Ziffy, der Zahlenzauberer: Eine magische Reise durch die Welt der Mathematik [1. Aufl. 2019] 978-3-662-59397-4, 978-3-662-59398-1

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-VII
Einleitung (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 9-13
Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 15-55
Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 57-114
Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 115-156
Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 157-187
Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 189-224
Auf Wiedersehen in Mathematika (Annegret Weng, Susanne Renger)....Pages 225-226
Back Matter ....Pages 227-254

Citation preview

Annegret Weng

Ziffy, der Zahlenzauberer Eine magische Reise durch die Welt der Mathematik

Ziffy, der Zahlenzauberer

Annegret Weng · Susanne Renger

Ziffy, der Zahlenzauberer Eine magische Reise durch die Welt der Mathematik Zeichnungen von Susanne Renger

Annegret Weng Fachbereich Mathematik Stuttgart University of Applied Sciences Stuttgart, Deutschland

Susanne Renger Stuttgart, Deutschland

ISBN 978-3-662-59397-4 ISBN 978-3-662-59398-1  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/ Lektorat: Annika Denkert Zeichnungen: Susanne Renger, Stuttgart Einbandabbildung: Susanne Renger Springer ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Inhaltsverzeichnis Einleitung

9

1 Von 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Antike Fundstücke . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Meine Lieblingsziffer . . . . . . . . . Die Unteilbaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Zahlenzauberlehrling . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Magische Primzahlen . . . . . . . . . Gerade und ungerade . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Der Röntgenblick . . . . . . . . . . . Eine Zeitreise ins alte Rom . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Magische Streichhölzer . . . . . . . . Die Erfindung des Schachspiels . . . . . . . . . . Ungebremstes Wachstum . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Zweierpotenzen . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

2 Von 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Häschen, so weit das Auge reicht . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Das Supergedächtnis . . . . . . . . . . . Eine harte Nuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fürst der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Magische Quadrate . . . . . . . . . . . . Zic-Zac-Zoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Ein Mentaltrick . . . . . . . . . . . . . Das Problem der sieben Brücken . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Schnelle Kopfrechentricks . . . . . . . . . Material für Hollywood . . . . . . . . . . . . . . . . Witze rund um die Mathematik . . . . . . . . . . . . Mathematikerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

57 . 57 . 61 . 64 . 69 . 72 . 76 . 79 . 81 . 91 . 94 . 105 . 107

5

. . . . . . . . . . . .

15 15 21 23 27 29 32 36 38 44 46 50 53

Inhaltsverzeichnis 3 Von 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Klassenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Das Möbiusband . . . . . . . . . . . . . . . . Fritzchens Klassenarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Geheimnis der Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Einfach unsymmetrisch . . . . . . . . . . . . . Mathematische Fensterbilder . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Die Zauberzahl 7 . . . . . . . . . . . . . . . . Fraktale Schneeflocken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Landkarten färben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahre und falsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Resten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was ist ein Beweis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Preise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

115 115 120 121 124 130 132 133 134 137 140 144 149 154

4 Von 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Alles nur ein Glücksspiel? . . . . . . . . . . . . . . . . Würfeln mit Pokerface . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Unbesiegbar . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Mit Würfeln zaubern . . . . . . . . . . . . Der Zufall in der Küche . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine haarige Sache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Büchermagie . . . . . . . . . . . . . . . . Garstige Ziegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrfachgeburtstage . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

157 157 162 165 167 170 172 175 176 183

5 Von 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Streng geheim! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein Krimi zum Mitdenken . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Die verschwundene Diebesbeute . . . . . . Das Versicherungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . Keine Chance dem Fehlerteufel! . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Rechenkünstler . . . . . . . . . . . . . . . Das Problem der kürzesten Route . . . . . . . . . . . . Autos und Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathe unterwegs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaubertrick: Esel oder Elefant? . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

189 189 196 199 201 205 209 210 215 220 223

6

Inhaltsverzeichnis 6 Auf Wiedersehen in Mathematika 225 Ziffys Abschlussworte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 A Ergänzungen A.1 Hinweise zu den schwierigeren Aufgaben A.2 Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . A.3 Goldene Regeln der Zauberkunst . . . A.4 Vollständige Tabelle zu Abschnitt 2.2 . A.5 Kopiervorlage Chiffrierscheibe . . . . . A.6 Mathematik erleben . . . . . . . . . B Ziffys Bibliothek

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

227 227 229 241 242 243 245 247

Wo ihr was findet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Fast alles berühmte Mathematiker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7

Wohin fahrt ihr das nächste Mal in den Urlaub? In die Berge? An einen See oder ans Meer? Ist eine Städtereise geplant? Oder vielleicht von allem etwas? Warum nicht einmal eine Reise einer ganz anderen Art? Seit neuestem werden sogar Trips ins Weltall angeboten, die allerdings so teuer sind, dass sie sich nur Millionäre leisten können. Doch daran denke ich nicht. Für meine Reise ist gar kein Geld notwendig. Ihr braucht einzig und allein etwas Fantasie. Oh, ich habe mich noch nicht vorgestellt. Mein Name ist Ziffy. Ich bin im vergangenen Monat 13 Jahre alt geworden und bin das jüngste Mitglied der Großfamilie der Zahlenzauberer. Meine Eltern sind beide berühmte Zahlenkünstler. Außerdem habe ich noch eine ältere Schwester namens Miriam. Wir wohnen im Land Mathematika. Das Land ist so klein, dass es auf den meisten Landkarten nicht eingezeichnet ist. Auch gibt es nur wenige Reisebüros, die Urlaub in unserem Land anbieten. Und so bleibt es im Wesentlichen bei ein oder höchstens zwei Besuchern im Jahr, die sich zu uns verirren. Wir selbst reisen übrigens gerne in andere Länder, um die mathematischen Erkenntnisse der restlichen Welt mitzuverfolgen. Was sind nun Zahlenzauberer? In meiner Familie, der Familie der Zahlenzauberer, sind alle Mathematiker. Wir sind fasziniert von allem, was mit Mathematik zu tun hat: von den Zahlen, den Mustern, der Geometrie, von der Jahrtausend alten Geschichte, von den vielen Menschen, die ihr Leben den Zahlen gewidmet

9

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_1

Einleitung haben, den spannenden Anwendungen . . . . Und wir zaubern mit Zahlen. Unsere Zaubertricks verwenden Werkzeuge aus der Mathematik. Von dieser Begeisterung möchte ich euch etwas weitergeben. Ich bringe euch die Ideen meiner Freunde und Bekannten näher und zeige euch meine Welt. Und damit es nicht langweilig wird, werde ich euch auch einige meiner Tricks verraten. Natürlich seid ihr auch herzlich eingeladen, euch an die vielen Rätsel und Knobeleien zu wagen, die uns auf dem Weg durch Mathematika begegnen. Einige sind recht einfach, andere schwerer, und – stellt euch vor – es gibt sogar Probleme, die bisher noch niemand gelöst hat.

Auf was wartet ihr noch? Lasst uns beginnen!

10

Einleitung Zur Benutzung des Buches habe ich noch einen Hinweis:

In den violetten Kästen mit dem Zauberhut findet ihr Zaubertricks.

Damit ihr euch Regeln und Rechenvorschriften besser merken könnt, sind diese durch einen roten Kasten hervorgehoben.

Die grünen Kästen laden ein, selbst aktiv zu werden. Hier könnt ihr rätseln, knobeln, basteln, backen, . . . . Die Lösungen zu den Rätseln findet ihr im Anhang A.2.

Weitergehende Informationen oder Erläuterungen für alle, die es noch genauer wissen wollen, stehen in den braunen Kästen.

11

Einleitung Bevor wir loslegen, noch ein kleiner Trick!

1. Denkt euch eine Zahl zwischen 1 und 9. 2. Verdoppelt eure Zahl. 3. Zählt zum Ergebnis zwei dazu. 4. Nehmt jetzt das Ergebnis mal 5. 5. Und zieht am Ende die Zahl 3 ab. 6. Merkt euch die Antwort, wenn ihr auf die nächste Seite blättert!

Stellt euch vor, wie ihr die Antwort auf eine große Tafel schreibt. Ich werde jetzt eure Gedanken lesen. Blättert dazu auf die nächste Seite.

12

Einleitung

Hier sind meine drei Vorhersagen: 1. Das Ergebnis ist eine zweistellige Zahl. 2. Die erste Ziffer ist die Zahl, die ihr euch zu Beginn gedacht habt. 3. Und die zweite Ziffer ist die Zahl 7! Seid ihr beeindruckt? Probiert doch diesen Trick einmal aus, wenn ihr mit euren Großeltern telefoniert. Er funktioniert auch, wenn man den Zuschauer nicht sieht. Ein Zahlenzauberer möchte natürlich wissen, warum die Vorhersage immer richtig ist. Dazu betrachten wir zunächst ein Beispiel und nehmen an, dass der Zuschauer im ersten Schritt an die Zahl 6 denkt. Die Anweisungen auf der vorangegangen Seite ergeben dann (6 · 2 + 2) · 5 − 3 = 67. Wenn der Zuschauer sich für eine andere Ziffer als 6 entscheidet – wir nennen sie einmal x –, dann erhalten wir den Zahlenterm (x · 2 + 2) · 5 − 3. Ihr könnt für x nach der Reihe alle Zahlen von 1 bis 9 einsetzen und ihr werdet sehen, dass ihr genau die Zahlen 17, 27, 37, 47, . . . und so weiter erhaltet.

Wenn ihr bereits Rechenterme und das Distributivgesetz aus der Schule kennt, könnt ihr diese Technik hier anwenden: (x · 2 + 2) · 5 − 3 = x · 2 · 5 + 2 · 5 − 3 = x · 10 + 7. An dieser Formel erkennt ihr sofort die Korrektheit der drei Vorhersagen.

13

1 Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen 1.1 Antike Fundstücke Im Kindergarten habt ihr das Zählen gelernt und in der Grundschule die Grundrechenarten wie Zusammenzählen (Addieren), Abziehen (Subtrahieren), Malnehmen (Multiplizieren) und Teilen (Dividieren). Habt ihr euch schon einmal gefragt, wann die Menschen zum ersten Mal gezählt haben? Wie haben die Menschen früher Zahlen notiert? Und seit wann konnten sie so schnell rechnen wie ihr? Lasst uns unsere Reise im einzigen Museum von Mathematika – dem Arithmetikum – beginnen.

Ihr findet Museen langweilig? Ich gebe zu, das gilt vielleicht für das eine oder andere Museum bei euch um die Ecke. Aber keine Angst! Das Arithmetikum ist ganz und gar nicht langweilig. Schließlich sind wir ja Zahlenzauberer, schon vergessen?

15

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_2

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Zwar gibt es hier Ausstellungsstücke wie in anderen Museen auch, aber keine Texttafeln mit langwierigen Erläuterungen. Im Arithmetikum genügt es, die Gegenstände zu berühren (das ist hier ausdrücklich erlaubt!) und schon ertönt eine Stimme, die euch die Geschichte zu dem entsprechenden Ausstellungsstück erzählt. Wollen wir das gleich einmal ausprobieren? Ich habe ein paar berühmte Gegenstände für euch ausgesucht. Wir beginnen mit dem ältesten Ausstellungsstück. Ihr habt einige Jahre gebraucht, um die Grundrechenarten sicher zu erlernen. Das ist euch vielleicht lange vorgekommen. Ich kann euch aber sagen, dass es viel, viel länger gedauert hat, bis die Menschheit das Zählen, die Zahlen und das Rechnen entdeckt hat. Bis dahin sind viele tausend Jahre vergangen. Dass die Menschen so rechnen, wie wir es heute in der Schule lernen, ist noch gar nicht so lange her. Vor den ersten Hochkulturen – das heißt vor den alten Ägyptern mit ihren Pyramiden oder den Babyloniern im Vorderen Orient – hatten die Menschen noch keine Schriftzeichen, also auch keine besonderen Zeichen für Zahlen. Wir können heute nicht sagen, wie sie die einzelnen Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . genannt haben. Vielleicht hatten sie auch gar keine besonderen Bezeichnungen.

Ein Leben ohne Zahlwörter? Ist das vorstellbar? Tatsächlich haben Sprachwissenschaftler Stämme gefunden, die ohne Zahlwörter auskommen. Dazu zählt die Sprache der Pirahã, die im Amazonasgebiet in Brasilien leben. Sie haben nur Begriffe für „eins“, „zwei“ und „viele“. Gleiches gilt auch für Warlpiri, einer seltenen Sprache von Ureinwohnern Australiens.

16

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Hier ist der Ishango-Knochen. Wir haben im Arithmetikum nur eine Nachbildung, das Original befindet sich im belgischen Museum für Naturwissenschaften in Brüssel. Er wurde vor etwa 60 Jahren bei archäologischen Ausgrabungen im Kongo gefunden. Er ist 10 cm lang und vermutlich zwischen 20.000 und 25.000 Jahre alt. Das hört sich erst einmal nicht so spektakulär an. Dennoch hat der Knochen die Wissenschaftler in große Verzückung versetzt. Denn was macht man, wenn man noch keine Schrift erfunden hat und auch noch keine besonderen Zeichen für Zahlen? Wie würdet ihr dann Dinge abzählen und die Anzahl notieren, um nicht durcheinander zu kommen? Ihr würdet einfach Striche machen! Und genau solche Strichlisten findet man auf dem Ishango-Knochen, was unweigerlich zu dem Schluss führt, dass es sich bei ihm um eine Art Mathebuch aus der Steinzeit handelt.

Die Strichliste auf dem Ishango-Knochen lässt sich in 16 Gruppen unterteilen, so dass man davon ausgeht, dass dort 16 Zahlen dargestellt werden. Diese 16 Zahlen wiederum sind in drei Spalten angeordnet.

Die Zahlen der linken Spalte (11, 13, 17 und 19) haben die Wissenschaftler zur wilden Vermutung verleitet, dass die Steinzeitmenschen sich mit Primzahlen beschäftigen.

17

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Primzahlen werden wir später noch betrachten, siehe Abschnitt 1.3. Auch in die anderen Spalten lässt sich mit etwas Fantasie vieles hineindeuten. Möglicherweise hat ein Steinzeitmensch aber einfach nur unterschiedliche Dinge gezählt und da haben sich zufällig diese 16 Zahlen ergeben. Hier mein nächstes Lieblingsstück: der Papyrus Rhind aus dem Alten Ägypten.

Die Ägypter hatten bereits Zeichen für die Zahlen, nämlich besondere Hieroglyphen. Der Papyrus Rhind ist etwa 3.500 Jahre alt. Er ist über 5 Meter lang und enthält verschiedene Mathematikaufgaben. Im Arithmetikum ist eine Kopie ausgestellt. Das wertvolle Original befindet sich im Britischen Museum in London. Habt ihr schon einmal ein Rätsel gelöst, das 3.500 Jahre alt ist?

In 7 Häusern gibt es jeweils 7 Katzen, von denen jede 7 Mäuse frisst. Eine Maus kann 7 Ähren Gerste vertilgen und aus einer Ähre Gerste lassen sich 7 Maß Getreidekörner gewinnen. Wie viele Maß Getreidekörner können zusätzlich geerntet werden, weil sie dank der Katzen nicht den Mäusen zum Opfer fallen?

18

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Der griechische Mathematiker Euklid, der vor 2.300 Jahren lebte, schrieb das Buch „Elemente“. Dieses Buch ist für die Mathematik sehr wichtig, da Euklid erklärte, dass man mathematische Aussagen gut begründen (also beweisen) muss. Ein anderes bedeutendes Buch aus dem Jahr 1202 ist das „Liber abaci“ von Leonardo Fibonacci, den wir in Abschnitt 2.1 näher kennenlernen werden. Von beiden Büchern besitzt unser Museum eine Ausgabe. Nun aber zu dem letzten Ausstellungsstück, das ich euch zeigen möchte. Vor ein paar Jahren hat mein Vater es in der sibirischen Steppe im Osten Russlands entdeckt. Nach näherer Untersuchung stellte er fest, dass es sich um ein unbemanntes, auf die Erde abgestürztes Flugobjekt handelt, das wohl von einer außerirdischen Zivilisation abgeschickt wurde. Für dieses interessante Objekt lässt sich nicht unterscheiden, was Innen- und was Außenseite ist (unter Mathematikern auch als Kleinsche Flasche bekannt).

Auf der Oberfläche sind Zeichen eingraviert. Mein Vater hat das Objekt eingehend studiert und kam zu dem Schluss, dass die Außerirdischen ein Zahlensystem haben, das dem unseren sehr ähnlich ist. Sie verwenden für die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 nur andere Symbole als wir. Mit den auf dem Objekt abgebildeten Rechenaufgaben lässt sich ableiten, was sich hinter ihren 10 Symbolen verbirgt. Glücklicherweise verwenden die Aliens auch unsere Rechenzeichen +, −, · und =.

19

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Jedes der 10 Symbole

steht für eine der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Unterschiedliche Symbole entsprechen unterschiedlichen Ziffern. Könnt ihr herausfinden, wie die Zuordnung aussieht?

Menschen, Tiere, Pflanzen, Alltagsgegenstände können wir anfassen, Zahlen nicht. Sie existieren nur in unserer Vorstellung. Auf der anderen Seite sind sie aber überall gegenwärtig und gültig. Man sagt dazu „universell“, also das Universum umfassend, und das trifft es sehr gut. Wer auch immer zählen möchte, kommt unweigerlich auf die Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . , auch wenn er sie vielleicht ganz anders nennt und aufschreibt als wir. Auf einem bewohnten Planeten in einer fernen Galaxie gibt es vielleicht andere Tiere und Pflanzen, aber auch dort gilt 1+1 = 2 und 2+3 = 5.

20

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Auch wir Menschen haben vor einigen Jahrzehnten, nämlich 1977, eine Sonde ins Weltall geschickt, die unter anderem mit einem Datenträger mit Informationen über die Menschheit ausgestattet war. Das Ziel der sogenannten Voyager Golden Records bestand tatsächlich darin, Außerirdische über das Leben auf der Erde zu informieren. Neben verschiedenen Musikaufnahmen und zahlreichen Fotos zu unterschiedlichen Themen wurde auch ein Bild mit mathematischen Begriffen verschickt, um den Außerirdischen unser Zahlensystem und unsere Rechenregeln zu erläutern. Die Sonde Voyager 1 entfernt sich immer weiter von der Erde und befindet sich mittlerweile außerhalb der Planetenbahnen unseres Sonnensystems. Da sie nach wie vor Daten sendet, wissen wir auch ungefähr, wo sie sich befindet und dass sie bisher noch keine Außerirdischen getroffen hat.

1.2 Zaubertrick: Meine Lieblingsziffer Meine Eltern haben mich nach den Bausteinen benannt, aus denen unsere Zahlen zusammengesetzt sind: die Ziffern. Wenn wir Zahlen auf einem Blatt notieren, dann schreiben wir eigentlich die Ziffern der Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge auf das Blatt. Die Zahl 741 besteht beispielsweise aus den Ziffern 7, 4 und 1. Die Ziffern verraten uns schon einiges über die Zahl. So ist eine natürliche Zahl durch 3 teilbar, wenn die sogenannte Quersumme (die Zahl, die man erhält, wenn man alle Ziffern zusammenzählt) durch 3 teilbar ist. Das ist eine ganz praktische Erkenntnis. Wenn ihr euch beispielsweise die Zahl 581.882.667.168.294.123.845.676.662.319 anschaut, dann scheint es erst einmal sehr schwierig zu entscheiden, ob die Zahl ein Vielfaches von 3 ist oder nicht. Ihr müsst aber nur die 30 Ziffern zusammen-

21

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen zählen und schon habt ihr das Ergebnis. Die Summe ist 150, also ist unsere Zahl durch 3 teilbar. Beim nächsten Zaubertrick fragt ihr einen Zuschauer nach seiner Lieblingsziffer und nutzt die Eigenschaften unserer Zahlen geschickt aus. Zur Vorführung benötigt ihr einen Taschenrechner, den ihr dem Zuschauer gebt.

Fragt euer Publikum nach den Zahlen kleiner als 10 und schreibt dann die Zahl

12345679 an die Tafel. Wahrscheinlich wird jemand bemerken, dass die Zahl 8 fehlt. Dann macht ihr einen kleinen Witz und erzählt eurem Publikum, sie sei mit der 0 zum Einkaufen gegangen, denn die wollte wissen, wo die 8 ihren schicken Gürtel gekauft habe. Bittet den Zuschauer die Zahl von der Tafel in den Taschenrechner einzutippen. Verkündet eurem Zuschauer, dass ihr ein besonderes Geschenk für ihn habt. Er soll euch seine Lieblingsziffer zwischen 1 und 9 nennen und ihr werdet sie für ihn herbeizaubern. Wenn der Zuschauer euch seine Ziffer nennt, dann multipliziert diese im Kopf mit der Zahl 9. Nehmen wir zum Beispiel an, er nennt euch die Zahl 5. Dann berechnet 5 · 9 = 45. Sagt dem Zuschauer nun, dass er die Zahl auf dem Taschenrechner mit 45 multiplizieren soll. Er wird staunen, denn er erhält seine Lieblingsziffer gleich neun Mal: 12345679 · 45 = 555555555.

Der Zaubertrick funktioniert natürlich nicht nur für die Ziffer 5, sondern für alle Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.

22

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

1.3 Die Unteilbaren Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie größer als 1 ist und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Eine Primzahl hat also genau zwei verschiedene Teiler. Die natürliche Zahl 2 ist eine Primzahl, denn sie ist nur durch 1 und 2 teilbar. Ebenso die Zahlen 3, 5 und 7. Auch die Zahl 73 ist eine Primzahl, denn sie hat nur die Teiler 1 und 73. Mit sehr, sehr viel Rechenarbeit lässt sich prüfen, dass die Zahl 873.648.971.283.617.627.838.175.123.766.245.122.286.531.913 eine Primzahl ist. Zahlen, die keine Primzahlen sind, haben mehr als zwei Teiler. Die Zahl 6 ist keine Primzahl, denn 6 = 2 · 3. Die Zahl 6 ist also durch 1, 2, 3 und 6 teilbar. Zahlen, die nicht prim sind, heißen zusammengesetzte Zahlen. Das Ergebnis einer Malaufgabe heißt Produkt. Primzahlen sind tolle Zahlen: Wenn wir die Zahl nur oft genug teilen, können wir jede Zahl in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen, zum Beispiel 6=2·3

und

60 = 2 · 2 · 3 · 5.

Wir können die Reihenfolge der Faktoren vertauschen, 2 · 2 · 3 · 5 = 2 · 3 · 5 · 2, aber die einzelnen Primzahlen und die Häufigkeiten, mit denen sie auftreten, sind eindeutig festgelegt. Für die Zerlegung der Zahl 60 brauchen wir also immer zwei Zweien, eine Drei und eine Fünf.

23

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Ich zeige euch, wie ihr schnell alle Primzahlen, die kleiner als 100 sind, bestimmen könnt. Dazu schreiben wir zunächst alle Zahlen bis 100 auf:

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100

Nach und nach streichen wir nun alle zusammengesetzten Zahlen durch. Im ersten Schritt streicht ihr die Zahl 1 durch. Macht um die Zahl 2 einen Kringel und streicht dann alle geraden Zahlen, also alle durch 2 teilbaren Zahlen, durch. Als nächstes malt ihr einen Kreis um die 3 und streicht alle anderen Zahlen durch, die durch 3 teilbar sind. Die nächste Zahl, die noch nicht eingekreist, aber auch noch nicht durchgestrichen wurde, ist die Zahl 5. Sie muss prim sein, weil sie keinen Teiler größer als 1 und kleiner als 5 hat. So kreisen wir die 5 ein und streichen dann alle durch 5 teilbaren Zahlen durch. Dann geht es mit 7 und danach mit 11 weiter. Bald sind alle Zahlen bis 100 eingekreist oder durchgestrichen. Auf der folgenden Seite seht ihr das Ergebnis. Die Zahlen mit Kringel sind genau die Primzahlen.

24

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

1 S 

2

3

4 S 

5

6 S 

7

8 S 

9 S 

H  10  H

11

H  12  H

13

H  14  H

H  15  H

H  16  H

17

H  18  H

19

H  20  H

H  21  H

H  22  H

23

H  24  H

H  25  H

H  26  H

H  27  H

H  28  H

29

H  30  H

31

H  32  H

H  33  H

H  34  H

H  35  H

H  36  H

37

H  38  H

H  39  H

H  40  H

41

H  42  H

43

H  44  H

H  45  H

H  46  H

47

H  48  H

H  49  H

H  50  H

H  51  H

H  52  H

53

H  54  H

H  55  H

H  56  H

H  57  H

H  58  H

59

H  60  H

61

H  62  H

H  63  H

H  64  H

H  65  H

H  66  H

67

H  68  H

H  69  H

H  70  H

71

H  72  H

73

H  74  H

H  75  H

H  76  H

H  77  H

H  78  H

79

H  80  H

H  81  H

H  82  H

83

H  84  H

H  85  H

H  86  H

H  87  H

H  88  H

89

H  90  H

H  91  H

H  92  H

H  93  H

H  94  H

H  95  H

H  96  H

97

H  98  H

H  99  H

X   X  X 100

Dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene, der vor über 2.200 Jahren gelebt hat, fiel auf, dass die Methode einem Sieb gleicht, in das man oben alle Zahlen hineinfüllt. Bei jedem Schütteln fallen die Vielfachen einer Zahl (erst die Vielfachen von 2, dann 3, dann 5 und so fort) durch das Sieb. Am Ende verbleiben nur die Primzahlen. Deshalb ist dieses Verfahren heute auch als „Sieb des Eratosthenes“ bekannt.

25

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Streicht alle Zahlen durch, die keine Primzahlen sind und verbindet dann mit Lineal die Primzahlen der Größe nach beginnend mit der kleinsten! Was holt Ziffy aus seinem Zauberhut?

26

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

1.4 Der Zahlenzauberlehrling Hat der alte Zahlenmeister sich doch einmal wegbegeben! Und nun sollen seine Geister auch nach meinem Willen leben. Seine Regeln merkt ich und die Sätze, und mit großer mathemat’scher Stärke heb’ ich wunderbare Schätze. Zahlen! Zahlen! kommet heiter, wenn ihr prim seid, immer weiter. Füllt den Raum mit euren Formen, dass ihr mich bald ganz umgebt, Primzahlen aller Art und Normen, dass ihr allen zeigt, ihr lebt! Mit euren Ziffern gehet wie in einem Traum, eilet nun und stehet hier bei mir im Raum. Seht, hier kommt 2, 3, 5, 7, wahrlich schnell herbeigeeilt, 11, 13, 17 – wie sie fliegen, alle ihr nun bei mir weilt.

19, 23 laufen, wie der Raum sich füllt, 29 hör’ ich schnaufen, wie es Primzahlen nun quillt. Stehet nun ihr prime Zahlen, denn wir haben eure Schönheit vollgemessen! Ach, ich merk es! Zahlen, Zahlen, hab ich doch den Satz vergessen! Ach, den Satz, worauf am Ende keine Zahlen mehr erscheinen, ach, sie laufen noch behende: 31, 37, 41. Immer neue Zahlengüsse fließen schnell herein. Ach, und wie viel prime Flüsse stürzen auf mich ein. Nein, nicht länger kann ich zählen, mich noch quälen. 43, 47, 53. Oh, da kommt noch eine Welle! 59, 61, 67 – Haufen! Seh ich über jede Schwelle weit’re Zahlenströme laufen.

27

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Seid nicht länger meine Freunde! Kaum mehr Platz

nur noch krächz’ ich.

find ich hier,

Ach, da kommt der Meister!

stopp, ihr widerliche Meute!

Herr, die Not ist groß!

Zähmt mir dieses Zahlgetier.

Die ich rief, die Zahlengeister,

71, oh wie lechz’ ich nach der Luft,

werd ich nun nicht los. „In die Ecke, prime Zahlen! Seid’s gewesen.

die mir bald fehlt, 73, 79,

Denn als Geister ruft euch nur zu sinnvoll’rem Zwecke,

wie mich euer Auftauchen quält. 83,

erst hervor der alte Meister.“

ach wie ächz’ ich, 89, 97, (nach Johann Wolfgang von Goethe, „Der Zauberlehrling“)

28

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

1.5 Zaubertrick: Magische Primzahlen Mit Primzahlen lässt sich auch toll zaubern! Schaut euch einmal diesen Kartentrick an, den ihr am besten an einem Tisch in kleiner Runde vorführt. Ihr benötigt dazu ein Kartenspiel und eine Zahl, die prim ist. Und Achtung: Der Trick funktioniert tatsächlich nur mit Primzahlen! Wir nehmen einmal an, dass ihr euch für die Primzahl 7 entschieden habt. Ihr könnt aber genauso gut auch 11 oder 13 oder irgendeine andere Primzahl verwenden.

Hier sind die einzelnen Schritte: 1. Ihr lasst die Karten von einem Zuschauer mischen. So wissen die Zuschauer, dass ihr sie nicht extra vorbereitet habt. Dann zählt ihr eine Anzahl von Karten auf den Tisch und zwar genau eine weniger als eure Primzahl. In unserem Beispiel mit der Primzahl 7 sind das also 6 Karten. Diese Karten nehmt ihr mit der Bildseite nach unten in die rechte Hand. 2. Der Zuschauer darf nun aus den restlichen Karten eine auswählen, die er sich anschaut, gut einprägt und euch dann verdeckt in die linke Hand gibt. 3. Ihr verkündet: „Ich werde jetzt die Karte irgendwo in den Kartenstapel stecken. Und damit ich nicht sehe, wo, nehme ich die Hände hinter den Rücken.“ Ihr nehmt beide Hände hinter den Rücken. Für den Zuschauer nicht sichtbar legt ihr nun die einzelne Karte unter den restlichen Kartenstapel. Dann bringt ihr den gesamten Kartenstapel, der nun aus 7 Karten besteht, mit der Bildseite nach unten wieder nach vorne.

29

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

4. Legt die Karten beginnend bei 12 Uhr der Reihe nach im Uhrzeigersinn auf den Tisch, so dass die Karten einen Kreis bilden. Die vom Zuschauer gewählte Karte liegt nun direkt links neben der obersten Karte. Dies ist euch zwar bewusst, das Publikum weiß dies aber nicht, da es davon ausgeht, dass ihr die Karte an einer beliebigen Stelle in den Kartenstapel geschoben habt.

5. Der Zuschauer darf sich nun eine beliebige Glückszahl zwischen 1 und 6 aussuchen. Dafür könnt ihr ihm auch einen Würfel geben, mit dem er seine Glückzahl zufällig bestimmen kann. Nehmen wir einmal an, dass er eine 5 gewürfelt hat. 6. Ihr beginnt nun mit der obersten Karte und zählt im Uhrzeigersinn zur 5. Karte. Ihr dreht die Karte um, so dass sie nun mit der Bildseite nach oben liegt (siehe Abbildung auf der nächsten Seite). Dabei könnt ihr dies noch kommentieren: „Das war nicht die gewählte Karte.“

30

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

7. Dann zählt ihr beginnend mit der folgenden Karte wieder bis 5 und dreht die Karte, die ihr dieses Mal erreicht, auf die Bildseite.

Das wiederholt ihr so lange, bis nur noch eine einzige Karte mit der Bildseite nach unten liegt. Die bereits aufgedeckten Karten müssen dabei immer mitgezählt werden. Die Karte, die zuletzt noch verdeckt liegt, ist die Karte, die der Zuschauer ausgewählt hat! Zur Abwechslung könnt ihr die Zuschauer zählen und eine Karte umdrehen lassen. Aber ihr solltet den Trick nicht ein zweites Mal vorführen. Dann könnte auffallen, dass die gewählte Karte immer direkt links neben der obersten Karte liegt.

31

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Prüft einmal, dass der Trick auch für die Primzahlen 11 und 17 funktioniert. Bei der Primzahl 11 sollte der Zuschauer eine Zahl zwischen 1 und 10 wählen, bei der Primzahl 17 zwischen 1 und 16. Bei Zahlen, die nicht prim sind, gibt es jedoch ein Problem. Die Zahl 8 beispielsweise ist zusammengesetzt und tatsächlich werdet ihr hier scheitern. Wenn ihr 8 Karten auflegt und der Zuschauer die Glückszahl 4 wählt, wird eure Karte bereits als zweite umgedreht. Das kann bei einer Primzahl nicht passieren, weil sie keine echten Teiler besitzt.

1.6 Gerade und ungerade Heute besuchen wir meinen Onkel Quintus. Er ist ein anerkannter Mathematikprofessor an der Universität und hat schon viele mathematische Formeln entdeckt. Onkel Quintus hat ein großes Büro. An den Wänden stehen meterhohe Bücherregale mit vielen, vielen Büchern über Zahlen, geometrische Formen, über wahre und falsche Sätze und vieles mehr. Zwischen den Büchern steht sein Schreibtisch und unter dem Schreibtisch ein Papierkorb. Dieser ist manchmal bis zum Rand gefüllt. Mein Onkel hat mir einmal erklärt, dass viele seiner Notizen zu keinem Ergebnis führen und dann im Abfall landen.

32

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Aber jetzt hat Onkel Quintus wieder eine neue Entdeckung gemacht, von der ich euch berichten will. Wir wissen: Eine Zahl ist gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist, und ungerade, wenn sie nicht durch 2 teilbar ist. Die geraden Zahlen sind 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, . . . Sie enden alle mit einer 2, 4 , 6, 8 oder einer 0. Die ungeraden Zahlen sind 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 . . . Sie enden immer mit einer 1, 3, 5, 7 oder einer 9. Mein Onkel kam nun auf die Idee, gerade und ungerade Zahlen unterschiedlich zu behandeln. Dazu nahm Quintus irgendeine Zahl, die ihm gerade einfiel. Dies war die Zahl 7. Die Zahl 7 ist ungerade und Onkel Quintus beschloss, jede ungerade Zahl mit 3 zu multiplizieren und die Zahl 1 zu addieren. Er rechnete also: 3 · 7 + 1 = 22. Dann entschied er, jede gerade Zahl durch 2 zu teilen. Die Zahl 22 ist gerade, also sah seine Rechnung so aus: 22 : 2 = 11. Weil die Zahl 11 ungerade ist, multiplizierte er sie wieder mit 3 und addierte die Zahl 1: 3 · 11 + 1 = 34.

33

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Da 34 gerade ist, teilte er 34 durch 2 und erhielt 34 : 2 = 17. So machte Onkel Quintus immer weiter: 3 · 17 + 1 = 52 52 : 2 = 26 26 : 2 = 13 3 · 13 + 1 = 40 40 : 2 = 20 20 : 2 = 10 10 : 2 = 5 3 · 5 + 1 = 16 16 : 2 = 8 8:2 = 4 4:2 = 2 2 : 1 = 1. Am Ende kam er bei der Zahl 1 an. Diese ist ungerade, also bildete er 3·1+1 = 4. Die Zahl 4 ist gerade, also teilte er durch 2 und kam auf die Zahl 2. Die Zahl 2 ist gerade und er erreichte wieder 1. Danach erhielt er immer wieder die gleichen Zahlen: 3·1+1 =4 4:2 =2 2:1 =1 Mein Onkel hat nun die Entdeckung gemacht, dass er mit diesen Regeln stets bei der Zahl 1 landet, egal, mit welcher Zahl er gestartet ist. Eben hat er sich die Zahl 7 gedacht. Aber auch wenn er mit der Zahl 3 oder der Zahl 83 oder der Zahl 1.923.871.283 startet, erreicht er irgendwann die Zahl 1 und erhält dann wieder eine Endlosschleife: 1, 4, 2, 1, 4, 2, . . ..

34

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Lasst uns einmal die Zahl 6 betrachten. Die Zahl 6 ist gerade, also rechnen wir 6:2

=3

3 · 3 + 1 = 10 10 : 2

=5

3 · 5 + 1 = 16 16 : 2

=8

8:2

=4

4:2

=2

2:2

=1

und wir sind wieder bei der Zahl 1 angelangt. Hier noch einmal Quintus’ Rechenvorschrift:

Wenn die Zahl gerade ist, dann teile durch 2. Wenn die Zahl ungerade ist, dann multipliziere mit 3 und addiere 1. Denkt euch auch einmal ein paar Zahlen aus und prüft nach, dass ihr immer wieder bei der Zahl 1 ankommt. Um meinen Onkel zu unterstützen, habe ich ein Computerprogramm geschrieben und seine Beobachtung für viele, viele Zahlen überprüft. Aber es gibt unendlich viele Zahlen. Das Programm kann somit nicht für alle Zahlen überprüfen, ob wir immer bei der Zahl 1 ankommen. Leider gibt es bisher auch keinen anderen Nachweis. Viel schlimmer noch: Auch andere schlaue Mathematiker, die ich gefragt habe, konnten mir nicht mit Sicherheit sagen, ob es eine Zahl gibt, bei der man nicht irgendwann bei der Zahl 1 landet.

35

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Immerhin haben wir das so gut überprüft, dass ihr daraus einen Zaubertrick machen könnt. Bittet eure Freunde ihre Glückszahl zu nennen und zeigt ihnen dann, dass das oben beschriebene Verfahren immer bei der Zahl 1 endet.

Führt die beschriebenen Rechenschritte aus und zeigt, dass ihr auch für die Zahl 15 am Ende bei der Zahl 1 landet. Hinweis: Es wird etwas länger dauern, aber einfach nicht aufgeben.

1.7 Zaubertrick: Der Röntgenblick Dieser Zaubertrick verwendet gerade und ungerade Zahlen. Ihr braucht mindestens 8 Münzen.

Werft die Münzen auf den Tisch, zählt schnell und unauffällig die Münzen, die die Zahl zeigen. Dann wendet ihr dem Zuschauer den Rücken zu. Nun soll der Zuschauer eine Münze auswählen und auf die andere Seite drehen. Dabei soll er sagen, ob er sie auf die Zahl- oder die Wappenseite dreht. Er muss aber nicht die Wahrheit sagen, sondern darf auch lügen. Der Zuschauer kann dies dann noch ein paar Mal wiederholen. Am Ende fordert ihr ihn auf, eine Münze mit der Hand zu verdecken. Ihr dreht euch wieder um, starrt fest auf seine Hand, unter der die Münze liegt, und könnt dann korrekt sagen, ob diese Münze die Zahl oder das Wappen zeigt.

36

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Um diesen Zaubertrick zu verstehen, ist es hilfreich zu wissen, was Mathematiker meinen, wenn sie die Parität zweier Zahlen vergleichen. Zwei Zahlen haben die gleiche Parität, wenn sie entweder beide gerade oder beide ungerade sind. Sie sind von unterschiedlicher Parität, wenn eine Zahl gerade, die andere aber ungerade ist. Die Zahlen 4 und 6 haben die gleiche Parität, ebenso 5 und 7, aber die Zahlen 5 und 6 haben unterschiedliche Parität. Um zu ermitteln, welche Münze unter der Hand des Zuschauers verborgen ist, benötigt ihr zwei Informationen: • Ist die Anzahl der Münzen, die zu Beginn und am Ende eine Zahl zeigen, von gleicher oder unterschiedlicher Parität? • Dreht der Zuschauer eine gerade oder ungerade Anzahl von Münzen um? Hierzu ist es nicht wichtig, ob er die Münzen auf eine Zahl- oder Wappenseite dreht. Deshalb kann er auch lügen. Ihr müsst nur wissen, wie oft gedreht wurde. Es ergibt sich dann folgende Tabelle:

Parität der Münzen mit Zahl zu Beginn und am Ende

Wie oft wurde umgedreht?

Die verdeckte Münze zeigt ...

gleich gleich ungleich ungleich

gerade Anzahl ungerade Anzahl gerade Anzahl ungerade Anzahl

Wappen Zahl Zahl Wappen.

Wir überlegen uns für die erste Zeile der Tabelle, dass unsere Vorhersage das richtige Ergebnis liefert. Die anderen Fälle laufen ähnlich.

37

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Durch einmaliges Umdrehen ändert sich die Parität der Münzen, die eine Zahl zeigen: Wenn vorher eine gerade Anzahl solcher Münzen auf dem Tisch lag, ist nachher eine ungerade Anzahl von Zahlmünzen zu sehen. Bei einer ungeraden Anzahl von Zahlmünzen zu Beginn zeigt nach einem Schritt eine gerade Anzahl von Münzen eine Zahl. Nach zweimaligem Umdrehen ist wieder die ursprüngliche Parität erreicht. Ganz allgemein ändert sich die Parität nicht, wenn der Zuschauer eine gerade Anzahl von Münzen umdreht. Wenn die Parität am Anfang und Ende gleich ist und der Zuschauer eine gerade Anzahl von Münzen umgedreht hat, bedeutet dies, dass wir alle Zahlmünzen, die auf dem Tisch liegen, auch sehen und die verdeckte Münze ein Wappen zeigen muss.

Das Beispiel zeigt acht Münzen. Eine ungerade Anzahl von Münzen, nämlich 5, zeigen zu Beginn die Zahl. Um dies gut zu erkennen, ist die Zahlseite grün und die Wappenseite blau eingefärbt. Nun werden 4 Münzen umgedreht.

Am Ende zeigen 3 Münzen eine Zahl. Somit ist die Parität der Münzen mit Zahl zu Beginn und am Ende gleich. Da eine gerade Anzahl von Münzen umgedreht wurde, muss die verdeckte Münze ein Wappen zeigen.

1.8 Eine Zeitreise ins alte Rom Auf alten Grabsteinen, Inschriften oder Zifferblättern von Kirchturmuhren finden sich statt normaler Ziffern häufig rätselhafte Buchstabenkombinationen, wie M CXV , XI oder M CM LXV I.

38

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Diese gehen auf die alten Römer zurück. Bis ins späte Mittelalter hinein war dies die Zahlenschrift des Abendlandes. Unsere heutigen Zahlen hingegen nennt man indisch-arabische Zahlen, da sie in Indien und im Orient zuerst verwendet wurden. Zu meinem letzten Geburtstag schenkte mir meine Schwester Miriam eine Armbanduhr mit römischen Ziffern. Meine Neugierde war groß. Ich wollte wissen, was die Zahlen bedeuten und wie sie zu lesen sind. Doch anstatt jemanden zu fragen, wollte ich es lieber selbst herausfinden. Eine Reise zu den alten Römern – das würde mir bei der Suche nach den Antworten auf meine Fragen sicherlich helfen. Eines Tages fand ich in einem alten Zauberbuch den passenden Zauberspruch:

Iter transtemporale! Altes Rom erstrahle!

Ich wurde in eine graue Staubwolke gehüllt, so dass mir nichts anderes übrig blieb, als zum Schutz meine Augen zu schließen. Als ich sie wieder öffnete, stand ich direkt auf dem Forum Romanum, dem Marktplatz in Rom. Als erstes fiel mir die ungewöhnliche Bekleidung der Leute auf, die mit anderen in Gespräche vertieft herumstanden, an mir vorbei eilten oder auf Steinstufen saßen, um die Mittagssonne zu genießen. Erleichtert stellte ich fest, dass auch ich eine über eine Tunika kunstvoll geschlungene Toga trug und somit nicht weiter auffiel. Ich hörte hinter mir ein Kichern. Als ich mich umdrehte, stand dort ein Mädchen, das etwa so alt war wie ich. „Was für ein komisches Ding trägst du denn an deinem Handgelenk?“, gluckste sie und zeigte auf meine Armbanduhr. Diese hatte die Zeitreise offenbar gut überstanden. Schnell nahm ich die Uhr ab und steckte sie in die Tasche.

