Topologia das Variedades [1 (draft) ed.] 9788583371472

Table of contents :
1 Variedades Diferenciáveis
1.1 Estrutura de variedade .
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1.2 Aplicações diferenciáveis
entre variedades
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1.3 Grupos de Lie . . . . . .
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1.4 O Lema de Sard . . . .
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5
5
7
19
23
2 Partição da unidade e aplicações
31
2.1 Partição da unidade . . . . . . . . .
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31
2.2 Campos de vetores em variedades . .
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35
2.3 Métricas Riemannianas . . . . . . .
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43
2.4 Densidade das funções de classe C ∞
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49
3 Aplicação Exponencial
54
3.1 A equação das geodésicas .
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54
3.2 Vizinhança tubular . . . . .
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61
3.3 Vizinhanças geodesicamente
convexas
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64
3.4 O fluxo geodésico . . . . . .
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69
4 Variedades com bordo
73
4.1 Colagem de variedades com bordo . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Soma conexa de variedades . . . . . . . . . . . 82
5 Cálculo em Variedades
86
5.1 O Teorema de Stokes . . .
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86
5.1.1 Álgebra exterior .
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86
5.1.2 Formas diferenciais
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88
5.1.3 Derivada exterior e
o
Teorema de
Stokes
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91
CONTEÚDO
5.2
Cohomologia de de Rham . . . . . .
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94
5.3
Campos de vetores como derivações .
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99
5.4
A derivada de Lie . . . . . . . . . . .
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107
5.5
Teorema de Frobenius . . . . . . . .
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113
5.6
Elementos de teoria de Hodge . . . .
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116
5.7
Estruturas simpléticas . . . . . . . .
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118
6 Espaços de recobrimento e Grupo fundamental
123
6.1 Espaços de recobrimento . . . . . . . . . . . . . .
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123
6.2 O grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . .
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130
6.3 Recobrimentos das variedades de dimensão 2 . .
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142
6.3.1 Geometria hiperbólica . . . . . . . . . . .
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143
6.3.2 Consequências do teorema . . . . . . . . .
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151
7 Fibrados
160
7.1 Fibrados com grupo estrutural . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 O Fibrado de jatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 Transversalidade
187
8.1 A topologia de Whitney em C r (M, N ) . . . . . . . . . 187
8.2 Teoremas de transversalidade . . . . . . . . . . . . . . 205
9 Grau Topológico
220
9.1 O conceito de grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2 Índice de singularidade de campos de vetores . . . . . 229
9.3 Número de interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10 Cohomologia de De Rham
247
10.1 O complexo de De Rham . . . . . . . . . . . . . . .
.
247
10.2 A sequência de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . .
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250
10.3 Dualidade de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . .
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260
10.4 Isomorfismo de Thom e a classe de Euler . . . . . . .
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265
10.5 Uma fórmula de Künneth e o Teorema de Lefschetz .
.
282
10.6 Cohomologia dos grupos de Lie compactos. . . . . .
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289
10.7 Correntes de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . .
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297
CONTEÚDO
11 Teoria de Morse
300
11.1 Funções de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
300
11.2 Homologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
307
11.2.1 Homologia relativa . . . . . . . . . . . . . . .
.
315
11.2.2 Subdivisão baricêntrica . . . . . . . . . . . .
.
319
11.2.3 Homologia celular . . . . . . . . . . . . . . .
.
331
11.3 Desigualdades de Morse . . . . . . . . . . . . . . . .
.
345
11.4 Estrutura de CW-complexo e decomposição em asas
.
350
11.5 O teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . .
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360
12 Cohomologias
367
12.1 Cohomologia de Feixes . . . . . . . . . .
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367
12.2 O feixe de orientação de uma variedade
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385
12.3 O anel de cohomologia . . . . . . . . . .
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392
12.4 O produto cap e dualidade de Poincaré .
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405
13 Análise e Geometria em Variedades
409
13.1 Geometria dos Fibrados e o morfismo de Chern-Weil . 409
13.2 O Laplaciano de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
13.3 A equação de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
A Teorema do Coeficiente Universal
B
O Teorema de Seifert- van Kampen
444
454
CO grupo fundamental π1 (X, x0 ) e o grupo de homologia
H1 (X, Z).
461
D Grupos de Homotopia- Teorema de Hurewicz
465
ı̈¿ 1 ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
2ı̈¿ 12 ndice de sı̈¿ 12 mbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

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1

Topologia das Variedades

Welington de Melo

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Conte´ udo

1 Variedades Diferenci´ aveis 1.1 Estrutura de variedade . 1.2 Aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis 1.3 Grupos de Lie . . . . . . 1.4 O Lema de Sard . . . .

. . . . . . . . . . entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Parti¸ c˜ ao da unidade e aplica¸ c˜ oes 2.1 Parti¸c˜ ao da unidade . . . . . . . . . 2.2 Campos de vetores em variedades . . 2.3 M´etricas Riemannianas . . . . . . . 2.4 Densidade das fun¸c˜ oes de classe C ∞ 3 Aplica¸ c˜ ao Exponencial 3.1 A equa¸c˜ ao das geod´esicas . 3.2 Vizinhan¸ca tubular . . . . . 3.3 Vizinhan¸cas geodesicamente 3.4 O fluxo geod´esico . . . . . .

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5 5 7 19 23

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31 31 35 43 49

. . . . . . . . . . . . convexas . . . . . .

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54 54 61 64 69

4 Variedades com bordo 73 4.1 Colagem de variedades com bordo . . . . . . . . . . . 74 4.1.1 Soma conexa de variedades . . . . . . . . . . . 82 5 C´ alculo em Variedades 5.1 O Teorema de Stokes . . . ´ 5.1.1 Algebra exterior . 5.1.2 Formas diferenciais 5.1.3 Derivada exterior e

. . . o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de

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. . . . . . . . . . . . Stokes

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86 86 86 88 91

´ CONTEUDO

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Cohomologia de de Rham . . . . . . Campos de vetores como deriva¸c˜ oes . A derivada de Lie . . . . . . . . . . . Teorema de Frobenius . . . . . . . . Elementos de teoria de Hodge . . . . Estruturas simpl´eticas . . . . . . . .

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94 99 107 113 116 118

6 Espa¸ cos de recobrimento e Grupo fundamental 6.1 Espa¸cos de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . 6.2 O grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Recobrimentos das variedades de dimens˜ao 2 . . 6.3.1 Geometria hiperb´ olica . . . . . . . . . . . 6.3.2 Consequˆencias do teorema . . . . . . . . .

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123 123 130 142 143 151

7 Fibrados 160 7.1 Fibrados com grupo estrutural . . . . . . . . . . . . . 160 7.2 O Fibrado de jatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8 Transversalidade 187 8.1 A topologia de Whitney em C r (M, N ) . . . . . . . . . 187 8.2 Teoremas de transversalidade . . . . . . . . . . . . . . 205 9 Grau Topol´ ogico 220 9.1 O conceito de grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.2 ´Indice de singularidade de campos de vetores . . . . . 229 9.3 N´ umero de interse¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10 Cohomologia de De Rham 10.1 O complexo de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 A sequˆencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . 10.3 Dualidade de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Isomorfismo de Thom e a classe de Euler . . . . . . . 10.5 Uma f´ ormula de K¨ unneth e o Teorema de Lefschetz . 10.6 Cohomologia dos grupos de Lie compactos. . . . . . 10.7 Correntes de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . .

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247 247 250 260 265 282 289 297

´ CONTEUDO

11 Teoria de Morse 11.1 Fun¸c˜ oes de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Homologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Homologia relativa . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Subdivis˜ ao baricˆentrica . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Homologia celular . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Desigualdades de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Estrutura de CW-complexo e decomposi¸c˜ ao em asas 11.5 O teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . .

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300 300 307 315 319 331 345 350 360

12 Cohomologias 12.1 Cohomologia de Feixes . . . . . . . . . . 12.2 O feixe de orienta¸c˜ ao de uma variedade 12.3 O anel de cohomologia . . . . . . . . . . 12.4 O produto cap e dualidade de Poincar´e .

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367 367 385 392 405

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13 An´ alise e Geometria em Variedades 409 13.1 Geometria dos Fibrados e o morfismo de Chern-Weil . 409 13.2 O Laplaciano de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 13.3 A equa¸c˜ ao de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 A Teorema do Coeficiente Universal

444

B

454

O Teorema de Seifert- van Kampen

C O grupo fundamental π1 (X, x0 ) e o grupo de homologia H1 (X, Z). 461 D Grupos de Homotopia- Teorema de Hurewicz 465 ¨ı¿ 21 ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 ¨ı¿ 12 ndice de s¨ı¿ 12 mbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

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1

´ CONTEUDO

´ PREFACIO A no¸c˜ ao abstrata de variedades j´ a aparecia na teoria de fun¸c˜ oes anal´ıticas de uma vari´ avel complexa. Uma s´erie de potˆencias convergente define uma fun¸c˜ ao holomorfa em seu disco de convergˆencia que pode ser estendida usando o princ´ıpio da continua¸c˜ ao anal´ıtica que produz fun¸c˜ oes multivaluadas que podem ser vistas como fun¸c˜ oes em uma superf´ıcie de Riemann. No final do s´eculo 19 Poincar´e, em uma s´erie de artigos introduziu o que chamamos topologia das variedades que denominou Analysis Situs. Para ˆele uma variedade era um subconjunto de um espa¸co euclideano definido por uma fam´ılia de equa¸c˜ oes, isto ´e, subvariedades do espa¸co euclideano. Conjeturou que toda variedade C r , com r ≥ 1 era triangulariz´ avel (demonstrada em 1930 por S. Cairns) e definiu os grupos de homologia de uma variedade com respeito ` a uma triangulariza¸c˜ ao e tamb´em conjeturou que esses grupos eram independentes da triangulariza¸c˜ ao e de fato invariantes por homeomorfismos. Essa u ´ltima conjectura s´ o foi mostrada anos mais tarde por Alexander usando as ideias de Brouwer de aproxima¸c˜ ao simplicial Nesta ´epoca Poincar´e tamb´em introduziu a no¸c˜ ao de grupo fundamental. Os primeiros 30 anos do s´eculo 20 foram dominados pelo desenvolvimento de m´etodos combinat´ orios e alg´ebricos na topologia. A no¸c˜ ao abstrata de variedades diferenci´ aveis, que j´ a tinha sido antecipada por H.Weyl em 2012 no seu tratado sobre superf´ıcie de Riemann, s´ o foi desenvolvido por H. Whitney por volta de 1936 que provou que uma variedade diferenci´ avel abstrata ´e de fato difeomorfa a uma subvariedade de um espa¸co euclideano. Nascia a´ı a topologia diferencial que teve um desenvolvimento intenso com a prova do teorema de MorseSard em 1942 e os trabalhos de R. Thom, J. Milnor, S. Smale entre outros. Tamb´em nos anos 30 Lefschets introuduziu a homologia relativa e a no¸c˜ ao de homologia foi estendida para espa¸cos mais gerais, n˜ ao necessariamente triangulariz´ aveis. Surgiram ent˜ ao a homologia singular, introduzida por S. Eilenberg, a homologia de Vietoris, Alexan˘ droff, Lefschets, e Cech. Em 1935 a cohomologia foi introduzida por Alexander e Kolmogorov com sua estrutura de anel que tamb´em ´e preservada por homeomorfismos. A no¸c˜ ao de dualidade j´ a estudada por Poincar´e foi generalizada usando o produto ”cup”da cohomolo-

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2

´ CONTEUDO

gia e o produto ”cap”relacionando homologia e cohomologia. Nessa ´epoca surgiu tamb´em a cohomologia de DeRham e as cohomologias de Alexander-Spanier essa u ´ltima permitindo estabelecer uma dualidade entre a cohomologia de um subconjunto compacto e a de seu complementar em uma variedade compacta (dualidade de Alexander). Em 1946, J. Leray introduziu a cohomologia de feixes que descreve obstru¸c˜ oes para globalizar resultados locais e estende as teorias anteriores permitindo relaciona-las. M´etodos de equa¸c˜ oes a derivadas parciais foram utilizados por Hodge que mostrou a existˆencia de uma u ´nica forma harmˆ onica em cada classe de cohomologia de deRham. Nos anos 80 m´etodos geom´etricos e de equa¸co˜es a derivadas parciais foram introduzidos por Donaldson no estudo da topologia de variedades de dimens˜ ao 4. M´etodos geom´etricos e de equa¸c˜ oes a derivadas parciais foram tamb´em fundamentais no estudo das variedades de dimens˜ao 3 culminando com a demonstra¸c˜ ao de Perelman da conjectura de geometriza¸c˜ ao de Thurston que inclui, como caso particular, a conjectura de Poincar´e: uma variedade compacta de dimens˜ao 3 simplesmente conexa ´e homeomorfa ` a esfera. O material desse livro foi usado v´ arias vezes nos cursos Topologia Diferencial e Topologia das Variedades que ensinei no IMPA. No cap´ıtulo 1 definimos a no¸c˜ ao de variedades diferenci´ aveis e aplica¸c˜ ao diferenci´ avel entre variedade e apresentamos v´ arios exemplos. Na u ´ltima se¸c˜ ao do cap´ıtulo 1 demonstramos o Lema de Sard. No cap´ıtulo 2 provamos a existˆencia de parti¸c˜ ao da unidade subordinada a uma cobertura. Definimos campos de vetores em variedades e provamos o teorema do fluxo tubular. Definimos m´etricas Riemannianas e mostramos a existˆencia de m´etricas completas em qualquer variedade e como consequˆencia que toda variedade ´e um espa¸co de Baire. Mostramos a densidade das fun¸c˜ oes C ∞ no espa¸co das fun¸c˜ oes cont´ınuas em uma variedade munido da topologia C 0 de Whitney. Usando esse resultado e o Lema de Sard demonstrado no cap´ıtulo 1 demonstramos o teorema do ponto fixo de Brouwer. No cap´ıtulo 3 mostramos a existˆencia de geod´esicas de uma m´etrica riemanniana e constru´ımos a aplica¸c˜ ao exponencial. Definimos homotopia e homotopia diferenci´ avel entre aplica¸c˜ oes entre variedades e mostramos, usando a aplica¸c˜ ao exponencial, que duas aplica¸c˜ oes

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´ CONTEUDO

3

em uma vizinhan¸ca suficientemente pequena na topologia C 0 s˜ ao homot´ opicas. Usamos tamb´em a aplica¸c˜ ao exponencial para a constru¸c˜ ao de vizinhan¸cas tubulares de subvariedades. Mostramos tamb´em a existˆencia de vizinhan¸cas geodesicamente convexas que ser˜ ao frequentemente usadas em cap´ıtulos posteriores. Conclu´ımos o cap´ıtulo com um exemplo do fluxo geod´esico de uma m´etrica riemanniana completa. No cap´ıtulo 4 obtemos novas variedades colando variedades com bordo por difeomorfismos entre os bordos. Mostramos que difeomorfismos isot´ opicos fornecem variedades difeomorfas. No cap´ıtulo 5 desenvolvemos o c´ alculo tensorial em variedades e provamos o teorema de Stokes e introduzimos a cohomologia de DeRham. Provamos o teorema de Frobenius, introduzimos a teoria de Hodge e provamos o teorema de Darboux. O cap´ıtulo 5 ´e dedicado aos espa¸cos de recobrimentos e sua rela¸c˜ ao com o grupo fundamental. Introduzimos a geometria hiperb´ olica e constru´ımos os recobrimentos das variedades de dimens˜ao dois. No cap´ıtulo 7 discutimos a no¸c˜ ao de fibrados, fibrados com grupos estruturais e fibrados principais. Apresentamos v´ arios exemplos e demonstramos o teorema de levantamento de homotopia. Na u ´ltima se¸c˜ ao constru´ımos os fibrados de jatos. No cap´ıtulo 8 definimos a topologia de Whitney no espa¸co das transforma¸c˜ oes de classe C r entre variedades e mostramos o teorema de transversalidade, bem como o teorema de transversalidade de multi-jatos. O cap´ıtulo 9 ´e dedicado ao estudo do gr´ au de Brouwer e suas aplica¸c˜ oes. Mostramos a invariˆ ancia do grau por homotopia e demonstramos o teorema de Hopf sobre a classifica¸c˜ ao das classes de homotopias de aplica¸c˜ oes de uma variedade compacta de dimens˜ao n sobre a esfera S n . Definimos o n´ umero de interse¸c˜ ao entre subvariedades de dimens˜ ao complementares e muitas de suas aplica¸c˜ oes. No cap´ıtulo 10 come¸camos a introduzir ferramentas alg´ebricas que muito impulsionaram o poder da topologia. Oscilamos muito entre duas possibilidades. A primeira seria via teoria de Morser, com a obvia conex˜ ´ ao com transversalidade, a introdu¸c˜ ao de homologia para descrever algebricamente a decomposi¸c˜ ao celular de uma fun¸c˜ ao de Morse. A segunda seria a cohomologia de DeRham que permitiam uma introdu¸c˜ ao mais suave de ferramentas alg´ebricas num contexto

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4

´ CONTEUDO

ainda geom´etrico. Finalmente optamos pela segunda possibilidade e o cap´ıtulo 9 ´e dedicado ` a cohomologia de DeRham. Constru´ımos a sequˆencia exata de Meyer-Vietoris, mostramos o teorema da dualidade de Poincar´e o do isomorfismo de Thom. O cap´ıtulo 11 ´e dedicado ` a teor´ıa de Morse e introdu¸c˜ ao da homologia singular. Mostramos as desigualdades de Morse e o teorema de DeRham. Durante a prepara¸c˜ ao desse livro contamos com o apoio financeiro do CNPq, bolsa de produtividade e da Faperj, Cientistas do Nosso Estado. Agradecemos a colabora¸c˜ ao de Gilza de Melo e Rog´erio Trindade que digitaram parte do manuscrito. Agradecemos a partipa¸c˜ ao dos alunos dos v´ arios cursos que ensinei especialmente Franco Eloy Vargas Pallete e Ricardo Paleari da Silva. Franco fez v´ arias corre¸c˜ oes importantes. Ricardo fez uma revis˜ ao cuidadosa de todo o livro. Rio de Janeiro, 5 de janeiro de 2014 Welington de Melo

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Cap´ıtulo 1

Variedades Diferenci´ aveis

A no¸c˜ ao de variedades como um espa¸co que localmente ´e equivalente a um aberto de um espa¸co vetorial e onde podemos estender as no¸c˜ oes do c´ alculo diferenci´ avel j´ a aparecia nos trabalhos de Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann. A defini¸c˜ ao moderna que utilizaremos ´e devida a Hassler Whitney [Wh].

