Zur Darstellungstheorie der abzählbar unendlichen symmetrischen Gruppe über Körpern der Charakteristik 0 II

Citation preview

Bayreuther

Math. Schr. 15 (1983),

1—77

Zur Darstellungstheorie der abzählbar unendlichen symmetrischen Gruppe über Körpern

der Charakteristik 0

II

von Andreas Golembiowski, Bayreuth

ZUSAMMENFASSUNG

In der vorliegenden Arbeit werden im Rahmen einer Untersuchung

der gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen der Gruppe S der

finiten

Permutationen von 11

Linksidealen Linksid

Korrespondenzen zwischen maximalen

der Gruppenalgebra FS

(F Körper der Charakteristik

O) und Teilmengen des Youngverbandes P(ID

siert. siert. tion

beschrieben und analy-

Weiterhin wird auf verschiedene Möglichkeiten der Konstruk-

maximaler Linksideale von FS eingegangen.

Diese Arbeit ist die unwesentlich gekürzte Fassung einer Dissert Dissertation,

die

von

der Universität Bayreuth

zur

Erlangung

'

des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigt wurde wurde..

(Tag der Einreichung:

ml-.

D 703

10.1.1983; Tag des Kolloquiums:

18.3.1983)

I n h a 1 t 5 v e r z e i c h n i s

Einleitung

Die Ideale von FS Einige Eigenschaften der Linksideale von FS

Eine Klasse von maximalen Linksidealen

10

Zur Konstruktion von maximalen Linksidealen

18

Die primitiven Ideale von FS und eine Äquivalenzrelation auf der Menge der maximalen Linksideale

47

Anhang B: Primitive Ringe und primitive Ideale

73

Literatur

76

1. Einleitung

In der vorliegenden Arbeit werden die in [G] begonnenen Untersuchungen zur Darstellungstheorie der Gruppe S

Permutationen Permutationen von 11

teristik teristik

:= U Sn der finiten

:= {1,2,...} über einem Körper F der Charak—

0 fortgesetzt. Aus formalen Gründen und zur Gewährlei-

stung ltung einer gewissen Abgeschlossenheit werden in den ersten vier

Abschnitten Abschnitten

die entsprechenden Abschnitte von LG] noch einmal

zusammengefaßt. zusammengefaßt.

Die Numerierung der dabei zitierten Sätze stimmt

mit nit der der in [G] nahezu völlig überein.

nur DaDa SS nur

einen nichttrivialen Normalteiler, nämlich die alter—

nierende Gruppe nierende

und und die die ziblen ziblen

eine eine

A := U An

besitzt, sind die Einsdarstellung

alternierende Darstellung die einzigen nichttreuen irredu— F—Darstellungen von S. Der folgende Satz ermöglicht daher

vollständige Übersicht über die endlichdimensionalen F—Dar—

stellungen stellungen

1.1 Satz:

von S.

s besitzt keine treuen F-Darstellungen von endlichem Grad.

Damit Damit

ziblen ziblen Dabei Dabei

erhebt sich als Nächstes die Frage nach den treuen irredu-

- und somit unendlichdimensionalen - F-Darstellungen von 3. kann man sich insbesondere die Frage nach der Bestimmung

alle: irreduziblen irreduziblen aller

Gruppenalgebra Gruppenalgebra

FS-Moduln stellen, wobei

von S bezeichnet.

FS = U FSn

die

minimalen Nach einem Satz von Müller ([5]) gibt es in FS keine minimalen Linksideale.

Ist M = FSm (mEM)

M 5

dabei ist annFS (m)

7

gilt ein irreduzibler FS-Modul, so gilt

annFS (m)

;

ein maximales Linksideal von FS. Es bietet

sich daher an, nach den maximalen Linksidealen von FS zu fragen,

insbesondere natürlich nach einer Klassifikation. Als Hauptpunkt von [G] wurden bereits Fragen in diesem Zusammenhang behandelt.

