Zur Analysis des Endlichen und des Unendlichen: Vorlesungen aus Kurzsemestern [Reprint 2019 ed.] 9783486778014, 9783486778007

Table of contents :
VORBEMERKUNG
VORWORT
INHALTSVERZEICHNIS
ERSTES KAPITEL: Zur Analysis des Endlichen
ZWEITES KAPITEL: Erster Teil der Analysis des Unendlichen. Differentiation und Integration von Funktionen einer Veränderlichen
DRITTES KAPITEL: Zweiter Teil der Analyse des Unendlichen. Differentiation und Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher

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GERHARD KOWALEWSKI • ZUR ANALYSIS DES ENDLICHEN UND DES UNENDLICHEN

ZUR ANALYSIS DES ENDLICHEN UND DES UNENDLICHEN VORLESUNGEN

AUS

KURZSEMESTERN

von

DR. G E R H A R D

KOWALEWSKI

vormals Professor der Mathematik an der Deutschen Universität und an der Deutschen Technischen Hochschule Prag

Mit 24 Abbildungen

MÜNCHEN

VERLAG VON

1950

R.OLDENBOURG

VORBEMERKUNG Gerhard Kowalewski hat die .„Einführung in die Analysis des Endlichen n n d Unendlichen" noch vollendet, das Erscheinen aber nicht mehr erlebt. So übergibt der Verlag den Studierenden und den Freunden der Mathematik das letzte Werk des bedeutenden Gelehrten als ein Vermächtnis, das noch einmal Zeugnis ablegt von seiner überlegenen Beherrschung des Stoffes. Wie in seinen Vorlesungen und wie in seinen früheren Veröffentlichungen beweist Kowalewski erneut seine hohe . Kunst, verwickelte

Probleme auf die letzte

Klarheit und

Einfachheit

zurückzuführen und so neue Wege zu neuen Lösungen zu weisen. Über das Fachliche hinaus beseelt seine Darlegungen hohe Achtung vor der Leistung anderer und tiefe E h r f u r c h t vor der Erhabenheit seiner Wissenschaft. Der Verlag

Copyright 1050 by It. Oldenbourg, München Satz, Druck u n d Buchbinderarbeiten: R. Oldenbourg, Graph. Betriebe &. m. b. H., München

VORWORT Diese Vorlesungen, die aus meinen letzten Prager Semestern stammen, bieten im Vergleich zu anderen Darstellungen manches Neue. Ich weise z. B. auf die Behandlung der Gaußschen Integralapproximation hin, die mit einer Fehlerschätzung endigt. Besonderen Wert lege ich dabei auf die Einschließung des Integralwertes zwischen zwei Schranken. Auch in meinen Vorlesungen an der Regensburger philos.-theol. Hochschule habe ich mich an die hier gewählte Behandlung der algebraischen Analysis und Infinitesimalrechnung gehalten und viel Anklang gefunden. Gräfelfing bei München 1949 Gerhard Kowalewski

INHALTSVERZEICHNIS

ERSTES KAPITEL: Zur Analysis des Endlichen Seite

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. §12. §13. §14. §15. §16. § 17. §18. § 19. § 20. §21.

Interpolation Dreiecksinhalt Sinus und Kosinus Die n + 1-reihige Determinante Haupteigenschafteri der Determinanten Unterdeterminanten und Komplemente Cramersche Regel Determinantensatz von Laplace , Produkt zweier Determinanten Matrizensatz von Lagrange Rang einer Matrix Systeme linearer homogener Gleichungen Korrelative Matrizen Allgemeine homogene Koordinaten auf einer Geraden Allgemeine homogene Koordinaten in einer Ebene Allgemeine homogene Koordinaten im Räume Einige Anwendungen Wechsel des Bezugssystems Volumprodukt dreier Vektoren Äußeres Produkt zweier Vektoren Drehungen in Vektorsymbolik

9 12 15 19 21 24 25 27 30 31 34 35 38 45 48 49 51 52 54 57 59

ZWEITES KAPITEL: Erster Teil der Analysis des Unendlichen. Differentiation und Integration von Funktionen einer Veränderlichen § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. §12. §13. §14. §15.

Tangentenbestimmung und Quadratur Ableitung und Differential einer Funktion Die Leibnizschen Regeln Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen Differentiation der trigonometrischen Funktionen Quadratur der Hyperbel Die Zahl e . Differentiation der Exponentialfunktion und der Hyperbelfunktionen . . . Die hyperbolischen Areafunktionen Die inversen Kreisfunktionen Einige Sätze über stetige Funktionen Mittelwertsätze Folgerungen aus den Mittelwertsätzen Geometrische Bestimmung einer Stammfunktion Limesdarstellung der Stammfunktionen

64 65 66 70 71 73 75 78 80 82 83 86 89 91 92

8 §16. §17. §18. §19. §20. §21. §22. §23. §24. §25. §26. §27. §28. §29.