1.1

Estrutura de variedade

Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma variedade topol´ ogica de dimens˜ao m ´e um espa¸co topol´ ogico M com as seguintes propriedades: 1. M ´e Hausdorff : dados dois pontos distintos p e q em M , ent˜ ao existem abertos disjuntos U , V tais que p ∈ U e q ∈ V ; 2. M tem base enumer´ avel de abertos : existe uma cole¸c˜ ao enumer´ avel de abertos de M tal que todo aberto ´e a uni˜ ao de abertos dessa cole¸c˜ ao; 3. M ´e localmente Euclidiano: para qualquer p ∈ M , existem ˜ ⊂ Rm e um homeomorfismo abertos U ⊂ M contendo p, U ˜. ϕ:U →U

˜i }i∈I Defini¸ c˜ ao 1.2. Um atlas em M ´e uma cole¸c˜ ao {ϕi : Ui → U de homeomorfismos, chamados cartas locais de M , onde Ui ⊂ M ´e ˜i ⊂ Rm aberto e ∪i∈I Ui = M . Os homeomorfismos aberto, U ˜ ˜ ϕj ◦ ϕ−1 i : ϕi (Ui ∩ Uj ) ⊂ Ui → φj (Ui ∩ Uj ) ⊂ Uj 5

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6

´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

s˜ ao chamados mudan¸cas de coordenadas . Um atlas ´e de classe C r , ao de 0 6 r 6 ∞, se todas as mudan¸cas de coordenadas do atlas s˜ classe C r . Na cole¸c˜ ao de todos os atlas de classe C r em M temos uma rela¸c˜ ao de ordem parcial dado pela inclus˜ ao: A ⊂ B se toda carta local do atlas A for tamb´em uma carta local de B . Um atlas A ´e maximal se para todo atlas B de classe C r com A ⊂ B vale B = A. Pelo lema de Zorn , todo atlas A de classe C r est´ a contido em um u ´nico atlas maximal. Uma estrutura de variedade C r em M ´e um atlas maximal de classe C r em M . Logo qualquer atlas C r em M define uma estrutura de variedade C r em M , pois est´ a contido em um u ´nico atlas maximal de classe C r . Se as cartas locais de um atlas tomam valores em abertos de Cm e as mudan¸cas de coordenadas s˜ ao fun¸c˜ oes holomorfas, dizemos que M ´e uma variedade complexa de dimens˜ ao complexa m (e portanto dimens˜ao real 2m). Exemplo 1.1. Sejam U ⊂ Rn um aberto e F : U → Rp uma aplica¸c˜ ao de classe C r , r > 1. Seja y ∈ Rp um valor regular de F , isto ´e, ∀x ∈ U tal que F (x) = y temos que a derivada DF (x) : Rn → Rp ´e sobrejetora. Afirma¸ c˜ ao: ou M = F −1 (y) ´e vazio ou M ´e uma variedade de classe C r e dimens˜ ao n − p. De fato, pela forma local das submers˜ oes, dado q ∈ M , existe um aberto W ⊂ U contendo q e um difeomorfismo ϕ : W → V × Z, de classe C r , onde V ⊂ Rn−p ´e um aberto e Z ⊂ Rp ´e uma vizinhan¸ca aberta de y tal que a restri¸c˜ ao de F a W ´e igual ` a composi¸c˜ ao da proje¸c˜ ao (x, z) ∈ Rn−p ×Rp 7→ z ∈ Rp com ϕ. Logo a restri¸c˜ ao de ϕ a ˜ ⊂ Rn−p e as mudan¸cas U = W ∩ M ´e um homeomorfismo de U em U de coordenadas s˜ ao claramente da classe C r . Analogamente, se F : U ⊂ Cn → Ck ´e uma fun¸c˜ ao holomorfa e y ´e valor regular de F , ent˜ ao F −1 (y) ou ´e vazio ou ´e uma variedade complexa de dimens˜ ao complexa n − k.

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˜ ´ [SEC. 1.2: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES

7

Pn+1 Se F : Rn+1 → R ´e dada por F (x) = i=1 x2i e y = 1, ent˜ ao a n esfera S definida por ) ( X n n+1 2 S = x∈R ; xi = 1 i

´e uma variedade de dimens˜ ao n. Um outro caso particular: o espa¸co de configura¸c˜ oes de um s´ olido. Um s´ olido ´e um sistema de N part´ıculas em R3 submetidas ao seguinte v´ınculo: a distˆ ancia entre duas quaisquer das part´ıculas ´e constante. Para caracterizar a posi¸c˜ ao das part´ıculas em um dado instante precisamos de trˆes coordenadas para a posi¸c˜ ao da primeira part´ıcula, portanto um ponto de R3 . Para determinar a posi¸c˜ ao da segunda part´ıcula necessitamos do vetor unit´ ario que aponta da primeira part´ıcula na dire¸c˜ ao da segunda part´ıcula, portanto mais duas coordenadas. Se as part´ıculas estiverem todas alinhadas, o v´ınculo j´ a determina a posi¸c˜ ao de todas as part´ıculas. Caso contr´ ario existe uma terceira part´ıcula que determina um plano com a primeira e a segunda part´ıcula. Basta ent˜ ao conhecer um segundo vetor unit´ ario ortogonal ao primeiro e apontando para o semi-plano que cont´em a terceira part´ıcula. O produto vetorial do primeiro vetor pelo segundo forma um terceiro vetor unit´ ario e portanto uma transforma¸c˜ ao unit´ aria de R3 que leva a base canˆ onica de R3 nessa base ortogonal. Portanto o espa¸co de configura¸c˜ oes do s´ olido ´e R3 × SO(3), uma variedade de dimens˜ ao 6.

1.2

Aplica¸co ˜es diferenci´ aveis entre variedades

˜ ⊂ Rm e ψ : V ⊂ Rn → V˜ ⊂ Rn difeomorfisSejam φ : U ⊂ Rm → U mos classe C r entre abertos euclidianos. Uma aplica¸c˜ ao f : U → V ´e diferenci´ avel em um ponto x0 se, e somente se, ψ ◦ f ◦ φ−1 ´e diferenci´ avel em φ(x0 ) e, se s ≤ r, f ´e de classe C s se, e somente se, ψ ◦ f ◦ φ−1 ´e de classe C s . Como essas duas no¸c˜ oes s˜ ao invariantes por mudan¸cas de coordenadas, elas se estendem naturalmente para variedades. Defini¸ c˜ ao 1.3. Sejam M uma variedade de dimens˜ao m e classe C r e N uma variedade de dimens˜ao n e classe C r . Uma aplica¸c˜ ao

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

f : M → N ´e de classe C s , s 6 r, se para todo p ∈ M existem cartas ˜ ⊂ Rm e ψ : V ⊂ N → V˜ ⊂ Rn tais que locais ϕ : U ⊂ M → U 1. p ∈ U , f (p) ∈ V ; 2. f (U ) ⊂ V ; ˜ ⊂ Rm → V˜ ⊂ Rn ´e de classe C s . 3. ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : U ˜i ⊂ Rm } um atlas C r Observa¸ c˜ ao: Sejam {ϕi : Ui ⊂ M → U k ˜ em M e {fi : Ui → R } uma fam´ılia de fun¸c˜ oes C s , s 6 r. Se ∀i, j, −1 fi |ϕi (Ui ∩Uj ) = fj ◦ (ϕi ◦ ϕj )|ϕj (Ui ∩Uj ) , ent˜ ao existe uma u ´nica fun¸c˜ ao f : M → Rk de classe C s tal que f ◦ ϕ−1 = fi para todo i. i Afirma¸ c˜ ao: Se f : M → N e g : N → P s˜ ao aplica¸c˜ oes de classe C s r entre variedades de classe C , r ≥ s, ent˜ ao g ◦ f ´e de classe C s . De fato, sejam y = f (x) e z = g(y). Como g ´e de classe C s , ˜ ⊂ Rp e φ : V ⊂ N → V˜ ⊂ Rn existem cartas locais ψ : W ⊂ P → W ˜ ´e de com V ∋ y e W ∋ z tais que g(V ) ⊂ W e ψ ◦ g ◦ φ−1 : V˜ → W classe C s . Por outro lado, como f ´e de classe C s , existe carta local ˜ ⊂ Rm com x ∈ U e f (U ) ⊂ V e tal que φ ◦ f ◦ θ−1 ´e θ: U ⊂ M → U s de classe C . Logo ψ ◦ (g ◦ f ) ◦ θ−1 = (ψ ◦ g ◦ φ−1 ) ◦ (φ ◦ f ◦ θ−1 ) ´e de classe C s . Para definir a derivada de uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel vamos associar a cada ponto x ∈ M um espa¸co vetorial T Mx , chamado o espa¸co tangente a M no ponto x, e mostrar que se f : M → N ´e uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel, ent˜ ao existe uma aplica¸c˜ ao linear natural Df (x) : T Mx → T Nf (x) , chamada de derivada de f no ponto x. Os elementos de T Mx s˜ ao os “vetores tangentes” ` as curvas diferenci´ aveis passando pelo ponto x. Dizemos que duas curvas α, β : (−ǫ, +ǫ) → M que passam por x em t = 0 tem o mesmo vetor tangente em x se para alguma carta ˜i em torno de x vale (ϕi ◦ α)′ (0) = (ϕi ◦ β)′ (0). local ϕi : Ui → U Observamos que essa propriedade n˜ ao depende da escolha da carta

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˜ ´ [SEC. 1.2: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES

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˜j ´e outra carta, ent˜ pois se ϕj : Uj → U ao ′ (ϕj ◦ α)′ (0) = D(ϕj ◦ ϕ−1 i )(ϕi (x))(ϕi ◦ α) (0)

e

′ (ϕj ◦ β) (0) = D(ϕj ◦ ϕ−1 i )(ϕi (x))(ϕi ◦ β) (0). ′

Nesse caso, duas tais curvas s˜ ao ditas equivalentes. Esta rela¸c˜ ao ´e de equivalˆencia no conjunto das curvas diferenci´ aveis que passam por x e a classe de equivalˆencia de α, denotada por [α], ´e chamada o vetor tangente a α em x, tamb´em denotado por α′ (0). O espa¸co tangente a M no ponto x, denotado por T Mx , ´e o conjunto de tais vetores tangentes. ˜i com x ∈ Ui , estabelece uma bije¸c˜ Uma carta local ϕi : Ui → U ao entre T Mx e Rm . Essa bije¸c˜ ao associa a cada classe de equivalˆencia [α] o vetor (ϕi ◦α)′ (0) ∈ Rm . Por defini¸c˜ ao de classe de equivalˆencia, o vetor (ϕi ◦α)′ (0) n˜ ao depende da escolha do representante α na classe de equivalˆencia [α]. Para verificar que a aplica¸c˜ ao ´e sobrejetora basta observar que se v ∈ Rm , ent˜ ao α(t) = ϕ−1 e uma curva i (ϕi (x) + tv) ´ diferenci´ avel passando por x e a imagem de [α] ´e v. Denotamos essa ˜j bije¸c˜ ao por Dϕi (x) : T Mx → Rm . Observamos que se ϕj : Uj → U ´e outra carta local com x ∈ Uj , ent˜ ao Dϕj (x) = D(ϕj ◦ ϕ−1 i )(ϕi (x)).Dϕi (x). Logo, definindo a estrutura de espa¸co vetorial em T Mx de modo que Dϕi (x) seja um isomorfismo, conclu´ımos que Dϕj (x) tamb´em ´e um isomorfismo, uma vez que D(ϕj ◦ ϕ−1 e um isomori )(ϕi (x)) ´ fismo. Assim, a estrutura de espa¸co vetorial n˜ ao depende da escolha da carta. Seja agora f : M → N uma aplica¸c˜ ao C s entre duas variedades, com s ≥ 1. Se α : (−ǫ, +ǫ) → M ´e uma curva diferenci´ avel com α(0) = x, ent˜ ao f ◦ α ´e uma curva diferenci´ avel em N , passando por f (x). Definimos ent˜ ao Df (x) :

T Mx [α]

→ 7 →

T Nf (x) [f ◦ α].

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

´ f´ E acil verificar que a defini¸c˜ ao n˜ ao depende da escolha de α na classe ˜ ⊂ Rn e de equivalˆencia e que dadas cartas locais ψ : W ⊂ N → W m ˜ ϕ : U ⊂ M → U ⊂ R , com f (x) ∈ W e x ∈ U , ent˜ ao Df (x) ´e a composi¸c˜ ao das transforma¸c˜ oes lineares Df (x) = (Dψ(f (x)))−1 ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) ◦ Dϕ(x) e, consequentemente, Df (x) ´e uma aplica¸c˜ ao linear. Dizemos que Df (x) ´e a derivada de f no ponto x . Deixamos como exerc´ıcio ao leitor verificar que a regra da cadeia se estende para aplica¸c˜ oes entre variedades: dadas aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis f : M → N , g : N → P de classe C 1 , ent˜ ao D(g ◦ f )(x) = Dg(f (x)) ◦ Df (x). Como a composi¸c˜ ao de aplica¸c˜ oes holomorfas entre abertos de espa¸cos vetoriais complexos ´e tamb´em holomorfa, podemos esten´ der a no¸c˜ ao de aplica¸c˜ ao holomorfas para variedades complexas. E tamb´em f´ acil verificar que o espa¸co tangente em cada ponto de uma variedade complexa tem uma estrutura de espa¸co vetorial sobre C e que a derivada de uma aplica¸c˜ ao holomorfa ´e C-linear. Reciprocamente, se uma aplica¸c˜ ao entre variedades complexas ´e de classe C 1 e sua derivada em cada ponto ´e C-linear, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao ´e holomorfa. Observemos que um subconjunto aberto de uma variedade diferenci´ avel tem tamb´em uma estrutura de variedade diferenci´ avel induzida pelo atlas da variedade e o espa¸co tangente a um ponto do aberto pode ser identificado com o espa¸co tangente ` a variedade, isto ˜ ⊂ Rm ´e, a inclus˜ ao ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C r . Se ϕ : U ⊂ M → U r ´e uma carta do atlas C de M , ent˜ ao ϕ ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C r de U em Rm e sua derivada em cada ponto ´e exatamente a transforma¸c˜ ao linear que consideramos acima. Uma aplica¸c˜ ao f : M → N de classe C s , s ≥ 1, ´e uma imers˜ ao se a derivada Df (x) : T Mx → T Nf (x) ´e injetiva para todo x ∈ M . Dizemos que f ´e uma submers˜ ao se Df (x) ´e sobrejetiva para todo x. Dizemos que f ´e um mergulho se ´e uma imers˜ ao injetiva e um homeomorfismo sobre sua imagem (considerando a imagem com a topologia

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˜ ´ [SEC. 1.2: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES

11

induzida por N ). Finalmente, dizemos que f ´e um difeomorfismo se f tem uma inversa diferenci´ avel, que, pelo teorema da fun¸c˜ ao inversa, ´e tamb´em de classe C s . Seja M uma variedade de dimens˜ao m de classe C r e S um subconjunto de M . Dizemos que S ´e uma subvariedade de classe C s , s ≤ r, de dimens˜ ao k se para todo ponto x ∈ S, existe uma vizinhan¸ca W ⊂ M de x e um difeomorfismo C s , φ : W → U × V ⊂ Rk × Rm−k com U ⊂ Rk , 0 ∈ V ⊂ Rm−k abertos e φ(S ∩ W ) = U × {0}. A restri¸c˜ ao de φ a W ∩ S ´e um homeomorfismo sobre o aberto U e a cole¸c˜ ao desses homeomorfismos ´e um atlas C s para S, de modo que a aplica¸c˜ ao de inclus˜ ao de S em M ´e um mergulho de classe C s . Um subconjunto S ⊂ M ´e uma subvariedade de classe C s e dimens˜ ao k se, e somente se, para todo x ∈ S existe uma vizinhan¸ca W ⊂ M de x e uma submers˜ ao C s de W em um aberto de Rm−k tal que S ∩W seja a imagem inversa de um ponto por essa submers˜ ao. Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C s , ent˜ ao a restri¸c˜ ao de f a S ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C s de S em N e sua derivada em cada ponto ´e a restri¸c˜ ao da derivada de f ao espa¸co tangente a S, que ´e um subespa¸co do espa¸co tangente a M . Por exemplo, a restri¸c˜ ao da proje¸c˜ ao (x1 , . . . xn+1 ) 7→ xn+1 ` a esfera S n ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ e sua derivada se anula em exatamente dois pontos. Tamb´em a aplica¸c˜ ao x 7→ −x se restringe a uma aplica¸c˜ ao a : S n → S n de classe C ∞ , chamada aplica¸c˜ ao ant´ıpoda. Como a ◦ a ´e a identidade, a aplica¸c˜ ao ant´ıpoda ´e um difeomorfismo. Seja f : M → N uma aplica¸c˜ ao de classe C s entre variedades de r classe C . Dizemos que y ∈ N ´e valor regular de f se para todo x ∈ M tal que f (x) = y temos que Df (x) : T Mx → T Nf (x) ´e sobrejetiva. O exemplo 10.1 se generaliza: se y ´e valor regular de f ent˜ ao ou S = f −1 (y) ´e vazio ou cada componente conexa de S ´e uma subvariedade de M de dimens˜ ao igual ` a dimens˜ao de M menos a dimens˜ao de N , isto ´e, de codimens˜ ao igual a dimens˜ao de N . No cap´ıtulo 7 mostraremos que um atlas maximal de classe C r , r ≥ 1, em uma variedade M cont´em um subatlas de classe C ∞ que

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

define uma estrutura de classe C ∞ no mesmo espa¸co topol´ ogico e, portanto, a aplica¸c˜ ao identidade ´e um difeomorfismo de classe C r entre as duas estruturas. Em outras palavras, toda variedade de classe C r , com r ≥ 1, ´e C r difeomorfa a uma variedade de classe C ∞ . Portanto muitos dos resultados que enunciaremos para variedades de classe C ∞ s˜ ao tamb´em v´ alidos para variedades de classe C r . Um fato conhecido, que no entanto n˜ ao demonstraremos nessas notas, ´e que toda variedade topol´ ogica de dimens˜ao d ≤ 3 ´e homeomorfa a uma variedade C ∞ e que, se d ≥ 4, existem variedades topol´ ogicas de dimens˜ ao d que n˜ ao tem estrutura diferenci´ avel ( veja Kirby, R.C. e Siebermann, L. C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothing and Triagulations, Princeton University Press, 1977). As restri¸c˜ oes para a existˆencia de uma estrutura complexa s˜ ao ainda mais fortes. Em primeiro lugar, a variedade tem que ter dimens˜ ao real par. Como o jacobiano de um isomorfismo C-linear ´e sempre positivo, a variedade tem que ser orient´ avel, como veremos mais tarde. Como veremos na se¸c˜ ao 3 do cap´ıtulo 6, toda variedade orient´ avel de dimens˜ ao real dois possui uma estrutura complexa. No entanto, em dimens˜ oes maiores existem outras obstru¸c˜ oes tanto de natureza topol´ ogica quanto anal´ıtica. Em particular sabe-se que as esferas S 2n n˜ ao tem estrutura complexa se n ´e diferente de 1 e 3 e a existˆencia de estrutura complexa em S 6 ´e ainda um problema aberto. Exemplo 1.2. Produto cartesiano de variedades ˜ ⊂ Rm } um atlas Sejam M, N variedades C r , {ϕi : Ui ⊂ M → U C r em M e {ψj : Vj ⊂ N → V˜j ⊂ Rn } um atlas C r en N . Ent˜ ao ˜i × V˜j ⊂ Rm × Rn }, em a fam´ılia de fun¸c˜ oes {ϕi × ψj : Ui × Vj → U que, para cada i, j, ϕi × ψj (x, y) = (ϕi (x), ψj (y)) ´e um atlas C r em M × N , que ´e portanto uma variedade C r de dimens˜ao m + n. As proje¸c˜ oes M × N → M e M × N → N s˜ ao submers˜ oes de classe C r . Exerc´ıcio. Sejam M, N variedades de classe C r e f : M → N uma aplica¸c˜ ao o de classe C r . Mostre que a aplica¸c˜ ao F : M → M × N definida por F (x) = (x, f (x)) ´e um mergulho de classe C ∞ . Exemplo 1.3. O fibrado tangente T M

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˜ ´ [SEC. 1.2: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES

Defini¸ c˜ ao 1.4. Seja M uma variedade diferenci´ avel. Definimos o fibrado tangente de M como o conjunto T M = {(x, v); x ∈ M, v ∈ T Mx }. Seja π = T M → M a proje¸c˜ ao (x, v) 7→ x. Vamos definir uma topologia e uma estrutura de variedade em T M tal que π seja uma submers˜ ao C ∞ se M ´e de classe C ∞ (e classe C k−1 se M ´e C k ). Para ˜i ⊂ Rm , i ∈ I} em tanto, consideremos um atlas {ϕi : Ui ⊂ M → U M e definimos Φi : π −1 (Ui ) ⊂ T M → Ui × Rm por Φi (x, v) = (x, Dϕi (x).v). ´ claro que Φi ´e uma bije¸c˜ E ao e m m Φj ◦ Φ−1 i : (Ui ∩ Uj ) × R → (Ui ∩ Uj ) × R

(x, w) 7→ x, D(ϕj ◦ ϕ−1 i )(ϕi (x)) · w ´e um difeomorfismo.




