Una revolución en teoría de números Gauss [Primera ed.]

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Una revolución en teoría de números

Gauss

Una revolución en teoría de números

Gauss

RBA

© 2012, Anlonlo Rufián tirana por el texto O 2012, KBA Contenidos Editunak* y Audiovisuales, SAI ! © 2017, RBA Colecncmabtes, SA. Realización: K1HTKC Diaeflo t*ul>ienn, Liaren*; Maní DtaeAu Interior, Luz de la Mora lníogntílíK Joan Pejnait Fotografías: Age PoUrstock: MOn; Album: 31,33; Archivo RRA: 41, 57a¡, 57ad, 6ó, 71,166a, |66b; G BiemannAlbservatorio de GotinRiV 127, Itildindex: 07b, Julien-Leopold IWtilly: H7, Castro Cammnjt 130: Ueimrtanv'Mo de Matemáticas de la l'ruver-miad de Illinois. Chicago: 35: Ja*oh Emanuel llandmann/Museo de Arte de Ha-nica 54, Rudotph HoffmMm l li, Uuninu-niii (fOreitíc/Bibiioteca Bodlckma, Universidad de Oxford 136; Photoaisa: 14%, Erttnrd Rlliiiüller 79b, Juneph Kart Slleler/ Palario de Charlottenhof, Posldarn 140, Joseph Rudotf Suliriamll 81, Univenuchid de York, Reino Unido iOCt, C Witte79a; Stefan ?Jifhow/l lntón Matrmilira Internacional: 0(i.

Reservados todos los derechos Ninguna parte de esta publicación puede set reproducida, almacenada o transmitida por ningún medio sin permiso del editor

tSBN (Obra completa): 97&84-473^ 77W ISBN: P78A M 73-8S31-8 Depósito legal B 34-2017 Impreso y encuademado en Cayfosa (Impuesta IWrica) Impreso en Espada - Printed in Spots

Sumario

INTRODUCCIÓN ___________ ______ „

___________________________1

CAPITULO 1 Primeros destellos de un prodigio de los números .. ir c a p it u l o

2 .Disqiiisitiones anüim eücae*______ _____ __________*5

c a p it u l o

s Un método para encontrar planetas ______________ n

c a p it u l o

4 Poniendo orden entre los números p rim o s----------- «

c a p it u l o

5 Aportaciones en geometría y en física

..............W

CAPITULO 6 El legado del * Principe de los matemático»» — LECTURAS r e c o m e n d a d a s

.....

..— ____ .______ „ ____ __- »

In d i c e _____________________ ___ _ ________________________ ______*5

Introducción

Si

se hiciera un m aestreo entre los profesionales para que con ­

feccionaran una lista d e los diez m atem áticos más importantes e influyentes d e la historia, estam os seguros de que casi todos e llo s incluirían a Cari F n ed rich Gauss. Esta conjetura (c o m o verem os en este libro, h acer conjeturas es un m étodo de tra­ b ajo muy p ro p io de m atem áticos) está fundam entada en dos m otivos. El prim ero es la enorm e im portancia de sus aportacio­ nes m atemáticas. Para evitar que se nos acuse de constatar to ob vio, con vien e señalar que la valoración de la im portancia de tos resultados cien tíficos e s un ejercicio siem pre subjetivo, aun en el ca so de una cien cia tan ob jetiva com o las m atem áticas. Y, sin em bargo, las matemáticas creadas p or Gauss resisten cual­ quier tip o de valoración, y su influencia es unánimemente reco­ nocida. El segundo m otivo es la amplitud de los temas a los que Gauss d ed icó con enorm e é x ito su curiosidad En la actualidad las m atem áticas son tan vastas que los que se dedican a ellas con ocen en profundidad s o lo la parte cercana a su cam p o de investigación. La genialidad de Gauss, sin em bargo, le p erm itió avanzar en casi todas las ramas de las matemáticas. En con se­ cuencia, tanto los especialistas en análisis m atem ático co m o los de análisis numérico, tanto los geóm etras com o los algebristas, los estadísticos o incluso los físico-m atem áticos ven en Gauss a «u n o d e los nuestros».

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Con excesiva frecuencia se asan adjetivos co m o niño prodi­ gio o genio de las matemáticas, pero pocos m atem áticos tendrían algo que objetar al hecho de que tales calificativos se atribuyan a Gauss. EH sim ple número de ideas nuevas y descubrim ientos que produjo el matemático alemán, incluso antes d e cum plir los vein­ ticinco arios, parece inexplicable. Hijo de padres pobres, Gauss tuvo la su en e d e p od er sacar provecho de su talento matemático. Había nacido en una ép o ca en la que las matemáticas eran todavía una actividad privilegiada, financiada por cortesanos y mecenas, o practicada a ralos libres por aficionados com o Fierre de Formal. El protector de Gauss fue Kari Wilhelm Ferdinand, duque de Brunswick, que ie perm itid d e­ dicarse a su vocación sin e) aprem io de tener que ganarse e l sus­ tento con alguna otra ocupación más rentable económ icam ente. En un acto de gratitud, Gauss le dedicó su prim er libro, las Dis­ quisiciones Arithmeticas (1801). con lo que el duque v io aso­ ciado asi su nombre a uno d e los volúntenos capitales de la historia de las matemáticas. Gauss vivió en un periodo de extraordinario desarrollo p o lí­ tico y social. Su adolescencia coin cidió con la Revolución fran­ cesa, pues tenía doce años cuando se tom ó la Bastilla. V ivió el apogeo de Napoleón en su madurez y su derrota en Waterlou ron treinta y ocho años. Alcanzó a v e r la Revolución liberal de Alem a­ nia de 1848 con más de setenta años Durante ese período tuvo lugar la primera R evolución industrial, que tan grandes efectos tuvo en la vida política y social eu ro p ea El desarrollo de ia indus­ tria perm itió llevar a cabo experim entos Impensables hasta ese momento, con telescopios y otros instrumentos ópticos m ejores y más eficaces. C om o veremos, la vida d e Gauss estuvo influida por todos estos sucesos. P o r fortuna, su colección de trabajos ha perm an ecido bas­ tante completa; mucha de (a correspondencia relevante de Gauss ha sido publicada. Sin embargo, Gauss era muy celoso de sus des­ cubrimientos matemáticos y usaba un lenguaje cifra d o para p ro ­ tegerlos. En opinión de algunos, la falta d e difusión de sus trabajos ha provocado un retraso de m edio siglo en el desarrollo de las matemáticas: si Gauss se hubiera preocupado de divulgar la mitad

INTOOOUCOÓh

d e lo que descubrió y no hubiera sido tan críptico en sus ex p lica ­ ciones, quizá tas matemáticas habrían avanzado más rápidamente. Su diario m atem ático no pasó d e manos de su fam ilia aJ conocímiento pú blico hasta el año 1898, Su estudio confirm ó que Gauss había probado, sin publicarlos, muchos resultados que otros ma­ tem áticos intentaron dem ostrar hasta bien entrado el siglo xu. Sostuvo siem pre que las m atem áticas eran com o una obra arqui­ tectónica: un arquitecto no dejarla jamás ios andamios para que la gente viera c ó m o se había construido el edificio. Desde luego, esta filosofía n o ayudó a sus colegas contem poráneos a la com pren­ sión de su obra. La estructura ló gica del tratam iento de los problem as m ate­ m áticos propuesta p o r Gauss. en la que se enuncian los resulta­ dos o teorem as, se p roced e a su dem ostración y se culmina con las consecu encias o corolarios, sigue siendo en la actualidad el m odo aceptado d e presentar los resultados matemáticos. El ma­ tem ático alem án se negaba a anunciar resultados no dem ostra­ dos, y esta renuncia supuso un punto d e inflexión en la historia de las m atemáticas. Si bien los antiguos griegos habían introdu­ cid o la idea de la im portancia d e la dem ostración com o com jionentc indispensable del p ro ceso matemático, antes de la época de Gauss los m atem áticos se Interesaban m ucho más p or la espe­ culación científica sobre su disciplina; si tas m atemáticas funcio­ naban, n o se preocupaban dem asiado de justificar de form a rigu­ rosa p or qué lo hacían. Cuando Gauss se ocupó de la aritm ética y de la teoría de nú­ meros, estas disciplinas estallan constituidas p or coleccion es ais­ ladas de resultados sin con exión entre d io s . Gauss rec o p iló los con ocim ien tos existentes y los aunó en un marero común, seña­ lando y corrigien d o los errores existentes. L levó a las matemáti­ cas del siglo xix a cum bres Insospechadas unos años antes, y elevó la aritm ética su perior a la cima de tas matemáticas. Citando sus propias palabras: «Las matemáticas son la reina d e las ciencias y la aritm ética es la reina de las matemáticas*. Su prim er gran resultado, cuando aún no había cum plido los diecinu eve años, fu e el descubrim iento de) m étodo para construir con regla y com p á s e l p o líg o n o d e 17 lados: e l h eptadecágon o.

fttUtQUUCCtON

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La construcción de polígonos regulares había ocupado a los m a­ temáticos desde la ¿poca de La Grecia clásica, con resultados irre­ gulares, de forma que había polígonos, especialmente el de 7 lados o heptágono, para Jos míales no existía una técnica que perm itiese su construcción exacta usando solo regla y compás. Según el pro­ pio Gauss, que se sintió muy orgulloso de este descubrim iento durante toda su vid a «La casualidad no tuvo nada que ver en ello, ya que fue fruto de esforzadas meditaciones. Antes de levantarme de la cama ture la suerte de ver con la mayor claridad roda esta correlación, de fom ia que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué tü heptadecágono la correspondiente confirm ación numé­ rica*. Gauss no solo resolvió este problema, sino que encontró el método general para decidir si tm polígono era o no susceptible de ser construido con regla y compás. En su testamento. Gauss pidió que se grabase en la lápida d e su tumba un p oligon o d e 17 lados construido de acuerdo a su m étodo Sin embargo, no lo oonáguió. Pero, sin duda, el resultado que le d io la fama entre sus con­ temporáneos fue el cálculo de la órbita de Ceres, un planeta enano descubierto en ISO I por Giuseppe Píazzi desde un observatorio de Palermo. Este reconocim iento popular le llevó a adentrarse en la astronomía, y llegó a ser director dci observatorio de Gotinga. Es más que posible que sus observaciones astronómicas lo distraje­ ran de su trabajo matemático puro, en el que era más difícil encon­ trar la fama. Para las matemáticas, com o ciencia, la determinación de la órbita de Ceres puede ser un hecho anecdótico, pero el mé­ todo usado para su cálculo fue fundamental para su desarrollo: el método de mínimos cuadrados En este caso es más importante el procedimiento usado para llegar al resultado que el resultado mismo. En la atribución de la autoría de este m étodo a Gauss hubo cierta polémica, puesto que Admen-Maríe Legendre, veinti­ cinco artos mayor que Gauss, también argumentó su prim arla en dicho descubrimiento. Esta rivalidad con Legendre perduró du­ rante muchos artos y se extendió a numerosos campos de las ma­ temáticas, O tim a con mucha frecuencia que si Legendre afirmaba haber descubierto una nueva verdad matemática, Gauss lo rebatía *

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arguyendo que él ya La conocía y que había usado tal resultado. En

