Algebră axiomatică [I]

Table of contents :
1
2
3
4
5
6probleme
7
8
9

Citation preview

DAN BARBILIAN

. 4LGBBRA·-

4XIDl4TIC4 *

g

EDITURA DIDACTICĂ ŞI · PEDAGOGICĂ BUCUREŞTI, 1988

Acest'. .. ;,�1�,· i :fQsţ,. �i�t- cu );prijf�u� S sau grupuri abeliene. · • Există grupuri abeliene: numerele întregi pozitive, negative sau O, faţă de adunare, formează un astfel de grup. u Grupuri comutative (nota

24

ediţiei).

"-

Există grupuri ne-abeliene: cuaternionii (raţionali) din care îndepărtăm pe O, formează faţă de înmulţire un grup necomutativ. . Sistemul de axiome al celui mai general grup a.belian se deduce din sistemul de axiome din 4° sau 6° ale grupului abstract prin introducerea cererii comutativităţii. Aşadar avem una sau alta din tabelele:

I.

a, b e .{J.

I.

I ab = c, II.

a, b,

CE

C

I ab = c, c-+

-+ f:},

II.

(J_

II'. a, b e .ţJ

I

ab

CE

.ţJ,

{J,,

ab • c =· a• bc

II'. a, b e fi,

=

I

ab

ab

== ba

III*. a, b e ţJ.

III. a e.f!J,

I ea =

a, b,

I.

ab• c = a• bc

~

a,b e .ţfJ,

I ax= b, x = c-+ I

a, e -+ .ţJ

.(j

IV. a E li}, la'a=e, a'-+ li},

l

Ne dispensăm să mai însoţim de cuvinte relaţiile exprimate de aceste axiome. Cititorul poate să îndeplinească această lipsă singur, după modelul enunţurilor din 4° şi 5°. Am căutat numai să separăm în fiecare axiomă concluzia _de ipoteză, încadrînd-o într-un dreptunghi. Semnul lui Peano e însemnează alegerea arbitrară a elementului în mulţimea {J., pe cînd semnul-+ înseamnă numai incluziune. S-a pus e = e, şi s-a suprimat în III a doua ecuaţie, căci odată acceptată axioma II' avem peste tot bilateralitatea factorilor. · ~u ajutorul proprietăţii 1) d~n 4°, a asociativităţii generale ii cu ajutorul noii axiome II' putem transporta un produs parţial de factori m oricare loc al produsului total. Ne dispensăm de a mai demonstra această propoziţie simpţă. · · Deci ,îţi, grupurile abeliene avem comutativitate totală. 14°. Un sistem independent de axi_ome pentru· grupurile abeliene

Iulian Petrescu, pe cînd era student, a avut intuiţia, că axioma I din al 'doilea sistem al grupurilor abeliene (vezi alineatul precedent) e o consecinţă a celorlalte. Pornind de la această idee am fost condus să dăm următoarea tablă de axiome absolut independente pentru grupul abelian. Lămurire. Date sînt: o mulţime abstractă nedeşartă (1, şi o lege de.compoziţie, figurată prin ( •) sau prin juxtapunere. Mulţimea li}, formează prin raport la ( • ) un grup abelian cînd următoarea tablă de axiome e satisfăcută:

25

1.

Dacă

a,. b e-6, iar ab--+

.ţ;J,,

ab • c --+ (:J,

atunci

I bc

--+

-0,, a • bc -+ -0,

I

iar ab • c = a• bc 2.

Dacă

a, b e .(1, iar

atunci

I ba-+ fi, I iar

I ab = ba 3.

Dacă

a, b e li),, atunci

ecuaţia

xa

are

~oluţie

în .f:J,,

această soluţie

=b

adică J

iar

j

este

ca

=

b, c --+ fi,

I

unică.

Axiomele 1, 2, 3 sînt respectiv axioma de asociativitate, de comutativ#ate de olonomie, într-o anumită formulare. Pentru a dovedi echivalenţa sistemului 1, 2, 3 precedent cu unul din sistemele din alineatul precedent (echivalente între ele, în baza celor dovedite în 6°), de exemplu cu primul sistem, e necesar să dezvoltăm cîteva din consecinţele axiomelor 1, 2, 3 luate împreună. Să demonstrăm deci propoziţiile. o•· ex+ d • . ·

cu coeficienţi reali. Fiecare transformare corespunde unui punct din interiorul hiperboloidului cu o pînză ad - bc = O, care este evident un spaţiu topologic (chiar un spaţiu topologic conex). Operaţia de compunere a două astfel de omografii poate fi .. considerată ca o funcţiune F(P, Q) de două punct~ pe această varietate (interiorul hiperboloidului). De asemenea citul a două omografii e o funcţiune analc;,gă (P, Q). Aceste funcţii se dovedesc a fi continue (în raport cu punctele de aglomerare) pe varietate.

17°. Axiomele subgrupului general Fie '3, un grup abstract şi g o sub:iµµlţ.i~e a ~leIQ.entelor acestuia: gc -6Prin definiţie g se zice un subgrup al lui .{J,, cînd elementele din g formează pentru ele însele grup, aşadar cînd verifică sistemul de axiomei-IV sau I-III* al grupului abstract. · .· . . : În realitate. sistemul I -:-- IV respectiv I .L III* completat cu afirmaţia, ţă. g face .parte dintr-un gr_up preexisţent -6 n~ mai e independent: µn~le din axiomele , sale rezultă. ca simple consecinţe ale restului. De aceea pentru a satisface desideratul formal al independenţei vom da un sistem de axiome propriu subgrupurilor. ·· Acest sistem este preceda~ de următoarea: Lămurire. 1> Mulţimea g este o ,submulţime nedeşartă a unui grup preexistent ,6. Legea de compoziţie este aceea din .{J,: Axioma I' (a implicaţiei) 2'. Dacă a e g, b e g atunci

ab = c-. g.

Axioma IV' (a inversului).

Dacă

a e g atunci

Să dovedim acum, că submulţimea g satisface definiţiei, adică formează

grup. · l) în realitate această lămurireconstitui~ o axiomă. Nu o încorporăm în sistemul de ~xiome numai pentru a nu-l încă.rea şi a-l face mai uşor ele reţinut. · s> Axioma I din sistemul grupului abstract se desface în două afirmaţii simple: implicaţia i univocitatea propriu-zisă. Aici e de ajuns să cerem ,.implicaţia".

31

Axioma I, a grupurilor abstracte .este satisfăcută prin I' tn ceea ce implicaţia. Univocitatea e garantată de lămurire, căci produsele ab = c sint univoce în .fi., deci şi în g, cînd implicaţia e satisfăcută. Axioma II e verificată. Într-adevăr~ dacă a, b, ce g atunci conform lui I' produsele ab, bc, ab • c, a• bc, sînt toate în g iar ab. c = a. bc căci, potrivit lămuririi, g e o submulţime a grupului .fJ, în care asociativitatea este priveşte

afirmată.

Axioma III e verificată. Într-adevăr, potrivit lămuririi mulţimea g nu Fie deci a 0 un element sigur cuprins în g. În virtutea lui IV' inversul s_ău a0 1 e de asemenea cuprins în g. Deci, în virtutea lui I', produsul a0 1a0 =e, unde e este elementul unitate din .e,, este cuprins în g. Dacă a este un element arbitrar din g avem, ca pentru orice element din~ evidă.

ea= a_, e eg. Aceasta e însă tocmai axioma III aplicată mulţimii g. Axioma IV e verificată. Avem, într-adevăr, potrivit lui IV', penttu orice a în g:

a- 1a = e, a- 1 e g. Conchidem,

că submulţimea g formează

grup.

18°. Independenţa axiomelor subgrupului general

I năependenţa axiomei I' ~=grupul multiplicativ al cuatemionilor raţionali, g - vectorii din ".(], plus cuaternionul unitate. Axioma IV' se verifică înacest sistem. într-adevăr, inversul cuaterni~ nului unitate este el însuşi, ·aşadar cade în g. Inversul unui vector V din .fi- este , Luăm:

1 V'=----V mt(V)

deci un vector din .fi,, ca atare conţinut în g. Axioma I' nu se verifică. Este deajuns să considerăm produsele de forma y2

=

-mt(V)

care dau cuaternionii reduşi la un scalar raţional negativ, aşadar diferiţi şi de un vector şi de cuatemionul-unitate, prin urmare ne cuprins în g. Încît I' nu este consecinţă a lămuririi (evident verificată) şi a lui IV', ci o afirmaţie independentă, necesară definirii unui subgrup (altfel I nu se verifică pentru g). Independenţa axiomei IV' Luăm: .fi.= grupul aditiv al numerelor întregi (pozitive, ne~ative. inclusiv zero), g = numerele naturale (numerele întregi pozitive). 32

Anxioma I' se verifică. Suma a două numere naturale este un natural. Axioma .IV' nu se verifică: inversul (faţă de adunare) al unui natural este un întreg negativ.· Prin urmare IV' este indep.endentă.

număr număr

19°. Axiomele subgrupului finit Dacă întărim axiomele noastre prin ipoteza finitudinei mulţimei g, atunci IV' apare ca dependentă de restul sistemului, care se reduce la axioma I' precedată de lămurirea corespunzătoare. Aşa încît axiomele din 17° rămîn axiomele proprii subgrupurilor infinite (ale unui grup preexistent 13 neapărat infinit). Subgrupurilor finite ale unui grup.{]. finit sau infinit Ie corespund însă următorul sistem simplificat. Lămurire. Mulţimea g este o submulţime nedeşartă, finită a unui grup preexistent .{].. Legea de compoziţie este înmulţirea interioară a lui .fJ,..· Axioma I' (a implicaţiei). Dacă a e g, b e g atunci

ab = c eg.

Vom proba că mulţimea g formează pentru ea însăşi grup, arătînd că al doilea sistem de axiome I, II, III al grupului abstract este verificat. Axioma I este verificată (acelaşi argument ca în 17°). Axioma II este verificată (acelaşi argument ca în 17°). Axioma III* este verificată în virtutea raţionamentului următor: . Fie a e g un element fix dar arbitrar luat în g şi x e g un element car~ parcurge toată mulţimea finită g. Considerăm produsul

ax = b respectiv xa

{19) Vrem

să arătăm, că

=

b.

pentru x 1 #= x 2 avem b1 #= b2 •

lntr-adevăr, dacă b1 = b2 atunci _ax 1 = ax 2 x 1a = x 2a; lnmulţind (în -li,) la stînga respectiv la dreapta amîndoi membrii acestei relaţii

cu a- 1 obţinem x 1 = x 2 ceea ce e contradictoriu. · Ţinînd seama de I' conchidem, că mulţimea (b) a produselor din (19) obţinută pentru toate valorile lui x în g are următoarele proprietăţi: 1) e cuprinsă în mulţimea finită g; 2) dacă n e numărul (natural) al elementelor din g mulţimea (b) constă formal din n elemente. 3) elementele din (b) sînt toate diferite între ele. Vrem să arătăm, că mulţimea (b) nu e numai conţinută în g dar chiar coincide cu acesta. Într-adevăr, dacă n-ar coincide ar cuprinde un număr m < n de elemente distincte. Aşadar mlilţimea (b) care formal constă din n elemente ar conţine n - m > O elemente repetate. Aceasta contrazice însă proprietatea 3). Prin urmare pentru un b e g dar altfel arbitrar există un x 0 ~ g aşa încît (19) să se verifice identic ax 0

= b respectiv

x 0a

=

b.

• ln definitiv, mulţimea satisface la axiomele I, II, III* ale grupului abstract. E deci probat că pentru subgrupurile finite e de ajuns să cerem numai I'.

33 ·

20°. Centrul unui grup

Vom face o aplicaţie a axiomelor subgrupului demonstrînd, că mulţimea tuturor elementelor dintr-un grup abstract .ţJ, permutabile cu fiecare din elementele grupului formează un subgrup numit centrul lui .fJ. Cum această mulţime ar putea fi infinită, atunci vom verifica axiomele din 17° proprii subgrupurilor generale. Mai întîi toate stipulaţiile din lămurire sînt împlinite. 1n special faptul, că mulţimea nu e goală. Într-adevăr, ea conţine cel puţin elementul unitate din .fJ permutabil evident cu toate elementele grupului. Axioma I' e verificată. Într-adevăr fie a e g, b e g şi x un element curent din (J,. Prin ipoteză avem

ax De aici în .(J,.

obţinem

=

xa, bx

=

xb.

succesiv, folosind axiomele grupului abstract, verificate

a• bx = a• xb = ax• b = xa • b = x • ab. ln definitiv, luînd rezultatele extreme şi aplicînd încă odată asociativitatea în .ţJ, ·

ab• x

=

X•

ab.