Colocamos a topologia em T M declarando que W ⊂ T M ´e aberto ´ claro que se, e somente se, Φi (W ∩ π −1 (Ui )) ´e aberto para todo i. E deste modo as aplica¸c˜ oes Φi s˜ ao homeomorfismos e o conjunto das aplica¸c˜ oes ˜i : Φ

π −1 (Ui ) (x, v)

˜ i × Rm U (ϕi (x), Dϕi (x).v)

−→ 7−→

´e um atlas C k em T M . A proje¸c˜ ao π ´e claramente uma submers˜ ao C ∞ e o diagrama abaixo ´e comutativo: ˜i Φ

π −1 (Ui ) ϕi ◦π

"

π1

˜i U

˜ i × Rm /U

{

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

Para cada par i, j com Ui ∩ Uj 6= ∅, defina δij :

Ui ∩ Uj x

→ 7 →

GL(m, R) D(ϕj ◦ ϕ−1 i )(ϕi (x)).

j Assim, as mudan¸cas de cartas s˜ ao Φj ◦ Φ−1 i (x, v) = (x, δi (x).v). Pela i regra da cadeia, temos que se x ∈ Ui ∩Uj ∩Uk , ent˜ ao δj (x) = (δij (x))−1 e δik (x) = δjk (x) · δij (x),

onde o produto denota a composi¸c˜ ao das duas transforma¸c˜ oes lineares (a multiplica¸c˜ ao no grupo GL(m, R)). Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C s entre variedades de r classe C , 1 ≤ s ≤ r, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao Tf : TM → TN definida por T f (x, v) = (f (x), Df (x)v) ´e de classe C s−1 . Exemplo 1.4. Transforma¸ c˜ oes lineares de posto constante O espa¸co Pk ⊂ L(Rm , Rn ) das transforma¸c˜ oes lineares de posto k ´e uma subvariedade de codimens˜ ao (m − k) × (n − k), isto ´e, a dimens˜ ao de Pk ´e m × n − (m − k) × (n − k). De fato, se T0 ´e uma transforma¸c˜ ao linear de posto k, existem bases de Rm e de Rn tais que a matriz de T0 nessas bases ´e formada por quatro blocos, sendo que o primeiro ´e a identidade k × k e os demais s˜ ao nulos. Nessa mesma base a matriz de uma c˜ ao   transforma¸ A B ,onde A ´ e uma linear T pr´ oxima a T0 se escreve como C D matriz k. Como     invers´ıvel  k ×−1 A B A A−1 B I 0 = ∗ CA−1 B − D C D 0 −I e a segunda matriz do primeiro membro ´e invers´ıvel, temos que o posto da primeira matriz ´e igual ao posto da terceira matriz, que ´e igual a k se, e somente se, CA−1 B − D = 0. Por outro lado, a aplica¸c˜ ao (A, B, C, D) 7→ CA−1 B − D ´e uma submers˜ ao, pois a derivada parcial em rela¸c˜ ao a D j´ a ´e sobrejetiva. Logo Pk ´e uma subvariedade de codimens˜ ao (m − k) × (n − k).

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˜ ´ [SEC. 1.2: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES

Exemplo 1.5. Os espa¸ cos projetivos reais RPn Definimos RPn como o conjunto das retas que passam pela origem em Rn+1 . Claramente tamb´em podemos ver RPn como o conjunto das classes de equivalˆencia da rela¸c˜ ao em Rn+1 \{0} definida por x ∼ y se, e somente se, existe λ ∈ R \ {0} tal que y = λx. Denotamos a classe de equivalˆencia de x por [x] = {λx, λ ∈ R\{0}} e consideramos a aplica¸c˜ ao quociente q:

Rn+1 \{0} x

−→ 7−→

RPn [x].

Colocamos em RPn a topologia quociente, isto ´e, U ⊂ RPn ´e aberto se, e somente se, q −1 (U ) ´e aberto. O subconjunto Ui = {[x] ∈ RPn ; xi 6= 0} est´ a bem definido e ´e um subconjunto aberto. A aplica¸c˜ ao φi : Ui → Rn dada por   x1 xi−1 xi+1 xn+1 φi ([x]) = ,..., , ,..., xi xi xi xi est´ a bem definida, isto ´e, n˜ ao depende da escolha de x em sua classe de equivalˆencia, e ´e um homeomorfismo. Temos tamb´em que nas interse¸c˜ oes Ui ∩ Uj , com i 6= j, vale   x1 xj−1 xj+1 1 xn −1 φj ◦ φi (x1 , . . . xn ) = ,... , ... ,..., xj xj xj xj xj se j < i e φj ◦ φ−1 i (x1 , . . . , xn ) =



1 xj xn x1 ,... ,... ,..., xj−1 xj−1 xj−1 xj−1



se j > i. Logo {φi : Ui → Rn } ´e um atlas C ∞ para RPn (de fato anal´ıtico real). A aplica¸c˜ ao q ´e de classe C ∞ bem como sua restri¸c˜ ao π ` a esfera S n . Se a : S n → S n , a(x) = −x, a qual ´e chamada de aplica¸c˜ ao ant´ıpoda, ent˜ ao π(x) = π(y) se, e somente se, y = a(x) ou y = x. Se U ´e um subconjunto aberto da esfera S n tal que a(U ) ∩ U = ∅, ent˜ ao V = π(U ) ´e um subconjunto aberto de RPn tal −1 que π (V ) tem duas componentes conexas, U e a(U ), e a restri¸c˜ ao de π a cada uma delas ´e um difeomorfismo sobre o aberto V . A aplica¸c˜ ao

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

π ´e um exemplo do que mais tarde ser´ a chamada de aplica¸c˜ ao de recobrimento. Como a esfera ´e compacta e π ´e cont´ınua temos que o espa¸co projetivo real ´e tamb´em compacto. Se n ≥ 2, o subconjunto {[x] ∈ RP n ; xn+1 = 0} ´e uma subvariedade de RP n difeomorfa a RP n−1 e seu complemento, {[x] ∈ RP n ; xn+1 6= 0} ´e difeomorfo a Rn . Portanto RP n ´e uma compatifica¸c˜ ao de Rn . Exemplo 1.6. Os espa¸ cos projetivos complexos CPn Analogamente ao exemplo anterior, definimos CPn como o conjunto de retas complexas em Cn+1 que passam pela origem. Como antes, isto ´e o mesmo que o conjunto das classes de equivalˆencia da rela¸c˜ ao em Cn+1 \{0} definida por z ∼ w se, e somente se, existe um n´ umero complexo λ n˜ ao nulo tal que w = λz. Tamb´em consideramos a aplica¸c˜ ao quociente q : Cn+1 \ {0} → CPn e CPn com a topologia quociente e os abertos Ui = {[z] ∈ CPn ; zi 6= 0}, com cartas locais φi : Ui → Cn definidas por φi [z] =



z1 zi−1 zi+1 zn+1 ,..., , ,..., zi zi zi zi



.

Como as defini¸c˜ oes s˜ ao semelhantes ao caso real, as mudan¸cas de coordenadas s˜ ao an´ alogas as de RPn . Por exemplo, se i > j temos ϕj ◦ ϕ−1 i (z1 , . . . , zn ) =



z1 zj−1 zj+1 1 zi zn ,..., , , ..., , , . . . , zj zj zj z j zj zj



.

Assim as mudan¸cas de coordenadas s˜ ao aplica¸co˜es holomorfas, em particular de classe C ∞ . Logo CPn ´e variedade complexa de dimens˜ ao complexa n. Como no exemplo anterior, a aplica¸c˜ ao quociente q ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ (de fato holomorfa) e se restringe a uma aplica¸c˜ ao πPde classe C ∞ (de fato real anal´ıtica) da esfera S 2n+1 = {z ∈ Cn+1 ; i |zi |2 = 1} sobre CPn . Isto implica, em particular, que CPn ´e uma variedade compacta. A imagem inversa de cada ponto de CPn por q ´e difeomorfa a um c´ırculo na esfera S 2n+1 .

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˜ ´ [SEC. 1.2: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES

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Esta aplica¸c˜ ao tem uma estrutura especial. De fato, a aplica¸c˜ ao θi : Cn → S 2n+1 definida por θi (z1 , . . . , zn ) = q

1+

1 P

2 j |zj |

(z1 , . . . , zi−1 , 1, zi , . . . zn )

´e um mergulho C ∞ , de modo que θi ◦ ϕi : Ui → S 2n+1 tamb´em ´e um mergulho C ∞ . Portanto a aplica¸c˜ ao Φi : Ui × S 1 → q −1 (Ui ) ⊂ S 2n+1 definida por Φi (x, λ) = λθi (ϕi (x)) ´e um difeomorfismo C ∞ . Dizemos ent˜ ao que q ´e uma fibra¸c˜ ao localmente trivial com fibra S 1 . Defini¸ c˜ ao 1.5. Uma submers˜ ao π : M → N ´e uma fibra¸c˜ ao localmente trivial com fibra F se todo ponto de N possui uma vizinhan¸ca U tal que exista um difeomorfismo Φ : U × F → π −1 (U ) com π ◦ Φ = π1 , em que π1 (x, y) = x ´e a proje¸c˜ ao no primeiro fator. Quando n = 1, CP1 ´e difeomorfo ` a esfera S 2 . De fato, a aplica¸c˜ ao 1 S → CP que ao ponto (0, 0, 1) ∈ S 2 associa [(1, 0)] ∈ CP1 e, se z1 6= 1, associa ao ponto (x1 , y1 , z1 ) ∈ S 2 o ponto [(x1 + iy1 , 1 − 2 2 z1 )] ´e um difeomorfismo anal´ √ ıtico real. Isto porque se x1 + x2 6= 0, 2

1−

x2 +x2

1 2 [(x1 + ix2 , 1 − x3 )] = [1, x2 +x (x1 − ix2 ) e a aplica¸c˜ ao x1 + ix2 7→ 2 1 2 √ 2 2 1− x1 +x2 definida em x1 + ix2 6= 0 se estende a uma aplica¸c˜ ao C ∞ x21 +x22 de uma vizinhan¸ ca de zero uma vez que, para t ∈ R proximo a zero, √ ao anal´ıtica a aplica¸c˜ ao t 7→ 1 − t = 1 − 12 t + ρ(t)t onde ρ ´e uma fun¸c˜ real. Portanto temos uma fibra¸c˜ ao localmente trivial de S 3 sobre S 2 1 com fibra S , conhecida como fibra¸c˜ ao de Hopf.

Descreveremos agora uma classe muito importante de subvariedades complexas de CPn . Um polinˆ omio P : Cn+1 → C ´e homogˆeneo de grau k se P (λz1 , . . . , λzn+1 ) = λk P (z1 , . . . , zn+1 ). Mais geralmente, consideremos uma fun¸ca˜o F : Cn+1 → Cl , com l < n, tal que F (z) = (F 1 (z), . . . , F l (z)), onde F j ´e um polinˆ omio homogˆeneo de grau kj . Logo F (z) = 0 se, e somente se, F (λz) = 0 para todo λ ∈ C \ {0}. Assim, tem sentido definir o subconjunto SF = {x ∈ CPn ; F (q −1 (x)) = 0}. Se 0 ´e valor regular de cada uma

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

das aplica¸c˜ oes (z1 , . . . , zn ) 7→ F (z1 , . . . , zi−1 , 1, zi , . . . , zn ), ent˜ ao SF ´e uma subvariedade complexa de CPn de dimens˜ao complexa n−l. No final desse cap´ıtulo mostraremos que dada uma fun¸c˜ ao F como acima, podemos, perturbando arbitrariamente pouco os coeficientes dos polinˆ omios, obter uma fun¸c˜ ao tal que zero seja valor regular das aplica¸c˜ oes acima. Quando l = 1 temos que SF ´e sempre n˜ ao vazio pois todo polinˆ omio em uma vari´ avel complexa tem sempre uma ra´ız. Usando a teoria de n´ umero de interse¸c˜ ao de subvariedades, mostraremos no cap´ıtulo 9 que SF ´e sempre n˜ ao vazio se l < n. Observemos que, como CPn ´e uma variedade compacta, ent˜ ao SF ´e uma subvariedade compacta pois ´e obviamente um subconjunto fechados. Essas subvariedades s˜ ao chamadas variedades projetivas . Exemplo 1.7. Espa¸ cos projetivos quaterniˆ onicos Em um espa¸co vetorial real H de dimens˜ao 4 podemos introduzir uma estrutura de grupo multiplicativo da seguinte forma. Tomamos uma base e0 , e1 , e2 , e3 . Definimos o produto dos elementos da base da seguinte maneira: e0 ej = ej e0 = ej , e2j = −e0 , j = 1, 2, 3, e1 e2 = −e2 e1 = e3 , e2 e3 = −e3 e2 = e1 e e3 e1 = −e1 e3 = e2 . Estendemos a multiplica¸c˜ ao para todo o espa¸co H usando a distributividade em rela¸c˜ ao ` a soma e a comutatividade com respeito a` multiplica¸c˜ ao por n´ umeros reais. Pode-se provar que a multiplica¸c˜ ao assim definida ´e associativa. O espa¸co H com a multiplica¸c˜ ao assim definida ´e conhecido como o grupo dos quat´ernios. Normalmente identificamos o elemento e0 com o n´ umero real 1, e2 com o n´ umero complexo i e denotamos e2 por j e e3 por k. Assim H = {q = x0 + x1 i + x2 j + x3 k; xl ∈ R}. O conjugado de um quat´ernio q = x0 + x1 i + x2 j + x3 k ´e o quat´ernio q ∗ = x0 − x1 i − x2 j − x3 k. Temos que qq ∗ = q ∗ q = x20 + x21 + x22 + x23 ´e um n´ umero real e, se q 6= 0 o inverso de q ´e o quat´ernio (qq ∗ )−1 q ∗ . Como antes, definimos a rela¸c˜ ao de equivalˆencia em Hn+1 \ {0} como z ∼ w se, e somente se, existe um quat´ernio n˜ ao nulo λ tal que w = zλ = (z1 λ, . . . , zn λ). O espa¸co quociente, denotado por HPn , ´e chamado espa¸co projetivo quaterniˆ onico. Assim, como no exemplo anterior, temos que HPn tem uma estrutura de variedade de dimens˜ ao real 4n, a aplica¸c˜ ao quociente

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[SEC. 1.3: GRUPOS DE LIE

19

q : Hn+1 \ {0} → HPn ´e C ∞ e se restringe a uma fibra¸c˜ ao localmente trivial π : S 4n+3 → HPn com fibra S 3 . Quando n = 1 temos, com o mesmo argumento usado no exemplo anterior, que HP 1 ´e difeomorfo a S 4 o que nos fornece uma fibra¸c˜ ao locamente trivial de S 7 sobre 4 3 S com fibra S . Veremos mais tarde que tanto esse exemplo como o anterior s˜ ao casos especiais do que chamaremos fibrados principais. Exemplo 1.8. Variedades de Grassman reais Podemos generalizar os espa¸cos projetivos reais considerando o espa¸co dos k-subespa¸cos de Rn que passam pela origem. Esse espa¸co ´e denotado por G(n, k) e ´e conhecido como variedade de Grassman. Para construir um atlas em G(n, k) tomemos um produto interno em Rn e para cada subespa¸co E ∈ G(n, k) consideremos o subconjunto UE dos subespa¸cos que intersectam o complementar ortogonal E ⊥ apenas na origem. Todo elemento de UE ´e o gr´ afico de uma u ´nica transforma¸c˜ ao linear em L(E, E ⊥ ). Portanto UE ´e homeomorfo ao espa¸co das transforma¸c˜ oes lineares de E em E ⊥ . Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que as mudan¸cas de coordenadas s˜ ao de classe C ∞ e que, portanto, G(n, k) ´e uma variedade de dimens˜ ao ´ claro que o espa¸co projetivo ´e o caso particular G(n, 1). k ×(n−k). E Vale tamb´em que a aplica¸c˜ ao E 7→ E ⊥ ´e um difeomorfismo de G(n, k) em G(n, n − k). Se M ⊂ RN ´e uma subvariedade de classe C r , r ≥ 1 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao que a cada x ∈ M associa o seu espa¸co tangente T Mx ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C r−1 de M na variedade de Grassman G(N, m). Exemplo 1.9. Variedades de Grassman complexas Da mesma forma podemos definir uma estrutura de variedade complexa em G(n, k, C) no conjunto dos subespa¸cos de dimens˜ao complexa k de Cn , generalizando os espa¸cos projetivos complexos.

1.3

Grupos de Lie

Discutiremos a seguir v´ arios exemplos de variedades com uma estrutura de grupo onde as opera¸c˜ oes s˜ ao diferenci´ aveis. Mais precisamente, temos a seguinte defini¸c˜ ao.

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

Defini¸ c˜ ao 1.6. Um grupo de Lie ´e uma variedade G, de classe C ∞ , munida de duas aplica¸c˜ oes de classe C ∞ , m : G × G → G e i : G → G e de um elemento e ∈ G, tais que • m(x, e) = m(e, x) = x ∀x ∈ G • m(x, m(y, z)) = m(m(x, y), z) ∀x, y, z ∈ G • i(e) = e • m(x, i(x)) = m(i(x), x) = e ∀x ∈ G. O elemento e ´e chamado de identidade do grupo e as opera¸c˜ oes s˜ ao normalmente escritas como m(x, y) = xy e i(x) = x−1 . 7a

O c´ırculo

S 1 = {z ∈ C ; |z| = 1} com a multiplica¸c˜ ao de n´ umeros complexos ´e um grupo de Lie comutativo. 7b

Produtos

O produto cartesiano de grupos de Lie ´e um grupo de Lie, em particular o toro Tn = S 1 × · · · × S 1 ´e um grupo de Lie comutativo. 7c

O grupo linear de Rn

O espa¸co GL(n, R) ⊂ L(Rn , Rn ) das transforma¸c˜ oes lineares invers´ıveis de Rn com a opera¸c˜ ao de composi¸c˜ ao ´e naturalmente um grupo de Lie, pois a composi¸c˜ ao de aplica¸c˜ oes lineares ´e uma aplica¸c˜ ao bilinear e assim se restringe a uma aplica¸c˜ ao C ∞ em GL(n, R). Pelo teorema das fun¸c˜ oes impl´ıcitas, a invers˜ ao ´e tamb´em de classe C ∞ . n Escolhida uma base de R , identificamos GL(n, R) com o grupo das matrizes n × n invers´ıveis. 7d

O grupo linear especial de Rn

Como a fun¸c˜ ao determinante det : L(Rn , Rn ) → R ´e de classe C ∞ (o determinante ´e uma fun¸c˜ ao n-linear das colunas da matriz) e 1 ´e valor regular desta, temos que SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R); detA = 1}

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[SEC. 1.3: GRUPOS DE LIE

´e uma subvariedade de codimens˜ao 1. Como a composi¸c˜ ao e invers˜ ao preservam SL(n, R) (isto ´e, ´e um subgrupo de GL(n, R)), temos que SL(n, R) ´e tamb´em um grupo de Lie. 7e O grupo ortogonal, o grupo de Lorentz e o grupo simpl´ etico Seja B : Rn × Rn → R uma aplica¸c˜ ao bilinear n˜ ao degenerada, isto ´e, a aplica¸c˜ ao Rn → (Rn )∗ = L(Rn , R) dada por x 7→ B(x, ·) ´e um isomorfismo. Ent˜ ao, dada uma aplica¸c˜ ao linear T : Rn → Rn , ∗ existe uma u ´nica transforma¸c˜ ao linear T : Rn → Rn tal que para n todos x, y ∈ R vale B(T x, y) = B(x, T ∗ y). A aplica¸c˜ ao T ∈ L(Rn , Rn ) 7→ T ∗ ∈ L(Rn , Rn ) ´e linear e satisfaz (T S)∗ = S ∗ T ∗ . Denotemos por Ls (Rn , Rn ) o subespa¸co das transforma¸c˜ oes lineares T tais que T ∗ = T e por Las (Rn , Rn ) o subespa¸co das transforma¸c˜ oes lineares tais que T ∗ = −T . Como 1 1 ∗ ∗ T = 2 (T + T ) + 2 (T − T ), temos que L(Rn , Rn ) = Ls (Rn , Rn )

M

Las (Rn , Rn ).

