Álgebra - conceitos básicos e trinômio do 2º grau [1ª edição]

Table of contents :
Capa
Folha de ante-rosto
Folha de rosto
Sumário
Ficha catalográfica
CAPÍTULO 1. Os inteiros
CAPÍTULO 2. Potências
CAPÍTULO 3. Raízes
CAPÍTULO 4. Polimômios
CAPÍTULO 5. Fatoração
CAPÍTULO 6. Equação e trinônio do primeiro grau
CAPÍTULO 7. Equação do segundo grau
CAPITULO 8. Trinômio do segundo grau
SIGLAS USADAS
Colofão
Contracapa

Citation preview

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A. C. MOR-GADO ;· E. WAGNER / M. JORGE

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CONCEITOS B.1.\SICOS E TRINÔMIO DO 29 GRAU

'

LIVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORA S. A. RIO· DE JANEIRO

SÃO PAULO

RECIFE

BELO HORIZONTE

CURITIBA

.

1

Copyright

©

by

A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE

Capa de

Programaçõo Visual

1974 1

Todos os direitos ·reservados pela I,IVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORA S.A. MATRIZ:

Rua Barão de Lucena, 43 ··· - Rio de Janeiro

DEPARTA)t{ENTOS REGIONAIS

Rua do Ouvidor, 166 1• Rio de Janeiro Largo do Arouehe, 43~ 1o São Paulo Rua da Bahia, 1060 Belo Horizonte FIJ..IAIS

Rua do Ouvidor, 166 -

Rio de Janeiro

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Impresso no Brasil Printed m Bnuil

•

Lo..

Sumário

ftalna

Capitulo

1 Os inteiros·

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

39

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

47

2

Potências

3

Raízes

.

•

4

.... . . .. . . . .. ... . . . .... ' .

60

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

73

Equação e trinô,nio do primeiro grau

87

Polinômios

5 Fatoração

6

7 Equação do segundo grau

8

Trinômio do segundo grau

• • • • • • • • • •

124

... . ....

167

.

~

'

•

FICHA CATALOGRAFICA (Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte do Sindicato Nacional dos Editores de Livros, GB)

M845a

Morgado, Augusto Cesar, 1944 Álgebra I lpor( Augusto Cesar Morgado. Eduar· do Wagner f e I Miguel Jorge. Rio de Janeiro

F. Alves, 1974 • .222p. 1. 1949 tulo.

21cm.

Álgebra (29 grau) I. Vagner, Ed1 ardo, III. Tf .. II. Jorge, Miguel, 1937 --· 1

CDD 74-0046

CDU -

512 512

.

~.

CAPITULO l OS INTEIROS 1. O CONJUNTO .DOS INTEIROS O leitor conhece desde o ensino fundamental os números inteiros ... , -2, -1, O, 1, 2, . . . e sabe que: 1) A cada par (a, b) de inteiros correspondell1 dois inteiros denominados soma e produto de a e b, que Hão representados por a + b e a.b (ou axb), respectivamente. Dizemos que• o conjunto dos inteiros é fechado em relação à soma e ao produto, isto é, a soma e o produto de inteiros são inteiros. li) Pa.ra quaisquer inteiros a e b, a + b - b + a e a.b = b.a Dizemos que a soma e o produto são operações comutativas.

III) Para quaisquer inteiros a, b e c, a+ (b + e) = (a + b) + e e a. (b.c) = (a.b). e. - operaçoes Dizemos que a soma e o produto sao • • assoc1at1vas.

IV) Para quaisquer inteiros a, b e e, a. (b

+ e)

= (a . b)

+ (a . e)

2·

ÁLGEBRA I .

dizemos que o produto é distributivo em rélação à soma. V) Os inteiros O e 1 são diferentes e, para qualquer inteiro a,

a+o

a e a.1-a dizemos que O e 1 são os elementos neutros das operações de soma e produtQ, respectivamente. VI) Par~ cada inteiro a, ~ equação x + a = O possui uma única solução inteira, que é representada por - a e denominada simétrico do número a. VII) Se c~ O e ca eh, então a= b. Esta propriedade é denominada lei do corte. Destas sete propriedades decorrem muitas outras, tais como: VIII) Para quàlquer inteiro a, a. O -- O. Com efeito, como a + O = a (por V), a. (a+ O) .a.a., dai, (por IV), a. a+ a. O = .a.a., daf, (por VI), - (a.a) + (a.a + a.O) = (a.a) + (a.a). Por II, obtemos [ (~.a) + a.a] + a.O + (a.a). Por VI, obtemos O+ a ..O - O Mas, por V, a.O - O. .

(a.a)

+

IX) Para quaisquer inteiros a e b, ( a) .b (a.b). Com efeito, ( a).]:> + (a.b) b. ( a) + b.a - b. [ ( a) + a] - b.O ~ O. Outrossim, (a.b) + (a.b) O, Logo., ( a).b e (a.b) são soluções da equação x + (a.b) O. Como, por VI 1 ., esta equação possui uma única solução, resulta ( a).b (~.b). X) Para quaisquer inteiros a e b, ( a). ( b) = a.b.

3

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

Com efeito; ( a).( b) + ( a) .(b) - ( a) [( b + b] = ( a). O - O. Outrossim, (a.b) + ( a) .(b) ·= (a.b) + [ (a.b)] = .. _. (a.b) + (a.b) = O. Logo, (- a).· ( . b) e (a.b) são soluções da equação x + ( a). (b) - O. Como esta equação possui solução única, resulta ( a). ( b) - (a.b) ..

XI) Se a.b = O, então a = O ou b - O. Com efeito, se a.b = O, então, a.b a.O. · Se a~ O, então, pela lei do corte, b = O. Definimos a operação de subtração no conjunto dos inteiros pondo a b a+ ( b). Assim, por exemplo, (2) (. 3) 2 + (3) - 5.

2. A ORDEM DOS INTEIROS Há uma classe de inteiros, chamada classe dos intieiros positivos (ou classe dos números naturais), que goza das seguintes propriedades: 1) A soma de dois inteiros positivos é um inteiro positivo. II) O produto de dois inteiros positivos é um inteiro positivo. III) Para cada inteiro a, uma e somente uma das seguintes alternativas é verdadeira: Ou a = O, ou a é positivo, ou a é positivo (lei da tricotomia). Não é difícil constatar que a classe dos inteiros posit·ivos é formada pelos inteiros 1, 2, 3, 4, 5,, .. Definimos as relações > , < , ~ , ~ por: . a > b (a é maior que b) se e só se a ·-- b é positivo. a < b (a é menor que b) se e só se b > a. a ~· b (a é maior ou igual a b) se e só se a> ou a= ·b a ~ b (a é menor ou igual a b) se e só se a< b ou •

a= b.

4

..fLGEBRA I •

:m claro que a é positivo se e só se a > O. Dizemos que a é negativo se e só se - a é positivo ,.....,

~

3. O PRINCIPIO DA BOA ORDENAÇAO Toda coleção não vazia, de inteiros positivos, admite um elemento minimo, isto é, se A é uma coleção não vazia, de inteiros positivos, existe um inteiro positivo x tal que: 1) x pertence a A. 2) Para todo y pertencente a A, x ~ y.

4. MÓDULOS •

Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro a, representado por la J, pondo a, se a ~ O - a, se a< O

Ia 1 = Assim,

13 1

=

3,

f

Of =

o,

1

51

1

= 51.

5. DIVISIBILIDADE Um inteiro a é divisivel por um inteiro b se e só se existe um inteiro e, tal que a = bc. Neste caso, dizemos que a é múltiplo de b, ou que b divide a, e escrevemos b Ia.

Assim, 2 116 (2 divide 16), pois existe um inteiro c (c - 8), tal que 16 2.c. .

Assim, -3 (15 ( 3 divide 15), pois· existe um inteiro e (e = - 5), tal que 15 =- ( 3).c. Assim, 8{60 (8 não divide 60), pois não existe um inteiro e, tal que 60 8.c. Chamamos de pares os inteiros que são divisiveis por 2 e de ímpares os que não são divisíveis por 2. ~

6. NUMEROS PRIMOS Dizemos que um inteiro p é primo se e só se p únicos divisores de p são ± 1 e ± p.

>1

e r

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

5

'

-E fácil constatar que os dez primeiros números primos são .

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

7. A DIVISÃO DE INTEIROS Teorema: Se a e b são inteiros e b q e r, univocamente determinados, O ~ r < b, tais que a - bq + r.

