Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik [2] 978-3-658-25280-9

Table of contents :
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
Kapitel 1 Einführung......Page 17
2.1.1 Parameterdarstellung von Flächen und GAUSS’sche Koordinaten......Page 21
2.1.2 Abbildung von Flächen......Page 22
2.1.3 Eigenschaften der Flächennormalen......Page 23
2.1.4 Totales Differential des Wegelementes......Page 25
2.1.5 Grundformen der Flächentheorie......Page 26
2.1.6 Normalschnitte und Normalkrümmung......Page 28
2.1.7 Geodätische Krümmung und geodätische Linien......Page 30
2.1.8 Klassifizierung von Flächen......Page 32
2.1.9 Hauptkrümmungen einer Fläche......Page 34
2.1.10 Theorema egregium von GAUSS
......Page 38
2.1.11 Bedeutung des Theorema egregium......Page 41
2.1.12 Landesvermessung durch Triangulation......Page 44
2.2.1 Euklidische Räume......Page 46
2.2.2 RIEMANN’sche Räume......Page 48
2.2.3 Flächeneinbettung und Tangentialebene......Page 49
2.2.4 Basisvektoren und Metrik der Fläche......Page 50
2.2.5 Ableitungsformeln von GAUSS......Page 52
2.2.6 Ableitungsformeln von WEINGARTEN......Page 54
2.2.7 Integrabilitätsbedingungen, Formeln von MAINARDI-CODAZZI......Page 56
2.2.8 Krümmungstensor im V²......Page 57
2.2.9 Fundamentalsatz der Flächentheorie......Page 60
2.2.10 Dreidimensionaler Krümmungstensor aus zweifacher kovarianter Ableitung......Page 61
2.2.11 Symmetrieeigenschaften des Krümmungstensors......Page 63
2.2.12 Bedeutung des Krümmungstensors und n-dimensionale Verallgemeinerung, Krümmung des Raumes......Page 66
2.2.13 RICCI-Tensor und Krümmungsskalar......Page 68
2.2.14 BIANCHI-Identität und EINSTEIN-Tensor......Page 70
2.2.15 Größen der Räume V2 und V3......Page 72
2.3.1 Flächenvektor......Page 73
2.3.2 Parallelverschiebung von Vektoren im euklidischen Raum......Page 74
2.3.3 Parallelverschiebung von Vektoren im RIEMANN’schen Raum......Page 76
2.3.4 Parallelverschiebung auf geodätischen Linien......Page 81
2.3.5 Minimaleigenschaft der geodätischen Linien......Page 84
2.3.6 Geometrische Deutung des Krümmungstensors......Page 86
2.4.1 Das Einbettungsproblem......Page 90
2.4.2 Verallgemeinerung bei höheren Dimensionen......Page 91
Literatur......Page 92
3.1 Grundgesetze der Dynamik......Page 94
3.1.1 Newton’sches Bewegungsgesetz......Page 95
3.1.2 Arbeit und Energie......Page 96
3.1.3 Konservative Felder......Page 97
3.1.4 Allgemeines Prinzip der Energieerhaltung......Page 99
3.1.5 Drehmoment und Drehimpuls......Page 100
3.1.6 Virialsatz......Page 102
3.1.7 Bewegung im Zentralfeld, KEPLER-Problem......Page 103
3.1.7.1 Zweiter Lösungsweg......Page 108
3.2.1 Bewegung eines starren Körpers......Page 111
3.2.2 Rotation starrer Körper und Massenträgheitsmoment......Page 112
3.2.3 Trägheitstensor des starren Körpers......Page 114
3.2.4 Hauptträgheitssystem des starren Körpers......Page 117
3.2.5 Satz von STEINER......Page 121
3.2.6 Trägheitsmoment um eine beliebig gerichtete Achse......Page 122
3.3.2 Trägheitsmomente einer Kreisscheibe......Page 124
3.3.3 Trägheitsmomente eines Flügelrades......Page 125
3.3.4 Trägheitsmomente des Quaders......Page 126
3.3.5.1 Homogener Doppelkeil......Page 128
3.3.5.2 Inhomogener Doppelkeil......Page 131
3.3.6 Bemerkungen zur Integration......Page 134
Literatur......Page 135
4.1 Deformierbare Körper......Page 137
4.2.1 Spannung und Spannungszustand......Page 138
4.2.2 Spannungstensor......Page 140
4.2.3 Kraft als Tensorfluss......Page 141
4.2.5 Hydrostatischer Spannungszustand......Page 142
4.2.6 Ebener Spannungszustand und MOHR’scher Spannungskreis......Page 143
4.2.7.1 Einachsiger Spannungszustand......Page 147
4.2.7.3 Hydrostatischer Spannungszustand......Page 148
4.3.1 Dehnung, Stauchung, Dilatation......Page 149
4.3.2 Gleitung, Scherung......Page 152
4.3.3 Beziehung zwischen den elastischen Konstanten......Page 153
4.3.4 Verschiebungs-, Verzerrungs- und Deformationstensor......Page 155
4.3.5 Kugeltensor und Deviator......Page 160
4.4.1 Materialblock zwischen starrer Begrenzung......Page 163
4.4.2 Quadratischer Stab in starrer Passung......Page 167
4.4.3 Quader mit zwei Druckspannungen......Page 168
4.4.4 Spannungs- und Verzerrungstensor in Zylinderkoordi-naten......Page 169
4.4.5 Zylindrischer Stempel mit Wasserdruck......Page 170
4.4.6 Spannungen in dünnwandigen Rohren......Page 172
Spektrum der Wissenschaft......Page 176
5.1.1 Ruhende Medien......Page 177
5.1.1.3 GAUSS’sche Gesetze über die Quellen......Page 179
5.1.2 Bewegte Medien......Page 180
5.1.3 Lösbarkeit der MAXWELL’schen Gleichungen, Materialgleichungen......Page 181
5.1.4.1 Paarbildung von Vektoren......Page 183
5.1.4.2 Randbedingungen an Grenzflächen......Page 184
5.1.4.3 Brechung der Feldlinien......Page 186
5.2.1 LORENTZ-KRAFT......Page 187
5.2.2.2 Elektrischer Dipol......Page 190
5.2.2.3 Magnetischer Dipol......Page 192
5.2.2.4 Quadrupolfeld......Page 193
5.2.2.5 Axiale Dipole höherer Ordnung, Multipole......Page 195
5.2.3 Energiefluss und POYNTHING-Vektor......Page 197
5.2.4 Kraftdichte des Feldes......Page 199
5.3.1 Darstellung von Spannungstensor, Kraftdichte und Kraft......Page 200
5.3.2 Spannungstensor im elektrostatischen Feld......Page 204
5.3.3 Kraft zwischen Punktladungen......Page 209
5.3.4 Kraft durch dielektrischen Halbraum......Page 212
5.3.5 Kraft zwischen Linienströmen......Page 214
5.4.1 Linearer Impuls......Page 217
5.4.3 Erhaltungssätze der Elektrodynamik......Page 219
5.5.1 Aufstellung der Differentialgleichungen......Page 221
5.5.2 Ebene Wellen im nichtleitenden Medium......Page 223
5.5.3 Feldvektoren der ebenen Wellen......Page 226
5.5.4 Wellen in Freiraum und Wellenleitern......Page 228
5.6.2 Differentialgleichungen der Potentiale......Page 233
5.6.3 Eichung......Page 234
5.7.1 Lösung der POISSION-Gleichung......Page 237
5.7.2 Eigenschaften harmonischer Funktionen......Page 240
5.7.3 Summationsprobleme......Page 241
5.7.4 Randwertprobleme......Page 243
5.7.5 Lösung von Randwertproblemen durch Separation......Page 244
5.7.6 Randwertprobleme in Kugelkoordinaten......Page 247
5.7.7 Randwertprobleme in der Ebene......Page 251
5.7.8 Methode der GREEN’schen Funktion......Page 252
5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen......Page 255
5.8.1 Lösung durch retardierte Potentiale......Page 256
5.8.2 Ausstrahlungsbedingung......Page 258
5.8.3 Berechnung der Feldvektoren......Page 259
5.8.5 HERTZ’scher Dipol......Page 261
5.8.6 Antennensysteme......Page 265
5.9 Wegbereiter der Elektrotechnik......Page 267
Literatur......Page 269
Spektrum der Wissenschaft......Page 275
6.1.1 Kristallgitter und Gitterebenen......Page 276
6.1.2 Tetraederflächen......Page 279
6.1.3 Kristallklassen......Page 281
6.2.1 Vektorielle Überlagerung von Wellen......Page 283
6.2.2 Skalare Überlagerung von Wellen, Interferenz......Page 285
6.2.3 Orthogonale Überlagerung von Wellen, Polarisation......Page 287
6.2.4 Leistungsdichten von linear und zufällig polarisierten Wellen......Page 293
6.3.1 Kristalle mit Doppelbrechung......Page 294
6.3.2 Dielektrizitätstensor......Page 295
6.3.3 Vektoren im anisotropen Medium......Page 298
6.3.4 Normalmoden......Page 302
6.3.5 FRESNEL’sche Normalengleichung......Page 306
6.3.6 Eigenschaften der Schnittellipse......Page 309
6.3.7 Kreisschnitte und optische Achsen......Page 312
6.3.8 Strahlklassifizierung......Page 315
6.3.9 Einachsige Kristalle und ihre Klassifizierung......Page 317
6.3.10 Brechungsgesetze im anisotropen Medium......Page 321
6.3.11 Lichtdurchgang durch Kristalle......Page 323
6.3.11.1 Beispiel Kalkspat......Page 325
6.4.1 Elementarmagnete in Festkörpern......Page 327
6.4.2 Drehimpulse des Elektrons......Page 328
6.4.3 Ferromagnetische Materialien......Page 331
6.4.4 Eigenschaften der Ferrite......Page 335
6.4.5 Bewegungsgleichung und Magnetisierung......Page 336
6.4.6 Permeabilitätstensor der Ferrite......Page 339
6.4.7 Ebene Wellen im Ferrit......Page 341
6.4.8 Permeabilitäten und Ausbreitungskonstanten......Page 344
6.4.9 FARADAY-Drehung......Page 347
6.4.10 Nichtreziproke Eigenschaft der Ferrite......Page 349
6.4.11 Kernspinresonanz-Verfahren......Page 352
6.4.12 Magnetresonanztomographie......Page 354
6.4.12.1 Frequenzabweichung der Transversalvoxel......Page 361
Literatur......Page 365
Spektrum der Wissenschaft......Page 366
7.1.1 GALILEI’sches Trägheitsgesetz und Inertialsysteme......Page 368
7.1.2 GALILEI-Transformation......Page 370
7.1.3 Ausbreitung von Lichtwellen......Page 371
7.1.4 EINSTENs Postulate der Speziellen Relativitätstheorie......Page 373
7.2.1 Wellenfronten des Lichtes und Raumzeit nach MINKOWSKI......Page 374
7.2.2 Berechnung der LORENTZ-Matrix......Page 377
7.2.3 Additionstheorem der Geschwindigkeiten......Page 380
7.2.4 Mehrdimensionale LORENTZ-Transformation......Page 383
7.2.5 Ortsvektoren in verschiedenen Systemen......Page 386
7.3.1 Bedeutung und Eigenschaften......Page 389
7.3.2 Entwurf von MINKOWSKI-Diagrammen......Page 391
7.3.2.1 Konstruktion von MINKOWSKI-Diagrammen......Page 397
7.4.1 Relativierung der Gleichzeitigkeit......Page 398
7.4.2 Längenkontraktion......Page 401
7.4.3 Zeitdilatation......Page 403
7.4.4 Vergleich von Abständen und Zeiten auf Weltlinien......Page 406
Literatur......Page 410
8.1.1 Vierdimensionale Vektoren und Tensoren......Page 412
8.1.2 Vierergrößen der Raumzeit......Page 413
8.1.3.1 Tessera-Operator......Page 414
8.1.3.3 Viererdivergenz......Page 415
8.1.3.5 D’ALEMBERT-Operator......Page 416
8.2.1 Vierer-Ortsvektor und Wegelement......Page 417
8.2.3 Eigenzeitelement und Vierergeschwindigkeit......Page 419
8.2.4 Transformation der Vierergeschwindigkeit......Page 423
8.2.5 Viererbeschleunigung......Page 425
8.3 Aberration......Page 426
8.3.1 Bedeutung in der Astronomie......Page 428
Literatur......Page 433
Kapitel 9 Relativistische Elektrodynamik......Page 434
9.1.1 Vierer-Wellenvektor und Phasenfunktion......Page 435
9.1.2 DOPPLER-Effekt in der Astronomie......Page 436
9.1.2.1 Longitudinaler DOPPLER-Effekt und Hubble-Gesetz......Page 438
9.1.2.2 Transversaler DOPPLER-Effekt......Page 442
9.1.2.3 Longitudinaler DOPPLER-Effekt im MINKOWSKI-Diagramm......Page 443
9.2.1 Vierervektoren für Quellen und Potential......Page 445
9.2.2 Ladungsinvarianz......Page 447
9.2.3 Vierer-Wellengleichung......Page 448
9.2.4 Transformation der Feldgrößen beim Wechsel des Bezugssystems......Page 449
9.2.5 LORENTZ-Invarianz der Maxwell’schen Gleichungen......Page 452
9.3.1 Bewegung im homogenen Magnetfeld......Page 454
9.3.2 LIÉNARD-WIECHERT-Potentiale......Page 457
9.3.3 Feldgrößen......Page 462
9.3.4.1 Raumwinkel und Richtcharakteristik......Page 463
9.3.4.2 Geschwindigkeit u und Beschleunigung a parallel,......Page 465
9.3.4.3 Geschwindigkeit u und Beschleunigung a orthogonal,......Page 467
9.4.1 Elektromagnetischer Feldtensor......Page 471
9.4.2 Dualer Tensor und Invarianten......Page 473
9.4.3 Tensordarstellung der MAXWELL’schen Gleichungen......Page 475
Literatur......Page 478
Spektrum der Wissenschaft......Page 479
10.1 Vierervektor der Kraftdichte......Page 480
10.2 Energie-Impuls-Tensor bzw. Spannungs-Energie-Tensor......Page 482
10.3 Viererimpuls, Masse und Energie......Page 486
10.4 Transformation von Viererimpuls und Masse......Page 491
10.5 Welle-Teilchen-Dualismus und Materiewellen......Page 492
10.6 Erhaltung und Invarianz......Page 496
10.7 Energie-Impuls-Diagramm......Page 497
10.8 Standardmodell der Elementarteilchenphysik......Page 501
10.9 Vierervektor der Kraft......Page 504
10.9.1 LORENTZ-Transformation der MINKOWSKI-Kraft......Page 507
Literatur......Page 509
Spektrum der Wissenschaft......Page 510
Kapitel 11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie......Page 512
11.1.1 NEWTON’sches Gravitationsgesetz......Page 513
11.1.1.1 Größenordnung der Grundkräfte und Vereinigung......Page 515
11.1.1.2 Bedeutung des Gravitationsgesetzes......Page 516
11.1.1.3 Bahnkurven von Körpern in Gravitationsfeldern......Page 518
11.1.2.1 Feldstärke und Gravitationspotential......Page 521
11.1.2.2 Arbeit und potentielle Energie in Zentralfeldern......Page 522
11.1.2.3 Feldgleichungen des Gravitationsfeldes......Page 525
11.1.3 Inhomogene Gravitationsfelder......Page 527
11.1.3.1 Gezeiteneffekt im Gravitationsfeld......Page 528
11.2.1 Träge und schwere Masse......Page 530
11.2.2 Trägheitskräfte......Page 532
11.2.2.1 Wurfparabel......Page 533
11.2.2.2 Gleichmäßige Kreisbewegung......Page 535
11.2.2.3 Rollende Kugel auf drehender Scheibe......Page 537
11.2.3 EINSTEINs Kasten-Experiment und das Äquivalenzprinzip......Page 540
11.3 Klassische Bestätigungen der Theorie......Page 543
11.3.2 Lichtablenkung im Gravitationsfeld......Page 544
11.3.3 Rotverschiebung im Gravitationsfeld......Page 546
11.4.1 Quasare......Page 548
11.4.3 Gravitationslinsen......Page 549
11.4.4 Gravitationswellen......Page 550
11.4.5 Satellitennavigation......Page 555
11.5.1 Das Geometrieproblem......Page 557
11.5.2 RIEMANN’sche Geometrie und Tensorkalkül......Page 559
11.5.3 Vergleich der Metriken......Page 562
11.5.3.1 Euklidische Metrik......Page 563
11.5.3.2 Metrik der MINKOWSKI’schen Raumzeit......Page 564
11.5.3.3 RIEMANN’sche Metrik......Page 565
11.5.3.4 Geltungsbereich der Metriken......Page 566
11.5.4 Entwicklungsweg der Feldgleichungen......Page 567
11.5.5 NEWTON’scher Grenzfall......Page 569
11.5.6 Dichten von Ladung und Masse......Page 572
11.5.7 Gleichungen der Hydrodynamik......Page 573
11.5.8 Energie-Impuls-Tensor der Gravitation......Page 575
11.5.8.1 Energie-Impuls-Tensor für Staub......Page 576
11.5.8.2 Energie-Impuls-Tensor der idealen Flüssigkeit......Page 579
11.5.9 Feldgleichungen von EINSTEIN......Page 583
11.5.9.1 Bestimmung der Konstante......Page 584
11.5.9.2 Darstellung der Feldgleichungen und Lösungen......Page 586
11.5.10 SCHWARZSCHILD-Lösung......Page 588
11.5.10.1 Kugelsymmetrische Vakuumgleichung......Page 589
11.5.10.2 Berechnung der Tensorelemente......Page 591
11.5.10.3 SCHWARZSCHILD-Metrik und Alternativen......Page 594
11.5.10.4 Bahnkurven unter SCHWARZSCHILD-Metrik......Page 596
11.5.11 Periheldrehung des Merkur......Page 599
Literatur......Page 603
Bild der Wissenschaft......Page 606
Spektrum der Wissenschaft......Page 607
12.1.1 Weltbilder......Page 611
12.1.2 Sternkataloge, Navigation und Klassifizierung......Page 617
12.1.3 Größe und Entfernungen......Page 622
12.1.4 Entwicklung des Universums......Page 625
12.2 Standardmodell der Kosmologie......Page 629
12.3.1 Nukleosynthese......Page 631
12.3.2 Weißer Zwerg, Neutronenstern und Schwarzes Loch......Page 636
12.4.1 Durchmusterungen und Teleskopentwicklung......Page 637
12.4.2 Radioastronomie......Page 645
12.4.3 Satelliten-Projekte......Page 650
12.4.3.1 Optischer Bereich......Page 653
12.4.3.2 Infrarot-Astronomie......Page 655
12.4.3.3 Röntgen-Astronomie......Page 656
12.5 Dunkle Materie......Page 657
12.6 Schwarzer Körper und Hohlraumstrahlung......Page 660
12.7.1 Frühe Untersuchungen......Page 663
12.7.2 Theorie und Entdeckung der Hintergrundstrahlung......Page 664
12.7.3 Projekte zur Messung der Hintergrundstrahlung......Page 666
12.7.4 Auswertung der Messdaten......Page 669
12.8.1 Supernovae......Page 676
12.8.2 Supernova-Such-Projekte......Page 678
12.8.3 Größenklassen......Page 680
12.8.4 Beschleunigte Expansion......Page 681
12.8.5 Dunkle Energie......Page 682
12.9 Kosmische Inflation......Page 684
12.10 Numerische Berechnungen und Computersimulationen......Page 687
Literatur......Page 691
Sterne und Weltraum......Page 695
Spektrum der Wissenschaft......Page 696
Epilog......Page 704
Literatur......Page 708
Abbildungsverzeichnis......Page 709
Bildnachweise......Page 714
Personenverzeichnis......Page 716
Personenbezogene Begriffe......Page 720
Nobelpreisträger......Page 723
Gesamtverzeichnis der Bücher......Page 725
Sachverzeichnis......Page 744

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Wolfgang Werner

Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2 Tensoren in Mathematik und Physik

Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2

Wolfgang Werner

Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in ­Physik und Technik 2 Tensoren in Mathematik und Physik

Wolfgang Werner Berlin, Deutschland

ISBN 978-3-658-25279-3 ISBN 978-3-658-25280-9  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Meiner Frau Nelly gewidmet

Vorwort Nach Entwicklung der mathematischen Grundlagen im ersten Band setzt der vorliegende zweite Band mit grundlegenden physikalischen Fachgebieten fort, in denen die Begriffsbildungen der Vektoren und Tensoren für die adäquate Beschreibung physikalischer Phänomene die unverzichtbaren Beschreibungsmittel darstellen. Auch dieser Band verfolgt wie der erste die Absicht einer klaren und ausführlichen Darstellung der Zusammenhänge, die aus den zugrunde liegenden Naturgesetzen entwickelt werden. Dieser Anwendungsteil enthält viele Zitate der einschlägigen Literatur, um den Leser auf weitere und mitunter ausführlichere Darstellungen eines bestimmten Sachverhaltes hinzuweisen oder um längere Ableitungen abzukürzen oder zu vermeiden. Die Bedeutung der Tensorrechnung wird durch Anwendungen in wesentlichen Gebieten der Physik veranschaulicht, wobei die wichtigsten Gleichungen der Fachgebiete angegeben oder entwickelt werden, um einen klaren Einblick in die Gesetzmäßigkeiten zu gewinnen. Dabei ist die Darstellung weder umfassend noch erschöpfend und kann auch wegen fehlender experimenteller Grundlagen und weitergehender Zusammenhänge und Gesetze kein Lehrbuch der Physik ersetzen, sondern soll den Leser motivieren und seine Neugier wecken, um Themenbereiche, die ihn besonders interessieren, zu erweitern und zu vertiefen. Wie bereits im Vorwort des ersten Bandes ausgeführt, wird in inhaltlicher Hinsicht keine Originalität angestrebt, da die verschiedenen Themengebiete in Fachbüchern in großer Ausführlichkeit präsentiert werden, auf die in der zitierten Literatur verwiesen wird. Die Hoffnung des Autors besteht auch bei diesem Band darin, dass die Darstellung Eingang in die wissenschaftliche Literatur findet und bei vielen auf Interesse stößt. Sollte sich dieses Ziel erfüllen, dann ist die Absicht des Autors vollständig erreicht. VII

VIII Das Buch wurde geschrieben in Erinnerung an die Denkweise der Vorlesungen von Ludwig Hannakam (1923 -1987), der von 1961 bis zu seinem Tode den Lehrstuhl der Theoretischen Elektrotechnik an der Technischen Universität Berlin innehatte. Hannakam war ein brillanter theoretischer Wissenschaftler, der bei Generationen von Studenten eine bleibende Erinnerung hinterläßt, einerseits wegen seiner exzellenten Darstellung der schwierigen Materie, die er bedauerlicherweise nicht in einem Buch veröffentlicht sondern nur in Vorlesungsskripten hinterlassen hat, andererseits, weil für Verständnis der Zusammenhänge und das Bestehen von Klausuren und Prüfungen in erheblichem Maße Ausdauer und Fleiß erforderlich waren. Fachlichen Rat erhielt ich von meinen eng befreundeten Kollegen, den Professoren Hans-Joachim Gelbrich und Joachim Meißner, die über viele Jahre hinweg als zuverlässige und stets bereite Gesprächspartner die Entstehung des Manuskriptes begleiteten. Dem Springer-Verlag und seinem Cheflektor Herrn Dapper danke ich für die Annahme und bereitwillige Unterstützung dieses Buchprojektes. Danken möchte ich auch Frau Broßler vom Lektorat, die die Vertragsabwicklung und Manuskriptbearbeitung durchführte und bei vielen Kontakten auf eine Reihe von Sonderwünschen einging, die für mich von besonderer Bedeutung in der Gestaltung beider Bände waren. Frau Barth von der Firma le-tex danke ich für wertvolle Hinweise bei Fragen zum Schreib- und Formelsatzprogramm LATEX. Mein großer Dank geht auch beim zweiten Band an meine Frau Nelly, ohne deren langjährige Geduld und Nachsicht dieses Buch nicht zum Abschluss hätte gebracht werden können.

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung

1

2 Flächentheorie und Krümmungstensor 2.1 Grundzüge der Flächentheorie . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Parameterdarstellung, Gauß’sche Koordinaten 2.1.2 Abbildung von Flächen . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Eigenschaften der Flächennormalen . . . . . . . 2.1.4 Totales Differential des Wegelementes . . . . . 2.1.5 Grundformen der Flächentheorie . . . . . . . . 2.1.6 Normalschnitte und Normalkrümmung . . . . . 2.1.7 Geodätische Krümmung und geodätische Linien 2.1.8 Klassifizierung von Flächen . . . . . . . . . . . 2.1.9 Hauptkrümmungen einer Fläche . . . . . . . . 2.1.10 Theorema egregium von Gauss . . . . . . . . . 2.1.11 Bedeutung des Theorema egregium . . . . . . . 2.1.12 Landesvermessung durch Triangulation . . . . . 2.2 Riemann’scher Krümmungstensor . . . . . . . . . . . 2.2.1 Euklidische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Riemann’sche Räume . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Flächeneinbettung und Tangentialebene . . . . 2.2.4 Basisvektoren und Metrik der Fläche . . . . . . 2.2.5 Ableitungsformeln von Gauß . . . . . . . . . . 2.2.6 Ableitungsformeln von Weingarten . . . . . . 2.2.7 Integrabilitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Krümmungstensor im V2 . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Fundamentalsatz der Flächentheorie . . . . . . 2.2.10 Dreidimensionaler Krümmungstensor . . . . . . IX

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5 5 5 6 7 9 10 12 14 16 18 22 25 28 30 30 32 33 34 36 38 40 41 44 45

X

Inhaltsverzeichnis 2.2.11 Symmetrieeigenschaften des Krümmungstensors . . . . 2.2.12 Bedeutung des Krümmungstensors, Verallgemeinerung 2.2.13 Ricci-Tensor und Krümmungsskalar . . . . . . . . . . 2.2.14 Bianchi-Identität und Einstein-Tensor . . . . . . . . 2.2.15 Größen der Räume V2 und V3 . . . . . . . . . . . . . 2.3 Parallelverschiebung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Flächenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Parallelverschiebung im euklidischen Raum . . . . . . 2.3.3 Parallelverschiebung im Riemann’schen Raum . . . . 2.3.4 Parallelverschiebung auf geodätischen Linien . . . . . 2.3.5 Minimaleigenschaft der geodätischen Linien . . . . . . 2.3.6 Geometrische Deutung des Krümmungstensors . . . . 2.4 Höherdimensionale Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Das Einbettungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Verallgemeinerung bei höheren Dimensionen . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Trägheitstensor der Mechanik 3.1 Grundgesetze der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Newton’sches Bewegungsgesetz . . . . . . . . . . . 3.1.2 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Konservative Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Allgemeines Prinzip der Energieerhaltung . . . . . . 3.1.5 Drehmoment und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Bewegung im Zentralfeld, Kepler-Problem . . . . . 3.2 Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Bewegung eines starren Körpers . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Rotation starrer Körper und Massenträgheitsmoment 3.2.3 Trägheitstensor des starren Körpers . . . . . . . . . 3.2.4 Hauptträgheitssystem des starren Körpers . . . . . . 3.2.5 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Trägheitsmoment um eine beliebig gerichtete Achse . 3.3 Beispiele für Trägheitstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Trägheitsmomente der Kugel . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Trägheitsmomente einer Kreisscheibe . . . . . . . . . 3.3.3 Trägheitsmomente eines Flügelrades . . . . . . . . . 3.3.4 Trägheitsmomente des Quaders . . . . . . . . . . . .

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47 50 52 54 56 57 57 58 60 65 68 70 74 74 75 76 78 78 79 80 81 83 84 86 87 95 95 96 98 101 105 106 108 108 108 109 110

XI

Inhaltsverzeichnis

3.3.5 Trägheitsmomente des Doppelkeils . . . . . . . . . . . 112 3.3.6 Bemerkungen zur Integration . . . . . . . . . . . . . . 118 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4 Spannungs- und Deformationstensoren 121 4.1 Deformierbare Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2 Spannungszustand und Spannungstensor . . . . . . . . . . . . 122 4.2.1 Spannung und Spannungszustand . . . . . . . . . . . . 122 4.2.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.3 Kraft als Tensorfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2.4 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.2.5 Hydrostatischer Spannungszustand . . . . . . . . . . . 126 4.2.6 Ebener Spannungszustand und Mohr’scher Kreis . . . 127 4.2.7 Darstellung von drei ebenen Sonderfällen . . . . . . . 131 4.3 Tensoren der Verformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.3.1 Dehnung, Stauchung, Dilatation . . . . . . . . . . . . 133 4.3.2 Gleitung, Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.3.3 Beziehung zwischen den elastischen Konstanten . . . . 137 4.3.4 Verschiebungs-, Verzerrungs- und Deformationstensor 139 4.3.5 Kugeltensor und Deviator . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung . . . . 147 4.4.1 Materialblock zwischen starrer Begrenzung . . . . . . 147 4.4.2 Quadratischer Stab in starrer Passung . . . . . . . . . 151 4.4.3 Quader mit zwei Druckspannungen . . . . . . . . . . . 152 4.4.4 Tensoren in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . 153 4.4.5 Zylindrischer Stempel mit Wasserdruck . . . . . . . . 154 4.4.6 Spannungen in dünnwandigen Rohren . . . . . . . . . 156 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5 Grundgleichungen der Elektrodynamik 5.1 Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Ruhende Medien . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Bewegte Medien . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Lösbarkeit der Maxwell’schen Gleichungen 5.1.4 Eigenschaften der Feldvektoren . . . . . . . . 5.2 Kräfte, Felder, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Einfache statische Felder . . . . . . . . . . . .

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161 161 161 164 165 167 171 171 174

XII

Inhaltsverzeichnis

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.2.3 Energiefluss und Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . 5.2.4 Kraftdichte des Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maxwell’scher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Darstellung von Spannungstensor, Kraftdichte u. Kraft 5.3.2 Spannungstensor im elektrostatischen Feld . . . . . . . 5.3.3 Kraft zwischen Punktladungen . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Kraft durch dielektrischen Halbraum . . . . . . . . . . 5.3.5 Kraft zwischen Linienströmen . . . . . . . . . . . . . . Impulse und Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Linearer Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Erhaltungssätze der Elektrodynamik . . . . . . . . . . Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Aufstellung der Differentialgleichungen . . . . . . . . . 5.5.2 Ebene Wellen im nichtleitenden Medium . . . . . . . . 5.5.3 Feldvektoren der ebenen Wellen . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Wellen in Freiraum und Wellenleitern . . . . . . . . . Elektrodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Definition der Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Differentialgleichungen der Potentiale . . . . . . . . . . 5.6.3 Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie . . . . 5.7.1 Lösung der Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Eigenschaften harmonischer Funktionen . . . . . . . . 5.7.3 Summationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Lösung von Randwertproblemen durch Separation . . 5.7.6 Randwertprobleme in Kugelkoordinaten . . . . . . . . 5.7.7 Randwertprobleme in der Ebene . . . . . . . . . . . . 5.7.8 Methode der Green’schen Funktion . . . . . . . . . . Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen . . . . . 5.8.1 Lösung durch retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . 5.8.2 Ausstrahlungsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Berechnung der Feldvektoren . . . . . . . . . . . . . . 5.8.4 Statischer Sonderfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.5 Hertz’scher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6 Antennensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181 183 184 184 188 193 196 198 201 201 203 203 205 205 207 210 212 217 217 217 218 221 221 224 225 227 228 231 235 236 239 240 242 243 245 245 249

XIII

Inhaltsverzeichnis

5.9 Wegbereiter der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin 6.1 Kristallographische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Kristallgitter und Gitterebenen . . . . . . . . . . . 6.1.2 Tetraederflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Kristallklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . 6.2.1 Vektorielle Überlagerung von Wellen . . . . . . . . 6.2.2 Skalare Überlagerung von Wellen, Interferenz . . . 6.2.3 Orthogonale Überlagerung von Wellen, Polarisation 6.2.4 Leistungsdichten von polarisierten Wellen . . . . . 6.3 Kristalloptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Kristalle mit Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Dielektrizitätstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Vektoren im anisotropen Medium . . . . . . . . . . 6.3.4 Normalmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Fresnel’sche Normalengleichung . . . . . . . . . . 6.3.6 Eigenschaften der Schnittellipse . . . . . . . . . . . 6.3.7 Kreisschnitte und optische Achsen . . . . . . . . . 6.3.8 Strahlklassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.9 Einachsige Kristalle und ihre Klassifizierung . . . . 6.3.10 Brechungsgesetze im anisotropen Medium . . . . . 6.3.11 Lichtdurchgang durch Kristalle . . . . . . . . . . . 6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie . . . . . . . . . . . 6.4.1 Elementarmagnete in Festkörpern . . . . . . . . . . 6.4.2 Drehimpulse des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Ferromagnetische Materialien . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Eigenschaften der Ferrite . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5 Bewegungsgleichung und Magnetisierung . . . . . . 6.4.6 Permeabilitätstensor der Ferrite . . . . . . . . . . . 6.4.7 Ebene Wellen im Ferrit . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.8 Permeabilitäten und Ausbreitungskonstanten . . . 6.4.9 Faraday-Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.10 Nichtreziproke Eigenschaft der Ferrite . . . . . . . 6.4.11 Kernspinresonanz-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 6.4.12 Magnetresonanztomographie . . . . . . . . . . . .

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260 260 260 263 265 267 267 269 271 277 278 278 279 282 286 290 293 296 299 301 305 307 311 311 312 315 319 320 323 325 328 331 333 336 338

XIV

Inhaltsverzeichnis

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 7 Spezielle Relativitätstheorie 352 7.1 Inertialsysteme und ihre Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . 352 7.1.1 Galilei’sches Trägheitsgesetz und Inertialsysteme . . 352 7.1.2 Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 7.1.3 Ausbreitung von Lichtwellen . . . . . . . . . . . . . . . 355 7.1.4 Einsteins Postulate der Speziellen Relativitätstheorie 357 7.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 7.2.1 Wellenfronten des Lichtes, Raumzeit nach Minkowski 358 7.2.2 Berechnung der Lorentz-Matrix . . . . . . . . . . . . 361 7.2.3 Additionstheorem der Geschwindigkeiten . . . . . . . . 364 7.2.4 Mehrdimensionale Lorentz-Transformation . . . . . 367 7.2.5 Ortsvektoren in verschiedenen Systemen . . . . . . . . 370 7.3 Minkowski-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 7.3.1 Bedeutung und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 373 7.3.2 Entwurf von Minkowski-Diagrammen . . . . . . . . . 375 7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate . . . . . . . . . . 382 7.4.1 Relativierung der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . 382 7.4.2 Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 7.4.3 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 7.4.4 Vergleich von Abständen und Zeiten auf Weltlinien . . 390 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 8 Vierergrößen und relativistische Kinematik 8.1 Eigenschaften von Vierergrößen . . . . . . . . . . . 8.1.1 Vierdimensionale Vektoren und Tensoren . . 8.1.2 Vierergrößen der Raumzeit . . . . . . . . . 8.1.3 Vierer-Differentialoperatoren . . . . . . . . 8.2 Kinematische Vierervektoren . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Vierer-Ortsvektor und Wegelement . . . . . 8.2.2 Transformation der Volumenelemente . . . . 8.2.3 Eigenzeitelement und Vierergeschwindigkeit 8.2.4 Transformation der Vierergeschwindigkeit . 8.2.5 Viererbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . 8.3 Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Bedeutung in der Astronomie . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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396 396 396 397 398 401 401 403 403 407 409 410 412 417

XV

Inhaltsverzeichnis

9 Relativistische Elektrodynamik 418 9.1 Vierereigenschaften ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . 419 9.1.1 Vierer-Wellenvektor und Phasenfunktion . . . . . . . . 419 9.1.2 Doppler-Effekt in der Astronomie . . . . . . . . . . . 420 9.2 Kovariante Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 9.2.1 Vierervektoren für Quellen und Potential . . . . . . . 429 9.2.2 Ladungsinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 9.2.3 Vierer-Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 9.2.4 Transformation der Feldgrößen bei Basiswechsel . . . . 433 9.2.5 Lorentz-Invarianz der Maxwell’schen Gleichungen 436 9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen . . . . . . . . . . . . 438 9.3.1 Bewegung im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . 438 9.3.2 Liénard-Wiechert-Potentiale . . . . . . . . . . . . . 441 9.3.3 Feldgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 9.3.4 Strahlung im Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 9.4 Tensoren der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 9.4.1 Elektromagnetischer Feldtensor . . . . . . . . . . . . . 455 9.4.2 Dualer Tensor und Invarianten . . . . . . . . . . . . . 457 9.4.3 Tensordarstellung der Maxwell’schen Gleichungen . 459 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 10 Relativistische Dynamik 10.1 Vierervektor der Kraftdichte . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Energie-Impuls-Tensor bzw. Spannungs-Energie-Tensor . 10.3 Viererimpuls, Masse und Energie . . . . . . . . . . . . . 10.4 Transformation von Viererimpuls und Masse . . . . . . . 10.5 Welle-Teilchen-Dualismus und Materiewellen . . . . . . . 10.6 Erhaltung und Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Energie-Impuls-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Standardmodell der Elementarteilchenphysik . . . . . . 10.9 Vierervektor der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.1 Lorentz-Transformation der Minkowski-Kraft Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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464 . 464 . 466 . 470 . 475 . 476 . 480 . 481 . 485 . 488 . 491 . 493

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie 11.1 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Newton’sches Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . 11.1.2 Newton’sches Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . .

496 . 497 . 497 . 505

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XVI

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11.1.3 Inhomogene Gravitationsfelder . . . . . . . . . . . 11.2 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Träge und schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Trägheitskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Einsteins Kasten-Experiment, Äquivalenzprinzip 11.3 Klassische Bestätigungen der Theorie . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Periheldrehung des Merkur . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Lichtablenkung im Gravitationsfeld . . . . . . . . . 11.3.3 Rotverschiebung im Gravitationsfeld . . . . . . . . 11.4 Moderne Bestätigungen der Theorie . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Quasare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Pulsare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Gravitationslinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.5 Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Feldgleichungen der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Das Geometrieproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Riemann’sche Geometrie und Tensorkalkül . . . . 11.5.3 Vergleich der Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.4 Entwicklungsweg der Feldgleichungen . . . . . . . . 11.5.5 Newton’scher Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.6 Dichten von Ladung und Masse . . . . . . . . . . . 11.5.7 Gleichungen der Hydrodynamik . . . . . . . . . . . 11.5.8 Energie-Impuls-Tensor der Gravitation . . . . . . . 11.5.9 Feldgleichungen von Einstein . . . . . . . . . . . 11.5.10 Schwarzschild-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.11 Periheldrehung des Merkur . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Astronomie und Kosmologie 12.1 Entwicklungsweg der Astronomie . . . . . . . . . . . 12.1.1 Weltbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Sternkataloge, Navigation und Klassifizierung 12.1.3 Größe und Entfernungen . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Entwicklung des Universums . . . . . . . . . 12.2 Standardmodell der Kosmologie . . . . . . . . . . . . 12.3 Baryonische Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Nukleosynthese . . . . . . . . . . . . . . . . .

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511 514 514 516 524 527 528 528 530 532 532 533 533 534 539 541 541 543 546 551 553 556 557 559 567 572 583 587

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595 595 595 601 606 609 613 615 615

XVII

Inhaltsverzeichnis

12.3.2 Weißer Zwerg, Neutronenstern und Schwarzes Loch 12.4 Materieverteilung im Universum . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Durchmusterungen und Teleskopentwicklung . . . 12.4.2 Radioastronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Satelliten-Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Dunkle Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Schwarzer Körper und Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . 12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung . . . . . . . 12.7.1 Frühe Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.2 Theorie und Entdeckung der Hintergrundstrahlung 12.7.3 Projekte zur Messung der Hintergrundstrahlung . . 12.7.4 Auswertung der Messdaten . . . . . . . . . . . . . 12.8 Beschleunigte Expansion und Dunkle Energie . . . . . . . 12.8.1 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2 Supernova-Such-Projekte . . . . . . . . . . . . . . 12.8.3 Größenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.4 Beschleunigte Expansion . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.5 Dunkle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Kosmische Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10Numerische Berechnungen und Computersimulationen . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

620 621 621 629 634 641 644 647 647 648 650 653 660 660 662 664 665 666 668 671 675

Epilog 688 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 Abbildungsverzeichnis

693

Bildnachweise

698

Personenverzeichnis

700

Personenbezogene Begriffe

704

Nobelpreisträger

707

Gesamtverzeichnis der Bücher

709

Sachverzeichnis

729

Kapitel 1

Einführung Der zweite Band des Gesamtwerks, dem die gleichen Grundsätze wie dem ersten Band zugrunde liegen, ist den Anwendungen und dem Auftreten von Vektoren und Tensoren in Mathematik und Physik gewidmet. Dabei wird gleichzeitig ein Weg durch die Entwicklungsgeschichte der Physik verfolgt, auf dem die menschliche Erkenntnis ein immer größeres Verständnis der Zusammenhänge erreichte. Um dem Leser eine konsistente Darstellung zu bieten, wird bei jedem Einzelthema ein von den Grundbeziehungen ausgehender, die wesentlichen Zusammenhänge und Gleichungen erörternder Überblick gegeben, der in harmonischer Weise die Tensoren umfasst. Bei der großen Zahl physikalischer Fachgebiete entspricht die getroffene Auswahl der behandelten Themen der Neigung des Autors, die Feldtheorie zu betonen. Dadurch und auch durch die Beschränkung auf einen akzeptablen Umfang können weitere Themen wie Thermodynamik, statistische Physik oder Quantentheorie nicht behandelt werden. Bei Darstellung der einzelnen Sachgebiete und der Entwicklung von Formeln und Gesetzmäßigkeiten wird häufig auf Gleichungen des ersten Bandes als Referenz verwiesen, in dem die mathematischen Grundlagen erörtert werden. Seit den Anfängen der mathematisch gestützten Naturwissenschaft durch Galilei und Newton gewann man immer tiefere Einblicke in die physikalischen Zusammenhänge, wobei es nicht ausblieb, dass frühere Ergebnisse und Einsichten im Licht neuer Erkenntnisse das Attribut einer uneingeschränkten Gültigkeit verloren, aber innerhalb der festgestellten Grenzen ihrer Anwendungsbereiche weiterhin Bestand haben konnten. 1 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_1

2

1 Einführung

Der grundlegende Unterschied zwischen Mathematik und physikalischtechnischen und erst recht anderen Wissenschaften besteht in den Prinzipien des Erkenntnisgewinns. Die Mathematik untersucht Eigenschaften und Beziehungen von axiomatisch begründeten Strukturen mit logischen Methoden, die erst nach gesicherten Beweisen allgemeine Gültigkeit für eine unendliche Zahl von speziellen Fällen besitzen. Als ein grundlegendes Beispiel sei der Satz des Pythagoras genannt, der im ebenen, rechtwinkligen Dreieck für unendlich viele, ganzzahlige pythagoräische Tripel und darüber hinaus im Bereich der reellen Zahlen gültig ist. Was in der Mathematik einmal unter gegebenen Voraussetzungen unumstößlich bewiesen wurde, hat universelle Bedeutung und trägt damit den Charakter einer „ewigen Wahrheit“! Dagegen stützen sich die physikalisch-technischen Wissenschaften auf einen mitunter recht umfangreichen Erfahrungsschatz wiederholbarer experimenteller Ergebnisse, die aber nie als Beweise sondern nur als Hinweise auf die in der Natur existierenden Phänomene betrachtet werden können. Auch wenn man auf Grund langer und vielfältiger Erfahrungen von einem als Naturgesetz bezeichneten Zusammenhang überzeugt war, das sich noch nie als ungültig erwiesen hatte, kann ein einziges Gegenbeispiel in bisher nicht untersuchten Situationen als Falsifikation eine „gesicherte“ Theorie in Frage stellen und eine Erweiterung oder Neukonzeption erforderlich machen, die man bei grundsätzlichen Änderungen auch als Wende oder Paradigmenwechsel bezeichnet. In den Naturwissenschaften ist das schon häufiger geschehen wie die spektakulären Beispiele der Erde als Scheibe, der Erde als Mittelpunkt des Kosmos, der Planetenbahnen auf Epizykeln oder Äthertheorie und Quantenmechanik bezeugen. Dazu gehört ebenso die Entthronung des Menschen durch Charles Darwin als religiös begründete Krone der Schöpfung und als ein von der Tierwelt getrenntes Lebewesen. Die Erweiterung der Newton’schen Mechanik zur Relativitätstheorie durch Einstein ist ein weiterer Fall, der in zwei Kapiteln erörtert wird. Das erste Anwendungskapitel ist mathematischer Natur und behandelt die differentialgeometrische Darstellung der Flächentheorie, aus der später die Tensorrechnung hervorgegangen ist. Die Verallgemeinerung zu höherdimensionalen Räumen führt auf den Riemann’schen Krümmungstensor, der die Grundlage für die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie bildet.

3

Die weiteren Kapitel sind physikalischen Sachgebieten gewidmet. Hierbei werden die grundlegenden Gleichungen (Newton, Coulomb, Maxwell) als gegeben betrachtet, die das Ergebnis fundamentaler Experimente in der Entwicklung und im Aufbau der Physik darstellen. In zwei Kapiteln werden nach Darlegung der mechanischen Grundbegriffe und wesentlicher Sätze die Tensoren der Mechanik für Trägheit sowie für Spannung und Verformung behandelt und an Hand konkreter Beispiele verdeutlicht. Das folgende Anwendungsgebiet behandelt die Elektrodynamik. Auf der Grundlage der Maxwell’schen Gleichungen werden Energie- und Kraftbeziehungen sowie die Spannungstensoren im elektrischen und magnetischen Feld abgeleitet. Die Berechnung von stationären Feldern ist Gegenstand der Potentialtheorie, die Behandlung von instationären Feldern mit Hilfe elektrodynamischer Potentiale führt auf retardierte Potentiale und Feldstärken. Bei Anwendung der Elektrodynamik auf anisotrope Kristalle und Ferrite werden Interferenz, Polarisation, Kristalloptik, Doppelbrechung und Faraday-Drehung erörtert. Die Eigenschaften des Kernspins von Atomen führen auf Kernspin-Spektroskopie und Magnetresonanztomographie. Das anschließende Kapitel ist der Speziellen Relativitätstheorie als ein Kerngebiet der modernen Physik gewidmet, deren charakteristische Kennzeichen die Lorentz-Transformation, die vierdimensionale Raumzeit und die Verallgemeinerung physikalischer Größen zu Vierervektoren sind. Das folgende Kapitel behandelt die relativistische Kinematik mit den Vierervektoren für Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung und dem Anwendungsbeispiel der Aberration. In der relativistischen Elektrodynamik werden die Vierereigenschaften ebener Wellen und als Anwendungen der Doppler-Effekt und bewegte Punktladungen untersucht. Eine vereinheitlichte Darstellung des elektromagnetischen Feldes wird dadurch erreicht, dass man die Feldgrößen in einem Feldtensor zusammenfassen kann. Die relativistische Dynamik verallgemeinert fundamentale physikalische Begriffe zu Vierergrößen der Raumzeit und führt den Energie-ImpulsTensor zur Darstellung der Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld ein. Aus den Verknüpfungen der Vierergrößen resultiert eine Reihe grundlegender Beziehungen und Erkenntnisse der modernen Physik wie die von Einstein gefundene Äquivalenz von Masse und Energie, das Gesetz der Energiequantisierung und der Welle-Teilchen-Dualismus.

4

1 Einführung

Als Abschluss der physikalischen Fachgebiete wird die Allgemeine Relativitätstheorie behandelt, bei deren mathematischer Beschreibung Differentialgeometrie und Tensorrechnung die Voraussetzung bilden. Ausgangspunkt sind Newtons Gravitationsgesetz und Einsteins Äquivalenzprinzip. Nach Darlegung der klassischen und modernen Tests zur Bestätigung der Theorie werden die tensoriellen Feldgleichungen der Relativitätstheorie formuliert, mit denen die Schwarzschild-Lösung und die Periheldrehung des Merkur abgeleitet werden. Da die Allgemeine Relativitätstheorie von Anfang an die Bereiche von Astronomie und Kosmologie berührte, ist das letzte Kapitel der historischen Entwicklung und dem modernen Stand dieser Gebiete gewidmet. Durch Verweise im Text und zahlreiche Zitate werden Zusammenhänge hergestellt und weiterführende Erläuterungen in der am Ende der einzelnen Kapitel zitierten Fachliteratur angegeben. Wegen der großen Aktualität der physikalischen Entwicklung und der Erkenntnisse in Astronomie und Astrophysik wurde auch auf eine größere Anzahl von Artikeln in Wissenschaftszeitschriften verwiesen, die fundierte und detaillierte Quellen mit Beiträgen führender Wissenschaftler darstellen, die allerdings meist rein verbaler Natur sind. In den Literaturangaben der einzelnen Kapitel sind Bücher alphabetisch nach Autoren und Zeitschriftenartikel chronologisch geordnet. Verschiedene Erläuterungen oder Daten wurden auch aus Webseiten des Internets herangezogen. Wegen des aktuellen und schnell ergänzbaren, aber mitunter auch flüchtigen Charakters solcher Seiten werden bis auf einige Bildnachweise dazu keine Quellenangaben gemacht, sondern der Leser wird gebeten, selbst gemäß Interesse und Wissensdrang entsprechende Suchanfragen durchzuführen. Damit dem Leser der schnelle Zugang zu einem bestimmten Themengebiet erleichtert wird, existieren verschiedene Verzeichnisse. Neben dem Inhaltsverzeichnis und dem kategoriegestützten Sachverzeichnis befinden sich am Bandende auch Verzeichnisse der Abbildungen sowie von Personen, personenbezogenen Begriffen und Nobelpreisträgern. Um einen fachbezogenen Überblick zu geben, sind im Gesamtverzeichnis der Bücher am Bandende die im Gesamtwerk zitierten Fach- und Sachbücher sowie einige weitere nach Themengebieten jeweils alphabetisch aufgeführt, in denen der Leser zusätzliche und ausführlichere Aspekte der behandelten Sachgebiete finden kann.

Kapitel 2

Flächentheorie und Krümmungstensor Zusammenfassung Der Gegenstand dieses Kapitels ist mathematischer Natur und behandelt die von Carl Friedrich Gauß sowie von Gaspard Monge und der französischen Schule begründete, differentialgeometrische Darstellung der Flächentheorie, aus der die Tensorrechnung später hervorgegangen ist. Die Verallgemeinerung gekrümmter Flächen zu höherdimensionalen, sog. Riemann’schen Räumen, führt auf den Riemann’schen Krümmungstensor, der in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie eine wichtige Rolle spielt.

2.1

Grundzüge der Flächentheorie

2.1.1

Parameterdarstellung von Flächen und Gauß’sche Koordinaten

Eine Fläche im Raum kann durch zwei unabhängige Parameter u1 und u2 eindeutig bestimmt werden, die Gauß’sche Koordinaten heißen. Der Ortsvektor (14.4, Bd. I) der Flächenpunkte hängt bei dieser Beschreibung nur von diesen beiden Parametern ab. ˘ ` ˘ ` ˘ ` ` ˘ r “ r u1 , u2 “ x1 u1 , u2 e1 ` x2 u1 , u2 e2 ` x3 u1 , u2 e3 5 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_2

(2.1)

6

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die Linien uk “const. heißen Koordinaten- oder Parameterlinien, die auf der Fläche ein Netz zweier, normalerweise nicht orthogonaler Kurvenscharen definieren. Als Beispiel wird die positive Oberfläche der Einheitshalbkugel in Parameterdarstellung betrachtet, [13, S. 271], x “ x1 “ u1 y “ x2 “ u2 a z “ x3 “ ` 1 ´ pu1 q2 ´ pu2 q2

mit pu1 q2 ` pu2 q2 ď 1

die einen Punkt P der Ebene z “ 0 ˘ ` rpP q “ r x1 , x2 , 0 in den Raumpunkt Q abgebildet. a ‰ ` ˘ ` ˘ “ rpQq “ r x1 , x2 , x3 “ r u1 , u2 , ` 1 ´ pu1 q2 ´ pu2 q2 “ r u1 , u2 Auf der Oberfläche der Halbkugel wird durch die Koordinaten u1 , u2 ein nichtorthogonales Koordinatennetz von Parameterlinien u1 = const. und u2 = const. erzeugt und jeder Punkt der Halbkugelfläche wird eindeutig durch den Schnittpunkt je einer Kurve der beiden Scharen identifiziert. Die Gauß’sche Flächentheorie stützt sich stark auf die Theorie der Raumkurven im Abschnitt 5.6.6` (Bd. ˘ I). In der Flächentheorie wird vom funktionalen Zusammenhang x# u# zwischen den Größen x# und u# abgesehen und die geometrischen Eigenschaften werden gemäß ` ˘ r u 1 , u2

Ñ

` ˘ Br g1 u1 , u2 “ 1 , Bu

` ˘ Br g2 u 1 , u 2 “ 2 Bu

(2.2)

als innere Geometrie der Fläche allein aus den auf ihr existierenden Koordinaten u1 , u2 und den Tangentenvektoren g1 , g2 der Koordinatenlinien sowie deren Ableitungen entwickelt. Dabei stellen die Parameter u1 , u2 ggf. nur fortlaufende Nummerierungen ohne geometrische Interpretation dar.

2.1.2

Abbildung von Flächen

Gegeben seien zwei Flächen Fu und Fw mit eigenen Gauß’schen Koordinaten, für die die Ortsvektoren zu den Flächenpunkten lauten ˘ ` ˘ ` und rˆ “ rˆ w1 , w2 r “ r u 1 , u2

7

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Werden die Punkte der Flächen Fu und Fw durch eine Funktion einander zugeordnet, von der man fordert, dass sie wenigstens stückweise umkehrbar eindeutig ist und eine nichtverschwindende Funktionaldeterminante besitzt, ` ˘ w # “ w # u#

mit

` ˘ det F w# { u# ‰ 0

dann liegt eine zulässige Abbildung vor. In einzelnen Punkten kann die Zulässigkeit der Abbildung versagen, wie in den Polen einer Kugel. Das Problem konkreter Abbildungen dieser Art zwischen Kugel und Ebene trat historisch zuerst in der Kartographie bei der Erstellung von Landund Seekarten auf und war ein wesentlicher Ausgangspunkt für die Entwicklung der Differentialgeometrie. Von besonderem Interesse sind solche Abbildungen, bei denen Längen-, Winkel- oder Flächentreue gefordert wird, so dass dadurch eine Invarianz bestimmter geometrischer Eigenschaften besteht. Für die Abbildung der Oberfläche der Erdkugel in die Ebene, die nicht ohne Verzerrung möglich ist, existiert keine längentreue Abbildung, so dass solche Landkarten nur näherungsweise für kleine Gebiete aber nicht im strengen Sinn erstellt werden können. Dagegen sind winkeltreue oder konforme Abbildungen möglich durch stereographische und Mercator-Projektion sowie flächentreue Abbildungen nach Lambert, Sanson und Bonne, [5, S. 247f.]. Fast alle Seekarten sind Mercator-Karten, die nach Gerhard Mercator (1512 -1594) benannt sind, der eigentlich Kremer hieß und der die moderne Kartographie begründete. Bei der Mercator-Projektion wird die Erdkugel auf einen Zylinder abgebildet, der die Erde am Äquator berührt, wodurch die Verzerrungen zu den im Unendlichen liegenden Polen hin immer größer werden. Da die Meridiane auf dem Zylinder zum Äquator senkrechte, parallele Geraden bilden, schneidet in der Schifffahrt ein fester Kompasskurs alle Meridiane als sog. Loxodrome unter dem gleichen Winkel, so dass der Kurs in der Mercator-Karte als gerade Linie erscheint, [1, S. 5].

2.1.3

Eigenschaften der Flächennormalen

` ˘ In einem krummlinigen Koordinatensystem x# u# wird die Koordinatenfläche u3 “ const. mit du3 “ 0 betrachtet, die im festen Punkt P “ P prq die Tangentialebene T pP q besitzt.

8

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die folgenden Überlegungen werden auf die drei Vektoren des Vektortripels oder begleitenden Trihedrons im Punkte P gestützt, das aus den Tangentenvektoren g1 , g2 der Koordinatenlinien u1 , u2 und dem Normaleneinheitsvektor f der Tangentialebene besteht. Im Gegensatz zum begleitenden Dreibein der Raumkurven ist ein Trihedron nicht orthonormiert und weist nur zum Teil orthogonale Vektoren auf. Das gerichtete Flächenelement der Koordinatenfläche u3 “ const. wird nach Abschnitt 14.5.3 (Bd. I) berechnet. Der Normaleneinheitsvektor f des Elementes, der mit dem Vektor n3 übereinstimmt, hat die Richtung von g3 und ? bestimmt die Funktion ψ aus Determinante g und Diskriminante DI “ EG ´ F 2 . da12 “ g1 ˆ g2 du1 du2 “

g1 ˆ g 2 | g1 ˆ g2 | du1 du2 “ n3 da12 | g1 ˆ g2 |

? g x g1 , g2 , g3 y 3 g1 ˆ g 2 “ g “? f ”n “ g3 “ ψ g3 | g1 ˆ g2 | | g1 ˆ g2 | DI 3

(2.3)

Da der Vektor f auf beiden Tangenten g1 und g2 senkrecht steht, gelten für i “ 1, 2 und j “ 1, 2, 3 die Ableitungsformeln gi ¨ f “ 0

Ñ

Bgi Bf ¨ f ` gi ¨ “ g i, j ¨ f ` gi ¨ f , j “ 0 Buj Buj

(2.4a)

Für i “ 3 verschwindet das Skalarprodukt dagegen nicht, und man erhält g3 ¨ f “ ψ

Ñ

Bg3 Bf ¨ f ` g3 ¨ “ g 3, j ¨ f ` g3 ¨ f , j “ ψ , j Buj Buj

(2.4b)

Die Skalarprodukte von f mit den Basisvektorableitungen g i,j werden zu einer Matrix B zusammengefasst, die durch die symmetrische, vektorielle H-Matrix nach (16.18, Bd. I) bestimmt wird und daher selbst symmetrisch ist. bij “ g i, j ¨ f “ Hij ¨ f “ Hji ¨ f “ g j, i ¨ f “ bji

9

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Die Spalten der B-Matrix kann man nach (16.7, Bd. I) durch ChristoffelSymbole ausdrücken. ¨ ˛ ¨ 3˛ Γ1 j 0 ˚ 3‹ ¨# ¨# ˚ ‹ ¨ f “ Γ# b #j “ g j g ¨ f “ Γ # j ˝ 0 ‚ “ ψ ˝ Γ2 j ‚ #,j

#

Γ33j

ψ

Für die einzelnen Elemente von B erhält man eine Darstellung mit Determinante g, Diskriminante DI und Christoffel-Symbolen. Da sich die Christoffel-Symbole nach (16.22, Bd. I) durch die Metrikkoeffizienten ausdrücken lassen, sind die Elemente bij vollständig durch die Größen der ersten Grundform der Flächentheorie bestimmt. ? g x g1 , g2 , g i, j y x g1 , g2 , Hij y “? Γi 3j “ ψ Γi 3j “a bij “ g i, j ¨ f “ | g1 ˆ g2 | g11 g22 ´ pg12 q2 DI (2.5) Die Matrix B wird in zwei Darstellungen angegeben. In der ersten, formalen Darstellung ist die Matrix unterteilt, um den Hauptminor hervorzuheben, der später betrachtet wird. In der zweiten Darstellung tritt die Matrix des Tensors Grad g3 nach (17.37, Bd. I) auf. ¨ B ## “ B ## `

˘T

g 1,1 ¨ f

g 1,2 ¨ f

˚ ˚ g 1,2 ¨ f “˚ ˚ ˝ ¨¨¨¨¨¨¨ g 1,3 ¨ f

g 2,2 ¨ f ¨¨¨¨¨¨¨ g 2,3 ¨ f

?

¨ g

3 “a “ ψ Γ ## EG ´ F 2

2.1.4

Γ3 ˚ 11 ˚Γ3 ˝ 12 Γ133

.. . g 1,3 ¨ f .. . g 2,3 ¨ f ¨. ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ .. g ¨ f 3,3

˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚ (2.6) ˛

Γ132

Γ133

Γ232

‹ Γ233 ‹ ‚ 3 Γ3 3

Γ233

Totales Differential des Wegelementes

Das Wegelement ist nach (14.7, Bd. I) das totale Differential des Ortsvektors r, Br Br Br dr “ 1 du1 ` 2 du2 ` 3 du3 “ g1 du1 ` g2 du2 ` g3 du3 Bu Bu Bu

10

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

dessen zweite Ableitung lautet ‰ “ “ ‰ “ ‰ d2 r “ d g1 du1 ` d g2 du2 ` d g3 du3 “ ‰ “ ‰ “ ‰ “ dg1 du1 ` g1 d2 u1 ` dg2 du2 ` g2 d2 u2 ` dg3 du3 ` g3 d2 u3 Mit den totalen Differentialen der Tangentenvektoren nach (16.13, Bd. I) dgi “

Bgi 1 Bgi 2 Bgi 3 du ` 2 du ` 3 du “ g i, 1 du1 ` g i, 2 du2 ` g i, 3 du3 Bu1 Bu Bu

und der Symmetriebeziehung (16.4, Bd. I) erhält man die Darstellung d2 r “

g 1, 1 du1 du1 ` g 1, 2 du1 du2 ` g 1, 3 du1 du3 ` g 1, 2 du2 du1 ` g 2, 2 du2 du2 ` g 2, 3 du2 du3 ` g 1, 3 du3 du1 ` g 2, 3 du3 du2 ` g 3, 3 du3 du3 ` g1 d2 u1 ` g2 d2 u2 ` g3 d2 u3

Mit der H-Matrix (16.18, Bd. I) lautet das zweite Differential des Ortsvektors ` ` ˘T # ˘T (2.7) g d2 r “ du# H ## du# ` d2 u #

2.1.5

Grundformen der Flächentheorie

Die Koordinatenfläche u3 “ const. mit du3 “ 0 wird jetzt nur noch als gekrümmte Fläche im Raum mit den beiden Parametern u1 und u2 angesehen, ` # ˘ ohne ihre Herkunft aus einem krummlinigen KoordinatensystemI # x u zu betonen. Für diese Fläche lautet die erste Grundform G der Flächentheorie nach (14.11, Bd. I) bzw. (14.13, Bd. I) als invariantes Betragsquadrat des Wegelementes ` ˘2 ` ˘2 dr ¨ dr “ G I “ g11 du1 ` 2 g12 du1 du2 ` g22 du2 ˘2 ˘2 ` ` “ E du1 ` 2 F du1 du2 ` G du2 ą 0

(2.8)

Da das Wegelement in der Fläche liegt und die Flächennormale darauf senkrecht steht, ist ihr Skalarprodukt Null ˘ ` dr ¨ f “ g1 du1 ` g2 du2 ¨ f “ 0

11

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

und für das Differential gilt ` ˘ d dr ¨ f “ d2 r ¨ f ` dr ¨ df “ 0

(*)

Setzt man für d2 r die Darstellung (2.7) für die Fläche ein, dann verbleiben wegen du3 “ 0 und der Orthogonalität zu f nur drei Glieder. d2 r ¨ f “ ´ dr ¨ df ` ` ˘2 ˘2 “ g 1, 1 ¨ f du1 ` 2 g 1, 2 ¨ f du1 du2 ` g 2, 2 ¨ f du2 Mit den Elementen der B-Matrix entsteht dadurch die zweite Grundform G II der Flächentheorie als Skalarprodukt aus Wegelement und totalem Differential der Flächennormalen. Die Koeffizienten bμν heißen zweite Fundamentalgrößen der Fläche, für die man in der Literatur auch die Bezeichnungen L, M, N findet. Die zweite Grundform lautet damit ´ dr ¨ df “ G II “ b11 pdu1 q2 ` 2 b12 du1 du2 ` b22 pdu2 q2 “ L pdu1 q2 ` 2 M du1 du2 ` N pdu2 q2

(2.9)

Bei festem Richtungssinn des Vektors der Flächennormalen ist das Skalarprodukt dr ¨ p´ df q invariant gegenüber Koordinatentransformationen. Der 2 ˆ 2-Hauptminor der B-Matrix wird für die Fläche mit B 7 7 bezeichnet und der dabei auftretende Laufindex 7 wird im Abschnitt 2.2.4 näher erläutert. ˜ B77 “

b11 b12 b12 b22

¸

˜ “

L

M

M

N

¸ “

´

b71 , b72

¯

(2.10)

Die Matrix B 7 7 enthält die kovarianten Komponenten eines symmetrischen Tensors 2. Stufe, der auch Haupttensor oder zweiter Fundamentaltensor genannt wird. Nach (2.5) sind die symmetrischen Elemente bij der Matrix B 7 7 vollständig durch die metrischen Koeffizienten gij der ersten Grundform der Flächentheorie bestimmt, was im Abschnitt 2.1.10 im Theorema egregium zum Ausdruck kommt!

12

2.1.6

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Normalschnitte und Normalkrümmung

Der Vektor der Flächennormalen f und der Einheitsvektor t einer beliebig liegenden Tangente der Fläche

t“

du2 dr du1 “ g1 ` g2 ds ds ds

mit

t¨f “0

spannen im Punkt P eine Ebene auf, die die Fläche schneidet. Ein solcher Flächenschnitt heißt Normalschnitt, der eine ebene Raumkurve, die Normalschnittkurve, in der Fläche erzeugt. Die Schnittebene des Normalschnittes stellt nach Abschnitt 5.6.6 (Bd. I) gleichzeitig die Schmiegungsebene dieser Raumkurve dar, deren Hauptnormalenvektor n parallel oder antiparallel zum Normalenvektor f verläuft. Dreht man die Schmiegungsebene um die Fluchtlinie des Tangentenvektors t, dann entstehen schiefe Flächenschnitte, die bei jedem Winkel γ, den die Vektoren n und f bilden, eine andere ebene Raumkurve mit zugehöriger Krümmung κpγq im Punkte P erzeugen.

Normalschnitt

f

P n

u2

t

u1

Fläche im Raum Normalschnittkurve

Abb. 2.1: Erzeugung einer ebenen Raumkurve durch Normalschnitt mit der Fläche

13

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Normalschnitt

Normalschnitte

f

f

t

P γ

t

P

t

n Schmiegungsebene

Abb. 2.2: Verschiedene Flächenschnitte im Punkt P der Koordinatenfläche Nach (5.43, Bd. I) gilt für die Krümmung κ von Raumkurven κn “

dt d2 r “ 2 “ rss ds ds

Die Multiplikation mit der Flächennormalen f führt mit (*) hinter (2.8) zum Ausdruck κpγq n ¨ f “ κpγq cos γ “ κn “

´ dr ¨ df d2 r d2 r ¨ f “ ¨ f “ 2 2 | dr | ds dr ¨ dr

Diese Beziehung definiert die Normalkrümmung κn und den Normalkrümmungsradius Rn der Fläche, die von der Richtung t der Tangente im betrachteten Raumpunkt P abhängen. Die Normalkrümmung ergibt sich mit (14.13, Bd. I) und (2.9) als Quotient aus zweiter und erster Grundform der Flächentheorie und ihre Darstellung lautet damit κn “ κpγq cos γ “

1 b11 pdu1 q2 ` 2 b12 du1 du2 ` b22 pdu2 q2 G II “ “ I 1 2 1 2 2 2 Rn g11 pdu q ` 2 g12 du du ` g22 pdu q G

(2.11) Im Punkt P der Fläche haben die Koeffizienten gik und bik feste Werte und bei gewählter Tangentenrichtung t liegt das Verhältnis von du1 zu du2 ebenfalls fest, so dass der Quotient G II { G I und damit die Normalkrümmung κn

14

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

einen wohlbestimmtem Wert besitzt. Bei Änderung des Winkels γ bzw. der Neigung der Schmiegungsebene wie in Abbildung 2.3 bleibt daher das Produkt κpγq cos γ konstant, so dass sich die Krümmung κpγq der entstehenden Schnittkurven mit steigendem γ entsprechend ändert. Da die erste Grundform G I nach (2.8) stets positiv ist, wird das Vorzeichen der Normalkrümmung κn nur durch G II bestimmt.

2.1.7

Geodätische Krümmung und geodätische Linien

Die gekrümmte Fläche möge eine Kurve tragen, die Flächenkurve heißt und durch den Punkt P verläuft. Diese Flächenkurve, die eine Raumkurve darstellt, besitzt in P das begleitende Dreibein aus den Einheitsvektoren t, n, b. In P hat die Tangentialebene T pP q der Fläche den Normaleneinheitsvektor f und außerdem einen dazu senkrechten, in T pP q liegenden Einheitsvektor s, der in der von n und b aufgespannten und zu t senkrechten Normalebene der Flächenkurve liegt.

Normalschnitt

k

f

g

n

n s

rektifizierende Ebene



b

Tangentialebene

P t Schmiegungsebene

Abb. 2.3: Vektoren in der Normalebene der Flächenkurve, die der Zeichenebene entspricht, die anderen Ebenen stehen darauf senkrecht Für die Flächenkurve definiert man den Krümmungsvektor k, der in die Hauptnormalenrichtung n zeigt und der in der Normalebene in die

15

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Richtungen f und s zerlegt wird. dt “ rss “ κn f ` κg s ds b | k | “ κ “ κ2n ` κ2g k “ κn “

Der Einheitsvektor s kann als Kreuzprodukt dargestellt werden s “ f ˆ t “ f ˆ rs und durch Skalarproduktbildung erhält man die Komponenten von k. k ¨ f “ κ n ¨ f “ κ cos γ “ κn k ¨ s “ κ n ¨ s “ κ n ¨ pf ˆ tq “ κ x n, f , t y “ κ sin γ “ κg κn ist die Normalkrümmung nach (2.11) und κg heißt geodätische Krümmung, für die sich zeigen läßt, dass sie nur von den Koeffizienten der ersten Grundform abhängt, [5, S. 189].

8

Normalschnitt

g

... k

8

Tangentialebene

...

f 

A P t

n n

B

Abb. 2.4: Ortskurve des Krümmungsvektors bei variierendem Winkel γ

κg “ κ sin γ “ κ x t, n, f y “ x rs , rss , f y

(2.12)

16

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Normalschnitte erzeugen ebene Flächenkurven, deren Schmiegungsebenen auf der Tangentialebene der Fläche senkrecht stehen und bei denen die Vektoren k, n und f kollinear sind. Bei einem Normalschnitt gilt für den Krümmungsvektor k, der in der Abbildung 2.4 zum Punkt A oder B zeigt, damit der folgende Sonderfall. k ˆ f “ κ n ˆ f “ κ sin γ t “ κg t “ 0

Ñ

κg “ 0

(2.13)

Flächenkurven mit verschwindender geodätischer Krümmung κg “ 0 heißen geodätische Linien, bei denen in jedem Kurvenpunkt die Tangentialebene der Fläche und die rektifizierende Ebene zusammenfallen. Die geodätische Linie wird bei Abwicklung der Torse ihrer Tangentialebene in eine Gerade gestreckt, woran man erkennt, dass sie auf der gekrümmten Fläche die kürzeste Verbindung zweier Punkte darstellt. Dreht man im Punkte P den Normalschnitt wie in der rechten Darstellung der Abbildung 2.2 um den Normalenvektor f , dann existiert zu jeder Tangentenrichtung t eine zugehörige geodätische Linie.

2.1.8

Klassifizierung von Flächen

Verschiedene Richtungen in der Tangentialebene, werden durch das Verhältnis λ der Differentiale der beiden Gauß’schen Koordinaten bestimmt. λ“

du2 du1

(2.14)

Gesucht werden diejenigen Richtungen, bei denen nach (2.11) die zweite Grundform und damit die Normalkrümmung gleich Null wird. Aus dem Nullsetzen des Zählers GII erhält man die Differentialgleichung ´ du2 ¯2 b12 du2 b11 b12 b11 κn “ 0 Ñ ` 2 ` “ λ2 ` 2 λ` “0 1 1 du b22 du b22 b22 b22 Diese quadratische Gleichung in λ hat für b22 ‰ 0 folgende Lösungen. a a ˘ ˘ 1 ` 1 ` ´ b12 ˘ pb12 q2 ´ b11 b22 “ ´ b12 ˘ ´ DII λN1,2 “ b22 b22 Beide Lösungen definieren zwei ggf. auch komplexe Tangentenrichtungen für die Normalkrümmung Null, die Asymptotenrichtungen heißen.

17

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Für Punkte, in denen die Koeffizienten bik nicht verschwinden, entscheidet die Diskriminante der zweiten Grundform DII “ b11 b22 ´ pb12 q2 “ LN ´ M 2 ¿ 0

(2.15)

über die dort vorliegende Klassifizierung der Fläche. • D II ă 0 Es existieren zwei reelle Lösungen λN1 ‰ λN2 , die die beiden Asymptotenrichtungen der Krümmung Null festlegen. In gegenüberliegenden Sektoren der Asymptotenlinien hat die Normalkrümmung positives bzw. negatives Vorzeichen, so dass eine Sattelfläche vorliegt. Der Punkt P heißt hyperbolischer Flächenpunkt oder Sattelpunkt, dessen Tangentialebene die Fläche in den Asymptotenlinien schneidet. • D II ą 0 Es existieren keine reellen λ-Lösungen und damit keine reellen Asymptotenrichtungen der Krümmung Null, da die Grundform GII keine reelle Nullstelle besitzt. Die Normalkrümmung hat für alle Richtungen das gleiche Vorzeichen. Der Punkt P heißt elliptischer Flächenpunkt, in dem die Fläche nur auf einer Seite der Tangentialebene liegt. • D II “ 0 Es existiert eine reelle Doppelwurzel und damit nur eine Asymptotenrichtung mit der Krümmung Null. Der Punkt P heißt parabolischer Flächenpunkt. Die Fläche liegt auf einer Seite der Tangentialebene und berührt sie in der Asymptotenlinie. Im Sonderfall, dass erste und zweite Grundform zueinander proportional sind, ist die Normalkrümmung unabhängig von λ κn “

G II “ κ0 ‰ κn pλq GI

Ñ

b11 b12 b22 “ “ “ κ0 g11 g12 g22

18

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

und hat damit in jeder Tangentenrichtung den gleichen Wert κ0 . Ein solcher Punkt heißt Nabelpunkt der Fläche. Bei Ebene und Kugel sind alle Punkte parabolische bzw. elliptische Nabelpunkte.

2.1.9

Hauptkrümmungen einer Fläche

Die Richtungen λ nach (2.14), in denen die Normalkrümmung κn “

b11 ` 2 b12 λ ` b22 λ2 pb11 ` b12 λq ` λ pb12 ` b22 λq G II “ “ g11 ` 2 g12 λ ` g22 λ2 pg11 ` g12 λq ` λ pg12 ` g22 λq GI

ihre Extremwerte κE annimmt, heißen Hauptkrümmungsrichtungen, die durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt werden. dGI II ı 1 ” dGII I dκn “0 “ G ´ G dλ pGI q2 dλ dλ Wegen G I ą 0 führt die Klammer auf einen Ausdruck, bei dem sich die dritten Potenzen aufheben. “ (( ‰ (( pb12 ` b22 λq pg11 ` g12 λq ` ( λ pg `( g22 λq (12 “ (( ‰ (( (` ´ pg12 ` g22 λq pb11 ` b12 λq ` ( λ pb b22 λq “ 0 (12 Mit den reellen Größen gik , bik und den Koeffizienten    g12 g22    p “ g12 b22 ´ g22 b12 “  b12 b22     g11 g22   q “ g11 b22 ´ g22 b11 “  b11 b22     g11 g12   r “ g11 b12 ´ g12 b11 “  b11 b12  erhält man daraus eine quadratische Gleichung, die man in Determinantenform angeben kann. Ihre Lösungen λ1,2 bestimmen die Hauptkrümmungsrichtungen, in denen die Extremwerte κE “ κ1,2 der Normalkrümmung liegen.   λ2 ´ λ 1   p λ2 ` q λ ` r “ p pλ ´ λ1 qpλ ´ λ2 q “  g11 g12 g22   b11 b12 b22

    “0  

(2.16)

19

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Da die Werte p, q, r reell sind, gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta, dass die beiden Lösungen λ1,2 entweder reell oder konjugiert komplex sind. λ1 ` λ2 “ ´ λ1 λ2 “

q p

r p

Den Charakter der Lösungen erkennt man anhand der beiden Hilfsgrößen, A1 “ g22 λ1 ` g12 A2 “ g22 λ2 ` g12 deren Summe und Produkt ebenfalls reell sind. A1 ` A2 “ g22 pλ1 ` λ2 q ` 2 g12 “ ‰ ` ˘ A1 A2 “ g22 g22 λ1 λ2 ` g12 pλ1 ` λ2 q ` g11 ´ g11 g22 ´ pg12 q2 Setzt man im Produkt die λ-Lösungen nach dem Wurzelsatz ein, dann folgt A1 A2 “

‰ g22 “ g11 p ´ g12 q ` g22 r ´ DI p

Aus dem Vergleich mit (2.16) folgt, dass die Klammer die Laplace-Entwicklung einer dreireihigen Determinante darstellt, die zwei gleiche Zeilen hat und daher Null ist. Da die Diskriminante DI der ersten Grundform stets positiv ist, gilt ` ˘ ´ A1 A2 “ DI “ g11 g22 ´ pg12 q2 ą 0 Die Hilfsgrößen A1,2 erfüllen die quadratische Gleichung, A2 ´ pA1 ` A2 q A ` A1 A2 “ 0 c 1 1 A1,2 “ pA1 ` A2 q ˘ pA1 ` A2 q2 ` DI 2 4 die zwei reelle Lösungen von verschiedenem Vorzeichen besitzt. Die Fallunterscheidung zeigt, dass dann auch die beiden λ-Lösungen der Hauptkrümmungsrichtungen reell und verschieden sind. Ihre Vorzeichen können gleich oder verschieden sein, wobei eine Lösung auch Null sein kann, wenn deren Richtung mit g1 oder g2 übereinstimmt.

20

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Nach (2.11) sind daraufhin auch die beiden Extremwerte κE “ κ1,2 pλ1,2 q reell und verschieden. In jedem Punkt der Fläche existieren also stets zwei Hauptkrümmungslinien, auf denen die Normalkrümmung ihre Extremwerte κE annimmt. Diese beiden Richtungen stehen senkrecht aufeinander. Das sieht man an der eckigen Klammer des Produktes A1 A2 , die den Wert Null hat, wenn man die beiden λ-Werte λ1 “ du2 {du1 und λ2 “ dˇ u2 {dˇ u1 der Hauptkrümmungsrichtungen einsetzt und mit den Nennerdifferentialen multipliziert. Nach (14.26, Bd. I) folgt dann die Orthogonalität beider Richtungen in der Tangentialebene. ‰ “ u1 “ 0 g11 ` g12 pλ1 ` λ2 q ` g22 λ1 λ2 du1 dˇ u1 ` g12 p du1 dˇ u2 ` dˇ u1 du2 q ` g22 du2 dˇ u2 g11 du1 dˇ ˘T ` ˘T # ` dˇ u “ dr ¨ dˇ r “ 0 “ du# g ¨ g #

#

Auf der Fläche kann man die Gauß’schen Koordinaten u1 , u2 auch speziell so wählen, dass sie mit den Hauptkrümmungslinien zusammenfallen und ein orthogonales Koordinatennetz bilden. In diesem Fall erfüllen die Koordinatenlinien die Bestimmungsgleichung (2.16), die mit (2.14) lautet p pdu2 q2 ` q du1 du2 ` r pdu1 q2 “ 0 Setzt man nacheinander die Charakterisierung du1 “ 0 und du2 “ 0 der beiden Koordinatenlinien ein, dann müssen die Koeffizienten p und r gleichzeitig verschwinden, wodurch ein homogenes Gleichungssystem für die Variablen g12 und b12 entsteht. ¸˜ ¸ ˜ p “ g12 b22 ´ g22 b12 “ 0 g12 b22 ´ g22 “0 Ñ ´ b11 g11 b12 r “ g11 b12 ´ g12 b11 “ 0 Da die Determinante der Koeffizientenmatrix Δ “ g11 b22 ´ g22 b11 außer in Nabelpunkten nicht verschwindet, hat das homogene Gleichungssystem in regulären Flächenpunkten nur die triviale Lösung g12 “ F “ 0

b12 “ M “ 0

als Bedingung für die Orthogonalität der Koordinatenlinien.

(2.17)

21

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Zur Bestimmung der Extremwerte κE “ κ1,2 der Normalkrümmung, die Hauptkrümmungen heißen, wird die Beziehung (2.11) für κn umgestellt ‰ “ ‰ “ ‰ “ b22 ´ g22 κn pλq λ2 ` 2 b12 ´ g12 κn pλq λ ` b11 ´ g11 κn pλq “ 0 und ihre Ableitung nach λ gebildet. Berücksichtigt man, dass im Fall des Extremums dκE {dλ “ 0 gilt, führt die Ableitung auf folgende Beziehung, ` ˘ ` ˘ b22 ´ g22 κE λ ` b12 ´ g12 κE “ C λ ` B “ 0 die in die umgestellte Ausgangsgleichung für κn eingesetzt wird mit dem Ergebnis ˘ ` ˘ ` b12 ´ g12 κE λ ` b11 ´ g11 κE “ B λ ` A “ 0 Damit das homogene System beider Gleichungen ˆ ˙ˆ ˙ ˆ ˙ C B λ 0 “ B A 1 0 eine Lösung besitzt, muss seine Koeffizientendeterminante Null sein, was auf eine quadratische Gleichung für κE führt, ˘` ˘ ` ˘2 ` AC ´ B 2 “ b11 ´ g11 κE b22 ´ g22 κE ´ b12 ´ g12 κE “ 0 “ ‰ g11 g22 ´ pg12 q2 κ2E, “ “ ‰ ‰ ´ g11 b22 ´ 2 g12 b12 ` g22 b11 κE ` b11 b22 ´ pb12 q2 “ 0 in denen die Diskriminanten DI und DII der beiden Grundformen auftreten. DI κ2E ´ D˚ κE ` DII “ 0

Ñ

κ2E ´

D˚ DII κ ` “0 E DI DI

Nach dem Wurzelsatz von Vieta pκE ´ κ1 qpκE ´ κ2 q “ κ2E ´ pκ1 ` κ2 qκE ` κ1 κ2 “ κ2E ´ 2H κE ` K “0

22

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

erhält man die Gauß’sche Krümmung K als Produkt und die mittlere Krümmung H als arithmetisches Mittel der beiden Hauptkrümmungen κ1,2 im betrachteten Punkt der Koordinatenfläche. K “ κ1 κ 2 “

DII b11 b22 ´ pb12 q2 LN ´ M 2 “ “ DI g11 g22 ´ pg12 q2 EG ´ F 2 (2.18)

H“

1 1 D˚ 1 g11 b22 ´ 2 g12 b12 ` g22 b11 “ pκ1 ` κ2 q “ 2 2 DI 2 g11 g22 ´ pg12 q2

Nach der Klassifizierung der Flächen in Abschnitt 2.1.8 ergibt sich folgende Fallunterscheidung durch die Gauß’sche Krümmung. K ą 0 K “ 0 K ă 0

Ñ Ñ Ñ

elliptischer parabolischer hyperbolischer

, / .

Flächenpunkt

(2.19)

/ -

Die folgende Größe ist stets positiv, H2 ´ K “

1 1 pκ1 ` κ2 q2 ´ κ1 κ2 “ pκ1 ´ κ2 q2 ě 0 4 4

so dass die Hauptkrümmungen als Lösung der quadratischen Gleichung a κ1,2 “ H ˘ H 2 ´ K ě 0 reelle, positive und normalerweise verschiedene Werte aufweisen. Beide Größen K und H sind Invarianten der Fläche, da sie nur von der Gestalt der Fläche und ihrer durch die Koeffizienten gik bestimmten Metrik aber nicht von der analytischen Darstellung im dreidimensionalen Raum abhängen. Zähler und Nenner enthalten nur Skalarprodukte, die bei Koordinatentransformationen erhalten bleiben.

2.1.10

Theorema egregium von Gauss

Die Bezeichnung Theorema egregium als herausragendes Theorem wurde von Gauss 1827 für folgenden Satz gewählt, der eine besonders bemerkenswerte Eigenschaft der Flächentheorie ausdrückt.

23

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Die Gauss’sche Krümmung einer Fläche wird bestimmt durch die Koeffizienten der ersten Grundform der Fläche und deren Ableitungen. Der Normalenvektor f und auch die Einbettung der Fläche in den umgebenden Raum wurden bei der Herleitung des Krümmungsmaßes der Fläche zwar verwendet, spielten im Ergebnis aber keine Rolle. Nach Aussage des Theorems kann man allein durch Messungen in der Fläche selbst feststellen, ob die Fläche gekrümmt ist oder nicht, ohne auf den umgebenden Raum zurückzugreifen! Man erkennt das daran, dass die Koeffizienten bik der zweiten Grundform nach (2.5) durch die gik der ersten Grundform ausgedrückt werden. Größen, die allein von den Koeffizienten gik abhängen, bestimmen die innere Geometrie der Fläche und heißen geodätische Größen. Zur Berechnung der Krümmung ersetzt man in (2.18) die Koeffizienten bik und stellt die Spatprodukte als Gram’sche Determinanten nach (5.11, Bd. I) dar. Die Skalarprodukte werden durch die L-Symbole (16.19, Bd. I) ersetzt und der Additionssatz (3.45, Bd. I) angewendet. K“

x g1 , g2 , g 1, 1 y x g1 , g2 , g 2, 2 y ´ x g1 , g2 , g 1, 2 y2 b11 b22 ´ pb12 q2 “ g11 g22 ´ pg12 q2 r g11 g22 ´ pg12 q2 s 2

      g11   g11 g g ¨ g g g ¨ g 12 1 2, 2 12 1 1, 2        g12 g22 g2 ¨ g 2, 2  ´  g12 g22 g2 ¨ g 1, 2    g1 ¨ g 1, 1 g2 ¨ g 1, 1 g 1, 1 ¨ g 2, 2   g1 ¨ g 1, 2 g2 ¨ g 1, 2 g 1, 2 ¨ g 1, 2  “ r g11 g22 ´ pg12 q2 s 2

“

  g11   g12  L

111

    g11 g12 L221 g12 L121    ´  g12 g22 L222 g22 L122 ˘2   ` 0 L112 g 1, 1 ¨ g 2, 2 ´ g 1, 2   L121 L122 2 2 r g11 g22 ´ pg12 q s

     

Die Determinanten werden noch anders dargestellt, indem man die L-Symbole durch die Ableitungen gij , k für die auftretenden Indexkombinationen ausdrückt. 2L111 “ g 11, 1

2L121 “ g 11, 2

2L112 “ 2g 12, 1 ´ g 11, 2

2L122 “ g 22, 1

2L222 “ g 22, 2

2L221 “ 2g 12, 2 ´ g 22, 1

24

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Das Element (3,3) der ersten Determinante kann man unter Berücksichtigung der Symmetrie- und Permutationsbeziehung (16.4, Bd. I) folgendermaßen darstellen.

˘ 1` g 11, 2, 2 ` g 22, 1, 1 2 ¯  ˘ ´ B  B B `  ´   L211 L ` L “ 2 L112 `  121 212   Bu Bu2 Bu1 ` ˘ ` ˘ “ g 1, 1, 2 ¨ g 2 ` g 1, 1 ¨ g 2, 2 ´ g 1, 2, 1 ¨ g 2 ` g 1, 2 ¨ g 2, 1 ` ˘2 “ g 1, 1 ¨ g 2, 2 ´ g 1, 2

g 12, 1, 2 ´

Damit erhält man die Krümmung in der von Baltzer angegebenen Darstellung, die auch als Gauß’sche Gleichung bezeichnet wird, [2, S. 111], [5, S. 180], und in der nur noch die für die Koordinatenfläche relevanten Größen der ersten Grundform, also die Metrikkoeffizienten gik sowie deren erste und zweite Ableitungen, auftreten.

K“

1 ˆ r g11 g22 ´ pg12 q2 s 2 ` ˘  »  g11  g12 g 12, 2 ´ 12 g 22, 1    — 1 g22 g ˆ –  g12  2 22, 2  ` ˘ ` 1 ˘   1g 1 1 g 12, 1 ´ 2 g 11, 2 ´ 2 g 11, 2, 2 ` g 12, 1, 2 ´ 2 g 22, 1, 1 2 11, 1   g11   ´  g12   1 g 11, 2 2

g12 1 2

g22 g 22, 1

1 2 1 2

fi g 11, 2  ffi g 22, 1  fl  0 

(2.20) Im speziellen Fall orthogonaler Koordinatensysteme vereinfacht sich dieser Ausdruck wegen g12 “ 0 nach (2.17), so dass man nach Entwicklung der

25

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

Determinanten die folgende Beziehung erhält. `

2 g11 g22

˘2

Kortho “

Bg22 ´ Bg22 ¯2 ı ` Bu2 Bu1 ´ Bg ¯2 ı ” Bg Bg 11 22 11 ` g22 ` Bu1 Bu1 Bu2 ” B2 g B 2 g22 ı 11 ` ´ 2 g11 g22 pBu2 q2 pBu1 q2 g11

” Bg

11 Bu2

Die Gauß’sche Krümmung für orthogonale Systeme wird noch in kanonischer Form dargestellt, bei der die Metrikkoeffizienten durch die ? metrischen Faktoren hk “ gkk nach (18.3, Bd. I) ersetzt werden, die dort definiert wurden. Kortho

* ? ? B ” 1 B g22 ı B ” 1 B g11 ı “´? ` ? ? g11 g22 Bu1 g11 Bu1 Bu2 g22 Bu2 " * B ” 1 Bh2 ı 1 B ” 1 Bh1 ı “´ ` h1 h 2 Bu1 h1 Bu1 Bu2 h2 Bu2 1

"

(2.21)

2.1.11

Bedeutung des Theorema egregium

Da die Gauß’sche Krümmung, die man auch als Krümmungsmaß bezeichnet, nur durch die Koeffizienten der ersten Grundform und ihre Ableitungen bestimmt wird, stellt diese Krümmungsgröße ein Kriterium für die Metrik und damit eine Bewertung der Raumstruktur dar, im vorliegenden Fall also der zweidimensionalen Flächenstruktur. Alle Eigenschaften, die nur von der ersten Grundform abhängen, definieren die innere Geometrie einer Fläche. Verschiedene Flächen, deren Metrik übereinstimmt, bieten bei Untersuchungen und Messungen auf der Fläche keinen Unterschied, obwohl sie vom einbettenden Raum aus, sozusagen von außen gesehen, eine sehr unterschiedliche geometrische Gestalt besitzen können wie beim Beispiel von Ebene, Zylinder und Kegel. Alle Änderungen der Struktur eines betrachteten Raumes, z.B. eine Formänderung der Fläche, bei der die metrischen Koeffizienten der ersten Grundform und damit die Metrik insgesamt erhalten bleiben, lassen daher auch die Gauß’sche Krümmung unverändert. Bei allen Abbildungen von Flächen

26

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

mit dehnungsloser Deformation, die als Verbiegungen oder Abwicklungen bezeichnet werden und bei denen die Längen von Kurven und die Winkel zwischen ihnen unverändert bleiben, können also nur längen- und winkeltreue Verformungen auftreten. Da hierbei die Krümmung gleich bleibt, weisen diese Flächen eine Biegungsinvarianz auf. Eine besondere Klasse von Flächen erhält man dadurch, dass man eine Gerade stetig im Raum bewegt, wodurch eine Regelfläche erzeugt wird. Dabei durchläuft ein fester Punkt auf der erzeugenden Geraden eine Raumkurve, die Leitlinie oder Direktrix heißt, und die Richtung der Geraden kann sich in jedem Punkt der Leitlinie ändern. Einzelne, beliebig auf der Geraden verteilte Punkte erzeugen bei der Bewegung eine aus der Leitlinie hervorgehende Schar von Raumkurven, die in ihrer Gesamtheit die ganze Regelfläche definieren. Als Beispiel kann man sich die Regelfläche vorstellen, die die Gerade durch die Flügelspitzen eines Flugzeuges auf seiner Bahn durch den Raum erzeugt. Mathematische Beispiele für Regelflächen stellen Kegelmäntel und Schraubenflächen sowie das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid dar. Besondere Regelflächen sind die in eine Ebene abwickelbaren Flächen, bei denen bei fester Stellung der erzeugenden Geraden in allen Geradenpunkten die Tangentialebenen der Fläche zueinander parallel sind. Die so definierten Flächen heißen Torsen, wozu die Zylinder- und Kegelflächen sowie die Tangentenflächen von Raumkurven gehören. Letztere werden durch Geraden erzeugt, die die Richtung der Tangenten der durchlaufenen Raumkurve haben und die die Hüllflächen ihrer Schmiegungsebenen darstellen, was am Ende von Abschnitt 5.6.6 (Bd. I) erwähnt wurde und dort den Abbildungen 5.10 und 5.11 entnommen werden kann. Torsen haben die gleiche innere Geometrie wie Ebenen und können in eine solche dehnungslos und längentreu abgewickelt werden. Sie weisen daher das gleiche Krümmungsmaß Null der Ebene auf, da nach (2.18) eine der Hauptkrümmungen wegen der geradlinigen Erzeugenden verschwindet, was K “ 0 zur Folge hat. Wir sind von klein auf daran gewöhnt, Gegenstände mit gekrümmten Oberflächen als räumliche Gebilde unserer Umwelt wahrzunehmen und damit deren Krümmung als äußere oder extrinsische Eigenschaft der Einbettung dieser Objekte in den umgebenden dreidimensionalen Raum zu erfassen und zu beurteilen. Unsere Bewertung von gekrümmten Flächen erfolgt

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

27

also von einem „ erhöhten “, d.h. höherdimensionalen Standpunkt aus. In besonderen Situationen können Anschauung und Bewertung allerdings versagen, wie die antike Vorstellung der Erde als Scheibe und nicht als Kugel sowie das geozentrische Weltbild des Claudius Ptolemäus zeigen. Das Theorema egregium, das vortreffliche, herausragende Theorem von Gauss, hat deshalb so große Bedeutung, weil es dadurch möglich wurde, die Krümmung einer Fläche als innere oder intrinsische Eigenschaft zu ermitteln, die durch Messung von Größen in der Fläche selbst erfolgen kann ohne Rückgriff auf den umgebenden, höherdimensionalen Raum, in den diese Fläche eingebettet ist. Durch Messung bestimmter geodätischer Größen können wichtige Aussagen über den Charakter einer Fläche getroffen werden, denn man kann z.B. an Hand der Winkelsumme σ im Dreieck entscheiden, ob eine Torse mit σ “ π oder ein Kugelstück mit σ ą π vorliegt. Trotzdem bestimmt die innere Geometrie die Gestalt einer Fläche nicht vollständig, da man bei Feststellung von σ “ π und der Krümmung K “ 0 nicht entscheiden kann, ob bei aufeinander abwickelbaren Flächen eine Ebene oder eine andere Torse vorliegt. Das Theorema egregium stellte einen Wendepunkt in der Entwicklung der Geometrie dar, da dadurch das Augenmerk auf invariante Eigenschaften gelenkt wurde, die erhalten bleiben, wenn man eine Fläche verbiegt oder abwickelt, ohne sie zu dehnen, zu stauchen oder zu zerreißen. Die konsequente Fortführung dieser Erkenntnisse und neuen Ideen resultierte im „ Erlanger Programm “ von Felix Klein (1849 -1925) im Jahre 1872, das er bei seinem Eintritt in die Universität Erlangen als wissenschaftliches Arbeitsgebiet vorstellte. Darin betrachtete er die Geometrie als Invariantentheorie von Transformationsgruppen, untersuchte die Gruppe der projektiven Abbildungen und ihre Untergruppen und entwickelte den Zusammenhang mit der nichteuklidischen Geometrie von Nikolai Lobatschewski. Die Arbeiten von Gauss wurden fortgeführt von Bernhard Riemann (1826 -1866), der Geometrie und Krümmung von Flächen unabhängig von ihrer Einbettung verallgemeinerte und auf höherdimensionale Räume, sog. Mannigfaltigkeiten, übertrug. Solche Räume werden als Punktmengen betrachtet, deren Punkte durch n-Tupel reeller Zahlen, die Koordinaten dieser Punkte, bestimmt sind und für die allgemeine Transformationsgesetze definiert werden. Die Gesamtheit aller Punkte stellt eine n-dimensionale Man-

28

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

nigfaltigkeit dar, die man Riemann’schen Raum nennt. Riemann schuf mit diesen Vorstellungen und Entwicklungen die mathematischen Grundlagen für die heute nach ihm benannte Riemann’sche Geometrie und den Tensorkalkül, der dann von Ricci und Levi-Civita entwickelt wurde. In der Physik des 20. Jahrhunderts bilden die mathematischen Methoden der Differentialgeometrie und des Tensorkalküls die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein (1879 -1955), in der die Eigenschaften einer mehrdimensionalen Mannigfaltigkeit mit indefiniter Metrik, der vierdimensionalen Raumzeit, untersucht werden und bei der der Krümmungstensor als Verallgemeinerung der Gauß’schen Krümmung eine wesentliche Rolle spielt.

2.1.12

Landesvermessung durch Triangulation

Seitdem der Mensch sesshaft ist, besteht in den Gesellschaften die Notwendigkeit, die Flächen des bewohnten und genutzten Gebietes aufzuteilen und abzumessen, was in den Ländern der Frühzeit zur Geometrie, der Erdmessung, und in Staatswesen der Neuzeit zur Geodäsie führte. Die klassische Methode der Landesvermessung war die Triangulation, die bereits von Gemma Frisius 1533 beschrieben und von Willebrord Snell van Royen genauer ausgearbeitet wurde, der damit 1615 Südholland vermaß und einen recht genauen Wert für den Erdradius ermittelte, [9, S. 232], [12, S. 50]. Das erste langfristige Projekt einer systematisch durchgeführten Triangulation als nationale Aufgabe war die Landesvermessung Frankreichs im Auftrag von Louis XIV. Sie wurde von Jean Picard in den Jahren 1669/70 zwischen Paris und Amiens im Norden begonnen, die auf dem gleichen Meridian liegen und etwa 120 km voneinander entfernt sind, und 1679/81 im Westen des Landes fortgeführt. Ab 1683 dehnte der aus Italien stammende Jean-Dominique Cassini (1625 -1712) die Vermessung auf das ganze Land aus. Das Projekt nahm mit erheblichen Unterbrechungen Jahrzehnte in Anspruch und beschäftigte insgesamt vier Cassini-Generationen. Die erste vollständige Cassini-Karte lag 1744 vor, eine detailliertere Fassung wurde als Privatunternehmen bis 1793 fertiggestellt und danach als nationale Karte bis 1818 herausgegeben, [9, S. 234], [12, S. 63, 72]. Im Zusammenhang mit der Landesvermessung standen auch zwei mehrjährige Expeditionen, die ab 1735 von der Pariser Akademie der Wissenschaften in das spanische Vizekönigreich Peru, heute Ecuador, und unter der

2.1 Grundzüge der Flächentheorie

29

Leitung von Pierre Louis de Maupertuis nach Lappland entsandt wurden. Die Expeditionen hatten die Aufgabe, durch Gradmessung von Meridianbögen am Äquator und in Polnähe zu entscheiden, ob die Erde an den Polen wie ein Apfel abgeplattet sei, wie Newton vermutete, oder eine langgezogene Eigestalt besitzt wie Cassini behauptete. Maupertuis bestätigte im Jahre 1737 Newtons Annahme der Abplattung. Aus den Ergebnissen folgte auch die Definition einer neuen Längeneinheit mit dem Namen Meter, die nicht aus traditionellen und örtlich stark variierenden, körperlichen Längenmaßen wie Elle, Fuß oder Schritt abgeleitet wurde, sondern in Anlehnung an den Erdumfang dem zehnmillionsten Teil der Entfernung zwischen Nordpol und Äquator auf dem Meridian durch Paris entsprach. Der Viertelkreis des Meridianbogens war daher genau 10 000 km lang. Damit wurde auch die Seemeile definiert, die dem Bogen einer Winkelminute des Meridians glich und daher eine Länge von 1852 m besaß. Der französische Nationalkonvent setzte 1793 das Längenmaß Meter fest und ließ 1795 als ersten Prototyp ein Urmeter in Messing gießen. Nach Abschluss einer Expedition zur Überprüfung der Meridianlänge wurde 1799 ein zweites definitives Urmeter als Endmaß aus Platin hergestellt. Die Cassini’schen Landesvermessungen hatten Auswirkungen auf Messungen in deutschen Ländern. Carl Friedrich Gauß (1777 -1855) führte als Direktor der Sternwarte in Göttingen die langfristige Aufgabe der Triangulation des Königreichs Hannover durch, bei der er auch Untersuchungen zur Raumgeometrie vornehmen wollte. Bei Beginn seiner Messungen äußerte er bereits den Wunsch nach internationaler Zusammenarbeit und der Verknüpfung benachbarter Dreiecksnetze. Bei der Triangulation wird die zu vermessende Fläche in ein Netz von Dreiecken zerlegt. Beim Anfangsdreieck geht man aus von einer durch Messlatten und Messketten genau bekannten Strecke am Boden, der Basislinie c, und misst von ihren Endpunkten die beiden Winkel α und β zu einem markanten Punkt im Gelände wie ein Kirchturm oder eine Bergkuppe oder auch speziell angelegte geodätische Festpunkte. Für freie Sichtlinien müssen zur zielfernrohrgestützten Peilung ggf. Schneisen angelegt werden, aber man vermeidet mit diesem visuellen Verfahren das aufwendige Ablaufen und ungenaue Messen am Boden in unwegsamem oder unebenem Gelände. Die

30

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Dreiecksfläche S wird dann folgendermaßen berechnet. S“

tan α tan β 1 2 sin α sin β 1 c “ c2 2 sinpα ` βq 2 tan α ` tan β

(2.22)

Die dem Winkel α gegenüberliegende Seite a lautet nach dem Sinussatz a “ sin α

c sin α “c sinpπ ´ α ´ βq sinpα ` βq

und dient als Basislinie für das anschließende Dreieck. Ein besonderes Anliegen von Gauß bei seinen geodätischen Untersuchungen, die sich mit beschwerlichen und zeitraubenden Arbeiten zum Anlegen von Schneisen im Gelände, vielfachen Winkelmessungen, umfangreichen Auswertungen und ausgleichenden Berechnungen von 1821 bis 1825 und als Landesvermessung von 1828 bis 1844 erstreckten, war die Messung der Winkelsumme in Dreiecken. Beim größten vermessenen Dreick zwischen den Bergen Hoher Hagen bei Göttingen, Brocken im Harz und Großer Inselsberg im Thüringer Wald mit Seitenlängen von 69, 106 und 84 km war die Abweichung der Winkelsumme vom Wert π zu gering und blieb innerhalb der Fehlergrenzen, so dass sich kein Hinweis auf eine Abweichung der Flächenstruktur von der euklidischen Geometrie ergab, [12, S. 137, 143], [14, S. 69].

2.2

Riemann’scher Krümmungstensor

Bei geometrischen Größen wie Orts- und Abstandsvektor und in physikalischen Bereichen wie Mechanik und Elektrodynamik wird der Raum als der gewohnte dreidimensionale euklidische Raum R3 betrachtet. Bei der Untersuchung von gekrümmten Flächen in der Differentialgeometrie und für die Relativitätstheorie ist es dagegen notwendig, eine Verallgemeinerung des Raumbegriffs vorzunehmen.

2.2.1

Euklidische Räume

Wesentliche Kennzeichen des dreidimensionalen euklidischen Raumes R3 bestehen in der Wahl eines orthogonalen kartesischen Koordinatensystems, der Existenz von Vektoren und der Definition des Skalarproduktes.

31

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Die Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und der Abstand von Punkten wird durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Die Metrik des Raumes wird durch die positiv definite quadratische Differentialform des Wegelementes definiert. In kartesischen Systemen x# gilt, dr ¨ dr “ dr 2 “ | dr |2 “ ds2 “

3 ÿ 3 ÿ

δik dxi dxk “

i“1 k“1

3 ÿ

pdxp q2 ą 0

p“1

so dass das Wegelement die kanonische Form der Wurzel aus einer Summe von Quadraten besitzt. Im Falle krummliniger Koordinatensysteme u# lautet die positiv definite Form gemäß (14.11, Bd. I) allgemeiner

dr “ ds “ 2

2

3 ÿ 3 ÿ

gik dui duk ą 0

(2.23)

i“1 k“1

Die symmetrischen Metrikkoeffizienten gik sind Funktionen der Koordinaten uk und damit ortsabhängig und stellen die kovarianten Komponenten des metrischen Fundamentaltensors G prq dar, mit denen alle geometrischen Eigenschaften wie Längen, Winkel, Flächen- und Volumenelemente im euklidischen Raum ermittelt werden können. In orthogonalen Koordinatensystemen haben die Metrikmatrizen Diagonalform (18.4, Bd. I), die im kartesischen Fall in Einheitsmatrizen übergehen und dann örtlich konstant sind. Enthält die allgemeine quadratische Differentialform auch negative Glieder, dann nennt man die Form indefinit und den Raum pseudo-euklidisch. Dieser Fall tritt bei der vierdimensionalen Raumzeit der Relativitätstheorie auf und wird im Kapitel 7 bei der Fallunterscheidung (7.31) behandelt. Vektoren sind „geradlinige“ oder affine Größen des euklidischen Raumes R3 . Auch die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen werden als affin betrachtet, die sich lediglich von Punkt zu Punkt in ihrer Richtung ändern. Beispiele dafür stellen die Grundvektoren in den vertrauten Polar- und Kugelkoordinaten dar, die als Einheitsvektoren zwar stets die gleiche Länge haben, deren Richtung dagegen ortsabhängig ist.

32

2.2.2

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Riemann’sche Räume

Im Gegensatz zum euklidischen Raum stellt jede gekrümmte Fläche einen zweidimensionalen Riemann’schen Raum V2 dar, der das einzige unmittelbar anschauliche Beispiel für einen nichteuklidischen Raum ist. Im dreidimensionalen euklidischen Raum R3 , in dem ein krummliniges Koordinatensystem u# definiert ist, kann man eine gekrümmte Fläche wie im Abschnitt 2.1.2 dadurch gewinnen, dass man die Koordinatenfläche S betrachtet, für die u3 “ const. gilt. Im Riemann’schen Raum der gekrümmten Fläche sind im Gegensatz zum euklidischen Raum keine Vektoren definierbar, da sie sich als geradlinige oder affine Größen nicht an die Krümmung der Fläche „anschmiegen“ können. Ein Vektor in einem Punkt der Fläche ragt aus dieser in den umgebenden dreidimensionalen euklidischen Raum der Einbettung hinaus. In den einzelnen Punkten eines Riemann’schen Raumes können Vektoren immer nur in den (euklidischen) Tangentialebenen dieser Punkte oder bei höherdimensionalen Räumen in sog. affinen Tangentialräumen liegen, so dass man sie auch lokale Vektoren nennen kann. Wird im weiteren Verlauf von Vektoren des Riemann’schen Raumes gesprochen, dann bedeutet das stets, dass sich die Vektoren in diesen zugeordneten Tangentialräumen befinden, in denen eine euklidische Metrik gilt. In dieser speziellen Vektorinterpretation liegt auch der Grund, dass in vielen Darstellungen die Tensorrechnung nicht aus dem Vektorbegriff mit Basisvektoren sondern aus den Komponenten der tensoriellen Größen entwickelt wird, wenn eine Verallgemeinerung zu nichteuklidischen Riemann’schen Räumen durchgeführt werden soll. In der vorliegenden Behandlung des Themas steht dagegen die ingenieurmäßige Betrachtung auf der Basis von Vektoren im euklidischem Raum im Vordergrund. Dadurch war es auch von vornherein klar, dass die kovarianten Ableitungen in den Abschnitten 17.2.3 und 17.2.8 (Bd. I) Tensorgrößen darstellen. Um in Riemann’schen Räumen Längen von Kurven messen zu können, wird ein symmetrischer Fundamentaltensor mit den kovarianten Komponenten gik eingeführt, der eine Riemann’sche Metrik nach dem Vorbild der euklidischen Metrik definiert.

33

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Das Bogen- oder Wegelement hat dann die folgende Gestalt, wobei die Koordinaten von einem Parameter t abhängen.

ds2 “

n n ÿ ÿ i“1 k“1

gik dui duk “

n n ÿ ÿ i“1 k“1

gik

dui duk 2 dt dt dt

(2.24)

Hierbei wurde gleichzeitig die Verallgemeinerung von der zweidimensionalen gekrümmten Fläche zum Riemann’schen Raum Vn mit beliebiger Dimension n durchgeführt. Die kürzeste Entfernung zweier Punkte, die im euklidischen Raum eine Gerade ist, wird im Riemann’schen Raum durch eine Kurve gebildet, die man als geodätische Linie oder Geodätische bezeichnet, [8, S. 377], und deren Länge durch Integration des Bogenelementes ds ermittelt wird. Im Abschnitt 2.3.4 werden geodätische Linien näher untersucht.

2.2.3

Flächeneinbettung und Tangentialebene

Die gekrümmte Fläche S ist als nichteuklidischer, Riemann’scher Raum V2 eingebettet in den euklidischen Raum R3 , aus dessen Eigenschaften Beziehungen für die Fläche entwickelt werden. Um zu Aussagen zu kommen, obwohl in der gekrümmten Fläche keine Vektoren definiert werden können, wird jedem Punkt P des Riemann’schen Raumes die Tangentialebene T pP q und damit ein euklidischer Raum R2 zugeordnet. In diesem zugeordneten Tangentialraum sind dann wieder Basisvektoren gk und mit ihnen beliebige Vektoren definierbar, die allerdings nur in diesem Punkt lokale Bedeutung haben und nicht im ganzen Raum V2 Gültigkeit besitzen.

34

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die Untersuchung findet also unter Beteiligung von drei verschiedenen Räumen statt. ‚ euklidischer Raum R3 mit kartesischen oder krummlinigen Koordinatensystemen, in denen Basis- und andere Vektoren definiert sind ‚ Riemann’scher Raum V2 eingebettet in den euklidischen Raum R3 , in der gekrümmten Fläche S sind keine Vektoren definierbar ‚ euklidischer Tangentialraum R2 abhängig vom Punkt P enthält jede Tangentialebene T pP q des V2 ihre eigenen reziproken Basisvektoren

2.2.4

Basisvektoren und Metrik der Fläche

Die kovarianten Basisvektoren g1 und g2 des Raumes R3 sind im Punkte P als Tangentenvektoren der Gauß’schen Koordinaten u1 und u2 gleichzeitig die kovarianten Basisvektoren in der Tangentialebene T pP q, die zur Unterscheidung mit s1 und s2 bezeichnet werden. Im Punkte P existieren also zwei identische, kovariante Trihedra aus den Vektoren g1 , g2 , f bzw. s1 , s2 , f . In der Ebene T pP q gelten damit die Identitäten gμ pu1 , u2 q “

Br ” sμ pu1 , u2 q Buμ g “ 7

für μ “ 1, 2

ˆ ˙ ˆ ˙ g1 s ” s7 “ 1 g2 s2

(2.25)

Bei Matrixschreibweise wird neben dem formalen Laufsymbol (#) für die Indizes 1, 2, 3 des Raumes R3 ein zweites Laufsymbol (7) für die Indizes 1, 2 der Tangentialebene T pP q verwendet. Der bei Indexschreibweise in der Literatur übliche Gebrauch von lateinischen Indizes im ersten Fall und von griechischen Indizes im zweiten wird auch hier gemacht. In der vierdimensionalen Raumzeit der im Kapitel 7 behandelten Relativitätstheorie werden griechische Indizes der Laufweite 0, 1, 2, 3 für die Koordinaten t, x, y, z verwendet.

35

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Die Elemente der kovarianten Matrix S 7 sind wegen (2.25) durch den Metriktensor des R3 bzw. die erste Grundform nach (14.14, Bd. I) bekannt, ` ˘T S7 “ s7 ¨ s7 “

˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ g11 g12 E F s11 s12 ” “ F G s12 s22 g12 g22

wodurch die Metrik des Raumes R2 im Punkte P bestimmt ist.

dr 2 “ ds2 “

2 2 ÿ ÿ

sμν duμ duν ą 0

(2.26)

μ“1 ν“1

Da das reziproke Trihedron der Tangentialebene den gleichen Normaleneinheitsvektor f hat, liegen die kontravarianten Basisvektoren s1 , s2 auch in T pP q. Sind der dritte kovariante Basisvektor g3 des Raumes R3 und f nicht kollinear, dann liegen die beiden kontravarianten Basisvektoren g1 , g2 nicht in der Ebene T pP q, so dass sie nicht mit s1 , s2 von T pP q identifiziert werden können. Die ko- und kontravarianten Basisvektoren s 7 und s 7 müssen die Reziprozitätsbedingung des euklidischen Raumes R2 in P erfüllen. ` ˘T ` ˘T s7 ¨ s7 “ s7 ¨ s7 “ E

(2.27)

Die Elemente der kontravarianten Matrix S 7 erhält man durch Matrixinversion von S 7 nach (3.22, Bd. I), wobei als Determinante die Diskriminante DI der ersten Grundform auftritt. S7 “

˙´1 ˆ ˙ ˆ 11 12 ˙ ˆ ` ˘´1 1 g22 ´ g12 s s11 s12 s “ S “ “ 7 s12 s22 s12 s22 g11 det S 7 ´ g12

det S 7 “ s11 s22 ´ ps12 q2 “ g11 g22 ´ pg12 q2 “ EG ´ F 2 “ DI ą 0

36

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die symmetrischen Metrikmatrizen der Tangentialebene T pP q lauten S7 “

ˆ

s11 s12 s12 s22

˙

ˆ ˙ E F “ F G (2.28)

S7 “

s11 s s12 s22

ˆ

˙ 12

“

1 EG ´ F 2

ˆ

G ´F

´F E

˙

Sie haben Eigenschaften, die denen der Metrikmatrizen G # und G # des euklidischen Raumes R3 entsprechen. s7 “ S7 s7

2.2.5

s7 “ S7 s7

S7 ¨ S7 “ S7 ¨ S7 “ E

(2.29)

Ableitungsformeln von Gauß

Die Ableitungen der kovarianten Basisvektoren werden in Richtung der Vektoren der Tangentialebene und ihrer Normalen zerlegt und man macht folgenden Ansatz mit μ, ν “ 1, 2. sμ , ν “

Bsμ B2 r 1 2 “ “ Λμν s1 ` Λμν s2 ` aμν f “ sν , μ Buν Buμ Buν

Skalarmultiplikation mit dem Normalenvektor f führt mit (2.5) zu 3 sμ , ν ¨ f “ aμν ” gμ , ν ¨ f “ bμν “ ψ Γμν

und Skalarmultiplikation mit den sμ -Vektoren führt auf folgendes Gleichungssystem. ¸ ˜ ˙ ˆ s1 , ν ¨ s1 s 1 , ν ¨ s2 ` ˘ s1 , ν ¨ s1 , s2 “ s2 , ν s2 , ν ¨ s1 s2 , ν ¨ s2 ¸ˆ ˜ ˙ Λ 11ν Λ 12ν s11 s12 “ Λ 7¨ 7ν S 7 “ s12 s22 Λ 21ν Λ 22ν Mit (2.29) und (2.25) erhält man die Λ-Koeffizienten, ˙ ˆ ` ˘T ` ˘T 7 ` ˘T s1 , ν ¨7 ¨ s7 S7 ” g ¨ g G “g ¨ g7 “ Γ 7¨ ν7 Λ7ν “ s2 , ν 7,ν 7 7,ν

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

37

die den Christoffel-Symbolen für die Indizes 1, 2 des einbettenden Raumes bzw. nach (16.25, Bd. I) dem ebenen System des Tangentialraumes R2 entsprechen. Sie lauten mit den Größen der ersten Grundform und den L-Symbolen nach (16.19, Bd. I) ˜ ¸˜ ¸ g1 , ν ¨ g1 g1 , ν ¨ g2 g22 ´ g12 1 ¨7 Γ7ν “ 2 g11 g22 ´ g12 g2 , ν ¨ g1 g2 , ν ¨ g2 ´ g12 g11 ˜ ¸˜ ¸ L1ν1 L1ν2 G ´F 1 “ 2 EG ´ F ´F E L2ν1 L2ν2 Mit den Ableitungen der Metrikkoeffizienten ` ˘ ` ˘ g1 ¨ g1 , 1 “ E , 1 “ 2L111 g1 ¨ g2 , 1 “ F , 1 “ L112 ` L121 ` ˘ ` ˘ g1 ¨ g1 , 2 “ E , 2 “ 2L121 g1 ¨ g2 , 2 “ F , 2 “ L122 ` L221 ` ˘ g2 ¨ g2 , 1 “ G , 1 “ 2L122 ` ˘ g2 ¨ g2 , 2 “ G , 2 “ 2L222 erhält man in der kürzeren Gauß’schen Darstellungsweise mit Buchstaben die Christoffel-Blockmatrix der Tangentialebene. 1 7 ˘ Γ 7¨ p7q “ ` 2 EG ´ F 2 ›˜ ` ` ˘ ˘¸ › GE , 1 ´ F 2F , 1 ´ E , 2 ´F E , 1 ` E 2F , 1 ´ E , 2 › , › › GE , 2 ´ F G , 1 EG , 1 ´ F E , 2 ˜ ¸› › GE , 2 ´ F G , 1 EG , 1 ´ F E , 2 › ` ` ˘ ˘ › › ´F G , 2 ` G 2F , 2 ´ G , 1 EG , 2 ´ F 2F , 2 ´ G , 1 (2.30) Werden die orthogonalen Hauptkrümmungsrichtungen als Gauß’sche Koordinaten gewählt, dann vereinfachen sich mit F “ 0 nach (2.17) die Christoffel-Symbole und ihre Blockmatrix hat folgende Gestalt. ˜ ¸ ˜ ¸   E , 1 {E ´E , 2 {G E {E G {G , 2 , 1 1   7 , Γ 7¨ p7q “   2  E , 2 {E G , 1 {G ´G , 1 {E G , 2 {G 

38

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die Ableitungsformeln von Gauß lauten für die Basisvektoren der Tangentialebene T pP q damit s7,ν “

s1 , ν s2 , ν

ˆ

˙

“

Γ 7¨ ν7

ˆ ˙ ˆ ˙ s1 b ` 1ν f “ Γ 7¨ 7ν s 7 ` b 7ν f s2 b2ν

(2.31)

Wegen der Indexsymmetrie sind das die folgenden drei Gleichungen. s 1 , 1 “ Γ 111 s1 ` Γ 121 s2 ` L f s 1 , 2 “ s 2 , 1 “ Γ 112 s1 ` Γ 122 s2 ` M f s 2 , 2 “ Γ 212 s1 ` Γ 222 s2 ` N f In der Tangentialebene T pP q als euklidischem Raum R2 gelten also mit den s -Vektoren äquivalente Beziehungen wie im euklidischen Raum R3 , so dass der gesamte Tensorformalismus entsprechend angewendet werden kann. Man hat lediglich den einen formalen Laufindex (#) durch den anderen p7q bzw. lateinische durch griechische Indizes zu ersetzen! Stellt man die Formeln von Gauß um, dann erhält man folgende Beziehung. s 7 , ν ´ Γ 7¨ ν7 s 7 “ b 7ν f Im Vergleich mit (17.16, Bd. I) entspricht der Aufbau der linken Seite formal der kovarianten Ableitung, die allerdings nur für die Komponenten von Vektoren jedoch nicht für Vektoren selbst definiert ist!

2.2.6

Ableitungsformeln von Weingarten

Die Ableitungen des Einheitsvektors f der Tangentialebene T pP q stehen senkrecht auf diesem Vektor, so dass gilt f ¨f “1

Ñ

f¨

df “ f ¨ f, “ 0 Bu

p “ 1, 2, 3q

Die Vektoren der Ableitungen liegen daher in der Tangentialebene und die beiden ersten werden in Richtung der Flächentangenten s1 und s2 mit einer zu bestimmenden Matrix C zerlegt. ¸ ˜ ¸˜ ¸ ˜ c11 c12 s1 f,1 “ “ C s7 (2.32) f ,7 “ f,2 c21 c22 s2

39

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor In der Tangentialebene mit sμ ¨ f “ 0 folgt gemäß der Beziehung (2.4a), sμ ¨ f , λ “ ´ sμ , λ ¨ f “ ´ bμλ “ ´ bλμ

woraus das folgende Gleichungssystem entsteht, in dem auch die kürzere und übersichtlichere Gauss’sche Darstellungsweise mit Buchstaben an Stelle der Koeffizienten sμν und bμν verwendet wird. ˜

s1 ¨ f , 1 s2 ¨ f , 1 s1 ¨ f , 2 s2 ¨ f , 2

¸ “ ´ B 77 “ f ˜ “´ ˜ “´

` ˘T ` ˘T ¨ s7 “ C s7 ¨ s7 “ C S7

,7

b11 b12 b12 b22 L M

M N

¸

˜ “

¸

˜ “

c11 c12 c21 c22

c11 c12 c21 c22

¸˜

¸˜

s11 s12 s12 s22

E F F G

¸

¸

Die Auflösung nach C führt mit (2.28) und (2.32) auf die Ableitungsformeln von Weingarten für den Normalenvektor f der Tangentialebene. f

,7

˜

“ C s 7 “ ´ B 77 S 7 s 7

f,1 f,2

¸

1 “ EG ´ F 2

˜

F M ´ GL

F L ´ EM

F N ´ GM

F M ´ EN

¸˜

s1

¸

(2.33)

s2

Wählt man als Gauß’sche Koordinaten die orthogonalen Hauptkrümmungsrichtungen, dann vereinfachen sich wegen F “ M “ 0 nach (2.17) die Ableitungsformeln, die dann nicht mehr gekoppelt sind. ˜ ¸˜ ¸ ¸ ˜ ¸˜ ¸ ˜ GL 0 s1 L{E 0 s1 f,1 1 “´ “´ EG 0 EN 0 N {G f,2 s2 s2 Die Ableitungsformeln von Gauß und Weingarten der Flächentheorie bilden zusammen das flächentheoretische Analogon der Frenet’schen Formeln der Kurventheorie.

40

2.2.7

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Integrabilitätsbedingungen, Formeln von Mainardi-Codazzi

Im Gegensatz zur Kurventheorie im Abschnitt 5.6.6 (Bd. I), bei der durch Vorgabe der Funktionen von Krümmung und Torsion stets eine Raumkurve eindeutig definiert wird, führt die beliebige Vorgabe der Funktionen gμν und bμν bzw. von E, F, G und L, M, N normalerweise nicht zu einer Fläche, die diese Funktionen als Koeffizienten der ersten und zweiten Grundform besitzen. In der Flächentheorie müssen vielmehr zusätzlich gewisse Bedingungen zur Bestimmung der Vektorfunktionen s1 , s2 , f durch Integration der partiellen Differentialgleichungen (2.31) und (2.33) erfüllt sein, damit tatsächlich eine Fläche definiert wird. Diese Integrabilitätsbedingungen der Ableitungsformeln ergänzen dann das System der Grundformen zum vollständigen Invariantensystem der Flächentheorie. Die Bedingungen bestehen darin, dass die gemischten zweiten Ableitungen der Basisvektoren s1 , s2 übereinstimmen müssen, die die dritten Ableitungen des Ortsvektors darstellen. Aus den acht Gleichungen für die Fläche resultieren tatsächlich nur zwei nichttriviale Beziehungen, in denen jeweils ν “ 1 und λ “ 2 gilt. ` ˘ ˘ # ` s1,1 ,2 “ s1,2 ,1 ` ˘ ˘ ` (2.34) s7,ν ,λ “ s7,λ ,ν Ñ ` ˘ ˘ ` s2,1 ,2 “ s2,2 ,1 Die Gauß’sche Gleichung (2.31) wird abgeleitet `

s7,ν

˘ ,λ

˘ ` “ Γ 7¨ ν7 , λ s 7 ` Γ 7¨ ν7 s 7 , λ ` b 7 ν , λ f ` b 7 ν f , λ

und dann im zweiten Glied wieder eingesetzt. Der letzte Summand wird mit (2.32) umgeformt, b7ν f,λ “

˙ ˆ ˙ ˘ s1 ` ˘T b1ν ` cλ1 cλ2 “ b7ν cλ7 s7 b2ν s2

ˆ

wodurch man für die zweite Ableitung folgenden Ausdruck erhält. `

s7,ν

˘ ,λ

“

` ˘T ‰ ` Γ 7¨ ν7 Γ 7¨ 7λ ` b 7 ν c λ 7 s7 “ ‰ ` Γ 7¨ ν7 b 7 λ ` b 7 ν , λ f “`

Γ 7¨ ν7

˘

,λ

41

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Die Differenz der zweiten Ableitungen, die Null sein soll, lautet dann ` ` ˘ ˘ s7,ν ,λ ´ s7,λ ,ν ”` ˘ ˘ ` Γ 7¨ ν7 , λ ´ Γ 7¨ λ7 , ν ` Γ 7¨ ν7 Γ 7¨ λ7 ´ Γ 7¨ 7λ Γ 7¨ ν7 “ ` ˘T ` ˘T ı ` b7ν cλ7 ´ b7λ cν 7 (2.35) s7 ı ” ` b 7 ν , λ ´ b 7 λ , ν ` Γ 7¨ ν7 b 7 λ ´ Γ 7¨ 7λ b 7 ν f “ 0 Damit dieser Ausdruck verschwindet, muss jede Vektorkomponente, also die Größen in den eckigen Klammern, einzeln Null sein. Bei den Berechnungen sind die Christoffel-Symbole zur besseren Übersicht so angegeben wie sie entstehen ohne Zusammenfassung und Indextausch auf Grund ihrer Symmetrieeigenschaften. Aus der Forderung nach dem Verschwinden des Koeffizienten von f erhält man als Ergebnis die Formeln von Mainardi-Codazzi, die nach (17.16, Bd. I) die Symmetriebeziehung der kovarianten Ableitungen für die Spalten der B-Matrix nach (2.10) bedeuten. ˇ ˇ ˘ ` ˘ ` b 7 ν ˇ λ ´ b 7 λ ˇ ν “ b 7 ν , λ ´ Γ 7¨ λ7 b 7 ν ´ b 7 λ , ν ´ Γ 7¨ 7ν b 7 λ “ 0 (2.36) Im einzelnen lauten die Formeln gemäß (2.34) ` ˘ b11 , 2 ´ b12 , 1 “ Γ112 b11 ` Γ122 ´ Γ111 b12 ´ Γ121 b22 ` ˘ b21 , 2 ´ b22 , 1 “ Γ212 b11 ` Γ222 ´ Γ211 b12 ´ Γ221 b22

2.2.8

Krümmungstensor im V2

Bevor die Koeffizienten der Basisvektoren s1 und s2 in (2.35) näher untersucht werden, wird für den Ausdruck aus Christoffel-Symbolen eine Definition als Abkürzung eingeführt, bei der für ein Element gilt ı ÿ2 ” ` ` ˘ ˘ Γμpν Γpσλ ´ Γμpλ Γpσν R σμ λ ν “ Γμσν , λ ´ Γμσλ , ν ` p“1

Die Indizes σ und μ bedeuten auf der linken Seite Zeile und Spalte, auf der rechten dagegen Spalte und Zeile, so dass für die zugehörige Matrix

42

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

eine Transponierung resultiert! Die Definition lautet daher in Matrixform in Übereinstimmung mit den gemischten Tensorkomponenten in (9.12, Bd. I), [11, S. 83, 84] ´

R 7¨ 7

¯T λν

“

`

Γ 7¨ ν7

˘ ,λ

˘ ` ´ Γ 7¨ λ7 , ν ` Γ 7¨ ν7 Γ 7¨ 7λ ´ Γ 7¨ 7λ Γ 7¨ 7ν

(2.37)

Die R-Matrix besitzt vierfach indizierte Elemente und bildet die gemischten Komponenten eines Tensors 4. Stufe, den man als Riemann-Christoffel’schen Krümmungstensor oder einfach als Krümmungstensor R bezeichnet. In der Blockmatrix des Tensors für p “ 4 und n “ 2 mit insgesamt 16 Elementen gemäß (3.59, Bd. I) kennzeichnen die Indizes λ und ν die einzelnen Untermatrizen. Im einzelnen erhält man für die Elemente der Tensormatrix gemäß den Forderungen (2.34) für ν “ 1 und λ “ 2 folgende Ergebnisse. ` ` ˘ ˘ R 11 21 “ Γ111 , 2 ´ Γ112 , 1 ` Γ111 ˘ ˘ ` ` R 12 21 “ Γ211 , 2 ´ Γ212 , 1 ` Γ211 ` ` ˘ ˘ R 21 21 “ Γ121 , 2 ´ Γ122 , 1 ` Γ111 ˘ ˘ ` ` R 22 21 “ Γ221 , 2 ´ Γ222 , 1 ` Γ211

Γ112 ` Γ121 Γ212 ´ Γ112 Γ111 ´ Γ122 Γ211 Γ112 ` Γ221 Γ212 ´ Γ212 Γ111 ´ Γ222 Γ211 Γ122 ` Γ121 Γ222 ´ Γ112 Γ121 ´ Γ122 Γ221 Γ122 ` Γ221 Γ222 ´ Γ212 Γ121 ´ Γ222 Γ221

Die rein kovarianten Tensorkomponenten berechnet man daraus durch Multiplikation mit der symmetrischen kovarianten Metrikmatrix S 7 . Das entspricht nach (11.9, Bd. I) der Überschiebung des Krümmungstensors R mit dem zweistufigen Metriktensor der Fläche. Den Krümmungstensor selbst erhält man mit der Blockmatrix R 7 7 p7 7q und der Anwendung des vec-Operators gemäß der Darstellung in Gleichung (3.64, Bd. I). R77

λν

“

S 7 R 7¨ 7 λ ν C

# R“

vec

`

“

”´

R 7¨ 7 λ ν

¯T

 R ˘ T  7 7 11 R 7 7 12 s7 ˝   R 7 7 21 R 7 7 22

S7

ıT

(2.38)

 G+T  ” ` ˘ ‰ T  vec s7 s7  ˝ s7 

43

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Auf Grund der Definition (2.37) gilt Schiefsymmetrie bezüglich der Ableitungsindizes, R 7¨ 7

λν

“ ´ R 7¨ 7

R 7¨ 7

νλ

λλ

“0

(2.39)

die sich auf die Matrizen R 7 7 λ ν und die Blockmatrix R 7 7 p7 7q des Krümmungstensors R überträgt. In der Differenz der zweiten Ableitungen (2.35) kann die Forderung nach dem Verschwinden der Koeffizienten von s 7 mit der Matrix des Krümmungstensors (2.37) ausgedrückt werden. ¯T ´ ` ˘T ` ˘T “ b7λ cν 7 ´ b7ν cλ7 R 7¨ 7 λ ν Nach der Formel von Weingarten (2.33) und wegen der Symmetrie von S - und B -Matrix folgt, C S 7 “ ´ B 77 ` ˘ S 7 CT “ S 7 c17 , c27 ` ` ˘ ` ˘T ˘ “ ´ B 77 “ ´ b 71 , b 72 “ ´ B 77 “ ´ b 17 , b 27 S7 cν 7 “ ´bν 7 “ ´b7ν wodurch man die kovariante Matrix des Krümmungstensors in zwei Versionen angeben kann. ` ˘T ` ˘T R 7 7 λ ν “ S 7 R 7¨ 7 λ ν “ ` S 7 c ν 7 b 7 λ ´ S 7 c λ 7 b 7 ν R77

λν

` ˘T ` ˘T “ bλ7 b7ν ´ bν 7 b7λ ` ˘T ` ˘T “ b7λ bν 7 ´ b7ν bλ7

(2.40)

Wegen der Symmetrie der B -Matrix kann man die Indexpaare p7 7q und pλ νq vertauschen und auf Grund von (2.39) ergeben sich folgende (Schief-) Symmetrieeigenschaften für die kovarianten Komponenten. R77

λν

“ Rλν

77

“ ´R77

νλ

“ ´Rν λ

77

R77

λλ

“ Rλλ

77

“0 (2.41)

44

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die zweite Beziehung bedeutet dabei, dass sowohl die Hauptdiagonalblöcke als auch die Hauptdiagonalelemente der Untermatrizen Null sind. Für ν “ 1 und λ “ 2 lautet die Matrix nach (2.40), ` ˘T ` ˘T R77 21 “ b27 b71 ´ b17 b72 ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˘ ˘ M ` L ` 0 ´1 2 L M ´ M N “ pLN ´ M q “ N M 1 0 so dass nur ein einziges wesentliches Tensorelement R für die gekrümmte Fläche existiert. Da dieses Element nach (2.18) dem Gauß’schen Krümmungsmaß K proportional ist, hat der Krümmungstensor seinen Namen erhalten. R “ R12 12 “ R21 21 “ ´ R12 21 “ ´ R21 12 “ KpEG ´ F 2 q “ LN ´ M 2 (2.42) Die kovariante Blockmatrix des Krümmungstensors der Riemann’schen Fläche weist folgende Gestalt auf, bei der die Indizes der Ableitungen, die die einzelnen Untermatrizen bezeichnen, in Klammern stehen.

R 7 7 p7 7q

 ˆ  0   0  “ R  ˆ  0   1

0 0

˙

´1 0

˙

ˆ

0 ´1 ˆ 0 0

˙ 1   0   ˙  0   0 

(2.43)

Nach dem Theorema egregium (2.20) hängen die Krümmung K und daher auch der Krümmungstensor R nur von der ersten Grundform und ihren Ableitungen ab, die damit geodätische Größen der inneren Eigenschaften der Fläche sind.

2.2.9

Fundamentalsatz der Flächentheorie

Das Formenproblem der Flächentheorie besteht in der Frage, ob man eine Fläche aus den Koeffizienten der beiden Grundformen eindeutig bestimmen kann. Der Fundamentalsatz, der diese Frage beantwortet, wurde 1867 von Bonnet bewiesen. Den Beweis dieses Satzes findet man in [3, S. 175] und [6, S. 104] mit der folgenden Aussage.

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

45

Durch die Vorgabe von Metrik- und Haupttensor, deren Elemente gik und bik neben Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbedingungen die Gleichungen von Gauß und Mainardi-Codazzi erfüllen müssen, wird eine Fläche eindeutig definiert, die die gegebenen Grundformen besitzt.

Die Bestimmung einer Fläche aus der Vorgabe dieser beiden symmetrischen Tensoren, deren Elemente die zusätzlichen Bedingungen erfüllen, ist in geschlossener Form noch schwieriger als die Ermittlung von Raumkurven aus der Vorgabe von Krümmung und Torsion, was im Abschnitt 5.6.6 (Bd. I) als Fundamentalsatz der Kurventheorie bezeichnet wurde.

2.2.10

Dreidimensionaler Krümmungstensor aus zweifacher kovarianter Ableitung

Die zweifachen kovarianten Ableitungen eines Vektors v wurden in (17.25, Bd. I) für den dreidimensionalen euklidischen Raum R3 angegeben. Beim Vertauschen der Ableitungsindizes zeigt sich, dass im allgemeinen Fall die zweiten kovarianten Ableitungen nichtkommutativ sind. Vertauscht man nämlich die Indizes und bildet die Differenz, dann bleiben vier Summanden übrig und man erhält folgende Ausdrücke. ˇ ˇ ˇ ˇ v# ˇ  ˇ m ´ v# ˇ m ˇ  ”` ıT ` ¨# ˘ ¨# ˘ ¨# ¨# ¨# ¨# “ ´ Γ# ´ Γ ` Γ Γ ´ Γ Γ v# m , # ,m #m # # #m ˇ ˇ ˇ ˇ v# ˇ  ˇ m ´ v# ˇ m ˇ  ”` ı ` ¨# ˘ ¨# ˘ ¨# ¨# ¨# ¨# “ ` Γ# ´ Γ ` Γ Γ ´ Γ Γ m , # ,m #m # # # m v# In Verallgemeinerung der Beziehung (2.37) wird der vierstufige Riemann’sche Krümmungstensor R für den dreidimensionalen Raum entsprechend

46

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

definiert, der für p “ 4 und n “ 3 nach (3.60, Bd. I) 81 Elemente besitzt. ´

R #¨ #

R ##

¯T m

m

` ¨# ˘ ` ¨# ˘ ¨# ¨# ¨# ¨# “ Γ# m , ´ Γ# ,m ` Γ#m Γ# ´ Γ# Γ#m

“ ´ R ##

m

“ G # R #¨ #

m

“

”´

R #¨ #

¯T m

G#

ıT (2.44)

Das allgemeine Element des Krümmungstensors, das man auch in Determinantenform schreiben kann, lautet folgendermaßen. R ik  m

“

`

Γkim ,  ˘

´

`

Γki , m ˘

`

3 ” ÿ

Γkpm Γpi ´ Γkp Γpim

ı

p“1

  B  “  Bu  Γi k

B Bum Γkim

  p  3  Γ p ÿ   k m Γk   `  i  i   p“1 Γp m Γp 

    

(2.45)

Setzt man die Christoffel-Symbole nach (16.22, Bd. I) ein, dann werden die Elemente des Krümmungstensors R gebildet aus den Koeffizienten gik des Metriktensors G sowie ihren Ableitungen bis zur 2. Ordnung. Die Differenzen der zweiten kovarianten Ableitungen eines Vektors (17.25, Bd. I) werden in neuer Interpretation durch den Krümmungstensor ausgedrückt. ˇ ˇ ˇ ˇ v# ˇ  ˇ m ´ v# ˇ m ˇ  “ ´ R #¨ #

m

v# (2.46)

ˇ ˇ v# ˇ ˇ

 m

´ ˇ ˇ ´ v# ˇ m ˇ  “ ` R #¨ #

¯T m

v#

Auf gleichartige Weise erhält man auch beim Tensor 2. Stufe durch Bildung der Differenz der zweiten kovarianten Ableitungen nach (17.29, Bd. I) Darstellungen mit dem Krümmungstensor, von denen aber nur ein Ergebnis exemplarisch angegeben wird. ´ ˇ ˇ ˇ ˇ T## ˇ  ˇ m ´ T## ˇ m ˇ  “ ´ R #¨ #

¯T m

T## ´ T## R #¨ #

m

(2.47)

47

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Die Beziehungen der Differenzen der kovarianten Ableitungen von Vektor und Tensor werden Identitäten von Ricci genannt, [5, S. 275].

2.2.11

Symmetrieeigenschaften des Krümmungstensors

Die Elemente des Krümmungstensors nach (2.45) erfüllen die folgenden symmetrischen und zyklischen Eigenschaften für die drei rechts stehenden kovarianten Indizes, was man durch Einsetzen bestätigt.

R ik

m

“ ´ R ik

m

Rik

m

“ ´Rik

m

R ik Rik

` R i

mk

` R im

k

“0

` Ri

mk

` Rim

k

“0

m

m

(2.48)

Die kovarianten Ableitungen der Elemente des Krümmungstensors erfüllen Beziehungen, die Identitäten von Bianchi heißen, bei denen die drei rechts stehenden Indizes zyklisch vertauscht werden. Der Beweis, der hier nicht durchgeführt wird, ist in [5, S. 276] und [11, S. 87] zu finden.

R ik Rik

ˇ ˇ ` Ri k

m s

ˇ ˇ ` Rik

m s

ˇ ˇ ` Ri k ˇ ˇ ms  ` Rik ms 

s m

ˇ ˇ

“0

ˇ ˇ

“0

s m

(2.49)

Zur Untersuchung weiterer Symmetrieeigenschaften wird das allgemeine, rein kovariante Tensorelement betrachtet, das man nach dem Transformationsgesetz der Tensorkomponenten in Tabelle 9.1 (Bd. I) bzw. durch Überschiebung aus (2.45) erhält.

Rik

m

“

3 ÿ

g ip R pk

m

3 ÿ

“

p“1

3 ÿ ` ˘ ` ˘ g ip Γkpm ,  ´ g ip Γkp , m

p“1

`

3 ÿ q“1

p“1

”

Γkqm

3 ÿ p“1

g ip Γqp

´

Γkq

3 ÿ p“1

g ip Γqpm

ı

48

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die erste Einfachsumme kann man mit den Eigenschaften (16.19, Bd. I) und (16.21, Bd. I) der L-Symbole ausdrücken, ˘ ` B ÿ B Lkmi “ Lkmi , “  gip Γkpm  p Bu Bu ÿ ÿ ` ˘ “ gip ,  Γkpm ` gip Γkpm ,  p

“

p

ÿ “ p

L i  p ` L p  i Γkpm ` ‰

ÿ p

` ˘ gip Γkpm , 

und in die Doppelsummen von R i k  m werden L-Symbole eingesetzt. ı ÿ “ ÿ ” q ÿ ÿ ‰ Γkqm L q  i ´ Γkq L q m i g ip Γqp ´ Γkq g ip Γqpm “ Γk m q

p

p

q

Mit Indexwechsel von q nach p in der letzten Summendarstellung erhält man das Tensorelement, das sich wegen gleicher Glieder vereinfacht ÿ “ ` ˘ ‰ Rik m “ ` Lkmi , ´ L i  p ` L p  i Γkpm p

´ Lki `

˘

` ,m `

ÿ “ p

ÿ “ p

‰ L i m p ` L p m i Γkp

L p  i Γkpm ´ L p m i Γkp

‰

mit dem Ergebnis Rik

m

ÿ “ ` ` ˘ ˘ ‰ “ Lkmi , ´ Lki ,m ` L i m p Γkp ´ L i  p Γkpm p

(2.50)

Die Differenz der L-Symbole lautet nach (16.22, Bd. I), ` ˘ ˘ ` 2 L k m i ,  ´ 2 L k  i , m “ ` p gki , m ` gmi , k ´ gkm , i q ,  ´ p gki ,  ` gi , k ´ gk , i q , m bei der sich wegen der Symmetrie der Metrikkoeffizienten und ihrer partiellen Ableitungen + gik “ gki gik ,  , m “ gki ,  , m “ gik , m ,  “ gki , m ,  gik ,  “ gki , 

49

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

die beiden ersten Klammerglieder auf der rechten Seite gegeneinander aufheben. Die Einfachsumme in (2.50) wird nach (16.21, Bd. I) in eine Doppelsumme über L-Symbole verwandelt, so dass das Tensorelement schließlich lautet Rik

m

“

1 1 p gmi , k ´ gkm , i q ,  ´ p gi , k ´ gk , i q , m 2 2 3 3 ÿ ÿ “ ‰ ` g pr L i m p L k  r ´ L i  p L k m r p“1 r“1

Hieran läßt sich die Vertauschbarkeit der beiden Indexpaare pikq und p mq wegen der Symmetriebeziehungen von Metrikkoeffizienten und L-Symbolen erkennen und weil in der Doppelsumme jede Kombination der Laufindizes p und r auftritt. Damit weist der Krümmungstensor im dreidimensionalen Raum die gleichen Symmetrieeigenschaften auf wie im Raum V2 nach (2.41), die hier aber auf andere Weise hergeleitet wurden. R ##

m

“ ´ R ##

R ##

m



“0 (2.51)

Rik

m

“ Rm

ik

“ ´Rki

m

“ ´Rik

m

Von allen Tensorelementen sind daher nur jene von Null verschieden, für die sowohl i ‰ k als auch ‰ m gilt. Jeder Tausch der Indizes im ersten oder zweiten Indexpaar führt zum Vorzeichenwechsel des Tensorelementes. Auf Grund dieser Symmetrieeigenschaften beträgt die Anzahl der unabhängigen Elemente R i k  m des Krümmungstensors im n-dimensionalen Raum folgenden Wert N , [8, S. 492], [13, S. 364]. N“

1 2 2 n pn ´ 1q 12

(2.52)

Der Krümmungstensor hat daher im zweidimensionalen Raum nur eine, im dreidimensionalen nur sechs und im vierdimensionalen Raum nur 20 wesentliche Komponenten.

50

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Im dreidimensionalen Fall bilden die sechs Komponenten R12 12 “ A

R12 13 “ B

R12 23 “ C

R13 13 “ U

R13 23 “ V

R23 23 “ W

folgende kovariante Blockmatrix des Krümmungstensors.

R ## p##q

› › › › › › › › › › › “ › › › › › › › › › ›

¨

˛ 0 0 0 ˝0 0 0‚ 0 0 0 ˛ 0 ´A ´B ˝A 0 ´ C‚ B C 0 ¨ ˛ 0 ´B ´U ˝B 0 ´V ‚ U V 0 ¨

¨

˛ ¨ ˛ 0 A B 0 B U ˝´ A 0 C ‚ ˝´ B 0 V‚ ´B ´C 0 ´U ´V 0 ¨ ˛ ¨ ˛ 0 0 0 0 C V ˝0 0 0‚ ˝´ C 0 W‚ 0 0 0 ´V ´W 0 ˛ ¨ ˛ ¨ 0 0 0 0 ´C ´V ˝0 0 0‚ ˝C 0 ´W‚ V W 0 0 0 0 (2.53)

2.2.12

Bedeutung des Krümmungstensors und n-dimensionale Verallgemeinerung, Krümmung des Raumes

Der euklidische Raum ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihm ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt werden kann. In einem solchen System sind nach Abschnitt 16.5.1 (Bd. I) alle Christoffel-Symbole Null, so dass damit auch der Krümmungstensor R nach (2.44) verschwindet. Liegt ein krummliniges Koordinatensystem vor, dann kann man durch eine nichtlineare Koordinatentransformation zu einem kartesischen System übergehen. Als Folge gilt, dass der Krümmungstensor identisch verschwindet, also in euklidischen Räumen den Nulltensor bildet. Am Beispiel der orthogonalen Zylinderkoordinaten wird die Berechnung der Matrix R ## p##q durchgeführt, um sich von dieser Aussage zu überzeugen. Von den 18 L-Symbolen, die nach (16.21, Bd. I) mit (18.55, Bd. I) und (18.58, Bd. I) berechnet werden, sind alle Null bis auf L122 “ ρ und L221 “ ´ ρ. Die sechs kovarianten Komponenten des Krümmungstensors, die nach

› › › › › › › › › › › › › › › › › › › › ›

51

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

der Darstellung (2.50) bestimmt werden, sind alle Null, so dass die Blockmatrix (2.53) nur Nullelemente enthält und der Krümmungstensor R des dreidimensionalen euklidischen Raumes tatsächlich verschwindet. Die bisherige Beschränkung auf zwei bzw. drei räumliche Koordinaten kann problemlos auf Räume mit n Dimensionen erweitert werden. Auch für den n-dimensionalen Krümmungstensor R “ R pnq des Riemann’schen Raumes Vn sind die Definition der Tensorkomponenten (2.44) sowie die Symmetrieeigenschaften aus Abschnitt 2.2.11 in entsprechender Weise gültig. R σμ ν τ “

`

Γμστ

˘ ,ν

n ” ı ÿ ` ˘ ´ Γμσν , τ ` Γμλτ Γλσν ´ Γμλν Γλστ

(2.54)

λ“1

Um dieser Verallgemeinerung Rechnung zu tragen, werden im Folgenden die Summationen nur formal mit dem Laufindex ohne Angabe der Laufweite bezeichnet. Ein flacher, nicht gekrümmter Raum wird dadurch definiert, dass man Koordinaten finden kann, für die die Metrik die kanonische Form (pseudo-) euklidischer Räume nach Abschnitt 2.2.1 hat, ds2 “

n ÿ

εp pdxp q2

pεp “ ˘1q

p“1

in dem der Krümmungstensor verschwindet. Die Krümmung als innere Eigenschaft eines Raumes wurde am Beispiel der Fläche durch die Größe K bzw. die Koeffizienten gik bestimmt ohne den Bezug auf den umgebenden oder einbettenden Raum. Das Ergebnis (2.43) für die gekrümmte Fläche zeigt, dass der Krümmungstensor im Riemann’schen Raum V2 von Null verschieden ist, was für höherdimensionale Räume verallgemeinert wird. Man definiert die Krümmung des Raumes durch die Existenz des Krümmungstensors, der daher eine zentrale Stellung für die Raumgeometrie einnimmt. R ” 0 im nicht gekrümmten euklidischen Raum Rn (2.55) R ‰ 0 in gekrümmten Riemann’schen Räumen Vn

52

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Wenn eine Metrik gegeben ist, bei der nicht direkt ersichtlich ist, welche Art von Raum beschrieben wird, dann kann man den Krümmungstensor berechnen, was durchaus nicht einfach sein muss, um zu prüfen, ob ein flacher oder ein gekrümmter Raum vorliegt. Ein weiterer Unterschied besteht bei der kovarianten Ableitung, die eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung von Vektor- und Tensorkomponenten darstellt und die das tensorielle Transformationsgesetz erfüllt, wie im Abschnitt 17.2.1 (Bd. I) und durch die Kovarianzmatrizen (17.19, Bd. I) dargelegt wird. Im Gegensatz zu gemischten partiellen sind gemäß (2.46) und (2.47) die doppelten kovarianten Ableitungen in Riemann’schen Räumen nichtkommutativ, da dort der Krümmungstensor von Null verschieden ist.

2.2.13

Ricci-Tensor und Krümmungsskalar

Die Verjüngung der gemischten Komponenten R ik  m des Krümmungstensors R nach dem ersten und letzten Index erzeugt durch das Skalarprodukt der beteiligten Basisvektoren ein Kronecker-Symbol, wodurch eine Summation entfällt. R“

ÿ ÿ ÿ ÿ i

k



m

R ik

Ó

m

Ó

gi g k g  g m _

Diese Verjüngung definiert den zweistufigen Ricci-Tensor R , der mit einem _-Zeichen versehen wird. ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ _ _ k  R ik  i gk g “ R k g g R“ k  looooomooooon i k  _

“ R k

Der Ricci-Tensor ist symmetrisch, denn wegen der Symmetriebeziehung g ik “ g ki der metrischen Koeffizienten sowie Rpk nach (2.51) folgt ÿ _ R ik R k “ i

i

i

“ Ri

“

ÿ ÿ

“

ÿ ÿ

i i

p p

pk

“ Ri

g ip R p k

i

g pi R i 

kp

“

kp

ÿ p

R p

_

kp

“ R k

53

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Die Verjüngung des Krümmungstensors nach dem ersten und dritten Index hat wegen (2.48) einen Vorzeichenwechsel des Ricci-Tensors zur Folge. ÿ i

R ik

im

“´

_

ÿ i

R ik m i “ ´ R km

Die Verjüngung nach dem ersten und zweiten Index führt auf die Gleichheit der Summen, die für alle und m gegeben sein muss, wodurch sich die Summanden einzeln entsprechen müssen. Wegen des Vorzeichenwechsels können sie nur Null sein, so dass sich insgesamt der Nulltensor ergibt, dessen sämtliche Elemente verschwinden. ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ R ii  m “ g ip R p i  m “ ´ g pi R i p  m “ ´ R pp  m i

i

p

i

p

p

Damit gilt für die kovarianten Komponenten des Ricci-Tensors _

_

R k “ R k “

ÿ i

R ik

i

“´

ÿ i

R ik

i

(2.56)

Der Ricci-Tensor hat die folgenden Darstellungen mit symmetrischer Ma_ trix R ## der kovarianten Komponenten und wegen (11.2, Bd. I) mit unsymmetrischer Matrix der gemischten Komponenten. _ _ ` _ ˘T _ # R ## G# “ R ¨## “ R # “ R# ¨#

` ˘T _ ` # ˘T _ _ R ## g# “ g# R ¨## g R“ g

#

(2.57)

Die Verjüngung des Ricci-Tensors führt gemäß Abschnitt 10.2.2 (Bd. I) auf ˝

den Krümmungsskalar R als Spur der gemischten Tensormatrix. ` # ˘T “ _ ‰ “ `_ ˘‰T ` ˘ ˝ ¨ R ## g# “ vec R ## vec G# R “ g ` ˘T “ _ “ g# ¨ R ¨## g ˝

R“

ÿ ÿ k



‰ #

“ ` _ ˘‰T ` ˘ vec E “ vec R ¨##

_ ˘ `_ _ g k R k “ sp R ## G# “ sp R # #

(2.58)

54

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

2.2.14

Bianchi-Identität und Einstein-Tensor

Die zweite Identität von Bianchi (2.49) erfährt eine Verjüngung, indem mit den Metrikkoeffizienten g im und g k multipliziert und über alle vier Indizes summiert wird, wobei man das gesuchte Ergebnis durch die richtige Reihenfolge der Summationen und durch Indextausch nach (2.51) erreicht. ÿ ÿ ÿ ÿ ˇ g k g mi R i k  m ˇ s k



m

`

i

ÿ ÿ k



g k

ÿ

ÿ

`

ÿ ÿ

m

i

i

m

g mi R i k g im

ˇ ˇ

ms 

ÿ ÿ 

k

ˇ g k looooomooooon Rik s ˇm “ 0 “´Rki

s |m

Die innerste Summation hebt jeweils den ersten Index des Krümmungstensors. ÿ ÿ ÿ ˇ g k R mk  m ˇ s k



m

`

ÿ ÿ k



g k

ÿ

´

ÿ ÿ

m

i

R mk m

ˇ ˇ

ms 

g im

ÿ 

R i

ˇ ˇ

s m

“ 0

Die innere Summation führt nach (2.56) auf die Elemente des Ricci-Tensors. ÿ ÿ k



ÿ ÿ ÿ ÿ _ ˇ _ ˇ _ ˇ g k R k ˇ s ´ g k R ks ˇ  ´ g im R is ˇ m “ 0 k  i m

Die beiden rechten Doppelsummen sind nach Umbenennung der Laufindizes identisch. Mit (2.58) und nach Hebung des Index erhält man ÿ _ ˇ ˝ ˇ  R ˇs ´ 2 R s ˇ “ 0  Da man den Krümmungsskalar auch als Summe schreiben kann, ÿ ˝ ˇ ˝ˇ δs R ˇ  R ˇs “ 

erhält man die folgende Darstellung von kovarianten Ableitungen. ÿ ” _ ÿ _ ˇˇ 1  ˝ ı ˇˇ   “ @s δ ´ ˇ R E sˇ “ 0 R s   2 s  

55

2.2 Riemann’scher Krümmungstensor

Die Größen in der eckigen Klammer stellen gemischte Komponenten eines _

_

zweistufigen Tensors dar, der Einstein-Tensor E heißt und wie R symmetrisch ist. Er wird gebildet aus einer Kombination von Ricci-Tensor, Metriktensor und Krümmungsskalar und erhält zur Unterscheidung vom Einheitstensor, der hier gemäß (11.6, Bd. I) mit G bezeichnet wird, ebenfalls ein _-Zeichen. _

_

E “R´

1 ˝ R G 2

(2.59)

Die Matrixdarstellungen der gemischten und kovarianten Komponenten des Einstein-Tensors lauten _

_

# E# ¨# “ R ¨# ´ _

_

1 ˝ RE 2 _

E ## “ G # E # ¨ # “ R ## ´

1 ˝ R G# 2

Mit den Komponenten des Einstein-Tensors lautet die obige Summe ÿ ” 

_

R

 s

´

_ _ _ 1  ˝ ı ˇˇ δs R ˇ “ E 1s | 1 ` E 2s | 2 ` . . . ` E ns | n “ 0 2 

Dieser Ausdruck entspricht nach (17.48, Bd. I) der s-ten Vektorkomponente _

der Divergenz des Tensors E . Da alle s Komponenten verschwinden, ist die Divergenz des Einstein-Tensors identisch Null. _

_

div E “ ∇ ¨ E “ 0

(2.60)

Durch Verjüngung des Einstein-Tensors erhält man mit (2.58) und Abschnitt 11.4.3 (Bd. I) im n-dimensionalen Raum als skalare Invariante den ˝

Einstein-Skalar E . ‰ 1 ˝ ` ˘T “ ‰ ` # ˘T “ _ ˝ ˝ 1 ˝ ¨ R ## g# ´ R g# ¨ G # g# “ R ´ R n E“ g 2 2 ˝

E“´

1 ˝ R pn ´ 2q 2

(2.61)

56

2.2.15

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Größen der Räume V2 und V3

Im Fall der gekrümmten Fläche, also des Riemann’schen Raumes V2 , ergeben sich mit dem Element des Krümmungstensors (2.42) und der S-Matrix (2.28) folgende Werte für Ricci-Tensor und Krümmungsskalar. _

R k “

_

ÿ

ÿ ÿ

R ik

i

“

“ s11 R 1 k

1

` s12 R 2 k

i

_

i

p

sip R p k 1

i

` s21 R 1 k

2

` s22 R 2 k

2

_

R

LN ´ M 2 R 11 R 12 R 22 “ ´ “ “ “ ´K “ ´ E F G EG ´ F 2 EG ´ F 2 ˝

R “ ´ 2K “ ´

2R

EG ´ F 2

Als Beispiel für eine gekrümmte Fläche wird die Kugeloberfläche vom Radius R betrachtet. Bei Kugelkoordinaten ist die Zählung r, ϑ, ϕ “ ˆ 1, 2, 3 , so dass sich die Berechnung auf die beiden Winkel bezieht. Mit den metrischen Faktoren (18.60, Bd. I) und der Determinante g “ ph1 h2 h3 q2 “ h2 folgt ` ˘2 2 “ ph2 h3 q2 “ R2 sin ϑ EG ´ F 2 “ g22 g33 ´ g23 ? g ψ“a “ h1 “ 1 EG ´ F 2  L R “ LN ´ M “  M 2

 Γ1  “  212  Γ2 3

    M   b22 b23  “   N   b23 b33    Γϑrϕ Γ213   Γϑrϑ “   Γϕrϕ Γ313   Γϑrϕ

     ´R  0    “    0 ´R sin2 ϑ 

` ˘2 “ R sin ϑ Damit ergibt sich ein konstanter positiver Wert der Gauß’schen Krümmung für die Kugel, ` ˘2 R sin ϑ LN ´ M 2 1 K“ “` ˘2 “ 2 2 2 EG ´ F R R sin ϑ

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

57

die die einfachste gekrümmte Fläche mit dieser Eigenschaft ist. Im dreidimensionalen Riemann’schen Raum V3 hat der symmetrische Ricci-Tensor mit den Metrikkoeffizienten g ik und den Abkürzungen beim Krümmungstensor (2.53) die folgenden sechs unabhängigen Werte, die nicht mehr so einfach ausfallen wie im V2 . _

22 23 33 R 11 “ ´ g A ´ 2g B ´ g U _

11 13 33 R 22 “ ´ g A ` 2g C ´ g W _

11 12 22 R 33 “ ´ g U ´ 2g V ´ g W _

_

_

_

_

_

12 13 23 33 R 12 “R 21 “ ` g A ` g B ´ g C ´ g V 12 13 22 23 R 13 “R 31 “ ` g B ` g U ` g C ` g V 11 13 12 23 R 23 “R 32 “ ´ g B ` g V ´ g C ` g W

Für den Krümmungsskalar erhält man folgenden Ausdruck, wenn man wieder zu den einzelnen Elementen zurückkehrt. “ 11 22 ` 12 ˘2 ‰ “ ‰ ˝ ` 4R1213 g 12 g 13 ´ g 11 g 23 R“ ´ 2R1212 g g ´ g “ ` ˘2 ‰ “ ‰ ` 4R1223 g 13 g 22 ´ g 12 g 23 ´ 2R1313 g 11 g 33 ´ g 13 ` ˘2 ‰ “ “ ‰ ` 4R1323 g 13 g 23 ´ g 12 g 33 ´ 2R2323 g 22 g 33 ´ g 23

2.3 2.3.1

Parallelverschiebung von Vektoren Flächenvektor

Ein Vektorfeld aprq sei im euklidischen Raum R3 dadurch definiert, dass der Vektor apP q in allen Punkten P der gekrümmten Fläche S, also des Riemann’schen Raumes V2 , in dessen Tangentialebene T pP q liegt, so dass seine Komponente a3 in g3 -Richtung Null ist. Ein solcher Vektor, der damit in der von s1 und s2 aufgespannten Tangentialebene liegt, heißt Flächenvektor von S und wird mit a ˜ bezeichnet. ` ˘T 7 ` 7 ˘T s7 “ ˜ a7 s a ˜pP q “ ˜ a

58

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Seine kontravarianten Komponenten a ˜1 , a ˜2 , die in s1 - und s2 -Richtung weisen, sind mit denen von apP q in g1 - und g2 -Richtung des R3 identisch. ˜ 1 s1 ` a ˜ 2 s2 “ a ˜pP q apP q “ a1 g1 ` a2 g2 ” a1 s1 ` a2 s2 “ a ˜2 des Flächenvektors ermittelt man durch Die kovarianten Komponenten a ˜1 , a Anwendung von (2.29), woraus folgende Transformationen resultieren. a7 ˜ a7 “ S7 ˜

˜ a7 “ S7 ˜ a7

(2.62)

In der Tangentialebene des zweidimensionalen Riemann’schen Raumes werden nach den Beziehungen (2.29) und (2.62) Basisvektoren und Fächenvektorkomponenten kontragredient mit den Metrikmatrizen S 7 und S 7 transformiert. Die verschiedenen Matrixtabellen, die für Umrechnungen im Raum R3 abgeleitet wurden, können in sinngemäßer Weise also auch für die Tangentialebene T pP q des Raumes V2 verwendet werden. In entsprechender Weise kann man auch Flächentensoren in der Tangentialebene definieren, deren Tensorkomponenten durch 2 ˆ 2 -Matrizen gebildet werden.

2.3.2

Parallelverschiebung von Vektoren im euklidischen Raum

Für die gekrümmte Fläche und generell in Riemann’schen Räumen ist bisher die Aufgabe ungeklärt, wie man einen richtungsmäßigen Vergleich von Vektoren vornehmen kann, die als lokale Vektoren in verschiedenen Punkten gebunden sind. Solange keine klare Definition dafür vorliegt, kann auch kein Differentiationsprozess durchgeführt werden, bei dem ja gerade Vektoren infinitesimal benachbarter Orte im Grenzübergang miteinander in Beziehung gesetzt werden. Um zu einer Lösung zu kommen, wird zunächst die entsprechende Situation im euklidischen Raum betrachtet. Zur Durchführung eines Vektorvergleichs betrachtet man die Verschiebung eines Vektors von einem Punkt zu einem anderen. Das geschieht durch eine Parallelverschiebung entlang einer Geraden, die die kürzeste Verbindung der beiden Punkte darstellt und wobei der Winkel zwischen Vektor und Gerade konstant bleibt.

59

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

v

y

Q

v

y

vy

vx

v

v v Q

v

P

P

x

x

x- und y-Komponenten für beide Vektoren gleich

 - und  -Komponenten für beide Vektoren verschieden

Abb. 2.5: Parallelverschiebung im euklidischen Raum

In einem geradlinigen oder kartesischen Koordinatensystem ist ein solcher Vergleich immer möglich, denn ein Vektor v ist nach dem Paralleltransport zum anderen Ort unverändert, da seine geradlinigen bzw. kartesischen Komponenten wegen der in jedem Raumpunkt gleichgerichteten Basisvektoren ihre Größen beibehalten haben. Liegen krummlinige Koordinaten vor, dann ändern sich beim Paralleltransport zwischen beliebigen Punkten im allgemeinen die Komponenten des Vektors, denn sie werden durch die ortsabhängigen Basisvektoren bestimmt. Da der Vektor selbst bei der Verschiebung aber unverändert bleibt, ist sein Zuwachs und damit sein totales Differential dv Null. v “ const.

Ñ

dv “ 0

Für zwei infinitesimal benachbarte Punkte lautet das totale Differential mit den Darstellungen (17.43, Bd. I) und dem absoluten Differential (17.22, Bd. I) ` ˘T ` ˘T # V | # du# “ g Dv# “ 0 dv “ dr ¨ Grad v “ g #

dv “ 0

Ñ

Dv# “ 0

#

60

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Das absolute Differential Dv# muss für jede einzelne Komponente verschwinden, ÿ ÿ ÿ ÿ ˇ v k ˇ p dup “ v k, p dup ` Γ k v q dup “ 0 Dv k “ p p p q pq loooooomoooooon “ dv k

so dass die Summe der kovarianten Ableitungen Null sein muss. Für die totalen Differentiale der kontravarianten Vektorkomponenten gilt dann nach (17.24, Bd. I) folgende Formel für die infinitesimale Parallelverschiebung eines Vektors im euklidischen Raum. Dv# “ 0

Ñ

Dv k “

dv k “ dr ¨ grad v k “

ÿ3

ÿ3 p“1

p“1

ˇ v k ˇ p dup “ 0

v k, p dup “ ´

ÿ3 p“1

(2.63)

ÿ3 q“1

Γpkq v q dup

Im Sonderfall der geradlinigen oder kartesischen Koordinaten sind nach Gleichung (16.24, Bd. I) alle Christoffel-Symbole Null, so dass dann die Summe dv k der partiellen Ableitungen verschwindet.

2.3.3

Parallelverschiebung von Vektoren im Riemann’schen Raum

Im Riemann’schen Raum ist eine Parallelverschiebung nach euklidischem Vorbild unmöglich. Am Beispiel der gekrümmten Fläche des Raumes V2 ist das sofort offensichtlich, da Flächenvektoren in unterschiedlichen Flächenpunkten als lokale Vektoren normalerweise nicht parallel zueinander sind. Die Verallgemeinerung des Parallelbegriffs und die Parallelverschiebung von Vektoren wurden von Levi-Civita im Jahre 1917 eingeführt, [5, S. 279], [7, S. 59]. Die Idee der Parallelverschiebung eines Vektors auf einer gekrümmten Fläche S geht aus von zwei auf ihr liegenden Punkten P und Q, die durch eine beliebige Flächenkurve C miteinander verbunden werden. Entlang dieser Kurve C werden in allen Kurvenpunkten die Tangentialebenen an S konstruiert. Sie ergeben insgesamt als Hüllfläche der Tangentenebenen eine

61

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

Raumfläche in Form einer Torse, die die Fläche S längs der Kurve C berührt. Die Parallelverschiebung des Flächenvektors in P wird dann dadurch definiert, dass man die Torse in eine Ebene abwickelt, den Vektor von P euklidisch nach Q verschiebt und die Torse anschließend wieder in ihre alte Gestalt zurückverwandelt. Die beiden in P und Q vorliegenden Flächenvektoren von S werden dann als „ parallel im Sinne von Levi-Civita “ definiert.   

 

   











 

  





      

 





   

Abb. 2.6: Kugel mit berührendem Kegelmantel Als anschauliches Beispiel einer solchen Parallelverschiebung, [5, S. 287], wird auf der Kugeloberfläche vom Radius R der Tangentenvektor t eines Breitenkreises B betrachtet, der einen Flächenvektor darstellt. Die Parallelverschiebung von t erfolgt vom Punkt P bei ϕ “ 0 über den gesamten Breitenkreis zurück nach P . Die Torse des Breitenkreises ist ein Kegelmantel mit der Spitze in A, der die Kugeloberfläche in B tangential berührt und den man in die Ebene abwickelt. In der euklidischen Ebene der Torsenabwicklung ist der Vektor tp2πq zum Vektor tp0q parallel, aber er bildet einen Winkel mit dem Flächenvektor t˚ der Kugel.

62

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Wie man der Abbildung entnimmt, gelten folgende Beziehungen, wobei der Umfang UB des Breitenkreises die gleiche Länge wie die Bogenlänge s der Mantelperipherie hat. UB “ 2π r “ s “ p2π ´ δq

r “ R sin ϑ r “ cos ϑ

δ “ 2π p1 ´ cos ϑq

Nach der Parallelverschiebung schließen die Vektoren tp2πq und der Tangentenvektor t˚ des Breitenkreises den Winkel δ ein, der von ϑ und damit von der Wahl der Verschiebungskurve abhängt. Für den Winkel ϑ “ π{2 rückt der Punkt A nach Unendlich, so dass der Kegelmantel zum Zylinder entartet. Der Breitenkreis wird zum Großkreis, wodurch für δ Ñ 2π ursprünglicher und verschobener Vektor zusammenfallen. Die Vorstellung der Parallelverschiebung kann man mit folgendem Bild formelmäßig verdeutlichen.

a (P) C

da

Q

a (Q) = a (P) + d a

a (P) P

r + dr r O Abb. 2.7: Flächenvektoren im Riemann’schen Raum V2 , bei seitlichem Blick auf den Schnitt durch die Fläche Ein Flächenvektor apP q “ aprq im Raum R2 , der im euklidischen Sinne an den differentiell benachbarten Punkt Q parallel verschoben wird, ragt aus

63

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

der Fläche in den umgebenden Einbettungsraum hinaus und stellt keinen Flächenvektor des V2 mehr dar. Gemäß der Vektorzerlegung im Punkte Q apQq “ apr ` drq “ apP q ` da kann man aber durch die Projektion von apP q auf die Tangentialebene im Punkt Q den Flächenvektor apQq definieren. Nach Levi-Civita setzt man beide Vektoren gleich, apP q “ apQq

Ñ

apr ` drq ´ aprq “ da “ 0

so dass das totale Differential da Null sein muss. Damit geht der Flächenvektor apP q „ durch Parallelverschiebung auf der Fläche “ in den Flächenvektor apQq über. Besitzen die Punkte P und Q einen beliebigen Abstand voneinander, dann geschieht die Parallelverschiebung durch eine Kette von aufeinander folgenden differentiellen Schritten der geschilderten Art. Aus der Sicht des nichteuklidischen Raumes der gekrümmten Fläche bleibt der Vektor bei der Parallelverschiebung unverändert und weist damit ein verschwindendes totales Differential auf, was als lineare Übertragung bezeichnet wird. Für einen Flächenvektor des Raumes V2 gilt also ` ˘T a “ const. Ñ da “ s 7 Da7 “ 0 Daraus erhält man eine Beziehung für die absoluten Differentiale der kontravarianten Komponenten bei infinitesimaler Parallelverschiebung von Vektoren im Riemann’schen Raum, die der Formel (2.63) des euklidischen Raumes entspricht. Diese Definition, die zunächst für Flächenvektoren des Raumes V2 entwickelt wurde, wird dann in äquivalenter Form auf Vektoren in Räumen beliebiger Dimension verallgemeinert, so dass folgende Beziehungen der Differentiale bei der Parallelverschiebung in Riemann’schen Räumen Vn erfüllt werden müssen. Dv# “ 0

Ñ

Dv k “

ÿ

n p“1

ˇ v k ˇ p dup “ 0 (2.64)

dv k “

ÿ

n p“1

v k, p dup “ ´

ÿ

n p“1

ÿ

n q“1

Γpkq v q dup

64

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Zur Veranschaulichung wird in Abbildung 2.8 ein Flächenvektor a betrachtet, der in der dargestellten Tangentialebene des Punktes P jede Richtung des ebenen Vektorbüschels für 0 ď α ď 2π innerhalb des Kreises K annehmen kann.

aA tB tA



aA



tA

Q

aB



A

a

aB

tA



tB

 

P

B

tB K

Abb. 2.8: Parallelverschiebung eines Flächenvektors auf verschiedenen Konturen von P nach Q, a in blau auf A, a in rot auf B, die Tangentenvektoren tA und tB haben auf ihren Wegen variierende Richtungen Bei der Parallelverschiebung entlang einer Kurve auf der gekrümmten Fläche bleibt der Winkel zwischen dem Flächenvektor a und dem Tangentenvektor t beim Durchlaufen der Kurve konstant. Verschiebt man den Vektor parallel von P unter Beibehaltung der Winkel α und β auf verschiedenen Konturen A und B nach Q, so sind die beiden Ergebnisvektoren aA und aB

65

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

im Normalfall nicht identisch. Aus dem anfänglichen Vektorbüschel entstehen als Ergebnis der beiden Verschiebungen zwei kreisförmige ebene Vektorbüschel in der Tangentialebene des Punktes Q, die gegeneinander gedreht sind. Euklidische und nichteuklidische Parallelverschiebung weisen einen wesentlichen Unterschied auf. Für den parallel verschobenen Vektor im zweiten Fall ist entscheidend, welche Kontur zwischen den Punkten P und Q durchlaufen wird, wodurch das Ergebnis der nichteuklidischen Parallelverschiebung vom Weg abhängig ist!

2.3.4

Parallelverschiebung auf geodätischen Linien

Gesucht wird die Bahnkurve der linearen Übertragung bei konstantem Tangentenvektor. Dadurch werden nur Kurven bei der Parallelverschiebung zugelassen, die der Bedingung genügen, dass der Tangentenvektor t auf der Bahn keine Richtungsänderung erfährt. t“

dr “ const. ds

Ñ

dt “0 ds

Im euklidischen Raum bedeutet die Bedingung des konstanten Tangentenvektors, dass die durchlaufene Bahn eine Gerade ist. Der Unterschied zur Abbildung 5.10, (Bd. I) liegt darin, dass die Änderung des Tangentenvektors dort aus der Sicht des euklidischen Raumes R3 und damit für die Kurve im V2 von außerhalb beurteilt wird, was dt{ds ‰ 0 zur Folge hat. Im Riemann’schen Raum der Abbildung 2.7 liegen die Tangentenvektoren wegen der Parallelverschiebung zwar in der Fläche, aber sie weisen seitliche Abweichungen und damit ein dt{ds ‰ 0 auf. Zur Bestimmung der gesuchten Bahnkurve geht man aus vom Wegelement und seinem Differential nach (2.7), also dem zweiten Differential des Ortsvektors, mit dem die Änderung des Tangentenvektors berechnet wird. ˘T ` dr “ du7 s 7 ˘T ` ` 7 ˘T d2 r “ d2 u s 7 ` du7 H 77 du7 7 ´ du7 ¯T ´ du7 ¯T dt d 2 r ´ d 2 u ¯T ` “ 2 “ s H “ 0 7 77 ds ds ds2 ds ds

66

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Die Auflösung des Ausdrucks in seine Elemente führt auf die Zerlegung des Vektors dt{ds in Komponenten, die einzeln Null sein müssen. Hμν “ s μ , ν “

ÿ λ

Γμλν sλ

ν ÿ ÿ ÿ duμ dt ÿ d2 uλ λ du s ` “ Γ sλ “ 0 λ μν λ ds2 λ μ ν ds ds ds

Die Definition der Parallelverschiebung ging zwar aus von der zweidimensionalen gekrümmten Fläche, aber die Verallgemeinerung für den n-dimensionalen Riemann’schen Raum erfolgt problemlos durch Summation der in p, i, k umbenannten Indizes von 1 bis n. Die gesuchten Bahnkurven der linearen Übertragung von Vektoren v im Riemann’schen Raum Vn bei konstantem Tangentenvektor müssen das folgende System von gekoppelten Differentialgleichungen erfüllen.

i k d2 up ÿ ÿ p du du ` Γ “0 i k i k ds2 ds ds

p p, i, k “ 1, .. , nq

(2.65)

Die auf diese Weise definierten Bahnkurven heißen geodätische Linien des Raumes Vn und die lineare Übertragung der Parallelverschiebung entlang dieser Kurven wird als geodätische Übertragung bezeichnet. In euklidischen Räumen Rn in denen kartesische Koordinatensysteme existieren, verschwinden nach (16.24, Bd. I) alle Christoffel-Symbole, wodurch (2.65) in eine Geradengleichung übergeht. Da die Parallelverschiebung mit konstanten Vektoren v “ const. und

t “ const.

erfolgt, bleibt dabei auch ihr Skalarprodukt konstant, so dass Vektor und Tangente ebenso wie im euklidischen Fall einen konstanten Winkel entlang der geodätischen Linie bilden.

67

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

v

v Q

v P

t  t

Q

v



t

 t

P



Abb. 2.9: Parallelverschiebung auf geodätischen Linien im euklidischen und Riemann’schen Raum Das Differentialgleichungssystem der Bahnkurven ist nichtlinear. Im zweidimensionalen Fall gilt mit abkürzenden Bezeichnungen für die Gauß’schen Koordinaten ϕpsq “

dϕ du1 , ϕ1 psq “ ds ds

und

ψpsq “

dψ du2 , ψ 1 psq “ ds ds

ϕ1 ` Γ111 ϕ2 ` 2 Γ112 ϕ ψ ` Γ212 ψ 2 “ 0 ψ 1 ` Γ121 ϕ2 ` 2 Γ122 ϕ ψ ` Γ222 ψ 2 “ 0 Unter wenig einschränkenden Voraussetzungen existiert für das nichtlineare, gekoppelte System von Differentialgleichungen (2.65) eine eindeutige Lösung, wenn im Punkte P0 die Werte und Richtungen up pP0 q “ up0 ,

dup ` ˘ ` p ˘1 P0 “ u 0 ds

gegeben sind, [4, S. 120ff.], [10, II, S. 136]. Allerdings kann man dieses Differentialgleichungssystem nur in besonderen, einfachen Fällen geschlossen integrieren z.B. bei Großkreisen auf Kugeln oder Schraubenlinien auf Zylindern.

68

2.3.5

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Minimaleigenschaft der geodätischen Linien

Die kürzesten Verbindungen zweier Punkte auf gekrümmten Flächen und allgemein in Riemann’schen Räumen werden als geodätische Linien bezeichnet. Die Suche nach dem kürzesten Weg stellt als Problem der Variationsrechnung das Auffinden des minimalen Kurvenverlaufs zwischen zwei Punkten dar, das folgendermaßen gelöst wird. Das Element der Bogenlänge ist die Wurzel aus der Metrik, c ÿ ÿ gik dui duk ds “ i

k

c

“

dui duk gik ds i k ds ds looooooooooooooomooooooooooooooon ÿ ÿ

“ F p .. q

wobei die metrischen Koeffizienten als “ ‰ gik “ f u1 psq, .. , un psq vom Ort abhängig sind. Der Wurzelausdruck stellt eine Funktion F p .. q dar, die insgesamt Eins ist und von den Koordinaten und ihren Ableitungen aber nicht unmittelbar von s abhängt. ´ du1 dun ¯ ds “ F u1 , .. , un , , .. , ds “ 1 ¨ ds ds ds Die Bogenlänge s einer Kontur, die beliebig zwischen den festen Punkten P und Q verläuft, wird beschrieben durch das Funktional ż Q ds J“ P

Damit die Bogenlänge ein Minimum annimmt, muss die Variation des Funktionals aller konkurrierenden Konturen Null sein. ż Q ´ ż Q du1 dun ¯ ds “ δ F u 1 , ¨ ¨ ¨ , un , δJ “ δ , ¨¨¨ , ds “ 0 ds ds P P Man erreicht das durch Erfüllung der Euler’schen Gleichungen, die folgendermaßen lauten, [10, IV, S. 170], wobei zur Abkürzung ϕp “ dup {ds gesetzt wird. d ´ BF ¯ BF ´ “0 @p Bup ds Bϕp

69

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

Die Ableitungen ergeben, BF 1 ÿ ÿ Bgik dui duk “ i k Bup ds ds Bup 2F 1 ÿ kÿ Bϕi 1 ÿ iÿ Bϕk BF ` “ ϕ g ϕ g ik ik k i i k Bϕp 2F Bϕp 2F Bϕp loooooomoooooon loooooomoooooon “ gpk “ gkp

“ gip

1 ÿ dui “ gip i F ds 1 ÿ ´ ÿ Bgip duk ¯ dui d2 ui 1 ÿ d ´ BF ¯ g ` “ ip i i k Buk ds ds Bϕp F ds2 F ds in denen anschließend F p .. q “ 1 gesetzt wird. Damit folgt aus den Euler’schen Gleichungen die notwendige Bedingung ¯ dui duk ÿ 1 d2 ui ÿ ÿ ´ gip ` gip , k ´ gik , p “0 i i k ds2 2 ds ds Für die Ableitungen der metrischen Koeffizienten besteht folgende Gleichheit der Doppelsummen, die aber nicht für die Elemente selbst gilt, was bei ausführlicher Schreibweise offensichtlich ist. ÿ ÿ ˘ 1 ÿ ÿ ` gip , k “ gip , k ` gkp , i i k i k 2 In der Bedingungsgleichung erscheint in der Klammer der Doppelsumme dann der folgende Ausdruck, der nach (16.22, Bd. I) ein L-Symbol darstellt. ˘ 1` gip , k ` gkp , i ´ gik , p “ L i k p 2 Multiplikation mit den kontravarianten metrischen Koeffizienten g pm und Summation über p führt mit (16.21, Bd. I) auf ÿ ÿ d2 ui ÿ ÿ ÿ pm dui duk gip g pm ` g L “0 i k p i loooooomoooooon p i k looooooomooooooon p ds2 ds ds “ δim

“ Γimk

und nach Umbenennung von m in p folgt daraus dui duk d2 up ÿ ÿ ` Γi pk “0 p p, i, k “ 1, .. , nq 2 i k ds ds ds Damit hat man auf dem Weg eines Variationsproblems das Differentialgleichungssystem (2.65) bestätigt.