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una carta esc rita p o r Gauss el 30 de ju lio de 1806 a un c o leg a as­ trónom o llamado Schuntacher, al que le unia una gran amistad, comentaba: «P a re c e co m o si y o estuviese destinado a coin cid ir con l>egendre en casi todos mis trabajos teóricos». Este Upo de rivalidades eran muy comunes y se explican por los m étodos d e trabajo y divulgación de resultados de los matemáticos de aquella época. Durante toda su vida, Gauss fue reacto a m eterse en gue­ rras abiertas sobre la precedencia de sus descubrimientos. S olo cuando, tras su muerte, se estudiaron sus notas y su correspon­ d en cia quedó claro que la razón estaba d e su parte. De lo que no cabe duda es de que el m étodo de mínimos cuadrados s e reveló com o una herramienta de gran utilidad para abordar numerosos problem as en los que se trataba de establecer la función que m ejor se adaptara o aproxim ara a un conjunto de datos con un criterio de minimización. Las aplicaciones más importantes se encuentran en estadística, donde alcanzan la cumbre en la estimación d e p a­ rám etros poblarionales a través de una muestra, en un resultado con ocido c o m o teorem a de Gauss-Markov. C om o anécdota cu­ riosa queda el hecho de que el nombre de Gauss está comunmente asociad o en estadística a la tan con ocida cam pana de Gauss, cuando en realidad e l descubrim iento de dicha distribución se debo a Abraham de Moivre. Gauss abordó desde muy temprano el llamado teorem a fun­ damental d el álgebra, que básicamente establece que un polin o­ m io tiene tantas raíces, o valores donde el polinom io vale cero, com o indica su grado. Este problem a fue el tem a d e su tesis de licenciatura. A lo largo de su vida presentó vanas d em ostracio­ nes d e este resultado cada v e z más afinadas y comprensibles. A l igual que en su descubrim iento de la órbita de O r e s , Gauss, en su búsqueda d e una dem ostración adecuada, encontró construc­ ciones matem áticas novedosa» y de gran utilidad, com o fueron lew números com plejos. Gauss dem ostró en 1799 que valiéndose de un núm ero muy especial, la raíz de -1 ( o número i) , los m ate­ m áticas podían resolver cualquier ecuación polínóm ica que se les pusiera p or delante. El análisis numérico y. especialmente, el estudio de los nú­ m ero» prim os es quizá la pan e de la obra de Gauss más con ocid a

rWTHOOOCOON

y a la que dedicó más tiempo. Cuando Gauss era jo ven recibió com o regalo una tabla de números prim os que contenía varios millares. Para Gauss. aquellos números aparecían desordenada­ mente. Cuando escrutaba sus tablas numéricas, Gauss no con se­ guía determinar ninguna regla que le indicara cuánto tenía que saltar para encontrar el siguiente número primo. Aparentemente, no existía dicha reg la Gauss no podía aceptar semejante idea- la motivación primaria de la vida de un m atem ático es determinar estructuras ordenadas, descubrir y explicar las reglas que están en los cimientos d e la naturaleza y prever qué sucederá a conti­ nuación. Usté pensamiento, que llegó a ser obsesivo, le llevó a formular algunas de las más grandes conjeturas de la distribución de los números primos

y su creación por procedim ientos mate­

máticos. El problem a de la determ inación de números primos es de gran actualidad hoy día, ya que muchos de los procesos de encriptación de información están basados en las propiedades de dichos números. Entre 1818 y 1832 Gauss dirigió un vasto proyecto para topograbar el Reino de Hannover. Se trataba de un enorme encargo con implicaciones políticas y militares, además de las científicas. Gauss no fue solo un director nominal, sino que se im plicó en los trabajos de campo, lo que le detrajo un tiem po muy importante que podía haber dedicado a investigaciones matemáticas de Upo más teórico. Por otro lado, este trabigo perm itió a Gauss el plan­ te amiento de nuevos tipos de geom etría, no basada en los axio­ mas de Euclides, dando forma a ideas que llevaba madurando en su mente desde sus artos de estudiante. Los trabajos de medición de la Tierra, encuadrados dentro de La geodesia, también ie dieron la oportunidad de hacer grandes contribuciones a la geom etría diferencia]. En los últimos artos de su vida se inleresó por proble­ mas relacionados con la física aplicada gracias a su relación con Weber, especialmente de óptica, m ecánica y electricidad. La influencia de Gauss en los m atem áticos posteriores es enorme: baste señalar que fue profesor de Bemhard Riemann y Julms Wilhelm Richard Dedckind, dos de los más grandes mate­ m áticos del siglo xa. Sus aportaciones se produjeron, c o m o ya se ha apuntado anteriormente, en todos los cam pos de las matemá-

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ticas, tanto puras com o aplicadas. Además, también m erece un puesto d e honor en la física, y sus contribuciones en magnetismo, óptica y geodesia se encuentran entre las más destacadas de su época. Así pues, no es exagerado el titulo póslumo que recibió de «Principe d e los m atem áticos» y que el rey Jorge V de Hannover hizo acuñar en una moneda conmemorativa. Según el historiador matemático E n e Tem ple Bell, en opinión compartida por la mayo­ ría de sus colegas. Gauss ocupa, junto a Arquímedes y Newton, el pódium de tos grandes genios de las matemáticas.

iHinoOtiCOÓN

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1777 Nara Cari Frirdrlch Raras en Bninüwirk. Alemania, ilniro hijo del mslnmnrio formado por Gerluird Dietnch Causa y Doroüiei Beni* 17M

Borra en la escuela elemeniaj de Brunswick Tiene par pcofosoreit a J ( i Bunner y Martin Báñete, que recunocen M n p u k U d y til estimulan.

1711 Es presentado al duque de Brunawick, que será su protector. 17*3 Gauas deja Rrurwwiclt y *» traslada a la l'nlvemdad de GolingH, donde cumíenla aua «aludió» universitario». 1716 Desmhre el méfodn de construcción del polígono de 17 caras roa regla y CumpaaL Este éxilo hace que se decida por las nialrmüiras eximo su dedicación priucipaL 1739 Presenta su tesis de licenciatura en la Univenmlid de HelnuricdL En dicho tmh#cjo proporciona la primera demostración del teorema fundamental del álgebra. 1901 Puhlici Di.upjítiriones antkmriirae, su mayor aportación a la leona de números. En la abra recoge aus investigaciones de adra anteriores, emre ellas los relativas a la an uniera modular, loa números complejos y la ley de reciprocidad cuadrática Determina la órbita de O res por el método de minimoa cuadradrai.

1IOS

Se casa con Jnhanjta (Tshnff. con la que tendrá Ire» hilos Joaaph. Mlnna y Lauta, que morirla can pocos mesen.

1809 Fallece la primera esposa de G n u ». Publica au libra tufo Importante de contenido sslronomicoi Thftrrin rmiius (UTjtonim a v iM liiM in xrriiantbui cometí joirm in tío ih iim . U10 Causa contrae msirlnionio por aegunda vez. can Mhuui Wahleck. con Ib que tendrá lies liqntr Eugeu, WLUtpIm y Therese. Su nudrlmunlo dura barita 1831. cuando Ritual vuelve a enviudar 1918 El gobierno de Hnnnovpr encarga * Garas la iriangulniión y medición del reino, la que le llevó varios años de dedicación a la geodesia. 1877 Puhlica ¿baquía!firmes generales curo tn p tijirim n in a s , su obra fundamental en geometría dlfrrm dal, la cual incluye el TTtnmnaa tgrfymm. ta n Weberae triadla rn Gotiiiga, ¡nielando una fhictifera relación con ( a i m en (laica 1849 G buní presenta una nueva demostración del teorema fundamental del álgebra con mouvn del 60° aniversario de su tesis de licenciatura. 1853 Muere la madrugada del 23 de febrero mientras dormía plácidamente, a la edad de setenta y mete arios.

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CÍH T J ^ O I

Primeros destellos di* un prodigio de los números

(iauss destacó. desdr muy prnueóo. por p i m r unas cualidades «¡ue a»imiten poras comparaciones cu la historia y que Ir granjean*1 la aimcum de vanas personas que Ir a> miaron a potenciarlas Ya desdr Uw minas dr su carrera ncntihca se intereso i»>r raen indas tas ramas de las malo mancas, a las , lo probamos para n. S' conseguimos probar c ) usando a) y b). entonces la afirmación es cierta para todos tos números naturales La idea que subyace en b| y O es Que si es cier­ to para un número también lo es para el siguiente. Cómo lo probamos para n = i en a) el resto es inmediato Apliquemos el principio de inducción a la formula de ta suma de ios o primeros números naturales:

n*l)

2 at Para n = t. tenemos;

Suponemos que para n - 1ia suma vale"

O Asi la suma

*» (n-l}n ~~~ 2

- T^, * tt, con to Que aplicando b> tenemos que

( n-Dn.2n (n-l)n»2n n1-n*2o n**f) ------ - * — * I- r —* •——- m -

2

2

2

2

2

n

2

Que completa la demostración

LOS NÚMEROS TRIANGULARES La anécdota d e la suma de los cien primeros números naturales y la fórm ula general que hemos probado sirve también para in tro (lucir un tem a a l que Gauss dedicó mucho tiempo en su ju ventu d los números inangulares. De hecho, e l matemático británico Mar-

WUMtBOS OESIEU.OS CC UN « « 3 0 * 1 0 D f LOS NUMEROS

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cus du Sauloy en su lib ro

La música de tos nú m eros primos

(2003), incluye una novedosa explicación del m odo en que Gattss llegó al resultado d e 5050, usando números triangulares. Un número triangular es aquel cuyas unkladcs pueden recom ­ ponerse en la fonna de un triángulo equilátero (p o r convención, el primer número triangular es el 1). El concepto de número trian­ gular fue introducido p o r Pilágoras, que estudió algunas d e sus propiedades. Los pitagóricos estaban muy interesados en las cua­ lidades estéticas d e los números. En la figura se muestran las seis prim eros números triangulares. Si se observa con atención el valor de los prim eros números triangulares, se puede ver que coin cid e con e l v a lo r d e la serie T d e la suma de los

n prim eros núm eros nat ural es. Obviam ente, no

es casualidad, pues en la construcción d e un núm ero triangular cada fila uene un elem ento más que la anterior, y la prim era em ­ Unr «ipr«hjhw « i forma rf* t?Uf>o*j*0 Aquí «p«eene que «rt impulso de Gauss fue lo que hnd m is famosa a esta univer­ sidad, atrayendo a estudiantes y científicos

AuélWO 4 * IMlwiidsif d* ColIfMI*. OQn0 * Q«ti(i ntudió y QrlbK^Q «n tnwterá * partfr M ua dtuje 4 » Pobat úííukf, Utt5

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n tv e n o s KStiLuOS DE UN OHOOKEO O í LOS NUMfOOS

II

obligaciones académ icas y tenía manga ancha para escoger sus clases y tutores, lo que fue muy beneficioso para su form ación. t i profesor principal d e matemáticas de la universidad era G o tlh elf Abrah&m Kástner (1719-1800), que tenía p o r entonces se­ tenta y seis años, p ero com o su dedicación a la investigación ma­ temática había sido nula, Gauss no lo tuvo nunca c o m o referente. En la universidad tuvo contactos sociales con num erosos p ro ­ fesores, entre los que destacan el fís ic o G eorg C láchtenbcrg (1742-1799), el astrónomo Karl F. SeyfTer (1762-1822) y el lingüista Chrisüan Gotclob Heyne (1729-1812) Sin em bargo no hizo muchas amistades entre los estudiantes, si exceptuam os e! caso de Wotfgang von Bolyai. un noble de Transüvania, provincia que tenía una nutrida minoría alem ana El resultado más tm)>ortaiile de esta aso­ ciación es la correspondencia entre am bos, que se extien de du­ rante más de cincuenta artos, desde 1799, durante una temporada de ausencia de (iauss de Gotinga, hasta 1853, dos artos antes de la muerte de Gauss. Gauss Uegó a afirmar que Bolyai fue el -espíritu más com pli­ cado que jam ás con ocí». Bolyai es más exp lícito al hablar de su amistad. -N o s unía la pasión p o r las matemáticas y nuestra con­ ciencia moral, y así paseábamos durante largas horas en silencio, cada una ocupado en sus propios pensam ientos».

■Bolyai fue el único que supo interpretar mis criterios metafíisicos sobre matemáticas * — C u i r i K M i o i G a i m «o sla

•

bc a h il o

W o u tM is vt>f> Bo l r a i .