Deci ab ~ g şi prin urmare I' este verificată. Axioma .IV' e verificată. Într-adevăr, dacă a e g putem scrie ax= xa pentru toţi x e fJ,. Fie a- 1 inversul în .ţJ, al lui a. Operînd în .lJ, asupra relaţiei precedente obţinem succesiv

Deci a- 1 ~ g prin care IV' se dovedeşte verificată. Existenţa subgrupului numit centru este probată. Acest subgrup este abelian, căci elementele lui permutabile cu toate elementele din .ţJ, sînt evident permutabile şi între ele. Există grupuri al căror centru se reduce numai la elementul unitate. De exemplu, grupul transformărilor proiective ale dreptei. Există grupuri al căror centru se confundă cu grupul însuşi: grupurile abeliene. Avem chiar în această proprietate un mod de a defini grupurile abeliene. Exemplu de grup abelian: grupul translaţiilor din spaţiu. Numim subgr,up veritabil g al unui grup .ţJ,, un subgrup care este submulţime veritabilă a lui fJ,. Aşadar condiţia slabă g c fi. care lasă loc şi posibilităţii g = .ţJ, e înlocuită cu condiţia tare g

< {J,.

Numim subgrup propriu un subgrup veritabil deferit de identitate. Există grupuri în care centrul este un subgrup propriu: Exemplu: grupul 0 aseniănărilo~ directe din plan cu polul de asemănare în origine, al cărui centru

e dat de omotetiile cu polul în origine. 34

·

EXERCIT I 11>

I 1.

Să

se C(llcu!eze inversul lui a1a 1 ... an într-un grup (].

Să

se rezolve

R: 2.

ecuaţiile

ab

= bax,

ab

= yba

într-un grup (J ( x este comutatorul la dreapta, respectiv y comutatorul la stînga al elementelor a, b ).

R: 3. Cînd x parcurge fdră repetiţie grupul (J, x- 1 şi ax sau xa, unde a este element arbitrar fix al grupului fi, parcurg şi ele f4ră repetiţie grupul . În sfîrşit, o corespondenţă biunivocă (univocă în amîndouă sensurile) a mulţimilor .{J, şi r se numeşte o reprezentare echivalentă a lui fJ pe r (sau r pe ~) 31 • E clar că reprezentările echivalente intr.ă printre reprezentările nelacunare. Exemple de reprezentări putem culege din geometrie şi topologie. 1). Astfel proiecţia stereografică a sferei în raport cu polul nord pe ecuator este o reprezentare a mulţimii pu_nctelor planuliti euclidian al ecita-

36

r

de la Ci la. (nota. ediţiei). Funcţie surj.?ctivă.. (nota ediţiei). Funcţie bijectivă (nota ediţiei).

1 > Funcţie t) 3>

torului pe mulţimea· punctelor sferei. Această reprezentare este lacunară, căci nu există nici un punct în planul ecuatorului care să admită polul nord ca imagine .t,. · 2) Proiecţia sferei, în raport cu centrul pe un plan proiectiv (planul euclidian închis cu dreapta de la infinit) care nu trece prin centru este o reprezentare nelacunară a sferei pe planul proiectiv. 3) O inversiune cu polul în afara unei sfere şi de modul: puterea acestui punct .faţă de sferă, n~ dă o reprezentare echivalentă a interiorului sferei asupra lui însuşi. ln cazul unei reprezentări nelacunare a mulţimii .ţJ. pe mulţimea r, unul din elementele a din .{J, corespunzătoare unui element ex din r, se numeşte un ramificat al lui ex. Totalitatea (a) a elementelor din -11, corespunză­ toare unui element ex din r se numeşte ramificarea 2> lui ex. 22°. Omomorfie, omomorfism, izomorfism, autoinorfism

Numim domeniu multiplicativ o mulţime abstractă .(J_ înzestrată cu o lege de compoziţie (scrisă multiplicativ) satisfăcînd axiomei implicaţiei. I'. Dacă a e .ţJ. şi b e .ţJ. atunci ab-+ .ţJ.. E de observat că, univocitatea nu e afirmată pentru legea de compoziţie a, domeniilor multiplicative. Cînd această împrejurare are loc, aşadar cînd I' e înlocuită prin I, în aceiaşi formulare ca pentru grupurile abstracte (vezi 4°) vom spune că avem de-a face cu un domeniu multiplicativ tare. Şi acum următoarele definiţii: 1) O reprezentare a domeniului multiplicativ (J, pe domeniul multiplicativ r, r:are se face cu păstrarea produselor (adică: la a, b, c în-':}, legaţi prin ab = c corespund ex,~, y în r legaţi prin ex~= y), se numeşte omomorfie 3>. 2) O reprezentare nelacunară a domeniului multiplicativ .(!J, pe domeniul multiplicativ r, cu păstrarea produselor, se numeşte omomorfism 4'. · 3) O reprezentare echivalentă a domeniului multiplicativ .ţJ. pe domeniul multiplicativ r, cu păstrarea produselor, se numeşte izomorfism. lncă o definiţie a izomorfismului este evident următoarea: două domenii multiplicative omomorfe în amîndou"ă sensurile se zic izomorfe. 4) Un izomorfism al unui domeniu multiplicativ .ţJ. cu el însuşi se numeşte automorfism. Aceleaşi definiţii le putem prezenta în forma următoare: Fie S o operaţie care realizează trecerea de la un element a al domeniului multiplicativ .{J,, la un element ex al domeniului multiplicativ r. Putem, nota simbolic, efectul acestei operaţii: ex= a' 1> Închizînd pla.nuleuclidiancu un punct id~al (punctul lui Mobius dela infinit) el se transformă în planul anallagm:i.tic. E clar, că proiecţia stereografică constituie o reprezentare uhivalentă a sferei pe planul anallagmatic. · ·

În exemplul 2) ramificarea unui punct oc din planul proiectiv este dată de cei doi antipozi pe diametrul sferei, ce trece prin oe. (Ramificarea este imaginea invers! - nota ediţiei). 3 > Morfism (nota ediţiei). 4 > Epimorfism sau morfisin surjectiv (nota ediţiei). 1>

aşezaţi

37

Presupunem că această meniilor multiplicative,

operaţie aş_adar

e

permutabilă

cu legea de

compoziţie

a do-

(20) pe~tru orice a, b e (j. . Avem definit în S: o omomorfie, un omomorfism sau un izomorfism, după cum S înseamnă respectiv: o reprezentare, o reprezentare nelacunară sau o reprezentare echivalentă a mulţimii (j pe r. 23°.

Exemplificări

Să lămurim

aceste noţiuni abstracte prin cîteva exemple. 1) Exemplu de omomorfie Domeniu multiplicativ (j: numerele lui Gauss: z = x + yi, cu x şi y întregi. Domeniu multiplicativ r: numerele naturale inclusiv zero. Legea de compoziţie pentru (j: înmulţirea numerelor complexe. Legea de compoziţie pentru r: înmulţirea numerelor naturale inclusiv zero. Reprezentare: trecerea de la a= u + iv la norma (pătratulmodulului) acestui. număr complex: 0t = u 2 + v2 • Avem omomorfie, căci ecuaţiaJ de condiţie (20) este satisfăcută. Într-adevăr, dacă (21)

avem, cum se (21 '}

ştie

(u~

+

vn (ui

+vi)= uf +

vf.

Omomorfia este veritabilă (nu se reduce la un omomorfism) căci reprezentarea este lacunară. Într-adevăr unui număr natural oarecare, de exemplu et = 7 nu-i corespunde nici un număr al lui. Gauss a = u + iv, căci ecuaţia 7

= u 2 + v2

nu e solubilă în numere întregi, cum se poate verifica în cazul de faţă, printr-un număr finit de încercări. 2). Exemplu de omomorfism Aducem exemplului precedent următoarea modificare. Restrîngem mulţimea r la mulţimea numerelor naturale sume de două pătrate perfecte, inclusiv zero. Axioma I' e verificată de noua mulţime r. lntr-adevăr u 3 şi v3 din identitatea (21) sînt numere întregi

38

Prin urmare, potrivit identităţii (21 ') două numere din r au ca produs doµă numere din r. .. .·:, Pe de altă parte reprezentarea lui .ţJ, per este în cazul de faţă n,elacunară. Într-adevăr ecuaţia în numere întregi · x2

+ y2 = u2 + v2

+

evidente x = ±u, y = ±v pentru oricare ex= u 2 v2~ 3) Exemplu de izomorfism .{J.. = mulţimea numerelor complexe, de componente reale 1' cu. excluderea \ui zero. r - mulţimea rotaţiilor urmate de omotetii, cu centrul, pentru amîndouă, în origine. Legea de compoziţie: pentru fi,, înmulţirea complexă; pentru r, compunerea transformărilor. · Reprezentare: numărului z = pei 6 i se asociază asemănarea directă cu polul în origine, de „tensor" p şi de rotor 8 (mod 21t). E clar, că o astfel de reprezentare e echivalentă. Pe de altă parte, ţinînd seamă, că în compunerea asemănărilor de acelaşi pol tensorii se înmulţesc între ei iar rotorii se adună, se vede că reprezentarea se face cu păstrarea produselor domeniilor multiplicative .{J, şi r. . Aşadar avem între .{J, şi r izomorfism. 4) Exemplu de automorfism .{J, = mulţimea numerelor complexe raţionale (sau chiar mulţimea numerelor lui Gauss). Reprezentare a lui .{J, pe el însuşi= conjugium, aşadar transformarea are

z*

soluţHle

= z.

Lege de

compoziţie

comP.lexă).

=

înmulţirea complexă

(tot

aşa

de bine adunarea

Întrucît avem identic

iar reprezentarea e echivalentă, avem de a face cu un automorfism. Alt exemplu de automorfism. fi, = grupul deplasărilor din plan. Reprezentare a lui ţj pe el însuşi: transformarea printr-o asemănare d. 0 a planului (22) unde

(JJ

eo

mişcare

din .(J, • .

Într-adevăr, avem în (22) o asemănare, care păstrează sensul unghiu-

rilor

şi

care are ca raport de

u Exemplu se poate foarte complexe raţionale.

uşor

asemănare

aritmetiza, considerînd planul lui Gauss pentru numerele ·

39

k 0 fiind raportul de asemănare al lui d 0 • Deci (JJ* e o mişcare. Trecerea de la (JJ la (B* e biunivocă. Aşadar avem în (22) o reprezentare echivalentă a lui {J, pe el însuşi. Pe de altă parte reprezentarea păstrează produsele, căci avem din (22)

c:B;c:B; = dlBllJ2cAo 1 • Deci, într-adevăr avem un automorfism. Exe~plele de mai sus, modele aritmetice ale lipsa lor de contrazicere, rezolvă aşadar problema

noţiunilor introduse, arată consistenţei logice a acestor

noţiuni.

24°. Antiautomorfism

Un domeniu multiplicativ necomutativ poate admite antiautomorfisme. Un antiautomorfism este 1) o reprezentare echivalentă a* = a1 a domeniului asupra lui . însuşi. 2} reprezentare, care păstrează produsele cu inversarea ordinei factorilor, satisfăcînd aşadar la următoarea ecuaţie funcţională (ab)'

=

b8a'.

Iată două bează lipsa de

exemple importante de automorfism. Aritmetizate, ele procontrazicere a noţiunii de antiautomorfism. ex) Domeniul multiplicativ al cuaternionilor 1> admite conjugium ca antiautomorfism. Pornim de la formula, uşor de stabilit

(23)

qq

=

81lq

unde ij e conjugatul cuaternionului q iar 81lq, norma. Excludem cazul q=

deocamdată

o.

În felul acesta domeniul multiplicativ devine grupul multiplicativ al cuater-

nionilor.

Relaţia

(23) se mai poate scrie q-1

(23') Să considerăm

doi cuatemioni,

= _J_. 81(q

diferiţi

tutea lui (23 ')

1

40

Pentru aritmetizare vom lua cuaternionii

de zero, q1

raţionali.

şi

q2 • Avem în vir-

Ultima

relaţie

se scrie succesiv

căci scalarii 3flq1 şi 8llq2 sînt permutabili în produs cu fiecare din cuaternioni. Folosind (23') obţinem

(24) Această relaţie

este generală căci se verifică banal şi pentru cazurile exceptate q1 = O respectiv q2 = O. Prin urmare avem în conjugium un veritabil antiautomorfism al cuaternionilor. Demonstraţia precedentă e desigur ocolitoare, pentru cazul cuaternionilor. Într-adevăr formula (24) poate fi probată legînd-o direct de formula produsului a doi cuaternioni qn = an+ b„i + c1ij + d„k {n = 1, 2):

Ceea ce e interesant e schema axiomatică a demonstraţiei precedente. Analizînd condiţiile care garantează reuşita demonstraţiei putem enunţa: Fiind dat un grup .ţJ, înzestrat cu un endomorfism 1 > Sfla

=

8lla ~

a,

Z

asupra centrului, orice reprezentare echivalentă involutivă a*= a8 a= a" asupra lui însuşi, satisfăcînd · la ecuaţia funcţională

8fla' aa'

= 81la =

81la

este un antiautomorfism al grupului. 1 > Adică

o omomorfie cu el

însuşi.