Seja agora O(n, B) o conjunto das transforma¸c˜ oes lineares in´ vert´ıveis T tais que B(T x, T y) = B(x, y) para todos x, y ∈ Rn . E claro que O(n, B) ´e um subgrupo de GL(n, R). Para provar que ´e um grupo de Lie basta provar que ´e uma subvariedade. Para tanto observemos que T ∈ O(n, B) se, e somente se, T T ∗ = I. Por outro lado, como T T ∗ ∈ Ls (Rn , Rn ), temos que O(n, B) ´e a imagem inversa da identidade pela aplica¸c˜ ao F : L(Rn , Rn ) → Ls (Rn , Rn ), T 7→ T T ∗ . ´ claro que F ´e C ∞ e DF (T ).X = XT ∗ + T X ∗ . Se T T ∗ = I e E V ∈ Ls (Rn , Rn ), existe X ∈ L(Rn , Rn ) tal que XT ∗ = 12 V = T X ∗ , pois T ∗ = T −1 . Logo DF (T ).X = V e I ´e valor regular de F . Portanto O(n, B) ´e um grupo de Lie. O grupo ortogonal O(n, R) ´e o grupo O(n, B) onde B ´e um produto interno de Rn . Tomando uma base ortonormal de Rn , a matriz associada a T ∗ ´e a transposta da matriz associada a T . Assim, o grupo ortogonal se identifica com o grupo das matrizes que multiplicada pela transposta ´e igual ` a identidade. O determinante de uma tal matriz ´e portanto igual a 1 ou a -1. Como duas matrizes or-

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

togonais com determinante com um mesmo sinal podem ser ligadas por um caminho de matrizes ortogonais, temos que O(n, R) tem duas componentes conexas. A componente da identidade ´e denotada por SO(n, R), o conjunto das matrizes ortogonais de determinante 1. Se B ´e uma transforma¸c˜ ao bilinear sim´etrica e n˜ ao degenerada de Rn , existe uma base e1 , . . . en de Rn tal que B(ei , ej ) = 0 se i 6= j, B(ei , ei ) = 1 se i ≤ k e B(ei , ei ) = −1 se i = k + 1, . . . , n. O inteiro k ´e chamado de assinatura da forma bilinear. O grupo das transforma¸c˜ oes que preservam uma forma bililinear de assinatura k ´ f´ ´e denotado por O(n − k, k). E acil verificar que o grupo O(3, 1) tem quatro componentes conexas e a componente que cont´em a identidade ´e chamada de grupo de Lorentz , que desempenha um papel fundamental em F´ısica. Este grupo de Lie tem dimens˜ao 6. Um outro caso particular importante ´e quando a forma bilinear ´e alternada, o que ´e chamado de forma simpl´etica. Nesse caso a dimens˜ ao do espa¸co tem que ser par e existe uma base na qual a forma simpl´etica se escreve como B((x1 , . . . , xn , p1 , . . . , pn ), (y1 , . . . , yn , q1 , . . . , qn )) =

n X i=1

(xi qi − pi yi )

Denotamos por Sp(n, R) o grupo de Lie das transforma¸c˜ oes que deixam invariante a forma simpl´etica. 7f

Grupos Lineares Complexos

O grupo das transforma¸c˜ oes lineares complexas invers´ıveis de Cn ´e denotado por GL(n, C) e ´e obviamente um grupo de Lie. Como anteriormente, o subgrupo SL(n, C) das transforma¸c˜ oes com determinante 1 ´e tamb´em um grupo de Lie, e de fato uma variedade complexa e as opera¸c˜ oes do grupo s˜ ao holomorfas. Para construir outros subgrupos com estrutura de grupo de Lie, consideremos uma forma hermitiana B : Cn × Cn → C, isto ´e, B ´e C-linear na segunda vari´ avel, B(x, y) = B(y, x) e ´e n˜ ao degenerada, no sentido que: B(x, y) = 0 para todo y se, e somente se, x = 0. Como anteriormente, temos que dada uma transforma¸c˜ ao C-linear T : Cn → Cn , existe uma u ´nica transforma¸c˜ ao C-linear T ∗ : Cn → Cn

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[SEC. 1.4: O LEMA DE SARD

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tal que B(T x, y) = B(x, T ∗ y) para todos x, y ∈ Cn . Temos tamb´em que (T S)∗ = S ∗ T ∗ e se λ ∈ C, ent˜ ao (λT )∗ = λT ∗ . Portanto a ∗ aplica¸c˜ ao T 7→ T ´e anti-linear. O subgrupo das transforma¸c˜ oes que preservam B ´e denotado por U (n, C) e ´e chamado grupo unit´ ario. Definimos SU (n, C) como o subgrupo que consiste das transforma¸c˜ oes unit´ arias com determinante 1. Os mesmos argumentos utilizados no caso real mostram que esses grupos s˜ ao variedades complexas e que as opera¸c˜ oes de grupo s˜ ao holomorfas. 7g

Quat´ ernios Unit´ arios

A esfera S 3 vista como o conjunto dos quat´ernios de norma 1 ´e um grupo de Lie n˜ ao comutativo. De fato, se q = x0 +x1 i+x2 j +x3 k, ent˜ ao q ∗ = x0 − x1 i − x2 j − x3 k e qq ∗ = x20 + x21 + x22 + x23 , de modo que S 3 = {q ∈ H; qq ∗ = 1}. Podemos identificar R3 com o conjunto dos quat´ernios imagin´ arios, isto ´e, R3 = {τ ∈ H; τ ∗ = −τ } = {y1 i + y2 j + y3 k; y1 , y2 , y3 ∈ R} e τ τ ∗ = y12 + y22 + y32 . Assim, a cada quat´ernio q ∈ S 3 , podemos associar a transforma¸c˜ ao linear R3 → R3 , τ 7→ qτ q ∗ , e notar que preserva a norma, e portanto ´e um elemento de SO(3). Assim temos a aplica¸c˜ ao π : S 3 −→ SO(3) q 7−→ (τ 7→ qτ q ∗ ). Exerc´ıcio 1.1. Mostre que π ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ , que ´e um homomorfismo de grupos e que seu n´ ucleo ´e isomorfo a Z2 .

1.4

O Lema de Sard

Um cubo em Rn ´e o produto cartesiano Πni=1 Ii onde Ii ´e um intervalo de comprimento l > 0. Dizemos que o cubo tem aresta l e volume ln . Um subconjunto X ⊂ Rn tem medida zero se dado ǫ > 0 existe uma cobertura no m´ aximo enumer´ avel de X por cubos tal que a soma total dos volumes ´e menor que ǫ. Proposi¸ c˜ ao 1.1. 1. A uni˜ ao de uma cole¸c˜ ao enumer´ avel de subconjuntos de medida zero em Rn tem medida zero.

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

2. X ⊂ Rn tem medida zero se, e somente se, todo ponto tem uma vizinhan¸ca que intersecta X em um conjunto de medida zero. Demonstra¸ c˜ ao. 1) Sejam Xi , i = 1, 2, . . . conjuntos de medida zero. Dado ǫ > 0 para cada i existe uma cole¸c˜ aP o no m´ aximo enumer´ avel ǫ Ci,j de cubos que cobrem X e tais que Vol(C ) < . Logo i i i,j j 2 P X ⊂ ∪i,j Ci,j e i,j Vol(Ci,j ) < ǫ. 2) Segue de 1) pois toda cobertura aberta de um subconjunto de Rn tem uma subcobertura enumer´ avel. Proposi¸ c˜ ao 1.2. Seja f : U ⊂ Rm → Rp , p ≥ m, uma aplica¸c˜ ao de 1 classe C . Se X ⊂ U tem medida zero, ent˜ ao f (X) tem medida zero. Demonstra¸ c˜ ao. Pela desigualdade do valor m´edio, uma fun¸c˜ ao de classe C 1 ´e localmente Lipschitz. Portanto se x0 ∈ U existem vizinhan¸cas V, W de x0 com o fecho de V compacto e contido em W ⊂ U e uma constante K tais que se x, y ∈ W , ||f (x) − f (y)|| < K||x − y||. Pela proposi¸c˜ ao 1.1, podemos supor √ que X ⊂ V . Um cubo contido em W de aresta l tem diˆ a metro l m. Logo sua image, est´ a contida √ em uma bola de raio√Kl m, que por outro lado est´ a contida em um √ cubo de aresta 2Kl m √e volume (2Kl m)p . Como p ≥ m temos que se l < 1 e L = (2K m)p , ent˜ ao a imagem de um cubo C ⊂ W ˜ ≤ LVol(C). Dado ǫ > 0, est´ a contido em um cubo C˜ tal que Vol(C) podemos cobrir X ∩ V por uma fam´ılia de cubos cuja soma dos volumes ´e menor que Lǫ e tamb´em menor do que o m´ınimo entre 1 e a distˆ ancia de V ao complementar de W elevado a` potˆencia m. Essa u ´ltima condi¸c˜ ao garante que todos os cubos que intersectam X est˜ ao contidos em W . Assim, podemos escolher para cada cubo um outro cubo em Rp que contenha sua imagem e tenha volume menor ou igual a L vezes o volume do cubo do dom´ınio. Temos portanto uma cobertura da imagem de X por cubos tal que a soma dos volumes seja menor do que ǫ. Corol´ ario 1.3. Se f : U ⊂ Rm → Rp ´e de classe C 1 e p > m, ent˜ ao f (U ) tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao. Definindo f˜: U × Rp−m → Rp por f˜(x, y) = f (x), ent˜ ao f (U ) = f˜(U × {0}) e U × {0} tem medida nula em Rp .

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[SEC. 1.4: O LEMA DE SARD

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Como conjuntos de medida nula s˜ ao preservados por difeomorfismos, a no¸c˜ ao de medida nula se estende para variedades: um conjunto X ⊂ M tem medida nula se sua imagem por cartas locais tem medida nula. Corol´ ario 1.4. Seja f : M → N uma aplica¸c˜ ao C 1 entre variedades. • Se a dimens˜ ao de N ´e maior que a dimens˜ao de M , ent˜ ao f (M ) tem medida zero. • Se a dimens˜ ao de N ´e maior ou igual ` a dimens˜ao de M , ent˜ ao f aplica conjuntos de medida nula em conjuntos de medida nula. Defini¸ c˜ ao 1.7. Dizemos que x ∈ M ´e ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ ao f : M → N de classe C 1 se a derivada de f em x n˜ ao ´e sobrejetiva. O conjunto dos pontos cr´ıticos de f ´e denotado por Cr(f ) e ´e um subconjunto fechado de M . O complemento de sua imagem ´e o conjunto dos valores regulares de f . Lema 1.5. Se f : U ⊂ Rm → Rn ´e de classe C ∞ , ent˜ ao a imagem do conjunto cr´ıtico de f tem medida nula. Antes de provar o lema mostraremos que ele implica o seguinte teorema. Teorema 1.6. (Lema de Sard) Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ , ent˜ ao a imagem do conjunto cr´ıtico de f tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao. Tomemos fam´ılias enumer´ aveis de cartas locais ψi : Vi ⊂ N → Rn , φi : Ui ⊂ M → Rm tais que f (Ui ) ⊂ Vi e a ´ claro que o conjunto dos pontos uni˜ ao dos Ui seja igual a M . E cr´ıticos de f ´e a uni˜ ao das pr´e-imagens por φi dos pontos cr´ıticos de ψi ◦ f ◦ φ−1 ıticos de f ´e igual i , portanto a imagem por f dos pontos cr´ a uni˜ ` ao das pr´e-imagens por ψi das imagens dos pontos cr´ıticos de ψi ◦f ◦φ−1 ıticos de ψi ◦f ◦φ−1 i . Pelo Lema 1.5 a imagem dos pontos cr´ i tem medida nula e portato sua imagem por ψi−1 tamb´em tem medida nula. Corol´ ario 1.7. O conjunto dos valores regulares de uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ ´e denso.

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

Demonstra¸ c˜ ao. Um cubo em Rn n˜ ao tem medida nula. De fato isso ´e ´ obvio em dimens˜ ao 1 e segue por indu¸c˜ ao na dimens˜ao usando o teorema de Fubini. Dado um ponto e uma vizinhan¸ca desse ponto, existe uma vizinhan¸ca menor que ´e aplicada por uma carta local em um cubo, logo essa vizinhan¸ca n˜ ao pode estar contida na imagem dos pontos cr´ıticos. Portanto cont´em algum valor regular.

Demonstra¸ c˜ ao do Lema de Sard: Sejam Σ0 (f ) o conjunto dos pontos cr´ıticos de f e, para i ≥ 1, Σi (f ) o conjunto dos pontos x ∈ U tais que todas as derivadas de f em x se anulam at´e a ordem i. Seja ν o menor inteiro maior que m c˜ ao seguinte n e consideremos a decomposi¸ do conjunto cr´ıtico de f : Σ0 (f ) = Σν (f ) ∪ (∪ν−1 i=0 (Σi \ Σi+1 )). Vamos mostrar que a imagem de cada um desses subconjuntos tem medida nula. Σν tem medida nula. Se x0 ∈ Σν , ent˜ ao existe, pelo teorema de Taylor, um cubo C ⊂ U contendo x0 em seu interior e uma constante L > 0 tal que ||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y||ν para todos x ∈ Σν ∩ C e y ∈ C. Como j´ a vimos, basta provar que a imagem da interse¸c˜ ao de Σν com C tem medida nula. Dado um inteiro s, podemos dividir o cubo em sm m cubos com arestas sl , onde l ´e a aresta do cubo C, C = ∪si=1 Ci . Se um cubo Ci intersecta Σν , ent˜ ao sua imagem est´ a contida em uma √ bola de raio L( sl m)ν e portanto contida em um cubo Ci′ de volume √ (2L sl m)nν . Como o n´ umero de cubos Ci que intersectam Σν ´e menor ou igual a sm , temos que a imagem da interse¸c˜ ao de Σν com o cubo C pode ser√coberta por cubos cuja soma dos volumes ´e menor ou √ igual a sm (2L sl m)nν = (2Ll m)νn sm−nν , valor que tende a zero quando s → ∞ pois m − nν < 0. Logo a imagem de Σν tem medida zero. Prova do Lema quando m = 1. Se n > 1 o Lema segue da Corol´ ario 1.4. Seja n = 1. Seja I um intervalo em torno de um ponto x0 de comprimento l. Dividimos I

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[SEC. 1.4: O LEMA DE SARD

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em intervalos Ij de comprimento sl . Dado ǫ > 0 temos que, se s ´e suficientemente grande e o intervalo Ij cont´em um ponto cr´ıtico, ent˜ ao f (Ij ) ´e um intervalo de comprimento menor ou igual a ǫl sl . Logo a imagem da interse¸c˜ ao de I com o conjunto de pontos cr´ıticos pode ser coberta por intervalos cuja soma dos comprimentos ´e menor ou igual a ǫ. Isso prova o lema se m = 1 e, consequentemente, o teorema 1.6 ´e tamb´em verdadeiro se m = 1. Suponhamos por indu¸c˜ ao que o teorema ´e verdadeiro para m − 1 e todo p. Vamos provar que o Lema em dimens˜ao m. f (Σi \ Σi+1 ) tem medida nula se i ≥ 1. Seja x0 ∈ Σi \ Σi+1 . Seja g a derivada parcial de ordem i de uma coordenada de f tal que a derivada parcial de g em rela¸c˜ ao a xj n˜ ao se anula. Pelo teorema das fun¸c˜ oes impl´ıcitas, existe uma vizinhan¸ca V de x0 tal que S = V ∩ g −1 (0) ´e uma subvariedade de dimens˜ao m − 1. Como Σi ∩ V ⊂ S e Σi ∩ V est´ a contido no conjunto de pontos cr´ıticos da restri¸c˜ ao de f a S, temos, pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, que f (V ∩ (Σi \ Σi+1 )) tem medida zero. f (Σ0 \ Σ1 ) tem medida zero. Seja x0 ∈ Σ0 \ Σ1 . Logo, alguma das componentes de f tem alguma derivada parcial n˜ ao nula em x0 . Pelo teorema da fun¸c˜ ao impl´ıcita, existem vizinhan¸cas V de x0 , W de f (x0 ) e difeomorfismos φ : V → R × Rm−1 , ψ : W → R × Rn−1 satisfazendo φ(x0 ) = 0, ψ(f (x0 )) = 0. Temos ainda que se g = ψ ◦ f ◦ φ−1 , ent˜ ao g(t, x) = (t, h(t, x)), onde h : R × Rm−1 → Rn−1 ´e uma fun¸c˜ ao C ∞ . Basta mostrar que a imagem do conjunto de pontos cr´ıticos de g tem medida nula. Pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, para cada t o conjunto ht (Cr(ht )) ⊂ Rn−1 tem medida nula. Como Cr(g) = ∪t {t} × Cr(ht ) temos que, pelo Teorema de Fubini, g(Cr(g)) = ∪t {t} × ht (Cr(ht )) tem medida nula. Consideremos o espa¸co S das aplica¸c˜ oes F : Cn+1 → Cl da forma 1 l j F (z) = (F (z), . . . , F (z)), onde cada F ´e um polinˆ omio homogˆeneo de grau kj . Ent˜ ao S ´e um subconjunto aberto de um espa¸co vetorial

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

Pl de dimens˜ ao n = j=1 n(j), onde n(j) ´e n´ umero de monˆ omios homogˆeneos de grau kj nas vari´ aveis z1 , . . . , zn+1 . Logo S ´e um espa¸co de Baire, isto ´e, a interse¸c˜ ao enumer´ avel de subconjuntos abertos e densos ´e densa. Proposi¸ c˜ ao 1.8. Dado F ∈ S, defina a aplica¸c˜ ao F (i) : Cn → Cl por F (i) (z) = F (z1 , . . . , zi−1 , 1, zi , . . . zn+1 ). Seja Si,k ⊂ S o conjunto das fun¸c˜ oes F tais que para todo z ∈ Cn , com ||z|| ≤ k e F (i) (z) = 0, a derivada DF (i) (z) ´e sobrejetiva. Ent˜ ao Si,k ´e aberto e denso. Demonstra¸ c˜ ao. Considere F ∈ Si,k . Como a interse¸c˜ ao do fechado {z ∈ Cn ; F (i) (z) = 0} com a bola fechada de raio k ´e compacta e o conjunto das aplica¸c˜ oes lineares sobrejetivas ´e aberto, existe uma vizinhan¸ca V desse compacto e uma vizinhan¸ca W de F tal que se G ∈ W ent˜ ao DG(i) (z) ´e sobrejetiva para todo z ∈ V . Como o complementar de V na bola fechada de raio k ´e compacto e F (i) n˜ ao se anula nesse compacto, podemos diminuir W de forma que G(i) ∈ W tamb´em n˜ ao se anule nesse compacto. Logo W ⊂ Si,k e Si,k ´e aberto. Para mostrar a densidade, seja F ∈ S em W uma vizinhan¸ca de F . Seja ǫ > 0 tal que se G ∈ S e cada coeficiente dos monˆ omios de Gj esteja a menos de ǫ do correspondente monˆ omio de F j ent˜ ao G ∈ W . Pelo Lema de Sard, existe w ∈ Cl que ´e valor regular de F (i) e |wj | < ǫ para j = 1, . . . , l. Tomemos agora G ∈ S tal que todos os coeficientes dos monˆ omios de Gj s˜ ao iguais aos de F j exceto o ki coeficiente do monˆ omio zi , onde a diferen¸ca ´e −wj . Logo G ∈ W e, como G(i) (z) = F (i) (z) − w, temos que 0 ´e valor regular de G e assim G ∈ Si,k ´e aberto e denso. Portanto S = ∩i,k Si,k ´e um conjunto residual e, como veremos no pr´ oximo cap´ıtulo, toda variedade ´e um espa¸co de Baire: todo conjunto residual ´e denso. Corol´ ario 1.9. O conjunto das fun¸c˜ oes F ∈ S tais que 0 ´e valor regular de cada uma das fun¸c˜ oes F (i) ´e denso. Veremos mais tarde que muitos espa¸cos de fun¸c˜ oes tem uma estrutura de espa¸cos de Banach, isto ´e, um espa¸co vetorial munido de

