Základy teorie dopravy – úlohy 9788001037911

Citation preview

/

AKI.ADYTEORIEDOPRAVY Ulohy Ing.DenisaMockovd, Ph.D.

:gf/f3

, 6f6'.0/-fue

' ii 1,1r{Otr | rrr.-. i j.i.Kr!tTr rlnr ffrlL,, :,.

VUT PRA\HTA CV 'LTIA ui rRxut DOPRA O P Rnvni

. ,_.lurYik_l

r z|/z/f

ililil] ilililt1 il]t illtillrillllll ililliltl ililIililil| illilililtl llillillll

4056* i 18141 neuemE, * 44227t

Tisl M.ics.c?

2007 Cesk6vysokdudenitechnick 6 v Praze Nakladatelstvf CVUT

t '

i

qfffiFr."sPry

'

Skripta- Zilkladyteoriedopravy Zatfmzji5tdn6chyby

Formdlni: Str.20 - 5. i6dekve slov6s vrcholem.chybio S t r3 . 1- p r o p = l : 7 - 0 = 7 * 0 Str.32- pro p = 4 :5 -l = 4 * 6 Str.33- je v!,slednd matice -Pifklad 35 2.5, ohodnocenf Str. hranuddvdpravddpodobnost nehodyna dandhran6 -prvni vEta .....vSemihranami jednou.... Str.53 budemeprochdzetpr6vd Str. 91 - pffklad7.6,neni uvedenmost ( je to hranaVs, Vz, piidemZoba koncovdvrcholyhtany zristanouv obrrlzku)

Zhsadni: s t r . 2 2 - p r v nfma ti ce ,p i i kl a1d.2 5 ,ch ybny f .i6dek( 0I I000) ,6.i6dek( 000- 1- t 0) -2.,3.,4., Str.23 piiklad1.27,chybn6 matice 5.i6dek

(r I o o o o o o) l-1 0 I I 0 0 0 0l

lo l0 lo tl

(0

-1 o o 1 1 o ol 0 -1 0 -1 o I 0l o o -l o -1 o tl

0

0

0

0

0 -1 -r)

str.47-7.i6dek- Z,Vt,V2,V5,V4,U povedeme 2 jednotkytoku str.57 chybnyobr.4.4c

%

5

% 2

v.|

5

l4

% 4

v,

6

%

Dopln6nf: Str.59- piiklad 5.1,v5echnynalezenlHK jsou spr6vn6, aleexistujejednaz dal5ichmoZnosti, a to jejiL HK V1,V2,V3,V4,V6,V5,V1,hodnotaminim6lnihamiltonovskd kruZniceje20.Tentovysledek je tak6 sprdvnf,protoZetato metodaje heuristick6,nemusivZdy poskytovatoptim6lnivysledek. Optimumposkytujenapi.Littltiv algoritmuspro hled6niminim6lnihamiltonovskd kruZnice.

PREDMLUVA PiedloZendskriptaZdkladyteoriedopravy- Alohyjsou urden6posluchadfrm formd pro v5echny FakultydopravnleVUf v Praze v presendnii kombinovan6 programu. studijniho studijnioboryvdetn6doktorsk6ho Skriptaobsahujikrom6 z6kladnichpojm& a z6kladnichdefinic,zdkladni rilohdchv dopravnichprocesech v optimalizadnich a metodya algoritmypouZivan6 v dopravni,logisticke a spojov6 algoritmfi vyuZitelnfch ddlejsousoud6stisloZitrbj5ich praxi.Obsahujipojmy,metodya algoritmy vypracovan6 na piikladech,v neposledni neie5enichpiiklad&s vyisledky. iad6je sou66stfi velk6mnoZstvi v rdmcivfzkumn6hoz6m6ru,,Rozvojmetodndvrhua Skriptabyla zpracovSna jejichoptimalizace", (MSM6840770043). provozudopravnich sitfz hlediska Cennou pomoci pfi konedn60pravd textu byly piipominkyrecenzenta Doc.fng.JosefaVolka,CSc.a d6leDoc.RNDr.AntoninaTuzara,CSc.,ktenfmpatii m6 upiimnepod6kovdni.

r"_

OBSAH PREDMLUVA

t. zltxtnoruipo.lmyrEoRtEcnnrU...