41

Ar fi interesant_ d~ cercetat, dacă există grupuri în· afară de grupul multiplicativ al cuaternionilor ca:re să satisfacă la aceste condiţii. ~) Al doilea exemplu de antiautomorfism. Fie O mulţimea tuturor matricilor cu n linii şi n coloane, de elemente reale (sau raţionale) 1>. 1nmul~ ţirea matricilor organizează pe O ca domeniu multiplicativ. Dacă A = (a,J), B = (b,J) sînt două astfel de matrice, matricea produs C = AB este. dată de (25)

de

Considerăm reprezentarea echivalentă operaţia numită transpoziţie

constă

E clar,

în schimbarea liniilor cu coloanele,

că

însuşi dată

=A

A*

.care

a lui O asupra lui

aşadar

avem, în virtutea lui {25)

(26) iar pe de

altă

parte

unde primul indice se

referă

la coloane, al doilea, la linii.

Aşadar

Înmulţirea numerelor reale fiind comutativă, aceiaşi relaţie se mai scrie

(26')

Comparînd (26) cu (26') conchidem ,.,,,..,._.,,

I

,...,,.__,

AB=BA Aşadar „transpoziţia" constituie un antiautomorfism al domeniului multiplicativ al matricelor pătrate. Acest antiautomorfism x* = x8, întocmai ca pentru cuatemioni conjugium, este involutiv

x3•

=

(xy}"

=

X

xy.

1> Concluziile se menţin pentru toate inelele (vezi în partea a II-a a cursului această noţiune) complete de matrici peste un inel comutativ. 1 > alJ b 1: este suma einsteiniană relativă la indicele j. 1

42

Antiautomo~ismele involutive sînt importante pentru teoria numerelor hipercomplexe sau a algebrelor, cum sînt încă numite, pe scurt. 25°. Sfîrşim acest paragraf cu cîteva observaţii asupra· terminologiei introduse. Omomorfism şi omomorfie sînt noţiuni distincte, deci nu e permis ·să folosim una în locul celeilalte, mai ales pe cea specială în locul celei generale. 1n schimb însă e permis să întrebuinţăm izomorfie pentru izomorfism şi automorfism pentru automorfie. Într-adevăr, izmorfie, cuvînt format ca omomorfie, înseamnă o omomorfie bilaterală de la (J_ la r şi r la .{J,, între domeniile multiplicative (J_ şi r. Dar o reprezentare, chiar dacă nu ea priori precizată ca nelacunară, bilaterală între două mulţimi este a posteriori o ţepre- . zentare echivalentă căci apare univocă în amîndouă sensurile: oricărui a e .{J, îi corespunde un e este deajuns să verificăm (vezi 3°) simetria şi tranzitivitatea relaţiei r*

=

rv,

v eg.

Simetria se verifică r = r*v- 1 , v- 1 e g Din r* = rv, r** = r*u, v, u e g conchidem r** = rvu adică r** = = rw, w ~ g deci tranzitivitatea este verificată. Mulţimea rg formează clasă . .(J, se descompune însă în întregime în clase fără nici un element comun. ln adevăr oricărui element r îi putem găsi o clasă din care face parte, şi anume clasa rg; orice element din ,6 este conţinut într-una din clase. Dar, de asemenea, două clase diferite nu pot avea nici un element comun, căci dacă ar exista un asemenea element comun a al claselor distincte r1g şi rzg, orice element din r 1g ar face parte din aceiaşi clasă cu a şi a ar face parte din aceiaşi clasă cu orice element din r2g, conform definiţiei clasei, de unde ar rezulta conform tr~nzitivităţii că elementele din r 1g fac parte din aceiaşi clasă cu cele din r 2g, ceea ce este absurd. Elementele r,, care pot fi schimbate cu oricare altele din clasele respective, se numesc reprezentanţi. Existenţa unui sistem complet de reprezefţtanţi (adică a unei mulţimi de reprezentanţi din fiecare clasă a descompunerii lui fJ,) pentru grupurile cu un număr finit de elemente este evidentă. În cazul unui grup cu o mulţime oarecare de elemente, existenţa unui sistem complet de reprezentanţi nu mai este evidentă, şi sînt necesare consideraţii de teoria mulţimilor în legătură cu axioma lui Zermelo. · 53

Clasele de la (35) le numim clase de resturi la dreapta. (În literatură se numirea de clase de resturi claselor unui grup abelian faţă de un subgrup. În tratatele germane aceste clase se·numesc, pentru· un grup necomutativ: Neben klassen, clase laterale. Întrucît nu e de temut vreo confuzie, continuăm să le numim în toate cazurile clase de resturi. Analog, se introduc clasele de resturi la stînga:

rezervă

gl.

(36)

Avem întocmai ca în cazul claselor de resturi la dreapta o descompunere corespunzătoare a lui .li, în clasele de resturi la stînga fără elemente comune. Să facem acum următoarea observaţie importantă: Pentru ca în descompunerile (35) şi (36) clasele de resturi drepte să coincidă respectiv cu clasele de resturi stingi este suficient să avem în g un divizor normal. · Într-adevăr, în virtutea definiţiei 1, avem t- 1gt = g adică tg = gt pentru orice t e .li,. Deci orice clasă de resturi dreaptă poate fi scrisă sub formă de clasă de resturi stingă, dacă g este divizor normal Condiţia este însă şi necesară. Într-adevăr să punem (37)

pentru orice reprezentant drept

r,.

Explicit egalitatea se scrie

unde unul din elementele u, v este arbitrar luat în g. Deci avem pentru relaţie de forma r,v = l1 • Înlocuind în (37) obţinem

u= eo

De aici

rezultă

ceea ce se mai scrie (deoarece v- 1 -,. g) (38) Dar, conform lui (36), orice element t din .(3. este de forma t

= 11,W.

Cu aceasta (38) devine succesiv g

54

::s:

wt- 1gtw- 1

o

pentru toţi t în ~- Deci g este un divizor normal. Necesitatea condiţiei este dovedită. De aici următoarea nouă proprietate, care defineşte divizorul normal. Condiţia necesară şi suficientă, ca grupul ţJ, să prezinte faţă de subgrupul g clase de resturi drepte identice (mai puţin ordinea) cu clasele de resturi stingi este ca g să fie divizor normal. 4. Transformăm clasele de resturi drepte (de exemplu) într-un doµi.eniu multiplicativ slab (vezi 22°). · Mai întîi introducem următoarea notaţie, pe care o vom păstra de-a lungul întregului curs, pentru a arăta o clasă de resturi (la dreapta) de reprezentant r,:

Schimbînd reprezentantul, clasa nu se schimbă. Aşadar ·avem, prin {r,} = {r,a}, a e g. . Aş:t fi_~d _introducem următoarea lege de compoziţie I' (nu însăşi I) a 1mplicaţ1e1 singure

definiţie

(39) Prin aceasta mulţi;mea claselor de resturi drepte s-a transformat într-un domeniu multiplicativ slab. Avem următoarea teoremă, care poate· servi ca nouă definiţie a divizorului normal.

T e o r e m ă • Siebgrup,urile pentru care domeniul multiplicativ al claselor de resturi (la dreapta) este .un domeniu multiplicativ tare, adică înmulţirea claselor satisface la axioma întreagă I a univocităţii, sînt divizori normali. 0 Într-adevăr condiţia este suficientă. Schimbînd în (39) reprezentanţii primului membru, avem succesiv {r,a} {r,b}

=

{r,a r,b} ; a, b e g

{r,a} {r,b}

=

{r,r, • rj1ar, • b} ;

{r,a} {r,b}

=

{r,r1 a'b} ; a' e g

{r,a} {r,b} = {r,r1c};

a'b = c-+ g

de unde rezultă, în definitiv {r,a} {r,b} = {r,r1}. Comparînd cu (39) constatăm, că prin schimbarea reprezentanţilor produsul claselor nu se schimbă. Deci suficienţa condiţiei pentru univocitatea înmulţirii e probată. Să probăm necesitatea condiţiei. Presupunem a e g arbitrar şi r, în mulţimea reprezentanţilor de asemenea arbitr~. Univocitatea î~ulţirii claselor cere

r,a • r,b = r,r1c, c-+ g.

• De aici

rezultă

succesiv

(înmulţind

la stînga cu

r,

1

)

Dar pentru un t arbitrar în .{J, avem, din (36) t

Ultima

relaţie

= r1v, v __., g.

devine

t- 1at

unde am pus d = v- 1cb- 1v. Ţinînd se interpretează astfel:

=

d,

d __., g

seamă, că

a este arbitrar în g ultima re-

laţie

t-lgt pentru toţi t în .{J,. Potrivit definiţiei 2 Teorema este demonstrată. 33°. A doua

teoremă

C

g

urmează că

g este divizor normal.

de omomorfism

Ultima definiţie a divizorului normal (definiţia 4) se încorporează într-a pentru întreaga teorie a grupurilor.

teoremă generală, fundamentală

T e or em

ă

( a doua

teoremă

de omomorfism). Dacă

este descompunerea în clase de resturi 1> ale grupului .f}. normal g, între grupul -0, şi mulţimea r a claselor de resturi, multiplicativ slab 2> prin convenţia

faţă de divizorul său organizată în domenfa

avem omomorfism (de la f}. la r). Deci (prima teoremă de omomorfism) un grup : grupul factorial ~/g al lui -0, faţă de g şi avem

r

este

t> Conform rezultatelor de la punctul 3 din alineatul precedent, descompunerea în clase de resturi la stînga ne conduce la acelaşi domeniu multiplicativ. 1 > Lăsăm, ca rezultatul de la punctul 4, din alineatul precedent să. rezulte de data aceasta din demonstraţie.

56

Demonstraţie. Între mulţimea claselor elementelor a din .fJ. şi clasele de resturi {r,} avem corespondenţă univocă în sensul de la a la {r,} căci un element din fJ, intră într-o clasă de resturi şi numai în una singură, potrivit definiţiei acestor clase. · · Pe de altă parte, corespondenţa se face cu păstrarea produselor. 1ntradevăr, fie a, b arbitrare în .fJ. iar

a = r,a., b = r1~; a., ~ --+ g forma sub care apar a, b în descompunerea în clase de resturi a lui .f}., din e_nunţ. Avem

Trecînd de la clasele de- resturi putem scrie succesiv 1>:

cu a.' (şi y) în g, datorită faptului, că g este divizor normal. în definitiv am obţinut ~elaţia

Potrivit

definiţiei

produsului a

două

clase avem

însă

Aşadar

adică

{ab} = {a} {b} pentru a, b arbitrari luaţi în -0,. Deci domeniul multiplicativ al claselor de resturi ale lui fJ, relative la divizorul normal g, este imaginea omomorfă a grupului .f}.. Conform primei teoreme de omomorfism, acest domeniu al claselor de resturi formează grup şi anume un grup omomorf cu f},. Acest grup se numeşte grupul factorial 2' al lui .fJ. prin divizorul normal g şi se înseamnă cu .(J,jg. Avem aşadar fJ, ~ fJ,/g. · Teorema este demonstrată. 1 > Tot acest calcul poate fi suprima.t da.că. ne raportăm la teorema -f din alineatul precedent. I> Sa.u grupul factor, sau grupul cit (nota ediţiei).

·57

Importanţa ei stă în faptul, că permite să construim atîtea omomorfisme ale grupului .{J, cîţi divizori normali admite acesta. Dacă toate omomorfismele lui .{J, pot fi obţinute pe această cale, la aceasta răspunde prima teoremă de isomorfism, din capitolul următor., Exemplu de omomorfism indus de un divizor normal. Considerăm grupul deplasărilor .{J, din spaţiu şi divizorul său normal (să se verifice!) constituit de subgr~pul g al translaţiilor. Clasele de resturi sînt constituite din deplasările al căror cit (la dreapta) cu o deplasare-reprezentant e_ste o translaţie oarecare. Se poate proba, că există un reprezentant de fiecare clasă care lasă originea fixă. Aşadar o rotaţie, din grupul rotaţiilor originei. Produsul claselor prin mijlocirea acestqr reprezentanţi nu. iese din interiorul grupului factorial .{J/g. · De .aici rezultă: Grupul deplasărilor din spaţiu este omomorf cu grupul rotaţiilor sferei.

§ 4. TEOREME DE IZOMORFISM

34°. Prima

teoremă

T e o r e m ă. Dacă a unui grup .ţJ atunci.

de izomorfism

r

este un domeniu multiplicativ lmagine om,omorfă

1) r e însuşi grup. . 2) Ramificarea g din .{J, a elementului unitate e din r este un divizor normal al lui .f:J. 3) r este izomorf cu. _grupul factorial .{J,/g. . Demonstraţie. 1) Acest punct din enunţ coincide cu conţinutul primei teoreme de omomorfism din §· 2. Ca atare îl putem privi ca mai dinainte ştiut. 2) Fie S omomorfismul. _Prin definiţie ramificarea g a lui e din r cuprinde toate elementele din .{J, care au ca imagine e, ceea ce însemnăm pe scurt prin

g•

(40) (J,. şi

=

e.