Inhaltsverzeichnis Der Taylorsche Lehrsatz Potenzreihen Einige andere Maclaurinsche Reihen Das Restglied der Interpolationsformel / Newtons Quadraturformeln Die Gaußsche Approximation Bogenlängen, Rotationsflächen und Rotationskörper, Schwerpunkte, Sektoren Grundlegende Integralformeln Integration gewisser Klassen von Funktionen Allgemeine Sätze über Reihen Potenzreihen • Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . Adjungierte Differentialausdrücke Integration durch komplexes Gebiet

Seite 97 99 102 107 108 113 119 127 128 133 138 146 147 152

DRITTES KAPITEL: Zweiter Teil der Analyse des Unendlichen. Differentiation und Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher §1. §2. §3. §4. §5. §6.

Partielle Ableitungen von Funktionen zweier Veränderlicher Maxima und Minima Analytische Funktionen zweier Variabler Implizite Funktionen Doppelintegrale Der Gaußsche Integralsatz

154 157 159 162 165 173

ERSTES KAPITEL Zur Analysis des Endlichen § 1. Interpolation

Das Newtonsche Interpolationsproblem besteht darin, ein Polynom OQ xn -)- a1 iE"-1 -jzu suchen, das an n -}- 1 verschiedenen Stellen x0, xv • • •, xn vorgeschriebene Werte y0, yv •••, yn annimmt, Es gibt für dieses Problem nicht mehr als eine Lösung. Wäre nämlich außer a0 xn -)- a1 xn~x -f-f 1- an noch eine zweite b0 xn -j- b1 xn~x \- bn vorhanden, so erhielte man aus beiden durch Subtraktion ein Polynom C (x) = c0 x n c x xn~x -{H~ cn> Vn — Vn—i

Differenzen x,„

unci

Vn-iVn-lVn usw. Auf diese Weise e n t s t e h t folgendes S c h e m a : ¿a—V&tL — 1 Xv> ' |*o|vo X, Vi Vi—Va, IV0 vc\ •1 X« -ViVi—Vu [y. y;]j[?/iVi] —Ivo Vi], [y] — [y0 Vi ysl, [v« Vi Vi y>] | Beim praktischen Rechnen empfiehlt sich die B e n u t z u n g von Papierstreifen. U m z. B. [y0 y1 y2], [yx y2 2/3], •••zu gewinnen, schreibt m a n auf einen Streifen von oben n a c h u n t e n die Differenzen x2 — x0, x3 — xx, ••• u n d h ä l t diesen Streifen neben die Spalte [yx y2] — [y0 yx], [y2 y3] — [yx y2], ••• D a d u r c h wird die Quotientenbildung erleichtert. U m die Differenzen xn — xn_2 oder xn— usw. bequem zu berechnen, m u ß man in der Spalte der x mittels eines querliegenden Papierstreifens von entsprechender Breite immer ein Glied xn _x oder zwei Glieder xn_x, xn_2 usw. verdecken. Ich verweise im übrigen auf das Buch von Arnold Kowalewski: Newton, Cotes, Gauß, J a c o b i (Berlin, Leipzig, V e i t & Co.). B e t r a c h t e t m a n x u n d y als rechtwinklige Koordinaten, so stellt die Gleichung y = L (x | x0, xv •••, xn) eine K u r v e dar, die d u r c h die w 1 P u n k t e (z 0 , y0), (xx, yx), •••, (xn, yn) hindurchgeht u n d als Newtonsche Parabel bezeichnet wird. I m allgemeinen ist diese P a r a b e l eine K u r v e n-ter Ordnung, weil in ihrer Gleichung ein Glied m i t xn v o r k o m m t , 2/o 2/i' •Vn l a u t e t .

2/o 2/i •' • Vn = 0 t r i t t eine x P o X1 n Ordnungserniedrigung ein. D e r P u n k t (xn, yn) liegt d a n n auf der durch (x0, y0), • • (xn_v yn_x) b e s t i m m t e n Newtonschen Parabel, deren Gleichung sich = 0 schreiben läßt. So ist z. B. daher auch in der F o r m : X2/oX Vi-'-Vn-iV 0 1'" xn-1 x 2/0 2/12/ = 0 die Gleichung der Geraden durch die P u n k t e (x , y ), (x , y ), 0 0 x x Xq X^ X also, was m a n leicht bestätigen k a n n , gleichbedeutend m i t Vo 2/1 y = y0+ (x—xo) X0 Xi dessen