Besonders wichtig für diese Betrachtungen war der " Youngverband " P ( N) :

Wie Wie bereits in [G] ist auch ein wesentlicher Teil dieser Arbeit

die die

Beschreibung und Untersuchung von Korrespondenzen zwischen

Idealen Idealen bzw. Linksidealen von FS und Teilmengen bzw. Unterstrukturen turen

(z.B. Mengen von Ketten) von P(IU .

Ich danke an dieser Stelle Herrn Prof. Dr. A. Kerber und

Herrn Prof. Dr. W. Müller für ihre Unterstützung und Gesprächsbereitschaft.

Weiterhin danke ich Herrn Dr. für viele anregende Gespräche.

Clausen und Herrn Dr. Dischinger Insbesondere ist meine Auseinander-

setzung mit diesem Thema aus einem Gespräch mit Herrn Dr. Clausen hervorgegangen. Er hat ferner beim Lesen des Erstentwurfs des

sechsten Abschnitts bemerkt, daß sich die dort behandelten Er— gebnisse prägnanter und übersichtlicher mit Hilfe der auf Seite

50/51

eingeführten Begriffe darstellen lassen.

_.._.5...

2. Die Ideale von FS

Die im folgenden ohne Beweis wiedergegebenen Aussagen sind

alle der Arbeit [3] entnommen.

Ist B ein

(zweiseitiges)

Ideal von FS

(kurz: B 4 FS), so läßt

es sich in der Form

B =

u

(a‘sn) ‘

n€]N

darstellen. Für nEIJ

ist

BnFSn ‚sicher ein Ideal von FSn und

daher Summe gewisser einfacher Komponenten von FS“. Da diese einfachen Komponenten durch Partitionen von n parametrisiert sind

(siehe Kap. 2 in [4])‚

ist die folgende Definition sinn-

voll:

A(B) == {mEP(IIN) |

e“eB} ;

e° bezeichnet dabei das zentralprimitive Idempotent, welches die zur Partition « von n

ponente von a erzeugt.

(kurz:

— A(B)

urn)

gehörige einfache Kom—

hat nun folgende Eigenschaften,

die sich im wesentlidhen aus dem Verzweigungssatz (Satz 2.4.3 in [4])

&

ergeben:

(i)

aEA(B) =>{ßep(m) | ß>u}

(ii)

Ist yEP(IIN) , so gilt: {GEP(IIN) [.5 >y}£A(B) => YeA(B).

5A(B)

Eine Teilmenge X von P(ID die Aussagen von 2.1

cl(T) 5 P(IU

heißt abgeschlossen, wenn für sie

zutreffen;

ferner bezeichnet zu T 5 P(IU

die kleinste abgeschlossene Menge, die T enthält;

cl(T) heißt die abgeschlossene Hülle von T.

Definiert man nun noch zu T'5 P(IH

I(T)

:= (STITET)

(Das von den eT‚TET, erzeugte Ideal von FS),

so gelten die folgenden zentralen Aussagen:

2.2 Satz:

Es seien B,C € FS,

T 5 P(IN).Dann gilt:

A(I(T)) = cl(T).

(i)

I(A(B)) = B;

(ii)

A(BnC) = A(B)nA(C);

(iii)

Die Abbildung A : B i'—» A(B) ist eine

A(B+C) = cl(A(B)UA(C))-

Bijektion zwischen den Idealen von FS und den abgeschlossenen Teilmengen von P(nfl . Die Inverse zu A ist I : T F?» I(T).

Man kann nun weiter beweisen:

2.3 Satz:

(bezüglich Ketten von Idealen).

(1)

FS istnoethersch

(ii)

Jedes Ideal von FS wird von einem einzigen Element erzeugt.

-

g _

(iii) P < FS ist genau dann ein Primideal, wenn jede in A(P) minimale Partition "rechteckig"

lä£; (iv)

Jede Summe einer Familie von Primidealen ist ein Primideal oder ganz FS.