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[SEC. 1.4: O LEMA DE SARD

29

uma norma completa: toda sequˆencia de Cauchy ´e convergente. Se a norma do espa¸co de Banach E ´e definida via um produto interno dizemos que E ´e um espa¸co de Hilbert. Um isomorfismo entre espa¸cos de Banach ´e uma aplica¸c˜ ao linear cont´ınua que possui uma inversa cont´ınua. Um subespa¸co fechado F de um espa¸co de Banach E de dimens˜ ao infinita pode n˜ ao possuir um complementar fechado, isto ´e, um subespa¸co fechado F tal que exista um subespa¸co fechado G tal que E seja isomorfo a E ⊕ F . Se E, F s˜ ao espa¸cos de Banach, o espa¸co L(E, F ) das aplica¸c˜ oes lineares cont´ınuas, munido da norma, |T | = sup{||T v||; ||v|| = 1} ´e tamb´em um espa¸co de Banach. Os resultados usuais do c´ alculo diferencial se estendem para fun¸c˜ oes entre espa¸cos de Banach. O teorema da fun¸c˜ ao inversa, cuja prova ´e a mesma que em dimens˜ ao finita, afirma que se f : U ⊂ E → F ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C?1 e a derivada de f no ponto x0 ´e um isomorfismo ( isto ´e, tem uma inversa cont´ınua) ent˜ ao a restri¸c˜ ao de f a uma vizinhan¸ca de x0 ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca de f (x0 ). Para o teorema da forma local das submers˜ oes, devemos exigir que a derivada no ponto x0 al´em de ser sobrejetiva que o seu n´ ucleo tenha um complementar fechado tal que a derivada restrita a esse subespa¸co seja um isomorfismo sobre F . Para a forma local das submers˜ oes exigimos que a imagem da derivada seja um subespa¸co fechado que tem um complementar fechado. A no¸c˜ ao de variedades modeladas em espa¸cos de Banach ´e analoga: uma carta local ´e um homeomorfismo de um aberto sobre um subconjunto aberto do espa¸co de Banach e as mudan¸cas de coordenadas s˜ ao difeomorfismos. Da mesma forma definimos aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis entre variedades de Banach. Em [Ku], Kupka deu um exemplo de uma fun¸c˜ ao de classe C?∞ em um espa¸co de Hilbert, tomando valores na reta, que n˜ ao satisfaz o teorema de Sard: o conjunto dos valores cr´ıticos cont´em um intervalo. Em [SS], Smale mostrou uma extens˜ ao do teorema de Sard para uma classe importante de aplica¸c˜ oes entre variedades de Banach. Um operador entre espa¸cos de Banach ´e de Fredholm se o seu n´ ucleo tem dimens˜ ao finita e sua imagem ´e um subespa¸co fechado de codimens˜ ao finita. O ´ındice de um operador de Fredholm ´e definido como a diferen¸ca entre a dimens˜ao do n´ ucleo e a codimens˜ao da imagem. Uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel entre duas variedades de Banach ´e de

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´ [CAP. 1: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

Fredholm se em cada ponto a derivada ´e um operador de Fredholm. Se a aplica¸c˜ ao ´e C?r e o dom´ınio ´e conexo ent˜ ao o ´ındice ´e constante ( o conjunto dos operadores de Fredholm ´e aberto e o ´ındice ´e localmente constante). Smale mostrou que se uma aplica¸c˜ ao de Fredholm ´e C r com r maior que 0 e maior que o ´ındice, ent˜ ao o conjunto dos valores regulares ´e resisual e, portanto, denso no contradom´ınio. A demonstra¸c˜ ao se reduz facilmente ao caso de dimens˜ao finita. Por outro lado a hip´ otese ´e verificada em v´ arias situa¸c˜ oes importantes no estudo de equa¸c˜ oes a derivadas parciais.

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Cap´ıtulo 2

Parti¸ c˜ ao da unidade e aplica¸ c˜ oes

2.1

Parti¸c˜ ao da unidade

Nessa se¸c˜ ao introduziremos uma t´ecnica fundamental que permite globalizar resultados locais em variedades diferenci´ aveis de classe C r , em que 1 ≤ r ≤ ∞. A existˆencia desse instrumento ´e um dos respons´ aveis pela maior flexibilidade das estruturas diferenci´ aveis comparando-as com as estruturas complexas, para as quais n˜ ao dispomos de instrumentos semelhantes. Proposi¸ c˜ ao 2.1. Se 0 < a < b, ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao λ : Rn → [0, 1] de classe C ∞ tal que λ(x) = 1 λ(x) = 0

se kxk ≤ a se kxk ≥ b

Demonstra¸ c˜ ao. Para provar o fato, definimos 4 fun¸c˜ oes como segue. Defina primeiramente α : R → R por  0 se α(t) = 1 e− t se

t≤0 . t≥0

Verifica-se que α ´e de classe C ∞ . Em seguida defina β : R → R por β(t) = α(b − t)α(t − a). 31

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32

˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Figura 2.1: Gr´ aficos de α e β. Finalmente, defina δ : R → R por δ(t) = λ(x) = δ(kxk).

Rb β Rtb β a

e λ : Rn → [0, 1] por

Figura 2.2: Gr´ aficos de δ e λ.

Proposi¸ c˜ ao 2.2. Se M ´e uma variedade, ent˜ ao existe uma sequˆencia de subconjuntos compactos K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ . . . tais que S∞ • i=1 Ki = M

• Ki est´ a contido no interior de Ki+1 .

Demonstra¸ c˜ ao. A primeira observa¸c˜ ao ´e que qualquer cobertura aberta {Uλ , λ ∈ Λ} de M admite uma subcobertura enumer´ avel. De

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˜ DA UNIDADE [SEC. 2.1: PARTIC ¸ AO

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fato, seja {Bn , n ∈ N} uma base enumer´ avel de abertos de M . Se x ∈ M , com Uλ ∋ x, existe n tal que x ∈ Bn ⊂ Uλ . Temos ent˜ ao uma cobertura enumer´ avel de M , Bni tal que cada Bni est´ a contido em algum Uλ . Para cada i escolhemos λi tal que Uλi ⊃ Bni . Temos ent˜ ao uma subcobertura enumer´ avel. Para cada x ∈ M tome Vx uma vizinhan¸ca compacta de x e consideremos a cobertura de M pelo interior dos Vx . Tomamos da´ı uma subcobertura enumer´ avel {Vn }n∈N . Seja K1 = V1 . Como K1 ´e compacto e os interiores dos Vj cobrem K1 , podemos encontrar uma subcobertura finita. A uni˜ ao de K1 com os elementos dessa cobertura finita de K1 ´e um compacto K2 cujo interior cont´em K1 . Por indu¸c˜ ao, constru´ımos toda a sequˆencia usando o mesmo argumento. Defini¸ c˜ ao 2.1. Seja f : M → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua. O suporte de f , denotado por supp(f ), ´e o fecho de {x ∈ M ; f (x) 6= 0}. Defini¸ c˜ ao 2.2. Seja V = {Vi }i∈I uma cobertura aberta de M . Uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a V ´e uma fam´ılia {λi : M → [0, 1]} de fun¸c˜ oes C ∞ tal que 1. supp(λi ) ⊂ Vi ; 2. {supp(λi )} ´e uma fam´ılia localmente finita, isto ´e, todo ponto de M tem uma vizinhan¸ca que intersecta no m´ aximo um n´ umero finito de elementos da fam´ılia; P 3. i∈I λi (x) = 1.

Obs. A soma em (3) ´e finita para cada x ∈ M devido a (2).

Lema 2.3. Seja W = {Wλ , λ ∈ Λ} uma cobertura aberta de M que refina a cobertura V = {Vi ; i ∈ I}, isto ´e , existe uma fun¸c˜ ao l : Λ → I tal que para todo λ vale Wλ ⊂ Vl(λ) . Se existe parti¸c˜ ao da unidade {φλ , λ ∈ Λ} subordinada a W, ent˜ ao existe uma parti¸c˜ ao da unidade {ψi , i ∈ I} subordinada a V.

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Demonstra¸ c˜ ao. Basta tomar ψi =

X

φλ .

l(λ)=i

De fato, vamos provar que o suporte de ψi est´ a contido em Vi . Seja x um ponto do complementar de Vi . Como a fam´ılia dos suportes de φλ ´e localmente finita, existe uma vizinhan¸ca U0 de x que intersecta apenas um n´ umero finito de elementos dessa fam´ılia. Se I(λ) = i e o suporte de φλ n˜ ao intersecta U0 definimos Uλ = U0 . Caso contr´ ario, como o suporte de φλ est´ a contido em Ui e x n˜ ao pertence a Ui , existe uma vizinhan¸ca Uλ de x disjunta do suporte de φλ . A interse¸c˜ ao U da fam´ılia finita Uλ ´e uma vizinhan¸ca de x na qual ψi ´e identicamente nula, o que prova a afirma¸c˜ ao e o lema. Teorema 2.4. Dada uma cobertura aberta A = {Aλ , λ ∈ Λ} de M , ent˜ ao existe uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a A. Demonstra¸ c˜ ao. Considere uma sequˆencia de compactos Ki tais que ∞ [

Ki = M

i=1

e

Ki ⊂ intKi+1 .

Para cada x ∈ M seja Wx uma vizinhan¸ca de x e ϕx : Wx → B(0, 3) uma carta local, onde B(0, 3) ´e a bola de centro zero e raio 3 em Rm , tais que 0. ϕx (x) = 0; 1. Wx est´ a contido em um elemento da cobertura A; 2. Se x ∈ Ki+1 \ intKi , ent˜ ao Wx ⊂ intKi+2 \ Ki−1 (se x ∈ K1 , Wx ⊂ intK2 e se x ∈ K2 \ intK1 , Wx ⊂ intK3 ); Seja λx : M → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que ´e 1 em Ux = ϕ−1 x (B(0, 1)) −1 e vale 0 fora de Vx = ϕx (B(0, 2)) (basta tomar λx = λ ◦ ϕx , onde λ : Rm → [0, 1] ´e uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 1 em B(0, 1) e 0 fora de B(0, 2)).

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[SEC. 2.2: CAMPOS DE VETORES EM VARIEDADES

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Considerando a cobertura {Ux , x ∈ M }, selecionamos uma subcobertura finita de cada compacto Ki+1 \ intKi . Obtemos assim uma cobertura {Ui }i∈N e fun¸c˜ oes C ∞ λi : M → [0, 1] que valem 1 em Ui e 0 fora de Vi . Al´em disso, cada Wi est´ a contido em algum elemento da cobertura A. Por constru¸c˜ ao, a cobertura {Wi } ´e localmente finita. Defina ϕi : M → [0, 1] por λi (x) ϕi (x) = P . ∞ λj (x) j=1

Como a cobertura ´e localmente finita, a soma no denominador ´e finita em uma vizinhan¸ca compacta de cada ponto e n˜ ao se anula. Logo, cada ϕi ´e C ∞ e a cole¸c˜ ao {ϕi } ´e uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a cobertura {Wi }. Pelo lema 2.3, existe uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a A. Corol´ ario 2.5. Se K ⊂ V ⊂ M , K fechado e V aberto, ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao C ∞ λ : M → [0, 1] tal que λ(x) = 1 para x ∈ K e λ(x) = 0 se x ∈ M \ V . Demonstra¸ c˜ ao. Considere uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a cobertura {V, M \ K}.

2.2

Campos de vetores em variedades

Um campo de vetores C k em um aberto U ⊂ Rm ´e uma aplica¸c˜ ao X : U ⊂ Rm → Rm de classe C k . Uma curva integral de X ´e uma curva diferenci´ avel α : [a, b] → U tal que α′ (t) = X(α(t)) para todo t ∈ [a, b] . Se k ≥ 1, o teorema de unicidade de solu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias estabelece que se duas curvas integrais coincidem em um ponto, ent˜ ao elas coincidem na interse¸c˜ ao dos dom´ınios. Por outro lado, o teorema de existˆencia e diferenciabilidade com rela¸c˜ ao a condi¸c˜ oes iniciais estabelece que para todo x ∈ U existem uma vizinhan¸ca V ⊂ U de x, um n´ umero ǫ > 0 (que depende de x) e uma fun¸c˜ ao ϕ : (−ǫ, +ǫ) × V → U de classe C k tal que

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

• ϕ(0, y) = y para todo y ∈ V ; • t 7→ ϕ(t, y) ´e uma curva integral de X. Se f : U → W ´e um difeomorfismo de classe C k+1 entre abertos de Rm , X : U → Rm e Y : W → Rm s˜ ao campos de vetores C k , ent˜ ao para toda curva integral α de X, f ◦ α ´e curva integral de Y m X = f ∗Y

onde (f ∗ Y )(x) = (Df (x))−1 .Y (f (x)). Dizemos, nesse caso, que o campo X ´e o pull-back de Y pelo difeomorfismo f . ˜i ⊂ Rm ; i ∈ I} um atlas C r , Defini¸ c˜ ao 2.3. Seja {ϕi : Ui ⊂ M → U r ≥ k + 1, em uma variedade M . Um campo de vetores X em M ˜i → Rm de de classe C k ´e uma fam´ılia de campos de vetores Xi : U k classe C tais que ∗ (ϕj ◦ ϕ−1 i ) (Xj |ϕj (Ui ∩Uj ) ) = Xi |ϕi (Ui ∩Uj ) .

O conjunto dos campos de vetores de classe C k em M ´e denotado por Xk (M ). Das equa¸c˜ oes acima segue que (Dϕi (x))−1 (Xi (ϕi (x))) = (Dϕj (x))−1 (Xj (ϕj (x))) para todo x ∈ Ui ∩ Uj . Portanto existe um u ´nico vetor X(x) ∈ T Mx tal que Dϕi (x)X(x) = Xi (ϕi (x)). Portanto um campo de vetores em M ´e uma se¸c˜ ao do fibrado tangente, isto ´e, uma aplica¸c˜ ao X : M → T M tal que π◦X ´e a identidade de M . A diferenciabilidade do campo de vetores coincide com a diferenciabilidade dessa aplica¸c˜ ao. Uma curva integral de X ´e uma curva diferenci´ avel α : (a, b) → M tal que α′ (t) = X(α(t)) para todo t ∈ (a, b). Se β : (c, d) → M ´e outra

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[SEC. 2.2: CAMPOS DE VETORES EM VARIEDADES

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curva integral com β(t0 ) = α(t0 ), ent˜ ao, pelo teorema de unicidade de equa¸c˜ oes diferenciais no Rm , o conjunto dos t ∈ (a, b) ∩ (c, d) tais que α(t) = β(t) ´e aberto. Como esse conjunto ´e obviamente fechado, ele coincide com o intervalo (a, b) ∩ (c, d). Assim as curvas integrais se estendem para uma curva integral definida na uni˜ ao dos dois intervalos. Logo qualquer curva integral se estende a uma curva integral δ : (ω− , ω+ ) → M definida em um intervalo maximal, isto ´e, toda vez que uma curva integral coincide com δ em algum instante t, ent˜ ao seu dom´ınio de defini¸c˜ ao est´ a contido em (ω− , ω+ ) e ela coincide com a restri¸c˜ ao de δ. Proposi¸ c˜ ao 2.6. Se ω+ < ∞, ent˜ ao para todo compacto K ⊂ M existe τ > 0 tal que se t > ω+ − τ , ent˜ ao δ(t) ∈ / K. Analogamente, se ω− > −∞, ent˜ ao δ(t) ∈ / K para todo t suficientemente pr´ oximo de ω− . Demonstra¸ c˜ ao. Se a afirma¸c˜ ao n˜ ao fosse verdadeira, existiria uma sequˆencia tn → ω+ tal que δ(tn ) ∈ K. Como K ´e compacto, passando a uma subsequˆencia se necess´ ario, podemos supor que δ(tn ) → x ∈ K. Por outro lado, existe ǫ > 0, uma vizinhan¸ca V de x e uma fun¸c˜ ao C k ϕ : (−ǫ, ǫ) × V → M tal que ∀y ∈ V , a aplica¸c˜ ao t ∈ (−ǫ, ǫ) 7→ ϕ(t, y) ´e uma curva integral de X com ϕ(0, y) = y. Fixe n tal que ω+ −tn < ǫ, e seja y = δ(tn ) ∈ V . Temos ent˜ ao que δ˜ : (tn −ǫ, tn +ǫ) → M definida ˜ = ϕ(t − tn , y) ´e curva integral de X com δ(t ˜ n ) = δ(tn ). Logo por δ(t) r δ = δ˜ em (tn − ǫ, ω+ ) e assim δ se estende a uma curva integral em (ω− , tn + ǫ), que cont´em estritamente o intervalo (ω− , ω+ ), o que ´e absurdo. Da proposi¸c˜ ao segue, em particular, que se M ´e compacta ou X se anula fora de um compacto de M , ent˜ ao o intervalo maximal de defini¸c˜ ao de toda curva integral de X ´e R. Dizemos que um campo de vetores X ´e completo se toda curva integral de X est´ a definida para toda reta. Assim, se X ´e completo, temos definida uma aplica¸c˜ ao ϕ: R × M → M tal que

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

• ϕ(0, x) = x para todo x ∈ M ; •

∂ϕ ∂t (t, x)

= X(ϕ(t, x)) para todos x ∈ M e t ∈ R.

Proposi¸ c˜ ao 2.7. Seja X um campo de vetores completo de classe C r , r ≥ 1 em uma variedade M de classe C r+1 . Seja Φ: R × M → M a aplica¸c˜ ao tal que para cada x ∈ M a aplica¸c˜ ao t ∈ R 7→ Φ(t, x) ∈ M ´e a curva integral de X que em t = 0 passa por x. Ent˜ ao 1. Φ ´e de classe C r ; 2. As aplica¸c˜ oes Xt : M → M , Xt (x) = Φ(t, x) s˜ ao difeomorfismos de classe C r e a aplica¸c˜ ao t ∈ R 7→ Xt ∈ Dif r (M ) ´e um homomorfismo do grupo aditivo dos n´ umeros reais no grupo dos difeomorfismos de class C r de M com a opera¸c˜ ao de composi¸c˜ ao, isto ´e, i)X0 ´e a identidade de M i) Xt+s = Xt ◦ Xs Demonstra¸ c˜ ao. As aplica¸c˜ oes α, β : R → M definidas por α(t) = Xt+s (x), β(t) = Xt (Xs (x)) s˜ ao curvas integrais de X e α(0) = Xs (x)) = β(0). Logo, pelo teorema de unicidade temos que β = α e, portanto, Xt+s = Xt ◦ Xs . Como X0 ´e a identidade de M temos que cada Xt ´e uma bije¸c˜ ao cujo inverso ´e X−t . Afirmamos que para cada x0 ∈ M existem ǫ > 0 e uma vizinhan¸ca U de x0 em M tais que para todo t ∈ (−ǫ, ǫ) a restri¸c˜ ao de Xt a U ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca de Xt (x0 ). De fato, pelo teorema da diferenciabilidade das solu¸c˜ oes de uma equa¸c˜ ao diferencial em rela¸c˜ ao ` as condi¸c˜ oes iniciais, temos que o fluxo local: φ : (−ǫ, ǫ) × V → M, onde V ´e uma vizinhan¸ca de x0 em M , ´e de classe C r . Pela unicidade temos que para todo x ∈ V , Xt (x) = φ(t, x) para todo t ∈ (−ǫ, ǫ).

