¿Al doble le toca el doble? La enseñanza ele la proporcionalidad en la educación básica [1 ed.] 9786072409835

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La enseñ anza de la proporcionalidad en la educación bá sica

Colecció n Somos maestr@s Ediciones SM se complace en publicar la colección Somos maestr@s, cuyos t ítulos está n dirigidos a un público amplio y versan sobre temas relacionados con la didáctica, la reflexión pedagógica y la gestión educativa. Si bien esta colección fue concebida primordialmente para los docentes en servicio, las temáticas que abarca tambié n pueden ser del interés de maestros en formación, estudiantes de pedagogía, autoridades educativas, padres y madres de familia, investigadores, promotores de lectura y, en general, para todas aquellas personas interesadas tanto en comprender y profundizar en aspectos educativos puntuales como en lograr avances significativos en la educación. Uno de los fines de la colección es identificar experiencias de investigación e innovación educativa desarrolladas en México, con objeto de darles una difusión amplia, pues aunque las hay de gran calidad e importancia para el rumbo de nuestra educación, sus resultados no se conocen en el contexto escolar y permanecen sólo en los circuitos más especializados. Esta falta de difusión ocurre por diversas razones, una de ellas es el reto que entra ña divulgar el conocimiento, es decir, poner en lenguaje llano lo complejo. En este sentido, un conjunto de propósitos han guiado la concepción y el desarrollo de cada título: proporcionar a los docentes en servicio recursos que orienten su práctica en el aula, así como + ! herramientas para el análisis y el desarrollo de propuestas innovadoras en la escuela; 4*+ #

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documentar experiencias pedagógicas exitosas; establecer las bases teóricas de estrategias que han probado su eficacia en el salón de clases y fuera de él; impulsar la discusión y el diálogo abierto entre todos los actores del ámbito educativo acerca de temas de interés.

Para lograr este ambicioso objetivo, Ediciones SM ha establecido una alianza estrat égica con organizaciones e instituciones acadé micas de gran prestigio y compromiso con la educación; alianza que se ha concretado en la creación de un consejo editorial de la colección y de un comit é editorial para cada una de las cuatro series que la conforman: Lectura y Escritura, coordinada por Alma Carrasco Altamirano, a cargo del Consejo Puebla de Lectura; Ense ñar y Aprender, coordinada por David Block Sevilla, bajo la tutela del Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav; Convivencia Escolar, coordinada por Cecilia Fierro y Miguel Bazdresch y auspiciada por la Red Latinoamericana de Convivencia Escolar; y Gestión Educativa, coordinada por Oralia Bonilla, iniciativa del colectivo Asesoría e Innovación

Educativa.

.

Somos maestr@s es resultado del trabajo de muchas personas A todas ellas, Ediciones SM agradece su colaboración; en particular a la maestra Alba Mart ínez Olivé, miembro del

consejo editorial, quien con su experiencia y conocimientos ha contribuido a dar forma a esta colección. Somos maestr@s quiere aportar en un momento en que el cambio es cualidad de la vida escolar. Esperamos que cada libro cumpla con los objetivos que nos hemos trazado.

Elisa Bonilla Rius Coordinadora de la colección Somos maestr@s Ediciones SM refrenda a los maestros y las maestras su compromiso por la equidad de gé nero, el cual se expresa en el logotipo de esta colección, pero con el fin de favorecer la fluidez de la lectura se utilizarán formas masculinas y genéricas del lenguaje a partir del primer capítulo de este libro.

Serie Ense ñar y Aprender La serie Enseñar y Aprender se propone ofrecer a los maestros de educación básica, y a quienes se preparan para serlo, varios t ítulos concebidos para apoyar su formación y actualización en la tarea de ense ñar. En cada libro de la serie se tratan conocimientos esenciales de las distintas á reas que se imparten en este nivel escolar y se proporcionan opciones formativas que han probado su utilidad ante los problemas que éstos presentan para su ense ñanza y aprendizaje en el aula. También se ponen a consideración las pr ácticas docentes que más contribuyen a promover el aprendizaje significativo de los alumnos. La serie pretende compartir con los docentes parte del conocimiento y la experiencia que se han desarrollado en el Departamento de Investigaciones Educativas ( DIE) del Cinvestav a lo largo de cuatro décadas de investigación educativa. Los estudios en que se basa se han dirigido a conocer los procesos de enseñanza y de aprendizaje, las prácticas educativas cotidianas en escuelas de distintos medios económicos y socioculturales, la formación de maestros y el desarrollo de materiales curriculares. En estos libros se busca que los conocimientos sobre las disciplinas y aquellos relativos a la enseñanza y al aprendizaje se estudien de manera integrada. Así, por ejemplo, mediante el estudio de situaciones didácticas relativas a un tema se favorece que el docente desarrolle su capacidad para analizar y crear situaciones didácticas, a la vez que adquiere conocimientos sobre el mismo tema. Se busca tambié n una estrecha vinculación con la práctica mediante el análisis frecuente tanto de testimonios obtenidos directamente del aula tales como producciones de alumnos y descripciones de clase como de documentos que repercuten en el desarrollo de las clases por ejemplo, los programas de estudio, las lecciones de libros de texto, las pruebas estandarizadas,

—

—

—

entre otros. Los libros de la serie Enseñar y Aprender est á n escritos en un lenguaje sencillo, accesible y tambié n preciso. Para facilitar su estudio, se proponen diversas actividades dise ñadas para los profesores. Se recomienda analizar los libros en grupo, por el enriquecimiento de la experiencia que esta modalidad suele traer consigo, aunque tambié n son adecuados para el trabajo individual. Además de estas características comunes, cada título de la serie Enseñar y Aprender tiene su propio sello, en funció n del tema que trata y de las preferencias, experiencia y conocimiento de los autores. En síntesis, esta serie busca transmitir a los maestros un doble placer: el de aprender algo más sobre las disciplinas y el de mejorar su enseñanza a los ni ños y jóvenes mediante una lectura que, al mismo tiempo, les resulte interesante, es decir, tan accesible como cercana a su

experiencia y a los problemas que enfrentan cotidianamente.

David Block Sevilla Coordinador de la serie Ense ñar y Aprender

¿Aldobleletoca eldoble? La ense ñ anza ele la proporcionalidad en la educació n básica

¿Aldobleletoca eldoble? La ense ñ anza de la proporcionalidad en la educació n básica David Block Sevilla Tatiana Mendoza von der Borch Margarita Ramírez Badtllo

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Revisar la matemática que vive en la escuela, interrogarla, analizarla, es imprescindible para concebir otros escenarios. PATRICIA SADOVSKY

David Block Sevilla realizó estudios de

maestr ía y doctorado en Ciencias con especialidad en Investigaciones Educativas . Desarrolla su trabajo de investigaci ó n en el á rea de la did á ctica de las matem á ticas , en el Centro de Investigaci ó n y Estudios Avanzados (Cinvestav ). Ha participado en varios proyectos curriculares de alcance nacional .

Tatiana Mendoza von der Borch estudi ó la licenciatura en Matemá ticas en la IJNAM y en Universidad de California , Santa Cruz. Cursó la maestr ía Ciencias con especialidad en Investigaciones Educativas el Cinvestav . Ha participado en diversos proyectos profesionalizació n para maestros de primaria .

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de

Margarita Ramírez Badillo curs ó estudios para profesora de educació n primaria , una licenciatura en Pedagog ía y una maestr ía en Ciencias con especialidad en Investigaciones Educativas, en el Cinvestav . Ha participado en el dise ñ o de materiales de apoyo para la formació n de maestros en el á rea de matem á ticas.