39

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

„Zeig mir das bitte noch einmal“, bettelte das Mädchen. Ich wollte schon den Kopf schütteln und das Weite suchen, da kam mir eine Idee. „Gut, aber nur unter zwei Bedingungen: Erstens verrätst du niemandem, was du gesehen hast. Zweitens musst du mir erklären, wie man eure Zahlen liest.“ „Du kannst keine Zahlen lesen?“ Sie riss ungläubig die Augen auf. „Pst, nicht so laut“, ermahnte ich sie. „Komm mit“, flüsterte sie mir zu und zog mich in eine Seitengasse. Dort suchten wir uns ein schattiges Plätzchen in einem kleinen Garten. So lernte ich die Römerin Aurelia kennen, die übrigens ganz prima erklären konnte. Deshalb kenne ich mich jetzt gut mit den römischen Zahlen aus. Es gibt sieben verschiedene Zeichen I, V , X, L, C, D und M , die folgende Bedeutung haben: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1.000. Mit diesen Zeichen kann man noch weitere Zahlen bilden, indem man sie hintereinander schreibt. Zum Beispiel schrieben die Römer für die Zahl 6 die Zeichenfolge V I. Ganz wichtig: Die größere Ziffer kommt vor der kleineren. Aber passt auf: Jetzt wird es wirklich verrückt! Es kann durchaus vorkommen, dass eine kleinere Ziffer vor einer größeren steht. In diesem Fall muss man das kleinere vom größeren Symbol abziehen! Die Schreibweise IV stellt also nicht die

40

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Zahl 6, sondern die Zahl 4 dar, denn 5 (dargestellt durch das Symbol V ) minus 1 (dargestellt durch I) ergibt 4. Durch die Abziehregel können wir verhindern, dass vier gleiche Ziffern hintereinander stehen. Für die Zahl 4 wird nicht IIII, sondern IV geschrieben. Man darf allerdings nicht beliebig kleinere Symbole vor größere setzen. Hier gibt es eine Merkregel: I steht nur vor V und X, X nur vor L und C und C steht nur vor D und M . Für 99 dürfen wir also nicht IC schreiben, sondern müssen die Zahl in der Form LXLIX notieren. Im Kasten haben wir die wichtigsten Regeln zusammengetragen.

1. Die Zahlen werden aus den Zeichen I, V , X, L, C, D und M zusammengesetzt. Es gab damals darüber hinaus auch noch Zeichen für größere Zahlen, die aber heute nicht mehr verwendet werden. 2. Es ist nicht erlaubt, vier gleiche Zeichen hintereinander zu schreiben. Stattdessen wird in diesem Fall die Abziehregel verwendet. Beispielsweise schreiben die Römer statt IIII die Zeichenfolge IV . 3. I steht nur vor V und X, X nur vor L und C, C nur vor D und M . 4. Folgende Zeichenfolgen sind nicht zulässig oder zumindest ungewöhnlich: V V (besser: X), LL (besser: C) und DD (besser: M ).

41

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Gebt die folgenden Jahreszahlen, die bedeutenden Ereignissen zugeordnet werden können, im römischen Ziffernsystem an. Beachtet dabei die Regeln aus dem roten Kasten. a) 1492 (Entdeckung Amerikas) b) 1889 (Einweihung des Eiffelturms) c) 1990 (Wiedervereinigung) d) 2008 (Jahr der Mathematik)

Nach meinem Unterricht bei Aurelia musste ich wieder die Heimreise antreten. Als Dankeschön überließ ich ihr meine neue Uhr, von der sie natürlich begeistert war.

Ich habe gehört, dass vor ein paar Jahren bei Ausgrabungen im Stadtzentrum von Rom eine moderne Armbanduhr gefunden wurde. Die Archäologen waren etwas verwirrt. Es gab sogar einen Mitarbeiter, der behauptete, die Uhr müsse fast 2.000 Jahre dort gelegen haben, was ihm den Spott seiner Kollegen einbrachte. Sie waren überzeugt, dass Kinder die Uhr dort bei der Schatzsuche verloren hatten.

42

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Welches Streichholz muss wohin umgelegt werden, damit die folgende Gleichung korrekt ist:

Legt ein Streichholz um, damit die folgende Gleichung erfüllt ist:

Bei dieser Gleichung sind sogar zwei Streichhölzer zu verschieben:

43

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

1.9 Zaubertrick: Magische Streichhölzer Wo wir gerade bei Streichhölzern sind, fällt mir doch noch ein schöner Trick ein. Dazu benötigt ihr eine gut gefüllte Streichholzschachtel.

Gebt die Streichholzschachtel einem Zuschauer und wendet ihm den Rücken zu. Dann bittet ihr ihn, folgende Anweisungen auszuführen: 1. Er soll aus den Streichhölzern drei gleich große Haufen mit mindestens je vier Streichhölzern bilden. Dazu muss er nicht alle Hölzer in der Schachtel verwenden (die könntet ihr ja vorher abgezählt haben). Wichtig ist nur, dass alle drei Haufen gleich groß sind. Wir gehen davon aus, dass die Haufen vor dem Zuschauer in einer Reihe ausgelegt sind. Den linken Haufen nennen wir A, den mittleren B und den rechten C. Für die weitere Erklärung nehmen wir einmal an, dass der Zuschauer Haufen aus je 7 Streichhölzern gebildet hat. Ihr wisst das natürlich nicht, weil ihr dem Zuschauer den Rücken zuwendet.

2. Nun fordert den Zuschauer auf, von den beiden äußeren Haufen je 3 Streichhölzer zu nehmen und auf den Haufen in der Mitte zu legen.

44

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

3. Dann soll er alle Streichhölzer, die auf dem Haufen A liegen, zur Seite legen, so dass nur noch B und C verbleiben. In unserem Beispiel hat B jetzt 13 Hölzer und C 4 Hölzer. 4. Als nächstes zählt der Zuschauer die Hölzer in C und nimmt diese Anzahl an Hölzern von B weg und gibt sie zu C hinzu, so dass sich die Anzahl der Streichhölzer in C verdoppelt. In unserem Beispiel liegen auf dem Haufen C nun 8 Hölzer.

Dann soll er auch den Haufen C entfernen. 5. Weist nun daraufhin, dass ihr keine Ahnung habt, wie viele Streichhölzer der Zuschauer zu Beginn auf die drei Haufen verteilt hat und dass ihr ebenso nicht wissen könnt, wie viele nun übrig geblieben sind. Jetzt kommt der letzte Schritt: Ihr bittet den Zuschauer, eine beliebige Anzahl von Hölzern vom verbliebenen Haufen B wegzunehmen und euch zu sagen, wie viele weggenommen wurden. 6. Nun könnt ihr dem Publikum verkünden, wie viele Streichhölzer noch auf dem Tisch liegen. Warum funktioniert der Trick? Vor dem letzten Schritt sind immer genau 9 Streichhölzer übrig. Ihr müsst also nur die Zahl, die euch der Zuschauer nennt, von 9 abziehen. Wenn der Zuschauer euch beispielsweise die Zahl 5 nennt, liegen noch 4 Streichhölzer auf dem Tisch. Warum ist das so?

45

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Am Anfang enthält Stapel B eine euch unbekannte Anzahl an Hölzern. Wir nennen sie einmal x. Der Buchstabe x kann hier für 6, 7, 8 oder irgendeine andere Zahl stehen. Dann nehmen wir von A und C je 3 Hölzer weg und fügen sie zu B hinzu. Damit hat B nun x + 6 Streichhölzer und die Haufen A und C nur noch x − 3. Nun nehmen wir von B die Anzahl der Hölzer weg, die C hat. Das können wir so ausrechnen: (x + 6) − (x − 3). Da kommt immer 9 heraus – egal, wie groß x ist.

1.10 Die Erfindung des Schachspiels Es war einmal ein König, der herrschte über ein friedliches Land mit vielen zufriedenen Untertanen. Alle seine Untertanen waren so zufrieden und glücklich, dass es für den König gar nichts zu tun gab. Alle zahlten brav ihre Steuern. Keiner der Herrscherinnen und Herrscher der angrenzenden Länder wollte mit ihm Krieg führen. Eigentlich hätte der König auch glücklich und zufrieden sein können. Aber ihm war langweilig. Er wusste nichts mit seiner freien Zeit anzufangen. Er beherrschte bereits sämtliche Musikinstrumente perfekt und schlug jeden seiner Hofangestellten im „Mensch ärgere Dich nicht“. Vor lauter Langeweile wurde der König krank. Sein Arzt kam schließlich auf die Idee, einen Wettbewerb auszuschreiben. Gesucht wurde ein Spiel, das so spannend war, dass dem König darüber die Langeweile verging. Es gab viele Bewerber. Doch der König war nicht einfach zufrieden zu stellen. Spiele mit Würfeln fand er langweilig. „Immer nur würfeln. Ich möchte ein Spiel, bei dem ich nachdenken muss“, murrte er. Einfache Denkspiele konnte der König durchschauen, denn er war nicht dumm. Ein Bewerber stellte ihm Tic-Tac-Toe vor.

46

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Auf das Spiel werden wir in Abschnitt 2.6 noch näher eingehen. Für einige Stunden war der König zufrieden. Dann aber stellte er fest, dass keiner der beiden Spieler gewinnen konnte, wenn sich beide Spieler Mühe gaben. Da wurde er sehr böse und ließ den Erfinder des Spiels aus dem Palast werfen. Ab nun waren alle Leute sehr vorsichtig. Kaum jemand wagte, dem König ein neues Spiel vorzustellen. Diesem ging es immer schlechter, und die Untertanen glaubten an sein baldiges Ende. Da kam eines Tages ein junger Schäfer vorbei und präsentierte dem König ein neues Spiel. Das Spiel bestand aus einem quadratischen Brett mit 32 weißen und 32 schwarzen Feldern. Außerdem gab es 16 weiße und 16 schwarze Figuren.

rmblkans opopopop 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0Z0Z0 2 POPOPOPO 1 SNAQJBMR a b c d e f g h 8 7

Es war das Schachspiel, das ihr sicher schon einmal gesehen habt. Vielleicht kennt ihr auch die Regeln dieses Spiels. Dann wisst ihr, dass es sehr kompliziert ist. Ansonsten fragt einmal eure Eltern oder Großeltern oder eure Freunde, ob sie es euch erklären können. Der König war zunächst sehr misstrauisch. Die Regeln des Schachspiels sind kompliziert: Es gibt verschiedene Figuren mit unterschiedlichen Zugregeln. Das Ziel des Spieles besteht darin, den gegnerischen König mattzusetzen, ihn also zu besiegen. Da in seinem Land schon so lange Frieden herrschte, konnte der König mit einem so kriegslustigen Spiel zunächst nicht viel anfangen. Nach einiger Zeit aber war er mit den Regeln vertraut und es machte ihm großen Spaß. Er erkannte, dass diese

47

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Art des Kriegführens ihm viel besser gefiel als ein realer Kampf auf dem Feld. Das Spiel kostete kein Geld, es musste niemand hungern oder sterben. Auch konnte er sein ganzes taktisches Geschick einbringen, Pläne schmieden und Fallen aushecken. Bald wurde der König ein guter Schachspieler. Er ließ den Schäfer zu sich kommen und sagte: „Du hast mir ein so tolles Spiel beigebracht. Mir ist nicht mehr langweilig und ich fühle mich nun viel besser. Du darfst dir eine Belohnung aussuchen. Mir soll alles recht sein.“ „Vielen Dank“, freute sich der Schäfer. „Ich habe einen bescheidenen Wunsch. Ich möchte nur ein paar Säcke Weizenkörner haben. Legen Sie mir auf das erste Feld des Schachbretts ein Weizenkorn, auf das zweite Feld des Brettes zwei, auf das dritte Feld doppelt so viele, also vier Weizenkörner. Auf das vierte Feld doppelt so viele wie auf das dritte, also acht Weizenkörner. Und so weiter, bis alle Felder gefüllt sind.“ „Aber nein!“, rief der König. „Das ist doch viel zu bescheiden. In einen Sack gehen etwa eine Million Weizenkörner. Wer weiß, ob du mit den Körnern am Ende überhaupt einen ganzen Sack füllen kannst.“ „Sehr verehrter Herr König. Wo Sie jetzt einen so großen Gefallen an Denkspielen gefunden haben, lassen Sie uns doch einmal nachrechnen.“ Der Schäfer lächelte und malte eine Tabelle auf.

48

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Feld

Anzahl der Weizenkörner

Feld

Anzahl der Anzahl der Weizenkörner

2

2

3 4 5 6 7 8 8 10 11

4 8 16 32 64 128 256 512 1.024

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

2.048 4.096 8.192 16.384 32.768 65.536 131.072 262.144 524.288 1.048.576

„Nun hat ein Schachbrett nicht nur 21, sondern 64 Felder“, führte er aus. „Wir sind also noch lange nicht am Ende. Wenn wir immer wieder verdoppeln, erhalten wir auf dem 64. Feld die entsetzlich große Zahl 9.223.372.036.854.775.808. Und das sind nur die Körner auf dem letzten Feld. Alle Körner zusammengenommen, ergibt die Zahl 18.446.744.073.709.551.615.“ Der König beugte sich über das Blatt und zählte die Stellen der Zahl, die der Schäfer notiert hatte. Entsetzt stellte er fest: „Das sind ja mehr als 18 Billionen Säcke mit je 1 Million Weizenkörner.“

49

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Der Schäfer lächelte: „Das ist korrekt. Ich ziehe mein Forderung zurück, aber rate Ihnen, einen Rechenkünstler einzustellen, der Sie bei solchen Aufgaben zukünftig unterstützt.“ Und so kam es, dass der Schäfer zum königlichen Hofmathematiker befördert wurde. Seine Tätigkeit ließ ihm aber noch genug Zeit, sich auch noch um seine Herde zu kümmern, die er aufgrund eines großzügigen Geldbetrags, den der König ihm gezahlt hatte, noch deutlich vergrößern konnte. Zudem war er nun in der Lage, zwei Helfer einzustellen, die sich um die Schafe kümmerten, wenn er am Hof weilte, um für den König Rechenaufgaben zu erledigen oder mit ihm eine Partie Schach zu spielen.

Ein Schachbrett aus Holz soll in 64 einzelne Quadrate mit einer Säge, die auch das stärkste Material durchdringen kann, zerlegt werden. Wie oft muss man mindestens sägen? Einen Hinweis findet ihr in Abschnitt A.1.

1.11 Ungebremstes Wachstum Wie wir in der Schachgeschichte gelesen haben, wird aus winzigen Anfangsbeträgen schnell ein riesengroßer Betrag, wenn wir diesen immer wieder verdoppeln. Stellt euch einmal vor, ihr besitzt einen Euro und jemand stellt euch vor folgende Wahl: 1. Er verspricht, dass er euch zu eurem Euro 10 Tage lang jeden Tag weitere 10 Euro gibt. 2. Alternativ könnte er euch auch 10 Tage lang jeden Tag euer bisheriges Vermögen verdoppeln. Wofür würdet ihr euch entscheiden?

50

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Im ersten Fall hättet ihr nach 10 Tagen 101 Euro. Nicht schlecht, oder? Im zweiten Fall ergibt sich folgende Entwicklung: Nach einem Tag hättet ihr 2 Euro (na ja, das ist noch nicht so toll!), nach 2 Tagen erst 4 Euro, nach 3 Tagen 8 Euro und nach 4 Tagen erst 16 Euro (mmh, im ersten Fall sind es hier schon 41 Euro). Nach 5 Tagen ist der Betrag auf 32 Euro aufgelaufen und nach 6 Tagen schon auf 64 (hui, das sieht schon besser aus!). Und jetzt geht es richtig ab: Nach 7 Tagen habt ihr 128 Euro, nach 8 Tagen 256 Euro und nach 9 Tagen 512 Euro in der Tasche. Am 10. Tag ist euer Vermögen auf 1024 Euro angewachsen! Diese Verdopplungsreihe ist auch in vielen anderen Situationen, zum Beispiel bei einem Stammbaum, nützlich. Ein Kind hat zwei Eltern (Vater und Mutter), die wieder je zwei Eltern haben, die wieder zwei Eltern haben. Somit hat jeder 2 Eltern, 4 Großeltern, 8 Urgroßeltern, 16 Ururgroßeltern und so fort.

Ziffys Stammbaum

51

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Ein Kreuzzahlenrätsel:

Waagrecht: 1 ist das Ergebnis von 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 die kleinste Primzahl 4 erhält man, wenn man 2 · 4 berechnet 6 das Quadrat von 4 7 das Quadrat von 8 9 diese Zahl ist gleich 2 · 2 · 2 · 2 · 2 Senkrecht: 1 die Zahl ist dreistellig, Produkt aus lauter Zweien und das Doppelte einer zweistelligen Zahl 3 die Zahl ist das Quadrat von 16 5 die Zahl ist die größte dreistellige Zahl, die ein Produkt aus lauter Zweien ist 8 diese Zahl mit sich selbst multipliziert, ergibt 16

52

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

1.12 Zaubertrick: Zweierpotenzen Die Zahlen, die sich als Produkt aus lauter Zweien schreiben lassen, wie 2, 4, 8, 16, 32, . . . heißen Zweierpotenzen. Ich zeige euch einen Zaubertrick, der Potenzen der Zahl 2 verwendet. Für den Trick müsst ihr zunächst 7 Karten vorbereiten, auf deren Rückseite ihr die folgenden Zahlen schreibt: Karte Nr. 1 1 13 23 33 43 53 63 73 83 93

3 15 25 35 45 55 65 75 85 95

5 17 27 37 47 57 67 77 87 97

7 19 29 39 49 59 69 79 89 99

Karte Nr. 2 9 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 14 26 38 50 62 74 86 98

Karte Nr. 3 4 14 28 38 52 62 76 86 100

5 15 29 39 53 63 77 87

6 20 30 44 54 68 78 92

3 15 27 39 51 63 75 87 99

6 18 30 42 54 66 78 90

7 10 11 19 22 23 31 34 35 43 46 47 55 58 59 67 70 71 79 82 83 91 94 95

Karte Nr. 4

7 12 13 21 22 23 31 36 37 45 46 47 55 60 61 69 70 71 79 84 85 93 94 95

8 14 28 42 56 62 76 90 98

53

9 10 11 12 13 15 24 25 26 27 29 30 31 40 41 43 44 45 46 47 57 58 59 60 61 63 72 73 74 75 77 78 79 88 89 91 92 93 94 95 99

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen Karte Nr. 6

Karte Nr. 5 16 22 28 50 56 62 84 90

17 23 29 51 57 63 85 91

18 24 30 52 58 80 86 92

19 25 31 53 59 81 87 93

20 26 48 54 60 82 88 94

21 27 49 55 61 83 89 95

32 38 44 50 56 62 100

33 39 45 51 57 63

34 40 46 52 58 96

35 41 47 53 59 97

36 42 48 54 60 98

37 43 49 55 61 99

Karte Nr. 7 64 70 76 82 88 94 100

65 71 77 83 89 95

66 72 78 84 90 96

67 73 79 85 91 97

68 74 80 86 92 98

69 75 81 87 93 99

Auf die andere Seite (Vorderseite) könnt ihr ein kleines Bild malen, das euch verrät, welches die kleinstes Zahl auf der Rückseite ist. Denkbar wären hier beispielsweise auf der 3. Karte, deren kleinste Zahl die Zahl 4 ist, ein vierblättriges Kleeblatt und auf der Vorderseite der 4. Karte, deren kleinste Zahl die Zahl 8 ist, eine Achterbahn.

54

Von fantastischen Zeitreisen und magischen Zahlen

Erklärt eurem Publikum, dass ihr hellseherische Fähigkeiten habt. Ihr könnt nämlich eine Zahl von 1 bis 100, die sich ein Zuschauer gedacht hat, erraten. Zur Demonstration bittet ihr einen beliebigen Zuschauer, sich eine Zahl zwischen 1 und 100 zu denken. Nun gebt ihr ihm eure sieben Spielkarten und bittet ihn, die Karten herauszusuchen, auf denen die gedachte Zahl zu finden ist. Diese Karten soll er euch anschließend wieder zurückgeben. Ihr erhaltet die gedachte Zahl, indem ihr einfach die kleinste Zahl auf jeder der ausgewählten Spielkarten addiert. Das Verblüffende für die Zuschauer: Ihr müsst euch die Rückseite mit den Zahlen gar nicht anschauen. Zur Illustration schauen wir uns ein Beispiel an: Der Zuschauer hat euch drei Karten zurückgegeben. Ihr schaut euch die Bilder auf den Vorderseiten an und seht eine Kerze (ein Symbol für die Zahl 1), ein Kleeblatt (steht für die Zahl 4) und eine karierte Fahne mit 4 × 4 Feldern (ein Symbol für die Zahl 16). Ihr habt somit die 1., die 3. und die 5. Karte erhalten. Die vom Zuschauer gewählte Zahl ergibt sich dann einfach aus 1 + 4 + 16 = 21.

55

2 Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern 2.1 Häschen, so weit das Auge reicht Meine Tante, die Zahlenzauberin Zibonacci, besitzt einen Hof auf dem Land, wo sie in ihrer Freizeit Hasen züchtet. Diese verkauft sie an Magier aus aller Welt, die die Hasen dann aus ihren Zylindern zaubern. Meine Tante beliefert aber auch Tierparks und Zoohandlungen. Normalerweise können Hasen ab einem Alter von etwa einem halben Jahr alle sechs Wochen Nachwuchs zur Welt bringen. In einem Wurf sind das dann bis zu sechs Häschen. Die Hasen aus Zibonaccis Züchtung bekommen schon nach zwei Monaten ihre ersten Babys und danach jeden Monat weiteren Nachwuchs. Jeder Wurf besteht aus genau einem Hasenpärchen, also einem Jungen und einem Mädchen.

Meine Tante Zibonacci hat festgestellt, dass sie mit ihren besonderen Hasen prima rechnen kann. Dazu betrachtet sie ein einziges, neugeborenes Hasenpärchen. Im

57

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_3

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern ersten und zweiten Monat gibt es nur dieses Pärchen. Danach sind die beiden Hasen alt genug, um Kinder zu bekommen. Es kommt also ein neues Pärchen hinzu, und so gibt es im dritten Monat schon 2 Hasenpärchen.

Im vierten Monat bekommt das erste Pärchen wieder Nachkommen. Das zweite Pärchen ist dafür noch nicht alt genug. Insgesamt erhalten wir 3 Hasenpärchen. Jetzt geht es richtig ab: Im fünften Monat kann auch das Pärchen, das im dritten Monat geboren wurde, Babys bekommen. Somit bekommen gleich 2 Hasenpärchen Nachwuchs und insgesamt sind wir nun schon bei 5 Hasenpärchen.

58

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Im sechsten Monat wirft auch das Hasenpärchen aus dem dritten Monat. Wir erhalten das folgende Bild:

Das ist eine ganz schöne Zählerei, oder? Aber tatsächlich geht es auch einfacher. Schauen wir uns noch einmal an, wie viele Pärchen es im sechsten Monat gibt. Das sind zum einen alle Hasen aus dem fünften Monat (= 5 Pärchen) und zu jedem Pärchen aus dem vierten Monat erhalten wir noch ein zusätzliches Pärchen (= 3 Pärchen), nämlich den neuen Nachwuchs. Wir rechnen deshalb einfach 5 + 3 = 8. Dies gilt auch für jeden anderen Monat. Wollen wir wissen, wie viele Pärchen es im nächsten Monat gibt, müssen wir die aktuelle Anzahl der Pärchen nehmen und die des Vormonats dazu zählen.

59

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Nun können wir die Anzahl der Hasenpärchen ohne großes Nachdenken berechnen: 1. Monat:

1 Pärchen

2. Monat: 3. Monat:

1 Pärchen 1 + 1 = 2 Pärchen

4. Monat:

2 + 1 = 3 Pärchen

5. Monat: 6. Monat:

3 + 2 = 5 Pärchen 5 + 3 = 8 Pärchen

7. Monat: 8. Monat:

8 + 5 = 13 Pärchen 13 + 8 = 21 Pärchen

9. Monat: 21 + 13 = 34 Pärchen 10. Monat: 34 + 21 = 55 Pärchen. Und das können wir noch weiter fortsetzen: Nach 55 kommen 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . .. Die Zahlen wachsen ziemlich schnell an.

Schon Zibonaccis Urahne, der Mathematiker Leonardo da Pisa mit dem Spitznamen Fibonacci, der vor über 800 Jahren in Pisa lebte, beschäftigte sich mit dem Hasenproblem und schilderte dieses in seinem Buch „Liber abaci“ (auf Deutsch: „Buch vom Abakus“). Deshalb werden die Zahlen 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . heute auch Fibonaccizahlen genannt. Sein eigentlicher Verdienst jedoch war die Einführung des arabischen Ziffernsystems in der westlichen Welt. Bis dahin hatte man noch die römischen Ziffern verwendet, die für komplizierte Rechenaufgaben nicht geeignet sind. Erst durch Fibonacci hat sich das heutige Zehnersystem in Europa – und damit auch in Deutschland – durchgesetzt.

60

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Meine Tante denkt über eine neue Züchtung nach: Bei der ersten Variante würden die Hasen wie oben erst nach zwei Monaten das erste Mal Nachwuchs bekommen, dann aber immer gleich zwei Pärchen. Bei der zweiten Variante bekommen die Hasen bereits nach einem Monat ein Pärchen und ab dem zweiten Monat jeden Monat zwei Pärchen. Könnt ihr auch dafür angeben, wie die Anzahl der Pärchen in den ersten 10 Monaten aussieht? Wie lautet die Rechenvorschrift?

2.2 Zaubertrick: Das Supergedächtnis Mithilfe der Fibonaccizahlen könnt ihr euren Freunden beweisen, dass ihr ein phänomenales Gedächtnis besitzt. Dazu bereitet ihr ein Zeichenblatt vor, auf das 20 bis 40 Zeilen mit 20 jeweils verschiedenen, scheinbar ganz zufällig zusammengewürfelten Ziffern gedruckt sind. Als Beispiel seht ihr hier einen Auszug mit 12 Zeilen: (1) (2)

4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7

(3)

6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1 2 3 5 8 3

(4)

9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9

(5)

8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5

(6)

1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1

(7)

0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7

(8)

3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3

(9)

2 1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2 1 3 4 7 1 8 9

(10) 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 (11) 4 6 0 6 6 2 8 0 8 8 6 4 0 4 4 8 2 0 2 2 (12) 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8

61

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Der Zuschauer soll nun den Block in die Hand nehmen und eine beliebige Reihe auswählen, beispielsweise Reihe Nr. 5. Darauf könnt ihr ihm ohne Einsicht des Blockes nacheinander alle Ziffern in der fünften Reihe aufsagen. Tatsächlich braucht ihr dazu kein besonders gutes Gedächtnis, sondern müsst im Vorfeld nur etwas rechnen üben. Schaut euch zum Beispiel einmal die erste Reihe an. Hier stehen in der ersten Zeile an den ersten beiden Stellen die Ziffern 4 und 5. Die dritte Ziffer ist die Summe der beiden vorangegangenen. Die Summe der zweiten und dritten Ziffer ist 14. Das ist keine Ziffer, also ziehen wir hier 10 ab und erhalten die geforderte einstellige Zahl, die Zahl 4. Deshalb ist der vierte Eintrag in der ersten Zeile die Zahl 4. Auch alle anderen Ziffern einer Zeile erhaltet ihr wie bei den Fibonaccizahlen aus der Summe der beiden vorhergehenden. Nun müssen wir nur noch erklären, wie ihr die ersten beiden Ziffern jeder Zeile ermittelt. Auch diese müsst ihr nicht auswendig lernen, sondern könnt sie aus der Zeilennummer bestimmen. Wenn die Zeilennummer ungerade ist, wie beispielsweise die Zeile Nr. 1, dann ergibt sich die erste Ziffer, indem wir zur Zeilennummer die Zahl 3 addieren. Wenn das Ergebnis zweistellig ist, dann nehmt ihr vom Ergebnis nur die Einerstelle, also die letzte Ziffer. Die erste Ziffer der Zeile Nr. 1 ist somit 1 + 3 = 4. Für die Zeile Nr. 7 erhalten wir 7 + 3 = 10, also ergibt sich als erste Ziffer dieser Zeile die Ziffer 0. Wenn die Zeilennummer hingegen gerade ist, wie etwa die Zeile Nr. 2, dann ergibt sich die erste Ziffer, indem wir zur Zeilennummer die Zahl 5 addieren. Auch hier wird bei einem zweistelligen Ergebnis nur die letzte Ziffer verwendet. Die erste Ziffer der Zeile Nr. 2 ist dann 2 + 5 = 7. Für die Zeile Nr. 6 lautet die Rechnung 6 + 5 = 11, also ist die erste Ziffer in der sechsten Zeile gleich 1. Für die zweite Ziffer müssen wir schauen, ob die Zeilennummer ein- oder zweistellig ist. Wenn die Zeilennummer einstellig ist, wie beispielsweise die Zeile Nr.

62

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern 1, dann erhalten wir die zweite Ziffer, indem wir zur ersten Ziffer die Zeilennummer dazuzählen. Bei einem zweistelligen Ergebnis nehmen wir wieder nur die letzte Ziffer. Die zweite Ziffer der Zeile Nr. 1 ist also 4 + 1 = 5. Die zweite Ziffer der Zeile Nr. 8 ist wegen 8 + 3 = 11 die Ziffer 1. Bei einer zweistelligen Zeilennummer, zählen wir zunächst die beiden Ziffern der Zeilennummer zusammen und nehmen dann noch die erste Ziffer hinzu. Die zweite Ziffer der Zeile Nr. 11 ist die Zahl 6, denn 1 + 1 + 4 = 6. In der Zeile Nr. 12 wird das Ergebnis wieder zweistellig: 1 + 2 + 7 = 10, also nehmen wir hier nur die letzte Ziffer 0. Das hört sich komplizierter an, als es ist. Im nachfolgenden Kasten sind die Regeln noch einmal zusammengetragen.

Bei einem mehrstelligen Ergebnis ist immer nur die letzte Ziffer zu verwenden: • Erste Ziffer der Reihe: Für gerade Zeilennummern: Zeilennummer + 5 Für ungerade Zeilennummern: Zeilennummer + 3 • Zweite Ziffer der Reihe: Für einstellige Zeilennummern: erste Ziffer + Zeilennummer Für zweistellige Zeilennummern: erste Ziffer + Summe der Ziffern der Zeilennummer

Natürlich benötigt ihr dafür ein wenig Übung. Ihr könnt einmal versuchen, die Zahlen für Zeilennummer 13 bis 20 selbst zu berechnen. Im Anhang A.4 findet ihr die vollständige Tafel mit 40 Zeilen. Durch die geschickte Wahl der Anfangsziffern sind tatsächlich alle 40 Zeilen unterschiedlich.

63

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

2.3 Eine harte Nuss Ich möchte euch eines der berühmtesten Probleme vorstellen, das Mathematiker Jahrhunderte lang beschäftigte. Eine Potenz einer Zahl erhält man, indem man die gleiche Zahl immer wieder mit sich selbst multipliziert. Wir haben in Abschnitt 1.12 mit den Potenzen der Zahl 2 schon einen Spezialfall kennengelernt. Die Potenzen von 3 sind 31 = 3, 32 = 3 · 3 = 9, 33 = 3 · 3 · 3 = 27, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, . . . . Wir sagen beispielsweise: „3 hoch 3 ist 27.“ Entsprechend steht die Schreibweise 54 (gesprochen: „5 hoch 4“) für das Produkt aus vier Fünfen. Die Geschichte des Problems, von dem ich euch erzählen möchte, beginnt vor über 2.000 Jahren im alten Griechenland. Der Philosoph Pythagoras fragte sich damals, für welche ganzen Zahlen a, b, c die Gleichung a2 + b2 = c2 , also a · a + b · b = c · c gilt. Schon im alten Babylonien kannte man zahlreiche Beispiele: Für a = 3, b = 4 und c = 5 erhalten wir 32 + 42 = 3 · 3 + 4 · 4 = 9 + 16 = 25 = 5 · 5 = 52 . Auch die Zahlen a = 5, b = 12 und c = 13 erfüllen die Gleichung: 52 + 122 = 5 · 5 + 12 · 12 = 25 + 144 = 169 = 13 · 13 = 132 . Solche Kombinationen aus drei Zahlen a, b, c, die alle größer als 0 sind, heißen auch pythagoreische Zahlentripel. Es lassen sich unendlich viele solcher Tripel finden.

64

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern In der Tabelle haben wir noch mehr Möglichkeiten aufgeführt: a

b

c

a2 + b2

c2

8 7 9 20

15 24 40 21

17 25 41 29

289 625 1681 841

289 625 1681 841

Entscheidet für jedes Zahlenpaar, ob es eine dritte Zahl gibt, so dass alle drei ein pythagoreisches Zahlentripel bilden. Falls ja, gebt die dritte Zahl an. a) 11 und 60, b) 12 und 16, c) 99 und 101, d) 14 und 15, Wenn ihr nicht weiterkommt, findet ihr unter A.1 noch einen Hinweis. Für ein pythagoreisches Zahlentripel lässt sich auch immer ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, das genau die Seitenlängen a, b und c hat.

65

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Viele Jahrhunderte vergingen bis im 17. Jahrhundert der Franzose Pierre de Fermat eine Ausgabe der „Arithmetica“ des Griechen Diophantos von Alexandria studierte. Pierre war von Beruf Richter, beschäftigte sich aber nebenbei noch mit Mathematik. In der „Arithmetica“ fand er die alten Formeln von Pythagoras und fragte sich, was wohl passieren würde, wenn man die Zweien durch Dreien ersetzt: a3 + b3 = c3 oder a · a · a + b · b · b = c · c · c. Wie zuvor forschte er nach natürlichen Zahlen a, b, c, alle größer als 0, die diese Gleichung erfüllen. Er suchte, suchte und suchte und fand keine. Kein einziges Tripel schien die Gleichung zu lösen. Ähnlich erging es ihm für a4 + b4 = c4 oder a5 + b5 = c5 und ganz allgemein für an + bn = cn . Als sein Sohn nach seinem Tod in Pierres Nachlass seine Ausgabe der „Arithmetica“ fand, stellte er fest, dass sein Vater diese mit zahlreichen Randnotizen in Latein versehen hatte. Unter anderem hatte Pierre dort notiert, dass an + bn = cn für alle natürlichen Zahlen n > 2 keine Lösung habe. Und dann folgte der berühmte Satz: „Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“ Pierre behauptete also, eine tolle, absolut stichhaltige Begründung für seine Behauptung zu haben. Aus Platzgründen gab er sie jedoch nicht an und nahm sie ins Grab mit.

66

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Pierre de Fermat hatte noch mehr unbewiesene Formeln hinterlassen, aber nachfolgende Mathematiker konnten sie nach und nach alle überprüfen. Nur diese Behauptung über die Potenzen natürlicher Zahlen hielt allen Lösungsversuchen stand und blieb ungelöst. Zu Ehren ihres Entdeckers wurde das Problem bald „Der Große Satz von Fermat“ genannt. Mit der Zeit konnten Mathematiker zeigen, dass es keine Lösung für n = 3 und n = 4, also für a3 + b3 = c3 oder a4 + b4 = c4 gibt. Auch andere Exponenten (Hochzahlen) n konnten ausgeschlossen werden. Doch das allgemeine Problem für alle n blieb offen. Was, wenn Pierre de Fermat sich geirrt hatte und es doch eine Lösung gab? Vielleicht lässt sich ein Zahlentripel finden, für zum Beispiel a1907 + b1907 = c1907 . Und selbst, wenn diese Gleichung keine Lösung hat. Was ist dann mit a3249818273441413 + b3249818273441413 = c3249818273441413 ? Die Zahlen werden gigantisch groß, aber es gäbe vielleicht eine Lösung! Bald waren die Wissenschaftler überzeugt, dass das Problem so schwer sei, dass es wohl für immer ungelöst bliebe. Berühmte Mathematiker wie Carl Friedrich Gauss (siehe auch Abschnitt 2.4) beschäftigten sich nie damit, weil sie ihre Zeit lieber für Probleme opfern wollten, bei denen eine Lösung möglich schien. Im Jahr 1908 vererbte der Arzt und Mathematiker Paul Wolfskehl der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen 100.000 Mark für einen Preis zur Lösung des Großen Satzes von Fermat. Das war damals so viel wert wie heute eine Million Euro. Kein Wunder, dass sich nun viele Menschen mit dem Problem beschäftigten und Lösungen an die Königliche Gesellschaft schickten. Jedes Jahr trafen dort über hundert Briefe ein, in denen der Absender behauptete, die jahrhundertealte Frage beantworten zu können. Doch alle Lösungen enthielten Fehler!

67

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Paul Wolfskehls Testament sah einen Einsendeschluss 100 Jahre nach seinem Tod vor. Für Lösungen nach dem Jahr 2007 würde es also kein Geld mehr geben. Das Datum rückte immer näher und viele Wissenschaftler waren überzeugt, dass der Preis nie ausgezahlt würde. 1986 gab es erstmals eine Idee, wie man sich dem Problem nähern konnte. Der britische Mathematikprofessor Andrew Wiles startete daraufhin sein persönliches Geheimprojekt: Er zog sich weitgehend zurück, hielt nur noch seine Vorlesungen und arbeitete sonst still und heimlich an seinem großen Ziel, einen Beweis des Fermatschen Satzes zu finden. Das hatten schon viele vor ihm versucht, aber Andrew war kein Hobbymathematiker, sondern kannte sich ausgezeichnet mit der Theorie der Zahlen aus. Im Jahr 1994 war es endlich so weit! Über 300 Jahre nach dem Tod Fermats hatte Andrew Wiles einen Beweis (also ein stichhaltiges, unumstößliches Argument) gefunden, der zeigte, dass es keine Zahl n größer als 2 und ganze Zahlen a, b, c gibt, die die Gleichung an + bn = cn erfüllen. Ein Sturm der Begeisterung brach los! Zeitungen berichteten von Andrew Wiles‘ Erfolg, der britische Fernsehsender drehte eine Dokumentation und der Journalist Simon Singh schrieb einen Bestseller über die jahrhundertelange Suche nach der Wahrheit. Für seine Verdienste erhielt Andrew Wiles natürlich Wolfskehls Preis und im Jahr 2016 den mit umgerechnet etwa 700.000 Euro dotierten Abelpreis (siehe auch Abschnitt 3.13).

68

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

2.4 Fürst der Mathematik Carl Friedrich Gauß (1777-1855) war einer der berühmtesten und genialsten Mathematiker, die je gelebt haben.

Gauß erreichte ein so hohes Ansehen, dass sein Abbild bis zur Einführung des Euros im Jahr 2002 den 10 Mark Schein zierte. Quelle: Deutsche Bundesbank

Seine Eltern waren einfache Leute. Sein Vater übte verschiedene Berufe aus: Gärtner, Fleischhacker und Maurer. Seine Mutter hatte gar keine Schule besucht. Ihr könnt euch vorstellen, dass zuerst niemand dachte, dass aus dem kleinen Carl Friedrich einmal ein so großer und berühmter Mann werden würde. Mit sieben Jahren kam Carl Friedrich Gauß in die Grundschule. Mit einer normalen Begabung hätte er zur damaligen Zeit keine weiterführende Schule besucht. Doch seinen Lehrern fiel bald sein außergewöhnliches mathematisches Talent auf. Aus dieser Zeit ist folgende Geschichte bekannt: Die Schulklassen waren damals viel größer als heute. In einer Klasse saßen häufig deutlich über 50 Schüler. Wie ihr euch denken könnt, war dies für den Lehrer oft sehr anstrengend. Deshalb dachte er sich Rechenaufgaben aus, die die Schüler möglichst lange beschäftigen sollten. Dann konnte er sich wenigstens eine Pause gönnen und in der Klasse war es ruhig.

69

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Einmal ordnete er den Schülern an, die ersten hundert Zahlen zu addieren, also die Summe 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . + 100 auszurechnen. Die Punkte stehen hier für die restlichen Summanden von 7 bis 99. Er hoffte, dass nun für einige Zeit Ruhe einkehrte. Die Schüler rechneten wie damals üblich auf kleinen Schiefertäfelchen. Nach nur einer Minute lief der kleine Carl Friedrich nach vorne und legte seine Schiefertafel mit den Worten „Da liegt die Lösung“ auf das Lehrerpult. Er hatte die Aufgabe korrekt gelöst.

Wie konnte er so schnell das Ergebnis berechnen? Nun, dem kleinen Mathematiker war ein Trick aufgefallen. Um diesen Trick zu verstehen, betrachten wir erst einmal eine einfachere Aufgabe. Angenommen, wir sollen die Summe der ersten zehn Zahlen berechnen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

70

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Wir können die Summanden vertauschen und die Summe auch so schreiben: (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6). Jede Summe in einer Klammer hat dann den Wert 11. Also erhalten wir (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 · 11 und 5 · 11 = 55. Ganz schön raffiniert, oder? Diese Beobachtung können wir nun verallgemeinern. Wenn wir die Summe der ersten hundert Zahlen berechnen wollen, schreiben wir (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + . . . Nun ist die Summe in jeder Klammer gleich 101. Doch wie viele Klammern erhalten wir? Die letzte Klammer lautet (50 + 51), also gibt es insgesamt 50 Klammern. Somit ergibt sich 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + . . . + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050. Dieser schöne Trick war dem kleinen Gauß aufgefallen, und mit ihm konnte er die Aufgabe so schnell lösen. Mit elf Jahren kam Carl Friedrich auf das Gymnasium, wo er seine Lehrer und Mitschüler auch durch seine herausragenden Leistungen in Fremdsprachen beeindruckte. Nur vier Jahre später hatte er sein Abitur in der Tasche. In der Zwischenzeit war der Herzog von Braunschweig auf das Wunderkind aufmerksam geworden.

71

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Er finanzierte Carl Friedrich Gauß das Studium der Mathematik zunächst an der Universität Braunschweig und dann in Göttingen, wo der herausragende Mathematiker im Alter von 30 Jahren zum Professor berufen wurde. Carl Friedrich Gauß wurde 77 Jahre alt. Er war unglaublich genial und arbeitete viel. Über dreißig mathematische Verfahren, Sätze und Definitionen tragen ganz offiziell seinen Namen.

Könnt ihr mit dem Trick des kleinen Gauß auch die Zahlen von 1 bis 1000 addieren? Mit ein wenig Nachdenken ist es auch möglich, die ersten 100 geraden Zahlen schnell zu addieren.