>

O, existem inteiros

(Dizemos, então, que na divisão de a por b o-t}uociente é q e o resto é r, a é dito dividendo e h. mvisor.) Demonstração: Consideremos o conjunto dos números da . forma a bx, x inteiro. Oumo b ~ 1, ( 1a 1 ) • b ~ 1a 1 ~ a. Daí, a ( 1a ) . b ~ O. 1-'ogo, ·o referido conjunto possui um elemento positivo ou nulo. Pelo princípio da boa ordenaçãq, ele poAsui um menor elelemento não ·negativo, digamos a bq· = r. Dai, a = - bq + r e, por construção, r ~ O. Resta-nos provar quer< b. b, então a b (q + f) = r b ~ O seria menor que bq, contrariando o fato que a bq é o menor elemento positivo ou nulo do referido conjunto. Logo, r < b.

Ora, se r

~

Quanto à unicidade, se a = bq + r = bq 1 + r 1 , com q 1) = r 1 r.. O~r g) la > h) 'ª 1 ~ i) 'ª 1 ~

2 4 3

...

1

•

2 3 1

2 2

11) Determine o MDC e o MMC entre: •

a) 48 e 36 b) 144, 1024 e 108 e) 105, 42

12) (CICE-71) n é um inteiro positivo. O MDC entre n e 20 é 4 e o MMC de n e 20 é 160. Podemos afirmar que: a) 10 < n < 20 b) n < 10 e) n > 20 d) Não se pode. determinar o valor de n . e) NRA. 13) Quando o inteiro x é dividido pelo inteiro y, o quociente é q e o resto é r. Qual é o resto da divisão de x + 2qy por y?