............ s

1.1 AparAt teoriegraf0

........... 5

1.2 Pojmycestov6nl na grafech

........., 13

1 . 3 K o s t rg ar a f u 1.4 Maticoufz6pisgraf0 2. CESTYNA GRAFECH........ 2.1 MinimSlni cestyz jednoho vrcholu do ostatnfch ........... 2.2 Minim6lnf cestyzkahdeho vrcholu do kaZdeho.............. 2.3 Nejspolehlivdj5i cesta 2 . 4 C e s t as m a x i m d l knai p a c i t o u . . . . . . . . . . . . . . 3. TOKYV DOPRAVNICH SiriCn.... v rovinn6 3.1 Maxim6lnitok siti 3.2 Maximdlni tokv prostorov6 siti 3.3 Maxim6lnitok v intervalov6 ohodnocen6 siti

.............1 . .5. . . . ......19 ............24 .................24 ...............28 ....35 ...........37 .................. 4{ ...........41 ......45 .................49

4. DOPRAVNI OBSLUHAHRANSITE....

....,......53

5. DOPRAVNI OBSLUHAVRCHOLI'SiTE

.......58

5.1 Optim6lnitrasovdni.

.......62

6. LOKAeni ulOnV

...........66

pniXLADyA JEJTCH 7. NERESENE VYSIEOTV 8. L|TERATURA......

............ 78 ............96

poJMyrEoRtEGRAFO 1. ZAKLADNI 1.1Aparatteoriegrafrt NeorientovanV graf Oznadfme-li mnoZinuv5echvrcholfrgrafuplsmenemV a mnohinu v5echexistujfcfch hranplsmenemIy', m0Zemeneorientovan! graf definovatjako uspoiddanou trojici (r',a,p), kde p je incidendnfzobrazeni.lncidenceznamen6zobrazenlmnoZiny hran do mnoZinyv5ech neuspoi6danlich dvojicvrcholfr.Graf budemezapisovat G = (V,H, p)nebozkr6cend6 = (tt,u): o prvekv z rfino1inyV = {u,l,i=I,...,n nazyvilme vrcholemgrafuG o prvekh=(u,r) z mnoZiny j =t,...m na2gvdme H =fu,1, grafuG hranou o mohutnost mnoZiny vrcholfr budemeznadit =lvl " r mohutnost mnoZinyhranbudemeznalit q =lnl Pflklad1.1a

v,

%

o b r . 1. 1. a

graf Orientovanli V orientovan6m grafumA kaldit hranapiiiazenouorientacivyjddienouSipkou,tudiZ m0Zeme ur6itvfchozivrchola koncovyi vrcholkaZd6hrany. Piiklad1.1b

v,

O b r .1 . 1 b

--_

SmiSenV oraf jak hranyneorientovan6 tak orientovan6. Obsahuje Piiklad1.1c

O b r .1 . 1 c Stupefivrcholusf/vl s vrcholemv e V . P r o k a Z d fg r a f G = ( V , H , p ) Nazfvdmepodet hran incidujicich plati:

f sr(v,)=2q veV

Piiklad1.2

v,

v'

v,

v,

st(Vl=2 st(V)=4 st (V3)= 4 $fta)={ st (Vs)= 4 st (V6)= /

Obr.1.2 gmv6ka) Smy6ka(neorientovand Vrcholuu jepiiiazenahranah(u,u) takov6,Zespojujevrchols6m se sebou, Piiklad1.3

v.