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[SEC. 2.2: CAMPOS DE VETORES EM VARIEDADES

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Portanto a restri¸c˜ ao de Xt a V ´e de classe C r . Tomando ǫ suficientemente pequeno e uma pequena vizinhan¸ca U de x0 contida em V temos que, para todo t ∈ (−ǫ, ǫ), Xt (U ) ⊂ V . Logo Xt restrito a U tem uma inversa C r , X−t em portanto ´e um difeomorfismo de U sobre um aberto de M o que prova a afirma¸c˜ ao. Afirmamos que para todo (t, x0 ) ∈ R × M existe uma vizinhan¸ca Vt de x0 tal que a restri¸c˜ ao de Xt a Vt ´e um difeomorfismo sobre um aberto. Pela afirma¸c˜ ao anterior, isto ´e verdade para t suficientemente proximo de 0. Consideremos o conjunto A ⊂ t tais que a afirma¸c˜ ao seja verdadeira para t ∈ A. Pela afirma¸c˜ ao anteriormente provada, se t1 ∈ A ent˜ ao existe vizinhan¸ca V1 de Xt1 (x0 ) e ǫ > 0 tal que a restri¸c˜ ao de Xt a V1 ´e um difeomorfismo para todo t ∈ (−ǫ, ǫ) e, como t1 ∈ A, existe vizinhan¸ca V2 de x0 onde a restri¸c˜ ao de Xt1 ´e um difeomorfismo. Diminuindo essa vizinhan¸ca podemos supor que sua imagem est´ a contida em V1 . Logo a restri¸c˜ ao de Xt1 +t = Xt ◦ Xt1 a Vt1 ´e um difeomorfismo para todo t ∈ (−ǫ, ǫ). Portanto A ´e aberto. Com o mesmo argumento concluimos que A ´e fechado. Logo A = R o que mostra a segunda afirma¸c˜ ao. Como Xt ´e um difeomorfismo local e uma bije¸c˜ ao temos que Xt ´e um difeomorfismo para todo t. Finalmente vamos mostrar que Φ ´e C r em uma vizinhan¸ca de (t0 , x0 ). Seja V uma vizinhan¸ca de Xt0 (x0 ) e ǫ > 0 tal que a restri¸c˜ ao de Φ a (−ǫ, ǫ) × V seja de classe C r . Seja U uma vizinhan¸ca de x0 tal que a restri¸c˜ ao de Xt0 a U seja um difeomorfismo sobre um aberto contido em V . Comos, para (t, x) ∈ (t0 − ǫ, t0 + ǫ) × U temos Φ(t, x) = Φ(t − t0 , Xt0 (x)), temos que a restri¸c˜ ao de Φ a (t, x) ∈ (t0 − ǫ, t0 + ǫ) × U ´e tamb´em Cr. Observa¸ c˜ ao 2.1. Mesmo quando M ´e n˜ ao compacta podemos usar o campo de vetores para construir fam´ılias a um parˆ ametro de mergulhos de regi˜ oes com fecho compacto. De fato, se U ⊂ M ´e uma aberto com fecho compacto, existe ǫ > 0 e uma fam´ılia de mergulhos Xt : U → M , t ∈ (−ǫ, ǫ) tais que para cada x ∈ U , a aplica¸c˜ ao t 7→ Xt (x) ´e uma curva integral de X. Al´em disso, se V ⊂ U tem fecho compacto contido em U ent˜ ao existe 0 < δ < 2ǫ tal que

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Xs+t |V = Xt ◦ Xs |V para todo s, t ∈ (−δ, δ). De fato, basta tomar compactos K1 ⊂ intK2 , com o fecho de U contido no interior de K1 e considerar o campo Y que ´e o produto de X por uma fun¸c˜ ao que vale 1 em K1 e zero fora de K2 . O campo Y ´e completo e seu fluxo Yt quando restrito a U coincide com Xt se t ´e suficientemente pequeno. Lema 2.8. Sejam M uma variedade uma variedade conexa de classe C ∞ e x, y ∈ M, x 6= y. Ent˜ ao existe uma curva mergulhada em M que passa por x e y. Demonstra¸ c˜ ao. Fixemos x e considere A = {z ∈ M ; ∃ um arco mergulhado em M passando por x e z}. Como x tem uma vizinhan¸ca difeomorfa a uma bola, o conjunto A cont´em essa vizinhan¸ca. Afirmamos que A ´e aberto. De fato, se z0 ∈ A e V ´e uma vizinhan¸ca de z difeomorfa a uma bola convexa, podemos interromper o arco ligando x a z0 em um ponto de V e continuar o arco ligando-o a qualquer ponto de uma vizinhan¸ca menor de z0 contida em V usando um arco na bola de raio maior. De fato, seja α : [0, 1] → Rn um arco mergulhado contido na bola de centro 0 e raio 1 cuja imagem n˜ ao cont´em o ponto 0 e ´e tal que a distˆ ancia de α(1) a 0 ´e menor que a distˆ ancia de α(0) a 0. Ent˜ ao a fun¸c˜ ao ρ : [0, 1] → R que associa a cada t o quadrado da distˆ ancia de α(t) a 0 ´e de classe C?∞. Seja r0 um valor regular desta fun¸c˜ ao entre ρ(0) e ρ(1). Seja t0 ∈ (0, 1) o supremo dos t tais que ρ(t) ≥ r0 . Temos ent˜ ao que α([0, t0 ]) n˜ ao interseta a bola aberta de centro 0 e raio r0 e a derivada de ρ em t0 ´e negativa. Logo α(t0 ) pertence ao bordo desta bola e o vetor tangente ` a curva α nesse ponto aponta para o interior da bola. Seja L a reta ligando o ponto α(t0 ) a 0 e E o espa¸co tangente ` a esfera de raio r0 e centro 0 pelo ponto α(t0 ). Como tanto α(t0 −ǫ, t0 +ǫ) quanto a reta L1 ligando α(t0 ) a um ponto z1 da bola de centro 0 e raio r20 s˜ ao transversais ` a E temos que, se ǫ ´e suficientemente pequeno, tanto a imagem desta curva quanto a reta L1 s˜ ao gr´ aficos de fun¸c˜ oes de uma vizinhan¸ca U ⊂ L em uma vizinhan¸ca V ⊂ E de α(t0 ). Isto ´e, existem fun¸c˜ oes C ∞ , β, γ : U → V tais que o grafico de β coincide com α(t0 − ǫ, t0 + ǫ) e o gr´ afico de γ esteja contido em L1 . Tomemos uma fun¸c˜ ao λ : U → [0, 1] de classe C?∞ tal que λ(s) = 1 se s ∈ U est´ a no exterior da bola de

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[SEC. 2.2: CAMPOS DE VETORES EM VARIEDADES

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raio r0 e α(s) = 0 se s est´ a no interior de uma bola de raio r1 < r0 . Finalmente o gr´ afico da fun¸c˜ ao δ(s) = λ(s)β(s) + (1− λ(s))γ(s) uni˜ ao com α([0, t0 ]) e com um segmento da reta L1 nos fornece um arco mergulhado ligando α(0) com z1 . O mesmo argumento mostra que A ´e fechado. Logo A = M . Dizemos que uma subvariedade S ⊂ M de codimens˜ao 1 ´e transversal a um campo de vetores X se para cada x ∈ S, X(x) ´e n˜ ao nulo e n˜ ao pertence ao espa¸co tangente a S em x. ∂ No produto cartesiano R × S, denotamos por ∂t o campo de vetores que em cada ponto (s, x) ´e o vetor tangente ` a curva t → (s + t, x) em t = 0.

Teorema 2.9. (Teorema do Fluxo Tubular) Seja γ : [0, l] → M uma curva integral mergulhada do campo X de classe C k , isto ´e, γ ′ (t) 6= 0 para todo t e γ ´e 1-1. Seja B = B(0, 1) ⊂ Rm−1 a bola unit´aria. Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca W de γ([0, 1]) e um difeomorfismo de ∂ classe C k Ψ : (−ǫ, l + ǫ) × B → W tal que ψ ∗ X = ∂t . Demonstra¸ c˜ ao. Multiplicando o campo X por uma fun¸c˜ ao que vale 1 numa vizinhan¸ca da imagem de γ e vale zero fora de outra vizinhan¸ca compacta obtemos um campo completo que coincide com X em uma vizinhan¸ca da imagem de γ. Assim, podemos supor que X ´e completo e considerar ϕ : R×M → M o seu fluxo. Da´ı γ(t) = ϕ(t, x0 ), onde x0 = γ(0). Seja S ⊂ M uma subvariedade transversal ao campo X no ponto x0 . Como Xt : M → M , Xt (x) = ϕ(t, x), ´e um difeomorfismo, temos que a restri¸c˜ ao de Xt a S ´e um difeomorfismo de S sobre a subvariedade St = Xt (S), que ´e transversal a X em γ(t). Seja V uma vizinhan¸ca de x0 na subvariedade S, ǫ > 0, e ψ : (−ǫ, l + ǫ) × V → M a aplica¸c˜ ao ψ(t, x) = ϕ(t, ϕ(−ǫ, x)). Afirmamos que se ǫ e V s˜ ao suficientemente pequenos, ent˜ ao ψ ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca da imagem de γ. Como ϕ ´e C k , temos que ψ ´e C k . Como Xs ´e um difeomorfismo, ψ leva uma vizinhan¸ca do ponto (s, x) em {s} × V difeomorficamente em uma vizinhan¸ca de ψ(s, x) em Ss−ǫ e sua derivada no ponto (x, s) ∂ leva ∂t em X(ψ(x, s)). Logo a derivada de ψ(x, s) ´e um isomorfismo e, pelo teorema da fun¸c˜ ao inversa, ψ ´e um difeomorfismo local.

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Consequentemente,existe δ > 0 e uma vizinhan¸ca de [0, l] × {x0 }x tal que se (x, s1 ), (x, s2 ) pertencem a essa vizinhan¸ca, s1 6= s2 e ψ(x, s1 ) = ψ(x, s2 ), ent˜ ao |s1 − s2 | ≥ δ. Tomemos ǫ > 0 tal que γ([−ǫ, l + ǫ]) esteja contido nessa vizinhan¸ca. Afirmamos que se V ´e suficientemente pequena, ent˜ ao ψ ´e 1 − 1 ,e, portanto, ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca aberta W da imagem de γ. Caso contr´ ario, existem sequˆencias xn → x0 e tn , sn tais que ψ(xn , tn ) = ψ(xn , sn ). Como |tn − sn | ≥ δ, podemos supor, passando a uma subsequˆencia se necess´ ario, que tn → t, sn → s e |s − t| ≥ δ. Logo ψ(x0 , t) = ψ(x0 , s), o que ´e absurdo. Assim, podemos tomar uma vizinhan¸ca V e um difeomorfismo θ : B → V , tais que ψ : (−ǫ, l + ǫ) × V → W ´e um difeomorfismo. Finalmente, temos que o difeomorfismo Ψ : (−ǫ, l + ǫ) × B → W ∂ definido por Ψ(t, x) = ψ(t, θ(x)) e ´e tal que Ψ∗ X = ∂t . Corol´ ario 2.10. Seja M uma variedade de classe C ∞ e considere um mergulho γ : [0, 1] → M de classe C ∞ . Ent˜ ao existe uma carta local φ : U → Rm tal que a imagem de γ esteja contida em U e sua imagem por φ ´e [0, 1] × {0} ⊂ [0, 1] × Rm−1 . Demonstra¸ c˜ ao. Como a imagem de γ ´e compacta, podemos tomar uma fam´ılia finita de cartas locais φi : Wi → (−3, 3) × B m−1 (0, 3) ∂ tais que Dφi γ ′ (t) = ∂t e a imagem de γ esteja contida na uni˜ ao dos −1 m−1 φi ((−1, 1) × B (0, 1)). Seja Xi o campo de vetores em M que ´e ∂ zero fora de Wi e em Wi coincide com φ∗i (λ ∂t ), onde λ ´e uma fun¸c˜ ao ∞ m−1 n˜ ao negativa,C , que vale 1 em (−1, 1) × B (0, 1)P e vale zero fora de (−2, 2) × B m−1 (0, 2). O campo de vetores X = i Xi , se anula d fora de um compacto e X(γ(t)) ´e um m´ ultiplo positivo de dt γ(t). Logo a curva integral de X pelo ponto γ(0) cont´em a imagem de γ e γ(1) = Xl (γ(0)). O corol´ ario segue ent˜ ao do teorema do fluxo tubular, teorema 2.9. Pelo Lema [?] temos tamb´em, usando o campo de vetores da demonstra¸c˜ ao do corol´ ario acima, que o grupo dos difeomorfismos de uma variedade conexa age transitivamente na variedade, isto ´e : Corol´ ario 2.11. Se M ´e uma variedade conexa de classe C ∞ e x, y ∈ M ent˜ ao existe um difeomorfismo de classe C ∞ f : M → M tal que f (x) = y

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´ [SEC. 2.3: METRICAS RIEMANNIANAS

Observa¸ c˜ ao: Mostraremos mais tarde, teorema 8.17, que se M ´e uma variedade de classe C r , r ≥ 1, ent˜ ao existe uma variedade N de classe C ∞ e um difeomorfismo C r , f : M → N . Usando esse reultado temos que o corol´ ario do teorema do fluxo tubular permanece v´ alido para variedades de classe C r , r ≥ 1, e tamb´em que dados dois pontos distintos x e y em M , existe um difeomorfismo C r que leva x em y.

2.3

M´ etricas Riemannianas

Uma m´etrica Riemanniana de classe C k em um aberto U ⊂ Rm ´e uma aplica¸c˜ ao que em cada x ∈ U associa um produto interno h·, ·ix : Rm × Rm → R tal que para todo par de campos de vetores X, Y : U → Rm de classe C k a fun¸c˜ ao x ∈ U 7→ hX(x), Y (x)ix ∈ R ´e de classe C k . ∂ Sejam ∂x : U → Rm os campos de vetores x 7→ (0, . . . , 1, . . . , 0), i em que a i-´esima coordenada ´e igual a 1 e asDdemais s˜ Eao 0. Considere a ∂ ∂ matriz G(x) = (gij (x))ij , em que gij (x) = ∂x , . Se pensarmos i ∂xj x m cada vetor v ∈ R como uma matriz m × 1, ent˜ ao  gij (x) = gji (x) para todo x ∈ U ∗ . v t · G(x) · v > 0 para todos x ∈ U, v ∈ Rm

Reciprocamente, se uma matriz de fun¸c˜ oes G = (gij ) satisfaz as condi¸c˜ oes acima, ent˜ ao ela define uma m´etrica Riemanniana pela f´ ormula hv, wix = v t · G(x) · w. Se α : [0, 1] → U ´e uma curva C 1 por partes, definimos o comprimento de α por

Z 1

d

l(α) = dt

dt α(t) 0

α(t)



2 d  d d em que dt α(t) α(t) = dt α(t), dt α(t) α(t) .

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Uma m´etrica Riemanniana define uma distˆ ancia d : U × U → R: d(x, y) = inf{l(α); α : [0, 1] → U, C 1 por partes, α(0) = x, α(1) = y}.  d(x, x) = 0    d(x, y) > 0 se x 6= y ´ imediato que : (∗∗) E d(x, y) = d(y, x)    d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Se x ∈ U e V ⊂ U ´e uma vizinhan¸ca compacta de x, ent˜ ao, como as fun¸c˜ oes gij s˜ ao cont´ınuas, existe uma constante C > 0 tal que 1 m C kvkx ≤ kvky ≤ Ckvkx para todo y ∈ V e para todo v ∈ R . Logo a topologia de U definida pela distˆ ancia d ´e a topologia de U como subconjunto de Rm e a fun¸c˜ ao (x, y) 7→ d(x, y) ´e cont´ınua. Assim, dado um compacto K ⊂ U , existe uma constante CK ≥ 1 tal que 1 kx − yk ≤ d(x, y) ≤ CK kx − yk . CK Sejam x ∈ U 7→ h·, ·ix e y ∈ V 7→ h·, ·iy m´etricas Riemannianas C k em U e V respectivamente e d, d˜ as correspondentes fun¸c˜ oes distˆ ancias. Um difeomorfismo f : U → V de classe C k+1 ´e uma isometria se kdf (x).vkf (x) = kvkx para todo v ∈ Rm . Nesse caso, temos tamb´em que

hdf (x).v, df (x).wif (x) = hv, wix ∀x ∈ U e ∀v, w ∈ Rm e

˜ (x), f (y)) = d(x, y) ∀x, y ∈ U. d(f

De maneira similar, uma m´etrica Riemanniana em M , de classe C k , ´e definida como uma aplica¸c˜ ao que a cada x ∈ M associa um produto interno h·, ·ix : T Mx × T Mx → R tal que para todo par de campos de vetores X, Y de classe C k em M , a fun¸c˜ ao x ∈ M 7→ hX(x), Y (x)ix ´e de classe C k .

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´ [SEC. 2.3: METRICAS RIEMANNIANAS

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˜i ⊂ Rm } ´e um atlas C k+1 em M , uma Se {ϕi : Ui ⊂ M → U m´etrica Riemanniana em M pode ser identificada como uma fam´ılia ˜i , tal que as mudan¸cas de coorde m´etricas Riemannianas em cada U denadas s˜ ao isometrias. Mais geralmente, uma forma bilinear sim´etrica de classe C k em M ´e uma fun¸c˜ ao B que associa a cada x ∈ M uma forma bilinear sim´etrica B(x) : T Mx × T Mx → R, tal que para todo par de campos de vetores X e Y de classe C k a aplica¸c˜ ao x 7→ B(x)(X(x), Y (x)) ´e C k . Portanto uma m´etrica Riemanniana ´e uma forma bilinear sim´etrica de classe C k que ´e positiva definida: B(x)(v, v) > 0 se v ∈ T Mx \ {0}. Proposi¸ c˜ ao 2.12. Toda variedade M de classe C k+1 admite uma m´etrica Riemanniana de classe C k . Demonstra¸ c˜ ao. Seja ϕi : Wi → B(0, 3) uma fam´ılia de cartas locais tais que • Wi ´e uma fam´ılia localmente finita; •

∞ S i

Ui = M , onde Ui = ϕ−1 i (B(0; 1)).