a) O

b) 2q

d) r

e) ~q

e) 2r

•

14) O menor natural N para o qual 1260. x um inteiro é: a) 1050. b) 1260 e) 1260

2

N

=

d) 7350 e) 44.100

1

x sendo

~~~.

:,;_~

a

--

.

•

·--

.

26

ÁLGEBRA. I

•

15) Indique quais as afirmações verdadeiras: a) Se a

·b) Se a e) Se a

> b e e > .d, > b e e > d, > O e e > d,

então, a + e > b então, ac > bd. então, ac > ad.

+ d.

16) (CICE-69-2c) A equação x + y~ = 13 a) Não tem soluções inteiras. 2

b) e) d) e)

Tem uma infinidade de· soluções inteiras. Tem duas soluções inteiras. Tem apenas uma solução inteira.

NRA.

., , .,..,,

_,:'

~.

'7-_.,,,,,.,rn

.. ,

/

YJ (- ·a-

. ,i(.,Q,

•

'r125 '. ·"·

27

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

PROBLEMAS . B 1) O conjunto dos números naturais é fechado em relação às operações de ad.ição e multiplicação? 2) O conjunto dos inteiros negativos é fechado em relação às operações de adição e multiplicação ?

3) Represente-se por L a operação que a cada par (a,b) de inteiros associa o maior dos números a e b, isto é,

a Lb

a)

b) c)

d) e) f)

=

a se a

~

b, e a L b

b se b

> a.

Analogamente, represente-se por s a operação que a cada par (a,b) de inteiros associa o menor dos números a e b, isto é, a x b - a se a ~ b, e a s b = b se b < a. L e s são comutativas? L e s são associativas ? L é distributiva em relação a s? S é distributiva em relação a L? L e s possuem elementos neutros? Valem as ''Leis do Corte'' para L e s? (Isto é: se c~L a - e L b, então, a = b? Se e s a = c s b, então, a = b ?) •

4) :É. verdadeira a af1rm~ção

'~Se a

>b

eb

> a,

então, a - b''?

5) O conjunto dos múltiplos de 4 é fechado em relação às operações de adição e multiplicação ? E o dos múltiplos de 5? 6) São verdadeiras ou falsas as afirmações:

a)

'' la+

bJ -

lal

+ lbl

para quaisquer

a e b'' b)

''

1a 1

=

1

a I para todo inteiro a''

• 1nte1ros •

.. '

28

ÁLGEBRA I

7) Prove que: a) Se alb e afc, então, al(b. + e) b) Se alb e ale, então, al(b.c) 8) Determine o quociente e o resto: a) b) e) - d)

divisão divisão divisão divisão

Da Da Da Da

de O por 3 de 1732 por 7 de 8. 314 por 7 de 1 . 623 ~ 000 por 101. 000

9) (COMCITEC-73)

Dados a f l, b E l, onde l é o conjunto dos inteiros, considere os números d e m, respectivamente máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum de a e b. Se a - {x E l l x é divisor de ·a} e B - {x E l l x é divisor de b}. Então: •

a) b) e) d) e)

Quaisqt1er que sejam a e b, m EE A n B. d E A n B e se y E A () B,- então, d > y. Se X E A n B e y E A n B, então, X y E A Se x E A U B, então, m ~ x. NRA.

n

B.

10) (COMSART-73)

O produto do MMC pelo MDC de dois números múl- · tiplos sucessivos de 11 é 5082. O maior destes números é dado então por

a) 77

b)

66

e)

11

d)

33

e)

NRA

11) De um número N com dois algarismos, subtraímos o número com os algarismos invertidos e achamos para resultado um cubo perfeito, positivo. Então:

a) N não pode terminar em 5. b) N pode terminar em qualquer algarismo exceto 5.

29

MORGADO, \VAGNER E M. JORGE

e) N não existe d) Há exatamente 7 valores para N e) Há exatamente 10 valores para N. •

12) Um número de três algarismos a, b e e (a> e) é tal que, quando invertemos a ordem de seus algarisrr1os e subtraímos o novo número do original, encontramos, na dif-erença, um número terminado em 4.

Essa diferença é igual a: a) 954 b) 594 c) 454 e) lmpossivel calcular.

d) 544

13) Se x t {0,1,2, ..._,25}, para quantos valores de x 2 x + 3x + 2 é múltiplo de 6 ? 14) Prove que para quaisquer inteiros

a e b, la. b 1= la

J .

jb I

15) Sejam a, b, c inteiros, d o seu máximo divisor comum

e m o seu minimo .múltiplo comum. ções é verdade que f abc 1 = llld?

Sob que condi-

16) Determine qual dos conjuntos abaixo é fechado em relação à soma ou ao pro.duto. a) Conjunto de todos os inteiros m tais que alguma potência de m é divisível por 64. , b) Conjunto de todos os inteiros m tais que .MDC [m,7] = 1. · c) Conjunto de todos os inteiros m tais que m l24 d) Conjunto de todos. os inteiros m tais que 6 f m 2 e 24 Im • e) Conjunto de todos os inteiros m tais que 9 (21 m.

17) (CICE-67-2c) O algarismo das unidades do número (5837) a) 1 b) 3 e) 5 d) 7 e) 9

649

é

18) Determine n natural para que 2n + 1 seja divisível por 3.

,

30

ALGEBRA I

19) Prove que para todo natural n, 5n

+

2. 3n-i

+

1 é múltiplo de 8.

20) Determine o resto da divisão de (13. 697) 13 •69 7 por 3. 21) Determine o resto da divisão de (21. 432) 13-431 6 781 + (15 .123) • por 7.

+

22) Determine o resto da divisão de (31.241)6.581. (12.313) 6·42 1

por 6. 23) (EESC-66)

Assinale a afirmação falsa: a) Todo número divisível pelo produto de dois outros é divisivel por cada um deles. b) Se u·m número primo divide o produto de três ou-

tros, 'então, ele divide pelo men.os um dele:,;. e) Se um inteiro divide o produto de dois outros, então, ele divide pelo menos um deles. d) Um divisor comum de dois inteiros divide a soma e a diferença deles. e) Todo número não primo maior que 1 pode ser escrito de modo único comó um produto de números primos. 24) Institua um critério de divisibilidade do número (an. ªn-1 · .. ª2. ª1. ª0)10 por 7. 3

3

25) Sejam a e b ímpares. Prove que a b é divisfvel por 2n se e só se a b é divisível por 2°. 26) Represente na base 7 o número 2. 182. 27) Represente na base 10 o número (65412) 7 • 28) É falsa ou verdadeira a afirmação:

''Se ab ac (mód p) e a ':;É O (mód p), então, b (mód p)''

e

.......

··~ ··

31

MORGADO, \VAGNER E M. JORGE

PROBLEMAS '

e •

1) (CICE-69-2c) · Seja N = n

+ n + 41,

n inteiro positivo. \

a) Para todo n inteiro positivo, N é um número primo b) As raizes de N = O são números inteiros e) A metade de N é a soma dos números inteiros de 1 até n. d) N < 1681 e) NRA.

\

2) (MAPOFEI-73) .

a) Defina números primos entre si. b) Indique dentre os pares (311, 175), (51, 213), (831,

347) e (385, 252), quais os que são constituidos por números primos entre si. e) Sendo a um número natural, mostre que 2a + 1 e 3a + 1 são primos entre si. 3) (EESC-65) Prove que o produto de três inteiros consecutivos é sempre divisfvel por 6.

4) (EESC-66)

Determine todas as soluções inteiras da equação (3x. + y) (x + y) = p, onde P. é um número primo. 5) (ITA-65) A diferença entre dois quadrados perfeitos é 68. cule-os.

Cal-

•

.

32

-

.

.

}

.

ÁLGEBRA I

6) A popu1ação de Itapipoca era um quadrado perfeito. Depois, cem um aumento de 100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior que um quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original era um múltiplo de

a) 3 b)

7 e)

9 d)

11

17

e)

7) Prove que, se x e y são inteiros, 2x + 3y é divisível por 17 se e só se 9x + 5y for divisivel por 17.

8) O número de soluções inteiras da equação 2X 3y 55 é: a) O b)

1

e)

2

d)

3

e)

NRA

9) Demonstre o teorema de Euclides:

''O conjunto dos números primos é infinito''. 10) Qual é a maior potência inteira de 10 que divide 1 X. 2 X 3 X ... X 1000? . 11) Determine ~4 sabendo que 695 = a 1 + a 2 • 2! + a 3 .3! + a 4 • 4 ! + . . . onde &te (k - 1,2,3,4, ... ) é um inteiro tal que O ~ a ~ k e n! = 1 X 2 X ... xn (n 1,2, 3,4, ... ) a) O b)

1 e)

2 d)

3

e)

4

12) (IME-72)

Seja b

>

1.

a) Determine· a representação de 1347 na base 10 e a de 929 na base 5. b) Determine em que base de numeração é verificada a igualdade (2002)b + (21) 6 = (220)b + (1121)b. e) Demonstre que se M - (1464l)b, então, independentemente da base considerada, M é quadrado perfeito. Determine a representação de v'M na base b + 1.

d) Determine a representação de M = (14654)b na base b + 1.

.

..

.. . . . -

.

~-

..

MORGADO, \VAGNER E M. JORGE

38

13) (IME-72) .

Prove o teorema de Fermat: ''Se a é um inteiro e pé primo, então, aP

a (mód p).''

14) Resolva as seguintes congruê11cias:

a) 3x 2 (mód 5) b) 6x + 3 4 (mód 10) e) 243x + 17 101 (mód 725). 15) Resolva o sistema de congruências 3x 2x

2 (mód 5) 1 (mód 3)

