Vierstellige Tafeln zum praktischen Rechnen in Unterricht und Beruf: Mit Angabe der Genauigkeit in Zahl und Bild. Graphische Rechentafeln [16. Aufl. Reprint 2019] 9783111507569, 9783111140407

Table of contents :
Proportionaltafeln
Vorbemerkungen
A. Zahlentafeln
B. Logarithmentafeln
C. Beurteilung der Genauigkeit beim Tafelrechnen
D. Graphisches Rechnen
Zusammenstellung wichtiger Formeln

Citation preview

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7

5

Vorbemerkun gen In Deutschland begann der Gebrauch der Vierstelligen Tafeln an Stelle der Fünfstelligen vereinzelt vor mehr als hundert Jahren und verstärkte sich von 1890 ab, bis er allgemein durch die große Unterrichtsreform von 1925 eingeführt wurde. Dieser Übergang ist veranlaßt durch die Erkenntnis, daß das praktische Rechnen sich zumeist in einem engen Zahlenbereich abspielt und daß es bei den meisten praktischen Aufgaben Verschwendung an Zeit und K r a f t bedeutet, mit mehr als vier geltenden Ziffern zu rechnen; ferner durch den Rechenstil der Zeit, der durch die Verwendung von Rechenmaschine und Rechenschieber bestimmt wurde. Abgesehen von dem Vorteil der außerordentlichen Vereinfachung des Rechnens bieten die Vierstelligen Tafeln Platz für die Aufnahme wertvoller Zahlentafeln, die das Zahlenrechnen bedeutend erleichtern und das Rechnen mit den Logarithmen in der natürlichsten Weise vorbereiten und begründen können. Vierstellige Tafeln sollten daher bereits im achten Schuljahr in den Händen der Schüler sein. Voraussetzung für den fruchtbaren Gebrauch der Vierstelligen Tafeln ist jedoch, daß dem Benutzer die Grenzen ihrer Genauigkeit und Leistungsfähigkeit bekannt sind. Diese Kenntnis ist auch beim Gebrauch mehrstelliger Tafeln wichtig, bei den Vierstelligen Tafeln aber ist sie unumgänglich. Kein Geringerer als Professor Otto Toeplitz hat 1927 auf die Tatsache hingewiesen, daß die Kenntnis und das Verständnis des Rechnens mit Tafeln in allen Schularten, einschließlich der Hochschulen, durch mechanische und fehlerhafte Benutzung sehr im Argen liegt. (S. P h . L ö t z b e y e r , T h e o r i e u n d P r a x i s d e r T a f e l n u n d d e s T a f e l r e c h n e n s , Dresden 1934.) Der Bearbeiter der vorliegenden Tafeln hat bereits in seinen früheren Tafeln und auch in der vorstehend angegebenen Schrift versucht, diese Schwierigkeiten zu beheben. Doch gelang es damals nicht, hinsichtlich der Beurteilung der Genauigkeit ein Verfahren zu finden, das in der praktischen Verwendung einfach genug war. Die vorliegenden Tafeln bilden eine Fortsetzung der V i e r s t e l l i g e n T a f e l n des Bearbeiters, die in 20 Auflagen von 1918—1940 in Leipzig erschienen sind. Sie sind bestrebt, zum Teil auf neuen Wegen, eine wirklich fruchtbare und einwandfreie Benutzung der Vierstelligen Tafeln zu ermöglichen und das Verständnis für das Tafelrechnen zu beleben und zu vertiefen: 1. Die Z a h l e n t a f e l n s i n d , e n t s p r e c h e n d d e n B e d ü r f n i s s e n d e s U n t e r r i c h t s u n d d e r P r a x i s , v o r a n g e s t e l l t ; doch ist Vorsorge getroffen, daß auch die Logarithmentafeln mit einem Griff zu finden sind. 2. Die k l e i n e n T a f e l t e i l e , b e i d e n e n n i c h t g e r a d l i n i g i n t e r p o l i e r t werden darf, sind d e u t l i c h g e k e n n z e i c h n e t . 3. Die Tafeln geben e i n e a n s c h a u l i c h e u n d v e r t i e f t e E r l ä u t e r u n g d e r e i n f a c h e n und h ö h e r e n I n t e r p o l a t i o n und der K e n n z e i c h e n i h r e r Z u l ä s s i g k e i t . Sie enthalten auch die erforderlichen Hilfen für besondere Aufgaben. 4. Vor allem bringen die Tafeln e i n e p r a k t i s c h b r a u c h b a r e u n d e i n f a c h e L ö s u n g d e r F r a g e d e r B e u r t e i l u n g d e r G e n a u i g k e i t und zwar derart, daß das G e n a u i g k e i t s m a ß aus einer Spalte zu e n t n e h m e n oder g e n a u e r an T e i l u n g e n abz u l e s e n o d e r f a s t m ü h e l o s a u s e i n f a c h e n F o r m e l n z u e r r e c h n e n ist. Damit verfügt der Benutzer über ein Rechenhilfsmittel, das ihm an jeder Stelle Klarheit über den Genauigkeitsgrad gibt. 5. Die kleine E r g ä n z u n g s t a f e l 1 5 a ermöglicht die Bestimmung der L o g a r i t h m e n der Sinus und T a n g e n s k l e i n e r W i n k e l a u s d e m B o g e n in G r a d und u m g e k e h r t m i t größter Genauigkeit und Einfachheit. 6. Das T i t e l b i l d gibt eine n e u e D a r s t e l l u n g d e r l o g . K u r v e i n S t u f e n f o r m und zugleich eine v o l l s t ä n d i g e g r a p h . L o g a r i t h m e n t a f e l (1) ü b e r 8 Z e h n e r b e r e i c h e auf kleinstem R a u m . Diese zeigt anschaulich die Vorzüge der Zehnerlogarithmen und das Wesen von Kennziffer und Mantisse. Ferner bildet sie die einfachste Grundlage zu einem vertieften Verständnis des Rechenschiebers. Trotz der geringen Genauigkeit ist sie doch unterrichtlich und auch praktisch beim Gebrauch der Grundtafel 12 von hohem Wert. Die E r l ä u t e r u n g e n und B e i s p i e l e f ü r d e n G e b r a u c h der V i e r s t e l l i g e n T a f e l n werden gesondert ausgegeben. Sie sollen dem Lernenden die W e g e zu einem vertieften Verständnis ebnen. Für Verbesserungsvorschläge