70

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Geodätische Linien stellen die Bahnkurven der linearen Übertragung bei konstantem Tangentenvektor dar und sind gleichzeitig die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten im Riemann’schen Raum. Dass die geodätische Linie auch durch eine verschwindende geodätische Krümmung gekennzeichnet wird und die Gleichung (2.12) erfüllt, κg “ x rs , rss , f y “ 0 wird hier nicht dargelegt, ist aber in [5, S. 196] zu finden.

2.3.6

Geometrische Deutung des Krümmungstensors

Bei der Parallelverschiebung eines Vektors v vom Punkt P zum Punkt Q erfährt dessen k-te Komponente nach (17.24, Bd. I) folgenden Zuwachs. Δv “ k

żQ

dv “ k

P

żQ ÿ

vk p ,p

du “ p

P

żQ

dr ¨ grad v k

P

Verschiebt man den Vektor auf einer geschlossenen Kontur C, bei der der Endpunkt Q mit dem Ausgangspunkt P zusammenfällt, dann ist der Zuwachs des Vektors im euklidischen Fall Null, da dessen Komponenten wieder ihre Ausgangswerte annehmen. Das Umlaufintegral ist dann also Null, was auch aus dem Sonderfall (19.10, Bd. I) des Stokes’schen Satzes folgt. ¿ ¿ k k Δv “ dv “ dr ¨ grad v k “ 0 C

C

Sowohl in euklidischen als auch in Riemann’schen Räumen gilt für den Zuwachs bei Parallelverschiebung nach (2.63) bzw. (2.64) folgende Darstellung, wobei das Integral nur im euklidischen Fall verschwindet, da man dann ein kartesisches Koordinatensystem wählen kann, in dem die ChristoffelSymbole Null sind. ¿ ¿ ÿ ÿ k k Δv “ dv “ ´ Γpkq v q dup C

p

C

q

Im Riemann’schen Fall wird dieses Konturintegral nach dem Stokes’schen Satz (19.5, Bd. I) in ein Flächenintegral umgewandelt. ij ¿ w ¨ dr “ rot w ¨ da C

a

71

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

Nach dem Einsetzen von Wegelement dr (14.7, Bd. I), Rotation (17.52, Bd. I) und Flächenelement (14.29, Bd. I) lautet der Stokes’sche Satz für den Vektor w nach Ausführung der Skalarprodukte in Komponentendarstellung für zyklische Werte i, j, k ij ”ÿ ¿ ÿ ı ` ˘k ı ” ÿ r p rot w gk ¨ wp du “ g dar C

p

k

a

“

ij ”ÿ ÿ ÿ k

a

“

r

i

j

ij ÿ ÿ ÿ k

a

i

j

εijk wj , i dak ? εijk g looomooon

wj , i

dui duj

“ ˘1 nach p11.27 und11.30, Bd. Iq

“

ij ” ` a

˘ w2 , 1 ´ w1 , 2 du1 du2 ` ˘ ` w3 , 2 ´ w2 , 3 du2 du3 ı ` ˘ ` w1 , 3 ´ w3 , 1 du3 du1

Identifiziert man die Vektorkomponenten von w entsprechend dem Zuwachs Δv k durch, ÿ wp “ Γpkq v q q

dann erhält man für die Parallelverschiebung auf einem geschlossenen Weg ein Flächenintegral, dessen einzelne Summanden im Integranden folgende Darstellung haben. ´ ¯ ¯ ı ÿ ”´ ´ Γi kq v q Γjkq v q wj , i ´ wi , j “ q

“

ÿ ”´ q

,i

Γjkq

¯ ,i

,j

´

´ Γi kq

¯ ı ,j

vq `

ÿ ” q

Γjkq v q, i ´ Γi kq v q, j

ı

Nach (2.64) gilt mit Indexanpassung ı ÿ ÿ ” q Γi qp v p dui “ 0 v ,i ` i

p

und da die Differentiale dui voneinander unabhängig sind, muss die eckige Klammer verschwinden. Für die Glieder des Integranden folgt damit bei

72

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Vorzeichenbeachtung zunächst Δij “ wj , i ´ wi , j ´ ¯ ¯ ı ı ÿ ”´ ÿ ÿ ” “ ´ Γi kq Γjkq vq ` Γi kq Γjqp ´ Γjkq Γi qp v p q

,i

q

,j

p

Mit Umbenennung und Symmetrie der Indizes sowie Summentausch folgt weiterhin ´ ¯ ¯ ı ı ÿ ”´ ÿ ÿ ” ´ Γi kp Γjkp vp ` Γi kq Γjqp ´ Γjkq Γi qp v p Δij “ p

“

,i

ÿ ”´ p

Γpkj

p

,j

´

¯

´ Γpki

,i

¯ ,j

`

ÿ “ q

q

Γi kq Γjqp ´ Γjkq Γi qp

‰ı

vp

In der inneren Summe werden die Gamma-Faktoren und deren untere Indizes vertauscht, wodurch man schließlich eine Darstellung mit dem Krümmungstensor (2.45) erhält. ´ ¯ ¯ ÿ ”´ ÿ “ q ‰ı p Δij “ ´ Γpki ` Γpkj Γp j Γqki ´ Γpqi Γqkj v p

“

ÿ p

,i

R kp

ij

q

,j

vp

Die Zusammenfassung der Ergebnisse führt zu folgendem Ausdruck für den Zuwachs bei Parallelverschiebung. ¿ ij ÿ k k dv “ ´ wp dup Δv “ C

“´

a

ij

“ a

“´

Δ12 du1 du2 ` Δ23 du2 du3 ` Δ31 du3 du1

ÿ "ij ” p

p

a

R kp

1 2 du

1

‰

du2

` R kp

2 3 du

`

2

du3

R kp 3 1 du3 du1

ı*

vp

Im gekrümmten Riemann’schen Raum wird ein Vektor beim Umfahren eines Flächenstückes und damit bei Rückkehr zum Ausgangspunkt in einen anderen Vektor verwandelt, da der Zuwachs Δv k seiner Komponenten nicht von

73

2.3 Parallelverschiebung von Vektoren

Null verschieden ist. Die Größe des Zuwachses im umlaufenen Bereich wird durch den Krümmungstensor R bestimmt, der ein Maß für die Raumkrümmung darstellt und damit die Abweichung von der Flachheit des euklidischen Raumes beschreibt.

v v

Q

 

tQ

C1

v

C2

tP 



P

v

v Abb. 2.10: Parallelverschiebung eines Vektors auf einem geschlossenen Weg aus zwei Konturen von P nach Q und zurück zu P

In der Abbildung 2.10 umfährt der Vektor v ein Flächenstück vom Punkt P über die Kontur C1 nach Q und über die Kontur C2 nach P zurück, wobei der Winkel zwischen Vektor und Tangente erst α und dann β beträgt. Dabei kann man verfolgen, welche Abweichung zwischen Anfangs- und Endvektor auftritt. Ein Unterschied ist auch dann vorhanden, wenn die Konturen in Q keinen Knick aufweisen! Bei Variation der Konturen zwischen P und Q oder über einen anderen Punkt Q˚ treten andere Abweichungen auf, so dass der Paralleltransport von Vektoren grundsätzlich vom Weg abhängig ist.

74

2.4 2.4.1

2 Flächentheorie und Krümmungstensor

Höherdimensionale Räume Das Einbettungsproblem

Die Einbettung einer gekrümmten Fläche in den dreidimensionalen Raum kann man verallgemeinern, indem man einen Riemann’schen Raum der Dimension n in den euklidischen Raum der Dimension N einbettet. năN

Ñ

Vn Ă R N

Zur Beantwortung der Frage nach der Größe der Dimension N pnq müssen die N Koordinatenfunktionen des RN x1 pu1 , ¨ ¨ ¨ , un q , . . . , xN pu1 , ¨ ¨ ¨ , un q als Funktionen der n Koordinaten des Vn so bestimmt werden, dass die durch die Metriken (2.23) und (2.24) definierten Bogenelemente ds im euklidischen Raum RN ¯´ ÿ n Bxk ¯ ÿN ÿ N ´ ÿ n Bxk p q ds2 “ pdxk q2 “ du du k“1 k“1 p“1 Bup q“1 Buq ÿ n ÿ n ´ ÿ N Bxk Bxk ¯ “ dup duq p“1 q“1 k“1 Bup Buq und im Riemann’schen Raum Vn übereinstimmen. ÿn ÿn ds2 “ gpq dup duq p“1

q“1

Die Gleichsetzung der Bogenelemente liefert die Differentialgleichungen der Koordinatenfunktionen, die abhängig sind von den metrischen Koeffizienten des Raumes Vn . ÿ N Bxk Bxk “ gpq pp, q “ 1 , . . . , nq k“1 Bup Buq Wegen der Symmetrie gpq “ gqp der Koeffizienten stehen damit ˆ ˙ 1 n`1 m “ npn ` 1q “ ă n2 2 2 Differentialgleichungen für die Bestimmung der N Koordinatenfunktionen x# pu# q zur Verfügung. Bei einer eindeutigen Lösung der Differentialgleichungen für physikalische Systeme ist die Einbettung eines n-dimensionalen

75

2.4 Höherdimensionale Räume

Riemann’schen Raumes in einen N -dimensionalen euklidischen Raum nur möglich, wenn folgende Ungleichung gilt. N ěm“

1 npn ` 1q 2

(2.66)

Damit wird das geläufige Beispiel der „ Fläche im Raum “ als Einbettung des zweidimensionalen Riemann’schen Raumes V2 in den dreidimensionalen euklidischen Raum R3 bestätigt. Dagegen kann der dreidimensionale Riemann’sche Raum V3 nicht in den vierdimensionalen sondern erst in einen sechsdimensionalen euklidischen Raum R6 eingebettet werden!

2.4.2

Verallgemeinerung bei höheren Dimensionen

Die Betrachtungen in diesem Kapitel können problemlos von zwei bzw. drei auf eine höhere Zahl von Dimensionen verallgemeinert werden, worauf bereits im Abschnitt 2.2.12 hingewiesen wurde. Die Darstellungen von Krümmungstensor, geodätischen Linien und anderen Beziehungen gelten weiter bis auf den formalen Unterschied, dass die Indizes dann einen größeren Wertebereich durchlaufen. In der physikalischen Anwendung ist der Fall von vier Dimensionen von großer Bedeutung, der in der Raumzeit der Relativitätstheorie mit den Koordinaten pt, x, y, zq sowie bei Vierervektoren und entsprechenden Tensoren auftritt, was vom Kapitel 7 an ausführlich behandelt wird. Wie bereits im Abschnitt 2.2.4 angedeutet, werden Zählweise und Summationen durch verschiedene Indizes unterschieden. Für die räumlichen Koordinaten x, y, z und ihre Zählwerte 1,2,3 verwendet man in der Literatur üblicherweise lateinische, für die Raumzeit und deren Werte 0,1,2,3 dagegen griechische Indizes. Allerdings ist dieser Unterschied in der Indexschreibweise nur auf Grund der weitverbreiteten Summationskonvention erforderlich, bei der sonst keine klare Übersicht über die unterdrückte Indexlaufweite bestünde! In der vorliegenden Darstellung sind trotz des etwas höheren Platzbedarfs stets alle Summationen ausgeführt, wodurch nie ein Zweifel über Bedeutung und Laufweite der auftretenden Indizes aufkommen kann!

Literatur [1] Betz, A.: Konforme Abbildung Springer Verlag, Berlin, Göttigen, Heidelberg, 2. Aufl. (1964) [2] Blaschke, W.: Vorlesungen über Differentialgeometrie, Elementare Differentialgeometrie Springer Verlag, Berlin, 5. Aufl. (1973) [3] Duschek, A., Mayer, W.: Lehrbuch der Differentialgeometrie, Kurven und Flächen im euklidischen Raum B.G. Teubner Verlag, Leipzig und Berlin (1930) [4] Kamke, E.: Differentialgleichungen reeller Funktionen Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 2. Aufl. (1950) [5] Kreyszig, E.: Differentialgeometrie Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1957) [6] Laugwitz, D.: Differentialgeometrie B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart (1960) [7] Levi-Civita, T.: Fragen der klassischen und relativistischen Mechanik, Springer-Verlag Technik, Berlin Heidelberg New York (1973) 76

Literatur

77

[8] Raschewski, P. K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 2. Aufl. (1995) [9] Seidel, W.: Sternstunden der Kartografie Malik National Geographic (2017) [10] Smirnow, W. I.: Lehrgang der höheren Mathematik, I-IV VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 6. Aufl. (1964/68) [11] Synge, J. L., Schild, A.: Tensor Calculus University of Toronto Press, Toronto (1949) [12] Torge, W.: Geschichte der Geodäsie in Deutschland Walter de Gruyter, Berlin New York, 2. Aufl. (2009) [13] Wrede, R. C.: Introduction to Vector- and Tensor Analysis Dover Publications, New York (1972) [14] Wussing, H.: Carl Friedrich Gauss BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig (1974)

Kapitel 3

Trägheitstensor der Mechanik Zusammenfassung Ausgehend vom Newton’schen Bewegungsgesetz werden die mechanischen Grundbegriffe, die Bewegung starrer Körper und der Trägheitstensor behandelt und an Hand konkreter Beispiele verdeutlicht.

3.1

Grundgesetze der Dynamik

Die Dynamik, die mitunter auch Kinetik genannt wird, ist die Lehre von der Bewegung von Körpern infolge von Kräften, die auf sie einwirken, (gr.: dynamis, Kraft; kinesis, Bewegung). Damit sind alle Größen, die die Bewegung beschreiben, Zeitfunktionen, ohne das immer speziell zu kennzeichnen. Im Gegensatz dazu bedeutet die Kinematik die Lehre von den Ortsveränderungen von Körpern als geometrische Beschreibung in zeitlicher und räumlicher Darstellung als Teil der Differentialgeometrie der Raumkurven. Die Grundlage der Dynamik bilden drei Axiome, die Isaac Newton (1643 -1727) in seinem 1687 veröffentlichten Buch „Philosophiae naturalis principia mathematica“, an den Anfang seiner Mechanik stellte. Dieses Buch, das üblicherweise als „Principia“ bezeichnet wird, ist der erste echte Text der theoretischen Physik, der alle Ergebnisse mit mathmatischen Methoden darstellt, die von Newton selbst entwickelt wurden, [12, S. 157]. 78 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_3

79

3.1 Grundgesetze der Dynamik

3.1.1

Newton’sches Bewegungsgesetz

Der Impuls p, bei Newton die Bewegungsgröße (quantitas motus), ist definiert als Produkt aus der Masse m eines Körpers und seiner Geschwindigkeit v. Die Einheit des Impulses ist Ns. p “ mv “ m

dr “ m r9 dt

(3.1)

Nach dem 2. Newton’schen Gesetz (lex secunda), [16, S. 12, mit kritischer Bewertung ], erfolgt die zeitliche Änderung des Impulses durch eine am Massenpunkt m angreifende Kraft F , die für zeitlich konstante Masse der Beschleunigung a proportional ist. F “

˘ d ` dv dr9 dp “ mv “ m “m “ m r: “ m a dt dt dt dt

(3.2)

Dieses Gesetz in der Euler’schen Fassung heißt Bewegungsgesetz oder Grundgesetz der Dynamik, das das Newton’sche Aktionsprinzip darstellt. Die Einheit der Kraft ist N “ kg m{s2 . Auf das 1. Newton’sche Gesetz (lex prima), das Trägheitsgesetz, das in (3.2) enthalten ist, wird in (7.2) eingegangen. Da im dynamischen Grundgesetz nur die Beschleunigung a als Änderung der Geschwindigkeit auftritt, hat das Bewegungsgesetz in allen mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander geradlinig gleichförmig bewegten Bezugsystemen die gleiche Form. Die Gesamtheit dieser Bezugsysteme heißt Gruppe der Inertialsysteme, (lat.: inertia, Trägheit). Der Begriff der Masse, den man als Substanzmenge oder Quantität der Materie (quantitas materiae) verstehen kann, bedeutet nach dem Bewegungsgesetz ein Maß für den Kraftaufwand und damit für den Widerstand von Körpern gegen Änderung ihrer Geschwindigkeit. Auf Grund dieser Trägheit wird die Größe m als träge Masse bezeichnet, [8]. Bei punktförmig oder kontinuierlich verteilten Massen der Massendichte ρ, die ortsabhängig sein kann, gilt das Bewegungsgesetz in der Form, F Σ “ F paq “

ÿ k

Fk “

˘ d2 ` mges rS “ mges r:S 2 dt

80

3 Trägheitstensor der Mechanik

wobei die Gesamtmasse mges durch Summation oder Integration über das Volumen ermittelt wird. ż ¡ ÿ mk bzw. mges “ dm “ ρ dv mges “ k

m

v

Alle äußeren Kräfte, die zur Gesamtbeschleunigung führen, greifen als resultierende, vektorielle Summe F Σ “ F paq an der Gesamtmasse an, die im Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt S vereinigt gedacht wird, der den folgenden Ortsvektor hat. ż 1 ÿ 1 r k mk bzw. rS “ rk dm rS “ k mges mges m In dieser erweiterten Betrachtungsweise wird das Bewegungsgesetz auch als Schwerpunktssatz bezeichnet. Die Anwendung des 3. Newton’schen Gesetzes (lex tertia), das auch als Gegenwirkungsprinzip oder Newton’sches Reaktionsprinzip bezeichnet wird (actio = reactio), auf mehrere Einzelmassen führt auf den Impulssatz, bei dem die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses der Summe der äußeren Kräfte entspricht, [18, I, S. 74]. Beim Fehlen äußerer Kräfte ist der Gesamtimpuls konstant, so dass für ein solches Massensystem, speziell auch beim Stoß mit nur zwei Massen, die Erhaltung des Impulses gilt. dpΣ “ F paq dt

3.1.2

Ñ

pΣ “ const. für F paq “ 0

(3.3)

Arbeit und Energie

In einem Kraftfeld führt die skalare Multiplikation der Kraft mit dem Wegelement auf das Element der Arbeit und auf seine zeitliche Ableitung. ´m ¯ d ´m 2 ¯ r9 dW “ F ¨ dr “ m r: ¨ r9 dt “ dt “ d v 2 “ dE kin dt 2 2 dW dr dE kin “F ¨ “F ¨v “ dt dt dt Für die Masse m, die sich mit v bewegt, heißt die Größe E kin “

m 2 m 2 r9 “ v 2 2

(3.4)

81

3.1 Grundgesetze der Dynamik

kinetische Energie, die in der Mechanik auch oft mit T bezeichnet wird [2, S. 44], [4, S. 3], [13, S. 248], [14, S. 38], und von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716) als „lebendige Kraft“ (vis viva) eingeführt wurde, [16, S. 69]. Das Wegintegral der Kraft, d.h. die am Massenpunkt verrichtete Arbeit, ż Q ż Q F ¨ dr “ dE kin “ E kin pQq ´ E kin pP q “ ΔE kin W “ P

P

entspricht der Änderung der kinetischen Energie dieser Masse auf dem Weg von P nach Q. In der Mechanik wird dieses Ergebnis Arbeitssatz genannt. Arbeit und Energie entsprechen sich und haben die Einheit Nm “ kg m2 {s2 “ J.

3.1.3

Konservative Felder

Konservative, wirbelfreie Felder, die bereits im Abschnitt 19.2.3 (Bd. I) angesprochen wurden, stellen physikalische Systeme von besonderem Interesse dar, die vor allem in Mechanik und Elektrostatik auftreten. In konservativen Feldern kann die Kraft als negativer Gradient einer skalaren Ortsfunktion WPot dargestellt werden. Die Funktion WPot heißt nach Joseph Louis Lagrange (1736 -1813) potentielle Energie (1773), oder Potentialfunktion, [2, S. 45], [18, S. 31]. F “ ´ grad WPot

Ø

rot F “ 0

(3.5)

Im Wegintegral der Kraft stellt der Integrand in diesem Fall ein vollständiges Differential dar, so dass der durchlaufene Weg keinen Einfluss hat und die Arbeit nur eine Funktion der potentiellen Energie in den Endpunkten, also der Energiedifferenz, ist. ż Q ż Q ż Q WFeld “ F ¨ dr “ ´ dr ¨ grad WPot “ ´ dWPot P

P

P

“ WPot pP q ´ WPot pQq “ ΔW Da die potentielle Energie wegen der Gradientenbildung nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, setzt man als Energienullpunkt den Bezugswert WPot p8q “ 0 fest. Das Vorzeichen des Gradienten ist so gewählt,

82

3 Trägheitstensor der Mechanik

dass bei parallelen, in die gleiche Richtung weisenden Vektoren der Kraft F , die an einer Masse m angreift, und des Wegelementes dr die vom Feld verrichtete Arbeit positiv wird. Um die Masse vom Punkt P in den Energienullpunkt zu bringen, ist dann folgende Feldarbeit erforderlich. WFeld “

ż

8

F ¨ dr “ WPot pP q “ ΔW ą 0

(3.6)

P

Die Energiedifferenz ΔW gegenüber dem Nullpunkt entspricht der Arbeit des Feldes und im Punkte P besitzt die Masse die potentielle Energie oder das Arbeitsvermögen WPot pP q. Umgekehrt ist eine negative, mechanische Arbeit Wmech pP q “ ´ WFeld der gleichen Größe ΔW aufzuwenden, um die Masse aus dem Unendlichen gegen die Feldkräfte zum Punkt P zu bringen, die durch die aufgewendete Arbeit die potentielle Energie WPot pP q gewinnt. Verknüpft man die Energiedifferenzen aus Arbeitssatz und potentieller Energie, so folgt ż Q F ¨ dr “ WPot pP q ´ WPot pQq “ E kin pQq ´ E kin pP q WFeld “ P

Da in den beliebigen Raumpunkten P und Q die Summe aus potentieller und kinetischer Energie jeweils den gleichen Wert aufweist, bedeutet dieses Ergebnis die Konstanz der Gesamtenergie in konservativen Feldern, was man auch als Erhaltungssatz der mechanischen Energie bezeichnet. W ges “ WPot ` E kin “ const.

˘ d ` WPot ` E kin “ 0 dt

(3.7)

In die Klasse der konservativen Kräfte fallen alle Zentralkräfte F „ r, die in Richtung des Abstandsvektors wirken und Zentralfelder erzeugen. Da man sie nach (17.80, Bd. I) als negativen Gradienten eines Potentials ausdrücken kann, werden sie auch als Potentialfelder bezeichnet. F “ ψprq

r “ ´ grad φprq r

3.1 Grundgesetze der Dynamik

83

Wichtige Beispiele von Zentralkräften sind Coulomb-Kraft und Gravitationskraft, die in den Kapiteln 5 und 11 behandelt werden. Speziell die Frage der Vorzeichen von Arbeit und potentieller Energie wird im Abschnitt 11.1.2 näher untersucht.

3.1.4

Allgemeines Prinzip der Energieerhaltung

Solange Vorgänge in der Mechanik ohne Temperaturänderungen verlaufen, bleibt die Summe von potentieller und kinetischer Energie nach (3.7) konstant. Die gleiche Aussage gilt in der Elektrodynamik nach (5.34) auch für elektrische und magnetische Energie. Unter dieser Voraussetzung enthält der Erhaltungssatz der mechanischen Energie auch die Aussage, dass ein Körper, an dem mechanische Arbeit verrichtet wurde, die gleiche Arbeit dadurch wieder abgeben kann, indem er in den ursprünglichen Zustand zurückkehrt, was man als reversiblen Prozess bezeichnet. Wegen unvermeidlicher Energieverluste durch Reibung und damit einhergehende Wärmeentwicklung stellt diese Situation nur den idealen Grenzfall dar, so dass alle realen Prozesse irreversibel ablaufen. Die Einbeziehung von Wärme oder thermischer Energie, die ein Körper aus seiner Umgebung aufnimmt oder an sie abgibt, bewirkt eine Erhöhung oder Verminderung der mechanischen Energie seiner Moleküle und damit seiner inneren Energie, so dass der Energieerhaltungsatz zu einer grundsätzlichen Aussage verallgemeinert werden kann. Die Erweiterung der mechanischen Energieerhaltung zu einem allgemeingültigen Prinzip und damit zu einem für alle Bereiche der Physik gültigen Grundgesetz der Erhaltung der Energie wurde 1842 zuerst vom deutschen Arzt Julius Robert Mayer (1814 -1878) theoretisch und 1842/50 vom englischen Physiker James Prescott Joule (1818 -1889) auf experimentellem Wege nachgewiesen. Unabhängig veröffentlichte Hermann von Helmholtz ( 1821 -1894) im Jahre 1847 eine mathematisch begründete Darstellung der Zusammenhänge von Energie, Bewegung und Wärme. Dieses physikalische Gesetz, das als erster Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet wird, besagt, dass in einem abgeschlossenen System, in dem sich beliebige Vorgänge mechanischer, thermischer, elektrischer oder chemischer Art abspielen, die enthaltene Gesamtenergie unverändert bleibt. Die Energie kann nur ihre Form ändern aber nicht ihren Betrag.

84

3 Trägheitstensor der Mechanik

Nach diesem Hauptsatz ist keine Konstruktion eines Systems möglich, das mechanische Arbeit abgibt, ohne dabei einen gleichwertigen Energiebetrag zu verbrauchen. Man drückt das auch dadurch aus, dass keine Energie aus dem Nichts erzeugt werden kann und dass daher ein Perpetuum mobile erster Art unmöglich ist.

3.1.5

Drehmoment und Drehimpuls

Die Kraft F auf eine Masse m außerhalb des Ursprungs eines Koordinatensystems wird zerlegt in zwei Anteile, die zum Ortsvektor r parallel bzw. senkrecht sind.

 





 





 Abb. 3.1: Kraft und Drehmoment an einem Massenpunkt Der parallele Anteil der Kraft verschiebt die Masse auf der Fluchtlinie und verrichtet die Arbeit W “ r ¨ F “ r F cos ϕ “ r F || Der senkrechte Anteil FK der Kraft dreht die Masse auf einer Kreisbahn vom Radius | r | “ r um das Zentrum O mit einem Drehmoment M , dessen Vektor im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht auf der Kreisbahn steht. M “ r ˆ F “ r F sin ϕ em “ r FK em “ M em

85

3.1 Grundgesetze der Dynamik

Die vektorielle Multiplikation von Ortsvektor r und Impuls mv definiert eine Größe, die Drehimpuls L oder Drall heißt. L “ r ˆ p “ m r ˆ v “ m r ˆ r9

(3.8)

Auch hier muss bei verteilten Massen über die Massenelemente integriert werden und r entspricht dann wieder dem Ortsvektor rS des Schwerpunktes. Greifen Kräfte an einem Massenpunkt oder an einem starren Körper an, dann besagt der Drehimpulssatz oder auch Drallsatz, dass das Drehmoment, das diese äußeren Kräfte erzeugen, der zeitlichen Ableitung des Drehimpulses gleich ist. M “ r ˆ F paq “ m r ˆ r: “ r ˆ

dp d dL “ pr ˆ pq “ dt dt dt

(3.9)

Beim Fehlen äußerer Kräfte oder im Falle einer Zentralkraft verschwindet das Drehmoment, so dass in Zentralfeldern der Drehimpuls L zeitlich konstant ist, was als Erhaltungssatz des Drehimpulses bezeichnet wird. L “ const.

für F paq “ 0 oder F „ r

Für abgeschlossene Systeme sind die Erhaltungssätze von Energie, Impuls und Drehimpuls Eckpfeiler der Physik, deren Gültigkeit immer wieder bestätigt werden konnte.

(3.10)

(3.11)

Die freie Bewegung starrer Körper mit sechs Freiheitsgraden wird bestimmt durch Schwerpunktsatz (3.2) und Drehimpulssatz (3.9), F “

dp dt

M“

dL dt

(3.12)

die zur vollständigen Beschreibung des Bewegungszustandes ausreichen.

86

3 Trägheitstensor der Mechanik

3.1.6

Virialsatz

In Systemen aus bewegten Einzelmassen, bei denen ständig Umwandlungen zwischen potentieller und kinetischer Energie stattfinden, macht der Virialsatz eine Aussage über die Zeitmittelwerte mechanischer Größen sowie die Beiträge von potentieller und kinetischer Energie zur Gesamtenergie. Im Gegensatz zu den bisherigen und allen weiteren Beziehungen ist dieser Satz also von statistischer Natur. Betrachtet wird die Einzelgröße Gi sowie der zeitliche Mittelwert ihrer Ableitung bei konstanter Masse. Gi “ ri ¨ pi “ mi ri ¨ r9 i dGi “ r9 i ¨ pi ` ri ¨ p9 i “ mi r9 i2 ` mi ri ¨ r:i dt F B ż ‰ 1 T dGi dGi 1“ “ Gi pT q ´ Gi p0q dt “ dt T 0 dt T Der Mittelwert ist Null sowohl für periodische Bewegungen bei Integration über die Periodenlänge T als auch bei Bewegungen in endlichen Raumbereichen mit beschränktem Klammerwert im Grenzübergang T Ñ 8. Damit erhält man für die verbleibenden Mittelwerte folgende Aussage, die auch bei Summation über i gültig bleibt. xmi r9 i2 y “ x 2 Ekini y “ ´ xmi ri ¨ r:i y “ ´ xri ¨ Fi y “ ´ xWi y (3.13) ÿ

xmi r9 i2 y i

“´

ÿ i

xri ¨ Fi y

Der Mittelwert xr ¨ F y, der eine Arbeit darstellt, wurde von dem deutschen Thermodynamiker Rudolf Clausius (1822 -1888) eingeführt und Virial der Bewegung (lat. vis, Kraft, Pl. vires) genannt. Die Beziehung der zeitlichen Mittelwerte wurde 1870 von Clausius als Virialsatz abgeleitet, der eine statistische Aussage macht über Systeme mit vielen Einzelteilen, z.B. in der kinetischen Gastheorie oder bei Sternhaufen in der Astronomie, [4, S. 76], [14, S. 71], [17, S. 31, 287], [18, I, S. 37].

87

3.1 Grundgesetze der Dynamik

In konservativen Zentralfeldern mit abstandsabhängigem Potential φprq in Form einer Potenzfunktion gilt mit (17.80, Bd. I) φprq “ φ0 rn n φprq r r2 xr ¨ F y “ ´ n x φprq y “ ´ n x Wpot y “ ´ 2 x Ekin y F “ ´ grad φprq “ ´

Für die wichtigen Sonderfälle von Coulomb- und Gravitationsfeld, bei denen n “ ´1 gilt, macht der Virialsatz die Aussage x Wpot y “ ´ 2 x Ekin y Für Bewegungen, die im Endlichen bleiben, ist im zeitlichen Mittel die potentielle Energie dem Betrage nach doppelt so groß wie die kinetische. Das gilt z.B. für die Erde bei ihrem Umlauf um die Sonne. Aus dem Energieerhaltungssatz (3.7) folgt damit für das Zeitmittel der Gesamtenergie x Wges y “ x Wpot ` Ekin y “ const. 1 “ x Wpot y ` x Ekin y “ x Wpot y “ ´ x Ekin y 2 Für Sterne bedeutet das, dass die Gravitationsenergie (Wpot ) doppelt so groß ist wie die thermische Energie, die der kinetischen Ekin ihrer Elementerteilchen entspricht, wodurch man deren Innentemperatur abschätzen kann.

3.1.7

Bewegung im Zentralfeld, Kepler-Problem

Gesucht ist die Bahnkurve einer kleinen Probemasse m im Zentralfeld der Masse M im sonst leeren Raum, was ein 2-Körper-Problem darstellt. In der Himmelsmechanik entspricht dieses Problem dem Umlauf eines Planeten um die Sonne, was Johannes Kepler 1609 hauptsächlich am Mars als elliptische Bahnkurve mit der Sonne in einem Brennpunkt erkannte und das als 1. Kepler’sches Gesetz bezeichnet wird. Der Abstandsvektor r weist von der Masse M zum Punkt P der Probemasse m. Mit den Newton’schen Grundgesetzen der Dynamik (3.2) und dem Gravitationsgesetz (11.1) lautet das Bewegungsgesetz von m, m r: “ F “ ´ m

GM r „ ´r r2 r

Ñ

r Ö r:

88

3 Trägheitstensor der Mechanik

dem man entnimmt, dass Abstandsvektor und Beschleunigungsvektor antiparallel sind. Für Geschwindigkeit r9 und Beschleunigung r: als Bewegungsgrößen der Masse m in P gelten folgende Beziehungen, wobei der Tangenteneinheitsvektor t der Bahnkurve nach (5.28, Bd. I) auf seiner Ableitung senkrecht steht. dr9 dt “ r: “ r: t ` r9 , dt dt

dr “ r9 “ r9 t , dt

t¨

dt “0 dt

Die Relation der Vektoren ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Durch Kreuzproduktbildung mit r folgt aus dem Bewegungsgesetz die Beziehung, r ˆ r: “ ´

˘ GM d ` romo ˆ orn “ 0 “ r ˆ r9 “ lo r9omo ˆ or9n ` r ˆ r: lo 3 r dt “0

“0

die man integrieren kann, wobei man den konstanten Vektor C erhält. rˆ

dr “ r ˆ r9 “ C “ const. dt

(3.14)

Da die beiden Spatprodukte Null sind, r¨C “0,

r9 ¨ C “ 0

erfolgt die Bewegung von m in einer Ebene senkrecht zum Vektor C, so dass in Zentralfeldern die Bahnkurven von Massen stets ebene Raumkurven sind. Der Betrag des Vektors 2 df “ r ˆ dr entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms im rechten Teil der Abbildung. Seine Ableitung ist zeitlich konstant und heißt Flächengeschwindigkeit. df 1 1 “ r ˆ r9 “ C “ const. dt 2 2 Der Abstandsvektor r überstreicht daher in gleichen Zeitintervallen gleich große Flächen, was als Flächensatz oder 2. Kepler’sches Gesetz bezeichnet wird. Das Drehmoment (3.9) ist nach (3.14) Null, M “ r ˆ F “ m r ˆ r: “

dC dL “m “0 dt dt

89

3.1 Grundgesetze der Dynamik



   





 



 









 Abb. 3.2: Vektoren beim Kepler-Problem

so dass der Flächensatz als Drallsatz die Erhaltung des Drehimpulses bedeutet. Mit der Ableitung ˘ dr dr d 2 d ` r ¨ r “ 2r ¨ “ r “ 2r dt dt dt dt erhält man folgende integrierbare Darstellung. GM r3 GM “´ 3 r

r: ˆ C “ ´

“

‰ 9 r ˆ pr ˆ rq

” ´ dr ¯ dr ` ˘ı r r¨ ´ r¨r dt dt ” 1 dr 1 dr ı “ ` GM ´ 2 r r dt r dt ¯ d ´r¯ d´ r9 ˆ C “ GM r: ˆ C “ dt dt r Die vektorielle Integrationskonstante hat den dimensionslosen Betrag ε und den Einheitsvektor e. 1 r ` εe “ r9 ˆ C r GM

90

3 Trägheitstensor der Mechanik

Durch skalare Multiplikation mit r, Anwendung des Flächensatzes und EinC2 führung der Abkürzungen ϕ “ >pr, eq und p “ erhält man GM ` ˘ ` ˘ r¨r ` ε r ¨ e “ r ` ε r cos r, e “ r 1 ` ε cos ϕ r ˘ ` ˘ 1 ` 1 C2 “ r ¨ r9 ˆ C “ r ˆ r9 ¨ C “ “pą0 GM GM GM Als Bahnkurve der Probemasse m im Gravitationsfeld von M ergibt sich die Polardarstellung der Kegelschnitte, bei dem sich die Masse M in einem Brennpunkt befindet. rpϕq “

p 1 ` ε cos ϕ

(3.15)

Die Kegelschnitte werden klassifiziert durch den Wert der numerischen Exzentrizität ε und den Brennpunktsabstand p, der senkrecht auf der durch die Brennpunkte verlaufenden Symmetrieachse steht wie in Abbildung 11.8. ε“0 ε“1

Kreis Parabel

0ăεă1 1ăεă8

Ellipse Hyperbel

Im Sonnensystem durchlaufen alle Planeten elliptische Bahnkurven mit kleinen Werten für ε nach dem 1. Kepler’schen Gesetz, sog. Kepler-Ellipsen, die nahezu kreisförmig sind. Bei verschwindender Integrationskonstante C “ 0 und damit p “ 0 entarten die Bahnkurven der Probemasse m zu Geraden durch das Gravitationszentrum, in dem die Masse M konzentriert ist. Nach dem Flächensatz überstreicht der Radiusvektor zwischen den Massen M und m bei einem vollständigem Umlauf in der Zeit T die Ellipsenfläche mit den Halbachsen a und b als integrierte Summe der (halben!) Parallelogrammflächen. ż 1 1 | r ˆ r9 | dt “ C T π ab “ 2 T 2 Für elliptische Bahnkurven gilt, C2 b2 p“ “ GM a

Ñ

b“

?

pa “ C

c

a GM

91

3.1 Grundgesetze der Dynamik

woraus der Zusammenhang zwischen Umlaufzeit und großer Halbachse folgt, b T “ 2π a “ 2π a C

c

a GM

Ñ

4π 2 T2 “ “ const. a3 GM

(3.16)

der das 3. Kepler’sche Gesetz darstellt. Der Quotient heißt Kepler-Konstante, die mit den Größen aus (11.2) und Abschnitt 11.1.2 folgende Werte hat für Planeten im Sonnensystem bzw. künstliche Satelliten, die die Erde umlaufen. # Sonnensystem 2.976 ¨ 10´19 s2 {m3 T2 “ 3 a Erdsystem 9.898 ¨ 10´14 s2 {m3 Bei nahezu kreisförmigen Umlaufbahnen mit dem Radius r “ a « b, bei denen die Masse M im Zentrum konzentriert ist, gilt im Mittel,

vBahn

2π r C “ « T r

c Ñ

vBahn prq «

GM 1 „ ? r r

(3.17)

so dass die Bahngeschwindigkeiten von Planeten und Satelliten mit wachsendem Abstand nach einem reziproken Wurzelgesetz abnehmen und auf einer Kepler-Kurve liegen. Für die Erde mit sehr geringer Exzentrizität von ε “ 0.017 ergeben sich mit dem mittleren Erdbahnradius aE , der astronomische Einheit (AE) heißt, aE “ 1 AE “ 1.496 ¨ 1011 m « 150 Mio. km und der jährlichen Umlaufzeit um die Sonne (Revolution) T “ 365 d ˆ 24 h ˆ 60 min ˆ 60 s “ 31 536 000 s folgende Werte für Bahn- und Flächengeschwindigkeit. 2π km km aE “ 29.8 « 30 T s s 2 2π 2 m CE “ a “ 4.459 ¨ 1015 T E s vE “

92

3 Trägheitstensor der Mechanik

Bei Bahnbestimmungen von Planeten und Satelliten wird häufig die Variable ζ des reziproken Abstands benutzt, die die folgende inhomogene, lineare Differentialgleichung erfüllt.

ζpϕq “

3.1.7.1

˘ 1 1` “ 1 ` ε cos ϕ rpϕq p

Ñ

d2 ζ 1 GM `ζ “ “ 2 2 dϕ p C

(3.18)

Zweiter Lösungsweg

Um den Einfluss der bei (3.15) als Integrationskonstante eingeführten Exzentrizität ε, zu ermitteln, wird die Integration noch auf eine zweite Art durchgeführt. Stellt man für die Bahnkurve in der Ebene z “ 0 den Ortsvektor und seine Ableitung in Zylinderkoordinaten dar, dann folgt aus dem Flächensatz (3.14) C “ r ˆ r9 “ r ˆ v “ const. ˘ ` “ ρ eρ ˆ ρ9 eρ ` ρ e9 ρ ` ˘ “ ρ eρ ˆ ρ9 eρ ` ρ ϕ9 eϕ “ ρ2 ϕ9 ez “ Cz ez v 2 “ ρ9 2 ` ρ2 ϕ9 2 ρ2 ϕ9 “ Cz ρ2 ϕ9 2 “

Cz2 ρ2

Aus dem Energiesatz (3.7) für konservative Kraftfelder erhält man mit der potentiellen Energie im Gravitationsfeld (11.7) eine konstante Gesamtenergie. W ges “ E kin ` WPot “ 2

m 2 GM v ´m “ const. 2 ρ

W ges GM “ ρ9 2 ` ρ2 ϕ9 2 ´ 2 “ const. m ρ

93

3.1 Grundgesetze der Dynamik

Die aus beiden Sätzen resultierenden Beziehungen werden ineinander eingesetzt und man bildet dρ dϕ Cz dρ “ ϕ9 “ 2 dϕ dt dϕ ρ ´1 v 2 “ ρ9 2 ` ρ2 ϕ9 2 “ Cz2 2 ρ ρ9 “

dρ dϕ W ges dρ ¯2 Cz2 GM ` 2 “2 `2 dϕ ρ m ρ

Mit der reziproken Abstandskoordinate ζ und Trennung der Differentiale folgt ζ“

1 ρ

dϕ2 “

Ñ

dζ “ ´

1 dρ ρ2

´ W ¯´1 ges 2 Cz2 dζ 2 ` 2 GM ζ ´ Cz2 ζ 2 m

Zur Darstellung mit Quadraten wird die Klammer erweitert, wobei der Brennpunktsabstand p wie oben definiert wird. Cz2 GM j „ „ ´ GM ¯2 j ´ ¯ W ges ´ GM ¯2 2 2 ´ Cz ζ ´ 2 GM ζ ` ` ... “ 2 m Cz Cz j „ j „ W ges ´ GM ¯2 GM 2 ´ Cz ζ ´ “ 2 “ α2 ´ η 2 ` m C C z z looooooooooomooooooooooon loooooomoooooon p“

“ α2

´ 1¯ η “ Cz ζ ´ p

“η

Ñ

dη “ Cz dζ

Die Integration wird mit einer geeigneten Konstante d ausgeführt. dη η ´ π¯ dϕ “ a Ñ ϕ “ arcsin ´ d ` α 2 α2 ´ η 2 ` ˘ ` π˘ “ α cos ϕ ` d η “ α sin ϕ ` d ` 2 Die Integrationskonstante wird so gewählt, dass bei ϕ “ 0 die extremalen Werte η “ ηmax bzw. ρ “ ρmin liegen. Nach Rückeinsetzen der Substitutionen und Abkürzungen erhält man die Bahnkurven in der Ebene z “ 0 wie

94

3 Trägheitstensor der Mechanik

in (3.15) in Form von Kegelschnitten. Cz Cz ´ “ α cos ϕ ρ p

η“

Ñ

p αp cos ϕ ´1“ ρ z on looC mo

“ε p 1 ` ε cos ϕ Die numerische Exzentrizität ist für elliptische Bahnkurven kleiner als Eins, ´ α p ¯2 ´ C ¯2 2 ´ Cz ¯2 z ε2 “ “ α2 “1` W ges ă 1 Cz GM m GM loooooomoooooon

ρpϕq “

ą0

so dass die Gesamtenergie W ges negativ gezählt werden muss. Mit steigendem Betrag der Energie geht ε gegen Null und die Ellipse wird immer kreisförmiger. Nach dem Energiesatz sind die Werte der Gesamtenergie im beliebigen Bahnpunkt pρ, vq und im Anfangszustand pρ0 , v0 q gleich. m 2 GM GM m 2 “ const. ă 0 v ´m “ v0 ´ m 2 ρ 2 ρ0 Elliptische und damit gebundene Bahnkurven ergeben sich bei Planeten und Satelliten bei negativer Zählung der Gesamtenergie, wenn also die Anfangsgeschwindigkeit kleiner als eine kritische Geschwindigkeit ist. W ges “

d v02

ă

2 vkrit

Ñ

vkrit “

2

GM ρ0

(3.19)

Für Erde und Sonne erhält man mit den im Abschnitt 11.1.2 angegebenen Werten für Masse und Radius die folgenden kritischen Geschwindigkeiten, die auch die Fluchtgeschwindigkeiten aus den jeweiligen Gravitationsfeldern in Abhängigkeit vom Anfangsabstand ρ0 darstellen. d d d km 2 GME RE RE “ 11.18 vkritE “ ¨ RE ρ0 s ρ0 d vkritd “

2 GMd Rd

d

Rd km “ 617.43 ¨ ρ0 s

d

Rd ρ0

Gilt für die Gesamtenergie W ges ě 0 und damit v0 ě vkrit , dann sind die Bahnkurven wegen ε ě 1 Parabeln oder Hyperbeln, die von Kometen oder Asteroiden einmalig durchlaufen werden.

95

3.2 Starre Körper

3.2 3.2.1

Starre Körper Bewegung eines starren Körpers

Ein starrer Körper ist dadurch definiert, dass die Abstände seiner Massenelemente untereinander unveränderlich sind und seine Gestalt auch unter Krafteinwirkung erhalten bleibt. Bei einem starrer Körper, der sich in einem raumfesten System mit dem Bezugspunkt O nicht nur rein translatorisch bewegt, kann die Bewegung eines Körperpunktes P gegenüber einem anderen Punkt Q als eine momentane Drehung aufgefasst werden, die um eine durch Q gehende zeit erfolgt. veränderliche Achse mit variabler Winkelgeschwindigkeit ω Für den Ortsvektor des Punktes P gilt r “ rQ ` c und seine Umfangsgeschwindigkeit lautet nach (5.37, Bd. I) v“

drQ dϕ dr  ˆc“ “ r9 “ r9 Q ` c9 “ vQ ` ω ` eω ˆ c dt dt dt

momentane Drehachse

starrer Körper

 =  e Q

momentane Kreisbahn

c

v P



rQ

r

O

Abb. 3.3: Momentane Drehung eines starren Körpers

96

3 Trägheitstensor der Mechanik

Multipliziert man diese Gleichung mit dem Zeitelement dt, so erhält man das Euler’sche Theorem, das besagt, dass sich infinitesimale Lageänderungen starrer Körper zusammensetzen aus einer Translation und einer Drehung um eine Momentanachse. dr “ drQ ` eω ˆ c dϕ

3.2.2

(3.20)

Rotation starrer Körper und Massenträgheitsmoment

Ein starrer Körper drehe sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse, die auch durch den Körper und insbesondere durch den Schwerpunkt gehen kann. Die Drehbewegung wird dabei durch den Rotationsvektor  “ ω eω ω

 | “ ω “ const. |ω

mit

gekennzeichnet.



r = r (m) dm

 Abb. 3.4: Drehung eines starren Körpers um eine Achse Die kinetische Energie der Drehbewegung wird nach (3.4) berechnet und für ein Massenelement dm, das den senkrechten Abstand r von der Dreh-

97

3.2 Starre Körper

achse hat, gilt dann mit der Bahngeschwindigkeit (5.36, Bd. I) 1 1 dEkin “ dErot “ v 2 dm “ ω 2 r2 dm 2 2 Die Integration über alle Massenelemente, wobei dm “ dmprq “ ρprq dv gilt, ż ¡ 1 2 1 2 2 Erot “ ω r dm “ ω ρ r2 dv 2 2 m v führt auf das stets positive Massenträgheitsmoment Θ bezüglich der Drehachse A, das häufig nur Trägheitsmoment genannt wird. ż ¡ (3.21) r2 dm “ ρ r2 dv ą 0 Θ “ ΘA “ m

v

Das Massenträgheitsmoment ändert sich nicht, wenn der Körper in Richtung der Drehachse verschoben wird, da dabei die senkrechten Abstände aller Massenelemente unverändert bleiben. Die Rotationsenergie eines Körpers, der mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse rotiert, lautet mit dem Massenträgheitsmoment Θ bezüglich dieser Achse Erot “

1 1 Θ ω 2 “ Θ ϕ9 2 2 2

(3.22)

Im Vergleich mit der translatorischen kinetischen Energie Ekin nach (3.4) entsprechen sich in beiden Beziehungen Masse und Massenträgheitsmoment sowie Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit. Ist das Massenträgheitsmoment ΘS eines starren Körpers der Masse m bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt S bekannt, dann lautet dasjenige bezüglich einer im Abstand a parallelen Drehachse A nach dem Satz von Steiner, der in Abschnitt 3.2.4 bewiesen wird ΘA paq “ ΘS ` m a2

ΘS “ ΘAmin “ ΘA p0q

(3.23)

Von allen Trägheitsmomenten um parallele Achsen ist dasjenige bezüglich der Achse durch den Schwerpunkt am kleinsten! In einem kartesischen Koordinatensystem existieren drei Massenträgheitsmomente Θxx , Θyy , Θzz bezüglich der drei Koordinatenachsen, die in Abhängigkeit von Massenverteilung und Lage des Körpers normalerweise unterschiedliche Werte aufweisen.

98

3 Trägheitstensor der Mechanik

3.2.3

Trägheitstensor des starren Körpers

Jedes Massenelement dm eines starren Körpers, der von äußeren Kräften und Momenten bewegt wird, erfährt nach (3.8) einen Beitrag zum Drehimpuls,  bei dem dessen Bahngeschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit ω um die momentane Drehachse nach (5.37, Bd. I) ausgedrückt wird. ` ˘  ˆ r dm “ w dm dL “ r ˆ v dm “ r ˆ ω Für den gesamten starren Körper muss man über alle Massenelemente integrieren. Zunächst wird das doppelte Kreuzprodukt untersucht, das nach (11.40, Bd. I) durch eine planare Dyade dargestellt wird. ‰ ˘ “ ˘ ` ˘ ` `  r´rω  ¨ r “ Da ¨ r  ¨r “ ω  ˆr “ω  r¨r ´r ω w“rˆ ω Legt man kartesische Kordinaten zugrunde, dann erhält man mit ` ˘ r “ xT e “ eT x “ x, y, z e ` ˘  “ ω T e “ eT ω “ ω x , ω y , ω z e ω

und

die Dyade als alternierenden Tensor 2. Stufe mit folgender Gestalt. ‰ “ “ ‰  “ eT ω xT ´ x ω T e “ eT D a e  r´rω Da “ ω ¨

0

˚ Da “ eT ˝ x ωy ´ y ωx x ωz ´ z ω x

y ωx ´ x ω y z ω x ´ x ω z 0

˛

‹ z ω y ´ y ωz ‚ e

y ω z ´ z ωy

0

Führt man das Skalarprodukt aus Dyade und Ortsvektor aus, dann findet man folgenden Ausdruck für den Vektor w, w “ Da ¨ r “ eT D a e ¨ eT x “ eT D a x “ eT w “

r py 2 ` z 2 q ωx `r `r

´xy ωy

´xz ωz s ex

´xy ωx `px2 ` z 2 q ωy ´xz ωx

´yz ωy

`px2

´yz ωz

s ey

y2q ω

s ez

`

z

99

3.2 Starre Körper

dessen Komponenten man als Matrizenprodukt darstellen kann. ¨ ˛ ¨ 2 ˛¨ ˛ wx y ` z2 ωx ´xy ´xz ˚ ‹ ˚ ‹˚ ‹ 2 2 x `z ´yz ‚˝ωy ‚ “ S ω w “ ˝wy ‚ “ ˝ ´xy 2 ´xz ´yz x ` y2 wz ωz

(3.24)

Der Vektor w stellt sich damit als Produkt aus symmetrischem Tensor S  dar, und Winkelgeschwindigkeit ω  w “ eT S ω “ eT S e ¨ eT ω “ S ¨ ω so dass neben dem doppelten Kreuzprodukt zwei Skalarproduktdarstellungen mit einem Tensor existieren. ˘ ` dL  ˆ r “ Da ¨ r “ S ¨ ω  “w“rˆ ω dm

(3.25)

Im ersten Tensorprodukt lassen sich die Komponenten von r wegen der nichtlinearen Glieder und der Kopplung nicht isolieren, aber im zweiten hängen die Komponenten von w linear von den Komponenten des Rotationsvek ab. Damit liegt eine affine Abbildung wie in (8.4 oder 9.2, Bd. I) vor, tors ω die durch den symmetrischen Tensor S vermittelt wird. Um den Drehimpuls zu berechnen, muss der Vektor w über alle Massenelemente integriert werden, wobei sich wegen der eingeprägten Winkel ‰ f pmq folgende Darstellungen als Vektor- bzw. Matrixgeschwindigkeit ω gleichung ergeben. ż ż T T T w dm L “ L e “ e L “ w dm “ e m

L“

ż

w dm “ m

„ż

m

j

S dm ω m

Führt man die Integration komponentenweise mit der symmetrischen Matrix S aus, so entstehen sechs Integrale, die als Dreifachintegrale über die Masse m des starren Körpers erstreckt werden müssen und die folgende Bedeutung haben.

100

3 Trägheitstensor der Mechanik • Axiale Massenträgheitsmomente Θxx , Θyy , Θzz • Deviationsmomente Θxy , Θyz , Θxz Θxx “

ż

`

y `z 2

2

˘

dm ě 0

Θxy “ ´

ż xy dm m

m

Θyy “

ż

`

x `z 2

2

˘

Θxz “ ´

dm ě 0

ż xz dm

Θzz “

ż

(3.26)

m

m

`

˘ x2 ` y 2 dm ě 0

Θyz “ ´

ż yz dm m

m

Alle Integrationen sind als Dreifachintegrale über die positive Dichte ρ mit dem Massenelement dm “ ρpx, y, zq dxdydz auszuführen, so dass die Massenträgheitsmomente stets größer als Null sind. Die Deviationsmomente beschreiben die Abweichung des starren Körpers von der Symmetrie und berücksichtigen damit seine Lage im Koordinatensystem. Hat der starre Körper eine Symmetrieebene, durch die man eine Koordinatenfläche legen kann, z.B. z “ 0, so verschwinden die entsprechenden Deviationsmomente Θxz “ Θyz “ 0, da sich die Beiträge der in z symmetrisch liegenden Massenelemente bei der Integration aufheben. Die Gesamtheit aller Trägheitsmomente bildet die kartesische Tensor_ matrix Θ des symmetrischen Trägheitstensors Θ. ¨

Θxx Θxy Θxz

˛

_ T T˚ Θ“ e Θ e “ e ˝ Θxy

Θyy

‹ Θyz ‚ e

Θxz

Θyz

Θzz

(3.27)

Drehimpuls oder Drall hängen als Tensor- und Matrixgleichung auf einfache Weise mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen. _

 L “ Θ¨ ω

L “ Θω

(3.28)

Der Vergleich der kinetischen Energieen für Translation (3.4) und Rotation (3.22) kann erweitert werden auf die linearen Beziehungen zwischen den dynamischen Vektoren p und L und den kinematischen Vektoren v

101

3.2 Starre Körper

 . Dabei entspricht die translatorische Vektorbeziehung p “ m v für den und ω _  für den Drehimpuls, bei der an Impuls der rotatorischen Beziehung L “ Θ ¨ ω _ die Stelle der skalaren trägen Masse m der Tensor Θ der Trägheitsmomente tritt, [2, S. 285]. Bei den obigen Berechnungen wurde ein kartesisches Bezugssystem zugrunde gelegt, dessen Orientierung und relative Lage zum starren Körper nicht näher definiert war. Für jede wählbare Koordinatenlage fallen die Integrationen (3.26) und damit die Werte der einzelnen Trägheitsmomente anders aus, so dass in jedem Bezugssystem der Trägheitstensor eine eigene Trägheitsmatrix besitzt! Mit den Tabellen 9.1 und 9.2 im ersten Band kann die kartesische Tensormatrix Θ auf andere orthogonale oder reziproke Komponenten umgerechnet werden und in einem beliebig gedrehten kartesischen Koordinatensystem mit der zugehörigen orthogonalen Matrix A der Drehung lautet die Trägheitsmatrix ˆ “ A Θ AT Θ Für die Rotationsenergie kann man folgende Beziehung aufstellen, dE rot “

1 2 1 1 v dm “ v ¨ v dm “ p ω ˆ rq ¨ p ω ˆ rq dm 2 2 2

die nach Umformung des Spatproduktes mit (3.25) auf den Ausdruck führt dE rot “

“ ‰ 1 1 1  ¨ r ˆ p  ¨ w dm “ ω  ¨ dL ω ω ˆ rq dm “ ω 2 2 2

Nach Integration über alle Massenelemente erhält man die Rotationsenergie als Skalarprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls oder als doppeltes Skalarprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Trägheitstensor. E rot “

3.2.4

_ 1 1  ¨L“ ω  ¨Θ¨ω  ω 2 2

2 E rot “ ω T L “ ω T Θ ω

(3.29)

Hauptträgheitssystem des starren Körpers

Hat man ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem gewählt und die _ zum Trägheitstensor Θ gehörige symmetrische Matrix Θ bestimmt, dann

102

3 Trägheitstensor der Mechanik

überführt eine Hauptachsentransformation nach Kapitel 12 (Bd. I) diese Matrix in Diagonalform Θ HA , bei der alle Deviationsmomente im Hauptachsensystem ξ, η, ζ Null werden. Diese Transformation entspricht der räumlichen Drehung des kartesischen Systems mit einer orthogonalen Matrix A bei festgehaltenem Koordinatenursprung. Die Elemente der Diagonalmatrix Θ HA sind die reellen Eigenwerte von Θ , die die positiven Hauptträgheitsmomente Θξ , Θη , Θζ darstellen. Die Eigenvektoren der Matrix Θ definieren die Spalten bzw. Zeilen der bei der Hauptachsentransformation auftretenden orthogonalen Matrizen X bzw. A. Durch Kongruenztransformation wird die Tensormatrix mit diesen Matrizen in Diagonalform überführt und die kartesischen Basisvektoren des Ausgangssystems in das Hauptachsensystem umgerechnet, das die orthogonalen Hauptträgheitsachsen bestimmt.

Θ HA

¨ ˛ Θξ 0 0 ˚ ‹ “ XT Θ X “ A Θ AT “ ˝ 0 Θ η 0 ‚ 0 0 Θζ

e HA “ XT e “ A e Besitzt der starre Körper eine Symmetrieebene, dann stellt eine beliebige dazu senkrechte Achse eine Hauptträgheitsachse dar, [15, S. 249]. Kennt man den Schwerpunkt S des starren Körpers entweder aus Symmetriegründen oder indem man ihn rechnerisch bestimmt hat, dann ist es besonders günstig, die Hauptträgheitsachsen mit ihrem Ursprung in den Schwerpunkt zu verschieben. ˆ ηˆ, ζˆ erhält man mit Im Hauptachsenystem des Schwerpunktes ξ, den Achsenabständen ak besondere Hauptträgheitsmomente, die man nach dem Satz von Steiner bestimmt, der im nächsten Abschnitt abgeleitet wird. ˆ “ Θ HA Θ S

mit

ˆ k “ Θ k ´ m a2 Θ k

pk “ ξ, η, ζq

Bei dieser besonderen Koordinatenwahl nennt man den Tensor dann Hauptträgheitstensor, obwohl sich das nur auf die Matrix seiner Komponenten bezieht, da der Tensor als physikalische Größe invariant ist. Im Schwerpunktsystem besitzt die Tensormatrix auf ihrer Diagonale die kleinsten Werte ˆ η, Θ ˆ ζ der Massenträgheitsmomente, die alle positiv sind. ˆ ξ, Θ Θ

103

3.2 Starre Körper



z

a

m

^





^



a

S

O x

y



^

Abb. 3.5: Koordinatensysteme in Bezug auf den starren Körper

Die Tensorfläche des starren Körpers ist gemäß Abschnitt 12.5 (Bd. I) wegen der positiven Hauptträgheitsmomente stets ein Ellipsoid, das im Hauptachsensystem des Schwerpunktes Hauptträgheitsellipsoid genannt wird und folgende Gleichung besitzt. ηˆ2 ζˆ2 ξˆ2 ˆ ξ ξˆ2 ` Θ ˆ η ηˆ2 ` Θ ˆ ζ ζˆ2 “ 1 ` ` “Θ ˆξ ˆη ˆζ 1{Θ 1{Θ 1{Θ Nach (3.29) stellt es eine Fläche konstanter Rotationsenergie dar und seine Achsen weisen in Richtung der Hauptträgheitsachsen. Sind zwei Trägheitsmomente des starren Körpers gleich, dann ergibt sich für die Tensorfläche ein Rotationsellipsoid und, wenn alle drei gleich sind, eine Kugel. Der starre Körper selbst muss diese Rotationseigenschaften natürlich nicht aufweisen, was durch den Quader mit quadratischem Querschnitt, das Flügelrad mit ungerader Zahl von Speichen oder den Würfel im Abschnitt 3.3 demonstriert wird.

104

3 Trägheitstensor der Mechanik

Im Hauptachsenystem des Schwerpunktes lautet die Matrix des Drehimpulses ¨ ˛ ¨ ˛¨ ˛ ˆξ 0 ˆξ L Θ 0 ω ˆξ ‹ ˚ ‹˚ ‹ ˆ ˆL “ ˚ ˆ ˆ ˆη ‚ “ Θ ω ˆ ˝Lη ‚ “ ˝ 0 Θη 0 ‚˝ω ˆζ L

0

0

ˆζ Θ

ω ˆζ

und die Rotationsenergie nimmt die besonders einfache Form einer Summe von Quadraten an. ˆξ ω ˆη ω ˆζ ω ˆξ ω ˆη ω ˆζ ω 2 Erot “ L ˆξ ` L ˆη ` L ˆζ “ Θ ˆ2 ` Θ ˆ2 ` Θ ˆ2 ξ

η

ζ

Die Zuordnung der Richtungen der Vektoren für Drehimpuls L und Winkel wird besonders anschaulich dargestellt durch die Poingeschwindigkeit ω  nur in sot’sche Konstruktion aus Abschnitt 12.5.3 (Bd. I), bei der L und ω Richtung der Hauptachsen zueinander parallel sind. Wirken keine äußeren Momente auf einen starren Körper ein, dessen Form und Masse sich zeitlich nicht ändern, so folgert man nach (3.9) und (3.28), _

_ _ d `_ ˘ dΘ d ω d ω dL  `Θ ¨  “ ¨ω “ “Θ ¨ M “0“ Θ¨ ω dt dt dt on dt dt loomo “0

 zeitlich konstant dass dann Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit ω sind. Ein Körper, der um eine Hauptachse rotiert, befindet sich in einem stabilen Gleichgewichtszustand, wenn die Drehung entweder um die Achse mit dem größten oder mit dem kleinsten Trägheitsmoment erfolgt. Die Drehung um die Achse mit dem Zwischenwert der Trägheitsmomente führt dagegen zu einem labilen Gleichgewichtszustand und Torkelbewegungen, [2, S. 309], [9, S. 75]. Aus der letzten Beziehung ergibt sich bei zeitabhängigem Trägheitsmo_ ment Θ ptq, wenn weiterhin keine äußeren Momente wirken, die folgende Proportionalität. d `_ ˘ 1  “0  ptq „ _ Ñ ω Θ¨ ω dt Θ ptq Dieser reziproke Zusammenhang begründet die Erscheinung, dass Eiskunstläufer bei Pirouetten ihre Drehgeschwindigkeit steigern, indem sie ihr Trägheitsmoment durch Anziehen der Arme verringern.

105

3.2 Starre Körper

3.2.5

Satz von Steiner

Der Satz war schon Huygens (1673) und Euler (1765) bekannt, wird aber üblicherweise nach Jakob Steiner (1796 -1863) benannt. Der Satz von Steiner (3.23) sagt aus, wie sich das Massenträgheitsmoment ΘA eines starren Körpers der Masse m bezüglich einer beliebigen Achse A durch das Trägheitsmoment ΘS um eine dazu parallele Achse durch den Schwerpunkt S bestimmen läßt.

y

y' dm

y ay r S

x'

P ax

x

x

Abb. 3.6: Verschiebung der Achsen beim Satz von Steiner in der Ebene z “ const. Berechnet werden die Massenträgheitsmomente in Abbildung 3.6 um zwei zur z-Achse parallele Drehachsen durch den Schwerpunkt S und einen beliebigen Punkt P . Für Koordinaten und Trägheitsmomente bezüglich des Schwerpunktes gelten die Beziehungen

m xS “

ż

x dm “ 0 , m

ΘzzS “

ż

ż

y dm “ 0 , m

` m

m yS “

x `y 2

2

˘

dm , ΘxyS “ ´

m zS “

ż

z dm “ 0 m

ż xy dm m

106

3 Trägheitstensor der Mechanik

Das Massenträgheitsmoment bezüglich des Punktes P lautet, ż “` ˘2 ` ˘2 ‰ ΘzzP “ x ´ ax ` y ´ ay dm m ż ż ż ż ` 2 ˘ ` 2 ˘ 2 2 “ dm ´ 2 ax x dm ´ 2 ay y dm x ` y dm ` ax ` ay m m m loommoon looomooon looomooon “m

“0

“0

ΘzzP “ ΘzzS ` m pa2x ` a2y q “ ΘzzS ` m r2

(3.30)

was der Beziehung (3.23) entspricht. Für das zugehörige Deviationsmoment erhält man ż ` ˘` ˘ x ´ ax y ´ ay dm ΘxyP “ ´ m ż ż ż ż “ ´ xy dm ´ ax ay dm ` ay x dm ` ax y dm m

m

m

m

ΘxyP “ ΘxyS ´ m ax ay

(3.31)

Entsprechende Beziehungen gelten für die anderen Trägheitsmomente.

3.2.6

Trägheitsmoment um eine beliebig gerichtete Achse

Für einen starren Körper seien die Momente des Trägheitstensors in einem bestimmten kartesischen Koordinatenystem bekannt. Gesucht ist das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Ursprung des Systems, um die der starre Körper mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Im kartesischen System schließen der Vektor r zu einem Massenelement  , der Drehachse und Winkelgeschwindigkeit defiund der Rotationsvektor ω niert, den Winkel ψ ein. Die Vektoren haben die Komponenten r “ xT e “ px, y, zq e  “ ω e ω “ ω T e “ pωx , ωy , ωz q e “ ω pcos α, cos β, cos γq e ω

107

3.2 Starre Körper

und ihr Kreuzprodukt lautet mit der Matrix (6.2, Bd. I)  “ r ω sin ψ eK “ xT e ˆ eT ω “ xT Γ ω rˆω “ py ωz ´ z ωy q ex ` pz ωx ´ x ωz q ey ` px ωy ´ y ωx q ez ` ` ` ˘2 ` ˘ ˘ ˘  |2 “ ω 2 r sin ψ “ y 2 ` z 2 ωx2 ` x2 ` z 2 ωy2 ` x2 ` y 2 ωz2 |r ˆ ω ´ 2 xy ωx ωy ´ 2 xz ωx ωz ´ 2 yz ωy ωz  , von der das MasDas Trägheitsmoment um die Drehachse des Vektors ω senelement den senkrechten Abstand r sin ψ hat, wird auf folgende Weise aus den kartesischen Trägheitsmomenten berechnet. ż ` ˘2 Θω “ r sin ψ dm m

Θω “

´ ω ¯2 ż x

˘ y 2 ` z 2 dm ω m ´ ω ¯2 ż ` ˘ y ` x2 ` z 2 dm ω m ´ ω ¯2 ż ` ˘ z ` x2 ` y 2 dm ω m ż ż ż ωy ωz ωx ωy ωx ωz xy dm ´ 2 2 xz dm ´ 2 2 yz dm ´2 2 ω ω ω m m m `

Das Trägheitsmoment Θω um eine beliebige Achse kann berechnet werden, wenn der Trägheitstensor in Bezug auf das kartesische System bekannt ist. Θω “ Θxx cos2 α ` Θyy cos2 β ` Θzz cos2 γ ´ 2 Θxy cos α cos β ´ 2 Θxz cos α cos γ ´ 2 Θyz cos β cos γ (3.32) Bei einem gegebenen starren Körper ist es empfehlenswert, durch Ausnutzung von Symmetrien eine günstige Wahl für das kartesische Koordinatensystem zu treffen, damit der Integrationsaufwand für die sechs Trägheitsmomente möglichst gering ausfällt und, wenn möglich, variable Integrationsgrenzen bei den Mehrfachintegralen vermieden werden. Das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Richtung e ω im Raum kann dann leicht mit (3.32) und dem Satz von Steiner ermittelt werden.

108

3 Trägheitstensor der Mechanik

3.3 3.3.1

Beispiele für Trägheitstensoren Trägheitsmomente der Kugel

Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in das Zentrum, dann gilt für die Kugel vom Radius R mit homogener Massendichte ρ0 aus Symmetriegründen nach (3.26) Θ “ Θxx “ Θyy “ Θzz Die Addition liefert ż ż2π żπ żR ` 2 ˘ R5 2 2 3 Θ “ 2 x ` y ` z dm “ 2ρ0 r4 sin ϑ dr dϑ dϕ “ 2ρ0 4π 5 m

0 0 0

4π 3 Θ “ ρ0 R 3 loooomoooon

2R2

“m

5

2 2 R 5

“m

Die Tensormatrix lautet Θ “ ΘE und als Hauptträgheitsachsen kann man drei beliebige zueinander orthogonale Achsen wählen.

3.3.2

Trägheitsmomente einer Kreisscheibe

Das Koordinatensystem liege im Schwerpunkt einer homogenen Kreisscheibe vom Radius R und der Dicke h und ihre Rotationsachse weise in z-Richtung. Das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse lautet in Zylinderkoordinaten mit y “ ρ sin ϕ und dv “ ρ dρ dϕ dz ż ż ` 2 ˘ ` ˘ 2 Θxx “ y ` z dm “ ρ0 y 2 ` z 2 dv m

“ ρ0

m

żR ż2π h{2 ż

ρ sin ϕ ρ dρ dϕ dz ` ρ0 2

2

0 0 ´h{2

“ ρ0

żR ż2π h{2 ż

z 2 ρ dρ dϕ dz

0 0 ´h{2

” R 2 h2 ı R4 R2 h3 π h ` ρ0 2π “ loooomoooon ρ0 πR2 h ` 4 2 12 4 12 “m

109

3.3 Beispiele für Trägheitstensoren

Aus Symmetriegründen sind die Trägheitsmomente bezüglich x- und y-Achse gleich. ‰ m “ 2 3R ` h2 Θxx “ Θyy “ 12 Für die z-Achse erhält man Θzz “

ż

`

x `y 2

2

˘

dm “ ρ0

m

żR ż2π h{2 ż

ρ3 dρ dϕ dz “ ρ0

m 2 R4 2π h “ R 4 2

0 0 ´h{2

? Für h “ R 3 sind alle drei Trägheitsmomente gleich groß, so dass das Trägheitsellipsoid zur Kugel wird. Bei kleineren h-Werten ist das Rotationsellipsoid langgestreckt, bei größeren abgeplattet.

3.3.3

Trägheitsmomente eines Flügelrades

Das Koordinatensystem liege im Schwerpunkt des symmetrisch aufgebauten Flügelrades vom Radius R und der Dicke h.

y

60 °

R

ez

x

Abb. 3.7: Geometrie des Flügelrades Abweichend vom letzten Beispiel der Kreisscheibe gilt für die Integration in ϕ-Richtung J“

żβ α

sin2 ϕ dϕ “

˘ ‰ 1 “` β ´ α ´ cospβ ` αq sinpβ ´ αq 2

110

3 Trägheitstensor der Mechanik

Für die Winkelwerte α “ 0, 120˝ , 240˝ und β “ 60˝ 180˝ , 300˝ bezüglich der x-Achse und α “ 30, 150˝ , 270˝ und β “ 90˝ 210˝ , 330˝ bezüglich der y-Achse heben sich die Winkelfunktionen auf und es ergibt sich 3J “

π 2

Die weiteren Integrationen sind äquivalent zur Kreisscheibe und für die Trägheitsmomente erhält man Θxx “ Θyy “ ρ0

‰ R4 π R 2 h3 m“ 2 3R ` h2 h ` ρ0 π “ 4 2 2 12 24

Bezüglich der z-Achse erhält man bei Integration über ϕ den Wert π, so dass folgt R4 m 2 πh “ R 4 4 ? Auch in diesem Fall sind für h “ R 3 alle drei Trägheitsmomente gleich groß, so dass das Trägheitsellipsoid zur Kugel wird. Θzz “ ρ0

3.3.4

Trägheitsmomente des Quaders

Ein Quader mit homogener Massendichte ρ0 befindet sich im 1. Oktanten und seine Kanten mit den Seitenlängen a, b, c liegen an den Koordinatenachsen an. Die Trägheitsmomente erhält man durch folgende Integrationen.

Θxx “

ż

`

y2 ` z

˘ 2

ża

dm “ ρ0 dx

m

0

“ ρ0 a

„ żb 0

żb żc

`

˘ y 2 ` z 2 dy dz

0 0

żc

żb

żc

0

0

0

j

y dy dz ` dy z dz “ loomoon ρ0 abc 2

2

˘ b2 ` c 2 m ` 2 “ 4 b ` c2 3 12

“m

ż

ża

żb

żc

m

0

0

0

Θxy “ ´ xy dm “ ´ ρ0 x dx y dy dz “ ´ ρ0 abc

ab m “´ 3 ab 4 12

111

3.3 Beispiele für Trägheitstensoren

Mit entsprechenden Integrationen für die restlichen Trägheitsmomente ergibt sich die Trägheitsmatrix für das zugrundegelegte Koordinatensystem. ˛ ¨ ´ 3 ab ´ 3 ac 4 pb2 ` c2 q m˚ ‹ 4 pa2 ` c2 q ´ 3 bc ‚ Θ“ ˝ ´ 3 ab 12 ´ 3 ac ´ 3 bc 4 pa2 ` b2 q Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt mit den Koordinaten pa{2, b{2, c{2q, dann erhält man die Hauptträgheitsmomente, indem man den Satz von Steiner anwendet. ˆ ξ “ Θxx “ Θxx ´ m a2 Θ x S ”´ b ¯2 ´ c ¯2 ı ˘ ˘ m ` 2 m` 2 b ` c2 “ ` “ 4 b ` c2 ´ m 12 2 2 12 Die Deviationsmomente müssen in diesem Fall verschwinden. ˆ xy “ Θxy “ Θxy ` m a b “ ´ m 3 ab ` m ab “ 0 Θ S 2 2 12 4 “ ´ρ

a{2 ż

b{2 ż

x dx ´a{2

c{2 ż

y dy ´b{2

dz “ 0

´c{2

Der Hauptträgheitstensor besitzt damit die diagonale Tensormatrix ˛ ¨ 2 0 0 b ` c2 ‹ ˆ “ m˚ a2 ` c2 0 Θ ‚ ˝ 0 12 2 2 0 0 a `b

112

3 Trägheitstensor der Mechanik

3.3.5

Trägheitsmomente des Doppelkeils

3.3.5.1

Homogener Doppelkeil z

x z a + c =1

y

x

x

z

z c

c b

ey

a

x−z a c =1

ex

y

ez

a

−c

b

y

x

Abb. 3.8: Ansicht und Darstellung des Doppelkeils Der homogene Doppelkeil gemäß Abbildung 3.8 hat die Massendichte ρ0 . Für Masse und obere schräge Kante gelten die Beziehungen m “ mhom “ ρ0 abc ´ x¯ zpxq “ c 1 ´ a Die Trägheitdsmomente werden im dargestellten kartesischen Koordinatensystem berechnet, das seinen Ursprung nicht im Schwerpunkt des Körpers hat. Da die Ebene z “ 0 mit der Symmetrieebene des Körpers zusammenfällt, ist nur das Deviationsmoment Θxy von Null verschieden. Der Schwerpunkt des Körpers liegt aus Symmetriegründen bei yS “

b , 2

zS “ 0

sowie bei m xS “ ρ0

ża żb 0 0

a xS “ 3

cp1´x{aq ż

ża ´

m x¯ x dx dy dz “ 2 ρ0 bc 1´ x dx “ a a 3 0 ´cp1´x{aq loooooooomoooooooon “ a2 {6

113

3.3 Beispiele für Trägheitstensoren

Die Trägheitsmomente bezüglich der Koordinatenachsen lauten Θxx “ ρ0

ża żb

cp1´x{aq ż

`

˘ y 2 ` z 2 dx dy dz

0 0 ´cp1´x{aq

b3 “ 2 ρ0 3

ża zpxq ż ża zpxq ż dz dx ` 2 ρ0 b z 2 dz dx 0

b3 “ 2 ρ0 c 3

0

0

0

ża ´

ża c3 ´ x¯ x ¯3 dx 1´ 1´ dx ` 2 ρ0 b a 3 a 0 0 loooooooomoooooooon looooooomooooooon “ a{2

“

“ a{4

˘ m` 2 2 b ` c2 6

Θyy “ ρ0

ża żb

cp1´x{aq ż

`

˘ x2 ` z 2 dx dy dz

0 0 ´cp1´x{aq

ża ´

ża c3 ´ x¯ 2 x ¯3 dx 1´ 1´ x dx ` 2 ρ0 b “ 2 ρ0 bc a 3 a 0 0 looooooooomooooooooon loooooooomoooooooon “ a3 {12

“ a{4

˘ m` 2 “ a ` c2 6 Θzz “ ρ0

ża żb

cp1´x{aq ż

`

˘ x2 ` y 2 dx dy dz

0 0 ´cp1´x{aq

ża ´ b3 x¯ 2 x¯ “ 2 ρ0 bc 1´ 1´ x dx ` 2 ρ0 c dx a 3 a 0 0 looooooooomooooooooon looooooomooooooon ża ´

“ a3 {12

“

m` 6

a2 ` 2 b

˘ 2

“ a{2

114

3 Trägheitstensor der Mechanik

Das einzige Deviationsmoment hat folgenden Wert. Θxy “ ´ 2 ρ0

ża żb

cp1´x{aq ż

xy dx dy dz 0 0 ´cp1´x{aq

b2 “ ´ 2 ρ0 c 2

ża ´

x¯ 1´ x dx a 0 loooooooomoooooooon “ a2 {6

“´

m ab 6

Die Matrix des Trägheitstensors für das zugrunde liegende Koordinatensystems lautet damit ˛ ¨ 2 ´ab 0 2b ` c2 m˚ ‹ c 2 ` a2 0 Θ“ ‚ ˝ ´ab 6 2 2 0 0 a ` 2b Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt, dann erhält man die Hauptträgheitsmomente nach dem Satz von Steiner ˆ xx “ Θxx “ Θxx ´ m a2 ˆξ “ Θ Θ x S ´ ¯ 2 ˘ ˘ m` 2 b m` 2 2 b ` c2 ´ m 3 b ` 6 c2 “ “ 6 2 36 ˆ yy “ Θyy “ Θyy ´ m a2y ˆη “ Θ Θ S ´ a ¯2 ˘ ˘ m` 2 m` 2 “ “ a ` c2 ´ m 2 a ` 6 c2 6 3 36 ˆ zz “ Θzz “ Θzz ´ m a2 ˆζ “ Θ Θ z S ”´ ´ b ¯2 ı ¯ 2 ` ˘ ˘ a m` 2 m 2 a ` 2 b2 ´ m 2 a ` 3 b2 ` “ “ 6 3 2 36 und ein verschwindendes Deviationsmoment. ˆ xy “ Θxy ` m ax ay “ ´ m ab ` m b a “ 0 Θ 6 2 3

115

3.3 Beispiele für Trägheitstensoren

Der Hauptträgheitstensor des Schwerpunktsystems besitzt damit die diagonale Tensormatrix ˛ 0 0 3b2 ` 6c2 ‹ ˆ “ m˚ 0 6c2 ` 2a2 0 Θ ‚ ˝ 36 2 2 0 0 2a ` 3b ¨

3.3.5.2

Inhomogener Doppelkeil

Der inhomogene Doppelkeil hat im unteren Teil die k-fache Massendichte wie im oberen und seine Masse ergibt sich in diesem Fall zu m˚ “

k`1 k`1 ρ0 abc “ mhom 2 2

Der Schwerpunkt liegt bei ża żb zpxq ż ża żb ż0 m˚ xS “ ρ0 x dx dy dz ` k ρ0 x dx dy dz 0 0

“ ρ0 bc

ża

0

´

0 0 ´zpxq

x¯ 1´ x dx ` k ρ0 bc a

0

ża ´

1´

a x¯ x dx “ m˚ a 3

0

ża żb zpxq ż ża żb ż0 ˚ z dx dy dz ` k ρ0 z dx dy dz m zS “ ρ0 0 0

c2 “ ρ0 b 2

0

0 0 ´zpxq

ża ´ ża c2 ´ c k´1 x ¯2 x ¯2 dx ´k ρ0 b dx “ ´ m˚ 1´ 1´ a 2 a 3 k`1 0 0 loooooooomoooooooon “ a{3

xS “

a , 3

yS “ 0 ,

zS “ ´

c k´1 3 k`1

116

3 Trägheitstensor der Mechanik

Die Trägheitsmomente bezüglich der Koordinatenachsen lauten ża żb zpxq ż `

Θxx “ ρ0

0 0

y `z 2

2

˘

dx dy dz ` k ρ0

0

ża żb ż0

`

˘ y 2 ` z 2 dx dy dz

0 0 ´zpxq

b3 “ p1 ` kq ρ0 c 3

ża ´

c3 x¯ 1´ dx ` p1 ` kq ρ0 b a 3

0

“

m˚

`

6

Θyy “ ρ0

2 b2 ` c

ża żb zpxq ż ` 0 0

`

6

x `z

2

˘

dx dy dz ` k ρ0

0

ża żb ż0

`

˘ x2 ` z 2 dx dy dz

0 0 ´zpxq

Θzz “ ρ0

a2 ` c2

ża żb zpxq ż ` 0 0

ża ´

c3 x¯ 2 1´ x dx ` p1 ` kq ρ0 b a 3

6

`

1´

x ¯3 dx a

˘

2

0

2

˘

dx dy dz ` k ρ0

ża żb ż0

`

˘ x2 ` y 2 dx dy dz

0 0 ´zpxq

ża ´ 0

“

ża ´ 0

x `y

“ p1 ` kq ρ0 bc m˚

x ¯3 dx a

0

0

“

1´

˘ 2

2

“ p1 ` kq ρ0 bc m˚

ża ´

a 2 ` 2 b2

b3 x¯ 2 1´ x dx ` p1 ` kq ρ0 c a 3

ża ´ x¯ 1´ dx a 0

˘

Wenn man den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt legt, um nur den Hauptträgheitstensor zu berechnen, dann entfällt die Berechnung der Deviationsmomente, da sie Null sind.

3.3 Beispiele für Trägheitstensoren

117

Nach dem Satz von Steiner lauten die Hauptträgheitsmomente dann

´ ¯2 ˚ ` ˘ ˆξ “ Θ ˆ xx “ Θxx “ Θxx ´ m˚ b “ m b2 ` 2 c2 Θ S 2 12 ´ a ¯2 m˚ ` ˘ ˆη “ Θ ˆ yy “ Θyy “ Θyy ´ m˚ Θ “ 2 a2 ` 6 c 2 S 3 36 ”´ a ¯2 ´ b ¯2 ı m˚ ` ˘ ˆζ “ Θ ˆ zz “ Θzz “ Θzz ´ m˚ Θ ` “ 2 a 2 ` 3 b2 S 3 2 36

Der Hauptträgheitstensor des Schwerpunktsystems besitzt damit folgende diagonale Tensormatrix.

˛ 0 0 3b2 ` 6c2 ‹ ˚ ˆ “ 0 6c2 ` 2a2 0 Θ ‚ ˝ 36 2 2 0 0 2a ` 3b ¨

m˚

Der Bezug auf die Masse des Doppelkeils führt dazu, dass die normierten Trägheitsmomente bzw. Trägheitsmatrizen identische Werte haben,

ˆ hom ˆ Θ Θ “ inhom m m˚

da der Faktor k darin nicht auftritt. Die normierten Werte sind also reine Geometriegrößen. Die variable Masse wirkt sich jedoch auf die Lage des Schwerpunktes aus, der gemäß Abbildung 3.9 auf der z-Achse bei wachsendem k zu negativeren Werten rückt, wodurch sich auch der Ursprung des Hauptachsensystems entsprechend verlagert.

118

3 Trägheitstensor der Mechanik a/3

a/3 c

a

0

a/3 c

a

0

c

−c/9

a

0 −2c/9

Schwerpunkt −c homogener Doppelkeil

−c

−c

inhomogener Doppelkeil (k = 5) (k = 2)

Abb. 3.9: Lage des Schwerpunktes bei Seitenansicht der beiden Doppelkeile

3.3.6

Bemerkungen zur Integration

Die Berechnung von Schwerpunkten und Trägheitsmomenten zur Ermittlung der Trägheitsmatrizen bedeutet selbst bei relativ einfachen starren Körpern einen gewissen, teilweise sogar erheblichen Integrationsaufwand, der mitunter die zugrunde liegende physikalische Fragestellung in den Hintergrund treten lassen kann. Bei ortsabhängiger Massendichte und komplexer Geometrie, die stückweise Integration und variable Integrationsgrenzen zur Beschreibung des Körpers erforderlich machen, kann der Rechenaufwand stark ansteigen oder auf Integrale führen, die nicht mehr geschlossen sondern nur mit Näherungsverfahren oder Reihenentwicklungen mit gliedweiser Integration lösbar sind oder sogar numerische Verfahren notwendig machen. Um auftretende bestimmte Integrale zu lösen, kann man ausführliche Integraltafeln wie [1], [5], [6], [7], [10] und für elliptische Integrale [3] zu Rate ziehen, um die Berechnungen abzukürzen, zu ermöglichen oder zu überprüfen. Ein interessantes Buch über die Methoden oder „Tricks “ zur Lösung bestimmter Integrale ist [11].

Literatur [1] Apelblat, A.: Tables of Integrals and Series Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main (1996) [2] Budó, A.: Theoretische Mechanik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 6. Aufl. (1971) [3] Byrd, P. F., Friedman, M. D.: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists Springer-Verlag, Berlin Göttingen Heidelberg (1954) [4] Goldstein, H.: Klassische Mechanik Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden, 5. Aufl. (1978) [5] Gradshteyn, I. S., Ryzhik, I. M.: Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, New York (1980) [6] Gröbner, W., Hofreiter, N.: Integraltafel, Bestimmte Integrale Springer Verlag, Wien, 3. Aufl. (1966) [7] Gröbner, W., Hofreiter, N.: Integraltafel, Unbestimmte Integrale Springer Verlag, Wien New York, 5. Aufl. (1975) [8] Jammer, M.: Der Begriff der Masse in der Physik Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1964) 119

120

Literatur

[9] Lüders, K., Pohl, R. O.: Pohls Einführung in die Physik, Mechanik, Akustik und Wärmelehre Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 19. Aufl. (2004) [10] Meyer zur Capellen, W.: Integraltafeln Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1950) [11] Nahin, P. J.: Inside Interesting Integrals Springer Science+Business Media New York (2015) [12] Samueli, J.-J. / Boudenot, J.-Cl.: Trente livres de mathématiques qui ont changé le monde Ellipses Edition Marketing S.A. Paris (2006) [13] Sommerfeld, A.: Vorlesungen über theoretische Physik III, Elektrodynamik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 4. Aufl. (1964) [14] Stephani, H., Kluge, G.: Grundlagen der theoretischen Mechanik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1980) [15] Szabó, I.: Einführung in die Technische Mechanik Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, 6. Aufl. (1963) [16] Szabó, I.: Geschichte der mechanischen Prinzipien Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart (1977) [17] Unsöld, A., Baschek, B.: Der neue Kosmos Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 7. Aufl. (2002) [18] Volz, H.: Einführung in die Theoretische Mechanik, I/II Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main (1971/72)

Kapitel 4

Spannungs- und Deformationstensoren der Mechanik Zusammenfassung Der Einfluss von Kräften ruft in Körpern einen Spannungszustand hervor und führt zu Verformungen, die durch mehrere Tensoren beschrieben werden. Verschiedene Beispiele veranschaulichen die Zusammenhänge.

4.1

Deformierbare Körper

Die Vorstellung des starren Körpers, der unter der Einwirkung von Kräften und Momenten nur seine Position im Raum aber nicht seine Gestalt ändert, muss im Hinblick auf technische Anwendungen wie bei Balken oder Tragwerken für die Aufnahme von Belastungen zum deformierbaren Körper mit veränderlicher Form erweitert werden. Von großem Interesse sind elastische Verformungen, die bei Krafteinwirkungen auftreten und mit diesen auch wieder verschwinden, wodurch ein Körper seine ursprüngliche Gestalt annimmt, so dass bei Bauwerken und anderen Objekten das prinzipielle statische Gleichgewicht nicht beeinträchtigt wird. 121 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_4

122

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Die Elastizitätstheorie untersucht Deformationen oder Verzerrungen eines Körpers, d.h. Verschiebungen seiner einzelnen Massenelemente gegeneinander, wenn Kräfte oder Spannungen auf ihn einwirken. Für die technisch interessanten Materialien gilt dabei in einem gewissen Belastungsbereich ein linear-elastischer Zusammenhang zwischen Verformung und Kraft bzw. Spannung, der nach Robert Hooke (1635 -1703) als Hooke’sches Gesetz (1678) bezeichnet wird.

4.2 4.2.1

Spannungszustand und Spannungstensor Spannung und Spannungszustand

Wirken auf einen Körper äußere Kräfte und Momente ein, so treten bei deren Weiterleitung innerhalb des Körpers innere Kräfte als Reaktionen auf, die Spannungen und Deformationen des Materials hervorrufen. Zur Bestimmung der Spannungen wendet man das Schnittprinzip von Euler an, [1, S. 29]. Dazu wird durch den Körper ein gedachter Schnitt gelegt, wodurch die inneren Kräfte in der Schnittfläche zu äußeren Kräften werden, die gerade so groß sind, dass das vorherige Gleichgewicht erhalten bleibt. Die Schnittkräfte variieren dabei von Punkt zu Punkt und mit der Winkelstellung bzw. Normalenrichtung der Schnittfläche. Greift an einem Flächenelement da “ n da eine Kraft dF an, dann definiert man den Spannungsvektor s als Differentialquotienten von Kraft und Fläche. s“

dF da

dF “ s da

(4.1)

Kraft und Spannung wirken also stets in die gleiche Richtung und für die Kraft ist das gesamte Flächenelement da und keine Projektion ausschlaggebend! Da Spannungsvektor s und Flächenelement da einen beliebigen Winkel einschließen können, wird die Spannung zerlegt in eine zur Schnittfläche senkrechte Normalspannung σ, die Zug für σ ą 0 oder Druck für σ ă 0 bewirkt, und eine in der Schnittfläche tangential wirkende Schubspannung τ , die eine Scherbeanspruchung des Materials mit Winkeländerungen zur Folge

123

4.2 Spannungszustand und Spannungstensor hat. Normal- und Schubspannungen haben die Dimension Pa “ N{m2 . s “ σn`τ t

|n| “ |t| “ 1

(4.2)

Die tangentiale Schubspannung wird in zwei orthogonale Richtungen zerlegt, so dass eine doppelte Indizierung notwendig wird.

z

 

s

da

n

da

z

s

P t

zx ( >0)

zy ( >0)

y

x Abb. 4.1: Spannungen am Flächenelement Bezogen auf ein Koordinatensystem geben der Index der Normalspannung und der erste Index der Schubspannung die Normalenrichtung des Flächenelementes an, während der zweite Index der Schubspannung die Richtung der Spannung bezeichnet. Dabei gilt folgende Vorzeichenregelung. • Schubspannungen sind positiv, wenn Flächennormale und Spannung zugleich in positive oder negative Koordinatenrichtung weisen. Zur Ermittlung der Beanspruchung von Bauelementen sind die in ihrem Inneren übertragenen Kräfte von Bedeutung. Erst wenn man in allen Körperpunkten den Spannungsvektor für jede beliebige Orientierung des Flächenelementes angeben kann, ist der allgemeine Spannungszustand innerhalb des Körpers bekannt. Schneidet man aus einem belasteten Körper ein quaderförmiges Volumenelement heraus, dann wirken auf seinen Seiten sechs Normalspannungen senkrecht nach außen und zwölf Schubspannungen tangential in den Flächen. In Abbildung 4.2 sind auf den nicht sichtbaren Flächen die entsprechenden, positiven Spannungen entgegengesetzt gerichtet.

124

4 Spannungs- und Deformationstensoren

z  zy

 zx

z xz

y

dz

x

xy

 yz

y

 yx

dx

x dy

Abb. 4.2: Positive Normal- und Schubspannungen am Volumenelement Kennt man alle auftretenden Spannungen und damit den Spannungszustand in einem Punkt, dann kann man die Spannungen für jede beliebige Schnittebene durch den Körper berechnen, was für den zweidimensionalen Fall noch durchgeführt wird.

4.2.2

Spannungstensor

Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befinden und daher nicht bewegen soll, dann müssen die Normalspannungen in gegenüberliegenden Flächen des Schnittquaders gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein und sich dadurch aufheben. Damit keine Drehung des Körpers auftritt, müssen alle Momente Null sein. Das Momentengleichgewicht um die drei Quaderachsen führt auf den Satz über die Gleichheit der einander zugeordneten Schubspannungen. τxy “ τyx ,

τxz “ τzx ,

τyz “ τzy

(4.3)

Normal- und Schubspannungen bilden in jedem Punkt eines Körpers die sechs kartesischen Komponenten des symmetrischen Spannungstensors,

4.2 Spannungszustand und Spannungstensor

125

[2, S. 143]. ¨

SSp

˛ σx τxy τxz ˚ ‹ “ eT Sp e “ eT ˝ τxy σy τyz ‚ e τxz τyz σz

(4.4)

Der Spannungvektor s kann dann für jede Orientierung eines Flächenelementes da “ n da und damit in einem Körperpunkt P in jeder beliebigen Schnittebene als Tensorprodukt oder Matrixgleichung dargestellt werden. s “ Sp n

s “ SSp ¨ n

(4.5)

Mit dem Einheitsvektor n in kartesischer Darstellung n “ nT e “ nx ex ` ny ey ` nz ez “ cos α ex ` cos β ey ` cos γ ez erhält man die Komponenten des Spannungvektors in Gestalt der Cauchy’schen Gleichungen. sx “ σx nx ` τxy ny ` τxz nz “ σx cos α ` τxy cos β ` τxz cos γ sy “ τxy nx ` σy ny ` τyz nz “ τxy cos α ` σy cos β ` τyz cos γ sz “ τxz nx ` τyz ny ` σz nz “ τxz cos α ` τyz cos β ` σz cos γ

4.2.3

Kraft als Tensorfluss

Die Verknüpfung von (4.1) und (4.5) führt nach (19.2, Bd. I) auf die Darstellung der Kraft als Tensorfluss, die durch den Spannungsvektor auf ein gerichtetes Flächenelement ausgeübt wird. dF “ s da “ SSp ¨ n da “ SSp ¨ da Nach Integration erhält man die Gesamtkraft, die die einwirkenden Spannungen erzeugen. ij SSp ¨ da (4.6) F “ a

Insgesamt ergibt sich daher der Vektor der Kraft als Tensorfluss des Spannungstensors durch die betrachtete Fläche.

126

4.2.4

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Hauptachsentransformation

Durch Hauptachsentransformation kann die symmetrische Matrix Sp des Spannungstensors auf Diagonalform gebracht werden, bei der im Hauptachsenystem ξ, η, ζ alle Schubspannungen Null werden. ˘ ` Sp HA “ Diag σξ , ση , σζ

(4.7)

Die Diagonalelemente der Matrix Sp HA und damit ihre Eigenwerte sind die Hauptnormalspannungen σξ , ση , σζ , die im Vergleich mit den Normalspannungen beliebiger Richtungen extremale Werte annehmen und einen Elementarquader in allen drei Hauptachsenrichtungen nur auf Zug oder Druck beanspruchen. Weiter unten wird gezeigt, wie man die Richtungen und Werte der Hauptschubspannungen ermitteln kann. Sind in einem Flächenelement mit der Normalen n beide tangentialen Schubspannungen τnα und τnβ Null, dann ist die Richtung n Hauptachse. Die dem Betrage nach größten Spannungen in einem Körper sind bei Entwurf und Bemessung von Bauelementen von besonderer Bedeutung, da sie die maximalen Materialbeanspruchungen auf Zug, Druck und Scherung bzw. Torsion darstellen, nach denen alle Konstruktionen für Funktionsfähigkeit und Sicherheit gegen Versagen oder Bruch ausgelegt werden müssen.

4.2.5

Hydrostatischer Spannungszustand

Flüssigkeiten werden dadurch charakterisiert, dass ihre Teilchen oder Elemente sehr leicht gegeneinander verschieblich sind, so dass sie sich problemlos der Gestalt von Behältern und Grenzflächen anpassen, dass sie aber einer Verringerung ihres Volumens einen enormen Widerstand entgegensetzen, [1, S. 394]. Zwischen den Teilchen einer idealen Flüssigkeit werden keine Schubspannungen und daher keine inneren Reibungen übertragen, sondern es wird nur ein überall gleicher, isotroper Flüssigkeitsdruck p in Richtung der negativen Normale eines Flächenelementes ausgeübt. Aus (4.5) und (4.6) folgt dann mit dem Einheitstensor E für die Kraft auf das Flächenelement dF idFl “ s da “ ´ p n da “ ´ p da “ ´ p E ¨ da “ SidFl ¨ da

127

4.2 Spannungszustand und Spannungstensor

Der Tensor des hydrostatischen Spannungszustandes hat daher folgende Gestalt. ` ˘ S idFl “ Diag ´ p

SidFl “ ´ p E

4.2.6

(4.8)

Ebener Spannungszustand und Mohr’scher Spannungskreis

Die Ebene eines dünnen Flächenstückes, auf dessen Oberfläche weder Normalspannungen senkrecht noch Schubspannungen tangential einwirken, wird als spannungsfreie Ebene bezeichnet. In Punkten eines Körpers mit dieser Eigenschaft liegt ein ebener Spannungszustand vor. In dünnen Platten, die nur am Rand belastet sind, existieren im ganzen Körper näherungsweise ebene Spannungszustände. Wirken auf die Kanten einer rechteckigen Platte nur in einer Richtung Kräfte ein, spricht man vom einachsigen Spannungszustand, bei Kräften auf allen vier Seiten vom zweiachsigen Spannungszustand.

z, x da

 xy

 yx

y

 yx  xy

x Abb. 4.3: Spannungen beim ebenen Spannungszustand

y

128

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Legt man das Koordinatensystem so, dass die z-Achse die Normale eines solchen Flächenelementes ist, die wegen verschwindender Schubspannungen gleichzeitig die Hauptachse ζ darstellt, dann existieren nur drei Spannungen und die restlichen Spannungen sind Null. σx , σy , τxy ‰ 0 ,

σz “ τxz “ τyz “ 0

Für den ebenen Fall ist die Hauptachsentransformation eine Drehung um die z-Achse mit einem bestimmten Winkel ϕ und man erhält durch Kongruenztransformation mit der orthogonalen Transformationsmatrix A nach (12.13, Bd. I) bzw. Aϕ nach (6.34, Bd. I) die Matrix des ebenen Hauptspannungstensors mit den Eigenwerten auf der Diagonalen. ˛ σx τxy 0 ‹ ˚ Sp “ ˝ τxy σy 0 ‚ 0 0 0 ¨

˛ σξ 0 0 ‹ ˚ “ A Sp AT “ ˝ 0 ση 0 ‚ 0 0 0 ¨

Ñ

Sp HA

(4.9) Um die Spannungen zu bestimmen, die unter einem gegebenen Winkel ϕ gegenüber den kartesischen Richtungen herrschen, hat man zwei Möglichkeiten. Entweder transformiert man die Tensormatrix Sp mit der Matrix A ϕ kongruent wie angegeben oder man geht nach dem in der Mechanik üblichen Euler’schen Schnittprinzip vor. Dazu schneidet man aus der spannungsfreien Platte ein dreieckiges Prisma heraus, wobei der Winkel ϕ im Dreieck das gedrehte Koordinatensystem p, q festlegt, und bestimmt die Kräfte in diesen Richtungen. Auf die Prismaseiten dax , day und da wirken die Normalspannungen σx , σy und σp sowie die (positiven) Schubspannungen τxy , τyx und τpq ein, die Kräfte in den Richtungen x, y bzw. p, q erzeugen. Aus der Forderung, dass sich im Gleichgewicht die am Prisma angreifenden Kräfte aufheben müssen, folgt mit dax “ da cos ϕ

und

day “ da sin ϕ

für die Normalspannung in p-Richtung σp da ´ σx cos ϕ dax ´ σy sin ϕ day ´ τxy sin ϕ dax ´ τyx cos ϕ day “ 0 σp “ σpϕq “ σx cos2 ϕ ` σy sin2 ϕ ` 2 τxy sin ϕ cos ϕ

129

4.2 Spannungszustand und Spannungstensor

p

y da x x

q

xy

pq 

p da



x yx

y

da y

Abb. 4.4: Positiv gerichtete Spannungen am Dreieckprisma und für die Schubspannung in q-Richtung, τpq da ` σx sin ϕ dax ´ σy cos ϕ day ´ τxy cos ϕ dax ` τyx sin ϕ day “ 0 τpq “ τ pϕq “ ´ pσx ´ σy q sin ϕ cos ϕ ` τxy pcos2 ϕ ´ sin2 ϕq woraus man die winkelabhängigen Spannungen erhält. σpϕq “

1 1 pσx ` σy q ` pσx ´ σy q cos 2ϕ ` τxy sin 2ϕ 2 2 (4.10)

τ pϕq “ ´

1 pσx ´ σy q sin 2ϕ ` τxy cos 2ϕ 2

Bei Kenntnis der Spannungen σx , σy und τxy ist der ebene Spannungszustand vollständig bestimmt, so dass für jeden Schnitt unter beliebigem Winkel ϕ die zugehörigen Normal- und Schubspannungen σpϕq und τ pϕq berechnet werden können. Das äquivalente Ergebnis wurde bei der Hauptachsentransformation im Abschnitt 12.2.7 (Bd. I) mit der Gleichung (12.16, Bd. I) erzielt. Durch Quadrieren und Addieren der Beziehungen (4.10) erhält man die Kreisgleichung des Mohr’schen Spannungskreises, die im Jahre 1882

130

4 Spannungs- und Deformationstensoren

von Otto Mohr angegeben wurde. ”

σpϕq ´

ı2 “ ‰2 1 pσx ` σy q ` τ 2 pϕq “ σpϕq ´ σM ` τ 2 pϕq 2 ”1 ı2 2 “ “ R2 pσx ´ σy q ` τxy 2

(4.11)

Aus den gegebenen Spannungen wird der Kreis konstruiert, indem die Werte σx und σy auf der σ-Achse abgetragen und für τ pϕ “ 0q ein positives τxy bei σx nach unten und für τ pϕ “ π{2q bei σy nach oben aufgetragen werden. Die Verbindung der beiden Punkte ist ein Kreisdurchmesser 2R, der die σ-Achse im Kreismittelpunkt bei σM “ pσx ` σy q{2 schneidet. Vom Punkt P ausgehend wird der Spannungskreis mit steigendem Winkel ϕ bzw. 2ϕ in mathematisch positiver Richtung durchlaufen. Je nach den Werten von σx und σy kann der Kreis die τ -Achse berühren, schneiden und rechts oder links von ihr liegen.



 I   min

 

R  I

 xy 

y

M

x







 xy

 =  max 

P

  II  max

  

Abb. 4.5: Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Durch Ableiten und Nullsetzen der beiden Beziehungen (4.10) erhält man die Hauptachsenrichtungen pξ, ηq der Hauptnormalspannungen bzw.

131

4.2 Spannungszustand und Spannungstensor die Richtungen pI, IIq der Hauptschubspannungen. 2 τxy dσ “ 0 Ñ tan 2ϕξ “ ` dϕ σx ´ σy

Ñ ϕη “ ϕξ `

σx ´ σy dτ “ ´ cot 2ϕξ “ 0 Ñ tan 2ϕI “ ´ dϕ 2 τxy

Ñ ϕII “ ϕI `

π 2 π 2

Die Richtungen ξ, η und I, II sind jeweils orthogonal und weisen wegen ´ π¯ π ´ cot 2ϕξ “ tan 2 ϕξ ` Ñ ϕ I “ ϕξ ` 4 4 gegeneinander einen Winkel von π{4 auf. Mit den ermittelten Winkelwerten ϕξ, η und ϕI, II werden die Extremwerte der Spannungen berechnet, indem man die Funktionen sin 2ϕ und cos 2ϕ durch die beiden Werte von tan 2ϕ ausdrückt und in (4.10) einsetzt. Im Hauptachsensystem sind die Schubspannungen Null und die Hauptnormalspannungen haben die Werte

σξ, η

σx ` σy “ ˘ 2

c´ σ x ´ σ y ¯2 2 “σ ˘R ` τxy M 2

bei

τξ, η “ 0

(4.12) Die Hauptschubspannungen haben folgende Werte, aber in diesen Richtungen verschwinden die Normalspannungen normalerweise nicht.

τI, II

c´ σx ´ σy ¯2 2 “ ˘R “˘ ` τxy 2

mit

σI, II “

σx ` σy 2 (4.13)

4.2.7 4.2.7.1

Darstellung von drei ebenen Sonderfällen Einachsiger Spannungszustand

Wirken Zug oder Druck als Hauptnormalspannung nur in einer Richtung, also in einer Achse, dann berührt der Mohr’sche Kreis die τ -Achse. Unter dem Winkel ϕ “ π{4 treten Hauptschubspannungen und Normalspannungen mit der halben Größe auf.

132

4 Spannungs- und Deformationstensoren I 

II

y y

 yx  xy

max

I





 II

x

x



  ξ

Abb. 4.6: Ebener zweiachsiger Spannungszustand im kartesischen System, im Hauptachsensystem und im Hauptschubspannungssystem 0 /2

y 0 x

 max 0 /2



max 0





Abb. 4.7: Einachsiger Spannungszustand

4.2.7.2

Zweiachsiger Spannungszustand bei Zug und Druck gleicher Größe

Wirken Zug und Druck gleicher Größe als Hauptnormalspannungen σ0 in orthogonalen Richtungen, dann fällt der Mittelpunkt des Mohr’schen Kreises mit dem Koordinatenursprung zusammen. Unter dem Winkel ϕ “ π{4 tritt reiner Schub mit gleich großen Hauptschubspannungen τmax “ σ0 auf. 4.2.7.3

Hydrostatischer Spannungszustand

Wirken Zug oder Druck gleicher Größe als Hauptnormalspannungen in orthogonalen Richtungen, dann entartet der Mohr’sche Kreis zum Punkt.

133

4.3 Tensoren der Verformung

y



0

max = 0 0

max = 0

0 x





Abb. 4.8: Zweiachsiger Spannungszustand

Dieser Spannungszustand ist stets schubspannungsfrei und bei jedem Winkel ϕ sind die Normalspannungen wie bei Wasserdruck gleich groß. y

0

 0 x

0 



Abb. 4.9: Hydrostatischer Spannungszustand

4.3 4.3.1

Tensoren der Verformung Dehnung, Stauchung, Dilatation

Verzerrungen eines deformierbaren Körpers, die durch Längenänderungen auf Grund von Normalspannungen hervorgerufen werden, heißen Dehnungen oder Stauchungen oder als Oberbegriff Dilatationen. Im eindimensionalen Fall wird ein Stab von konstantem Querschnitt A durch Zug mit der Normalspannung σx um einen kleinen Wert Δ linear verlängert. Die relative Längenänderung heißt Dehnung εx , die nach dem Hooke’schen Gesetz , [1, S. 85], linear von der eingeprägten Spannung σx abhängt. Bei negativen Werten heißt sie Stauchung.

134

4 Spannungs- und Deformationstensoren

A

x =  +  K x = x A

x=0

x

x=

Abb. 4.10: Eindimensionale Dehnung durch Normalspannung

Der Proportionalitätsfaktor ist der Young’sche Elastizitätsmodul E.

εx “

Δ σx “ E

| εx | ! 1

(4.14)

Die lineare Verschiebung u des Querschnitts an der Stelle x beträgt

upxq “

σx x “ εx x E

Ñ

εx “

Bu Bx

(4.15)

Mit der Dehnung in einer Richtung gehen wegen der Volumenkonstanz des Materials Kontraktionen in den beiden dazu senkrechten Richtungen einher, die im elastischen Bereich der Normalspannung proportional sind. Für diese Dehnungen gilt mit der Poisson’schen Querkontraktionszahl ν εy “ εz “ ´ ν ε x “ ´ ν

σx ! 1 E

(4.16)

Da bei diesen Dehnungen keine Schubspannungen auftreten, sind alle drei Richtungen Hauptachsen, die deshalb mit ξ, η, ζ bezeichnet werden. Im dreidimensionalen Fall kann man die Verschiebungen u, v, w, die die Normalspannungen σξ , ση und σζ in den drei Achsenrichtungen an einem Element eines homogenen Körpers erzeugen, jeweils überlagern.

135

4.3 Tensoren der Verformung

Die Dehnungen lauten in ξ-Richtung auf Grund der Spannungen in den drei Richtungen pξq

εξ “

σξ , E pξq

pηq

εξ “ ´ν pηq

ση , E

pζq

εξ “ ´ν

σζ E

pζq

εξ “ εξ ` εξ ` εξ

und entsprechend in η- und ζ-Richtung. Das allgemeine Hooke’sche Gesetz für homogene Körper folgt durch Überlagerung, das die Hauptdilatationen in Abhängigkeit von den Hauptnormalspannungen in Richtung der Hauptachsen darstellt. E εξ “ σξ ´ ν pση ` σζ q E εη “ ση ´ ν pσξ ` σζ q E εζ “ σζ ´ ν pσξ ` ση q

Bu “ uξ Bξ Bv εη “ “ vη Bη Bw εζ “ “ wζ Bζ εξ “

(4.17)

Die Mittelwerte σ ¯ und ε¯ der Normalspannungen und Dilatationen erhält man aus den invarianten Spuren der Matrizen von Spannungstensor und dem später eingeführten Verzerrungstensor. 3σ ¯ “ σξ ` ση ` σζ “ sp Sp (4.18) 3 ε¯ “ εξ ` εη ` εζ “ sp V Die Addition der drei Hooke’schen Gleichungen ergibt folgenden Zusammenhang zwischen den Mittelwerten. σ ¯ ε¯ “ E 1 ´ 2ν Durch Ergänzung der Gleichungen (4.17) wie bei der ersten E εξ “ σξ ` ν σξ ´ ν pσξ ` ση ` σζ q “ p1 ` νq σξ ´ 3 ν σ ¯

(4.19)

136

4 Spannungs- und Deformationstensoren

kann man das Hooke’sche Gesetz als Matrixgleichung für die Diagonalmatrizen von Spannungstensor SSp nach (4.5) und Verzerrungstensor V formulieren. ˛ ˛ ¨ ¨ σξ 0 0 εξ 0 0 σ ¯ ‹ 1`ν ˚ ‹ ˚ E ˝ 0 ση 0 ‚ ´ 3 ν ˝ 0 εη 0 ‚ “ E E 0 0 εζ 0 0 σζ loooooooomoooooooon looooooooomooooooooon “ V HA

“ Sp HA

1`ν σ ¯ Sp HA ´ 3 ν E E E Damit erhält man die beiden Tensorgleichungen des Hooke’schen Gesetzes, das in beliebigen Koordinatensystemen gültig ist. V HA “

V “

σ ¯ 1`ν SSp ´ 3 ν E E E

SSp “

ı E ” ν V ` 3 ε¯ E 1`ν 1 ´ 2ν

(4.20) Für die Tensormatrizen gilt die allgemeine Spektralverschiebung nach Abschnitt 12.3.3 (Bd. I) mit unterschiedlichen Eigenwerten λSp “ σξ,η,ζ

Ñ

λV “ εξ,η,ζ “

1`ν σ ¯ σξ,η,ζ ´ 3 ν E E

(4.21)

aber mit identischen Eigenvektoren, so dass Spannungs- und Verzerrungstensor das gleiche Hauptachsensystem besitzen.

4.3.2

Gleitung, Scherung

Verzerrungen eines deformierbaren Körpers, die durch Winkeländerungen auf Grund von Schubspannungen hervorgerufen werden, heißen Gleitungen oder Scherungen. Im eindimensionalen Fall wird der quadratische Querschnitt eines Stabes, der in z-Richtung weist, durch kleine, in den Längsflächen wirkende Schubspannungen in einen Rhombus mit unveränderten Kantenlängen verformt. In der xy-Ebene ändert sich der rechte Winkel um den Gleitwinkel γxy “ γ1 ` γ2 “

τxy ! 1 G

(4.22)

137

4.3 Tensoren der Verformung

y

y

yx

dv

dy xy

xy O

yx

dx



2



1

du

x

x

Abb. 4.11: Eindimensionale Scherung eines Stabes durch Schubspannungen Dieser Zusammenhang gilt in Analogie zum Hooke’schen Gesetz und der von De Saint-Venant 1837 eingeführte Proportionalitätsfaktor ist der Schubmodul G. Da nur kleine Winkeländerungen in Betracht gezogen werden, gilt für die Gleitwinkel näherungsweise γxy “ γ1 ` γ2 « tan γ1 ` tan γ2

Ñ

γxy “

Bu Bv ` Bx By

(4.23)

Im dreidimensionalen Fall erzeugen die verschiedenen Schubspannungen mit (4.3) folgende Gleitwinkel γxy “ γyx “

4.3.3

τxy , G

γxz “ γzx “

τxz , G

γyz “ γzy “

τxy G

(4.24)

Beziehung zwischen den elastischen Konstanten

Belastet man eine quadratische Fläche in einer Seitenrichtung mit einer Zugspannung und in der anderen mit einer gleich großen Druckspannung, dann liegt ein zweiachsiger, ebener Spannungszustand wie in den Abbildungen 4.3 bzw. 4.8 vor, der das Quadrat in ein Rechteck verformt. Die Kanten des Quadrats bilden die Hauptachsen ξ und η.

138

4 Spannungs- und Deformationstensoren



 



II





 

I

 

 Abb. 4.12: Zweiachsiger Spannungzustand Mit den Spannungen σξ “ ´ ση “ σ gilt für Dehnungen und Gleitwinkel am Rhombus innerhalb des Rechtecks nach dem Hooke’schen Gesetz (4.17) und unter Anwendung des Additionstheorems des Tangens, Δ σ “ p1 ` νq E τmax σ “γ“ “ G G

εξ “ ´ εη “ γI, II tan

´π 4

`

1 ` εξ γ ˘ 1 ` Δ { “ “ 2 1 ´ Δ { 1 ´ εξ “ Ñ

1 ` tan γ{2 1 ` γ{2 « 1 ´ tan γ{2 1 ´ γ{2 γ “ 2 εξ

woraus der Zusammenhang der drei elastischen Konstanten folgt. E “ 2 p1 ` νq G

(4.25)

Die Zahlenwerte der drei Größen E, G und ν werden für technisch interessante Materialien durch Methoden der Werkstoffprüfung wie Zug- und Dehnungsversuche ermittelt.

139

4.3 Tensoren der Verformung

4.3.4

Verschiebungs-, Verzerrungs- und Deformationstensor

Belastet man einen deformierbaren Körper, dann verändert er durch die Krafteinwirkung seine Gestalt und seine Massenelemente erfahren relative Verschiebungen zueinander. In der Abbildung 4.13 gelangt der Körperpunkt P durch eine Krafteinwirkung in den Punkt P 1 , aber der Punkt Q erreicht nicht den Punkt Q1 , wie es beim starren Körper der Fall wäre, sondern er wird durch die Verformung des Materials in den Punkt R verschoben.

P'

z

r'

u + du

u

y

P

R

Q'

dr

u r

x

du

dr'

dr rQ

Q

Abb. 4.13: Vektoren bei der Deformation eines Körpers Bezogen auf ein raumfestes kartesisches Koodinatensystem besitzt der Verschiebungsvektor u die drei von Punkt zu Punkt verschiedenen Komponenten u, v und w. u “ uprq “ upx, y, zq ex ` vpx, y, zq ey ` wpx, y, zq ez “ uT e

(4.26)

Das Vektorfeld uprq beschreibt die Lageänderung aller Körperpunkte. Da u, v, w beliebige stetige Funktionen darstellen, kann der Verschiebungsvektor u bzw. sein Differential du abhängig von Belastung oder Materialbean-

140

4 Spannungs- und Deformationstensoren

spruchung äußerst verwickelte Lageänderungen und Deformationen beschreiben, die auch Plastizität und Fließvorgänge umfassen. In der vorliegenden Untersuchung werden jedoch nur kleine elastische Verschiebungen gemäß den Beschränkungen betrachtet, die nach den Ungleichungen (4.14) und (4.22) im Rahmen des Hooke’schen Gesetzes auftreten können. Zur Beschreibung des Punktes R gibt es verschiedene Möglichkeiten. rR “ r 1 ` dr 1 “ rQ ` u ` du “ r ` dr ` u ` du Mit den Differentialen als formale Skalarprodukte aus Zeilenvektoren und kartesischen Basisvektoren dr “ dxT e “ pdx, dy, dzq e du “ duT e “ pdu, dv, dwq e erhält man für den Ortsvektor des Punktes R in der rechts stehenden Darstellung die Matrixschreibweise rR “ xT e ` dxT e ` uT e ` duT e Die Verschiebung in den Punkt R wird durch Differentiale oder Wegelemente beschrieben und mit Vektorgradient nach (17.33, Bd. I) und Einheitstensor E gilt ` ˘ dr 1 “ dr ` du “ dr ` dr ¨ Grad u “ dr ¨ E ` Grad u

(4.27)

Nach Abschnitt 17.3.2 (Bd. I) ist der Vektorgradient ein Tensor 2. Stufe, dessen kartesische Komponenten durch die Funktionalmatrix der Verschiebungen nach den Koordinaten ausgedrückt werden, wodurch der Verschiebungstensor Grad u definiert wird. ˛ ¨ Bu Bv Bw ˛ ¨ ˚ Bx Bx Bx ‹ ∇x u ‹ ˚ ˚ ` # #˘ Bv Bw ‹ ‹ T˚ T T T ˚ Bu ‹ e Grad u “ ∇u “ e ˝ ∇y u ‚ “ e F u { x e “ e ˚ ‹ By By By ‹ ˚ ˝ ∇z u Bu Bv Bw ‚ Bz Bz Bz

141

4.3 Tensoren der Verformung

Das Differential des Verschiebungsvektors u ist das Skalarprodukt von Wegelement und Vektorgradient und lautet ` ˘ ` ˘ du “ dr ¨ Grad u “ dxT e ¨ eT FT u# { x# e “ dxT FT u# { x# e Durch Addition einer geeigneten Null kann die Funktionalmatrix in einen symmetrischen und einen alternierenden Anteil zerlegt werden. ` ˘‰ 1 “ T ` # #˘ F u { x ` F u# { x# 2 ` ˘‰ 1 “ T ` # #˘ ` F u { x ´ F u# { x# 2 “ V`A

` ˘ F T u# { x# “

“ ‰ dr 1 “ dxT E ` V e ` dxT A e “ ‰ “ dr ¨ E ` V ` dr ¨ A Der symmetrische Anteil besteht aus Einheitsmatrix E und Matrix V des Verzerrungstensors V , der auch Dehnungs- oder Dilatationstensor genannt wird. Dieser Tensor enthält Dehnungen und Gleitwinkel für die drei räumlichen Richtungen gemäß (4.15) und (4.23). ¨

εx

˚ ˚γ ˚ xy V “ eT V e “ eT ˚ ˚ 2 ˝γ xz 2

γxy 2 εy γyz 2

γxz 2 γyz 2 εz

˛ ‹ ‹ ‹ ‹ e ‹ ‚

(4.28)

Die reellen Eigenwerte des symmetrischen Verzerrungstensors, die sich nach Hauptachsentransformation als Elemente der Diagonalmatrix ergeben, ` ˘ V “ eTHA Diag εξ,η,ζ e HA sind die Hauptdilatationen εξ , εη , εζ , die nach (4.14) ebenfalls alle klein gegen Eins sind. Die Tensorflächen des symmetrischen Verzerrungstensors r ¨ V ¨ r “ C “ const.

142

4 Spannungs- und Deformationstensoren

heißen Dehnungsflächen oder auch Dilatationsflächen, deren Charakter von den Eigenwerten der Tensormatrix abhängt. Nach (12.17, Bd. I) ist die Spur der Matrix die Summe der Eigenwerte und damit der Hauptdilatationen, die schon in (4.18) verwendet wurde. sp V “ εξ ` εη ` εζ “ 3 ε¯ Haben alle Eigenwerte das gleiche Vorzeichen, dann ist die Tensorfläche bei Dehnungen mit C ą 0 oder Stauchungen mit C ă 0 ein Ellipsoid. Für positives C ist bei einem negativen Eigenwert die Tensorfläche ein einschaliges, bei zwei negativen Eigenwerten ein zweischaliges Hyperboloid. Der alternierende Anteil mit Tensor A und Matrix A kann ebenfalls physikalisch gedeutet werden. ¨ ˛ Bu Bw Bu Bv ´ ´ 0 ˚ Bx By Bx Bz ‹ ˚ ‹ ˚ Bw Bv ‹ 1 T ˚ Bw Bu ‹ T ´ 0 ´ dr ¨ A “ dx A e “ dx ˚ ‹ e ˚ Bx Bz By Bz ‹ 2 ˚ ‹ ˝ Bw Bu Bw Bv ‚ ´ ´ 0 Bx Bz By Bz Bei Ausführung der Matrixmultiplikation erhält man aus dem Vergleich von Kreuzprodukt (7.17, Bd. I) und Rotation (17.51, Bd. I) eine Darstellung, die nach (5.37, Bd. I) einer momentanen Drehung entspricht. dr ¨ A “

1  ˆ dr rot u ˆ dr “ ω 2 (4.29)

 “ ω

´ Bw

´ Bu Bw ¯ ´ Bv Bv ¯ Bu ¯ ´ ex ` ´ ey ` ´ ez By Bz Bz Bx Bx By

 , der zugleich Die Drehung wird beschrieben durch den Rotationsvektor ω  | “ ω und die Drehachse im Raum bestimmt. die Winkelgeschwindigkeit | ω Insgesamt besteht die Verschiebung (4.27) von Punkten eines deformierbaren Körpers nach dem Satz von Helmholtz aus drei Anteilen, einer gewöhnlichen Translation, einer Rotation und einer Deformation. ` ˘  ˆ dr ` dr ¨ V dr 1 “ dr ¨ E ` A ` V “ dr ` ω

(4.30)

143

4.3 Tensoren der Verformung

Nach dem Euler’schen Theorem (3.20) sind beim starren Körper nur die beiden ersten Anteile vorhanden. Der Satz von Helmholtz erweitert dieses Theorem um den dritten Anteil, der zusätzlich bei linear-elastisch deformierbaren Körpern auftritt. Einen weiteren Tensor kann man aus der Beziehung (4.27) bzw. (4.30) bilden, wenn man die symmetrischen Anteile zusammenfasst, ` ˘ drsym “ dr ¨ E ` V “ dr ¨ Df wobei man den Deformationstensor mit symmetrischer Matrix erhält. ¨

1 ` εx

˚ ˚ γ ˚ xy Df “ eT Df e “ eT ˚ ˚ 2 ˝ γ xz 2

γxy 2 1 ` εy γyz 2

γxz 2 γyz 2 1 ` εz

˛ ‹ ‹ ‹ ‹e ‹ ‚

(4.31)

Nach (12.22, Bd. I) bewirkt die Addition in der Hauptdiagonale eine Spektralverschiebung, so dass alle Eigenwerte des Deformationstensors gegenüber denen des Verzerrungstensors um Eins verschoben sind und wegen der kleinen ε-Werte (4.14) daher grundsätzlich größer als Null ausfallen.

λV “ εξ,η,ζ

Ñ

λDf “ 1 ` λV “ 1 ` εξ,η,ζ ą 0

(4.32)

Die Tensorfläche des Deformationstensors mit drei positiven Eigenwerten ist deshalb stets ein Ellipsoid, das Deformationsellipsoid. Da die Matrizen von Verzerrungs- und Deformationstensor nach (12.23, Bd. I) die gleichen Eigenvektoren besitzen, haben Dehnungs- bzw. Dilatationsfläche und Deformationsellipsoid auch das gleiche Hauptachsensystem. Bei Spannung und Verformung eines isotropen Körpers im linear-elastischen Bereich, der dem Hooke’schen Gesetz gehorcht, kann man als Ergebnis vier Tensoren und zugehörige Matrizen unterscheiden, von denen bis auf

144

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Grad u alle symmetrisch sind. ‚ Spannungstensor SSp

mit

‚ Verschiebungstensor Gradu

mit

Sp “ SpT ` ˘ FT u# { x#

‚ Verzerrungstensor V

mit

V “ VT

‚ Deformationstensor Df

mit

Df “ Df T

Dabei werden die letzten beiden Matrizen aus der Funktionalmatrix gebildet. ` ˘‰ 1 “ T ` # #˘ F u { x ` F u# { x# 2 ` ˘‰ 1 “ T ` # #˘ Df “ E ` F u { x ` F u# { x# 2 V“

Die drei symmetrischen Tensoren SSp , V , Df besitzen nach (4.21) und (4.32) zwar unterschiedliche Eigenwerte, aber sie weisen alle das gleiche Hauptachsensystem auf!

4.3.5

Kugeltensor und Deviator

Wenn man das Volumenelement V “ x y z in alle Richtungen dehnt, dann gilt für kleine Deformationen in erster Näherung die Beziehung Vˆ “ x p1 ` εx q y p1 ` εy q z p1 ` εz q « x y z p1 ` εx ` εy ` εz q “ V p1 ` 3 ε¯q Die relative Volumenänderung oder Volumendilatation ergibt sich zu χ“

Vˆ ´ V “ 3 ε¯ “ sp V V

Aus dem Vergleich von (4.15) und (18.41, Bd. I) folgt für χ, χ “ sp V “ εx ` εy ` εz “

Bu Bv Bw ` ` “ div u Bx By Bz

(4.33)

145

4.3 Tensoren der Verformung

so dass man eine kleine Volumenänderung durch die Divergenz des Verschiebungsvektors u ausdrücken kann. Ist die Divergenz bei einem Körper dagegen Null, dann ändert sich das Volumen nicht, so dass daher die Bedingung der Inkompressibilität lautet χ “ div u “ 0 Weiterhin folgt mit (4.19) und (4.25) für die Volumendilatation χ “ 3 ε¯ “ 3 p1 ´ 2 νq

3 p1 ´ 2 νq σ ¯ σ ¯ “ E 2 p1 ` νq G

(4.34)

Da sowohl bei Zug wie auch bei Druck σ ¯ und χ gleiches Vorzeichen haben, erhält man aus 1 ´ 2 ν ą 0 folgende Wertebereiche für die elastischen Konstanten. 0 ă ν ă

1 2

Ñ

2 ă

E ă 3 G

(4.35)

Aus (4.34) erhält man den Kompressionsmodul K. K“

σ ¯ E 2 p1 ` νq “ “ G χ 3 p1 ´ 2 νq 3 p1 ´ 2 νq

(4.36)

Werkstoffe mit K Ñ 8 für χ Ñ 0 bzw. ν Ñ 1{2 heißen inkompressibel. Anhand der Mittelwerte (4.18) kann man die Tensoren für Spannung und Verzerrung in zwei Anteile zerlegen, die man in ihrer Wirkung physikalisch unterschiedlich deuten kann. ¯ E ` SSpD “ SSpK ` SSpD SSp “ σ (4.37) V “ ε¯ E ` VD “ VK ` VD Die zugehörigen symmetrischen Tensormatrizen werden jeweils in zwei Matrizen aufgeteilt, die unterschiedliche Auswirkungen auf die Deformation ei-

146

4 Spannungs- und Deformationstensoren

nes Körpers zur Folge haben. ¨ ˛ σx τxy τxz ˚ ‹ Sp “ ˝ τxy σy τyz ‚ τxz τyz σz ˛ ¨ ¨ ˛ σx ´ σ σ ¯ 0 0 ¯ τxy τxz ‹ ˚ ˚ ‹ ¯ 0 ‚ ` ˝ τxy σy ´ σ ¯ τyz ‚ “˝0 σ 0 0 σ ¯ τxz τyz σz ´ σ ¯ ¨ γxy γxz ˛ εx ˚ 2 2 ‹ ˚γ ‹ γ yz ‹ ˚ xy εy V“˚ ‹ 2 ‹ ˚ 2 ˝γ ‚ γyz xz εz 2 2 ¨ γxy γxz ˛ ¨ ˛ ´ ε ¯ ε x ε¯ 0 0 2 2 ‹ ˚ ˚ γxy γyz ‹ ˚ ‹ ‹ ˚ εy ´ ε¯ “ ˝ 0 ε¯ 0 ‚ ` ˚ 2 ‹ ‚ ˝ γ2 γyz xz 0 0 ε¯ εz ´ ε¯ 2 2 Die ersten Anteile, die dem Einheitstensor proportional sind, werden als Kugeltensoren bezeichnet, da sie einen hydrostatischen Spannungszustand mit gleichen Normalspannungen und Dilatationen in allen drei Raumrichtungen beschreiben und wegen fehlender Schubspannungen keine Winkeländerungen oder Scherungen hervorrufen. Für die Deformation bedeutet das eine reine Volumenänderung in elastischer Form, bei der Dehnungen oder Stauchungen bei Wahrung der Gestalt des Körpers stattfinden. • Ein Kugeltensor bewirkt eine gestalttreue Volumenänderung als Deformation des Körpers Die zweiten Tensoranteile, deren Spur Null ist, stellen gemäß (12.27, Bd. I) Deviatoren dar, die die Abweichung von den ersten Anteilen beschreiben. Da mit der Spur auch die Divergenz des Verschiebungsvektors verschwindet, ergänzen sich die Dehnungen in der Summe zu Null und es treten keine Volumenänderungen auf. • Ein Deviator bewirkt eine volumentreue Gestaltänderung als Deformation des Körpers

4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

4.4

147

Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

4.4.1

Materialblock zwischen starrer Begrenzung

Zwischen starren, unverschieblichen Wänden befindet sich ein Block aus einem deformierbaren Material, der nach Abbildung 4.14 unter einem Druck steht. Die Aufgabe wird als ebenes Problem behandelt, da die z-Richtung nicht betrachtet wird. 0

q

y x 0

 pq > 0

p



p x

Abb. 4.14: Aufgabenstellung und gedrehtes Koordinatensystem (p, q) Die Richtungen x und y bilden Hauptachsen, da sie schubspannungsfrei sind. Der Block hat in y-Richtung die Dicke und ist belastet mit der Druckspannung σy “ ´ σ 0 ă 0 In x-Richtung kann wegen der starren Wände keine Dehnung auftreten. Aus dem Hooke’schen Gesetz (4.17) folgt in x-Richtung, E ε x “ σx ´ ν σ y “ 0 woraus sich die Druckspannung σx “ ν σ y “ ´ ν σ 0 ă 0 und in y-Richtung wegen des ν-Bereichs (4.35) eine Stauchung ergibt. E εy “ σy ´ ν σx “ σy ´ ν 2 σy “ ´ p1 ´ ν 2 q σ0 ă 0

148

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Im Koordinatensystem p, q, das um den Winkel ϕ gedreht ist, erhält man mit (12.16, Bd. I) oder (4.10) die Normalspannungen als Druck zu

σp “ σpϕq “ ´ σ0 psin2 ϕ ` ν cos2 ϕq ‰ “ “ ´ σ0 ν ` p1 ´ νq sin2 ϕ ă 0 ` π˘ σq “ σ ϕ ` “ ´ σ0 pcos2 ϕ ` ν sin2 ϕq 2 “ ‰ “ ´ σ0 ν ` p1 ´ νq cos2 ϕ ă 0

Mit diesen Normalspannungen in zwei orthogonalen Richtungen kann man nach (4.17) die Stauchungen für Schnitte unter beliebigem Winkel berechnen.

E εp “ σp ´ ν σq “ ´ σ0 p1 ´ ν 2 q sin2 ϕ ă 0 E εq “ σq ´ ν σp “ ´ σ0 p1 ´ ν 2 q cos2 ϕ ă 0

Für die Schubspannungen erhält man

τpq “ τ pϕq “ ´

1 σ0 p1 ´ νq sin 2ϕ 2

mit dem betragsmäßig maximalen Wert

τmax “ ¯

1 σ0 p1 ´ νq 2

bei

ϕ“˘

π 4

4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

149

     

 

      



  

  

Abb. 4.15: Mohr’scher Spannungskreis Der Mohr’sche Spannungskreis liegt wegen der Druckspannungen links von der Ordinate. Die Schubspannungen wechseln bei ϕ “ 0, π{2 das Vorzeichen. Bezüglich der Koordinaten p und q und gemäß der Vorzeichenregel aus Abschnitt 4.2.1 hat der Schub die in Abbildung 4.16 dargestellten Richtungen und weist auf gegenüberliegenden Seiten in entgegengesetzte Richtung.

p q

q p

 pq ( 0 +  /2 ) > 0 0 < 0 pq 

0

0 +  /2

Abb. 4.16: Volumenelement im gedrehten System

150

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Der deformierbare Materialblock sei aus Stahl, für den konkrete Zahlenangaben gemacht werden. Stahl als einer der wichtigsten Werkstoffe des Ingenieurwesens, [3, S. 96ff], hat folgende Standardwerte für die elastischen Konstanten, wobei auf Grund der großen Vielfalt von Stahlsorten und Legierungen auch abweichende Werte gemäß gesuchter Eigenschaften und experimenteller Untersuchungen auftreten. ‚ Elastizitätsmodul

E “ 2.1 ¨ 105 MPa “ 210 GPa

‚ Schubmodul

G“

‚ Querkontraktionszahl

ν “ 0.3

8 ¨ 104 MPa “ 80 GPa

Dabei gilt für Drücke und Spannungen die Äquivalenz der Einheiten mit der abgeleiteten Einheit bar für den Druck. 1 MPa “ 1

N N “ 106 2 “ 10 bar 2 mm m

Für den Wert ν “ 0.3 haben Normal- und Schubspannungen bei verschiedenen Winkeln ϕ ungefähr die in Abbildung 4.17 dargestellten, maßstäblichen Größen.









Abb. 4.17: Normal- und Schubspannungen bei verschiedenen Drehwinkeln



4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

151

Bei einer Druckspannung von σ0 “ 100 N/mm2 ergeben sich folgende Werte für Spannungen und Dehnung. σx “ ´ ν σ0 “ ´ 30 N/mm2 1 σ0 p1 ´ νq “ 35 N/mm2 2 σ0 “ ´ 433 ¨ 10´6 εy “ ´ p1 ´ ν 2 q E

τmax “

Bei einer Blockdicke von “ 1 m beträgt die Stauchung Δ “ 0.433 mm.

4.4.2

Quadratischer Stab in starrer Passung

Ein Quader von quadratischem Querschnitt a2 und Höhe h befindet sich in einer starren Passung und wird auf der Oberseite mit einer Kraft F belastet. Die Änderung der Höhe ist gesucht. z

F

h

a x

y

Abb. 4.18: Quadratischer Stab in starrer Passung Für den räumlichen Spannungszustand gilt zunächst die Druckspannung σz “ ´

F ă 0 a2

Da in x- und y-Richtung keine Dehnungen möglich sind, folgt aus (4.17) E εx “ σx ´ ν pσy ` σz q “ 0 E εy “ σy ´ ν pσx ` σz q “ 0

152

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Aus diesen Gleichungen erhält man die Druckspannungen, ν σ x “ σy “ σz ă 0 1´ν die Stauchung ” 2ν 2 ı 1 ´ ν ´ 2ν 2 E εz “ σz ´ ν pσx ` σy q “ 1 ´ σz “ σz 1´ν 1´ν εz “

1 p1 ` νqp1 ´ 2νq σz ă 0 E 1´ν

sowie die Höhenänderung Δh “ ´

4.4.3

p1 ` νqp1 ´ 2νq F 1´ν a2 E

Quader mit zwei Druckspannungen

Ein Quader wird in x- und y-Richtung mit den Druckspannungen σx und σy belastet. Die Spannungen sollen gerade so groß sein, dass in diesen Richtungen keine Stauchungen auftreten. Es liegt ein räumlicher Spannungszustand vor und nach dem Hooke’schen Gesetz folgt für die Stauchungen in den drei Richtungen E ε x “ σx ´ ν σ y E ε y “ σy ´ ν σ x E εz “ ´ ν pσx ` σy q Man kann die Stauchungen in x- und y-Richtung nicht einfach Null setzen, weil das zu einem Widerspruch führt. Dagegen folgt aus der Gleichheit der Stauchungen εx “ εy σx ´ ν σ y “ σy ´ ν σ x

Ñ

p1 ` νq σx “ p1 ` νq σy

die Gleichheit der beiden Druckspannungen, σx “ σy “ ´ σ0 die zu folgender Dehnung in z-Richtung führt. E εz “ 2 ν σ0

153

4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

4.4.4

Spannungs- und Verzerrungstensor in Zylinderkoordinaten

Dargestellt ist ein zylindrisches Volumenelement mit den auftretenden Normal- und Schubspannungen.

z z   z 



z   z  



Abb. 4.19: Normal- und Schubspannungen am Zylinderelement Der Spannungstensor hat folgende Darstellungen in verschiedenen Koodinatensystemen mit den Matrizen Sp und Sp HA nach (4.4) bzw. (4.7). SSp “ eT Sp e “ eTHA Sp HA e HA “ cTZyl Sp Zyl c Zyl Die Komponentenmatrix in Zylinderkoordinaten erhält man durch Kongruenztransformation mit der Matrix Aϕ der ebenen Drehung nach (6.34, Bd. I) σρ

τρϕ

τρz

˚ Sp Zyl “ A ϕ Sp ATϕ “ ˝ τρϕ

σϕ

‹ τϕz ‚

τρz

τϕz

σz

¨

˛ mit

c Zyl “ A ϕ e

Die verschiedenen Spannungen erfüllen folgende Beziehungen, wobei σρ und τρϕ mit den Ergebnissen (4.10) beim ebenen Spannungszustand übereinstim-

154

4 Spannungs- und Deformationstensoren

men. σρ pϕq “ σx cos2 ϕ ` σy sin2 ϕ ` τxy sin 2ϕ σϕ pϕq “ σx sin2 ϕ ` σy cos2 ϕ ´ τxy sin 2ϕ τρϕ pϕq “ τϕρ “ τxy cos 2ϕ ´

1 pσx ´ σy q sin 2ϕ 2

τρz pϕq “ τzρ “ ` τxz cos ϕ ` τyz sin ϕ τϕz pϕq “ τzϕ “ ´ τxz sin ϕ ` τyz cos ϕ Der Verzerrungstensor (4.28) hat nach (4.20) in Zylinderkoordinaten folgende Komponenten 1`ν σ ¯ Sp Zyl ´ 3 ν E E E ˛ ˛ ¨ ¨ ¨ ˛ 2 ερ γρϕ γρz σρ τρϕ τρz 1 0 0 1 ˚ σ ¯ ˚ ‹ 1`ν ˚ ‹ ‹ ˝ γρϕ 2 εϕ γϕz ‚ “ ˝ τρϕ σϕ τϕz ‚´ 3 ν ˝ 0 1 0 ‚ 2 E E γρz γϕz 2 εz τρz τϕz σz 0 0 1

V Zyl “

4.4.5

Zylindrischer Stempel mit Wasserdruck

a) Die Belastung eines kreiszylindrischen Stempels erfolgt in axialer Richtung durch eine Druckspannung σF und in radialer Richtung durch Wasserdruck σW . Gesucht sind die Verzerrungen und das Spannungsverhältnis, bei dem keine Dilatationen des Stempels auftreten. Das zylindrische Koordinatensystem ist ein Hauptachsensystem und für den Verzerrungstensor gilt nach (4.20) im vorliegenden Fall, ` ˘ V Zyl “ Diag ερ , 0, εz ˛ ¨ 0 ´ σW 0 1`ν ˚ ‹ 3ν 0 0 ‚` “ pσW ` σF q E ˝ 0 E E 0 0 ´ σF

4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

155

z F

W

W

 F

Abb. 4.20: Normalspannungen am zylindrischen Stempel woraus sich die Dilatationen ergeben. ‰ 3ν 1`ν 1 “ pσW ` σF q ´ σW “ 3 ν σF ´ p1 ´ 2 νq σW E E E ‰ 3ν 1`ν 1 “ 3 ν σW ´ p1 ´ 2 νq σF εz “ pσW ` σF q ´ σF “ E E E

ερ “

Gleichheit der Dilatationen ερ “ εz

Ñ

3 ν σF ´ p1 ´ 2 νq σW “ 3 ν σW ´ p1 ´ 2 νq σF

tritt auf bei Gleichheit der Normalspannungen. σρ “ ´ σW “ σz “ ´ σF b) Die Belastung des Stempels sei in axialer Richtung eine Zugspannung, deren Größe dem Wasserdruck in radialer Richtung entspricht. Gesucht sind die Dilatationen des Stempels.

156

4 Spannungs- und Deformationstensoren

Der Spannungstensor ist in diesem Fall ein Deviator, dessen Spur Null ist, so dass beim Verzerrungstensor der zweite Anteil entfällt. Mit den Spannungen σF “ | σW | “ σ0 gilt ˛ ¨ ´ σ0 0 0 ˘ 1`ν ˚ ` ‹ 0 0 ‚ V Zyl “ Diag ερ , 0, εz “ ˝ 0 E 0 0 σ0 Die betragsmäßig gleich großen Dilatationen ergeben sich zu 1`ν ερ “ ´ εz “ ´ σ0 E Ein Beispiel für den Fall b) stellt die mechanische Beanspruchung dielektrischen Materials im elektrischen Feld am Ende von Abschnitt 5.3.2 dar.

4.4.6

Spannungen in dünnwandigen Rohren

In einem kreiszylindrischen Rohr, das durch Deckelflächen abgeschlossen ist, herrscht ein Innendruck p0 , so dass in der Rohrwand Spannungen auftreten.     

e

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



Abb. 4.21: Spannungen in der Wand des Zylinders In einem Wandstück des Rohres führt das Kräftegleichgewicht gemäß (4.1) in ρ-Richtung bei kleinen Winkeln ϕ auf R R “ p0 d d Im kreisringförmigen Querschnitt der Rohrwand herrscht in z-Richtung folgende Kraft, die durch den Druck auf die Deckel hervorgerufen wird. R Fz “ σz 2πR d “ p0 2πR d “ p0 πR2 Ñ σz “ p0 2d σρ 2ϕ R Δz “ 2 σϕ d Δz sin ϕ « σϕ 2ϕ d Δz

Ñ

σϕ “ σρ

4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

157

Die Spannungen in der Wand des zylindrischen Rohres haben damit folgende Größen. σ ρ “ p0 σϕ “ 2σz “ p0

in radialer Richtung R d

in den tangentialen Richtungen

Für dünnwandige Rohre im mittleren Rohrbereich in einiger Entfernung von den Deckelflächen gilt näherungsweise, dass die Tangentialspannung σϕ doppelt so groß wie die Längsspannung σz ist. • Dieses Verhältnis von 2 : 1 der beiden Tangentialspannungen ist der Grund dafür, dass Röhren, Kessel und auch Bockwürste stets in Längsrichtung aufplatzen und nie in Querrichtung! In Zylinderkoordinaten haben der Spannungsvektor s und der Normalenvektor n eines beliebigen Flächenschnittes im Wandinneren des Rohres folgende Komponenten, wobei der Vektor n mit den zylindrischen Einheitsvektoren die drei Winkel α, β und γ bildet und die entsprechenden Richtungscosinus besitzt. s “ sT c Zyl “ sρ eρ ` sϕ eϕ ` sz ez n “ nT c Zyl “ nρ eρ ` nϕ eϕ ` nz ez “ cos α eρ ` cos β eϕ ` cos γ ez Die zylindrischen Koordinaten bilden die Hauptachsen, in denen keine Schubspannungen auftreten, so dass die Tensorgleichung (4.5) eine einfache Form annimmt. ˛ ¨ ˛ ¨ ˛ ¨ ˛¨ σρ cos α sρ σρ 0 0 cos α ‹ ˚ ‹ ˚ ‹ ˚ ‹˚ s “ Sp n “ ˝sϕ ‚ “ ˝ 0 σϕ 0 ‚˝cos β ‚ “ ˝σϕ cos β ‚ cos γ 0 0 σz σz cos γ sz

Werden Rohre aus Stahlbändern wendelartig verschweißt, dann sind die Spannungen von Interesse, die in der gegen die Rohrachse geneigten Schweißnaht als Beanspruchung auftreten. Das Koordinatensystem ˆ c der Schweißnaht mit den Koordinaten ρ, p, q entsteht dadurch, dass man das Zylindersystem c Zyl um die ρ-Achse um den

158

4 Spannungs- und Deformationstensoren

n = eq ez ep Flächenelement in der Schweißnaht

e



e

 Abb. 4.22: Schweißnaht im Rohr und zugehörige Koordinatensysteme Winkel χ dreht. Die Umrechnung der Einheitsvektoren und der Matrix des Spannungstensors erfolgen mit der orthogonalen Matrix A χ entsprechend der räumlichen Drehung in Abschnitt 6.9.5 (Bd. I). ˛¨ ˛ ¨ ¨ ˛ eρ 1 0 0 eρ ‹˚ ‹ ˚ ˚ ‹ cos χ sin χ ‚˝eϕ ‚ ˆ c “ ˝ep ‚ “ A χ c Zyl “ ˝ 0 0 ´ sin χ cos χ ez eq ¨ ¨ ˛ ˛ σρ 0 σρ 0 0 0 ˚ ‹ ‹ x “ A Sp AT “ A ˚ σϕ 0 ‚ ATχ “ ˝ 0 σp τpq ‚ Sp χ χ˝ 0 χ 0 0 σz 0 τpq σq Die Ausführung der Matrixmultiplikation ergibt die Spannungen in der Schweißnaht. ‰ R “ σp “ σϕ cos2 χ ` σz sin2 χ “ p0 1 ` cos2 χ 2d ‰ R “ σq “ σϕ sin2 χ ` σz cos2 χ “ p0 1 ` sin2 χ 2d τpq “ ´

1 R R pσϕ ´ σz q sin 2χ “ ´ p0 sin 2χ “ ´ p0 sin χ cos χ 2 4d 2d

Der Normalenvektor n des Flächenelementes in der Schweißnaht hat nach Abbildung 4.22 folgende Winkel gegen die Koordinatenrichtungen ρ, ϕ, z,

4.4 Beispiele und Ergänzungen zu Spannung und Dehnung

159

mit denen man auch den Spannungsvektor bestimmt. α“

π , 2

β “χ`

π , 2

γ“χ

n “ eq “ ´ sin χ eϕ ` cos χ ez s “ ´ σϕ sin χ eϕ ` σz cos χ ez Damit kann der Spannungsvektor im gedrehten System ˆ c auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden. ¨ ˛¨ ˛ ¨ ˛ ¨ ˛ 0 σρ 0 0 sρ 0 ‹ ˚ ˚ ‹ ˚ ‹ ˚ ‹ x n ˆ “ ˝ 0 σp τpq ‚˝0‚ “ ˝τpq ‚ “ ˝sp ‚ ˆ s “ Sp 1 0 τpq σq σq sq ¨ ˛ ¨ ˛¨ ˛ 0 sρ 1 0 0 ‹˚ ‹ ˚ ‹ ˚ cos χ sin χ ‚˝´ σϕ sin χ‚ ˆ s “ Aχ s “ Aχ ˝sϕ ‚ “ ˝ 0 0 ´ sin χ cos χ σz cos χ sz ¨ ˛ ˛ ¨ 0 0 R ˚ ˚ ‹ ‹ “ ˝ pσz ´ σϕ q sin χ cos χ ‚ “ p0 ˝ ´ sin 2χ ‚ 4d loomo on 2 p1 ` sin2 χq σϕ sin2 χ ` σz cos2 χ ˚ “σ

Die Beanspruchung der Schweißnaht ist unter Schubspannung am größten für χ “

π 4

mit

| spmax | “ | τpqmax | “ p0

R 4d

Die Normalspannung steigt mit χ monoton an und hat die Werte sq σq “ ˚ “ 2 p1 ` sin2 χq ˚ σ σ sq π π “ 2, 3, 4 für χ “ 0 , , σ˚ 4 2 Verschweißt man die Bänder unter 45˝ , dann ist die auftretende Normalspannung dreimal so groß wie die maximale Schubspannung. σq

´π ¯ 4

“ 3 p0

R “ 3 | τpqmax | “ 3 σ ˚ 4d

Literatur [1] Szabó, I.: Einführung in die Technische Mechanik Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, 6. Aufl. (1963) [2] Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 5. Aufl. (1977)

Spektrum der Wissenschaft [3] Neumann, P.: Stahl: Ein traditioneller Werkstoff mit hohem Innovationspotential SdW 11, 96 (1995)

160

Kapitel 5

Grundgleichungen der Elektrodynamik Zusammenfassung Die Elektrodynamik geht aus von den Maxwell’schen Gleichungen, untersucht Energie- und Kraftbeziehungen sowie die Maxwell’schen Spannungstensoren, die durch Hauptachsentransformation diagonalisiert werden. Einen Kernpunkt der Maxwell’schen Theorie bilden elektromagnetische Wellen und ihre Ausbreitungsgrößen. Mit Hilfe der elektrodynamischen Potentiale, aus denen man die Feldvektoren durch Differentiation gewinnt, werden die Feldgleichungen im stationären Fall der Potentialtheorie mit verschiedenen Methoden sowie im instationären Fall mit Hilfe retardierter Potentiale gelöst.

5.1 5.1.1

Maxwell’sche Gleichungen Ruhende Medien

Die Quelle der elektrischen und magnetischen Phänomene sind orts- und zeitabhängige elektrische Ladungsdichten und Stromdichten, wobei letztere durch bewegte Ladungen hervorgerufen werden. Die Maxwell’sche Theorie ist makroskopisch, indem sie ein Kontinuum von Quellendichten und Feldern unterstellt und den mikroskopischen Aufbau der Materie aus 161 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_5

162

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Atomen und Elektronen als unwesentlich für die phänomenologische Betrachtung ignoriert. Die Fülle früher experimenteller Ergebnisse und mathematischer Beschreibungen durch Forscher wie Coulomb, Volta, Oersted, Ampere sowie besonders Michael Faraday (1791 -1867) auf den Gebieten der elektrischen und magnetischen Erscheinungen ergänzte James Clerk Maxwell (1831 -1879) durch die Einführung des Verschiebungsstromes und fasste sie in genialer Weise zu einem System konsistenter Gleichungen zusammen 1 2 . Die Maxwell’schen Gleichungen beschreiben elektrische und magnetische Felder und bilden die theoretische Grundlage für elektromagnetische Wellen, die sich im materiefreien, leeren Raum des Vakuums ausbreiten und Energie übertragen können, aber erst in den Jahren 1887/88 von Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894), [14], experimentell nachgewiesen wurden. Diese Gleichungen erklären auch das Licht als elektromagnetische Strahlung und vereinen damit Optik und Elektrodynamik. Die Ableitung der einzelnen elektromagnetischen Gesetze aus grundlegenden Experimenten findet eine gute Darstellung im Buch von Kraus, [?]. Die Maxwell’schen Gleichungen stellen ein lineares System gekoppelter partieller Differentialgleichungen dar, das die elektrischen und magnetischen, orts- und zeitabhängigen Feldvektoren mit ihren Wechselwirkungen beschreibt. In diesen Gleichungen sind die Feldstärkefunktionen E und H als Feldvektoren des elektrischen und magnetischen Feldes mit den Flussdichtefunktionen der dielektrischen Verschiebung D und der magnetischen Induktion B verknüpft. Die zugehörigen Flüsse werden mit Ψe und Ψm bezeichnet. Diese vier vektoriellen Feldfunktionen sowie die Quellenfunktionen von Ladungsdichte ρpr, tq und Stromdichte J pr, tq sind im allgemeinen Fall abhängig von den räumlichen Koordinaten rpx, y, zq und der Zeit t und werden aus physikalischen Gründen als stetige Funktionen mit stetigen Ableitungen angenommen, die nur auf bestimmten Randgebieten unstetig sein können, z.B. auf Flächen, die Materialwechsel, Ladungen oder Ströme aufweisen. Die Maxwell’schen Gleichungen beschreiben die Quellen und Wirbel elektromagnetischer Felder und verknüpfen die Feldvektoren miteinander. Die Gleichungen werden in differentieller und integraler Form angegeben, 1 2

Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, 1864 Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism, 1873

163

5.1 Maxwell’sche Gleichungen

wobei der Übergang von der einen in die andere Form unter Anwendung der Sätze von Gauß und Stokes erfolgt. 5.1.1.1

Induktionsgesetz von Faraday rot E “ ´

BB Bt

¿

E ¨ dr “ ´ C

B Bt

ij

B ¨ da

(5.1)

a

Die Wirbel des elektrischen Feldes werden gebildet durch die zeitliche Änderung der magnetischen Induktion mit der Richtungszuordnung gemäß dem negativen Vorzeichen. 5.1.1.2

Durchflutungsgesetz von Ampere und Maxwells Ergänzung

BD rot H “ J ` Bt

¿

H ¨ dr “ C

ij ´

J`

a

BD ¯ ¨ da Bt

(5.2)

Die Wirbel des magnetischen Feldes werden gebildet durch die Dichten des Leitungsstromes J und des von Maxwell eingeführten Verschiebungsstromes BD{Bt, der den Kernpunkt der Maxwell’schen Theorie bildet. 5.1.1.3

Gauß’sche Gesetze über die Quellen

Die beiden weiteren Maxwell’schen Gleichungen machen Aussagen über die Quellen der Felder, wobei es zwar elektrische Ladungen pρ, Qq aber keine isolierten magnetischen Quellen, sog. Monopole, gibt. div D “ ρ

Ψe “

£

D ¨ da “

¡

a

ρ dv “ Q v

(5.3) div B “ 0

Ψm “

£

B ¨ da “ 0 a

Die Divergenzfreiheit von B ist eine Folge des Induktionsgesetzes und ergibt sich durch Divergenzbildung nach (17.63, Bd. I) bei Vertauschung von zeitlicher und räumlicher Ableitung.

164

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

5.1.1.4

Kontinuitätsgleichung

Divergenzbildung des Durchflutungsgesetzes und Einsetzen von (5.3) führt auf die Kontinuitätsgleichung, die damit die mathematische Formulierung der Ladungserhaltung darstellt und implizit in den Maxwell’schen Gleichungen enthalten ist. div J “ ´

Bρ Bt

£

J ¨ da “ ´ a

B Bt

¡

ρ dv “ ´ v

BQ Bt

(5.4)

Die Stromdichte, die durch die Oberfläche eines Volumens nach außen tritt, wird durch die Abnahme der darin enthaltenen Ladung gedeckt. Die vier Maxwell’schen Gleichungen (5.1), (5.2) und (5.3) besitzen allgemeine Gültigkeit für den Fall ruhender Medien aus beliebigem Material. In [56, Kap. 2.7] wird eine interessante und einleuchtende Überlegung angestellt, wie man aus Symmetriebedingungen und minimalen theoretischen Annahmen und experimentellen Erfahrungen zu einer heuristischen Ableitung der Maxwell’schen Gleichungen gelangen kann.

5.1.2

Bewegte Medien

In einem ruhenden System S mit der Induktion Bpr , tq und dem magnetischen Fluss Ψm pr , tq lautet das Faraday’sche Induktionsgesetz in integraler Form für eine bewegte Leiterschleife der Kontur C ij ¿ dΨm ˆ ¨ dr “ ´ d B ¨ da “ ´ E dt dt C a ˆ , tq die im bewegten System Sˆ gemessene elektrische FeldDabei ist Epr stärke. Die Zeitableitung d{dt erfasst die gesamte Änderung des Flusses auf Grund der zeitlichen Änderung der divergenzfreien Induktion sowie der Bewegung der Leiterschleife und nach (19.5 und 19.24, Bd. I) gilt ¿

ˆ ¨ dr “ ´ E C

ij a

BB ¨ da ` Bt

¿

pv ˆ Bq ¨ dr C

Dafür kann man in differentieller Form schreiben ` ˘ ˆ ´ rot v ˆ B “ ´ BB “ rot E rot E Bt

(5.5)

165

5.1 Maxwell’sche Gleichungen

Nach entsprechender Rechnung für das Durchflutungsgesetz im quellenfreien ˆ und B ˆ mit den Raum folgt der Zusammenhang der bewegten Feldgrößen E im ruhenden System gemessenen Feldgrößen E und B. ˆ “B ´ 1 vˆE B c2

ˆ “E ` vˆB E

5.1.3

(5.6)

Lösbarkeit der Maxwell’schen Gleichungen, Materialgleichungen

Im elektromagnetischen Feld existieren fünf Vektoren und ein Skalar, nämlich E, D, H, B, J und ρ , so dass für die Lösung konkreter Probleme im allgemeinen Fall 16 skalare Ortsfunktionen der Komponenten zu ermitteln sind, für die mit (5.1), (5.2) und (5.3) acht Gleichungen zur Verfügung stehen. Da die Divergenzfreiheit von B aus dem Induktionsgesetz folgt, reduzieren sie sich auf lediglich sieben Gleichungen. Für die eindeutige Lösung elektromagnetischer Feldprobleme werden daher weitere neun Gleichungen benötigt! Man gewinnt sie durch materialabhängige Relationen, die konstitutiven Beziehungen, die zwischen den Flussdichten und den Feldstärken bestehen. D “ D pEq ,

B “ B pHq ,

J “ J pEq

Der einfachste Fall liegt dann vor, wenn alle drei vektoriellen Beziehungen durch lineare Materialgleichungen beschrieben werden, D “ εE

B “ μH

J “ κE

(5.7)

bei denen die linearen Materialien oder Medien nur skalare, homogene und isotrope Materialkonstanten aufweisen. ‚ Dielektrizitätskonstante ε

(Permittivität)

‚ Permeabilitätskonstante μ

(Permeabilität)

‚ Leitfähigkeit κ

(Konduktivität)

166

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Die magnetischen und elektrischen Feldkonstanten des Vakuums haben folgende Werte, μ0 “ 4π ¨ 10´7 Vs/Am ε0 “ 8.854 ¨ 10´12 As/Vm «

1 ¨ 10´9 As/Vm 36π

(5.8)

die mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum verknüpft sind (s. a. (7.5)). 1 “ 299 792 458 m/s « 3 ¨ 108 m/s c“ a μ 0 ε0

(5.9)

Beliebige Materialien werden durch die dimensionslosen relativen Werte εr und μr von Permittivität und Permeabilität charakterisiert, wobei bis auf die ferromagnetischen Medien, die im Abschnitt 6.4.3 betrachtet werden, μr « 1 gilt. μ “ μr μ0

ε “ εr ε 0

(5.10)

Die dritte Beziehung in (5.7) beschreibt die Leitungsstromdichte J , die in Leitern durch den Einfluss eines elektrischen Feldes E hervorgerufen wird und die das von Georg Simon Ohm gefundene Ohm’sche Gesetz (1827) in differentieller Form darstellt. Neben der Leitungsstromdichte existiert noch die Konvektionsstromdichte, die bei der Bewegung freier Ladungsträger mit der Geschwindigkeit v auftritt wie in Elektronenröhren oder bei Elektronen und Löchern in Halbleitern. Damit nimmt die Kontinuitätsgleichung (5.4) eine zweite Form an. ` ˘ Bρ (5.11) Ñ ` div ρ v “ 0 J “ ρv Bt Die Leitfähigkeit κ überstreicht bei der Vielfalt der Materialien einen enormen Wertebereich von mehr als 20 Zehnerpotenzen, was bei keiner anderen physikalischen Größe der Fall ist und erst durch das Bändermodell der Festkörperphysik verständlich wurde. Das Vakuum ist nichtleitend, es hat also die Leitfähigkeit κ “ 0. Bei Materialien werden die Grenzen des Leitfähigkeitsbereiches eingenommen von

5.1 Maxwell’sche Gleichungen

167

Quarzglas pSiO2 q als bestem Isolator mit κ « 10´18 S/m und von Silber als bestem metallischen Leiter mit κ « 60 ¨ 106 S/m. Bei genügend niedrigen Temperaturen können Supraleiter noch weit höhere Leitfähigkeiten aufweisen als Metalle. Es existiert eine Vielzahl physikalisch interessanter oder technisch wichtiger Materialien, bei denen die linearen Beziehungen (5.7) nicht gelten und die Flussgrößen keine einfache Proportionalität zu den Feldstärken aufweisen. • Inhomogene Medien mit ortsabhängigen Materialfunktionen εpx, y, zq, μpx, y, zq oder κpx, y, zq • Anisotrope Medien (Kristalle), bei denen ε und μ symmetrische Tensoren bedeuten und die Feldvektoren nur in den Hauptachsenrichtungen zueinander parallel sind • Ferroelektrische und ferromagnetische Medien, bei denen die Beziehungen D pEq und B pHq nichtlinear, mehrdeutig und von der Vorgeschichte (Hysterese) abhängig sind • Gyromagnetische Medien (Ferrite), bei denen bei konstanter Vormagnetisierung die Wechselkomponenten von Induktion und magnetischer Feldstärke durch einen schiefsymmetrischen Permeabilitätstensor μ verknüpft sind Die Untersuchung der dielektrischen, magnetischen und optischen Eigenschaften dieser verschiedenen Materialien, die auch häufig eine ausgeprägte Frequenzabhängigkeit zeigen, ist Gegenstand von Kristallographie, Festkörperphysik, nichtlinearer Optik und anderer physikalischer Fachgebiete. Einigen dieser Themen ist das Kapitel 6 gewidmet.

5.1.4 5.1.4.1

Eigenschaften der Feldvektoren Paarbildung von Vektoren

In elektromagnetischen Feldern, bei denen die Maxwell’schen Gleichungen in allgemeiner Form gelten, werden in den Ingenieurwissenschaften und im Technikalltag die Feldstärken E und H und die Flussdichten D und B als einander entsprechende Größen oder Vektorpaare betrachtet, für die äquivalente Beziehungen der auftretenden Felder bestehen.

168

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Eine alternative Sichtweise für die Paarbildung wurde vom theoretischen Physiker Arnold Sommerfeld (1868 -1951) begründet, wonach die Vektoren E und B als Intensitätsgrößen die Ursache und die Vektoren D und H als Quantitäts- oder Erregungsgrößen deren Wirkung bilden, [48, III, S. 11, 26, 204]. Diese Ansicht der zusammengehörigen Paare wird gestützt durch die Darstellung der Lorentz-Kraft (5.16) in elektromagnetischen Feldern, die Definition der elektrodynamischen Potentiale im Abschnitt 5.6.1 sowie die Tensoren der relativistischen Elektrodynamik, auf die im Kapitel 9 eingegangen wird. Sommerfeld betont weiterhin, dass es bei diesen Vektorpaaren sinnvoller wäre, an Stelle der Permeabilität μ den Reziprokwert μ˚ “ 1{μ und die Gleichung H “ μ˚ B zu verwenden, wodurch manche Gleichungen wie (5.37) oder (5.90) ein äquivalentes Aussehen bekämen. Zu seinem Bedauern muss er aber dem allgemeinen Gebrauch gemäß (5.7) folgen, [48, III, S. 20].

5.1.4.2

Randbedingungen an Grenzflächen

Um das Verhalten der Feldvektoren beim Übergang über eine Grenzfläche zweier Medien zu untersuchen, die unterschiedliche, aber örtlich konstante Werte der Materialgrößen ε, μ, κ in den Teilräumen aufweisen, werden die Maxwell’schen Gleichungen auf einen Zylinder bzw. einen rechteckigen Umlauf im Grenzbereich angewendet, die beide so klein sind, dass man die Werte der Vektoren in diesen Gebieten in jedem Medium als konstant betrachten kann. Im Grenzübergang h Ñ 0 liefern der Zylindermantel bzw. die Seitenlinien des Umlaufs keine Beiträge. In Abbildung 5.1 links weist die Normale n der Grenzfläche a vom Medium 1 zum Medium 2 und in einem Flächenpunkt gilt für die orthogonalen Einheitsvektoren t “ b ˆ n. Die Divergenzbeziehungen (5.3) und deren Integrationen über die Oberfläche des Zylinders ergeben im Grenzübergang h Ñ 0 die Randbedingungen für die Normalkomponenten der dielektrischen Verschiebung und der magnetischen Induktion. Im elektrischen Fall ist ggf. eine Flächenladung σ auf a zu berücksichtigen, die man erhält, falls eine im Zylinder eingeschlossene Ladung Q

169

5.1 Maxwell’sche Gleichungen

  



 













 





 







Abb. 5.1: Volumen und Umlauf an der Grenzfläche zweier Medien existiert, die man auf die Deckelfläche aD bezieht. σ “ lim

QÑ0 aD Ñ 0

£

D ¨ da “ Q

Ñ

` ˘ n ¨ D2 ´ D1 “ σ

Ñ

n ¨ B2 ´ B1 “ 0

Zyl

£

Q aD

(5.12) B ¨ da “ 0 Zyl

`

˘

Die Integration der Maxwell’schen Gleichungen (5.1) und (5.2) über die Rechteckkontur C bzw. deren Fläche R “ h Δ führen bei Anwendung des Mittelwertsatzes auf folgende Beziehungen. ij ¿ B E ¨ dr ` B ¨ daR “ 0 Bt R C ij ¿ ij B H ¨ dr ´ D ¨ daR “ J ¨ daR Bt R C R ` ˘ ˘ B` t ¨ E2 ´ E1 Δ ` B ¨ b h Δ “ 0 Bt ˘ ˘ ` B` D ¨ b h Δ “ h J ¨ b Δ t ¨ H2 ´ H1 Δ ´ Bt

170

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Im Grenzübergang h Ñ 0 entfallen die entsprechenden Summanden. Den Tangentenvektor t ersetzt man durch das Kreuzprodukt der Vektoren b und n und formt das Spatprodukt um. t ¨ E “ pb ˆ nq ¨ E “ b ¨ pn ˆ Eq “ 0 Diese Beziehung muss für jeden Vektor b gelten, da die Orientierung der Rechteckfläche beliebig ist, Existiert ein in der Grenzfläche fließender Strombelag, K “ lim hJ hÑ0 J Ñ8

dann lauten die Randbedingungen für die Tangentialkomponenten der elektrischen und magnetischen Feldstärke ` ˘ n ˆ E 2 ´ E1 “ 0

˘ ` n ˆ H2 ´ H1 “ K

(5.13)

In elektromagnetischen Feldern werden die Quellen durch die Unstetigkeiten der Normalkomponenten, die Wirbel durch die Unstetigkeiten der Tangentialkomponenten der Feldvektoren gebildet. Im Normalfall, wenn weder Flächenladung σ noch Strombelag K in der Grenzfläche vorhanden sind, gelten folgende Randbedingungen. ‚ Stetigkeit der Normalkomponenten der Flussgrößen D und B ‚ Stetigkeit der Tangentialkomponenten der Feldstärken E und H 5.1.4.3

Brechung der Feldlinien

Beim Durchgang durch die Grenzfläche zweier Medien erleiden die Feldlinien einen Knick. Misst man die Winkel α der Feldlinien gegen die Flächennormale n, dann erhält man bei Division der Tangential- durch die Normalkomponenten die Brechungsgesetze der Feldlinien für E und H. ε2 tan α2 “ tan α1 ε1

κ2 tan α2 “ tan α1 κ1

μ2 tan α2 “ tan α1 μ1

(5.14)

Das Innere eines Leiters mit κ1 Ñ 8 ist feldfrei und die elektrische Feldstärke steht wegen fehlender Tangentialkomponente senkrecht auf der Leiteroberfläche, so dass α2 Ñ 0 gilt.

171

5.2 Kräfte, Felder, Energie



     









 







 Abb. 5.2: Brechung der Feldlinien am Materialsprung, beide Bilder gelten auch bei umgekehrter Pfeilrichtung der Feldstärken Das gleiche Feldbild erhält man im dielektrischen Grenzfall für ε1 Ñ 8, das daher demjenigen mit einer leitenden Grenzfläche entspricht. Im permeablen Grenzfall mit μ1 Ñ 8 ergibt sich ein äquivalentes Feldbild, bei dem die magnetische Feldstärke auf der Grenzfläche senkrecht steht.

5.2 5.2.1

Kräfte, Felder, Energie Lorentz-Kraft

Die Kraft Fe , die eine Probeladung q im elektrischen Feld einer positiven Ladung Q erfährt, wird durch das Coulomb’sche Gesetz (1785) beschrieben und weist in Richtung r der Verbindungslinie von Q nach q. Dabei wird das durch die Ladung Q erzeugte Zentralfeld der elektrischen Feldstärke E “ Fe {q als Quotient aus angreifender Kraft und Probeladung gekennzeichnet. Bei verteilter Ladungsdichte ρ im Raum anstelle von Q muss über die Quellenverteilung integriert werden. Das Gesetz wird zwar nach Charles Augustin de Coulomb (1736 1806) benannt, aber Joseph Priestley (1733 -1804) hat es bereits 1767 formuliert und begründet, [43, S. 329]. Mit den Beziehungen für den Abstandsvektor r “ rq ´ rQ nach Abbildung 17.4 (Bd. I) und Gleichung (17.81, Bd. I) erhält man für die konser-

172

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

vative Coulomb-Kraft als negativer Gradient des Potentials V prq, für das V p8q “ 0 gilt ´ Q 1¯ Q r “ ´ q grad “ ´ q grad V prq 4πε r2 r 4πε r ¡ ¡ ρ r dv “ fe dv “q 3 v 4πε r v

Fe “ q E “ q

(5.15)

Für das Verhalten elektrischer Ladungen gelten folgende Gesetze. ‚ Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen einander ab ‚ Ladungen verschiedenen Vorzeichens ziehen sich an Die Arbeit, die das elektrostatische Feld der Ladung `Q bei der Abstoßung der Probeladung `q vom Punkt P prq nach Unendlich verrichtet, lautet ż8 ż 8´ ż8 ´ ¯ 1 Q r¯ Q WFeld prq “ q E ¨ dr “ q d ¨ dr “ ´ q 2 4πε r r 4πε P r P P “q

Q 1 “ q V prq “ WPot prq ą 0 4πε r

Die Feldarbeit ist wie in (3.6) positiv, bestimmt das Potential V prq im Aufpunkt P und stellt die potentielle Energie der Ladung q im Feld von `Q dar. Damit ist das Potential ein Maß für das Arbeitsvermögen des Feldes an der Ladung q. Umgekehrt muss man eine betragsmäßig gleich große, aber negative mechanische Arbeit gegen die abstoßenden Feldkräfte der Ladung `Q aufwenden, um die Probeladung `q von Unendlich zum Punkt P prq zu bringen. Wmech prq “ q

ż

P

E ¨ dr “ ´ q

8

Q 1 “ ´ q V prq “ ´ WFeld prq ă 0 4πε r

Die Kraft Fm , die im magnetischen Feld B auf eine Leitungs- oder Konvektionsstromdichte J ausgeübt wird, steht senkrecht auf diesen beiden Vektoren und lautet ¡ ¡ ¡ J ˆ B dv “ ρ v ˆ B dv “ fm dv Fm “ v

v

v

173

5.2 Kräfte, Felder, Energie

Hierbei ist der Geschwindigkeitsvektor v zu unterscheiden vom Volumen v, über das gemäß Quellenverteilung integriert werden muss! Insgesamt lautet damit die von Hendrik Antoon Lorentz (1853 1928) eingeführte Lorentz-Kraft auf eine einzelne Ladung Q, ` ˘ FL “ Fe ` Fm “ Q E ` v ˆ B

(5.16)

deren Einheit N “ kg m{s2 “ J{m “ Ws{m ist. Die auf ein Volumen bezogene Lorentz-Kraftdichte der Einheit N{m3 weist nur dort Werte auf, wo Ladungs- oder Stromdichten existieren. ` ˘ f L “ fe ` f m “ ρ E ` J ˆ B “ ρ E ` v ˆ B

(5.17)

Die Arbeit, die ein elektrisches Feld an einer bewegten Ladung Q auf dem Weg dr “ v dt verrichtet, hat den Wert dWe “ Fe ¨ dr “ Q E ¨ v dt

Ñ

We “

ż

Fe ¨ dr

(5.18a)

C

Im magnetischen Feld hat der Zuwachs der Arbeit an der Ladung dagegen den Wert Null, da das Spatprodukt verschwindet, so dass auch keine Energieänderung auftritt! ` ˘ dWm “ Fm ¨ dr “ Q v ˆ B ¨ v dt “ 0

Ñ

dWm “ 0 dt

(5.18b)

‚ Elektrische Felder verrichten Arbeit, magnetische Felder dagegen nicht! Auf die Arbeit im elektrischen Feld wird im Abschnitt 11.1.2 noch genauer eingegangen. Am Ausdruck für die Lorentz-Kraft erkennt man, dass im elektromagnetischen Feld die messbaren Wirkungen durch die Vektoren der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Induktion B verursacht werden. Das sind gerade die Größen, die Sommerfeld als Intensitätsgrößen des Feldes bezeichnet!

174

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

5.2.2

Einfache statische Felder

Betrachtet werden die einfachsten Feldkonfigurationen im statischen Fall. Die Berechnung erfolgt auf direktem Weg und die Ergebnisse kann man mit der Reihenentwicklung des reziproken Abstands der nach Adrien-Marie Legendre (1752 -1833) genannten Legendre-Polynome (17.78, Bd. I) vergleichen. 5.2.2.1

Punktladung

Eine Punktladung Q, die sich im Ursprung befindet, erzeugt ein Zentralfeld, dessen Potential V und Feldstärke E in (5.15) bereits angegeben wurden. V prq “

5.2.2.2

Q 4πε r

Eprq “ ´ grad V prq “

Q r 4πε r2 r

(5.19)

Elektrischer Dipol

Zwei Punktladungen `Q und ´Q, die sich gemäß Abbildung 5.3 in geringem Abstand voneinander befinden, erzeugen das folgende Potential im Aufpunkt P. Q ” 1 1 ı Q ” 1 1ı V prq “ ´ “ ´ 4πε | r` | | r | 4πε | r ´ dr | r

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Abb. 5.3: Feld von Punktladungen und Kreisstrom



175

5.2 Kräfte, Felder, Energie

Nach (13.16, Bd. I) erhält man für das Potential in erster Näherung bei p´ drq V prq “

´ 1 ¯ Q dr r ˘ Q ` ´ dr ¨ grad “ ¨ 4πε r 4πε r3

Man erhält den elektrischen Dipol im Grenzübergang beliebig wachsender Ladungsgröße und verschwindendem Abstand, für den Dipolmoment und Dipolpotential folgendermaßen lauten. lim Q dr “ m

QÑ8 dr Ñ 0

VD prq “

1 m¨r 4πε r3

(5.20)

Die Feldstärke des Dipolfeldes berechnet man aus ´m ¨ r¯ 1 grad P ED “ ´ grad P VD “ ´ 4πε r3 Da die Ableitungen einer Quellengröße nach den Koordinaten von P Null sind, erhält man mit den Beziehungen (17.54, 17.55, 17.84, Bd. I) den Ausdruck für die Feldstärke des elektrischen Dipols. 1 ED prq “ 4πε r3

„ ´ j r¯ r 3 m¨ ´m r r

(5.21)

Für m “ m ez “ m pcos ϑ er ´ sin ϑ eϑ q erhält man Potential und Feldstärke in Kugelkoordinaten und nach (17.78, Bd. I) als Legendre-Polynom. m cos ϑ m “ P1 pcos ϑq 2 4πε r 4πε r2 ˘ m ` 2 cos ϑ er ` sin ϑ eϑ ED pr, ϑq “ 3 4πε r VD pr, ϑq “

Damit kann man in Abbildung 5.4 das rotationssymmetrische Feldbild des Dipols in einer Azimutebene ϕ “ const. darstellen. Die Äquipotentiallinien erhält man mit V0 “ m{p4πεa2 q für verschiedene VD -Werte d cos ϑ rpϑq “ a VD {V0

176

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

und die Feldlinien aus (17.8, Bd. I) ` ˘ dr ˆ E “ Eϑ dr ´ r Er dϑ eϕ “ 0 dr Er dϑ “ 2 cot ϑ “ 0 “ r Eϑ und nach Integration für verschiedene C-Werte. rpϑq “ C sin2 ϑ a z



Abb. 5.4: Feldbild des elektrischen Dipols Äquipotentiallinien in blau Feldlinien in rot

5.2.2.3

Magnetischer Dipol

Eine kreisförmige Stromschleife vom Radius a nach Abbildung 5.3, durch die der Strom I fließt, erzeugt ein divergenzfreies Magnetfeld, das nach dem Helmholtz-Theorem in Abschnitt 17.6 (Bd. I) durch ein Vektorpotential dargestellt werden kann, das die vektorielle Poisson-Gleichung (17.70, Bd. I) erfüllen muss. div B “ 0 Ñ B “ rot A

ñ

Δ Aprq “ ´ J prq

177

5.2 Kräfte, Felder, Energie

Im Vorgriff auf die allgemeinere Gleichung (5.70) und ihre Lösung im statischen Fall (5.75) erhält man für das Vektorpotential der Stromschleife mit dem Wegelement dsQ ein Konturintegral, das nach (19.11, Bd. I) in ein Flächenintegral über die Kreisfläche umgewandelt wird. ¿ ij ij dsQ μI 1 r μI μI grad Q ˆ daQ “ ´ ˆ daQ “´ Aprq “ 3 4π C r 4π r 4π a a r Im Grenzübergang steigender Stromstärke und schrumpfender Kreisfläche erhält man den magnetischen Dipol, für den Dipolmoment und Vektorpotential folgendermaßen lauten. ij

I daQ “ mm

lim

I Ñ8 daQ Ñ 0

Am prq “

a

μ mm ˆ r 4π r3

(5.22)

Die magnetische Induktion berechnet man aus ´m ˆ r¯ μ m rot P Bm “ rot P Am “ 4π r3 Auf ähnliche Weise wie beim elektrischen Dipol erhält man mit den Beziehungen (17.59, 17.60, 17.84, Bd. I) den Ausdruck für die Induktion des magnetischen Dipols mit entsprechender Kugelkoordinatendarstellung und einem äquivalenten Feldbild wie dort. μ Bm prq “ 4π r3

„ ´ j r¯ r 3 mm ¨ ´ mm r r

(5.23)

Ein magnetischer Dipol mm , der sich in einem Magnetfeld B befindet, erfährt ein Drehmoment M , das auf beiden Vektoren senkrecht steht und das versucht, den Dipol in die Richtung von B zu drehen. M “ mm ˆ B 5.2.2.4

(5.24)

Quadrupolfeld

Eine einfache Konfiguration mit verschwindender Gesamtladung als Ausgangspunkt für einen Quadrupol ist die gestreckte Anordnung in Abbildung 5.5, die eine Näherung für zwei benachbarte, entgegengesetzt gerichtete elektrische Dipole m bildet.