Faktor

x0 Xx •

I m Falle

§ 2. Dreiecksinihalt Drei P u n k t e P0, Pv P2 seien durch ihre K o o r d i n a t e n gegeben. W i r richten die N u m e r i e r u n g so ein, d a ß x0 < xx ist u n d x2 zwischen x0 u n d fällt. Der P u n k t P2 liegt entweder oberhalb oder u n t e r h a l b der Strecke P0 Px (vgl. A b b . 1). Durch diesen P u n k t ziehen wir eine Parallele zur y-Achse, welche die Strecke P0 J\ im P u n k t e P2 t r i f f t , dessen Ordinate m i t y2 bezeichnet werde. I s t d die E n t f e r n u n g P2 P2', so h a t das Dreieck P 0 Px P2 den doppelten I n h a l t h0 d hx d oder (k0 - h x ) d, also (xx — x^) d, weil h0 -(- hx = xx — x0. I n der linken A b b . 1 gilt d = y2 — y2, in der rechten d = y2 — y2. Der doppelte I n h a l t des Dreiecks P0 Px P2 ist also gleich (2/2—2/2')

x

o)

Dreieoksinhalt

13

oder (y2— y2) (x1—x0), je nachdem der Punk P2 sich oberhalb oder unterhalb der Strecke P0 P1 befindet; man kann auch sagen: je nachdem der Umlauf 0 1 2 0 nach links oder nach rechts herumgeht. Rechnet man im ersten Falle den Dreiecksinhalt positiv, im zweiten negativ,

0

0

x

X

Abb. 1. so kann man allgemein sagen, daß der doppelte Inhalt durch (y2 — y2) (xx — x 0 ) angegeben wird. Nun ist: 2/2' = 2/o +

weil die Punkte der Formel (3):

P0 P1 P2

2/o 2/i x 0 xL

iX2

in gerader Linie liegen. Ferner hat man nach

2/0 2/i 2 / 2 = 2 / 0 + (X2 ~ Xü) x 0 x i +

^0)

(X'2

2/0 2/i 2/2 #2

^l)

(X2

Aus beiden Gleichungen folgt: et) 2/' 2/2 X0 XL X2 Für den doppelten Inhalt des Dreiecks P0 P1 P2 ergibt sich also einschließlieh des Vorzeichens der Ausdruck: ( x x — x n ) (x 2 I Xn — Xi 2/0 2/12/2 #0 Nach (1) ist aber: 2/2 — Hz = (»2 — xo) (x2 —

2/0 2/i 2/21 X0XlX2l

_ (xo~

2/1 o) (X1

2/0

1) (x0 — Xi)

X

(X1

i)

x

also der doppelte Inhalt des Dreiecks P0 l\ (x2 — x x ) i/0 +

2/2

i)

x

x

(x2 — ^0) (X2 — Xl) '

P2:

(ac0 — x 2 ) yx 4= (x x — x0) y2.

(4)

Vi Der dreifüßige Differenzen quotient 2/o2/i XQ Xl X2 .erscheint hier als Bruch, in dessen Zähler dieser doppelte Dreiecksinhalt steht, während im Nenner das sog. Differenzenprodukt der Größen xQ, xv x2 auftritt, nämlich (x1—x0) (x2—x0) ( x 2 — X j ) . Die Differenzen sind hier so gebildet, daß immer der Minuend den höheren Index hat. Man bezeichnet das Differenzenprodukt vielfach mit [x 0 xx x 2 ]. Durch Ausrechnen findet man: Oo xt x2] = (x2

Xj) XQ 2 -f~ (Xq

x 2 ) XJ 2 —(- (x^

X(j) x 2 -.

14

Zur Analysis des Endlichen

Hieraus entsteht der Zähler 2/o Vi Vi offenbar dadurch, daß man x02, x^, x ^O ) '•'l ) ^

auf und wird die Determinante

1 .

/*• 2

! ^O '

*y

2

2

' ^2

derselben genannt. Man bezeichnet ihn mit 0 -"1 . l x1 - l o i 02 ^l 2

Aus dem sog. Hauptglied x0° x^ x^ entstehen die übrigen dadurch, daß man die Indizes der x auf alle Arten permutiert und jedesmal das Zeichen -j- oder •— vorsetzt, je nachdem eine gerade oder ungerade Permutation vorliegt. Ist oc, ß, y irgendeine Anordnung der Nummern 0, 1, 2, so spricht man von einer geraden oder ungeraden Permutation, je nachdem das Differenzenprodukt [x ß y], d . h . (ß — cn) (y — oc) (y— ß) einen positiven oder negativen Wert hat. Man kann hiernach schreiben: x0° X]° x2° V

[0 1 2] [« ß y]

Xa° Xßl

Xy2'

wobei über alle sechs Permutationen oc, ß, y von 0, 1, 2 zu summieren ist. Mit dem Pluszeichen treten die Produkte auf, die wir in folgender Übersicht durch Striche, mit dem Minuszeichen die Produkte, die wir durch punktierte Linien angedeutet haben : ' \