16) (EN-73) Quantas espécies distintas de polfgonos regulares de 100 lados existem? 17) Determine a solução geral das equações ~) 2x + 3y = 4 b) 17x + 19y - 23 e) 15x + 51y = 41 18) Calcule {lJ (144).

19) Resolva o sistema de congruências X

3x

2 (mód 5) 1 (mód 8)

.,

34

ÁLGEBRA I

D •

1) É verdadeira ou falsa a conjectura de Goldbach: ''Todo número par maior que 2 pode ser expresso .como a soma

de dois números primos''? 2) Encontre um inteiro impar que seja igual à metade da

soma dos seus divisores positivos. 3) Prove que hâ uma infinidade de primos p para os quais p + 2 é primo. 4) Demonstre que se n

>

2, a equação xn - yn

+ zn

não possui soluções inteiras positivas. (ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT).

·~ ··-~~

35

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

RESPOSTAS A

l) a) 5 b) 1 e) - 1 d) - 5 e) 6 g) 6 h) - 6 i) 2 j) 1 l) 5 n) 1 o) - 2 p) - 5 q) O 2) a)

3

3) Não 4)

O e)

b)

10) a) b) c,h)

8)

m) -

4

a,b,f 5) a,b,d 6)

7) NENHUMA

f)

b

9)

a,b

b,c,e

1,0,1

3,

2,

2,

1,0,1,2,3

1,0,1,2

d) lmpossivel e) Todos.os inteiros, exceto os do item e. f,i) Todos os inteiros, exceto os do item a. g) Todos os inteiros.

11) a) 12 e 144 12) e 13) d 14) d

15) a,c

16) e

b) 4 e 27.648 e) 21 e 210

6. 5

36

ÁLGEBRA I

B

1) sim e sim 2)

. sim

""

e nao

3) a) sim b) sim e} sim d) sim e) 4) sim 5)

•

•

•

não f)

não

•

sim e sim; sim e sim

6) a) falsa b)

O b) q -· 247, r = 3 e) q - - 1188, r - 2 d) q - 16, r - 7000

8) a) q

= O, r

verdadeira =

.

9) B

10)

A

11)

D

12)

B

13)

17

15) a,b,c devem ser, dois a dois, primos entre si.

16) a) soma e produto b) e) d) e)

produto não é fechado soma e produto soma e produto. .

17) D 21) 2

18)

22)

n deve ser impar 5

2a)

20). 2

e

24) (an ªn-t ... a 2 & 1 a 0 ) 10 é divisf vel por 7 se e só se (a 0 + 3a1 + 2a2) (a3 + 3a4 + 2a6) + (a 6 + 3a7 +· 2a8 ) .•• o for. 26) (6235)7

27) 16.3~6 28) Falsa

+

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

37

e 1) E

b)

2)

(311,175),

(831,347)

4) Se p -= 2, o problema é impossfvel.

Caso contrário,

as soluções são:

1

3p

p

2

'

1

2

1.· 3p . 2

2

5) 16 e 18

2

6) E •

8) B 10) 10

249

11) D

12) a) (1347) 10 e (12204) 5 b) b = 3

°VM

(IOO)b+i d) M - (10012)b+i

e)

14) a) x

~

=

(mód 5) b) lmposaivel e) x 63 (mód 725).

38

ÁLGEBRA I

15)

X

14 (mód 15).

16) 20

17) a)

x - 2 y = 2t

3t, t inteiro

•

x 19t 2, t inteiro b). y - 3 17 t e) Impossfvel

18) 48 19)

X

27 (mód 40)

D

'

Lamentavelmente, ninguém conseguiu, até o presente momento, resolver estes problemas.

CAPITULO

2

A

POTENCIAS

1. DEFINIÇÃO A potência de expoente m (m inteiro, m > 1) do número real a é definida como sendo o produto de m fatores iguais a a e é· representada por am. O número a é chamado de base da potência. Assim,

a

m

=

axax ... xa _,- - v - _ . , . m fatores.

Exemplos: 1. 1)

1. 2)

2

3 =3X3=9 3

4 = 4 X 4 X 4 = 64 6

1.3) (--1) =( 1) X ( 1 X ( 1) =

1 . 4)

(

2)

2

= (

2) X (

1) X (

2)

1) X (

1) X

=4

A potência de eXapoente 2 do número a, a~, é chamada de quadrado de a e a potência de expoente 3, á, é chamada

de cubo de a.

40

ÁLGEBRA I

Estende-se a definição de potência pondo-se: 1

I) II)

a = a para todo a real.

a

O

1 _para todo a :p O.

III)

Exemplos: •

1. 5)

(

7)1 -

1. 6).

3°

=

1. 7)

4-2

7

1

=

.

1

= 42

16

Observações:

1)

Toda potência de O com expoente positivo é igual a O. Não se definem 0° nem om com m negativo.

li)

As potências de expoentes pares dos números negativos são positivas e as de expoentes impares são negativas.

III)

Toda potência de 1 é igual a 1.

IV)

As potências de 1 são iguais a 1 ou 1, conforme o expoente seja par ou impar, respectivamente.

2. PROPRIEDADES . I)

Para multiplicar potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes, isto é, am . aº -

am+n.

Assim, por exemplo: 4

3

4 3

7. X 7 - 7+ 3 2 2 5 X 55 a-

7

7 1 ~ 5

-

5

41

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

II)

Para dividir potências de mesma base, basta conservar a base e subtrair os expoentes, isto é,

am am-n

-n -

a

(a

~

O).

Assim, por exemplo:

27 -23

=

2

7 3 -

29

III)

2

16

-:::: 2

9

-- = 2

2-2

=

4

2

11

2.048.

=

Para multiplicar . potências de mesmo expoente, ·basta conservar o expoente e multiplicar as bases, isto é, aro . bm = (a. b)m.

Assim, por exemplo: ~

4

X 3

4

(2 X 3)

-

1 2

IV)

4

6

4

-10

}

-

2 X

-10 10

2

= 1- = 1.

Para dividir potências de mesmo expoente, basta conservar o expoente e dividir as bases, isto é,

a Dl b .. (b

~

O).

Assim, por exemplo;

4

6

= 2

--

2

5

12 5 3

-

12 3

6

64

-

6

=

6

4 = 1024.

.,

42

ÁLGEBRA I

I)

Para calcular uma potência de uma potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes., isto é, (am)n :--: am.n.

Assim, por exemplo: 2 ax 2 (2-1)-3 2O

4 . 10-~ = .

a) 20

6

b) 2.10

4) (PUCSP-68) a) am-m

6

e) 2.10

9

d) 20.10-

1

e) NRA

am . am -

b) a

e) a

2

m

d) am

2

e) NRA

5) (PUCSP-68)

Para a 'i= O, a)

am : a n =

b) am-n

am+n

6) Calcule

8) Calcule 2 9) Calcule

11sss

11973

+ O')

7) Calcule Ols 3

+3

3

04

o-ª

10) Calcule (

a

e)

3 4 ) .

11). Calcule [(-- a)]

3

an-m

+(

d)

an1m

1) i 1s9

e) NRA

44

ÁLGEBRA I

12) Calcule [(

a)

4 ]

5

2 X 3 13) Calcule 18 ..

14) Calcule (3

5

3

6

2 )- •

(3 2

15) Calcule [(

5)2

1

1 3 • )

:

(5

(38 2 ) ]

1 2 )

X (

5)-

1

16) Calcule [9 X 3 X 27- ] : (12 X 2-

5 ]

45

MORGADO, \VAGNER E M. JORGE

PROBLEMAS· B

•

1) (PUCSP-68)

Sendo n inteiro, (

l)n é igual a: •

a) 1, se n é impar b) 1, se n é par e) 1, se n é impar d) um número imaginário e) NRA 2) (PUCSP-68) Simplifique a)

b)

.y

X

x-1 + y-1 (xy)--1 X

(xy F- O)

e) y

+X.

e) NRA

d) y

3) (UM-69) (a ~ b,

Simplifique 3

2b a) a (b a)

b)

2(a b)b

•

abc ~ O)

2

ª2

e)

b 2& (b

3·

a)

2

2a

e) 2b (a - b)

2

4) (EESC-69)

a)

b2 + a2 b+a 1

1

. d) --+ a b

b2 + ª2 b) . ab (b+a)

e) b+a ab

· e) NRA

4) Demonstre as cinco propriedades da seção 2.

46

ÁLGEBRA I

RESPOSTAS A

1) E

2)

E

3)

7) Impossfvel 8) 11)

_

15)

ª12

12)

1

4)

35 9) 12

a

16)

59

B

13)

C

2)

C

3)

14)

2 27

8

A

B

lmpossfvel 10) a

B

1) A

5)

4)

B

1 729

6) 12

1

CAPITULO

3

RAÍZES

1. RAIZ QUADRADA 2

O número real x é raiz quadrada do ·real a se e só se x a. Assim, por exemplo, 3 é raiz quadrada de 9, pois 3 - 9. -· 3 também é raiz quadrada de 9, pois ( 3) 1. 9.

:m claro

que:

1)

Os números negativos não possuem raiz quadrada (pois x 2 - a com a < O nã.o possui solução).

II)

O possui uma única raiz quadrada que é O (pois x 2 = O se e só se x - O).

Representa-se que a raiz quadrada de O é O escrevendo-se

O

O.

Pode-se provar que: Ili)

Todo número positivo a possui exatamente duas raizes quadradas, que são simétricas.

A raiz positiva é representada por por v; Assim,

V9 -

3 e ..

e

V9 -

3.

a e a negativa,

48

ÁLGEBRA I ~

2. RAIZ CUBICA O número real x é a raiz cúbica do real a se e só se x 3 - a. 3 8 e Assim, por exemplo, 2 é raiz cúbica de 8, pois 2 3 - 2 é raiz cúbica de 8, pois ( 2) = -- 8. Representa-se que a raiz cúbica de a é x por ~;: = x. Assim, ~8 = 2 e ~ 8 = 2. Pode-se provar que todo número real possui exatamente uma raiz cúbica.

3. RAIZ DE

""INDICE n

O número real x é a raiz de índice n (n natural) do real a se e só se x - a. Pode-se provar que:

I)

Se n é par, os números negativos não possuem raiz de índice n, o zero possui uma única raiz de fndice n que é zero.

({10 = O) e os números positivos possuem duas raizes de fndice n, simétricas (a positiva é represen- .

tada por

II)

y;- e a

negativa por

Va).

Se n é fmpar, todo número real a possui, exatamente, uma raiz de índice n, que é representada por {/a. Assim, por exemplo:

v'I6

2

- v'16 -

v'

2

1 não existe

{/32 - 2

·\!'·

32

2

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

49

4. PROPRIEDADES 1)

Sejam a e b positivos, n natural. Então {/a. {/h = {/ah e, se b r6- O,