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e n s e ña r y a p r e n d e r

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Prólogo Quienes trabajamos en el campo de la educación muchas veces nos hemos preguntado qué necesitan saber y saber hacer los profesores de grupo para ser cada vez mejores profesores. Sin duda son varias las características de un buen docente y, en consecuencia, varias las respuestas a esta pregunta, pero en general se coincide en que el dominio de la disciplina que se ense ña es una de las más importantes. La pregunta anterior desencadena otras como las siguientes: ¿qué significa que un profesor domine la disciplina que ense ña?, ¿es suficiente este dominio?, ¿qué tipo de actividades son convenientes para que el profesor logre ese dominio? El trabajo de los autores de este libro me permite hacer algunas reflexiones en torno a las preguntas planteadas. Evidentemente me referiré al estudio y la ense ñanza de las matemáticas, en particular en la educación básica. Ya se sabe que en México los profesores de preescolar y primaria, a diferencia de los de secundaria, imparten todas las asignaturas que señala el plan de estudios, lo que no impide distinguir entre el profesor que cuenta con elementos suficientes para ayudar a sus alumnos a estudiar matemáticas y el que carece de ellos. ¿Cuáles son esos elementos? A mi juicio, saber analizar situaciones o problemas cuya resolución lleve a los alumnos a poner en juego los conocimientos matemáticos que se quiere estudiar, ayudarlos a analizar sus procedimientos y resultados para sacar en claro algunas ideas que les permitan avanzar, formular y emitir juicios en torno al desempe ño de los alumnos y sobre la pertinencia de las actividades planteadas. Esto quiere decir que hay algo más que el conocimiento de la disciplina per se y que la formación continua de los profesores va más allá de los cursos para aprender matemáticas. El contenido de este libro se orienta al conocimiento de la didáctica de la matemá tica, tomando como base el tema de la proporcionalidad. Al mismo tiempo que permite apreciar la complejidad que encierra el estudio de las matemáticas mediante la resolución de problemas, lo que se conoce como el enfoque de resolución de problemas, ayuda a entender con ejemplos claros que, en la práctica de la ense ñanza, el conocimiento matemático está inmerso en lo didáctico, puesto que cuando se analiza un problema o una secuencia de problemas para estudiar un contenido, hay que pensar en las implicaciones desde la disciplina, pero también desde el espacio social en que se actúa sobre los problemas para generar nuevo conocimiento. Los autores dicen que el libro no es un compendio de actividades para llevar a cabo en el aula. Y en efecto no es sólo eso, es mucho más. Por supuesto contiene una buena cantidad de ejercicios que se antoja plantear a los alumnos, aunque sea con la intención de contrastar lo que se dice en el texto con lo que sucede realmente. Sin embargo, su mayor riqueza estriba en la gran variedad de actividades propuestas para que los profesores estudien la didáctica de las

matemáticas, teniendo como eje la proporcionalidad. Quienes se animen a estudiar la obra vivirán la experiencia de resolver problemas, analizar su grado de complejidad y modificar variables didácticas para hacerlos más o menos complejos, analizar procedimientos de los alumnos, recorrer el estudio de un tema a lo largo de varios grados de la escolaridad básica. Estos aspectos son fundamentales para lograr el dominio de la disciplina que se enseña. Ojalá que esta iniciativa de escribir sobre la didáctica de la matemática a partir de lo que los profesores hacen cotidianamente no se quede en el tema de la proporcionalidad, hay otros temas en los programas de estudio de matemáticas a los que les vendría bien un tratamiento similar. Como complemento de esto, más allá de los beneficios individuales que reporte el estudio de la obra, valdr ía la pena utilizarla para realizar un trabajo colectivo de formación de maestros. Hugo Balbuena Corro1 Hugo Balbuena Corro es maestro en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Cuenta con una larga experiencia como docente en los niveles de primaria y secundaria, así como en la formación de profesores. Es coautor de varios textos vinculados con el estudio de las matemáticas y de materiales de apoyo para los maestros. Desde hace varios años coordina el desarrollo curricular en el á rea de matemáticas, desde la Subsecretaría de Educación Básica de la SEP .

Introducción El tema: la proporcionalidad La proporcionalidad directa constituye un conocimiento de matemáticas con numerosas aplicaciones en diversos contextos de la vida cotidiana, de los oficios y de otras disciplinas. Está relacionada con cuestiones tan diversas como el cálculo del IVA, la preparación de mezclas, la escala, la noción de la velocidad constante o la de tasa de natalidad. Se trata, además, de un conocimiento que subyace en múltiples nociones matem áticas: la multiplicación, la división, el nú mero racional, la escala, el porcentaje, la probabilidad, la función lineal, entre otras. Su estudio explícito se inicia en el cuarto grado de primaria. Pero desde los primeros grados los alumnos se enfrentan a la solución de problemas en los que ponen en juego ciertos aspectos relacionados con esta noción, tales como la multiplicación y la división o la escala en lo tocante a la percepción visual. En la secundaria, el estudio de la proporcionalidad continúa y se articula con una noción más amplia: la función lineal.

El tema de la proporcionalidad ha sufrido grandes cambios en el currículum: durante la segunda mitad del siglo xix y hasta mediados del siglo xx, este tema ocupaba un lugar destacado en el capítulo de “ Razones y proporciones” de los libros de aritmética. En los años setenta del siglo xx, con la reforma de las “ matemáticas modernas” , se intentó sustituir los conceptos del universo de las razones y proporciones por conceptos más recientes y más abstractos de otros referentes teóricos, en particular de las funciones. Años después, la investigación sobre el aprendizaje y la ense ñanza de las matemáticas ayudó a revalorar la importancia de las magnitudes en la comprensión de las nociones de esta disciplina. En ese marco, el tema de la proporcionalidad volvió a valorarse. En la actualidad ocupa de nuevo un lugar relevante en el currículum tanto de primaria como de secundaria. No obstante, tal vez por su accidentada historia en los programas escolares, la proporcionalidad constituye un tema sobre el que existen numerosas confusiones y cuyos vínculos con otros ámbitos de los programas tienden a ser insuficientemente considerados. El propósito de este libro es brindar elementos al maestro de educación básica que le permitan una comprensión amplia de la noción de proporcionalidad directa y un conocimiento de cuestiones centrales sobre su enseñanza, tales como la diversidad de problemas que implican a la noción, las variables didácticas que hacen más o menos complejos dichos problemas (el tipo de n ú meros, el tipo de magnitudes, los contextos, etc.), los distintos procedimientos que pueden utilizarse para resolverlos, la progresión del tema a lo largo de la escuela primaria y secundaria, así como sus vínculos con otras nociones. Con ello, esperamos que el estudio del libro aporte elementos al maestro para analizar y dise ñar situaciones didá cticas.

La estructura: actividades e información integradas Para facilitar el estudio de temas de matemáticas y de su didáctica, en los libros de esta serie se optó por un formato que alterna numerosas actividades dise ñadas para profesores con información práctica y teórica sobre los aspectos que se estudian. Las actividades son de muy diversa índole: se plantean problemas de matemáticas, se analizan lecciones para alumnos de primaria y de secundaria, se revisan programas escolares, se analizan producciones de alumnos y fragmentos de clases. Cabe señalar que gran parte del material que se presenta es producto de investigaciones en

el tema.1 Casi todas las actividades (ejercicios, problemas, u otras) se presentan con las respuestas o soluciones, ya sea después de la actividad, o bien en el solucionario que se incluye al final del libro. Las primeras se marcan con la siguiente indicación SOLUCI Ó N y en las segundas aparece la

leyenda SOLUCIONARIO. Al final de cada capítulo, se incluyen uno o dos problemas “ de pilón ” que pueden resultar interesantes para los maestros. Tambié n se presentan cá psulas con información sobre la historia de la ense ñanza de la proporcionalidad, . Es importante precisar que el libro no es un compendio de actividades para llevar a cabo en el aula. Si bien el profesor encontrará aquí numerosas ideas y sugerencias sobre actividades, el propósito es, más bien, como se dijo antes, darle elementos que lo ayuden a analizarlas y a diseñarlas.