Durante estos tres artos en Gotinga, Gauss estudió enteramen­ te a su manera, A finales de 1798 abandonó la universidad por ra­ zones que no están claras, pero ya habla d esarrollado las más importantes ideas m atem áticas que publicaría en los siguientes vein ticin co artos. Gauss d-

FAftKAS BOLYAl También conocido en Alemania como Wolfgang von Bcúyai (1775-1856), fue un matemét-co húngaro. reputado sotKe todo por W l trabaio4 en geómetra So otwa principal, conocida como el Tentemee (Tentamen nureotutetn s tu d oa fn en e/emenfa mateeosoj inrrocTocmoi) loo un miento de dar una base rigurosa y sistemática a ta geometría, la aritméti­ ca, d que muchas de sus ideas sobre geometría las habla discutido y meioraoo con Wpllgang Bolyai

CONSTRUCCIÓN CON REGLA Y COMPAS DEL POLÍGONO REGULAR DE 17 LADOS Desde su llegada a Goünga, el

jo v e n

Oauss siguió desarrollando

de form a autónoma sus investigaciones sobre números que habla iniciado en el t'ollegjum . Sin duda más fruto de estas investigacio­ nes que de las enseñanzas de KAslner, cuando Ganas «d a b a en su c a s » de Ürunswick se p rod igo un descubrimiento que será clave, no s o lo en la carrera de Ganas, sino en el futuro de

«huertos ocst fu.bv oí

tas matero Atá­

un «rooroto M ien m intuoi

is

EL DIARIO CIENTIFICO DE GAUSS V SU INTERPRETACIÓN La construcción del heotodecágono en 1796 hizo que Gauss iVitimus C E G A N - («Vencimos ai dragón») No se bono «dea de cuál era el dragón al que se refería El 8 dn abril de 1799 escribió »R EV G A L E N » dentro de un rectángulo y ha sido imposible hacer coincidir esa anotación con ninguno de los resultados conocidos de Gauss,

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nrw ic e o s o e s t r u o s oe un

p b o o o io

pt

l o s hu m eaos

cas: el m étod o de construcción con regla y compás del polígono regular d e 17 lados. La im portancia para las matemáticas de este descubrimiento deriva del hecho d e que lúzo que Cimas decidiera dedicar su vida a esta disciplina. A l día siguiente, el 30 de marzo, justo un mes antes de cum plir los diecinueve años, Gauss hizo su primera ano­ tación en su diario d e notas, el diario científico más importante de la historia de las matemáticas, en el que iría apuntando, a veces de form a críptica, pues ya sabem os lo reservado que era Gauss con sus descubrinuentos, los resultados matemáticos que le iban vi­ niendo a la cabeza. P o r ese diario desfilaría un alto porcentaje de los d escu b rim ien tos m atem áticos del siglo xtx, pero no fueron recogidos todos los descubrim ientos de Gauss en el periodo pro­ tífico de 17% a 1814. Muchos de los resultados anotados bastarían para establecer la prioridad ríe Gauss en campos donde algunos de sus contem poráneos se niegan a creer que les precediera. La anotación d e l 19 de m arzo de 1797 muestra que Gauss había ya descubierto la d ob le periodicidad de ciertas funciones elípticas. Las funciones elípticas, que son una generalización de funciones trigonom étricas c o m o sen o y coseno, eran interesantes porque estaban relacionadas con el cálculo de la medidu de un arco de una elipse (d e ahí su nom bre!, lo que a su vez resulta fundamental para los cálculos astronómicos. Gauss tenia entonces veinte años. Además, otra anotarión muestra que el matemático alemán reco­ n oció la d ob le period icid ad en el caso genera). Bate descubri­ miento, por sí solo, de haber sido publicado, podría haberle hecho fam oso inmediatamente, pero Jamás lo publicó. Otros muchos hallazgos que quedaron enterrados durante dé­ cadas en ese diario habrían encumbrado a media docena de gran­ des m atem áticos d e haber sid o publicarlos. Algunos jamás se hicieron públicos durante la vida de Gauss, y nunca pretendió la prioridad cuando otros autores se le anticiparon, pues era dema­ siado orgu lloso para entrar en ese tipo de disputas. Hablando de si mismo, Gauss dice que emprendía sus estudios científicos tan solo com o una respuesta a los impulsos más profundos de la na­ turaleza, y para é l era algo completamente secundario publicarlos para el con ocim ien to de Jos demás.

MN“ £BOS M 5 I Í U O S O t OM PRODIGIO 06 LOS HUMEROS

Otra de la » ideas d e Gauss, com unicada en una ocasión a un amigo, explica tanto la existencia d e su diario c o m o la lentitud en la publicación Gauss afirm aba que cuando tenía vein te años era tal la cantidad de nuevas ideas que pasaban p o r su m ente que di­ fícilm ente podía recogerlas todas d e manera extensa, y s o lo dis­ ponía para e llo d e b revísim o tiem po. El diario contiene tan solo los juicios breves finales de los resultados d e com plicadas inves­ tigaciones, algunas d e las cuales le ocuparon durante semanas. Cuando siendo jo ven contem plaba la serle de pruebas sintéticas que habían encadenado las Inspiraciones d e Arquim edes y Newton, Gauss resolvió seguir su gran ejem plo, y tan s o lo dejar obras de arte perfectas y com pletas, a las que nada pudiera ser añadido y a las que nada pudiera ser restado sin desfigurar ct conjunto. La ob ra p o r sí deb e ser com pleta, sen cilla y con vin cen te, sin que pueda encontrarse signo alguno que indique el trabajo que ha cos­ tado logra rla U na catedral, decía, no es una ca te d ra l) insta que ha desaparecido de la vista el últim o andamio. Trabajando con ese ideal, Gauss prefería pulir una obra maestra varias veces, en vez d e publicar los am plios esquem as d e muchas de ellas, c o m o pudo fácilm ente hacer. Su sello, un árbol con p o c o s frutos, lleva el lema A ru ca

sed malura («p o c o s , pero m adu ros»). Y ese fue el lem a de

su v id a científica en lo relativo a publicaciones. C om o verem os, el diario sirvió para dirim ir algunas controversias, especialm ente las tenidas

cotí

Legendre.

La construcción con regla y com pás, que tenía una larga tra­ dición en los trabajos matem áticos, con siste en el trazado d e pun­ tos, segm entos d e recta y ángulos usando exclu sivam en te una regla y un com pás idealizados.

A la regla se le supone longitud

infinita y carencia de m arcas que perm itan m edir o trasladar dis­ tancias. A l com pás se le supone que s e c ie rra ca d a vez que se separa del papel, d e manera que no puede utilizarse directam ente para trasladar distancias, porque «o lv id a » la separación d e sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia- La g eo m e­ tría griega impuso esa norm a para las construcciones y se ha man­ ten ido Invariable desde entonces. Esta restricción d el com pás parece muy incóm oda para los usuarios d e com pases reales, pero no supone un grave inconveniente, porque e l traslado d e distan-

u

PANERO* DESTELLOS Ot

UNPRODIGIO 0* IO S MINEROS

cías se pu ede realizar d e form a Indirecta, aunque con un m ayor número d e pasos, Esu» norma es laqu e exp lica que, p o r ejem plo, la construcción d e l h exágono, que parece trivial ro n regla y com pás — dado que (o d a circu n feren cia contiene un hexágono inscrito con lado igual al radio d e ia circu n fe­ ren cia —, necesite m ayor elabora­ ción de la que en principio pudiera pensarse. Así, usando Jas reglas a rtes citadas, la construcción del hexá­ gono con regla y com pás es la e x ­ presada en la (¡gura

circunferencias anteriores y los punios

O y radio OA. O btenem os los puntos H y Q com o cortes con las H y S com o corte de las

Coálhwiüá 4* « i *í«*É9Q*to tl»OCit> o* «HÍ9UIM Ctuii hi »vdiá ■rtáádo per la

rectas verticales con la circunferencia que acabamos de trazar.

margen de una página de dictia edición fue donde ano­ tó pi celebre teorema que fue conocido como e! «ultimo teorema de Fermat». nombre que no pro correcto por tratarse solo de una conjetura Dicha conje­ tura afirmaba aue no existían números enteros >. y. z tie forma que fuera posJ)le la ecuaclón jr •y ' = / \ can n * 3 Obvumente parj n 1 2 si es posible, pues basta considerar 3J 4 4: - 5J Gauss yjm.4s re dedico al último teorema de Ferm-nt y tenia tus rogones En 1(116. la Academia da Pflhs propuso, como premio oara ei penodo 1816 181B. la prueba (o ta negación) de la conjetura de Fermat El 7 de m a r;o de >816 Olbers. astrónomo amigo de Gauss. tncitó al matemático aieman a presentarse «H e parece luslo, nuendo Gausx que OS ocupéis de ello»; pero Gauss resistió a la tentación Al contestar, dos meses mas tarde, expuso s-j opinión acwCa del último teorema de Fermat. «Os estoy muy obligado por vuestras noticias respecto al prenso en París pero confieso oue el te o rm a de Fermat como proposición aislada lien* muy escaso interés pora mi. pues fútilmente puedo encontrar una multitud Oe proposiciones $errxi¡antes que no os posible pioo.it m desechar * Et famoso enunciado no fue demostrado oor completo hasta 1995 cor tú británico Andre* wues.

HtlHF ROS D ÍS TÍLLO l Ot un mtocauíp PE LOS iiu m n os

podem os seguir sin más que ai unen Lar el tamaño de

n. Esta solu­

ción parcial dista mucho de contestar a la pregunta de form a sa­ tisfactoria Y verem os que es un caso particular del caso general dem ostrado por Gauss. Los griegos encontraron soluciones para el caso del pentá­ gono, pero el problem a general no avanzó mucho, ya que no se encontraba el m étodo para la construcción del p olígon o d e siete lados (n i de otros de los de menos d e vein te). De hecho, ni si­ quiera se sabía sí tales procedim ientos existían. Y así estaba el tem a cuando Gauss se interesó p o r la cuestión y logró construir el heptadecágono. Él m ism o, m uchos años más tarde, recorda­ ría el m om ento, en una carta dirigida a Gerling, fechada el 6 de enero de 1819: Fue el día 29 de mano de 1796. durante una» varartones en Bruns­ wick, y Va casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue bruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado dia, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e in­ mediatamente aplique al heptadecágono la correspondiente conñrmarión numérica Gauss d io una gran im portancia a este logro que. com o di­ jim os, lo convenció de que en las matemáticas estaba su futuro. Adem ás incluyó esto resultado en la sección Vil de las Ihsquis i ritmes ariürmeíicae, de la que hablarem os posteriorm ente. Puede ser que sea esa la razón p o r la que mandó que se grabara un heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encar­ gado del asunto, al ver la dificultad de la construcción y que ape­ nas se distinguiría de un círculo, term inó grabando una estre­ lla de diecisiete picos. En su tumba actual tam poco aparece el heptadecágono. Gauss no solo encontró el mélocto de construcción del hepta­ decágono, sino que trató de responder a la pregunta fundamental de si era postble la construcción de cualquier polígono regular con regla y compás. Dicho problem a está muy relacionado con la divi­ sión de la circunferencia, que preocupó a Gauss en numerosas

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m iiher os

OESrf LLOS OI UN PRODIGIO DE (.OS NUMEROS

ocasiones >■ sobre la que publicaría vanos resultados. Gauss de­

n lados puede consy com pás utilizando los llamados números pri­ mos de Formal ( o también números de Fermat). mostró, en 1801, que un polígono regular de

tniirse con regla

FIERRE DE FER M A T Fémn,it (1601-I&6S) fue un (urina y m jtemál-co francés apodado POr E T Bell «Principe de los alicorados a Vas mate­ máticas» £i sobrenombre se oobe » que nc-pco se dedico en exclusiva a dr­ ena ciencia, que consideraba mas bien un pasatiempo, y sin embargo Fermat fue ninfo con frené Descartes ( 1595 ­ 1650). uno de 'os principales maternaticos de la primero mitad del Siglo W fe*-4*c 2* ‘

con lo que basta que el discriminante, tai y com o lo hemos definido, sea cero para tener una urnca solución doble A y . en el caso del polinomio x* - 4jr * 4 , com o tiene determinante nulo, tenemos una única rail doble (2 ), por lo que aplicando e¡ teorema fundamental del algebra, tenemos x ' - 4* + 4 * (x - 2y