Fie t elementul transformator al unui automorfism interior relativ la g submulţimea din .{J, în care se transformă g prin acest automorfism:

g = t-lgt. Aplicînd omomorfismul S aveIP succesiv ~

sau

ţinînd

=

(r 1gt)8

=

(t-l)8g8(t)'

seama de (40)

g' = (t')- 1 e(t') = (t')-1(t') = e. Conchidem

gcg căci

58

~g este ramificarea

(totală)

a lui e.

În definitiv avem acest rezultat: imaginile lui g prin oricare din ~utomorfismele interioare ale lui .f1, sînt conţinute în g. Potrivit celei de a doua definiţii a divizorului normal (vezi § 3) rezultă_. că g este un divizor normal al lui .{J.. 3). În virtutea celei de a doua teoreme de omomorfism avem

-l:J. :::t fJ Ig.

(41)

Elementele lui .{J./g sîntJ cum ştim, clasele de resturi ale descompunerii (la dreapta sau la stînga indiferent) a lui fJ prin g. Ramificarea în .{J. a uneia din aceste clase de resturi {a} este dată de toate elementele care intră în aceiaşi clasă cu a deci coincide cu mulţimea elementelor din {a}. Să cercetăm acum care este ramificarea unui element ex din rJ imagine a ţlementului a din fi,. Fie a* un element arbitrar al ramificării. Formăm cîtul 1

1

(42) Aplicînd în amîndoi membrii omomorfismul S

sau

obţinem

încă

Ţinînd seamă însă că

a'= ex, a* 8

=

ex avem v'

Conchidem v -+ g. Relaţia (42) devine a* = av. ReciprocJ dacă avem a*= avJ v e g atunci a* face parte din ram_ificarea lui a.J a*•

=

a'v'

=

exe

=

căci

=

ex-1ex

=

e.

aplicînd pe S avem

a..

în definitiv ramificarea lui a. în omomorfismul 1

(43) dată de mulţimea elementelor din clasa de resturi 1> { a} = ag. Prin urmare {a} şi a. au în (41) şi (43) aceiaşi ramificare în -0, anume {a} însu~i, considerată ca submulţime ag (sau ga). Deci prin intermediul aces~ tor ramificări comune din omomorfismele (41) şi {43) se statorniceşte între elementele a. şi {a} din r şi .ţJ,/g o corespondenţă biunivocă. Rămîne să arătăm, că o astfel de corespondenţă se face cu păstrarea produselor.

este

1

. u Sabgrupul g fiind divizor normal nu există nici o ambiguitate în definirea clasei de resturi. Într-adevăr potrivit celei de a treia definiţii a divizorului normal din§ 3 clasa dreaptă {a}, a lui a coincide cu clasa stingă {a}z.

59

Avein în virtutea lui (41)

{a} {b}

(44)

= {c}

unde {a}, {b} sînt arbitrar luate în .fJ/g ab ab

şi

unde c poate fi luat în .fJ egal cu

= c.

Aplicînd omomorfismul (43) acestei ultime (44')

ex~=

relaţii găsim

y.

Ţinînd seama de corespondenţa biunivocă între .fJ,/g în virtutea lui (44) şi· (44'), la izomorfismul

.fJ/g =

şi

r

conchidem,

r

ceea ce era de demonstrat. Cu această primă teoremă de izomorfism este în întregime demonstrată. Semnificaţia ei este considerabilă. Ea arată, că problema găsirii tuturor omomorfismelor unui grup .fJ se reduce la găsirea tuturor divizorilor normali ai acestuia. Altfel spus: omomorfismele unui grup ţJ, sînt toate cunoscute, în afară de eventuale izomorfisme. Ele sînt date de reprezentările grupului ţJ. pe diversele sale grupuri factoriale, făcute cu ajutorul trecerii de la un element al lui .{J. la clasa de resturi corespunzătoare, relativă la divizorul normal considerat. Orice grup admite doi divizori normali banali: grupul .{J. şi grupul E al elementului-unitate. Deci ungrup admite două omomorfisme banale: aplicările lui pe grupurile factoriale .{J.I.ţJ,,

.ţJ, IE

respectiv izomorfe cu E şi fi,. Ultimul nu este un omomorfism veritabil ci, evident, un izomorfism. Rămîne deci rezultatul: orice grup e capabil de un omomorfism veritabil: aplicarea lui pe elementul-unitate e (compus cu diversele isomorfisme, şi ele banale ale lui E). 35°. Structuri generale

În vederea pregătirii demonstraţiei celei de a doua teoreme de isomorfism, trebuie să introducem noţiunea de structură 1> generală. u Teoria corespunz'1to;1.re e numită. de autorii scandin&vi (Oystein Ore) teoria structurilor; americanii o numesc Theorie of lattices .. Germanij, Verbandslehre. Trebuind să. alegem, preferăm terminologia scandinavilor, ca mai te~nică. Teoria leg;turilor sau „teoria latticelor" ni se · par inacceptabile.

60

O mulţime abstractă :E înzestrată cu două legi de compoziţie simbolizate prin U şi n formează o structură, cînd următoarele două tablouri de axiome perfeet duale) sînt verificate. 1)AUB=BUA 2) AU A

=A

3) (A U B) U C 4) A U (A

1')AnB=BnA· 2') A nA

=

n B) =

=

A

A U (BUC)

3') (An B) n C

A

4') A

=

A

n (A U B) =

A

n (B n C)

Aici A, B, C sînt elemente ale mulţimii :E. Se subînţelege atît pentru U cit şi pentru operaţia n, o axiomă de univocitate de felul axiomei I din teoria grupurilor. Pentru simplicitate aceste axiome de univocitate n-ati mai fost trecute în tablou, ci sub formă de lămuriri ulterioare. Operaţia U primeşte numele de reuniune, iar . n de secţiuneu. Exemple de structuri Numerele naturale înzestrate cu două operaţii U şi n care să însemne respectiv trecerea la c.m.m.c.m. şi c.m.m.c.d. al lor. Spaţiile proiective S„ cu n dimensiuni. Aici elementele structurii sînt constituite di~ spaţiul S„ însuşi şi din .toate varietăţile lui liniare Sn_ 1 , Sn_2 , ... , S 0 , ultimele, S 0 fiind punctele. Operaţia de reunire U înseamnă aici trecerea la varietatea liniară de cel mai mic număr de dimensiuni care cuprinde cei doi termeni ai operaţiei. Operaţia de secţionare n înseamnă trecerea la varietatea liniară de cel mai mare număr de dimensiuni cuprinsă în termenii operaţia

operaţiei. Lăsăm

din aceste

cititorului grija exemple.

verificării

axiomelor 1-4

două

şi

l '-4' pentru fiecare ·

36°•. Organizarea subgrupurilor ca. structură generală

Fie fa un grup dat şi (g) mulţimea tuturor subgrupurilor lui (proprii sau improprii). Numim secţiune (grupală) a două subgrupuri g1 şi g2 subgrupul

care este conţinut în fiecare ·din termenii g1 şi g2 ca subgrup dar nu admite nici un înfăşurător veritabil cu aceeaşi proprietate. Să demonstrăm, că subgrupul g12 există şi e bine determinat. Într-adevăr, mulţimea elementelor oricărui subgrup comun lui g1 şi g2 poate fi cel mult egală cu mulţimea elementelor comune lui g1 şi g2• Dar toate elementele comune lui g1 şi g 2 formează un grup, căci axiomele I' şi · IV' ale subgrupurilor (subgrup faţă de fa) sînt satisfăcute: două elemente

•

1 > Intersecţie

în une~e cazuri (nota ediţiei).

-61

au produsul l~r c = ab cuprins în

căci

g1

şi

aceiaşi mulţime

g2 sînt grupuri; la fel, inversul a- 1 al lui a

face pentru

acelaşi

motiv parte din

mulţimea considerată

lnsemnînd cu g12 acest subgrup format de elementele comune lui g1 şi

g2, este clar, că oricare alt subgrup (veritabil sau nu) de g12• Prin urmare secţiunea generală

conţinut

în g1

şi

g2 este

înfăşurat

există şie unic determinată. Prin aceasta am arătat, că operaţia n satisface la axioma I a univocităţii. Este de observat că, secţiunea grupală a termenilor g1 şi g2 . coincide cu secţiunea lor topologică 1>. Prin reuniune grupală a două subgrupuri g1, g2 înţelegem secţiunea topologică (şi deci grupală) a tuturor subgrupurilor c.are înfăşoară pe g1 şi g,.. Axioma I a univocităţii este prin chiar această definiţie evident satisfăcută.

O altă definiţie echivalentă a reuniunii grupale este următoarea: subgrupul lui G care naşte din complexul de elemente (g1, g2) compuse între ele în toate modurile posibile (inclusiv prin inversare). E mai întîi clar, că două elemente provenite dintr-un complex ne dau prin compunerea lor un element provenit din acelaşi complex. Pe de altă parte inversul unui element, provenit dintr-un complex se construieşte cu inversele componentelor acelui element deci face parte din aceiaşi mulţime. Axiomele I' şi IV' ale subgrupurilor sînt verificate. Putem vorbi deci de subgrupulg12 generat de complexul (gi, g2). Pe de altă parte orice subgrup care înfăşoară pe g1 şi g2 înfăşoară şi pe g12 • Prin urmare g12 este secţiunea tuturor subgrupurilor care înfăşoară în acelaşi timp pe g1 şi g2

Reiese din această a doua definiţie, că reuniunea grupală nu coincide totdeauna cu reuniunea topologică a termenilor, ci o înfăşoară. Să demonstrăm acum următoarea: Te ore mă. Mulţimea subgrupurilor (g) ale unui grup dat .ra,, organizată cu . operaţiile de secţiune şi reuniune grupală precedent introduse formează o structură generală. 1 > Intersecţie

62

ca

mulţimi

(nota

ediţiei).

şi

Demonstraţie. Axiomele 1 şi 1' sînt verificate, căci reuniunii grupale sînt simetrice faţă de termeni:

definiţia

secţiunii

Axioma 2 este verificată. Într-adevăr subgrupul născut de complexul (g, g) este subgrupul g însuşi. De asemenea 2' este verificată, căci secţiu­ nea (topologică) a lui g cu el însuşi este g. Aşadar gUg

=

g,

gng

=

g.

Axiomele de asociativitate 3 şi 3' sînt verificate. Într-adevăr, să punem g 12 == g1 U g2 şi g23 = g2 U g3 • Reuniunea g12 U g3 conţine evident complexul (g1 , g2 , g3). De asemenea reuniunea g1 U g23 conţine acelaşi complex. ~ezultă gl2 U g3 ::::>

g123 1

g1 U g23

::::>

g123

unde g123 este subgrupul bine determinat generat de complexul (g1, g2, g3). Pe de altă parte g123 conţine evident pe g 12, g3 respectiv g1 , g23 şi deci subgrupurile generate de aceste complexe. Deci

Comparînd ultimele

două şiruri

de

relaţii

conchidem

sau

prin care axioma 3 este demonstrată. Axioma 3 ', se verifică, în baza observaţiei, că secţiunea grupală a lui g 1 şi g2 se acoperă cu secţiunea topologică a acestor două mulţimi. Operaţia secţiunii topologice satisface însă, prin definiţia asociativităţii cum uşor am putea ilustra printr-un exemplu. Ne raportăm însă la această definiţie a operaţiei n între mulţimi abstracte. Axioma 4 se verifică, observînd, că elementele secţiunii g1 n g2 sînt conţinute în g1 • Deci complexul (g1 , g1 ng2} generează acelaşi subgrup ca g1 , anume pe gi, însuşi. Aşadar

Axioma 4' se verifică, observînd, Deci secţiunea ei prin g1 este g1

Teorema este

că

reuniunea g1 Ug2

conţine

pe g1•

demonstrată.

63

37°. Lema I.

grupului total

.ţJ,

Dacă unul din subgrupurile g1 , g2 este divizor normal al atunci avem1'

Demonstraţie. Prin definiţie g1 Ug2 este subgrupul care naşte din complexul (g1, g2), deci cuprinde produsele de felul a1a2 cu a1 eg1, a 2 e g2. Prin urmare cuprinde submulţimea g1 X g 2

(45) Pentrµ a preciza, să presupunem că g1 este acela dintre subgrupuri care e sigur divizor normal. Să demonstrăm, că în aceste condiţii submulţimea g1 X g2 formează subgrup. Considerăm elementele a,, bi e g,, i = 1, 2. Avem succesiv

unde b~ Să

=

a 2b1a2 1

este în g1 , căci g1 e divizor normal. punem a1b~ = c1 , a2b2 = c2• Obţinem

cu c1 în g1 şi c2 în g2 • Axioma I' a Pe de altă parte avem

(a1a2) -1

-

implicaţiei

este

aşadar verificată.

a-1a-1 - a-ta-ta a-1 ~ 1 2 1 2· 2 •

Punînd a 2 1a 11a 2 = a;, şi a 2 1 = a; relaţia devine (a1a 2t 1 = a~a; cu a~ în g1 (divizor normal!) şi în g2• Incit axioma IV' a inversului este de asemeni

a;

verificată.