2.5 Zaubertrick: Magische Quadrate Betrachtet einmal das folgende 3 × 3 - Quadrat: 23

16

21

18

20

22

19

24

17

Zählt alle Zahlen zusammen, die in der ersten Zeile stehen. Welche Zahl erhaltet ihr? Und was ergibt sich, wenn ihr alle Zahlen in der zweiten Zeile zusammenzählt? Oder die Zahlen der dritten Zeile? 23

16

21

23

16

21

23

16

21

18

20

22

18

20

22

18

20

22

19

24

17

19

24

17

19

24

17

72

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Seht euch nun die drei Spalten an: 23

16

21

23

16

21

23

16

21

18

20

22

18

20

22

18

20

22

19

24

17

19

24

17

19

24

17

Für alle sechs Summen ergibt sich die Zahl 60. Und das ist noch nicht alles. Auch wenn wir die Zahlen auf den beiden Diagonalen zusammenzählen, erhalten wir 60: 23

16

21

23

16

21

18

20

22

18

20

22

19

24

17

19

24

17

Solche Quadrate, bei denen die Summen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen übereinstimmen, nennt man magische Quadrate. Es gibt magische Quadrate beliebiger Größe. Hier sehr ihr zum Beispiel zwei magische Quadrate zur Summe 60, eines der Größe 4 × 4 und eines der Größe 5 × 5.

14

17

22

7

21

8

13

18

9

24

15

12

16

11

10

23

16

23

0

7

14

22

4

6

13

15

3

5

12

19

21

9

11

18

20

2

10

17

24

1

8

73

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Magische Quadrate haben immer schon eine große Faszination auf die Menschen ausgeübt. Das erste überlieferte Quadrat stammt aus dem 3. Jahrtausend vor Christus. Der Legende nach hat es der große Herrscher Yü auf dem Rücken einer Schildkröte entdeckt, die aus dem Gelben Fluss herauskroch.

Albrecht Dürer, ein berühmter Maler aus dem 16. Jahrhundert, hat ein magisches Quadrat zur Summe 34 in seinem berühmten Bild „Melencolia I“ verarbeitet. Die Zahl 34 findet sich hier nicht nur als Zeilen-, Spalten- und Diagonalsumme wieder. Auch wenn wir die vier Eckfelder zusammenzählen, erhalten wir 34. Die Zahl 34 ergibt sich ebenso, wenn wir die vier Felder in der Mitte addieren oder die vier Felder jedes der 2 × 2-Quadrate in den vier Ecken. Im Oktober 2002 beschäftigte ein magisches Quadrat sogar Millionen von Fernsehzuschauern, als ein Kandidat der Fernsehshow „Wetten, dass . . . ?“ behauptete, innerhalb von vier Minuten ein magisches Quadrat der Größe 4 × 4 zu konstruieren, bei dem sich für die Zeilen- und Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen eine vorgegebene sechsstellige Zahl ergibt. Er gewann die Wette und wurde am Ende der Sendung sogar zum Wettkönig gekürt.

74

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Für dieses Rechenkunststück müsst ihr euch das folgende magische 3 × 3Quadrat zur Summe 15 gut merken: 8

1

6

3

5

7

4

9

2

(*)

1. Fordert einen Zuschauer auf, seine persönliche Glückszahl zu wählen. Die Zahl soll zweistellig, größer als 15 und durch 3 teilbar sein. Zur Teilbarkeit durch 3 könnt ihr noch einen Spruch anbringen: „Aller guten Dinge sind drei.“ Der Zuschauer soll dem Publikum seine Zahl laut mitteilen. Für die weitere Erklärung nehme ich an, dass er die Zahl 27 gewählt hat. 2. Von dieser Zahl zieht ihr nun die Zahl 15 ab und teilt durch 3. So erhaltet ihr eure Schlüsselzahl. In unserem Beispiel ergibt sich die Schlüsselzahl (27 − 15) : 3 = 4. 3. Nun könnt ihr ein magisches Quadrat zur gewählten Zahl konstruieren. Dazu zählt ihr zu jedem Feld im Quadrat (*) eure Schlüsselzahl hinzu. Für unser Beispiel ergibt sich das magische Quadrat zur Summe 27: 12

5

10

7

9

11

8

13

6

Das Kunststück wird noch besser, wenn es mit einem anderen Zaubertrick, beispielsweise dem Trick aus Abschnitt 1.12, kombiniert wird. Statt einfach nur die Zahl des Zuschauers zu nennen, könntet ihr ein magisches Quadrat zu der vom Zuschauer gewählten Zahl präsentieren.

75

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Vervollständigt das Quadrat zu einem magischen Quadrat der Summe 65:

11

20 3

4

25 8

17

13 18

9 14 22

6 19 2

2.6 Zic-Zac-Zoe Es gibt auch Zahlenzauberer, die sich besonders für Spiele interessieren, so wie mein Freund Theo. Sicher kennt ihr das Spiel „Tic-Tac-Toe“, mit dem man prima eine Freistunde (oder auch eine etwas langweilige Unterrichtsstunde) überbrücken kann. Gespielt wird auf einem Spielfeld mit 3 × 3 Kästchen mit zwei Spielern. Ein Spieler beginnt und malt in eines der neun Kästchen ein Kreuz. Dann kommt der zweite Spieler und wählt ein noch freies Kästchen und setzt dort einen Kreis hinein. So geht es abwechselnd weiter. Derjenige gewinnt, der zuerst eine Spalte oder eine Zeile oder eine Diagonale mit seinem Zeichen (Kreuz oder Kreis) ausgefüllt hat.

76

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Ich habe hier einen möglichen Spielverlauf angegeben:

X X

O

X

X X

O

X

O

O

X

O O

O

X

X

X

O O

Abbildung 1: Ein möglicher Spielverlauf Der erste Spieler hat gewonnen. Ihm ist es gelungen, in eine Reihe drei Kreuze zu setzen. Tic-Tac-Toe ist ein einfaches Spiel. Theo hat mir gezeigt, dass das Spiel bei erfahrenen Spielern immer unentschieden ausgeht. Ihr könnt das selbst einmal ausprobieren. Doch Theo hat sich das Spiel Zic-Zac-Zoe ausgedacht. Eigentlich ist es gar nichts anderes als Tic-Tac-Toe. Doch das ist nicht offensichtlich. Deshalb kann man bei diesem Spiel auch gegen geübte Tic-Tac-Toe-Spieler gewinnen. Da Tic-Tac-Toe bei bestem Spiel immer unentschieden endet, werdet ihr zumindest nicht verlieren. Bei Zic-Zac-Zoe spielt ihr mit 9 Zahlenblättchen mit den Ziffern 1 bis 9. Abwechselnd nimmt sich jeder ein Blättchen. Der Spieler, der aus drei der von ihm gewählten Zahlen zuerst die Summe 15 bilden kann, hat gewonnen. Wir schauen uns zunächst einen möglichen Spielverlauf an. 1. Der erste Spieler wählt die Zahl 5, der zweite Spieler die Zahl 7. 2. Nun wählt der erste Spieler die Zahl 8. Wenn er wieder an der Reihe wäre, könnte er mit der Zahl 2 das Spiel gewinnen, da 5 + 8 + 2 = 15. Um dies zu verhindern, wählt der zweite Spieler die Zahl 2. Wir haben nun folgende Situation: 1. Spieler

2. Spieler

5 , 8

7 , 2

77

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern 8

1

6

3

5

7 .

4

9

2

Abbildung 2: Eure Geheiminformation 3. Der erste Spieler nimmt die Zahl 6. Der zweite Spieler befürchtet, dass der erste Spieler mit einer 4 das Spiel für sich entscheidet (5 + 6 + 4 = 15). Deshalb wählt er die Zahl 4: 1. Spieler

2. Spieler

5 , 8 , 6

7 , 2 , 4

4. Jetzt gewinnt der erste Spieler mit der Zahl 1, denn 8 + 6 + 1 = 15. Es scheint sich zunächst um ein ganz anderes Spiel als Tic-Tac-Toe zu handeln. In Wirklichkeit ist es aber das gleiche Spiel in Verkleidung. Betrachtet dazu das 3 × 3-Quadrat zur Summe 15 aus dem Zaubertrick auf Seite 75. Es ist eure Geheiminformation, die euch hilft, bei Zic-Zac-Zoe den Überblick zu behalten. Eine Partie Zic-Zac-Zoe lässt sich in ein Tic-Tac-Toe-Spiel mit dem magischen Quadrat der Summe 15 übersetzen. Vergleicht doch einmal den Spielverlauf in Abbildung 1 mit dem oben beschriebenen Spielverlauf von Zic-Zac-Zoe. Tatsächlich passiert hier folgendes: 8

8 5

7

5

6 5

7 2

4

8

7 2

4

1

6

5

7 2

Das ist aber genau die Abfolge, die wir schon in Abbildung 1 gesehen haben.

78

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Wenn ihr das Spiel Zic-Zac-Zoe einem Freund erklärt, erzählt ihr ihm natürlich nichts von dem magischen Quadrat in Abbildung 2, das ihr aber im Kopf habt und bei der Wahl eurer Zahlen berücksichtigt. Für euren Freund ist es viel schwerer, den Überblick zu behalten. Selbst wenn er ein geübter Tic-Tac-Toe-Spieler ist, wird er das Spiel Zic-Zac-Zoe wahrscheinlich trotzdem hin und wieder verlieren. Probiert es einmal aus!

2.7 Zaubertrick: Ein Mentaltrick Zu Tic-Tac-Toe gibt es auch einen schönen Mentaltrick. Mental kommt vom lateinischen Wort „mens“ und bedeutet „den Geist betreffend“. Bei Mentaltricks gibt der Zauberer vor, Gedanken zu lesen oder in die Zukunft zu schauen. In diesem Fall macht der Zauberer schon vor dem Spiel eine Vorhersage, wie die Schlussstellung einer Partie Tic-Tac-Toe zwischen Zauberer und Zuschauer aussieht.

Kritzelt vor den Augen eures Mitspielers etwas (was wird später noch erklärt) auf einen Zettel, faltet ihn ein paar Mal und bittet ihn, den Zettel für euch zu verwahren. Verratet auf keinen Fall, was ihr vorhabt. Das schmälert den Effekt und kann im ungünstigsten Fall dazu führen, dass euer Mitspieler gegen euch arbeitet. Fordert nun euren Freund oder eure Freundin zu einer Partie Tic-Tac-Toe heraus, indem ihr schnell das Spielfeld aufzeichnet und schon einmal das erste Kreuz in die Mitte setzt. Euer Mitspieler hat nun zwei Möglichkeiten: 1. Er setzt seinen Kreis in eine Ecke. Dann setzt ihr das nächste Kreuz auf das im Uhrzeigersinn angrenzende Feld. Wenn euer Mitspieler nun einen Dreier verhindern möchte (wovon wir ausgehen), hat er nur eine Möglichkeit. Abermals setzt ihr euer Kreuz dann im Uhrzeigersinn direkt daneben. Wieder ist er zu seinem nächsten Zug gezwungen. Das vierte Kreuz kommt nun genau neben euer drittes Kreuz. Auch bei seinem

79

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

letzten Zug hat euer Mitspieler keine Wahl, wenn er den Dreier verhindern möchte. Schließlich bleibt nur ein Feld für euer letztes Kreuz übrig. Ein möglicher Spielverlauf im ersten Fall: O

X

O

X X

X

O

X

O

O

X

O

X

X

X

O

X

X

O

O

X

O

X

O

X

2. Wenn euer Mitspieler seinen ersten Kreis nicht in die Ecke setzt, kommt euer zweites Kreuz auf das Eckfeld, das im Uhrzeigersinn direkt daneben liegt. Wieder ist euer Mitspieler zu seinem zweiten Zug gezwungen und euer nächstes Kreuz kommt im Uhrzeigersinn direkt neben seinen zweiten Kreis. Auch der dritte Kreis ist damit erzwungen, um den Dreier zu verhindern. Das vierte Kreuz setzt ihr direkt neben den dritten Kreis. So hat euer Mitspieler auch beim letzten Zug keine Wahl, wenn er den Dreier verhindern möchte. Ein möglicher Spielverlauf in diesem Fall: O X

O

O

X X

X

O X

X

X

O

O

X

O

X

O

X

X

O

O

X

X

O

X

Das Spiel endet in beiden Fällen unentschieden. Doch jetzt kommt die überraschende Wendung!

Bittet euren Mitspieler, euch das Blatt zurückzugeben und legt es vor ihm auf den Tisch. Eure Notiz zeigt genau das Spiel, das ihr soeben gespielt habt.

80

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Das abgebildete Blatt lässt sich immer so drehen, dass es den Spielstand der oben beschriebenen Spielfolge beschreibt. Probiert es einmal aus! Achtet bei der Vorführung darauf, dass das Blatt quadratisch ist oder wie oben an allen vier Rändern abgerissen, so dass es nicht auffällt, dass man die Vorhersage noch richtig hindrehen musste.

2.8 Das Problem der sieben Brücken Die nächste Geschichte soll sich vor einigen Jahrhunderten in einem friedlichen Königreich an dem kleinen Fluss Legerp zugetragen haben. Ich habe die Geschichte für euch in ein Theaterstück verpackt. Das Theaterstück könnt ihr einstudieren und in der Schule oder beim nächsten Geburtstag in der Familie oder bei Freunden aufführen. Eure Zuschauer werden ganz nebenbei ein wenig Mathematik lernen. Lest euch das Stück durch. Für eine Aufführung könnt ihr es natürlich noch ausbauen. Lasst euch etwas einfallen! In der Grundfassung gibt es neun Personen: den König, die Königin, Prinzessin Marie-Luise, die Tochter des Königs, drei Anwärter auf den Königsthron (Ritter 1, Ritter 2 und Ritter 3), den Erzähler und zwei Bürger (Bürger 1 und Bürger 2). Für eine Aufführung braucht ihr aber nicht unbedingt neun Kinder, sondern es können auch weniger sein. Eine Rollenaufteilung für fünf Kinder könnte zum Beispiel so aussehen: Nummer 1 übernimmt die zwei Bürger und die Königin, Nummer 2 die drei Ritter, Nummer 3 die Prinzessin, Nummer 4 den König und Nummer 5 den Erzähler. Ihr könnt das Stück aber auch auf mehr als neun Rollen erweitern. Natürlich gehören zum Gelingen eures Stückes sowohl die entsprechende Verkleidung als auch die Kulisse. Hier sind eurer Fantasie keine Grenzen gesetzt. In jedem Fall aber benötigt ihr eine große Karte, auf der das Königreich – wie unten abgebildet – zu sehen ist. Wichtig dabei ist die Insel mit der Burg, die von allen Seiten vom

81

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Fluss umgeben ist, die beiden Gebiete im Norden (das Bergland) und im Süden (das Wiesenland) des Flusses und – ganz entscheidend – die sieben Brücken.

Ihr könnt die Karte zum Beispiel auf ein altes Betttuch zeichnen, das ihr dann als Kulisse aufhängt. 1. Szene Erzähler (führt in die Geschichte ein): Es war einmal ein friedliches Königreich, das am Ufer des Flusses Legerp lag. Es wurde von einem König regiert (König tritt auf.), der von seinen Untertanen sehr geliebt wurde (Bürger treten auf, verneigen sich vor ihrem König.). Der König hatte eine Tochter, die für ihre außerordentliche Schönheit und ihren guten Charakter über die Grenzen des Landes hinaus bekannt war (Auftritt der Prinzessin, Bürger treten wieder ab.). Die Königsfamilie wohnte in einer Burg, die auf einer Insel in der Mitte des Flusses lag (Wenn die Karte nicht bereits als Kulisse aufgehängt ist, rollt der Erzähler sie jetzt aus und zeigt sie den Zuschauern.). Der Königsfamilie gehörte das Land im Norden und im Süden des Flusses. Das Land im Norden hatte viele Berge und wurde deshalb Bergland genannt. Das Land im Süden säumten große, saftige Wiesen, auf denen die Kühe des Königreichs grasen konnten. Es wurde Wiesenland genannt. (Der Erzähler zeigt auf die einzelnen Flächen.) Etliche Brücken verbanden die einzelnen Teile des

82

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Königreichs, die Insel mit dem Wiesenland und die Insel mit dem Bergland (Der Erzähler zeigt auf jeweils eine Brücke.). Dann gab es noch Brücken, die auf das angrenzende Land führten, auf der das Volk lebte. Die Königstochter wuchs heran, und langsam war es an der Zeit, sie zu vermählen. König: Liebe Tochter Marie-Luise, langsam ist es an der Zeit, dass du einen Mann findest und heiratest. Königstochter: Verehrter Vater, noch habe ich keinen jungen Mann in mein Herz geschlossen. Gib mir bitte etwas Zeit! Königin: Wie lange möchtest du noch warten? Dein Vater und ich möchten uns bald zur Ruhe setzen, und dann sollen du und dein Mann die Geschäfte des Landes übernehmen. Hast du schon einmal an einen Mann gedacht, den du heiraten möchtest? Königstochter: Er soll gut aussehen, nett, liebenswürdig und intelligent sein. König: Mmh. Gutaussehend . . . das ist einfach. Na ja, und nett – das sollte sich machen lassen. Aber intelligent – das ist schwierig. (König überlegt und wiegt seinen Kopf.) Ah, ich habe eine Idee. Lasst uns eine Aufgabe stellen. Derjenige, der diese Aufgabe löst, soll der Auserwählte sein. Königstochter (zweifelnd): Ich weiß nicht, ob das so eine gute Idee ist. Es müsste eine schwere Aufgabe sein, so dass sie nur der Intelligenteste lösen kann. König (schmunzelnd): Lass mich nur machen. Mir fällt schon etwas ein! 2. Szene (Fanfarenstöße, Bürger und Ritter kommen angelaufen.) Erzähler: Bürger des Königreichs um den Fluss Legerp! Höret, was euer König zu sagen hat! Der König möchte seine wunderschöne Tochter vermählen. Mögliche

83

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Bewerber mögen bei ihm vorstellig werden. Der König wird ihnen eine Aufgabe stellen. Der Kandidat, der die Aufgabe lösen kann, darf die Prinzessin heiraten. Getuschel unter den Bürgern und Rittern. Bewundernde Ausrufe über die Schönheit der Prinzessin, aber auch banges Murmeln, wie schwer wohl die zu lösende Aufgabe sein mag. Dann geben drei Ritter bekannt, dass sie sich der Herausforderung stellen werden. 3. Szene Der erste Ritter tritt vor den König und verbeugt sich. Ritter 1 (wirkt etwas eingebildet): Sehr verehrter Herr König. Ich möchte mich der Aufgabe stellen. Ich bin der klügste Kopf hier im Land. Prinzessin (flüsternd, zum Publikum): Pah, ist der eingebildet. Hoffentlich hat mein Vater eine wirklich schwere Aufgabe, die er nicht lösen kann. König: Wie schön, dass sich ein Mutiger gefunden hat. Höre gut zu, welches Problem ich habe. Jeden Sonntag lasse ich die Kutsche anspannen und fahre einmal durch mein Königreich. Dabei fahre ich auch über meine sieben Brücken. Bisher ist mir aber noch kein Rundweg gelungen, der mich genau einmal über alle sieben Brücken führt. Stets musste ich eine Brücke mehrmals passieren. Finde für mich einen solchen Rundweg und du sollst meine Tochter zur Frau haben! Ritter 1: Das ist die Aufgabe? Das ist ja ein Kinderspiel. Warten Sie nur einen Augenblick. Das habe ich gleich. Prinzessin (zum Publikum): Was hat sich mein Vater nur gedacht? Da muss er ja nur alle Möglichkeiten einmal durchprobieren. Jetzt muss ich diesen eingebildeten Schnösel heiraten!

84

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Ritter 1 läuft nachdenklich im Kreis. Nach einer Weile ruft er laut: Ah, ich habe eine Lösung! König (bewundernd): Das ging aber schnell. Ritter 1 erläutert seine Lösung. Aber leider wird schnell klar, dass er zwei Brücken vergessen hat. Prinzessin: Haha, da haben Sie wohl etwas zu schnell geschossen. König und Ritter 1 gleichzeitig: Was? Prinzessin: Na, was ist denn mit diesen zwei Brücken? Die haben Sie glatt vergessen. Ritter 1: Oh, das stimmt. Prinzessin (schnippisch): Tja, das war dann nichts. Es tut mir soooooo leid. König: Es tut mir leid, Herr Ritter. Sie haben meine Aufgabe nicht gelöst. Meine Tochter kann ich Ihnen nicht geben. Ritter 1 zieht mit hängendem Kopf ab. 4. Szene Der zweite Ritter tritt vor den König und verbeugt sich. Ritter 2 (mit Kaugummi im Mund, sehr respektlos): Hallo, Herr König. Ich komme, um mir die Prinzessin zu schnappen. (zur Prinzessin gewandt) Na, Kleine. Willst du nicht deinem zukünftigen Bräutigam die Hand geben?

85

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Prinzessin (wendet sich genervt ab): Solche Manieren! Aber er scheint ja genug Stroh im Kopf zu haben, um an der Aufgabe zu scheitern. König (auch etwas abgeschreckt): Na ja, es soll hier schon gerecht zugehen. Dann erkläre ich Ihnen mal das Problem. Ritter 2: Ja, nur raus damit. Keine Hemmungen. Hahaha! König: Ich erwarte schon etwas mehr Respekt von meinen Untertanen. Ritter 2 (jetzt ganz unterwürfig): Natürlich, Herr König. König: Nun, hier das Problem: Jeden Sonntag lasse ich die Kutsche anspannen und fahre einmal durch mein Königreich. Dabei fahre ich auch über meine sieben Brücken. Bisher ist mir aber noch kein Rundweg gelungen, bei dem ich genau einmal über alle Brücken fahre. Stets musste ich eine Brücke mehrmals überqueren. Einen Rundweg zu finden, der über keine Brücke zweimal führt, ist deine Aufgabe. Ritter 2: Mmh, ein Rundweg. So, so. Erzähler: Und Ritter 2 fing an zu überlegen. Er nahm ein Blatt und machte sich Notizen. So saß er einige Stunden da. Ritter 2 (zum Publikum): So ein Mist. Ich bekomme das einfach nicht hin. Na ja, was soll‘s. Dann war das halt nichts mit der flotten Braut. Jetzt muss ich nur schauen, dass ich hier wegkomme. Ist schon peinlich, dass ich das nicht lösen kann. Hoffentlich sieht mich niemand. (Er schleicht davon.) Erzähler: Der zweite Ritter hatte also einfach aufgegeben. Ob sich noch jemand finden wird, der das schwierige Problem lösen kann?

86

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

5. Szene Der dritte Ritter tritt vor den König und verbeugt sich. Ritter 3: Sehr verehrter Herr König, sehr verehrte Prinzessin. Ich komme, um mich Ihrer Aufgabe zu stellen. (Lächelt die Prinzessin an, diese lächelt zurück. Der Ritter hat es ihr offensichtlich angetan.) Erzähler: Und abermals erläuterte der König die Problemstellung. Auch der dritte Ritter nahm sich länger Zeit, um das Problem zu lösen. Am darauffolgenden Tag trat er wieder vor den König. Ritter 3: Sehr verehrter Herr König. Ich habe euer Problem gelöst. König (neugierig): Ah, wie sieht denn mein Rundweg aus? Ritter 3: Ich erkläre euch meine Lösung. Sie können ihr Königreich vereinfacht durch Punkte darstellen. Die Punkte sind die einzelnen Inseln bzw. Ländereien. Wir haben hier vier Punkte: den Sitz der Königsfamilie, das Bergland, das Wiesenland und die Siedlung der Bürger. Die Verbindungslinien zwischen den Punkten sind die Brücken. Das Ganze sieht dann so aus:

87

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Diese Karte müsst ihr vorher anfertigen. Sie wird dann während des Stückes ausgerollt und für alle sichtbar aufgehängt. Ritter 3: Eine solche Abbildung mit Punkten und Verbindungslinien zwischen den Punkten nennt man auch einen Graphen. König: Aha, ich verstehe. Das ist eine stark vereinfachte Skizze meines Reiches. Prinzessin: Ja, aber sie enthält alles, was wir für das Problem brauchen. Ritter 3: Richtig. Ein Rundweg, wie Sie ihn machen möchten, sehr verehrter Herr König, ist einfach ein Weg, der alle Verbindungslinien genau einmal durchläuft und dann wieder zum Startpunkt zurückkehrt. König: Und wie sieht der jetzt aus? Ritter 3: Jetzt muss ich Ihnen, verehrter Herr König, leider sagen, dass es keinen Rundweg gibt, wie Sie ihn gerne hätten. König (verärgert): Was heißt das, es gibt keinen? Sie finden ihn nicht! Ritter 3: Ich finde ihn nicht, weil es ihn nicht gibt. Aber ich kann ihnen erklären, warum. König: Da bin ich aber gespannt. Ritter 3: Zum Sitz der Königsfamilie führen fünf Brücken. Auf das Wiesenland, das Bergland und zur Siedlung der Bürger führen je drei Brücken. An jedem der Punkte treffen also eine ungerade Anzahl von Brücken zusammen. Einen geschlossenen Rundweg gibt es aber nur, wenn auf jeden Punkt eine gerade Anzahl von Brücken trifft.

88

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern König: Wieso? Ritter 3: Nehmen wir an, wir hätten einen geschlossenen Weg und schauen uns zum Beispiel den Punkt an, der das Wiesenland darstellt. Wenn immer der Weg zum Wiesenland führt, muss er uns über eine Brücke dorthin bringen und anschließend über eine andere Brücke weiterleiten. Prinzessin: Somit kommen die Brücken immer in Paaren. Eine Brücke führt hin und eine andere führt wieder weg. Wir brauchen also immer eine gerade Anzahl von Brücken. König (enttäuscht): Kann man denn da gar nichts machen? Ritter 3: Natürlich kann man etwas machen. Sie können einfach noch zwei weitere Brücken bauen: eine Brücke vom Bergland zu Ihrem Sitz und eine Brücke vom Wiesenland zur Siedlung der Bürger. Prinzessin: Dann führt zu jedem Ort eine gerade Anzahl von Brücken. Ritter 3: Und jetzt ist auch ein Rundweg kein Problem mehr. (Nun rollt ihr eine Karte mit der unten abgebildeten Skizze aus. Ritter 3 fährt den Lösungsweg mit dem Finger ab. Den müsst ihr euch natürlich vorher überlegen. Aber das ist jetzt nicht mehr schwer.)

89

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern König: Das ist ja wunderbar! Ritter 3 umarmt eine strahlende Prinzessin. Beide antworten: Das finden wir auch!

Das oben beschriebene Problem ist unter dem Namen „Königsberger Brückenproblem“ bekannt. Sieben Brücken führten im 18. Jahrhundert in Königsberg über den Fluss Pregel und der Mathematiker Leonard Euler (1707-1783) konnte beweisen, dass es keinen Rundweg gab. In der Geschichte oben wurde ein geschlossener Rundweg verlangt. Aber auch die etwas einfachere Version, ein Weg mit unterschiedlichem Anfangs- und Endpunkt, der jede Brücke einmal passiert, lässt sich hier nicht finden. Dafür müssten eine gerade Anzahl von Brücken zu genau zwei der vier Landstücke führen.

In dem abgebildeten Graphen sind die Ecken von A bis T bezeichnet.

90

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Könnt ihr einen Weg finden, der bei A beginnt, genau einmal alle anderen Ecken passiert und am Ende wieder bei A endet? In diesem Fall ist also kein Weg gesucht, der alle Verbindungslinien einmal durchläuft, sondern ein Weg, der alle Punkte genau einmal besucht. Hinweis: Es gibt mehrere richtige Lösungen. Eine Lösung wird nicht alle Verbindungslinien verwenden.

2.9 Zaubertrick: Schnelle Kopfrechentricks Könnt ihr euch noch an die Fibonaccizahlen erinnern? Hier habe ich einen genialen Schnellrechentrick für euch, der sich Eigenschaften der Fibonaccizahlen zunutze macht. Zur Vorbereitung zeichnet ihr auf ein großes Zeichenblockblatt eine Tabelle mit zwei Spalten. In die erste Spalte tragt ihr die Zahlen von 1 bis 10 ein. Die erste Spalte gibt somit die Zeilennummer an.

1. Bittet zwei Zuschauer euch zwei Ziffern zwischen 1 und 8 zu nennen. Dabei sollten nicht beide Ziffern gleich 8 sein. Der Trick funktioniert zwar auch für größere Zahlen, aber die Rechnerei ist sonst recht mühsam. 2. Die beiden Ziffern schreibt ihr in beliebiger Reihenfolge in die erste und zweite Zeile der zweiten Spalte. Nun befüllt ihr – am besten mit Unterstützung des Publikums – die restlichen acht Zeilen. Dabei soll sich die Zahl in der zweiten Spalte einer Zeile immer als Summe der beiden vorangegangene Zeilen ergeben (eben wie bei den Fibonaccizahlen).

91

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Hier ein Beispiel, wie das Zeichenblatt aussieht, wenn die Zuschauer die Zahlen 5 und 7 gewählt haben: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 7 12 19 31 50 81 131 212 343

3. Nun kommt euer Auftritt: Sobald das Publikum die 7. Zahl ermittelt hat, notiert ihr auf einem Notizzettel eine Vorhersage, faltet den Zettel und gebt ihn einem der Zuschauer zur Verwahrung. Was ihr auf den Zettel schreiben müsst, erkläre ich euch später. 4. Wenn die Zuschauer dann alle 10 Zahlen berechnet haben, fordert ihr sie auf, sie zusammenzuzählen. Über diese Aufgabe werden sie wahrscheinlich stöhnen! Ihr könnt ihnen aber ruhig erlauben, dafür einen Taschenrechner oder ein Smartphone zu verwenden. Das schmälert den Effekt nicht. Wahrscheinlich werden sie trotzdem eine Weile zu tun haben, alle Zahlen korrekt einzutippen. Und sie werden verblüfft sein, dass das mühsam errungene Ergebnis mit eurer Vorhersage übereinstimmt! Das ist nur möglich, weil ihr wahre Zahlenzauberer seid! Doch was genau müsst ihr machen, um so schnell die korrekte Summe zu ermitteln? Zunächst einmal müsst ihr euch merken, dass das Ergebnis immer die 7. Zahl der Reihe (also in unserem Beispiel oben die Zahl 81) multipliziert mit der Zahl 11 ist. Für das Beispiel erhalten wir die Summe 891 und tatsächlich gilt 891 = 81 · 11.

92

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Damit ihr den Trick locker beherrscht, zeige ich euch jetzt, wie ihr eine zweistellige Zahl schnell mit 11 multiplizieren könnt. Wenn die beiden Zuschauer ihre Zahlen wie oben angegeben nur zwischen 1 und 8 wählen dürfen und nicht beide Zahlen gleich 8 sind, dann ist die 7. Zahl immer zweistellig. Wie ich schon gesagt habe, funktioniert der Trick auch für größere Zahlen und auch diese lassen sich relativ leicht mit 11 multiplizieren, aber wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall, dass die 7. Zahl zweistellig ist. Nehmen wir als Beispiel die Aufgabe 34 · 11: 34 · 11 340 34 374 Was fällt auf? Das Ergebnis ist eine dreistellige Zahl. Wir können die einzelnen Ziffern direkt an der Zahl 34 ablesen: • Die Einerstelle ist gleich der Einerstelle von 34, also 4. • Die Zehnerstelle ist die Summe aus der Einer- und der Zehnerstelle von 34, also 7. • Die Hunderterstelle ist gleich der Zehnerstelle von 34, also gleich 3. Dies gilt auch für andere zweistellige Zahlen, für die die Summe der zwei Ziffern kleiner als 10 ist.

Berechnet zum Training einmal 63 · 11 und 35 · 11. Etwas anders läuft die Rechnung, wenn die Summe der beiden Ziffern größer als 9 ist. Dann ergibt sich ein Übertrag und die Hunderterstelle des Ergebnisses ist um eins zu erhöhen. Als Beispiel betrachten wir 87 · 11. Wieder ist das Ergebnis

93

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern dreistellig. Die Einerstelle ist 7. Da die Summe der beiden Ziffern von 87 die Zahl 15 ergibt, hat das Ergebnis die Zehnerstelle 5. Die Hunderterstelle ist gleich 8 (Zehnerstelle von 87) plus 1. Insgesamt erhalten wir also 87 · 11 = 957.

Hier noch zwei Trainingsaufgaben: 65 · 11 und 79 · 11. Aber Achtung! Damit sind wir noch nicht am Ende. Die Aufgaben 91 · 11 = 1.001, 92 · 11 = 1.012, 93 · 11 = 1.023, 94 · 11 = 1.034, 95 · 11 = 1.045, 96 · 11 = 1.056, 97 · 11 = 1.067, 98 · 11 = 1.078, 99 · 11 = 1.089. liefern alle vierstellige Zahlen. Könnt ihr eine Regel erkennen? Ansonsten findet ihr die Regel hinten im Lösungsteil. Wenn ihr Zahlen größer als 90 und die damit verbundenen vierstelligen Ergebnisse vermeiden wollt, bittet eure Zuschauer einfach zwei verschiedene Ziffern kleiner gleich 7 zu wählen. Dann wird die 7. Zahl in der Reihe nie größer als 90 und die Summe ist immer dreistellig.

2.10 Material für Hollywood Einige herausragende Mathematiker führten zugleich ein so aufregendes Leben, dass ihre Geschichte genug Stoff für einen erfolgreichen Kinofilm hergeben würde. Vier von ihnen möchte ich euch hier vorstellen. Wer meint, geniale Mathematiker wären langweilige Stubenhocker, die sich für nichts anderes als Mathematik interessieren, der hat noch nie etwas von Évariste Galois gehört. Seine Geschichte ist faszinierend und tragisch zugleich. Kein anderer bedeutender Mathematiker starb so früh wie er. Die von ihm entwickelte Lehre

94

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern zur Auflösbarkeit von Gleichungen wird heute noch an Universitäten gelehrt und gilt als eine der schönsten mathematischen Theorien. Évariste wurde 1811 in Bourg-la-Reine, einem Städtchen ganz in der Nähe von Paris geboren. Bis er 12 Jahre alt war, musste er keine Schule besuchen, sondern wurde von seiner Mutter unterrichtet. Dann kam er auf das Collége Louis-le-Grand in Paris, eine Schule für besonders begabte Schüler, die es heute noch gibt. Dort lernte er die Arbeiten berühmter Mathematiker kennen, und hinter seinem Eifer für die Mathematik traten zum Verdruss der Lehrer und seiner Eltern die anderen Fächer bald in den Hintergrund. Die École polytechnique war damals wie heute eine der angesehensten Universitäten Frankreichs für mathematische und naturwissenschaftliche Fächer. Évariste beschloss, sich dort für einen Studienplatz zu bewerben. Nachdem er beim ersten Versuch scheiterte und durch die Aufnahmeprüfung fiel, nahm er einen zweiten Anlauf. Obwohl er zu diesem Zeitpunkt erst 17 Jahre alt war, hatte er schon einen Beitrag in einer mathematischen Fachzeitschrift veröffentlicht und mit den Studien an der Theorie begonnen, die ihn unsterblich machen sollte. Trotzdem wurde er auch bei seinem zweiten und letzten Versuch, einen Studienplatz zu ergattern, abgewiesen. Enttäuscht, wütend, aber auch hitzköpfig soll er daraufhin einem der Professoren, die die Prüfung abnahmen, ein Stück Kreide an den Kopf geworfen haben. Évariste Galois war ein begnadeter Mathematiker, hatte aber auch ein sehr starkes Gerechtigkeitsempfinden. Außerdem war er ein Gegner des damaligen französischen Königs. Er wollte lieber eine Republik, bei der das Volk mehr Mitspracherecht hat. Als er 1831 bei einem Bankett mit einem Glas in der einen und einem offenen Messer in der anderen Hand einen Trinkspruch auf den König ausbrachte, wurde dies als Morddrohung aufgefasst und Évariste kam ins Gefängnis. Er wurde zwar nur wenige Wochen später wieder entlassen, aber nach einem weiteren Monat musste er wieder ins Gefängnis, weil er schwer bewaffnet und in einer verbotenen Uniform an einer Demonstration teilgenommen hatte. In diesen Monaten in Gefangenschaft arbeitete Évariste intensiv an seiner mathematischen Theorie.

95

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Évariste Galois wurde nur 20 Jahre alt. Um sein Lebensende ranken sich zahlreiche Legenden. In einem Sanatorium, in das die Gefängnisinsassen zum Schutz vor der Cholera-Epidemie verlegt wurden, lernte er ein Mädchen namens Stéphanie-Félicie kennen und verliebte sich in sie. Im Mai 1832, einen Monat nach seiner Entlassung aus dem Gefängnis wurde Évariste zum Duell herausgefordert. Die Gründe dafür sind nicht geklärt. Vielleicht wollte er sich erschießen lassen, weil seine Zuneigung von seiner Angebeteten nicht erwidert wurde? Möglicherweise hatte ihn ein Verwandter der Angebeteten herausgefordert, der gegen die Verbindung war? Oder das Duell hatte einen politischen Hintergrund? Auf jeden Fall waren Duelle zu dieser Zeit nichts Ungewöhnliches und es war eine Ehrensache, dass man eine solche Herausforderung annahm, auch wenn sie einem – wie Évariste – das Leben kosten konnte.

96

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Der Inder Srinivasa Ramanujan wurde 1887 in Indien geboren. Er arbeitete dort als einfacher Buchhalter, aber beschäftigte sich mit Mathematik, wann immer er Zeit fand. Schließlich wollte er seine Erkenntnisse mit anderen teilen und schickte mehrere Briefe an Mathematiker im weit entfernten England. Zunächst blieben diese unbeantwortet. Die Kollegen fanden den Schreibstil Srinivasas wohl befremdlich und hielten ihn vielleicht sogar für ein wenig verrückt, denn seine Formeln waren äußerst komplex und undurchsichtig. Doch dann schrieb er dem Mathematikprofessor Godfrey Harold Hardy und dieser erkannte, welche genialen Ideen sich hinter den endlosen Zahlen- und Buchstabenkolonnen versteckten. Er war begeistert! Da lebte im fernen Indien ein Mann ohne mathematische Ausbildung an einer Universität, der sich offenbar alles selbst beigebracht hatte und doch in der Lage war, wunderbare Mathematik zu entwickeln. Diesen Mann musste Godfrey Hardy persönlich kennenlernen! Also lud er Srinivasa Ramanujan nach Cambridge in England ein. Doch der Inder lehnte ab. Srinivasa war Hindu und seine Religion erlaubte es ihm nicht, in ein anderes Land zu reisen. Als ihm eines Nachts im Traum die Göttin Namagiri erschien und ihm zuredete, ließ er sich umstimmen. So machte sich Srinivasa auf die lange Reise in ein ihm ganz fremdes Land. Damals gab es noch keinen Flugverkehr, und so musste er mit dem Schiff fahren. Die Reise dauerte mehrere Wochen. Als er in England ankam, war dies ein Kulturschock für ihn: Er musste sich anders kleiden, das Essen vertrug er schlecht. Godfrey Hardy und Srinivasa Ramanujan beschäftigten sich in England gemeinsam mit Mathematik und fanden viele neue Formeln. Doch Srinivasa plagte das Heimweh. Zwischen England und Indien gab es damals noch keine Telefon- und erst recht keine Internetverbindung. Er vermisste seine Familie. Hinzu kamen gesundheitliche Probleme, die ihn veranlassten, nach Indien zurückzukehren. Als Srinivasa Ramanujan im Alter von nur 32 Jahren an einer Infektion starb, hinterließ er vier Notizbücher voller Formeln, die die Mathematiker noch Jahre nach seinem Tod beschäftigten.

97

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Srinivasa Ramanujans Leben wurde in „Die Poesie des Unendlichen“ tatsächlich verfilmt und lief 2016 im Kino.

Eine Kubikzahl ist die dritte Potenz einer natürlichen Zahl. Beispiele für Kubikzahlen sind 13 = 1 · 1 · 1 = 1, 23 = 2 · 2 · 2 = 8, 33 = 27, 43 = 64, . . . . Eines Tages besuchte Godfrey Hardy seinen Kollegen Srinivasa mit einem Taxi. Als er ausstieg, erzählte er seinem Freund, dass das Nummernschild des Taxis eine ganz uninteressante Nummer getragen hatte.

„Wie lautete denn die Zahl?“ fragte Srinivasa. „1729“, antwortete Godfrey. „Aber 1729 ist doch überhaupt nicht uninteressant“, erwiderte sein Freund. „Es ist die kleinste Zahl, die sich auf zwei Arten als Summe von zwei Kubikzahlen darstellen lässt.“

98

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Tatsächlich gelten für die Zahl 1729 die beiden Gleichungen 93 + 103 = 9 · 9 · 9 + 10 · 10 · 10 = 1729. 13 + 123 = 1 · 1 · 1 + 12 · 12 · 12 = 1729.

Die Zahl 1729 besitzt noch eine andere, seltene Eigenschaft. Wenn ihr die Summe ihrer Ziffern (also die Quersumme) berechnet, erhaltet ihr 1 + 7 + 2 + 9 = 19. Wenn ihr nun die Quersumme mit ihrer Spiegelzahl malnehmt, kommt wieder 1729 heraus: 19 · 91 = 1729. Diese Eigenschaften besitzen auch die Zahlen 1 und 81, denn deren Quersumme ist auch einfach 1 bzw. 9 und 1 · 1 = 1, 9 · 9 = 81. Es gibt nur noch eine weitere Zahl mit der Eigenschaft. Findet ihr sie? Für einen Hinweis siehe Abschnitt A.1. Wenn es im letzten Jahrhundert schon Facebook gegeben hätte, hätte Paul Erdös wohl die meisten Follower gehabt – zumindest unter Mathematikern. Der 1913 geborene Ungar hatte Freunde auf der ganzen Welt, die er unablässig nacheinander besuchte. Er hatte keinen festen Wohnsitz und keine dauerhafte Anstellung. Stattdessen tingelte er von einer mathematischen Tagung oder einem Forschungsaufenthalt zum nächsten und arbeitete mit seinen Freunden an mathematischen Problemen. Diese freuten sich immer, wenn Paul sie besuchte, denn meistens konnten

99

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern sie tatsächlich gemeinsam etwas Neues herausfinden und eine gemeinsame Arbeit in einer Fachzeitschrift veröffentlichen. Am Ende seines Lebens hatte Paul über 1.500 mathematische Beiträge mit über 500 verschiedenen Kollegen geschrieben. Sogar noch als alter Mann schrieb er mehr Arbeiten, als die meisten Mathematikprofessoren in ihrem ganzen Leben schreiben. Paul hatte viele sonderbare Angewohnheiten. So trank er extrem viel Kaffee, um möglichst wenig zu schlafen, und erfand eine eigene Sprache. Kinder nannte er „Epsilons“. Epsilon (geschrieben: ) ist ein griechischer Buchstabe, den Mathematiker verwenden, um zu sagen, dass eine Zahl sehr klein ist.

