenemos las matrices Amxn

y

Bmxn entones (A + B)mxn será una matriz

de

dimensión mxn. Luego se cumple este axioma. Axioma 4: Dada la matriz 0mxn y con la matriz Mmxn entonces Mmxn + 0mxn = Mmxn Se cumple este axioma. Axioma 5: Dada la matriz Mmxn, debe existir otra matriz –Mmxn tal que Mmxn + (-Mmxn) = 0. La matriz cero que verifica la propiedad del inverso aditivo. Axioma 6: Dada un escalar k y sea la matriz Mmxn entonces kMmxn será otra matriz de dimensión mxn. Se puede verificar fácilmente que los demás axiomas se cumplen.

Ejemplo 5: Sea Pn el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n; incluido el polinomio cero. Demostrar que Pn es un espacio vectorial. Solución: Axioma 1: Sea Pn  an xn  an1xn1 ... a2 x2  ax a0 y Qn  bn xn  bn1 xn1  ...  b2 x2  bx  b0

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Entonces:

Pn  Qn  (an  bn ) x n  (an1  bn1 ) x n1  ... (a2  b2 ) x 2  (a  b) x  (a0  b0 )

Será

un

polinomio de grado temor o igual a n. Así se cumple este axioma. Axioma 4: Dado el polinomio 0(x) y el Pn entonces Pn + 0(x) = Pn Se cumple este axioma. Axioma 6: Dada el escalar k, entonces: kPn  kan x n  kan1 x n1  ... ka2 x 2  kax  ka0 que también es un polinomio de grado menor o igual a n. Se puede verificar que los demás axiomas se cumplen. Intente hacer la verificación con el grupo colaborativo y luego corregirlo con el Tutor.

Ejemplo 6: Sea V = C[0, 1] el conjunto de funciones continuas definidas sobre los reales. Demostrar que V es un espacio vectorial. Solución: Axioma 1: Sean f(x) y g(x) funciones continuas definidas sobre los reales. Entonces f(x) + g(x) será una función continua, también sobre los reales. Axioma 4: Dado la función 0(x) y la función f(x) entonces f(x) + 0(x) = f(x) Se cumple este axioma. Axioma 5: Definida la función f(x) y, dada la función (–f)(x), entonces –f(x) será otra función continua y además f(x) + (-f(x)) = 0. Se verifica el inverso aditivo. Axioma 6: Dada el escalar k, entonces: kf(x) será una función continua sobre los reales. Se puede demostrar que los demás axiomas se cumplen. Intente hacer dichas demostraciones con el grupo colaborativo y luego corregirlo con el Tutor. Para reforzar lo referente a espacios vectoriales hagamos un resumen de los espacios vectoriales más representativos: 1. El conjunto de todos los números reales R 2. El conjunto de todos los pares ordenados R2 3. El conjunto de todas las n-adas ordenadas Rn 4. El conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre el intervalo [a, b] 5. El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n. 6. El conjunto de todas las matrices rectangulares de tamaño mxn 7. El conjunto de todas la matrices cuadradas de tamaño nxn. 8. El conjunto V de R2 que es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

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LECCIÓN 2.1.3 ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL. Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente V se define como un espacio vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial. Para comprender un poco más sobre los espacios vectoriales, vamos a analizar algunos ejemplos que NO son espacios vectoriales.

Ejemplo 7: Demostrar que V {1} no es un espacio vectorial. Solución:



El axioma 1 no se cumple ya que por ejemplo 1 + 2 = 3 y 3  V . El axioma 6 sobre cerradura



de la multiplicación tampoco se cumple, ya que si tenemos un k, entonces k1  V . Aunque la norma define que con un axioma que no cumpla, deja de ser espacio vectorial, aquí demostramos que no cumple dos.

Ejemplo 8:



Demostrar que V  ( x, y ) : f ( x)  mx  b no es un espacio vectorial, corresponden a las rectas que no pasan por el origen. Solución: El axioma 1 no se cumple. Veamos: Sean (x1, y1) y (x2, y2) pertenecientes a V. Al sumarlos tenemos: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1 + y2) Expresando la ecuación en términos de y: y1 + y2 = m(x1+ x2) + b = mx1+ mx2 + b

Por otro lado:

y 1  m 1 x 1  b1

y

y 2  m 2 x 2  b 2 Entonces:

y1  y 2  m1 x1  b1  m2 x2  b2  y1  y 2  (m1  m2 )( x1  x 2 )  b1  b2 Se observa que x1  x 2 , y1  y 2  V . Lo anterior significa que si tenemos dos puntos:

P1  ( x1 , y1 )  V y P2  ( x 2 , y 2 )  V la suma ( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  V Probado que no se cumple la cerradura para la suma, el conjunto definido no es un espacio vectorial

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Ejemplo 9: Demostrar que V  ( x, y ), y  0 corresponde al conjunto de puntos de un semiplano, no es un espacio vectorial. Solución: Si y1  0 y y 2  0 entonces y1  y 2  0 Se cumple la cerradura sobre la suma. Pero si tenemos y  (1,1) este no tiene inverso en V. ya que

(1,1)  V . No se cumple el

inverso aditivo. Por consiguiente V no es un espacio vectorial.

Ejemplo 10: Demostrar que el conjunto de números enteros NO es un espacio vectorial. Solución: La suma de dos enteros es otro entero, se cumple la cerradura para la suma, pero no se cumple la cerradura para la multiplicación. Por ejemplo sea k = ½ y dado un elemento de los enteros por ejemplo 5, entonces ½ (5 ) no es entero.

Ejemplo 11: Demostrar que el conjunto V de todas las matrices singulares de 2x2 no es un espacio vectorial. Solución: La suma de dos matrices sing ulares No siempre origina otra matriz singular.

LECCIÓN 3.1.3 COMBINACIONES LINEALES. Por definición los elementos de los espacios vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial dado.

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DEFINICIÓN: Sean u1 , u2 ,..., un vectores en el espacio vectorial V; además, sea el vector w que esta en V, entonces si w se puede escribir de la forma

w  a1u1  a 2 u 2  ...  a n u n

Para a1, a2,…, an escalares. Se dice que w es una combinación lineal de los vectores u1 , u2 ,..., un .

Ejemplo 12:

 2 1  0           Sea el vector w   3  y sean los vectores u1   4  y u 2   5  Determine si w es una 1   1   3       combinación lineal de u1 y u2. Solución:

 2 1  0           Como  3   2 4    5  entonces: w  2u1  u 2 Así se muestra que w es combinación lineal 1   1   3        de u1 y u2.

Ejemplo 13:

3

Muestre que la matriz M   10

 1  1  1  es una combinación lineal de las matrices: A    7 2 3 

0 1    2  1

y B  

Solución:

3

Se puede ver que  10



 1  1  1  0 1    3   2  7   2 3   2  1

combinación lineal de A y B.

- 248 -

Entonces: M  3 A  2 B

Así M es una

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Ejemplo 14: Muestre que todo polinomio de grado menor o igual a n: Pn se puede expresar como combinación lineal de los monomios xn, xn-1,…, x2, x, 1 Solución: Es evidente que cualquier polinomio de grado menor o igual a n se puede escribir como combinación lineal de monomios. Veamos: P3 se puede escribir como: P 3 = 2 + 2x2 + 2x3 Determinación de Combinaciones Lineales: En los ejemplos 13 y 14 se muestra que un vector es combinación lineal de otros vectores en el espacio vectorial V,

pero cómo se puede determinar los vectores que hacen parte de la

combinación lineal, el procedimiento lo explicaremos con unos ejemplos modelos.