und Wünsche wird der Bearbeiter jederzeit dankbar sein.

B e r l i n - Z e h l e n d o r f , im J u l i 1951.

Ph. Lötzbeyer.

Hilfstafeln a) Mathematische Konstanten Größe

• 3,1416 6,2832 12,566 1,0472 0.7854 4,1888 0,3183 9,8696 1.7725 2,5066

n

2

n

471

31:3

ji: 4 41:3 1 in «» V*7t

'

lg

b) Minuten u. Sekunden als Dezimalgrade n

0.4971 0.7982 1.0992 0.0200 1.8951

0 1 2

0.6221 1.5029 0-9943 0.2486 0.3991

5 6

n

arc i° =

180 71

arc 1 ' =

10800 i8o° e° = — n

10800' 6

—

7t 7t = tu

22 —

Min"*" o'

0,01745

2.2419

0,2909-10 f

4-4637

57.30°

1.7581

3438'

3.5363

3.14 159265 • • •

= 3.M(29) • • [Archimedes)

3 4

7 8 9

2

3

4 5 6 7 8 9

10"

30'

40'

50'

20"

30"

40"

50"

0,0000 0,0028 0,0056 0,0083 0,0111 0,0139 86 142 114 58 03 31 144 06 61 117 89 33 08 92 119 36 64 147 122 11 150 39 94 67 0,0014 0,0042 0,0069 0,0097 0,0125 0,0153 100 128 156 72 44 17 103 158 131 19 47 75 106 161 22 50 78 133 81 164 108 136 53 25 o,i° = 6'

e = 2,71828 •

20'

0,000 0,166- 0,333" 0,500 0,666 0,833 • 516016683- 850 183- 350 866 200 366 533" 700 033050 216 • 383716883 550 566066 400 233 733- 900 0,083 • 0,250 0,416- 0,583- 0,750 0,916100 266- 433" 600 766- 933616 116- 283450 783- 950 966 466800 633133- 300 650 316- 483816- 983150

Sek0 1

10'

o,oi° = 3 6 "

o,ooi°= 3,6

A. Zahlentafeln El I

Bemerkungen. 1. Beispiele für den Gebrauch der Tafeln siehe Erläuterungen. 2. Jede Tafel ist mit gleicher Leichtigkeit auch rückwärts zu benutzen. Das gilt ganz besonders für die Umrechnungstafeln. 3. Die in Spalte D angegebenen Differenzen sind Enddifferenzen. Sie geben den A n s t i e g der Tafelwerte vom Ende der betr. Zeile bis zum A n f a n g der nächsten, also den Unterschied der danebenstehenden Tafelzahl gegen die erste der folgenden Zeile an. 4. Die in Spalte U verzeichneten Genauigkeitsmaße betreffen die Eingangszahlen und gelten für die Anfangsdifferenzen. 5. Der Haupteingang einer Tafel ist durch Pfeil bezeichnet.

1

m

Taf. I

•on 1 , 0 0 0 - 2 5 , 0 0 Quadrate >- von 1,000- 5,000. Quadratwurzeln •
• von 5,000 — 10,00.

Quadratwurzeln von 25,00 -* 100,00 •< 8

5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6,0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

6.6

6.7 6.8 6,9 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8,0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8,9 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

25.00 26.01 27,04 28,09 29,16 30,25 31,36 32,49 33,64 34,8I 36,00 37,2i 38,44 39,69 40,96 42,25 43,56 44,89 46,24 47,6I 49,00 50,41 51,84 53,29 54,76 56,25 57,76 59,29 60,84 62,41 64,00 65,61 67,24 68,89 70,56

25.10 26.11 27,14 28,20 29,27 30,36 31,47 32,6o 33,76 34,93 36,12 37,33 38,56 39,82 41,09

25.20 26.21 27,25 28,30 29,38 30,47 31,58 32,72 33,87 35,05 36,24 37,45 38,69 39,94 41,22

42,38 42,51 43,69 43,82 45,02 45,16 46,38 46,51 47,75 47,89 49,14 49,28 50,55 50,69 51,98 5 2 , 1 3 53,44 53,58 54,9i 55,o6 56,40 56,55 57,9i 58,06 59,44 59,6o 61 ,oo 6 1 , 1 5 62,57 62,73 64,16 64,32 65,77 65,93 67,40 67,57 69,06 69,22 70,73 70,90 72,25 72,42 72,59 73,96 74,13 74,30 75,69 75,86 76,04 77,44 77,62 77,79 79,21 79,39 79,57 81,00 8 1 , 1 8 81,36 82,81 82,99 83,17 84,64 84,82 85,01 86,49 86,68 86,86 88,36 88,55 88,74 90,25 90,44 90,63 92,16 92,35 92,54 94,09 94,28 94,48 96,04 96,24 96,43 98,01 98,21 98,41

