Алӂебра. Класа 9. Партя 1

Citation preview

Министерул Едукацией ал РМН Институтул де дезволтаре а ынвэцэмынтулуй ши перфекционаря кадрелор

А.Г. Мордкович, П.В. Семьонов

Алжебра ˘ класа Ын доуэ пэрць

9

Партя 1

МАНУАЛ

пентру елевий институциилор ˘ де ынвэцэмынт женерал Рекомандат де кэтре Министерул ынвэцэмынтулуй ши штиинцей ал Федерацией Русе

Едиция а 12-Я, стереотипэ Тираспол 2018

ББК 22.141я721(4Мол5) М79

Традучере А.Т. Стою Ауторий: А.Г. Мордкович, П.В. Семьонов

Мордкович А.Г. Алщебра. Класа 9. Ын 2 п. П. 1. Мануал пентру елевий М79 институциилор де ынвэцэмынт щенерал. /А.Г. Мордкович, П.В. Семьонов. – ед. а 12-я, стер. – Тираспол: ИДЫшиПК, 2018. – 224 пащ. Мануалул концине материалул теоретик финал ал курсулуй де алщебрэ пентру институцииле де ынвэцэмынт щенерал де базэ. Ел се базязэ пе о кончепцие принчипиалэ ноуэ, ноциуниле де базэ але кэрей сынт моделул математик ши лимбажул математик, яр дин пункт де ведере ал концинутулуй методолощик – дирекция функционалэграфикэ. Мануалул инклуде ун нумэр маре де екземпле ку о резолваре апрофундатэ ши деталиятэ. Екзерчицииле пентру лукрул де сине стэтэтор сынт интродусе ын партя а доуа (ын проблемар). Презентаря акчесибилэ ши деталиятэ а материей ый обишнуеште пе елевь сэ студиезе литература дидактикэ ши ла кэутаря информацией де сине стэтэтор.

ББК 22.141я721(4Мол5)

© «Мнемозина», 2010 © ИДЫшиПК, 2018

2

Префацэ Комплектул инструктив-методик* пентру студиеря курсулуй де алӂебрэ ын класа а 9 а школий медий де ынвэцэмынт ӂенерал, публикат де едиция «Мнемозина», есте компус дин урмэтоареле елементе: Програме. Математика. Класеле 5–6. Алӂебра. Класеле 7–9. Алӂебра ши елементе де анализэ. Класеле 10–11/ауторь-алкэтуиторь И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович; А. Г. Мордкович, П.В. Семьонов. Алӂебра. Класа 9. Ын 2 п. Партя 1. Мануал; А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская, П.В. Семьонов. Алӂебра. Класа 9. Ын 2 п. Партя 2. Проблемар; А. Г. Мордкович, П.В. Семьонов. Алӂебра. Класа 9. Рекомендэрь методиче пентру ынвэцэторь; Л.А. Александрова. Алӂебра. Класа 9. Лукрэрь де контрол / Суб редакция луй А.Г. Мордкович. Л. А. Александрова. Алӂебра. Класа 9. Лукрэрь де сине стэтэтор / Суб редакция луй А. Г. Мордкович. Е. Е. Тульчинская. Алӂебра. Класа 9. Сондаж-блиц. В.В. Шеломовский. Супорт електроник ал курсулуй «Алӂебра-9» / Суб редакция луй А. Г. Мордкович. Ын фаца воастрэ авець прима карте дин ачест сет – мануалул. Вэ атращем атенция ла фаптул, кэ ачест мануал ын мод семнификатив диферэ де едицииле анилор 1999–2007. Анализа експериенцей де лукру а професорилор конформ едициилор пречеденте а облигат ауторий сэ скимбе ординя параграфелор ши сэ интродукэ унеле модификэрь редакционале ши стилистиче. Ауторий сперэ кэ ачест мануал ва фи читит ши де ынвэцэторь, ши де елевь, ши де пэринць, деоарече стилул редэрий материей есте диспонибил пентру тоць. Ын ачелашь тимп, сынт евиденцияте етапеле принчипале але рационаментулуй, фиксынд атенция чититорулуй ла ачесте етапе. Де екземплу, резолваря тутурор ынсэрчинэрилор есте екзекутатэ (прекум ши ын мануалеле пентру класеле 7 ши 8) ын трей етапе: алкэтуиря моделулуй математик; лукрул ку ачест модел; рэспунс ла ынтребаря проблемей. *

О информацие суплиментарэ деспре материалеле де евалуаре се поате де обцинут пе ситеул www.mnemozina.ru ши www.ziimag.narod.ru

3

Ла лекцииле де математикэ ынвэцэторул, ынтотдяуна, комбинэ лимбажул обишнуит, де тоате зилеле (де комуникаре, лимбажул литерал) ку лимбажул математик – стрикт, ускат, лаконик, компус конформ унор леӂь акчептате ын математикэ. Ын ачест мод есте скрис ши мануалул дат. Ел репрезинтэ ун мануал де студиу, дар ну ун мануал унде есте нечесар де а мемориза тотул пе де рост, адикэ ун мануал пентру а фи читит ши ынцелес. Ынвэцэторул, базынду-се пе ачест мануал, фоарте ушор се ва лэмури ын казуриле: че требуе де експликат елевилор ла лекцие, че есте нечесар ка елевий сэ меморизезе пе де рост ши, че пур ши симплу де читит акасэ (ши апой де анализат ла лекцие ын мод де дискуцие). Ын унеле казурь текстул есте скрис ку карактере мичь. Ачест материал ну есте нечесар де студият облигаториу пентру тоць елевий, ел есте дестинат пентру ачей каре сынт интересаць де математикэ. Принтре тоате дирекцииле ку концинут методик ал курсулуй школар де алӂебрэ ка о приоритате есте алясэ дирекция функционалграфикэ. Ачаста се експримэ, ын примул рынд, ын фаптул кэ индиферент че функцие, екуацие, експресие се студиязэ материалул де студиу есте аранжат практик ынтотдяуна ынтр-о скемэ стриктэ: функцие – екуацие – трансформэрь. Пентру о реализаре комплетэ а дирекцией функционал-графиче, деосебит де импортант есте курсул де алӂебрэ пентру класа а 9-а. Ын база експериенцелор де студиере а функциилор, проприетэцилор ши а графичелор ын класеле а 7–8, анализынд ын класеле индикате тоате ноциуниле де базэ, легате де функций ла ун нивел интуитив-визуал, ын класса а 9-а ешим ла ун нивел теоретик интуитив. Мануалул купринде ун нумэр васт де екземпле ку о лэмурире десфэшуратэ де резолваре. Резолваря екземплулуй се сфыршеште . ку кувынтул «рэспунс» сау ку симболул Ауторий

4

КАПИТОЛУЛ

1

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ § § § §

1. Инекуацииле линиаре ши пэтрате 2. Инекуацииле рационале 3. Мулцимиле ши операцииле асупра лор 4. Системеле де инекуаций Конклузий æенерале

§ 1. ИНЕКУАЦИИЛЕ ЛИНИАРЕ ШИ ПЭТРАТЕ Дупэ че аць читит денумиря параграфулуй, вой вэ путець ынтреба: «Де че оаре ной не мишкэм пе лок?» Ынтр,адевэр, ку резолваря инекуациилор линиаре ши а инекуациилор пэтрате ку о сингурэ вариабилэ аць фэкут куноштинцэ ын курсул де алùебрэ пентру класа а 8-а – ачаста а фост уна принтре ултимеле теме але курсулуй. Дин ачест параграф вой ну вець афла нимик ноу, ку атыт май мулт, вець обсерва, кэ унеле екземпле сынт ымпрумутате дин манулул «Алùебра-8». Консидераць ачест параграф ка о посибилитате де репетаре а курсулуй, каре пермите трептат сэ тречем ла студиеря уней теме ной (ын параграфул урмэтор). Вэ аминтим кэ, о инекуацие линиарэ ку о сингурэ вариабилэ х, се нумеште инекуация де типул ax + b > 0 (ын лок де семнул > поате фи, десигур, орьче алт семн ал инегалитэций), унде a ши b сынт нумере реале (а ≠ 0). Инекуацие пэтратэ ку о сингурэ вариабилэ х се нумеште инекуация де типул ax2 + bx + c = 0, унде a, b, c сынт нумере реале (ын афарэ де а = 0). Валоаря вариабилей х каре трансформэ инекуация f(x) > 0 ынтр-о инегалитате нумерикэ адевэратэ, се нумеште солуцие а инекуацией (сау солуцие партикуларэ). Мулцимя тутурор солуциилор партикуларе а уней инекуаций се нумеште солуцие щенералэ (сау солуцие). Обсервацие 1. Дупэ кум аць обсерват, терменул «солуцие» се фолосеште ши ын сенс ӂенерал, ши ын сенс де солуцие партикуларэ а инекуацией. Ку атыт май мулт, ынсушь прочесул афлэрий солуциилор инекуацией, деасеменя се нумеште солуционаря инекуацией. Де обичей, дупэ концинут есте клар че сенс примеште терменул «солуцие». 5

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Доуэ инекуаций f(x) < g(x) ши r(x) < s(x) се нумеск екиваленте, дакэ еле ау унеле ши ачеляшь солуций (сау, дакэ амбеле инекуаций ну ау солуций). Се поате де спус ши астфел: доуэ инекуаций сынт екиваленте, дакэ орьче солуцие партикуларэ а примей инекуаций есте солуцие а челей де а доуа, ши инверс, орьче солуцие партикуларэ а инекуацией а доуа есте солуцие а примей инекуаций. Де обичей, ла резолваря инекуациилор инекуация инициалэ се ынлокуеште принтр-о инекуацие май симплэ, дар екивалентэ ку чя датэ. О астфел де ынлокуире се нумеште трансформаря де екиваленцэ а инекуацией. Ануме ачесте трансформэрь сынт формулате май жос ын регулиле 1–3. Регула 1. Орьче термен ал инекуацией поате фи трекут динтр-о парте а ей ын алта ку семнул опус, фэрэ а скимба семнул инекуацией. О формуларе май пречисэ есте: дакэ тречем ун оарекаре термен ал инекуацией динтр-о парте ын алта а ей ку семнул опус, ши ын ачелашь каз пэстрэм семнул инекуацией нескимбат, атунч обцинем о инекуацие екивалентэ ку чя датэ. Де екземплу, инекуация 3х + 5 < x2 есте екивалентэ ку инекуация –x2 + 3x + 5 < 0: терменул х2 а фост трекут дин партя дряптэ а инекуаций ын партя стынгэ а ей, ку семнул опус, яр семнул инекуацией а рэмас нескимбат. Регула 2. Амбеле пэрць але инекуацией пот фи ынмулците сау ымпэрците ла унул ши ачелашь нумэр позитив, фэрэ а скимба ын ачест каз ынсушь семнул инекуаций. Де екземплу, инекуация 8x – 4 > 12x2 есте екивалентэ ку инекуация 2x – 1 > 3x2: амбеле парць але инекуацией ау фост ымпэрците ла унул ши ачелашь нумэр позитив 4, яр семнул инекуацией а рэмас нескимбат. Регула 3. Амбеле пэрць але инекуацией пот фи ынмулците сау ымпэрците ла унул ши ачелашь нумэр негатив, ын ). скимбынд семнул инекуацией ын опус (< ын >,

6

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Де екземплу, инекуация –2x2 – 3x + 1 0 есте екивалентэ ку инекуация 2x2 + 3x – 1 0: амбеле пэрць але примей инекуаций ау фост ынмулците ла унул ши ачелашь нумэр негатив –1, скимбынд ын ачест каз семнул инекуацией ын опус. Регулиле 2 ши 3 адмит урмэтоареле ùенерализэрь (афирмацииле кореспунзэтоаре сынт теореме, дар ной, де драгул чититорулуй, ле презентэм ын формэ де регуль). Регула 2*. Дакэ ынмулцим сау ымпэрцим амбеле пэрць але уней инекуаций ку о сингурэ вариабилэ х ла уна ши ачеяшь експресие p(x), че примеште валорь позитиве пентру орьче валорь але вариабилей х ши, пэстрынд семнул инекуацией нескимбат, атунч обцинем о инекуацие екивалентэ челей дате. Регула 3*. Дакэ ынмулцим сау ымпэрцим амбеле пэрць але инекуацией ку о сингурэ вариабилэ х ла уна ши ачеяшь експресие p(x), че примеште валорь негативе пентру орьче валорь але вариабилей х, конкомитент скимбынд семнул инекуацией ын опус, атунч вом обцине о инекуацие екивалентэ челей дате. Сэ демонстрэм регула 3*. Се дэ инекуация f(x) > g(x) ши експресия p(x), че примеште валорь негативе пентру орьче валорь але вариабилей х. Фие x = a о солуцие партикуларэ а инекуацией f(x) > g(x). Ачаста ынсямнэ, кэ f(a) > g(a) есте о инегалитате нумерикэ адевэратэ. Ынмулцинд амбеле пэрць але ей ла унул ши ачелашь нумэр негатив p(a), обцинем: f(a)p(a) < g(a)p(a) – о инегалитате нумерикэ адевэратэ. Деч, x = a есте солуцие партикуларэ а инекуацией f(x)p(x) < g(x)p(x). Ашадар, ам демонстрат, кэ орьче солуцие партикуларэ а инекуацией f(x) > g(x) есте солуцие партикуларэ ши пентру инекуация f(x)p(x) < g(x)p(x). Ши инверс, x = b есте о солуцие партикуларэ а инекуацией f(x)p(x) < g(x)p(x). Ачаста ынсямнэ, кэ f(b)p(b) < g(b)p(b) есте о инегалитате нумерикэ адевэратэ. Ымпэрцим амбеле пэрць але ачестей инекуаций ла унул ши ачелашь нумэр негатив p(b), обцинем: f(b) > g(b) – о инегалитате нумерикэ адевэратэ. Деч, x = b есте о солуцие партикуларэ а инекуацией f(x) > g(x). Ашадар, ам демонстрат, кэ орьче солуцие партикуларэ а инекуацией f(x)p(x) < g(x)p(x) есте солуцие ши пентру инекуация f(x) > g(x). Конклузие: инекуацииле f(x) > g(x) ши f(x)p(x) < g(x)p(x), унде p(x) < 0 сынт екиваленте. 7

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Де екземплу, инекуация (2x + 1)(x2 + 2) > 0 есте екивалентэ ку инекуация 2х + 1 > 0: амбеле пэрць але инекуацией инициале ау фост ымпэрците ла уна ши ачеяшь експресие x2 + 2, каре примеште валорь позитиве пентру орьче валорь але луй х; пэстрынд семнул инекуацией нескимбат. Инекуация есте екивалентэ ку инекуация амбеле пэрць але инекуацией инициале ау фост ынмулците ла уна ши ачеяшь експресие –х4 –1, каре примеште валорь негативе пентру орьче валорь але луй х; конкомитент скимбынд семнул инекуацией инициале ын опус. Екземплул 1. Резолваць инекуация

Резолваре. Ынмулцим амбеле пэрць але инекуацией ла унул ши ачелашь нумэр позитив 15, семнул инекуацией рэмыне нескимбат (регула 2). Ачаста не пермите сэ скэпэм де нумитор, адикэ сэ тречем ла о инекуацие май симплэ, екивалентэ ку чя датэ:

Тречем терменул 30х ал инекуацией ын партя стынгэ, яр терменул –3 ын партя дряптэ а ей, скимбынд семнеле ын опус (конформ регулей 1). Астфел обцинем: –19х Ын сфыршит, апликынд регула 3, обцинем:

19

Обсервацие 2. Ын унеле казурь се утилизязэ ши о алтэ формэ де дескриере а рэспунсулуй – суб формэ де интервал нумерик

19

Дупэ пэреря ноастрэ, рэспунсул ла резолваря инекуациилор есте де дорит сэ фие скрис ын формэ де инегалитате симплэ:

8

19

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 1 Е кземплул 2 . Резолваць инекуация 3x + 9 < 2x2. Р е з ол в а ре . 1) Адучем екуация инициалэ ла форма 3x + 9 – 2x2 < 0 (ам ефектуат о трансформаре де екиваленцэ а инекуацией конформ регулей 1). Афлэм рэдэчиниле триномулуй пэтрат –2x2 + 3x + 9; пентру ачаста вом резолва екуация пэтратэ –2x2 + 3x + 9 = 0: x1 = 3 x2 = –1,5. 2) Парабола, че сервеште дрепт графикул функцией y = –2x2 + + 3x + 9, интерсектязэ акса х ын пунктеле 3 ши –1,5, рамуриле параболей сынт ориентате ын жос, деоарече коефичиентул супериор ал триномулуй пэтрат –2x2 + 3x + 9 есте егал ку –2, адикэ есте ун нумэр негатив. Репрезентаря скематикэ а графикулуй функцией есте арэтатэ ын фиг. 1. 3) y < 0 пе ачеле интервале але аксей х, унде графикул есте репрезентат май жос де акса х, адикэ пе раза дескисэ (–∞; –1,5) ши пе раза дескисэ (3; + ∞). Р э с пу нс: x < –1,5; x > 3. Есте де фолос сэ вэ аминтим доуэ афирмаций, каре ау фост демонстрате ын курсул де алùебрэ ын класа 8-а ши нечесаре ын виитор. 1. Дакэ триномул пэтрат ax2 + bx + c ну аре солуций (дискриминантул D – есте ун нумэр негатив) ши a > 0, атунч пентру орьче валорь але луй х есте адевэратэ инекуация ax2 + bx + c > 0. Ку алте кувинте, дакэ D < 0, a > 0, атунч инекуация ax2 + bx + + c > 0 аре сенс пентру орьче х; ши инверс, инекуация ax2 + bx + +c 0 ын ачест каз ну аре солуций. 2. Дакэ триномул пэтрат ax2 + bx + c ну аре солуций (дискриминантул D есте ун нумэр негатив) ши a < 0, атунч пентру орьче валорь але луй х есте адевэратэ инекуация ax2 + bx + c < 0.

9

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Алтфел спус, дакэ D < 0, a < 0, атунч инекуация ax2 + bx + c < 0 аре сенс пентру орьче х; ши инверс, инекуация ax2 + bx + c 0 ын ачест каз ну аре солуций. Ачесте афирмаций сынт казурь партикуларе але урмэтоарей теореме. Дакэ триномул пэтрат ax2 + bx + c аре дискриминантул негатив, атунч пентру орьче х Теоремэ валоаря триномулуй примеште семнул коефичиентулуй супериор а. Екземплул 3. Резолваць инекуация: а) 2x2 – x + 4 > 0 ; б) –x2 + 3x –8 0. Резолваре. а) Афлэм дискриминантул триномулуй пэтрат 2x2 – x + 4. Авем: D = (–1)2 – 4 ∙ 2 ∙ 4 = –31 < 0. Коефичиентул супериор ал триномулуй (нумэрул 2) есте ун нумэр позитив. Астфел, конформ теоремей, инекуация 2x2 – x + 4 > 0 есте адевэратэ пентру орьче валорь але луй х, ашадар, солуцииле инекуацией дате есте ынтряга дряптэ нумерикэ (–∞; +∞). б) Афлэм дискриминантул триномулуй пэтрат –х2 + 3х – 8. Авем: D = 32 – 4 ∙ (–1) ∙ (–8) = –23 < 0. Коефичиентул супериор ал триномулуй (нумэрул –1) есте ун нумэр негатив. Конформ теоремей, инекуация –х2 + 3х – 8 < 0 есте адевэратэ пентру орьче валорь але луй х. Астфел, резултэ кэ, пентру орьче валорь але луй х инекуация –х2 + 3х – 8 ≥ 0 ну аре сенс, деч, инекуация датэ ну аре солуций. Рэспунс: а) (–∞; +∞); б) ну аре солуций. Обсервацие 3. Ын унеле казурь, ын локул фразей «ну аре солуций» се фолосеште симболул ∅ – мулциме видэ (деспре ачест симбол вом ворби май деталият май тырзиу – везь паӂ. 26). Ын екземплул урмэтор вэ аминтим де о алтэ методэ, каре поате фи апликатэ ла резолваря инекуациилор. Екземплул 4. Сэ резолвэм инекуация х2 – 6х + 8 > 0. Резолваре. Дескомпунем триномул пэтрат х2 – 6х + 8 ын факторь линиарь. Рэдэчиниле триномулуй сынт нумереле 2 ши 4. Утилизынд формула куноскутэ дин курсул де алùебрэ пентру класа 8-а ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), обцинем: х2 – 6х + 8 = (x – 2)(x – 4). Репрезентэм пе дряпта нумерикэ рэдэчиниле триномулуй: 2 ши 4 (фиг. 2). Детерминэм, кынд продусул (x – 2)(x – 4) есте позитив, 10

1.

ши кынд ачест

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 2 ши кынд ачест продус есте негатив. Дакэ x > 4, атунч x – 2 > 0 ши x – 4 > 0, резултэ кэ, (x – 2)(x – 4) > 0. Дакэ 2 < x < 4, атунч x – 2 > 0, яр x – 4 < 0, астфел (x – 2)(x – 4) < 0. Ши ын сфыршит, дакэ x < 2, атунч x – 2 < 0 ши x – 4 < 0, ашадар (x – 2)(x – 4) > 0. Пе ной не интересязэ доар ачеле валорь але вариабилей х, пентру каре триномул пэтрат х2 – 6х + 8 примеште валорь позитиве. Ачаста аре лок пе доуэ разе дескисе: (–∞; 2), (4;+∞). Рэспунс: x < 2; x > 4. Метода рационаментелор ефектуате ын екземплул 4 се нумеште метода интервалелор. Ачастэ методэ се апликэ пе ларг ын математикэ ла резолваря инекуациилор рационале. Ын параграфул урмэтор вом студия ачастэ методэ май деталият, дар ачест параграф се сфыршеште ку ун екземплу, ын каре се ворбеште деспре резолваря инекуациилор ку модуль. Екземплул 5. Резолваць инекуация: а) |х – 2| < 3; б) |х + 3,2| 2; в) |10х| > 27. Резолваре. Вэ аминтим интерпретаря ùеометрикэ а експресией |х – a| – есте дистанца пе дряпта (нумерикэ) де коордонате динтре пунктеле х ши а, каре се нотязэ прин ρ(x; a) (ρ – литерэ а алфабетулуй греческ «ро»): |х – a| = ρ(x; a). Де екземплу, а) Инекуация |х – 2| < 3 поате фи интерпретатэ астфел: требуе де афлат пе дряпта де коордонате тоате ачеле пункте х каре сатисфак кондицией ρ(x; 2) < 3, адикэ, тоате пунктеле ындепэртате де пунктул 2 ла о дистанцэ май микэ декыт 3. Ачестя сынт тоате пунктеле, каре апарцин интервалулуй (–1; 5) (фиг.3). Интервалул (–1; 5) есте солуция инекуацией дате.

Фиг. 3 11

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 4

Фиг. 5 б) Инекуация |х + 3,2| 2 поате фи интерпретатэ астфел: требуе де афлат пе дряпта де коордонате тоате ачеле пункте х, каре сатисфак кондицией ρ(х; –3,2) 2, адикэ, тоате пунктеле ындепэртате де пунктул –3,2 ла о дистанцэ май микэ сау егалэ ку 2. Ачестя сынт тоате пунктеле каре апарцин сегментулуй [–5,2; –1,2] (фиг. 4). Интервалул [–5,2; –1,2] есте солуция инекуацией. в) Превентив ымпэрцим амбеле пэрць але инекуацией ла унул ши ачелашь нумэр позитив 10; обцинем ≈|х| > 2,7. Инекуация |х| > 2,7 поате фи интерпретатэ астфел: требуе де афлат пе дряпта де коордонате тоате ачеле пункте х, каре сатисфак кондицией ρ(х; 0) > 2,7, адикэ, тоате пунктеле ындепэртате де пунктул 0 ла о дистанцэ май маре декыт 2,7. Ачестя сынт тоате пунктеле каре апарцин разелор дескисе (–∞; –2,7) сау (2,7; +∞) (фиг. 5). Рэспунс: а) –1 < x < 5; б) –5,2 x –1,2; в) x < –2,7; x > 2,7.

§ 2. ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ Инекуацие рационалэ ку о сингурэ вариабилэ х се нумеште инекуация де типул h(x) > q(x), унде h(x) ши q(x) сынт експресий рационале, адикэ експресий алщебриче алкэтуите дин нумере ши вариабила х ку ажуторул операцией де адунаре, скэдере, ынмулцире, ымпэрцире ши ридикаря ла о путере ку експонент натурал. Ла резолваря инекуациилор рационале се апликэ ачеляшь регуль формулате май сус ын § 1. Ку ажуторул ачестор регуль инекуация инициалэ се трансформэ ынтр-о инекуацие де типул f(x) > 0, f(x) < 0, унде f(x) есте о фракцие алùебрикэ (сау ун полином). Ын континуаре, нумэрэторул ши нумиторул фракцией f(x) се дескомпуне ын факторь де типул x – a (десигур, дакэ есте посибил) ши се апликэ метода интервалелор де резолваре, деспре каре ам ворбит май сус (везь екземплул 4 дин параграфул пречедент) ши деспре каре май деталият вом ворби ын ачест параграф. 12

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 6 Екземплул 1. Резолваць инекуация (х – 1)(х + 1)(х – 2) > 0. Резолваре. Сэ черчетэм експресия f(x) = (х – 1)(х + 1)(х – 2). Ачастэ експресие се егалязэ ку зеро ын пунктеле 1, –1, 2; пласэм ачесте нумере пе дряпта нумерикэ. Астфел дряпта нумерикэ се девиде ын патру интервале (фиг. 6), ын фиекаре динтре каре експресия f(x) пэстрязэ ун семн констант. Пентру а не конвинще, вом ефектуа патру аргументэрь (пентру фиекаре динтре ачесте интервале ын парте). 1) Луэм орьче пункт х дин интервалул (2; +∞). Ачест пункт се афлэ пе дряпта нумерикэ май ла дряпта де пунктул –1, май ла дряпта де пунктул 1 ши май ла дряпта де 2 (фиг. 7). Ачаста ынсямнэ, кэ x > –1, x > 1, x > 2. Атунч x + 1 > 0, x – 1 > 0, x – 2 > 0, деч ши f(x) > 0 (ка продус а трей нумере позитиве). Ашадар, инегалитатя f(x) > 0 се ындеплинеште пе тот интервалул (2; +∞).

Фиг. 7 2) Луэм орьче пункт х дин интервалул (1; 2). Ачест пункт се афлэ пе дряпта нумерикэ май ла дряпта де пунктул –1, май ла дряпта де пунктул 1 ши ла стынга де пунктул 2 (фиг. 8). Ачаста ынсямнэ, кэ x > –1, x > 1, дар x < 2. Атунч x + 1 > 0, x – 1 > 0, x – 2 < 0. Експресия f(x) < 0 (ка продус а доуэ нумере позитиве ши а унуй нумэр негатив). Ашадар, инегалитатя f(x) < 0 се ындеплинеште пе ынтрегул интервал (1; 2).

Фиг. 8 3) Луэм орьче пункт х дин интервалул (–1; 1). Ачест пункт се афлэ пе дряпта нумерикэ май ла дряпта де пунктул –1, ла стынга де пунктул 1 ши ла стынга де пунктул 2 (фиг. 9). Ачаста ынсямнэ, кэ x > –1, дар x < 1, x < 2. Атунч x + 1 > 0, x – 1< 0, x – 2 < 0. 13

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 9 Атунч f(x) > 0 (ка продус а доуэ нумере негативе ши а унуй нумэр позитив). Ашадар, инегалитатя f(x) > 0 се ындеплинеште пе ынтрегул интервал (–1; 1). 4) Ши ын сфыршит, фие орьче пункт х че апарцине разей дескисе (–∞; –1). Ачест пункт се афлэ пе дряпта нумерикэ ла стынга де пунктул –1, ла стынга де пунктул 1 ши ла стынга де пунктул 2 (фиг. 10). Астфел резултэ, кэ x < –1, x < 1, x < 2. Атунч ши x + 1< 0, x – 1 < 0, x – 2 < 0. Деч f(x) < 0 (ка продус а трей нумере негативе). Ашадар, инегалитатя f(x) < 0 се ындеплинеште пе ынтрегул интервал (–∞; –1).

Фиг. 10 Конклузие. Семнеле експресией f(x) ын интервалеле хашурате, сынт репрезентате ын фиг.11. Пе ной не интересязэ доар ачеле интервале унде аре лок f(x) > 0, еле сынт хашурате ын фиг. 11. Ашадар, инегалитатя f(x) > 0 се ындеплинеште пе интервалул (–1; 1) сау пе раза дескисэ (2; +∞).

Фиг. 11 Рэспунс: –1 < x < 1; x > 2. Екземплул 2. Резолваць инекуация 0. (x – 1)(x + 1)(x – 2) Резолвар е. Ла резолваря ачестуй екземплу, ка ши ын екземплул пречедент, екстраùем информацииле нечесаре дин фиг. 11, доар ку доуэ модификэрь. Ын примул рынд, деоарече пе ной не интересязэ, пентру че валорь але луй х есте адевэратэ инегалитатя f(x) < 0, сынтем невоиць сэ алеùем интервалеле (–∞; –1) ши (1; 2). Ын ал дойля рынд, пе ной не сатисфак ши пунктеле ын каре инегалитатя f(x) = 0. Ачестя сынт пунктеле –1, 1, 2, каре сынт репрезентате прин черкулеце хашурате ши инклусе ын рэспунс. Ын фиг. 12 есте презентатэ илустраря ùеометрикэ 14

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 12 а солуциилор инекуацией дате, де ла каре ушор путем трече ла дескриеря аналитикэ. –1; 1 x 2. Рэспунс: x Екземплул 3. Резолваць инекуация

Резолваре. Сэ дескомпунем ын факторь нумэрэторул ши нумиторул фракцией алùебриче f(x), дин партя стынгэ а инекуацией. Ла нумэрэтор авем: x2 – x = x(x–1). Пентру а дескомпуне ын факторь триномул пэтрат x2 – 5x – 6, каре се афлэ ла нумиторул фракцией, афлэм рэдэчиниле луй. Резолвынд екуация x2 – 5x – 6 = 0 афлэм: x1 = –1, x2 = 6. Ашадар, x2 – 5x – 6 = (x + 1)(x – 6) (прекум ши ын § 1, ам фолосит формула дескомпунерий триномулуй пэтрат ын факторь: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Астфел, ам адус инекуация инициалэ ла форма

Нумэрэторул фракцией се егалязэ

ку 0 ын пунктеле

0 ши 1, яр нумиторул се анулязэ ын пунктеле –1 ши 6. Пласэм ачесте пункте пе акса нумерикэ (фиг. 13). Дряпта нумерикэ есте ымпэрцитэ де пунктеле индикате ын чинч интервале. Жудекынд ын ачелашь мод ка ши ын § 1, путем конклузиона, кэ ын фиекаре интервал експресия f(x) пэстрязэ ун семн констант. Семнеле експресией f(x) пе интервалеле селектате сынт репрезентате ын фиг.13.

Фиг. 13 15

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Пе ной не интересязэ, пе че интервале се ындеплинеште f(x) < 0. Ачаста аре лок пе интервалул (–1, 0) сау пе интервалул (1, 6). Рэспунс: –1 < x < 0; –1 < x < 6. Екземплул 4. Резолваць инекуация

Резолваре: Ла резолваря инекуациилор рационале есте де дорит ка ын партя дряптэ а ей сэ авем нумэрул 0:

Дакэ ын партя дряптэ а инекуацией се концине нумай нумэрул 0, есте май конвенабил де ефектуат унеле рационаменте, доар ын казул кынд коефичиентул супериор ал нумэрэторулуй ши нумиторулуй фракцией дин стынга ей сынт нумере позитиве. Дар ной че авем? Коефичиентул супериор (коефичиентул де пе лынгэ x2) ла нумиторул фракцией, ын ачест сенс, есте егал ку 6 – ун нумэр позитив, яр ла нумэрэтор, коефичиентул супериор (коефичиентул де пе лынгэ х) есте егал ку –4 (ун нумэр негатив). Ынмулцинд амбеле пэрць але инекуацией ку –1 ши скимбынд семнул инекуацией ын опус, обцинем о инекуацие екивалентэ ку чя датэ

Адучем нумэрэторул фракцией ла форма

Пентру а дес-

компуне ын факторь триномул пэтрат 6x – x – 2 каре се афлэ 2

ла нумитор, афлэм рэдэчиниле луй. Дин екуация 6x2 – x – 2 = 0, афлэм:

16

Ашадар,

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Астфел, ефектуынд трансформэриле кореспунзэтоаре, обцинем: ши ын континуаре

(ам ымпэрцит амбеле пэрць але инекуацией ла унул ши ачелашь нумэр позитив ). Сэ черчетэм експресия

Нумэрэторул ачестей фракций се егалязэ ку 0 ын пунктул яр нумиторул ей – ын пунктеле ши Пласынд ачесте пункте пе дряпта нумерикэ, обсервэм кэ еле дивизязэ дряпта нумерикэ ын патру интервале, унде експресия f(x) пе фиекаре интервал пэстрязэ ун семн констант (везь фиг. 14). Пе ной не интересязэ ачеле интервале, унде се ындеплинеште инегалитатя f(x) < 0; ачесте интервале сынт хашурате ын фиг. 15. Конформ кондицией, биневоите сынт ши ачеле пункте х, ын каре се ындеплинеште егалитатя f(x)=0. Ачаста есте доар пунктул деоарече нумэрэторул фракцией се егалязэ ку зеро доар пентру ачастэ валоаре. Пунктул есте репрезентат ын фиг.15 принтр-ун черкулец хашурат. Астфел, ын фиг.15, принтр-о илустраре ùеометрикэ сынт

Фиг. 14

Фиг. 15 17

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

репрезентате солуцииле инекуацией инициале. Рэспунс: Ын фиекаре динтре екземплеле черчетате май сус, ам трансформат инекуация датэ, астфел ынкыт сэ обцинем о инекуацие екивалентэ ку чя датэ де форма f(x) > 0 сау f(x) < 0, унде

Апой, ам пласат пе акса х (акса нумерикэ) пунктеле a, b, c, d ши ам детерминат семнеле експресией f(x) пе интервалеле селектате. Ам обсерват, кэ ын тоате екземплеле, пе интервалул каре се афлэ чел май ла дряпта се ындеплинеште инегалитатя f(x) > 0. Депласынду-не де-а лунгул аксей нумериче спре стынга обсервэм кэ семнеле експресией f(x) алтернязэ (фиг. 16а). Скимбаря семнелор се ва репрезента май комод ку ажуторул уней курбе ондулате, каре се трасязэ де ла дряпта спре стынга ши де сус ын жос (фиг. 16б). Пе ачеле интервале, унде курба есте ситуатэ май сус де акса х, се ындеплинеште инегалитатя f(x) > 0, яр унде курба есте пласатэ май жос де акса х, f(x) < 0. Курба конструитэ се нумеште курба семнелор. Ремаркэм, кэ ын нумэрэторул ши нумиторул фракцией поате фи ун нумэр диферит де факторь (ну-й неапэрат кыте дой факторь ла нумэрэтор ши нумитор). Екземплул 5. Резолваць инекуация

Резолваре. Авем:

Фиг. 16а

Фиг. 16б 18

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

(амбеле пэрць але инекуацией пречеденте ау фост ынмулците ла унул ши ачелашь нумэр позитив 6). Пентру а утилиза метода интервалелор, пласэм пе дряпта нумерикэ пунктеле (ын фиекаре динтре ачесте пункте нумэрэторул фракцией, каре се концине ын партя стынгэ а инекуацией, се трансформэ ын 0) ши пунктеле ши (ын ачесте пункте нумиторул фракцией дате се трансформэ ын 0). Де регулэ, пунктеле обцинуте се маркязэ скематик, луынд ын консидерацие доар ординя лор (каре май ла дряпта, каре май ла стынга) ши ын деосебит ну се атраùе атенцие дакэ се пэстрязэ сау ну скара мэримилор. Е клар, кэ

Май компликат есте сэ де-

терминэм каре нумэр есте май маре

сау

(дакэ ла ындемынэ

ну авем ун микрокалкулатор). Вом прочеда астфел: сэ черчетэм пэтрателе ачестор нумере. Авем:

Резултэ, кэ

ашадар Астфел,

Нотэм пе дряпта нумерикэ ачесте чинч пункте ын ординя датэ (фиг. 17а). Депунем семнеле експресией

пе интервалеле обцинуте: пе чел дин дряпта – семнул «+», яр ын континуаре семнеле алтернязэ (фиг. 17б). Трасэм курба семнелор ши евиденцием (прин хашураре) ачеле интервале, унде f(x) > 0 (фиг. 17в). Консидерэм, ын челе дин урмэ, кэ есте ворба деспре 19

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 17а

Фиг. 17б

Фиг. 17в о инекуацие нестриктэ f(x) 0. Астфел, пе ной не интересязэ ши пунктеле, ын каре експресия f(x) се трансформэ ын зеро. Ачестя сынт рэдэчиниле нумэрэторулуй фракцией f(x), адикэ пунктеле ши прин черкулеце хашурате нотэм ачесте пункте ын фиг. 17в. Акум фиг. 17в репрезинтэ о илустраре щеометрикэ деплинэ а солуциилор инекуацией дате. Рэспунс: Вэ атраùем атенция ла фаптул, кэ екзистэ унеле инекуаций рационале ла резолваря кэрора метода интервалелор требуе утилизатэ ку атенцие, ку унеле модификэрь. Вом дискута ачесте моменте ын екземплеле урмэтоаре дин ачест параграф. Екземплул 6. Резолваць инекуация (x – 1)2 (x + 2) < 0. Резолвар е. Сэ черчетэм експресия f(x) = (x – 1)2 (x + 2) . Пласэм пунктеле 1 ши –2 пе дряпта нумерикэ (фиг. 18) ши детерминэм семнеле експресией f(x) пе фиекаре динтре челе трей интервале обцинуте.

Фиг. 18 20

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Дакэ x ∈ (1; + ∞), адикэ x > 1, атунч (x – 1)2 > 0, x + 2 > 0. Ашадар (x – 1)2(x + 2) > 0. Прин урмаре, инегалитатя f(x) > 0 есте адевэратэ пе раза дескисэ (1; +∞). Дакэ x ∈ (–2; 1), адикэ –2 < x < 1, атунч (x – 1)2 > 0, x + 2 > 0. Ашадар (x – 1)2(x + 2) > 0. Астфел, инегалитатя f(x) > 0 есте адевэратэ пе интервалул (–2; 1). Дакэ x ∈ (–∞; –2), адикэ x < –2, атунч (x – 1)2 > 0, x + 2 < 0. Ашадар (x – 1)2(x + 2) < 0. Астфел пе раза дескисэ (–∞; –2) есте адевэратэ инегалитатя f(x) < 0. Семнеле експресией f(x) скематик сынт репрезентате ын фиг.18. Инегалитатя f(x) < 0 се ындеплинеште пе раза дескисэ (–∞; –2). Рэспунс: x < –2. Обсервацие 1. Ын екземплул 6 ну се обсервэ скимбаря семнелор пе каре ам обсерват-о май сус ши прин урмаре ной н-ам десенат курба семнелор. Моделул обишнуит есте ынтрерупт дин кауза, кэ ын експресия f(x) се концине факторул (х – 1)2. Примиць ун сфат: дакэ дупэ дескомпунеря ын факторь а нумэрэторулуй ши нумиторулуй фракцией алӂебриче f(x) аць обцинут ун фактор де форма (x – a)n, унде n = 2, 3, 4,…, ну утилизаць курба семнелор, дар афлаць семнул експресией f(x) ын фиекаре дин интервалеле обцинуте ын парте, кум ам прочедат ын екземплул 6. Обсервацие 2. Ын казул, дакэ инекуация дин екземплул 6 есте нестриктэ, адикэ (x – 1)2(x + 2) ≤ 0, атунч илустраря ӂеометрикэ се ва скимба: пунктеле 1 ши –2 требуяу сэ фие нотате прин черкулеце хашурате (фиг.19) ши инклусе ын рэспунс: x ≤ –2; x = 1.

Фиг. 19 Екземплу л 7. Резолваць инекуация

Резолваре. Адучем инекуация ла форма . Сэ ефектуэм унеле трансформэрь ын партя стынгэ а инекуацией обцинуте: 21

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

(ам ынмулцит нумэрэторул ши нумиторул ла унул ши ачелашь нумэр –1, ачаста есте о трансформаре де екиваленнцэ а фракцией). Астфел, проблема се редуче ла резолваря инекуацией

Сэ ынчеркэм сэ дескомпунем ын факторь нумэрэторул фракцией алӂебриче дин стынга инекуацией, адикэ сэ дескомпунем експресия x2 + x + 2. Дискриминантул триномулуй пэтрат дат есте негатив: D = 12 – 4 ∙ 1 ∙ 2 = –7. Ашадар, триномул дат ну аре рэдэчинь ши формула ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2) ну поате фи апликатэ ын ачест каз. Кум сэ прочедэм? Рэспунсул ла ачастэ ынтребаре се афлэ ын теорема дин § 1: дакэ дискриминантул триномулуй пэтрат ax2 + bx + c есте негатив, яр коефичиентул супериор есте позитив, атунч триномул пэтрат примеште валорь позитиве пентру орьче валорь але луй х. Ашадар, путем сэ ымпэрцим амбеле пэрць але инекуацией ла ачест трином фэрэ а скимба семнул инекуацией (везь регула 2* дин § 1). Обцинем:

Утилизынд метода интервалелор (фиг. 20), обцинем ын калитате де рэспунс ал инекуацией обцинуте (прекум ши ал инекуацией инициале) интервалул (–7; 7). Рэспунс: –7 < x < 7.

Фиг. 20 22

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Екземплул 8. Резолваць инекуация Резолваре. Авем:

адикэ 3x2 – 2x – 2 < 0

(ку кондиция, кэ x ≠ 0). Афлэм рэдэчиниле екуацией 3x2 – 2x – 2 = 0:

Десигур, се поате, апликынд формула 3x2 – 2x – 2 = 3(x – x1) (x – x2), де резолват инекуация датэ прин метода интервалелор. Дар пентру а резолва о инекуацие пэтратэ, ной куноаштем дежа о методэ сигурэ ши демонстратэ, ку каре ам фэкут куноштинцэ ын параграфул пречедент. Нотэм рэдэчиниле х1 ши х2 пе акса х, луынд ын консидерацие кэ х2 < x1 ши конструим (скематик) парабола y = 3x2 – 2x – 2; рамуриле параболей сынт ориентате ын сус (фиг.21). Алеùем интервалул пе каре парабола есте ситуатэ Фиг. 21 суб акса х, – интервалул (х2 ; x1). Май сус, ам констатат кэ х ≠ 0, деч есте нечесар де ексклус пунктул х = 0. Ын фиг. 21 есте репрезентатэ илустраря щеометрикэ а тутурор солуциилор инекуацией инициале. Рэспунс:

§ 3. МУЛЦИМИЛЕ ШИ ОПЕРАЦИИЛЕ АСУПРА ЛОР

1. Ноциуне де мулциме Челебрул физичиан италиан, инùинер, астроном ши математичиан Галилео Галилей (1564–1642) скрия: «Маря Карте а Натурий есте скрисэ ын лимба математичий». Пе паркурсул дезволтэрий оменирий с-а скимбат ну нумай куноштинцеле 23

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

оаменилор деспре леùиле натурий, дар семнификатив с-а модификат ши лимба ын каре ын диферите периоаде де тимп ау фост скрисе ачесте леùь. А суферит марь скимбэрь ши ынсушь лимбажул математик. Ятэ де екземплу о читатэ дин лукраря «Китаб аль-джебр вальмукабала» а савантулуй дин Асия Чентралэ Мухамед ибн Муса ал-Хорезми (прима жумэтате а секолулуй IX е.н.), каре примул а интродус терменул «алùебра»: «… Ын чея че привеште пэтратул ши рэдэчина унуй нумэр, дакэ де екземплу вом спуне: пэтратул ши зече рэдэчинь але луй сынт егале ку 39 дихреме (монетэ арабэ дин евул медиу), ачаста ынсямнэ, кэ дакэ вом адэуга ла ун оарекаре пэтрат, чея че алкэтуеште зече рэдэчинь, обцинем 39. Регула есте: дублязэ нумэрул де рэдэчинь, обцинем ын ачастэ проблемэ чинч, ынмулцеште-л ла унул егал ку ел, ва фи 25. Адаугэ ачаста ла 39, обцинем 64. Екстраùе дин ачеста рэдэчина, авем 8, ши скаде дин ел жумэтате дин нумэрул де рэдэчинь, адикэ 5, рэмыне 3: ачаста ши есте рэдэчина пэтратэ, яр пэтратул есте 9…» Ку греу, ун чититор контемпоран ва ынцелеùе кэ есте ворба деспре резолваря екуацией де градул дой x2 + 10x = 39 ши афларя рэдэчинилор екуацией: (рэдэчина x = –13 ну се черчета ын ùенере). Лимбажул математик модерн есте май лаконик ши, ын примул рынд, ынлокуеште лимбажул натурал, лимба ворбитэ прин експре-сий литераре ши ку карактере спечиале. Ел есте ун лимбаж май формализат ши стандартизат. Ку мулт май формализате сынт, де екземплу, лимбажеле де програмаре. Ын ачесте лимбаже лимбажул математик, конформ унор регуль май риùиде, есте трекут ын лимбажул калкулаторулуй. Ын ачест параграф вом черчета челе май симпле ноциунь ши нотацииле лимбажулуй теорией мулцимилор, каре май мулт де 100 ань алкэтуеште фундаментул лимбажулуй математик контемпоран. Мулцимя констэ дин елементе. Дакэ нумэрул де елементе есте мик, атунч есте май конвенабил де скрис ачесте елементе ынтр-о оарекаре ордине. Пентру а ну уйта кэ елементеле енумерате сынт групате ымпреунэ, ачастэ енумераре се скрие ку ажуторул аколадей { , }. Вэ презентэм унеле екземпле. 24

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Дескриеря вербалэ а мулцимий

Дескриеря мулцимий дупэ елементе

Чифреле Мулцимя констэ дин системулуй зечимал чифреле 0, 1, 2, 3, 4, де нумэраре 5, 6, 7, 8, 9

Елементеле мулцимий {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Вокалеле алфабетулуй рус

Мулцимя констэ дин литереле А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я

{А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}

Рэдэчиниле екуацией x2 + 10x = 39

Мулцимя констэ дин нумереле 3 ши –13

{–13; 3}

Примул ши ал дойля Прешединць ай Федерацией Русе

Мулцимя констэ дин доуэ персоане: Елцин ши Путин

{Елцин, Путин}

Есте индеферент ын че ордине се скриу елементеле мулцимий. Ла скимбаря ординий елементелор, ынсушь мулцимя ну се скимбэ. Де екземплу, {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} ши {Я, И, Ы, Э, Ю, Ё, О, У, А, Е} – есте уна ши ачеяшь мулциме, мулцимя вокалелор алфабетулуй рус. Обсервацие 1. Дакэ мулцимя констэ дин нумере, атунч ла дескрие-

ря лор есте май конвенабил де фолосит ын лок де виргулэ, семнул де пунктуацие «;» – пунк ши виргулэ. Ятэ ун екземплу типик. Дескриеря {–13; 3} индикэ ын мод клар, кэ мулцимя есте компусэ дин доуэ нумере –13 ши 3, яр ын дескриеря {–13; 3} – виргула поате фи конфундатэ ку виргула «зечималэ» ши се поате де спус кэ мулцимя констэ доар динтрун сингур нумэр негатив –13,3.