1

x0£

\

V-" x^ V"'

xx*

xl

x.f

\

Xtf-

xl£

Hier sind die beiden ersten Spalten der Determinante rechts noch einmal ab c angefügt. Will man irgendeine dreireihige Determinante de j berechnen, g hi so kann man nach dieser Regel verfahren. Man fügt also die beiden ersten Spalten hinten an und nimmt die drei Produkte nach rechts unten mit dem Pluszeichen, die drei Produkte nach links unten mit dem Minuszeichen. /o 2/i 2/2 hat sich hier folgende Für den dreifüßigen Differenzenquotienten 2 x x% 0

Darstellung als Determinantenquotient ergeben:

Sinus und Kosinus

15

1 1 1 1 1 1 ¡3/j • ^l 2/o 2/i 2/2 V ^I 2 a;22 Der Zähler dieses Bruches ist der doppelte Inhalt des Dreiecks P0 P1 P2, positiv oder negativ gerechnet, je nachdem die Numerierung der Ecken links oder rechts herumgeht. Fällt die Ecke 0 in den Anfangspunkt, so d a ß x0 = y0 = 0 ist, so.lautet nach (4) der doppelte Dreiecksinhalt: x1 y2 — x2 yv Dieser Ausdruck wird als zweireihige Determinante bezeichnet u n d durch (C1 X 2 I 1 symbolisiert. Die Berechnung einer solchen Determinante vollzieht o \ i/2 j sich in der Weise, daß m a n längs der beiden Diagonalen, nach rechts unten und nach links unten, multipliziert und dem ersten P r o d u k t xx y2 das Pluszeichen, dem zweiten Produkt x2 y1 das Minuszeichen gibt. 2/o

Vi

2/2

§ 3. Sinus und Kosinus

Die rechtwinkligen Achsen werden gewöhnlich so gelegt, d a ß die positive z-Achse der Stellung des kleinen Uhrzeigers u m 3 Uhr entspricht u n d die positive «/-Achse der Stellung um 12 Uhr. Wir nennen die eine Stellung des kleinen Zeigers die x-Stellung u n d die andere die y-Stellung. Die Länge des Zeigers sei gleich 1. Wenn wir ihn n a c h links herum drehen, so soll diese Drehung eine positive heißen. Negative Drehungen gehen nach rechts herum. Eine Drehung wird gemessen durch den Weg, den die Zeigerspitze beschreibt, jedoch unter Beifügung eines Vorzeichens. Das Drehungsmaß § ist die Weglänge der Zeigerspitze, positiv oder negativ genommen, je nachdem es sich u m eine positive oder negative Drehung handelt. Man n e n n t § auch den Drehungswinkel u n d spricht kurz von der „Drehung Die Drehung nß f ü h r t von der x-Stellung des kleinen Zeigers zur {/-Stellung, die Drehung n zur (— ;r)-Stellung, die Drehung 3 nß zur (— ?/)-Stellung. Ebenso kommen wir durch die Drehungen — - n ß , —n, —3 nß von der ^-Stellung der Reihe nach zu den Stellungen V — y, — x u n d y. N i m m t man von der Stellung ausgehend die Drehung $ vor, so wird die eine Koordinate der Zeigerspitze in der neuen Stellung bezeichnet mit cos # („Kosinus •&") u n d die andere mit sin # („Sinus •&"). Man k a n n diese / sin-A Aussage als Definition des Konsinus u n d Sinus / $ ansehen (Abb. 2). Verlängert oder verkürzt m a n 0 X den Zeiger im Verhältnis 1 :r, so erhält seine Spitze die Koordinaten r cos r sin Man Abb. 2. nennt r und § die Polarkoordinaten der neuen Zeigerspitze, r den Radiusvektor, § dpn Arcus oder die Amplitude. Sind P1 u n d P2 zwei Punkte, die vom Anfangspunkt die Entfernung 1 h a b e n , so k a n n man ihre rechtwinkligen Koordinaten in die Form schreiben: xi — cos -&v yx = sin x2 = cos d2, y2 = sin

;

16

Zur Analysis des Endliohen

und bezeichnen die A m p l i t u d e n der beiden Puilkte. W i r wissen, d a ß d e r doppelte I n h a l t des Dreiecks O P1 P2 durch x1 y2 — x2 yv also durch (cos sin — cos sin angegeben wird. W i r d n u n die D r e h u n g a u m O a u s g e f ü h r t , so erhalten alle A m p l i t u d e n den Zuwachs oc. Andererseits ist klar, d a ß der Dreiecksinhalt (einschließlich des Vorzeichens) derselbe bleibt. Mithin gilt folgende Beziehung: cos

- f a ) sin ( # 2 +

oc)

— cos ( # 2 +

oc) sin

+

oc)

= cos sin — cos $2 sin

—

D a die D r e h u n g 0 den Zeiger in seiner z-Stellung beläßt, also die K o o r d i n a t e n 1 sin 0 = 0 . Setzt m a n 1 u n d 0 der Zeigerspitze n i c h t ä n d e r t , so ist cos 0 n u n in obiger Relation « = — so ergibt sich u n t e r B e a c h t u n g des eben Gesagten: sin ( ß 2 — = cos sin # 2 — cos &2 sin t ) v (5) N a c h dem Pythagoreischen L e h r s a t z ist (x2—xi)2,(Vz—Vi)2 das E n t f e r n u n g s q u a d r a t der P u n k t e P1 u n d P2. Ebenso sind x±2 •-(- yx2 u n d x22 -)- y22 die E n t f e r n u n g s q u a d r a t e dieser P u n k t e vom A n f a n g s p u n k t , in vorliegendem Falle beide gleich 1. D a h e r w i r d : i V V

=2(l

— x1xz—y1

y2).