Als Paul noch ein Kind war, konnten die Wissenschaftler das Alter der Erde noch nicht korrekt bestimmen. Paul erklärte einem Freund: „Als ich ein Kind war, wurde das Alter der Erde auf 2 Milliarden Jahre geschätzt, heute sind es 4, 5 Milliarden Jahre. Also bin ich 2, 5 Milliarden Jahre alt.“ Als ihn daraufhin ein Student fragte, wie denn die Dinosaurier so gewesen seien, antwortete er schlagfertig: „Daran kann ich mich leider nicht mehr erinnern. Ein alter Mann kann sich doch nur an seine Jugend erinnern, aber die Dinosaurier haben vor gerade einmal 100 Millionen Jahre gelebt, also praktisch gestern.“

100

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Einige der Probleme, die er untersuchte, konnte Paul jedoch nicht lösen. Weil er aber an einer Lösung sehr interessiert war, setzte er Geldpreise aus. Dabei vergab er 100 Dollar für Probleme, die er für gut lösbar hielt (auch wenn er selbst noch nicht dahinter gekommen war) und bis zu 10.000 Dollar für schwierige Probleme. Ich beschreibe eines seiner Probleme, für die er 100 Dollar (etwa 85 Euro) ausgesetzt hatte, und das immer noch ungelöst ist: Zu einer Primzahl berechnen wir den Durchschnitt der vorangegangenen und nachfolgenden Primzahl. Wenn wir beispielsweise die Primzahl 19 betrachten, gehören dazu der Vorgänger 17 und der Nachfolger 23. Wir erhalten also 17 + 23 = 20. 2 Die Primzahl 19 ist eine sogenannte frühe Primzahl, da sie kleiner als dieser Durchschnitt ist. Ebenso rechnen wir für die Primzahl 23 nach, dass es sich um eine frühe Primzahl handelt: 19 + 29 2

= 24 > 23.

Damit sind 19 und 23 ein Paar aufeinanderfolgender früher Primzahlen. Paul Erdös fragte sich nun, ob es unendlich viele solcher Paare benachbarter früher Primzahlen gibt. Wie schon erwähnt, ist dieses Problem immer noch nicht gelöst!

101

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Menschen verfolgen in ihrem Leben unterschiedliche Ziele. Einigen Kindern und Jugendlichen ist es wichtig, eine gute Schülerin oder ein guter Schüler zu sein. Andere trachten nach Erfolg in ihrem Sportverein oder mit ihrer Band. Wenn sie älter werden, ist es einigen wichtig, Karriere zu machen und viel Geld zu verdienen. Andere möchten lieber mehr Zeit mit ihrer Familie verbringen. Grigori Jakowlewitsch Perelmans Traum bestand darin, einer der besten Mathematiker der Welt zu werden. Natürlich kann man sich das nicht einfach vornehmen. Man braucht dazu eine besondere mathematische Begabung, Unterstützung durch Eltern und Lehrer und den unbedingten Willen, dieses Ziel zu erreichen. Grigori Perelman (geboren 1966) war überaus talentiert und hatte den festen Vorsatz. Er wurde von seinen Eltern und seinen Lehrern bei seinem Ziel unterstützt, wenngleich dies nicht immer einfach war. Grigori war jüdischer Herkunft und wuchs in der Sowjetunion (heute Russland) auf. Juden wurde das Leben damals sehr schwer gemacht. So gab es beispielsweise eine Regelung, dass an der angesehenen Universität in Leningrad (heute St. Petersburg) jedes Jahr nicht mehr als zwei Juden zum Mathematikstudium zugelassen wurden. Der junge Grigori kam nach Abschluss der Grundschule im Jahr 1976 in einen speziellen Verein, der begabte Nachwuchsmathematiker auf die internationale Mathematikolympiade vorbereitete. Verschiedene Länder entsenden zur Olympiade Schülerteams, die dort dann in einer vorgegebenen Zeit schwierige Mathematikaufgaben lösen. Grigori trainierte jeden Tag viele Stunden Mathematik, so wie andere Schüler mit Begeisterung im Fußballverein kicken, Gitarre üben oder Computer spielen. Als es schließlich darum ging, das Team für die Olympiade aufzustellen, konnte sich Grigori trotz seiner Religion durchsetzen. Auf einen so vielversprechenden Teilnehmer wollte das russische Team nicht verzichten! Tatsächlich holte er bei der Mathematikolympiade 1982 die Goldmedaille und sicherte sich den damit verbundenen Zugang zum Studium an der Universität. Nach seinem Studium schlug er die Laufbahn eines Mathematikers in der Wissenschaft ein und wurde wegen seiner herausragenden Ergebnisse nach dem Zusammenbruch der Sowjetunion von ausländischen Instituten eingeladen. Doch 1995

102

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern zog er sich wieder nach Russland zurück. Lange Zeit hörte man nichts mehr von ihm, bis er sieben Jahre später eine interessante mathematische Entdeckung ins Internet stellte. Er konnte für eine berühmte mathematische Vermutung, die sogenannte Poincaré-Vermutung, beweisen, dass diese richtig war. Viele hatten dies vor ihm bereits versucht, aber es war ihnen nicht gelungen. Mathematiker auf der ganzen Welt gratulierten Grigori zu seinem Durchbruch! Ihm wurden zahlreiche Preise angeboten. So sollte er die angesehene Fields-Medaille (siehe Abschnitt 3.13) erhalten. Darüber hinaus wurden ihm vom Clay-Institut eine Million Dollar zugesprochen, weil er mit der Poincaré-Vermutung eines der sieben Millenium-Probleme gelöst hatte (siehe ebenfalls Abschnitt 3.13). Aber Grigori Perelman lehnte alle Preise ab! Warum sollte er sie auch annehmen? Sein Ziel hatte nie darin bestanden, berühmt zu werden oder viel Geld zu verdienen. Er wollte nur ein überragender Mathematiker werden. Und dieses Ziel hatte er erreicht!

103

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Findet folgende Mathematiker und Mathematikerinnen im Buchstabenwirrwarr! Ihr könnt sie von oben nach unten, von unten nach oben, von links nach rechts, von rechts nach links oder diagonal geschrieben finden. Aus den verbleibenden Buchstaben ergibt sich ein Zitat über Mathematik eines russischen Schriftstellers.

*

F A M E R R

R

E

E

R T B T

I

E

S

A

T H E M S

E

A I

I

U

K D

H M A E O A

S

I

E T

T A P R G N L M M G E T Y D U K A

S

I

A

O

H O U K D

C

H

L

N E

S

E

G E

I

S

C O

T E

S

S

E U

L

E

R

I

P Y T H A G O

R

A

S

I

ARCHIMIDES (griechischer Mathematiker, um 287 v.Chr. - 212 v. Chr.) ERDOES (für Paul Erdös, 1913-1996, siehe Abschnitt 2.10) EUKLID (griechischer Mathematiker, 3. Jahrhundert v. Chr.) EULER (Schweizer Mathematiker, 1707-1783) FERMAT (1607-1665, siehe Abschnitt 2.1) FIBONACCI (um 1200 n. Chr., siehe Abschnitt 2.3) GALOIS (1811-1832, siehe Abschnitt 2.10) GAUSS (1777-1855, siehe 2.4) HYPATIA (erste geschichtlich erwähnte Mathematikerin, um 400 n.Chr. NOETHER („Mutter der Algebra“, 1882-1935, siehe 2.12) PYTHAGORAS (griechischer Mathematiker, um 695 v. Chr - 590 v. Chr.) SERRE (jüngster Fields-Medaillist und Abel-Preisträger, *1926)

104

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

2.11 Witze rund um die Mathematik Über Mathematiker gibt es auch zahlreiche Witze. Der erste Witz, den ich euch erzählen möchte, ist lustig, aber auch etwas unfair. Findet ihr nicht auch? Zwei Freunde reisen mit einem Heißluftballon. Auf einmal kommt dichter Nebel auf und sie verlieren die Orientierung. Glücklicherweise kommt ein anderer Heißluftballon mit einem einzigen Passagier vorbei. Sie rufen dem Mann zu: „Wo sind wir?“ Lange erhalten sie keine Antwort. Als der andere Ballon schon fast wieder im Nebel verschwunden ist, ertönt die Auskunft: „In einem Ballon.“

Da sagt der eine zum anderen: „Das war ein Mathematiker.“ „Warum?“, will sein Freund wissen. „Erstens hat er für seine Antwort sehr lange gebraucht. Zweitens war sie absolut korrekt. Und drittens war sie absolut unbrauchbar.“ ∗∗∗∗∗ Am liebsten machen Mathematiker Witze über Physiker. Das sind Wissenschaftler, die die Mathematik anwenden, um grundlegende Regelmäßigkeiten der Natur zu untersuchen. Sie sind den Mathematikern also recht ähnlich. Ein typischer Mathematikerwitz über Physiker ist der folgende: Zwei Mathematiker und zwei Physiker stehen auf dem Bahnsteig und warten auf den Zug. Physiker: „Wir reisen immer nur mit einem einzigen Ticket.“ Die Mathematiker fragen interessiert, wie sie das anstellen. Physiker: „Wenn der Kontrolleur

105

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern kommt, gehen wir einfach beide auf die Toilette, warten, bis er klopft, und schieben dann unten das Ticket heraus“. „Dann schaffen wir es, ohne Ticket zu reisen“, behaupten die Mathematiker. Bevor die Physiker nachfragen können, trifft der Zug ein. Als der Kontrolleur nach einer Weile in den Wagen tritt, verschwinden die Physiker auf der Toilette. Die Mathematiker laufen zu Toilettentür und klopfen, nehmen das Ticket, das die Physiker unter der Tür durchschieben, und laufen schnell zur nächsten Toilette.

∗∗∗∗∗ Im nächsten Witz gibt es außer einem Mathematiker und einem Physiker auch noch einen Soziologen. Soziologen beschäftigen sich mit gesellschaftlichen Zusammenhängen. Ein Mathematiker, ein Physiker und ein Soziologe reisen gemeinsam mit dem Zug in ein neues Land. Kaum hat der Zug die Grenze passiert, sehen sie draußen auf der Weide ein schwarzes Schaf stehen. Soziologe: „Alle Schafe in diesem Land sind schwarz.“ Physiker: „Nein, man kann nur sagen, dass es in diesem Land mindestens ein schwarzes Schaf gibt.“ Mathematiker: „Nein, aber in diesem Land gibt es mindestens ein Schaf, das auf mindestens einer Seite schwarz ist.“

106

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Lange Zeit dachte ich, das sei das Ende des Witzes. Doch es geht noch weiter: Die drei Wissenschaftler möchten es nun ganz genau wissen und ziehen die Notbremse. Der Zug bleibt stehen und sie laufen auf die Weide, um sich das Schaf genauer anzusehen. Tatsächlich ist es schwarz-weiß gescheckt, was auf die Entfernung kaum zu erkennen war. Da kommt der Bauer vorbei und erkundigt sich, was die drei Herren denn wollen.

Alle drei: „Oh, wir wollen uns nur ihr Schaf genauer anschauen.“ Daraufhin brummt der Bauer: „Das ist doch kein Schaf, das ist eine Ziege.“

2.12 Mathematikerinnen Nun haben wir schon so viel über Mathematiker, aber nichts von Mathematikerinnen berichtet. Tatsächlich gab es aber auch viele Frauen, die wesentliche Beiträge zur Mathematik geliefert haben. Meine Urgroßmutter hat sich mit diesen Frauen intensiv beschäftigt. Neulich habe ich ihre – leider sehr unvollständigen – Aufzeichnungen in einer Truhe auf dem Dachboden gefunden.

107

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Die nächsten Seiten aus Urgroßmutters Buch, die noch lesbar sind, erzählen von einer Mathematikerin, die von 1718 bis 1799 in Italien lebte. Ihr Name war Maria Gaetana Agnesi.

(unglaublich, so viele Geschwister zu haben!)

108

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Titelseite des Werkes von Maria Gaetana Agnesi Quelle: Bayerische Staatsbibliothek München, 4 Math. p.2-1, S. 5 http://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb10479407-4

Der Rest der Aufzeichnungen meiner Urgroßmutter zu Maria Gaetana Agnesi ist leider nicht mehr erhalten. Hier fehlen zwei Seiten des Buches.

109

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Jetzt kommt Carl Friedrich Gauß ins Spiel, den wir aus Abschnitt 2.4 kennen. Er war damals der berühmteste lebende Mathematiker und hatte 1801 sein fundamentales Werk „Disquisitiones Arithmeticae“ in Latein veröffentlicht.

Titelseite des Werkes „Disquisitiones arithmeticae“ Quelle: SLUB Dresden, https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/29830/5/

Meine Urgroßmutter berichtet von einem Briefkontakt zwischen Sophie und Carl Friedrich Gauß:

110

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Der Brief, den Carl Friedrich Gauß damals schrieb, ist tatsächlich noch erhalten. Der Schreibstil vor 200 Jahren hört sich für uns heute etwas merkwürdig an. Der kurze Ausschnitt, den ich euch nicht vorenthalten möchte, zeigt die Bewunderung des großen Mathematikers für Sophie. „Aber wie soll ich Ihnen mein Erstaunen und meine Überraschung beschreiben, als ich erkannte, dass sich mein geschätzter Briefpartner, Monsieur Le Blanc, in diese hochgeachtete Persönlichkeit verwandelte, die ein so glänzendes Beispiel gibt für das, was ich sonst nur schwerlich glauben konnte. Ein Talent für die abstrakten Wissenschaften im allgemeinen und für die Geheimnisse der Zahlentheorie ist sehr selten [. . . ] Wenn aber eine Person weiblichen Geschlechts, die infolge unserer Sitten und Vorurteile auf unendlich viel mehr Hindernisse und Schwierigkeiten stoßen muss als die Männer, um sich mit der heiklen Erforschung der Zahlentheorie vertraut zu machen, dennoch versteht, diese Hindernisse zu überwinden und in die verborgensten Geheimnisse einzudringen, dann muss sie ohne Zweifel edelsten Mut, ganz außerordentliches Talent, überlegenen Geist besitzen.“ Im Gegensatz zu vielen seiner Zeitgenossen sah Gauß, wie schwer es Frauen damals gemacht wurde, in der Wissenschaft Fuß zu fassen.

111

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern Weiter geht es mit Sofja Wassiljwna Kowalewskaja, einer russischen Mathematikerin, die als erste Frau in Europa eine richtige Professur für Mathematik erhielt. Über diese schrieb meine Urgroßmutter:

Sofja Wassiljwna Kowalewskaja Quelle: Wikipedia, https://commons. wikimedia.org/wiki/File:Sofja_ Wassiljewna_Kowalewskaja_1.jpg

Hier ist wohl ein Tintenfass auf die Seite gefallen und hat den restlichen Text unlesbar gemacht.

(das entspricht einer 1+ in der Schule)

112

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Die Arbeit, für die Sofja einen Preis erhalten hatte, war so einzigartig, dass man sich kurzfristig entschied, das Preisgeld von 3.000 auf 5.000 Francs zu erhöhen! Hier noch die Geschichte der berühmtesten deutschen Mathematikerin:

Emmy Noether Quelle: https://commons. wikimedia.org/wiki/File: Noether_(petite_image).png

113

Von genialen Eigenbrötlern und brillanten Abenteurern

Eine Freundin meiner Urgroßmutter hat mir in einer langen E-Mail noch einige Informationen zu den Mathematikerinnen geschrieben. Leider kann ich sie nicht den einzelnen Mathematikerinnen zuordnen. Könnt ihr mir vielleicht dabei helfen? Die Informationen kommen nicht im Text oben vor, aber wenn ihr aufmerksam gelesen habt, könnt ihr euch sicher zusammenreimen, welcher Text sich auf welche Mathematikerin bezieht. 1. Als ihr Vater starb, musste sie sich um ihre jüngeren Geschwister kümmern. Ab nun führte sie das Leben einer christlichen Wohltäterin und kümmerte sich um arme und kranke Frauen. Leider beendete sie damit auch ihre Beschäftigung mit der Mathematik. 2. Sie war eine begnadete Lehrerin und Dozentin. Menschen aus anderen Städten reisten in ihre Stadt, um von ihr zu lernen. 3. Ihren Eltern gefiel es gar nicht, dass sie sich so sehr für Mathematik interessierte. Ein Freund der Familie berichtete, dass sie ihr den Zugang zur Bibliothek untersagten und ihr abends ihre Kleider wegnahmen. So wollten sie verhindern, dass ihre Tochter in der Nacht das Bett verließ. Sie lernte trotzdem – in ihre Bettdecke gehüllt. Die Eltern gaben daraufhin ihren Widerstand auf. 4. Wegen ihrer bahnbrechenden Arbeiten zum Gebiet der Algebra wird die deutsche Mathematikerin „Mutter der Algebra“ genannt. 5. Da ihr Vater ihr nicht erlaubt hätte, alleine ins Ausland zu reisen, um zu studieren, heiratete sie im Alter von 18 Jahren. Zusammen mit ihrem Mann konnte sie nach Deutschland reisen und ihre Studien aufnehmen.

114

3 Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren 3.1 Klassenbildung Eine wichtige Technik für Mathematiker ist die Klasseneinteilung. Einmal wurde ich von einem Zeitungsreporter zur Bildung von Klassen interviewt. ZEITUNGSREPORTER: Können Sie uns erklären, was eine Einteilung in Klassen ist und warum Mathematiker diese so gerne haben? ZIFFY: Wir Mathematiker beschreiben gerne die Eigenschaften, die Ähnlichkeiten und Unterschiede verschiedener Dinge. Wir nennen die Dinge übrigens auch Objekte. Also, wir teilen Objekte gerne in Klassen ein. ZEITUNGSREPORTER: Aha. Was sollen meine Leser darunter verstehen? ZIFFY: Nun, Lehrer teilen die Schüler zum Beispiel in Schulklassen ein. Hannah und Leon sind beispielsweise beide in der Klasse 6c. ZEITUNGSREPORTER: Gut. Und was hilft uns das? ZIFFY: Wir können nun gleich eine Reihe von Gemeinsamkeiten von Hannah und Leon aufzählen: Beide haben den gleichen Klassenlehrer, den gleichen Stundenplan. Sie lernen die gleichen Sachen und schreiben die gleichen Klassenarbeiten. ZEITUNGSREPORTER: Sie haben die gleichen Klassenkameraden und den gleichen Englischlehrer. ZIFFY: Genau. Nun füge ich eine weitere Information hinzu und verrate Ihnen, dass der Schüler Paul nicht in die gleiche Klasse geht. Mit dieser Information können sie nun eine Reihe von Unterschieden zwischen Paul auf der einen Seite und Hannah und Leon auf der anderen Seite aufzählen. ZEITUNGSREPORTER: Paul und Leon haben nicht den gleichen Klassenlehrer, unterschiedliche Klassenkameraden. Sie haben nicht den gleichen Klassenraum und so weiter.

115

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_4

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

ZIFFY: Richtig. Die Klasseneinteilung der Schüler weist ihnen also bestimmte Eigenschaften zu. Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel. ZEITUNGSREPORTER: Ja, das ist eine gute Idee. Das wird bei meinen Lesern für mehr Klarheit sorgen. ZIFFY: Wir teilen nun alle Einwohner Deutschlands nach ihrem Wohnsitz in Klassen ein. Das sind keine Schulklassen mehr. Frau Müller, Herr Triest und Katharina wohnen in Frankfurt. Damit sind sie dann in einer Klasse. Herr Maier wohnt in Berlin. Er ist somit in einer anderen Klasse. ZEITUNGSREPORTER: Und Frau Semmel wohnt in Nürnberg. Sie ist also wieder in einer anderen Klasse. Das ergibt aber viele Klassen. ZIFFY: Genau. Es gibt genau so viele Klassen, wie es Orte in Deutschland gibt. Also weit über 1.000 Klassen. ZEITUNGSREPORTER: Wow. ZIFFY: Und wieder können wir einige Gemeinsamkeiten und Unterschiede aufzählen. Frau Müller, Herr Triest und Katharina haben den gleichen Bürgermeister. ZEITUNGSREPORTER: Wenn sie ein Auto besitzen, hat ihr Auto das gleiche Städtekennzeichen. Ihre Festnetz-Telefonnummer beginnt mit der gleichen Vorwahl. Aber Herr Maier hat nicht den gleichen Bürgermeister wie Katharina, weil er in Berlin wohnt. ZIFFY: Vielleicht wird es jetzt klarer, dass die Einteilung in Klassen sehr nützlich sein kann. Allerdings darf bei Mathematikern jedes Objekt in nur eine Klasse fallen. ZEITUNGSREPORTER: Hä? Das verstehe ich jetzt nicht.

116

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren ZIFFY: Nehmen wir an, dass Timo in zwei Vereinen Mitglied ist: im Fußballverein und im Musikverein. Dann können wir die Menschen nicht nach ihren Vereinen in Klassen einteilen, denn Timo würde dann in zwei Klassen fallen. In die Klasse, in der alle Menschen sind, die Mitglied im Fußballverein sind, und und in die Klasse, in der alle Menschen sind, die im Musikverein musizieren. ZEITUNGSREPORTER: Gut, das ist doch nicht so schwer zu verstehen. Vielleicht haben Sie zum Abschluss noch zwei mathematische Beispiele für unsere Leser. ZIFFY: Im ersten Beispiel teilen wir die natürlichen Zahlen, also 1, 2, 3, . . . und so weiter, in zwei Klassen ein. Die erste Klasse enthält die geraden Zahlen, die zweite Klasse die ungeraden Zahlen. Welche Information gewinnen wir daraus? ZEITUNGSREPORTER: Die 14 und die Zahl 96 sind in der gleichen Klasse, weil sie beide gerade sind. Alle Zahlen in ihrer Klasse sind durch 2 teilbar. ZIFFY: Ja. Gibt es denn noch weitere Gemeinsamkeiten? ZEITUNGSREPORTER: Alle Zahlen, die auf 2, 4, 6, 8 oder 0 enden, sind zusammen in einer Klasse. Und alle Zahlen, die auf 1, 3, 5, 7 oder 9 enden, sind in einer anderen Klasse. ZIFFY: Man kann auch sagen, dass die Differenz von zwei Zahlen in der gleichen Klasse immer eine gerade Zahl ergibt. So ist die Differenz zwischen 8 und 2 die Zahl 6, also eine gerade Zahl. Und die Differenz zwischen 9 und 5 ist 4, auch eine gerade Zahl. ZEITUNGSREPORTER: Oh, wie interessant. Haben Sie noch ein zweites Beispiel? ZIFFY: Es gibt Mathematiker, die betrachten Gegenstände des alltäglichen Lebens und teilen sie nach der Anzahl der Löcher in ihrer Oberfläche in Klassen. Man nennt sie Topologen. Genauer betrachten Topologen Eigenschaften von Objekten, die unter gewissen Verformungen erhalten bleiben. ZEITUNGSREPORTER: Ach, das ist jetzt aber zu anspruchsvoll. ZIFFY: Eigentlich ist es ganz einfach. Die Oberfläche eines Balls hat gar kein Loch, deshalb fällt der Ball in Klasse 0. Die Oberfläche eines Schwimmflügels hat ein Loch, durch das wir hindurch greifen können. Der Schwimmflügel fällt also in die Klasse 1. Alle Gegenstände lassen sich so einteilen. ZEITUNGSREPORTER: Wieso alle? Was ist zum Beispiel mit einem Brötchen?

117

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren ZIFFY: Ein Brötchen ist auch Klasse 0: Kein Loch. Für einen Topologen sieht es aus wie ein Ball. Aber ein Donut, den wir auch beim Bäcker kaufen können, hat in der Mitte ein Loch und fällt in die Klasse 1. Und eine Brezel hat sogar drei Löcher. Sie fällt in die Klasse 3. ZEITUNGSREPORTER: Und ein Fernseher? ZIFFY: Nun, was sieht einem Fernseher am ähnlichsten? Ein Ball, ein Schwimmflügel, eine Brezel mit zwei oder drei oder noch mehr Löchern? Ein Fernseher hat kein Loch, durch das wir hindurchgreifen können. Er fällt also auch in die Klasse 0. ZEITUNGSREPORTER: Da macht man sich das Leben aber einfach. Ein Fernseher ist so ähnlich wie ein Brötchen. Das ist doch lächerlich. ZIFFY: Jetzt haben Sie es endlich verstanden. Mathematiker machen die Dinge einfach. Sie konzentrieren sich auf wesentliche Eigenschaften. Nur so können sie komplizierte Dinge verstehen und zu einem Ergebnis kommen. ZEITUNGSREPORTER: Ob das meine Leser glauben? Offen gestanden halte ich Sie für ein wenig verrückt. ZIFFY: Viele Dinge erscheinen auf den ersten Blick verrückt, ergeben aber bei längerem Nachdenken durchaus Sinn. ZEITUNGSREPORTER: Da haben Sie recht. Ich bin gespannt, wie meine Leser das aufnehmen. Vielen Dank jedenfalls für das Gespräch, lieber Ziffy.

Topologen sehen keinen Unterschied zwischen einem leckeren Donut und einem Schwimmflügel. Das ist doch verrückt, oder?

118

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Ohne viel Aufwand könnt ihr Snacks backen, die Topologen unterschiedlichen Klassen zuordnen würden.

Ihr benötigt eine Packung aufgerollten, frischen Blätterteig, sowie Backpapier. Schneidet ca. 4 cm breite Stücke ab. Dreht die Streifen spiralförmig ein. Dadurch werden sie noch dünner und länger. Nun könnt ihr daraus Brezeln mit bis zu sechs Löchern formen. Da der Teig nachher noch etwas aufgeht, sollten die Löcher möglichst groß sein. Stellt den Backofen auf 200 Grad Umluft oder 220 Grad Ober- und Unterhitze. Nach etwa 10 Minuten sind die Stückchen hellbraun gebacken und ihr könnt sie aus dem Ofen nehmen.

Wer süße Stückchen mag, kann Puderzucker mit Wasser anrühren und die Blätterteigkreationen damit bestreichen. Oder ihr verwendet Eigelb und streut anschließend Mandelsplitter darüber. Vielleicht wollt ihr auch die Löcher mit Pudding füllen. Eurer Fantasie sind keine Grenzen gesetzt. Guten Appetit!

119

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

3.2 Zaubertrick: Das Möbiusband Für den nächsten Zaubertrick müsst ihr zunächst basteln.

Ihr braucht ein Blatt Papier (am besten im Format DinA3), eine Schere und Kleber. Aus dem Papier schneidet ihr zwei Längsstreifen aus. Die sollten so lange wie die Längsseite des Blattes und etwa zwei Finger breit sein:

Nun klebt ihr bei einem Streifen Ecke A auf Ecke C und Ecke B auf Ecke D. Es entsteht dann ein einfacher Ring (siehe linkes Foto). Bei dem anderen Streifen klebt ihr Ecke A auf Ecke D und Ecke B auf Ecke C. Dieser Ring ist auf dem Foto rechts abgebildet.

Fahrt einmal mit dem Finger auf der Oberfläche des ersten Streifens entlang. Ganz klar: Dieser Streifen hat zwei Seiten – außen und innen. Wenn wir mit dem Finger die eine Seite abfahren, gelangen wir nie auf die andere Seite des Bandes. Topologen sagen, dass das Band orientierbar ist. Es gibt eine obere Fläche und eine untere Fläche.

120

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Doch was passiert, wenn wir das zweite Band mit dem Finger abfahren? Probiert es einmal aus! Hier gibt es offenbar keine zwei Seiten. Wir erreichen jeden Punkt auf der Oberfläche des Bandes. Dieses Band ist nicht orientierbar . Ein solches Band nennt man Möbiusband, benannt nach August Ferdinand Möbius (1790-1868). Nun kommt der Zaubertrick. Nehmt die Schere und schneidet beide Bänder einmal längs durch (siehe Foto). Wie sieht das Ergebnis aus? Das erste Band zerfällt in zwei gleiche Bänder, die wieder beide orientierbar sind. Aber das zweite Band zerfällt nicht! Es ist immer noch ein zusammenhängendes Band. Allerdings ist es jetzt orientierbar, das heißt, wir können wieder zwischen oben und unten unterscheiden. Ihr könnt den oben beschriebenen Zaubertrick noch erweitern, indem ihr einen dritten Streifen nehmt und bei diesem ein Ende nicht nur einmal (wie beim Möbiusband), sondern sogar zweimal dreht, bevor ihr die beiden Enden zusammenklebt. Was ergibt sich, wenn ihr diesen Ring wie oben der Länge nach durchschneidet?

3.3 Fritzchens Klassenarbeit Als Zauberer besuchte ich eine Zauberschule. Meine gesamte Schulzeit dort betrug nur genau zwei Monate, drei Wochen, vier Tage, fünf Stunden und sechs Minuten. Mein Freund Fritzchen hingegen ist kein Zauberer und geht auf eine ganz normale Schule. Hier ist Rechnen oder Mathematik nur eines von vielen Unterrichtsfächern. Fritzchen ist in Mathematik leider nicht besonders begabt, und da ich mich dem Ehrenkodex der Zauberer verpflichtet habe, darf ich ihm keine Lösungen oder Lösungswege verraten. Trotzdem finden wir immer eine Möglichkeit, wie ich

121

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren ihm beistehen kann. Als Zauberer ist es für mich natürlich kein Problem, Fritzchen etwas ins Ohr zu flüstern, auch wenn er im Klassenzimmer sitzt und ich draußen auf dem Schulhof stehe. Auch verbietet mein Ehrenkodex mir nicht, ein paar unverfängliche Bemerkungen zu machen. Das sieht dann ungefähr so aus wie bei der Klassenarbeit, die Fritzchen im letzten Herbst geschrieben hat. Die Arbeit bestand aus einigen Rechenaufgaben und einer geometrischen Übung. Fritzchen saß verzweifelt vor dieser für ihn schwierigen Mathematikarbeit. Klassenarbeit Nr.2 1. Löse die folgenden Aufgaben: a) 1 · 9 =

Name: 2. Teile das Quadrat in vier gleich große Teile!

b) 2 · 9 = c) 3 · 9 = d) 4 · 9 = e) 5 · 9 = f) 6 · 9 = g) 7 · 9 =

Note:

h) 8 · 9 = i) 9 · 9 = j) 10 · 9 =

Dann stellte er fest, dass er doch zwei Aufgaben lösen konnte: 1 · 9 = 9 und 10 · 9 = 90. Er trug die beiden Ergebnisse ein und schaute dann wieder sehr deprimiert. „Zähle doch mal, wie viele Teilaufgaben du bei der ersten Aufgabe noch lösen musst“, schlug ich ihm vor. Fritzchen nahm seinen Stift und zählte. Um nicht etwas durcheinander zu werfen, schrieb er die Zahlen dabei auf sein Arbeitsblatt.

122

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Klassenarbeit Nr.2 1. Löse die folgenden Aufgaben: a) 1 · 9 = 9

Name: 2. Teile das Quadrat in vier gleich große Teile!

b) 2 · 9 = 1 c) 3 · 9 = 2 d) 4 · 9 = 3 e) 5 · 9 = 4 f) 6 · 9 = 5 g) 7 · 9 = 6

Note:

h) 8 · 9 = 7 i) 9 · 9 = 8 j) 10 · 9 = 90

„Zähle noch einmal“, befahl ich. „Dieses Mal von unten nach oben.“ Fritzchen folgte meiner Anweisung und zählte die verbleibenden Aufgaben von unten nach oben. Wieder schrieb er die einzelnen Zahlen einfach neben die Aufgaben. „Also, das sind noch sicher acht offene Aufgaben. Und die zweite Aufgabe kann ich auch nicht“, murmelte er deprimiert.„Ich glaube, ich streiche die Aufgabe jetzt einfach durch.“ „Ja, wenn du sie nicht lösen kannst, dann streiche sie durch“, sagte ich. „Aber nimm wenigstens dein Lineal dafür. Dann sieht es nicht so unordentlich aus.“ Fritzchen machte zwei saubere Striche durch die Abbildung.

123

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Klassenarbeit Nr.2

Name:

1. Löse die folgenden Aufgaben:

2. Teile das Quadrat in vier gleich große Teile!

a) 1 · 9 = 9 b) 2 · 9 = 18 c) 3 · 9 = 27 d) 4 · 9 = 36 e) 5 · 9 = 45 f) 6 · 9 = 54 g) 7 · 9 = 63

Note:

h) 8 · 9 = 72 i) 9 · 9 = 81 j) 10 · 9 = 90

Dann stand er auf und gab seine Arbeit ab. Welche Note wird er wohl am Ende erhalten haben?

3.4 Das Geheimnis der Schönheit Meine Mutter ist eine Künstlerin. Sie malt bevorzugt Pflanzen, Tiere, Gegenstände oder abstrakte Objekte mit Symmetrien.

124

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Eine Symmetrie ist eine Operation, die ein Objekt (beispielsweise einen Gegenstand, eine Pflanze oder ein Tier) wieder auf sich abbildet. Symmetrien finden wir überall in der Natur und in unserem Alltag und wir verbinden sie meist mit Schönheit. Ein Schmetterling lässt sich durch Spiegelung an der Achse, die durch seine Brust und sein Hinterteil verläuft, auf sich selbst abbilden. Eine Blume oder ein Windrad können wir drehen. Auch Mathematiker sind von Symmetrien fasziniert und können mit ihnen fast genauso rechnen, wie sie es mit Zahlen tun. Dazu schauen wir uns einmal ein einfaches Quadrat an: D

A

C

B

Wir können ein Quadrat einmal um 90◦ im Uhrzeigersinn drehen. Eine solche Drehung bezeichnen wir mit dem Buchstaben d. D

A

C

B

d

C

D

B

A

Wir können das Quadrat auch zweimal drehen. Die Mathematiker schreiben nun d

d

d2

 ◦ = . Sie multiplizieren also einfach die beiden Drehungen miteinander und erhalten so die Drehung um 180◦ . Sie rechnen also mit den Symmetrien wie mit gewöhnlichen d d d d3 Zahlen. Entsprechend ist  ◦  ◦ = . die Drehung um 270◦ . Aber was passiert eigentlich, wenn wir viermal drehen?

125

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Dann erhalten wir wieder unser Ausgangsquadrat. Viermal drehen ist also das gleiche wie gar nicht drehen. Gar-Nicht-Drehen ist eine besondere Symmetrie, die jedes Objekt besitzt. Sie entspricht in gewissem Sinne der Zahl 0: Wenn wir 0 auf eine Zahl addieren, passiert nichts. Wenn wir auf ein Objekt die Nullsymmetrie anwenden, passiert auch nichts. Wir verwenden im weiteren Verlauf den Buchstaben n für die Nullsymmetrie. Die Mathematiker schreiben also d

d

d

d

d4

 ◦  ◦  ◦ == n. Nun könnt ihr ein Quadrat aber nicht nur drehen, sondern auch spiegeln. Wir spiegeln an der senkrechten Mittelachse und bezeichnen die Spiegelung mit s: D

A

C

B

s

A

D

B

C

Wenn wir zweimal spiegeln, erhalten wir wieder das Ausgangsquadrat: s

s

 ◦ = n. s

d

Wir können auch eine Spiegelung  und eine Drehung  miteinander multiplizies d ren. Das Produkt führt erst die Spiegelung  und dann die Drehung  aus:

D

A

C

B

s

A

D

B

C

126

d

B

A

C

D

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Umgekehrt können wir auch erst drehen und dann spiegeln:

D

A

C

B

d

C

D

B

A

s

D

C

A

B

Wir sehen, dass es einen Unterschied macht, ob wir erst die Spiegelung und dann die Drehung oder erst die Drehung und dann die Spiegelung ausführen. Es gilt also d s s d  ◦ = ◦ .

Wir haben jetzt schon 7 Symmetrien des Quadrats gefunden: Es gibt die Nulld d2 d3 d4 symmetrie n und die Drehungen , , . Die Symmetrie  ist nichts Neues, d4 s d s denn = n. Außerdem gibt es die Spiegelung  und die Symmetrien  ◦  s d und  ◦ , die alle unterschiedlich sind. Ein Quadrat hat aber insgesamt 8 Symmetrien. Wie sieht die noch fehlende Symmetrie aus? Mit der Menge der Symmetrien eines Objektes können Mathematiker wie oben beschrieben rechnen. Dabei gelten einige der Rechengesetze, die wir schon von den ganzen Zahlen kennen.

Rechenregeln für Symmetrien: • Wenn wir zwei Symmetrien miteinander multiplizieren (also hintereinander ausführen), erhalten wir eine weitere Symmetrie. • Wenn wir die Nullsymmetrie mit einer Symmetrie multiplizieren, ändert sich diese Symmetrie nicht. Eine einfache Spiegelung bleibt eine einfache Spiegelung, eine Drehung eine Drehung und so fort.

127

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

• Jede Symmetrie können wir durch Multiplikation mit einer anderen Symd3 metrie rückgängig machen. Wenn wir beispielsweise mit  drehen, müsd sen wir danach nur noch  ausführen und landen wieder in der Ausgangsposition. • Wenn wir drei Symmetrien miteinander multiplizieren, können wir zunächst die erste Symmetrie ausführen, dann die zweite und dann die dritte oder zuerst die erste und dann die Symmetrie, die sich ergibt, wenn wir die zweite und dritte Symmetrie hintereinander ausführen. Es gilt also das Assoziativgesetz, das wir auch von ganzen Zahlen kennen.

Wenn immer wir eine Menge von Symmetrien gegeben haben, die die Rechenregeln aus dem obigen Kasten erfüllen, finden wir auch eine Figur, die genau diese Symmetrien besitzt. Für die Menge oben mit 8 Elementen ist dies unser Quadrat, mit dem wir gestartet sind. Aber es gibt noch viel mehr Objekte, die genau diese 8 Symmetrien besitzen. Zwei Beispiele: Beide Figuren besitzen eine Drehung, die viermal angewendet wieder die Nullsymmetrie ergibt, und alle diese Figuren besitzen eine Spiegelung. Immer kommen wir so auf 8 Symmetrien. Schauen wir uns einmal die Menge von Symmetrien an, die nur aus der Nullsymmetrie n und der Spiegelung besteht. Auch hier gibt es Figuren, die nur diese zwei Symmetrien besitzen: 128

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

d

d2

d3

Könnt ihr auch eine Figur aufzeichnen, die genau die Symmetrien n, , ,  hat. Das ist eine Figur, die durch die Drehung, aber nicht durch die Spiegelung auf sich abgebildet wird. Zum Schluss des Abschnitts zeige ich euch noch ein paar Bilder, die meine Mutter gemalt hat. Die Blume links hat 12 Symmetrien. Wir können sie 6-mal drehen und

hinter jeder Drehung noch eine Spiegelung ausführen. Das Bild daneben ist das 2dimensionale Bild eines 3-dimensionalen Objektes. Es handelt sich um einen Ball, der aus lauter regelmäßigen Fünfecken zusammengesetzt ist. Er hat 120 Symmetrien. Hier hat meine Mutter ein 2-dimensionales Bild des Monsters gemalt:

129

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Das Monster ist ein 196.883-dimensionales Objekt und es hat 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000

Symmetrien. Diese Zahl hat 54 Stellen. Sie ist größer als die Anzahl der Atome der Erde. Das ist doch der echte Wahnsinn, oder?

Das sogenannte Monster gibt es wirklich. Seine Existenz wurde bereits 1973 vermutet, aber erst 1982 gelang dem Mathematiker Robert Griess eine eindeutige Beschreibung.

3.5 Zaubertrick: Einfach unsymmetrisch Karten haben oft eine Symmetrie. Dann sehen wir keinen Unterschied, wenn wir sie einmal um 180◦ Grad drehen. Das gilt beispielsweise für Pik 2 und Karo 4. Auch die Bildkarten wie Bube, Dame und König sind oft symmetrisch. Es gibt aber auch Karten, die nicht symmetrisch sind. Bei diesen Karten können wir festlegen, was unten und was oben ist, und feststellen, ob die Karte gedreht wurde oder nicht. Betrachten wir beispielsweise die Herz 6. Vier der sechs großen Herzen zeigen in die eine, zwei in die andere Richtung. Ihr könnt also festlegen, dass der obere Teil der Karte der ist, wo sich die meisten Herzen befinden, die in dieselbe Richtung zeigen. Bei der Karo 7 beispielsweise legen wir fest, dass die Hälfte mit mehr Karos oben ist. Für den nachfolgenden Trick sortiert ihr zunächst aus eurem Kartenspiel alle Karten aus, die symmetrisch sind. Diese könnt ihr für den Trick nicht verwenden. Ihr haltet nun einen Kartenstapel mit lauter nicht symmetrischen Karten in den Händen.

130

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Der Zuschauer wählt aus einem von ihm selbst gemischten Kartenstapel eine beliebige Karte aus, merkt sie sich, steckt sie wieder in den Stapel und mischt anschließend noch einmal. Trotzdem findet ihr die gesuchte Karte. Als Vorbereitung sortiert ihr den Kartenstapel bestehend aus lauter nicht symmetrischen Karten so, dass alle Karten in die gleiche Richtung zeigen. Der Zuschauer darf nun die Karten mischen. Anschließend fächert ihr die Karten mit der Bildseite nach unten auf, der Zuschauer wählt eine Karte, zieht sie heraus und schaut sie sich an. Während er die Karte betrachtet, dreht ihr heimlich den restlichen Stapel. Es ist wichtig, dass die Orientierung der gewählten Karte beim Herausnehmen und Hineinstecken nicht geändert wird. Sollte der Zuschauer die Karte beim Betrachten drehen, müsst ihr darauf achten, dass ihr sie heimlich wieder zurückdreht. Die gewählte Karte hat nach dem Zurückstecken eine andere Orientierung als die restlichen Karten im Stapel. Der Zuschauer kann die Karten jetzt noch mischen, aber ihr werdet die gesuchte Karte immer wiederfinden.

Findet ihr die Karte, die eine andere Orientierung als die restlichen Karten hat und somit die vom Zuschauer ausgewählte Karte sein muss?

131

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

3.6 Mathematische Fensterbilder Mit wenig Aufwand könnt ihr schöne symmetrische Fenstersterne basteln. Ihr benötigt dazu nur Transparentpapier.

Zunächst müsst ihr aus dem Transparentpapier einige Rechtecke ausschneiden. Für einen 6-eckigen Stern benötigt ihr 3 Rechtecke mit Seitenlängen 120 mm und 208 mm. Die Tabelle gibt die Maße und die Anzahl der Rechtecke in Abhängigkeit von den Ecken des Sterns an. Anzahl der Ecken

Anzahl der erforderlichen Rechtecke

Maße (in mm)

Anzahl der Symmetrien

6

3

120 × 208

12

8

4

60 × 145

16

10

5

50 × 148

20

12

6

41 × 153

24

Verwendet für einen Stern immer die gleiche Farbe Transparentpapier. Dann kommt die Schattierung besser heraus. Die unten stehende Abbildung zeigt am Beispiel eines 8-eckigen Sterns, wie die 4 Rechtecke zusammenzukleben sind.

132

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

3.7 Zaubertrick: Die Zauberzahl 7 Für diesen Zaubertrick benötigt ihr ein Blatt Papier und einen Stift. Sucht euch einen Zuschauer aus, der gut schriftlich dividieren kann.