{la -

-

{Ih

na

b

.

y; =

Com efeito, sejam

x e {/b = y.

Então, a · xn e b - yn (x e y positivos). Dai, ab

xºyn

a

Logo, D

_D/

V

a

-b

e

e

n

X

-

b

(xy)

y

ah X

-

y

xy __

_D/- ,,.D/-.

V

a

V

b

{/a

{/b.

Assim, por exemplo,

~16

II)

3

-

Sejam a positivo, n natural e p inteiro. -

({/a)P - {/aP.

Então, ·

lfl!!I!!

~-• . ...... "; \;,

·.•

Com efeito, seja {/a = x. Então, a= xn (x positivo). Daí, aP - (xn)p - xPn - (xP)º. Logo, {/aP =

X~>

({/ã)P.

Assim, j>or exemplo,

50

ÁLGEBRA I

III)

Sejam a poAitivo, n e p naturais. n

Então

-

- ~a.

VP _ = Va

Com efeito, seja \o/R = x. Logo, xnp = a (x Daf, y'p - = y'p = V xn = X = yla.

Va

> O).

vx11~

Assim, por exemplo, ·

V v-'2 - {12. IV)

Sejam a positivo, k e n naturais e p inteiro, então, ~ªkp

·=

Vã!'

Com efei·to, se {/aP = x, então, aP (x

xn -

> O).

Dai, xkn

-

.

(xº)k - (aP)k - akP. Logo,

~akP = x = {/aP. Assim, por exemplo, ~

8

1,

v"a2.

ª~a2.1 _

{/2ª -· ª{12ª·

1

=

v2

1

2.

-

A

,Ili>

5. POTENCIAS DE EXPOENTES FRACIONARIOS Seja

°:1n

Define-se am/D

uma fração irredutfvel (n amfD

> O).

pela fórmula

Vam.

Assim, por exemplo, s

1 ------·2ª

1

{18

•

3

1

1

g2

4 .

51

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

Pode-se demonstrar que as cinco propriedades das potências estudadas no Capitulo 4 são verdadeiras ainda no· caso- dos expoentes serem fracionários, desde que as bases sejam positivas. \

Assim, 7

6 = 2

V2 '\'l'4 =

- 2

1/2

1+ 1

8 2 -

2'3

. 2

1

2

1

•

2

8

-· 2 2

2

~23

3/10 • .

~8

2

= 22X3 =

= 2{/2 i

=

1

'

x ax.!. 6 -

.

6. RACIONALIZAÇÃO Racionalizante de uma expressão que contém radicais é uma expressão que multiplicada pela mesma dá um resultado sem radicais. Vejamos como achar racionalizantes em dois casos importantes ..

1)

O racionalizante de {/aP (a> O), n natural e p inteiro) é {/an-i). Com efeito, {/ai . Van-p

{/aº - a.

Assim, por exemplo, os racionaliiantes de

y; '\'l';: '\'l'a

são, respectivamente,

Va '\'l'a 2

'\'l';:

2

2

~aªb x 3'\'l'abi 2 '\'l'a ªb x 4

52

ÁLGEBRA I

II)

O racionalizante de a V A . conjugada

aVA

+ b VB é a sua expressão

bVB, e vice-versa. •

Com .efeito,

(aVA 2

aA

+ bVB) (aVA bVB) = 2 abVAB + abVAB b B

2

2

a A · b B.

Assim, por exemplo, os racionalizantes de

y; + Vb 1+

Va +

são, respectivamente,

1

2 2.

v'b V2

V3 2Vs va+2vs

5

2y'5

3

y;

Diz-se que uma expressão está .racionalizada se não contém radicais em denominadores. Exemplos: encontramos

6.1) 2

_

2

va 6.2)

.

a

.

X

3

•

va •

·a+ V3 3

va 1

1

va 1

aVa+a+a+ a+Va Va

encontramos

va+1 a= 1

53

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

PROBLEMAS

A

1) (PUCSP-68)

75 . - obtemos:

Simplificando 5 b) ·- ·3

5 2

a)

12

5

5 3

e)

d) 2

e) NRA ~

2) (PUCSP)-68)

~ ~

Simplificando a)

1296 obtemos: ·16.2 .

o

3

b)

e)

1

d)

2

e),

NRA

3) (FEl-66)

~; + {/;; a) {/;

~a

b)

7

e)

{/2a

d)

~a

+a

4

e) NRA 4) (UM-69)

{/b + a) {/b

2

b

b)

b ;;:: O, é sempre igual a:

,

~b

2

~b (1

e)

+b

3 )

d)

{/2b

e) NRA

5) (PUCSP-68)

a) 3

(3')-3/2 =

813

e)

9

6) (PUCSP-68)

25

1/2

-

NRA

54

ÁLGEBRA I

3

a)

b) 5 3

5

81 625

e)

3 d) 25

e) NRA

7) (PUCSP-68) •

27 125

Calcule: 125

1

b)

2

a)

-·/a

d) 5 3

e) 15

5

e) NRA

8) (PUCSP-68)

(x

116

y

•

516

1 xys

a)

(xy ~ O) é igual a:

6

)-

6

b) x y

6

6

5

e) y- x

d) x- y-

6

e) NRA

9) (PUCSP-68) 3

x-t/

a) ~x

7

.

·

(x ~ O) é igual a:

416 x

b) v'x

7

7

e) ~x

d) ~x

7

e) NRA

10) (PUCSP-68)

x a) {/x

1 2 • '

5

11) Calcule

x-

(x ~ O) é igual a:

113

b) ~x

312

+

13) Calcule v'27

2

2

(v'2

112

1

2

d)· {/;

+ 6v'O

e) NRA

v'24.

•

+2

48

3v'108.

+

~512

~16.

14) Calct1le ~128 15) Calcule (

e) ~x

~

v'l28

12) Calcule 4

16) Calcule

6

1)

(

yl5)2.

2

+

. .1

J

1).

55

MORGADO, WAGNER E M. JORG~ •

(Va + 2V2)

17) Calcule

(2

3

mm

V2).

18) Sendo a, b e e positivos, simplifique: 8 2

4

a) v'16a b c

b) 3V9a=~b

5

3 2

6

e) V8a b c

25 a~b 4 16c

d)

2

19) Racionalize:

a)

1

b) 1

2+

20) s1-


!

2- v'3

3

1 xy 272

2

(x, y positivos)

=

1 a) 81

b) 1 3

e) 3

d) 81

e) 81

4

21) Considere as afirmações:

II)

V V(

Ili)

V64

I)

4

V - 16 - V < 4) 4) . ( 16) -·· V64

. < 16)

8.

São falsas:

a) nenhuma

b) 1 somente

d) III somente e) I e Ili somente

e) II somente

56

ÁLGEBRA I

22) (CICE-68-2c) -2/3

-1 1·25

a)

-

1 25

1 b) 25

e) 25

d)

25

+ 21V1

e).

e) 25'V

1

23) (UM-69)

12

Vf+a a) 81 d) 41

s

4V7 7

5 aV1b) 22

81

22

e) NRA

24) (USP-66) (0,0081)-

312

•

(0,005)

V

-5-1.13

3

-

6

a)

1 2 ·

10 3

e)

~2 .

11 10-

b) 1,0125 . 10-

ª

14

d) 0,00123123 ...

e) NRA 25) (PUC-69)

O valor de 3

220

1/2 ;t·

212

3

s12

Va

é: a) 2

b) 3

•

e) 5

'd)

2

26) (UCMG-65-3c)

Prove que ~7

+ 5V2 = 1 + V2.

e) NRA

21V1

57

MORGADO, \VAGNER E M. JORGE

27) Sendo· a positivo, calcule -

28) Sendo a positivo, calcule 29) Calcule

V(

30) Calcule

vi (

1)

2

1)

2

-via v"a(-via

4

10 12 ) •

•

•

31) (UGF-70)

Sendo x, y e z positivos, calcule 12 xª . yª . z~

y2 . zª •

a)

X a/2 •

y

•

a-4 .

z4-a

b) (xa/" . z 1/2) 2a

e) x1/2 . y . zª. d) xsa.12 . z2

e)

NRA

•

58

ÁLGEBRA I

B 1) Prove que se a e b são positivos e p e q são racionais,

então: a) aP . aq = aP-kl

d)

2)

3) Calcule

Va

2

4) Calcule

Va

4

5) Calcule

V2 V 2

6) Calcule

V2

•

•

Vã

Vã (V6

(1

+

V2)

3). (2

+

3).

••

59

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

RESPOSTAS A

1) D

e

2)

4) E

3) E

11) 1 +

7) D 8) A 9) E 10) D 12) s

+

16) 1

2

1Vã

1a)

2V10

14) s

11) 2+a

Vi

b) - 1 -

21) B

27) {/a~

svi

2

6

+ 2~2

15) 1

e) 2a bcV2ãb

18) a) 4a b c

20) B

6) A

6

2 4

19) a) 2 -

e

5)

28)

22) &

40

Va

.e

e)

xy

2a) e

29) 1

24) A

30) 1

21) e

31) D~

B •

2) 3

2

+ 2 a+ Yao 12

3)

la I

4)

ª2 •

5) 2

6) 2

..

. •-:'·

-. ..._;-..: ' .... ,.~~ ..-. . .•

..

_. -

CAPIT.ULO

4

POLINÔMIOS .

.

~

1. TERMO ALGEBRICO ..

Termo algébrico é o produto de um número (chamado coeficiente do termo) por potências de expoentes racionais de . . var1ave1s. ~

ss1m, por exemp o, xy e

.Y

=

12 X ' y·

-i, sa·o termos al-

gébricos cujos coeficientes são, respectivamente, 4 e 1. Os termos algébricos são classificados de acordo com o quadro abaixo: •

1nte1ros (nenhum expoente de variável é negativo)

•

•

•

rac1ona1s

(todos os expoentes · fracionários das variáveis são (pelo menos um expoente de variá-. inteiros) vel é negativo) •

•

•

1rrac1ona1s (pelo menos um expoente de variável não é inteiro)

61 ·

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

Assim, por exemplo: 1) II) III)

3

3 x y é um termo algébrico racional inteiro. 2

1

4x y- é um termo algébrico racio;nal fracionário. yx

-- - yxz- 1 é um termo algébrico racional . z fracionário.

IV) V)

VI) VII)

3

2y x-

112

é um termo algébrico irracional.

5 _~; -

3y·

5

3y x

113

é um termo algébrico irracional.

v'2xy é um termo algébrico racional inteiro.

3 x viy não é um termo algébrico. '

'

2. MONÔMIOS E POLINÓMIOS Um monômio é um termo algébrico racional inteiro. Um polinômio é um monômio ou uma soma de monômios, podendo um dos monômios se reduzir a uma constante diferente de zero . •

Assim, por exemplo, 4xy, 5xy 3,.4x + 2 e ... x'! xy + 2 + y são polinômios, sendo -que 4xy é também um monômio. Os polinômios de dois e três termos são chamados de binônômio e trinômio, respectivamente. Assim,· por exemplo, 5xy 2 + y é um trinômio.

3x é um binômio e x ~

xy

+

•

3. VALOR NUMÉRICO O valor numérico de uma expressão é o número que se obtém quando se substituem as letras por números. Assim, por exemplo: 1)

•

O ·valor numérico de P (x, y) 3x + 4y - 7 para x .1 e y 3 é P (1,3) 3 X 1 + 4 X 3 7 - 8.

.,

......

-. .

62

ÁLGEBRA I

II)

O valor ·numérico de Q (x,Y) = x y para x - 3 x+y '

y .. 2 é Q (3,2) =

III)

3

2

3+2