Dies ist ebenso wie x1 y2 — x2 y± eine Größe, die bei allen Drehungen u m 0 ihren W e r t behält, also eine Drehungsinvariante. Dasselbe gilt von X-¡ x2-\- yx y2 oder cos cos -(- sin {t^ sind #2> u n d es b e s t e h t d a h e r die R e l a t i o n : cos (•&1 -+- oc) cos ( # 2 -)- oc)

sin

-)- «) sin ( # 2 +

oc)

= cos

-j" sin woraus sich durch Einsetzen von oc = •— ergibt: cos ( - — = cos •&1 cos &2 -)- sin {)1 sin # 2 .

cos # 2 4 ~ sin # 2 , (6)

Setzt m a n in (5) u n d (6) f ü r § 2 die W e r t e •&, 0 ein, so f i n d e t man : sin (— •&) = = •—• sin cos (— •&) = cos •&, was sich auch aus der Definition des Kosinus u n d Sinus e n t n e h m e n ließe. N u n k a n n m a n in (5) u n d (6) noch ^ in — d \ verwandeln u n d e r h ä l t d a d u r c h : cos ( - ) - &2) = .cos •&1 cos ¿>2 — sin § 1 sin ; sin ( - ) - # 2 ) = sin cos cos ^ sin § 2 . Diese Gleichungen lassen sich in eine einzige zusammenziehen, wenn m a n das S y m b o l i = ]/ — 1 b e n u t z t , das schon in der elementaren Algebra n i c h t zu e n t b e h r e n ist. Mit Hilfe dieses i, das die Eigenschaft t2 = — 1 h a t , k a n n m a n schreiben: cos ( t f j -)-

1s i n

(#1 +

#2) = ( c o s

+

? sil1

#1) (cos #2 +

1sin

#2)-

(7)

B e i m Ausrechnen der rechten Seite ergibt sich nämlich als Realteil:

cot. ^ c o s

Imaginärteil:

$ 2 — sin ^ s i n

¿(sin d1 cos

und

als

com d\ sin # 2 ).

Man n e n n t (7) die Moivresche Formel. Sie besagt, d a ß beim Multiplizieren mehrerer Ausdrücke von der F o r m cos •& -j- i sin ß stets wieder ein solcher

17

Sinus und Kosinus

Ausdruck herauskommt und die einzelnen fr sich addieren. Man nennt x — i y eine komplexe Zahl. Der Punkt mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y wird als Bildpunkt dieser Zahl benutzt; x-\- i y heißt die komplexe Koordinate dieses Punktes. Sind r und fr seine Polarkoordinaten, so hat man: x = r cos fr, y = rsin fr, also: x-\- i y = r (cos fr -j- i sin fr). Man nennt r den absoluten B e t r a g von x-\- iy und braucht dafür das Symbol | x-\- i y |. Für fr ist die Benennung „Arcus (oder A m p l i t u d e ) von x~\- i y" üblich, wofür man „arc (x-\-iy)" schreibt. Ein Produkt aus zwei solchen Zahlen entsteht durch Multiplizieren der absoluten Beträge und Addieren der Arcusse. Die Punkte x, y und x, — y, die spiegelbildlich zur x-Achse liegen, haben gleiche Radienvektoren und entgegengesetzt gleiche Amplituden. Daher gilt neben x -j- i y = r (cos fr i sin fr) die Gleichung: x — i y = r (cos fr — i sin fr). Man nennt die komplexen Zahlen x-\- iy und x-— iy konjugiert. Ihr Produkt ist, da fr und — fr die Summe 0 geben, gleich r2. Man kann es auch durch Ausrechnen bestätigen, ohne den MoiVreschen Satz. Es ergibt sich nämlich: (x -(- iy) (x — iy) = x2 -(- y2, also r2. Insbesondere ist: (cos ¿sin fr) (cos fr— ¿sin fr) = 1, was soviel bedeutet wie: cos 2 #-|- sin 2 fr = 1. Stützt man sich hierauf, so kann man schreiben: r% (cos t')-2 + i sin fri)j[rl (cos fr1 + i sin r

r

= ( i! i) (

+

cos

1

sin fr2) (cos fry-i sin

= = (r 2 /r x ) [cos ( #

2

— + i sin (fr2—i^)].