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.w s o u is r r io n e s AfSTWHeTtCAEr

descom posición d e una fra c c ió n en una suma de fracciones con los factores p rim o s d e l den om in ad or de la fracción original como denom inadores d e los sum andos. Esta técnica es de gran utilidad para la in tegración d e fu n cio n es racionales, que son aquellas que se pueden re p resen ta r c o m o e l co cien te de polinomios. También trata de n ú m eros d e c im a le s p erió d ico s y resolución de congruen­ cias por m é to d o s p ro p io s d e Cíauss O u o tema interesante es la búsqueda d e c rite rio s qu e perm itan distinguir los números primos sin cálculos m u y te d io s o s . C o m o verem os, e l estudio de tos núme­ ros prim os fu e una con sta n te en toda su vida y lo estudiaremos de forma separada. La sección \1I e s la p arte m ás popular de las Disquisiliones. Su influencia h is tó ric a fu e en orm e. En esta sección trató de la di­ visión del c irc u lo c o n re g la y com pás, que era un tema clásico en las m atem áticas. O b v ia m e n te es te tem a está relacionado con la con stru cción d e p o líg o n o s re g u la res, así que incluyó su famo­ sa construcción d el p o líg o n o d e 17 lados, encontrando la condi­ ción suficiente para que un p o líg o n o regular pudiese ser construido con regla y com pás. En el m u ndo m a te m á tic o to d o s reconocen que las Disquvn liones arithtnelicae n o s o n un sim p le com pendio de observadones sobre núm eros, s in o qu e suponen el anuncio del nadmiento de la teoría d e nú m eros c o m o disciplina independiente. Su publi­ cación h izo d e la te o ría d e núm eros la reina de las matemáticas, como siem pre le gu stó a Cíauss definirla. A pesar de ello, esta obra no fue m uy b ie n re c ib id a p o r la Academ ia d e Matemáticas de Paria, que la c o n s id e r ó o s c u ra y densa. Una d e las causas de que tas Disguisitiones n o recibieran el aplauso inmediato es que Gauss se m nntuvo volu n tariam en te críptico, eliminando o escon­ diendo las p istas qu e le hablan lleva d o a sus descubrimientos. Desde lu ego esta filo s o fía no ayudó a que los matemáticos com­ prendieran la o b ra d e G auss. T a l es así que la obra ha sido llamada un «lib ro d e s ie te s e llo s » p o r su herm etism o. Su lectura es difícil hasta para los esp ecia lista s, p ero los tesoros que contiene, y en parte oculta en sus co n c is a s d em ostraciones sintéticas, son ahora accesibles a to d o el qu e d e s e e p articipar de ellos, gracias especial­ mente a tos t r a b a o s d e D irichlet, que fue el primero que rompió

•OlSQUtUnONE* AttttHHETvCAE»

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los siete sellos. Se cuenta que Oinchlet utilizaba corno almohada el libro de Gauss, con el fln d e que por la noche algunos de los c o ­ nocim ientos pasaran a su cabeza. Lagrange tam bién alabó e l lib ro sin reservas. En una e:uiu a Gauss del 31 de m ayo d e 1804, te dice: Vuestras DisyuisUtones os han elevado rápidamente a la categoría de los primeros matemáticos. y coieudcro que lu ultima sección con­ dene el más bello descubrimiento analítico que ha sido hecho desde hace largo tiempo

Creo, señor, que nadie aplaude mas sincera­

mente vuestros triunfos que yo Si se recap acita en el h ech o d e que to d o s los resultados expuestos fueron con segu idos p or un Gauss con m enos de treinta años, no hay más rem edio que quedar asom brado. Es muy posible que por el ejem p lo de Gauss, la m edalla Fields. que es el galardón más im portante que pu ede recib ir un m atem ático, so lo se entre­ gue a personajes m enores de cuarenta años. 1.a consecuencia es que. a d iferen cia d e los N ob el, que acostum bran co n ced erse a cien tíficos que se acercan ai fin d e su carrera, las m edallas Pields están re s e ñ adas a jóven es,

PRIMER Y SEGUNDO MATRIMONIOS A finales de 1798. Gauss v o lv ió a Brunswick, donde vivió hasta 1807. Es o b v io que estos años fueron crítico s en su carrera. En un principio Gauss tem ió pender e l fav or d e l tiuque ai term inar sus estudios en la U niversidad d e Gotutga. p e ro en en ero de 1799 Gauss le con tó a W o lfgan g Botyai que el tiuque seguía mante­ niendo su esüjiendio, el cual le perm itía vivir d ed icad o a sus inves­ tigaciones. Es o b vio que en esa ép oca Gauss estaba satisfecho de sus logros m atem áticos y que estalla colm an fío las expectativas que había puestas en él, particularm ente las del tiuque: no solo había com pletado con brillantez sus estudios en la I Universidad de GoUnga, sino que había resuelto el problem a de la construcción

w

•Cttsovminofits A«m*tetfCAt,

JOHANN PETEft GUSTAV LEJEUNE DIPICHLET Dirichlot (1605-1859) fue un matemá­ tico alemán de siglo xi> Se educó en Alemania, y después en Frane»a, don­ de aprendió de muchos de los más renom brados m atem ático s de su nempo. relacionándose con atgunos. como Fooner Tras graduarse, fue pro­ fesor en las universidades de Bresiau (1826-1628). Berlín (1828-1855) y G o tmga en donde ocupó la cátedra de­ jada por Gauss tras su muerte Dedicó muchos de sos trapajos a completar la obra de Gauss, aportando demostra­ ciones completas a sos resultados de forma que Fuesen más accesibles a las generaciones futuras de matemáticos. Sus aportaciones más relevantes se entinaron en el campo de la teoría de mi meros, prestando especial atenoon al estudio de las series, y desarrollo la teoria de las senes de Founer Su primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat. para el caso n -5. que tem­ blón fue completada por Adnen-Marie Legendre. uno de sus revisores, D » richlet completó su propia prueba casi al mismo tiempo; más adelante com­ pletó temblón la p ru eba para n - 14 Aplicó las (unciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las seríes. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función De hecho, se atribuye a Dírichtet el concepto mo­ derno de función en matemáticas

del polígono regular de 17 lado6. Durante este segundo período en Brunswick se puede observar una enorm e expansión de los inte­ reses científicos de Gauss; p o r prim era vez se dedicó sistemática­ mente a cuestiones de m atem áticas aplicadas específicamente a la astronomía teó rica y práctica. Su vida personal tam bién cam bió en esta época, puesto que al final del período c o r t e ó a Johanna Oshoflf, con la que se casó

•OiEQUi$n IONES AH MMETICAE»

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LOS NOBEL DE LA M ATEM ATICA La medalla Fields es la mayor distinción que puede recibir un matemático y es concedida por la Unión Matemática in­ ternacional cada cuatro artos Viene a ser un honor que se corresponde con e¡ ele recibir un premio Nobel. V es que no existe el premio Nobel d e Matemáticas Alfred Nobel, cuando creó los premios que llevan su nombre, excluyó de forma explícita las matemáticas Es por ello por ■o que. aunque la Fundación Nobel tiene potestad para admitir nuevas ramas de las ciencias en las que premiar a los cien­ tíficos y, por eiemplo, existe un premio Nobel en Economía que se creó en 1969, no puede conceder un premio en Matemáticas Le razón hay que buscarla en la creencia de Alfred Nobel de que las matemáticas no eran una ciencia aplicada y práctica. Existen otras expli­ caciones que hablan de que el hecho deriva dei enfado del creador de los premios con el gremio de los matemáticos por los amores de su esposa con el matemático sueco Gósta Mittag-Leffler (1846-1927), pero nada indica que esta explicación, muy extendida, se ajuste a la verdad, so bre todo porque Nobel nunca estuvo casado. La primera medalla Fields se concedió en 1936, pero ta Segunda Guerra Mundial hizo que no se reanudara su concesión has­ ta 1950 El nombre formal dei premio es Medalla Internacional para Descubri­ mientos Sobresalientes en Matemáticas (aunque es mucho más conocida por el nombre de medalla Fields) El origen de su nombre nay aue buscarlo en el matemático John Charles Fields 0663-1932). que fue el que desarrolló la idea. Soto • los Jóvenes Como características propias de este galardón hay que Citar que únicamente se concede a matemáticos con edades no superiores a los cuarenta artos y su entrega tiene una periodicidad de cuatro El premio en metálico que lo acom­ parta. unos DrS0usm0NES a RITh m FT i c a e *

en 1806. E lla fu e la p rim e ra d e sus dos esposas. Johanna, que era la luía d e un c u rtid o r, te n ía tre s a ñ o s m enos que Gauss y su familia había e s ta d o m u y lig a d a a la d e la m adre d e Gauss, ya que esta había tra b a ja d o p a ra la fa m ilia d e la futura esposa. De pequeño, Gauss h a b ía v is ita d o c o n fre c u e n c ia la casa de los parientes de su nueva e s p o s a y. c u a n d o v o lv ió a Brunswick, retom ó la relación con ellos. A s í e s c o m o c o n o c ió a Johanna. Es d ifíc il s a b e r a lg o d e la v id a privada d e la pareja, pues los únicos d o c u m e n to s q u e la m en cion a n son las cartas que Gauss mandó a

s il s

a m ig o s y ni tan siqu iera h a quedado un retrato suyo.

En cu a lq u ier c a s o , su a p a r ie n c ia era m uy similar a la de la única hija qu e tu v ie ro n a m b o s en com ú n . En 1806, en una carta a Wolfgang B olya i, d e s c r ib ió a su e s p o s a c o m o inteligente y dulce, pero tam bién in e x p e r ta y c o n e s c a s a fo rm a ció n cultural. A fin a les d e 1809, m e n o s d e d o s artos después de haberse mu­ dado a G o tin ga, c o n G a u ss c o m o d ire c to r del observatorio astro­ nómico, J oh a n n a m u r ió a c o n s e c u e n c ia d e su tercer parto, un mes después d e q u e e s t e s e p ro d u jera . El m atrim onio Gauss tenia dos hyos a n te rio re s : J o s e p h y M inna. El ú ltim o h yo de Johanna, el pobre Louis, c o m o a c o s tu m b r a b a llam arlo su padre, siguió a su madre p o c o s m e s e s d e s p u é s , su m ien d o al padre en el desconsuelo y la d ep resión . G a u s s h a b ía s id o bastante feliz en su primer matri­ monio; un a ñ o a n te s d e q u e J oh an n a falleciera, describió su vida fam iliar en una n u e v a c a r ta a su a m ig o Bolyai;

Los días discunen felizmente dentro del curso uniforme de nuestra vida doméstica: cuando a la niña le sale un nuevo diente o el chico aprende nuevas palabras, eso es más importante que el descubri­ miento de una nueva estrella o una nueva verdad matemática Gauss e r a un h o m b r e p o c o p rá c tic o en su vida diaria y el es­ tado de v iu d e d a d le c r e a b a n u m ero so s problemas. Así, pocos meses d e s p u é s d e la m u e rte d e bouis, anunció el compromiso con W ilhebnine (M ín n a ) W a ld e c k , la hija de un profesor de Derecho de la u n iv e rs id a d . L a s e ñ o r ita W a ld e c k había sid o amiga de Jo­ hanna G auss, p e r o n o s e s a b e si esta amistad significaba mucho más qu e la r e la c ió n c o n v e n c io n a l e n tre la h y a d e un profesor y la

•oisouismorcs ar'Tmmeiicaí'