178

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

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 

Abb. 5.5: Ladungskonstellation für den Quadrupol Das Potential im Aufpunkt P lautet 2 1 ı Q ” 1 ´ ` 4πε | r` | | r | | r´ | Q ” 1 1 1 1ı “ ´ ` ´ 4πε | r ´ dr | r | r ` dr | r

V prq “

Bei Anwendung der Taylor’schen Formel (13.16, Bd. I) heben sich die beiden ersten Glieder auf, V prq “

´1¯ ´1¯ ˘ Q ”` ´ dr ¨ grad ` dr ¨ grad 4πε r r ´ ´1¯ ¯ ı ˘ ˘ 1 1 ` 1` ` ´ dr ¨ T pBq ¨ ´ dr ` dr ¨ T pBq ¨ dr 2 r 2 r

so dass in erster Näherung für das Potential nur der Ausdruck mit dem Ableitungstensor übrigbleibt. V prq “

´1¯ ´1¯ Q Q pBq dr ¨ T pBq ¨ dr “ dxT T ## dx 4πε r 4πε r

179

5.2 Kräfte, Felder, Energie

Im Grenzübergang beliebig wachsender Ladung Q bei verschwindendem Abstand dr Ñ 0 und damit der Differentiale dzi , dzk Ñ 0 erhält man das Quadrupolmoment als Tensorkomponente. Für den im Beispiel betrachteten gestreckten Quadrupol in z-Richtung gilt lim mÑ8

dzk Ñ 0

”

lim

QÑ8 dzi Ñ 0

`

2 Q dzi

˘ı 2 m dzk “ mQ dzk “ mlim Ñ8

(5.25)

dzk Ñ 0

Die Tensormatrix des reziproken Abstands, die in (17.90, Bd. I) angegeben ist, reduziert sich auf ein einziges Glied. ı mQ 1 ” ´ z ¯ 2 ´1 VQ prq “ 3 4πε r3 2 r In Kugelkooerdinaten mit dem Legendre-Polynom nach (17.78, Bd. I) lauten Quadrupolpotential und Quadrupolfeldstärke VQ prq “

mQ 3 cos2 ϑ ´ 1 mQ P2 pcos ϑq “ 3 4πε r 2 4πε r3 (5.26)

ı mQ 3 ” 1 EQ prq “ pcos ϑq e ` P sin 2ϑ e 2 r ϑ 4πε r4 2 5.2.2.5

Axiale Dipole höherer Ordnung, Multipole

Ein z-gerichteter Dipol 1. Ordnung m “ m1 “ m1 ez im Ursprung hat nach (5.20) im Punkt P das Potential m1 ez ¨ r m1 z m1 B ´ 1 ¯ V1 prq “ VD prq “ “ “ ´ 4πε r3 4πε r3 4πε Bz r Der Quadrupol der Abbildung 5.5 kann als axialer Dipol 2. Ordnung angesehen werden, bei dem zwei Dipole 1. Ordnung aber entgegengesetzten Vorzeichens auf der z-Achse im Abstand dz angeordnet sind. Das Potential im Punkt P lautet V2 prq “ V1 pr` q ´ V1 prq “ V1 pr ´ ez dzq ´ V1 prq “ V1 prq ´

BV1 BV1 dz ´ V1 prq “ ´ dz Bz Bz

180

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

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



 

Abb. 5.6: Axialer Dipol zweiter Ordnung Bei Erweiterung mit 2 und nach Grenzübergang lim 2 m1 dz “ m2

m1 Ñ 8 dz Ñ 0

erhält man die Potentialfunktion m2 1 B 2 ´ 1 ¯ 4πε 2 Bz 2 r Bei entsprechender Fortführung wird der axiale Dipol n-ter Ordnung, der Multipol, aus zwei entgegengesetzt gerichteten Dipolen pn´1q-ter Ordnung, Erweiterung mit n und Grenzübergang gebildet. V2 prq “ `

mn “

lim

mn´1 Ñ 8 dz Ñ 0

n mn´1 dz

Man kann die Ableitungen des reziproken Abstandes durch LegendrePolynome ausdrücken. p´1qn B n ´ 1 ¯ Pn pcos ϑq “ n! Bz n r rn`1

(5.27)

Das Multipol-Potential des axialen Dipols n-ter Ordnung lautet Vn prq “

mn 1 Pn pcos ϑq 4πε rn`1

(5.28)

181

5.2 Kräfte, Felder, Energie

und die Multipol-Feldstärke ergibt sich nach (18.62) zu En prq “ ´ grad Vn prq “ ´ mn 1 En prq “ 4πε rn`2

5.2.3

„

BVn 1 BVn er ´ eϑ Br r Bϑ

dPn pcos ϑq pn ` 1q Pn pcos ϑq er ´ eϑ dϑ

j (5.29)

Energiefluss und Poynting-Vektor

Die Maxwell’schen Gleichungen bilden zusammen mit den Materialgleichungen ein System partieller Differentialgleichungen, das den Zustand des elektromagnetischen Feldes eindeutig zu bestimmen gestattet. Ihre technisch wichtige Bedeutung erhalten diese Ergebnisse auch dadurch, dass die Wirkungen der elektromagnetischen Erscheinungen als mechanische Energie oder Kraft auftreten, die man messen, nutzen und mathematisch ausdrücken kann. Aus der Mechanik ist der Zusammenhang bekannt zwischen den Dichten von Leistung p˚ pq, Energie pwq und Kraft pf q bei einer Partikel, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Die Leistungsdichte erhält zur Unterscheidung vom Impuls als Ornament einen kleinen Kreis. ˚ p“

dr dw “ ¨f “v¨f dt dt

Im elektromagnetischen Feld folgen die mechanischen Eigenschaften aus der Lorentz-Kraft. ˚ pmech “

dwmech “ v ¨ fL dt “ v ¨ pρ E ` J ˆ Bq “ ρ v ¨ E ` ρ looooomooooon v ¨ pv ˆ Bq “0

Die mechanische Leistungsdichte entspricht in diesem Fall der Verlustleistungsdichte ˚ pV , die durch Joule’sche Wärme im Volumen verloren geht, da das elektrische Feld an den Ladungen Arbeit verrichtet. ˚ pV “ ˚ pmech “

dwmech “ ρ v ¨ E “ J ¨ E “ κ E2 dt

(5.30)

182

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Zur weiteren Untersuchung multipliziert man die Maxwell’sche Gleichung (5.1) skalar mit H, (5.2) mit E und bildet deren Differenz. Mit der Divergenzbeziehung (17.57, Bd. I) erhält man in dem am häufigsten auftretenden Fall linearer Materialien den folgenden Ausdruck, ´ div pE ˆ Hq “ E ¨ rot H ´ H ¨ rot E BD `H Bt B ”1 ε E2 ` “ κ E2 ` Bt 2

“J ¨E ` E¨

¨

BB Bt

ı 1 μ H2 2

in dem alle Glieder Leistungsdichten mit der Einheit W{m3 darstellen. Auf der rechten Seite stehen die Verlustleistungsdichte und die Zeitableitungen der elektrischen und magnetischen Energiedichten we und wm . we “

1 1 E ¨ D “ ε E2 2 2

wm “

1 1 2 1 H ¨ B “ μ H2 “ B 2 2 2μ

(5.31) Das Kreuzprodukt der Feldstärken heißt Poynting-Vektor nach John Henry Poynting (1852 -1914). S “EˆH

(5.32)

Dieser Vektor beschreibt die durch eine Fläche tretende Leistung als Flächenleistungsdichte und damit den Energiefluss im Feld als Energiedichte mal Geschwindigkeit bzw. als Energie pro Fläche und Zeit mit der Dimension in äquivalenten Darstellungen. Ws m W Ws V A ¨ “ 2 “ 3¨ “ 2 m m m m s m ¨s Den Betrag des Poynting-Vektors bezeichnet man als Intensität und seine Divergenz entspricht der Strahlungsleistungsdichte ˚ p Str . Die Zusammenfassung der Ergebnisse führt zur Bilanzgleichung der Leistungsdichten. ´

‰ d “ dwFeld we ` wm “ J ¨ E ` div S “ ˚ pV ` ˚ p Str “´ dt dt

(5.33)

5.2 Kräfte, Felder, Energie

183

Integriert man diese Beziehung über ein Volumen v, dann erhält man unter Anwendung des Gauß’schen Satzes (19.3, Bd. I) die folgende Bilanzgleichung der Leistung, die 1884 von John Henry Poynting und Oliver Heaviside angegeben wurde und die als Energieerhaltungssatz des elektromagnetischen Feldes oder auch als Poynting’scher Satz bezeichnet wird. ¡ £ ‰ d “ dWFeld We ` Wm “ PV ` PStr “ ˚ pV dv ` S ¨ da “´ ´ dt dt v a (5.34) Diese Leistungsbilanz besagt, dass die zeitliche Abnahme der im Volumen gespeicherten Gesamtenergie des Feldes, die aus elektrischer und magnetischer Energie besteht, verursacht wird durch die Verlustleistung PV als Joule’sche Wärme im Volumen und durch den Leistungsfluss bzw. die Strahlungsleistung PStr , die aus dem Volumen über die umrandende Fläche nach außen abgegeben wird. Die folgende Darstellung der zeitlichen Abnahme von Energiedichte und Energie £ dWFeld dwFeld S ¨ da ` PV “ ´ “ ´ PFeld div S ` J ¨ E “ ´ dt dt a (5.35) kann direkt mit der Kontinuitätsgleichung div J “ ´ Bρ{Bt nach (5.4) verglichen werden, bei der die Abnahme der Ladung im Volumen durch die Stromdichte gedeckt wird, die über die umrandende Fläche nach außen tritt. Dabei erscheint die Stromdichte als Ladungsfluss im Feld mit der Dimension A{m2 “ As{m3 ¨ m{s einer Ladungsdichte mal Geschwindigkeit. Für ein bestimmtes Volumen besagt die Bilanzgleichung (5.34), dass sich die Leistungen bzw. die Energien von Feld, Verlust und Strahlung zu Null ergänzen. PFeld ` PV ` PStr “ 0 pPFeld ` PV ` PStr q Δt “ WFeld ` WV ` WStr “ 0

5.2.4

Kraftdichte des Feldes

Man kann die Kraftdichte (5.17) des elektromagnetischen Feldes allein durch die beiden Feldvektoren E und B darstellen, die nach Abschnitt 5.1.4 die

184

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Sommerfeld’schen Intensitätsgrößen bilden. Dazu werden Ladung ρ und Stromdichte J durch die Maxwell’schen Gleichungen ausdrückt. fL “ ρ E ` J ˆ B ˙ j 1 BE “ E div ε E ` rot B ´ε ˆB μ Bt ` ˘ “ ε E div E ` E E ¨ grad ε ˆ ˙ 1 BE 1 ´ε ˆB ´ B ˆ rot B ` B ˆ B ˆ grad μ μ Bt `

˘

„

ˆ

Für den Hauptanwendungsfall linearer Medien mit homogenen, örtlich konstanten Materialgrößen ε und μ fallen die Gradienten fort und es verbleibt fL “ ε E div E ´

1 BE B ˆ rot B ´ ε ˆB μ Bt

Mit der Ableitung des Kreuzproduktes ‰ BE B “ BB EˆB “ ˆB`Eˆ Bt Bt Bt und durch Ergänzung mit div B “ 0 des divergenzfreien, magnetischen Feldes erhält man folgende symmetrische Form der Kraftdichte. fL “

“ ‰ ε E div E ´ E ˆ rot E `

5.3 5.3.1

‰ ‰ B “ 1 “ B div B ´ B ˆ rot B ´ ε EˆB μ Bt

(5.36)

Maxwell’scher Spannungstensor Darstellung von Spannungstensor, Kraftdichte und Kraft

Nach Faraday existieren im elektromagnetischen Feld keine unmittelbar wirkenden Fernkräfte, sondern alle Kraftwirkungen werden durch einen Spannungszustand des vom Feld erfüllten Raumes in kontinuierlicher Art von Punkt zu Punkt übertragen, so wie man das aus der Mechanik bei

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor

185

der Schallausbreitung und von elastischen Körpern kennt. Maxwell zeigte, dass man die auftretenden Kräfte aus Spannungen ermitteln kann, die man über die Begrenzung eines Raumgebietes integriert. Allerdings verwendete Maxwell in seinen Abhandlungen 3 noch kartesische Komponentenform und Hamilton’sche Quaternionen, denn die moderne Darstellung mit Vektoren wurde erst später ab 1881/84 von Josiah Willard Gibbs (1839 -1903) eingeführt und seit 1882 umfassend von Oliver Heaviside (1850 -1925) zur Beschreibung der Elektrodynamik eingesetzt, [7, S. 136, 150, 162], [32, Kap. 9]. Gemäß der Vektorbeziehung (17.55, Bd. I) gilt für die elektrische Feldstärke 1 grad pE ¨ Eq “ pE ¨ grad qE ` E ˆ rot E 2 und damit für die erste eckige Klammer von (5.36) Qe “ E div E ´ E ˆ rot E 1 “ pE ¨ grad q E ´ grad pE 2 q ` E div E 2 Mit dem skalaren Operator pE¨grad q aus Abschnitt 18.5.1 (Bd. I) erhält man die kartesischen Komponenten des Vektors Qe , bei dem das Divergenzglied durch die kürzeren Klammern beschrieben wird. ˙j „ ˆ BEx BEx B Ex B 1 2 Qe “ ex Ex ` Ey ` Ez ´ E Bx By Bz Bx 2 „ j BEy B Ex BEz ` Ex ` Ex ` Ex ex Bx By Bz ˙j „ ˆ BEy BEy BEy B 1 2 ey ` Ex ` Ey ` Ez ´ E Bx By Bz By 2 „ j BEy BEx BEz ` Ey ` Ey ` Ey ey Bx By Bz „ ˙j ˆ BEz BEz B 1 2 BEz ` Ex ez ` Ey ` Ez ´ E Bx By Bz Bz 2 j „ B Ey B Ez B Ex ez ` Ez ` Ez ` Ez Bx By Bz 3

s. Fußnoten in Abschnitt 5.1.1

186

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Fasst man nach der Produktregel jeweils zwei Differentiale zusammen, dann läßt sich dieser Vektor folgendermaßen darstellen, „ j B ` 2 1 2 ˘ BpEx Ey q BpEx Ez q Qe “ E ´ E ` ` ex Bx x 2 By Bz „ j BpEx Ey q B ` 2 1 2 ˘ BpEy Ez q ` ` Ey ´ E ` ey Bx By 2 Bz j „ BpEy Ez q BpEx Ez q B ` 2 1 2˘ ez ` ` ` Ez ´ E Bx By Bz 2 den man nach (18.46, Bd. I) als Divergenz eines Tensors 2. Stufe deuten kann. Ein äquivalentes Ergebnis erhält man für die magnetische Induktion und den Vektor Qm in der zweiten eckigen Klammer von (5.36), so dass sich die folgenden Beziehungen ergeben. div T

e

“ ‰ “ ε Qe “ ε E div E ´ E ˆ rot E (5.37)

div T

m

‰ 1 1“ B div B ´ B ˆ rot B “ Qm “ μ μ

Beide Divergenzbeziehungen werden durch die Feldvektoren E und B erzeugt, die ihrerseits ihren Ursprung in den Quellen ρ und J des elektromagnetischen Feldes haben. Die Tensoren T e und T m stellen die elektrischen und magnetischen Anteile des symmetrischen Maxwell’schen Spannungstensors T M der Einheit N{m2 “ Ws{m3 für mechanische Spannung bzw. Energiedichte dar. T

M

“T

e

`T

m

` ˘ “ eT T e ` T m e “ eT T M e

Mit den Beträgen der Feldvektoren und (5.31) E 2 “ E 2 “ Ex2 ` Ey2 ` Ez2 “

2 we ε

B 2 “ B 2 “ Bx2 ` By2 ` Bz2 “ 2μ wm

(5.38)

187

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor

lauten die kartesischen Komponentenmatrizen beider Tensoren, ¨

Ex2 ´ E 2 {2

E x Ey

Ex Ez

˛

Ex Ey

Ey2 ´ E 2 {2

Ey Ez

Ex Ez

Ey Ez

Ez2 ´ E 2 {2

‹ ‹ ‚

˚ Te “ ε˚ ˝

(5.39) ¨ Tm

1˚ “ ˚ μ˝

Bx2

´

B 2 {2

B x By

Bx Bz

˛

Bx By

By2 ´ B 2 {2

By Bz

Bx Bz

By Bz

Bz2 ´ B 2 {2

‹ ‹ ‚

die die folgenden Determinanten und Spuren besitzen. ´1 ¯3 1 “ we3 sp T e “ ´ ε E 2 “ ´ we det T e “ ε E2 2 2 und ´ 1 ¯3 1 2 3 sp T m “ ´ B “ ´ wm det T m “ “ wm B2 2μ 2μ Neben den Gleichungen (5.17) und (5.36) erhält man für die Kraftdichte des elektromagnetischen Feldes in linearen Medien eine weitere Darstellung mit Maxwell’schem Spannungstensor T M und Poynting-Vektor S. fL “ ρ E ` J ˆ B “ div T

M

´ με

BS Bt

(5.40)

Das Volumenintegral der Kraftdichte führt unter Berücksichtigung des Divergenz-Theorems für Tensoren (19.9, Bd. I) und der Symmetriebeziehung (11.3, Bd. I) auf die Darstellung der Lorentz-Kraft auf Ladungen und Ströme im umfassten Volumen, die sich aus einem Anteil des Spannungstensors und einem Strahlungsanteil zusammensetzt. FL “

¡

fL dv “ v

£

T a

M

B ¨ da ´ με Bt

¡ S dv

(5.41)

v

Das zu integrierende Volumen muss nicht mit der Ausdehnung der Quellen übereinstimmen, sondern kann geeignet größer bis zur unendlichen Hülle gewählt werden.

188

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Wenn das zweite Integral der rechten Seite z.B. in statischen Feldern entfällt, dann wird die Kraft auf Grund der Quellenverteilung gemäß dem ersten Integral vollständig durch die Randwerte des Spannungstensors auf der Oberfläche des umfassten Volumens bestimmt.

5.3.2

Spannungstensor im elektrostatischen Feld

Als spezieller Anwendungsfall wird der Maxwell’sche Spannungstensor im elektrostatischen Feld mit T M ” T e betrachtet, wodurch in der LorentzKraft (5.41) das zweite Integral der rechten Seite entfällt und der Tensor nach (4.5) durch den Spannungsvektor ausgedrückt wird. Fe “

£

T

e

a

¨ da “

£

T

e

¨ n da “

a

£ s da

(5.42)

a

Entsprechend der Beziehung (4.6) wird die Kraft als Tensorfluss durch die in diesem Fall geschlossene Fläche berechnet. Mit dem symmetrischen Tensor T e lautet der Spannungsvektor s“T

e

¨ n“T

e

¨ pnx ex ` ny ey ` nz ez q “ eT T e e ¨ eT n “ eT T e n

s“

‰ e e e Txx nx ` Txy ny ` Txz nz ex “ e ‰ e e ` Txy nx ` Tyy ny ` Tyz nz ey “ e ‰ e ` Txz nx ` Tyz ny ` Tzze nz ez “

(5.43)

Setzt man hier die Tensorkomponenten aus (5.39) ein, dann kann der Spannungsvektor auch durch die Feldstärke ausgedrückt werden. s“T

e

¨ n “ ε pE ¨ nq E ´

1 ε E2 n 2

(5.44)

Die Hauptachsentransformation des Spannungstensors überführt gemäß Abschnitt 12.2 (Bd. I) dessen symmetrische Matrix T e in die Diagonalmatrix T eHA des Hauptachsensystems pξ, η, ζq , deren Diagonalelemente die Eigenwerte der Matrix T e als Nullstellen des charakteristischen Polynoms bzw. der Säkulargleichung sind.

189

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor

Nach algebraischer Auflösung erhält man aus der Säkulargleichung ˘ ‰“ ‰2 ` 1“ 2λ ´ ε E 2 2λ ` ε E 2 “ 0 det T e ´ λ E “ ´ 8 einen einfachen und einen zweifachen Eigenwert von gleichem Betrag. 1 ε E 2 “ ` we “ ` Λ 2 1 λ η “ λ ζ “ Tηeη “ Tζeζ “ ´ ε E 2 “ ´ we “ ´ Λ 2

λ ξ “ Tξeξ “ `

Die diagonale Tensormatrix im Hauptachsensystem sowie ihre Determinante lauten damit ¨

T eHA “ Diag λk `

˘

˛ 1 0 0 “ Λ ˝ 0 ´1 0 ‚ 0 0 ´1

det T eHA “ det T e “ Λ3 “ we3 “

´1 2

(5.45)

ε E2

¯3

Die Tensorfläche ist wegen der beiden gleich großen, negativen Eigenwerte ein zweischaliges Rotationshyperboloid um die ξ-Achse, dessen Asymptotenkegel wegen der gleich großen Eigenwertbeträge einen Öffnungswinkel von 90˝ besitzt. η2 ζ2 ξ2 ´ ´ “1 1{Λ 1{Λ 1{Λ

Ñ

ξ2 “ η2 ` ζ 2 `

1 Λ

Als Eigenrichtung beim einfachen Eigenwert erhält man nach Lösung des homogenen Gleichungssystems gemäß Abschnitt 12.2.5 (Bd. I) `

˘ Te ´ λξ E aξ ¨

Ex2 ´ E 2

˚ “ ε ˝ Ex Ey Ex Ez

Ex Ey

Ex Ez

Ey2 ´ E 2

Ey Ez

Ey Ez

Ez2 ´ E 2

˛¨ ˛ aξ1 ‹˚ ‹ ‚˝aξ2 ‚ “ 0 1

190

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

den Eigenvektor aξ mit den Komponenten ˛ ¨ Ex {Ez ‹ ˚ a ξ “ ˝Ey {Ez ‚

¨ ˛ Ex 1 ˚ ‹ ˚ a ξ “ ˝ Ey ‚ E Ez

bzw. normiert

1

Beim zweifachen Eigenwert entstehen aus der Matrixgleichung ` e ˘ T ´ λ η, ζ E a η, ζ ¨

Ex2

˚ “ ε ˝ Ex Ey Ex Ez

Ex Ey Ex Ez Ey2

˛¨ ˛ xa ‹˚ ‹ Ey Ez ‚˝ xb ‚ “ 0

Ey Ez

Ez2

xc

drei identische Beziehungen, , Ex2 xa ` Ex Ey xb ` Ex Ez xc “ 0 / / . 2 Ex Ey x a ` Ey x b ` Ey Ez x c “ 0 / / Ex Ez xa ` Ey Ez xb ` Ez2 xc “ 0

Ñ

xc “ ´

Ey Ex xa ´ xb Ez Ez

aus denen man durch linear unabhängige Wahl der Variablen xa und xb gemäß ˜ ¸ ˜ ¸ ˜ ¸ ˜ ¸ 1 xa 0 xa “ und “ 0 1 xb xb die Größe xc und daraus zwei Eigenvektoren bestimmt, die zueinander orthogonal sind. ¨ ˛ 1 1 ˚ ‹ 0 bzw. normiert a˚η “ a aη “ ˝ ‚ Ex2 ` Ez2 ´Ex {Ez ¨

˛ 0 ‹ ˚ 1 aζ “ ˝ ‚ ´Ey {Ez

jedoch nicht ¨

˛ Ez ˚ ‹ ˝ 0 ‚ ´Ex ¨

bzw. normiert

˛ 0 1 ˚ ‹ a˚ζ “ b ˝ Ez ‚ 2 2 Ey ` Ez ´E y

191

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor

Beim zweifachen Eigenwert spannen die beiden Eigenvektoren aη und aζ eine Eigenebene auf, die zu aξ orthogonal ist. Die Zusammenfassung der drei Eigenwerte ergibt die Modalmatrix X, die ebenfalls nichtorthogonal ist, so dass die Diagonalisierung der Tensormatrix nach Berechnung der inversen Modalmatrix durch Ähnlichkeitstransformation erfolgen muss. Ex {Ez

1

0

˛

` ˘ ˚ X “ a ξ , a η , a ζ “ ˝ Ey {Ez

0

1

‹ ‚

¨

´Ex {Ez ´Ey {Ez

1 det X “ E{Ez `

˘2

` ˘ X´1 Te X “ TeHA “ Diag λk Um ein orthogonales Hauptachsensystem zu ermitteln, das gleichzeitig ein Rechtssystem bildet, bestimmt man per Kreuzprodukt den Vektor cζ in der Eigenebene, cζ “ aξ ˆ aη “ aTξ e ˆ eT a η “ aTξ Γ a η wobei mit der Γ-Matrix nach (6.2, Bd. I) für dessen Komponenten gilt ¨ cζ “

´Ex Ey

˛

¨

´Ex Ey

˛

1 ˚ 2 1 ‹ ˚ 2 ‹ ˝Ex ` Ez2 ‚ bzw. normiert c˚ζ “ a 2 ˝Ex ` Ez2 ‚ 2 Ez2 E Ex ` Ez ´Ey Ez ´Ey Ez

Fasst man die drei normierten Eigenvektoren, die dann gleichzeitig die Einheitsvektoren der Hauptbasis bilden, zur orthogonalen Modalmatrix X˚ zusammen, ˘ ` X˚ “ a˚ξ , a˚η , c˚ζ “ AT

mit

det X˚ “ det A “ 1

dann kann die Diagonalisierung von T e als Kongruenztransformation durchgeführt werden, ohne dass man die inverse Matrix berechnen muss. `

X˚

˘T

` ˘ Te X˚ “ TeHA “ Diag λk

192

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Die orthogonale Transformationsmatrix A der Diagonalisierung hat folgende Gestalt, A “ pX˚ qT ¨ “

1 ˚ a ˝ E Ex2 ` Ez2

Ex

a a a ˛ Ex2 ` Ez2 Ey Ex2 ` Ez2 Ez Ex2 ` Ez2 ‹ Ez E 0 ´Ex E ‚ ´Ex Ey

Ex2 ` Ez2

´Ey Ez

(5.46) mit der die Umrechnung auf die Einheitsvektoren des Hauptachsensystems durchgeführt wird. ˛ ¨ ˛ eξ ex ˚ ‹ ˚ ‹ “ ˝e η ‚ “ A ˝e y ‚ “ A e eζ ez ¨

e HA

In jedem Raumpunkt ist die Richtung der Hauptachse des einfachen Eigenwertes identisch mit der Richtung der elektrischen Feldstärke, die gleichzeitig die Tangente der Feldlinien bildet. ` ˘T Ey Ex Ez E eξ “ a˚ξ “ a˚ξ e “ ex ` ey ` ez “ E E E |E | Die beiden anderen Hauptachsen zum zweifachen Eigenwert liegen in der Eigenebene, die zu eξ und damit zur Feldstärke orthogonal ist und die ein Rechtssystem von Einheitsvektoren bilden. eη “ a˚η K E

und eζ “ a˚ζ K E

mit

e ξ K eη K eζ

Der Normaleneinheitsvektor n eines beliebigen Flächenelementes kann zerlegt werden in einen Anteil in Richtung der Hauptachse ξ bzw. der Feldstärke E “ | E | eξ und in einen Anteil senkrecht dazu. ˘ ` n “ nξ eξ ` nη eη ` nζ eζ “ n|| ` nK n2 “ n2ξ ` n2η ` n2ζ “ cos2 α ` cos2 β ` cos2 γ “ 1

193

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor

Der Spannungsvektor lautet im Hauptachsensystem “ ‰ “ ‰ e s “ T e ¨ n “ eξ Tξξe eξ ` eη Tηη eη ` eζ Tζζe eζ ¨ nξ eξ ` nη eη ` nζ eζ “ ‰ 1 ε E 2 n ξ eξ ´ n η eη ´ n ζ eζ 2 “ ‰ “ Λ n|| ´ nK

“

und sein Betrag hat den Wert, 1 1 ε E 2 “ ED “ we 2 2 der der Energiedichte im elektrischen Feld entspricht. An den Vektorbeziehungen erkennt man, dass die drei Vektoren E, n und s in einer Ebene liegen und damit komplanar sind. Die Feldstärke E liegt in dieser Ebene zwischen den Vektoren n und s und halbiert den Winkel, den beide bilden, denn für die Tangenten gilt |s| “ Λ “

| ´ Λ nK | | nK | ˇ “ tan α s “ ˇ ˇ tan α n “ ˇˇ ˇ Λ n|| ˇ n|| ˇ

Ñ

αn “ αs “ α

Variiert man in Abbildung 5.6 den Winkel α, dann erkennt man folgende Spannungsverhältnisse im dielektrischen Material. Auf ein Volumenelement überträgt das Feld in Richtung der Feldstärke bei α “ 0 eine Zugspannung und senkrecht zur Feldstärke für α “ π{2 eine Druckspannung, so dass eine Flußröhre in Längsrichtung gedehnt und in Querrichtung gestaucht wird. Weist ein Flächenelement eine Neigung von α “ π{4 gegen die Feldstärke auf, dann liegt der Spannungsvektor in dieser Fläche und erzeugt im Material reine Schubspannungen. Völlig analoge Überlegungen gelten für den Maxwell’schen Spannungstensor im magnetostatischen Feld T M ” T m , die deshalb nicht wiederholt werden.

5.3.3

Kraft zwischen Punktladungen

Nach dem Coulomb’schen Gesetz wirkt in der Abbildung 5.7 auf die Punktladung Q˚ , die sich im Feld E Q der Punktladung Q im Abstand 2a befindet, folgende Kraft in negativer z-Richtung. F “ Q˚ E Q “ ´

1 Q Q˚ ez 4πε p2aq2

194

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

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Abb. 5.7: Feldstärke, Flächennormale und Spannungsvektor im elektrostatischen Feld

Diese auf Q˚ ausgeübte Kraft wird mit Hilfe des Spannungstensors berechnet, indem man den Spannungsvektor, der sich aus dem resultierenden Feld beider Punktladungen ergibt, nach (5.42) über die Oberfläche eines geeigneten Volumens integriert, das Q˚ enthält.

F “

£

T ¨ n da “ a

£ s da a

Mathematisch einfach wird die Integration, wenn man die Ladungen wie im Bild symmetrisch auf die z-Achse legt und den unteren Halbraum als Integrationsgebiet wählt. Da die Feldstärke im Unendlichen verschwindet, liefert nur die Integration über die Symmetrieebene z “ 0 einen Beitrag. Das Ergebnis ist die Kraft auf die Punktladung Q˚ im unteren Halbraum. ˚ a Das Gesamtfeld hat in der Ebene z “ 0 mit den Abständen r “ r “ 2 2 ρ ` a nach dem Coulomb’schen Gesetz die resultierende elektrische

195

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor 

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Abb. 5.8: Feld der Punktladungen und Integrationsgebiet

Feldstärke Epz “ 0q “ E Q ` E Q˚ “ “

Q ρ e ρ ´ a ez Q ˚ ρ e ρ ` a ez ` 4πε r2 r 4πε r2 r a pQ ´ Q˚ q ρ pQ ` Q˚ q e ´ ez ρ 4πε r3 4πε r3

“ Eρ eρ ` Ez ez Der Spannungsvektor (5.43) reduziert sich in der Ebene z “ 0 wegen n “ ez auf drei Glieder, die nach (5.44) aus der Feldstärke berechnet werden. e e s “ Txz ex ` Tyz ey ` Tzze ez ‰ “ “ ε Ex Ez ex ` Ey Ez ey ` pEz2 ´ E 2 {2q ez “` ˘ ‰ “ ε Eρ cos ϕ ex ` Eρ sin ϕ ey Ez ` pEz2 ´ E 2 {2q ez

Da Eρ und Ez nicht von ϕ abhängen, liefern die beiden ersten Summanden bei der Integration mit dem Flächenelement da “ ρ dρ dϕ über ϕ von 0 bis 2π keinen Beitrag.

196

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Die dritte Spannungskomponente sz “ ε pEz2 ´ E 2 {2q “ ε pEz2 ´ Eρ2 q{2 führt bei der Integration über die Ebene z “ 0 auf folgende Integrale. ˆ ˙ ż ε Q ´ Q˚ 2 2 8 ρ dρ a Fz “ ` 2π 2 2 3 2 4πε 0 pρ ` a q loooooooomoooooooon “ 1{4a4

´ 2π

ε 2

ˆ

Q ` Q˚ 4πε

˙2 ż

8

ρ3 dρ ` a2 q3 0 loooooooomoooooooon pρ2

“ 1{4a2

Damit erhält man für die Kraft auf Q˚ das gleiche Ergebnis wie im Coulomb’schen Gesetz. F “´

1 Q Q˚ ez 4πε p2aq2

Bei Vorzeichenwechsel einer der beiden Ladungen dreht sich die Richtung der Kraft um. Die Kraft auf die Ladung Q im Feld der Ladung Q* ist nach dem dritten Newton’schen Gesetz entgegengesetzt gerichtet. Bei der entsprechenden Berechnung ergibt sich der Vorzeichenwechsel dadurch, dass in diesem Fall im oberen Halbraum in der Ebene z “ 0 mit n “ ´ ez integriert wird.

5.3.4

Kraft durch dielektrischen Halbraum

In der Abbildung 5.8 trennt die Ebene z “ 0 die Halbräume mit den Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 . Im oberen Halbraum befindet sich eine Punktladung Q im Abstand a von der Grenzfläche. Das elektrostatische Feld wird mit Hilfe der dargestellten Ersatzbilder für jeden Halbraum getrennt berechnet, wobei die Ersatzladungen folgende Größen haben, die man aus der Erfüllung der Randbedingungen (5.12) und (5.13) an der Grenzfläche bestimmt, [23, S. 96], [56, S. 171]. Q1 “

ε1 ´ ε2 Q, ε1 ` ε2

Q˚ “

2 ε2 Q ε1 ` ε2

Im unteren Halbraum sind die Feldlinien geradlinig und strahlenförmig von Q˚ ausgehend und nur im oberen Halbraum gekrümmt, da sie von zwei Ladungen herrühren, wobei die Art der Krümmung vom Vorzeichen der Ersatzladung Q1 abhängt.

197

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor 

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Abb. 5.9: Dielektrische Halbräume a) Originalanordnung b) Ersatzbild für den oberen Halbraum c) Ersatzbild für den unteren Halbraum Die Kraft, die die Ladung Q durch den unteren dielektrischen Halbraum erfährt, ergibt sich aus dem Ersatzbild b) zu F “ Q E Q1 “ `

1 QQ1 Q 2 ε1 ´ ε2 1 “ ez 4πε1 p2aq2 4πε1 ε1 ` ε2 p2aq2

Mit dem Spannungstensor erfolgt die Berechnung der Kraft auf die Ladung Q wie in der Aufgabe des vorigen Abschnitts. Mit dem Ersatzbild für den oberen Halbraum und der Integration der Spannungen über diesen Bereich, wobei in der Ebene z “ 0 die Normale n “ ´ ez gilt, erhält man für die z-gerichtete Kraft das Ergebnis Fz “ ´ “

‰ πε1 1 “ 1 2 1 2 q ´ pQ ` Q q pQ ´ Q p4πε1 q2 4a2

Q 2 ε1 ´ ε2 1 4πε1 ε1 ` ε2 p2aq2

Für ε2 ą ε1 zieht der untere Halbraum mit Fz ă 0 die Ladung Q an, für ε2 ă ε1 stößt er sie mit Fz ą 0 ab. Im Fall des homogenen Vollraumes mit ε1 “ ε2 lauten die Ersatzladungen erwartungsgemäß Q1 “ 0 und Q˚ “ Q mit verschwindender Kraft auf Q. Im Grenzfall ε2 Ñ 8 gilt für die Ersatzladung Q1 “ ´ Q, die als Spiegelladung erscheint. Die elektrische Feldstärke mündet dann senkrecht auf der Grenze der beiden Halbräume, die eine Äquipotentialfläche darstellt und

198

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

bei der der untere Halbraum feldfrei ist. Das Feldbild im oberen Halbraum entspricht dem Feld einer Punktladung vor einer leitenden Ebene, wie das bei (5.14) beschrieben wurde.

5.3.5

Kraft zwischen Linienströmen

Zwei parallele, unendlich lange Leiter im Abstand 2a führen nach Abbildung 5.9 in z-Richtung Linienströme unterschiedlicher Größe. Die Kraft, die die Leiter aufeinander ausüben, wird ähnlich ermittelt, wie bei den Punktladungen, indem man den Spannungsvektor, der sich aus der resultierenden Induktion beider Linienströme ergibt, über die Oberfläche eines geeigneten Volumens integriert. Da es sich hierbei um ein ebenes Problem handelt, entartet das Volumen zu einer Fläche mit einer sie umrandenden Kontur in der Ebene. 

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Abb. 5.10: Ebenes Feld der Linienströme und Integrationsgebiet Für den Beitrag der Kraft gilt nach (4.1), dF “ s da “ s dx dz der im ebenen Problem pro Längeneinheit der z-Richtung berechnet wird. dF “ s dx dz ¿ ¿ s dx “ T F “

dF “

C

C

m

¨ n dx

199

5.3 Maxwell’scher Spannungstensor

Die Kontur C ist die Umrandung der unteren Halbebene. Da die Induktion im Unendlichen verschwindet, muss man nur über die Symmetrielinie x “ 0 integrieren. ? Das Gesamtfeld hat mit den Abständen r “ r˚ “ x2 ` a2 auf der Symmetrielinie nach dem Biot-Savart’schen Gesetz (5.90) die resultierende magnetische Induktion B “ BI ` B I ˚ “

μI μ I˚ pe ˆ rq ` pez ˆ r ˚ q z 2π r2 2πr2

Mit den Kreuzprodukten ez ˆ r “ ez ˆ p` x ex ´ a ey q “ ` a ex ` x ey ez ˆ r ˚ “ ez ˆ p` x ex ` a ey q “ ´ a ex ` x ey erhält man die Induktion zu B“

` ˘ ˘ ‰ μ “ ` ˚ ˚ ` x I ` I a I ´ I e ey “ B x ex ` B y ey x 2π r2

Da das Problem eben ist, gilt Bz “ 0, so dass alle Tensorkomponenten, die im Index ein z enthalten, Null sind. Der Spannungsvektor nach (5.43) reduziert sich wegen n “ ey auf zwei Glieder, die aus der Induktion berechnet werden. m m s “ Txy ex ` Tyy ey “

˘ 1 1 ` 2 By ´ Bx2 ey B x B y ex ` μ 2μ

Die Integration des Spannungsvektors über die x-Achse ergibt folgende Integrale Bx By Bx2 By2

Ñ Ñ Ñ

ż

8

´8 ż8 ´8 8

ż

´8

ax dx “0 ` a2 q2

px2

π a2 dx “ 2 2 2 px ` a q 2a π x2 dx “ px2 ` a2 q2 2a

(Integrand ungerade)

200

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Damit erhält man die Kraft pro Längeneinheit auf den Leiter mit dem Strom I ˚ im Feld des Leiters mit I. ˘2 ` ˘2 ı 1 ´ μ ¯2 π ” ` I ` I˚ ´ I ´ I˚ F “ ey 2μ 2π 2a F “

μ II ˚ ey 2π 2a

Die Kraft auf den Leiter mit dem Strom I ist entgegengesetzt gerichtet, da in diesem Fall über die obere Halbebene integriert werden muss.  

 F 

F

 F 



Abb. 5.11: Kräfte zwischen parallelen Leitern Als Ergebnis erhält man folgende Aussagen. ‚ Leiter mit gleichsinnig parallel fließenden Strömen ziehen sich an ‚ Leiter mit gegensinnig parallel fließenden Strömen stoßen sich ab



201

5.4 Impulse und Erhaltungssätze

5.4 5.4.1

Impulse und Erhaltungssätze des elektromagnetischen Feldes Linearer Impuls

Nach dem Newton’schen Grundgesetz (3.2) ist die Lorentz-Kraft (5.16), die im elektromagnetischen Feld durch die Quellenverteilung aus vorhandenen Ladungen und Strömen hervorgerufen wird, die Zeitableitung des mechanischen Impulses. ¡ ` ˘ dpmech “ ρ E ` J ˆ B dv FL “ Fmech “ dt v In der Darstellung (5.41) der Lorentz-Kraft ¡ £ ¡ B M fL dv “ T ¨ da ´ με S dv FL “ Bt v a v kann man im Volumenintegral der rechten Seite den Integranden als Kreuzprodukt der Flussdichten ausdrücken und als Impulsdichte qStr des elektromagnetischen Feldes interpretieren, die durch die Strahlung des Poynting-Vektors hervorgerufen wird. ` ˘ ` ˘ dpStr με S “ εE ˆ μH “ D ˆ B “ qStr “ dv Die Impulsdichte ist der Impuls pro Volumen mit der Einheit Ns{m3 und entsprechend dem mechanischen Impuls pmech der Lorentz-Kraft existiert ein elektromagnetischer Impuls pStr der Strahlung. ¡ ¡ ¡ pStr “ qStr dv “ με S dv “ ε E ˆ B dv v

v

v

Die Kraftdichte entspricht der Zeitableitung einer Impulsdichte, so dass für Strahlungs- und mechanische Kraftdichte gilt fStr “

dqStr dS “ με dt dt (5.47)

fmech “ fL “

dqmech “ ρ E ` J ˆ B “ div T dt

M

´

dqStr dt

202

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Deren Summe ergibt die Kraftdichte des Feldes. fFeld “ fmech ` fStr “ div T

M

Bei Integration über ein Volumen v erhält man die Gesamtkraft im elektromagnetischen Feld als zeitliche Änderung des Feldimpulses und als Integration der Randwerte des Spannungsvektors (4.5) über die Oberfläche des umfassten Volumens. FFeld “

‰ dpFeld d “ pmech ` pStr “ “ dt dt

£

T

M

¨ da “

£ s da

a

(5.48)

a

Diese Bilanzgleichung wird als Impulserhaltungssatz des elektromagnetischen Feldes bezeichnet, die das vektorielle Analogon zur Leistungsbilanz (5.34) darstellt. ´

dWFeld “ dt

¡

˚ pV dv ` v

£

dpFeld “ dt

S ¨ da a

£

T

M

¨ da

a

(5.49) Selbst in einem Raumgebiet ohne Quellen, in dem Lorentz-Kraft FL und mechanischer Impuls pmech Null sind, besitzt das elektromagnetische Feld einen Impuls pStr , der durch das Zusammenwirken der Feldvektoren hervorgerufen wird. Im quellenlosen Volumen lautet der Impuls dann ¡ ¡ S dv “ ε E ˆ B dv pFeld ” pStr “ με v

v

• Das elektromagnetische Feld selbst ist Träger eines Impulses! Das Prinzip der Impulserhaltung ist nur für den Gesamtimpuls des Feldes gültig, wenn neben dem mechanischen Impuls der Quellenverteilung auch der Impuls des elektromagnetischen Strahlungsfeldes berücksichtigt wird! Im unbegrenzten Raum ist das Flächenintegral in (5.48) über die unendlich ferne Hülle für statische Felder Null, in denen die Feldvektoren wie 1{r2 abnehmen, so dass dann der Gesamtimpuls zeitlich konstant ist, [42, S. 932], [56, S. 514]. ‰ dpFeld d “ “ pmech ` pStr “ 0 dt dt

Ñ

pFeld “ const.

(5.50)

203

5.4 Impulse und Erhaltungssätze

5.4.2

Drehimpuls

Der Drallsatz (3.9) wird auf das Volumen bezogen. Da die Kreuzprodukte von r9 mit Impuls und Impulsdichte verschwinden, r9 ˆ p “ r9 ˆ mr9 “ 0

Ñ

r9 ˆ q “ r9 ˆ

dp “0 dv

erhält man mit (5.47) und dem speziellen Kreuzprodukt (18.52, Bd. I) für die Dichten der Größen r ˆ fmech “

dmech dqStr “ r ˆ div T M ´ r ˆ dt dt ˘ ` M ˘ d` “ ´ div T ˆ r ´ r ˆ qStr dt

Die Integration über ein bestimmtes Volumen führt mit dem Gauß’schen Satz (19.3, Bd. I) auf Drehmoment und Zeitableitung des Drehimpulses. £ ¡ ˘ ` M ` ˘ dLmech d Mmech “ “´ T ˆ r ¨ da ´ r ˆ qStr dv dt dt looooooooooomooooooooooon a v “ LStr

Damit erhält man eine zu (5.48) äquivalente Bilanzgleichung, die den Drehimpulserhaltungssatz des elektromagnetischen Feldes darstellt. MFeld

‰ dLFeld d “ “ “ Lmech ` LStr “ ´ dt dt

£

`

T

M

˘ ˆ r ¨ da

(5.51)

a

Im unendlichen Raum gilt wie beim Impuls unter den dortigen Voraussetzungen ein konstanter Drehimpuls. LFeld “ Lmech ` LStr “ const.

5.4.3

im Raum R8

Erhaltungssätze der Elektrodynamik

Die grundlegenden physikalischen Größen Ladung, Energie, Impuls und Drehimpuls sind Erhaltungsgrößen, die weder erzeugt noch vernichtet werden sondern nur eine Umwandlung erfahren können. Die im elektromagnetischen Feld geltenden Erhaltungssätze verknüpfen die zeitliche Änderung einer Größe in einem Raumpunkt mit dem Transport

204

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

der zugehörigen Flussgröße im Raum. Die Erhaltungssätze werden in ihrer mathematischen Formulierung differentiell und für abgeschlossene Bereiche in Integralform zusammenfassend dargestellt. • Erhaltung der Ladung, Kontinuitätsgleichung Bρ ` div J “ 0 Bt

Ø

B ´ Bt

¡

ρ dv “ v

£

J ¨ da “

£

a

ρ v ¨ da a

Die zeitliche Abnahme der Ladung in einem Volumen entspricht dem Stromfluss durch dessen Oberfläche nach außen.

• Erhaltung der Energie BwFeld ` div S “ ´ J ¨ E Bt

Ø

dWFeld ´ “ PV ` dt

£

S ¨ da a

Die zeitliche Abnahme der Energie in einem Volumen entspricht der Summe aus der inneren Verlustleistung und dem Leistungsfluss durch dessen Oberfläche nach außen.

• Erhaltung des Impulses ˘ d` dqFeld “ qmech ` qStr “ ´ div T dt dt Ø

M

˘ dpFeld d` “ pmech ` pStr dt dt £ ¡ dpmech B “ S dv “ T ` με dt Bt v a

FFeld “

M

¨ da

Die zeitliche Zunahme von mechanischem und Strahlungsimpuls in einem Volumen entspricht der Kraft auf die Oberfläche dieses Volumens.

205

5.5 Elektromagnetische Wellen • Erhaltung des Drehimpulses ˘ dFeld d` “ mech ` Str dt dt Ø

MFeld

dLFeld “ “´ dt “

¡

` div T

M

˘ ˆ r dv

v

˘ d` Lmech ` LStr “ ´ dt

£

`

T

M

˘ ˆ r ¨ da

a

Die zeitliche Zunahme von mechanischem und Strahlungsdrehimpuls in einem Volumen entspricht dem Drehmoment auf die Oberfläche dieses Volumens.

5.5 5.5.1

Elektromagnetische Wellen Aufstellung der Differentialgleichungen

Im homogenen Raum mit konstanten Werten der Materialgrößen ε, μ und κ wird die Rotation der Maxwell’schen Gleichungen (5.1) und (5.2) gebildet und ineinander eingesetzt. Die auftretende doppelte Rotation wird durch den Vektor-Laplace-Operator (17.67, Bd. I) ausgedrückt. rot rot E “ grad div E ´ Δ E “ ´μ

B B´ BE ¯ rot H “ ´ μ κE ` ε Bt Bt Bt

rot rot H “ grad div H ´ Δ H ´ ´ BE ¯ B ¯ BH “ rot κE ` ε “ ´ μκ ` με Bt Bt Bt Die allgemeine Form der Differentialgleichungen der orts- und zeitabhängigen Feldstärken Epr, tq und Hpr, tq, die man als Telegrafengleichungen bezeichnet, lautet folgendermaßen. Δ E ´ grad div E “ μκ

BE B2 E ` με 2 Bt Bt

BH B2 H Δ H “ μκ ` με Bt Bt2

(5.52)

206

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Hier treten neben den räumlichen Differentialquotienten sowohl die erste Zeitableitung auf, die wegen der Leitfähigkeit κ eine Dämpfung bewirkt, als auch die zweite Zeitableitung, die eine Schwingung beschreibt. Zur kürzeren Schreibweise wird der Differentialoperator l (Quad) eingeführt, der nach dem Mathematiker Jean le Rond D’Alembert (17171783) als D’Alembert-Operator oder Operator der Wellenausbreitung bezeichnet wird und der den Laplace-Operator und die zweite zeitliche Ableitung zusammenfasst.

l “ Δ ´ με

B2 B2 B2 B2 B2 “ ` ` ´ με Bt2 Bx2 By 2 Bz 2 Bt2

(5.53)

Im Folgenden werden Wellen in nichtleitenden, quellenfreien Medien mit κ “ 0, also speziell auch im Vakuum, betrachtet, die frei sind von Ladungen ρ und Stromdichten J , wodurch neben dem magnetischen auch das elektrische Feld divergenzfrei wird. Damit reduzieren sich die Telegrafengleichungen auf die dämpfungsfreie und für beide Feldstärken gleiche Form von vektoriellen Wellengleichungen.

l E “ Δ E ´ με

B2 E “0 Bt2 (5.54)

l H “ Δ H ´ με

B2 H Bt2

“0

Die übliche Wahl für die Zeitabhängigkeit sind periodische, monochromatische, sinusförmige Funktionen, die man in komplexer Form mit dem Zeitfaktor ejωt als harmonische Funktionen ansetzt, und aus denen man durch Fourier-Synthese jede gewünschte Kurvenform erzeugen kann. Für die elektrische Feldstärke folgt dann eine Darstellung, bei der die Zusammenfassung von reellem Vektor und Phasenglied als komplexe Amplitude

207

5.5 Elektromagnetische Wellen

oder Phasor Eprq bezeichnet wird.  ( E0 prq ejϕ ejωt Epr, tq “ E0 prq cospωt ` ϕq “ Re loooomoooon “ Eprq

‰ “  (‰ l Epr, tq “ l Re Eprq ejωt  “ ‰( “ Re l Eprq ejωt “ ‰ ( “ Re Δ Eprq ` ω 2 με Eprq ejωt “ 0 “

Die zeitfreien, nur noch ortsabhängigen komplexen Amplituden der Feldstärkevektoren müssen dann die Helmholtz-Gleichung erfüllen. Δ Eprq ` ω 2 με Eprq “ 0 (5.55) Δ Hprq ` ω 2 με Hprq “ 0 Nach Lösung dieser Differentialgleichungen, die in [13] ausführlich dargestellt wird, erhält man die reellen, physikalisch messbaren Feldstärken Epr, tq und Hpr, tq nach Multiplikation der komplexen Größen Eprq und Hprq mit dem Zeitfaktor ejωt und anschließender Realteilbildung. Da die beiden vektoriellen Differentialgleichungen unabhängig voneinander gelten, müssen aus den möglichen Lösungen für E und H diejenigen ausgewählt werden, die zusätzlich die Maxwell’schen Gleichungen erfüllen! Für ebene Wellen ist das relativ leicht möglich, aber für beliebige Wellenformen ist der mathematische Weg einfacher durchführbar mit Hilfe der elektrodynamischen Potentiale, die im nächsten Abschnitt behandelt werden.

5.5.2

Ebene Wellen im nichtleitenden Medium

Die einfachste Lösung der Wellengleichung stellt die ebene harmonische, monochromatische Welle mit fester Kreisfrequenz ω “ 2πf dar, bei der der elektrische Feldstärkevektor Epr, tq der Welle nur von z und t abhängt. Die Feldstärke wird durch folgende Wellenfunktion dargestellt, wobei der

208

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

konstante Vektor E0 die Amplitude bestimmt.  Epz, tq “ Re E0 e´jkz z ejωt u “ Re tE0 ejpωt´kz zq u ´ ` ˘ t z ¯ “ E0 cos ωt ´ kz z “ E0 cos 2π ´ 2π T λz

(5.56)

Die komplexe Amplitude dieser Feldstärke erfüllt wegen (18.45, Bd. I) die Helmholtz-Gleichung. ˘ ˘ ` ` Δ Eprq “ Δ E0 e´jkz z “ ez E0 Δ e´jkz z “ ´ kz2 Eprq “ ´ ω 2 με Eprq Ein entsprechender Ansatz gilt für die magnetische Feldstärke Hpr, tq. Die orts- und zeitabhängigen Wellenfunktionen haben die Periodendauer T und die Wellenlänge λz in z-Richtung und weisen bei Vielfachen dieser Größen gleiche Werte auf. Die Größe kz heißt Wellenzahl der zRichtung für das isotrope Medium, das durch μ und ε charakterisiert wird. kz “

? ? 2π “ ω με “ 2πf με λz

(5.57)

Die Phasenfunktion als Argument der Wellenfunktion φ “ ωt ´ kz z “

2π 2π z t´ T λz

hat gleiche Werte in einer Phasenfront φ “ φ0 “ const. Bei fester Zeit t entspricht die Phasenfront einer unendlich ausgedehnten, transversalen Wellenebene z “ const., die an jedem Punkt die gleiche Phase hat und sich wegen dφ0 “

Bφ Bφ dt ` dz “ ωdt ´ kz dz “ 0 Bt Bz

mit der Phasengeschwindigkeit vP h “

dz λz 1 ω “ “ “ λz f “ ? dt kz T με

Ñ

ω“

mit zunehmender Zeit in positive z-Richtung bewegt.

2π vP h “ kz v P h λz

209

5.5 Elektromagnetische Wellen

Für elektromagnetische Wellen ist die Frequenz die eingeprägte Größe, die die sendende Quelle vorgibt und die überall den gleichen Wert hat, während die Wellenlänge sich in jedem Medium anpasst und abhängig von μ und ε andere Werte aufweist. Der Quotient der Phasengeschwindigkeiten im Vakuum und im Medium heißt speziell im optischen Bereich Brechungsindex oder Brechzahl n. Bei Verwendung der relativen Werte (5.10) bezeichnet man die Beziehung als Maxwell’sche Relation, n“

c vP h

n“

n “ npλq

a a μ r εr « εr

(5.58)

die aber nur für niedrige Frequenzen und nicht im optischen Bereich gültig ist. Der Brechungsindex von Materialien ist keine Konstante sondern frequenzabhängig, so dass Dispersion mit vP h “ vP h pf q auftritt! Aus historischen und messtechnischen Gründen in technischer Optik und Glasindustrie wird der Brechungsindex als Funktion der Wellenlänge npλq und nicht der Frequenz angegeben und in den interessierenden λ-Bereichen durch Sellmeier-Reihen approximiert, [39, S. 179]. Die monochromatische ebene Welle, die sich in Richtung des Einheitsvektors n ausbreitet, besitzt den Wellenvektor k als Verallgemeinerung von (5.57). k “ |k| n “ kn “ ω

k“ω

?

? με n “ kx ex ` ky ey ` kz ez

2π b 2 με “ “ kx ` ky2 ` kz2 “ λ

d ´ 2π ¯2 λx

`

(5.59)

´ 2π ¯2 λy

`

´ 2π ¯2 λz

Die allgemeine Phasenfunktion einer ebenen Welle lautet φ “ ωt ´ k ¨ r

(5.60)

´ 2π ˘ ` 2π 2π ¯ x` y` z φ “ ωt ´ kx x ` ky y ` kz z “ ωt ´ λx λy λz Sie erzeugt Phasenfronten der elektromagnetischen Welle, die orthogonal zum Wellenvektor k sind und die sich mit der Phasengeschwindigkeit vP h

210

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

in k-Richtung ausbreiten. Die Größe k0 ist die Wellenzahl des Vakuums. vP h “

ω λ 1 “ “? k T με

v

” c“

ˇ

Phˇ

Vakuum

ω 1 “ λ0 f “ a k0 μ 0 ε0 (5.61)

     

 

 



 

Abb. 5.12: Phasenfront einer ebenen Welle Die Phasengeschwindigkeit einer ebenen elektromagnetischen Welle im Vakuum entspricht der Lichtgeschwindigkeit c nach (5.9)! Dieses von Rudolf Kohlrausch und Wilhelm Weber 1856 experimentell auf Grund rein elektrischer Messungen gefundene Ergebnis führte Maxwell zu dem Schluss, dass Licht eine Form von elektromagnetischer Strahlung darstellt, wodurch die bisher getrennten physikalischen Bereiche von Optik und Elektrodynamik ihre Vereinigung erfuhren.

5.5.3

Feldvektoren der ebenen Wellen

Den Zusammenhang zwischen E und H erhält man aus deren Divergenzfreiheit und den Rotationen der beiden ersten Maxwell’schen Gleichungen unter Anwendung von (17.56 und 17.59, Bd. I) auf (5.56). Für Epr, tq “ E0 e jpωt´k¨rq

und

Hpr, tq “ H0 e jpωt´k¨rq

folgen mit der Ableitung grad e jpωt´k¨rq “ ´ jk e jpωt´k¨rq

211

5.5 Elektromagnetische Wellen

die Beziehungen für eine ebene Welle in k-Richtung, div Epr, tq “ ´ jk ¨ Epr, tq “ 0 div Hpr, tq “ ´ jk ¨ Hpr, tq “ 0 BHpr, tq “ ´ jωμ Hpr, tq Bt BEpr, tq “ ` jωε Epr, tq rot Hpr, tq “ ´ jk ˆ Hpr, tq “ ` ε Bt rot Epr, tq “ ´ jk ˆ Epr, tq “ ´ μ

(5.62)

aus denen die Orthogonalitätsbedingungen hervorgehen, wonach die drei Vektoren jeweils aufeinander senkrecht stehen. k¨H “0

k¨E “0

E¨H “0

(5.63)

Da die beiden Feldstärken E und H zur Ausbreitungsrichtung k orthogonal sind und daher in der Wellenfront oder Transversalebene liegen, bezeichnet man die Wellen des elektromagnetischen Feldes in nichtleitenden Medien als Transversalwellen.

 







Abb. 5.13: Vektoren der ebenen Welle Für die Kreuzprodukte aus Wellenvektor und Feldgrößen erhält man mit (5.59) die Beziehungen kˆE “ ωB kˆB “´

ω E vP2 h

Ñ

n ˆ E “ vP h B

Ñ

nˆB “´

1 E vP h

212

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Der Poynting-Vektor (5.32) als Kreuzprodukt der Feldstärken, beschreibt den Leistungsfluss der Welle im Feld, der in k-Richtung weist. | E |2 S “EˆH “ k“ ωμ

c

| H |2 ε | E |2 n “ k“ μ ωε

c

μ | H |2 n ε

(5.64) Die drei Vektoren E, H, S bzw. E, H, k bilden in dieser Reihenfolge daher ein Rechtssystem. Aus dem Poynting-Vektor erhält man den Wellenwiderstand des Mediums, der für das Vakuum einen charakteristischen Wert hat. |E | “ Z“ |H |

5.5.4

c

μ ε

Ñ

Z0 “

c

μ0 « 377 Ω « 120π Ω ε0

(5.65)

Wellen in Freiraum und Wellenleitern

Zur Übertragung von Nachrichten über große Entfernungen werden seit langer Zeit Leitungen verwendet. Frühe Beispiele mit Zweidraht-Leitungen sind die Telegrafenverbindungen zwischen Berlin und Frankfurt/M. bzw. Köln (1848/49) und das erste funktionsfähige transatlantische Seekabel zwischen Irland und Neufundland (1866) sowie um das Jahr 1880 der Aufbau öffentlicher Telefonnetze, bei denen die Anschlüsse als Freileitungen ausgeführt wurden. Auch heute ist noch ein großer Teil der Teilnehmeranschlussleitungen als Ausläufer im Telefonnetz meist als Erdkabel mit einer Länge von wenigen 100 m mit symmetrischen Doppeladern ausgeführt. Auf Grund der Erfindungen des Radios durch Guglielmo Marconi, des Antennenkreises durch Ferdinand Braun und vieler weiterer Bauelemente, Verbesserungen und Methoden konnte ein regelmäßiger Rundfunk ab 1920 in den USA und ab 1923 in Deutschland ausgestrahlt werden, (Abschnitt 5.9). Der Einsatz von Trägerfrequenzsystemen als ein hierarchisch gestaffeltes Frequenzmultiplexverfahren bis maximal 60 MHz für den Weitverkehr in Fernsprechnetzen machte die Verwendung neuer Kabeltypen erforderlich. Ab 1950 setzte man Kabel mit 24 sternverseilten Doppeladern (12 Sternvierer) ein und seit den 1970er Jahren flächendeckend breitbandige Kabel mit bis zu 12 Koaxialkabeln. Seit Mitte der 1980er Jahre wurde ein Koaxialkabelnetz für das Kabelfernsehen aufgebaut, wodurch die Störungen durch

5.5 Elektromagnetische Wellen

213

Mehrwegeempfang und die Antennenwälder auf den Hausdächern der Städte beseitigt wurden. Eine detaillierte Beschreibung der Übertragungstechnik und ihrer Bauelemente in historischer Sicht bis in die 1990er Jahre findet man in [10]. Koaxialkabel mit konzentrischen, metallischen Innen- und Außenleitern führen im zylindrischen Hohlraum elektromagnetische TEM-Wellen (transversal elektro-magnetisch), bei denen die Feldvektoren E und H keine Komponenten in axialer Ausbreitungsrichtung aufweisen. Hohlleiter sind metallische Röhren von rechteckigem oder kreisförmigem, manchmal auch mit elliptischem Querschnitt, bei denen die z-Achse die Ausbreitungsrichtung darstellt. Im Innenraum sind transversal elektrische TE-Wellen mit Ez “ 0 sowie transversal magnetische TM-Wellen mit Hz “ 0 ausbreitungsfähig. Durch die an die gewählte Übertragungsfrequenz angepasste Geometrie, besondere Formen der Erregung der Hohlleiter und andere Maßnahmen wie Wandschlitze versucht man, von den prinzipiell ausbreitungsfähigen Wellentypen oder Moden nur die Grundmode oder eine einzelne Mode anzuregen, der die zu übertragende Information durch geeignete Modulationsverfahren aufgeprägt wird. Für den hochfrequenten GHz-Bereich werden Hohlleiter auf kurzen Distanzen bei Richt- und Satellitenfunk und für Radaranwendungen zwischen Sender/Empfänger und Antenne eingesetzt. Die Berechnung der Felder in Wellenleitern und die Darstellung der Feldbilder von Moden in Koaxialkabeln und Hohlleitern werden in vielen Büchern der Elektrodynamik wie [4], [6], [20], [23], [51] behandelt. Eine Alternative zur kabelgestützten Übertragung bietet der Richtfunk, bei dem ein dünner hochfrequenter Funkstrahl Distanzen im meist einstelligen km-Bereich überbrückt. Solche Systeme, die kurzfristig einzurichten und kostengünstiger als Standleitungen sind, werden vielfach von Mobilfunknetzbetreibern und kommerziellen Unternehmen zwischen Standorten mit Sichtverbindung eingesetzt. Die kontinentweite Ausstrahlung von zahlreichen Rundfunk- und Fernsehsendungen erfolgt über geostationäre Satelliten, wodurch in vielen Ländern fremdsprachige Programme empfangen werden können. Moderne Kommunikationsnetze verwenden anstelle der früheren Kupferleitungen und Koaxialkabel Glasfasern für die Signalübertragung, die seit Mitte der 1980er Jahre zunächst im Weitverkehr und später in flächendeckender Weise und als Metronetze in Ballungsgebieten verlegt wurden, [37].

214

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Dabei wird das infrarote Licht in der Glasfaser als elektromagnetische Welle mit einer Frequenz um 300 THz behandelt. Der Glasfaserausbau hält unvermindert an und wird in den Bereich der Wohneinheiten verlängert, um den breitbandigen Anschluss für Fernsehversorgung und Internetzugang zu ermöglichen. Für den weltweiten Verkehr wurde eine Vielzahl von Seekabelstrecken verlegt. Die Realisierung optischer Übertragungssysteme wurde ermöglicht durch die Entwicklung von sehr reinem, dämpfungsarmem Quarzglas (SiO2 ) durch Charles Kao (1966), wofür er 2009 den Nobelpreis für Physik erhielt, [61]. Die günstigste Wellenlänge bei Lichtwellenleitern aus Quarzglas liegt bei 1550 nm im nahen Infrarot, bei der Glasfasern nur noch eine Dämpfung von 0.2 dB/km haben, so dass nach einem Kilometer Faserlänge noch etwa 96% der eingespeisten Intensität vorhanden ist. Damit sind verstärkerlose Übertragungsstrecken bis zu 200 km möglich, was für den Einsatz innerhalb der meisten Länder ausreichend ist. Für diese optimale Wellenlänge wurden in etwa 20 Jahren frequenzstabile, abstimmbare Halbleiterlaser sowie Empfangsdioden aus Mischkristallen (InGaAsP, InGaAs) entwickelt. Glasfasern, die mit 125 μmI etwas dicker als ein Haar sind, werden für Kommunikationssysteme so ausgelegt, dass nur die Grundmode ausbreitungsfähig ist. Solche Monomodefasern besitzen im dotierten Kernbereich von etwa 10 μmI einen optimierten radialen Brechzahlverlauf, ein Brechzahlprofil, zur Führung des Infrarotlichts sowie zur Minimierung der chromatischen Dispersion, die die Verbreiterung der Übertragungsimpulse bewirkt, da sich unterschiedliche Frequenzanteile des Signals verschieden schnell in der Faser fortpflanzen, wodurch die Übertragungsbandbreite begrenzt wird. Im optischen Weitverkehr, speziell bei Seekabelstrecken, werden Erbiumdotierte Faserverstärker eingesetzt, die das einlaufende optische Signal mit Hilfe eines lokalen Pumplasers in einem breiten Wellenlängenbereich verstärken, so dass die Wandlung in ein elektrisches Signal mit Taktrückgewinnung, Signalregeneration, Verstärkung und Rückwandlung in ein optisches Signal vermieden werden kann, [41, Kap. 7.1.2], [58]. Die Steigerung der Übertragungskapazität wird durch optisches Wellenlängenmultiplex erreicht, indem man Lichtsignale mit verschiedenen, dicht benachbarten Wellenlängen bzw. Frequenzen durch optische Koppelelemente bündelt, gemeinsam in eine Glasfaser einspeist und überträgt und

5.5 Elektromagnetische Wellen

215

am Empfangsort durch frequenzselektive Bauelemente wie Beugungsgitter oder integriert-optische Komponenten der Photonik wieder vereinzelt. Je nach Frequenzabstand der in genormte Raster eingeteilten Kanäle können durch abstimmbare Laser im Wellenlängenbereich um 1550 nm theoretisch mehrere hundert Kanäle mit Signalen von jeweils bis zu 40 Gbit/s und damit Übertragungskapazitäten im Tbit/s-Bereich auf einer einzigen Glasfaser realisiert werden. Eine weitere Steigerung erreicht man dadurch, dass die verlegten Kabel eine größere Anzahl von Einzelglasfasern enthalten. Diese Technik bildet im Weitverkehr das Rückgrat der modernen Kommunikation und Übertragungsleistung, die sich in einer stetigen Volumensteigerung befindet. In den heutigen Netzen wird die Übertragung der Information weitgehend in Datenpaketen nach dem Internetprotokoll durchgeführt. Einen großen Anteil der modernen Kommunikation nimmt der Mobilfunk ein, [26]. Nach frühen Anfängen mit analoger Übertragung der 1. Generation (1G) mit A-, B- und C-Netz (1958-2000), wurde der europäische, digitale Mobilfunkstandard GSM (Global System for Mobile Communications) entwickelt, der 1992 in Europa als 2. Generation (2G) und später weltweit eingeführt wurde. In Deutschland wurde dieser Standard als D-Netz (900 MHz) und E-Netz (1800 MHz) von privaten Betreibern bereitgestellt. Kennzeichen aller Mobilfunksysteme ist der mobile Netzzugang der Teilnehmer über tragbare Telefon-Endgeräte (Handy), die durch den Fortschritt der Elektronik- und Mikroprozessortechnik zu potenten Rechnern mit breitbandigem Internetzugang (Smartphone) weiterentwickelt wurden. Das Mobilfunknetz ist in Funkzellen mit voneinander abweichenden Übertragungsfrequenzen eingeteilt. Da jede Zelle nur eine bestimmte Anzahl gleichzeitiger Verbindungen bedienen kann, werden durch Funknetzplanung die Zellengrößen nach örtlicher Lage und Inanspruchnahme (Land, Stadt, Flughafen, Autobahn, etc.) festgelegt. Teilnehmer mit betriebsbereitem Endgerät werden automatisch in ihrer Aufenthaltszelle im Netz durch ständige Kontrollsignale lokalisiert (Roaming) und bemerken während aktiver Verbindung bei Bewegung im Netzbereich einen Zellenwechsel nicht (Handover). Der eigentliche mobile Funkverkehr findet nur in den Funkzellen bei der Kommunikation zwischen Endgerät und Basisstation auf einem Funkmast statt. Von dort erfolgt der weitere Signaltransport über Richtfunk oder Glasfasern zu weiteren Netzknoten, die auch die Übergabe zu nationalen oder internationalen Telefonsystemen ermöglichen.

216

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Auf Grund der weiten Verbreitung von Smartphones und Tabletcomputern mit berührungsempfindlichen Bildschirmen und dem dadurch immer weiter steigenden mobilen Datenverkehr durch Internetzugang und (Bewegt-) Bildübertragung wurden in kürzeren Abständen neue Systemgenerationen mit höheren Datenübertragungsraten entwickelt: ab 2001 UMTS (Universal Mobile Telecommunications System, 3G) für mobiles Internet mit bis zu 42 Mbit/s und ab 2010 LTE (Long Term Evolution, 4G) für Breitbandmobilfunk mit maximal 1 GBit/s. Der Standard 5G der fünften Generation, der Datenraten bis zu 20 Gbit/s ermöglichen soll, ist abgeschlossen und freigegeben und die Frequenzvergabe an Netzbetreiber erfolgt in einem Versteigerungsverfahren. Bis 2022 sollen in Deutschland Autobahnen und Bundesstraßen mit dieser Technik versorgt werden. Trotz dieser schnellen technischen Entwicklung besteht noch immer eine ungleichmäßige Versorgung unseres Landes mit mobilen Funkdiensten und Internetzugang, da in ländlichen Gebieten oft nur niedrige Bitraten verfügbar sind oder sogar Funklöcher existieren. Dieser Zustand ist für den Privatsektor ärgerlich, bildet aber für kleine und mittlere Unternehmen eine ernste Behinderung ihrer wirtschaftlichen Aktivitäten und ist daher gerade in strukturschwachen Gebieten ein großes Hindernis für die Wirtschaftskraft des Landes. Diese unzumutbare Situation wurde von den politisch Verantwortlichen inzwischen als Problem erkannt und soll in einer umfangreichen Digitalisierungskampagne behoben werden. Zwischenzeitlich versuchen allerdings verschiedene Unternehmen und Großkonzerne eigene 5G-Netze für ihre Geschäftsbereiche aufzubauen.

217

5.6 Elektrodynamische Potentiale

5.6 5.6.1

Elektrodynamische Potentiale Definition der Potentiale

Die Lösung der Maxwell’schen Gleichungen unter Einschluss der Materialgleichungen wird häufig durch die Verwendung von Hilfsfunktionen, sog. Potentialfunktionen, erleichtert, aus denen man die physikalisch relevanten Feldvektoren Epr, tq und Bpr, tq durch Differentiation gewinnt und die in der relativistischen Elektrodynamik noch besondere Bedeutung erlangen. Da das magnetische Feld quellenfrei ist, kann die magnetische Induktion nach (17.63, Bd. I) als Rotation eines Vektorfeldes dargestellt werden. div B “ 0

Ñ

B “ rot A

Dieses orts- und zeitabhängige Vektorfeld Apr, tq heißt magnetisches Vektorpotential. Setzt man diese Beziehung in (5.1) ein, so erhält man unter Vertauschung von räumlicher und zeitlicher Differentiation und wegen (17.62, Bd. I) folgende Darstellung, rot E `

´ BB BA ¯ “ rot E ` “ 0 “ ´ rot grad ϕ Bt Bt

durch die ein orts- und zeitabhängiges skalares Potential ϕpr, tq eingeführt wird. Damit lauten elektrische Feldstärke und magnetische Induktion in Abhängigkeit von den elektrodynamischen Potentialen A und ϕ E “ ´ grad ϕ ´

BA Bt

B “ rot A

(5.66)

Im stationären Fall wird die elektrische Feldstärke E “ ´ grad ϕ nur durch das elektrostatische Potential dargestellt, das häufig auch mit V prq ” ϕprq bezeichnet wird.

5.6.2

Differentialgleichungen der Potentiale

Die beiden elektrodynamischen Potentiale A und ϕ werden in die Maxwell’schen Gleichungen für das nichtleitende Vakuum mit κ “ 0, μ0 und

218

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

ε0 eingesetzt und die doppelte Rotation wird durch den Vektor-LaplaceOperator (17.67, Bd. I) ausgedrückt. rot B “ rot rot A “ grad div A ´ Δ A BE “ μ0 J ` μ 0 ε0 Bt ´ Bϕ B 2 A ¯ “ μ0 J ´ μ0 ε0 grad ` 2 Bt Bt ´ 2 B A Bϕ ¯ Δ A ´ μ0 ε0 2 ´ grad div A ` μ0 ε0 “ ´ μ0 J Bt Bt Mit geeigneter Ergänzung folgt ´ ˘ BA ¯ B ` ρ div E “ ´ div grad ϕ ` “ ´ Δϕ ´ div A “ Bt Bt ε0 ¯ ´ 2 B ϕ Bϕ B ρ Δϕ ´ μ0 ε0 2 ` “´ div A ` μ0 ε0 Bt Bt Bt ε0 Die Differentialgleichungen der elektrodynamischen Potentiale können mit dem D’Alembert-Operator (5.53) kompakter geschrieben werden. lϕ `

Bϕ ¯ B ´ ρ div A ` μ0 ε0 “´ Bt Bt ε0 (5.67) ´

l A ´ grad div A ` μ0 ε0

5.6.3

Bϕ ¯ Bt

“ ´ μ0 J

Eichung

Zusammen mit den Potentialen A und ϕ sind auch die Funktionen ˜ “ A ` grad χ A

und

ϕ˜ “ ϕ ´

Bχ Bt

gültige Potentiale, da die beiden Feldvektoren E und B durch die Funktion χ keine Änderung erfahren, wie sich beim Einsetzen in (5.66) zeigt. Diese Potentialbeziehungen nennt man Eichtransformation, die durch die wählbare Eichfunktion χpr, tq bestimmt wird. Da χ keinen Einfluss auf die Maxwell’schen Gleichungen hat, stellen die Feldvektoren E und

219

5.6 Elektrodynamische Potentiale

B eichinvariante Vektorfelder dar, so dass eine Eichinvarianz vorliegt. Da die Potentiale A und ϕ nur als Hilfsfunktionen zur Berechnung der Feldvektoren durch Differentiation dienen aber keine eigene physikalische Relevanz haben, kann die Lösung der Differentialgleichungen (5.67) durch geeignete Wahl der Eichfunktion χ erleichtert werden. Die Wahl erfolgt dabei allerdings indirekt, indem man über die Quellen des Vektorpotentials verfügt. Für die Divergenz von A haben sich zwei Festlegungen zur mathematischen Vereinfachung bei konkreten Aufgabenstellungen bewährt. • Coulomb-Eichung In magnetostatischen Feldern mit B{Bt “ 0 und in quasistationären Feldern mit langsamer zeitlicher Änderung fordert man, div A “ 0

(5.68)

wodurch in (5.67) die Klammern entfallen und der D’Alembert-Operator zum einfachen Laplace-Operator wird. • Lorenz-Eichung In beliebigen zeitabhängigen, elektromagnetischen Feldern fordert man, div A ` μ0 ε0

Bϕ “0 Bt

(5.69)

so dass in (5.67) die Klammern in gleicher Weise entfallen. Die Lorenz-Eichung, die auch Lorenz-Konvention genannt wird, wurde in dieser Form von dem dänischen Physiker Ludvig V. Lorenz (1829 1891) bereits 1867 angegeben, [15, S. 279], [56, S. 507, 789]. In vielen Büchern wird sie dagegen fälschlicherweise H. A. Lorentz zugeschrieben! In allgemeiner Form hat Hermann Weyl (1885 -1955) die Frage der Eichung in metrischen Räumen untersucht und die Symmetrien der Naturgesetze, sog. Eichsymmetrien, untersucht, bei denen bestimmte Größen frei gewählt, d.h. geeicht, werden können. [53, S. 121]. Bereits 1918 hatte die Mathematikerin Emmy Noether (1882 -1935) in ihrer Habilitationsschrift die heute sog. Noether-Theoreme formuliert, bei denen in mathematischer Form die Prinzipien von Symmetrien,

220

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Erhaltungssätzen und Variationsprinzipien verknüpft werden, die die theoretische Physik prägen, [60]. Mit der Lorenz-Eichung gehen aus den Differentialgleichungen (5.67) die beiden inhomogenen Wellengleichungen der elektrodynamischen Potentiale Apr, tq und ϕpr, tq in äquivalenter mathematischer Form hervor, die für vorgegebene Quellenverteilungen ρpr, tq und J pr, tq zu lösen sind. l ϕ “ Δϕ ´ μ0 ε0

ρ B2 ϕ “´ 2 Bt ε0 (5.70)

l A “ Δ A ´ μ 0 ε0

B2 A “ ´ μ0 J Bt2

Die Lorenz-Eichung bewirkt bei der Lösung von konkreten Aufgabenstellungen im elektromagnetischen Feld zwei wesentliche mathematische Vorteile! • Die Eichung führt zu einer Entkopplung der beiden Potentialgleichungen für A und ϕ • An Stelle der sechs räumlichen Komponenten der Feldvektoren E und H sind nur noch vier skalare Potentialfunktionen für den Skalar ϕ und den Vektor A zu bestimmen Allerdings muss man im D’Alembert-Operator den Vektor-Laplace-Operator Δ A gemäß der Vektorbeziehung (17.67, Bd. I) einsetzen, was nur in kartesischen Koordinaten gemäß (18.45, Bd. I) zu entkoppelten, inhomogenen Wellengleichungen für die drei Komponenten Ax , Ay , Az führt, in krummlinigen Koordinatensystemen dagegen verwickeltere Differentialgleichungen bedeutet, [30, S. 136]. Die beiden Quellenfunktionen ρ und J , die die Inhomogenitäten der Wellengleichungen (5.70) darstellen, sind nicht unabhängig voneinander, da sie die Kontinuitätsgleichung (5.4) erfüllen müssen! Bildet man aber mit ´ ` ˘ B2 A ¯ div l A “ div grad div A ´ rot rot A ´ μ0 ε0 2 Bt ˘ ` ˘ B2 ` “ Δ div A ´ μ0 ε0 2 div A Bt ` ˘ “ l div A

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

221

und mit Vertauschung der Orts- und Zeitdifferentiale bei ϕ folgenden Ausdruck, in den man (5.69) und (5.70) einsetzt, ´ ` ˘ ˘ Bϕ ¯ B ` l div A ` μ0 ε0 “ 0 “ div l A ` μ0 ε0 lϕ Bt Bt loooooooooomoooooooooon ´ ¯ “0 Bρ “ ´μ0 div J ` Bt dann erkennt man, dass die Lorenz-Eichung die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung nach sich zieht, so dass beide Beziehungen miteinander verträglich sind!

5.7

Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

Im statischen Fall mit B{Bt “ 0 gehen aus der skalaren Gleichung (5.70) bei beliebiger Konstante ε entweder die inhomogene Poisson-Gleichung im ladungserfüllten Raum oder die homogene Laplace-Gleichung in ladungsfreien Gebieten hervor. Die Lösung beider Gleichungen ist Gegenstand der Potentialtheorie, [17], [28], [55]. Δϕ “ ´

ρ ε

Δϕ “ 0

(5.71a)

Die zweite Gleichung (5.70) führt auf die Vektordifferentialgleichungen, Δ A “ ´μ J

ΔA “ 0

(5.71b)

die nur im kartesischen Fall in drei Einzelgleichungen für die Komponenten zerfallen. Bei anderen Koordinatensystemen sind die Gleichungen gekoppelt und daher schwieriger zu lösen. Im weiteren Verlauf werden nur die skalaren Differentialgleichungen betrachtet.

5.7.1

Lösung der Poisson-Gleichung

Die Poisson-Gleichung wird gelöst, [18, S. 91], [42, S. 104], [45, II, S. 519], [51, S. 166], indem man den Green’schen Satz (19.14, Bd. I), der die Fun-

222

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

damentalformel der Potentialtheorie darstellt,

¡

“

ϕ Δψ ´ ψ Δϕ dv “ ‰

v

£

“

‰ ϕ grad ψ ´ ψ grad ϕ ¨ da

a

anwendet auf das gesuchte skalare Potential ϕ und den reziproken Abstand ψ “ 1{r “ 1{ | rP ´ rQ |, dessen Laplace-Operator Δψ nach (17.89, Bd. I) verschwindet. Jedes einzelne Ladungselement liefert einen Beitrag zur Potentialfunktion im festen Aufpunkt P , was durch Integration über alle Quellpunkte Q im Volumen v erfasst wird. Wenn der Aufpunkt P im Volumen v oder auf dessen Hüllfläche mit nach außen weisender Normalen n liegt, dann muss bei der Integration, die alle Quellpunkte rQ durchläuft, die Singularitätsstelle r “ 0 der Funktion ψ durch eine kleine Kugel oder Halbkugel vom Radius r0 ausgeschlossen werden, damit die Voraussetzungen des Green’schen Satzes im verbleibenden Volumen erfüllt werden.



    



   

 



    

Abb. 5.14: Volumen für die Lösung der Poisson’schen Gleichung

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

Der Green’sche Satz lautet für den £ « ¡ 1 1 ΔQ ϕ dvQ “ r v r a « £ 1 ` r a0

223

Anwendungsfall mit P in v ˇ ˆ ˙ˇ ff B 1 ˇˇ Bϕ ˇˇ da ´ϕ Bn ˇa Bn r ˇa ˇ ˆ ˙ˇ ff B 1 ˇˇ Bϕ ˇˇ da ´ϕ Bn ˇa0 Bn r ˇa0

Im Grenzübergang r0 Ñ 0 führt das Flächenintegral über die Oberfläche der kleinen Kugel, auf der B{Bn “ ´ B{Br gilt, und unter Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Integranden auf den Wert der gesuchten Potentialfunktion ϕ im Aufpunkt P , der dann auch beliebig liegen kann. ˆ ˙j £ „ 1 Bϕ B 1 lim ´ϕ da r0 Ñ 0 r Bn Bn r a0 „ j £ £ 1 Bϕ 1 “ lim ´ da ´ ϕ da 2 r0 Ñ 0 r0 Br a0 a0 r „ j Bϕ 1 s 4π r02 ´ 2ϕ “ lim ´ 4π r0 r0 Ñ 0 Br r0 $ ’ ´ 4π ϕprP q für rP innerhalb von v ’ & “ ´ 2π ϕprP q für rP auf a ’ ’ % 0 für rP außerhalb von v Führt man den Grenzübergang für das Volumenintegral über die kleine Kugel mit Δ0 ϕ “ ´ ρ{ε gemäß der Poisson-Gleichung aus, dann gilt „´ ¯ j ¡ ¡ Δ0 ϕ ρ ρ 4π 3 dv0 “ lim dv0 “ lim r “ 0 ´ ε lim r0 Ñ8 r0 Ñ 0 r0 Ñ 0 r0 3 0 v0 r v0 r Das Volumenintegral konvergiert also im Volumen v auch an der Stelle des Aufpunktes P . Zusammengefasst lautet die Lösung der Poisson-Gleichung, wenn der Punkt P im Volumen v liegt 1 ϕprP q “ 4πε

¡ v

ρprQ q 1 dvQ ` r 4π

£ „ a

ˇ ˆ ˙ˇ j B 1 ˇˇ 1 Bϕ ˇˇ ´ϕ da r Bn ˇa Bn r ˇa (5.72)

224

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Das Potential ϕprP q im Inneren eines Volumens wird bestimmt durch die darin enthaltenen Ladungen sowie die Randwerte des Potentials und seiner Ableitung auf der begrenzenden Hüllfläche. Formal stellt die Beziehung eine inhomogene Fredholm’sche Integrodifferentialgleichung für die unbekannte Funktion ϕ in mehreren Variablen dar. Man kann also nicht die Randwerte beliebig vorgeben und damit das Potential ϕprP q bestimmen! Durch Widerspruchsbeweis zeigt man die Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung, wenn man entweder das Potential oder seine Ableitung auf der Hüllfläche als Randwerte vorgibt, [23, S. 131, 140]. Die Vorgabe einer der beiden Randbedingungen ist damit bereits hinreichend. Eine durch mathematische Methoden oder einen physikalisch sinnvollen, heuristischen Probeansatz aufgefundene Potentialfunktion, die der Quellenvorgabe entspricht und die Randbedingungen der Aufgabenstellung erfüllt, stellt dann die einzig gültige Lösung dar! Konkrete Probleme treten aber selten in dieser allgemeinen Form sondern normalerweise in bestimmten Sonderfällen auf, die Arnold Sommerfeld in Summations- und Randwertprobleme unterteilt, [48, S. 36, 48], und die unten näher betrachtet werden.

5.7.2

Eigenschaften harmonischer Funktionen

Funktionen, die einschließlich ihrer ersten und zweiten Ableitungen in einem Gebiet stetig sind und die Laplace-Gleichung erfüllen, heißen harmonische Funktionen. Im raumladungsfreien Raum mit ρ “ 0 erhält man aus (5.72) als Lösung der Laplace-Gleichung Δϕ “ 0 die folgende Darstellung der harmonischen Potentialfunktion ϕ. 1 ϕprP q “ 4π

£ „ a

1 Bϕ B ´ϕ r Bn Bn

ˆ ˙j 1 da r

(5.73)

Das Potential im Inneren eines Volumens v läßt sich durch seine Randwerte auf der Hüllfläche ausdrücken. Auch diese Darstellung ist als Integralgleichung für die unbekannte Funktion ϕprP q zu verstehen, die man nicht dadurch im Punkt P berechnen kann, dass man die Randwerte von Funktion und Ableitung beliebig vorgibt. Wendet man den Green’schen Satz (19.14, Bd. I) auf die harmonische Funktion ϕ und die konstante Funktion ψ “ 1 an, dann folgt nach (19.15,

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

225

Bd. I) £ a

Bϕ da “ 0 Bn

(5.74)

Das Integral der Randwerte der Normalableitung einer harmonischen Funktion über die Hüllfläche des Volumens ist Null. Aus (5.73) erhält man für eine Kugel vom Radius R, auf deren Oberfläche gilt, ˆ ˙ ˆ ˙ B 1 B 1 1 “ “´ 2 Bn r Br r r mit (5.74) die Darstellung im Mittelpunkt M der Kugel. £ 1 ϕ da “ x ϕa y ϕprM q “ 4π R2 a Das Potential im Mittelpunkt einer Kugel entspricht dem Mittelwert x ϕa y der Potentialwerte auf der Kugeloberfläche. Dieses Ergebnis heißt Gauß’scher Mittelwertsatz für die Kugel. Als Folge davon kann man zeigen, [17, S. 223], [18, S. 168], [28, S. 176], [45, II, S. 522], dass das Potential als harmonische Funktion in einem Volumen sowohl Minimum als auch Maximum nur auf der Hüllfläche annehmen kann. Daraus folgt, dass eine harmonische Funktion ϕ, die auf der Hüllfläche konstante Randwerte besitzt, im Inneren konstant sein muss.

5.7.3

Summationsprobleme

Summationsprobleme ergeben sich, wenn Ladungs- oder Stromdichten allein im Raum vorliegen. Dazu wird das Volumen v, das die Quellen enthält, für die Integration auf den gesamten Raum v8 ausgedehnt, wobei das Flächenintegral in (5.72) über die unendlich ferne Hülle a Ñ 8 zu Null wird, wenn die Potentialfunktion ϕ wenigstens wie 1{r verschwindet. Damit erhält man die Lösung der Poisson-Gleichung (5.71) für den Gesamtraum als Integrationsaufgabe, bei der die Integration nur über die Gebiete erstreckt wird, wo die Ladungsdichte ρprQ q von Null verschieden ist. Auf die gleiche Weise wie für das skalare Potential ϕ findet man die Lösungen der vektoriellen Poisson-Gleichung für die einzelnen kartesischen Komponenten des Vektorpotentials, die man anschließend zum Vektor A

226

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

zusammensetzt. In der vektoriellen Form hat die angegebene Lösung in beliebigen Koordinatensystemen Gültigkeit. Für Summationsprobleme erhält man damit die statischen Lösungen der Poisson-Gleichungen im Gesamtraum durch folgende Integraldarstellungen für die Potentiale ϕ und A, bei denen r “ | rP ´ rQ | den Betrag des Abstandsvektors zwischen Aufpunkt P und Quellpunkt Q bedeutet.

1 ϕprP q “ 4πε

¡

μ 4π

¡

vQ

1 ρprQ q dvQ r (5.75)

AprP q “

vQ

1 J prQ q dvQ r

Bei der Integration des Vektorpotentials ist nach der Methode von Abschnitt 5.7 (Bd. I) vorzugehen. Im Falle des skalaren Potentials ϕ kann für elementare Raum-, Flächenund Linienladungen ρ dv, σ da, λ d “ ˆ dq durch entsprechend viele Integrationen das Potential im gesamten Raum berechnet werden. Damit ist die Potentialbestimmung im Prinzip durch Quadratur gelöst, [9, II, S. 18], [45, I, S. 228], [52, S. 17], wie es Newton mathematisch ausdrückte, wenn man das Lösungsintegral gefunden hat. Dabei kann die Integration allerdings erhebliche Schwierigkeiten bereiten, die bereits bei kreisringförmigen Linienladungen auf elliptische Integrale führt. In vielen Fällen läßt sich das Ergebnis nur näherungsweise oder numerisch erreichen, worauf die Hinweise im Abschnitt 3.3.6 abzielen. Ist nur das Fernfeld in größerer Entfernung von den Quellen von Interesse, dann kann nach Reihenentwicklung von 1{r (17.78, Bd. I) eine gliedweise Integration ggf. einfacher durchgeführt werden. Für eine konzentrierte Punktladung Q vereinfacht sich das Poisson-Integral und man erhält wie in (5.19) das elektrostatische Potential im Coulomb-Feld, aus dem durch Gradientenbildung die elektrische Feldstärke hervorgeht. Beide Funktionen weisen charakteristische Abhängigkei-

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

227

ten vom Abstand r zwischen Quelle und Aufpunkt auf.

ϕprP q ” V prP q “

Q 1 „ 4πε r r (5.76)

EprP q “ ´ grad V prP q “

5.7.4

Q r 1 „ 2 4πε r3 r

Randwertprobleme

Randwertprobleme liegen in zwei verschiedenen Fällen vor. Der erste Fall behandelt Quellenverteilungen vor leitenden, dielektrischen oder permeablen Grenzflächen. Bei Aufgabenstellungen mit einfacher Geometrie kann man die Spiegelungsmethode anwenden, [15, S. 69], [42, S. 286], bei der die Randbedingungen auf der Grenzfläche durch Einbringen von ein oder mehreren Spiegelladungen oder Spiegelströmen erfüllt werden. In dem Teilraum, in dem die Lösung gesucht wird, muss die Quellenverteilung aus physikalischen Gründen natürlich dem Original entsprechen, um keine zusätzlichen Quellen oder Singularitäten zu erzeugen. Die Lösung selbst erfolgt dann in den einzelnen Teilräumen nach der Summationsmethode durch Überlagerung bzw. Berechnung der Integrale nach (5.75). Ein Beispiel wurde im Abschnitt 5.3.4 behandelt. Der zweite Fall liegt vor, wenn keine Ladungsgrößen existieren sondern die Felderregung durch Potentialvorgaben erfolgt. In diesem Fall geht die Poisson-Gleichung in die Laplace-Gleichung Δϕ “ 0 über, die eine elliptische partielle Differentialgleichung 2. Ordnung darstellt, [54, S. 47], und deren Lösungen harmonische Funktionen sind. Das Feld wird dadurch erzeugt, dass man auf einer Hüllfläche a, die sich auch ins Unendliche erstrecken kann, Randwerte vorgibt und dann gemäß (5.73) das Potential innerhalb des interessierenden Raumgebietes bestimmt. Dabei unterscheidet man die folgenden drei Fälle. • Dirichlet’sches Randwertproblem Das Potential ϕprP q im Raumgebiet ist zu bestimmen, wenn dessen Randwerte ϕpra q auf der Hüllfläche gegeben sind.

228

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik • Neumann’sches Randwertproblem ist zu bestimmen, wenn als RandDas Potential ϕprP q im Raumgebiet ˇ Bϕ ˇˇ werte die Ableitung und damit die Normalkomponente der elekBn ˇa trischen Feldstärke auf der Hüllfläche gegeben ist. • Gemischtes Randwertproblem Das Potential ϕprP q im Raumgebiet ist zu bestimmen, wenn auf einem Teil der Hüllfläche das Potential und auf dem restlichen Teil seine Ableitung gegeben ist.

Die Behandlung des gemischten Randwertproblems ist schwieriger als die der beiden ersten Probleme, aber Lösungen dafür kann man in [47] finden. Sind die Hüllflächen, auf denen die Randwerte vorgegeben sind, die Koordinatenflächen eines Koordinatensystems, dann kann man die Lösung der Laplace-Gleichung für das Potential ϕ oder eine Komponente des Vektorpotentials A in vielen Fällen durch Trennung oder Separation der Variablen erreichen.

5.7.5

Lösung von Randwertproblemen durch Separation

Im dreidimensionalen Raum existieren elf orthogonale Koordinatensysteme, in denen die Laplace-Gleichung Δϕ “ 0 durch Separation der Variablen gelöst werden kann, [30], [31, I, S. 655]. Dazu macht man für die gesuchte Potentialfunktion ϕ der drei räumlichen Koordinatenrichtungen den folgenden Produktansatz nach Daniel Bernoulli (1701-1784), ϕpu, v, wq “ U puq V pvq W pwq

(5.77)

der die partielle Differentialgleichung in drei gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung für die Faktorfunktionen überführt, die jeweils nur von einer einzigen Koordinate abhängen. Der einfachste Fall liegt für kartesische Koordinaten vor, an dem das grundsätzliche Vorgehen erläutert wird. ϕpx, y, zq “ Xpxq Y pyq Zpzq

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

229

Dividiert man die Laplace-Gleichung (18.44, Bd. I) durch die gesuchte Funktion in Produktform, dann entstehen drei Summanden. Da jeder Summand nur von einer einzigen Variablen abhängt, muss er konstant sein, was sich bei partiellem Ableiten bestätigt. Für die drei Glieder benötigt man zwei positive, ganzzahlige Separationskonstanten m und n, die man meist quadratisch ansetzt. Δϕ 1 d2 Y 1 d2 Z 1 d2 X ` ` “ 0 “ 2 2 ϕ Xpxq dx Y pyq dy Zpzq dz 2 looooomooooon looooomooooon loooomoooon “ ´ m2

“ ´ n2

“ p2 “ m2 `n2

Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung besitzen jeweils zwei linear unabhängige Lösungsfunktionen, die von der zugehörigen Separationskonstante abhängen, [31, I, Kap.5]. Für die Faktoren X und Y bzw. Z lauten Null-Lösung und allgemeine Lösungen mit unbestimmten Koeffizienten # X0 pxq “ A0 ` B0 x d2 X 2 ` m X “ 0 Ñ dx2 Xm pxq “ Am sin mx ` Bm cos mx d2 Z ´ p2 Z “ 0 dz 2

Ñ

$ ’ ’ & Z0 pzq “ E0 ` F0 z Zp pzq “ Ep sinh pz ` Fp cosh pz ’ ’ % “ Ep1 e`pz ` Fp1 e´pz

In anderen separierbaren Koordinatensystemen fallen die einzelnen Summanden und damit die Differentialgleichungen z.T. erheblich verwickelter aus, [23, Kap.3.7, 3.8], [29], [30], was im nächsten Abschnitt exemplarisch gezeigt wird. Die Lösungen der auftretenden Differentialgleichungen führen dabei auf wichtige Funktionen der mathematischen Physik wie Bessel-, Kugel-, Mathieu- und Sphäroid-Funktionen. Diese und viele weitere Funktionen mit ihren Eigenschaften sind zusammengestellt im klassischen Werk von Abramowitz/Stegun, [1], sowie in folgenden Büchern, [16], [27], [36], [50]. Zur Lösung des allgemeinen Randwertproblems wird die Teilfunktion U puq des Produktansatzes (5.77) bei endlichem Intervall für u und daher ganzzahliger Separationskonstante m durch Summation aller möglichen Lösungen mit unbestimmten Konstanten dargestellt. ÿ8 ÿ8 “ ‰ p1q p2q U puq “ Am U m Um puq “ puq ` Bm Um puq m“0

m“0

230

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Bei unendlichem Bereich für u muss über die dann reelle Separationskonstante m integriert werden. Die Gesamtlösung eines vorgelegten Randwertproblems wird durch eine Doppelsumme dargestellt. ϕpu, v, wq “

ÿ

ÿ m

n

Um puq Vn pvq Wp pwq

“

p “ p pm, nq

‰

Die verschiedenen Konstanten A0 , Am , B0 , Bm , . . . des Ansatzes werden bestimmt aus der Vorgabe der Potentialfunktion sowie ihrer Beschränktheit und ihrem Verschwinden auf bestimmten Koordinatenflächen (homogene Randbedingungen) oder der Erfüllung von Symmetrieeigenschaften. Wesentlich ist weiterhin, dass in bestimmten Koordinatenrichtungen als Lösungen orthogonale Funktionensysteme auftreten wie im Beispiel in x-Richtung mit sin mx und cos mx. Durch geeignete Multiplikation kann man Orthogonalintegrale erzeugen, wodurch die Summen bis auf ein einziges Glied Null sind, so dass die Konstanten bestimmt werden können. Das ist das gleiche Verfahren, das aus der Theorie der Fourier-Entwicklung und der Bestimmung ihrer Koeffizienten bekannt ist. Als einfaches kartesisches Beispiel wird ein Quader im ersten Oktanten mit den Abmessungen a, b, c in den drei räumlichen Richtungen betrachtet, der auf seiner Unterseite das gegebene Potential ϕpx, y, 0q “ V0 px, yq aufweist und dessen andere Flächen das Potential V “ 0 besitzen. Die Erfüllung der homogenen Randbedingungen auf den fünf potentialfreien Quaderflächen führt auf den Ansatz für die Potentialfunktion im Innenraum, bei der die Null-Lösungen und die Kosinusfunktionen cosp..q und coshp..q nicht auftreten können. ϕpx, y, zq “

8 8 ÿ ÿ

´ πx ¯ ´ πy ¯ Amn sin m sin n sinh ppc ´ zq a b m“1 n“1

Die Multiplikation der Vorgabefunktion ϕpx, y, 0q “ V0 px, yq mit geänderten Lösungsfunktionen, die m˚ und n˚ als Separationskonstanten enthalten, und anschließende Integration über die Quaderfläche z “ 0 führt auf Orthogonalintegrale (s. 12.8), wodurch die Konstanten Amn durch Quadratur, d.h. Integration, bestimmt werden und das Potentialproblem für den Innenraum

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

231

gelöst ist. 8 8 ÿ ÿ

Amn sinh pc ˆ

m“1 n“1

ża

żb ´ πy ¯ ´ ¯ ´ πy ¯ πx ¯ ˚ πx sin n ˆ sin m sin m dx sin n˚ dy a a b b 0 0 looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon ´

“ pa{2q δmm˚

“ Am˚ n˚ “

ża żb

“ pb{2q δnn˚

ab sinh pc 4

´ ´ πy ¯ πx ¯ V0 px, yq sin m˚ sin n˚ dx dy a b

0 0

In anderen Fällen kann man die auf einer Koordinatenfläche des Koordinatensystems vorgegebene Randwert- oder Quellenfunktion durch eine entsprechende Summe über die Lösungsfunktionen des Produktansatzes darstellen (Orthogonalentwicklung), so dass man einen Koeffizientenvergleich durchführen kann. Bei Randwertvorgaben des Potentials ϕ ‰ 0 auf mehreren Koordinatenflächen des Quaders muss man das Randwertproblem entsprechend oft durchführen und die einzelnen Teillösungen überlagern. Das ist deshalb möglich, da die Differentialgleichungen linear sind und das Superpositionsprinzip erfüllen. Die Lösung eines Randwertproblems ist eindeutig und liegt dann vor, wenn das Potential im interessierenden Raumgebiet endlich bleibt, die Randbedingungen erfüllt und den physikalischen Symmetrien genügt. Beispiele zu Randwertproblemen im Raum findet man z.B. in [3], [8], [15], [23], [35], [42].

5.7.6

Randwertprobleme in Kugelkoordinaten

Zur weiteren Erläuterung soll das Beispiel der Kugelkoordinaten dienen, bei der die Laplace-Gleichung (18.63, Bd. I) folgende Gestalt hat. Δϕ “

B2 ϕ 1 B ´ 2 Bϕ ¯ 1 B ´ Bϕ ¯ 1 “0 r ` sin ϑ ` r2 Br Br r2 sin ϑ Bϑ Bϑ r2 sin2 ϑ Bφ2

232

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Mit dem Produktansatz ϕpr, ϑ, φq “ Rprq Θpϑq Φpφq und nach Multiplikation mit dem Quotienten r2 sin2 ϑ{pR Θ Φq erhält man die separierbare Darstellung mit positiven, ganzzahligen Konstanten m und n. sin2 ϑ d ´ 2 dR ¯ sin ϑ d ´ dΘ ¯ 1 d2 Φ ` “0 r ` sin ϑ R dr dr Θ dϑ dϑ Φ dφ2 looomooon looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon “ ` m2

“ ´ m2

Für den ersten Anteil folgt weiter 1 1 d ´ 2 dR ¯ d ´ dΘ ¯ m2 ` “0 r sin ϑ ´ R dr dr Θ sin ϑ dϑ dϑ sin2 ϑ loooooooomoooooooon loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon “ ` npn`1q

(*)

“ ´ npn`1q

In r-Richtung wird die Differentialgleichung durch Potenzen der radialen Koordinate gelöst. Bn d ´ 2 dR ¯ r ´ npn ` 1q Rprq “ 0 Ñ Rn prq “ An rn ` n`1 dr dr r In ϑ-Richtung erhält man als Lösung zugeordnete Kugelfunktionen als Verallgemeinerung der Legendre-Polynome. 1 d ´ dΘ ¯ ” m2 ı sin ϑ ` npn ` 1q ´ Θpϑq “ 0 sin ϑ dϑ dϑ sin2 ϑ Ñ

m Θnm pϑq “ Cnm Pm n pcos ϑq ` Dnm Qn pcos ϑq

Die zweite Kugelfunktion wird auf der Rotationsachse Unendlich, Qm n p˘1q “ 8

für

ϑ “ 0, π

so dass Qm n daher als Lösungsfunktion nicht auftreten kann, wenn diese Achse zum betrachteten Gebiet gehört. In φ-Richtung ergeben sich harmonische Funktionen als periodische Lösungen. d2 Φ ` m2 Φpφq “ 0 dφ2

Ñ

Φm pϕq “ Em sin mφ ` Fm cos mφ

Als spezieller Fall sei auf der Kugeloberfläche r “ a als Randbedingung die Funktion Fa pϑ, φq vorgegeben. Dann wird in der Laplace-Gleichung

233

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

zunächst die R-Lösung wie in (*) mit dem Ansatz ϕpr, ϑ, φq “ Rprq Y pϑ, φq separiert. Die in pϑ, φq verbleibende Differentialgleichung BYn ¯ 1 B 2 Yn 1 B ´ ` npn ` 1q Yn pϑ, φq “ 0 sin ϑ ` sin ϑ Bϑ Bϑ sin2 ϑ Bφ2 wird durch den Ansatz Yn “ ΘpϑqΦpφq weiter separiert, wobei die Konstante m für Φ eingeführt wird. Da die Rotationsachse eingeschlossen ist, treten nur die ersten zugeordneten Kugelfunktionen Pm n auf. Die Differentialgleichung wird durch die beiden Kugelflächenfunktionen , [25, S. 72], [31, II, S. 1264], gelöst. c pϑ, φq “ cos mφ Pm Ynm n pcos ϑq s Ynm pϑ, φq “ sin mφ Pm n pcos ϑq

pm ď nq

(5.78)

Nach der Rodrigues-Darstellung der Kugelfunktionen in der Ferrer’schen Form mit μ “ cos ϑ und ganzen Zahlen für Ordnung m und Grad n ě m, [16, S. 114], [31, II, S. 1325], [46, S. 80], 2 m{2 Pm n pμq “ p1 ´ μ q

˘n dm p1 ´ μ2 qm{2 d n`m ` 2 μ P pμq “ ´ 1 n dμ m 2n n! dμ n`m

werden die zugeordneten Legendre-Polynome Pm n pcos ϑq berechnet, die für m ą n Null sind. Die einfachsten Funktionen lauten, wenn man die cos-Potenzen durch Vielfache des Winkels darstellt P00 pcos ϑq “ P0 pcos ϑq “ 1 P0n pcos ϑq “ Pn pcos ϑq P1 pcos ϑq “ cos ϑ 4 P2 pcos ϑq “ 1 ` 3 cos 2ϑ

P11 pcos ϑq “ sin ϑ

(5.79)

2 P12 pcos ϑq “ 3 sin 2ϑ 2 P22 pcos ϑq “ 3 p1 ´ cos 2ϑq

8 P3 pcos ϑq “ 3 cos ϑ ` 5 cos 3ϑ

8 P13 pcos ϑq “ 3 psin ϑ ` 5 sin 3ϑq 4 P23 pcos ϑq “ 15 pcos ϑ ´ cos 3ϑq 4 P33 pcos ϑq “ 15 p3 sin ϑ ´ sin 3ϑq

234

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

In der Literatur werden die zugeordneten Legendre-Polynome auch oft mit dem von Hobson eingeführten Faktor p´1qm definiert. Die Lösung für den Innenraum der Kugel, in dem wegen der Singularität bei r “ 0 keine negativen Potenzen der R-Lösung auftreten können, lautet ϕpr, ϑ, φq “ “

8 ÿ n“0 8 ÿ

Rn prq Yn pϑ, φq n ÿ

Cnm rn Ynm pϑ, φq

n“0 m“0

In der Orthogonalentwicklung der Randwertfunktion Fa pϑ, φq nach Kugelflächenfunktionen ϕpa, ϑ, φq “ Fa pϑ, φq “

n 8 ÿ ÿ

an Cnm Ynm pϑ, φq

n“0 m“0

Fa pϑ, φq “

n ” 8 ÿ ı ÿ c s pϑ, φq ` Bnm Ynm pϑ, φq Anm Ynm

(5.80)

n“0 m“0

werden die Konstanten Anm und Bnm des Lösungsansatzes durch geeignete Multiplikation, Integration über die Kugeloberfläche und die Orthogonaleigenschaften der Kugelflächenfunktionen bestimmt. Ein besonderes Anwendungsbeispiel wird dazu im Abschnitt 12.7.4 behandelt. Auf der Kugeloberfläche bestimmen die Werte von m und n die Anzahl der Knotenlinien, auf denen die Kugelflächenfunktionen (5.78) Null sind. c pϑq “ P pcos ϑq unabhängig von φ und bildet auf Für m “ 0 ist Yn0 n der Kugeloberfläche zwischen den Polen insgesamt n ` 1 abwechselnd positive und negative Zonen, so dass die einfachen Legendre-Polynome auch zonale Kugelfunktionen heißen. c pϑ, φq und Y s pϑ, φq Für n ě m ą 0 sind die Kugelflächenfunktionen Ynm nm ihren Nullstellen entsprechend auf 2m Meridianen und n ´ m Breitenkreisen Null. Diese Knotenlinien bilden auf der Kugeloberfläche an den Polen Bogendreiecke und sonst Bogenvierecke, sog. Tesserae, in denen die Funktionswerte abwechselnd positiv und negativ sind und in einer (ϑ-φ)-Ebene ein Schachbrettmuster bilden. Man nennt sie deshalb tesserale Kugelfunktionen.

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

235

Im Sonderfall n “ m entarten die Tesserae zu 2m Bogenzweiecken, die durch Meridiane begrenzt werden, so dass die Funktionen dann sektorielle Kugelfunktionen heißen, [24, S. 171], [38, I, S. 24, 68], [51, S. 402].

5.7.7

Randwertprobleme in der Ebene

Bei ebenen Problemen mit B{Bz “ 0 sind die Randwerte auf Konturen vorgegeben. Man kann die zweidimensionale Laplace-Gleichung für die beiden krummlinigen Koordinaten u, v der Ebene entsprechend separieren, wobei nur eine Separationskonstante auftritt. Wirksamer und auch weitreichender ist allerdings der Einsatz der Funktionentheorie und die Darstellung mit komplexen Funktionen, [12], [22], [33], [34]. Eine differenzierbare und damit analytische Funktion der komplexen Variablen z “ x ` j y P pzq “ Pr px, yq ` j Pi px, yq

(5.81)

erfüllt die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen. BPr BPi “ , Bx By

BPr BPi “´ By Bx

Durch erneutes Ableiten und gegenseitiges Einsetzen zeigt man, dass sowohl der Realteil Pr als auch der Imaginärteil Pi der analytischen Funktion P pzq die ebene Laplace-Gleichung erfüllen und damit harmonisch sind. ΔPr “

B 2 Pr B 2 Pr ` “0 Bx2 By 2

ΔPi “

B 2 Pi B 2 Pi ` “0 Bx2 By 2

(5.82)

Die Division der Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen BPi {By BPr {Bx “´ BPr {By BPi {Bx läßt erkennen, dass die Kurven Pr px, yq “ const. und Pi px, yq “ const. in der komplexen z-Ebene orthogonale Trajektorien darstellen, [45, II, S. 34].

236

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Physikalisch kann man die Funktion P pzq als komplexes Potential deuten und im elektrostatischen Fall ihren Realteil Pr px, yq “ V px, yq als Potentialfunktion sowie ihren Imaginärteil Pi px, yq “ ´ Ψpx, yq{ε als Flussfunktion ansehen, die zusammen ein Netz orthogonaler Scharen von Äquipotential- und Feldlinien in der komplexen Ebene bilden. Die komplexe elektrische Feldstärke ist der zweidimensionale Gradient der Potentialfunktion. Durch Einsetzen der Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen kann die Feldstärke als konjugiert komplexe Ableitung des komplexen Potentials dargestellt werden, die durch Überstreichen gekennzeichnet wird. E “ E x ` j Ey

BV BV ´j Bx By BPr BPi “´ `j Bx Bx ` ˘ B “´ Pr ´ j Pi Bx “´

Epzq “ Ex px, yq ` j Ey px, yq “ ´

BPr BPr ´j Bx By BPi BPr “´ ´j By By ` ˘ B Pr ´ j Pi “ ´j By

“´

´ dP ¯ BP BP dP “ ´j “´ “´ Bx By dz d¯ z

(5.83) Die Vielfalt komplexer Funktionen mit ihren zugehörigen orthogonalen Kurvenscharen sowie die Methode der konformen Abbildung auch komplizierter Gebiete auf (Halb-)Ebene oder Kreis ermöglicht die Untersuchung und Lösung einer Fülle ebener Randwertaufgaben, die weit über die begrenzte Anzahl der separierbaren räumlichen Koordinatensysteme hinausgeht. Beispiele zu Randwertproblemen in der Ebene und konformen Abbildungen findet man neben [8], [15], [22], [42] auch speziell in [2], [19], [30].

5.7.8

Methode der Green’schen Funktion

Im ladungsfreien Raum, in dem die Laplace-Gleichung gilt, lautet die Lösung des Green’schen Satzes (19.14, Bd. I) nach (5.73) für die harmonischen Funktionen ϕ und ψ “ 1{r ˆ ˙j £ „ 1 Bϕ 1 B 1 ϕprP q “ ´ϕ da 4π r Bn Bn r a

5.7 Statischer Fall der Wellengleichungen, Potentialtheorie

237

Für zwei im ganzen Volumen v reguläre, harmonische Funktionen ϕ und ψ “ g liefert der gleiche Satz das folgende Ergebnis, da in diesem Fall der Punkt P nicht durch eine kleine Kugel ausgeschlossen werden muss. j £ „ Bϕ Bg 1 g ´ϕ da 0 “ 4π Bn Bn a Über die harmonische Funktion g kann man für einzelne Problemstellungen geeignet verfügen. Die Subtraktion beider Beziehungen führt auf eine im Vergleich mit (5.73) erweiterte Darstellung für das Potential ϕ im Punkt P . ϕprP q “

1 4π

£ „´ a

¯ Bϕ ¯ 1 B ´1 ´g ´ϕ ´g r Bn Bn r

j da

(5.84)

Die im Integranden auftretende harmonische Funktion GprP , rQ q “

1 1 ´g “ ´ gprP , rQ q “ GprQ , rP q | rP ´ rQ | r

(5.85)

heißt Green’sche Funktion, [17, S. 236, 246], [45, II, S. 535], [45, IV, S. 488f., 564]. Bis auf den Punkt r “ 0 erfüllt sie die Laplace-Gleichung ΔG “ 0 innerhalb des Volumens und man kann zeigen, dass sie symmetrisch ist. Im Aufpunkt P prP q hat G einen Pol, der dem Verhalten einer Punktladung entspricht. Da es sich bei der Darstellung (5.84) um ein Flächenintegral handelt, befindet sich der variable Punkt Q bei der Integration auf der Hüllfläche mit rQ “ ra . Da bereits eine Art der Randbedingungen hinreichend ist, kann man über den Anteil g der Green’schen Funktion so verfügen, dass einer der beiden Summanden im Integral (5.84) auf der Randfläche zu Null wird. Beim Dirichlet’schen Randwertproblem wird dazu eine Green’sche Funktion 1. Art G1 “ 1{r ´ g1 gesucht, die bis auf den Aufpunkt überall in v harmonisch ist und homogene Randbedingungen auf der Hüllfläche aufweist. ´1¯ pr ‰ 0q ´ Δg1 “ 0 ΔG1 prP , rQ q “ Δ r 1 G1 prP , ra q “ ´ g1 pra q “ 0 | rP ´ ra |

238

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Die Funktion g1 muss also auf der Hüllfläche die Werte des reziproken Abstandes kompensieren. Das gesuchte Potential im Volumen v wird dann gelöst durch das Integral, ` ˘ˇ £ B G1 rP , rQ ˇˇ 1 ϕpra q da ϕprP q “ ´ ˇ 4π BnQ a rQ Ñra bei dem die Differentiation nach den Koordinaten des Punktes Q und die Integration über die Randpunkte des Volumens erfolgt, auf dem das Potential vorgegeben ist. Ist also die Green’sche Funktion bekannt, dann läßt sich das Potential innerhalb des Volumens bei Vorgabe beliebiger Randwertfunktionen durch Integration über die Hüllfläche berechnen. Die Bestimmung der Green’schen Funktion erfordert zwar ebenfalls die Lösung eines Randwertproblems, das aber wegen der homogenen Randbedingung einfacher ausfällt. Zu ermitteln ist bei diesem Zusatzproblem das Potential G1 prP , rQ q innerhalb des gegebenen Volumens mit leitender Hüllfläche, auf der G1 prP , ra q “ 0 gilt. Der die Laplace-Gleichung Δg1 “ 0 erfüllende Anteil g1 von G1 kompensiert dabei in allen Punkten der Hüllfläche das Potential einer Punktladung 4πε, die sich im Punkt P befindet. Die Green’sche Funktion ist damit an das gegebene Volumen gebunden und charakteristisch für dessen Geometrie. Für Halbraum und Kugel sind die Green’schen Funktionen 1. Art relativ einfach aus Spiegelungsverfahren zu ermitteln, so dass sie in der Literatur verschiedentlich angegeben werden. Beim Neumann’schen Randwertproblem wird eine Green’sche Funktion 2. Art G2 “ 1{r ´ g2 gesucht, deren Ableitung auf der Hüllfläche keine homogene Randbedingung erfüllen kann, denn wegen (5.74) und nach [45, IV, S. 494] würde für die harmonische Funktion G2 ein Widerspruch entstehen. ˇ £ £ £ BG2 ˇˇ B ´1¯ Bg2 da “ da ´ da “ ´ 4π ‰ 0 ˇ a Bn a a Bn r a Bn loooooooomoooooooon looooomooooon “ ´ 4π

“0

Der einfachste Fall liegt bei konstanter Randbedingung vor und mit dem Inhalt A der Hüllfläche findet man die Konstante C. ˇ ˇ £ £ BG2 ˇˇ BG2 ˇˇ “ C “ const. Ñ da “ CA “ ´ 4π ˇ da “ C Bn ˇa a Bn a a

5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

239

Die extremalen Werte des harmonischen Potentials liegen auf der Hüllfläche und für den zweiten Anteil in (5.84) gilt bei einem mittleren Randwert xϕa y des Potentials ˇ £ £ £ BG2 ˇˇ C x ϕa y 1 ϕpra q da “ ´ ϕ da “ da “ x ϕa y ´ a 4π Bn ˇa 4π A a a a Damit erhält man die Lösung des Neumann’schen Randwertproblems, das nur bis auf eine Konstante bestimmt ist, die aber keinen Einfluss auf die durch Differentiation zu gewinnende Feldstärke hat. ˇ £ ` ˘ Bϕ ˇ 1 ˇ da G2 r P , r a ϕprP q “ x ϕa y ` 4π Bn ˇa a Allerdings treten Neumann-Randbedingungen normalerweise nicht in der Elektrostatik auf, [56, S. 252], denn auf einer leitenden Fläche ist die Ableitung des Potentials gemäß der Randbedingung (5.12) einer Flächenladung σ proportional, Bϕ σ “ n ¨ grad ϕ “ ´ n ¨ E “ ´ En “ Bn ε die man nicht beliebig vorgeben kann, da sie sich durch Influenz im Leiter nach dem existierenden Feld verteilt.

5.8

Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

Im instationären, zeitveränderlichen Fall werden die inhomogenen Wellengleichungen (5.70) der elektrodynamischen Potentiale in einer erweiterten Integrationsmethode gelöst, die auf Gustav Robert Kirchhoff (1824 1887) zurückgeht, [51, S. 424]. Diese direkte Herleitung ist langwierig und kann durch die folgende heuristische Betrachtung abgekürzt werden, [11, S. 531], [48, S. 135]. Im zeitveränderlichen Fall ist für das Feld im Aufpunkt P nicht der Zustand der Quelle zur aktuellen Zeit tP maßgebend sondern zu einem früheren, zurückliegenden und damit retardierten Zeitpunkt tr “ tP ´t , da ja die Wirkung einer Quelle erst nach Überbrückung der Entfernung r zwischen Quellpunkt Q und Aufpunkt P mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit

240

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

v im Medium und daher mit der Laufzeitverzögerung t “ r{v im Punkt P eintreten kann. Bei Beschränkung auf das Vakuum gilt für Ausbreitungsgeschwindigkeit und Retardierung 1 c“ a μ 0 ε0

5.8.1

t r “ t ´ t “ t ´

a r “ t ´ r μ 0 ε0 c

(5.86)

Lösung durch retardierte Potentiale

Die Lösung für das Problem der Laufzeit im zeitveränderlichen Fall der inhomogenen Wellengleichungen ist durch die folgenden Integraldarstellungen der Potentiale ϕ und A gegeben, die dann retardierte Potentiale heißen. 1 ϕ prP , tq “ 4πε0 A prP , tq “

μ0 4π

¡ v

¡ v

¡ 1 ´ r¯ 1 rρs ρ rQ , t ´ dvQ “ dvQ r c 4πε0 v r

¡ 1 ´ r¯ μ0 rJ s J rQ , t ´ dvQ “ dvQ r c 4π v r (5.87)

Die Retardierung der Quellenfunktionen wird zur Abkürzung der Schreibweise dabei durch eine eckige Klammer oder auch durch Indizierung angezeigt. r ρ s “ r ρ s ret r J s “ r J s ret

´ r¯ “ ρ rQ , t ´ c ´ ` ˘ r¯ “ J rQ , tr “ J rQ , t ´ c ` ˘ “ ρ rQ , tr

Diese plausible aber nur heuristische Überlegung zur Retardierung wird durch den Nachweis bestätigt, dass die retardierten Potentiale die Wellengleichungen (5.70) erfüllen, die dann wegen der Eindeutigkeit tatsächlich die Lösungen darstellen. Dazu trennt man im Gesamtraum v8 ähnlich wie in Abbildung 5.13 eine kleine Kugel vom Volumen v0 um den Aufpunkt P ab. Bildet man den Laplace-Operator des skalaren Potentials ϕ in P , wobei man nach dessen

5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

241

Koordinaten ableiten muss, so gilt mit ϕ0 in v0 und ϕa in va “ v8 ´ v0 Δϕ ” ΔP ϕ “ ΔP ϕ0 ` ΔP ϕa Im Grenzübergang r0 Ñ 0 tritt in v0 keine Retardierung auf, so dass in P die unverzögerte Quelle mit tr ” t vorliegt. lim ΔP ϕ0 “ ´

r0 Ñ 0

ρ prQ , tq ε0

Im Außenraum va der Kugel um P gilt nach (5.87) ¡ ”1 ´ 1 r ¯ı Δ P ϕa “ ΔP dvQ ρ rQ , t ´ 4πε0 r c loooooooooooomoooooooooooon va “ wprq

Die Differentiation nach den Koordinaten von P wirkt auf den Abstand r zwischen P und Q in radialer Richtung. Der Laplace-Operator des Integranden kann daher für die Funktion wprq in Kugelkoordinaten nach (17.87, Bd. I) berechnet werden. ΔP wprq “

‰ 1 d2 d2 w 2 dw 1 d2 “ ` ρprq “ r wprq “ dr2 r dr r dr2 r dr2

Mit den folgenden Ableitungen ´ r¯ dtr “ d t ´ “ dt c B 1 B 1 B Btr B “´ “´ “ Br Br Btr c Btr c Bt B2 1 B2 B2 “ 2 2 “ μ 0 ε0 2 2 Br c Bt Bt erhält man für den Laplace-Operator im Außenraum ¡ r ¯ı 1 1 B2 ” ´ ΔP ϕa “ , t ´ ρ r dvQ Q 2 4πε0 c va r Br ¡ 1 B2 ” ´ 1 r ¯ı “ ρ rQ , t ´ dvQ 2 2 4πε0 c va r c Bt

242

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Die zeitliche Differentiation kann man vor das Integral ziehen, da sie von der räumlichen Integration unabhängig ist. „ j ¡ 1 1 B2 rρs Δ P ϕa “ 2 2 dvQ c Bt 4πε0 va r ˘ ` B2 ϕa r P , t 2 Bt Im Grenzübergang r0 Ñ 0 geht va in den Gesamtraum v8 über und für das Potential ergibt sich wegen ϕa Ñ ϕ die Wellengleichung (5.70). “ μ 0 ε0

Δϕ prP , tq “ lim

r0 Ñ 0

`

˘ ρprQ q B2 ϕ Δϕa ` Δϕ0 “ μ0 ε0 2 ´ Bt ε0

l ϕ prP , tq “ Δϕ ´ μ0 ε0

ρprQ q B2 ϕ “´ 2 Bt ε0

Auf die gleiche Weise kann man die Laplace-Ausdrücke der einzelnen kartesischen Komponenten des Vektorpotentials berechnen. Damit ist der Nachweis erbracht, dass die retardierten Potentiale ϕ und A nach (5.87) im instationären Fall tatsächlich die inhomogenen Wellengleichungen (5.70) erfüllen.

5.8.2

Ausstrahlungsbedingung

Während in statischen Feldern die Lösungsfunktion durch Vorgabe der Quellen und das Verschwinden im Unendlichen eindeutig ist, liegt beim Strahlungsfeld ein komplizierterer Fall vor, denn hier können im unendlichen Raum noch beliebig viele weitere Funktionen hinzutreten, die die Randbedingungen erfüllen, [49, S. 171], [57, S. 17]. Das Verschwinden der Lösung im Unendlichen reicht nicht aus, sondern muss durch eine schärfere Bedingung ersetzt werden. Sie besagt, dass Quellen, die im Endlichen liegen, zwar Energie ins Unendliche abstrahlen, dass aber von dort keine Strahlung zurückkehren darf! Physikalisch sind also nur fortschreitende Wellen, aber weder rücklaufende noch stehende Wellen zugelassen. Bei harmonischen Funktionen mit dem Zeitfaktor ejωt bedeutet e`jkr {r eine einlaufende Kugelwelle, die nicht auftreten darf, dagegen stellt wprq “

e´jkr r

5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

243

eine auslaufende Kugelwelle dar, für die im Unendlichen gilt lim r

rÑ8

” B ı ` jk w “ 0 Br

(5.88)

Diesen Grenzwert, den man dann für jede mögliche Wellenfunktion fordert, bezeichnet man als allgemeine Sommerfeld’sche Ausstrahlungsbedingung. Die Ausstrahlungsbedingung wird nicht von ebenen Wellen erfüllt! Sie sind zwar mathematisch einfach zu beschreiben aber physikalisch nicht möglich, da ihre Strahlung aus dem Unendlichen kommt und dahin auch wieder entschwindet. Dagegen ist die ebene Welle eine gute Näherung für kleine Raumwinkelausschnitte bei Kugelwellen, bei denen die Phasenfronten in großer Entfernung von der Quelle von Ebenen nicht zu unterscheiden sind. Eine übliche Methode der experimentellen Optik ist die gezielte Beeinflussung und Formung von Wellen- oder Phasenfronten durch gekrümmte Grenzflächen von Gläsern oder Spiegeln zur Erzeugung von Lichtstrahlen oder zur Fokussierung bei Abbildungen. Lichtstrahlen mit ebenen Wellenfronten können trotz ihrer eng begrenzten Querschnitte erfolgreich mit den Methoden der ebenen Wellen behandelt werden. Seit den 1990er Jahren wird die Formung oder Glättung von Phasenfronten in astronomischen Teleskopen eingesetzt und als adaptive Optik bezeichnet, um durch Korrektur der Wellenfront Störungen durch Luftturbulenzen zu kompensieren (s. Abschnitt 12.4.1).

5.8.3

Berechnung der Feldvektoren

Um die Feldvektoren zu ermitteln, muss man die retardierten Potentiale in die definierenden Beziehungen (5.66)) einsetzen, wobei deren Differentialoperatoren nach den Koordinaten des Punktes P zu bilden sind, so dass man sie unter die Integrale ziehen kann. Da der Abstand r sowohl im Argument der retardierten Quellenfunktionen als auch separat im Nenner auftritt, sind die Beziehungen (17.54 und 17.59, Bd. I) anzuwenden, wobei Ableitungen mittelbarer Funktionen der retardierten Zeit auftreten wie ¯ B Br Btr B 1 ´ Br 1 ´ xP ´ xQ ¯ B B ex “ ex “ ´ ex “´ ex BxP BxP Br Btr c BxP Btr c r Bt

244

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

und entsprechend für die beiden anderen räumlichen Richtungen yP und zP . Nach Zusammfassung aller drei Komponenten erhält man für den Gradienten ı 1 ”1 ‰ “ 1 grad P ρ prQ , tr q “ grad P ρ prQ , tr q ` ρ prQ , tr q grad P r r r “´

1 Bρ prQ , tr q r 1 ` ρ prQ , tr q grad P cr Bt r r

und für die Rotation ”1 ` ˘ı 1 “ ` ˘‰ ` ˘ 1 rot P J rQ , tr “ rot P J rQ , tr ´ J rQ , tr ˆ grad P r r r Im kartesischen Fall gilt mit (17.51, 17.75 und 7.17, Bd. I)     ex ey  ex  ey ez       Br “ ` ˘‰  B 1  Br B B   “ ´ rot P J rQ , tr “    c  BxP ByP  BxP ByP BzP      BJx BJy  Jx Jy Jz   Bt Bt ` ˘ BJ rQ , tr 1 “ ´ grad P r ˆ c Bt

 ez   Br   BzP   BJz   Bt

und damit insgesamt rot P

”1 r

`

J rQ , tr

˘ı

` ˘ ` ˘ 1 1 BJ rQ , tr ˆ grad P r ´ J rQ , tr ˆ grad P “ cr Bt r

Mit den Gradienten des Abstandsvektors (17.79 und 17.81, Bd. I) erhält man die Darstellung der Feldvektoren für den instationären Fall, die als Jefimenko-Gleichungen bezeichnet werden. 1 E prP , tq “ 4πε0 μ0 B prP , tq “ 4π

¡ „ˆ v

¡ „ v

1 Brρs rρs ` 2 c r Bt r

rJ s 1 BrJ s ` 2 c r Bt r

j

˙

ˆ

r 1 BrJ s ´ 2 r c r Bt r dvQ r

j dvQ

(5.89)

5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

5.8.4

245

Statischer Sonderfall

Im Fall statischer elektrischer und magnetischer Felder entfallen Zeitableitung und Retardierung, so dass die Integrale der Feldvektoren die einfache Gestalt des Coulomb’schen Gesetzes für Raumladungen bzw. des Biot-Savart’schen Gesetzes für Stromdichten annehmen. 1 E prP q “ 4πε0

¡ v

` ˘ r ρ rQ 3 dvQ r (5.90)

μ0 B prP q “ 4π

¡

`

J rQ v

˘

r ˆ 3 dvQ r

Aus diesem Grund werden die Darstellungen (5.89) auch als JefimenkoVerallgemeinerungen der beiden statischen Gesetze bezeichnet. Die beiden statischen Feldvektoren kann man aus den Potentialen (5.75) auf direkte Weise berechnen, E “ ´ grad P ϕ ,

B “ rot P A

indem man in gleicher Weise vorgeht wie im letzten Abschnitt bei der Ableitung der Jefimenko-Beziehungen.

5.8.5

Hertz’scher Dipol

Der Hertz’sche Dipol ist das einfachste Element zur Erzeugung von elektromagnetischer Strahlung. Man kann ihn darstellen wie in Abbildung 5.3 durch zwei zeitabhängige Ladungen ˘Qptq oder als Stromelement Iptq in einem dünnen Leiter, dessen Dipollänge ! r klein gegen den Aufpunktsabstand ist, [21, S. 37, 166]. Ladung, Dipolmoment und Zeitableitung des z-gerichteten Hertz’schen Dipols lauten Qptq “ Q0 sin ωt mptq “ mptq ez “ Qptq dz ez dm dQ “ dz ez “ Iptq dz ez dt dt “ Q0 ω dz cos ωt ez “ I0 dz cos ωt ez

246

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

“ ‰ Setzt man das retardierte Stromelement J dvQ “ Ipt ´ r{cq dz ez in das Vektorpotential (5.87) ein, dann erhält man mit der Wellenzahl und den Dipolgrößen ? k “ ω{c “ ω μ0 ε0 I0 “ Q0 ω m0 “ Q0 “

I0 ω

wegen ! r nach Vorziehen von r und Integration über z das retardierte Vektorpotential, das den Charakter einer Welle wie in Abschnitt 5.5.2 hat.

` ˘ I0 cos ωt ´ kr A prP , tq “ μ0 ez 4π r

Die z-Richtung wird in Kugelkoordinaten dargestellt,

A “ Az ez “ Az cos ϑ er ´ Az sin ϑ eϑ “ Ar er ` Aϑ eϑ

in denen die magnetische Feldstärke nach (5.66) oder (5.89) lautet

H“

˘ BAr ı 1 1 1”B ` r Aϑ ´ rot A “ eϕ μ0 μ0 r Br Bϑ ` ˘ ` ˘ı sin ϑ I0 ” 1 “ cos ωt ´ kr ´ k sin ωt ´ kr eϕ 4π r r

Da die elektrische Feldstärke wegen des Auftretens zweier Quellen mit (5.89) schwieriger zu berechnen ist, wird sie direkt aus der Maxwell’schen Glei-

5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

247

chung (5.2) mit anschließender Integration gewonnen. BE “ rot H Bt ˘ ˘ 1 B` 1 B ` “ Hϕ sin ϑ er ´ r H ϕ eϑ r sin ϑ Bϑ r Br ” ` ˘ ` ˘ı 2 cos ϑ I0 1 “ er cos ωt ´ kr ´ k sin ωt ´ kr 4π r r2 ¯ ` ˘ k ` ˘ı sin ϑ I0 ”´ 1 2 ` ´ k cos ωt ´ kr ´ sin ωt ´ kr eϑ 4π r2 r r ż 1 E“ rot H dt ε0 ` ˘ ` ˘ı 2 cos ϑ I0 1 ” 1 er “ sin ωt ´ kr ` k cos ωt ´ kr 4πε0 ω r r2 ¯ ` ˘ k ` ˘ı sin ϑ I0 1 ”´ 1 2 ` ´ k sin ωt ´ kr ` cos ωt ´ kr eϑ 4πε0 ω r2 r r Eine Integrationskonstante ist hierbei nicht von Belang, da der Zeitnullpunkt beliebig gewählt werden kann. Das Gesamtfeld des Hertz’schen Dipols besteht aus zwei Feldanteilen. Das Nahfeld wird bestimmt durch die höheren Potenzen von 1{r, dagegen enthält das Fernfeld nur Glieder mit der einfachen Ortsabhängigkeit 1{r, die in größerer Entfernung allein überwiegen. Die Leistungsdichte im Feld wird mit dem Poynting-Vektor gebildet, und man erhält die Komponenten ε0

S “EˆH ´ I ¯2 1 " ” 2 ´ 1 ¯ ` ˘ ` ˘ k 0 2 ´ 2k “ sin 2 ωt ´ kr ` 4 cos 2 ωt ´ kr 3 2 4π ωε0 r r r ` ˘ı k3 ` 2 sin2 ωt ´ kr sin2 ϑ er r * ” 2´1 ¯ ` ˘ı ` ˘ k 2 ` 3 2 ´ k sin 2 ωt ´ kr ` 4 cos 2 ωt ´ kr sin 2ϑ eϑ r r r Beim Poynting-Vektor kann man zwei Leistungsanteile unterscheiden, die durch eine Kugelfläche fließen. Die linearen Sinus- und Kosinus-Glieder haben den zeitlichen Mittelwert Null. Die zugehörige Leistung flutet mit der

248

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

doppelten Frequenz über die Kugelfläche hin und zurück, so dass es sich um reine Blindleistung handelt. Dieser Anteil des Poynting-Vektors ist auf das Nahfeld beschränkt. Bei der Integration über eine Periode liefert nur das quadratische Glied ż ` ˘ 1 1 T sin2 ωt ´ kr dt “ T t“0 2 einen Anteil, der im Fernfeld als Wirkleistung radial in den Raum abgestrahlt wird. Im Fernfeld sind die Feldstärkekomponenten transversal zur radialen Ausstrahlungsrichtung, mit der sie proportional zu 1{r abnehmen. Eϑfern pt, r, ϑq “ ´

` ˘ sin ϑ I0 k 2 1 sin ωt ´ kr „ 4π ωε0 r r (5.91)

Hϕfern pt, r, ϑq “ ´

` ˘ sin ϑ I0 k sin ωt ´ kr 4π r

„

1 r

Die Fernfeldkomponenten sind in Phase und ihr Quotient entspricht dem Wellenwiderstand des Vakuums (5.65). c Eϑfern k 1 μ0 “ “ “ Z0 “ Hϕfern ωε0 ε0 c ε0 Im Fernfeld lautet die Leistungsdichte Sfern “ E ˆ H `

˘

“ Eϑ Hϕ `

fern

˘ fern

er “

Eϑ2fern Z0

er “ Z0 Hϕ2 fern er

´ I ¯2 ` ˘ sin2 ϑ 0 “ Z0 k 2 sin2 ωt ´ kr er 4π r2 mit dem zeitlicher Mittelwert x Sfern pr, ϑq y “

´ I ¯2 k 2 1 0 sin2 ϑ Z0 2 4π r2

Zur Veranschaulichung des Abstrahlverhaltens werden Fernfeldstärken und Poynting-Vektor bei festem Abstand r auf ihre Maxima bezogen und in Polardiagrammen dargestellt, [21, S. 14]. Die rotationssymmetrischen

5.8 Allgemeiner instationärer Fall der Wellengleichungen

249

Richtcharakteristiken in Abbildung 5.15 sind Tori mit Kreis- bzw. ovalem Querschnitt. Feldcharakteristik

Hϕfern Eϑfern “ “ sin ϑ Emax Hmax

Leistungscharakteristik

Sfern “ sin2 ϑ Smax

(5.92)

Die im zeitlichen Mittel im Fernfeld in den Raum abgestrahlte Leistung ergibt sich aus der Integration über die Kugelfläche. P “

£

xSfern y ¨ da “

a

ż2π żπ

x Sfern pr, ϑq y r2 sin ϑ dϑ dϕ

0 0

´ I ¯2 1 0 “ Z0 k2 2 4π

dϕ 0

´ I ¯2 4π 0 “ Z0 k 2 3 4π

5.8.6

żπ

ż2π

sin3 ϑ dϑ

0 looooomooooon “ 4{3

Antennensysteme

Der Hertz’sche Dipol ist ein wesentliches Ausgangselement für Antennenstrukturen, die in der Praxis auftreten. Ordnet man auf einer vorgegebenen Strecke Hertz’sche Dipole mit örtlich variierenden Stromwerten und Phasen kontinuierlich an, so kann man durch Integration der Elemente eine Vielzahl von Linearantennen verschiedener Länge wie λ{2-, λ-, 3λ{2-Dipol etc. als Einzelstrahler mit unterschiedlichen Richtcharakteristiken entwickeln, [21, Kap. 6 & 16], [57, Kap. 19]. Gleichartige Einzelstrahler werden häufig in geometrisch regelmäßiger Form (linear, eben, kreisförmig) zu Strahlergruppen oder Dipolfeldern angeordnet, wobei man durch Speisung der Einzelantennen mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen der Ströme die Richtwirkung steigern oder zur Unterdrückung von Nebenzipfeln modellieren kann. Die Realisierung einer Richtcharakteristik mit schlanker, selektiver Hauptstrahlungskeule

250

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik z 



Abb. 5.15: Normierte Richtcharakteristiken des Hertz’schen Dipols Feldcharakteristik in blau Leistungscharakteristik in rot bei gleichzeitiger Nebenkeulenunterdrückung ist nur als technischer Kompromiss oder durch höheren Aufwand mit mehr Einzelstrahlern zu erreichen. Die rechnergesteuerte Variation der Phasen der einzelnen Elemente solcher Dipolfelder führt zu Phased-Array-Antennen, bei denen nicht das Antennensystem mechanisch sondern die Strahlungscharakteristik elektrisch gedreht oder beliebig im Raum bewegt werden kann, wobei die Geschwindigkeit der Bewegung nur von der Leistungsfähigkeit der Rechner bei der Ansteuerung einer Vielzahl von Einzelstrahlern begrenzt wird. Dadurch lassen sich früher übliche, mechanisch bewegte Konstruktionen wie drehende Radarantennen auf Fahrzeugen, Schiffen und Flugplätzen ersetzen und Nachführsysteme und Zielverfolgungsradars entwickeln, [21, S. 572], [56, S. 741].

5.9 Wegbereiter der Elektrotechnik

5.9

251

Wegbereiter der Elektrotechnik

Nachdem die Grundlagen der elektrischen und magnetischen Erscheinungen durch die im Abschnitt 5.1.1 erwähnten Forscher erkannt und mathematisch beschrieben waren, traten andere Pioniere auf, die die Nutzung der elektrischen Energie im Blick hatten. Am Anfang steht Werner von Siemens (1816 -1892) mit den Erfindungen des Zeigertelegraphen (1846) für die elektrische Nachrichtenübermittlung und der Dynamomaschine (1866) zur Erzeugung elektrischer Energie. Alexander Graham Bell (1847-1922) erfand 1876 das erste praktikable Telefon, mit dem ab 1878 öffentliche Telefonnetze aufgebaut wurden. Der ideenreiche, kreative Erfinder Thomas Alva Edison (1847-1931) entwickelte neben vielen anderen Dingen den Phonographen zur Schallaufzeichnung (1877) und die Glühlampe (1879), die er mit Gleichstrom betrieb. Sein Gegenspieler war Nikola Tesla (1856 -1943), der Drehstrom zur elektrischen Stromerzeugung verwendete. Die von Heinrich Hertz nachgewiesenen elektromagnetischen Wellen nutzte Guglielmo Marconi (1874 -1937) zur Nachrichtenübertragung, mit denen ihm 1901 der erste transatlantische Funkkontakt gelang. Für seine Leistungen erhielt er 1909 den Nobelpreis für Physik. Die Vakuum-Triode von Lee de Forest (1873 -1961) und die Tetrode von Walter Schottky (1886 -1976) bildeten Verstärkerröhren, mit denen ab 1920 der Rundfunk möglich wurde. Die Basis für die stürmische Entwicklung der Elektronik wurde durch zwei Halbleiterbauelemente gelegt. 1948 wurde der Transistor durch John Bardeen, Walter Brattain und William Shockley entwickelt, die dafür 1956 den Nobelpreis für Physik erhielten. Unabhängig voneinander entwickelten Jack S. Kilby und Robert N. Noyce 1958/59 den ersten integrierten Schaltkreis. Der noch lebende Kilby erhielt dafür 2000 den Nobelpreis für Physik, [59]. Eine bahnbrechende Neuerung, die zur Miniaturisierung und Leistungssteigerung elektronischer Schaltungen sowie zur Entwicklung optoelektronischer Bauelemente wie lichtemittierende Dioden (LED) und Halbleiterlaser beitrug, war die Entwicklung von sog. Halbleiter-Heterostrukturen in den 1960er Jahren. Hierbei besteht der Mikrochip nicht mehr aus einem einzigen, örtlich unterschiedlich dotierten Halbleitermaterial, sondern aus mehreren monokristallin aufeinander gewachsenen Schichten verschiedener Halbleiter mit unterschiedlichen Dotierungen und Eigenschaften. Der Deutsche

252

5 Grundgleichungen der Elektrodynamik

Herbert Kroemer und der Russe Schores I. Alfjorow erhielten für ihre voneinander unabhängigen Forschungen 2000 den Nobelpreis für Physik, [59]. Eine weitergehende und detailliertere Darstellung der Entwicklung, die einerseits zu elektrischen Bahnen und Hochspannungsnetzen, andererseits zu Fernsehen, Computern und heutigen Smartphones führte, findet man auszugsweise in [40], [44]. Speziell die Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen, Computern und elektronischer Datenverarbeitung wird beschrieben in [5].

Literatur [1] Abramowitz, M., Stegun, I. A.: Handbook of Mathematical Functions Dover Publications, Inc., New York (1965) [2] Betz, A.: Konforme Abbildung Springer Verlag, Berlin, Göttigen, Heidelberg, 2. Aufl. (1964) [3] Buchholz, H.: Elektrische und magnetische Potentialfelder Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1957) [4] Buchholz, H., Costantin P.: Weitverkehrshohlleiter Der Fernmelde-Ingenieur, Heft 2 (1965) Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, Bad Windsheim [5] Ceruzzi, P. E.: Eine kleine Geschichte der EDV mitp-Verlag , Bonn (2003) [6] Collin, R. E.: Field Theory of Guided Waves McGraw-Hill , New York (1960) [7] Crowe, M. J.: A History of Vectoranalysis Dover Publications, New York (1994) 253

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259

Kapitel 6

Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin Zusammenfassung Bei Kristallen und Ferriten werden die anisotropen Eigenschaften untersucht, bei denen der Zusammenhang der Vektorgrößen durch Tensoren vermittelt wird. Auf der Grundlage von Kristalleigenschaften und der Überlagerung von Wellen mit Interferenz und Polarisation werden Kristalloptik und Doppelbrechung behandelt. Auf der Basis der magnetischen Eigenschaften und des Elektronenspins wird der Ferromagnetismus und die Wellenausbreitung in vormagnetisierten Ferriten erörtert, die zur Faraday-Drehung und den nichtreziproken Eigenschaften dieser Bauelemente führen. Der Spin von Atomkernen wird in äquivalenter, semiklassischer Form beschrieben wie der Elektronenspin. Als Anwendung werden Kernspin-Spektroskopie und Magnetresonanztomographie dargestellt.

6.1 6.1.1

Kristallographische Eigenschaften Kristallgitter und Gitterebenen

Sehr viele Substanzen bilden im festen Zustand Kristalle aus, bei denen die Atome in einem räumlich periodischen Gitter angeordnet sind. Nur wenige Stoffe wie die Gläser sind im festen Zustand nicht kristallin, sondern 260 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_6

6.1 Kristallographische Eigenschaften

261

haben eine amorphe Struktur. Das Wort Kristall geht zurück auf griechisch, krystallos, Eis. Die physikalischen Eigenschaften der Kristalle sind als Folge ihres Gitteraufbaus und der dadurch bedingten Fernordnung ihrer Atome bei den meisten Kristalltypen richtungsabhängig. Dieses Verhalten wird Anisotropie genannt und ist ein Wesensmerkmal der Kristalle. Das Kristallgitter stellt eine periodische Raumstruktur von Gitterpunkten dar, die durch Atome oder Ionen der betrachteten Substanz besetzt sind. Die beliebig ausgedehnte Gitterstruktur kann durch Translation einer primitiven Elementarzelle, einem Parallelepiped, in drei schiefwinklige, räumliche Richtungen erzeugt werden. Das Gitter wird durch die drei kovarianten Basisvektoren g gekennzeichnet, deren Beträge oder Längen die #

Gitterkonstanten angeben. Verschiedene physikalische Eigenschaften der Kristalle wie Spaltbarkeit oder Beugung von Licht werden bestimmt durch Gitterebenen, die durch Gitterpunkte gelegt werden.

g2 O

g1

Elementarzelle

Gitterebene

Abb. 6.1: Zweidimensionales Kristallgitter mit Elementarzelle und Gitterebenen Bei Festlegung eines Koordinatennullpunktes kann man die Gitterebenen durch die Achsenabschnitte charakterisieren, die in den drei kovarianten Koordinatenrichtungen auftreten. Die wegen der Translation parallel liegende Schar von Gitterebenen erhält man für folgende Abschnittstripel bei festen

262

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Werten a, b, c. k t a | g1 | , b | g2 | , c | g3 | u

mit

k “ 0, ˘1, ˘2, . . .

Zur Kennzeichnung der Lage der Gitterebenen bezüglich des Koordinatensystems ist nur das Verhältnis der drei ganzzahligen Parameter a, b, c erforderlich. Im dargestellten zweidimensionalen Kristallgitter gilt a “ 3 und b “ 2. In der Kristallographie werden die Gitterebenen dagegen durch die Richtung N ihrer Normalen bezeichnet, die man nach den kontravarianten Richtungen zerlegt, [9, S. 18, 32]. N “ p g1 ` q g2 ` r g3 Die Koeffizienten ergeben sich aus den Skalarprodukten, z.B. g1 ¨ g1 ` q loomoon g2 ¨ g2 ` r loomoon g3 ¨ g3 “ p N ¨ g1 “ | N | | g1 | cos α “ p loomoon “1

“0

“0

Aus den rechtwinkligen Dreiecken der Abbildung 6.2 liest man ab d d p “ “ a | g1 | | N | | g1 | OA d d q cos β “ “ “ | N | | g2 | b | g2 | OB

cos α “

Ñ

p“

|N |d a

Ñ

q“

|N |d b

und entsprechend für die dritte Richtung mit g3 , r, c und γ. Um die Verhältnisse der Parameter der Achsenabschnitte und der Normalenzerlegung in ganze Zahlen zu überführen, wird die Proportion mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Achsenabschnitte kgV pa, b, cq “ ra, b, cs

mit ra, b, 8s “ ra, bs und ra, 8, 8s “ ras

multipliziert. Die sich ergebenden ganzen Zahlen h, k, l, die auf dem Verhältnis der reziproken Achsenabschnitte basieren, heißen Millersche Indizes. p : q : r“

ra, b, cs ra, b, cs ra, b, cs 1 1 1 : : “ : : “h : k : l a b c a b c

(6.1)

Als Symbol für die Gitterebene werden sie in runde Klammern eingeschlossen und mit (hkl) bezeichnet.

263

6.1 Kristallographische Eigenschaften

B Richtung der Normalen

M

b g2 

d

Gitterebene



O

a g1

A

Abb. 6.2: Gitterebene und Normalenrichtung Verläuft eine Gitterebene parallel zu einer Koordinatenachse, so dass kein Schnittpunkt mit dieser Achse existiert, der Achsenabschnitt also unendlich wird, dann hat der zugehörige Millersche Index den Wert Null. Damit gilt für die drei möglichen Flächen (hkl)

Ñ

p0klq , ph0lq , phk0q

Verläuft eine Gitterebene parallel zu einer Koordinatenfläche, dann werden zwei Achsenabschnitte unendlich und damit zwei Millersche Indizes Null, so dass die drei Flächen folgendermaßen charakterisiert werden. (hkl)

Ñ

p100q , p010q , p001q

Schneidet die Gitterebene eine Achse auf der negativen Seite, dann wird das negative Vorzeichen über den zugehörigen Millerschen Index gesetzt, z.B. ra, b, cs ra, b, cs ra, b, cs : : “ h : p´ kq : l a p´ bq c

6.1.2

Ñ

¯ (hkl)

Tetraederflächen

Als Beispiel für Gitterebenen wird ein regelmäßiges Tetraeder betrachtet, das aus vier gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. Jedes Dreieck hat Seiten ? der Länge s und Höhen h “ s 3{2.

264

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

 

 











Abb. 6.3: Tetraeder und Würfel Im kartesischen Koordinatensystem bilden die im gleichen Abstand a vom Ursprung entfernten Achsenpunkte A, B, C ein gleichseitiges Dreieck und damit eine Tetraederfläche. Das Skalarprodukt der Vektoren von A nach B bzw. C lautet ˘ ` ˘ ` rAB ¨ rAC “ aey ´ aex ¨ aez ´ aex “ a2 und der Winkel zwischen den Vektoren hat den Wert cos δ “

´ a ¯2 rAB ¨ rAC a2 1 “ ` ? ˘2 “ “ | rAB | | rAC | s 2 a 2

Ñ

δ “ 60˝

Das Tetraeder kann man nach Abbildung 6.3 in einem Würfel so anordnen, dass seine vier Ecken mit Würfelecken zusammenfallen und seine sechs Kanten die Diagonalen aller Würfelflächen bilden. Die vierte Ecke des Tetraeders liegt im Punkt D,?dem Endpunkt der Raumdiagonale des Würfels der Länge DW “ OD “ a 3. Das Volumen des Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens. Aus Symmetriegründen weist die Normale N der Tetraederfläche durch die Punkte A, B, C vom Ursprung O des Koordinatensystems zu ihrem in

265

6.1 Kristallographische Eigenschaften

der Abbildung nicht markierten Mittelpunkt, dem Lotpunkt M . Sie hat die Richtung der Raumdiagonale DW des umschriebenen Würfels. ? ? |N | “ 3, DW “ a | N | “ a 3 N “ ex ` ey ` ez , Die Richtungscosinus des Normaleneinheitsvektors sind untereinander gleich. n“

˘ ` ˘ 1 ` N “ ? ex ` ey ` ez “ cos α ex ` ey ` ez |N | 3

Die drei gleichen Winkel der Normalen gegen die Koordinatenachsen sowie der Abstand d “ OM der Tetraederfläche vom Ursprung lauten nach (5.19, Bd. I) ? 3 cos α “ Ñ α “ 54.74˝ 3 ? 3 d“a 3 Die Tetraederhöhe, also der Abstand H “ M D, ergibt sich damit zu ? ? ? ? 3 6 2 3 H “ DW ´ d “ a 3 ´ a “a “s “ 2d 3 3 3 Aus der allgemeinen kartesischen Achsenabschnittsform (5.18, Bd. I) der Ebene erhält man bei gleich großen Abschnitten a “ b “ c x y z ` ` “1 a b c

Ñ

x`y`z “a

leicht die Millerschen Indizes der vier Tetraederflächen, die durch die jeweils angegebenen drei Punkte gehen. ABC { ABD { ACD { BCD

6.1.3

Ñ

(hkl) “ p111q { p11¯1q { p1¯11q { p¯111q

Kristallklassen

In einem Raumgitter ist die Wahl einer elementaren Zelle, mit der durch Translation alle Gitterpunkte erreicht werden, nicht eindeutig. Es liegt nahe, eine Elementarzelle so zu wählen, dass sie die kürzesten Translationen bietet. Trifft man dagegen eine andere Wahl, z.B. wegen der Orthogonalität von

266

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Basisvektoren, dann nimmt man in Kauf, dass nicht mehr alle Gitterpunkte erfasst werden. Solche Elementarzellen erhalten dann eine Zentrierung durch einen Gitterpunkt, der nicht durch einen einzigen Basisvektor erfasst wird. Liegt ein solcher Gitterpunkt auf einer Zellenfläche, dann entsteht ein flächenzentriertes Gitter, liegt er innerhalb der Zelle, ein raumzentriertes Gitter, [8, S. 32]. Die systematische Untersuchung der Typen von Elementarzellen und Raumgittern führt auf 14 Bravais-Gitter. Legt man passende Koordinatensysteme durch einen Gitterpunkt, bei denen die Achsen mit den Kanten der Elementarzellen zusammenfallen, dann kann man sieben Kristallsysteme unterscheiden, die sich in ihren optischen Eigenschaften unterscheiden, [1, S. 231], [9, S. 20f., 268], [12, S. 133]. ‚ optisch isotrop

kubisch

‚ optisch einachsig

rhomboedrisch, tetragonal, hexagonal

‚ optisch zweiachsig

monoklin, orthorhombisch, triklin

Zellen mit kürzesten Verbindungen gewählte Elementarzelle

O

g2

g1

Abb. 6.4: Gitter mit flächenzentrierter Elementarzelle

6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen

6.2 6.2.1

267

Überlagerung elektromagnetischer Wellen Vektorielle Überlagerung von Wellen

Die Feldstärken elektromagnetischer Wellen erfüllen lineare partielle Differentialgleichungen, entweder die vektoriellen Wellengleichungen (5.54) oder im harmonischen Fall die Helmholtz-Gleichungen (5.55). Ein wesentliches Kennzeichen der Linearität besteht im Superpositionsprinzip, so dass man einzelne Lösungen der Differentialgleichungen zu neuen Lösungen überlagern und durch Fourier-Synthese beliebige Amplitudenverläufe erzeugen kann. In einem isotropen, nichtleitenden Medium liegen bei ebenen Wellen die Vektoren der elektrischen und magnetischen Feldstärke in einer Wellenfront senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, so dass sie gemäß (5.63) Transversalwellen genannt werden. Die Richtung des elektrischen Feldstärkevektors E einer Welle bezeichnet man als Polarisation. Betrachtet werden zwei primäre ebene Wellen gleicher Frequenz aber verschiedener Phasen, die am Beobachtungsort zur Summenfeldstärke vektoriell überlagert werden. ` ` ˘ ˘ E1 pr, tq “ E10 cos ωt ´ k1 ¨ r ´ δ1 “ E10 cos ωt ´ α ` ` ˘ ˘ E2 pr, tq “ E20 cos ωt ´ k2 ¨ r ´ δ2 “ E20 cos ωt ´ β Epr, tq “ E1 pr, tq ` E2 pr, tq Nach (5.64) wird die Leistungsdichte einer Welle aus dem Quadrat der elektrischen Feldstärke und dem Wellenwiderstand des Mediums berechnet. | E |2 k“ S“ ωμ0

c

| E |2 ε0 | E |2 n “ n μ0 Z0

Das Quadrat der Summenfeldstärke ` ˘ ` ˘ E 2 “ | E |2 “ E1 ` E2 ¨ E1 ` E2 E 2 “ E12 ` E22 ` 2 E1 ¨ E2

(6.2)

268

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

besteht aus den Quadraten der Einzelfeldstärken und dem Mischglied. Wegen der Additionstheoreme

` ˘ ` ˘ 2 cos2 ωt ´ α “ 1 ` cos 2 ωt ´ α ` ˘ ` ˘ ` ˘ ` ˘ 2 cos ωt ´ α cos ωt ´ β “ cos 2ωt ´ α ´ β ` cos β ´ α ` ˘ ` ˘ mit δ “ β ´ α “ k 2 ´ k 1 ¨ r ` δ2 ´ δ1

variieren die Glieder der Summe (6.2) und damit die Leistungsdichte mit der doppelten Frequenz der Primärwellen. Bei Frequenzen von Funkdiensten, die bis in den Gigahertzbereich gehen, sind direkte Messungen des zeitlichen Verlaufs der Leistung möglich, jedoch nicht im Gebiet der Optik. Der für das menschliche Auge sichtbare Bereich des elektromagnetischen Spektrums umfasst einen ungefähren Wellenlängenbereich von Dunkelrot bei 800 nm bis Violett bei 400 nm. Das entspricht einem Frequenzbereich von 375 bis 750 THz und bedeutet wegen der Frequenzverdopplung in Anlehnung an die Ausdrucksweise der Akustik eine Oktave. Diesen hohen optischen Frequenzen im Terahertz-Bereich, die sich bei der Leistung noch verdoppeln, können weder das Auge noch irgendein Messinstrument folgen. Was man sieht oder misst ist die Intensität des Lichts als zeitlicher Mittelwert der optischen Frequenzen des Poynting-Vektors, der ein Maß für die Leistung der Lichtwelle ist. Die Intensität kann dabei selbst als Zeitfunktion variabel sein, allerdings treten dabei weitaus langsamere Helligkeitsveränderungen auf, die man aus dem täglichen Leben kennt. Mit den Zeitintegralen über eine Periode der optischen Frequenzen

1 T 1 T

ż

T

ż

T

` ˘ 1 cos2 ωt ´ α dt “ 2 t“0

` ˘ ` ˘ ` ˘ 1 cos ωt ´ α cos ωt ´ β dt “ cos α ´ β 2 t“0

6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen

269

erhält man für das messbare zeitliche Mittel der Leistungsdichte oder die Intensität I der Summenwelle ı 1 ” I “ x| S |y “ x E12 y ` x E22 y ` 2 x E1 ¨ E2 y Z0 “

2 2 1 E20 1 1 E10 ` ` E10 ¨ E20 cos δ 2 Z0 2 Z0 Z0

“ I1 ` I2 `

1 E10 ¨ E20 cos δ Z0

Je nach der konkreten Überlagerungssituation kommt es auf Grund des Mischgliedes durch den Phasenwinkel δ zur Abweichung von der reinen leistungsmäßigen Additivität der beiden ersten Glieder und daher zu Verstärkungen oder Schwächungen der Gesamtintensität, was man als Interferenz bezeichnet.

6.2.2

Skalare Überlagerung von Wellen, Interferenz

Bei der Überlagerung zweier ebener Wellen gleicher Frequenz, bei denen die Feldstärken parallel sind, sie also gleiche Polarisationsrichtung aber verschiedene Amplituden und Phasen haben, setzt sich die Intensität der Gesamtwelle aus drei Anteilen zusammen, bei der der dritte Summand als Interferenzglied bezeichnet wird. I “ I1 ` I2 ` I12 “ I1 ` I2 ` 2

a I1 I2 cos δ

(6.3)

Je nach Phasenwinkel δ liegt die Intensität zwischen dem minimalen und maximalen Wert. a ˘2 a ˘2 `a `a I1 ´ I2 ď I ď I1 ` I2 “ Imax Imin “ Bei gleichen Feldstärkeamplituden E10 “ E20 “ E0 und Phasendifferenzen von δ “ 0, ˘2π, . . . erhält man mit I “ Imax “ 4 I0 “ 2

E02 Z0

270

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

die vierfache Einzelintensität, was als gleichphasige Überlagerung oder als konstruktive Interferenz bezeichnet wird. Sind dagegen gleich große Einzelfeldstärken bei δ “ ˘π, ˘3π, . . . in Gegenphase, dann heben sie sich gegenseitig auf und die Gesamtintensität ist Null. Dieser Fall der gegenphasigen Überlagerung bedeutet Wellenauslöschung und wird als destruktive Interferenz bezeichnet. Auf Grund der Energieerhaltung kann die Gesamtintensität des Feldes weder vermehrt noch vermindert werden. Durch das Auftreten von Interferenz wird die Energie im Raum lediglich verschieden verteilt. Im Alltag wird die Wellenauslöschung von natürlichem Licht so gut wie nie beobachtet, denn die Erzeugung von Licht geschieht durch unabhängige, inkohärente Emissionsvorgänge in einer riesigen Anzahl von Atomen, wodurch die überlagerten Feldstärkeanteile beliebige Lagen von Polarisation und Phasen haben. Bei der Mittelung über die statistischen Phasenwinkel wird das Interferenzglied Null, so dass es nicht zu einer stationären Wellenauslöschung sondern nur zur Addition der Einzelintensitäten kommt. Die Aussage „Licht plus Licht gleich Dunkelheit“, die bei destruktiver Interferenz eigentlich gelten müsste, ist keine Erfahrungstatsache des täglichen Lebens! Als man bei bestimmten Versuchen auf Grund der Welleneigenschaft des Lichtes Auslöschung als Interferenzerscheinung beobachtete, wurde das dagegen als sensationell empfunden, da es nicht dem bis dahin „normalen“ Verhalten der Additivität entsprach. Eine Ausnahme bilden die Interferenzen an dünnen Blättchen wie die Farberscheinungen bei Ölfilmen und Seifenblasen. Erst bei Versuchsanordnungen mit besonderen physikalischen Bedingungen, die man Interferometer nennt und bei denen auf verschiedene Weise ein Lichtstrahl ein- oder mehrfach geteilt wird, die Teilstrahlen unterschiedliche Wege und ggf. Materialien durchlaufen und schließlich wieder vereinigt werden, gelingt trotz des statistischen Charakters eine Überlagerung mit stationärer Auslöschung der Lichtwellen. Das gilt einerseits als Beweis für den Wellencharakter von Licht, da sich Wellenberge und -täler gegenseitig kompensieren, andererseits ermöglicht es extrem genaue Messungen bei Wegänderungen von winzigen Bruchteilen der Wellenlänge des verwendeten Lichts. Interferometeranordnungen zum Nachweis der Auslöschung werden in grundsätzlichen physikalischen Versuchen wie beim Young’schen Doppelspaltversuch sowie in einer Vielzahl von messtechnischen Aufgabenstellungen verwendet wie bei den Interferometern von Michelson, Mach-

6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen

271

Zehnder und Fabry-Perot, die in Lehrbüchern der Optik detailliert beschrieben werden. Weitere wichtige Anwendungen sind die interferometrischen Verfahren der Radioastronomie und der seit kurzem erfolgreichen Gravitationswellenforschung, die im Kapitel 12 behandelt werden. Einen entscheidenden Schritt zur Widerlegung der Äthertheorie und zur Entwicklung der Relativitätstheorie leistete der interferometrische Michelson-Morley-Versuch, der im nächsten Kapitel betrachtet wird. Bei Erzeugung und Ausbreitung elektromagnetischer Wellen für Rundfunk, Fernsehen oder Mobilfunk erreicht man durch die Vorgabe von Antennenkonstruktionen und ihre Speisung feste Polarisationsrichtungen und Phasen der abgestrahlten Felder, so dass durch Reflexionen an Objekten durch Mehrwegeempfang unerwünschte Störungen wie Geisterbilder, schwankende Amplituden durch Fading oder komplette Auslöschung am Empfangsort auftreten können, die man durch technische Maßnahmen weitgehend zu vermeiden sucht.

6.2.3

Orthogonale Überlagerung von Wellen, Polarisation

Mit Polarisation einer elektromagnetischen Welle bezeichnet man die Richtung des Vektors E der elektrischen Feldstärke an einem festen Ort im Raum. Die Art der Polarisation wird charakterisiert durch die Spurkurve von E in einer festgehaltenen Transversalebene. Für eine ebene, monochromatische Welle im Vakuum nach (5.56) weist der Vektor E stets in die gleiche Richtung, so dass bei harmonischer Erregung seine Spur in einer Transversalebene eine sinusförmig durchlaufene gerade Strecke ist. Eine einzelne ebene Welle hat daher eine lineare Polarisation, bei der E-Vektor und Wellenvektor k in einer Ebene liegen, die Polarisationsebene heißt. Überlagert man zwei ebene Wellen, deren E-Vektoren orthogonal sind, dann ist eine Interferenz im Sinne der Auslöschung nicht möglich, da das Mischglied in (6.2) verschwindet, wie Augustin Fresnel (1788 -1827) feststellte, der bedeutende Arbeiten zum Wesen des Lichtes beitrug. Die Überlagerung orthogonaler ebener Wellen verschiedener Amplituden, bei der die Welle E pyq der Welle E pxq um die Phasenverschiebung δ nach-

272

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

eilt,  ( E pxq “ ex Ex “ ex A Re e jpωt´kz zq ` ˘ “ ex A cos ωt ´ kz z (  E pyq “ ey Ey “ ey B Re e jpωt´kz zq e ´ jδ ` ˘ “ ey B cos ωt ´ kz z ´ δ “ ` ˘ ` ˘ ‰ “ ey B cos ωt ´ kz z cos δ ` sin ωt ´ kz z sin δ führt nach geeigneter Zusammenfassung auf die Beziehung ”E

y

B

´

ı2 ´ E ¯2 ´ E ¯2 Ex Ey Ex y x cos2 δ ´ 2 cos δ “ cos δ ` A A A B B ` ˘ “ sin2 ωt ´ kz z sin2 δ ” ´ E ¯2 ı x “ 1´ sin2 δ A

In den Transversalebenen bei festem z “ const. ergibt sich die Gleichung einer Ellipse als Spurkurve des Summenvektors E “ E pxq ` E pyq . ´ E ¯2 x

A

´2

´ E ¯2 Ex Ey y “ sin2 δ cos δ ` A B B

(6.4)

Im allgemeinen Fall liegt damit elliptische Polarisation vor, die bei gegebenem Phasenwinkel δ einer festen Ellipse entspricht, aber für δ “ 0, π den Sonderfall der linearen Polarisation aufweist. Alle Polarisationsellipsen liegen nach Abbildung 6.5 in einem Rechteck mit den Seiten 2A und 2B und werden am festen Ort z “ const. bei fortschreitender Zeit für Phasenverschiebungen 0 ď δ ď π in mathematisch positiver, für ´π ď δ ď 0 in negativer Richtung durchlaufen. Setzt man Ex “ ˘A bzw. Ey “ ˘B, dann ergeben sich die zugehörigen Koordinaten der Berührungspunkte von Ellipse und Rechteck in Abbildung 6.6 zu den Werten Ey “ ˘B cos δ und Ex “ ˘A cos δ.

273

6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen

y

x

Abb. 6.5: Spurkurven bei elliptischer Polarisation für A “ 2B in rot: δ “ 0, π{2, π in blau: δ “ π{6, 2π{6, 4π{6, 5π{6

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Abb. 6.6: Geometrie der Polarisationsellipse Berührungspunkte in rot sowie Positionen für t “ 0, ˘ π{2, π

274

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Zur Bestimmung der Ellipsen wird in der Transversalebene ein zu px, yq um den Winkel ψ gedrehtes Hauptachsensystem pξ, ηq eingeführt, in dem die Parameterdarstellung der Ellipse bei beliebigem Phasenwinkel γ lautet ` ˘ + Eξ “ a cos ωt ´ γ ` ˘ Eη “ b sin ωt ´ γ

Ñ

b2 Eξ2 ` a2 Eη2 “ a2 b2

Für den Zusammenhang der Koordinatensysteme gilt Ex “ Eξ cos ψ ´ Eη sin ψ Ey “ Eξ sin ψ ` Eη cos ψ und diese Beziehungen werden in (6.4) eingesetzt. Ordnet man nach den neuen Feldstärkekomponenten, dann erhält man folgende Darstellung, die der obigen Parameterform der Ellipse gleichen muss. ‰ “ 2 2 A sin ψ ` B 2 cos2 ψ ´ 2AB sin ψ cos ψ cos δ Eξ2 looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon “ b2

“ 2 ‰ ` looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon A cos2 ψ ` B 2 sin2 ψ ` 2AB sin ψ cos ψ cos δ Eη2 “ a2

“` 2 ˘ ‰ ˘ ` ` looooooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooooon A ´ B 2 2 sin ψ cos ψ ´ 2AB cos2 ψ ´ sin2 ψ cos δ Eξ Eη “C

“ b2 Eξ2 ` a2 Eη2 ` CEξ Eη “ loooooomoooooon A2 B 2 sin2 δ “ a2 b 2

Mit den Abkürzungen B “ tan α A

Ñ

sin 2α “

2AB 2 tan α “ 2 2 A ` B2 1 ` tan α

b “ tan β a

Ñ

sin 2β “

2ab 2 tan β “ 2 2 a ` b2 1 ` tan β

6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen

275

und der Forderung nach Wegfall des gemischten Gliedes ˘ ` C “ A2 ´ B 2 sin 2ψ ´ 2AB cos δ cos 2ψ “ 0 tan 2ψ “

2AB 2 tan α cos δ “ tan 2α cos δ cos δ “ A2 ´ B 2 1 ´ tan2 α

folgen die Relationen der Amplituden aus dem Vergleich der beiden Ellipsendarstellungen. ab “ AB sin δ a2 ` b2 “ A2 ` B 2 Aus ihrem Quotienten erhält man 2AB 2ab “ 2 sin δ 2 `b A ` B2

a2

sowie die Relationen der Winkel. sin 2β “ sin 2α sin δ tan 2ψ “ tan 2α cos δ Sind A, B und δ gegeben, dann berechnet man zunächst die Winkel α, β und ψ. Nach Lösung der quadratischen Gleichung für a2 , die sich aus den Amplitudenrelationen ergibt, a4 ´ pA2 ` B 2 qa2 ` pABq2 sin2 δ “ 0 erhält man die Halbachsen der Ellipse. A2 ` B 2 2 2 A ` B2 b2 “ 2

a2 “

”

1`

ı a 1 ´ sin2 2α sin2 δ

”

1´

ı a 1 ´ sin2 2α sin2 δ

Für die Phasenverschiebung δ “ 0, π liegt lineare Polarisation vor, bei der die Spurkurve eine Gerade ist. Umgekehrt kann daher auch jeder Fall von linearer Polarisation als Überlagerung zweier ebener, orthogonaler Wellen mit gleichen oder entgegengesetzten Phasen gedeutet werden!

276

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Sind die Phasen der Wellen für δ “ π{2, 3π{2 in Quadratur, haben also einen Phasenunterschied von 90˝ , dann ergibt sich aus ψ “ 0 die maximale Polarisationsellipse mit a “ A und b “ B sowie der kleinsten Exzentrizität a 2 e “ 1 ´ pB{Aq . Im Sonderfall gleicher Amplituden mit A “ B liegt bei Quadratur zirkulare Polarisation vor, bei der die Spurkurve von E “ E pxq ` E pyq ein Kreis ist. Bei der am Anfang von Abschnitt 6.2.3 eingeführten Phasenverschiebung erhält man im Fall δ “ ´ π{2 für die Überlagerung ” ´ π ¯ı ˘ ` ˘ ` cos ωt ´ kz z ´ ´ “ ´ sin ωt ´ kz z “ ` sin kz z ´ ωt 2 Damit gilt zum festen Zeitpunkt bei fortschreitendem z folgende Festlegung, [7, S. 322], [15, S. 251].

δ“´

π 2

Ñ

mathematisch positiv um ez drehend, Rechtsschraube rechts zirkular polarisierte Welle, (RZ)

δ“`

π 2

Ñ

mathematisch negativ um ez drehend, Linksschraube links zirkular polarisierte Welle, (LZ)

(6.5) Die Festlegung dieses Drehsinns ist auch für elliptische Polarisation bei beliebigen Phasenwinkeln δ gültig. Die Überlagerung der orthogonalen Wellen findet im isotropen Medium statt, in dem beide die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit vP h “

ω c “ kz n

besitzen. Dadurch ist für jede Transversalebene z “ const. die Art der Polarisation gleich, so dass eine feste Polarisationsellipse entsteht. Breiten sich die orthogonalen Wellen durch Anisotropie dagegen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aus, dann existieren in festen Transversalebenen wechselnde Polarisationszustände.

277

6.2 Überlagerung elektromagnetischer Wellen

6.2.4

Leistungsdichten von linear und zufällig polarisierten Wellen

Für eine ebene Welle, die in der px, yq-Ebene linear polarisiert ist, lauten elektrische Feldstärke und Poynting-Vektor ` ˘ ` ˘ ˘ ` E “ E0 cos ωt ´ kz z eρ “ E0 cos ϕ ex ` E0 sin ϕ ey cos ωt ´ kz z S“

˘ ` | E |2 E2 ez “ 0 cos2 ωt ´ kz z ez Z0 Z0

Mit dem Zeitintegral über eine Periode nach Abschnitt 6.2.1 erhält man für die im zeitlichen Mittel in z-Richtung übertragene Leistungsdichte oder Intensität der linear polarisierten Welle ( p) und ihrer Anteile pxq

pyq

Ip “ x Sp y “ Ip ` Ip “

1 E02 1 E02 1 E02 cos2 ϕ ` sin2 ϕ “ 2 Z0 2 Z0 2 Z0

Bei natürlichem Licht treten zufällig polarisierte Wellen (zp) auf, deren elektrische Feldstärke gleich große, statistisch verteilte Anteile in jeder ρ-Richtung besitzen. Die Erzeugung von Licht durch inkohärente atomare Emissionsvorgänge führt zu beliebigen Polarisationsrichtungen in gleicher Stärke. Da die Phasen der einzelnen inkohärenten Feldstärkeanteile statistisch verteilt sind, werden nicht die Feldstärken summiert, was in der Abbildung 6.7 Null ergäbe, sondern es erfolgt eine leistungsmäßige Addition durch die Feldstärkequadrate!

y

y E

E 

x

Abb. 6.7: Linear und zufällig polarisierte Wellen

x

278

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

In einer bestimmten Richtung, z.B. in x-Richtung, wird der Beitrag aller Feldstärkeanteile zur transportierten Leistungsdichte durch Mittelung über den Winkel ϕ bestimmt. pxq Szp

1 1 “ Z0 2π

ż2π

Ex2 dϕ

ϕ“0

ż2π ` ˘ 1 E02 2 “ cos ωt ´ kz z cos2 ϕ dϕ Z0 2π ϕ“0 looooooooomooooooooon “ 1{2

Im zeitlichen Mittel ergibt sich wie oben ein Faktor 1{2 und man erhält die folgende in z-Richtung übertragene Leistungsdichte der zufällig polarisierten Wellen, die sich aus gleichen Anteilen für x- und y-Richtung zusammensetzt. pxq pyq ` Izp “ Izp “ x Szp y “ Izp

1 E02 1 E02 1 E02 ` “ 4 Z0 4 Z0 2 Z0

Da die Phasenlage bei der Leistungsberechnung keinen Einfluss hat, transportieren linear und zufällig polarisierte Wellen bei gleicher Feldstärkeamplitude E0 den gleichen Leistungsfluss in Ausbreitungsrichtung. Trifft natürliches Licht auf ein anisotropes Medium wie einen Kristall, dann enthalten die Feldstärkeanteile für zwei orthogonale Richtungen jeweils gleich große Leistungen oder Intensitäten.

6.3 6.3.1

Kristalloptik Kristalle mit Doppelbrechung

Die optische Erscheinung, dass ein Lichtstrahl, der einen Kristall durchdringt, in zwei Strahlen zerlegt wird und dadurch ein Doppelbild erzeugt, wurde vom dänischen Naturforscher Erasmus Bartholinus 1669 am kurz zuvor entdeckten, sehr reinen isländischen Kalkspat oder Calcit (CaCO3 ) entdeckt. Dabei gehorchte der eine Strahl dem seit 1621 bekannten, von Willebrord Snell van Royen entdeckten Snellius’schen Brechungsgesetz und wurde daher ordentlicher Strahl genannt, der andere, der diesem Gesetz nicht folgte, wurde als außerordentlicher Strahl bezeichnet. Zur Erklärung der Doppelbrechung nahm Christiaan Huygens (1629 1695) an, dass sich die zu den beiden Strahlen gehörenden Wellen auf Grund

279

6.3 Kristalloptik

der richtungsabhängigen Eigenschaften des Kristalls unterschiedlich schnell ausbreiten und zu zwei verschiedenen Wellenfronten führen. Im weiteren Verlauf wurden Eigenschaften und Erscheinungen durch die Maxwell’sche Theorie geklärt.