Ын челе май десе казурь вом лукра ку мулцимь нумериче, адикэ ку мулцимиле елементеле кэрора алкэтуеск нумере. Пентру елементеле мулцимилор нумериче се фолосеште ординя натуралэ де дескриере, де ла чел май мик ла чел май маре. Екземплул 1. Мулцимя А констэ дин тоате солуцииле екуацией x3 + x2 – 6x = 0. а) Резолваць екуация. б) Скриець мулцимя А, енумерынд тоате елементеле ей. в) Скриець тоате модуриле посибиле де енумераре а елементелор мулцимий А. 25

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

г) Кыте астфел де модурь екзистэ? Резолваре: а) x3 + x2 – 6x = 0 x(x2 + x – 6) =0 х = 0 сау x2 + x – 6 = 0 x1 = 0, x2 = –3, x3 = 2. б) Сэ скрием солуцииле екуацией ын ординя крескэтоаре. Обцинем: A = {–3, 0, 2}. в) Требуе сэ скрием трей нумере диферите ын трей локурь диферите. Дакэ пе примул лок се афлэ –3, атунч пентру челе доуэ нумере рэмасе ши доуэ локурь либере екзистэ доуэ варианте: {–3, 0, 2} ши {–3, 2, 0}. Дакэ пе примул лок се афлэ 0, атунч ярэшь екзистэ доуэ варианте {0, 2, –3} ши {0, –3, 2}. Дакэ пе примул лок се афлэ 2, атунч екзистэ ынкэ доуэ варианте {2, –3, 0} ши {2, 0, –3}. Астфел, ам обцинут 6 варианте де дескриере а елементелор мулцимий А: {–3, 0, 2}, {–3, 2, 0}, {0, –3, 2}, {0, 2, –3}, {2 –3, 0}, {2, 0, –3}. г) Тоате модуриле де дескриере ау фост гэсите ын пунктул в). Екзистэ 6 модурь. Сэ пресупунем, кэ ын екземплул 1 есте ворба ну деспре екуация x3 + x2 – 6x = 0 , дар деспре екуация x2008 + 2008 = 0. Деоарече x2008 + 2008 2008 > 0 пентру орьче х, атунч ын пунктул а) требуе сэ скрием, кэ екуация ну аре солуций. Дар кум сэ прочедэм ку пунктул б)? Практик ын ачест каз, ну авем че енумера. Пентру а резолва ачестэ проблемэ, математичиений ау интродус ун симбол спечиал ∅. Астфел се нотязэ мулцимя видэ, адикэ мулцимя, каре ну концине нич ун елемент. Симболул ∅ ну се скрие ын аколаде, деоарече ну екзистэ нич о енумераре а елементелор мулцимий: астфел де елементе липсеск. Дакэ нумэрул елементелор уней мулцимь есте неспус де маре (де екземплу, кытева зечь, суте ш.а.м.д) сау ын казул кынд о мулциме есте инфинитэ (де екземплу, мулцимя тутурор нумерелор натурале сау мулцимя нумерелор ынтреùь), енумераря елементелор уней астфел де мулцимь есте импосибилэ. Методеле де дескриере а астфел де мулцимь сынт диверсе. Вэ презентэм унеле динтре еле. Мулцимя

Дескриеря вербалэ а мулцимий

1)

{10, 15, 20, ..., 90, 95}

Мулцимя нумерелор де доуэ чифре, мултипле ку 5.

2)

{1, 4, 9, 16, 25, 36, ...}

Мулцимя пэтрателор нумерелор натурале

26

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Мулцимя

Дескриеря вербалэ а мулцимий

3)

N

Мулцимя нумерелор натурале

4)

Q

Мулцимя нумерелор рационале

5)

{х | 2 < x < 7}

Мулцимя тутурор нумерелор, каре сынт май марь декыт 2 ши май мичь декыт 7

6)

(2; 7)

Мулцимя тутурор нумерелор, каре сынт май марь декыт 2 ши май мичь декыт 7

Ын казуриле 1) ши 2), дакэ сынт куноскуте унеле елементе але мулцимий, дупэ аналоùие путем фаче о конклузие ùенералэ деспре тоате елементеле ачестей мулцимь. Ачастэ методэ ынтр-о формэ сау алта утилизязэ ымбинаря де кувинте «… ш.а.м.д.». Унеле мулцимь нумериче пе ларг се утилизязэ ын диферите домений але математичий. Пентру астфел де мулцимь ау фост интродусе нотаций спечиале – казуриле 3) ши 4). Астфел, мулцимя нумерелор ынтреùь се нотязэ прин Z, яр мулцимя нумерелор реале – прин R. Ын казул 5), мулцимя нумерикэ есте дефинитэ прин интермедиул унор проприетэць карактеристиче але мулцимий. Ачаста есте чя май рэспындитэ методэ де дескриере а мулцимилор. Симболул «|» се ынлокуеште принтр-о комбинацие де кувинте «… астфел ынкыт …». Сэ читим пас ку пас мулцимя {х | 2 < x < 7}: Симболул

Кум се читеште

{...}

Мулциме

{x ...}

Мулцимя тутурор нумерелор х …

{x | ...}

Мулцимя тутурор нумерелор х астфел ынкыт…

{х | 2 < x < 7} Мулцимя тутурор нумерелор х астфел ынкыт 2 0. Ачастэ инегалитате есте адевэратэ пентру орьче нумере реале. Обцинем рэспунсул: ынтряга дряптэ нумерикэ; дескриеря симболикэ: (–∞; +∞) сау R. б) Есте нечесар де афлат мулцимя тутурор нумерелор х, астфел ынкыт адикэ, сэ резолвэм инекуация датэ. Ной ам резолват ачастэ инекуацие (везь § 1, екземплул 1) ши ам обцинут рэспунсул: 19

28

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

в) Афлэм мулцимя рэдэчинилор (сау май пе скурт: солуцииле) инекуацией Авем:

Утилизынд метода интервалелор (фиг. 22), ын калитате де солуций але инекуацией обцинем интервалул (0; 1).

Рамуриле параболей y = 35x2 – 24x – 35 сынт ориентате ын сус. Деачея мулцимя солуциилор инекуацией 35x2 – 24x – 35 0 есте сегментул нумерик купринс ынтре пунктеле (фиг. 23). Рэспунс:



ши

19

Фиг. 22

Фиг. 23

Аша ымбинэрь де кувинте, ка «елементул х апарцине мулцимий А» сау «х есте ун елемент ал мулцимий А» сынт неспус де волуминоасе ши практик ну се скриу ын рэспунс ла резолваря унор екземпле конкрете. Ын математикэ се фолосеште о алтэ дескриере май симплэ: x ∈ A (ной ам фолосит дежа ачест симбол). Де рынд ку симболул ∈ се фолосеште ши симболул ∉. 29

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Експресия х ∉ А индикэ, кэ елементул х ну апарцине мулцимий А. Вэ презентэм унеле екземпле унде се фолосеск ачесте симболурь: 3 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}, яр 13 ∉ {1, 3, 5, 7, 9}; У ∈ {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}, дар Ь ∉ {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}; 2007 ∈ N, яр 200,7 ∉ N; 0 ∈ {x | 35x2 24x + 35}, яр 2 ∉ {x | 35x2 24x + 35} ш.а.м.д. Констатэм, кэ дакэ ну есте корект, кэ x ∈ A, атунч есте корект, кэ х ∉ А. Ши инверс, дакэ есте корект, кэ x ∈ A, атунс ну есте корект, кэ х ∉ А. Екземплул 4. Есте оаре корект, кэ:

Резолваре. а) Ну, 0 ну есте нумэр натурал. Резултэ, кэ 0 ∉ N. б) Да. Ку атыт май мулт, ынсушь нотаря Z – мулцимя нумерелор ынтреùь, есте прима литерэ а кувынтулуй «Zero» – зеро. в) Да. Субституим х = 1 ын инекуация x7 – 6x6 + 3x3 + 1 < 0. Обцинем о инегалитате нумерикэ адевэратэ –1 < 0. г) Ну. Пентру х = 1, партя стынгэ а инекуацией ну се дефинеште. Обсервацие 2. Пунктеле в) ши г) дин екземплул 4 аратэ кум се верификэ афирмация x ∈ A ын ачеле казурь кынд мулцимя А есте дефинитэ прин интермедиул унор проприетэць карактеристиче. Есте де ажунс, де верификат дакэ есте адевэратэ сау ну ачастэ проприетате пентру о валоаре конкретэ а луй х. Рэспунсул «да» индикэ кэ x ∈ A , яр рэспунсул «ну» индикэ кэ х ∉ А.

2. Субмулцимь

Елементеле, каре алкэтуеск о оарекаре мулциме А пот фи групате ын диферите комбинаций апарте. Астфел обцинем субмулцимь але мулцимий дате. Де екземплу, дакэ о оарекаре мулциме констэ дин елементеле , , , атунч се поате де алкэтуит трей субмулцимь кыте доуэ елементе: {, }, {, } ши {, }. Сэ черчетэм ун екземплу май компликат. Екземплул 5. Ла жокул де фотбал ын компоненца уней екипе требуе сэ партичипе доар дой атаканць. Антренорул екипей аре пентру ачастэ позицие патру кандидаць: x, y, z ши t. 30

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

а) Дин кыте варианте ар требуи сэ алягэ антренорул? б) Кум се ва скимба рэспунсул ын пунктул а) дакэ жукэторул х ну поате жука ку жукэторул у? в) Кум се ва скимба рэспунсул ын пунктул а) дакэ жукэторул z поате жука ымпреунэ доар ку жукэторул t? г) Кум се ва скимба рэспунсул ын пунктул а) дакэ ын екипэ требуе сэ фие трей атаканць? Резолваре.Конформ кондицией проблемей A = {x, y, z, t} есте мулцимя, дин каре антренорул требуе сэ алягэ дой атаканць, адикэ доуэ елементе. Ашадар, проблема се редуче ла алеùеря субмулцимилор дин мулцимя A = {x, y, z, t}, че констау дин доуэ елементе. а) Сэ скрием вариантеле ын каре партичипэ жукэторул х: {x, y}, {x, z}, {x, t}. Пентру жукэторул y о вариантэ есте дежа луатэ ын консидерацие: {x, y}, ау рэмас вариантеле {y, z} ши {y, t}. Пентру жукэторул z доуэ варианте сынт детерминате {x, z} ши {y, z}, а рэмас доар варианта {z, t}. Пентру жукэторул t, вариателе де партичипаре ла жок сынт детерминате. Ашадар, антренорул аре посибилитате сэ алягэ дин шасе варианте посибиле: {x, y}, {x, z}, {x, t}, {y, z},{y, t}, {z, t}. б) Дин вариантеле енумерате май сус омитем {x, у}. Рэмын чинч варианте. в) Дин вариантеле енумерате май сус омитем {x, z} ши {y, z}. Рэмын патру варианте. г) Ын ачест каз, есте нечесар де алес тоате субмулцимиле дин трей елементе а мулцимий A = {x, y, z, t}. Авем: {x, y, z} (липсеште t), {x, y, t} (липсеште z), {x, z, t} (липсеште y), {y, z, t} (липсеште x). Ын тотал – патру варианте (фиг. 24). Рэспунс: а) 6; б) 5; в) 4; г) 4. Дар кыте субмулцимь ын тотал аре о мулциме дин патру елементе? Вом жудека ка ын екземплул 5. Интродучем дателе обцинуте ын табел.

Фиг. 24 31

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Нумэрул де атаканць 0

1

2

3

4

Вариантеле Жукэторь {x}, {y}, {x, y}, {x, z} {x, y, z}, {x, y, z, t} посибиле липсеск {z}, {t} {x, t}, {y, z} {x, y, t}, {y, t}, {z, t} {x, z, t}, {y, z, t} Нумэрул де варианте

1

4

6

4

1

Ашадар, о мулциме дин патру елементе, поате авя 4 субмулцимь кыте ун елемент, 6 субмулцимь дин доуэ елементе, 4 субмулцимь дин трей елементе, 1 субмулциме дин патру елементе ши 1 субмулциме каре ну концине нич ун елемент, адикэ мулциме видэ. Ын тотал ам обцинут 1 + 4 + 6 + 4 + 1= 16 субмулцимь диферите.

Дефиницие 1. Дакэ фиекаре елемент ал мулцимий В есте ши ун елемент а мулцимий А, атунч мулцимя В се нумеште субмулциме ал мулцимий А. Се нотязэ: В ⊂ А. Симболул «⊂» се нумеште симболул инклудерий. Дакэ мулцимиле А ши В сынт доуэ фигурь плане (май бине спус, доуэ мулцимь де пункте, дин каре сынт алкэтуите мулцимиле А ши В), атунч В ⊂ А индикэ, кэ фигура В ын ынтреùиме се концине ын фигура А (фиг. 25). Екземплул 6. Ын фигура 26 сынт репрезентате патру фигурь плане: черкул А, дрептунгюл В, триунгюл С ши D – о супрафацэ а планулуй, мэрùинитэ де ун овал. Каре дин инклузиуниле

32

Фиг. 25 Фиг. 26

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 27 дате A ⊂ B, C ⊂ A, D ⊂ B, A ⊂ D, C ⊂ B, D ⊂ A, сынт: а) коректе; б) инкоректе? Резолваре. а) Инклузиуниле C ⊂ A, D ⊂ B, C ⊂ B сынт коректе. Ле репрезентэм ын перекь (фиг. 27). б) Инклузиуниле A ⊂ B, A ⊂ D, D ⊂ A сынт инкоректе. Астфел ле репрезентэм ын перекь ши ын фиекаре каз апарте нотэм кыте ун пункт, каре апарцине уней мулцимь, дар ну апарцине челейлалте мулцимь (фиг. 28). Обсервацие 3. Семнеле апартиненцей ∈ ши инклудерий ⊂ сынт асемэнэтоаре. Ку тоате ачестя, еле сынт семне фундаментал диферите ши ну требуе конфундате. Де екземплу, дескриеря 1 ⊂ {1, 2, 3} есте грешитэ, деоарече ын партя стынгэ а ей ну есте о мулциме. Ын ачелашь тимп, ку дескриеря 1 ∈ {1, 2, 3} тотул есте ын регулэ: еа ынсямнэ кэ нумэрул 1 есте ун елемент ал мулцимий {1,2, 3}. Ынреӂистраря [1; 2] ∈ (0, 3) есте грешитэ, деоарече ын партя стынгэ а ей се афлэ

Инкорект, кэ A ⊂ B

Инкорект, кэ A ⊂ D Фиг. 28

Инкорект, кэ D ⊂ A 33

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 29 ну ун елемент ал мулцимий, дар о оарекаре мулциме. Дар ынреӂистраря [1; 2] ⊂ (0, 3), се спуне кэ есте коректэ; ӂеометрик ынсямнэ, кэ сегментул [1; 2] се концине ын интервалул (0, 3) (фиг. 29).

3. Интерсекция ши реуниуня мулцимилор Операцииле асупра мулцимилор визуал пот фи лэмурите, утилизынд репрезентаря лор ын формэ де фигурь плане. Де обичей, мулцимиле ын ачест каз се репрезинтэ суб формэ де черкурь. Астфел де черкурь се нумеск черкуриле луй Еулер, ын чинстя емеритулуй математичиан елвециан Леонард Еулер (1707–1783), каре мулт тимп а лукрат ын Русия. Сэ ынчепем ку интерсекция мулцимилор. Д е ф и н и ц и е 2 . Се нумеште интерсекцие а доуэ мулцимь А ши В мулцимя тутурор елементелор комуне але мулцимилор А ши В, адикэ мулцимя каре констэ дин тоате елементеле, каре апарцин ши мулцимий А ши мулцимий В (фиг. 30). Интерсекция а доуэ мулцимь А ши В се нотязэ астфел: А ∩ В. Утилизынд методеле куноскуте де дескриере а мулцимилор, ачастэ дефиницие поате фи скрисэ астфел: А ∩ В = {x | x ∈ А ши х ∈ В}.

Фиг. 30 34

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Екземплул 7. Афлаць интерсекция мулцимилор А ши В, дакэ: а) A = {11, 22, ..., 88, 99} B = {3, 6, 9, ...}; б) А – мулцимя литерелор, фолосите ын кувынтул «перераспределение», В – мулцимя литерелор, фолосите ын кувынтул«реформирование». в) Резолваре. а) А – мулцимя нумерелор де доуэ чифре, мултипле ла 11, В – мулцимя тутурор нумерелор натурале, мултипле ла 3. Нумэрул х апарцине ши мулцимий А ши мулцимий В, дакэ ел есте ун нумэр де доуэ чифре ши тотодатэ мултиплу ла 11 ши 3, адикэ мултиплу ла 33. Астфел де нумере сынт трей: 33, 66 ши 99. Ашадар, A ∩ B = {33, 66, 99}. б) Сэ скрием тоате литереле каре се ынтылнеск ын кувинтеле дате кыте о сингурэ датэ: А = {п, е, р, а, с, д, л, н, и}, В = {р, е, ф, о, м, и, в, а, н}. Черчетэм пе рынд тоате елементеле примей мулцимь. Деоарече п ∈ А, дар п ∉ В, атунч литера «п» ну есте ун елемент комун ал мулцимилор А ши В. Ашадар, п ∉ А ∩ В. Деоарече е ∈ А ши е ∈ В, атунч литера «е» есте ун елемент комун мулцимилор А ши В. Ашадар, е ∈ А ∩ В. Анализынд астфел тоате литереле рэмасе дин мулцимиле А ши В, обцинем: A ∩ B = {е, р, а, н, и}. в) Нумэрул 1 апарцине мулцимий B = N, дар ну апарцине мулцимий екстремитатя луй ну апарцине интервалулуй. Ашадар, 1 ∉ А ∩ В. Деоарече атунч нумереле 2 ши 3 апарцин ши мулцимий А, ши мулцимий В. Ашадар, 2 ∈ А ∩ В ши 3 ∈ А ∩ В. Тоате нумереле натурале, ынчепынд ку 4, се афлэ ын . Резултэ, кэ тоате ачесте нумере ну афара интервалулуй апарцин интерсекцией А ∩ В. Деч, А ∩ В = {2; 3} (фиг. 31).

Фиг. 31 35

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 32 Путем анализа ши интерсекция а май мултор мулцимь (доуэ, трей, патру ш.а.м.д). Де екземплу, интерсекция мулцимилор А, В ши С се нумеште мулцимя форматэ дин тоате елементеле, каре апарцин ши мулцимий А, ши мулцимий В, ши мулцимий С (фиг. 32). Интерсекция мулцимилор А, В ши С се нотязэ астфел: A ∩ B ∩ C.

Обсервацие 4. Експунем аич ун екземплу класик дин литература русэ, легат де ындеплиниря симултанэ а май мултор кондиций. Ын комедия луй Н.В. Гогол «Женитьба» («Кэсэтория») персонажул принчипал, миряса Агафия Тихоновна спуне, кэ: «… Дакэ бузеле луй Никонор Иванович» ле пуй пе насул луй Иван Кузмич ши де луат ун пик де ексчес де фамилиаритате пе каре о аре Балтазар Балтазарыч, ши май адэугынд ла ачестя корполенца луй Иван Павлович – мэ хотэрэск ын ачелашь тимп …» Чей патру мирь ау патру проприетэць диферите ши миряса висязэ, ка вииторул соц сэ поседе тоате ачесте патру проприетэць. Дин пункт де ведере а теорией мулцимилор, Агафия Тихоновна екзаминязэ проблема интерсекцией а патру мулцимь диферите. Утилизаря операцией де интерсекцие а мулцимилор ын математикэ кореспунде конжункцией «ши», конжункция «сау» есте легатэ ку о алтэ операцие асупра мулцимилор – реуниуня мулцимилор.

Д е ф и н и ц и е 3. Реуниуня мулцимилор А ши В се нумеште мулцимя компусэ дин елементеле, каре апарцин чел пуцин унея динтре ачесте мулцимь: сау мулцимий А, сау мулцимий В (фиг. 33). Реуниуня мулцимилор А ши В се нотязэ астфел: А ∪ В. 36

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 33 Ка ши ын казул ку операция де интерсекцие а доуэ мулцимь, операция де реуниуне а мулцимилор поате фи скрисэ принтр-о формулэ: А ∪ В = {x | x ∈ А сау х ∈ В}.

Екземплул 8. Афлаць реуниуня мулцимилор А ши В, дакэ: а) А – мулцимя дивизорилор нумэрулуй 105, В – мулцимя дивизорилор луй 55; б) А – мулцимя чифрелор, каре се концин ын скриеря нумэрулуй 35, В – мулцимя чифрелор нумэрулуй 210; в) г) А – мулцимя пунктелор планулуй де коордонате ку абсчиса май маре декыт 3, В – мулцимя пунктелор планулуй де коордонате ку ордоната ну май маре декыт 2. Резолваре. а) Дескомпунем ын факторь примь нумереле 105 ши 55. Деоарече 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7, яр 55 = 5 ∙ 11, атунч A = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}, унде B = {1, 5, 11, 55}. Луэм тоате елементеле мулцимий А, яр апой ачеле елементе але мулцимий В, каре ну се концин ын А, адикэ адэугэм 11 ши 55. Ашадар, A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 35, 55, 105} . 5 б) 3 =243, 210=1024. Ашадар, A = {2, 3, 4}, B = {0, 1, 2,4}. Прочедэм ка ын пунктул а). Обцинем: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4}. в) Аич есте май ковенабил де лукрат ку дряпта нумерикэ. Мулцимиле дате (интервалеле нумериче) ши B = [2; 4] се интерсектязэ, дар нич уна дин еле ну се концине ын ынтрещиме ын чялалтэ (фиг. 34). 37

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 34

Фиг. 35 Пентру а репрезента ачесте мулцимь пе дряпта нумерикэ, утилизэм диферите модурь де хашураре ши апой вом ведя че мулциме нумерикэ ын челе дин урмэ вом обцине: A ∪ B = (1: 4] (фиг. 35). г) Ши ын ачест каз есте май конвенабил сэ фолосим десенул. Мулцимя А – есте мулцимя пунктелор, каре се афлэ ла дряпта де дряпта вертикалэ х = 3 (фиг. 36). Мулцимя В – есте мулцимя пунктелор, каре се афлэ май жос сау пе дряпта оризонталэ у = 2 (фиг. 37).

Фиг. 36 38

Фиг. 37

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 38

Фиг. 39 Атунч A ∪ B – есте мулцимя пунктелор планулуй, хашурате ын фигура 38. Ремаркэм кэ пунктул (3, 2) апарцине реуниуний A ∪ B, яр пунктеле (2, 3) ши (3, 5) ну апарцин ачестей реуниунь. Евидент, кэ ши ын ачест каз, путем ворби деспре реуниуня ну нумай а доуэ мулцимь, дар ши деспре реуниуня а трей, патру ш.а.м.д. мулцимь. Де екземплу, реуниуня мулцимилор А, В ши С се нумеште мулцимя форматэ дин тоате елементеле каре апарцин сау мулцимий А, сау мулцимий В, сау мулцимий С (фиг. 39). Реуниуня мулцимилор А, В ши С се нотязэ астфел: A ∪ B ∪ C. 39

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Обсервацие 5. Елевий десеорь конфундэ семнеле интерсекцией «∩» ши реуниуний «U». Урмэриць унеле сфатурь пентру а рецине ачесте семне. Семнул реуниуний «U» се асямэнэ ку прима литерэ а кувынтулуй енглез Union – реуниуне. Пе де алтэ парте, операция реуниуня U – се асямэнэ ку о пунгэ дескисэ, ын каре пот фи турнате тоате елементеле комуне але мулцимилор дате. Ашадар, A U B концине тоате елементеле але амбелор мулцимь А ши В ши ну концине нич ун алт елемент. Дакэ аць меморизат бине че субынцелеӂе семнул реуниуний «U», атунч семнул интерсекцией «∩ » – есте, пур ши симплу, чел де ал дойля семн рэмас.

§ 4. СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ Сэ черчетэм доуэ екземпле, солуционаря кэрора ва дуче ла апариция унуй ноу (пентру Д-рэ) модел математик – системеле де инекуаций. Екземплул 1. Афлаць домениул де дефиницие а експресией

Резолваре. Експресия, каре се афлэ суб семнул рэдэчиний пэтрате, требуе сэ фие ненегативэ (позитивэ, сау егалэ ку зеро), астфел требуе сэ се ындеплиняскэ ын ачелашь тимп челе доуэ инекуаций: 2х – 4 0 ши 8 – х 0. Ын аша каз, се спуне, кэ проблема се редуче ла резолваря унуй систем де инекуаций

Дар ку ун астфел де модел математик (системул де инекуаций) ной н-ам фэкут куноштинцэ пынэ ын презент. Вом ревени ла резолваря ачестуй систем май тырзиу. Екземплул 2. Фие, кэ се дэ ун нумэр натурал. Дакэ ла пэтратул ачестуй нумэр адэугэм нумэрул 13, атунч сума обцинутэ ва фи май маре декыт продусул динтре нумэрул дат ши нумэрул 14. Яр дакэ, ла пэтратул нумэрулуй дат вом адэуга нумэрул 45, атунч сума лор ва фи май микэ декыт продусул динтре ачест нумэр ши нумэрул 18. Афлаць ачест нумэр. Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуира моделулуй математик. 40

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фие х – нумэрул дат. Конформ примей кондиций сума нумерелор х2 ши 13 есте май маре декыт нумэрул 14х; деч, требуе сэ се ындеплиняскэ инекуация х2 + 13 > 14x. Дин а доуа кондицие, резултэ, кэ сума нумерелор х2 ши 45 есте май микэ декыт нумэрул 18х; обцинем инекуация х2 + 45 < 18x. Инекуацииле обцинуте требуе сэ се ындеплиняскэ ын ачелашь тимп, прин урмаре, есте нечесар де резолват системул де инекуаций

Сынтем облигаць сэ май аштептэм пуцин ку тречеря ла етапа а доуа де резолваре а екземплулуй дат – ла лукрул ку моделул математик. Ын примул рынд е нечесар де студият май деталият моделул ноу обцинут – системул де инекуаций. Д е фи н и ц и е. Доуэ, сау май мулте инекуаций ку о сингурэ вариабилэ х формязэ ун систем де инекуаций, дакэ есте нечесар де афлат тоате ачеле валорь але вариабилей, пентру каре фиекаре дин инекуацииле дате се трансформэ ынтр-о инегалитате нумерикэ адевэратэ. Орьче астфел де валорь але луй х се нумеште солуция (сау солуцие партикуларэ) системулуй де инекуаций. Мулцимя тутурор солуциилор (солуциилор партикуларе) системулуй де инекуаций алкэтуеск солуция щенералэ а системулуй де инекуаций (орь май пе скурт – солуция системулуй де инекуаций). Системул де инекуаций се скрие ку ажуторул аколадей (прекум ши ын казул ку системеле де екуаций). Де екземплу, ынрещистраря индикэ, кэ инекуацииле 2х – 1 > 3 ши 3х – 2 < 11 алкэтуеск ун систем де инекуаций. Ын унеле казурь ун систем де инекуаций поате фи скрис суб формэ де инекуацие дублэ. Де екземплу, системул де инекуаций

поате фи скрис суб формэ де инекуацие дублэ 3 < 2x – 1 < 11. Сэ черчетэм системул де инекуаций . 41

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Унеле солуций але системулуй дат пот фи алесе ла ынтымпларе, де екземплу х = 3, х = 4, х = 3,5. Ынтр-адевэр, пентру х = 3 прима инекуацие примеште форма 5 > 3, яр а доуа – форма 7 < 11. Ын резултат ам обцинут доуэ инегалитэць нумериче адевэрате, ашадар, х = 3 есте о солуцие партикуларэ а системулуй де инекуаций дат. Астфел, не путем конвинùе, кэ х = 4 ши х = 3,5 сынт солуций партикуларе але системулуй де инекуаций. Ын ачелашь тимп, валоаря x = 5 ну есте о солуцие партикуларэ а системулуй де инекуаций дат. Пентру x = 5 прима инекуацие примеште форма 9 > 3 – о инегалитате нумерикэ адевэратэ, яр а доуа инекуацие се трансформэ ын 13 < 11, ачаста есте о инегалитате нумерикэ инкоректэ. А резолва ун систем де инекуаций ынсямнэ а афла тоате солуцииле партикуларе але луй. Есте евидент, кэ метода демонстратэ май сус (метода, унде солуцииле се гическ), – ну есте чя май ефективэ методэ де резолваре а системулуй де инекуаций. Атунч, кум се резолвэ системул де инекуаций

Фие Х1 – солуция инекуацией f(х) > 0 (мулцимя солуциилор партикуларе), яр Х2 – солуция валорь але луй х, каре апарцин ши мулцимий Х1, ши мулцимий Х2. Ашадар (везь § 3), пе ной не интересязэ мулцимя Х1 ∩ Х2 – ачастэ интерсекцие ши есте солуция системулуй де инекуаций прекэутат. Екземплул 3. Резолваць системул де инекуаций:

Ре золваре. а) Резолвынд прима инекуацие а системулуй, обцинем: 2x > 4; x > 2. Дин инекуация а доуа а системулуй, авем: адикэ x < Сэ репрезентэм пе дряпта нумери3x < 13; x < кэ мулцимиле солуциилор фиекэрей инекуаций а системулуй дат прин хашураре ку диферитэ ынклинаре (фиг. 40). Мулцимя солуциилор системулуй де инекуаций есте интерсекция солуциилор инекуациилор системулуй, адикэ интервалул (сау кытева интервале), пе каре амбеле хашурэрь коинчид. Ын екземплул черчетат обцинем интервалул

42

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 40

Фиг. 41 б) Резолвынд прима инекуацие а системулуй, обцинем: x > 2; дин инекуация а доуа а системулуй, авем: Сэ репрезентэм пе дряпта нумерикэ мулцимиле солуциилор фиекэрей инекуаций але системулуй дат прин хашураре ку ынклинаре диферитэ (фиг. 41). Мулцимя солуциилор системулуй де инекуаций есте интерсекция солуциилор инекуациилор системулуй. Ын екземплул черчетат обцинем раза в) Резолвынд прима инекуацие а системулуй, обцинем: x ≤ 2; Сэ репрезентэм дин инекуация а доуа а системулуй, авем: пе дряпта нумерикэ мулцимиле солуциилор фиекэрей инекуаций а системулуй дат ши сэ ле нотэм прин хашураре че ау ынклинаре диферитэ (фиг. 42). Мулцимя солуциилор системулуй де инекуаций есте интерсекция солуциилор инекуациилор системулуй, адикэ интервалул пе каре амбеле хашурэрь коинчид. Ын екземплул черчетат ун астфел де интервал комун липсеште, деч, системул де инекуаций ну аре солуций. Рэспунс: а) в) ну аре солуций (ын унеле казурь, вэ реаминтим, кэ ачесте кувинте се ынлокуеск прин симболул ∅ – мулциме видэ). Сэ ùенерализэм рационаментеле ефектуате ын екземплул черчетат май сус. Пресупунем, кэ требуе де резолват системул де инекуаций

Фиг. 42 43

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фие, де екземплу, интервалул (a; b) есте солуция инекуацией f1(x) > g1(x), яр интервалул (с; d) – солуция инекуацией f2(x) > g2(x) (фиг. 43). Солуция системулуй де инекуаций есте интерсекция солуциилор инекуациилор системулуй дат. Ын казул дат ачеста есте интервалул (с; b) (фиг. 43).

Фиг. 43 Акум путем сэ резолвэм ку ушуринцэ системул де инекуаций обцинут ын екземплул 1:

Резолвынд прима инекуацие а системулуй, обцинем: x 2; дин инекуация а доуа а системулуй, авем: x 8. Индикэм ачесте интервале (разе) пе дряпта нумерикэ (фиг. 44). Солуция системулуй де инекуаций есте интерсекция солуциилор инекуациилор системулуй, сегментул [2; 8] – домениул де дефиницие а експресией дин екземплул 1.

Фиг. 44 Десигур, ун систем де инекуаций ну констэ неапэрат доар дин инекуаций линиаре, кум а фост пынэ ын презент; се пот ынтылни ши диферите инекуаций рационале (яр ын виитор вом ведя ши ну нумай рационале). Техник резолваря системелор де инекуаций рационале нелиниаре, десигур, есте май компликатэ, дар ын есенциал (компаратив ку системеле де инекуаций линиаре) ну есте нимик ноу. Екземплул 4. Сэ се резолве системул де инекуаций

Резолваре.1) Сэ резолвэм инекуация x2 – 9 0, адикэ (x – 3)(x + 3) 0. Пласэм пунктеле –3 ши 3 пе дряпта нумерикэ (фиг.45). Еле дивизязэ дряпта нумерикэ ын трей интервале: унде ын фиекаре дин интервалеле дате експресия p(x) = (x – 3)(x + 3) пэстрязэ ун семн 44

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Фиг. 45 констант – ачесте семне сынт индикате ын фиг. 45. Пе ной не интересязэ интервалеле, пе каре инекуация p(x) > 0 есте адевэратэ (ачесте интервале сынт хашурате ын фиг. 45), ши пунктеле, ын каре p(x) = 0, адикэ пунктеле х = –3, х = 3 (пунктеле репрезентате ын фиг. 45 прин черкулеце хашурате). Фигура 45 репрезинтэ о илустраре ùеометрикэ а солуциилор примей инекуаций. 2) Сэ резолвэм инекуация 5x – x2 0, адикэ x(5 – x) 0.

Фиг. 46 Пласэм пунктеле 0 ши 5 пе дряпта нумерикэ (фиг. 46). Еле дивизязэ дряпта нумерикэ ын трей интервале: унде ын фиекаре дин интервалеле дате експресия g(x) = x(5 – x) пэстрязэ ун семн констант – ачесте семне сынт индикате ын фиг.45. Пе ной не интересязэ интервалеле, пе каре инекуация g(x) > 0 есте адевэратэ (интервалул кореспунзэтор есте хашурат ын фиг.46); ши пунктеле, ын каре g(x) = 0, адикэ пунктеле х = 0, х = 5 (пунктеле репрезентате ын фиг. 45 прин черкулеце хашурате). Ашадар, фигура 46 репрезинтэ о илустраре ùеометрикэ а солуциилор челей де а доуа инекуацие. 3) Сэ репрезентэм солуцииле обцинуте а инекуациилор пе дряпта нумерикэ ши сэ ле нотэм прин хашураре че ау ынклинаре диферитэ (фиг. 47). Мулцимя солуциилор системулуй де инекуаций есте интерсекция солуциилор инекуациилор системулуй. Ын екземплул дат ачаста есте сегментул [3; 5]. Рэспунс: 3 x 5.

Фиг. 47 45

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Екземплул 5. Резолваць системул де инекуаций: а) Резолваре. а) Дин прима инекуацие афлэм: x > 2. Сэ черчетэм инекуация а доуа. Триномул пэтрат x2 + x + 2 ну аре рэдэчинь реале, дар коефичиентул супериор (коефичиентул де пе лынгэ x2) есте позитив. Ашадар (везь § 1), инекуация x2 + x + 2 > 0 есте адевэратэ пентру орьче х, ши прин урмаре, а доуа инекуацие а системулуй ну аре солуций. Дар че ынсямнэ ачест лукру пентру системул де инекуаций дат? Ачаста ынсямнэ, кэ ши системул дат ну аре солуций. б) Дин прима инекуацие, афлэм: x > 2. А доуа инекуацие есте адевэратэ пентру орьче валорь але луй х. Ашадар, солуцииле системулуй коинчид ку солуцииле примей инекуаций. Рэспунс: а) ∅; б) x > 2. Ачест екземплу илустрязэ урмэтоареле афирмаций: 1. Дакэ ын системул де инекуаций ку о сингурэ вариабилэ, о инекуацие ну аре солуций, атунч ши ынсушь системул ну аре солуций. 2. Дакэ ын системул де доуэ инекуаций ку о сингурэ вариабилэ, о инекуацие есте адевэратэ пентру орьче валорь але вариабилей, атунч солуцииле системулуй сынт солуцииле челейлалте инекуаций але системулуй. Ла сфыршитул ачестуй параграф, сэ ревеним ла резолваря екземплулуй 2, кум се спуне, дупэ тоате регулиле. Екземплул 2. Фие, кэ се дэ ун нумэр натурал. Дакэ ла пэтратул ачестуй нумэр адэугэм нумэрул 13, атунч сума обцинутэ ва фи май маре декыт продусул динтре нумэрул дат ши нумэрул 14. Яр дакэ, ла пэтратул нумэрулуй дат вом адэуга нумэрул 45, атунч сума лор ва фи май микэ декыт продусул динтре ачест нумэр ши нумэрул 18. Афлаць ачест нумэр. Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Нумэрул некуноскут х, дупэ кум аць обсерват май сус (везь паù. 41), требуе сэ сатисфакэ системулуй де инекуаций

46

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

Етапа а доуа. Лукрул ку моделул алкэтуит. Адучем прима инекуацие а системулуй ла форма x2 – 14x + 13 > 0. Афлэм рэдэчиниле триномулуй пэтрат x2 – 14x + 13 > 0: x1 = 1, x2 = 13. Ашадар, инекуация есте сатисфэкутэ пентру x < 1 сау x > 13 (фиг. 48). Скрием а доуа инекуацие суб форма x2 – 18x + 45 < 0. Афлэм рэдэчиниле триномулуй пэтрат x2 – 18x + 45 < 0: x1 = 3, x2 = 15. Ашадар, инекуация есте сатисфэкутэ пентру 3 < x < 15 (фиг. 49). Реуниуня солуциилор обцинуте сервеште интервалул (13; 15) (фиг. 50). Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Рэспунс ла ачастэ проблемэ есте ун нумэр натурал, каре апарцине интервалулуй (13; 15). Ачест нумэр есте нумэрул 14. Рэспунс: 14.



Фиг. 48

Фиг. 49



Фиг. 50

47

1.

ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ

КОНКЛУЗИЙ æЕНЕРАЛЕ

• Ын ачест капитол ам фэкут куноштинцэ ку ноциуниле, легате де резолваря инекуациилор ку о сингурэ вариабилэ: солуцие партикуларэ, солуцие ùенералэ, солуция инекуацией; инекуацие рационалэ; инекуацие екивалентэ, трансформаря де екиваленцэ а инекуациилор; системул де инекуаций; солуция системулуй де инекуаций. • Ам фэкут куноштинцэ ку метода интервалелор, каре пе ларг се апликэ ла резолваря инекуациилор рационале. • Ам фэкут куноштинцэ ку ноциуниле ùенерале але лимбажулуй математик ал теорией мулцимилор: елементул мулцимий, субмулцимя мулцимий дате; интерсекция ши реуниуня мулцимилор; мулциме видэ.

48

КАПИТОЛУЛ

2

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ § 5. Ноциунь æенерале § 6. Методеле де резолваре а системелор де екуаций § 7. Системеле де екуаций ка моделе математиче але унор ситуаций реале Конклузий æенерале

§ 5. НОЦИУНЬ ӁЕНЕРАЛЕ Ку системеле де екуаций вой аць фэкут дежа куноштинцэ ын курсул де алùебрэ ын класа а 7-я, дар ачестя ау фост доар системеле де доуэ екуаций линиаре ку доуэ вариабиле. Акум вом ворби деспре резолваря системелор де екуаций нелиниаре ку доуэ вариабиле, ку атыт май мулт кэ, ачесте системе презинтэ унеле моделе математиче але ситуациилор студияте. Екземплул 1. Доуэ дебаркадере В ши С сынт ситуате май ын жос пе рыу фацэ де дебаркадерул А, ла дистанцеле де 30 км ши 45 км респектив (фиг. 51). О баркэ ку мотор а плекат де пе дебаркадерул А, а ажунс ын С, имедиат с-а ынторс ши а ажунс ын В, келтуинд ын друм 4 оре 40 мин. Алтэ датэ, ачеяшь баркэ с-а порнит дин С, а ажунс ын А, имедиат се ынтоарче ши ажунже ын В, келтуинд ын друм 7 оре. Афлаць витеза проприе а бэрчий ку мотор ши витеза курентулуй де апэ. Резолваре. Сэ интродучем доуэ вариабиле: х км/орэ – витеза проприе а бэрчий, у км/орэ – витеза курентулуй де апэ.

Фиг. 51 49

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Атунч х + у км/орэ – витеза бэрчий ын дирекция курентулуй де апэ, х – у км/орэ – витеза бэрчий ымпотрива курентулуй де апэ. Сэ черчетэм прима рутэ а бэрчий ку мотор. Ачастэ рутэ алкэтуеште 45 км дупэ курсул апей дин А ын С ши 15 км ымпотрива курсулуй апей дин С ын В. Ашадар, оре – тимпул ын каре барка а паркурс дистанца дин А ын С, оре – тимпул ын каре барка а паркурс дистанца дин С ын В. Ын тотал ын прима рутэ барка а келтуит 4 оре 40 мин, адикэ оре. Конформ кондицией проблемей, алкэтуим екуация Сэ черчетэм а доуа рутэ а бэрчий. Ачастэ рутэ алкэтуеште 45 км ымпотрива курсулуй апей дин С ын А ши 30 км дупэ курсул апей дин А ын В. Ашадар, оре – тимпул ын каре барка а паркурс дистанца дин С ын А, оре – тимпул ын каре барка а паркурс дистанца дин А ын В. Ын тотал ын а доуа рутэ барка а келтуит 7 оре. Конформ кондицией проблемей, алкэтуим екуация Моделул математик ал проблемей дате презинтэ ун систем де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле:

Кум се резолвэ ачест систем де екуаций, ной ын презент ну коноаштем, де ачея вом ревени ла резолваря луй пуцин май тырзиу, ын § 7. Май ынтый сэ формэм о базэ теоретикэ нечесарэ.

1. Екуаций рационале ку доуэ вариабиле Дефиницие 1. Се нумеште екуацие рационалэ ку доуэ вариабиле х ши у, екуация де форма h(x; y) = g(x; y), унде h(x; y), g(x; y) – експресий рационале, адикэ експресий алùебриче, алкэтуите 50

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

дин нумере ши вариабилеле х, у ку ажуторул операциилор де адунаре, скэдере, ынмулцире, ымпэрцире ши ридикаря ла о путере натуралэ. Екземпле де екуаций рационале ку доуэ вариабиле: x2 + y2 = 58; y – x = 4; 2xy + x3 = 0; ш.а.м.д. Десигур, путем консидера екуаций рационале ши ку алте вариабиле, ну неапэрат ку х ши у; де екземплу, a3 – b4 = 3ab – екуацие рационалэ ку доуэ вариабиле a, b. Орьче екуацие рационалэ h(x; y) = g(x; y) поате фи трансформатэ ын форма p(x; y) = 0, унде p(x; y) – експресие рационалэ. Пентру ачаста требуе сэ скрием екуация астфел: h(x; y) – g(x; y) = 0. Дакэ p(x; y) – есте ун полином, атунч p(x; y) = 0 се нумеште екуацие рационалэ ынтрягэ.

Дефиницие 2. Солуцие а екуацией p(x; y) = 0 се нумеште орьче переке де нумере (x; y), каре сатисфаче ачастэ екуацие, адикэ трансформэ егалитатя ку вариабиле p(x; y) = 0 ынтр-о егалитате нумерикэ адевэратэ. Де екземплу: 1) (3; 7) – есте о солуцие а екуацией х2 + у2 = 58. Ынтр-адевэр, 2 3 + 72 = 58 – експресие нумерикэ адевэратэ. 2)

– солуцие а екуацией х2 + у2 = 58. Ынтр-адевэр, – експресие нумерикэ адевэратэ (22 + 36 = 58).

3) (0; 5) – солуция екуацией 2xy + x2 = 0, деоарече 2 ∙ 0 ∙ 5 + + 03 = 0 – егалитате нумерикэ адевэратэ. 4) (1; 2) ну есте солуцие а екуацией 2xy + x2 = 0. Ынтр-адевэр, 2 ∙ 1 ∙ 2 + 13 = 0 – ну есте о егалитате адевэратэ (обцинем 5 = 0). Екземплул 2. Резолваць екуация (2x – 8)2 + (y + 3)4 = 0. Резолваре. Пентру орьче валорь але луй х, у, инекуацииле (2x – 8)2 0, (y + 3)4 0 сынт адевэрате. Астфел, партя стынгэ а екуацией ынтотдяуна есте ненегативэ ши се егалязэ ку зеро доар ынтр-ун сингур каз: кынд фиекаре термен ал сумей дате се егалязэ ку зеро. 51

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Ашадар, проблема се редуче ла резолваря системулуй де екуаций

де унде обцинем: 2х – 8 = 0, адикэ х = 4; у + 3 = 0, у = –3. Рэспунс: (4; –3). Екземплул 3. Афлаць тоате солуцииле ынтреùь але екуацией х – у = 10. Резолваре. Дакэ x = k, k ∈ Z, атунч екуация х – у = 10 примеште форма k – у = 10, де унде обцинем: у = k – 10 — ун нумэр ынтрег. Астфел, солуцииле ынтреùь але екуацией сынт тоате перекиле де нумере де форма (k; k – 10), унде k ∈ Z. Дакэ се дэ о екуацие ынтрягэ рационалэ ку кытева вариабиле ши ку коефичиенць нумеричь ынтреùь ши дакэ се пуне ынтребаря де гэсит тоате солуцииле ей ынтреùь (сау, ын каз конкрет, солуцииле рационале), атунч се спуне, кэ се дефинеште екуация луй Диофант (ын нумеле математичианулуй грек антик Диофант; апроксиматив сек.III). Екуация луй Диофант се нумеште ши аша нумита екуацие недетерминатэ. Недетерминаря констэ ын фаптул, кэ о астфел де екуацие аре ун нумэр инфинит де солуций, кум а фост ын екземплул 3 де май сус. Ын челе май десе казурь, резолваря екуацией луй Диофант импликэ греутэць консидерабиле диферите. Унеорь ачесте греутэць пот фи депэшите ку ажуторул проприетэцилор дивизибилитэций нумерелор ынтреùь. Екземплул 4. Афлаць рэдэчиниле ынтреùь але екуацией 2x + 3y = 17. Резолваре. Фие (х; у) – о солуцие а екуацией дате. Атунч 17 – – 3y = 2x. Деоарече х – есте ун нумэр ынтрег, атунч нумэрул 17 – 3y есте пар. Сэ черчетэм казуриле, кынд у есте пар сау у есте импар. 1) Дакэ у есте ун нумэр пар, атунч 3у есте пар, яр 17 – 3у есте импар, ка диференца динтре нумэрул импар 17 ши а нумэрулуй пар 3у. Деч, ачест каз ну не конвине. 2) Дакэ у есте ун нумэр импар, атунч y = 2k + 1, унде k – нумэр ынтрег. Атунч 17 – 3у = 17 – 3(7 – 3k)= 17 – 6k – 3 = 14 – 6k = 2(7 – 3k). Деоарече, конформ кондицией 17 – 3у = 2x, обцинем 2(7 – 3k) = = 2x, x = 7 – 3k. Ашадар, дакэ (х; у) есте солуция екуацией дате, атунч x = 7 – 3k, яр y = 2k + 1, унде k – нумэр ынтрег. 52

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Сэ верификэм, дакэ есте корект сау ну, адикэ дакэ x = 7 – 3k, яр y = 2k + 1, атунч перекя де нумере (х; у) есте солуция екуацией 2x + 3y = 17. Ефектуэм субституция: 2x + 3y = 2(7 – 3k) + 3 (2k + 1) = 14 – 6k + 6k + 3 = 17. Ашадар, орьче переке де типул (7 – 3k; 2k + 1) есте солуцие а екуацией 2x + 3y = 17. Пентру ка резултатул обцинут сэ фие май клар, сэ атрибуим параметрулуй k унеле валорь ынтреùь конкрете. Фие k = 0; атунч перекя (7 – 3k; 2k + 1) се трансформэ ын (7; 1). Субституинд валориле х = 7, у = 1 ын екуация 2x + 3y = 17, обцинем: 14 + 3 = 17 – о егалитате адевэратэ. Фие k = 1; атунч перекя (7 – 3k; 2k + 1) се трансформэ ын (4; 3). Субституинд валориле х = 4, у = 3 ын екуация 2x + 3y = 17, обцинем: 8 + 9 = 17 – о егалитате адевэратэ. Фие k = 2; атунч перекя (7 – 3k; 2k + 1) се трансформэ ын (1; 5). Субституинд валориле х = 1, у = 5 ын екуация 2x + 3y = 17, обцинем: 2 + 15 = 17 – о егалитате адевэратэ. Фие k = –1; атунч перекя (7 – 3k; 2k + 1) се трансформэ ын (10; –1). Субституинд валориле х = 10, у = –1 ын екуация 2x + 3y = 17 обцинем: 20 – 3 = 17 – о егалитате адевэратэ. Пентру о визуализаре май комодэ, сэ интродучем резултателе обцинуте ын табел. k x = 7 – 3k y = 2k + 1 2x + 3y 0 7 1 2 ∙ 7 + 3 ∙ 1 = 14 + 3 = 17 1 4 3 2 ∙ 4 + 3 ∙ 3 = 8 + 9 = 17 2 1 5 2 ∙ 1 + 3 ∙ 5 = 2 + 15 = 17 –1 10 1 2 ∙ 10 + 3 ∙ (–1) = 20 – 3 = 17 Ачелашь лукру обцинем ши пентру тоате челелалте валорь ынтреùь але параметрулуй k. Рэспунс: (7 – 3k; 2k + 1) , унде k ∈ Z.