Weiterhin gilt:

2.4 Satz:

I((12)) und I((2))

seitigen)

sind die einzigen maximalen (zwei-

Ideale von FS.

3. Einige Eigenschaften der Linksideale von FS

Ist L ein Linksideal von FS

(kurz: L < FS), so gilt für jede

unendliche Teilmenge K von 11 schnitte

Lk := LnFSk

L =

U

(LnFsk)

. Die Durch-

sind Linksiäääle von Fsk’ und es ist

bezüglich der kanonischen Einbettungen Lk_fi—+Ll (k < 1) mit K als Indexmenge

L & lim Lk

.

Unter Berücksichtigung grundlegender Eigenschaften von direkten

Limites (siehe Anhang in [G]) konnten wir zeigen:

Es seien L,M < FS, K 5 Ei mit [KI = w. Ferner sei Lk % Mk. Dann gilt

t"

für alle kEK

ua ?

3.2 Satz:

Für Quotientenmoduln — die man auf naheliegende Weise ebenfalls als direkte Limites auffassen kann — gilt:

3.5 Satz:

Es seien L,M < FS mit Fä/i & Fä/&. Dann gilt: (i)

(ii)

Es existiert ein noenl‚ so daß für alle n > n°

L

a"M .

_10_

w

4. Eine Klasse von maximalen Linksidealen

Bei der Untersuchung der maximalen Linksideale von Es liegt es nahe, zuerst diejenigen zu betrachten, die durch das folgende Lemma beschrieben werden:

4.1 Lemma:

Es sei L < FS. Sind die Durchschnitte Ln für unendlich viele nEli

maximal in a‚

so ist L maxi-

mal in FS (L < FS).

Wir beschränkten uns zuerst auf die Betrachtung der Klasse

)f‚:={L k0

Lk kT den IAomoäphi@typ FSK VO".

—

L R—

_12_

Wir wollen nun die zu den Elementen von I gehörigen Isomorphie-

klassen von irreduziblen FS-Moduln erfassen. Dazu benötigen wir

4.3 Definition:

(1)

Es seien L,MEI . Dann heißt L äguivalent zu M (L N M), wenn FS/L & FS/M .

(ii)

Es seien K1,KZE]C mit K1=(A°‚x1 ‚. . .,).m‚...)‚

K2=(„°,„1 , . . . ‚um, . . .) . Dann heißt g1__ä£i: valent zu K2_(_IS1N_KzLI wenn natürliche Zahlen n und. m existieren, so daß für alle REZIN0

).n+k = um+k_

(K1 und K2 stimmen ab

einem gewissen "Niveau" überein.)

"N" und "es" sind offenbar Äquivalenzrelationen.

Als eine gewisse Umkehrung von 4.2 konnten wir beweisen:

4.4 Lemma:

Ist KE ÜC

, so gibt es ein - im allgemeinen nicht

eindeutig bestimmtes - Lei;

Die Linksideale zu den Ketten

mit A, N K.

((Z) ,(3) ,...,(m) ‚...)

bzw.

((12) ‚ (13) ‚... ‚(1m),...) sind jeweils eindeutig bestimmt, nämlich I((12)).bzw.

I((2))

(siehe Abschn.

2).

_ 13 _

Das nun folgende Hauptergebnis dieses Kapitels stellt eine voll— ständige Lösung des Isomorphieproblems für die Klasse

4.7 Satz:

X3

dar.

Es seien L,MۀL . Dann ist L n M genau dann, wenn AL N AM.

4.2, 4.4 und 4.7 liefern sofort

4.8 Korollar:

Die Abbildung

@ =I% ——>16/= [L]„u——>[AL1„ ist eine Bijektion.

Nach Satz 3.5 gilt für alle L‚ME I, =

4.9

L N M =====> L % M.