25,50 25,60 25,70 25,81 25,9i 26,52 26,63 26,73 26,83 26,94 27,56 27,67 27,77 27,88 27,98 28,62 28,73 28,84 28,94 29,05 29,70 29,81 29,92 30,0330,14 30,80 30,91 3 1 , 0 2 3 1 , 1 4 31,25 31,92 32,04 3 2 , 1 5 32,26 32,38 33,o6 3 3 , 1 8 33,29 33,41 33,52 34,22 34,34 34,46 34,57 34,69 35,40 35,52 35,64 35,76 35,88 36,60 36.72 36,84 36,97 37,09 37,82 37,95 38,07 38,19 38,32 39,O6 39,19 39,31 39,44 39,56 40,32 40,45 40,58 40,70 40,83 41,60 41.73 41,86 41,99 42,12 42,90 43,03 43,I6 43,30 43,43 44,22 44,36 44,49 44,62 44,76 45,56 45,7o 45,83 45,97 46,10 46,92 47,06 47,20 47,33 47,47 48,30 48,44 48,58 48,72 48,86 49,42 49,56 49,70 49,84 49,98 50,1350,27 50,84 50,98 5 1 , 1 2 51,27 5 i , 4 i 51,55 5i,7o 52,27 52,42 52,56 52,71 52,85 53,00 53,i4 53,73 53,88 54,02 54,17 54,32 54,46 54,6i 55,20 55,35 55,50 55,65 55,8o 55,95 56,10 56,70 56,85 57,oo 57,iS 57,30 57,46 57,6i 58,22 58,37 58,52 58,68 58,83 58,98 59,14 59,75 59,9i 60,06' 60,22 60,37 60,53 60,68 6 1 , 3 1 6I,47 61,62 61,78 61,94 62,09 62,25 62,88 63,04 63,20 63,36 63,52 63,68 63,84 64,48 64,64 64,80 64,96 65,12 65,29 65,45 66,10 66,26 66,42 66,59 66,75 66,91 67,08 67,73 67,90 68,06 68,23 68,39 68,56 68,72 69,39 69,56 69,72 69,89 70,0670,22 70,39 71,06 7 i , 2 3 71,40 7i,57 71,74 7i>9i 72,08 72,76 72,93 7 3 , 1 0 73.27 73,44 73,62 73,79 74,48 74,65 74,82 75,oo 75,17 75,34 75,52 76,21 76,39 76,56 76,74 76,91 77,09 77,26 77,97 78,15 78,32 78,50 78,68 78,85 79,03 79,74 79,92 80,10 80.28 80,46 80,64 80,82 8I,54 81,72 81,90 82,08 82,26 82,45 82,63 83,36 83,54 83,72 83,91 84,09 84,27 84,46 85,19 85,38 85,56 85,75 85,93 86,12 86,30 87,05 87,24 87,42 87,61 87,80 87,98 88,17 88,92 89,11 89,30 89,49 89,68 89,87 90,06 90,82 91,01 91,20 9 i , 3 9 91,58 91,78 91,97 92,74 92,93 93,12 93,32 93,5i 93,70 93,90 94,67 94,87 95,06 95,26 95,45 95,65 95,84 96,63 96,83 97,02 97,22 97,42 97,6z 97,81 98,60 98,80 99,00 99,20 99,40 99,6o 99,80

25,40 26,42 27,46 28,52 29,59 30,69 31,81 32,95 34," 35,28 36,36 36,48 37,58 37,70 38,81 38,94 é0,07 40,20 41,34 4i,47 42.64 42,77 43,96 44,09 45,29 45,43 46.65 46,79 48,02 48,16

m

Taf. i U

0,00

1

25,30 26,32 27,35 28,41 29,48 30,58 3i,70 32,83 33,99 35,16

I Gm V = 6,y = D . io~* : 10

3

8

Zahlentafeln

3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5

II

2n

6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8

8

8 9 9 9 9 9 20 20 20

U

_

Kuben von 1,000 -+5,000. Kubikwurzeln von 1,000 — 125,0 v

-
= 4 5 1 2 0 ; 0,356» = (3,56 • i o - 1 ) * = 0,04512. 2. A u f s u c h e n der K u b i k w u r z e l in Bereich I, II oder III der Tafel, je nachdem der Radikand bei Verschieben des Kommas um je 3 Stellen zur Überführung in den zutreffenden Tafelbereich eine Spitzengruppe von x, 2 oder 3 geltenden Ziffern ergibt. Beispiel:

J / i ^ i )

=

I3(4S;

|/6 7 ' 4 7 o (II) = 40,71;

fcwTs

(III) = 0,9515;

3

|/o,ooo'578' (III) = 0,0833. X

1,0 I.x 1,2 1,3 i,4 i,5 1,6 i,7 1,8 i,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,i 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,i 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 X