Ejemplo 15: Dado el vector w = (-4, 8. 17) escribirlo como una combinación lineal del conjunto de vectores conformados como: S = [(-2, 0, 1), (1, 0, -1), (1, 2, 3)] Solución: Sea v1 = (-2, 0, 1) v2 = (1, 0, -1) y v3 = (1, 2, 3) Se deben buscar escalares k1, k2, k3. Tal que:

(4,8,17)  k1 (2,0,1)  k2 (1,0,1)  k3 (1,2,3)  (4,8,17)  (2k1,0k1 ,1k1 )  (1k2 ,0k2 ,1k2 )  (1k3 ,2k3 ,3k3 ) Para resolver se debe plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

 2 k1  k 2  k 3   4 0 k1  0 k 2  2 k 3  8 k1  k 2  3k 3  17 Como podemos ver k3 = 4. Resolviendo por eliminación: k2 = -2 y k1 = 3









Entonces: w  3v1  2v2  4v3 Cuando se utiliza el método de Gauss Jordán o el método Gaussiano, el sistema puede tener única solución o infinitas soluciones, lo que indica que el vector w es combinación lineal vectores v1, v2, v3.

- 249 -

de los

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Ejemplo 16: Expresar el vector v = (2, 2, 2) si es posible como una combinación lineal del conjunto de vectores S = [(2, 4, 6), (0, 2, 4), (-2, 0, 2)] Solución: Definimos los vectores: u1 = (2, 4, 6), u2 = (0, 2, 4), u3 = (-2, 0, 2) Debemos hallar escalares k1, k2, k3. Tal que:

(2,2,2)  k1 (2,4,6)  k2 (0,2,4)  k3 (2.0,2)  (2,2,2)  (2k1 ,4k1 ,6k1 )  (0k2 ,2k2 ,4k2 )  (2k3 .0k3 ,2k3 ) Planteando el sistema de ecuaciones:

2 k1  0 k 2  2 k 3  2 4 k1  2 k 2  0 k 3  2 6 k1  4 k 2  2 k 3  2 Usando el método Gauss Jordán:

 2 0  2 2  2 0  2 2  2 0  2 2        4 2 0 2   0  2  4 2   0  2  4 2  6 4 2 2  0  4  8 4  0 0 0 0       La última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de la forma: k3 = t, -2k2 = 2 + 4t entonces: k2 = -1 – 2t 2k1 = 2 + 2t entonces: k1 = 1 + t Si damos un valor por ejemplo t = 4, entonces: k3 = 4, k2 = -9, k1 = 5 Así: v = 5u1 – 9u2 + 4u3

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 17: Expresar el vector v = (3, 2, -1) si es posible como una combinación lineal del conjunto de vectores S = [(2, 4, 6), (0, 2, 4), (-2, 0, 2)] Solución: Definimos los vectores: u1 = (2, 4, 6), u2 = (0, 2, 4), u3 = (-2, 0, 2) Debemos hallar escalares k1, k2, k3. Tal que:

(3,2,1)  k1 (2,4,6)  k 2 (0,2,4)  k3 (2.0,2)  (3,2,1)  (2k1 ,4k1 ,6k1 )  (0k 2 ,2k 2 ,4k2 )  (2k3 .0k3 ,2k3 ) Planteando el sistema de ecuaciones:

2 k1  0 k 2  2 k 3  3 4 k1  2 k 2  0 k 3  2 6 k1  4 k 2  2 k 3   1 Usando el método Gauss Jordán:

2 0  2 3  2 0  2 3  2 0  2 4        4 2 0 2   0  2  4 4   0  2  4 4   6 4 2  1  0  4  8 10   0 0 0  2       Como se observa en la última matriz el sistema es inconsistente, por lo cual NO hay solución. Por consiguiente el vector v no se puede expresar como combinación lineal de u1, u2, u3.

LECCIÓN 4.1.3 CONJUNTOS GENERADORES. Si todo vector w en un espacio vectorial V puede expresarse como una combinación lineal de vectores u1, u2,…, un de un conjunto S, se dice que S es un conjunto generador del espacio vectorial V.

DEFINICIÓN: Sea S = (u1, u2, u3, …, un) un conjunto contenido en el espacio vectorial V, entonces el conjunto S se le llama Conjunto Generador de V, si todo vector de V se puede escribir como una combinación lineal de vectores de S. Cuando esto ocurre se dice que S Genera a V.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 18: Sea el conjunto S = {(1,0), (0,1)} Mostrar que S genera a R2. Solución:



Por definición los vectores i  (1,0)

y

 j  (0,1) generan a R2 ya que cualquier vector

u = {u1, u2} se puede escribir como: u = u1(1, 0) + u2(0, 1)

Ejemplo 19: Dado el conjunto S = {u1, u2, u3} Para u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0) y u3 = (0, 0 ,1)} Mostrar que S genera a R 3. Solución:



Al igual que el caso anterior, los vectores i  (1,0,0)

  j  ( 0,1,0) k  (0,0,1) generan a R3 ya

que cualquier vector v = {v1, v2, v3} se puede escribir como: v = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1)

Ejemplo 20: Sea el conjunto S = {1, x, x2} Demuestre que S genera a P2. Solución: Sea el polinomio p(x) = a + bx + cx2 Ahora escribamos p(x) como: p(x) = a(1) + b(x) + c(x2) entonces: p(x) = a + bx + cx2. Por consiguiente S genera a P2. Conjunto Generadores Normales: Los ejemplos 18, 19 y 20 muestras conjuntos generadores llamados Conjuntos generadores normales, ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinación lineal de éstos. El de R2, S = {(1,0), (0,1)} El de R3, S = {(1, 0,0), (0, 1, 0), (0, 0 ,1)} El de P2, S = {1, x, x2} Veamos en seguida conjuntos generadores que no son normales.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 21: Mostrar que el conjunto S {(1, 1), (1, 0), (1, -1)} es un conjunto que genera a R2. Solución: Sea v = (v1, v2) cualquier vector en R 2, se deben buscar escalares k1, k2, k3, tales que: (v1, v2) = k1(1, 1) + k2(1, 0) + k3(1, -1) = (k1 + k2 + k3, k1 – k3) Esto origina el sistema de ecuaciones

k1  k 2  k 3  v1 k1  k 3  v 2 El sistema anterior tiene solución, lo que nos indica que es consistente.

Así queda demostrado

2

que el conjunto S genera a R .

Ejemplo 22: Demostrar que el conjunto S = {(0, 1, 2), (1, 2, 3), (-2, 0, 1)} genera R3.

Solución: Sea el conjunto v = (v1, v2, v3) cualquier vector en R3, se deben buscar escalares k1, k2, k3, tales que: (v1, v2, v3) = k1(0, 1, 2) + k2(1, 2, 3) + k3(-2, 0, 1) = (k2 -2k3, k1+2k2, 2k1+3k2 + k3) Esto origina el sistema:

k 2  2k 3  v1 k1  2 k 2  v 2 2k1  3k 2  k 3  v3 La matriz de coeficientes.

 0 1  2   A   1 2 0  Det(A) = 1 Como el determinante es deferente de cero, entonces hay solución 2 3 1    única. Lo que demuestra que S genera a R3:

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LECCIÓN 5.1.3 ESPACIOS GENERADORES Vamos a analizar una forma de encontrar subespacios vectoriales, tema de la siguiente sección, partiendo de un conjunto de vectores. Si tenemos un conjunto S2 = {v1, v2, v3}, éste puede generar un Subespacio de R3, lo cual ocurre si los vectores de S2 son coplanares. El subespacio originado se le conoce como Espacio Lineal Generado por S 2.

DEFINICIÓN: Sea G = {v1, v2, v3,…, vk} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces el Espacio Generado por G, es el conjunto de combinaciones lineales de los vectores en G. Gen {v1, v2, v3,…, vk} = {v/ v = a1v1, a2v2, a3v3,…, akvk} Para a1, a2, a3,…, ak. Escalares cualesquiera.