Los capítulos El libro consta de cinco capítulos. En el primero se explicitan las principales propiedades de la noción de proporcionalidad. En el capítulo II se hace un análisis amplio del problema típico de valor faltante, tambié n conocido como de “ cuarta proporcional” . Se analiza la estructura de ese problema, sus principales variantes y los procedimientos a los que da lugar. En el capítulo III se estudia un segundo tipo de problema de proporcionalidad, el de comparació n de razones, el cual, además de ser frecuente, favorece de manera particular la comprensión de las nociones de razón y de proporcionalidad. A diferencia del problema de valor faltante en que se calculan cantidades, en éste la noció n de razón es el objeto mismo de la pregunta, mediante determinada cualidad, por ejemplo: ¿qué naranjada sabe más a naranja?, ¿qué vehículo se desplaza más rápido?, ¿qué banco cobra más intereses? En el capítulo IV se revisan otros tres tipos de problemas de proporcionalidad, tambié n importantes por su presencia en situaciones diversas o por sus vínculos con otros conceptos: la composición de relaciones, la proporcionalidad mú ltiple y el reparto proporcional. Final, en el capítulo V se caracteriza a la relación de proporcionalidad como una funció n lineal y se identifican las características que se modifican al pasar del marco aritmético al marco algebraico.

Para el camino... sugerencias para el estudio de este libro Como todo libro, ofrece varias rutas y maneras de abordarlo. La libertad de explorarlo en cualquier orden, de enfrentarse a retos de manera personal y compartir dudas o hallazgos, de caminar a ratos solos y a ratos acompañados puede hacer que se disfrute el camino. La forma más aconsejada es combinar el trabajo individual con el trabajo en equipo: estudiar

primero, de manera individual, una parte del libro; resolver los ejercicios, o algunos de ellos; y después, con otros colegas, comentar las dudas; comparar las respuestas; resolver los ejercicios que

resultaron difíciles. Los dos primeros capítulos son el punto de partida; de ah í que se recomiende estudiarlos al principio. Los siguientes pueden estudiarse en cualquier orden o de manera parcial, sin que esto impida comenzar otros. Es posible que el lector encuentre difícil alguna actividad o problema. En ese caso, podrá decidir revisar la sugerencia que se da para resolverlo, buscar el diálogo con otros profesores o dejarlo para otro momento. Muchas veces, cuando un problema se retoma al día siguiente, lo que parecía un callejón sin salida revela de pronto una o varias puertas. El texto cobra la vida y dimensión que el lector le da. Estudiar este libro implica un esfuerzo, pero tambié n pensamos que usted pasará por momentos muy gratos y que, al final, se sentirá satisfecho de lo aprendido en el trayecto. David Block, Tatiana Mendoza, Margarita Ramírez, Laura Reséndiz La mayoría de las actividades propuestas en el libro se ha aplicado en diversos talleres con maestros de primaria y secundaria, a lo largo de varios años, lo que ha permitido mejorarlas. La versión previa a la que se presenta aqu í fue aplicada en el a ño 2010 en un curso para maestros y asesores del estado de Nayarit, en el marco de un convenio entre el Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav y los Servicios de Educación Pública del Estado de Nayarit.

CAP ÍTULO I

¿Qué es una relación de proporcionalidad?

i . PROPIEDADES DE UNA RELACIóN DE PROPORCIONALIDAD Una relación de proporcionalidad entre magnitudes tiene varias propiedades. Algunas de ellas son condiciones “ necesarias y suficientes” de la proporcionalidad, es decir, si una se cumple, todas las demás, tambié n.

Actividad 1 Observe los barcos del dibujo.1 ¿Cuáles le parece que podrían ser ampliaciones a escala del barco 1? SOLUCIONARIO EI

t:

A

F

m 16

El

H I

C

\ K

A

B

F

6

D

H

r .

E

D

s

i

G

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H-

(J i

r

i

3

i

K

i

I

A

I

(.

I

B

E

f

D

G

4

l

H

=I

I

L I

I

:K I

Una figura es una ampliación o reducción a escala de otra cuando tiene su misma forma pero diferente tama ño, como si una fuera la fotograf ía de la otra. Tambié n se dice que las figuras a escala

son semejantes. Anote en la tabla las medidas de cada barco. Use los lados de los cuadritos como unidad de

medida. SOLUCIONARIO Véase la Tabla.

Cuando una figura es una copia a escala de otra, los lados de una son proporcionales a los lados de la otra. Esto quiere decir que si en una figura un lado A es dos o tres veces o n veces mayor que un lado B ( por ejemplo: A = 12, B = 4 ) , entonces, en la reproducción a escala , el lado que corresponde a A deber á ser tambié n ese mismo n ú mero de veces mayor que el correspondiente a B (A' = 24, B * = 8). Este n ú mero de veces (en el ejemplo ser ía tres veces) se llama factor interno, pues relaciona la medida de un lado de una figura con la medida de otro de la misma figura . Conteste las siguientes preguntas. SOLUCIONARIO i) En el barco 1, el lado DE es igual al lado EF . ¿En qué barcos el

lado DE no es igual al lado EF?

ii ) En el barco 1, el lado AB mide el doble del lado BC . ¿En qué barcos el lado AB no mide el

doble del lado BC? iii) De acuerdo con lo anterior, ¿qué barcos no pueden ser copias a escala del barco 1?

Todas las medidas de una figura a escala se pueden obtener multiplicando o dividiendo las medidas de la figura original por un mismo n ú mero. Dicho n ú mero se llama factor constante de proporcionalidad o factor de escala . iv)

¿Cuál

es

el

único

barco

que

es

una

copia

a

escala

del

barco

1?

v) ¿Cuál es el factor de escala que permite obtener sus medidas multiplicando las del barco 1?

Dos definiciones de la proporcionalidad Definición 1. Una relación entre dos conjuntos de cantidades es proporcional si los factores internos que se corresponden son iguales. A 8 es dos veces mas

que BC.

c A

D

£

í-

2

fi H

V

AB es dos veces m ás grande que BC.

É

2l 4

l

KL es cuatro veces má s grande que HL

A

e

Ü

X 2

i

t

í

x4

Barco i

Barcos

%

2

2

4

3

6

4

8

7\

P X 2

x4

KL es cuatro veces má s grande que HL A veces, en lugar de decir que los factores internos son iguales, se dice que las razones 2 internas son iguales (Freudenthal, 1983: 184 ). La diferencia entre estos t é rminos es sutil: con el

t é rmino razón se destaca la relación que guarda una cantidad respecto a otra. La raz ón entre 1 y 4 es la misma que entre 2 y 8. El factor, en cambio, es un solo n ú mero que resulta de una relaci ón, por ejemplo, el factor que transforma 1 en 4 y 2 en 8 es * 4. Definición 2 . Una relació n entre dos conjuntos de cantidades es proporcional si existe un n ú mero, siempre el mismo, que multiplicando a cualquiera de las cantidades de un conjunto da como resultado la cantidad correspondiente del otro conjunto. Este n ú mero se llama factor constante de proporcionalidad o factor externo constante . En este caso, a veces se sustituye el t é rmino factor por el de razón, quedando entonces: una relación entre dos conjuntos de cantidades es proporcional si la razón externa es constante .

x

2

.

4

lado

Barco i

¡ 3C 2

Barco 3

BC AB

CH

KL

1

2

3-fc

2

4

3

6

4

8

t A

B

*

C

* -

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—

^ ,HI £

.

4 ti

1

A

i

B

0

fG

I

h-

i

—

1

I !