6.3.2

Dielektrizitätstensor

Die Kristalloptik untersucht die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in anisotropen, dielektrischen Kristallen, die nichtleitend (κ “ 0) und magnetisch isotrop mit μr “ 1 sind, was bei transparenten optischen Medien normalerweise der Fall ist. In einem Kristall hat der Vektor D der dielektrischen Verschiebung im allgemeinen nicht mehr die gleiche Richtung wie der Vektor E der elektrischen Feldstärke, so dass die einfache Proportionalität D “ εE der Materialgleichung (5.7) mit skalarer Dielektrizitätskonstante ε im anisotropen Fall verallgemeinert werden muss. Der einfachste Ansatz unterstellt eine lineare Vektorfunktion, bei der jede Komponente von D linear von allen drei Komponenten von E abhängt, wobei im kartesischen System px, y, zq “ ˆ p1, 2, 3q gilt. D1 “ ε11 E1 ` ε12 E2 ` ε13 E3 D2 “ ε21 E1 ` ε22 E2 ` ε23 E3

( mit εik “ εki q

D3 “ ε31 E1 ` ε32 E2 ` ε33 E3 Die Koeffizienten εik sind Materialkonstanten und bestimmen die dielektrischen Eigenschaften des Mediums durch einen Dielektrizitätstensor ε zweiter Stufe, der aus energetischen Gründen symmetrisch ist, [1, S. 220], [12, S. 111]. Der Tensor ε ordnet als linearer Operator jedem Vektor E einen Vektor D zu. ¨

D “ε¨E

mit

˛ ε11 ε12 ε13 ε “ eT ε e “ eT ˝ ε12 ε22 ε23 ‚ e ε13 ε23 ε33

(6.6)

Die elektrische Energiedichte stellt als doppeltes Skalarprodukt nach Abschnitt 12.5.1 (Bd. I) für den symmetrischen Tensor ε eine positiv definite,

280

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

quadratische Form dar, 2we “ E ¨ D “ E ¨ ε ¨ E “

ÿÿ i

εik Ei Ek ě 0

k

Durch Hauptachsentransformation kann man die Tensormatrix ε diagonalisieren und die quadratische Form auf eine Summe von Quadraten reduzieren. Dabei bestimmen die Eigenvektoren das orthogonale Hauptachsensystem pξ, η, ζq, das von hier ab verwendet wird. Die Hauptachsenmatrix des Dielektrizitätstensors ε HA enthält bei Anwendung der Maxwell’schen Relation (5.58) zwischen Brechzahlen und dimensionslosen relativen Dielektrizitätskonstanten n “

a εr

Ñ

n2 “

ε ε0

p “ ξ, η, ζq

(6.7)

auf der Diagonalen die Hauptdielektrizitätskonstanten bzw. die Quadrate der Hauptbrechzahlen. ¨ ˛ ¨ 2 ˛ nξ 0 0 εξ 0 0 ε HA “ ˝ 0 εη 0 ‚ “ ε0 ˝ 0 n2η 0 ‚ 0 0 εζ 0 0 n2ζ Mit diesen Werten werden die Hauptlichtgeschwindigkeiten definiert, die später Verwendung finden. u “

c 1 “a n μ 0 ε

p “ ξ, η, ζq

(6.8)

Die drei Werte u haben zwar die Dimension einer Geschwindigkeit, aber sie bilden nicht die Komponenten eines physikalisch deutbaren Geschwindigkeitsvektors! Auf den Hauptachsen sind die Vektoren D und E parallel, was man an der Diagonalmatrix ε HA erkennen kann. Zur Unterscheidung von der Einheitsmatrix E wird die Matrix der Feldstärke E el hier indiziert. D “ ε ¨ E “ eT ε HA lo ¨ eoTn E el “ εξ Eξ eξ ` εη Eη eη ` εζ Eζ eζ eomo “E

D  “ ε  E

(6.9)

281

6.3 Kristalloptik

Zu (6.6) kann man eine zweite Darstellung angeben, die den reziproken Tensor η mit der inversen Tensormatrix definiert, mit dem man die elektrische Energiedichte durch die Komponenten von D ausdrücken kann. E “ ε´1 ¨ D “ η ¨ D 2we “ D ¨ E “ D ¨ η ¨ D “

ÿÿ i

ηik Di Dk ě 0

k

Nach der Aussage (12.26, Bd. I) besitzen die zueinander reziproken Tensoren das gleiche orthogonale Hauptachsensystem, in dem die diagonalen Tensormatrizen die reziproken Werte enthalten.

¨

η HA

ηξ 0 ˝ 0 ηη “ 0 0

¨ 1 ˛ ˚ εξ 0 ˚ ˚ 0 ‚“ ˚ 0 ˚ ηζ ˝ 0

0 1 εη 0

1 0 2 ˚ ‹ ˚ nξ ‹ ˚ 1 ˚ 0 0 ‹ ‹“ ‹ ε0 ˚ ˚ 1 ‚ ˝ 0 εζ ˛

¨

0 1 n2η 0

0

˛

‹ ‹ ‹ 0 ‹ ‹ ‹ 1 ‚ n2ζ

Die quadratischen Formen definieren gemäß Abschnitt 12.5.1 (Bd. I) mit dem Ortsvektor r die Tensorflächen, die wegen der positiven Hauptdielektrizitätskonstanten Ellipsoide darstellen. ÿ ε 2 “ 1 Q “ r ¨ ε HA ¨ r “ 

Q˚ “ r ¨ η HA ¨ r “

ÿ 

η 2 “

ÿ 2 “1 ε 

Beim Dielektrizitätstensor erhält man als Tensorfläche das Fresnel’sche Ellipsoid, dessen Halbachsen die reziproken Wurzelwerte der drei Haupt? dielektrizitätskonstanten 1{ ε bzw. die reziproken Hauptbrechzahlen 1{n sind. j „ 2 ξ η2 ζ2 2 2 2 ` ` εξ ξ ` εη η ` εζ ζ “ 1{εξ 1{εη 1{εζ „ 2 j ξ η2 ζ2 “1 ` ` “ ε0 1{n2η 1{n2ξ 1{n2ζ

282

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Die Tensorfläche des reziproken Tensors heißt Fletcher’sches Ellipsoid oder meist Indexellipsoid mit der Gleichung „ 2 j ξ η2 ζ2 ξ2 η2 ζ 2 ` ` “ ε0 ` 2 ` 2 “1 εξ εη εζ nη n2ξ nζ Da es nur auf die Geometrie ankommt, wird häufig ε0 weggelassen, so dass beim Indexellipsoid dann die Hauptbrechzahlen n als Halbachsen auftreten. η2 ζ2 ξ2 ` ` “ 1 n2η n2ξ n2ζ

(6.10)

Nach den Werten der Hauptdielektrizitätskonstanten εξ , εη , εζ unterscheidet man drei Kristallarten. • εξ ‰ εη ‰ εζ Wenn alle drei Konstanten unterschiedliche Werte haben, dann sind die Tensorflächen dreiachsige Ellipsoide und der Kristall ist optisch zweiachsig • εξ “ εη ‰ εζ Sind zwei Konstanten gleich, dann sind die Tensorflächen langgestreckte oder abgeplattete Rotationsellipsoide und der Kristall ist optisch einachsig • εξ “ εη “ εζ Im kubischen System sind alle Konstanten gleich, die Tensorflächen sind Kugeln und der Kristall ist optisch isotrop, in diesem Sonderfall liegt also gar keine Anisotropie vor!

6.3.3

Vektoren im anisotropen Medium

Nach den Maxwell’schen Gleichungen (5.62) für ebene, harmonische Wellen gilt im nichtleitenden, anisotropen Fall mit κ “ 0 und μr “ 1 k ˆ E “ ωμ0 H “ ωB k ˆ H “ ´ ωD ` ˘ ` ˘ k ˆ k ˆ E “ k ¨ E k ´ k2 E “ ωμ0 k ˆ H “ ´ ω 2 μ0 D

283

6.3 Kristalloptik

Die Ausbreitung von Wellen muss die folgende Vektorgleichung erfüllen. ` ˘ ` ˘ ω 2 μ0 D “ k ˆ k ˆ E “ k 2 E ´ k ¨ E k

(6.11)

Der Wellenvektor k steht senkrecht auf den Wellen- oder Phasenfronten der ebenen Welle, die sich mit der Phasengeschwindigkeit vP h ausbreitet. k “ kn

k“

ω ω c “ “ k 0 nW vP h c vP h

(6.12)

Dabei muss man den Einheitsvektor n der Wellennormalen und den für die Wellenausbreitung maßgebenden Brechungsindex nW voneinander unterscheiden! Welchen Wert nW dabei hat, wird in Abschnitt 6.3.4 erörtert. Der Poynting-Vektor gibt die Richtung des Leistungsflusses an. S “EˆH Aus den Vektorbeziehungen resultieren geometrische Zuordnungen, die in Abbildung 6.8 dargestellt sind. H steht senkrecht auf allen vier Vektoren k, E, D und S, die in einer Ebene liegen. D steht außerdem senkrecht auf k, so dass die Vektoren pD, H, kq ein orthogonales Rechtssystem bilden. Das zweite Rechtssystem bilden die Vektoren pE, H, Sq, wodurch zwischen den Vektoren D und E sowie k und S ein Winkel ψ liegt, der durch den Dielektrizitätstensor bestimmt wird. In anisotropen Medien ist D der zu k senkrechte und damit transversale Vektor und nicht E wie im isotropen Fall oder im Vakuum! Aus dem Betrag von (6.11) ´ ¯ ˇ ` ˘ˇ ˇ k ˆ k ˆ E ˇ “ k 2 | E | sin π ´ ψ “ ω 2 μ0 | D | 2 erhält man die Phasengeschwindigkeit vP h der ebenen Welle.

vP h

ω “ “ k

d

| E | cos ψ μ0 | D |

(6.13)

Der Leistungsfluss hat die Strahlrichtung s und seine Geschwindigkeit in Richtung von S heißt Strahlengeschwindigkeit vS . Der Zusammenhang

284

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

D

E



Phasenfronten

k H,B



S

vPh 

vS

Abb. 6.8: Vektoren bei Wellenausbreitung im aniostropen Kristall

mit der Phasengeschwindigkeit, mit der sich die Phasenfronten der Welle ausbreiten, lautet,

vP h “

ω c ω 1 “ “ vS cos ψ “ k k 0 nW nW

wobei k0 “ ω{c die Phasengeschwindigkeit des Vakuums bedeutet. Mit Hilfe der Poinsot’schen Konstruktion aus Abschnitt 12.5.3 (Bd. I) kann man den Winkel ψ zwischen D und E bzw. s “ S{S und k geometrisch bestimmen. Dabei hat man zwei Möglichkeiten. Gibt man D vor und sucht E, dann erfolgt die Konstruktion mit dem Indexellipsoid, im umgekehrten Fall mit dem Fresnel’schen Ellipsoid. Hier wird der erste Fall sowohl geometrisch als auch algebraisch verfolgt, da das Indexellipsoid im weiteren Verlauf die wichtigere Rolle spielt. Der Schnitt durch das Tensorellipsoid ergibt in der Azimutebene die Darstellung der Abbildung 6.9. Algebraisch wird der Winkel ψ aus dem Skalarprodukt ermittelt, wobei die Vektoren im orthogonalen Hauptachsensystem pξ, η, ζq dargestellt wer-

285

6.3 Kristalloptik

  Tangentialebene E



D





s

k 

Indexellipsoid

Abb. 6.9: Bestimmung von ψ mit der Poinsot’schen Konstruktion

den. cos ψ “

D¨η¨D D¨E 2we 2we {D2 “ “ “ |D||E | DE DE E{D

1 ´ Dξ ¯2 1 ´ Dη ¯2 1 ´ Dζ ¯2 ` ` εξ D εη D εζ D “d ´ ¯ 1 Dξ 2 1 ´ D η ¯2 1 ´ D ζ ¯2 ` ` ε2η D ε2ξ D ε2ζ D Die Komponenten von D werden durch die Richtungscosinus bezüglich der Hauptachsen bzw. wie bei Kugelkoordinaten durch Meridional- und Azimutwinkel ϑD und ϕD dieses Vektors ausgedrückt. Dξ “ D cos αD “ D sin ϑD cos ϕD Dη “ D cos βD “ D sin ϑD sin ϕD Dζ “ D cos γD “ D cos ϑD

286

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

¯ ´1 1 1 cos2 ϕE ` sin2 ϕE sin2 ϑE ` cos2 ϑE εξ εη εζ cos ψ pϑD , ϕD q “ d ´ ¯ 1 1 1 2 2 2ϕ ` 2 cos sin ϕ E E sin ϑE ` 2 cos ϑE 2 2 εη εξ εζ (6.14) Die allgemeine Beziehung für den Winkel vereinfacht sich im Fall einachsiger Kristalle, bei denen nur zwei unabhängige Dielektrizitätskonstanten auftreten. + ε|| εξ “ εη “ εK mit q“ εK εζ “ ε|| q sin2 ϑD ` cos2 ϑD cos ψ pϑD q “ a q 2 sin2 ϑD ` cos2 ϑD

(6.15)

Für ϑD “ 0, π{2, π sowie bei beliebigen Winkeln ϑD und q “ 1 ist ψ “ 0, so dass die Vektoren D und E parallel sind. Nach Zwischenrechnung erhält man den Winkel des Maximums und den zugehörigen Funktionswert zu tan ϑDmax

6.3.4

1 “? q

cos ψmax

? 2 q “ 1`q

(6.16)

Normalmoden

Betrachtet wird eine ebene, harmonische Welle, die sich in einem Kristall in Richtung einer Hauptachse ausbreitet und deren elektrische Feldstärke in einer dazu senkrechten Hauptachse linear polarisiert ist. Gewählt werden Ausbreitung in ζ-Richtung mit k “ kζ eζ und Feldstärke E “ Eξ eξ . Nach (6.9) sind dann die Vektoren E und D “ εξ E parallel und der Winkel ψ zwischen ihnen ist Null. In entsprechender Weise wie im Abschnitt 5.5 führt die Aufstellung der Differentialgleichung bei harmonischer Zeitabhängigkeit im anisotropen, nichtleitenden Medium bei Erweiterung mit der Konstanten εξ auf die Helmholtz-Gleichung (5.55) für die Feldstärke, die sich im ebenen Fall wegen

287

6.3 Kristalloptik

y

JD

Abb. 6.10: Winkelfunktion ψ “ f pϑD q bei einachsigen Kristallen und Lage der Maxima rot: blau:

q “ 0, 0.001, 0.01, 0.1 q “ 0.2 p0.1q 1

B{Bξ “ B{Bη “ 0 zu einer skalaren Gleichung vereinfacht. rot rot E “ ´ jωμ0 rot H “ ω 2 μ0 D “ ω 2 μ0 εξ E ` ˘ ` ˘ 1 1 rot rot εξ E “ grad loooomoooon div εξ E ´ Δ E εξ εξ “ div D “ 0

Δ E “ eξ ΔEξ “ ´ ω 2 μ0 εξ E “ ´ ω 2 μ0 εξ Eξ eξ B 2 Eξ “ ´ ω 2 μ0 εξ Eξ “ ´ kζ2 Eξ Bζ 2 ? mit kζ “ ω μ0 εξ

ΔEξ “

Die Lösung ist die harmonische Welle, ` ˘  Epζ, tq “ Re eξ E0 e´jkζ ζ ejωt u “ E0 cos ωt ´ kζ ζ eξ “ E0 cos φ eξ deren Phasengeschwindigkeit in ζ-Richtung durch die Dielektrizitätskonstante der ξ-Richtung bestimmt wird! Der Brechungsindex nW aus (6.12)

288

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

ist hier also nξ . Die Phasengeschwindigkeit der ebenen Welle entspricht der Hauptlichtgeschwindigkeit für die Richtung des Feldstärkevektors E “ E ξ eξ . c ω 1 c ε0 vP h “ vζ “ “? “ “c “ uξ kζ μ 0 εξ nξ εξ In entsprechender Weise gilt das für alle Fälle, bei denen die Vektoren k und E in Richtung verschiedener Hauptachsen weisen. Man nennt ebene Wellen, bei denen Ausbreitung und Feldstärke in verschiedene Hauptachsenrichtungen zeigen, Normalmoden, deren Kennzeichen die Parallelität von E und D sowie die Erhaltung der linearen Polarisation bei der Ausbreitung sind, [10, S. 218]. Die Hauptdielektrizitätskonstante der Feldstärkerichtung bestimmt den maßgebenden Brechungsindex und damit die Phasengeschwindigkeit der Normalmode im Kristall. Die Geschwindigkeit der ebenen Welle wird durch die Brechzahl der Polarisationsrichtung E und nicht von der Ausbreitungsrichtung k bestimmt!

(6.17)

Als zweiter Fall linearer Polarisation wird bei gleicher Ausbreitungsrichtung k “ kζ eζ wie vorher die elektrische Feldstärke E “ Eξ eξ ` Eη eη in beliebiger transversaler Richtung betrachtet. Nach der Bemerkung am Ende von Abschnitt 6.2.3 kann man diese Welle als Überlagerung zweier gleichphasiger Normalmoden mit linearen Polarisationen in ξ- und η-Richtung auffassen. Innerhalb des Kristalls breiten sich beide Moden mit verschiedenen Phasengeschwindigkeiten in ζ-Richtung aus, die den Hauptlichtgeschwindigkeiten für die Feldstärkerichtungen entsprechen. pξq

E “ E ξ eξ

mit

vζ “ ?

E “ Eη eη

mit

vζ

pηq

1 c “ “ uξ μ 0 εξ nξ

und

k ζ “ k 0 nξ

1 c “ “ uη μ 0 εη nη

und

kζ

“?

pξq

pηq

“ k 0 nη

Beide Wellen erfahren bei nξ ‰ nη unterschiedliche Phasendrehungen. Die Überlagerung der beiden orthogonalen Normalmoden erfolgt je nach der

289

6.3 Kristalloptik

im Kristall durchlaufenen Strecke mit einer örtlich variierenden Phasenverschiebung. Im Gegensatz zum isotropen Fall ergeben sich in verschiedenen Transversalebenen ζ “ const. unterschiedliche elliptische Polarisationen mit zugehörigen Polarisationsellipsen. Bei genügend langer Kristallstrecke kommen alle Polarisationszustände und Ellipsen der Abbildung 6.5 ein- oder mehrfach vor. Die zusammengesetzte Welle ist daher keine Normalmode, da der Polarisationszustand nicht erhalten bleibt sondern mit der durchlaufenen Strecke im Kristall variiert. Hat der Kristall die Dicke d, dann ist der Phasenunterschied der Einzelwellen bei Austritt, Δφ “ φξ ´ φη “ pnξ ´ nη q k0 d “ pnξ ´ nη q

ω 2π d “ looooomooooon pnξ ´ nη q d c λ0 “Λ

der positiv oder negativ sein kann und dem Phasenwinkel δ bei der Polarisation entspricht. Bei Kenntnis von Brechzahlen und Frequenz bzw. Wellenlänge kann man durch geeignete Wahl der Kristalldicke d den Phasenunterschied einstellen und durch sog. Verzögerungsplatten am Ausgang eine gewünschte elliptische Polarisation erzeugen. Bauelemente, die einen Gangunterschied von Λ “ λ0 {2, 3λ0 {2, . . . und damit einen Phasenunterschied von π oder 3π zur Folge haben, heißen λ{2-Platten. Gemäß Abbildung 6.5 tritt am Ausgang der zweite Fall linearer Polarisation auf, wodurch das Element eine Drehung der Polarisationsebene um einen Winkel erzeugt, der von den Amplituden abhängt, bei gleichen Amplituden also eine 90˝ -Drehung. Bei einem Gangunterschied Λ “ λ0 {4, 3λ0 {4, . . . ist der Phasenunterschied π{2 oder 3π{2, so dass am Ausgang bei gleichen Amplituden rechtsbzw. links-drehende zirkulare Polarisation auftritt. Ein solches Bauelement wird λ{4-Platte genannt. Gleiche Amplituden der beiden Normalmoden ergeben sich sehr einfach dadurch, dass man eine linear polarisierte Welle auf die Verzögerungsplatten fallen läßt, deren elektrische Feldstärke in Richtung einer der Winkelhalbierenden von ξ- und η-Achse weist. Bei den in der Praxis verwendeten Kristallen für Verzögerungsplatten, vor allem Quarz, Kalkspat und Glimmer, sind Kristallstruktur und Lage der Hauptachsen bekannt und am Bauelement markiert, so dass eine entspre-

290

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

chende Einstrahlung mit Polarisation in Richtung der Winkelhalbierenden auf einfache Weise vorgenommen werden kann.

6.3.5

Fresnel’sche Normalengleichung

Gesucht sind die Verhältnisse der Wellenausbreitung in einem gegebenen Kristall, bei dem die Hauptdielektrizitätskonstanten als Materialeigenschaften und damit auch die Hauptlichtgeschwindigkeiten (6.8) bekannt sind. 1 c c “a “ u “ a εr n μ 0 ε

p “ ξ, η, ζq

Durch Vorgabe der Ausbreitungsrichtung der Welle im Kristall sind die Richtungscosinus p, q, r des Wellenvektors k gegen die orthogonalen Hauptachsen bekannt, die die Summeneigenschaft nach (7.2, Bd. I) besitzen. Als Ergänzung zu (6.12) gilt

k “ n “ p eξ ` q eη ` r eζ “ cos αξ eξ ` cos αη eη ` cos αζ eζ k p2 ` q 2 ` r 2 “

ÿ3 “1

cos2 α “ 1

(6.18)

Die Vektorgleichung (6.11) für die Wellenausbreitung ` ˘ ω 2 μ0 D ´ k 2 E “ ´ k ¨ E k wird für die Hauptachsenrichtungen untersucht, da dann (6.9) gilt und D und E parallel sind. In ξ-Richtung erhält man nach Division, der Erweiterung mit den Dielektrizitätskonstanten und der Abkürzung S für die auftretende Summe eine Darstellung für die Dξ -Komponente bzw. den zugehörigen

291

6.3 Kristalloptik

Richtungscosinus ” k ık ´ ω ¯2 kζ kη 1 ξ ξ Dξ ´ ε ξ Eξ “ ´ ε ξ Eξ ` ε η Eη ` ε ζ Eζ 2 k μ ε μ ε μ ε μ ε k 0 oξn 0 ξ 0 η 0 ζ loomoon loomo 2 “ vP h

“ u2ξ

`

˘ kξ vP2 h ´ u2ξ Dξ “ ´ 2 k kξ “´ 2 k kξ “´ 2 k Dξ “ ´

”

kξ u2ξ Dξ ` kη u2η Dη ` kζ u2ζ Dζ

ÿ3 “1

ı

k u2 D

S

kξ S “ | D | cos βξ 2 ´ uξ k 2

vP2 h

(6.19)

sowie entsprechende Ergebnisse für η - und ζ-Richtung. Da k und D orthogonal sind, gilt k ¨ D “ kξ D ξ ` kη D η ` kζ D ζ “

3 ÿ

k D  “ 0

“1

und diese Summe wird mit (6.19) umgewandelt. ´

3 ÿ

k D  “ 0 “ S

“1

3 ´ ÿ k  ¯2 “1

k

3 S ÿ 1 k “ 2 2 2 2 k “1 vP h ´ u2 v P h ´ u

Die entstehende Beziehung heißt Fresnel’sche Normalengleichung. 3 ÿ “1

k2 “0 vP2 h ´ u2

q2 r2 p2 ` ` “0 vP2 h ´ u2ξ vP2 h ´ u2η vP2 h ´ u2ζ

(6.20)

Durch Multiplikation mit den Nennern wird sie auf folgende Form gebracht. ` ˘` ˘ p2 vP2 h ´ u2η vP2 h ´ u2ζ ` ˘` ˘ ` q 2 vP2 h ´ u2ξ vP2 h ´ u2ζ ` ˘` ˘ ` r2 vP2 h ´ u2ξ vP2 h ´ u2η “ 0

292

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Auflösen der Klammern führt mit (6.18) auf eine biquadratische Gleichung für die Phasengeschwindigkeit. ” ` ˘ ` ˘ ` ˘ı 2 vP4 h ´ p2 u2η ` u2ζ ` q 2 u2ξ ` u2ζ ` r2 u2ξ ` u2η v looooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooon P h “A

` loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon p2 u2η u2ζ ` q 2 u2ξ u2ζ ` r2 u2ξ u2η “ 0 “B

`B “0 1 1a 2 A ´ 4B vP2 h “ A ˘ 2 2 Als Lösung erhält man zu jedem Tripel pp, q, rq und damit zu jedem Wellenvektor k zwei positive Werte vP h “ v1 , v2 in Vorwärts- und zwei negative in Rückwärtsrichtung. Das bedeutet, dass sich in k-Richtung zwei ebene Wellen im Kristall mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten ausbreiten können, deren Verschiebungsvektoren D1 und D2 in der zu k senkrechten Wellenfront liegen und deren Richtungen noch bestimmt werden. Jede dieser Lösungen muss mit den zusammengehörigen Feldvektoren E1 , E2 die Gleichung (6.13) erfüllen. Trägt man für das Raumbüschel des Wellenvektors k die beiden positiven Lösungen der Phasengeschwindigkeiten v1 , v2 ab, dann erhält man eine zweischalige Fläche im Raum, die Normalenfläche heißt und die auch zur Erklärung der Brechung am Kristall herangezogen wird. Bildet man das Skalarprodukt der Vektoren D1 und D2 , setzt für die Komponenten die Darstellung (6.19) ein und führt eine Partialbruchzerlegung durch, dann ergibt sich vP4 h

´

D1 ¨ D 2 “

A vP2 h

3 ÿ “1

D 1 D 2

3 k2 S 1 S2 ÿ “ 4 k “1 pv12 ´ u2 q pv22 ´ u2 q

1 S1 S2 “ 4 2 k v2 ´ v12

„ ÿ 3

j 3 ÿ k2 k2 ´ v12 ´ u2 v 2 ´ u2 “1 “1 2 loooooomoooooon loooooomoooooon “0

“0

Da beide Summen nach (6.20) verschwinden, sind für die beiden ebenen Wellen die Verschiebungsvektoren orthogonal! D1 ¨ D 2 “ 0

293

6.3 Kristalloptik

6.3.6

Eigenschaften der Schnittellipse

Mit dem Indexellipsoid, dessen Halbachsen durch die Hauptbrechzahlen gegeben sind, gewinnt man eine geometrische Anschauung. Dabei wird die folgende Relation der Konstanten angenommen. εξ ă εη ă εζ

Ñ

n ξ ă nη ă nζ

uξ ą uη ą uζ

(6.21)

Die durch den Wellenvektor k definierte Wellenfront schneidet das dreiachsige Ellipsoid in einer Schnittellipse. Die Halbachsen a, b der Schnittellipse werden berechnet als Extremwertproblem des Längenquadrates r2 “ ξ 2 ` η 2 ` ζ 2 unter den zu erfüllenden Nebenbedingungen, dass die Scheitelpunkte der Ellipse sowohl auf dem Indexellipsoid als auch in der Wellenfront liegen sollen, [1, S. 227], [5, I, S. 438f.], [12, S. 118].

 n B

D2

k n

D1

n 

A

 Indexellipsoid

Schnittellipse

Abb. 6.11: Vektoren der orthogonalen Wellen im Indexellipsoid

294

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Die Gleichung des Indexellipsoids (6.10) wird durch die Hauptlichtgeschwindigkeiten (6.8) ausgedrückt und die zweite Nebenbedingung beschreibt die Ebene der Wellenfront durch den Ursprung nach (5.17, Bd. I), wobei deren Koeffizienten den Richtungscosinus von k nach (6.18) proportional sind. Damit lauten die Nebenbedingungen mit einer beliebigen Konstanten C für ein Indexellipsoid aus der Schar der Tensorflächen u2ξ ξ 2 ` u2η η 2 ` u2ζ ζ 2 “ kξ ξ ` kη η ` kζ ζ “

3 ř “1 3 ř

u2 2 “ C 2

p “ ξ, η, ζq

k “ 0

“1

Nach der Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren soll die Funktion F mit den unbestimmten Faktoren λ1 , λ2 zum Extremum werden. ` ˘ F pξ, η, ζq “ ξ 2 ` η 2 ` ζ 2 ` λ1 u2ξ ξ 2 ` u2η η 2 ` u2ζ ζ 2 ´ C 2 ˘ ` ` λ2 k ξ ξ ` k η η ` k ζ ζ Das Verschwinden der partiellen Ableitungen führt auf drei Gleichungen, BF “0 B

Ñ

` ˘ 2 1 ` λ1 u2 ` λ2 k “ 0

die jeweils mit “ ξ, η, ζ multipliziert und addiert werden, so dass mit den Nebenbedingungen folgt ÿ ÿ ÿ 2 2 `2λ1 u2 2 `λ2 k “ 0 Ñ R 2 ` λ 1 C 2 “ 0    loomoon loooomoooon looomooon “ R2

“ C2

“0

Die Extremwerte R2 bedeuten die Halbachsenquadrate a2 oder b2 der Schnittellipse, sind daher konstant und können dargestellt werden als R2 “

C2 w2

mit

λ1 “ ´

1 w2

Nach Einsetzen in das Ergebnis der partiellen Ableitungen folgt ´ ˘ u2 ¯ 2 ` 2 1 ´ 2 “ 2 w2 ´ u2 “ ´λ2 k w w

(*)

295

6.3 Kristalloptik

Nach Umformung, Multiplikation mit k und Summation über erhält man ´

ÿ ÿ k2 2 k “    w 2 ´ u2 λ2 w2 looomooon  “0

Die linke Summe verschwindet wegen der Nebenbedingung und die rechte Summe ist genau dann Null, wenn man w mit den Lösungen vP h “ v1,2 gemäß der Fresnel’schen Normalengleichung (6.20) identifiziert. Damit sind die Halbachsen a, b der Schnittellipse die Extremwerte R dieser Fläche, die bis auf den unwesentlichen Scharparameter C den reziproken Werten der beiden Phasengeschwindigkeiten proportional sind. c a, b “ ˆ R“

ÿ3 “1

2

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

„ max/min

1 v1,2

1 1 a v1 “ . Weiterhin ergibt die Beziehung (*) und v2 „ folgt b a v2 b mit den Werten w “ v1,2 ,

Für v1 „

´

2 k 2 “ v 2 ´ u2 λ2 v1,2 1,2 

woraus eine Proportion der Koordinaten der Scheitelpunkte S der Schnittellipse folgt, die nach (6.19) ebenso von den Komponenten der Verschiebungsvektoren erfüllt wird. ξS : ηS : ζS “

kξ kζ kη : 2 : 2 “ Dξ : Dη : Dζ 2 2 ´ uξ v1,2 ´ uη v1,2 ´ u2ζ

2 v1,2

Die Richtungen der Vektoren D1 und D2 fallen daher mit den orthogonalen Halbachsen a, b der Schnittellipse zusammen! Da die Schnittellipsen bei beliebig liegenden Wellenvektoren k durch schräge Schnitte durch das Indexellipsoid entstehen, müssen die beiden zugehörigen Feldstärkevektoren E1 und E2 durch die Poinsot’sche Konstruktion mit diesem Ellipsoid bestimmt werden, wobei E1 und E2 normalerweise nicht zueinander orthogonal sind.

296

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Aus Abbildung 6.8 ergeben sich dagegen folgende Orthogonalitäten. # D 1 ¨ E2 “ 0 D 1 ¨ D2 “ 0 Ñ D 2 ¨ E1 “ 0 ˘ ` ˘ ` k ¨ E 1 ˆ H 2 “ k ˆ E1 ¨ H 2 “ 0 ` ˘ ` ˘ k ¨ E2 ˆ H 1 “ k ˆ E2 ¨ H 1 “ 0 Hat der Wellenvektor speziell die Richtung einer Hauptachse “ ξ, η, ζ, dann liegt die zugehörige Schnittellipse in einem der drei Hauptachsenschnitte durch das dreiachsige Indexellipsoid, die durch eine der Koordinatenebenen “ 0 gebildet werden (Abbildung 6.12). Beide dabei auftretenden ebenen Wellen sind Normalmoden mit parallelen Vektoren E und D. Ihre Phasengeschwindigkeiten entsprechen nach (6.8) zwei Hauptlichtgeschwindigkeiten, so dass eine schnelle und eine langsame Welle existiert. Wegen der vorausgesetzten Brechzahlrelation (6.21) gelten folgende Geschwindigkeiten v 1 “ uξ “

c c ą v 2 “ uη “ nξ nη

für

k “ k eζ

mit entsprechenden Werten für die beiden anderen Fälle. Bei Überlagerung beider Wellen durchläuft die Summenfeldstärke bei genügender Kristalldicke alle Polarisationszustände wie im Abschnitt 6.3.4 bereits erörtert.

6.3.7

Kreisschnitte und optische Achsen

Der Hauptschnitt ist derjenige der drei Hauptachsenschnitte, in dem die kleinste und größte Brechzahl liegen. Nach (6.21) ist das in Abbildung 6.12 die Ebene η “ 0. Wenn der Wellenvektor k in der Ebene des Hauptschnittes liegt und einen Winkel χ mit der ζ-Richtung einschließt, dann entstehen als Schnittfiguren zwei symmetrisch liegende Kreisschnitte durch das Indexellipsoid. Dieser Sonderfall stellt eine Entartung dar, weil dann die Phasengeschwindigkeiten der beiden möglichen Wellen identisch sind und, wie später gezeigt wird, der Hauptlichtgeschwindigkeit der η-Richtung entsprechen. Die beiden Richtungen des Wellenvektors bzw. der Normalen der Wellenfronten, die die Kreisschnitte erzeugen, heißen optische Achsen und einen solchen Kristall nennt man zweiachsig oder biaxial. In den besonderen

297

6.3 Kristalloptik

k-Richtungen der optischen Achsen hat die Normalenfläche wegen der gleichen Geschwindigkeiten vier Doppelpunkte, die man auch Nabelpunkte nennt, in denen sich beide Schalen dieser Fläche berühren.





n

n

optische Achsen k

k





n



n





Kreisschnitte

 n



n

 n 





n

Abb. 6.12: Hauptachsenschnitte durch das Indexellipsoid für nξ ă nη ă nζ Bei der biquadratischen Gleichung für die Phasengeschwindigkeit, die aus der Fresnel’schen Normalengleichung (6.20) hervorgeht, verschwindet im Falle der Entartung die Diskriminante und die Gleichung hat eine Doppelwurzel. Für die Untersuchung wird der zweite Summand mit dem Faktor (6.18), der Eins ist, multipliziert.

298

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Die Diskriminante lautet damit ” ` ˘ ` ˘ ` ˘ı2 D “ A2 ´ 4B “ p2 u2η ` u2ζ ` q 2 u2ξ ` u2ζ ` r2 u2ξ ` u2η ” ı` ˘ ´ 4 p2 u2η u2ζ ` q 2 u2ξ u2ζ ` r2 u2ξ u2η p2 ` q 2 ` r2 “ 0 Mit den Abkürzungen, die die Vorzeichen der Relationen (6.21) berücksichtigen, ` ˘ ρ “ p2 u2η ´ u2ζ ą 0 ` ˘ σ “ q 2 u2ζ ´ u2ξ ă 0 ` ˘ τ “ r2 u2ξ ´ u2η ą 0 erhält man für die Diskriminante nach Zwischenrechnung pρ ` σ ´ τ q2 ´ lo4ρσ D “ ρ2 ` σ 2 ` τ 2 ´ 2ρσ ´ 2ρτ ´ 2στ “ loooooomoooooon omoon “ 0 ą0

ă0

Wegen der unterschiedlichen Vorzeichen muss jeder Summand g “ρ`σ´τ “0

und

h “ ρσ “ 0

einzeln Null sein, damit die Diskriminante verschwindet. Aus h “ 0 folgt entweder ρ “ 0. Das bedeutet für g wegen der verschiedenen Vorzeichen σ “ τ “ 0. Da aber nicht alle drei Größen ρ, σ, τ bzw. Richtungscosinus p, q, r gleichzeitig verschwinden können, ist dieser Fall ausgeschlossen! Aus h “ 0 folgt deshalb σ “ 0 und wegen (6.21) q “ 0 und aus g als weitere Folge ρ “ τ bzw. ` ˘ ` ˘ p2 u2η ´ u2ζ “ r2 u2ξ ´ u2η Mit diesem Ergebnis kann man aus (6.20) die Phasengeschwindigkeit berechnen. u2η ´ u2ζ ` 2 ` ˘` ˘ ˘` ˘ vP h ´ u2ξ vP2 h ´ u2η “ 0 p2 vP2 h ´ u2η vP2 h ´ u2ζ ` p2 2 2 uξ ´ uη looooomooooon “ r2

299

6.3 Kristalloptik

Nach Kürzung ergibt sich eine quadratische Gleichung, die sich weiter vereinfachen läßt. ˘` ˘ ` ˘` ˘ ` 2 vP h ´ u2ζ u2ξ ´ u2η ` vP2 h ´ u2ξ u2η ´ u2ζ “ 0 ` ˘ ` ˘ vP2 h u2ξ ´ u2ζ ´ u2η u2ξ ´ u2ζ “ 0 Die Phasengeschwindigkeiten der Wellen beim Kreisschnitt entsprechen der Hauptlichtgeschwindigkeit in η-Richtung. v P h “ uη “

c nη

Die Wellenvektoren der Kreisschnitte liegen, wie anfangs plausibel gemacht, wegen q “ 0 tatsächlich in der pξ-ζq-Ebene. k “ k pp eξ ` r eζ q Für den Winkel χ gegen die ζ-Achse gilt die Relation g f 2 uξ ´ u2η nζ p f e tan χ “ “ “ r nξ u2η ´ u2ζ

g f 2 f nη ´ n2ξ e n2ζ ´ n2η

(6.22)

Hat der Wellenvektor k beim zweiachsigen Kristall die Richtung einer optischen Achse, dann existieren zwei ebene Wellen, bei denen einer der beiden orthogonalen D-Vektoren in Richtung der Hauptachse η liegt.

6.3.8

Strahlklassifizierung

In Abbildung 6.13 hat D1 “ Dη Hauptachsenrichtung und ist daher parallel zu E1 “ Eη . Poynting-Vektor S1 und Wellenvektor k haben die gleiche Richtung und dadurch entsteht der ordentliche Strahl, den man durch den Index o für ordinär kennzeichnet. Dagegen liegt D2 schräg im Indexellipsoid, so dass die zugehörige Feldstärke E2 durch Poinsot’sche Konstruktion bestimmt werden muss. Der Winkel ψ zwischen beiden Vektoren ergibt sich nach (6.14). S2 und k sind nicht parallel, wodurch der außerordentliche Strahl entsteht, den man durch den Index e für extraordinär kennzeichnet.

300

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

  





 



    

  









        



Abb. 6.13: Vektoren beim Kreisschnitt

Wegen der gleichen Phasengeschwindigkeiten beim Kreisschnitt behält eine anfängliche Phasenverschiebung zwischen den Feldstärken E1 und E2 beim Durchgang durch den Kristall den gleichen Wert, so dass sich die Polarisation der Summenfeldstärke E1 ` E2 nicht ändert. Die Klassifizierung beim Kristalldurchgang führt auf drei Fälle, die je nach Lage der Schnittellipse in den Abbildungen 6.11/6.13 möglich sind. • k hat beliebige Richtung hierbei entstehen zwei außerordentliche Strahlen mit verschiedenen Phasengeschwindigkeiten • k ist senkrecht zu einer Hauptachse des Ellipsoids hierbei entstehen ein ordentlicher und ein außerordentlicher Strahl, wobei der Kreisschnitt mit Polarisationserhaltung einen Sonderfall darstellt • k in Richtung einer Hauptachse hierbei entstehen zwei ordentliche Strahlen mit verschiedenen Phasengeschwindigkeiten, es tritt keine Doppelbrechung auf, aber die Polarisation bleibt nicht erhalten

301

6.3 Kristalloptik

6.3.9

Einachsige Kristalle und ihre Klassifizierung

Wie bei Gleichung (6.15) bereits erwähnt, gibt es bei einachsigen Kristallen im Hauptachsensystem nur zwei verschiedene Dielektrizitätskonstanten, so dass die Tensorflächen Rotationsellipsoide sind. Der Sonderfall des Kreisschnitts kann nur auftreten, wenn der Wellenvektor k die Richtung der Rotations- oder ζ-Achse hat. Einachsige Kristalle haben daher nur eine optische Achse, die aus kristallographischer Sicht auch als c -Achse bezeichnet wird, und jede Richtung senkrecht dazu in der pξ-ηq-Ebene, ist Hauptachsenrichtung. 

ne



ne no

no 



positiv

negativ optische Achse





Abb. 6.14: Hauptschnitte einachsiger Indexellipsoide Einachsige Kristalle werden nach dem Verhältnis ihrer Dielektrizitätskonstanten oder Hauptlichtgeschwindigkeiten bzw. der Differenz der Brechzahlen klassifiziert. εξ “ εη “ εK “ εo

εζ “ ε|| “ εe

(6.23)

Damit existieren positive und negative einachsige Kristalle, die sich in ihren Indexellipsoiden unterscheiden.

302

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin • positiv einachsige Kristalle * εo ă εe Ñ uo ą ue , no ă ne

Δn “ ne ´ no ą 0

das Indexellipsoid ist langgestreckt (prolate), die Geschwindigkeit des ordentlichen Strahls ist größer als die des außerordentlichen Strahls, wichtiges Beispiel ist Quarz (SiO2 ) • negativ einachsige Kristalle * εo ą εe Ñ uo ă ue , no ą ne

Δn “ ne ´ no ă 0

das Indexellipsoid ist abgeplattet (oblate), die Geschwindigkeit des ordentlichen Strahls ist kleiner als die des außerordentlichen Strahls, wichtiges Beispiel ist Kalkspat (CaCO3 ) Wellenvektor k und optische Achse spannen eine Ebene auf, die Hauptschnitt heißt. Von den beiden Achsen der zu k gehörigen Schnittellipse liegt eine immer im Hauptschnitt, die andere steht senkrecht auf ihm. Je nach der Richtung des Wellenvektors sind drei Fälle zu unterscheiden. Hat der Wellenvektor beliebige Richtung, dann hat die zum Hauptschnitt senkrechte Halbachse der Schnittellipse die Länge no , in die die parallelen Vektoren Do und Eo zeigen. Sie bilden die Normalmode des ordentlichen Strahls, der senkrecht zum Hauptschnitt polarisiert ist und nach (6.17) die Phasengeschwindigkeit vP h “ uo “ c{no hat. Die zweite Halbachse der Schnittellipse hat einen Brechungsindex nm , der zwischen no und ne liegt. Die Vektoren De und Ee sind nicht parallel und der Winkel ψ zwischen ihnen sowie zwischen S und k ergibt sich nach (6.15). Diese zweite Welle erzeugt den außerordentlichen Strahl, der parallel zum Hauptschnitt polarisiert ist und sich mit der Phasengeschwindigkeit vP h “ um “ c{nm ausbreitet. Weist der Wellenvektor k in ρ-Richtung senkrecht zur optischen Achse, dann gibt es den ordentlichen Strahl wie im ersten Fall mit parallelen Vektoren Do und Eo und zum Hauptschnitt senkrechter Polarisation. Die Vektoren De und Ee sind ebenfalls parallel und zeigen in Richtung der optischen Achse. Die zugehörige Welle ist Normalmode und bildet

303

6.3 Kristalloptik

einen zweiten ordentlichen Strahl mit der extremalen Phasengeschwindigkeit vP h “ ue “ c{ne . Weist der Wellenvektor k in Richtung der optischen Achse, dann entsteht bei einem Rotationsellipsoid der Kreisschnitt. Jede Richtung in der (ξ-η)-Ebene ist dann Hauptachsenrichtung, in der die Vektoren Do und Eo parallel sind. Es gibt daher nur einen ordentlichen Strahl, der senkrecht zur optischen Achse linear polarisiert ist. Der Kristall verhält sich in diesem Fall optisch isotrop! Im Fall der einachsigen Kristalle vereinfacht sich wegen uξ “ uη “ uo die Fresnel’sche Normalengleichung (6.20). ˘` ˘ ` ˘‰` 2 ˘ “` 2 vP h ´ u2o “ 0 p ` q 2 vP2 h ´ u2e ` r2 vP2 h ´ u2o Die Richtungscosinus p, q, r des Wellenvektors k werden durch die Winkelfunktionen des Meridionalwinkels ϑ gegen die ζ-Achse ausgedrückt, p2 ` q 2 “ sin2 ϑ

und

r “ cos ϑ

wodurch die Gleichung in zwei Faktoren zerfällt, ˘ “` 2 ` ‰` ˘ ˘ vP h ´ u2e sin2 ϑ ` vP2 h ´ u2o cos2 ϑ vP2 h ´ u2o “ ` ˘‰` 2 ˘ “ vP2 h ´ u2e sin2 ϑ ` u2o cos2 ϑ vP h ´ u2o “ 0 so dass man die beiden Lösungen der Phasengeschwindigkeit vP h direkt angeben kann. v12 “ u2o v22 “ u2e sin2 ϑ ` u2o cos2 ϑ Die beiden Schalen der Normalenfläche sind eine Kugel vom Radius uo und ein Ovaloid als Fläche 4. Ordnung, die sich auf der Rotationsachse berühren. Das Ovaloid hat in der Äquatorebene den Wert v2 pϑ “ π{2q “ ue . Mit folgendem Quotienten und der bereits bei (6.15) eingeführten Abkürzung q ´ u ¯2 e

uo

“

εo ε K ´ n o ¯2 1 “ “ “ εe ε|| ne q

304

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

erhält man für das Ovaloid die Gleichung c 1 v2 “ sin2 ϑ ` cos2 ϑ uo q In Abbildung 6.15 gehören zum Wellenvektor k, der in eine radiale Richtung unter dem Winkel ϑ zeigt, die in dieser Richtung liegenden Phasengeschwindigkeiten v1 “ uo auf der Kugel und v2 auf einem der Ovaloide. Das Polardiagramm zeigt die auf uo normierten Geschwindigkeiten, wobei die in der Kugel liegenden Ovaloide für positive einachsige Kristalle pq ą 1q, die außen liegenden für negative pq ă 1q gelten.

z

J

r

Abb. 6.15: Zweischalige normierte Normalenfläche bei einachsigen Kristallen Kugel in rot für q “ 1 Ovaloide in blau für q “ 0.25, 0.5, 0.75, 1.333, 2, 4 In der physikalischen Realität treten keine so stark von Eins abweichenden Werte für q wie in den Abbildungen 6.10 und 6.15 auf, die daher mehr der Anschauung und dem prinzipiellen Verständnis dienen. Aus den Brechungsindizes, die bei der D-Linie von Natrium bei 589 nm gemessen werden, ergeben sich für die einachsigen Kristalle Quarz, Kalk-

305

6.3 Kristalloptik

spat und das in der Photonik verwendete Lithium-Niobat folgende Werte für das Verhältnis q “ pne {no q2 . SiO2

q“

´ 1.5533 ¯2

CaCO3

q“

´ 1.4864 ¯2

LiNbO3

q“

1.5442 1.6583 ´ 2.208 ¯2 2.300

“ 1.012

(positiv)

“ 0.803

(negativ)

“ 0.922

(negativ)

Kalkspat hat mit Δn “ ne ´ no “ ´ 0.172 eine im Vergleich zu anderen Kristallen starke Doppelbrechung.

6.3.10

Brechungsgesetze im anisotropen Medium

Die Brechung von Licht an der Grenzfläche zweier Medien wird häufig mit dem Huygens’schen Prinzip erklärt, bei dem die von der einfallenden Wellenfront nacheinander getroffenen Punkte der Grenzfläche als Ausgangspunkte von Elementarwellen im zweiten Medium betrachtet werden, deren gemeinsame Einhüllende wegen der abweichenden Materialeigenschaft eine andere Richtung für die gebrochene Wellenfront hat. Diese Konstruktion ist recht anschaulich und wird daher häufig im Physikunterricht der Schulen als Erklärung herangezogen. Das Huygens’sche Prinzip ist heuristisch und wird der physikalischen Realität nur zum Teil gerecht, da es lediglich die Elementarwellen in Vorwärtsrichtung berücksichtigt und weder die Polarisation noch den Vektorcharakter und die Verhältnisse der Vektoramplituden betrachtet. Durch die Maxwell’sche Theorie und die Eigenschaften der Kristalle muss es ergänzt und an die experimentellen Befunde angepasst werden, [12, S. 128]. Trifft eine ebene Welle aus einem Medium vom Brechungsindex n0 “ 1, das kann Luft oder Vakuum sein, auf einen Kristall K, dann müssen die Phasenfunktionen der einfallenden und der gebrochenen Feldstärkekomponenten an der Grenzfläche übereinstimmen, um die Randbedingungen (5.13) zu erfüllen, [7, S. 110]. Wenn in Abbildung 6.16 der Ursprung in der Grenzfläche mit der Normalen ez liegt, dann muss für z “ 0 in jedem Punkt P prq

306

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

der Grenze zwischen Vakuum pkq und Kristall pkK q für die Phasen gelten ¯ k0 φpz “ 0q “ ωt ´ k ¨ rP “ ω t ´ n ¨ rP ω ´ ¯ ˘ ` kK “ ωt ´ kK ¨ rP “ ω t ´ n K ¨ rP ω ´k ´ ¯ ˘ n nK ¯ ` kK 0 “ rP ¨ d “ 0 rP ¨ n´ n K “ rP ¨ ´ ω ω c vK ´

   

 

         

 

  



  

 







    

Abb. 6.16: Brechung an der Kristalloberfläche Bei gegebenem Vektor k{ω “ n{c der einfallenden Welle muss der gesuchte Vektor nK {vK im Kristall so bestimmt werden, dass der Differenzvektor d orthogonal zu dem in der Grenzfläche liegenden Ortsvektor rP ist. Man findet diesen Vektor in der Abbildung auf folgende Weise. Zu jedem Vektor des Büschels k gehören zwei Lösungen der Fresnel’schen Normalengleichung für die Phasengeschwindigkeit vK . Trägt man die beiden Schalen der inversen Normalenfläche auf, dann findet man die Reziprokwerte 1{v1 und 1{v2 . Eine einfallende Welle erzeugt daher im Kristall zwei gebrochene Wellen in Richtung der Wellenvektoren k1 “ k1 n1 {v1 „ w1 und k2 “ k2 n2 {v2 „ w2 , die die obige Bedingung erfüllen. Gleichzeitig ergeben sich damit auch zwei Lichtstrahlen in den zugehörigen Strahlrichtungen s1 und s2 , wodurch es zum Phänomen der Doppelbrechung kommt.

307

6.3 Kristalloptik

Aus der Randbedingung für z “ 0 folgt mit (6.12) eine Beziehung, bei der man von den Richtungscosinus der Wellenvektoren und ihren Winkeln zu den Ergänzungswinkeln zu 90˝ und den Sinuswerten übergeht. Der Einfallswinkel ϕ und die beiden Brechungswinkel ψ1 und ψ2 treten im Brechungsgesetz traditionell mit Sinusfunktionen auf, das in dieser Form daher nur dann gültig ist, wenn die Winkel gegen das Einfallslot, hier also gegen die z-Achse, gemessen werden! ω ω ω sin ψ1 “ k2 cos α2 “ sin ψ2 k cos α “ sin ϕ “ k1 cos α1 “ c v1 v2 Die Gleichung wird mit c{ω multipliziert, um die Brechungsindizes c{vk nach (5.58) einzuführen, die mit den Sinuswerten der zugehörigen Winkel die numerische Apertur NA definieren. Die Randbedingung an der Grenzfläche der Medien führt auf den Erhaltungssatz der numerischen Apertur, woraus die Brechungsgesetze in der bekannten Form hervorgehen. NA “ n0 sin ϕ “ n1 sin ψ1 “ n2 sin ψ2 “ const. (6.24) n1 v0 sin ϕ “ “ sin ψ1 n0 v1

n2 v0 sin ϕ “ “ sin ψ2 n0 v2

Die Gesetze entsprechen dem Snellius’schen Brechungsgesetz, aber im anisotropen Fall gibt es deutliche Unterschiede. Bei der Fresnel’schen Gleichung bezogen sich die Lösungswerte v1,2 auf die gleiche Richtung von k. Hier müssen für die beim Einfallswinkel ϕ von k nicht richtungsgleichen Wellenvektoren k1 und k2 die zugehörigen Geschwindigkeiten v1,2 ermittelt werden, die andere Werte haben. In der Abbildung ist der Unterschied an den gelben und roten Punkten auf den inversen Normalenflächen zu erkennen.

6.3.11

Lichtdurchgang durch Kristalle

Die Vorstellung einer ebenen Welle, deren Wellenfront senkrecht zur Ausbreitungsrichtung als unendlich ausgedehnt betrachtet wird, ist ein einfach zu handhabendes mathematisches Modell, das der physikalischen Realität aber nicht entspricht, was schon im Zusammenhang mit der Ausstrahlungsbedingung (5.88) erörtert wurde. Bei optischen Experimenten mit sichtbarem Licht werden meist eng begrenzte Lichtstrahlen erzeugt, beeinflusst

308

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

und beobachtet. Trotz des begrenzten Querschnitts des Lichtstrahls macht man dennoch erfolgreich von den Vektoreigenschaften der ebenen Welle Gebrauch. Die Energie der Lichtstrahlen breitet sich in Richtung des Poynting-Vektors S bzw. in Strahlrichtung s aus, die den Weg der Intensität des Lichtes markiert, das von einem Objekt ausgesandt wird. Im Gegensatz zum isotropen Fall stimmt die Strahlrichtung s in anisotropen Medien außer in Sonderfällen nicht mit der Richtung der Wellennormalen k überein, so dass die visuellen Erscheinungen bei Lichtstrahlen in Kristallen anders interpretiert werden müssen. Sind im Kristall zwei verschiedene Richtungen möglich, dann existieren im beliebig polarisierten natürlichen Licht zwei Strahlen, die vom Auge in Verlängerung der Sichtlinien als ein Doppelbild wahrgenommen werden, weshalb man von Doppelbrechung spricht.

z

k



Kristall

n0

k2

x

k1 2

1 Objekt

Doppelbild

Abb. 6.17: Entstehung des Doppelbildes beim Blick auf einen Kristall Kehrt man in Abbildung 6.16 die Ausbreitungsrichtungen um, was bei Lichtstrahlen stets möglich ist, dann gibt Abbildung 6.17 die Erklärung zur Doppelbildentstehung bei einem Objekt, das durch einen Kristall betrachtet wird. Im Diagramm müssten bei Lichtstrahlen an Stelle der Wellenvektoren k1,2 eigentlich die Strahlrichtungen s1,2 verwendet werden, wobei die Brechungswinkel ψ1,2 etwas andere Werte haben, da die Vektoren D und E nur im Sonderfall parallel sind.

309

6.3 Kristalloptik

6.3.11.1

Beispiel Kalkspat

Im Kristallschnitt der Abbildung 6.18 wird der Lichtdurchgang bei einen negativ einachsigen Kalkspatkristall untersucht, bei dem der Hauptschnitt durch das Calzit-Rhomboeder normal zu einem Paar paralleler Flächen verläuft und als Schnittfläche ein Parallelogramm mit den angegebenen Winkeln erzeugt, [7, S. 334]. Legt man den Kristall mit der Fläche A-B auf ein Blatt Papier mit einem schwarzen Punkt, dann besteht das gesehene Bild nach Abbildung 6.17 aus zwei grauen Punkten, da sich die Intensität auf beide Bilder verteilt. Dreht man den Kristall auf der Unterlage, dann bleibt ein Punkt am gleichen Ort, aber der andere bewegt sich kreisförmig um ihn herum. Der stationäre Punkt wird vom ordentlichen Strahl, der wandernde vom außerordentlichen Strahl gebildet.

A 109°

e-Strahl  k

o-Strahl optische Achse B 71°

Abb. 6.18: Lichtstrahlverlauf und Polarisation im Hauptschnitt eines Kalkspatkristalls Polarisation bezüglich der Zeichenebene senkrecht durch Punkte, parallel durch Striche

310

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Die Erklärung für die Brechung der Lichtstrahlen an der Eintrittsfläche sowie deren Strahlverlauf erfolgt mit Hilfe des bei Kalkspat abgeplatteten Indexellipsoids. Ordentlicher o-Strahl und außerordentlicher e-Strahl haben im Kristall unterschiedliche Strahlrichtungen so und se und beide sind orthogonal zueinander polarisiert.  optische Achse Indexellipsoid



ne k E o , Do

Ee 

De

no

 Ee se

Spurkurve der Schnittellipse

e

Eo o

e-Strahl

so o-Strahl

Abb. 6.19: Strahlrichtungen und Polarisationen im Kalkspatkristall Nach den Beziehungen (5.58) und (5.61) gilt in einem Medium, vP h “ λ f “

c n

woraus mit der Brechzahlrelation no ą nm ą ne im dargestellten Kalkspatkristall für Phasengeschwindigkeiten ebener Wellen folgt λo nm vP ho “ “ ă 1 vP he λm no Gleichphasige Wellenfronten haben nach Abbildung 6.8 im o-Strahl den Abstand λo , im e-Strahl dagegen λm “ λo { cos ψm mit dem Winkel ψm nach (6.15). Die Strahlgeschwindigkeiten haben für den o-Strahl mit parallelen

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

311

Vektoren k und so den Wert vSo “ vP ho “ c{no und für den e-Strahl mit verschieden gerichteten Vektoren k und se den Wert v Se “

vP he c no 1 “ vP ho “ ą v So cos ψe nm cos ψe nm cos ψe

Für die Parameter des e-Strahls ist also die von der k-Richtung abhängige Brechzahl nm und nicht das Minimum ne maßgebend! Für negativ einachsige Kristalle wie Kalkspat stellt der e-Strahl die schnelle, der o-Strahl die langsame Welle dar. Bei einer k-Richtung senkrecht zur optischen Achse wird der e-Strahl zum zweiten ordentlichen Strahl. Beide Strahlen haben den größten Geschwindigkeitsunterschied, aber die Strahlaufspaltung ist Null, da der Winkel ψ zwischen De und Ee bzw. k und se verschwindet. Die in Abbildung 6.19 bei Kalkspat mit q “ 0.803 nach (6.16) maximal auftretende Strahlaufspaltung von ψmax “ 6.27˝ wird erreicht für den Winkel ϑDmax “ 48.14˝ zwischen optischer Achse und Vektor D bzw. ϑmax “ 41.86˝ zwischen optischer Achse und Wellenvektor k. Dieses Maximum ist beim dargestellten Kristallschnitt des Spaltrhomboeders der Abbildung 6.18 nahezu gegeben, wobei die Aufspaltung der Deutlichkeit halber übertrieben dargestellt wurde. Bei Quarz mit q “ 1.012 erreicht die maximale Strahlaufspaltung nur den geringen Wert von ψmax “ 0.34˝ bei ϑmax “ 45.17˝ und kann deshalb nicht so einfach beobachtet werden.

6.4 6.4.1

Magnetische Eigenschaften der Materie Elementarmagnete in Festkörpern

Innerhalb der Materie existieren Elementarmagnete auf Grund von Drehimpulsen, die jeweils magnetische Dipole erzeugen. Dabei handelt es sich um den Kernspin von Atomkernen, den Elektronenspin der Elektronen sowie den Bahndrehimpuls der umlaufenden Elektronen. Allerdings bedarf die klassische Vorstellung des Drehimpulses bei Kern- und Elektronenspin einer tiefer gehenden quantenmechanischen Erklärung, auf die hier nicht eingegangen werden kann. Die auf das Volumen bezogene vektorielle Summe aller magnetischen Dipolmomente ergibt die Dipoldichte oder Magnetisierung M als Eigenschaft des Mediums, bei der die klassische Betrachtungsweise wieder gül-

312

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

tig ist. Durch ein äußeres homogenes Magnetfeld He , das deshalb auch als Erregung bezeichnet wird, können die weitgehend regellos verteilten Dipolmomente in eine Vorzugsrichtung gebracht werden, was man bei isotropen Stoffen mit der Suszeptibilität χ in folgender Weise beschreibt. M “ χ He Die im Vakuum oder im freien Raum von einer magnetischen Feldstärke He hervorgerufene Induktion B erfüllt nach (5.7) die folgende Beziehung B “ μ 0 He Die Magnetisierung des Mediums bewirkt eine Erhöhung der Induktion, ` ˘ B “ μ0 He ` M “ μ0 p1 ` χq He “ μ0 μr He

(6.25)

wobei die dimensionslose Suszeptibilität χ “ μr ´ 1 den Einfluss der Materie berücksichtigt. Bei Festkörpern ist der Zusammenhang zwischen Magnetisierung und Feldstärke normalerweise eine anisotrope Materialeigenschaft, die durch den Suszeptibilitätstensor 2. Stufe beschrieben wird. M “ χ ¨ He

6.4.2

(6.26)

Drehimpulse des Elektrons

Bei der Untersuchung von Kanalstrahlen gelang Joseph John Thomson (1856 -1940) im Jahre 1897 die Entdeckung des Elektrons und die Bestimmung der spezifischen Ladung als Quotient aus Elementarladung und Masse des Elektrons aber nicht der Einzelgrößen selbst, wofür er 1906 den Nobelpreis für Physik erhielt. As e “ 1.759 ¨ 1011 me kg

As m/s2 Hz “ “ kg V/m T

(6.27)

Auf Grund der Dimension entspricht das auch einer Beschleunigung, die von einer elektrischen Feldstärke hervorgerufen wird, oder einer Frequenz pro Induktionsstärke in Tesla.

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

313

Der Bahndrehimpuls Le eines Elektrons, das um die z-Achse auf einem Kreis vom Radius r mit der Winkelgeschwindigkeit ω umläuft, hat nach (3.28) und (5.36, Bd. I) den Wert L e “ L e e z “ Θ ω e z “ me r 2 ω e z “ me v r e z Im Abschnitt 10.5 werden die Bahnradien des Elektrons abgeleitet. Aus dem Vergleich mit dem Radius für den Grundzustand des Atoms nach (10.22) r“

h  “ 2π me v me v

ergibt sich der Bahndrehimpuls des Elektrons, der dem Planck’schen Wirkungsquantum (10.20) entspricht. Le “ me v r “

h “ 2π

Aus v “ r ω “ 2πr{T berechnet man den Kreisstrom I, den das bewegte Elektron mit negativer Elementarladung darstellt. I“

v Q “ ´e T 2πr

Das magnetische Dipolmoment mB nach (5.22), das beim Elektron Bohr’-sches Magneton genannt wird, lautet mB “ IA ez “ ´

ev e e me v r ez “ ´ Le πr2 ez “ ´ 2πr 2me 2me

Wegen der negativen Ladung des Elektrons sind Dipolmoment mB und Bahndrehimpuls Le entgegengesetzt gerichtet. mB “ ´

e  Le 2 me 

(6.28)

Das Bohr’sche Magneton mit der Dimension Am2 “ J/T = Ws/(Vs/m2 ) ist die kleinste Einheit des magnetischen Dipolmomentes elektronischen Ursprungs mit dem Wert | mB | “

e “ 9.275 ¨ 10´24 Am2 2 me

(6.29)

314

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Nach der Quantentheorie ist der Eigendrehimpuls oder Elektronenspin se nur halb so groß wie der Bahndrehimpuls Le , so dass die Beziehung zwischen Dipolmoment und Spin des Elektrons lautet mB “ ´

e se me

se “

1 1 Le “  2 2

(6.30)

Drehimpulse im atomaren Bereich sind stets halb- oder ganzzahlige Vielfache des Wirkungsquantums , das die Dimension Ws2 “ Js hat, und der Drehimpulsvektor kann im Raum nur diskrete, gequantelte Richtungen annehmen. Beim Elektron sind Bahnmoment und Spinmoment gleich groß und haben den Wert eines Bohr’schen Magnetons. Der Spin von Atomkernen oder Kernspin wird durch die gleiche semiklassische Darstellung wie bei Elektronen beschrieben und technische Anwendungen werden im Abschnitt 6.4.12 erörtert. Protonen, Neutronen und Elektronen als Bausteine der normalen Materie besitzen den gleichen Eigendrehimpuls oder Spin der Größe {2. Elementarteilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen, die einen Teil im Standardmodell der Elementarteilchenphysik in Abbildung 10.5 ausmachen. Die Bahnmomente bei Festkörpern sind normalerweise an das Kristallgitter gekoppelt, so dass ein äußeres Feld bei ihnen keine Ausrichtung bewirken kann. Da Protonen nach (10.16) eine 1836-fach größere Masse als Elektronen besitzen, ist das magnetische Dipolmoment des Kernspins oder Kernmoment entsprechend kleiner und trägt zur Magnetisierung bei Kristallen und Festkörpern praktisch nicht bei. Das Verhalten von Medien bei der Magnetisierung nach (6.26) wird durch die Spinmomente der Elektronen bestimmt, deren Kopplung bei den Atomen im Festkörper sehr gering ist. Para- und Diamagnetismus sind daher ausgesprochene Eigenschaften der einzelnen Atome. Der Paramagnetismus eines Mediums beruht auf unkompensierten magnetischen Momenten in der Elektronenhülle der Atome, die durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet werden können. Die Vektoren M und He sind dabei gleichgerichtet und die Suszeptibilität χ ist positiv. Paramagnetische Stoffe bilden nur eine sehr geringe Magnetisierung aus und weisen eine

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

315

Permeabilitätszahl μr wenig über Eins auf. Eine Erhöhung der Temperatur verstärkt die Wärmebewegung im Kristall und wirkt der Ausrichtung der Spinmomente durch ein äußeres Magnetfeld entgegen. Oberhalb einer bestimmten Temperatur, der Curie-Temperatur, sind zuvor ausgerichtete Spinmomente wieder statistisch verteilt und der Magnetisierungseffekt verschwindet. Bei Atomen mit abgeschlossenen Elektronenschalen kompensieren sich die magnetischen Momente. Denn nach dem Pauli-Prinzip kann kein Elektronenzustand, der durch die verschiedenen Quantenzahlen bestimmt wird, doppelt besetzt werden, wodurch Konfigurationen mit gleichgerichteten Spins in einer abgeschlossenen Elektronenschale ausgeschlossen sind. Der Magnetisierungsvektor M ist der Erregung He entgegengerichtet und die Suszeptibilität χ ist negativ aber sehr klein. Dieses Materialverhalten wird als Diamagnetismus bezeichnet, [6, S. 108], [8, S. 229].

6.4.3

Ferromagnetische Materialien

Übergangselemente der Nebengrupen des Periodensystems haben eine Besonderheit bei der Besetzung der Elektronenschalen, indem energetisch höher liegende Schalen eher als darunter liegende besetzt werden. Dadurch haben die Spinmomente der Elektronen in den unvollständig besetzten inneren Schalen durch quantenmechanische Wechselwirkung eine Tendenz zu spontaner Magnetisierung durch parallele Ausrichtung der Dipolmomente im Kristallgitter. Bei ferromagnetischen Kristallen, zu denen Eisen, Kobalt und Nickel der achten Nebengruppe sowie besondere Legierungen gehören, entstehen dadurch räumlich durch Bloch-Wände begrenzte Bereiche, sog. magnetische Domänen oder Weiß’sche Bezirke, mit jeweils gleicher Orientierung der Dipolmomente, die eine räumliche Ausdehnung im Bereich von 1 .. 100 μm haben. Der Ferromagnetismus ist dadurch eine Kristalleigenschaft, [6, S. 465]. Im unmagnetisierten Zustand kompensieren sich die Momente der Weiß’schen Bezirke, können aber durch ein angelegtes, äußeres Magnetfeld ausgerichtet werden. Die resultierende Magnetisierung des gesamten Materials wird viel stärker als beim Paramagnetismus und führt zu hohen Werten von μr “ 103 .. 105 der relativen Permeabilität bzw. Suszeptibilität. Ferromagnetische Materialien zeigen ein nichtlineares, magnetisches Verhalten, wodurch die Permeabilitätszahl μr von der Induktion B ab-

316

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

hängt. Bei Verschwinden der magnetischen Erregung He gehen die Elementardipole nicht vollständig in ihre regellose Ausgangslage zurück, so dass eine materieeigene Magnetisierung in gewisser Stärke erhalten bleibt. Nach der Stärke dieses Eigenfeldes unterscheidet man zwischen hart- und weichmagnetischer Materie. Die maximal mögliche Sättigungsmagnetisierung nimmt mit steigender Temperatur ab und oberhalb der Curie-Temperatur, die bei Eisen bei 1043 K oder 770˝ C liegt, wird der Kristall wieder unmagnetisch. Messungen an ferromagnetischen Einkristallen haben ergeben, dass die magnetische Mindestfeldstärke zum Erreichen der Sättigungsmagnetisierung wegen der Anisotropie von der Richtung im Kristall abhängt. Ferromagnetische Festkörper besitzen jeweils unterschiedliche Kristallrichtungen leichter und schwerer Magnetisierung, bei denen die Sättigung bereits mit niedrigen bzw. erst mit hohen Feldstärken erreicht wird. Da ferromagnetische Festkörper metallisch sind, besitzen sie eine gute Leitfähigkeit. Bei Wechselstromanwendungen entstehen dadurch in den aus solchen Materialien bestehenden Kernen von Spulen, Transformatoren oder elektrischen Maschinen, die einen hohen magnetischen Fluss Ψm führen, Wirbelstromverluste, die man durch technische Maßnahmen wie Aufbau aus gegeneinander isolierten Blechen, sog. geblechten Kernen, vermindert. Das Verhalten ferromagnetischer Werkstoffe wird durch die nichtlineare und nichteindeutige Magnetisierungskennlinie B “ f pHq beschrieben. Zunächst wird bei ursprünglich unmagnetisierten Festkörpern von H “ 0 an die Neukurve bis zur Sättigung bei technisch relevanten Werten HS und BS durchlaufen, von wo ab nur noch eine sehr geringe Steigerung der Magnetisierung wie im freien Raum möglich ist. Vermindert man die Feldstärke wieder auf H “ 0, bleibt eine remanente Induktion oder Remanenz Br bestehen, die erst durch Umkehrung der Erregung bis zur Koerzitivfeldstärke H “ ´Hc zur Induktion B “ 0 führt. Durch weitere Absenkung von H erreicht man die Sättigung in umgekehrter Richtung. Steigert man die Feldstärke wieder von ´HS auf `HS , wird ein punktsymmetrisch liegender Ast der Magnetisierungskennlinie oder Hystereseschleife durchlaufen. Pendelt die magnetische Feldstärke bei Wechselstrom periodisch zwischen den extremalen Werten `HS und ´HS , dann wird die Hystereseschleife entsprechend oft auf dem oberen und unteren Kennlinienast durchlaufen.

317

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

B BS Br  HS

 Hc

Hc

HS

H

Br  BS

Abb. 6.20: Magnetisierungskennlinie Neukurve in rot Der Flächeninhalt eines vollständigen Umlaufs der Magnetisierungskennlinie M ¿ wv “ BpHq dH M

entspricht einer Energiedichte nach (5.31), die den Verlust durch Ummagnetisierung darstellt und damit ein Maß für die Hystereseverluste im Material ist. Materialien mit kleinen Werten von Br und Hc werden als weichmagnetisch bezeichnet. Da ihre Hystereseschleifen schmal sind und nur geringe Hystereseverluste verursachen, werden sie bei Wechselstromanwendungen für Spulenkerne und Transformatorbleche im Niederfrequenzbereich eingesetzt. Durch bestimmte Wärmebehandlungen und Walzbedingungen kann man bei weichmagnetischem Material eine Kornorientierung oder Textur erreichen, bei der die überwiegende Anzahl der Kristallkörner oder Kristallite eine Vorzugsorientierung in Richtung des bei der Anwendung wirkenden Ma-

318

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

gnetfeldes besitzt. Solche kornorientierten Bleche werden beim Aufbau von Transformatorkernen eingesetzt. Die höchsten Werte der Permeabilitätszahl und damit der größten Steigung μr „ dB{dH werden bei bestimmten Eisen-Nickel-Legierungen mit hohem Nickelanteil erreicht (Permalloy, Mumetall). Zu dünnen Blechen ausgerollt wird Mumetall als hochpermeabler Werkstoff eingesetzt, um elektronische Geräte vor magnetischen Streufeldern abzuschirmen. a)

B

b)

H

B

c)

B

H

H

Abb. 6.21: Hystereseschleifen ferromagnetischer Werkstoffe a) weichmagnetisch b) hartmagnetisch c) hartmagnetisch für Speicherzwecke Materialien mit großen Werten von Br und Hc werden als hartmagnetisch bezeichnet, die wegen des großen Flächeninhaltes ihrer Hystereseschleifen für Permanentmagnete und zur Informationsspeicherung verwendet werden. Permanentmagnete mit relativ hohen Werten für Remanenz und Koerzitivfeldstärke wurden anfänglich aus Legierungen von Aluminium, Nickel und Kobalt (AlNiCo) hergestellt. Seit den 1980er Jahren werden Elemente aus der Gruppe der Seltenerdmetalle oder Lanthanoide verwendet, die entgegen ihrer Bezeichnung nicht so selten in der Erdkruste vorkommen. Die häufigsten und stets gesinterten Seltenerdmagnete bestehen aus SamariumKobalt oder Neodym-Eisen-Bor und weisen weitaus höhere Werte von Br und Hc auf als alle bisherigen Permanentmagnete. Wegen der viel höheren resultierenden Energiedichten konnte man auch das erforderliche Magnetvolumen erheblich reduzieren.

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

319

Allgemeine Darstellungen der magnetischen Eigenschaften von Werkstoffen findet man z.B. in [8, Kap. 12], [11, Kap. 8].

6.4.4

Eigenschaften der Ferrite

Ferrite sind fast ausnahmslos aus Metalloxiden gesinterte, keramische Materialien, die in ihrer Zusammensetzung homogen sind aber durch die Spins ihrer Elektronen und durch äußere erregende Magnetfelder anisotrope Eigenschaften aufweisen. Ferrimagnetische Materialien zeigen ein ähnliches Verhalten wie ferromagnetische. Innerhalb von Domänen sind die Spinmomente aber teilweise antiparallel ausgerichtet mit einem insgesamt vorhandenen Nettoeffekt der spontanen Magnetisierung, der aber kleiner als bei ferromagnetischen Substanzen ist. Durch ein äußeres homogenes Magnetfeld kann man eine globale, einheitliche Orientierung der Nettomagnetisierung aller Domänen erreichen. Ferrimagnetische Materialien verfügen sowohl über ein Hystereseverhalten, das bei entsprechenden Materialien weich- oder hartmagnetisch ist, als auch über eine Curie-Temperatur, oberhalb der sie wieder unmagnetisch werden. Ein künstlich hergestellter ferrimagnetischer Kristall ist Yttrium-EisenGranat (YIG, Yttrium Iron Garnet), der als Mikrowellenferrit, Resonator oder als YIG-Filter in der Hochfrequenztechnik eingesetzt wird. Alle anderen Ferrite bestehen aus dem ferrimagnetischen, keramischen Material Eisenoxid und weiteren Oxiden der Metalle (Me) Mn, Co, Ni, Zn u.a. mit der Zusammensetzung MeO¨Fe2 O3 oder MeO¨Fe3 O4 . Die Herstellung dieser Ferrite erfolgt pulvermetallurgisch, wobei durch komplexe Press-, Sinter- und Temperaturvorgänge optimale Eigenschaften und Formen für den technischen Einsatz erreicht werden. Die relativen Dielektrizitätskonstanten εr haben Werte von 10 .. 15. Hartmagnetische Ferrite wie Barium-Ferrit finden als kostengünstige Permanentmagnete Verwendung, aber sie haben kleinere Koerzitivfeldstärken und Remanenzen als metallische und erst recht Seltenerdpermanentmagnete, so dass sie eine deutlich geringere magnetische Energiedichte aufweisen. Im Gegensatz zu den metallischen ferromagnetischen Materialien weisen keramische Ferrite hohe spezifische Widerstände von 103 .. 108 Ωm auf. Wegen ihrer sehr geringen Wirbelstromverluste werden weichmagnetische Ferrite als Kerne in Spulen, Schaltnetzteilen und vielen Bauelementen der

320

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Hochfrequenz- und Mikrowellentechnik bis in den Gigahertzbereich eingesetzt. Der hohe spezifische Widerstand bzw. die geringe Leitfähigkeit κ des Ferritmaterials haben eine große Eindringtiefe δ zur Folge, c 2 δ“ ωκμ so dass erregende Magnetfelder selbst bei sehr hohen Frequenzen ω das gesamte Bauelement durchdringen und eine vollständige Magnetisierung des Volumens erzeugen.

6.4.5

Bewegungsgleichung und Magnetisierung

Ein konstantes Induktionsfeld B übt auf das durch den Elektronenspin se erzeugte Dipolmoment mB nach (5.24) ein Drehmoment MD aus, das nach dem Drallsatz (3.9) der zeitlichen Änderung des Eigendrehimpulses des Elektrons entspricht. mB ˆ B “ MD “

dse dt

Mit (6.30) folgt daraus nach Multiplikation mit der spezifischen Ladung (6.27) bei z-gerichteter Induktion dmB eB e dse e mB ˆ B “ ez ˆ m B “´ “´ dt me dt me me Bilden Dipolmoment und Induktion einen Winkel ϑ, dann führt das Elektron wie bei einem Kreisel eine Präzession um B mit dem Rotationsvektor  L aus, dessen Betrag Larmor-Frequenz heißt. Die Bewegungsgleichung ω des präzessierenden Dipolmomentes entspricht der vektoriellen Differentialgleichung (5.37, Bd. I) und ihrer Lösung. dmB  L ˆ mB “ω dt

ωL “

eB me

(6.31)

Bei konstanter Induktion B bewegt sich das Dipolmoment des Elektrons im Sinne einer Rechtsschraube gleichmäßig auf einem Kegelmantel vom Öffnungswinkel ϑ um den Feldvektor und mit Umkehrung des Magnetfeldes kehrt sich auch der Drehsinn um.

321

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

L B

ez

d mB dt L e

mB  me

se Abb. 6.22: Präzession des Elektrons im Magnetfeld Da die Summe der Dipoldichte mB {v im Volumen dem Magnetisierungsvektor M entspricht, kann man schreiben e ´ ÿ mB ¯ e d ´ ÿ mB ¯ dM M ˆB “ “´ ˆB “´ dt v dt me v me Mit Permeabilitätskonstante (5.8) und spezifischer Ladung (6.27) definiert man das gyromagnetische Verhältnis. Γ “ μ0

m e “ 0.221 MHz me A

(6.32)

Ersetzt man B nach (6.25), dann ergibt sich der Zusammenhang zwischen Magnetisierung M und erregender Feldstärke He . ` ˘ e dM e M ˆ B “ ´ μ0 M ˆ He ` M “´ dt me me

322

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

dM e B ˆ M “ ´ Γ M ˆ He “ dt me

(6.33)

Bei Gleichfelderregung beschreibt diese vektorielle Differentialgleichung die ungestörte und daher unaufhörliche Präzessionsbewegung der Elektronen im Ferritmaterial. Wirken neben dem Gleichfeld zusätzlich kleine magnetische Wechselfelder, so führt die Magnetisierung Zwangsbewegungen der Präzession aus, die auf den Suszeptibilitätstensor führen. In der Realität existiert in jedem Material eine unvermeidliche Dämpfung durch Energieverluste, die eine ungestörte Bewegung verhindert. Die Berücksichtigung der Dämpfung erfolgte zuerst nach einem Ansatz von Landau und Lifschitz (1935), die einen Term R mit einem dimensionslosen Dämpfungskoeffizienten α einführten, [13, S. 61], der durch Verkleinerung des Kegelwinkels ϑ den präzessierenden Vektor M in Richtung von B bzw. He dreht und damit das Drehmoment verringert. Eine anfängliche Präzession mit dem Startwinkel ϑ0 würde nach einer von der Dämpfung bestimmten Relaxationszeit den Winkel ϑ “ 0 erreichen und daher zum Erliegen kommen. Damit eine Präzession stattfinden kann, muss durch eine Störung oder Anregung also zunächst eine Auslenkung aus der Ruhelage ϑ “ 0 erfolgen. ˘ ` α dM “ ´ Γ M ˆ He ` R “ ´ Γ M ˆ He ´ Γ M ˆ M ˆ He |M | dt Die folgende modifizierte Form der Bewegungsgleichung der Magnetisierung wurde von Gilbert vorgeschlagen, [3, S. 454], [13, S. 63]. dM dM α Mˆ “ ´ Γ M ˆ He ` |M | dt dt

(6.34)

Der Dämpfungskoeffizient der Ferrite ist klein und weist Werte im Bereich von α “ 0.01 .. 0.1 auf. Aus der Bewegungsgleichung folgt wegen der verschwindenden Spatprodukte, dass der Magnetisierungsvektor mit konstantem Betrag präzessiert. dM d 2M ¨ Ñ M 2 “ M 2 “ const. “ M2 “ 0 dt dt Das ist der Grund, warum in graphischen Darstellungen von Präzessionsbewegungen die Spur der Spitze des Magnetisierungsvektors auf einer Kugel liegt, obwohl das meist weder erwähnt noch begründet wird.

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

6.4.6

323

Permeabilitätstensor der Ferrite

Der Ferrit möge sich in einem erregenden Magnetfeld He befinden, dessen z-gerichteter Gleichanteil H0 die Sättigungsmagnetisierung M0 erzeugt und dem eine kleine harmonische Wechselkomponenten H„ der Zeitabhängigkeit e jωt überlagert ist. Für Feldstärke und Magnetisierung gelten dann, [3, S. 450], [15, S. 228], H e “ H 0 ` H „ “ H 0 ez ` H „

mit

| H „ | ! H0

M “ M0 ` M„ “ M0 ez ` M„

mit

| M„ | ! M 0

Beim Einsetzen in (6.34) ist die Ableitung des Gleichanteils Null und das Produkt der Wechselanteile wird bei der Kleinsignalbeschreibung als unbedeutende Größe vernachlässigt. In komplexer Darstellung erhält man dann die Vektorform ` ˘ ` ˘ ˘ α ` M0 ` M„ ˆ M„ jω M„ “ ´ Γ M0 ` M„ ˆ H0 ` H„ ` jω |M | ˘ ` M0 “ ´ Γ ez ˆ M0 H„ ´ H0 M„ ` jωα ez ˆ M„ | oM lo moo|n «1

Mit dem gyromagnetischen Verhältnis (6.32) und den Gleichgrößen von erregender Feldstärke und Sättigungsmagnetisierung werden folgende Frequenzen definiert. ω0 “ ΓH0

ωM “ ΓM0

(6.35)

Dabei entspricht ω0 der Larmor-Frequenz nach (6.31) des frei im Magnetfeld B0 “ μ0 H0 präzessierenden Elektrons. Aus der Vektorgleichung ` ˘ jω M„ “ ´ ωM ez ˆ H„ ` ω0 ` jωα ez ˆ M„ erhält man das Gleichungssystem für die Wechselkomponenten, ` ˘ jω Mx “ ` ωM Hy ´ ω0 ` jωα My ` ˘ jω My “ ´ ωM Hx ` ω0 ` jωα Mx jω Mz “ 0

324

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

dessen Matrixform für x- und y-Komponenten ˜ ˘¸ ˜ ¸ ˜ ` 0 Mx jω ` ω0 ` jωα ˘ ` “ jω My ´ ωM ´ ω0 ` jωα unter Anwendung von (3.22, Bd. I) gelöst wird. ˜` ˜ ¸ ˘ Mx ω0 ` jωα ωM 1 “` ˘2 ´ jω ωM My ω0 ` jωα ´ ω 2

` ωM 0

¸˜

` jω ωM ˘ ` ω0 ` jωα ωM

Hx Hy

¸˜

¸

Hx Hy

¸

Damit erhält man die vollständige Lösung für alle drei Wechselkomponenten mit der Matrix des schiefsymmetrischen Suszeptibilitätstensors χ, die der Beziehung (6.26) entspricht. ¨ ˛ ¨ ˛ Mx Hx ˚ ‹ ˚ ‹ M „ “ ˝ My ‚ “ χ ˝ H y ‚ “ χ H „ Mz Hz ˛¨ ˛ ¨` ˘ Hx ω0 ` jωα ωM ` jω ωM 0 ˘ ` 1 ‹˚ ‹ ˚ ´ jω ωM ω0 ` jωα ωM 0 ‚˝Hy ‚ “` ˝ ˘2 ω0 ` jωα ´ ω 2 0 0 0 Hz Da die z-Komponente von H„ keinen Einfluss auf die Magnetisierung hat, wird das Wechselfeld normalerweise orthogonal zum Gleichfeld angeregt, also H0 ¨ H„ “ 0 , bzw. Hz “ 0 . Die Magnetisierung wird in (6.25) eingesetzt und der Spaltenvektor der Induktion lautet dann ¨ ˛ B x„ “ ‰ B “ ˝By„ ‚ “ μ0 H0 ` M0 ` H„ ` M„ B z“ »¨ ˛ ¨ ˛ ¨ ˛ ¨ ˛fi 0 0 Hx Hx “ μ0 –˝ 0 ‚` ˝ 0 ‚` ˝Hy ‚` χ ˝Hy ‚fl 0 0 H0 M0 Damit erhält man den Zusammenhang zwischen Induktion und erregender Feldstärke mit Wechselkomponenten in x- und y-Richtung und Gleichkomponenten in z-Richtung. ¨ ¨ ˛ ˛ B x„ H x„ B “ ˝By„ ‚ “ μ ˝ Hy„ ‚ “ μ H err H 0 ` M0 B z“

325

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

Zur Abkürzung führt man die Permeabilitäten ein, μ1 “ μ0

„

˘ j ω0 ` jωα ωM 1` ` ˘2 ω0 ` jωα ´ ω 2 `

μ2 “ μ0 `

ω ωM ˘2 ω0 ` jωα ´ ω 2

(6.36) die die Komponenten des schiefsymmetrischen Permeabilitätstensors μ bilden, der bereits 1949 von Polder angegeben wurde und daher auch als Polder-Tensor bezeichnet wird. ˛ μ1 ` jμ2 0 μ1 0 ‚e μ “ eT μ e “ eT ˝´ jμ2 0 0 μ0 ¨

(6.37)

Wenn man das magnetische Gleichfeld umkehrt, dann ergibt sich die inverse Vormagnetisierung und man erhält bei äquivalenter Rechnung das gleiche μ1 aber ein negatives μ2 ! H 0 “ ´ H 0 ez M0 “ ´ M0 ez

+

# Ñ

pinvq

“ ` μ1

pinvq

“ ´ μ2

μ1 μ2

(6.38)

Im dämpfungslosen Fall mit α “ 0 haben die Permeabilitäten (6.36) im Resonanzfall, wenn die erregende Frequenz ω des Wechselfeldes mit der Larmor-Frequenz ω0 der Gleichfelderregung übereinstimmt, eine Polstelle oder Singularität, so dass mit μ1 und μ2 auch die Induktionskomponenten Bx„ und By„ unendlich groß würden. In der Realität können sie dagegen nur große, aber endliche Werte erreichen, da unvermeidliche Dämpfungen und Nichtlinearitäten des Materials ein beliebiges Anwachsen verhindern.

6.4.7

Ebene Wellen im Ferrit

Die Untersuchung der ausbreitungsfähigen Wellen in einem Ferrit, der wie beschrieben durch Gleich- und Wechselfeld magnetisiert ist und für den der Permeabilitätstensor (6.37) gilt, geht aus von den quellenfreien Maxwell’schen Gleichungen im nichtleitenden Medium für sinusförmige Zeitabhängigkeit der Wechselgrößen. rot rot H “ jωε rot E “ ω 2 ε B “ ω 2 ε μ ¨ H

326

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Ebene Wellen, die durch ein transversales Wechselfeld angeregt werden und sich in z-Richtung ausbreiten, ˘ ` H “ Hx ex ` Hy ey “ A ex ` B ey e jpωt´kz zq erfüllen folgende Bedingungen. B B “ “0, Bx By

B “ ´ jkz Bz

Die vektorielle Differentialgleichung reduziert sich nach (18.43, Bd. I) auf, rot rot H “ ´

` ˘ B 2 Hy B 2 Hx ex ´ ey “ kz2 A ex ` B ey e jpωt´kz zq 2 2 Bz Bz

“ kz2 H “ ω 2 ε μ ¨ H woraus folgende Bedingungen für die Komponenten in x- und y-Richtung folgen. kz2 A “

ω 2 μ1 ε A ` jω 2 μ2 ε B

kz2 B “ ´ jω 2 μ2 ε A ` ω 2 μ1 ε B Aus beiden Gleichungen wird der Quotient B{A gebildet, B k 2 ´ ω 2 μ1 ε ´ jω 2 μ2 ε “ z 2 “ 2 A jω μ2 ε k z ´ ω 2 μ1 ε aus dem sich zwei Lösungen für kz für die Ausbreitung in positiver zRichtung ergeben, in die Summe und Differenz der Permeabilitäten eingehen. ˘2 ` ˘2 + ` 2 a k z ´ ω 2 μ1 ε “ ω 2 μ2 ε Ñ kz˘ “ ω pμ1 ˘ μ2 q ε kz2 ´ ω 2 μ1 ε “ ˘ ω 2 μ2 ε Der Quotient wird mit diesem Ergebnis imaginär, die Beträge der Feldstärkekomponenten sind also gleich groß, Hy B ´ jω 2 μ2 ε “ “ “ ¯j Hx A ˘ ω 2 μ2 ε

Ñ

ˆ |A| “ |B | “ H

327

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

so dass sich die folgenden magnetischen Feldstärken ergeben. ˘ ` ˆ ex ¯ j ey e jpωt´kz˘ zq H p˘q pz, tq “ H

(6.39)

Im vormagnetisierten Ferrit sind damit zwei ausbreitungsfähige Wellen H p`q und H p´q möglich, die jeweils aus der Überlagerung zweier orthogonaler ebener Wellen mit gleichen Amplituden aber Phasenverschiebungen von π{2 bestehen. Die beiden Teilwellen sind räumlich wie zeitlich in Quadratur und bilden zwei gegenläufig zirkular polarisierte Wellen, die sich mit verschiedenen Ausbreitungskonstanten in z-Richtung fortpflanzen. Die magnetischen Feldstärken der beiden Wellen haben die folgende komplexe bzw. reelle Darstellung. ˆ jpωt ´ kz`zq ex ` He ˆ jpωt ´ kz`z ´ π{2q ey H p`q pz, tq “ He ˆ jpωt ´ kz´zq ex ` He ˆ jpωt ´ kz´z ` π{2q ey H p´q pz, tq “ He ` ˘ ` ˘ ˆ cos ωt ´ k ` z ex ` H ˆ sin ωt ´ k ` z ey H p`q pz, tq “ H z z ` ˘ ` ˘ ˆ cos ωt ´ k ´ z ex ´ H ˆ sin ωt ´ k ´ z ey H p´q pz, tq “ H z z Zum festen Zeitpunkt, am einfachsten für t “ 0, stellen durch Vorzeichenwechsel beim Sinus nach der Festlegung von (6.5) + eine links zirkular H p`q pz, 0q “ HLZ polarisierte Welle H p´q pz, 0q “ HRZ eine rechts zirkular dar, die sich mit den Konstanten kz` bzw. kz´ im Ferrit ausbreiten. Aus der Maxwell’schen Gleichung rot H “ jωεE “ ´

` ˘ BHy BHx ex ´ ey “ jkz Hy ex ´ Hx ey Bz Bz

folgen die Komponenten der elektrischen Feldstärke. Ex˘ “ `

kz˘ ˘ H ωε y

und

Ey˘ “ ´

kz˘ ˘ H ωε x

Nach (5.65) erhält man aus dem Quotienten der Feldstärkekomponenten die aus den Ausbreitungskonstanten hervorgehenden Wellenwiderstände

328

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

des Ferrits.

kz˘

“ω

b`

μ1 ˘ μ2 ε ˘

Ñ

k˘ Z “ z “ ωε

c

˘

μ1 ˘ μ2 ε

(6.40)

Wegen der Proportionalität der elektrischen und magnetischen Komponenten sind die Polarisationseigenschaften von E und H gleich.

6.4.8

Permeabilitäten und Ausbreitungskonstanten

Die Zerlegung der komplexen Permeabilitäten (6.36) führt auf folgende Darstellungen mit den dimensionslosen Größen für Real- und Imaginärteil χr , Kr und χi ą 0, Ki ą 0. μ1 “ 1 ` χr ´ j χi μ0 ˘ ‰ ` ` “ ˘ ‰ “ ω0 ωM ω02 ´ 1 ´ α2 ω 2 ´ j α ω ωM ω02 ` 1 ` α2 ω 2 “1` “ 2 ` ˘ ‰2 ` ˘2 ω0 ´ 1 ` α2 ω 2 ` 2α ω0 ω μ2 “ K r ´ j Ki μ0 “ 2 ` ˘ ‰ ω0 ´ 1 ` α2 ω 2 ´ j 2α ω0 ω “ ω ωM “ ` ˘2 ˘ ‰2 ` ω02 ´ 1 ` α2 ω 2 ` 2α ω0 ω Im dämpfungslosen Fall mit α “ 0 gehen beide in reelle Beziehungen über mit Polstellen bei ω “ ω0 . ˇ ω0 ωM μ1 ˇˇ “1` 2 “ 1 ` χ0 ˇ μ0 α“0 ω0 ´ ω 2 ˇ ω ωM μ2 ˇˇ “ 2 “ K0 ˇ μ0 α“0 ω0 ´ ω 2 Zur Bestimmung der Ausbreitungskonstanten werden die effektiven Permeabilitäten μ˘ gebildet, die für die zirkularen Wellen und die Wellenwi-

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

329

derstände wirksam sind. ˘ ` ˘ μ1 ˘ μ2 ` μ˘ “ “ 1 ` χ r ˘ Kr ´ j χ i ˘ Ki μ0 μ0 “` ‰“` ˘2 ˘ ‰ ωM ω0 ˘ ω ` α2 ω 2 ω0 ¯ ω ´ jα ω “1` “ 2 ` ˘ ‰2 ` ˘2 ω0 ´ 1 ` α2 ω 2 ` 2α ω ω0 ˇ μ˘ ˇˇ “ 1 ` χ 0 ˘ K0 μ0 ˇ α“0 ωM “1` ω0 ¯ ω Die Ausbreitungskonstanten der ebenen Wellen für positive z-Richtung lauten neben der im allgemeinen Fall gültigen Beziehung (6.40) im dämpfungslosen Fall c ˇ ” ωM ı ˇ “ ω μ0 ε 1 ` kz˘ ˇ ω0 ¯ ω α“0 Um die Ausbreitungskonstanten zu berechnen, wird die Wurzel aus den komplexen Permeabilitäten in entwickelter Form angegeben. k˘ “ ?z ω μ0 ε

d

μ˘ “ μ0

b`

˘ ` ˘ 1 ` χr ˘ Kr ´ j χi ˘ Ki “ ξ ˘ ` jη ˘

(6.41) Für die Darstellung komplexer Wurzeln gelten folgende, allgemein gültigen Zusammenhänge. a w2 “ u ` jv “ α2 ´ β 2 ` j 2αβ w “ u ` jv “ α ` jβ , a ˇ 2ˇ ˇ w ˇ “ | w |2 “ u2 ` v 2 “ α2 ` β 2 | w | 2 “ α2 ` β 2 , a ` ` ˘2 ˘ ` ˘ 2 u ` u2 ` v 2 “ 2 α2 ´ β 2 ` α2 ` β 2 “ 4α2 “ 2α b a ? 2α “ 2 u ` u2 ` v 2 v β“ 2α

330

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Damit erhält man für Real- und Imaginärteile der Ausbreitungskonstanten folgende Darstellungen sowie die Abbildung 6.23. ? c ` ˘ b` ˘2 ` ˘2 2 ˘ 1 ` χ r ˘ Kr ` 1 ` χ r ˘ Kr ` χ i ˘ Ki ξ “ 2 χ i ˘ Ki η˘ “ ´ 2 ξ˘

x+ x-

w w0

h+

Abb. 6.23: Real- und Imaginärteil der normierten Ausbreitungskonstanten bei verschiedenen Dämpfungen α in rot: α“0 in blau: α “ 0.02 p0.02q 0.1

331

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

Für das Verhältnis ωM {ω0 “ 2 und mehrere Werte der Dämpfung α sind Real- und Imaginärteil von (6.41) dargestellt. Dabei gelten sehr kleine negative Werte für η ´ « 0. Im Ortsanteil der Exponentialfunktion der ebenen Wellen (6.39) ˘ ` ? ˘ ` ˘ ` ? exp ´ j kz˘ z “ exp ω μ0 ε η ˘ z ¨ exp ´ j ω μ0 ε ξ ˘ z führt der erste Faktor mit dem Imaginärteil η ˘ ă 0 zu einer Dämpfung, der zweite Faktor mit dem Realteil ξ ˘ zu einer Phasendrehung. Am festen Ort z “ z0 umläuft der Feldstärkevektor ` ` ˘ ˘ ˆ cos ωt ´ kz` z0 ex ` H ˆ sin ωt ´ kz` z0 ey H p`q pz0 , tq “ H der zirkular polarisierten Welle die z-Achse im Sinne einer Rechtsschraube und damit in der gleichen Richtung wie die präzessierenden Dipolmomente der in dieser Ebene befindlichen Elektronen. Im Resonanzfall, wenn die erregende Frequenz ω des Wechselfeldes mit der Larmor-Frequenz ω0 der Gleichfelderregung übereinstimmt, erfährt die in gleicher Richtung wie die Präzession umlaufende Welle H p`q pz0 , tq eine Dämpfung gemäß dem Amplitudenfaktor, ` ? ˘ a “ exp ω μ0 ε η ` z0 ă 1 die man Resonanzabsorption nennt und bei der die Welle Energie an das Ferritmaterial abgibt. Die gegenläufig zirkular polarisierte Welle H p´q pz0 , tq wird wegen η ´ « 0 dagegen kaum gedämpft.

6.4.9

Faraday-Drehung

Ein Ferrit kann durch ein Gleichfeld vormagnetisiert werden, und zwar in gleicher oder entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung wie eine einfallende Welle, d.h. mit direkter oder inverser Vormagnetisierung. Eine linear polarisierte ebene Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet und bei der der Vektor H in x-Richtung weist, läßt sich nach (6.39) in eine rechts und eine links zirkulare Welle zerlegen. ˆ e jpωt´kz zq ex 2Hpz, tq “ 2H ` ` ˘ ˘ ˆ ex ` j ey e jpωt´kz zq ` H ˆ ex ´ j ey e jpωt´kz zq “ loooooooooooooomoooooooooooooon H loooooooooooooomoooooooooooooon “ HRZ

“ HLZ

332

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Trifft diese Welle bei z “ 0 auf den direkt vormagnetisierten Ferrit, dann breiten sich die beiden transmittierten zirkularen Teilwellen im Ferritmaterial gemäß den voneinander abweichenden Ausbreitungskonstanten kz˘ verschieden schnell aus. ` ` ˘ ˘ ˆ ex ´ j ey e jpωt´kz` zq ˆ ex ` j ey e jpωt´kz´ zq ` H 2Hpz ą 0, tq “ H ”` ` ˘ ˘ ı ˆ j ωt e´j kz` z ` e´j kz´ z ex ´ j e´j kz` z ´ e´j kz´ z ey “ He Mit der Darstellung der Exponentialfunktionen e´j 2α ˘ e´j 2β “ e´j pα`β`α´βq ˘ e´j pα`β´α`βq ” ı “ e´j pα`βq e´j pα´βq ˘ e`j pα´βq # 2 cospα ´ βq “ e´j pα`βq ´j 2 sinpα ´ βq ergibt sich am Ausgang des Ferrits bei z “ d der Feldstärkevektor, ´ ` ´ ¯ ˆ e j ωt exp ´ j kz ` kz d ¨ Hpd, tq “ H 2 ´ k` ´ k´ ¯ ı ” ´ k` ´ k´ ¯ z z z z d ex ´ sin d ey ¨ cos 2 2 looooomooooon looooomooooon “ Δφ

“ Δφ

der ebenfalls eine linear polarisierte Welle darstellt, deren Parameter allerdings verändert sind. Das Argument der Exponentialfunktion vor der Klammer ´j

˘ ˘‰ ` ? kz` ` kz´ d “` ` ξ ` ξ´ ` j η` ` η´ d “ ´j ω μ0 ε 2 2 loooomoooon looooomooooon loooomoooon “σ

ą0

ă0

liefert einen Amplitudenfaktor a ă 1 und einen Phasenwinkel Δϕ ą 0, ` ˘ ´ ` ´ ` ´ k ` ` kz´ ¯ exp ´ j z d “ e´ σ | η `η | e´ j σ ξ `ξ “ a e´ j Δϕ 2 wonach bei direkter Magnetisierung gilt ˇ ‰ “ ˇ ˆ e j ωt e´ j Δϕ ex cos Δφ ´ ey sin Δφ “ aH Hpd, tq ˇ direkt

333

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

Mit den Ausbreitungskonstanten ist auch der Polarisationswinkel Δφ komplex, ` ˘d “` ` ˘ ` ` ˘‰ Δφ “ kz` ´ kz´ “ σ looomooon ξ ´ ξ ´ ` j looomooon η ´ η´ 2 “ Δξ

“ Δη ă 0

so dass die Winkelfunktionen mit Hyperbelfunktionen dargestellt werden. cos Δφ “ cospσΔξq coshpσΔηq ´ j sinpσΔξq sinhpσΔηq sin Δφ “ sinpσΔξq coshpσΔηq ` j cospσΔξq sinhpσΔηq Bei kleinen Dämpfungen α des Ferritmaterials kann man die Imaginärteile meistens vernachlässigen und Δφ wird dann reell. Unterhalb der Resonanzfrequenz für ω Æ ω0 gilt in diesem Fall ` ˘d ˘ ` « σ ξ` ´ ξ´ ą 0 Δφ “ kz` ´ kz´ 2 Am Ausgang des vormagnetisierten Ferrits überlagern sich die zirkularen Wellen wieder zu einer linear polarisierten ebenen Welle, die aber gegenüber der Eingangswelle eine räumliche Drehung der Polarisationsebene um den Polarisationswinkel Δφ in mathematisch negativer Richtung um die z-Achse erfahren hat (Abbildung 6.24), die Faraday-Drehung heißt. Durch die Auswahl von Ferriten mit geeigneten Materialeigenschaften und Längen d sowie durch die erregende Frequenz ω des Wechselfeldes als Abstimmungsgröße kann man jeden gesuchten Winkel Δφ der Polarisationsdrehung einstellen.

6.4.10

Nichtreziproke Eigenschaft der Ferrite

Wellen, die einen Ferrit durchlaufen, werden verschieden beeinflusst, je nachdem, ob sie sich in Richtung oder entgegen der Vormagnetisierung ausbreiten, ob sie also direkt oder invers gerichtet sind. Bei entgegengesetzter Vormagnetisierung zeigte sich das bereits an den Permeabilitäten (6.38), die dann nach (6.40) zu den inversen Ausbreitungskonstanten führen. b ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ pinvq pinvq ˘ μ2 q ε Ñ kz˘ ˇ “ kz¯ ˇ “ ` ω pμ1 kz˘ ˇ invers

invers

direkt

(6.42)

334

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Der Quotient der Feldstärkekomponenten besitzt bei inverser Vormagnetisierung die gleichen Werte, aber die Ausbreitungskonstanten wechseln die Index-Vorzeichen, wenn man wieder die direkten Werte einsetzt! pinvq

Hy ´ jω 2 μ2 ε “ ¯j “ pinvq Hx ˘ ω 2 μ2 ε ` ˘ ˆ ex ¯ j ey e jpωt´kz¯ zq H p˘q pz, tq “ H Die zirkularen Teilwellen der linear polarisierten Welle breiten sich im Ferrit bei inverser Magnetisierung mit den entgegengesetzten Ausbreitungskonstanten aus. Der Polarisationswinkel hat daher den negativen Wert. Δφ invers “

kz´ ´ kz` d “ ´ Δφ direkt “ ´ Δφ ă 0 2

Bei gleichen Werten für Amplitudenfaktor a und Phasenwinkel Δϕ unterscheiden sich die Feldstärken am Ausgang bei direkter und inverser Magnetisierung nur um das Vorzeichen in der eckigen Klammer, die die räumliche Lage der Feldstärken beschreiben. ˆ e j ωt ex Hp0, tq “ H ˇ ‰ “ ˇ ˆ e j ωt e´ j Δϕ ex cos Δφ ´ ey sin Δφ Hpd, tq ˇ “ aH direkt ˇ ‰ “ ˇ ˆ e j ωt e´ jΔϕ ex cos Δφ ` ey sin Δφ Hpd, tq ˇ “ aH invers

Gegenüber der linear polarisierten Welle am Eingang des Ferrits haben die linear polarisierten Wellen am Ausgang bei direkter Vormagnetisierung eine um ´Δφ und bei inverser eine um `Δφ räumlich gedrehte Vektorlage. Die Drehungen der Polarisationsebenen erfolgen also in entgegengesetzten Richtungen! Durchläuft eine linear polarisierte Welle den Ferrit in Richtung der direkten Magnetisierung, wobei sie eine Drehung um Δφ erfährt, und durchquert sie ihn nach Reflexion am Ausgang ein zweites Mal in rückwärtiger Richtung mit inverser Magnetisierung, dann weisen Eingangs- und rückkehrende Ausgangswelle bei z “ 0 einen Unterschied ihrer Polarisationsebenen um den doppelten Winkel 2Δφ auf. Die Drehrichtung der Polarisationsebene

335

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

wird also durch die Richtung der Vormagnetisierung und nicht durch die Ausbreitungsrichtung bestimmt.

Bauelemente, die beim Wechsel der Durchlaufrichtung nicht das gleiche sondern ein unterschiedliches Verhalten zeigen, heißen aus übertragungstechnischer Sicht nichtreziproke Elemente.

Diese Nichtreziprozität und das entsprechende Verhalten von Bauelementen, die vormagnetisierte Ferrite enthalten, findet seinen mathematischen Grund in der Schiefsymmetrie des Permeabilitätstensors.

y direkte Magnetisierung

y H0 H(0)

ez

ez



x

H(d)

x

y H(d) H0

inverse Magnetisierung



ez

x

Abb. 6.24: Feldstärken der linear polarisierten Wellen am Eingang und Ausgang des Ferrits

336

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin 









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 

  



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 



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  





Abb. 6.25: Faraday-Drehung a), b): Drehung der Polarisationsebene des Vektors H bei gleicher Ausbreitungsrichtung aber entgegengesetzter Vormagnetisierung durch H0 c): Doppelter Drehwinkel nach Hinlauf gemäß a), Reflexion bei z “ d und Rücklauf der Welle durch den Ferrit

6.4.11

Kernspinresonanz-Verfahren

In den Jahren 1945/46 entdeckten die amerikanischen Physiker Felix Bloch (1905 -1983) und Edward M. Purcell (1912 -1997) unabhängig voneinander die Kernspinresonanz (Nuclear Magnetic Resonance, NMR). Hierbei sind die Atomkerne die Ursache der Phänomene, deren Nukleonen ebenfalls Drehimpulse oder Kernspin besitzen. Die magnetischen Dipolmomente mK der Kerne geraten in einem Magnetfeld bei Anregung mit ihrer Larmor-Frequenz in Resonanzschwingung und geben ein entsprechendes

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

337

Hochfrequenzsignal ab, das mit einer von den Dämpfungseigenschaften des Materials abhängigen Zeitkonstante abklingt. Physikalische Grundlage und theoretische Behandlung entsprechen denjenigen bei den Ferriten, so dass die Bewegungsgleichung (6.34) bis auf das Ladungsvorzeichen ebenso gültig ist. Für ihre grundlegende Entdeckung erhielten Bloch und Purcell 1952 den Nobelpreis für Physik. In der analytischen Chemie wurde die Kernspin-Spektroskopie seit den 1950er Jahren als wichtiges Verfahren zur Untersuchung der Struktur von Festkörpern und chemischen Verbindungen eingesetzt, da das Resonanzverhalten der einzelnen Kerne von der molekularen Umgebung sowie den Bindungen im Kristallgitter abhängt. Der Physikochemiker Richard R. Ernst aus der Schweiz entwickelte 1966 das Fourier-Transformations-Verfahren zur erheblichen Beschleunigung der Kernspin-Spektroskopie, wofür er 1991 den Nobelpreis für Chemie erhielt, [18]. Auf der Grundlage der Kernspinresonanz entwickelten Anfang der 1970er Jahre der Chemiker Paul Chr. Lauterbur (1929 -2007) in den USA und der Physiker Peter Mansfield (1933 -2017) in Großbritannien die Magnetresonanztomographie (MRT), die sich mit einer Fülle von Änderungen und Erweiterungen durch viele Forscher seit Mitte der 1980er Jahre zu einem wichtigen bildgebenden Verfahren in der medizinischen Diagnostik entwickelt hat, das die Darstellung von Struktur und Funktion von Geweben und Organen im Körper ermöglicht. Für die grundlegenden Arbeiten zu dieser Methode erhielten Lauterbur und Mansfield 2003 den Nobelpreis für Medizin, [19]. Für das magnetische Dipolmoment des Protons als Kern des Wasserstoffatoms mit der 1836-fachen Masse des Elektrons erhält man analog zu (6.29) durch | mK | “ e{2mp jedoch einen zu kleinen theoretischen Wert. Nach den experimentellen Befunden hat das magnetische Dipolmoment des Protons oder Kernmagneton einen fast dreimal größeren Wert

| mKMeß | “ 2.7928 | mK | “

2.7928 e “ 1.411 ¨ 10´26 Am2 1836 2me

Auch bei Atomen mit schwereren Kernen ist das magnetische Gesamtmoment nicht die Summe der einzelnen Kernmomente.

338

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Die Bewegungsgleichung, die zu (6.31) führte, lautet für das Proton wegen der positiven Kernladung e dsp eB dmK e mKMeß ˆ B “ 2.7928 m K ˆ ez “ “ mp dt dt mp mp Das gyromagnetische Verhältnis γp des Protons als Quotient aus magnetischem Dipolmoment und Drehimpuls bestimmt die von der Induktion abhängige Larmor-Frequenz der Präzession des Protons, die beim Kernspin eine Linksschraube um den Feldvektor ausführt. γp “

| mKMeß | 2.7928 e MHz e “ “ 267.6 “ 2.7928 | sp | mp 1836 me T

1 me ωL e “ ωLe e 657.4 Auf die Stärke der Induktion in Tesla bezogen erhält man mit (6.27) folgende Werte für die Larmor-Frequenzen der Spinpräzession von Elektron und Proton, die einen Unterschied von mehreren Zehnerpotenzen umfassen. ωLp “ γ p B “ γ p

fe GHz “ 27.99 B T

fp MHz “ 42.59 B T

(6.43)

Nach einer Anregung präzessiert jedes einzelne Dipolmoment mK wie in Abbildung 6.22 mit abnehmendem Kegelwinkel bis zur Ruhelage ϑ “ 0. Die Zeitkonstante der exponentiellen Abnahme ist die Relaxationszeit T1 . Dagegen verlieren in einem Spinsystem aus vielen Kernen eines Festkörpers die Transversalkomponenten der einzelnen Dipolmomente in der Gesamtmagnetisierung M durch thermische Bewegung und den statistischen Feldeinfluss benachbarter Kerne allmählich ihre Phasenkohärenz (Dephasierung), so dass für das Spinensemble eine schnellere exponentielle Abnahme mit kleinerer Relaxationszeit T2 ă T1 resultiert. In Bezug auf das ausrichtende Feld B nennt man die beiden Zeitkonstanten Längsrelaxationszeit T1 und Querrelaxationszeit T2 .

6.4.12

Magnetresonanztomographie

`1 ˘ Die Resonanzfrequenzen Wasserstoff 1 H und weiterer Atomkerne im ˘ `13 von 19 23 31 menschlichen Körper 6 C, 9 F, 11 Na, 15 P , die im klinischen Bereich von Interesse sind, liegen für organisches Gewebe im Gegensatz zur „harten“ Röntgenstrahlung der Computertomographie (CT) alle im unschädlichen KW-

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

339

und UKW-Radiofrequenzbereich zwischen 10 und 130 MHz und können bei Resonanzabsorption voneinander getrennt und einzeln untersucht werden. Der Hauptanwendungsfall sind allerdings Wasserstoffkerne, die im lebenden Organismus die höchste Konzentration aufweisen. Weiterhin kann man aus dem hohen Wasserstoffanteil der Moleküle der verschiedenen Gewebearten mit voneinander abweichenden Relaxationszeiten Rückschlüsse auf deren Struktur sowie krankhafte Veränderungen ziehen. Kernspins und zugehörige Dipolmomente werden durch ein starkes, homogenes magnetisches Gleichfeld B0 in longitudinaler z-Richtung der Körperlängsachse ausgerichtet, das heute weitgehend mit supraleitenden, heliumgekühlten Magnetspulen erzeugt wird und in der Humanmedizin bei 1 bis 3 Tesla liegt. Dabei sind für Kernbausteine mit Spin 1/2 quantenmechanisch nur die Einstellungen parallel und antiparallel zur erregenden Feldrichtung erlaubt. Nur Atomkerne mit einer ungeraden Anzahl von Protonen und Neutronen wie die der oben angegebenen Elemente besitzen daher einen Nettospin. Beim Wasserstoff mit einem Proton sind beide Zustände nahezu gleich stark besetzt, so dass nach der Boltzmann-Statistik nur ein winziger Überschuss von 6.6 ppm an parallelen Spins existiert, der die resultierende Magnetisierung M hervorruft. Um die entsprechend schwachen MR-Hochfrequenzsignale sicher zu detektieren, sind Schirmung gegen Fremdfelder und Filterung bei den relevanten Frequenzen erforderlich. Das Gleichfeld B0 “ B0 ez bestimmt nach (6.43) die Larmor-Frequenz der anzuregenden Wasserstoffkerne. Transversal zu B0 wird ein schwaches, konstant gerichtetes oder wie die Präzession rotierendes, magnetisches Wechselfeld B„ ptq “ B„ ptq eρ impulsförmig überlagert, dessen Anregungsfrequenz ωA “ ωLp mit der Larmor-Frequenz übereinstimmt. Die Impulsdauer liegt bei wenigen Millisekunden, die Wiederholrate im Sekundenbereich. Auf Grund der Gleichheit der Frequenzen erhielt dieses Verfahren den Namen Kernspinresonanz. Der Anregungsimpuls des Wechselfeldes wirkt als Störung der zum homogenen Feld B0 parallel ausgerichteten Kernspins und der insgesamt wirksamen Magnetisierung M , wodurch deren Präzession angeregt wird. Gemäß Stärke und Dauer der periodisch wiederholten Anregungsimpulse wird der betragsmäßig konstante Vektor M jeweils aus seiner Ruhelage ϑ “ 0 bis zu einem maximalen Präzessions- oder Kippwinkel ϑmax ausgelenkt, der meist Werte von 90˝ (Sättigung) oder 180˝ (Inversion) aufweist, wobei man von entsprechenden ϑmax -Impulsen spricht. Nach dem Ende des Anregungsimpulses erfolgt die Kernspinpräzession mit

340

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

stetig abnehmendem Präzessionswinkel entsprechend der Relaxation des untersuchten Materials, [16].

z

z

M

M

B0

L

90°-Impuls Mz





z 

Mt

M

 180°-Impuls

Abb. 6.26: Präzession des Magnetisierungsvektors M im homogenen Feld B0

t90

Bei Wasserstoffkernen erfordert ein 90˝ -Impuls bei einer Impulsdauer von “ 1 ms folgende Induktion. ωA t90 “ ωLp t90 “

π 2

Ñ

B„ “

ωLp π 1 “ “ 5.8 μT γp 2 γp t90

Im Vergleich dazu beträgt das Erdmagnetfeld in Mitteleuropa etwa 50 μT. In den Pausen der Anregungsimpulse klingt die Präzession bei konstanter Larmor-Frequenz ωLp mit sinkendem Winkel ϑptq nach Exponentialfunktionen ab, bei denen die Zeitkonstanten T1 und T2 auftreten. Der Zeitverlauf des MR-Signals gemäß dieser Relaxationszeiten ist abhängig von Kombination und Zeitfolge der in der Praxis verwendeten Standardimpulssequenzen aus 90˝ - und 180˝ -Impulsen, mit denen auch bestimmte Echoimpulse erzeugt werden, [17]. Die Hochfrequenzsignale aller mit ωLp rotierenden Kernspins induzieren in einer Empfangsspule, deren Normalenrichtung senkrecht auf der z-Achse steht, eine elektrische Summenspannung uptq, deren Amplitude proportional zur Transversalkomponente Mt ptq “ M sin ϑptq der Magnetisierung ist. Die ermittelten Längs- und Querrelaxationszeiten sind charakteristisch

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

341

für die chemische Umgebung der Protonen des Wasserstoffs und damit verschieden für einzelne Gewebearten, aus denen Organstrukturen und deren krankhafte Veränderungen diagnostiziert werden können und worauf die Bedeutung für den medizinischen Einsatz beruht. Typisch für organische Gewebe ist eine Relation der Zeitkonstanten von T1 « 10 T2 bei Werten von T1 “ 500 .. 1000 ms. Jedes einzelne Volumenelement oder Voxel eines untersuchten Körpers, in dem die Spins angeregt werden, liefert gemäß Raumpunkt, Abklingverhalten der Spinpräzession und Gewebeart einen Beitrag zur Transversalmagnetisierung Mt px, y, z, tq, deren summarische Induktionsspannung uptq jedoch keinen Rückschluss auf den Entstehungsort P px, y, zq zulassen würde. Um eine Ortserkennung zu erzielen, hatte Lauterbur 1973 die geniale Idee, dem homogenen Feld B0 lineare Zusatzfelder für eine dreidimensionale Ortskodierung zu überlagern, durch die die einzelnen Raumpunkte unterscheidbar werden, so dass beliebig liegende Schnittbilder oder Tomogramme errechnet werden können. Der Grundgedanke beruht darauf, dass nach (6.31) bzw. (6.43) die Larmor-Frequenz der Induktion proportional ist. ωLp “ γ p B „ B

(6.44)

Zur Selektion verwendet man daher in besonderen Spulen erzeugte Gradientenfelder, wodurch die ursprünglich homogene z-Komponente der Induktion B0 “ B0 ez ortsabhängig wird und die Larmor-Frequenz linear mit den einzelnen Raumrichtungen variiert. In Längs- oder z-Richtung wird der homogenen Induktion B0 ein linearer Anteil, der durch die Konstante gz bestimmt wird, überlagert, wodurch ein Schichtselektionsgradient entsteht. Induktion und Larmor-Frequenz werden dadurch linear von der Ortskoordinate z abhängig. ˘ ` Bpzq “ Bz pzq ez “ B0 1 ` gz z ez ˘ ˘ ` ` ωLp pzq “ lo γopmo Bo0n 1 ` gz z “ ω0 1 ` gz z “ ω0

Der kurze HF-Anregungsimpuls des Wechselfeldes ist zeitlich so geformt, dass sein Spektrum nur ein schmales Frequenzband in der Umgebung der Anregungsfrequenz ωA belegt. Durch den Feldgradienten der z-Richtung können die Kernspins dann nur in einer Schicht der Dicke Δz bei z “ z ˚ in

342

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Resonanz geraten, in der die Anregung ωA “ ωLp pz ˚ q mit der Larmor-Frequenz übereinstimmt. Dauer und Pulsform des Anregungsimpulses sowie die Größe des Gradienten dBz {dz “ B0 gz , der im Bereich von einigen Millitesla pro Meter (mT/m) liegt, bestimmen mittlere Dicke und Schärfe der Resonanzschicht und dadurch die Genauigkeit der Ortsauflösung in z-Richtung. Schichtdicken von 1 .. 2 mm werden typischerweise erreicht. Durch Variation der Anregungsfrequenz ωA kann ein Körper schichtweise untersucht werden. In Transversalrichtung werden zeitabhängige Feldgradienten erzeugt, wodurch die z-gerichtete Induktion folgende komplexere Form aufweist. Bges px, y, z, tq “ B0 ` Bpx, y, z, tq “ Bz px, y, z, tq ez “ ‰ “ B0 1 ` gx ptqx ` gy ptqy ` gz z ez Neben dem Schichtselektionsgradienten sorgt der Feldgradient der x-Richtung, der Frequenzkodiergradient heißt, mit gx “ const. für die Dauer der Impulspause für ein linear variierendes Magnetfeld, wodurch bei gy “ 0 alle Spins der verschiedenen x-Koordinaten mit linear ansteigenden Frequenzen präzessieren. Ihre Hochfrequenzsignale bilden in der Empfangsspule eine Induktionsspannung upxq ptq, die aus diesem Frequenzgemisch zusammengesetzt ist, (Abbildung 6.27, links). Die Beiträge der verschiedenen Präzessionsfrequenzen zur Signalamplitude kann man dadurch trennen, dass man die zeitabhängige Spannung einer Fourier-Transformation unterwirft. Da Ort und Larmor-Frequenz über den Feldgradienten linear verknüpft sind, B0 gx x „ x „ ωLp pxq spiegelt das Spektrum U pxq pωq dieser Spannung gleichzeitig die örtliche Struktur des Untersuchungsobjektes in x-Richtung wider.

u

pxq

ptq c

s U

pxq

pωq “

ż8

` ˘ upxq ptq e´jωt dt “ U pxq ωpxq “ U pxq pxq

´8

(6.45) Da bei dieser Betrachtung in y keine Selektion vorliegt und die LarmorFrequenz für jeden y-Wert gleich ist, wird das summarische Signal aller Spins der y-Richtung empfangen. Man erhält in der Transversalebene nur eine

343

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

eindimensionale Projektion der zweidimensionalen Präzessionsverteilung, so dass daher keine Ortsauflösung in y-Richtung existiert. Auch wenn die x- und y-Feldgradienten in gleicher Form gemeinsam erregt werden wie in Abbildung 6.27 rechts, lassen sich die Voxel spektral nicht eindeutig lokalisieren, da die Frequenzen für beide Richtungen den gleichen Bereich überdecken und dadurch auf Diagonalen identisch sind. y

y L

L

0

0

L

L L

L 0

x

x





 (x)

u (t)

U(  ( x ) )

Abb. 6.27: Feldgradienten in x- und y-Richtung Ortsauflösung mit Fourier-Transformation nicht eindeutig möglich Zur Lösung des Problems der zweidimensionalen Ortsauflösung geht man so vor, dass nach Abbildung 6.28 bei festem x-Feldgradienten der y-Feldgradient, der dann Phasenkodiergradient heißt, bis zu p “ 256 Mal nacheinander mit wachsender Steigung gy ppq erregt wird, wobei jedesmal die induzierte Summenspannung upt, pq aufgenommen wird. In der durch den z-Feldgradienten ausgewählten Schicht erzeugen die beiden Feldgradienten der Transversalebene in jedem Punkt P px, yq eine Transversalmagnetisierung Mt px, y, pq, die mit der zugehörigen LarmorFrequenz ωL px, y, pq präzessiert und mit der ein zeitlich linear veränderlicher Winkel ϕpx, y, p, tq verbunden ist.

344

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

HF

t

gx g y (p)

t p =1 p =2

p =3

u (t, p)

t

t 





Abb. 6.28: HF-Anregungssignal, Feldgradienten und aufgenommene Signale bei zweidimensionaler Ortsauflösung

In Wirklichkeit bleiben die Vektoren Mt nicht auf einem Kreis wie in Abbildung 6.29, sondern bewegen sich auf enger werdenden Spiralen auf Grund der Relaxation mit der Zeitkonstanten T2 der Spinensemble. Für Larmor-Frequenz und Frequenzabweichung gegenüber dem Mittelpunkt der Transversalebene gilt in der Schicht z “ 0 in einem Untersuchungsintervall bei festen p

ˇ “ ‰ d ϕpx, y, pq ωL px, y, pq ˇz“0 “ ω0 1 ` gx x ` p gy y “ dt Δωpx, y, pq “ ωL px, y, pq ´ ωL p0, 0, pq “ ωL px, y, pq ´ ω0

Betrachtet man in der Transversalebene ein exemplarisches Feld mit nur 3ˆ3 Bereichen, dann erhält man folgende Werte für die Frequenzabweichung Δωpx, y, pq zwischen den Magnetisierungen bei p Messungen des y-Feldgradienten und entsprechend bei feinerer Unterteilung.

345

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

6.4.12.1



Frequenzabweichung der Transversalvoxel y “ y`

pp ´ 1q Δω

p Δω

pp ` 1q Δω

y“0

´Δω

0

`Δω

y “ y´

p´p ´ 1q Δω

´p Δω

p´p ` 1q Δω

x “ x´

x“0

x “ x`

  

    

   





  

  





Abb. 6.29: Transversalmagnetisierung Mt px, y, pq im ortsfesten Koordinatensystem px, yq und im rotierenden Koordinatensystem pξ, ηq, das als komplexe Ebene interpretiert wird In einem pξ, ηq-Koordinatensystem, das mit der Frequenz ωL p0, 0, pq des Mittelpunktes der Transversalebene rotiert, weist der Magnetisierungsvektor Mt px, y, pq relativ zu Mt p0, 0, pq einen Transversalwinkel αpx, y, p, tq auf, der im Zeitintervall τ folgenden Wert erreicht, der wegen der Linksschraube negativ ist. αpx, y, p, τ q “ ´

żτ 0

Δωpx, y, pq dt “ ´ Δωpx, y, pq τ ˘ ` ˘ ` “ ´ gx τ ω0 x ´ pgy τ ω0 y

346

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

Bei gleichbleibendem Produkt gx τ aus Gradient und Zeitintervall bleibt der erste Anteil des Winkels α bei allen Einzelmessungen am festen Ort P px, yq gleich, dagegen wächst der zweite dem Betrage nach mit steigendem Wert p bzw. pgy linear an.

 y=y  

 







 y=0





 t





0

  y=y 



 

 x=x 

 









 x=0

x=x 

Abb. 6.30: Relative Lagen der Transversalmagnetisierung Mt px, yq bei variierender Frequenzabweichung durch x- und y-Feldgradienten ( p “ 2, Δω ¨ τ “ 25˝ )

6.4 Magnetische Eigenschaften der Materie

347

Die pξ, ηq-Ebene kann man als komplexe Ebene interpretieren und den Magnetisierungsvektor als komplexe Zahl ansehen. ˇ t px, y, p, τ q “ M prq px, y, p, τ q ` jM piq px, y, p, τ q M t t “ Mt px, y, p, τ q ejαpx,y,p,τ q In der Empfangsspule ist der Spannungsbeitrag eines Voxels am Punkt P px, yq in der gewählten z-Schicht im Zeitintervall τ proportional zur Transversalkomponente der Magnetisierung, die bei der p-ten Messung auftritt. ˇ t px, y, τ, pq dx dy dupx, y, τ, pq „ M Bei jeder Messung p ergibt die Wirkung der gesamten Transversalfläche eine summarische Spannung, die bis auf einen Proportionalitätsfaktor κ als Signal Spτ, pq durch das folgende Doppelintegral dargestellt wird, wenn man p als kontinuierliche Variable auffasst. Das Integral kann über die unendliche px, yq-Ebene erstreckt werden, da außerhalb des untersuchten Körperbereichs keine Beiträge entstehen. 1 Spτ, pq “ κ “

“

ż8 ż8 dupx, y, τ, pq

´8 ´8 8 ż ż8

Mt px, y, pq e´jαpx,y,τ,pq dx dy

´8 ´8 ż8 ż8

Mt px, y, pq e´jpgx τ q ω0 x e´jpgy ppq τ q ω0 y dx dy

´8 ´8

Die Exponenten werden mit ω0 “ 2π{T0 so gedeutet, ´g τ ¯ ˘ ` 2π x x x “ 2π kx x “ gx τ ω0 x “ 2π T0 λx ´ g ppqτ ¯ ˘ ` 2π y y y “ 2π ky y “ gy ppqτ ω0 y “ 2π T0 λy dass die Größen kx “ 1{λx und ky “ 1{λy Ortsfrequenzen bzw. reziproke Wellenlängen der Dimension 1/m darstellen. Bei kleinen Werten von kx, y ändern sich die Amplitudenwerte örtlich nur langsam, bei großen Werten

348

6 Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin

ändern sie sich dagegen schnell und bestimmen die feineren örtlichen Details, [7, S. 311, 515]. Mit den örtlichen Kreisfrequenzen ux “ 2πkx und uy “ 2πky erhält man aus den Spannungen das Messergebnis Spux , uy q “ Spkx , ky q “ Spτ, pq “

1 upτ, pq κ

Diese Funktion ist das Ortsspektrum Spkx , ky q der betrachteten Transversalfläche, das die Amplituden bei den Ortsfrequenzen pkx , ky q angibt und das eine zweidimensionale Fourier-Transformation darstellt.

Spux , uy q “

ż8 ż8

Mt px, yq e´jpux x`uy yq dx dy

(6.46)

´8 ´8

Das gesuchte Schnittbild oder Tomogramm Mt px, yq im originalen Ortsbereich wird daraus durch inverse Fourier-Transformation ermittelt. 1 Mt px, yq “ p2πq2

ż8 ż8

Spux , uy q e`jpux x`uy yq dkx dky

(6.47)

´8 ´8

In der praktischen Ausführung der Bildermittlung, bei der die ky -Richtung durch p bereits in diskreter Form vorliegt, wird auch die kx -Richtung diskretisiert. Die Transformation wird als inverse diskrete Fourier-Transformation (IDFT) berechnet, bei der der Algorithmus der Fast-FourierTransformation (FFT) zur Anwendung kommt. Die anspruchsvollen Details der Magnetresonanztomographie mit speziellen Impulssequenzen zur Spinanregung und Echoerzeugung sowie der Aufbau der MR-Tomographen mit ausgeklügelter Konstruktion und Formgebung der verschiedenen Spulen für das starke homogene Feld, das Wechselfeld, die Feldgradienten sowie für Empfang und Auswertung der Hochfrequenzsignale bei MR-Geräten in geschlossener Röhrenform und offener Zangenform für besondere Patientengruppen sind in [2, Kap. 3, 4, 9], [4, Kap. 11], [14], [16] beschrieben.

Literatur [1] Born, M.: Optik Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 3. Aufl. (1972) [2] Buxton, R. B.: Introduction to Functional Magnetic Resonance Imaging Cambridge University Press, 2. Aufl. (2009) [3] Collin, R. E.: Foundations for Microwave Engineering McGraw-Hill Inc., 2. Aufl. (1992) [4] Dössel, O.: Bildgebende Verfahren in der Medizin Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2. Aufl. (2016) [5] Fichtenholz, G. M.: Differential- und Integralrechnung I/II/III VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 5. Aufl. (1972) [6] Finkelnburg, W.: Einführung in die Atomphysik Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 6. Aufl. (1967) [7] Hecht, E.: Optics Addison-Wesley Longman Inc., 3. Aufl. (1998) [8] Hummel, R. E.: Unstanding Materials Science Springer Verlag, New York, 2. Aufl. (2004) 349

350

Literatur

[9] Kleber, W.: Einführung in die Kristallographie VEB Verlag Technik, Berlin, 14. Aufl. (1979) [10] Saleh, B. E. A., Teich, M. C.: Fundamentals of Photonics John Wiley & Sons, Inc., Hoboken NJ, 2. Aufl. (2007) [11] Schaumburg, H.: Einführung in die Werkstoffe der Elektrotechnik B. G. Teubner, Stuttgart (1993) [12] Sommerfeld, A.: Vorlesungen über theoretische Physik IV, Optik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 3. Aufl. (1964) [13] Soohoo, R. F.: Theory and Application of Ferrites Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1960) [14] Vlaardingerbroek, M. T., den Boer, J.: Magnetic Resonance Imaging Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (1996) [15] Zinke, O., Brunswig, H.: Lehrbuch der Hochfrequenztechnik I Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Aufl. (1973)

Spektrum der Wissenschaft [16] Pykett, I. L.: Kernspintomographie: Röntgenbilder ohne Röntgenstrahlen SdW 7, 40 (1982) [17] Brewer, R. G., Hahn, E. L.: Phasengedächtnis atomarer Systeme SdW 2, 62 (1985) [18] Günther, H.: Schneller und empfindlicher in vielen Dimensionen

Literatur

Nobelpreis für Chemie (Richard R. Ernst) SdW 12, 24 (1991) [19] Katscher, U.: Schonender Blick in den Körper Nobelpreis für Medizin (Lauterbur/Mansfield) SdW 12, 16 (2003)

351

Kapitel 7

Spezielle Relativitätstheorie Zusammenfassung Der unvoreingenommenen Betrachtungsweise und Genialität von Albert Einstein verdanken wir die Spezielle Relativitätstheorie, wodurch eine tiefgreifende Revision des Verständnisses von Raum und Zeit erfolgte. Seine kritische Beurteilung des Begriffs der Gleichzeitigkeit führte zur Aufgabe der von Newton eingeführten absoluten Zeit und zur physikalisch begründeten Lorentz-Transformation beim Wechsel zwischen Inertialsystemen. Hermann Minkowski führte die vierdimensionale Raumzeit und Vierervektoren ein. In Minkowski-Diagrammen werden raumzeitliche Ereignisse auf Weltlinien veranschaulicht, anhand derer die Phänomene von Längenkontraktion und Zeitdilatation erörtert werden.

7.1 7.1.1

Inertialsysteme und ihre Bedeutung Galilei’sches Trägheitsgesetz und Inertialsysteme

Das 2. Newton’sche Gesetz, welches das eigentliche Grundgesetz der Dynamik darstellt, lautet nach Gleichung (3.2) für konstante Massen

F “

˘ dv d ` dp mv “ m “ “ m r: “ m a dt dt dt 352

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_7

(7.1)

7.1 Inertialsysteme und ihre Bedeutung

353

Als besonderer Bewegungszustand ist darin das Trägheitsgesetz enthalten, das schon 1638 von Galileo Galilei (1564 -1642) angegeben wurde und das Isaac Newton (1643 -1727) in seinen Principia (1687) als das erste Bewegungsgesetz (lex prima) formulierte. Ein Körper, auf den keine Kräfte einwirken, bewegt sich geradlinig und gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit

(7.2)

Dieses Gesetz umfasst als Sonderfall auch ruhende Körper mit v “ 0 und damit die gesamte Statik als Lehre vom Gleichgewicht. Jedes Bezugssystem, in dem das Newton’sche Grundgesetz und damit das Galilei’sche Trägheitsgesetz gelten, heißt Inertialsystem. Eine anschauliche Darstellung seiner Gedankengänge zur Entwicklung der Relativitätstheorie bietet Albert Einstein (1879 -1955) in seinem „gemeinverständlichen Büchlein“, [3]. Innerhalb eines Inertialsystems ist es unmöglich festzustellen, ob dieses System ruht oder sich gleichförmig bewegt, da im Newton’schen Grundgesetz eine konstante Geschwindigkeit keine Beschleunigung und damit keine Kraft erzeugt, die messbar wäre. Für die mathematische Beschreibung der Bewegung fallender Körper durch das Newton’sche Grundgesetz ist es völlig gleichartig, ob dieses Fallen in ruhenden oder gleichförmig bewegten Inertialsystemen wie Zügen oder Schiffen auftritt und gemessen wird. Eine etwa vorhandene Bewegung des körperfesten Inertialsystems von Zug oder Schiff ist von dort aus nur durch den Bezug auf ein anderes Inertialsystem erkennbar, das sich relativ zum ersten geradlinig und gleichförmig bewegt, im Beispiel der Bahndamm oder das feste Land. Im körperfesten System von Zug oder Schiff ist die Bahn eines senkrecht fallenden Körpers eine Gerade, während sie im relativ dazu bewegten erdfesten System dagegen eine Parabel ist. Dennoch befolgt der fallende Körper in beiden Systemen in gleicher Weise das Grundgesetz der Dynamik, (s. das Beispiel des Wurfs im Abschnitt 11.2.2). Da also nur Relativgeschwindigkeiten verschiedener Inertialsysteme gegeneinander feststellbar sind, ist es auch weder möglich noch sinnvoll, eines von ihnen als ein besonderes oder absolutes System auszuzeichnen im Widerspruch zu Newtons erster Voraussetzung, worin er die Definition des absoluten Raumes als ein besonderes, herausgehobenes Bezugssystem an den Anfang seiner Darlegungen stellte.

354

7 Spezielle Relativitätstheorie

Die Erfahrung lehrt dagegen, dass kein bevorzugtes System existieren kann, sondern dass es beliebig viele Bezugssysteme gibt, in denen die Gesetze der Physik in gleicher mathematischer Form gelten und die damit die Gruppe der gleichberechtigten Inertialsysteme bildet. Diese Erkenntnis wird auch als Relativitätsprinzip der Mechanik bezeichnet, wodurch die Äquivalenz aller Inertialsysteme für die Beschreibung der mechanischen Phänomene zum Ausdruck gebracht wird. Der Übergang von einem dieser Systeme zu einem anderen wird durch bestimmte Transformationsgesetze beschrieben, bei denen einige Größen unverändert bleiben und daher als Invarianten bezeichnet werden. Im Newton’schen Grundgesetz ist z.B. die Beschleunigung eine solche Invariante. Das Auffinden solcher Invarianten ist eine wesentliche Aufgabe bei diesen Transformationen.

7.1.2

Galilei-Transformation

In Abbildung 7.1 werden zwei Inertialsysteme S und Sˆ mit den Ursprünˆ betrachtet, die sich relativ zueinander mit der konstanten gen O und O Geschwindigkeit v bewegen. Dabei hat ein Punkt P die Ortsvektoren r “ x ex ` y ey ` z ez

in S

rˆ “ r ´ v t

in Sˆ

z

z

P r

System S

O

vt

O x

System S

r

x

y

Abb. 7.1: Gegeneinander gleichförmig bewegte Inertialsysteme

y

7.1 Inertialsysteme und ihre Bedeutung

355

Die zeitlichen Ableitungen in beiden Systemen lauten folgendermaßen, wobei P auf seiner Bahnkurve die Geschwindigkeit u hat. dr “ r9 “ u ‰ v dt

und

d2 r “ r: “ a dt2

dˆ r “ rˆ9 “ r9 ´ v dt

und

d2 rˆ : ˆ “ r: “ a “ rˆ “ a dt2

Das Newton’sche Grundgesetz ist daher in beiden Inertialsystemen in gleicher Form gültig, da die Beschleunigungen übereinstimmen und eine Invariante der Transformation bilden. Hierbei wurde die zweite Newton’sche Voraussetzung zu Grunde gelegt, die die Definition der absoluten Zeit durch tˆ “ t darstellt. Die Relation, die als Galilei-Transformation bezeichnet wird, lautet bei konstanter Relativgeschwindigkeit v zwischen zwei Inertialsystemen tˆ “ t ,

d d “ dtˆ dt

rˆ “ r ´ v t

(7.3)

Die Kraft im Newton’schen Grundgesetz erhält damit folgende invariante Darstellung in verschiedenen Bezugssystemen. ˆ “ Fˆ F “ ma “ ma

7.1.3

(7.4)

Ausbreitung von Lichtwellen

Der Wert der Lichtgeschwindigkeit c war durch Versuche von Rømer (1676), Bradley (1728), Fizeau (1849) und Foucault (1850) schon seit langem recht genau bekannt. In neueren Versuchen von Michelson (1926) sowie modernen Laserexperimenten der Boulder-Gruppe (1973) wurde der Wert von c immer präziser gemessen und 1983 durch die Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) in Paris auf den exakten Wert c “ 299 792 458 m{s festgelegt, [1, S. 216], [5, S. 45].

(7.5)

356

7 Spezielle Relativitätstheorie

Die anfängliche physikalische Auffassung, die mechanisch geprägt war, besagte, dass sich Licht wie Schall- oder Wasserwellen nur in einem Medium ausbreiten könne, dem sog. Äther, der in einem besonderen und damit absoluten Inertialsystem S ruht, in dem das Licht die Geschwindigkeit c hat. Eine Darstellung der historischen Entwicklung der Äthertheorie findet man beispielsweise in [7, S. 105], [10, S. 20]. Bei Gültigkeit der Galilei-Transformation hätten die Wellenfronten von Lichtwellen einer in S ruhenden Quelle dann die Ausbreitungsgeschwindigkeit dr “ r9 “ c er dt

im Äthersystem S,

was einer Kugelwelle um den Ursprung O entspricht und dˆ r “ rˆ9 “ c er ´ v dt

ˆ im Inertialsystem S,

was wegen der gleichbleibenden Richtung des Vektors v “ const. sicher keine ˆ darstellt, so dass in Sˆ in verschiedenen Richtungen im Kugelwelle um O Raum unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Lichtes auftreten müssten. Einer der berühmtesten und folgenreichsten physikalischen Versuche war das 1881 von Albert Abraham Michelson (1852 -1931) in Berlin durchgeführte und mit seinem Assistenten Edward M. Morley 1887 in den USA genauer wiederholte Michelson-Morley-Experiment, [8], [10, S. 22]. Dabei konnte beim interferometrischen Vergleich zweier orthogonaler Lichtstrahlen auf der Erde, die sich mit der Bahngeschwindigkeit vE « 30 km/s im vermuteten Äthersystem bewegen sollte, keine solche Richtungsabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit gefunden werden. Dieses negative Ergebnis wurde in vielen verschiedenen Ausführungen u.a. von Joos (1930) später immer exakter bestätigt und bedeutete, dass die Lichtgeschwindigkeit in gegeneinander gleichförmig bewegten Inertialsystemen stets den gleichen Wert besitzt! Für seine optischen Untersuchungen erhielt Michelson 1907 als erster Amerikaner den Nobelpreis für Physik. Aus dem negativen Ausgang des Experimentes, das damit als experimentum crucis zu den Versuchen zählt, die den Gang der Physik entscheidend veränderten, musste entgegen der bis dahin gültigen Vorstellung

7.1 Inertialsysteme und ihre Bedeutung

357

geschlossen werden, dass weder ein absolutes Inertialsystem noch ein Äther existieren. Die Ausbreitung von Licht sowie jegliche elektromagnetische Strahlung im Vakuum erfolgt in beliebigen Bezugssystemen dagegen stets als Kugelwelle mit der konstanten Geschwindigkeit c, unabhängig vom Bewegungszustand der aussendenden Lichtquelle und den Beobachtern in verschiedenen Inertialsystemen. Das bedeutete dann entgegen der bisherigen Auffassung merkwürdigerweise, [4, S. 341], dass eine Lichtquelle, die sich mit v bewegt, Lichtwellen aussendet, die sich sowohl in Vorwärts- als auch in Rückwärtsrichtung gleich schnell ausbreiten! Die Geschwindigkeit von Lichtsignalen innerhalb eines fahrenden Zuges hat daher den gleichen Wert c wie gegenüber dem ruhenden Bahndamm! Auf diesen erstaunlichen Sachverhalt wären Physiker sicher schon früher gestoßen, wenn die Lichtgeschwindigkeit einen kleineren Wert aufweisen würde, wodurch man Versuche mit geringerem experimentellen Aufwand hätte durchführen können. Da gemäß obigem Experiment bei Licht keine Geschwindigkeitsüberlagerungen c ` v bzw. c ´ v nachweisbar sind, wie das bei Wasser- oder Schallwellen der Fall ist, kann die Galilei-Transformation nicht allgemein gültig sein und muss durch eine andere, umfassendere Transformation ersetzt werden, die bei der Lichtausbreitung in bewegten Inertialsystemen die Kugelform der Lichtwellen für jeden gleichförmig bewegten Beobachter gewährleistet. Wegen der vielfachen Erfahrungen und überwältigenden Erfolge der Newton’schen Dynamik bei beliebigen Bewegungen im Alltag sowie in der Himmelsmechanik, muss die gesuchte Transformation allerdings so geartet sein, dass sie im Newton’schen Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten v ! c alle bisherigen experimentell gesicherten Ergebnisse bestätigt.

7.1.4

Einsteins Postulate der Speziellen Relativitätstheorie

Albert Einstein erkannte auf Grund der vorliegenden physikalischen Tatsachen, dass die Existenz der universellen, absoluten Zeit von Newton unhaltbar ist. Damit war auch für die Gleichzeitigkeit von Ereignissen, die an verschiedenen Orten stattfinden, eine Neudefinition erforderlich. Denn Messergebnisse von örtlich verschiedenen aber „ gleichzeitig “ stattfindenden Ereignissen in bewegten Systemen müssen ja für einen Wertever-

358

7 Spezielle Relativitätstheorie

gleich mitgeteilt oder ausgetauscht werden, wofür jedoch nur Signale mit der Höchstgeschwindigkeit c zur Verfügung stehen, die eine entsprechende Laufzeit benötigen. Die Konsequenzen seiner Erkenntnisse stellte Einstein als Postulate an den Anfang seiner Speziellen Relativitätstheorie (SRT, 1905). Damit begründete er eine völlig neue Dynamik in der Physik, die allerdings den bis dahin gültigen Anschauungen des gesunden Menschenverstandes von Längen und Zeitabläufen bzw. von Maßstäben und Uhren zuwiderläuft. Postulat I / Relativitätsprinzip Alle Gesetze der Physik haben in verschiedenen Inertialsystemen die gleiche mathematische Form

(7.6)

Die physikalischen Gesetze gelten damit unabhängig vom gleichförmig bewegten Bezugssystem und sind invariant gegenüber Transformationen zwischen verschiedenen Inertialsystemen. Vektor- und Tensorkomponenten werden deshalb in gleicher Weise oder kovariant transformiert. Postulat II / Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat unabhängig vom Bewegungszustand von Lichtquelle und Beobachter stets den konstanten Wert c (7.7) Die maximal auftretenden Geschwindigkeiten von Signalen und UrsacheWirkungs-Beziehungen erfüllen die Ungleichung v ď c ă 8, so dass eine Reihe klassischer Naturgesetze Änderungen erfahren wird.

Lorentz-Transformation

7.2 7.2.1

Wellenfronten des Lichtes und Raumzeit nach Minkowski

Die Wellenfronten der Lichtausbreitung erscheinen gemäß dem MichelsonMorley-Experiment Beobachtern in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen stets als Kugelwellen, deren Phasenfronten bei der Ausbreitung folgendermaßen beschrieben werden. r ¨ r “ r 2 “ x2 ` y 2 ` z 2 “ pctq2

Phasenfront im System S

rˆ ¨ rˆ “ rˆ2 “ x ˆ2 ` yˆ2 ` zˆ2 “ pctˆq2

Phasenfront im System Sˆ

7.2 Lorentz-Transformation

359

Die Besonderheit hierbei und damit der Schlüssel für die Transformation liegt darin, dass die Zeit tˆ, die im System Sˆ gemessen wird, nicht mit der Zeit t in S identisch ist! Dadurch wird die absolute Zeit aufgehoben, die Newton für alle Systeme als gleichermaßen gültig definierte, so dass das Kriterium der Gleichzeitigkeit relativiert wird und die Zeit auf jedes einzelne Inertialsystem beschränkt ist. Gleichzeitige Ereignisse in einem Bezugssystem sind dadurch in anderen Systemen nicht mehr gleichzeitig! Da die Lichtausbreitung in allen Inertialsystemen als Kugelwelle erscheint, muss die gesuchte Transformation die folgende Invarianz erfüllen. ˆ2 ` yˆ2 ` zˆ2 ´ pctˆq2 r 2 ´ pctq2 “ x2 ` y 2 ` z 2 ´ pctq2 “ rˆ2 ´ pctˆq2 “ x (7.8) Hermann Minkowski (1864 -1909) fasste nach dem Vorbild des Ortsvektors r im dreidimensionalen Raum (14.4, Bd. I) die räumlichen Koordinaten x, y, z und die Zeit als imaginäre Koordinate x0 “ jct zum ViererOrtsvektor ` ˘T R “ jct e0 ` r “ x0 e0 ` x ex ` y ey ` z ez “ x# e

(7.9)

eines orthogonalen Koordinatensystems im Kontinuum der pseudo-euklidischen, vierdimensionalen Raumzeit zusammen. Diese Raumzeit wird auch als Minkowski-Raum bezeichnet, der eine geometrische Interpretation der Koordinaten in Minkowski-Diagrammen ermöglicht. Durch die Hinzunahme der imaginären Zeitkoordinate x0 “ jct sind viele Berechnungen in der Raumzeit komplex auszuführen, eine Methode, die im naturwissenschaftlichen Bereich mit komplexer Rechnung, konformer Abbildung und Funktionentheorie zum mathematischen Handwerkszeug gehört. Der Spaltenvektor der vier orthogonalen Basisvektoren der Raumzeit wird zur Unterscheidung vom kartesischen System in der Beziehung links typographisch anders dargestellt und ggf. mit „M“ für Minkowski indiziert. ` ˘T e “ ex , e y , e z

` ˘T e ” eM “ e0 , e1 , e2 , e3

(7.10)

Ein Punkt P pjct, x, y, zq “ P px0 , x1 , x2 , x3 q im Minkowski-Raum, der einen bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit kennzeichnet, wird Ereignis oder

360

7 Spezielle Relativitätstheorie

Weltpunkt genannt und der Weg, den ein Weltpunkt bei variierenden Koordinaten durchläuft, wird als Weltlinie bezeichnet. Der Vierer-Ortsvektor erscheint deshalb auch als Ereignisvektor. Nach dem experimentellen Ergebnis ist der Vierer-Ortsvektor R invariant und weist sowohl im System S als auch im System Sˆ zum Punkt P in der Phasenfront einer Kugelwelle. Damit haben Ortsvektor und Komponenten im Minkowski-Raum beider Systeme die folgende Darstellung, bei der die Zeit in die imaginäre Koordinate vom Index Null eingeht. ` # ˘T ` ˘T ˆ ˆ e R “ x# e “ x ˛ ¨ ˛ jct x0 1 ‹ ˚ ˚ ‹ x ‹“˚ x ‹ x# “ ˚ 2 ˝x ‚ ˝ y ‚ x3 z ¨

˛ ¨ ˛ x ˆ0 jctˆ ˚ ˆ ‹ ˚x ˆ1 ‹ ‹“˚ x ‹ ˆ# “ ˚ x 2 ˝x ˆ ‚ ˝ yˆ ‚ x ˆ3 zˆ ¨

(7.11)

Die Forderung nach Kugelwellen in jedem Bezugssystem hat die Gleichheit des Vierer-Ortsvektorquadrates für Ereignisse zur Folge, woraus sich die Invarianz des Vierer-Abstandsquadrates ergibt. ` ˘T ` # ˘T # ˆ ˆ R ¨ R “ R2 “ R2 “ r 2 ´ pctq2 “ rˆ2 ´ pctˆq2 “ x# x# “ x x (7.12) Der Übergang zwischen den vierdimensionalen Inertialsystemen S und Sˆ wird durch eine Transformationsmatrix L für Basisvektoren und Komponenten des Ortsvektors (7.11) wie in kartesischen Systemen nach Gleichung (8.1, Bd. I) vermittelt. ˆM “ L eM “ L e ˆ“e e

ˆ# “ L x# x

(7.13)

Die Transformation muss linear sein, denn der Blick von einem der beiden Bezugssysteme auf das andere ist gleichartig, wodurch Hin- und Rücktransformation von gleichem Charakter sein müssen. Die Linearität bedeutet, dass weder ein Punkt noch eine Richtung vor anderen ausgezeichnet sind. Dadurch sind gleiche Beschaffenheit sowie Richtungsunabhängigkeit, also

361

7.2 Lorentz-Transformation

Homogenität und Isotropie des Raumes charakteristische Eigenschaften der Transformation. Obwohl Vorarbeiten von Woldemar Voigt (1887) und Henri Poincaré (1904) geleistet wurden, wird die Transformation auf Vorschlag von Poincaré nach dem holländischen Physiker Hendrik Antoon Lorentz (1853 -1928) als Lorentz-Transformation bezeichnet, der sie entwickelte, um die Äthertheorie zu stützen. Albert Einstein gelangte dagegen zu dieser Transformation durch tiefgründige physikalische Einsicht in Raum und Zeit. Die Invarianz des Abstandsquadrates R2 bedeutet, dass nach Abschnitt 3.5.3 (Bd. I) die Matrix L orthogonal sein muss und eine Drehung des vierdimensionalen Koordinatensystems bewirkt. • Lorentz-Transformationen sind orthogonale Transformationen des Minkowski-Raumes Gemäß den Eigenschaften (3.39, Bd. I) orthogonaler Matrizen werden aufeinander folgende Transformationen als Produkt solcher Matrizen wieder durch eine orthogonale Gesamtmatrix beschrieben. Die Gruppe der Lorentz-Transformationen, die nach Poincaré auch als Lorentz-Gruppe bezeichnet wird, umfasst als Sonderfälle bzw. Untergruppen alle räumlichen Drehungen von Inertialsystemen bei fester Zeit sowie alle gleichförmigen translatorischen Bewegungen von Systemen bei unveränderter Orientierung der räumlichen Achsen.

7.2.2

Berechnung der Lorentz-Matrix

Um die Lorentz-Transformation und ihre Matrix L zu ermitteln, kann man zunächst den Vektor v der Translationsbewegung zwischen den Inertialsystemen S und Sˆ in die Richtung der x- bzw. x1 -Achse legen, so dass die beiden dazu senkrechten Ortskoordinaten unverändert bleiben. yˆ “ x ˆ 2 ” y “ x2

und

zˆ “ x ˆ 3 ” z “ x3

Die orthogonale Lorentz-Matrix dieser Transformation hat dann folgende einfache Gestalt, da sich die Drehung des vierdimensionalen Koordinaten-

362

7 Spezielle Relativitätstheorie

systems nur auf x0 und x ˆ0 , die die Zeit enthalten, und x1 und x ˆ1 erstreckt. ˛ ¨ 00 01 0 0 ‹ ˚ ˚ 10 11 0 0 ‹ # ˆ# “ L x# “ ˚ x ‹x ˝ 0 0 1 0‚ 0 0 0 1 Die Orthogonalbedingungen für die Matrix lauten nach (3.33, Bd. I) 200 ` 201 “ 200 ` 210 “ 1 210 ` 211 “ 201 ` 211 “ 1 00 10 ` 01 11 “ 00 01 ` 10 11 “ 0 Aus den ersten beiden Bedingungen folgt zunächst 201 “ 210 und damit dann aus der zweiten 200 “ 211 . Für den Ursprung von Sˆ gilt einerseits in S x1 “ x “ vt “

v jct “ ´ jβ jct “ ´ jβx0 jc

mit der allgemein üblichen Abkürzung Beta für das Geschwindigkeitsverhältnis der Translation der beiden Systeme und Licht. 0ďβ“

v ď1 c

(7.14)

Andererseits gilt im Ursprung von Sˆ und gemäß der Transformation ˆ “ 0 “ 10 x0 ` 11 x1 “ p 10 ´ jβ 11 q x0 x ˆ1 “ x

Ñ

10 “ jβ 11

und aus der zweiten Orthogonalbedingung folgt dann 211 “ 1 ´ 210 “ 1 ` β 2 211 Mit dem Lorentz-Faktor Gamma γ“b

1 1 ´ β2

ě 1

` ˘2 γ 2 ´ 1 “ pγ ` 1qpγ ´ 1q “ β γ ě 0 (7.15)

363

7.2 Lorentz-Transformation

erhält man die beiden Matrixelemente 200 “ 211 “ γ 2

Ñ

00 “ 11 “ ` γ

Dabei muss die positive Wurzel gewählt werden, damit die Matrix L für β Ñ 0 in die Einheitsmatrix der identischen Transformation übergeht. Aus der dritten Orthogonalbedingung folgt zusammen mit den bisherigen Ergebnissen 01 “ ´

00 10 “ ´ 10 “ ´ jβ 11 “ ´ jβγ 11

Damit lautet die orthogonale Lorentz-Matrix für die Drehung in der t-x-Ebene γ ´ jβγ ˚ jβγ γ ˚ L“˚ ˝ 0 0 0 0 ¨

0 0 1 0

0 0 0 1

˛

¨

‹ ˚ A ‹ ˚ ‹ “ ˝ ... ‚ 0

˛ .. . 0 ‹ ` ˘ T ´1 . ... ‹ ‚“ L .. . E

(7.16)

Aus (7.13) folgt die Transformation der Koordinaten und Basisvektoren. x ˆ0 “ jctˆ “ γx0 ´ jβγx1 “ jγ pct ´ βxq x ˆ1 “ x ˆ “ jβγx0 ` γx1 “ γ px ´ βctq ˆ e0 “ γ pe0 ´ jβ e1 q

ˆ e1 “ γ pjβe0 ` e1 q

(7.17)

Die orthogonale Matrix L hat die Eigenschaft L´1 “ LT , so dass die Transformationsregeln der Lorentz-Transformation in Hin- und Rückrichtung folgendermaßen lauten. ctˆ “ γ pct ´ βxq

x ˆ “ γ px ´ βct q

yˆ “ y (7.18)

ct “ γ pctˆ ` β x ˆq

x “ γ pˆ x ` βctˆq

zˆ “ z

364

7 Spezielle Relativitätstheorie

Im Grenzfall kleiner Relativgeschwindigkeiten v ! c der Inertialsysteme, d.h. für β Ñ 0 und γ Ñ 1 geht die Lorentz-Transformation in die GalileiTransformation (7.3) über. Damit erhält man die wichtige Kompatibilitätsaussage. Bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten behält die gesamte Newton’sche Dynamik ihre Gültigkeit! Im Vergleich mit der Matrix (6.34, Bd. I) stellt die Untermatrix ˜ ¸ ˜ ¸ ˜ ¸ γ ´ jβγ 1 ´ jβ cos ϕ ´ sin ϕ “γ “ ˆ A“ jβγ γ jβ 1 sin ϕ cos ϕ von L die Drehung des Koordinatensystems in der t-x-Ebene dar, wobei allerdings der Drehwinkel imaginär ist, so dass man mit ϕ “ jχ erhält 1 ď γ “ cos ϕ “ cos jχ “ cosh χ jβγ “ sin ϕ “ sin jχ “ j sinh χ Daraus ergeben sich folgende Beziehungen für die hyperbolischen Funktionen cosh χ “ γ “ b

1 1´

, β2

sinh χ “ βγ “ b

β 1´

,

tanh χ “ β

β2

und die Größe χ, die Rapidität heißt, lautet folgendermaßen. d 1`β 1 1`β χ “ Ar tanh β “ ln “ ln ą 0 2 1´β 1´β Die Untermatrix A von L beschreibt damit eine hyperbolische Rotation. ˜ A“

7.2.3

γ ´ jβγ jβγ γ

¸

˜ “

cosh χ ´ j sinh χ j sinh χ cosh χ

¸ (7.19)

Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Es werden zwei Lorentz-Transformationen mit gleichgerichteten Relativbewegungen nacheinander ausgeführt. Im ersten Schritt gelangt man vom

365

7.2 Lorentz-Transformation

Inertialsystem S zum Zwischensystem S ˚ mit der Relativgeschwindigkeit v ˚ “ v0 und im zweiten Schritt von S ˚ zu Sˆ mit vˆ “ v1 . Die Gesamttransformation von S zu Sˆ mit der resultierenden Relativgeschwindigkeit v wird durch das Produkt der beiden einzelnen Lorentz-Matrizen beschrieben. Bei Tausch der Transformationsreihenfolge von S über ein anderes Zwischensystem S ˚˚ zu Sˆ erhält man das gleiche Ergebnis, so dass bei gleichgerichteten Relativbewegungen die Matrizen vertauschbar sind. , ˚ ˚ ˆ # “ L1 x # . x# “ L0 x# & x ˚˚#

x

“ L1

x#

˚˚#

ˆ “ L0 x & x #

ˆ# “ L1 L0 x# “ L0 L1 x# “ L x# x

-

Nach Ausführung der Matrixmultiplikation ˛¨ ˛ ¨ ¨ .. .. . 0 . 0 A A ‹˚ 0 ‹ ˚ A1 A0 ˚ 1 ‹ ˚ ˚ ˚ L “ L1 L0 “ ˝ . . . . . . . ‚˝ . . . . . . . ‹ ‚“ ˝ . . . . . 0 .. E 0 .. E 0

˛ .. . 0 ‹ . ... ‹ ‚ “ L0 L1 .. . E

erhält man mit ˜ A1 A0 “ γ 1

“ γ0 γ1 ˜ “

1

´ jβ1

jβ1 ˜

1

¸

˜ γ0

1

´ jβ0

jβ0

1

1 ` β0 β1

´ j pβ0 ` β1 q

j pβ0 ` β1 q

1 ` β0 β1

¸

¸

coshpχ0 ` χ1 q ´ j sinhpχ0 ` χ1 q j sinhpχ0 ` χ1 q coshpχ0 ` χ1 q

¸ “ A0 A1

für die x ˆ-Komponente im Vergleich mit (7.18) das Ergebnis “ ‰ ` ˘ x ˆ “ γ0 γ1 p1 ` β0 β1 q x ´ pβ0 ` β1 q ct “ γ x ´ βct Daraus folgt das Additionstheorem der Geschwindigkeiten. 1 ` β 0 β1 “

γ pβ0 ` β1 q “ γ0 γ1 β

366

7 Spezielle Relativitätstheorie

β“

β0 ` β1 1 ` β0 β1

v“

v0 ` v1 v0 v1 1` c c

(7.20)

Bei kleinen Relativgeschwindigkeiten gilt weiterhin die additive Galilei’sche Überlagerungsformel. v0 , v 1 ! c

Ñ

v “ v0 ` v1

Im Bereich relativistischer Geschwindigkeiten liefert das Additionstheorem dagegen die Lichtgeschwindigkeit c als nicht überschreitbare Grenzgeschwindigkeit. v0 “ v1 “ c

Ñ

v“c

Die Überlagerungsformel der Geschwindigkeiten (7.20) entspricht dem Additionstheorem der hyperbolischen Tangensfunktion.

β“

β0 ` β1 tanh χ0 ` tanh χ1 “ tanh χ “ “ tanhpχ0 ` χ1 q 1 ` β0 β1 1 ` tanh χ0 tanh χ1

(7.21)

Das Produkt der beiden Lorentz-Transformationen stellt zwei nacheinander ausgeführte Drehungen im Minkowski-Raum dar, bei denen sich die Winkel ϕ0 und ϕ1 bzw. χ0 und χ1 addieren. Als Beispiel zur Veranschaulichung der Überlagerung von Relativgeschwindigkeiten wird ein mit vZ fahrender Zug betrachtet, in dem in Fahrtrichtung eine Kugel mit der Geschwindigkeit vK abgeschossen wird. Die Geschwin˚ der Kugel relativ zum ruhenden Bahndamm wird nach dem Addigkeit vK ditionstheorem (7.20) berechnet, was aber bei geringen Geschwindigkeiten von z.B. vZ “ 200 km/s “ 55.55 m/s

und

vK “ 1000 m/s

˚ « vZ ` vK vK

keinen Unterschied zur Galilei’schen Überlagerungsformel bedeutet.

367

7.2 Lorentz-Transformation

Erst bei relativistischen Geschwindigkeiten treten merkliche Abweichungen von der Galilei’schen Überlagerung auf, z.B. für vZ “

2 c 3

und

vK “

3 c 4

2 3 c` c ˚ 4 “ 17 c ă c ‰ v ` v “ 17 c ą c “ 3 vK Z K 23 18 12 1` 34 oder wenn statt der Kugel ein Lichtsignal mit vK “ c ausgesendet wird. vZ `1 v ` c Z ˚ c vK “ “ vZ c vZ c “ c 1` 2 1` c c

7.2.4

Mehrdimensionale Lorentz-Transformation

Die konstante Relativgeschwindigkeit v zwischen den Inertialsystemen S und Sˆ kann im allgemeinen Fall Komponenten in allen drei Achsenrichtungen aufweisen, so dass man dann einen Beta-Vektor mit entsprechendem γ definiert. dx dy dz v “ v x ex ` v y ey ` v z ez “ ex ` ey ` ez “ v T e dt dt dt

“ v “ β x ex ` β y ey ` β z ez β c

ˇ ˇ b ˇ ˇ ˇ β ˇ “ β “ βx2 ` βy2 ` βz2 (7.22)

1 1 1 1 “c γ“b “c “a ´ ¯ 2 v¨v v 1 ´ β2

¨β

1´β 1´ 2 1´ c c Die Lorentz-Matrix für den mehrdimensionalen Fall läßt sich nach Abbildung 7.2 auf folgende Weise bestimmen. Man dreht das Koordinatensystem S räumlich so, dass seine x-Achse in Richtung des Vektors v weist, wendet die eindimensionale Lorentz-Transformation nach (7.16) an und dreht anschließend das so entstandene Koordinatensystem in die ursprüngliche Achsenorientierung zurück, wobei das System Sˆ entsteht.

368

7 Spezielle Relativitätstheorie

y

**

y

S

**

y*

y

S

P r

S

r°

x**

r

*

S

*

x

O



x

v O

x



Abb. 7.2: Zweidimensionale Lorentz-Transformation

Im zweidimensionalen Fall besitzt v nur die Komponenten vx und vy , so dass für die Kette der Systeme mit den entsprechenden Matrizen gilt T ˆ S Ñ pAϕ q Ñ S ˚ Ñ pLq Ñ S ˚˚ Ñ pA´1 ϕ “ Aϕ q Ñ S

Dabei hat die orthogonale Matrix der Drehung um die z-Achse mit dem Winkel ϕ folgende Gestalt, die eine Verallgemeinerung der Matrix (6.34, Bd. I) darstellt. ˛ 1 0 0 0 ˚ 0 cos ϕ sin ϕ 0 ‹ ‹ ˚ Aϕ “ ˚ ‹ ˝ 0 ´ sin ϕ cos ϕ 0 ‚ 0 0 0 1 ¨

Die neuen Koordinaten erhält man durch folgende Matrixmultiplikation, ` T ˘´1 # # # ˆ # “ AT x x ϕ L Aϕ x “ L 2 x “ L 2

369

7.2 Lorentz-Transformation

woaus sich die Lorentz-Matrix für den zweidimensionalen Fall ergibt. ¨

γ

˚ ˚ ˚ jγβx ˚ L2 “ ˚ ˚ ˚ ˚ jγβy ˝ 0

´ jγβx ´ jγβy ´ β ¯2 ´ β β ¯2 x y x 1 ` pγ ´ 1q pγ ´ 1q β β ´ β β ¯2 ´ β ¯2 x y y pγ ´ 1q 1 ` pγ ´ 1q β β 0 0

0

˛

‹ ‹ 0 ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ 0 ‹ ‚ 1

Besitzt v alle drei Komponenten vx , vy und vz mit positiven Werten und weist damit in den ersten räumlichen Oktanten von S, dann erfolgt die erste Drehung um z mit ϕ wie oben, die zweite Drehung aber um die neue Achse y ˚ mit p´ ψq. Die orthogonale Matrix der zweiten Drehung lautet dann ¨

1 0 ˚ 0 cos ψ ˚ Aψ “ ˚ ˝0 0 0 sin ψ

0 0 0 ´ sin ψ 1 0 0 cos ψ

˛ ‹ ‹ ‹ ‚

Die neuen Koordinaten erhält man durch folgende Matrixmultiplikation. T # # T ´1 # ˆ # “ AT x x ϕ Aψ L Aψ Aϕ x “ L 3 x “ pL 3 q

Mit den Komponenten des Beta-Vektors βx “ β cos ψ cos ϕ ,

βy “ β cos ψ sin ϕ ,

βz “ ´ β sin ψ

und der Darstellung 00 “ γ “ 1 ` pγ ´ 1q für den Vergleich mit den anderen Hauptdiagonalelementen erhält man die orthogonale Lorentz-Matrix im dreidimensionalen Fall mit einer

370

7 Spezielle Relativitätstheorie

rechts unten stehenden symmetrischen 3 ˆ 3 -Untermatrix. ¨

.. .

γ

˚ ˚ ¨¨¨¨¨¨ ˚ ˚ ˚ ˚ jγβx ˚ L3 “ ˚ ˚ ˚ ˚ jγβy ˚ ˚ ˝ jγβz

´ jγβx

´ jγβy

¨ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ .. β2 . 1 ` pγ ´ 1q x2 β .. .

βx βy pγ ´ 1q 2 β

.. .

pγ ´ 1q

βx βz β2

´ jγβz

¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ βx βy pγ ´ 1q 2 β βy2 1 ` pγ ´ 1q 2 β pγ ´ 1q

βy βz β2

˛

‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ βy βz ‹ ‹ pγ ´ 1q 2 ‹ ‹ β ‹ βz2 ‚ 1 ` pγ ´ 1q 2 β ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ βx βz pγ ´ 1q 2 β

(7.23) Mit dem folgenden Skalarprodukt und dem allgemeinen Lorentz-Faktor

¨ r “ βx x ` βy y ` βz z “ v x x ` v y y ` vz z “ v ¨ r β c c c c γ“b

1 1 ´ β2

“b

1 1 ´ pβx2 ` βy2 ` βz2 q

Ñ

γ2 “

γ2 ´ 1 β2

erhält man die Regeln für die Umrechnung von Koordinaten und Basisvektoren der allgemeinen Lorentz-Transformation, die entsprechend ez . lauten für yˆ, zˆ bzw. y, z und ˆ ey , ˆ ´ v¨r ¯ jctˆ “ jγ ct ´ c

x ˆ “ x ` βx

´γ´1 v¨r ¯ ´ γ ct β2 c

´ v ¨ rˆ ¯ jct “ jγ ctˆ ` c

x“x ˆ ` βx

´ γ ´ 1 v ¨ rˆ ¯ ˆ ` γ c t β2 c

v¯ ˆ e0 “ γ e 0 ´ j c

´γ´1 v ¯ ˆ e x “ ex ` β x ` jγ e0 β2 c

´

7.2.5

(7.24)

Ortsvektoren in verschiedenen Systemen

Es sind zwei unterschiedliche Arten der Betrachtung und Interpretation der vierdimensionalen Raumzeitsysteme möglich, bei denen neben dem inva-

371

7.2 Lorentz-Transformation

rianten Vierer-Ortsvektor R die folgenden dreidimensionalen Ortsvektoren auftreten. r “ x ex ` y e y ` z e z

rˆ “ x ˆˆ ex ` yˆ ˆ ey ` zˆ ˆ ez (7.25)

˚ r“x ˆ ex ` yˆ ey ` zˆ ez

Die eine Betrachtungsweise ist die formale mathematische Methode des pseudo-euklidischen Minkowski-Raumes, in dem zwar die räumlichen Koordinaten reell aber die Basis-, Orts- und Vierervektoren komplex sind, so dass sie sich der Anschaulichkeit entziehen. Hierbei erhält man aus (7.24) die Transformationsbeziehungen für die Zeit tˆ und nach Zwischenrechnung den komplexen Ortsvektor rˆ des Bezugssystems Sˆ im Minkowski-Raum. ´ v ¨ r¯ tˆ “ γ t ´ 2 c (7.26) rˆ “ r ` γ 2

´v ¨ r c

¯ ´v ¨ r ¯v ´ ct ` jγ 2 ´ β 2 ct e0 c c

Mit diesen Größen läßt sich die Invarianz des Vierer-Ortsvektors R nachweisen, was der Darstellung (7.11) entspricht.

` ˘ ` ˘ ˆ, yˆ, zˆ “ jctˆˆ e0 ` rˆ R jct, x, y, z “ jct e0 ` r ” R jctˆ, x

(7.27)

Die andere Betrachtungsweise entspricht der anschaulichen dreidimensionalen Darstellung der beiden Bezugssysteme nach Abbildung 7.2, die sich gegeneinander gleichförmig mit konstantem v bewegen. Die räumlichen Ortsvektoren r und ˚ r beider Systeme, die mit den für beide gleichermaßen gültigen kartesischen Basisvektoren gebildet werden, sind reell und anschaulich aber nicht Lorentz-invariant!

372

7 Spezielle Relativitätstheorie

Für die Ortsvektoren ˚ r und rˆ sowie ihren Zusammenhang gilt, ˚ r“r`

´γ´1 v¨r ¯v ´ γ ct β2 c c (7.28)

´γ´1 v ¯ v ¨˚ r rˆ “ ˚ r` ` jγ e 0 2 β c c wobei ˚ r nicht dem reellen Anteil von rˆ entspricht! Zerlegt man den Ortsvektor r in S bezüglich der Richtung von v in parallele und senkrechte Anteile, dann gilt nach dem Zerlegungssatz (5.16, Bd. I) ´v ¨ r¯v v ´v ¯ r “ r|| ` rK “ ´ ˆ ˆr mit v ¨ rK “ 0 v v v v v ¨ r|| v¨r “β “ β r|| c v ´v ¨ r¯v ` ˘ ´v ¨ r ¯v ` ˘ ˘ v ` || 2 2 γ2 “ βγ “ βγ r|| “ γ 2 ´ 1 r|| c c v v v Daraus ergeben sich die Beziehungen für die Zerlegung. ˘ ` ˘ ` x ˆ0 “ jctˆ “ γ jct ´ jβr|| “ γ x0 ´ jβr||

` ˘ ˚ r“˚ rK ` ˚ r|| “ rK ` γ r|| ´ vt

(7.29)

˘ ˘ ` ` rˆ “ rˆK ` rˆ|| “ rK ` γ 2 r|| ´ vt ` jβγ 2 r|| ´ vt e0 Die zur Relativgeschwindigkeit v senkrechten Komponenten von ˚ r und rˆ bleiben ungeändert, während die parallelen eine geschwindigkeitsabhängige Änderung erfahren. Der imaginäre Anteil von rˆ hängt nur von den parallelen Größen ab. Im Grenzfall nichtrelativistischer Geschwindigkeiten mit v ! c, d.h. für β Ñ 0 und γ Ñ 1, gehen beide Beziehungen in die Galilei-Transformation (7.3) über.

7.3 Minkowski-Diagramme

7.3 7.3.1

373

Minkowski-Diagramme Bedeutung und Eigenschaften

Der Zusammenhang zwischen Raum und Zeit, den Minkowski in seinem berühmten Vortrag 1908 als eine Art Union bezeichnet hat, läßt sich durch die nach ihm benannten Diagramme einprägsam veranschaulichen. Dabei beschränkt man sich in der Darstellung zunächst auf den räumlich eindimensionalen Transformationsfall, an dem die wesentlichen Eigenschaften bereits erkennbarˇwerden. Die Koordinatenachsen bedeuten dann die Größen x “ x1 ˇ und ct “ ˇ x0 ˇ mit der gleichen Dimension einer Länge und gleicher Skalierung in der traditionellen Weise, bei der x nach rechts und ct nach oben weisen. Im Koordinatensystem Spct, xq der Abbildung 7.3 stellt der Ursprung A das Ereignis des Hier und Jetzt dar. In der zweidimensionalen Darstellung kennzeichnen die Parallelen zur ct-Achse Weltlinien ruhender Orte bei fortschreitender Zeit und die Parallelen zur x-Achse Weltlinien gleichzeitiger Ereignisse in diesem Inertialsystem. Lichtsignale aus dem Ursprung verlaufen auf Geraden, deren Gleichung x “ ˘ ct lauten und die einen Sektor- oder Kegelbereich begrenzen. Der farbige Doppelkegelbereich vom Öffnungswinkel 90˝ umfasst alle Weltpunkte, die mit dem Ursprung A zeitlich verbunden sind. Im unteren Kegel befinden sich diejenigen Punkte, die zeitlich vor A liegen (Vorkegel der Vergangenheit), im oberen Kegel diejenigen, die zeitlich nach A liegen (Nachkegel der Zukunft). Im linken Bild sind gerade Weltlinien mit konstanten Geschwindigkeiten gezeichnet, deren Gleichungen x “ ˘ vt lauten. Sie laufen in positive oder negative x-Richtung, wobei gekrümmte Weltlinien bei variierendem v entstehen. Nimmt man noch eine zweite Ortskoordinate, z.B. y senkrecht zu x und ct, hinzu, dann entspricht die Darstellung einer Rotationsfigur um die ct-Achse. Die Weltlinien mit der Lichtgeschwindigkeit c bilden dann den Mantel eines Doppelkegels, den Lichtkegel. Der Bereich mit Weltpunkten außerhalb des Lichtkegels, den man als Anderswo bezeichnet, ist von A aus unerreichbar, da dafür entgegen dem Postulat II eine Geschwindigkeit v ą c erforderlich wäre! Kausalität ist nur im Inneren des Lichtkegels gegeben, wo frühere Ereignisse der Vergangenheit als Ursache für in der Zukunft liegende als Wirkung auftreten können. Innerhalb des Lichtkegels herrscht Erreichbarkeit nur

374

7 Spezielle Relativitätstheorie

v= − c

ct

ct

v0

v=c x = ct



A

v=0

x = vt

x

x

Weltlinien gleichzeitiger Ereignisse

Weltlinien mit ruhendem Ort

Abb. 7.3: Minkowski-Diagramm für ein Inertialsystem

zwischen solchen Weltpunkten, bei denen die Steigung der Verbindungslinie in jedem Punkt die Bedingung v ď c erfüllt. Der differentielle, vierdimensionale Abstand dR zweier Weltpunkte in der Raumzeit (s.a. Abschnitt 8.2.1) wird aus dem Vierer-Ortsvektor (7.9) in entsprechender Weise gebildet wie das dreidimensionale Wegelement (14.7, Bd. I). dR “

BR BR BR BR dx0 ` 1 dx1 ` 2 dx2 ` 3 dx3 0 Bx Bx Bx Bx

“ jcdt e0 ` dx ex ` dy ey ` dz ez Die Metrik des Minkowski-Raumes wird durch das Quadrat des Wegelementes, also das differentielle Abstandsquadrat, bestimmt, das positiv, negativ oder Null sein kann.

dR2 “ ds2 “ pjcdtq2 ` dx2 ` dy 2 ` dz 2 “ dr2 ´ c2 dt2 £ 0

(7.30)

7.3 Minkowski-Diagramme

375

Man legt folgende Klassifizierung für das Wegelement fest. ‚ dR2 “ ds2 ą 0 “ ˆ dr2 ą c2 dt2 das Wegelement dR ist raumartig, von A aus liegen Punkte mit diesem Abstand außerhalb des Lichtkegels im Anderswo und sind mit v ď c unerreichbar ˆ dr2 “ c2 dt2 ‚ dR2 “ ds2 “ 0 “ das Wegelement dR ist lichtartig, von A aus liegen Punkte mit diesem Abstand auf dem Mantel des Lichtkegels und sind durch Lichtsignale erreichbar

(7.31)

ˆ dr2 ă c2 dt2 ‚ dR2 “ ds2 ă 0 “ das Wegelement dR ist zeitartig, von A aus liegen Punkte mit diesem Abstand innerhalb des Lichtkegels in Vergangenheit oder Zukunft und können mit v ă c kausal verbunden sein Der Minkowski-Raum wird bezüglich der physikalischen Variablen pt, x, y, zq als pseudo-euklidisch bezeichnet, was nach (7.12) auch entsprechend für R2 gilt. Pseudo-euklidische Räume besitzen je nach dem Charakter ihrer Metrik eigentümliche Züge, die keine Analogien in der gewöhnlichen Geometrie haben und oft der normalen Anschauung widersprechen, [9, S. 143]. Die Längen von Vektoren können reell, imaginär oder auch Null sein, worin sich die Verschiedenheit von räumlichen und zeitlichen Abständen widerspiegelt. In der Literatur ist die Klassifizierung nicht einheitlich, da die Definition von x0 und die Vorzeichenverteilung von dR2 von einzelnen Autoren unterschiedlich vorgenommen werden. Einige Hinweise zu diesen Unterschieden findet man im Abschnitt 11.5.3.

7.3.2

Entwurf von Minkowski-Diagrammen

Ein Objekt, das sich im Bezugssystem Spct, xq der Abbildung 7.3 mit konstanter Geschwindigkeit v vom Punkt A in positiver x-Richtung fortbewegt,

376

7 Spezielle Relativitätstheorie

ˆ tˆ, x erscheint als gerade Weltlinie x “ vt, die im Ruhesystem Spc ˆq des Obˆ jektes die ct-Achse bildet. Um beide Inertialsysteme im Minkowski-Diagramm darzustellen, gibt man für ausgezeichnete Weltpunkte die auf eine Längeneinheit normierten Koordinaten in einem System vor und berechnet gemäß Lorentz-Transformation (7.16) bzw. (7.18) die zugehörigen Koordinaten im anderen System. ctˆ x ˆ

ct

x

ct

x

ctˆ

x ˆ

1 0

γ βγ

βγ γ

1 0

0 1

γ ´ βγ

´ βγ γ

0 1

Wählt man das eine System, dann ist das andere System durch die Tabellenwerte festgelegt. Nach Wahl von v bzw. β liegen auch die Werte γ und βγ fest, die in der Abbildung 7.4 jeweils zwei Parallelogramme definieren, deren Diagonalen auf den Achsen des anderen Systems die Längeneinheit Eins angeben. Die Lage des Wertes von β ergibt sich aus dem Strahlensatz. ct

ct

ct

ct



 1

1 



 A

1



x





x

A

 

 

x

 

1

x

Abb. 7.4: Minkowski-Diagramme für zwei Inertialsysteme Im Grenzfall β Ñ 0 fallen die Achsen ct und ctˆ sowie x und x ˆ zusammen, für β Ñ 1 nähern sich ctˆ und x ˆ unbegrenzt dem Mantel des Lichtkegels.