Ihr wendet dem Zuschauer den Rücken zu und bittet ihn darum, eine beliebige dreistellige Zahl auf ein Blatt oder eine Tafel zu schreiben. Ihr verkündet dann: „Damit es nicht so leicht wird, schreibe bitte diese Zahl zweimal hintereinander, so dass eine sechsstellige Zahl entsteht.“ In Wirklichkeit ist dies der für den Trick entscheidende Schritt! Beispiel: Wenn der Zuschauer an die Zahl 453 gedacht hat, wird er jetzt die Zahl 453453 aufschreiben. Als nächstes versprecht ihr dem Kandidaten: „Du bekommst von mir den Rest in Euro ausbezahlt, der sich beim Teilen durch die Zauberzahl 7 ergibt.“ Natürlich hofft euer Zuschauer jetzt, dass sich bei der Division durch 7 der maximal mögliche Rest 6 ergibt. In diesem Fall würde er von euch 6 Euro erhalten. Ihr braucht aber keine Angst um euer Geld zu haben. Die Zahl wird immer ohne Rest durch 7 teilbar sein! Zur Erklärung des Zaubertricks: Wenn ihr eine sechsstellige Zahl auf die oben beschriebene Weise aus einer dreistelligen Zahl zusammenfügt, ist die sechsstellige Zahl immer durch 1001 teilbar. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 453.453. Es gilt 453.453 = 453 · 1001. Oder 739.739 = 739 · 1001 und 184.184 = 184 · 1001. Die Zahl 1001 aber ist das Produkt aus 7, 11 und 13 und somit durch 7, 11 und 13 ohne Rest teilbar. Das gilt dann auch für jede Zahl, die durch 1001 teilbar ist.

133

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

3.8 Fraktale Schneeflocken Nehmt ein Lineal und ein Blatt Papier und zeichnet ein Dreieck auf, bei dem alle Seiten die Länge 9 cm haben. Das könnt ihr erreichen, indem ihr erst eine Strecke AB von 9 cm abtragt und dann um die beiden Endpunkte mit dem Zirkel Kreise vom Radius 9 cm schlagt. Einer der zwei Schnittpunkte der beiden Kreise ist dann der dritte Eckpunkt C.

Das so konstruierte Dreieck hat den Umfang 3 · 9 cm = 27 cm. Im nächsten Schritt teilt ihr die einzelnen Seiten in drei Teile von je 3 cm und ersetzt den mittleren Teil mit den beiden restlichen Seiten eines gleichseitigen Dreiecks der Länge 3 cm. Wir erhalten einen Stern:

Um den Umfang der Fläche des Sterns zu bestimmen, zählen wir die Anzahl der 3 cm langen Teilstücke. Es gibt insgesamt 12, also erhalten wir 12 · 3 cm = 36 cm. Der Umfang ist um 9 cm angewachsen.

134

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Jetzt wiederholen wir das Ganze bei jedem der 3 cm langen Seiten und teilen diese wieder in drei 1 cm lange Stücke auf. Auf das mittlere Stück setzen wir wieder ein kleines Dach von 1 cm Kantenlänge:

Wir berechnen den Umfang und erhalten 48 Teilstücke der Länge 1 cm, also einen Umfang von 48 cm. Diese Methode können wir jetzt immer weiter anwenden. Wieder teilen wir die geraden Stücke in drei Teile und ersetzen das mittlere Stück. Im nächsten Schritt würde sich schon ein Umfang von 64 cm ergeben. Der Umfang wird größer und größer. Wir können das beschriebene Vorgehen beliebig oft wiederholen und erhalten eine immer größere Zahl. Obwohl die umgrenzte Fläche beschränkt ist, wächst der Umfang über alle Grenzen. Hier einmal die sogenannte Kochsche Schneeflocke (benannt nach dem Mathematiker Helge von Koch, 1870-1924) nach 5 Schritten:

135

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Die Schneeflocke hat außerdem eine weitere, besondere Eigenschaft: Sie ist selbstähnlich. Darunter versteht man, dass sie im Kleinen genauso aussieht wie im Großen. Wenn wir sie uns unter einer Lupe ansehen, sieht das einfach so aus:

Längen, die über alle Grenzen hinaus wachsen, begegnen uns auch im wirklichen Leben. Stellt euch einmal vor, ihr lauft an einer Steilküste zwischen zwei Orten A und B entlang. Die schnurgerade Uferstraße ist 4 km lang. Der Wanderweg entlang der Klippen nimmt aber auch einige Ausbuchtungen mit und ist über 5 km lang. Wenn ihr nicht auf dem Weg bleibt und ganz eng an den Klippen entlanglauft, müsst ihr deutlich mehr Strecke zurücklegen. Eine Ameise kann die Kontur der Küste noch genauer ablaufen. Der Streckenabschnitt wird immer länger, je genauer wir messen.

Ein berühmtes Fraktal ist das sogenannte Sierpinski-Dreieck. Hier werden in ein größeres Dreieck kleine Dreiecke gesetzt. Um fraktale Grußkarten mit dem Sierpinski-Dreieck zu basteln, benötigt ihr Blanko-Grußkarten der Größe 13 cm mal 18 cm, die ihr entweder bereits fertig kauft oder euch aus festem Tonkarton zurecht schneidet. Weiter braucht ihr zwei verschiedene Farben Tonpapier. Aus der ersten Farbe (nehmen wir hier beispielsweise grün) schneidet ihr ein Rechteck der Größe 10 cm mal 11, 5 cm. Von der zweiten Farbe (beispielsweise orange) benötigt ihr 27 kleine Dreiecke der Seitenlänge 1, 4 cm. Vorlagen dafür findet ihr im Anhang.

136

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Ihr klebt als erstes das grüne Rechteck auf. Zeichnet euch jetzt mit einem Bleistift dünn die Umrisse des großen Dreiecks auf. Nun könnt ihr die kleinen Dreiecke wie auf dem Foto angegeben von unten nach oben an die passende Stelle einkleben.

3.9 Landkarten färben Wenn ihr eine einfarbige Kopie der Europakarte ausmalen wollt, ist es sinnvoll, Länder mit einer gemeinsamen Grenze unterschiedlich einzufärben. Deutschland sollte beispielsweise eine andere Farbe als Frankreich bekommen und für die Schweiz, die sowohl an Deutschland als auch an Frankreich grenzt, benötigt ihr eine dritte Farbe.

Mathematika ist ein kleines Land, das nur aus vier Gemeinden besteht. Trotzdem reichen drei Farben nicht aus, um angrenzende Gemeinden unterschiedlich einzufärben.

137

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren 1852 fiel dem südafrikanischen Mathematiker Francis Guthrie auf, dass er die Karte Englands zwar nicht mit drei, aber mit nur vier Farben ausmalen konnte, ohne dass zwei Grafschaften mit gemeinsamer Grenze die gleiche Farbe hatten. Er vermutete daraufhin, dass für jede Karte jeden Landes vier Farben ausreichten. Es dauerte über 100 Jahre, bis die zwei amerikanischen Mathematiker Wolfgang Haken und Kenneth Appel zeigen konnten, dass diese Vermutung richtig ist.

Die nachfolgende Abbildung zeigt eine Karte, die mit 5 Farben eingefärbt wurde. Nach dem 4-Farben-Satz sind aber vier Farben ausreichend. Könnt ihr die Karte mit 4 Farben umfärben?

Wenn Mathematiker sagen, dass man jede Karte mit maximal vier Farben einfärben kann, dann meinen sie damit wirklich jede Karte. Das sind dann nicht nur die Karten aller Länder und Kontinente dieser Welt, sondern auch Karten von Ländern, die es gar nicht gibt. Die einzige Anforderung besteht darin, dass eine Fläche gegeben ist, die durch verschiedene gerade und krumme Linien in Teilgebiete unterteilt ist. Die Aussage trifft also nicht nur für Deutschland, die Europakarte oder zum Beispiel die Übersichtskarte eines Zoos zu (auch hier können wir angrenzende Tiergehege und Wege durch verschiedene Farben voneinander trennen), sondern für jedes erfundene Land, dass sich jemand ausgedacht hat oder in Zukunft noch ausdenken könnte. Das macht den Nachweis so schwierig und deshalb hat es so lange gedauert, bis sicher fest stand, dass vier Farben immer ausreichend sind.

138

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Die Karte zeigt Deutschland mit seinen 16 Bundesländern. Färbt die Karte mit 4 Farben ein. Sind vielleicht auch nur drei Farben ausreichend? Wenn nicht, warum?

139

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Der 4-Farbensatz ist das erste bekannte mathematische Problem, das nur mit Computerunterstützung gelöst werden konnte. Da die Einfärbbarkeit jeder Karte mit 4 Farben gezeigt werden muss, musste die Aussage eigentlich für unendlich viele Karten geprüft werden, was natürlich – selbst mit einem Computerprogramm – nicht möglich ist. Durch viele kluge Ideen konnte die Anzahl aber auf endlich viele Fälle reduziert werden, die dann von den Mathematikern Wolfgang Haken und Kenneth Appel mit dem Computer berechnet wurden. So war der Nachweis das Ergebnis einer erfolgreichen Zusammenarbeit von Mensch und Maschine.

3.10 Wahre und falsche Sätze Mein Freund Leo ist Logiker. Eigentlich habe ich nie ganz verstanden, was das überhaupt ist. Er denkt ziemlich viel und schreibt eigentlich eher wenig. Aber wenn er mir erzählt, was er so denkt, werde ich daraus nie so richtig schlau. Vielleicht besuchen wir ihn einfach mal.

140

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren ZIFFY: Hallo Leo! LEO: Hallo, Ziffy. Schön, dass du mal wieder vorbeikommst. ZIFFY: Ich würde gerne wissen, was Logik ist. Kannst du es mir erklären? LEO: Ganz einfach! Ich betrachte, ob ein Satz, den jemand sagt, sinnvoll ist oder nicht. ZIFFY: Aha. Wenn draußen die Sonne scheint und ich sage: „Ich gehe jetzt ein wenig mit meinem Regenschirm spazieren.“, dann ist dieser Satz nicht sinnvoll, weil es ja nicht regnet. LEO: Mmh, na ja, so ungefähr. ZIFFY: Na, das war jetzt einfach. So etwas machst du also? LEO: Eigentlich nicht ganz. Schließlich könnte es ja doch anfangen zu regnen. Es kann also sinnvoll sein, seinen Regenschirm mitzunehmen. Ich hingegen suche nach wahren Aussagen. Das sind Sätze, die in jedem Fall richtig sind. ZIFFY: Das ist ja noch einfacher: „Ich heiße Ziffy.“ Das ist eine wahre Aussage. LEO: Ja. Aber was machst du, wenn dir jemand etwas über die Bewohner eines fremden Landes erzählt, über das du nichts weißt? ZIFFY: Dann kann ich nicht entscheiden, ob er die Wahrheit sagt. LEO: Meistens nicht. Aber du kannst vielleicht Widersprüche aufdecken. ZIFFY: Wie das? LEO: Betrachte zum Beispiel die zwei Sätze: „Alle Bewohner der Insel Biriliba sind Kinder.“ und „Alle Kinder sind glücklich.“ Was wissen wir nun? ZIFFY: Das alle Leute, die auf der Insel Biriliba wohnen, Kinder sind. LEO: Gut, das habe ich gesagt. ZIFFY: Und dass Erwachsene nicht glücklich sind. LEO: Das habe ich nicht gesagt. Du sollst nur die beiden Sätze lesen und nichts Zusätzliches hineindeuten. Was ist dann auf jeden Fall eine wahre Aussage? ZIFFY: Ach, ich verstehe das nicht. Ich verstehe gar nicht, was du von mir willst. LEO: Wir wissen, dass alle Leute, die auf der Insel Biriliba wohnen, Kinder sind. ZIFFY: Das habe ich schon gesagt. LEO: Und wir wissen, dass alle Kinder glücklich sind. Somit können wir nun folgern, dass alle Bewohner der Insel Biriliba glücklich sind, denn sie sind ja Kinder.

141

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren ZIFFY: Ach so, das wolltest du hören. LEO: Obwohl du die Insel Biriliba nicht kennst, kannst du nun sagen, dass der Satz: „Es gibt einen Bewohner auf Biriliba, der unglücklich ist.“ nicht wahr sein kann. ZIFFY: Gut, jetzt habe ich ein Rätsel für dich. Ich nenne dir zwei Sätze: „Alle Bäume im Wald Torubunka sind Zumu-Bäume.“ und „Alle Zumu-Bäume sind blau.“ Was wissen wir jetzt? LEO: Wir wissen nun, dass alle Bäume im Wald Torubunka blau sind, denn sie sind alle Zumu-Bäume. Der Satz „Alle Bäume im Wald Torubunka sind blau.“ ist also eine wahre Aussage. ZIFFY: Und obwohl du den Wald Torubunka nicht kennst, weißt du nun, dass es dort keinen roten Baum gibt. LEO: Jetzt habe ich noch eine besonders schöne Aufgabe für dich. ZIFFY: Ok, ich bin bereit. LEO: Was hälst du von folgendem Satz: „Dieser Satz ist falsch.“ Ist er wahr oder falsch? ZIFFY: Dieser Satz ist wahr. LEO: Mmh. Wenn der Satz wahr ist, dann wäre die Aussage „Dieser Satz ist falsch.“ richtig, also ist der Satz falsch. ZIFFY: Ok, dann ist der Satz falsch. LEO: Aber dann sagt er ja die Wahrheit: „Dieser Satz ist falsch.“ Wenn er falsch ist, dann ist der Satz ja richtig. ZIFFY: Wenn er falsch ist, dann ist er richtig?? Leo, das ist verwirrend. LEO: Ha, das ist doch ein schöner Satz, oder? ZIFFY: Vielleicht ist er ja doch richtig. LEO: Falls der Satz „Dieser Satz ist falsch.“ ein wahrer Satz ist, dann muss er aber falsch sein. ZIFFY: Der Satz ist somit weder richtig noch falsch. LEO: Einen solchen Satz nennt man ein Paradoxon. ZIFFY: Hier habe ich noch einen weiteren Satz: „Ich lüge gerade.“ LEO: Genau, der Satz „Ich lüge gerade.“ ist auch ein Paradoxon. Entweder sprichst

142

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren du gerade die Wahrheit, aber dann wäre der Satz „Ich lüge gerade.“ wahr und du würdest lügen. Oder du lügst, aber dann hast du gerade einen wahren Satz gesagt, nämlich „Ich lüge gerade.“. Also lügst du nicht. ZIFFY: Oh, das gefällt mir. Vielleicht kann ich noch weitere solche Sätze bilden. Das war alles ganz schön verwirrend. Ich habe jetzt einen Knoten in meinem Gehirn. Vielleicht gehe ich jetzt besser. LEO: Nicht jeder ist der geborene Logiker. Bis zum nächsten Mal, Ziffy. ZIFFY: Ja, bis bald. Bis ich meinen Gehirnknoten wieder entwirrt habe. Tschüss! Könnt ihr diese Aufgabe lösen? Entscheidet, ob die genannten Aussagen richtig oder falsch sind oder sich ohne weitere Informationen nicht beantworten lassen.

Auf dem fernen Planeten Arareon gibt es nur eine einzige Gattung von Tieren, die Kamelhörner. Alle Kamelhörner haben 3 Höcker. Tiere mit 3 oder mehr Höckern schlafen jeden Tag mindestens 20 Stunden. Was wissen wir über die Tiere auf dem Planeten Arareon? 1. Ein Tier auf dem Planeten Arareon schläft nur 6 Stunden jeden Tag. 2. Die Tiere auf dem Planeten Arareon lesen gerne Märchenbücher. 3. Es gibt ein Tier auf dem Planeten Arareon, das nur einen einzigen Höcker hat. 4. Alle Tiere auf dem Planeten Arareon schlafen mindestens 20 Stunden am Tag.

143

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

3.11 Rechnen mit Resten Einmal schickten mich meine Eltern in ein Zeltlager für junge Zahlenzauberer. Dort lernte ich Thomas Modulo kennen, mit dem ich mich super verstand. Seitdem schreiben wir uns Briefe, die – wie könnte es anders sein – immer von Mathematik handeln. Hier zeige ich euch einen Auszug aus unserem Briefwechsel. Ich habe natürlich nur die Briefe, die er an mich geschickt hat, aber ich denke, ihr werdet auch so verstehen, um was es geht.

144

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

145

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

146

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

147

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Dem letzten Brief lag ein Blatt mit einigen Aufgaben zu unserer neuen Zaubermathematik bei. Könnt ihr sie lösen?

Wie lauten die Ergebnisse der folgenden Aufgaben: a) 5 + 8 Modulo 12? b) 6 · 5 Modulo 12? c) 9 · 2 Modulo 17?

148

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

3.12 Was ist ein Beweis? Meine Schwester Miriam sammelt schöne Beweise. Das klingt etwas verrückt, aber andere Leute haben auch verrückte Hobbys. Was ist eigentlich ein Beweis und warum kann ein Beweis schön sein? Ein Beweis ist einfach eine ziemlich gute Begründung für eine Aussage. Sie ist so gut, dass es danach klar ist, dass die Aussage korrekt sein muss und sie niemand widerlegen kann. Stellt euch einmal vor, dass ihr eure Hausaufgaben nicht machen konntet. Am nächsten Tag geht ihr in die Schule und sagt eurem Lehrer: „Gestern Nachmittag ging es mir nicht gut. Ich habe die ganze Zeit im Bett gelegen. Deshalb habe ich meine Hausaufgaben nicht machen können.“ Die Aussage ist: „Ich konnte meine Hausaufgaben nicht machen.“ Dafür liefert ihr die Begründung: „Mir ging es schlecht.“ Allerdings ist das leider kein Beweis. Zum Beweis möchte der Lehrer gerne eine Entschuldigung der Eltern oder noch besser ein ärztliches Attest sehen, was zeigt, dass ihr tatsächlich krank gewesen seid. Aber selbst eine Entschuldigung oder ein Attest wären noch keine Beweise im mathematischen Sinne. Schließlich könnten sich eure Eltern oder der Arzt geirrt haben. Vielleicht hatten sie auch recht und es ging euch tatsächlich sehr schlecht, aber trotzdem hättet ihr unter großer Anstrengung und fast unerträglichen Schmerzen eure Hausaufgaben machen können. Mathematische Beweise hingegen müssen jedem Gegenargument standhalten. Für einen Beweis verlangen wir außerdem noch eine mathematische Schreibweise, da diese die Aussage und die Argumentation noch klarer darstellt. Das möchte ich euch an einem Beispiel zeigen, mit dem Miriam mich vor ein paar Jahren in die Welt der Beweise eingeführt hat.

149

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Wahrscheinlich habt ihr in der Schule schon darüber gesprochen, dass die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist. Euer Lehrer hat euch vielleicht davon überzeugt, indem er einige Beispiele an die Tafel geschrieben hat: 6 + 4 = 10, 14 + 20 = 34, 38 + 24 = 62, 1.242 + 2.388 = 3.630, 1.239.816 + 198.238 = 1.438.054. Wunderbar, die Aussage, dass die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist, stimmt offenbar immer. Aber stimmt sie wirklich immer? Eigentlich hat euer Lehrer ja nur fünf Beispiele an die Tafel geschrieben. Tatsächlich können wir uns aber unendlich viele, verschiedene Aufgaben ausdenken, bei denen zwei gerade Zahlen addiert werden. Wir können also nicht alle möglichen Aufgaben durchrechnen, um die Korrektheit der Aussage zu prüfen. Stattdessen versuchen wir es lieber mit einem mathematischen Beweis. Dazu gehört zunächst, dass wir die Aussage in eine mathematische Schreibweise übersetzen. Zunächst geben wir den beiden geraden Zahlen einen Namen. Wir nennen die eine Zahl x und die andere Zahl y. Die Buchstaben x und y stehen zunächst einmal für beliebige Werte. Die Aussage lautet dann: „Falls x und y gerade Zahlen sind, ist auch x + y gerade.“

150

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren Eine gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Das bedeutet, dass x das Produkt von 2 und einer anderen ganzen Zahl ist. Der anderen ganzen Zahl geben wir jetzt auch einen Namen und nennen sie v. Dann gilt x = 2 · v. Das gleiche können wir für y machen. Hier gibt es eine andere ganze Zahl w, so dass wir y =2·w schreiben können. Nun betrachten wir x + y: x + y = 2 · v + 2 · w = 2 · (v + w). Dabei haben wir für die letzte Gleichung das sogenannte Distributivgesetz angewendet. Das ist die Rechenregel, die es uns erlaubt, die Zahl 2 auszuklammern. Die Zahl v + w ist eine ganze Zahl. Das bedeutet, dass wir x + y als Produkt von 2 und einer ganzen Zahl, nämlich v + w, schreiben können. Dann aber muss x + y eine gerade Zahl sein. Geschafft! Das ist ein mathematischer Beweis. Wir müssen jetzt keine endlosen Beispiele mehr durchrechnen. Egal wie groß und außergewöhnlich die beiden geraden Zahlen x und y sind, ihre Summe ist immer eine gerade Zahl. Es gibt mathematische Beweise, für die ihre Entdecker eine geniale Idee haben mussten und die so originell oder auch verblüffend einfach sind, dass andere Mathematiker ins Schwärmen kommen.

151

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Der Mathematiker Paul Erdös (siehe auch Abschnitt 2.10) behauptete einmal, dass Gott sicher ein Buch besitze, „das die besten Beweise aller mathematischen Sätze enthält, Beweise, die elegant und perfekt sind.“ Diese Aussage nahmen die Mathematiker Martin Aigner und Günter M. Ziegler zum Anlass, das „Buch der Beweise“ zu schreiben. Das Buch startet mit sechs (!) verschiedenen Beweisen für die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Hier eine Skizze des ersten überlieferten Beweises, der auf den griechischen Mathematiker Euklid (lebte vor über 2200 Jahren in Alexandria) zurückgeht. Bevor wir den Beweis erläutern, schauen wir uns noch einmal an, warum es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Wenn wir eine Zahl n haben, dann können wir immer eine noch größere Zahl erhalten, indem wir zu n die Zahl 1 addieren. Die Zahl 129.837.198.273.716 kann beispielsweise nicht die Größte aller Zahlen sein, weil 129.837.198.273.716 + 1 noch größer ist. Genauso können wir für jede beliebige Zahl argumentieren. So ähnlich funktioniert auch Euklids Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen. Wir starten mit einer Menge von Zahlen, für die wir bereits wissen, dass sie prim sind. Auf der nächsten Seite zeige ich euch ein Verfahren, wie wir aus dieser Menge noch weitere Primzahlen gewinnen können. Auf diese Weise kann man immer neue Primzahlen finden. Da dies nie aufhört, wissen wir, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss. Lasst uns mit den Zahlen 2, 3, 5 beginnen. Wir wissen bereits, dass diese drei Zahlen Primzahlen sind.

152

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Wenn wir sie miteinander multiplizieren, also 2·3·5 bilden, ist das Ergebnis auf jeden Fall durch 2, 3 und 5 teilbar. Wir müssen es gar nicht ausrechnen, um das festzustellen. Die Zahl ist einfach so gebaut, dass sie die Teiler 2, 3 und 5 besitzt. Wenn wir jetzt aber die Zahl 1 addieren, also 2·3·5+1 bilden, dann kann diese Zahl auf keinen Fall durch 2, 3 oder 5 teilbar sein. Sie hat nämlich beim Teilen durch eine der drei Zahlen immer den Rest 1. Somit muss die Zahl 2 · 3 · 5 + 1 durch eine Primzahl teilbar sein, die von 2, 3 und 5 verschieden ist. Und tatsächlich ergibt sich 2 · 3 · 5 + 1 = 31 und 31 ist eine Primzahl. Wir sind also mit drei Primzahlen gestartet und haben jetzt eine vierte Primzahl hinzugewonnen. Das können wir jetzt wiederholen. Im nächsten Schritt bilden wir 2 · 3 · 5 · 31 + 1 und stellen wieder fest, dass diese Zahl auf keinen Fall durch 2, 3, 5 oder 31 teilbar ist. Denn wieder ergibt sich beim Teilen durch jede dieser vier Primzahlen der Rest 1. Somit muss 2 · 3 · 5 · 31 + 1 durch eine Primzahl teilbar sein, die von 2, 3, 5 und 31 verschieden ist. Tatsächlich gilt 2 · 3 · 5 · 31 + 1 = 7 · 7 · 19. Wir haben also sogar zwei neue Primzahlen gefunden, nämlich 7 und 19. Unsere Menge der Primzahlen ist also auf sechs Primzahlen angewachsen.

153

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Das können wir jetzt unendlich oft wiederholen und wir bekommen immer neue Primzahlen hinzu. Da das nie aufhört, muss es unendlich viele Primzahlen geben. Euklids geniale Idee bestand darin, zu dem Produkt der bereits bekannten Primzahlen die Zahl 1 zu addieren. Durch Addition der Zahl 1 wird sichergestellt, dass die Zahl durch keine der bereits bekannten Primzahlen teilbar ist und es somit eine weitere, neue Primzahl geben muss. Diesen schönen und cleveren Beweis kennen alle Mathematiker! Zum Schluss dieses Abschnitts noch eine Scherzfrage: Warum braucht ein Mathematiker mindestens zwei Freunde? Er erzählt dem ersten Freund, dass er den zweiten besuchen muss, und dem zweiten Freund, dass er dem ersten Freund einen Besuch versprochen hat. Und dann hat er genug Zeit, um über Mathematik nachzudenken und viele mathematische Aussagen zu beweisen.

3.13 Mathematische Preise Es gibt viele Möglichkeiten, reich zu werden. Ihr könnt Lotto spielen und mit viel Glück den Jackpot knacken. Ihr könnt euch bei „Wer wird Millionär?“ bewerben und, wenn ihr über großes Allgemeinwissen verfügt, könnt ihr vielleicht den Hauptpreis mit nach Hause nehmen. Seit dem Jahr 2000 könnt ihr aber auch geniale Mathematiker werden und eines der sechs noch offenen Millenium-Probleme lösen. Im August 1900 stellte der Mathematiker David Hilbert beim internationalen Mathematikkongress in Paris die seiner Meinung nach wichtigsten 23 Probleme

154

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren vor, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts noch nicht geklärt waren. Die meisten der Fragen wurden in den folgenden 100 Jahren tatsächlich beantwortet. Hilberts Vorbild folgend, verkündete das 1999 gegründete Clay-Institut zur Jahrtausendwende sieben noch offene Fragen und versprach jedem, der eines der mathematischen Probleme lösen könne, ein Preisgeld von einer Million US-Dollar. Die Probleme sind leider so kompliziert, dass ich sie euch nicht mit wenigen Zeilen beschreiben kann. Eines der Probleme, die sogenannte Riemann-Vermutung, die sich mit der Verteilung von Primzahlen beschäftigt, kam bereits in Hilberts Liste vor (Hilberts 8. Problem). Ein anderes Problem beschäftigt sich mit der Laufzeit von gewissen Algorithmen, also Computerprogrammen. Alle Probleme gelten als besonders bedeutend, aber auch als äußerst schwierig. Trotzdem wurde eines der sieben Probleme, die sogenannte Poincaré-Vermutung, bereits gelöst! Und zwar von Grigori Jakowlewitsch Perelman, von dem ich euch schon in Abschnitt 2.10 erzählt habe. Als einer der höchsten Auszeichnungen für Wissenschaftler, Schriftsteller, aber auch Politiker gilt der Nobelpreis. Dieser Preis wird jährlich vergeben und aus der von Alfred Nobel gegründeten Stiftung finanziert. Als Alfred Nobel die Fachrichtungen festlegte, bedachte er die Physik, die Chemie, die Medizin, die Literatur und die Bemühungen um den Frieden. Die Mathematik aber ging leer aus. Doch bereits seit 1950 hat die Mathematik ihren eigenen Preis, der unter Mathematikern als „Nobelpreis der Mathematik“ gilt: die Fields-Medaille. Der Stifter der FieldsMedaille war der kanadische Mathematiker John Charles Fields (1863-1932). Sie wird alle vier Jahre auf dem internationalen Mathematikkongress vergeben und geht an die Mathematiker, die sich in besonderer Weise beim Finden neuer Ergebnisse hervorgetan haben. Im Gegensatz zum Nobelpreis gibt es jedoch einen wesentlichen Unterschied: Während Nobelpreisträger meist am Ende ihrer beruflichen Laufbahn stehen und den Preis für Ergebnisse erhalten, die möglicherweise Jahrzehnte zurückliegen, darf der Preisträger der Fields-Medaille zum Zeitpunkt der Verleihung nicht älter als 40 Jahre sein.

155

Von gigantischen Monstern und mathematischen Lorbeeren

Die Fields-Medaille ist aus purem Gold und trägt neben dem Kopf des griechischen Mathematikers Archimedes den folgenden Text in Latein: „Den eigenen Verstand überschreiten und sich der Welt bemächtigen.“ Hier noch ein paar Infos zur Fields-Medaille: • Der jüngste Fields-Medaillist mit nur 27 Jahren war Jean-Pierre Serre. • Als bisher einzige Frau erhielt die Iranerin Maryam Mirzakhani im Jahr 2014 die Auszeichnung. • Unter den Preisträgern befinden sich mit Gerd Faltings und Peter Scholze auch zwei deutsche Mathematiker. Die Fields-Medaille zu erhalten, ist eine große Ehre, und sie macht den Preisträger in der mathematischen Welt berühmt – aber nicht reich. Im Gegensatz zum Nobelpreis ist die Auszeichnung nur mit vergleichsweise läppischen 10.000 Euro verbunden. Auch fehlte lange Zeit ein angemessener Preis, um Leistungen älterer Mathematiker und deren Lebenswerk zu würdigen. Diese Lücke nutzten die Norweger und führten zum 200. Jahrestag des norwegischen Mathematikgenies Niels Henrik Abel im Jahr 2003 den Abelpreis ein, der dem Preisträger neben Ruhm und Ehre etwa 700.000 Euro einbringt.

156

4 Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen 4.1 Alles nur ein Glücksspiel? Meine Freundin Tessa und ich spielen gerne „Mensch ärgere Dich nicht“. „Ich brauche jetzt nur eine 6 zu würfeln und dann kann ich dein Männchen schlagen“, droht Tessa mir. „Aber das ist doch unwahrscheinlich“, sage ich. „Aber nicht unwahrscheinlicher als eine Eins“, stellt Tessa fest.

Mathematiker untersuchen auch Wahrscheinlichkeiten und rechnen sogar mit ihnen. Wenn wir einen normalen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 betrachten, sind alle Zahlen gleichwahrscheinlich. Dies bedeutet: Wenn wir sehr oft würfeln, erwarten wir, dass alle Zahlen gleich oft auftreten. Nehmt zwei Würfel und spielt mit einem Freund oder einer Freundin das folgende Spiel, das aus zwei Teilspielen besteht. Jedes Teilspiel wiederum hat 100 einzelne Runden. Für den ersten Teil wählt jeder eine Wunschzahl von 1 bis 6. Dann würfelt ihr 100-mal. Wenn die Wunschzahl des ersten Spielers fällt, macht ihr in der Tabelle in der ersten Zeile einen Strich. Wenn die Wunschzahl des zweiten Spielers fällt,

157

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_5

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen macht ihr in seiner Zeile einen Strich. Derjenige mit den meisten Strichen nach 100 Würfen hat die erste Runde gewonnen. Name des Spielers

Wunschzahl

Striche

In der zweiten Runde würfelt ihr mit zwei Würfeln. Hier werden nach jedem Wurf die Augenzahlen der beiden Würfel zusammengezählt. Ihr bildet also die Augensumme.

Dabei sind die Zahlen 2 bis 12 möglich. Jeder von euch wählt eine Wunschzahl, dieses Mal zwischen 2 und 12. Wieder würfelt ihr 100-mal. Name des Spielers

Wunschzahl

Striche

Ist euch etwas aufgefallen? Zunächst einmal schauen wir uns das erste Spiel an. Wenn ihr mit einem normalen Würfel gespielt habt, sollten alle Zahlen mit etwa der gleichen Häufigkeit aufgetreten sein. Trotzdem hat vermutlich einer von euch gegen den anderen gewonnen. Das war dann aber einfach nur Glück! Beim nächsten Mal könnte das Spiel genau umgekehrt ausgehen. Ganz anders ist das im zweiten Spiel. Hier gibt es günstige und weniger günstige Zahlen. Die Zahlen 2 und 12 treten beispielsweise sehr selten auf. Die Mathematiker sagen „Diese Zahlen sind unwahrscheinlicher als andere.“ oder „Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder 12 fällt, ist klein.“ Doch warum ist dies so?

158

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Wir betrachten einmal die Zahl 2 und nehmen an, dass wir nicht mit beiden Würfeln gleichzeitig würfeln, sondern erst mit dem einen und dann mit dem anderen. Am Ergebnis ändert dies nichts. Es gibt nur eine einzige Möglichkeit, eine 2 zu würfeln. Wir müssen mit dem ersten Würfel eine 1 und mit dem zweiten Würfel ebenfalls eine 1 würfeln: 2 = 1 + 1. Genau das gleiche gilt für die Zahl 12. Damit wir als Augensumme eine so große Zahl erreichen können, müssen wir im ersten und zweiten Wurf eine 6 würfeln. Wieder gibt es nur eine einzige Möglichkeit: 6 + 6 = 12. Betrachten wir nun eine andere Zahl: Wir wollen zum Beispiel die Zahl 5 würfeln. Falls wir im ersten Wurf eine 1 würfeln, können wir immer noch eine 5 erzielen, indem wir mit dem zweiten Würfel eine 4 würfeln. Auch eine 2 ist kein Problem: Wenn wir mit dem zweiten Würfel eine 3 würfeln, erhalten wir als Augensumme eine 5. Ebenso sehen wir, dass wir im ersten Wurf auch eine 3 oder eine 4 haben können. Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten, eine 5 zu würfeln: 5 = 4 + 1 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2. Wir stellen fest, dass die Augensumme 5 viermal wahrscheinlicher ist als die Augensummen 2 oder 12. Nun gibt es aber eine Zahl, die alle anderen übertrifft. Das ist die Zahl 7. Denn egal, was wir mit dem ersten Wurf würfeln, die Zahl 7 ist immer noch möglich: 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6 + 1. Die Zahl 7 ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft. Insgesamt ergibt sich das folgende Bild:

159

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Betrachtet einmal das bekannte Brettspiel „Catan – Das Spiel“, das mit zwei Würfeln gespielt wird. Bei diesem Spiel errichten die Spieler Siedlungen. Eine Siedlung ist dann besonders gut, wenn sie viel Ertrag abwirft. Der Ertrag wird durch die Rohstofffelder bestimmt, die an die Siedlung angrenzen. Reihum würfeln die Spieler. Eine Siedlung wirft Ertrag ab, wenn sich dabei eine Augensumme ergibt, die auf einem Plättchen auf einem der angrenzenden Rohstofffelder abgebildet ist.

Selbsterstelltes Foto mit freundlicher Genehmigung der Catan GmbH

160

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Auf dem Spielfeld oben erhält der rote Spieler einen Rohstoff (nämlich ein Erz), wenn die Zahl 11 gewürfelt wird, weil seine Siedlung an das Erzfeld mit der Zahl 11 grenzt. Auch der blaue und der weiße Spieler können sich über Ertrag freuen. Ihre beiden Siedlungen grenzen an ein Lehmfeld mit einer 11. Übrigens gibt es kein Rohstofffeld mit einer 7. Falls ein Spieler eine 7 würfelt, werden keine Rohstoffe ausgezahlt, sondern der Spieler darf stattdessen den schwarzen Räuber ziehen, der oben links im Bild zu sehen ist. Der Erfinder des Spiels hat sich nun einiges einfallen lassen, um den Spielern zu helfen, die sich nicht so gut mit Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennen. Die beiden zweithäufigsten Zahlen (nach der 7) sind die Zahlen 6 und 8. Diese hat er rot eingefärbt. Für die anderen Zahlen gibt es unterschiedliche Größen. Die Schriftgröße auf den Plättchen mit den Zahlen 5 und 9 ist groß, die beiden Zahlen mit den geringsten Wahrscheinlichkeiten, die Zahlen 2 und 12, sind klein gedruckt.

Die Spieler mit den weißen und blauen Steinen haben jeweils eine Siedlung mit zwei angrenzenden Straßen gebaut. Welche Siedlung wirft auf lange Sicht häufiger Ertrag ab?

Es gibt noch viele andere Spiele, die mit zwei Würfeln gespielt werden, zum Beispiel das Spiel „Monopoly“.

161

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Probiert doch einmal aus, was passiert, wenn ihr drei Würfel nehmt und die Augensumme der drei Würfe betrachtet. Hier können die Zahlen von 3 bis 18 vorkommen. Welche Zahlen sind wahrscheinlicher als andere? Um eine Idee zu bekommen, würfelt 100-mal mit drei Würfeln und tragt die jeweilige Augensumme in die Tabelle ein: 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Dann könnt ihr euch einmal anschauen, was passiert, wenn ihr mit zwei Würfeln würfelt, aber nicht die Augensumme, sondern das Produkt (also das Ergebnis der Malaufgabe) der beiden Augenzahlen betrachtet? Die kleinste Zahl ist hier die Zahl 1, die größte 36. Welche Ergebnisse sind überhaupt möglich? Beispielsweise können wir damit nicht die Zahl 7 erreichen. Wenn wir das Produkt der beiden Augenzahlen bei zwei Würfeln betrachten, gibt es zwei Zahlen, die sich am häufigsten einstellen. Beide treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Welche Zahlen sind das? Wahrscheinlichkeiten spielen in unserem Leben eine wichtige Rolle – nicht nur bei Gesellschaftsspielen. Banken und Versicherungen würden ohne Berechnung der erforderlichen Wahrscheinlichkeiten schnell pleite sein.

4.2 Würfeln mit Pokerface Meine Schwester Miriam lässt sich manchmal auch herab und spielt mit Tessa und mir das bekannte Würfelspiel „Lügenmäxchen“. Da ist Miriam fast unschlagbar,

162

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen weil wir ihr nie ansehen können, ob sie die Wahrheit sagt oder uns etwas vormacht. Das Spiel wird mit zwei Würfeln und einem Würfelbecher gespielt. Ihr solltet mindestens zu dritt sein, könnt das Spiel aber auch gut mit 6 bis 8 Leuten spielen. Der höchste Wurf ist eine 1 und eine 2 und heißt Mäxchen.

Danach gilt die folgende Rangfolge: 6er Pasch (zweimal die 6), 5er Pasch (zweimal die 5), 4er Pasch (zweimal die 4), 3er Pasch (zweimal die 3), 2er Pasch (zweimal die 2), 1er Pasch (zweimal die 1), danach 6 und 5, 6 und 4, 6 und 3 und so weiter. Die niedrigste Kombination ist 3 und 1. Wenn ihr eine 1 und eine 2 gewürfelt habt, ruft ihr „Mäxchen“ und deckt die beiden Würfel auf, so dass jeder sie sehen kann. In allen anderen Fällen schaut nur der Spieler selbst unter den Würfelbecher und gibt dann bekannt, was er erzielt hat. Dabei muss er aber nicht unbedingt die Wahrheit sagen. Der nachfolgende Spieler hat nun zwei Möglichkeiten: 1. Er kann das Ergebnis anzweifeln. In diesem Fall muss sein Vorgänger den Würfelbecher heben und sein Ergebnis zeigen. Wenn er gelogen hat, scheidet er aus. Wenn er die Wahrheit gesagt hat, ist der Zweifler draußen. 2. Er glaubt seinem Vorgänger das Ergebnis. In diesem Fall nimmt er den Würfelbecher und würfelt erneut. Dabei muss er das Ergebnis seines Vorgängers übertreffen. Hier gibt es nun wieder zwei Möglichkeiten: Er würfelt tatsächlich eine höhere Kombination oder – falls ihm dies nicht gelingt – gibt er vor, ein besseres Ergebnis erreicht zu haben, das heißt, er lügt.

163

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Sobald ein Spieler ausgeschieden ist, wird wieder von vorne begonnen. Wer am Ende verbleibt, hat die Runde gewonnen. Wenn wir mit zwei Würfeln würfeln, gibt es insgesamt 36 verschiedene Ausgänge: Für den Wurf mit dem ersten Würfel gibt es 6 mögliche Ausgänge, nämlich 1 bis 6. Und für den zweiten Wurf haben wir noch einmal 6 Möglichkeiten. Um auf die Gesamtanzahl der Möglichkeiten zu kommen, müssen wir beides miteinander multiplizieren und erhalten so 6 · 6 = 36 mögliche Ausgänge. Auch bei „Lügenmäxchen“ ist es hilfreich, die Wahrscheinlichkeiten zu kennen, um besser abschätzen zu können, wie hoch die gegnerischen und die eigenen Chancen sind, ein vorgegebenes Ergebnis noch weiter zu verbessern. Schauen wir uns einmal die folgende Situation mit drei Spielern an. Der erste Spieler hat behauptet, einen 5er Pasch gewürfelt zu haben. Sein Nachfolger (Spieler Nr. 2) hat daraufhin angeblich einen 6er Pasch erzielt. Was soll der 3. Spieler tun? Bei seiner Entscheidung wird er zwei Überlegungen berücksichtigen: • Wie wahrscheinlich ist es, dass er durch seinen nächsten Wurf den 6er Pasch überbietet? Nun, das ist nicht besonders wahrscheinlich. Nur Mäxchen ist höher als ein 6er Pasch und nur zwei von 36 möglichen Ausgängen mit zwei Würfeln führen auf Mäxchen. Er kann entweder zuerst 1 und dann 2 oder erst 2 und dann 1 würfeln. Das ist nicht besonders aussichtsreich. • Auf der anderen Seite kann es aber auch sein, dass Spieler Nr. 2 gelogen hat. Und die Chancen dafür stehen in der vorliegenden Situation recht gut. Da Spieler Nr. 1 einen 5er Pasch vorgelegt hat, musste Spieler Nr. 2 entweder einen 6er Pasch oder Mäxchen würfeln. Das sind nur 3 von 36 möglichen Ausgängen. In 33 von 36 möglichen Fällen ist ihm das nicht gelungen und er musste lügen. Somit wird Spieler Nr. 3 nicht würfeln, sondern das Ergebnis des 2. Spielers anzweifeln. Mit großer Wahrscheinlichkeit hat dieser tatsächlich gelogen und scheidet aus.

164

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Für das Spiel „Lügenmäxchen“ hilft es somit zu wissen, wie viele der 36 möglichen Ausgänge ein vorgelegtes Ergebnis übertreffen. Diese Anzahl ist in Tabelle 1 angegeben. Mäxchen lässt sich nicht überbieten, deshalb liegt hier die Anzahl bei 0 und ist nicht aufgeführt. Vorgänger würfelte

Anzahl der Möglichkeiten, den Wurf zu übertreffen

6er Pasch 5er Pasch 4er Pasch 3er Pasch 2er Pasch 1er Pasch 6 und 5 6 und 4 6 und 3 6 und 2

2 3 4 5 6 7 8 10 12 14

Vorgänger würfelte 6 5 5 5 5 4 4 4 3 3

und und und und und und und und und und

1 4 3 2 1 3 2 1 2 1

Anzahl der Möglichkeiten, den Wurf zu übertreffen 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Tabelle 1: Anzahl der Möglichkeiten bei 36 möglichen Ausgängen, ein vorgegebenes Ergebnis mit dem nächsten Wurf zu übertreffen Nach Tabelle 1 gibt es 18 von 36 möglichen Ausgängen, die den Wurf 5 und 4 übertreffen. Wenn euer Vorgänger also eine 5 und eine 4 gewürfelt hat, werdet ihr in genau der Hälfte aller Fälle ein besseres Ergebnis erzielen. Im anderen Fall seid ihr gezwungen zu lügen, um nicht direkt auszuscheiden.