Obr.1.3

st(V)=2 st (Vz)= 2 st (Vs)= 4

vrchol lzolovanV s Zddnouhranou. Vrchol,ktenfneinciduje Piiklad1.4

v

o

Obr.1.4 hrany N6sobnost Piedstavujepo6et rovnob6Znfchhran mezi vrcholyu a v. N6sobn6mohoublit i smy6ky Piiklad1.5

O b r .1 . 5 ObydejnV sraf n6sobn6hranyanismydky. Je graf,ktenfneobsahuje Piiklad1.6

Obr.1.6 ProstVqraf Je takovfgraf,kteniobsahujesmy6ky,ale nem6n6sobn6hrany Piiklad1.7

Obr.1.7

L_

Multisraf Je takoviigraf,ktenfobsahujen6sobn6hranynebondsobn6hranya smydky(n6kdy se naziivdpseudoffaO.Smydkymohoubft taken6sobn6. Pilklad1.8

Obr.1.8 Diskr6tnioraf vrcholfr. graftvoii mnoZina izolovanfch hranje prAzdnA, MnoZina Piiklad1.9 rr vsO

Vt

oV.

%

V" O-

o

Vt

Obr.1.9

O

Trividlniqraf je jednoprvkov6, hranje priedn6' mnoZina vrcholtr MnoZina Piiklad1.10

v

o Obr.1.10 PrAzdnV sraf MnoZinavrcholfti hranie prindn6.C = {o} Kompletni sraf (0plnV) Je takovf grafKn,kdejsouvSechnyvrcholypropojenyhranami. 1.11 Piiklad K3- pro 3 vrcholy

Obr.1.11a

Kt- pro 4 vrcholy

O b r .1 . 1 1 b K5- pro 5 vrchoffi

O b r .1 . 1 1 c K6- pro 6 vrcholit

O b r .1 . 1 1 d

Pravidelniorafk-t6hostuonE vrcholystejnlistupen. Graf,ve kter6mmajiv$echny Piiklad1.12 graf5t6ho stupndpron = 8 (podetvrchol0) Pravidelnf

9

-.-

Varianta1:

Obr.1j2a

Varianta2:

Obr.1.12b Varianta3:

O b r .1 . 1 2 c

10

Podqraf Podgrafemgrafu G =(V,n,p)

je graf Gt =(Vt,Hr,pr), pro ktenf platf:

4 ev, H, c H, pro kaidouhranuhe H, plati p, = p - G, gG, podgraf Gt vznikne zgrafu G vynech6nim n6ktenichvrchol0a hran.Zfurovefi plati,Ze graf G =(V,H,p) je nadgrafem Gr - (Vr,Hr,pr). Piiklad1.13

h6

v,

v, PodgrafG, Obr.1.13 podqrafl Faktororafu(faktorovV Faktorovfm podgrafem grafuG = (v, H, p) rozumimegraf Gz = (vz,H 2,p2), pro ktenf plati:vr=voHzc.H,pz =p. PodgrafG, vzniknezgrafuG vynech5nim n$kteryich hran,mnoZina vrchol&budenezm6n6na. Piikfad1.14- Graf G a jehofaktorovd podgrafyG,

Obr.1.14 11

I,

podgraf) (indukovanV podminkou 7 GrafindukovanV N vrchol0- V, eZ je takovf podgrafG3 graluG, . graf indukovanimnoZinou ktenfobsahujepouzety hrany,jejichZkrajnivrcholyjsouprvkyZr. P l a t iH : r=fueH:pEVJ o grafindukovanfmnoZinou hran- H o ell

je takovi podgrafGr grafuG, ktenf

He a vrcholyincidujicis ndkterouz hran t6to obsahujehrany podmnoZiny podmnoZinY. Platl:V+= UP heHd

Piiklad1.15

h6

h6

%

v, h,o

vrchol0 GrafG3indukovanfmnoZinou

hran GrafGo indukovanfmnoZinou

Vl = {rt,v2,v4,v5}

H u = {hr,h2,h3,h5,h6,hto,hrr\

O b r .1 . 1 5

12

C,

1.2Pojmy cestovdni na grafeeh Sled

.! r0

Je posloupnostpo sob6 n6sledujicich vrchol0a hran, kterd zalinA a kondfve vrchofu.Uzavien'!sled zadfn6a kondive stejn6mvrcholu.Otevieni sled za6in6 v jednomvrcholua v jin6mkon6i.M0zebft orientovanyi i neorientovanli, sled. Piiklad1.16