=

O valor numérico de P (x) x-i P (3) = 3 + 1 9 + 1 10.

+1

para x = 3 é

4. GRAU •

Grau de um monômio é a soma dos expoentes de suas variáveis. Quando o monômio se reduz a uma constante diferente de zero di~-se que o seu grau é zero. 2 2

3

Assim, por exemplo, o grau de 7 a xy é 2

+ 1+3

= 6.

Pode-se também considerar o grau em relação a uma determinada variável ou em relação a· um determinado grupo de variáveis. '

3

2 2

Assim, por exemplo, o grau de 7 a xy é· 2 em relação a a, 1 em relação a x, 3 em relação a y, 4 em relação a x e y, 5 em relação a a e y e 3 em relação a a e x. .

Grau de um polinômio é o grau do seu monômio de mais alto grau. Assim, por exemplo, xª . quarto grau.

+ 4x y + y 2 2

3

ê um polinômio do

5. POLINÔMIO HOMOGtNEO POLINÔMIO COMP

Um polinômio é homogêneo se e só se todos os seu& termos têm o mesmo grau. Assim, por exemplo, x + 2xy y é um polinômio ho3 2 y é um polinômio mogêneo do segundo grau e x ·i + xy 3 2 4 5 homogêneo do terceiro grau, mas ... x + xy + x y 2

2

. :~·~· ..•. :.·... .: ~

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

63

+ ·4 não é

6

um polinômio homogêneo, pois seu último termo, 4, é do grau zero. -

:}'

Um polinômio de uma variável do grau n é completo se e só se possui termos de todos os graus desde o grau O até o grau n, nenhum dos seus coeficientes sendo nulo. Assim, por exemplo, P (x) x 5x + 6x + 1 é um 2 polinômio completo do terceiro grau e Q (x) - x 5x é um polinômio incompleto do segundo grau. 3

2

Observe o leitor que um polinômio completo de grau n possui n + 1 termos . . •

6. DIVISÃO DE POLINÔMIOS Dados dois polinômios P (x) e D (x), de graus p e q, respectivamente, dividir P (x) por D. (x) é encontrar dois polinômios Q (x) e R (x), denominados quociente e resto respectivamente, que satisfazem a

P (x) . D (x) X Q (x) + R (x) e tais que o grau de R (x) seja menor que o grau de D (x). Para obter Q (x) e R (x):

I)

Ordenam-se P (x) e D (x) segundo as potências decrescentes de x. ·

II)

Divide-se o primeiro termo de P (x) pelo primeiro termo de D (x), obtendo-se o primeiro termo do quociente.

Ili)

Multiplica-se D (x) (o divisor) pelo primeiro termo ' do quociente e subtrai-se o resultado de P (x) (o dividendo), obtendo-se o ·primeiro resto parcial.

IV)

Com o primeiro resto parcial e o divisor D (x) repetem-se as operações, obtendo-se o segundo termo do quociente e assim sucessivamente até se encontrar um resto de grau menor que o divisor.

.

,•

-·

..

..

.

.

.

. -.. ·. ,

-


a + O - e b => a - e - b e, reciprocamente, a - e b -~ a + b = e b + b => a + + b - e + O=> a + b = e. .

II)

.

Uma equação não se altera quando se multiplicam ambos os membros por um mesmo número diferente de zero.

Em suma, se k =;6. O, a = b ~ ka kb. Com efeito, se k ~ O, a - b ~ ka - kb e, recipro1 1 camente, ka = kb ~ k . ka = k . kb ~ a - b. •

Problemas: 2.1)

Resolva 2x

+4

+

= 3x

6.

Solução: Transpondo, resulta 2x 3x = 6 4, isto é, - x = 2. Multiplicando por 1, vem X= 2. Resposta: 2. 2)

x =

2.

Resolva a equação 2x

+

7 = 4x

15.

4x ~ 7 + 15, Dividindo por ( 2) (ou seja,

Solução: Transpondo, resulta 2x isto é,

2x = 22.

multiplicando por Resposta:

1 ) vem x 2

11.

x - - 11.

'

_ + 2+

2.3)

=

5x _ 3x - 7

12

4

.

Solução: Multiplicando por 12 para eliminar os . denominadores (repare o leitor que 12 é o MMC dos denominadores), obtemos

+ 9x +

4x

24 24

+

5x 3 (3x 9x · 21.

7),

isto é,

89-

1:IORG"\DO, \V1\GNER E l\I. JORGE

Tra1·1spondo, 9x

9x =

24

21, isto (~, O =

45.

Não há cvidc~ntcmcntc~ nenhum valor de x que satisfaça a igualdade acima. Resposta: 2. 4)

Impossível.

2x Resolva a equação ---·· - X 1

3x X+

2

5 x -- - -2- - · · · x - 1 1

2

Solução: l\,f ultiplicando por x 1 (que é o l\,fl\,IC 2 ,dos dcnomi11adorcs), o que pode ser feito se x 1 ~O, obtemos 2x (x

2

2

1

X

+ 1) 2 2x + 2x

3x (x

Daí, 2x (x

Isto é,

(5

3x (x 1) x+l

1)

3x

- x + 5x - 5 x 2 2 x x + 5x - 5 2

2

+

x ) (x 2 x 1

1) = 5 ···· x

3x

5 - x

=

2

2

2

2

1)

•

,

2

5x = 5 = 1

X

.

Mas este valor não satisfaz a condição x Resposta: 2. 5)

2

.

1 ~ O.

Impossível~.

Resolva a equação 4

3

1

x-2+x+2= x 2

-

4 2

Solução: Multiplicando por x . 4 (que é o MMC dos denominadores), o . que pode ser feito se 2 x 4 ~ O, obtemos 4 (x

+ 2) +

4x+8+x 5x + 6 - 3 5x = 3

5x

=

x=

6

-3 3-

5 .

(x

2) = 3

2-3

90 Repa1·e o leit.or que para este valor de x, x

2

4 ';é= O.

3

Resposta:

x = - -,.... . ~)

2. 6)

Resolva o sistema de equações 4x

X+

3y = ,)

2y

4

=

(isto é, determine a solução simultânea das duas equações.) Solução:

A primeira equação fornece

3 +5 Como a segunda equação deve ser satisfeita, obtemos.

3y

+5+

2y = 4

4

Mt1ltiplicando por 4, vem 3y

lly = 16

+ 5 + 8y =

16, isto é,

5

lly = 11

y = 1. Como x = Resposta:

3y+ 5

-,

4

x

x-_3.1+5= resulta 2 4

2, y = 1. •

3. O PRINCfPIO DO FATOR COMUM AB = AC

A== O

Com efeito, AB = AC ~ A = o ou B e=

ou

B=C

AB AC - O A (B o A = o ou B = e

{:::>

C) ~

•

Repare o leitor que o princf pio acima nos ensina como resolver equações onde há um fator comum aos dois membros. Estas equações se desdobram em duas outras; a primeira

..

91

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

é obtida igualando-se o fator comum a zero e a segunda é obtida dividindo-se ambos os membros da equação original pelo fator comum.

Problemas: 3 .1)

Resolva a equação x (1

Solução:

x) = 2x.

Como x é fator comum, obtemos

x = O ou 1 x = 2, isto é, x = O ou x 2 1, isto é, x = O ou x - 1, isto é, X = 0 OU X = 1. Resposta: x - O ou x = 1 3. 2)

Resolva a equação (x .

Solução: x

+

O ou x = 1 ou ou x= -1 X= -

1

Resposta:

+

como x

1

OU

+

1) (1

x) = (x

+ 1)

(2

+ x) .

1 é fator comum, obtemo~

x - 2 + x, isto é, x x 2 1, isto é, - 2x = 1. Daí,

1

1 2

X=

x = - 1

OU

X=

1 2 "'-'

~

~. PRINCIPIOS GERAIS PARA A SOLUÇAO DE INEQUAÇÕES (DESIGUALDADES) I)

Numa inequação podemos transpor um termo desde que o multipliquemos por 1.

+ b < e a < e ·-- b. Com efeito, a + b < e > a + b + ( b) < e + + ( b) =>a+ O < e b => a < e b e, reciprocamente, a < e b => a + b < e b + b => a + + b < e + O =·-> a + b < e. (Prova análoga para Em suma, a

-===

desigualdades do tipo a

>

b.)

92

ÁLGEBRA I

II)

Uma inequação não se altera quando multiplicamos seus membros por um mesmo número positivo.

> O, a < b ka < kb. Com efeito, se k > O, a < h a b ka kb < O ka < kb e, reciprokb k (a b) < camente, ka < kb ==> ka

Em suma, se k

{::::>

a b < O==> a < b. (Prova análoga para desigualdades do tipo a > b). III)

Uma inequação não se altera quando multiplicamos seus membros por um mesmo número negativo e, simultaneament·e, invertemos o sinal de desigualdade.

Em suma, se k < O, a < b ==> ka > kb. Com efeito, se k < O, a < b ==> a b < O => k (a b) > O==> ka kb > O.==> ka > kb e, reciprocamente, ka > kb => ka kb >O=> k (a b) > > O=> a b ·< O ==> a < b. (Prova análoga para desigualdades do tipo a > b.) Problemas:

4. 1)

Resolva a inequação

2x ·+ 3 < 4x + 7. Solução: Transpondo, 2x 2x < 4. isto é, Dividindo por

X>

4x

3,

2 isto é, multiplicando por -

2.

Resposta:

x

>

2.

.

4. 2)

b) x

4 e)

4

-

x F- 1 é:

e) nenhuma das outras respostas OU X
o

26) (ITA-51)

Resolva a inequação _(x

2) (x

+ 3) < O

109

MORGADO, WAGNER E M. JORGE •

27) (CESCEA-72) Assinale a afirmação correta: a)

x

1

1 -

•

x para todo real x 2

2

b) Quaisquer que sejam x e y, x = y x = y e)

v'x

2

-= x para todo real x

fxl , x < Jxf

d)

para todo real

x

l

28) (CESCEA-72) Assinale a afirmação falsa a) Para todo a

+ y 1~

b) 1x X

c)

> O,

lx(

1

x1

+ f yl,

< a ç::>

a

O.

3. UMA SIMPLIFICAÇAO NA FÓRI\1ULA DE RESOLUÇÃO Se na equação ax + bx + c = O os coeficie11tes forem inteiros e b for um número par, podemos simplificar a fórmula de resolução 2

X=

- b

+ Vb

2

4ac

2a

Com efeito, chamando de k a n1etade de b, temos b = 2k e X

=

- 2k

+ V 4k

2

4ac