4.3 Zaubertrick: Unbesiegbar Nun stelle ich euch ein Würfelspiel für 2 Personen vor, das ihr mit großer Wahrscheinlichkeit gewinnen werdet. Die Spielregeln sind einfach: Es gibt drei Würfel. Euer Mitspieler beginnt und wählt einen der drei Würfel aus. Dann wählt ihr einen der beiden verbleibenden Würfel. Nun wird 100-mal geworfen. Bei jedem Wurf erhält der Spieler mit der höheren Augenzahl einen Punkt. Wer am Ende die meisten Punkte hat, hat gewonnen.

165

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Und warum solltet ihr das fast immer gewinnen? Nun, das war noch nicht die komplette Spielbeschreibung. Gespielt wird nämlich nicht mit drei herkömmlichen Würfeln, sondern mit den drei Würfeln, deren Netze unten abgebildet sind. Zur Vorbereitung zeichnet ihr die Würfelnetze ab, schneidet sie aus und klebt sie zusammen. Würfel Nr. 1:

Würfel Nr. 2:

Würfel Nr. 3:

166

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Ihr geht nun wie folgt vor: Wählt der Mitspieler • Würfel Nr. 1, dann wählt ihr Würfel Nr. 3, • Würfel Nr. 2, dann wählt ihr Würfel Nr. 1, • Würfel Nr. 3, dann wählt ihr Würfel Nr. 2. Auf Dauer werdet ihr mit hoher Wahrscheinlichkeit mehr Punkte als euer Mitspieler sammeln. Wieso? Ich erkläre das ausführlich am ersten Fall, wenn euer Mitspieler Würfel Nr. 1 und ihr den Würfel Nr. 3 auswählt. Es gibt hier die folgenden neun Fälle, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Jedes der 9 Felder in der unten stehenden Tabelle stellt einen der möglichen Fälle dar: 1

6

8

Ihr gewinnt Ihr gewinnt Ihr gewinnt

Mitspieler gewinnt Mitspieler gewinnt Ihr gewinnt

Mitspieler gewinnt Mitspieler gewinnt Ihr gewinnt

Euer Mitspieler würfelt Ihr würfelt

2 4 9

Wie ihr seht, gewinnt ihr in 5 der 9 Fälle, euer Mitspieler aber nur in 4 der 9 Fälle. Bei einer hohen Anzahl von Würfen (wie etwa die oben angegebenen 100 Würfe) werdet ihr dieses Spiel mit hoher Wahrscheinlichkeit für euch entscheiden.

4.4 Zaubertrick: Mit Würfeln zaubern Der folgende Zaubertrick besteht aus zwei Teilen. Ihr benötigt dafür drei Würfel. Der Trick beruht auf der Tatsache, dass die Summe von zwei gegenüberliegenden Zahlen auf dem Würfel stets die Zahl 7 ergibt: 1 + 6 = 7,

2 + 5 = 7,

167

3 + 4 = 7.

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

1. Teil: Für den ersten Teil werden nur zwei Würfel benötigt. • Gebt die Würfel einem Zuschauer und wendet ihm dann den Rücken zu. Der Zuschauer soll nun mit beiden Würfeln so oft würfeln, bis er mit dem Ergebnis zufrieden ist. Dann bittet ihr ihn, die beiden Augenzahlen der Würfel zusammenzuzählen. • Als nächstes soll der Zuschauer einen der beiden Würfel auf die gegenüberliegende Seite drehen und diese Augenzahl zu der zuvor berechneten Summe hinzuzählen. Ihr fordert ihn auf, mit dem Würfel, den er umgedreht hat, noch einmal zu würfeln und die Augenzahl ebenfalls zu der Summe hinzuzufügen. • Nun dreht ihr euch um, werft einen kurzen Blick auf die beiden Würfel und nennt dem Zuschauer dann die von ihm ermittelte Summe.

Wenn ihr euch umdreht, berechnet ihr schnell die Augensumme der beiden Würfel auf dem Tisch. Nun müsst ihr einfach die Zahl 7 hinzuzählen und könnt dann die vom Zuschauer ermittelte Summe benennen. Nehmen wir beispielsweise an, dass der Zuschauer zunächst eine 5 und eine 4 gewürfelt hat. Dann erhält er nach dem ersten Schritt die Zahl 4 + 5 = 9. Nun nimmt er die Rückseite des Würfels mit der 4 und sieht dort eine 3, die er zu 9 hinzuaddiert: 9 + 3 = 12. Anschließend würfelt er mit diesem Würfel erneut und dieses Mal zeigt er eine 6. Der Zuschauer rechnet also 12 + 6 = 18. Wenn ihr euch umdreht, seht ihr eine 5 und eine 6. Ihr rechnet also 5 + 6 + 7 = 18.

168

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

2. Teil: Jetzt kommt noch der dritte Würfel zum Einsatz. • Gebt dem Zuschauer alle drei Würfel und wendet ihm den Rücken zu. Der Zuschauer soll nun mit allen drei Würfeln würfeln und die Augensumme ermitteln. Diese soll er sich gut merken. • Anschließend soll er zwei der drei Würfel nehmen und wieder auf die gegenüberliegende Seite drehen (wie im 1. Teil) und die Augensumme dieser beiden Würfel zu seiner Summe hinzuzählen. • Einen der beiden Würfel steckt der Zuschauer nun in seine Tasche. Mit dem anderen Würfel würfelt er noch einmal und addiert die Augenzahl zu seiner Summe. • Nun dreht ihr euch um und könnt ihm auch dieses Mal die Summe nennen.

Das Trickprinzip ist das gleiche wie oben. Wenn ihr euch umdreht, berechnet ihr wieder die Augensumme der beiden noch verbliebenen Würfel und zählt diesmal die Zahl 14 hinzu. Nehmen wir beispielsweise an, dass der Zuschauer zunächst 2, 3 und 6 gewürfelt hat. Somit erhält er im ersten Schritt die Zahl 2 + 3 + 6 = 11. Nun dreht er die beiden Würfel mit 2 und 3 auf die gegenüberliegende Seite um und sieht die Zahlen 5 und 4, die er zu seiner Zahl addiert: 11 + 5 + 4 = 20. Als nächstes steckt er die 4 in seine Tasche und würfelt mit dem anderen Würfel noch ein weiteres Mal. Dieses Mal ergibt sich die Zahl 2. Die Endsumme ist somit 20+2 = 22.

169

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Wenn ihr euch umdreht, seht ihr die Zahlen 6 und 2, also die Summe 8. Ihr zählt die Zahl 14 dazu und erhaltet ebenfalls 22.

4.5 Der Zufall in der Küche Lust auf Würfelplätzchen?

Zutaten für den Teig: 200 Gramm Puderzucker 250 Gramm Butter 450 Gramm Mehl Mark einer Vanilleschote 1 Ei 1 Prise Salz

Zutaten für die Glasur: 400 Gramm Puderzucker Eiweiß von 2 Eiern ein wenig Zitronensaft eine Packung Schokotröpfchen. Außerdem benötigt ihr noch Backpapier. Butter, Puderzucker und Salz mit dem Mark der Vanilleschote schaumig rühren, Ei und Mehl hinzugeben und alles zu einem glatten Teig kneten. Formt eine Kugel und stellt den Teig über Nacht in den Kühlschrank.

170

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Schneidet aus Pappkarton (zum Beispiel der Rückseite eines Zeichenblocks) eine Schablone in Form eines Quadrats von 4 oder 5 cm Seitenlänge aus. Rollt den Teig aus. Es kann sein, dass er am Nudelholz festklebt. Um das zu verhindern, könnt ihr Backpapier zwischen den Teig und das Nudelholz legen. Anschließend schneidet ihr mit einem Messer und mit Hilfe der Schablone die gewünschten Quadrate aus. Mit einem Tortenheber lassen sie sich leicht auf ein mit Backpapier ausgelegtes Blech legen. Im vorgeheizten Backofen (180 Grad Ober- und Unterhitze) brauchen die Plätzchen etwa 15 bis 20 Minuten. Die Plätzchen sind fertig, wenn sie sich an den Rändern leicht braun verfärben. Jetzt könnt ihr sie aus dem Backofen holen und abkühlen lassen. Für den Belag nehmt ihr den Puderzucker und das Eiweiß und verrührt beides auf unterer Stufe mit einem Handmixer. Streicht die Glasur mit einem Messer oder Backpinsel auf die Plätzchen. Jetzt ist es wichtig zu warten, bis der Puderzucker etwas fest geworden ist. Dann könnt ihr die Schokotröpfchen für die Augenzahlen der Würfel auf die Glasur drücken.

171

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

4.6 Eine haarige Sache Ich erkläre euch in diesem Abschnitt das Murmel-Gläser-Prinzip. Wir nehmen einmal an, dass ihr ein Säckchen mit einigen Murmeln (Glaskugeln) habt. Am Anfang machen wir es uns einfach und gehen davon aus, dass unser Säckchen nur drei Murmeln enthält. Diese möchten wir nun auf zwei Gläser verteilen, bis keine Murmeln mehr im Säckchen sind. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Aber wie wir uns auch anstellen, wir werden nicht verhindern können, dass in einem Glas mindestens zwei Murmeln liegen. Probiert es einmal aus! Könnt ihr alle Möglichkeiten, drei Murmeln auf zwei Gläser zu verteilen, auflisten?

Woran liegt das? Die Antwort ist einfach: Es gibt zu wenige Gläser! Wenn wir drei Gläser hätten, könnten wir in jedes Glas eine Murmel legen. Dann würde es kein Glas mit zwei oder mehr Murmeln geben. Wenn wir vier oder mehr Gläser nehmen, gibt es am Ende sogar mindestens ein Glas, das gar keine Murmel enthält. Aber bei drei Murmeln und zwei Gläsern müssen in einem der zwei Gläser auf jeden Fall mindestens zwei Murmeln liegen. Nehmen wir nun an, dass unser Säckchen 10 Murmeln enthält und wir 7 Gläser haben. Auch hier können wir die Murmeln nicht so auf die Gläser verteilen, dass jedes Glas nur höchstens eine Murmel enthält. Es wird wieder Gläser geben, in denen zwei oder mehr Murmeln liegen (in diesem Fall sogar mindestens 3!).

172

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Und wenn wir 220.000 Murmeln haben, aber nur 200.000 Gläser? Dann muss es auch wieder Gläser geben, in denen zwei oder mehr Murmeln zu finden sind. Solange wir mehr Murmeln als Gläser haben, lässt sich das nicht vermeiden. Ihr findet das einfach? Nun, ich habe nicht gesagt, dass das Murmel-Gläser-Prinzip schwierig ist. Aber wir können damit leicht Fragen beantworten, die auf den ersten Blick gar nicht so einfach aussehen. Ich behaupte jetzt, dass es zwei Leute in Lübeck gibt, die die gleiche Anzahl von Haaren auf dem Kopf haben. Das glaubt ihr mir nicht? Ich habe natürlich nicht alle Einwohner Lübecks zu mir gebeten und ihre Haare gezählt. Wie kann ich das dann wissen? Nun ich wende einfach das Murmel-Gläser-Prinzip an. Das ist übrigens etwas, was Mathematiker häufig machen. Sie versuchen bekannte Lösungen auf neue Probleme zu übertragen. Jeden Einwohner Lübecks stellen wir jetzt durch eine Murmel da. Das ist ein Gedankenexperiment. Die erste Murmel ist Fritz Müller, die zweite Gerda Schneider, die dritte Maximilian Hofmann und so weiter. Insgesamt benötigen wir etwa 220.000 Murmeln, da Lübeck knapp 220.000 Einwohner hat. Wir stellen nun – natürlich auch nur in Gedanken – 200.000 Gläser auf. In das erste Glas geben wir alle Murmeln, die zu Einwohnern gehören, die gar keine Haare mehr haben. In das zweite Glas kommen alle Murmeln, die zu Einwohnern gehören, die noch genau ein Haar haben. Das dritte Glas wird mit den Murmeln von Einwohnern befüllt, die genau zwei Haare haben. So fahren wir fort bis zum letzten Glas, das alle Murmeln von Einwohnern enthält, die 199.999 Haare haben. Die Biologen haben herausgefunden, dass ein Mensch weniger als 200.000 Haare hat. Somit haben wir nach dem letzten Glas alle Murmeln verteilt.

173

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Nach dem Murmel-Gläser-Prinzip muss nun mindestens ein Glas wenigstens zwei Murmeln enthalten. Dies bedeutet aber, dass die beiden Einwohner, die durch die zwei Murmeln dargestellt werden, die gleiche Anzahl von Haaren haben. Und wir sind fertig! Wir mussten nicht allen Einwohnern Lübecks die Haare zählen. Um die Frage, ob es zwei Einwohner mit der gleichen Anzahl von Haaren gibt, zu beantworten, brauchten wir nur zwei Informationen: • die Anzahl der Haare, die ein Mensch höchstens hat, und • die Anzahl der Einwohner Lübecks.

Könnt ihr diesen Trick verwenden, um folgende Fragen zu klären? Überlegt einmal, was in diesen Beispielen die Murmeln und was die Gläser sind? 1. Bei wie vielen Schülern pro Klasse können wir mit Sicherheit sagen, dass es einen Monat gibt, in dem mindestens drei Schüler der Klasse Geburtstag haben? 2. Wählt

sechs

unterschiedliche

Zahlen

aus

der

Menge

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Könnt ihr zeigen, dass es mindestens zwei Zahlen gibt, deren Summe gleich 10 ist? Zur zweiten Aufgabe findet ihr im Abschnitt A.1 noch einen Tipp.

Unser Murmel-Gläser-Prinzip ist unter Mathematikern auch als „Schubfachprinzip“ oder „Taubenschlagprinzip“ bekannt und geht auf den Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) zurück.

174

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

4.7 Zaubertrick: Büchermagie Dieser Trick macht sich ein Prinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung zunutze. Dies bedeutet aber auch, dass er möglicherweise scheitern kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber sehr gering. In den meisten Fällen läuft alles wie am Schnürchen.

Ihr wählt eine beliebige Seite aus einem Buch eurer Wahl aus. Es kann auch ein geliehenes Buch sein, aber ihr benötigt im Vorfeld etwas Zeit, um euch die Buchseite gut anzuschauen. Dann schreibt ihr ein einziges Wort auf ein Stück Papier. Das ist eure Vorhersage. Diesen Zettel könnt ihr noch in einen Umschlag stecken und diesen einem Zuschauer zur Aufbewahrung geben. Wie ihr eure Vorhersage bestimmt, erkläre ich später. Nun bittet einen Zuschauer sich ein beliebiges Wort aus den ersten zwei Zeilen der aufgeschlagenen Seite auszuwählen. Er soll die Buchstaben seines Wortes zählen. Nehmen wir an, das Wort lautet „Mensch“ und hat somit 6 Buchstaben. Der Zuschauer soll im Text 6 Wörter weitergehen und als nächstes die Buchstaben des Wortes zählen, auf dem er landet. Wenn dies beispielsweise das Wort „spielen“ ist, erhält er die Zahl 7. Als nächstes zählt er deshalb 7 Wörter weiter. So fährt er fort, bis er die nächste Seite erreicht hat. Das erste Wort auf der neuen Seite, auf dem er durch das Abzählen landet, ist sein Zielwort. Wir nehmen einmal an, dass dies das Wort „plötzlich“ ist. Jetzt bittet den Zuschauer mit dem Umschlag, diesen zu öffnen. Dort steht ebenfalls das Wort „plötzlich“. Was müsst ihr machen, um diese korrekte Vorhersage zu treffen?

175

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Nehmt das erste Wort auf eurer gewählten Seite und geht nun genauso vor wie später der Zuschauer, nämlich Buchstaben zählen und dann zum entsprechenden Wort weiterzählen. Wieder Buchstaben zählen und so weiter. Schreibt das erste Wort der nächsten Seite auf, das ihr ausgehend von dem gewählten Wort erreicht. In den allermeisten Fällen wird es mit dem Zielwort des Zuschauers identisch sein, auch wenn dieser mit einem anderen Wort gestartet ist. Warum ist das so? Sobald der Zuschauer zwischendurch auf einem Wort landet, das auch ihr zuvor erreicht hattet, stimmen auch alle nachfolgenden Worte überein. Wenn nur hinreichend viele Worte auf der Seite stehen, ist es sehr wahrscheinlich, dass ihr einmal auf das gleiche Wort trefft. Damit der Trick nicht misslingt, sollte die Seite nicht zu wenig Wörter haben. Wenn sie allerdings sehr viele Wörter hat, dauert das Durchzählen bis zum Ende der Seite sehr lange, und ihr verliert die Aufmerksamkeit des Publikums. Gut geeignet sind beispielsweise Lesebücher für das zweite oder dritte Schuljahr, bei denen schon mehrere Sätze auf einer Seite stehen, aber die Schrift noch relativ groß ist.

4.8 Garstige Ziegen Stellt euch vor, ihr werft einen Euro in die Luft. Dann landet der Euro entweder auf der Seite mit der Zahl oder auf der Bildseite, die von Land zu Land unterschiedlich ist. Die Chance, mit einem Wurf die Zahl zu erhalten, beträgt also 1 zu 2. Wir können statt der Münze auch ein Glücksrad mit nur zwei, gleich großen Feldern drehen. Auf dem einen Feld ist eine Zahl eingetragen, auf der anderen Seite ein Bild. Mathematiker ordnen den Wahrscheinlichkeiten auch Brüche zu. Sie sagen dann: „Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl zu werfen, beträgt 12 .“ Jetzt werfen wir die Münze zweimal. Was kommt häufiger vor: zweimal die Zahl oder zwei unterschiedliche Ausgänge, das heißt, einmal Zahl- und einmal Bildseite?

176

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Mathematiker überlegen sich das, indem sie Bäume zeichnen. Das sind natürlich keine richtigen Bäume, aber sie haben auch eine Wurzel und Äste. Die Äste stellen die verschiedenen Möglichkeiten dar. Für unseren Münzwurf sieht der Baum wie in Abbildung 3 aus. Vom Startknoten aus gibt es zwei Möglichkeiten: Bildseite oder Zahl. Beim zweiten Wurf gibt es wieder jeweils zwei Möglichkeiten.

Abbildung 3: Wahrscheinlichkeitsbaum für den zweimaligen Münzwurf

Die vier Endknoten stehen somit für alle vier Möglichkeiten, die das zweimalige Werfen einer Münze ergeben können: zweimal Bildseite, das erste Mal Bildseite dann Zahl, erst Zahl dann Bildseite oder zweimal Zahl. Jeder dieser vier Ausgänge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 14 . Nur in einem der vier Fälle erhalten wir zweimal Zahl. Der entsprechende Endknoten ist in Abbildung 4 durch ein rotes Quadrat markiert.

177

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Abbildung 4: Baum mit markiertem Endknoten für zweimal Zahl

Aber in zwei Fällen erhalten wir einmal Zahl- und einmal Bildseite (vergleiche Abbildung 5). Somit kommt dies doppelt so häufig wie zweimal Zahl vor.

Abbildung 5: Baum mit markiertem Endknoten für einmal Bildseite und einmal Zahl (Reihenfolge spielt keine Rolle)

Wahrscheinlichkeiten helfen euch, wenn es darum geht, Entscheidungen zu treffen. Dazu betrachten wir ein Beispiel. Eine Freundin oder ein Freund schlägt euch folgendes Spiel vor: „Du zahlst mir einen Euro. Dann werfen wir eine Münze. Wenn die Münze auf Zahl fällt, gebe ich dir 1, 50 Euro. Wenn die Münze hingegen auf die andere Seite fällt, gibt es nichts.“ Würdet ihr mitspielen?

178

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Natürlich nicht. Denn wenn eine Zahl fällt, habt ihr zwar 50 Cent gewonnen. Wenn die Münze aber auf die Bildseite fällt, dann beträgt euer Verlust einen Euro. Da beide Ereignisse gleich häufig beziehungsweise mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, wäre das für euch ein schlechtes Geschäft. Ich spiele dieses Spiel übrigens häufiger mit Fritzchen, den ihr schon aus Abschnitt 3.3 kennt. Er fällt immer wieder auf mich herein, und ich kann leicht einige Euros verdienen. Er hofft einfach immer, dass die Zahl fällt und er 50 Cent gewinnt. Aber dafür lade ich ihn im Sommer dann von meinem Erlös zum Eisessen ein. Schließlich ist es keine feine Sache, seinen Freund übers Ohr zu hauen. Nun, bisher war es einfach. Etwas komplizierter ist Lotto. Auch hier kann man ausrechnen, dass Lotto ein schlechtes Geschäft ist und die meisten Leute ihren Einsatz verlieren. Trotzdem lassen sich viele nicht davon abhalten, jede Woche ihr Glück zu versuchen, so wie Fritzchen bei unserem Münzspiel. Stellt euch jetzt vor, ihr seid in eine Fernsehshow eingeladen und habt das Finale erreicht. Der Showmaster zeigt euch drei verschlossene Türen. Er erklärt euch, dass hinter einer der Türen der Hauptpreis, ein Auto, steht. Hinter den anderen beiden Türen befindet sich jeweils eine Ziege. Ihr sollt nun auf eine Tür zeigen. Nachdem ihr eine Wahl getroffen habt, öffnet der Showmaster diese Tür zunächst aber nicht, sondern gibt euch einen Hinweis: Er öffnet eine der zwei nicht gewählten Türen, hinter der eine Ziege steht. Eine solche Tür wird es in jedem Fall geben. Danach bittet er euch, eure Wahl zu überdenken. Es gibt jetzt nur noch zwei verschlossene Türen, zwischen denen ihr wählen könnt. Was geht euch durch den Kopf?

179

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen Lasst ihr euch von dem Geschwätz und Getue des Showmasters nicht beeindrucken und bleibt einfach standhaft bei eurer ersten Wahl? Oder denkt ihr euch, dass der Showmaster euch sicher helfen wollte und wechselt auf die andere Tür? Vielleicht sagen einige von euch, dass es keine Rolle spielt: Es gibt nur noch zwei verschlossene Türen, also sind die Chancen auf Auto oder Ziege scheinbar gleich verteilt. Es gibt für dieses Spiel tatsächlich eine optimale Strategie. Diese lautet: IMMER WECHSELN! Warum das so ist, schauen wir uns jetzt mit Hilfe eines Baumes an, wie wir es schon beim Münzwurf oben getan haben.

Wir starten unten am Stamm des Baumes. Von dort haben wir drei Möglichkeiten: die linke, die mittlere oder die rechte Tür. Da der Kandidat nicht weiß, hinter welcher Tür das Auto steht, zeigt er zufällig auf eine der drei Türen. Mit Wahrscheinlichkeit 13 (also in einem von drei Fällen) hat er die Tür mit dem Auto gewählt, in den anderen Fällen, also mit Wahrscheinlichkeit 23 (also in zwei von drei Fällen), eine Ziegentür. Die untere Ebene des Baumes zeigt die drei Türen an, jeder Pfad entspricht einer möglichen Wahl des Kandidaten.

180

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Der Showmaster öffnet eine Ziegentür. Nun gibt es nur noch zwei verschlossene Türen – eine Tür mit einer Ziege und eine Tür, hinter der ein Auto steht. Der Kandidat hat jetzt zwei Möglichkeiten: zu bleiben oder zu wechseln. Wir betrachten, in welche Äste des Baumes die Wechselstrategie führt. Wenn wir gleich die richtige Tür mit dem Auto gewählt haben, werden wir nach dem Wechseln die verbleibende Ziegentür erwischen. Wenn wir jedoch zuerst auf eine Ziegentür gezeigt haben, erhalten wir durch das Wechseln am Ende die Tür mit dem Auto. Im folgenden Baum haben wir die Endknoten markiert, die wir mit der Wechselstrategie erreichen:

Wir sehen, dass wir in zwei der drei Fälle das Auto gewinnen. Zum Vergleich zeige ich euch noch das Ergebnis, wenn wir standhaft bei unserer Tür bleiben und uns nicht beeinflussen lassen. Hier seid ihr nur in einem von drei Fällen erfolgreich.

181

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Falls euch die Bäume nicht überzeugt haben, stelle ich euch noch mein Lieblingsargument vor. Stellt euch vor, es gäbe nicht drei, sondern 100 Türen. Nur hinter einer der Türen steht das Auto. Ihr wählt eine Tür, danach zeigt euch der Showmaster 98 Ziegen. Würdet ihr jetzt wirklich bei eurer Tür bleiben? Meint ihr wirklich, dass ausgerechnet hinter eurer zuerst gewählten Tür das Auto steht?

Das beschriebene Problem wurde vor fast 30 Jahren ausführlich in den Zeitungen diskutiert. Als Marilyn vos Savant, der Mensch mit dem damals höchsten Intelligenzquotienten der Welt, als Antwort auf einen Leserbrief antwortete, dass der Kandidat die Tür auf jeden Fall wechseln solle, um seine Chance auf das Auto zu erhöhen, brach ein Sturm der Empörung los. Viele (darunter auch gute Mathematiker) glaubten nicht, dass ihre Strategie richtig sei. Wahrscheinlichkeiten können sehr verwirren. Wie in jeder anderen mathematischen Disziplin ist es auch hier sehr wichtig, dass wir die Voraussetzungen, also die Spielregeln, beachten. In unserem Fall bedeutet das: Der Showmaster öffnet immer eine Tür hinter der eine Ziege steht und niemals die Tür mit dem Auto! Das Problem ging als sogenanntes Ziegenproblem in die Literatur ein und ihr findet unter diesem Stichwort auch einen langen Artikel im Online-Lexikon Wikipedia.

182

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Welche Entscheidung ist in diesen beiden Situationen mit größerer Wahrscheinlichkeit vorteilhaft? • Ihr befindet euch auf einer einsamen Insel ohne Zugang zu Treibstoff. Das Auto ist also wertlos, aber eine Ziege wäre fantastisch. Mit eurem Smartphone könnt ihr an der gleichen Spielshow wie oben teilnehmen. Ihr entscheidet euch für eine Tür, worauf der Showmaster immer eine noch verschlossene Tür öffnet, hinter der eine Ziege steht. Diese Tür ist aus dem Spiel. Ihr habt nun die Wahl zu wechseln oder zu bleiben. Was ist günstiger? • Ihr habt Geburtstag und auf dem Tisch liegen 5 Geschenke, vier enthalten Lernhilfen für die Schule und eines ein Smartphone. Eure Eltern wollen mit euch das Ziegenproblem nachspielen und als ihr das erste Päckchen in die Hand nehmen wollt, öffnen sie drei der restlichen Päckchen, die alle Englisch- und Französischbücher enthalten. Was solltet ihr jetzt machen?

4.9 Mehrfachgeburtstage Wahrscheinlichkeiten führen manchmal zu unerwarteten Ergebnissen. Mein Freund Fritzchen berichtete mir neulich: „Wir haben in der Klasse über unsere Geburtstage gesprochen. Und stell’ dir vor: Es gibt zwei Schüler, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Paul und Leonie sind beide am 2. Juni geboren. Ist das nicht ein wahnsinniger Zufall!“ Als ich beim Mittagessen meiner Familie davon erzählte, setzte meine Schwester Miriam gleich ihr herablassendes Ältere-Schwester-Lächeln auf. „Weißt du wie viele Schüler in Fritzchens Klasse gehen?“, wollte sie wissen.

183

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

„Die Klasse hat 25 Schüler.“ „Dann ist das gar kein großer Zufall“, meinte Miriam. „Es ist sogar wahrscheinlicher, dass mindestens zwei Kinder am gleichen Tag Geburtstag haben, als dass alle Kinder an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben.“ „Wie meinst du das?“ fragte ich. Miriam erklärte mir: „Man kann das auch so ausdrücken: Wenn du 100 Schulklassen mit jeweils 25 Schülern betrachtest, ist es sehr wahrscheinlich, dass mehr als die Hälfte der Schulklassen zwei Schülerinnen oder Schüler mit dem gleichen Geburtstag haben.“ „Und warum ist das so?“ Miriam antwortete: „Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten erfordert immer etwas Geschick. Hier besteht der Trick darin, dass man sich das sogenannte Gegenereignis anschaut. Das ist genau das Gegenteil von dem, was man eigentlich untersuchen möchte. In unserem Fall fragen wir uns also, wie wahrscheinlich ist es, dass alle Kinder an unterschiedlichen Tagen Geburtstagen haben. Wenn wir zeigen können, dass diese Wahrscheinlichkeit unter 50% liegt, dann wissen wir, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50% mindestens zwei Kinder am gleichen Tag Geburtstag haben.“

184

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Bestimmt das Gegenereignis der folgenden Ereignisse. Könnt ihr auch sagen, ob das Ereignis selbst oder das Gegenereignis häufiger auftritt? 1. Das Ereignis, dass beim Münzwurf mit einer Münze zweimal in Folge Zahl geworfen wird. 2. Das Ereignis mit einem Würfel eine Primzahl zu würfeln. Das hatte ich verstanden „Aber woher weiß ich, ob die Wahrscheinlichkeit unter 50% liegt, dass alle Kinder an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben?“ Miriam holte tief Luft und dann hielt sie mir einen kleinen Vortrag, den ich euch weitergeben möchte. Es ist wirklich verblüffend. Wenn die Klasse nur aus 2 Schülern besteht, dann ist sehr wahrscheinlich, dass beide an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Wenn der Geburtstag des ersten Schülers feststeht, gibt es für den zweiten Schüler noch 364 von 365 möglichen Tagen. Wenn wir 365 solcher Fälle (das heißt: Schülerpaare) betrachten, erwarten wir, dass nur ein einziges Mal beide am gleichen Tag Geburtstag haben. Und das wäre damit dann tatsächlich ein wahnsinniger Zufall! Schauen wir uns an, was passiert, wenn ein dritter Schüler hinzustößt. Wir machen zwei Beobachtungen: 1. Wenn die ersten beiden an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, gibt es für den dritten Schüler nur noch 363 freie Tage. Dies passiert in 363 von 365 Fällen. 2. Damit alle drei an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, müssen zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten: a) die ersten zwei Schüler dürfen nicht am gleichen Tag Geburtstag haben (364 von 365 Fälle),

185

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen b) der dritte Schüler darf nicht am gleichen Tag wie die beiden ersten Geburtstag haben (363 von 365 Fälle). Die Ereignisse a) und b) sind voneinander unabhängig, sie beeinflussen sich nicht gegenseitig. In diesem Fall darf man sie miteinander multiplizieren. Somit tritt das Gesamtereignis in 363·364 von 365·365 Fällen ein, also in 131.225 von 131.769 Fällen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, ist somit immer noch sehr hoch. Durch die beiden Beobachtungen oben und die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten sinkt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, bei zunehmender Schülerzahl jedoch sehr schnell. In Tabelle 2 habe ich angenommen, dass wir immer 100 Klassen zu einer vorgegebenen Schüleranzahl betrachten. Die zweite Spalte gibt an, für wie viele Klassen wir erwarten, dass mindestens zwei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben. Anzahl der Schüler pro Klasse

Anzahl der Klassen mit mindestens zwei Schülern, die am gleichen Tag Geburtstag haben

4

1

5

2

6

4

10

11

15

25

20

41

23

50

25

56

30

70

50

97

Tabelle 2: Erwartete Anzahl der Klassen unter 100 Klassen, bei denen zwei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben .

186

Von wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Ereignissen

Das oben beschriebene Problem ist unter dem Begriff „Geburtstagsparadoxon“ bekannt. Auf den ersten Blick scheint es überraschend, dass es bei 365 möglichen Geburtstagen bei einer Klasse von 23 Schülern zwei Schüler gibt, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit aber etwa bei 12 . Das bedeutet, dass in der Hälfte aller Fälle (50 von 100, Tabelle 2) dieser Fall auftreten wird. Bei 50 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit sogar schon nahe 1 (97 von 100). Das bedeutet, dass es für eine Klasse mit 50 Schülern fast sicher ist, zwei Schüler zu finden, die am gleichen Tag Geburtstag haben.

187

5 Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden 5.1 Streng geheim! Mit der Erfindung der Schrift vor vielen tausend Jahren kam zugleich der Wunsch auf, Nachrichten so zu schützen, dass sie nicht von jedem gelesen werden konnten. Eine Möglichkeit bestand darin, diese mit einem Siegel zu versehen und mit einem Boten zu verschicken. Der Empfänger konnte das unversehrte Siegel prüfen und so sicher sein, dass niemand außer ihm die Nachricht gelesen hatte. Aber was passierte, wenn der Bote doch nicht so vertrauenswürdig war oder er unterwegs überfallen wurde? Dieses Problem führte zur Einführung von Geheimschriften und der Wissenschaft der Kryptographie. Kryptographie leitet sich von den griechischen Wörtern „kryptós“ (auf Deutsch: „geheim“) und „gráphein“ (Deutsch für „schreiben“) ab. Der römische Diktator Gaius Julius Cäsar (100 bis 44 v. Chr.) verschlüsselte seine militärischen Nachrichten, indem er jeden Buchstaben eines Textes im Alphabet um 3 Buchstaben weiter verschob. So wurde aus einem A ein D, aus B ein E, aus C ein F und aus X wieder ein A, aus Y ein B und aus Z ein C und so fort. Das Verfahren ist deshalb heute auch als Cäsar-Code bekannt. Im 15. Jahrhundert führte der Italiener Leon Battista Alberti eine Verschlüsselungsscheibe ein und verallgemeinerte das Vorgehen damit auf beliebige Verschiebungen. Eine Verschlüsselungs- oder Chiffrierscheibe besteht aus zwei aufeinander liegenden Scheiben, auf denen die Buchstaben des Alphabets abgetragen sind. Die innere Scheibe stellt die Buchstaben der ursprünglichen Nachricht dar, die äußere Scheibe gibt an, in welche Buchstaben verschlüsselt wird.

189

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_6

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Abbildung 6: Zwei Chiffrierscheiben, die erste zeigt die Einstellung für den typischen Cäsarcode (Verschiebung um 3 Buchstaben), die zweite zeigt eine Verschiebung um 7 Buchstaben

Die Abbildung 6 zeigt die Einstellung der Chiffrierscheibe bei Verwendung des Cäsar-Codes. Hier wird A auf D abgebildet. Die Chiffrierscheibe kann aber auch anders eingestellt werden. Das nebenstehende Bild zeigt eine Verschiebung um 7 statt um 3 Buchstaben. In diesem Fall wird aus dem Buchstaben A ein H.

Ihr könnt selbst eine Chiffrierscheibe basteln. Dazu benötigt ihr zwei Blätter festeres Papier (200 g/m) und eine Musterbeutelklammer mit rundem Kopf. Kopiert die Vorlagen in Anhang A.5 auf das Papier und schneidet sie aus. Auf die kleinere der beiden Scheiben schreibt ihr der Reihe nach die 26 Buchstaben von A bis Z. Im Nachrichtentext werden alle Buchstaben groß geschrieben und die Umlaute ä, ö, ü und ß zunächst durch AE, OE, UE und SS ersetzt. Nun könnt ihr auf die äußere Scheibe entweder ebenfalls die Buchstaben A bis Z schreiben. Ihr könnt hier aber auch Symbole aufmalen. In diesem Fall besteht euer Geheimtext aus einer Zeichenfolge von Geheimsymbolen, bei denen jedes für einen anderen Buchstaben steht.

190

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Am Ende heftet ihr die beiden Scheiben zusammen, indem ihr durch die Mitte eine Musterbeutelklammer steckt. Ein solches Verfahren erschwert die Lesbarkeit einer Nachricht, ist aber leider nicht besonders sicher gegenüber Angreifern. Selbst wenn nicht bekannt ist, um wie viele Buchstaben verschoben wurde, bleiben nur 26 mögliche Einstellungen der Verschlüsselungsscheibe, die ein unerwünschter Leser einfach ausprobieren kann.

Die folgende Nachricht ist mit einem einfachen Verschiebeverfahren verschlüsselt. Könnt ihr sie entziffern? XRWZPBHPWJCSHXTVIT Auf Leerzeichen und Zeichensetzung wurde hier verzichtet, um die Entschlüsselung zu erschweren. Falls ihr nicht weiterkommt, findet ihr in Abschnitt A.1 einen Lösungshinweis. Etwas ausgefeilter als eine einfache Verschiebung ist eine beliebige Ersetzung der verschiedenen Buchstaben. Auch das können wir durch eine feste Einstellung einer speziell erstellten Verschlüsselungsscheibe erreichen, bei der die äußeren Buchstaben nicht der Reihenfolge nach angeordnet sind, sondern zufällig verteilt wurden. Alternativ lässt sich eine Tabelle einsetzen. Eine mögliche Festlegung: A wird in H verschüsselt, B, in R C in F und so fort.

Auch diese Verschlüsselung wird heute nicht mehr verwendet. Mit einfachem Ausprobieren kommt ein Angreifer hier zwar nicht zum Ziel. Man kann es aber raffinierter anstellen und untersuchen, wie häufig die einzelnen Zeichen im Geheimtext auftreten. Der Buchstabe E beispielsweise kommt in Texten deutscher Sprache fast doppelt so häufig vor wie alle anderen Buchstaben. Auch N, R und I gibt es oft, Q, X, Y finden wir hingegen selten. Bei längeren Texten führt eine Untersuchung der Buchstabenhäufigkeiten bei dieser Verschlüsselung fast immer zum Ziel.

191

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Wenn wir einen deutschen Text mit 1.000 Zeichen untersuchen, erwarten wir beispielsweise, dass etwa 160-mal der Buchstabe E auftritt, aber nur 3-mal der Buchstabe J. Die Tabelle 3 gibt das erwartete Auftreten bei 1.000 Zeichen absteigend sortiert nach der Häufigkeit an, wenn Umlaute wie üblich ersetzt werden:

Buchstabe

Häufigkeit unter 1.000 Zeichen

Buchstabe

Häufigkeit unter 1.000 Zeichen

E N I R A S T D U H L G O

172 95 76 76 66 66 63 46 45 42 37 30 29

M C B F K W Z P V J X Y Q

28 27 22 18 15 14 12 10 9 3 1 1 weniger als 1

Tabelle 3: Buchstabenhäufigkeiten: Hier ist angegeben, wie häufig die einzelnen Buchstaben in einem Text mit 1.000 Zeichen im Mittel auftreten. Wir erklären die Analyse unter Verwendung der Buchstabenhäufigkeiten an einem Beispiel. Der Geheimtext lautet NPW

OHVTNXNX IFBBG WPN OV SDHNG, NTNWSFZNWPC OV EXVNY, NX GXPEEG CNWHV AHWW NPW, ZNWW NX NS EVNX XPMYGPC YHNLG.

Um die Aufgabe etwas zu erleichtern, haben wir dieses Mal die Abstände zwischen den Wörtern und die Satzzeichen erhalten.

192

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Wir machen eine Buchstabenanalyse dieses Geheimtextes und stellen fest, dass der Buchstabe N am häufigsten vorkommt (17-mal), gefolgt von W (10-mal), X (8-mal) und P (7-mal). Wir ersetzen N durch den Buchstaben E, weil E im Deutschen der häufigste Buchstabe ist (siehe Tabelle 3). Weiter entschlüsseln wir W durch N. Das erste Wort des Geheimtextes legt nahe, dass P kein R (der dritthäufigste Buchstabe im Alphabet) ist, sondern ein I, also dem vierthäufigsten Buchstaben entspricht. Wir setzen also noch P durch I und X durch R. Damit sieht der Text wie folgt aus: EIN

****ERER

*****

NIE

**

*****.

E*EN***ENI* ** *R*E*. ER *RI*** *EN** **NN EIN *ENN

ER

E*

**ER

RI***I*

**E**.

Das sieht doch schon verdächtig gut aus. Das erste Wort der letzten Zeile *ENN legt nahe, dass Z entweder für W oder D steht. Wir entscheiden uns für W. Das Wort RI***I* (im Geheimtext: XPMYGPC) könnte RICHTIG lauten. Somit entschlüsseln wir M in C, Y in H, G in T und C in G. Damit liegt uns folgender Text vor: EIN

****ERER

****T

E*EN**WENIG ER WENN

NIE **

TRI**T

GEN**

ER

**ER

E*

**

****T.

*R*EH. **NN

RICHTIG

EIN, **E*T.

Könnt ihr den vollständigen Text entschlüsseln? Es handelt sich um ein Zitat des Zauberers Gandalfs aus der „Herr der Ringe“-Verfilmung von 2001.

193

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Deutlich sicherer ist die Verwendung von Geheimwörtern, auch Codewörter genannt. Ich erkläre euch dies an einem Beispiel mit dem Codewort ZIFFY. Zunächst werden die Nachricht und das Codewort in eine Zahlenfolge umgewandelt. Dafür setzen wir A = 1, B = 2, C = 3 und so fort. Als Nachricht nehmen wir den Zauberspruch ABRAKADABRA. Er soll verschlüsselt werden. Als Zahlenfolge ergibt sich 1 2 19 1 11 1 4 1 2 19 1. Dieses Wort wird nun mit dem Codewort ZIFFY verschlüsselt, was folgender Zahlenfolge entspricht: 26 9 6 6 25. Wir schreiben das Codewort fortlaufend unter die zu verschlüsselnde Nachricht und addieren beide Zeilen: 1 + 26

2 9

19 1 11 1 6 6 25 26

4 9

1 2 19 1 (Nachricht:ABRAKADABRA) 6 6 25 26 (Codewort fortlaufend)

27 11 25 7 36 27 13 7 8 44 27

(Zwischenergebnis)

Anschließend ziehen wir bei allen Ergebniszahlen, die größer als 26 sind, 26 ab: 27 11 25 7 36 27 13 7 8 44 27 (Zwischenergebnis) → 1 11 25 7 10 1 13 7 8 18 1 (Geheimtext). Dann können wir die Zahlen wieder in Buchstaben umwandeln (1 = A, 2 = B, 3 = C und so fort) und erhalten so den Geheimtext: 1 11 25 7 10 1 13 6 8 18 1 → AKYGJAMFHRA Bei diesem Verfahren werden gleiche Buchstaben nicht unbedingt in gleiche Buchstaben verschlüsselt. Das erste B im Nachrichtentext wird beispielsweise zu einem K, das zweite aber in ein H verschlüsselt. Dadurch hilft eine Untersuchung der Buchstabenhäufigkeiten nicht weiter.