7.3 Minkowski-Diagramme

377

Da β beliebige Werte zwischen Null und Eins annehmen kann, gibt es zu jedem System Spct, xq unendlich viele gleichberechtigte Inertialsysteme ˆ tˆ, x Spc ˆq, so dass das System der Abbildung 7.3 nur zufällig als rechtwinklig erscheint! Durchläuft β seinen Wertebereich, dann wandern die Ecken der Parallelogramme mit der Markierung Eins auf Hyperbeln, was weiter unten gezeigt wird. Die Zeitachsen liegen immer innerhalb des Lichtkegels, der für alle Bezugssysteme identisch ist, und alle Ortsachsen zeigen ins Anderswo. ct- und x-Achse eines bestimmten Bezugssystems liegen stets symmetrisch zum Mantel des Lichtkegels, der die Winkelhalbierende der Achsen bildet. Jedes Bezugssystem hat auf seinen eigenen Achsen die gleichen Skalierungen, aber verschiedene Systeme haben unterschiedliche Achsenskalierungen, was zusammen mit der Hyperbelfrage noch näher untersucht wird. Da alle Skalierungen linear und damit einander ähnlich sind, gelten für entsprechende Achsenpunkte verschiedener Systeme die Strahlensätze. In einem beliebigen schiefwinkligen Inertialsystem Spct, xq der Abbildung 7.5 bilden die Parallelen zu den Koordinatenachsen für gleich große Werte von x und ct einen Rhombus, dessen Seiten ruhende Orte bzw. Gleichzeitigkeit bedeuten. Der Lichtkegel ist ein schiefer Kegel und sein Mantel stellt Weltlinien von Lichtsignalen dar. Weltlinien mit konstanten Geschwindigkeiten ˘v schneiden auf den Rhombusseiten innerhalb des Lichtkegels gleich große Strecken s ab. Die anderen Aussagen zur Abbildung 7.3 bleiben auch für das schiefwinklige System weiterhin gültig. Die Weltlinien der Lichtsignale auf dem Mantel des Lichtkegels, dessen Öffnungswinkel 90˝ beträgt, entsprechen den zueinander senkrechten Diagonalen der Rhomben und sind nach Postulat II (7.7) für alle Inertialsysteme gleich. Man kann sie als Achsen eines besonderen Koordinatensystems pX, Y q interpretieren, das Lichtsystem heißt, [2, S. 205]. Im Lichtsystem stellt die Y -Achse die Diagonale für die Lichtausbreitung in positiver x-Richtung dar, auf der X “ 0 gilt, die andere Diagonale für die Ausbreitung in negativer x-Richtung ist die X-Achse auf der Y “ 0 gilt. Für die Koordinaten des Lichtsystems gilt damit die Identifizierung X “ x ´ ct Y “ x ` ct

378

7 Spezielle Relativitätstheorie

    



ct  

     



 x A

      

Abb. 7.5: Lichtkegel im schiefwinkligen System und ihr Produkt lautet, Y X “ px ` ctqpx ´ ctq “ x2 ´ pctq2 “ R2 was in dieser zweidimensionalen Darstellung mit y “ z “ 0 dem invarianten Abstandsquadrat gemäß (7.8) bzw. (7.12) entspricht. Im Lichtsystem der Abbildung 7.6 sind die Kurven für konstante Werte Y X “ C “ const. und damit für die Phasenfronten der Kugelwellen gleichseitige Hyperbeln. Obwohl C die Dimension einer Fläche hat, werden dessen Werte und die der Koordinaten in normierter, dimensionsloser Form verwendet, da es nur auf die kinematischen Zusammenhänge ankommt. Die gleichseitigen Hyperbeln stellen für C “ ˘1 Eichkurven in den einzelnen Quadranten dar. Durch sie wird für alle Inertialsysteme der Maßstab für die Skalierung der Achsen festgelegt, die in den Punkten P, Q, R bzw. P 1 , Q1 , R1 der Abbildung jeweils betragsmäßig die Längeneinheit Eins angeben, wodurch verschiedene Systeme vergleichbar werden. Die Rhomben berühren alle vier Hyperbeln in den normierten Punkten px “ ˘1, ct “ 0q und px “ 0, ct “ ˘1q des entsprechenden Koordinatensystems.

379

7.3 Minkowski-Diagramme ~

ct C= −1

ct R

Y

ct

C=+1

P

x

Q Q'

P'

x R'

x~

C=+1

C= −1

X

Abb. 7.6: Gleichseitige Hyperbeln als Eichkurven Y X “ ˘1 im Lichtsystem, ˆ Rhombus für das S-System

Liegen Achsenwerte verschiedener Bezugssysteme und damit Weltpunkte auf einer Hyperbel Y X “ C, dann sind sie wie bei Kugelwellen jeweils gleich weit vom Ursprung entfernt, [9, S. 160]. Für das Verständnis von Minkowski-Diagrammen und die anschließenden physikalischen Betrachtungen werden einige analytisch-geometrische Eigenschaften von gleichseitigen Hyperbeln angegeben. In Abbildung 7.7 hat die gleichseitige Hyperbel die Gleichung Y X “ C. Ihre Tangente mit der Steigung im Punkte Q ˇ YQ C dY ˇˇ “´ 2 “´ , ˇ dX Q XQ XQ

wobei YQ XQ “ C

gilt,

380

7 Spezielle Relativitätstheorie

schneidet die Achsen des X-Y -Systems in den Punkten Q2 und Q˚ , die die doppelten Koordinatenwerten von Q besitzen. Q2

bei Xt “ 2XQ

und

Q˚

bei Yt “ 2YQ

Die Strecken QQ˚ und QQ2 sind gleich lang und die Tangentengleichung lautet in Achsenabschnittsform Y X ` “1 2YQ 2XQ Parallel zu dieser Tangente liegt der Strahl von A durch Q1 , der bezüglich der Y -Achse eine Gerade als Spiegelbild von A durch Q besitzt, mit betragsmäßig gleichgroßer Steigung. Die beiden Dreiecke AQQ1 und AQQ2 sind gleichschenklig und kongruent und bilden gemeinsam das Parallelogramm AQ1 QQ2 . Zu jedem Strahl aus A, der im zweiten Quadranten liegt, gibt es genau eine Parallele, die die Hyperbel berührt, was in den Punkten P und Q mit den Parallelen zu den Achsen ct und ctˆ dargestellt ist. Y Q*

ct

ct

x

x

Q (X Q ,YQ )

Q' R

P'

P

YX = C*

S A

YX = C

Q"

X

Abb. 7.7: Eigenschaften von gleichseitigen Hyperbeln Da die Strahlen von A durch Q und Q1 bzw. durch P und P 1 die Y -Achse als Winkelhalbierende besitzen, kann man sie als schiefwinklige Bezugssysˆ tˆ, x teme Spct, xq und Spc ˆq im Minkowski-Diagramm interpretieren.

381

7.3 Minkowski-Diagramme

Die Tangenten der Hyperbel in P und Q schneiden die Strahlen aus A, die die x- und x ˆ-Achsen bilden, in den Punkten R und S. Im Schnittpunkt R gilt sowohl der Strahlensatz auf x ˆ als auch die Achsenabschnittsform der Tangente in P . Die Lösung der Matrixgleichung, die für den Punkt S in entsprechender Weise lautet, ˛ ¨ YQ ˜ ¸ ˜ ¸ ´ ˚ 1 XQ ‹ ‹ YR “ 0 ˚ ˝ 1 1 ‚ XR 1 2YP 2XP führt mit (3.22, Bd. I) und der Hyperbelgleichung auf das Produkt Y R XR “ YS XS “

„

2 XP {XQ 1 ` pXP {XQ q2

j2

C “ C˚ ă C

Die Schnittpunkte R und S liegen daher ebenfalls auf einer gleichseitigen Hyperbel, die wegen der kleineren Konstante C ˚ dichter am Achsenkreuz liegt. Da die Punkte P und Q sowie R und S auf Hyperbeln liegen, die jeweils Eichkurven darstellen, sind die entsprechenden Skalenwerte der Achsen x und x ˆ und damit ihr Teilungsverhältnis gleich, so dass P Q und RS parallele Strecken bilden und das Viereck P QRS ein Trapez ist. Nach den Strahlensätzen für Strecken und Koordinaten der vier Punkte gilt daher, AQ AP “ AR AS

sowie

YQ XQ “ YR XR

und

YP XP “ YS XS

so dass die Tangenten beider Hyperbeln in den Punkten P und S bzw. Q und R jeweils gleiche Steigungen haben. YS YP “ XP XS 7.3.2.1

sowie

YQ YR “ XQ XR

Konstruktion von Minkowski-Diagrammen

Um das Minkowski-Diagramm der Abbildung 7.8 zu entwerfen, geht man nach folgendem Schema vor.

382

7 Spezielle Relativitätstheorie • Im rechtwinkligen Lichtsystem pX, Y q werden die Achsen des Bezugssystems Spct, xq symmetrisch zur Y -Achse in beliebiger Weise festgelegt. • Durch die Wahl des Wertes 0 ă β ă 1 liegen folgende Werte und Relationen fest, ? entweder β ă βγ ă 1 ă γ für β ă 2{2 ? oder β ă 1 ă βγ ă γ für β ą 2{2 wodurch die Skalierung beider Achsen ct und x von S bestimmt wird. • Die Parallelogramme mit den Seitenlängen βγ und γ legen gemäß Abbildung 7.4 die Richtung der Achsen ctˆ und x ˆ des Systems Sˆ und gleichzeitig deren Skalierung fest. • Mit Hilfe der Strahlensätze werden anschließend die noch fehlenden Punkte auf den Achsen beider Systeme gefunden. Auf allen vier Achsen ist damit die Längeneinheit Eins bekannt! • Durch gleiche Werte der einander entsprechenden Achsen von S und Sˆ kann man Hyperbeln mit zugehörigen Konstanten C, . . . legen, deren Tangenten in diesen Punkten zur jeweils anderen Achse des gleichen Systems parallel sind.

7.4 7.4.1

Konsequenzen der Einstein’schen Postulate Relativierung der Gleichzeitigkeit

Klassische Mechanik und Elektrostatik arbeiten mit dem Begriff der Fernwirkung, die unmittelbar über beliebig große Entfernungen Einfluss ausübt und damit an verschiedenen Orten gleichzeitig in Erscheinung tritt. Die Entscheidung, ob zwei Ereignisse gleichzeitig sind, könnte aber nur dann getroffen werden, wenn die Übermittlung von Signalen mit unendlich großer Geschwindigkeit erfolgte. Die Vorstellung, dass sich dabei physikalische Wirkungen unendlich schnell ausbreiten, die beliebige Entfernungen im Universum in der Zeit Null überwinden, erscheint unrealistisch und wird auch nicht durch Experimente gestützt. Es liegt daher nahe, entgegen der

383

7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate









 

  



 

















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







 

 



 







 



 Abb. 7.8: Entwurf von Minkowski-Diagrammen

klassischen Auffassung eine nicht überschreitbare Obergrenze der Ausbreitung als Grenzgeschwindigkeit anzunehmen. Die Maxwell’sche Elektrodynamik trägt dieser Grenze durch die kontinuierlich übermittelten Faraday’schen Kraftwirkungen des Feldes in endlicher Zeit und die Retardierung von Potentialen und Feldgrößen Rechnung, und es wird sich im weiteren Verlauf zeigen, dass die elektromagnetische Theorie anders als die Newton’sche Dynamik keine Änderung erfahren muss. In Kenntnis der elektrodynamischen Gesetze postulierte Einstein diese Grenzgeschwindigkeit in (7.7) als Ausgangspunkt in seiner Relativitätstheorie. Für die gewohnten Vorstellungen des Menschen enthält die Spezielle Relativitätstheorie paradoxe Situationen, weil in gegeneinander bewegten Systemen unterschiedliche Zeiten t und tˆ existieren, was nicht der „normalen“ Erfahrung im täglichen Leben, wo man, wie auch Newton, Raumund Zeitkoordinaten als andersartige, voneinander unabhängige Kategorien wahrnimmt.

384

7 Spezielle Relativitätstheorie

Bei relativistischen Geschwindigkeiten, die nicht mehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind und die nicht unserer alltäglichen Erfahrung und Empfindung sondern nur einer erlebnisfernen Erkenntnis entsprechen, müssen dagegen die folgenden Überlegungen angestellt werden, die zu unterschiedlichen physikalischen Interpretationen führen. Im System Spct, xq der Abbildung 7.9 sind die Ereignisse P und Q gleichzeitig, da sie auf einer Parallelen zur x-Achse liegen. Beobachtern im System ˆ tˆ, x Spc ˆq erscheinen diese Ereignisse dagegen nicht als gleichzeitig, denn sie liegen auf verschiedenen Parallelen zur x ˆ-Achse. Die in Spct, xq auf einer Parallele zur ct-Achse am festen Ort ruhenden ˆ tˆ, x Ereignisse R und S erscheinen in Spc ˆq jedoch nicht als ruhend, da sie sich in diesem System nicht am gleichen Ort befinden.

ct

ct

Y

P Q A

x

R S

x X Abb. 7.9: Ereignisse in zwei Inertialsystemen Daraus erhält man folgende grundsätzliche Erkenntnis. Gleichzeitige bzw. ruhende Ereignisse in einem Bezugssystem sind in keinem anderen relativ dazu bewegten Bezugssystem ebenfalls gleichzeitig bzw. ruhend!

7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate

385

Ist allerdings die Relativgeschwindigkeit mit v ! c klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, dann liegen sowohl die Zeit- als auch die Ortsachsen beider Bezugssysteme jeweils ununterscheidbar nahe beieinander, so dass in allen praktischen Situationen des täglichen Lebens die Punkte P und Q bzw. R und S zusammenfallen und keine Abweichung von der Gleichzeitigkeit oder dem gleichen Ort wahrnehmbar ist! ˆ tˆ, x In zwei Inertialsystemen Spct, xq und Spc ˆq, die sich mit relativistischer Geschwindigkeit v gegeneinander gleichförmig bewegen, werden jetzt Maßstäbe und Zeitspannen auf Uhren miteinander verglichen.

7.4.2

Längenkontraktion

Die Länge eines Maßstabs, der in einem Inertialsystem ruht, heißt Eigenlänge. Seine Stabenden haben einen raumartigen Abstand, da sich ein Ende bezüglich des anderen im Anderswo befindet. In Abbildung 7.10 liegen die Enden des in S ruhenden Einheitsmaßstabs im Ursprung A und im Weltpunkt P auf der Eichkurve C “ 1, so dass seine Eigenlänge 0 der Längeneinheit der x-Achse entspricht. A und P sind in S gleichzeitige Ereignisse und der ruhende Stab durchläuft im MinkowskiRaum einen zur ct-Achse parallelen Streifen, der seine Weltfläche darstellt. In Sˆ muss die Messung der Stabenden gleichzeitig erfolgen, denn das entspricht der Definition einer Länge. Das sieht man auch am einleuchtenden Beispiel des schwimmenden Fisches, dessen Länge nicht dadurch bestimmt wird, dass man die Orte von Kopf und Schwanz zu unterschiedlichen Zeiten misst und dann deren Differenz angibt, [10, S. 12]. Von Sˆ aus betrachtet erscheint der Maßstab bei gleichzeitiger Messung ˆ auf die der Position der Stabenden in den beiden Weltpunkten A und R ˆ ˆ der x Länge verkürzt, die kleiner ist als die Längeneinheit AQ ˆ-Achse. ˆ Durchläuft andererseits ein in S ruhender Maßstab der Eigenlänge ˆ0 einen zur ctˆ-Achse parallelen Streifen als seine Weltfläche, dann erscheint der Maßstab vom relativ dazu bewegten System S aus betrachtet ebenfalls verkürzt und zwar auf die Länge . In beiden Fällen misst der bewegte Beobachter eine kürzere Länge als die Eigenlänge des ruhenden Maßstabs, was häufig in umgekehrter Form knapp und etwas zugespitzt folgendermaßen formuliert wird. Bewegte Maßstäbe sind kürzer als ruhende! Gemäß dem Relativitätsprinzip für gleichberechtigte Inertialsysteme ist die Verkürzung wechselseitig.

386

7 Spezielle Relativitätstheorie



















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 

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

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

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

Abb. 7.10: Diagramme zur Längenkontraktion Bewegte Maßstäbe erfahren damit eine Längenänderung in Bewegungsrichtung der beiden Inertialsysteme, die auch als Lorentz-Kontraktion bezeichnet wird und deren Größe man mit der Lorentz-Transformation nach (7.18) bestimmt. Im ersten Fall lautet die Eigenlänge des Stabes in S xe ` v tˆe q ´ γ pˆ xa ` v tˆa q “ γ pˆ xe ´ x ˆa q ` γv ptˆe ´ tˆa q 0 “ xe ´ xa “ γ pˆ Da die Längenmessung in Sˆ gleichzeitig durchgeführt wird, gilt tˆe “ tˆa und mit der Stablänge ˆ im bewegten System folgt xe ´ x ˆa q “ γ ˆ 0 “ γ pˆ Mit entsprechender Rechnung erhält man im zweiten Fall das Ergebnis mit vertauschten Rollen (relativistische Vertauschung) und die Längenkontraktionen lauten für beide Inertialsysteme damit 0 “ 0 ˆ “ γ

b 1 ´ β 2 ă 0

“

b ˆ0 “ ˆ0 1 ´ β 2 ă ˆ0 γ

(7.32)

7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate

387

Aus dem Vergleich der Abbildungen 7.8 und 7.10 kann man diese Ergebnisse auch mit Hilfe des Strahlensatzes folgern, wobei 0 und ˆ0 die Einheitslängen in den beiden Systemen darstellen. γ AP ˚ AP 0 “ “ “ ˆ 1 ˆ ˆ AQ AR

sowie

APˆ ˚ APˆ ˆ0 γ “ “ “ 1 AQ AR

Quer zur Bewegung findet keine Längenänderung statt, denn in diesen Richtungen sind Abmessungen in S und Sˆ gleich groß und bleiben damit ungeändert! Durch die Längenkontraktion ist die Vorstellung des starren Körpers der klassischen Mechanik bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht mehr aufrechtzuerhalten und wird hinfällig.

7.4.3

Zeitdilatation

Das Zeitintervall einer Uhr, die in einem Inertialsystem am festen Ort ruht, wird als Eigenzeit τ bezeichnet. Die Endpunkte des Zeitintervalls haben einen zeitartigen Abstand. Im Ursprung beider Koordinatensysteme S und Sˆ der Abbildung 7.11 befinden sich jeweils Uhren, deren Weltlinien mit den Achsen ct und ctˆ zusammenfallen und mit denen Zeitmessungen am festen Ort im jeweiligen System vorgenommen werden. Wenn die Uhr im System S zwischen den Weltpunkten A und P das Eigenzeitintervall ΔT0 gemessen hat, dann ist für die Uhr im System Sˆ bei Messung der Intervallenden am festen Ort x ˆ “ 0 aber bereits das längere ˆ Zeitintervall ΔT vergangen, das dem Abstand zwischen den Weltpunkten A ˆ entspricht und das größer ist als die Einheit AQ ˆ der ctˆ-Achse. und R Bei der umgekehrten Betrachtung misst die Uhr im System S am Ort x “ 0 ebenfalls ein längeres Zeitintervall ΔT zwischen A und R als das Eigenzeitintervall ΔTˆ0 , das von der im System Sˆ ruhenden Uhr zwischen A und Pˆ gemessen wird. In beiden Fällen misst ein Beobachter auf seiner Uhr eine längere Zeit als die Eigenzeit der Uhr im relativ dazu bewegten anderen System. Dieses Phänomen der gegenseitigen Verlängerung der Zeitintervalle wird als Uhrenparadoxon bezeichnet. Tatsächlich liegt jedoch kein Widerspruch ˆ bei x vor, da die Messungen im System Sˆ in R ˆ “ 0 bzw. im System S in R bei x “ 0 erfolgen, die keine äquivalenten Weltpunkte darstellen.

388

7 Spezielle Relativitätstheorie

ct

ct

Y

R P Q

c T

Y

ct

ct

R

P c T 0

C− = −1

x

A

X

Q

C= −1

cT c T0

x A

x

X

x

Abb. 7.11: Diagramme zur Zeitdilatation Uhren messen im eigenen Ruhesystem ihre Eigenzeiten, die die kürzesten Zeitspannen darstellen im Vergleich mit dazu relativ bewegten Inertialsystemen. Das wird häufig auch etwas plakativ folgendermaßen ausgedrückt: Bewegte Uhren gehen langsamer als ruhende! Dieses messbare Verhalten wird Zeitdilatation, also Zeitdehnung, genannt, da den bewegten Beobachtern die Zeitintervalle ihrer eigenen Uhren im Vergleich mit der Uhr im Ruhesystem länger und damit gedehnt erscheinen. Die Relation der Zeitspannen wird auch hier mit der Lorentz-Transformation ermittelt. Im ersten Fall misst die im System S am festen Ort xa “ xe “ 0 ruhende Uhr als Eigenzeit τ die Zeitspanne, τ “ ΔT0 “ te ´ ta während für die im bewegten System Sˆ ruhende Uhr dabei die Zeit ΔTˆ “ tˆe ´ tˆa ´ ´ β ¯ β ¯ “ γ te ´ x e ´ γ t a ´ x a c c “ γ pte ´ ta q “ γ ΔT0 vergeht. Mit entsprechender Rechnung erhält man im zweiten Fall das Ergebnis durch relativistische Vertauschung. Die Zeitspannen der Uhren im

7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate

389

bewegten System bzw. für die bewegten Beobachter lauten ΔT0 ΔTˆ “ γ ΔT0 “ b 1 ´ β2

ą ΔT0 “ τ (7.33)

ΔTˆ0

ΔT “ γ ΔTˆ0 “ b 1 ´ β2

ą ΔTˆ0 “ τˆ

Aus dem Vergleich der Abbildungen 7.8 und 7.10 kann man diese Ergebnisse auch direkt folgern. ˆ c ΔTˆ γ AR “ “ c ΔT0 1 AP

sowie

γ AR c ΔT “ “ ˆ 1 c ΔT 0 APˆ

Der Vergleich der Resultate (7.32) und (7.33) zeigt, dass Längenkontraktion und Zeitdilatation in reziprokem Verhältnis zueinander stehen. Als Ergebnis des Vergleichs von Längen und Zeiten in verschiedenen Inertialsystemen kann man folgende Aussagen festhalten. Eigenlängen sind am größten! Eigenzeiten sind am kürzesten!

(7.34)

Ein bekanntes Beispiel zur Bestätigung der Zeitdilatation betrifft die Lebensdauer von Myonen, [6, S. 70, 74], [12, S. 43]. Im Zerfallsgesetz für die Anzahl instabiler Teilchen, N ptq “ N0 e´t{Tμ die sich während der Halbwertszeit t “ Tμ ln 2 halbiert, beträgt die mittlere Lebensdauer von Myonen im Ruhesystem, die bei langsamer Bewegung in Beschleunigern gemessen wird, etwa Tμ “ 2.2 μs. Durch kosmische Höhenstrahlung in der oberen Atmosphäre erzeugte Myonen haben etwa Lichtgeschwindigkeit und würden in der Zeit Tμ nur

390

7 Spezielle Relativitätstheorie

cTμ “ 660 m zurücklegen können. Mit sinkender Höhe h müsste sich ihre Anzahl also alle cTμ ln 2 “ 457 m halbieren. Nach Durchlaufen der Atmosphäre von ungefähr h “ 20 km wäre dann nur noch ein verschwindender Bruchteil von 2´20 000{457 N0 « N0 e´30 Myonen vorhanden. Tatsächlich nimmt ihre Anzahl aber viel langsamer ab, denn am Boden wird noch ein Anteil von etwa N0 {100 nachgewiesen. Für einen Beobachter, der sich im Erdsystem relativ gegen sie bewegt, beträgt die Lebensdauer der Myonen nach (7.33) Tμ h h{c “ “ TE “ a 2 vμ β 1´β

Ñ

h β a “ “ α “ 30.3 2 cTμ 1´β

Daraus ergeben sich folgende Werte vμ α “ 0.999456 “? c 1 ` α2 a h TE “ “ 1 ` α2 Tμ “ 30.32 Tμ “ 66.7 μs βc β“

Dem Beobachter auf der Erde, der sich gegenüber dem Ruhesystem der Myonen mit hoher Geschwindigkeit bewegt, erscheint die Lebensdauer TE der Myonen damit wesentlich länger als deren mittlere Lebensdauer Tμ , so dass sie aus seiner Sicht erheblich größere Entfernungen als 660 m zurücklegen können. Bei allen Beschleunigerexperimenten in der Physik der Elementarteilchen treten wegen der großen Geschwindigkeiten relativistische Effekte der Zeitdilatation und Längenkontraktion auf, die bei Berechnungen und Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen!

7.4.4

Vergleich von Abständen und Zeiten auf Weltlinien

In der Abbildung 7.12 werden innerhalb des Lichtkegels verschiedene Weltlinien und die Abstände auf ihnen miteinander verglichen. Im Inertialsystem Spct, xq befinden sich die Ereignisse A und B am gleichen Ort x “ 0 und der zeitartige Abstand cτ auf ihrer Weltlinie entspricht der Eigenzeit in diesem System.

391

7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate

ct ~

ct

ct

B

Y R P

M

x

Q

x A X

x~

Abb. 7.12: Vergleich von Weltlinien in der Raumzeit

Der Vierervektor des Abstandes zwischen A und B ist nach (7.9) imaginär und sein Betragsquadrat oder Normquadrat daher negativ, RAB “ jcτ e0 } RAB }2 “ RAB ¨ RAB “ ´ pcτ q2 ă 0 worin sich die Eigenschaft des pseudo-euklidischen Raumes nach der Klassifizierung (7.31) äußert. Sendet man in A ein Lichtsignal aus, das im Punkte M durch einen Spiegel zum Ausgangspunkt im System S und damit zum Ereignis oder Weltpunkt B zurückgeworfen wird, dann sind die Abstände auf den beiden Teilstücken AM und M B der Weltlinie für lichtartige Wegelemente jeweils Null. } RAM } “ } RM B } “ 0

392

7 Spezielle Relativitätstheorie

Bei der Beurteilung anderer Weltlinien von A nach B gilt für Zeitdifferentiale nach dem Ergebnis (7.33) der Zeitdilatation a dτ “ 1 ´ β 2 dt ă dt Dabei bedeutet dτ das Eigenzeitelement im Ruhesystem Spct, xq, von dem aus andere Systeme mit dem Zeitelement dt beurteilt werden. Dieser Zusammenhang wird im Abschnitt 8.2.3 noch näher betrachtet. Die Eigenzeit zwischen den Weltpunkten A und B im System S, in dem β “ 0 gilt, lautet żB τ “ dt “ tB ´ tA “ TAB A

Die Integration auf den Weltlinien des Lichtsystems liefert wegen v “ c und damit β “ 1 das Ergebnis, τAM “ τM B “ τAQ “ τRB “ 0 was mit den oben angegebenen verschwindenden lichtartigen Abständen in Übereinstimmung ist. Für die in der Abbildung dargestellten Weltlinien, bei denen sich die Sys˜ t˜, x ˆ tˆ, x teme Spc ˆq und Spc ˜q mit den Geschwindigkeiten vˆ bzw. v˜ von Spct, xq entfernen, erhält man folgende Ungleichungen. τAQB “ τAQ `

żBb

1 ´ β˜2 dt ă

Q

τARB “

żRb

żB

dt ă tB ´ tQ ă TAB

Q

1 ´ βˆ2 dt ` τRB ă

A

żR

dt ă tR ´ tA ă TAB

A

Die Ungleichungen rechts ergeben sich bei Messung der Abstände RQB bzw. RAR am festen Ort x “ 0. Bei einer Weltlinie, die keinen Lichtweganteil aufweist, erhält man τAP B “

żPb A

1 ´ βˆ2 dt `

żBb

1 ´ β˜2 dt

P

ă tP ´ tA ` tB ´ tP “ tB ´ tA “ TAB

7.4 Konsequenzen der Einstein’schen Postulate

393

Entgegen der „ geometrischen Anschauung “ stellt die Eigenzeit zwischen zwei Weltpunkten auf der Zeitachse eines Bezugssystems und damit am festen Ort das längste Zeitintervall dar im Vergleich mit allen Alternativwegen zwischen den gleichen Punkten, was bei differentieller Betrachtungsweise auch für gekrümmte Weltlinien gilt. Ein länger erscheinender Weg im Minkowski-Diagramm benötigt daher stets eine kürzere Zeit! Diese Betrachtung wird im Zusammenhang mit dem Zwillingsparadoxon in [11, S. 37] näher ausgeführt.

Literatur [1] Bergmann, L., Schaefer, C.: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III Optik Walter de Gruyter, Berlin New York, 8. Aufl. (1987) [2] Born, M.: Die Relativitätstheorie Einsteins Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 5. Aufl. (1969) [3] Einstein, E.: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie Friedr. Vieweg & Sohn GmbH Verlag, Braunschweig, 7. Aufl. (1920) [4] Falk, G., Ruppel, W.: Mechanik, Relativität, Gravitation Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 3. Aufl. (1983) [5] Hecht, E.: Optics Addison-Wesley Longman Inc., 3. Aufl. (1998) [6] Kacser, C.: Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie Berliner Union, Stuttgart (1970) [7] Melcher, H.: Relativitätstheorie in elementarer Darstellung VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 4. Aufl. (1974) [8] Michelson, A. A.: Studies in Optics Dover Publications, New York (1995) 394

Literatur

[9] Raschewski, P. K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 2. Aufl. (1995) [10] Resnick, R.: Einführung in die spezielle Relativitätstheorie Ernst Klett Verlag, Stuttgart (1976) [11] Schröder, U. E.: Spezielle Relativitätstheorie Verlag Europa Lehrmittel, 5. Aufl. (2014) [12] Sexl, R., Schmidt, H. K.: Raum - Zeit - Relativität Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg (1978)

395

Kapitel 8

Vierergrößen und relativistische Kinematik Zusammenfassung Nach allgemeinen Eigenschaften von Vierergrößen werden die Vierervektoren von Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung, untersucht. Als wichtiges Anwendungsbeispiel speziell im astronomischen Bereich wird die Aberration behandelt.

8.1 8.1.1

Eigenschaften von Vierergrößen Vierdimensionale Vektoren und Tensoren

Bis auf den Vierer-Ortsvektor (7.9) und sein Differential (7.31) wurden Vektoren und Tensoren als physikalische Größen bisher nur im dreidimensionalen euklidischen Raum betrachtet und mit ihren Verknüpfungen und Ableitungen untersucht. Nach den Betrachtungen im Abschnitt 2.4.2 bleiben alle dargestellten Beziehungen für Tensoren aber auch dann richtig, wenn die Zahl n der Dimensionen größer als drei ist, die Matrizen dadurch mehr Elemente aufweisen und Summationen bis zu dieser Zahl n laufen. Im Hinblick auf die physikalischen Erfordernisse der Relativitätstheorie und ihre Beschreibung sind vier Dimensionen für das Minkowski’sche Raum-Zeit-Kontinuum von besonderem Interesse und im vorigen Kapitel 396 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_8

397

8.1 Eigenschaften von Vierergrößen

mit Vierer-Ortsvektor und Lorentz-Matrix bereits eingeführt und verwendet worden. In diesem Kapitel werden zunächst die kinematischen Größen Vierergeschwindigkeit und Viererbeschleunigung als Ableitungen des Vierer-Ortsvektors untersucht und die Aberration als wichtige Anwendung behandelt.

8.1.2

Vierergrößen der Raumzeit

In allgemeiner Form werden die Koordinaten eines Punktes der Raumzeit, die gleichzeitig die Komponenten des Vierer-Ortsvektors darstellen, kontravariant mit oberen Indizes bezeichnet. Ableitungen nach den kontravarianten Koordinaten führen dabei auf kovariante Größen wie bei der abkürzenden Schreibweise (16.2, Bd. I) erläutert. Die Kennzeichnung von ko- und kontravarianten Größen ist in der Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie eigentlich nicht erforderlich, da diese Unterscheidung nach Abschnitt 6.6.5 (Bd. I) im Koordinatensystem des ˆ aufgehoben Minkowski-Raumes mit orthogonalen Basisvektoren e bzw. e ist. Aus Gründen der Konsistenz mit früheren Kapiteln wird diese Kennzeichnung aber beibehalten. Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten (7.11) der Inertialsysteme ˆ der nicht von allgemeiner funktionaler Form wie in (14.1, Bd. I) S und S, sondern linear ist, wird gemäß (7.13) durch die orthogonale Matrix L der Lorentz-Transformation oder deren Umkehrung dargestellt. Für die Transformation der Koordinaten eines Punktes gilt dann, ˆ# px# q “ L x# ˆ# “ x x

Ñ

x ˆk “

ÿ3

ˆ# x# “ x# pˆ x# q “ LT x

Ñ

xk “

ÿ3

p“0

p“0

kp xp pk x ˆp

so dass man für die Ableitungen erhält Bˆ xk “ kp Bxp

Bxk “ pk Bˆ xp

(8.1)

Die partiellen Ableitungen einer skalaren Ortsfunktion ψ px# q im Sysˆ# des Systems Sˆ lauten nach der Kettenregel tem S nach den Koordinaten x

398

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

der Ableitung mittelbarer Funktionen, [1, I, S. 363] ÿ 3 Bxν Bψ ÿ3 Bψ Bψ “ “ kν ν ν k k ν“0 Bˆ ν“0 Bx Bˆ x x Bx

pk “ 0, 1, 2, 3q

(8.2)

Eine Vektorfunktion V in der Raumzeit ist genau dann ein Vierervektor, wenn seine Komponenten bei Basiswechsel die Lorentz-Transformation wie beim Vierer-Ortsvektor nach (7.13) erfüllen. ` ` ˘T ˘ ˆ Te ˆ V “ V# e “ V #

ˆ “ LV V # #

ˆ “ Le e

(8.3)

Das Skalarprodukt zweier Vierervektoren hat im orthogonalen System der Raumzeit die folgende Komponentendarstellung, die einen Lorentzinvarianten Skalar darstellt. ` ` ˘T ˘ ˆ TW ˆ V ¨ W “ V# W# “ V # #

8.1.3 8.1.3.1

(8.4)

Vierer-Differentialoperatoren Tessera-Operator

In Analogie zum dreidimensionalen Nabla-Operator der Gleichung (17.4, Bd. I) wird ein invarianter vektorieller Viereroperator definiert, der in Anlehnung an das griechische Wort für ‚vier‘ Tessera-Operator genannt und mit dem Symbol l bezeichnet wird. Der Spaltenvektor seiner Komponenten l # besteht aus den Ableitungen nach den vier orthogonalen Koordinaten der Minkowski’schen Raumzeit. In symbolischer Schreibweise lautet der Tessera-Operator l x..y “ e0

B x..y B x..y B x..y B x..y ` e1 ` e2 ` e3 “ eT l # x..y 0 1 2 Bx Bx Bx Bx3

(8.5)

Die partiellen Ableitungen einer Raumzeitfunktion ψpt, x, y, zq werden zum Spaltenvektor zusammengefasst. ´ B ´ j Bψ Bψ Bψ Bψ ¯T B B B ¯T l# ψ “ , , , ψ “ ´ , , , Bx0 Bx1 Bx2 Bx3 c Bt Bx By Bz

8.1 Eigenschaften von Vierergrößen

399

Mit dem Tessera-Operator kann man die Gleichungen (8.2) zur Transformationsbeziehung der partiellen Ableitungen in Matrixform angeben. ˆ #ψ “ L l #ψ l 8.1.3.2

(8.6)

Vierergradient

Die Anwendung des Tessera-Operators auf eine skalare Raumzeitfunktion ψpt, x, y, zq führt auf den Vierergradienten, der auf Grund der Transformation der partiellen Ableitungen und Basisvektoren ein Lorentz-invarianter Vektor ist. ˆ #ψ ˆT l l ψ “ eT l # ψ “ e 8.1.3.3

(8.7)

Viererdivergenz

Setzt man in (8.2) an Stelle der Funktion ψ die Komponenten Vˆk eines Vierervektors ein, dann erhält man mit (8.3) ÿ3 ÿ3 B Vˆk B ÿ3 B Vˆk “ “ kλ Vλ kν kν ν“0 ν“0 λ“0 Bxν Bxν Bˆ xk Die Summe dieser Ableitungen über k läßt sich auf Grund der Eigenschaften der orthogonalen Matrix L vereinfachen. ÿ3 ÿ3 ÿ3 ÿ 3 B Vˆk BVλ “ kν kλ ν k k“0 Bˆ k“0 ν“0 λ“0 Bx x ÿ3 ÿ 3 ÿ 3 BVλ ÿ 3 BVν “ “ kν kλ ν“0 λ“0 Bxν k“0 ν“0 Bxν looooooomooooooon “ δνλ nach (3.33, Bd. I)

Der Summenausdruck entspricht der Divergenz des Vierervektors V, die man Viererdivergenz (Div) nennt und die man als Skalarprodukt aus Tessera-Operator und Vierervektor bildet. Im Sinne der Tensorrechnung bedeutet diese Operation eine Verjüngung. Auf Grund der Transformationseigenschaften stellt die Viererdivergenz eine Lorentz-invariante Skalarfunktion dar. ÿ 3 BVk ÿ 3 B Vˆk Div V “ l ¨ V “ “ (8.8) k“0 Bxk k“0 Bˆ xk

400

8.1.3.4

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

Divergenz von Tensoren der Raumzeit

Das Skalarprodukt aus Tessera-Operator und Tensor ist wie in Abschnitt 17.3.8 (Bd. I) auf zwei Arten ausführbar, als gewöhnliche sowie als alternative Divergenz, wobei Vierervektoren entstehen. div T “ l ¨ T “ lT# T e

(8.9)

˚

Ă “ lT TT e div T “ l ¨ T # Als Viererdivergenzen eines Tensors 2. Stufe der Raumzeit erhält man die beiden Darstellungen (18.47, Bd. I). 8.1.3.5

D’Alembert-Operator

Die Bildung des Skalarproduktes zweier Tessera-Operatoren als vierdimensionale Verallgemeinerung des Laplace-Operators (17.64, Bd. I) führt auf den in (5.53) definierten D’Alembert-Operator. l ” l ¨ l “ lT# l # “ Δ ´

1 B2 c2 Bt2

(8.10)

Nach (8.7) hat der D’Alembert-Operator in S und Sˆ die gleiche Form und ist damit ein Lorentz-invarianter skalarer Ableitungsoperator. l “ Δ´

2 1 B2 ˆ ´ 1 B “ Δ c2 Bt2 c2 B tˆ2

Wendet man den D’Alembert-Operator auf eine skalare Raumzeitfunktion ψpt, x, y, zq an, dann erhält man entsprechend zu (5.70) im ladungsfreien Vakuum die Wellengleichung in kovarianter Form, l ψ “ Δψ ´

B2 ψ 1 B2 ψ ÿ 3 “ ` ˘2 “ 0 k“0 c2 Bt2 B xk

(8.11)

die gleichzeitig die Invarianz gegenüber der Lorentz-Transformation ausdrückt.

401

8.2 Kinematische Vierervektoren

8.2 8.2.1

Kinematische Vierervektoren Vierer-Ortsvektor und Wegelement

Eine physikalische Größe ist genau dann ein Vierervektor oder auch Lorentz-Vektor und damit eine Invariante, wenn seine Raumzeit-Komponenten beim Wechsel des Inertialsystems die Lorentz-Transformation erfüllen, wie das beim Vierer-Ortsvektor nach (7.13) und damit bei den Koordinaten eines Weltpunktes oder Ereignisses der Fall ist. Der Vierer-Ortsvektor der Raumzeit, der in (7.9) definiert wurde, beschreibt die Weltlinie des Punktes P im Inertialsystem S. R “ Rpt, x, y, zq “ jct e0 ` xptq ex ` yptq ey ` zptq ez “ jct e0 ` rptq Die Darstellung von Vierervektoren, bei der die Komponente in e0 -Richtung als Zeitanteil und die drei anderen Komponenten einen gewöhnlichen Vektor als Raumanteil bedeuten, wird im weiteren Verlauf beibehalten und allgemein verwendet und zwar in der invarianten Form gemäß (7.27). Das Wegelement dR des Vierer-Ortsvektors wird als totales Differential gebildet und hat die Darstellung (7.30). dR “

BR BR BR BR dt ` dx ` dy ` dz “ jcdt e0 ` dx ex ` dy ey ` dz ez Bt Bx By Bz ` # ˘T ` ˘T ˆ x dR “ dx# e “ dˆ e

dr dR “ jc e0 ` dt dt

(8.12)

Dabei ist dR selbst ein Vierervektor und stellt nach Abbildung 8.1 die Tangente der Weltlinie dar, die wegen v ď c im Minkowski-Diagramm steiler verläuft, als die Mantellinie des Lichtkegels. Wegen des linearen Zusammenhanges (7.13) zwischen den Koordinaten ˆ# und x# entspricht die für vier Dimensionen gültige Funktionalmatrix x (13.4, Bd. I) nach (13.7, Bd. I) der Lorentz-Matrix. x# { x# q dx# “ L dx# dˆ x# “ F pˆ Damit gilt nach (14.9, Bd. I) für die Minkowski’sche Raumzeit G # “ FT pˆ x# { x# q F pˆ x# { x# q “ LT L “ E

402

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik



ct P

dR R (P)

Weltlinie des Punktes P 

Lichtkegel

x  Abb. 8.1: Weltlinie mit Vierer-Ortsvektor und Tangente

Bezüglich der formalen Koordinaten px0 , x1 , x2 , x3 q ist der MinkowskiRaum euklidisch und seine Metrikmatrizen sind mit der Einheitsmatrix identisch.

G # “ G # “ LT L “ L LT “ E

(8.13)

Dagegen ist der Minkowski-Raum bezüglich der physikalischen Variablen pt, x, y, zq pseudo-euklidisch, wodurch sich die Klassifizierung (7.31) ergibt.

403

8.2 Kinematische Vierervektoren

8.2.2

Transformation der Volumenelemente

Im eindimensionalen Translationsfall gilt auf Grund von Zeitdilatation (7.33) und Längenkontraktion (7.32) dt dtˆ “ γ dt “ a 1 ´ β2 dx a dˆ x“ “ 1 ´ β 2 dx , γ

dˆ y “ dx ,

dˆ z “ dz

Für den in S ruhenden Beobachter ist das in Sˆ bewegte kartesische Volumenelement durch die Kontraktion in x-Richtung verkleinert. dˆ v “ dˆ x dˆ y dˆ z“

1 1 dx dy dz “ dv γ γ

Für das Volumenelement der Raumzeit gilt dagegen in beiden Systemen dΩ “ dx0 dx1 dx2 dx3 “ jc dt dx dy dz “ jc dt dv 1 ˆ “ dˆ dΩ x0 dˆ x1 dˆ x2 dˆ x3 “ jc dtˆdˆ x dˆ y dˆ z “ jc γ dt dv “ jc dt dv γ Beim kartesischen Volumenelement tritt ein Faktor γ auf, aber das Volumenelement im Minkowski-Raum ist eine Lorentz-invariante, skalare Größe. 1 ˆ “ dΩ dˆ v “ dv (8.14) dΩ γ

8.2.3

Eigenzeitelement und Vierergeschwindigkeit

Zur Unterscheidung von der konstanten Relativgeschwindigkeit v zweier Inertialsysteme wird die Bewegung von Punkten P oder Objekten im dreidimensionalen Raum durch den Geschwindigkeitsvektor u beschrieben. Die Ableitung des Ortsvektors r sowie die zeitlichen Änderungen der kartesischen Koordinaten von P führen zu u und seinen Komponenten auf der Bahnkurve. uptq “

dy dz dx dr “ ex ` ey ` ez “ u x ex ` u y ey ` u z ez “ u T e dt dt dt dt (8.15)

404

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

Gesucht wird der Vierervektor U der Geschwindigkeit des Punktes P , der sich im System S auf einer Weltlinie bewegt, wobei dessen räumlicher Anteil durch den Vektor u beschrieben wird. Bei Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit c werden die von u abhängigen ˚

˚

Lorentz-Größen von P mit β und γ bezeichnet, um sie von den konstanten Werten β und γ der Relativbewegung der Inertialsysteme S und Sˆ zu ˚

˚

unterscheiden. Im Gegensatz dazu sind β und γ Zeitfunktionen, die für beliebige, also auch beschleunigte Bewegungen von Weltpunkten gelten! v β“ c

1 a “ 1 ´ β2 γ

1

u β“ c ˚

˚

γ

b “

˚

1´ β 2

(8.16)

Aus (8.12) erhält man den Betrag des Wegelementes der Raumzeit. ´ ` ˘2 u¨u¯ 2 dt dR ¨ dR “ | dR |2 “ dR2 “ jc e0 ` u dt2 “ ´ c2 1 ´ 2 c Mit dem Beta-Vektor für den variablen Punkt P ˚ ˚ ˚ ˚

˚ “ u “ u x e x ` u y ey ` u z ez “ β x ex ` β y ey ` β z ez “ β T e β c c c c

(8.17) ˚ ˚ ˚ ˚

˚ “ β2 “ u ¨ u “

˚ ¨ β “ β x2 ` β y2 ` β z2 β 2 c c lautet das Wegelement ˚ ˘ ` 1 dR2 “ ´ c2 1´ β 2 dt2 “ ´ c2 ˚ dt2 γ2 b ˚ jc dR “ jc 1´ β 2 dt “ ˚ dt γ

´ u ¯2

Minkowski führte das invariante Element dτ der Eigenzeit ein als Quotient aus den Invarianten dR und jc, mit dem der Zuwachs der Zeit im eigenen Inertialsystem oder Ruhesystem ausgedrückt wird und was der Zeitdilatationsbeziehung (7.33) entspricht. dt dR “ ˚ “ dτ “ jc γ

b

˚

1´ β 2 dt “

c 1´

´ u ¯2 c

dt

(8.18)

405

8.2 Kinematische Vierervektoren

Damit gilt für den Lorentz-Faktor auf der Weltlinie von P dτ “ “ ˚ dt γ puq 1

b

˚

1´ β 2

˚

γ2 ´1 “

`

˚ ˚ ˘2

βγ

(8.19)

Dividiert man das vektorielle Wegelement des Vierer-Ortsvektors durch das Element der Eigenzeit, so erhält man den invarianten Differentialquotienten dR{dτ , der die Vierergeschwindigkeit U der Bewegung eines Punktes P auf seiner Weltlinie beschreibt. Mit (7.9) bzw. (7.27) folgt für den Vierervektor und seine Komponenten in den Bezugssystemen S und Sˆ U“

dt dR “ dτ dτ dtˆ “ dτ

˘ ˚ d ` dR “γ jct e0 ` r dt dt ˘ ˆ˚ d ` dR “γ jctˆˆ e0 ` rˆ ˆ ˆ dt dt

Man erhält damit die Darstellungen der Vierergeschwindigkeit und seiner Matrizen. U“

˘ ˆ˚ ` ˘ ˚` dR ˆT e ˆM e0 ` u ˆ “ UT eM “ U “ γ jc e0 ` u “ γ jc ˆ dτ

(8.20a)

˘T ˘T ` ˚` “ γ jc , ux , uy , uz U “ U 0 , Ux , Uy , Uz (8.20b) ` ˘ ˘T ˆ˚ ` ˆ “ U ˆ0 , U ˆx , U ˆy , U ˆz T “ γ jc , u U ˆx , u ˆy , u ˆz Im Ruhesystem SR des Punktes P , in dem seine Geschwindigkeit uR “ 0 ist, gilt speziell +

R “ 0 β Ñ UR “ jc e0 (8.21) γR “ 1 Der Vektor U kann nach (8.18) auch in folgender Form dargestellt werden, U“

dR dR “ jc “ jc eR dτ dR

406

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

an der man erkennt, dass die Vierergeschwindigkeit U dem ortsabhängigen Einheitsvektor eR des Wegelementes proportional ist. Das Quadrat der Geschwindigkeit ist daher konstant und stellt einen invarianten Skalar dar. U ¨ U “ | U |2 “ UT U “ ´ c2

(8.22)

Damit ist U tatsächlich ein Vierervektor, der die Geschwindigkeit auf einer Weltlinie beschreibt. Die Vierergeschwindigkeit U kann niemals verschwinden und hat nach der Klassifizierung (7.31) einen zeitartigen Charakter für den folgende allgemeine Regel gilt. • Vierervektoren entstehen nur dann, wenn man Ableitungen als d{dτ nach dem Lorentz-invarianten Element der Eigenzeit und nicht als d{dt bildet, da dt keine invariante Bedeutung hat! Die Ableitung des Skalarproduktes (8.22) nach den Koordinaten ist Null. ˘ dU dc2 d` U ¨ U “ 2U ¨ “´ “0 dξ dξ dξ

p ξ “ x q

Im Riemann’schen Raum, in dem man zwischen ko- und kontravarianten Komponenten unterscheiden muss, was im orthogonalen Minkowski-Raum entfällt, erfüllen die Geschwindigkeitskomponenten wegen ˘T ˘T ` ˘T # ` ` U “ U# U# U ¨ U “ U # g# ¨ g #

die folgenden Beziehungen, wobei die Ableitungen nach einer der vier Größen ξ “ t, τ, x, y, z erfolgen kann.

`

U#

˘T

3 ÿ ˘T ` U# “ U# U# “ Uν U ν “ ´ c2 ν“0

` ˘T 3 ” ÿ ` ˘T BU # B U# BU ν BUν ı Uν U# ` U# “ ` Uν “0 Bξ Bξ Bξ Bξ ν“0

(8.23)

407

8.2 Kinematische Vierervektoren

8.2.4

Transformation der Vierergeschwindigkeit

Die Umrechnung der Viererkomponenten erfolgt wie beim Vierer-Ortsvektor mit der ein- oder dreidimensionalen, orthogonalen Lorentz-Matrix (7.16) oder (7.23), die hier allgemein nur mit L bezeichnet wird. ˆ “ LU U

ˆ U “ LT U

(8.24)

Im dreidimensionalen Fall erhält man mit (8.20) nach Zwischenrechnung die Ergebnisse ” ı ˆ 0 “ γ U0 1 ´ u ¨ v U c2 ı ” ˆ k “ Uk ` j U0 vk γ ´ γ ´ 1 u ¨ v U pk “ x, y, zq c β2 c2 ˆ0 aus (8.20), dann erhält man Ersetzt man in der ersten Beziehung U0 und U die Gamma-Relation. ˆ˚ γ

” u¨v ı “ γ 1 ´ ˚ c2 γ

(8.25)

Bei der inversen Darstellung mit den transponierten Matrizen ergeben sich folgende Beziehungen mit Vorzeichenumkehr beim Vektor v bzw. seinen Komponenten. ” ˆ¨v ı ˆ0 1 ` u U0 “ γ U c2 ” ˆ ˆ¨v ı ˆ k ´ j U0 vk γ ` γ ´ 1 u pk “ x, y, zq Uk “ U c β2 c2 Aus (8.20) folgen die Beziehungen ux Ux “ U0 jc ˆx ˆx U U0 U “ jc ˆ0 ˆ 0 U0 U U " * Ux jc vx ” ˆ¨v ı γ´1 u ” ı “ `j γ´ u¨v U0 c β2 c2 γ 1´ 2 c

u ˆx “ jc

408

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

Damit erhält man die Transformation der Geschwindigkeitskomponenten der ex ` u ˆy ˆ ey ` u ˆz ˆ ez in den Vektoren uptq nach (8.15) und u ˆptq “ dˆ r {dtˆ “ u ˆx ˆ ˆ die sich durch Vorzeichenumkehr von v beiden Inertialsystemen S und S, bzw. vk ergeben. ” γ´1 u¨v ı ¨ uk ´ v k γ ´ β2 c2 u ˆk “ ” ı u¨v γ 1´ 2 c (8.26) ˆ¨v ı γ´1 u ¨ u ˆ k ` vk γ ` β2 c2 uk “ ” ı u ˆ¨v γ 1` 2 c ”

Im eindimensionalen Fall mit v “ v ex gelten die folgenden reduzierten Transformationsbeziehungen für die Komponenten der Vierergeschwindigkeiten, die man direkt mit der einfachen Lorentz-Matrix berechnet. ” ı ˆ U0 “ γ U0 ´ jβ Ux , ” ı ˆ0 ` jβ U ˆx , U0 “ γ U

” ı ˆ Ux “ γ Ux ` jβ U0 , ” ı ˆx ´ jβ U ˆ0 , Ux “ γ U

ˆy,z “ Uy,z U ˆy,z Uy,z “ U

Die Transformation der Komponenten der dreidimensionalen Geschwindigkeitsvektoren u ˆ und u ergeben sich daraus unter Anwendung der GammaRelation.

u ˆx “

ux ´ v , ux v 1´ 2 c

u ˆy,z “

uy,z ux v ı γ 1´ 2 c ”

(8.27) u ˆx ` v ux “ , u ˆx v 1` 2 c

uy,z

u ˆy,z “ ” u ˆx v ı γ 1` 2 c

409

8.2 Kinematische Vierervektoren

8.2.5

Viererbeschleunigung

Der Vierervektor der Beschleunigung A wird berechnet durch Ableitung der Vierergeschwindigkeit nach der Eigenzeit. ˘ı ˚ dU ˚ d ” ˚` dt dU dU γ jc e0 ` u “ “γ “γ A“ dτ dτ dt dt dt ˘T ` “ A0 , Ax , Ay , Az e Der dreidimensionale Beschleunigungsvektor a auf der Bahnkurve von P wird dabei als gewöhnliche Zeitableitung der Geschwindigkeit u berechnet, aptq “

du “ u9 “ u9 x ex ` u9 y ey ` u9 z ez “ aT e dt

(8.28)

mit dem die Viererbeschleunigung lautet ˚

˚

˘ dγ ˚ ˚` ˚ dU dγ A“ “ γ 2 a ` γ jc e0 ` u “ γ2a`U dτ dt dt

(8.29)

Die Ableitung des Lorentz-Faktors (8.19) führt dabei auf folgendes Ergebnis. ˚ dγ d ´ u ¨ u ¯´1{2 “ 1´ 2 dt dt c ´ 1 1¯ du u ¨ u ¯´3{2 ´ “´ ´ 2 2u ¨ 1´ 2 2 c c dt ˚3 u ¨ a “γ c2

Die Viererbeschleunigung besitzt damit für k “ x, y, z folgende Komponenten in der Raumzeit. ˚

A0 “ jc γ 4

u¨a c2

˚2 ” ˚2 u¨aı γ γ Ak “ uk 2 ak ` c

(8.30)

Durch das Skalarprodukt hängen alle vier Beschleunigungskomponenten sowohl von u als auch von a ab.

410

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik Für den Vektor U mit konstantem Betrag nach (8.22) gilt, ˘ dU d ` dc2 U ¨ U “ 2U ¨ “ 2U ¨ A “ ´ “0 dτ dτ dτ

so dass die Vierervektoren von Geschwindigkeit und Beschleunigung in der Raumzeit zueinander orthogonal sind. U¨A“0

(8.31)

In der Speziellen Relativitätstheorie können durchaus Beschleunigungen auftreten, allerdings nur bei der Bewegung von Objekten, da ja diese Theorie in allen Berechnungen nur voraussetzt, dass die Bezugssysteme gegeneinander gleichförmige, also unbeschleunigte Relativbewegungen ausführen. Ein Objekt mit der konstanten Geschwindigkeit u “ v hat diese Geˆ In schwindigkeit im Ruhesystem S und ruht im bewegten Objektsystem S. ˚ ˚ diesem Sonderfall gehen die Größen β und γ in β und γ über und vereinfachen die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsbeziehungen.

8.3

Aberration

Als Beispiel für Geschwindigkeiten und ihre Addition wird ein bewegtes Objekt betrachtet, das man in Abbildung 8.2 aus der Sicht zweier Inertialsysteme beschreibt, die sich relativ zueinander bewegen. Man kann die Achsen beider Systeme stets so orientieren, dass für die Relativgeschwindigkeit v “ v ex gilt. Die auftretenden Objektgeschwindigkeiten werden aus den dreidimensionalen Ortsvektoren (7.25) bestimmt, die zur einfacheren Behandlung keine Komponenten in z-Richtung aufweisen. Gesucht ist die Geschwindigkeit u des Objektes im Punkte P des erdfesten Systems S, u“

dr “ ux ex ` uy ey “ u cos α ex ` u sin α ey “ u n dt

411

8.3 Aberration

y

y

S

S

u° 

v

P

r r°

x

O

O

x

Abb. 8.2: Addition von Geschwindigkeiten

sowie die Geschwindigkeiten ˚ u und u ˆ im bewegten System Sˆ z.B. bei einer Billardkugel auf einem Tisch in einem fahrenden Zug.

d˚ r ˆ y ey “ u ˆ cos α ˆ ex ` u ˆ sin α ˆ ey “u ˆ x ex ` u dt dˆ r “u ˆx ˆ u ˆ“ ex ` u ˆy ˆ ey “ u ˆ cos α ˆˆ ex ` u ˆ sin α ˆˆ ey dtˆ

˚ u“

Im kartesischen Koordinatensystem der Abbildung kann man ˚ u darstellen, u ˆ wegen seiner Einheitsvektoren (7.24) dagegen nicht. Mit der Geschwindigkeitstransformation (8.27) erhält man den Vektor u im Ruhesystem S,

v`u ˆ cos α ˆ u ˆ sin α ˆ ex ` ` ˘ ey u ˆ u ˆ 1 ` β cos α γ 1 ` β cos α ˆ ˆ c c “ u cos α ex ` u sin α ey

u“

412

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

dessen Betragsquadrat mit 1{γ 2 “ 1 ´ β 2 nach Zwischenrechnung lautet ¯2 ` ´u ˘” u ˆ ˆ ¯2 ı cos α ˆ ´ 1 ´ β2 1 ´ c c “ ´ ¯2 u ˆ 1 ` β cos α ˆ c ´u ˆ ¯2 1 ´ ` ˘ c “ 1 ´ 1 ´ β2 ´ ¯2 u ˆ 1 ` β cos α ˆ c ´

´ u ¯2 c

“

´ u ¯2 c

1`β

Für den speziellen Fall α ˆ “ 0 und damit u ˆ“u ˆ ex gilt, u“

v`u ˆ v`u ˆ ex “ e u ˆ v u ˆ x 1`β 1` c c c

was dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten (7.20) entspricht. Die Winkel α und α ˆ der Bahnkurven in Abbildung 8.3, die die Richtungen der Geschwindigkeiten in S und Sˆ angeben, erfüllen die folgenden beiden Tangens-Darstellungen. u ˆ sin α ˆ c u ˆ β ` cos α ˆ c a uy u ˆ 1 ´ β2 sin α ˆ α sin α c tan “ “ u c ux “ ´ ¯ ´ ¯ u u u ˆ 2 1 ` cos α ` `β ` 1`β cos α ˆ c c c c c a uy sin α “ 1 ´ β2 “ tan α “ cos α ux

8.3.1

Bedeutung in der Astronomie

Mit diesen Beziehungen kann man in der Astronomie die Winkelabweichung oder Aberration bei der Beobachtung von Sternpositionen erklären. Durch den Umlauf der Erde um die Sonne führen nahe Fixsterne eine scheinbare jährliche periodische Bewegung in Form einer kleinen Ellipse am Sternhimmel durch. James Bradley (1693 -1762) untersuchte 1727/28 die Winkelabweichung des Fixsterns γ Draconis im Sternbild Drache. Durch seine Messungen der kleinen Aberrationskonstante β “ vE {c konnte er

413

8.3 Aberration

y

y u° rP = r°P

P

( t = 0 )

Bahnkurve in S R


Q

u 

r°R



r°Q r°P P

x O

y

O

x v ( t = T )

r°P P

O

Bahnkurve in S

x v ( t = 2T )

Abb. 8.3: Bahnkurven eines Objektes in beiden Bezugssystemen

mit der aus astronomischen Daten bereits bekannten Bahngeschwindigkeit der Erde in der Ebene der Ekliptik von vE « 30 km/s die Lichtgeschwindigkeit c genauer als bis dahin bestimmen. Von der tatsächlichen nahezu kreisförmigen Umlaufbahn der Erde wird hier zunächst abgesehen und nur die direkte Bewegung zwischen Erde und Stern an zwei Punkten der Ekliptik betrachtet. Ein Beobachter, der im ekliptischen System SE von Erde bzw. Sonne ˆ ruht, empfängt Licht von einem Stern im Punkt P in dessen Ruhesystem S, das sich gegenüber SE mit v “ vE bewegt. Für die Beträge beider Vektoren u ˆ und u gilt Lichtgeschwindigkeit. |u ˆ| “ c

Ñ

|u| “ c

Der Geschwindigkeitsvektor des in Sˆ gesendeten Sternenlichts u ˆ “ c cos α ˆˆ ex ` c sin α ˆˆ ey

414

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

führt auf den Vektor u in SE oder dessen Richtung n. n“

u “ cos α ex ` sin α ey c a β ` cos α ˆ 1 ´ β 2 sin α ˆ “ ex ` ey 1 ` β cos α ˆ 1 ` β cos α ˆ

(8.32)

Die Tangens-Darstellungen liefern die Aberrationsformeln für die Relation der Winkel und lauten tan α “

a 1 ´ β2

sin α ˆ β ` cos α ˆ (8.33)

d a α 1 ´ β2 1´β sin α ˆ α ˆ tan “ “ tan 2 1 ` β 1 ` cos α ˆ 1`β 2 Der Differenzwinkel Δα “ α ˆ ´ α ergibt sich nach Auflösung der x-Komponente von u nach α ˆ in (8.32) für kleine Werte β der Sternbewegungen aus den folgenden beiden Darstellungen. cos α ˆ“

` ˘` ˘ cos α ´ β “ cos α ´ β 1 ` β cos α ` ¨ ¨ ¨ 1 ´ β cos α

« cos α ´ β sin2 α “` ˘ ‰ cos α ˆ “ cos α ˆ´α `α ` ˘ “ cos Δα ` α “ cos Δα cos α ´ sin Δα sin α « cos α ´ Δα sin α Der Vergleich beider Resultate führt auf den Aberrationswinkel, vE Δα “ α ˆ ´ α « β sin α “ sin α c der in erster Näherung der Relativgeschwindigkeit vE und dem Sinus des Einfallswinkels α proportional ist. Durch die Beziehung (8.32) ist der Aberrationswinkel bestimmt. a 1 ´ β 2 sin α ˆ Δα “ β sin α “ β 1 ` β cos α ˆ

415

8.3 Aberration

Steht der Stern wie bei Bradley senkrecht über dem Horizont im Zenit, dann gilt für den Abstrahlwinkel des Sterns α ˆ “ 270˝ , so dass der Aberrationswinkel in diesem Fall lautet Δα “ α ˆ ´ α “ ´β

a β p1 ´ β 2 “ ´ γ

(8.34)

In der Abbildung 8.4 gilt im jährlichen Umlauf der Erde für die Bezugssysteme in den Orbitpositionen 1 und 3 Annäherung bzw. Entfernung zwischen Erde und Stern.

Ekliptik

3

Entfernung (v > 0) 4

Sonne

Stern 2

Erde



Annäherung (v < 0)

1

Abb. 8.4: Jährliche Umlaufbahn der Erde um die Sonne mit Orbitpositionen Dagegen haben die Systeme bei 2 und 4 keine Relativgeschwindigkeit in ihrer Verbindungsrichtung, so dass dort der Aberrationswinkel Null ist. Im Fall der Erde ist der Aberrationseffekt wegen β “ vE {c « 10´4 gering und liegt im Bereich von Bogensekunden (arc second, as), für die folgende Werte gelten. 1˝ “ 17.453 ¨ 10´3 rad

1 Grad

11 “ 290.888 ¨ 10´6 rad

1 Bogenminute

1 “

1 Bogensekunde

2

4.848 ¨ 10

´6

rad

12 {103 “ 1 mas

1 Millibogensekunde

1 {10 “ 1 μas

1 Mikrobogensekunde

2

6

(8.35)

416

8 Vierergrößen und relativistische Kinematik

Bei Annäherung zwischen Erde und Stern gilt v “ βc “ ´ vE ă 0 und bei Entfernung v “ βc “ vE ą 0. Damit erhält man für den Aberrationswinkel nach (8.34), # bei Annäherung ` 20.63 2 Δα “ 2 ´ 20.63 bei Entfernung also insgesamt eine jährliche Winkelvariation von etwa 41 Bogensekunden, die im Jahresverlauf mit | Δα | cos δ schwankt.

   



  

     

v

Abb. 8.5: Teleskopneigung durch Aberration

Literatur [1] Fichtenholz, G. M.: Differential- und Integralrechnung I/II/III VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 5. Aufl. (1972)

417

Kapitel 9

Relativistische Elektrodynamik Zusammenfassung Die Maxwell’schen Gleichungen können durch geeignete Zusammenfassung zu Vierervektoren und Tensoren in einer eleganten, vereinheitlichten Form ausgedrückt werden. Unter dem Gesichtspunkt der Vierergrößen werden ebene Wellen dargestellt und als wichtige Anwendung wird der Doppler-Effekt im astronomischen Bereich behandelt. Durch Darstellung von Quellengrößen, Potentialen und Feldgrößen als Vierervektoren erhält man beim Vergleich von gegeneinander gleichförmig bewegten Inertialsystemen tiefere Einblicke und größeres Verständnis für das Zusammenwirken von elektrischen und magnetischen Feldern sowie der gesamten elektromagnetischen Erscheinungen. Dabei zeigt sich, dass die Maxwell’schen Gleichungen die Lorentz-Transformation von sich aus erfüllen, wodurch sie eine kovariante Formulierung des elektromagnetischen Feldes darstellen. Die vereinheitlichte Darstellung des elektromagnetischen Feldes ist dadurch möglich, dass man die Feldgrößen in einem Feldtensor zusammenfasst und die Maxwell’schen Gleichungen in allgemeinerer Form durch Divergenzbeziehungen ausdrückt. 418 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_9

419

9.1 Vierereigenschaften ebener Wellen

9.1 9.1.1

Vierereigenschaften ebener Wellen Vierer-Wellenvektor und Phasenfunktion

Die allgemeine ebene Welle, die im Abschnitt 5.5.2 behandelt wurde, besitzt die elektrische Feldstärke Epr, tq “ E0 e jpωt´k¨rq “ E0 e jφ Ihre Phasenfunktion φ “ ωt ´ k ¨ r erzeugt ebene Phasenfronten φ “ const., die orthogonal zum Wellenvektor k “ | k | n “ k0 n sind und die sich mit der Phasengeschwindigkeit im Vakuum, also mit Lichtgeschwindigkeit c, in k-Richtung ausbreiten. ω λ 1 λ “ “ c“ a ω “ λf “ k0 2π T μ 0 ε0

(9.1)

Diese Beziehung verknüpft die charakteristischen Wellengrößen miteinander. Im Minkowski-Raum wird der Vierer-Wellenvektor k eingeführt, der in Raum- und Zeitanteil aus dem dreidimensionalen Wellenvektor und dessen Betrag zusammengesetzt ist. k “ jk0 e0 ` k “ j

ω e0 ` k “ kT eM c

k “ jk0 , kx , ky , kz

˘T

(9.2) `

“

ˆ

2π 2π 2π 2π j , , , λ0 λ x λy λ z

˙T

Das Quadrat des Vierer-Wellenvektors ist Null, k ¨ k “ k2 “ ´ k02 ` k ¨ k “ ´ k02 ` k02 “ 0 so dass k nach der Klassifikation des Wegelementes (7.31) einen lichtartigen Charakter hat.

420

9 Relativistische Elektrodynamik

Das Skalarprodukt aus Vierer-Wellenvektor und Vierer-Ortsvektor ist als Skalar in jedem Bezugssystem invariant, ` ˘ ` ˘ k ¨ R “ jk0 e0 ` k ¨ jct e0 ` r “ ´ ωt ` k ¨ r “ ´ φ woraus hervorgeht, dass die Phasenfunktion eine Lorentz-Invariante ist. ˆ ¨ rˆ φ “ ´ k ¨ R “ ωt ´ k ¨ r “ ω ˆ tˆ ´ k

9.1.2

(9.3)

Doppler-Effekt in der Astronomie

Der durch den Österreicher Christian Johann Doppler (1803 -1853) bei der Bahnbewegung von Doppelsternen 1842 untersuchte und aus der Wellentheorie des Lichtes abgeleitete und nach ihm benannte klassische Doppler-Effekt wird durch die Relativitätstheorie präzisiert und im astronomischen Bereich bei Bewegungen von Sternen und anderen Himmelsobjekten angewendet. Die astronomische Anordnung der Abbildung 9.1 ist die gleiche wie bei der Aberration im Abschnitt 8.3. Die Erde ruht im ekliptischen System SE ˆ das sich relativ zur und der beobachtete Stern befindet sich im System S, Erde mit v bewegt. Beide Systeme sind so orientiert, dass ihre x-Achsen übereinstimmen, so dass die eindimensionale Lorentz-Transformation mit der Matrix (7.16) verwendet werden kann. Der Stern strahlt zwar eine Kugelwelle ab, die aber in dem winzigen Raumwinkelausschnitt, den die Erde im Fernfeld der Strahlung bildet, einer ebenen Welle entspricht, so dass generell die Betrachtung mit ebenen Wellen durchgeführt werden kann. In mathematisch exakter aber anspruchsvoller Weise können Kugelwellen auch aus ebenen Wellen überlagert werden, [10, S. 745], [14, S. 408]. Da die Phasenfunktion φ nach (9.3) eine Invariante ist, bleibt der Charakter der Strahlung erhalten, so dass man in beiden Systemen Sˆ und SE mit ebenen Wellen rechnen kann. Die Kugelwelle des Sterns mit der Senderfrequenz ω ˆ wird als ebene ˆ Welle mit dem Wellenvektor k abgestrahlt. ` ˘ 2π ω ˆ ˆ “ kˆ0 n ˆx ` sin α ˆ“ ˆx ` kˆy e ˆy ˆ“ n ˆy “ kˆx e ˆe k n ˆe ˆ “ kˆ0 cos α ˆ c λ

421

9.1 Vierereigenschaften ebener Wellen









  

  



    



Abb. 9.1: Ebene Empfangswelle bei Abstrahlung einer Kugelwelle von einem Stern Im Erdsystem SE erhält man bei einer relativen Geschwindigkeit v “ v ex “ βc ex beider Systeme die Komponenten des Vierer-Wellenvektors k durch Lorentz-Transformation. ˆ k “ LT k Die Umrechnung ergibt die zeitlichen und räumlichen k-Anteile, ` ˘ k0 “ γ kˆ0 ` βγ kˆx “ γ 1 ` β cos α ˆ kˆ0 “ ` ˘ ‰ k “ kx ex ` ky ey “ kˆ0 γ β ` cos α ˆ ex ˆ ex ` sin α so dass im Erdsystem SE andere Werte für Empfangsfrequenz ωE und Ausbreitungsrichtung k der empfangenen ebenen Welle resultieren. Im System SE erhält man wie bei der Aberration nach (8.32) die Richtung n des Geschwindigkeitsvektors u sowie die Beziehung zum Wellenvek-

422

9 Relativistische Elektrodynamik

tor k. k u β ` cos α ˆ n“ “ “ cos α ex ` sin α ey “ ex ` k0 c 1 ` β cos α ˆ k “ k0 n “

a 1 ´ β 2 sin α ˆ ey 1 ` β cos α ˆ

ωE ωE n“ 2 u c c

(9.4)

Mit der Wellenzahl k0 “ ωE {c “ 2π{λE als Funktion von kˆ0 “ ω ˆ {c folgt für die ebene Welle in SE , dass Empfangsfrequenz bzw. -wellenlänge folgende Werte aufweisen, was man als Doppler-Verschiebung bezeichnet.

1 ` β cos α ˆ ωE “ a ω ˆ 2 1´β

a 1 ´ β2 ˆ λE “ λ 1 ` β cos α ˆ

(9.5)

Bei kleinen Geschwindigkeiten pβ Ñ 0q gilt folgende Näherung für die auf der Erde gemessene Frequenz. ¯ ´ ¯ ` ˘´ 1 1 ˆ 1 ` β2 ` ¨ ¨ ¨ ω ˆ “ 1 ` β cos α ˆ ` β2 ` ¨ ¨ ¨ ω ˆ ωE “ 1 ` β cos α 2 2 ´ ¯ ωE « 1 ` β cos α ˆ ω ˆ In erster Näherung ist die Frequenzänderung der Senderfrequenz proportional, was als linearer Doppler-Effekt bezeichnet wird. ` ˘ Δω “ ωE ´ ω ˆ « β cos α ˆ ω ˆ „ ω ˆ

9.1.2.1

Longitudinaler Doppler-Effekt und Hubble-Gesetz

Die Abstrahlung des Sternenlichts in negative x-Richtung, also mit α ˆ “ π, und damit in Beobachtungsrichtung heißt longitudinaler Doppler-Effekt,

9.1 Vierereigenschaften ebener Wellen

423

woraus Empfangsfrequenz und Wellenlänge im Erdsystem folgen. 1´β ωE “ a ω ˆ“ 1 ´ β2 d λE “

d a ` ˘ 1 ´ β2 1´β ω ˆ“ ω ˆ « 1´β ω ˆ 1`β 1`β

1`β ˆ λ « p1 ` βq ˆλ 1´β

(9.6)

Für die Änderung von Frequenz und Wellenlänge erhält man lineare Beziehungen zur Geschwindigkeit v des Himmelsobjektes. ω ˆ v „ ´v c ˆλ Δλ “ λE ´ ˆλ « ` β ˆλ “ ` v „ ` v c

Δω “ ωE ´ ω ˆ « ´β ω ˆ“´

Bei zunehmendem Abstand zwischen Erde und Stern mit v “ βc ą 0 wird die empfangene Frequenz ωE kleiner bzw. die Wellenlänge λE größer, wodurch die wachsende Entfernung des Sterns als Rotverschiebung zu höheren Wellenlängen im Spektrum messbar ist. Bei abnehmendem Abstand ergibt sich entsprechend eine Blauverschiebung (s.u.). Vesto M. Slipher war der erste Astronom, der 1912/15 damit Radialgeschwindigkeit und Rotation von Spiralnebeln messen konnte. Die Rotverschiebung wird als relative Größe z angegeben. Bei kleinen Rotverschiebungen ist die Näherungsbeziehung z“

λE ´ ˆλ λE v Δλ “ “ ´1“ “β ˆλ ˆλ ˆλ c

ausreichend, bei größeren v-Werten und höheren Rotverschiebungen muss man die relativistische Formel verwenden. Die Empfangswellenlänge λE ergibt sich in diesem Fall zu d Δλ λE 1`β ˆ z“ “ ´1“ ´1 Ñ λE “ pz ` 1q λ ˆλ ˆλ 1´β Eine der wichtigen Entfernungsbestimmungen von Objekten im Weltraum erfolgte anhand veränderlicher Sterne, den Cepheiden im Sternbild

424

9 Relativistische Elektrodynamik

Kepheus. Bei diesen Veränderlichen handelt es sich um Sterne, deren Kernreaktionen einen periodisch fluktuierenden Energieausstoß erzeugen und Delta Cephei war der erste entdeckte Stern dieser Art. Henrietta Swan Leavitt entwickelte 1912 eine Periode-Leuchtkraft-Beziehung an Veränderlichen in den Magellanschen Wolken am Südhimmel, [2, S. 39], [11, S. 217, 222], [12, S. 196, 225], deren Entfernungen von Ejnar Hertzsprung und Harlow Shapley in einer Kombination von Verfahren geeicht wurden. Mit den Cepheiden hat man seither sog. Standardkerzen als Entfernungsindikatoren mit bekannter absoluter Helligkeit oder Leuchtkraft auf Grund ihrer Periodendauern zur Verfügung, so dass man aus dem Vergleich mit der scheinbaren Helligkeit ihre Entfernung berechnen kann. Edwin Powell Hubble (1889 -1953), [16], konnte 1929 zusammen mit seinem Mitarbeiter Milton Humason aus den gemessenen Rotverschiebungen einer erstaunlich kleinen Stichprobe von 46 benachbarten Nebeln und Galaxien mit kleinen z-Werten, bei denen die Entfernungen bei 24 Objekten anhand der enthaltenen Cepheiden berechnet und bei den 22 restlichen über ihre Helligkeit geschätzt wurden, das nach ihm benannte Hubble’sche Gesetz, [9, S. 92, 106], angeben, nach dem die Fluchtgeschwindigkeit v von Himmelsobjekten linear mit ihrer Entfernung oder Distanz D zunimmt. Δλ „ D „ v “ H0 D “ c z

(9.7)

Dieser lineare Zusammenhang wurde von anderen Astronomen mit deutlich steigenden Anzahlen von Galaxien in größeren Entfernungen bestätigt, woraus man auf die Expansion des Universums und durch Rückrechnung auf einen Anfangszeitpunkt schloss, den man später Urknall nannte. Hubble erhielt aus seinen Messungen für die Hubble-Konstante den Wert H0 “ 530 km/(s¨Mpc), wobei für die in der Astronomie üblichen NichtSI-Einheiten Lichtjahr (Lj) und Parsec (pc) für Entfernungen gilt. 1 Lichtjahr “ 1 Lj 1 Megaparsec “ 1 Mpc

“ 9.46 ¨ 1015 m “ 0.307 pc “ 3.09 ¨ 1022 m “ 3.26 ¨ 106 Lj

Dabei ist 1 Parsec (Parallaxensekunde) die Entfernung, aus der der Erdbahnradius, die astronomische Einheit aE “ 1 AE, unter dem Winkel von einer Bogensekunde (12 “ 1 as) erscheint.

9.1 Vierereigenschaften ebener Wellen

425

Nach genaueren astronomischen Messungen der Cepheiden, von denen es zwei Helligkeitsklassen gibt, konnte Walter Baade (1893 -1960) die Hubble-Konstante 1952 neu berechnen und deutlich korrigieren und auf etwa ein Drittel des bis dahin geltenden Wertes senken. In späteren Jahren existierten zwei konkurrierende Lager, die mit unterschiedlichen Methoden die Hubble-Konstante auf H0 “ 50 km/(s¨Mpc) (Sandage, Tammann et al.) bzw. auf H0 “ 100 km/(s¨Mpc) (de Vaucouleurs et al.) festlegten. Auf Grund der 1965 von Arno Penzias und Robert Wilson entdeckten kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung und ihrer immer detaillierteren Vermessung durch die Satellitenprojekte COBE, WMAP und Planck in den Jahren 1990 bis 2013 (s. Abschnitt 12.7), die endgültig die Theorien von Urknall und primordialem inflationären Universum bestätigten, hat die Hubble-Konstante den folgenden Wert, [17]. H0 “ 72

km s ¨ Mpc

Bis auf einen nahe bei Eins liegenden Korrekturfaktor κ stellt der Reziprokwert die Hubble-Zeit oder das Weltalter dar. TW “ κ

1 “ 13.8 Mrd. Jahre H0

Die Diskussion über den genauen Wert der Hubble-Konstante ist noch nicht abgeschlossen, da verschiedene Forschergruppen mit ganz unterschiedlichen und systematische Fehler ausschließenden Messmethoden Werte ermittelt haben, die zwischen 67 und 75 km/(s¨Mpc) liegen. Allerdings haben alle Verfahren Unsicherheiten und Schwachpunkte, die in den Annahmen liegen, ohne die keine der Methoden auskommt, [18]. Eine Lösung dieser offenen Frage erhofft man sich aus weiteren Messdaten mit den Interferometer-Experimenten LIGO und Virgo zum Nachweis von Gravitationswellen (s. Abschnitt 11.4.4) sowie mit dem Spiegelteleskop ELT in Chile und dem Radioteleskop-Netzwerk SKA in Südafrika und Australien (s. Abschnitte 12.4.1 und 12.4.2). Ein sinkender Abstand zwischen Erde und Himmelsobjekt führt beim Doppler-Effekt wegen v “ βc ă 0 zur Vorzeichenumkehr für β und bedeutet bei Annäherung des Objektes eine Violett- oder Blauverschiebung im Spektrum. Dieser Fall liegt beim Andromedanebel vor, den Hubble 1923/24 als unsere Nachbargalaxie im heute korrigierten Abstand von 2.5 Millionen Lichtjahren oder 770 kpc erkannte, was aber erst

426

9 Relativistische Elektrodynamik

1925 nach mehr als einjähriger Verzögerung auf einer Fachtagung veröffentlicht wurde, [9, S. 51, 60]. 9.1.2.2

Transversaler Doppler-Effekt

Der besondere Fall der ebenen Welle, die senkrecht zur Bewegungsrichtung beobachtet wird, heißt transversaler Doppler-Effekt, der rein relativistisch ist, da es dafür kein äquivalentes klassisches Gegenstück gibt. Da hierbei die Beobachtung im System SE der Erde unter dem Winkel α “ π{2 durchgeführt wird, muss man den Sendewinkel α ˆ berechnen, der einen abweichenden Wert hat, und in die Frequenzformel einsetzen. Durch Auflösung der x-Komponente des Einheitsvektors n in (9.4) cos α “

β ` cos α ˆ 1 ` β cos α ˆ

Ñ

cos α ˆ“

cos α ´ β 1 ´ β cos α

Ñ

1 ` β cos α ˆ“

1 ´ β2 1 ´ β cos α

erhält man aus (9.5) die Darstellung, a 1 ´ β2 1 ´ β2 ˘ω ωE “ a ˆ ˆ“` ` ˘ω 1 ´ β cos α 1 ´ β 2 1 ´ β cos α aus der für α “ π{2 die gesuchte Frequenzbeziehung folgt. ωE “

´ a 1 ¯ 1 ´ β2 ω ˆ « 1 ´ β2 ω ˆ 2 (9.8)

1 Δω “ ωE ´ ω ˆ « ´ β2 ω ˆ 2 Die Frequenzänderung hängt quadratisch von β ab, ist negativ, führt zu einer kleineren Frequenz und daher zu einer Rotverschiebung im Spektrum. Der transversale Doppler-Effekt ist als quadratischer Effekt nicht leicht zu messen, da bei kleinen β-Werten schon geringste Winkelabweichungen von der Senkrechten zur Dominanz des longitudinalen DopplerEffektes führen.

9.1 Vierereigenschaften ebener Wellen

427

Das Phänomen der Zeitdilation (7.33) sagt aus, dass Zeitintervalle in bewegten Systemen länger sind als Eigenzeitintervalle in Ruhesystemen. Identifiziert man die Periodendauer Tˆ des Sterns mit dem Zeitintervall des Ruhesystems, dann entsprechen die gemessenen Werte von Periodendauer TE bzw. Wellenlänge λE auf der relativ dazu bewegten Erde einer Rotverschiebung im Spektrum des Sternenlichts. TE “

ˆλ λE Tˆ ą Tˆ “ “a c c 1 ´ β2

Einstein sah in dieser Rotverschiebung der Spektrallinien das experimentum crucis der Relativitätstheorie, [13, S. 213]. Er schlug eine senkrechte Beobachtung der Strahlung von schnellen Atomen vor, um den transversalen Doppler-Effekt zu untersuchen, dessen Nachweis 1938 erfolgreich von Ives und Stilwell durchgeführt wurde und der ein Beispiel zur Bestätigung der Zeitdilation darstellt. 9.1.2.3

Longitudinaler Doppler-Effekt im Minkowski-Diagramm

Der longitudinale Doppler-Effekt wird noch anhand von Lichtsignalen abgeleitet, die im Minkowski-Diagramm der Abbildung 9.2 vom Ursprung des bewegten Systems Sˆ mit x ˆ “ 0 zum Ursprung des ruhenden System S mit x “ 0 gesendet werden, also z.B. von P nach Q. Im Diagramm sind die Geradengleichungen der verschiedenen Weltlinien angegeben, wobei das Lichtsignal P Ñ Q parallel zum Mantel des Lichtkegels verläuft. Der erste Lichtimpuls erfolgt bei Identität beider Ursprünge in A. Der zweite Lichtimpuls wird aus Sˆ im Weltpunkt P zum Zeitpunkt tˆP “ τˆ in negativer x ˆ-Richtung gesendet. Dieses Signal erreicht den Ursprung von S im Weltpunkt Q zum Zeitpunkt τ bzw. tˆQ . Aus dem Schnittpunkt von ct-Achse mit x ˆ “ ´ v tˆ und der Weltlinie des Lichtsignals mit x ˆ “ cˆ τ ´ ctˆ werden die Koordinaten von Q in Sˆ ermittelt. τ ´ ctˆQ x ˆQ “ ´ v tˆQ “ cˆ

Ñ Ñ

1 τˆ 1´β β cˆ τ x ˆQ “ ´ 1´β tˆQ “

428

9 Relativistische Elektrodynamik

Die Koordinate tQ in S ergibt sich durch Lorentz-Transformation. ´ ´ 1 x ˆQ ¯ β2 ¯ 1 ´ β2 tQ “ τ “ γ tˆQ ` β “γ ´ τˆ “ γ τˆ c 1´β 1´β 1´β d a 1 ´ β2 1`β τˆ “ τˆ τ“ 1´β 1´β    

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

Abb. 9.2: Minkowski-Diagramm für die Laufzeit eines Lichtsignals Identifiziert man die Zeitintervalle pτ, τˆq mit den Periodendauern ebener Wellen pT, Tˆq und beachtet die Verknüpfungen der charakteristischen Größen λ “ cT und ω “ 2πc{λ, dann erhält man die Beziehung (9.6) des longitudinalen Doppler-Effektes mit P als Sender und Q als Empfänger. Damit gilt entsprechend der Zeitdilatation, dass jedes schwingende System im eigenen Ruhesystem die höchste Frequenz hat.

429

9.2 Kovariante Formulierung

9.2

Kovariante Formulierung der Elektrodynamik

Einsteins Relativitätsprinzip (7.6) fordert, dass alle physikalischen Gesetze unabhängig vom Bezugssystem in gleicher Form gelten müssen. Damit die mathematische Form der Beziehungen nicht von der speziellen Wahl des Inertialsystems abhängt, müssen physikalische Gleichungen die Lorentz-Transformation erfüllen. Diese Unabhängigkeit oder Forminvarianz wird als Lorentz-Kovarianz oder einfach als Kovarianz bezeichnet und die Darstellung mit Vierervektoren wird kovariante Formulierung genannt. Mit den Vierervektoren der Elektrodynamik, die durch Zusammenfassung von Quellengrößen und Potentialen definiert werden, zeigt sich dabei erneut die im Abschnitt 5.1.4 angedeutete innere Verbundenheit der beiden Feldvektoren E und B, für die im Folgenden eine Reihe wichtiger Beziehungen abgeleitet und eine Zusammenfassung zu einem Feldtensor durchgeführt wird.

9.2.1

Vierervektoren für Quellen und Potential

Die Kontinuitätsgleichung (5.4), div J `

Bρ BJx BJy BJz B pjcρq “ ` ` ` “ 0 Bt Bx By Bz B pjctq

die als Ladungsfluss in jedem Inertialsystem erfüllt sein muss, legt es nahe, die Quellengrößen zu einem Vierervektor, der Viererstromdichte J, zusammenzufassen, deren Viererdivergenz verschwindet. ` ˘ J “ jcρ e0 ` J “ jcρ, Jx , Jy , Jz e “ JT e

Div J “ l ¨ J “ 0

(9.9) Im Fall bewegter Ladungen mit der Konvektionsstromdichte J “ ρu gilt mit der Vierergeschwindigkeit nach (8.20) ˘ ` ˘ ρ ` dR J “ jcρ e0 ` ρu “ ρ jc e0 ` u “ ˚ U “ ρ0 U “ ρ0 dτ γ

430

9 Relativistische Elektrodynamik

Da J und U Vierervektoren sind, ist ρ0 eine Invariante. ρ0 “

c

ρ ˚

γ

“ρ

1´

´ u ¯2

(9.10)

c

Im Grenzfall u Ñ 0 gilt ρ “ ρ0 , so dass ρ0 die Eigenraumladungsdichte im Ruhesystem darstellt. Aus dem Vergleich mit der Vierergeschwindigkeit folgt die Relation, ρ0 U J J “ ˚ “ “ ˚ U “ jc e0 ` u ρ ρ γ ρ0 γ

(9.11)

in der beim Übergang zum Bezugssystem Sˆ nur die varianten Größen ein Dachzeichen erhalten. J ρ0 U J “ “ ˆ “ U “ jc ˆ e0 ` u ˆ˚ ˆ˚ ρˆ ρˆ γ ρ0 γ Die Feldgrößen E und B wurden in der Beziehung (5.66) durch die elektrodynamischen Potentiale A und ϕ ausgedrückt. Dabei legt es die LorenzEichung (5.69) nahe, div A `

1 Bϕ BAx BAy BAz B pjϕ{cq “ ` ` ` “ 0 c2 Bt Bx By Bz B pjctq

beide Potentiale zu einem Vierervektor, dem Viererpotential Φ, zusammenzufassen, dessen Viererdivergenz ebenfalls verschwindet. Φ“j

` ϕ ˘ ϕ e0 ` A “ j , Ax , Ay , Az e “ ΦT e c c

Div Φ “ 0

(9.12)

Die Umrechnung von Komponenten und Basisvektoren erfolgt nach (8.3) mit der Lorentz-Matrix. Jˆ “ L J

ˆ “ LΦ Φ

ˆ “ Le e

(9.13)

431

9.2 Kovariante Formulierung

Als Lorentz-Transformation der Vierervektoren gelten im eindimensionalen Fall mit v “ v ex die folgenden Transformationsbeziehungen für die Komponenten von Viererstromdichte und Viererpotential bei eiˆ nem Systemwechsel von S zu S. ´ ¯ v ρˆ “ γ ρ ´ 2 Jx c

` ˘ Jˆx “ γ Jx ´ ρv

ϕˆ “ γ ϕ ´ vAx

v Aˆx “ γ Ax ´ 2 ϕ c

Jˆy,z “ Jy,z (9.14)

`

˘

´

¯

Aˆy,z “ Ay,z

Im dreidimensionalen Fall muss die Transformation mit der Lorentz-Matrix L 3 nach (7.23) durchgeführt werden, aber auf die Angabe dieser Beziehungen wird hier verzichtet.

9.2.2

Ladungsinvarianz

Eine Ladung Q wird im dreidimensionalen Raum durch das Produkt aus Raumladungsdichte und Volumenelement dargestellt. In der Raumzeit muss das räumliche Volumenelement als Quotient aus invariantem Vierervolumen (8.14) und Zeitdifferential gebildet werden. Im Bezugssystem Sˆ gilt dann für ein Ladungselement dQ dQ “ ρˆ

ˆ ˆ dΩ dΩ “ ρˆ 0 dˆ x jc dtˆ

ˆ˚ Die Dach-Größen werden nach (7.18) und (8.14) ersetzt und mit ρˆ “ ρ0 γ sowie (8.25) und (9.10) erhält man das Ladungselement im Bezugssystem S, ˚ ´ ux v ¯ γ 1 ´ ˆ˚ ˚ dΩ ρ dΩ dΩ c2 ´ ¯“ 0 “ ρ0 γ dQ “ ρ0 γ ´ ¯ v v dx jc jc dt jc γ dt ´ 2 dx 1´ 2 dt c c dt woraus sich die Invarianz der Ladung ergibt. dQ “ ρ

ˆ dΩ dΩ ˆ “ ρˆ dˆ x dˆ y dˆ z “ dQ “ ρ dx dy dz “ ρˆ jc dt jc dtˆ

(9.15)

432

9 Relativistische Elektrodynamik

Das gleiche Ergebnis erhält man auch im Fall einer Konvektionsstromdichte, ` ˘ J “ J x ex ` J y ey ` J z ez “ ρ u x ex ` u y ey ` u z ez die man in die Ladungsdichte nach (9.14) einsetzt ´ ¯ ´ v ux v ¯ ρˆ “ γ ρ ´ 2 Jx “ γ ρ 1 ´ 2 c c und dQ wie oben berechnet. Die Ladungsinvarianz wird auch experimentell dadurch gestützt, dass eine anfänglich vorhandene Ladungsneutralität von Atomen oder Materialien erhalten bleibt. Denn sonst würde beim ursprünglich neutralen Atom bei Bewegung der Elektronen oder bei Metallen bei Erwärmung durch unterschiedliche Geschwindigkeiten von Leitungselektronen und Metallionen eine Änderung der Ladung und dadurch eine Störung der Neutralität auftreten, was bei entsprechenden Versuchen nicht beobachtet wird, [7, S. 116], [3, S. 26], [5, S. 640], [8, S. 123]. Die Ladung des Elektrons Qe “ ´ e ist negativ und der Betrag e “ 1.6022 ¨ 10´19 As

(9.16)

ist als elektrische Elementarladung eine universelle Konstante.

9.2.3

Vierer-Wellengleichung

Die Differentialgleichungen der elektrodynamischen Potentiale (5.70) werden zusammengefasst und durch die Vierervektoren von Potential und Stromdichte ausgedrückt. ¯ j ´ ϕ l Φ “ l j e 0 ` A “ l ϕ e0 ` l A c c ` ˘ j ρ “´ e0 ´ μ0 J “ ´ μ0 jc ρ e0 ` J “ ´ μ0 J c ε0 l Φ “ ´ μ0 J

(9.17)

433

9.2 Kovariante Formulierung

Die Vierer-Wellengleichung stellt als inhomogene Differentialgleichung des Viererpotentials Φ die Verallgemeinerung der beiden Differentialgleichungen für ϕ und A dar. Formal liegt hierbei ein Problem der vierdimensionalen Potentialtheorie vor, das mit einer erweiterten Form des Green’schen Satzes (19.14, Bd. I) gelöst werden kann, [13, S. 229], [14, S. 470], und wobei man die Eindeutigkeit auf entsprechende Art beweist. Der mathematische Aufwand ist allerdings beträchtlich durch Einführung von Volumen und Oberfläche der vierdimensionalen Kugel sowie die Anwendung von Integrationsmethoden der Funktionentheorie. Als Ergebnis dieser direkten Integration erhält man die retardierten Potentiale (5.87), womit die dort dargestellte heuristische Vorgehensweise eine weitere Bestätigung findet.

9.2.4

Transformation der Feldgrößen beim Wechsel des Bezugssystems

Auf Grund der partiellen Ableitungen mittelbarer Funktionen nach (8.2) ÿ B B “ kν ν k ν Bx Bˆ x erhält man für die eindimensionale Lorentz-Transformation (7.18) folgende Umrechnungen der partiellen Differentiale. B “γ B tˆ

ˆ

B B `v Bt Bx

B “γ Bˆ x

ˆ

v B B ` 2 c Bt Bx

B B “ B yˆ By

˙

(9.18) ˙

B B “ Bˆ z Bz

Die Ermittlung der Transformationsbeziehungen beider Feldgrößen E und B aus den Darstellungen durch die elektrodynamischen Potentiale (5.66) erfolgt in kartesischer Form, wobei für die x-Richtung im System Sˆ gilt ˆ ˆx “ ´ B ϕˆ ´ B Ax E Bˆ x B tˆ

und

ˆ ˆ ˆx “ B Az ´ B Ay B B yˆ Bˆ z

434

9 Relativistische Elektrodynamik

Die Potentiale des Systems Sˆ werden nach (9.14) ersetzt und mit (9.18) erhält man nach Zwischenrechnung die Transformationsgleichungen der Feldˆ vektoren beim Wechsel des Bezugssystems von S zu S. ˆ x “ Ex E

` ˘ ˆ y “ γ E y ´ v Bz E

` ˘ ˆ z “ γ E z ` v By E

ˆ x “ Bx B

¯ ˆ y “ γ B y ` v Ez B c2

¯ ˆ z “ γ B z ´ v Ey B c2

(9.19) ´

´

Aus diesen Transformationsbeziehungen ergeben sich durch direkte Berechnung der Komponenten die beiden folgenden Lorentz-Invarianten des elektromagnetischen Feldes. ˆ¨B ˆ “E¨B E

ˆ 2 ´ c2 B ˆ 2 “ E 2 ´ c2 B 2 E

(9.20)

Die erste Invariante ist wegen E ¨ B “ μ0 | S | cot pE, Bq ein Maß für die Strahlungsleistung und die zweite wegen E 2 ´ c2 B 2 “ 2 pwe ´ wm q{ε0 nach (5.31) ein Maß für die Differenz der Energiedichten. Spitze bzw. stumpfe Winkel zwischen den Feldgrößen E und B bleiben in allen Bezugssystemen erhalten und ebenso eine vorhandene Orthogonalität, wofür ebene Wellen nach (5.63) ein Beispiel sind. Statische Felder in S werden durch Transformation in kombinierte Felder ˆ in S verwandelt, $ ˘ ` + ˆ “ Ex ex ` γ Ey ey ` Ez ez & E E‰0 ˘ Ñ v ` ˆ“ % B γ 2 E z ey ´ E y ez B“0 c + # ` ˘ ˆ“ E“0 E ´ γ v B z ey ´ B y ez ` ˘ Ñ ˆ “ B x ex ` γ B y ey ` B z ez B B‰0 wobei die erste Invariante (9.20) erfüllt ist. Man kann ein reines E-Feld in S nicht in ein reines B-Feld in Sˆ transformieren, einmal nach diesen Beziehungen und weil das nach der zweiten Invariante einen Vorzeichenwechsel und damit eine imaginäre Feldgröße zur Folge hätte.

435

9.2 Kovariante Formulierung

Dagegen kann man kein beliebiges zeitabhängiges Feld in S durch Transˆ ˆ formation in ein reines E-Feld oder B-Feld in Sˆ verwandeln, da die Komponenten gemäß der letzten Beziehungen nicht unabhängig vorgegeben werden können. Man kann also nicht durch Wahl eines geeigneten Koordinatensystems einen Vektor „wegtransformieren“ ! Das würde auch das Prinzip der sich gegenseitig zeitlich bedingenden Feldvektoren E und B der Maxwell’schen Gleichungen verletzen. Zerlegt man die Feldvektoren bezüglich des Vektors v “ v ex in die Anteile in v-Richtung p||q und senkrecht pKq dazu, dann folgt mit ` ˘ v ˆ E “ v ˆ EK “ ´ v E z e y ´ E y ez ` ˘ v ˆ B “ v ˆ B K “ ´ v B z ey ´ B y ez für die elektrische Feldstärke ˘ ` ˆK “ E ˆ “E ˆ || ` E ˆ x ex ` E ˆ y ey ` E ˆ z ez E “` ˘ ` ˘‰ “ E x ex ` γ E y ey ` E z ez ´ v B z ey ´ B y ez und entsprechend für die magnetische Induktion ` ˘ ˆK “ B ˆ “B ˆ || ` B ˆ y ey ` B ˆ x ex ` B ˆ z ez B “` ˘ ˘‰ v ` “ B x ex ` γ B y ey ` B z ez ` 2 E z ey ´ E y ez c Insgesamt erhält man folgende Zerlegung der Feldgrößen, die die Beziehungen (9.19) in Vektorgleichungen zusammenfassen, die dann allgemeingültig sind. ` ˘ ˆ “E ˆ || ` E ˆ K “ E|| ` γ EK ` v ˆ BK E (9.21) ˆ K “ B|| ` γ BK ´ 1 v ˆ EK ˆ “B ˆ || ` B B c2 ´

¯

Die zur Relativgeschwindigkeit v parallelen Komponenten der Feldgrößen bleiben ungeändert, während die senkrechten eine geschwindigkeitsabhängige Änderung erfahren. Sie verhalten sich damit gerade umgekehrt wie die Komponenten der Ortsvektoren in (7.29).

436

9 Relativistische Elektrodynamik

Im Grenzübergang nichtrelativistischer Geschwindigkeiten mit v ! c und γ Ñ 1 gehen beide Gleichungen in die Beziehungen (5.6) für langsam bewegte Medien über. Diese Transformationsbeziehungen sagen aus, dass die Vorstellung eines rein elektrischen oder magnetischen Feldes nur in Bezug auf ein bestimmtes Inertialsystem einen Sinn hat. Gilt im System S für die Feldgrößen E ‰ 0 und B “ 0, dann lauten sie im System Sˆ ˆ “´γ vˆE und B c2 ˆ Gilt dagegen E “ 0 und B ‰ 0 in S, dann folgt in S E “ E|| ` EK

Ñ

ˆ “ E|| ` γ EK E

B “ B|| ` BK

Ñ

ˆ “γvˆB E

ˆ “ B|| ` γ BK und B

Die Relativbewegung eines Bezugssystems hat zur Folge, dass von ihm aus gesehen auch diejenige Feldgröße in Erscheinung tritt, die im ruhenden System nicht vorhanden ist! Insbesondere kann man, wie bereits gezeigt, auch nicht durch Wechsel des Bezugssystems von einem reinen E-Feld zu einem reinen B-Feld oder umgekehrt gelangen! Mit anderen Worten bedeutet das, dass elektrische und magnetische Felder keine separaten Erscheinungen mit unabhängiger Existenz sind sondern dass das Auftreten und die Werte der Feldvektoren vom Bewegungszustand des Bezugssystems abhängen, also gleichsam nur zwei Ansichten einer einzigen Größe darstellen. Es liegt daher nahe, sie in einer Einheit höherer Ordnung, dem Feldtensor, zusammenzufassen, der im Abschnitt 9.4 behandelt wird.

9.2.5

Lorentz-Invarianz der Maxwell’schen Gleichungen

Das Überraschende an den Maxwell’schen Gleichungen liegt darin, dass diese klassischen elektrodynamischen Gesetze bereits in kovarianter Form vorliegen, obwohl sie lange vor Einsteins Relativitätstheorie aufgestellt wurden. Sie erfüllen also von sich aus die Lorentz-Transformation und sind bei beliebigen Geschwindigkeiten gültig, was ja für die Newton’sche Dynamik nicht gilt. Den Nachweis dafür erbringt man dadurch, dass man in Induktions- und Durchflutungsgesetz die Ableitungen (9.18) auf die einzelnen Komponenten anwendet und die Feldvektoren gemäß (9.19) und (9.14) einsetzt.

437

9.2 Kovariante Formulierung

Für die x-Richtung des Induktionsgesetzes gilt ˆ ˆ ˆ ˆ “ B Ez ´ B Ey “ ´ B B x ex ¨ rot E B yˆ Bˆ z B tˆ γ

˘ ˘ B ` BBx B ` BBx E z ` v By ´ γ E y ´ v Bz “ ´ γ ´ γv By Bz Bt Bx ´ BB BEy BBy BEz BBx BBz ¯ x ´ “ ex ¨ rot E “ ´ ´v ` ` By Bz Bt Bx By Bz looooooooooomooooooooooon “ div B “ 0

und für die x-Richtung des Durchflutungsgesetzes erhält man ˆ ˆ ˆ ˆ “ B Bz ´ B By “ μJˆx ` με B Ex ex ¨ rot B B yˆ Bˆ z B tˆ ¯ ¯ v v B ´ B ´ B z ´ 2 Ey ´ γ B y ` 2 Ez γ By c Bz c ` ˘ BEx ¯ 1 ´ BEx “ ´ γμ ρv ´ Jx ` γ 2 `v c Bt Bx ´ ¯ BBy BBz v BEx BEx BEy BEz “ 2 ´ μρv ` μJx ` με ´ ` ` By Bz c Bx By Bz Bt loooooomoooooon looooooooooomooooooooooon “ ex ¨rot B

“ div E “ ρ{ε looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon “0

ex ¨ rot B “ μJx ` με

BEx Bt

Entsprechende Berechnungen gelten für die beiden anderen räumlichen Richtungen. Die erste Divergenzbeziehung wird folgendermaßen transformiert ˆy ˆz ¯ BE BE ` “ ρˆ Bˆ x B yˆ Bˆ z j „ ¯ ´ρ BBy BBz BEz v v BEx BEx BEy ` ` ´v ` `v “ ´γ ´ 2 Jx γ 2 c Bt Bx By By Bz Bz ε c ε ˆ“ε ε div E

´ BE ˆx

`

´ BB BBy ρ BEx ¯ BEx BEy BEz z “´ `v ` ` ´ ´ μJx ´ με Bx By Bz ε By Bz Bt looooooooooomooooooooooon loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon “ div E

“0

438

9 Relativistische Elektrodynamik

und für die andere gilt ˆy ˆz ˆx B B BB BB ` ` “0 Bˆ x B yˆ Bˆ z „ j v BEz BBz v BEy v BBx BBx BBy ` ` ` 2 ` ´ 2 “γ 2 c Bt Bx By c By Bz c Bz ¯ ´ ´ BB BBy BEy ¯ v BBx BEz BBz x “γ `γ 2 ` ` ` ` Bx By Bz c Bt By Bz looooooooooomooooooooooon looooooooooomooooooooooon

ˆ“ div B

“ div B

“0

Die Ergebnisse bestätigen, dass die Maxwell’schen Gleichungen in beiden Bezugssystemen S und Sˆ die gleiche mathematische Form aufweisen und damit Lorentz-kovariant sind. ˆ ˆ ` B B “ rot E ` BB “ 0 rot E Bt B tˆ ˆ ´ Jˆ ´ rot H

ˆ BD BD “ rot H ´ J ´ “0 Bt B tˆ

ˆ ´ ρˆ “ div D ´ ρ “ 0 div D

(9.22)

ˆ “ div B “ 0 div B

Diese Invarianz wird auch als Relativitätsprinzip der Elektrodynamik bezeichnet.

9.3 9.3.1

Feld und Strahlung bewegter Ladungen Bewegung im homogenen Magnetfeld

Die Bewegungsgleichung einer Masse m mit der Geschwindigkeit u, die eine Ladung q trägt, lautet im homogenen Magnetfeld B gemäß dem Grundgesetz der Dynamik (3.2) und der Lorentz-Kraft (5.16) ˘ dp d ` dm du “ mu “ u `m “ FL “ q u ˆ B dt dt dt dt

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

439

Da u K u ˆ B gilt, muss der erste Summand verschwinden. u‰0

Ñ

dm “0 dt

Die verbleibende vektorielle Differentialgleichung, du q “ uˆB dt m

(9.23)

die bei z-gerichtetem Magnetfeld B “ B ez keine z-Komponente aufweisen kann, u9 “ u9 x ex ` u9 y ey “

˘ qB ` u y ex ´ u x ey m

wird mit der gleichen Methode wie bei (5.37, Bd. I) bzw. (6.31) und (6.33) gelöst, allerdings bei anderer Bedeutung und Interpretation der Vektoren. Da das homogene Magnetfeld z-gerichtet ist, wird die Geschwindigkeit der geladenen Masse in dazu senkrechte (K) und parallele (||) Anteile zerlegt. Mit der Anfangsbedingung up0q “ uK ex `u || ez bei konstanten Koeffizienten und dem Azimutwinkel ϕ “ ω0 t erhält man die Lösung von (9.23), deren Bewegung in Abbildung 9.3 dargestellt ist. “ ‰ uptq “ uK cos ω0 t ex ´ sin ω0 t ey ` u || ez Der Teilvektor uK ptq mit konstantem Betrag bildet die Tangente des Spurkreises der Linksschraube um den Vektor B. Die ins Innere des Kreises gerichtete Zentripetalbeschleunigung der Masse m lautet aptq “

` ˘ du q “ u ˆ B “ ´ ω0 uK sin ω0 t ex ` cos ω0 t ey dt m

Die Frequenz der Drehung ω0 “

qB m

(9.24)

heißt Gyrationsfrequenz oder auch Zyklotronfrequenz, die der Larmor-Frequenz (6.31) bei Elektronen- und Kernspin entspricht.

440

9 Relativistische Elektrodynamik

m, q

ez

u (0)

u B

B 

u

R

u

m, q

0 t

B

u

u (t*)

Bahnkurve Abb. 9.3: Vektoren bei der Bewegung einer geladenen Masse m im homogenen Magnetfeld B

Die Überlagerung von Kreisbewegung gemäß uK und Parallelbewegung u|| führt insgesamt zu einer schraubenförmigen Bahnkurve oder Helix der ladungsbehafteten Masse m im homogenen Magnetfeld B. Der Radius des Kreises ergibt sich mit (5.36, Bd. I) aus der Gleichheit der Kräfte. F “ ma “ m ω0 uK “ m R ω02

Ñ

R“

uK m uK “ ω0 qB

(9.25)

Wenn die geladene Masse ein schnelles Elektron der Ruhmasse me und einer im nächsten Kapitel behandelten relativistischen Masse (10.8) mit dem Lorentz-Faktor (8.19) ist, dann lautet die Lorentz-Kraft ˚

˘ dp dγ du d ` ˚ γ me u “ me u FL “ “ ` γ ˚ me “ ´eu ˆ B dt dt dt dt Auch in diesem Fall muss wegen u K u ˆ B der erste Summand verschwinden, ˚

u‰0

Ñ

dγ “0 dt

Ñ

˚

γ“ c

1

u2 1´ 2 c

“ const.

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

441

woraus u “ | u | “ const. folgt. Die Berechnung erfolgt ebenso wie oben und ergibt formal die gleiche Lösung für Geschwindigkeit und Beschleunigung. Der Unterschied besteht darin, dass das Elektron wegen der negativen Ladung q “ ´ e das Magnetfeld B in einer Rechtsschraube umläuft, sowie in der abweichenden Frequenz. eB ωe “ ˚ “ me γ me eB

c 1´

´ u ¯2 c

(9.26)

Speziell bei relativistischen Geschwindigkeiten mit u Ñ c bezeichnet man sie als Synchrotronfrequenz und die entstehende Strahlung als Synchrotronstrahlung. In der Astronomie entsteht Synchrotronstrahlung, wenn relativistische Elektronen oder heiße Plasmen die Magnetfelder von Pulsaren, Quasaren oder Radiogalaxien durchlaufen (s. Abschnitte 11.4 und 12.4.2).

9.3.2

Liénard-Wiechert-Potentiale

In der Anordnung der Abbildung 9.4 ist das retardierte Potential einer Punktladung Q, die sich auf einer Bahnkurve bewegt, im Aufpunkt P des Systems S gesucht. Im momentanen, mit der Ladung Q mitbewegten Ruhesystem Sˆ wird im Punkt A ein elektrostatisches Feld mit dem CoulombPotential (5.76) erzeugt. ˇ Q 1 1 Q ˇ ϕpˆ ˆ rP q ˇ “ “ 4πε0 | rˆpAq | 4πε0 rˆpAq A Wenn sich die Ladung Q im Punkt A befindet, kann ihre Potentialwirkung zur Zeit t im Punkt P erst nach der Laufzeit t auftreten, die zur Überbrückung des Abstandes r zwischen A und P erforderlich ist. In dieser Zeit t hat sich Q von A nach B weiterbewegt. Für die Laufzeit bzw. die Zeitdifferenz gilt, ˇ ˇ rQ pAq ´ rP rpAq rret r ˇ ˇ “ “ “ t “ tQ ˇ ´ tQ ˇ “ t ´ tret “ c c c c B A wobei die retardierte Zeit tret um die Laufzeit t zurückliegt. tret “ t ´ t “ t ´

r c

(9.27)

442

9 Relativistische Elektrodynamik

u (t A ) Bahnkurve von Q

Q (t A ) A

Q (t B)

B

u (t B)

rQ ( B)

r ( B)

r (A) rQ (A)

P rP

O (in S) Abb. 9.4: Geometrie einer bewegten Punktladung Zur Ermittlung des Potentials im Ruhesystem S des Punktes P wird der Abstand rˆ gemäß Lorentz-Transformation (7.24) ausgedrückt, wobei die Geschwindigkeit u der Ladung die momentane Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme Sˆ und S darstellt. ´ ´ ` ˘ u ¨ rQ ¯ u ¨ rP ¯ rˆ “ c tˆP ´ tˆQ “ γ ctP ´ ´ γ ctQ ´ c c ” ` ˘ u ` ˘ı “ γ c tP ´ tQ ´ ¨ r P ´ r Q c ´ r u¯ “γr 1´ ¨ r c Die Größe der letzten Klammer heißt Liénard-Wiechert-Nenner und erhält folgende Abkürzung. ξ “1´

˚ r u u ¨ “ 1 ´ cos pr, uq “ 1´ β cos χ r c c

(9.28)

Das Viererpotential Φ nach (9.12) wird im ruhenden Bezugssystem Sˆ von Q nur durch das Coulomb-Potential ϕ, ˆ in S dagegen durch Skalar- und

443

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen



 









 

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

 



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







 



Abb. 9.5: Punktladung zu verschiedenen Zeiten in den beiden Inertialsystemen Vektorpotential bestimmt. ˆ “ j ϕpˆ Φ e0 ˆ rP , rˆQ q ˆ c j Φ “ ϕprP , rQ q e0 ` AprP , rQ q c Die Potentialkomponenten in S erhält man durch Lorentz-Rücktransformation mit der Matrix (7.23). ˆ Φ “ LT3 Φ j j ϕprP , rQ q “ γ ϕpˆ ˆ rP , rˆQ q c c j pk “ x, y, zq Ak prP , rQ q “ ´ jβk γ ϕpˆ ˆ rP , rˆQ q c Setzt man das elektrostatische Potential ϕˆ und den rerardierten Abstand rˆ ein und fasst die kartesischen Komponenten zum Vektorpotential A zusammen, dann erhält man mit μ0 ε0 “ 1{c2 die Liénard-Wiechert-

444

9 Relativistische Elektrodynamik

Potentiale einer mit beliebiger Geschwindigkeit u bewegten Punktladung. fi

» Q — ϕprP q “ – 4πε0

Q 1 ffi “ ´ r u¯fl 4πε0 r 1´ ¨ r c ret

„

1 rξ

j ret

(9.29) fi

» μ0 Q — AprP q “ – 4π

μ0 Q u ffi “ fl ´ ¯ r u 4π r 1´ ¨ r c ret

„

u rξ

j ret

Für die Größen r, r “ | r | und u bzw. ξ sind dabei die retardierten Werte einzusetzen, die für die Punktladung Q zur der Zeit galten, die für P um die Laufzeit t “ r{c vor der aktuellen Zeit tP liegen. Für u Ñ 0 geht Φ in das Coulomb-Potential bei verschwindendem Vektorpotential über. Die Zusammenfassung der Liénard-Wiechert-Potentiale zum Viererpotential Φ kann auch in einer weiteren Form erfolgen, indem man folgende Vierer-Ortsvektoren der Abbildung 9.6 betrachtet, die man im System S ausdrückt.

Ereignis A

RA “ jctQ e0 ` rQ

Ereignis C

RC “ jctP e0 ` rP ˘2 ` R2 “ RC ´ RA “ ‰2 “ jcptP ´ tQ q e0 ` prP ´ rQ q ` ˘2 “ jr e0 ` r “ ´r2 ` r 2 “0

Der Vierer-Abstandsvektor R hat einen verschwindenden Betrag und daher nach (7.31) lichtartigen Charakter, da die Ausbreitung der Potentialwirkung auf dem Mantel des Lichtkegels verläuft.

445

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

ct

ct



C A

Weltlinie der Punktladung Q R

x

   Weltlinien der Potentialwirkungen

P



x

Weltlinie des in S ortsfesten Punktes P

Abb. 9.6: Minkowski-Diagramm der bewegten Punktladung Für die Vierergeschwindigkeit U und die mit dem Abstandsvektor R gebildeten Größen erhält man folgende Darstellungen, da der Einheitsvektor e0 der Zeitkomponente zu den räumlichen Richtungen orthogonal ist. ˘ ˚ ` U “γ jc e0 ` u ´ ˘ ` ˘ ˚ ` ˚ ˚ r u¯ R ¨ U “γ jr e0 ` r ¨ jc e0 ` u “ ´ γ cr 1 ´ ¨ “ ´ γ crξ r c u ´ ¯ j e0 ` U c ¯ “´ je ` u 1 “´ ´ 0 r u R¨U c rξ r 1´ ¨ r c Damit kann das Liénard-Wiechert-Viererpotential in kompakter Form geschrieben werden. Φ“´

Q 1 U 4πε0 c R ¨ U

(9.30)

446

9 Relativistische Elektrodynamik

9.3.3

Feldgrößen

Die Berechnung der Liénard-Wiechert-Feldgrößen durch Differentiation der Potentiale (5.66) ist relativ aufwendig, so dass nur die Ergebnisse angegeben werden, [6, S. 356], [15, S. 875]. ˘ E rP , t “ `

„ j Q ´ u2 ¯´ r u ¯ 1 1´ 2 ´ 4πε0 c r c r2 ξ 3 ret „ j Q ! r ”´ r u ¯ a ı) 1 ` ˆ ´ ˆ 2 4πε0 r r c c r ξ 3 ret (9.31)

` ˘ B rP , t “ `

μ0 Q c 4π

„´

μ0 Q c 4π

„”

1´

u2 ¯´ u c2

ˆ

r¯

1

j

r2 ξ 3

c r ret j ! ”´ ¯ r r r u a ı)ı 1 ˆ ˆ ´ ˆ 2 r r r c c r ξ 3 ret

Beide Feldgrößen bestehen aus ` zwei Anteilen, ˘ von denen jeweils der erste 2 ein Geschwindigkeitsfeld Eu , Bu „ 1{r darstellt, das von der Beschleunigung unabhängig ist und das den Charakter eines stationären oder Coulomb-Feldes ˘ zweiten Anteile stellen jeweils Beschleuni` aufweist. Die gungsfelder Ea , Ba „ 1{r mit a “ u9 dar, die den Charakter von Strahlungsfeldern wie beim Hertz’schen Dipol (5.91) haben und im Fernfeld bei großen Abständen r von der Quelle dominieren. Für die Feldgrößen gilt der allgemeine Zusammenhang, ˘ ´r¯ ` ˘ ` ˆ E rP , t mit c|B| ő |E | c B rP , t “ r ret bei dem B auf den Vektoren rret und E senkrecht steht, die beide einen beliebigen Winkel einschließen können. Im Fernfeld bilden Abstandsvektor und Beschleunigungsanteile wegen ´r¯ ´r¯ ´r¯ ¨ Ea “ 0 , ¨ Ba “ 0 , ˆEa “ cBa r ret r ret r ret ` ˘ ein orthogonales Rechtssystem rret , Ea , Ba , aus dem man den PoyntingVektor im Strahlungsfeld bestimmt. ` ˘ ˘ ˘ E2 ´ r ¯ ` ` μ0 S rP , t “ Ea rP , t ˆ Ba rP , t “ a c r ret

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

447

Weitere Betrachtungen und Beispiele zur Ausbildung der Feldlinien findet man in [4, S. 58], [7, Kap. 5], [15, Kap. 20, 23].

9.3.4 9.3.4.1

Strahlung im Fernfeld Raumwinkel und Richtcharakteristik

In entsprechender Weise wie Bogenlänge und ebener Winkel im Kreis nach (5.33, Bd. I) wird im dreidimensionalen Raum der Raumwinkel Ω definiert, der den räumlichen Winkelausschnitt beschreibt, den der Kegel zu einer beliebig berandeten Kugelkappe auf der Kugel vom Radius R bildet. Die Strahlen vom Mittelpunkt der Kugel zur Peripherie der Kappe bilden den zugehörigen, unregelmäßigen Kegel. Die Proportionalität zwischen den Flächenelementen da der Kugel und des Raumwinkels bzw. zwischen ihren Gesamtwerten führt auf folgende Gleichung, 4πR2 da “ “ R2 dΩ 4π aus der man die Vektorbeziehung erhält. da “ n da “ n R2 dΩ

(9.32)

Winkel haben keine Dimension, aber zur Kennzeichnung bekommt der ebene Winkel die Benennung Bogenmaß in Radian rrads oder Grad r˝ s und der Raumwinkel die Benennung Steradiant rsrs. Speziell in Kugelkoordinaten gilt für Raumwinkel und Flächenelement, dΩ “ sin ϑ dϑ dϕ ,

da “ r2 sin ϑ dϑ dϕ er

mit dem die Strahlungsleistung nach (5.34) lautet dP Str “ S ¨ da “ r2 dΩ n ¨ S Mit dem in beiden Feldgrößen (9.31) auftretenden Fernfeldvektor V “

r ”´ r u ¯ a ı ˆ ´ ˆ 2 r r c c

(9.33)

448

9 Relativistische Elektrodynamik

erhält man für die bewegte Punktladung nach (5.64) im System S die Leistung pro Raumwinkel, die man in Strahlungsphysik und Lichttechnik als Strahlstärke in W/sr bezeichnet. ´r¯ 2 dP Str ptq 2 2 Ea nret ¨ Sptq “ rret “ rret nret ¨ dΩ μ0 c looooooomooooooon r ret j ´ Q ¯2 „ 1 2 “ ε0 c V 3 4πε0 ξ ret

“1

Die Strahlstärke beschreibt die Richtcharakteristik von Strahlungsquellen im Raum. Die Strahlungsleistung als Zeitableitung der Energie muss für die Zeiten tret und t gemäß (9.27) umgerechnet werden. dW dt dW dt “ PStr ptq “ dtret dtret dt dtret d ´ r¯ dt 1 d ? “ r¨r tret ` “1` dtret dtret c c dtret

PStr ptret q “

˘ drQ ¯ 1 r ´ drP 1r d ` rP ´ rQ “ 1 ` ´ ¨ ¨ c r dtret c r reton reton lodt omo lodt omo ¯ ´ “u “0 r u “ ξret “ 1´ ¨ r c ret

“1`

Damit kann die Strahlungscharakteristik im System Sˆ der bewegten Ladung angeben werden.

j ´ Q ¯2 „ dPStr ptq dPStr ptret q 2 1 V 5 “ ξret “ ε0 c dΩ dΩ 4πε0 ξ ret

(9.34)

Zwei spezielle Fälle von Ladungsbewegungen sollen betrachtet werden, bei denen die Vektoren von Geschwindigkeit und Beschleunigung parallel bzw. senkrecht zueinander gerichtet sind.

449

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

9.3.4.2

Geschwindigkeit u und Beschleunigung a parallel, (u ˆ a “ 0)

In diesem Fall gilt mit (9.28) cos pr, uq “ cos pr, aq “ cos χ Der Fernfeldvektor V (9.33) reduziert sich mit dem Entwicklungssatz (5.8, Bd. I) auf a ¯ r ´r a ¯ a r ´r ´ 2 ˆ 2 “ ¨ V “ ˆ r r c r r c2 c ´ r a ¯2 ´ r a ¯2 ´ a ¯ 2 ´ a ¯ 2 V ¨V “ ´2 ` 2 “ 2 sin2 χ ¨ ¨ r c2 r c2 c c Dieses Ergebnis gilt, wenn u und a entweder in die gleiche Richtung weisen oder bei abgebremster Ladung antiparallel sind. Teilt man durch den Vorfaktor, ´ Q ¯2 a 2 μ 0 ´ Q ¯2 2 K “ ε0 c “ a 4πε0 c4 c 4π ˚

dann ergibt sich mit β“ u{c die rotationssymmetrische Richtcharakteristik R || der Strahlungsleistung im parallelen Fall, die bei Verzögerung der Elektronen als Bremsstrahlung bezeichnet wird. 1 dPStr ptret q “ R || pχq “ ` K dΩ

sin2 χ ˚

1´ β cos χ

˘5

Weist der Geschwindigkeitsvektor u in z-Richtung, dann entspricht der Winkel χ dem Meridionalwinkel ϑ der Kugelkoordinaten. Das Maximum der Strahlung findet man aus dR || “0 dχ

˚

˚

Ñ 3 β cos2 χ ` 2 cos χ ´ 5 β“ 0 ˜b ¸ ˚ 1 15 β `1 ´ 1 cos χmax “ ˚ 3β ˚

Bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten mit β Ñ 0 gilt für den Winkel χmax Ñ 90˝ und die Richtcharakteristik ist ein Torus wie beim Hertz’schen ˚

Dipol (5.92). Für β Ñ 1 fällt χmax auf 0˝ ab.

450

9 Relativistische Elektrodynamik

c

u, a

Abb. 9.7: Richtcharakteristik der Bremsstrahlung ˚

in rot:

β“ 0

in blau:

β“ 0.25, 0.5

˚

Die Bremsstrahlung ist die Ursache für die Erzeugung von Röntgenstrahlung bei Aufprall und plötzlicher Abbremsung von schnellen, freien Elektronen, wodurch aus der zeitlichen Sprungfunktion ein kontinuierliches Spektrum entsteht. In der Radioastronomie tritt dieses Phänomen als thermische Strahlung auf, wenn freie Elektronen im elektrischen Feld eines heißen Plasmas beschleunigt werden.

451

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

9.3.4.3

Geschwindigkeit u und Beschleunigung a orthogonal, (u ¨ a “ 0)

Mit dem Entwicklungssatz erhält man den Fernfeldvektor V (9.33) und sein Quadrat r ”´ r u ¯ a ı ˆ ´ ˆ 2 r r c c ´r u¯ ´r a ¯ a ´ r u¯ “ ´ 2 1´ ¨ ´ ¨ r c r c2 c r c

V “

” r u ´ u ¯ 2 ı ´ r a ¯2 ´ a ¯2 ´ r u ¯2 V ¨V “ 1´2 ¨ ` 1´ ¨ ¨ 2 ` 2 r c c r c c r c ´ r u ¯ a ´ r a ¯´ r u¯ ´2 1´ ¨ ´ ¨ 2 ¨ r c c r c2 r c ” ´ ı ¯ ¯ ´ a ¯2 ´ u 2 ´ r a ¯2 r u 2 ´ 1´ 1´ ¨ ¨ “ 2 c r c c r c2 Der interessanteste Fall ist die gleichförmige Kreisbewegung einer Ladung Q im Kreis vom Radius R, was man wie im Abschnitt 9.3.1 dargestellt durch ein homogenes Magnetfeld erreichen kann.

y u

B ez

R

Q

r

a Q P

P

rP A

x

Abb. 9.8: Geometrie zur kreisenden Ladung, P liegt nicht notwendig in der px, yq-Ebene

452

9 Relativistische Elektrodynamik

Mit den Größen (5.36, Bd. I) für Geschwindigkeit und Beschleunigung der Ladung und den Abstandsvektor zwischen Quelle und Aufpunkt P ˚ Rω0 u u “ eϕ Q “ β eϕ Q “ eϕ Q c c c ˚

a a Rω02 β2 “ ´ e “ ´ e “ ´ eρ ρ ρQ c2 c2 Q c2 R Q rP ´ rQ R r rP “ “ er ´ eρ Q r r r P r erhält man die Skalarprodukte in Kugelkoordinaten. ˚ r r u P ¨ “β e r ¨ eϕ Q r c r P ˚ r P “β sin ϑP sinpϕP ´ ϕQ q r ˚

˚

β 2 rP β2 R r a ¨ 2 “´ e r P ¨ e ρQ ` r c R r R r ˚ ¯ β 2 ´ R rP “ ´ sin ϑP cospϕP ´ ϕQ q R r r Das Quadrat des Fernfeldvektors lautet dann ˚

β4 V “ 2 R 2

"”

ı2 rP sin ϑP sinpϕP ´ ϕQ q r ´ ı2 * ¯ ” ˚ R rP ´ 1´ β 2 ´ sin ϑP cospϕP ´ ϕQ q r r ˚

1´ β

Zur einfachen Berechnung der Richtcharakteristik wird Q in den Punkt A auf der x-Achse gelegt und der Aufpunkt P umläuft den Ursprung in der Ebene ϑP “ π{2. Im Fernfeld für rP " R kann man rP {r « 1 und R{r « 0 setzen und bei Bezug auf den Vorfaktor ´ Q ¯2 β˚ 4 K “ ε0 c 4πε0 R2 ˚

453

9.3 Feld und Strahlung bewegter Ladungen

ergibt sich die Richtcharakteristik RK der Strahlungsleistung im orthogonalen Fall zu, ˚ ˚ ˘ ` ˘2 ` 1´ β sin ϕP ´ 1´ β 2 cos2 ϕP 1 dPStr ptret q “ RK pϕP q “ ˚ ` ˘5 K˚ dΩ 1´ β sin ϕP

deren Maxima in Richtung der momentanen Geschwindigkeit liegen.

ez u

Bahnkurve

a

Abb. 9.9: Richtcharakteristik der kreisenden Ladung, Q im Punkt B bei umlaufendem P der Abbildung 9.8 ˚

in rot:

β“ 0

in blau:

β“ 0.25, 0.5

˚

˚

Die Richtcharakteristik ist bei langsamer Bewegung für β Ñ 0 wie bei der Bremsstrahlung ein Torus mit a als Rotationsachse, was der Strahlungscharakteristik des Hertz’schen Dipols entspricht. Bei Bewegung mit steigendem ˚

β Ñ 1 wird die Richtcharakteristik zur Vorderseite hin immer schlanker und nimmt eine Zeppelin- oder Zigarrenform an, [4, S. 60], [15, S. 883]. In kreisförmigen Beschleunigern oder Speicherringen laufen freie Elektronen oder andere geladene Teilchen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit um,

454

9 Relativistische Elektrodynamik

wobei tangential zur Kreisbahn stark gebündelte sog. Synchrotronstrahlung abgegeben wird. An festen Messpunkten tritt die Strahlung einzelner Ladungsträger impulsförmig auf, wodurch ein breites Spektrum von Infrarot bis Röntgenstrahlung entsteht, die bei einer Vielzahl von Teilchen eine kontinuierlich zur Verfügung stehende Strahlung liefert. Weltweit existieren viele Laboratorien zur Erzeugung von Synchrotronstrahlung, die in Physik, Materialwissenschaft, Molekularbiologie, Medizin und anderen Disziplinen in vielfältigen Experimenten und Untersuchungen zum Einsatz kommt.



Abb. 9.10: Synchrotronstrahlung kreisender ˚

Ladungen bei hohem β, Target am festen Messpunkt

9.4 Tensoren der Elektrodynamik

455

Große Beschleunigeranlagen mit starken Strahlungsquellen stellen eine wissenschaftliche Infrastruktur bereit, an der Forscher aus vielen Ländern ihre Experimente durchführen können. Das gilt in entsprechender Weise für sehr aufwendige und daher teure Mess- oder Beobachtungsgeräte wie optische, Radio- und Satellitenteleskope in der Astronomie.

9.4 9.4.1

Tensoren der Elektrodynamik Elektromagnetischer Feldtensor

Die Darstellungen der Feldvektoren E und B durch die elektrodynamischen Potentiale A und ϕ nach (5.66) bilden folgende Beziehungen für die Komponenten, die eine Neuinterpretation mit erkennbarer Indizierung erhalten. Für die magnetische Induktion erhält man die Komponentendarstellungen Bx “

BAy BAz BA3 BA2 ´ “ F23 “ Rot23 Φ ´ “ By Bz Bx2 Bx3

By “

BAx BAz BA1 BA3 ´ “ F31 “ Rot31 Φ ´ “ Bz Bx Bx3 Bx1

Bz “

BAy BAx BA2 BA1 ´ “ F12 “ Rot12 Φ ´ “ Bx By Bx1 Bx2

und entsprechend für die elektrische Feldstärke mit A0 “ jϕ{c. ´

j Bϕ j 1 BAx BA0 BA1 ´ “ F10 “ Rot10 Φ Ex “ ´ “ c c Bx jc Bt Bx1 Bx0

´

j Bϕ j 1 BAy BA0 BA2 ´ “ F20 “ Rot20 Φ Ey “ ´ “ c c By jc Bt Bx2 Bx0

´

j Bϕ j 1 BAz BA0 BA3 ´ “ F30 “ Rot30 Φ Ez “ ´ “ c c Bz jc Bt Bx3 Bx0

Diese sechs Größen werden als unabhängige Komponenten eines vierdimensionalen antisymmetrischen Tensors 2. Stufe gedeutet, der elektromagnetischer Feldtensor F heißt und der als höhere Einheit beide Feldvektoren E und B nach der Sommerfeld’schen Paarbildung zusammenfasst.

456

9 Relativistische Elektrodynamik

Dieser Tensor stellt nach dem Aufbau seiner Komponenten als Differenz von über Kreuz indizierten partiellen Differentialen die Viererrotation des Viererpotentials Φ dar und man findet der Anzahl seiner unabhängigen Größen wegen mitunter auch die Bezeichnung Sechservektor, [13, S. 199]. Feldtensor F und schiefsymmetrische Matrix F ## lauten folgendermaßen. F “ Rot Φ “ eT F ## e

Fμν “ ´ Fνμ “ Rotμν Φ “

¨

¨ F ##

F00 F01 F02 F03

˚ ˚F ˚ 10 F11 F12 F13 “˚ ˚ ˚ F20 F21 F22 F23 ˝ F30 F31 F32 F33

0 ˚ ˚ ¨¨¨ ˚ ‹ ˚ j ‹ ˚ ´ Ex ‹ ‹ “ ˚ ˚ c ‹ ˚ j ‹ ‚ ˚ ˚ ´ c Ey ˚ ˝ j ´ Ez c ˛

.. . ¨ .. .

j Ex c ¨¨¨

j Ey c ¨¨¨

0

Bz

.. . ´Bz .. .

BAμ BAν ´ μ Bx Bxν

By

0 ´Bx

˛ j Ez ‹ c ¨¨¨ ‹ ‹ ‹ ´By ‹ ‹ ‹ ‹ Bx ‹ ‹ ‹ ‚ 0 (9.35)

 ( Der Feldtensor fasst die sechs Komponenten der Feldvektoren pj{cq E , B zu einer vierdimensionalen Größe der Einheit Vs{m2 zusammen. In der Matrix werden die Komponenten mit raumzeitlicher und räumlicher Herkunft durch Unterteilung verdeutlicht. Bei einem Wechsel des Inertialsystems von S zu Sˆ erfüllt der Feldtensor die Lorentz-Transformation, er ist damit ein Lorentz-Tensor. Die Umrechnung der Tensorkomponenten erfolgt nach Tabelle 9.2 durch Kongruenztransformation mit der Lorentz-Matrix L. ˆ ## “ L F ## LT F

(9.36)

Im eindimensionalen Fall erhält man die Transformationsbeziehungen (9.19). Als Beispiel wird die Komponente Fˆ20 im neuen System durch Matrixmul-

457

9.4 Tensoren der Elektrodynamik tiplikation (3.13, Bd. I) mit L nach (7.16) bestimmt. j ˆ Fˆ20 “ ´ E y c ÿ3 ÿ3 “ μ“0

ν“0

Fμν 2μ 0ν “

ÿ3 ν“0

0ν

ÿ3

2μ Fμν μ“0 loooooooomoooooooon “ 22 F2ν “ F2ν

“ γ F20 ´ jβγ F21 “ γ

´

¯ j ´ Ey ` jβ Bz c

Das Ergebnis lautet wie in (9.19) ˘ ` ˆ y “ γ E y ´ v Bz E Im dreidimensionalen Fall wird jede Tensorkomponente im neuen Bezugssystem von allen Tensorelementen des alten Systems beeinflusst.

9.4.2

Dualer Tensor und Invarianten

Die Transformationsbeziehungen (9.21) sind invariant, wenn man die(Feld vektoren gemäß der Dualitätstransformation ´ pj{cq E Ø B vertauscht. Dadurch kann man den dualen Tensor G definieren, der ebenfalls antisymmetrisch ist. Da der Metriktensor G nach (11.6 bzw. 11.7, Bd. I) hier nicht auftritt, ist eine Verwechslung mit dem dualen Tensor ausgeschlossen! Die Kmponenten der Matrix des dualen Tensors lauten mit entsprechender Unterteilung ¨ ¨ G ##

G00 G01 G02 G03

˚ ˚G ˚ 10 G11 G12 G13 “˚ ˚ ˚ G20 G21 G22 G23 ˝ G30 G31 G32 G33

˚ 0 ˚¨¨¨ ‹ ˚ ‹ ˚ Bx ‹ ˚ ‹“˚ ˚ ‹ ˚ ‹ ˚ ‚ ˚ By ˚ ˝ Bz ˛

.. . ¨ .. . .. .

´Bx ¨¨¨ 0

j Ez c .. j . ´ Ey c

´By ¨¨¨ j ´ Ez c 0 j Ex c

´Bz ¨¨¨ j Ey c j ´ Ex c 0

˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚

(9.37)

458

9 Relativistische Elektrodynamik

Die Skalarprodukte von F und G führen auf folgende Tensoren. F ¨ F “ eT F2## e G ¨ G “ eT G2## e Mit den Quadraten der Feldgrößen ` 2 ˘ ` ˘ 2 2 ` F02 ` F03 E 2 “ ´ c2 F01 “ ´ c2 G212 ` G213 ` G223 (9.38) 2 2 2 B 2 “ G201 ` G202 ` G203 “ F12 ` F13 ` F23

werden die Spuren der Tensoren dargestellt. sp F2## “ sp G2## “ 2

E2 ´ 2B 2 c2

Weiterhin wird das Skalarprodukt von F und G gebildet, dessen Komponentenmatrix Diagonalform mit gleichen Elementen hat und damit einer Einheitsmatrix E proportional ist. F ¨ G “ eT F ## G ## e ´ ¯ ´j ¯ j F ## G ## “ Diag E ¨ B “ E¨B E c c Spuren und Determinanten liefern Skalare und damit invariante Größen. Mit den Energiedichten (5.31) ergeben sich die folgenden Lorentz-Invarianten, die bereits in (9.20) auftraten. sp F2## “ sp G2## “

˘ ` ˘ 2 ` 2 E ´ c2 B 2 “ 4μ0 we ´ wm 2 c

` ˘ j sp F ## G ## “ 4 E ¨ B c det F ## “ det G ## “ ´

(9.39)

˘2 ” 1 ` ˘ı2 1 ` “ G sp F E ¨ B ## ## c2 4

459

9.4 Tensoren der Elektrodynamik

9.4.3

Tensordarstellung der Maxwell’schen Gleichungen

Die beiden inhomogenen Maxwell’schen Gleichungen (5.2) und (5.3), die die Quellen enthalten, ergeben mit den Komponenten der Viererstromdichte J nach (9.9) die Darstellungen, jc ρ j “ μ0 jcρ “ μ0 J0 div E “ 2 c c ε0 rot B ´

1 BE “ μ0 J c2 Bt

die durch die Komponenten des elektromagnetischen Feldtensors F ausgedrückt werden. BEz ı BF01 BF02 BF03 j ” BEx BEy ` ` “ μ0 jcρ “ μ0 J0 ` ` “ c Bx By Bz Bx1 Bx2 Bx3 BBy BBz 1 BEx BF12 BF13 BF10 ` ` “ μ0 Jx “ μ0 J1 ´ ´ 2 “ By Bz c Bt Bx2 Bx3 Bx0 BBx BBz 1 BEy BF23 BF21 BF20 ` ` “ μ0 Jy “ μ0 J2 ´ ´ 2 “ Bz Bx c Bt Bx3 Bx1 Bx0 BBy BBx 1 BEz BF31 BF32 BF30 ` ` “ μ0 Jz “ μ0 J3 ´ ´ 2 “ Bx By c Bt Bx1 Bx2 Bx0 Diese vier Beziehungen kann man wegen Fkk “ 0 zu folgenden Komponentengleichungen für k “ 0, 1, 2, 3 zusammenfassen oder nach vektorieller Addition durch die vierdimensionale, alternative Divergenz des Feldtensors gemäß (18.47, Bd. I) als Vierervektorgleichung darstellen. ÿ3 ν“0

BFkν “ μ0 Jk Bxν

˚

div F “ μ0 J

Die beiden homogenen Maxwell’schen Gleichungen rot E `

BB “0 Bt

div B “ 0

(9.40)

460

9 Relativistische Elektrodynamik

werden durch die Komponenten des dualen Tensors ausgedrückt. BEy ı j ” BEz BBx BG12 BG13 BG10 ` ` “0 ´ ´ ` “ c By Bz Bpjctq Bx2 Bx3 Bx0 ´

BBy j ” BEx BEz ı BG23 BG21 BG20 ` ` “0 ´ ` “ c Bz Bx Bpjctq Bx3 Bx1 Bx0

´

j ” BEy BEx ı BBz BG31 BG32 BG30 ` ` “0 ´ ` “ c Bx By Bpjctq Bx1 Bx2 Bx0 ´

” BB

x

Bx

`

BBy BBz ı BG01 BG02 BG03 ` ` “0 ` “ By Bz Bx1 Bx2 Bx3

Alle vier Beziehungen werden wegen Gkk “ 0 durch die folgenden Komponentengleichungen oder durch die homogene Vierervektorgleichung als Divergenzbeziehung erfüllt. ÿ3 ν“0

BGkν “0 Bxν

˚

div G “ 0

(9.41)

Man kann beide Paare der Maxwell’schen Gleichungen auch mit den jeweils anderen Tensorkomponenten darstellen, allerdings ergeben sich dann bezüglich der auftretenden Indizes weniger übersichtliche Beziehungen. Die homogenen Gleichungen lauten mit den Komponenten des Feldtensors dann, BFμν BFνλ BFλμ ` ` “0 λ Bxμ Bxν Bx wobei die Indizes μ, ν, λ ein Tripel unterschiedlicher Zahlen aus (0,1,2,3) sein müssen, so dass dafür keine elegante Zusammenfassung existiert. Das Tensorsystem der Maxwell’schen Gleichungen in Lorentzkovarianter Form wird durch vier Divergenz-Beziehungen dargestellt, bei denen die Komponenten der Feldtensoren F und G von den Feldgrößen E und B gebildet werden und die divergenzfreie Viererstromdichte J (9.9) die Quellen des Feldes enthält und im divergenzfreien Viererpotential Φ (9.12) die elektrodynamischen Potentiale ϕ und A auftreten. ˚

div F “ μ0 J

˚

div G “ 0

Div J “ Div Φ “ 0

(9.42)

9.4 Tensoren der Elektrodynamik

461

Vom mathematischen Standpunkt hat man mit dieser Tensordarstellung eine elegante, kompakte und kovariante Beschreibung der Elektrodynamik des Vakuums in vierdimensionaler Raumzeit gewonnen, die das elektromagnetische Feld in umfassender Weise beschreibt, wie das am Ende von Abschnitt 9.2.4 als Zielrichtung ausgesprochen wurde. Allerdings tritt bei dieser Darstellungsweise mit Feldtensoren und Vierervektoren die Anschaulichkeit in den Hintergrund, die zum gewohnten Verständnis von Physikern und Elektrotechnikern gehört. Die vertraute räumliche Vorstellung der Feldentstehung aus Quellen und Wirbeln, das Zusammenwirken der elektrischen und magnetischen Feldstärken im System der Maxwell’schen Gleichungen sowie die Felddarstellung durch Feldlinien und Flussröhren geht bei dieser formalen Beschreibung verloren.

Literatur [1] Fichtenholz, G. M.: Differential- und Integralrechnung I/II/III VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 5. Aufl. (1972) [2] Frebel, A.: Auf der Suche nach den ältesten Sternen S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main (2012) [3] Freund, J.: Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich (2007) [4] Hecht, E.: Optics Addison-Wesley Longman Inc., 3. Aufl. (1998) [5] Jackson, J. D.: Klassische Elektrodynamik Walter de Gruyter, Berlin/Boston, 5. Aufl. (2014) [6] Panofsky, W. K., Phillips, M.: Classical Electricity and Magnetism Addison-Wesley Publishing Company, 2. Aufl. (1988) [7] Purcell, E. M.: Berkeley Physik Kurs II, Elektrizität und Magnetismus Vieweg Verlag, Braunschweig, 4. Aufl. (1989) [8] Resnick, R.: Einführung in die spezielle Relativitätstheorie Ernst Klett Verlag, Stuttgart (1976) 462

Literatur

[9] Sharov, A. S., Novikov, I. D.: Edwin Hubble Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin (1994) [10] Simonyi, K.: Theoretische Elektrotechnik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 9. Aufl. (1989) [11] Singh, S.: Big Bang Carl Hanser Verlag, München (2005) [12] Sobel, D.: Das Glas-Universum Berlin Verlag, München (2017) [13] Sommerfeld, A.: Vorlesungen über theoretische Physik III, Elektrodynamik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 4. Aufl. (1964) [14] Stratton, J. A.: Electromagnetic Theory McGraw-Hill Book Company (1941) [15] Zangwill, A.: Modern Electrodynamics Cambridge University Press, Cambridge UK (2013)

Spektrum der Wissenschaft [16] Osterbrock, D. E., Gwinn, J. A., Brashear, R. S.: Edwin Hubble und die Expansion des Universums SdW 9, 78 (1993) [17] Wolschin, G.: Neues vom Urknall: Plancks Himmelskarte SdW 7, 19 (2013) [18] Schwarz, D. J.: Streit um Hubbles Erbe SdW 7, 12 (2018)

463

Kapitel 10

Relativistische Dynamik Zusammenfassung Die fundamentalen physikalischen Begriffe von Kraftdichte, Impuls, Energie, Masse und Kraft werden zu Vierergrößen der Raumzeit verallgemeinert und der Energie-Impuls-Tensor wird zur Darstellung der Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld eingeführt. Aus den Verknüpfungen der Vierergrößen resultiert eine Reihe grundlegender Beziehungen und Erkenntnisse der modernen Physik wie die von Einstein gefundene Äquivalenz von Masse und Energie, das Gesetz der Energiequantisierung, der Welle-Teilchen-Dualismus und die Materiewellen. Mit Hilfe der Energiebeziehung und dem Energie-Impuls-Diagramm lassen sich wichtige atomare Wechselwirkungen veranschaulichen. Die Minkowski-Kraft als Vierervektor der Kraft kann mit dem elektromagnetischen Feldtensor verknüpft werden.

10.1

Vierervektor der Kraftdichte

Den Ausgangspunkt für die Viererdarstellung bildet die Beziehung der Lorentz-Kraftdichte (5.40), die folgendermaßen lautet. fL “ ρ E ` J ˆ B “ div T M ´ με

BS Bt

464 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_10

465

10.1 Vierervektor der Kraftdichte

Für die x-Richtung und entsprechend für y und z erhält man mit Viererstromdichte (9.9) und Feldtensor (9.35), ´ j ¯ fLx “ jcρ ´ Ex ` Jy Bz ´ Jz By c “ J0 F10 ` lo J1omo F11 on `J2 F12 ` J3 F13 “0

so dass man die räumlichen Komponenten folgendermaßen darstellen kann. ÿ3 Fpν Jν p p “ 1, 2, 3 bzw. x, y, z q fLp “ ν“0

Setzt man formal auch p “ 0 ein, dann liefert die Summe die Verlustleistungsdichte (5.30). Fo00 f0 “ lo moJon0 `F01 J1 ` F02 J2 ` F03 J3 “0

j j j “ p Ex J x ` Ey J y ` Ez J z q “ E ¨ J “ ˚ pV c c c Die Zusammenfassung der vier Komponenten ergeben die Viererkraftdichte f als Skalarprodukt aus alternierendem Feldtensor F und Viererstromdichte J, deren Zeit- und Raumanteil dabei durch Verlustleistungsdichte und Lorentz-Kraftdichte gebildet werden. f “ F ¨ J “ eT F ## J “ eT f “ “ f 0 e0 ` fL “

´j c

˚ pV , f L x , fL y , f L z

¯

j ˚ p V e0 ` fL c

e (10.1)

In der Raumzeit gilt mit der Relation (9.11) folgendes Skalarprodukt, das als quadratische Form mit schiefsymmetrischer innerer Matrix F ## nach (12.30, Bd. I) verschwindet. ˚

˚

˚

γ γ γ U ¨ f “ J ¨ f “ J ¨ F ¨ J “ JT F ## J “ 0 ρ ρ ρ Damit gilt Orthogonalität von Viererkraftdichte und den Vierervektoren von Geschwindigkeit und Stromdichte. U¨f “J¨f “0

(10.2)

466

10 Relativistische Dynamik

10.2

Energie-Impuls-Tensor bzw. Spannungs-Energie-Tensor

Die Darstellung der Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld des Vakuums erreicht man durch die relativistische Verallgemeinerung des Maxwell’schen Spannungstensors T M aus Abschnitt 5.3. Dazu drückt man die Komponenten von T M durch diejenigen des Feldtensors F nach (9.35) aus. Mit der Indizierung x, y, z “ ˆ 1, 2, 3 und auf Grund des alternierenden Charakters von F erhält man folgende Bestandteile sowie entsprechende Werte für die anderen Feldgrößenprodukte. ¯´ j ` Ex c ´ j ¯´ μ 0 ε 0 Ex Ey “ μ 0 ε 0 c 2 ´ Ex ` c μ0 ε0 Ex2 “ μ0 ε0 c2

´

´

¯ j 2 Ex “ F10 F01 “ ´ F10 c ¯ j Ey “ F10 F02 “ ´ F10 F20 c

2 Bx2 “ F23

Bx By “ F23 F31 “ ´ F13 F23 Mit den Feldgrößenquadraten (9.38) sowie den durch Unterstreichung gekennzeichneten und weiteren Ergänzungen der Tensorkomponenten ´ E2 ¯ ´ 2 B2 ¯ M “ μ0 ε0 Ex2 ´ ` Bx ´ μ0 Txx 2 2 ` 2 ˘ 1` 2 ˘ 2 2 2 2 2 ` looFmo ` F03 “ ´ F10 F01 ` F02 11on `F12 ` F13 ` looooooooomooooooooon 2 “ ´ μ0 ε 0 E 2

“0

˘ 1` 2 2 2 2 2 ` F13 ` F23 ´ ` F23 ` F12 F12 ` F13 looooooooomooooooooon 2 “B 2 ` 2 ˘ 2 2 2 “ ´ F10 ` F11 ` F12 ` F13 ˘ 1` 2 2 2 2 2 2 ` ` F03 ` F12 ` F13 ` F23 F01 ` F02 2 `

˘ 2

M “ μ 0 ε 0 Ex Ey ` B x B y μ0 Txy ` ˘ “ ´ F10 F20 ` looomooon F11 F21 ` looomooon F12 F22 `F13 F23 “0

“0

10.2 Energie-Impuls-Tensor bzw. Spannungs-Energie-Tensor 467 erhält man mit der Spur von F nach (9.39) die folgenden Darstellungen für i, k “ 1, 2, 3 bzw. x, y, z.

M “´ Tkk

1 1 ÿ3 sp F2## ´ F2 ν“0 kν 4μ0 μ0 (10.3)

TikM “ TkiM

1 ÿ3 “´ Fiν Fkν ν“0 μ0

pi ‰ kq

Bildet man diese Ausdrücke formal auch für den Index Null, dann erhält man folgende Komponenten, die zusätzlich zum Maxwell’schen Spannungstensor auftreten. M 2 2 2 2 2 2 “ looooooooomooooooooon F01 ` F02 ` F03 ` looooooooomooooooooon F12 ` F13 ` F23 2μ0 T00 “ ´ μ0 ε 0 E 2

“ B2

2 2 2 2 ´ 2 looFmo F01 ` F02 ` F03 00on ` looooooooomooooooooon

`

˘

“ ´ μ0 ε 0 E 2

“0

“ μ 0 ε0 E 2 ` B 2 ˘ ` M μ0 T01 “´ F 00 F10 ` F01 F11 `F02 F12 ` F03 F13 looooooooomooooooooon “0

˘ j` E B ´ E B “´ y z z y c loooooooomoooooooon “ μ0 Sx

M T00 “

1 1 B 2 “ we ` wm “ w ε0 E 2 ` 2 2μ0 (10.4)

M M T0k “ Tk0 “´

j Sk c

pk ‰ 0q

Fasst man alle Komponenten zusammen, dann erhält man den SpannungsEnergie-Tensor, der in der Literatur meist Energie-Impuls-Tensor des

468

10 Relativistische Dynamik

elektromagnetischen Feldes genannt wird. T

EM

“ eT T EM e

(10.5)

¨ ¨ T

EM

˚ w “ ˝¨ ¨ ¨ ¨ ´js

.. . ¨ .. .

w

˚ ˚ ¨¨¨¨¨¨ ˚ ˚ j T ´js ‹ ˚ ˚ ´ c Sx ¨ ¨ ¨ ¨ ¨‚“ ˚ ˚ j ˚´ S TM ˚ y ˚ c ˝ j ´ Sz c ˛

.. j j j . ´ Sx ´ Sy ´ Sz c c c ¨ ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨ .. M M M T12 T13 . T11 .. .

M T12

M T22

M T23

.. .

M T13

M T23

M T33

˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚

Dieser vierdimensionale Tensor T EM ist symmetrisch. Er umfasst den dreidimensionalen Maxwell’schen Spannungstensor T M und enthält in den Randbereichen seiner Matrix die Gesamtenergiedichte w sowie die Komponenten des Poynting-Vektors S in Form einer mechanischen Spannung s “ S{c. Alle Komponenten haben die gleiche Einheit, die man für die einzelnen Anteile unterschiedlich interpretieren kann, worauf die doppelte Namensgebung des Tensors zurückzuführen ist. „ j Ws w Energiedichte m3 „ j Ns m Impulsdichte mal Geschwindigkeit ¨ s m3 s „ j N M mechanische Spannung oder Druck T m2 Die Spur des Tensors ist gemäß (5.39) Null, sp T EM “ w ` sp T M “ w ´ pwe ` wm q “ 0 wodurch sich der symmetrische Energie-Impuls-Tensor als Deviator nach (12.27, Bd. I) mit nur neun unabhängigen Elementen erweist.

10.2 Energie-Impuls-Tensor bzw. Spannungs-Energie-Tensor 469

Die Divergenz des Tensors wird im vierdimensionalen Fall mit dem Tessera-Operator nach (8.9) und (18.47, Bd. I) gebildet, wodurch ein Vektor entsteht. div T

EM

“l ¨T

EM

BT EM BT EM BT EM BT EM ` e ¨ ` e ¨ ` e ¨ 1 2 3 Bx0 Bx1 Bx2 Bx3 Die e0 -Komponente des Vektors ist nach dem Poynting’schen Satz (5.33) der Verlustleistungsdichte ˚ pV proportional, die dem Zeitanteil der Kraftdichte f nach (10.1) entspricht. “ e0 ¨

e0 ¨ div T

EM EM EM EM “ T 00 , 0 ` T 10 , 1 ` T 20 , 2 ` T 30 , 3 j Bw j ´ BSx BSy BSz ¯ “´ ´ ` ` c Bt c Bx By Bz ” ı j Bw “´ ` div S c Bt j j “ ˚ pV “ E ¨ J “ f 0 c c Der räumliche Anteil des Vektors wird folgendermaßen zusammengefasst. ` ` ` ˘ ˘ ˘ ex ¨ div T EM ex ` ey ¨ div T EM ey ` ez ¨ div T EM ez

“

EM

M M M ¯ı 1 BSx ´ BT11 BT12 BT13 ` ` ` ex c2 Bt Bx By Bz ” M 1 BSy ´ BT12 BT M BT M ¯ı ` ´ 2 ` ` 22 ` 23 ey c Bt Bx By Bz ” M 1 BSz ´ BT13 BT M BT M ¯ı ` ´ 2 ` ` 23 ` 33 ez c Bt Bx By Bz

”

´

1 BS ` div T M “ fL c2 Bt In Ergänzung zu (5.40) und (10.1) kann man die Viererkraftdichte auch durch die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors T EM darstellen. “´

f “ F ¨ J “ div T

EM

“ f 0 e0 ` fL “

j ˚ pV e0 ` div T c

M

´

1 BS c2 Bt (10.6)

470

10 Relativistische Dynamik

10.3

Viererimpuls, Masse und Energie

Ein Körper oder ein Teilchen der Masse m0 und der Geschwindigkeit u besitzt im System S einen relativistischen Impuls, seinen Viererimpuls p, der aus Masse und Vierergeschwindigkeit (8.20) in Erweiterung der klassischen Form gebildet wird. Da p und U Vierervektoren sind, ist m0 eine LorentzInvariante.

p “ m0 U “ m0

˘ ˚` dR “ m0 γ jc e0 ` u “ p0 e0 ` p “ pT e dτ

(10.7)

Der räumliche Impulsanteil und sein Betrag lauten nach dieser Darstellung, ˚

p “ γ m0 u “ c

m0 ´ u ¯2 u “ mpuq u 1´ c ˚

˚

˚

| p | “ p “ γ m0 | u | “ β c γ m0 “ u mpuq der für nichtrelativistische Geschwindigkeiten u ! c in den Newton’schen Impuls p “ m0 u nach (3.1) übergeht. Der Körper oder das Teilchen besitzt die Ruhmasse m0 und für den Beobachter in S die geschwindigkeitsabhängige Impulsmasse oder relativistische Masse oder auch träge Masse mpuq. ˚

mpuq “ γ m0 “ c

|p| m0 p ´ u ¯2 “ | u | “ u 1´ c

Der Zeitanteil des Viererimpulses und damit die Impulsmasse ˚

p0 “ m0 U0 “ jc γ m0 “ jc mpuq

(10.8)

471

10.3 Viererimpuls, Masse und Energie

werden in eine Taylorreihe entwickelt, so dass man die einzelnen Glieder nach Multiplikation mit c2 als Energien interpretieren kann. ´

˚ j p 0 “ γ m0 “ c c

˚

ı ” m0 1 ´ u ¯ 2 3 ´ u ¯4 “ m ` ` . . . 1 ` 0 ´ u ¯2 2 c 8 c 1´ c

1 m0 u 2 ` . . . 2 “ W0 ` loooooomoooooon E kin0 ` . . . “ W ges “ mpuq c2

´ jc p0 “ γ m0 c2 “ m0 c2 `

“ E kin

Die konstante Ruheenergie W0 , die klassische kinetische Energie E kin0 der Masse m0 bei der Geschwindigkeit u sowie die relativistische kinetische Energie E kin , die den geschwindigkeitsabhängigen Anteil darstellt, werden durch die folgenden Ausdrücke definiert. W0 “ m0 c2

E kin0 “

1 m0 u 2 2 (10.9)

E kin

˘ `˚ “ Wges ´ W0 “ γ ´1 W0

In den Energiedarstellungen Wges “ mpuq c2 “

˚ ˚ pc2 “ γ m0 c2 “ γ W0 “ W0 ` E kin u

(10.10) ΔW “ Wges ´ W0 “ E kin “ mpuq ´ m0 c2 “ Δm c2 `

˘

entspricht der trägen Masse mpuq eine Gesamtenergie Wges bzw. jedem Massenzuwachs Δm ein Energiezuwachs ΔW , wobei die Massen mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit bewertet werden. Die Erkenntnis der Äquivalenz von Masse und Energie hat Einstein als das wichtigste Ergebnis seiner Speziellen Relativitätstheorie bezeichnet, [3, S. 221], [4, S. 62], [5, S. 130], [7, S. 248].

472

10 Relativistische Dynamik

Das Ergebnis war Einsteins berühmte und populäre Formel, › › › E “ m c2 die weithin bekannt und im öffentlichen Leben und den Medien häufig anzutreffen ist und mit der er ständig identifiziert wird. In Ergänzung zur Definition (10.7) gilt auch die folgende Impulsdarstellung mit der Gesamtenergie, p “ p0 e 0 ` p “ j

` ˘ Wges Wges e0 ` p “ jc e0 ` u c c2

(10.11)

wonach der Viererimpuls auch Energie-Impuls-Vektor genannt wird. Das Quadrat des Viererimpulses wird aus dem Quadrat der Vierergeschwindigkeit und der Impulsdefinition gebildet, ˘ ` ˚ ˘2 ` ´ c2 ` u2 “ ´ pm0 cq2 “ ´ m0 W0 p ¨ p “ m20 U ¨ U “ m0 γ ´j ´ W ¯2 ¯2 ges “ p ¨ p ` p20 “ p2 ` Wges “ p2 ´ c c woraus die Darstellung der Gesamtenergie hervorgeht. ˚

Wges “ mpuq c2 “ γ W0 “

b ppcq2 ` W02

(10.12)

Aus dem räumlichen Anteil von (10.11) ergibt sich folgende Beziehung, die die relativistische Verallgemeinerung des gewöhnlichen Impulses darstellt. p “ mpuq u “

Wges u c2

(10.13)

Im linken Teil der Abbildung 10.1 werden die Energiegrößen durch die Seiten der rechtwinkligen Dreiecke ABD und ADC anschaulich dargestellt. Das Dreieck ABD zeigt die Zusammensetzung der Gesamtenergie und im Dreieck ACD gilt für den Winkel χ tan χ “

˚ pc u “ “β Wges c

473

10.3 Viererimpuls, Masse und Energie

 









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 

  

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  

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



Abb. 10.1: Energiedarstellung für normale und masselose Partikel Das rechte Bild zeigt den masselosen Fall mit gleichschenkligem Dreieck ACD. Für Partikel der Ruhmasse Null folgt aus der Gesamtenergie (10.12), ˇ ˇ Wges ˇ

m0 Ñ 0

“ pc

Ñ

ˇ ˇ p0 ˇ

m0 Ñ 0

“j

Wges “ jp c

Das ist auch kompatibel mit (10.8), da der Grenzübergang lim mpuq “

m0 Ñ 0 uÑc

0 0

einen unbestimmten Ausdruck liefert, der bei m0 “ 0 nicht zu verschwindender Gesamtenergie Wges “ 0 führt! Aus folgender Beziehung erhält man einen Einheitsvektor. ˇ ˇ u Wges ˇ

m0 Ñ 0

u p “ “ ep c p

“ pc u “ p c2 Ñ

ˇ u ˇ ˇˇ p ˇˇ ˚ ˇ ˇ β “ ˇ ˇ “ ˇˇ ˇˇ “ 1 c p

Masselose Partikel wie Photonen oder Lichtquanten bewegen sich daher stets mit Lichtgeschwindigkeit c und besitzen die folgenden Werte für kinetische Energie und Impuls, wenn man ihre Energie noch durch das

474

10 Relativistische Dynamik

Planck’sche Wirkungsquantum h, auf das im nächsten Abschnitt eingegangen wird, und die Frequenz f bzw. die Wellenlänge λ0 im Vakuum ausdrückt. ˇ ˇ Wges ˇ

m0 Ñ 0

“ E kin “ pc “ hf “

hc λ0 (10.14)

ˇ ˇ pˇ

m0 Ñ 0

˘ hf ˘ h ` ` “ jp e0 ` p “ j e0 ` ep “ j e0 ` e p c λ0

In der Elementarteilchenphysik wird die Äquivalenzbeziehung zwischen Masse und Energie angewendet, um Teilchenmassen durch Energiewerte auszudrücken, die dadurch in einen günstigeren Zahlenbereich fallen, der mit den gängigen Vielfachen (k, M, G, T) angeben werden kann. Als übliche Nicht-SIEinheit der Energie verwendet man dabei das Elektronenvolt, das diejenige Energie angibt, die ein Elektron bei Durchlaufen der Potentialdifferenz von 1 Volt aufnimmt. 1 eV “ 1.602 ¨ 10´19 As ¨ 1 V “ 1.602 ¨ 10´19 Ws

(10.15)

Die Ruhmassen von Elektron, Proton und Neutron haben folgende Werte. me “ 9.1094 ¨ 10´31 kg “

511 keV{c2

mp “ 1.6726 ¨ 10´27 kg “ 938.3 MeV{c2

(10.16)

mn “ 1.6749 ¨ 10´27 kg “ 939.6 MeV{c2 Das Verhältnis der Ruhmassen von Proton und Elektron hat den Wert mp « 1836 me Bei der Angabe von Teilchenmassen wird häufig in nichtkorrekter Weise auf den Nenner c2 verzichtet.

475

10.4 Transformation von Viererimpuls und Masse

10.4

Transformation von Viererimpuls und Masse

Die Umrechnung des Viererimpulses zwischen zwei Bezugssystemen erfolgt wie bei jedem Vierervektor durch Lorentz-Transformation. ˆ “ Lp p Für Zeit- und Raumanteil erhält man nach (10.11) im eindimensionalen Fall daraus die Beziehungen für die Lorentz-Transformation von Gesamtenergie und Impulskomponenten. ` ˘ ˆ ges “ γ Wges ´ v px W

` Wges ˘ pˆx “ γ px ´ v 2 c

pˆy,z “ py,z

(10.17) Aus Gesamtenergie und x-Komponente des Impulses ergibt sich die Transformation der Impulsmasse, die bei konstanter Bewegung ux “ v in den einfachen Fall übergeht. ` ˘ “ ‰ ˆ ges “ mpuq ˆ c2 “ γ Wges ´ βc px “ γ mpuqc2 ´ v mpuq ux W mpuq ˆ “

´

1´

ux v ¯ γ mpuq c2

mpvq ˆ “

1 mpvq γ

(10.18)

Ein Photon werde im Inertialsystem Sˆ der Anordnung beim Dopplerˆ ges {c in negative Effekt gemäß Abbildung 9.1 mit dem Impuls pˆx “ ´ W x ˆ-Richtung emittiert. Die Energie lautet nach Lorentz-Rücktransformation im System S d ` ˘ 1 ´ β ˆ ges ` βc pˆx “ a ˆ ges ˆ ges “ 1 ´ β W W Wges “ γ W 1`β 1 ´ β2 Dividiert man dieses Ergebnis durch die Frequenz (9.6) des longitudinalen Doppler-Effektes, dann erhält man den folgenden Quotienten, der für beliebige Inertialsysteme gleich ausfällt und damit lorentz-invariant ist. ˆ ges Wges W “ “ const. ω ω ˆ

476

10 Relativistische Dynamik

Als wichtiges Ergebnis folgt hieraus die Äquivalenz von Energie und Frequenz mit einer Konstanten h. Wges “ hf “

h ω “ ω 2π

(10.19)

Dieser lineare Zusammenhang oder das Gesetz der Energiequantisierung wurde 1900 von Max Planck aus mathematischen Erwägungen eingeführt, mit der er die Energieverteilung des Schwarzen Körpers (s. Abschnitt 12.6) erfolgreich beschreiben konnte. Albert Einstein gab 1905 auf Grund der Experimente von Philipp Lenard die Erklärung, dass die Emission von Elektronen beim photoelektrischen Effekt nicht durch Lichtwellen sondern durch Lichtquanten mit der von Planck angegebenen Energie W “ hf erfolgt. Für diese physikalische Begründung der Energiequantisierung, die den Dualismus von Welle und Teilchen begründete, erhielt Einstein 1921 den Nobelpreis für Physik, der ihm aber erst Ende 1922 verliehen wurde. Die experimentell zu bestimmende Konstante h stellt das bereits erwähnte Planck’sche Wirkungsquantum dar, dessen reduzierte Form  früher auch als Dirac’sche Konstante bezeichnet wurde. h “ 6.626 ¨ 10´34 Ws2

“

h “ 1.054 ¨ 10´34 Ws2 2π

(10.20)

Bei Basiswechsel ändert sich mit der Energie auch die Frequenz und muss gemäß der Transformation (10.17) umgerechnet werden.

10.5

Welle-Teilchen-Dualismus und Materiewellen

Die Vierer-Verallgemeinerung von (10.19) erhält man dadurch, dass man die beim Doppler-Effekt gefundene Relation (9.4) mit der Impulsbeziehung (10.13) verknüpft. + ω u “ c2 k Wges Ñ p“ k “ k (*) 2 ω Wges u “ c p

10.5 Welle-Teilchen-Dualismus und Materiewellen

477

Fasst man den räumlichen Impulsanteil p und die zeitliche Komponente p0 aus (10.11) p0 “ j

Wges ω “j “ j  k0 c c

zusammen, dann folgt die Äquivalenz von Viererimpuls und ViererWellenvektor nach (9.2) als Fundamentalgleichung. ` ˘ p “ p0 e0 ` p “  jk0 e0 ` k “  k

(10.21)

Zwischen Energie Wges und Impuls p als Teilchengrößen und Frequenz ω und Wellenvektor k als Wellengrößen besteht bei Licht und generell elektromagnetischer Strahlung damit folgende Proportionalität als denkbar einfachste Verknüpfung mit der gleichen Proportionalitätskonstante . + Wges „ ω Ñ p “ k p „ k Da Teilchen- und Welleneigenschaften miteinander verknüpft sind, ist keine alle Aspekte umfassende, anschauliche Deutung der physikalischen Realität möglich. Der französische Physiker Louis de Broglie (1892 -1987) übertrug 1924 die für Lichtquanten bereits bekannten Beziehungen (10.19) und (*) Wges “ hf

und

|p| “ p “ |k| “

h λ

auch auf Materie und ordnete den Größen m0 und p von Teilchen der Geschwindigkeit u ebenfalls Wellengrößen zu. Aus (10.8) und (10.10) folgen Wellenlänge und Frequenz, die ein einfaches Produkt bilden. c , ´ u ¯2 / / 1´ / / h / c / λ“ “h / / . p m0 u Ñ λf “ c2 {u / 2 / Wges 1 m0 c / / f“ “ c / ´ ¯ / h h u 2 / / 1´ c

478

10 Relativistische Dynamik

De Broglie führte damit die Materiewellen ein, bei der die Größe λ als Materiewellenlänge oder De Broglie-Wellenlänge bezeichnet wird. Einstein und später de Broglie begründeten den Dualismus von Welle und Korpuskel, der besagt, dass weder Wellen- noch Teilchenmodell allein die Natur von Licht und Materie vollständig erfassen können. Die Modellvorstellung hängt immer davon ab, welches Experiment durchgeführt wird und wie man die Beobachtungen und Ergebnisse auf adäquate Weise interpretieren kann. Alle Modellvorstellungen der Physik entspringen dem Bedürfnis, anschauliche und verständliche Bilder von der Natur und ihren Phänomenen zu erstellen. Beim Licht und im Bereich der Atome und Elektronen trat zum ersten Mal das Problem auf, dass Modelle nur einzelne Aspekte und nicht die Wirklichkeit in ihrer gesamten Vielfalt abbilden, so dass keine einfache und umfassende Erklärung des „wahren Wesens“ der Erscheinungen möglich ist. Nur mit Hilfe der mathematischen Beschreibung kann eine vollständige aber mitunter unanschauliche Gesamtdarstellung gegeben werden. Der dänische Physiker Niels Bohr (1885 -1962) erkannte, dass die unvereinbaren Versuchsergebnisse zu Erfahrungen führen, die er als komplementär bezeichnete. Seine Vorstellung der Komplementarität, die er 1927 zusammen mit Werner Heisenberg (1901 -1976) erläuterte, wird als Kopenhagener Deutung bezeichnet. Das klassische Kausalitätsprinzips mit einer raumzeitlichen Darstellung der Phänomene muss in Bereichen, in denen die Wirkung in der Größenordnung des Planck’schen Wirkungsquantums h liegt, ergänzt werden durch eine gleichberechtigte Beschreibung der Wirklichkeit, die dem Quantencharakter Rechnung trägt, die aber mit der klassischen Sicht unvereinbar ist und ihr widerspricht. Die Durchführung eines Experiments bringt ein subjektives Element des Experimentators ins Spiel, wodurch das Ergebnis durch die Art seiner Fragestellung beinflusst wird. Die Kopenhagener Deutung stellt eine Interpretation der Quantenmechanik dar, die Ausdruck des indeterministischen Charakters von Naturvorgängen in atomaren und subatomaren Bereichen ist. Die Begriffe Dualismus und Materiewellen sind charakteristische Merkmale der Mikrophysik, also der Physik der Atome, ihrer Bestandteile und weiterer Elementarteilchen. Makroskopische Körper sind dagegen dadurch gekennzeichnet, dass ihre Materiewellenlängen λ “ h{p “ h{pm0 uq wegen des extrem kleinen Wertes von h unter jeder messbaren Grenze liegen.

10.5 Welle-Teilchen-Dualismus und Materiewellen

479

Mit der Vorstellung der Materiewellen gelang es de Broglie, die 1913 von Bohr postulierten kreisförmigen Elektronenbahnen im Bohr’schen Atommodell als erlaubte Energiezustände zu erklären. Im Wellenbild des Elektrons gehört zu dessen Impuls p “ me u “ me rω die Wellenlänge λe “ h{p “ h{pme uq. Damit die Elektronenwelle im Orbit des Atoms nicht durch destruktive Interferenz ausgelöscht wird, muss der Bahnumfang in dieser semiklassischen Beschreibung eine ganze Zahl von Wellenlängen aufnehmen und damit einer stehenden Welle entsprechen. Das Bohr’sche Postulat der erlaubten Elektronenbahnen wird dann für Bahnradien rn mit der Hauptquantenzahl n vom Grundzustand n “ 1 an durch folgende Bedingung erfüllt. 2πrn “ nλe “ n

h h “n me u me rn ω

pn “ 1, 2, . . . q

(10.22)

Mit diesem Ergebnis erhält man beim einfachsten Element, dem Wasserstoffatom im Grundzustand, [9], den Bahnradius des Elektrons im Feld des Protons im Kern aus der Gleichheit von Zentripetalkraft und Anziehung durch Coulomb-Kraft. me r 1 ω 2 “ `

me r 1 ω

1 e2 4πε0 r12

“

h2 me r1 e2 “ 4πε0 r12 4π 2 r12

r1 “

ε 0 h2 “ 52.9 pm πme e2

˘2

Dieser klassisch abgeleitete Wert liefert eine Vorstellung von der Größe des Bahnradius und damit der Größenordnung von Atomen. Bohr erhielt 1922 für seine Arbeiten zum Atombau, de Broglie 1929 für die Wellennatur des Elektrons den Nobelpreis für Physik.

480

10.6

10 Relativistische Dynamik

Erhaltung und Invarianz

Erhaltung bedeutet, dass eine Größe vor und nach einem Prozess den gleichen Wert aufweist, sich also bei einer Wechselwirkung nicht ändert. Invarianz bedeutet, dass eine Größe in allen Inertialsystemen den gleichen Wert aufweist. In der folgenden Tabelle sind wesentliche physikalische Größen entsprechend dieser Klassifizierung aufgeführt. Eine wesentliche Erkenntnis bei allen Vorgängen stellen in der klassischen Physik die Sätze über die Erhaltung von Energie und Impuls dar, die besagen, dass in einem abgeschlossenen System ohne äußere Kräfte sowohl die Gesamtenergie Wges „ mpuq als auch der Impuls p vor und nach einer Wechselwirkung keine Änderung erfahren. In der relativistischen Formulierung mit Vierervektoren verschmelzen die beiden getrennten Sätze zu einer einzigen Aussage als Erhaltungssatz für den Viererimpuls p der beteiligten Teilchen in abgeschlossenen Systemen. ÿ k

pk “

ÿ j ÿ Wges k ` pk “ const. e0 k k c

Größe

Erhaltung

(10.23)

Invarianz

Bemerkung

›

Skalar

›

Skalar

Eigenraumladungsdichte ρ0

›

Skalar

Ruhmasse m0

›

Skalar

Ruheenergie W0

›

Skalar

Lichtgeschwindigkeit c Ladung Q

›

Impulsmasse mpuq

›

Skalar

Energie Wges

›

Zeitanteil von p

Impuls p

›

Raumanteil von p

Vierervektoren

(›)

›

481

10.7 Energie-Impuls-Diagramm

Die Ruhmasse ist keine Erhaltungsgröße, da z.B. bei inelastischen Kollisionen von Einzelmassen, die anschließend eine zusammenhängende Gesamtmasse bilden, wie beim Schuss einer Kugel auf einen Holzblock, kinetische Energie in Ruheenergie W0 „ m0 umgewandelt wird, [2, S. 634], [6, S. 180]. Man kann drei Invarianzbeziehungen angeben, bei denen auf der rechten Seite jeweils invariante Größen stehen, [5, S. 152]. Die erste Beziehung für Raum- und Zeitkoordinaten resultiert aus den Gleichungen (7.12) und (8.18), bei der man die zweite mit verschwindender Integrationskonstante integriert, die ohnehin nicht den Invarianzcharakter beeinflusst. Die zweite Beziehung für Raumladungs- und Stromdichte ergibt sich aus der Gleichung (9.10) mit der Konvektionsstromdichte und die dritte für Energie und Impuls aus (10.12). ` ˘2 ` ˘2 ct ´ r 2 “ cτ ` ˘2 ` ˘2 cρ ´ J 2 “ cρ0 `

10.7

(10.24)

` ˘2 ˘2 cm ´ p2 “ cm0

Energie-Impuls-Diagramm

In der relativistischen Dynamik ist die Energie-Impuls-Beziehung (10.12) eine Relation zwischen Gesamtenergie, Ruheenergie und Impuls, deren funktionale Abhängigkeit Wges

b “ f ppcq “ ppcq2 ` W02

in einem Energie-Impuls-Diagramm mit dem Parameter W0 dargestellt werden kann, dessen Achsen Wges und pc Erhaltungsgrößen bedeuten. Die Energiebeziehung stellt für konstante Werte W0 Hyperbeln dar, deren Asymptoten für W0 “ 0 den Öffnungswinkel 90˝ haben. Wges “

b ppcq2 ` W02

Ñ

2 Wges ´ ppcq2 “ W02 “ const.

482

10 Relativistische Dynamik 











   

   



Abb. 10.2: Energie-Impuls-Diagramm Auf den Hyperbelästen A, B, ... können sich Teilchen verschiedener Massen bzw. Ruheenergien WA , WB , ... und auf den Grenzgeraden mit Wges “ ˘ pc masselose Photonen befinden. Auf der W -Achse ist der Impuls Null und ein Teilchen besitzt dort nur seine Ruheenergie W0 . Vor und nach der Wechselwirkung zweier Teilchen gilt nach dem Erhaltungssatz des Viererdimpulses Gleichheit für Gesamtenergie und Impuls, Wges1 ` Wges2

“ Wges3 ` Wges4

p1 c ` p2 c “ p3 c ` p4 c

“ Wges “ pc

was in den Diagrammen der vektoriellen Addition der zugehörigen Teilchenzeiger entspricht. In den Energie-Impuls-Diagrammen werden die Wechselwirkungen zwischen Elektronen und Photonen durch Parallelogramme dargestellt, deren eine Seite auf einer Asymptote bzw. Grenzgeraden liegt. Bei der Wechselwirkung im Diagramm 10.3 stößt ein masseloses Photon in B mit einem Elektron in A zusammen. Hierbei findet ein elastischer Stoß statt, da die Ruhmasse des Elektrons als Gesamtmasse vor und nach der Kollision identisch ist. Die Summenwirkung des Zustandes S ergibt sich aus dem Parallelogramm der beiden Zeiger A und B. Nach der Kollision wird der Zustand S durch das zweite mögliche Parallelogramm beschrieben, das durch die Zeiger C und D gebildet wird. Denn wegen der identischen

483

10.7 Energie-Impuls-Diagramm

 

 

    

 

 

 Abb. 10.3: Compton-Prozess

Ruhmasse muss sich das Elektron auf der gleichen Hyperbel WA befinden und das Photon kann dann nur auf der anderen Grenzgeraden in D liegen. Die Wechselwirkung beschreibt den Compton-Effekt, bei dem ein Photon an einem Elektron gestreut wird und bei dem alle vier Energien und Impulse verschieden sind. Wenn das Elektron vor dem Stoß ruhte, sich also bei verschwindendem Impuls auf der W -Achse im Minimum der Hyperbel befand, dann hat das Photon danach eine niedrigere Energie bzw. Frequenz, was man im EnergieImpuls-Diagramm einfach ablesen kann. Als weitere Beispiele für die Anwendung des Energie-Impuls-Diagramms werden die beiden Prozesse der Absorption und Emission eines Photons durch ein Atom betrachtet. Nach dem Bohr’schen Atommodell besitzt ein Atom neben seinem energetischen Grundzustand viele weitere diskrete angeregte Energiezustände, die alle durch unterschiedliche Hyperbeln dargestellt werden. Bei der Absorption kann vom Atom nur ein solches Photon aufgenommen werden, das die genau passende Energie besitzt, um das Atom in einen der zulässigen angeregten Energiezustände zu bringen, bei dem ein Elektron im klassischen Bild in einer höheren Bahn umläuft. Bei einfallendem weißen Licht, das Photonen in einem Kontinuum von Energien bzw. Frequenzen enthält, fehlen nach der Wechselwirkung mit gleichartigen Atomen diejenigen

484

10 Relativistische Dynamik

Photonen, die die zur Atomanregung passenden Energien besaßen, wodurch im weiterlaufenden Licht dunkle Absorptionslinien im Spektrum entstehen. Bei der Emission können nur solche Photonen abgestrahlt werden, bei denen das Atom von einem höheren in einen seiner erlaubten, niedrigeren Energiezustände mit der zugehörigen Hyperbel übergeht. Diese Photonen besitzen dann die Differenzenergien der Atomzustände, wodurch die zugehörigen Emissionslinien im Spektrum erscheinen. 