Según esta definición Gen {v1, v2, v3,…, vk} es el menor subespacio de V que contiene a G, lo que conlleva a que cualquier otro subespacio de V que contenga a G, debe contener a Gen(G).

Ejemplo 23: Sean los vectores v1 = (2, -1, 4) y v2 = (4, 1, 6), identificar el espacio generado por dichos vectores. Solución: Definimos el conjunto M = gen {v1, v2} Así: v = k1 (2, -1, 4) + k2 (4, 1, 6) Por otro lado definimos v = (x, y, z) Є M. Entonces:

x  2 k1  4 k 2 y   k1  k 2 z  4 k1  6 k 2 Se obtiene un sistema el cual solucionamos de la siguiente manera:

 2 4 x   1 2 x / 2  1 2 x / 2        1 1 y   1 1 y   0 3 x / 2  y   4 6 z   2 3 z / 2 0 1 x  z / 2        De la primera a la segunda matriz se dividió la primera fila y la tercera fila por 2. De la segunda matriz a la tercera, se planteó:

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1 2 x / 2  1 2 x/2      x/2 y 0 3 x / 2  y  0 3   0 1 x  z / 2   0 0  5x / 2  y  3z / 2     

La última matriz se obtuvo así: R 3: R2 – 3R3.

Como el sistema tiene infinitas soluciones, según la última matriz existe una solución cuando: -5x/2 + y + 3z/2 = 0, dividiendo por 2 se obtiene: -5x + 2y + 3z = 0, multiplicando por -1, se obtiene finalmente. 5x – 2y – 3z = 0. Corresponde a una ecuación de un plano en R3 que pasa por el origen. El ejemplo anterior nos lleva a la siguiente generalización.

Generalización: El espacio generado por dos vectores diferentes de cero en R 3 que no son paralelos, es un plano que pasa por el origen.

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CAPITULO 2 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Introducción. La dependencia lineal esta asociada a una combinación lineal, cuando se cumplen ciertas condiciones del conjunto de vectores que forman dicha combinación. Dentro del estudio de un espacio vectorial, el análisis de dependencia o independencia permite conocer particularidades del espacio analizado.

LECCIÓN 1.2.3 GENERALIDADES El concepto de independencia lineal se puede ver con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2, 3) y el vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior nos indica que el vector cero se puede escribir como una combinación lineal no trivial de dos vectores v1 y v2. No trivial hace referencia a que los coeficientes de cada vector no son todos cero.

DEFINICIÓN 1: Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0

DEFINICIÓN 2: Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 La anterior definición se puede fortalecer con el siguiente teorema:

TEOREMA: Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes, si y solo si, uno es múltiplo escalar del otro.

Demostración: Asumiendo que v2 = kv1 dado que k ≠ 0 entonces: kv1 - v2 = 0 lo que muestra que los dos vectores son linealmente dependientes; según la definición 2. Ahora si asumimos que v1 y v2 son linealmente dependientes, entonces deben existir escalares k1 y k2 donde k1≠ 0 ó k2 ≠ 0, tal que:

k1v1 + k2v2 = 0 si k1≠ 0 entonces dividimos toda la

ecuación por k1 obteniendo: v1 + (k2/k1)v2 = 0 así: v1 = - (k2/k1)v2 esto muestra que v2 es múltiplo escalar de v1.

Ejemplo 24: Dado el conjunto M = {(2, 4), (2, 2)} demostrar que los vectores de M son linealmente independientes. Solución: Planteamos la ecuación vectorial: c1v1 + c2v2 = 0 Debemos determinar que el sistema tenga solamente solución trivial. Entonces c1(2, 4) + c2(2, 2) = (0, 0) Esto origina el sistema:

2c1  4c2  0 2c1  2c2  0 Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan:

 2 2 0  R1 / 2  1 1 0  R1  1 0 0     4 2 0  R / 2   2 1 0  R : 2 R  R   0 1 0   2  2 1 2     La última matriz corresponde a una escalonada reducida, la cual nos muestra que c1 = 0 y c2 = 0. Esto nos lleva a concluir que los vectores del conjunto M son linealmente independiente, ya que la única solución es la trivial.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 25: Dado el conjunto S = {(1, 3, 1), (0, 1, 2), (1, 0, -5)} demostrar que los vectores de S son linealmente dependientes. Solución: Planteamos la ecuación vectorial: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Debemos determinar que el sistema tenga solución no trivial. Entonces c1(1, 3, 1) + c2(0, 1, 2) + c3(1, 0, -5) = (0, 0, 0) Esto origina el sistema:

c1  0c 2  c3  0 3c1  c 2  0c3  0 c1  2c2  5c3  0 Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan:

1 0 1 0  1 0 1 0  1 0 1 0 R1 R1       R2   0 1 3 0  3 1 0 0  R2 : 3R1  R2   0  1 3 0  1 2  5 0  R : R  R  0  2 5 0  R : 2R  R  0 0 1 0 3 2 3  3 1  3     La última matriz nos muestra: c1 + c3 = 0, -c2 + 3c3 = 0. . Para c1 = 1, entonces: c3 = -1 y c2 = -3 La solución: v1 = 3v2 + v3 Por lo anterior se muestra que los vectores del conjunto S son linealmente dependientes.

LECCIÓN 2.2.3 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. En secciones anteriores se analizó lo referente a conjuntos generadores, siguiendo con dicha línea se estudiaran algunos conjuntos generadores que son linealmente independientes y que generan todo el espacio vectorial.

DEFINICIÓN: Sea el conjunto finito S conformado por los vectores {v1, v2,.., vk}, contenidos en el espacio vectorial V. Entonces se dice que S es Una Base del espacio vectorial V, si se cumple: 1. S genera a V 2. S es linealmente independiente. - 258 -

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De la definición se puede puntualizar que una base debe ser tal que contenga los suficientes vectores para generar a V, pero no en exceso de modo que permita a uno de ellos ser combinación lineal de los demás. Por otro lado, todo espacio vectorial tiene al menos una base. Un espacio vectorial que tiene una base cuya cantidad de vectores es finita, se dice que es un espacio vectorial de dimensión finita. De igual manera para un espacio de dimensión infinita.

Ejemplo 26: Muestre que S = {(1, 0), (0, 1)} es una base en R2. Solución: Por ejemplos anteriores se sabe que S = {(1, 0), (0, 1)} genera a R 2; demás, los vectores v1 = (1, 0) y v2 = (0, 1) son linealmente independientes. Por consiguiente por cumplir las dos condiciones, S genera a V.

Ejemplo 27: Identifique dos espacios vectoriales de dimensión infinita. Solución: Sea el espacio vectorial P = {Todos los polinomios} Sea el espacio vectorial M = {Todas las funciones continuas definidas sobre la recta real} Base Canónica: Las siguientes bases por su naturaleza se le conocen como bases canónicas o bases normales. 1. Sea S = {(1, 0), (0, 1)} es la base canónica de R2. Se sabe que S genera a R2; además, los vectores son linealmente independientes. 2. Sea S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base canónica de R3. Es sabido que todo vector en R3 se puede escribir como k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) Donde la única solución es la trivial; es decir, k1 = k2 = k3 = 0, lo que muestra que los vectores son linealmente independientes. Por otro lado se ha demostrado que S genera a R 3. 3. Sea S = {e1, e2, e3,…, en} es la base canónica de Rn. Si e1 = (1, 0, 0,…,0), e2 = (0, 1, 0,… ,0),…, en = (0, 0, 0,…, 1). Entonces se sabe que los vectores e1, e2, e3,…, en son linealmente independientes y además S generan a Rn. 4. S = {1, x, x2,..,xn } es la base canónica de Pn. Anteriormente se estudio que los vectores son linealmente independientes y S generan a P n.