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esposa de un jo ven colega de su padre. Cuando Gauss se le de­ claró, ella acababa do romper otro com prom iso por razones que se desconocen. Gauss y Minna Waldeck se casaron con bastante rapidez, pero su compromiso no se desarrolló sin problemas. La urgencia y el deseo de formar una nueva unión tan pronto como fuera posible, para olvidar la tragedia de la muerte de Johanna y proporcionar a los nidos una nueva madre, parece que tuvieron más peso que el afecto que se tenían los esposos en este segundo matrimonio. El papel de pretendiente impetuoso y anhelante de un nuevo matrimonio disgustó a Gauss, que no se sentía cómodo en esa situación. De hecho, las cartas que se cruzaron los dos prometidos son bastante frías y carentes de emociones. Minna Waldeck era de una extracción social muy diferente a la de Gauss y eso también dificultó el matrimonio, ya que la fami­ lia de la novia no estaba muy contenta de que su lqja, que provenía de un profesor de la universidad, se casase con alguien de familia tan humilde com o la de Gauss. De hecho, en una carta que Gauss dirige a su futura esposa con m otivo de un viaje a Brunswick para conocer a su madre, le advierte del nivel cultural de su familia: Una cosa más, la razón por la que no he escrito a mi madre es que quería darle una sorpresa y también porque mi madre no puede leer algunas cosas de las que le escribo y usted no querrá que ella tenga que mostrarlas a personas alenas. En agosto de 1810, Gauss se convirtió en yerno del presti­ gioso profesor y miembro del Consejo Privado del Estado, Johann Peter Waldeck, y los dos hyos supervivientes del primer matrimo­ nio consiguieron una nueva madre. Gauss lúe padre nuevamente con su nueva esposa, en 1811 y en 1813, artos en que nacieron Eugen y Wühem, respectivamente, y en 1816 su hija Therese, que se haría cargo de su padre hasta su muerte cuando quedó viudo de nuevo. Durante sus primeros años en GGringa, Gauss recibió invita­ ciones para Instalarse en otras universidades, especialmente des­ de Rusia y Berlín. La propuesta rusa fue descartada porque a Gauss no le agradaba e l clima del país. La segunda propuesta puso

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• O S O O is m o M E S *

r i t h m e T ic * £

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a Gauss en co n ta cto p o r prim era vez con Aíexander von Humboldt, uno de los lideres del renacim iento de Prusía después de la caída de Napoleón. Gauss se v io a fecta d o en su vida, com o no podia ser de otra manera, por el p e río d o d e guerras que le tocó vivir. En 1808, el Gobierno francés, tras las derrotas de Prusia en las batallas de Austerliu y Jena a m anos de Napoleón, exigió unas enormes in­ demnizaciones por lo s gastos de guerra, com o era lo normal en las armisticios firm ados durante ese período. Gauss, como miembro de ia universidad, también debía contribuir con 2000 francos, lo que era una cantidad muy considerable para un profesor recién llegado y que todavía no cobraba su sueldo de forma regular. Sin que él lo hubiera solicitado, Laplace, desde París, y Otbers, desde Bremen, le o freciero n su ayuda, pero Gauss no quiso aceptar nin­ gún dinero. Al final, la contribu ción fue pagada anónimamente, aunque años después se supo que el benefactor habla sido el obispo de FYankfurt, lo que da idea de la creciente fama de Gauss. De hecho, Gauss, y a anciano, contaba que Napoleón se había abs­ tenido de bom bardear Gotinga para no poner en peligro su vida, lo que parece a lgo ex a gerad o p o r su parte, Lo que sí es seguro y está documentado es que la matemática francesa Sophie Germain intercedió ante N apoleón para que la vida de Gauss, ai que apre­ ciaba enorm em ente p o r su talento para las matemáticas, hiera respetada. En 1810, s o lo dos añ os después, Gauss ganó una medalla del Instituto de M atem áticas de Francia, pero rechazó el premio en metálico que la acom pañaba, entre otras cosas porque no le agra­ daban los franceses, pues en ese m om ento tenían sometida su tierra y eran ya va rios lo s años que llevaban en guerra. Sin em­ bargo. aceptó e l reloj astronóm ico que había elegido para él So­ phie Germain, m atem ática con la que mantenia una relación epis­ tolar. Con algunas e x cep c io n es dignas de mención, en el siglo jox había pocas m u jeres que se dedicaran a las matemáticas. De hecho, Sophie Germ ain mantuvo correspondencia con Gauss fin­ giendo que era un hom bre para evitar que sus ideas fueran des­ cartadas directam ente. Había descubierto un tipo particular de números primos, ligados al últim o teorem a de Fennat — por esa

■osatíiSíroNÉS arithh eticas*

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época todavía una corjetu ra— , que hoy reciben e l n om bre de núm eros prim os de G erm ain. Causa estaba im presionado por

las cartas que recibía de un tal Monsieur Le Olanc y quedó mara­ villado al enterarse, tras larga correspondencia, d e que el Mon­ sieur era en realidad una Mademoiselle. Gauss no so lo no demos­ tró ningún prejuicio en contra de Las mujeres, sino que lo valoró especialmente y le escribió en una carta: El gusto por los misterios de los números es raro. La fascinación de esta ciencia sublime se revela en toda su belleza solo a aquellos que Penen el valor de desentrañarla Pero cuando una imyer, que a cau­ sa de su sexo es víctima de nuestras costumbres y prejuicios, supe­ ra estos impedimentos y penetra en lo más profundo, es indudable que está dotada de un coraje notabilísimo, de un talento extraordi­ nario y de un genio sui>enor.

Gauss intentó convencer a la Universidad de Cotinga para que concediera a Sophie un doctorado h on oris causa, pero Germain murió antes de que Gauss lo consiguiera. Más significativo de la importancia de Gauss entre sus con­ temporáneos que cualquier distinción o prem io fue la form a en que el Gobierno de Westfalia, en esc m om ento en manos de los ocupantes franceses, se esforzó en cumplir su prom esa d e cons­ truir un nuevo observatorio. S e destinaron ingentes fondos para tal fin y en 1814, cuando el reino de W estfalia d ejó de existir, se habían hecho notables progresos en un tiem po m arcado por las grandes restricciones económicas, pues recordem os que Pmsia había sido derrotada por Francia. Incluso con esas limitaciones, Gauss siempre pudo adquirir el material que consideraba nece­ sario para sus investigaciones. Durante su estancia en la univer­ sidad, Gauss consiguió dotar becas para estudiantes, entre los que se encuentran Chriatian Ludwig Gerhng (1788-1864) y August Mobiusí 1790-1868), creador de la famosa cinta que lle v a su nom­ bre. Eli primero fue un físico de gran valla, y el segundo, un reco­ nocido matemático y astrónomo. Se ha apuntado con frecuencia que Gauss n o estaba intere­ sado en la enseñanza, y que su esfuerzo estaba mucho más orien-

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•Disouistriotes «MTHHeren c o la b o ró en estudios sobre e le c tric id a d y m a g n e tis m o En 1833 in ve n ta ro n u n n u e v o tip o de telé­ grafo, c o n o c id o c o m o g a lv a n ó m e tro reflectante cíe G a u s s -W e b e r Posterior­ m ente lle gó a ser e x p u lsa d o de la U n i­ versidad de G o lm g a por su oposición al poder político. E n 1843 e n tró co m o pro­ fesor en la U n iv e rs id a d d e Le ip zig basta 1849, ano en el q u e v o lv ió a G otinga. y algún tie m p o después fue nom brado di­ rector de» o b s e rv a to rio astronóm ico de esta ciu d a d , c a r g o q u e había o cu pa do Gauss W e b e r tra b a jó para el estableci­ miento de les unidades absolutas de me­ dida de corrie nte s eléctricas y d e d icó los últimos aflos d* su vda af estudie de la ele ctrodiná m ica, sen tando tas bases para el posterior desarrollo de la teoría e le c tro m a g n é tica d e la luz.

¿PORTACIONES a

GEOMETRIA ¥ EH RSCA

M3

Veamos un ejemplo sencillo. Un pan ad ero hornea diaria­ mente un tipo de barras de pan. P o r una parte, quiere satisfacer a su clientela y tener el pan suficiente para que todos sus clientes tengan su pan, pero por otro lado no quiere tener género sobrante que no puede vender al otro día. H aciendo un estu dio de costes y de demanda, podríamos llegar a en contrar la solución que le da mayor ganancia, y es perfectamente asum ióle que la solución será un número natural. Si hace varios tip o s de piezas de pan, por tem plo de centeno, maíz y trigo, la solu ción n o seria un único número, sino un conjunto de tres núm eros que dijese cuántas pie­ zas de cada tipo ha de fabricar. Esa solu ción sería un vector. Pensemos ahora en otro ejem plo d e optim ización. Estamos en la calle y alguien nos pregunta có m o ir a la estación de autobu­ ses de la manera más rápida posible. La respuesta no puede ser un número, ni siquiera una lista de números. La respuesta lógica serla una explicación del camino: por dónde hay que avanzar y cuántos metros, dónde hay que girar y en qué sentido y ese tipo de indica­ ciones. Ese tipo de respuesta se adapta m ejor a describirla mate­ máticamente con una función, que le dé al que la usa un criterio de actuación, dependiendo del sitio en que se encuentra en cada momento de su camino. Estos problem as de optim ización en los que la solución es una función es lo que se co n o ce com o proble­ mas variañónales y son de gran aplicación en física.

En 1829 apareció una publicación co rta d e Gauss acerca de un problema de cálculo variacional so b re m ecánica, en el que introdujo el p rin cip io d e m ín im o lig a d u ra . P o r «ligadura», Gauss entendía las restricciones a las que está som etido el movi­ miento en todo sistema físico. Pu es bien, Gauss postuló que la naturaleza tiende a hacer mínima La ligadura. En palabras del pro­ pio Gauss: Es muy notable que los movimientos Ubres, cuando no pueden coe­ xistir con las condiciones necesarias, resultan ser modificados por la naturaleza exactamente de la misma manera que el matemático, según eJmétodo de ios mínimos cuadrados, reconcilia observaciones ligadas entre si por dependencias necesarias. Podría proseguirse m » allá con esta analogía, pero no pretendo hacerlo ahora.

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MOftUOOftCS ÉN GEOMETRIA v EN TISICA

La idea e s que la naturaleza actúa de la forma más libre de entre las que le perm iten las restricciones impuestas. Como ve­ mos, de nuevo, vu elve a aparecer referencia a uno de sus más fundamentales hallazgos', el principio de mínimos cuadrados. Gauss hizo m u ch o p o r conseguir que las matemáticas pudie­ sen combinarse d e fo rm a natural con la física En su obra Princi­ pia gen erolia th eo ria e Jigu ra e fiuidorum . in síaíu oequüibríi (Los p rin c ip io s gen era les d el esquem a teórico de los fluidos en estado de e q u ilib r io ), d e 1830. introdujo, de nuevo, un problema

vanaclonaJ a so cia d o a la determ inación de la figura de equilibrio de la superficie d e un fluido, teniendo en cuenta ia gravedad y las fuerzas de capilaridad y d e adhesión al recipiente: 1,0 que obtenemos com o resultado de una investigación delicada y difícil es una condición de equilibrio que es accesible al sentido co­ mún, y que muestra el ajuste que ocurre cuando hay vanas fuerzas prevalentes en conflicto. Otra vez la m ism a id ea del principio de mínima ligadura, esta vez aplicado a la m ecá n ica de fluidos. Dentro dei m ism o ord en de ideas, Gauss trabajó enlafocmalización y propiedades m atem áticas de la atracción newtorúana, ori­ ginando la llamada teoría del potencial. Es en ese contexto en el que aparece la fam osa ley d e Gauss: «E l finjo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada arbitraria es proporcional a la masa total contenida en el in te rio r», siendo un campo gravitaiorio el con­ junto de fuerzas que representan la gravedad Este resultado reduce a cálculos elem en tales desarrollos que anteriormente requerían téc­ nicas elaboradas, lo que dem uestra su importancia. Así que a la Llegada de W eber no puede decirse que Gauss fuera ajeno a la física, p e ro este consiguió que se involucrase de forma más d ecid id a en problem as de la física, y esta vez, de ma­ nera más aplicada. Su n ueva visión es tratar de responder a pro­ blemas técn icos y d e ingeniería. En 1832, y en paralelo con su interés por la electricidad, Gauss inició también investigacion es en el campo del magnetismo terres­ tre. Conviene a d v e n ir qu e la visión actual de la electricidad y el