O b r .1 . 1 6 a

O b r .1 . 1 6 b

Neorientovanf sledz obr.1.16a- napi.{u,,(u, ,v2),v2,(v2,v4),u0,(ro,us )us} Orientovanf sledz obr.1.10b - napi.{u,,(u,,v2),v2,(rr,r o),r+,(rq,r: u: ) } Uzavienyneorientovanf sledz obr.1.16a- napi. { v2 ,( v2 ,v3 } u r ,( r r , v s) v s ,( v5 , v4 ) ,v4 ,( v4 ,vz ) , ,z \

Uzavienforientovanf - napi.{u,,(u, sledzobr.1.16b ,v2),v2,(v2,4}rr,(rr,ur)ur} Otevienli neorientovanyi sledzobr.1.16a- napi.{u,,(u, ,v3),v3,(u3,u5)u5} - napi.{ur,(u, Otevienyi orientovanlisled zobr.1.16b ,v2),v2,(rr,rr)ur,(ur,ur)ur} Tah Je sled,ve kterdmse neopakuje Zddn6hrana. Cesta Je sled,ve kter6mse neopakuje Zddnyi vrchol. Drdha Je orientovanli sled, ve kter6mse neopakujeZAdnyvrcholani hrana,je z6rovefi orientovanou cestoua tahem. D6lkacesty Mezidvdmavrcholyu,vev v hranov6 ohodnocen6m grafuG plati:

13

I-

l^fu,o\= Zo@> hem(u,v)

kde m(u,v)je oznadenlcesty,kter6zadin6ve vrcholuu a kondive vrcholuv , o(h)ie hranyhe H ohodnoceni Vzd6lenost dvouvrcholfru,veV grafuG platf; Provzddlenost r.l u a v. v5echcestmezivrcholy d(",r)= min { Ir(ft)i ,kde M je mnoZina n(u,upu [terz(r,u)

)

Most z grafu G se graf rozpadnena dv6 Mostemje hrana,jejimZodstrandnim sezv6t5[prdv6o jednu. resp.podetkomponent komponenty, Piiklad1.17- mosta jehoodstran6ni

- ost O b r ,1 . 1 7 a m

mostu Obr.1.17b- po odstran6ni Artikulace hranvzniknou je vrchol,jehoZodstran6nim z grafuG, vdetndincidujicich Artikulaci se zrnfiipr6v6o jednu. Podetkomponent dv6a vlcekomponent. a jeji odstran6ni Piiklad1.18- artikulace

Arflkulace

O b r .1 . 1 8 a , b

T4

alsoritmus: Bor&vkirv (ednuz nejkrat5ich) hran. 1. krok: Zaiad'do kostrynejkrat5i 2. krok: Postupn6zaiad do kostryvZdy hranu,jef? pr6v6jeden vrchol leZi v iil vytvoien6 kostie a druhf ne, za podminky,2e zatazen6hrana nesmi vytvofit kruZnici. kondi. v5echvrcholfralgoritmus 3. krok: Po zaYazeni Piiklad1.20a

v.

Nebo

Obr.1.20a t6

Jarnikftv alsoritmus: algoritmus, Stejnlipostupjako Bor0vk&v ale zalinAse z libovolneho vrcholu.

jiz )rit

Piiklad1.20b Zatinilme ve vrcholu V3, je moZnf v,.ib6rze dvou hran s ohodnocenim3 (4,v2),(ur,ur),vyberemenapi. hranu (ur,ur) a zaiadime do kostry. Ddle jako u Bor&vkova pokradujeme algoritmu.

Obr.1.20b

t7

--

1.4Maticovyizdpisgrafrt

rby

srafil Maticovfz6pisneorientovanVch (piilehlosti) A: Maticesousednosti dvojicevrcholfii a i sit6 G =(V,H),jde o matici sousednost A=(oul,r=,vyjaOfuje a sloupcirodpovid6podtuvrcholfrgrafu.Pro typunxn,to znamen6,2epodetfadkr:r grafyje maticesymetrick6. neorientovan6 hrana(u,'o,) 'n=br\,,oto, =1,pokudexistuje oi = 0, pokudhrana(,,,u,\rrrp'(u,,u,) neexistuje graf bez smydeka n6sobnfchhran: Neorientovanii Piiklad 1.22

%

h3

v.