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 1 0   0 1   0 0   0 0         es la base canónica de M2x2.  0 0   0 0   1 0   0 1 

5. Sea S  

Las matrices de S son linealmente independientes; además, S genera a M2x2. Base No Canónica: Una base no canónica son las que están fuera de los casos 1, 2, 3, 4, 5. Son de gran interés en matemáticas, ya que tienen diversas utilidades, veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 28: Dado el conjunto S = {v1, v2} Donde v1 = (2, 1) y v2 = (-1, 1). Demostrar que S es una base de R2. Solución: Para hace la demostración se debe mostrar que S genera a R 2

y que S es linealmente

independiente. a-) S genera a R2: Sea el vector x = (x1, y1) de R2. Luego: c1v1 + c2v2 = x Reemplazando: c1(2, 1) + c2(-1, 1) = (x1, y1) Operando: (2c1, c1) + (-c2, c2) = (x1, y1). Esto genera el sistema: 2c1 – c2 = x1 y c1 + c2 = y1.

 2  1  Det(A) = 2 – (-1) = 3. Como el determinante de la matriz de coeficientes es A   1 1  diferente de cero, se puede afirmar que el sistema tiene solución única. Entonces se puede concluir que S genera a R 2. b-) S es linealmente independiente: Planteando el sistema: 2c1 – c2 = 0 y c1 + c2 = 0.

 2 1 0 R1  2 1 0   A        1 1 0  R2 : R1  2 R2  0  3 0  La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, así la única solución es la trivial. c1 = c2 = 0. Por consiguiente S es linealmente independiente. Como se han demostrado las dos condiciones, entonces se puede concluir que el conjunto S es una base de R2.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 29: Dado el conjunto S = {u1, u2, u3, u4} Donde u1 = (0, 1, 0, 1); u2 = (1, 0, -1, -2); u3 = (0, 2, 2, 1) y u4 = (2, 1, 0, 1). Demostrar que S es una base de R4. Solución: a-) S genera a R4: Sea u = (x1, x2, x3, x4) plantemos la combinación: c1u1 + c2u2 +c3u3 +c4u4 = (x1, x2, x3, x4). Entonces: c1(0, 1, 0, 1) + c2(1, 0, -1, -2) + c3 u3(0, 2, -2, 1) + c4(2, 1, 0, 1) = (x1, x2, x3, x4) Esto genera el sistema que origina la matriz:

0 0 1  2 1 0 A 0 1  2  1  2 1 

2  2 1  1 2 1 1 0 1  1 0 2   0         1  0  1  2 0  1 0  2 0  0 0  1 0  2 0  1  2         0   2 1 1  1 1 1 1  2 1  1  2 1           1 

Al resolver los determinantes 0 – 0 + 0 –(-6) = 6. Como el determinante de coeficientes es diferente de cero, indica que el sistema tiene solución única, por consiguiente se puede afirmar que S genera R 4. b-)

A

partir

del

planteamiento

del

sistema

homogéneo,

se

obtiene

la

matriz

aumentada:

0  1 A 0  1  1 0  0 1 0 1  0 2 

1 0 1 2

2 0 2 1

1 2 0 R1   2 1 0  R2 : R1  R2   0 0  2 0 0 R3   1 1 1 0  R4  1 0 R1 1 0   R2 2 0 0 1   0 0 R3 : R2  R3 0 0     0 0  R4 : 2R2  R4  0 0 0

0

1 1 0 R1   R2 0 2 0 0   2 00 R3 0     1 1 0  R4 : R1  R4  0 1 0 R1 1   R2 2 0 0   R3 20 0     4 0  R4 : R3  2R4  0 2

1 1 2

2 0 2 1

1 0  1 0 2 0 1  2 0 0  2 1 0 0  0 2 1 0  1 0 2 0 0  2 0 0  0 0  6 0  0

2

Como la última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, entonces la única solución es la trivial. c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Por consiguiente los elementos del conjunto S son linealmente independientes. Así queda demostrado que S es una base no normal de R4.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 30: Dado el conjunto de vectores 4x + 2y – 12z = 0. Encontrar una base para dicho conjunto en R3. Solución:

 x    Sea:    y   z   

  para 4 x  2 y  12 z  0 Definido π como un espacio vectorial.  

x  x       Expresamos y en función de x y z: y = -2x + 6z. Luego:  y     2 x  6 z  z   z     Haciendo x = 0 y z = 0, tenemos:

x   0  x          2 x  6z    6 z     2 x      z  0  z      

0  1      z  6   x  2  1  0     

Por consiguiente: S = {(0, 6, 1), (1, -2, 0)} Es una base del espacio vectorial π. Unicidad de la Base: Dentro de los usos de la base de un espacio vectorial, esta el de representar cualquier vector

u  V , lo cual según el siguiente teorema, se

muestra que para una base definida, la

representación es única.

TEOREMA: Sea el conjunto S = {u1, u2, … , un}, donde S es una base del espacio vectorial V, entonces Todo Vector en V puede escribirse como una y solo una combinación lineal de vectores de S. Demostración: Definimos el vector v en V, entonces se puede escribir el vector v como una combinación lineal v = a1u1 + a2u2 +… + anun Donde u1, u2,…, un están en V. Lo cual es evidente ya que u1, u2,…, un son la base del espacio vectorial V y cualquier vector en V se puede escribir como combinación lineal de vectores de S. La unicidad se puede demostrar asumiendo que v tiene dos formas de primera es la definida anteriormente v1 = a1u1 + a2u2 +… + anun

representación: La

y la otra de la siguiente

manera: v2 = b1u1 + b2u2 +… + bnun. Ahora restamos la segunda de la primera combinación: v2 – v1 = (b1 – a1)u1 + (b2 – a2)u2 + … + (bn – an)un = 0 Debido a que S es linealmente independiente, entonces la única solución es la trivial; es decir,

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 b1 – a1 = 0 y así par los demás. Lo anterior quiere decir que bi = ai para todo i = 1, 2, 3,.., n, por consiguiente v solo tiene una representación para la base S.

LECCIÓN 3.2.3 DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. Se ha analizado lo referente a conjuntos generadores, independencia lineal y bases de un espacio vectorial, se sabe que si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores, entonces cualquier otra base tendrá el mismo número de vectores; es decir, n. Dicho de otra manera, un espacio vectorial tiene muchas bases, pero se ha demostrado que éstas tiene el mismo número de vectores.

DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial V no nulo, el cual tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V será n, denotándolo como dim (V) = n. La definición nos muestra que la dimensión de un espacio vectorial, son los elementos que contiene una base de dicho espacio.

Ejemplo 31: Determinar la dimensión de los espacios vectoriales definidos por R n, Pn, Mm,n con sus operaciones normales. Solución: - La dimensión de Rn es n. - La dimensión de Pn es n + a. - La dimensión de Mm,n es mn. Es pertinente aclarar que la dimensión de un espacio vectorial puede ser finita o infinita, el ejemplo anterior presenta espacios vectoriales de dimensión finita.

El espacio vectorial P

conformado por todos los polinomios y el espacio vectorial C(-α, α) conformado por todas las funciones continuas en los reales, son ejemplos de espacios vectoriales de dimensión infinita. Así todos los espacios vectoriales de dimensión finita e igual, presentan las mismas propiedades algebraicas; solo difieren en la naturaleza de sus elementos.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Ejemplo 32: Encontrar la dimensión del espacio vectorial V definido en R 2, el cual tiene una base dada por: S = {(1, -2), (0, 1)} Solución: Por definición la dimensión de un espacio vectorial V son los elementos de la base, para nuestro caso: dim (V) = 2.

LECCIÓN 4.2.3 ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA. Para una matriz A de tamaño mxn, las filas de A se pueden ver como un conjunto de m vectores, de igual manera para las columnas.

DEFINICIÓN: Sea A una matriz de tamaño m x n, entonces: 1. El Espacio Fila de A esta dado por el subespacio Rn generado por los vectores fila de A. 2. El Espacio Columna de A, esta dado por el subespacio Rm generado por los vectores columna de A.