Seja λ : Rm → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 1 em B(0, 1) e 0 fora de B(0, 2). Definimos uma forma bilinear sim´etrica Bi em M colocando para x ∈ M e v, w ∈ T Mx  0 se x ∈ / Wi Bi (x)(v, w) = λ(ϕi (x)) · hDϕi (x).v, Dϕi (x).wi se x ∈ Wi , onde h·, ·i ´e um produto interno usual de Rm . Se v ∈ T Mx \ {0}, temos Bi (x)(v, v) ≥ 0 ∀x ∈ M Bi (x)(v, v) > 0 ∀x ∈ Ui . Logo hv, wix :=

∞ P

Bi (x)(v, w) ´e uma m´etrica Riemanniana em M .

i=1

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Exerc´ıcio 2.1. Mostre que d, d′ : M × M → R s˜ ao fun¸c˜ oes distˆ ancias associadas a duas m´etricas riemannianas de M ent˜ ao para todo subconjunto compacto K ⊂ M existe uma constante C ≥ 1 tal que 1 ′ d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ Cd′ (x, y) C para todo x, y ∈ K. Lema 2.13. Seja M uma variedade C k n˜ ao compacta e Ki ⊂ int Ki+1 uma sequˆencia de compactos tais que M = ∪i Ki . Dadas sequˆencias ǫi > 0 e ωi > 0 de n´ umeros positivos, existem fun¸c˜ oes f, g : M → R+ de classe C k tais que para todo x ∈ Ki+1 \ int Ki 0


0 tal que se x ∈ Ki e y ∈ / Ki+1 , ent˜ ao d1 (x, y) > τi . Seja ai = max{1, τ1i } e ∞ tome uma fun¸c˜ ao C g : M → R+ tal que g(x) ≥ ai para todo x ∈ int (Ki+1 ) \ Ki . Defina a m´etrica hv, wix = (g(x))2 hv, wi1x . Se α : [0, 1] → M ´e curva com imagem contida em Ki+1 \ int Ki , com α(0) ∈ ∂Ki e α(1) ∈ ∂Ki+1 , temos que l1 (α) =

Z

1 0



dα 1

(t) dt ≥ τi

dt α(t)

R1 e portanto l(α) = 0 k dα / Ki+p , dt (t)kα(t) dt ≥ 1. Logo, se x ∈ Ki e y ∈ temos que d(x, y) ≥ p. Seja xn uma sequˆencia de Cauchy na m´etrica d. Para m, n ≥ n0 , com n0 suficientemente grande, temos d(xn , xm ) ≤ 1. Assim, existe uma constante N tal que d(x1 , xn ) ≤ N . Se x1 ∈ Ki , ent˜ ao xn ∈ Ki+N para todo n. Portanto xn tem uma subsequˆencia convergente e, portanto, ´e convergente. Defini¸ c˜ ao 2.5. Um subconjunto de um espa¸co topol´ ogico ´e um conjunto residual se cont´em uma interse¸c˜ ao enumer´ avel de subconjuntos abertos e densos. Um espa¸co topol´ ogico ´e chamado de espa¸co de Baire se todo conjunto residual ´e denso. Equivalentemente, um espa¸co de Baire ´e um espa¸co topol´ ogico tal que qualquer uni˜ ao enumer´ avel de subconjuntos fechados com interior vazio tem interior vazio. Proposi¸ c˜ ao 2.15. Todo espa¸co m´etrico completo ´e um espa¸co de Baire. Demonstra¸ c˜ ao. Seja {An , n ∈ N} uma cole¸c˜ ao enumer´ avel de subconjuntos abertos e densos em um espa¸co m´etrico completo (M, d). Seja B(x, r) a bola aberta de centro x e raio r. Devemos mostrar que B(x, r) intersecta a interse¸c˜ ao dos An ´s. Como A1 ´e aberto e denso, existe x1 ∈ A1 ∩B(x, r) e 0 < r1 < 2r tal que B(x1 , 2r1 ) ⊂ A1 ∩B(x, r). Como A2 ´e aberto e denso, existe x2 ∈ B(x1 , r1 ) e 0 < r2 < r21 tal que

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

B(x2 , 2r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ A2 . Por indu¸c˜ ao, constru´ımos sequˆencias xn e rn tais que 0 < rn < rn−1 e 2 B(xn , 2rn ) ⊂ B(xn−1 , rn−1 ) ∩ An ⊂ A1 ∩ · · · ∩ An . Ent˜ ao a sequˆencia xn ´e de Cauchy e, como o espa¸co ´e completo, converge a um ponto x. Por constru¸c˜ ao, o ponto x pertence ao fecho da bola B(xn , rn ) para todo n e, portanto pertence ` a interse¸c˜ ao dos An . Corol´ ario 2.16. Toda variedade ´e um espa¸co de Baire. Proposi¸ c˜ ao 2.17. Seja X um campo de vetores de classe C k , k ≥ 1, em uma variedade M de classe C k+1 . Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao C k f : M → R, positiva, tal que o campo de vetores Y = f X ´e completo. Demonstra¸ c˜ ao. Seja M =

∞ S

i=1

Ki , Ki ⊂ int Ki+1 , Ki compactos.

Seja < ·, · > uma m´etrica Riemanniana em M e δi = max{kX(x)kx ; x ∈ Ki \ int Ki−1 }. Escolha ǫi > 0 tal que qualquer curva C 1 por partes contida em Ki \ int Ki−1 , que una um ponto de ∂Ki−1 a um ponto ∂Ki , tenha comprimento maior ou igual a ǫi . Considere γ : [0, T ] → M uma curva integral de X com as condi¸c˜ oes γ(0) ∈ ∂Ki−1 , γ(T ) ∈ ∂Ki e γ(t) ∈ Ki \ int Ki−1 para todo t ∈ [0, T ]. Temos que

Z T

dγ

(t) T δi ≥ dt ≥ ǫi .

dt 0 γ(t)

Logo T ≥

ǫi δi

(observe que se δi = 0, ent˜ ao n˜ ao existe uma tal γ).

Seja f : M → R+ uma fun¸c˜ ao de classe C k tal que f (x) ≤ δǫii para todo x ∈ Ki \int Ki−1 . De f ser positiva, uma curva β : [0, T ′ ] → M ´e curva integral de Y = f.X se, e somente se, β ´e uma reparametriza¸c˜ ao de γ por um aplica¸c˜ ao crescente α : [0, T ′ ] → [0, T ]. Ent˜ ao β ´e curva integral do campo Y se, e somente se, α′ (t) = f (β(t)). Pelo teorema

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˜ [SEC. 2.4: DENSIDADE DAS FUNC ¸ OES DE CLASSE C ∞ ′

do valor m´edio, T /T ′ ≤ δi /ǫi ≤ T , e portanto T ≥ 1, isto ´e, uma curva integral de Y leva pelo menos tempo 1 para atravessar cada faixa Ki \ intKi−1 . Assim, se β : (ω− , ω+ ) → M ´e uma curva integral maximal de Y , com β(0) ∈ Ki0 e T > 0, ´e tal que β(T ) ∈ / Ki0 +N , ent˜ ao T ≥ N . Portanto ω+ = ∞. Analogamente ω− = −∞. Teorema 2.18. Seja M uma variedade C ∞ e F ⊂ M um subconjunto fechado. Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao f : M → R n˜ ao negativa, de classe C ∞ , tal que f (x) = 0 se, e somente se, x ∈ F . Demonstra¸ c˜ ao. Seja d a fun¸c˜ ao distˆ ancia associada a uma m´etrica Riemanniana de M e seja d(x, F ) = inf {d(x, y); y ∈ F }. Consideremos a sequˆencia de vizinhan¸cas de F :   1 Vi = x ∈ M ; d(x, F ) ≤ i Pelo corol´ ario do teorema 2.4, existe uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ que vale 1 em F e zero fora de Vi . Logo existe uma fun¸c˜ ao n˜ ao negativa fi : M → R que vale zero em F e vale 1 no complementar de Vi . Afirmamos P que existem constantes ǫi > 0 tais que para cada x ∈ ∞ c˜ ao f ´e de classe M a s´erie i=1 ǫi fi (x) converge a f (x) e a fun¸ ´ claro que o teorema segue da afirma¸c˜ C ∞. E ao pois f se anula em F e ´e positiva no complementar de F .. Resta provar a afirma¸c˜ ao. Consideremos uma fam´ılia enumer´ avel ϕj : Wj → B m (0; 3) ⊂ Rm de m cartas locais tais que M = ∪j ϕ−1 j B (0; 1) e que {Wj ; j ∈ N} seja m uma cobertura localmente finita. Seja fi,j = fi ◦ ϕ−1 j : B (0; 3) → R. m Para cada i tomemos ǫi > 0 tal que para todo x ∈ B (0; 1), para todo j ≤ i e para todo k ≤ i temos ǫi kDk fi,j (x)k ≤

1 . 2i

P∞ Temos portanto que ( i=1 ǫi Dk fi )◦ϕ−1 j converge uniformemente em B m (0, 1) para todo j e para todo k. Logo f ´e C k para todo k.

2.4

Densidade das fun¸c˜ oes de classe C ∞

Seja M uma variedade de classe C ∞ . Nessa se¸c˜ ao definiremos uma topologia no espa¸co C 0 (M, Rk ) chamada topologia C 0 de Whitney, e

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˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

mostraremos que as fun¸c˜ oes de classe C ∞ s˜ ao densas nessa topologia. ˜ ⊂ C 0 (M, Rk ) Para cada subconjunto aberto U ⊂ M × Rk , seja U o conjunto das fun¸c˜ oes g, cujo gr´ afico, {(x, g(x)) ∈ M × Rk ; x ∈ M } ˜ } define uma ´ esteja contido em U . E f´ acil verificar que a fam´ılia {U 0 k topologia em C (M, R ), isto ´e, o conjunto vazio e o espa¸co total pertencem ` a fam´ılia, a uni˜ ao de conjuntos de qualquer subfam´ılia pertence ` a fam´ılia, e a interse¸c˜ ao de um n´ umero finito de elementos da fam´ılia pertence ` a fam´ılia. Vamos a seguir construir uma base de vizinhan¸cas para cada f ∈ C 0 (M, Rk ). Sejam Ki uma fam´ılia enumer´ avel de compactos cobrindo M com Ki contido no interior de Ki+1 . Consideremos os subconjuntos compactos Li = Ki \ int (Ki−1 ) (L1 = K1 ). Seja ǫ = (ǫi ) uma sequˆencia de n´ umeros positivos. Definimos ent˜ ao V(f ; ǫ) = {g ∈ C 0 (M, Rk ); kf (x) − g(x)k < ǫi ∀x ∈ Li }. Como Li ´e compacto, o conjunto U = {(x, y) ∈ M × Rk ; ky − f (x)k < ǫi se x ∈ Li } ˜ ´e uma vizinhan¸ca aberta de f . Por ´e aberto, de modo que V(f ; ǫ) = U outro lado, seja V ´e um subconjunto aberto de M × Rk que cont´em o gr´ afico de f . Como Li ´e compacto, existe ǫi > 0 tal que se x ∈ Li e ||y − f (x)|| < ǫi , ent˜ ao (x, y) ∈ V . Tomando ǫ = (ǫi ) temos que V(f ; ǫ) ⊂ V˜ e, portanto, a fam´ılia V(f, ǫ) ´e uma base de vizinhan¸cas de f . Como para cada sequˆencia ǫ existe uma fun¸c˜ ao C ∞ positiva ǫ : M → R tal que ǫ(x) < ǫi para todo x ∈ Li , temos que a fam´ılia V(f ; ǫ) = {g ∈ C 0 (M, Rk ); ||f (x)−g(x)|| < ǫ(x)} tamb´em ´e uma base de vizinhan¸cas de f . Teorema 2.19. O conjunto C ∞ (M, Rk ) ´e denso em C 0 (M, Rk ). Demonstra¸ c˜ ao. Seja V(f ; ǫ) uma vizinhan¸ca de f . Queremos mostrar que essa vizinhan¸ca cont´em uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ . Como anteriormente, consideremos uma m´etrica Riemanniana em M tal que o comprimento de uma curva ligando um ponto do compacto Ki com um ponto do complementar de Ki+1 seja maior ou igual a 1 e seja d a correspondente fun¸c˜ ao distˆ ancia. Como a restri¸c˜ ao

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˜ [SEC. 2.4: DENSIDADE DAS FUNC ¸ OES DE CLASSE C ∞

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de f a um compacto ´e uniformemente cont´ınua, temos que, para cada i existe 0 < δi < 1 tal que se x ∈ Li e d(y, x) < δi ent˜ ao ||f (x) − f (y)|| < min {ǫi−1 , ǫi , ǫi+1 }. Observamos que se x ∈ Li , ent˜ ao a bola B(x, δi ) est´ a contida no compacto Ki+1 \ int Ki−2 . Para cada i tomamos uma cobertura finita de Li por bolas de centro em Li e raio δi . A cole¸c˜ ao Uj de todas essas bolas ´e uma cobertura localmente finita de M . Tome uma parti¸c˜ ao da unidade λj subordinada a essa cobertura. Para cada j, seja xj ∈ Uj o centro da P bola e definimos g(x) = j λj (x)f (xj ). Temos que na vizinhan¸ca de cada x, apenas um n´ umero finito de λj n˜ ao se anulam e, portanto, g est´ a bem definida e ´e uma fun¸c˜ ao C ∞ . Seja x ∈ Li . Se λj (x) 6= 0, ent˜ ao o centro xj da bola Uj pertence a Li−1 ∪ Li ∪ Li+1 e portanto ||f (x) − f (xj )|| < ǫi . Logo



X X

kf (x) − g(x)k = λj (x)f (x) − λj (x)f (xj )

j

j X ≤ λj (x)||f (x) − f (xj )|| < ǫi . j

Corol´ ario 2.20. Seja f ∈ C 0 (M, Rk ) tal que a restri¸c˜ ao de f a um subconjunto aberto V ⊂ M ´e de classe C ∞ . Seja K ⊂ V um subconjunto compacto. Dada uma vizinhan¸ca V de f existe uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ g tal que g ∈ V e g(x) = f (x) para todo x ∈ K. Demonstra¸ c˜ ao. Seja φ : M → [0, 1] uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ que vale 1 em K e 0 fora de uma vizinhan¸ca de K cujo fecho est´ a contido ´ f´ em V . E acil ver que existe uma vizinhan¸ca V1 de f tal que se g ∈ V1 , ent˜ ao φf + (1 − φ)g ∈ V. Logo basta tomar g de classe C ∞ . Usando esse corol´ ario, vamos provar agora uma consequˆencia do Lema de Sard que ´e um fato importante em topologia. Teorema 2.21. Seja Dn a bola fechada de raio 1 em Rn e S n−1 a esfera unit´ aria. N˜ao existe uma retra¸c˜ ao da bola na esfera, isto ´e, uma fun¸c˜ ao cont´ınua r : Dn → S n−1 tal que r(x) = x para todo x ∈ S n−1 .

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52

˜ DA UNIDADE E APLICAC ˜ [CAP. 2: PARTIC ¸ AO ¸ OES

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos por absurdo que existe uma retra¸c˜ ao r : Dn → S n−1 . Seja f : Rn → S n−1 ⊂ Rn definida por f (x) = r(2x) x se kxk ≤ 12 e f (x) = kxk se kxk ≥ 12 . Temos que f ´e cont´ınua e sua restri¸c˜ ao ao complementar da bola de raio 12 ´e C ∞ . Pelo corol´ ario anterior, existe g de classe C ∞ que coincide com f em uma vizinhan¸ca da esfera S n−1 , tal que kf (x) − g(x)k ≤ 21 se kxk ≤ 1. De kf (x)k = 1 g(x) para todo x ∈ Dn , segue que g(x) 6= 0 e, portanto, ρ(x) = kg(x)k ´e uma retra¸c˜ ao C ∞ que de fato coincide com f em uma vizinhan¸ca da esfera. Pelo Lema de Sard, podemos tomar um valor regular y de ρ. Como cada componente conexa da pr´e-imagem de y ´e uma variedade de dimens˜ ao um, a componente conexa que cont´em y ´e um intevalo fechado tendo y como uma das extremidades. A outra extremidade n˜ ao pode estar nem no interior da bola unit´ aria nem no bordo pois, nesse caso, seria um ponto fixo de ρ diferente de y o que ´e absurdo. Corol´ ario 2.22. (Teorema do ponto fixo de Brouwer. Toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : Dn → Dn tem um ponto fixo. Demonstra¸ c˜ ao. Se f (x) 6= x para todo x ∈ Dn , temos, pela compacidade de D, que existe δ > 0 tal que ||f (x)−x|| ≥ δ para todo x ∈ D. Poodemos definir uma retra¸c˜ ao cont´ınua r : Dn → S n−1 por: r(x) ´e n−1 a interse¸c˜ ao com S da semi-reta que come¸ca em f (x) e passa por x. A retra¸c˜ ao ´e cont´ınua pois se xn → x ent˜ ao f (xn ) → f (x) e, como ||f (x) − x|| ≥ δ, r(xn ) → r(x). O espa¸co C ∞ (M, Rk ) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao infinita que, como vimos, ´e denso no espa¸co das fun¸c˜ oes cont´ınuas. Seja agora M uma variedade complexa compacta. Como M ´e tamb´em uma variedade C ∞ , o espa¸co vetorial real C ∞ (M, C) ´e de dimens˜ao infinita e cont´em o espa¸co vetorial das aplica¸c˜ oes holomorfas. No entanto, vale a seguinte proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 2.23. Se M ´e uma variedade complexa, compacta e conexa, ent˜ ao toda fun¸c˜ ao holomorfa f : M → C ´e constante. Demonstra¸ c˜ ao. A aplica¸c˜ ao x ∈ M 7→ |f (x)| ∈ R ´e cont´ınua e portanto tem um m´ aximo num ponto x0 e assim, f ´e constante. Isto

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˜ [SEC. 2.4: DENSIDADE DAS FUNC ¸ OES DE CLASSE C ∞

53

porque, pela f´ ormula integral de Cauchy, uma fun¸c˜ ao holomorfa de uma vari´ avel complexa cujo valor absoluto tem um m´ aximo local ´e localmente constante. Logo o mesmo ocorre para uma fun¸c˜ ao de v´ arias vari´ aveis complexas, pois para todo vetor unit´ ario v ∈ Cn a aplica¸c˜ ao holomorfa de uma vari´ avel complexa z 7→ f (x0 + zv) ´e constante.

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Cap´ıtulo 3

Aplica¸ c˜ ao Exponencial

Nesse cap´ıtulo mostraremos a existˆencia e propriedades das geod´esicas de uma metrica Riemanniana em uma variedade. Mostraremos a existˆencia de vizinhan¸cas geod´esicamente convexas.

3.1

A equa¸ c˜ ao das geod´ esicas

Consideremos uma m´etrica Riemanniana em um aberto U ⊂ Rm , x ∈ U 7→ h·, ·ix : U × U → R,

D E ∂ e a matriz da m´etrica, G(x) = (gij (x)), com gij (x) = ∂x , ∂ . i ∂xj x m P def Escrevemos hv, wi = vi wi , v, w ∈ Rm , para o produto interno i=1

canˆ onico de Rm , de modo que

hv, wix = hG(x)v, wi . A energia de um caminho C 1 por partes α : [0, 1] → U ´e definida como Z 1 Z 1 E(α) = lα′ (t), α′ (t)iα(t) dt = hG(α(t))α′ (t), α′ (t)idt. 0

0

Uma varia¸c˜ ao (pr´ opria) de α ´e uma aplica¸c˜ ao δϕ : [0, 1] → Rm , ∞ de classe C , tal que δϕ(0) = δϕ(1) = 0. A varia¸c˜ ao de energia de α na dire¸c˜ ao de δϕ ´e definida por 54

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55

˜ DAS GEODESICAS ´ [SEC. 3.1: A EQUAC ¸ AO

δE(α) · δϕ =

d (E(α + sδϕ)) ds s=0

Defini¸ c˜ ao 3.1. Dizemos que α ´e uma geod´esica se δE(α) · δϕ = 0, para toda varia¸c˜ ao δϕ. Mais geralmente, podemos definir um funcional no espa¸co de caminhos C 1 por partes a partir de uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ L : U × Rm → R. Para cada α : [0, 1] → U , C 1 por partes, colocamos Z 1 S(α)= L(α(t), α′ (t)) dt. 0

Dizemos que α ´e ponto cr´ıtico do funcional S se d (S(α + sδϕ)) = 0 para toda δϕ. ds s=0

Em particular, uma geod´esica ´e um ponto cr´ıtico do funcional energia. Um ponto cr´ıtico do funcional S deve satisfazer uma equa¸c˜ ao diferencial, a qual vamos deduzir a seguir. Por defini¸c˜ ao S(α + sδϕ) = Da´ı, se (1) = (1) =

Z

1 0



Z

d ds (S(α

1

L(α(t) + sδϕ(t), α′ (t) + s(δϕ)′ (t)) dt. 0

+ sδϕ))

s=0

, ent˜ ao

∂L ∂L (α(t), α′ (t)) · δϕ(t) + (α(t), α′ (t)) · (δϕ)′ (t)) ∂x ∂v

Por outro lado (integra¸c˜ ao por partes), d dt



∂L (α(t), α′ (t)) · δϕ(t) ∂v



=

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dt.