APORTACIONES 0 4 SEOWTHlft V EMFtVCA

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magnetismo como dos aspectos d e un m ism o fenóm eno, hoy di» completamente asumida, distaba en ton ces d e ser una evidencia. La iniciativa de implicar a Gauss en el estu dio del magnetismo conespondió a Alexander von Hum boldt, que bu scó su cooperación para establecer una red d e puntos de o b serva ción d el campo mag­ nético terrestre en todo el mundo. S e trata d el prim er intento en la historia de plantear una observación a escala global, con sus nuevas exigencias; establecimiento de estándares com unes, de técnicas de medición, de requerimientos de precisión y fiabilidad. Los objetives del programa consistían en el estudio d e la distribución de] magne­ tismo terrestre, de sus cambios tem porales en intensidad, declina­ ción e inclinación, y ambiciosamente de la determ inación del ongen del campo magnético terrestre. Ya en 1832 Gauss publicó un trabajo importante sobre la medición absoluta d el ca m p o magnético terres­ tre, titulado Intensilas vis m a gn ética ? te rre s lris ud m ensuran

ALEXANDER VON HUMBOLDT Humboldt C1769-1SS9) fue un geógrafo, nalurateta y eipfcyador alemán, hermano menor del lingüista y ministro de E d u ­ cación Wilhelm von Hum boldt Ha sido denominado el «Padre de la Geografía Moderna universal» Fue un naturalista de una polivalencia extraordinaria, que no voAnó » repetirse tras Su desaparición. Los viajes de exploración le llevaron de Europa a America del Sur. parte del ac­ tual territorio de Heneo, Estados u rudos. Canarias y Asia Ceñirá i. Se especializó en diversas ¿reas de la ciencia, com o etno* guf-a antropología, física, zoología, orniloioga. cimatolugo. oceanografía, astro­ nomía, geografía, geología, mineralogía, botánca. vulcanología y humanismo. C o ­ laboró con Gauss en la elaboración de un Adas de Geomegneftsma

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AOO»?AGONES EN OÉOMCTfflA Y EN fISIC*

obsolutam revócala ( M ed id a cle la intensidad absoluta drí campo magnético te n e s !r e ). Siguen o íros dos trabaos fundamentales en

1839, de los que d esta ca A ilgem ein c Theorie Krdmagmlismus (Teoría general del m a gn etism o terrestre) y un Adas de Ornnagñftisrno. pu blicado en 1840 conjuntamente por Gauss, Weber y

Benjamín G oldsclinúdl, ayudante de Gauss en el observatorio de Go tinga El análisis d e l con ten id o de estas obras es interesante. Gauss definió p o r vez prim era el cam po magnético como vincúlalo a la fuerza causada p o r un imán, pero aún habla de un «fluido mag­ nético* responsable d e dichos fenómenos. A pesar de todo, fue capaz de probar que en la T ierra so lo puede haber dos potos mag­ néticos y e sp ecificó la ubicación del Polo Sur magnético (cercana al Polo Norte g e o g rá fico ). Esta predicción fue confirmada muy pre­ cisamente por la ex p ed ición d el explorador capitán Wilkes en 184L Y, finalmente, in trod u jo una serie de relaciones nuevas entre las componentes h orizon tal y vertical del campo magnético en diferen­ tes puntos (re la c io n es correctas que Humboldt se negó a aceptar durante bastante tiem p o). La colaboración d e H u m boldt y Gauss condujo a vanos resil­ lados notables so b re el m agnetism o terrestre, que eran totalmente desconocidos a n teriorm en te. Por ejemplo, que el campo magné­ tico varia con el tiem p o. Y que ocasionalmente hay variaciones lempo rajes bruscas ( hasta del 10% en términos relativos) que ade­ más ocurren sim ultán eam en te en toda la Tierra (tormentas mag­ néticas). El m ecan ism o últim o tras ambos fenómenos aún no está bien explicado. El trabajo d e 1840 es la culminación de esas inves­ tigaciones. Gauss d isc u tió la determinación absoluta del campo magnético m ediante el m agnetóm etro, un aparato inventado por Gauss y W cb er para d eterm in a r la componente horizontal de la fuerza magnética. P r o b ó que la determinación de la intensidad de la componente h orizon tal d e la fuerza magnética, junto con d án­ gulo de inclinación, d eterm in a completamente el campo magné­ tico, Se trata d e la p rim era m edida absoluta de la fuerza que ejerce el campo m agn ético d e la T ie rra sobre una brújula, fuerza muy débil, cuya m edida requ irió precauciones extremas. El ambiente de experim entación d eb ía estar totalmente libre de perturbacio­ nes magnéticas, lo qu e o b lig ó a construir un laboratorio exento de

aportaciones e* g e o tth a

y en e&ca

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hierro y de cualquier o tro m aterial m a g n é tic o y en el que no debía haber la más mínima corrien te d e aire: s e h iz o d e madera, con clavos de cobre. Gauss tom ó e l m o d e lo d e l o b s e rv a to rio y de los procedimientos previam ente d e s a rro lla d o s p o r H um boldt, redu­ ciendo el tiempo de observación n e c e s a r io e increm entando su exactitud, lo que dio lugar a una p o lé m ic a e n tre am bos, ya que Humboldt no estaba segu ro d e q u e G auss h ubiera tom ado las pre­ cauciones necesarias y dudó d e la v a lid e z d e los resultados. Como otra consecuencia p rá c tic a d e sus investigaciones en electricidad. Gauss y W eb er d e s a rro lla ro n d o s m o d e lo s de telép a to entre 1833 y 1838. Las señ a les s e o b s e rv a b a n en el receptor mediante la desviación de una a gu ja m a g n é tic a (u n a brújula) a derecha o izquierda, según e l v o lta je a p lic a d o en el extrem o emi­ sor. Desarrollaron un c ó d ig o e in stala ron el te lé g ra fo entre el [a boraiono de W eber y el o b s e r v a to r io a s tro n ó m ic o , separados once 1500 metros. El telég ra fo fu n c io n ó (a u n q u e hubo que repa­ rar el hilo, pues se rom p ía fr e c u e n te m e n t e ) hasta que un rayo alcanzó el sistema y lo destru yó. G a u ss p a re c e haber sido con*. Óente de las posibilidades que ab ría n las c o m u n ica cio n es eléctri­ cas. sugirió que en las lineas d e fe r r o c a r r il (e n to n c e s iniciando una rápida expansión) un raíl s e usara c o m o c o n d u c to r pora fa­ cilitar las com unicaciones a larga d ista n cia . £1 in ven to de Gauss y Weber no era el p rim er in te n to d e c o m u n ic a c ió n eléctnca a distancia, ni fue el que s o b re v iv ió , p r iv ile g io q u e correspondió al sistema de Samuel M orse, que lo p a tern o n u e ve a ñ o s después de ser usado por Gauss y W eb er S e s a b e q u e a lgu n o s colegas lo consideraban co m o una a b e rra c ió n fr ív o la y acien tifica. Pero Weber profetizaba en 1835: Cuantió el globo terráqueo esté cu b ierto c o n una red de ferrocarriles y de alambres telegráficos, esta red prestará s e rv ic io s comparables x los del sistema nervioso en el c u erp o humano, en parte como un medio de transporte, en parte co m o un m e d io para la propagación de ideas y sensaciones, con la velocid ad d e la luz.

Tras la marcha definitiva d e W e b e r d e G o tin ga , p o r el famoso asunto de la carta de los siete y su o p o s ic ió n a las decisiones ab-

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U W fA O O M E S EN GCOME1 fllA V E * O S W *

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soiutistas del rey, la produ cción c ie n tífic a d e G auss disminuyó de forma rotunda Trabajó en sus o b s e r v a c io n e s astronóm icas, en dióptrica, en la teoría d el p oten cial y en g e o d e sta , p ero todas son obras menores. l a dióptrica, que estudia la form a, d isp osición , diseño y defec­ tos de tas lentes y sus lim itaciones intrínsecas, es seguramente el campo más especializado de la in vestiga ció n em p ín en que Gauss abordó. Su interés proviene d e las n ecesid a d es y dificultades de la observación astronómica en 1807, R ep sold , un reputado fabrican­ te de instrumentos, le consultó so b re un o b je tiv o d o b le acromático, iniciando asi una larga colaboración. Gauss se Interesó, entre otras cosas, en disminuir la aberración c ro m á tica d e un sistem a de len­ tes. La línea iniciada por esta c o la b o ra c ió n p ro p ic ió , andando el tiempo, el importantísimo desarrollo industrial d e la óptica en Ale­ mania: Reichenbach (1772-1826), F ra u n h offer (1787-1826) y $teu>heil (1801-1870) fueron los an tecesores d e Car! Z eiss (1816-1888) en Jena, quien fundó una fábrica d e len tes c u y o d irector científico fue Emst Cari Abbe (1840-1905), c o n o c id o en óptica por haber es­ tablecido el límite efectivo de a m p lia ció n d e un m icroscopio óp­ tico- Gauss, aun en los tiem pos d e m á x im a restricción económica, tuvo fondos para la com pra d e instrum entos ó p tic o s para su obser­ vatorio. De hecho, sus viajes más im portan tes, aparte de los nece­ sarios para sus estudios geodésicos, los re a lizó para adquirir instru­ mentos ópticos, l a publicación m ás im p orta n te d e Gauss en este campo es Dioptrísche U n tersu ch vn g en ( in ve stig a c io n e s en Diop­ tría), de 1840, en la que estudia la tra y e c to ria d e la luz a través de

un sistema de lentes en la ap ro x im a ció n lla m a d a p o ra x ia i, en la que las lentes se suponen infinitam ente delga d a s y lo s rayos infini­ tamente cercanos al eje óptico. En esta a p ro x im a ció n to d o sistema es equivalente a una sola lente e fe c t iv a E ste tra b a jo trata desde luego de las etapas básicas en el d iseñ o d e s istem a s ópticos, pero su interés actual es conceptualm ente red u cid o , y matemáticamente es bastante elem ental de hecho, Gauss d u d ó e n publicarlo.

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WOOTAClONEi EN GEOMETRIA V EN t ÍS1CA

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CAPÍTULO 6

E l legado del «P rín c ip e de los matemáticos»

La m a rc h a d e su b u en am igo y fuente de inspiración W ilhelm W e b e r h iz o qu e la actividad científica de Gauss en sus ú ltim o s a rio s n o tu viera el brillo de otras etapas vitales. A p e s a r d e e llo , sigu ió activo en la esfera docente, y g o z ó e n v id a d e l recon ocim ien to generalizado d e l m u n d o c ie n tífic o al coiyunto de una o b r a monumental.

La salida do W e b e r d e la universidad marcó el inicio de la última etapa do la v id a d o G auss, una ép o c a caracterizada sobre todo por ia ausencia d e c o le g a s c o n lo s que com partir sus Inquietudes cien­ tíficas. A dem ás d e W e b e r, y p o r el mismo motivo —oponerse al rey— , tuvo ta m b ién q u e partir Ewald, eficaz ayudante de Gauss y marido de su q u e rid a h ija Minna, que lo acompañó en su exilio. Los años p o s te r io r e s a la salida de Weber de Gotrnga fueron especialmente tristes y d o lo r o s o s para Gauss. En 1839 murió su ya anciana m adre, lo q u e supuso un duro golpe para su hijo. que le tenía gran a p re c io y la h abla a co gid o en su casa en sus últimos años. P ocos m eses m ás tarde, en 18-10, con solo treinta y tras años, falleció Minna, su n ie ta m a y o r y su preferida, hqa de Joseph. Su gran amigo O lb ers, c o m p a ñ e ro en tantos estudios astronómicos, también m u rió en 1840. De su fa m ilia in m ed ia ta , s o lo su bija Therese permaneció junto a éL E lla n u n ca s e c a s ó y desde la muerte de su madre se hizo cargo d e to d a s la s cu estio n e s prácticas relativas a) manteni­ miento de la casa. A u n q u e G auss era muy dependiente de ella, no parece que p a d re e h y a tu viesen mucho en común, excepto un fuerte vín cu lo d e m u tu o a p recio, debido a la gratitud en el caso de! padre y a la a d m ira c ió n p o r parte de la hija. En esta ú ltim a é p o c a e x isten muchos más informes de Gauss sobre sus estu dian tes, lo que dem uestra que durante esos años el

EL LEGADO DEL «PHiM CM DE LOE MATEMATICOS»