Los concepto espacio fila y espacio columna son fundamentales para el análisis del rango de una matriz.

TEOREMA: Si dos matrices son equivalentes por filas, entonces tiene el mismo espacio fila. Específicamente: Sea la matriz A de tamaño m x n y, sea la matriz B de tamaño m x n. Si A es equivalente a B por filas, entonces el espacio fila de A es igual al espacio fila de B.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Demostración: Se invita a investigar en las fuentes

propuestas en la bibliografía, sobre la

demostración de este teorema, es relativamente fácil.

LECCIÓN 5.2.3 RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ: Anteriormente se estudio el espacio fila y espacio columna de una matriz; además, lo referente a dimensión de un espacio vectorial, todo esto nos permite analizar el concepto de rango de una matriz.

DEFINICIÓN: La dimensión del espacio generado por las filas de una matriz A se le denomina Rango por Fila de A. La dimensión del espacio generado por las columnas de la matriz A se le denomina Rango por Columna Esta demostrado que los rangos de fila y columna son iguales para una matriz A, entonces al nombrar el rango de una matriz, se sabe que estamos refiriéndonos a éstos.

DEFINICIÓN: Dada la matriz A de tamaño mxn, el Rango de A, denotado por ran(A) es el número de filas no nulas de la matriz escalonada. Dicho de otra manera, el número de pivotes.

Para una matriz A de tamaño mxn, esta demostrado que ran(A) ≤ min{m, n} Para determinar el rango de una matriz, solo debemos llevarla a la forma escalonada y observar las filas diferentes de cero (no nulas) que se obtengan, el número de filas diferentes de cero será el rango de la matriz.

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Ejemplo 33:

2 3 4 5    Hallar el rango de la matriz A. Donde A   1 0 2  1 3 2 0 4    Solución:

R1 R1 2 3 4 5   2 3 4 5 2 3 4 5        R2  0 3 0 7   1 0 2  1 R2  R1  2 R2   0 3 0 7   3 2 0 4  R  3R  2 R  0 5 0 7  R  5 R  3R  0 0 0 14  1 3 2 3   3   3   Como la matriz escalonada tiene tres filas diferentes de cero, entones el ran(A) = 3.

NULIDAD DE UNA MATRIZ: La nulidad v(A) de una matriz esta relacionada con la dimensión del espacio nulo NA de dicha matriz; es decir, la dimensión del espacio solución del sistema Ax = 0. Si A es transformada por medio de operaciones elementales por fila a una matriz escalonada reducida por fila digamos H con t filas no nulas, entonces la dimensión del espacio solución de Ax = 0 es n – t. como t es rango de A, entonces hay una relación entre el rango y la nulidad de la matriz A.

TEOREMA: Sea A una matriz de tamaño mxn, entonces: n = Rango(A) + Nulidad (A) Siendo n el número de variables del sistema asociado a la matriz A

Es pertinente aclarar entre lo que es el Espacio Nulo y la Nulidad. El espacio nulo NA son los vectores de la solución del sistema Ax = 0. Mientras que la Nulidad es la dimensión de NA.

Ejemplo 34:

1  0 Dada la matriz A   0  0

2 0  1 3  5 4  2 1 Determinar el espacio solución. 0 2  4 1  0 0 0 0 

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Solución: Como se observan 5 variables (n), ya que hay 5 columnas y el rango es 3 (t), entonces: Dimensión del espacio solución (N) será: 5 – 3 = 2. (n – t = N)

Ejemplo 35:  6

3

 9

2 

1

3 

Dada la matriz A   4  2 6  Encontrar el espacio nulo y la nulidad de dicha matriz. Solución: Primero reducimos la matriz:

R1   6 3  9   6 3  9   1/ 3  2  1 3         4  2 6  R2  2 R1  3R2   0 0 0  0   0 0 0   2  1 3  R  R  3R  0 0 0  0 0 0 0 1 3   3     Esto nos origina una solución única de la forma: 2x – y + 3z = 0 que corresponde a un plano que pasa por el origen, por consiguiente corresponde a un espacio vectorial. (Recordemos la definición de espacio vectorial). Así: π = (x, y, z)’. Si x y z son valores arbitrarios, entonces y = 2x + 3z. Los vectores de π se pueden escribir de la forma.

 x   x 0        2 x  3z    2 x    3z    z  0  z      

 1  0     x 2   z  3  Esto nos indica que v1 = (1, 2, 0)’ y  0  1    

v2 = (0, 3, 1)’

generan a π. Entonces v1 y v2 son una base de π. (v1 y v2 son linealmente independientes) Después de todo este recorrido podemos decir que el espacio nulo son los vectores: v1 = (1, 2, 0)’ y v2 = (0, 3, 1)’. Mientras que la nulidad v(A) = 2. La nulidad nos permite plantear el siguiente teorema.

TEOREMA: Sea A una matriz de dimensión n x n, entonces A es invertible, si y solo si, la nulidad es cero: v(A) = 0

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Demostración: La demostración esta soportada en las siguientes afirmaciones plenamente demostradas. 1. A es invertible 2. La única solución del sistema homogéneo Ax = 0. es la solución trivial. 3. El sistema Ax = b. tiene una solución única para todo vector n-vector b. 4. A es equivalente por filas a la matriz identidad In = n x n. 5. A se puede escribir como producto de matrices elementales. 6. La forma escalonada por filas de A tiene n pivotes. 7. Det(A) ≠ 0. 8. Las filas y columnas de A so linealmente independientes.

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CAPITULO 3 SUBESPACIOS VECTORIALES Introducción. Dentro de la teoría de espacios vectoriales, están los subespacios,

los

cuales

se

comportan

como

espacios

vectoriales en sí. Vamos a analizar sus principios, partiendo de los fundamentos estudiados anteriormente.

LECCIÓN 1.3.3 GENERALIDADES. Todos los

espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales en si,

haciendo una analogía, los subespacios son Espacios Vectoriales Hijos y el Espacio Vectorial de donde se obtuvieron son el Espacio Vectorial Padre.

Entonces los Hijos Heredan las

características del padre, así los subespacios heredan las operaciones del espacio que los origino.

DEFINICIÓN: Sea el subconjunto U no vacío contenido en un espacio vectorial V, asumiendo que U es espacio vectorial en si (cumple los 10 axiomas) Entonces se dice que U es un subespacio de V. Donde U ≤ V

Según la definición anterior, se puede inferir que para que un subconjunto sea subespacio de un espacio vectorial, se debe cumplir las operaciones de cerradura de suma y producto por escalar, de igual manera como se definió los espacios vectoriales.

LECCIÓN 2.3.3 SUBESPACIO TRIVIAL Y SUBESPACIO PROPIOS. - El Subespacio Trivial: El subconjunto U = {0} correspondiente al vector cero, se considera un subespacio de cualquier espacio vectorial V, ya que se cumple la cerradura para suma y producto por escalar. 0 + 0 = 0 y

k0 = 0.

Un Espacio Vectorial, es Subespacio en si Mismo. subespacio de V - 269 -

un V

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- Los Subespacios Propios: Todos los subespacios diferentes de {0} y

V, se consideran

subespacios propios, a estos es que se les dan la mayor atención en el estudio de los espacios vectoriales.

Ejemplo 36: Demostrar que el subconjunto U = {(x, y, 0)} Donde x, y son números reales, es un subespacio de R3. Solución: Sean los vectores: u1 = (x1, y1, 0) y u2 = (x2, y2, 0) pertenecientes a U, entonces: u1 + u2 pertenecen a U, veamos: u1 + u2 =

(x1+ x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1+ x2, y1 + y2, 0).