Obr.1.22 'J Yt z v t ' 4, 0 1 1 0 !"-.

/=

I

001

001 0 110 I

0 110 0 001

00 10 10 01 01 10

hranbudev maticimezidv6mavrcholypodetn6sobnfchhran V piipaddn6sobnosti a u smydekresp.ndsobnfchsmydekbudejejichpo6etna hlavnidiagon6le'

19

--

grafs ndsobnfmihranamia n6sobnfmismyfikami: Neorientovanf Piiklad1.23

%

v.

tt

h.,,

hr

hr.

/

1'oe6,

d)

lb

ffiv,

Obr.1.23

v,rvz4 /,, n,vtr v^(2 I r o 0 0 ntlt o o 2 1 0 30

ll 0 0 1 '=lo 2 r o 01

I 3 o lo [ooo1

01 1l

B: Maticeincidence n =(bJ,', vyjadfujevztahhrana vrcholtrgrafu,maticeje typunxm' bi =1, pokudincidujehranah, s vrchlemv, bi = 0, Pofud neinciduje Piiklad 1.24

Obr.1.24

20

il

, .ho k, h, l,qh, i*,,, i, tl*f, it

/,(l

n'lt

1 0 0'0'0

o r 'Frlo "lo o Yrlo o H[.o o

l o I o o

1 o 1 o o

I o o 1 o

o I I o o

0 0'0

0

o l o 1 o

o o o o 1

o o I o 1

o o o I l

MaticovV zSpisorientovanlich sraf0 (piilehlosti) Maticesousednosti C: C =Grl--,vyjadiujesousednost dvojicevrchol0i a I sit6 G=(V,H), jdeo maticitypu nxn, to znamen6,Ze podet fedkfl a sloupcfrodpovfddpodtu vrcholfrsit6. Pro grafu budeme orientovan6grafy je matice nesymetrick6. Hrany orientovan6ho vyjadiovatjako uspoiSdanoudvojicivrcholfr [u,,u;1,kde vi je vfchozi vrchol orientovan6 hranya vi ie konco4i(vi je piedch0dcem vj a v, ie n6slednikem u,). C = G r|.,o,,u = 1, pokud existuiehranaF,,, i l c,j= 0, Pokudhrananeexistuje c,j= -1, pokud existujehranab i,r,lproti smdruorientace grafbezsmydeka ndsobnfchhran: Orientovanf Piiklad1.25

Obr.1.25

2l

--_

V,

Vt

00 1l -l l1 0 -l -l 00 0 -1 -1 00 0-1 0 00 11 00 00

Vt 1 l/- - l (=

0 0 0 I I -l

hranbudev maticimezidv6mavrcholypo6etn6sobnfchhran V piipadenasobnosti resp' n6rsobnfch za podminky,Ze budoumit stejnf sm6r orientacea u smydek smydekbudejejichpodetna hlavnidiagon6le' a ndsobnfmihranami: smydkami grafs n6sobnlimi Orientovanf Pfiklad1.26

u:'4,

%

l) hs

an'ev, V,

f,

trffit'

y-L

Obr.1.26

v,(, I

0 00 11 110 VL l' , 1 - l 0 0 0 12 c=l-1 0I 0 - 1 0 0 1 l0 - l I 0 0 l l0 -1 -l 1 00

Io

D: Maticeincidence n =(d,iY,irtd,j= 1,pokudhranah, z vrcholuv' vystupuje di = 0, pokudhranaz/dovrcholunevystupuie/nevstupuie d,j= -1,, pokudhranah, do vrcholuv, vstupuje"

22

Orientovanfgrafbezsmydeka n6sobnfchhran: Ptiklad1.27

v,

%

hran nich

--. no(h, h. 1 o -1 o lo o [o o

t lr,l 'l -r o D=l "-lo

o I o -1 o o

th

Vr

o o I -l o o

o I o o -l o

o o I o -1 o

o o o I o -1

Obr.1.27

o o o o I -

hranami: a ndsobnimi smydkami grafs n6sobnlfmi Orientovanf 1.28 Piiklad

v:fr hr

/

an.e6,

f.