Екземплул 5. Афлаць солуцииле ынтреùь але екуацией 4x + + 7y = 29. Резолваре. Сэ скрием екуация датэ суб форма

, де

сау Валоаря вариабилей х ва фи ун нумэр ынтрег атунч ши нумай атунч, кынд експресия унде

53

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

p(y) = 7у – 1 се ымпарте фэрэ рест ла 4. Пентру нумэрул ынтрег у ын рапорт ку нумэрул 4 екзистэ 4 посибилитэць: есте ун нумэр мултиплу луй 4, фиинд ымпэрцит ла 4 примим ын рест 1, фиинд ымпэрцит ла 4 примим ын рест 2, фиинд ымпэрцит ла 4 примим ын рест 3, Сэ черчетэм фиекаре посибилитате апарте. 1) у = 4n. Атунч p(y) = 7у – 1 = 7 ∙ 4n – 1 = 28n – 1. Ачест нумэр ну се ымпарте ла 4. 2) у = 4n + 1. Атунч p(y) = 7у – 1 = 7(4n + 1) = 28n + 6. Ачест нумэр ну се ымпарте ла 4. 3) у = 4n + 2. Атунч p(y) = 7у – 1 = 7(4n + 2) = 28n + 13. Ачест нумэр ну се ымпарте ла 4. 4) у = 4n + 3. Атунч p(y) = 7у – 1 = 7(4n + 3) = 28n + 20. Ачест нумэр се ымпарте ла 4. Ашадар, у = 4n + 3. Атунч + 5) = 2 – 7n. Рэспунс: (2 – 7n; 4n + 3), унде n ∈ Z. Екземплул 6. Афлаць солуцииле ынтреùь але екуацией 4x2 – y2 = 11. Резолваре. Прима методэ. Сэ скрием екуация датэ суб форма (2x – y)(2x y) = 11. Партя стынгэ а екуацией репрезинтэ ун продус а доуэ нумере ынтреùь. Ачест продус поате сэ фие егал ку 11 доар ын патру казурь: кынд примул фактор есте егал ку 1, яр ал дойля ку 11; кынд примул фактор есте егал ку –1, яр ал дойля ку –11; кынд примул фактор есте егал ку 11, яр ал дойля ку 1; кынд примул фактор есте егал ку –11, яр ал дойля ку –1. Ашадар, проблема се редуче ла резолваря а патру системе де екуаций:

Дин примул систем де екуаций афлэм: х = 3, у = 5; дин ал дойля: х = –3, у = –5; дин ал трейля систем: х = 3, у = –5; дин ал патруля: х = –3, у = 5. Рэспунс: (3; 5), (–3; –5), (3; –5), (–3; 5). Пентру екуацииле ку доуэ вариабиле, кум ши пентру екуацииле ку о сингурэ вариабилэ, се поате де интродус ноциуня де екиваленцэ. Дефиницие 3. Доуэ екуаций p(x; y) = 0 ши q(x; y) = 0 се нумеск екиваленте, дакэ еле ау солуций егале сау дакэ амбеле екуаций ну ау солуций. 54

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Де обичей ла резолваря екуациилор, екуация инициалэ се ынлокуеште ку о екуацие май симплэ, дар екивалентэ ку еа. Астфел де трансформаре се нумеште трансформаря де екиваленцэ а екуацией. Доуэ трансформэрь екиваленте фундаментале сынт репрезентате май жос. 1) Тречеря терменилор екуацией динтр-о парте а ей ын алта ку семнеле ын опус. Де екземплу, ынлокуиря екуацией 2x + 5y = 7x – 8y прин екуация 2x + 7x = 8y – 5y есте о трансформаре де екиваленцэ. 2) Ынмулциря ши ымпэрциря амбелор пэрць але инекуацией ла унул ши ачелашь нумэр диферит де зеро сау ла о експресие диферитэ де зеро. Де екземплу, ынлокуиря екуацией 0,5x2 – 0,3xy = 2y прин екуация 5x2 – 3xy = 20y (ынмулцим амбеле пэрць але екуацией, термен ку термен ла 10) есте о трансформаре де екиваленцэ. Унеле трансформэрь але екуациилор ну пот фи нумите трансформэрь де екиваленцэ: а) елибераря де нумиторь, каре концин експресий ку некуноскуте; б) ридикаря ла пэтрат а амбелор пэрць але екуацией. Дакэ ын прочесул де солуционаре а екуацией апликэм уна динтре трансформэриле неекиваленте, атунч тоате солуцииле обцинуте требуе верификате прин субституиря лор ын екуация инициалэ, деоарече унеле солуций пот фи солуций стрэине, адикэ перекь де нумере, каре ну сатисфак екуация инициалэ.

2. Графикул екуацией ку доуэ вариабиле Сэ консидерэм екуация p(x; y) = 0. Мулцимя пунктелор (х; у) але планулуй де коордонате хОу, астфел ынкыт (х; у) – сынт солуцииле екуацией p(x; y) = 0, се нумеште графикул екуацией. Екземплул 7. Де конструит графикул екуацией 3x + 4y – 12 = 0. (1) Резолваре. Дин курсул де алùебрэ ын класа а 7-я куноаштець, кэ графикул екуацией линиаре ку доуэ вариабиле ax + by + c = 0, унде чел пуцин унул дин нумереле a, b сынт диферите де зеро, репрезинтэ о линие дряптэ. Ашадар, графикул екуацией (1) – есте о дряптэ. Пентру а конструи ачастэ дряптэ есте суфичиент де индикат ын системул де коордонате доуэ пункте каре апарцин ей. Дакэ ын екуация (1) субституим х = 0, екуация примеште форма 4у –12 = 0, де унде афлэм: у = 3; ашадар, (0; 3) есте ун пункт, коордонателе кэруя сатисфак екуация (1). Дакэ ын екуация (1) субституим 55

2.



СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Фиг. 52

Фиг. 53

Фиг. 54 у = 0, екуация примеште форма 3х – 12 = 0, де унде афлэм: х = 4; ашадар, (4; 0) есте ун пункт, коордонателе кэруя сатисфак екуация (1). Прин пунктеле обцинуте (0; 3) ши (4; 0) дучем о дряптэ – ачаста ши есте графикул екуацией (1) (фиг. 52). Дакэ екуация р(х; у) = 0 поате фи трансформатэ суб форма y = f(x), атунч графикул функцией y = f(x) есте консидерат ын ачелашь тимп ши графикул екуацией р(х; у) = 0. 56

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Екземплул 8. Де конструит графикул функцией y – 2x2 = 0. Резолваре. Адучем екуация датэ ла форма у = 2х2. Графикул функцией у = 2х2 есте о параболэ (фиг. 53). Екземплул 9. Де конструит графикул функцией ху = 2. Резолваре. Сэ адучем екуация датэ ла форма кул функцией

. Графи-

есте о хиперболэ (фиг. 54).

3. Формула дистанцей динтре доуэ пункте але планулуй де коордонате. Графикул екуацией Конструинд графичеле екуациилор дин екземплеле 7–9, ной не-ам базат пе материалул, куноскут дин курсул де алùебрэ пентру класеле 7–8; графичеле сынт линие дряптэ, параболэ, хиперболэ. Ын ачест пункт ал параграфулуй, вом екстинде куноштинцеле деспре фигуриле ùеометриче, каре пот серви дрепт графичеле екуациилор ку доуэ вариабиле.

Теорема 1

Дистанца динтре доуэ пункте А(х1; у1) ши В(х2; у2) але планулуй де коордонате хОу се калкулязэ дупэ

Фиг. 55 57

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Демонстрацие. Уним пункте А(х1; у1) ши В(х2; у2) принтр-ун сегмент де дряптэ ши дучем дрептеле х = х1, х = х2, у = у1, у = у2 (фиг. 55). Сэ черчетэм триунгюл дрептунгик АВС. Лунùимя катетей АС есте егалэ ку дистанца динтре пунктеле х1 ши х2 але аксей х, адикэ АС = |х2 – х1|. Лунùимя катетей ВС есте егалэ ку дистанца динтре пунктеле у1 ши у2, але аксей у, адикэ ВС = |у2 – у1|. Конформ теоремей луй Питагора АВ2 = АС2 + ВС2, адикэ АB2 = |х2 – х1|2 + |у2 – у1|2. (2) 2 2 Деоарече |а| = а , атунч формула (2) поате фи скрисэ суб форма АB2 = (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 . Астфел, Теорема е демонстратэ. Сэ калкулэм, де екземплу, дистанца динтре пунктеле (9; –1) ши (2; –25). Обцинем:

Теорема 2

Графикул екуацией (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (3) есте о чиркумферинцэ, ын планул де коордонате хОу ку чентру ын пунктул O′(a; b) ши раза r (r > 0) (фиг.56).

Фиг. 56 58

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Демонстрацие. Фие М (х; у) ун оарекаре пункт каре се афлэ пе ачастэ чиркумферинцэ. Конформ теоремей 1 Дар O′M = r, резултэ, кэ адикэ (x– a)2 + (y – b)2 = r2. Ашадар, коордонателе тутурор пунктелор М (х; у), каре се афлэ пе чиркумферинца датэ, сатисфак екуация (3). Дакэ пунктул Р(х; у) каре ну се афлэ пе ачастэ чиркумферинцэ, атунч сау O′M < r (дакэ пунктул Р се афлэ ын интериорул чиркумферинцей), сау O′M > r (дакэ пунктул Р се афлэ ын афара чиркумферинцей). Ын амбеле казурь коордонателе пунктулуй Р ну сатисфак екуация (3). Прин урмаре, доар пунктеле каре се афлэ пе чиркумферинцэ сатисфак екуация (3). Теорема е демонстратэ. Екземплул 10. Де конструит графикул екуацией х2 + у2 = 16. Резолваре. Сэ скрием екуация датэ астфел: (х – 0)2 + (у – 0)2 = 42. Конформ теоремей 2 графикул екуацией дате есте о чиркумферинцэ ку чентрул ын пунктул О(0; 0) ши раза егалэ ку 4 (фиг. 57). Екземплул 11. Де конструит графикул екуацией: а) (х – 1)2 + (у – 2)2 = 9; б) х2 + у2 + 4x = 0. Резолваре. а) Сэ скрием екуация датэ ын форма (х – 1)2 + + (у – 2)2 = 32. Графикул екуацией дате, конформ теоремей 2, есте о чиркумферинцэ ку чентрул ын пунктул (1; 2) ши раза егалэ ку 3 (фиг. 58).



Фиг. 57

Фиг. 58 59

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

б) Сэ скрием екуация датэ ын форма (x2 + 4x + 4) + y2 = 4, адикэ (x + 2)2 + y2 = 4, (x – (–2))2 + (y – 0)2 = 22. Графикул екуацией дате, конформ теоремей 2, есте о чиркумферинцэ ку чентрул ын пунктул (–2; 0) ши раза егалэ ку 2 (фиг. 59).

Фиг. 59 Ятэ принчипалеле резултате але ачестуй пункт суб форма унуй табел. Моделул аналитик х2 + у2 = r2

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

60

Моделул щеометрик

Моделул вербал Чиркумферинцэ ку чентрул ын ориùиня системулуй де коордонате ши раза r

Чиркумферинцэ ын планул де коордонате ку чентрул ын пунктул (a; b) ши раза r

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

4. Системеле де екуаций ку доуэ вариабиле Д е ф и н и ц и е 4. Дакэ се пуне скопул де а афла тоате астфел де перекь де нумере (х; у), каре ын ачелашь тимп сатисфак амбеле екуаций р(х; у) = 0 ши q(х; у) = 0, атунч се спуне, кэ екуацииле дате формязэ ун систем де екуаций:

Перекя де нумере (х; у), каре трансформэ фиекаре екуацие а системулуй ынтр-о егалитате нумерикэ адевэратэ се нумеште солуцие а системулуй де екуаций. А резолва ун систем де екуаций ынсямнэ а афла тоате солуцииле луй сау а демонстра, кэ системул ну аре солуций. Де екземплу, перекя (3; 7) есте солуция системулуй де екуаций (1) Ынтр-адевэр, ачастэ переке сатисфаче ши прима екуацие а ситемулуй ши екуация а доуа а луй, ашадар, есте солуцие а системулуй дат. Де регулэ, солуция системулуй се скрие астфел: (3; 7) сау

.

Дар перекя де нумере (5; 9) ну есте солуцие а системулуй (1): ачастэ переке ну сатисфаче прима екуацие а луй (деши сатисфаче а доуа екуацие а системулуй). Вариабилеле дин екуацииле каре формязэ ун систем де екуаций пот фи идентификате ши прин алте литере, де екземплу, прин литере дин алфабетул латин a ши b, s ши t, u ши v ш.а.м.д. Дар ын орьче каз, ла скриеря рэспунсулуй суб форма уней перекь де нумере, се утилизязэ метода лексикографикэ, пе примул лок се скрие литера, каре ын алфабетул латин се ынтылнеште май ынаинте декыт а доуа. Ын прочесул резолвэрий системелор де екуаций се апликэ ши метода графикэ, каре констэ ын урмэтоареле: конструим графикул примей екуаций а системулуй, конструим графикул екуацией а доуа ши, ын сфыршит, афлэм пунктеле де интерсекцие але графичелор; коордонателе пунктелор де интерсекцие сервеск солуций але системулуй де екуаций. 61

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Екземплул 12. Резолваць системул де екуаций

Резолваре. 1) Конструим графикул екуацией х2 + у2 = 16 – чиркумферинца ку чентрул ын ориùиня системулуй де коордонате ши раза егалэ ку 4 (фиг. 60). 2) Конструим графикул екуацией у – х = 4. О линие дряптэ, каре трече прин пунктеле (0; 4) ши (–4; 0) (фиг.60). 3) Чиркумферинца ши дряпта се интерсектязэ ын пунктеле А ши В (фиг. 60). Конформ моделулуй ùеометрик обцинут, пунктул А аре коордонателе (–4; 0), яр пунктул В – коордонателе (0; 4). Верификэриле аратэ, кэ перекиле де нумере (–4; 0) ши (0; 4) сынт солуцииле амбелор екуаций але системулуй ши, деч солуцииле ситемулуй де екуаций. Ашадар, системул де екуаций дат аре доуэ солуций (–4; 0) ши (0; 4). Рэспунс: (–4; 0); (0; 4). Екземплул 13. Резолваць системул де екуаций

Фиг. 60 62

Фиг. 61

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Резолваре. 1) Сэ скрием прима екуацие а системулуй дат ын форма у = 2х2, графикул екуацией есте о параболэ (фиг. 61). , деч, 2) Скрием а доуа екуацие а системулуй ын форма путем спуне, кэ графикул екуацией есте о хиперболэ (фиг. 61). 3) Парабола ши хипербола се интерсектязэ ын пунктул А (фиг. 61). Алте пункте де интерсекцие ну сынт, деоарече рамура дин дряпта а параболей есте графикул уней функций крескэтоаре, яр рамура дин дряпта а хиперболей – дескрескэтоаре. Конформ моделулуй ùеометрик конструит, коордонателе пунктулуй А сынт (1; 2). Верификаря аратэ кэ перекя де нумере (1; 2) есте солуцие а амбелор екуаций але системулуй, ашадар, ши солуцие а системулуй дат. Системул де екуаций дат аре о сингурэ солуцие (1; 2). Рэспунс: (1; 2). Метода графикэ де резолваре а системелор де екуаций, прекум ши метода графикэ де резолваре а екуациилор, есте плэкутэ визуал, дар ну есте ефективэ. Ын примул рынд, ну тот тимпул се поате де конструит графичеле екуациилор дате. Ын ал дойля рынд, кяр дакэ реушим сэ конструим графичеле екуациилор дате, пунктеле лор де интерсекцие ну тот тимпул пот фи ла фел де «буне», кум ын екземплеле спечиал селектате 11 ши 12. Ын унеле казурь ачесте пункте се пот гэси ши ын афара десенулуй. Деч, требуе сэ деспунем де унеле методе алùебриче сигуре де резолваре а системелор де екуаций ку доуэ вариабиле. Ын спечиал, екземплул 13 ар путя фи резолват прин метода субституцией. Дин прима екуацие афлэм у = 2х2. Субституим валоаря 2х2 а луй у ын а доуа екуацие а системулуй, обцинем: x ∙ 2x2 = 2; 2x3 = 2; x3 = 1; x = 1. Дакэ х = 1, атунч дин формула у = 2х2 афлэм, кэ у =2. Ашадар, системул аре о сингурэ солуцие — (1; 2). Деспре методеле де резолваре а системелор де екуаций ын спечал вом дискута ын параграфул урмэтор.

5. Инекуаций ши системеле де инекуаций ку доуэ вариабиле Ын ачест пункт вом ворби деспре резолваря инекуациилор де типул р(х; у) > 0 (р(х; у) < 0), унде р(х; у) – есте о експресие алùебрикэ. Д е фи н и ц и е 5. Се нумеште солуцие а инекуацией р(х; у) > > 0 орьче переке де нумере (х; у), каре трансформэ инекуация ку вариабиле р(х; у) > 0 ынтр-о егалитате нумерикэ адевэратэ. 63

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Де екземпул, перекя де нумере (2; 1) есте солуцие пентру инекуация 2х + 3у > 0 (2 ∙ 2 + 3 ∙ 1 > 0 – есте о инегалитате нумерикэ адевэратэ), яр перекя де нумере (0; –1) ну есте о солуцие пентру инекуация датэ (верификаць!). Пентру а афла тоате солуцииле инекуацией ку доуэ вриабиле, ын челе май десе казурь ревеним ла графикул екуацией р(х; у) > 0. Сэ черчетэм ачест лукру ын база унор екземпле. Екземплул 14. Резолваць екуация 2х + 3у > 0. Резолваре. Графикул екуацией 2х + 3у = 0 репрезинтэ о линие дряптэ каре трече прин ориùиня системулуй де коордонате (0; 0) ши, де екземплу, прин пунктул (3; –2) (коордонате амбелор пункте сатисфак екуация 2х + 3у = 0). Ачастэ дряптэ есте репрезентатэ ын фигура 62. Трансформэм инекуация датэ ын форма Акум есте клар, кэ пе ной не интересязэ ачеле пункте але планулуй де коордонате, каре се афлэ май сус де дряпта конструитэ. Ашадар, солуцииле инекуацией дате ùеометрик сынт репрезентате прин пунктеле семипланулуй, ситуате май сус де дряпта 2х + 3у = 0 (фиг. 63). Ун сфат практик. Дупэ че конструим графикул екуацией, путем рационализа астфел: солуцииле инекуацией дате сынт пунктеле семипланулуй, репрезентате сау май сус, сау май жос де дряпта конструитэ. Пентру а алеùе корект семипланул кореспунзэтор, луэм ун орьче пункт дин ачест семиплан ши субституим

Фиг. 62 64

Фиг. 63

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

коордонателе пунктулуй де контрол ын инекуация датэ. Дакэ обцинем о инегалитате нумерикэ адевэратэ, атунч семипланул есте алес корект, яр дакэ ну – семипланул есте алес грешит (аич, практик се апликэ афирмация, каре поате фи демонстратэ прин интермедиул мижлоачелор математичий супериоаре: дакэ графикул екуацией рационале р(х; у) = 0 есте дряпта L, атунч пе амбеле пэрць де дряпта L експресия р(х; у) пэстрязэ ун семн констант). Сэ луэм ын калитате де пункт де контрол пунктул (1; 1), каре апарцине семипланулуй де сус ши субституим коордонателе луй ын екуация датэ. Обцинем: 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 > 0 – о инегалитате нумерикэ адевэратэ. Астфел, резултэ, кэ моделул ùеометрик ал солуциилор инекуацией дате есте семипланул, каре се афлэ май сус де дряпта 2х + 3у = 0 (фиг. 63). Ачастэ конклузие се поате де ынцелес астфел: коордонателе орькэруй пункт ал мулцимий, хашурате ын фиг. 63, формязэ перекя де нумере че сервеште солуцие а инекуацией 2х + 3у > 0. Екземплул 15. Резолваць инекуация у – 2х2 < 0. Резолваре. Графикул екуацией у – 2х2 = 0 есте парабола у = 2х2 (фиг. 64). Ачастэ параболэ дивизязэ планул де коордонате ын доуэ пэрць: уна есте репрезентатэ май сус де параболэ, алта май жос. Сэ луэм ын калитате де пункт де контрол, пунктул (0; 1), каре се

Фиг. 64 65

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

афлэ май сус де парабола датэ. Субституинд коордонателе пунктулуй ын инекуация датэ, обцинем: 1 – 2 ∙ 02 < 0 – о инегалитате нумерикэ инкоректэ. Ашадар, ын калитате де модел ùеометрик ал солуциилор инекуацией дате требуе де луат партя планулуй де коордонате, каре се афлэ ну май сус, дар май жос де параболэ. (фиг. 64).

Д е ф и н и ц и е 6. Дакэ се пуне скопул де а афла тоате астфел де перекь де нумере (х; у), каре ын ачелашь тимп сатисфак амбеле инекуаций р(х; у) > 0 ши q(х; у) > 0, атунч се спуне, кэ инекуацииле дате формязэ ун систем де инекуаций: Перекя де нумере (х; у), каре трансформэ фиекаре инекуацие а системулуй ынтр-о инегалитате нумерикэ адевэратэ се нумеште солуцие а системулуй де инекуаций. А резолва ун систем де инекуаций ынсямнэ а афла тоате солуцииле луй сау а демонстра, кэ системул ну аре солуций. Екземплул 16. Резолваць системул де инекуаций

Резолваре. 1) Сэ конструим графикул екуацией 2х – 3у = 6. Ачаста есте дряпта каре трече прин пунктеле (3; 0) ши (0; –2). Ын калитате де пункт де контрол луэм пунктул (0; 0), каре се афлэ май сус де дряпта конструитэ. Коордонателе ачестуй пункт сатис6. Ашадар, ùеометрик, солуцииле прифак инекуация 2х – 3у мей инекуаций а системулуй дат репрезинтэ семипланул май сус де дряпта конструитэ ши ынсушь дряпта (деоарече инекуация ну есте стриктэ) (фиг.65). 2) Конструим графикул екуацией х + у + 7 = 0. Ачаста есте дряпта, каре трече прин пунктеле (–7; 0) ши (0; –7). Ын калитате де пункт де контрол луэм пунктул (0; 0), каре се афлэ май сус де дряпта конструитэ. Коордонателе ачестуй пункт сатисфак инекуация х + у + 7 0. Ашадар, ùеометрик, солуцииле инекуацией а доуа а системулуй дат репрезинтэ семипланул май сус де дряпта конструитэ ши ынсушь дряпта (деоарече инекуация ну есте стриктэ) (фиг. 66). 3) Партя комунэ а семипланелор конструите (интерсекция лор) есте мулцимя солуциилор системулуй де инекуаций дат (хашурат ын фиг. 67). 66

2.



СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Фиг. 65 Фиг. 66

Фиг. 67

67

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

§ 6. МЕТОДЕЛЕ ДЕ РЕЗОЛВАРЕ А СИСТЕМЕЛОР ДЕ ЕКУАЦИЙ

Ын ачест параграф вом черчета трей методе де резолваре а системелор де екуаций, май сигуре декыт метода графикэ, анализатэ ын параграфул пречедент.

1. Метода субституцией Ам фолосит ачастэ методэ ын класа а 7-я ла резолваря системелор де екуаций линиаре. Алгоритмул елаборат ын класа а 7-я се поате де апликат ла резолваря системелор ку орьче доуэ екуаций (ну неапэрат линиаре) ку доуэ вариабиле х ши у (вариабилеле пот фи нотате ши прин алте доуэ литере). Принтре алтеле, де ачест алгоритм не-ам фолосит ши ын параграфул пречедент, ла резолваря екземплулуй 12. Алгоритмул резолвэрий системулуй де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле х, у апликынд метода субституцией 1. Експримаць ын уна дин екуацииле системулуй у прин х. 2. Субституиць експресия обцинутэ пентру у ын а доуа екуацие а системулуй. 3. Резолваць екуация обцинутэ фацэ де х. 4. Субституиць валоаря луй х, обцинутэ ла пасул трей, ын експресия унде ам експримат у прин х, обцинутэ ла примул пас. 5. Скриець рэспунсул суб формэ де переке де валорь (х; у), обцинуте кореспунзэтор ла пасул 3 ши 4. Вариабилеле х ши у, десигур, сынт ын дрептурь егале, астфел ку ачелашь сукчес се поате, ын примул пас ал алгоритмулуй де експримат ну у прин х, дар х прин у дин орьче екуацие а системулуй. Де обичей, се алеùе екуация каре есте май симплэ ши субституим ачя вариабилэ, пентру каре прочедура есте май симплэ. 68

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Екземплул 1. Резолваць системул де екуаций

Резолваре. 1) Дин прима екуацие а системулуй експримэм х прин у: х = 5 – 3у. 2) Субституим ын а доуа екуацие а системулуй ын локул луй х експресия обцинутэ: (5 – 3у)у = 2. 3) Резолвэм екуация обцинутэ:

4) Субституим валориле луй у обцинуте ын формула х = 5 – 3у. Дакэ у = 1, атунч х = 5 – 3 ∙ 1= 2; дакэ 5) Перекиле де нумере (2; 1) ши

, атунч сынт солуцииле систе-

мулуй де екуаций дат. Рэспунс: (2; 1);

.

2. Метода адунэрий алӂебриче Ачастэ методэ, ка ши метода субституцией, вэ есте куноскутэ дин курсул де алùебрэ пентру класа а 7-я, фолоситэ ла резолваря системелор де екуаций линиаре. Екземплул 2. Резолваць системул де екуаций

Резолваре. Ынмулцим тоць термений примей екуаций а системулуй ку 3, яр а доуа екуацие рэмыне нескимбатэ:

69

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Дин прима екуацие а системулуй дат скэдем екуация а доуа а луй:

Ка урмаре а адунэрий алùебриче а доуэ екуаций але системулуй де екуаций дат, ам обцинут о екуацие май симплэ. Ку ачастэ екуацие май симплэ ынлокуим орьче екуацие а системулуй дат, де екземплу а доуа екуацие. Астфел, системул де екуацие инициал есте ынлокуит принтр-ун систем май симплу:

Ачест систем де екуаций поате фи резолват прин метода субституцией. Дин а доуа екуацие афлэм:

Субституинд

ачастэ експресие ын локул луй у дин прима екуацие а системулуй, обцинем:

Рэмыне доар сэ ынлокуим валориле обцинуте але луй х ын формула Дакэ х = 2, атунч

дакэ

атунч

Ын аша мод, ам афлат доуэ солуций але системулуй дат: (2; –3) ши Рэспунс: (2; –3); 70

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

3. Метода интродучерий унор вариабиле ной Ку метода интродучерий уней ной вариабиле де резолваре а екуациилор ку о сингурэ вариабилэ аць фэкут куноштинцэ ын курсул де алùебрэ пентру класа а 8-а. Сенсул ачестей методе ла резолваря системелор де екуаций есте ачелашь, дар дин пункт де ведере техник екзистэ унеле карактеристичь, деспре каре вом ворби ын екземплеле 3 ши 4. Екземплул 3. Резолваць системул де екуаций

Резолваре. Интродучем о ноуэ вариабилэ

Атунч прима

екуацие а системулуй поате фи скрисэ ынтр-о формэ май симплэ: t+

Сэ резолвэм ачастэ екуацие фацэ де t:

Валориле обцинуте сынт рэдэчиниле екуацией черчетате ку вариабила t, деоарече амбеле сатисфак кондицией 2t ≠ 0. Авем

, ашадар, сау

де унде х = 2у, сау

де

унде афлэм, кэ у = 2х. Прин урмаре, утилизынд метода интродучерий уней вариабиле ной, кум с-ар спуне, ам стратификат прима екуацие а системулуй ын доуэ екуаций май симпле: x = 2y; y = 2x. Ын континуаре, фиекаре динтре челе доуэ екуаций симпле, пе рынд требуе черчетате ын системе ку екуация х2 – у2 = 3, деспре каре ну не-ам аминтит пынэ ын презент. Ку алте кувинте, проблема се редуче ла резолваря а доуэ системе де екуаций: 71

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Ашадар, требуе сэ афлэм солуцииле примулуй систем, солуцииле системулуй ал дойля ши де интродус резултателе обцинуте ын рэспунс. Сэ резолвэм примул систем:

Утилизэм метода субституцией. Субституим ын екуация а доуа а системулуй експресия 2у ын локул луй х. Обцинем:

Деоарече х = 2у, атунч респектив гэсим: х1 = 2, х2 = –2. Астфел ам обцинут доуэ солуций але системулуй дат: (2; 1) ши (–2; –1). Сэ резолвэм ал дойля систем:

Ши ын ачест каз вом утилиза метода субституцией: субституим експресия 2х ын локул луй у ын а доуа екуацие а системулуй. Обцинем:

Ачастэ екуацие ну аре солуций, ашадар ши системул де екуаций ну аре солуций. Ын рэспунс интродучем доар солуцииле примулуй систем. Рэспунс: (2; 1); (–2; –1). Метода интродучерий уней вариабиле ной ла резолваря системелор де екуаций ку доуэ вариабиле се апликэ ын доуэ версиунь. Прима версиуне: се интродуче о вариабилэ ноуэ ши ачастэ 72

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

вариабилэ се фолосеште доар ын уна динтре екуацииле системулуй. Астфел ам прочедат ын екземплул 3. А доуа версиуне: се интродук доуэ вариабиле адэугэтоаре ши ачесте вариабиле се апликэ ын амбеле екуаций але системулуй. Астфел вом прочеда ын екземплул урмэтор, ын екземплул 4. Екземплул 4. Резолваць системул де екуаций

Резолваре. Интродучем доуэ вариабиле адэугэтоаре: b=

Астфел обцинем, кэ

Ачаста не пермите сэ скрием системул инициал ын формэ май симплэ, фацэ де вариабилеле ной а ши b:

Апликэм ла резолваря ачестуй систем метода адунэрий алùебриче:

Пентру а = 1, дин екуация a + b = 2 афлэм: 1 + b = 2; b = 1. Ашадар, фацэ де вариабилеле а ши b ам обцинут о солуцие:

Ревенинд ла вариабилеле х ши у, обцинем системул де екуаций:

сау

73

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Апликэм метода адунэрий алùебриче:

Пентру

дин екуация 2х + у = 3 обцинем: y = 3 – 2x = Ашадар, ын ачест каз, фацэ де вариа-

билеле х ши у авем солуция:

Рэспунс:

.

Ынкеем ачест параграф ку о конверсацие теоретикэ скуртэ, дар неспус де сериоасэ. Аць акумулат дежа о оарекаре експериенцэ реферитор ла резолваря диверселор екуаций: линиаре, пэтрате (де градул дой), рационале, ирационале. Куноаштець, кэ идея принчипалэ ла резолваря екуациилор есте де а трече трептат де ла о екуацие ла алта, май симплэ, дар екивалентэ ку екуация датэ. Ын параграфул пречедент ам интродус ноциуня де екиваленцэ а доуэ екуаций ку доуэ вариабиле. Се утилизязэ ачесте ноциунь ши пентру системеле де екуаций.

Д е ф и н и ц и е. Доуэ системе де екуаций ку вариабилеле х ши у се нумеск екиваленте, дакэ амбеле системе ау солуций егале сау амбеле системе де екуаций ну ау солуций. Тоате челе трей методе (субституцией, адунэрий алжебриче ши интродучеря унор вариабиле ной), студияте ын ачест параграф, сынт коректе дин пункт де ведере а трансформэрилор де екиваленцэ. Ку алте кувинте, утилизынд ачесте методе, системул инициал де екуаций се ынлокуеште принтр-ун систем май симплу, дар екивалент ку системул дат. 74

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

§ 7. СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ КА МОДЕЛЕ МАТЕМАТИЧЕ АЛЕ УНОР СИТУАЦИЙ РЕАЛЕ

Куноаштець, кэ ун систем де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле поате серви ка ун модел математик ал уней ситуаций реале. Прима експериенцэ ын резолваря ачестор проблеме аць обцинут ын курсул де алùебрэ пентру класа а 7-я, ын каре ам ынтылнит доар системе де доуэ екуаций линиаре ку доуэ вариабиле. Акум, ной сынтем ын старе сэ резолвэм системе де екуаций май компликате. Екземплул 1. Ынтр-ун чентру районал сынт доуэ чинематографе «Фэклия» ши «Глория», примул – де 400, яр ал дойля – де 600 локурь. Ын сала чинематографулуй «Глория» сынт ку 4 рындурь май мулте декыт ын сала чинематографулуй «Фэклия», унде ын фиекаре рынд сынт ку 5 локурь май мулт. Кыте рындурь сынт ын чинематографул «Фэклия», дакэ се штие, кэ ын фиекаре рынд ал чинематографулуй «Глория» сынт май мулт де 25 локурь? Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Фие х – нумэрул де рындурь ын чинематографул «Фэклия», у – нумэрул де локурь ын фиекаре рынд. Атунч х + 4 – нумэрул де рындурь ын чинематографул «Глория», у + 5 – нумэрул де локурь ын фиекаре рынд. Дакэ куноаштем нумэрул де рындурь ши нумэрул де локурь ын фиекаре рынд, путем афла нумэрул тотал де локурь ын фиекаре чинематограф: ху – нумэрул тотал де локурь ын чинематографул «Фэклия», (х + 4)(у + 5) – нумэрул де локурь ын чинематографул «Глория». Конформ кондицией проблемей ын чинематографул «Фэклия» сынт 400 локурь, деч ху = 400, яр ын чинематографул «Глория» 600 локурь, деч (х + 4)(у + 5) = 600. Ашадар, ам обцинут ун систем де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле: (1) унде х, у – нумере натурале. 75

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Моделул математик есте алкэтуит. Етапа а доуа. Лукрул ку моделул математик. Авем:

(2)

Апликэм метода адунэрий алùебриче: сэ скэдем прима екуацие дин а доуа. Обцинем: (xy + 4y + 5x) – xy = 580 – 400; 4y + 5x = 180. Сэ ынлокуим а доуа екуацие а системулуй (2) прин екуация обцинутэ май сус: (3) Системул (3) есте май симплу декыт системул (2), ел поате фи резолват прин метода субституцией. Експримэм у прин х дин а доуа екуацие а системулуй (3):

Субституим валоаря

луй у ын прима екуацие а системулуй (3):

(ам ымпэрцит амбеле пэрць але екуацией пречеденте ла 5); х1 = 20, х2 = 16. Луынд ын консидерацие, кэ

, авем: дакэ х = 20,

атунч у = 20; дакэ х = 16, атунч у = 25. Ашадар, системул де екуаций (3) ши системул екивалент луй (1) ау доуэ солуций: (20; 20) ши (16; 25). 76

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Базынду-не пе резултателе обцинуте, сэ анализэм доуэ казурь посибиле: ын чинематографул «Фэклия» сынт 20 де рындурь кыте 20 локурь ын фиекаре рынд, сау 16 рындурь кыте 25 локурь ын фиекаре рынд. Дакэ вом луа примул каз, атунч ын чинематографул «Глория» сынт 24 рындурь (конформ кондицией ын чинематографул «Глория» сынт ку 4 рындурь май мулте). Ачест каз ну не конвине, деоарече конформ кондицией ын фиекаре рынд ал чинематографулуй «Глория» сынт май мулт де 25 локурь. Сэ черчетэм ал дойля каз. Ын чинематографул «Фэклия» сынт 16 рындурь кыте 25 локурь ын фиекаре рынд. Атунч ын чинематографул «Глория» сынт 29 де рындурь кыте 30 локурь ын фиекаре. Ачастэ дечизие есте жустэ. Ашадар, динтре челе доуэ солуций але системулуй алеùем уна: х = 16, у = 25. Ын чинематографул «Фэклия» сынт 16 рындурь. Рэспунс: 16 рындурь. Принтре алтеле, ачастэ проблемэ а фост резолватэ ын мануалул де «Алùебра-8», дар прин алт мод: моделул математик ал проблемей а фост о екуацие рационалэ ку о сингурэ вариабилэ. Вэ презентэм унеле скице реферитор ла алкэтуиря ачестуй модел: х – нумэрул де рындурь ын чинематографул «Фэклия», – нумэрул де локурь ын фиекаре рынд дин чинематографул «Фэклия», х + 4 – нумэрул де рындурь ын чинематографул «Глория», – нумэрул де локурь ын фиекаре рынд дин чинематографул «Глория». Астфел, обцинем екуация Ачеста есте моделул математик ал проблемей. Сэ компарэм челе доуэ версиунь але солуционэрий проблемей дате. Прима версиуне купринде ун модел математик май компликат (ун систем де екуаций), унде май дифичил а фост лукрул ку а доуа етапэ а резолвэрий – лукрул ку моделул алкэтуит. Ла рындул сэу, май пуцин дифичилэ а фост прима етапэ, моделул математик а фост алкэтуит май ушор ши май рапид. Ын принчипиу май рентабил есте де а симплифика лукрул ла прима етапэ де резолваре – ла етапа алкэтуирий моделулуй математик. Деачея ын мулте казурь есте май рационал де лукрат ку доуэ вариабиле. 77

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Екземплул 2. Доуэ дебаркадере В ши С сынт ситуате май ын жос пе рыу фацэ де дебаркадерул А, ла дистанцеле де 30 км ши 45 км респектив (везь фиг. 51 дин паù. 49). О баркэ ку мотор а плекат де пе дебаркадерул А, а ажунс ын С, имедиат с-а ынторс ши а ажунс ын В, келтуинд ын друм 4 оре 40 мин. Алтэ датэ, ачеяшь баркэ с-а порнит дин С, а ажунс ын А, имедиат се ынтоарче ши ажунùе ын В, келтуинд ын друм 7 оре. Афлаць витеза проприе а бэрчий ку мотор ши витеза курентулуй де апэ. Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Ачест лукру а фост ефектуат май сус (везь екземплул 1 дин § 5):

Аич х км/орэ – витеза проприе а бэрчий, у км/орэ – витеза курентулуй де апэ. Етапа а доуа. Лукрул ку моделул математик алкэтуит. Ла резолваря системулуй де екуаций обцинут, сэ утилизэм метода интродучерий вариабилелор адэугэтоаре. Фие Атунч системул примеште форма

Резолвынд ачест систем де доуэ екуаций линиаре ку доуэ вариабиле (ефектуаць де сине стэтэтор), обцинем: Ашадар,



унде унде Астфел, рэмыне сэ резолвэм системул де екуаций ку мулт май симплу обцинут

Примим: х = 12, у = 3. 78

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Есте нечесар де афлат витеза бэрчий ку мотор ын апэ стэтэтоаре ши витеза курентулуй де апэ. Прима витезэ а фост нотатэ прин х, ам обцинут х = 12; деч, витеза проприе а бэрчий алкэтуеште 12 км/орэ. Витеза курентулуй де апэ а фост нотатэ прин у, ам обцинут у = 3. Ашадар, витеза курентулуй де апэ есте егалэ ку 3 км/орэ. Рэспунс: 12 км/орэ; 3 км/орэ. Екземплул 3. Ун маестру ку ученикул сэу ау плэнуит сэ ындеплиняскэ ымпреунэ ун лукру тимп де 6 зиле. Ла ынчепут де лукру с-а апукат ученикул, дар ефектуынд 20% с-а ынболнэвит. Рестул лукру л-а ефектуат маеструл. Ка урмаре, лукрул с-а тэрэгэнат тимп де 11 зиле. Ын кыт тимп ар фи ындеплинит ачест лукру маеструл, дакэ ел ва лукра сингур ши ын кыте зиле ва ефектуа ачест лукру ынсушь ученикул, дакэ се штие кэ нумэрул де зиле се експримэ принтр-ун нумэр ынтрег? Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Дакэ есте ворба деспре ефектуаря унуй оарекаре лукру ши ну есте карактеризат дин пункт де ведере кантитатив (ну се спуне кыте пьесе де ефектуат, кыць метри кубь де пэмынт требуе де транспортат ш.а.м.д.), волумул де мункэ есте консидерат егал ку 1, яр о парте а лукрэрилор се експримэ принтр-о фракцие унитарэ. Фие х – нумэрул де зиле нечесаре маеструлуй пентру а ефектуа сингур тоате лукрэриле, яр у – нумэрул де зиле нечесаре ученикулуй. Дакэ вом ымпэрци волумул лукрэрилор (адикэ 1) ла нумэрул де зиле, нечесаре пентру а ефектуа тоате лукрэриле, атунч вом афла че парте де лукру се ефектуязэ ынтр-о зи. Деч, – партя лукрэрилор, каре ефектуязэ маеструл ын 1 зи, – партя лукрэрилор, каре ефектуязэ ученикул ын 1 зи. Конформ кондицией проблемей, лукрынд ымпреунэ, маеструл ши ученикул, ефектуязэ тот лукрул тимп де 6 зиле. Партя де лукру а маеструлуй ын 6 зиле се експримэ прин формула

=

Партя де лукру а ученикулуй ын 6 зиле се експримэ прин формула

=

. 79

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Луынд ын консидераре фаптул, кэ ей ефектуязэ ымпреунэ тот лукрул (адикэ 1), алкэтуим екуация:

Дин кондиция проблемей, лукрынд сингур, ученикул а ефектуат 20%, адикэ

дин тот лукрул. Ашадар, пентру а ындеплини

∙ y зиле. Апой маеструл а ефек-

тот лукрул, ученикул ва келтуи туат рестул лукрулуй, адикэ

дин ачест лукру, келтуинд

зиле. Деоарече лукрул с-а тэрэгэнат тимп де 11 зиле, алкэтуим екуация:

Астфел, ам алкэтуит моделул математик ал проблемей – системул де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле:

унде х, у – сынт нумере ынтреùь. Етапа а доуа. Лукрул ку моделул алкэтуит. Сэ утилизэм метода субституцией. Дин а доуа екуацие, експримэм у прин х: у = 55 – 4х. Субституим ачастэ валоаре а луй у ын прима екуацие а системулуй: (4) Резолвынд ачастэ екуацие рационалэ, сукчесив обцинем:

80

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

Амбеле валорь сатисфак кондиция х(55 – 4х) ≠ 0 ши сынт солуцииле екуацией (4). Сэ афлэм валориле кореспунзэтоаре але луй у. Пентру ачаста утилизэм релация у = 55 – 4х. Дакэ х = 10, атунч у = 15; дакэ х = атунч у = 22. Ашадар, системул де екуаций алкэтуит аре доуэ солуций: (10; 15) ши Конформ кондицией проблемей, нумэрул де зиле нечесаре маеструлуй ши ученикулуй пентру а ефектуа тот лукрул, се експримэ принтр-ун нумэр ынтрег. Астфел, перекя де нумере

ну

сатисфаче кондиция проблемей. Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Рэспунсул есте: х = 10, у = 15. Рэспунс: 10 зиле; 15 зиле. Обсервацие. Фиць атенць ла фаптул, кэ ла резолваря системелор де екуаций, алкэтуите ын екземплеле черчетате, ной ам апликат тоате методеле деспре каре ам ворбит ын параграфул пречедент: метода субституций, адунэрий алӂебриче ши метода интродучерий унор вариабиле ной.

81

2.

СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ

КОНКЛУЗИЙ æЕНЕРАЛЕ • Ын ачест параграф аць фэкут куноштинцэ ку ун модел математик ноу, каре де мулте орь сервеште дрепт о дескриере есенциалэ а прочеселор реале – системул де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле. • Аць фэкут куноштинцэ ку ноциунь математиче ной: екуацие (инекуацие) ку доуэ вариабиле; резолваря екуацией (инекуацией) ку доуэ вариабиле; системе де доуэ екуаций (инекуаций) ку доуэ вариабиле; резолваря системелор де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле; екуацииле ку доуэ вариабиле екиваленте, системеле де екуаций екиваленте. • Ам анализат диферите методе де резолваре а системелор де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле: метода графикэ; метода субституцией; метода адунэрий алùебриче; метода интродучерий вариабилелор ной. • Ам атрас атенция асупра фаптулуй, кэ метода де интродучере а ной вариабиле ла резолваря системелор де доуэ екуаций ку доуэ вариабиле се апликэ ын доуэ версиунь. Прима версиуне: се интродуче о вариабилэ ноуэ ши се утилизязэ ачастэ вариабилэ доар ынтр-о сингурэ екуацие а системулуй. Версиуня а доуа: се интродук доуэ вариабиле ной ши утилизэм ачесте вариабиле ын ачелашь тимп, ын амбеле екуаций але системулуй. • Ам демонстрат, кэ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 – есте екуация чиркумферинцей, конструите ын планул де коордонате хОу, ку чентрул ын пунктул (a; b) ши раза r. Ын партикулар, x2 + y2 = r2 – екуация чиркумферинцей, конструите ын планул де коордонате хОу, ку чентрул ын ориùиня системулуй де коордонате ши раза r.

82

КАПИТОЛУЛ

3

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ § 8. Дефиниция функцией нумериче. Домениул де дефиницие, домениул де валорь а функцией § 9. Методеле де дефинире а функциилор § 10. Проприетэцииле функцией § 11. Функций паре ши импаре § 12. Функцииле y = xn(n ∈ N), проприетэцииле ши графичеле лор § 13. Функцииле y = x–n(n ∈ N), проприетэцииле ши графичеле лор , проприетэцииле ши § 14. Функция графикул ей Конклузий æенерале

§ 8. Дефиниция функцией нумериче. Домениул де дефиницие, домениул де валорь аЛЕ функцией

Ын дой ань де студиере а курсулуй школар де алùебрэ, в-аць обишнуит ку фаптул кэ терменул «функцие» есте фолосит перманент. Ачест лукру есте де ынцелес: деоарече математика студиязэ моделе математиче, яр челе май мулте динтре ачесте моделе сынт легате де функций. Дар ын математикэ есте стабилитэ о леùе: орьче термен, каре се фолосеште ын математикэ нечеситэ о дефиницие пречисэ. Тимп де дой ань де студиере а алùебрей, ам акумулат о мулциме де екземпле, каре конфирмэ ачестэ леùе. Астфел, ын класа а 7-я ам дефинит терменул де «путере ку експонент натурал»: «прин аn, унде n = 2, 3, 4, …, се субынцелеùе продусул а n факторь, фиекаре динтре каре есте егал ку а; а1 есте ынсэшь нумэрул а». Ын класа а 8-а ам интродус терменул «рэдэчина пэтратэ динтр-ун нумэр ненегатив», оферинду-й о дефини– есте ун астфел де нумэр ненегатив, пэтратул цие пречисэ: « кэруя есте егал ку а» ш.а.м.д. 83

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Ын ачелашь тимп, ау фост казурь кынд ун термен а фост интродус ши практик фолосит, фэрэ а формула о дефиницие пречисэ, лимитынду-не доар ку о интерпретаре апроксимативэ. Ын спечиал, астфел ам прочедат ши ку терменул де «функцие». Де че оаре, ной ын класа а 7-я кынд ам фолосит ноциуня де функцие, ну ам формулат о дефиницие пречисэ ши де че ши ын класа а 8-а ну ам фэкут ачест лукру? Фаптул констэ ын ачея, кэ ын история дезволтэрий математичий сынт казурь кынд омениря пе о лунгэ дуратэ де тимп ши ын мод актив а фолосит мулте ноциунь ка ун инструмент де лукру, фэрэ сэ се гындяскэ ла о дефинире а лор. Доар акумулынд о експериенцэ нечесарэ ын лукру ку унеле сау алте ноциунь, математичиений ау ынчепут сэ симтэ о нечеситате де а дефини ачесте ноциунь. Десигур, ну ынтотдяуна примеле ынчеркэрь де дефинире а ноциунилор с-ау доведит а фи ку сукчес, пе паркурс ачесте дефиниций ау фост комплектате ши кларификате. Аша а фост ши ку ноциуня де функцие. Сэ анализэм експериенцеле ноастре реферитор ла ноциуня де «функцие». Ын класа а 7-я ной ам интродус терменул «функцие линиарэ», унде ам констатат кэ есте ворба деспре о екуацие ку доуэ вариабиле де типул y = kx + m , консидерынд вариабилеле х ши у ну егале ын дрептурь: х – вариабилэ индепентентэ, у – вариабилэ депендентэ. Апой с-а пус ынтребаря: оаре ну се ынтылнеск, ла дескриеря прочеселор реале моделе математиче де ачест тип, дар астфел, ынкыт у се експримэ прин х ну прин формула y = kx + m, дар принтр-о алтэ формулэ? Рэспунсул а фост обцинут имедиат: да, екзистэ. Ын класа а 7-я ной ам студият функцииле у = х2, у = –х2, яр ын класа а 8-а – функцииле y = kx2, y = , y = ax2 + bx + c, y = , y = |x|. Трептат, ам ынчепут сэ ынцелеùем кэ студиинд ун оарекаре прочес реал, де обичей, се акордэ атенцие ла доуэ мэримь але вариабилелор импликате ын ачест прочес (ын прочеселе май компликате сынт импликате май мулт де доуэ мэримь, дар ной пынэ ын презент ну ам анализат астфел де прочесе). О мэриме се скимбэ, кум ам спуне, де ла сине, индепендент (о астфел де вариабилэ ын челе май десе казурь се нотязэ прин х), яр чялалтэ вариабилэ примеште валорь ын депенденцэ де валоаря вариабилей х (о астфел де вариабилэ се нотязэ прин у). Моделул математик ал унуй прочес реал ши есте о ынреùистраре скрисэ ын лимбажул математик 84

3.



ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 68

Фиг. 69

ал депенденцей луй у фацэ де х: y = f(x). Ам нумит астфел де модел математик – функцие. Пентру моделеле математиче де типул у = f(x) де обичей се индикэ ши мулцимя валорилор вариабилей индепенденте х. Де екземплу, кынд ам студият антериор функция ам спус кэ x 0 (графикул функцией есте репрезентат ын фиг. 68). Ла рындул сэу, ной ам студият ши функция унде x ∈ [0; 4] (фиг. 69). Ачестя сынт доуэ функций диферите. Ын фоарте мулте казурь есте конвенабил де фолосит ануме ун астфел де модел математик y = f (x), ын спечиал атунч, кынд прочесул реал есте дефинит де формуле пе диферите интервале але вариабилей индепенденте. О астфел де функцие есте: y = f (x), унде дакэ дакэ Графикул функцией есте репрезентат ын фиг. 70. Кум се конструеште ачест график? Ын примул рынд, конструим парабола 0 (партя стынгэ а парабоу = х2 ши луэм ачя парте а ей, унде x лей), апой конструим дряпта у = 2х ши луэм партя пентру x > 0. Ши, ын сфыршит, комбинэм амбеле пэрць, адикэ конструим порциуниле обцинуте ын унул ши ачелашь систем де коордонате. 85

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 70 Ной ам черчетат астфел де функций пе порциунь ын класеле а 7-я ши а 8-а. Ши тотушь, че есте функция? Анализэриле ефектуате май сус ши експериенца ын домениул студиерий функциилор конкрете анализате ын класеле а 7-я ши а 8-а пермит сэ индивидуализэм доуэ моменте есенциале. 1. Ынреùистраря y = f (x) суùерязэ о регулэ (се май спуне «регула f»), дакэ куноаштем о валоаре конкретэ а вариабилей индепенденте х, путем афла валоаря кореспунзэтоаре а вариабилей у. 2. Се индикэ мулцимя нумерикэ Х (ын челе май десе казурь ун интервал нумерик), де унде се яу валориле вариабилей индепенденте х. Акум путем формула уна динтре принчипалеле дефиниций дин курсул школар де алùебрэ (се поате спуне ши дин тоатэ математика). Дефиницие 1. Дакэ сынт дате мулцимя нумерикэ Х ши регула f , каре пуне ын кореспонденцэ фиекэруй елемент х дин мулцимя Х ун нумэр детерминат у, се спуне, кэ се дефинеште функция y = f (x) ку домениул де дефиницие Х; се скрие y = f (x), x ∈ X. Вариабила х се нумеште вариабилэ индепендентэ сау аргумент, яр вариабила у – вариабилэ депендентэ. 86

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Обсервацие. Ын вяца де тоате зилеле се спуне: «Че функцие ындеплинеск еу?» сау «Каре сынт функцииле респонсабиле?», пунынд астфел ынтребаря: «каре сынт акциуниле меле» сау «че требуе сэ фак, кум сэ акционез». Ын вяца реалэ кувынтул «функцие» ынсямнэ «акциуне» сау «регуль де акциуне». Фиць атенць, кэ ачелашь сенс аре ши терменул математик «функцие», интродус май сус ын дефиниция 1. Пентру домениул де дефиницие а функцией y = f(x), x ∈ X се фолосеште нотаря D(f) (дин латинэ domain – домениу). Де екземплу: пентру функция

x

0 (фиг. 68) авем: D(f) = [0; +∞);

пентру функция

x ∈ [0; 4] (фиг. 69) авем: D(f) = [0; 4];

пентру функция y = f(x) (фиг.70) авем: D(f) = (–∞; +∞). Дакэ f(x) – есте о експресие алùебрикэ ши мулцимя Х коинчиде ку домениул де дефиницие а ачестей експресий, атунч ын лок де y = f (x), x ∈ X се фолосеште о дескриере май симпэ y = f(x), деши ачастэ ынреùистраре ну кореспунде ку дефиниция 1. Дар математичиений сынт модешть ын тоате: ын фолосиря кувинтелор ла формулэрь ши ла дескриеря афирмациилор математиче. Сублинием ынкэ о датэ, кэ ну се поате ворби деспре функция y = f(x) фэрэ а индика домениул ей де дефиницие, каре се дефинеште евидент сау се субынцелеùе – ын казул, дакэ домениул де дефиницие а функцией y = f(x) коинчиде ку домениул де дефиницие а експресией f(x) (ун астфел де домениу се нумеште натурал). Екземплул 1. Афлаць домениул де дефиницие а функцией:

Резолваре. а) Деоарече домениул де дефиницие а функцией ну есте индикат, се субынцелеùе, кэ ел коинчиде ку домениул де дефиницие а експресией Астфел, есте ворба деспре кэутаря домениулуй натурал де дефинире а функцией (ла фел ши ын екземпле б) ши в)). Експресия аре сенс ын казул кынд h(x) 0. Астфел, проблема се редуче ла резолваря инекуацией пэтрате x2 – 6x + 8 0. 87

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг.71 Афлынд рэдэчиниле триномулуй пэтрат x 2 – 6x + 8 авем: х 1 = 2; х2 = 4. Скематик конструим парабола у = x2 – 6x + 8 (фиг. 71). Селектэм интервалеле, унде графикул есте репрезентат май сус де акса х: x 2; x 4. Ашадар, D(f) = (–∞; 2] ∪ [4; +∞) (вэ аминтим, кэ ∪ – семнул де интерсекцие а мулцимилор, везь § 3). б) Функция

се дефинеште ын орьче пункт х,

ын афарэ де пунктеле 2 ши 4 – пентру ачесте валорь але луй х нумиторул се трансформэ ын 0. Рэспунсул се поате де скрис астфел: D(f) = (–∞; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; +∞). Ку тоате ачестя, ын практикэ се фолосеште ши о дескриере май прескуртатэ: D(f): x ≠ 2; x ≠ 4. в) Аич проблема се редуче ла резолваря инекуацией x2 – 6x + 8 > 0 Утилизынд моделул ùеометрик, репрезентат ын фиг.71 (ку кондиция, кэ ексклудем пунктеле х = 2 ши х = 4), обцинем: D(f) = (–∞; 2) ∪ (4; +∞)

Дефиницие 2. Мулцимя тутурор валорилор функцией y = f (x),

x ∈ X се нумеште домениул де валорь але функцией ши се нотязэ E(f) (дин лат. еqual – егал).

Дефиницие 3. Графикул функцией y = f(x), x ∈ X се нумеште мулцимя F де пункте (х; у) але планулуй де коордонате хОу: F = {(x; y) | x ∈ X, y = f(x)}. Дакэ куноаштем графикул функцией, атунч фоарте симплу се поате де афлат домениул де валорь але ачестей функций. Пентру ачаста есте суфичиент де проектат ачест график пе акса

88

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

ордонателор. Мулцимя де нумере, моделул ùеометрик каре се обцине пе акса ордонателор ын резултатул проекцией есте E(f). Де екземплу: пентру функция пентру функция

авем: E(f) = [0; +∞) (фиг.68); , x ∈ [0; 4] авем: E(f) = [0; 2] (фиг.69);

пентру функция y = f(x) (фиг.70) авем: E(f) = [0; +∞). Екземплул 2. Се дэ функция y = f(x), унде дакэ дакэ дакэ

а) Афлаць D(f); б) калкулаць f(–2), f(0), f(2), f(3,2), f(4), f(5); в) афлаць E(f). Резолваре. а) Домениул де дефиницие а функцией купринде трей интервале: (–∞; 0], (0; 2] ши (2; 4]. Интерсекция лор есте интервалул (–∞; 4]. Ашадар, D(f) = (–∞; 4]. б) Валоаря x = –2 сатисфаче кондиция x 0, кореспунзэтор, f(–2) се ва калкула дупэ формула дин примул рынд ал функцией дате: f(x) = –x2; ашадар, f(–2) = –(–2)2 = –4. Валоаря x = 0 сатисфаче кондиция x 0, кореспунзэтор, f(0) се ва калкула дупэ формула f(x) = –x2; f(0) = –02 = 0. Валоаря х = 2 сатисфаче кондиция 0 < x 2, кореспунзэтор, f(2) се ва калкула дупэ формула дин ал дойля рынд ал функцией: f(x) = x + 1; ашадар, f(2) = 2 + 1 = 3. Валоаря х = 3,2 сатисфаче кондиция 2 < x 4, кореспунзэтор, f(3,2) се ва калкула дупэ формула дин рындул ал трейля ал функцией дате: f(х) = 3; астфел, f(3,2) = 3. Валоаря х = 4 сатисфаче кондиция 2 < x 4, кореспунзэтор, f(4) се ва калкула дупэ формула: f(х) = 3; астфел, f(4) = 3. Валоаря х = 5 ну сатисфаче нич уна дин челе трей кондиций де дефинире але функцией, ашадар f(5) ын ачест каз ну се поате де калкулат, пунктул х = 5 ну апарцине домениулуй де дефиницие а функцией. Нечеситатя де а калкула f(5) есте инкоректэ. 89

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 72 Фиг. 73 в) Домениул (се фолосеште ши терменул «мулцимя») де валорь але функцией, се поате де афлат утилизынд графикул функцией. Сэ конструим графикул функцией, каре констэ дин трей «пэрць». Ын примул рынд конструим парабола у = –х2, пе интервалул (–∞; 0] (фиг. 72). Апой конструим дряпта у = х + 1 пе интервалул (0; 2] (фиг. 73). Ын континуаре конструим дряпта у = 3 пе интервалул (2; 4] (фиг. 74). Ши ын сфыршит, конструим тоате челе трей «порциунь» ын унул ши ачелашь систем де коордонате – графикул функцией y = f(x) (фиг. 75).

Фиг. 74 Фиг. 75 90

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Ашадар, домениул де валорь але функцией есте компусэ дин доуэ интервале: раза (–∞; 0] – алкэтуитэ дин ордонателе пунктелор параболей у = –х2, x 0 ши семиинтервалул (1; 3] – компус дин ордонателе пунктелор дрептей у = х + 1, 0 < x 2. Деч, E(f) = (–∞; 0] ∪ (1; 3].

§ 9. МОДУРИЛЕ ДЕ ДЕФИНИРЕ А ФУНКЦИИЛОР

Пентру а дефини о функцие, есте нечесар де индикат р е г у л а каре пермите, дупэ алеùеря алеатоаре а валорилор вариабилей индепенденте дин домениулуй де дефиницие а ей, де калкулат валориле кореспунзэтоаре але вариабилей депенденте. Ын челе май десе казурь ачастэ регулэ есте дефинитэ принтр-о формулэ сау де май мулте формуле – о астфел де методэ де дефинире а функцией се нумеште метода аналитикэ. Тоате функцииле черчетате ын § 8, ау фост дефините аналитик. Сынт куноскуте ши алте модурь де дефинире а функциилор, деспре ачесте модурь вом ворби ын ачест параграф. Фие F – о линие ын планул де коордонате хОу. Проектынд ачастэ курбэ пе акса абсчиселор, обцинем, де екземплу, сегментул [a; b] (фиг. 76). Принтр-ун пункт арбитрар х, че апарцине сегментулуй [a; b], сэ дучем о дряптэ паралелэ аксей ордонателор. Вом консидера, кэ орьче астфел де дряптэ ва интерсекта линия F нумай ынтр-ун сингур пункт – ын фигура 76 пунктул кореспунзэтор есте нотат прин М. Ордоната пунктулуй М есте нумэрул f(x), каре кореспунде валорий алесе х. Астфел, пе сегментул [a; b] есте дефинитэ функция y = f(x). Ачастэ методэ де дефинире а функцией се нумеште метода графикэ. Дакэ функция а фост дефинитэ аналитик ши ной ам реушит сэ конструим графикул ей, атунч путем спуне кэ ам реализат тречеря де ла метода аналитикэ де дефинире а функцией ла метода графикэ. Тречеря инверсэ ну тот тимпул поате фи реализатэ. Ачастэ проблемэ есте дестул де дефичилэ, дар интересантэ. Ну фиекаре линие ын планул де коордонате поате фи консидератэ ка графикул уней функций. Де екземплу, чиркумферинца, дефинитэ прин екуация х2 + у2 = 9 (фиг. 77), ну поате фи нумитэ графикул уней функций. Ынтр-адевэр, проектынд чиркумферинца пе акса х, обцинем сегментул [–3; 3]. Орьче дряптэ х = а, унде |a| < 3, интерсектязэ ачастэ чиркумферинцэ ын доуэ пункте, 91

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 76 Фиг. 77 яр пентру а дефини о функцие, дряпта х = а требуе сэ интерсектезе линия F доар ынтр-ун сингур пункт. Ын ачелашь тимп, дакэ вом тэя ачастэ чиркумферинцэ ын доуэ пэрць – семичиркумферинца де сус (фиг. 78) ши семичиркумферинца де жос (фиг. 79), атунч фиекаре динтре семичиркумферинцеле обцинуте пот фи привите ка графичеле унор оарекаре функций. Дин екуация х2 + у2 = 9 афлэм: у2 = 9 – х2; Семичиркумферинца де сус а

Фиг. 78 Фиг. 79 92

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

чиркумферинцей х2 + у2 = 9 есте графикул функцией (везь фиг.78), яр семичиркумферинца де жос а чиркумферинцей х2 + у2 = 9 есте графикул функцией (везь фиг.79). Ачест екземплу не пермите сэ атраùем атенция ла ун лукру импортант. Урмэриць графикул функцией (фиг.78). Есте евидент, кэ: D(f) = [–3; 3], уч.м.маре= 3, яр уч.м.микэ= 0, функция креште пе сегментул [–3; 0] ши дескреште пе сегментул [0; 3]. Яр дакэ се пуне ынтребаря де афлат домениул де дефиницие а функ, есте нечесар де прочедат кум цией дескрисе аналитик ам прочедат ын § 8 – сэ резолвэм инекуация 9 – x2 0. Унеле греутэць путяу фи ынтылните ши ла детерминаря челей май марь ши а челей май мичь валорь але функцией, ши ла черчетаря функцией ла монотоние. Модуриле аналитик ши график де дефинире а функцией сынт буне ын фелул сэу, деачея, де обичей, ын мажоритатя казурилор ла дефиниря функцией се апликэ амбеле модурь. Ын практикэ, ын афарэ де ачесте доуэ методе аналитикэ ши графикэ, се фолосеште ши метода табеларэ де дефинире а функцией. Се конструеште ун табел, унде сынт индикате валориле функцией (ын унеле казурь: екзакте сау апроксимативе) пентру мулцимя валорилор аргументулуй. Ка екземпле де дефинире а функцией прин метода табеларэ пот серви табелеле нумерелор пэтрате, кубуриле нумерелор, табелеле рэдэчинилор пэтрате ш.а. Ын мулте казурь метода табеларэ де дефинире а функцией есте фоарте комодэ. Еа пермите де а гэси валориле функцией пентру валориле аргументулуй индикате ын табел фэрэ а ефектуа унеле калкуле суплиментаре. Методеле аналитикэ, графикэ ши табеларэ – сынт челе май популаре ши дес фолосите методе. Ын математикэ сынт куноскуте ши алте методе де дефинире а функциилор, дар ной вом фаче куноштинцэ нумай ку о методэ, каре се фолосеште ын унеле казурь дифичиле. Есте ворба деспре метода вербалэ, кынд регула де дефинире а функцией се дескрие вербал (прин кувинте). Ятэ кытева екземпле. Екземплул 1. Функция y = f(x) есте дефинитэ пе мулцимя 0 ый нумерелор ненегативе, дупэ регула: фиекэруй нумэр x кореспунде прима чифрэ дупэ виргулэ дин дескриеря зечималэ а нумэрулуй х. 93

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Дакэ x = 2,534, атунч f(x) = 5 (прима чифрэ дупэ виргулэ есте чифра 5); дакэ x = 13,002, атунч f(x) = 0; дакэ x = рече

, атунч, деоа-

= 0,6666..., авем кэ f(x) = 6. Атунч, ку че есте егалэ валоа-

ря f(15)? Валоаря функцией ын ачест каз есте егалэ ку 0, деоарече 15 = 15,000…, обсервэм, кэ прима чифрэ дупэ виргулэ есте 0 (есте адевэратэ ши егалитатя 15 = 14,999…, дар, ка регулэ, фракция зечималэ периодикэ инфинитэ ку периоада 9 ну се анализязэ). Орьче нумэр ненегатив х поате фи скрис принтр-о фракцие зечималэ (финитэ сау инфинитэ), астфел, фиекэрей валорь х се поате пуне ын кореспонденцэ валоаря примей чифре дупэ виргулэ, ашадар, путем ворби деспре о функцие. Пентру ачастэ функцие, авем: D(f) = [0; ∞), E(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Екземплул 2. Функция y = f(x) есте дефинитэ пе мулцимя тутурор нумерелор реале дупэ регула: фиекэруй нумэр х се пуне ын кореспонденцэ чел май маре нумэр ынтрег, каре ну депэшеште х. Ку алте кувинте, функция y = f(x) есте дефинитэ де урмэтоареле кондиций: а) f(x) – ун нумэр ынтрег; б) f(x) x (конформ кондицией f(x) ну депэшеште х); в) f(x) + 1 > x (конформ кондицией f(x) – чел май маре нумэр ынтрег, каре ну депэшеште нумэрул х, астфел, f(x) + 1 есте май маре декыт х). Дакэ х = 2,534, атунч f(x) = 2, деоарече, ын примул рынд, 2 есте нумэр ынтрег, ын ал дойля рынд 2 < 2,534 ши ын ал трейля рынд, урмэторул нумэр ынтрег 3 есте май маре декыт 2,534. Дакэ х = 47, атунч f(x) = 47, деоарече, ын примул рынд, 47 – нумэр ынтрег, ын ал дойля рынд 47 47 (май пречис, 47 = 47) ши, ын ал трейля рынд, урмэторул нумэр ынтрег 48 есте май маре декыт 47. Ку че есте егалэ валоаря f(–0,01)? Еа есте егалэ ку –1. Верификаць: –1 – чел май маре нумэр ынтрег, каре ну депэшеште нумэрул –0,01. Домениул де дефиницие а ачестей функций D(f) = (–∞; +∞), яр E(f) = Z (мулцимя нумерелор ынтреùь). Функция черчетатэ ын екземплул 2 се нумеште партя ынтрягэ а нумэрулуй; пентру партя ынтрягэ а нумэрулуй се фолосеште нотация [x]. Де екземплу, [2,354] = 2, [47] = 47, [–0,01] = –1. Графикул функцией y = [x] аратэ фоарте чудат (фиг. 80). Функцииле ын мулте казурь сервеск ка моделе математиче але прочеселор реале. Де екземплу, орьче прочес униформ, каре 94

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 80 Фиг. 81 импликэ доуэ вариабиле х ши у, дескрисэ де формула y = kx + m, унде k, m – нумере реале: есте о функцие линиарэ. Леùя кэдерий аич тимпул t – вариабилэ либере есте дескрисэ де функция индепендентэ, яр вариабилэ депендентэ есте s – дистанца паркурсэ. Мулте екземпле куноаштем ши дин курсул школар де физикэ. Вэ презентэм трей екземпле асемэнэтоаре. 1. Пресупунем, кэ о колоние де органисме вий се афлэ ынтр-ун медиу ку кондиций фаворабиле: супрафаца окупатэ де колоние ши ресурселе алиментаре сынт нелимитате, яр анималеле рэпитоаре, каре се хрэнеск ку органисмеле дин ачастэ колоние – липсеск, дин ачастэ каузэ наталитатя есте май маре декыт морталитатя. Ын астфел де кондиций, де обичей, се спуне кэ витеза де скимбаре а популацией колонией есте пропорционалэ ку нумэрул де популацие (ку кыт май мулте органисме сынт, ку атыт ши витеза есте май маре; k – коефичиентул пропорционалитэций). Математичиений ау констатат, кэ нумэрул органисмелор колонией есте експриматэ прин формула y = y0ekt , унде у0 – популация колонией ын моментул де тимп t = 0, яр e ≈ 2,7 (нумэрул е жоакэ ун рол импортант ын математикэ, деспре ачест нумэр вом ворби ын класа а 11-я). Ын фиг. 81 скематик есте репрезентат графикул функцией y = y0ekt (прин линие пунктатэ есте репрезентатэ партя графикулуй пентру t < 0). Апроксиматив дупэ ачеяшь леùе се скимбэ ши валоаря депозителор банкаре, ачастэ леùе се нумеште леùя крештерий експоненциале. 2. Ла дескомпунеря радиоактивэ, витеза моментанэ а дескомпунерий ын моментул де тимп t есте пропорционалэ ку кантитатя субстанцей. 95

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Леùя дескомпунерий радиоактиве се експримэ прин формула унде m0 – маса субстанцей ын моментул де тимп t = 0, T – тимпул, ын каре маса субстанцей се микшорязэ де доуэ орь (аша нумита периоада де семидескомпунере). Ын фиг. 82 скематик есте репрезентат графикул функцией

(прин ли-

ние пунктэ есте репрезентатэ партя графикулуй пентру t < 0). Амбеле графиче, репрезентате ын фиг. 81 ши 82 (прин линий неынтрерупте ши пунктате), се нумеск експоненте. Май деталият вом ворби деспре «ексонентэ» ын класеле супериоаре. 3. Ынтр-о одае, унде температура аерулуй есте де 20oС, а фост адус ун чайник ку апэ клокотитэ. Ын унеле кондиций се поате де пресупус, кэ витеза де скимбаре а корпулуй ынкэлзит есте пропорциоанлэ ку диференца динтре температура корпулуй ши температура медиулуй ынконжурэтор. Температура Т а корпулуй ын моментул де тимп t се експримэ прин формула T = T1 + (T0 – T1)e–kt, унде T1 – температура медиулуй ынкожурэтор, яр T0 – температура корпулуй ын моментул де тимп t = 0. Ын казул ку чайникул T1 = 20o, яр T0 = 100o. Астфел, T = 20 + 80e–kt. Графикул ачестей функций, скематик есте репрезентат ын фиг. 83. Дряпта Т = 20 есте о асимптотэ а графикулуй. Ачест график илустрязэ фаптул, кэ ку тимпул температура чайникулуй се апропие трептат де температура медиулуй ынконжурэтор. Прочеселе де ачест ùен се нумеск прочесе де егаларе.

Фиг. 82 Фиг. 83 96

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

§ 10. ПРОПРИЕТЭЦИИЛЕ ФУНКЦИЕЙ Ын класеле а 7 ши 8-а аць студият унеле проприетэць але функцией. Сэ адунэм ачесте проприетэць ынтр-ун сингур параграф, не вом аминти сенсул ùеометрик ал лор ши вом стабили ординя де енумераре але проприетэцилор функцией ла читиря графикулуй функцией. Атраùець атенцие ла фаптул, кэ ын тоате дефиницииле фигурязэ мулцимя нумерикэ Х – субмулциме а домениулуй де дефиницие а функцией: X ⊂ D(f). Ын практикэ, ын челе май десе казурь, Х – есте ун интервал нумерик (сегмент, интервал, разэ ш.а.м.д.).

Дефиницие 1. Функция y = f(x) се нумеште крескэтоаре пе мулцимя X ⊂ D(f), дакэ пентру орьче доуэ валорь x1 ши x2 дин мулцимя Х, астфел ынкыт x1 < x2, резултэ инегалитатя f(x1) < f(x2). Дефиницие 2. Функция y = f(x) се нумеште дескрескэтоаре пе мулцимя X ⊂ D(f), дакэ пентру орьче доуэ валорь x1 ши x2 дин мулцимя Х, астфел ынкыт x1 < x2, резултэ инегалитатя f(x1) > f(x2). Ку алте кувинте, функция креште, дакэ валорий май марь а аргументулуй ый кореспунде валоаря май маре а функцией; функция дескреште, дакэ валорий май марь а аргументулуй ый кореспунде валоаря май микэ а функцией. Ын класеле а 7 ши 8 ам фолосит урмэтоареле интерпретэрь ùеометриче але ноциуний де крештере ши дескрештере а функцией: депласынду-не де-а лунгул графикулуй функцией крескэтоаре де ла стынга спре дряпта, кум ар фи сэ зичем кэ «не ридикэм ын сус» (фиг. 84); депласынду-не де-а лунгул графикулуй функцией дескрескэтоаре де ла стынга спре дряпта, кум ар фи сэ зичем кэ «не коборым ын жос» (фиг. 85). Практик, терменул «функция крескэтоаре» ши «функция дескрескэтоаре» есте ынлокуит прин функцие монотонэ, яр черчетаря функцией ла крештере сау дескрештере се нумеште черчетаря функцией ла монотоние. Дакэ функция креште (сау дескреште) пе домениул реал де дефиницие а ей, се спуне, кэ функция есте крескэтоаре (сау дескрескэтоаре), фэрэ а индика мулцимя нумерикэ Х. 97

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 84 Фиг. 85 Екземплул 1. Черчетаць ла монотоние функция: y = 5 – 2x. Р е з о л в а р е . Интродучем нотаря: f(x) = 5 – 2x. Луэм доуэ валорь арбитраре але аргументулуй х1 ши х2, ши фие х1< х2. Атунч, конформ проприетэцилор инегалитэцилор нумериче (студияте ын класа а 8-а), авем: –2х1 > –2х2; 5 – 2х1 > 5 – 2х2. Ултима инегалитате индикэ, кэ f(х1) > f(х2). Ашадар, дин х1< х2 резултэ инегалитатя f(х1) > f(х2), деч функция датэ дескреште пе ынтряга аксэ нумерикэ.

Дефиницие 3. Функция y = f(x) се нумеште мэрæинитэ де жос пе мулцимя X ⊂ D(f), дакэ е к з и с т э ун астфел де нумэр m, унде пентру орьче валорь але луй x ∈ X есте адевэратэ инегалитатя f(x) > m. Дефиницие 4. Функция y = f(x) се нумеште мэрæинитэ де сус пе мулцимя X ⊂ D(f), дакэ екзистэ ун астфел де нумэр М, унде пентру орьче валорь але луй x ∈ X есте адевэратэ инегалитатя f(x) < M. 98

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 86 Фиг. 87 Дакэ ну есте индикатэ мулцимя Х, атунч путем спуне, кэ есте ворба деспре мэрùиниря функцией де жос сау де сус пе ынтрегул домениу де дефиницие а функцией. Дакэ функция есте мэрùинитэ де жос ши де сус пе ынтрегул домениу де дефиницие, атунч функция се нумеште мэрæинитэ. Мэрùиниря функцией ушор поате фи чититэ дупэ графикул ей: дакэ функция есте мэрùинитэ де жос, атунч графикул ей есте репрезентат май сус фацэ де о оарекаре дряптэ оризонталэ y = m (фиг. 86); дакэ функция есте мэрùинитэ де сус, атунч графикул ей есте репрезентат май жос фацэ де о дряптэ оризонталэ y = M (фиг. 87). Екземплул 2. Черчетаць дакэ есте мэрùинитэ функция Резолваре. Есте евидент, кэ есте адевэратэ инегалитатя (конформ дефиницией рэдэчиний пэтрате Астфел, резултэ кэ функция есте мэрùинитэ де жос (пе домениул де дефиницие: сегментул [–3; 3]). Пе де алтэ парте, пентру орьче x ∈ [–3; 3] есте адевэратэ инегалитатя 9 – x2 9, деч Чея че ынсямнэ, кэ функция есте мэрùинитэ де сус. 99

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Урмэриць графикул функцией дате (везь фиг.78, паù. 92). Ашадар, функция датэ есте мэрùинитэ ши де жос ши де сус.

Дефиницие 5. Нумэрул m се нумеште чя май микэ валоаре а функцией y = f(x) пе мулцимя X ⊂ D(f), дакэ: 1 ) е к з и с т э ун астфел де пункт x0 ∈ X, пентру каре f(x0) = m; 2 ) п е н т р у о р ь ч е валорь але луй x ∈ X се ындеплинеште инегалитатя f(x) f(x0). Дефиницие 6. Нумэрул М се нумеште чя май маре валоаре а функцией y = f(x) пе мулцимя X ⊂ D(f), дакэ: 1 ) е к з и с т э ун астфел де пункт x0 ∈ X, пентру каре f(x0) = M; 2 ) п е н т р у о р ь ч е валорь але луй x ∈ X се ындеплинеште инегалитатя f(x) f(x0). Ын класеле а 7-я ши а 8-а ам нотат ачесте валорь астфел: чя май микэ валоаре а функцией, симболик прин уч.м.микэ, яр чя май маре валоаре – уч.м.маре. Дакэ ну се индикэ мулцимя Х, атунч се субынцелеùе, кэ есте ворба деспре детерминаря а челей май мичь ши а челей май марь валорь а функцией пе ынтрегул домениу де дефиницие а ей. Сынт евиденте урмэтоареле афирмаций. 1) Дакэ функция аре уч.м.микэ, атунч функция есте мэрùинитэ де жос. 2) Дакэ функция аре уч.м.маре, атунч функция есте мэрùинитэ де сус. 3) Дакэ функция ну есте мэрùинитэ де жос, атунч функция н-аре уч.м.микэ 4) Дакэ функция ну есте мэрùинитэ де сус, атунч функция н-аре уч.м.маре. Сэ демонстрэм ачесте афирмаций: 1) Фие кэ функция y = f(x), x ∈ X аре чя май микэ валоаре. Деч, екзистэ ун астфел де нумэр x0 ∈ X, каре пентру орьче x ∈ X се ындеплинеште инегалитатя f(x) f(x0). Ачаста ынсямнэ, кэ функция есте мэрùинитэ де жос. Проприетатя 2) се демонстрязэ прин аналоùие. 3) Сэ демонстрэм ачастэ проприетате де ла контрариу. Пресупунем, кэ уч.м.микэ екзистэ. Атунч конформ афирмацией 1) функция есте мэрùинитэ де жос, дар ачаста контразиче кондицией. Ашадар, пресупунеря ноастрэ есте инкоректэ, адикэ функция ну 100

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

аре чя май микэ валоаре. Проприетатя 4) се демонстрязэ прин аналоùие. Екземплул 3. Афлаць чя май микэ ши чя май маре валорь але функцией Резолваре. Ын екземплул 2 ам демонстрат кэ 3, унде x ∈ [–3; 3]. Ку атыт май мулт, дакэ x = ±3 , атунч у = 0. Конформ дефиницией 5 резултэ, кэ уч.м.микэ = 0. Аналоùик, дакэ х = 0 атунч у = 3. Астфел уч.м.маре = 3. Резултателе обцинуте сынт илустрате фоарте бине пе графикул функцией (везь фиг.78). Екземплул 4. Афлаць чя май микэ ши чя май маре валорь але функцией Резолваре. а) Авем: Ын пунктул x = 1,5 функция примеште валоаря 5, ын тоате челэлалте пункте валоаря функцией есте май микэ декыт 5. Ашадар, уч.м.маре = 5. Пе де алтэ парте, инегалитатя 16 – 4x2 + 12x 0 есте адевэратэ, деч –4(x + 1)(x – 4) 0. Ын пунктеле х = –1, х = 4 функция се егалязэ ку 0, ын рестул пунктелор функция есте позитивэ. Ашадар, уч.м.микэ = 0. Фие x4 = a, x2 + 2 = b.

б) Авем: Атунч

Валоаря ачестей експресий ну есте май маре

декыт 2. Ынтр-адевэр,

ши експресия се

егалязэ ку зеро атунч ши нумай атунч кынд a = b, адикэ ку кондиция, кэ х4 = х2 + 2. Дин ачастэ екуацие афлэм: Ашадар, уч.м.микэ Сэ демонстрэм, кэ функция датэ ну есте мэрùинитэ де сус. Ефектуэм унеле трансформэрь:

101

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Пресупунем де ла контрариу: функция есте мэрùинитэ де сус, адикэ екзистэ ун астфел де пункт М, каре пентру орьче х есте адевэратэ инегалитатя y M. Фие пунктул Атунч x2 = M + 3, x2 – 2 = M + 1, 2 x – 2 > M. ши обцинем, кэ x2 – 2 + Деоарече

Ам пресупус, кэ пентру орьче х се ындеплинеште инегалитатя y M, ын резултат ам обцинут, кэ ын пунктул есте адевэратэ инегалитате y > M. Ам обцинут о контразичере, деч пресупунеря ноастрэ есте инкоректэ, функция ну есте мэрùинитэ де сус. Функция ну аре чя май маре валоаре. Рэспунс: а) уч.м.микэ = 0, уч.м.маре = 5; б) уч.м.микэ = 2, уч.м.маре ну екзистэ. Ын класеле а 7-я ши а 8-а не-ам аминтит ынкэ де доуэ проприетэць але функцией. Прима проприетате ам нумит-о конкавитатя функцией. О функцие се нумеште конкавэ пе интервалул Х, дакэ унинд доуэ пункте але графикулуй функцией, обсервэм, кэ аркул кореспунзэтор ал графикулуй есте ситуат суб коарда каре ыл суб-ынтинде (фиг. 88). Функция се нумеште конвексэ пе интервалул Х, дакэ унинд доуэ пункте але графикулуй функцией, обсервэм, кэ аркул кореспунзэтор ал графикулуй есте ситуат де асупра коардей каре ыл субынтинде (фиг. 89). А доуа проприетате – континуитатя функцией пе интервалул Х – субынцелеùе, кэ графикул функцией пе интервалул дат н-аре пункте де «рупере» (репрезинтэ о линие континуе).

Фиг. 88 102

Фиг. 89

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Обсервацие. Ынтр-адевэр, ын математикэ тотул есте, кум се спуне, екзакт инверс: графикул уней функций поате фи репрезентат принтр-о линие континуе (фэрэ пункте де «рупере») нумай атунч, кынд есте демонстратэ. Путем ворби атунч ши нумай атунч, кынд есте демонстрат, кэ функция есте континуе. Дар дефиниря формалэ а функцией континуе есте комплексэ ши деликатэ, ной акум ну сынтем ын старе сэ демонстрэм ачест лукру. Астфел путем спуне ши деспре конвекситатя ши конкавитатя функцией. Прин урмаре, черчетынд ачесте доуэ проприетэць, не вом лимита ши ын континуаре ла репрезентаря визуал-интуитивэ. Акум сэ не аминтим де функцииле студияте ын класеле а 7-я ши а 8-а, сэ конструим графичеле ачестор функций. Сэ алкэтуим ординя ын каре вом енумэра проприетэциле функцией, де екземплу: сэ се афле домениул де дефиницие а функцией; монотония функцией; лимитаря функцией; уч.м.микэ, уч.м.маре; континуитатя; домениул де валорь але функцией; ын унеле казурь вом ворби ши деспре конкавитатя ши конвекситатя функцией. Ка урмаре апар унеле ной проприетэць але функцией, кореспунзэтор се скимбэ ши листа проприетэциилор ей.

1. Функция линиарэ y = kx + m Графикул функцией y = kx + m есте о линие дряптэ (фиг. 90–92). Прориетэцииле функцией y = kx + m 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) креште, дакэ k > 0 (фиг. 91), дескреште, дакэ k < 0 (фиг. 92); 3) ну есте мэрùинитэ нич де жос, нич де сус; 4) ну аре нич чя май маре, нич чя май микэ валоаре; 5) функция есте континуе; 6) E(f) = (–∞; +∞).

Фиг. 90 103

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 91 Фиг. 92

2. Функция y = kx2(k ≠ 0) Графикул функцией y = kx2 есте о параболэ ку вырфул ын ориùиня системулуй де коордонате ши ку рамуриле ориентате ын сус, дакэ k > 0 (фиг. 93), ориентате ын жос, дакэ k < 0 (фиг. 94). Дряпта х = 0 (акса у) есте акса де симетрие а параболей. Проприетэцииле функцией y = kx2 Пентру казул кынд k > 0 (фиг. 93): 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) дескреште пе раза (–∞; 0], креште пе раза [0; + ∞ ); 3) есте мэрùинитэ де жос, ну есте мэрùинитэ де сус; 4) уч.м.микэ = 0, уч.м.маре – ну екзистэ; 5) функция есте континуе; 6) E(f) = [0; + ∞ ); 7) функция есте конкавэ.

Фиг. 93 104

Фиг. 94

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиць атенць! Пе интервалул (–∞; 0] функция дескреште, яр пе интервалул [0; + ∞ ) функция креште. Ачесте интервале се нумеск интервалеле де монотоние а функцией y = kx2. Ноциуня де интервале де монотоние ва фи фолоситэ ши пентру алте функций. Пентру казул кынд k < 0 (фиг. 94): 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) креште пе раза (–∞; 0], дескреште пе раза [0; + ∞ ); 3) ну есте мэрùинитэ де жос, есте мэржинитэ де сус; 4) уч.м.микэ – ну екзистэ, уч.м.маре = 0; 5) функция есте континуе; 6) E(f) = [–∞; 0); 7) функция есте конвексэ. Графикул функцией y = f(x) се конструеште дупэ пункте; ку кыт май мулте пункте де фелул (х; f(x)) вом нота ын планул де коордонате, ку атыт май пречис се ва репрезента графикул ей. Ануме ын ачест каз интуитив ши се обсервэ, кэ есте нечесар сэ репрезентэм графикул функцией принтр-о линие континуе (ын ачест каз, суб формэ де параболэ). Ши нумай апой, читинд графикул, фачем конклузииле ку привире ла континуитатя функцией, деспре конкавитатя ши конвекситатя ей, деспре домениул де валорь але функцией. Ар требуи сэ ынцелеùець фаптул, кэ принтре челе шапте проприетэць експусе май сус, «леùитиме» сынт доар проприетэцииле 1), 2), 3), 4), – «леùитиме» ын сенсул, кэ ачесте проприетэць пот фи аргументате, реферинду-не ла дефиниций конкрете (вом демонстра ачест лукру прин екземплул функцией везь паù. 106). Деспре челелалте проприетэць куноаштем доар унеле репрезентэрь визуал-интуитиве. Принтре алтеле, ачаста ну есте нимик страшник. Дин история дезволтэрий математичий куноаштем, кэ омениря о лунгэ периоадэ де тимп ши де мулте орь с-а фолосит де диверсе проприетэць але диферитор обьекте, фэрэ а куноаште дефиницииле конкрете.

3. Функция Графикул функцией репрезинтэ о хиперболэ, акселе системулуй де коордонате сынт асимтотеле хиперболей (фиг. 95, 96). Проприетэцииле функцией 1) D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞); 105

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 95 Фиг. 96 2) дакэ k > 0, функция дескреште пе разеле дескисе (–∞; 0) ши (0; +∞) (фиг. 95); дакэ k < 0, функция креште пе (–∞; 0) ши (0; +∞ ) (фиг. 96); 3) ну есте мэрùинитэ нич де жос, нич де сус; 4) функция ну аре нич чя май микэ, нич чя май маре валоаре; 5) есте континуе пе разеле дескисе (–∞; 0) ши (0; +∞ ); 6) E(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

4. Функция y =

Графикул функцией есте о рамурэ а параболей (фиг. 97). Проприетэцииле функцией

Фиг. 97 106

1) D(f) = [0; +∞); 2) функция есте крескэтоаре; 3) есте мэрùинитэ де жос, ну есте мэрùинитэ де сус; 4) уч.м.микэ= 0, уч.м.маре– ну екзистэ; 5) функция есте континуе; 6) E(f) = [0; +∞); 7) функция есте конвексэ.

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Ын паùина 105 ам менционат кэ, ын принчипиу сынтем ын старе, пентру унеле функций куноскуте, сэ демонстрэм проприетэцииле 1) – 4). Сэ фачем ачест лукру ши пентру функция y = Сэ интродучем нотация обишнуитэ f(x) = 1) D(f) = [0; +∞). Домениул де дефиницие а функцией се обцине дин домениул де дефиницие а експресией , адикэ x 0. Де аич резултэ, кэ D(f) = [0; +∞). х1 < х2. Пресупунем, кэ Атунч адикэ х1 х2 чея че контразиче кондицией. Резултэ, кэ пресупунеря есте инкоректэ. Есте адевэратэ инегалитатя Астфел, дин 0 х1 < х2 резултэ f(x1) < f(x2) , ачаста ши индикэ, кэ функция есте крескэтоаре пе раза [0; +∞). 3) Есте евидент, кэ функция есте мэрùинитэ де жос, деоарече пентру орьче x 0 авем Сэ демонстрэм кэ функция ну есте мэрùинитэ де сус. Мерùем де ла контрариу, пресупунем, кэ функция есте мэрùинитэ де сус. Деч, екзистэ ун астфел де нумэр позитив М, унде пентру орьче x 0 авем Фие пунктул 2) Фие 0

х0 = (М + 1)2. Атунч

Аша-

дар, ам пресупус, кэ пентру орьче x

0 се ындеплинеште

,

ши ын ачелашь тимп ам гэсит ун пункт конкрет х0, ын каре ачастэ инегалитате ну се ындеплинеште. Контразичеря обцинутэ индикэ, кэ пресупунеря есте грешитэ, функция ну есте мэрùинитэ де сус. 4) Авем: f(0) = 0, ши пентру орьче x 0, Ачаста ынсямнэ, кэ уч.м.микэ= 0. Дар деоарече функция ну есте мэрùинитэ де сус, уч.м.маре – ну екзистэ.

5. Функция y = |х| Графикул функцией репрезинтэ реуниуня а доуэ семидрепте: у = х, x 0 ши у = –х, x 0 (фиг. 98). Проприетэцииле функцией y = |х| 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) дескреште пе раза (–∞; 0], креште пе раза [0; +∞); 107

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 98 Фиг. 99 3) 4) 5) 6)

есте мэрùинитэ де жос, ну есте мэрùинитэ де сус; уч.м.микэ= 0, уч.м.маре– ну екзистэ; функция есте континуе; E(f) = [0; +∞).

6. Функция y = ax2 + bx + c Графикул функцией есте о параболэ ку вырфул ын пунктул (х0; у0), унде

ши ку рамуриле, ориентате ын сус, дакэ a > 0 (фиг. 99), ориентате ын жос, дакэ a < 0 (фиг. 100). Дряпта

есте акса де симе-

трие а параболей. Проприетэцииле функцией y = ax2 + bx + c Пентру a > 0 (фиг. 99): 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) дескреште пе раза

креште пе раза

3) мэрùинитэ де жос, ну есте мэрùинитэ де сус; 4) уч.м.микэ= у0, уч.м.маре– ну екзистэ; 108

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

5) функция есте континуе; 6) E(f) = [y0; +∞);. 7) функция есте конкавэ. Пентру a < 0 (фиг. 100): 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) креште пе раза

дескреште пе раза

3) ну есте мэрùинитэ де жос, есте мэрùинитэ де сус; 4) уч.м.микэ – ну екзистэ, уч.м.маре= у0; 5) функция есте континуе; 6) E(f) = (–∞; y0]; 7) функция есте конвексэ.

Ку тоате ачестя, акум се поате де спус кэ куноштинцеле ноастре деспре функций пот фи консидерате комплете. Десигур, ын реалитате листа проприетэциилор есте май комплексэ. Деспре унеле функций ной ши проприетэцииле лор, вом фаче куноштинцэ дежа ын ачест параграф. Екземплул 5. Читиць графикул функцией y = f(x), авынд ла диспозицие илустраря графикэ (фиг. 101), унде акса х – асимтота оризонталэ а функцией. Резолваре. А чити графикул уней функций ынсямнэ, авынд ла диспозицие графикул функцией, де енумерат проприетэцииле ей. 1) D(f) = [–4; +∞); 2) функция креште пе сегментул [–4; 0] ши дескреште пе раза [0; +∞); 3) мэрùинитэ де жос ши де сус; 4) уч.м.микэ – ну екзистэ, уч.м.маре= 3; 5) функция есте континуе; 6) E(f) = (0; 3].

Фиг. 100

Фиг. 101 109

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

§ 11. ФУНКЦИЕЙ ПАРЕ ШИ ИМПАРЕ Ын параграфул пречедент ам анализат проприетэцииле функциилор ку каре ынтр-о анумитэ мэсурэ аць фэкут куноштинцэ ын курсул де алùебрэ дин класеле а 7–8-а. Ам констатат, кэ проприетэцииле функцией се вор комплекта трептат. Деспре доуэ проприетэць ной вом дискута ын ачест параграф.

Дефиницие 1. Функция y = f(x), x ∈ X се нумеште парэ, дакэ пентру орьче валоаре а луй х, каре апарцине домениулуй Х есте адевэратэ егалитатя f(–x) = f(x). Дефиницие 2. Функция y = f(x), x ∈ X се нумеште импарэ, дакэ пентру орьче валоаре а луй х, каре апарцине домениулуй Х есте адевэратэ егалитатя f(–x) = –f(x). Екземплул 1. Демонтраць, кэ y = x4 есте о функцие парэ. Р е з о л в а р е . Авем f(x) = x4, f(–x) = (–x)4. Дар (–х)4 = х4. Резултэ, кэ пентру орьче валоаре а луй х есте адевэратэ егалитатя f(–x) = f(x), деч функция есте парэ. Аналоùик путем демонстра, кэ ши функцииле y = x2, y = x6, y = x8 сынт функций паре. Екземплул 2. Демонтраць, кэ y = x3 есте о функцие импарэ. Р е з о л в а р е . Авем f(x) = x3, f(–x) = (–x)3. Дар (–x)3 = –x3. Резултэ, кэ пентру орьче валоаре а луй х есте адевэратэ егалитатя f(–x) = –f(x), ашадар функция есте импарэ. Аналоùик путем демонстра, кэ ши функцииле y = x, y = x5, y = x7 сынт функций импаре. Ной ну одатэ не-ам конвинс, кэ орьче термен ноу ын математикэ ын челе май десе казурь аре о ориùине «терестрэ», адикэ ел поате фи ынтр-ун мод сау алтул експликат. Астфел стау лукруриле ши ку функцииле паре ши импаре. Астфел, функцииле y = x3, y = x5, y = x7 – сынт функций импаре, яр y = x2, y = x4, y = x6 — сынт функций паре. Ын ùенере, пентру орьче функцие де типул y = xn (вом фаче куноштинцэ ку ачесте функций май тырзиу), унде n – нумэр ынтрег, путем спуне: дакэ n – нумэр импар, атунч функция y = xn есте импарэ; дакэ n – нумэр пар, атунч ши функция y = xn есте парэ. 110

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Екзистэ функций каре ну сынт нич паре, нич импаре. Де екземплу, функция у = 2х + 3. Сэ компарэм валориле ачестей функций ын пунктеле х = 1 ши х = –1. Пресупунем кэ f(x) = 2х + 3, атунч f(1) = 5 ши f(–1) = 1. Ашадар f(–1) ≠ f(1) ши f(–1) ≠ –f(1). Резултэ кэ, ну се реализязэ нич егалитэциле f(–x) = f(x) ши нич егалитатя f(–x) = –f(x). Ашадар, функция поате фи парэ, импарэ сау нич парэ, нич импарэ. Студиеря проблемей, дакэ функция датэ есте парэ сау импарэ, се нумеште студиеря функцией ла паритате. Ын дефиницииле 1 ши 2 есте ворба деспре валориле функцией ын пунктеле х ши –х. Астфел пресупунем, кэ функция есте дефинитэ ын амбеле пункте. Резултэ, кэ пунктеле х ши –х апарцин домениулуй де дефиницие а функцией. Дакэ мулцимя нумерикэ Х конкомитент ку орьче елемент ал сэу х купринде ши елементул симетрик луй –х, атунч астфел де мулциме се нумеште мулциме симетрикэ. Сэ спунем, кэ (–2; 2), [–5; 5], (–∞; +∞) — сынт мулцимь симетриче, ын ачелашь тимп [0; +∞), (–2; 3), [–5; 4] — сынт мулцимь несиметриче. Дакэ функция y = f(x) есте парэ сау импарэ, атунч мулцимя ей де дефиницие D(f) – есте мулциме симетрикэ. Дакэ D(f) – есте о мулциме несиметрикэ, атунч функция y = f(x) ну есте нич парэ, нич импарэ. Луынд ын консидерацие афирмацииле експусе май сус, вэ рекомандэм ла черчетаря функцией ла паритате сэ фолосиць урмэторул алгоритм. Алгоритмул де черчетаре а функцией y = f(x) ла паритате 1. Детерминаць, кэ мулцимя D(f) – домениул де дефиницие а функцией есте симетрикэ. Дакэ ну, анунцаць, кэ функция ну есте нич парэ, нич импарэ. Дакэ да, атунч тречець ла урмэторул пас ал алгоритмулуй. 2. Алкэтуиць експресия f(–x). 3. Компараць f(–x) ши f(x): a) дакэ f(–x) = f(x) пентру орьче x ∈ D(f), атунч функция есте парэ; б) дакэ f(–x) = –f(x) пентру орьче x ∈ D(f), атунч функция есте импарэ; в) дакэ мэкар ынтр-ун сингур пункт x ∈ D(f) се ындеплинеск релацииле f(–х) ≠ f(х) ши f(–х) ≠ –f(х), атунч функция ну есте нич парэ, нич импарэ. 111

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Екземплул 3. Черчетаць ла паритате функция:

Р е з о л в а р е . а ) y = f(x), унде f(x) = x4 +

.