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Abb. 10.4: Wechselwirkungsprozesse a) Absorption b) Emission

10.8 Standardmodell der Elementarteilchenphysik

485

Die bei Absorption und Emission auftretenden Übergänge zwischen beliebigen erlaubten Energiezuständen werden in Spektroskopie und Atomphysik in Termschemata zu Serien zusammengefasst. Im einfachsten Spektrum des Wasserstoffatoms heißen sie nach den Entdeckern Lyman-Serie, Balmer-Serie, Paschen-Serie etc., [9].

10.8

Standardmodell der Elementarteilchenphysik

Eine große Zahl verschiedener Wechselwirkungsprozesse wird in [1, Kap. 29], [6, Kap. 2.4] im einzelnen untersucht. Dabei sind nur solche Prozesse physikalisch möglich, bei denen Energie, (Dreh-) Impuls und Ladung erhalten bleiben. Die Forderung nach strikter Gültigkeit der Erhaltungssätze (3.11), die immer wieder bestätigt wurden, führte zur Entdeckung einer Vielzahl von Elementarteilchen und der Entwicklung eines Modells ihrer Zusammenhänge, das heute als Standardmodell der Elementarteilchenphysik in Abbildung 10.5 bezeichnet wird. Ein berühmtes Beispiel ist die Vorhersage des Neutrinos 1930 beim Beta-Zerfall durch Wolfgang Pauli (1900 -1958) mit theoretischer Behandlung und Namensgebung 1933 durch Enrico Fermi (1901-1954). Beide Wissenschaftler erhielten für ihre quantentheoretischen Arbeiten den Nobelpreis für Physik (Fermi 1938, Pauli 1945). Da Neutrinos ausschließlich auf die schwache Wechselwirkung reagieren, konnten sie erst 1956 von Cowan und Reines im inversen Betazerfall nachgewiesen werden. Für den experimentellen Nachweis erhielt der noch lebende Frederick Reines erst 1995 den Nobelpreis für Physik, [10]. Entgegen der ursprünglichen Annahme, nach der Neutrinos masselos sind, legen langjährige Nachweisexperimente in Japan (Super-Kamiokande, seit 1996) und Kanada (Sudbury Neutrino Observatory, 1999 -2006) nahe, dass Neutrinos doch eine Masse besitzen, die allerdings nur sehr gering sein kann, und dass sie in drei Arten oder Flavours vorkommen, die ineinander umwandelbar sind, was man Neutrino-Oszillation nennt, [11], [20]. Für ihre Forschungen an Neutrinos erhielten Raymond Davis Jr. und Masatoshi Koshiba 2002 sowie Takaaki Kajita und Arthur B. McDonald 2015 den Nobelpreis für Physik, [12], [18]. Derzeit sind mehrere Großexperimente zu Nachweis und Untersuchung von Neutrinos in Betrieb wie beim Super-Kamiokande in Japan und im Gran Sasso Massiv seit 2006 in Italien. Neben der Erzeugung von Neutrinos in

486

10 Relativistische Dynamik

Beschleuniger-Experimenten interessiert Teilchenphysiker und Astronomen vor allem die Herkunft von Neutrinos aus fernen kosmischen Ereignissen wie Supernovae und Gammastrahlungsausbrüchen (GRB). Da die ladungslosen Neutrinos nicht von Magnetfeldern abgelenkt werden, will man durch Rückverfolgung ihrer Spuren und der genauen Flugrichtung Erkenntnisse über Ursprung und Herkunft in Milchstraße und fernen Galaxien gewinnen. Das Projekt IceCube ist seit 2010 in der Antarktis in Betrieb. Es verfügt in einem Volumen von einem Kubikkilometer über 86 im Eis eingeschlossene Kabelstränge mit insgesamt 5160 kugelförmigen Sensormodulen, die die Tscherenkow-Leuchtspuren der von Neutrinos ausgelösten Elementarteilchen aufzeichnen. Erste Neutrinonachweise sind bereits gelungen, [16], [19]. Seit Ende 2015 ist das Projekt KM3NeT im Mittelmeer an drei Standorten vor Frankreich, Italien und Griechenland im Aufbau, das in einem Volumen von etwa fünf Kubikkilometern an 600 Kabelsträngen etwa 12 000 Sensormodule enthalten wird. Der jüngste Erfolg in der Elementarteilchenphysik ist das Auffinden des Higgs-Bosons, das bereits 1964 von Brout, Englert und Higgs im sog. BEH-Mechanismus postuliert wurde aber erst 2012 mit dem Large Hadron Collider (LHC) des CERN, der Europäischen Organisation für Kernforschung bei Genf, nachgewiesen werden konnte. Für ihre theoretischen Arbeiten erhielten Peter Higgs und François Englert 2013 den Nobelpreis für Physik, [13], [14], [15], [17]. Das Higgs-Boson ist der letzte Baustein des in den 1960er und 1970er Jahren entwickelten Standardmodells der Elementarteilchenphysik, [8, S. 32], das als relativistische Quantenfeldtheorie bis auf die Gravitation die drei Grundkräfte der Natur beschreibt. Die Quanten der Felder treten als Teilchen in Erscheinung, wobei die Fermionen mit halbzahligem Spin die Materie bilden und die Bosonen mit ganzzahligem Spin die Überträger der Naturkräfte sind. Weitere Überlegungen zum Standardmodell werden in Abschnitt 11.1.1 angestellt. In Abbildung 10.5 gelten folgende Aussagen: • die Massen der Teilchen erhält man aus den in Elektronenvolt angegebenen Energien nach Division durch c2 wie bei (10.16) • die Spins der Teilchen ergeben sich durch Multiplikation der angegebenen Spinzahlen mit , als Besonderheit hat das Higgs-Boson den Spin Null

487

10.8 Standardmodell der Elementarteilchenphysik

• die Ladungszahlen sind die Faktoren der Elementarladung e, die Bosonen haben die Ladung Null bis auf die W˘ -Bosonen mit der Ladung ˘e

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Abb. 10.5: Standardmodell der Elementarteilchenphysik

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488

10 Relativistische Dynamik

10.9

Vierervektor der Kraft

Das Newton’sche Grundgesetz der Bewegung (3.2), bei dem die Kraft die Ableitung des Impulses ist, bleibt formal erhalten. In der kovarianten Formulierung der Raumzeit ist die Ableitung des Viererimpulses nach der Eigenzeit ein Vierervektor, der als MinkowskiKraft bezeichnet wird und die folgende Darstellung hat.

FM “

˚ dp dU “ m0 “ F0 e0 ` FM “ F0 e0 ` γ FL “ FTM e dτ dτ

(10.25)

Eine Verwechslung von Feldtensor F und Minkowski-Kraft FM kann weder bei Matrix noch Spaltenvektor der Komponenten auftreten, da alle Größen unterschiedlich indiziert sind! Der Raumanteil FM ergibt sich aus der Ableitung des dreidimensionalen Impulses p und der Lorentz-Kraft FL (5.16). FM “

` ˘ ˚ dp dt dp ˚ dp ˚ “ “γ “ γ FL “ γ Q E ` u ˆ B dτ dτ dt dt

Die x-Komponente der Minkowski-Kraft erhält man aus Feldtensor F und Vierergeschwindigkeit U. ˚

FMx “ γ FLx ` ˘ ˚ “ γ Q Ex ` u y B z ´ u z B y “ ˘ ‰ ˚` ˚ ˚ j “ Q jc γ ´ Ex ` 0 ` γ uy Bz ´ γ uz By c ‰ “ “ Q U0 F10 ` U1 F11 ` U2 F12 ` U3 F13 Die anderen Komponenten lauten entsprechend und damit gilt allgemein FMk “ Q

ÿ3 ν“0

Fkν Uν

pk “ x, y, zq

489

10.9 Vierervektor der Kraft Setzt man hier formal k “ 0, dann folgt mit F00 “ 0 einerseits “ ‰ FM0 “ Q U0 F00 ` U1 F01 ` U2 F02 ` U3 F03 ˘ j ˚ ` “ γ Q u x Ex ` u y Ey ` u z Ez c ` ˘‰ j ˚ “ ¨ u ˆ B “ γ Q u¨E ` u loooooomoooooon c “0 j ˚ “ γ u ¨ FL c und für den Zeitanteil der Minkowski-Kraft aus (10.11) andererseits F0 “

˘ ˚ dp0 dp0 dt dp0 j ˚ dWges j ˚ d` “ “γ “ γ “ γ W0 ` Ekin dτ dτ dt dt c dt c dt

Die Gleichheit der Kraftanteile FM0 und F0 ergibt eine Darstellung für die Zeitableitung der Energie, die der Beziehung (5.18) im elektromagnetischen Feld mit Wges “ We ` Wm entspricht. Wenn man die Energiebeziehung (10.12) ableitet und (10.7) und (10.10) einsetzt, dWges d “ dt dt

b c2 dp c2 p ¨ p ` W02 “ p ¨ Wges dt on loomoon loomo “u

“ FL

dann erhält man das folgende Ergebnis.

dWges dEkin dp “ “u¨ “ u ¨ FL “ Q u ¨ E dt dt dt

(10.26)

Für FL “ Fmech und u “ dr{dt entspricht das der Zeitableitung des Arbeitssatzes der klassischen Mechanik im Abschnitt 3.1.2.

490

10 Relativistische Dynamik

Als Resultat kann die Minkowski-Kraft als Skalarprodukt aus Feldtensor F und Vierergeschwindigkeit U ausgedrückt werden. FM “

˚ dp “ Q F ¨ U “ F0 e0 ` FM “ F0 e0 ` γ FL dτ

”j` ı ˘ u ¨ F L e0 ` F L c ”j` ´ ¯ı ˘ ˚ u ¨ E e0 ` E ` u ˆ B “γ Q c ˚

FM “ γ

(10.27)

Die kovariante Form des Bewegungsgesetzes ist die relativistische Verallgemeinerung des Newton’schen Grundgesetzes F “ m a, das in der mathematischen Form mit Vierervektoren erhalten bleibt. FM “

dp dU “ m0 “ m0 A dτ dτ

(10.28)

Dagegen existiert in der Raumzeit keine Proportionalität zwischen mechanischer Kraft Fmech und gewöhnlicher Beschleunigung a wie in der klassischen Dynamik, was man entweder an den Komponenten der Viererbeschleunigung (8.30) oder an folgender Betrachtung erkennt. Fmech “

ı dp d ” dmpuq “ mpuq u “ mpuq a ` u j a dt dt dt

Bildet man mit der Ableitung aus (8.29) sowie (10.10) und (10.26) die Ableitung, ˚

˚ u¨a dγ dmpuq “ m0 “ m0 γ 3 2 dt dt c 1 dWges 1 dEkin 1 “ 2 “ 2 “ 2 u ¨ Fmech c dt c dt c

dann erhält man einerseits für beliebige Geschwindigkeiten u ˚

u ¨ Fmech “ m0 γ 3 u ¨ a

491

10.9 Vierervektor der Kraft

und andererseits die Darstellung der Kraft, die sich aus der Beschleunigung a und einem Anteil in u-Richtung zusammensetzt. Fmech “ mpuq a `

¯ 1 ´ u ¨ F mech u c2

(10.29)

Kraft und Beschleunigung sind nur in zwei Fällen proportional und damit zueinander parallel, ˚

‚ entweder für

Fmech } u

Ñ

Fmech “ m0 γ 3 a

‚ oder für

Fmech K u

Ñ

Fmech “ m0 γ a

˚

In der Elektrodynamik mit Fmech “ FL tritt der erste Fall im homogenen elektrischen Feld bei ursprünglich ruhender Ladung auf und der zweite Fall bei einer Ladung, die sich wie in Abschnitt 9.3.1 mit konstanter Geschwindigkeit u im homogenen Magnetfeld bewegt, bei dem als Bahnkurven Kreise entstehen. Die Ableitung des Quadrats des Viererimpulses verschwindet, ˘ ˘2 ˘ d` d ` 2 d ` p¨p “ m0 U ¨ U “ ´ m0 c “ 0 dτ dτ dτ dp “ 2p ¨ “ 2 p ¨ FM “ 2 m0 U ¨ FM dτ so dass sich in der Raumzeit damit in Ergänzung zu den Gleichungen (8.31) und (10.2) die Orthogonalität der Minkowski-Kraft zu den Vierervektoren von Impuls, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Stromdichte ergibt. FM ¨ p “ FM ¨ U “ FM ¨ A “ FM ¨ J “ 0

10.9.1

(10.30)

Lorentz-Transformation der Minkowski-Kraft

Die Transformation der Minkowski-Kraft zwischen zwei Bezugssystemen lautet für die Komponenten ˆ “ LF F M M

492

10 Relativistische Dynamik

Im eindimensionalen Fall für v “ v ex zwischen den Systemen S und Sˆ und ˚ damit u ¨ v “ ux v erhält man daraus mit FM “ γ FL und (10.27) folgende Beziehungen mit unveränderten Komponenten in y- und z-Richtung. ı ˘ j ˚ ” ` Fˆ0 “ γ F0 ´ jβ FMx “ γ γ u ¨ FL ´ v FLx c ı ˘ ` ˆ˚ ˚ ” v u FˆMx “ γ jβ F0 ` FMx “ γ γ ´ ¨ FL ` FLx “ γ FˆLx c c ˆ˚ ˚ FˆMy,z “ γ FˆLy,z “ FMy,z “ γ FLy,z Für den Zeitanteil und mit der Gamma-Relation (8.25) für die drei räumlichen Komponenten der Lorentz-Kraft ergeben sich folgende Transformationsbeziehungen. j u ¨ FL ´ v FLx Fˆ0 “ c ” ´ v 2 ¯ı ” ´ u 2 ¯ı c 1´ 1´ c c (10.31) FˆLx

v FL x ´ 2 u ¨ F L c “ ux v 1´ 2 c

c FˆLy,z “

1´

´ v ¯2

c ux v 1´ 2 c

FLy,z

Literatur [1] Freund, J.: Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich (2007) [2] Griffiths, D. J.: Elektrodynamik Pearson Studium, 3. Aufl. (2011) [3] Kittel, C. et al.: Berkeley Physik Kurs I, Mechanik Vieweg Verlag, Braunschweig, 5. Aufl. (1991) [4] Melcher, H.: Relativitätstheorie in elementarer Darstellung VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 4. Aufl. (1974) [5] Resnick, R.: Einführung in die spezielle Relativitätstheorie Ernst Klett Verlag, Stuttgart (1976) [6] Skinner, R.: Relativity for Scientists and Engineers Dover Publications, Mineola, New York (2014) [7] Sommerfeld, A.: Vorlesungen über theoretische Physik III, Elektrodynamik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 4. Aufl. (1964) [8] Vaas, R.: Vom Gottesteilchen zur Weltformel Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, Stuttgart (2013) 493

494

Literatur

Spektrum der Wissenschaft [9] Hänsch, Th. W., Schawlow, A. L., Series, G. W.: Das Spektrum des atomaren Wasserstoffs SdW 5, 58 (1979) [10] Reichert, U.: Erfolgreiche Suche nach neuen Leptonen Nobelpreis für Physik (Frederick Reines) SdW 12, 21 (1995) [11] Wolschin, G.: Neutrinomasse - und es gibt sie doch! SdW 10, 12 (2001) [12] Krome, Th.: Neue Fenster für den Blick ins All Nobelpreis für Physik (Davis Jr./Koshiba/Giacconi) SdW 12, 12 (2002) [13] Der LHC nach Higgs: Die Suche bleibt spannend Interview mit Siegfried Bethke SdW 10, 60 (2012) [14] Tonelli, G., Wu, S. L., Riordan, M.: Der lange Weg zum Higgs SdW 11, 54 (2012) [15] Lüst, D.: Vom Higgs-Teilchen zur Weltformel SdW 4, 54 (2013) [16] Göger-Neff, M., Oberauer, L., Schönert, S.: Große Geheimnisse um kleine Teilchen SdW 7, 46 (2013) [17] Wolschin, G.: Krönender Abschluss des Standardmodells Nobelpreis für Physik (Englert/Higgs) SdW 12, 19 (2013)

Literatur

[18] Teilchen, wechsle dich Nobelpreis für Physik (Kajita/McDonald) SdW 12, 13 (2015) [19] Halzen, F.: Neutrinojagd am Ende der Welt SdW 5, 34 (2016) [20] Moskowitz, C.: Den Neutrinos auf der Spur SdW 4, 62 (2018)

495

Kapitel 11

Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie Zusammenfassung Ausgehend von Newtons Gravitationsgesetz und der profunden Kenntnis der Maxwell’schen Theorie gelangte Einstein nach grundsätzlichen Überlegungen zum Massenbegriff und zu Schwerkraft und Beschleunigung zu einem neuen Verständnis und einer umfassenden Konzeption von Raum und Zeit. Dazu entwickelte er eine Theorie der Gravitation auf der Grundlage seines Äquivalenzprinzips. Vor der Entwicklung der Feldgleichungen, zu deren mathematischer Beschreibung Differentialgeometrie und Tensorrechnung unverzichtbar sind, werden zunächst die klassischen sowie die modernen Tests, Experimente und Forschungen zur Bestätigung der Theorie erörtert, die zu einem großen Teil durch Erkenntnisse der Astronomie geliefert wurden. Einstein musste bei seinen Berechnungen anstelle der euklidischen die Riemann’sche Geometrie verwenden, um die tensoriellen Feldgleichungen der Relativitätstheorie zu formulieren. Eine frühe, kugelsymmetrische Lösung dieser Gleichungen wurde von Karl Schwarzschild angegeben, mit der die bis dahin unerklärbare Abweichung bei der Periheldrehung der Merkurbahn berechnet werden konnte. 496 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_11

11.1 Gravitation

11.1

497

Gravitation

Die kritische Infragestellung der Newton’schen Definition von absolutem Raum und absoluter Zeit führte zu Einsteins Spezieller Relativitätstheorie, deren Kennzeichen die Invarianz bzw. Kovarianz der Naturgesetze gegenüber dem Wechsel von Inertialsystemen gemäß Lorentz-Transformation in einem Kontinuum der vierdimensionalen Raumzeit ist. Die dabei betrachteten Inertialsysteme, die sich nur gleichförmig und damit unbeschleunigt gegeneinander bewegen, wurden behandelt, ohne den Einfluss der Gravitation als wesentliche Eigenschaft jeglicher Materie zu berücksichtigen, wodurch das Attribut speziell für diese Theorie begründet ist. Es ist Einsteins Genialität zu verdanken, dass die Einbeziehung der Gravitation und beliebig beschleunigter Bezugssysteme eine allgemeine Gravitationstheorie begründete, die durch seine Allgemeine Relativitätstheorie zu einer erweiterten Sicht und damit zu einem völlig neuen und umfassenderen Verständnis der Natur geführt hat. Auf der Grundlage früherer Arbeiten legte Einstein im November 1915 der Preußischen Akademie der Wissenschaften eine kurze Darstellung seiner Feldgleichungen vor, die er 1916 in ausführlicher Form veröffentlichte, [63]. Der Weg von der prinzipiellen Erkenntnis einer erweiterten Theorie zu ihrer formelmäßigen Darstellung ist mathematisch anspruchsvoll. Der Ausgangspunkt ist das Newton’sche Gravitationsgesetz, das als reine Fernwirkung trotz seiner großen Erfolge bei Verständnis und Beschreibung der Dynamik von Körpern und terrestrischen Massen sowie der Himmelsmechanik im Sonnensystem keinen universellen Bestand haben kann, und führt auf Grund des Äquivalenzprinzips zu Einsteins tensoriellen Feldgleichungen, die Masse, Raum und Geometrie in einen ursächlichen Zusammenhang bringen und verknüpfen.

11.1.1

Newton’sches Gravitationsgesetz

Die von Johannes Kepler (1571-1630) aufgestellten drei Kepler’schen Gesetze (1609/1619) über elliptische Planetenbahnen, Flächensatz und Umlaufrelation der Planeten (Abschnitt 3.1.7 ), die auf den umfangreichen und bis dahin präzisesten, noch ohne Fernrohr erhobenen Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546 -1601) aufbauten, wurden von Isaac Newton in genialer Weise physikalisch begründet und zu einem für alle Massen gültigen Gravitationsgesetz zusammengefasst, [30, S. 263], [46]. Newtons ers-

498

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

te Überlegungen zur Gravitation gehen auf das Jahr 1666 zurück, die dann später zu seinen Principia führten, [10, S. 62, 64], [28, S. 257]. Das Gravitationsgesetz beschreibt in symmetrischer Form die gegenseitige Anziehungskraft zweier punktförmiger Massen, die quadratisch mit ihrem Abstand abnimmt. Die Kraft, die eine Masse M im Punkt Q auf eine Probemasse m im Punkt P ausübt, lautet mit dem Abstandsvektor r “ rm ´ rM “ rP ´ rQ

F “ ´G

mM r r2 r

(11.1)

Die Masse M erzeugt wegen F „ r ein Zentralfeld und stellt damit ein konservatives, wirbelfreies Feld dar, bei dem das Wegintegral der Kraft nur von den Endpunkten aber nicht vom durchlaufenen Weg abhängig ist (s. Abschnitte 19.2.3 (Bd. I) und 3.1.3). Das Gravitationsgesetz entspricht dem Grundgesetz der Dynamik (3.2) als Ausgangspunkt für ein Gravitationsfeld, das im Abschnitt 11.1.2 behandelt wird. Das Coulomb’sche Gesetz (5.15) und (5.19) ist mathematisch von gleicher Form wie das Gravitationsgesetz, wurde aber erst über hundert Jahre später aufgestellt (1785). Im Gegensatz zum elektrischen Feld, in dem je nach den Ladungsvorzeichen sowohl anziehende als auch abstoßende Kräfte auftreten, gibt es im Gravitationsfeld nur Anziehung, da Massen stets positiv sind. Nach dem Gravitationsgesetz wirkt die Gravitation oder Schwerkraft überall unmittelbar in die Ferne und wegen fehlender negativer Massen ist keine Abschirmung wie im elektrostatischen Feld möglich. Der Charakter des Zentralfeldes hat zur Folge, dass in globalem Maßstab kein homogenes Gravitationsfeld existiert, das aus einer denkbaren Massenverteilung resultieren könnte. Lediglich in begrenzten, lokalen Bereichen, die klein gegenüber den Abmessungen der felderzeugenden Massen oder von diesen weit entfernt sind, kann man ein Gravitationsfeld näherungsweise als homogen ansehen, in dem die Gravitationskraft F auf kurze Distanz konstant ist. Die Newton’sche Gravitationskonstante G wurde mit bekannten Massen in klassischen Laborexperimenten mit Gravitationsdrehwaagen 1798 von Henry Cavendish (1731-1810) und hundert Jahre später genauer von

499

11.1 Gravitation

Loránd Eötvös (1848 -1919) bestimmt mit dem Ergebnis, G “ 6.673 ¨ 10´11

N m2 kg2

(11.2)

N m2 m3 1 ´ m ¯4 “ “ ¨ N s kg2 kg s2 Cavendishs Experiment wurde als das Wiegen der Erde bezeichnet, da man durch Gleichsetzen der Kraft im Bewegungsgesetz (3.2) und im Gravitationsgesetz bei beliebiger Probemasse m und bekannten Werten von G, Erdradius RE und Erdbeschleunigung g nach (5.32, Bd. I) wobei für die Dimension die Umrechnung gilt:

| F | “ mg “

Gm 2 ME RE

die bis dahin unbekannte Erdmasse ME bestimmen konnte. ME “

g 2 9.81 ¨ p6378 ¨ 103 q2 kg “ 5.98 ¨ 1024 kg RE “ G 6.67 ¨ 10´11

Die im Anschluss der Gleichung (11.9) durchgeführte Betrachtung zeigt, dass man zur Berechnung der Anziehungskraft auf einen Körper die Masse der Erde in ihrem Mittelpunkt konzentrieren kann, wodurch der Körper stets senkrecht nach unten fällt. 11.1.1.1

Größenordnung der Grundkräfte und Vereinigung

Der Unterschied zwischen Coulomb-Kraft und Gravitation wird am Beispiel des Wasserstoffatoms mit einem positiv geladenen Proton im Kern und einem negativ geladenen Elektron in der Hülle berechnet. Für elektrostatische und Massenanziehung gilt, | Fe | “

e2 1 4πε0 r2

und

| Fg | “ G

mp me r2

woraus sich mit den bekannten Werten (9.16) und (10.16) füe e, mp und me das vom Abstand r unabhängige Verhältnis der beiden Kräfte ergibt. χ“

| Fe | e2 “ 0.227 ¨ 1040 “ | Fg | 4πε0 G mp me

500

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Trotz des gewaltigen Unterschieds beider Kräfte von fast 40 Zehnerpotenzen ist die Gravitation im Weltall die dominierende Größe! Da nur positive, sich anziehende Massen existieren, kann abhängig von den in kosmischen Regionen vorhandenen Massen von Galaxien und interstellarem Gas eine gewaltige Anziehungskraft resultieren. Dagegen herrscht im globalen Maßstab wegen positiver und negativer Ladungen Ladungsneutralität, wodurch sich die elektrostatischen Kräfte kompensieren! Bisher ist die Physik nicht in der Lage zu erklären, warum die Gravitation so viel schwächer als die drei anderen Kräfte ist, nämlich die elektromagnetische, die schwache und die starke Wechselwirkung. Obwohl das Standardmodell der Elementarteilchenphysik (Abbildung 10.5) nahezu alle bisherigen teilchenphysikalischen Beobachtungen deuten kann, entspricht dieses Modell noch keineswegs der vollständigen Beschreibung der Natur, die eine Theorie der Vereinigung aller vier Grundkräfte bieten müsste. Ein erster Schritt zur Vereinheitlichung wurde 1968 von den Wissenschaftlern Steven Weinberg, Abdus Salam und Sheldon Glashow erreicht, indem sie die elektromagnetische und die schwache Kernkraft als elektroschwache Kraft zusammenführen konnten, wofür die drei Wissenschaftler 1979 den Nobelpreis für Physik erhielten, [45]. Die Vereinigung der drei Grundkräfte ohne Gravitation in einer großen vereinheitlichten Theorie (Grand Unified Theory, GUT) bzw. aller vier Grundkräfte in einer allumfassenden Theorie als Quantengravitation oder Weltformel (Theory of Everything, TOE) ist das Ziel von theoretischer Physik sowie experimenteller Forschung an großen Teilchenbeschleunigern wie dem Large Hadron Collider (LHC) am CERN in Genf. Die von den Theoretikern als vielversprechendste Modelle verfolgten Ideen sind Stringtheorie sowie Supersymmetrie (SUSY), bei der Bosonen und Fermionen ineinander umgewandelt werden, [9, Kap. 12], [17, S. 342, 346]. 11.1.1.2

Bedeutung des Gravitationsgesetzes

Seit seiner Aufstellung hat das Gravitationsgesetz seine Gültigkeit erfolgreich bewiesen und die Erfolge der Newton’schen Dynamik waren bei Bewegungsabläufen auf der Erde und in der Himmelsmechanik überwältigend, die schon frühzeitig erzielt wurden. In der Himmelsmechanik wurden die Bahnen der Himmelskörper im Sonnensystem durch die Newton’schen Gesetze zuverlässig beschrieben. Da im Sonnensystem mehrere Planeten und eine Vielzahl von Asteroiden existie-

11.1 Gravitation

501

ren, sind die Planetenbahnen durch die gegenseitigen Gravitationseinflüsse recht verwickelt und die Kepler-Gesetze gelten nur näherungsweise, so dass man sie mit der Präzision heutiger Messmethoden zur damaligen Zeit viel schwerer hätte auffinden können. Anfängliche Abweichungen zwischen Theorie und Beobachtung konnten in allen Fällen dadurch geklärt werden, dass die Beobachtungen nicht genau genug waren oder bis dahin unbekannte Störgrößen gefunden wurden. Lediglich bei der Bahn des Planeten Merkur konnte ein kleiner Anteil seiner Periheldrehung nicht auf Störeinflüsse im Sonnensystem zurückgeführt werden und dieser Restwert wurde erst durch die Relativitätstheorie erklärt (s. Abschnitt 11.5.11). Als frühe Erfolge der Himmelsmechanik gelten die Untersuchungen von Friedrich Wilhelm Herschel, [49], der 1781 den Planeten Uranus entdeckte und zusammen mit seiner Schwester Caroline Lucretia durch die Beobachtung einer Vielzahl von Doppelsternen nachwies, dass deren Bewegung durch das Gravitationsgesetz beschrieben wird. Durch Berechnung der Bahnkoordinaten mit Ausgleichs- und Störungsverfahren konnte Carl Friedrich Gauss 1801 aus wenigen beobachteten Bahndaten des Asteroiden Ceres zwischen Mars- und Jupiterbahn dessen astronomischen Ort bestimmen, an dem er dann wiederentdeckt wurde, [12, S. 34]. Mit seinen neuen Methoden der Störungstheorie konnte Gauss in den Jahren 1802/1807 die Bahnbestimmungen der neu entdeckten Asteroiden Pallas, Juno und Vesta durchführen, [36, S. 37, 39]. Auf ähnliche Weise konnten Urbain Leverrier und John Adams 1846 aus Störungen der Uranusbahn den Ort des bis dahin unbekannten Planeten Neptun berechnen, der dann durch Johann Gottfried Galle aufgefunden werden konnte, [12]. Diese mathematische Vorhersage eines bisher unbekannten Planeten war eine großartige Bestätigung von Newtons Gravitationstheorie. Friedrich Wilhelm Bessel (1784 -1846) schloss 1844 aus den veränderlichen Eigenbewegungen der Fixsterne Sirius und Prokyon auf die Existenz unsichtbarer Begleitsterne, die dann später tatsächlich als schwachleuchtende Weiße Zwerge entdeckt wurden. Nach Vorarbeiten von Percival Lowell am Anfang des 20. Jahrhunderts konnte aus Unregelmäßigkeiten von Uranus- und Neptunbahn nach etwa einjähriger, akribischer Suche von Clyde Tombaugh am Blinkkomparator 1930 der Planet Pluto ermittelt und gefunden werden. Heute wird das allerdings

502

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

eher als Zufall auf Grund von Messfehlern angesehen, da Pluto recht massearm ist und man im torusförmigen Kuiper-Gürtel jenseits der Neptunbahn in einem Abstand zwischen 30 und 50 astronomischen Einheiten eine Vielzahl größerer Himmelskörper fand, die man als transneptunische Objekte (TNO) bezeichnet. Daraufhin beschloss die Internationale Astronomische Union (IAU) eine Neudefinition des Begriffs Planet, wodurch Pluto 2006 herabgestuft und zusammen mit der 2005 entdeckten etwa gleich großen Eris und anderen Asteroiden als Zwergplanet bezeichnet wurde. Damit existieren nur noch acht Planeten im Sonnensystem, vier kleine terrestrische innere Felsplaneten (Merkur, Venus, Erde, Mars) und vier große äußere Gasplaneten (Jupiter, Saturn) bzw. Eisplaneten (Uranus, Neptun) aus gefrorenem Gas. 11.1.1.3

Bahnkurven von Körpern in Gravitationsfeldern

Die Kepler’schen Gesetze beziehen sich nur auf zwei Körper, die Sonne und einen sie umlaufenden Planeten. Das Newton’sche Gravitationsgesetz (11.1) stellt dagegen eine Verallgemeinerung dar, weil es als vektorielles Gesetz durch die Angabe von Stärke und Richtung der Kraft Überlagerungen ermöglicht, die dann für beliebige Systeme von Körpern gültig sind. Im Gegensatz zu elektro- und magnetostatischen Feldern, in denen Bewegungen von Punkt- oder verteilten Ladungen außer bei Teilchenbahnen in elektrooptischen Abbildungssystemen oder Speicherringen selten untersucht werden, sind im Gravitationsfeld des Sonnensystems gerade die Bewegungen von Körpern unter dem gegenseitigen und durch den Bewegungsablauf zeitlich veränderlichen Gravitationseinfluss der verschiedenen Massen Gegenstand des Interesses. Das Newton’sche Gravitationsgesetz bestimmt in der Himmelsmechanik die Bahnen von Planeten, Kometen und einer Vielzahl von künstlichen Satelliten und Raumsonden. Zusätzlich existieren z.Z. bereits etwa 20 000 bekannte Bruchstücke und Raummüll von 5 .. 10 cm Größe sowie größere Stücke wie ausrangierte Satelliten, deren bekannte Anzahl durch eine geplante leistungsfähigere Radaranlage deutlich steigen dürfte, [70]. Insbesondere wird seit Ende der 1990er Jahre und seit 2014 in gezielten Himmelsdurchmusterungen eine große Anzahl von Asteroiden beobachtet und gesucht, die die Erdbahn kreuzen und als erdnahe Objekte (Near Erth Objects, NEO) zu einer Kollision mit verheerenden Zerstörungen füh-

503

11.1 Gravitation

ren können, wenn ihr Durchmesser einige hundert Meter oder mehr beträgt, [62], [66]. Für ein System aus n punktförmigen Massen lautet die Newton’sche Bewegungsleichung (3.2) für die k-te Masse unter dem Einfluss der restlichen n ´ 1 Massen, mit der man ihre Bahn berechnet, überwacht und verfolgt Fk “ mk

n ÿ d2 r k rk ´ r “ ´ m G m k dt2 | rk ´ r |3 “1

pk “ 1, .. , nq

(11.3)

p‰kq

Dieses n-Körper-Problem aus n gekoppelten vektoriellen Differentialgleichungen 2. Ordnung ist bei beliebigen Anfangsbedingungen nur für n “ 2 exakt und für n ě 3 in bestimmten Sonderfällen analytisch lösbar. Die Lösungsverfahren waren im Sonnensystem deshalb erfolgreich, weil die Masse der Sonne dominiert und andere Himmelskörper auf Grund ihrer großen Entfernungen und kleinen Massen nur geringen Einfluss ausüben. Historische Beispiele sind das Wiederauffinden von Ceres durch Gauss und die Bahnberechnung von Neptun durch Leverrier und Adams (s.o.). Leonhard Euler und speziell Joseph Louis Lagrange untersuchten ein reduziertes Drei-Körper-Problem, bei dem die Gravitationswirkung der dritten Masse wegen m3 « 0 neben den beiden anderen Massen vernachlässigt werden kann. In diesem System existieren fünf komplanare sog. Lagrange-Punkte Lk , in denen die Gravitationskräfte der Massen M1 und m2 , z.B. Sonne und Erde, auf die dritte Masse verschwinden. Der kleine Körper m3 als Satellit befindet sich in den Punkten L1 , L2 , L3 im labilen, in den Punkten L4 , L5 im dynamisch stabilen Gleichgewicht, [5, I, S. 154], [11, S. 127], [29, S. 126], [41]. Die Lagrange-Punkte rotieren gemeinsam mit der Erde stationär auf solaren Umlaufbahnen. In praktisch relevanten Mehr-Körper-Fällen war man früher auf Methoden der Störungstheorie angewiesen, [2], [5, I, Kap. IV, V], [6, S. 143], um die gekrümmten und ungleichförmig durchlaufenen Bahnen der einzelnen Massen näherungsweise zu bestimmen. Satelliten umkreisen die Erde als unbemannte Raumflugkörper, die in großer Zahl zur Messung einer Fülle verschiedener Erd- und Wetterdaten, als geostationäre Relaisstationen mit Transpondersystemen für Nachrichtenund Fernsehsendungen, zum Senden von Bahndaten und Zeitsignalen für Navigationssysteme wie GPS und zu militärischen Zwecken der Aufklärung und

504

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

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 Abb. 11.1: Lagrange-Punkte bei verschwindender Masse m3 , M1 , m2 und L4,5 bilden gleichseitige Dreiecke

Überwachung in den Orbit gebracht werden. Neuerdings werden Weltraumteleskope bevorzugt im sonnenabgewandten Lagrange-Punkt L2 stationiert. Raumsonden werden für wissenschaftliche Untersuchungen von Planeten und anderen Objekten im Sonnensystem auf ihre oft langjährigen Reisen geschickt, die verwickelte, optimale Wege durchlaufen. Die Optimierung der Bahnkurven ist von der Aufgabe abhängig. Bei bemannten Missionen muss die Zeit und damit die Länge der Bahnkurve minimiert werden, so dass man einen direkten Weg einschlägt. Bei den weitaus meisten unbemannten Raumsonden stellt dagegen der Treibstoff den begrenzenden Faktor dar. Die Reisezeit der interplanetarischen Sonden kann daher länger sein, um auf komplizierten Bahnen, die auch mehrere Umrundungen der Sonne beinhalten können, die Schwerkraftwirkung von Planeten beim nahen Vorbeiflug zur gezielten, treibstoffsparenden Bahnbeeinflussung auszunutzen. Alle Bahnkurven werden numerisch nach der Beziehung (11.3) auf Großrechenanlagen berechnet, wobei sich die Konstellation der gravitierenden Massen ständig ändert, und unter Berücksichtigung der z.T. recht langen Signallaufzeiten zwischen Erde und Raumsonde einer sehr genauen Kursbeeinflussung und Kurskorrektur durch kurzfristige Triebwerksschübe unterzogen.

505

11.1 Gravitation

11.1.2 11.1.2.1

Newton’sches Gravitationsfeld Feldstärke und Gravitationspotential

Die Masse M kann man als Quelle eines Gravitationsfeldes auffassen, in dem eine Probemasse m eine anziehende Kraft erfährt. Nach dem Newton’schen Bewegungsgesetz (3.2) entspricht die Schwerebeschleunigung g als Quotient aus angreifender Kraft und Probemasse der Feldstärke des Gravitationsfeldes, die man nach (17.81, Bd. I) als negativen Gradienten einer Potentialfunktion φ, die Gravitationspotential heißt, ausdrücken kann. gprq “

GM r F “´ 2 “ ´ grad φprq m r r

φprq “ ´

GM r

(11.4)

Die Erde als anziehende Masse stellt durch ihren inneren Aufbau aus Kern, Mantel und Kruste keinen homogenen Körper dar und ist wegen der Rotation an den Polen abgeplattet. Mit Erdmasse und äquatorialem Erdradius weist der Betrag der Erdbeschleunigung an der Oberfläche den folgenden mittleren Wert auf, der bereits früh aus Messungen (5.32, Bd. I) bekannt war. $ 7 2 2 + ’ & | φE | “ 6.25 ¨ 10 m {s ME “ 5.98 ¨ 1024 kg Ñ (11.5) GME ’ gE “ “ 9.81 m2 {s2 RE “ 6378 km % 2 RE Das Gravitationspotential hat die Dimension eines Geschwindigkeitsquadrates. Für normale Himmelsobjekte wie Planeten, Sonne oder massereichere Sterne ist das Gravitationspotential selbst an deren Oberflächen klein gegen das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. | φ | ! c2 “ 9 ¨ 1016

m2 s2

Für die Sonne mit den Werten für Masse und Radius gilt an der Oberfläche M d “ 1.989 ¨ 1030 kg R d “ 6.96 ¨ 108 m

+

# Ñ

| φ d | “ 1.91 ¨ 1011 m2 {s2 g d “ 273.27 m2 {s2

(11.6)

506

11.1.2.2

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Arbeit und potentielle Energie in Zentralfeldern

In Zentralfeldern ist die Feldkraft der Richtung des Abstandsvektors proportional, F „ ˘ r, und zwar bei Anziehung nach innen und bei Abstoßung nach außen weisend. Der Energienullpunkt der potentiellen Energie wird in beiden Fällen mit Wpot p8q “ 0 in den Punkt Unendlich gelegt. Zur Ermittlung der potentiellen Energie berechnet man die Arbeit, die die Kraft nach (3.5) im Zentralfeld an einem Probekörper verrichtet, bei Anziehung auf dem Weg 8 Ñ P , bei Abstoßung auf dem Weg P Ñ 8. Im Gravitationsfeld der Masse M wird bei Anziehung der Probemasse m aus dem Unendlichen zum Punkt P prq die folgende positive Arbeit der Feldkräfte verrichtet, woraus sich nach (3.6) die potentielle Energie ergibt. WFeld prq “

P

ż

F ¨ dr “ WPot p8q ´ WPot pP q “ ´ WPot prq

8

“m

ż

P

g ¨ dr “ ´ m

8

ż

P

grad φ ¨ dr “ ´ m

8

“ ´ m φprq “ ` m

ż

P

dφ 8

GM “ ΔW ą 0 r

Umgekehrt muss man eine negativ gezählte Arbeit Wmech gegen die anziehenden Feldkräfte von außen aufwenden, um die Probemasse von P prq in eine größere Entfernung oder nach Unendlich zu bringen. ż8 Wmech prq “ F ¨ dr “ WPot prq P

Diese mechanische Arbeit entspricht dem Potential φprq der Masse m im Aufpunkt P und damit deren potentieller Energie als Arbeitsvermögen. Wpot prq “ m φprq “ ´ m

GM ă 0 r

(11.7)

Beim Fall einer Masse im Gravitationsfeld wird potentielle Energie als kinetische Energie zurückgewonnen. Im elektrostatischen Feld erhält man aus dem Coulomb’schen Gesetz (5.19) Arbeit und potentielle Energie in äquivalenter Weise, wenn eine

507

11.1 Gravitation

Probeladung ` q im Feld der Ladung ´ Q angezogen oder im Feld der Ladung ` Q abgestoßen wird. Im Fall der Anziehung, die der Situation im Gravitationsfeld entspricht, erhält man die positive Arbeit, die das Feld auf dem Weg von 8 nach P verrichtet, sowie die aufzuwendende mechanische Arbeit als potentielle Energie der Probeladung ` q im Feld des Potentials Vp´q prq der Ladung ´ Q. WFeld prq “ q

ż

P

E p´q ¨ dr “ ´ q Vp´q prq “ ´ Wpot prq ą 0

8

Wpot prq “ q Vp´q prq “ q

p´ Qq “ Wmech prq ă 0 4πε0 r

Bei Abstoßung der Ladungen ` q und ` Q erhält man äquivalente Werte für Arbeit des Feldes und potentielle Energie auf dem Weg von P nach 8. WFeld prq “ q

ż

8 P

E p`q ¨ dr “ ` q Vp`q prq “ ` Wpot prq ą 0

Wpot prq “ q Vp`q prq “ q

Q “ ´ Wmech prq ą 0 4πε0 r

Die Potentialfunktionen für die Situationen in beiden Feldern sind in der Abbildung 11.2 dargestellt, [35, S. 34]. Sowohl bei Anziehung der Probemasse m bzw. der Probeladung ` q in den Feldern der Masse M bzw. der Ladung ´ Q als auch bei Abstoßung von ` q im Feld von ` Q ist die Arbeit des Feldes positiv und die mechanische Arbeit, die man am Probekörper von außen aufbringen muss, um den umgekehrten Weg gegen die Feldkräfte zu überwinden, negativ. Dagegen hat die potentielle Energie oder das Potential in beiden Situationen unterschiedliche Bedeutung. Bei Anziehung in den Senkenfeldern von M bzw. ´ Q ist Wpot der mechanischen Energie gleich und damit negativ, bei Abstoßung im Quellenfeld von ` Q stimmt Wpot mit der Feldarbeit überein und ist positiv. Entscheidend für einen Probekörper ist aber nicht der punktuelle Wert Wpot prq, sondern der Differenzwert ΔWpot zwischen Anfangs- und Endwert eines durchlaufenen Weges. Dabei bedeutet die Positionsänderung für den Probekörper durch Feldarbeit einen Verlust, diejenige durch aufgewendete mechanische Arbeit einen Gewinn an potentieller Energie.

508

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

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Abb. 11.2: Funktionen von Energie und Arbeit der Abhängigkeit ˘ 1{r a) Gravitationsfeld der Masse M Coulomb-Feld der Ladung ´Q b) Coulomb-Feld der Ladung `Q

Die Potentialfunktionen entsprechen dem Prinzip der Annahme des Energieminimums, nach dem physikalische Systeme sich stets so verhalten, dass sie beim Fehlen äußerer Kräfte den Zustand der niedrigsten potentiellen Energie annehmen, was im Coulomb-Feld bei Abstoßung gleichnamiger Ladungen den größtmöglichen, im Gravitationsfeld bei Anziehung den kleinstmöglichen Abstand bedeutet.

509

11.1 Gravitation

11.1.2.3

Feldgleichungen des Gravitationsfeldes

Der Vektorfluss des Schwerefeldes einer Punktmasse M durch die Oberfläche einer konzentrischen Kugel vom Radius a lautet, £ £ ˇ GM GM ˇ gprq ˇ ¨ da “ ´ 2 da “ ´ 2 4πa2 “ ´ 4π GM a a a a a und da der Wert negativ ist, stellt M eine Senke des Feldes dar. Aus dem Gauß’schen Satz (19.3, Bd. I) erhält man im Grenzübergang eines schrumpfenden Volumens v die Divergenzdefinition, in die man das erhaltene Ergebnis einsetzt. £ M 1 div g “ lim g ¨ da “ ´ lim 4π G “ ´ 4π Gμ vÑ0 vÑ0 v v a M Ñ0 Dabei wird die Massendichte μ “ M {v mit einer eigenen Bezeichnung definiert, um die in Kapitel 3 mit ρ bezeichnete Dichte speziell von der Raumladung ρ sowie von der zylindrischen Koordinate ρ zu unterscheiden. Für die Schwerebeschleunigung g “ ´ grad φ nach (11.4) erhält man die Feldgleichungen des Gravitationsfeldes in der klassischen Newton’schen Form sowie die Poisson-Gleichung für das Gravitationspotential. div g “ ´ 4π Gμ

rot g “ 0

Δφ “ 4π Gμ

(11.8)

Die Lösung der Poisson-Gleichung erfolgt nach der Methode von Abschnitt 5.7 und führt entsprechend den Gleichungen (5.72) und (5.75) auf die Darstellung des Gravitationspotentials. Damit kann man für beliebige im Endlichen gelegene Massenverteilungen das Potential durch Integration berechnen, wobei die dort erörterten mathematischen Schwierigkeiten auftreten können. ¡ μprQ q φprP q “ ´ G (11.9) dvQ vQ r 11.1.2.4

Homogene Massekugel

Im speziellen Fall einer homogenen kugelförmigen Masse vom Radius a und der Dichte μ0 verhält sich das Gravitationsfeld im Außenraum wie die im Zentrum konzentrierte Gesamtmasse!

510

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Zur einfacheren Integration über das Kugelvolumen legt man den Aufpunkt P pzq auf die Rotationsachse, dessen Abstand r1 zum Volumenelement in Kugelkoordinaten dvQ “ dR ¨ R dϑ ¨ R sin ϑ dϕ durch den Kosinussatz ausgedrückt wird. Im Außenraum z ě a der Kugel können die drei Integrationen einzeln ausgeführt werden, da der Wert des letzten Integrals dort nicht von R abhängt! Im Bereich z ă a muss das Ergebnis über R integriert werden. ż 2π ża żπ sin ϑ dϑ 2 ? dϕ R dR φpzq “ ´ Gμ0 R2 ` z 2 ´ 2Rz cos ϑ 0 0 0 looomooon looooomooooon looooooooooooooooomooooooooooooooooon “ 2π

“ a3 {3

# “

2{z 2{R

pz ě Rq pz ă Rq

Ersetzt man die Koordinate z wegen der Kugelsymmetrie anschließend durch den Abstand r vom Kugelmittelpunkt, dann lautet das Potential im Außenraum wie in (11.4) und damit so, als wäre die gesamte Masse im Zentrum der Kugel konzentriert. G 4π 3 G G 2a a μ0 “ ´ MKugel “ ´ MKugel pr ě aq r 3 r 2a r Mit diesem Ergebnis kann man das Gravitationsfeld außerhalb beliebig vieler kugelförmiger Massen durch skalare bzw. vektorielle Überlagerung der Gravitationspotentiale oder der daraus ermittelten Beschleunigungen berechnen. Für das Potential im Innenraum muss das zweite Integral unter Berücksichtigung des dritten Integrals gemäß der Lage von z aufgeteilt werden und man erhält dann, wenn man die Variable z anschließend wieder durch den Abstand r vom Mittelpunkt ersetzt " żz * ża 2 2 R dR ` 2 R dR φi pzq “ ´ Gμ0 2π z 0 z φa prq “ ´

” ´ r ¯2 ı G pr ď aq MKugel 3 ´ 2a a Die Beschleunigung lautet nach (11.4) mit (17.80, Bd. I) für Innen- und Außenraum GMKugel r r pr ď aq gi prq “ ´ Ñ | gi prq | „ r a2 a r GMKugel ´ a ¯2 r 1 pr ě aq ga prq “ ´ Ñ | ga prq | „ 2 a2 r r r φi prq “ ´

11.1 Gravitation

511

Potential und Beschleunigung sind für r “ a stetig mit einem Knick für den Betrag der Beschleunigung.

11.1.3

Inhomogene Gravitationsfelder

In der astronomischen Realität liegen in großem Maßstab stets inhomogene Gravitationsfelder vor, die durch Überlagerung der Felder verschiedener Massen erzeugt werden. Ein homogenes Gravitationsfeld, bei dem der Beschleunigungsvektor in jedem Raumpunkt gleiche Werte von Betrag und Richtung aufweist, ist immer eine Idealisierung, das nur eng begrenzte, lokale aber nie globale Gültigkeit besitzt! Bereits beim Zentralfeld einer einzelnen Masse wie in Abbildung 11.3 ist die Gravitationskraft nur bei kleinen radialen und azimutalen Abmessungen des Beobachtungsraumes näherungsweise konstant, in dem auftretende Unterschiede vernachlässigbar sind, auf größerer Skala besteht dagegen stets eine Abhängigkeit sowohl vom Abstand als auch vom Winkel. Die Frage, ob man ein Gravitationsfeld als homogen ansehen kann, hängt damit von der Größe des Beobachtungsraumes und der tolerierbaren Feldänderung ab. Einzelne Massenelemente von ausgedehnten Körpern erfahren daher in starken Gravitationsfeldern unterschiedlich große Beschleunigungen und dadurch sog. Gezeitenkräfte, die ähnliche Kraftunterschiede bewirken wie jene, die bei der Anziehung des Mondes in den Weltmeeren zu Ebbe und Flut führen. Gezeitenkräfte erzeugen Spannungen im Körperinneren von Massen und führen zu Deformationen oder bei Überschreiten der Bindungskräfte des Materials zur Zerstörung. Ein loser Verbund einzelner Probemassen im Gravitationsfeld einer großen Masse würde allmählich in radialer Richtung zerstreut und in azimutaler Richtung zusammengeführt. Dieses Phänomen trat 1994 beim Kometen Shoemaker-Levy 9 auf, als er sich auf seinem Kollisionskurs dem massereichen Planeten Jupiter näherte und durch die Gezeitenkräfte dabei in 21 sich voneinander entfernende Einzelstücke zerbrach, die an mehreren Tagen nacheinander in die Atmosphäre des Planeten eintauchten und unter Detonationen verschwanden, [53], [54], [55].

512

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

g klein

m

g groß r = R0

r = RM

M

r=R

Beobachtungsraum

Abb. 11.3: Erzeugung von Gezeitenkräften im inhomogenen Gravitationsfeld einer Masse 11.1.3.1

Gezeiteneffekt im Gravitationsfeld

Als Beispiel wird die Flugzeit einer Masse m im Gravitationsfeld der Masse M vom Radius RM bei radialer Annäherung von R0 nach R berechnet (Abbildung 11.4). Die Arbeit, die das Feld verrichtet, wird verglichen mit der kinetischen Energie gemäß dem Arbeitssatz aus Abschnitt 3.1.2. żR żR ´ 1 dr 1 ¯ F ¨ dr “ ´ m GM “ m GM WFeld pR0 , Rq “ ´ 2 R R0 R0 R0 r żR m 2 m “ dE kin “ v pRq ´ v 2 pR0 q 2 2 R0 Bei der Anfangsbedingung v0 “ vpR0 q “ 0 und Ersetzen von R durch die radiale Variable r erhält man die Geschwindigkeit der Masse m. c c c ´1 GM R0 ´ r 1 ¯ vprq “ 2 GM “ 2 ´ pR0 ě r ě RM q r R0 R0 r Die Flugzeit berechnet man durch Integration der radialen Geschwindigkeit vprq “ dr{dt nach Trennung der Variablen. Damit sich bei sinkenden

513

11.1 Gravitation

r-Werten positive Flugzeiten ergeben, wird die Integrationsrichtung umgekehrt. c ż R0 c R0 r tpR0 , Rq “ dr 2 GM R0 ´ r R c j R0 „ c a R0 r ´ r pR0 ´ rq ` R0 arcsin “ 2 GM R0 R c c j „c R03 R ´ R R¯ “ 1´ ` arccos 2 GM R0 R0 R0

 

M





 





 

Abb. 11.4: Positionen der Massen beim Gezeiteneffekt im Gravitationsfeld der Erde Als numerisches Beispiel mit den Werten der Abbildung 11.4 und Gleichung (11.5) wird eine Masse m betrachtet, die im Schwerefeld der Erde mit der Masse M “ ME von der geostationären Bahn (11.12) im Abstand R0 vom Erdmittelpunkt frei fällt. Beim freien Fall bis zur Erdoberfläche bei RE hat die Masse m folgende Werte für Flugzeit und Endgeschwindigkeit, wenn man den Einfluss der Erdatmosphäre durch Reibung und Abbremsung auf den letzten etwa 30 km vernachlässigt. tpR0 , RE q “ 14 944 s “ 249 min “ 4 h 9 min ˇ ˇ vpRE q ˇ “ 10.308 km/s “ 37 109 km/h R0

514

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Die Auftreffgeschwindigkeit ist nur wenig kleiner als der Maximalwert der kritischen Geschwindigkeit nach (3.19). c ˇ GME ˇ “ vkritE “ 2 “ 11.18 km/s vpRE q ˇ RE R0 “8 Für den kurzen Fallweg von R0 ´R “ 100 km benötigt die Masse die Fallzeit Δt “ tpR0 , Rq “ 948.57 s “ 15.8 min Zur Veranschaulichung des Gezeiteneffektes startet eine zweite Masse m ˆ nach dem gleichzeitig mit der ersten bei R und erreicht den Abstand R Zeitintervall d «d ff c 3 ˆ´ ˆ ˆ¯ R R R R ˆ “ 1´ ` arccos Δt “ tpR, Rq 2 GM R R R ˆ “ 42 177.526 km. Durch Die Zeitintervalle beider Massen sind gleich für R den höheren Wert der Beschleunigung legt die zweite Masse einen größeren Weg zurück, so dass sich der Abstand beider Massen durch den Gezeiteneffekt in der Zeit Δt um 474 m vergrößert hat.

11.2 11.2.1

Äquivalenzprinzip Träge und schwere Masse

Die Trägheit oder das Beharrungsvermögen eines Körpers, ausgedrückt im Trägheitsgesetz (7.2), kennzeichnet dessen Eigenschaft, jeder Änderung seiner Geschwindigkeit einen Widerstand entgegenzusetzen. Diese Eigenschaft wird durch die träge Masse mtr als physikalische Größe erfasst, die im Newton’schen Grundgesetz der Dynamik (3.2) auftritt. F “ mtr

dv “ mtr a dt

Ñ

mtr “

|F | |a|

Diese Eigenschaft ist unabhängig von der Gravitation, da sie z.B. bei reibungsfrei auf einem Tisch rollenden Kugeln untersucht werden kann. Die Schwere eines Körpers, die zur Zeit von Newton immer als Gewicht verstanden wurde, kennzeichnet dessen Eigenschaft, von einem anderen Körper, speziell der Erde, angezogen zu werden. Diese Eigenschaft

515

11.2 Äquivalenzprinzip

wird durch die schwere Masse mg als physikalische Größe erfasst, die im Newton’schen Gravitationsgesetz (11.1) auftritt. ´ GM r ¯ |F | F “ mg g “ ´ mg Ñ mg “ r2 r |g| Beide Massenarten sind vom Prinzip her unabhängige Körpereigenschaften. Bei gleicher Kraft F “ mtr a “ mg g im Schwerefeld g der Erde lauten die Beschleunigungen für zwei verschiedene Körper der Massen m und M am gleichen Ort a“

mg g mtr

bzw.

r“ a

Mg g Mtr

Auf Grund der experimentellen Erfahrung besitzen alle Körper unabhängig von ihrer Masse, inneren Struktur, stofflichen Zusammensetzung und r da sie bei Ausihrem atomaren Aufbau die gleiche Beschleunigung a “ a, schluss von störenden Einflüssen wie Luftwiderstand und Reibung immer gleich schnell fallen oder auf schiefen Ebenen gleiten oder rollen. Als logische Konsequenz muss der Quotient der Massen daher eine universielle Konstante sein. mg Mg r a ”a Ñ “ “ const. mtr Mtr Bei geeigneter Wahl der Maßeinheiten hat die Konstante den Wert Eins, so dass beide Massenarten identisch sind. Die Untersuchungen von Loránd Eötvös in den Jahren 1889 bis 1909, die man als Eötvös-Experimente bezeichnet, und die von Robert Dicke et al. (1961/64) mit immer höherer Genauigkeit durchgeführten Messungen bestätigten die Gleichheit von träger und schwerer Masse, [18, S. 40, 243]. m ” mtr ” mg

(11.10)

Für eine Masse m besteht daher bei gleicher Beschleunigung a “ g kein Unterschied, ob eine sich einstellende Bewegung durch ein Gravitationsfeld oder eine beschleunigende Kraft erzeugt wird. Die Gleichheit von träger und schwerer Masse war bereits Huygens und Newton bekannt, was sie mit Pendelversuchen überprüften. Allerdings blieb diese Erkenntnis in der Newton’schen Mechanik zufällig und bis zu Einstein ohne physikalische Begründung.

516

11.2.2

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Trägheitskräfte

Wenn sich eine Masse m durch den Einfluss von Kräften in den Bezugssystemen S und Sˆ bewegt, dann lauten die entsprechenden Bewegungsgesetze F “ ma

in S

bzw.

Fˆ “ m a ˆ

in Sˆ

Hat das System Sˆ die variable Relativgeschwindigkeit vr ptq gegenüber dem System S, dann kann man über die Beschleunigung ar “ v9 r beide Gesetze durch vektorielle Überlagerung verknüpfen. F “ m a “ m pˆ a ` ar q “ Fˆ ` m ar Fˆ “ F ´ m ar “ m pa ´ ar q Bei fehlender Kraft F “ 0 unterliegt die Masse m in S wegen a “ 0 nur dem Trägheitsgesetz mit v “ 0 oder v “ const. Dagegen greift im beschleunigten Bezugssystem Sˆ an der Masse die Kraft Fˆ “ Fˆtr “ ´ m ar an, die als Trägheitskraft bezeichnet wird und die die entgegengesetzte Richtung wie die Beschleunigung von Sˆ hat, [16, S. 86]. Ein Beispiel dafür ist ein Wagen, der im ruhenden Bezugssystem S eine geradlinige, horizontale Bewegung mit der Geschwindigkeit vr ptq und der Beschleunigung ar ptq “ v9 r ausführt. Auf dem Wagen liege reibungslos eine Kugel der Masse m. In S wirkt auf die Kugel die Kraft F “ 0, so dass sie in diesem System am gleichen Ort verbleibt. Ein im Bezugssystem Sˆ des Wagens mitbewegter Beobachter stellt dagegen eine Beschleunigung der Kugel fest, die er auf eine entsprechend wirkende Kraft Fˆtr “ ´ m ar , die Trägheitskraft, zurückführt. Trägheitskräfte treten nur in beschleunigten Bezugssystemen auf und sind den jeweiligen Massen proportional. Das Newton’sche Gegenwirkungsprinzip gilt dabei nicht, so dass diese Kräfte nicht paarweise vorkommen. Da Trägheitskräfte ihre Ursache in der Beschleunigung eines Bezugssystems haben, nennt man sie auch Scheinkräfte, da sie sich mit dem Wechsel des Bezugssystems ändern oder sogar verschwinden. Sie sind jedoch vorhanden und messbar und können z.B. für die Insassen von stark negativ beschleunigten, also gebremsten oder durch Hindernisse verzögerten Fahrzeugen durchaus katastrophale Auswirkungen bei Unfällen haben.

11.2 Äquivalenzprinzip

517

In Inertialsystemen treten keine Trägheitskräfte auf, da sich Körper nur gemäß dem Trägheitsgesetz gleichförmig geradlinig bewegen, so dass keine Beschleunigungen und daher auch keine Kräfte auftreten.. Bewegt sich der Wagen im obigen Beispiel unbeschleunigt mit einer konstanten Geschwindigkeit vr , so verbleibt die Kugel bezüglich Sˆ zwar auch nicht am gleichen Ort. Da sich die Kugel aber mit der Geschwindigkeit u ˆ “ ´ vr “ const. 9 ˆ ˆ gleichförmig bewegt, wirkt in S wegen F “ m u ˆ “ 0 keine Trägheitskraft auf sie ein. Wird die Kraft F im Bezugssystem S durch Gravitationskräfte verschiedener Massen Mk hervorgerufen, die auf die Masse m mit der Gesamtbeschleunigung g einwirken, ˆ ÿ ÿ Mk r k ˙ “ m gk “ m g F “ Fg “ m ´ G k r 2 rk k k dann folgt für die Kraft im beschleunigten Bezugssystem Sˆ ˘ ` Fˆ “ Fg ´ m ar “ m g ´ ar

(11.11)

Durch geeignete Wahl des Systems Sˆ und damit der Beschleunigung ar kann man der Kraft Fˆ punktweise beliebige Werte erteilen oder sie insbesondere in einem homogenen Gravitationsfeld g durch die Wahl ar “ g auch zu Null machen. Im Normalfall inhomogener Gravitationsfelder kann das Verschwinden aber nur durch von Punkt zu Punkt verschieden erteilte Werte von ar aber nie insgesamt erreicht werden. Innerhalb eines eng begrenzten Raumgebietes, in dem man die Gravitation als homogen ansehen kann, läßt sich durch ein geradlinig beschleunigtes Bezugssystem die Wirkung des vorhandenen Schwerefeldes abschwächen, aufheben oder umkehren und damit verstärken. Dieses Ergebnis ist die Grundlage für den berühmten Einstein’schen Gedankenversuch des beschleunigten Kastens, der im Abschnitt 11.2.3 behandelt wird. 11.2.2.1

Wurfparabel

Im ersten Beispiel erhält man mit der Masse m nach (11.10) die Bahnkurve für den Wurf eines Körpers im Schwerefeld der Erde wie in Abbildung 11.5a, das im lokalen Bereich als homogen angesehen werden kann. Bei

518

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

horizontaler x-Richtung und senkrecht nach unten zeigender z-Koordinate erhält man aus dem Bewegungsgesetz F “ ma “ m

´ d2 x dt2

ex `

d2 z ¯ ez “ m g “ mg ez dt2

die Zeitfunktionen beider Koordinaten durch zweimalige Integration. Bei der Anfangslage xp0q “ zp0q “ 0 und bei konstanten Anfangsgeschwindigkeiten 9 9 “ vK ă 0 beschreibt die nichtlineare Wegfunktion zpxq xp0q “ v|| und zp0q als Flugbahn eine Wurfparabel. xptq “ v || t

, .

1 zptq “ g t2 ` vK t 2

Ñ

zpxq “

1 g 2 vK x ` x 2 v ||2 v ||

Die Ursache für die gekrümmte Flugbahn der Wurfparabel im Schwerefeld g ist der Bezug auf das mit dem Erdboden als fester Unterlage verbundene System S, das den natürlichen Zustand der Trägheitsbewegung verhindert. 

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

Abb. 11.5: Flugbahn einer Masse im Gravitationsfeld a) im festen Bezugssystem S b) im beschleunigten Bezugssystem Sˆ

519

11.2 Äquivalenzprinzip

In einem Bezugssystem Sˆ im Bild b), das sich mit konstanter Beschleunigung a0 “ a0 ez von S entfernt, gelten die Beziehungen + z9 “ zˆ9 ` a0 t 1 Ñ zptq “ zˆptq ` a0 t2 2 z: “ z:ˆ ` a0 und damit für die Koordinaten in Sˆ , x ˆptq “ v || t / / . 1 2 zˆptq “ zptq ´ 2 a0 t / / “ 12 pg ´ a0 q t2 ` vK t

Ñ

zˆpˆ xq “

1 g ´ a0 2 v K x ˆ ` x ˆ 2 v 2|| v ||

Wählt man im frei fallenden System Sˆ eine mit dem Schwerefeld übereinstimmende Beschleunigung a0 “ g, dann durchläuft die Masse m in Sˆ keine gekrümmte sondern eine geradlinige Flugbahn, zˆpˆ xq “

vK x ˆ v ||

mit

:ˆptq “ z:ˆptq “ 0 x

die dem Trägheitsgesetz entspricht. 11.2.2.2

Gleichmäßige Kreisbewegung

Als zweites Beispiel für das Auftreten von Trägheitskräften wird die gleichförmige Bewegung einer Masse m untersucht, die im Abstand R mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 “ ϕ9 “ const. um die Rotationsachse z kreist und deren Bewegung von verschiedenen Bezugssystemen aus beurteilt wird. Im ruhenden System S besitzt die kreisende Masse m nach (5.36, Bd. I) die auf die Achse weisende Zentripetalbeschleunigung, die die Masse durch die Zentripetalkraft Fρ z.B. als Seilkraft auf der Kreisbahn hält. a “ ´ R ω02 eρ

Ñ

F “ Fρ “ m a

ˆ das mit der Masse rotiert und daher beschleunigt ist, Im Bezugssystem S, bleibt m am festen Ort und ist mit Fˆ “ 0 kräftefrei. Verglichen mit dem Beispiel des Wagens am Anfang des Abschnitts sind die Rollen der Systeme S und Sˆ vertauscht, da im vorliegenden Fall Fˆ “ 0 und F ‰ 0 gilt.

520

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Für einen Beobachter im System Sˆ wirkt auf die Masse eine Trägheitskraft ein, die der Beschleunigung entgegengesetzt ist und die er als eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft oder Fliehkraft wahrnimmt. Fˆtr “ ´ Fρ “ ` m a “ ` m R ω02 eρ In der Summe kompensieren sich beide Kräfte, so dass im beschleunigten System Sˆ tatsächlich Kräftefreiheit herrscht. Fˆ “ Fρ ` Fˆtr “ 0 Bewegen sich zwei Massen M und m im Gravitationsfeld der Erde mit der Masse ME mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 auf einer konzentrischen Kreisbahn vom Radius R, dann lauten die Zentripetalkräfte | FM | “ M

GME “ M R ω02 R2

und

| Fm | “ m

GME “ mR ω02 R2

Da Kraft und Masse proportional sind, ist mit dem folgenden Quotienten der Betrag der Beschleunigung für beide Massen gleich. |g| “

| FM | | Fm | GME “ R ω02 “ “ M m R2

Dadurch ist im mitbewegten Koordinatensystem Sˆ eines die Erde umkreisenden Raumschiffs der Masse M ein darin befindlicher Körper m ortsfest und damit schwerelos. Bei geostationären Satelliten, die in einem Punkt auf der Kreisbahn über dem Äquator stillzustehen scheinen, da sie die gleiche Rotationsfrequenz ωE “

2π 2π 2π “ “ “ 2π ¨ 11.57 μHz T 24 h 86400 s

wie die Erde haben, heben sich bei den Werten (11.5) für Erdmasse ME und Erdradius RE Anziehungskraft und Fliehkraft gerade dann auf, mSat `

GME RE ` h

` ˘ 2 ˘2 “ mSat RE ` h ωE

521

11.2 Äquivalenzprinzip

wenn der Satellit den geostationären Abstand h über der Erdoberfläche hat. d GME h “ ´ RE ` 3 Ñ h “ 35 872 km « 36 000 km (11.12) 2 ωE Funksignale, die zwischen unterschiedlichen Orten auf der Erde über die Transponder geostationärer Satelliten übertragen werden, benötigen für den einfachen Signalweg zwischen Sender und Empfänger eine Laufzeit von etwa 240 ms. Diese Verzögerungen sind bei Fernsehübertragungen unproblematisch, erfüllen aber bei weitem nicht die hohen Qualitätsanforderungen für Sprache bei Gegensprechverkehr von weniger als 150 ms! Diese Dienste werden daher stets über terrestrische oder Seekabelstrecken geführt. 11.2.2.3

Rollende Kugel auf drehender Scheibe

Das dritte Beispiel behandelt eine gleichmäßig rollende Kugel. Im festen Inertialsystem S bewegt sie sich kräftefrei mit konstanter Geschwindigkeit v0 in radialer Richtung auf einer Scheibe, die sich in mathematisch positiver Richtung gleichmäßig mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0 dreht. Gesucht ist die Bewegung der Kugel im rotierenden Bezugssystem Sˆ der Scheibe. Für Darstellung und Umrechnung der zylindrischen Einheitsvektoren der Abbildung 11.6 sowie der Matrizen gilt nach (18.56, Bd. I) , cP “ Aϕ e . e Ñ c P “ A ϕ ATψ c Q “ A ϕ ATψ ˆ c “ Aψ e Q

˛ cospϕ ´ ψq sinpϕ ´ ψq 0 ‹ ˚ A ϕ ATψ “ ˝ ´ sinpϕ ´ ψq cospϕ ´ ψq 0 ‚ 0 0 1 ¨

ˆ dann kann Beschreibt man die Einheitsvektoren eρP , eϕP im System S, e identifizieren und erhält mit ψ “ ω0 t man c Q mit ˆ ex ` sin pϕ ´ ψq ˆ ey ˆ eρP “ ` cos pϕ ´ ψq ˆ

Ñ

ˆ9 ρP “ ´ ω0 ˆ e eϕP

ˆ eϕP “ ´ sin pϕ ´ ψq ˆ ex ` cos pϕ ´ ψq ˆ ey

Ñ

ˆ9 ϕP “ ` ω0 ˆ e eρ P

522

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie



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 



   

   



Abb. 11.6: Darstellung der zylindrischen Koordinatensysteme mit ihren Einheitsvektoren Der Weg der Kugel wird durch den Radiusvektor beschrieben. Bei festem Winkel ϕ, gleichmäßig vergrößertem Abstand ρ “ v0 t von der Achse und konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0 der rotierenden Scheibe gilt in den Systemen S und Sˆ “ ‰ rP ptq “ ρptq eρP “ v0 t cos ϕ ex ` sin ϕ ey “ ‰ “ ρptq ˆ eρP “ v0 t cos pϕ ´ ω0 tq ˆ ex ` sin pϕ ´ ω0 tq ˆ ey Im System S rollt die Kugel kräftefrei und hat damit einen geradlinigen Verlauf gemäß Trägheitsgesetz. Im System Sˆ der Scheibe durchläuft die Kugel mit den Koordinaten x ˆptq “ ` v0 t cos pω0 t ´ ϕq yˆptq “ ´ v0 t sin pω0 t ´ ϕq eine archimedische Spirale in mathematisch negativer Richtung mit dem Achsabstand ρptq “ ρˆptq “ v0 t “

v0 ψptq ω0

523

11.2 Äquivalenzprinzip



 



Abb. 11.7: Archimedische Spirale Bahnkurve der rollenden Kugel im System Sˆ der rotierenden Scheibe

Mit den zylindrischen Einheitsvektoren und ihren Ableitungen im System Sˆ erhält man Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Kugel auf der Scheibe. eρ rˆP ptq “ v0 t ˆ ` ˘ vˆP ptq “ v0 ˆ eϕ eρ ´ ω0 t ˆ “ ‰ ex “ v0 cospω0 t ´ ϕq ´ ω0 t sinpω0 t ´ ϕq ˆ “ ‰ ( ´ sinpω0 t ´ ϕq ` ω0 t cospω0 t ´ ϕq ˆ ey ` ˘ ˆ P ptq “ ´ v0 ω0 ω0 t ˆ eρ ` 2 ˆ eϕ a ‰ “ ex “ ´ v0 ω0 ω0 t cospω0 t ´ ϕq ` 2 sinpω0 t ´ ϕq ˆ “ ‰ ( ´ ω0 t sinpω0 t ´ ϕq ´ 2 cospω0 t ´ ϕq ˆ ey Im Scheibensystem Sˆ rollt die Kugel auf der gekrümmten Bahnkurve der archimedischen Spirale, deren Bahnbeschleunigung vom mitrotierenden Be-

524

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

obachter auf einwirkende Trägheitskräfte zurückgeführt wird. ` ˘ eρ ´ 2 ˆ eϕ Fˆ “ m r:ˆ “ ´ m v0 ω0 ω0 t ˆ Diese Trägheits- oder Scheinkräfte im beschleunigten System Sˆ setzen sich aus Zentrifugal- und Coriolis-Kraft zusammen und sorgen dafür, dass die Kugel im Inertialsystem S auf einer Geraden bleibt.

11.2.3

Einsteins Kasten-Experiment und das Äquivalenzprinzip

In seiner gemeinverständlichen Darstellung der Relativitätstheorie, [7, S. 45], führt Einstein einen berühmten Gedankenversuch durch, um die Wesensgleichheit von Trägheit und Schwere darzulegen. Dazu verwendet er einen geschlossenen Kasten nach Abbildung 11.8, der sich in einem ruhenden Bezugssystem S befindet. Der Kasten hat das körperfeste Bezugssystem Sˆ und wird zwei Experimenten unterworfen. Im ersten Fall wird der Kasten bei Abwesenheit jeglicher Gravitation mit konstanter Kraft und damit konstanter Beschleunigung a nach oben gezogen, wobei die in ihm enthaltenen Massen von S aus gesehen dem Trägheitsgesetz folgen. Ein Beobachter der Masse M im Inneren verspürt die Trägheitskraft Fˆ “ ´ M a, die ihn im Kasten nach unten drückt und ihm die Empfindung der Schwere wie in einem Gravitationsfeld vermittelt. Auf Körper verschiedener Masse, die in gleicher Höhe losgelassen werden, wirken keine Kräfte ein. Da der Kastenboden sie bei seiner Bewegung zur gleichen Zeit erreicht, scheinen sie für den Beobachter im Kasten bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes gleich schnell beschleunigt nach unten zu fallen oder folgen bei horizontaler Anfangsgeschwindigkeit dem Weg einer Wurfparabel. Im zweiten Fall befindet sich der Kasten auf fester Unterlage in einem homogenen Gravitationsfeld mit nach unten gerichteter Schwerebeschleunigung g, die auf alle im Kasten enthaltenen Massen wirkt. Eine Masse m erfährt die Schwerkraft Fˆ “ mg und der Beobachter im Kasten macht die gleichen Erfahrungen bezüglich seines eigenen Gewichts und der Flugbahnen von bewegten Körpern. Ein an der Decke des Kastens an einem Seil aufgehängter Körper erfährt über die Seilspannung eine Kraft, deren Größe im ersten Fall bestimmt wird durch seine träge Masse, die der Beschleunigung durch den Kasten Widerstand leistet, im zweiten durch seine schwere Masse, die der Gravitation zu

525

11.2 Äquivalenzprinzip



   



    



    

   

 

 



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


         

     









Abb. 11.8: Einstein’sches Kastenexperiment ˆ des Kastens Kräfte auf Masse im System S a) bei Kastenbeschleunigung a b) im Schwerefeld g bei fester Unterlage c) im freien Fall folgen versucht. Da aber für den Beobachter die Beurteilung beider Situationen für | a | “ | g | völlig gleichartig ausfällt, folgt daraus die Gleichheit von träger und schwerer Masse als notwendiges Ergebnis, das daher nicht zufällig wie in der klassischen Mechanik sondern physikalisch begründet ist! Die notwendige Gleichheit von träger und schwerer Masse führte Einstein erstmals 1907 zur Formulierung des Äquivalenzprinzips, das er an den Anfang seiner Gravitationstheorie stellte. Es besteht keine Möglichkeit der Unterscheidung zwischen den Wirkungen ‚ in einem lokal homogenen Schwerefeld und ‚ einer gleichmäßigen Beschleunigung

(11.13)

526

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Das bedeutet, dass ein Beobachter innerhalb des Kastens ohne Kenntnis der Außenwelt keine Entscheidung treffen kann, ob mechanische Erscheinungen in einem gravitationsfreien, aber beschleunigten System oder in einem unbeschleunigten System in einem homogenen Gravitationsfeld stattfinden. Dem Äquivalenzprinzip zufolge kann die Schwerkraft eines lokal homogenen Gravitationsfeldes durch eine entsprechende gegenläufige, gleichmäßige Beschleunigung ersetzt werden, da beide in gleichartiger Weise auf Massen einwirken und die gleichen Bewegungen zur Folge haben. In lokalem Sinne oder mathematisch exakter punktweise läßt sich ein Gravitationsfeld durch Übergang zu einem geeigneten beschleunigten Bezugssystem gewissermaßen „wegtransformieren“. In globalem Maßstab kann eine allgemeine Transformation in ein Beschleunigungsfeld nicht aufgefunden werden, da reale Gravitationsfelder stets inhomogen und damit örtlich nicht konstant sind. Insbesondere läßt sich das Schwerefeld der Erde nicht in Gänze durch ein Beschleunigungsfeld ersetzen. Da man bei der Bewegung einer Masse nicht zwischen Trägheit und Schwerkraft unterscheiden kann, gilt nach Einstein eine Verallgemeinerung des Trägheitsgesetzes von Galilei und Newton. Körper, die nur unter dem Einfluss gravitierender Massen stehen und auf die keine weiteren Kräfte elektromagnetischer oder sonstiger Herkunft wirken und die sich daher „selbst überlassen sind“, führen Trägheitsbewegungen auf gekrümmten Bahnen aus, die ungleichförmig und damit beschleunigt durchlaufen werden.

(11.14)

Nur im Sonderfall der Inertialsysteme, in denen definitionsgemäß keine Gravitationsfelder existieren, erfolgen kräftefreie Bewegungen geradlinig und gleichförmig nach dem einfachen Trägheitsgesetz (7.2). Wenn der Kasten nach Bild c) im Gravitationsfeld frei fällt, dann führen er selbst und sein gesamter Inhalt eine beschleunigte Bewegung gemäß der Schwerebeschleunigung g aus. Da bei frei fallenden Massen die Gravitationskraft durch die Trägheitskraft aufgehoben wird, nimmt der mitfallende Beobachter dies als freies Schweben oder als kräftefreien Zustand der Schwerelosigkeit innerhalb des Kastens wahr, bei dem alle Körper im Bezugssystem Sˆ des Kastens beim Fehlen weiterer Kräfte Trägheitsbewegungen ausführen.

11.3 Klassische Bestätigungen der Theorie

527

Frei fallende Bezugssysteme in einem homogenen Gravitationsfeld stellen damit Inertialsysteme dar, bei denen die Wirkung der Gravitation durch eine gleichförmig beschleunigte Fallbewegung aufgehoben wird und in denen dann die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie gelten. Im freien Fall wird ein homogenes Schwerefeld nach dem Äquivalenzprinzip exakt wegtransformiert. Nach Einstein, [7, S. 42, 50, 65], wird das spezielle Relativitätsprinzip (7.6) auf Grund des Äquivalenzprinzips erweitert zum allgemeinen Relativitätsprinzip. Alle Bezugssysteme sind für die Naturbeschreibung gleichwertig, unabhängig von ihrem jeweiligen Bewegungszustand! (11.15) Wegen des Äquivalenzprinzips ist es möglich, Eigenschaften des Gravitationsfeldes dadurch abzuleiten, dass man sie in einem geeigneten, beschleunigten Bezugssystem untersucht. Damit sind dann nicht nur die mechanischen sondern wegen der Äquivalenz von Masse und Energie (10.10) alle physikalischen Vorgänge erfassbar, insbesondere elektromagnetische und optische, bei denen besondere Effekte auftreten.

11.3

Klassische Bestätigungen der Theorie

Jede Theorie muss sich durch Überprüfung an experimentellen Befunden und Beobachtungen beweisen und sie verläßt nur dann den Status der Hypothese und wird wissenschaftlich akzeptiert, wenn bisher unerklärliche Phänomene gedeutet oder neue vorhergesagt werden können. Dennoch ist die vollkommene Bestätigung einer Theorie unmöglich, da selbst bei einer großen Anzahl von durchgeführten Experimenten immer nur ein beschränkter Anteil aller möglichen Phänomene überprüft werden kann. Auch wenn eine Theorie über lange Zeit und in vielen Fällen erfolgreich bestätigt wurde, kann sie sich wie bei der Newton’schen Mechanik als nur eingeschränkt gültiger Grenzfall erweisen. Bei der Einstein’schen Relativitätstheorie sind neben direkt prüfbaren Voraussagen solche Beobachtungen oder Experimente umso willkommener, auf die man zufällig stößt oder die erst nach jahrelangen Anstrengungen zum Ziel führen, um die Theorie weiter zu bestätigen und damit zu festigen.

528

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Einstein schlug 1916 selbst drei später als klassisch bezeichnete Tests von Effekten der Allgemeinen Relativitätstheorie vor. Die Schwierigkeiten des Nachweises liegen einerseits in der Geringfügigkeit der theoretisch zu erwartenden Messwerte und andererseits in der Überlagerung der relativistischen durch nichtrelativistische Effekte.

11.3.1

Periheldrehung des Merkur

Der erste Effekt betrifft die Periheldrehung des Merkur, bei der der Vergleich zwischen Beobachtung und Theorie sofort vorgenommen werden konnte. Die zu erwartende Abweichung von der klassischen Mechanik muss beim innersten Planeten am größten sein, da hier das Gravitationsfeld der Sonne stärker wirkt als bei allen weiter entfernten Planeten und die Merkurbahn eine ausgeprägte Exzentrizität im Vergleich mit den anderen Planeten aufweist. Seit den Berechnungen des Astronomen Urbain Leverrier (1859) war bekannt, dass der Planet Merkur keine elliptische sondern eine rosettenförmige Bahn mit langsam drehender Apsidenlinie seiner Bahnellipse beschreibt, da zwar das Gravitationsfeld der Sonne dominiert, die übrigen Planeten aber Störungen der Kepler-Ellipse hervorrufen. Weitere Störungen treten dadurch auf, dass alle Himmelskörper keine exakt kugelsymmetrischen Massenverteilungen aufweisen, sondern inhomogene und auf Grund ihrer Eigenrotation abgeplatte Körper darstellen. Beim Merkur betragen nach der Newton’schen Dynamik die rechnerischen Störeinflüsse aller Planeten zusammen 531 Bogensekunden pro Jahrhundert, beobachtet wurden dagegen 574". Der bis dahin unerklärbare Rest von 43 Bogensekunden pro Jahrhundert für die Periheldrehung des Merkur wurde von Einstein aus den Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagt und wird im Abschnitt 11.5.11 detailliert behandelt. Dieser Erfolg galt als erste große Bestätigung und war von beträchtlichem Gewicht für Einstein selbst wie für die Akzeptanz seiner Theorie.

11.3.2

Lichtablenkung im Gravitationsfeld

Der zweite Effekt betrifft die Ablenkung des Lichts im Gravitationsfeld der Sonne. Als Grundlage dafür betrachtet man in Abbildung 11.8a einen Lichtstrahl, der von der Seite senkrecht zur Beschleunigung des Kastens eintritt. Aus der Sicht des körperfesten Bezugssystems Sˆ folgt der Strahl einer gekrümmten, parabolischen Bahn wie bei der Wurfparabel. Da die Beschleuni-

11.3 Klassische Bestätigungen der Theorie

529

gung nach dem Äquivalenzprinzip aber der Wirkung einer entgegengesetzten Gravitationskraft entspricht, muss der Lichtstrahl im Schwerefeld von Bild 11.8b ebenfalls abgelenkt werden und sich krummlinig fortpflanzen. Die Krümmung des Lichtstrahls ist sehr gering und nach der Theorie beträgt die Ablenkung sogar im Schwerefeld der Sonne an ihrem Rand nur 1.75 Bogensekunden. Ein erster Versuch zur Bestätigung der Ablenkung bei der im Herbst 1914 in Russland sichtbaren Sonnenfinsternis wurde durch den Ausbruch des ersten Weltkrieges vereitelt, weil der deutsche Astronom Erwin Freundlich, der auf Betreiben von Einstein die Beobachtung durchführen wollte, als Kriegsgegner verhaftet und erst einige Wochen später gegen russische Kriegsgefangene ausgetauscht wurde. Die erste Überprüfung des Ablenkungseffektes erfolgte auf Initiative der englischen Astronomen Frank Dyson und Arthur Eddington bei der totalen Sonnenfinsternis am 29. Mai 1919 bei zwei Expeditionen zur Insel Principe im Golf von Guinea vor Afrika unter der Leitung von Eddington und zum Dorf Sobral im Nordosten von Brasilien unter Andrew Crommelin, bei denen das dicht am Sonnenrand vorbeistreifende Licht des offenen Sternhaufens der Hyaden im Sternbild Stier aufgenommen werden konnte. Die anschließende Auswertung durch Vergleich der Sternpositionen mit Aufnahmen der Hyaden im halbjährlichen Abstand bestätigte im Rahmen der Meßgenauigkeit die Einstein’sche Vorhersage. Die Darstellung der Ergebnisse und ihre Erläuterung auf der historisch gewordenen Tagung der Astronomischen Gesellschaft im November 1919 in London führte zu Triumph und Anerkennung von Einsteins Theorie und seiner beispiellosen Popularität durch die Berichterstattung in großen überregionalen Tageszeitungen im In- und Ausland. Aus der Lichtablenkung folgt als Konsequenz, dass in der Allgemeinen Relativitätstheorie, die gerade den Einfluss der Gravitation als wesentlich berücksichtigt, die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit keine universelle Gültigkeit beanspruchen kann, da eine Krümmung der Lichtstrahlen nur dann eintritt, wenn sich der Vektor c der Lichtgeschwindigkeit mit dem Ort ändert, [7, S. 51].

530

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

11.3.3

Rotverschiebung im Gravitationsfeld

Der dritte Effekt betrifft die Rotverschiebung von Licht in Gravitationsfeldern. Vom Boden in Abbildung 11.8a durchläuft ein Lichtsignal der Frequenz ωS den Kasten in Richtung der Beschleunigung a “ a ez . Das Lichtsignal mit der Ortskoordnate zL “ ct erreicht die Kastendecke mit zD “ at2 {2 ` d zur Zeit tS . Physikalisch ist nur die kleinere Lösung der quadratischen Gleichung sinnvoll. Wegen der Relation v “ at ! c von Kasten- und Lichtgeschwindigkeit erhält man folgende Näherung des zeitlichen Schnittpunktes und der momentanen Geschwindigkeit der Kastendecke. c j j „ „ ´ c c ad d ad ¯ « tS “ “ 1´ 1´2 2 1´ 1´ 2 a c a c c z9D ptS q “ vD “ atS “

ad c

Durch den Doppler-Effekt erfährt das Licht nach (9.6) eine Erniedrigung der Empfangsfrequenz ωE gegenüber der Senderfrequenz ωS bzw. eine relative Frequenzänderung, die einer Rotverschiebung im Wellenlängenspektrum entspricht. ´ ´ vD ¯ ad ¯ ωE « 1 ´ ωS “ 1 ´ 2 ωS ă ωS c c Δω ωS ´ ωE ad “ « 2 ωS ωS c Nach dem Äquivalenzprinzip muss Licht, das in Bild 11.8b der Richtung der Gravitation entgegen läuft, ebenfalls eine Frequenzerniedrigung oder Rotverschiebung erfahren. Im Teilchenmodell des Lichts kann man ruhmasselosen Photonen wegen ihrer kinetischen Energie nach Gleichung (10.14) eine Impulsmasse zuordnen. mPh “

Wges Ekin p ω “ 2 “ “ 2 c2 c c c

Im homogenen Gravitationsfeld g “ ´ a des Kastens lauten Beschleunigung und Potential g “ ´ g ez “ ´ grad φ “ ´

dφ ez dz

Ñ

φ “ gz ` C “ az ` C

11.3 Klassische Bestätigungen der Theorie

531

Nach Abschnitt 11.1.2 verrichtet ein Photon auf seinem Weg vom Boden B als Sendeort S zur Decke D des Kastens eine mechanische Arbeit gegen die Feldkräfte der Gravitation. żD żD Wmech pzq “ mPh g ¨ dr “ ´ mPh dφ B

B

“ mPh pφB ´ φD q “ mPh a pzB ´ zD q “ ´ mPh ad ă 0 Dadurch entsteht ein Gewinn an potentieller Energie, der nach dem Erhaltungssatz der mechanischen Energie (3.7) durch einen Verlust an kinetischer Energie des Photons gedeckt werden muss. ˇ ˇ ad ˇ ˇ “ ΔEkin ˇ “ mPh ad “  ωS 2 “  Δω ΔWpot ˇ c Gewinn Verlust Dieser Energieverlust entspricht einer Erniedrigung der Empfangsfrequenz. ωS ´ ωE ad Δω “ “ 2 ą 0 Ñ ωE ă ωS ωS ωS c Bei Ausbreitung des Lichts entgegen der Gravitationskraft erfolgt eine Rotverschiebung, bei Ausbreitung in ihrer Richtung eine Blauverschiebung. Bei Zeitmessungen ergibt sich daraus der Effekt, dass an Orten mit höherer Gravitation Uhren langsamer gehen, [27, S. 48]. Eine Uhr auf einem Berg geht daher schneller als eine Uhr im Tal! Zur Untersuchung der Gravitationsrotverschiebung von Spektrallinien im Schwerefeld der Sonne wurde in Potsdam auf dem Telegrafenberg Anfang der 1920er Jahre als Sonnenobservatorium das zur damaligen Zeit avangardistische Bauwerk Einstein-Turm des Architekten Erich Mendelsohn errichtet. Der Effekt der Gravitationsrotverschiebung ist allerdings sehr klein. Bei einer Höhe von h “ 10 m ergeben sich an den Oberflächen von Erde und Sonne lediglich die folgenden minimalen relativen Frequenzänderungen. # für a “ gE “ 9.81 m/s2 1.09 ¨ 10´15 Δf Δω “ “ ωS fS 3.03 ¨ 10´14 für a “ g d “ 273 m/s2 Bei einer Höhendifferenz von 20 m an der Oberfläche der Erde weicht die Frequenz f “ 500 THz von gelbem Licht der Wellenlänge λ “ 600 nm lediglich um 1 Hz ab! Mit Hilfe des Mößbauer-Effekts konnten Pound und Rebka (1960) die Rotverschiebung im Schwerefeld der Erde bei einer Höhendifferenz von nur h “ 22.5 m sicher nachweisen, [19, S. 208] [21, S. 205].

532

11.4

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Moderne Bestätigungen der Theorie

Nach einer etwa 40-jährigen Zeitspanne, in der die Relativitätstheorie keine große Rolle in der physikalischen Forschung spielte, weil Quantenmechanik und weltkriegsbedingt Kernphysik, Radar- und Mikrowellentechnik und später Festkörperphysik, Halbleitertechnik und Physik der Elementarteilchen im Vordergrund von Forschung, Entwicklung und Förderung standen, erwachte in den 1960er Jahren wieder das Interesse an Einsteins Theorie auf Grund von neuen Bestätigungen durch die Astronomie, die bis dahin unbekannte Objekte entdeckte.

11.4.1

Quasare

Im Jahre 1963 entdeckten Cyril Hazard und Maarten Schmidt den ersten Quasar (3C273) im Sternbild Jungfrau als starke Radioquelle mit hoher Rotverschiebung und daher in sehr großer Entfernung von 2.4 Mrd. Lichtjahren. Quasare sind ungewöhnlich leuchtkräftige Objekte, die als aktive galaktische Kerne interpretiert werden und deren Energieausstoß größer sein kann als Dutzende bis Hunderte Exemplare der gesamten Milchstraße. Ihre extrem hohen Strahlungsleistungen in großen Frequenzbereichen von Radiowellen bis Gammastrahlung sind die Folge des gravitationsbedingten Einfangs von umgebender Materie (Akkretion) durch ein Schwarzes Loch im Zentrum einer Galaxie, [51], [57]. Durch Messung der Ablenkung der Radiostrahlung von Quasaren im Schwerefeld der Sonne konnte man ab Ende der 1960er Jahre die schwierigen Bedingungen der seltenen totalen, nicht überall und wetterabhängig sichtbaren Sonnenfinsternisse überwinden. Die beiden Quasare 3C273 und 3C279 im Winkelabstand von etwa 4˝ befinden sich im Oktober in der Nähe der Sonne, so dass man Abstand und Ablenkung der Radiosignale bei Sonnendurchgang bzw. -vorbeigang sehr genau messen kann. Mit Hilfe interferometrischer Verfahren mit mehreren Radioteleskopen, der sog. Langbasisinterferometrie (Very Long Baseline Interferometry, VLBI), [48], [50], deren Basislinien sogar den Durchmesser der Erde erreichen, ließ sich die Winkelauflösung der Lichtablenkung um mehrere Größenordnungen steigern, wodurch man Einsteins Theorie immer genauer bestätigen konnte.

11.4 Moderne Bestätigungen der Theorie

11.4.2

533

Pulsare

Bei der Suche nach Radioquellen entdeckten Jocelyn Bell und ihr Doktorvater Anthony Hewish an der Cambridge University, England, 1967 den ersten Pulsar (PSR B1919+21), der sich in einer Entfernung von etwa 2000 Lichtjahren befindet. Pulsare sind sehr schnell rotierende Neutronensterne, die hauptsächlich im Radiofrequenzbereich Wellen abstrahlen. Sie entstehen aus Sternen mit anderthalber bis dreifacher Sonnenmasse (1.5 .. 3 Md ), wenn deren Kernbrennstoffe nach mehreren, aufeinanderfolgenden Kernfusionsphasen verbraucht sind, bei denen Elemente von Helium (He) bis Eisen (Fe) entstehen. Mit dem Erlöschen des Strahlungsdrucks der Kernfusion erfährt ein solcher Stern einen Gravitationskollaps innerhalb von Millisekunden, bei dem die Elektronen in den Atomkern gepresst werden wodurch aus Protonen Neutronen entstehen. Der Stern explodiert in einer Supernova vom Typ II, die für kurze Zeit von mehreren Wochen ein extrem leuchtkräftiges Objekt am Himmel darstellt. Innerhalb von heißen, nach außen abgestoßenen, ionisierten Gasnebeln bleibt dann im Kern ein Neutronenstern als kompakte Kugel von etwa 20 km Durchmesser zurück, dessen extrem hohe Dichte von etwa 1017 kg/m3 oder 1014 g/cm3 derjenigen von Atomkernen entspricht. Der Pulsar hat wegen der Drehimpulserhaltung bei stark verringertem Massenträgheitsmoment eine hohe Rotationsgeschwindigkeit, [59]. Entlang der Symmetrieachse seines extrem starken Magnetfeldes von bis zu Millionen Tesla sendet ein Pulsar Synchrotronstrahlung in zwei engen Bündeln in entgegengesetzter Richtung aus. Weicht die Strahlungsrichtung von der Rotationsachse des Pulsars ab und liegt die Erde im Strahlungskegel, dann werden wie bei einem Leuchtturm regelmäßig wiederkehrende, sehr frequenzkonstante Impulse im zeitlichen Abstand von Millisekunden bis wenigen Sekunden empfangen. Für die Entdeckung der Pulsare erhielt Anthony Hewish 1974 zusammen mit Martin Ryle den Nobelpreis für Physik, [52], [58]. Die Preisvergabe war stark umstritten und wurde vor allem von Fred Hoyle kritisiert, da Jocelyn Bell nicht berücksichtigt wurde.

11.4.3

Gravitationslinsen

Eine Folge der Ablenkung von Licht durch große Massen ist der in Analogie zur optischen Abbildung so genannte Gravitationslinseneffekt, den

534

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Einstein bereits in seinem erst 1997 aufgefundenen Berliner Notizbuch von 1912 erwähnte, aber erst 1936 als kleine Berechnung veröffentlichte, [1, S. 56]. Bei diesem Effekt wird das Licht eines Hintergrundsterns oder einer Galaxie durch ein davor liegendes massereiches Objekt, die Gravitationslinse, abgelenkt, wodurch das Bild der Quelle verstärkt, verzerrt oder sogar vervielfacht werden kann. Liegen Quelle und Linse direkt hintereinander, dann entsteht ein ringförmiges Bild des Hintergrundobjektes, das man EinsteinRing nennt. Einstein betrachtete nur Sterne als Ablenkungsursache, bei denen er den Effekt als viel zu klein für jegliche Messung ansah. Der vielseitige Astronom Fritz Zwicky (1898 -1974) berechnete 1937 dagegen die Auswirkung von Galaxien als Gravitationslinsen, die wegen ihrer milliardenfach größeren Masse zu messbaren Ablenkungswinkeln führen sollten. Seit seiner ersten Entdeckung 1979 hat sich der Gravitationslinseneffekt, bei dem als Linsen normalerweise extrem starke Gravitationsfelder von Galaxien, Galaxienhaufen oder Schwarzen Löchern erforderlich sind, zu einem wichtigen Werkzeug von Astronomie und Astrophysik entwickelt. Auf Grund der Ablenkung des Lichts können bei Kenntnis der Entfernungen die Massen von Vordergrundobjekten bestimmt werden. Bei Galaxien als ablenkenden Objekten konnte man feststellen, dass deren Gesamtmasse neben der sichtbaren Masse einen viel größeren Anteil an sog. Dunkler Materie enthalten muss (s. Abschnitt 12.5).

11.4.4

Gravitationswellen

Im Jahre 1974 entdeckten Russell Hulse und Joseph Taylor mit dem Radioteleskop in Arecibo auf Puerto Rico ein Doppelsternsystem im Sternbild Adler aus zwei einander umkreisenden Neutronensternen, von denen einer ein Pulsar ist (Hulse-Taylor-Pulsar, PSR 1913+16). Dieses Binärsystem ist ungefähr 21 000 Lichtjahre von der Erde entfernt. Je nach der Position des Pulsars bezüglich seines Begleiters variiert die Impulsfrequenz seiner Radiosignale auf Grund des Doppler-Effekts bei Annäherung und Entfernung, woraus man den Bahnverlauf genau bestimmen kann. Ähnlich wie beim Merkur existiert eine Drehung der Apsidenlinie oder PeriastronDrehung, die jedoch wesentlich größere Werte von 4.2 Grad pro Jahr aufweist, also um einen Faktor von etwa 35 000 größer ist. Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie strahlen beschleunigte Massen Gravitationswellen ab, wenn ihre Massenverteilung nach dem Theorem von

11.4 Moderne Bestätigungen der Theorie

535

Birkhoff am Ende von Abschnitt 11.5.10 keine exakte Kugelsymmetrie aufweist. Solche einander umkreisenden Neutronen-Doppelsternsysteme verlieren auf Grund der abgestrahlten Gravitationswellen durch die starken Massenbeschleunigungen ständig Energie und bewegen sich spiralförmig aufeinander zu, was sich in messbaren Verkürzungen ihrer Bahnperioden bemerkbar macht. Für die jahrelangen Untersuchungen der Pulsar-Bahnkurven von PSR 1913+16 und den indirekten Nachweis von Gravitationswellen in enger Übereinstimmung mit Einsteins Theorie erhielten Hulse und Taylor 1993 den Nobelpreis für Physik, [47], [52], [56]. Im Jahre 2003 wurde bei einer Pulsar-Durchmusterung der bisher einzige Fall eines Doppelpulsars (PSR J0737-3039) entdeckt, der sich in der geringen Entfernung von weniger als 2000 Lichtjahren befindet und Pulse im Abstand von 23 ms bzw. 2.8 s aussendet. Die Bahnebene des Systems liegt in der Sichtlinie der Erde, so dass der Orbit fast von der Kante her sichtbar ist und die beiden Pulsare regelmäßig voreinander vorüberziehen. Die Periastron-Drehung beträgt bei diesem Binärsystem sogar 17 Grad pro Jahr. Die Einzigartigkeit dieses Doppelpulsars liegt in Anzahl und Stärke der Effekte sowie der Genauigkeit, mit der man sie auf Grund der geringen Entfernung messen kann, wodurch sich die Voraussagen der Allgemeinen Relativitätstheorie in präziser Weise überprüfen lassen, [60], [61]. Für den direkten Nachweis von Gravitationswellen wurden nach vorherigen, mehr als zehnjährigen Forschungsarbeiten seit Ende der 1980er Jahre mehrere Interferometer-Experimente aufgebaut, die als Lichtquellen intensive Laserstrahlen in zueinander senkrecht angeordneten, bis zu 4 km langen evakuierten Rohrsystemen verwenden. Parallel zu den Detektorentwürfen versuchten andere Forscher seit den 1970er Jahren, Programme auf Großrechnern zu entwickeln, die die Kollision von Doppelsystemen wie Schwarzen Löchern simulieren konnten. Die dafür notwendige numerische Lösung der gekoppelten nichtlinearen Einstein’schen Feldgleichungen gestaltete sich außerordentlich schwierig und konnte erst 2005 erfolgreich abgeschlossen werden. Die Simulationen lieferten den Astronomen Form und Verlauf der zu erwartenden Gravitationswellensignale bei Annäherung, Vereinigung und Nachklingen von binären Systemen aus Schwarzen Löchern und Neutronensternen, die daraufhin in den komplexen Mess-Signalen durch aufwendige Analyseverfahren gefunden und isoliert werden konnten, [9, S. 196, 202].

536

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Die internationale Zusammenarbeit umfasste die folgenden Interferometer: GEO600 bei Hannover (seit 2002), LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) in den US-Bundesstaaten Louisiana und Washington (2002 -2011, verbessert seit 2015) und Virgo bei Pisa in Italien (seit 2007). Als vierter Gravitationswellendetektor wird in Japan Ende 2019 das unterirdische Interferometer KAGRA (Kamioka Gravitational Wave Detector) in Betrieb gehen, das auf minus 250 ˝ C gekühlte Saphir-Spiegel besitzt. Auf Grund der Armlängen der terrestrischen Interferometer kann man Gravitationswellen im Frequenzbereich von 10 bis 1000 Hz beobachten. Nach den erfolgreichen Ergebnissen der Vorläufermission LISA Pathfinder (2015 -2017) zur Erprobung technologischer Komponenten und Verfahren soll Mitte der 2030er Jahre für Suche und Nachweis von Gravitationswellen das Weltraum-Laborsystem LISA (Laser Interferometer Space Antenna) aus drei Satellitenstationen errichtet werden, bei dem die Seiten des gleichseitigen Dreiecks eine Länge von 2.5 Millionen Kilometern aufweisen, [64], [67]. Durch seine viel größere Kantenlänge wird LISA die messbaren Frequenzen der Gravitationswellen in den Bereich von Millihertz erweitern. Da die Frequenz etwa umgekehrt proportional zu den beteiligten Massen ist, kann man daher die Verschmelzung viel massereicherer Schwarzer Löcher im überschaubaren Kosmos verfolgen, [44]. Der Nachweis von Gravitationswellen ist deshalb mit sehr hohem Aufwand verbunden, da die Raumzeit eine extrem hohe Steifheit besitzt, deren Elastizitätsmodul im Vergleich zu Stahl um mehr als 20 Zehnerpotenzen größer ist! Daher können nur extreme Massenbewegungen wie die Verschmelzung von Schwarzen Löchern oder Neutronensternen Gravitationswellen auslösen, die mit den terrestrischen Interferometern nachweisbar sind. Die erzeugten Transversalwellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, dehnen und stauchen die Raumzeit quer zur Ausbreitungsrichtung nur äußerst geringfügig, so dass eine Streckenlänge, die dem Abstand zwischen Erde und Sonne von 1 AE entspricht, lediglich um die Größe eines Atomkerns variiert, [34, S. 37]. Die Herausforderungen an die terrestrischen Interferometer bestehen in der Beseitigung der Störquellen, die ein Gravitationswellensignal verdecken können, wie Luftdruck- und Temperaturschwankungen sowie Bodenerschütterungen mit unterschiedlichen Ursachen wie Erdbeben, Meereswellen oder LKW-Verkehr. Mit einer Vielzahl moderner Verfahren und Technologien wie Laserstabilisierung, absorptionsarmen Optiken, Regelungstechnik,

11.4 Moderne Bestätigungen der Theorie

537

Schwingungsdämpfung und verschiedenen Arten der Datenanalyse werden diese Störquellen minimiert oder an ihren charakteristischen Mess-Signalen erkannt. Eine wegweisende Entwicklung war die Aufhängung der Spiegel an Glasfasern und die aktive Schwingungsdämpfung von seismischen Störungen durch mehrstufige Pendelaufhängung, [13, S. 74]. Im Februar 2016 veröffentlichten Gravitationsforscher als erstes direkt gemessenes Gravitationswellenereignis die sensationellen Ergebnisse der Datenaufzeichnungen der LIGO-Detektoren an den beiden Standorten in den Bundesstaaten Louisiana und Washington der USA vom 14. September 2015 mit der Datumsbezeichnung GW150914. Die Messdaten dieses Ereignisses werden nach aufwendiger Datenanalyse so gedeutet, dass in einer 1.3 Millarden Lichtjahre entfernten, aber nicht genau lokalisierbaren Galaxie bei der Kollision von zwei Schwarzen Löchern von 29 und 36 Sonnenmassen nach immer schnellerer Rotation umeinander innerhalb weniger Millisekunden ein Schwarzes Loch von 62 Sonnenmassen entstand. Die fehlenden drei Sonnenmassen wurden bei diesem Ereignis in Gravitationswellenenergie verwandelt, die dem 50-fachen Betrag aller sichtbar leuchtenden Sterne im Universum entspricht, [37], [42] [65]. Dieses Ereignis fand genau zum symbolträchtigen Zeitpunkt des 100jährigen Jubiläums der Allgemeinen Relativitätstheorie statt! Nach insgesamt fünf sicher erkannten Kollisionen zweier Schwarzer Löcher zwischen September 2015 und August 2017 empfingen die Detektoren LIGO und Virgo im August 2017 als neuen Signaltyp die Gravitationswellen von der Verschmelzung zweier Neutronensterne. Dieses Gravitationswellenereignis GW170817 stellt einen besonderen Erfolg dar, weil die Erschütterung der Raumzeit wegen der viel geringeren Masse von Neutronensternen deutlich schwächer als bei Schwarzen Löchern ausfällt. Es ist das bisher nächstgelegene Verschmelzungsobjekt in der geringen Entfernung von 130 Millionen Lichtjahren oder 40 Mpc. Die beim Zusammenstoß gezündete gewaltige Explosion erzeugte einen Gammastrahlungsausbruch (Gamma Ray Burst, GRB), dessen Strahlung der abgestoßenen, extrem heißen Gaswolke und dem typischen Leuchtkraftverlauf einer Kilonova entspricht, die nicht an die Leistung einer Supernova heranreicht. Aus den Empfangssignalen der drei Detektoren LIGO und Virgo ließ sich der Ursprungsort der Strahlung recht genau in einer Galaxie im Sternbild Wasserschlange am Südhimmel lokalisieren, so dass von weltweit etwa 70 Observatorien Beobachtungen bei verschiedenen Wellenlängen vom Radio- bis Röntgenbereich als

538

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Multi-Messenger-Astronomie durchgeführt werden konnten, [38], [39], [68]. Durch spektroskopische Beobachtung der in den umgebenden Raum geschleuderten Materie konnte erstmals belegt werden, dass schwere Elemente wie Platin, Gold, Blei und Uran auch bei der Verschmelzung von Neutronensternen und nicht nur bei Supernova-Explosionen erzeugt werden, [13, S. 109]. Für die Entwicklung der Gravitationswellen-Astronomie mit wissenschaftlicher Grundlage, Projektleitung und Aufbau des LIGO-Observatoriums erhielten Barry C. Barish, Kip S. Thorne und Rainer Weiss 2017 den Nobelpreis für Physik, [69]. Obwohl am LIGO-Projekt, dessen Planung bereits Mitte der 1980er Jahre begann, sowie weiteren wissenschaftlichen Großprojekten mehrere tausend Wissenschaftler und Mitarbeiter beteiligt waren, erlauben es die Nobelkomitee-Statuten nicht, mehr als drei Forscher auszuzeichnen, so dass an Institute, Universitäten oder Forschungszentren bisher kein Nobelpreis verliehen wurde. Im November 2018 wurde vom LIGO-Virgo-Team ein Katalog der bisher elf mit statistischer Signifikanz sicher erkannten Gravitationswellenereignisse vom zweiten Beobachtungslauf O2 (Observational Run) von LIGO zwischen November 2016 und August 2017 veröffentlicht, der bis auf das Neutronensternereignis GW170817 nur die Verschmelzung Schwarzer Löcher aufführt. Der nächste Lauf O3 beginnt im Frühjahr 2019 und die beteiligten Astronomen erwarten nach Empfindlichkeitssteigerungen von LIGO und Virgo viele weitere Entdeckungen, [40], [43]. Eine weitere Möglichkeit zur Detektion von Gravitationswellen beruht auf der Beobachtung von rotationsstabilen Millisekunden-Pulsaren, die sich fast alle in der Milchstraße befinden. Da die Raumzeit-Verzerrung nur eine sehr geringfügige Änderung der Entfernung zwischen Erde und Pulsar bewirkt, erfordert der Nachweis von Pulsveränderungen Langzeitbeobachtungen und die Analyse vieler solcher Pulsar-Systeme, was als Pulsar Timing bezeichnet wird, [13, S. 120], [34, S. 33]. Diese Methode ist sehr empfindlich und kann auch niederfrequente Gravitationswellen bis in den nHz-Bereich nachweisen, die damit die Detektoren für höhere Frequenzen wie LIGO von 10 bis 10 000 Hz nach unten zu niedrigen Frequenzen ergänzt. Die Zusammenschlüsse europäischer Institute zum European Pulsar Timing Array (EPTA) und der bedeutendsten Radioteleskope Europas

11.4 Moderne Bestätigungen der Theorie

539

zum Large European Array for Pulsars (LEAP) sowie das bald in Betrieb gehende Square Kilometer Array (s. Abschnitt 12.4.2) sind innovative Projekte, bei denen die frequenz- und phasengleiche Kombination der Empfangssignale die Präzision der Pulsmessungen und die Empfindlichkeit des Pulsar Timing Array (PTA) für Gravitationswellen erheblich steigern wird. Die stetige Modernisierung und Erhöhung der Empfindlichkeit der Gravitationswellendetektoren werden zukünftig häufiger zur Entdeckung von Raumzeit-Fluktuationen führen. Nach Abschätzungen könnten das bis zu zwei Ereignissen pro Monat sein. Die Erkenntnisse und Erfahrungen, die man bei diesen Ereignissen gewinnt, eröffnen mit der Gravitationswellenastronomie ein völlig neuartiges Fenster ins Weltall über die bisherigen rein elektromagnetischen Beobachtungsmöglichkeiten von Radio- bis Gammastrahlung hinaus. Damit wird eine neue Ära der astrophysikalischen Beobachtung und Forschung begründet, die sich für ein umfassenderes Verständnis des Universums als ebenso bedeutsam erweisen könnte wie der Beginn der optischen Astronomie durch die Erfindung des Fernrohrs und seinen virtuosen Einsatz durch Galileo Galilei und die potenten Teleskope seiner Nachfolger sowie der Beginn der Astrophysik mit der Spektroskopie der Fixsterne durch Angelo Secchi.

11.4.5

Satellitennavigation

Eine weitere Bestätigung der Relativitätstheorie stellt auch die Funktionsfähigkeit des satellitengestützten Navigationssystems GPS (Global Positioning System) dar. 24 aktive und 8 Ersatzsatelliten umkreisen die Erde in 20 200 km Höhe auf sechs verschiedenen, genau bekannten Umlaufbahnen. Da sie sich nicht auf geostätionären Bahnen befinden, gehen sie auf und unter wie Sterne. Die Satelliten tragen präzise gehende Atomuhren und senden ständig Zeitsignale und ihre Bahnparameter. Terrestrische GPS-Empfänger in Navigationsgeräten können aus den Bahndaten und Laufzeitdifferenzen von mindestens vier Satelliten die eigene Position berechnen, [4, S. 37]. Zwei Effekte der Relativitätstheorie beeinflussen die Genauigkeit der GPS-Ortung. Nach der Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie gehen die Satellitenuhren gegenüber dem GPS-Empfänger langsamer, da sie sich schneller bewegen. Wie beim geostationären Orbit bei Gleichung (11.12) erhält

540

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

man die Kraft auf den Satelliten, aus der man die Geschwindigkeit bestimmt. | F | “ mSat

GME v2 “ mSat 2 pRE ` hq pRE ` hq

Gemäß (7.33) gilt dann für die Zeitdifferenz, wobei bereits der Schwarzschild-Radius RS “ 2 GM {c2 (11.23) verwendet wird. ” ΔtE 1 ´ v ¯2 ı ΔtSat “ c « 1 ` ΔtE ´ v ¯2 2 c 1´ c ´ ´ 1 GME 1 R SE ¯ 1 ¯ « 1` ΔtE “ 1 ` ΔtE 2 c 2 RE ` h 4 RE ` h

ΔtSat ´ ΔtE “

1 R SE ΔtE 4 RE ` h

ΔtSat ´ 1 s “ 83.33 ps “ ˆ 7.2 μs in 24 h Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie gehen die Satellitenuhren gegenüber dem GPS-Empfänger schneller, da sie sich an Orten mit geringerer Gravitation befinden. Der Schwarzschild-Abstand (11.42) zweier Ereignisse P und Q, der dem Wegelement der Raumzeit entspricht, lautet am festen Ort aber zu unterschiedlichen Zeiten unter Verwendung der Eigenzeit (8.18) ´ ` ˘2 RS ¯ 2 2 c dt “ dR2 “ ´ c2 dτ 2 ds2 “ dRP ´ dRQ “ ´ 1 ´ r Für Erde und Satellit folgt daraus c c R SE R SE dtE “ 1 ´ dτ “ 1 ´ dtSat RE RE ` h g f R SE f f 1´ ´ dtSat f 1 R SE ¯ 1 RSE ¯´ RE “f 1` « 1´ e R SE dtE 2 RE 2 RE ` h 1´ RE ` h

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

541

In erster Näherung erhält man für die Zeitdifferenz ΔtSat ´ ΔtE “ ´

2h 1 RSE ΔtE RE 4 RE ` h

ΔtSat ´ 1 s “ ´ 0.527 ns “ ˆ ´ 45.6 μs in 24 h Die gesamte Zeitdifferenz zwischen den Uhren im Satelliten und auf der Erdoberfläche ist damit | Δtgesamt | “ 38.4 μs in 24 h Das bedeutet eine kumulierte Ortsabweichung von ˆ 11.5 km { 24 h “ 480 m { h “ 8 m { min Δx { Tag “ c | Δtgesamt | { Tag “ und entspricht nach drei Tagen dem Abstand zwischen den Zentren von Berlin und Potsdam! Ohne Berücksichtigung und Korrektur dieser Relativitätseffekte wäre eine GPS-Navigation, bei der eine gleichbleibende Genauigkeit im Meterbereich liegen muss, wertlos und damit ausgeschlossen.

11.5

Feldgleichungen der Gravitation

Die Größen Raum und Zeit, die seit alters her vom Menschen als getrennte Kategorien empfunden und von Newton auch in dieser Weise als absolute Größen definiert wurden, erfuhren in der Speziellen Relativitätstheorie eine Zusammenfassung zur vierdimensionalen Raumzeit, allerdings ohne Berücksichtigung der Gravitation. In der Allgemeinen Relativitätstheorie führte Einstein eine Erweiterung zur Einheit von Raum, Zeit und Masse unter Verwendung der Riemann’schen Geometrie durch.

11.5.1

Das Geometrieproblem

Einstein zeigte am Beispiel des rotierenden Bezugssystems, dass in der Allgemeinen Relativitätstheorie die Möglichkeit verloren geht, Raum und Zeit auf euklidische Weise auszumessen, [7, S. 53], [8, S. 246].

542

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Betrachtet werden dazu das feste Inertialsystem S und das um die gemeinsame z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierende Beˆ wie bereits in Abbildung 11.6 dargestellt. Beschleunigungszugssystem S, kräfte auf Körper, die relativ zu Sˆ ruhen, können nach dem Äquivalenzprinzip lokal auf die Wirkung eines Gravitationsfeldes zurückgeführt werden. In beiden Systemen werden konzentrische Kreise um den gemeinsamen Mittelpunkt mit einem Maßstab ausgemessen, um ihre Umfänge und Radien zu vergleichen. Im festen System S hat der Quotient aus Umfang U und Radius R für alle Kreise stets den euklidischen Wert U {R “ 2π. Im rotierenden System Sˆ führt das Anlegen des Maßstabs in Punkten der Kreisperipherie in radialer, zur Bewegung senkrechten Richtung zum ˆ “ R für den Radius. In Umfangsrichtung erscheint der gleichen Wert R Maßstab vom Inertialsystem S aus betrachtet wegen der Längenkontraktion (7.32) verkürzt und muss in Sˆ zur Erfassung und Messung der gesamten Peripherie daher öfter als in S angelegt werden, wodurch sich für den Umfang ˆ ein größerer Wert ergibt. Damit hat der Quotient aus Umfang und Radius U im rotierenden System Sˆ einen nichteuklidischen Wert! ˆ ˆ U U U “ ą “ 2π ˆ R R R Bei wachsendem Radius der untersuchten Kreise erhöht sich nach (5.36, Bd. I) die Umfangsgeschwindigkeit v, so dass sich der Maßstab immer weiter verkürzt c c ´ v ¯2 ´ ωR ¯2 “ 1´ ˆ “ 1 ´ c c ˆ {R ˆ mit dem Abstand vom Mittelpunkt immer mehr und der Quotient U zunimmt. Uhren, die im System Sˆ ruhen, gehen von S aus betrachtet auf Grund der Zeitdilatation mit wachsendem Abstand von der Achse und daher steigender Geschwindigkeit immer langsamer und sind daher untereinander nicht synchronisierbar. Damit ist eine vernünftige Definition der Zeit in rotierenden Systemen unmöglich. Lediglich in örtlich begrenzten, lokalen Bereichen, streng genommen nur punktweise, sind Inertialsysteme verwendbar, in denen man mit festen Maßstäben und synchronisierbaren Uhren Messungen durchführen und die Ergebnisse der Speziellen Relativitätstheorie anwenden kann.

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

543

Verallgemeinernd gilt, dass in beliebig beschleunigten Systemen, in denen nach dem Äquivalenzprinzip inhomogene Gravitatsionsfelder wirken, sowohl bei zeitlichen als auch bei räumlichen Messungen die euklidische Geometrie versagt, [3, S. 273]. In beschleunigten Systemen ändert sich die Geschwindigkeit fortwährend mit dem Ort, so dass von Punkt zu Punkt Momentangeschwindigkeiten wirksam sind, die nur für ein differentielles Zeitintervall gleichförmige Translationsbewegungen zulassen. Eine zweite Überlegung macht dieses Ergebnis ebenfalls plausibel. Da Lichtstrahlen in Gravitationsfeldern nach dem Äquivalenzprinzip auf gekrümmten Wegen verlaufen, wie bei der Periheldrehung des Merkur im Abschnitt 11.3.1 erläutert, Lichtwege andererseits nach dem Fermat’schen Prinzip aber in der kürzesten Zeit durchlaufen werden, [14, S. 105], kann der Raum in der Umgebung gravitierender Massen nicht euklidisch sein, denn im euklidischen Fall sind die kürzesten Wege gerade Linien und weisen keine Krümmung auf. Die Einstein’sche Schlussfolgerung lautet daher, dass die Anwesenheit von Massen den Raum krümmt, der dann durch die Riemann’sche Geometrie beschrieben werden muss.

11.5.2

Riemann’sche Geometrie und Tensorkalkül

Auf Grund vorhandener, durch beliebige Massen hervorgerufene inhomogene Gravitationsfelder sind in globalem Maßstab keine geradlinig-gleichförmigen, sondern nur krummlinige, beschleunigte Bewegungen möglich. Die Raumzeit besitzt keine euklidische Struktur und muss daher durch die allgemeinere Riemann’sche Geometrie ausgedrückt werden, die die Krümmung des Raumes durch den Krümmungstensor beschreibt. In dieser Geometrie sind beliebige Koordinatensysteme zugelassen, in denen die Raumzeit durch vier Scharen von Gauß’schen Koordinaten beschrieben wird, mit denen alle Weltpunkte oder Ereignisse in eindeutiger Weise gekennzeichnet werden. Dabei ist es nicht notwendig, diese Koordinaten durch physikalische Größen wie Raum oder Zeit zu identifizieren, so dass man auch beliebige mathematische Parameter verwenden kann, [19, S. 155]. Da verschiedene Koordinatensysteme untereinander gleichberechtigt sind, ist es wünschenswert und sinnvoll, die physikalischen Gesetze in eine solche mathmatische Form zu bringen, dass sie in allen Systemen gleich lauten, was die allgemeine Kovarianz der Gleichungen bedeutet.

544

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Die Begriffsbildungen der Vektoranalysis für Vektoren im euklidischen Raum wie Gradient, Divergenz und Rotation werden in der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit des Riemann’schen Raumes durch die entsprechenden Verallgemeinerungen des Tensorkalküls ersetzt. Auf Grund des Äquivalenzprinzips sind Gravitations- und Trägheitskräfte auf lokaler Basis einander entsprechende Größen. Alle Körper führen Trägheitsbewegungen im nichteuklidischen Kontinuum der Raumzeit aus, bei denen ihre Bahnkurven in der Nähe gravitierender Massen beschleunigt durchlaufen werden. Die vorhandenen Massen erteilen dem Raum eine Krümmung, wodurch bewegte Körper wie auch Lichtstrahlen auf geodätischen Linien dieser Krümmung folgen und keine geradlinigen Wege wie im euklidischen Fall des flachen Raumes durchlaufen. Durch diese neuartige Interpretation wird auch die rätselhafte Fernwirkung beseitigt, die in der Newton’schen Mechanik unendlich schnell über beliebige Entfernungen wirksam war. Was nach Newton Gravitation und entsprechende Kraft war, ist nach Einstein die Krümmung der Raumzeit, nach der sich alle Massen bewegen. Das Problem der Schwerkraft wurde durch ihre Aufhebung gelöst! In dieser neuen und ungewohnten Sichtweise stellen die ellipsenförmigen Orbits der Planeten gekrümmte Raumkurven dar, die im freien Fall als kürzeste Wege in der Raumzeit durchlaufen werden. Die Wirkung von Massen, die wir im Newton’schen Sinne als Ursache von anziehenden Kräften in Gravitationsfeldern erfahren und interpretieren, wird nach Einstein auf die Krümmung der Raumzeit und damit auf eine Eigenschaft der Geometrie zurückgeführt. Da die geometrischen Eigenschaften durch die metrischen Koeffizienten definiert werden, beschreiben diese dann auch das Gravitationsfeld, so dass man die Einstein’sche Theorie als eine Verschmelzung von Gavitation und Metrik begreifen kann, [3, S. 292], [5, II, S. 203]. Da man sich einen gekrümmten dreidimensionalen Raum nicht recht vorstellen sondern nur mathematisch angemessen beschreiben kann, erzielt man durch Reduzierung der Dimensionsanzahl eine häufig anzutreffende, modellmäßige Veranschaulichung von Bewegungen in einer gekrümmten Raumzeit. Als zweidimensionales Analogon betrachtet man dazu ein leicht schräg gespanntes Gummituch als schiefe Ebene. Kleine Kugeln rollen auf ihm als Probekörper auf geraden Wegen hinab. Wird das Tuch dagegen an verschiedenen Stellen durch mehrere unterschiedlich schwere Kugeln eingedrückt, die

545

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

als die Raumzeit krümmende, gravitierende Massen gleichsam eine Anziehung vortäuschen, dann rollen die kleinen Kugeln auf komplizierten, mehr oder weniger gekrümmten Bahnen abwärts, je nachdem wie dicht sie an den einzelnen Dellen vorbeikommen. Die rollenden Kugeln nehmen jeweils den kürzesten Weg, und zwar im glatten oder euklidischen Fall auf Geraden, im eingedellten und damit gekrümmten zweidimensionalen Fall auf geodätischen Linien. Die Kugeln auf dem Gummituch sowie die Massen in der Realität ziehen sich nicht auf Grund von Kräften an, sondern weil sich die Struktur des Raumes verändert hat. Die enge Verbindung zwischen Krümmung und Beschleunigung kann man dadurch plausibel machen, dass man bei einer Kurve in der px, uqEbene die Krümmung gemäß der Definition (5.34, Bd. I) betrachtet. ´ dx ¯ d arctan dϕ du κ“ “ a ds 2 dx ` du2 ´ dx ¯ d arctan 1 du c “ ´ dx ¯2 “ c ´ dx ¯2 du 1 ` 1` du du “c 1`

1 ´ dx ¯2

3

3

d ´ dx ¯ arctan du du

d2 x du2

du

Ersetzt man die Koordinate u durch die imaginäre Zeitkoordinate jct, dann folgt mit Geschwindigkeit, Beschleunigung und Lorentz-Faktor γ die Proportionalität zwischen Krümmung und Beschleunigung, die eine punktweise variierende Ortsfunktion darstellt. v“

dx dx “ jc , dt du

κ“´

a 1 c 2 ´ v ¯2 c 1´ c

κ „ ´a

a“

3

2 d2 x 2d x “ ´ c dt2 du2

“´

γ3 a c2

546

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

In der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit des Riemann’schen Raumes manifestiert sich die gekrümmte Raumzeit dadurch, dass in einem System aus gegebenen Massen die Bewegungen von Probemassen oder Lichtstrahlen auf geodätischen Linien verlaufen, die nach Abschnitt 2.3.5 die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten darstellen. Eine erste Bestätigung für den gekrümmten Weg von Licht konnte bereits bei der Sonnenfinsternis 1919 durch die Lichtablenkung im Feld der Sonne experimentell gefunden werden. Die Konstellation vorhandener Massen und damit die Krümmung der Raumzeit unterliegt während der vollführten Bewegungen durch die gegenseitige Beeinflussung aller Massen einer ständigen Veränderung, so dass alle Körper in ähnlicher Weise wie bei der Newton’schen Bewegungsleichung (11.3) komplizierte Bahnkurven durchlaufen. John Archibald Wheeler (1911-2008), einer der großen Gravitationstheoretiker, drückte diese gegenseitige Abhängigkeit treffend in folgender Form aus, die in der prägnanten englischen Originalversion durch das Wort geometry an Stelle des genaueren Begriffs Raumzeit (space-time) etwas weniger präzise ist, [22, S. 130], [33, S. 431]. Die Raumzeit beherrscht die Masse, indem sie ihr sagt, wie sie sich bewegen soll Die Masse beherrscht die Raumzeit, indem sie ihr sagt, wie sie sich krümmen soll

(11.16)

Geometry tells matter how to move, and matter tells geometry how to curve Astronomische Untersuchungen haben ergeben, dass die Raumzeit nur in sehr naher Umgebung großer Massen eine nennenswerte Krümmung aufweist, die man bei der Lichtablenkung im oben beschriebenen Gravitationslinseneffekt ausnutzt. Im großräumigen Universum zwischen Sternen und besonders Galaxien ist der Raum dagegen weitgehend euklidisch und damit flach.

11.5.3

Vergleich der Metriken

Am Anfang von Abschnitt 2.2 wurden bereits euklidische und Riemann’sche Räume gegenübergestellt. Mehrfach wurde auch die Metrik als Abstandsdefinition angegeben, mit der man in einem Raum Berechnungen über die

547

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

relative Lage von Punkten durchführen kann. Hier sollen die wesentlichen Metriken im Hinblick auf die Feldgleichungen der Relativitätstheorie dargestellt und miteinander verglichen werden. Das Quadrat des Wegelementes wurde in (14.11, Bd. I) und (2.23)) als positiv definite quadratische Form als Doppelsumme angegeben, bei der die metrischen Koeffizienten gμν die Elemente des symmetrischen Metriktensors bilden, der die geometrischen Eigenschaften des betrachteten Raumes definiert. Dabei sind die Summationen über alle Werte des n-dimensionalen Raumes zu erstrecken. ÿ ÿ ` ˘T ds2 “ du# G # du# “ gμν duμ duν μ

ν

(11.17)

Wie bereits im Abschnitt 2.4.2 erwähnt, werden in der Literatur wegen der Summationskonvention unterschiedliche Indizes verwendet. Dabei durchlaufen lateinische Indizes die Werte 1, 2, 3 der räumlichen Koordinaten und griechische Indizes die Werte 0, 1, 2, 3 der Raumzeit. Diese Indexkonvention wird auch hier weitgehend befolgt. Der invariante Skalar des differentiellen Abstandsquadrates kann in der Raumzeit als doppeltes Skalarprodukt mit dem metrischen Tensor G aus Abschnitt 11.2 (Bd. I) dargestellt werden, der für die verschiedenen Metriken unterschiedliche Komponenten besitzt. ds2 “ dR ¨ G ¨ dR 11.5.3.1

(11.18)

Euklidische Metrik

Im dreidimensionalen Raum wird durch Skalarprodukt und Satz des Pythagoras das Quadrat des Wegelementes (14.7, Bd. I) kartesisch bestimmt. ds2 “ dr ¨ dr “ dx2 ` dy 2 ` dz 2 “ pdx1 q2 ` pdx2 q2 ` pdx3 q2 Die metrischen Koeffizienten entsprechen dem Kronecker-Delta und die zugehörige Matrix der Einheitsmatrix. px1 , x2 , x3 q

Ñ

G # “ E “ Diag p δkk q “ Diag p 1, 1, 1 q

Der Raum bleibt euklidisch, auch wenn man andere Koordinatensysteme zur Beschreibung wählt (Zylinder, Kugel, schiefwinklige, etc.), denen man die

548

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

euklidische Eigenschaft nicht immer sofort ansehen kann. G # ist dabei im orthogonalen Fall diagonal und sonst symmetrisch mit sechs unabhängigen Elementen. Man kann stets eine Transformation finden, die die Tensormatrix solcher Koordinatensysteme in die Einheitsmatrix überführt, also auf den kartesischen Fall abbildet. 11.5.3.2

Metrik der Minkowski’schen Raumzeit

Zur Beschreibung der Raumzeit wurden von Minkowski kartesische Raumkoordinaten mit imaginärer Zeitkoordinate x0 “ jct gemäß (7.9) eingeführt, mit denen Koordinatendifferentiale und Wegelement wie (7.30) lauten ` ˘T dx# “ dx0 , dx1 , dx2 , dx3 ` ˘T “ jc dt, dx, dy, dz ` ` ˘T ˘2 ` ˘2 ` ˘2 ` ˘2 dR2 “ dx# dx# “ dx0 ` dx1 ` dx2 ` dx2 ` ˘2 “ jc dt ` dx2 ` dy 2 ` dz 2 dR2 “ ds2 “ ´ c2 dt2 ` dx2 ` dy 2 ` dz 2

(11.19)

Nach (11.18) kann man das Quadrat des Wegelementes auch als doppeltes Skalarprodukt mit dem Metriktensor ausdrücken. ` ` ˘T ˘T dR2 “ dR ¨ G ¨ dR “ dx# e ¨ eT G # e ¨ eT dx# “ dx# G # dx# Je nach der Koordinatendarstellung, die man für x# einsetzt, ergibt sich die zugehörige Tensormatrix G # . + ` ˘ ` ˘ px0 , x1 , x2 , x3 q Ñ G # “ E “ Diag δμμ “ Diag 1, 1, 1, 1 pjct, x, y, zq ` ˘ ˘ ` pt, x, y, zq Ñ G # “ Diag dμμ “ Diag ´ c2 , 1, 1, 1 Verschiedene Autoren verwenden die reelle Zeitkoordinate x ˘0 “ ct mit folgenden Differentialen, obigem Wegelement und zugehöriger Tensormatrix. ` 0 ˘T ˘T ` d˘ x# “ d˘ x , dx1 , dx2 , dx3 “ c dt, dx, dy, dz ˘ ` ˘ ` G # “ Diag ημμ “ Diag ´ 1, 1, 1, 1

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

549

Die Signatur der Metrik gibt die Verteilung der Vorzeichen an mit der Struktur p´, `, `, `q in den beiden letzten Fällen, aus der sich der pseudo-euklidische Charakter der Raumzeit mit der Klassifizierung (7.31) ergibt. Andere Autoren verwenden ebenfalls x ˘0 “ ct aber mit vertauschten Vorzeichen bei Wegelement und zugehöriger Tensormatrix, dR2 “ c2 dt2 ´ dx2 ´ dy 2 ´ dz 2 ` ˚ ˘ ` ˘ G # “ Diag ημμ “ Diag 1, ´1, ´1, ´1 so dass die Signatur der Metrik dann p`, ´, ´, ´q lautet und sich die Ungleichheitszeichen bei der Klassifizierung (7.31) umkehren! In der vorliegenden Darstellung wird weiterhin die Minkowski-Metrik verwendet trotz „Abschied“ bzw. Farewell in [22, S. 51] oder dem Übergang x# in [24, S. 18, 60, 65] und wegen der uneinheitlichen Vorzeivon dx# zu d˘ chenwahl der einzelnen Autoren! [15, S. 193], [22, Vorsatzblatt]. Als Beispiel für ein nichtkartesisches System wird die Metrik der Raumzeit in Kugelkoordinaten angegeben, bei der die Tensormatrix die für diesen Fall gültige Diagonale aufweist. ` ˘T ˘T ` x# “ x0 , x1 , x2 , x3 “ jct, r, ϑ, ϕ dR2 “ ds2 “ ´ c2 dt2 ` dr2 ` r2 dϑ2 ` r2 sin2 ϑ dϕ2 ˘ ` ` ˘ G # “ Diag kμμ “ Diag 1, 1, r2 , r2 sin2 ϑ 11.5.3.3

(11.20)

Riemann’sche Metrik

In Riemann’schen Räumen lautet das Wegelement des Ortsvektors in Verallgemeinerung der Gleichungen (14.7 und 17.5, Bd. I) mit Gauß’schen Koordinaten u# ˘T ` dR “ du# g

#

˘T ` “ du# ∇ # R

Nach der allgemeinen Beziehung (2.24) erhält man damit das differentielle Abstandsquadrat, ˘T ˘T ` ` ˘T ` dR2 “ ds2 “ du# ∇ # R ¨ ∇ # R du# “ du# G # du#

550

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

das wegen gμν “

BR BR ¨ “ gνμ Buμ Buν

im vierdimensionalen Raum eine symmetrische Tensormatrix mit nur zehn unabhängigen Elementen besitzt, so dass ds2 aus zehn Summanden besteht. ¨

G#

g00 ˚ g01 “˚ ˝ g02 g03

g01 g11 g12 g13

g02 g12 g22 g23

˛ g03 g13 ‹ ‹ “ GT # g23 ‚ g33

(11.21)

Da wie im euklidischen Fall mit vielen verschiedenen Koordinatensystemen auch in der Riemann’schen Raumzeit die vier Gauß’schen Koordinaten beliebig wählbar sind, kann man entsprechend viele zugehörige Tensormatrizen finden. Diese Wahlfreiheit eröffnet die Möglichkeit, die komplizierten Feldgleichungen in besonderen Fällen zu lösen. 11.5.3.4

Geltungsbereich der Metriken

Die Metriken von Euklid, Minkowski und Riemann werden durch die gleiche quadratische Form (11.17) des Wegelementes beschrieben, so˚ , k fern man die jeweiligen Metrikkoeffizienten δμμ , dμμ , ημμ , ημμ μμ bzw. gμν einsetzt. In Minkowski’scher Raumzeit sind die Koeffizienten der Tensormatrizen ggf. nach geeigneter Koordinatentransformation (z.B. Kugel Ñ kartesisch) konstant. Dagegen sind die Koeffizienten gμν der Riemann’schen Metrik Funktionen der Koordinaten gemäß (14.10, Bd. I). Um zwischen den Metriken von Minkowski und Riemann zu unterscheiden, werden Tensoren und Matrizen folgendermaßen bezeichnet. ˘ ` Minkowski E “ eT GM mit GM # “ E “ Diag δμμ #e ` ˘T Riemann G “ g # G # g # mit GR# “ G # nach (11.21) In der Riemann’schen Raumzeit muss zwischen ko- und kontravarianten Komponenten unterschieden werden, worauf man in der kartesischen Raumzeit von Minkowski gemäß Abschnitt 6.6.5 (Bd. I) verzichten kann.

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

551

In einem Gravitationsfeld, dessen inhomogene Struktur durch die vorhandene Massenverteilung bestimmt wird, existieren in einem festen Weltpunkt P wählbare, gleichberechtigte Inertialsysteme, in denen die Metrik der Minkowski’schen Raumzeit gilt. Diese Systeme sind die euklidischen Tangentialräume der Riemann’schen Raumzeit in P , die man durch lineare Lorentz-Transformation ineinander oder auch in ein kartesisches System mit der Tensormatrix E überführen kann. Dagegen sind Inertialsysteme in verschiedenen Weltpunkten auf Grund der Feldinhomogenität gegeneinander beschleunigt und eine Transformation, die diese Systeme ineinander überführt, muss nichtlinear sein. Für Wegelemente in den Punkten P und Q gelten die Betrachtungen des Abschnitts 14.3.3 (Bd. I) und die Nichtlinearität drückt sich in der Darstellung der metrischen Faktoren gμν gemäß (14.10, Bd. I) aus. Dadurch kann der Metriktensor G des Riemann’schen Raumes mit der Matrix GR# nur punktweise aber nicht global in den Tensor E der Minkowski’schen Raumzeit mit der Matrix GM # transformiert werden, [25, S. 22f., 73f.]. Die Güte der Näherung R G # « E in der Umgebung eines Punktes P ist abhängig von der dortigen Raumkrümmung und dem tolerierbaren Abstand | dR | von P .

11.5.4

Entwicklungsweg der Feldgleichungen

Am Anfang dieses Kapitels wurde bereits bemerkt, dass das Newton’sche Gravitationsgesetz als reines Fernwirkungsgesetz keine universelle Gültigkeit beanspruchen kann. Die von Einstein gesuchte Verallgemeinerung muss in Feldgleichungen einer Nahwirkungstheorie des Gravitationsfeldes resultieren, die im nichtrelativistischen, also klassischen Grenzfall in das Newton’sche Gesetz übergeht, das sich in vielfältigster Weise im terrestrischen Alltag sowie in der Himmelsmechanik bewährt hat und immer wieder bestätigt wird. Einen deutlichen Unterschied zwischen elektrischen und gravitativen Erscheinungen erkennt man bereits im statischen Fall an den felderzeugenden Größen von Ladung und Masse in Coulomb- und Gravitationsgesetz und den Poisson-Gleichungen der zugehörigen Potentiale, die als äquivalent erscheinen, es aber nicht sein können. Die Ladung ist nach (9.15) Lorentzinvariant, die Masse dagegen nicht, denn sie hängt nach (10.8) von der Geschwindigkeit ab, [20, S. 663]. Als Vorbild für die Verallgemeinerung der Poisson-Gleichung (11.8) des Gravitationsfeldes dienen dennoch die Maxwell’schen Gleichungen zur Be-

552

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

schreibung des elektromagnetischen Feldes, bei dem die Fernwirkung der Elektrostatik überführt wird in die Nahwirkung der Elektrodynamik, die als relativistische Theorie von sich aus die Lorentz-Transformation erfüllt, wie im Abschnitt 9.2.5 gezeigt wurde. Im elektrodynamischen Fall wird der Laplace-Operator durch den raumzeitlichen D’Alembert-Operator ersetzt, wodurch die Poisson-Gleichungen (5.71) bzw. (5.70) für skalares und Vektorpotential übergehen in die relativistische Wellengleichung (9.17) als kovariante Beziehung zwischen Vierervektoren. , , ρ ρ . . lϕ “ ´ Δϕ “ ´ ε0 ε0 ñ ñ l Φ “ ´ μ0 J Δ A “ ´ μ0 J l A “ ´ μ0 J Die elektrische Ladungsdichte ρ ist nach (9.9) die Zeitkomponente der Viererstromdichte J und im statischen Fall geht die rechte Gleichung in die beiden linken über. Ein paralleles Vorgehen, das die Poisson-Gleichung des skalaren Gravitationspotentials φ in eine relativistische Vektorgleichung überführt, würde zwar die Ausbreitung von Gravitationsänderungen mit Lichtgeschwindigkeit berücksichtigen aber nicht den unterschiedlichen Charakter der auftretenden Größen. Wegen der Äquivalenz von Masse und Energie entspricht die Massendichte μ einer Energiedichte w, die die 00-Komponente des Energie-ImpulsTensors T EM (10.5) darstellt, so dass die Feldgleichung daher Tensorgrößen erfordert! An die Stelle des Gravitationspotentials φ treten die Komponenten gμν des metrischen Tensors G , was durch den Newton’schen Grenzfall im nächsten Abschnitt plausibel wird. Die Massendichte μ wird durch den Energie-Impuls-Tensor des Gravitationsfeldes T mit den Komponenten Tμν verallgemeinert, der später bestimmt wird. Δφ “ 4π Gμ

ñ

l gμν „ Tμν

(*)

Zwischen Gravitationstheorie und Maxwell’schen Gleichungen der Elektrodynamik besteht allerdings ein grundlegender Unterschied. Bei der Gravitationstheorie besitzt das von einer Massenverteilung erzeugte Gravitationsfeld eine Energiedichte, die wegen der Masse-EnergieÄquivalenz w “ μc2 einer Massendichte entspricht, die wiederum eine Quelle von Gravitation und damit von Raumkrümmung darstellt. Diese Rückwirkung führt zur Nichtlinearität der Einstein’schen Feldgleichungen

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

553

der relativistischen Gravitationstheorie, so dass der zunächst als möglich angesehene lineare Ansatz (*) noch nicht die endgültigen Gleichungen darstellen kann! Im Gegensatz dazu hat das von Quellen erzeugte elektromagnetische Feld zwar auch eine Energiedichte w, der aber keine äquivalente Ladungsdichte ρ j w als erneute Feldursache entspricht, so dass hier keine Rückwirkung auftritt und die Maxwell’schen Gleichungen ein lineares System von Differentialgleichungen bilden. Die Nichtlinearität der Einstein’schen Feldgleichungen hat zur Folge, dass das Superpositionsprinzip nicht gilt, so dass weder die Multiplikation einer Lösung mit einem skalaren Faktor noch die Summe zweier Lösungen eine weitere Lösung darstellt. Dadurch existiert auch kein System von Elementarlösungen, aus denen man mit geeigneten Koeffizienten beliebige Lösungen aufbauen könnte, wie das mit vollständigen orthogonalen Funktionensystemen in einer verallgemeinerten Fourier-Synthese bei der Lösung von Randwertproblemen möglich ist. Da für nichtlineare Gleichungen kein allgemeines Standardverfahren existiert, wird das Auffinden von Lösungen erheblich erschwert. Man versucht daher Lösungen zu finden unter vereinfachten Annahmen wie Symmetriebedingungen, durch Linearisierung oder Potenzreihenentwicklung.

11.5.5

Newton’scher Grenzfall

Vor der Darstellung der vollständigen Feldgleichungen wird zunächst eine Näherungsbetrachtung durchgeführt, die den Zusammenhang zwischen Gravitation und Metrik deutlich macht. Da Einsteins Theorie die relativistische Verallgemeinerung der bis dahin gültigen Newton’schen Gravitationstheorie darstellt, muss diese als Grenzfall enthalten sein. Betrachtet wird dazu ein schwaches Gravitationsfeld, von dem man durch Beobachtung weiß, das es näherungsweise euklidisch ist. Die Metrikmatrix weicht daher nur wenig von der Einheitsmatrix ab und die metrischen Koeffizienten liegen nahe bei deren Diagonalwerten mit reziproken Werten für die kontravariante Matrix. ` ˘ ` ˘ , . G # “ Diag gμμ “ Diag 1 ` εμμ mit | εμμ | ! 1 ` ˘ ` ˘ - und ε2μμ « 0 G # “ Diag g μμ « Diag 1 ´ ε μμ

554

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Im nichtrelativistischen Grenzfall gilt τ « t und damit folgen die Näherungen ` ˘ d jct dx0 dx0 « “ “ jc dτ dt dt # ` k ˘2 ` k ˘2 2 ˇ 0ˇ “ v dt dx ˇ dx ˇ dxk dxk k ˇ pk ‰ 0q « “ v ! c “ ˇˇ Ñ dτ dt dt ˇ dr2 “ v 2 dt2 sowie das Quadrat des Wegelements ´ v2 ¯ c2 ds2 “ dr2 ´ c2 dt2 “ ´ 1 ´ 2 c2 dt2 “ ´ 2 dt2 “ ´ c2 dτ 2 « ´ c2 dt2 c γ Massen bewegen sich auf geodätischen Linien, deren Bahnkurven durch die Gleichung (2.65) beschrieben werden. Mit dem Bahnparameter t an Stelle von s sowie der Vernachlässigung der Geschwindigkeitskomponenten vk gemäß den Näherungen reduziert sich die Doppelsumme auf ein einziges Glied. 3 3 ÿ ´ 0 ¯2 μ ν ÿ ` ˘2 d2 xk k dx dx k dx k “ ´ Γ “ ´ Γ “ ´ Γ jc “ c2 Γ0k0 μ ν 0 0 0 0 dt2 dt dt dt μ“0 ν“0

Die Berechnung des Christoffel-Symbols erfolgt nach (16.22, Bd. I). Für ein statisches Gravitationsfeld und wegen der Diagonalform mit g kp “ 0 für k ‰ p erhält man Γ0k0 “

´ Bg ˘ 1 1 kk ` Bg00 ¯ 0k 2 g0k , 0 ´ g00 , k “ g kk 2 ´ g 2 2 Bpjctq Bxk loomoon

“0 ˘ ` ˘ B 1 ` ε00 1 Bε00 « ´ “´ 1 ´ εkk 2 looomooon 2 Bxk Bxk

1`

« δkk “ 1

¯ d2 xk c2 Bε00 B ´ c2 2 k “ c Γ “ ´ “ ´ ε 00 0 0 dt2 2 Bxk Bxk 2 Der Vergleich mit dem Newton’schen Grundgesetz für eine Masse m m

3 3 ÿ ÿ d2 r d2 xk Bφ “ m e “ m g “ ´ m grad φ “ ´ m ek k 2 2 dt dt Bxk k“1 k“1

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

555

zeigt, dass der metrische Koeffizient g00 durch das Gravitationspotential φ bestimmt wird, das die einzige skalare Funktion der Newton’schen Theorie darstellt. 2φ c2 Ñ g00 “ 1 ` ε00 “ 1 ` 2 ε00 2 c Als Verallgemeinerung werden daher alle metrischen Koeffizienten gμν als gewisse Gravitationspotentiale gedeutet. Ihre Werte sind bei der Näherung des Newton’schen Grenzfalls klein gegen g00 und nehmen erst dann größere Werte an, wenn die Gravitation stärker wird oder die auftretenden Geschwindigkeiten nicht mehr gegen c zu vernachlässigen sind. Der metrische Koeffizient g00 lautet mit dem Newton’schen Gravitationspotential φprq “ ´ GM {r im Außenraum einer homogenen, kugelförmigen Masse M und unter Einführung der Abkürzung RS φ“

g00 prq “ 1 `

2 φprq 2 GM 1 RS “1´ “1´ 2 2 c c r r

(11.22)

Da sich der Koeffizient mit wachsendem Abstand r immer mehr der Eins nähert, sind daher die Gravitation sowie der nichteuklidische Einfluss am Rand einer Masse am größten, wie man bei der Lichtablenkung bei streifendem oder nahem Vorbeigang im Schwerefeld der Sonne deutlich nachweisen konnte. Die Größe RS bezeichnet man als Schwarzschild-Radius der Masse M , der sich ergibt, wenn man in (3.19) als kritische Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c einsetzt. RS “ 2

GM c2

(11.23)

Die Schwarzschild-Radien sind bei Sternen und Planeten wesentlich kleiner als die geometrischen Radien dieser Himmelskörper. Das gilt sogar für sehr massereiche Neutronensterne und erst bei Schwarzen Löchern bildet der Schwarzschild-Radius den sog. Ereignishorizont, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit sein müßte, so dass ein Entweichen von Strahlung oder Materie aus dem Inneren unmöglich wird. Der Schwarzschild-Radius stellt daher die Grenze des beobachtbaren Universums dar, hinter der die Singularität keine Aussage über physikalische Gesetze mehr zuläßt.

556

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Für Erde und Sonne haben geometrische und Schwarzschild-Radien folgende Werte.

11.5.6

RE “ 6.38 ¨ 106 m ,

RSE “ 8.86 ¨ 10´3 m « 9 mm

R d “ 6.96 ¨ 108 m ,

RS d “ 2.95 ¨ 10`3 m « 3 km

Dichten von Ladung und Masse

Die Überlegungen von Abschnitt 11.5.4 werden mit der Untersuchung der ˆ und ein RuhmasDichten fortgeführt. Dazu werden ein Ladungselement dQ ˆ senelement dm ˆ 0 betrachtet, die beide im System S ruhen, das sich vom System S in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v entfernt. Dem in S ruhenden Beobachter B erscheint ein Volumenelement dˆ v in Sˆ wegen der Längenkontraktion in x-Richtung gemäß (8.14) verkleinert. ˆ dy ˆ dz ˆ “ 1 dx dy dz “ 1 dv ă dv dˆ v “ dx γ γ Auf Grund der Ladungsinvarianz (9.15) ist die Ladung dQ eines Teilchens unabhängig von seinem Bewegungszustand. Der Beobachter B nimmt dagegen die Ladungsdichte ρˆ der bewegten Ladung vergrößert wahr. ρˆ “

ˆ dQ dQ “γ dˆ v dv

Ñ

ρˆ “ γρ “ a

ρ 1 ´ β2

(11.24)

Die Ladungsdichte entspricht nach (9.9) im Wesentlichen der Komponente J0 “ jcρ des Vierervektors J, der die Quellgröße des elektromagnetischen Feldes bildet. Dagegen ist für die Masse der Bewegungszustand ausschlaggebend. Dem Beobachter B in S erscheint die bewegte Masse vergrößert und wegen der Kontraktion des Volumenelementes tritt bei der Massendichte μ ˆ ein zweiter Faktor γ gegenüber der Ruhmassendichte μ0 in S hinzu, [23, S. 275f.]. dmpvq ˆ “ γ dm ˆ0

, / .

dmpvq ˆ dm0 μ ˆ“ “ γ2 dˆ v dv

/ -

Ñ

μ ˆ “ γ 2 μ0

(11.25)

557

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

Wie bereits im Abschnitt 11.5.4 erläutert, bildet die Ruhmassendichte μ0 in Form der Energiedichte w “ μ0 c2 die 00-Komponente des Vierertensors (10.5), der in entsprechender Weise die Quellgröße des Gravitationsfeldes darstellt. Diese Interpretation ist auch in Übereinstimmung mit der Transformation der Gesamtenergie (10.17), wonach bei der Energiedichte ebenfalls der Faktor γ 2 auftritt. w ˆ“

11.5.7

´W ˆ ges ˆ ges v px ¯ ` ˘ W “γ ´ “ γ 2 w ´ px vˆ vˆ vˆ

Gleichungen der Hydrodynamik

Zur Vorbereitung der Feldgleichungen und als Ausgangspunkt für die Beschreibung der Materie als Quelle im Gravitationsfeld wird der Strömungszustand von Flüssigkeiten, Gasen oder Partikeln betrachtet, die als Fluide zusammengefasst werden. Das einfachste physikalische Modell der Hydrodynamik stellt die ideale Flüssigkeit nach Abschnitt 4.2.5 dar, [6, S. 422], die inkompressibel ist und als Medium ohne innere Reibung nur Druck- aber keine Schubspannungen übertragen kann und damit keine Zähigkeit oder Viskosität besitzt. Sie wird durch die von Zeit und Ort abhängigen Funktionen der Massendichte μ, der Geschwindigkeit u des Strömungsfeldes und des isotropen Drucks pˇ charakterisiert, der hier zum Unterschied vom Impuls als Ornament ein Häkchen pˇq trägt. Die Gleichungen lassen sich mit Erweiterungen auf ideale Gase und reale Flüssigkeiten ausdehnen. Das Newton’sche Grundgesetz beschreibt die Beschleunigung auf Grund von Kräften auf ein Volumenelement dv sowie Spannungskräfte auf dessen Oberfläche, die bei der idealen Flüssigkeit durch den isotropen Druck pˇ ausgeübt werden. dm a “ μ dv a “

dFges dv dv

Ñ

a“

˘ 1 dFges 1` “ f ´ grad pˇ μ dv μ

Mit der Differentiationsregel (19.20, Bd. I) erhält man die Beschleunigung der idealen Flüssigkeit, die Euler’sche Bewegungsgleichung der Hydrodynamik heißt, [6, S. 443], [30, S. 398], [31, S. 430]. a“

˘ Bu 1` du “ ` u ¨ Grad u “ f ´ grad pˇ dt Bt μ

(11.26)

558

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Die Beschleunigung und damit die rechte Seite sind dann Null, • wenn in abgeschlossenen Systemen mit der Kraftdichte f “ 0 keine äußeren Kräfte herrschen, was im folgendem angenommen wird, • und wenn die Materiepartikel keine Wechselwirkungen aufeinander ausüben wie bei druckfreien Flüssigkeiten mit pˇ “ 0 oder relativistischem Staub Im Gegensatz zu den meisten partiellen Differentialgleichungen der Physik ist dieses gekoppelte System durch das Glied ` ˘ u ¨ Grad u “ u ¨ grad u nichtlinear, wodurch dessen Lösung erheblich erschwert wird und nur in einfachen Fällen in geschlosser Form angegeben werden kann. Zur Beschreibung des Strömungszustandes und der Bestimmung der fünf Größen p ux , uy , uz ; μ, pˇ q sind neben den drei Komponenten der Euler’schen Gleichung noch zwei weitere Gleichungen erforderlich. Die Zustandsgleichung beschreibt den Zusammenhang F pμ, pˇ, T q “ 0 zwischen Dichte μ, Druck pˇ und Temperatur T und wird als Gleichung von der Thermodynamik bereitgestellt. Beispiele für diese Beziehung sind ‚ inkompressible Flüssigkeit

μ “ const.

(Pascal)

‚ ideales Gas, isothermisch

pˇ “ μ R T „ μ

(Boyle-Mariotte)

‚ ideales Gas, adiabatisch

pˇ „

(Poisson)

μκ

mit der Gaskonstante R und dem Adiabatenexponenten κ sowie der hier nicht angegebenen van der Waals-Gleichung für reale Gase. Die fünfte Gleichung ist die aus dem Prinzip der Erhaltung der Masse folgende Kontinuitätsgleichung für die Massendichte bzw. wegen der Äquivalenzbeziehung (10.10) für die Energiedichte w “ μc2 , die als Quelleneigenschaft derjenigen für die Ladungsdichte ρ (5.11) im elektromagnetischen Feld entspricht. ` ˘ Bμ ` div μu “ 0 Bt

(11.27)

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

559

Zur vollständigen Lösung konkreter Strömungsprobleme durch Integration des Differentialgleichungssystems, auch wenn das wegen der Nichtlinearitäten nur numerisch durchführbar sein sollte, sind noch Anfangs- und Randbedingungen zur Bestimmung der Integrationskonstanten vorzugeben. Liegt bei der Flüssigkeit innere Reibung vor, die man als Zähigkeit oder Viskosität bezeichnet, dann werden die Materialeigenschaften durch einen Reibungstensor und der Strömungszustand durch die Bewegungsgleichungen nach Navier-Stokes beschrieben, deren Lösung aber nur in sehr einfachen Fällen geschlossen angegeben werden kann, [6, S. 515], [31, S. 458], [32, S. 272].

11.5.8

Energie-Impuls-Tensor der Gravitation

Als Quelle der Gravitation ist der Tensor gesucht, der Verteilung und Eigenschaften der Materie beschreibt, wobei man vom einzelnen Materieteilchen zum Kontinuum von Partikeln übergeht. Die makroskopische und damit phänomenologische Betrachtung führt zu einer Darstellung mit partiellen Differentialgleichungen. Im Minkowski-Raum werden zunächst Teilchen betrachtet, die nicht durch Stöße miteinander wechselwirken, was in der Literatur als Staub oder inkohärente Materie bezeichnet wird, und anschließend erfolgt die Erweiterung zur idealen Flüssigkeit durch Berücksichtigung von innerem Druck. Bei der Suche läßt man sich leiten vom Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes. Um die gleiche Dimension einer Energiedichte zu erhalten, wird im Beobachtersystem S der Viererimpuls p einer Teilchenmenge mit der Ruhmasse m0 auf das Volumen v im Ruhesystem bezogen, so dass eine Viererimpulsdichte q entsteht, die mit der Vierergeschwindigkeit tensoriell multipliziert wird.

p “ m0 U “ m0

dR dτ

p m0 U “ qU “ U U “ μ0 U U v v

560

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

11.5.8.1

Energie-Impuls-Tensor für Staub

Der Energie-Impuls-Tensor des Gravitationsfeldes für Staub wird im System S durch die Dyade der Vierergeschwindigkeit U gebildet. T Staub “ μ0 U U “ eT μ0 U UT e “ eT T Staub e

(11.28)

˚

Mit U nach (8.20) und der Massendichte μ “γ 2 μ0 gemäß (11.25), wobei μ0 orts- und zeitabhängig sein kann, entsteht dadurch die folgende symmetrische Tensormatrix aus dem dyadischen Produkt des Spaltenvektors U. ¨

T Staub

´ c2 ˚ ˚ ¨¨¨¨¨¨ ˚ ˚ “ μ0 U UT “ μ ˚ jc ux ˚ ˚ jc uy ˝ jc uz

.. . jc ux jc uy ¨ ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨ .. ux uy . u2x .. u2y . ux uy .. . ux uz uy uz

˛ jc uz ‹ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨‹ ‹ ux uz ‹ ‹ ‹ uy uz ‹ ‚ u2z

Im Ruhesystem SR des Staubes mit u “ 0 gilt nach (8.21) UTR “ pjc, 0, 0, 0q, so dass die Tensormatrix einfache Diagonalgestalt hat. Durch LorentzRücktransformation in das System S mit den dafür geltenden momentanen Geschwindigkeitskomponenten führt sie auf die Matrix des Energie-ImpulsTensors für Staub. ` ˘ T Staub “ LT3 Diag ´ μ0 c2 , 0, 0, 0 L 3 Jede Tensorkomponente setzt sich zusammen aus der Massendichte und dem Produkt zweier Geschwindigkeiten, wobei man die Dimension des Tensors neben Energiedichte und Druck noch verschieden darstellen und die einzelnen Matrixelemente physikalisch auf entsprechende Weise deuten kann. kg m 1 N Ns m W{m2 kg m2 Ws ¨ “ ¨ “ “ Pa “ ¨ “ “ m3 s2 s2 m2 m2 m3 s m3 m{s Energie und Impuls, die pro Zeit durch eine Fläche treten, stellen einen Energie- bzw. Impulsstrom dar. Zusammen mit dem Vektor der Impulsdich-

561

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

te μu gilt folgende Interpretation für die Komponenten der einzelnen Blöcke.

„

Ws m3

j

T00

Energiedichte

T0k “ Tk0

k-te Vektorkomponente der Impulsdichte mal Lichtgeschwindigkeit

„

Ns m ¨ m3 s

T0k “ Tk0

Energiestrom in k-Richtung durch Lichtgeschwindigkeit

„

W{m2 m{s

i-te Vektorkomponente der Impulsdichte mal Teilchengeschwindigkeit in k-Richtung

„

Tik

Ns m ¨ m3 s

j

j

j

Wie beim Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes (10.5) wird auch hier die Divergenz des Tensors gebildet. Im Minkowski-Raum erhält man nach (18.47, Bd. I) für die e0 -Komponente des entstehenden Vektors den folgenden Ausdruck, der die Kontinuitätsgleichung der Massendichte (11.27) darstellt, die Null ist.

e0 ¨ div T Staub “ T 00 , 0 ` T 10 , 1 ` T 20 , 2 ` T 30 , 3 ` ˘ ˘ ˘ ˘ ` ` ` B ´ μc2 B μux B μuy B μuz “ ` jc ` jc ` jc jc Bt Bx By Bz ” Bμ ` ˘ı “ jc ` div μu Bt “0

562

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Bei der ex -Komponente entfällt mit diesem Ergebnis die erste eckige Klammer und die zweite stellt ein Skalarprodukt dar. ex ¨ div T Staub “ T 01 , 0 ` T 11 , 1 ` T 21 , 2 ` T 31 , 3 ` ˘ ˘ ˘ ˘ ` ` ` B μux B ux μux B ux μuy B ux μuz “ ` ` ` Bt Bx By Bz ” Bμ B `μu ˘ B `μu ˘ B `μu ˘ ı x y z “ ux ` ` ` Bt Bx By Bz ” Bu Bux Bux Bux ı x ` ux ` uy ` uz `μ Bt Bx By Bz ” Bu ı x “ μ ` u ¨ grad ux Bt Nach Zusammenfassen der Vektorkomponenten erhält man mit (18.50, Bd. I) die Divergenz des Tensors T Staub . div T Staub “

3 ÿ `

˘ eλ ¨ div T Staub eλ

λ“0 3 ” ı ÿ Bup ` u ¨ grad up ep Bt p“1 ” Bu ` ˘ ı “μ ` u ¨ grad u Bt

“0`μ

“0 In abgeschlossenen Systemen, in denen keine äußeren Kräfte herrschen, also f “ 0 gilt, hat der Energie-Impuls-Tensor für Staub die Divergenz Null, die daher den Nullvektor liefert und aus der die Euler’sche Bewegungsgleichung (11.26) für nicht wechselwirkende Teilchen, relativistischen Staub oder druckfreie Flüssigkeiten folgt. ` ˘ div T Staub “ div μ0 U U ” Bμ ” Bu ı ` ˘ı “ jc ` div μu e0 ` μ ` u ¨ Grad u Bt Bt “ 0

(11.29)

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

563

Für abgeschlossene Systeme bedeutet die Kontinuitätsgleichung (11.27) die Erhaltung von Masse oder Energie und Impuls. In der vierdimensionalen Raumzeit des Minkowski-Raumes bildet die Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors den Erhaltungssatz für Energie und Impuls.

11.5.8.2

Energie-Impuls-Tensor der idealen Flüssigkeit

Zur Beschreibung der idealen Flüssigkeit muss der Energie-Impuls-Tensor den im Inneren herrschenden Druck berücksichtigen. In ihrem Ruhesystem SR besitzt die Flüssigkeit die gleiche Energiedichte wie der Staub, aber auf ein Element wirkt zusätzlich der isotrope Druck pˇ0 , so dass der EnergieImpuls-Tensor die folgende diagonale Matrix eines Drucks aufweist. ˇ ˇ T idFl ˇ

SR

˘ ` “ Diag ´ μ0 c2 , pˇ0 , pˇ0 , pˇ0

Die Lorentz-Rücktransformation in das System S mit den dort geltenden momentanen Geschwindigkeitskomponenten ˘ ` T idFl “ LT3 Diag ´ μ0 c2 , pˇ0 , pˇ0 , pˇ0 L 3 führt nach einiger Zwischenrechnung mit den Größen ˚

pˇ “ pˇ0 γ 2 ´ ˘ ˚ ` pˇ ¯ A “ pˇ0 ` μ0 c2 γ 2 “ pˇ ` μc2 “ μ ` 2 c2 c ” ı ˚ ˚ pˇ00 “ ´ pˇ0 β 2 ` μ0 c2 γ 2 ” ˚ ı ˚ ` ˘ ˚ “ pˇ0 1´ β 2 γ 2 ´ pˇ0 ` μ0 c2 γ 2 “ pˇ0 ´ A

564

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

auf folgende Matrixdarstellung des Flüssigkeitstensors.

¨

T idFl

pˇ ´ A ˚ 0 ˚ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ˚ ˚ jβ ˚ A ˚ x “˚ ˚ ˚ jβ ˚ A ˚ y ˝ jβz˚ A

˛ .. . jβx˚ A jβy˚ A jβz˚ A ‹ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨‹ ‹ ` ˘2 .. βx˚ βy˚ A βx˚ βz˚ A ‹ . pˇ0 ` βx˚ A ‹ ‹ ‹ ˘ ` .. 2 . βx˚ βy˚ A pˇ0 ` βy˚ A βy˚ βz˚ A ‹ ‹ ‚ ` ˚ ˘2 .. ˚ ˚ ˚ ˚ . βx βz A βy β z A pˇ0 ` βz A ¨

´ c2 ˚ ˚ ¨¨¨¨¨¨ ´ pˇ ¯ ˚ ˚ “ pˇ0 E ` μ ` 2 ˚ jc ux c ˚ ˚ jc uy ˝ jc uz

.. . jc ux jc uy ¨ ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨ .. ux uy . u2x .. . ux uy u2y .. . ux uz uy uz

˛ jc uz ‹ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨‹ ‹ ux uz ‹ ‹ ‹ uy uz ‹ ‚ u2z

´ pˇ0 ¯ “ pˇ0 E ` μ0 ` 2 U UT c Der Energie-Impuls-Tensor des Gravitationsfeldes für die ideale Flüssigkeit, der einen Drucktensor darstellt, lautet daher im lokalen Koordinatensystem des Minkowski-Raumes

´ pˇ0 ¯ T idFl “ pˇ0 E ` μ0 ` 2 UU “ eT T idFl e c

(11.30)

Wie beim Staub erwartet man auch hier, dass die Divergenz des Tensors den Nullvektor N “ 0 ergibt, 3 ”´ ı ÿ ` ˘ pˇ0 ¯ N “ div T idFl “ div pˇ0 E ` div μ0 ` 2 UU “ N λ eλ “ 0 c λ“0

565

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

dessen einzelne Komponenten Nλ verschwinden. Mit (18.47, Bd. I) erhält man ı ÿ BTνλ B pˇ0 ÿ B ”´ pˇ0 ¯ “ ` ` U μ U Nλ “ 0 ν λ Bxν Bxν c2 Bxλ ν ν ÿ B ”´ B pˇ0 pˇ0 ¯ ı “ λ ` Uλ ` μ Uν 0 Bxν c2 Bx ν ´ pˇ0 ¯ ÿ BUλ ` μ0 ` 2 Uν “ 0 p@ λq c Bxν ν Nach Multiplikation der Komponente Nλ mit Uλ summiert man über λ und verwendet die Beziehungen (8.23) für orthogonale Systeme, in denen der Unterschied zwischen Ko- und Kontravarianz entfällt. ÿ 0“ U λ Nλ λ

“

ÿ λ

Uλ

B pˇ0 ÿ 2 ÿ B ” ´ pˇ0 ¯ ı ` U ` μ Uν 0 λ Bxν c2 Bxλ ν λ loomoon “ ´ c2

´

` μ0 `

ÿ pˇ0 ¯ ÿ BUλ Uν Uλ ν 2 c Bx ν λ looooomooooon “0

Nach Division durch c2 und Umbenennung der Laufvariablen folgt ÿ pˇ0 ¯ ı B ´ pˇ0 ¯ ÿ B ” ´ Uλ λ 2 “ ` μ Uν 0 c Bxν c2 Bx ν λ ÿ Bμ0 ÿ B ´ pˇ0 ¯ ´ pˇ0 ¯ ÿ BUλ “ Uλ λ ` U λ λ 2 ` μ0 ` 2 c c Bx Bx Bxλ λ λ λ Zwei Summen heben sich auf und zwei Glieder kann man zusammenfassen, so dass man aus der Divergenzfreiheit die folgende Bedingung erhält, die die Kontinuitätsgleichung der idealen Flüssigkeit darstellt. div T idFl “ 0

Ñ

j 3 „ ÿ ˘ pˇ0 BUν B ` μ ` U “0 0 ν ν 2 Bxν Bx c ν“0

(11.31)

566

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Für die Komponenten des Nullvektors gewinnt man mit diesem Ergebnis folgende Darstellung. Nλ “ “

ÿ B ”´ B pˇ0 pˇ0 ¯ ı ´ pˇ0 ¯ ÿ BUλ ` U ` ` Uν μ U ` μ 0 ν 0 λ ν 2 2 λ Bx c c Bxν Bx ν ν ÿ B ` ÿ pˇ0 BUν ÿ ˘ B pˇ0 B ´ pˇ0 ¯ ` U U ` U U μ ` U 0 ν ν λ λ λ Bxν c2 Bxν Bxν c2 Bxλ ν ν ν looooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooon “ 0 nach (11.31)

´ pˇ0 ¯ ÿ BUλ Uν ` μ0 ` 2 c Bxν ν

pˇ0 ¯ ÿ B pˇ0 ÿ Uν Uλ B pˇ0 BUλ “ μ0 ` 2 Uν ` ` c Bxν c2 Bxν Bxλ ν ν ´

“ 0

´

3 3 ” ÿ pˇ0 ¯ ÿ Uν Uλ ı B pˇ0 BUλ Uν ` ` “ 0 μ0 ` 2 δ νλ c Bxν ν“0 c2 Bxν ν“0

(11.32)

Diese zweite Beziehung, die aus der Divergenzfreiheit des Energie-ImpulsTensors folgt, stellt die relativistischen Bewegungsgleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten der idealen Flüssigkeit dar. Im Falle langsam fließender Flüsigkeiten und kleiner Drücke kann man zeigen, dass (11.31) und (11.32) in die klassischen Gleichungen der Hydrodynamik aus Abschnitt 11.5.7 übergehen, [15, S. 180], [26, S. 140]. Für einen Raumbereich, der ein elektromagnetisches Feld aber keine Materie enthält, kann ebenfalls ein Energie-Impuls-Tensor angegeben werden, der diese Quelle der Gravitation beschreibt. Da seine Berechnung aufwendiger ist, wird auf die Angabe verzichtet und auf [19, S. 130], [23, S. 293], [25, S. 82] verwiesen. Die bisherige Betrachtung bezog sich auf einen Raum mit MinkowskiMetrik. Ist ein Gravitationsfeld vorhanden, dann ist diese Metrik nur noch in einem lokalen Koordinatensystem und damit punktweise gültig. Im Raum mit Riemann’scher Metrik muss der Metriktensor E durch G ersetzt werden, so dass die kovariante Darstellung für den Energie-Impuls-Tensor der idealen Flüssigkeit entsteht, [15, S. 179], [19, S. 129], [25, S. 83].

567

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

Im Riemann’schen Raum muss man zwischen ko- und kontravarianten Komponenten unterscheiden. Als Beispiel für die Darstellung werden kontravariante Komponenten des symmetrischen Tensors gewählt. ´ ` ˘T ## pˇ0 ¯ T idFl g T idFl “ pˇ0 G ` μ0 ` 2 UU “ g # # c

(11.33)

Im gekrümmten Riemann’schen Raum wird die Divergenz gemäß der Beziehung (17.48, Bd. I) berechnet. Manche Autoren nennen das kovariante Divergenz, was allerdings unnötig ist, da ja die Divergenz eines Tensors stets aus den kovarianten Ableitungen der Tensorkomponenten zu bilden ist und sich nur im Fall von euklidischen Räumen durch das Verschwinden der Christoffel-Symbole zu den partiellen Ableitungen vereinfacht. Die Komponenten des Nullvektors der verschwindenden Divergenz lauten im gekrümmten Raum daher div T idFl “ 0

Nλ “ g ¨ div T idFl “ λ

3 ÿ ν“0

ˇ

νλ ˇ T idFl ˇ

ν

“0

(11.34)

Da im Gravitationsfeld Kräfte auf die Flüssigkeit einwirken, ist das System nicht mehr abgeschlossen, so dass die Divergenzfreiheit des Energie-ImpulsTensors dann keinen Erhaltungssatz für Energie und Impuls mehr darstellt, [19, S. 131], [25, S. 83].

11.5.9

Feldgleichungen von Einstein

Da die Feldgleichungen Verallgemeinerungen von Laplace- und PoissonGleichung sind, in die sie im nichtrelativistischen Grenzfall übergehen, müssen sie partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die Potentialfunktionen gμν darstellen. Der Krümmungstensor R nach (2.45) sowie der symmetrische Ricci_

Tensor R (2.57) als seine Verjüngung werden über die Christoffel-Symbole (16.22, Bd. I) durch die Koeffizienten gμν des Metriktensors G und deren erste und zweite Ableitungen bestimmt. Die symmetrischen Tensoren G und _

R enthalten in der Raumzeit jeweils zehn unabhängige Komponenten. Ausgehend von diesen Überlegungen konnte Einstein durch Intuition und physikalische Einsicht seine Feldgleichungen formulieren. Mit dem nach

568

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie _

ihm benannten Einstein-Tensor E (2.59), der Ricci-Tensor, Krüm˝ mungsskalar R und Metriktensor zusammenfasst, und der noch zu bestimmenden Konstante κ lautet die divergenzfreie Einstein’sche Tensorgleichung für das Gravitationsfeld _

_

E “R´

1 ˝ R G “ ´κT 2

_

div E “ ´ κ div T “ 0

(11.35)

Hierbei repräsentieren _

• der Einstein-Tensor E das Gravitationsfeld • der Energie-Impuls-Tensor T die Quellen dieses Feldes • die Konstante κ die Stärke der gravitativen Kopplung Die Verjüngung der Tensorgleichung führt mit (2.61) auf die Skalare ÿÿ ˝ ˝ ˝ ˝ 1 ˝ Eon “ ´ R “ ´ κ T “ ´ κ g μν Tμν E “ R ´ R losp o mo 2 μ ν “4 ÿ ˝ ˝ # T μμ “ κ sp T ¨ # R “ κT “ κ μ

Damit erhält man die Feldgleichungen in kovarianter Komponentenform, die man auch kontravariant schreiben kann. _ _ 1 ˝ E μν “ R μν ´ R g μν “ ´ κ T μν 2

” ı _ 1 ˝ R μν “ ´ κ T μν ´ T g μν 2 (11.36)

11.5.9.1

Bestimmung der Konstante

Die Gravitationskonstante κ wird aus dem Vergleich der Poisson-Gleichung (11.8) und den Näherungen (11.22) des Newton’schen Grenzfalles bestimmt. Δφ “ 4πGμ “

c2 c2 Δpg00 ´ 1q “ Δg00 2 2

In der statischen Theorie der Gravitation nach Newton ist die Energiedichte bis auf das Vorzeichen durch die Komponente des Energie-Impuls-Tensors

569

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

T00 “ ´μc2 gegeben, die die Quelle des Gravitationsfeldes bildet. Alle anderen Tensorkomponenten kann man dagegen vernachlässigen, so dass auch ˝

für die Verjüngung T “ T00 gilt. Mit g00 « 1 folgt aus (11.36) die Näherung der 00-Komponente des Ricci-Tensors. ” ı _ 1 R 00 “ ´ κ T 00 1 ´ g 00 2 1 2 « κ μc 2 Als zweite Möglichkeit wird diese Komponente auch aus dem Krümmungstensor (2.54) und seiner Verjüngung (2.56) berechnet. _

R 00 “

3 ÿ

R μk  μ

μ“0

“

3 „ ÿ B Γ0μμ μ“0

Bx0

B Γ0μ0 ´ Bxμ

j

`

3 ” 3 ÿ ÿ

Γ0νμ Γ0μν ´ Γ0ν0 Γνμμ

ı

μ“0 ν“0

In der orthogonalen Minkowski-Raumzeit verschwindet nur die Doppelsumme, denn die Christoffel-Symbole sind Null, nicht aber ihre Ableitungen. Im statischen Fall sind die Zeitableitungen Null und man erhält mit Γ0p0 aus dem Newton’schen Grenzfall _

R 00 “

3 ÿ B Γ0μμ μ“0

B pjctq loomoon

´

3 ÿ B Γ000 B Γ0p0 ´ B pjctq Bxp loomoon p“1

“0

« ` «

“0

3 1 ÿ B 2 g 00 2 p“1 B pxp q2

1 1 ´ 2 φprq ¯ Δg 00 “ Δ 1 ` 2 2 c2 _

Der Vergleich der Näherungen von R 00 liefert die Einstein’sche Gravitationskonstante κ, die einen sehr kleinen Wert besitzt. Damit kann man die endgültigen Feldgleichungen angeben. ´ 2 φ¯ 2 2 Δg 00 “ Δ 1 ` 2 “ 2 Δφ “ 2 4π Gμ “ κ μc2 c c c

570

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

κ“

8πG c4

Ñ

κ “ 2.069 ¨ 10´43

1 N

_ 1 ˝ 8πG R μν ´ R g μν “ ´ 4 T μν 2 c

(11.37)

(11.38)

Die Tensorgleichung ist wegen der symmetrischen Tensoren einem skalaren System aus zehn gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung äquivalent.