Conchidem, că submulţimea g1 x g2 în acelaşi timp pe g1 şi g 2 deci

înfăşoară

formează înfăşoară

subgrup. Acest subgrup reuniunea lor g1 Ug2 :

(45')

Comparînd (45) cu (45') conchidem (45")

gl U g2

Pe de

altă

=

gl X g2.

parte g 1 fiind divizor normal, avem pentru fiecare a 2 e g2

g1a2 = a2g1. Făcînd

pe a 2

să parcurgă

întregul subgrup g2

găsim

1 > Permutabilitatea c1 X Ca = Ca X c1 nu trebuie înţeleasă. ca o permutabilitate intre fiecare din elementele celor două. subgrupuri ci ca permutabilitatea lui g 1 cu toate elementele din g3 unde c1 este divizorul normal.

6.4

şi

prin urmare relaţia (45") .devine:.

Lema este

demonstrată.

Lema II.

Dacă

în

şirul

de grupuri : a

ultimul g este divizor normal în precedentul G şi iacă y e un divizor normal al grupului total .(J. aşa încît Gnyc g

atunci avem izomorfismul

G

yUG yUg

-=--·• g

Demonstraţie.

O

primă

întrebare care se pune este

existenţa

grupului

. factorial. Y UG. Trebuie verificat că y Ug este divizor normal al lui y UG. yUg .. Deşi această proprietate va reieşi din demonstraţie, şi vom avea ocazia s-o folosim, e nimerit s-o considerăm pentru ea însăşi. jln virtutea lemei I şi a faptului că y e divizor normal în grupul total .{iJ, putem scrie , yUG=yXG_:_Gxy { yU g=yXg=.gXy.

(46)

Să considerăm un ele:ment transformator djn y UG. El e de forma şi -re y. Avem succesiv

.:T-r cu

Te G

Însă g e divizor normal în G. Relaţia devine

Fie

cu

ot

ey

ot' şi ot"

şi a

e g un element al membrului al doilea e de forma

în y.

Aşadar

65

Potrivit celei de a doua difiniţii a divizoFului normal urmează ·că y x g -e divizor normal în y X G.

Să trecem acum la .demonstrarea lemei. Clasele de resturi ale descompunerii lui G ping sînt de forma

R eG.

R,g,

'(47)

,Clasele de resturi la dreapta 1>, ale descompunerii lui y e G prin y U g sînt de foqpa R e G,

R~ • y X g;

ex e y.

Ele se scriu evident

(48}

R-yx g.

Asociem clasele (47} şi (48) prin condiţia de a avea acelaşi R şi neipropunem să arătăm că prin această convenţie se stabileşte o corespondenţă biunivocă între clase. Într-adevăr clasa (47) fiind dată, toţi reprezentanţii ei intră în formula

R*=Ra.

aeg.

Fiecăruia din aceste schimbări de reprezentant îi corespunde în (48)

..modificarea

Ra-yx Avem

însă, ţinînd

seama de (46}

Ra• yX g dar,

g.

=

Ra-.gx y

=

R-gx y

=

R-yx g.

Comparînd cu (48} conchidem că avem' de-a face cu aceeaşi clasă. corespondenţa e univocă de la (47) la (48}. Să ne dăm acum clasa (•1'8). Ea se mai scrie conform lui '(46}

Aşa­

R•g X y. Un reprezentant arbitrar al ei este de forma (49)

rQ

=

a e g,

Rax;

ex e y.

lnsă în expresia canonică (48} intră numai reprezentanţii R cuprinşi în G. Punînd în (49}

(50)

R•

rezultă, ţinînd

=

Ra~,

R* -+ G

seama de g c G ex= a- 1R-1 R*-+ G.

u Nu vom folo.:;i rezultatul anterior

că.

y U g e di•rizor normal în y U G.

·: · ·

Ă.şadar ~ aparţine

lui G () y 1

şi

deci, prin

ipoteză

lui g , ;_ ;;r:

(51)

«-+g.

.

.

Introducînd schimbarea de reprezentant_ (50) în (47) v_irtutea lui (51)

i·~:

t-1\

obţinem a~~m'.,/i~;~

1

Ra7.•g= Ra•g= R.-g. · Deci clasa (47) a ·rămas aceeaşi. Corespondenţa e: univocă şi de la (48) la (47). . ln definitiv corespondenţa e biunivocă. . Să or~anizăm mulţimea claselor (48) ca domeniu multiplicativ slab, de-. finind ca produs a două clase de felul (48) clasa produsului reprezentanţilor canonici R:

(52) Prin aceasta axioma I', a implicaţiei, este ·satisfăcută. Clasele (47) organizate cu· leg~a de compoziţie analoagă (52') · formează grup, căci g este divizor nonnal în G. Avem aşadar .un grup în corespondenţă biunivocă cu un domeniu multiplicativ slab, corespondenţă care păstrează evident produsele cum reiese evident din (52) şi (52'). Sîntem

în condiţiile primei teoreme de omomorfism din ·capitolul precedent. ln concluzie, clasele de resturi (48) înzestr~te cu legea de. compoziţie (52') formează un grup izomorf cu acela al claselor de ·resturi (47), aşadar cu G/g. Un grup este însă un dome.niu multiplicativ tare (satisface la axioma întreagă I a univocităţii). Potrivit celei de a patra definiţie a divizorului normal urmează că y ug e divizor normal în y U G şi deci grupul claselor (48} se scrie

yUG. yUg.

E probat deci izomorfismul G/y = (y

U G)/(Y, U g).

38°. Teorema a doua de izomorfism in generalizarea lui Zassenhaus

T e m

N

:=,m

unde m şi n sînt divizori normali în M puri factoriale .izomorfe ·· · . : mU (MnN)

mU,(Mn:n)

şi

N, atunci

există următoarele

· · -·

gru -

nu (Nn M) nu (Nnm) 67.

resp.· (N n m)·, e :· divizor normal în din acest din urmă grup e situat atît în cit şi n respectiv N şi m rămîn invarianţi într-un automopism interior al lui M nN (n respectiv .m e divizor no~al în· N respectiv M prin ipoteză). · · · .. · · Să considerăm reuniunea grupală a acestor divizori normali (M n n) şi (N n m). în virtutea lemei I avem Demonstraţie. Secţiunea (M n.n) secţiunea (M N), căci un element M cît şi în N şi prin urmare atît M

n

t

L

=

Recunoaştem că

(M n N):

căci

avem

L8

=

(M n n) U (N n m)

=

•

•

·

(M n n) X (N n m).

L este invariat de un automorfism· interior S al lui · ·.,

(M n n)t x (N n m) 5

=

(M n n) X (N n m)

=

L.

In lema II este permis însă să facem identificările

n

n

Într-adevăr, avem M:::, M N:::, L, unde L e divizor normal în M N, cum am arătat. Pe de altă pa_rte m este prin ipoteză divizor normal în

aşa

şi

M

satisface· la

condiţia

din Lema II

m n (M n N)

· ·

= (m nN) nN = m nN

.

·· ·

c L.

Aplicînd. Lema II obţinem izomorfismul

mu (MnN) mUL Avem m UL

însă,

MnN L

în virtutea axiomelor structurilor

= m U [(m nN) U (M n n)] =

[m U (m nN)] U (M n n)

=

mu(n n N).

Izomorfismul precedent devine

mu (MnN)

(53)

mU (nn M)

MnN L

Permutînd rolurile lui M~ m pe de o parte cu acelea ale lui N, 11 pe de alta, şi ţinînd seama de comutativitatea operaţiilor U şi n .avem încă (53')

nu (Nn M) nu (mn N)

Din izomorfismele (53)

şi

L

(53') deducem izomorfismul cerut

?nU (MnN) mU (nn M) 68•-·

MnN

nu (NhM) nU (mnN)

.Teorema clasică, a doua,! de izo~orfism este o specializar~. a· teoremei lui Zassenhaus. Putem lua în aceasta clin urmă · ·· - · ·. · · ,·

lvl

=

li},,

N

= G,'

m

= g, n = e

unde g e un divizor normal al lui li},. . Avem, aplicînd axiomele structurilor: gU('înG)"=GUg, eu(Gnl:J,) =G gU(l:J,ne) =g,

eU(GOg) =Gng.

De unde, introducînd în (51) Gug·

G

--=-g Gng care este conţinutul teoremei a doua clasice de izomorfism. De altfel teorema a doua de -izomorfism, clasică, se poate obţine chiar din lema II pentru cazul special G ny = g. Într-adevăr avem după o prim~ înlocuire în relaţia de izomorfism din· enunţul lemei

G/G nY. = adică,

c; U.Y/r,l) ,(Y nG)

aplicînd axioma 4 din teoria st~cturilor ,, G/G.ny~GUy/y.

Generalizarea lui Zassenhaus, destul de progres în teoria grupurilor.

as G -::, g ! !

r

Să considerăm

=> Y -=, e:. teoremă

omomutfismul (vezi a doua

de omomorfism

din § 3).

r

-=, Y

• I

! ! r1r -=, i.

{54')

I,

Compunerea acestor

două

omomorfisme ne

dă

omomorfismul

. fi. -::, G_ . .. ,.,,

!

!

r/y=d. Aşadar

(prima

teoremă

de izomorfism} avem izomorfismul

(55) Din tabloul (54) rezultă izomorfismele (prima teoremă de izomorfism) .. ·'

r=

de unde

rezultă

y . ,·G/g

f],/g,

~·

izomorfismul (y divizor normal în r)

r/y = (fJ./g)/(G/g). '

-~

.

Compunînd cu izomorfismul (53) avem izomorfismul final

f],/g Teorema este

=

(f],/g)/(G/g).

demonstrată.

,1_:

EXERCIŢllll

1. a 1, aJ ••• fiin:J tn sistem c~mplet de reprezenta1,ţi al claselor de resturi la stînga ale grupului @faţă de su'Jgrupul g, a 11 , a 21 , ••• c;onstituie un sistem complet de reprezentan/i ai claselor de resturi la dreapta. R : Se verifică echivalenţa relaţiilor a e a1g, a- 1 e ga,.

1>

'70

Exerciţiile

sînt redactate

după

Hasse

şi·

Speiser.

2. · Înlr~un grup {;,_ ,e!em,ntele. (respectiv su'.J6 rupurile) c~mjugate cu. un element (respectiv subgrup) dat forme:iză clas!l. Grupu! (respectiv sistemul tutieror,su'bgrupurilor. sa!e.)s.e descompune. în clase de elemente (respectiv subgrupuri) conjugate. · R: s~ v~rific1 pro;:,rietlţile clasei. Orice elem.3nt (resp:!ctiv sub3rup) face însl parte dintr-o clasl: ch.,J. ebmJntelor (re3pecfr1 subgrupurilor) conjug.:1.te cu el (a este conjugat cu a•, respecfrr g cu g"' cînd. exist1 x e .J astfel incit a• = x- 1ax, respectiv· g• = x-•gx). '3~ Un subgrup g faţă' de care ~~

g se

descompune în d~ucJ clase de resturi este divizor normal

.

R : Din @ = g U ag normal.

=g

.

U gb se dedu~e ag

~ gb şi se apiică definiţi~ a patra a divizorul~{

4. Un divizor norm:il al lui (j este întotdeaima reuniunea u11ei eonjitgate în (j. · ·

mulţimi

de clase de elemente ·

R: Într-ade·rlr un di·rizor normal ma.i poa.te fi definit şi ca un su3brup al lui(] care conţine ,

odată cu un ·element şi orice element con1ugat cu el. "

'\'t

5. Reuniunea grupală (respectiv intersecţia) tuturor subgrupurilor dintr_-o clasă de subgrupuri conjugate din (] este divizor normal al lui @. R_: Se va ţine seama de faptul că un auto:nc.rfism interior lui (] permută. între ele subgrupurile unei clase de subgrupuri conjugate. . 6. h fiind divizor normal în C 3) ; Tăietură.

Dacă

A

::>

B

şi

B ::> A atunci A

Ipoteza se scrie A'- n B ._ B, A U B

74

=

B

=

B. ·

. Din prima a.XIoma 4

relaţie rezultă

succesiv,

A U

ţinînd

(1 n B)

seama:de cea ·de a

4) Monotonia faţă de U al structurii· atunci ·

şi

n.

Dacă

•

A :::, B 1

A U C :::, B U C respectiv

de

. . B-·_.

A-:::f::B

··..

ddua·.şi

~

şi" C

n C :::,

::

I

J

'•1

este.· un ele1J!tent·· qrbitra:r

nC

B

În virtutea inversiunii şi a dualităţii definiţiilor lui :::, şi c faţă de reuniune şi secţiune ne putem mărgini, dată fiind. dualitatea. structurilor, la demonstrarea primei relaţii. Aşa fiind, să considerăm expresia · (A- U C) U (8 U C) ..