1) Функция есте дефинитэ пентру тоате валориле луй х, ын афарэ де х = 0. Резултэ, кэ D(f) – есте о мулциме симетрикэ. 2) 3) Обсервэм, кэ пентру орьче валоаре а луй х, че апарцине домениулуй де дефиницие а функцией, се ындеплинеште егалитатя f(–x) = f(x). есте о функцие парэ.

Астфел, функция б) y = f(x), унде f(x) = x5 –

1) Функция есте дефинитэ пентру тоате валориле луй х, ын афарэ де х = 0. Резултэ, кэ D(f) – есте о мулциме симетрикэ. .

2)

3) Пентру орьче валоаре а луй х, че апарцине домениулуй де дефиницие а функцией, се ындеплинеште егалитатя f(–x) = –f(x). Астфел, функция в) y = f(x), унде

– есте о функцие импарэ. .

1) Функция се дефинеште пентру тоате валориле луй х, ын афарэ де валориле пентру каре нумиторул фракцией се трансформэ ын зеро. Дин кондиция x2 – 9 ≠ 0 афлэм: x ≠ ±3. Ашадар, домениул де дефиницие а функцией есте ынтряга аксэ нумерикэ, ын афарэ де доуэ пункте: 3 ши –3. Мулцимя датэ есте о мулциме симетрикэ. 112

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

2) 3) Компарынд f(–x) ши f(x), обсервэм, кэ ну се ындеплинеште екиваленца f(–x) = f(x) ши нич екиваленца f(–x) = –f(x). Пентру конвинùере, луэм о валоаре конкретэ а луй х, де екземплу x = 4. Авем:

яр f(–4) = 0. Ашадар, f(–4) ≠ f(4) ши f(–4) ≠ –f(4).

Астфел, функция ну есте нич парэ, нич импарэ. г) Функция

се дефинеште пентру х – 3

0, адикэ пе

раза [3; +∞). Ачест интервал есте о мулциме несиметрикэ, резултэ, кэ функция ну есте нич парэ, нич импарэ. Екземплул 4. Черчетаць, дакэ функция есте парэ сау импарэ: а) y = |х|, x ∈ [–2; 2];

б) y = |х|, x ∈ [–3; 3);

в) y = x3, x ∈ (–5; 5);

г) y = x3, x ∈ (–5; 5].

Р е з о л в а р е . а) D(f) = [–2; 2] – есте о мулциме симетрикэ, ши пентру орьче валоаре а луй х се ындеплинеште егалитатя |–х| = |х|. Ашадар, функция датэ есте о функцие парэ. б) D(f) = [–3; 3) – есте о мулциме несиметрикэ. Ынтр-адевэр, пунктул –3 апарцине семиинтервалулуй [–3; 3), дар пунктул симетрик луй 3 ну апарцине ачестуй семиинтервал. Резултэ, кэ функция ну есте нич парэ, нич импарэ. в) D(f) = (–5; 5) – есте о мулциме симетрикэ ши (–x)3 = –x3 пентру орьче х дин интервалул (–5; 5). Ашадар, функция датэ есте о функцие импарэ. г) Функция есте дефинитэ пе семиинтервалул, каре ну есте мулциме симетрикэ. Резултэ, кэ функция ну есте нич парэ, нич импарэ. Акум, сэ не аминтим де сенсул ùеометрик ал паритэций ши импаритэций функцией. Фие y = f(x) – есте о функцие парэ, адикэ f(–x) = f(x) пентру орьче x ∈ D(f). Сэ черчетэм доуэ пункте, че апарцин графикулуй функцией: A(x; f(x)) ши В(–x; f(x)). Деоарече f(–x) = f(x), атунч абсчиселе пунктелор А ши В сынт нумере опусе, яр ордонателе лор сынт егале. 113

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 102 Фиг. 103 Ачесте пункте сынт симетриче фацэ де акса у (фиг. 102). Астфел, пентру орьче пункт А ал графикулуй уней функций паре y = f(x) екзистэ ун пункт В симетрик фацэ де акса у, де пе ачелашь график. Чея че демонстрязэ, кэ графикул функцией паре есте симетрик фацэ де акса у. Фие y = f(x) – о функцие импарэ, адикэ f(–x) = –f(x) пентру орьче x ∈ D(f). Сэ черчетэм доуэ пункте, че апарцин графикулуй функцией: A(x; f(x)) ши B(–x; f(–x)). Деоарече f(–x) = –f(x), атунч пентру пунктеле А ши В абсчиселе ши ордонателе лор сынт нумере опусе, деч ачесте пункте сынт симетриче фацэ де ориùиня де коордонате (фиг. 103). Астфел, пентру орьче пункт А ал графикулуй функцией импаре, екзистэ ун пункт В симетрик луй фацэ де ориùиня системулуй де коордонате, де пе ачелашь график. Ашадар, резултэ кэ графикул функцией импаре есте симетрик фацэ де орищиня системулуй де коордонате. Сынт адевэрате ши афирмацииле инверсе. 1. Дакэ графикул функцией y = f(x) есте симетрик фацэ де акса ордонателор, атунч y = f(x) есте о функцие парэ. Ынтр-адевэр, симетрия графикулуй функцией y = f(x) фацэ де акса у индикэ, кэ пентру орьче х дин домениул де дефиницие а функцией есте адевэратэ егалитатя f(–x) = f(x), адикэ y = f(x) есте о функцие парэ. 2. Дакэ графикул функцией y = f(x) есте симетрик фацэ де орищиня системулуй де коордонате, атунч y = f(x) есте о функцие импарэ. Симетрия графикулуй функцией y = f(x) фацэ де ориùиня системулуй де коордонате индикэ, кэ пентру орьче х дин домениул де дефиницие а функцией есте адевэратэ егалитатя f(–x) = –f(x) , астфел y = f(x) есте о функцие импарэ. 114

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Екземплул 5. Черчетаць функция ла паритате

Резолваре. Прима методэ. Резултэ, кэ пентру орьче x ∈ D(f) есте адевэратэ егалитатя f(–x) = f(x) , адикэ функция есте парэ. А доуа методэ. Графикул функцией дате сервеште семичиркумферинца ку чентрул ын ориùиня системулуй де коордонате ши ку раза егалэ ку 3 (везь фиг.78). Семичиркумферинца есте симетрикэ фацэ де акса у. Деч

– функцие парэ.

§ 12. ФУНКЦИИЛЕ

, ПРОПРИЕТЭЦИИЛЕ ШИ ГРАФИЧЕЛЕ ЛОР Функция де типул y = xn, унде n = 1, 2, 3, 4, 5, …, се нумеште функцие путере ку експонент натурал. Ной дежа куноаштем доуэ функций путере: функция у = х (у = х1) ши у = х2. Дар, ынчепынд ку n = 3, деспре функция y = xn ной ну штим нимик. Че репрезинтэ график функцииле y = x3, y = x4, y = x5, y = x6 ш.а.м.д.? Каре сынт проприетэцииле ачестор функций? Деспре ачаста ши вом ворби ын ачест параграф. Ла дрепт ворбинд, ын § 11, ку пруденцэ, ной ам анализат о проприетате: ам демонстрат, кэ y = x4 есте о функцие парэ, яр y = x3 – функцие импарэ. Ши ачаста пентру ной, акум, есте фоарте де фолос. Куноаштем, кэ графикул уней функций паре есте симетрик фацэ де акса ордонателор, яр графикул функцией импаре есте симетрик фацэ де ориùиня системулуй де коордонате. Ашадар, пентру амбеле функций y = x4 ши y = x3 путем прочеда астфел: сэ черчетэм ачесте функций пе раза [0; +∞), сэ конструим графичеле лор (пе интервалул индикат). Апой, апликынд симетрия, сэ конструим графикул функцией пе ынтряга аксэ нумерикэ ши фолосинд ын континуаре графикул ей, сэ енумерэм проприетэцииле функцией дупэ скема елаборатэ ын параграфул пречедент (адэугынд проприетатя паритэций). 115

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

1. Функция y = x4, x

0

Алкэтуим табелаул валорилор функцией дате.

Ын планул де коордонате конструим пунктеле (0; 0), (1; 1), (фиг. 104а); уним ачесте пункте принтр-о линие линэ (фиг. 104б).

2. Функция y = x4 Адэугынд ла графикул репрезентат ын фиг. 104б, о линие, конструитэ симетрик фацэ де акса ордонателор, обцинем графикул функцией y = x4, x ∈ (–∞; +∞) (фиг. 105). Ачест график се асямэнэ ку о параболэ (дар параболэ ну-л путем нуми). Пынэ вом енумера проприетэцииле ачестей функций, вэ аминтим, кэ вом прочеда астфел дупэ кум ши ам прочедат ши ын § 10, ку о микэ корекцие: проприетэций де паритате а функцией ый оферим позиция а доуа ын ачастэ листэ.

Фиг. 104а 116

Фиг. 104б Фиг. 105

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Проприетэцииле функцией y = x4 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) функция есте парэ; 3) дескреште пе раза (–∞; 0], креште пе раза [0; +∞); 4) есте мэрùинитэ де жос, ну есте мэрùинитэ де сус; 5) уч.м.микэ= 0, уч.м.маре– ну екзистэ; 6) функция есте континуе; 7) E(f) = [0; +∞); 8) функция есте конкавэ. Ачесте проприетэць ле-ам читит пе графикул функцией, каре десигур, ну пот фи примите ка демонстрацие. Де обичей се прочедязэ инверс: се студиязэ проприетэцииле функцией, яр апой, ын база резултателор студияте се конструеште графикул функцией. Сынтем оаре ной ын старе акум сэ прочедэм аша кум есте обишнуит ын математикэ? Пынэ кынд ну. Принтре челе опт проприетэць енумерате май сус, евидентэ есте прима проприетате (деоарече орьче нумэр х поате фи ридикат ла путеря а патра). Ын параграфул пречедент а фост демонстратэ проприетатя а доуа. Се поате де демонстрат ши проприетатя а трея: ынтр-адевэр, дакэ х1 > x2 = 0, атунч конформ проприетэциилор инегалитэциилор нумериче яр ачаста ши демонстрязэ кэ функция есте крескэтоаре пе раза [0; +∞).

Сэ демонстрэм проприетатя а патра ши а чинчя. Фие f(x) = x4. Есте евидент, кэ пентру орьче х есте адевэратэ инегалитатя x4 0. Ачаста ынсямнэ кэ функция y = x4 есте мэрùинитэ де жос. Пресупунем, кэ функция датэ есте мэрùинитэ де сус, адикэ пресупунем, кэ екзистэ ун астфел де нумэр позитив М, унде пентру орьче х есте адевэратэ инегалитатя x4 < M. Сэ луэм ун нумэр натурал n > M ши сэ черчетэм валоаря функцией у = x4 ын пунктул x0 = n. Авем: f(x0) = n4 n > M. Ашадар, ам афлат ун астфел де пункт x0 , пентру каре се ындеплинеште инегалитатя f(x0) > M, чея че контразиче пресупунерий деспре мэрùиниря де сус а функцией. Деч функция ну есте мэрùинитэ де сус. Деоарече функция ну есте мэрùинитэ де сус, чя май маре валоаре а ей ну екзистэ. Ын ачелашь тимп есте клар, кэ уч.м.микэ= 0. Че ну с-а демонстрат ши унде сынтем облигаць сэ не базэм доар пе интуиция ùеометрикэ? Ну сынт демонстрате проприетэцииле 6, 7 ши 8. Принтре алтеле, дакэ дорим, путем сэ лэмурим ши проприетатя деспре конкавитатя функцией. Сэ арэтэм, де екземплу, кэ пе сегментул [0; a], унде а > 0, графикул функцией у = x4 есте ситуат суб сегментул ОА (фиг. 106). Сэ алеùем ун пункт арбитрар х1 пе интервалул (0; а) ши сэ дучем прин ел о перпендикуларэ ла акса х пынэ ла интерсекцие ку графикул функцией у = x4 (ын пунктул Р) ши ку дряпта ОА (ын пунктул М) (фиг. 106). Ордоната пунктулуй Р есте егалэ ку . Дар ку че ва фи егалэ ордоната пунктулуй М? Сэ афлэм ачаста.

117

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 106 Фиг. 107

Дряпта ОА трече прин ориùиня системулуй де коордонате, де ачея екуация ей есте y = kx. Ачастэ дряптэ трече прин пунктул А(а; а4). Субституинд коордонателе пунктулуй А ын екуация y = kx, обцинем: а4 = ka. Прин урмаре, k = a3 ши екуация дрептей ОА примеште форма: y = a3x. Акум есте клар, кэ ордоната пунктулуй М есте егалэ ку a3x1. , яр ордоната пунАшадар, ордоната пунктулуй Р есте егалэ ку ктулуй М есте егалэ ку a3x1. Каре динтре ачесте нумере есте май маре? Авем: 0 < x1 < a, деч, конформ проприетэциилор инекуациилор нумериши ын континуаре де унде обцинем < a3x1. че Ачастэ инекуацие индикэ, кэ пунктул Р се афлэ суб пунктул М. Астфел, путем конклузиона, кэ дакэ дучем дряпта арбитрарэ ОА, графикул функцией у = х4 пе интервалул [0; a] есте ситуат суб порциуня кореспунзэтоаре а дрептей ОА.

3. Функция y = x3

Ын примул рынд се обсервэ, кэ y = x3 есте о функцие импарэ, де ачея, графикул ей есте симетрик фацэ де ориùиня системулуй де коордонате. Графикул функцией y = x3 пентру х 0 аратэ, ын принчипиу, ла фел ка графикул функцией y = x4 пентру х 0 (фиг. 104б), консидерынд доар, кэ курба ноуэ се депласязэ ын сус май пуцин абрупт ши се афлэ пуцин май департе де акса х ын журул ориùиний системулуй де коордонате. Адэугынд линия, конструитэ симетрик фацэ де ориùине, обцинем графикул функцией y = x3 (фиг. 107). Ачастэ курбэ се нумеште параболэ кубикэ. Обсервацие. Принтре алтеле, ачаста есте ун каз рар, кынд математичиений фолосеск о терменолоӂие нереушитэ. Парабола – есте о фигурэ

118

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

ӂеометрикэ ку анумите проприетэць. Линия, репрезентатэ ын фиг.107, ну се букурэ де ачесте проприетэць, де ачея ар фи май бине де гэсит ун алт нуме, фэрэ а фолоси терменул «параболэ». Дар терменул «параболэ кубикэ» с-а адаптат ын математикэ, де ачея сынтем облигаць сэ-л фолосим ши ной.

Сэ индикэм унеле карактеристичь ùеометриче але параболей кубиче y = x3. Чентрул де симетрие – есте пунктул (0; 0), каре сепарэ челе доуэ пэрць симетриче але курбей – рамуриле параболей кубиче. Фиць атенць: кынд о рамурэ а параболей кубиче трече прин ориùиня системулуй де коордонате ын алтэ рамурэ а ей, ачаста се петрече лин, фэрэ руперь. Проприетэцииле функцией y = x3 1) D(f) = (–∞; +∞); 2) функцие импарэ; 3) крескэтоаре; 4) ну есте мэрùинитэ нич де жос, нич де сус; 5) ну аре нич чя май микэ, нич чя май маре валорь; 6) E(f) = (–∞; +∞); 7) есте конвексэ пе (–∞; 0], конкавэ пе [0; –∞).

4. Функция y = x2n Есте ворба деспре функцииле у = х6, у = х8 ши, ын ùенере, деспре тоате функцииле путере ку експонент натурал пар. Графичеле ачестор функций сынт асемэнэтоаре ку графикул функцией у = х4 (фиг. 105). Курба у = х2n атинùе акса х ын пунктул (0; 0). Æеометрик ачаста ынсямнэ, кэ о рамурэ а курбей трече лин ын чялалтэ рамурэ а ей, апропиинду-се де акса х. О дефиницие май екзактэ реферитор ла ноциуня де атинùере ва фи датэ ын класа а 10.

5. Функция y = x2n + 1 Есте ворба деспре функцииле у = х3, у = х5, у = х7 ши, ын ùенере, деспре тоате функцииле путере ку експонент натурал импар (3, 5, 7, 9 ш.а.м.д.). Графичеле ачестор функций сынт асемэнэтоаре ку графикул функцией у = х3 (фиг. 107), дар ку кыт есте май маре експонентул путерий, ку атыт май абрупт рамуриле 119

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 108 графикулуй сынт ориентате ын сус (ши респектив ын жос). Курба у = х2n + 1 атинùе акса х ын пунктул (0; 0). Екземплул 1. Резолваць екуация x5 = 3 – 2x. Р езолваре. 1) Сэ черчетэм доуэ функций: у = х5 ши у = 3 – 2х. 2) Конструим графикул функцией у = х5 (фиг. 108). 3) Конструим графикул функцией линиаре у = 3 – 2х. Дряпта каре трече прин пунктеле (0; 3) ши (1; 1) (фиг. 108). 4) Конформ десенулуй, графичеле дате се интерсектязэ ын пунктул А(1; 1). Верификаря аратэ, кэ коордонателе пунктулуй А(1; 1) сатисфак амбеле екуаций у = х5 ши у = 3 – 2х. Ашадар, екуация датэ аре о сингурэ рэдэчинэ: х = 1 – абсчиса пунктулуй А. Рэспунс: х = 1. Моделул ùеометрик, репрезентат ын фиг. 108, илустрязэ урмэтоаря афирмацие, каре унеорь не пермите сэ резолвэм унеле екуаций комплексе: Дакэ функция y = f(x) креште, яр функция y = g(x) дескреште ши дакэ екуация f(x) = g(x) аре рэдэчинэ, атунч еа есте уника. Сэ демонстрэм ачастэ афирмацие. Пресупунем, кэ екуация f(x) = g(x) ын афарэ де рэдэчина х1 аре ши а доуа рэдэчинэ х2. Фие х1 < х2. Деоарече х1 ши х2 сынт рэдэчиниле екуацией дате, атунч 120

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

сынт адевэрате урмэтоареле егалитэць f(x1) = g(x1) ши f(x2) = g(x2). Функция у = f(x) есте крескэтоаре, кореспунзэтор се реализязэ инекуация f(x1) < f(x2); функция у = g(x) есте дескрескэтоаре ши де ачея g(x1) > g(x2). Деч, f(x2) > f(x1) = g(x1) > g(x2). Обцинем, кэ f(x2) > g(x2). Рационынд аналоùик, се поате демонстра, кэ дакэ х1 > х2, атунч f(x2) < g(x2). Ашадар, ын орьче каз обцинем, кэ f(x2) ≠ g(x2), адикэ х2 ну есте рэдэчинэ а екуацией дате. Астфел резултэ, кэ екуация датэ аре доар о сингурэ рэдэчинэ, афирмация есте демонстратэ. Ын база афирмацией де май сус, путем резолва екуация дин екземплул 1, фэрэ а утилиза илустраря ùеометрикэ: 1) обсервэм, кэ пентру х = 1 есте адевэратэ егалитатя 15 = 3 – 2 ∙ 1, резултэ, кэ х = 1 есте рэдэчина екуацией (ной ам гичит ачастэ рэдэчинэ); 2) функция у = 3 – 2х дескреште, яр функция у = х5 креште, атунч резултэ, кэ екуация датэ аре о сингурэ рэдэчинэ ши ачастэ рэдэчинэ есте валоаря вариабилей х = 1. Ын курсул де алùебрэ пентру класа а 8-а ам ворбит деспре фаптул кум, куноскынд графикул функцией y = f(x), путем конструи графикул функцией y = f(x + m) + l. Сэ не аминтим де ачаста. Екземплул 2. Конструиць графикул функцией у = (х – 1)6 – 2. Резолваре. 1) Сэ ревеним ла ун систем де коордонате адэугэтор ку ориùиня ын пунктул (1; –2) (репрезентат прин линииле пунктате х = 1 ши у = –2, фиг. 109а).

Фиг. 109а

Фиг.109б 121

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

2) Сэ «аташем» функция y = x6 ла ун систем де коордонате ноу. Пенту ачаста алеùем пунктеле де контрол пентру функция y = x6: (0; 0), (1; 1), (–1; 1) ши конструим ачесте пункте ын системул де коордонате ноу (ачесте пункте сынт репрезентате ын фигура 109а). Апой прин пунктеле де контрол обцинуте трасэм о линие, асемэнэтоаре ку линия репрезентатэ ын фиг. 105 – ачеста ши есте графикул прекэутат (фиг. 109б). Десигур, май пречис ворбинд, ачаста есте о скицэ а графикулуй нечесар.

§ 13. Функцииле

, проприетэцииле ши графичеле лор Сэ континуэм екстиндеря класей де функций, ку каре сэ спунем аша, вом фаче куноштинцэ «пе скурт». Ын параграфул пречедент ачесте функций ау фост функцииле путере ку експонент натурал де типул y = xn, яр ын ачест параграф вом черчета функцииле де типул y = x-n, унде n – ун нумэр натурал. Ачесте функций се нумеск функций путере ку експонент ынтрег негатив. Конформ дефиницией путерий ку експонент негатив

Прин урмаре, ын лок де y = x-n путем скрие Ной ам студият о функцие де ачест тип ын курсул де алùебрэ пентру класа а 8-а – ачаста есте функция

Куноаштем ши

проприетэцииле ачестей функций ши графикул ей – хипербола (фиг. 110). Ефектуэм урмэторул пас: сэ черчетэм функция . Сэ ынчепем, ку черчетаря функцией

ла паритате.

Реаминтици-вэ, кэ ши ын параграфул пречедент ной ам ынчепут ку утилизаря паритэций функцией у = х4 ши а импаритэций функцией у = х3. есте о функцие Ашадар, сэ демонстрэм кэ функция парэ. Ремаркэм, ын примул рынд, кэ домениул де дефиницие а функцией есте мулцимя нумерелор реале, ын афарэ де валоаря х = 0; ачастэ мулциме есте симетрикэ. Ын континуаре, авем: 122

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 110 астфел, пентру орьче х че апарцине домениулуй де дефиницие а функцией се ындеплинеште егалитатя f(–x) = f(x). Ашадар, функция

– есте о функцие парэ.

Проприетатя де паритате а функцией

есте неспус де не-

чесарэ ануме акум. Куноаштем, кэ графикул функцией паре есте симетрик фацэ де акса ордонателор. Резултэ, кэ путем прочеда астфел: черчетэм ачастэ функцие пе раза дескисэ (0; +∞) ши конструим графикул ей пе интервалул индикат. Апой, утилизынд симетрия, конструим графикул функцией пе тоатэ дряпта нумерикэ. Конформ графикулуй функцией конструит, скрием проприетэцииле функцией дупэ скема апликатэ ын параграфул пречедент.

1. Функция Пынэ ын презент ной конструям графикул функцией, яр апой ворбям деспре проприетэцииле ей. Де фапт, дупэ кум ши ам менционат де май мулте орь, математичиений, де обичей, ын примул рынд, екзаминязэ проприетэцииле функцией ын конформитате ку дефиницииле стрикте але ачестор проприетэць, яр апой фолосеск резултателе обцинуте ла конструкция графикулуй. Вой диспунець дежа де о анумитэ експериенцэ ын черчетаря функцией, сэ апликэм ачастэ експериенцэ ла черчетаря функцией Сэ интродучем нотаря обишнуитэ: 123

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

1. D(f) = (0; –∞). Аич тотул есте клар. 2. Функция есте дескрескэтоаре. Ынтр-адевэр, фие 0 < x1 < x2; атунч конформ проприетэцилор инегалитэцилор нумериче, обциАшадар, дин x1 < x2 резултэ f(x1) > f(x2),

нем:

чея че индикэ дескрештеря функцией. 3. Функция есте мэрùинитэ де жос ши ну есте мэрùинитэ де сус. Делимитаря функцией де жос резултэ дин инегалитатя евидентэ

Пресупунем, кэ функция есте мэрùинитэ де сус, ади-

кэ екзистэ ун астфел де нумэр позитив М, каре пентру орьче x > 0 . Фие

есте адевэратэ инекуация

Атунч

Ашадар, ам афлат ун астфел де пункт, ын каре валоаря функцией есте май маре декыт М, спре деосебире де пресупунеря ноастрэ. Деч, пресупунеря есте грешитэ, функция ну есте мэрùинитэ де сус. 4. Функция ну аре нич чя май микэ, нич чя май маре валорь. Фаптул, кэ функция ну аре чя май маре валоаре резултэ дин ачея кэ функция ну есте мэрùинитэ де сус. Дар кум демонстрэм кэ функция ну аре чя май микэ валоаре, деоарече функция есте мэрùинитэ де жос? Рационэм астфел. Сэ пресупунем, кэ екзистэ чя май микэ валоаре а функцией. Ачаста ынсямнэ кэ екзистэ ун астфел де пункт х0, каре пентру орьче x > 0 есте адевэратэ инегалитатя f(x) f(x0). Дар дакэ x1 > x0, атунч, деоарече функция есте дескрескэтоаре, есте адевэратэ инегалитатя f(x1) < f(x0), чея че контразиче пресупунерий ноастре. Деч, функция ну аре чя май микэ валоаре. Сэ конструим графикул функцией. Алкэтуим табелул валорилор функцией дате.

124

x

1

y

1

2 4

3

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 111а

Фиг.111б

Ын планул де коордонате (фиг. 111а), конструим пунктеле (1; 1), . Ачесте пункте дескриу о линие, сэ трасэм ачастэ линие луынд ын консидерацие проприетэцииле демонстрате май сус 2, 3 ши 4 (фиг. 111б).

2. Функция y = x–2 Адэугынд ла графикул репрезентат ын фигура 111б рамура конструитэ симетрик фацэ де акса ордонателор, обцинем графикул функцией сау у = х-2 (фиг. 112). Проприетэцииле функцией y = x–2 1) D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞); 2) функцие парэ; 3) дескреште пе раза дескисэ (0; +∞), креште пе раза дескисэ (–∞; 0); 4) мэрùинитэ де жос, ну есте мэрùинитэ де сус; 5) ну аре нич чя май микэ, нич чя май маре валорь; 6) есте континуе пентру x < 0 (пе раза дескисэ (–∞; 0)) ши пентру x > 0 (пе раза дескисэ (0; +∞)); 7) E(f) = (0; +∞); 8) есте конкавэ пентру x < 0 ши пентру x > 0. 125

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 112

3. Функция y = x–2n Есте ворба деспре функцииле

ш.а.м.д.

Графикул орькэрей астфел де функций есте асемэнэтор ку графикул функцией

(фиг. 112). Требуе сэ нотэм, кэ курба

се апропие асимптотик фацэ де акселе де коордонате. Де асеменя, се спуне, кэ акса х (адикэ, дряпта у = 0) есте асимпто, яр акса у (адита оризонталэ а графикулуй функцией кэ, дряпта х = 0) есте асимптота вертикалэ а ачестуй график.

4. Функция y = x–(2n + 1) Есте ворба деспре функцииле

ш.а.м.д. Гра-

фикул орькэрей астфел де функций есте асемэнэтор ку графикул функцией

(фиг. 110). Требуе сэ нотэм, кэ акса х есте асимп-

тота оризонталэ а графикулуй функцией есте асимптота вертикалэ а ачестуй график. 126

яр акса у

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Проприетэцииле функцией y = x–(2n + 1) 1) D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞); 2) функцие импарэ; 3) дескреште пе раза дескисэ (0; +∞) ши пе раза дескисэ (–∞; 0); 4) ну есте мэрùинитэ нич де жос ши нич де сус; 5) ну аре нич чя май микэ, нич чя май маре валорь; 6) есте континуе пентру x < 0 ши пентру x > 0; 7) E(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞); 8) есте конвексэ пентру x < 0 ши конкавэ пентру x > 0. Екземплул 1. Афлаць чя май микэ ши чя май маре валорь а функцией

пе интервалул дат:

а) Резолваре. а) Пентру комодитате сэ интродучем нотация: Функция дескреште пентру x > 0, деч, функция атинùе чя май микэ ши чя май маре валорь але сале доар ын екстремитэцииле интервалулуй (кореспунзэтор ын екстремитатя дин дряпта ши дин стынга), дакэ, десигур, ачесте екстремитэць апарцин интервалулуй. Ын казул дат yч.м.микэ

yч.м.маре

б) Функция креште пентру x < 0, деч, функция атинùе чя май микэ ши чя май маре валорь але сале доар ын екстремитэцииле интервалулуй (кореспунзэтор ын екстремитатя дин дряпта ши дин стынга), дакэ, десигур, ачесте екстремитэць апарцин интервалулуй. Ын казул черчетат yч.м.микэ

yч.м.маре – ну екзи-

стэ (екстремитатя дин дряпта ну апарцине интервалулуй дат). в) Утилизынд графикул функцией (фиг. 112) конкидем, кэ yч.м.микэ – ну екзистэ, яр yч.м.маре = 1. Екземплул 2. Конструиць графикул функцией y = (x – 1)–3 + 2. Резолваре. 1) Сэ тречем ла ун систем де коордонате адэугэтор ку ориùиня ын пунктул (1; 2) (дрептеле х = 1 ши у = 2, репрезентате ын фиг. 113а прин линий пунктате). 127

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

.. . Фиг. 113а

Фиг. 113б

2) Сэ «аташем» функция y = x-3 ла ун систем де коордонате ноу – ачеста ши есте графикул прекэутат (фиг. 113б).

§ 14. ФУНКЦИИЛЕ

ПРОПРИЕТЭЦИИЛЕ ШИ ГРАФИКУЛ ЕЙ Дефиницие 1. Нумэрул b се нумеште рэдэчина кубикэ (сау рэдэчинэ де ординул трей) дин нумэрул а, дакэ се ындеплинеште егалитатя b3 = a. Се скрие: а – нумэрул де суб семнул рэдэчиний, 3 – ординул рэдэчиний. , b3 = a ши сынт екиваАшадар, егалитэцииле ленте, адикэ експримэ уна ши ачеяшь депенденцэ динтре нумереле реале а ши b. Май пе скурт се скрие астфел: – симболул екиваленцей. Де екземплу, деоарече 33 = 27; деоарече 13 = 1; деоарече 03 = 0;

деоарече (–4)3 = –64;

деоарече Рэдэчина кубикэ екзистэ пентру орьче нумэр а. Ачастэ афирмацие се демонстрязэ ын курсул де математикэ супериоарэ. Ной вом фолоси ачастэ афирмацие фэрэ демонстраре. Ын резултатул екстраùерий рэдэчиний кубиче компаратив ын фоарте раре 128

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

казурь обцинем ун нумэр рационал. Ын челе май десе казурь, се обцине ун нумэр ирационал, пентру каре се поате де афлат доар валоаря апроксимативэ. Сэ демонстрэм, де екземплу, кэ – есте ун нумэр ирационал. Пре– есте ун нумэр рационал, адикэ супунем де ла контрар, кэ унде

– о фракцие обишнуитэ иредуктибилэ. Атунч

адикэ

. m3 = 5n3. Ултима егалитате индикэ, кэ m3 .. 25, нумэрул натурал m3 се .

ымпарте ла 5 фэрэ рест (вэ аминтим, кэ симболул .. ынсямнэ «се ымпарте ла»). . Дар ачаста есте посибил атунч ши нумай атунч, кынд m .. 5, адикэ m = 5k, унде k – есте ун нумэр натурал. Субституим експресия 5k ын егалитатя m3 = 5n3; обцинем: (5k)3 = 5n3, де унде n3 = 25k3. Ултима егалитате . . . индикэ, кэ n3 .. 25 ши ку атыт май мулт n3 .. 5. Деч ши n .. 5. .

.

Ашадар, ам обцинут, кэ m .. 5 ши n .. 5 . Резултэ, кэ фракция – есте редуктибилэ (нумэрэторул ши нумиторул ей се девиде ку 5), чея че контразиче кондиция, конформ кэрея есте о фракцие иредуктибилэ. Контразичеря обцинутэ индикэ, кэ пресупунеря ноастрэ деспре фаптул, кэ нумэрул есте ун нумэр рационал есте инкоректэ, адикэ ачест нумэр есте ирационал.

Рэдэчина де ординул трей динтр-ун нумэр позитив – есте ун нумэр позитив, яр рэдэчина де ординул трей динтр-ун нумэр негатив – есте ун нумэр негатив. Ачаста резултэ дин фаптул, кэ ла ридикаря ла куб семнул нумэрулуй ну се скимбэ. Есте адевэратэ идентитатя Ынтр-адевэр, фие , яр Атунч b3 = –x, яр с3 = х. 3 3 3 3 Де аич резултэ, кэ b = –c сау b = (–c) . Дин ултима егалитате резултэ кэ b = –c, адикэ Екземплул 1. Демонстраць, кэ:

Резолваре. а) Авем: Ашадар, – есте ун нумэр, кубул кэруя есте егал ку ab. Дар ачест нумэр есте Астфел, обцинем б) Се демонстрязэ аналоùик (резолваць де сине стэтэтор). 129

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Сэ черчетэм функция индикэм унеле проприетэць але ей ши сэ конструим графикул функцией. Интродучем нотация обишнуитэ: 1) D(f) = (–∞; +∞) (есте ворба деспре домениул де дефиницие а функцией – везь паù. 87), деоарече, дупэ кум ам индикат май сус, рэдэчина кубикэ се поате де екстрас дин орьче нумэр реал. 2)

– функцие импарэ. Ачаста резултэ дин идентитатя

демонстратэ май сус 3) – есте о функцие крескэтоаре пе раза [0; +∞). Ынтр-адевэр, фие 0 x1 < x2; требуе сэ демонстрэм, кэ атунч ши Сэ пресупунем кэ Атунч конформ проприетэций инегалитэцилор нумериче , адикэ x1 x2, чея че контразиче кондицией. Астфел резултэ, кэ пресупунеря ноастрэ есте грешитэ. Ашадар: Деч, дин x1 < x2 резултэ, кэ f(x1) < f(x2). Функция датэ есте крескэтоаре. 4) Функция ну есте мэрùинитэ де сус пе раза [0; +∞). Сэ пресупунем контрариул: фие екзистэ ун нумэр М > 0 астфел ынкыт, пентру орьче x ∈ [0; +∞) есте адевэратэ инегалитатя Луэм пе раза [0; +∞) пунктул х0 = (М + 1)3. Атунч

M + 1 > M. Ашадар, ам афлат ун астфел де пункт х0, ын каре се ындеплинеште инегалитатя f(x0) > M. Ачаста контразиче пресупунеря, кэ пентру орьче x 0, f(x0) < M. Деч пресупунеря ноастрэ есте инкоректэ, функция ну есте мэрùинитэ де сус. Ын ачелашь тимп еа есте мэрùинитэ де жос: пе раза [0; +∞) се ындеплинеште инегалитатя 5) О консечинцэ а проприетэций антериоаре есте урмэтоаря проприетате: yч.м.микэ = 0, yч.м.маре – ну екзистэ. Конструим графикул функцией туим табелул валорилор.

130

пе раза [0; +∞) . Алкэ-

х

0

1

8

у

0

1

2

1,5

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 114а

Фиг. 114б

Сэ конструим ын системул де коордонате пунктеле (0; 0), (1; 1), (8; 2), (фиг. 114а). Уним ачесте пункте принтр-о линие линэ (фиг. 114б), луынд ын консидерацие фаптул, кэ функция есте крескэтоаре ши ну есте мэрùинитэ де сус. Цинынд конт де фаптул, кэ есте о функцие импарэ, адэугэм ла ачест график, конструит ын фигура 114б, рамура симетрикэ луй фацэ де ориùине. Астфел обцинем графикул ынтрег ал функцией (фиг. 115). Проприетэцииле функцией 1) D(f) = (–∞; +∞); 2)

– функцие импарэ;

Фиг. 115 131

3. 3) функция

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

креште пе ынтряга дряптэ нумерикэ;

4) функция ну есте мэрùинитэ нич де жос, нич де сус; 5) функция ну аре нич чя май микэ, нич чя май маре валорь; 6) функция есте неынтреруптэ (континуе) пе тоатэ дряпта нумерикэ; 7) E(f) = (–∞; +∞); 8) функция есте конкавэ пе (–∞; 0] ши конвексэ пе [0; +∞;). Екземплул 2. Резолваць екуация Резолвар е. Конструим ын унул ши ачелашь систем де коордоши у = 10 – х (фиг. 116). Аче-

нате графичеле функциилор

сте графиче се интерсектязэ ын пунктул (8; 2). Деоарече есте о функцие крескэтоаре, яр у = 10 – х – дескрескэтоаре, атунч х = 8 есте уника солуцие а екуацией дате (везь паù. 120). Рэспунс: х = 8.

Фиг. 116 132

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 117 Екземплул 3. Конструиць графикул функцией Резолваре. Сэ тречем ла ун систем де коордонате адэугэтор ку ориùиня ын пунктул (–1; –2) (дрептеле пунктате х = –1, у = –2 ын фигура 117) ши «алипим» ла ачест систем де коордонате функция . Обцинем графикул нечесар (везь фиг. 117). Екземплул 4. Конструиць ши читиць графикул функцией дакэ дакэ Резолваре. Конструим дряпта у = – 2 – х ши луэм партя ей пентру x < –1 (фиг. 118). Конструим графикул функцией ши луэм партя луй пентру x –1 (фиг. 119). Ын континуаре репрезентэм амбеле порциунь обцинуте ын унул ши ачелашь систем де коордонате (фиг. 120). Ачеста ши есте графикул прекэутат. Сэ читим графикул конструит. 1. D(f) = (–∞; +∞). 2. Функция ну есте нич парэ, нич импарэ. 3. Дескреште пе (–∞; –1], креште пе [–1; +∞). 4. Функция есте мэрùинитэ де жос ши ну есте мэрùинитэ де сус. 5. Чя май маре валоаре а функцией липсеште, яр yч.м.микэ = –1. 133

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

Фиг. 118

Фиг. 119

Фиг. 120 6. Функция есте континуе пе ынтряга дряптэ нумерикэ. 7. E(f) = [–1; +∞). Ын ынкееря ачестуй параграф, вом менциона ынкэ о проприетате, каре есте унеорь утилэ ла студиеря функцией, ла конструиря графикулуй ей, ла резолваря инекуациилор прин метода графикэ. Есте ворба деспре интервалеле унде функция ышь пэстрязэ семнул, адикэ ачеле интервале але аксей х, унде функция пэстрязэ ун семн констант. Ашадар, пентру функция, графикул кэрея есте репрезентат ын фигура 120, интервалеле унде функция ышь пэстрязэ семнул сынт: раза дескисэ (–∞; –2) – функция 134

3.

ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ

примеште валорь позитиве; (–2; 0) – пе ачест интервал функция примеште валорь негативе; (0; +∞) – пе ачастэ разэ дескисэ функция примеште валорь позитиве. КОНКЛУЗИЙ æЕНЕРАЛЕ • Ын ачест параграф ной ам фэкут о оарекаре ордине ын куноштинцеле ноастре деспре функций, деспре проприетэцииле ши графичелор лор, каре трептат ау фост формате пе паркурсул студиерий алùебрей ын класеле а 7-я ши а 8-а. • Ам формулат дефиницииле урмэтоарелор ноциунь: функция, домениул де дефиницие, домениул де валорь але функцией; монотония (крештеря ши дескрештеря) функцией; мэрùиниря функцией де жос, де сус; чя май маре ши чя май микэ валорь але функцией; паритатя ши импаритатя функцией. • Аць фэкут куноштинцэ ку модуриле де дефинире а функцией: аналитик, график, табелар, вербал. • Аць фэкут куноштинцэ ку ун шир де термень ной але лимбажулуй математик: функцие парэ, функцие импарэ; функцие путере. • Ам интродус симболурь ной (симболурь ной але лимбажулуй математик): D(f) пентру нотаря домениулуй де дефиницие а функцией y = f(x); E(f) пентру нотаря домениулуй де валорь але функцией y = f(x). • В-аць куноскут ку моделеле математиче ной – функцииле y = xn, y = x–n, унде n – нумэр натурал ши функция ам екзаминат проприетэцииле ши графичеле лор. • Ам дискутат деспре карактеристичиле ùеометриче але графикулуй: функцией крескэтоаре, функцией дескрескэтоаре; функцией паре ши импаре; функцией мэрùините де жос, мэрùините де сус; функцией континуе; функцией конкаве ши функцией конвексе. 135

КАПИТОЛУЛ

4

ПРОГРЕСИЙ § 15. Ширурь нумериче § 16. Прогресия аритметикэ § 17. Прогресия æеометрикэ Конклузий æенерале

§ 15. ШИРУРЬ НУМЕРИЧЕ 1. Дефиниция ширулуй нумерик Сэ черчетэм функцииле: 1) y = x2, x ∈ [0; 1]; 2) y = x2, x ∈ [0; +∞);

3) y = x2;

4) y = x2, x ∈ N;

Тоате ачесте функций сынт дефините прин уна ши ачеяшь формулэ y = x2, дар доменииле де дефиницие а лор сынт диферите. Ын примул каз D(f) = [0; 1]. Ын ал дойля – D(f) = [0; +∞). Ын чел де ал трейля каз – домениул де дефиницие а функцией ну есте индикат. Конформ унор леùь але математичий, ын ачест каз, се субынцелеùе кэ домениул D(f) коинчиде ку домениул де дефиницие а експресией, каре дефинеште ачастэ функцие, адикэ ку домениул де дефиницие а експресией х2: D(f) = (–∞; +∞). Ши ын сфыршит, ын казул ал патруля домениул де дефиницие а функцией есте мулцимя нумерелор натурале N: D(f) = N. Графичеле ачестор функций сынт репрезентате ын фигуриле 121–124. Фиць де акорд, кэ примеле трей функций сынт май обишнуи-те пентру вой декыт а патра функцие. Пе паркурсул а трей ань де студиере а алùебрей ам анализат о мулциме де функций, дар домениул де дефиницие а лор, практик, ын мажоритатя казурилор а фост ун интервал сау интерсекция а май мултор интервале, яр графичеле лор репрезентау уна сау кытева линий континуй. Дар кум стау лукруриле ку чя де а патра функцие? Домениул ей де дефиницие есте мулцимя нумерелор натурале, формат дин пункте индивидуале (математичиений май спун: дин пункте изолате); респектив 136

4.

ПРОГРЕСИЙ

ши графикул функцией дате есте формат тот дин пункте индивидуале. Се пуне ынтребаря: есте нечесар оаре сэ студием астфел де функций, дефините пе мулцимя нумерелор натурале, се ынтылнеск оаре астфел де функций ын вяца де тоате зилеле; май бине спус, се ынтылнеск оаре астфел де ситуаций реале, ын каре моделеле математиче сынт функций ку домениул де дефиницие N?

Фиг. 121

Фиг. 123

Фиг. 122

Фиг. 124 137

4.

ПРОГРЕСИЙ

Сэ не аминтим де проблема дин мануалул де «Алùебра–7». Ла ун депозит сынт 500 т де кэрбуне. Зилник се адук кыте 30 т де кэрбуне. Кыте тоне де кэрбуне вор фи ла депозит песте о зи, 2 зиле, 3 зиле, 15 зиле ш.а.м.д.? Дакэ консидерэм кэ х индикэ нумэрул де зиле, яр у – кантитатя де кэрбуне (ын тоне), атунч моделул математик ал ситуацией дате есте дефинит де о функцие линиарэ, дефинитэ пе мулцимя нумерелор натурале N: y = 500 + 30x, x ∈ N. Ун алт екземплу. Пе ун конт банкар сынт депусе а руб., лунар банка апликэ о мажораре де р%. Че сумэ де бань ва фи пе ачест конт песте о лунэ, 2 лунь, 12 лунь ш.а.м.д.? Моделул математик ал ачестей ситуаций есте функция y = a ∙ 2kx, x ∈ N, унде у – сума депунерий (ын рубле), х – нумэрул де лунь ынтреùь де ла дескидеря контулуй, яр k – ун оарекаре коефичиент позитив, легат де прочентул банкар р (де обичей се фолосеште формула апроксимативэ k ≈ 0,014p). Астфел ам обцинут рэспунс ла ынтребаря де май сус: да, функцииле дефините пе мулцимя нумерелор натурале (y = f(x), x ∈ N), сынт нечесаре де студият. Нотаря y = f(x), x ∈ N, де обичей се ынлокуеште прин y = f(n), унде аргументул n – есте ун нумэр натурал (x ∈ N). Атунч ын екземплеле черчетате май сус авем: y = x2, x ∈ N се ынлокуеште прин y = n2; y = 500 + 30x, х ∈ N се ынлокуеште прин y = 500 + 30n; y = a ∙ 2kx, х ∈ N се ынлокуеште прин y = a ∙ 2kп. Ши ятэ деспре че с-ау май ынцелес математичиений: дакэ y = f(n), атунч ын лок де f(1) вом скрие у1, ын лок де f(2) се скрие у2, ын лок де f(3) – у3, ын лок де f(n) се скрие уn ш.а.м.д. Валориле функцией y = f(n) пот фи скрисе консекутив уна дупэ алта: f(1), f(2), f(3), …, f(n), … сау кореспунзэтор у1, у2, у3, …, yn, … . Де екземплу, пентру функция y = n2 авем: у1 = 12 = 1; у2 = 22 = 4; у3 = 32 =9; у4 = 42 = 16 ш.а.м.д. Валориле обцинуте пот фи скрисе консекутив уна дупэ алта: 1, 4, 9, 16, ... n2, ... . 138

4.

ПРОГРЕСИЙ

Нумэрул 1 ын ачастэ ынскриере се афлэ пе примул лок, 4 – пе локул дой, 9 – пе локул ал трейля, 16 – пе локул ал патруля, n2 – пе ал n-ля лок.

Дефиницие 1. Функция y = f(x), x ∈ N, се нумеште функцие де аргумент натурал сау шир нумерик ши се нотязэ у = f(n) сау у1, у2, у3, …, yn, … . Валориле у1, у2, у3 (ш.а.м.д.) се нумеск кореспунзэтор примул, ал дойля, ал трейля (ш.а.м.д.) термень ай ширулуй. Ын симболул yn нумэрул n се нумеште индиче, каре аратэ нумэрул де ордине ал терменулуй ширулуй. Ын унеле казурь пентру нотаря ширулуй се фолосеште ши нотаря (yn). Обсерваць, кэ ла нотаря ширулуй нумерик се фолосеште пункте-пункте (се аре ын ведере у1, у2, у3, …, yn, … ). Ачаста индикэ, кэ ла дряпта де у3 се афлэ урмэторий термень ай ширулуй (у4, у5, у6 ш.а.м.д.), май ла стынга де уn се афлэ yn – 1 ши yn + 1 – ла дряпта (дакэ есте нечесар се нотязэ ши ачешть термень). Пречедентул терменулуй yn – 1 есте терменул yn – 2, яр дупэ yn + 1 урмязэ yn +2 ш.а.м.д. Термений ширулуй де обичей се нотязэ прин литере. Де екземплу: х1, х2, х3, …, хn, …, сау а1, а2, а3, …, аn, …, сау b1, b2, b3, …, bn, … ш.а.м.д. Дупэ кыте штим, функция се дефинеште прин диферите модурь, де екземплу: аналитик, график, вербал (везь § 9). Ла рындул сэу ши ширул, де асеменя, поате фи дефинит прин диферите модурь, принтре каре челе май импортанте сынт трей: аналитик, вербал ши рекурент. 2. Дефиниря аналитикэ а ширулуй Се спуне, кэ ун шир есте дефинит аналитик, дакэ есте датэ формула терменулуй ал n-ля ал ширулуй yn = f(n). Екземплул 1. уn = n2. Ачаста есте дефиниря аналитикэ а ширулуй 1, 4, 9, 16, …, n2, …, деспре каре ам ворбит май сус. Пентру валорь конкрете але луй n, се поате де афлат терменул ширулуй ку индичеле кореспунзэтор. Дакэ, де екземплу, n = 9, атунч у9 = 92, адикэ у9 = 81; дакэ n = 27, атунч у27 = 272, адикэ у27 = 729. Димпотривэ, дакэ куноаштем ун анумит термен ал ширулуй, се поате де афлат индичеле луй. Де екземплу, дакэ yn = 625, атунч дин екуация n2 = 625 обцинем, кэ n = 25. Ачаста индикэ, кэ нумэрул 625 се афлэ пе локул ал 25-ля ал ширулуй дат. 139

4.

ПРОГРЕСИЙ

Екземплул 2.