~~~~~~~~-

2a

isto é,

MORGADO,

k

+V

,vAGNER E

127

M. JORGE

~--1

k

2

ac

a

O número tJ.' = 1(

2

ac é chamado de discriminante

reduzido .

..

E claro que a equação possui duas raízes reais distintas, uma raiz dupla O

- 2 (m - 3)

----->O m .

3 -- O. Logo, a condição II pode ser dispensada, pois III já assegura II. A condição I também pode ser dispensada,. pois se e

-a < O,

então, a

~

O.

139

MORG!OO, WAGNER E M. JORGE

< O.

Logo, basta que p

+

m

Como p - m

+

3

, devemos ter 1

+

Numerador Denominador

+ --1

1--

-·3

1

+

+

Fração

-3

29 4

.

e) y. .

6

d) y > 7 e) NRA

41) (UFF-57)

Qual a ·relação que deve existir entre a, b e e para que _ o radical duplo que aparece na resolução da equação 4 2 biquadrada ax + bx + e· --- O poss·a ser transformado numa soma de radicais simples ?

152

ÁLGEBRA I

•

42) (UFRJ-62)

Resolva o sistema y=8

X

x

VY-

2

.

43) (EMMOP-61)

. Resolva o sistema x2 + y2 5

x'

+ y'.=

17

·44) (EMMOP-61)

Resolva o sistema 1

2y_ 2 4y = 24

X+ :X

2

•

·XZ

11

Z -

+z

2

=

37

45) (CICE-70-2c)

Considere o sistema não linear •

y+z-1 x+y ·z-1 x.

x2

+ y2 + z2

9.

a) O sistema não admite solução. .

b) Todas as soluções do. sistema formado pelas du&M primeiras equações satisfazem à terceira equação.

e) O sister11a adll).i.te uma solução tal que x + y + z = 1. d) O sistema admite-uma solução tal que x + y + z 5. e) O sistema admite uma solução tal que x+y+z= 1. 46) (COMCITEC-73)

'

Determinando-se os pares lX, y) de números reais que satisfaçam às condições

1

lj

'

j

. •" •

• 1

1 1

' .

l j

153

MORGADO., WAGNER E. M. JORGE

y =

X

2

x2 + y2 y=x

+

~X

~

1

tem-se a) dois pares b) nenhum par e) trêb pares .. .

d) uma infinidade de pares e) um único par. 47) (IME-71)

Resolva o sistema

+ .Y11s = x1/1 + y2/s =

x1/,i

a)

e)

1, y - 32

X

=

X

= 16, y = 1

X=

X

e)

3 5

=

X -

X -

b) .

d),

1, y = 1

16, y = 16 0, y = ··- J

32,y

=

x=2v=O ' .., X= 16 V= 32 '~ X

f)

1, y

X=

=

32

16, y = 1

=

NRA. •

32

48) (SM-68) ~

V3 + Va + 8 v'7 + 4 Vã a) 2--2

d) 3-l

49) (UGF-73)

Quais as verdadeiras. dentre as proposições abaixo? 1)

A soma das raízes da equação. x

2

6x

+8

- O é 6.

154

ÁLGEBRA I

II)

O produto das raizes da equação 3x = O é 4.

III)

A soma das .raízes da equação 2x

2

6x ·· 12 =

x + 1 = O é 1.

O produto das raízes da equação -2x

IV)

2

2

5x

=

8é

4.

50) -(UGF-73)

Calcule m para que a função quadrática y = 2mx - (1 + m) x + l só admita uma única raiz real.

2 -

•

51) (FIB-72) Resolva a equação· _x::__2 3x

+ 2x

- 1 = 5x + 2 2 6 ·

a)

1 e 4 b)

1e3

e) 1 e. -4 d) 1 e

3 e) 1 e 3.

52) (PUCSP-70) Uma equação do tipo ax . sao numeros reais

2

+ bx +

e = O, onde a, b e e

~

a) Tem sempre duas raízes reais. b) Pode ter uma só raiz imaginária. ,..... --····-

e) Pode ser uma equação do primeiro grau. d) Nunca terá raizes iguais.

e) NRA.

53) (UFPA-65) Determine as raízes da equação x

4

•

3x

2

+

2 = O

54) (U.C.M.6-65) Resolva a equação

Vx +a+ Vx

a= v'3x

155

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

55) (UFMG-66) Calcule m para que. a soma dos quadrados das raizes 2 da equação x mx + 2m + 4 = O seja igual a 13. 56) (EESC-64) Resolva a equaçãc)

x

2

4 = x

4.

156

ÁLGEBRA I

PROBLEMAS B 1) (UGF-70)

O conjunto . dos valores inteiros e positivos de m para 2 os quais a equação x 5mx + 2m = O tem ambas as raizes reais e distintas é a) {O, 1, 2, ... }

. b) { 4, 5, 6, ... } e) {1, 2, 3,} d) {l, 2, 3, ... } e) NRA. 2) (UFRJ-70) · ...

.Resolva 6x

5

13x

4

+ 6x

3

= - 6x

2

+ 13x

a·) (UFRJ-62)

Resolva a equação

y'x +

vx

y'x

V~ -

2

4) (ITA-72) Todas as raizes reais da equação •

+ 3 --= 2

x

X

a)

X1

b)

X1

3, = 3,

=

X2 X2

3

--sao · X 2

x.+3

·2

3

=

3

e) X1 = 3, X2 = Va -.d) -A. equação não tem raizes reais e) NRA.

X

-·· 6.

157

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

5)· (MAPOFEI-73) Determine os valores reais de

·Vx + 2

1 = Àx

À

para os quais a equação

1 admite solução real.

6) Determine a equação de segundo grau de coeficientes

racionais em que uma das raízes é 3

+ V5.

7) · (UFRRJ-60)

Para que valores de k as equações x 5x + k = O e 2 x 7x + 2k = O admitem soluções de modo que uma das raízes da segunda equaç~o seja o dobro de uma. das raizes da primeira ? 2

8) Calcule a para que as equações x + x + a = O e 2 x + ax + 1 = O possuam pelo menos uma raiz comum. 2

9) (IME-45) Determine me n para que as equações. (2n + m) x 2 -4mx 3 = O e (6n + 3m)x 3(n 1) x 9 = O tenham ·as mesmas raízes. 2

10) (UFRJ-64)

, Dada a equação ax

2

+ 3x +

1 = O: '.,

a) Determine o valor de a de modo que as duas raízes obedeçam à relação x' = 2x''. b) Com este valor de a, obtenha outra equª'ção Ay 2 + By + C = O cujas raízes estejam relacionadas com as da equação anterior, do seguinte modo: . .

y' = x'

.

+ x''

y'' == x' ··- x'' 11) (ITA-73) Seja IR o conjunto dos números reais. Sejam p e q os catetos de um triângulo retângulo cuja altura

,

158

ALGEBRA ·I

relativa à hipotenusa é a. equaçao 2x

2 _

p

2x h

+

Podemos afirmar que a

1 = 0 q

a) Não admite raizes reais. b) Admite uma raiz da formam

V-

1, ni

E~'

>

m

O

e). Admite sempre raizes reais .

mV

d) Admite uma raiz da forma e) NRA.

1, m

E

IR, m

>O

12) (UFF-54) (UFF-67-2c) Determine p e q na equação x + px + q = O, sabendo que suas rai.zes aumentadas de u·ma unidade são as rai2 2 . zes de x px + pq. = O. 2

13) (USP-62) Mostre que existe uma relação independente de m entre 2 a soma e o produto das raizes da .equação (1 + m) x 2 - (1 + m ) x + m (1 m) = O. 14) (UFRRJ-67) (ENCE-69) Determine k para que as rafzes de kx + (k + 2) = O sejam positivas.