Gráficamente corresponde al plano xy. De la misma manera para mostrar que cumple la cerradura de multiplicación por escalar, tenemos: Sea k escalar diferente de cero, entonces ku1 = k(x1, y1, 0) = (kx1, ky1, 0)

Ejemplo 37: Demostrar que toda Mmxn matriz triangular superior es un

subespacio de V mxn

matriz

rectangular. Solución: La suma de dos matrices triangules superiores, es otra matriz triangular superior. Así se cumple la cerradura de la suma. El producto de un escalar diferente de cero por una matriz triangular superior, origina otra matriz triangular superior. También cumple la cerradura de producto por escalar. Como se ha venido demostrando los demás axiomas se cumplen de inmediato. Ejercicio de razonamiento: En el grupo colaborativo demostrar que los siguientes conjuntos son subespacios de un espacio vectorial dado V. a-) Matrices triangulares inferiores b-) Matrices diagonales c-) Matrices simétricas.

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LECCIÓN 3.3.3 PRUEBA DE SUBESPACIO. Cuando un subconjunto U es subespacio del espacio vectorial V, se dijo anteriormente que U heredaba las propiedades de V,

lo que no requiere demostrarlas.

Esto se soporta en el

siguiente teorema sobre las cerraduras.

TEOREMA: Sea U un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V, entonces U se considera un subespacio de V si, y solo si, se cumplen las siguientes propiedades de cerradura. 1. Si u y v son vectores que están en U, entonces u + v estará en V. 2. Si u es vector en U y k un escalar, entonces ku estará en U.

Demostración: Si U es un subespacio de V, entonces U es un espacio vectorial por consiguiente cumple la cerradura de la suma y multiplicación por escalar.

Ahora si planteamos la demostración al

contrario, asumiendo que U es cerrada bajos la suma y producto por escalar. Si u, v, w están en U, automáticamente están en V. NOTA: Si U es subespacio del espacio vectorial V, entonces tanto U como V deben tener el vector cero M = {0}

Ejemplo 38: Sea U5 el espacio vectorial de todas las funciones definidas sobre [0, 1]. Sean U1, U2, U3, U4 conjuntos definidos de la siguiente manera. U1: Conjunto de todas las funciones polinomicas. U2: Conjunto de todas las funciones diferenciables en [0, 1] U3: Conjunto de todas las funciones continúas en [0, 1] U4: Conjunto de todas las funciones integrables en [0, 1]. Demostrar que U 1  U 2  U 3  U 4  U 5

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U 1  U 2 . Como toda función diferencial es continua, entonces U 2  U 3 . Ahora toda función continua es integrable U 3  U 4 Finalmente toda función integrable por supuesto es función. Así queda demostrado U 1  U 2  U 3  U 4  U 5

------

-------------------------

------

-------------------------

---------------------Ejemplo tomado de Introducción al Álgebra Lineal: Larson-Edwards. Limusa 2.000

Ejemplo 39: Sea π = {(x, y, z): ax + by + cz = 0} Para a, b, c números reales. Demostrar que es un subespacio propio en R 3. Solución: Primero debemos mostrar que π es un espacio vectorial y luego por la definición anterior se puede mostrar que π es subespacio vectorial. Sabemos que π = ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen, ahora: Sea (x 1, y1, z1) y (x2, y2, z2) puntos en R3 y sea a, b, c escalares, planteamos la siguiente operación: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 +z2 ) Pertenecen a V. Ahora: a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 +z2 ) = (ax1 +by1 + cz1) + (ax2 + by2 + cz2 ) los cuales también pertenece a V. Así se cumple el axioma 1, los demás se pueden verificar fácilmente. De esta manera se puede afirmar que π es un subespacio de R 3.

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LECCIÓN 4.3.3 INTERSECCIÓN ENTRE SUBESPACIOS. En un espacio vectorial puede haber gran cantidad de subespacios propios. La situación es determinar que sucede cuando dos o más subespacios se interceptan en dicho espacio. El siguiente teorema nos ayuda a salir de la inquietud.

TEOREMA: Sean V1 y V2 dos subespacios del espacio vectorial V, entonces la intersección V1 ∩ V2 pertenecen también a V.

Demostración: Los conjuntos V1 y V2 son subespacios de V, como es sabido los dos tienen el vector cero {0} entonces V1 ∩ V2 es no vacío. Ahora es relativamente fácil demostrar que V1 ∩ V2 es cerrado para suma y para la multiplicación por escalar. Como consecuencia de este teorema es que la intersección de dos subespacios, es en sí otro subespacio. Por otro lado, la unión de dos subespacios, por lo general NO es subespacio.

LECCIÓN 5.3.3 DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO. Si W es un subespacio del espacio vectorial V; cuya dimensión es n. esta demostrado que la dimensión de W es finita y además es menor o igual a n. dim(W) ≤ dim(V)

Ejemplo 40: Encontrar la dimensión del subespacio W en R 4 generado por S, donde: S = {v1, v2, v3} v1 = (-5, 4, 9, 2), v2 = (-1, 2, 5, 0), v3 = (3, 0, 1, -2) Solución: Por la definición del problema W es generado por S, ahora debemos determinar si S es una base de W, lo cual se demuestra si el conjunto de vectores de S son linealmente independientes. R1 R1  5 1 3    5  1 3  R1  5 1 3   5 1        4 2 0 R  4 R  5 R 0 6 12 R / 6 0 1 2 R 1   2   2    0 1 2 2     9    5 1 R3  9 R1  5R3 0 16 32 R3 / 16 0 1 2 R3  R2  R3 0 0         2       0  2  R4  2 R1  5R4  0  2  4  R4 / 2  0  1  2  R4  R 2  R3  0 0 

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3  2 0  0 

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 La última matriz nos muestra que hay soluciones infinitas, entonces S es un conjunto linealmente dependiente, por ejemplo v1 = 2v2 – v3. Así S No es una base de W. Lo anterior significa que W es generado por S1 = {v2, v3}. Entonces S1 es linealmente independiente.

Después de todo este análisis se puede decir que dim(W) = 2. Una forma sencilla de identificar la dimensión es contar las filas de la matriz escalonada que sean diferentes de cero, para el caso que estamos analizando se observa que hay dos filas diferentes de cero (no nulas). RESUMEN: Para sintetizar los conceptos que hemos analizado, vamos a exponer las siguientes afirmaciones que son válidas para una matriz A de tamaño nxn. a-) A es una matriz no singular b-) det(A) ≠ 0 c-) El sistema Ax = 0 Solo tiene la solución trivial d-) El sistema lineal Ax = b, tiene solución única, para cada matriz b de tamaño nx1 e-) La matriz A tiene rango igual a n. ran(A) = n. f-) La matriz A tiene como nulidad cero. v(A) = 0 g-) Las filas de la matriz A forman un conjunto linealmente independiente de n vectores en R n h-) Igual que el caso anterior, pero para las columnas.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. Demostrar que el conjunto (x, y)’ en R2 con y = 4x es una espacio vectorial real. 2. Demostrar que el conjunto (x, y, z)’ en R3, donde 3x – 2y – 10z = 0 es un espacio vectorial real. 3.