Консекутив авем:

Астфел, ам обцинут ширул

Обсервэм, кэ ачест шир путя фи дефинит ши аналитик принтр-о функцие пе порциунь y = f(n), унде дакэ n – нумэр натурал импар; дакэ n – нумэр натурал пар. Дупэ кум ам прочедат ын екземплул пречедент, се поате де афлат орьче термен ал ширулуй ку индичеле кореспунзэтор. Де екземплу,

яр

Е к з е м п л у л 3. y n = C . А и ч е с т е в о р б а д е с п р е ш и р у л С , С , С , … , С, …, каре се нумеште констант (сау стационар). Екземплул 4. yn = 2n. Ачаста есте дефиниря аналитикэ а ширулуй 2, 22, 23, 24, …, 2n, … . Дупэ кум обсерваць, куноскынд формула терменулуй ал n-ля ал ширулуй (терменул ùенерал), фэрэ греутате се поате де афлат примул, ал дойля, ал трейля термен ал луй ши, ын ùенере, орьче термен де орьче ордин. Май дифичил, дар ла рындул сэу ши май интересант, есте резолваря проблемей инверсе: де гичит формула посибилэ а терменулуй ал n-ля ал ширулуй, дакэ сынт 140

4.

ПРОГРЕСИЙ

куноскуць примий кыцьва термень ай луй. Вэ презентэм унеле екземпле де ачест тип, унде есте нечесар де гичит формула терменулуй ал n-ля ал ширулуй. Екземплул 5. 1, 3, 5, 7, 9, … . Аич yn = 2n – 1 (ширул нумерелор импаре). Екземплул 6. 2, 4, 6, 8, 10, … . Аич yn = 2n (ширул нумерелор паре). Екземплул 7. 4, 8, 12, 16, 20, … . Аич yn = 4n. Екземплул 8. 7, 11, 15, 19, 23, … . Фиекаре термен ал ширулуй есте ку 3 унитэць май маре декыт терменул кореспунзэтор дин екземплул пречедент. Ашадар, y n = 4n + 3. Ын фигура 125 есте репрезентат графикул ширулуй yn = 4n + 3, адикэ графикул функцией у = 4х + 3, x ∈ N. Ел есте алкэтуит дин пунктеле дрептей у = 4х + 3 ку абсчиселе х = 1, х = 2, х = 3 ш.а.м.д.

Фиг. 125 141

4.

ПРОГРЕСИЙ

Екземплул 9. Аич

(верификаць де сине стэтэтор!).

Екземплул 10. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … . Аич yn = 2n –1.

3. Дефиниря вербалэ а ширулуй Вом лэмури есенца ачестей методе де дефинире а ширулуй ын база унуй екземплу конкрет. Фие = 1,41421... . Ку ачест нумэр ирационал пот фи асочияте диверите ширурь нумериче, де екземплу: 1) ширул апроксимациилор зечимале прин липсэ ал нумэрулуй : 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, …; 2) ширул апроксимациилор зечимале прин адаус ал нумэру: 2, 1,5, 1,41, 1,415, 1,4143, 1,41422, …; луй 3) ширул семнелор зечимале ал нумэрулуй 1,41421 …: 1, 4, 1, 4, 2, 1, … . Ын тоате челе трей казурь регула де формаре а ширулуй есте дескрисэ прин кувинте (ну принтр-о формулэ). Фие ун алт екземплу – ширул нумерелор приме: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … . Ширул есте дат (дефинит) прин кувинте. Детерминаря дефинирий аналитиче а ширулуй дупэ дескриеря вербалэ а луй, адеся, есте о проблемэ фоарте компликатэ (унеорь ши фэрэ резултат).

4. Дефиниря рекурентэ а ширулуй О методэ импортантэ де дефинире а ширулуй есте, кэ се индикэ регула, каре пермите сэ афлэм терменул ал n-ля ал ширулуй, дакэ куноаштем термений пречеденць ай луй. Ла калкуларя терменилор ширулуй, конформ ачестей регуль, ной ка ши кум не ынтоарчем перманент ынапой; кларификэм, ку кыт сынт егаль термений пречеденць. Ачастэ методэ се нумеште рекурентэ (де ла кувынтул латин recurrere – а ревени). Ын челе май десе казурь се индикэ формула, каре експримэ 142

4.

ПРОГРЕСИЙ

терменул ал n-ля ал ширулуй прин чей пречеденць ши унул-дой термень инициаль ай луй. Сэ екзаминэм унеле екземпле. Екземплул 11. у1 = 3; yn = yn-1 + 4, дакэ n = 2, 3, 4, … . Ку алте кувинте, терменул ал n-ля ал ширулуй се обцине адэугынд ла терменул ку индичеле (n – 1) (терменул пречедент) нумэрул 4. Авем:

y1 = 3; y2 = y1 + 4 = 3 + 4 = 7; y3 = y2 + 4 = 7 + 4 = 11; y4 = y3 + 4 = 11 + 4 = 15 ш.а.м.д.

Ашадар, обцинем ширул 3, 7, 11, 15, ... . Менционэм, кэ ачест шир поате фи дефинит ши ын мод аналитик: уn = 4n – 1 (верификаць!). Екземплул 12. у1 = 3; yn = 2yn-1, дакэ n = 2, 3, 4, … . Ку алте кувинте, терменул ал n-ля ал ширулуй се обцине ынмулцинд терменул ку индичеле (n – 1) ку нумэрул 2. y1 = 3; y2 = 2y1 = 2 ∙ 3 = 6; y3 = 2y2 = 2 ∙ 6 = 12; y4 = 2y3 = 2 ∙ 12 = 24 ш.а.м.д. Ашадар, обцинем ширул 3, 6, 12, 24, ... . Менционэм, кэ ши ын ачест каз се поате де трекут ла модул аналитик де дефинире а ширулуй: уn = 3 ∙ 2n – 1 (верификаць!). Авем:

Екземплул 13. y1 = 1; y2 = 1; yn = yn-2 + yn-1, дакэ n = 3, 4, 5, … . Ку алте кувинте, терменул ал n-ля ал ширулуй есте егал ку сума челор дой термень пречеденць ай луй. Авем:

y1 = 1; y2 = 1; y3 = y1 + y2 y4 = y2 + y3 y5 = y3 + y4 y6 = y4 + y5

= 1 + 1 = 2; = 1 + 2 = 3; = 2 + 3 = 5; = 3 + 5 = 8 ш.а.м.д. 143

4.

ПРОГРЕСИЙ

Ашадар, обцинем ширул 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Ачест шир се студиязэ спечиал ын математикэ, деоарече ел поседэ фоарте мулте проприетэць неспус де интересанте. Ел се нумеште ширул луй Фибоначчи – ын нумеле математичианулуй италиан ал сек. XIII. Ширул луй Фибоначчи фоарте симплу се дефинеште рекурент, дар аналитик – фоарте компликат (ел есте дефинит прин формула луй Бинé: Принтре шируриле дефините рекурент се евиденциязэ доуэ казурь симпле ши ын ачелашь тимп фоарте импортанте. Примул каз. Се дэ примул термен ал ширулуй у1 = а ши релация рекурентэ yn = yn-1 + d (a ши d – нумере), унде n = 2, 3, 4, … . Казул ал дойля. Се дэ примул термен ал ширулуй у1 = b ши релация рекурентэ yn = yn-1 ∙ q (b ши q – нумере), унде n = 2, 3, 4, … . Ын примул каз се спуне, кэ авем о прогресие аритметикэ (везь екземплул 11, аич а = 3, d = 4). Ын ал дойля каз авем о прогресие ùеометрикэ (везь екземплул 12, унде b = 3, q = 2). Май деталият деспре ачесте прогресий вом ворби ын § 16 ши 17.

5. Ширурь монотоне Ширул нумерик – есте ун каз партикулар ал функцией нумериче. Астфел, унеле проприетэць але функцией сынт екзаминате ши ка проприетэць але ширулуй нумерик. Ла момент, не лимитэм доар ку проприетатя де монотоние (деспре челелалте проприетэць але шурулуй нумерик вом ворби ын класа а 10-я ын курсул де «Алùебрэ ши елементе де анализэ»). Д е ф и н и ц и е 2. Ширул (yn) се нумеште крескэтор, дакэ фиекаре термен ал луй (ын афарэ де примул) есте май маре декыт чел пречедент: y1 < y2 < y3 < y4< ... < yn < yn + 1 < ... .

Д е ф и н и ц и е 3. Ширул (yn) се нумеште дескрескэтор, дакэ фиекаре термен ал луй (ын афарэ де примул) есте май мик декыт чел пречедент: y1 > y2 > y3 > y4> ... > yn > yn + 1 > ... . 144

4.

ПРОГРЕСИЙ

Шируриле крескэтоаре ши дескрескэтоаре се унеск принтр-ун термен ùенерал – ширурь монотоне. Екземплул 14. 1, 3, 5, 7, …, 2n – 1, … . Авем ун шир крескэтор. Екземплул 15. Авем ун шир дескрескэтор. Екземплул 16. Ачест шир ну есте нич крескэтор, нич дескрескэтор (шир немонотон). Екземплул 17. y = 2n. Есте ворба деспре ширул нумерик 2, 4, 8, 16, 32, … . Ачест шир есте крескэтор. Ын ùенере, дакэ a > 1, атунч ширул yn = an есте крескэтор. Екземплул 18. Есте ворба деспре ширул нумерик

Ачест

шир есте дескрескэтор. Ын ùенере, дакэ 0 < a < 1, атунч ширул yn = an есте дескрескэтор.

§ 16. ПРОГРЕСИЯ АРИТМЕТИКЭ 1. Ноциунь ӂенерале Д е фи ни ц и е. Прогресие аритметикэ се нумеште ширул, фиекаре термен ал кэруя, ынчепынд ку ал дойля, есте егал ку терменул пречедент, адунат ку унул ши ачелаш нумэр d. Нумэрул d се нумеште рация прогресией аритметиче. Ашадар, прогресия аритметикэ – есте ширул нумерик (an), дефинит рекурент прин релацииле:

(унде a ши d – сынт нумере дате). 145

4.

ПРОГРЕСИЙ

Се поате оаре, принтр-о привире, сэ детерминэм есте сау ну, ширул нумерик дат о прогресие аритметикэ? Да, се поате. Дакэ не путем конвинùе ын фаптул, кэ диференца динтре орьче термен ал ширулуй, ынчепынд ку ал дойля ши терменул пречедент есте константэ (адикэ а2 – а1 = а3 – а2 = а4 – а3 = …), атунч авем о прогресие аритметикэ. Десигур, ачест лукру пресупуне кэ леùя обцинутэ есте жустэ ну нумай пентру термений индикаць, дар ши пентру тоць термений ширулуй ын ансамблу. Екземплул 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … . Ачаста есте о прогресие аритметикэ, унде a1 = 1, d = 2. Екземплул 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4, … . Ачаста есте о прогресие аритметикэ, унде a1 = 20, d = –3. Екземплул 3. 8, 8, 8, 8, 8, 8,, … . Ачаста есте о прогресие аритметикэ, унде a1 = 8, d = 0. Есте евидент, кэ прогрессия аритметикэ есте ун шир крескэтор, дакэ d > 0 (везь екземплул 1), ши инверс есте ун шир дескрескэтор дакэ d < 0 (везь екземплул 2). Ын унеле казурь, пентру а индика кэ ширул (an) есте о прогресие аритметикэ, се фолосеште ши нотаря: .. a , a , a , ... , a ... . 1

2

n

3

Семнул .. ынлокуеште ымбинаря де кувинте «прогресия аритметикэ». Дакэ ын прогресия аритметикэ вом ынлэтура тоць термений каре урмязэ дупэ ун оарекаре термен конкрет ал ширулуй, де екземплу, термений че урмязэ дупэ an, атунч обцинем о прогресие аритметикэ финитэ .. a , a , a , ... , a . 1

2

n

3

Унеорь, пентру о ынреùистраре май кларэ, ын прогресия аритметикэ финитэ уний термень ай ей се индикэ ну нумай ла ынчепутул прогресией, дар ши ла сфыршитул ей, де екземплу: .. a , a , a , ... , a , a , a . 1

2

3

n–2

n–1

n

Ын континуаре вом студия челе май импортанте проприетэць але прогресией аритметиче. 146

4.

ПРОГРЕСИЙ

2. Формула терменулуй ал n-ля ал прогресией аритметиче Прогресия аритметикэ, деспре каре есте ворба ын дефиниция де май сус, есте дефинитэ прин метода рекурентэ. Ын мулте казурь еа ну есте потривитэ: де екземплу, пентру а афла терменул а100, май ынтый де тоате есте нечесар де а афла чей 99 термень премергэторь ай прогресией. Ачесте калкуле пот фи симплификате, дакэ куноаштем формула терменулуй ал n-ля, адикэ сэ тречем ла дефиниря аналитикэ а прогресией аритметиче. Сэ черчетэм прогресия аритметикэ а1, а2, а3, …, аn, … ку рация d. Авем: а1 = а1, а2 = а1 + d а3 = а2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d, а4 = а3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d, а5 = а4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d ш.а.м.д. Ашадар, пентру орьче n есте жустэ егалитатя

(1) Ам обцинут формула терменулуй ал n-ля ал уней прогресий аритметиче. О обсервацие импортантэ. «А гичи», «а кибзуи» ш.а.м.д. – сынт ымбинэрь де кувинте дин домениул интуицией, унор причеперь. Десигур, математичиений се фолосеск де еле, доар пентру а дескопери унеле евенименте ной, дар ну пентру аргументаря лор. Практик, ной ам «симцит», ам «обсерват» формула (1), дар н-ам аргументат-о. Сэ демонстрэм ачастэ формулэ. Дакэ n = 1, атунч a1 = a1 + (1 – 1)d – есте о егалитате адевэратэ, адикэ формула (1) пентру n = 1 есте жустэ. Пресупунем, кэ формула (1) есте жустэ пентру ун нумэр натурал n = k, деч ak = a1 + (k – 1)d. Сэ демонстрэм, кэ формула (1) есте жустэ ши пентру нумэрул натурал n = k + 1, ашадар, сэ демонстрэм, кэ ak+1 = a1 + kd. Ынтр-адевэр, конформ дефиницией прогресией аритметиче ak+1 = ak + d. Ын континуаре, обцинем: ak+1 = ak + d = (a1 + (k – 1)d) + d = a1 + kd. 147

4.

ПРОГРЕСИЙ

Ашадар: пентру n = 1 формула (1) есте жустэ (ачаста ной ам верификат). Ам демонстрат, кэ дакэ формула (1) есте жустэ пентру n = k, атунч еа есте жустэ ши пентру n = k + 1. Конформ ачестор рационаменте, авем: формула (1) есте жустэ пентру n = 1, резултэ, кэ еа есте жустэ ши пентру n = 2; деоарече еа есте жустэ пентру n = 2, атунч еа есте жустэ ши пентру n = 3 ш.а.м.д. Деч, формула (1) есте жустэ пентру орьче нумэр натурал n. Метода жудекэрий експусе май сус, се нумеште «метода индукцией математиче».

Сэ скрием формула терменулуй ал n-ля ал прогресией аритметиче an = a1 + (n – 1)d астфел an = dn + (a1 – d). Нотэм: an = у, a1 – d = m. Обцинем: y = dn + m, сау y = dx + m, x ∈ N. Ашадар, прогресия аритметикэ поате фи екзаминатэ ка о функцие линиарэ (y = dn + m), дефинитэ пе мулцимя нумерелор натурале N. Коефичиентул унгюлар ал ачестей функций есте d – рация прогресией аритметиче. Графикул прогресией аритметиче (ын казул, кынд d > 0) скематик есте репрезентат ын фигура 126 – пунктеле изолате пе дряптэ ку абсчиселе х = 1, х = 2, х = 3 ш.а.м.д. Сэ ревеним ла екземплул 1 ши 2, черчетате май сус. 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … . Ачаста есте прогресие аритметикэ, унде a1 = 1, d = 2. Сэ алкэтуим формула терменулуй ал n-ля: аn = а1 + (n – 1)d; аn = 1 + (n – 1) ∙ 2; аn = 2n – 1.

Фиг. 126 148

4.

ПРОГРЕСИЙ

(Ремаркэм, кэ ачастэ формулэ путя фи гичитэ, деоарече ла диспозицие авем ширул нумерелор импаре 1, 3, 5, 7, … .) 2) 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4, … . Ачаста есте прогресие аритметикэ, унде a1 = 20, d = –3. Сэ алкэтуим формула терменулуй ал n-ля: аn = а1 + (n – 1)d; аn = 20 + (n – 1) ∙ (–3); аn = 23 – 3n. Екземплул 4. Се дэ прогресия аритметикэ a1, a2, a3, ... , an ... . а) Се штие, кэ a1 = 5, d = 4. Афлаць а22. б) Се штие, кэ a1 = –2, d = 3, an = 118. Афлаць n. в) Се штие, кэ d = –2, a39 = 83. Афлаць а1. г) Се штие, кэ a1 = 7, а15= –35. Афлаць d. Резолваре. Ла резолваря ачестуй екземплу, ын тоате казуриле апликэм формула терменулуй ал n-ля ал прогресией аритметиче: аn = а1 + (n – 1)d. a) a22 = a1 + 21d = 5 + 21 ∙ 4 = 89. б) аn = а1 + (n – 1)d; 118 = –2 + (n – 1) ∙ 3;

118 = 3n – 5; n = 41. в) a39 = a1 + 38d; 83 = a1 + 38 ∙ (–2); a1 = 159. г) a15 = a1 + 14d; –35 = 7 + 14d; 14d = –42; d = –3. Рэспунс: a) a22 = 89; б) n = 41; в) a1 = 159; г) d = –3. Екземплул 5. Ла ымпэрциря терменулуй ал ноуля ал уней прогресией аритметиче ла терменул ал дойля ал ей обцинем 7; ла ымпэрциря терменулуй ал зечеля ал прогресией ла терменул ал 149

4.

ПРОГРЕСИЙ

чинчиля ал ей, обцинем 2 ши рест 5. Афлаць терменул ал доуэзечеля ал прогресией дате. Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Кондиция проблемей, пе скурт поате фи скрисэ ши астфел: 1) .. a1, a2, a3, ... , an, ... ; 2) a9 = 7a2; 3) a10 = 2a5 + 5. Апликынд формула терменулуй ал n-ля ал прогресией аритметиче, обцинем: a9 = a1 + 8d, a2 = a1 + d, a10 = a1 + 9d, a5 = a1 + 4d. Атунч а доуа кондицие а проблемей (а9 = 7а2) поате фи скрисэ ын форма a1 + 8d = 7(a1 + d), адикэ d = 6a1. А трея кондицие (а10 = 2а5 + 5) примеште форма a1 + 9d = 2(a1 + 4d) + 5, деч d = a1 + 5. Ын резултат обцинем фоарте симплу ун систем де доуэ екуаций линиаре ку доуэ вариабиле а1 ши d:

каре ын комбинаре ку кондиция де май сус 1) ши репрезинтэ моделул математик ал проблемей. Етапа а доуа. Лукрул ку моделул алкэтуит. Резолвынд системул де екуаций, обцинем: a1 = 1, d = 6. Ашадар, путем скрие прогресия аритметикэ 1, 7, 13, 19, 25, 31, … . 150

4.

ПРОГРЕСИЙ

Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Сэ афлэм а20. Авем: а20 = а1 + 19d = 1 + 19 ∙ 6 = 115. Рэспунс: а20 = 115. Обсервацие. Ын екземплул черчетат май сус а фост ворба деспре ун модел математик конкрет – о прогресие аритметикэ. Прима етапэ а резолвэрий ам нумит-о, ка де обичей, «алкэтуиря моделулуй математик». Астфел резултэ, кэ ной ам алкэтуит ун модел математик пентру ун модел математик. Кум де ынцелес? Фаптул констэ ын ачея, кэ ла резолваря проблемелор, десеорь ун модел математик се ынлокуеште принтр-ун алт модел май симплу. Аша стау лукруриле ши ын екземплул дат: моделул математик, алкэтуит прин кондицииле 1), 2) ши 3), а фост ынлокуит принтр-ун модел обишнуит – системул де екуаций.

3. Формула сумей терменилор прогресией аритметиче фините Фие датэ прогресия аритметикэ финитэ .. a , a , a , ... , a , a , a . 1

2

3

n–2

n–1

n

Нотэм прин Sn сума терменилор прогресией: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an. Адучем ун екземплу конкрет де калкуларе а Sn. Се дэ прогресия аритметикэ финитэ 1, 2, 3, …, 98, 99, 100. Сэ калкулэм сума терменилор ачестуй шир, астфел: S100 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = = 101 + 101 + 101 +... + 101 = 101 ∙ 50 = 5050 50 термень

Апроксиматив ачеяшь идее се апликэ ла калкуларя сумей терменилор уней прогресий аритметиче арбитраре. Обсервэм, кэ a2 + an–1 = a1 + an. 151

4.

ПРОГРЕСИЙ

Ынтр-адевэр, конформ дефиницией прогресией аритметиче a2 = a1 + d, an–1 = an – d. Ашадар, a2 + an–1 = (a1 + d) +(an – d) = a1 + an. Аналоùик констатэм, кэ a3 + an–2 = a2 + an–1 = a1 + an ши, ын ùенере, сума терменулуй, каре се афлэ пе локул k де ла ынчепутул прогресией аритметиче фините ши а терменулуй, каре се афлэ пе локул k де ла сфыршитул ей, есте егалэ ку сума примулуй ши а ултимулуй термен ал прогресией: ak + an–k+1 = a1 + an. Сэ калкулэм Sn. Авем:

Адунынд термен ку термен амбеле егалитэць, обцинем:

Ын партя дряптэ а егалитэций авем n перекь де термень, унде фиекаре переке, дупэ кум ам констатат май сус, есте егалэ ку a1 + an. Ашадар,

Формула сумей примилор n термень ай уней прогресий аритметиче. Екземплул 6. Фие датэ прогресия аритметикэ финитэ a1, a2, a3, ... , an. а) Сэ штие, кэ a1 = 5, d = 4, n = 22. Афлаць Sn, адикэ S22. б) Се штие, кэ a1 = 7, n = 8, S8 = 140. Афлаць d. Резолваре. а) Авем: a22 = a1 + 21d = 5 +21 ∙ 4 = 89. Деч, 152

4.

ПРОГРЕСИЙ

б) Ын примул рынд сэ афлэм а8. Авем:

Апликынд асупра луй а8 формула терменулуй ал n-ля ал прогресией аритметиче, обцинем:

Рэспунс: а) S22 = 1034; б) d = 3. Екземплул 7. Афлаць сума тутурор нумерелор паре ку трей чифре. Ре золваре . Есте ворба деспре сума терменилор прогресией аритметиче фините 100, 102, 104, …, 998. Ын ачастэ прогресие а1 = 100, an = 998, d = 2. Есте нечесар, сэ афлэм Sn, дар де ла бун ынчепут есте де дорит сэ штим, ку че есте егал n, адикэ кыць термень се концин ын прогресия аритметикэ финитэ датэ. Консекутив авем:

Ашадар, a1 = 100, n = 450, an = 998. Сэ афлэм Sn, адикэ S450. Авем:

Менционэм, кэ ын унеле казурь, е май комод сэ апликэм формула сумей а n термень ай уней прогресий аритметиче, експриматэ прин о алтэ формэ. Дакэ ын формула пентру Sn консидерэм, кэ an = a1 + d(n – 1), атунч обцинем формула:

153

4.

ПРОГРЕСИЙ

Приоритатя ачестей формуле констэ ын фаптул, кэ Sn поате фи калкулатэ, дакэ куноштем примул термен ал прогресией а1 ши рация d, индиферент дакэ куноаштем сау ну ал n-ля термен an. Екземплул 8. Ун турист, каре се депласязэ пе ун друм де царэ, ын прима орэ а паркурс 800 м де друм. Яр ын фиекаре урмэтоаре орэ паркурùе ку 25 де метри май пуцин, декыт ын ора пречедентэ. Кыт тимп с-а афлат туристул ын друм, дакэ тот друмул алкэтуеште 5700 м? Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Ын прима орэ туристул а паркурс 800 м, ын а доуа орэ – 775 м, яр ын а трея орэ – 750 м ш.а.м.д. Моделул математик есте прогресия аритметикэ финитэ .. a , a , a , ... , a , 1 2 3 n унде а1 = 800, d = –25, Sn = 5700. Требуе де афлат n – тимпул (ын оре). Етапа а доуа. Лукрул ку моделул алкэтуит. Утилизынд а доуа формулэ пентру Sn, обцинем:

(ымпэрцим амбеле пэрць але екуацией ла 25);

Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Се пуне ынтребаря, кыт тимп с-а афлат ын друм туристул. Кондиция проблемей сатисфаче солуция n = 8. Верификаць: 800 + 775 + 750 + 675 + 650 + 625 = 5700. Рэспунс: туристул с-а афлат ын друм 8 оре. 154

4.

ПРОГРЕСИЙ

4. Проприетатя карактеристикэ прогресией аритметиче Се дэ прогресия аритметикэ а1, а2, а3. …, an, … . Сэ черчетэм трей термень алеаторь ай прогресией: an – 1, an, an + 1. Се штие кэ

Адунынд термен ку термен егалитэцииле дате, обцинем:

Деч, фиекаре термен ал прогресией аритметиче, ын афарэ де примул (ши ултимул – дакэ прогресия есте финитэ), есте егал ку медия аритметикэ динтре терменул пречедент ши чел урмэтор ал прогресией. Есте жустэ ши афирмация инверсэ: дакэ (an) есте ун астфел де шир, унде пентру орьче n > 1 се сатисфаче кондиция

атунч (an) есте о прогресие аритметикэ. Ынтр-адевэр, ултима егалитате поате фи скрисэ ши астфел: an – an – 1 = an + 1 – an. Де аич резултэ, ын партикулар, кэ a2 – a1 = a3 – a2, a3 – a2 = a4 – a3 ш.а.м.д. Ку алте кувинте, диференца динтре орьче термен ал ширулуй нумерик ши терменул урмэтор ал луй есте константэ. Ачаста ши индикэ кэ се дефинеште о прогресие аритметикэ. Астфел ам демонстрат урмэтоаря теоремэ.

Теоремэ

Ширул нумерик есте о прогресие аритметикэ атунч ши нумай атунч, кынд фиекаре термен ал луй, ын афарэ де примул (ши ултимул – дакэ прогресия есте финитэ), есте егал ку медия аритметикэ динтре терменул пречедент ши чел урмэтор ал прогресией (проприетатя карактеристикэ прогресией аритметиче).

Екземплул 9. Пентру че валорь але луй х нумереле 3х + 2, 5х – 4 ши 11х + 12 формязэ о прогресие аритметикэ финитэ? 155

4.

ПРОГРЕСИЙ

Резолваре. Конформ проприетэций карактеристиче, експресииле дате сатисфак релация

Резолвынд ачастэ екуацие, обцинем:

Пентру ачастэ валоаре а луй х експресииле дате 3х + 2, 5х – 4, 11х + 12 примеск валориле кореспунзэтоаре –14,5, –31,5, –48,5. Авем о прогресие аритметикэ ку рация егалэ ку –17. Рэспунс: х = –5,5.

§ 17. ПРОГРЕСИЯ ӁЕОМЕТРИКЭ Пентру ушуринца чититорилор, конструим ачест параграф дупэ ачелашь план, релатат ын параграфул пречедент.

1. Ноциунь ӂенерале Д е фи н и ц и е. Прогресие æеометрикэ се нумеште ширул де нумере, диферите де зеро, фиекаре термен ал кэруя, ынчепынд ку ал дойля, есте егал ку терменул пречедент, ынмулцит ку унул ши ачелаш нумэр q. Нумэрул q се нумеште рацие а прогресией ùеометриче. Ашадар, прогресия ùеометрикэ – есте ширул нумерик (bn), дефинит рекурент прин релацииле:

(унде b ши q – сынт нумере, b ≠ 0, q ≠ 1). Се поате оаре, принтр-о привире, сэ детерминэм есте сау ну, ширул нумерик дат о прогресие ùеометрикэ? Да, се поате. Дакэ не путем конвинùе ын фаптул, кэ рапортул орькэруй термен ал ей, ынчепынд ку ал дойля, фацэ де терменул пречедент есте констант (адикэ b2 : b1 = b3 : b2 = b4 : b3 = …), атунч авем о прогресие ùеометрикэ. 156

4.

ПРОГРЕСИЙ

Екземплул 1. 1, 3, 9, 27, 81, … . Ачаста есте о прогресие ùеометрикэ, унде b1 = 1, q = 3. Екземплул 2. Ачаста есте о прогресие ùеометрикэ, унде

.

Екземплул 3. Ачаста есте о прогресие ùеометрикэ, унде Екземплул 4. 8, 8, 8, 8, 8, 8, … . Ачаста есте о прогресие ùеометрикэ, унде b1 = 8, q = 1. Вэ реаминтим, кэ ачест шир есте ши о прогресие аритметикэ (везь екземплул 3 дин § 16). Екземплул 5. 2, –2, 2, –2, 2, –2, … . Ачаста есте о прогресие ùеометрикэ, унде b1 = 2, q = –1. Есте евидент кэ прогресия ùеометрикэ есте ун шир крескэтор, дакэ b1> 0, q > 1 (везь екземплул 1), ши инверс есте ун шир дескрескэтор, дакэ b1> 0, 0 < q < 1 (везь екземплул 2). Ын унеле казурь, пентру а индика кэ ширул (bn) есте о прогресие ùеометрикэ, се фолосеште ши нотаря: Семнул ынлокуеште ымбинаря де кувинте «прогресия ùеометрикэ». Дакэ ширул

есте о прогресие ùеометрикэ, атунч ши ширул пэтрателор, адикэ алкэтуеште о прогресие ùеометрикэ. А доуа прогресие ùеометрикэ аре примул термен егал ку яр рация егалэ ку q2. 157

4.

ПРОГРЕСИЙ

Дакэ ын прогресия ùеометрикэ ынлэтурэм тоць термений, каре урмязэ дупэ bn, атунч обцинем о прогресие ùеометрикэ финитэ b1, b2, b3, …, bn–2, bn–1 bn. Ын континуаре вом студия челе май импортанте проприетэць але прогресией ùеометриче.

2. Формула терменулуй ал n-ля ал прогресией ӂеометриче Сэ черчетэм прогресия ùеометрикэ b1, b2, b3, …, bn, … ку рация q. Авем:

ш.а.м.д. Ашадар, пентру орьче n есте жустэ егалитатя (1) Ам обцинут формула терменулуй ал n-ля ал уней прогресий ùеометриче. Обсервацие. Дакэ аць фэкут куноштинцэ ку обсервация дин параграфул пречедент, атунч ынчеркаць де сине стэтэтор сэ демонстраць формула (1) апликынд метода индукцией математиче, дупэ кум ам прочедат ши пентру терменул ал n-ля ал прогресией аритметиче.

Сэ скрием формула терменулуй ал n-ля ал прегресией ùеометриче bn = b1 qn – 1 астфел

ши нотэм:

Обцинем: y = mqn, сау

Аргументул х се концине ын експонентул путерий, о астфел де функцие се нумеште експоненциалэ. Ашадар, прогресия ùеометрикэ поате фи екзаминатэ ка о функцие експоненциалэ, дефинитэ пе мулцимя нумерелор натурале N. Ын фигура 127а есте репрезентат графикул функцией у = 2х, х ∈ N, яр ын фигура 158

4.

ПРОГРЕСИЙ

Фиг. 127а Фиг. 127б 127б – графикул функцией

Ын амбеле казурь авем

ун шир де пункте изолате (ку абсчиселе х = 1, х = 2, х = 3 ш.а.м.д) репрезентате пе о оарекаре курбэ (ын амбеле фигурь, скематик есте репрезентатэ уна ши ачеяшь курбэ пе скарэ диферитэ). Ачастэ курбэ се нумеште експонентэ (ам ынтылнит ачест термен – везь сфыршитул § 9). Деспре функция експоненциалэ ши графикул ей, май деталият вом ворби ын курсул де алùебрэ ши елементе де анализэ ын класа а 11-я. Сэ ревеним ла екземплеле 1–5 дин пунктул пречедент. 1) 1, 3, 9, 27, 81, … . Прогресие ùеометрикэ, унде b1 = 1, q = 3. Сэ алкэтуим формула терменулуй ал n-ля: bn = 1 ∙ 3n–1, адикэ bn = 3n–1. 2) b1 = 3,

Ачаста есте прогресие ùеометрикэ, унде Сэ алкэтуим формула терменулуй ал n-ля:

159

4. 3) ùеометрикэ, унде

ПРОГРЕСИЙ

Ачаста есте прогресие Сэ алкэтуим формула термену-

луй ал n-ля:

4) 8, 8, 8, 8, 8, 8, … . Ачаста есте о прогресие ùеометрикэ, унде b1 = 8, q = 1. Сэ алкэтуим формула терменулуй ал n-ля: bn = 8 ∙ 1n–1, адикэ bn = 8. 5) 2, –2, 2, –2, 2, –2, ... . Ачаста есте прогресие ùеометрикэ, унде b1 = 2, q = –1. Сэ алкэтуим формула терменулуй ал n-ля: bn = 2 ∙ (–1)n–1. Екземплул 6. Се дэ прогресия ùеометрикэ b1, b2, b3, …, bn, … . а) Cе штие, кэ

Афлаць b6.

б) Cе штие, кэ b1 = 3, q = 2, bn = 1536. Афлаць n. в) Cе штие, кэ q = –2, b7 = –512. Афлаць b1. г) Cе штие, кэ

Афлаць q.

Резолваре. Ла резолваря ачестуй екземплу, ын тоате казуриле, апликэм формула терменулуй ал n-ля ал прогресией ùеометриче: а) б)

Деоарече 512 = 29, атунч обцинем: n – 1 = 9; n = 10. в)

160

4.

ПРОГРЕСИЙ

сау Екземплул 7. Афлаць ын прогресия ùеометрикэ датэ нумэрул терменилор, май марь декыт ун оарекаре нумэр А:

Резолваре. а) Аич b1 = 1, q = 3, bn = b1qn – 1 = 3n – 1. Сэ индикэм астфел де нумере n, пентру каре се сатисфаче инекуация 3n – 1 > 729. Обсервэм, кэ 36 = 729, ашадар пентру n = 7 3n – 1 = 729. Деоарече прогресия датэ есте крескэтоаре, пентру n > 7 термений ей вор фи май марь декыт нумэрул 729. б) Аич Сэ индикэм астфел де нумере n, пентру каре есте адевэратэ инекуация

адикэ

Обсервэм, кэ

ашадар пентру n = 6 есте адевэратэ егалитатя Деоарече прогресия датэ есте дескрескэтоаре, пентру n < 6 термений ей вор фи май марь декыт нумэрул в) Есте ворба деспре солуцииле натурале але инекуацией сау 161

4.

ПРОГРЕСИЙ

Скрием кыцьва термень инициаль ай прогресией

Обсервэм, кэ доар примий трей термень ай ширулуй дат сынт май марь декыт г) Авем: Сэ индикэм астфел де нумере n, пентру каре есте адевэратэ инекуация Обцинем:

ашадар, пентру n = 10 есте

Обсервэм, кэ адевэратэ инегалитатя

Ку атыт май мулт еа есте адевэ-

ратэ пентру n > 10. Дакэ n = 9, атунч Деоарече

атунч

ку атыт май мулт

адикэ

, ши

Ашадар, пентру n = 9 инегалитатя

ну есте адевэратэ. Деч ну есте адевэратэ ши пентру n < 9. Рэспунс: Екземплул 8. Диференца динтре терменул ал шаптеля ши ал чинчиля а уней прогресий ùеометриче есте егалэ ку 48 ши сума динтре терменул ал чинчиля ши ал шаселя есте егалэ ку 48. Афлаць терменул ал дойспрезечеля ал ачестей прогресий. Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. 162

4.

ПРОГРЕСИЙ

Кондиция проблемей пе скурт поате фи скрисэ ши астфел:

Апликынд формула терменулуй ал n-ля ал прогресией ùеометриче, обцинем:

Атунч а доуа кондицие а проблемей (b7 – b5 = 48) поате фи скрисэ ын форма:

А трея кондицие (b5 + b6 = 48) примеште форма:

Ын резултат обцинем ун систем де доуэ екуаций линиаре ку доуэ вариабиле b1 ши q:

каре, конформ кондицией 1) де май сус, ши репрезинтэ моделул математик ал проблемей. Етапа а доуа. Лукрул ку моделул алкэтуит. Егалынд пэрциле стынùь але екуациилор системулуй, обцинем:

(ам ымпэрцит амбеле пэрць але екуацией ла експресия диферитэ де зеро b1q4). Дин екуация q2 – q – 2 = 0 афлэм: q1 = 2, q2 = –1. Субституинд валоаря q = 2 ын екуация а доуа а системулуй, обцинем: b1 ∙ 16 ∙ 3 = 48, деч b1 = 1. Субституинд валоаря q = –1 ын екуация а доуа а системулуй, обцинем: b1 ∙ 1 ∙ 0 = 48, ачастэ екуацие н-аре солуций. 163

4.

ПРОГРЕСИЙ

Деч, перекя де нумере b1 = 1 ши q = 2 есте солуция системулуй де екуаций алкэтуит. Ашадар, путем скрие прогресия ùеометрикэ, екзаминатэ ын проблема датэ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … . Етапа а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Сэ афлэм b12. Авем: Рэспунс: b12 = 2048.

3. Формула сумей терменилор уней прогресий ӂеометриче фините Фие датэ прогресия ùеометрикэ финитэ Нотэм прин Sn сума терменилор прогресией: Сэ интродучем формула пентру калкуларя ачестей суме. Ынчепем де ла чел май симплу каз. Фие q = 1. Атунч прогресия ùеометрикэ b1, b2, b3, …, bn констэ дин n нумере егале ку b1, деч прогресия датэ примеште форма b1, b1, b1, …, b1. Сума ачестор нумере есте егалэ ку nb1. Фие атунч q ≠ 1. Пентру а афла Sn сэ апликэм о методэ артифичиалэ: ын примул рынд сэ черчетэм продусул Snq. Авем:

Ашадар,

Скэдем термен ку термен прима егалитате дин егалитатя а доуа:

164

4.

ПРОГРЕСИЙ

Ын партя стынгэ а егалитэций обцинуте, скоатем ын афара парантезелор факторул комун Sn, яр ын партя дряптэ а ей – апликэм формула bn = b1qn – 1 ши скоатем ын афара парантезелор факторул комун b1:

Формула сумей примилор n термень ай уней прогресий ùеометриче (пентру q ≠ 1). Екземплул 9. Фие датэ прогресия ùеометрикэ финитэ b1, b2, b3, …, bn. Сэ штие, кэ b1 = 3, q = 2, n = 6. Афлаць: а) сума терменилор прогресией дате; б) сума пэтрателор терменилор ей. Резолваре.

б) Антериор (везь паù. 157) ам семнат, кэ дакэ вом ридика ла пэтрат тоць термений уней прогресий ùеометриче, атунч обцинем ши рация q2. Деч, о прогресие ùеометрикэ ку примул термен сума примилор шасе термень ай прогресией се ва калкула дупэ формула

Субституинд ын ачастэ формулэ b1 = 3,

q = 2, обцинем:

Рэспунс: а) 189; б) 12 285. Екземплул 10. Афлаць ал 8-ля термен ал прогресией ùеометриче, дакэ b1 = 3, bn = 96, Sn = 189. Резолваре. Деоарече bn = b1qn – 1, атунч обцинем:

165

4.

ПРОГРЕСИЙ

Прин урмаре,

`



(2)

Май сус ам афлат, кэ qn – 1 = 32. Ынмулцинд амбеле пэрць але егалитэций дате ку q, обцинем qn = 32q. Субституинд 32q ын лок де qn ын формула (2), афлэм:

Астфел, дакэ b1 = 3 ши q = 2, калкулэм b8: b8 = b1 ∙ q7 =3 ∙ 27 = 384. Рэспунс: b8 = 384.

4. Проприетатя карактеристикэ а прогресией ӂеометриче Фие датэ прогресия ùеометрикэ b1, b2, b3. …, bn, … . Сэ черчетэм трей термень алеаторь ай прогресией: bn – 1, bn, bn + 1. Деоарече

Ынмулцинд егалитэцииле дате, обцинем:

Деч, пэтратул фиекэруй термен ал прогресией ùеометриче, ын афарэ де примул (ши ултимул – дакэ прогресия есте финитэ), есте егал ку продусул динтре терменул пречедент ши чел урмэтор ал ей. Есте жустэ ши афирмация инверсэ: дакэ ширул (bn) де нумере, диферите де зеро, есте ун астфел де шир, унде пентру орьче n > 1 есте адевэратэ егалитатя атунч (bn) есте о прогресие ùеометрикэ. 166

4.

ПРОГРЕСИЙ

Ынтр-адевэр, ултима егалитате поате фи скрисэ ши астфел: bn : bn–1= bn+1 : bn. Де аич, ын партикулар, резултэ кэ b2 : b1 = b3 : b2, b3 : b2 = b4 : b3 ш.а.м.д. Ку алте кувинте, рапортул орькэруй термен ал ширулуй фацэ де терменул пречедент есте унул ши ачелашь. Ачаста ши индикэ кэ се дефинеште о прогресие ùеометрикэ. Астфел ам демонстрат урмэтоаря теоремэ.

Теоремэ

Ширул нумерик есте о прогресие ùеометрикэ атунч ши нумай атунч, кынд пэтратул фиекэруй термен ал прогресией, ын афарэ де примул (ши ултимул – дакэ прогресия есте финитэ), есте егал ку продусул динтре терменул пречедент ши чел урмэтор ал ей (проприетатя карактеристикэ а прогресией ùеометриче).

Ын параграфул пречедент ам обцинут проприетатя карактеристикэ а прогресией аритметиче: фиекаре термен ал прогресией, есте егал ку медия аритметикэ динтре терменул пречедент ши чел урмэтор ал ей. Сэ ревеним ла проприетатя карактеристикэ а прогресией ùеометриче ши сэ ефектуэм унеле трансформэрь ын егалитатя

Нумэрул се нумеште медия ùеометрикэ а нумерелор a ши b. Астфел, ултима егалитате репрезинтэ, кэ модулул орькэруй термен ал прогресией ùеометриче есте егал ку медия ùеометрикэ а пречедентулуй ши урмэторулуй термен. Екземплул 11. Пентру че валорь але луй х нумереле 10х + 7, 4х + 6 ши 2х + 3 алкэтуеск о прогресие ùеометрикэ? Резолваре. Конформ проприетэций карактеристиче експресииле дате сатисфак релация (4x + 6)2 = (10x + 7)(2x + 3). 167

4.

ПРОГРЕСИЙ

Резолвынд ачастэ екуацие, обцинем:

Субституинд х1 = 2,5 ын експресииле дате 10х + 7, 4х + 6, 2х + 3, обцинем кореспунзэтор: 32, 16, 8. Авем о прогресие ùеометрикэ финитэ. Субституинд х 2 = –1,5 ын експресииле дате 10х + 7, 4х + 6, 2х + 3, обцинем кореспунзэтор: –8, 0, 0. Ачаста ну есте прогресие ùеометрикэ. Рэспунс: х = 2,5. Ла сфыршитул дискуциилор деспре прогресий, сэ екзаминэм ун екземплу май компликат (аша нумителе екземпле миксте але прогресиилор). Екземплул 12. Фие трей нумере, каре формязэ о прогресие ùеометрикэ финитэ крескэтоаре. Дакэ мэрим ал дойля нумэр ку 2, яр примул ши ал трейля нумере рэмын фэрэ скимбэрь, атунч обцинем о прогресие аритметикэ. Дакэ, дупэ ачаста, мэрим ал трейля нумэр ку 9, атунч обцинем о прогресие ùеометрикэ. Афлаць ачесте трей нумере. Резолваре. Прима етапэ. Алкэтуиря моделулуй математик. Кондиция проблемей, пе скурт поате фи скрисэ ши астфел:

Конформ проприетэций карактеристиче а прогресией аритметиче кондиция 2) индикэ, кэ

Прин урмаре, обцинем: (3) Конформ проприетэций карактеристиче а прогресией ùеометриче кондиция 3) индикэ, кэ Прин урмаре, обцинем:

168

4.

ПРОГРЕСИЙ

(4) Астфел, обцинем ун систем ку доуэ екуаций ((3) ши (4)) ку доуэ вариабиле b1 ши q:

каре, ын релацие ку кондиция 1) ши репрезинтэ моделул математик ал проблемей дате. Етапа а доуа. Лукрул ку моделул алкэтуит. Егалынд пэрциле стынùь але екуациилор системулуй, обцинем:

(ам ымпэрцит амбеле пэрць але екуацией ла b1, ла ун нумэр диферит де зеро). Ын континуаре, обцинем:

Субституинд валоаря q = 2 ын а доуа екуацие а системулуй, обцинем b1 = 4. Куноскынд b1 ши q, се пот афла ачеле трей нумере, каре алкэтуеск прогресия ùеометрикэ: 4, 8, 16. Субституинд валоаря q = –4 ын а доуа екуацие а системулуй, обцинем b1 = Куноскынд b1 ши q, се пот афла ачеле трей нумере, каре алкэтуеск прогресия ùеометрикэ: Етапат а трея. Рэспунс ла ынтребаря проблемей. Конформ кондицией проблемей, принтре прогресииле ùеометриче обцинуте, доар прима прогресие есте крескэтоаре. Рэспунс: 4, 8, 16.

5. Прогресииле ши калкулеле банкаре Пресупунем, кэ а фост дескис ун конт банкар ла о сумэ де а руб. суб ун прочент ануал де р% тимп де t ань. Сынт куноскуте доуэ стратеùий де акциунь: сау ла сфыршитул фиекэруй ан де скос венитул конформ прочентулуй ануал, адикэ венитул обцинут

руб,

169

4.

ПРОГРЕСИЙ

сау о сингурэ датэ – ла сфыршитул терменулуй де пэстраре а депунерий. Че кыштиг вець обцине ын амбеле казурь? Ын примул каз пентру t = 1 обцинем t = 2 сума финалэ алкэтуеште

руб., пентру руб., пентру t = 3 —

руб. ш.а.м.д. Моделул математик ал ситуацией дате есте прогресия аритметикэ финитэ

Ашадар, конформ примей стратеùий, тимп де t ань обцинем ун венит де

руб. — формула прочентелор симпле.

Дакэ хотэрым сэ скоатем венитул ла сфыршитул терменулуй де пэстраре а депунерий, атунч пентру t = 1 сума алкэтуеште, кум ши ын примул каз,

, адикэ

руб.; сума де-

пунерий с-а мэрит де

орь. Де атытя орь ачастэ сумэ се

ва мэри ши ла сфыршитул анулуй ал дойля, ши ла сфыршитул челуй де ал трейля ан де пэстраре ш.а.м.д. Моделул математик а ситуацией дате – есте о прогресие ùеометрикэ финитэ:

Ашадар, конформ стратеùией а доуа, тимп де t ань обцинем ун венит де

руб. – формула прочентелор компликате.

Сэ екзаминэм ун екземплу конкрет. Фие депунеря алкэтуеште 10 000 руб., банка ливрязэ лунар 10%, терменул де пэстраре а депунерий – 5 ань. Дакэ алеùем стратеùия прочентелор симпле, атунч ла сфыршитул терменулуй де пэстраре обцинем о сумэ егалэ 170

4. ку

ПРОГРЕСИЙ

адикэ 15 000 руб. Дакэ алеùем стратеùия

прочентелор компусе, атунч ла сфыршитул терменулуй де пэстраре обцинем о сумэ егалэ ку

адикэ 16 105,1 руб.

171

4.

ПРОГРЕСИЙ

КОНКЛУЗИЙ æЕНЕРАЛЕ • Ам фэкут куноштинцэ ку ун модел математик ноу – ширул нумерик (функцие ку аргумент натурал). • Ын ачест параграф ам фэкут куноштинцэ ку термений лимбажулуй математик: шир нумерик, терменул ал n-ля ал ширулуй; шир монотон (крескэтор, дескрескэтор); прогресия аритметикэ, рация прогресией аритметиче; прогресия ùеометрикэ, рация прогресией ùеометриче; • Ам интродус унеле нотаций ной: (yn) сау у1, у2, у3, …, yn, … — пентру ширул нумерик; – прогресие аритметикэ; – прогресие ùеометрикэ; Sn – сума терменилор х1 + х2 + … + хn а ширулуй (хn). • Ам анализат трей модурь де дефинире а ширулуй нумерик: аналитик; вербал; рекурент. • Ам формулат ши ам аргументат унеле проприетэць але прогресиилор аритметиче ши ùеометриче. Урмэриць табелул: Прогресия аритметикэ Дефиницие Формула терменулуй ал n-ля Проприетатя карактеристикэ Формула сумей примилор n термень

172

Прогресия щеометрикэ

КАПИТОЛУЛ

5

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ § § § §

18. 19. 20. 21.