ttt

W

Obr.1.28

(r 1 1 1 o o o o o o o o o o) -1 1 1 o o o o o o ol lo o -t o lo o o -t o o o 1 1 1 -1 o o ol

'=lo o o o 1 -1 o -1 o o o 1 o ol -l o -1 -1 1 o t ol lo o o o o o [o o o o o o o o o o o -1 -1 r)

23

2. CESTYNA GRAFECH leteck6,vodnl,potrubnia jin6dopravni trasv silnidni,Zeleznidni, Hled6nioptim6lnich souvisl6ho, siti zn1zornlnl sch6matickyimmodelem pomoci neorientovan6ho, ie5en6optimalizadni grafupatii mezinejdast6ji obydejn6ho hranoveohodnocen6ho n6kladynutn6pro rilohy.Optim6lnitrasy hled6meproto,abychomminimalizovali jejichuskute6n6ni Nechf M je mnolinavSechcestzvrcholua do vrcholuv, m(u,v)iecestazvrcholu grafje graf,kde je kahdbhrand u do vrcholuu, *(u,u)eM. Hranov6ohodnocenli piiiazeno6isloo(fr). cestdchna grafechpatii: Mezi0lohyo qfznamnlich .

cestY nejkrat5i(minim6lni) o z jednohovrcholudo ostatnich o zkaldehovrcholudo ka2d6ho(Floyd0valgoritmus)

o nejspolehlivdj5i cesty .

cestVs maximdlnikapacitou

2.1 Minim^tni cestyz jednoho vrcholu do ostatnich cesta*'fu,r) mezivrcholyu,veHgrafu G=(V,A) j" cesta,pro kterou Minimdfni rl

prati:Z"@)= min1 I,trlf n(u'vleM

hen'(u,v\

[lrez(z,v)

)

alooritmus\: cestv(Diikstr0v nalezeniminim6lnl Alooritmus vrchola (napiikladu=Vil a koncovfvrchol i. krok:Vgrafu G zvolimepod6tedni cestYv =rn. vrcholpoloZime 2. krok: VSemvrcholirmv, eV piiiadime/1, kde pro podStedni /o=0,proostatnit,=o. )' 3. krok:V cel6mgrafuG hleddmetakovouhranu,pro kterouplati:t , -t, ) o(u,,v, ohodnocenim: f; nahradime 4. krok: Pokudtakov6hranaexistuje,potomohodnoceni t'j = t, + o(u,,u.,)'

pva{uJi

,

'.,

/

, ",rt j lretrv. 1'"'t"!4 :::*-*'

/

,

-

t

,t ^l ,

f :r tnL:Q-p/":f*P/x9-{/ / -:--

/

r

YmegF

n

.A

-1

I

5. krok: Pokudtakovdhrananeexistuje, potomohodnoceni t, =

Zr(n). To urduje hem* (u,v)

)pravni 'is16ho,

d6fkuminim6lni cestylm(rs,r,),alenezn6me kudyvede.

rlizadni

6. krok: Zpdtny postup z koncov6ho vrcholu do pod6tku za podminky / \tj -ti = o(u,,, i ).V grafumfrZeexistovat vfceneZjednaminimSlni cesta.

t6 pro

Piiklad,., r

rcholu

minim6lnf cestuz vrcholuVr do vrcholuVe. y grafunalezndte

- 1 ':. ' "

)

V,E

6

Y'E

hrand

'tl'''

v.E

%E

%E

1. krok: poddtedni vrcholje V1akoncovfVe

)rou

2. krok: po6dtedni vrcholohodnotima t1= 0, ostatnit j

7 v'w?