· Cu observarea axiomelor .1, -2 siv astfel

şi

3

această

expr~sie1 se

transformă

succe-

(A U C) U (B U C) = A U [C U (C U B)] ,= ~-{ U [{C U C) U B] = = A U (C U B) = A U (B U C) = (A U B) U C '•;(

{A U C) U {B U C)

Prin

ipoteză însă

A UB= A

şi

=

(A U B)·.·u C

deci .

(A U C) U {B U . C)

=

A U C

sau, ceea ce e tot una , • l

:1f .. ;

1

~

. Cµ. ac~~ţa î~şi~area ;pr~prietăţiior .r~Iaţiei j:. ~st.~ :t~rmţhat~: .: . '' .. · După cum vedem, această relaţie are toate proprietăţile· abstracte ale relaţiei; ,de înfăşurare. l. . · . )·• •. . 41°. Relaţia tare de conţinere

Prin

definiţie

A> B respectiv A < B 75.

e echivalentă

cu ;relaţiile simultane A ::, B, A.-:/; B . respectiv

A c B, A ::I= B

Putem verifica proprietăţile . 1) Inversiunea. Dacă A > B atunci B < A şi reciproc. Într-adevăr, în virtutea lui 1) din alineatul precedent din A ::, B, A :I= :/= B rezultă B c A, B :I= A şi reciproc. . 2) T_ranzitivitatea., Dacă A > B, B > C atunci_ A > C. Sau încă mai general, dacă A = B, B > C respectiv A > B B ::, C atunci .A > C. . Într-adevăr ipoteza are drept consecinţă A ::, B, B ::, C şi •.în

virtutea. lui 2)·: din· alineatul 40° putem conchide A::, C

(57) însă

Nu putem avea

A-= C,

C ::, ;·B, şi

căci

atunci ar rezulta

B ::, C ; A ::, BI

B ::, A

deci aplicînd 3) din cl;lineatul 40°

B relaţii

=

care confruntate cu cele din

> C sau A = B, A > B. Este deci probat

C,

A= B

ipoteză

ne dau contrazicerea B = C, B > · . ·

că

(57') Relaţiile

(57)

şi

(57') luate

împreună

ne dau

A >C

ceea ce trebuia demonstrat. Acestea sînt proprietăţile abstracte ale relaţiei tari de conţinere >. Datorită proprietăţii de inversiune 1) din alineatul precedent şi din alineatul de faţă sînt 4emonstrate totodată şi proprietăţile relaţiei ci n:umai, pentru· relaţia slabă ::, . :· · ·' · . Importantă pentru ceea ce urmează este propoziţia următoare, care înlocuieşte propoziţia monotoniei: 3) Relaţia tare > degenerează în relaJia :slabă ::, prin compunerea arbitrară cu U sau n . ·· · · În adevăr, este clar că

-B>C 76

are drept

consecinţă

BUÂ::>CUB datorită proprietăţii 4) din 40° şi a faptul~i că din B >' C se poate deduce B ::> C. Dispu~q de A, anume 1$~ _per A_ , astf~ înciţ _ A::>B>C .

putem ~bţine însă :~hiar egailtatea

.,.,

-.,-

A ::> B şi A ::> C sînt în adevăr echivalente cu B ·u A = 'A.· respectit[ = A, potrivit definiţiilor din 40~. Conchidem, că din

C U A

B>C

nu

rezultă

întotdeauna . Bl.iA>CUA

incit pentru A arbitrar sîntem îndreptăţiţi să scriem drept consecinţă n11mai

42°. ·Alte

1) atunci

Dacă

consecinţe

A

şi

ale axio111elor structurilor _,eneral~

B sînt

dou_ă

elemente oarecar_i ale_ unei structuri generale, ·

AnBcA

AU B::>A

respectiv

AnBcB ln virtutea dualităţii sistemului de axiome, a · :dualităţii · definiţiilor lui :::, şi c şi, în sfîrşit, a comutativităţii operaţiei U respectiv n , ne pq.tem mărgini la demonstrarea primei relaţii AUB~A

Considerînd expresia ·A· U (A U B) ·şi aplicînd 4 avem·

A

U

(A 'u B). = (A

U A) U

B

sau· ·a.plicind 2 A U · (A U _B)

= (A

U B) ·

77

adică

_.2), Dacă A ::> B

şi

C ::> D atunci:

I

A U CS şi

Aceasta este o este suficient să o

13 U·D

n C =>

· respectiv A

consecinţă directă demonstrăm pentru

B

ri D

a monotoniei 4) din alineatul 40°~ reuniunea U-, Operînd în adevăr

A::> B

(58) prip. l) cu C

obţinem, ţinînd

seama de monotonie

iar operînd

C ::> D prin U cu B

obţinem

conform

(58')

aceleiaşi proprietăţi

BUC::>BUD

Din (58)

şi

(58') deducem

însă

aplicînd tranzitivitatea

3) lntr-o stiu~turd ·generală, avem pentru orice C ::> A (A

Cum conform cu 1)

u B) n C ::> A u (B n C) ·

deducem compunînd prin U cu A A U B => A U; (B

(59)

De asemenea din C ::> A

şi C

::> B .n C

care are loc tot în,. virtutea lui' 1) deducem. C ::> A U (B

(59')

Aplicînd acum 2) seama şi de axioma 2'

relaţiilor

(A 7-8·

n C)

(59)

şi

apţicînd

2)

n. C)

(59')

obţinem

u B) n C ::> ·A u (B .n C)

în definitiv,

ţinîn~

Această proprietate este remarcabilă 4eoarece arată care este rolul organizator al axiomei .1. în structurile lui Dedekind (v. mai departe 43°): eliminarea. posibili tă ţii < în relaţia de mai sus.

§ 2. STRUCTURILE LUI DEDEKIND. GENERALIZAREA TEOREMEI LUI DEDEKIND DESPRE LANŢURILI: PRINCIPALE

43°. ~xioma .1. a lui ;Dedek_ind. :

'1.

J

•

,

Co~s~stenţa -

+

1

sistem~lui ):: 1

'

+4

;•.

·,_

Alăt.uri de axiomele' 1-4, 1'-4·' ale structurilor generale, al căror tablou îl arătăm pe scurt cu ~- introducem o nouă axiomă, Â (axioma lui Dedekind) cu enunţul. următor: . · _· .1.. Dacă C ::> A atunci avem asociativitatea mixtă r 1

(A

,

•

;

• -

•

u B) n c = 4 u (B n C) I

·.\

Consistenţa sistemului total~+

Li o probăm cu ajutorul modelului arit~ metic al numerelor naturale organizate cu operaţia U, a trecerii la c.m.m.c.m.

n,

a trecerii la c.m.m.c.d. , _ : : .· _ . Verificarea axiomelor l: o lăsăm în grija cititorului. Ne mărginim la verificarea lui Â. Traducerea ei în model e urm~toarea: Dacă C e multiplu de A, atunci c.m.m.c.cl. al lui (A U B) şi C este egal cu c.m.m.c.m. al lui A şi ( B n C), unde.:4. U B şi B n C _înseamnă r A1 > A 2 > ... > A 11 de elemente ale unei structuri, care se înfăîoară veritabil în mod succesiv se zice p,incipal, cînd toate intervalele lui smt prime. 3) Numărul intervalelor unui lanţ finit se numeite lungimea lanţului. In lanţul precedent lungimea este n. Capetele lanţului smt elementele extreme Ao şi An. Cu aceste noţiuni să demonstrăm următoarea Lem~. 1nţr-p structură a lui Dedekind un. lanţ principal de lungime 2

(61)

nu poate coexista alături de un lanţ ( nu numaidecît principal) de lungime k + .1 > 2 şi de aceleaşi capete :

A > D.1 > D2 > ... > D1; > C

(62)

Demonstraţie. Presupunem, dimpotrivă, că lanţurile Să arătăm, că· această ipoteză e contradictorie. Aşa fiind nici una din relaţiile

(61)

şi

(62) ar co-

exista. (63)

B ::, D,, B c D, {i = 1, ... , k)

nu pot avea loc. Într-adevăr pentru B > D, respectiv B < D, ar urma să avem

B > D, > C, respectiv A > D, > B şi {61) n-ar fi lanţ principal. De asemenea nu putem avea B = D, căci inter•valul A > B respectiv B > C ar conţine i · respectiv k - i + 1 intervale

81

= 1,

2, ... ~ k). Cum însă k ~ 2 unul din aceste numere· e mai mare ca 1. unul din intervalele A > B, B > C ar fi neprim, ceea:· ce este contradictoriu. . · _· Acestea fiind. stabilite, observăm, că avem, în virtutea rezultatel9r: clin (i

Aşadar

42°:

B U D, ::> B

Deoarece B U D,

=f:

B, altfel (63)- s-~r verifica, rămîne adev~~~t

(64)

B U Di> B.

Avem

însă

din A > B, conform

observaţiei

de la

sfîrşitul

alineatului 41°:

A UD,= B U D,

Dar A

::>

D,

şi

deci, potrivit

definiţiei

AUD,= A Relaţia precedentă

N~ putem .avea

devine

însă

(64')

A> BUD,

căci comparînd pe (63) cu (64') intervalul A > B ar rezulta neprim~ obligatoriu

(65)

A

Prin

B U D, (~

operaţii şi consideraţii

{65')

C

Cum k

~

2 în (62)

De aici deducem (vezi 41°)

Nu putem avea

însă

= B

există

(66)

82

=

=

1, 2, ... , k)

exact duale celor precedente se U D, (i

cel

=

Aşadar

1, 2, ... , k)

puţin două

elemente

stabileşte

căci

atunci am avea ' . D,

adică

u '(D, n B) = D, u (D, n- B.)

(axioma 4) · D1 U (D,

=

D1

n D,) =

D1

n

B)

sau D, U (B Condiţia esenţială D, :::, D, din această axiomă 1> găsim

axioma .6. este

satisfăcută

prin (66).

Aplicînd

Ţinînd

seama de (65') formula devine (D, U B)

adică

n D, =

D,

·(axioma 4'); .

ceea ce e o contrazicere faţă de (66). Deci (61) _şi. (62) nu pot coexista~ Lema este demonstrată. ·

Te ore ma I u i De de k i n d (generalizată). lntr-o structură a lui Dedekind, un lanţ principal de lungime l: (67) şi

un

A lanţ

de lungime k

> B1 > B 2 > ... > B,_1 > C

+1>l

( nu numaidecît principal)

(68)

capete nu pot _coexista. . In vit_utea lemei, teorema _e .adevărată .pentru l. = 2. O presupunem demonstrată pentru toţi întregii mai mici ca l (unde l ~ 2) şi ne propunem s-o stabilim pentru întregul l. · ln virtutea ipotezei l ~ 2; există în {67) elementul B 1 . Să dovedim, că existenţa lanţului (68) e contradictorie.

dar de

aceleaşi

1 > E interesant de subliniat locul unde anume intervine axi9ma. Toate rioare sînt valabile pentru structurile generale.

dezvoltările

ante-

83

Ţinînd

Â

tor

seama de rezultatul din 42° conchidem din (68)

n B1 ::> D1 n B1 ::> D2 n B1 ::>

••• ::>

Dar din (67) avem A::)· B 1, .B1 ::) C. (vezi 41 °)

Di

n B1 ::> C n.Bl

Aşadar

potrivit

definiţiilor

aces-

relaţii

A U B 1 = A, C U B 1 = Bi A

n B1 = B1, c n Bi = c

Cele două lanţuri slabe de mai sus devin (69)

A => D 1 U B 1 => D2 U B 1 => •.• => Dt U B 1 => B 1

(70)

B1 ::, Di

n B1 ::, I>2 n B1 ::, ... ::,

n

Dt

Bi ::, C

Din cele k + 1 semne de conţinere din (69) un număr de k semne trebuie se reducă la egalitate. Altfel lanţul ar conţine un semn tare > şi intervalul A > Bi din lanţul principal (67) n-ar fi prim. De asemenea între cele k + 1 semne de conţinere din (W) cel mult l .......:1 pot fi semne tari >. Altfel am avea alături de lanţul principal de lungime l - 1 să

Bi> B 2 > ... > B,_1 > C un lanţ tare extras din (70) de aceleaşi extremităţi şi de lungime mai mare · ca l - 1, ceea ce contrazice ipoteza raţionamentului nostru prin recurenţă. Urme_ază, că din cele k + 1 semne din (70) singur k - l + 2 se reduc la egalitate. · · · · · ·· · Cele k egalităţi certe din (69) şi cele k - l+ 2 egalităţi certe din {70) dau în total 2k - l + 2, număr care întrece cu li =k- l

+1~

1

k + 1 de semne de conţinere ::> care apar atît în (69) cit şi în (70). De aici deducem, că /1, ;;?; 1 semne de egalitate se corespund sigur în lanţurile slabe (69) şi (70) aşezate unul sub altul. Corespondenţa nu poate avea loc la capetele lanţurilor. Pen.trucapătuţ stîng am avea B 1 = D1 n B 1 aşadar B 1 c D 1 . · , Dar nu putem lua B 1 = D 1 • ~ltfel am avea un lanţ principal de lungime l - 1, · . .. .. numărul

Bi ::::::, B 2 > ... > B,_1 > C alături de uri lanţ de lungime ·k >·l -

1.