0

1

2

3

4

5

6

7

1,030 1,368 1,772 2,248 2,803

1,093 1 , 1 2 5 1,158 1 , 1 9 1 1,225 1,443 1,482 i , 5 2 i I,56I 1,602 1,861 1,907 i,953 2,000 2,048 2,353 2,406 2,460 2,515 2,571 2,924 2,986 3,049 3 , 1 1 2 3,i77 3,582 3,652 3,724 3,796 3,870 4,33i 4 , 4 " 4,492 4,574 4,657 5,178 5,268 5,359 5,452 5,545 6,128 6,230 6,332 6,435 6,539 7,189 7,301 7,415 7,530 7,645 8,000\ 8 , 1 2 1 1 8 , 2 4 2 8,36518,490 8,615 8,74218,870 9,261I9,39419,528 9,66419,800 9,938 10,078 10,22 10,65 10,79 10,94 11,09 11,24 1 1 »39 " , 5 4 11,70 1 2 , 1 7 12,33 12,49 12,65 12,81 12,98 I 3 , i 4 I 3 , 3 i 13,82 14,00 14,17 M,35 M,53 M,7i 14,89 15,07 15,63 I5,8i 16,00 16,19 16,39 16,58 16,78 16,97 17,58 17,78 17,98 18,19 18,40 18,61 18,82 19,03 19,68 19,90 20,12 20,35 20,57 20,80 21,02 21,25 2i,95 22,19 22,43 22,67 22,91 23,15 23,39 23,64 24,39 24,64 24,90 25,15 25,4i 25,67 25,93 26,20 27,00 27,27 27,54 27,82 28,09 28,37 28,65 28,93 29,79 30,OS 30,37 30,66 30,96 31,26 3 i , 5 5 31,86 32,77 33,08 33,39 33,70 34,oi 34,33 34,65 34,97 35,94 36,26 36,59 36,93 37,26 37,6o 37,93 38,27 39,30 39,65 40,00 40,35 40,71 41,06 41,42 41,78 42,88 43,24 43,61 43,99 44,36 44,74 45,12 45,50 46,66 47,05 47,44 47,83 48,23 48,63 49,o3 49,43 50,65 51,06 51,48 5i,90 52,31 52,73 53,I6 53,58 54,87 55,31 55,74 56,18 56,62 57,07 57,5i 57,96 59,32 59,78 60,24 60,70 6 1 , 1 6 61,63 62,10 62,57 64,00 64,48 64,96 65,45 65,94 66,43 66,92 67,42 68,92 69,43 69,93 70,44 70,96 7i,47 71,99 72,51 74,09 74,62 75,15 75,69 76,23 76,77 77,3i 77,85 79,5i 80,06 80,62 81,18 8I,75 82,31 82,88 83,45 85,18 85,77 86,35 86,94 87,53 88,12 88,72 89,31 9 i , i 3 91.73 92,35 92,96 93,58 94,20 94,82 95,44 97,34 97,97 98,61 99,25 99,90 200,5, 1 0 1 , 2 101,8 103,8 104,5 105,2 105,8 106,5 107,2 107,9 108,5 110,6 I I I > 3 112,0 1 1 2 , 7 " 3 , 4 1 1 4 , 1 114,8 " 5 , 5 117,6 118,4 1 1 9 , 1 119,8 120,6 1 2 1 , 3 122,0 122,8 1,061 1,331 1,405 1,728 1,816 2,300 2,197 2,863 2,744 3,375 3,443 3,512 4,096 4,173 4,252 4,913 5,000 5,088 5,832 5,930 6,029 6,859 6,968 7,078

1,000

0

1

2

Gm U = Ö1X = 0,01 :D

3

4

5 4

6

7

8

9

1,260 i,295 1,643 1,685 2,097 2,147 2,628 2,686 3,242 3,308 3,944 4,020 4,742 4,827 5,640 5,735 6,645 6,751 7,762 7,88i 8,999 9,129 10,36 10,50 " , 8 5 12,01 13,48 13,65 15,25 15,44 1 7 , 1 7 17,37 19,25 19,47 21,48 21,72 23,89 24,M 26,46 26,73 29,22 29,50 32,16 32,46 35,29 35,61 38,61 38,96 42,14 42,51 45,88 46,27 49,84 50,24 54,oi 54,44 58,41 58,86 63,04 63,52 67,92 68,42 73,03 73,56 78,40 78,95 84,03 84,60 89,92 90,52 96,07 96,70 102,5 103,2 109,2 109,9 116,2 " 6 , 9 123,5 124,3 8

9

D 36 43 5o 58 67 76 86 97 108 "9 132 15 16 17 19 21 21 23 25 27 29 3i 33 34 37 39 4i 43 46 48 50 53 56 58 61 64 6 7 7 7 D

U 0,000 3 •

2 •

5,0 5,i 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1

6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,i 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1

8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,i

9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9

125,0 132,7 140,6 148,9 157,5 166,4 175,6 185,2 I95,i 205,4 216,0 227,0 238,3 250,0 262,1 274,6 287,5 300,S

314,4 328,5 343,0 357,9 373,2 389,0 405,2 421,9 439,0 456,5 474,6 493,0 512,0 53i,4 551,4 571,8 592,7 614,1 636,1 658,5 681,5 705,0 729,0 753,6 778,7 804,4 830,6

125,8 133,4 141,4 149,7 158,3 167,3 176,6 186,2 196,1 206,4 217,1 228,1 239,5 251,2 263,4 275,9 288,8 302,1 315,8 329,9 344,5 359,4 374,8 390,6 406,9 423,6 440,7 458,3 476,4 494,9 513,9 533,4 553,4 573,9 594,8 616,3 638,3 660,8 683,8 707,3