=*

v,ri vrE

tol

g, 1e

%E

%E

3. krok:splndnipodmlnky ti -t, , o(r,,r,) 4. krok:nahrazeni fj = t, + o(r,,r,)

25

r"-

Obr.2.1b

V rch o lV 2 '.tr-tr)1 0 p l a tl,potom/i = 0+ 10 Vrch o fV {. to -tr) 6 p l a ti ,potomt' q= 0+ 6 0 ,vr)= t ' ^-= t , +' o ( u ,'t'r".'+ 7'n= 7 vybir6mevZdy men5i hodnotu -'' ", ", ")"' Vrchof Vs:. t',= t'o+ o (vo ,Yr=)6 + 2 = I" t '.' ,= t ' ,+ o ( v r , v r ) =l 0 + 2 = 1 2 : =+ 2 = 9 t ' ,= t ' ,+ o ( v r , Y r ) 7

''' Vrchol Vs:

VrcholV6:7+3= 10 6 +8 = 1 4 9 +4 = 1 3 do ohodnocenikoncovdhovrcholuVs. Pokradujeme 5' krok: minimSlnicesta m6if r, = t' = Z"@)= 14 d6lkovfchjednotek hen. (u,v\

v,

y'E

6

10

v,

I

v,ai- 2_ l,

f - --3-

Yl\

T-

N2l V.E

v

v

v.m

s v'Et

I

6.krok: ti-t,=o(lt) t; -t', =l 4 -1 4 + o (v,vr) t; -tL =14-10 = o(vo,vn)do vrcholuVgcestavede pies V6 t', -t', =14 -13 * o(vvvr) t'u-t't*3 t'u-fo +8, t'u-t't=7

do vrcholuvo cestavede pies v3

t'u-t'r+4 t't-tt =g t't-t'n+2

vrcholuVr do vrcholuV3cestavede z po66te6niho

26

Obr.2.1c

Nalezendminim6lnicesta *'(rr,us)={r,,(r,,u:)u: M ,(4,v6),v6,(u6,rs),un}m6fi jednoteka je vyznadena d6lkovfch na obr.2.1c. Piikfad2.2- v grafunalezn6te.minim5lni cestuz vrcholuVr do vrcholuV6 v'A%

Obr.2.2a Na piikladu2.2 si uk62emenalezeniminimSlnicesty pomociDanzigovytabulky, je stejnf,vSechnyhodnotybudouzaps1nyv tabulce. principalgoritmu

br.2.1c

Vr

Vz

Vs

V+

Vs

Vo

tl

t, + o(v,vr)

t, + o(v,vr)

t, + o\v,vo)

t, + o(vr,vr)

to + o(vo,vu)

t, + o(vr,vr)

t, + o(v,vr)

t, + o\vo,vr)

t o + o \ v o , v r ) t, + olv,vu)

Vr

Vz

Vs

Va

V5

Vo

0

0+5=5

0+5=5

5+3=8

5+3=8

5+6= 11 12+4= 16

5+7= 12 1 1 + 4= 1 5

1 1 + 5= 1 6 12+6= 18

Zpdtnypostupz koncov6ho vrcholudo po66tkuza podminkyt i -t, = o(h). Vu:16-5=ll 16-6 *12 Vo:Il-6=5 lI- 4 *12 Vr:5-5 =0

V'

5-3+5

Obr.2.2b

27

i --_

2.2 Minimdlni cesty z kaidhho vrcholu do kaid6ho

' 't/ l''-

,'), + ' : " I i ' .r'.,,

1.. Flovdfivalqoritmus I A+r. _r vI Itfpln6mu je vhodn6pouZitpro sit6 s podtemhran blfZicimse Floyd0valgoritmus grafl7,v na5empiipad6budeme grafu.Je vhodnf pro orientovan6 i neorientovan6 . uvaZovatpouzegrafneorientovanf Pro sit6 s malfm podtemhranje z hlediska6asuvipodtuvihodn6n6kolikan6sobn6 pouZitinapi. Dijkstrovaalgoritmupro vipodetstromuminim5lnich tras, kdy kaZdf v jednotlivfchvipodtechza vychozi,tj. za koienstromu. vrchofpovaZujeme Postupie5eni: 1. krok: Sestavimenejprvepo66te6nfdtvercovoumatici c =GrY,,o , tj. matici piimyichvzd6lenostitypun x n lak, aby platilopro prvkyc4:

ci1=o(h),jestliie

c,j=0proi=j

c,j= *, jestliZeneexistuje h e H : p ( h ) =( v , , v),, t * i

, * i t h e H : p (h )=(u ,.,u),, lr_, w t l-_,4*