11.5.9.2

Darstellung der Feldgleichungen und Lösungen

Um die Komplexität der Feldgleichungen aufzuzeigen, wird die rechts stehende Version von (11.36) ” ı _ 1 ˝ R μν “ ´ κ T μν ´ T g μν 2 entwickelt und in den Metrikkoeffizienten als Basisgrößen dargestellt. Die Komponenten des Ricci-Tensors auf der linken Seite lauten mit dem Krümmungstensor (2.54) und seiner Verjüngung (2.56) _

R μν “

3 ÿ

R iμν i

i“0

“

3 ” ÿ `

Γ μi i

˘ ,ν

3 ÿ 3 ” ı ` ˘ ı ÿ ´ Γ μi ν , i ` Γ μpi Γ pi ν ´ Γ μpν Γ pi i i“0 p“0

i“0

Setzt man die für den allgemeinen Fall geltenden Christoffel-Symbole (16.22, Bd. I) ein, Γacb “

˘ 1 ÿ cq ` gaq , b ` gbq , a ´ gab , q g q 2

571

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

dann erhält man einen umfangreichen Ausdruck, bei dem sich die unterstrichenen Summanden aufheben. ˘ _ 1 ÿ ÿ ” iq ` g , ν gμq , i ` giq , μ ´ gμi , q R μν “ i q 2 ` ˘ı iq gμq , i , ν ` giq , μ , ν ´ gμi , q , ν `g ´

˘ 1 ÿ ÿ ” iq ` g , i gμq , ν ` gνq , μ ´ gμν , q i q 2 ` ˘ı ` g iq gμq , ν , i ` gνq , μ , i ´ gμν , q , i

`

˘ 1 ÿ ÿ ” ÿ ÿ pq ir ` g g gμq , i ` giq , μ ´ gμi , q ˆ i p q r 4 ˘ ` ˆ gpr , ν ` gνr , p ´ gpν , r ÿ ÿ ` ˘ g pq g ir gμq , ν ` gνq , μ ´ gμν , q ˆ ´ q r ` ˘ı ˆ gpr , i ` gir , p ´ gpi , r

Für die rechte Seite der Feldgleichung (11.36) ergibt sich mit dem Tensor der idealen Flüssigkeit (11.30) bei Riemann’scher Metrik _

R μν

” ı 1 ˝ “ ´ κ T μν ´ T g μν 2 ” ´ pˇ0 ¯ “ ´ κ pˇ0 g μν ` μ0 ` 2 Uμ Uν c ´ ´ ÿ ÿ 1 στ ´ g μν g pˇ0 g στ ` μ0 ` σ τ 2 ´ ” pˇ0 ¯ 1 “ ´ κ pˇ0 g μν ` μ0 ` 2 Uμ Uν ´ pˇ0 g μν c 2

¯ı pˇ0 ¯ Uσ Uτ c2 ÿ ÿ g στ g στ σ τ looooooooomooooooooon

“ sp pG# G # q “ sp E “ 4

ı 1 pˇ0 ¯ ÿ ÿ στ ´ g μν μ0 ` 2 g Uσ Uτ σ τ 2 c „ ´ ıj ÿ ÿ pˇ0 ¯ ” 1 g στ Uσ Uτ “ κ pˇ0 g μν ´ μ0 ` 2 Uμ Uν ´ g μν σ τ c 2 ´

Das Auffinden von geschlossenen Lösungen für dieses System aus zehn gekoppelten, nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die

572

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Koeffizienten gμν variiert von schwierig bis unmöglich, [19, S. 135], je nach den Symmetrievorgaben und weiteren Bedingungen. Durch Vorgabe von Energie-Impuls-Tensor T oder Metriktensor G versucht man, den anderen Tensor zu berechnen oder man verfolgt eine Kombination aus beiden Vorgehensweisen. Im Fall schwacher Gravitationsfelder und geringer Geschwindigkeiten kann man die Gleichungen linearisieren und Näherungslösungen bestimmen. Von den bisher gefundenen exakten Lösungen der Feldgleichungen sind nur wenige für die physikalische Realität von Bedeutung, [25, S. 93]. Wenn es gelingt, aus der Verteilung von Energie und Impuls in der Raumzeit die Metrikkoeffizienten g μν und damit das Wegelement ds2 und alle anderen geometrischen Eigenschaften zu bestimmen, dann kann man die geodätischen Weltlinien von massebehafteten Probekörpern sowie von masselosen Partikeln wie Photonen berechnen. Wenn der Energie-Impuls-Tensor T Null ist, dann folgt auf Grund von ˝

T μν “ T “ 0 aus der zweiten Gleichung (11.36), dass auch der Ricci_

Tensor R verschwindet. Daraus kann man jedoch nicht schließen, dass der Krümmungstensor R ebenfalls verschwindet und der Raum damit flach wäre! Denn wenn die zehn Komponenten T μν Null sind, folgt daraus normalerweise nicht das Verschwinden der 20 Komponenten von R. _

T “0 Ñ R“0

œ

R“0

_

R “ 0 zieht R “ 0 nach sich aber nicht umgekehrt! Das Verschwinden von T in einem bestimmten Raumbereich bedeutet Quellenfreiheit, so dass dort weder Materie noch Strahlung existieren. Die Beziehungen _

_

R “ 0 Ñ R μν “ 0

oder

_

_

E “ 0 Ñ E μν “ 0

(11.39)

stellen daher die Feldgleichungen des Vakuums dar. Das ist vergleichbar mit der Elektrodynamik, bei der im Raum mit Quellen die Poisson-Gleichung und im quellenfreien Raum die Laplace-Gleichung gültig ist.

11.5.10

Schwarzschild-Lösung

Bereits kurz nach Veröffentlichung der Allgemeinen Relativitätstheorie im Jahre 1916 ist es dem Astronomen Karl Schwarzschild (1873 -1916)

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

573

trotz der Komplexität und dem offensichtlichen Schwierigkeitsgrad gelungen, eine exakte Lösung der Feldgleichungen anzugeben, die er im ersten Weltkrieg als Artillerieoffizier im Schützengraben an der Ostfront berechnete. Er schickte seine Berechnungen an Einstein, den dessen einfache Lösung überraschte und der sie der Königlich-Preußischen Akademie vortrug. Schwarzschild starb bald darauf an einer seltenen Autoimmunkrankheit. 11.5.10.1

Kugelsymmetrische Vakuumgleichung

Schwarzschild behandelte den für die Astronomie wichtigen Fall eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers mit Masse M und Radius R, der sich allein im materiefreien Raum befindet, und er löste im Außenraum r ą R damit eine Lösung der Vakuumgleichung (11.39). In stationärer Raumzeit sind alle Metrikkoeffizienten g μν unabhängig von der Zeit t. Ändert sich das Wegelement bei Zeitumkehr t Ñ ´ t nicht, wodurch Rotationen ausgeschlossen werden, dann liegt eine statische Raumzeit vor. In großem Abstand der Masse M muss die Raumzeit asymptotisch flach sein und in die Minkowski-Metrik (11.19) übergehen. Der Symmetrie des Problems angepasst ist ein zentralsymmetrisches, orthogonales Koordinatensystem mit räumlichen Kugelkoordinaten nach (11.20), bei dem die Matrix des Metriktensors Diagonalform hat. ` ˘T ˘T ` x# “ x0 , x1 , x2 , x3 “ jct, r, ϑ, ϕ Das zugehörige Wegelement ds2 , das diese Bedingungen erfüllt, [5, II, S. 232], [15, S. 196], lautet ` ˘2 ` ˘2 ` ˘2 ` ˘3 ds2 “ g00 x0 ` g11 x1 ` g22 x2 ` g33 x1 ` ˘2 “ e2Aprq jc dt ` e2Bprq dr2 ` r2 dϑ2 ` r2 sin2 ϑ dϕ2 Die beiden ersten, nur von r abhängigen Koeffizienten werden als Exponentialfunktionen der zu bestimmenden Größen Aprq und Bprq angesetzt, wodurch sich positive Elemente der metrischen Diagonalmatrizen ergeben. ` ˘ ˘ ` G # “ Diag g μμ “ Diag e2Aprq , e2Bprq , r2 , r2 sin2 ϑ ˘ ` ˘ ` G# “ Diag g μμ “ Diag 1{g μμ

574

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Mit der Abkürzung B{Br “ p..q1 lauten die Ableitungen der Metrikkoeffizienten, g00 , 1 “ g00 , r “ 2A1 e2A g11 , 1 “ g11 , r “ 2B 1 e2B g22 , 1 “ g22 , r “ 2r g33 , 1 “ g33 , r “ 2r sin2 ϑ

g33 , 2 “ g33 , ϑ “ 2r2 sin ϑ cos ϑ

mit denen die Christoffel-Symbole nach (16.27, Bd. I) berechnet werden. Γμλν “

˘ 1 λλ ` gμλ , ν ` gνλ , μ ´ gμν , λ g 2

In der Raumzeit gelten die gleichen Symmetriebeziehungen wie im Abschnitt 16.5.3 (Bd. I). Gemäß den folgenden Indexkombinationen μ‰ν‰λ

Γμλν “ 0

μ‰ν“λ

Γμνν “

μ“ν‰λ

Γμλμ

μ“ν“λ

Γμμμ

1 νν g gνν , μ 2 1 “ ´ g λλ gμμ , λ 2 1 “ g μμ gμμ , μ 2

sind von den 40 Christoffel-Symbolen tatsächlich nur neun unabhängige vorhanden und die restlichen Null. › › › Γ 1 “ ´ A1 e2pA´Bq Γ001 “ Γ100 “ A1 › 00 › › 1 › Γ111 “ B 1 Γ122 “ Γ221 “ › r › › 1 (11.40) › Γ 1 “ ´ r e´2B Γ133 “ Γ331 “ 22 › r › › Γ233 “ Γ332 “ cot ϑ › Γ313 “ ´ r e´2B sin2 ϑ › › › Γ 2 “ ´ sin ϑ cos ϑ 33 ›

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

11.5.10.2

575

Berechnung der Tensorelemente

Mit den Christoffel-Symbolen werden die Elemente des Krümmungstensors gemäß (2.54) berechnet und nach einiger Zwischenrechnung ergeben sich die folgenden nichtverschwindenden, zehn wesentlichen Komponenten.

R 01

10

“ A2 ` A12 ´ A1 B 1

R 02

20

“ A1 r e´2B

R 03

30

“ A1 r e´2B sin2 ϑ

R 10

01

˘ ` “ A2 ` A12 ´ A1 B 1 e2pA´Bq

R 12

21

“ ´B 1 r e´2B

R 13

31

“ ´B 1 r e´2B sin2 ϑ

R 20

02

“

R 21

12

R 23

32

A1 2pA´Bq e r B1 “´ r ` ˘ “ ´ 1 ´ e´2B sin2 ϑ

R 30

03

“

R 31

13

R 32

23

A1 2pA´Bq e r B1 “´ r ` ˘ “ ´ 1 ´ e´2B

Die Verteilung der gemischten Tensorkomponenten in der Blockmatrix hat das folgende Muster. Die beiden vorderen #-Indizes identifizieren den Block innerhalb der Blockmatrix, die beiden hinteren #-Indizes das einzelne Element innerhalb eines Blocks, jeweils nach Zeile und Spalte. In jedem Block tritt sowohl der berechnete Wert p›q als auch der Wert mit entgegengesetz-

576

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

tem Vorzeichen p q auf, z. B. bei R 01

R #¨ # › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › › ›

##

¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚

˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝

0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0

“ ´ R 01

10 .

“

0 0 0 0

0 0 0 0

› 0 0 0

0 0 0 0

0 › 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

01

0 0 0 0

˛ 0 0‹ ‹ 0‚ 0 ˛ 0 0‹ ‹ 0‚ 0 ˛ 0 0‹ ‹ 0‚ 0 ˛ › 0‹ ‹ 0‚ 0

¨

0 ˚› ˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 ›

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

˛ 0 0‹ ‹ 0‚ 0 ˛ 0 0‹ ‹ 0‚ 0 ˛ 0 0‹ ‹ 0‚ 0 ˛ 0 ›‹ ‹ 0‚ 0

¨

0 ˚0 ˚ ˝› 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0 ¨ 0 ˚0 ˚ ˝0 0

˛ ¨ 0 0 0 ˚0 0 0 0‹ ‹ ˚ 0 0 0‚ ˝ 0 0 0 0 › ˛ ¨ 0 0 0 0 ˚0 0 0‹ ‹ ˚ › 0 0‚ ˝0 0 0 0 0 ˛ ¨ 0 0 0 0 ˚0 0 0 0‹ ‹ ˚ 0 0 0‚ ˝0 0 0 0 0 ˛ ¨ 0 0 0 0 ˚0 0 0 0‹ ‹ ˚ 0 0 ›‚ ˝0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 › 0 0 0 0 0 0 0 0

˛ › 0 › › 0 0‹ ‹ ›› 0 0 ‚ ›› 0 0 ›› ˛ › 0 0 ›› › 0 ‹ ‹ › ‚ 0 0 ›› 0 0 ›› ˛ › 0 0 ›› › 0 0‹ ‹ › 0 ‚ ›› › 0 ›› ˛ ›› 0 0 › › 0 0‹ ‹ ›› 0 0‚ › › 0 0

Die rein kovarianten Elemente des Krümmungstensors bilden das gleiche Muster, da wegen gμν “ 0 für μ ‰ ν bei der Überschiebung nur ein Glied der Summe einen Beitrag liefert.

Rik

m

ÿ3 p“0

gip R pk

m

“ gii R ik

m

 i für k ‰ existieren, besitzt die Matrix des Ricci_ ř R kl “ i R ik  i nur Elemente auf der Hauptdiagona-

Da keine Elemente R ik Tensors (2.56) gemäß

“

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

le. ” _ 2A1 ı 2pA´Bq 2 12 1 1 e R 00 “ A ` A ´ A B ` r _ 2B 1 2 12 1 1 R 11 “ A ` A ´ A B ` r ` 1 ` ˘ ˘ _ 1 ´2B ´ 1 ´ e´2B R 22 “ r A ´ B e ˘ ´2B ` ˘‰ “ ` 1 _ 1 ´ 1 ´ e´2B sin2 ϑ R 33 “ r A ´ B e Die Matrizen des Ricci-Tensors haben daher Diagonalform. _ `_ ˘ R ## “ Diag R μμ _ `_ ˘ ` ˘ ` μμ ˘ _ _ # Diag R μμ “ Diag g μμ R μμ R# # “ G R ## “ Diag g

Damit kann schließlich der Krümmungsskalar berechnet werden. ÿ3 _ ˝ _ # g μμ R μμ R “ sp R # “ μ“0 ” ¯ ˘ı 2` 1 2 ´ “ 2 A2 ` A12 ´ A1 B 1 ` A ´ B 1 e´2B ´ 2 1 ´ e´2B r r Nach der Vakuumgleichung (11.39) _

_

E μμ “ R μμ ´

1 ˝ R g μμ “ 0 2

erhält man die Elemente des Einstein-Tensors. _

E 00 “ _

_

_

E 33

1 1 ¯ 2pA´Bq ` 2 e2A “ 0 ´ 2 e r r r

1 2B 2A1 1 e ´ ´ 2 “0 r2 r r ” A1 ´ B 1 ı ´2B “ ´ r2 A2 ` A12 ´ A1 B 1 ´ “0 e r ” A1 ´ B 1 ı ´2B “ ´ r2 sin2 ϑ A2 ` A12 ´ A1 B 1 ´ “0 e r

E 11 “ E 22

´ 2B 1

577

578

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

11.5.10.3

Schwarzschild-Metrik und Alternativen

Um die Metrik zu berechnen, benötigt man nur die beiden ersten Elemente des Einstein-Tensors, aus denen folgt, ˘ ` Ñ 2r A1 ` B 1 “ 0 e2B “ 1 ´ 2rB 1 “ 1 ` 2rA1 was man sofort integrieren kann. ˘ d ` A`B “0 dr

Ñ

A`B “0

Dabei wird die Integrationskonstante Null gesetzt, da man eine beliebige Neuskalierung der r-Achse durchführen kann. _

Aus E 00 folgt eine Darstellung, die man ebenfalls integrieren kann. ˘‰ d “ ` r 1 ´ e´2B “ 0 dr C “ 1 ´ g00 “ r

1 ´ e´2B ` 2rB 1 e´2B “ 1 ´ e´2B “ 1 ´ e2A

Die Integrationskonstante C, die aus dem Vergleich mit dem Newton’schen Grenzfall (11.22) bestimmt wird, stellt sich als Schwarzschild-Radius RS heraus, der bereits in (11.23) angegeben und in seiner Bedeutung erläutert wurde. g00 “ e2Aprq “ e´2Bprq “ 1 ´

RS r

Ñ

RS “ 2

GM c2

(11.41)

Mit dieser Lösung ist das Wegelement bestimmt, das die SchwarzschildMetrik definiert. ´ RS ¯ 2 2 dr2 ` r2 dϑ2 ` r2 sin2 ϑ dϕ2 c dt ` ´ ds2 “ ´ 1 ´ RS ¯ r 1´ r

(11.42)

Die Metrik ist sowohl stationär als auch statisch, da die metrischen Faktoren gμμ keine Funktionen der Zeit t sind. Für große Entfernungen r Ñ 8 von der gravitierenden Masse M geht die Schwarzschild-Metrik in die

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

579

flache Raumzeit der Minkowski-Metrik (11.19) bzw. (11.20) über, so dass die oben geforderte asymptotische Flachheit erfüllt wird. Damit stellte die Schwarzschild-Lösung von 1916 nach genau 250 Jahren mit den ersten Newton’schen Überlegungen zur Gravitation (1666) die Verallgemeinerung der Newton’schen Gravitationstheorie für einen einzelnen homogenen, massiven Kugelkörper dar! Der Schwarzschild-Radius RS bestimmt die Abweichung vom flachen, euklidischen Raum und damit die relativistischen Effekte. Im Sonnensystem gilt mit den Werten bei (11.23) an der Oberfläche von Erde und Sonne, RS d RSE “ 1.39 ¨ 10´9 ! “ 4.24 ¨ 10´6 ! 1 RE Rd woraus mit g00 « 1 eine sehr geringe Abweichung von der MinkowskiMetrik resultiert. Für r “ RS tritt in (11.42) eine Singularität auf. Mit den zitierten Werten gilt, RS d RS 2G “ “ 2 c M Md

Ñ

RS “

M M RS d « ˆ 3 km Md Md

so dass selbst bei Sternen mit mehreren Sonnenmassen der SchwarzschildRadius weit im Inneren der Materie liegt. Damit bleibt die SchwarzschildLösung im Außenraum von Sternen mit r ą R " RS gültig und die Singularität hat keine Auswirkung. Es handelt sich bei der Schwarzschild-Lösung jedoch um eine hebbare Singularität des Raumes, die durch die Wahl der Koordinaten auftritt und keine physikalische, gravitationsbedingte Eigenschaft darstellt. Das entspricht den Punkten von Nord- und Südpol bei Kugelkoordinaten, die nur eine Besonderheit der Koordinaten aber nicht des Raumes darstellen, da man die Pole durch Drehung des Koordinatensystems an andere Raumpunkte verlegen kann. Durch eine geeignete Transformation der radialen Koordnate r kann man das Wegelement ds2 in eine Form bringen, die keine Singularität mehr aufweist. Führt man als Beispiel die neue radiale Koordinate r˚ , [25, S. 110],

580

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

durch folgende Definition ein, ´ ` ˘2 R S ¯2 r “ 1 ` ˚ r˚ “ 1 ` q r˚ 4r 1´

Ñ

RS “ 4qr˚

´ 1 ´ q ¯2 RS 4q RS “ 1 ´ “ “1´ ´ ¯ RS 2 r p1 ` qq2 1`q 1 ` ˚ r˚ 4r dr “ ´ 2p1 ` qqq ` p1 ` qq2 “ p1 ´ qqp1 ` qq dr˚

dann lautet das Wegelement, ds “ ´ 2

´ 1 ´ q ¯2 1`q

c dt ` 1 ` q 2

2

`

˘4 ”

dr

˚2

` r dϑ ` r ˚2

2

˚2

2

2

sin ϑ dϕ

ı

das für r “ RS und damit q “ 1 bzw. r˚ “ RS {4 endlich bleibt. Für r˚ " RS bzw. q ! 1 lautet die Darstellung des Wegelementes, ” ı ds2 « ´ p 1 ´ 4q q c2 dt2 ` p 1 ` 4q q dr˚2 ` r˚2 dϑ2 ` r˚2 sin2 ϑ dϕ2 aus der man in Ergänzung zu (11.22) beim Newton’schen Grenzfall die Abweichungen von der flachen Raumzeit der Minkowski’schen Metrik in Kugelkoordinaten ablesen kann. Im Jahre 1923 bewies der amerikanische Mathematiker George Birkhoff eine Verallgemeinerung der Schwarzschild-Lösung. Er konnte zeigen, dass selbst bei nichtstatischer kugelsymmetrischer Gravitationsquelle, die sich isotrop in jeder radialen Richtung ändert, die Lösung im Außenraum der Masse durch die Schwarzschild-Metrik gegeben ist. Dieses Theorem von Birkhoff bedeutet, dass eine sich isotrop ändernde Masse (radial ausdehnend, schrumpfend oder pulsierend) kein zeitlich variierendes Feld in den Außenraum abgibt und damit auch keine Gravitationswellen abstrahlen kann. Jede kugelsymmetrische Lösung der Vakuumgleichung ist damit statisch, [19, S. 154]. 11.5.10.4

Bahnkurven unter Schwarzschild-Metrik

Die Bahnkurven von Objekten im Riemann’schen Raum werden beschrieben durch das System (2.65) von gekoppelten Differentialgleichungen, die

581

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

die geodätischen Linien im Raum beschreiben. 3 3 μ ν ÿ ÿ d2 xk k dx dx ` Γ “0 μν ds2 ds ds μ“0 ν“0

Für die Schwarzschild-Metrik lauten die Gleichungen für die vier Variablen pjct, r, θ, ϕq mit den Christoffel-Symbolen nach (11.40) p0q p1q p2q p3q

dt dr d2 t ` 2 Γ001 “0 2 ds ds ds ´ dt ¯2 ´ dr ¯2 ´ dϑ ¯2 ´ dϕ ¯2 d2 r 2 1 1 1 1 ´ c Γ ` Γ ` Γ ` Γ “0 00 11 22 33 ds2 ds ds ds ds ´ dϕ ¯2 d2 ϑ 2 dr dϑ 2 ` 2 Γ “0 ` Γ 12 33 ds2 ds ds ds d2 ϕ dr dϕ dϑ dϕ ` 2 Γ133 ` 2 Γ233 “0 2 ds ds ds ds ds

Die Gleichung (2) wird wegen Γ323 “ ´ sin ϑ cos ϑ durch den folgenden festen Wert von ϑ identisch erfüllt. ϑ“

π 2

Ñ

dϑ d2 ϑ “ 2 “0 ds ds

Dadurch ist gesamte Bahnkurve eben und liegt in der Äquatorialebene. Aus (3) folgt dann mit Γ233 “ cot ϑ “ cot pπ{2q “ 0 d2 ϕ 2 dr dϕ 1 d ” 2 dϕ ı ` “ r “0 ds2 r ds ds r2 ds ds mit dem Integral r2

dϕ “ const. “ Cϕ ds

Ñ

Cϕ dϕ “ 2 ds r

Aus (0) folgt ” ı dA dr dt dA dt d2 t d2 t ´2A d 2A dt ` 2 ` 2 “ “ e e “0 ds2 dr ds ds ds2 ds ds ds ds mit dem Integral und (11.41) e2A

dt “ const. “ Ct ds

Ñ

dt “ Ct e´2A “ ´ ds

Ct RS ¯ 1´ r

582

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Schließlich erhält man aus (1) eine Beziehung, in die man B “ ´A sowie die bisherigen Ergebnisse einsetzt. Anschließend wird mit 2 e´2A dr{ds multipliziert, um die Gleichung als Differential darzustellen, die man dann direkt integrieren kann. ´ ¯2 dA ´ dr ¯2 ´ ¯2 d2 r 2 dA 4A dt 2A dϕ ` c ´ ´ r e “0 e ds2 dr looooomooooon ds dr ds ds loomoon “ Ct2

2 {r 4 “ Cϕ

Cϕ2 2A d2 r dA ´ dr ¯2 2 2 dA ´ ` c C e “0 ´ t ds2 dr ds dr r3 „ j 2Cϕ2 dr dr d2 r dA dr ´ dr ¯2 2 2 dA dr ´2A ´ ` c C ´ 2 e “0 t ds ds2 dr ds ds dr ds r3 ds j „ Cϕ2 d ´ dr ¯2 ´2A 2 2 ´2A e ´ c Ct e ` 2 “0 ds ds r Ñ

Cϕ2 “ const. “ Cr ds r2 ´ C2 ¯ ´ dr ¯2 ϕ 2A ´ c2 Ct2 ` ´ C “0 r e ds r2

´ dr ¯2

e´2A ´ c2 Ct2 e´2A `

In diese Differentialgleichung führt man Cϕ und zur Bahnbestimmung wie bei (3.18) die Koordinate des reziproken Abstands ζ “ 1{r ein. , Cϕ 1 / 1 / “ 2 . ´ dr ¯2 ´ C ¯2 ´ dr ¯2 ´ ¯2 ds r dϕ ϕ 2 dζ Ñ “ “ C ϕ / ds r2 dϕ dϕ 1 / dζ “ ´ 2 dr r Mit e2A “ 1 ´ RS ζ wird die entstehende Gleichung ´ dζ ¯2 ` ˘ ˘` Cϕ2 ´ c2 Ct2 ` Cϕ2 ζ 2 ´ Cr 1 ´ RS ζ “ 0 dϕ durch Cϕ2 dividiert und nach ϕ differenziert, 2

˘ ´ 2 Cr ¯ dζ ` dζ dζ d2 ζ 1 ´ R ` 2 ζ ζ ´ ζ ´ 2 RS “0 S dϕ dϕ2 dϕ Cϕ dϕ

583

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

woraus man nach Division durch 2 dζ{dϕ schließlich folgendes Ergebnis erhält. 1 3 d2 ζ Cr ` ζ “ ´ RS 2 ` RS ζ 2 2 dϕ 2 Cϕ 2 Der Vergleich des konstanten Gliedes auf der rechten Seite mit der Lösung des Kepler-Problems (3.18) und der dortigen Abkürzung p liefert folgende Äquivalenz, da die Konstanten Cr und Cϕ noch unbestimmt sind. ´

´ C 1¯ 1 GM 1 Cr r RS 2 “ ´ 2 2 GM “ 2 “ 2 Cϕ loooooomoooooon Cϕ c C p “ 1{C 2

Die Bahnkurve im Riemann’schen Raum erfüllt eine nichtlineare Differentialgleichung, die sich von der linearen Gleichung (3.18) der Newton’schen Dynamik um das in ζ quadratische Glied auf der rechten Seite unterscheidet. 1 3 d2 ζ ` ζ “ ` RS ζ 2 dϕ2 p 2

  
 

 
 


 








  

(11.43)

  







Abb. 11.9: Elliptische Bahnkurve und Periheldrehung

11.5.11

Periheldrehung des Merkur

Die Bahnkurven der Planeten im Sonnensystem sind nach dem 1. Kepler’schen Gesetz in guter Näherung Ellipsen.

584

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Eine Ellipse hat die definierende Eigenschaft, dass die Summe der Strecken von den Brennpunkten F und F ˚ , die den Brennpunktsabstand 2f voneinander haben, zum beliebigen Punkt R die feste Länge 2a der großen Achse hat. Aus dieser Definition können folgende Beziehungen abgeleitet werden.

senkrechter Brennpunktsabstand Periheldistanz Apheldistanz

1a 2 f a ´ b2 ă 1 “ a a ´π ¯ b2 p“r “ a p1 ´ ε2 q “ 2 a p rp0q “ rmin “ a ´ f “ 1`ε p rpπq “ rmax “ a ` f “ 1´ε ε“

numerische Exzentrizität

Die elliptischen Bahnkurven der Planeten haben folgende Differentialgleichungen für den reziproken Abstand ζpϕq zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt des Orbits. Kepler, Newton Schwarzschild

1 d2 ζK ` ζK “ dϕ2 p 1 3 d2 ζS ` ζS “ ` RS ζS2 dϕ2 p 2

(3.18) (11.43)

Das quadratische Zusatzglied im relativistischen Fall ist klein und hat wenig Einfluss auf die Bahnkurve, wirkt aber als Störgröße auf die Lage des Perihels. Legt man ϕ “ 0 in Richtung des Perihels, bei dem ζmax bzw. rmin gelten, dann stellt der reziproke Abstand eine gerade Funktionen von ϕ dar. Da die Kepler-Newton’sche Lösung ζK pϕq nach (3.18) bekannt ist, macht man für die Schwarzschild-Lösung einen entsprechenden Störansatz als cosReihe von αϕ für den zu bestimmenden Parameter α, bei der die höheren Glieder nur sehr kleine Beiträge liefern. ζK pϕq “

˘ 1` 1 ` ε cos ϕ p

ζS pϕq “ A ` B cos αϕ ` C cos 2αϕ ` . . .

585

11.5 Feldgleichungen der Gravitation

Für Perihel und Aphel gelten die Darstellungen, die man addiert. , 1 1`ε / / ζSmax pαϕ “ 0q “ A ` B ` . . . “ “ / . rmin p 1 Ñ A« / p 1 1´ε / / ζSmin pαϕ “ πq “ A ´ B ` . . . “ “ rmax p Setzt man ζS in seine Differentialgleichung ein, so folgt mit q “ 3RS {2 A ` Bp1 ´ α2 q cos αϕ ` Cp1 ´ 4α2 q cos 2αϕ ` . . . ˘ ` ˘ 1 q` 2 “ ` 2A ` B 2 ` C 2 ` qB 2A ` C cos αϕ p 2 ˘ q` 4AC ` B 2 cos 2αϕ ` . . . ` 2 Der Vergleich des Koeffizienten von cos αϕ liefert eine Bestimmungsgleichung für den Zusammenhang zwischen A und α, da B entfällt und C vernachlässigt werden kann. Bp1 ´ α2 q « 2qAB a α “ 1 ´ 2qA « 1 ´ qA

Ñ

1 ´ α « qA “

3RS 2p

Die Periheldrehung in Abbildung 11.9 ergibt sich daraus, dass sich die Apsidenlinie, die Perihel und Aphel verbindet, während eines Umlaufs um den Winkel δ dreht. Für einen vollen Planetenumlauf von Perihel zu Perihel wird daher ein größerer Winkelbereich von ϕ durchlaufen, so dass wegen α « 1 gilt ` ˘ ψ “ 2π “ αϕ “ α 2π ` δ δ “ 2π

1´α 3RS « 2π p1 ´ αq « 2π α 2p

Mit den Größen M d und RS d der Sonne und der Größe p “ ap1 ´ ε2 q der Ellipsenbahn erhält man folgenden Ausdruck für den Winkel der Periheldrehung pro Umlauf eines Planeten im Sonnensystem. δ“

6π GM d 3π RS d “ 2 2 a p1 ´ ε q a p1 ´ ε q c2

(11.44)

586

11 Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie

Größere Werte für δ ergeben sich bei Planeten mit kleiner Halbachse a und großer Exzentrizität ε. Da Merkur als innerster Planet des Sonnensystems gleichzeitig die größte Exzentrizität aufweist, konnte man seine Periheldrehung am besten mit der theoretischen Voraussage vergleichen. Für die Merkurbahn gelten folgende Werte, [19, S. 205, 300]. große Halbachse Umlauf in Tagen Exzentrizität

a “ 5.791 ¨ 1010 m d “ 87.969 ε “ 0.2067

Pro Jahrhundert gibt es unter Berücksichtigung der Schaltjahre 36 525 Tage und damit 415.2 Umläufe des Merkur. Der Winkel δ wird von Bogenmaß mit dem Faktor 3600¨180{π in Bogensekunden umgerechnet. Mit den bereits angegebenen Zahlenwerten für G, Md und RS d erhält man nach der Theorie den Wert δ “ 5.015 ¨ 10´7 rad 180 π “ 42.95 ” pro Jahrhundert,

δ ˚ “ δ ¨ 415.2 ¨ 3600 ¨

der den gemessenen und nach der Newton’schen Dynamik unerklärbaren Restwert der Periheldrehung ergibt und damit eine glänzende Bestätigung der Relativitätstheorie darstellt!

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[69] Gast, R.: Auf Einsteins Fährte Nobelpreis für Physik (Barish/Thorne/Weiss) SdW 12, 24 (2017) [70] Alexandra, W.: Weltraumschrott - Aufräumen im All SdW 1, 58 (2019)

Literatur

Kapitel 12

Astronomie und Kosmologie Zusammenfassung Da die Newton’sche Himmelsmechanik sowie Aberration und DopplerEffekt und besonders die Allgemeine Relativitätstheorie seit den Tagen ihrer Veröffentlichung die Bereiche von Astronomie und Astrophysik berühren und wesentliche Aussagen darüber machen, werden in einem Überblick astronomische und kosmologische Erkenntnisse im historischen Ablauf dargestellt. Dabei werden wichtige Fragestellungen über Entstehung und Entwicklung des Universums erörtert, die Gegenstand von historischer sowie aktueller Forschung und intensiver wissenschaftlicher Diskussion sind. Eine Vielzahl von terrestrischen und Weltraumprojekten hat erst in jüngerer Zeit der letzten drei Jahrzehnte überraschende oder sogar spektakuläre, aber bisher auch unverstandene Ergebnisse erbracht. Obwohl viele wichtige und interessante Fragen beantwortet wurden, haben sich auch neue Rätsel bei Ausdehnung und Entwicklung des Weltalls ergeben, wobei Dunkle Materie und Dunkle Energie noch unbekannte Phänomene darstellen, die einer erhofften, künftigen Erklärung harren.

12.1 12.1.1

Entwicklungsweg der Astronomie Weltbilder

Seit es Menschen gibt, fasziniert sie der Blick in den nächtlich funkelnden Sternenhimmel, auf den Mythen und Legenden projiziert wurden, um den 595 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9_12

596

12 Astronomie und Kosmologie

Willen der Götter zu erkunden und damit das Schicksal der Menschen günstig zu beeinflussen. Die Astronomie als Mutter aller Naturwissenschaften wurde zuerst von den Babyloniern schriftlich fixiert und der Tierkreis, viele Sternbilder und Sternnamen sowie die Sieben-Tage-Woche nach dem Mondkalender sind sumerisch-babylonisches Kulturerbe, das von Griechen und Römern in das abendländische Gedankengut übernommen und integriert wurde. Neben Sonne und Mond bildeten die fünf Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn als Wandelsterne eine besondere Kategorie von Himmelsobjekten, die um die unbewegte Erde als Mitelpunkt des Kosmos auf eigenen Kristallschalen oder Sphären vor der entfernten Himmelskugel kreisten, an der die unveränderlichen Fixsterne befestigt waren. Diese antike Vorstellung von Anaximander (« 610 - 546 v.Chr.), Platon (427 - 347 v.Chr.) und Aristoteles (384 - 322 v.Chr.) bildete den Ausgangspunkt des bis zur Neuzeit gültigen geozentrischen Weltbildes von Hipparchos von Nikäa (« 190 -125 v.Chr.) und Claudius Ptolemäus (« 100 -160), das dieser in seinem berühmten Buch Mathematike Syntaxis beschrieb, das arabische Gelehrte um 800 unter dem Titel Almagest übersetzten und das seit dem Mittelalter die Grundlage für Astrologie und Horoskope bildete. Um den Weg der Planeten, die sich nach Aristoteles auf idealen Kreisbahnen bewegten, im Einklang mit den Beobachtungen zu beschreiben, entwickelte Ptolemäus eine komplizierte Epizykeltheorie, [61], die auf den dreihundert Jahre zurückliegenden Untersuchungen des Apollonius von Perge aufbaute. Das bereits früher von Aristarch von Samos (« 310 - 230 v.Chr.) postulierte heliozentrische Weltbild mit der unbewegten Sonne im Mittelpunkt der sie umkreisenden Erde und der Planeten konnte sich nicht durchsetzen, da die geozentrische Vorstellung besser der Weltanschauung von biblischem Schöpfungsbericht und antikem Denken entsprach, bei der der Mensch das Maß aller Dinge sei, und die daher der Erde den bevorzugten Platz in der Mitte des Kosmos einräumte. In praktischer Hinsicht gehen wichtige Beiträge auf den vielseitigen griechischen Gelehrten Eratosthenes von Kyrene (« 276 -194 v.Chr.) zurück, der etwa ein halbes Jahrhundert lang die bedeutendste Bibliothek der Antike in Alexandria leitete. Die Kugelgestalt der Erde wurde schon von den Pythagoräern gelehrt, aber im Zusammenhang mit einer Karte der Oikumene, der gesamten bewohnten Welt der Antike, wurde die Bestimmung des Erdumfanges von Eratosthenes durchgeführt. Er entwickelte die Metho-

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

597

de der Gradmessung, bei der man durch geodätische Messung die Länge des Meridianbogens zwischen Alexandria und Syene, dem heutigen Assuan, die beide auf etwa gleichem Längengrad liegen, bestimmt, während durch astronomische Beobachtung der Zentriwinkel dieses Bogens aus Schattenlängen zum Zeitpunkt der Sommersonnenwende in beiden Städten ermittelt wurde. Die von Eratosthenes berechneten 252 000 Stadien für den Erdumfang wichen je nach moderner Interpretation der Stadion-Länge nur um wenige Prozent von dem heute gültigen Äquatorumfang von 40 074 km ab. Diese Berechung stellt die berühmteste Leistung von Eratosthenes dar, der auch die Schiefe der Ekliptik bestimmte und Längen- und Breitenkreise auf der Erdoberfläche einführte. Die jahrhundertelange Periode des naturwissenschaftlichen Stillstands im abendländischen Raum zwischen Hellenismus und der Wiederentdeckung der durch die Kalifate von Bagdad und Cordoba vermittelten antiken griechischen Kultur in der Renaissance stellt eine Zeitspanne dar, die geprägt war vom autoritätsgläubigen, mittelalterlichen Denken christlicher Kirchenlehrer wie Augustinus (354 - 430) und dem Scholastiker Thomas von Aquin (1225 -1274). Neben einigen frühen Naturforschern wie Albertus Magnus («1200 -1280) und Roger Bacon (1214 -1292), der das Konzept der experimentellen Erfahrung vertrat, begann die moderne Naturwissenschaft vor nahezu fünfhundert Jahren mit dem heliozentrischen Weltbild des Nikolaus Kopernikus (1473 -1543), dessen Buch De revolutionibus orbium coelestium über den Bauplan der Welt mit der Sonne im Zentrum erst in seinem Todesjahr 1543 erschien, [33, S. 17]. Obwohl Kopernikus bei den Planeten noch an den idealen Kreisbahnen des Aristoteles festhielt, wurde damit das jahrhundertelang bestehende aristotelisch-ptolemäische Weltbild abgelöst. Der Übergang vom antiken zum neuzeitlichen Bild von Weltall und Kosmos stellte einen tiefgreifenden Wandel im naturwissenschaftlichen Denken dar und wird als kopernikanische Wende bezeichnet. Das Aufkommen naturwissenschaftlicher und mathematischer Methoden begann mit Galileo Galilei (1564 -1642), der um 1590 die Gesetze der Pendelbewegung und des freien Falls entdeckte und damit die Mechanik begründete, die er erst zum Lebensende beschrieb und in seinem Hauptwerk Discorsi 1638 in Leiden veröffentlichen ließ, [26, S. 79, 85]. Im Gegensatz zur antiken Denkweise verstand er als großer Naturforscher das Experiment als Frage an die Natur, bei der die Realität in der Weise beeinflusst werden

598

12 Astronomie und Kosmologie

muss, dass störende Faktoren wie Reibung oder Luftwiderstand weitgehend oder gedanklich ausgeschlossen werden, so dass die Gesetze in abstrakter Form entdeckt werden können, wie sie sich in der alltäglichen Erfahrung, z.B. beim Trägheitsgesetz, nicht unmittelbar und in reiner Form zeigen. Ab 1609 entwickelte Galilei das in Holland erfundene Fernrohr durch selbstgeschliffene Linsen weiter und setzte es zur systematischen Himmelsbeobachtung ein. In seinem Buch Sidereus Nuncius (1610), der Sternenbote, beschreibt er die Mondoberfläche mit ihren Kratern, die ersten vier Jupitermonde, die ein direktes Indiz für das Versagen des geozentrischen Weltbildes bildeten, da hier die Erde nicht mehr im Mittelpunkt der Bewegung stand, die Venusphasen und den Aufbau der Milchstraße aus Einzelsternen. Als Vertreter des heliozentrischen Weltbildes kam Galilei in Konflikt mit der totalitär-dogmatischen Macht der Kirche in Rom, die den fast Siebzigjährigen 1633 in einem Prozess unter Androhung der Folter zum Widerruf zwang und als Gefangenen der Inquisition bis zu seinem Lebensende unter Hausarrest stellte. Mehr als 350 Jahre lang verweigerte der Vatikan die Rehabilitierung von Galilei, die formell erst 1992 erfolgte! Auf der Basis der noch mit bloßem Auge durchgeführten Beobachtungen und den sehr genauen Sternpositionen von Tycho Brahe, die wesentlich genauer als die ptolemäischen waren, entwickelte Johannes Kepler (1571 1630) die Gesetze der Planetenbahnen. In seinem ersten Buch Mysterium cosmographicum (1596) beschrieb er noch ein Weltsystem von Ordnung und Harmonie, das Zahl und Anordnung der Planeten aus einem System von ineinander geschachtelten, platonischen Körpern ableitete. In seinem zweiten Buch Astronomia Nova (1609) werden die aus Beobachtungen des Mars gewonnenen beiden Gesetze der elliptischen Planetenbahnen und des Flächensatzes formuliert. Im Buch der Weltharmonik, Harmonice mundi, von 1619 erläutert er das dritte Gesetz über die Beziehung zwischen Umlaufzeiten und großen Halbachsen der Planeten. Die Bewegungsgesetze und die Anziehung von Körpern durch Gravitation hatte Isaac Newton (1643 -1727) bereits als 22-Jähriger in den Jahren 1665/66 erkannt, [8, S. 62, 64], die er wegen der Pestepidemie in London auf dem Lande verbrachte. Die axiomatische Beschreibung dieser Gesetze in seinen Principia von 1687, die auch die empirisch gefundenen Gesetze von Kepler mathematisch begründeten, bedeutete die Vollendung der Mechanik in einem abgeschlossenen Theoriensystem, das die Physik für zwei Jahrhunderte prägte. Damit begründete er auch die Himmelsmechanik,

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

599

deren Voraussagen man durch Beobachtung von Position und Bewegung des Mondes und der Planeten vor dem Hintergrund des Fixsternhimmels überprüfte. In der Folge trugen berühmte Gelehrte zum Ausbau der Theorie durch Systeme von Differentialgleichungen bei, die nur in wenigen Fällen exakt und sonst durch Näherungen, in Sonderfällen und mit Methoden der Störungstheorie gelöst wurden. Darunter waren Leonhard Euler, Alexis Claude Clairaut, Jean le Rond D’Alembert, Joseph Louis Lagrange und besonders Pierre Simon Laplace (1749 -1827), der mit seinem fünfbändigen Werk Mecanique céleste (1799 -1825) ein wichtiges Werk der Naturwissenschaften veröffentlichte, [26, S. 272]. Die Untersuchung des Sonnenspektrums durch Joseph von Fraunhofer (1814) mit den darin befindlichen dunklen, nach ihm benannten Fraunhofer’schen Absorptionslinien und die Begründung der Spektralanalyse durch Gustav Robert Kirchhoff und Robert Wilhelm Bunsen (1859) waren Meilensteine für die Physik allgemein aber auch speziell für die Astronomie, [22, S. 86]. Die spektroskopischen Beobachtungen erbrachten den Nachweis, dass die Elemente auf der Erde mit denen der Sterne übereinstimmten, dass also das gesamte Weltall aus den gleichen Stoffen aufgebaut ist. Die Spektralanalyse des Sternenlichts eröffnete neben der bis dahin geltenden Positionsastronomie die völlig neuen Gebiete der Stellarspektroskopie und Astrophysik. Die systematische Untersuchung der Spektren von Sternen und Galaxien erweiterte im 20. Jahrhundert die astronomischen Kenntnisse über Abstände sowie Geburt, Entwicklung und Tod von Sternen in enormem Ausmaß und führte durch die Entdeckungen von Edwin Hubble zu einem evolutionär-dynamischen kosmischen Weltbild, das einen ähnlich fundamentalen Wandel bedeutete wie die kopernikanische Wende am Ausgang des Mittelalters. Blickt man im Sonnensystem aus größerer Entfernung auf die Erde, was durch Bilder von Raumsonden seit mehreren Jahrzehnten möglich ist, dann schrumpft die Erde als unser Heimatplanet zu einer kleinen verletzlichen blauen Kugel im nachtschwarzen Weltall. Von weiter entfernten Sternen z.B. in der Andromedagalaxie aus würde sogar die Milchstraße zu einer unbedeutenden unter den unzähligen Galaxien in den Weiten des Alls absinken und von der Erde und der sie bewohnenden Menschheit wäre kein Zeichen der Existenz mehr vorhanden. Diese Vorstellung und auch der nächtliche Blick

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12 Astronomie und Kosmologie

auf Ausmaß, Weite und Schönheit von Sternenzelt und Universum führen zu Empfindung und Einsicht unserer geringen Bedeutung im Kosmos. Sicher haben Menschen früherer Epochen ähnlich empfunden und aus Unkenntnis, Ängsten und auf Grund natürlicher Bedrohungen durch Naturgewalten, Krankheiten und Hungersnöte mit phantasievoller Vorstellungskraft Fabelwesen und Götterwelten ersonnen oder auch nur eine einzige, fast immer männliche Gottheit erschaffen, die mit allmächtigen Eigenschaften ausgestattet wurden. Aber alle diese Bilder brachten der Menschheit trotz unzähliger Opfergaben keine belastbaren oder schlüssigen Antworten auf die Fragen nach Herkunft und Stellung im Kosmos, da man sich auf unbeweisbare, göttliche Visionen in als heilig erklärten Schriften stützte, wodurch über lange Zeiten hinweg unorthodoxe, kritische Fragestellungen nicht zugelassen und als Häresie oft gewaltsam unterdrückt wurden. Eingeleitet durch das Zeitalter der Aufklärung im Abendland und der Kant’schen Forderung nach dem Ausgang aus der selbst verschuldeten Unmündigkeit mit dem Wahlspruch Sapere aude! (Wage zu wissen!), um sich seines eigenen Verstandes zu bedienen, wurde ein neuer Weg beschritten. Der Ballast religiöser Tabus wurde abgeworfen und die jahrhundertelange dogmatische Bevormundung durch religiöse und weltliche Herrschaftssysteme mit Anmaßung und Durchsetzung der Denk- und Deutungshoheit, die in Teilen der Welt noch immer anhält, ist seither einer religions- und ideologiefreien Wissenschaftspraxis gewichen, die experimentell nachprüfbare Theorien entwickelt und rational und vorurteilsfrei jede denkbare Fragestellung untersuchen kann. Zweifellos muss die wissenschaftliche Neugier und Erkenntnis durch ethische Richtlinien kanalisiert werden, damit die Menschheit bei Entwicklung oder Anwendungen wie Atomkraft und -waffen, Klimawandel oder Eingriff in die Keimbahn vor negativen Folgen geschützt wird. Damit ist die heutige Sicht bei weiten Teilen der Menschheit geprägt durch ein naturwissenschaftliches Weltbild, das sich in nahezu allen Bereichen auch jenseits der technisch-physikalischen Naturwissenschaften in Biologie, Medizin, Wirtschaft oder Politik auf mathematisch gestützte Untersuchungen, Gutachten und statistische Analysen beruft, um daraus Erkenntnisse zu erlangen und sachdienliche Handlungsanweisungen zu entwickeln.

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

12.1.2

601

Sternkataloge, Navigation und Klassifizierung

Die Beweggründe für die Beobachtung der Sterne und die Stellung der Planeten waren seit alters her neben der Verehrung der Götter die praktischen Fragen von Zeitrechnung und Kalenderwesen sowie die Bedeutung für Landbestellung und Seefahrt. Der antike Sternkatalog des Hipparchos umfasste etwa 1000 Sterne und wurde von Ptolemäus in sein Lehrbuch Almagest übernommen. Neben den periodischen Erscheinungen von Sonnenwende (Solstitium) und Tagundnachtgleiche (Äquinoktium) sowie den unregelmäßig auftretenden Finsternissen von Sonne und Mond (Eklipse) erlangten seit dem Mittelalter für die weiträumige und später weltumspannende Seefahrt und Navigation die täglichen Angaben der Planetenpositionen (Ephemeriden) besondere Bedeutung. Dafür wurden mehrere Planetentafelwerke berechnet wie die Alfonsinischen Tafeln für Alfons X. von Kastilien um 1260, die Preußischen Tafeln von 1551, gefördert von Herzog Albrecht von Preußen, sowie die Rudolfinischen Tafeln von Kepler 1627, für Kaiser Rudolf II. von Habsburg, auf die sich auch Newton bei der Formulierung seines Gravitationsgesetzes stützte. Seit dem Beginn des Zeitalters der Entdeckungen durch Christoph Kolumbus (1492) trat das Navigationsproblem bei Fahrten auf offener See zur genauen Positionsbestimmung von Schiffen immer stärker in den Vordergrund. Die geographische Breite war einfach bestimmbar, entweder aus der Stellung der Sterne oder aus der Schiefe der Ekliptik mit 23.5˝ und dem Winkel, den die Richtung zur Sonne beim täglichen Höchststand mit dem Horizont bildet. Jahrhundertelang stützten sich Seefahrer auf die Breitennavigation, bei der beim Segeln eine feste geographische Breite eingehalten wurde, die bei diesem Kurs aber nicht den kürzesten Seeweg bedeutete. Winkelmessungen wurden zunächst mit dem auf Newton zurückgehenden Spiegelquadranten durchgeführt, der von John Hadley verbessert wurde und der seit 1731 als Hadley-Quadrant genaue Höhenmessungen von Himmelskörpern auf See ermöglichte. Die Weiterentwicklung bildete der noch genauere Sextant, der bis zur Neuzeit verwendet wurde, bevor er durch Verfahren der Funkortung mit Hyperbelnavigation wie DECCA und LORAN (Long Range Navigation) und heute durch das satellitengestützte Navigationssystem GPS abgelöst wurde, [2, Kap. 3].

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12 Astronomie und Kosmologie

Das größere Problem, die Bestimmung des Längengrades auf hoher See, beschäftigte jahrhundertelang die seefahrenden Nationen. Für eine praktisch brauchbare Lösung des Längengradproblems lobte das englische Parlament 1714 nach mehreren großen Schiffsverlusten ein hohes Preisgeld aus und setzte zur Beurteilung der eingehenden Vorschläge eine Längenkommission ein, der die bedeutendsten Astronomen und Mathematiker Englands angehörten. Das Längengradproblem kann durch eine Zeitmessung gelöst werden, indem man die Ortszeit des Heimathafens auf einer mitgeführten, genau gehenden Uhr mit der aktuellen Ortszeit bei Sonnenhöchststand vergleicht und gemäß der Erdrotation in eine Distanz auf der Erdoberfläche umrechnet. Solche präzisen Längenuhren, die unempfindlich waren gegen alle widrigen Umstände auf rauer See wie Schiffsschwankungen, Temperatur- und Feuchtigkeitsänderungen und die man später Schiffschronometer nannte, wurden zuerst vom schottischen Tischler und Uhrmacher John Harrison (1693 -1776) in jahrzehntelangem Erfindungsreichtum entwickelt, [32, S. 18]. Seine Uhren liefen präzise und erfüllten auch auf Schiffsfahrten bis nach Jamaika [32, S. 155, 161] die von der Längenkommission verlangten Genauigkeitsanforderungen. Allerdings wurden Harrison vom Hofastronomen Nevil Maskelyne und der Kommission viele Hindernisse in den Weg gelegt, so dass er erst 1773 zum Ende seines Lebens durch Fürsprache seines Sohnes William und der Entscheidung von König Georg III. das Preisgeld bekam [32, S. 194f.]. Durch diese Widerstände wurde die Entwicklung der modernen Navigation um ein halbes Jahrhundert verzögert. Die konkurrierende und von den Astronomen bevorzugte Möglichkeit zur Längengradbestimmung war die Gestirnsnavigation nach der Monddistanzmethode, da man seit Newtons Gesetzen die Bewegungen des Mondes vorausberechnen konnte und den Winkelabstand zur Sonne oder zu einigen ausgewählten Fixsternen genauer bestimmen konnte. Auch hierbei wurde der Längengrad aus der Abweichung der astronomischen Örter am Heimatort und der aktuellen Position ermittelt. Da diese Methode von der Sichtbarkeit des Mondes abhing, war Harrisons Schiffschronometer die praktikablere und stets verfügbare Lösung. John Flamsteed (1646 -1719), auf dessen Anregung die Sternwarte in Greenwich bei London 1675/76 errichtet wurde und dessen erster Direktor als Astronomer Royal er bis zu seinem Tode war, stellte in über 40 Jahren einen ersten fernrohrgestützten, exzellenten Sternkatalog von rund 2800

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

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über England sichtbaren Sternen zusammen, die er mit selbst gebauten Instrumenten beobachtete. Da er seine Sternsammlung unter Verschluss hielt, verschafften sich Newton und Halley Zugang zu seinen Unterlagen und gaben sie 1712 als Raubdruck heraus. Flamsteed kaufte einen Großteil der Bände auf und verbrannte sie. Sein offizieller Sternkatalog erschien erst 1725 posthum, [32, S. 46, 82]. Flamsteed führte eine systematische Benennung der Sterne mit den nach ihm benannten Flamsteed-Bezeichnungen ein. Dabei werden die Sterne von Sternbildern in der Reihenfolge ihrer scheinbaren Helligkeiten mit griechischen Buchstaben benannt, gefolgt vom Genitiv des lateinischen Namens des Sternbildes oder seiner Abkürzung. Der hellste Stern am Nachthimmel, Sirius, hat daher die Bezeichnung α Canis Majoris oder α CMa. Vom Kap der guten Hoffnung aus beobachtete Nicolas Louis de Lacaille (1713 -1762) in den 1750er Jahren den Südhimmel, führte 14 neue Sternbilder mit modernen Namen ein (Horologium, Mensa, Microscopium, Telescopium, etc.) und erstellte einen Sternkatalog, der etwa 10 000 Sterne umfasste. Der Nürnberger Tobias Mayer (1723 -1762) berechnete auf der Grundlage von Leonhard Eulers Theorie der Mondbewegungen genauere Mondephemeriden als alle bisherigen, die erst posthum 1767 und 1770 publiziert wurden. Nevil Maskelyne (1732 -1811) gab als Direktor der Sternwarte Greenwich und 5. Astronomer Royal ab 1767 bis zu seinem Tode den jährlich erscheinenden Nautical Almanac heraus. Der Almanach, der auch heute noch geführt wird, ist ein astronomisches oder nautisches Jahrbuch für die rasche Astronavigation auf See zur Bestimmung der geographischen Länge des eigenen Standortes, der stündliche Ephemeriden für Sonne, Mond, Planeten und mehrere Dutzend Navigations-Sterne für den Greenwich-Meridian enthält. Durch Dichte und Genauigkeit der Tabellenwerte wurden die bis dahin aufwendigen Berechnungen und Interpolationen, die bis zu mehreren Stunden in Anspruch nehmen konnten, für die Schiffsnavigatoren sehr erleichtert und verkürzt. Mit den Sternkatalogen von Flamsteed und Lacaille, den Mondtabellen von Mayer und dem Sextanten als Winkelmessgerät, besonders aber durch den Nautical Almanac von Maskelyne wurde das Längengradproblem speziell auf hoher See für die Schiffsnavigation mit astrono-

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12 Astronomie und Kosmologie

mischen Methoden mit ausreichender Genauigkeit in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts gelöst. Im Jahre 1781 hatte der Franzose Charles Messier (1730 -1817) in dem von ihm herausgegebenen Messier-Katalog (M) 103 Nebel und Sternhaufen aufgeführt, der später auf 110 Objekte erweitert wurde. Der aus Hannover stammende und nach England ausgewanderte Friedrich Wilhelm (William) Herschel (1738 -1822) vergrößerte bis 1802 die Anzahl in mehreren Verzeichnissen auf etwa 2500 astronomische Objekte, die mit ausführlicher Beschreibung versehen wurden. Auf dieser Grundlage veröffentlichte der dänische Astronom Johan L. E. Dreyer 1888 den New General Catalogue (NGC) mit knapp 8000 Nebeln und Sternhaufen, den er in den Jahren 1895 und 1908 durch den ursprünglich zweiteiligen Index-Katalog (IC) mit etwa 5400 neu entdeckten Objekten ergänzte. Auch heute noch wird die Nummerierung der Objekte dieser Kataloge von Astronomen und Sternfreunden verwendet wie z.B. beim Andromedanebel, der im MessierKatalog als M 31 und im New General Catalogue als NGC 224 verzeichnet ist. Am Harvard College-Observatorium, heute Teil des Center for Astrophysics (CfA) der Harvard University in Cambridge (MA, USA), erforschte der amerikanische Astronom Edward Charles Pickering (1846 -1919), der von 1877 bis zu seinem Tode dessen Direktor war, das Universum mit der neuen Methode der Astrophotographie. Hiermit war es zum ersten Mal möglich, objektive und immer wieder vergleichbare Sternaufnahmen herzustellen, die durch die lichtsammelnde Eigenschaft der Photoplatten bei längerfristigen Belichtungen auch sehr lichtschwache Sterne abbilden konnte. Pickerings Ziel war es, die Sternspektren des Italieners Angelo Secchi (1818 -1878) und des früh verstorbenen Amerikaners Henry Draper (1837 1882) detaillierter zu klassifizieren, [34, S. 21f.], wofür er mit der langjährigen finanziellen Unterstützung von Drapers Witwe Instrumente kaufen und eine größere weibliche Arbeitsgruppe einstellen konnte, die die verschiedensten Berechnungen, Messungen und Auswertungen der Himmelsbeobachtungen auf photographischen Glasplatten durchführte. Heute enthält das Archiv insgesamt eine halbe Million belichteter Platten aus über hundert Jahren Photometrie, die seit 2005 in einem umfangreichen Projekt digitalisiert werden, [34, S. 387]. Zur Arbeitsgruppe des Observatoriums gehörten drei berühmt gewordene Frauen, die jeweils ein Studium der Astronomie absolviert hatten.

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

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Die Erste war die bereits im Abschnitt 9.1.2 erwähnte Henrietta Swan Leavitt (1868 -1921), die zunächst als Assistentin und später als Leiterin der Photometrie besonders veränderliche Sterne untersuchte. Anhand der Cepheiden als Veränderliche in den Magellanschen Wolken entdeckte sie 1912 die wichtige Periode-Leuchtkraft-Beziehung als Maßstab zur Entfernungsmessung im Universum. Die Zweite war Annie Jump Cannon (1863 -1941), die ein Klassifikationssystem entwickelte, das die Spektren der Sterne nach ihrer Temperatur einteilte. Die Grundlage bildete die Stärke der Wasserstoff-Linien als wichtigstes Merkmal der stellaren Absorptionsspektren. Aus Cannons Arbeiten ging in den Jahren 1918/24 der neunbändige Henry-Draper-Katalog hervor, der eine große Sammlung von etwa 225 000 Sternspektren darstellte. Er wurde von ihr in Ergänzungsbänden bis 1940 fortgeführt und ist bis heute in regelmäßigem Gebrauch. Cannons Einteilung, die auf Vorarbeiten von Williamina Fleming und Antonia Maury aufbaute und später als Harvard-Klassifikationsschema bezeichnet wurde, sortierte die Sterne von heißen blauen zu kühleren roten, bei denen die Klassen die Buchstabenbezeichnungen O -B -A-F-G -K-M erhielten, deren Reihenfolge man leicht mit den Anfangsbuchstaben des vermutlich aus Princeton stammenden Merkverses „Oh, be a fine girl/guy, kiss me“ behalten kann, [34, S. 140, 254]. Die Dritte war die erheblich jüngere Cecilia Helena Payne-Gaposchkin (1900 -1979). Wie Cannon untersuchte sie Sternspektren, aber sie wandte bei ihren Analysen die neuen Theorien der Atomphysik und Quantenmechanik an, die sie persönlich bei Niels Bohr kennengelernt hatte. Ihre Berechnungen der relativen Häufigkeiten der Elemente in den Sternen, die sie in ihrer Dissertation von 1925 veröffentlichte, ergaben, dass Wasserstoff am häufigsten gefolgt von Helium vorkam, und alle anderen Elemente nur in winzigen Spuren enthalten waren. Ihre Erkenntnis des überwiegenden Anteils von Wasserstoff in den Sternen stieß unter den Astronomen zunächst auf Unglauben und Ablehnung, da man die gleiche Häufigkeitsverteilung der Elemente wie auf der Erde annahm, wurde aber 1929 in einem umfangreichen Artikel des amerikanischen Astronomen Henry Norris Russell (1877 -1957) bestätigt und als Tatsache akzeptiert, [34, S. 311, 331], [70]. Bereits um 1905 erkannte der Däne Ejnar Hertzsprung (1873 -1967), dass es entsprechend der Sternmasse Riesen- und Zwergsterne gibt, und er fand 1908/10 eine Beziehung zwischen absoluter Helligkeit oder Leuchtkraft und der Spektralklasse und damit der Temperatur bzw. Farbe von Ster-

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12 Astronomie und Kosmologie

nen, die über die lineare Spektralklassifikation von Annie Cannon hinausging. Henry N. Russell stellte 1913 den Zusammenhang im sog. Hertzsprung-Russell-Diagramm graphisch dar mit der Leuchtkraft als Ordinate und der Spektralklasse von O nach M bzw. sinkender Temperatur als Abszisse. Dieses Diagramm, in dem die meisten Sterne auf der Hauptreihe von rechts unten mit kühlen, dunklen Sternen nach links oben mit heißen, hellen Sternen liegen, stellt ein wichtiges Hilfsmittel der Astronomie dar, dem man Entwicklung und Werdegang von Sternen mit unterschiedlicher Masse verfolgen kann, [7, S. 103], [21, S. 137], [39, S. 184].

12.1.3

Größe und Entfernungen

Nachdem sich das heliozentrische Weltbild durchgesetzt hatte, entstand für die Astronomen als nächstes die Frage nach den astronomischen Entfernungen, also zunächst den tatsächlichen Abständen zwischen Erde und Sonne und den anderen Planeten. Die ersten Abstände wurden durch Messung der trigonometrischen Parallaxe bestimmt, bei der die Bogensekunde (8.35) die Grundlage für die Definition astronomischer Entfernungen ist. Die Parallaxe ist dabei der kleine Winkel, unter dem eine Basislinie von einem entfernten Punkt erscheint. Von einem senkrecht über der Erdbahnebene, der Ekliptik, stehenden Punkt P aus erscheint der mittlere Erdbahnradius aE , die astronomische Einheit (AE), unter einem Winkel p, der jährliche Parallaxe heißt und mit dem man die Entfernung von P durch Triangulation berechnen kann. Bei einem Winkel von p “ 12 “ 1 as beträgt die Entfernung d zwischen P und der Erdbahnebene 1 Parsec (pc), gebildet aus dem Wort Parallaxensekunde. Man erhält damit die Distanz zu d “ 1 AE{ tan p. Befindet sich in P ein Stern, dann heißt der Winkel Sternparallaxe. Auf Grund der Revolution der Erde um die Sonne durchläuft die Position eines nahen Sterns im Vergleich zu weit entfernten Hintergrundsternen in einer jährlichen Bewegung die Form einer kleinen, nahezu kreisförmigen Ellipse. Die astronomische Einheit war ein fundamentaler Parameter und ihre Bestimmung war für die Astronomie von enormem Interesse, da man wegen des 3. Kepler’schen Gesetzes damit alle Entfernungen im Sonnensystem berechnen kann. Der ursprünglich aus Italien stammende Direktor der Pariser Sternwarte Jean-Dominique Cassini (1625 -1712) und sein Mitarbeiter Jean Richer bestimmten 1672 bei Oppositionsstellung den Abstand zwischen Erde und Mars durch Parallaxenmessung mit der Basislinie Paris -

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

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Cayenne in Guayana, [39, S. 22]. Mit dem 3. Kepler’schen Gesetz (3.16) berechneten sie daraus den Abstand Erde - Sonne zu einem bis dahin unvermutet großen Wert von sensationellen 140 Millionen Kilometern, der ein völlig neues Verständnis der Größe des Sonnensystems bedeutete. Da die Messgenauigkeit noch nicht ausreichend war, wurde Cassinis Ergebnis insbesondere von Edmond Halley (1656 -1742), dem 2. Astronomer Royal, nicht akzeptiert, deshalb nicht beachtet und geriet in Vergessenheit. Auf Vorschlag und durch Berechnungen von Halley sollte die astronomische Einheit zur Verbesserung von Cassinis Wert aus der Sonnenparallaxe ermittelt werden, deren Größe der Winkel ist, unter dem der Erdradius vom Mittelpunkt der Sonne aus erscheint und deren heutiger Wert p d “ 8.792 beträgt. Da die Sonnenparallaxe zur damaligen Zeit für die direkte Messung zu klein war, beruhte Halleys Verfahren auf Berechnungen und durchzuführenden Messungen bei einem selten auftretenden Venusdurchgang oder Transit, dem Vorbeiziehen der Venus als kleiner schwarzer Punkt vor der Sonnenscheibe bei unterer Konjunktion, was zuletzt 2004 und 2012 zu beobachten war und dann erst wieder 2117 und 2125 stattfinden wird, [92]. Dem Verfahren lag der Gedanke zugrunde, den Transit, den Halley selbst nicht mehr erleben konnte, von verschiedenen Punkten der Erde aus zu beobachten und aus dem Unterschied der Durchgangszeiten die Parallaxe der Venus und daraus die der Sonne zu berechnen. Die Beobachtung der vier Venusdurchgänge im 18. und 19. Jahrhundert (1761/69 und 1874/82) war bereits 1761 der Anlass für eine Vielzahl astronomischer Expeditionen diverser Länder zu möglichst weit voneinander entfernten Orten der Erde wie Sibirien, Nordamerika und Südafrika, [43]. Die Beobachtung des zweiten Venustransits 1769 erfolgte ebenfalls von vielen Erdpunkten aus, u.a. von der Insel Tahiti, die das erste Ziel von Kapitän James Cook auf seiner ersten Seereise in die Südsee (1768/71) war, auf der er von einer Reihe von Wissenschaftlern begleitet wurde. Die Expedition kartographierte anschließend zahlreiche Inseln im Südpazifik, Neuseeland und die Ostküste von Australien und kehrte mit einer Fülle wissenschaftlicher Daten über Geographie, Flora und Fauna nach England zurück. Bei seiner Reise stellte Cook auch fest, dass der seit der Antike vermutete, legendäre Südkontinent Terra australis incognita als erforderliches Gegengewicht zu den Landmassen im Norden nicht existierte. Cooks Reise war auch ein Meilenstein für die Gesundheit der Seeleute, da er zur Vermeidung von Skorbut, der Geißel langer Schiffsreisen, die oft bis

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12 Astronomie und Kosmologie

zur Hälfte der Schiffsbesatzung dahinraffte, seiner Mannschaft regelmäßig mitgeführtes Sauerkraut verabreichte, wodurch der Mangel an Vitamin C vermieden wurde. Die zweite Folge seiner Reise war geopolitischer Art, da er die entdeckten Gebiete für die englische Krone in Besitz nahm, die den Grundstein für das britische Weltreich legten, [13, S. 337]. Viele Beobachtungen der verschiedenen Venusdurchgänge litten unter Ungenauigkeiten der Messungen und widersprüchlichen Ergebnissen oder einfach unter schlechter Sicht bei bewölktem Himmel, so dass man die astronomische Einheit nicht mit der erhofften Präzision ermitteln konnte. Die Transit-Expeditionen der 1760er Jahre offenbarten jedoch die Bedeutung internationaler Kommunikation und wurden damit zum Vorbild für eine organisierte wissenschaftliche Zusammenarbeit zukünftiger Generationen. Erst in jüngerer Zeit wurden aus der Laufzeit von Radarsignalen und mit Hilfe von Raumsonden Planetenabstände und die Länge der großen Halbachse der Erdbahnellipse zu 1 AE = 149.6 Mio. Kilometer mit enger Toleranz bestimmt. Die bei der Beobachtung von Sternen auftretenden Winkel oder Parallaxen sind zwar sehr klein, aber 1838 gelang Friedrich Wilhelm Bessel (1784 -1846) am Stern 61 Cygni im Sternbild Schwan die Messung der Sternparallaxe von 0.293 Bogensekunden und mit dem bereits relativ gut bekannten Wert des Erdbahnradius die Bestimmung der Entfernung von 11.1 Lichtjahren. Spätere Messungen mit photographischen Methoden erhöhten um 1900 die Präzision bis auf erstaunliche 0.012 “ 10 mas, aber eine solche Entfernungsbestimmung blieb auf nahe gelegene Sterne bis etwa 100 pc beschränkt, [39, S. 166]. Zum Vergleich belegt der Durchmesser des Vollmondes einen mittleren Winkelbereich von 18602 “ 311 oder etwa 0.52˝ und seine Fläche etwa 0.2 Quadratgrad. In einer Stunde wandert der Mond auf seiner Bahn um die Erde um etwa 33 Winkelminuten, also etwas mehr als eine Vollmondscheibe, gegenüber dem Fixsternhimmel nach Osten. Dagegen wandert der Mond für den irdischen Beobachter wegen der Erdrotation in einer Stunde am Himmel um 360˝ {24 “ 15˝ weiter, wenn man die Eigenbewegung des Mondes vernachläsigt. Die Bestimmung größerer Sternentfernungen, bei denen Parallaxenmessung und Triangulation nicht mehr angewandt werden konnten, wurde erst ab 1912 durch die von Henrietta Swan Leavitt entdeckte Periode-Leuchtkraft-Beziehung für Cepheiden möglich (Abschnitt 9.1.2).

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

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Selbst am Anfang des 20. Jahrhunderts war die Vorstellung von der Welt als Ganzem noch wenig entwickelt und beschränkte sich auf das sichtbare Band der Milchstraße, in dem neben den Sternen noch eine große Anzahl von Nebeln existierte, deren Natur weitgehend unklar war. Die Frage, ob die bis dahin bekannten Spiralnebel Objekte in unserer Milchstraße oder sehr viel weiter entfernte eigene Galaxien seien, wurde längere Zeit intensiv und kontrovers diskutiert und ging schließlich im April 1920 als „Große Debatte“ in die Astronomiegeschichte ein, bei der die amerikanischen Astronomen Harlow Shapley und Heber Curtis ihre unterschiedlichen Auffassungen vortrugen. Nach Shapleys Meinung stellte die Milchstraße das ganze Universum dar und die Nebel seien lediglich Teile davon, dagegen vertrat Curtis die Ansicht, dass die Spiralnebel eigenständige, ferne Sternsysteme seien. Da beide Astronomen keine konkreten Entfernungsmessungen vorlegen konnten, blieb die Debatte unentschieden. Durch die von Edwin P. Hubble 1923 mit Hilfe von Cepheiden als Standardkerzen ermöglichte Entfernungsbestimmung des Andromedanebels und die Erkenntnis einer eigenständigen Nachbargalaxie im heute gültigen Abstand von etwa 2.5 Millionen Lichtjahren oder 770 kpc wurde die Große Debatte von 1920 entschieden, wobei Shapley seine Vermutung als Irrtum eingestehen musste, [30, S. 53]. Damit entdeckte die Astronomie erst vor knapp hundert Jahren, dass unsere Heimatgalaxie, die Milchstraße, nur eine durchschnittliche von unzähligen Galaxien oder „Weltinseln“ in den Weiten des Alls ist. Das führte zu einem neuen Verständnis der Natur der Spiralnebel als unabhängige, weit entfernte astronomische Objekte, die unserer Milchstraße entsprechen, sowie der daraus folgenden Erkenntnis der enormen Größe des Weltalls. Damit begannen die Fragen nach Ursprung, Form und Entwicklung des Universums, die die Kosmologie begründeten. Bis heute ist die genaue Entfernungsbestimmung von Himmelsobjekten, die Astrometrie, ein zentrales Problem der Astronomie geblieben, [3, S. 903], [83], auf das noch näher eingegangen wird.

12.1.4

Entwicklung des Universums

Als Einstein 1916 seine Relativitätstheorie und ihre Feldgleichung (11.35) veröffentlichte, war die Diskussion über die Struktur des Weltalls in vollem Gange und noch längst nicht entschieden. Entsprechend der allgemeinen, kosmologischen Vorstellung der Astronomen zu jener Zeit war Einstein

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12 Astronomie und Kosmologie

von einem statischen Universum überzeugt, das sich weder ausdehnen noch zusammenziehen kann. Damit es unter seiner eigenen Schwerkraft nicht kollabierte, war eine genau passende, kompensierende Gegenkraft erforderlich. Um die Theorie dieser Vorstellung anzupassen, führte Einstein 1917 deshalb ein zusätzliches, kosmologisches Glied in die Feldgleichung ein, das wegen (17.50, Bd. I) die Divergenzfreiheit nicht verletzte und als neue Größe die kosmologische Konstante Λ enthielt, die bei geeignetem Wert den erforderlichen, kompensierenden Abstoßungseffekt herbeiführen sollte. _

R μν ´

1 ˝ R g μν ` Λ g μν “ ´ κ T μν 2

(12.1)

Bringt man das zusätzliche Glied auf die rechte Seite, dann kann man es als einen neuen Anteil des Energie-Impuls-Tensors T deuten. _

R μν ´

” ı ” ı 1 ˝ Λ R g μν “ ´ κ T μν ` g μν “ ´ κ T μν ` T¯μν 2 κ

Diesen neuen Anteil kann man ebenfalls als ideale Flüssigkeit mit Dichte μΛ und Druck pˇΛ interpretieren. ´ pˇΛ ¯ Λ T¯μν “ pˇΛ g μν ` μΛ ` 2 Uμ Uν “ g μν c κ Fordert man die Gleichheit der Koeffizienten von g μν , dann muss die Klammer verschwinden und man erhält eine positive Energiedichte, die einem negativen Druck entspricht. μΛ c2 “ ´ pˇΛ “ ´

Λ ą 0 κ

Ñ

pˇΛ “

Λ ă 0 κ

Da ein negativer Druck pˇΛ ă 0 eine Expansion bedeutet, wirkt er der Gravitation entgegen und ermöglicht bei passender Konstante Λ ein statisches Universum. Zwei Wissenschaftler, der russische Mathematiker Alexander Friedmann (1888 -1925) und der belgische Priester und Kosmologe Georges Lemaître (1894 -1966), wiesen unabhängig voneinander 1922 bzw. 1927 nach, dass ein gleichmäßig mit Materie erfülltes, homogenes Universum in keinem Fall statisch sein kann sondern expandiert!

12.1 Entwicklungsweg der Astronomie

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Lemaître entwickelte eine Theorie der Schöpfung zur Entstehung des Kosmos aus einem Uratom und schuf damit ein später so genanntes Urknallmodell des Universums. Beide Arbeiten blieben längere Zeit unbeachtet, einerseits wegen der Ablehnung von Einstein, der auf seinem statischen Weltmodell beharrte, andererseits, weil die Astronomen noch keine überzeugenden Beobachtungsdaten liefern konnten, die zwischen den konkurrierenden Modellen des Weltalls hätten entscheiden können. Das änderte sich durch den Einsatz stärkerer Teleskope sowie neue Beobachtungen von Edwin P. Hubble am 1917 eingeweihten und damals größten 2.5 mI -Spiegelteleskop (Hooker-Reflektor) auf dem Mount Wilson in Kalifornien, der 1929 eine allgemeine, linear mit der Entfernung zunehmende Fluchtbewegung von Galaxien auf Grund der Rotverschiebung in ihren Spektren entdeckte. Durch das nach ihm benannte Hubble’sche Gesetz (9.7) erhielt die Expansion des Universums und die Urknalltheorie eine auf experimentellen Daten basierende Überzeugungskraft. Hubble gilt als größter Astronom seiner Generation, der 1923 die Große Debatte durch den Nachweis von Galaxien jenseits der Milchstraße entschieden hatte und 1929 die Expansion des Universums entdeckte. Trotz seiner großen und bahnbrechenden Erfolge wurde Hubble nicht für den Nobelpreis ausgewählt, da bis zu seinem Tode 1953 die Astronomie vom Nobelpreiskomitee nicht als Teil der Physik betrachtet wurde und man erst später die Regeln änderte, [31, S. 389]. Während eines Forschungsaufenthaltes von Einstein 1931 in den USA konnten ihm Hubble und Humason ihre Messungen von Rotverschiebungen und die daraus folgende Expansion erläutern. Einstein widerrief daraufhin seine statische Kosmologie, billigte die expansive Urknalltheorie und kehrte zu seiner ursprünglichen Feldgleichung mit Λ “ 0 zurück, indem er die kosmologische Konstante verwarf, deren Einführung er später Gamow gegenüber sogar als seine größte Eselei bezeichnete, [31, S. 283]. Trotz der festgestellten Expansion wirkt die Gravitation zwischen allen Galaxien der Ausdehnung des Universums entgegen und führt zu einer Abbremsung. Von den Kosmologen wurde deshalb ein Dichteparameter der Materie eingeführt, μ (12.2) ą 0 Ω“ μkrit dessen Wert über die Entwicklung des Universums und seinen Charakter entscheidet.

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12 Astronomie und Kosmologie

Bei großer Materiedichte μ wird die Expansion verlangsamt und kehrt sich irgendwann zur Kontraktion um (geschlossenes Universum, Ω ą 1), bei geringer Dichte überwiegt die Expansion mit entsprechend fortschreitender Ausdehnung und Abkühlung (offenes Universum, Ω ă 1). Bei der kritischen Dichte μkrit kommt die Expansion nach beliebig langer Zeit schließlich zum Stillstand (flaches Universum, Ω “ 1), weil die kinetische Energie der Expansion gerade die Anziehungskraft der Materie langfristig ausgleicht. Eine wichtige Aufgabe von Astronomie und Kosmologie besteht deshalb darin, den Wert des Parameters Ω zu bestimmen. Die kritische Materiedichte, die die Grenze zwischen Expansion und Kontraktion kennzeichnet, liegt bei homogener Massenverteilung nach unterschiedlichen Berechnungen bei dem geringen Wert von etwa μkrit “ 10´29 g/cm3 “ 10´26 kg/m3

(12.3)

was sechs Wasserstoffatomen pro Kubikmeter entspricht. Die Abschätzung der Materie in den Galaxien ergab dagegen einen Wert, der weit unterhalb dieser kritischen Dichte liegt, so dass für den Dichteparameter Ω ! 1 gelten müsste, der ein offenes Universum mit einer für immer weitergehenden Expansion bedeuten würde, [3, S. 980]. Da aber astronomische Beobachtungen zeigten, dass das Universum bis auf lokale Inhomogenitäten in der Nähe großer Massen flach ist (s. bei 11.16), stellt sich die Frage, wie die „fehlende Masse“ zu erklären sei, die das offene zum flachen Universum mit Ω “ 1 macht. Die Antwort auf diese Frage wird von den Astronomen durch Dunkle Materie und Dunkle Energie gegeben, die das kosmologische Modell wesentlich bestimmen und noch in eigenen Abschnitten behandelt werden. Zwar haben die beteiligten Forscher eine Reihe von Vermutungen und theoretischen Modellen über beide Anteile entwickelt, die aber noch keine schlüssigen, experimentell gestützten Erklärungen über den tatsächlichen Charakter der beiden dunklen Phänomene bieten und die daher nur Platzhalter für eine bisher unbekannte Physik sind. Ein Teil der Forschergemeinde vermutet, dass sich eine befriedigende Lösung erst dann ergeben wird, wenn in einer umfassenden Theorie Gravitation und Quantentheorie als Quantengravitation vereinigt werden.

12.2 Standardmodell der Kosmologie

12.2

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Standardmodell der Kosmologie

Die heutige Kosmologie geht als Grundannahme vom kopernikanischen Prinzip aus, wonach der Ort der Erde im Weltall keine besondere Stellung einnimmt. Das darüber hinaus gehende, von Edward A. Milne 1933 so bezeichnete kosmologische Prinzip besagt, dass das Universum durch Homogenität und Isotropie geprägt ist. Das Prinzip der Homogenität bedeutet, dass die Eigenschaften des Universums für Beobachter an beliebigen Orten im Mittel gleich sind. Das ist auf lokaler Ebene offensichtlich nicht gegeben, da Sterne, Galaxien, Galaxienhaufen und zwischen ihnen liegende Leerräume, die man auch Voids nennt, inhomogene Bereiche darstellen. Erst auf kosmischer Skala mit einer Ausdehnung von mehreren Hundert Megaparsec kann die Materieverteilung als im Mittel gleich und damit als homogen angesehen werden. Isotropie bedeutet, dass die Eigenschaften des Universums für einen Beobachter in jeder Richtung im großräumigen Mittel gleich sind. Dabei zieht die Isotropie die Homogenität nach sich aber nicht umgekehrt! Als Beispiel dafür kann man ein homogenes Magnetfeld anführen, das jedoch nicht isotrop ist. Die Friedmann-Lemaître-Lösungen der Einstein’schen Feldgleichungen, [17, S. 21], gehen aus von einer homogenen und isotropen Struktur und führen dadurch zu nur noch zwei Gleichungen, die mit späteren Ergänzungen bezüglich der Metrik (Robertson-Walker-Metrik, 1935), [14, S. 242], [17, S. 133], das Standardmodell der Kosmologie als Beschreibung der Welt als Ganzes darstellen, das durch die folgenden wesentlichen Aussagen bestimmt wird. Das Universum entstand im Urknall aus einer Anfangssingularität mit unendlicher Dichte von Energie und Materie und damit Raumkrümmung. Der Urknall wurde von Fred Hoyle, der selbst das konkurrierende Steady-State-Modell favorisierte, 1950 in einer BBC-Rundfunksendung leicht spöttisch als Big Bang bezeichnet. Dieser Ausdruck war so prägnant, dass er zur gängigen Bezeichnung für den Anfang der Welt im englischen Sprachraum geworden ist. Max Planck (1858 -1947) entdeckte um 1900 auf Grund seiner Untersuchungen zur Theorie der Strahlung Schwarzer Körper (Abschnitt 12.6) das nach ihm benannte Wirkungsquantum h (10.20). Aus den fundamentalen Naturkonstanten G, c und h bzw.  “ h{2π entwickelte er ein System natürlicher Einheiten, die später durch Hinzunahme von Permittivität ε0

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12 Astronomie und Kosmologie

und Boltzmann-Konstante kB noch weiter ergänzt und Planck-Einheiten genannt wurden. c c Planck-Masse mPl “ “ 21.778 μg G c  c5 2 “ 1.221 ¨ 1019 GeV Planck-Energie WPl “ mPl c “ G c  G “ “ 5.391 ¨ 10´44 s Planck-Zeit tPl “ WPl c5 c G “ 1.616 ¨ 10´35 m Planck-Länge Pl “ ctPl “ c3 Das Planck’sche Einheitensystem hatte zunächst keine Bedeutung, sondern wurde erst Ende der 1950er Jahre wiederentdeckt. Der Zeitraum vor der Planck-Zeit, den man als Planck-Ära bezeichnet, stellt die Anfangssingularität dar. Bei kürzeren Zeiten als die PlanckZeit von etwa 10´43 s besitzen die relativistischen Gesetze der Physik keine Gültigkeit mehr, sondern müssen wegen der Abstände, die kleiner als die Planck-Länge sind, mit Hilfe einer noch zu entwickelnden Quantentheorie der Gravitation beschrieben werden. Die Planck-Zeit legt daher den frühesten Zeitpunkt nach dem Urknall bzw. der Anfangssingularität fest, der noch mit der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Temperaturentwicklung im Rahmen der klassischen Thermodynamik beschrieben werden kann. Zur Planck-Zeit mit der Planck-Energie herrschte im Universum nach (12.6) eine Temperatur von T “

WPl 1.221 ¨ 1019 GeV “ “ 1.416 ¨ 1032 K kB 1.381 ¨ 10´23 Ws/K

Nach der Planck-Zeit fand in den ersten Sekundenbruchteilen eine gewaltige Inflation statt, die das anfänglich noch winzige, homogene Universum um viele Zehnerpotenzen aufblähte, wobei die ursprüngliche Homogenität der Materie bis auf äußerst geringe Abweichungen erhalten blieb. Das Inflationsmodell für die Frühphase des Universums wurde 1980 von Alan Guth vorgestellt, wodurch zwei wichtige und bis dahin strittige Fragestellungen, das Flachheitsproblem und das Horizontproblem, erklärt werden konnten, (Abschnitt 12.9), [60]. Nach dem Ende der Inflation seit etwa 13.8 Mil-

12.3 Baryonische Materie

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liarden Jahren setzte eine ruhige Expansion des Universums gemäß dem Hubble-Gesetz ein. Das Standardmodell erklärt mit der nur wenige Minuten andauernden primordialen Nukleosynthese die Häufigkeit der vier allein erzeugten, leichtesten Elemente Wasserstoff (H), Deuterium (D), Helium (He) und Lithium (Li) und sagt nach Bildung elektrisch neutraler Atome die kosmische Hintergrundstrahlung voraus, (Abschnitt 12.7). Dieses Echo des Urknalls und die winzigen Inhomogenitäten der Frühphase sind noch heute im thermischen Spektrum des Mikrowellenhintergrundes zu erkennen. Unter dem Einfluss der Massenanziehung mit starker Unterstützung der Dunklen Materie entstanden aus den anfänglich minimalen Dichteabweichungen im Laufe der Zeit die heute nachweisbaren Sterne, Galaxien, Galaxienhaufen und Filamente. Die Dunkle Energie, die auch als kosmologische Konstante Λ bezeichnet wird, hat die Wirkung einer Anti-Gravitation, wodurch das Universum seit einigen Milliarden Jahren beschleunigt expandiert. Das kosmologische Standardmodell der Entwicklung des Universums vom Urknall über die Phasen von Inflation, Nukleosynthese und Galaxienentstehung mit gleichzeitiger Expansion bis zur Gegenwart wird häufig mit der schematischen Abbildung 12.1 veranschaulicht. Die erwähnten Begriffe Schwarzer Körper, Inflationsmodell, Nukleosynthese und Hintergrundstrahlung werden in den kommenden Kapiteln noch näher betrachtet.

12.3 12.3.1

Baryonische Materie Nukleosynthese

Die Materie der Atomkerne besteht aus Protonen, die die positive Elementerladung e tragen, und elektrisch neutralen Neutronen, die zusammen auch als Nukleonen bezeichnet werden. Beide sind nach dem von Steven Weinberg 1974 so bezeichneten Standardmodell der Elementarteilchenphysik (Abschnitt 10.8), [40, S. 32, 59], aus jeweils drei elementaren Bestandteilen, den Quarks, zusammengesetzt, die der starken Wechselwirkung unterliegen. Alle Teilchen, die aus drei Quarks bestehen, heißen Baryonen. Hinzu treten negativ geladene Elektronen in den Atomhüllen, die zusammen mit den drei Neutrinoarten zu den Leptonen gehören und nicht

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12 Astronomie und Kosmologie

Abb. 12.1: Expansion des Universums aus Quarks bestehen. Elektronen sind in gleicher Anzahl wie Protonen vorhanden, so dass das Universum als grundlegende Eigenschaft eine Ladungsneutralität aufweist. Die normale Materie besteht damit aus Baryonen und Leptonen, die als Sterne, Galaxien, Staub und Gas sichtbar oder elektromagnetisch nachweisbar sind. Im Universum bewegen sich Baryonen und Leptonen im Normalfall nichtrelativistisch, so dass ihre Ruheenergie die kinetische Energie bei weitem übersteigt. Im Urknall entstanden durch primordiale Nukleosynthese nur Wasserstoff, Helium und Spuren von Deuterium und Lithium, so dass die aus diesem Gas kondensierten ersten und damit ältesten Sterne nur diese Elemente enthielten. Die dazu um 1950 entstandenen Arbeiten von Gamow und seinen Mitarbeitern werden im Abschnitt 12.7 noch näher erläutert. Da in der Astronomie alle Elemente jenseits von Wasserstoff und Helium abweichend von der Chemie als Metalle bezeichnet werden, sind die Sterne dieser ersten Generation oder Population metallarm oder von geringer Metallizität, [7, S. 76].

12.3 Baryonische Materie

617

Die Erzeugung von Energie in den Sternen durch Kernfusion von Wasserstoff zu Helium wurde Ende der 1930er Jahre von Hans Bethe (1906 2005) und Carl-Friedrich von Weizsäcker (1912 - 2007) durch die Aufdeckung zweier kernphysikalischer Prozesse erklärt (Proton-Proton- oder ppKette sowie CNO-Zyklus), wobei der zweite auch als Bethe-Weizsäcker-Zyklus bezeichnet wird. Für seine Beiträge zur stellaren Nukleosynthese, die das Feld der nuklearen Astrophysik eröffnete, erhielt Bethe 1967 den Nobelpreis für Physik, [7, S. 52, 86], Weizsäcker dagegen nicht. Bei spektroskopischen Messungen von Wasserstoff und Helium kann der relative Anteil der beiden Elemente aus dem Vergleich der Intensitäten der Emissionslinien von Galaxien und der Absorptionslinien von interstellarem Gas ermittelt werden. Nach diesen Messungen stehen im Weltall die relativen Häufigkeiten von Wasserstoff und Helium im Verhältnis von knapp 91 % zu 9 % der Atome bzw. von etwa 71 % zu 27 % der Masse, wobei alle höheren Elemente zusammen nur den kleinen Anteil von 0.1 % der Atome bzw. 2 % der Gesamtmasse im Universum ausmachen. Wegen des heute messbaren geringen Anteils der höheren Elemente, die nur in Sternen entstehen konnten, ist auch der durch Kernfusion enstandene, stellare Heliumanteil gering, so dass die weit überwiegende Anzahl der Heliumatome bereits in der Urknall-Nukleosynthese entstanden sein muss, [23, S. 61], [31, S. 294], [39, S. 222, 432]. Die Urknalltheorie erklärt das Verhältnis von Wasserstoff und Helium aus dem Verhalten von Protonen und Neutronen. Im extrem heißen Plasma der Anfangsphase erfolgten im thermischen Gleichgewicht ständig Umwandlungen von Protonen in Neutronen und umgekehrt. Da Neutronen nach (10.16) eine etwas höhere Masse als Protonen besitzen, musste der äquivalente Energieanteil bei der Neutronenerzeugung von der umgebenden Strahlung aufgebracht werden, der bei der expansionsbedingten Abkühlung im Laufe der Zeit immer seltener zur Verfügung stand. Freie, nicht im Atomkern gebundene Neutronen sind instabil und haben eine Halbwertzeit von knapp 15 Minuten, [118], so dass sich die Relation der Nukleonen mit der Abkühlung allmählich zu Gunsten der Protonen verschob. Aus Berechnungen und Experimenten an Teilchenbeschleunigern in Kernforschungslabors geht hervor, dass das Verhältnis von Protonen zu Neutronen schließlich etwa 7p : 1n bzw. 14p : 2n betrug. Ab einem Alter des Universums von etwa 100 Sekunden bildeten sich Heliumionen, die nahezu alle verfügbaren Neu-

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12 Astronomie und Kosmologie

tronen banden. Dadurch stellte sich ein Verhältnis von 12 Protonen oder Wasserstoffionen zu einem Heliumion aus zwei Protonen und zwei Neutronen ein, also 14p : 2n Ñ 12p : p2p ` 2nq. Das entspricht einem Massenverhältnis von Wasserstoff zu Helium von 12:4 oder 75 % zu 25 %, was bis auf den geringen stellar erzeugten Heliumanteil sehr gut mit den Beobachtungen übereinstimmt. Erst nach weiterer Abkühlung entstanden aus den Ionen im Laufe von wenigen hunderttausend Jahren durch Bindung von Elektronen stabile Atome von Wasserstoff und Helium, [3, S. 1011], [23, S. 56]. Auch bei den Häufigkeiten von Deuterium und Lithium mit etwa einem Atom von 300 000 bzw. fünf Milliarden stimmen Berechnungen und Messungen sehr gut überein. Die Erzeugung von Kohlenstoff und weiterer schwerer Elemente wie Stickstoff, Sauerstoff und Phosphor als wesentliche Grundlage organischer Moleküle und allen Lebens auf der Erde kann nur innerhalb der Sterne bei genügend hohen Temperaturen erfolgen. Der Ablauf blieb zunächst unklar, denn Atomkerne mit fünf Nukleonen jenseits von Helium 42 He, das auch als α-Teilchen bezeichnet wird, sind instabil, so dass der „Sprung über das Fünf-Nukleonen-Tal“ nicht erklärt werden konnte und unüberwindlich schien, [31, S. 333]. 1951/52 postulierten Ernst Öpik und unabhängig Edwin Salpeter den sog. 3α-Prozess, der 1954 von Fred Hoyle (1915 - 2001) genauer kernphysikalisch beschrieben und von William Fowler experimentell nachgewiesen wurde. Dabei wird aus zwei Heliumkernen 42 He ein mit acht Nukleonen ebenfalls sehr kurzlebiger, instabiler Berylliumkern 84 Be gebildet, der in einem zweiten Fusionschritt mit einem dritten Heliumkern verschmelzen muss, so dass schließlich Kohlenstoff 126 C entsteht. Dieser zweite Prozess wird durch eine besondere Eigenschaft des Kohlenstoffatoms ermöglicht, das in einem angeregten Zustand genau diejenige Energie aufweist, die den Verschmelzungsmassen von Helium und Beryllium entspricht. Diese sog. Resonanzreaktion beschleunigt den Fusionsprozess erheblich, wodurch sich stabile Kohlenstoffkerne eher bilden können, bevor das Beryllium wieder zerfällt, [7, S. 64], [31, S. 399f.]. 1957 veröffentlichten die Physiker Margaret und Geoffrey Burbidge, William Fowler und Fred Hoyle einen berühmten, mehr als hundertseitigen Fachaufsatz, der nach den Anfangsbuchstaben nur noch als B2 FHPapier zitiert wird. In diesem Artikel wird die Entstehung von Elementen in Sternen und Supernovae entwickelt, wonach aus den im Urknall

12.3 Baryonische Materie

619

entstandenen leichten Elementen Wasserstoff, Deuterium, Helium und Lithium bei der stellaren Nukleosynthese alle schweren Elemente von Beryllium bis Uran gebildet werden. Die leichteren Elemente von Helium über Kohlenstoff und Sauerstoff bis zum Eisen werden in aufeinanderfolgenden, stufenweisen thermonuklearen Kernbrennphasen unter Energieabgabe in solchen Sternen erzeugt, die eine genügend hohe Anfangsmasse von mindestens acht Sonnenmassen besitzen. Die aufeinanderfolgende Kette von immer kürzer andauernden Kernfusionsprozessen, die man als H-, He-, C-, Ne-, O- und Si-Brennen bezeichnet, zündet bei immer höheren Temperaturen, wobei Eisen p 56 26 Fe q schließlich das Endprodukt mit der höchsten Bindungsenergie pro Nukleon darstellt. Eine detaillierte Darstellung der verwickelten Fusionsprozesse, bei denen noch eine Reihe von Unklarheiten besteht, findet man in [50]. Alle schwereren Elemente als Eisen benötigen dagegen zu ihrer Bildung zusätzliche Energie von außen, also eine Energieaufnahme, und können nur beim Kollabieren von massereichen Sternen in Supernova-Explosionen durch Neutroneneinfang-Prozesse entstehen, die dabei in den interstellaren Raum hinausgeschleudert werden, [51]. Diese Elemente stehen bei der Kondensation von interstellarem Gas zu Sternen der nächsten Generation zur Verfügung, die dann bereits einen etwas höheren Anteil von schweren Elementen oder Metallen besitzen. Auf diese Weise haben sich im Laufe der Entwicklung des Universums in den aufeinander folgenden Sternpopulationen Häufigkeit und Verteilung der Elemente verändert und das Universum erfuhr eine chemische Entwicklung auf Grund der verschiedenen Kernprozesse, [7, S. 65], [104]. William Fowler erhielt zusammen mit Subrahmanyan Chandrasekhar für ihre astrophysikalischen Arbeiten 1983 den Nobelpreis für Physik, [31, S. 409], [59]. Fred Hoyle wurde als Kritiker des Nobelpreiskomitees (Abschnitt 11.4.2) dabei übergangen, was als große Ungerechtigkeit betrachtet wurde, denn seine großen wissenschaftlichen Erfolge waren weltweit anerkannt und unbestritten. Anfang der 1980er Jahre führte der Astrophysiker David Schramm und seine Mitarbeiter an der Universität von Chicago eine Abschätzung des Anteils an baryonischer Materie durch. Im Urknall wurden bestimmte Mengen der beiden Isotope Deuterium 21 D und Helium 32 He gebildet, von denen in Sternen Deuterium nur zerstört aber nicht erzeugt, das Helium-Isotop dagegen nur erzeugt aber nicht zerstört werden kann. Die heute messbare,

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12 Astronomie und Kosmologie

geringe Menge von Deuterium muss daher bereits in der Frühphase als Ergebnis des Urknalls vorhanden gewesen sein und jene von Helium-3 kann im interstellaren Medium nur die Höchstmenge des ursprünglichen Isotops ausmachen, denn je dichter das Universum zur Zeit der Nukleosynthese gewesen wäre, umso weniger hätte von beiden Isotopen überleben können, da dann mehr normales Helium 42 He gebildet worden wäre. Mit den heutigen, für beide Isotope festgestellten Häufigkeiten von etwa 20 Teilen auf eine Million (20 ppm) konnten aus dem Helium-Isotop eine untere und aus Deuterium eine obere Grenze der ursprünglichen Materiedichte im Universum abgeschätzt werden, die bei 2 .. 5 ¨ 10´28 kg/m3 liegen. Aus diesem engen Dichtebereich konten Schramm und andere Forscher durch unmittelbare Extrapolation folgern, dass die durchschnittliche Materiedichte im gegenwärtigen Universum nicht mehr als zehn Prozent und einen heute korrigierten Wert von nur 5 % der kritischen Dichte (12.3) beträgt. Damit erhält man einen Dichteparameter der Materie von Ω “ 0.05, der ein offenes aber kein flaches Universum bedeuten würde, [20, S. 243], [23, S. 63], [39, S. 498]. Die Zahlenangaben betreffen allerdings nur die normale, sichtbare Materie ohne Berücksichtigung der in ihrer Natur noch unbekannten Dunklen Materie, wodurch der Dichteparameter einen größeren Wert annähme und in der Nähe von Ω “ 1 liegen könnte, wie es die experimentellen Befunde nahelegen!

12.3.2

Weißer Zwerg, Neutronenstern und Schwarzes Loch

Die Entwicklung und der Endzustand eines Sterns werden bestimmt durch seine anfänglich vorhandene Masse. Ein Stern, dessen Masse unterhalb der Chandrasekhar-Grenze von etwa 1.44 Sonnenmassen liegt, [39, S. 312], beendet seine Entwicklung nach dem Erlöschen der Kernfusion von H- und He-Brennen als Weißer Zwerg. Seine stabile Endkonfiguration besteht aus langsam auskühlendem Kohlenstoff und Sauerstoff hoher Dichte, bei der der Druck des entarteten Elektronengases der Gravitation die Waage hält. Sterne, deren Massen zwischen der Chandrasekhar-Grenze und 3 Sonnenmassen liegen, werden nach der Erschöpfung ihrer Kernbrennstoffe in mehreren Kernfusionsphasen nach einem Gravitationskollaps und der Explosion in einer Supernova zu Neutronensternen, bei denen der Druck des entarteten Neutronengases im verbleibenden Kern der Gravitation die Waage hält, (s. Pulsare im Abschnitt 11.4.2).

12.4 Materieverteilung im Universum

621

Bei normaler Materie gehorchen deren Teilchen den Gasgesetzen, bei denen Druck, Volumen und Temperatur eine Zustandsgleichung erfüllen (Abschnitt 11.5.7). Materie, die sich nach quantenmechanischen Gesetzen wie dem Pauli-Prinzip, wie eine Flüssigkeit verhält, bei der der Druck mit der Dichte zunimmt aber von der Temperatur unabhängig ist, stellt entartete Materie dar wie die entarteten Gase bei Weißen Zwergen und Neutronensternen, [12, S. 192]. Bei massereichen Sternen, deren Masse deutlich größer als drei Sonnenmassen ist (ą 8 Md ), kann auch der Entartungsdruck der erzeugten Neutronen der Gravitation nicht mehr standhalten, so dass die Kontraktion unaufhaltsam ist, bei der ein Schwarzes Loch bzw. eine Singularität entsteht, bei der Raum und Zeit ihren Sinn verlieren. Dieser Begriff wurde von John Archibald Wheeler eingeführt, dem bei einem Vortrag 1967 auf die Frage nach einer prägnanteren Bezeichnung für das sperrige gravitativ vollständig kollabierte Objekt jemand aus dem Publikum die Antwort Black Hole / Schwarzes Loch gab, die Wheeler fortan verwendete.

12.4 12.4.1

Materieverteilung im Universum Durchmusterungen und Teleskopentwicklung

Zur großräumigen Feststellung der Verteilung der Materie im Universum nahm man seit den Katalogen von Messier, Herschel und Dreyer zweidimensionale photometrische oder Helligkeits-Durchmusterungen der Sterne vor. Als eine der bekanntesten, die noch visuell durchgeführt wurde, erfasste die Bonner Durchmusterung (BD) von Friedrich Wilhelm Argelander in den Jahren 1852 bis 1862 etwa 325 000 Sterne des nördlichen Himmels, die 1875/81 von Eduard Schönfeld um knapp 134 000 Sterne ergänzt wurde. In den Jahren 1892 bis 1914 wurde sie in der CórdobaDurchmusterung (CD), Argentinien, um 578 000 Sterne des Südhimmels erweitert. Damit existierte ein systematischer Katalog mit mehr als einer Million Sterne bis etwa zur 10. Größenklasse (Abschnitt 12.8.3). Am Anfang des 20. Jahrhunderts war George Ellery Hale (1868 1938) der führende amerikanische Astronom, der wesentlich zur Sonnenastronomie beitrug und beträchtliche finanzielle Mittel für den Bau von Großteleskopen (Yerkes, Wilson, Palomar) einwerben konnte. Dabei ist das 1897 eingeweihte Yerkes-Linsenfernrohr bei Chicago mit 1 mI der

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12 Astronomie und Kosmologie

beiden aus Kron- und Flintglas bestehenden, 230 kg schweren Objektivlinsen das größte aber auch eins der letzten Refraktor-Teleskope, das wegen der zunehmenden Luft- und Lichtverschmutzung heute weniger für Forschung sondern vornehmlich für Ausbildungszwecke und für die Öffentlichkeitsarbeit eingesetzt wird. Refraktoren erfüllen nicht die heutigen, gesteigerten Ansprüche der Astronomen an hohe Auflösung und Farbfehlerfreiheit. Einerseits lässt sich der Durchmesser der Linsen, die nur am Außenrand gehalten werden können, nicht beliebig vergrößern, da die Verformung durch das Gewicht ein Maximum nicht überschreiten darf und die Absorption von Licht in dicken Glaskörpern unzulässige Werte erreicht. Andererseits erfolgt die optische Abbildung durch Lichtbrechung an den gekrümmten Glasoberflächen, die durch den Brechungsindex npλq von Glas für jede Wellenlänge oder Farbe durch Dispersion anders ausfällt, was bereits von Newton bei der Zerlegung des Sonnenlichts in seine Spektralfarben durch ein Prisma eindrucksvoll gezeigt wurde. Die dadurch entstehenden Farbfehler der sog. chromatischen Aberration können nur bis zu einem gewissen Maße durch Linsenkombinationen aus verschiedenen Glassorten wie Flint- und Kronglas kompensiert werden. Als Alternative entwickelte Isaac Newton 1672 nach Entwürfen verschiedener Bauformen von James Gregory und Laurent Cassegrain das erste Spiegelteleskop. Auch Friedrich Wilhelm Herschel verwendete selbstgebaute Spiegelteleskope. Die Ära der großen Spiegelteleskope in größeren Höhenlagen begann mit den berühmten kalifornischen Instrumenten, dem Hooker-Teleskop auf dem Mount Wilson mit 2,5 mI und dem Hale-Teleskop auf dem Mount Palomar mit 5 mI Spiegeldurchmesser, die über lange Zeit von 1917 bis 1949 bzw. von 1949 bis 1975 die größten ihrer Art waren. Gegenüber Linsenfernrohren haben Spiegelteleskope einerseits den Vorteil, dass sie bei parabolischem Schliff ein korrektes Bild ohne Farbfehler erzeugen, bei dem alle Wellenlängen in einem Brennpunkt gesammelt werden. Da die Rückseite des Hauptspiegels frei ist, kann man das Durchbiegen durch die Schwerkraft auch bei großen Durchmessern durch Stütz- oder Wabenkonstruktionen weitgehend verhindern, durch aktive Optik (s.u.) kompensieren oder bei sehr großen Durchmessern segmentierte Spiegel verwenden. Eine der wichtigsten photographischen Durchmusterungen des nördlichen Sternhimmels war der Palomar Observatory Sky Survey (POSS) in den Jahren 1948/58, der alle Sterne und Galaxien bis etwa zur 21. Größenklasse

12.4 Materieverteilung im Universum

623

enthält. Der Katalog besteht aus knapp 2000 Photoplatten, bei denen jeder Himmelsbereich mit einer blau- und einer rotempfindlichen Platte aufgenommen wurde. Seit den 1980er Jahren wurden mehrere dreidimensionale Durchmusterungen von Galaxien in bestimmten Himmelsregionen (Streifen oder Sektoren) durchgeführt, bei denen man die dritte Koordinate für die Entfernungsbestimmung aus zeitaufwendigen Spektralanalysen und den daraus ermittelten Rotverschiebungen berechnete, die daher auch RotverschiebungsSurveys genannt werden. Bei den folgenden Beispielen wurde die Tiefe der Untersuchungen immer weiter gesteigert, [27, S. 40, 392], [93]. In den 1980er Jahren wurden beim CfA-Survey des Center for Astrophysics der Harvard University etwa 18 000 Galaxien gemessen, wobei man neben Galaxienfilamenten und Leerräumen oder Voids eine riesige Galaxienanhäufung entdeckte, die man Große Mauer (Great Wall) nannte. Beim Las Campanas Redshift Survey (LCRS) zwischen 1988 und 1994 in Chile fand man etwa 26 000 Galaxien. Die Leistungsfähigkeit astronomischer Teleskope wurde in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch eine Reihe technologischer Fortschritte wesentlich gesteigert. Seit Mitte der 1960er Jahre konnte der Einfluss von Temperaturschwankungen durch Spiegel aus Glaskeramik wie Zerodur von Schott in Mainz beseitigt werden, da dieses Material in weiten Temperaturbereichen keine nennenswerte Wärmeausdehnung besitzt. Weitere Vorteile bestehen darin, dass sich die Glaskeramik wie normales optisches Glas mit den üblichen Methoden schleifen, fräsen, bohren und bis auf eine Oberflächenrauheit von wenigen zehntel Nanometern polieren läßt. Die Glasoberfläche wird mit einer im Vakuum aufgedampften dünnen Aluminiumschicht verspiegelt, die in gewissen Zeitabständen erneuert werden muss, was ohne Beeinträchtigung der Spiegeleigenschaften mehr als hundertmal durchgeführt werden kann. Durch seine günstigen Temperatur- und Poliereigenschaften eignet sich Zerodur für normale Teleskopspiegel mit großen Verhältnissen von Durchmesser zu Dicke und daher geringerem Gewicht als früher sowie auch speziell für den Einsatz bei Röntgen- und Sonnenteleskopen, [53], [66]. Einen großen Fortschritt bedeutete seit Anfang der 1980er Jahre der Einsatz der CCD-Aufnahmetechnik (Charge-Coupled Device) mit Halbleiterdetektoren, bei denen die Bilder pixelweise aufgenommen, bitweise ausgelesen und in digitaler Form gespeichert werden. Diese Bauelemente wurden

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12 Astronomie und Kosmologie

1969 von Willard Boyle und George Elwood Smith entwickelt, die dafür 2009 den Nobelpreis für Physik erhielten, [105]. Die CCD-Technik löste die Aufnahmen mit photographischen Platten in der Astronomie schrittweise ab, [3, S. 251], [20, S. 117], [65], und im weiteren Verlauf auch nahezu alle Filme in Fotoapparaten und Magnetbänder in Videokameras. Die Vorteile der CCD-Bauelemente, die bei Teleskopen mit flüssigem Stickstoff gekühlt werden, liegen im Gegensatz zu Photoemulsionen in der linearen Arbeitsweise, der hohen Quantenausbeute von mehr als 90 % bei der Umwandlung von Photonen in Elektronen und durch die höhere Lichtempfindlichkeit in der wesentlich kürzeren Belichtungszeit. Um Farbbilder zu erzeugen, müssen mehrere nach Farbauszügen gefilterte Aufnahmen überlagert werden. Mit neuartigen Bildsensoren (Quanta Image Sensor) könnten demnächst noch empfindlichere Detektoren verfügbar werden, die sogar einzelne Photonen nachzuweisen gestatten, [54]. Den größten Fortschritt boten Digitalisierung und Computereinsatz, die es ermöglichten, die aufgenommenen Bilder in vielfältigster Weise zu bearbeiten, auszuwerten und darzustellen oder mit anderen Aufnahmen zu kombinieren oder zu vergleichen. Die Methoden der digitalen Bildbearbeitung sind z.B. beschrieben in [9]. Ein weiterer Vorteil des Rechnereinsatzes bestand in der Steuerung einer Vielzahl von piezoelektrischen Stellgliedern, sog. Aktuatoren, mit denen unter der Bezeichnung aktive Optik Spiegelverformungen durch thermische und bewegungsbedingte mechanische Einflüsse kompensiert werden konnten, [68]. Dabei wird das Bild etwa einmal pro Sekunde in einem Bildanalysator auf Fehler untersucht und mit speziellen Algorithmen Stellkräfte für Hauptoder Fangspiegel berechnet, mit denen die optische Qualität ständig aufrecht erhalten werden kann. Diese Technik wurde zum ersten Mal eingesetzt in dem seit 1989 betriebenen New Technology Telescope (NTT) der Europäischen Südsternwarte (ESO) in La Silla, Chile, bei dem die Namensgebung programmatisch war für viele der eingesetzten und teils völlig neuartigen Eigenschaften und Methoden. Weitere Besonderheiten dieses Teleskops sind die geringe Dicke des Hauptspiegels aus Zerodur von 24 cm gegenüber seinem Durchmesser von 360 cm, die den Einsatz der aktiven Optik erst ermöglichte, [66], sowie eine optimale, turbulenzarme Luftströmung am Hauptspiegel durch ein Klappensystem in der Teleskopkammer. Auch die kompakte azimutale Montierung des Tubusgestells mit gleichmäßiger Achsenbelastung war neu, bei

12.4 Materieverteilung im Universum

625

der die exakte Teleskopnachführung des beobachteten Sternbereichs am sich bewegenden Sternhimmel mit abgestimmter Bewegung um zwei Achsen, eine vertikale und eine horizontale, durch rechnersteuerte Antriebe erreicht werden konnte. Dieses Montierungskonzept, das die bis dahin gebräuchliche aber viel schwerere äquatoriale oder parallaktische Montierung mit Rotation um nur eine Achse ablöste, wurde bei allen später gebauten Großteleskopen übernommen. In zwei jüngeren Durchmusterungen wurden erheblich größere Volumina des Universums untersucht, um die Statistik der Galaxienverteilung zu verbessern. Beim 2 Degree Field Galaxy Redshift Survey (2dF GRS) wurden von 1997 bis 2001 mit dem 3.9 Meter Teleskop des Australian Astronomical Observatory (AAT) etwa 250 000 Galaxien vermessen. Dabei nahm man mit einem eigens dafür gebauten Spektrographen mit Hilfe von den Galaxien zugeordneten Lochscheiben und der Lichtverteilung mittels Glasfasern bis zu 400 Sternspektren gleichzeitig auf. Für den ab 1998 laufenden Sloan Digital Sky Survey (SDSS) in New Mexico, USA, wurde ein Teleskop mit 2.5 m Hauptspiegeldurchmesser gebaut. Seine zur damaligen Zeit größte Kamera für astronomische Zwecke ist ausgestattet mit 30 großen CCD-Detektoren, die insgesamt bis zu einem Drittel des Himmels in fünf durch Filter getrennten Wellenlängenbändern aufnehmen. Dabei sollen über eine Million Galaxien und Quasare sowie mehr als 100 Millionen Himmelsobjekte vermessen und das von Glasfasern transportierte Licht von bis zu 1000 Objekten gleichzeitig spektroskopiert werden. In einem speziellen Supernova Projekt wurden mehr als 500 Supernovae vom Typ Ia gefunden. Alle Ergebnisse werden in Abständen in sog. Data Releases der Öffentlichkeit zugänglich gemacht, die Bilder, optische und Infrarotspektren sowie gemessene Parameter wie Größenklassen und Rotverschiebungen enthalten. Zur Zeit gibt es etwa ein Dutzend Großteleskope für den optischen Bereich mit Spiegeldurchmessern von mehr als 8 m, (Abbildung 12.2). Bei den beiden Keck-Teleskopen in 4200 m Höhe auf dem Mauna Kea auf Hawaii, die 1993/96 als erste in Betrieb gingen, wurde eine neue Technologie eingesetzt. Jeder der beiden Spiegel mit 10 mI ist aus 36 sechseckigen Spiegelsegmenten zusammengesetzt, die einzeln mit höchster Präzision auf exakte Gesamtform gesteuert werden.

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Abb. 12.2: Flächenvergleich optischer Großteleskope Das Very Large Telescope (VLT) der Europäischen Südsternwarte (ESO) befindet sich in 2600 m Höhe auf dem Berg Cerro Paranal in der Atacamawüste im Norden Chiles und nahm 1999 seinen wissenschaftlichen Betrieb auf, [74], [81], [84]. Dieses astronomische Observatorium besteht aus vier ortsfesten Einzelteleskopen, deren meniskusförmige Spiegel mit 8.2 mI jeweils aus einem monolithischen Stück Zerodur-Glaskeramik mit einer Dicke von nur 18 cm gefertigt wurden. Die Einsatzarten sind entweder eine getrennte Nutzung der vier Einzelspiegel oder ihre inkohärente Zusammen-

12.4 Materieverteilung im Universum

627

schaltung zu einem 16 mI Teleskop. Als dritte Art kann man zum ersten Mal bei einem optischen Großteleskop durch kohärente Überlagerung, also unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen der vier Lichtsignale, interferometrische Beobachtungen durchführen (VLTI). Dazu müssen die Strahlengänge der Lichtsignale über Spiegelsysteme und optische Verzögerungsleitungen durch Tunnel geführt werden, um sie mit einer Präzision der Weglängen im Mikrometerbereich in einer Kamera zu überlagern. Wegen der Nachführung der Teleskopspiegel während der Beobachtungszeit astronomischer Objekte muss zur Einhaltung gleicher Weglängen eine ständige Korrektur durchgeführt werden. Mit vier beweglichen Hilfsteleskopen von jeweils 1.80 mI , die auf einem Schienensystem an insgesamt 30 Positionen bis zu einem Abstand von 200 m fixiert werden können, läßt sich die interferometrische Leistungsfähigkeit bis zu einer Winkelauflösung von unter einer Millibogensekunde steigern. Seit den 1990er Jahren wird die Methode der adaptiven Optik in der terrestrischen Astronomie angewendet, um durch Phasenkorrektur der Wellenfront die Störungen durch Luftturbulenzen in der Atmosphäre, das sog. Seeing, zu kompensieren, [15, S. 46, 48] [39, S. 134], [52], [78]. Dabei misst ein Wellenfrontsensor, der aus einer Maske mit regelmäßig angeordneten Mikrolinsen und Detektoren besteht (Hartmann-Shack-Sensor), aus den Abweichungen vom doppeltperiodischen Bildraster die optischen Störungen, aus denen ein Computer in Echtzeit Korrektursignale berechnet. Mit Hilfe dieser Signale werden über piezoelektrische Aktuatoren die Oberflächen von flexiblen Zusatzspiegeln geringfügig verformt, so dass eine korrigierte Wellenfront entsteht, bei der die Verzerrungen durch die Atmosphäre beseitigt sind und die Bildgüte nur noch beugungsbegrenzt ist. Dieser Regelungsprozess muss wegen der schnell variierenden Turbulenzen der Atmosphäre mehrere hundert Male pro Sekunde durchlaufen werden. Bei den meisten astronomischen Beobachtungen ist als Referenzquelle für die Phasenkorrektur kein dicht benachbarter natürlicher Stern im Beobachtungsbereich für das Bildraster des Wellenfrontsensors verfügbar, der die gleichen lokalen Turbulenzen wie das Beobachtungsobjekt erfährt und für das Mess- und Steuerungsverfahren hell genug ist, so dass ein künstlicher Laserleitstern benötigt wird. Man erzeugt ihn durch Laserstrahlen parallel zur Sichtlinie des Teleskops, indem man oberhalb der turbulenten Schichten in der Atmosphäre in 10 .. 20 km Höhe Rayleigh-Streuung an Luftmolekülen oder heute meist Fluoreszenzstrahlung in einer Schicht in 90 km

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Höhe mit natürlich vorkommendem, höherem Natriumgehalt anregt. Aus der Rückstreuung wird dann die Wellenfrontdeformation berechnet, [115]. Seit dem ersten Einsatz der adaptiven Optik im VLT werden alle großen Teleskope für den optischen Bereich mit dieser Technik ausgestattet. Dadurch lassen sich erdgebundene Beobachtungen in gleicher oder sogar besserer Auflösung durchführen, wozu früher sehr aufwendige und viel teurere Satelliten-Teleskope wie das Hubble Space Telescope (HST) (Abschnitt 12.4.3) erforderlich waren. Am VLT wurde auch eine neue Arbeitsweise für Großteleskope eingeführt, der sog. Service-Mode, nach der bereits etwa die Hälfte aller Beobachtungen erfolgt. Dabei werden die von Astronomen aus aller Welt eingehenden Beobachtungspläne durch ein beratendes Gremium nach wissenschaftlicher Qualität und Dringlichkeit bewertet und nach ihrer Bewilligung von lokalen Astronomen und Operateuren in der Weise zeitlich gestaffelt bearbeitet, dass die speziellen Bedingungen vor Ort wie Wetter, verfügbare Instrumente und Komponenten oder Konstellation von Himmelsobjekten am besten zu den angemeldeten Beobachtungen passen und möglichst lohnende Datensätze entstehen. Die antragstellenden Astronomen erhalten ihre Ergebnisse auf elektronischem Wege und können dadurch den Aufwand langer und zeitraubender Fernreisen sowie das beschwerliche und durch Unterbrechungen gekennzeichnete Arbeiten in Höhenlagen von 3000 m und mehr vermeiden, [27, S. 33]. Mit moderner Computersoftware werden an speziellen Teleskopen komplette Beobachtungspläne, Überwachungen und Durchmusterungen automatisch durchgeführt und ausgewertet, um durch Vergleich von Bildern übereinstimmender Himmelsbereiche, die in verschiedenen zeitlichen Abständen aufgenommen wurden, auch kleinste Veränderungen wie Asteroiden, Helligkeitsschwankungen bei Transits, Veränderliche oder Supernova-Ausbrüche zu entdecken. Zu diesem Zweck soll ab 2022 das Large Synoptic Survey Telescope (LSST) auf dem 2680 Meter hohen Cerro Pachón, Chile, für die systematische Durchmusterung des gesamten Südhimmels in Betrieb gehen. In den ringförmigen Hauptspiegel mit den Durchmessern 5.1 und 8.4 mI ist im Zentrum auch der 5 mI Tertiärspiegel mit anderer Krümmung integriert, wodurch ein sehr kompakter Aufbau entsteht. Das Teleskop wird mit der größten Digitalkamera der Welt ausgestattet, deren Detektorfläche einen Durchmesser von 64 cm hat, 3.2 Megapixel enthält und eine Auflösung von

12.4 Materieverteilung im Universum

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0.2 Bogensekunden besitzt. Ihr Bildfeld erfasst etwa 10 Quadratgrad, was der 50-fachen Vollmondfläche entspricht. Über zehn Jahre will man den zugänglichen Himmel komplett alle drei Nächte fotografieren, wobei pro Nacht bis zu 800 Bilder mit 30 Terabyte aufgenommen werden können. Die riesigen Datenmengen werden allen Forschern öffentlich zur Verfügung stehen, um neben kurzzeitigen Ereignissen wie Supernovae auch Aufschluss über Dunkle Materie und Dunkle Energie zu gewinnen. In der näheren Zukunft, etwa ab 2020, werden noch größere Instrumente in Betrieb gehen. Die Carnegie Institution baut das Giant Magellan Telescope (GMT, Chile) aus sieben, im Sechseck angeordneten 8.4 mI Spiegeln, Caltech und University of California bauen das Thirty Meter Telescope (TMT, Hawaii oder Kanarische Inseln) und die ESO das European Extremely Large Telescope (ELT, 39 mI , Chile). Die beiden letzten bestehen aus 492 bzw. 798 sechseckigen Spiegelsegmenten und alle drei werden über adaptive Optik verfügen, [27, S. 31, 573f.], [100]. Die Probleme durch jahrzehntelange Rivalitäten der Betreiberinstitutionen bei der Projektierung sowie der Finanzierung von Bau und Betrieb der Großteleskope werden in [121] erörtert.

12.4.2

Radioastronomie

Große Bedeutung neben den optischen Beobachtungen hat die Radioastronomie, die die früheste Untersuchungsmethode in einem nichtoptischen Frequenzbereich darstellt. Sie konnte deshalb früh entwickelt werden, weil Radiosignale im Bereich von 10 MHz bis etwa 800 GHz, also von Kurzwellen bis in den Submillimeterbereich, die Atmosphäre durchdringen und auf der Erdoberfläche, ggf. nur in größerer Höhe auf Bergen mit geringem Anteil an absorbierendem Wasserdampf, empfangen werden können, [27, S. 20], [31, S. 412f.], [69]. Bedeutende Vorteile der Radioastronomie bestehen darin, dass einerseits Radiowellen nicht von interstellarem Staub absorbiert werden, der für die Astronomie im optischen Bereich ein großes Hindernis darstellt, und dass andererseits Radioteleskope Tag und Nacht arbeiten können, wenn sich die untersuchten Objekte nicht zu nahe an der Sonne befinden. Nach der zufälligen Entdeckung und den anschließenden systematischen Messungen von Radiosignalen extraterrestrischen Ursprungs durch die Amerikaner Karl Jansky und Grote Reber in den Jahren 1929/33 bzw. 1935/44 sowie der Sonne als starke Radioquelle durch Stanley Hey (1942)

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12 Astronomie und Kosmologie

wurden nach dem zweiten Weltkrieg mit den nicht mehr benötigten Mikrowellen- und Radargeräten in mehreren Ländern radioastronomische Messungen begonnen. Martin Ryle machte ab 1946 Cambridge, England, durch seine Forschungen zu Interferometrie und Apertursynthese zu einem radioastronomischen Zentrum, dessen wichtigstes Ergebnis nach den beiden ersten (1C, 2C) die Erstellung des Third Cambridge Catalogue (3C, 1959) von Radioquellen war. Die Kataloge wurden fortgeführt bis zum aktuellen Tenth Cambridge Survey of Radio Sources (10C, 2010). Bei den ersten entdeckten, starken Radioquellen stellte man fest, dass es sich nicht um einzelne Sterne sondern um Radiogalaxien handelte. Sie befanden sich in den Sternbildern Cassiopeia, Centaurus, Schwan und Schütze (Cas A, Cen A, Cyg A, Sgr A), wobei die letzte Quelle das Zentrum der Milchstraße bildet. Auch der Krebsnebel (M1) im Sternbild Stier ist als Überrest der Supernova des Jahres 1054 eine starke Radioquelle (Tau A). Für seine bahnbrechenden radioastronomischen Arbeiten, die auch zur Entdeckung des ersten Quasars (3C273) führten, erhielt Ryle, wie bereits im Abschnitt 11.4.2 erwähnt, 1974 den Nobelpreis für Physik. Schon kurz nach dem 2. Weltkrieg erkannten die holländischen Astronomen Jan Hendrik Oort und Hendrik van de Hulst die Möglichkeit, die charakteristische Radiostrahlung des neutralen, atomaren Wasserstoffs, die auch 21-cm-Linie genannt wird, zu messen und damit dessen Verteilung im Universum zu bestimmen. Diese H I -Emissionslinie (Ionisationsstufe H Eins) des neutralen Wasserstoffatoms entsteht durch den Übergang von der parallelen zur antiparallelen Spin-Orientierung des Elektrons relativ zum Spin des Protons (Spinumkehr, Spin-Flip), bei der die Energiedifferenz von etwa 5.9 ¨ 10´6 eV einer Radiofrequenz von 1420.4 MHz bzw. einer Wellenlänge von etwa 21 cm entspricht. Für die Radioastronomie spielt diese Strahlung deshalb eine wichtige Rolle, weil ihre Verteilung Auskunft über den Aufbau von Galaxien sowie Dichteverteilung, Geschwindigkeit und Temperatur des Wasserstoffs im Universum gibt, der etwa 70 % der Masse des interstellaren Gases ausmacht. In solchen Gaswolken werden neue Sterne geboren. Eine H I -Durchmusterung erfolgte im Leiden-Argentina-BonnSurvey (LAB-Survey) in den Jahren 1997 - 2005, der die Verteilung des neutralen Wasserstoffs auf der gesamten Himmelskugel aufzeichnete, [41, S. 73f.].

12.4 Materieverteilung im Universum

631

Zur Untersuchung von Radioquellen existieren eine Reihe von großen Radioteleskopen mit Parabolantennen wie Jodrell Bank in England (1957, 76 mI ), Arecibo auf Puerto Rico (1963, 300 mI ) und Effelsberg in der Eifel (1972, 100 mI ). In West Virginia, USA, befindet sich das seit 2000 in Betrieb befindliche Robert Byrd Green Bank Telescope (GBT) mit 100 mI , das in der Nähe des 1962 gebauten, aber 1988 eingestürzten ersten Green Bank Teleskops errichtet wurde, [41, S. 226]. Um die Winkelauflösung zu steigern werden heute mehr und mehr Interferometeranordnungen aus einer Vielzahl von kleineren Einzelteleskopen (Very Long Baseline Interferometry, VLBI) eingesetzt, [57], [67]. Beim Interferometerprinzip mit Apertursynthese werden die Empfangssignale von örtlich z.T. weit entfernten Einzelteleskopen zusammengeführt und anhand der Zeitstempel von Atomuhren synchronisiert und so überlagert, dass die Phasenbeziehungen der kohärent eintreffenden Wellen erhalten bleiben. Unvermeidliche Phasenverschiebungen durch Turbulenzen der Atmosphäre im Empfangssignal einzelner Teleskope lassen sich durch Addition der Phasen aller Teleskope kompensieren, so dass man mit diesem als Hybridkartierung bezeichneten Verfahren, [57], zuverlässige Ergebnisse bei VLBI-Beobachtungen gewinnt. Dieses Prinzip ist nicht auf Radiosignale beschränkt, sondern kann bei allen Wellenarten, die zu messbaren Interferenzmustern führen, angewandt werden und ist bei verschiedenen optischen Teleskopen (Keck, VLT) ebenfalls realisiert. Das erste mit VLBI und Hybridkartierung erfolgreich untersuchte Objekt war der 1964 entdeckte Quasar (3C147) in einer Entfernung von sieben Milliarden Lichtjahren, dessen Radiostrahlung ein unsymmetrisches Bild lieferte, das auf einen stark gebündelten Strahl relativistischer Teilchen oder Plasma (Jet) schließen ließ. Beispiele für VLBI-Interferometersysteme sind das Very Large Array (VLA, 1980) in New Mexico mit 27 Parabolantennen von 25 mI für Frequenzen im Bereich von 75 MHz bis 43 GHz. Das Teleskop bildet eine riesige Y-förmige Struktur, bei der die Antennen auf den 21 km langen Schienen der drei Arme positioniert werden können, so dass die Winkelauflösung bei der größten Ausdehnung 50 Millibogensekunden beträgt. Das Very Long Baseline Array (VLBA, 1993) besteht aus 10 Parabolantennen von 25 mI in Nordamerika, auf Hawaii und in der Karibik und arbeitet bei Frequenzen im Bereich von 300 MHz bis 86 GHz. Durch

632

12 Astronomie und Kosmologie

die enormen Entfernungen zwischen den Standorten erreicht das VLBA eine Winkelauflösung von einer Millibogensekunde. Das größte Radioteleskop der Welt ist das Atacama Large Millimeter Array (ALMA, 2013) in den nordchilenischen Anden in einer Höhe von über 5000 m. Es besteht aus 66 Parabolantennen, davon 54 mit 12 mI und 12 mit 7 mI , und arbeitet bei Frequenzen im Bereich von 30 bis 950 GHz. Die beweglichen Antennen können in Abständen von 150 m bis 16 km positioniert werden und erreichen eine Auflösung unter einer Bogensekunde. Ein europäisches Gemeinschaftsprojekt mit dem Ausgangspunkt in den Niederlanden ist das Low Frequency Array (LOFAR, 2010), [45], [47], [103]. Dieses astronomische Instrument ist ein digitales Langbasis-Radiointerferometer mit einer Basislänge von mehr als 2000 Kilometern (VLBI), das aus etwa 20 Stationen in acht Ländern Europas gebildet wird. LOFAR arbeitet in zwei Frequenzbereichen mit jeweils eigenen Antennentypen, und zwar bei 10 - 80 MHz und 110 - 240 MHz unter Aussparung des UKW-Bandes von 87 - 108 MHz, in dem in Europa wegen des hohen Störpegels der terrestrischen Rundfunksender keine radioastronomischen Messungen möglich sind. LOFAR ist das erste digitale und phasengesteuerte Radioteleskop, das keine beweglichen Teile besitzt, sondern aus einer großen Zahl von Dipolantennen besteht, die in Form der Kanten einer Pyramide fest am Boden montiert und in Antennenfeldern, sog. Stationen, angeordnet sind. Blickrichtung und Größe des Gesichtsfeldes werden elektronisch gesteuert, indem durch softwaremäßige Phasenverzögerungen bei der Speisung der passiven Dipole die Wirkung von Phased-Array-Antennen gebildet wird, so dass erst bei der Auswertung und Verarbeitung der Antennendaten die digital erzeugte Richtwirkung entsteht. Nach Zusammenfassung der Daten der einzelnen Stationen übernimmt ein zentraler Supercomputer die digitalen Signale und kombiniert sie zu einem Bild, dessen Auflösung durch den Abstand der äußersten Stationen bestimmt wird und im günstigsten Fall bei 0.3 Bogensekunden liegt. Da jeder einzelne schräg stehende Dipol wegen seiner Rundcharakteristik einen großen Teil des Nordhimmels detektiert, kann LOFAR je nach Rechnerleistung mehrere Himmelsrichtungen gleichzeitig untersuchen, indem die Einzelsignale mit verschiedenen Phasenverzögerungen zum Summensignal überlagert werden. Die wissenschaftlichen Ziele von LOFAR umfassen die Messung der langwelligen Radiostrahlung von neutralem Wasserstoffgas aus der Frühzeit des Universums, die durch die Expansion des Kosmos von ursprünglich 21 cm auf

12.4 Materieverteilung im Universum

633

etwa zehnfache Wellenlänge gedehnt wurde, sowie die Synchrotronstrahlung von schnellen Elektronen, die sich in Magnetfeldern bewegen. Weiterhin soll die Radiodurchmusterung des Nordhimmels einen Katalog von Radioquellen mit hundert Millionen Objekten erbringen, der alle bisherigen Durchmusterungen um den Faktor 10 übertrifft. Das Square Kilometer Array (SKA), für das LOFAR bezüglich Phasensteuerung, Datenübertragung und Auswertung ein Vorläuferprojekt darstellt, ist das größte terrestrische, astronomische Instrument mit einer äquivalenten Empfangsfläche von einem Quadratkilometer, das ab 2014 in abgelegenen, wüstenartigen und kaum von irdischer Störstrahlung betroffenen Gebieten von Südafrika und Australien mit guter Sicht auf das galaktische Zentrum gebaut wird und ab 2023 betriebsbereit sein soll, [41, S. 187f.], [46]. Das SKA wird aus drei verschiedenen Antennentypen (Dipol- und Parabolantennen) für den Frequenzbereich von 70 MHz bis 10 GHz mit späterer Erweiterung auf 30 GHz errichtet. Als hochempfindliches und flexibles Instrument soll das SKA eine Fülle von Fragen der Grundlagen-, Teilchenund Astrophysik sowie Kosmologie beantworten. Der Umfang der täglich anfallenden Datenmenge wird dem Zehnfachen des aktuellen Internetverkehrs entsprechen. In Zusammenarbeit mit dem Superrechnerhersteller IBM müssen für die Auswertung neue und anspruchsvolle Techniken der Datenverarbeitung (Data-Mining) entwickelt werden. Mitte 2018 wurde das SKA-Vorläufer-Teleskop MeerKAT in der südafrikanischen Karoo-Halbwüste eingeweiht, das aus 64 Parabolantennen mit 13.5 mI besteht und das später einen Teil des SKA-Radioteleskops für den mittleren Frequenzbereich von 350 MHz bis 14 GHz bilden wird. Seit Beginn der 2000er Jahre ist China auf dem Gebiet der Radioastronomie ebenfalls aktiv. Dort wurden verschiedene Großprojekte geplant, die bereits arbeiten oder demnächst in Betrieb gehen werden und deren Instrumente und Ausrüstungen existierende Teleskope z.T. in Ausdehnung oder Leistungsfähigkeit übertreffen, [41, S. 203f.]. Das weltgrößte Einzel-Radioteleskop FAST (500 Meter Aperture Spherical Telescope) ging 2016 in Südwestchina in Betrieb und konnte bereits im ersten Jahr des Probebetriebs sechs Pulsare in der Milchstraße identifizieren. Das internationale Projekt Event Horizon Telescope (EHT), [117], wurde 2012 gegründet und ist eine Kooperation von etwa einem Dutzend Observatorien mit den größten Radioteleskopen auf allen Kontinenten. Die Langbasisinterferometrie (VLBI) mit einer Basislänge, die dem Erddurch-

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12 Astronomie und Kosmologie

messer entspricht, soll eine Auflösung von 15 Mikrobogensekunden erreichen, was weniger als dem Sehwinkel eines Golfballs auf dem Mond entspricht. Dieses Projekt hat zum Ziel, zunächst die Radioquelle Sagittarius A˚ (Sgr A˚ ), die das Schwarze Loch im Zentrum der Milchstrasse mit vier Millionen Sonnenmassen bildet, im Radiobereich bei 1.3 mm Wellenlänge oder 230 GHz zu untersuchen und auf dessen Grenzregionen direkt am Ereignishorizont zu blicken. Die Materie, die vom Schwarzen Loch angezogen und durch die Gravitation extrem zusammengedrückt wird, wobei Temperaturen von Milliarden Kelvin entstehen, soll auf ihrem Weg zum Ereignishorizont verfolgt werden, um zu prüfen, ob die Bewegung im Einklang mit den Aussagen der Allgemeinen Relativitätstheorie ist. In der kommenden Dekade soll die Zahl der beteiligten Radioteleskope erhöht und die Empfangsfrequenz auf 450 GHz erweitert werden, um noch detailliertere Daten zu gewinnen. Quasare und Pulsare, die ebenfalls Radioquellen darstellen, wurden bereits im Abschnitt 11.4 erörtert und die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung wird im Abschnitt 12.7 behandelt. Bei allen erwähnten Durchmusterungen in optischen, radioastronomischen oder anderen Wellenlängenbereichen wird allerdings nur die baryonische, jedoch nicht die Dunkle Materie erfasst!

12.4.3

Satelliten-Projekte

Nach ersten Erkundungen in größeren Höhen mit Ballonaufstiegen wurde seit Ende der 1950er Jahre eine große Zahl von künstlichen Satelliten zunächst in die Erdumlaufbahn und später zum Mond und den inneren Planeten sowie Asteroiden und Kometen geschickt, da einerseits die Frequenzbereiche des Infraroten sowie von Ultraviolett bis Gammastrahlung von der Atmosphäre teilweise oder gänzlich blockiert werden, und um andererseits eine Fülle von Bildern und Daten aus der Nähe der Himmelsobjekte zu erhalten. Die technische Entwicklung der Raumfahrtprojekte lieferte völlig neue Erfahrungen auf vielen Gebieten wie der Raketentechnik, die neben den wissenschaftlichen Erkenntnissen anfänglich stark durch die Konkurrenz zwischen den USA und der Sowjetunion im Kalten Krieg geprägt war. Der erste künstliche Satellit im Weltraum war der sowjetische Sputnik, der am 4. Oktober 1957 seinen Orbit erreichte, drei Wochen lang Kurzwellensignale sendete und nach etwa drei Monaten in dichteren Schichten der Erdatmosphäre verglühte. Dieser Start versetzte die USA in einen Schockzustand, den sie 1958 mit der Gründung der NASA (National Aeronautics

12.4 Materieverteilung im Universum

635

and Space Administration) beantwortete, wodurch der Raumfahrtwettlauf im Weltall begann. Die erste Raumfahrtmission der NASA war der Satellit Explorer I, der bereits wissenschaftliche Experimente ausführte und damit Sputnik übertraf, [44]. Seither erkundete eine Vielzahl von z.T. bemannten Raumsonden die Erde. Auch hierbei konnte die Sowjetunion im Februar 1961 mit dem Raumschiff Wostok I den Kosmonauten Juri Gagarin als ersten Menschen in den Weltraum schicken. Erst einige Wochen später konnte die NASA mit dem Astronauten Alan Shepard nachziehen. Im amerikanischen Apollo-Projekt landeten am 20. Juli 1969 mit Neil Armstrong und Buzz Aldrin die ersten Menschen auf dem Mond. Sechs Stunden später verließ Armstrong die Mondfähre und setzte als erster Mensch seinen Fuß auf den Mondboden. Bis 1972 wurden weitere sechs Apollo-Mondlandungen durchgeführt, bei denen insgesamt zwölf Menschen den Mond betraten und Mondproben zur Erde brachten. Besonders erfolgreich waren die Raumsondenmissionen der NASA ins äußere Sonnensystem. Die beiden Sonden Voyager 1 & 2 (Start 1977) flogen an allen vier großen Planeten vorbei und werden jenseits des interplanetaren Raumes noch bis mindestens 2025 aktiv sein. Die Mission Cassini-Huygens (1997 -2017) hatte den Planeten Saturn zum Hauptziel mit Landung der Sonde Huygens 2005 auf seinem größten Mond Titan. Die Mission der Raumsonde New Horizons (Start 2006) zu Jupiter und Pluto wurde zur Untersuchung von Objekten im Kuipergürtel bis 2021 verlängert, [44, S. 141]. Neben den großen Missionen werden von der NASA auch viele kleine durchgeführt, die nur bestimmte, mitunter sehr spezielle Aufgaben wie die Suche nach Exoplaneten mit den Weltraumteleskopen Kepler (2009 2013, modifiziert bis 2018) und Tess (ab 2018) erfüllen sollen, von denen schon mehrere tausend Planeten entdeckt wurden. Die europäischen Wissenschaftler erkannten schon früh, dass nationale Projekte nicht mit den USA und der Sowjetunion konkurrieren können, woraufhin aus Vorläuferinstitutionen 1975 die ESA, die Europäische Weltraumorganisation (European Space Agency) gegründet wurde. Fast alle Satelliten-Projekte und Weltraumteleskope sind teure Großprojekte mit jahrelanger Planung und internationalen Konsortien für wissenschaftliche Zusammenarbeit und Finanzierung. Zur Erhöhung der wissenschaftlichen Erkenntnis werden solche Projekte meist mit mehreren Messinstrumenten für unterschiedliche Zielsetzungen ausgestattet, die bei stö-

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12 Astronomie und Kosmologie

rungsfreiem Betrieb über viele Jahre eine Fülle von Daten und Bildern liefern sollen. Die Vorteile der Satelliten-Projekte bestehen darin, dass der gesamte Frequenzbereich von Infrarot bis Gammastrahlung lückenlos ohne Absorption und Turbulenzen der Atmosphäre empfangen werden kann und dass keine Beeinträchtigung durch das vom Menschen erzeugte, störende Fremdlicht auftritt, das die Astronomen in dieser Hinsicht als Lichtverschmutzung bezeichnen, [15, S. 49] Den Vorteilen stehen als Herausforderungen hohe Kosten gegenüber, insbesondere bei großen und daher auch schweren Satelliten, für die Treibstoff zur Kurskorrektur und weitere Verbrauchsstoffe wie flüssiges Helium zur Kühlung mitgeführt werden müssen und deren Erschöpfung die Lebensdauer der Missionen begrenzen. Aus Gewichtsgründen sind Teleskopspiegel kleiner als bei terrestrischen Instrumenten. Alle Komponenten müssen höhere Anforderungen bezüglich Zuverlässigkeit, hoher Strahlenbelastung und großer Temperaturunterschiede erfüllen und wichtige Teile werden redundant, also mehrfach, ausgelegt. Als weiteres Problem tritt die bereits große Zahl von Bruchstücken im All auf, die mitunter Bahnmanöver erfordern, um Kollisionen mit Beschädigung oder Zerstörung von Satelliten zu verhindern, [126]. Bei niedrigen Satellitenorbits ist die Datenübertragung, die grundsätzlich digital erfolgt, durch die Sichtbarkeit über dem Horizont begrenzt. Bei interplanetaren Satelliten-Missionen sind die Signallaufzeiten hoch und die Übertragungsraten bei begrenzter Bandbreite niedrig. Für eine fehlerlose Datenübertragung, die ohne zeitraubende Wiederholungen auskommt, wurden für Magnetspeichermedien und Satelliten-Projekte für die Vorwärts-Fehlerkorrektur (Forward Error Correction, FEC) fehlerkorrigierende Codes entwickelt, bei denen die im Datenstrom auftretenden Bitfehler am Empfangsort mit hoher Wahrscheinlichkeit erkannt und korrigiert werden können. Solche Codes werden heute standardmäßig bei allen Datenübertragungen eingesetzt wie beim Abspielen von CDs oder DVDs, beim Mobilfunk sowie bei jedem Kopiervorgang von Dateien auf Rechnern oder im Internet. Weitergehende Information zur Codierung findet man in folgenden Büchern [5], [6], [11], [18].

12.4 Materieverteilung im Universum

12.4.3.1

637

Optischer Bereich

Zu den umfangreichsten Unternehmen, die im optischen Bereich liegen, zählen die von der europäischen Raumfahrtbehörde ESA von 1989 bis 1993 durchgeführte Hipparcos-Mission und die Ende 2013 als Nachfolger gestartete fünfjährige Gaia-Mission. Die Aufgabe dieser Astrometriesatelliten ist die Bestimmung der Positionen von Sternen der Milchstraße und deren Entfernungen durch sehr genaue Parallaxenmessungen. Bei Hipparcos wurden die Parallaxen von 120 000 Sternen mit einer Genauigkeit von einer Millibogensekunde (1 mas) gemessen. Bei Gaia sind Aufwand und Präzision der Messinstrumente auf Grund des Fortschritts der technischen Entwicklung eines Vierteljahrhunderts entsprechend größer. Dabei ist es das Ziel, die Positionen, Helligkeiten, Eigenbewegungen und trigonometrischen Parallaxen von mehr als einer Milliarde der etwa 200 Milliarden Sterne der Milchstraße mit bisher unerreichter Exaktheit bis zur 21. Größenklasse zu vermessen. Die Genauigkeit der Parallaxenmessung wird dabei 50 mal höher sein als bei Hipparcos bis herunter zu 20 Mikrobogensekunden (20 μas), um damit ein klareres Bild der dreidimensionalen Struktur unserer Heimatgalaxie zu erstellen. Die ersten Daten wurden 2016 als Gaia Data Release 1 veröffentlicht und durch Vergleich mit Hipparcos-Daten konnten erste Ergebnisse erzielt werden. Der finale Gaia-Katalog ist für das Jahr 2022 geplant, [48], [49], [82], [83], [124]. Das Hubble-Weltraumteleskop (Hubble Space Telescope, HST) wurde von NASA und ESA gemeinsam in einer etwa 20-jährigen Planungs- und Entwicklungszeit realisiert und 1990 in eine anfänglich 600 km hohe und 96 Minuten dauernde Umlaufbahn gebracht. Dieses Teleskop leitete ein neues Zeitalter der Astronomie ein, indem es die optischen Beobachtungen in den Weltraum außerhalb der Erdatmosphäre verlegte, um die Einschränkungen durch deren Absorption und Turbulenz zu umgehen, die das Auflösungsvermögen von terrestrischen Teleskopen zur damaligen Zeit vor Einführung der adaptiven Optik begrenzten und verschiedene Spektralbereiche blockierten. Der messbare Wellenlängenbereich des Teleskops erstreckt sich vom Infrarot über den sichtbaren Bereich bis zum Ultraviolett. Mit einer bis dahin nicht erreichten Auflösung wurden breit gefächerte Missionsziele geplant, die alle wesentlichen Objekte und Phänomene des Universums umfassten wie Planeten im Sonnensystem und Exoplaneten, Sterne

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12 Astronomie und Kosmologie

und Nebel aller Art, Galaxien in beliebiger Entfernung, Schwarze Löcher sowie Dunkle Materie und Dunkle Energie. Nach Inbetriebnahme des Teleskops stellte sich bei den ersten Aufnahmen jedoch heraus, dass der 2.4 mI Hauptspiegel durch falschen Schliff starke sphärische Aberration aufwies, was zu unscharfen und unbrauchbaren Bildern führte. Durch softwaremäßige Nachbehandlung konnte man die Bildfehler teilweise kompensieren. Da von Anfang an Wartungen im Orbit des Teleskops durch SpaceShuttle-Missionen für Reparaturen, Austausch von Komponenten und Aufrüstung vorgesehen waren, konnte in der ersten Mission Ende 1993 der Spiegelfehler durch Einbau einer Korrekturoptik behoben werden. Seither ist das Weltraumteleskop voll funktionsfähig und wurde in insgesamt fünf Wartungsmissionen durch den Einbau von immer leistungsfähigeren Komponenten zu einem der erfolgreichsten und bekanntesten wissenschaftlichen Messinstrumente, [27, S. 28], [77]. Die Messungen des HST haben das Weltbild der Astronomen neu gestaltet, z.T. sogar revolutioniert, und seine Aufnahmen von reizvollen Himmelsobjekten lieferten auch für Laien besonders ansprechende Bilder aus dem Kosmos, [101]. Einige der wichtigsten Beiträge zur astronomischen Erkenntnis stellen die als Hubble Deep Field bezeichneten Ergebnisse dar. Dabei wurde 1995 zehn Tage lang ein bis dahin als dunkel bekannter, kleiner Bereich im Großen Bären von etwa 5ˆ5 Quadratbogenminuten ohne Vordergrundsterne und bekannte Galaxien beobachtet, dessen wichtiger Datensatz den Namen Hubble Deep Field North (HDFN) erhielt und der 1998 durch ein südliches Gegenstück Hubble Deep Field South (HDFS) ergänzt wurde. Mit einer 2002 installierten, verbesserten Kamera wurde das Hubble Ultra Deep Field (HUDF) aufgenommen und mit weiteren Surveys konnte der Blick immer tiefer und damit früher ins Universum geworfen werden. Die HDFBilder enthüllen mehrere Tausend sehr lichtschwache Galaxien von großer Formen-, Farben- und Größenvielfalt, die Informationen über den frühen Zustand und die Entwicklung des Universums liefern, [27, S. 28, 31, 470], [79]. Neben dem HDF gibt es inzwischen auch eine Reihe von terrestrischen Deep Field Projekten, [99]. Nach der letzten Wartung 2009 wird das Hubble-Weltraumteleskop mit seiner aktuellen, den Stand der Technik darstellenden Ausrüstung weiterbetrieben. Seine Lebensdauer ist durch den stetig sinkenden Orbit begrenzt, was bei niedrig umlaufenden Satelliten unterhalb von 1000 km durch den

12.4 Materieverteilung im Universum

639

Luftwiderstand der Restatmosphäre hervorgerufen wird. Dadurch wird das Teleskop etwa im Jahr 2030 in die dichtere Erdatmosphäre eintreten und verglühen. 12.4.3.2

Infrarot-Astronomie

Da Infrarotstrahlung vom Wasserdampf der Erdatmosphäre stark absorbiert wird, kann der Bereich vom nahen (NIR) bis fernen Infrarot (FIR) mit Wellenlängen zwischen 1 μm und 300 μm mit erdgebundenen Teleskopen nur in kleinen Fenstern und in großen, trockenen Höhenlagen wie beim MaunaKea-Observatorium, Hawaii, untersucht werden. Für den größten Teil dieses Wellenlängenbereichs sind Satellitenmissionen zur Beobachtung erforderlich. Nach ersten Ballon-, Raketen- und Flugzeugexperimenten seit den 1960er Jahren erfolgten Fortschritte der Infrarotastronomie mit den ersten Satellitenmissionen IRAS (Infrared Astronomical Satellite, 1983) und ISO (Infrared Space Observatory, 1995 - 98). Auch das Hubble-Weltraumteleskop wurde 1997 mit einem Infrarotinstrument ausgerüstet. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Infrarotinstrumente mit flüssigem Helium gekühlt werden müssen, da sonst die eigene thermische Strahlung des Satelliten die Mess-Signale überlagert. Der mitgeführte Heliumvorrat begrenzt daher die Zeit, in der die Satellitenmission optimal arbeiten kann. Das Weltraumteleskop Spitzer mit Kamera, Photometer und Spektrograph war 2003 - 2009 mit Heliumkühlung in Betrieb, seither können nur noch die beiden kurzwelligen Kanäle der Infrarotkamera genutzt werden, [106]. Seit 2009 arbeitete das Weltraumteleskop Herschel, das mit 3.5 mI den größten Spiegel besaß, der bisher für eine Satellitenmission gefertigt wurde. Nach der Erschöpfung des Heliumvorrates wurde die Mission 2013 beendet und der Satellit in eine Friedhofsbahn um die Sonne gelenkt. Als Nachfolger des Hubble-Teleskops wird das noch im Bau befindliche James-Webb-Weltraumteleskop (JWST) im Jahr 2020 seine Arbeit aufnehmen, das das bisher größte und teuerste Satellitenteleskop ist. Die Beobachtungen des Instrumentes werden im nahen und mittleren Infrarotbereich (0.6 .. 28 μm) stattfinden, der durch Wasserdampf- und Sauerstoffanteile der Atmosphäre für erdgebundene Teleskope blockiert ist. Das Teleskop wird in einer solaren Umlaufbahn am sonnenabgewandten Lagrange-Punkt L2 des Erde-Sonne-Systems positioniert werden (s. Abschnitt 11.1.1.3), der von der Erde etwa vierfache Mondentfernung hat, [35, S. 127]. Der Hauptspiegel

640

12 Astronomie und Kosmologie

mit einem Durchmesser von 6.5 m besteht aus 18 sechseckigen Segmenten aus goldbeschichtetem Beryllium. Die verschiedenen Infrarotmessgeräte haben Winkelauflösungen im Bereich von 30 bis 190 Millibogensekunden. Eine der Hauptaufgaben des JWST wird die Suche nach Exoplaneten sowie Biomarkern wie Sauerstoff und Wasser in deren Atmosphären sein. 12.4.3.3

Röntgen-Astronomie

Die Durchmusterung der Himmelskugel im Bereich der Röntgenstrahlung kann nur mit Satellitenmissionen außerhalb der Erdatmosphäre durchgeführt werden, [1]. Der erste Röntgensatellit mit der Bezeichnung Uhuru (Swahili für Freiheit) enthielt nur eine für die damalige Zeit aktuelle Version eines Geigerzählers mit beschränkter Richtungsauflösung. In seiner Betriebszeit von 1970 bis 1973 entdeckte er ungefähr 340 Röntgenobjekte, darunter das diffuse Röntgenleuchten von Galaxien und erstmals Röntgendoppelsterne. Da Röntgenstrahlung, anders als sichtbares Licht, weder durch Linsen gebrochen noch durch gewöhnliche Spiegel bei senkrechtem oder großem Einfallswinkel reflektiert wird, musste man ein Teleskop nach anderen Prinzipien entwickeln, [56]. Die für Röntgensatelliten eingesetzte Optik, die auch als Wolter-Teleskop bezeichnet wird, die 1951 von Hans Wolter entwickelt wurde, verwendet eine Spiegelanordnung, bei der die Röntgenstrahlung nur bei streifendem Einfall unter ein bis zwei Grad auf Oberflächen mit einer Mikrorauhigkeit von weniger als einem Nanometer eine Reflexion erfährt. Die Röntgenstrahlen werden zunächst an einer Paraboloid- und dann an einer Hyperboloidfläche unter sehr flachem Winkel streifend reflektiert und bilden in der Fokalebene ein Röntgenbild. Die Spiegelsysteme sind zur Erhöhung der Intensität vier- oder mehrfach ineinander geschachtelt. Größere Satellitenmissionen waren das Einstein-Observatorium (1978 1981) und das ROSAT-Projekt in den Jahren 1990 -1999, [73], bei dessen Himmelsdurchmusterung etwa 150 000 Röntgenquellen entdeckt wurden. Seit 1999 arbeiten der Röntgensatellit Chandra der NASA und das Weltraumobservatorium XMM-Newton der ESA, deren wissenschaftliche Ziele die Untersuchung von Supernova-Überresten, die Beobachtung von Schwarzen Löchern und von heißen Gaswolken in Galaxien und Galaxienhaufen umfassen.

12.5 Dunkle Materie

641

Bei vielen Galaxien ist die im Röntgenlicht gemessene Masse des bis zu 100 Millionen Grad heißen Plasmas des intergalaktischen Gases bis zu fünfmal größer als die sichtbare Masse der Galaxien, (Abbildung 12.3). Für die Entdeckung der ersten Röntgenquelle Scorpius X-1 außerhalb des Sonnensystems im Jahre 1962 und seine Leistungen in der Röntgenastronomie (Uhuru, Einstein-Observatorium) erhielt Riccardo Giacconi im Jahr 2002 den Nobelpreis für Physik, [87].

12.5

Dunkle Materie

Im Jahre 1933 hatte Fritz Zwicky Galaxien im Coma-Haufen untersucht und eklatante Unterschiede ihrer Massen entdeckt, die er einerseits aus dem Erscheinungsbild ihrer Leuchtkraft erwartete und die er andererseits aus ihren Relativgeschwindigkeiten ableitete. Er schloss daraus, dass die Masse um ein Vielfaches größer sein müsste, als die Leuchtkraft vermuten ließ, und nannte diese nicht sichtbare fehlende Masse eine Art dunkle Materie, [20, S. 66]. Bereits 1950 noch als Studentin verglich Vera C. Rubin in ihrer Magisterarbeit Flucht- und Eigenbewegungen von Galaxien. In den 1960er Jahren bestimmte sie zusammen mit Kent Ford mit dessen neuem empfindlichen Spektrographen die Rotationsgeschwindigkeiten von Galaxien auf Grund der Rot- und Blauverschiebungen in den Spiralarmen. Da sich die Bahngeschwindigkeiten der einzelnen Sterne vom Zentrum nach außen aber nicht auf Kepler-Kurven (3.17) befanden, sondern nach anfänglichem Anstieg nahezu konstant mit dem Abstand blieben und damit auf flachen Rotationskurven lagen, folgerten sie, dass eine zusätzliche, aber nicht sichtbare Masse existieren musste, [58], [63]. Mitte der 1970er Jahre führten James Peebles und Jeremiah Ostriker N -Körper-Computer-Simulationen der Milchstraße als Einzelgalaxie und von Galaxienhaufen gemäß Gleichung (11.3) durch. Sie stellten fest, dass die Gravitationsbewegung der Milchstraße bzw. der Einzelgalaxien in Haufen nicht ins Taumeln geriet und sich nur stabilisieren ließ, wenn sie jeweils enorme Massen in der Umgebung, in einem Halo, hinzufügten, wodurch Milchstraße bzw. Galaxien gravitativ zusammengehalten wurden. Nach ihren Untersuchungen könnte die Masse der Galaxien sogar bis zu einem Faktor 10 unterschätzt werden! Durch die Analyse einer Vielzahl vorhandener

642

12 Astronomie und Kosmologie

astronomischer Beobachtungen stützten sie die Ergebnisse ihrer Simulationen mit konkreten Untersuchungsdaten und Messwerten ab, [20, S. 64, 67]. Vielfältige Untersuchungen haben inzwischen ergeben, dass für die meisten Spiralgalaxien und Galaxienhaufen die Rotationskurven, die die Bahngeschwindigkeiten über der Entfernung vom Zentrum darstellen, bis zur Messgrenze flach sind. Das bedeutet, dass sich ein großer Teil der Masse in einem sphärischen Halo oder in einer massereichen Hülle befinden muss, die bis weit außerhalb der sichtbaren oder elektromagnetisch messbaren Galaxien reicht. Nach den Messergebnissen besteht die gesamte Materie des Universums nur zu etwa 15 % aus strahlender, baryonischer Materie in Form von Sternen, Staub und interstellarem Gas, der überwiegende restliche Anteil von 85 % dagegen aus bisher nicht nachweisbarer, Dunkler Materie! Auf Grund der Entdeckung dieser speziellen, noch unbekannten Materieform wurde der Dichteparameter für die Materie neu bezeichnet und aus zwei Anteilen zusammengesetzt, Ωmat “ Ωb ` Ωd , mit einem Verhältnis von Ωb { Ωd « 0.18. Eine wichtige Beobachtung stellt der sog. Bullet Cluster in Abbildung 12.3 in einer Entfernung von 3.9 Milliarden Lichtjahren dar, dessen Besonderheit 2006 bekannt wurde. In ihm durchdringen sich zwei Galaxienhaufen, wobei sich die Galaxien und ebenso die enthaltenen Sterne ihrer großen Entfernungen wegen kollisionsfrei aneinander vorbeibewegen. Das diffuse Gas im Raum zwischen den Galaxien, das wesentlich mehr Masse als die Sterne enthält, trifft dagegen aufeinander und erzeugt Stoßwellen mit Aufheizung des Materials und Generierung von Röntgenstrahlung. Das von der NASA veröffentlichte Bild des Bullet-Clusters ist eine Kombination mehrerer Teleskopaufnahmen, bei dem die durch den Gravitationslinseneffekt nachgewiesene Gesamtmasse blau und das durch Röntgenstrahlung identifizierbare heiße Gas, das nur die baryonische Komponente enthält, in rosa dargestellt sind. Aus der Differenz kann man auf den Anteil der Dunklen Materie schließen, was die NASA als direkten Beweis für diese Form der Materie wertete, [27, S. 305, 324, 327], [112]. Da die Gesamtmasse im Universum nach verschiedenen Berechnungen und Schätzungen nur auf ein Ωmat « 0.3 führt, muss man für den mehr als doppelt so großen fehlenden Anteil noch eine Erklärung finden, damit der Gesamtparameter für das flache Universum Ω “ 1 erreicht! Zur Zeit ist es noch ungewiss und Gegenstand von Forschung und diversen Experimenten, woraus die Dunkle Materie besteht. Nach den bisherigen

12.5 Dunkle Materie

643

Abb. 12.3: Montagebild des Bullet-Clusters Hintergrund vom Hubble-Weltraumteleskop Röntgenstrahlung in rosa, Massenverteilung gemäß Gravitationslinseneffekt in blau

Erkenntnissen hat dieses Problem höchstwahrscheinlich keine astronomische Lösung, sondern eine Antwort, die von der Teilchenphysik geliefert werden wird. Da die Dunkle Materie elektromagnetische Strahlung weder aussendet noch absorbiert, können Baryonen keinen Hauptbestandteil bilden. Dagegen macht sich die Dunkle Materie durch die erhöhte Schwerkraft in den Galaxien bemerkbar, die man durch den Gravitationslinseneffekt nachweisen kann, so dass man als Hauptanteil besondere, massereiche Teilchen vermutet. Sie unterliegen nur der Gravitation und der schwachen Wechselwirkung und wurden 1985 von Michael Turner als WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles) bezeichnet. Trotz einer Vielzahl von terrestrischen und Satellitenexperimenten konnten diese vermuteten Teilchen bisher

644

12 Astronomie und Kosmologie

noch nicht identifiziert werden. Da sich WIMPs relativ langsam bewegen sollen, also wenig Energie besäßen und daher „kalt“ wären, werden sie als kalte Dunkle Materie (Cold Dark Matter, CDM) bezeichnet, woraufhin diese Vorstellung der Kosmologen als CDM-Modell bezeichnet wird, [113], [116]. Die kalte Dunkle Materie steht auch im Einklang mit der Erkenntnis der Astronomen, dass eine zunehmende Komplexität und Inhomogenität im Universum festzustellen ist, je näher man der Gegenwart kommt. Dabei kondensierten aus geringsten Dichtefluktuationen der Frühphase erste Sterne, aus denen durch Gravitation Galaxien entstanden, die im weiteren Verlauf Galaxienhaufen, Superhaufen und Filamente mit großen, dazwischen liegenden Leerräumen oder Voids bildeten.

12.6

Schwarzer Körper und Hohlraumstrahlung

Der Schwarze Körper ist eine Idealisierung, bei der ein Körper die auf ihn fallende elektromagnetische Strahlung bei allen Frequenzen vollständig absorbiert. Einen Schwarzen Körper kann man mit beliebiger Annäherung durch eine kleine Öffnung in einem meist kugelförmigen Hohlraum realisieren, die dadurch absolut schwarz wirkt, dass einfallende Strahlung nach vielfacher innerer Reflexion an den absorbierenden Wänden des Innenraumes, in den man noch Blenden und Hindernisse einbringen kann, vollkommen absorbiert wird. Wenn man den Hohlraum erwärmt, tritt aus der Öffnung die temperatur- und frequenzabhängige Hohlraumstrahlung oder Schwarzkörperstrahlung aus, wodurch der Schwarze Körper einen idealen Temperaturstrahler darstellt. Nach Vorarbeiten durch andere Forscher, vor allem Gustav Robert Kirchhoff und Wilhelm Wien, gelang Max Planck (1858 -1947) im Jahre 1900 die theoretische Beschreibung der spektralen Energieverteilung der Hohlraumstrahlung. Planck erkannte, dass das einfache, bis dahin verwendete Oszillatormodell die gemessene Hohlraumstrahlung nicht beschreibt. Nach seiner eigenen Aussage machte er in einem Akt der Verzweiflung die Ad-hoc-Annahme des linearen Zusammenhangs W “ hf nach (10.19) zwischen Energie und Frequenz, wobei er das Wirkungsquantum h als kleine Hilfsgröße einführte. Mit der Quantenhypothese, nach der die abgestrahlte Energie nicht in beliebig teilbarer Menge sondern nur in sog. Quanten als kleinsten elementaren Teilbeträgen abgegeben wird, konnte

12.6 Schwarzer Körper und Hohlraumstrahlung

645

Planck die Strahlungsformel ableiten, die das Frequenzspektrum der Hohlraumstrahlung exakt beschrieb, [38, Kap. 2]. Das Planck’sche Strahlungsgesetz des Schwarzen Körpers, das in Abbildung 12.4 dargestellt ist, lautet

χpf, T q “

8πh f3 c3 e hf {kB T ´ 1

(12.4)

Es gibt die Energiedichte χ pro Hz Bandbreite in Ws/m3 ¨1{Hz als Funktion von Frequenz f und Temperatur T an, [25, S. 520], [42, S. 574]. Die darin auftretende Boltzmann-Konstante hat den Wert, kB “ 1.381 ¨ 10´23 Ws/K

(12.5)

mit der man die Energie (10.19) auch durch eine äquivalente Temperatur ausdrücken kann. W “ hf “ kB T

(12.6)

Sehr genaue Messungen der Isothermen der Hohlraumstrahlung wurden von Otto Lummer und Ernst Pringsheim durchgeführt, die das Gesetz bestätigten. Plancks Gesetz interpoliert zwischen den bis dahin bereits bekannten Näherungen, [28, S. 102]. Für kleine Frequenzen gilt das RayleighJeans-Gesetz, χpf, T q “

8πkB T 2 f c3

für hf ! kB T

das mit wachsender Frequenz aber zu unendlicher Energiedichte führt, die als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet wurde. Für große Frequenzen gilt das Wien’sche Strahlungsgesetz, das zwar ein Maximum beschreibt aber für niedrige Frequenzen falsche Ergebnisse liefert. χpf, T q “

8πh 3 ´ hf {kB T f e c3

für hf " kB T

646

12 Astronomie und Kosmologie

c











  



Abb. 12.4: Planck’sches Strahlungsgesetz in doppelt-logarithmischer Darstellung, χ in Ws/(m3 ¨Hz), f in Hz Die Frequenz des Strahlungsmaximums von (12.4), die man durch Nullsetzen der Ableitung Bχpf, T q{Bf und numerische Berechnung erhält, liegt bei fmax “ 2.821

kB GHz GHz T “ 58.8 ¨ T “ 1010.77 ¨T „ T h K K

und das Strahlungsmaximum selbst lautet mit q “ χpfmax , T q “

hfmax “ 2.821 kB T

8πh ´ kB ¯3 q 3 T3 “ αT3 c3 h eq ´ 1

α “ 7.953 ¨ 10´27

2 3 Ws2 s3 ´ 26.1 Ws s “ 10 K 3 m3 K 3 m3

Der lineare Zusammenhang zwischen Frequenz fmax und Temperatur T bzw. der multiplikative zwischen Wellenlänge λmax und T λmax T “ const. stellt das Wien’sche Verschiebungsgesetz dar.

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

647

Obwohl erst Albert Einstein 1905 in seiner Arbeit über den photoelektrischen Effekt die physikalische Erklärung der Lichtquanten lieferte (Abschnitt 10.4), erhielt Max Planck 1918 für die Entwicklung der Quantentheorie den Nobelpreis für Physik.

12.7 12.7.1

Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung Frühe Untersuchungen

Die Urknalltheorie war durch Lemaître theoretisch und durch Hubble experimentell wahrscheinlich geworden. In den Jahren 1945 bis 1953 wurde in Arbeiten des aus Russland stammenden, amerikanischen Physikers George Gamow (1904 -1968), der vor dem Tod von Alexander Friedmann dessen Doktorand war, und seines Doktoranden Ralph Alpher die nach dem Urknall einsetzende primordiale Nukleosynthese entwickelt, [31, S. 325f.]. Das Ergebnis resultierte 1948 in einem der bedeutendsten Artikel in der Geschichte der Kosmologie. Obwohl Hans Bethe nicht beteiligt war, setzte Gamow ihn wegen des Namenseffekts gegen Alphers Willen als Autor mit ein. Dieser Aufsatz, dessen Autoren ähnlich klingen wie die Anfangsbuchstaben des griechischen Alphabets in Anlehnung an die von Ernest Rutherford bezeichneten Alpha-, Beta- und Gammastrahlen, ist daher heute als αβγ-Artikel bekannt. Nach den Berechnungen von Gamow und Alpher, zu denen noch Robert Herman stieß, entstanden aus dem ursprünglichen, extrem heißen Plasma der Frühphase während Expansion und entsprechender Abkühlung des Universums in einem bestimmten Zeit- und Temperaturfenster durch Kernfusion gemäß den Wirkungsquerschnitten der Elementarteilchen die leichtesten Atome. Nach etwa 380 000 Jahren war die Temperatur auf ca. 3000 K gesunken und zu diesem Zeitpunkt setzte die Rekombination ein, womit man die Vereinigung freier Protonen und Elektronen in gebundenen Atomzuständen bezeichnet. Am Ende der Urknall-Nukleosynthese hatte sich das heiße ionisierte Plasma in ein elektrisch neutrales Gas verwandelt, in dem stabile Atome mit einem auch heute noch messbaren Verhältnis von etwa einem Heliumatom auf zehn Wasserstoffatome existierten. Da Photonen wegen der sinkenden Temperatur und damit abnehmender Energie kaum noch über die Ionisie-

648

12 Astronomie und Kosmologie

rungsenergie verfügten, um bereits entstandene Atome anzuregen oder in ihre Kernbausteine zu zerlegen, existierte von da an eine Entkopplung von Strahlung und Materie. Die Atome gingen in ihren Grundzustand über, wodurch das Weltall transparent wurde, da sich nun Photonen weitgehend ungehindert ausbreiten konnten, die eine kosmische, den Raum gleichmäßig erfüllende Strahlung erzeugten. Die nach den Berechnungen von Alpher und Herman prognostizierte Strahlung sollte der Hohlraumstrahlung eines Schwarzen Körpers nach dem Planck’schen Strahlungsgesetz entsprechen, die zu diesem Zeitpunkt bei der Temperatur von 3000 K mit einer Maximum-Wellenlänge von etwa 1 μm im nahen Infrarot vorhanden wäre. Als Echo des Urknalls sollte sie auch heute noch aus jeder Richtung in gleicher Intensität messbar sein. Durch die seither vergangene Zeit und die dabei erfolgte Expansion des Weltalls müsste die Wellenlänge aber auf etwa 1 mm gedehnt worden sein, was einer Frequenz von 300 GHz entspräche. Wegen der Abkühlung würde die Schwarzkörperstrahlung heute eine Temperatur aufweisen, die die Gamow-Gruppe zu etwa 5 K berechnete. Der Nachweis dieser vorausgesagten Mikrowellen-Strahlung, die am Ende der Plasmaphase freigesetzt wurde, wäre ein überzeugender Beweis für das Urknallmodell gewesen! Die drei Wissenschaftler gaben ihr Projekt schließlich auf und wandten sich anderen Aufgaben zu, denn ihre Arbeiten wurden von den Astronomen vollkommen ignoriert und in der Folgezeit auch vergessen, da sie einerseits von „Außenseitern“ aus dem Bereich der theoretischen Kernphysik stammten und man andererseits auch noch keine ausreichenden, technischen Möglichkeiten für eine experimentelle, radioastronomische Prüfung besaß.

12.7.2

Theorie und Entdeckung der Hintergrundstrahlung

An der Princeton University, New Jersey, lehrte der theoretisch wie experimentell arbeitende Physiker Robert H. Dicke (1916 -1997), der über die Fachkompetenz auf den Gebieten von Astronomie, Kernphysik und Mikrowellentechnik verfügte. Während des 2. Weltkrieges war er in der Radarund Mikrowellenforschung tätig, [19], erfand den Lock-in-Verstärker und schlug auch eine alternative, inzwischen widerlegte Gravitations-Feldgleichung (Dicke-Brans-Theorie) vor. Nach den im Jahre 1964 von ihm und seinem Postdoktoranden James Peebles durchgeführten Berechnungen sollte eine kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung existieren, die als Radiosignal mit einer Maximum-Wellenlänge von 1 mm messbar wäre. Die

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

649

Mitarbeiter Peter Roll und David Wilkinson entwickelten eine Antenne für die radioastronomische Messung der Strahlung und der daraus abzuleitenden Temperatur, um das Urknallmodell des Universums zu bestätigen, [20, S. 25f.]. Unabhängig davon war das Ziel der Radioastronomen Arno Penzias und Robert Wilson in den Bell Labs in Crawford Hill, New Jersey, ab 1963 mit einer 6-Meter-Hornantenne den Himmel nach Radioquellen zu durchmustern. Bei der Untersuchung des Rauschens ihres Radioteleskops entdeckten sie eine nicht zu beseitigende Rauschquelle, die in konstanter Weise aus allen Himmelsrichtungen zu kommen schien und einer Hohlraumstrahlung von ungefähr 3 K entsprach, [31, S. 434f.]. Nach Kontaktaufnahme veröffentlichte jede Arbeitsgruppe 1965 in der gleichen Fachzeitschrift einen Artikel. Penzias und Wilson berichteten über Messung und Entdeckung der isotropen Strahlung bei 4.08 GHz oder 7.35 cm und die Dicke-Gruppe lieferte die Theorie und interpretierte die Beobachtungen und Messergebnisse als Beweis für die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (Cosmic Microwave Background Radiation, CMBR) und den Urknall. 1978 erhielten Penzias und Wilson für die Entdeckung der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung den Nobelpreis für Physik, bei der Penzias in seiner Dankrede den Beitrag von Gamow, Alpher und Herman in lobender Weise würdigte, um die fehlende Anerkennung für deren ursprüngliche Arbeiten zu betonen, [31, S. 445], [55]. Mit der Entdeckung von Radiogalaxien, Quasaren und der Mikrowellenstrahlung war auch die Theorie eines zwar expandierenden, aber durch Neubildung von Materie zwischen den Galaxien weitgehend unveränderlichen Universums, das sog. Steady-State-Modell, widerlegt, das speziell von Fred Hoyle, Hermann Bondi und Thomas Gold favorisiert wurde. Alle Messungen der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung, die im weiteren Verlauf bei vielen Frequenzen durchgeführt wurden, haben inzwischen bewiesen, dass das Spektrum in perfekter Weise der Hohlraumstrahlung eines Schwarzen Körpers entspricht. Daraus schlossen die Forscher, dass sich das Universum zur Zeit der Entstehung der Strahlung im thermischen Gleichgewicht befand. Das bedeutet einerseits, dass Umwandlungsprozesse zwischen Teilchen und Strahlung in Hin- und Rückrichtung gleich häufig waren und andererseits, dass an jedem Ort die gleiche Temperatur herrschte. Dieser Zustand liegt heute offensichtlich nicht mehr vor, da die Tempe-

650

12 Astronomie und Kosmologie

raturunterschiede zwischen dem interstellaren Raum und dem Inneren von Sternen von extremer Größe sind. Trotz der großen Erfolge der Urknalltheorie mit der Vorhersage des Verhältnisses von Wasserstoff und Helium, der Nukleosynthese und der Mikrowellenstrahlung blieb für die Kosmologen dennoch die Frage unbeantwortet, wie sich in einem aus dem Urknall entstandenen Universum, das in der Frühphase zunächst als homogen und isotrop angesehen wurde, Galaxien bilden konnten, die in lokaler Hinsicht offenbar keine Homogenität mehr aufweisen. Die heute vorhandene Inhomogenität des Universums durch Materieansammlungen in lokalem Maßstab musste ihren Ursprung daher bereits am Anfang in winzigsten Dichteunterschieden der Materieverteilung gehabt haben, die die Keime bildeten, aus denen sich im Laufe der Zeit durch die Wirkung der Gravitation Sterne, Galaxien und Galaxienhaufen entwickelten.

12.7.3

Projekte zur Messung der Hintergrundstrahlung

Es lag nahe, bei der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung als dem ältesten Überrest des frühen Universums anzusetzen. Auf Grund der vermuteten Dichte- und entsprechenden Gravitationsunterschiede sollte die Strahlung in verschiedenen Himmelsrichtungen geringfügige Unterschiede aufweisen. Um den Nachweis einer nicht völlig isotropen Strahlung zu führen, beschloss die NASA nach nicht ausreichenden Ergebnissen bei Ballon- und Flugzeugmessungen, ein umfassendes Satellitenprojekt durchzuführen, das gleichzeitig den störenden Einfluss der Atmosphäre ausschloss. 1976 wurde das COBE-Projekt (Cosmic Background Explorer) mit drei verschiedenen Detektoren definiert, das sich wegen der Explosion des Space Shuttle Challenger 1986 verzögerte, so dass der Satellit erst Ende 1989 gestartet werden konnte. Seine Messungen dauerten bis 1993, [72]. Die Messdaten, die den gesamten Himmel in einem breiten Wellenlängenbereich erfassten, wurden einer gründlichen Analyse zur Harmonisierung der Detektorsignale und zur Bereinigung der Einflüsse der Bewegung von Erde und Sonnensystem im Raum sowie von Staub und der Strahlung von Vordergrundsternen und Galaxien unterzogen. 1992 wurden die Ergebnisse der Öffentlichkeit unterbreitet, wonach die Mikrowellen-Hintergrundstrahlung perfekt der Hohlraumstrahlung eines Schwarzen Körpers von 2.725 K entspricht. Die geringen Schwankungen von maximal 17 μK, die die vermu-

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

651

teten Dichtefluktuationen belegten, bestätigten damit die Erwartungen der Astronomen für Standardmodell und Urknalltheorie, [76]. Für die Leitung und Durchführung des langjährigen Satelliten-Projektes COBE, das das Verständnis des Universums deutlich verbesserte und festigte, erhielten John Mather und George Smoot 2006 den Nobelpreis für Physik. Obwohl James Peebles wesentliche Beiträge zur Strukturuntersuchung des Universums geliefert hatte, wurde er vom Nobelkomitee nicht berücksichtigt, [102]. Beim COBE-Projekt betrug die Winkelauflösung nur etwa 7˝ und war damit zu grob für eine genauere Analyse der Dichteschwankungen in der Frühphase des Universums, (s. Abbildung 12.5). Zur detaillierteren Untersuchung wurden zwei Ballon-Experimente, [85], in Höhen von mehr als 40 km durchgeführt, deren Messungen zwar nur kleine Himmelsausschnitte betrafen, die aber eine hohe Winkelauflösung hatten. Beim Maxima-Experiment fanden 1998/99 zwei Ballonflüge über Texas statt und beim Boomerang-Experiment umrundeten zwei Ballons 1998 und 2003 den Südpol. Die Ergebnisse der beiden Experimente bestätigten die bisherigen Messungen und damit das kosmologische Standardmodell eines flachen Universums mit anfänglicher Inflationsphase und stützten die Evidenz der Dunklen Energie, auf die im nächsten Abschnitt näher eingegangen wird. Im Jahre 2001 startete die NASA den Satelliten WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), dessen Mission 2010 abgeschlossen wurde. Das Ziel der Mission bestand darin, eine präzisere Untersuchung der Hintergrundstrahlung des gesamten Himmels in fünf Frequenzbändern von 23 bis 94 GHz durchzuführen und auch die Polarisation der Strahlung zu bestimmen. Die Temperaturschwankungen geben Aufschluss darüber, wo sich die Materie in der Frühphase des Universums befand, die Polarisation darüber wie sie sich bewegte, [20, S. 277]. Die Messung der Temperaturverteilung Θpϑ, ϕq auf der Himmelskugel war 35 mal detaillierter als beim COBE-Projekt, wodurch viel weitreichendere Schlüsse gezogen werden konnten, die das Standardmodell der Kosmologie bestätigten, [88], [98]. Die dritte Satellitenmission war das von der europäischen Weltraumorganisation ESA in den Jahren 2009 bis 2013 betriebene Weltraumteleskop Planck, dessen Mikrowellenkartierung dreimal genauer gegenüber der WMAP-Mission war und darüber hinaus weitere Verbesserungen aufwies, [111].

652

12 Astronomie und Kosmologie

Abb. 12.5: Temperaturverteilung der verschiedenen Satellitenmissionen auf der Himmelskugel COBE (oben), WMAP (Mitte) und Planck (unten)

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

653

Die Auswertung der Ballon-, WMAP- und Planck-Messdaten bestätigte und präzisierte die bisherigen mit COBE gemessenen Parameter der kosmologischen Entwicklung (Abbildung 12.5). Damit liegt die Rekombinationszeit bei 380 000 Jahren und das Weltalter bei 13.8 Milliarden Jahren. Die Position des Hauptmaximums der Multipolentwicklung im nächsten Abschnitt und in Abbildung 12.6 passt nach den Berechnungen der Astronomen gut zu den Voraussagen für ein flaches Universum. Aus den Temperaturschwankungen der kosmologischen Hintergrundstrahlung und anderen astronomischen Beobachtungen konnte man die Energiedichteparameter sehr genau bestimmen, wobei sich folgende Werte für die Prozentzahlen der verschiedenen Materieanteile ergaben. 4.9 %

für baryonische Materie

26.8 %

für Dunkle Materie

68.3 %

für Dunkle Energie

(12.7)

Damit betrafen alle bisherigen astronomischen Beobachtungen lediglich den sichtbaren bzw. elektromagnetisch nachweisbaren, baryonischen Anteil von weniger als 5 % aller Materie und Energie, was einen erschreckenden Grad an Unkenntnis und Ahnungslosigkeit der Astronomie über den größten Teil des Universums offenbarte!