194

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Wenn der rechtmäßige Empfänger, der auch im Besitz des Codeworts ist, die Nachricht entschlüsseln möchte, berechnet er zunächst aus dem Codewort ein Hilfswort, indem er jede Zahl von 26 abzieht: 26 26 26 26 26 − 26 9 6 6 25 (Codewort fortlaufend) 0

17 20 20

1

(Hilfswort)

Danach wird das Hilfswort fortlaufend unter den Geheimtext geschrieben, und die beiden Zeilen werden addiert: 1 11 25 7 10 1 13 7 8 18 1 (Geheimtext) + 0 17 20 20 1 0 17 20 20 1 0 (Hilfswort) 1 28 45 27 11 1 30 27 28 19 1

(Nachricht)

Und wieder ziehen wir bei allen Ergebniszahlen, die größer als 26 sind, die Zahl 26 ab: 1 28 45 27 11 1 30 27 28 19 1 (Zwischenergebnis) → 1

2

19

1

11 1

4

1

2

19 1

(Nachricht).

Wenn wir jetzt 1 durch A, 2 durch B, 3 durch C und so weiter ersetzen, erhalten wir wieder die ursprüngliche Nachricht.

Wenn das Codewort genauso lange wie der Geheimtext ist und nur ein einziges Mal zum Einsatz kommt, nennt man das Verfahren Einmalschlüsselverfahren. Gebräuchlicher ist die englische Bezeichnung One-Time-Pad. In diesem Fall handelt es sich um eine absolut sichere Methode. Wenn der Angreifer das Codewort nicht kennt, hat er auch dann keine Chance, wenn er weiß, dass die verwendete Methode das Einmalschlüsselverfahren ist.

195

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

In der Praxis muss man natürlich aufpassen, dass das Codewort nicht in die falschen Hände gerät. Dafür sollte man auch kein Codewort verwenden, dass ein möglicher Angreifer schnell erraten kann. Damit das Verfahren absolut sicher ist, müssen die Buchstaben des Codeworts zufällig gewählt sein. Damit ist das Codewort in der Regel auch kein sinnvoller deutscher Text. Das Einmalschlüsselverfahren ist seit über 100 Jahren im Einsatz, meist um sehr wichtige, politische Kommunikationskanäle zu schützen. Im Kalten Krieg kam es beispielsweise bei der Kommunikation zwischen dem Präsidenten der USA und seinem Gegenspieler, dem sowjetischen Generalsekretär, zum Einsatz.

5.2 Ein Krimi zum Mitdenken Die Bibliothek des mathematischen Instituts in Göttingen ist eine der ältesten mathematischen Bibliotheken Deutschlands. In ihrem Bestand befinden sich viele alte Bücher, Erstausgaben bekannter mathematischer Werke und Vorlesungsmitschriften berühmter Mathematiker aus dem 19. und 20. Jahrhundert, sowie eine Sammlung mathematischer Instrumente und Modelle. Einige dieser alten Bücher sind inzwischen sehr wertvoll. So gibt es Sammler, die für eine Erstausgabe der berühmten „Disquisitiones Arithmeticae“ von Carl Friedrich Gauß (siehe Abschnitt 2.12) ein Vermögen ausgeben würden. Da wundert es nicht, dass im letzten Monat mehrere alte Bücher aus der Bibliothek entwendet wurden. Dieser Fall ging durch alle Zeitungen. Die Polizei hatte zunächst keine Spur. Doch dann gab es in der letzten Woche eine festliche Veranstaltung des mathematischen Instituts und da wurde ein Verdächtiger gesichtet, der sich heimlich aus der Bibliothek stahl und schnell über den Flur hinaus zum Parkplatz schritt. Dort schloss er sein Auto, einen BMW, auf und brauste davon. Ganz offenbar hatte er es sehr eilig, vom Tatort zu verschwinden.

196

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Wenn ihr alle Informationen aus dem folgenden Text und aus den verschlüsselten Botschaften herauslest, könnt ihr bestimmen, wem der BMW gehört und welchen Beruf der Fahrer ausübt. Dieses sind die entscheidenden Hinweise, die die Polizei benötigt, um den Täter zu finden und festzunehmen. Die Aufgabe ist etwas kniffelig, aber lasst euch nicht entmutigen. Wenn ihr nicht weiterkommt, findet ihr noch einige Hinweise in Abschnitt A.1. Intensive Recherche konnte den Kreis der Verdächtigen auf drei Wissenschaftler eingrenzen, die bei den Festvorträgen nebeneinander in der ersten Reihe saßen. Es ist bekannt, dass sie alle Autoliebhaber sind und verschiedene Modelle – einen BMW, einen Mercedes und einen Porsche – fahren. Unter den Verdächtigen befinden sich ein Mann namens Dr. Max Müller und die Biologin Prof. Dr. Sophie Schmidt. Zudem wurden Hinweise sichergestellt, die die Verfasser – wahrscheinlich aus Angst vor Nachstellungen – verschlüsselt haben. Der erste Hinweis, der in einem Papierkorb am Ausgang des Instituts gefunden wurde, lautet wie folgt: TRHEAFSEDECREMNENIEREDNEGITHCEADREVME DNEBENTKERIDTHCINSSASRERHAFEHCSROPRED Ein Verschlüsselungsexperte, der als Berater hinzugezogen wurde, fand schnell heraus, dass die Nachricht hier nicht wirklich verschlüsselt wurde. Seht ihr, was der Absender gemacht hat?

197

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Weiter fand die Polizei in ihrem E-Mail-Postkorb die folgende Nachricht. GIFWVJJFIWCFIZREWZJTYVIZJKDRKYVDRKZBVI LEUWRVYIKBVZEVEDVITVUVJ Der Verschlüsselungsexperte meinte hier, dass sie mit einer Chiffrierscheibe kodiert wurde. Könnt ihr herausfinden, wie das Alphabet zu verschieben und die Scheibe einzustellen ist? Ein weiterer Besucher der Veranstaltung kann übrigens bezeugen, dass der BMWFahrer rechts neben dem Porsche-Besitzer saß. Einige Tage nach dem Vorfall erhielt der Dekan der mathematischen Fakultät einen Brief mit einem weiteren Hinweis: UFWXGKFHIHYTXAXMBCKXYTVLLKFMABZUJKBRFM Auf dem Brief war zusätzlich ein Bild des berühmten Mathematikers Carl Friedrich Gauss abgebildet. Was soll uns das wohl sagen?

198

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

5.3 Zaubertrick: Die verschwundene Diebesbeute Ich präsentiere euch den Zaubertrick mit einer Geschichte, die ihr für eure Vorführung nutzen könnt.

Eines Tages erschien auf der Polizeistelle der berühmte Hellseher Hieronymus und verkündete: „Ich hatte heute Nacht eine Vision. Ich habe gesehen, wie ein Dieb Geld aus einem Raubüberfall im Hotel Mystery versteckt hat. Kommen Sie mit mir. Ich werde Sie zu der Diebesbeute führen.“ Da die Polizei schon häufiger mit Hieronymus zusammengearbeitet hatte, ließ sie sich auf seinen Vorschlag ein und folgte ihm. Das Hotel Mystery war eine recht alte, in die Jahre gekommene Herberge mit nur neun Zimmern. Ihr seht rechts einen Grundriss des Hotels, auf dem die Zimmer von 1 bis 9 durchnummeriert sind.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nun werden wir einmal sehen, ob ihr über ähnliche Fähigkeiten wie der berühmte Hellseher Hieronymus verfügt. Legt eine Münze auf ein Zimmer eurer Wahl. Sie zeigt an, in welchem Zimmer ihr euch zusammen mit der Polizei gerade befindet. Führt nun die weiter unten angegebenen Anweisungen aus. Dabei besteht ein Zug darin, die Münze von einem Zimmer auf ein angrenzendes Zimmer in der gleichen Zeile oder der gleichen Spalte zu ziehen. Ihr dürft ein Zimmer mehrmals betreten, aber nie diagonal ziehen. Im Verlauf werden einige Zimmer abgeschlossen und sind dann nicht mehr zugänglich. Wenn ihr euch beispielsweise im Zimmer Nr. 1 befindet, das Zimmer Nr. 2 aber bereits verschlossen ist, könnt ihr mit einem Zug nur das Zimmer Nr. 4 betreten. In zwei Zügen kommt ihr in diesem Fall in das Zimmer Nr. 5 oder das Zimmer Nr. 7.

199

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Wenn ihr die Münze auf ein Feld mit einer geraden Zahl (also 2, 4, 6 oder 8) gelegt habt, führt folgende Anweisungen aus: 1. Streicht Zimmer Nr. 7 durch. Es ist nun verschlossen und kann nicht mehr betreten werden. 2. Dann führt 4 Züge aus. Streicht Zimmer Nr. 3 durch. Es ist ebenfalls verschlossen und kann nicht mehr betreten werden. 3. Führt 7 Züge aus. Streicht Zimmer Nr. 2. 4. Führt 3 Züge aus. Streicht Zimmer Nr. 9 durch. 5. Führt einen Zug aus. Streicht Zimmer Nr. 8 durch. 6. Führt 2 Züge aus. Ihr seid nicht in Zimmer Nr. 6, schließt es ab. 7. Führt 5 Züge aus. Ihr seid nicht in Nr. 1 streicht dieses Zimmer durch. Führt anschließend 3 Züge aus. Anweisungen, wenn die Münze zu Beginn auf einer ungeraden Zahl liegt: 1. Streicht Zimmer Nr. 6 durch. Es ist nun verschlossen und kann nicht mehr betreten werden. 2. Führt 7 Züge aus. Ihr befindet euch nicht in Nr. 7, streicht es durch. 3. Führt 4 Züge aus. Streicht dann Zimmer Nr. 3. 4. Führt 6 Züge aus. Streicht Zimmer Nr. 1 durch. 5. Führt 5 Züge aus. Streicht Zimmer Nr. 4 durch. 6. Führt 2 Züge aus. Schließt Zimmer Nr. 2 ab. 7. Führt einen Zug aus. Ihr seid nun nicht in Nr. 9 und streicht dieses Zimmer durch. Führt noch einmal 2 Züge aus. In dem Zimmer, in dem eure Münze am Ende liegt, wurde das Geld versteckt. Blättert auf die nächste Seite, um zu sehen, ob ihr richtig liegt.

200

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Das Geld wurde in Raum Nr. 5 versteckt.

Die Folge von Anweisungen sorgt gerade dafür, dass die Münze am Ende immer auf dem mittleren Feld liegt. Wenn ihr den Trick selbst vorführen wollt, könnt ihr zusätzlich im Vorfeld noch 8 kleine Kärtchen vorbereiten. Statt die einzelnen Räume durchzustreichen, könnt ihr sie mit den Kärtchen abdecken. Das ist für den Zuschauer noch klarer.

5.4 Das Versicherungsprinzip Fritzchens Eltern haben sich ein schönes neues Haus gekauft. Es hat viel Geld gekostet und sie fürchten, dass etwas passieren könnte, das einen Schaden am Haus verursacht. Mögliche Ereignisse sind zum Beispiel Hochwasser, Sturm, Feuer oder ein Wasserrohrbruch. Nun lassen sich die meisten Schäden wieder reparieren. Selbst wenn das Haus komplett abbrennt, können sie es wieder aufbauen lassen. Das kostet aber erneut viel Geld. Wir können davon ausgehen, dass Fritzchens Eltern nicht so viel Geld haben, dass sie nach ihrem Hauskauf noch einen großen Feuer- oder Wasserschaden verkraften könnten. Auch wenn es heute selten vorkommt, dass Häuser in Flammen aufgehen (zu früheren Zeiten war dies schon anders), so ist es trotzdem nicht vollkommen ausgeschlossen. Und diese relativ kleine Wahrscheinlichkeit kann schon dazu führen, dass die Familie sich gar nicht mehr so richtig über ihr Haus freut, sondern auch viel über mögliche Bedrohungen nachdenkt. Da helfen Versicherungen, die für diese Fälle Verträge anbieten.

201

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Das Prinzip ist einfach: Die Hausbesitzer zahlen der Versicherung monatlich einen kleinen Beitrag, beispielsweise 25 Euro. Pro Jahr sind dies dann 300 Euro. Im Falle eines Schadens springt das Versicherungsunternehmen ein und zahlt die entstandenen Kosten, die sich schnell auf viele tausend Euro belaufen können. Den monatlichen Beitrag von 25 Euro können sich Fritzchens Eltern leisten. Sie müssen sich keine Sorgen machen, denn sie sind ja jetzt abgesichert. Warum aber macht das Versicherungsunternehmen so etwas? Warum nimmt es für eine so kleine Summe dieses hohe Risiko in Kauf? Die Berechnungen für die Beiträge führen Mathematiker durch, die in den Versicherungsunternehmen arbeiten. Sie sammeln dafür zunächst Daten und werten diese aus. Nehmen wir an, dass die Auswertung der Daten ergibt, dass ein Schaden im Schnitt etwa 20.000 Euro beträgt. Aus den Daten kann außerdem ermittelt werden, wie häufig ein Schaden auftritt. Feuer- und Hochwasserschäden kommen schon immer wieder vor, treten aber in den meisten Gegenden eher selten auf. Wir gehen also davon aus, dass bei 100 abgeschlossenen Verträgen pro Jahr nur ein einziger einen Schaden meldet. Alle anderen Verträge bleiben schadenfrei. In 1 . diesem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Schaden 100 Zunächst können wir prüfen, dass die Versicherung im Mittel gut dasteht. Bei 100 abgeschlossenen Verträgen nimmt sie im Monat 2.500 Euro und im Jahr

202

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden 2.500 · 12 = 30.000 Euro ein. Wenn nur ein einziger Vertrag zu Schaden kommt, zahlt sie 20.000 Euro aus. Da verbleibt ein Gewinn von 10.000 Euro. Es scheint also für die Versicherung ein lohnendes Geschäft zu sein. Aber wie groß ist eigentlich das Risiko? Warum kann die Versicherung das Risiko auf sich nehmen, Fritzchens Eltern aber nicht? Wenn wir einen einzelnen Vertrag betrachten, wissen wir nicht, ob dieser schadenfrei bleibt. Die Eltern können einfach großes Pech haben, der Blitz schlägt in 1 (also einer aus 100 Fällen) ist zwar sehr ihr Haus ein. Die Wahrscheinlichkeit 100 klein, aber nicht jeder möchte dieses Risiko auf sich nehmen. Dem Versicherungsunternehmen hilft nun die Mathematik. Denn die Wahrscheinlichkeitsrechnung zeigt, dass es bei sehr vielen Verträgen – 1.000 oder mehr – sehr unwahrscheinlich ist, dass die erwartete Zahl von Schäden von der tatsächlichen Schadenanzahl deutlich übertroffen wird. Im Prinzip ist das so ähnlich wie mit dem Würfel in Abschnitt 4.1. Bei wenigen Würfen kann es sein, dass es relativ viele 6en gibt. Doch wenn wir sehr oft würfeln, wird es sich ausgleichen, so dass wir dann im Mittel nur bei jedem sechsten Wurf eine 6 beobachten. Bei einem einzigen Haus kann es schon einmal zu einem Feuer kommen. Wenn wir aber viele Häuser 1 im Schnitt auch nur versichern, wird bei einer Schadenswahrscheinlichkeit von 100 jedes hundertste Haus einen Schaden haben. 1 beobachten Bei 1.000 Verträgen und einer Schadenswahrscheinlichkeit von 100 wir im Mittel 10 Schäden. Mathematiker können berechnen, dass die Wahrscheinlichkeit für mehr als 20 Schäden schon so klein ist, dass dies seltener als einmal in 1.000 Jahren auftritt. Die Wahrscheinlichkeit, bei 1.000 Verträgen mehr als 30 Schäden zu erfassen, ist so klein, dass wir sagen können, dass das Ereignis praktisch nicht möglich ist. Wenn die Versicherung also einen großen Bestand an Versicherungsverträgen hat, ist ihr Risiko fast verschwindend gering.

203

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Aber Achtung: Ganz so einfach ist es nicht! Damit das funktioniert, müssen die einzelnen Verträge unabhängig sein. Wenn die Versicherung nur Häuser versichert, die alle im gleichen Hochwassergebiet stehen, geht die Rechnung nicht auf. Bei jeder Überschwemmung sind dann alle Häuser betroffen. Wenn etwa jedes hundertste Unwetter zu einer Überschwemmung in diesem Gebiet führt, ist die Versicherung nach 100 Unwettern mit großer Wahrscheinlichkeit pleite. Und dieses Risiko kann auch kein Unternehmen auf sich nehmen! Deshalb haben Versicherungsunternehmen einen gut gemischten Bestand mit Häusern aus unterschiedlichen Orten verstreut über das ganze Land. Versichern kann man übrigens nur die Kosten, die mit einem ungünstigen Ereignis verbunden sind. Vor dem Hochwasser selbst schützt die Versicherung nicht. Eine Autoversicherung macht den Fahrer nicht zu einem besseren Autofahrer, der plötzlich unfallfrei fährt, und eine Krankenversicherung bewahrt uns nicht davor, krank zu werden.

Wusstet ihr schon . . . ? • Bereits im alten Babylonien wurden Verträge geschlossen, die den heutigen Versicherungen recht nahe kommen. Vor ungefähr 700 Jahren wurden die ersten Versicherungen für Seefahrer in Italien gegründet und seit etwa 350 Jahren gibt es Feuerversicherungen in Deutschland. • Auch der große Mathematiker Carl Friedrich Gauß beschäftigte sich mit Versicherungsmathematik, als er um 1850 für die Universität Göttingen die Leistungen der Witwenkasse berechnete.

204

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

• Von einer Lebensversicherung, einer Feuerversicherung oder einer Autoversicherung haben viele schon gehört. Es gibt aber auch exotische Versicherungen. So bieten einige Versicherungsunternehmen eine Hochzeitsversicherung an, die zahlt, wenn die planmäßige Durchführung der Feierlichkeiten aufgrund eines Unfalls, einer Krankheit oder ähnlichem nicht zuzumuten ist. Viele prominente Models lassen einzelne Körperteile versichern. Außerdem gibt es Versicherungen für die Finger von Pianisten oder die Stimme von professionellen Sängerinnen und Sängern. • Das amerikanische Unternehmen UFO Abduction Insurance Company zahlt 10 Millionen Euro für die Inhaber einer Versicherung gegen AlienEntführung, falls die Versicherungsnehmer nachweislich von einem Außerirdischen entführt werden.

5.5 Keine Chance dem Fehlerteufel! Letzte Woche schrieb Tessa mir eine WhatsApp. Ich solle vorbeikommen und ein paar Eimer mitbringen. Ein paar Eimer? Was hatte sie vor? Eine Wasserschlacht? Ich fand einen Putzeimer im Badezimmer und einen weiteren Eimer in der Abstellkammer und einen kleinen Spielzeugeimer im Keller und machte mich auf den Weg. „Was hast du denn da mitgebracht?“ rief Tessa entsetzt, als ich bei ihr vor der Haustür stand. „Ein paar Eimer“, antwortete ich. „Wie du geschrieben hast.“ Tessa schüttelte den Kopf. „Eimer! Ich meinte: EIER. Ich dachte, wir könnten mal wieder Pfannkuchen backen.“

205

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

„Du hast aber Eimer geschrieben“, beharrte ich. „Lass mal sehen.“ Tessa holte ihr Smartphone heraus und scrollte ihre Nachrichten durch. „Oh, da habe ich mich wohl verschrieben. So etwas Dummes. Vielleicht sollten wir einmal Prüfziffern an unsere Nachrichten anhängen.“ Prüfziffern sind tatsächlich ziemlich praktisch und deshalb werden sie auch häufig verwendet. Ihr kennt sicherlich alle den Strichcode, der auf Verpackungen aufgedruckt ist. An der Kasse wird meist heute nicht mehr der Preis der einzelnen Artikel eingegeben. Stattdessen werden die Waren über einen Scanner gezogen, der den aufgedruckten Strichcode (den sogenannten EAN-Code, steht für European Article Number) einliest. Die Striche stehen dabei für die darunter abgebildete Zahlenkombination.

Wenn der Scanner einen Code erfolgreich eingelesen hat, ertönt ein Piepton. In diesem Fall kann mit der weiteren Ware fortgefahren werden. Doch wann ist das Einlesen erfolgreich? Mit Sicherheit kann der Scanner das nicht bestimmen, aber es gibt eine einfache Prüfung, die bei den meisten Fehlern Alarm schlägt.

206

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Die Zahlenkombination (EAN) besteht aus 13 Ziffern. Sehen wir uns als Beispiel die Zahlenkombination aus der Abbildung oben an: 7613034532312. Daraus wird nun eine neue Zahl berechnet, indem wir alle Ziffern zusammenzählen, aber vorher jede zweite Ziffer mit 3 multiplizieren. Wir ermitteln also 7 + 3 · 6 + 1 + 3 · 3 + 0 + 3 · 3 + 4 + 3 · 5 + 3 + 3 · 2 + 3 + 3 · 1 + 2. Als Ergebnis ergibt sich hier 80. Um eine korrekte EAN handelt es sich, wenn das Ergebnis – wie in unserem Beispiel - durch 10 teilbar ist. Nur dann erkennt der Scanner den Strichcode an und piept. Man kann leicht prüfen, dass wir keine durch 10 teilbare Zahl, also keine EAN erhalten, wenn wir die führende 7 durch eine andere Ziffer ersetzen. Somit ist die Zahl 7 eine Prüfziffer.

Prüft einmal, ob die folgenden Zahlkombinationen für eine EAN stehen können: 1. 4002051698386, 2. 1512193198357. Der Scanner ist ausgefallen und der Verkäufer muss selbst die EAN 4028208001809 eintippen. Er vertauscht die Ziffern der letzten beiden Stellen und gibt stattdessen 4028208001890 ein. Wird der Fehler erkannt? Was würde passieren, wenn er bei der Eingabe die 11. Ziffer mit der letzten Ziffer, also der 13. Ziffer, vertauscht, also 4028208001908 eintippt?

207

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Schaut euch einmal dieses Buch an: Auf der Rückseite ist die 13stellige ISBN (Kürzel für International Standard Book Number) aufgedruckt, mit der das Buch eindeutig gekennzeichnet ist. Auch sie enthält eine Prüfziffer wie die EAN. Mit einer Prüfziffer können wir aufdecken, ob ein Fehler passiert ist. Wenn mehr als ein Fehler auftritt, kann es passieren, dass das System eine fehlerhafte Eingabe trotzdem akzeptiert. Und selbst wenn wir den Fehler bemerken, können wir ihn nicht beheben. In vielen praktischen Anwendungen ist aber eine Fehlerkorrektur gefordert. Auch dies ist möglich, aber eine einzelne Prüfziffer ist hier nicht ausreichend. In einem einfachen Beispiel möchte Tessa meinem Freund Fritzchen ein einziges Zeichen übermitteln. Fritzchen hat ihr die Frage gestellt: „Willst du heute Abend mit Ziffy und mir ins Kino gehen?“ und erwartet von Tessa eine 0 für die Antwort „Nein“ und eine 1 für die Antwort „Ja“. Wie kann sie ihre Nachricht übermitteln, so dass Fritzchen bei Auftreten eines einzigen Fehlers die korrekte Antwort ableiten kann? Ganz einfach: Sie sendet ihr Zeichen dreimal, also 000 für „Nein“ und 111 für „Ja“. Wenn jetzt nur ein Fehler auftritt, kann Fritzchen Tessas Antwort trotzdem korrekt zuordnen. So steht 010 auch für „Nein“ und 110 auch für „Ja“.

Übertragungsfehler zu entdecken und gegebenenfalls auch gleich automatisch zu beheben, ist ein wichtiges Problem. Wenn ihr beispielsweise eine CD anhört oder ein Video streamt, sollen die Daten richtig und vollständig übertragen werden. Nun sind Übertragungsfehler aber kaum vermeidbar. Wie schnell hat beispielsweise eine CD einen kleinen Kratzer! In der Praxis hilft auch hier die Mathematik durch sogenannte fehlerkorrigierende Codes. Wie in unserem einfachen Beispiel mit Tessa und Fritzchen oben werden zusätzlich Informationen übermittelt, die es nicht nur erlauben, einen Fehler zu finden, sondern ihn auch gleich zu korrigieren.

208

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

5.6 Zaubertrick: Rechenkünstler Mit dem folgenden Trick könnt ihr euren Eltern oder anderen Erwachsenen zeigen, welch phänomenal gutes Gedächtnis ihr habt. Bittet einen Erwachsenen darum, einen Geldschein aus seiner Brieftasche zu nehmen. Der Rechentrick läuft in drei Schritten ab: 1. Bittet ihn, euch die Ziffern der zehnstelligen Nummer langsam vorzulesen, die auf der Rückseite rechts oben zu finden ist.

Quelle: Deutsche Bundesbank

2. Gebt ihm einen Bleistift und bittet ihn, genau eine der Ziffern durchzustreichen. Er soll euch aber nicht zeigen, welche Ziffer er durchgestrichen hat. 3. Nun soll er euch die verbleibenden neun Ziffern nochmals, aber in beliebiger Reihenfolge vorlesen. Ihr verkündet anschließend die fehlende Ziffer. Natürlich könntet ihr versuchen, euch einfach alle Ziffern zu merken und dann darauf zu achten, welche der Ziffern beim wiederholten Vorlesen fehlt. Das ist allerdings ganz schön schwierig! Um die fehlende Ziffer zu bestimmen, ist es aber gar nicht notwendig, sich alle Zahlen zu merken. Wenn euch die Ziffern das erste Mal komplett vorgelesen werden, zählt ihr sie einfach zusammen. Ihr bildet also die Quersumme. Genauso geht ihr beim zweiten Mal vor. Die Differenz der beiden Summen ist dann die gesuchte Zahl.

209

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Nehmen wir zum Beispiel an, dass die zehnstellige Nummer 1681067412 lautet und dass euer Mitspieler im zweiten Schritt die Ziffer 7 durchstreicht. Wenn das erste Mal alle Ziffern vorgelesen werden, ergibt sich die Summe 36. Beim zweiten Vorlesen werdet ihr als Summe 29 erhalten. Da 36 − 29 = 7, ist 7 die gesuchte Zahl.

5.7 Das Problem der kürzesten Route „Ich werde nächste Woche nach Deutschland reisen“, berichtete mein Onkel Quintus, als er uns vor ein paar Wochen besuchte. „Ich möchte bei den beiden mathematischen Max-Planck-Instituten in Bonn und Leipzig vorbeischauen und außerdem dem Forschungsinstitut in Oberwolfach einen Besuch abstatten. In Göttingen muss ich unbedingt in der Bibliothek nach einer alten Originalschrift von Carl Friedrich Gauß sehen. Dann hat mich das größte Mathematikmuseum Deutschlands, das Mathematikum in Gießen, zu einem Vortrag eingeladen. Und schließlich werde ich mich noch mit zwei Kollegen in Bielefeld und Nürnberg treffen.“ „Hört sich nach einer aufregenden Woche an“, meinte meine Mutter. „Wie kommst du denn nach Deutschland?“ „Ich werde fliegen“, antwortete mein Onkel. „Ich habe einen Hin- und Rückflug nach Frankfurt gebucht. Das war am günstigsten.“ „Dann musst du ja das Problem des Handlungsreisenden lösen“, kommentierte mein Vater mit einem Grinsen. „Bei acht Städten sollte das lösbar sein“, entgegnete mein Onkel und mir kam es vor, als hätten die beiden einen Insiderwitz gemacht, den außer ihnen niemand verstand. Ich konnte mich nicht mehr länger zurückhalten und platzte heraus: „Was ist denn das Problem des Handlungsreisenden?“

210

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Mein Vater erklärte: „Das Problem des Handlungsreisenden beschäftigt sich mit der Frage, wie die kürzeste Route durch eine Menge von Orten aussieht. Dabei sind Anfangs- und Endpunkte identisch und meist auch vorher festgelegt. Dein Onkel startet in Frankfurt und möchte dann die Orte Oberwolfach, Nürnberg, Göttingen, Leipzig, Bonn, Bielefeld und Gießen bereisen. In welcher Reihenfolge sollte er dies tun, um möglichst wenig Kilometer zurückzulegen?“ Meine Mutter druckte aus dem Internet eine unbeschriftete Deutschlandkarte aus und wir zeichneten die acht Orte ein.

211

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Nach einer Weile hatten wir eine Route gefunden, die 1.730 km lang war:

Frankfurt-Oberwolfach-Nürnberg-Leipzig-GöttingenBielefeld-Bonn-Gießen-Frankfurt

Abends, als mein Onkel schon nach Hause gegangen war, fiel meinem Vater ein, dass er auf dem Computer noch ein Programm für das Problem des Handlungsreisenden hatte. Er gab die acht Städte ein und der Computer spuckte nach einer Sekunde die Lösung aus. Die von uns gefundene Rundreise war tatsächlich die beste und kürzeste. „Für den Computer ist das natürlich ein Kinderspiel“, erläuterte mein Vater. „Er kann einfach alle Möglichkeiten durchprobieren. Bei 8 Städten gibt es 2.520 verschiedene Routen. Dafür braucht er keine Sekunde.“ „Und wenn wir ein Problem mit 20 Orten eingegeben hätten?“, wollte ich wissen. Mein Vater freute sich über mein Interesse. „Dann gibt es schon 60 Billiarden Möglichkeiten und das ist sogar für den Computer zu viel. Aber einige Mathematiker haben sich bessere Methoden ausgedacht, als alle Möglichkeiten auszuprobieren. In unserem Beispiel sind viele der 2.520 Routen nicht sinnvoll. Alle Rundreisen, die erst von Frankfurt nach Bielefeld, dann nach Oberwolfach und anschließend nach Leipzig führen, können nicht die besten sein. Solche Überlegungen lassen sich auch in Computerprogrammen umsetzen. So gelang zwei amerikanischen Mathematikern 2006 mit Computerunterstützung die Lösung eines solchen Problems mit 85.900 Städten.“ „Das ist ja fantastisch!“ rief ich begeistert. „Na ja, viel weiter ist man aber noch nicht“, gab mein Vater zu bedenken. „Probleme mit über einer Million Städten scheinen bis auf Weiteres unlösbar. Trotz vieler guter Ideen gibt es noch kein wirklich schnelles Computerprogramm, das für solch große Probleme die beste Lösung findet. Und da haben sich schon viele den Kopf zerbrochen. Das Problem des Handlungsreisenden hängt auch mit einem der sieben Millenium-Probleme zusammen, für deren Lösung es eine Million Dollar gibt.“

212

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Findet ihr eine möglichst kurze Tour durch alle Hauptstädte der 16 Bundesländer? Ihr könnt einen beliebigen Startpunkt wählen. Am Ende müsst ihr wieder zu eurem Ausgangspunkt zurückkehren.

213

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Im Alltag treffen wir häufig in unterschiedlichen Situationen auf das Problem des Handlungsreisenden. Auch ein Paketdienst hat die Aufgabe, unterschiedliche Orte zu besuchen, und möchte dafür möglichst wenig Strecke zurücklegen. Ebenso geht es einem Wäschedienst, der schmutzige Bett- und Tischwäsche in unterschiedlichen Hotels abholt und später die gewaschene Wäsche wieder zurückbringt, oder einer Essensverteilung wie „Essen auf Rädern“. Nicht immer geht es um Autos. Das gleiche Problem müssen auch Helikopter von Ölfirmen lösen, die verschiedene Ölplattformen besuchen. Und es gibt zahlreiche Gegebenheiten, die nichts mit Transport zu tun haben und trotzdem auf das Problem des Handlungsreisenden führen. Hier zwei Beispiele: • Elektrische Geräte enthalten oft Leiterplatten, auf denen die elektronischen Bauelemente befestigt werden.

Bestückte Leiterplatte, Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Leiterplatte, Fotograf: User Yaca2671

Dafür müssen in die Leiterplatten Löcher gebohrt werden. Um die Bohrzeit möglichst gering zu halten, ist es wichtig, dass der Bohrkopf insgesamt eine möglichst kleine Strecke zurücklegt.

214

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Wieder müssen wir das Problem des Handlungsreisenden lösen. Statt der Orte, die besucht werden, betrachten wir hier die Löcher in der Leiterplatte, die vom Bohrkopf gebohrt werden müssen. • Es ist aufwändig, ein großes Teleskop, das Sterne beobachtet, in die richtige Position zu navigieren. Wenn nun ein Teleskop in einer Nacht viele Galaxien beobachten soll, sind zahlreiche Positionswechsel nötig. Wenn wir das auf unser Problem des Handlungsreisenden übertragen, entspricht jede Position einem Ort. Und die Entfernung zwischen zwei Orten ist in diesem Fall der Aufwand, den es kostet, das Teleskop von einer Position in eine andere zu bringen.

5.8 Autos und Mathematik Tante Zibonacci hat sich ein neues Auto gekauft. Ganz schnittig, wunderbar glänzend und leuchtend rot. Damit hat sie Miriam und mich neulich auf eine längere Ausfahrt mitgenommen. Und was soll ich euch sagen? Es war phänomenal! Ihr Auto sieht zwar noch aus wie ein Auto, bewegt sich aber wie von Geisterhand. Schon beim Ausparken vor unserem Haus musste Zibonacci gar nichts mehr tun. Sie machte einfach eine magische Bewegung – na ja, drückte eher den vorgesehenen Ausparkknopf - und das Fahrzeug manövrierte sich ganz alleine aus der Parklücke heraus. Dann ging es in angepasster Geschwindigkeit durch die Stadt. Fahrgeräusche konnte ich kaum wahrnehmen, so leise arbeitete der Motor. Als die Ampel in Sicht kam, drosselte das Auto sein Tempo und kam dann automatisch zum Stehen. „Wow!“ rief ich begeistert. „Tante Zibonacci, du bist wirklich eine Zauberin. Was dein Auto alles kann. Das ist ja wie ein moderner Hexenbesen.“

215

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Meine Tante fühlte sich sichtlich geschmeichelt, meinte dann aber: „Das ist keine Zauberei, Ziffy. Das ist Mathematik. Ohne Mathematik sind moderne Autos nicht denkbar.“

„Mathematik?“ Miriam zog erstaunt ihre Augenbrauen hoch. „Ich dachte, für Autos braucht man vor allem clevere Ingenieure.“ Zibonacci lächelte. „Da hast du natürlich recht. Aber sie sollten auch etwas von Mathematik verstehen oder sich von Mathematikern beraten lassen. Schauen wir uns einmal an, was ein Auto so kann! Ziffy, nimm doch bitte mal mein Tablet aus dem Handschuhfach und notiere ein paar Stichpunkte, damit wir nichts vergessen und nicht durcheinander kommen.“ Und so stellten Miriam und ich mit Zibonaccis Unterstützung die folgende Liste zusammen: 1. Wir wünschen uns möglichst günstige Autos. Ein Auto kann aber nur zu einem guten Preis angeboten werden, wenn die Herstellung selbst nicht so teuer ist. Dies wird heute erreicht, indem viele Fertigungsschritte zunächst im Computer dargestellt werden. Um die Form und Farbe festzulegen, werden die Bauteile des Autos im Computer abgebildet. Die Abbildung zeigt das Modell eines Autos in einem sogenannten CAD-System. Dies ist eine von Mathematikern entwickelte Software, die die Entwicklung und Fertigung unterstützt.

216

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

Abbildung eines Spielzeugautos in einem CAD-System. Auf der Motorhaube sind die Kurven erkennbar, durch die die Oberfläche modelliert wird.

Dann erstellen Mathematiker zusammen mit Spezialisten anderer Fachrichtungen Simulationen am Computer. Eine Simulation können wir uns wie ein Computerspiel vorstellen. Ein richtig gutes Spiel versucht, die Wirklichkeit möglichst genau abzubilden. Dazu brauchen wir Methoden aus der Geometrie.

Einzelne Schritte eines Montagepfads eines Bauteils zwischen Start- und Endposition Quelle: Prof. Dr. Wolpert, RASAND-Labors HFT Stuttgart

Betrachten wir als Beispiel die Montage, also den Zusammenbau eines Autos. Die Oberflächen der einzelnen Bauteile werden im Computer durch eine Menge von Dreiecken dargestellt. Durch Simulationen wird geprüft, dass die

217

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Bauteile zusammenpassen und es beim Einbau nicht zu Zusammenstößen kommt. 2. Fahrerassistenzsysteme unterstützen den Fahrer in typischen Fahrsituationen. Dazu gehört beispielsweise die Ein- und Ausparkhilfe. Die meisten Autos sind noch nicht so weit wie Zibonaccis Auto, das ganz alleine ausparken kann. Oft aber hört der Fahrer ein Piepsen, wenn er einem Hindernis, beispielsweise einem anderen Auto, zu nahe kommt. Dafür ist das Auto mit Sensoren ausgestattet, die ähnlich wie die Ohren einer Fledermaus arbeiten: Sie senden Wellen und empfangen das Echo.

Diese Informationen erlauben es, mit mathematischen Formeln den Abstand zu einem Hindernis zu berechnen. 3. Und natürlich wünschen wir uns ein sicheres Auto. Unfälle sollen vermieden werden und wenn doch einmal etwas passiert, sollen die Mitfahrenden möglichst unbeschadet davonkommen. Mit Crashtest-Simulationen können Entwickler auch durchspielen, was passiert, wenn das Auto mit einem Hindernis zusammenstößt. Dies ist mit dem Computer bereits möglich, bevor das Auto tatsächlich gebaut wird. Hierfür entwickeln Mathematiker die Modelle und die dafür notwendigen Computerprogramme. Reale Crashtests mit Puppen als Fahrzeuginsassen werden auch durchgeführt, dienen aber vor allem der Auswahl der richtigen Eingaben und der Interpretation der Programme. Die Simulationen am Computer unterstützen somit die Entwicklung und erlauben es, deutlich mehr Situationen mit wesentlich geringerem Aufwand zu untersuchen.

218

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden 4. Mathematik unterstützt auch den Diebstahlschutz. Die meisten Autos lassen sich durch einen Klick auf den Schlüssel öffnen. Mit dem Autoschlüssel wird auch die Wegfahrsperre des Autos aufgehoben. Dabei sendet das Auto dem Schlüssel eine Rechenaufgabe, die dieser nur lösen kann, weil er die richtige, zum Auto passende Zusatzinformation kennt. 5. Für ein Navigationssystem sind gleich mehrere mathematische Probleme zu lösen: • Die aktuelle Position des Autos wird aus dem Abstand des Fahrzeugs zu mindestens vier Satelliten berechnet. Satelliten sind künstliche Flugobjekte, die um die Erde kreisen und Informationen senden. • Das mathematische Problem, den kürzesten Weg zwischen zwei vorgegebenen Adressen zu finden, ähnelt dem Problem des Handlungsreisenden (siehe Abschnitt 5.6). Allerdings gibt es in diesem Fall eine Methode, die schnell zu einer Lösung führt. • Moderne Systeme verwenden auch Daten aus dem Verkehrsfunk oder aus den Smartphones anderer Autofahrer, um Umgehungsrouten bei Staus vorzuschlagen. Dafür ist es notwendig, große Datenmengen zu verarbeiten - ebenfalls ein Einsatzgebiet der Mathematik. Dies sind nur einige Beispiele.

Bis zu 100 Kleinstcomputer sind in einem modernen Auto verbaut. Es ist mit Software ausgestattet, der mehr als 100.000.000 Befehlszeilen in Computersprache (Computercode) zugrunde liegen. Zum Vergleich: Eine einfache App auf dem Smartphone bringt es gerade mal auf etwa 10.000 Zeilen Computercode, das Betriebssysteme Android, das auf vielen Smartphones installiert ist, umfasst etwas über 10 Millionen Zeilen und die Software zu Facebook immerhin etwa 60 Millionen Zeilen.

219

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

In Zukunft werden sich Autos immer weiter in Zauberfahrzeuge verwandeln. So gibt es tatsächlich heute schon autonome Fahrzeuge, also selbst fahrende Geisterautos. Und die Probleme, die es hier zu lösen gibt, stellen große Herausforderungen für Mathematiker dar, die sich mit der Verarbeitung digitaler Bilder beschäftigen.

5.9 Mathe unterwegs Die Kennzeichen von Autos bieten eine interessante Unterhaltung. Besonders bei langen Autofahrten sind Nummernschilder eine prima Hilfe gegen Langeweile. Betrachtet die Zahlen einfach genauer. Ihr könnt sie zu kleinen Knobelaufgaben oder Spielen nutzen. Ich mache hier nur einen Spielvorschlag, der sich aber noch beliebig ausbauen lässt. Für das Spiel müsst ihr einige Karteikärtchen mit Zahlenrätseln vorbereiten. Unten gibt es dazu einige Anregungen. Vor Spielbeginn werden die Karten gut durchgemischt. Dann wird die erste Karte aufgedeckt, beispielsweise mit der Aufgabe „Gesucht ist eine Zahl, die durch 3 teilbar ist.“ Der erste Spieler, der ein Autokennzeichen sieht, dessen Zahl durch 3 teilbar ist, erhält die Karte. Wer am Ende die meisten Karten hat, hat gewonnen. Auf der Autobahn rasen die Autos sehr schnell vorbei. Da kann es schon passieren, dass das Auto über dessen Autokennzeichen ihr eine Weile nachgedacht habt, bereits am Horizont verschwunden oder zur nächsten Tankstelle abgebogen ist. In diesem Fall habt ihr leider Pech gehabt und müsst euch ein neues Kennzeichen suchen. In diesem Spiel geht es also auch um Geschwindigkeit. Einige der gesuchten Zahlen treten häufig auf, andere selten. Da kann es schon etwas länger dauern, bis der Besitzer der Karte ermittelt ist. Hier nun einige Vorschläge unterschiedlicher Schwierigkeit für eure Kärtchen. Ihr könnt euch aber selbst noch eigene Fragen ausdenken:

220

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden • Gesucht ist eine Zahl, die durch 3 teilbar ist. (Hier auch noch je eine Karte zur Teilbarkeit durch 4, 7, 9, 11, 15.) • Gesucht ist eine Palindrom, das heißt eine Zahl, die vorwärts und rückwärts gelesen, die gleiche Zahl ergibt. Beispiele sind die Zahlen 171 oder 6.446. • Gesucht ist eine Primzahl. • Gesucht ist eine Quadratzahl, wie beispielsweise 9 = 3 · 3, 49 = 7 · 7 oder die Zahl 1.681 = 41 · 41. • Gesucht ist eine zusammengesetzte Zahl, die nicht durch 4 teilbar ist. • Gesucht ist eine Zahl größer als 5.000. Auch hier sind verschiedene Varianten denkbar. Weitere Beispiele: Gesucht ist eine Zahl kleiner als 50. Gesucht ist eine Zahl zwischen 2.000 und 3.000. • Gesucht ist eine Zahl, deren Quersumme größer als 15 ist. Zur Erinnerung: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern. Zum Beispiel: 297 hat die Quersumme 2 + 9 + 7 = 18 und würde somit die Bedingung erfüllen.