Die Äquivalenzklassen von 31 bezüglich "e" sind daher in den Isomorphieklassen enthalten. Sie stimmen jedoch im allgemeinen nicht mit diesen überein, d.h.

die Umkehrung von 4.9 gilt nicht.

Auf die Konstruktion von Gegenbeispielen wird — in einem etwas

_ 14 _

größeren Zusammenhang — in [G] eingegangen.

(Im folgenden weicht die Numerierung

von der in [G] ab.

Das liegt daran, daß sich inzwischen Satz 6.9 herauskristallisiert hat und die Aussagen von Satz 4.14 eine unmittelbare

Folgerung aus diesem sind. Ich habe daher Definition 4.13 und Satz 4.14 aus

[G] nicht mehr aufgenommen.

- Die anschließend beschriebenen Objekte spielen im Rahmen der Ergebnisse des sechsten Kapitels eine besondere Rolle; ich gehe daher noch einmal etwas ausführlicher auf sie ein.)

Bei der Beschreibung von Moduln ist die Bestimmung von “schönen' erzeugenden Elementen ein wichtiges Problem, welches wir zum

Schluß des vierten Abschnitts von [G] für eine gewisse Teilklasse von äE betrachtet haben. Dabei verwenden wir insbesondere BezeichnunBezeichnun—

gen und Ergebnisse der Abschnitte 1.5, 3.1 und 7.1 in [4].

Es sei nel! m-n > A1

und A=(x1‚...,xh)

eine Partition von n;

sei

(m-n‚x)

:=

(m-n,x1,...,xh)

Wir betrachten nun das A-Tableau

F-m.

für

1

2

A

_

°

.

. .

.

Ä1+2

Ä1+1

.

.

Tn '”

.

x1+x2+...+xh_1+1 . . . . . . .

und

(für m-n > A1)

das

n+2

..... ... n+X

1

n+11+1 .... q]

II

C

n+1

(m-n,A)-Tableau

Damit definieren wir

wobei Tä das zu Tä gehörige Polytabloid (siehe 7_1

zeichnet und

(V

X Um

ist die Vertikalgruppe von UA.)

in [4])

be-

'

—16-

Durch

konnten wir zeigen:

4.17 Satz:

(1)

Es ist für alle m > n+k1

FS

“/A & [(m-mm.

__Am___ (ii)

wÄ

(5 Fi//A) ist irreduzibel . A

Der Isomorphietyp der Moduln WÄ‚XEP(ID , ist nach 4.17 durch dieElemente von

;t‚

bestimmt, die durch Ketten der Form

(n+;\1‚>.) < (n+x1+1‚x)
|x|

, welches sich nicht auf die in (i) beFS

schriebene Weise darstellen läßt, hat

genau zwei Ln

irreduzible Summanden.

Die Folge

FSIÄI ‚/47

IA! veranschaulichen:

FSIÄI+1 ,

L

‚

IAI+1

... kann man folgendermaßen

\.{_ _ .. -..-

fl

?/ \? i

k2+1

.

.

.

. "

.-.—----..— h

‚'

9

1

!

.

.

.

k1+1

.‘ {!

...—....

\/

(Die Anzahl der Punkte auf einem Niveau gibt nur die Anzahl

der irreduziblen Summanden an; diese können auch isomorph sein, sofern beim nachfolgenden Konstruktionsschritt nicht die paarweise Nichtisomorphie dieser Summanden benötigt wird!)

-

35 f

(b) Wir können mit Hilfe von 5.1 und 5.3 auch maximale Linksideale L von FS konstruieren, bei denen für unendlich viele ne]! FS

die Folge der Quotientenmoduln

‚3/2

folgendermaßen beschrieben n

werden kann:

FS

.

_

nii//

FS

/

Ln+4

.\

n+3

FS

\\

Ln+3

nti//

Ln+2

Beisgie1:

. d

+

_}

:>\\ 5

. t‘ 5

\\