Cuando una de las dos propiedades enunciadas en las definiciones anteriores se cumple, la otra se cumple tambié n. Es decir, si se verifica la igualdad de los factores internos que se corresponden, existe un factor constante de proporcionalidad, y recíprocamente. Por ello, cualquiera de las dos propiedades sirve para definir la proporcionalidad. Son propiedades necesarias y suficientes. Dos definiciones de la proporcionalidad

Factor constante

X 2

de proporcionalidad Barco i Barco 3 i

2

X 2 X

x4

X 2 2

3

x3

4

X

X

3

4

2

3

X 4

8

Factores internos (cada uno igual que el correspondiente de la otra figura)

Actividad 2 A continuación se presentan las listas de precios del jamón en dos locales de un mercado.

Local A Peso

LocalB Precio

f de kg

Peso

Precio

f de kg

$10

$16

$19

1kg

$32

1kg

$36

kg

$64

2

kg

$70

3 kg

$96

3 kg

$93

5 kg

$160

5 kg

$150

2

En la siguiente tabla anote Sí o No en la columna de cada local para indicar si cumple con la

propiedad que se enuncia a la izquierda . SOLUCIONARIO

.

1 ¿Se paga

.

2 Si se

Local

Local

A

B

el doble por medio kilo de jam ó n que por -1 de kilo?

compra 1 kg y luego 2 kg, ¿se paga lo mismo que si se compran de una sola vez 3

kilogramos? 3. ¿El precio

por kilo es el mismo independientemente de la cantidad de kilos que se

compren? 4. Entre má s kilos se compran, ¿ mayor es la suma total que se

paga?

Indique en qué local la relación entre peso y precio es de proporcionalidad directa y explique en qué se basa para afirmarlo. SOLUCIONARIO

LocalB kg

Precio

Ík £

$ 10

x 1.9

X 2

$19

Medio kilogramo es dos veces de kg; sin embargo, en el local B, $19 ( precio de 1 - kg) no es dos veces $10 (precio de -k de kg). Por tanto, en el local B el precio del jamón no es proporcional a su peso. Observe que los precios de ambos locales cumplen con lo que se dice en el enunciado 4 de la tabla anterior, segú n el cual “ si las cantidades de un conjunto aumentan, las del otro tambié n ” . Esta propiedad no es suficiente para que haya proporcionalidad. Es necesario que, además, los factores internos sean iguales. Observe tambié n que en el local A, si se compra 1 kg y luego 2 kg, se paga lo mismo que si se compran de una sola vez 3 kg; lo que no ocurre en el B. Ésta es otra propiedad de la proporcionalidad llamada propiedad aditiva . 3

los datos del local A hay un factor constante de proporcionalidad, ¿cuál es? Muestre que en el local B no hay un factor constante de proporcionalidad. SOLUCIONARIO

Entre

X

32

Local A kg

Precio

ike

Ss

TkS

$16

í kg

$32

^g

$64

2

x 32 ¿ Un n ú mero puede ser proporcional a otro? ¡No! No tiene sentido decir, por ejemplo, que $64 es proporcional a 2 kg, pero sí lo tiene decir que $ 64 y $96 son proporcionales a 2 y 3 kilogramos. Para que tenga sentido hablar de proporcionalidad es necesario que haya al menos cuatro cantidades enjuego: dos que se relacionen con otras tantas. Tambié n se puede decir: “ El precio del jamó n es proporcional al peso ” . Esto significa que, para cualquier par de cantidades de jamón, los precios será n proporcionales a los pesos, o bien, que el precio por kilogramo es constante.

Actividad 3 Calcule los valores faltantes en las tablas. En cada caso, indique y argumente si se trata de una relación de proporcionalidad; si no es de proporcionalidad, muestre, con un ejemplo, una propiedad que no se cumpla ( por ejemplo, muestre que “ al doble no le corresponde el doble” ). Si es de proporcionalidad, destaque la existencia del factor constante de proporcionalidad o de un valor unitario constante, o bien, muestre que los factores internos siempre son iguales. SOLUCIONARIO SOLUCIÓ N Dos automóviles, A y B, viajan por la misma carretera a la misma velocidad constante. Cuando el automóvil A llega al kilómetro 50, el automóvil B pasa por el kilómetro 40. ¿La distancia que recorre B es proporcional a la que recorre A?

A

B

50 km 100 km

40 km

150 km

140 km

Un automóvil se desplaza con movimiento uniforme a razón de 210 km por cada 3 h de recorrido. ¿La distancia que recorre el vehículo es proporcional al tiempo transcurrido?

Tiempo transcurrido

Distancia

km

3h

210

6h

420 km

9h Ana tiene 5 años de edad y su mamá tiene 30. ¿La edad de Ana es proporcional a la de su mamá?

Edad de Ana

Edad de su mam á

5 a ñ os

30 añ os

10

anos

15 anos

40 anos

.

La receta de un pastel dice: “ Hornear durante 45 min a 200 °C en un horno de gas” ¿El tiempo

de horneado es proporcional al n úmero de pasteles?

Nú mero de pasteles que se hornean al mismo tiempo Tiempo de horneado 1

45 min

2

3 La figura A’ es reproducción a escala de la figura A. ¿Las medidas de los lados de la figura A’ son proporcionales a las medidas de los lados de la figura A?

Lados

Fig. A

Fig. A*

a

16 cm

b

4 cm 3 cm

c

7 cm

44 cm

d

cobra una cuota fija por viaje (el “ banderazo” ) más una cantidad por cada 250 metros. ¿La cantidad que se paga por un viaje es proporcional a la distancia que se recorre?

Un taxi

Distancia

Precio

km^

$iS

4 km 6 km

$ 26

2

$34

8 km

Problema 3a. No hay proporcionalidad. El automóvil A siempre est á 10 km delante del automóvil B , pues sus velocidades son constantes. Entonces, lo constante es la diferencia entre las distancias recorridas, no el cociente. Esa diferencia constante es una constante aditiva. Cuando A haya recorrido el doble de 50 km ( es decir, 100 km), B llevar á 90 km, que no es el doble de 40 km, es decir, “ al doble no le corresponde el doble ” . Problema 3b. Dado que el movimiento es uniforme, la velocidad es constante, de 70 km / hora. Ése es el factor externo constante. Problema 3c. ¡Cuidado! No con cualquier constante hay proporcionalidad. En este problema no hay proporcionalidad pues la constante es aditiva y no multiplicativa, es decir, la mamá de Ana siempre tendr á 25 a ños más que Ana, pero no seis veces la edad de Ana. Problema 3d. No hay proporcionalidad entre n ú mero de pasteles y tiempo de horneado puesto que el tiempo de horneado ni siquiera depende del n ú mero de pasteles, siempre ser á de 45 minutos.

Problema 3e . Cuando dos figuras est á n a escala, las medidas de los lados de una son proporcionales a las medidas de los lados de la otra. Problema 3f. No hay proporcionalidad puesto que, por ejemplo, al doble de distancia no le corresponde el doble de costo, debido al “ banderazo” . Tambié n se puede observar que el valor unitario, es decir, el precio por kilómetro, no es constante: entre más grande es la distancia recorrida, más barato el precio por kilómetro. Esto se debe tambié n al “ banderazo” . Se trata, sin embargo, de un tipo de relación muy cercano a la proporcionalidad. Si no hubiera banderazo, el costo sería proporcional a la distancia recorrida.

2. OTRAS CARACTERíSTICAS DE LOS FACTORES INTERNOS Y EXTERNOS Hemos visto que la relación de proporcionalidad se puede caracterizar de dos maneras: por el hecho de que cada factor interno entre dos cantidades de un conjunto es igual al factor interno que

les corresponde en el otro conjunto, o bien, por el hecho de que los factores externos son todos iguales, es decir, por el hecho de que hay un factor externo constante. A continuación veremos dos diferencias importantes entre estos dos tipos de factores.