Ein Quotient aus zwei komplexen Zahlen entsteht durch Dividieren der absoluten Beträge und durch Subtrahieren der Arcusse. Selbstverständlich darf r1 nicht gleich 0 sein. In rechtwinkligen Koordinaten lautet die obige Division: Xz + iy* *i + iyi

=

(^2 + i Vi) foi — i Vi) ^ * i 2 + 2/I2 "

%2 + Vi V2 + i fol Vi *i2+«/i2

Vi)

I m Zähler erscheinen wieder die beiden Ausdrücke x1 y2 — x2 y1 und xx x2 -(- Vi von denen unsere Betrachtung ausging. Zur Moivreschen Formel sei noch bemerkt, daß m gleiche Faktoren cos fr -j- ¿sin fr das Produkt cos m fr¿sin m fr ergeben. E s ist also: •cos m fri sin m fr = (cos fr -f- ¿ sin fr)m. Insbesondere hat man: cos 2 fr -)- i sin 2 fr = (cos fr -f- i sin fr)2 = cos 2 fr — sin 2 fr-\-2i cos fr sin fr, also cos 2 fr = cos 2 fr — sin 2 fr; sin 2 fr = 2 cos fr sin fr. Mit Rücksicht auf cos 2 fr -)- sin 2 fr = 1 folgt aus der ersten Gleichung: 1 -j- cos 2 fr =2

cos 2

fr;

1 — cos 2 fr = 2 sin 2 fr.

Bezeichnet man die Seiten des Dreiecks 0 P1 P2, also UPit U1'2, Pl mit a, b, c und den Winkel bei 0 mit y, so gilt: c2 — (x 2 — xx)2 + (y2 — yt)2 = a2 - f b2 — 2 a b cos y, weil s i n #2cos y = cos fr1 cos fr2 s i n Man hat also 2 2 cos y = (a + b — c«) / (2 a b).

P2,

Hieraus folgt; 1 + cos y = [(«+ b)2 — c 2 ] / (2 ab)={a+b + c) («•+ b — c) / (2 ab), 1 _ cos y = [c 2 — (a — b)2] / (2 a b) = (c + a — b) (b + c — a) / (2 a b) 2

Kowalewski, Einführung

18

Zur Analysis des Endliehen

oder, wenn m a n wie üblich a-\- b + c = 2 s setzt: cos (y/2) = ] / s (s — c)/(a b);

sin (y/2) = |/(.v

«) (,v- / ),(«/.)•

Der doppelte Inhalt des Dreiecks 0 P1 P2 ist, wie wir wissen, gleich xx y2—x2 Vi* Setzt m a n : x± = «cos yx == a s i n x2 = b cos # 2 ; y2 — b sin § 2 ein, so ergibt sich: a b sin ( # 2 — oder a b sin y, wofür m a n auch 2 a b cos (y/2) sin (y/2) schreiben kann. Man f i n d e t unter Benützung der f ü r cos (y/2) u n d sin (y/2) gewonnenen Ausdrücke, daß der Dreiecksinhalt gleich }/ s(s—ä) (s—0) (s— c) ist (Formel von Heron). Auf dem Einheitskreis (Kreis vom Radius 1 u m den Anfangspunkt) seien vier P u n k t e P0, Pv P2, PA mit den Amplituden 0, 2 2 &2, 2 markiert (vgl. Abb. 3). Abb. 3.

Zwischen diesen Amplituden besteht die Relation sin sin — # 2 ) -)- sin sin ( — § 3 ) + sin sin ( # 2 — =- 0, deren Richtigkeit m a n mit Hilfe der Formel (5) leicht bestätigt. Man k a n n zu dieser Relation am bequemsten gelangen, wenn m a n m i t cot = cos/sin operiert („Kotangens identisch mit Kosinus durch Sinus") u n d von der I d e n t i t ä t (cot #2 — cot § 3 ) - f (cot #3 — cot ausgeht. Multipliziert m a n mit sin ^ sin Relation. Offenbar ist n u n :