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viejo profesor disfrutaba mucho m ás d e la en señ anza en general y de sus ciases en particular que en sus añ os de juventud, en los que demostraba poca pacien cia c o n los a lu m n os p o c o dotados. Gauss fue, sin duda, un buen docen te y un p r o fe s o r competente. Id a de las razones de este cam bio, adem ás d e una m ayor pacien­ cia con los alumnos poco brillantes, es que en co n tró estudiantes mejor preparados y más motivados. La re fo rm a educativa promo­ vida por el ministro 1Jumboldt tu vo sus e fe c to s positivos en la formación de las nuevas gen eracion es d e estudiantes. Entre los últimos alumnos de Gauss p odem os en co n tra r a luminarias tales como Georg Cantor y Richard Dcdekind. Dedekmd tenía muy buen co n c ep to d e Gauss co m o docente, y dejó al respecto un testimonio muy valioso: Per lo general se sen tat» en una actitud cómoda, mbando Inicia aba­ jo, ligeramente encorvado, con tas manos cruzadas sobre su regazo. Hablaba con bastante libertad, muy claramente, simple y llanamente, pero cuando quería hacer hincapié en un nuevo punto de vista [ .| entonces levantaba la cabeza, se volvía haría alguno de los que estaban sentados junto a él, y lo miraba con sus hermosos ojos azules tiene trentes durante el discurso enfático. |... JSi se trataba de una explica­ ción de los principios para el desarrollo d e fórm ulas matemáticas, entonces se levantaba, y en una postura muy erguida, majestuosa, escribía en una pizarra junto a él con su puño y letra peculiamwnif hermosa: él siempre tenia éxito a través de la economía y lo disposi­ ción deliberada en un espacio más bien pequeño. Para los ejemplos numéricos, a los que a su cuidadosa terminación daba especia! valor, llevaba consigo los datos necesarios sobre pequeños trozos de papel

Gauss estaba todavía a ctivo en esa é p o c a en sus observato­ rios magnéticos y astronómicos, en tre o tra s ocupaciones, y reco­ pilaba datos que compartía con o tros cien tíficos. Tam bién se de­ dicaba a problemas teóricos m atem áticos, p ero más elementales que los que le habían ocupado hasta en ton ces. Se ocupaba de al­ gunos problemas combinatorios que le planteaba su am igo Schumacher y algunos de física aplicada y teórica. Tam bién dedicaba tiempo a aprender nuevas lenguas.

a . LEGADO DfL •í'fllw C PÍ O í LOS MATEm Et i COS i

CANTOR V DEDEKIND G e org C a n to r (1 8 4 5 -1 9 1 8 ) Ju liu s W llhelm R ichard D e d e k in d (1831-1916). ám ­ eos alu m nos de G auss. y G o ttio o Prege (1748-1825) fu e ro n los creadores de la teoría d e c o n ju n to s , el área de las m a­ temáticas Que a p o rta los fundam entos sobre tos q u e se so stie n e buena parte del resto d e la discip lin a d e la m atem á­ tica G re c a s a sus a u d a ce s y atrevidas investigaciones. C a n to r 'u e el prim ero en form alizar fa n o c ió n de infinito Des­ cubrió asi q u e los c o n ju n to s infinitos no tienen S ie m p re el m is m o tam año . Por ejemplo, el c o n ju n to d e los núm eros ra­ cionales es n u m e ra b le , es decir, se pue­ de e s ta b le c e r u n a re la c ió n u n o a uno con los n ú m e ro s n a tu ra le s , m ien tras que el de ios irra cionales no lo es C a n ­ tor yiwio a q u e ja d o o o r episodios de d e ­ presión. a trib u id o s e n p a rte a la dureza de las criticas re cib ida s, en especial ¡as

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p r o c e d e n t e s d e u n ilu s t r e c o le g a , le o p o ld K ro n e c k e r (1823-1891), quien llegó a calificarlo de «renegado*-, «c h a r­ latán» e incluso « c o r r u p t o r oe la juven­ tud estu diosa » E n la actualidad, toda lo com u nida d m a te m á tic a re c o n o c e ple­ na m e nte su tra b a jo y a d m ite q u e ha significado u n s a lto c u a lita tiv o im p o r­ tante en el ra cio cin io ló g ic o Por su p a r­ te. R ic h a rd D e d e k m d in flu y ó d e c is i­ vam ente en el c a m p o d e l á lg e b ra y la teoría d e n ú m e ro s a lg e braico s Se dice de él qu e fue el p rim e ro en im partir c la ­ ses universitarias s o b re la teoría de las ecuaciones d e Galo>s. F u e adem ás el prim ero en c o m p r e n d e r el significado fundam ental de las n o c io n e s de grupo, cuerpo ideal en el c a m p o del algebra, la teoría de n ú m e ro s y la g e o m e tría alge­ braica.

Juu* VtiNH*Ifcrum 0 ^ * 4

EL LEGADO OEL •PPÍh OPE OE '.US HATERATICOS»

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En 1849, con m otivo del cincuentenario d e su doctorado, im­ partió su famosa conferencia en la qu e p resen tó su cuarta demos­ tración del teorema fundamental del álgebra, una variación de la presentada en su tesis, In corporan do y a d e m anera abierta tos coeficientes complejos, que no había qu erido presentar en sus pri­ meras demostraciones. Dlrichlet, que lo sustituiría en la universi­ dad, fue un testigo excepcional. Eli recon o cim ien to de Gauss era general en Alemania y en toda Europa. Uno de los trabajos más cu riosos d e Gauss de estos años es­ tuvo dedicado ai fondo de pensiones p a ra las viudas de los profe­ sores universitarios de la U niversidad (le G otinga. Gauss estaba preocupado por com probar si se podría m antener e l nivel de co­ bertura a largo plazo. Para este trabajo usó tablas de mortalidad y otras informaciones obtenidas de com pañ ías d e seguros. Hizo nu­ merosos cálculos, usando tod os los datos reales de que pudo dis­ poner. La conclusión la presentó en 1851, después d e seis años de trabajo, y era bastante sorprendente: e l sistem a era sostenible e incluso se podría aumentar las can tidades pagadas. Una de las razones por las que Gauss se tom ó tanto in terés en este trabqjo es que le permitió aplicar sus con ocim ien tos d e econ om ía práctica A diferencia de Newton en sus últim os años. Gauss jam ás se sintió atraído por los cargos públicos, aunque su agu do interés y sagaci­ dad en todas las cuestiones corresp o n d ien tes a la ciencia de la estadística, seguros y aritm ética p o lítica habrían hecho de él un excelente gestor público. En su lib ro G a u ss z u m Gedáftitntss (M em oria dn G a u s s ), Sartonus von W altershausen (1809-1876),

su amigo personal, expaso que podría h ab er s id o perfectamente el encargado de las finanzas del Estado. D e h ech o, a su muerte disponía de una fortuna más que mediana, q u e era fruto de inver­ siones exitosas en acciones d e com pañías y b on os de estados, no solo alemanes. Y ello a pesar de que tuvo una inversión ruinosa, al invertir en la línea de ferrocarril del n orte de H esse, que fue nacio­ nalizado por el Gobierno, perdiendo e l 90% d e su inversión. En sus últimos años vivió co m o un p erfecto burgués de clase media, lejos de conflictos, pues políticam ente Gauss era un homhre conservador. Profesaba unas creencias religiosas bastante persona­ les. No era ateo, pero p odría ser c o n sid era d o c o m o deísta, acep­

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a LfGAOO P & .PfBVOPE 0£ LOS MATEMATICOS,

tando la existen cia y la naturaleza d e Dios a través de la razón Sus convicciones religiosas eran heterodoxas para la época y era con­ trano a las ideas liberales d e la Iglesia protestante de Alemania. Una parte esencial d e sus c re en cia s era su confianza en la armonía t tntpgridad del gran d ise ñ o d e la crea ción Las cartas más personales de Gauss m uestran q u e c re ía firm em ente en la inmortalidad del alma y en la e x isten cia d e una vida después de la muerte, pero no ciertamente en co n c o rd a n c ia co n los postulados del cristianismo.

«L a v id a e s tá a n te s que yo, como una eterna primavera

con nueva y brillante ropa.» — C a u Finuwica S a g ú .

Le atraía e s p e c ia lm e n te la literatura inglesa. Leía ávidamente las novelas h istó rica s d e su contem poráneo s ir Walter Scott en cuanto aparecían. L a fa c ilid a d co n que dominó tos idiomas du­ rante su ju ven tu d la c o n s e r v ó durante toda su vida Las lenguas eran para él una v e rd a d e ra diversión. Cuando ya era anciano quiso comprobar la fle x ib ilid a d d e su cereb ro aprendiendo un nuevo idioma. C reía qu e e s te e je r c ic io le ayudaría a mantener joven su mente, y adem ás esta b a em p eñ ad o en leer los trabajos de Lobachevskí a m es d e q u e s e tradujeran. En efecto, con sesenta y ocho años com enzó a estu d ia r ru so sin ayuda de nadie. A los dos años leía las obras rusas en p r o s a y en v erso con facilidad, y escribía en ruso sus cartas a lo s a m ig o s cien tíficas de San Petersburgo. En opinión de los rusos q u e le visitaron en Gotinga, hablaba su idioma perfectamente. G au ss situ aba la literatura rusa al nivel de la in­ glesa por e l p la c e r qu e le p ro p o rc io n a b a Al final d e su vida, n o fu e un científico encerrado en su propio mundo. A G auss le in teresa b a la política mundial, a la que dedi­ caba una hora al día; v is ita b a las bibliotecas con regularidad y se mantenía al c o r r ie n te d e lo s acontecim ientos leyendo todos los diarios recibidos, d e s d e e l T im e s d e Londres a las revistas locales de Gotinga. En p olítica e r a cla ra m en te conservador, pero no en el sentido de «rea ccio n a rio ». N o se o p o n ía a las reform as por principio, atm-

E1 LEGADO M I .PRiWC:E€ OE LOS MATEMATICOS»

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que exigía de ellas un sustento ló g ic o m u y estricto. Sus amigos progresistas atribuían el conservadu rism o d e G auss al aislamiento a que le obligaba su obra. Puede que en p a rte s e a verdad. En los últimos veintisiete aóos de su vid a s o lo d u rm ió una v e z fuera de su observatorio, cuando asistió a una reun ión cien tífica en Berlín para satisfacer a Alexander von H u m boldL

«Nada me dem ostraría de un m odo ta n lis o ry e ro y tan poco equívoco que los atractivos de esta c ie n c ia que ha en riq u ecid o mi vida con tantas alegrías no son u n a q u im e ra , ig u a l que no lo es la predilección con la que usted la h a h o n ra d o .» — G « W , M U f n W T t A S o n ilt GctKAlN OIAS irrrL A A L E RKTA J l VERDADERA lOENTfDAtl.