2.1. Factor externo con o sin dimensión; factor interno sin dimensión Comparemos los factores de proporcionalidad de las relaciones que siguen. CASO a

CASO i

_ ^h

X 70 -

CASO 3

x 0.62 dOíMli

-

x4

km

* Tiempo

A

Distancia

Kilómetros

Millas

Figura A

Figura Á"

3h

210

km

1

0.62

4 cm

16 cm

6h

420 km

15

93

-

5 cm

20 cm

9h

630 km

12

7.44

7 cm

28 cm

Caso 1. La relación es entre dos magnitudes de distinta naturaleza: a cada nú mero de horas

le corresponde una distancia. El factor constante de proporcionalidad, 70 km/ h, es un nú mero con unidad. También se le conoce como n ú mero “ con dimensión” . La unidad es kiló metros sobre hora. En este ejemplo, en que el movimiento es uniforme, el nú mero 70 km / h constituye la medida de una tercera magnitud: la velocidad. Caso 2. La relación es entre dos magnitudes de la misma naturaleza: longitudes, pero, las unidades son distintas. El factor de proporcionalidad, llamado en este caso factor de conversión, tambié n tiene dimensión: es millas sobre kilómetro. Caso 3. La relación es entre dos magnitudes de la misma naturaleza y, además, las unidades son iguales, son cent ímetros. Éste es el único caso en que el factor de proporcionalidad no tiene dimensión: es simplemente * 4. Se puede interpretar como “ cuatro veces” , es decir, la relación puede verse como un simple cambio de tamaño.

Actividad 4 Dé dos ejemplos más de relaciones de proporcionalidad entre conjuntos cuyos factores de proporcionalidad tengan dimensión y dos cuyos factores de proporcionalidad carezcan de ella. SOLUCIONARIO

Al tener dimensión, el factor de proporcionalidad puede expresarse con distintos n ú meros; por ejemplo, el factor 10 km / h es el mismo que 2.7 m/segundo. SOLUCIONARIO i) Exprese el factor "$8 por prenda" en pesos por docena.

ii) Exprese el factor "12 km por 1 L de gasolina" en millas por galón (considerando que 1 km = 0.62 millas y que 1 L = 0.26 galones). Encuentre una expresión distinta pero equivalente para cada uno de los siguientes factores. SOLUCIONARLO

i) Presión = 2 500 g/ m 2 ii) El café se vende en la ciudad a razón de $70 por kilogramo. iii) La concentración recomendada es de una parte de pintura por 100 de agua. A veces, el tamaño del factor queda parcialmente escondido en las unidades; por ejemplo, en la escala "a 1 m de la casa le corresponden 0.5 cm en el plano" el factor no es 0.5 sino 0.5cm / m, o bien 0.005 ¿Qué factor corresponde a la escala en la que un kilómetro se representa con un

.

cent ímetro? SOLUCIONARIO A diferencia del factor constante de proporcionalidad, los factores internos no tienen dimensión, son números de veces: Dos veces tres horas es igual a seis horas; dos veces 215 km es igual a 430 km; etc. Nótese que, en cambio, el factor constante de proporcionalidad (70 en este caso), no es un simple n ú mero de veces, no podemos decir que “ 70 veces tres horas es 210 kilómetros” . A estos factores sin dimensió n tambié n se les llama factores escalares.

Tiempo transcurrido

Distancia

3h

210

6h

420 km

9h

630 km

km

Actividad 5 En la tabla anterior, en la que se relacionan distancia y tiempo, aparecen tres valores en el conjunto de distancias y tres valores en el conjunto de tiempos. Aparecen tambié n dos factores internos, * 2 y x 3. ¿Hay otros factores internos además de esos dos? ¿Cuá ntos factores internos distintos se

pueden establecer entre los tres valores que aparecen? SOLUCIONARIO

2.2 El

factor externo permite expresar fórmulas

Cabe observar que el factor de proporcionalidad permite expresar las relaciones de proporcionalidad con una fórmula, por ejemplo:

medidas de la figura B = A * medidas de la figura A Otros ejemplos conocidos son: • perímetro del cuadrado = 4 * medida de un lado (P = 4 * /) • circunferencia = 3.14 * diámetro (C = 3.14 x D )

En el capítulo V volveremos sobre este tema, desde la perspectiva de la funció n lineal.

Actividad 6 Identifique otra fórmula conocida a la que correspondan relaciones de proporcionalidad entre magnitudes. SOLUCIONARIO Analice la fórmula y conteste lo que se pregunta. SOLUCIONARIO Lados de la figura A’ = 1 A * lados de la figura A o i) ¿Quién es mayor, A’ o A? ii) Complete la fórmula que arroja las medidas de A a partir de las de A’: lados de A = lados de A’ Dos diferencias entre el factor constante de proporcionalidad y los factores internos 1. El factor constante de proporcionalidad es uno solo, mientras que hay numerosos factores

internos. El factor constante permite expresar la f órmula de la relació n. 2. El factor constante puede tener dimensión, mientras que los factores internos no la tienen.

Problemas de “ pilón”

.

1 ¿El cuadrado B es una ampliació n a escala del cuadrado A?4

B

usted de una postal con la Torre Latinoamericana de la Ciudad de México. ¿Cómo ayudaría esta fotografía a determinar la altura de la Torre? 5

2. Dispone

HUELLAS DE DISTINTAS éPOCAS

TRATADO

IIE AHITM É TICA TEÓRICA V PR Á CTICA PAILA.

aso

.

de J ¡IH Esanelas nomalfli da Pra Tesóles y Frofessras, d í las esoudas primarias sn p éñ oras , de la ocseiiariia sDoundar í a moderna y de la enicilflnasi d¡c Bcílurítaa .

-

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c

\ ¿ \ \ f í\i r . r l c

L 1

Problema 2 Luis organizó una fiesta. Se prepararon varios pasteles, todos del mismo tama ño, y se acomodaron en las mesas. Como las mesas son de distinto tama ñ o, en algunas pusieron más pasteles que en otras. Los niños de cada mesa se repartirá n los pasteles en porciones iguales. Luis pensó que sus amigos podrían enojarse porque unos recibirá n más pastel que otros. Intentará que, por lo menos, a los niños de algunas mesas les corresponda lo mismo.

Nomfcx* griOO

Z

i

En la mesa G habr á 4 niños y se van a poner 3 pasteles J 1 3 En la mesa L habrá 16 niños ¿. Cuá ntos

i

\ v V

pasteles debe poner en la mesa L?

~

b

V

V

V

CU (

-sc

v 'S C

ifú5* i\

m

'

^

I

‘ I,

En la resolución de problemas, los alumnos, como todas las personas, usan, cuando pueden, los procedimientos que les resultan má s cómodos. No pueden hacer esto cuando solamente disponen

de un procedimiento o cuando se les exige usar alguno en particular. Cada uno de los dos problemas anteriores propicia cierto procedimiento más que otros, en función de determinadas características que se destacan a continuación. Problema 1. El valor unitario ( precio de una canica, $0.75) no es un n ú mero entero. En cambio, la raz ó n interna 3 se expresa con un n ú mero entero fácil de identificar: 12 canicas es el triple de cuatro canicas. Además, el contexto favorece considerar grupos de cuatro canicas. Patzi usa un procedimiento que pone enjuego dicha raz ón. Problema i

Problema

Caiilcas

Pesos

4

3

12

i

el caso anterior, el valor unitario no es entero (la porción es de pastel por ni ñ o) y la raz ó n interna sí lo es: 16 ni ños es cuatro veces cuatro ni ños. 2 . Como en