12.7.4

Auswertung der Messdaten

Eine der wichtigsten Messdatenauswertungen der Satellitenmissionen zur Hintergrundstrahlung war die Untersuchung der Temperaturschwankungen auf der Himmelskugel, die ein Abbild der Dichtefluktuationen in der Frühphase des Universums darstellen. Ähnlich wie man bei der Fourier-Analyse periodischer Funktionen die spektralen Anteile der enthaltenen harmonischen Funktionen oder Frequenzen ermittelt, wird bei der gemessenen Temperaturverteilung Θpϑ, ϕq auf der Himmelskugel eine entsprechende zweidimensionale Analyse dieser Funktion durchgeführt, [16, S. 12, 72], [29, S. 67]. Dem Problem angepasst ist die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen (5.78), die als Produkt aus harmonischen Funktionen von ϕ und zugeordneten Legendre-Polynomen Pm n pcos ϑq ein vollständiges System orthogonaler Funktionen für die Kugeloberfläche bilden. Mit diesen Funktionen erhält man als Orthogonalentwicklung der Temperaturverteilung auf

654

12 Astronomie und Kosmologie

der Himmelskugel nach (5.80) folgenden Ansatz.

8 ÿ

Θpϑ, ϕq “

Yn pϑ, ϕq “

n“0

“

n 8 ÿ ÿ ‰ “ c s pϑ, φq ` Bnm Ynm pϑ, φq Anm Ynm n“0 m“0 n 8 ÿ ÿ

“

‰ Anm cos mϕ ` Bnm sin mϕ Pm n pcos ϑq

n“0 m“0

Zur Berechnung der Konstanten Anm und Bnm wird dieser Ansatz mit veränderten Funktionen cos m˚ ϕ bzw. sin m˚ ϕ sowie Pm n˚ pcos ϑq multipliziert und über die gesamte Kugeloberfläche mit dem Raumwinkelelement sin ϑ dϑ dϕ integriert. Im cos-Fall erhält man

n „ 8 ÿ ÿ

ż2π Anm

n“0 m“0

cos mϕ cos m ϕ dϕ ` Bnm ˚

0

ˆ

żπ

ż2π

j sin mϕ cos m ϕ dϕ ˆ ˚

0 m Pm n pcos ϑq Pn˚ pcos ϑq sin ϑ dϑ

0

“

ż2π żπ

Θpϑ, ϕq cos m˚ ϕ Pm n˚ pcos ϑq sin ϑ dϑ dϕ

0 0

und eine entsprechende Darstellung im sin-Fall. Auf Grund der Orthogonalitätseigenschaften der harmonischen Funktionen und der zugeordneten Kugelfunktionen, die für positive ganze Zahlen m, m˚ und n, n˚ folgendermaßen lauten, [10, S. 108], [16, S. 31], [24, I,

655

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

S. 103, 105],

ż2π 0

$ ’ & 0 ˚ π cos mϕ cos m ϕ dϕ “ ’ % 2π

ż2π

# sin mϕ sin m˚ ϕ dϕ “

0 π

0

ż2π

m ‰ m˚ m “ m˚ ‰ 0 m “ m˚ “ 0 m ‰ m˚ m “ m˚ ‰ 0

sin mϕ cos m˚ ϕ dϕ “ 0

0

żπ

m Pm n pcos ϑq Pn˚ pcos ϑq

sin ϑ dϑ “

$ ’ & ’ %

0

0

n ‰ n˚

2 pn ` mq! 2n ` 1 pn ´ mq!

n “ n˚

(12.8) reduzieren sich die Doppelsummen jeweils auf ein einziges Glied und die Temperaturkoeffizienten der Entwicklung ergeben sich für n ě m ě 0 nach [16, S. 85], [36, S. 403] für m “ 0 und m ą 0 zu

An0

2n ` 1 “ 4π

ż2π żπ

Θpϑ, ϕq Pn pcos ϑq sin ϑ dϑ dϕ

0 0

Anm Bnm

*

2n ` 1 pn ´ mq! “ 2π pn ` mq!

ż2π żπ

" Θpϑ, ϕq

* cos mϕ Pm n pcos ϑq sin ϑ dϑ dϕ sin mϕ

0 0

Die Berechnung der Doppelintegrale erfolgt durch numerische Quadratur auf der Basis der in diskreter Form vorliegenden Messwerte Θik “ Θpϑi , ϕk q, wonach alle interessierenden Koeffizienten ermittelt werden können. In der Entwicklung der Temperaturverteilung fasst die Funktion Yn pϑ, ϕq für ein festes n alle Summenglieder mit 0 ď m ď n zusammen, die den n-ten

656

12 Astronomie und Kosmologie

Multipol bilden. Yn pϑ, ϕq “

n ÿ ‰ “ Anm cos mϕ ` Bnm sin mϕ Pm n pcos ϑq m“0

¯ den Mittelwert der Der Monopol für n “ 0 liefert mit Y0 “ A00 “ Θ Temperatur auf der Himmelskugel. Beim Dipol für n “ 1 existieren drei Moden, bei denen in den drei räumlichen Richtungen jeweils eine Hemispäre eine höhere Temperatur als die andere hat. x-Richtung pm “ 1q

A11 sin ϑ cos ϕ

y-Richtung pm “ 1q

B11 sin ϑ sin ϕ

z-Richtung pm “ 0q

A10 cos ϑ

Beim Quadrupol (n “ 2) existieren fünf und beim Oktopol (n “ 3) sieben Moden usw., deren Temperaturmuster auf der Kugeloberfläche einen immer größeren Detailreichtum aufweisen. Neben den Temperaturverteilungen sind die Leistungsanteile der einzelnen Multipole von Interesse. Als Maß für die Leistung, die eine periodische Funktion enthält, dient der Effektivwert. Bei einer periodischen Funktion f pϕq der Periodenlänge Φ definiert man diesen Kennwert durch 2 ¨ Φ, das dem Integral der quadie Höhe des flächengleichen Rechtecks feff 2 drierten Funktion f pϕq im Intervall Φ entspricht. d ż b 1 Φ 2 2 f pϕq dϕ feff “ xf pϕqy “ Φ 0 Bei Summen harmonischer Funktionen wie bei Fourier-Reihen setzt sich das Quadrat des Gesamteffektivwertes und damit die enthaltene Gesamtleistung additiv aus den Quadraten der Einzeleffektivwerte zusammen, da die Mischglieder, die bei der Quadrierung auftreten, wegen der Orthogonaleigenschaften (12.8) keinen Beitrag liefern. Man bezeichnet die Summation deshalb als leistungsmäßige Addition. In entsprechender Weise definiert man den Effektivwert der Funktion Yn pϑ, ϕq mit zwei Variablen als Höhe des Quaders, der das gleiche Volumen wie die quadrierte Funktion im Grundbereich 0 .. π für ϑ und 0 .. 2π für ϕ besitzt.

657

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

Im vorliegenden Fall gilt für das Quadrat des Effektivwertes, bei dem die Integrale, die keinen Beitrag liefern, bereits weggelassen wurden

Yn2eff

1 “ 2 2π

j2 ż2π żπ „ ÿ n ´ ˘ m Anm cos mϕ ` Bnm sin mϕ Pn pcos ϑq dϑ dϕ m“0

0 0

n n 1 ÿ ÿ “ 2 2π m“0 p“0

ż2π

# Anm Anp

cos mϕ cos pϕ dϕ 0

ż2π

` Bnm Bnp

+ sin mϕ sin pϕ dϕ

ˆ

0

ˆ

żπ

p Pm n pcos ϑq Pn pcos ϑq dϑ

0

Auf Grund der Orthogonalitätsbeziehungen der harmonischen Funktionen entfällt eine Summe, so dass man als Leistung des n-ten Multipols das folgende Quadrat des Effektivwertes erhält.

Yn2eff

“

1 2 A π n0

żπ

“

Pn pcos ϑq

‰2

dϑ

0

1 ` 2π

n ÿ

´

A2nm

`

2 Bnm

m“1

¯ żπ “

Pm n pcos ϑq

‰2

dϑ

0

Die zugeordneten Kugelfunktionen haben nach [24, I, S.74 ] bis auf den Faktor p´1qm die Darstellung, Pm n pcos ϑq

“ sin ϑ m

n´m ÿ p“0

‰ 2pn ´ pq ! cosn´m´2p ϑ ` ˘ 2n pn ´ pq! p! n ´ m ´ 2p !

“ p´1q

p

mit der sich die in der Liste (5.79) aufgeführten Funktionen berechnen lassen. Damit werden die Integrale der Kugelfunktionsquadrate berechnet, die für die niedrigsten Werte von Grad n und Ordnung m folgende Werte haben.

658

12 Astronomie und Kosmologie

n“0 n“1 n“2 n“3

m“0

m“1

m“2

m“3

π π 2 11 π 32 17 π 64

π 2 9 π 8 117 π 64

27 π 8 225 π 16

1125 π 16

Die Quadrate der Effektivwerte oder die Leistungsanteile für Monopol, Dipol und Quadrupol lauten daher folgendermaßen. Y02eff “ A200 ˘ 1 2 1` 2 2 A10 ` A11 ` B11 2 4 ˘ 27 ` 2 ˘ 11 2 9 ` 2 2 2 A21 ` B21 A22 ` B22 ` “ A20 ` 32 16 16

Y12eff “ Y22eff

Das Leistungsspektrum der Temperaturfluktuationen, das die Anisotropie der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung widerspiegelt, erhält man durch die Darstellung der Leistung Yn2eff als Funktion der Multipolvariablen n. An Stelle von n wird in der Literatur meist der Index verwendet. In den veröffentlichten Diagrammen wie in Abbildung 12.6 wird die Ordinate des Leistungsspektrums üblicherweise normiert, allerdings nicht immer einheitlich. Aus den Leistungswerten der Multipolentwicklung können die Astronomen Winkelabstände von Temperaturunterschieden berechnen, aus deren Maxima nach Lage und Größe die Werte von kosmologischen Parametern ermittelt werden. Bei n “ 0 liegt der Monopol, der als Gleichanteil die mittlere Temperatur der Hintergrundstrahlung mit 2.725 K bestimmt. Bei n “ 1, 2, 3, .. befinden sich Dipol, Quadrupol, Oktopol, etc. Echte Informationen über die Fluktuationen erhält man erst ab n “ 2, da der Dipolanteil durch die Dopplerverschiebung in Richtung der Bewegung des Sonnensystems relativ zur Hintergrundstrahlung geringfügig wärmer ist, [97]. Das erste und größte Maximum der Temperaturunterschiede liegt bei n “ 220, das einem Winkelabstand von 0.9˝ und damit knapp der doppelten Vollmondscheibe entspricht. Das zweite, kleinere Maximum tritt bei n “ 540

12.7 Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

659

Abb. 12.6: Leistungsspektrum der Temperaturschwankungen der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung aus verschiedenen Messprojekten und einem Winkelabstand von 0.3˝ auf. Zur Abschätzung kann man nach [29, S. 68] die Näherung n « 180˝ {ϑ verwenden. Nach den kosmologischen Berechnungen auf der Basis der Werte der Satellitenmissionen ist die Position des Hauptmaximums im Einklang mit der Voraussage für ein flaches Universum, dessen Dichteparameter der Materie den kritischen Wert Ω “ 1 hat. Damit verlangsamt sich die Expansion des Weltalls stetig und strebt einem Grenzwert zu, kann sich aber nicht zur Kontraktion umkehren. Die Unklarheit über den tatsächlichen Wert des Dichteparameters Ω, der einerseits nach früheren Schätzungen klein gegen Eins sein sollte, anderer-

660

12 Astronomie und Kosmologie

seits nach den Satellitenmessungen gleich Eins ist, wurde durch Einführung der Dunklen Energie behoben, deren Eigenschaften aber noch weitgehend unbekannt sind. Mit der mathematischen Methode der Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen kann man ebenso die Topographie der Erdoberfläche als Multipolentwicklung darstellen, bei der in der einfachsten Version die Kontinente in schwarz und die Ozeane in weiß erscheinen. Dabei beschreiben niedrige Multipole die großskaligen Strukturen und höhere Multipole die feineren Details dieser Schwarz-Weiß-Verteilung auf der Kugeloberfläche.

12.8 12.8.1

Beschleunigte Expansion und Dunkle Energie Supernovae

In historischer Zeit gab es mehrere Ereignisse neu auftauchender Sterne, die ursprünglich von Tycho Brahe als (Stella) Nova und 1933 auf Vorschlag von Fritz Zwicky als Supernova bezeichnet wurden. Heute werden sie mit dem Kürzel SN, dem Entdeckungsjahr und einem alphabetischen Zusatz gekennzeichnet. Die bisher hellste Supernova konnte im Jahre 1006 im Sternbild Lupus (Wolf) am Südhimmel mehrere Wochen lang mit bloßem Auge beobachtet werden, worüber Berichte aus mehreren Ländern überliefert sind. 1054 ereignete sich eine Supernova im Sternbild Taurus (Stier), wodurch der Krebsnebel entstand, der auch eine starke Radioquelle mit der Bezeichnung Tau A darstellt. Diese Erscheinung wurde von chinesischen Astronomen als Gaststern bezeichnet. Tycho Brahe beschrieb die Supernova von 1572 im Sternbild Cassiopeia als neuen Fixstern in seiner Schrift De nova stella und Johannes Kepler jene von 1604 in Ophiuchus (Schlangenträger). Im Andromedanebel ereignete sich 1885 die berühmte Supernova S Andromeda, wonach dieses Himmelsobjekt einer detaillierteren Untersuchung unterzogen wurde, bei der man Spiralarme und sogar einzelne Sterne identifizieren konnte, [7, S. 129], [30, S. 50], [39, S. 269]. Einen besonderen Glücksfall stellte die im Februar 1987 explodierte Supernova SN1987A in der nur etwa 160 000 Lichtjahre entfernten Großen Magellanschen Wolke am südlichen Sternhimmel dar, die ausführlich astronomisch untersucht wurde, [64], [71].

12.8 Beschleunigte Expansion und Dunkle Energie

661

Bereits im Jahre 1934 stellten Fritz Zwicky und Walter Baade Berechnungen an, die zeigten, dass massereiche Sterne am Ende von mehreren aufeinanderfolgenden Kernfusionsphasen einen Eisen-Nickel-Kern besitzen. Wenn die Masse dieses Kerns eine kritische Größe besitzt, kommt es zum Gravitationskollaps, wobei durch die Implosion im Inneren ein kompakter Kern aus Neutronen entsteht, eine Vorstellung, die 30 Jahre später durch die Entdeckung der Pulsare und ihre Deutung als Neutronensterne bestätigt wurde, (Abschnitt 11.4.2). Dabei stößt der in weniger als einer Sekunde kollabierende Stern durch eine enorme Stoßwelle in einer ungeheuren Explosion seine äußeren Schichten ab. Der schnell zu einem Maximum ansteigende und danach langsam abfallende Strahlungsverlauf, die Lichtkurve, kann nur Wochen oder wenige Monate beobachtet werden. Dabei bilden Licht und andere elektromagnetische Strahlung vom Radio- bis zum Röntgen- und Gammabereich sowie die kinetische Energie der ausgestoßenen Materie nur einen Bruchteil der freigesetzten Energie, die zum größten Teil in Neutrinoenergie abgestrahlt wird, [39, S. 270]. Ein solches Ereignis, das stärker als eine gesamte Galaxie strahlen kann, wird als Typ-II-Supernova bezeichnet, [7, S. 125], [62]. Die beiden Supernova-Hauptklassen werden nach ihren Spektren unterschieden, bei denen entweder keine Wasserstofflinien auftreten (Typ I) oder der Wasserstoff dominiert (Typ II), wodurch auch die Lichtkurven in charakteristischer Weise voneinander abweichen, [95]. Für die astronomische Entfernungsmessung sind Cepheiden (Abschnitt 9.1.2) nur in nahen Galaxien bis zu einer Entfernung von etwa 100 Millionen Lichtjahren (30 Mpc) nutzbar, in denen man noch einzelne Sterne auflösen kann. Für größere Entfernungen sah Baade daher Supernovae als mögliche Standardkerzen an, die allerdings selten sind und nach neueren Durchmusterungen wie beim 2 Degree Field Galaxy Redshift Survey (2dF GRS) oder Sloan Digital Sky Survey (SDSS) in einer Galaxie höchstens ein bis zwei Mal pro Jahrhundert auftreten. Mit Hilfe neuer Teleskope, die große Himmelsareale systematisch absuchen, und hochauflösenden Digitalkameras sowie Software zur automatischen Bildverarbeitung und Mustererkennung werden heute pro Woche so viele Supernovae entdeckt wie im gesamten 20. Jahrhundert, [122]. Heute verwendet man Supernovae des Typs Ia als Standardkerzen, deren Entfernung man durch Vergleich mit Cepheiden in einer nahen Galaxie geeicht hat. Nach der gängigen Vorstellung entstehen Typ Ia Superno-

662

12 Astronomie und Kosmologie

vae aus einem Weißen Zwerg, der aus einem Kohlenstoff-Sauerstoff-Kern und einem ihn umgebenden leuchtenden Gasnebel besteht. Wenn ein solcher Weißer Zwerg in einem Doppelsternsystem solange Masse von seinem nahen Begleitstern, der meist ein Roter Riese ist, akkumuliert, bis er die Chandrasekhar-Grenze von etwa 1.44 Sonnenmassen erreicht, dann kollabiert er nach einer Kette von Kernfusionsreaktionen und explodiert. Da die Masse bei Ausbruch solcher Supernovae immer gleich ist und eine natürliche Normierung darstellt, kann die absolute Helligkeit, die Leuchtkraft, aus dem Verlauf der scheinbaren Helligkeit, der Lichtkurve, ermittelt werden. Aus dem Vergleich von absoluter und scheinbarer Helligkeit kann man die Entfernung der Supernova berechnen, [7, S. 123].

12.8.2

Supernova-Such-Projekte

Mitte der 1980er Jahre bildete sich am Lawrence Berkeley National Laboratory (LBNL) eine Forschungsgruppe von Teilchenphysikern, die später als Supernova Cosmology Project (SCP) bezeichnet und von Saul Perlmutter geleitet wurde, um anhand von Entfernungsmessungen an kalibrierten Supernovae vom Typ Ia zu untersuchen, wie sich die Expansion des Universums entwickelt. Nach den Messungen von Vera C. Rubin existiert neben der sichtbaren Masse eine Dunkle Materie und man erwartete, dass beide gemeinsam durch ihre gravitative Wirkung die Expansion abbremsen und entweder zum Stillstand oder zur Kontraktion bringen. 1994 bildeten die Astronomen Brian Schmidt vom Center for Astrophysics (CfA) der Harvard University und Nicholas Suntzeff vom Cerro Tololo Observatory in Chile eine Forschungsgruppe zur Suche nach Supernovae. Sie traten damit in Konkurrenz zum SCP-Project, das bereits einen mehrjährigen Vorsprung hatte. Schmidt arbeite später in Canberra, Australien, und leitete von dort aus die Gruppe, die dann wegen der großen Rotverschiebungen der untersuchten Galaxien den Namen High-z Supernova Search Team bekam. In dieser Gruppe waren an der Harvard University auch der Supernova-Experte Robert Kirshner und sein Doktorand Adam Riess in führender Stellung tätig. Riess entwickelte eine besondere Filtertechnik zur Berücksichtigung des interstellaren Staubes bei der Entfernungsbestimmung. Mit Hilfe der Computertechnik wurde die Suche nach Supernovae durch die automatische Steuerung der Teleskope modernisiert, wodurch die selbsttätige Durchmusterung großer Bereiche mit Hunderten von Galaxien

12.8 Beschleunigte Expansion und Dunkle Energie

663

pro Aufnahme möglich wurde. Die in zeitlichem Abstand mehrfach aufgenommenen digitalen CCD-Bilder gleicher Himmelsausschnitte wurden dann durch eine Komparatortechnik per Software voneinander subtrahiert, um im Differenzmuster neu auftauchende Objekte zu entdecken. Hatte man solche Objekte in den Aufnahmen gefunden, mussten sich zwei zeitaufwendige Untersuchungen anschließen, die mehr Beobachtungszeit verlangten als die einfache Helligkeitsaufnahme der Quellen. Einerseits waren Nachfolgebeobachtungen durchzuführen, um anhand der Lichtkurven zu entscheiden, ob das variable Objekt tatsächlich eine Supernova und kein anderes, sich bewegendes oder in der Helligkeit variierendes Himmelsobjekt war und welcher Supernova-Typ gemäß dem mehrwöchigen Helligkeitsverlauf der Lichtkurve vorlag. Dabei war es wichtig, eine Supernova möglichst frühzeitig zu entdecken, um auch Helligkeitsanstieg und -maximum aufzunehmen, die zur Kalibrierung der Leuchtkraft und zur Entfernungsbestimmung benötigt werden. Andererseits waren längerdauernde spektroskopische Analysen erforderlich, um auf Grund der daraus ermittelten Rotverschiebung die Entfernung zu bestimmen. Gerade dieser zweite Punkt war problematisch, da solche Spektralanalysen nur an lichtstarken Großteleskopen vorgenommen werden konnten, bei denen keine Beobachtungszeiten kurzfristig verfügbar waren, so dass die Forschergruppen auf die Bereitschaft und das Wohlwollen der dort arbeitenden Astronomen angewiesen waren, die ihnen neben ihrer eigenen Arbeit die Spektralaufnahmen lieferten, [20, S. 100], [80]. Auf Konferenzen und Tagungen zeigte sich, dass zunächst große Konkurrenzen zwischen Astronomen, Teilchenphysikern und Kosmologen bestanden, die erst im Laufe der Zeit der Einsicht wichen, dass sich ihre Disziplinen durch Zusammenarbeit bei der Erklärung der Struktur des Universums und in der Kosmologie gut ergänzten. Beide Forschungsgruppen (SCP und High-z) traten 1998 in Tagungen und Fachartikeln mit ihren Ergebnissen an die Öffentlichkeit, die auf Messungen und Beobachtungen von einigen nahen und wenigen weit entfernten Typ Ia Supernovae basierten, die z.T. auch mit dem Hubble Space Telescope aufgenommen worden waren. Die Schlussfolgerung aus den Beobachtungen bot für Astronomen und Kosmologen eine völlig unerwartete Überraschung! Denn entgegen der bis dahin geltenden Überzeugung der gebremsten Ausdehnung des Universums auf Grund der Gravitation der darin enthaltenen Masse entdeckte man ei-

664

12 Astronomie und Kosmologie

ne Beschleunigung der kosmischen Expansion, wodurch das bisherige kosmologische Modell eine gravierende Änderung erfahren musste!

12.8.3

Größenklassen

Das Ergebnis der Supernova-Such-Projekte wird veranschaulicht in einem Diagramm, das die Größenklasse über der Entfernung darstellt. Seit dem Altertum wird die Helligkeit der auf der Nordhalbkugel unter günstigen Umständen maximal etwa 3000 mit bloßem Auge sichtbaren Sterne in Größenklassen nach dem Magnitudensystem von Hipparchos und Ptolemäus eingeteilt, wobei die hellsten Sterne zur 1. und die gerade noch sichtbaren Sterne zur 6. Größenklasse gehören. Um die Subjektivität der Beobachtungen auszuschließen, führte Norman Pogson 1854 eine Helligkeitsskala ein, die mit dem alten System kompatibel war und auf dem allgemein gültigen Weber-Fechner’schen Gesetz (1834) beruhte, nach dem zwischen Reiz (Sternhelligkeit oder Intensität I) und Empfindung (Größenklasse bzw. Magnitude m) ein logarithmischer Zusammenhang besteht. Dabei wird für das Verhältnis der scheinbaren Helligkeiten I0 und I zweier Sterne der 1. und 6. Größenklasse und ihrer Magnituden m0 und m folgendes festgelegt. I0 100 “ “ ˆ m0 ´ m “ 1 ´ 6 “ ´ 5 I 1 “? ‰5 “ ‰5 “ ‰´ pm0 ´mq I0 5 102 “ 102{5 “ 102{5 “ 10´ 0.4 pm0 ´mq “ 100 “ I Nach Logarithmierung erhält man, lg

I0 2 “ ´ pm0 ´ mq lg 102{5 “ ´ pm0 ´ mq I 5

woraus allgemein die Beziehung für den Vergleich zweier Sterne folgt, bei der die dimensionslose Größenklasse m, die Magnitude, durch die Bezeichnung „mag“ nach dem lateinischen Wort magnitudo, Größe, gekennzeichnet wird. m0 ´ m “ ´ 2.5 lg

I0 I

rmags

(12.9)

12.8 Beschleunigte Expansion und Dunkle Energie

665

Bei Zunahme um eine Größenklasse verringert sich die Helligkeit um den ? Faktor 5 100 “ 2.512. Die Eichung der Skala bzw. die Festlegung des Nullpunktes erfolgte früher mit dem leicht variablen Polarstern, heute mit der fein abgestuften Helligkeitsskala einer Reihe von 96 konstant leuchtenden Standardsternen in seiner Umgebung, der sog. Polsequenz. Helle Objekte haben negative Magnituden wie Sonne (´26.7 mag), Vollmond (´12.7 mag), Halbmond (´10.3 mag), Sirius (´1.46 mag) als hellster Stern und Alpha Centauri in der Nähe des Nullpunktes (´0.01 mag). Große terrestrische oder Weltraumteleskope können Objekte unter günstigen Bedingungen bis zu Magnituden von 25 .. 30 mag bei längerer Beobachtung aufnehmen.

12.8.4

Beschleunigte Expansion

Gesucht werden Supernovae vom Typ Ia, deren absolute Helligkeit und damit ihre Leuchtkraft wegen der Chandrasekhar-Grenze immer gleich sind. Aus den Messdaten der Supernovae wird ihre Entfernung D aus der Rotverschiebung z der Heimatgalaxie bestimmt und aus dem scheinbaren Helligkeitsverlauf sowie der daraus kalibrierten Leuchtkurve berechnet man ihre Größenklasse. In der doppelt-logarithmischen Darstellung der Abbildung 12.7 von Größenklasse Δm über der Entfernung lg D sinkt die Helligkeit nach oben hin. Der lineare Verlauf H stellt die gleichmäßige Expansion nach dem HubbleGesetz dar, bei dem die Intensität als Strahlung pro Fläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt. Die erwartete, schwächer ansteigende Kurve A sollte sich durch die Gravitationsabbremsung der Gesamtmaterie ergeben, da gleichartige Supernovae in gleicher Entfernung dadurch heller erscheinen. Dagegen zeigten die Messdaten beider Forschungsgruppen eine stärker ansteigende Kurve B auf der „falschen Seite“ von H, wodurch die Supernovae lichtschwächer erschienen und damit weiter entfernt waren, als nach der Hubble-Geraden bei gegebenen Entfernungen zu erwarten war. Daraus musste man den Schluss ziehen, dass das Universum eine beschleunigte Expansion ausführt! In den folgenden Jahren wurde dieses Ergebnis durch Messungen an einer Vielzahl von Supernovae bestätigt und die Erkenntnis über die Entwicklung des Universum gefestigt. Durch die Untersuchung von mehreren sehr weit entfernten Supernovae, die aus einer Zeit vor mehr als sieben Milliarden Jahren stammten, konnte Riess 2002 nachweisen, dass die Expansion nicht

666

12 Astronomie und Kosmologie

 m I / I0 3.0 1/16

H B

2.4

1/9

A 1.5

0

1/4

1

lg D D0

2 D0

3 D0 4 D0

Abb. 12.7: Schematische Darstellung der Expansion des Universums immer die gleiche Stärke hatte, sondern in einer früheren Epoche gebremst war und erst vor etwa fünf Milliarden Jahren in einen Zustand der beschleunigten Expansion überging, [94]. Für ihre Forschungen erhielten Saul Perlmutter, Brian P. Schmidt und Adam G. Riess 2011 den Nobelpreis für Physik, [109].

12.8.5

Dunkle Energie

Der Grund der beschleunigten Expansion ist bis heute nicht verstanden. Die Expansion muss durch eine der anziehenden Gravitation entgegen wirkende, abstoßende Kraft oder einen negativen Druck erzeugt werden. Da man bisher keine bessere Erklärung finden konnte, schrieb man diese Kraft einer Dunklen Energie zu, die in den Feldgleichungen der Relativitätstheorie bzw. dem Friedmann-Lemaître-Modell durch die kosmologische Konstante Λ ‰ 0 oder durch den Dichteanteil ΩΛ berücksichtigt werden kann. Dadurch kehrt man zu Einsteins anfänglicher Modifikation der Gleichungen zurück, die heute allerdings durch belastbare, astronomische Messergebnisse begründet ist und keine Ad-Hoc-Anpassung der Theorie darstellt! Durch die

12.8 Beschleunigte Expansion und Dunkle Energie

667

Entdeckung der Dunklen Energie wurde das ursprüngliche CDM-Standardmodell zum ΛCDM-Modell der Kosmologie erweitert. Eine mögliche Erklärung für die Dunkle Energie besteht darin, dass das Vakuum selbst Träger von Energie ist, also eine Vakuumenergie besitzt. Gemäß der Quantenfeldtheorie können nach der Heisenberg’schen Unschärferelation bei kanonisch konjugierten Variablen wie Ort und Impuls oder Energie und Zeit die Einzelgrößen nie gleichzeitig exakt gemessen werden, so dass eine Energie Null zu keinem Zeitpunkt möglich ist. Das Vakuum ist daher nicht einfach leer sondern ein komplexer, von Energiefeldern erfüllter Raum, in dem durch Quantenfluktuationen permanent und spontan virtuelle Teilchen als Paare sowohl aus Photonen als auch aus Teilchen-Antiteilchen entstehen, die nach sehr kurzer Zeit durch Zerstrahlung wieder verschwinden. Solche Teilchen enthalten Energie, deren äquivalente Masse die Gravitation beeinflusst. Allerdings hat diese wie auch eine Reihe anderer Theorien noch Schwächen und führt auf erhebliche Widersprüche, die den viel zu hohen Zahlenwert der Energiedichte des Vakuums betreffen, so dass noch keine befriedigende Lösung des Problems existiert. Als weitere Möglichkeit könnte die Dunkle Energie durch ein Kraft- oder Energiefeld, dass man Quintessenz nennt, hervorgerufen werden. Der Name nimmt Bezug auf die antike Naturphilosophie, in der neben den vier Elementen Feuer, Wasser, Luft und Erde des Empedokles als fünftes Element, quinta essentia, nach Aristoteles der den Kosmos erfüllende Äther existierte. Man betont damit eine fünfte Kraft neben den bekannten vier Wechselwirkungen von Gravitation, elektromagnetischer, schwacher und starker Kraft. Dieses Energiefeld könnte das gesamte Universum durchdringen und den Raum mit einer Eigenschaft versehen, die der anziehenden Gravitation entgegenwirkt und eine beschleunigte Expansion hervorruft, [114], [119]. Die Vermutungen und theoretischen Modelle zur Dunklen Energie sind unter Astronomen, Teichenphysikern und Kosmologen Gegenstand der aktuellen Forschung und verbunden mit theoretischen Konzepten wie Stringtheorie, Supersymmetrie und Quantengravitation. Zu Klärung und besserem Verständnis der Natur der Dunklen Energie und zu Bestätigung oder Ausschluss von theoretischen Modellen wurde 2013 das Projekt Dark Energy Survey (DES) gegründet, das am Standort Cerro Tololo in Chile die Dark Energy Camera betreibt. Diese Kamera ist mit 74 großen CCD-Detektoren ausgestattet, die bei jedem Bild einen Himmelsausschnitt aufnehmen kann, der der 20-fachen Vollmondscheibe entspricht.

668

12 Astronomie und Kosmologie

Sie soll eine hochaufgelöste Karte von einem Achtel des Himmels mit 200 Millionen Galaxien liefern. Zur Untersuchung von Struktur und Dynamik des Universums werden als Forschungsziele Typ Ia Supernovae, baryonische, akustische Oszillationen, der schwache Gravitationslinseneffekt und Galaxienhaufen untersucht, [120]. Im August 2017 wurde die Datenanalyse des ersten DES-Betriebsjahres über die Beobachtung von 26 Millionen Galaxien veröffentlicht, deren Ergebnis mit 21 % Dunkler Materie und 74 % Dunkler Energie von den ermittelten Werten (12.7) der Planck-Messung nur wenig abweicht und daher das Standardmodell der Astronomen im Grundsatz bestätigt. Die Experten gehen davon aus, dass die Resultate von DES deshalb überzeugender sind, da sie das gesamte dreidimendionale Volumen des Weltalls in einer Jahrmilliarden andauernden Entwicklung berücksichtigen, während die vom Planck-Teleskop gemessene kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung dagegen nur einen zweidimensionalen Schnappschuss des frühen Universums abbildet, [125].

12.9

Kosmische Inflation

Das von Alan Guth 1980 vorgestellte Inflationsmodell der extremen Expansion in der Frühphase des Universums, [60], das bereits im Abschnitt 12.2 als Teil des Standardmodells erwähnt wurde, beantwortet einige der bisher offenen kosmologischen Fragen, [3, S. 1013f.], [23, S. 113f.], [37, S. 152f.], [75]. Das heute sichtbare Universum weist auf Grund der verschiedenen Satellitenbeobachtungen der kosmischen Hintergrundstrahlung keine messbare Raumkrümmung auf, so dass es im großräumigen Maßstab flach ist und einen Gesamtdichteparameter Ω “ 1 besitzt. Wenn der Dichteparameter zu irgendeinem Zeitpunkt Ω ą 1 gewesen wäre, dann würde er durch die anziehende Kraft der Gravitation für immer weiter wachsen, da bei sinkendem Volumen die tatsächliche Dichte im Zähler gegenüber der kritischen Dichte im Nenner zunähme, wobei der Grenzwert Ω Ñ 8 den finalen Kollaps (Big Crunch) bedeutet. Gälte dagegen jemals Ω ă 1, dann würde Ω durch die Expansion bei nicht ausreichender Gravitation immer weiter sinken, denn der Zähler fiele bei wachsendem Volumen gegenüber dem Nenner, mit dem Ergebnis Ω Ñ 0 eines sich immer weiter ausdehnenden Universums (Big Chill).

12.9 Kosmische Inflation

669

Wenn der Dichteparameter aus Sicht der Standard-Expansion Ω “ 1 sein soll, dann wäre unmittelbar nach dem Urknall eine nicht erklärbare, zufällig exakte Übereinstimmung von Materiedichte und kritischer Dichte erforderlich. Im Fall der Inflation muss Ω dagegen notwendigerweise exakt gleich Eins sein, um nicht Null oder Unendlich zu werden, und dieser Wert bliebe im weiteren Verlauf auch erhalten! Denn bei der am Anfang inflationären und anschließend normalen Expansion des Universums vom Zeitpunkt der Planck-Zeit von 10´43 s an bis zum heutigen Weltalter des Kosmos von 13.8 Milliarden Jahren waren etwa 1060 Planck-Zeiten erforderlich, wodurch ein anfänglicher Parameter Ω ‰ 1 längst einen der beiden Grenzwerte p0, 8q erreicht hätte, was durch die Beobachtungsdaten in keiner Weise gestützt wird. Die durch die Standard-Expansion nicht erklärbare Flachheit des Raumes mit Ω “ 1, das sog. Flachheitsproblem, ist im Rahmen des Inflationsmodells eine Folge der ungeheuren Ausdehnung und das heute sichtbare Universum stellt nur einen winzigen Ausschnitt ohne erkennbare Krümmung dar. Die große Homogenität und Isotropie des frühen Universums, die nur winzigste Temperaturvariationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung aufweist, ist im Rahmen der Standard-Expansion nicht erklärbar und wird als Horizontproblem bezeichnet. Weit voneinander entfernte Gebiete, die z.B. an entgegengesetzten Punkten am Beobachtungshorizont liegen, mussten eine voneinander unabhängige Entwicklung durchführen. Denn bei endlicher Lichtgeschwindigkeit konnten sie in der bisher abgelaufenen Zeit des Weltalters überhaupt noch nicht in Wechselwirkung treten und sich daher auch nicht im thermischen Gleichgewicht mit einheitlicher Strahlung nach dem Planck’schen Strahlungsgesetz befinden. Und dass alle diese Raumpunkte aus purem Zufall die gleiche Temperatur hätten haben sollen, ist extrem unwahrscheinlich. Bei Annahme einer inflationären Expansion wären dagegen vor der Inflationsphase alle Bereiche des heute sichtbaren Universums noch auf kleinstem Raum in unmittelbarem Kontakt gewesen und hätten ein thermisches Gleichgewicht mit homogenen physikalischen Parametern aufweisen können. Die heutigen Inhomogenitäten des Universums in lokalem Maßstab werden im Inflationsmodell dadurch erklärt, dass Quantenfluktuationen des Vakuums im sehr frühen Anfangsstadium durch die extreme Expansion auf makroskopische Größe ausgedehnt wurden, die im Laufe der kosmolo-

670

12 Astronomie und Kosmologie

gischen Entwicklung durch den Einfluss der Gravitation zu Galaxien und Galaxienhaufen führten. Das Inflationsmodell, das von vielen Astronomen anerkannt wird, sagt aus, dass das Universum im großräumigen Maßstab flach und der Gesamtdichteparameter Ω “ 1 ist. Nach den Ergebnissen der Satellitenmissionen zur kosmischen Hintergrundstrahlung machen baryonische und Dunkle Materie nur rund ein Drittel seines Wertes aus und der überwiegende Rest von etwa 70 % wird durch die Dunkle Energie bzw. die kosmologische Konstante Λ aufgebracht. Gemäß den drei Anteilen von baryonischer Materie (Ωb ) und Dunkler Materie (Ωd ) sowie der Dunklen Energie (ΩΛ ), die nach Einstein einer Materieform äquivalent sein muss, setzt sich der Dichteparameter Ω folgendermaßen zusammen. Ω “ Ωmat ` ΩΛ “ Ωb ` Ωd ` ΩΛ “ 1

(12.10)

Mit den numerischen Werten (12.7) der aktuellen Satellitenmessungen gilt dann Ω “ 0.317 ` 0.683 “ 0.049 ` 0.268 ` 0.683 “ 1 Allerdings üben auch führende Kosmologen Kritik am Inflationsmodell wegen theoretischer Mängel oder fehlender direkter Beweise. Ein widerspruchsfreies kosmologisches Modell, das durch experimentell gestützte Daten abgesichert ist, muss von den Theoretikern in der Zukunft erst noch entwickelt werden, [86], [108], [123]. Weitergehende Fragen zu Kosmologie und Natur des Universums sollen hier nicht behandelt werden, da sie einerseits zu sehr vom eigentlichen Anliegen des Buches wegführen und andererseits auch ein Forschungsgebiet betreffen, das sich in einer stürmischen Entwicklung befindet, in dem jederzeit durch neue Projekte, Beobachtungsgeräte und Messmethoden überraschende Entdeckungen und Erkenntnisse auftreten können. Überblicke und Darstellungen des bisherigen Kenntnisstandes zu kosmologischen Themen findet man z.B. in diesen Artikeln [89], [90], [91] und der folgenden Literatur [4], [17], [21], [27], [29], [37].

12.10 Numerische Berechnungen und Computersimulationen 671

12.10

Numerische Berechnungen und Computersimulationen

In der Astronomie bilden neben der Beobachtung von Himmelsobjekten in verschiedenen Frequenzbereichen und der theoretischen Berechnung ihrer Zustände und Entwicklungen als drittes wichtiges Verfahren Computersimulationen die Möglichkeit, Erkenntnisse zu gewinnen. Mit solchen Simulationen können in gewisser Weise sonst nicht mögliche kosmologische Experimente wie zeitliche Entwicklungen oder Einzelereignisse wie Supernova-Explosionen durchgeführt werden. Ausgangspunkt sind mathematische Modelle, die die klassischen physikalischen Gesetze von Gravitation, Strahlung, Magnetfeldern und Hydrodynamik abbilden. Die daraus entstehenden Systeme von partiellen Differentialgleichungen werden mit bestimmten, vorgegebenen Anfangsbedingungen numerisch integriert, so dass man die Zeitfunktionen der divesen Variablen erhält, aus denen man ein Bild des Universums oder des untersuchten Objekts entwickeln kann. Solche Softwarelösungen werden zu verläßlichen Werkzeugen, wenn man beim Vergleich der Rechenergebnisse nach entsprechendem kosmologischen Zeitablauf nicht auf Widersprüche mit den aus Beobachtungen bekannten Tatsachen stößt und wenn Fachkollegen bei unabhängigen Vergleichsrechnungen äquivalente Ergebnisse erhalten. Zusätzlich kann man den Programmcode der Softwarepakete offenlegen und zur Überprüfung und ggf. Weiterentwicklung durch andere Forschergruppen freigeben. Als Beispiel für ein astrophysikalisches Ereignis wird in [95] die Simulation der Explosion von Supernovae vom Typ II beschrieben. Der kollabierende Stern wird nach Kugelkoordinaten in möglichst viele Zellen zerlegt. Für jede Zelle werden in diskreten Zeitschritten physikalische Größen wie Dichte und Temperatur aus hydrodynamischen Gleichungen berechnet. Da die Explosionsvorgänge mit Turbulenz erfolgen, kann man keine vereinfachenden räumlichen Symmetrieannahmen machen. Zu den vier Dimensionen für Raum und Zeit der Materieströmung kommen bei der zusätzlichen Modellierung der Neutrinoströmung drei weitere Dimensionen für deren Energie und zwei Winkel für die Richtung hinzu. Die sich daraus ergebenden Anforderungen an Rechengeschwindigkeit und Speicherplatzbedarf führen für detaillierte Simulationen selbst die schnellsten Parallelrechner an ihre Grenzen oder übersteigen sie sogar erheblich, so dass man weitere Fortschrit-

672

12 Astronomie und Kosmologie

te bei Rechnerarchitektur und Algorithmenentwicklung abwarten muss, um genauere Ergebnisse zu erhalten. Bei der kosmologischen Entwicklung des Weltalls beruht der Grundgedanke der verschiedenen Computerberechnungen darauf, dass aus Kapazitätsgründen der verfügbaren Rechner nur ein repräsentativer würfelförmiger Ausschnitt des Weltalls modelliert wird, der eine große Zahl von „Pseudoteilchen“ enthält, die jeweils die Materie von mehreren Millionen Sonnenmassen zusammenfassen. Dabei weisen diese Teilchen anfänglich eine zufällige, aber nicht vollkommen homogene Verteilung auf, die man aus den Dichtefluktuationen der WMAP- und Planck-Daten kennt. Bei jedem Zeitschritt werden die Kräfte auf jedes Pseudoteilchen und daraus die sich einstellenden Bewegungen und Veränderungen berechnet. Seit den 2000er Jahren wurden mehrere große Computerprojekte durchgeführt, um das ΛCDM-Modell als Beschreibung des beobachtbaren Universums zu prüfen und ggf. zu bestätigen. Dabei handelt es sich um verschiedene Millennium-Simulationen (MS, MS-II, MXXL), die Bolshoi-Simulation und das Illustris-Projekt. Mit der enormen Steigerung von Rechenund Speicherfähigkeit der verfügbaren Supercomputer und der Verbesserung der numerischen Algorithmen konnten im Laufe eines Jahrzehnts Volumen und räumliche Auflösung der Simulationen immer weiter erhöht werden und inzwischen neben der Dunklen Materie, die allerdings den Großteil von rund 85 % der Masse ausmacht, auch der baryonische Anteil miteinbezogen werden. Zwischen Beobachtungsdaten und Computerergebnissen sind zwar keine genauen Übereinstimmungen zu erwarten, aber die statistischen Eigenschaften von Weltall und Simulationsrechnung stimmen für Materiedichte und räumliche und Größenverteilung von Galaxien sowie auch für die frühe Entstehung von Quasaren im Zentrum von Galaxien recht gut überein, was für die Realitätsnähe des ΛCDM-Modells spricht und das Vertrauen der Astronomen in seine Richtigkeit begründet. Die bisher aufwendigste Simulation war Millennium XXL im Jahre 2010, bei der die Kantenlänge des Würfels mehr als 13 Milliarden Lichtjahre und die Anzahl der Pseudoteilchen etwa 300 Milliarden mit jeweils 7 Milliarden Sonnenmassen betrug. MXXL wurde auf einem Supercomputer mit mehr als 12 000 Prozessoren in Parallelrechnung in weniger als 10 Tagen ausgeführt. Nach ungefähr elftausend Zeitschritten von jeweils einer Million Jahren, die den Zeitablauf von der Frühphase des Universums bis heute nachbilden,

12.10 Numerische Berechnungen und Computersimulationen 673

wurde eine dreidimensionale Struktur errechnet, die dem realen Weltall im großskaligen Maßstab mit Galaxien, Galaxienhaufen, Filamenten, Wänden und Leerräumen überraschend gut entspricht, [27, S. 361f., 553], [96], [107], [110]. Zum Vergleich dienen die beiden Abbildungen 12.8 und 12.9 der gemessenen Verteilung der Galaxien, die im 2dF Galaxy Redshift Survey (2dF GRS) 2003 veröffentlich wurden, sowie die Ergebnisse der Millennium Simulation von 2005. Als Ergebnis der Millennium Simulation zeigen die oberen Bilder die Galaxienverteilung, links auf großer Skala und rechts einen Galaxienhaufen, bei dem die einzelnen Galaxien identifizierbar sind. Die unteren Bilder geben zum Vergleich die entsprechenden Verteilungen der Dunklen Materie.

Abb. 12.8: Gemessene Galaxienverteilung des 2dF Galaxy Redshift Survey

674

12 Astronomie und Kosmologie

Abb. 12.9: Verteilung von Galaxien (oben) und Dunkler Materie (unten) in der Millennium Simulation von 2005

Literatur [1] Aschenbach, B., Hahn, H-M., Trümper, J.: The Invisible Sky, ROSAT and the Age of X-Ray Astronomy Copernicus Springer-Verlag, New York (1998) [2] Barrie, D.: Sextant - Die Vermessung der Meere Malik National Geographic (2017) [3] Bennett, J., Donahue, M., Schneider, N., Voit, M.: Astronomie Pearson Studium (2010) [4] Bojowald, M.: Zurück vor den Urknall S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main, 3. Aufl. (2009) [5] Bossert, M.: Kanalcodierung B. G. Teubner, Stuttgart, 2. Aufl. (1998) [6] Bossert, M., Bossert, S.: Mathematik der digitalen Medien VDE Verlag GmbH, Berlin, Offenbach (2010) [7] Frebel, A.: Auf der Suche nach den ältesten Sternen S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main (2012) [8] Gleick, J.: Isaac Newton - Die Geburt des modernen Denkens Artemis & Winkler Verlag, Düsseldorf und Zürich (2004) 675

676

Literatur

[9] Gonzalez, R. C., Woods, R. E.: Digital Image Processing Addison-Wesley Publishing Company (1993) [10] Gröbner, W., Hofreiter, N.: Integraltafel, Bestimmte Integrale Springer Verlag, Wien, 3. Aufl. (1966) [11] Hamming, R. W.: Information und Codierung VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim (1987) [12] Hanslmeier, A.: Faszination Astronomie Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2. Aufl. (2016) [13] Harari, Y. N.: Eine kurze Geschichte der Menschheit Deutsche Verlags-Anstalt, München (2013) [14] Lambourne, R. J. A.: Relativity, Gravitation and Cosmology Cambridge University Press, Cambridge (2010) [15] Lawrence, A.: Astronomical Measurement Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (2014) [16] Lense, J.: Kugelfunktionen Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1950) [17] Liddle, A.: Einführung in die moderne Kosmologie Wiley-VCH Verlag, Weinheim (2009) [18] Lin, S. / Costello, D. J.: Error Control Coding: Fundamentals and Applications Pearson-Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2. Aufl. (2004)

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[19] Montgomery, C. G. / Dicke, R. H. / Purcell, E. M.: Principles of Microwave Circuits McGraw-Hill, New York, Toronto, London (1948) [20] Panek, R.: Das 4% Universum Carl Hanser Verlag, München (2011) [21] Pauldrach, A. W. A.: Das dunkle Universum Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (2015) [22] Ramsauer, C.: Grundversuche der Physik in historischer Darstellung Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1953) [23] Riordan, M., Schramm, D. N.: Die Schatten der Schöpfung Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, New York (1991) [24] Robin, L.: Fonctions sphériques de Legendre et fonctions sphéroidales, I/II/III Gauthier-Villars, Paris (1957) [25] Saleh, B. E. A., Teich, M. C.: Fundamentals of Photonics John Wiley & Sons, Inc., Hoboken NJ, 2. Aufl. (2007) [26] Samueli, J.-J. / Boudenot, J.-Cl.: Trente livres de mathématiques qui ont changé le monde Ellipses Edition Marketing S.A. Paris (2006) [27] Schneider, P.: Extragalactic Astronomy and Cosmology Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2. Aufl. (2015) [28] Schöpf, H.-G.: Von Kirchhoff bis Planck Vieweg Verlag, Braunschweig (1978)

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[29] Serjeant, S.: Observational Cosmology Cambridge University Press, Cambridge (2010) [30] Sharov, A. S., Novikov, I. D.: Edwin Hubble Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin (1994) [31] Singh, S.: Big Bang Carl Hanser Verlag, München (2005) [32] Sobel, D.: Längengrad Berliner Taschenbuch Verlag, Berlin (2003) [33] Sobel, D.: Und die Sonne stand still Berlin Verlag, Berlin (2012) [34] Sobel, D.: Das Glas-Universum Berlin Verlag, München (2017) [35] Stewart, I.: Die Berechnung des Kosmos Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg (2018) [36] Stratton, J. A.: Electromagnetic Theory McGraw-Hill Book Company (1941) [37] Tegmark, M.: Unser mathematisches Universum Ullstein Verlag, Berlin (2015) [38] Trigg, G. L.: Experimente der modernen Physik Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden (1984)

Literatur

[39] Unsöld, A., Baschek, B.: Der neue Kosmos Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 7. Aufl. (2002) [40] Vaas, R.: Vom Gottesteilchen zur Weltformel Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, Stuttgart (2013) [41] Verschuur, G.: The Invisible Universe Springer International Publishing Switzerland, 3. Aufl. (2015) [42] Vogel, H.: Gerthsen Physik Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 19. Aufl. (1997) [43] Wulf, A.: Die Jagd auf die Venus Bertelsmann, München, (2012) [44] Die Geschichte der NASA Space Spezial eMedia Verlag, Hannover, (1/2019)

Sterne und Weltraum [45] Beck, R., Reich, W.: LOFAR: Startschuss für deutsche Stationen SuW 9, 19 (2006) [46] Beck, R.: Das Square Kilometre Array SuW 9, 22 (2006) [47] Hoeft, M., Beck, R.: LOFAR läuft! SuW 6, 20 (2010) [48] Bastian, U.: Projekt Gaia: Die sechsdimensionale Milchstraße

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Literatur

Teil 1: Warum und wozu Gaia gebaut wird SuW 5, 36 (2013) [49] Bastian, U.: Projekt Gaia: Die sechsdimensionale Milchstraße Teil 2: Wo, wann und wie Gaia arbeiten soll SuW 6, 48 (2013) [50] Laganke, K., Wiescher, M.: Der Ursprung der Elemente Teil 1: Vom Wasserstoff zum Eisen SuW 11, 26 (2018) [51] Käppeler, F., Martinez-Pinedo, G., Thielemann, F-K.: Der Ursprung der Elemente Teil 2: Durch Neutroneneinfang zu den schwersten Atomkernen SuW 12, 36 (2018) [52] Hippler, S.: Ausgefunkelt, Grundlagen der adaptiven Optik SuW 2, 28 (2019) [53] Witt, V.: Der Stoff aus dem die Spiegel sind: Zerodur SuW 3, 42 (2019) [54] Hippler, S.: Auf dem Weg zum perfekten Bildsensor SuW 4, 20 (2019)

Spektrum der Wissenschaft [55] Strahlung vom „Urknall“ Nobelpreis für Physik (Penzias/Wilson) SdW 12, 47 (1978) [56] Giacconi, R.: Das Einstein-Röntgen-Observatorium SdW 4, 20 (1980)

Literatur

[57] Readhead, A. C. S.: Radioteleskope im weltweiten Verbund SdW 8, 24 (1982) [58] Rubin, V. C.: Dunkle Materie in Spiralgalaxien SdW 8, 68 (1983) [59] Nobelpreis für Physik (Chandrasekhar/Fowler) SdW 12, 14 (1983) [60] Guth, A. H., Steinhardt, P. J.: Das inflationäre Universum SdW 7, 80 (1984) [61] Gingerich, O.: Die islamische Periode der Astronomie SdW 4, 100 (1986) [62] Bethe, H. A., Brown, G.: Wie eine Supernova explodiert SdW 7, 54 (1985) [63] Krauss, L. M.: Dunkle Materie in Spiralgalaxien SdW 2, 104 (1987) [64] Wolschin, G.: 1987A - die helle Supernova in unserer Nachbargalaxis SdW 5, 14 (1987) [65] Fried, J.: Was ist ein CCD? SdW 9, 20 (1987) [66] Morian, H. F.: Leichte Spiegelträger für astronomische Teleskope SdW 2, 16 (1988) [67] Kellermann, K. I., Thompson, A. R.: Radiointerferometrie mit großen Basislängen SdW 3, 58 (1988)

681

682

Literatur

[68] Wilson, R.: Die aktive Optik des New Technology Telescope der ESO SdW 11, 14 (1988) [69] Mezger, P. G.: Das deutsch-amerikanische Submillimeter-Radioteleskop SdW 4, 14 (1989) [70] DeVorkin, D. H.: Henry Norris Russell SdW 7, 102 (1989) [71] Woosley, S., Weaver, T.: Die große Supernova von 1987 SdW 10, 86 (1989) [72] Gulkis, S. et al.: Satellit COBE und das frühe Universum SdW 3, 78 (1990) [73] Springer, M.: ROSAT: ein neuer Sternenhimmel tut sich auf SdW 9, 22 (1990) [74] Wolschin, G.: Fortschritte auf dem Weg zum Großteleskop VLT der europäischen Südsternwarte ESO SdW 4, 44 (1991) [75] Halliwell, J. J.: Quantenkosmologie und die Entstehung des Universums SdW 2, 50 (1992) [76] Reichert, U.: Strukturen im frühen Universum entdeckt SdW 6, 18 (1992) [77] Chaisson, E. J.: Erste Entdeckungen mit dem Hubble-Weltraumteleskop SdW 8, 52 (1992)

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[78] Hardy, J. W.: Adaptive Optik SdW 8, 48 (1994) [79] Macchetto, F. D., Dickinson, M.: Galaxien im frühen Universum SdW 7, 42 (1997) [80] Hogan, C. J., Kirshner, R. P., Suntzeff, N. B.: Die Vermessung der Raumzeit mit Supernovae SdW 3, 40 (1999) [81] Reichert, U.: Das Very Large Telescope - Europas neue Sternwarte SdW 3, 104 (1999) [82] Bastian, U.: Der vermessene Sternenhimmel Ergebnisse der Hipparcos-Mission SdW 2, 42 (2000) [83] Bastian, U.: Die Eroberung der dritten Dimension Eine kleine Geschichte der Astrometrie SdW 2, 50 (2000) [84] Wolschin, G.: Quartett komplett: das europäische Super-Teleskop vor dem Vollbetrieb SdW 7, 14 (2000) [85] Wolschin, G.: Boomerang erforscht Big Bang SdW 8, 13 (2000) [86] Peebles, J. E.: Kosmologie - ein Zustandsbericht SdW 3, 40 (2001) [87] Krome, Th.: Neue Fenster für den Blick ins All

683

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Nobelpreis für Physik (Davis Jr./Koshiba/Giacconi) SdW 12, 12 (2002) [88] Wolschin, G.: Einzigartiger Einblick in die Urzeit des Universums SdW 5, 8 (2003) [89] Freedman, W.: Das expandierende Universum SdW 6, 46 (2003) [90] Börner, G.: Ein Universum voll dunkler Rätsel SdW 12, 28 (2003) [91] Hu, W., White, M.: Neue Schlüssel zum Universum Die Symphonie der Schöpfung SdW 5, 46 (2004) [92] Dick, S. J.: Venus vor der Sonne SdW 6, 24 (2004) [93] Strauss, M. A.: Galaktische Wände und Blasen SdW 6, 60 (2004) [94] Riess, A. G., Turner, M. S.: Das Tempo der Expansion SdW 7, 42 (2004) [95] Hillebrandt, W., Janka, H.-Th., Müller, E.: Rätselhafte Supernova-Explosionen SdW 7, 36 (2005) [96] Pössel, M.: Der Kosmos im Computer SdW 11, 12 (2005)

Literatur

[97] Starkman, G. D., Schwarz, D. J.: Missklänge im Universum SdW 12, 30 (2005) [98] Pössel, M.: Neues von der Urzeit des Universums SdW 7, 14 (2006) [99] Hoeppe, G.: Entdeckungen in den tiefen Feldern SdW 7, 52 (2006) [100] Gilmozzi, R.: Riesenteleskope der Zukunft SdW 8, 28 (2006) [101] Livio, M.: Hubbles „Top 10“ SdW 9, 36 (2006) [102] Hoeppe, G.: Erste Karte vom Nachhall des Urknalls Nobelpreis für Physik (Mather/Smoot) SdW 12, 16 (2006) [103] Falcke, H., Beck, R.: Per Software zu den Sternen SdW 7, 26 (2008) [104] Frebel, A.: Auf der Spur der Sterngreise SdW 9, 24 (2008) [105] Müller, B.: Die Digitalisierung des Lichts Nobelpreis für Physik (Boyle/Smith) SdW 12, 14 (2009) [106] Werner, M.: Spitzers durchdringenderBlick ins All SdW 6, 24 (2010)

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[107] Breuer, R.: Porträt: Volker Springel Vielleicht laufen wir einem Phantom nach SdW 11, 34 (2010) [108] Steinhardt, P. J.: Kosmische Inflation auf dem Prüfstand SdW 8, 40 (2011) [109] Bührke, Th.: Das Universum startet durch Nobelpreis für Physik (Perlmutter/Schmidt/Riess) SdW 12, 12 (2011) [110] Springel, V.: Der Kosmos im Computer SdW 12, Extra 10 (2011) [111] Wolschin, G.: Neues vom Urknall: Plancks Himmelskarte SdW 7, 19 (2013) [112] Springel, V.: Der Dunkle Kosmos SdW 9, 60 (2013) [113] Livio, M., Silk, J.: Woraus besteht die Dunkle Materie? SdW 7, 64 (2014) [114] Sellentin, E., Bartelmann, M.: Was das Universum auseinandertreibt SdW 8, 38 (2014) [115] Finkbeiner, A.: Klare Sicht für Astronomen SdW 8, 42 (2015) [116] Dobrescu, B. A., Lincoln, D.: Der verborgene Kosmos SdW 11, 42 (2015)

Literatur

Literatur

[117] Psaltis, D., Doeleman, S. S.: Wie vermisst man ein Schwarzes Loch? SdW 2, 40 (2016) [118] Greene, G. L., Geltenbort, P.: Das Neutronenrätsel SdW 7, 36 (2016) [119] Riess, A. G., Livio, M.: Brisante Dunkle Energie SdW 9, 12 (2016) [120] Frieman, J.: Das dunkelste Geheimnis SdW 9, 18 (2016) [121] Worth, K.: Krieg der Teleskope SdW 1, 56 (2017) [122] Kasen, D.: Ein Feuerwerk explodierender Sterne SdW 4, 54 (2017) [123] Ijjas, A., Steinhardt, P. J., Loeb, A.: Inflationsmodell in der Kritik SdW 6, 12 (2017) [124] Jordan, S.: Gaias erster Sternkatalog SdW 6, 20 (2017) [125] Wolchover, N.: Inventur des dunklen Alls SdW 11, 32 (2017) [126] Alexandra, W.: Weltraumschrott - Aufräumen im All SdW 1, 58 (2019)

687

Epilog Zum Abschluss dieses zweibändigen Fachbuchs über Tensorrechnung und ihre physikalischen Anwendungen sollen noch einige allgemeine und übergreifende Bemerkungen und Gedanken angestellt werden. Sicher gibt es viele Zeitgenossen, die literatur-, kunst- oder musikbeflissen sind und sich in diesen Kulturbereichen bestens auskennen, die man gemeinhin neben Geschichte und Politik als Geistes- oder Humanwissenschaften bezeichnet. Häufig ist das jedoch gepaart mit einer unzureichenden Kenntnis grundlegender Sachverhalte und Zusammenhänge auf dem Gebiet der Naturwissenschaften. Der häufig geäußerte Satz, dass man „in Mathe nie gut war und kaum etwas verstanden habe“, was oft auch den Bereich von Physik und Chemie mit einschließt, wird von vielen in übereinstimmender Weise akzeptiert. Dabei fallen Erwerb und Beherrschung selbst einfacher Kulturwerte wie Schleifen binden und Schreiben, erst recht aber bei anspruchsvolleren wie Spracherwerb mit vielen Vokabeln und grammatischen Regeln oder Bruchrechnung und Algebra keinem mühelos in den Schoß sondern erfordern Fleiß, Anstrengung und lange Übung. Für das normale Leben werden jedoch Mängel, Schwächen oder Lücken naturwissenschaftlich-technischer Art häufig als nicht bedeutsam angesehen. Das gilt heutzutage umso mehr, da man durch sofortigen Zugriff auf internetbasierte Quellen wie Wikipedia u.a. nahezu jede beliebige Frage oder Wissenslücke augenblicklich und meist auch umfassend beantworten oder schließen kann. Im umgekehrten Fall, bei dem jemand durchblicken läßt oder sich dazu bekennt, dass er beispielsweise von Homer, Cäsar, Leonardo da Vinci, Michelangelo oder Mozart nichts wisse oder von Shakespeare, Schiller oder Thomas Mann nichts gelesen habe, würde der sicher als ungebildet, als Banause oder als kulturgeschichtlicher Analphabet angesehen und mitleidig belächelt werden. 688 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

689

Das Buch Bildung, Alles was man wissen muss von Dietrich Schwanitz (1999), [4], stellt die zweifellos wichtige humanistische Bildung ausführlich dar, wobei aber der naturwissenschaftliche Bereich ausgesprochen stiefmütterlich behandelt und nur kurz gestreift wird, den der gebildete Mensch getrost auslassen kann, da naturwissenschaftliche Kenntnisse für diesen Autor nicht zur Bildung gehören, [4, b), S. 664] ! Als ein gewisses Gegengewicht, um die notwendige Orientierung zu geben und die naturwissenschaftliche Bildungslücke zu schließen, veröffentlichte der Wissenschaftshistoriker Ernst Peter Fischer 2001 seinen Gegenentwurf Die andere Bildung, Was man von den Naturwissenschaften wissen sollte, [1]. Auf den ersten Seiten rechnet er mit dem Literaturprofessor Schwanitz ab, indem er dessen Hochmut, seine Anmaßung und Einäugigkeit gegenüber den Naturwissenschaften offenlegt und brandmarkt. In seinen Eingangskapiteln erörtert er dann kenntnisreich das Spannungsfeld, das die beiden wissenschaftlichen Kulturen bilden. Ein ähnliches Schulerlebnis, das Fischer in seinem Buch eingangs bei Überreichung seines Abiturzeugnisses durch den Direktor schildert, dass trotz guter Noten in den naturwissenschaftlichen Fächern die Reife des ins Leben tretenden Schülers erst an der Deutschnote zu erkennen sei, erfuhr auch ich in der Oberstufe von meinem Deutsch- und Geschichtslehrer. Bei einer nicht beantwortbaren Frage erfolgte sein Verdikt, ich säße ja hier nur als totaler Schmarotzer! Daraufhin war ich eher sprachlos als betroffen oder verstört. Dieser Vorfall zeugt von einer fundamentalen pädagogischen Entgleisung, bei dem sich ein solcher Lehrer als fehl am Platze entlarvt, da ja jeder Schüler, ob in einem Fach gut oder schlecht, dasitzt, um Kenntnisse des Kulturerbes geboten zu bekommen, sie durch Führung und Leitung zu erlernen und sich durch Fleiß und Übung zu eigen zu machen, um daraus eigene Schlussfolgerungen zu entwickeln und zu kritischem Denken zu gelangen. Es wäre wünschenswert, wenn der Gegensatz zwischen geistes- und naturwissenschaftlicher Kultur aufgehoben und durch wechselseitige Wertschätzung versöhnt würde, um dann in einer solchen Synthese nicht mehr zu existieren. Für einen umfassend gebildeten Menschen ist beides wichtig, denn in der heutigen Zeit lassen sich viele Dinge ohne naturwissenschaftlich-technische Kenntnis der Zusammenhänge zwar handhaben aber kaum mehr sinnvoll begreifen und einordnen angesichts der unglaublichen Geschwindigkeit, mit der sich der wissenschaftliche Horizont in nahezu allen Fachgebieten erweitert und sich damit die Bedingungen von Gesellschaft und Arbeitswelt

690

12 Epilog

verändern. Damit der moderne Mensch einigermaßen den Überblick bewahren kann, ist ein lebenslanges Lernen und Schritthalten notwendig und für ein befriedigendes und erfülltes Arbeitsleben auch erforderlich. Vielen Lesern des vorliegenden Buches ist sicher das Spannungsfeld zwischen den beiden wissenschaftlichen Kulturen bewusst und als naturwissenschaftlich-technisch ausgebildete und arbeitende Mitglieder unserer Gesellschaft wünscht man gelegentlich eine entsprechende Wertschätzung des Beitrages, der von diesen Berufszweigen in Forschung und Entwicklung und im tagtäglichen Einsatz geleistet wird, sowie auch eine verständige Berücksichtigung wissenschaftlicher Erkenntnisse als Handlungsanweisung bei den politischen Vertretern im eigenen wie auch anderen Ländern. Bedeutung und Stellenwert für unser modernes gesellschaftliches Leben erkennt man besonders dann, wenn Störungen von technischen Systemen oder Ausfälle infolge katastrophaler Naturphänomene auftreten. In hochtechnisierten Ländern betrifft das vor allem die Versorgung mit elektrischer Energie, deren längerfristiger und weiträumiger Ausfall einen weitgehenden Zusammenbruch der heutigen Lebensart bedeuten würde, da ohne sie weder Kommunikation, Transportwesen und Lagerhaltung noch Wasseraufbereitung, Heizung und Kühlung möglich sind und daneben die Herstellung von Produkten zur Nahrungs- und Heilmittelversorgung sowie der gesamte medizinische Bereich mit Diagnosegeräten, Operationen und Behandlungen nach ziemlich kurzer Zeit zum Erliegen kämen. Für ein umfassendes Verständnis der Bedeutung und Abhängigkeit der modernen Gesellschaften von technischen Errungenschaften sind daher die Förderung von MINT-Fächern in Schule und Ausbildung zu verstärken sowie entsprechende Beiträge in Print-Medien und Fersehen zu begrüßen, obwohl die Anteile der kulturellen gegenüber den naturwissenschaftlich-technischen Themen deutlich überwiegen. Das soll natürlich keineswegs heißen, dass die mathematischen und physikalischen Inhalte von jedem umfassend und tiefgründig gelernt und beherrscht werden müssten wie es in diesem Buch dargelegt wurde. Denn ein solcher jahre- oder jahrzehntelanger Prozess bleibt zweifellos Fachleuten und Experten vorbehalten, da er in dieser Tiefe natürlich nicht die vielfältigen Interessen der Mehrheit der Menschen trifft, die keine Naturwissenschaften studiert haben und daher über kein tieferes Wissen ihrer Begriffsbildungen und Gesetze verfügen. Ähnlich verhält es sich auch mit berühmten Pianisten, Virtuosen und anderen Experten, die ihre Fähigkeiten erst dann zu überra-

691

gender Perfektion entwickeln, wenn sie tausende Stunden von Übungen und Beschäftigung mit ihrem Gegenstand hinter sich gebracht haben. Einen guten Überblick über den naturwissenschaftlichen Bereich und seine historische Entwicklung geben Fischers Buch, [1], das Buch von Simonyi, Kulturgeschichte der Physik, [5], oder die Darstellung von Jaeger, Die Naturwissenschaften: Eine Biographie, [3], sowie viele weitere Sachbücher zu den verschiedensten Themen, worüber die kenntnisreiche Darstellung in einem anderen Buch des Autors Fischer, [2], eine gute Übersicht gibt. Je mehr Menschen einen Einblick in fundamentale, naturwissenschaftliche Zusammenhänge erwerben oder besitzen, um so eher wird die Sensibilisierung für wichtige und elementare Bedingungen des Lebens auf unserem Planeten erreicht. Und dieses Verständnis ist umso notwendiger angesichts der immer drängenderen Probleme und Bedrohungen durch Bevölkerungszunahme, Nahrungs- und Wassermangel, Klimawandel, Umweltverschmutzung von Land und Meer, Artenschwund und Ressourcenübernutzung, da ja Naturgesetze und Rückkopplungsmechanismen keinerlei Rücksicht auf die notwendigen Bedingungen der menschlichen Art nehmen. Die Geschichte lehrt, dass uns in den letzten zwei bis drei Jahrhunderten Wissenschaft und Technologie durch die große Neugier unserer Spezies großartige Fortschritte beschert haben, die das Leben der meisten Menschen verbesserten. Andererseits hat die heutige Lebensart durch den stetig steigenden weltweiten Energieverbrauch und die Verbrennung riesiger Mengen fossiler Brennstoffe einen bisher ungebremsten Ausstoß des Klimagases CO2 verursacht, das einen ernst zu nehmenden Einfluss auf das Weltklima haben dürfte. Ein optimistischer Weg aus der zu erwartenden schwierigen Lage des Planeten mit langfristig weiterhin akzeptablen Lebensverhältnissen für die Menschheit in der globalisierten Welt ist sicher nur durch Hinwendung zu einer nachhaltigen und einer die Erde schonenden Lebensweise denkbar, die auf naturwissenschaftlich-technischen sowie bio- und gentechnologischen Methoden beruht. Die Erreichbarkeit hängt ab von einem baldigen Bewusstseinwandel und entsprechender Handlungsweisen der auf humanistischen Werten basierenden politischen und wirtschaftlichen Kultur, die größere oder weltumspannende Konflikte vermeiden oder entschärfen kann.

Literatur [1] Fischer, E. P.: Die andere Bildung Was man von den Naturwissenschaften wissen sollte Econ Ullstein List Verlag, München (2001) [2] Fischer, E. P.: Einstein, Hawking, Singh & Co. Bücher, die man kennen muss, Piper Verlag, München (2004) [3] Jaeger, L.: Die Naturwissenschaften: Eine Biographie Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (2015) [4] Schwanitz, D.: Bildung Alles was man wissen muss a) Eichborn AG, Frankfurt am Main (1999), b) dito, bebilderte Sonderausgabe (2002) [5] Simonyi, K.: Kulturgeschichte der Physik Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 3. Aufl. (2004)

692

Abbildungsverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Erzeugung einer ebenen Raumkurve durch Normalschnitt Verschiedene Flächenschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren in der Normalebene der Flächenkurve . . . . . . Ortskurve des Krümmungsvektors . . . . . . . . . . . . . Parallelverschiebung im euklidischen Raum . . . . . . . . Kugel mit berührendem Kegelmantel . . . . . . . . . . . . Flächenvektoren im Riemann’schen Raum . . . . . . . . . Parallelverschiebung eines Flächenvektors . . . . . . . . . Parallelverschiebung auf geodätischen Linien . . . . . . . . Parallelverschiebung eines Vektors auf geschlossenem Weg

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

12 13 14 15 59 61 62 64 67 73

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Kraft und Drehmoment an einem Massenpunkt . . . . . . Vektoren beim Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . Momentane Drehung eines starren Körpers . . . . . . . . . Drehung eines starren Körpers um eine Achse . . . . . . . Koordinatensysteme in Bezug auf den starren Körper . . . Verschiebung der Achsen beim Satz von Steiner . . . . . Geometrie des Flügelrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ansicht und Darstellung des Doppelkeils . . . . . . . . . . Lage des Schwerpunktes bei Seitenansicht der Doppelkeile

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

84 89 95 96 103 105 109 112 118

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Spannungen am Flächenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . Positive Normal- und Schubspannungen am Volumenelement . Spannungen beim ebenen Spannungs- zustand . . . . . . . . . Positiv gerichtete Spannungen am Dreieckprisma . . . . . . . Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises . . . . . . . Ebene zweiachsige Spannungszustände . . . . . . . . . . . . .

123 124 127 129 130 132

693 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

694

Abbildungsverzeichnis

4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22

Einachsiger Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Zweiachsiger Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Hydrostatischer Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . 133 Eindimensionale Dehnung durch Normalspannung . . . . . . . 134 Eindimensionale Scherung eines Stabes durch Schubspannungen137 Zweiachsiger Spannungzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Vektoren bei der Deformation eines Körpers . . . . . . . . . . 139 Aufgabenstellung des Beispiels und Koordinatensystem . . . . 147 Mohr’scher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Volumenelement im gedrehten System . . . . . . . . . . . . . 149 Normal- und Schubspannungen bei verschiedenen Drehwinkeln 150 Quadratischer Stab in starrer Passung . . . . . . . . . . . . . 151 Normal- und Schubspannungen am Zylinderelement . . . . . . 153 Normalspannungen am zylindrischen Stempel . . . . . . . . . 155 Spannungen in der Wand des Zylinders . . . . . . . . . . . . . 156 Schweißnaht im Rohr und zugehörige Koordinatensysteme . . 158

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15

Volumen und Umlauf an der Grenzfläche zweier Medien . Brechung der Feldlinien am Materialsprung . . . . . . . . Feld von Punktladungen und Kreisstrom . . . . . . . . . . Feldbild des elektrischen Dipols . . . . . . . . . . . . . . . Ladungskonstellation für den Quadrupol . . . . . . . . . . Axialer Dipol zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . Feldstärke und Spannungsvektor im elektrostatischen Feld Feld der Punktladungen und Integrationsgebiet . . . . . . Dielektrische Halbräume und Ersatzbilder . . . . . . . . . Ebenes Feld der Linienströme und Integrationsgebiet . . . Kräfte zwischen parallelen Leitern . . . . . . . . . . . . . Phasenfront einer ebenen Welle . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren der ebenen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen für die Lösung der Poisson’schen Gleichung . . Normierte Richtcharakteristiken des Hertz’schen Dipols .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

169 171 174 176 178 180 194 195 197 198 200 210 211 222 250

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Kristallgitter mit Elementarzelle und Gitterebenen Gitterebene und Normalenrichtung . . . . . . . . . Tetraeder und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . Gitter mit flächenzentrierter Elementarzelle . . . . Spurkurven bei elliptischer Polarisation . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

261 263 264 266 273

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

695

Abbildungsverzeichnis

6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30

Geometrie der Polarisationsellipse . . . . . . . . . . . . . . Linear und zufällig polarisierte Wellen . . . . . . . . . . . Vektoren bei Wellenausbreitung im aniostropen Kristall . Bestimmung von ψ mit der Poinsot’schen Konstruktion . Winkelfunktion ψ “ f pϑD q bei einachsigen Kristallen . . . Vektoren der orthogonalen Wellen im Indexellipsoid . . . . Hauptachsenschnitte durch das Indexellipsoid . . . . . . . Vektoren beim Kreisschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptschnitte einachsiger Indexellipsoide . . . . . . . . . . Zweischalige Normalenfläche bei einachsigen Kristallen . . Brechung an der Kristalloberfläche . . . . . . . . . . . . . Entstehung des Doppelbildes beim Blick auf einen Kristall Lichtstrahlverlauf und Polarisation beim Kalkspatkristall . Strahlrichtungen und Polarisationen im Kalkspatkristall . Magnetisierungskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hystereseschleifen ferromagnetischer Werkstoffe . . . . . . Präzession des Elektrons im Magnetfeld . . . . . . . . . . Real- und Imaginärteil der Ausbreitungskonstanten . . . . Feldstärken der linear polarisierten Wellen beim Ferrit . . Faraday-Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Präzession des Magnetisierungsvektors im homogenen Feld Feldgradienten in x- und y-Richtung . . . . . . . . . . . . Signale und Feldgradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . Transversalmagnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transversalmagnetisierung bei Frequenzabweichung . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273 277 284 285 287 293 297 300 301 304 306 308 309 310 317 318 321 330 335 336 340 343 344 345 346

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

Gegeneinander gleichförmig bewegte Inertialsysteme . Zweidimensionale Lorentz-Transformation . . . . . . Minkowski-Diagramm für ein Inertialsystem . . . . . Minkowski-Diagramme für zwei Inertialsysteme . . . Lichtkegel im schiefwinkligen System . . . . . . . . . . Gleichseitige Hyperbeln als Eichkurven im Lichtsystem Eigenschaften von gleichseitigen Hyperbeln . . . . . . Entwurf von Minkowski-Diagrammen . . . . . . . . . Ereignisse in zwei Inertialsystemen . . . . . . . . . . . Diagramme zur Längenkontraktion . . . . . . . . . . . Diagramme zur Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . Vergleich von Weltlinien in der Raumzeit . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

354 368 374 376 378 379 380 383 384 386 388 391

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

696

Abbildungsverzeichnis

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Weltlinie mit Vierer-Ortsvektor und Tangente . . . . . Addition von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . Bahnkurven eines Objektes in beiden Bezugssystemen Jährliche Umlaufbahn der Erde um die Sonne . . . . . Teleskopneigung durch Aberration . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

402 411 413 415 416

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

Ebene Empfangswelle bei Abstrahlung einer Kugelwelle . . Minkowski-Diagramm für die Laufzeit eines Lichtsignals . Bewegung einer geladenen Masse im homogenen Magnetfeld Geometrie einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . Punktladung zu verschiedenen Zeiten in Inertialsystemen . . Minkowski-Diagramm der bewegten Punktladung . . . . . Richtcharakteristik der Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . Geometrie zur kreisenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . Richtcharakteristik der kreisenden Ladung . . . . . . . . . . Synchrotronstrahlung kreisender Ladungen . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

421 428 440 442 443 445 450 451 453 454

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Energiedarstellung für normale und masselose Partikel Energie-Impuls-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . Compton-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wechselwirkungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardmodell der Elementarteilchenphysik . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

473 482 483 484 487

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

Lagrange-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen von Energie und Arbeit . . . . . . . . . . . Gezeitenkräfte im inhomogenen Gravitationsfeld . . . Positionen von Massen beim Gezeiteneffekt . . . . . . Flugbahn einer Masse im Gravitationsfeld . . . . . . . Zylindrische Koordinatensysteme mit Einheitsvektoren Archimedische Spirale der rollenden Kugel . . . . . . . Einstein’sches Kastenexperiment . . . . . . . . . . . Elliptische Bahnkurve und Periheldrehung . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

504 508 512 513 518 522 523 525 583

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Expansion des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenvergleich optischer Großteleskope . . . . . . . . . . . Montagebild des Bullet-Clusters . . . . . . . . . . . . . . . . Planck’sches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . Temperaturverteilung der verschiedenen Satellitenmissionen

. . . . .

616 626 643 646 652

697

Abbildungsverzeichnis

12.6 12.7 12.8 12.9

Leistungsspektrum der Temperaturschwankungen . . . . Schematische Darstellung der Expansion des Universums Gemessene Galaxienverteilung . . . . . . . . . . . . . . Galaxienverteilung in der Millennium Simulation . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

659 666 673 674

Bildnachweise Abb. 12.1:

Expansion des Universums https://de.wikipedia.org/wiki /Datei:Expansion_des_Universums.png Urheber: NASA/WMAP Science Team

Abb. 12.2:

Flächenvergleich optischer Großteleskope https://de.wikipedia.org/wiki /Datei:Comparison_optical_telescope_ primary_mirrors.svg Urheber: Cmglee

Abb. 12.3:

Montagebild des Bullet-Clusters https://de.wikipedia.org/wiki /Datei:1e0657_scale.jpg Urheber: NASA/CXC/M. Weiss

Abb. 12.5:

Temperaturverteilung der verschiedenen Satellitenmissionen http://wmap.gsfc.nasa.gov /media/030653/030653_1_1280.png http://wmap.gsfc.nasa.gov /media/030653/030653_2_1280.png Urheber: NASA/WMAP Science Team http://www.esa.int/spaceinimages /Images/2018/07/Planck_s_view_ 698

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

699

Bildnachweise

of_the_cosmic_microwave_background c ESA/Planck Collaboration Urheber: Copyright  Abb. 12.6:

Leistungsspektrum der Temperaturschwankungen https://commons.wikimedia.org/wiki /File:PowerSpectrumExt.svg Urheber: NASA/WMAP Science Team

Abb. 12.8:

Gemessene Galaxienverteilung des 2dF Galaxy Redshift Survey http://www.2dfgrs.net http://magnum.anu.edu.au /~TDFgg/Public/Pics/2dFzcone_big.gif Urheber: 2dF Galaxy Redshift Survey team Colless et al., 2001, MNRAS, 328, 1039-1063

Abb. 12.9:

Galaxienverteilung in der Millennium Simulation https://wwwmpa.mpa-garching.mpg.de /galform/virgo/millennium/ c Virgo Consortium, Springel et al. (2005) Copyright 

Personenverzeichnis Adams, John, 501 Aldrin, Buzz, 635 Alfjorow, Schores I., 252 Alpher, Ralph, 647 Ampere, André Marie, 162 Anaximander, 596 Apollonius von Perge, 596 Argelander, Friedrich Wilhelm, 621 Aristarch von Samos, 596 Aristoteles, 596, 667 Armstrong, Neil, 635 Augustinus, 597

Brahe, Tycho, 497, 598, 660 Brattain, Walter, 251 Braun, Ferdinand, 212 Broglie, Louis de, 477 Bunsen, Robert Wilhelm, 599 Burbidge, Geoffrey, 618 Burbidge, Margaret, 618 Cannon, Annie Jump, 605 Cassegrain, Laurent, 622 Cassini, Jean-Dominique, 28, 606 Cavendish, Henry, 498 Chandrasekhar, Subrahmanyan, 619 Clairaut, Alexis Claude, 599 Clausius, Rudolf, 86 Cook, James, 607 Coulomb, Charles Augustin de, 162, 171 Crommelin, Andrew, 529 Curtis, Heber, 609

Baade, Walter, 425, 661 Bacon, Roger, 597 Bardeen, John, 251 Barish, Barry C., 538 Bartholinus, Erasmus, 278 Bell, Alexander Graham, 251 Bell, Jocelyn, 533 Bernoulli, Daniel, 228 Bessel, Friedrich Wilhelm, 501, 608 Bethe, Hans, 617, 647 Birkhoff, George, 580 Bloch, Felix, 336 Bohr, Niels, 478, 605 Bondi, Hermann, 649 Boyle, Willard, 624 Bradley, James, 355, 412

D’Alembert, Jean le Rond, 206, 599 Darwin, Charles, 2 Davis Jr., Raymond, 485 Dicke, Robert H., 515, 648 Doppler, Christian Johann, 420 Draper, Henry, 604 Dreyer, Johan L. E., 604 Dyson, Frank, 529 700

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

701

Personenverzeichnis

Eddington, Arthur, 529 Edison, Thomas Alva, 251 Einstein, Albert, 28, 353, 361, 476, 611 Empedokles, 667 Englert, François, 486 Eratosthenes von Kyrene, 596 Ernst, Richard R., 337 Euler, Leonhard, 503, 599, 603 Eötvös, Loránd, 499, 515 Faraday, Michael, 162 Fermi, Enrico, 485 Fizeau, Armand, 355 Flamsteed, John, 602 Fleming, Williamina, 605 Ford, Kent, 641 Forest, Lee de, 251 Foucault, Jean, 355 Fowler, William, 618 Fraunhofer, Joseph von, 599 Fresnel, Augustin, 271 Freundlich, Erwin, 529 Friedmann, Alexander, 610 Frisius, Gemma, 28 Gagarin, Juri, 635 Galilei, Galileo, 353, 597 Galle, Johann Gottfried, 501 Gamow, George, 611, 647 Gauß, Carl Friedrich, 5, 29, 501 Giacconi, Riccardo, 641 Gibbs, Josiah Willard, 185 Glashow, Sheldon, 500 Gold, Thomas, 649 Gregory, James, 622 Guth, Alan, 614, 668 Hadley, John, 601

Hale, George Ellery, 621 Halley, Edmond, 607 Harrison, John, 602 Hazard, Cyril, 532 Heaviside, Oliver, 183, 185 Heisenberg, Werner, 478 Helmholtz, Hermann von, 83 Herman, Robert, 647 Herschel, Friedrich Wilhelm, 622 Herschel, Friedrich Wilhelm (William), 501, 604 Hertz, Heinrich Rudolph, 162 Hertzsprung, Ejnar, 424, 605 Hewish, Anthony, 533 Hey, Stanley, 630 Higgs, Peter, 486 Hipparchos von Nikäa, 596, 664 Hooke, Robert, 122 Hoyle, Fred, 533, 613, 618, 649 Hubble, Edwin Powell, 424, 599, 609, 611 Hulse, Russell, 534 Hulst, Hendrik van de, 630 Humason, Milton, 424 Huygens, Christiaan, 278 Jansky, Karl, 629 Joos, Jakob, 356 Joule, James Prescott, 83 Kajita, Takaaki, 485 Kao, Charles, 214 Kepler, Johannes, 87, 497, 598, 660 Kilby, Jack S., 251 Kirchhoff, Gustav Robert, 239, 599, 644 Kirshner, Robert, 662 Klein, Felix, 27

702

Kohlrausch, Rudolf, 210 Kolumbus, Christoph, 601 Kopernikus, Nikolaus, 597 Koshiba, Masatoshi, 485 Kroemer, Herbert, 252 Lacaille, Nicolas Louis de, 603 Lagrange, Joseph Louis, 81, 503, 599 Laplace, Pierre Simon, 599 Lauterbur, Paul Chr., 337 Leavitt, Henrietta Swan, 424, 605 Legendre, Adrien-Marie, 174 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 81 Lemaître, Georges, 610 Lenard, Philipp, 476 Leverrier, Urbain, 501, 528 Levi-Civita, Tullio, 28, 60 Lobatschewski, Nikolai, 27 Lorentz, Hendrik Antoon, 173, 361 Lorenz, Ludvig V., 219 Lowell, Percival, 501 Lummer, Otto, 645 Magnus, Albertus, 597 Mansfield, Peter, 337 Marconi, Guglielmo, 212, 251 Maskelyne, Nevil, 602, 603 Mather, John, 651 Maupertuis, Pierre Louis de, 29 Maury, Antonia, 605 Maxwell, James Clerk, 162 Mayer, Julius Robert, 83 Mayer, Tobias, 603 McDonald, Arthur B., 485 Mendelsohn, Erich, 531 Mercator, Gerhard, 7 Messier, Charles, 604

Personenverzeichnis

Michelson, Albert Abraham, 355, 356 Milne, Edward A., 613 Minkowski, Hermann, 359 Mohr, Otto, 130 Monge, Gaspard, 5 Morley, Edward M., 356 Newton, Isaac, 78, 353, 497, 598, 622 Noether, Emmy, 219 Noyce, Robert N., 251 Öpik, Ernst, 618 Oersted, Hans Christian, 162 Ohm, Georg Simon, 166 Oort, Jan Hendrik, 630 Ostriker, Jeremiah, 641 Pauli, Wolfgang, 485 Payne-Gaposchkin, Cecilia Helena, 605 Peebles, James, 641, 648, 651 Penzias, Arno, 425, 649 Perlmutter, Saul, 662 Picard, Jean, 28 Pickering, Edward Charles, 604 Planck, Max, 476, 613, 644 Platon, 596 Pogson, Norman, 664 Poincaré, Henri, 361 Poynting, John Henry, 182 Priestley, Joseph, 171 Pringsheim, Ernst, 645 Ptolemäus, Claudius, 27, 596, 664 Purcell, Edward M., 336 Reber, Grote, 629 Reines, Frederick, 485

703

Personenverzeichnis

Ricci-Curbastro, Gregorio, 28 Richer, Jean, 606 Riemann, Bernhard, 27 Riess, Adam, 662 Roll, Peter, 649 Rubin, Vera C., 641, 662 Russell, Henry Norris, 605 Rutherford, Ernest, 647 Ryle, Martin, 533, 630 Rømer, Ole, 355 Saint-Venant, Barré de, 137 Salam, Abdus, 500 Salpeter, Edwin, 618 Schmidt, Brian, 662 Schmidt, Maarten, 532 Schottky, Walter, 251 Schramm, David, 619 Schwarzschild, Karl, 573 Schönfeld, Eduard, 621 Secchi, Angelo, 539, 604 Shapley, Harlow, 424, 609 Shepard, Alan, 635 Shockley, William, 251 Siemens, Werner von, 251 Slipher, Vesto M., 423 Smith, George Elwood, 624 Smoot, George, 651 Snell van Royen, Willebrord, 28, 278 Sommerfeld, Arnold, 168, 224 Steiner, Jakob, 105 Suntzeff, Nicholas, 662 Taylor, Joseph, 534 Tesla, Nikola, 251 Thomas von Aquin, 597 Thomson, Joseph John, 312

Thorne, Kip S., 538 Tombaugh, Clyde, 501 Turner, Michael, 643 Voigt, Woldemar, 361 Volta, Alessandro, 162 Weber, Wilhelm, 210 Weinberg, Steven, 500, 615 Weiss, Rainer, 538 Weizsäcker, Carl-Friedrich von, 617 Weyl, Hermann, 219 Wheeler, John Archibald, 546, 621 Wien, Wilhelm, 644 Wilkinson, David, 649 Wilson, Robert, 425, 649 Wolter, Hans, 640 Zwicky, Fritz, 534, 641, 660, 661

Personenbezogene Begriffe Bernoulli’scher Produktansatz, 228 Bethe-Weizsäcker-Zyklus, 617 Bianchi-Identitäten, 47 Biot-Savart’sches Gesetz, 245 Birkhoff’sches Theorem, 580 Bloch-Wand, 315 Bohr’sches Atommodell, 479 Bohr’sches Magneton, 313 Boltzmann-Konstante, 645 Bravais-Gitter, 266

Einstein-Ring, 534 Einstein-Skalar, 55 Einstein-Tensor, 54 Einstein-Turm, 531 Einsteins Äquivalenzprinzip, 525 Einsteins Kasten-Experiment, 524 Eötvös-Experimente, 515 Euler’sche Gleichung(en), 68, 557 Euler’sches Schnittprinzip, 122 Euler’sches Theorem, 96 Faraday’sches Induktionsgesetz, 163 Faraday-Drehung, 331 Fermat’sches Prinzip, 543 Flamsteed-Bezeichnung, 603 Fourier-Entwicklung, 230 Fourier-Transformation, 342 Fresnel’sche Normalengleichung, 290 Fresnel’sches Ellipsoid, 281 Friedmann-Lemaître-Lösungen, 613

Cauchy’sche Gleichungen, 125 Cauchy-Riemann’sche Differentialgleichungen, 235 Chandrasekhar-Grenze, 620 Christoffel-Symbole, 37 Compton-Effekt, 483 Coulomb’sches Gesetz, 171 Coulomb-Eichung, 219 Coulomb-Kraft, 83, 172 Curie-Temperatur, 315 D’Alembert-Operator, 206, 400 De Broglie-Wellenlänge, 478 Dirichlet’sches Randwertproblem, 227 Doppler-Effekt, 420 Einstein’sche Postulate, 357

Galilei’sches Trägheitsgesetz, 353 Galilei-Transformation, 354 Gauß’sche Gesetze, 163 Gauß’sche Gleichung, 24 Gauß’sche Koordinaten, 5 Gauß’sche Krümmung, 22

704 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

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Personenbezogene Begriffe

Gauß’scher Mittelwertsatz, 225 Green’sche Funktion, 236 Hadley-Quadrant, 601 Hale-Teleskop, 622 Hartmann-Shack-Sensor, 627 Heisenberg’sche Unschärferelation, 667 Helmholtz’scher Satz, 142 Helmholtz-Gleichung, 207 Henry-Draper-Katalog, 605 Hertzsprung-Russell-Diagramm, 606 Hertz’scher Dipol, 245 Higgs-Boson, 486 Hooke’sches Gesetz, 122 Hooker-Teleskop, 622 Hubble Deep Field, 638 Hubble’sches Gesetz, 424 Hubble-Konstante, 424 Hubble-Weltraumteleskop, 637 Hulse-Taylor-Pulsar, 534 Huygens’sches Prinzip, 305 Jefimenko-Gleichungen, 244 Joule’sche Wärme, 181 Kepler’sche Gesetze, 87 Kepler-Ellipse, 90 Kepler-Konstante, 91 Kepler-Kurve, 91 Lagrange-Punkte, 503 Lagrange’sche Multiplikatoren, 294 Laplace-Gleichung, 227 Larmor-Frequenz, 320 Legendre-Polynome, 180 Liénard-Wiechert-Potentiale, 441 Lorentz-Faktor, 362

Lorentz-Kontraktion, 386 Lorentz-Kraft, 171 Lorentz-Matrix, 363 Lorentz-Transformation, 358 Lorenz-Eichung, 219 Maxwell’sche Gleichungen, 161 Maxwell’sche Relation, 209 Maxwell’scher Spannungstensor, 184 Mercator-Projektion, 7 Messier-Katalog, 604 Michelson-Morley-Versuch, 271 Minkowski-Diagramm, 373 Minkowski-Kraft, 488 Minkowski-Metrik, 374 Mohr’scher Kreis, 127 Mößbauer-Effekt, 531 Neumann’sches Randwertproblem, 228 Newton’sche Gravitationskonstante, 498 Newton’sches Gravitationsgesetz, 497 Newton’sches Grundgesetz, 79 Noether-Theorem, 219 Ohm’sches Gesetz, 166 Pauli-Prinzip, 315 Planck’sches Strahlungsgesetz, 645 Planck’sches Wirkungsquantum, 313 Planck-Ära, 614 Planck-Einheiten, 614 Planck-Weltraumteleskop, 651 Planck-Zeit, 614 Poisson-Gleichung, 221

706

Polder-Tensor, 325 Poynting’scher Satz, 183 Poynting-Vektor, 181 Satz des Pythagoras, 31 Rayleigh-Jeans-Gesetz, 645 Rayleigh-Streuung, 627 Ricci-Identitäten, 47 Ricci-Tensor, 52 Riemann’sche Geometrie, 28 Riemann’sche Metrik, 32 Riemann’scher Krümmungstensor, 30 Riemann’scher Raum, 28 Rodrigues-Darstellung, 233 Schwarzschild-Metrik, 578 Schwarzschild-Radius, 555 Sellmeier-Reihe, 209 Snellius’sches Brechungsgesetz, 278 Sommerfeld’sche Ausstrahlungsbedingung, 243 Steiner’scher Satz, 105 Taylor’sche Formel, 178 James-Webb-Weltraumteleskop, 639 Weber-Fechner’sches Gesetz, 664 Weiß’sche Bezirke, 315 Wien’sches Strahlungsgesetz, 645 Wien’sches Verschiebungsgesetz, 646 Wolter-Teleskop, 640 Yerkes-Refraktor, 621 Young’scher Doppelspaltversuch, 270

Personenbezogene Begriffe

Nobelpreisträger Hulse, Russell (1993), 535 Kajita, Takaaki (2015), 485 Kao, Charles (2009), 214 Kilby, Jack S. (2000), 251 Koshiba, Masatoshi (2002), 485 Krömer, Herbert (2000), 252 Marconi, Guglielmo (1909), 251 Mather, John (2006), 651 McDonald, Arthur B. (2015), 485 Michelson, Albert A. (1907), 356 Pauli, Wolfgang (1945), 485 Penzias, Arno (1978), 649 Perlmutter, Saul (2011), 666 Planck, Max (1918), 647 Purcell, Edward M. (1952), 337 Reines, Frederick (1995), 485 Riess, Adam G. (2011), 666 Ryle, Martin (1974), 533, 630 Salam, Abdus (1979), 500 Schmidt, Brian P. (2011), 666 Shockley, William (1956), 251 Smith, George E. (2009), 624 Smoot, George (2006), 651 Taylor, Joseph (1993), 535 Thomson, Joseph John (1906), 312

Chemie Ernst, Richard R. (1991), 337 Medizin Lauterbur, Paul Chr. (2003), 337 Mansfield, Peter (2003), 337 Physik Alfjorow, Schores I. (2000), 252 Bardeen, John (1956), 251 Barish, Barry C. (2017), 538 Bethe, Hans (1967), 617 Bloch, Felix (1952), 337 Bohr, Niels (1922), 479 Boyle, Willard (2009), 624 Brattain, Walter (1956), 251 Broglie, Louis de (1929), 479 Chandrasekhar, Subrahmanyan (1983), 619 Davis Jr., Raymond (2002), 485 Einstein, Albert (1921), 476 Englert, François (2013), 486 Fermi, Enrico (1938), 485 Fowler, William (1983), 619 Giacconi, Riccardo (2002), 641 Glashow, Sheldon (1979), 500 Hewish, Anthony (1974), 533 Higgs, Peter (2013), 486 707

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

708

Nobelpreisträger

Thorne, Kip S. (2017), 538 Weinberg, Steven (1979), 500 Weiss, Rainer (2017), 538 Wilson, Robert (1978), 649 ohne Nobelpreis Bell, Jocelyn, 533 Hoyle, Fred, 619 Hubble, Edwin Powell, 611 Peebles, James, 651 Weizsäcker, Carl-Friedrich von, 617 Forschungszentren, 538

Gesamtverzeichnis der Bücher Mathematik Abramowitz, Milton / Stegun, Irene A.: Handbook of Mathematical Functions Dover Publications, Inc., New York (1965) Apelblat, Alexander: Tables of Integrals and Series Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main (1996) Bellman, Richard: Methoden der Störungsrechnung in Mathematik, Physik und Technik Oldenbourg Verlag München Wien (1967) Betz, Albert: Konforme Abbildung Springer Verlag, Berlin, Göttigen, Heidelberg, 2. Aufl. (1964) Bossert, Martin: Kanalcodierung B. G. Teubner, Stuttgart, 2. Aufl. (1998) Bossert, Martin / Bossert, Sebastian: Mathematik der digitalen Medien VDE Verlag GmbH, Berlin, Offenbach (2010) Byrd, Paul F. / Friedman, Morris D.: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists Springer-Verlag, Berlin Göttingen Heidelberg (1954) Fichtenholz, Grigori M.: Differential- und Integralrechnung I/II/III 709 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

710

Gesamtverzeichnis der Bücher

VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 5. Aufl. (1972) Flammer, Carson: Spheroidal Wave Functions Stanford University Press (1957) Goldberg, Jack L. / Schwartz, Arthur J.: Systems of Ordinary Differential Equations Harper & Row, Publishers, New York etc. (1972) Gonzalez, Rafael C. / Woods, Richard E.: Digital Image Processing Addison-Wesley Publishing Company (1993) Gradshteyn, I. S. / Ryzhik, I. M.: Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, New York (1980) Gröbner, Wolfgang / Hofreiter, Nikolaus: Integraltafel, Bestimmte Integrale Springer Verlag, Wien, 3. Aufl. (1966) Gröbner, Wolfgang / Hofreiter, Nikolaus: Integraltafel, Unbestimmte Integrale Springer Verlag, Wien New York, 5. Aufl. (1975) Guillemin, Ernst Adolph: Mathematische Methoden des Ingenieurs R. Oldenbourg Verlag, München, Wien (1966) Hamming, Richard W.: Information und Codierung VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim (1987) Jahnke, Eugen / Emde, Fritz / Lösch, Friedrich: Tafeln höherer Funktionen B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 7. Aufl. (1966) Jaeger, Lars: Die Naturwissenschaften: Eine Biographie Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (2015) Kamke, Erich: Differentialgleichungen reeller Funktionen Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 2. Aufl. (1950)

Mathematik

711

Kneschke, Alfred: Differentialgleichungen und Randwertprobleme Band 2, Partielle Differentialgleichungen VEB Verlag Technik, Berlin (1960) Koppenfels, Werner / Stallmann, Friedemann: Praxis der konformen Abbildung Springer Verlag, Berlin, Göttigen, Heidelberg (1959) Lawrentjew, M. A. / Schabat, B. W.: Methoden der komplexen Funktionentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1967) Lense, Josef: Reihenentwicklungen der mathematischen Physik Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2. Aufl. (1947) Lense, Josef: Kugelfunktionen Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1950) Lin, Shu / Costello, Daniel J.: Error Control Coding: Fundamentals and Applications Pearson-Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2. Aufl. (2004) Magnus, Wilhelm / Oberhettinger, Fritz / Soni, R. P.: Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics Springer-Verlag, New York, Berlin 3. Aufl. (1966) Meixner, Josef / Schäfke, Friedrich Wilhelm: Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1954) Meyer zur Capellen, W.: Integraltafeln Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1950) Moon, Parry / Spencer, Domina E.: Field Theory Handbook Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1971) Nahin, Paul J.: Inside Interesting Integrals Springer Science+Business Media New York (2015)

712

Gesamtverzeichnis der Bücher

Needham, Tristan: Anschauliche Funktionentheorie Oldenbourg Verlag München Wien (2001) Norton, Richard E.: Complex Variables for Scientists and Engineers Oxford University Press (2010) Olver, Frank W. J. et al.: NIST Handbook of Mathematical Functions Cambridge University Press, New York (2010) Robin, Louis: Fonctions sphériques de Legendre et fonctions sphéroidales, I/II/III Gauthier-Villars, Paris (1957) Samueli, Jean-Jacques / Boudenot, Jean-Claude: Trente livres de mathématiques qui ont changé le monde Ellipses Edition Marketing S.A., Paris (2006) Smirnow, Wladimir I.: Lehrgang der höheren Mathematik, I-IV VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 6. Aufl. (1964/68) Sneddon, Ian N.: Spezielle Funktionen der mathematischen Physik Bibliographisches Institut, Mannheim (1963) Sommerfeld, Arnold: Vorlesungen über theoretische Physik VI, Partielle Differentialgleichungen der Physik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 6. Aufl. (1965) Spanier, Jerome / Oldham, Keith B.: An Atlas of Functions Hemisphere Publishing Corporation (1987) Wladimirow, W. S.: Gleichungen der mathematischen Physik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1972) Wussing, Hans: Carl Friedrich Gauss BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig (1974)

Matrizen

713

Matrizen Gantmacher, F. R.: Matrizenrechnung, Teil I VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1958) Kowalewski, Gerhard: Einführung in die Determinantentheorie Walter de Gruyter, Berlin, 3. Aufl. (1942) Promberger, Miroslav: Anwendung von Matrizen und Tensoren in der theoretischen Elektrotechnik Akademie-Verlag, Berlin (1960) Schmeidler, Werner: Vorträge über Determinanten und Matrizen Akademie-Verlag, Berlin (1949) Schwarz, H. R. / Rutishauser, H. / Stiefel, E.: Numerik symmetrischer Matrizen B. G. Teubner, Stuttgart (1972) Tropper, A. Mary: Matrizenrechnung in der Elektrotechnik Bibliographisches Institut, Mannheim (1962) Voigt, Christian / Adamy, Jürgen: Formelsammlung der Matrizenrechnung Oldenbourg Verlag, München, Wien (2007) Zurmühl, Rudolf: Matrizen Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, 4. Aufl. (1964) Zurmühl, Rudolf / Falk, Sigurd: Matrizen und ihre Anwendungen, Grundlagen Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 5. Aufl. (1984)

Vektoren und Tensoren Crowe, Michael J.: A History of Vectoranalysis Dover Publications, New York (1994)

714

Gesamtverzeichnis der Bücher

Kästner, Siegfried: Vektoren, Tensoren, Spinoren Akademie-Verlag, Berlin (1960) Kay, David C.: Tensor Calculus Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Company (2011) Klingbeil, Eberhard: Tensorrechnung für Ingenieure Bibliographisches Institut, Mannheim (1966) Lagally, Max / Franz, Walter: Vorlesungen über Vektorrechnung Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1959) Päsler, Max: Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung Walter de Gruyter, Berlin, New York (1977) Raschewski, Petr K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 2. Aufl. (1995) Schultz-Piszachich, Wolfgang: Tensoralgebra und -analysis Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main (1979) Simmonds, James. G.: A Brief on Tensor Analysis Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 2. Aufl. (1994) Synge, J. L. / Schild, A.: Tensor Calculus University of Toronto Press, Toronto (1949) Teichmann, Horst: Physikalische Anwendungen der Vektor- und Tensorrechnung Bibliographisches Institut, Mannheim (1973) Wrede, Robert. C.: Introduction to Vector- and Tensor Analysis Dover Publications, New York (1972)

Differentialgeometrie

Differentialgeometrie Barrie, David: Sextant - Die Vermessung der Meere Malik National Geographic (2017) Baule, Bernhard: Differentialgeometrie Verlag S.Hirzel, Leipzig (1945) Blaschke, Wilhelm: Vorlesungen über Differentialgeometrie Elementare Differentialgeometrie Springer Verlag, Berlin, 5. Aufl. (1973) Duschek, Adalbert / Mayer, Walther: Lehrbuch der Differentialgeometrie Kurven und Flächen im euklidischen Raum B.G. Teubner Verlag, Leipzig und Berlin (1930) Duschek, Adalbert / Mayer, Walther: Lehrbuch der Differentialgeometrie Riemannsche Geometrie B.G. Teubner Verlag, Leipzig und Berlin (1930) Kreyszig, Erwin: Differentialgeometrie Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1957) Laugwitz, Detlef: Differentialgeometrie B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart (1960) Norden, A. P.: Differentialgeometrie, Teil I/II VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1956/57) Seidel, Wolfgang: Sternstunden der Kartografie Malik National Geographic (2017) Struik, Dirk J.: Lectures on Classical Differential Geometry

715

716

Gesamtverzeichnis der Bücher

Addison-Wesley Publishing Company, 2. Aufl. (1961) Torge, Wolfgang: Geschichte der Geodäsie in Deutschland Walter de Gruyter, Berlin New York, 2. Aufl. (2009)

Physik Bergmann, Ludwig, Schaefer, Clemens: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III Optik Walter de Gruyter, Berlin New York, 8. Aufl. (1987) Born, Max: Optik Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 3. Aufl. (1972) Budó, Agoston: Theoretische Mechanik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 6. Aufl. (1971) Buxton, R. B.: Introduction to Functional Magnetic Resonance Imaging Cambridge University Press, 2. Aufl. (2009) Dössel, Olaf: Bildgebende Verfahren in der Medizin Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2. Aufl. (2016) Finkelnburg, Wolfgang: Einführung in die Atomphysik Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 6. Aufl. (1967) Fischer, Ernst Peter: Die andere Bildung Was man von den Naturwissenschaften wissen sollte Econ Ullstein List Verlag, München (2001) Fischer, Ernst Peter: Einstein, Hawking, Singh & Co., Bücher die man kennen muss Piper Verlag, München (2004) Gleick, James: Isaac Newton - Die Geburt des modernen Denkens

Physik

Artemis & Winkler Verlag, Düsseldorf und Zürich (2004) Goldstein, Herbert: Klassische Mechanik Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden, 5. Aufl. (1978) Goldstein, Herbert / Poole, Charles P. / Safko, John L.: Klassische Mechanik Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 3. Aufl. (2006) Hecht, Eugene: Optics Addison-Wesley Longman Inc., 3. Aufl. (1998) Höfling, Oskar: Physik Ferd. Dümmlers Verlag, 15. Aufl. (1990) Hummel, Rolf E.: Understanding Materials Science Springer Verlag, New York, 2. Aufl. (2004) Jaeger, Lars: Die Naturwissenschaften: Eine Biographie Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (2015) Jammer, Max: Der Begriff der Masse in der Physik Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1964) Kessel, Siegfried, Fröhling, Dirk: Technische Mechanik - Engineering Mechanics Springer Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl. (2012) Kittel, Charles et al.: Berkeley Physik Kurs I, Mechanik Vieweg Verlag, Braunschweig, 5. Aufl. (1991) Kleber, Will: Einführung in die Kristallographie VEB Verlag Technik, Berlin, 14. Aufl. (1979) Koks, Don: Explorations in Mathematical Physics Springer Science+Business Media LLC (2006)

717

718

Gesamtverzeichnis der Bücher

Levi-Civita, Tullio: Fragen der klassischen und relativistischen Mechanik Springer-Verlag Technik, Berlin Heidelberg New York (1973) Lüders, Klaus / Pohl, Robert Otto: Pohls Einführung in die Physik, Mechanik, Akustik und Wärmelehre Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 19. Aufl. (2004) Michelson, Albert Abraham: Studies in Optics Dover Publications, New York (1995) Morse, Philip M. / Feshbach, Herman: Methods of Theoretical Physics, I/II McGraw-Hill Book Company, (1953) Ramsauer, Carl: Grundversuche der Physik in historischer Darstellung Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1953) Schöpf, Hans-Georg: Von Kirchhoff bis Planck Vieweg Verlag, Braunschweig (1978) Simonyi, Károly: Kulturgeschichte der Physik Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 3. Aufl. (2004) Sommerfeld, Arnold: Vorlesungen über theoretische Physik IV, Optik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 3. Aufl. (1964) Stephani, Hans / Kluge, Gerhard: Grundlagen der theoretischen Mechanik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1980) Szabó, István: Einführung in die Technische Mechanik Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, 6. Aufl. (1963) Szabó, István: Höhere Technische Mechanik Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 5. Aufl. (1977)

Elektrodynamik

Szabó, István: Geschichte der mechanischen Prinzipien Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart (1977) Trigg, George L.: Experimente der modernen Physik Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden (1984) Vlaardingerbroek, Marinus T. / den Boer, Jacques: Magnetic Resonance Imaging Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (1996) Vogel, Helmut: Gerthsen Physik Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 19. Aufl. (1997) Volz, Helmut: Einführung in die Theoretische Mechanik, I/II Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main (1971/72)

Elektrodynamik Buchholz, Herbert: Elektrische und magnetische Potentialfelder Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1957) Ceruzzi, Paul E.: Eine kleine Geschichte der EDV mitp-Verlag , Bonn (2003) Collin, Robert E.: Field Theory of Guided Waves McGraw-Hill , New York (1960) Collin, Robert E.: Foundations for Microwave Engineering McGraw-Hill Inc., 2. Aufl. (1992) Durand, Emile: Electrostatique et Magnétostatique Masson, France (1953) Griffiths, David J.:

719

720

Gesamtverzeichnis der Bücher

Elektrodynamik Pearson Studium, 3. Aufl. (2011) Harrington, Roger F.: Time-harmonic Electromagnetic Fields McGraw-Hill Book Company (1961) Heinrich Hertz: Festschrift anläßlich der Erforschung der elektromagnetischen Wellen vor 100 Jahren Heinrich-Hertz-Institut Berlin (1988) Jackson, John David: Klassische Elektrodynamik Walter de Gruyter, Berlin/Boston, 5. Aufl. (2014) Kellogg, Oliver Dimon: Foundations of Potential Theory Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1967) Kraus, John D.: Electromagnetics McGraw-Hill Inc., 4. Aufl. (1992) Kraus, John D., Marhefka, Ronald J.: Antennas McGraw-Hill Inc., 3. Aufl. (2002) Lehner, Günther: Elektromagnetische Feldtheorie Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 7. Aufl. (2010) Lüders, Christian: Mobilfunksysteme Vogel Verlag, Würzburg, (2001) Meinhold, Peter / Miltzlaff, Gerhard: Feld- und Potentialtheorie Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main (1978) Montgomery, C. G. / Dicke, R. H. / Purcell, E. M.: Principles of Microwave Circuits McGraw-Hill, New York, Toronto, London (1948) Moon, Parry / Spencer, Domina E.:

Elektrodynamik

Foundations of Electrodynamics Dover Publications Inc., Mineola, New York (2013) Nahin, Paul J.: Oliver Heaviside The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London (2002) Ollendorff, Franz: Potentialfelder der Elektrotechnik Verlag von Julius Springer (1932) Panofsky, Wolfgang K. H., Phillips, Melba: Classical Electricity and Magnetism Addison-Wesley Publishing Company, 2. Aufl. (1988) Purcell, Edward M.: Berkeley Physik Kurs II, Elektrizität und Magnetismus Vieweg Verlag, Braunschweig, 4. Aufl. (1989) Ramaswami, Rajiv / Sivarajan, Kumar N.: Optical Networks Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 2. Aufl. (2002) Saleh, Bahaa E. A. / Teich, Malvin Carl: Fundamentals of Photonics John Wiley & Sons, Inc., Hoboken NJ, 2. Aufl. (2007) Sattelberg, Kurt: Vom Elektron zur Elektronik Elitera-Verlag, Berlin (1971) Schaumburg, Hanno: Einführung in die Werkstoffe der Elektrotechnik B. G. Teubner, Stuttgart (1993) Schildt, Gerhard-Helge: Grundlagen der Impulstechnik B. G. Teubner, Stuttgart (1987) Schwab, Adolf J.: Begriffswelt der Feldtheorie Springer Vieweg, 7. Aufl. (2013) Simonyi, Károly: Theoretische Elektrotechnik

721

722

Gesamtverzeichnis der Bücher

VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 9. Aufl. (1989) Sjobbema, D. J. W.: Die Geschichte der Elektronik Elektor-Verlag, Aachen (1999) Sneddon, Ian N.: Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory John Wiley & Sons, Inc., New York (1966) Sommerfeld, Arnold: Vorlesungen über theoretische Physik III, Elektrodynamik Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 4. Aufl. (1964) Soohoo, Ronald F.: Theory and Application of Ferrites Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1960) Stratton, Julius Adams: Electromagnetic Theory McGraw-Hill Book Company (1941) Werner, Wolfgang: Rotationsellipsoid als elektromagnetischer Hohlraumresonator Diss. TU Berlin (1977) Wunsch, Gerhard: Feldtheorie I/II VEB Verlag Technik, Berlin (1973/75) Zangwill, Andrew: Modern Electrodynamics Cambridge University Press, Cambridge UK (2013) Zinke, Otto / Brunswig, Heinrich: Lehrbuch der Hochfrequenztechnik I Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Aufl. (1973) Zuhrt, Harry: Elektromagnetische Strahlungsfelder Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg (1953)

Relativitätstheorie

Relativitätstheorie Aczel, Amir D.: Die göttliche Formel Rowohlt Taschenbuch Verlag, Hamburg (2002) Born, Max: Die Relativitätstheorie Einsteins Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 5. Aufl. (1969) Bührke, Thomas: Einsteins Jahrhundertwerk Deutscher Taschenbuch Verlag, München (2015) Einstein, Albert: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie Friedr. Vieweg & Sohn GmbH Verlag, Braunschweig, 7. Aufl. (1920) Einstein, Albert / Infeld, Leopold: Die Evolution der Physik Anaconda Verlag GmbH, Köln (2014) Falk, Gottfried / Ruppel, Wolfgang: Mechanik, Relativität, Gravitation Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 3. Aufl. (1983) Ferreira, Pedro G.: Die perfekte Theorie Verlag C.H.Beck, München (2014) French, A. P.: Die spezielle Relativitätstheorie, M.I.T. Einführungskurs Physik Friedr. Vieweg & Sohn GmbH Verlag, Braunschweig (1971) Freund, Jürgen: Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich (2007) Hobson, M. P. / Efstathiou, G. P. / Lasenby, A. N.: General Relativity Cambridge University Press, Cambridge (2006) Kacser, Claude: Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie

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724

Gesamtverzeichnis der Bücher

Berliner Union, Stuttgart (1970) Lambourne, Robert J. A.: Relativity, Gravitation and Cosmology Cambridge University Press, Cambridge (2010) Lawden, D. F.: Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology Dover Publications, New York, 3. Aufl. (2002) Melcher, Horst: Relativitätstheorie in elementarer Darstellung VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 4. Aufl. (1974) Misner, Charles W. / Thorne, Kip S. / Wheeler, John Archibald: Gravitation W. H. Freeman and Company, San Francisco (1973) Rebhan, Eckhard: Theoretische Physik: Relativitätstheorie und Kosmologie Spektrum Akademischer Verlag, Berlin, Heidelberg (2012) Resnick, Robert: Einführung in die spezielle Relativitätstheorie Ernst Klett Verlag, Stuttgart (1976) Schröder, Ulrich E.: Gravitation, Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie Verlag Harri Deutsch, 5. Aufl. (2011) Schröder, Ulrich E.: Spezielle Relativitätstheorie Verlag Europa Lehrmittel, 5. Aufl. (2014) Sexl, Roman / Schmidt, Herbert Kurt: Raum - Zeit - Relativität Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg (1978) Sexl, Roman / Sexl, Hannelore: Weiße Zwerge - schwarze Löcher Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg (1975) Sexl, Roman / Urbantke, Helmuth: Gravitation und Kosmologie Bibliographisches Institut, Zürich (1975)

Astronomie

Skinner, Ray: Relativity for Scientists and Engineers Dover Publications, Mineola, New York (2014) Taylor, Edwin F. / Wheeler, John Archibald: Physik der Raumzeit Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford (1994) Weyl, Hermann: Raum, Zeit, Materie Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 8. Aufl. (1993)

Astronomie Aschenbach, Bernd / Hahn, Hermann-Michael / Trümper, Joachim: The Invisible Sky, ROSAT and the Age of X-Ray Astronomy Copernicus Springer-Verlag, New York (1998) Becker, Friedrich: Geschichte der Astronomie Bibliographisches Institut, Mannheim (1968) Bennett, Jeffrey / Donahue, Megan / Schneider, Nicholas / Voit, Mark: Astronomie Pearson Studium (2010) Bojowald, Martin: Zurück vor den Urknall S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main, 3. Aufl. (2009) Bucerius, Hans: Himmelsmechanik I/II Bibliographisches Institut, Mannheim (1966) Comins, Neil F.: Astronomie Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2011) Frebel, Anna: Auf der Suche nach den ältesten Sternen S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main (2012) Grosser, Morton:

725

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Gesamtverzeichnis der Bücher

Entdeckung des Planeten Neptun Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main (1970) Grote, Hartmut: Gravitationswellen Verlag C.H.Beck, München (2018) Hanslmeier, Arnold: Faszination Astronomie Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2. Aufl. (2016) Lawrence, Andy: Astronomical Measurement Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (2014) Liddle, Andrew: Einführung in die moderne Kosmologie Wiley-VCH Verlag, Weinheim (2009) Panek, Richard: Das 4% Universum Carl Hanser Verlag, München (2011) Pauldrach, Adalbert W. A.: Das dunkle Universum Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (2015) Riordan, Michael / Schramm, David N.: Die Schatten der Schöpfung Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, New York (1991) Schneider, Peter: Extragalactic Astronomy and Cosmology Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2. Aufl. (2015) Serjeant, Stephen: Observational Cosmology Cambridge University Press, Cambridge (2010) Sharov, Alexander S. / Novikov, Igor D.: Edwin Hubble Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin (1994) Singh, Simon: Big Bang

Astronomie

Carl Hanser Verlag, München (2005) Sobel, Dava: Längengrad Berliner Taschenbuch Verlag, Berlin (2003) Sobel, Dava: Und die Sonne stand still Berlin Verlag, Berlin (2012) Sobel, Dava: Das Glas-Universum Berlin Verlag, München (2017) Stewart, Ian: Die Berechnung des Kosmos Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg (2018) Tegmark, Max: Unser mathematisches Universum Ullstein Verlag, Berlin (2015) Unsöld, Albrecht / Baschek, Bodo: Der neue Kosmos Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 7. Aufl. (2002) Vaas, Rüdiger: Vom Gottesteilchen zur Weltformel Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, Stuttgart (2013) Vaas, Rüdiger: Signale der Schwerkraft Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, Stuttgart (2017) Verschuur, Gerrit: The Invisible Universe Springer International Publishing Switzerland, 3. Aufl. (2015) Wulf, Andrea: Die Jagd auf die Venus Bertelsmann, München, (2012)

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Sachverzeichnis klassische Bestätigungen Gravitationsrotverschiebung, 530 Lichtablenkung, 528 Periheldrehung, 528 moderne Bestätigungen Ablenkung von Quasarstrahlung, 532 Gravitationslinseneffekt, 533 Gravitationswellen, 534 Navigationssystem GPS, 539 Periastron-Drehung, 534 Pulsarbahnkurven, 535 Antenne Antennensystem, 249 Dipolantennen, 632 Hornantenne, 649 Linearantenne, 249 Parabolantenne, 631 Phased-Array-Antenne, 250, 632 Radarantenne, 250 Richtcharakteristik, 249 Strahlergruppe, 249 Arbeit, 81, 84 Arbeitsvermögen, 82, 506 gegen die Feldkräfte, 82, 506 im elektrischen Feld, 173 im elektrostatischen Feld, 172 im magnetischen Feld, 173

Abbildung Verzerrung, 7 von Flächen, 6 flächentreu, 7 winkeltreu, 7 Aberration, 410 Aberrationskonstante, 412 Aberrationswinkel, 414 Ableitung kovariante, 32 B-Matrix, 41 partielle der Raumzeit, 397 Abstand raum-, licht-, zeitartig, 375 reziproker, 92, 174, 222, 582 Vergleich auf Weltlinien, 390 Abwicklung von Flächen, 26 Äquivalenz Energie und Frequenz, 476 Inertialsysteme, 354 Masse und Energie, 471 Viererimpuls und Vierer-Wellenvektor, 477 affin Größen, 31 Tangentialraum, 32 allgemeine Relativitätstheorie, 28, 497 729

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 W. Werner, Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25280-9

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wegunabhängig, 81 Astronomie Astrometrie, 609 Astrophotographie, 604 Astrophysik, 599 nukleare, 617 baryonische Materie, 619, 642 Doppler-Effekt, siehe dort entartete Materie, 621 Entfernung, siehe dort Epizykeltheorie, 596 Gravitationswellenastronomie, 539 Große Debatte, 609 Größenklassen, 664 Helligkeit absolute, 662 scheinbare, 664 Hertzsprung-Russell-Diagramm, 606 Himmelsmechanik, 500, 599 Infrarot-Astronomie, 639 Leuchtkraft, 424, 662 Magnitudensystem, 664 Metallizität, 616 Multi-Messenger-Astronomie, 538 Polsequenz, 665 Positionsastronomie, 599 Radioastronomie, 629 Röntgen-Astronomie, 640 Stellarspektroskopie, 599 Sternpopulationen, 619 astronomische Objekte und Begriffe Äquinoktium, 601 Akkretion, 532 aktive galaktische Kerne, 532

Sachverzeichnis

Alpha Centauri, 665 Andromedanebel, 425, 604, 609 Bullet Cluster, 642 Cepheiden, 423, 605 Ceres, 501, 503 Chandrasekhar-Grenze, 620, 662 Doppelsterne, 501, 534 Eklipse, 601 Ekliptik, 606 Ephemeriden, 601 Mondephemeriden, 603 Erde, siehe dort erdnahe Objekte (NEO), 502 Eris, 502 Exoplaneten, 635 Flamsteed-Bezeichnung, 603 Gammastrahlungsausbruch (GRB), 486, 537 Gravitationskollaps, 533, 661 Große Mauer, 623 Halo, 641 Hauptreihe, 606 Hyaden, 529 Jet, 631 Jupiter, 511 Kilonova, 537 Komet Shoemaker-Levy, 511 Krebsnebel, 630 Kuiper-Gürtel, 502 Lagrange-Punkt, 503, 639 Mars, 87 Merkur, 501 Bahngrößen, 586 Periheldrehung, 528, 583 Milchstraße, 609 Zentrum, 630

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Sachverzeichnis

Neptun, 501, 503 Neutronenstern, 533, 537, 620, 661 Pallas, Juno, Vesta, 501 Planet Differentialgleichung der Bahnkurve, 92, 584 elliptische Bahnkurve, 90 im Sonnensystem, 502 Orbit, 544 Planet-Definition, 502 Pluto, 501 Polarstern, 665 Prokyon, 501 Pulsar, 533, 661 Doppelpulsar, 535 Hulse-Taylor-Pulsar, 534 Quasar, 532, 631 Radiogalaxien, 630 Schwarzes Loch, 532, 537, 621 sichtbare Sterne, 664 Sirius, 501, 603, 665 Solstitium, 601 Sonne, siehe dort Supernova, siehe dort Transit, 607 transneptunische Objekte (TNO), 502 Uranus, 501 Venusdurchgang, 607 Veränderliche, 424, 605 Void, 613 Vollmond, 608, 665 Weißer Zwerg, 501, 620, 662 Zwergplanet, 502 Basisvektoren kovariante, 34

Beschleunigung Schwerebeschleunigung, 505 Viererbeschleunigung, 409 Zentripetalbeschleunigung, 519 Bewegung im Zentralfeld, 87 Kreisbewegung, 451, 519 Kugel auf drehender Scheibe, 521 Körper im Gravitationsfeld, 502 starrer Körper, 85 Trägheitsbewegungen, 526 Christoffel-Matrix Blockmatrix der Tangentialebene, 37 Christoffel-Symbole des Tangentialraumes, 37 Compton-Effekt, 483 Deviator, 146, 468 Diagramm Energie-Impuls-Diagramm, 481 Minkowski-Diagramm, 373 Polardiagramm, 248, 304 Dichte Dichtefluktuationen, 653 Dichteparameter der Materie, 611, 620, 659, 668 Dipoldichte, 311, 321 Energiedichte, 182 Flächenleistungsdichte, 182 Impulsdichte, 201 Konvektionsstromdichte, 166 Kraftdichte, 184, 187, 201 kritische Materiedichte, 612 Ladungsdichte, 162, 225, 556 Leistungsdichte

732

Bilanzgleichung, 182 polarisierter Wellen, 277 Lorentz-Kraftdichte, 173, 464 Massendichte, 79, 509, 556 Strahlungsleistungsdichte, 182 Stromdichte, 162, 225 Leitungsstromdichte, 166 Viererstromdichte, 429 Verlustleistungsdichte, 181, 465 Viererkraftdichte, 469 Differentialform quadratische, 31 Dipol axialer Dipol, 179 Dipolantennen, 632 Dipolfeld, 249 Dipolmoment, 175, 177 Einzelstrahler, 249 elektrischer Dipol, 174 Hertz’scher Dipol, 245 Abstrahlverhalten, 248 magnetischer Dipol, 176 Monopol, 656 Multipol, 180, 656 Feldstärke, 181 Potential, 180 Multipolentwicklung, 658 Quadrupol, 177, 656 Direktrix, 26 Dispersion, 209, 622 Doppler Doppler-Effekt, 420 Blauverschiebung, 425 linearer, 422 longitudinaler, 422, 427 Rotverschiebung, 423, 426, 530

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transversaler, 426 Doppler-Verschiebung, 422 Drehimpuls, Drall, 85, 100, 104 Bahndrehimpuls, 311 Dreibein Trihedron, 34 Dualismus Welle und Korpuskel, 478 Durchmusterungen und Kataloge 2 Degree Field Galaxy Redshift Survey (2dF GRS), 625 Bonner Durchmusterung (BD), 621 CfA-Survey, 623 Córdoba-Durchmusterung (CD), 621 Dark Energy Survey (DES), 667 Gaia-Katalog, 637 Harvard-Klassifikationsschema, 605 Henry-Draper-Katalog, 605 Index-Katalog (IC), 604 Las Campanas Redshift Survey (LCRS), 623 Leiden-Argentina-Bonn-Survey (LABS), 630 Messier-Katalog (M), 604 New General Catalogue (NGC), 604 Palomar Observatory Sky Survey (POSS), 622 Rotverschiebungs-Surveys, 623 Sloan Digital Sky Survey (SDSS), 625 Sternkatalog von Flamsteed, 602 von Hipparchos, 601

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von Lacaille, 603 Third Cambridge Catalogue (3C), 630 Dyade planare, 98 Dynamik Axiome, 78 Elektrodynamik, siehe dort Grundgesetz, 352 Hydrodynamik, siehe dort Newton’sche Dynamik, 78, 364 Erfolge, 500 relativistische Dynamik, 464 Thermodynamik, 558, 614 erster Hauptsatz, 83 Perpetuum mobile, 84 thermisches Gleichgewicht, 649 Ebene Schmiegungsebene, 12 Tangentialebene, 32, 33 Eichung, 218 Coulomb-Eichung, 219 Eichtransformation, 218 Lorenz-Eichung, 219 Einheiten astronomische Einheit (AE), 91 Bogenmaß, 447 Bogensekunde (as), 415 Druck (bar), 150 Elektronenvolt (eV), 474 Kraft (N), 173 Lichtjahr (Lj), 424 Magnitude (mag), 664 Meter, 29 Parsec (pc), 424, 606 Planck-Einheiten, 614 Radian (rad), 447

733

Seemeile, 29 Steradiant (sr), 447 Einstein E “ mc2 , 472 Einstein-Observatorium, 640 Einstein-Ring, 534 Einstein-Skalar, 55 Einstein-Tensor, 55, 568 Einstein-Turm, 531 Einsteins Postulate, 357 photoelektrischer Effekt, 476 Relativitätsprinzip, 429 Elektrodynamik bewegte Medien, 164 Brechung der Feldlinien, 170 dielektrische Verschiebung, 162 dualer Tensor, 457 elektrische Feldstärke, 171 Energiefluss, 182 Feldstärkefunktionen, 162 Feldtensor, 455 Flussdichtefunktionen, 162 in vierdimensionaler Raumzeit, 461 Intensitätsgrößen, 168, 173 kovariante Formulierung, 429 Liénard-Wiechert-Feldgrößen, 446 Lorentz-Invarianten, 434, 458 magnetische Induktion, 162 Paarbildung von Vektoren, 167, 455 Potential, 172 Quantitätsgrößen, 168 Quellen und Wirbel, 162 Randbedingungen an Grenzflächen, 168

734

für Normalkomponenten, 168 für Tangentialkomponenten, 170 homogene, 230 Poisson-Gleichung, 224 Retardierung, 240, 383 Verschiebungsstrom, 162 elektrodynamische Potentiale, 217 Coulomb-Eichung, 219 Differentialgleichungen, 218 Eichtransformation, 218 inhomogene Wellengleichungen, 220 Lorenz-Eichung, 219, 430 magnetisches Vektorpotential, 217 skalares Potential, 217 elektromagnetische Wellen, 205 Ausstrahlungsbedingung, 242 Brechungsindex, 209 Dämpfung, 206 D’Alembert-Operator, 206 Dispersion, 209, 622 ebene Wellen Feldvektoren, 210 im Ferrit, 325 in Quadratur, 327 Orthogonalitätsbedingungen, 211 Feldvektoren, 243 instationäre Wellengleichung, 239 Interferenz, siehe dort komplexe Amplitude, 207 Kreisfrequenz, 207 Kugelwelle, 243, 357 Maxwell’sche Relation, 209 Mobilfunk, 215

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orthogonale Überlagerung, 271 Periodendauer, 208 Phasenfront, 208 Phasenfunktion, 208, 209, 420 Phasengeschwindigkeit, 208, 210 Phasor, 207 Polarisation, siehe dort Radiowellen, 532 Retardierung, 240, 383 Richtfunk, 213 Rundfunk, 212 skalare Überlagerung, 269 Transversalwellen, 211, 267 vektorielle Überlagerung, 267 Wellenauslöschung, 270 Wellenebene, 208 Wellengrößen, 419 Wellenleiter, 212 Brechzahlprofil, 214 Dispersion, 214 Faserverstärker, 214 Glasfasern, 213 Hohlleiter, 213 Koaxialkabel, 213 Moden, 213 Monomodefasern, 214 TE-, TM-, TEM-Wellen, 213 Wellenlängenmultiplex, 214 Wellenlänge, 208 Wellenvektor, 209 Wellenwiderstand, 212 Wellenzahl, 208 des Vakuums, 210 Zeitfaktor, 206 Elektron Bahndrehimpuls, 313 Bahnradius, 313, 479

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Bohr’sches Magneton, 313 Elektronenspin, 314 Elementarladung, 432 Entdeckung, 312 magnetisches Dipolmoment, 313 Ruhmasse, 474 spezifische Ladung, 312 Spinmoment, 314 Elementarteilchen Baryonen, 615 Bosonen, 486 Elektron, siehe dort Fermionen, 314, 486 Higgs-Boson, 486 Leptonen, 615 Lichtquant, 473 Neutrino, 485 Energie, 661 Oszillation, 485 Neutron, 474, 615 Nukleonen, 615 Photon, 473 Impulsmasse, 530 Proton, 474, 615 Quanten, 644 Quarks, 615 virtuelle Teilchen, 667 WIMP, 643 Elemente und Verbindungen α-Teilchen, 618 AlNiCo, 318 Beryllium, 618 Deuterium, 618 Eisen, 619 Kohlenstoff, 618 Lithium, 618 Lithium-Niobat, 305

735

Silber, 167 Wasserstoff, 338 21-cm-Linie, 630 Wasserstoffatom, 337 Elemententstehung 3α-Prozess, 618 αβγ-Artikel, 647 B2 FH-Papier, 618 Fünf-Nukleonen-Tal, 618 in Sternen und Supernovae, 618 Kernfusion, 617, 619 Bethe-Weizsäcker-Zyklus, 617 Neutroneneinfang, 619 Nukleosynthese primordiale, 615, 616, 647 stellare, 617, 619 Resonanzreaktion, 618 Wasserstoff und Helium relative Häufigkeiten, 617 Verhältnis, 617 Energie Dunkle Energie, siehe Universum Energiedichte, 182 Energiezustände angeregte, 483 erlaubte, 479 Gesamtenergie, 471, 472 Joule’sche Wärme, 181, 183 kinetische, 81 relativistisch, 471 potentielle, 81, 172, 506 Gewinn und Verlust, 507 Rotationsenergie, 101, 104 Ruheenergie, 471 spektrale Energieverteilung, 644

736

thermische, 83 Vakuumenergie, 667 Entfernung, astronomisch, 423, 606 Astrometrie, 609 astronomische Einheit (AE), 91 des Andromedanebels, 425, 609 Hubble’sches Gesetz, 424, 611 Hubble-Konstante, 424 Lichtjahr (Lj), 424 Messung, 661 Parsec (pc), 424, 606 Periode-Leuchtkraft-Beziehung, 424, 605, 608 Rotverschiebung, 423 Sonnenparallaxe, 607 Standardkerzen, 424, 661 Sternparallaxe, 606 Triangulation, 606 Erde, Zahlenwerte astronomische Einheit (AE), 91, 606 Auftreffgeschwindigkeit, 514 Bahngeschwindigkeit, 91, 356, 413 Erdbeschleunigung, 505 Erdmagnetfeld, 340 Erdmasse, 499, 505 Erdradius, 505 Erdumfang, 597 Fluchtgeschwindigkeit, 94 Flächengeschwindigkeit, 91 geostationärer Abstand, 521 jährliche Umlaufzeit, 91 Kepler-Konstante, 91 Laufzeit von Funksignalen, 521 Rotationsfrequenz, 520 Schiefe der Ekliptik, 601

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Schwarzschild-Radius, 556 Erhaltung Drehimpuls, 205 Energie, 204, 480 Impuls, 80, 204, 480 Ladung, 164, 204 numerische Apertur, 307 Tabelle, 480 Erhaltungssatz Drehimpuls, 85 im elektromagnetischen Feld Drehimpuls, 203 Energie, 183 Impuls, 202 im Gravitationsfeld Energie und Impuls, 563 mechanische Energie, 82 numerische Apertur, 307 strikte Gültigkeit, 485 Viererimpuls, 480 Erlanger Programm, 27 euklidisch Metrik, 547 Raum, 30 Versagen der Geometrie, 543 Euler Euler’sche Bewegungsgleichung der Hydrodynamik, 557, 562 Euler’sche Gleichungen der Variationsrechnung, 68 Schnittprinzip, 122, 128 Feld Dipolfeld, 175 elektrischer Dipol, 174 elektrostatisches Feld Arbeit und Energie, 506 Feld bewegter Ladungen, 438

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Gravitationsfeld, 498 Tensorelemente, 575 Arbeit und Energie, 506 Tensorgleichung, 568 Flugzeit im Feld, 512 Gravitationsfeld nach Newton, 509 inhomogen, 511 relativistische VerallgemeineHertz’scher Dipol, 245 rung, 579 Nahfeld, Fernfeld, 247 Maxwell’sche Gleichungen, siehomogene Massekugel, 509 he dort konservatives Feld, 81 Feldquellen magnetischer Dipol, 176 Eigenraumladungsdichte, 430 Potentialfeld, 82 Flächenladung, 168 Punktladung, 174 Konvektionsstromdichte, 166 Quadrupolfeld, 177 Ladungsdichte, 162 Strahlungsfeld, 446 Leitungsstromdichte, 166 Zentralfeld, 82, 87, 171, 174, Strombelag, 170 498, 506 Stromdichte, 162 Feldbild Ferrite, 319 Dipol, 175 Bewegungsgleichung, 320, 322 in komplexer Ebene Dämpfung, 322, 331 Äquipotentiallinien, 236 ebene Wellen, 325 Feldlinien, 236 Ausbreitungskonstanten, 328 Feldgleichung Resonanzabsorption, 331 Gravitationsfeld nach Einstein Wellenwiderstände, 328 Darstellung der Lösung, 570 zirkular polarisiert, 327 Entwicklungsweg, 551 Faraday-Drehung, 331, 333 Friedmann-Lemaître-Lösungen, gyromagnetisches Verhältnis, 321 613 keramisches Material, 319 geschlossene Lösungen, 571 Kleinsignalbeschreibung, 323 Gravitationskonstante, 569 Larmor-Frequenz, 320 hebbare Singularität, 579 Magnetisierungsvektor, 321, 322 im Vakuum, 572 nichtreziproke Eigenschaft, 333 kovariante Komponentenform, 568 Permeabilitäten, 325 Nahwirkungstheorie, 551 effektive, 328 Newton’scher Grenzfall, 553 Permeabilitätstensor, 323 Nichtlinearität, 553 Phasendrehung, 331 Schwarzschild-Lösung, 572 Polder-Tensor, 325 Schwarzschild-Metrik, 578 Präzession, 320

738

Relaxationszeit, 322 spezifischer Widerstand, 319 Suszeptibilitätstensor, 324 Sättigungsmagnetisierung, 323 Vormagnetisierung direkte, 331 inverse, 325 Festkörper Absorption, 483 Absorptionslinien, 484 Bändermodell, 166 Bahndrehimpuls, 311 Bloch-Wände, 315 Curie-Temperatur, 315, 316 Diamagnetismus, 315 Eindringtiefe, 320 Elektronenspin, 311 Emission, 483 Emissionslinien, 484 Kernmoment, 314 Kernspin, 311 Mikrophysik, 478 Paramagnetismus, 314 Termschema, 485 Weiß’sche Bezirke, 315 Werkstoffprüfung, 138 Wirbelstromverluste, 316 Fläche Abbildung, 6 abwickelbare, 26 Asymptotenrichtung, 16 Biegungsinvarianz, 26 dehnungslose Deformation, 26 Flächenelement gerichtetes, 8 Flächenkurve, 14 Flächenschnitt, 12

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Fundamentalgrößen zweite, 11 Geodäsie, 28 innere Geometrie, 6, 23, 25 intrinsische Eigenschaft, 27 Invarianten, 22 Kartographie, 7 Land- und Seekarten, 7 Landesvermessung, 28 Loxodrome, 7 Mercator-Projektion, 7 Triangulation, 28 Klassifizierung, 17 Krümmung, 27 Normalenfläche, 292, 306 Regelfläche, 26 Sattelfläche, 17 Schnittfläche, 122, 309 Tetraederfläche, 263 Trihedron, 8 Flächentheorie Fundamentalsatz, 44 Grundform, 10 Diskriminante, 17 Invariantensystem, 40 nach Gauß, 6 Theorema egregium, 22, 27 Formeln Aberrationsformeln, 414 Ableitungsformeln Integrabilitätsbedingungen, 40 von Gauß, 38 von Weingarten, 39 Frenet’sche Formeln, 39 Taylor’sche Formel, 178 Mainardi-Codazzi, 41 Frequenz

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eingeprägte Größe, 209 Empfangsfrequenz, 421 Gyrationsfrequenz, 439 Impulsfrequenz, 534 Kreisfrequenz, 207 Larmor-Frequenz, 320, 338 Oktave, 268 Ortsfrequenz, 347 Präzessionsfrequenz, 342 Rotationsfrequenz, 520 Senderfrequenz, 420 Synchrotronfrequenz, 441 Zyklotronfrequenz, 439 Funktion Eichfunktion, 218 Funktional, 68 Green’sche Funktion, 236 harmonische Funktion, 224 komplex, analytisch, 235 Kugelfunktionen, siehe dort Phasenfunktion, 208, 209, 420 Potentialfunktion, 81, 217, 236 Vektorfunktion lineare, 279 Wellenfunktion, 207 Gauß Ableitungsformeln, 38 Gauß’sche Gleichung, 24 geodätisch Größen, 23 Krümmung, 15 Linie, 16, 33, 66, 544 Minimaleigenschaft, 68 Geometrie innere, 25 invariante Eigenschaften, 7 nichteuklidisch, 27

739

Riemann’sche Geometrie, 28 Geschwindigkeit Additionstheorem, 365, 412 Fluchtgeschwindigkeit, 94, 424 Flächengeschwindigkeit, 88 Grenzgeschwindigkeit, 366, 383 Hauptlichtgeschwindigkeiten, 280 kritische, 94 Lichtgeschwindigkeit, 166, 210, 355 Phasengeschwindigkeit, 208, 210, 283, 419 Relativgeschwindigkeit, 353 Strahlengeschwindigkeit, 283 Vektor im R3 , 403 Vierergeschwindigkeit, 404 Gesetz Biot-Savart’sches Gesetz, 199, 245 Brechungsgesetz, 307 anisotrope Medien, 305 der Feldlinien, 170 Coulomb’sches Gesetz, 171, 245, 498 Durchflutungsgesetz, 163 Gauß’sche Gesetze, 163 Gesetz der Energiequantisierung, 476 Gravitationsgesetz, 497 Grundgesetz der Dynamik, 79, 352 Grundgesetz der Energieerhaltung, 83 Hooke’sches Gesetz, 122, 133, 135 Hubble’sches Gesetz, 424, 611 Induktionsgesetz, 163

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Kepler’sche Gesetze, 87, 88, 91 Naturgesetz, 2 Newton’sches Bewegungsgesetz, 79 Ohm’sches Gesetz, 166 Planck’sches Strahlungsgesetz, 645 Rayleigh-Jeans-Gesetz, 645 Snellius’sches Brechungsgesetz, 278, 307 Transformationsgesetze bei Systemen, 354 Trägheitsgesetz, 79 Einstein, 526 Galilei, 353 Weber-Fechner’sches Gesetz, 664 Wien’sches Strahlungsgesetz, 645 Wien’sches Verschiebungsgesetz, 646 Zerfallsgesetz von Teilchen, 389 Gleichung Bewegungsgleichung der Hydrodynamik, siehe dort der Magnetisierung, 320, 322 nach Euler, siehe dort nach Navier-Stokes, 559 relativistische, 566 Cauchy’sche Gleichungen, 125 Cauchy-Riemann’sche Differentialgleichungen, 235 Differentialgleichungen der Elektrodynamik, 205–207, 218, 220 partielle, 267

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partielle für gμν , 567 von Bahnkurven, 92, 583 Euler’sche Gleichungen, siehe dort Feldgleichung, siehe dort Fredholm’sche Integrodifferentialgleichung, 224 Fundamentalgleichung, 477 Gauß’sche Gleichung, 24 Helmholtz-Gleichung, 207 Jefimenko-Gleichungen, 244 Kontinuitätsgleichung, 164, 166, 429 ideale Flüssigkeit, 565 Massendichte, 558, 561 Laplace-Gleichung, 221, 227 Lösung, 224 Materialgleichungen, 165 Maxwell’sche Gleichungen, siehe dort Poisson-Gleichung, 221, 509 Lösung, 223 statische Lösung, 226 Telegrafengleichung, 205 Vakuumgleichung, 573 Vierer-Wellengleichung, 432 Vierervektorgleichung, 459 Wellengleichung, 206 Zustandsgleichung der Thermodynamik, 558 Gravitation Ereignishorizont, 555 Feldgleichung, siehe dort Gravitationspotential, 505, 555 Schwarzschild-Radius, 555, 578 Schwerelosigkeit, 526

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Schwerkraft, 498 Hauptachsentransformation des Dielektrizitätstensors, 280 des Spannungstensors, 126 des Trägheitstensors, 102 heuristisch, 164, 239, 305 Hydrodynamik druckfreie Flüssigkeit, 558 entartete Materie, 621 Euler’sche Bewegungsgleichung, 557, 562 Fluide, 557 hydrostatischer Spannungszustand, 126, 132, 146 ideale Flüssigkeit, 126, 557, 559 inkohärente Materie, 559 isotroper Druck, 557 relativistische Bewegungsgleichung, 566 relativistischer Staub, 558 Viskosität, 557, 559 Identitäten von Bianchi, 47, 54 von Ricci, 47 Impuls, 79, 201 der Strahlung, 201 Impulsdichte, 201 Index lateinisch, griechisch, 34, 75, 547 Laufindex p7q, 11, 34 Inertialsystem, 79, 353 Äquivalenz, 354 frei fallendes Bezugssystem, 527 Institutionen

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Center for Astrophysics (CfA), 604, 662 CERN, 486 ESA, 635 IAU, 502 Lawrence Berkeley National Laboratory (LBNL), 662 NASA, 635 Integration Integraltafeln, 118 Integrationsaufwand, 118 Quadratur, 226, 230 numerisch, 655 Interferenz, 269 Interferenzglied, 269 Interferometer, 270 Interferometrie, 630 Hybridkartierung, 631 konstruktiv, destruktiv, 270 Langbasisinterferometrie (VLBI), 532, 632 Mehrwegeempfang, 271 Mischglied, 268 Invarianten bei Transformationen, 354 Invarianz bei Kugelwellen, 359 Biegungsinvarianz, 26 Eichinvarianz, 219 Eigenzeitelement, 404 Forminvarianz, 429 geometrischer Eigenschaften, 7 Invarianten von Flächen, 22 Invariantensystem der Flächentheorie, 40 Invarianzbeziehungen, 481 Ladungsinvarianz, 431

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Lorentz-Invarianz der Maxwell’schen Gleichungen, 438 physikalische Invariante, 401 Tabelle, 480 Vierer-Abstandsquadrat, 360 Vierer-Ortsvektor, 371 kanonische Form Gauß’sche Krümmung, 25 kartesisches Wegelement, 31 Metrik im euklidischen Raum, 51 Kartographie, siehe Fläche Kepler -Gesetze, 87, 88, 91, 497 -Konstante, 91 -Kurve, 91, 641 -Problem, 87 Kinematik, Kinetik, 78 Körper Beharrungsvermögen, 514 deformierbare Körper, 121 Gewicht, 514 Schwere, 514 starre Körper, siehe dort Trägheit, 514 Wurfparabel, 517 Konstante Aberrationskonstante, 412 Bestimmung durch Quadratur, 230 Boltzmann-Konstante, 645 Dielektrizitätskonstante, 165 Dirac’sche Konstante, 476 Elementarladung, 432 Feldkonstanten des Vakuums, 166

Gravitationskonstante Einstein, 569 Newton, 498 Hubble-Konstante, 424 kosmologische Konstante, 610, 615, 666 Leitfähigkeit, 165, 166 Lichtgeschwindigkeit, 166, 355 Permeabilitätskonstante, 165 Wirkungsquantum, 476 Koordinaten Gauß’sche Koordinaten, 5, 543 Koordinatenlinien, 6 Orthogonalitätsbedingung, 20 Koordinatennetz, 6 orthogonales, 20 Kugelkoordinaten, siehe dort Kosmologie, siehe Universum Kovarianz, 429 allgemeine, 543 der Naturgesetze, 497 Kraft äußere Kräfte, 80 als Gradient, 81 als Tensorfluss, 125 Anziehungskraft, 498 Coulomb-Kraft, 83, 172 elektroschwache, 500 Fliehkraft, 520 Gezeitenkraft, 511 Gravitationskraft, 83 im elektromagnetischen Feld, 202 Kraftdichte, 184, 187, 201 Lorentz-Kraft, siehe Lorentz magnetisches Feld, 172

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Minkowski-Kraft, siehe Minkowski Scheinkraft, 516 Schwerkraft, 498 Trägheitskraft, 516 Wegintegral, 81 Zentralkraft, 82, 85 Zentrifugalkraft, 520 Zentripetalkraft, 519 Kristall, 260 biaxial, 296 Bravais-Gitter, 266 einachsig, 286, 301 Elementarzelle, 261 flächenzentriertes Gitter, 266 Gitterebene, 261 Gitterkonstante, 261 Kalkspatkristall, 309 Kristallarten, 266, 282 Kristallklassen, 265 Lichtdurchgang, 307 Millersche Indizes, 262 Raumstruktur, 261 raumzentriertes Gitter, 266 zweiachsig, 296 Kristalloptik, 278 außerordentlicher Strahl, 299, 302 Brechungsgesetz, 307 Brechungsindex, 209 Sellmeier-Reihe, 209 Dielektrizitätstensor, 279 Doppelbrechung, 278, 306, 308 Drehung der Polarisationsebene, 289 Entartung, 296

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Fresnel’sche Normalengleichung, 290 Fresnel’sches Ellipsoid, 281 Hauptachsenschnitt, 296 Hauptbrechzahlen, 280 Hauptlichtgeschwindigkeiten, 280 Hauptschnitt, 296, 302 Indexellipsoid, 282, 293, 301 Kreisschnitt, 296, 303 Kristalldurchgang, 300 Lichtstrahl, 278, 307 Nabelpunkt, 297 Normalenfläche, 292 inverse, 306 Normalmoden, 286 numerische Apertur, 307 optische Achse, 296, 301 ordentlicher Strahl, 299, 302 Ovaloid, 303 schnelle und langsame Welle, 296 Schnittellipse, 293 Strahlrichtung, 283, 308 Verzögerungsplatten, 289 Wellenvektor, 283 Krümmung Gauß’sche Krümmung, 22 der Kugel, 56 Fallunterscheidung, 22 orthogonale Systeme, 25 geodätische, 15 Hauptkrümmungen, 21 Hauptkrümmungslinien, 20 Hauptkrümmungsrichtungen, 18 Krümmungsmaß, 25 Krümmungsskalar, 53 Krümmungsvektor, 14

744

mittlere Krümmung, 22 Normalkrümmung, 13, 16 Krümmungstensor, 30, 39 Anzahl unabhängiger Elemente, 49 Bedeutung für Räume, 50 dreidimensional, 45 kovariante Blockmatrix, 50 Symmetrieeigenschaften, 47, 49 geometrische Deutung, 70 Maß der Raumkrümmung, 73 Verjüngung, 52 zweidimensional kovariante Blockmatrix, 44 Riemann-Christoffel, 42 Symmetrieeigenschaften, 43 Kugelfunktionen Knotenlinien, 234 Kugelflächenfunktionen, 233, 653 Orthogonalentwicklung, 234 Legendre-Polynome, 180 zugeordnete, 233 Rodrigues-Darstellung, 233 zonale, tesserale, sektorielle, 235 zugeordnete, 232, 657 Kugelkoordinaten elektrischer Dipol, 175 Hertz’scher Dipol, 246 Metrik der Raumzeit, 549 Randwertprobleme, 231 Raumwinkel, 447 Schwarzschild-Lösung, 573 Kurve archimedische Spirale, 522 Bahnkurve, 88, 502 2-Körper-Problem, 87

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Differentialgleichung, 583 Drei-Körper-Problem, 503 n-Körper-Problem, 503 Optimierung, 504 Schwarzschild-Metrik, 580 Eichkurve, 378 flache Rotationskurven von Galaxien, 641 Flächenkurve, 14 Kepler-Kurve, 91, 641 Neukurve, 316 Normalschnittkurve, 12 Lagrange’sche Multiplikatoren, 294 Leistung Blindleistung, 248 Effektivwert, 656 Flächenleistungsdichte, 182 Leistungscharakteristik, 249 Leistungsdichte Bilanzgleichung, 182 leistungsmäßige Addition, 656 Leistungsspektrum, 658 Strahlungsleistung, 183 Strahlungsleistungsdichte, 182 Verlustleistung, 183 Verlustleistungsdichte, 181 Wirkleistung, 248 Licht Fokussierung, 243 Intensität, 268 Lichtgeschwindigkeit, 210, 355 als Grenzgeschwindigkeit, 366 Postulat, 358 Lichtquant, 473 Lichtstrahl, 243, 278, 308 natürliches Licht, 270 Photon, 473

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sichtbarer Bereich, 268 Linearität Kennzeichen, 267, 360 Lorentz -Faktor, 362, 405 -Gruppe, 361 -Größen, 404 -Invarianten, 420, 434, 458, 470 -Invarianz der Maxwell’schen Gleichungen, 438 -Kontraktion, 386 -Kovarianz, 429 -Kraft, 173, 187, 438, 492 -Kraftdichte, 173, 464 -Matrix L, L 2 , L 3 , 363, 369, 370 Orthogonalbedingungen, 362 -Tensor, 456 -Vektor, 401 Lorentz-Transformation, 361 Energie und Impuls, 475 Impulsmasse, 475 Ladungsdichte, 556 Massendichte, 556 mehrdimensional, 367 Minkowski-Kraft, 491 partielle Differentiale, 433 Raum- und Zeitkoordinaten, 363, 370, 397 Vierergeschwindigkeit, 407 Viererpotential, 431 Viererstromdichte, 431 magnetische Eigenschaften, 311 Diamagnetismus, 315 Elementarmagnete, 311 ferrimagnetisch, 319

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Ferromagnetismus, 315 hartmagnetisch, 316, 318 Hystereseschleife, 316 Koerzitivfeldstärke, 316 magnetische Erregung, 312 Magnetisierung, 311 Neukurve, 316 Paramagnetismus, 314 Permanentmagnete, 318 Remanenz, 316 Seltenerdmagnete, 318 Suszeptibilität, 312 Textur, 317 weichmagnetisch, 316, 317 Magnetisierung, 311 leicht und schwer, 316 Magnetisierungskennlinie, 316 spontane, 315 Sättigungsmagnetisierung, 316, 323 Transversalmagnetisierung, 341 Vormagnetisierung, 325, 331 Magnetresonanz Echoimpulse, 340 Gradientenfelder, 341 Frequenzkodiergradient, 342 Phasenkodiergradient, 343 Schichtselektionsgradient, 341 gyromagnetisches Verhältnis, 338 Kernmagneton, 337 Kernspin, 314, 336, 338 Kernspin-Spektroskopie, 337 Kernspinresonanz, 336, 339 Kippwinkel, 339 Larmor-Frequenz, 338 Magnetisierungsvektor, 347

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Magnetresonanztomographie, 337, 338 Nettospin, 339 Ortsfrequenzen, 347 Ortskodierung, 341 Ortsspektrum, 348 Relaxationszeit, 338, 340 Resonanzabsorption, 339 Spinpräzession, 338 Tomogramm, 341, 348 Transversalwinkel, 345 Voxel, 341 Mannigfaltigkeit, 27 Masse, 79 fehlende Masse, 612 Gleichheit von träger und schwerer Masse, 515, 525 Impulsmasse, 470 Massendichte, 79, 509, 556 relativistische Masse, 470 Ruhmasse, 470 Elektron, Proton, Neutron, 474 Null, 473 schwere Masse, 515 träge Masse, 79, 470, 514 Matrix B-Matrix, 8, 11 Einheitsmatrix, 402 Lorentz-Matrix L, L 2 , L 3 , 363, 369, 370 Orthogonalbedingungen, 362 Maxwell Maxwells Ergänzung, 163 Maxwell’sche Gleichungen, 162 heuristische Ableitung, 164 homogen, 459

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inhomogen, 459 lineares System, 162, 553 Lösbarkeit, 165 Lorentz-Invarianz, 436 Tensordarstellung, 459 Tensorsystem, 460 Maxwell’sche Relation, 209 Maxwell’sche Theorie, 161 Maxwell’scher Spannungstensor, siehe Spannungstensor, Maxwell Medien und Substanzen Barium-Ferrit, 319 Glaskeramik, 623 Glimmer, 289 Kalkspat, 289, 302, 305, 309, 311 Lanthanoide, 318 Metalle, 616 Metalloxide, 319 Mumetall, 318 Permalloy, 318 physikalisch-technische Eigenschaften, 167 Quarz, 289, 302, 304, 311 Quarzglas, 167, 214 Stahl elastische Konstanten, 150 Rohre aus Stahlbändern, 157 Supraleiter, 167 Vakuum, 166 Wasserstoffatom, 499 Yttrium-Eisen-Granat, 319 Metrik des Raumes, 31, 35 euklidische Metrik, 547

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Metrikmatrizen der Tangentialebene, 36 Minkowski’sche Metrik, 374, 548 Riemann’sche Metrik, 32, 549 Signatur, 549 Minkowski Metrik, 374, 548 Minkowski-Diagramm Eichkurven, 378 Eigenschaften, 373 Entwurf, 375 Konstruktion, 381 Lichtkegel, 373 Lichtsystem, 377 Minkowski-Kraft, 488 Transformation, 491 Minkowski-Raum, 359, 402 Modell Bändermodell der Festkörperphysik, 166 Bohr’sches Atommodell, 479 CDM-Modell, 644 Inflationsmodell, 614, 668 ΛCDM-Modell, 667, 672 Modellvorstellung, 478 Standardmodell der Elementarteilchenphysik, 486, 500, 615 der Kosmologie, 613 Steady-State-Modell, 649 Urknallmodell, 611 Moment Dipolmoment, 175, 177 magnetisches, 311, 313, 337 Drehmoment, 84, 177 Kernmoment, 314

Massenträgheitsmoment, 97 Quadrupolmoment, 179 Spinmoment, 314 Navigation Bestimmung des Längengrades, 602 Breitennavigation, 601 Funkortung, 601 geographische Breite, 601 Gestirnsnavigation, 602 Monddistanzmethode, 602 Navigationsproblem, 601 Navigationssystem GPS, 539, 601 Satellitennavigation, 539 Sextant, 601 Newton absolute Zeit, 355 absoluter Raum, 353 Gravitationsgesetz, 497 Grundgesetz der Dynamik, 79, 352 relativistische Verallgemeinerung, 490 nichteuklidisch Geometrie, 27 Parallelverschiebung, 65 Raum, 32 rotierendes System, 542 Operator D’Alembert-Operator, 206, 400 der Wellenausbreitung, 206 Divergenzdefinition, 509 Tessera-Operator, 398 Parallelverschiebung

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auf geodätischen Linien, 65 Differentiale, 59 nach Levi-Civita, 60 nichteuklidische, 65 von Vektoren im Riemann’schen Raum, 60 im euklidischen Raum, 58 wegabhängig, 73 Polarisation, 267, 271 elliptische, 272 Gangunterschied, 289 im Universum, 651 lineare, 271 Leistungsdichte, 277 Phasenverschiebung, 272 Polarisationsebene, 271 Drehung, 333 Polarisationsellipse, 272 Polarisationswinkel, 333 Quadratur, 276 zirkulare, 276, 289 Potential Bestimmung durch Quadratur, 226 Gravitationspotential, 505, 555 Liénard-WiechertPotentiale, 444 Potentialfunktion, 81, 217, 236 retardiertes, 240, 433 Vektorpotential, 177, 217 Potentialtheorie, 221 Coulomb-Feld, 226 ebene Randwertprobleme, 235 komplexes Potential, 236 Eindeutigkeit der Lösung, 224, 231 Fundamentalformel, 222

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Green’sche Funktion, 236 1. Art, 2. Art, 237, 238 harmonische Funktionen, 224 orthogonale Funktionensysteme, 230 Orthogonalentwicklung, 231 Orthogonalintegrale, 230 Poisson-Gleichung, 221 Produktansatz von Bernoulli, 228 Randbedingungen, 230 Randwertproblem, 227 Dirichlet’sches, 227 gemischtes, 228 in Kugelkoordinaten, 231 kartesisches Beispiel, 230 Neumann’sches, 228 Separation der Variablen, 228 Spiegelungsmethode, 227 Summationsprobleme, 225 Präzession des Elektrons, 320 des Protons, 338 Spinpräzession, 338 Prinzip Äquivalenzprinzip, 525, 544 Aktionsprinzip, 79 Annahme des Energieminimums, 508 Euler’sches Schnittprinzip, 122, 128 Fermat’sches Prinzip, 543 Gegenwirkungsprinzip, 80 Huygens’sches Prinzip, 305 kopernikanisches Prinzip, 613 kosmologisches Prinzip, 613 Pauli-Prinzip, 315

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Reaktionsprinzip, 80 Relativitätsprinzip allgemeines, 527 der Elektrodynamik, 438 der Mechanik, 354 Postulat, 358 Superpositionsprinzip, 231, 267, 553 pseudo-euklidisch Minkowski-Raum, 375, 402 Raum, 31 Raumzeit, 359, 549 Punkt Brennpunkt, 87 Brennpunktsabstand, 90 Energienullpunkt, 81, 506 Flächenpunkt, 5 elliptischer, 17 hyperbolischer, 17 parabolischer, 17 Gitterpunkt, 261 Lotpunkt, 265 Massenmittelpunkt, 80 Massenpunkt, 79 Nabelpunkt, 18, 297 Sattelpunkt, 17 Schwerpunkt, 80 Weltpunkt, 360 Quadratur, siehe Integration Quantentheorie Dualismus, 478 Hauptquantenzahl, 479 Komplementarität, 478 Kopenhagener Deutung, 478 Lichtquanten, 473 Quanten, 644 Quantenfeldtheorie, 486, 667

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Quantenfluktuationen, 667, 669 Quantengravitation, 500, 612, 614, 667 Quantenzahlen, 315 Unschärferelation, 667 Wirkungsquantum, 313, 476, 644 Raum absoluter Raum, 353 Einbettungsproblem, 74 euklidischer Raum, 30 zweidimensionaler, 33 flacher Raum, 51, 546 höherdimensionaler Raum, 74 Metrik, 31, 35 Minkowski-Raum, 359, 402 nichteuklidischer Raum, 32 pseudo-euklidischer Raum, 31 Raumbegriff, 30 Raumkrümmung durch Masse, 543, 544 Riemann’scher Raum, 28, 567 n-dimensionaler Raum, 33 zweidimensionaler Raum, 32 Raumzeit asymptotisch flach, 573 Basisvektoren, 359 Definition, 359, 541 Eigenlänge, 385, 389 Eigenzeit, 387, 389, 393 Eigenzeitelement, 392, 404 Ereignis, 359 Lorentz-Kontraktion, 386 Längenkontraktion, 385 Raum-Zeit-Kontinuum, 359, 396 relativistische Vertauschung, 386 Riemann’sche Geometrie, 543

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statisch, stationär, 573 Steifheit, 536 Transformationsmatrix, 360 Uhrenparadoxon, 387 Weltfläche, 385 Weltlinie, 360 Tangente, 401 Weltpunkt, 360 Zeitdilatation, 387 Relativitätstheorie allgemeine, siehe dort Raumzeit, 75 spezielle, siehe dort Reziprozitätsbedingung, 35 Rotation hyperbolische Rotation, 364 Rotationsenergie, 101, 104 Satelliten-Projekte Cassini-Huygens, 635 Herschel, 639 Kepler, 635 Spitzer, 639 Apollo-Projekt, 635 COBE-Projekt, 650 Einstein-Observatorium, 640 Gaia-Mission, 637 geostationärer Satellit, 213, 520 Hipparcos-Mission, 637 Hubble-Weltraumteleskop (HST), 637 Hubble Deep Field, 638 IRAS, 639 ISO, 639 James-Webb-Weltraumteleskop (JWST), 639 Navigationssystem GPS, 539 New Horizons, 635

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Raumsonden, 504 ROSAT-Projekt, 640 Röntgensatellit Chandra, 640 Uhuru, 640 Satelliten, 503 Sputnik, 634 Tess, 635 Voyager, 635 Weltraumteleskop Planck, 651 WMAP-Satellit, 651 XMM-Newton, 640 Satz Arbeitssatz, 81 Drallsatz, 85 Drehimpulssatz, 85 Erhaltung, siehe Erhaltungssatz erster Hauptsatz der Thermodynamik, 83 Flächensatz, 88 Fundamentalsatz der Flächentheorie, 44 Gauß’scher Mittelwertsatz, 225 Impulssatz, 80 Poynting’scher Satz, 183 Satz des Pythagoras, 2, 31 Satz von Helmholtz, 142 Satz von Steiner, 97, 102, 105 Schwerpunktsatz, 80 Virialsatz, 86 Wurzelsatz von Vieta, 19 Schnitt Flächenschnitt, 12 Hauptachsenschnitt, 296 Hauptschnitt, 296, 302 Kegelschnitt

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numerische Exzentrizität, 90 Polardarstellung, 90 Kreisschnitt, 296, 303 Kristallschnitt, 309 Normalschnitt, 12, 16 Schnittbild, 341 Schnittellipse, 293 Schnittfläche, 122, 309 Schnittprinzip, 122, 128 Schreibweise Basisvektoren mit Sharp (7), 34 D’Alembert-Operator, 206 Laufsymbole, 34 Ornament, 181, 557 Retardierung, 240 Tessera-Operator, 398 Separation der Variablen, 228 Singularität bei Resonanz, 325 beim Urknall, 613 durch Gravitation, 555, 579, 621 Sonne, Zahlenwerte Fluchtgeschwindigkeit, 94 Magnitude, 665 Masse, 505 Radius, 505 Schwarzschild-Radius, 556 Schwerebeschleunigung, 505 Sonnenfinsternis (29.5.1919), 529 Sonnenparallaxe, 607 Spannung, mechanisch elastische Konstanten, 138 Elastizitätsmodul, 134 Hauptnormalspannungen, 126, 135 Hauptschubspannungen, 126, 131

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im Feld, 184 in der Schweißnaht, 158 in dünnwandigen Rohren, 156 Längsspannung, 157 Materialbeanspruchung, 126 Mohr’scher Spannungskreis, 129, 148 Normalspannung, 122 Schubmodul, 137 Schubspannung, 122, 124 Spannungstensor, 125, 136 Spannungsvektor, 122 Spannungszustand, 122, 123 ebener, 127 einachsiger, 127, 131 hydrostatischer, 127, 132, 146 zweiachsiger, 127, 132 Tangentialspannung, 157 Tensoren in Zylinderkoordinaten, 153 Spannungstensor, Maxwell, 184, 186 Hauptachsentransformation, 188 im elektrostatischen Feld, 188 Kraft dielektrischer Halbraum, 196 zwischen Linienströmen, 198 zwischen Punktladungen, 193 relativistische Verallgemeinerung, 466 Spannungsvektor, 188 Tensorfläche, 189 Transformationsmatrix, 192 spezielle Relativitätstheorie, 357 Äther, 356 Beta-Vektor, 367, 404 experimentum crucis, 427

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Gamma-Relation, 407 Quader, 110 Geschwindigkeitsverhältnis β, Trägheitstensor, 98 362 Tensormatrix, 100 Gleichzeitigkeit, 357 Sternkatalog, siehe Durchmusterunhyperbolische Rotation, 364 gen Kausalität, 373 Strahlung Kugelwelle, 358 bewegter Ladungen, 438 Lorentz-Faktor γ, 362, 405 Bremsstrahlung, 449 Michelson-Morley-Experiment, des Hertz’schen Dipols, 248 356 Fluoreszenzstrahlung, 627 Ortsvektoren, 370 Gammastrahlung, 532 Postulate, 358 Hohlraumstrahlung, 644, 648, Rapidität, 364 649 Transformationsregeln, 363, 370 Isothermen, 645 starre Körper Ultraviolett-Katastrophe, 645 Gleichgewicht, 353 Höhenstrahlung, 389 Hauptachsensystem, 102 Impuls der Strahlung, 201 Schwerpunkt, 102 Mikrowellen-Hintergrundstrahlung Hauptträgheits(CMBR), 425, 615, 647, 649 -achsen, 102 Planck’sches Strahlungsgesetz, -ellipsoid, 103 645 -momente, 102 Radiostrahlung, 630 -system, 101 Richtcharakteristik, 448 -tensor, 102 Röntgenstrahlung, 338, 450, 640, Massenträgheitsmoment, 97 642 axiales, 99 Schwarzer Körper, 613 Deviationsmoment, 99 Schwarzkörperstrahlung, 644 um beliebige Achse, 106 Sommerfeld’sche Ausstrahmomentane Drehung, 95, 142 lungsbedingung, 243 relativistisch, 387 spektrale Energieverteilung, 644 Rotationsenergie, 97, 101, 104 Strahlstärke, 448 Statik, 353 Strahlungsanteil, 187 Trägheitsmoment, Beispiele Strahlungsfeld, 446 Doppelkeil, 112 Strahlungsleistung, 183 Flügelrad, 109 Synchrotronstrahlung, 441, 454, 533 Kreisscheibe, 108 Kugel, 108 Temperaturstrahler, 644

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thermische Strahlung, 450 Wien’sches Strahlungsgesetz, 645 Supernova, 533, 660 Chandrasekhar-Grenze, 662 Explosion, 619 High-z Supernova Search Team, 662 Leuchtkraft, 662 Lichtkurve, 661, 662 Nachfolgebeobachtungen, 663 Spektralanalysen, 663 Supernova Cosmology Project (SCP), 662 Typ-Ia, 661 Typ-II, 533, 661 Teleskope, Systeme, Verfahren adaptive Optik, 627 aktive Optik, 624 Apertursynthese, 630 Arecibo, 631 Atacama Large Millimeter Array (ALMA), 632 automatische Steuerung, 662 CCD-Aufnahmetechnik, 623 Differenzmuster, 663 Effelsberg, 631 eLISA, 536 European Extremely Large Telescope (E-ELT), 629 Event Horizon Telescope (EHT), 633 Farbfehler, 622 FAST, 633 fehlerkorrigierende Codes, 636 Fernrohr, 598 GEO600, 536

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Giant Magellan Telescope (GMT), 629 Hale-Teleskop, 622 Hooker-Teleskop, 611, 622 Interferometrie, 630 optisch, 627 interferometrische Verfahren, 532 Hybridkartierung, 631 Jodrell Bank, 631 Keck-Teleskope, 625 Komparatortechnik, 663 künstlicher Laserleitstern, 627 Langbasisinterferometrie (VLBI), 532 Large European Array for Pulsars (LEAP), 539 Large Synoptic Survey Telescope (LSST), 628 LIGO, 536 Low Frequency Array (LOFAR), 632 MeerKAT, 633 Montierung, 624 New Technology Teleskope (NTT), 624 Pulsar Timing Array (PTA), 539 Radioteleskop, 532, 631 phasengesteuert, 632 Refraktor-Teleskop, 622 Robert Byrd Green Bank Telescope (GBT), 631 Seeing, 627 Segmentspiegel, 625 Service-Mode, 628 Spiegelteleskop, 622

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Square Kilometer Array (SKA), 633 Thirty Meter Telescope (TMT), 629 Very Large Array (VLA), 631 Very Large Telescope (VLT), 626 Very Long Baseline Array (VLBA), 631 Virgo, 536 Wellenfrontsensor, 627 Wolter-Teleskop, 640 Yerkes-Linsenfernrohr, 621 Tensor Ableitungstensor, 178 Deformationstensor, 143 der Verformung, 133 Deviator, 146, 468 Dielektrizitätstensor, 279 Einstein-Tensor, 55, 568 Energie-Impuls-Tensor, 466 der Gravitation, 559 der idealen Flüssigkeit, 563 des elektromagnetischen Feldes, 468 Divergenz, 469, 562 für Staub, 560 kovariante Darstellung, 566 Feldtensor, 429, 436, 455 dualer Tensor, 457 Fundamentaltensor, 32 metrischer, 31 zweiter, 11 Hauptspannungstensor, 128 Haupttensor, 11 Hauptträgheitstensor, 102

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hydrostatischer Spannungszustand, 127 Krümmungstensor, siehe dort Kugeltensor, 146 Lorentz-Tensor, 456 Maxwell’scher Spannungstensor, siehe Spannungstensor, Maxwell Nulltensor, 50, 53 Permeabilitätstensor, 323 Polder-Tensor, 325 Ricci-Tensor, 52 Spannungs-Energie-Tensor, 466 Spannungstensor, 125, 136 Suszeptibilitätstensor, 324 Trägheitstensor, 98 Verschiebungstensor, 140 Verzerrungstensor, 136, 141 Tensorfläche Deformationsellipsoid, 143 Dehnungsfläche, 142 Dilatationsfläche, 142 Fresnel’sches Ellipsoid, 281 Indexellipsoid, 282, 293 Rotationsellipsoid, 301 Tensorkalkül, 28, 544 Theorem Additionstheorem der Geschwindigkeiten, 365, 412 Euler’sches Theorem, 96 Noether-Theoreme, 219 Theorema egregium, 22, 25, 27 von Birkhoff, 580 Theorie Äthertheorie, 271, 356 Elastizitätstheorie, 122 Erkenntnisgewinn, 2

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Falsifikation, 2 Flächentheorie, siehe dort Funktionentheorie, 235, 359, 433 Gravitationstheorie, 497, 552 Invariantentheorie, 27 kinetische Gastheorie, 86 Maxwell’sche Theorie, 161 Nahwirkungstheorie, 551 Paradigmenwechsel, 2 Potentialtheorie, siehe dort Quantentheorie, siehe dort Stringtheorie, 500, 667 Störungstheorie, 501, 503, 599 Supersymmetrie, 500, 667 Theorie und Hypothese, 527 Urknalltheorie, 611, 647 Erfolge, 650 vereinheitlichte Theorie (GUT), 500 Wellentheorie des Lichtes, 420 Weltformel (TOE), 500 Trajektorien orthogonale, 235 Transformation bei Basiswechsel Feldgrößen, 433 Dualitätstransformation, 457 Eichtransformation, 218 Fast-Fourier-Transformation (FFT), 348 Fourier-Transformation, 342, 348 Galilei-Transformation, 354, 357 Kongruenztransformation, 456 Lorentz-Transformation, siehe dort

Transformationsmatrix Raumzeit, 360 Spannungstensor, 192 Übertragung geodätische, 66 lineare, 63, 66 Universum Big Bang, 613 chemische Entwicklung, 619 Dichtefluktuationen, 653 Dunkle Energie, 612, 615, 666 Dunkle Materie, 534, 612, 615, 641 kalte Dunkle Materie (CDM), 644 Entkopplung, 648 Entwicklung offen, geschlossen, flach, 611 Expansion, 424, 611, 615 beschleunigte, 664, 665 flaches Universum, 659 Flachheitsproblem, 614, 669 Homogenität, 613 Horizontproblem, 614, 669 Inflation, 614 Inhomogenität, 644, 650, 669 Isotropie, 613 Kosmologie, 609 kosmologische Konstante, 610, 615, 666 Ladungsneutralität, 500, 616 Materieanteile, 653 Planck-Ära, 614 Plasma der Frühphase, 647 Polarisation, 651 Quantenfluktuationen, 667, 669 Quintessenz, 667

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Sachverzeichnis

Gleitung, 136 Hauptdilatationen, 135, 141 Inkompressibilität, 145 Kompressionsmodul, 145 längen- und winkeltreue, 26 Querkontraktionszahl, 134 Scherung, 136 Stauchung, 133 Verschiebungsvektor, 139 Volumendilatation, 144 Versuch, Experiment Vektor Ballon-Experimente, 651 Beschleunigungsvektor, 409 Beschleunigerexperimente, 390 Beta-Vektor, 367, 404 Boomerang-Experiment, 651 dynamischer, 100 Compton-Effekt, 483 Energie-Impuls-Vektor, 472 Ereignisvektor, 360 Computersimulationen, 671 Flächenvektor, 57 Einsteins Kasten-Experiment, Geschwindigkeitsvektor, 403 524 kinematischer, 100 Eötvös-Experimente, 515 lokaler, 32 experimentum crucis, 356, 427 Magnetisierungsvektor, 315, 321, Frage an die Natur, 597 322 Gedankenversuch, 517, 524 als komplexe Zahl, 347 IceCube, 486 moderne Darstellung, 185 Interferometer-Experimente, 535 Normaleneinheitsvektor, 8 KM3NeT, 486 Nullvektor, 562 kosmologische Experimente, 671 Ortsvektor, siehe Vierer-Ortsvektor, Maxima-Experiment, 651 370 Messung Poynting-Vektor, 182 Gravitationskonstante, 499 Sechservektor, 456 Lichtgeschwindigkeit, 355 Vektorfluss, 509 Michelson-Morley-Experiment, Verschiebungsvektor, 139 271, 356 Wellenvektor, 209, 283 Millennium-Simulationen, 672 Verformung Myonen-Versuch, 389 Dehnung, 133 Neutrinoexperimente, 485 Dilatation, 133 elastische, 121 Pendelversuche, 515 Rekombination, 647 statisches Universum, 610 statistische Eigenschaften, 672 Temperaturschwankungen, 653 Temperaturverteilung, 651 Orthogonalentwicklung, 653 Uratom, 611 Urknall, 424, 613 Vakuumenergie, 667 Weltalter, 425, 669

Sachverzeichnis

Young’scher Doppelspaltversuch, 270 Zug- und Dehnungsversuch, 138 Vierergrößen der Raumzeit, 397 Differentialoperatoren, 398 D’Alembert-Operator, 400 Tessera-Operator, 398 Viererdivergenz (Div), 399 Vierergradient, 399 Gamma-Relation, 407 Liénard-WiechertViererpotential, 445 Lorentz-Vektor, 401 Orthogonalität, 410, 465, 491 Raumanteil, 401 Transformation, siehe LorentzTransformation Vierer-Ortsvektor, 359, 360, 401 Vierer-Wellenvektor, 419, 477 Viererbeschleunigung, 409 Vierergeschwindigkeit, 404, 405 Viererimpuls, 470, 477 Viererkraftdichte, 465 Viererpotential, 430, 433, 442 Viererrotation, 456 Viererstromdichte, 429 Vierervektor, 75, 401 Skalarprodukt, 398 Wegelement, 375, 401 Zeitanteil, 401 Volumenelement Transformation, 403 Wegelement, 33 Klassifizierung, 375 totales Differential, 9 zweites Differential, 10

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Wegintegral Kraft, 81 vollständiges Differential, 81 Wellen elektromagnetische Wellen, siehe dort Gravitationswellen, 534 GW150914, 537 Pulsar Timing, 538 Materiewellen, 478 Weltbild geozentrisch, 596 heliozentrisch, 596, 597 kopernikanische Wende, 597 kosmisch, 599 naturwissenschaftlich, 600 Winkel Aberrationswinkel, 414 Brechungswinkel, 307 der Periheldrehung, 585 Einfallswinkel, 307 gegen das Einfallslot, 307 Gleitwinkel, 136 imaginärer Drehwinkel, 364 Kippwinkel, 339 Messung Hadley-Quadrant, 601 Sextant, 601 Triangulation, 606 Parallaxe, 606 Phasenwinkel, 269, 332 Polarisationswinkel, 333 Präzessionswinkel, 339 Raumwinkel, 447 Transversalwinkel, 345 Wirkung Fernwirkung, 382, 544

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Sachverzeichnis

Gegenwirkung, 80 im elektromagnetischen Feld, 173 Krafteinwirkung, 139 Kraftwirkung, 184, 383, 466 Nahwirkung, 551 Potentialwirkung, 441 Richtwirkung, 249 Rückwirkung, 552 Wechselwirkung, 162, 480 Wirkungsquantum, 313, 476, 644 Zeit absolute Zeit, 355 als imaginäre Koordinate, 359 Atomuhr, 539 Halbwertszeit, 389 Laufzeit von Funksignalen, 521 Planck-Zeit, 614, 669 Planck-Ära, 614 Schiffschronometer, 602 Zeitmessung, 602 Zeitfaktor bei harmonischen Funktionen, 206