5

6

"7,3 i35,o 143,X i5i,4 160,1

129,6 137,4 145,5 154,0 162,8

169,1 178,5 188,1 198,2 208,5 219,3 230,3 241,8 253,6 265,8

128,8 136,6 144,7 I53,i 161,9 171,0 180,4 190,1

277,2 290,1 303,5 317,2 331,4 345,9 360,9 376,4 392,2 408,5

278,4 291,4 304,8 318,6 332,8

279,7 292,8 306,2 320,0 334,3

347,4 362,5 377,9 393,8 410,2

425,3 442,5 460,1 478,2 496,8

348,9 364,0 379,5 395,4 411,8 428,7 445,9 463,7 481,9

427,0 444,2 461,9 480,0 498,7 500,6 517,8 519,7 537,4 539,4 557,4 559,5 578,o 580,1 5 9 9 , i 601,2 620,7 622,8 642,7 645,0 665,3 667,6 688,5 690,8 712,1 714,5 736,3 738,8 7 6 1 , 0 763,6 786,3 788,9 8 1 2 , 2 8X4,8 838,6 8 4 1 , 2 865,5 868,3 893,1 895,8 9 2 1 , 2 924,0 949,9 952,8 9 7 9 , i 982,1

857,4 884,7 912,7 941,2 970,3 0

i

2

6¡y

=

D

9

4

73i,4 756,i 781,2 807,0 833,2 860,1 887,5 9i5,5 944,1 973,2

Gm V =

1000.

128,0 135,8 143,9 152,3 161,0 170,0 179,4 189,1 199,2 209,6 220,3 231,5 243,o 254,8 267,1

126,5 134,2 142,2 150,6 159,2 168,2 177,5 l87,I 197,1 207,5 218,2 229,2 240,6 252,4 264,6

515,8 535,4 555,4 575,9 596,9 618,5 640,5 663,1 686,1 709,7 733,9 758,6 783,8 809,6 835,9 862,8 890,3 918,3 947,0 976,2

X

Kubikwurzeln von 1 2 5 , 0 •
4

,3

60

54

48

42

36

30

24

18

Gm U = 5 !>5 1,6 1,6 i,7 i,7 i,8 1,8 i,9

2,0

2,1

2,2 2,2 2,3 U

Taf. 13 JMIO.

o

Grad

,0

1

L g sin 0°-M5 9 6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

»I

,2

,3

A

,5

>6

,7

,8

,9

1,0

— 7.2419 7-5429 7.7190 7-8439 7-94°f 0 2832 32IO 3558 3880 4179 8.2419 I 5428 5640 5842 6o35 6220 6397 2 7188 7330 7468 7602 7731 7857 s 8436 8543 8647 8749 8849 8946 4

»0200 •0870 •1450 '"1961 4459 4723 4971 5206 6567 6731 6889 7041 7979 8098 8213 8326 9042 9135 9226 9315

9655 9736 9816 0403 0472 0539 1099 " 5 7 1040 1594 1646 1697 2085 2131 2176

9894 9970 *004 *0I20 0605 0670 0734 0797 1214 1271 1326 1381 1747 1797 1847 1895 2221 2266 2310 2353

S 8.9403 9489 9573 6 9.0192 0264 0334 0859 0920 0981 7 8 1436 1489 1542 1991 2038 1943 9

10 9.2397 2439 2482 2524 280Ô 2845 2883 2921 il 12 3179 3214 3250 3284 3521 3554 3586 3618 I.S 3867 3897 3927 3837 14 IS 9.4130 4158 4186 i6 4403 4430 4456 4659 4684 4709 17 4900 4923 4946 i8 5126 5148 5170 19

2565 2959 3319 3650 3957

2606 2647 2687 2997 3034 3070 3353 3387 3421 3682 3713 3745 3986 4015 4044

4214 4242 4269 4482 4508 4533 4733 4757 4781 4969 4992 5016 5192 5213 5235

4296 4323 4584 4829 5060 5278

4559 4805 5037 5256

7016 7029 7042 7144 7156 7168 7266 7278 7290 7384 7396 7407 7498 7509 7520

1,0

.9

60

54

Gm U = Stx =

D

•

2 •

2

4350 4377 4403 4609 4634 4659 4853 4876 4900 5082 5104 5126 5299 5320 5341

74 73 72 71 70

4

5523 5717 5901 6076

5543 5736 5919 6093

3 •

•

5

69 68

5

67 66

6

6243 6259 65

6387 6541 6687 6828 6963

6403 6556 6702 6842

6418 6570 6716 6856 6977 6990

64 63 62 61 60

6

7055 7068 7080 7093 7181 7193 7205 7218 7302 7314 7326 7338 7419 7430 7442 7453 7531 7542 7553 7564

7106 7230 7349 7464

59 58 57 56 55

8

7682 7692 54 7785 7795 53 7884 7893 52 7979 7989 51 8072 8081 50

i

35 9.7586 7597 7607 7618 7629 7640 7692 7703 7713 7723 7734 7744 36 7795 7805 7815 7825 7835 7844 37 38 7893 7903 7913 7922 7932 7941 8017 8026 8035 7989 7998 8007 39 40 9.8081 8090 8099 8108 8169 8178 8187 8195 4i 42 8255 8264 8272 8280 8338 8346 8354 8362 43 8426 8433 8441 8418 44

i

-

6340 6356 6495 6510 6644 6659 6787 6801 6923 6937

7131 7254 7373 7487

*OI92 84 0859 83 1436 82 1943 81 2397 80

75

2S 9.6259 6276 6292 6308 6324 6418 6434 6449 6465 6480 26 6570 6585 6600 6615 6629 27 6716 6730 6744 6759 6773 28 6856 6869 6883 6896 6910 29 7003

87 9 86 0,00 i 9403 85

79 78 77 76

5443 5463 5484 5504 5641 5660 5679 5698 5828 5847 5865 5883 6024 6042 6059 (¡007 6177 6194 6210 6227

30 9.6990 7118 7242 7361 7476

89 88

2727 2767 2806 3107 3143 3179 3455 3488 3521 3775 3806 3837 4073 4IO2 4130

20 9-5341 5361 5382 5402 5423 21 5543 5563 5583 5602 5621 5736 5754 5773 5792 5810 22 23 5919 5937 5954 5972 5990 6093 6110 6127 6144 6161 24

31 32 33 34

•2419 5428 7188 8436

î | u .