Problema 2 Nlíos

Pasteles

4

3

16

I

de

Sin embargo, a diferencia del problema anterior, en la soluci ó n que se presenta, Patzi no acude a la raz ón interna (cuatro veces ); en vez de ello, intenta, sin lograrlo, obtener el valor unitario con apoyo en una representació n gráfica del reparto. Es posible que esto se deba a que el contexto del

reparto de pasteles evoca de manera más fuerte la idea de ver cuá nto le corresponde a cada uno, mientras que el contexto de las canicas evoca la idea de repetir grupos de cuatro. As í, vemos que ciertos elementos del contexto influyen en que un procedimiento se favorezca más que otro. A continuación se presentan las soluciones a dos problemas de valor faltante . Esta vez pertenecen a alumnos distintos. Para cada solución, explique los procedimientos que siguieron los alumnos. SOLUCIÓN ¿En qué son distintos los problemas? ¿Cuál le parece más difícil? ¿Por qué? SOLUCIÓN

Problema 3 NombreJgrado

Saltos Marcela y José tienen vanas ranas

Las dejaron dar algunos saltos y después con una vara midieron Ja distancia total que lograron recorrer

H 165

La Rana Verde dio 3 saltos y logr ó avanzar en total 12 varas Si da 5 saltos en vez de 3 , ¿ cuantas varas crees que avance'?

v 7O

Problema 4

'

u

V

V

j

"'

. r

f

\

"

•

• *1

Nombre/gr »do

f'

\

La rana café dio 4 saltos y logr ó avanzar 6 varas en total ,

Si da 6 saltos en vez de 4 , ¿cuántas varas crees que avance?

—

G L

-o

í

- v.

Algunas características de los dos problemas anteriores Problema 3. El valor unitario es entero y fá cil de calcular: un salto mide cuatro varas. La misma alumna (Patzi) que usó la raz ón interna en el problema 1, ahora usa el valor unitario. Los alumnos usan, a veces sin saberlo, el procedimiento que les resulta más econó mico. Problema 3 Saltos

Varas

3

12

5

1

Problema 4. El valor unitario no es entero, aunque no es difícil obtenerlo ( un salto = li varas ); JS hay otro valor intermedio fácil de calcular y que permite resolver: dos saltos, tres varas. Sin embargo, el alumno cuya solució n se muestra, ante la dificultad de un valor unitario no entero, o bien, de una raz ón interna no entera (el n ú mero de veces que cuatro saltos es igual a seis saltos), usa un procedimiento erróneo t ípico: sumar dos, en lugar de multiplicar por -3- o 1.5. Dicho de otro modo, mantiene constante la diferencia ( 4 + 2 = 6; 6 + 2 = 8) en lugar del cociente. Cuando los factores que se necesitan para resolver un problema de valor faltante no son enteros, es com ú n que los alumnos usen un procedimiento aditivo en lugar de uno multiplicativo. Problema 4 Salios

Varas

4

6

6

Por último, se presenta la solución de un alumno a un problema de valor faltante en el

contexto de la escala. Explique el procedimiento que siguió el alumno. SOLUCI Ó N Observe que el procedimiento es distinto a los anteriores. ¿Qué considera que lo propició? SOLUCI Ó N

Problema 5 En un libro de piratas, Luis encontró el dibujo de la bandera de su pirata favorito.

Decidió hacer un cartel con el dibujo de la bandera, pero más grande, como si fuera una fotografía ampliada. Abajo aparece el dibujo que está en el libro. Los nú meros indican los cent ímetros que miden algunas líneas del dibujo. Por ejemplo, la línea C mide cuatro cent ímetros. C- ' fr NftmbfA/grtto. i

(

Luis quiere que en

i

t - ' i.

es cartel

la linea C

muja

9 cm

Anota cuánto deber á n medir las otras lineas.

\7i

A deberá medir .

,

r *1'

B deberá medir

-

L ft

C deber á medir 8 centimeiros

i

y-

D deber á medir p n f

M J T P "

“ A

~

E deber á medir

- ^

Dibuja el cartel en parle de atr ás de la hoja. Usa regla para medir . 1 „V-í ' i" ** * A “ ¿L u í - c.i o V S 1' W*"-

.

.

P"

- .i

Problema 5. En el problema anterior el factor de proporcionalidad es entero y muy fácil de calcular: 8 cm es el doble de cuatro centímetros. Además, las dos magnitudes son de la misma naturaleza (longitudes) y se miden con la misma unidad (cent ímetros). Todo lo anterior favorece el uso del factor * 2. Dibujo

Cartel

é cm

1

6 cm

1

4 cm

8 cm

Scm

7 1

12

cm

La noción de variable didáctica

Las características de un problema que se pueden modificar y que tienen un efecto cualitativo importante sobre las evoluciones de los procedimientos se llaman variables didácticas ( Brousseau, 1981: 68) .

Al analizar los problemas anteriores y las soluciones, identificamos las siguientes variables: • la razón interna puede ser entera o no entera; • el valor unitario puede ser entero o no entero ( por tanto, el factor de proporcionalidad puede ser entero o no entero); • ciertos aspectos del contexto que pueden favorecer un procedimiento; por ejemplo, el hecho de que las canicas se vendan en paquetes de cuatro favorece iterar esa cantidad; • las magnitudes pueden ser distintas y dificultar la identificaci ó n del factor de proporcionalidad, o bien, de la misma naturaleza, como en la escala, y favorecer el uso del factor de escala. Otras características de los problemas que suelen funcionar como variables did ácticas son el tama ño de las medidas que se relacionan (grandes, chicas) y si las medidas se expresan con n ú meros enteros o no enteros. Identificar algunas variables did á cticas de los problemas puede ayudar a • prever y graduar la dificultad de los problemas, • propiciar diversos procedimientos, • hacer más visibles para el maestro las producciones de los ni ñ os y comprenderlas mejor. Hay, por supuesto, otros factores que influyen en la elección de un procedimiento, independientes de las características del problema, en particular los conocimientos de la persona que resuelve.

Actividad 7 Escriba un problema de división. Identifique algunas variables (por ejemplo, razones enteras o no enteras, tamaño de los números, contexto). Escriba dos o tres problemas que resulten de modificar esas variables. Señale qué efectos podrían tener esas modificaciones en la solución de un alumno.

3. LOS DISTINTOS PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR FALTANTE apartado se recapitulan los distintos procedimientos para resolver problemas de valor faltante y se ampl ía la información tanto sobre su justificación matemática como sobre sus ventajas y desventajas didácticas. En este

Actividad 8 Una figura B es una reproducción a escala de una figura A. En la tabla 1 se dan algunas medidas, calcule la que falta.

Tabla 1 Ftgü ra k

Figura B

16

12

20

En la tabla 2 se muestran cuatro procedimientos para resolver el problema. Como ya se vio, además de los conocimientos de los ni ños, algunas características de los problemas hacen que un

procedimiento resulte más cómodo que otro. Revise los procedimientos; vea si los reconoce. Si alguno es nuevo para usted, intente aplicarlo en otro problema que usted mismo diseñe. Escoja uno de los procedimientos y determine qué caracter ística (s ) de un problema podrían favorecerlo.