Bi> D 2 > D 3 > ... > D" > 84

c·

De asemenea nu putem lua B1 .< Di lul A > Bi n-ar fi prim. Pentru capătul drept ~m av~a·

căci

am aYea: A> Di> Bi

şiinterva­

(71)

Prima din aceste

.şi

încă;

se: trans~rie

relaţii

se

interpretează

în limbajul structurilor . Dt

n Bi..:..:. Dt

A doua din relaţiile (61) devine DJ: = C care contrazice relaţia Dt > C din (68)... . Rămîne deci bine stabilit, că cele .h > l corespondenţe de semne = au loc în intervalul lanţurilor slabe (69) şi (70). Există deci sigur un indice 1 ~ j < k aşa incit să avem în acelaşi timp : '.' :·.

": -. • . .

• .' _j

, , ••. i

- : ,

I

•

. •

.

:

•

•

• ••

r- f_

•

J'., \_~

n;· U B1. D,~i U 13

(72)

Considerăm

1

_-

:

•.

•

.'~

_• .

:-

1

neegalitat~a

(7'4)·' . ·. ·, ..

•\

din (68). Avem ..

' .. .

..

consecinţa

(vezi 43°)

~

. I

. Ipotez~ .'.

nu e

admisibilă, căci

ar rezulta.

adică

Avem însă D, :::, D,+i· Deci putem aplica axioma '1 a lui Dedekind..

Obţinem

8~

sau, în virtutea

indentităţilor· (65)

(D1 U B1 ) adică

(axiomele 1'

şi

şi'în

aplicabile

cazul de

faţă, căci

A-,> B 1 -:

n D, = D1+i

4')

Comparînd cu (74) rezultă o contra.zicere. Deci lanţul (68) nu poate sta alături de (67), dacă această imposibilitate a fost recunoscută pentru l---.. t ~ 1. Dar în virtutea lemei imposibilitatea există pentru l = 2. Aşadar există pentru orice l ~ 2 şi k arbitrar. Pentru l = 1 teorema e de altfel evidentă. Conchidem la valabilitatea generală a teoremei. De aici . rezultă . pa o consecinţă T e o r e m a I u i D e d e k i n d. 1n structurile modulare lanţurile ·principale de aceleaşi extremităţi ·au: aceeaşi lungime. · '. · . · · ·. . : § 3. ÎNCADRAREA ŞIRURILOR DE COMPOZIŢIE ÎN TEORIA LUI DEDEKIND A LANŢURl':-OR PRINCIPALE ;

46°. Te ore mă. MulHmea divizorilor normali ai unui grup .ţ]. formează o structură Dedekind, faţă de reuniunea grupală u şi secţiunea grupală n.

Am stabilit în § 4 al capitolului II că subgrupurile unui grup .ţ]. formează structură generală faţă de reuniµnea şi intersecţia grupală. Deci demonstraţia se reduce numai la a arăta,· că structura particulară constituită de divizorii normali formează o structură particulară şi care satis-

o

face la axioma lui Dedekind.

·

·,

.·

·

Într-adevăr, această submulţime a structurei subgrupurilor generale

satisface la cererea implicaţiei. Secţiunea a doi divizori normali este un divizor normal, căci termenii sînt invarianţi faţă 'de automorfismele interioare şi deci secţiunea lor topologică rămîne de asemenea invariantă. . , Pe de altă parte, reuniunea lor grupală care, în baza lemei teoremei a doua de. isomorfism, capit . .II, § 4,, se mai_ scrie g1 X g2 este .de asemenea invariantă faţă de automorlismele interioare

prin urmare constituie un divizor normal. ' lncît e probat, că divizorii normali formează o substructură a structurii generale reprezentată de subgrupurile grupului dat .ţ].. Să trecem la verificarea axiomei ă. Un element P1 din combinaţia AU (B

n C)

este produsul unui element tX e A cu un element ~ e (B o interpretăm ca secţiunea topologică a lui B şi C.

86

n C)

unde (B

n C)

Aşadar

(75) '.••

U~ ele:lllent p2 din

comb~aţia

(A U B)

se

găseşte

nC

evident în C . •

7-: ~',;

Apoi el este de forma (75') . r

unde i-+ A,

(76) Ultima

Să

kind.

relaţie

să

facem

'3-+

se mai scrie

intervie ipoteza

fundamentală A:)

Ca axiomei lui Dede-

Rezultă a.-1-+

şi

B.

cum p 2 -+ C ultima egalitate ne

In definitiv,

ţinînd

C

dă

seama de (76) conchidem

(3---. (B n C)

(76')

Deci în (75) factorii sînt luaţi arbitrar din mulţimile lor pe cînd în {75') factorii sînt luaţi ne-arbitrar, în virtutea lui (76) şi (76'}, din aceleaşi mulţimi. Aşadar complexele (P1 ) şi (P 2} stau în relaţia

sau, pentru grupurile cu care sînt identice (71)

A

u

(B

n C)

::>

(A

·u

B)

n C. 87

Comparînd (77) cu proprietatea 3) din paragraful 42° care are loc într-o structură generală, conchidem (A

u B) n C =

A

u (B n C)

Axioma lui Dedekind este satisfăcută în structurile constituite de. divizori normali. Teorema este demonstrată .. 47°. Analogul teoremei lui Jordan-Holder tn cadrul teoriei structurilor1 '

Numim şir principal un lanţ principal al structurii formată de divizorii normali dintr-un grup. Aplicînd teorema noastră din alineatul 45° conchidem: Un şir principal între u11, grup (J, şi un divizor normal al său G 11,u poate coexista cu im lanţ principal de lungime 'mai mare. ··· De aici cazul special care constituie partea structural-teoretică a teoremei lui Jordan-Holder pe care o vom cunoaşte în capitolul următor: . Două şiruri principale de aceiaşi termeni au numaidecît aceeaşi lungime.

1> Autorul ac3stei disociaţii între partea teoremei lui Jordan-Holder care ţine de teoria structurilor şi p:i.rt~a. co:nplem:,ntară, veritabil algebrică este matematicianul Oystein Ore.

.

; I.,•

1·

Capitolul IV LANŢURI ŞI ŞIRURI NORMALE MODULO l:

§ 1. TEOREMA LUI O. SCHREIER ŞI CONSECINŢELE· El .

48°.

Noţiuni

preliminare

Se cheamă lanţ normal o mulţime finită de subgrupuri ale· unui grup total .ţJ, care se înfăşoară succesiv

G0 => G1 => G2 => ••• => G"

aşa incit fiecare sri.bgrup să fie 'divizor norntal scrie grupurile factoriale

în precedentul; adică să putem

(Sensul simbolului ::::> este, ca peste tot în acest curs > sau = ). Subgrupurile G, se numesc term~nii lanţului. În particular G0 şi G~ se cheamă extremităţile lanţului. · . . . Grupurile factoriale G,~i/G, (i = 1, ... , k) ·p:d.nesc numele de factorii lanţului.

Prin lungimea unui lanţ normal se înţelege numărul intervalelor ::::> sau, ceea ce este· tot una:, nu:nărul factorilor sau, încă, numărul term:!nilor micşorat cu 1.

Prin rafinare înţelegem transformarea unui lanţ normal într-un alt no:mal cu ajutorul introducerii de noi termeni.. Prin interval nul, într-un lanţ, întelegem intervcilul dintre d >Î termeni. succesivi identici G, = G,+t• aşaiar ~n interval pentru care s~m:ml de înfăşurare ::::> se precizează în semnul de egalitate =. O rafinare· se zice nulă cînd trecerea de la lanţul normal dat, la lanţul modificat, revine la introducerea unui anume număr de intervale nule. ln sfîrşit, două lanţuri normale se zic eckivalţnte 1> cînd au aceeaşi lungime iar factorii de la un lanţ, la altul sînt izomorfi, într-o ordine arbitrară. Sîntem acum în măsură să trecem la demonstrarea teoremei importante a lui. Schreier. ln realitate această. demonstraţie revine lui Zassenh~us. E o demonstraJie constructivă. Demonstraţia originară , a lui Schreier e o demon-

lanţ

1>

Se ·vede

uşor

cl1

lanţurile

normale echivalente formeazl

clasă.

89

straţie ontologică: se probează existenţa rafinărilor echivalente fără să se dea succesiunea de operaţii care duce la realizarea acelor rafinări. Nu mai puţin, această teoremă a însemnat la apariţia ei H primul mare progres în teoria grupurilor abstq1.cte. Propoziţiile lui Jordan (1869) şi Holder (1889) se refereau la grupurile finite.

49°. T e o r e m a I u i O. S c h r e i e r. Două lanţuri normale de aceleaşi admit rafinări care le transformă în lanţuri normale echivalente. Demonstraţie. Fie G şi g extremităţile 2> lanţurilor normale date

extremităţi

(78)

-;,·

(78')

cu respectiv. factorii

uncie s-a .pus, pentru uzul demonstraţiei ,

c; = Hs = g

Go = Ho = G,

(79)

. Ştim, că subgrupurile unui grup formează o structură generală. Cu ajugrupa.Je definim următ~arele subgrupuri

ţorµt reuniunii şi secţţunii

(80)

G,.1:

=

G1 U (G,_1 n H.,.,J,

i=l,2, ... ,r { k

Hk,, = H1: u (H1:-1 nG,),

(80')

. Să considerăm subgupurile din (80) treme O, r, s ale indicilor. AV'em

·{ G,,o = G,_1

(81)

G,,a

şi

= o,

1, ... , s.

i = O, 1, ... , r { k =1, 2, ... , s (80') care .corespund valorilor ex-

(i = 1, 2, ... , r),

= G,

(81 ')

u Otto Sch1'eie,, Obe, den Jo,-dan-Holde,nschen Satz. Hamburgische Abhandlungen 6, 300. în enunţul lui· Schreier, pe care-l împrumută. şi Zassenhaus, se face particularizarea = E. Am crezut nimerit s1:I. fac teorema liberă de această specializare, care nu-şi are rostul decît la teoremele, tra.tînd despre şirurile de compoziţie,· ale lui Jordan-Holder. 2>

inutilă

90

g

: Într-adevăr; .mărginindu-ne la verificarea formulelor. (81) găsim; ţinînd se~mă de (80) şi (79)

G,.o = G, U (G,_1n G) = G, UG,-1 = G,-1 G, .• = G, U (G;_1 n g}

Pe de

urmează

altă

(ca o

=

G, Ug = G,

parte din

consecinţă a definiţiei secţhinir

grupale sau, altfel, ca o con„

secinţă a monotoniei re~aţiei ::) demonstratt~ în paragraful precedent):

şi

deci

adică,·•

1 = 1, 2, ... , r

(82}

G, ,k-1

::)

G, ,k · { k

=

1, 2, ... , s

=

1, 2, ... , s

Tot astfel

I

k

(82.') .

Hk,1-1 ?Hk,1·

.

.i

= l;

. 2,: .. •ţ r

Menţinînd pe i şi făcînd să varieze k obţinem din (82) o mulţime de subgrupuri care se înfăşoară succesiv. Trecerea de la o·valoare a lui i, la alta, vecină, se face cu ajutorul relaţiilor deduse din (81}'

(83)

GH,s

=

G,;o

{i = 1, 2, ... , r)

Tct astfel din (82') obţinem, prin menţinerea lui k şi variarea lui i o succesiune de înfăşurări de,subgrupuri. Trecerea de la o valoare a lui k, la următoa­ rea, se face cu ajutorul relaţiilor scoase din (81 ') {83')

Ht- 1 .,

.:__

H,.,o

(k

=

1, 2, ... , s)

Pe baza observaţiilor rezumate în formulele· (81), (82), (83) respectiv (81 '), (82'), (83'), recunoaştem următoarele înfăşurări succesive de subgrupuri:

(84)

=

Ga,o => Gs,1 => Ga,2 ::::, •·· => Gs,s

=

G,, 0

G,, 1 ::::, G,, 2 ::::, ... ::::,G,.,

::::,

H1,o => H1,1 => H1,2 ::::, ... => H1,r

= H2,o => H2,1 => (84)

= Ha.o =>

H2,2::::, ... :::> H2,,

Hs,1 => Ha,2 ::::, ... => Ha,,

.....:. H,;o ::::, H,, 1

::::,

H,, 2 ::::,

... ::::,

H,.,

Dar, în teorema a doua de izomorfism (generalizarea lui Zassenhaus„ capit. II, 47°) putem lua

Într-adevăr G, respectiv căci lanţurile

(78)

Hk este divizor normal în G,_1, respectiv H"_ 1 (78')· sînt normale. Aplicînd teorema, conchidem la exisgrupuri factoriale şi a următorului izomorfism

şi

tenţa următoarelor

= Hk u (Ht-1 nG,-1),

G, u (G,-1 nHk-:-1) G, u (G,-1 n Hk)

Ateeaşi formulă

(85)

Hk u (Hk-1 nG,)

i

=

1, 2, ... , r,

k

=

1, 2, ... , s.

se mai· scrie, în virtutea lui (80}

Hk, f-1 ---, Hk,t

92

şi

(80')

i = 1, 2, ... , r k = 1, 2, ... , s

Lanţul

(84) respectiv (84') are ·o lungime.egală'. cu

rs + r - 1. respectiv sr·+-.s - l Convenim să suprim~m în (84) respectiv (84') cele r - 1 respectiv s - 1 i~ tervale nule care Jac joncţiunea între două linii 1>. '. · · · . Ne rămîn atunci două lanţuri de aceeiaşi lungime rs şi anume două lanţuri normale, după cum arată existenţa grupuriţor factoriale (85). Ceva mai mult, aceste lanţuri au aceleaşi extremităţi G şi g după cum reiese din (79), {81) respectiv: {79'), {81 '). ln sfîrşit, lanţul (84) respectiv (84') conţine.termenii lanţului, (78} ,res--. pectiv (78'). Apoi, citim pe (85), că factorii lanţurilor (de aceeaşi lungime) {84), (84') sînt respectiv izoID:ot;fi. . Toate aceste observaţii, luate împreună, conduc la concluzia, că (84), {8-t') sînt două. rafinări echivalente ale lanţurilor d~te (7Ş), (78'). Prin aceasta teorema lui Schreier este demonstrată. . · 50°. Transpunerea teoremei lui Schreler pentru lanţurile principale respectiv· 1anţurile caracteristice .