Hier kommen nun noch einige Merkregeln und Tipps, die euch bei diesem Spiel helfen. Wir beginnen erst einmal mit Teilbarkeitsregeln:

• Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die zweistellige Zahl, die sich aus den letzten beiden Ziffern ergibt, durch 4 teilbar ist. Beispiel: 15.182.396 ist durch 4 teilbar, weil 96 durch 4 teilbar ist. • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern (die Quersumme) durch 3 teilbar ist. • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

221

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

• Auch für die Zahl 11 gibt es eine Teilbarkeitsregel. Statt der Quersumme wird hier die sogenannte Wechselquersumme betrachtet: Wir beginnen mit der ersten Ziffer, ziehen die zweite davon ab, addieren zum Ergebnis die dritte, ziehen die vierte Ziffer ab, addieren wieder die fünfte Ziffer und so fort. Für 317.262 ergibt sich die Wechselquersumme also durch

3 − 1 + 7 − 2 + 6 − 2 = 11. Wenn die Wechselquersumme durch 11 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 11 teilbar. Die Zahl 317.262 ist somit durch 11 teilbar.

Für die Zahl 7 gibt es leider keine einfache Teilbarkeitsregel. Bei der Teilbarkeit durch 15 reicht es zu prüfen, dass die Zahl durch 3 und durch 5 teilbar ist. Primzahlen kommen nicht so häufig vor und je größer die Zahlen sind, desto seltener sind sie prim. Da werdet ihr am ehesten mit ein- oder zweistelligen Autokennzeichen Erfolg haben. Auf jeden Fall müsst ihr bei dieser Aufgabe Geduld haben und genau nachrechnen. Ich erkläre euch jetzt, wie man systematisch prüfen kann, ob eine Zahl eine Primzahl ist: Zunächst einmal sind einstellige Autokennzeichen genau dann prim, wenn es sich um die Zahlen 2, 3, 5 und 7 handelt. Ein Autokennzeichen, das mindestens zweistellig ist und auf die Ziffern 0, 2, 4, 5, 6 oder 8 endet, ist immer durch 2 oder 5 teilbar und somit niemals eine Primzahl. Als nächstes können wir mit den Teilbarkeitsregeln oben prüfen, ob die Zahl durch 3 oder 11 teilbar ist. Leider gibt es für die Zahl 7 keine einfache Teilbarkeitsregel. Hier müsst ihr tatsächlich im Kopf nachrechnen. Falls die Zahl weder durch 2, 3, 5, 7 und 11 teilbar ist, ist sie auch durch keine der Zahlen kleiner als 12 teilbar.

222

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden Ihr kleinster möglicher Teiler wäre dann die Zahl 13. Im Spiel könntet ihr also das Risiko eingehen und behaupten, dass die Zahl eine Primzahl ist. Eure Mitspieler müssen dann widerlegen, dass dem nicht so ist. Um nachzuweisen, dass eine Zahl tatsächlich prim ist, müsstet ihr prüfen, dass sie nicht durch eine andere Primzahl größer als 11 teilbar ist. Dabei müsst ihr aber nicht alle Primzahlen, die kleiner als eure Zahl sind, ausprobieren. Für eine dreistellige Zahl reicht es die Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis 31 zu testen. Für eine vierstellige Zahl müsst ihr alle zweistelligen Primzahlen bis 97 durchprobieren. Erst wenn alle diese Primzahlen eure Zahl nicht teilen, dann ist die Zahl mit Sicherheit eine Primzahl. Es gibt auch Apps für das Smartphone, die bei Eingabe einer Zahl testen, ob diese eine Primzahl ist.

5.10 Zaubertrick: Esel oder Elefant? Zur Quersumme und Teilbarkeit durch 9 habe ich noch einen schönen Mentaltrick für euch. Folgt zunächst einmal selbst den vorgegebenen Anweisungen. Im Anschluss erkläre ich, warum dieser Trick meistens gelingt.

Lasst euch auf das folgende Gedankenexperiment ein: 1. Denkt euch eine beliebige Zahl zwischen 1 und 9. 2. Multipliziert eure Zahl mit 9. 3. Zählt die Ziffern der erhaltenen Zahl zusammen. 4. Zieht vom Ergebnis die Zahl 5 ab. 5. Ordnet dem Ergebnis einen Buchstaben zu, und zwar 1 = A,

2 = B,

3 = C,

4 = D,

223

5 = E,

6 = F, . . . .

Von geheimen Botschaften und schlauen Städtereisenden

6. Sucht nun ein Land, das mit diesem Buchstaben beginnt. 7. Wählt den zweiten Buchstaben des Landes. 8. Überlegt euch ein Tier, das mit diesem Buchstaben beginnt. 9. Denkt an die Farbe des Tieres! Ist es grau? Habt ihr an einen Elefanten oder einen Esel gedacht? Es gibt übrigens auch graue Eichhörnchen. Warum führt der Trick oft zum Erfolg?

Zunächst einmal wird jeder im 5. Schritt auf den Buchstaben D kommen. Wenn wir nämlich eine beliebige einstellige Zahl mit 9 multiplizieren, erhalten wir eine zweistellige, durch 9 teilbare Zahl, deren Quersumme gleich 9 ist. Wenn wir davon 5 abziehen, ergibt sich 4 und damit D. Im nächsten Schritt müssen wir nun darauf hoffen, dass der Mitspieler „Deutschland“ auswählt, was sicherlich den meisten zuerst einfällt. Um ganz sicher zu gehen, könnt ihr noch sagen, dass das Land nicht auf K enden sollte. Damit sind „Dänemark“ und die „Dominikanische Republik“ ausgeschlossen. An „Dominica“ und „Dschibuti“ werden eure Zuschauer eher selten denken. Mit Deutschland erhält man dann im 7. Schritt den Buchstaben E und dann kommen viele auf „Elefant“ oder „Esel“, die beide graue Tiere sind. Natürlich kann der Trick auch fehlschlagen, wenn euer Mitspieler an einen Eisbär denkt oder sich für den Engel-Fiederbartwels interessiert, der übrigens ein Süßwasserfisch ist, der bis zu zwei Meter lang werden kann.

224

6 Auf Wiedersehen in Mathematika Unsere Reise durch Mathematika neigt sich ihrem Ende zu. Wir haben einen Ausflug in die Geschichte der Mathematik gemacht und haben viele berühmte Mathematiker kennengelernt. Wir haben gesehen, was man mit Zahlen alles machen kann, wie man mit Kaninchen rechnet und wahre von falschen Aussagen unterscheiden kann. Wir haben gelernt, dass jede Landkarte mit vier Farben eingefärbt werden kann, dass wir uns auch auf die Zahlen 0 bis 11 beschränken können und dass Mehrfachgeburtstage häufiger vorkommen als man denkt. Die Themen aus dem letzten Abschnitt zeigen, dass Mathematik in unserem Alltag überall gebraucht wird. Den wenigsten ist es vergönnt, einen Urlaub in Mathematika zu verbringen. Aber auch in Deutschland gibt es viele Orte, an denen ihr Mathematik erleben könnt. In Abschnitt A.6 habe ich einige für euch herausgesucht. Ihr könnt auch gerne meine Internetseite unter https://www.ziffy-der-zahlenzauberer.de besuchen. Dort findet ihr neben zahlreichen weiteren Informationen und Materialien auch Kopiervorlagen für die Bastelanleitungen in den Abschnitten 4.3 und 5.1. Wenn ihr die aufgeführten Zaubertricks vor Publikum vorführen wollt, lest euch bitte die Zauberregeln aus Abschnitt A.3 durch.

225

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1_7

Auf Wiedersehen in Mathematika

In den Abschnitten 2.1, 4.1 und 4.8 wurden zwei Ostervorlesungen für Kinder verarbeitet, die Annegret Weng mit ihrem Kollegen Prof. Dr. Harald Bauer in 2017 und 2018 an der Hochschule für Technik zusammen konzipiert und gehalten hat. Danke, Harald, für Dein Einverständnis, das Material hier einzusetzen.

226

A Ergänzungen A.1 Hinweise zu den schwierigeren Aufgaben Seite 50: Da die Säge auch das stärkste Material durchdringen kann, ist es möglich, mehrere Teilstücke aufeinander zu legen und auf einmal durchzusägen. Seite 65: Um zu prüfen, ob zwei Zahlen sich durch eine dritte Zahl zu einem pythagoreischen Zahlentripel ergänzen lassen, müssen wir prüfen, ob entweder die Summe oder die Differenz der beiden Quadrate wieder ein Quadrat ergibt. Wenn wir etwa 12 und 13 gegeben haben, berechnen wir 122 + 132 = 313 und 132 − 122 = 25. Die Zahl 313 ist kein Quadrat. Hier kommen wir also nicht weiter. Aber 25 = 52 , also gilt 132 − 122 = 52 oder 122 + 52 = 132 . Für 11 und 60 (Aufgabe a)) müsst ihr beispielsweise prüfen, ob 602 + 112 oder 602 − 112 ein Quadrat ist. Seite 99: Die Quersumme der gesuchten Zahl ist kleiner als 20. Seite 114: Für dieses Rätsel geht ihr am besten nach dem Ausschlussprinzip vor. Das bedeutet, ihr überlegt, auf welche Mathematikerin die Aussage auf jeden Fall nicht zutreffen kann. Als zusätzlichen Tipp verrate ich noch, dass Sophie Germains Eltern von der Leidenschaft ihrer Tochter für die Mathematik zuerst gar nicht begeistert waren. Seite 174: Hier gibt es fünf „Gläser“. Ein Glas steht für das Paar (1, 9). Für welche Zahlenpaare stehen die anderen vier „Gläser“? Was sind die „Murmeln“?

227

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1

Ergänzungen

Seite 191: Ihr müsst die Chiffrierscheibe so einstellen, dass X in den Buchstaben I entschlüsselt wird. Seite 197: Die erste Botschaft bekommt ihr auch ohne Hinweis heraus. Für die zweite Botschaft müsst ihr die Chiffrierscheibe so einstellen, dass der Buchstabe G in ein P entschlüsselt wird. Das Codewort für die dritte Botschaft lautet GAUSS.

228

Ergänzungen

A.2 Lösungen der Aufgaben Seite 18: Es gibt 7·7·7 Mäuse, die von den Katzen gefressen werden. Jede Maus hätte sonst 7·7 Maß Getreidekörner vertilgt. Insgesamt erhalten wir also 7·7·7·7·7 = 16.807 Maß Getreidekörner. Im Papyrus Rhind werden anschließend noch alle in der Aufgabe vorkommenden Dinge zusammengezählt. Die Summe aus Häusern, Katzen, Mäuse, Ähren und Getreidekörnern ergibt 7 + 7 · 7 + 7 · 7 · 7 + 7 · 7 · 7 · 7 + 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 19.607. Es ist allerdings äußerst rätselhaft, warum sich die alten Ägypter für eine Summe aus diesen recht unterschiedlichen Dingen interessierten, weshalb wir die Aufgabe etwas angepasst haben. Seite 20: Wir erhalten: ⊕ = 0,  = 1,  = 2,  = 3, ∩ = 4, = 5, ∗ = 6, ∧ = 7, ∞ = 8, = 9.

229

Ergänzungen Seite 26: Ziffy holt eine Zauberblume aus seinem Zauberhut:

Seite 36: Es kann manchmal recht lange dauern, bis die Zahl 1 erreicht wird. 15 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Seite 42: a) M CDXCII b) M DCCCLXXXIX c) M CM XC d) M M V III Für c) ist auch die Schreibweise M CM LXL möglich. Die Darstellung der Zahl 90 in der Form LXL ist allerdings weniger gebräuchlich.

230

Ergänzungen Seite 43: Hier sind die Lösungen zu den Streichholzrätseln:

Seite 50: Wenn wir nach jedem Sägen die gesägten Teile deckungsgleich aufeinander legen und durch die Mitte sägen, verdoppelt sich mit jedem Schnitt die Anzahl der Teile: 1. Sägeschnitt: 21 = 2, 2. Sägeschnitt: 22 = 4, 3. Sägeschnitt: 23 = 8, 4. Sägeschnitt: 24 = 16, 5. Sägeschnitt: 25 = 32, 6. Sägeschnitt: 26 = 64. Somit muss nur 6-mal gesägt werden.

231

Ergänzungen Seite 52:

Seite 61: Für die erste Variante (jeder Wurf besteht aus 2 Pärchen) ergibt sich die Zahlenfolge 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341 . . . . Um das nächste Folgeglied zu erhalten, müssen wir die aktuelle Zahl nehmen und das Doppelte der vorangegangenen dazu zählen, also beispielsweise 11 = 5 + 2 · 3 und 83 = 43 + 2 · 21. Für die zweite Variante (der erste Wurf erfolgt bereits nach einem Monat, besteht aber nur aus einem Pärchen und jeder folgende Wurf besteht aus 2 Pärchen) erhalten wir die Werte 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2.378. Um das nächste Folgeglied zu erhalten, müssen wir die aktuelle Zahl mal 2 nehmen und die vorangegangene dazu zählen, also beispielsweise 70 = 2·29+12 und 408 = 2·169+70. Seite 65: Um zu prüfen, ob zwei Zahlen sich durch eine dritte Zahl zu einem pythagoreischen Zahlentripel ergänzen lassen, müssen wir prüfen, ob entweder die Summe oder die Differenz der beiden Quadrate wieder ein Quadrat ergibt. Für 11 und 60 (Aufgabe a)) müssen wir beispielsweise prüfen, ob 602 + 112 oder 602 − 112 ein Quadrat ist. Tatsächlich gilt 602 + 112 = 612 .

232

Ergänzungen Für die anderen Aufgaben sieht die Lösung wie folgt aus: b) Es gilt 122 + 162 = 202 , also lassen sich 12 und 16 zu einem pythagoreischen Tripel ergänzen. c) Es gilt 992 + 202 = 1012 , also lassen sich 99 und 101 zu einem pythagoreischen Tripel ergänzen. d) Es ist nicht möglich 14 und 15 zu einem pythagoreischen Tripel zu ergänzen, denn weder 152 − 142 = 29 noch 152 + 142 = 421 sind Quadratzahlen. Seite 72: Mit dem Trick des kleinen Gauß können wir auch die Zahlen von 1 bis 1.000 addieren. Wir bilden wieder 1 + 1.000, 2 + 999, 3 + 998, . . .. Jedes Paar liefert die Summe 1.001 und es gibt 500 solcher Paare. Somit ist die Summe der Zahlen von 1 bis 1.000 durch 500 · 1.001 = 500.500 gegeben. Auch die ersten 100 geraden Zahlen können wir mit dem Trick leicht addieren, indem wir wieder Paare bilden: 2 + 4 + . . . + 100 = (100 + 2) + (98 + 4) + . . . + (52 + 50). Jedes der Paare liefert die Summe 102. Es gibt 25 solcher Paare. Also erhalten wir als Summe der geraden Zahlen von 2 bis 100 die Zahl 25 · 102 = 2.550.

233

Ergänzungen Seite 76: Das vollständige, magische Quadrat zur Summe 65 lautete: 11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

Seite 90: Eine mögliche Lösung ist A − F − G − H − I − J − K − L − M − T − S − R − Q − P − O − N − E − D − C − B − A. Seite 93: Es gilt 63 · 11 = 693 und 35 · 11 = 385. Weiter ergibt sich 65 · 11 = 715 und 79 · 11 = 869. Seite 94: Wir betrachten einmal 91 · 11. Wenn wir die beiden Ziffern der Zahl 91 addieren, ergibt sich die Zahl 10. Die Zehnerstelle des Ergebnisses ist somit eine 0 und wir erhalten einen Übertrag, den wir zur Zahl 9 hinzuzählen müssen. Damit ergibt sich die Zahl 10 und insgesamt das Ergebnis 1.001. Seite 99: Die gesuchte Zahl ist 18 · 81 = 1.458. Seite 104: Es ergibt sich der Lösungssatz „Mathematik ist Musik des Geistes“, der auf den russischen Schriftsteller Daniil Charms (1905-1942) zurückgeht. Das vollständige Zitat lautet: „Mathematik ist Musik des Geistes, Musik ist Mathematik der Seele.“

234

Ergänzungen

Seite 114: Wie in der Aufgabenstellung erwähnt, finden sich diese Informationen nicht direkt im Text. Mit etwas Nachdenken lässt sich aber jeder Abschnitt einer Mathematikerin zuordnen: 1. Maria Gaetana Agnesi, 2. Hypatia, 3. Sophie Germain, 4. Emmy Noether, 5. Sofja Wassiljwna Kowalewskaja Die letzte Aussage kann nur auf Sofja Kowalewskaja zutreffen. Da die einzige deutsche Mathematikerin Emmy Noether ist, ist ihr die vierte Aussage zuzuordnen. Die dritte Aussage bezieht sich auf Sophie Germain, deren Eltern nach den Aufzeichnungen meiner Urgroßmutter eine Bibliothek besaßen. Da Hypatia keine Christin war, verbleibt für die erste Aussage dann nur Maria Agnesi. Seite 129: Das Windrad hat nur die 4 Drehsymmetrien. Die Spiegelung ist hier nicht möglich.

Seite 131: Bis auf die Karte Herz 5 zeigen alle Karten nach unten. Somit muss Herz 5 die vom Zuschauer gewählte Karte sein. Seite 143: Die erste Aussage ist richtig. Über den Inhalt der zweiten Aussage wird im Text nichts gesagt. Wir können also auch keine Aussage darüber treffen. Die dritte Aussage ist nicht richtig, denn auf Arareon gibt es nur Kamelhörner und diese haben

235

Ergänzungen alle 3 Höcker. Es kann somit kein Tier mit nur einem einzigen Höcker geben. Die vierte Aussage ist wieder richtig. Alle Tiere auf dem Planeten Arareon sind Kamelhörner. Somit haben alle Tiere drei Höcker. Da Tiere mit drei Höckern mindestens 20 Stunden schlafen, schlafen alle Tiere auf dem Planeten Arareon mindestens 20 Stunden. Seite 138: So lässt sich die Karte mit vier Farben einfärben:

Seite 139: Auch zum Einfärben der Deutschlandkarte werden vier Farben benötigt.

236

Ergänzungen Dass drei Farben nicht ausreichend sind, sieht man an Thüringen, das 5 Nachbarländer hat. Eine Karte lässt sich nie mit drei Farben einfärben, wenn es ein Land gibt, das eine ungerade Anzahl an Nachbarstaaten größer als 2 hat. Seite 148: Es gilt a) 5 + 8 Modulo 12 = 1, denn 5 + 8 = 13 und 13 hat den Rest 1 beim Teilen durch 12. b) 6 · 5 Modulo 12 = 6, denn 6 · 5 = 30. Die Zahl 30 = 2 · 12 + 6 hat den Rest 6 beim Teilen durch 12. c) 9 · 2 Modulo 17 = 1, denn 9 · 2 = 18. Die Zahl 18 hat den Rest 1 beim Teilen durch 17. Seite 162: Wenn wir das Produkt statt der Augensumme der beiden Würfel betrachten, treten die Zahlen 6 und 12 am häufigsten – nämlich beide viermal – auf. Beispielsweise erhalten wir 12 = 2 · 6 = 6 · 2 = 3 · 4 = 4 · 3. Seite 174: 1. Es gibt 12 Monate. Übertragen auf unser Gläser-Murmel-Problem haben wir also 12 Gläser und 25 Murmeln. Bei 12 · 2 + 1 = 25 Murmeln muss es ein Glas mit mindestens 3 Murmeln geben. Wenn die Klasse also 25 oder mehr Schüler hat, gibt es mindestens einen Monat, in den der Geburtstag von drei oder mehr Schülern fällt. 2. Wir stellen uns fünf Gläser vor, die mit den fünf Aufklebern (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) und 5 beschriftet sind. Wenn wir nun sechs unterschiedliche Zahlen aus der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} auswählen und auf das zugehörige Glas verteilen, müssen zwei Zahlen in das gleiche Glas einsortiert

237

Ergänzungen werden. Die Summe dieser beiden Zahlen ergibt dann 10. Nehmen wir als Beispiel die Zahlen {3, 4, 5, 7, 8, 9}. Wenn wir diese auf die fünf Gläser verteilen, befinden sich am Ende im Glas (3, 7) zwei Zahlen, nämlich 3 und 7, und tatsächlich gilt 3 + 7 = 10. Seite 183: 1. Dieses Mal ist es besser, nicht zu wechseln. Schaut euch dazu den Baum für Nicht-Wechseln auf S. 181 an. Wenn ihr nicht wechselt, erhaltet ihr in zwei von drei Fällen die Ziege und nicht das Auto. 2. Ihr erklärt euren Eltern, dass ihr wechseln würdet, weil in 4 von 5 Fällen in dem noch verbleibenden Päckchen das Smartphone liegt. Das erklärt ihr ihnen so überzeugend, dass eure Eltern verwundert feststellen, dass ihr die Mathe-Lernhilfe (die war im 5. Päckchen) gar nicht nötig habt. So überlassen sie euch auch das heiß ersehnte Telefon, falls der unwahrscheinliche Fall (1 aus 5 Fällen) eintritt, dass ihr durch das Wechseln das Buch bekommt. Seite 185: 1. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, zweimal hintereinander eine Zahl zu würfeln, liegt bei 1 aus 4 Fällen oder – als Bruch geschrieben – bei 14 . Somit hat das Gegenereignis die Wahrscheinlichkeit 3 zu 4 (drei aus vier Fällen) oder 34 . 2. In der Hälfte aller Fälle erzielt man mit einem Würfel eine Primzahl, also 2, 3 oder 5. Somit sind hier Ereignis und Gegenereignis gleichwahrscheinlich. Seite 191: Die Lösung ist die deutsche Übersetzung des berühmten Zitats „Veni, vidi, vici“ des römischen Feldherrn Cäsar nach seiner Schlacht bei Zela in der heutigen Türkei im Jahr 47 vor Christus: „Ich kam, sah und siegte.“

238

Ergänzungen Seite 193: Das Zitat aus der „Herr der Ringe“-Verfilmung lautet: „Ein Zauberer kommt nie zu spät. Ebensowenig zu früh. Er trifft genau dann ein, wenn er es für richtig hält.“ Seite 196 ff: Aus dem Text lassen sich folgende Informationen herauslesen: 1. Alle drei Verdächtigen saßen bei der Veranstaltung in einer Reihe nebeneinander. 2. Eine der drei ist die Biologin Sophie Schmidt und ein weiterer Dr. Max Müller. 3. Einer fährt einen BMW und dieser Verdächtige saß zur rechten Seite des Porschefahrers. Zudem ergeben sich aus den verschlüsselten Nachrichten weitere Hinweise: 4. Der Verdächtige mit Porsche saß nicht neben dem Mercedesfahrer. 5. Professor Florian Fischer ist Mathematiker (und fährt keinen Mercedes). 6. Neben dem Porschefahrer saß der Historiker. Diese Hinweise lassen sich nun zusammenfügen: Aus Hinweis (4) ergibt sich, dass der BMW-Fahrer in der Mitte saß. Zusammen mit (2) folgt, dass der Porschefahrer links und der Mercedesfahrer rechts Platz genommen hatten. Nach (6) ist der BMW-Fahrer ein Historiker und damit nicht der Mathematiker Florian Fischer (siehe 5) oder die Biologin Sophie Schmidt. Unser Verdächtiger heißt somit Dr. Max Müller und ist Historiker. Seite 207: Für die Ziffernfolge 4002051698386 ergibt sich 4 + 3 · 0 + 0 + 2 · 3 + 0 + 5 · 3 + 1 + 6 · 3 + 9 + 3 · 8 + 3 + 3 · 8 + 6 = 110. Diese Zahl ist durch 10 teilbar, also ist dies eine zulässige EAN. Für die Ziffernfolge 1512193198357 erhalten wir jedoch 1 + 3 · 5 + 1 + 2 · 3 + 1 + 3 · 9 + 3 + 3 · 1 + 9 + 3 · 8 + 3 + 3 · 5 + 7 = 115.

239

Ergänzungen Da 115 nicht durch 10 teilbar ist, ist 1512193198357 keine zulässige EAN. Das Vertauschen von zwei benachbarten Ziffern wird durch die Prüfziffer erkannt. So wird 4028208001890 als nicht zulässige EAN entlarvt. Das Vertauschen von zwei Ziffern, die einen geraden Abstand haben (wie beispielsweise in diesem Fall der Abstand 2), wird durch das Verfahren aber nicht entdeckt. Auch die Zahl 4028208001908 ist zulässig. Seite 213: Die optimale Tour lautet München – Erfurt – Dresden – Berlin – Potsdam – Magdeburg – Schweiz – Kiel – Hamburg – Bremen – Hannover – Düsseldorf – Wiesbaden – Mainz – Saarbrücken – Stuttgart – München Natürlich müsst ihr nicht in München starten. Wichtig ist nur, dass ihr die richtige Reihenfolge einhaltet.

240

Ergänzungen

A.3 Goldene Regeln der Zauberkunst

1. Verratet den Zuschauern niemals, wie der Trick funktioniert. Auf die Frage „Wie geht denn das?“ solltet ihr eine schlagfertige Antwort bereithalten. Stellt beispielsweise einfach eine Gegenfrage: „Kannst du ein Geheimnis für dich behalten?“ Und wenn der Zuschauer, dann mit „Ja.“ antwortet, erwidert ihr: „Ich auch.“ 2. Fast alle Tricks in diesem Buch gelten als sogenannte Selbstläufer, weil ihr dafür keine besondere Fingerfertigkeit benötigt. Aber Achtung: Üben müsst ihr trotzdem. In der Aufregung kann man vieles falsch machen. Wie schade, wenn euer schöner Trick nicht funktioniert, weil ihr nicht genug geübt habt! 3. Man sollte nicht vorher schon verraten, was man zu tun beabsichtigt. Die Überraschung des Zuschauers ist viel größer, wenn er nicht weiß, was als nächstes passiert. 4. Wenn ihr mehrere Tricks vorführt, achtet auf ein abwechslungsreiches Programm, da dies euren Auftritt spannender macht und die Zuschauer besser von den Trickgeheimnissen abgelenkt werden. 5. Für euren Auftritt solltet ihr auf gute Rahmenbedingungen achten, wie etwa genug Abstand zum Publikum, Ruhe und Aufmerksamkeit des Publikums, Vorbereitung der benötigten Utensilien. Sprecht laut, deutlich und vor allem nicht zu schnell, so dass euch alle gut folgen können.

241

Ergänzungen

A.4 Vollständige Tabelle zu Abschnitt 2.2 (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38)

6 9 8 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 1 0 3

0 4 4 8 8 2 2 7 7 1 1 5 5 9 9 3 3 8 8 2 2 6 6 0 0 4

6 3 2 9 8 5 4 2 1 8 7 4 3 0 9 6 5 3 2 9 8 5 4 1 0 7

6 7 6 7 6 7 6 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 1 0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 8 6 4 2 0 1 9 7 5 3 1 9 7 5 3 4 2 0 8 6 4 2 0 8

8 7 4 3 0 9 6 0 7 6 3 2 9 8 5 4 1 5 2 1 8 7 4 3 0 9

0 7 2 9 4 1 6 1 6 3 8 5 0 7 2 9 4 9 4 1 6 3 8 5 0 7

8 4 6 2 4 0 2 1 3 9 1 7 9 5 7 3 5 4 6 2 4 0 2 8 0 6

8 1 8 1 8 1 8 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 3 0 3 0 3 0 3 0 3

6 5 4 3 2 1 0 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 7 6 5 4 3 2 1 0 9

4 6 2 4 0 2 8 5 1 3 9 1 7 9 5 7 3 0 6 8 4 6 2 4 0 2

0 1 6 7 2 3 8 8 3 4 9 0 5 6 1 2 7 7 2 3 8 9 4 5 0 1

4 7 8 1 2 5 6 3 4 7 8 1 2 5 6 9 0 7 8 1 2 5 6 9 0 3

4 8 4 8 4 8 4 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 4 0 4 0 4 0 4 0 4

8 5 2 9 6 3 0 4 1 8 5 2 9 6 3 0 7 1 8 5 2 9 6 3 0 7

2 3 6 7 0 1 4 5 8 9 2 3 6 7 0 1 4 5 8 9 2 3 6 7 0 1

0 8 8 6 6 4 4 9 9 7 7 5 5 3 3 1 1 6 6 4 4 2 2 0 0 8

2 1 4 3 6 5 8 4 7 6 9 8 1 0 3 2 5 1 4 3 6 5 8 7 0 9

2 9 2 9 2 9 2 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 7 0 7 0 7 0 7 0 7

4 0 6 2 8 4 0 7 3 9 5 1 7 3 9 5 1 8 4 0 6 2 8 4 0 6

(39) 2 4 6 0 6 6 2 8 0 8 8 6 4 0 4 4 8 2 0 2 (40) 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9

242

Ergänzungen

A.5 Kopiervorlage Chiffrierscheibe

243

Ergänzungen

244

Ergänzungen

A.6 Mathematik erleben Nicht jeder hat die Möglichkeit, nach Mathematika zu reisen. Aber auch bei uns in Deutschland gibt es zahlreiche Orte, an denen ihr Mathematik erleben könnt. Hier eine Auswahl (Liste ohne Gewähr auf Vollständigkeit): 1. Erlebnisland Mathematik, 01067 Dresden 2. Adam-Ries-Museum, 09456 Annaberg-Buchholz 3. Mathematisch-Physikalischer Salon, 01277 Dresden 4. Astronomisch-Physikalisches Kabinett, 34121 Kassel 5. Mathematikum, 35390 Gießen 6. Technik- und Wissenschaftsmuseum phæno, 38440 Wolfsburg 7. Arithmeum, 53113 Bonn 8. Experiminta, 60486 Frankfurt 9. Kepler-Museum, 71263 Weil der Stadt 10. MiMa Mineralien- und Mathematikmuseum, 77709 Oberwolfach 11. Rechnermuseum, Hochschule Furtwangen, 78120 Furtwangen 12. Deutsches Museum, 80538 München 13. Mathemuseum ix-quadrat, 85748 Garching 14. Museum 3. Dimension, 91550 Dinkelsbühl 15. Mathe-Museum, Universität Passau, 94032 Passau 16. Heimatmuseum Staffelstein, Abteilung Adam Ries, 96231 Bad Staffelstein 17. Experimenta, 74072 Heilbronn 18. Phänomenta 24939 Flensburg 19. Phänomenta 17449 Peenemünde 20. Phänomania Erfahrungsfeld, 45309 Essen 21. Deutsches Technikmuseum, 10963 Berlin 22. Phänomenta, 27572 Bremerhaven

245

Ergänzungen

246

B Ziffys Bibliothek Bei der Entstehung des Buches wurden verschiedene Quellen herangezogen, die während des Textverlaufs nicht aufgeführt wurden, um den Lesefluss des Buches nicht zu unterbrechen. Im Folgenden werden die Quellen zu den einzelnen Abschnitten genannt. Quellen für die mathematischen Zaubertricks Es gibt eine umfangreiche Literatur, die sich ausschließlich mathematischen Zaubertricks widmet. Die meisten Tricks finden sich in mehreren Büchern wieder und ein Urheber ist schwer auszumachen. Hier eine alphabetische Aufzählung der verwendeten Bücher: Behrends, E., (2015), Der mathematische Zauberstab: Verblüffende Tricks mit Karten und Zahlen, Rowohlt Taschenbuch Verlag; 2. Auflage (Abschnitt 3.7) Erens, O., (2012), Zaubertricks für Dummies, Wiley-VCH, 2. überarbeitete Auflage (Abschnitt 5.10) Fulves, K., (1983), Self-Working Number Magic: 101 Foolproof Tricks, Dover Magic Books (Abschnitte 1.5 und 5.6) Fulves, K., (1992), Charles Jordan’s Best Card Tricks, Dover Magic Books (Abschnitt 5.5) Gardner, M., (2005), Mathematische Zaubereien: 115 Karten-, Würfel- und Münztricks, mathematische Spiele und Zauberkunststücke, DuMont Buchverlag GmbH & Co. KG; 2. Auflage (Abschnitte 1.9 und 2.9) Longe, B., (1998), The Magical Math Book, Sterling Publishing Co. Inc., New York (Abschnitte 2.2, 4.4, 4.7 und 5.3) Simon, W., (1993), Mathematical Magic, Dover Publications Inc., New York (Abschnitte 1.2 und 1.9) Wilson, M., (2003), A complete course in magic, Running Press Kids (Abschnitt 2.7)

247

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1

Ziffys Bibliothek Kapitel 1 Für die Einführung in die mathematische Frühgeschichte in Abschnitt 1.1 wurden die Bücher von Wußing, H. (2013), 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise Band 1, Softcover-Ausgabe, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg und von Lehmann, J. (1994), So rechneten Ägypter und Babylonier, Urania-Verlag, Leipzig, Jena, Berlin herangezogen. Eine Untersuchung über die Völker ohne Zahlwörter findet sich in Butterworth, B., Reeve R., Reynolds F. and Lloyd D., (2008), Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children, Proceedings of the National Academy of Sciences, Volume 105(35), S. 13179–13184. Weitere Informationen über die Voyager Golden Record gibt es unter Wikimedia Commons, Category:Voyager Golden Record (2018), https://commons.wikimedia. org/wiki/Category:Voyager_Golden_Record?uselang=de (zuletzt aufgerufen: 19.09.2018). Die in Abschnitt 1.6 vorgestellte Vermutung ist unter dem Namen „Collatz-Problem“ bekannt, siehe auch Lagarias, J., (2010), The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem, American Mathematical Society. Kapitel 2 Spannend wie ein Krimi liest sich das Buch von Singh, S. (2001), Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels, dtv, 3. Auflage. Ein interessanter Artikel, der sich mit den Legenden um Galois’ Lebenslauf beschäftigt ist Rothman, T. (1982), Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 2, S. 84-106. Über Paul Erdös (Abschnitt 2.10) gibt es mehrere Biographien, unter anderem Hoffmann, P., (1998),The man who loved only numbers, Hachette Books und Schlechter, B. (1999), Mein Geist ist offen – Die mathematischen Reisen des Paul Erdös, Birkhäuser, Berlin. Die faszinierende Geschichte des Mathematikers Grigori Perelman erzählt Gessen, M., (2013), Der Beweis des Jahrhunderts – Die faszinierende Geschichte des Mathematikers Grigori Perelman, Suhrkamp Verlag, Berlin.

248

Ziffys Bibliothek Für Abschnitt 2.12 wurden Zitelmann, A. (2002), Hypatia, Beltz, 5. Auflage; Tuschmann, W. und Hawig, P. (1993), Sofia Kowalewskaja: Ein Leben für Mathematik und Emanzipation, Birkhäuser Verlag und Leibrock, G. Meine Freundin Sophie – Carl Friedrich Gauß’ Brieffreundschaft mit Sophie Germain, GaussGesellschaft e.V. Göttingen – Mitteilungen Nr. 38 herangezogen.

Kapitel 3 Die Informationen über das Monster in Abschnitt 3.4 wurden Ronan, M. (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press entnommen. Die Anregung zu den schönen mathematischen Fensterbildern lieferte Gibbs, W., (1999), Mathematical Window Patterns – the art of creating translucent designs using geomtric principles, Tarquin Publications, Norfolk, England. Eine Einführung zur fraktalen Geometrie bietet Behr, R., (1995), Der Weg zur fraktalen Geometrie, Klett-Verlag und das Buch Wilson, R., (2004) Four colors suffice, Princeton University Press war Grundlage für Abschnitt 3.9. Im Abschnitt 3.12 wird außerdem kurz auf Aigner, M., Ziegler, G., (2014), Das BUCH der Beweise, Springer-Verlag, 4. Auflage eingegangen.

Kapitel 4 Die verrückten Würfel werden in der Literatur auch als Efronsche Würfel oder intransitive Würfel bezeichnet werden, siehe zum Beispiel Gardner, M., (1970), Nontransitive dice and other probability paradoxes, Scientific American 223, Dezember 1970, S. 110–114. Über das in Abschnitt 4.8 behandelte Ziegenproblem gibt es ein ganzes Taschenbuch: von Randow, G. (2004), Das Ziegenproblem: Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt Taschenbuch, 10. Auflage. Die Aufgabe auf S. 183 ist angelehnt an Mathelabor, Station Ziegenproblem, Arbeitsheft 3, (2017), http://mathelabor.de/stationen/9_10/ziege/2017/variante_b/Arbeitsheft_3.docx Uni Landau (zuletzt aufgerufen am 13.11.2018).

249

Ziffys Bibliothek Kapitel 5 Für die Buchstabenhäufigkeiten in Abschnitt 5.1 wurde eine Analyse vom Institut für Deutsche Sprache in Mannheim, siehe http://www1.ids-mannheim.de/kl/ projekte/methoden/derewo.html#derechar (zuletzt aufgerufen: 13.11.2018) verwendet. Mehr Informationen zur Ufo Abduction Insurance Policy, die mit dem Slogan „Ein Geschenk für jemanden, der schon alles hat.“ beworben wird, findet man unter http://www.ufo2001.com/ (zuletzt aufgerufen: 26.01.2019). Eine populärwissenschaftliches Buch zur Historie zum Problem des Handlungsreisenden (Thema von Abschnitt 5.7) ist Cook, W., (2014), In Pursuit of the Traveling Salesman, Princeton Univers. Press; Auflage: Reprint. Für Abschnitt 5.8 wurde zum einen auf das schon etwas ältere Themendossier zu „Mathematik und Auto“ anlässlich des Jahres der Mathematik in 2008 erhältlich unter https://www.wissenschaftsjahr.de/2008 zurückgegriffen. Um aktuelle Entwicklungen zu berücksichtigen, wurden mehrere Gespräche mit Kollegen und im Automobilbereich tätigen Personen geführt. Für den Kasten auf Seite 219 wurden Informationen von der Internetseite https://www.visualcapitalist.com/ millions-lines-of-code/ (zuletzt aufgerufen am 9.5.2019) genutzt.

250

Wo ihr was findet Abelpreis 156

International Standard Book Number (ISBN) 208 Ishango-Knochen 17

Alien Abduction Insurance 205 Asymmetrie 130 Augensumme 158

Klassenbildung 115 Kleinsche Flasche 19 Kochsche Schneeflocke 135 Königsberger Brückenproblem 81 Kryptographie 189

Ausflugstipps 245 Beweis 149 Buch der Beweise 152 Buchstabenhäufigkeiten 192

Leiterplatten 214 Liber abaci 19, 60 Logik 140 Lotto 179 Lügenmäxchen 162

Cäsar-Code 189 Catan – Das Spiel 160 Chiffierscheibe siehe auch Verschlüsselungsscheibe Codes, fehlerkorrigierende 208 Codewörter 194

Magische Quadrate 73, 76 Millenium-Probleme 154, 212 Möbiusband 120 Monster 130 Münzwurf 176 Murmel-Gläser-Prinzip 172

Disquisitiones Arithmeticae 110, 196 Einmalschlüsselverfahren 195 Euklids Primzahlbeweis 152 European Article Number (EAN) 206

Nullsymmetrie 126

Fibonaccizahlen 57, 61, 91 Fraktale 134

One-Time-Pad siehe auch Einmalschlüsselverfahren Orientierbare und nicht-orientierbare Fläche 121

Frühe Primzahlen 101 Geburtstagsparadoxon 183 Geheimschriften 189 Gerade und ungerade Zahlen 33, 36

Palindrom 221

251

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1

WO IHR WAS FINDET Papyrus Rhind 18

Teleskop 215

Paradoxon 142

Tic-Tac-Toe 76, 79

Parietät 37

Topologen 118

Potenz 64 Primzahlen 23, 29 Primzahlsieb 25 Problem des Handlungsreisenden 210 Prüfziffern 206, 209 Pythagoreische Zahlentripel 64

Trick des kleinen Gauß 71 Verdopplungsreihe 51 Verschiebeverfahren 191 Verschlüsselungsscheibe 189, 243 Verschlüsselung 189 Versicherungsmathematik 201

Quersumme 21, 99, 209, 221, 223

Vierfarbenproblem 137

Rechnen mit Resten 144 Römische Zahlen 40

Wahrscheinlichkeitsbaum 177

Schubfachprinzip siehe auch Murmel-Gläser-Prinzip Sierpinski-Dreieck 136 Spiegelung 125 Spiegelzahl 99 Sprachen ohne Zahlwörter 16

Weizenkorngeschichte 46

Wechselquersumme 221 Witze 105 Wolfskehl-Preis 68 Würfelplätzchen 170 Würfelwahrscheinlichkeiten 157 Zauberregeln 241

Streichhölzer 43, 44 Symmetrien 124

Zic-Zac-Zoe 76 Ziegenproblem 176 Ziffern 21

Taubenschlagprinzip siehe auch Murmel-Gläser-Prinzip Teilbarkeit 133, 220, 223

Zusammengesetzte Zahlen 23 Zweierpotenzen 50, 53

252

Fast alles berühmte Mathematiker Mit Ausnahme von Cäsar, Charms, Dürer, Goethe und Savant sind hier ausschließlich Mathematikerinnen und Mathematiker aufgeführt. Abel, Niels Henrik (1802-1829) 68, 156 Agnesi, Maria Gaetana (1718-1799) 108 Alberti, Leon Battista (1404-1472) 189 Appel, Kenneth (1932-2013) 138 Archimedes (287-212 v. Chr.) 104 Cäsar, Gaius Julius (100-44 v. Chr.) 189, 238 Charms, Daniil (1905-1942) 234 Diophantos von Alexandria (um 250 nach Chr.) 66 Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1805-1859) 174 Dürer, Albrecht (1471-1528) 74 Eratosthenes von Kyrene (276-194 v. Chr.) 25 Erdös, Paul (1913-1996) 99, 104, 152 Euklid von Alexandria (3. Jahrhundert v. Chr.) 19, 104, 152 Euler, Leonard (1707-1783) 90, 104 Faltings, Gerd (geboren 1954) 156 Fermat, Pierre de (1607-1665) 66, 104 Fibonacci, Leonardo Pisano Bigollo (um 1170-1240) 19, 60, 104 Fields, John Charles (1864-1932) 155 Galois, Évariste (1811-1832) 94, 104 Gauß, Carl Friedrich (1777-1855) 69, 104, 110, 204 Goethe, Johann Wolfgang von (1749-1832) 28 Griess, Robert (geboren 1945) 130 Guthrie, Francis (1831-1899) 138

253

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Weng und S. Renger, Ziffy, der Zahlenzauberer, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59398-1

FAST ALLES BERÜHMTE MATHEMATIKER Haken, Wolfgang (geboren 1928) 138 Hardy, Godfrey Harold (1877-1947) 97 Hilbert, David (1862-1943) 154 Hypatia, 350-415 n. Chr. 104, 107 Klein, Felix (1849-1925) 19 Koch, Helge von (1870-1924) 135 Kowalewskaja, Sofja Wassiljwna (1850-1891) 112 Lagrange, Louis Joseph (1736-1813) 110 Mirzakhani, Maryam (1977-2017) 156 Noether, Emmy (1882-1935) 104, 113 Perelman, Grigori Jakowlewitsch (geboren 1966) 102, 155 Poincaré, Henri (1854-1912) 155 Pythagoras (circa 570-500 v. Chr.) 64, 104 Ramanujan, Srinivasa (1887-1920) 97 Savant, Marilyn vos (geboren 1946) 182 Scholze, Peter (geboren 1987) 156 Serre, Jean-Pierre (geboren 1926) 104, 156 Sierpiński, Wacław (1882-1969) 136 Weierstraß, Karl (1815-1897) 112 Wiles, Andrew (geboren 1953) 68 Wolfskehl, Paul (1856-1906) 68

254