7650 7754 7854 7951 8044

6371 6526 6673 6814 6950

7661 7764 7864 7960

7671

7774 7874 7970 8053 8063

7118 7242 7361 7476 7575 7586

8117 8204 8289 8370

8125 8134 8143 8152 8161 8213 8221 8230 8238 8247 8297 8305 8313 8322 8330 8378 8386 8394 8402 8410 8449 8457 8464 8472 8480 8487

,8

,7

,6

,5

,4

,3

,2

48

42

36

30

24

18

12

22

8169 49 8255 48 8338 47 8418 46 8495 45

>1

,0

Grad

6

0

Min.

Lg cos 45°-90°

•

7 8

• •

1 i

i

Lg sin 45° - 90° 1 Min.

0

6

Grad

»0

,1

45 9-8495 8502 46 8569 8577 47 8641 8648 48 8711 8718 49 8778 8784 50 9.8843 8849 8905 8911 51 52 8965 8971 53 9023 9029 54 9080 9085

12

.2 8510 8584 8655 8724 8791 8855 8917 8977 9035 909I

55 9-9134 9139 9 1 4 4 56 9186 9191 9196 57 9236 9241 9246 58 9284 9289 9294 59 9331 9335 934O 60 9-9375 9380 9384 61 9418 9422 9427 62 9459 9463 9467 63 9499 9503 9506 64 9537 9540 9544 65 9-9573 9576 9580 66 9607 9611 9614 67 9640 9643 9647 68 9672 9675 9678 69 9702 9704 9707

18

24

30

36

42

48

54 1

,3

,4

,5

,6

,7

,8

8547 8620 8690 8758 8823

8555 8627 8697 8765 8830

,9 1 8562 8634 8704 8771 8836

8517

8591 8662 8731 8797 8862 8923 8983 9041 9096 9149 9201 9251 9298 9344 9388 9431 9471 9510 9548 9583 9617 9650 9681 9710

8525 8598 8669 8738 8804

8532 8606 8676 8745 8810

8540 8613 8683 8751 8817

8868 8929 8989 9046 9101

8880 8887 8893 8941 8947 8953 9000 9006 9012 9057 9063 9069 9112 9118 9123

8899 8959 9018 9074 9128

9155 9206 9255 9303 9349

8874 8935 8995 9052 9107 9160 9211 9260 9308 9353

9165 9216 9265 9312 9358

9170 9221 9270 9317 9362

9393 9435 9475 9514 9551

9397 9439 9479 9518 9555

9401 9443 9483 9522 9558

9406 9447 9487 9525 9562

9587 9621 9653 9684 9713

9590 9624 9656 9687 9716

9594 9627 9659 9690 9719

9597 9631 9662 9693 9722

9181 9231 9279 9326 9371 9414 9455 9495 9533 9569 9604 9637 9669 9699 9727

9175 9226 9275 9322 9367 9410 9451 9491 9529 9566 9601 9634 9666 9696 9724

60

1,0

75 76 77 78 79

9757 9759 9782 9785 9806 9808 9828 9831 9.9849 9851 9869 9871 9887 9889 9904 9906 9919 9921

9762 9787 9811 9833

9764 9789 9813 9835

9853 9873 9891 9907 9922

9855 9875 9892 9909 9924

9767 9792 9815 9837 9857 9876 9894 9910 9925

-

Î

U° 0,0

8569 8641 8711 8778 8843

44 1 43 1 42

8905 8965 9023 9080 9134 9186 9236 9284 933I 9375 9418 9459 9499 9537 9573 9607 9640 9672 9702 9730

39 2 38 37 36 35

70 9.9730 9733 9735 9738 9741 9743 9746 9749 9751 9754 9757

71 72 73 74

Taf 13

)

41

40 2

34 2 33 32 31 30

29 2 28 3 27 26 25

24 3 23 22 21 20 19

9770 9794 98x7 9839

9772 9797 9820 9841

9775 9799 9822 9843

9777 9801 9824 9845

9780 9804 9826 9847

9782 18 9806 17 9828 16 9849 1 5

9859 9878 9896 9912 9927

9861 9880 9897 9913 9928

9863 9882 9899 9915 9929

9865 9884 9901 9916 9931

9867 9885 9902 9918 9932

9869 9887 9904 9919 9934

3

M 13 12 Ii

10

80 9-9934 9935 9936 9937 9939 9940 9941 9943 9944 9945 9946 9 0 , 1

81 82 83 84 85 86 87 88 89

9946 9947 9949 9950 9951 9952 9953 9954 9955 9956 9958 9958 9959 9960 9961 9962 9963 9964 9965 9966 9967 9968 9968 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 9975 9975 9976 9976 9977 9978 9978 9981 9982 9983 9983 9979 9980 9981 9.9983 9984 9985 9985 9986 9987 9987 9988 9988 9989 9989 9989 9990 9990 9991 9991 9992 9992 9993 9993 9994 9994 9994 9994 9995 9995 9996 9996 9996 9996 9997 9997 9997 9997 9998 9998 9998 9998 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 *0000 *0000 *0000 *0000 *0000 *0000 *0000 *0000 *0000 1,0 60

,8 »9 54 1 48

G m V = 3

,2

>1

,0

Orad

24

18

12

6

0

Mln.