Fie ~ un subgrup al grupului complet de automorfisme al unui grup dat G, înfăşil,rător al subgrupului automorfismelor interioare. Un lanţ de subgrupuri

al lui G se cheamă lanţ modulo·~ cînd termenii săi sînt invarianţi faţă de ~In particular, pentru :t = grupul a:utomorfismelor interioare, lanţul se numeşte lanf '_prin,;ipal . . Iar · pentru :t = grupul . compl~t · de ~utomorfisme, lanţ caracteristic (căci subgupurile sînt într:-aaevăr, ceea ce· am numit subgrupuri caracteristice). . E clar, că un lanţ modltlo ~ este un lanţ normal. Într-adevăr, ~ înfăşură automorfismele interioare, prin urmare fiecare din termenii Gi (inclusiV' g) sînt diV'izori normali în G şi deci şi în termenul precedent G, ...1 (G,..:1 pentru g). 2>. Să aplicăm deci teorema lui Schreier lanţurilor (78), (78') presupunînd că sînt mai mult decît normale: lanţuri modulo :t. Un termen (80) respectiv (80') al rafinărilor din această teoremă aplicată unor astfel de lanţuri e invariant în :t. Într-adevăr dacă Se~ este un automorfism arbitrar din .~ să demonstrăm că avem

Într-adevăr

avem mai general

unde· A, Rsînt subgrupuri ale lui G. Acea.s~ se p~1te obţţn.e ,suprimînd fie un termen G,~ 6 fie un termen G,_1 _0 • . . Se p.ll.te da. chiar a::ea,;tă. nou!l definiţie a lanţului prlncipal: un lanţ normal în care extremitatea g eJte diviz~r norm1l al extremităţii G. · 11

2>

93

Pentru aceasta să pornim de la relaţia evidentă

în care Avem

să

punem As pentru A, Bs pentru B

sau operînd prin S

şi

s- 1 pentru S.

toată relaţia

Comparînd cu penultima relaţie, conchidem ·deci în adevăr că

şi

prin urmare şi relaţia specială scrisă mai sus este adevărată. În virtutea ipotezelor ea devine însă, mai departe

(G1-1 nH,.:) 8 Pe de

altă

= G,_1 nH,.

parte în reuniunea

un~ din termeni, de exemplu G:,, e· divizor normal în G, ~i prin urmare putem scrlţ conform primei leme a teoremei a doua de isomorf1sm (Capit. II): ..

Operînd prin S

rezultă

în baza

relaţiei

deja

stabilită

aşadar

La fel se

arată, că

Hf., =

Hk,t

Prin urmare rafinările din teorema lui Schreier a două lanţuri modulo I: conduc la lanţurimodulo I:. De aici, această transpunere a teorem•ei pentru astfel de lanţuri. Două lanţuri modulo I: de aceleaşi extre"1,ităţi ad~it rafinări care. le transformă în lanţuri modulo :E echivalente. · ·

94

$1 ~. J~~ţiu~i prelimi~•r~ •teorem~lqr lui Jord~'1'!Hol

M1.i s:urt: m 1lţim1a gen:!r.1.tl de.complexul K, in•rersul unui comutator fiind tot un

comuta tot'.

100

Operaţia abstractă

1/)G (luînd

aşadar

f/J şe aplică oricărui grup. A plicînd-o în particular lui primul subgrup comutator al lui //)G) obţinem 1/)G = l/)2G

I/).

un subgrup pe care-l numim comutatorul secund al lui G. Iterînd definim comutatorul de ordin 1t al lui G

Punînd p~ntru uniformitate

G= obţinem următorul lanţ

(D

0

G

de subgrupuri

([J 0 G :::, ([) 1G :::, ([J2G :::, ... :::, 1/)"G

(87)

care poate fi continuat după vcie. E clar însă că, dacă în lanţul (87) apare un interval nul

toate celelalte intervale sînt nule,

căci

avem

adică

([)f+HG

=

(j)f+iG

(j

=

1, 2, ... )

Lanţul (87) îl numim lanţul comutator (de lungime n) al grupului G. ·Demonstrăm următoarea.

T e or e m

ă. Lanţul

ccmutatcr este 'Im lanţ caractcrisUc. Într-adevăr, considerăm tin automorfism arbitrar ol, al grupului G. Avem, operînd cu d în amîndoi membrii egalităţii (86)

(88) Prin urmare avem, pentru complexul comutatorilor

(88')

Kg{_

C

K.

.. Dar automorfismul c:A. a fost ales arbitrar. Identificîndu-1 cu d~ 1 {88 ') se scrie

relaţia

Kk 1 cK.

101



([).ţ}..

Teorema directă .e demonstrată. :,· Reciproc, presupunem dată relaţia de înfăşurare (90'), un_de G este divizor normal al lui .{J,. -; . . , O consecinţă a acestei relaţii este. faptul, că G conţine toţi conmtatorii din~Fie S omomorfismul

un·

•

I'

;

mijlocit de G. Se ştie (a doua teoremă de omomorfism) că ramificarea elementului 1 al lui .{J,/G este G. • Considerăm două elemente arbitrare din .{J,/G. Fie a şi b două ramificate ale lor din .ţJ.. Elementele arbitrare din .{J,/G pot fi notate deci cu as, b8 • Potrivit observaţiilor precedente putem scrie (a

O b}8 =

1

sau, explicit

103

adică

Conchidem, că .fJ/G e comutativ, aşadar, că omomorfismul mijlocit de G e un K-omomorfism. Cu aceasta totul este demonstrat. Reţinem cazul particular important G = (J)ţJ, şi concluzia: grupul factorial .fJ,/(J)ţJ. este abelian. A doua teoremă de K-o m omor fi s m. O im iginJ K-omJmJrfă a unui gru,p .fJ este izotn-Jrfă cu o im1gine otn-Jm'Jr/1 a grupului .fJ,/(JJ{J,, -şi reciproc. Demonstraţie. Fie G · divizorul normal care mijloceşte o imagine K-omomorfă a lui .fJ,. ln virtutea primei teoreme de K-omomorfism avem G =>

Con-:hid~m la

următorul lanţ

(J).ţ]. .

principal .fJ, => G => (f) .fJ,

intră în ipoteza celei de a teoremă obţinem izomorfismul

care

treia teoreme de izomorfism. Aplicînd acea

ţJ,/G = .fJ,/f[).fJ, • Gj(f).fJ,

ln m?mbrul al doilea avem o imagine omomorfă a grupului factorial .(J,j(J)ţJ, faţă de comutatorul de primul ordin. ln primul membru o imagine K-omom)rfă

dar altfel arbitrară, a lui .fJ,. Prima parte a teoremei este demonstrată. Pentru a demonstra reciproca, considerăm un omomorfism arbitrar al grupului abelian .fJ,/(f)ţJ,:

Comp 1nîn:l omomorfismul

cu O!IlJm)rfismul de mai sus

rc!z:iltă

omJmorfismul

.fJ-+

r.

Dar r este abelian, ca imagine omomorfă a unui grup abelian. Deci o imagine omomorfă a lui ţJ./(l)ţ], este în acelaşi timp şi o imagină K-omomorfă a lui .fJ,. Teorema e complet demonstrată. 104

58°. Grupuri rezolubile şi · lanţuri comutat_oar~

s~ chea:nl grup rezolubil un grup care admite un şir de compoziţie cu · factori ab~lieni. · · Vom vedea mai tîrziu însemnătatea grupurilor (finite) rezolubile pentru teoria lui Galois a ecuaţiilor. Grupurile rezolubile stau în cea mai strînsă legătură cu lanţurile comutatoare resp:.!ctive. Această legătură se exprimă în următoarea Te ore mă. Dacă un grup .fi}, e cu şir ăe compoziţie 1', atunci pentru a fi rezolubil trebuie şi este de ajuns să admită un lanţ comutator terminat prin grupul identic E. Demonstraţie. Să probăm întîi suficienţa condiţiei. Fie ~ un şir de compoziţie al lui ţ:J_. Prin ipoteză subgrupurile comutatoare constituie un al doilea lanţ normal A de aceleaşi extremităţi cu ~ .fiJ, > (f).fij,

>

(!)2.fiJ,

> ...

(!) 1.fij,

>E

tinde În virtutea teoremei lui Schreier: există două rafinări echivalente î: şi A ale lui~ şi A. lns:i ~ ca şir de compoziţie nu admite intervale nule. Cum~ e capabil numai de rafinări nule, :.E diferă de ~ printr;..un anume număr a de intervale nule. Există evident un număr corespunzător a de intervale· nule şi în lanţul e:hivalent A. Ştergînd de o parte şi de alta cite a intervale nule ne rămîn d:mă lanţuri ~ şi ~• echivalente. Ultimul se prezintă ca o rafinare a lui A. Aşadar există o rafinare a lanţului comutator A care-l transformă într-un lanţ ~* echivalent cu ~: aşadar într-un şir de compoziţie. · Să considerăm în ~* partea reprezentată de rafinarea unui interval arbitrar, d~ exemplu din

lanţul

comutator A:

Pentru uniformitate

Această

parte a

să

şirului .ţJ_l1,0

(91) Considerăm

punem provizoriu

~• se scrie

>

.ţjJ,'',1

termenul .{J,"·1(j

.IJ,"·1 se găs~şte cuprins şi în .fi},"·0

=

> ... > .{J."•l >

l;j,h,l+ 1

O, 1, ... , l). Complexul comutatorilor din în (f)".{J,, în virtutea înfăşurărilor (91).

adică

1> A-:~asta în1~:n:1l el admite cel puţin un şir de comp:,ziţie. Am văzut în paragraful ·precedent alin~atul 5J•, el. p~ntru ace,uta. este deajuns ca grupul să fie cu limitare maxima~ă :şi minim1.lă pentru subgrupuri.

105

Urmează, că (J)h+ 1 .ţJ

=

se găseşte cuprins .îu subgrµpul com:utator .al lui (J)h .{J adi~ă în Prin urmar~ şi subgrup.ul comutator IJJ.ţ:J.hd este înfăşurat

ţJh, 1 + 1 •

de.(îh.t+t. I jReţinem înfăşurările fJ_h,J

>

fJ_l1,j+l

>

(J)lJ_h•J

(j ==. O, 1, 2, ... , l) unde .fj,11 •1+1 e divizor normal a) lui .ţJ,b,i. Sîntem în condiţiile primei teoreme . de K-comomorfism Conchidem .{J,~· 1/.{J_"·J+1 . .co~utatiy (j

=

din 57°.

O, 1, 2, . . . l)

.e.

lncît intervalul (J)h.ţ}, > (J) 11+1 din lanţul .comutator A, după rafinarea care-l transformă în şirul de con:poziţie L* prezintă numai factori abelieni. Dar acest intervale unul oarecare din intervalele lui A. Conchidem, că şirul de compoziţie L* are numai factori abelieni. Grupul .f;J. este aşadar rezolubil. Prin aceasta suficienţa condiţiei este probată; ! Să probăm acum nec·esitatea ei. · · ; Presupunem aşadar .(î rezolubil. Există atunci, prin definiţie un şir, de. compoziţie L al lui .f},

(92). cu toţi factorii abelieni. Deoarece .{f),/G1 este abeli~n. avem, .· conform -primei teoreme de K-omomorfism din 57°

Ţinînd

seama de (92),

urmează

(93) Insă (J)ft este un subgrup caracteristic~ aşadar contează ca divizor normal al lui -