La época en que se desarrolló su vid a era turbulenta, con güe­ ñas y revoluciones, tanto en su p a ís c o m o en el extranjero. £1 gobierno del populacho y los a ctos d e vio le n c ia p olítica producían en Gauss un indescriptible horror. I^a re vu elta d e París en 1848, que llevó al poder a la Comuna, lo lle n ó d e pesadum bre. En general detestaba a los d em a g o g o s qu e arrastraban a las masas Al haber n acido en una fa m ilia p o b re, Gauss sabia muy bien que las personas ignorantes eran m uy fá ciles d e manipular. Ya anciano creía que la paz y el sim p le b ien esta r constituían lo único bueno para cualquier país. S i la gu erra c iv il hubiera esta­ llado en Alemania, decía, pronto habría m uerto. Las conquistas en la forma napoleónica le parecían una in c o m p re n sib le locura y siempre guardó u r cierto d esap ego p o r to d o lo francés, denvado del efecto devastador de las guerras napoleón icas. Gauss era un anciano vigoroso que d efen d ía con ardor sus opi­ niones. l.'na de las causas de su v ig o r se en cu en tra en su serenidad científica ye n la ausencia de am bicion es personales. T o d a su am­ bición era el progreso de la m a tem ática Si G auss e ra algo frío en sus expresiones impresas, era suficientem ente cordial en su corres­ pondencia personal y en sus relacion es científicas. C o m o ya sabe­ mos, mantuvo una relación cien tífica con S op h ie Gerniain, a la que admiraba por su sagacidad m atem ática La apertu ra de mente res­

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a LEuASO M I «OBIWClP* DE VOS MATEMATICOS-

pecio aJ tem a de )a d ed ica ció n d e las mujeres a la ciencia es muy notable para cu alquier h om bre d e su generación y educación. Se sabe p o c o d e lo s últim os años de su vida, en los que de­ dicó parte d e su tie m p o a leer, y n o so lo literatura científica y periódicos, c o m o y a h em o s señalado. En junio de 1854. Gauss se hizo un ch equ eo m ó d ic o co m p le to . El diagnóstico fue poco favo­ rable, pues le e n co n tra ro n una dilatación d d corazón, con pocas esperanzas de vida. Su ú ltim o a cto académ ico, en junio de 1854, fue ejercer c o m o p re s id e n te d e l tribuna) en la prueba para ia ha­ bilitación d e R icm an n c o m o p r o fe s o r de matemáticas. A petición del presidente d el tribunal, Ricm ann leyó su famosa exposición Sobre tas h ip ó te s is e n q u e se fu n d a m en ta la geometría, que sin

duda ím pactó al a n c ia n o G auss p o r lo que suponía de reconoci­ miento de las g e o m e tría s n o eucb'deas en las que había sido pio­ nero. A prin cip ios d e a g o s to su salud vo lvió a deteriorarse otra vez. En d iciem b re p a re c ía q u e su última hora había llegado. De cualquier manera, el c o ra z ó n d e] anciano Gauss, aquejado de hi­ dropesía estaba d a n d o sus ú ltim os latidos. Y dejó de latir de for­ ma irremediable en la m adru gada del 23 de febrero de 1855, mien­ tras dormía p lá cid a m en te. T en ía 77 años. 10 meses y 22 días y dejaba tras d e sí la o b r a m a tem ática más grandiosa de la historia. No en vano el m is m ís im o re y J o rg e V de Hannover acuñó una moneda en su h o n o r en la cual le o to rg ó el calificativo de Malhematteorum P r in c e p s , «P r ín c ip e d e los matemáticos».

Gauss fue un m a tem á tico m uy reconocido en su tiempo. Gozó de una gran p o p u la rid a d d e s d e m uy jo ven , y alcanzó fama a nivel internacional antes d e cu m p lir lew veinticinco años por su descu­ brimiento d el m é to d o d e m ín im os cuadrados y su aplicación al cálculo de la ó rb ita d e O r e s . A pesar de ello, y como dejó recogido Sariorius en su m em oria: Gauss fue sencillo y sin afectación desde su juventud hasta el día de su muerte. Un pequeño estudio, una mesita de trabajo con un tapete verde, un pupitre pintado de blanco, un estrecho sofá, y, después de cumplir loa setenta años, un sillón, una lámpara con pantalla, una alcoba fresca, alimentos sencillos, una bata y un gorro de terciopelo eran todas sus necesidades.

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E l LEGADO DEL .PfliNCIPt CE LOS MATEK/UtCOb

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Las generaciones posteriores han sabido re c o n o c e r su gran­ deza, y los honores recibidos desde su m uerte son incontables. En ia actualidad existe un prem io m atem ático que lle v a su nombre, instituido en 3002 de forma conjunta p o r la U nión Matemática In­ ternacional (TMU) y la Deutsche Mathcmatiker-Vereinigung (Socie­ dad Matemática Alemana. DMV). El galardón se otorga cada cuatro artos a quienes hayan hecho «con tribu cion es matemáticas relevan­ tes con aplicaciones significativas fuera d e las m atem áticas». La dotación es de IOOGO euros y, contrariam ente a la medalla Pields, no hay limite de edad Los dos prim eros galardonados fueron Kiyoshí Itn (1915-2006) en 2006, p or sus trabajos en probabilidad y procesos cstocásücos, e Yves M eyer f a 1939) en 2010 por sus es­ tudios sobre ondas oscilatorias. La m edalla que acredita el premio tiene en su anverso una representación d e la órbita de ('eres, y un cuadrado adicional sim boliza el m é to d o d e m ínim os cuadrados usado por Gauss para la determ inación d e dicha ó rb ita Su patria, Alemania, ha rendido h om enaje al gen io de Gauss en diversos sellos postales, y antes d e la llegada de) euro, muchos alemanes estaban familiarizados con c! rostro de Gauss, aunque tal vez no supieran a quién correspondía. E so es asi porque du­ rante varios artos la semblanza am able d el Gauss maduro, tocado con su típico gorro de terciopelo, adornaba el billete de diez mar­ cos, acompasado de una representación de la cam pana que lleva su nombre. Como se decía en la introducción, to d os los matemáticos, sin importar la especialidad, podem os con tar a Gauss entre los nues­ tros. Suyos son resultados fundamentales en prácticam ente todas las ¿reas de la disciplina- álgebra, análisis m atem ático, geometría, estadística, teoría de números, aritm ética, astronom ía y matemá­ tica aplicada Sos aportaciones en cualquiera d e ellas le hubieran garantizado pasar a la posteridad c o m o un gran matemático: el hecho de haberlas protagonizado tod as con stitu ye una hazaña casi sin parangón. Las ideas de Gauss cambiaron las m atem áticas d e su tiempo y su influencia persiste en la actualidad con m ayor fuerza si cabe. Sin los números imaginarios no se podrían re so lv er las ecuacio­ nes que permiten que los cohetes despeguen d e la T ie r r a Sin la

«o

a t f w o o o a . - « u n c io s o s i o s m a t e m á t i c o s »

geometría n o e u c líd e a Einstein n o habría dispuesto de las herra­ mientas necesarias p a ra d esa rro lla r la teoría de la relatividad Sin el método de lo s m ín im o s cuadrados, los problemas de ajuste de Fondones y las es tim a c io n e s a partir de conjuntos de datos serían imposibles. Muchos d e sus resu ltados habrían sid o encontrados eventual­ mente por o tr o s m a tem á tico s, porqu e eran necesarios para el •vanee de la cien cia, p e ro e s segu ro que se habrían retrasado dé­

cadas. Y de lo qu e n o p u ed e ca b er duda es de que esos avances no habrían sido fru to d e un s o lo hom bre. En ocasiones nacen perso­ nas especiales q u e h acen q u e esta lenta acumulación de conoci­ mientos que form a la cultura humana crezca de forma significativa, logrando ellas sotas a va n c e s qu e corresponderían a varías genera­ ciones. Son person a s d o tad as d e un gen io y unas capacidades es­ peciales que en cu en tran las co n d icion es necesarias para desarro­ llar su talento. (Jauss fu e u no de esos p o co s escogidos.

EL C f O * t X ) DCL .PRfNCOT 0£ IO S “IATIXATXG S»

m

Lecturas recomendadas

Brjx, E .T , Los g ra n d es m a tem á tico s. Buenos Aires, Losado, 2010, Boye», C., H isto ria de la m a tem á tica , Madrid, Alianza Editorial,

2007. Km.HA.vN, D., La m e d ic ió n d el m u n d o, Madrid, Maeva Ediciones, 2006. Saitoy, M., La m ú sica d e lo s n ú m ero s p rim o s, Barcelona, Acan­

tilado, 2007. Stctart, L, H is to ria d e la s m a tem á tica s, Madrid, Crítica, 2008. Vola, R.; A r .a nda . A, kt

a l .,

(J n p a seo entre las matemáticas y la

realidad, Sevilla, S ecre ta ria d o d e Publicaciones del Vicerrec-

torado de In vestiga ción d e la Universidad de Sevilla, 2010.

índice

Academiade Ciencias

cotvotura 28,29,41,60,70,71,87,

de París 55,102,1(13, 105,

100,101,104,112,119.120,121 de Goldbach 28, 28

130

de San Pelersburgo 82. 104

primera de los números primos

algebra 22,35,47. 48.50,51.53,52, 97.155.156.160

anáfisis matemático 22, 54, 65. 87, 138.160 «vmctica i, , 5l ^

2 23 35,47 43

119 segunda de los números primos

5

S8.69,86,95,97,98, 106, 156, 160

112,121 coi\j unto denso 51 coprim o 59 criba de Eratóstenes 98 curvatura de Gauss 138,139

«trwuimía 33.54,67, 75. 77, 80, 81,90.92.94,97,103,130,135, 136. H 6 ,160

diario matemático 9,27 discriminante 62

Oisquisiíiones arilkmeticae 28, rte Netvton 22,60

^

1

9

^ 56, &7,64,65, 67. 68, 75

S

° ^

31,36,40,45,66-64,101

20.28, M, 32,3

í » n a >«■ IM

,^ -8 5 .9 2 .9 4 , 104,111.

0|^ 'l3 9 C ^

l üg

ecuaciones 35,49,50,51,53,55, 56.69.83,88,92,119,133,139, 140,155,160 estadística 30,87.88,89,91,156, 160 física 12,13.15,30,87,123,129, 135, 142,144-146,154 form as cuadráticas 62,63

números de Fermai 41,10]

función mtlirtirtíde Euk-r 60 vea 114.116,117,119

s 109,112,114.120 gradea 123.12». 130,132,133, 134,ISO geodésica 140

observatorio astronómico 67. 82,90, 143i de Cotí nga 30,48,82,147 dePalerm o 77 óptica 54,94, 150 órbita 73, 75, 76.77,78, 79, 80,81,

gromlgnrtiRroo 129,146,147

82,83,85,86.92.93,94, 100, ’

geómetra 22,32,36.35,38, 66, 86,

104.111, 159, 160

litó. 123.134-141,156, 169-161 Gynumíium Catharineum 29 helkitropo 132 hipóte» de Riemanr 113, 116, 119,120

ley de rmproodad cuadrática 16, 60,61 deTUws-Bode 75,76,77 logaritmo integral 111,121 togeribnos M, 106,107.109,110,111

pequeóo teorema de Fermat 60 polígono regular 35,37,39,40,41, 4Z 63.65,101 polinomio 11, 48.49.60,55,63, |jg principio de inducción 24.26 de mituma ligadura 144,146 problema» de regí» y compás 36,37,38. 39,40.41.42,43.63,97.101 bisectriz 39 cuadrado 42, 49, ,60,84 135,

loo medalla flelás 64,66,119,160 tnetodn de mínimos cujutrados 36, SI, 82,64,86,88,89,90,93,94, 110,11L, 132,169.160 multiplicidades 59,60

emu Intliira del circulo 43 duplicación del cubo 43 eneágono 4 2 hepttdrcáguno 36,40,56 h e p tá g o n o

42

hexágono 39,-12 número combinatorio 22 complico 61,114,118 totoral 22,107 Irracional 107

»c

octógono 42 pentágono 40, 42 triángulo 26,27,39.42, SO. 133,135 trisección del ángulo 43 del milenio 118

natural 22.24,28,39,42.87, 101,107.143 primo 49,59-61,63,69-71.

progresión aritmética 23

97-121 imana] 49,51

recu de regresión 88,89 residuo cuadráltco 60

real 51.S2.U5.139

residuos 60,34

triangular 26, 27

resolución por radicales 56

WCÍ

sumu d e s e n e s 22, 66

telégrafo 143, 146.140 teorema 27-2», 36, 36,41,42, 48. ÉO, 61. 53-66, 60-63.66, 70. 90, 102.103.112.121.136.138.156 de Gau»-Maritov 11,90 de los números prunos 112, 121 Egreglum 16.138. 139 fundamento] de las congruencias

80 fundamental d d álgebra 16.48,

50.51.62.156 teoría

dr Calóla 56, 56 de la relatividad 81. 141, 161 de números 12,41.45,47.56, 60, 63, 66, 71, 87. 97, 106, 106.110, 120.121,156, 160

T h foria m otiu corporum cocícsfium la rerticmiim* conúTis sulrm a m h ic n tix m 86, 94

triangulación 12», 131.133 trigonometría 131,133 últim o teorema de Femtat 41,70, 103

t adversidad de Berlín 113 de Gotinga 32,33,66,56.64,68, 70.82,113.125. 143,156 deHelmstedt 15.34,47 de Kasún 22

MHO

16?