Sea el conjunto V = R2 para V = {u1, u2} u1 = (2, 3) y u2 = (6, 9). Determinar una

combinación lineal de u1 y u2, si existe. 4. Dado el conjunto V = R3 para V = {w1, w2} siendo w1 = (2, -1, 4) y w2 = (4, -2, 8). Identificar dos combinaciones lineales para V si existen. 5. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (1, 1) y u2 = (-1, 1). Demuestre que S genera a R2. 6. Demostrar que el conjunto S = {v1, v2, v3} Dado que v1 = (1, 2, 3), v2 = (-1, 2, 3) y v3 = (5, 2, 3), no puede genera la R3. 7. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (2, 1, 1, 2), v2 = (0, 1, 2, 2), v3 = (1, 0, 1, 1). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes. 8. Sea el conjunto V = {u1, u2, u3} definido en R 3. Donde u1 = (4, 2, 1), u2 = (2, 6, -5) y u3 = (1, -2, 3). Determine si los vectores de V son linealmente independientes, de los contrario, identificar la combinación lineal correspondiente. 9. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (2, 1, 1, 2), v2 = (0, 1, 2, 2), v3 = (1, 0, 1, 1). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes. 10. Sea el conjunto V = {u1, u2, u3} definido en R 3. Donde u1 = (4, 2, 1), u2 = (2, 6, -5) y u3 = (1, -2, 3). Determine si los vectores de V son linealmente independientes, de los contrario, identificar la combinación lineal correspondiente. 11. Dado el espacio vectorial V, determinar la base normal de dicho espacio. a-) V = R5. b-) V = M2x3 c-) V = P4. 12. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (1 – x2) y u2 = (x). Determinar si S es o no una base de P2. 13. Cual será la dimensión del espacio vectorial V, dado el conjunto definido por S = {u1, u2}

Donde u1 = (1, 0) y u2 = (0, 1)}.

14. Dado el conjunto de elementos {(1, 2, 1), (1, 1, ,1), (1, 0, 1)} que genera algún espacio vectorial V en R 3, calcular la dimensión del espacio dado. 15. Sea el conjunto S = {v1, v2, v3} en el cual S genera algún espacio vectorial V. Donde

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 v1 = (-2, 1, 2), v2 = (0, 1, -1) y v3 = (2. 1. 0). Hallar la dimensión del espacio dado.

1  2 16. Dada la matriz A   0  0 0 

2 1 2 1  0 1 1 3 0 1  2 4  Determinar el rango de dicha matriz.  0 0 0 0 0 0 0 0 

 2 1 0   17. Dada la matriz A   1 1 3  Hallar el rango de dicha matriz.  2 1 3   18. demostrar que el conjunto de punto que están en la recta 2x + 4y = 0, es un subespacio de R2. 19. Sea el conjunto N = {Matrices Simétricas Cuadradas N2x2} y sea V el espacio vectorial conformado por las matrices cuadradas M2x2. Demostrar que N es un subespacio del espacio vectorial V. 20. Dado el conjunto S = {(x, y, 0)/ x, y Є R}. Sea el espacio vectorial V definido en R3. Demostrar que S es un subespacio de V.

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1. Debemos demostrar que el conjunto cumple los 10 axiomas A1,…, A10. A1: Sea u1 = (x1, y1)

u1  V

donde y1 = 4x

y sea u2 = (x2, y2)

donde y2 = 3x.

Dado que

y u 2  V Vamos a mostrar que u1 + u2 también pertenecen a V.

u1 + u2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1 + x2, 4x1 + 4x2) lo cual pertenece a V. A5: Dado (x, y) Є V, como y = 4x, su inverso es –(x, y) = (-x, -4x) operando: (x, y) – (x, y) = (x - x, 4x – 4x) = (0, 0) A6: Sea k un escalar diferente de cero, luego ku = k(x, 4x) = (kx, 4cx) que pertenece a V. Los demás teoremas se cumplen automáticamente. 2. La ecuación propuesta corresponde a un plano que pasa por le origen de coordenadas, sabemos que cuando esto ocurre estamos hablando de un espacio vectorial en R 3. Veamos: A1: Sea u1 = 3x – 2y – 10z y u2 = 2x + 4y – z. Debemos mostrar que u1 + u2 pertenecen a V. u1 + u2 = (3x – 2y – 10z) + (2x + 4y – z) = (3x – 2x, -2y + 4y, -10z – z) = (x, 2y, -11z) También pertenece a V. A6. Se a k un escalar diferente de cero, entonces ku = k(3x, -2y, -10z) = (3kx, -2ky, -10kz) que también pertenece a V. Los demás axiomas se pueden verificar fácilmente. 3. Planteamos la combinación lineal c1u1 + c2u2 = 0 para c1 y c2 escalares, entonces: c1(2, 3) + c2(6, 9) = (0, 0) entonces 3(2, 3) – 1(6, 9) = (0, 0). Así c1 = 3 y c2 = 1. Por consiguiente: -3u1 + u2 = 0 Será la combinación lineal entre los vectores dados. Haciendo el procedimiento algebraico: c1 (2, 3) + c2 (6, 9) = (0, 0) entonces: (2c1, 3c2) + (6c1, 9c2) = (0,0) Luego: (2c1+ 6c2, 3c1 + 9c2) = (0,0). Se obtiene el sistema:

 2 6 0 R1  2 6 0       3 9 0  R  3R  2 R  0 0 0  1 2   2   Como la última matriz tiene la última fila cero, indica que hay infinitas soluciones. Luego 2c1 + 6c2 = 0. Asumiendo c2 = 1, entonces c1 = -3 Así a partir de c1u1 + c2u2 = 0, se puede escribir una combinación: de la forma: -3u1 + u2 = 0 4. Por definición: k1w1 + k2w2 = 0

lo que indica: k1(2, -1, 4) + k2(4, -2, 8) = (0, 0, 0)

Operando: (2k1, -k1, 4k1) + (4k2, -2k2, 8k2) = (0, 0, 0). Se obtiene el sistema:

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2  2 4 0 4 0 R1       1  2 0  R2  R1  2 R2   0 0 0  4 8 0  R3  2 R1  R3  0 0 0   Según la última matriz hay infinitas soluciones, a partir de la última matriz: 2k1+ 4k2 = 0 a-) Asumiendo k2 = 1, entonces k1 = -2, la combinación obtenida será: -2w1 + w2 = 0 b-) Asumiendo k2 = 3, entonces k1 = -6, la combinación obtenida será -6w1 + 3w2 = 0 5. Deben existir k1 y k2 escalares tal que: k1(1, 1) + k2(-1, 1) Lo que genera la matriz:

1  1  Donde Det(A) = 2. Como el determinante es diferente de cero, el sistema tiene A   1 1  solución única. Por consiguiente S genera a R2 6. Busquemos escalares c1, c2, c3 tal que: c1(1, 2, 3) + c2(-1, 2, 3) + c3(5, 2, 3) = (c1, 2c1, 3c1) + (-c2, 2c2, 3c2) + (5c3, 2c3, 3c3) Que genera la matriz.

R1 R1  1 1 5 1 1 5  1 1 5       A   2 2 2  R2  2 R1  R2   0  4 8  R2  0  4 8  3 3 3  R  3R  R  0  6 12  R  3R  2 R  0 0 0  1 3 2 3   3   3   Como la última matriz muestra que el sistema tiene infinitas soluciones, entonces S no puede generar a R3. Además, lo confirma que Det(A) = 0 7. Deben existir escalares c1, c2, c3, tales que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Esto genera el sistema:

2  1 1  2 

0 1 2 2

R1 2 0 1 0 1 0    0 0  R2 : R1  2 R2  0  2 1 0   1 0  R3 : R1  2 R3  0  4  1 0     1 0  R4 : R1  R4  0  2 0 0 

La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, por lo cual la única solución es la trivial, por lo cual el conjunto de vectores de V son linealmente independientes. 8. Definidos los escalares k1, k2, k3, tal que: k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0 Lo cual genera el sistema:

 4 2 1 0 R1    2 6  2 0 R2 : R1  2R2 1  5 3 0 R : R  4R 3   3 1

4 2  4 2 1 0  4 2 1 0 1 0 R1 R1         0 10 5 0 R2  0 10 5 0 R2   0 10 5 0 La  0 22 110 R /11 0  2 1 0 R : R  5R  0 0 0 0 3   3   3 2  

última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Así los vectores de V son linealmente dependientes. Ahora identifiquemos una combinación lineal. Para esto planteamos a partir de la última matriz; específicamente la primera y segunda fila: 4k1 + 2k2 + k3 = 0 y -2k2 + k3 = 0 (Esto se obtuvo al dividir toda la fila R2 por 5).