Проблеме де комбинаторикэ Статистика – проектаря информацией Проблеме пробабилистиче елементаре Дателе експериментале ши пробабилитатя евениментелор Конклузий æенерале

§ 18. ПРОБЛЕМЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ Проблемеле де комбинаторикэ елементаре не аминтеск де жокул пентру копий – жокул ку кубуриле. Екзистэ ун нумэр финит де кубурь сау ун нумэр финит де елементе але уней мулцимь. Есте нечесар де калкулат нумэрул де комбинаций формате дин ачесте кубурь (елементе). Дакэ нумэрул нечесар де комбинаций ну есте маре, атунч еле пот фи пур ши симплу енумерате, сау, кум се май спуне, де сортат тоате комбинацииле посибиле. Ачаста есте метода сортэрий вариантелор. Де екземплу, дакэ есте нечесар де алкэтуит ун нумэр де трей чифре утилизынд чифреле 1, 5, 9 фэрэ ка еле сэ се репете, атунч тоате ачесте варианте посибиле пот фи скрисе: 159, 195, 519, 591, 915 ши 951. Деч, астфел путем алкэтуи шасе нумере. Се поате де спус, кэ ын ачест екземплу симплу ам апликат о сортаре ну ла ынтымпларе, дар о сортаре бине организатэ. Ын примул рынд, пе примул лок ам фиксат чифра 1 ши ам обсерват, кэ астфел де варианте сынт доуэ: 159 ши 195. Апой пе примул лок ам пус чифра 5 ши ам обсерват, кэ ам обцинут ынкэ доуэ варианте: 519 ши 591. Ши ын сфыршит, астфел, ам алкэтуит ши нумереле каре се ынчеп ку чифра 9 — 915 ши 951. Бинеынцелес, кэ алеùеря коректэ а сортэрий вариантелор есте екстрем де импортантэ ын май мулте ситуаций май компликате, унде нумэрул де комбинэрь посибиле есте суфичиент де маре. Екземплул 1. Алкэтуиць ку чифреле 2, 4, 7 ун нумэр де трей чифре, ын каре еле се репетэ ну май мулт де доуэ орь. а) Афлаць чел май мик нумэр. б) Афлаць чел май маре нумэр. 173

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

в) Кыте нумере пот фи алкэтуите, каре се ынчеп ку чифра 2? г) Кыте нумере пот фи алкэтуите ын тотал? Резолваре. а) Чел май мик нумэр есте 224, деоарече, дакэ пе примул сау пе ал дойля лок ын локул чифрей 2 вом аранжа, сэ зичем чифра 4 сау 7, атунч се мэреште сау нумэрул де суте сау нумэрул де зечь. Деоарече чифра 2 се репетэ, атунч пе ултимул лок требуе сэ фие чифра 4 (дар ну 7). б) Прин аналоùие, афлэм чел май маре нумэр — 774. в) Луэм нумереле ын каре чифреле ну се репетэ: 247 ши 274. Апой нумереле, унде се репетэ чифра 2: 224, 227, 242, 272. Екзистэ ун сингур нумэр ын каре се репетэ чифра 4 — 244. Нумэрул ын каре се репетэ чифра 7 есте 277. Ын тотал обцинем 2 + 4 + 1 + + 1 = 8 нумере. г) Нумереле, каре се ынчеп ку чифра 4, пот фи калкулате ын ачелашь мод ка ши ын пунктул в); еле сынт опт. Десигур, ачелашь лукру есте адевэрат ши пентру нумереле каре се ынчеп ку чифра 7, еле де асеменя сынт опт. Ын тотал обцинем 24 де нумере. Рэспунс: а) 224; б) 774; в) 8; г) 24. Формал, пентру а афла рэспунсул ын пунктул г), путем сэ прочедэм ши фэрэ де а резолва пунктеле а) ши б). Ку тоате ачестя, ын екземплеле де сортаре але вариантелор есте нечесар сэ скрием, ын мод експликатив, унеле комбинаций типиче, нумэрул кэрора требуе де афлат. Ка ши май мулте екземпле ын математикэ, екземплул 1 г) пермите ши о алтэ солуционаре. Ятэ-о. Афлэм май ынтый тоате нумереле каре пот фи алкэтуите ку ачесте трей чифре 2, 4, 7. Конформ регулий продусулуй, ку каре вом фаче куноштинцэ ын континуаре, ачесте нумере сынт 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27. Апой, ексклудем нумереле ын каре чифра кореспунзэтоаре се репетэ де трей орь. Астфел де нумере сынт трей: 222, 444, 777. Ашадар, обцинем: 27 – 3 = 24.

Екземплул 1. в) поате фи резолват ши астфел: вом скрие алкэтуиря нумэрулуй дат де трей чифре, пас ку пас, ын формэ де «скарэ». Скрием чифра 2 ын пэтрэцелул де нивелул супериор, де ла каре порнеск трей «друмурь» (фиг.128). Еле кореспунд селектэрий челей де а доуа чифрэ а нумэрулуй: сау 2, сау 4, сау 7. Обцинем трей пэтрэцеле ла ал дойля нивел ши атунч тречем ла селектаря челей де а трея чифрэ. Дакэ а доуа чифрэ есте 2, атунч конформ кондицией а трея чифрэ поате фи сау 4, сау 7. Деч, екзистэ доар доуэ варианте посибиле, ын резултатул кэрора обцинем 174

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ын тотал: 8 нумере Фиг. 128 нумереле 224 ши 227. Ын казул, дакэ а доуа чифрэ есте егалэ ку 4 сау 7, рестрикций пентру а трея чифрэ ну екзистэ, поате сэ фие сау 2, сау 4, сау 7. Резултэ, кэ ын амбеле казурь сынт посибиле трей варианте де компунере а унуй нумэр де трей чифре. Обцинем нумереле 242, 244, 247 ши 272, 274, 277. Ам алкэтуит аша-нумитул арбореле вариантелор посибиле. Приоритатя ачестей методе констэ ын фаптул, кэ астфел путем урмэри модул ын каре есте организатэ селектаря вариантелор посибиле (везь фиг.128). Екземплул 2. «Еу пот сэ петрек тимпул либер дин ачастэ сярэ астфел …»: сэ фак о плимбаре пе малул рыулуй, о плимбаре ын пяцэ сау ын парк ши апой сэ-л визитез пе Виктор сау пе Вика. Сау пот сэ рэмын акасэ, май ынтый сэ визионез ун филм ла телевизор сау сэ читеск о карте ши апой сэ мэ жок ку фрэциорул, сау сэ фак о ордине пе маса де лукру. Репрезентаць арбореле вариантелор посибиле. Р эс пунс : Арбореле вариантелор есте репрезентат ын фигура 129. Екземплул 3. Ынтр-о ладэ сынт трей биле (индистинкте ла пипэит): доуэ албе ши унул негру. Дакэ дин ладэ се скоате о билэ нягрэ, еа се ынтоарче де фиекаре датэ ын ладэ, яр дакэ естраùем о билэ албэ – се ынлэтурэ. Ачастэ операцие се ефектуязэ де трей орь ла рынд. а) Репрезентаць арбореле вариантелор посибиле. б) Ын кыте казурь трей биле скоасе дин ладэ вор фи де ачеяшь кулоаре? 175

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Тимпул либер

Плимбаре

Ла рыу

Домичилиу

Ын пяцэ

Ын парк

Виктор Вика Виктор Вика

Виктор Вика

ТВ

Фрате

Карте

Масэ

Фрате

Масэ

Ын тотал: 10 варианте Фиг. 129 в) Ын кыте казурь принтре билеле екстрасе сынт май мулте биле албе? г) Репрезентаць арбореле вариантелор посибиле, дакэ есте нечесар де екстрас патру биле. Резолваре. а) Арбореле вариантелор посибиле есте репрезентат ын фигура 130. Казул ын каре есте нечесар де екстрас доуэ биле албе есте спечифик. Ын ачест каз, ын ладэ рэмыне доар о билэ нягрэ ши доар ачастэ билэ ын континуаре поате фи екстрасэ. ААН Н

Н

А

ААН А

ААН

АН Н

АН

АН

176

Н

Н

А

Н

А

Н

А

ААН

АН

АН

Н

АН

Н

Ын тотал: 7 варианте Фиг. 130

А

Н Н

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

ААН

АН

АН

Н

Н

А

Н

А

Н

А

ААН

АН

АН

Н

АН

Н

Н

АН Н

А

АН

Н

Н

Н

Н

Н

Ын тотал: 11 варианте Фиг. 131 б) Конформ арборелуй вариантелор обсервэм, кэ ачаста есте посибил доар ынтр-ун сингур каз, кынд била де кулоаре нягрэ се екстраùе де трей орь ла рынд. в) Трей биле албе ну пот фи. Деч, есте ворба деспре доуэ биле албе ши уна де кулоаре нягрэ. Ачаста есте посибил ын трей казурь (везь арбореле вариантелор: ААН, АНА, НАА). г) Ын ачест каз, ла ултимул нивел ал арборелуй вариантелор ын фигура 130 се адаугэ ынкэ ун нивел, каре кореспунде челей де а патра селектаре (фиг.131). О астфел де диаграмэ ын деталиу есте конвенабилэ пентру а десена доар ун нумэр релатив мик де варианте, яр, де екземплу, пентру суте де комбинаций есте импосибил де десенат ачест арборе ын ынтреùиме. Вом прочеда ын алт мод. Ын челе май десе казурь се апликэ регула продусулуй. РЕГУЛА ПРОДУСУЛУЙ Пентру а гэси нумэрул тутурор резултателор посибиле а десфэшурэрий а доуэ тесте индепенденте А ши В, есте нечесар сэ ынмулцим нумэрул тутурор казурилор тестулуй А ши нумэрул кузурилор тестулуй В. Пентру а експлика регула продусулуй сэ десенэм арбореле вариантелор посибиле. Ла примул нивел индикэм тоате резултателе a1, a2, a3, …, an–1, an тестулуй А. Дупэ фиекаре резултате индикате сынт посибиле тоате резултателе b1, b2, b3, …, bk–1, bk тестулуй В – се пресупуне кэ тестеле сынт индепенденте. Ын резултат обцинем резултате (фиг.132). Регула продусулуй поате фи експликатэ ши ынтр-ун алт мод, фолосинд табелул резултателор посибиле але челор доуэ евенименте (тесте). Сэ експликэм ачест лукру ын база унуй екземплу. 177

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ын тотал: n орь кыте k; nk резултате Фиг. 132 Екземплул 4. Ла микул дежун Ионел поате сэ-шь алягэ о бриошэ, о тортинэ, о туртэ дулче сау ун кек, яр дин бэутурь – кафя, сук сау кефир. Кыте алеùерь аре ла дежун Ионел? Резолваре. Сэ скрием тоате вариантеле посибиле ынтр-ун табел. Бриоше Кафя, бриошэ

Тортинэ Кафя, Кафя тортинэ Сук, бриошэ Сук, Сук тортинэ Кефир Кефир, бриошэ Кефир, тортинэ

Туртэ дулче Кафя, туртэ дулче Сук, туртэ дулче Кефир, туртэ дулче

Кек Кафя, кек Сук, кек Кефир, кек

Луынд ын консидерацие фаптул, кэ алеùеря продуселор алиментаре ши а бэутурий декурùе индепендент унул де алтул, атунч ын фиекаре челулэ ва фи унул дин вариантеле посибиле але дежунулуй. Ши инверс: орьче вариантэ а дежунулуй есте ампласатэ ын уна дин челулеле табелулуй. Деч, ын тотал обцинем атытя варианте, кыте сынт ши челуле: 12. Рэспунс: 12. Обсервацие 1. Ла резолваря унор екземпле конкрете, ну есте нечесар де фиекаре датэ сэ елаборэм кыте ун табел комплетат. Есте суфичиент де а утилиза ынсушь регула продусулуй. Астфел, солуционаря екземплулуй 4 есте: «Евениментул А – алеӂеря продуселор алиментаре аре 4 резултате, яр евениментул В – алеӂеря бэутурий, аре трей резултате. Ачесте евенименте сынт индепенденте уна де алта. Конформ регулий продусулуй обцинем: 4 ∙ 3 = 12». 178

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Обсервацие 2. Дупэ кум аць обсерват, регула продусулуй пентру доуэ евенименте есте конвенабилэ де експликат утилизынд табелеле дрептунгюларе. Дар дакэ авем ла диспозицие трей авенименте, атунч пентру а репрезента илустратив ачест прочес есте нечесар сэ апликэм трей дименсиунь. Пе десен вом обцине ун паралелепипед дрептунгюлар ымпэрцит ын кубурь. Ын ачест каз ши десенул, ши експликация сынт мулт май компликате, деоарече ну тоате кубуриле сынт визибиле. Ку мулт май компликат есте де а лэмури казул ку патру тесте, деоарече спациул ынконжурэтор есте доар три-дименсионал. Ку тоате ачестя, регула продусулуй есте адевэратэ ши пентру трей, ши патру ш.а.м.д. евенименте индепенденте. Пентру ачаста есте дестул де репрезентат арбореле вариантелор ши де афлат нумэрул вариантелор посибиле. Пентру екземплул урмэтор вэ презентэм трей методе де резолваре: метода сортэрий, ку ажуторул арборелуй вариантелор ши конформ регулий продусулуй. Екземплул 5. Ынтр-ун коридор сынт трей бекурь. Кыте варианте де илуминаре а ачестуй коридор екзистэ, инклусив ши казул ын каре тоате бекуриле сынт стинсе? Резолваре. Прима методэ (сортаря вариантелор). Енумерэм бекуриле ши скрием семнул «+» сау «–» ын депенденцэ дакэ есте апринс сау ну бекул. Атунч тоате вариантеле илуминэрий коридорулуй сынт урмэтоареле: + + +, + + –, + – +, + – –, – + +, – + –, – – +, – – –. Ын тотал сынт опт варианте. Примул бек



Бекул

трей

Бекул дой

Бекул трей

Бекул дой

Бекул трей

Бекул трей

Фиг. 133 179

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Метода а доуа (арбореле вариантелор). Ын фигура 133 сынт репрезентате опт варианте де илуминаре а коридорулуй. Метода а трея (регула продусулуй). Примул бек поате сэ ардэ сау ну. Екзистэ доуэ варианте посибиле. Ачелашь лукру се поате де спус ши де бекул дой, ши бекул трей. Сэ пресупуне кэ бекуриле сынт апринсе сау ну индепендент унул де алтул. Конформ регулий продусулуй констатэм, кэ нумэрул тутурор вариантелор илуминэрий коридорулуй есте егал ку 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8. Рэспунс: 8. Фиекаре динтре ачесте методе де солуционаре а екземплулуй дат, ын фиекаре каз апарте, аре атыт привилежий, кыт ши неажунсурь. Алеùеря методей де резолваре депинде де вой! Менционэм тотушь, кэ регула продусулуй пермите практик принтр-о сингурэ методэ сэ резолвэм челе май компликате екземпле де ачест тип. Де екземплу, ачастэ регулэ дуче ла ун кончепт фоарте импортант дин математикэ, ноциуня де факториал. Екземплул 6. Ынтр-о фамилие сынт шасе персоане. С-а дечис, кэ ын фиекаре зи ынаинте де чинэ мембрий фамилией требуе сэ се ашезе пе фиекаре шасе скауне дин оспэтэрие ын модурь диферите. Кыте зиле ей вор путя сэ факэ ачест лукру фэрэ репетэрь? Резолваре. Рэспунсул есте фоарте маре: апроапе дой ань! Сэ експликэм. Пентру комодитате сэ нумеротэм скаунеле № 1, № 2, № 3, № 4, № 5, № 6 ши вом пресупуне кэ мембрий фамилией (буника, буникул, мама, тата, фийка, фиул) окупэ локуриле пе рынд. Пе ной не интересязэ, кыте астфел де модурь диферите де аранжэрь екзистэ. Сэ пресупунем, кэ прима пе скаун се ашазэ буника. Еа аре шасе варианте де алеùере а скаунулуй. Ал дойля се ашазэ буникул ши индепендент унул де алтул, алеùе ун скаун динтре челе чинч скауне рэмасе. Мама фаче алеùеря а трея дупэ ордине ши алеùе дин патру скауне. Тата аре трей варианте де алеùере. Фийка аре доуэ варианте, яр фиул се ашазэ пе уникул скаун неокупат. Конформ регулий продусулуй обцинем, кэ ын тотал авем 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 де варианте диферите. Астфел, 720 де зиле ши алкэтуеск апроапе дой ань. Рэспунс: 720 зиле. Дефиницие. Продусул примелор n нумере натурале се нотязэ прин n! ши есте нумит «nе факториал»: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n – 1) ∙ n. 180

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Унул дин сенсуриле кувынтулуй енглез factor – «фактор». Деч, «nе факториал» се традуче ка «компус дин n факторь». Вэ презентэм примеле валорь але луй n!

Валориле луй n! креск фоарте рапид одатэ ку крештеря луй n. Де екземплу, 10! есте май маре декыт 3,5 милиоане, яр 15! есте апроксиматив егал ку 1,3 трилиоане. Пентру ефектуаря калкулелор легате де n!, есте конвенабил де апликат урмэтоаря формулэ. Демонстраря формулей

Де екземплу, пентру а калкула валоаря експресией

ну

есте неапэрат де афлат чей патру факториаль апарте ши апой сэ ефектуэм калкулеле нечесаре. Есте май симплу сэ ефектуэм симплификэриле:

Екземплул 7. а) Прин кыте модалитэць патру хоць пот сэ фугэ кыте унул ын тоате челе патру дирекций? б) Класа а 9 «А» меркурь ау шапте лекций: алùебра, ùеометрия, литература, лимба русэ, лимба енглезэ, биолоùия ши култура физикэ. Ын кыте модурь се поате де алкэтуит орарул ын ачастэ зи? Резолваре. а) Фие кэ хоций фуг унул дупэ алтул. Атунч примул хоц аре патру варианте посибиле де а алеùе ын че дирекцие сэ фугэ, ал дойля хоц – трей варианте, ал трейля – доуэ ши ал патруля хоц – о вариантэ. Конформ регулий продусулуй, обцинем: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24. б) Пентру дисчиплина алùебра екзистэ шапте варианте де аранжаре ын орар. Атунч пентру ùеометрие екзистэ шасе варианте. Дакэ алùебра ши ùеометрия сынт дежа аранжате ын орар, атунч 181

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

пентру литературэ рэмыне чинч варианте ш.а.м.д. Конформ регулий продусулуй, обцинем: 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 1 = 7! = 5040. Рэспунс: а) 24; б) 5040. Обсервэм, кэ кондицииле ын ачесте проблеме сынт диферите, дар амбеле сынт резолвате прин уна ши ачеяшь методэ. Деч, екзистэ о анумитэ регулэ ùенералэ пентру а резолва астфел де типурь де проблеме. Вом формула ачастэ регулэ суб формэ де теоремэ деспре пермутэриле елементелор уней мулцимь фините. n елементе диферите пот фи аранжате кыте унул пе n локурь екзакт де n! модалитэць. Дин пункт де ведере историк, май пе ларг се фолосеште ну терменул «аранжаменте», дар терменул «пермутэрь» ши прин урмаре ачастэ теоремэ есте формулатэ астфел: «Нумэрул де пермутэрь дин n елементе есте егал ку n!». Ачастэ теоремэ се скрие ынтр-о формэ май скуртэ:

Теоремэ

Рn = n!

Литера Р кореспунде примей литере а кувынтулуй дин енглезэ permute (permutation), каре се традуче «пермутэрь». Де екземплу, P3 = 3! = 6, P7 = 7! = 5040 ш.а.м.д.

§ 19. СТАТИСТИКА –

ПРОЕКТАРЯ ИНФОРМАЦИЕЙ

Сэ ынчепем ку ун екземплу конкрет. Пресупунем, кэ ын класеле а 9-а «А» ши «Б» ау фост мэсурате ынэлцимя (ын чентиметри) ла 50 де елевь. Ам обцинут ун шир де 50 де нумере. Пуцин пробабил, кэ чел май мик динтре ачесте нумере ва фи май мик декыт 140, яр чел май маре – ва фи май маре декыт 200. Тоате ачесте мэсурэрь пот фи скрисе ынтр-ун рынд, сепарате прин виргулэ. Конформ листелор елевилор, ачесте нумере пот фи аранжате ын доуэ колоане. Дар путем сэ скрием ачесте нумере ши суб форма унуй табел 5 × 10 ш.а.м.д. Ын резултат вом обцине о информацие комплетэ деспре мэсурэриле ефектуате. Дин пэкате, практик ын тоате ачесте модурь де репрезентаре а тутурор дателор обцинуте, информация есте греу де читит, окупэ мулт лок, ну есте ордонатэ ш.а. Имаùинаци-вэ атунч кэ резултателе ну констау дин 50 де дате, дар дин 500, 5000 сау дин милиоане де нумере диферите. Де екземплу, нумэрул ши мэримя депозителор ла Банка де Економий пе анул курент сау дателе, привинд продуктивитатя мунчий ла 182

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

ынтреприндериле индустриале дин ынтряга царэ, резултателе вотэрий ын тоате секцииле де вотаре дин царэ ш.а.м.д. Уника ешире дин ситуацие есте де а трансформа дателе инициале де мэсураре ши, ын примул рынд, де редус нумэрул лор тотал. Уна динтре принчипалеле сарчинь але статистичий есте ынтокмай прелукраря коректэ а информацией. Десигур, статистика купринде ши алте сарчинь: обцинеря, пэстраря информацией, прогнозаря евениментелор ш.а. Нич унул динтре ачесте обьективе ну пот фи реализате фэрэ прелукраря дателор диспусе. Ашадар, сэ ынчепем, ын примул рынд, ку анализа методелор статистиче де прелукраре а дателор. Прелукраря информацией купринте урмэтоареле етапе де базэ: 1) май ынтый дателе мэсурэрилор сынт ордонате ши групате; 2) апой алкэтуим табелул де дистрибуцие а дателор; 3) трансформэм табелул де дистрибуцие а дателор ын графиче де дистрибуцие; 4) ын сфыршит, обцинем аша нумитул пашапортул дателор мэсурэрилор, каре констэ динтр-ун нумэр анумит де карактеристичь нумериче де базэ а информацией обцинуте. Фие кэ авем о мэсураре конкретэ ши вом урмэри пас ку пас, кум декурùе трансформаря ын прочесул прелукрэрий дателор обцинуте. Мэсураря (М). Кондучеря уней ынтреприндерь орэшенешть а ругат пе 50 де лукрэторь ай сэй сэ екстинезе тимпул пе каре ей ыл келтуеск ын медиу де ла домичилиу спре локул де мункэ. Ау фост обцинуте урмэтоареле дате ын минуте (ку о пречизие де 10 минуте). 20 30 30 90 60

100 50 40 80 120

20 20 60 20 30

30 50 50 40 40

40 30 100 50 60

50 30 60 10 20

30 50 90 50 60

80 60 10 40 10

90 60 20 30 50

40 50 50 40 60

1. Групаря информацией. Ын примул рынд есте нечесар сэ анализэм ын че дименсиунь се пот афла дателе мэсурэрий. Нимень ну а нумит тимпул май мик де 10 минуте (адикэ 0 минуте) ши ун тимп май мулт де 180 минуте (3 оре), пробабил кэ нимень аша тимп ынделунгат ну се афлэ ын друм. Деч, ын принчипиу, ын ачастэ мэсураре путяу фи обцинуте урмэтоареле нумере 10, 20, 183

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

30, …, 160, 170, 180. Астфел, ной ам алкэтуит о серие ùенералэ де дате. Де регулэ, тоате дателе се скриу ын ордине крескэтоаре. Ашадар: Мэсураря Тимпул депласэрий (мин)

Серия щенералэ де дате 10, 20, 30, …, 170, 180

Екземплул 1. Скриець серия ùенералэ де дате але урмэтоарелор мэсурэрь: а) луниле де наштере а елевилор дин шкоала Д-стрэ; б) анул де наштере а руделор ши приетенилор Д-стрэ; в) прочентул ануал ал депозителор уней бэнчь финанчиаре; г) литереле инициале дин примул рынд ал уней поезий. Резолваре. а) Ын тотал сынт 12 лунь. Дакэ вом скрие луниле ну дупэ денумиря лор, дар дупэ нумэрул де рынд, атунч обцинем о серие ùенералэ де дате: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. б) Пуцин пробабил, кэ Д-стрэ авець руде сау приетень, каре ау май мулт де 100 де ань, дар ной-нэскуць, пробабил кэ да. Деч, серия ùенералэ де дате поате фи репрезентатэ астфел: 1900, 1901, 1902, …, 2005, 2006, 2007, 2008. в) Ну екзистэ о аша банкэ де економий, каре ва презента ун прочент ануал май маре декыт 15%. Ын чея че привеште лимита инфериоарэ, есте импосибил де крезут, кэ банка де економий поате сэ рефере ун прочент май мик декыт 0,1% ануал. Деч, ын ачест каз серия ùенералэ де дате есте: 0,1; 0,2; …; 0,9; 1; 2; 3; …; 14; 15. г) Ын примул рынд ал уней поезий, ын принчипиу, пот фи ынтылните тоате литереле алфабетулуй рус де ла А ла Я. Есте нечесар де елиминат доар казуриле нереале (Ь, Ъ, Ы). Литереле рэмасе пот фи, де екземплу, скрисе ынтр-о анумитэ ордине. Астфел путем скрие серия ùенералэ нумерикэ де дате: 1, 2, 3, .., 29, 30. Сэ сублинием фаптул, кэ дефиницииле ын статистикэ ну сынт ынтотдяуна ла фел де пречисе, кум, де екземплу, ын алùебрэ сау ùеометрие. Де екземплу, ын пунктул 1 б) прин адэугаря анулуй 1899 ла ширул 1900, 1901, 1902, …, 2008, ачест шир ну ынчетязэ сэ фие о серие ùенералэ де дате. Ын пунктул в) тоате прочентеле ануале путяу фи мэсурате ку о пречизие пынэ ла зечимь, ши атунч серия ùенералэ де дате ар фи фост нумереле 0,1; 0,2; …; 0,9; 1; 1,1; …; 14,9; 15. 184

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ла ефектуаря уней мэсурэрь конкрете се поате ынтымпла кэ унеле дате дин серия ùенералэ сэ ну сэ се ынтылняскэ. Прин урмаре, есте нечесар де а деосеби резултателе обцинуте але мэсурэрилор фацэ де серия ùенералэ де дате. Де екземплу, ын мэсураря (М) ной ам ынтылнит доар резултателе: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120. Фиекаре нумэр дин ачастэ серие де дате се нумеште варианта мэсурэрий (пуцин необишнуит, дар ын статистикэ се фолосеск кувинте ануме де ùенул феминин). Варианта мэсурэрилор – унул динтре резултателе ачестей мэсурэрь. Дакэ тоате вариантеле мэсурэрий вор фи скрисе ынтр-о анумитэ ордине (фэрэ репетэрь), атунч обцинем серия дателор мэсурэрий. Ын мэсураря (М) серия дателор сынт 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120. Деч: Мэсураря Тимпул депласэрий (мин)

Серия щенералэ де дате

Серия дателор мэсурэрий

10, 20, 30, …, 170, 180

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120

Екземплул 2. Скриець серия дателор мэсурэрий, каре констау дин литереле диферите дин примеле доуэ рындурь але поезией: а) «Не говори никому / Всё, что ты видел, забудь …»*; б) «Зто дерево сосна, / И судьба сосны ясна …»**. Резолваре. а) а, б, в, г, д, е, ё, з, и, к, л, м, н, о, р, с, т, у, ч, ы, ь. Сынт фолосите 21 де литере пе 33 де локурь ши репетэрь сынт фоарте пуцине. б) а, б, в, д, е, и, н, о, р, с, т, у, ы, ь, э, я. Сынт фолосите 16 литере пе 30 локурь, репетэрь сынт май мулте, ши ын спечиал ачаста се реферэ ла литера «с» (6 репетэрь). Дупэ кум обсервэм, ну тоате вариантеле уней мэсурэрь конкрете се афлэ ын ачеляшь кондиций. Унеле се репетэ де май мулте орь, алтеле май пуцин, яр унеле се ынтылнеск де о сингурэ датэ. *

Дин поезия луй О. Мандельштам. Дин поезия луй Ю. Минералов

**

185

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Дефиницие. Дакэ принтре тоате дателе уней мэсурэрь конкрете уна дин варианте а фост ынтылнитэ де k орь, атунч нумэрул k есте нумит мултипличитатя ачестей варианте. Де екземплу, ын мэсураря (М) тимпул де 60 минуте се ынтылнеште де опт орь, яр тимпул де 120 минуте се ынтылнеште де о сингурэ датэ. Деч, мултипличитатя вариантей 60 есте егалэ ку опт, яр мултипличитатя вариантей 120 есте егалэ ку уну. Пентру прелукраря дателор уней мэсурэрь есте май конвенабил де групат дателе обцинуте. Урмэриць ачест лукру. Сэ скрием дателе мэсурэрий (М) ын зечь де минуте.

Депласынду-не де ла стынга спре дряпта, ын фиекаре рынд ал табелулуй обцинут, сублинием ку о барэ ынклинатэ резултателе дате, яр апой, скрием фиекаре сублиниере май жос суб варианта кореспунзэтоаре дин серия де дате. Примеле трей резултате 2, 10, 2 дин примул рынд сынт дежа сублинияте. Ла момент, серия ùенералэ де дате, репрезинтэ астфел:

Анализынд примул рынд, обцинем, кэ де доуэ орь се ынтылнеск вариантеле 2, 3, 4 ши де о сингурэ датэ се ынтылнеск вариантеле 5, 8, 9, 10.

Анализынд астфел примеле доуэ рындурь, обцинем:

Пентру о комодитате ын калкуле, ын локул фиекэрей а чинчя барэ, се дуче о алтэ линие каре ынтретае челе патру линий 186

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

пречеденте. Ын практикэ, десигур, тоате калкулеле сынт ефектуате ынтр-ун лок: деоарече резултателе интермедиаре ну сынт нечесаре. Ятэ кум ын тотал аратэ резултатул калкулэрий мултипличитэций ын екземплул дат:

Сэ компунем серия групатэ де дате. Фиекаре вариантэ се репетэ ануме де атытя орь, де кыте орь се ынтылнеште еа ын мэсураре. Нумэрул репетэрилор фиекэрей варианте есте егалэ ку мултипличитатя ачестей варианте:

Ку ачаста се сфыршеште примул пас де прелукраре а информацией – ордонаря ши групаре ей. 2. Репрезентаря информацией ын мод де табел. Интродучем ын табел серия де дате ши мултипличитатя вариантелор кореспунзэтоаре. Обцинем табелул де дистрибуцие а дателор. Пентру мэсураря (М), обцинем: Варианта Мултипличитатя

1

2

3

4

5

6

8

9

10

12

Сума

3

6

8

7

10

8

2

3

2

1

50

Дакэ вом адуна тоате мултипличитэциле, обцинем кантитатя тутурор дателор мэсурэрий – волумул мэсурэрилор. Деоарече ау фост ынтребаць 50 де мунчиторь, атунч волумул мэсурэрилор (М) есте егал ку 50. Ын практикэ, де обичей, мултипличитэциле вариантелор се адунэ: сума обцинутэ есте егалэ ку волумул мэсурэрилор. Ла апречиеря ùенералэ а дистрибуцией дателор ну есте фоарте импортант фаптул, де екземпул, кэ варианта 1 аре мултипличитатя егалэ ку 3 принтре тоате челе 50 де дате. Ши деоарече

= 0,06,

есте май конвенабил сэ спунем, кэ ачастэ вариантэ алкэтуеште а шася сутиме дин волумул мэсурэрилор. Дакэ ымпэрцим мултипличитатя вариантей ла волумул мэсурэрилор обцинем фреквенца вариантей. 187

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Фреквенца вариантей

Мултипличитатя

= Волумул мэсурэрилор

Сэ интродучем фреквенцеле тутурор вариантелор ын табелул алкэтуит антериор. Табелул ноу обцинут се нумеште табелул де дистрибуцие а фреквенцелор мэсурэрилор. Пентру мэсураря (М), обцинем: Варианта

Мултипличитатя Фреквенца

1

2

3

4

5

6

8

9

10

12

3

6

8

7

10

8

2

3

2

1

0,06 0,12 0,16 0,14

0,2

Сума 50

0,16 0,04 0,06 0,04 0,02

1

Сума тутурор фреквенцелор есте егалэ ку 1 – сума фракциилор ку ачелашь нумитор, унде сума тутурор нумэрэторилор лор ши есте егалэ ку нумиторул дат. Пентру симплитатя калкулелор ши конструиря графичелор, фреквенцеле се мэсоарэ ши ын проченте фацэ де волумул мэсурэрилор. Астфел, табелул де дистрибуцие есте комплетат ынкэ ку ун рынд адэугэтор (фреквенца ын проченте), каре се обцине дин рындул пречедент прин ынмулциря ла 100%. Ашадар, пентру мэсураря (М) обцинем урмэторул табел. Варианта

Мултипличитатя Фреквенца Фреквенца, %

1

2

3

4

5

6

8

9

10

12

3

6

8

7

10

8

2

3

2

1

0,06 0,12 0,16 0,14 0,2 0,16 0,04 0,06 0,04 0,02 6

12

16

14

20

16

4

6

4

2

Сума 50 1 100

Сума фреквенцелор ын проченте есте егалэ ку 100. 3. Репрезентаря графикэ а информацией. Дистрибуция дателор мэсурэрилор, май симплу, се поате де репрезентат принтр-ун табел. Дар ной куноаштем, кэ ши функция се репрезинтэ ын мод де табел. Табелул формязэ о «пунте» пентру а трече де ла дистрибуция дателор ла функций ши графиче. 188

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Депунем пе акса абсчиселор валориле дин примул рынд ал табелулуй де дистрибуцие, яр пе акса ордонателор – валориле дин рындул ал дойля ал табелулуй. Конструим пунктеле кореспунзэтоаре ын планул де коордонате. Обцинем репрезентаря графикэ а информацией дате – графикул де дистрибуцие а дателор. Пунктеле конструите се унеск прин сегменте де дряптэ. Пентру мэсураря (М), обцинем: Пе акса абсчиселор

1

2

3

4

5

6

8

9

10

12

Пе акса ордонателор

3

6

8

7

10

8

2

3

2

1

Ын планул де коордонате ам обцинут о линие фрынтэ (фиг. 134) – графикул уней оарекаре функций линиаре пе порциунь. Ачастэ линие фрынтэ се нумеште полигонул де дистрибуцие а дателор. Ын мод аналог, конформ табелулуй де дистрибуцие а фреквенцелор ши а фреквенцелор ын проченте се конструеск полигоанеле фреквенцелор ши полигоанеле фреквенцелор прочентуале. Ын апликацииле практиче есте май конвенабил де утилизат полигоанеле фреквенцелор ын проченте, деоарече модификэриле пе акса ордонателор де ла 1 ла 100 сынт ку мулт май експресиве, декыт скимбэриле де ла 0 ла 1.

Фиг. 134 189

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Фиг. 135 Сэ конструим полигонул фреквенцелор ын проченте пентру мэсураря (М) (фиг.135). Пе акса абсчиселор

1

2

3

4

5

6

8

9

10

12

Пе акса ордонателор

6

12

16

14

20

16

4

6

4

2

Ведем кэ, кяр ши пентру о кантитате микэ де евенименте, прелукраря, транформаря ши аранжаря лор презинтэ о мункэ дестул де дифичилэ. Ла операря ку кантитэць марь де информацие, се утилизязэ методеле де групаре апроксимативэ а дателор. Ын ачесте казурь варианта мэсурэрилор сервеште ну ун нумэр, дар ун интервал нумерик ынтрег. Де екземплу, ын мэсураря (М) тоць лукрэторий ынтреприндерий пот фи репартизаць ын трей групе. Ын примул рынд, ачей лукрэторь каре локуеск апроапе де сервичиу. Ей се афлэ ын друм 10, 20 сау 30 де минуте. 190

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ын ал дойля рынд, чей каре локуеск ын апропиере. Кэлэтория лор дурязэ де ла 40 пынэ ла 60 минуте. Рестул локуеск май департе ши се афлэ ын друм май мулт де о орэ. Астфел, ам дивизат интервалул динтре чя май микэ ши чя май маре вариантэ ын интервалеле 1–3; 4–6; 8–12 (ын зечь де минуте). Ын лок де зече варианте инициале ам обцинут доар трей варианте ной: апроапе, ын апропиере, департе. Пентру фиекаре интервал се поате де афлат нумэрул тотал де варианте але мэсурэрилор, каре се купринд ын ачест интервал. Обцинем ун табел де дистрибуцие ноу. Варианта Мултипличитатя

апроапе

ын апропиере

департе

17

25

8

Сума 50

Десигур, астфел пот фи алкэтуите ши табелеле де дистрибуцие а фреквенцелор ши а фреквенцелор ын проченте але вариантелор ной обцинуте. Мултипличитатя Фреквенца %

апроапе

Варианта ын апропиере

департе

Сума

17

25

8

50

34

50

16

100

Ын урма уней астфел де евалуаре апроксимативэ, ной ам пердут унеле дате инициале. Де екземплу, а диспэрут нумэдепарте рул де лукрэторь, каре се афлэ ын друм 60 ын де минуте. Дар, ла рындул сэу, ын ачест апропиере мод информация девине май кларэ ши апроапе май експликативэ. Ятэ кум се обсервэ ачастэ информацие, де екземплу, пе диаграма чиркуларэ (фиг. 136). Фиг. 136 Ын репрезентаря графикэ а унор волуме марь де информаций, полигоанеле де дистрибуцие се ынлокуеск прин хистограме сау диаграме ын колоане. Вець фаче куноштинцэ ку еле ын шкоала супериоарэ. 4. Карактеристичеле нумериче але дателор мэсурэрилор. Фиекаре персоанэ, ын афарэ де дателе формале дин пашапорт, поседэ де ун шир де алте калитэць ши проприетэць але сале. Чинева фоарте бине резолвэ проблемеле ла математикэ, чинева есте брунет, 191

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

алтул кынтэ ла китарэ ш.а.м.д. Ку тоате ачестя, о информацие релатив микэ дин пашапорт (нумеле де фамилие, пренумеле, патронимикул, анул наштерий, нумэрул ши дата елиберэрий пашапортулуй) пермите де а идентифика ачастэ персоанэ принтре чейлалць. Ачесте мэримь, ла рындул сэу, деасеменя купринд ун сет де карактеристичь нумериче де базэ. Вом експлика унеле динтре еле ын база екземплулуй куноскут а мэсурэрий (М). Диференца динтре валоаря максималэ ши чя минималэ але резултателор мэсурэрилор се нумеште амплитуда мэсурэрилор. Ын мэсураря (М) амплитуда есте егалэ ку 120 – 10 = 110 минуте. Пе график (везь фиг. 134, 135), ачаста есте мулцимя домениулуй де дефиницие а полигонулуй де дистрибуцие а дателор сау де дистрибуцие а фреквенцелор. Варианта каре се ынтылнеште чел май дес се нумеште мода мэсурэрилор. Дакэ дателе мэсурэрилор сынт дежа колектате ын табелул де дистрибуцие, атунч пентру а афла мода мэсурэрилор есте нечесар: – ын ал дойля рынд ал табелулуй (мултипличитатя) де алес чел май маре нумэр; – де ла нумэрул алес ридикаци-вэ ку о челулэ ын сус: нумэрул обцинут ва фи мода. Ын казул ын каре дателе мэсурэрилор сынт репрезентате график ын мод де полигон де дистрибуцие, мода – есте пунктул каре атинùе валоаря максимэ а полигонулуй де дистрибуцие. Де екземплу, ын мэсураря (М) мода есте егалэ ку 50 де минуте – ануме ачест тимп а фост индикат де кэтре чел май маре нумэр де лукрэторь (10). Уна динтре челе май импортанте карактеристичь але унуй шир нумерик де дате есте валоаря медие а луй (медия аритметикэ, сау пур ши симплу медия). Пентру а калкула валоаря медие есте нечесар: 1) де афлат сума тутурор резултателор мэсурэрилор; 2) сума обцинутэ де ымпэрцит ла нумэрул тотал де дате. Пентру а калкула валоаря медие есте май конвенабил де утилизат серия групатэ де дате. Пентру мэсураря (М), авем: 192

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Серия групатэ де дате

Афлэм валоаря медие:

(зечимь де минуте). Деч, тимпул медиу пентру кэлэторие а мунчиторилор алкэтуеште 48 де минуте. Дакэ куноаштем табелул де дистрибуцие а фреквенцелор, атунч валоаря медие се калкулязэ астфел:

Фракцииле дин ултима сумэ сынт фреквенцеле вариантелор, каре стау ын фаца лор ка факторь. Деч, ын табелул де дистрибуцие а фреквенцелор се поате, пур ши симплу, де ынмулцит нумереле дин фиекаре колоанэ ши апой де адэугат тоате продуселе обцинуте. Варианта 1 Фреквенца

2

3

4

0,06 0,12 0,16 0,14

5 0,2

6

8

9

10

12

0,16 0,04 0,06 0,04 0,02

Сума 1

Верификаць: 1 ∙ 0,06 + 2 ∙ 0,12 + 3 ∙ 0,16 + 4 ∙ 0,14 + 5 ∙ 0,2 + + 6 ∙ 0,16 + 8 ∙ 0,04 + 9 ∙ 0,06 + 10 ∙ 0,04 + 12 ∙ 0,02 = 4,8 Сэ формулэм регула ùенералэ. Пентру а афла валоаря медие а дателор мэсурэрий требуе: 1) де ынмулцит фиекаре вариантэ а мэсурэрий ку фреквенца ей; 2) де адунат тоате продусуриле обцинуте. Вом финализа ачест капитол ку ун алт екземплу конкрет де мэсураре, репетынд ын ачест екземплу, пе скурт, тоате етапеле 1)–4) де прелукраре а дателор (везь паù. 183). 193

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Екземплул 3. Ла екзаменул де адмитере ла математикэ пот фи обцинуте де ла 0 пынэ ла 10 пункте. Патрузечь де абитуриенць ау обцинут урмэтоареле пункте: 6

7

7

8

9

2

10

6

5

6

7

3

7

9

9

2

3

2

6

6

6

7

8

8

2

6

7

9

7

5

9

8

2

6

6

3

7

7

6

6

а) Алкэтуиць серия ùенералэ де дате; ордонаць ши групаць пунктеле обцинуте. б) Алкэтуиць табелул де дистрибуцие а дателор ши де дистрибуцие а фреквенцелор. в) Конструиць графикул де дистрибуцие а дателор ши графикул де дистрибуцие а фреквенцелор. г) Афлаць амплитуда, мода ши валоаря медие а мэсурэрилор. Резолваре. а) Ын причипиу сынт посибиле урмэтоареле ноте: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 – серия ùенералэ де дате. Ын екземплул конкрет пропус с-ау ынтылнит доар урмэтоареле ноте: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Елементеле ачестуй шир де дате сынт вариантеле мэсурэрилор. Ын сфыршит,

ширул групат де дате. б) Ын тотал ау фост обцинуте 40 де ноте. Деч, волумул мэсурэрилор есте егал ку 40. Сэ скрием мултипличитатя ши фревенцеле челор опт варианте ынтр-ун табел: Варианта Мултипличитатя

2

3

5

6

7

8

9

10

5

3

2

11

9

4

5

1

Фреквенца

0,125 0,075 0,05 0,275 0,225

0,1

0,125 0,025

Фреквенца, %

12,5

10

12,5

194

7,5

5

27,5

22,5

2,5

Сума 40 1 100

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Полигонул де дистрибуцие а дателор Мултипличитатя вариантей

Фиг. 137 Полигонул де дистрибуцие а фреквенцелор Фреквенца вариантей

Фиг. 138 195

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Полигонул де дистрибуцие а фреквенцелор (%) Фреквенца вариантей, %

Фиг. 139 в) Табелул дистрибуцией пермите сэ конструим трей полигоане де дистрибуцие: а дателор, а фреквенцелор ши а фреквенцелор ын проченте (фиг. 137–139). Практик, ачесте графиче се деосебеск доар ын алеùеря унитэциилор де мэсурэ ши прин скара пе акса ордонателор. г) Сэ ревеним ла дателе инициале. Амплитуда мэсурэрилор есте егалэ ку 10 – 2 = 8. Мода есте егалэ ку 6 – ачастэ нотэ се ынтылнеште чел май дес. Ши, ын сфыршит, сэ калкулэм валоаря медие:

§ 20. ПРОБЛЕМЕ ПРОБАБИЛИСТИЧЕ ЕЛЕМЕНТАРЕ Ку унеле проблеме комбинаториче ам фэкут куноштинцэ ын § 3 ши § 18. Реешинд дин концииле унор екземпле конкрете, ын фиекаре дин ачесте параграфе, ной ам калкулат нумэрул де комбинэрь посибиле, каре ынтр-ун фел сау алтул пот фи алкэтуите. Де екземплу, дин нумереле 1, 5, 9 пот фи алкэтуите екзакт шасе 196

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

нумере де трей чифре фэрэ ка чифреле дате сэ се репете: 159, 195, 519, 591, 915 ши 951. Дар че парте дин ачесте нумере алкэтуеск, де екземплу, нумереле мултипле луй чинч? Есте евидент, кэ принтре ачесте шасе нумере доар доуэ дин еле се ымпарт ла чинч фэрэ рест: 195 ши 915. Деч, нумереле мултипле луй чинч, алкэтуеск а трея парте дин нумереле дате. Ын теория пробабилитэциилор, ын ачест каз, се спуне, кэ: – пробабилитатя фаптулуй, кэ нумэрул де трей чифре алкэтуит ку ажуторул чифрелор 1, 5 ши 9, есте мултиплу луй чинч. Сэ черчетэм унеле екземпле асочияте де ачастэ ситуацие. Екземплул 1. Ла ынтымпларе, ку ажуторул чифрелор 1, 5, 9 есте алкэтуит ун нумэр де трей чифре, фэрэ ка чифреле дате сэ се репете. Афлаць пробабилитатя фаптулуй, кэ вом обцине ун нумэр: а) май маре декыт 500; б) рэдэчина пэтратэ дин каре ну есте май маре декыт 24; в) мултиплу луй трей; г) мултиплу луй ноуэ? Резолваре. а) Принтре челе шасе нумере посибиле 159, 195, 519, 591, 915, 951, примеле доуэ нумере 159, 195 сынт май мичь декыт 500, яр рестул патру нумере 519, 591, 915, 951 сынт май марь ка 500. Деч, нумереле май марь декыт 500 алкэтуеск доуэ треимь дин нумэрул тотал де евенименте. Пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку б) Деоарече 242 = 576, атунч рэдэчиниле пэтрате дин нумереле 159, 195, 519 сынт май мичь декыт 24, яр рэдэчиниле пэтрате дин нумереле 591, 915, 951 сынт май марь ка 24. Деч, нумереле прекэутате алкэтуеск о жумэтате дин нумэрул тотал де евенименте ши пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку в) Сума чифрелор дин фиекаре нумере 159, 195, 519, 591, 915, 951 есте егалэ ку 15. Ачастэ сумэ се ымпарте ла 3 фэрэ рест. Астфел се поате де спус, кэ фиекаре нумэр есте мултиплу луй 3. Деоарече атунч пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку 1. г) Сума чифрелор але фиекэруй нумэр алкэтуит есте егалэ ку 15. Ачастэ сумэ ну се ымпарте ла 9 фэрэ рест. Деч, принтре нумереле дате ну екзистэ нумере каре сынт мултипле луй 9. Деоарече атунч ши пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку 0. Рэспунс: 197

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Сэ анализэм солуционаря екземплулуй 1. Ын пунктул в) рэспунсул ар путя фи обцинут фэрэ а скрие ши фэрэ а енумера тоате нумереле де трей чифре посибиле алкэтуите ку ажуторул чифрелор 1, 5 ши 9. Пур ши симплу, прин скимбаря локулуй чифрелор сума лор (15) ну се скимбэ, деч тоате нумереле алкэтуите сынт мултипле луй 3. Ын ачест каз авем де афачере ку аша нумитул евенимент сигур. Ачест евенимент се реализязэ ын орьче модалитате де алкэтуире а нумэрулуй де трей чифре, утилизынд чифреле 1, 5, 9 фэрэ ка еле сэ се репете. Ын пунктул г) нич унул динтре нумереле компусе дин чифреле 1, 5 ши 9 ну се ымпарт ла 9 фэрэ рест. Авем де афачере ку евенимент импосибил. Ачест евенимент ну се реализязэ ничдекум ла алкэтуиря нумерелор де трей чифре фэрэ репетэрь. Ын пунктеле а) ши б) евениментеле каре не интересязэ путяу сэ айбэ лок сау ну ла алкэтуиря нумерелор ла ынтымпларе. Астфел де евенименте се нумеск евенименте алеатоаре (ла ынтымпларе). Чя май симплэ ши, пробабил, чя май рэспындитэ сурсэ де евенименте алеатоаре – есте жокул ку монеда: о монедэ се арункэ ын сус ши апой урмэрим, ку че парте а кэзут монеда: «стема» сау «банул». Фиць атенць ла термений ной интродушь: евениментул алеатор, евениментул сигур ши евениментул импосибил. Екземплул 2. О монедэ се арункэ де трей орь. Каре есте пробабилитатя фаптулуй, кэ: а) ын тоате челе трей казурь ва кэдя «банул»; б) «банул» ва кэдя де доуэ орь май дес декыт «стема»; в) «стема» ва кэдя де трей орь май дес, декыт «банул»; г) ла прима ши а трея арункаре резултателе сынт диферите? Резолваре. Алкэтуим арбореле вариантелор посибиле. Нотэм прин С – реализаря «стемей» ши прин Б – реализаря «банул» (фиг.140). Обсервэм, кэ сынт посибиле опт евенименте: ССС, ССБ, СБС, СББ, БСС, БСБ, ББС, БББ. а) «Банул» ва кэдя де трей орь ла рынд доар ынтр-ун сингур резултат динтре челе опт посибиле. Деч, пробабилитатя кэутатэ а ачестуй евенимент есте егалэ ку б) Динтре челе опт резултате посибиле, доар ын трей казурь «банул» ва кэдя де доуэ орь май дес декыт «стема»: СББ, БСБ, ББС. Деч, пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку в) Ын казул ын каре «банул» а кэзут чел пуцин о датэ, атунч «стема» требуе сэ кадэ ну май пуцин де трей орь ла рынд. Прин урмаре, ын ачест каз, арункэрь требуе сэ фие ну май пуцине де 4, 198

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

С

Б

С

Б

С

Б

С

Б

С

Б

С

Б

С

Б

ССС

ССБ

СБС

СББ

БСС

БСБ

ББС

БББ

Ын тотал: 8 резултате Фиг. 140 дар еле, конформ кондицией проблемей, сынт трей. Ашадар, евениментул индикат есте импосибил. Се поате де обсерват ачест лукру ши ын казул дакэ, пур ши симплу, вом сорта тоате челе опт резултате посибиле. Ашадар, пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку 0. г) Динтре челе опт резултате посибиле, евениментул каре не интересязэ се реализязэ ын патру казурь: ССБ, СББ, БСС, ББС. Прин урмаре, пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку Рэспунс: а) 0,125; б) 0,375; в) 0; г) 0,5. Ын реалитате монеда поате сэ кадэ ну нумай пе о фацэ а ей, дар поате сэ се реземе де ун перете сау де пичорул унуй скаун, поате сэ се ростоголяскэ ундева департе ши, ын сфыршит, чинева поате сэ фуре монеда ши сэ диспарэ ш.а.м.д. Есте клар фаптул, кэ ла калкуларя пробабилитэциилор есте импосибил сау, чел пуцин, есте фоарте дифичил де консидерат астфел де казурь. Деачея, ын преалабил се пресупуне кэ ын резултатул арункэрий монедей путем обцине доар доуэ евенименте – кынд каде «стема» сау «банул» ши, ку атыт май мулт, кэ ачесте евенименте сынт екипосибиле ынтре еле. Ачаста ынсямнэ, кэ пробабилитатя кэдерий монедей ку «стема» ын сус ла о сингурэ арункаре, превентив се пресупуне кэ есте егалэ ку

ши кэдерий ку «стема» ын

жос, деасеменя се пресупуне кэ есте егалэ ку

. Се примеште, 199

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

кэ авем ла диспозицие о монедэ «идеалэ», сау ун модел симплу пробалистик ал монеделор реале. Деосебиря аич есте апроксиматив ачеяшь, ка де екземплу, деосебиря динтре ун аутомобил реал ши ун аутомобил, каре, дупэ кум обсервэм ын май мулте проблеме дин мануал, се мишкэ ын декурс де кытева оре ку о витезэ константэ де-а лунгул уней аутострэзь идеале. Десигур, кэ ши аутострада идеалэ, ши витеза константэ, ши, пур ши симплу, «дистанца динтре пунктеле А ши Б» – сынт доар унеле моделе але унор ситуаций реале. Пентру а ефектуа унеле калкуле елементаре, авем невое ануме де астфел де моделе симпле, деоарече есте ку мулт май компликат де а опера ку моделеле май компликате. Астфел, ной ам ажунс ла урмэтоаря методэ де калкуларе а пробабилитэций унуй евенимент алеатор. Ачастэ методэ есте апликабилэ нумай ын казуриле ын каре тоате резултателе евениментулуй сынт егал посибиле. СКЕМА ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ КЛАСИЧЕ Пентру детерминаря пробабилитэций евениментулуй алеатор А ла десфэшураря уней оарекаре пробе есте нечесар сэ гэсим: 1) нумэрул N ал тутурор казурилор посибиле але пробей респективе; 2) кантитатя N (A) а ачестор казурь, ын каре се продуче евениментул А; 3) кытул

каре ши есте пробабилитатя евениментулуй А.