Tabla 2. PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROPORCIONALIDAD DE VALOR FALTANTE

3.1. Procedimientos basados en la conservación de

las razones internas

(uso de factores internos) 3.1.1. Sin pasar por el valor unitario (...al doble le toca el doble) Este procedimiento, basado en la propiedad según la cual las razones internas se conservan puede

ser accesible e intuitivo cuando la razón en juego es simple: la mitad, el doble, 10 veces, por ejemplo. Tres cubetas por $5. ¿Cu á nto hay que pagar por seis cubetas? ¿Y por 30 cubetas? Si por tres cubetas se pagan $5, por seis cubetas (el doble de tres), se deberá pagar - si hay proporcionalidad , el doble. Por 30 cubetas (10 veces tres), se deberá pagar 10 veces 5 pesos. El doble es la razón que guardan seis cubetas respecto a tres cubetas, y también la que guardan $10 respecto a 5 pesos. Diez veces es la razón que guardan 30 cubetas respecto a tres cubetas, y también la que guardan $50 respecto 5 pesos. Pero cuando la razón interna no se puede expresar mediante un nú mero sencillo y, sobre todo, cuando no se puede expresar mediante un n úmero entero, este procedimiento se dificulta. Por ejemplo, en el caso anterior de la figura a escala, la razón interna que se necesita para resolver es la que hay entre 16 y 20 unidades. Por tanto, se necesita conocer el nú mero de veces que 16 unidades es igual a 20 unidades. Encontrar este nú mero (5/ 4 o 1.25) y luego multiplicarlo por 12 unidades puede ser difícil para alumnos de primaria, al grado de que ellos podrían incluso considerar que dicho número no existe.

—

El procedimiento de la conservaci ó n de las razones internas tiene la importante ventaja de ser intuitivo en ciertos casos (cuando la razón interna corresponde a un n ú mero de veces entero y pequeño). No obstante , debido a que es sencillo solamente en esos casos particulares es necesario

disponer de otros procedimientos. Este procedimiento tambié n es nombrado escalar debido a que los factores que se utilizan — como el doble, el triple, etc.— se refieren a n ú meros de veces carecen de dimensión.

Actividad 9 Plantee un problema de valor faltante que propicie el uso del procedimiento de las razones internas sin pasar por el valor unitario. SOLUCIONARIO

Actividad 10 Probablemente la forma más antigua de dividir que se conoce es la utilizada por los egipcios. Ésta se basaba en procesos de duplicación y obtención de mitades (Smith, 1958: 133). Por ejemplo, para dividir 325 entre 6, se puede proceder como se muestra en la siguiente tabla. 6

l

12

2

24

4

48 96

8 ié

192

32

288

48

312

52 54

324

Observe que, además de duplicar, a partir de cierto momento se suman té rminos (propiedad aditiva). ¿Qué resultados parciales se obtuvieron con sumas? SOLUCIONARIO Utilice la técnica de las duplicaciones para resolver las siguientes operaciones: 9 * 24; 846 : 12. SOLUCIONARIO

Los procedimientos basados en la conservación de razones internas y en la propiedad de la

aditividad se denominan tambié n procedimientos sobre la marcha ( building up procedmes , en inglés) (Hart, 1988: 88-101) por la característica de que frecuentemente no se anticipa, de entrada, por cuá nto se multiplicará o sumar á. La investigadora citada encontró que, aunque es un procedimiento de “ alcance limitado ” , es muy intuitivo y frecuentemente utilizado por los estudiantes, a ú n despu és de que se les ense ñan las fracciones. Errores frecuentes. Aunque este tipo de procedimientos sobre la marcha es accesible, a veces los alumnos cometen errores a consecuencia de no aplicar las mismas operaciones a los

valores de cada magnitud, como se muestra en el siguiente ejemplo.4 La docena de naranjas se vende a $ 4 . ¿Cu ál es el precio de 36 naranjas? Un alumno hizo lo siguiente (los n úmeros entre paréntesis los escribió el investigador ).

Naranjas

Precio

12

4

24

8

3é

16

(X 2)

(+ 12)

f+ 12)

(X 2)

Cada vez que sumó 12 naranjas en una columna de la tabla, en la otra duplicó la cantidad de pesos, en lugar de sumar también 4. De esta manera, de un lado triplicó el valor y del otro lado lo cuatriplicó.

Actividad 11 Identifique el error en las siguientes soluciones de alumnos de sexto grado de primaria. SOLUCIONARIO

.

Caso 1 Una regadera que gotea tira 36 L de agua en 24 horas. ¿Cuánta agua tira en 30 días? Después de calcular que 30 d ías equivalen a 720 horas, un alumno hace lo siguiente. Hacas

Litros

24

36

72 720

^

3 X3

El alumno explica: “ Porque la cantidad (720) está en el tercer lugar” . Caso 2. Una revista tiene 48 páginas, Jaime ha le ído seis. ¿Qué parte de la revista ha leído? Un alumno dice: “ La mitad de 48, 24, es una parte; la mitad de 24 es 12, la segunda parte; la mitad de 12 es seis, la tercera parte” . El uso de las llamadas tablas de variación puede constituir un excelente recurso didá ctico, pero no est á exento de problemas. Una de las precauciones que se pueden tomar para aminorar la ocurrencia de errores consiste en no poner siempre los valores siguiendo una regularidad como en "1, 2, 3, 4 ", o bien, en "1, 2, 4 , 8", es decir, ponerlos tambié n sin regularidad alguna, como en " 2, 3, 5, 11, 25".

3.1.2. El procedimiento basado en la conservación de las razones internas,

pasando por el valor unitario luego de ahí, pasar a cualquier cantidad multiplicando es accesible e intuitiva gracias a que se evocan las magnitudes enjuego, por ejemplo: Veinte metros de list ó n costaron $8. ¿Cu á nto habría que pagar por 22 metros? Si 20 m de listón costaron $8, 1 m cuesta 20 veces menos, o sea, $8 : 20 = $0.4; 22 m cuestan 22 veces $0.4, es decir, 8.8 pesos. Esta técnica tiene la ventaja también de que, a diferencia de la anterior, en la que no se pasa por el valor unitario, es general en el sentido de que se puede aplicar a cualquier problema de valor La idea de pasar por el valor de uno, dividiendo, para

faltante, sin que el nivel de dificultad aumente demasiado. Una limitación de la técnica es que hay casos en que el valor unitario no tiene sentido en el contexto que aportan las magnitudes, como en el siguiente ejemplo: Ana y Mar ía compraron vasos iguales. Ana por $10 compr ó 6 vasos. Mar ía pagó $15. ¿Cuá ntos vasos compró? La forma com ú n de usar la técnica del valor unitario llevaría a calcular la fracción de vaso que se puede comprar con $1, es decir ¡0.6 de vaso!, lo cual no tiene sentido. Para salvar esta limitación, el que resuelve puede considerar que se trata de un dato que existe ú nicamente en el universo del cálculo, que le sirve para calcular otro dato, y que no se trata de comprar “ pedazos” de vasos.

Actividad 12 Resuelva el siguiente ejercicio5 e intente identificar su propósito. SOLUCIONARIO

Manguera " Resistente"

Longitud

Peso

15 m

11.25 kg

Une con una l ínea cada divisi ó n con lo que representa el cociente. 11.25 : 15 = 0.75

• La longitud de un 1 kg de manguera "Resistente "

15 : 11.25 = 1.33

• El peso por metro de la manguera "Resistente "

Multiplica el peso por metro de la manguera "Resistente " por 15 m y verifica si da 11.25 kilogramos. ¿Cuá l de los dos cocientes te sirve para calcular el peso de 18 m de manguera "Resistente ", 0.75 o 1.33? Error frecuente. Un error frecuente en el uso del procedimiento del valor unitario consiste en escoger el valor unitario equivocado. Esto ocurre sobre todo cuando la incógnita (o el valor que

falta) es menor a uno.