9330 9483 9636 9788 9939

9376 9392 9529 9544 9681 9697 9833 9848 9985 *0000

Lg cotang 45°

49 7 48 • 47 46 45

90o

1

Lg tang 45° - 9 0 °

Taf.

Min.

0

6

12

18

24

30

36

42

4*

54

60

Grad

,0

,1

,2

,3

>4

,5

,6

,7

,8

,9

1,0

45

46

0152 01670182 03030319 0334 47 48 0456 ¡0471 0486 0608,0624 O639 49 50 0 . 0 7 6 2 0 7 7 7 0 7 9 3 0916 0932 O947 5 i 1072 1088 1103 5 2 1229 1245 1260 5 3 54 1387 1403 1419 5 5 0 .1548 1 5 6 4 1 5 8 0 17x0 1726 1743 56 5 7 1875 1891 1908 2042 2059 2076 58 2212 222912247 59 60 0 . 2 3 8 6 1 2 4 0 3 1 2 4 2 1 61 2 5 6 2 2 5 8 0 : 2 5 9 8 62 2 7 4 3 2 7 6 2 2780 29282947 2966 63 64 3 1 1 8 3 1 3 7 3 1 5 7 65

66 67 68 69

3176 3196

0076 0091 0106 0228 0243 0258 04x0 0 3 7 9 0395 0562 0 5 3 2 0547 0685 0700 0716 0839 0854 0870 1010 1 0 2 5 0994 1150 1166 1182 1308 1324 1340 1467 1483 1499 1629 1645 1661 1792 1809 1825 1958 1975 1992 2127 2144 2161 2299 2316 2333 2491 2509 2 4 7 4 2652 2670 2689 2835 2854 2872 3023 3042 3061 3215 3235 3254 3 4 i 3

o.oooo\ooi$ O O 3 O 0 0 4 5 0 0 6 1

0197 0212 0364 0349 0501 0517 0654 0670 0808 0824 0963 0978 1119 " 3 5 1276 1292 1 4 3 5

2 7 9 8

1612 1776 1941 2110 2281 2456 2634 2817

2 9 8 5

3004

1 5 9 6 1 7 5 9 1 9 2 5

2093 2264 2438 2616

0.3313

3 3 3 3 3 3 5 3

3 3 7 3

3 5 1 4

3 5 3 5 3 5 5 5

3 5 7 6

3 7 2 1

3 7 4 3 3 7 6 4

3 7 8 5

3 9 3 6 3 9 5 8 3980

4002

4158I4181

4204

I 4 5 i

4 2 2 7

3 3 9 3

0.4389 4 4 1 3 4 4 3 7 4461 4484 4630 4655 4680 4705 4730 72 4882 4908 4934 4960 4986 5229 5256 7 3 5 1 4 7 5 1 7 4 5201

70 7 i

74 7 5

76 77 78

5 4 2 5 5 4 5 4 5 4 8 3

0.5719 6032 6065 6097 6366 6401 6436 6 7 2 5 6763 6800 5 7 5 0 578o

79

80

81 82 83 84

7 " 3

0.7537 S003

7 i 5 4 7 1 9 5

7626 8052 8102

7 5 8 i

8522 8577 9109 9172 9784 9857 1.0580 0 6 6 9 85 86 1 5 5 4 1664 2806 2954 87 88 4 5 6 9 4792 89 7 5 8 1 8038

Gm V

=

8633

9236

5 5 1 2

5 5 4 1

4509 4 7 5 5

5013 5 2 8 4 5 5 7 0

5842 5873 6130 6163 6196 6471 6507 6542 6838 6877 6915 7236 7278 7320 7672 77x8 7764 8152 8203 8255 8690 8748 8806

5 8 1 1

9301

3 4 3 3

3617 3638 3806 3828 3849 4024 4046 4068 4296 4 2 5 0 4 2 7 3

3 5 9 6

9367

9 4 3 3

4 5 3 3

5 3 1 2

6230 6 5 7 8 6954 7 3 6 3

7811 8307 8865 9501

*ooos * O O 8 5 * O I 6 4 * 0 2 4 4 0850 0944 1040 1 1 3 8 0759 1777 1893 20x2 2 1 3 5 226 X 3106 3264 3429 3599 3777 5027 5275 5539 5819 6119 9130 9800 * ° 5 9 * i 5 6 i 8 5 5 0 9932