+ (cot

Cot # 2 ) = 0

sin § 3 , so entsteht die behauptete

i \ = 2 sin 0, ; P1P2 = 2 sin ( # 2 — ; /> 2 /> 3 = 2 sin ( # 3 — # 2 ); ^ p ^ = = 2 sin # 3 , ferner: P0P2 = 2 sin PtPs = 2 sin ( # 3 — J ^ ) , so daß jene Relation dasselbe bedeutet wie P0PX • P2PS + Px Po • P0Ps = P0P2 ' P1Pz- Diese Gleichung besagt a b e r , d a ß im Sehnenviereck die Produkte der Gegenseiten zusammen das P r o d u k t der Diagonalen ergeben (Satz des Ptolemäus). I s t das Sehnenviereck ein Rechteck, so fällt der ptolemäische m i t dem pythagoreischen Lehrsatz zusammen. Wir kehren noch einmal zu den Formeln f ü r cos -f- $ 2 ) u n d sin ( - f - # 2 ) zurück. Setzen wir in ihnen = # u n d # 2 = n/2, so wird, da die Koordin a t e n der Zeigerspitze in der y-Stellung 0 u n d 1 lauten, cos (n/2) = 0 u n d sin (n/2) = 1 sein, also: cos (#-}" 71ß) = — si*1 # u n d sin (&-\-n/2) = cos woraus weiter f o l g t : cos ( $ n) = — cos # u n d sin ( - f - n) — — sin # sowie: cos ( # + 2 n) = cos # u n d sin (•& -f- 2 n) = sin Wenn m a n durch — # ersetzt, so verwandeln sich die Ausgangsgleichungen i n : cos (n/2 — d) = sin (B+l)!^ [0 1 • • • w] [0 1 ...71]. «0*«?.' -lenDa q0, (j v •••,(>„ und a0, a v •••,a„ unabhängig voneinander alle Permutationen von 0, 1, durchlaufen, so besteht zwischen (8) und (9) kein Unterschied. Damit ist der Umklappungssatz bewiesen. Auf Grund dieses Satzes übertragen sich alle Zeileneigenschaften der Determinanten ohne weiteres auf die Spalten. Es sei 0', 1', • • •, n' eine Permutation von 0, 1, • • •, n, die aus 0, 1, • • n durch eine Transposition, etwa durch Auswechselung von oc und ß hervorgeht. Dann ist: 0'• • X ' rü „0 x„0' •x"n 0 1' 1' 1 XQ x1 •X 'XQ x1 • •T •* n 0

1

=

x l

• xn'

—

r°

Tn

. •xn

d.h. die Determinante erhält bei Vertauschung zweier Zeilen den Faktor — 1. Man nennt diese Feststellung den Vertauschungssatz• Durch Auswechselung der Zeilen « und ß verwandelt sich der Ausdruck (8) in 1 - y [go gi • • • gJ [Qp O] • • • a„] • g ' g, (71+1)! [0 1---W] [0 1 - - • re] •% X a \ " ' X o n ' Da das Differenzenprodukt eine alternierende Größe ist, so sind [g0 ox • • • gM] und [o0' ßj' •-. p n '] entgegengesetzt gleich. Daher stimmt der obige Ausdruck überein mit _

1

V

l.Q«'Qi'---Qn'} .fco Qi •••

>

¿n

§ 6. Unterdeterminanten und Komplemente

Wenn man eine Determinante nach der r-ten Zeile z0, zv •••, zn entwickelt, so ergibt sich, wie wir wissen, ein Ausdruck von der Form A0 z0 -f- Ax zx -j- • • • -fAn zn. Man nennt As das Komplement von zs. Keimzeichnen wir die Elemente der Determinante wie früher mit unteren und oberen Indizes, soist zs = x/ und As zs die Summe aller mit x/ behafteten Determinanten glieder. Wenn man in 0, 1, •••, n das Glied r streicht, so bleibe die Reihe fi> r2' '"> rn stehen, ebenso entstehe sv s2, • • •, sn durch Streichung von s. Ferner seien q v q2, •••, Qn und a v o2, • • •, a n beliebige Permutationen von r 1; r2> '"> rn un< i Si> s2 > "•,«„• Wir wissen, daß jedem Determinantenglied eine Paarung der Zeilen mit den Spalten entspricht. Will man die mit x/ behafteten 1 l Determinantenglieder erfassen, so kommen nur die Paarungen L^ \S Ol •'rJ•\• ont in Frage. Läßt man qv •••, Qn alle Permutationen von rv ••• rn und ov •••,on alle Permutationen von sv • • sn durchlaufen, so kommt jede der erwähnten Paarungen in n\ Exemplaren vor, weil das Paarungssymbol bei beliebiger Vertauschung der n letzten Spalten seine Bedeutung bewahrt. Die mit x/ behafteten Determinantenglieder geben also nach Abstoßung dieses Faktors folgende Summe, die wir mit X/ bezeichnen wollen: [r • • • o J [s öi • • • o„] • x e" , wofür man auch schreiben kann n] "> n1 [0 1 • • • w] [ 0 1 [SO! • e - y [> gì • • • r e» wobei wir 2 - [/Ti •••/•„] ni ^ [g^i J-Q ^ gesetzt haben. Man braucht nur an die BeC — [ f i ^- f i j •

'

«ff.