3.2. Procedimiento basado en la constancia de la razón externa: uso del

factor de proporcionalidad En una relación de proporcionalidad, la existencia de la constante de proporcionalidad ofrece un importante recurso, aunque ésta entra ña cierta complejidad. ¿Por qué es importante? En el capítulo I vimos que cuando el factor de proporcionalidad

multiplica cualquier valor de una de las magnitudes en relación arroja el valor correspondiente de la otra magnitud. Por ejemplo, en el problema de escala de la tabla 2 (pág. 51), al multiplicar la medida de cualquier lado de la figura original por A se obtiene la medida del lado correspondiente

en la copia. Vimos tambié n que esta característica es la que permite expresar las relaciones de proporcionalidad con una fórmula; por ejemplo, medidas de la figura B = * medidas de la figura A. ¿Por qué es complejo? ¿A qué errores da lugar? Dos de los aspectos por los que el uso de la constante de proporcionalidad constituye un recurso complejo son que ésta tiene dimensión (por ejemplo kilómetros por hora, dulces por caja, precio por producto) y que puede ser no entera. La primera característica ya se mencionó en el capítulo I. Para comprender la dificultad provocada por la segunda característica intente contestar la siguiente pregunta. Multiplicar una medida por 5 significa hacerla cinco veces mayor. ¿Qué significa multiplicar una medida por Jj ?

_

Multiplicar una medida por un nú mero no entero, por ejemplo, por ya no puede interpretarse como “ repetir varias veces esa cantidad ” , muchas veces ya ni siquiera significa “ agrandar ” esa cantidad, pues al multiplicar por factores menores que uno se achican las cantidades. Por ello comprender la multiplicació n por racionales implica una ruptura con la comprensión que se ten ía desde los naturales. Debe hacerse una nueva construcción de la noció n de multiplicación, más amplia, que abarque a la multiplicación por naturales y por fracciones.

Actividad 13 Resuelva el siguiente problema.6 • Dibuje el rompecabezas que se muestra y recorte las piezas. • Construya, pieza por pieza, un rompecabezas a escala más grande, de tal manera que el lado que mide 4 cm en el original mida 7 cm en el rompecabezas ampliado. • Arme el rompecabezas ampliado y compruebe que las piezas embonen. 6

5

6

7

4

5

En el problema anterior se debe buscar el n ú mero de veces que cuatro es siete, pero ¿existe ese n ú mero? Con frecuencia los alumnos de primaria y de secundaria piensan que no existe y, entonces, sin darse cuenta, cambian de estrategia: buscan el n ú mero que sumado a cuatro d é siete. As í, suman 3 cm a todas las medidas en lugar de multiplicarlas por 1.75 o por -Z-, con lo cual, por

supuesto, ¡se equivocan! El investigador francés Guy Brousseau desarrolló una secuencia did áctica (de más de 40 lecciones) cuya parte central se dedica a la construcci ón de la noció n de multiplicaci ó n por una fracció n. En esa secuencia, se plantea a los alumnos un problema de escala como el anterior, en el que, una vez calculadas las medidas, deben construir físicamente el rompecabezas ampliado. Esto permite a los alumnos darse cuenta de que al sumar 3 cm se deforman las piezas.7 La soluci ó n que se establece primero es el valor unitario, por cada cent ímetro de la figura original, la copia tiene Z de cent ímetro. Después de un largo camino, esa relaci ón da significado al factor no entero * Z ; multiplicar por Z significa establecer una relació n de proporcionalidad en la que a 1 le corresponden Z .

Actividad 14 El siguiente ejemplo es un procedimiento para resolver situaciones de proporcionalidad desarrollado por un adulto no escolarizado. El procedimiento se identificó en un estudio chileno con pescadores ( Soto, 2001: 220) . Problema. Calcular el valor de la cosecha de 6 300 zanahorias, si la cosecha de 1 000 zanahorias vale $150. Zanahorias

Valor ($)

1000

150

x

—

X 2

2

í

1

3

300

2 OOO

X

*3

3

í

i

6000

900

x

rr “ 3

10

T

loo

15

*3

C*D

i 300 6 300

45

945

*

Resuelva el mismo problema utilizando el factor de proporcionalidad enjuego. Después explique a qué podría deberse que el adulto no lo haya utilizado. SOLUCIONARIO SOLUCI Ó N

Experiencias como la anterior ponen en evidencia la mayor complejidad conceptual del procedimiento del factor de proporcionalidad en comparació n con el de los factores internos. Éstos llegan a ser utilizados espont á neamente, en cambio el factor de proporcionalidad puede requerir de una ense ñanza intencional.

Actividad 15 ¿Hay alguna diferencia entre el factor de proporcionalidad y el valor unitario? Justifique su opinión. SOLUCIÓN

El valor unitario y el factor de proporcionalidad Algunos estudiosos del tema consideran que las nociones de valor unitario y de operador función son la misma. Sin embargo, desde la perspectiva de la ense ñanza es ú til distinguir las dos nociones, pues el valor unitario remite a una relación entre dos cantidades; por ejemplo, " 3 cm por cada cent ímetro": 1 3 cm, mientras que el factor de proporcionalidad es un número, jugando el papel de multiplicador: * 3.

Actividad 16 El apartado 5.2 del programa de Matemáticas de sexto grado, en la edición de 2010 (p. 109) dice: “ Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos no formales” . En la sección de orientaciones didácticas se propone el siguiente problema de proporcionalidad. Un tren de un parque da

vueltas alrededor de un circuito de 12 km. Calcular los valores que

faltan en la tabla siguiente Véase la Tabla.

Considere los siguientes dos procedimientos para calcular el nú mero de kilómetros que corresponden a 1.3 vueltas y conteste la pregunta que se hace después. i) La constante de proporcionalidad es * 12, entonces el resultado es 12 veces 1.3, esto es 1.3 + 1.3 + 1.3... 12 veces, es decir, 15.6 kilómetros. de 12 km, es decir, 12 ii) A 1.3 vueltas les corresponden 1.3 veces 12 km, es decir, 12 km + x km + (3 1.2 km) = 15.6 kilómetros. ¿Qué procedimiento le parece más factible de ser usado por los alumnos que se inician en el estudio de la multiplicación por fracciones o decimales? SOLUCIONARIO

^

3.3. El

procedimiento de la regla de tres

El procedimiento llamado regla de tres tiene una larga historia y ha sido objeto, en el ámbito de la

ense ñanza, de cierto cuestionamiento, como se verá en seguida. Recordemos en qué consiste mediante un ejemplo simple. Doce chocolates pesan 100 g. ¿Cu á nto pesan 15 chocolates del mismo tipo? Chocolates

Peso (g)

12

100

15

Por lo general, la regla de tres consiste en: • identificar las dos magnitudes en relación: cantidad de chocolates, peso; • acomodar los tres datos y la incógnita dos a dos, de manera que queden lado a lado los elementos que se corresponden (12 chocolates con 100 g, 15 chocolates, con x gramos); - r • plantear la igualdad de fracciones: X L r> • aplicar la regla segú n la cual cuando las fracciones son iguales los productos en cruz tambié n lo son: x * 12 = 100 * 15; • finalmente, despejar la x, aplicando una regla de álgebra que dice que lo que multiplica de un lado pasa del otro lado dividiendo: x = 15 * 100

=^

12

Hay diversas variantes de la regla de tres. En una versión todavía más antigua que la anterior no se hablaba de fracciones, sino de razones. La image n de la siguiente página brinda un ejemplo

de redacción de dicha regla. La principal ventaja de este procedimiento consiste en que, cuando se dominan los pasos, resulta práctico y r á pido. La principal desventaja radica en que los productos que se realizan, por ejemplo, el producto de 15 chocolates multiplicado por el peso de 12 chocolates (100 g), no tiene sentido en el contexto, es decir, no corresponde a ninguna de las magnitudes en juego. Esta separación del contexto, típica de las resoluciones algebraicas, impide que los alumnos de primaria, y tambié n los de secundaria, comprendan el porqué del procedimiento. Por ello, deben memorizarlo sin comprenderlo, con lo cual el riesgo de que alteren algún paso de la técnica es alto.

ya?

RKfí fiAS M Tlí IMS*

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2i

REGLAS DE TRES

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