Пробабилитатя евениментулуй А се нотязэ прин Р(А) (се експликэ ачест лукру фоарте симплу: «пробабилитате» дин франчезэ – probabilite, яр дин лимба енглезэ «пробабил» – probably). Ашадар,

Ын мулте казурь пунктеле 1)–3) дин скема пробабилитэций класиче сынт експримате принтр-о сингурэ фразэ. Дефиниция класикэ а пробабилитэций Се нумеште пробабилитатя унуй евенимент А ла ефектуаря уней оарекаре ынчеркэрь (пробе) рапортул динтре нумэрул де резултате, каре урмязэ ла реализаря евениментулуй А ши нумэрул тотал ал тутурор резултателор (екипосибиле ынтре еле) але ачестей ынчеркэрь (пробе). 200

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ын партикулар, дакэ евениментул А есте импосибил ла реализаря уней оарекаре ынчеркэрь, атунч N (A) = 0 ши . Ши инверс, евениментул А есте евенимент сигур ла реализаря уней оарекаре ынчеркэрь, дакэ N (A) = N ши деачея P(A) = Екземплул 3. Ынтр-ун полигон регулат ку ноуэ латурь ABCDEFGKL а фост дусэ ла ынтымпларе о диагоналэ а луй. Афлаць пробабилитатя фаптулуй, кэ: а) пе амбеле пэрць але диагоналей есте ачелашь нумэр де вырфурь; б) пе де о парте а диагоналей се вор афла май мулт де доуэ вырфурь; в) ачастэ диагоналэ тае дин ачест полигон ун оарекаре триунгь; г) уна дин екстремитэцииле диагоналей есте вырфул L сау D. Резолваре. а) Пе амбеле пэрць але орькэрей диагонале а полигонулуй дат се афлэ ын тотал шапте вырфурь. Деоарече 7 есте ун нумэр импар, атунч де амбеле пэрць але диагоналей ну поате фи кыте ун нумэр егал де вырфурь. Деч, есте ворба деспре ун евенимент импосибил, пробабилитатя луй есте егалэ ку 0. б) Дакэ пе де о парте а диагоналей се афлэ ун вырф, атунч де чялалтэ парте а ей се афлэ шасе вырфурь; дакэ пе де о парте се афлэ доуэ вырфурь, атунч пе чялалтэ – чинч вырфурь (фиг. 141а); ши ын сфыршит, дакэ пе о парте а диагоналей се афлэ трей вырфурь, атунч пе чялалтэ парте – патру (фиг. 141б). Обсервэм, кэ ын орьче каз пе де о парте а диагоналей се афлэ май мулт де доуэ вырфурь. Деч, авем де афачере ку ун евенимент сигур, пробабилитатя луй есте егалэ ку 1.

Фиг. 141а

Фиг. 141б 201

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Фиг. 142 Фиг. 143 в) Ын примул рынд, сэ афлэм нумэрул тотал де диагонале N. Ынчепутул диагоналей се поате де алес прин ноуэ модалитэць, яр сфыршитул ей – прин шасе модурь: фииндкэ прин вырфул, каре индикэ ынчепутул диагоналей дусе ши вырфуриле ынвечинате ей де амбеле пэрць, ну се поате де дус диагонале ной. Конформ регулий продусулуй обцинем 9 ∙ 6 = 54 диагонале. Дар, ын ачест каз, фиекаре диагоналэ а фост калкулатэ де доуэ орь. Де екземплу, диагонала DG. Ын примул рынд, ам сокотит ачастэ диагоналэ ку ынчепутул ей ын вырфул D ши сфыршитул ей ын вырфул G, ши инверс – ынчепутул ын G ши сфыршитул ын D (везь фиг.141а). Деч, ын тотал авем N = 54 : 2 = 27 де диагонале. Диагоналеле, каре тае дин полигонул дат триунгюрь – сынт AC, BD, CE, DF, EG, FK, GL, KA, BL (фиг. 142). Астфел де диагонале сынт ноуэ – ануме атытя кыте вырфурь аре полигонул ABCDEFGKL. Деч, пробабилитатя кэутатэ есте егалэ ку г) Дин вырфул D се поате де дус шасе диагонале ши прин вырфул L – ачелашь нумэр (фиг.143). Обцинем 12 диагонале, дар уна динтре еле, ши ануме диагонала LD, ам сокотит-о де доуэ орь. Деч, евениментул каре не интересязэ пе ной се реализязэ ын 11 . казурь. Пробабилитатя есте егалэ ку . Рэспунс: Екзистэ о легэтурэ стрынсэ динтре мулцимь, елементеле лор ши субмулцимиле, пе де о парте, ши експерименте (пробе сау мэсурэрь), резултателе лор ши евенименте алеатоаре, пе де алтэ парте. Сэ пресупунем, кэ ынтр-ун оарекаре мод, ной ам енумерат тоате резултателе N але унуй експеримент, пробэ сау експериенцэ. Сэ спунем, кэ тоате ачесте резултате ау фост скрисе ынтр-ун сингур рынд, деспэрците прин виргулэ. 202

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ын тотал: N резултате

Фиг. 144а

Принтре еле: N(A) фаворабиле евениментулуй А

Фиг. 144б

Е посибил, кэ фиекаре резултат апарте а фост скрис ынтр-о линие апарте ши фиекаре рынд а фост нумеротат. Е посибил, кэ аць репрезентат ачесте резултате, сэ зичем пе хыртие, прин унеле семне ш.а.м.д. Импортант есте фаптул, кэ тоате ачесте резултате N сынт консидерате ка о мулциме ынтрягэ ку елементе енумерате (фиг. 144а). Акум, пе ной не интересязэ пробабилитатя унуй оарекаре евенимент алиатор А, каре поате авя лок сау ну ын резултатул ындеплинирий уней пробе. Ачаста ынсямнэ, кэ ун оарекаре евенимент А аре лок ла апариция нумай унора дин тоате резултателе посибиле N. Сэ нотэм ачесте евенименте прин «стелуце» (фиг. 144б). Астфел, принтре тоате резултателе обцинуте, апаре о оарекаре субмулциме компусэ дин N(A) елементе. Кум ам обсерват, путем спуне, кэ евениментул алеатор А, пур ши симплу, есте о субмулциме а мулцимий тутурор резултателор, яр пробабилитатя евениментулуй А есте партя елементелор, принтре тоате елементеле посибиле N фаворабиле але евениментулуй А. Ын партикулар, пробабилитатя фиекэруй резултат луат ын парте есте егалэ ку

, адикэ, се поате де спус, кэ еле сынт

екипробабилистиче. Ын табелул де май жос, вом арэта легэтура динтре термений теорией пробабилитэций ши а теорией мулцимилор. Проба ку N резултате

Мулцимя дин N елементе

Резултатул пробей

Елемент ал мулцимий

Евенимент алеатор

Субмулциме

Евенимент импосибил

Субмулциме видэ

Евенимент сигур

Субмулциме, каре коинчиде ку тоатэ мулцимя Партя елементелор але субмулцимий принтре тоате елементеле мулцимий

Пробабилитатя евениментулуй

203

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Амбеле колоане дин ачест табел пот фи комплектате ку ноциунь ной атыт дин теория пробабилитэциилор, кыт ши дин теория мулцимилор. Сэ черчетэм ун екземплу. Екземплул 4. Принтре челе 50 де пункте, 17 ау фост вопсите ын албастру, яр 13 де кулоаре портокалие. Афлаць пробабилитатя фаптулуй, кэ пунктул алес ла ынтымпларе: а) есте де кулоаре албастрэ; б) ну есте де кулоаре портокалие; в) есте вопсит; г) ну есте вопсит. Резолваре. N(пункте албастре)

N(пункт ну портокалиу) N(пункт албастру сау портокалиу)

Дефиницие. Евениментул В се нумеште евенимент опус евениментулуй А, дакэ евениментул В апаре атунч ши нумай атунч, кынд ну апаре евениментул А; се нотязэ: Евениментеле А ши В се нумеск инкомпатибиле, дакэ еле ну пот сэ се реализезе ын ачелашь тимп. Евениментеле инкомпатибиле пот фи репрезентате прин доуэ субмулцимь але мулцимий тутурор резултателор уней експериенце, каре ну се интерсектязэ. (фиг. 145).

А ши В сынт инкомпатибиле Фиг. 145 204

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ун екземплу типик де евенименте инкомпатибиле: орьче евенимент А ши евениментул опус луй Сэ демонстрэм урмэтоаря теоремэ. Дакэ евениментеле А ши В сынт инкомпатиТеоремa 1 биле, атунч пробабилитатя фаптулуй кэ се ва реализа сау А, сау В есте егалэ ку Р(А) + Р(В). Демонстраре. Нотэм прин С евениментул че не интересязэ. Евениментул С се реализязэ атунч ши нумай атунч, кынд аре лок унул динтре евениментеле А сау В. Деоарече А ши В сынт инкомпатибиле, атунч N(C) = N(A) + N(B). Ымпэрцим термен ку термен амбеле пэрць але ачестей егалитэць ла N – нумэрул тутурор резултателор посибиле але експериенцей (пробей). Обцинем:

Теорема есте демонстратэ. Пентру а скрие теорема 1 утилизынд формулеле, есте нечесар кумва де а нота ши а нуми евениментул, каре констэ дин апариция чел пуцин а унуя динтре челе доуэ евенименте А ши В. Ун астфел де евенимент се нумеште сума евениментелор А ши В ши се нотязэ прин А + В. Дакэ вом традуче операция сумей а доуэ евенименте алеатоаре ын лимбажул теорией мулцимилор, обцинем операция де реуниуне але мулцимилор: релация x ∈ A ∪ B индикэ, кэ сау x ∈ A, сау x ∈ B. Теорема 1, пе скурт, поате фи скрисэ астфел: Дакэ А ши В сынт инкомпатибиле, атунч Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Пентру а афла пробабилитатя евениментулуй Теоремa 2 опус требуе дин унитате сэ скэдем пробабилитатя а ынсушь ачестуй евенимент: Демонстраре. Евениментул есте ун евенимент аутентик: индиферент де резултатул експериментулуй, ын орьче каз, се ындеплинеште сау евениментул А, сау евениментул Деч, Евениментул А ши евениментул опус луй сынт инкомпатибиле. Деч, Прин урмаре, ши . Теорема есте демонстратэ. 205

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ын челе май десе казурь есте май конвенабил де фолосит ши формула симетрикэ Ачаста аре лок ын казул, кынд есте май симплу де афлат пробабилитатя опусэ, декыт ынсушь пробабилитатя евениментулуй дат. Ситуаций типиче сынт евениментеле, дескриеря кэрора се ынфэптуеште утилизынд фраза «чел пуцин о датэ» сау аналоаùе ей. Екземплул 5. Каре есте пробабилитатя фаптулуй, кэ ла трей арункэрь консекутиве а зарулуй, чел пуцин о датэ ва кэдя фаца ку 6 пункте? Резолваре. Ла о сингурэ арункаре а зарулуй путем обцине шасе евенименте екипосибиле 1, 2, 3, 4, 5 ши 6. Ла а доуа арункаре а зарулуй, индиферент де резултатул примей арункэрь, сынт посибиле ачеляшь резултате. Пентру а трея арункаре, конформ регулий продусулуй, обцинем кэ ын тотал сынт посибиле N = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 евенименте. Сэ нотэм евениментул че не интересязэ прин А – евениментул ын каре чел пуцин о датэ ва кэдя фаца ку 6 пункте. Евениментул опус ынсямнэ кэ шасе пункте ну ва кэдя нич ла прима арункаре, нич ла а доуа ши нич ла а трея арункаре. Атунч, ын тоате трей казурь пе зарул арункат ва апэря уна динтре челе чинч чифре 1, 2, 3, 4 сау 5. Утилизынд ши ын ачест каз регула продусулуй, обцинем: N( ) = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125. Деч, ши Ам фэкут куноштинцэ ку проблеме ла пробабилитате, ын каре мулцимя тутурор резултателор, ынтр-ун мод сау алтул, пот фи калкулате. Ку алте кувинте, мулцимя тутурор резултателор посибиле N есте о мулциме финитэ. Дар екзистэ ши астфел де експерименте, унде мулцимя тутурор резултателор посибиле есте о мулциме инфинитэ. Ын ачест каз, скема пробабилитэций класиче ну поате фи апликатэ. Сэ екзаминэм ун екземплу. Екземплул 6. Ла ынтымпларе се алеùе уна динтре солуцииле инекуацией |х – 1| 3. Каре есте пробабилитатя фаптулуй, кэ ачастэ солуцие есте ши солуция инекуацией |х – 2| 3? Резолваре. Евидент, кэ, ын примул рынд, есте нечесар де резолват амбеле инекуаций. Сэ не аминтим сенсул ùеометрик ал модулулуй диференцей |a – b| – дистанца динтре пунктеле a ши b де пе дряпта нумерикэ. Деч, инекуация |х – 1| 3 ынсямнэ, кэ дистанца динтре пунктеле х ши 1 ну есте май маре декыт 3. Ашадар, [–2; 4] есте солуция ачестей инекуаций. Сэ нотэм пе акса нумерикэ ачест сегмент ку лунùимя де 6 унитэць принтр-о хашураре (фиг. 146а). 206

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Фиг. 146а

Фиг. 146б

Фиг. 146в А доуа инекуацие |х – 2| 3 репрезинтэ, кэ дистанца динтре пунктеле х ши 2 ну есте май микэ декыт 3. Ашадар, (–∞; –1] ∪ [5; +∞) есте солуция инекуацией (фиг. 146б). Ла интерсекция лор обцинем сегментул [–2; –1] (фиг. 146в). Деч, динтре тоате солуцииле инекуацией |х – 1| 3, доар а шася парте алкэтуеск солуцииле инекуацией |х – 2| 3. Пробабилитатя прекэутатэ есте егалэ ку Екземплул 7. Едиторул график, инсталат ла калкулаторул Д-стрэ, ла ынтымпларе маркязэ ун пункт пе екранул мониторулуй – пе пэтратул ABCD ку латура егалэ ку 12 чм. Афлаць пробабилитатя фаптулуй, кэ ачест пункт: а) се афлэ ын жумэтатя де сус а екранулуй мониторулуй; б) се афлэ ын колцул стынг де жос ал екранулуй мониторулуй; в) есте ындепэртат де вырфул D ла о дистанцэ ну май маре де 11 чм; г) ва фи май апроапе де чентрул екранулуй, декыт де вырфул С. Резолваре. а) Супрафаца екранулуй есте егалэ ку 144 чм2. Супрафаца жумэтэций де сус а екранулуй есте егалэ ку 72 чм2. Деч, (фиг. 147а). пробабилитатя прекэутатэ есте егалэ ку б) Ын ачест каз, едиторул поате марка орьче пункт дин колцул дин стынга де жос ал екранулуй (фиг. 147б). Прин урмаре, пробабилитатя евениментулуй есте егалэ ку 0,25. в) Сэ десенэм ун черк ку раза де 11 чм ши ку чентрул ын вырфул D. Ла интерсекцие ку пэтратул ABCD обцинем а патра парте адикэ дин ачест черк (фиг. 147в). Ария луй есте галэ ку 30,25π. Сэ афлэм че парте алкэтуеште супрафаца обцинутэ дин супрафаца eкранулуй мониторулуй: 207

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Рапортул супрафецелор ши индикэ пробабилитатя кэутатэ. г) Сэ уним принтр-ун сегмент де дряптэ вырфул С ку чентрул екранулуй О. Конструим перпендикулара m, каре трече прин мижлокул ачестуй сегмент. Пунктеле ей сынт егал депэртате де пунктул С ши О, яр пунктеле, ситуате май сус де m, се афлэ май апроапе де пунктул С, декыт де чентрул О. Фие K = m ∩ BC, L = m ∩ CD ши M = m ∩ OC . Атунч ∆KCL есте алкэтуит дин тоате пунктеле екранулуй каре сынт ындепэртате де С ла о дистанцэ ну май маре, декыт де чентрул екранулуй (фиг. 147г).

Фиг. 147а Фиг. 147б

Фиг. 147в 208

Фиг. 147г

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Авем:

(линия медие а триунгюлуй Ашадар,

Деоарече супрафаца S а екранулуй мониторулуй есте егалэ ку 144 чм2, атунч пробабилитатя алеùерий пунктулуй че апарцине ∆KCL есте егалэ ку Конформ кондицией проблемей есте нечесар сэ афлэм пробабилитатя евениментулуй опус евениментулуй, кэ пунктул кэутат апарцине ∆KCL. Утилизынд формула , обцинем пробабилитатя нечесарэ: 1 – 0,125 = 0,875. Рэспунс: а) 0,5; б) 0,25; в) ≈ 0,66; г) 0,875. Сэ формулэм регула ùенералэ де афларе а пробабилитэциилор ùеометриче. Дакэ ария S(A) а фигурий А де ымпэрцит ла ария S(X) а фигурий Х, каре ын ынтреùиме концине фигура А, атунч обцинем пробабилитатя, кэ пунктул, алес ла ынтымпларе дин фигура Х, ва фи дин фигура А: Ын мод аналог се прочедязэ ши ку мулцимиле де пе акса нумерикэ, ши ку корпуриле спациале. Дар ын ачесте казурь, арииле се ынлокуеск сау прин лунùимиле мулцимилор нумериче, сау прин волумуриле корпурилор спациале.

§ 21. ДАТЕЛЕ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЕ ШИ ПРОБАБИЛИТАТЯ ЕВЕНИМЕНТЕЛОР

Ын ачест параграф вом ворби деспре релацииле динтре пробабилитатя евениментелор алиатоаре (§ 20) ши деспре дателе статистиче експериментале (§ 19). Вэ аминтим, кэ дателе статистиче ау тендинца де а репрезента дателе унор оарекаре експерименте реализате ын реалитате, яр ла калкуларя пробабилитэцилор евениментелор алеатоаре авем де афачере ку моделе реале партикуларе. Ши тотушь, че легэтурэ екзистэ динтре ун евенимент реал ши ун модел реал? Кыт де екзакте сынт идеиле ноастре теоретиче деспре лумя ынконжурэтоаре, ын конформитате ку чея че се ынтымплэ ын практикэ? 209

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Сэ черчетэм ун екземплу конкрет, легат ку евениментеле алеатоаре – арункаря монедей. Екземплу 1. Ла лекцииле практиче де прелукраре а дателор, фиекаре динтре чей 20 де елевь ау арункат о монедэ де кыте 50 де орь. Нумэрул тотал де казурь k де кэдере а «стемей» а фост скрис ка ун прочент дин нумэрул тотал де арункэрь. Дателе обцинуте ау фост колектате ынтр-ун табел. №

1

k

24 27 23 26 28 25 24 25 26 22 23 23 22 26 27 24 23 29 30 21

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

% 48 54 46 52 56 50 48 50 52 44 46 46 44 52 54 48 46 58 60 42

Обсервэм, кэ сынт обцинуте резултате дестул де ымпрэштияте: де ла 21 пынэ ла 30. Дакэ вом скрие фреквенца апарицией а «стемей» ын проченте, атунч обцинем резултателе де ла 42% пынэ ла 60%. Пе де о парте, екзакт ын жумэтате (25) дин нумэрул тотал де арункэрь с-а обцинут ын доар доуэ казурь. Дар, пе де алтэ парте, абатеря челорлалте резултате фацэ де 25 ну есте атыт де маре: чя май маре абатере есте егалэ ку 5, чея че алкэтуеште 10% дин нумэрул тотал де арункэрь але монедей. Сэ комбинэм ачесте резултате ын групурь май марь. Пресупунем, кэ сума резултателор № 1 ши № 2 есте ун резултат апарте пентру 100 де арункэрь, сума резултателор № 3 ши № 4 есте ал дойля резултат пентру 100 де арункэрь ш.а.м.д. Обцинем ун табел ноу. №

1–2

3–4

5–6

k

51

49

53

7–8 9–10 11–12 13–14 15–16 17–18 19–20 49

48

46

48

51

52

51

Трансформаря дателор ын проченте, ын ачест каз, есте ын плус: доар апариция «стемей» де 51 орь ла 100 де арункэрь ши ынсямнэ кэ «стема» а апэрут ын 51% де казурь дин нумэрул тотал де арункэрь. Акум, екзакт ын жумэтате дин 100 де арункэрь ын ùенерал ну се ынтылнеште, дар ла рындул сэу, абатеря де ла ачастэ жумэтате ын проченте се микшорязэ ши алкэтуеште ну май мулт де 4%. Сэ континуэм екстиндеря, сэ мэрим групаря пынэ ла 200 де арункэрь.

210

№

1–4

5–8

9–12

k

100

102

94

99

103

%

50

51

47

49,5

51,5

13–16 17–20

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Ведем, кэ пе мэсурэ че нумэрул де арункэрь а монедей се мэреште, фреквенца апарицией «стемей» есте апроапе ын жумэтате дин нумэрул тотал де арункэрь. Ачест лукру есте евидент май алес, дакэ вом консидера кэ тоате арункэриле ефектуате але монедей сынт репетэрь але унуя ши ачелуяшь експеримент ку резултат алеатор. Ын тотал ау фост ефектуате 20 ∙ 50 = 1000 де арункэрь, «стема» а кэзут ын 498 де казурь: 100 + 102 + 94 + 99 + 103 = 500 (0 2 – 6 – 1 + 3) = 498. Фреквенца ын проченте а апарицией «стемей» есте егалэ ку 49,5% ши абатеря де ла жумэтате (50%) алкэтуеште доар 2%. Ын ùенере, ефектуаря унуй нумэр семнификатив де експерименте аратэ, кэ фреквенца апарицией «стемей» ла ун нумэр суфичиент де арункэрь практик ну деферэ де 0,5 сау 50%. Де екземплу, ын май мулте мануале де статистикэ сау але теорией пробабилитэциилор сынт експусе резултателе експериментелор савантулуй франчез Ж. Буфон (сек. XVIII) ши а математичианулуй енглез К. Пирсон (сф. сек. XIX). Ей ау арункат монеда респектив 4040 ши 24000 де орь ши «стема» а апэрут 2048 ши 12012 де орь. Дакэ вом калкула фреквенца апарицией «стемей», атунч обцинем ла Буфон ши

ла Пирсон.

Де фин иц ие . Ла ун нумэр дестул де маре де репетэрь индепенденте але унуя ши ачелуяшь експеримент ын кондиций константе, фреквенца апарицией унуй евенимент алеатор се апропие де ун нумэр констант. Ачест феномен се нумеште феноменул де стабилитате статистикэ, яр нумэрул индикат – пробабилитатя статистикэ а евениментулуй. Вом сублиния фаптул, кэ пентру фиекаре нумэр конкрет де репетэрь але експериенцей, фреквенца апарицией евениментулуй се деосебеште де пробабилитатя луй. Феноменул де стабилитате статистикэ гарантязэ доар фаптул, кэ одатэ ку крештеря нумэрулуй де репетэрь але експериенцей, пробабилитатя диференцей семнификативе динтре фреквенца евениментелор ши а пробабилитэций лор тинде ла зеро. Ачастэ стабилитате аре лок ну нумай ла арункаря монедей, дар ши ла екстраùеря уней кэрць де жукат, ла апариция унуй нумэр де пункте пе зарурь, ла детерминаря температурий медий ши, ын ùенере, пентру мажоритатя евениментелор алеатоаре. Феноменул де стабилитате статистикэ комбинэ екпериенцеле импириче реал ефектуате ку моделеле теоретиче але ачестор експериенце (пробе). 211

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Екземплул 2. Черчетэриле статистиче але унуй нумэр маре де тексте литераре аратэ, кэ фреквенца апарицией а уней анумите литере (сау а спациулуй) тинде ла мажораря волумулуй текстулуй кэтре о анумитэ константэ. Табелеле, унде сынт колектате литереле диферитор алфабете ши константеле кореспунзэтоаре, се нумеск табелеле фреквенцелор але лимбий кореспунзэтоаре. Вэ презентэм табелул апарицией литерелор алфабетулуй лимбий русе (фреквенцеле сынт дате ын проченте). Литера

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

Фреквенца

6,2

1,4

3,8

1,1

2,5

7,2

0,7

1,6

6,2

1,0

Литера

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

2,8

3,5

2,6

5,3

9,0

2,3

4,0

4,5

5,3

2,1

0,2

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

Ы

Ь

Э

Ю

Я

–

0,9

0,4

0,4

0,6

0,3

1,6

1,4

0,3

0,6

Фреквенца Литера Фреквенца

1,8 17,5

Фиекаре аутор аре проприул сэу табел ал фреквенцелор литерелор ши ал кувинтелор, ал ымбинэрилор де кувинте спечифиче фолосите ш.а.м.д. Дупэ ачест табел се поате де детерминат апроксиматив ауторул текстулуй дат, ла фел ка ши дупэ ампрента деùетелор. Де екземплу, пынэ ын презент апар диферите дискуций деспре ауторул романулуй «Донул лиништит» («Тихий Дон»). Фоарте мулць критичь сокот, кэ ла вырста де 23 де ань М.А. Шолохов ну путя сэ скрие атыт де профунд ши ку адевэрат о «маре карте». Се ынаинтау диверсе аргументе ши диферите кандидатурь ка аутор. Май алес, фоарте апринсе ау фост дискуцииле ла моментул кынд ел а фост ынаинтат ла Премиул Нобел пентру литературэ ын 1965. Анализа статистикэ ши компараря текстелор ку текстеле ын каре ну ера пусэ ла ындоялэ фаптул кэ ауторул ачестор тексте есте М.А. Шолохов, ау конфирмат ипотеза кэ ауторул адевэрат ал романулуй «Донул лиништит» есте ануме М.А. Шолохов. Урмэтоаря историе концине ун карактер политик. Ла ынчепутул анилор 60 «песте хотаре», кум се ворбя ын трекут ын УРСС, ау фост публикате унеле лукрэрь, каре «ау понегрит натура прогресивэ а системулуй сочиалист». Ауторул ачестор лукрэрь а фост А. Терц, фэрэ ындоялэ ачеста ера ун псевдоним. Ауторитэцииле компетенте ау ефектуат о анализэ а текстелор ку карактер де «саботаж». Ачесте тексте ау фост компарате ку текстеле скрисе де 212

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

уний ауторь, каре, дупэ кум с-а констатат, путяу сэ фие ка ауторь. Астфел, а фост демонстрат кэ аутор есте критикул литерар Андрей Донатович Синявский. Ын челе дин урмэ, ла прочесул дин 1966 (Прочесул Синявкий ши Даниел) ел ну с-а дезис де ачесте лукрэрь ши ка резултат а примит шапте ань де сентинцэ ынтр-о колоние пеналэ. Ятэ ачаста ши есте статистика. Вэ презентэм унеле екземпле унде пе ларг се апликэ елементеле статистиче ын десчифраря текстелор криптате. Уна динтре примеле методе де кодификаре куноскуте але месажелор констэ ын урмэтоареле. Фиекаре литерэ а алфабетулуй, ын каре се скрие ачест месаж, есте ынлокуитэ прин орьче алтэ литерэ дин ачелашь алфабет. Се обцине о реаранжаре а литерелор алфабетулуй. Де екземплу: А

Б

В

Г

Д

Е

Я

Ы

Ё

Ж

З

М

Ё Ф

Ж

З

И

К

Л

М

Н

О

Щ

О

Ю

Р

Т

С

Ч

Ш

…

Я А

Ашадар, експресия «милая мама», дупэ криптаре аратэ астфел: «сютяа сяся». Адресатул месажулуй, каре диспуне де табелул де реаранжаре а литерелор, ку ушуринцэ поате ефектуа традучеря инверсэ а кувынтулуй «тшжюря». Ын казул ын каре текстул унуй месаж есте интерчептат ши кодул де криптаре ну есте куноскут, ын ажутор не вине статистика. Сэ пресупунем, кэ текстул месажулуй есте суфичиент де маре. Де екземплу, апроапе о паùинэ де текст диктилографик. Астфел обцинем 30–40 рындурь де текст а кыте 60–70 де карактере ын фиекаре рынд, ын тотал: апроксиматив 2000 де карактере «криптате». Сэ компунем пентру ачесте карактере табелул фреквенцелор де апарицие ын текстул криптат ши сэ компарэм ачест табел ку табелул апарицией литерелор «реале» але алфабетулуй рус (везь информация де май сус). Дакэ пентру о оарекаре литерэ, сэ зичем пентру Й, фреквенца калкулатэ ва депэши 9%, атунч ку ун град маре де ынкредере се поате де аргументат, кэ прин ачастэ литерэ есте кодификатэ литера О а текстулуй ориùинал. Ын казул ын каре фреквенца литерей, сэ зичем М, ын криптаре с-а доведит а фи апроксиматив егалэ ку 7%, есте пробабил кэ ачеста есте кодул литерей Е. Десигур, астфел обцинем доар о кодификаре апроксимативэ, деоарече, сэ зичем, литереле А ши И сау Ц ши Ч конформ фреквенцей де апарицие ну се деосебеск. Дар тотушь, дакэ вом луа ын консидерацие граматика лимбий русе ши табелул апарицией ну нумай а литерелор, дар ши а комбинациилор де литере (СТ, ПРО), а конжункциилор, препозициилор, 213

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

сенсулуй ùенерал ал месажулуй ш.а.м.д., ка урмаре ку сукчес се поате де дескрипта текстул екзистент. Ачастэ методэ статистикэ функционязэ ши прин ынлокуиря литерелор алфабетулуй прин карактере арбитраре. Де екземплу: А

Б

В

Г

Д

W

{

спациу

!

Q

Е ∅

Ё

Ж

З

;

©

@

…

Я §

Феноменул де стабилитате статистикэ пермите де а естима апроксиматив пробабилитэцииле евениментелор кяр ши ын казуриле ын каре ачесте пробабилитэць, ын преалабил, ну сынт куноскуте. Ынтр-адевэр, фие кэ есте нечесар де афлат сау де естимат пробабилитатя евениментулуй А ла ефектуаря унор експерименте. Вом ефектуа тоате репетэриле индепенденте але ачестуй евенимент ын кондиций константе (кондицииле сынт нескимбате). Нотэм ачеле репетэрь, ын каре апаре евениментул че не интересязэ А, ши калкулэм фреквенца де апарицие а евениментулуй А. Стабилитатя статистикэ ынсямнэ, кэ ла ефектуаря унуй нумэр маре де репетэрь але унуй евенимент фреквенца калкулатэ практик коинчиде ку пробабилитатя некуноскутэ а апарицией евениментулуй А. Ашадар, фреквенца афлатэ есте апроксиматив егалэ ку пробабилитатя евениментулуй А. Есте нечесар де рецинут, кэ фреквенца апарицией евениментелор се калкулязэ пентру евениментеле реале, яр пробабилитатя – пентру моделеле теоретиче але ачестор евенименте. Екземплул 3. Фиекаре динтре чей зече жукэторь ау арункат симултан 50 де орь трей зарурь де кулорь диферите ши ау калкулат нумэрул де арункэрь k, ын каре ну а апэрут нумэрул шасе. Ау фост обцинуте урмэтоареле резултате: №

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k

28

32

24

30

31

25

29

29

27

28

а) Алкэтуиць табелул фреквенцелор (ын проченте) ын казул, кынд ну ва кэдя нумэрул шасе пентру фиекаре жукэтор. б) Алкэтуиць табелул фреквенцелор (ын проченте) ын казул, кынд ну ва кэдя нумэрул шасе пентру резултателе жукэторилор 1 – 2, 3 – 4, …, 9 – 10. в) Каре есте фреквенца, кынд ну ва апэря нумэрул шасе пентру тоате 500 де арункэрь ефектуате? г) Афлаць пробабилитатя евениментулуй, кынд ну ва кэдя нумэрул шасе ла арункаря конкомитентэ а трей зарурь. 214

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Резолваре. а)

б)

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k

28

32

24

30

31

25

29

29

27

28

%

56

64

48

60

62

50

58

58

54

56

№

1–2

3–4

5–6

7–8

9–10

%

60

54

56

58

55

в) Ын тотал дин 500 де арункэрь ефектуате, нумэрул шасе ну а = 0,566 апэрут ын 283 де казурь. Деч, фреквенца есте егалэ ку сау 56,6%. г) Сэ ефектуэм калкулеле конформ скемей пробабилитэций класиче. Конформ регулий продусулуй ла арункаря а трей зарурь диферите сынт посибиле N = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 де резултате екипосибиле. Фие, прин А нотэм евениментул де неапаренцэ а нумэрулуй шасе. Ачест лукру ынсямнэ, кэ пентру фиекаре зар авем доар нумай чинч резултате екипосибиле: 1, 2, 3, 4, 5. Апликынд ярэшь, ын ачест каз, регула продусулуй, обцинем, кэ N(A) = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125. Ашадар,

Деч, обсервэм, кэ пробабилитатя теоретикэ а казулуй кынд ну апаре нумэрул шасе, калкулатэ конформ моделулуй пробабилитэций класиче, алкэтуеште апроксиматив 57,9%, яр фреквенца статистикэ, калкулатэ дин практикэ, есте егалэ ку 56,6%. О оарекаре абатере, десигур, екзистэ, дар ну субстанциалэ.

215

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

Конклузий æенерале • Аць фэкут куноштинцэ ку методеле де базэ де резолваре а проблемелор елементаре ла пробабилитате: сортаря вариантелор; конструиря арборелуй вариантелор; регула продусулуй. • Ам интродус о ноциуне ноуэ: факториалул. • Аць фэкут куноштинцэ ку ун ноу модел математик, каре сервеште о дескриере а май мултор проблеме ла пробабилитате – пробабилитатя класикэ. Пентру а калкула пробабилитатя ын ачест модел се утилизязэ формула • Аць фэкут куноштинцэ ку принчипалеле типурь де евенименте алиатоаре: евенименте сигуре ши импосибиле; евенименте инкомпатибиле; евениментул, опус евениментулуй дат; сума а доуэ евенименте алиатоаре. • Ам демонстрат трей теореме: деспре нумэрул де пермутэрь але уней мулцимь, дин n елементе: Pn = n!; деспре пробабилитатя сумей а доуэ евенименте инкомпатибиле; деспре пробабилитатя евениментулуй опус. • Ам анализат челе май симпле методе де прелукраре статистикэ а резултателор мэсурэрилор, обцинуте ла ефектуаря унор анумите експерименте. • Аць фэкут куноштинцэ ку ноциунь ши термень ной: серия ùенералэ де дате ши серия де дате а уней мэсурэрь конкрете; варианта серией де дате, мултипличитатя, фреквенца ши фреквенца де проченте; серия групатэ де дате; полигоанеле де дистрибуцие. 216

5.

ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ

• Аць фэкут куноштинцэ ку челе май симпле карактеристичь нумериче але информацией обцинуте ын тимпул ынфэптуирий унуй експеримент, каре алкэтуеск ла рындул сэу пашапортул резултателор ачестуй експеримент: волумул, амплитуда, мода, медия.

217

ПЛЭНУИРЯ ТЕМАТИКЭ МОДЕЛ

3 оре пе сэптэмынэ, ын тотал 102 оре пе ан Материя де студиу

Нумэрул де оре

Капитолул 1. ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ § 1. Инекуацииле линиаре ши пэтрате

3

§ 2. Инекуацииле рационале

5

§ 3. Мулцимиле ши операцииле асупра лор

3

§ 4. Системеле де инекуаций

4

Лукраря де контрол № 1

1 Ын тотал:

16

Капитолул 2. СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ § 5. Ноциунь ùенерале

4

§ 6. Методеле де резолваре а системелор де екуаций

5

§ 7. Системеле де екуаций ка моделе математиче але унор ситуаций реале

5

Лукраря де контрол № 2

1 Ын тотал:

15

Капитолул 3. ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ § 8. Дефиниция функцией нумериче. Домениул де дефиницие, домениул де валорь але функцией

4

§ 9. Методеле де дефинире а функциилор

2

§ 10. Проприетэцииле функцией

4

§ 11. Функций паре ши импаре

3

Лукраря де контрол № 3

1

§ 12. Функцииле y = xn(n ∈ N), проприетэцииле ши графичеле лор

§ 13. Функцииле y = x–n(n ∈ N), проприетэцииле ши графичеле лор 218

4 3

Окончание табл. Материя де студиу

Нумэрул де оре

§ 14. Функция проприетэцииле ши графикул 3 ей 1 Лукраря де контрол № 4 Ын тотал: 25 Капитолул 4. ПРОГРЕСИЙ § 15. Ширурь нумериче 4 § 16. Прогресия аритметикэ 5 § 17. Прогресия ùеометрикэ 6 1 Лукраря де контрол № 5 Ын тотал: 16 Капитолул 5. ЕЛЕМЕНТЕЛЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИИЛОР §18. Проблеме де комбинаторикэ 3 §19. Статистика – проектаря информацией 3 § 20. Проблеме пробабилистиче елементаре 3 § 21. Дате експериментале ши пробабилитатя 2 евениментелор 1 Лукраря де контрол № 6 12 Ын тотал: 17 Репетаре 1 Лукраря де евалуаре финалэ

219

ИНДИЧЕ ДЕ МАТЕРИЙ

А Аргумент 86 Арбореле вариантелор посибиле 175 Асимтотэ вертикалэ 126 — оризонталэ 126

В Валоаря функцией чя май микэ 100 — — чя май маре 100 Валоаря медие а дателор мэсурэрий 192, 193 Варианта мэсурэрилор 185 Вариабила депендентэ 86 — индепендентэ 86 Волумул мэсурэрилор 187

Г Графикул екуацией 55 — функцией 88 Д Дистанца динтре пункте 57 Домениул де валорь але функцией 88 — де дефиницие а функцией 86 — — — натурал 86

Е Евенимент сигур 198 — импосибил 198 — алеатор 198 Евениментеле инкомпатибиле 204 — опусе 204 Експонента 96 Екуация луй Диофант 52 — рационалэ ку доуэ вариабиле 50 — недефинитэ (везь Екуация луй Диофант)

220

И Инекуаций — екиваленте 6 Инекуация — дублэ 41 — пэтратэ ку о сингурэ вариабилэ 5 — линиарэ ку о сингурэ вариабилэ 5 — нестриктэ 20 — рационалэ ку о сингурэ вариабилэ 12 Интервалеле унде функция ышь пэстрязэ семнул 134 Интерсекция мулцимилор 34 К Континуитатя функцией пе интервал 102 Курба семнелор 18 М Метода адунэрий алùебриче 69 — интродучерий уней вариабиле ной 71 — интервалелор 11 — дедукцией математиче 148 — сортэрий вариантелор 173 — субституцией 68 Мулциме видэ 26 — симетрикэ 111 — нумерикэ 25 П Парабола кубикэ 119 Пермутэрь 182 Полигонул де дистрибуцие а дателор 189 Пробабилитатя 200 — статистикэ 211 Прогресия аритметикэ 145 — ùеометрикэ 156 Проприетатя карактеристикэ а прогресией аритметиче 155 — — прогресией ùеометриче 167

Р Рация прогресией 145, 155 Реуниуня мулцимилор 36 Регула продусулуй 177 Рэдэчина кубикэ (градул трей) 128 С Симболул инклудерий 32 — апартененцей 29 — екиваленцей 128 Системул де инекуаций ку доуэ вариабиле 66 — — — ку о сингурэ вариабилэ 41 — де екуаций 61 Системеле де екуаций екиваленте 74 Солуция — инекуацией ку доуэ вариабиле 63 — — ку о сингурэ вариабилэ 5 — ùенералэ а инекуацией 5 — — а системулуй де инекуаций 41 — системулуй де инекуаций 41, 66 — —де екуаций 61 — екуацией ку доуэ вариабиле 51 — партикуларэ а инекуацией 5 — — а системулуй де инекуаций 41 Стабилитате статистикэ 211 Субмулциме 32

Функция 86 — крескэтоаре 97 — конвексэ 102 — конкавэ 102 — монотонэ 97 — де аргумент натурал (везь Ширул нумерик) — импар 110 — мэрùинит 99 — — де сус пе о мулциме 98 — — де жос 98 — путере ку експонент атурал 115 — — — ынтрег негатив 122 — дескрескэтоаре пе интервал 97 — парэ 110 Ч Чиркумферинцэ ын планул де коордонате 60

Ш Ширул де дате 194 Ширул крескэтор 144 — дескрескэтор 144 — луй Фибоначи 144 — нумерик 139 — стационар 140

Т Трансформаря де екиваленцэ а инекуацией 6 Ф Факториалул 180 Формула прочентелор симпле 170 — — компусе 170 — сумей примилор n термень ай прогресией аритметиче 152, 153 — — уней прогресий ùеометриче фините 165 — терменулуй ùенерал (ал n-ля) ай прогресией аритметиче 147 — ——— ùеометриче 158 Фреквенца мэсурэрилор 186 Фреквенца вариантей 188

221

КУПРИНС

Префацэ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Капитолул 1. ИНЕКУАЦИИЛЕ РАЦИОНАЛЕ ШИ СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ИНЕКУАЦИЙ § 1. Инекуацииле линиаре ши пэтрате . . . . . . . . . . . . . .

5

§ 2. Инекуацииле рационале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

§ 3. Мулцимиле ши операцииле асупра лор . . . . . . . . . . § 4. Системеле де инекуаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Конклузий ùенерале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

40

Капитолул 2. СИСТЕМЕЛЕ ДЕ ЕКУАЦИЙ § 5. Ноциунь ùенерале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

§ 6. Методеле де резолваре а системелор де екуаций . . . .

68

§ 7. Системеле де екуаций ка моделе математиче але унор ситуаций реале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Конклузий ùенерале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Капитолул 3. ФУНКЦИЙ НУМЕРИЧЕ § 8. Дефиниция функцией нумериче. Домениул де дефиницие, домениул де валорь але функцией . . . . .

83

§ 9. Методеле де дефинире а функциилор . . . . . . . . . . . .

91

§ 10. Проприетэцииле функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

§ 11. Функций паре ши импаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

§ 12. Функцииле y = xn(n ∈ N), проприетэцииле ши графичеле лор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

§ 13. Функцииле y = x–n(n ∈ N), проприетэцииле ши графичеле лор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

, проприетэцииле ши графикул ей . .

128

Конклузий ùенерале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

§ 14. Функция y

222

=

Капитолул 4. ПРОГРЕСИЙ § 15. Ширурь нумериче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

§ 16. Прогресия аритметикэ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

§ 17. Прогресия ùеометрикэ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

Конклузий ùенерале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

Капитолул 5. ЕЛЕМЕНТЕ ДЕ КОМБИНАТОРИКЭ, СТАТИСТИКЭ ШИ А ТЕОРИЕЙ ПРОБАБИЛИТЭЦИЙ § 18. Проблеме де комбинаторикэ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

§ 19. Статистика – проектаря информацией . . . . . . . . . . .

182

§ 20. Проблеме пробабилистиче елементаре . . . . . . . . . . .

196

§ 21. Дателе експериментале ши пробабилитатя евениментелор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Конклузий ùенерале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

Плэнуиря тематикэ модел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218

Индиче де материе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

223

Едицие дидактикэ Мордкович Александру Григориевич, Семьонов Павел Владимирович

Алщебра класа 9 Ын доуэ пэрць

Партя 1 МАНУАЛ пентру елевий институциилор де ынвэцэмынт ùенерал Едиция а 12-я, стереотипэ (Издание для организаций общего образования на молдавском языке)

Коректор С.Н. Гореева Паùинаре компутеризатэ О.Б. Аксенова

Бун де типар ___.2018. Форматул 60х90 1/16. Хыртие де типар офсет. Гарнитурэ «Школарэ». Типар офсет. Коль де типар конв.17. Тираж 450 екз. ИДЫшиПК, ор. Тираспол, стр. Каховская, 17. Типография «Полиграфист», ор. Бендер, стр. Пушкин, 52. Сервичиу де Стат ал мижлоачелор де информаре ын масэ ал РМН. 224