2

2 (k

+

1) x

+

15) (EESC-60) Sob· -que condições

Va

+ Va

2

b

+ Va

Va

2

b - V 2a

+ 2-Vb?

16) (EESC-58-ac) Sendo x a variável real, a> O, f (x) = Va

+ Va

Va

2

2

x e g (x)

=

Va

valores de x para os quais se tem

+

+ x, f (x)

Va

2 •

x

2

+

determine os =

V2

g (x).

159

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

17) (UGF-73) Calcule p para que as equações ·x + llx + p = O 2 e· x + 17x + 2p = O possuam uma raiz comum. 2

18) . (SM-68) Dada a equação x

l

(3m

+ 4) x + 2

(m

+

1)

2

O

a) Nenhum valor de n1 torna a soma dos valores absolutos das quatro raizes igual a 12.

b) m = V 43 tor11a a soma dos valores absolutos das quatro raízes igual a 12. c) m = 6 torna a soma dos valores absolutos das quatro raízes igual a 12.

d) NRA. 19) (UFB-65)

Calcule m e n para que as rafzes da equação (n + m) x - 4mx 3 = O sejam os inversos das raízes da equa2 ção 9y + 3 (n · 1) y (6n + m) = O. 2

20) (UFMG-68)

Resolva a equação

V2 + Vx --5 -

v'13

x - O.

21) (EN-72) Três máquinas P, Q e R, trabalhando juntas, fazem um trabalho em x horas. .Trabalhando sozinha, P necessita de 6 horas adicionais para fazer o trabalho; Q, uma hora adicional e R, x horas adicionais. O valor de x é: a)

2

3

b)

11 12

é)

3 2

d) 2

e) 3

160

ÁLGEBRA I

22) (ITA-69)

Seja A o conjunto de todos os polinômios p(x) de segundo grau que se anulam para x = 1 e x = 2. Seja B o conjunto de todos os polinômios P(x) de segundo grau que se anulam para x = 1, x = 2 e x - 3. Então: a) A=B

b) AUB=B

e) ACB

d) BCA

.

e) NRA

23) Se as. raizes da equação x · kx + 6 = O são. 5 uni2 dades maiores que as raízes .de x + kx + 6 == O, 2

então, a) k=5

b) l{=

5

e) k=7

d) k=

24) Se a 2 ~ O· e r e s são as raízes de a 0

7

e) NRA

+ a 1x + a 2 ;::;.. O, X

r

1-

X

se verifica:

s

a)· Para todos os valores de x, a 0 ~ O

b) Para todos os valores de x e) Só para x = O

d) Só para x = r ou x = s e) Só para x = r ou x = s, a 0 ~ O. 25) (EESC-71) Cons-idere as afirmações

I)

Se x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ~ão.números 1·acionais e x 1

+ x V2 = 2

= x 3 + x 4 V:!-, então, necessariamente, x 1 = x 3 e X2 = X4.

II)

As raízes de x 2

de x

+ .2x

2

+- 2 jxj

3 = O.

- 3 = J são .também raízes

161

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

Existe m < O tal que lmlx possui solução real.

· III)

2

+ mx + m

O não

Então: I é correta b) Somente II é correta c) Somente III é correta a) Somente

d)

I, II

e

III são corretas

e) Todas são falsas.

•

. • .. .•

' .

...

....,.,~

"'-.. •

1

·' •

.

·. -

.

'

__,

.. tf.......

\

.

.

.,

i:.

•

._

.A

.• . . .

... '

\

_•. --·

./

. ··~ ~ ~

~

......

.

;

.,-

~.

;

', ~

.

'°-"-- ·- . '

, ,.

' ; ..,.~ \Jl2 -

-

....

.

, ALGEBRA I

162·:r ·.,· '

PROBLEMAS

e 1) (UFMG-59) 2

2

Resolva a equação 2x +3x

3+v'2x +3x+9-30.

2) (ITA-73)

A respeito da equa9~0 3x = 1,8, podemos dizer que:

4x + v'3x 2

2

6 =

4x-

2 ± v'70 _ a) sao raízes. 3 b) A única raiz é ~ = 3. •

c) A única raíz é x

2

+

v'lO

d) Tem duas z:aízes reais e duas imaginárias . • e) NRA.

3) (EMMOP-61) Rest>lva a equação 'V"x

•

a+ ~x

+;

1

+2+

=

~i

.

4) (UFF-55)

Resolva ~ equação

3

x

+

v'x

1

O

5) (UFRRJ-61)

Resolva a equação 2{/l

x

+ {/1 + x

-.3~1

x

6) (UFRJ-58) Resolva a equação

Va + x + 2

v'b 2 · + x = a

+

b.

2

163

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

7) (CICE-69-2c)

O sistema

+ 5y + 6z + 2 2 2 6x + y + 5z + 2 2 2 5x + 6y + z +

x

2

2

2

8 (yz 8 (yz 8 (yz

+ + +

+ xy) zx + xy) zx + xy) zx

= 36 = 36 = 36

a) Tem uma infinidade de soluções

b) Tem seis soluções c) Tem duas soluções d) Tem oito soluções

e) NRA. •

8) Prove que, se p e q são inteiros fmpares, a equação

x

2

+

2px

+

2q = O não pode ter raízes racionais.

vi 10 + V 108

9) Transforme simples.

numa soma de radicais

10) (UFRJ-64)

Resolva a equação 2 (1 = 3 (1 x2) 1/6. 11) Se vlx + 9 dido entre

vlx

+

(1

+

x)

13 /

=

2

9 = 3, então, x está compreen-

b) 65 e 75

a) 55 e 65

x)

131

e) 75e85

d) 85 e 95

~) 95 e 105. 12) Quantas soluções ir1teiras possui a equação (x - 8)

(x - 10) = 2Y?

a) O

b)

i

c) 2

d) 3

e) NRA.

•

164

ÁLGEBRA I

RESPOSTAS PROBLEMAS A 1)

X=

2) A

-

· 3) C

6)- Não

5) E

4) A

7) x 1

3

a·

3; x 2 =

8) D 9

9) m = ~- 1

25 11) Impossível

12) A

13) X - 26

14) D

1-5) Impossivel

16)

e

17) E

18)

X

20)

X1

=

1 ; 2

3 2

XJ -

22) p -

. 1 ou p = 11

24) B

25)

29) D

30) D

33) m 35) D


O, f (n) terá o sinal de a. Logo, n será do trinômio. Para exterior ao intervalo das rafzes . . saber se n é maior ou menor que as raízes, basta compar~r n com a média aritmética das raizes, X1

+ X2 2

b/a

b

2

2a

- - - ·1 - - - J , - - - 1 · - -

-b

X1

X2

2a Se n n




ª, 2

n será maior que as raízes e se

b , i -2-a-' n sera menor que as ra zes.

Resumindo:

------------------------·a. f (n) < O a. f (n) - O a.f (n)

>O

n é interior às raizes n é raiz n é ext,erior

às raízes

b é . n>-- - n maior que 28 as raizes

n O (para que 6 seja exterior ao intervalo das raízes)

6>Dai,

I)

4)

(m m

2

2

4 (m

12m

+

1) ~ O

20 ~ O

o

+

o

+

-------1----·---r-----2 10 m ~ 2

II)

m

(m

+

6

>

59

4) . 6

>O

59




m

m


O

...

174

ÁLGEBRA I

Confrontando estas condições

•

lttlll

•

•

•

•

1

1

LI

2

•

2a . condilão 3a. cond1 çao

•

a

10

1 a • condicào • 1

177

•

1

59 5

o

.-

16

Obtemos m

~ 2

Respost,a:

5. 2)

ou 10 ~ m

m ~ 2

59

< ,., .

ou

;)

10 ~ m




Observe o leitor que a condição III implica as condições I (pois se a. f (2) < O, e11tão, a ~ O) e II (pois se a. f (2) < O, ' não· se pode ter nem .1 < O nem a = O).

Então, basta que a. f (2)

< O.

175

MORGADO, WAGNER E M. JORGE

Dai,

+ (m 1) m. (6m + 1) < O 2 6m + m < O

. 2

+ 3] < O

o

o

+

m. [4m

+

•

------1-------1-------1 O 6 -1 6


3x + 1 >

4x

3-

x

O

o

+

o

+ --

- - - - 1 - - - - _ _ ,_ _

V5

3

a+V5

2

2

•

Logo, para 2 só se

< x < 3,

a inequação é satisfeita se e

2

Temos, finalrnente,

Não

NÕr • Nao

Não ~

Não.

o Resposta: •

3+ 5 2

2

2