I

i 3 7 i

1 3 8 7

3 6

1 5 1 6

1 5 3 2

1 5 4 8

3 5

1677 1694 1842 1858 200S 2 0 2 5 2178 2195 2368 2 3 5 1

1710

3 4

1 8 7 5

3 3

3 4 5 3

3 4 7 3

3 4 9 4

3 6 7 9

3700

3 5 1 4

3 6 5 9 3 8 7 1

3 8 9 2

3 9 1 4

3 9 3 6

4091

4 " 3

4 1 3 6

4 1 5 8

4 3 1 9

4 3 4 2

4 5 5 7

4 5 8 I

3 7 2 i

24 23 22 21

4 8 3 1

4 3 6 6 4 3 8 9 20 4606 4630 19 4882 18 4 8 5 7

5093

5 1 2 0

5 1 4 7

5 3 6 8

5 3 9 7

5 4 2 5

16

5 7 1 9

1 5

5659

5689

5 9 6 8 6000 6264 6298 6332 6615 6651 6688 6 9 9 4 7033 7 0 7 3 7406 7449 7493 7906 7954 7 8 5 8 8360 8 4 1 3 8467 8 9 2 4 8 9 8 5 9046 9640 9 7 1 1 9570 *032Ö *0409 * ° 4 9 4 1238 1341 1446 2391 2525 2663 3962 4155 4357 6441 6789 7167 5 9 3 6

*28lO * 4 5 7 i

* 7 5 8 I

6032 14 6366 13 6725 12 7 " 3

IX

7 5 3 7

10

8003 8522 9109 9784

•0580 1 5 5 4

2806 4569 7 5 8 i

9

•

6 •

3 3 •

2

1

4

1

3

•

2

•

1

0

—

,2

,1

0,

Grad

60

54

48

42

36

30

24

18

12

6

0

| Min.

45°

•

5

,3

-

4

6

.4

o°

4

7

,5

Lg cotang

5

8

,6

25

6

1 7

,7

IO~» : 10

6

•

,8

D-

•

2 5

,9

=

•

•

1,0

= ± 1,0 • 10—*. Dieser Höchstfehler kommt z. B. bei den 8100 geradlinig eingeschalteten Logarithmenwerten der Tafel 12 (y = lg x) nur 4mal vor. Bezeichnungen: Eingangszahl x, U n s i c h e r h e i t von X ¿X1) Tafelzahl y = /(X), „ „ y (2) B e i s p i e l 1) y = X* 1 8 27 64 125 216 £>(1) 7 19 37 61 91 D 12 18 24 30 36 ') Das Zeichen d ist gewählt, weil das übliche Zeichen zu umständlich zu schreiben ist.

27

A n z a h l der D e z i m a l s t e l l e n der T a f e l z a h l 5; Schrittweite derTafel W. Bei der Tafel der Quadrate y = X* ist z.B.W = 0,01, dagegen die Anzahl der Dezimalstellen im I . Z e h n e r b e r e i c h s = 3, i m II. s = 2. Eingehende Begründung der nachstehenden Formeln usw. siehe Erläuterungen. II. Z u l ä s s i g k e i t der l i n e a r e n I n t e r p o l a t i o n (1. I.) D i f f e r e n z e n . Das Wesen der 1.1. besteht darin, dal) man die Funktionskurve in genügend kleine Intervalle zerlegt, so daß die Kurve in den einzelnen Intervallen durch die Sehnen ersetzt werden kann. Die Formel der Bild 5. Lineare I. und Ver1.1. lautet (Bild 5) besserung v durch quadr. I. n = 1, 2, 3

= i o - 2 - 1,8 = 36 D= are 0,1 -cos30° : i o _ 4 = 1 5 . Dem Leser wird nicht entgangen sein, daß mit Gleichung (5) die Differenzen aus ihrer Größenordnung herausgelöst sind, d. h. sie werden ohne Rücksicht auf das Komma der Tafelzahl angegeben. Sie figurieren als ganze Zahlen, sind aber keineswegs solche (Gl. 6). III. A b s c h ä t z e n und Ü b e r t r a g e n der U n s i c h e r h e i t e n b e i m T a f e l r e c h n e n . Die a l l g e m e i n e F e h l e r g l e i c h u n g (Abschätzen mittelst linearer Ersatzfunktion)

(I)

öy = /'(x) öx

stellt ein Hilfsmittel für die vorstehende Aufgabe dar, das aber erst durch Verbindung mit Gl. (6) für die praktischen Tafelrechner einfach und umfassend wird. So ergeben sich für das g e r a d l i n i g e S c h a l t g e b i e t die a l l g e m e i n e n G r u n d f o r m e l n der U n s i c h e r h e i t e n für öy und 2 cotg a f) 2 cos* — = 1 -f cosa. 2

b)

6. Sinussatz

" sin a

^ sin ß

2T

C

sin y

a» = 62 + c* — 2bc cos a .

7. Kosinussatz 8. Halbwinkelsatz

tg -

WM • SÜSS • 6065 • 7015 • 60 85 • 90 SS 1C0-

-0.0007

-- (0,0323) 0,002

150-

• 0,0015

160

-

-

0,0006

170 - 0.001*

180-

0,00055°

Schlüssel: a) Unmittelbar für alle trig. F u n k t , u. ihre Log. b)

1

10

U für die Quadrat- u. Kubikwurzeln T. i u. 2.

c) i o o U für die Tafel der L o g a r i t h m e n T . 12. Das Zeichen

0

entfallt für b) und c)

Beispiele: Tafelzahl sin x1 tg

=

D

U

0,8094

54.04°

10

0,01

1,373

54,04° 54,oö0

5

0,02 u

5

0,02°

7,77° 7,084

57

0,0018°

14 76

0,0007

6357

7

19. 53

23

1.4 0,004

lg sin X3 = 9-9083 lg ctg X4 = 0.8650 Xf = 50,18 Xl = 3 , 9 7 4 lg Xi = 3.8033 lg X2 =

X

1.2907

1,584

0,00013