deutung der Differenzenprodukte zu denken, um sofort, zu erkennen, daß t ^ — ^ d —i = ^ . Diese Gleichungen 5 \r • • • rn] f i •'' rn\u n [> • • • *»] t^'i • • • sn] kommen dadurch zustande, daß das Produkt (oi — r) ••• (Qn — r) mit fa — r) — (rn — r) und (ox — s) ••• (on — s) mit — s) ••• (sn — s) übereinstimmt. Bis auf das Vorzeichen s fällt also das Komplement von xs r mit v te1"' - ^ ° ^ rf>Q 1x°a n zusammen, d. h. mit der Determinante n\ •S«]'' ' '

n

25

Cramersche Regel

die aus der ursprünglichen durch Unterdrückung der r-ten Zeile und s-ten Spalte entsteht. Man nennt sie die zu x,r gehörige Unterdeterminante. Fügt man noch den Zeichenfaktor e hinzu, so entsteht das Komplement von x / . Über e läßt sich folgendes sagen: In [r r1 • • • r„] sind negative Faktoren nur in der Gruppe (rx — r) ••• (rn — r) anzutreffen, und zwar gibt es r solche Faktoren. So groß ist nämlich in der Reihe 0 , 1 , •••, n die Anzahl der Glieder, die kleiner als r sind. Man entnimmt hieraus: [ " 1 • • • '»1/CO 1 • • • n] = (— i r ; o Sl • • • sj /[0 1 • • • «] = ( - 1 ) 3 , also £ = ( - 1)'+«. Demnach unterscheiden sich Komplement und Unterdeterminante von xsr um den Faktor ( — l) r + s . Man pflegt das Komplement von x/ mit X/ zu bezeichnen. Die Entwicklung der Determinante nach der r-ten Zeile lautet dann: xor xn Xd + X1 Xl "'' XnErsetzt man die r-te Zeile durch eine der andern Zeilen, etwa durch die /-te, so entsteht eine verschwindende Determinante, weil zwei Zeilen übereinstimmen. Da die großen Faktoren nichts aus der r-ten Zeile enthalten, kommt man hierdurch auf die Gleichung < X J + xr/ X^ Xrn == 0. (r' 3g r). Man r und Xd, nennt die linke Seite das Produkt aus x:0 ' und kann auf Grund obiger Feststellung sagen, daß zwei ungleichnamige Zeilen der Matrizen r

0

ry> • ¿O

.

.

0 > vMn

71

n

'

Y00 , • A

-,> -X71 0

Y0 " , • A

X •' A

und l"

das Produkt Null geben, während das Produkt gleichnamiger Zeilen die Determinante der linken Matrix darstellt. Dieselbe Aussage gilt für die Spalten beider Matrizen. § 7. Cramersche Regel

Es liege ein System von n vor:

1 linearen Gleichungen mit n -j- 1 Unbekannten

«0°

+ «1° X1 + " • • +

an

xn

=

b°,

(Xn Xr\

ad1

^ 0 +

«l"

x

l +

••• +

n

Xn

=

bn-

Wir nehmen an, daß die Determinante des Gleichungssystems, d. h. die «0° v - • a 0 Determinante

A

=

«o1 « l 1 -

•

dn1

von

Null

verschieden ist.

n ad1 «J™ • • a Multipliziert man die Gleichungen der Reihe nach mit A^, • • •, Asn, den Komplementen von a$°, a / , • • •, asn, so ergibt sich mit Rücksicht auf as°

As°

+

a *

as? , 4 S » + as}

As1-]

+

asn a

Asn

=

A,

; A? = 0; ( s ' < s)

Zur Analysis des Endlichen

•26

-durch Addition: A xs = b° + b1 .A,1 + •• • + bn Asn. Die rechte Seite •entsteht aus A dadurch, daß man in dieser Determinante die s-te Spalte ö«V'"> « s n durch b°, b1, bn ersetzt. Dabei verwandelt sich nämlich 1 1 n as° As° + a» As + • • • + as As» in f>° As° + b1 A,1 + • • • + bn Asn. Es gilt also: 6° . •• a «0° •• a0i V • ••«n1 b ßi •• 0

1

Xii

:

1

—

bn

• • •ann

a0°!/'

• • •an°

Ol" • • « n n a0° «i°• • aiio

a

:

•an1

x „

a0n

b"

a0°

Ö!0 •

a

a

0 1

• ••

-

l 1

a0n

öj"

a

1

a0" « j " •• 0 a0o «!] • • • « „ ] '

.

Dieses Ergebnis läßt sich in sehr einfacher Weise direkt herleiten: P (u) = k0 -fu -f- • • • + K un s e i e ™ beliebiges Polynom n-ten Grades. Dann läßt sich das betrachtete Gleichungssystem durch eine einzige Gleichung: P (b) = x0 P (Oq) + xx P (flj) -1 1- xnP (an) ersetzen. Läßt man P (u) mit den Lagrangeschen Grundpolynomen

L

— « il )) («0 ( u ~—a («0 — — a ) (w- a 0 («

(

q

»

a

(«I — «o)

Li ( « )

•—

( « - -a0) (w-

— a a) j ••(ao-— -aj • — aj

2

)