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Definimos k1 = 1, entonces: 2k2 + k3 = -4. Como tenemos también la ecuación -2k2 + k3 = 0. Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, al resolver el sistema: k2 = -1 y k3 = -2.

Así una

combinación lineal es de la forma: u1 = u2 + 2u3 9. Deben existir escalares c1, c2, c3, tales que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Esto genera el sistema:

2  1 1  2 

0 1 2 2

R1 2 0 1 0 1 0    0 0  R2 : R1  2 R2  0  2 1 0   1 0  R3 : R1  2 R3  0  4  1 0     1 0  R4 : R1  R4  0  2 0 0 

La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, por lo cual la única solución es la trivial, por lo cual el conjunto de vectores de V son linealmente independientes. 10. Definidos los escalares k1, k2, k3, tal que: k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0 Lo cual genera el sistema:

 4 2 1 0 R1    2 6  2 0 R2 : R1  2R2 1  5 3 0 R : R  4R 3   3 1

4 2  4 2 1 0  4 2 1 0 1 0 R1 R1         0 10 5 0 R2  0 10 5 0 R2   0 10 5 0 La  0 22 110 R /11 0  2 1 0 R : R  5R  0 0 0 0 3   3   3 2  

última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Así los vectores de V son linealmente dependientes. Ahora identifiquemos una combinación lineal. Para esto planteamos a partir de la última matriz; específicamente la primera y segunda fila: 4k1 + 2k2 + k3 = 0 y -2k2 + k3 = 0 (Esto se obtuvo al dividir toda la fila R2 por 5). Definimos k1 = 1, entonces: 2k2 + k3 = -4. Como tenemos también la ecuación -2k2 + k3 = 0. Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, al resolver el sistema: k2 = -1 y k3 = -2.

Así una

combinación lineal es de la forma: u1 = u2 + 2u3 11. a-) La base normal para R5 es

(1, 0, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0, 0); (0, 0, 1, 0, 0); (0, 0, 0, 1, 0);

(0, 0, 0, 0, 1) b-)

La

1 0 0    0 0 0

 0 1 0    0 0 0

base

0 0 1    0 0 0

normal

 0 0 0    1 0 0

 0 0 0    0 1 0

para

M2x3

es:

 0 0 0    0 0 1

c-) La base normal para P4 es: S = {1, x, x2, x3, x4} 12.

Definido V como el espacio vectorial de los polinomios.

Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2.

Debemos escribir p(x) como combinación lineal de S. Entonces p(x) = a2(1 – x2) + a1(x) + a0(0) lo que equivale a: p(x) = a2 – a2 x2 + a1x. Se observa que p(x) NO se puede escribir como combinación lineal, por consiguiente S no genera a V. S no es una base de p 2.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 13. Por conocimientos previos sabemos que el conjunto S es la base canónica de Ven R 2. Esto significa que u1 y u2 son linealmente independientes y S genera a V. Luego dim(V) = 2. 14. Llamemos al conjunto S, el cual genera a V,

ahora debemos determinar si los elementos

son linealmente independientes. Entonces el sistema genera la matriz:

R1  1 1 1  1 1 1     S   2 1 0  R2 : 2 R1  R2   0 1 2   1 1 1 R : R  R  0 0 0 2   3 1   Esto nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones. Por otro lado, como la matriz solo tiene dos pivotes; es decir, dos filas diferentes de cero, entonces hay dos vectores linealmente independientes. La base será de dos elementos. Luego dim(V) = 2. 15. Los vectores originan un sistema cuya matriz es de la forma:

R1 R1   2 0 2   2 0 2   2 0 2       1 1  R2 : R1  2 R2   0 2 4 R2   0 2 4  1  2 1 0 R : R  R  0  1 2  R : R  2R  0 0 8  3 3   3 1   3 2   La última matriz nos indica que el sistema tiene solución única,

ahora como hay tres filas

linealmente independientes, ya que se tiene tres pivotes (-2, 2, 8). Entonces dim(V) = 3. 16. Como la matriz A esta en forma escalonada, se pueden observar los pivotes, entonces se puede afirmar que ran(A) = 3,

ya que hay 3 filas no nulas; es decir, son linealmente

independientes. 17. Para identificar el rango de la matriz A, debemos llevarla a la forma escalonada y observar las filas no nulas que se obtengan. Veamos:

R1 0   2 1 0 2 1      1 1 3  R2 : R1  2 R2   0  1  6   2 1 3 R : R  R  0 0  3 3   3 1   Como se observan tres filas no nulas, entones el rango de la matriz A es 3. 18. Lo que debemos demostrar es que el conjunto de puntos cumplen los 10 axiomas, una forma fácil es recordar que toda recta que pasa por el origen es un espacio vectorial. Pero hagamos una demostración más formal: Si definimos un valor cualquiera t y despejamos x de la ecuación, entones cualquier punto de la recta es de la forma (-2t, t) A1: v1 = (-2t1, t1) y v2 = (-2t2, t2) Entonces: v1 + v2 = (-2t1, t1) + (-2t2, t2) = [-2(t1+ t2), t1+ t2] Si definimos a t1 + t2 = p, entonces: [-2p, p]. Así queda demostrado el axioma 1. A5: Sea u = (-2t, t) y sea k escalar diferente de cero, entonces: -2kt, kt, cumple la cerradura de la multiplicación.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3 Los demás axiomas son fáciles de demostrar. Así el conjunto es un subespacio de R2. 19. Por el contexto del problema se puede afirmar que N es un subconjunto de V, lo cual es obvio. Por otro lado N2x2 = Nt2x2 por ser simétrica. Ahora debemos demostrar que N2x2 cumple la cerradura de la suma, producto y los demás axiomas. Sea N1 y N2 matrices simétricas de 2x2 pertenecientes a N. A1: Por simetría N1 = N1t y N2 = N2t Entonces: (N1 + N2)t = N1t + N2t Luego N1t + N2t = N1 + N2 Donde N1 + N2 pertenecen a N A6: Sea k un escalar diferente de cero y sea N1 una matriz perteneciente a N, entonces: kN1 = kN1t Como N1 = N1t, entonces kN1 pertenece a N. Como en los casos que hemos analizado, los demás axiomas son fáciles de demostrar. 20. Si se demuestra la cerradura para la suma y producto por escalar, se demuestra que S С V. A1: Sea v1 = (x1, y1, 0) y v2 = (x2, y2, 0) Donde v1 y v2 Є S, luego definimos la suma de los dos vectores. v2 + v2 = (x1+ y1, y1 + y2, 0) el cual pertenece a S. A6: Se a c un escalar diferente de cero y sea v1 = (x1, y1, 0) Є S, entonces cv1 = c(x1, y1, 0) = (cx1, cy1, 0) Є S. Los demás axiomas son fáciles de demostrar. (Intentar dichas demostraciones estimados estudiantes)

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ROJO, Jesús. (2.001). Algebra Lineal. Madrid: McGraw Hill..

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LARSON, Edwards. (2.000). Introducción al Algebra Lineal. México: Limusa.

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GOLUBITSKY, Martín, DELLNITZ, Michael. (2.001). Algebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales. México: Thomson-Learning.

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KOLMAN, Bernard. (1.999). Algebra Lineal. México: Prentice Hall.

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FRALEIGH, John B, BEAUREGARD, Raymond A. (1.989). Algebra Lineal. Estados Unidos: Addison-Wesley.

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LANG, Serge. (1.990). Introducción al Algebra Lineal. Estados Unidos:Addison Wesley.

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MERINO, Luís. Algebra Lineal con métodos elementales. Editorial Thomson

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http://www.matematicasbachiller.com/temario/algebra/index.html http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=9538

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