56

˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

=

  ∂L d ∂L (α(t), α′ (t))(δϕ)′ (t) + (α(t), α′ (t)) · δϕ(t). ∂v dt ∂v

Como δϕ(0) = δϕ(1) = 0, temos    Z 1 ∂L d ∂L ′ ′ (1) = (α(t), α (t)) − (α(t), α (t)) · δϕ(t) dt. ∂x dt ∂v 0 Portanto

(2)

d (S(α + sδϕ)) = 0 ∀ δϕ ds s=0 m   ∂L d ∂L (α(t), α′ (t)) − (α(t), α′ (t)) = 0 ∀ t. ∂x dt ∂v

A equa¸c˜ ao (2) ´e chamada Equa¸c˜ ao de Euler-Lagrange. Vamos expressar agora as equa¸c˜ oes de Euler-Lagrande no caso do funcional energia L(x, v) = hG(x) · v, vi. Por um lado temos ∂L (x, v) · u = hDG(x)(u, v), vi. ∂x Por outro lado, como G associa a cada x ∈ U uma transforma¸c˜ ao linear sim´etrica G(x) de Rm , DG(x) ´e uma aplica¸c˜ ao linear de Rm no espa¸co das transforma¸c˜ oes lineares sim´etricas de Rm , e assim, uma transforma¸c˜ ao bilinear de Rm , que em geral n˜ ao ´e simetrica. A transforma¸c˜ ao trilinear (u, v, w) 7→ hDG(x)(u, v), wi ´e sim´etrica em v e w, mas n˜ ao em u e v. ∂L (x, v) · u = ∂v =   d ∂L (α(t), α′ (t)) · u = dt ∂v

hG(x) · u, vi + hG(x) · v, ui 2hG(x) · u, vi

(G(x) ´e sim´etrico)

d (2hG(α(t)) · α′ (t), ui) dt

= 2hDG(α(t))(α′ (t), α′ (t)), ui + 2hG(α(t)) · α′′ (t), ui

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57

˜ DAS GEODESICAS ´ [SEC. 3.1: A EQUAC ¸ AO

Logo, α ´e uma geod´esica se, e somente se, para todo u a equa¸c˜ ao abaixa ´e verificada: hG(α(t)) · α′′ (t), ui =

1 hDG(α(t))(u, α′ (t)), α′ (t)i− 2 − hDG(α(t))(α′ (t), α′ (t)), ui.

Tomando u = G(α(t))−1 · w e usando a simetria de G, temos que α ´e uma geod´esica se, e somente se, a equa¸c˜ ao abaixo ´e satisfeita para todo w: hα′′ (t), wi =

1 hDG(α(t))((G(α(t)))−1 w, α′ (t)), α′ (t)i− 2 − hDG(α(t))(α′ (t), G(α(t))−1 w), α′ (t)i.

Escrevendo α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) e w = hα′′ (t), wi

=

α′ (t)

=

∂ ∂xk

=

G−1 (x) ·

∂ ∂xk ,

d2 xk , dt2 n X dxi ∂ dt ∂xi i=1 n X

g mk (x)

m=1

temos

e ∂ . ∂xm

Assim,   DG(α(t)) G−1 (α(t)) ∂x∂ k , α′ (t) =   Pn ∂ ∂ i = i,m=1 g mk dx dt DG(α(t)) ∂xm , ∂xi =

=

Pn

i g mk dx dt  P

i,m=1

Pn

j=1

n i,m=1

Pn

∂gji ∂ j=1 ∂xm ∂xj ∂g

ji i g mk dx dt ∂xm



∂ ∂xj .

Analogamente,   X  n X n  ∂ ∂ mk dxi ∂gjm ′ −1 g DG(α(t)) α (t), G (α(t)) = . ∂xk dt ∂x ∂x i j j=1 i,m=1

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58

˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

Portanto as coordenadas de α(t) devem satisfazer a equa¸c˜ ao diferencial:   n X n X d2 xk ∂gjm mk dxi dxj 1 ∂gij = g − dt2 dt dt 2 ∂xm ∂xi j=1 i,m=1 ou ainda, n X n X d2 xk dxi dxj = − Γkij , 2 dt dt dt i=1 j=1

em que Γkij = 2

n X

m=1

g mk



∂gim ∂gji ∂gjm + − ∂xi ∂xj ∂xm



s˜ ao os chamados s´ımbolos de Christoffel. Do teorema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ oes das equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias e do teorema da diferenciabilidade das solu¸c˜ oes com respeito ` as condi¸c˜ oes iniciais, podemos concluir as seguintes propriedades sobre geod´esicas: • Dados x ∈ U e v ∈ Rm , existe uma u ´nica geod´esica α : (−ε, ε) → U tal que α(0) = x e α′ (0) = v; • Dado x0 ∈ U , existem vizinhan¸cas V de x0 , W de 0 em Rm , um n´ umero ε > 0 e uma fun¸c˜ ao ϕ : (−ε, ε) × V × W → U , de classe C ∞ , tal que t 7→ ϕ(t, x, v) ´e a geod´esica que passa por x em t = 0 com velocidade v; • A norma do vetor tangente ` a geod´esica, ||α′ (t)||α(t) , ´e constante; • Se α : (−ε, ε) → U ´e uma geod´esica e c > 0, ent˜ ao β(t) = α(ct) ´e uma geod´esica definida em (−c−1 ε, c−1 ε). Da u ´ltima propriedade conclu´ımos o seguinte. Para todo x0 ∈ U existem ε > 0 e uma vizinhan¸ca V ⊂ U de x0 tais que se x ∈ V e ||v|| < ε, ent˜ ao a geod´esica α tal que α(0) = x e α′ (0) = v est´ a

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59

˜ DAS GEODESICAS ´ [SEC. 3.1: A EQUAC ¸ AO

definida no intervalo (−2, 2). Definimos ent˜ ao a fun¸c˜ ao exponencial exp : V × B(0, ε) → U por exp(x, v) = α(1). Temos ent˜ ao que exp ´e de classe C ∞ . Para x fixo, n˜ ao ´e dif´ıcil verificar que derivada da aplica¸c˜ ao expx em 0 ´e a identidade. Assim, se ǫ ´e suficientemente pequeno, temos que expx ´e um difeomorfismo da bola B(0, ε) sobre uma vizinhan¸ca de x, chamada uma vizinhan¸ca normal de x. Resumimos esta discuss˜ ao no seguinte teorema. Teorema 3.1. Seja M uma variedade Riemanniana. Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua positiva ε : M → R+ e uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ ϕ : (−2, 2) × Vε → M , em que Vε = {(x, v) ∈ T M ; ||v||x < ε(x)}, tal que se (x, v) ∈ Vε , ent˜ ao t 7→ ϕ(t, x, v) ´e a geod´esica que em t = 0 passa por x com velocidade v. Al´em disso, para cada x a aplica¸c˜ ao expx :

B(0, ε) ⊂ T Mx v

−→ 7−→

M ϕ(1, x, v)

´e um difeomorfismo sobre sua imagem, que ´e uma vizinhan¸ca de x em M . Como a fun¸c˜ ao exponencial ´e cont´ınua, em ambas as vari´ aveis, temos tamb´em o seguinte corol´ ario. Corol´ ario 3.2. Seja ε : M → R+ como no teorema 3.1. Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua δ : M → R+ com a seguinte propriedade: para todo y ∈ expx (B(0, δ(x))), temos que expy (B(0, ε(x))) cont´em expx (B(0, δ(x))). ´ claro que se M ´e compacta, ent˜ E ao podemos tomar tanto ε quanto δ constantes. Antes do pr´ oximo corol´ ario, definimos a importante no¸c˜ ao de homotopia entre aplica¸c˜ oes cont´ınuas. Defini¸ c˜ ao 3.2. Sejam f, g : M → N aplica¸c˜ oes cont´ınuas. Dizemos que f e g s˜ ao homot´ opicas se existe uma aplica¸c˜ ao H : M ×[0, 1] → N tal que H(0, x) = f (x) e H(1, x) = g(x) para todo x ∈ M . Se f e g s˜ ao de classe C r , dizemos que f e g s˜ ao C r -homot´ opicas se podemos escolher uma homotopia H de classe C r .

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60

˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

´ f´ E acil verificar que a rela¸c˜ ao f ∼ g se, e somente se, f e g s˜ ao homot´ opicas ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia. Se H ´e uma homotopia entre f e g, ent˜ ao escolhendo τ : [0, 1] → [0, 1] mon´ otona de classe C ∞ tal que vale 0 pr´ oximo de t = 0 e vale 1 pr´ oximo de t = 1, podemos ˜ x) = H(τ (t), x), de modo modificar a homotopia H colocando H(t, ˜ ´e ainda uma homotopia entre f e g (de classe C r se H o for) que H ˜ x) = f (x) para t pr´ ˜ x) = g(x) para e satisfaz H(t, oximo de 0 e H(t, t pr´ oximo de 1. Usando esta observa¸c˜ ao, mostraremos agora que a rela¸c˜ ao de homotopia C r tamb´em ´e de equivalˆencia. De fato, se f1 ´e r C -homot´ opica a f2 e f2 ´e C r -homot´ opica a f3 , ent˜ ao podemos tomar homotopias Hj : [0, 1] × M → N de classe C r , j = 1, 2, tais que 1 4 3 H1 (t, x) = f2 (x) se t ≥ 4 1 H2 (t, x) = f2 (x) se t ≤ 4 3 H2 (t, x) = f3 (x) se t ≥ , 4 H1 (t, x) = f1 (x) se t ≤

ent˜ ao H(t, x) =

(

H1 (2t, x) H2 (2t − 1, x)

se t ≤ 21 se t ≥ 21 .

´e uma homotopia de classe C r entre f1 e f3 .

Corol´ ario 3.3. Seja f : P → M uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V ⊂ C 0 (P, M ) de f tal que: 1. se g ∈ V, ent˜ ao g ´e homot´ opica a f ; 2. se g0 , g1 ∈ V s˜ ao de classe C ∞ , ent˜ ao existe uma homotopia ∞ C entre g0 e g1 . Demonstra¸ c˜ ao. Sejam ε, δ : M → R+ como no teorema 3.1. O conjunto U = {(x, y) ∈ P × M ; y ∈ expf (x) (B(0, δ(x)))} ´e aberto e o conjunto V das fun¸c˜ oes cont´ınuas cujo gr´ afico est´ a contido em U ´e uma vizinhan¸ca de f . Se g pertence a essa vizinhan¸ca, ent˜ ao ft (x) = expf (x) (t(expf (x) )−1 (g(x)))

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[SEC. 3.2: VIZINHANC ¸ A TUBULAR

61

´e uma homotopia entre f e g, o que conclui o primeiro item. Suponha agora g0 , g1 ∈ V de classe C ∞ . Consideremos uma fun¸c˜ ao C ∞ τ : [0, 1] → [0, 1] que ´e igual a 0 em uma vizinhan¸ca de 0 e igual a 1 em uma vizinhan¸ca de 1. Podemos ent˜ ao definir uma homotopia C ∞ entre g0 e g1 colocando   H(t, x) = expg0 (x) τ (t)(expg0 (x) )−1 (g1 (x)) .

3.2

Vizinhan¸ca tubular

Defini¸ c˜ ao 3.3. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana e S ⊂ M uma subvariedade. Definimos o fibrado normal de S em M por  T ⊥ S := (x, v) ∈ T M ; x ∈ S e v ∈ T Sx⊥ . Proposi¸ c˜ ao 3.4. Se S ´e uma subvariedade de class C ∞ ent˜ ao o fibrado normal ´e uma variedade de classe C ∞ e a aplica¸c˜ ao π : T ⊥ S → S, (x, v) 7→ x ´e uma fibra¸c˜ ao localmente trivial. Demonstra¸ c˜ ao. Tomamos uma cobertura de S por dom´ınios de cartas locais φi : Ui → Rs × Rn−s tais que φi (S ∩ Ui ) = Rs × {0}. i Usando essas cartas, construimos campos de vetores X1i , . . . , Xm em U1 com as seguintes propriedades i 1. para todo x ∈ Ui os vetores X1i (x), . . . , Xm (x) formam uma base de T Mx ;

2. se x ∈ S os vetores X1i (x), . . . , Xsi (x) s˜ ao tangentes a S no ponto x. Sejam Y1i , . . . , Ymi : Ui → T M os campos de vetores obtidos

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˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

pelo processo de ortogonaliza¸c˜ ao de Gram-Schmidt, isto ´e, X1i (x)

Y1i (x) =

X i (x) 1

x

.. .

Xri (x) −

r−1 P j=1

< Xji (x), Yji (x) >x Yji (x)

Yri (x) =

r−1 P

i

i i i < Xj (x), Yj (x) >x Yj (x) .

Xr (x), −

j=1

Esses campos s˜ ao ortonormais e, para cada ponto x ∈ Vi = i S ∩ Ui , os vetores Ys+1 (x), . . . , Ymi (x) constituem uma base ortonormal do fibrado normal. Portanto temos uma bije¸c˜ ao X Φi : Vi × Rm−s → π −1 (Vi ); (x, u) 7→ (x, uj Yji (x)). j

Como a matriz de mudan¸ca de bases ortonormais ´e uma matriz orgotonal e os campos s˜ ao de classe C ∞ existem fun¸c˜ oes de classe C ∞ ρij : Vi ∩ Vj → O(n) tais que n−s Φ−1 → (Vi ∩ Vj ) × Rn−s j ◦ Φi : (Vi ∩ Vj ) × R

´e o difeomorfismo C ∞ (x, u) 7→ (x, ρij (x)(u). Logo o fibrado normal tem uma u ´nica estrutura de variedade na qual os φi s˜ ao difeomorfismos o que conclui a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao.

Teorema 3.5. (Vizinhan¸ ca tubular) Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana e S ⊂ M uma subvariedade compacta sem bordo de classe C ∞ . Seja π : N = T ⊥ S → S o fibrado normal de S em M . Ent˜ ao existe δ > 0 tal que se Nδ = {(x, v) ∈ N ; ||v|| < δ}, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f: Nδ → M (x, v) 7→ expx v

´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca de S em M , chamada uma vizinhan¸ca tubular de S, de modo que existe um mergulho N ֒→ M

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[SEC. 3.2: VIZINHANC ¸ A TUBULAR

63

tal que a composta da se¸c˜ ao nula com esse mergulho ´e a inclus˜ ao de S em M . Demonstra¸ c˜ ao. A derivada da aplica¸c˜ ao de f no ponto (x, 0), para todo x ∈ S, ´e a identidade. Logo a aplica¸c˜ ao ´e um difeomorfismo local numa vizinhan¸ca de {(x, 0); x ∈ S}. Portanto existe δ1 > 0 tal que se δ > 0 ´e suficiente pequeno e d(x, y) < δ1 , ||v||x < δ, ||w||y < δ, ent˜ ao expx v 6= expy w. δ Por outro lado, existe ε > 0 tal que d(x, expx v) < 10 sempre que ||v||x < ε. Logo se d(x, y) ≥ δ e ||v||x < ε, kwky < ε, temos que vale d(expx v, expy w) ≥ 8δ > 0. Portanto f ´e biun´ıvoca nesta vizinhan¸ca e logo um difeomorfismo sobre sua imagem, que ´e uma vizinhan¸ cade  v S. Note tamb´em que Nδ → N definido por (x, v) 7→ x, δ−||v|| ´e difeomorfismo.

Observa¸ c˜ ao 3.1. 1. O teorema ´e tamb´em verdadeiro para variedades n˜ ao compacta mergulhadas. Basta construir, usando novamente a aplica¸c˜ ao exponencial uma aplica¸c˜ ao de uma vizinhan¸ca da se¸c˜ ao nula da forma {(x, v); ||v||x < ǫ(x) onde ǫ ´e uma fun¸c˜ ao C ∞ escolhida de tal modo que essa aplica¸c˜ ao seja um difeomorfismo. 2. Se M ´e de classe C ∞ e S ´e de classe C r com r ≥ 2 a prova do teorema fornece uma vizinhan¸ca tubular de classe C r−1 . A mesma prova n˜ ao se aplica se S ´e de classe C 1 pois, nesse caso, o fibrado normal ´e apenas de classe C 0 e n˜ ao podemos usar o teorema da fun¸c˜ ao inversa. Nesse caso podemos ainda obter uma vizinhan¸ca tubular usando o teorema de aproxima¸c˜ ao de fun¸c˜ oes cont´ınuas por fun¸c˜ oes C ∞ que demonstraremos no cap´ıtulo 8. Com esse resultado construimos um fibrado de classe C 1 sobre S cuja fibra por um ponto x ´e um subespa¸co de T Mx proximo ao subespa¸co normal a S e, usando esse fibrado construimos a vizinhan¸ca tubular como na prova acima. Corol´ ario 3.6. Seja S ⊂ M uma subvariedade compacta. Ent˜ ao existe uma m´etrica Riemanniana em M tal que toda geod´esica tangente a S esteja contida em S (dizemos que S ´e totalmente geod´esica).

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˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam T S ⊥ o fibrado normal de S e f : T S ⊥ → M uma vizinhan¸ca tubular de S. Na vizinhan¸ca U = f (T S ⊥ ) de S em M consideremos a involu¸c˜ ao ϕ : U → U dada por ϕ = f ◦φ◦f −1 , onde ⊥ ⊥ φ : T S → T S ´e a involu¸c˜ ao (x, v) 7→ (x, −v). Ent˜ ao ϕ : U → U ´e tal que ϕ ◦ ϕ = idU , ϕ(x) = x para todo x ∈ S. Se γ ´e uma curva em U que n˜ ao est´ a contida em S mas ´e tangente a S em algum ponto, ent˜ ao φ(γ) 6= γ. Dada uma m´etrica Riemanniana g1 em U , a m´etrica g = 12 (g1 +ϕ∗ g1 ) ´e tal que ϕ∗ g = g, isto ´e, ϕ ´e isometria. Usando uma parti¸c˜ ao da unidade, podemos construir uma m´etrica Riemanniana em M que coincide com g em uma vizinhan¸ca de S. Se γ ´e uma geod´esica tangente a S, ent˜ ao como ϕ ´e isometria numa vizinhan¸ca S, ϕ(γ) tamb´em ´e uma geod´esica passando pelo mesmo ponto de tangˆencia e tangente ao mesmo vetor. Pela unicidade das geod´esicas temos ϕ(γ) = γ, e portanto γ ⊂ S.

3.3

Vizinhan¸cas geodesicamente convexas

Defini¸ c˜ ao 3.4. Seja M uma variedade Riemanniana. Um subconjunto aberto U ⊂ M ´e geodesicamente convexo se • para todo par de pontos z, w ∈ U , existe uma u ´nica geod´esica γ : [0, 1] → U tal que γ(0) = z e γ(1) = w; • se α : [0, 1] → M ´e uma curva diferenci´ avel com α(0) = z e α(1) = w, ent˜ ao o comprimento de α ´e maior ou igual ao comprimento de γ e a igualdade ocorre se, e somente se, α ´e uma reparametriza¸c˜ ao de γ (dizemos que γ ´e minimal, ou minimizante). A proposi¸c˜ ao abaixo descreve a relevˆ ancia dos abertos geodesicamente convexos em Topologia Diferencial. Proposi¸ c˜ ao 3.7. Seja M uma variedade Riemanniana de classe C ∞ . 1. Se U ´e geodesicamente convexo, ent˜ ao U ´e contr´ atil, isto ´e, existe uma aplica¸c˜ ao H : [0, 1] × U → U , de classe C ∞ , tal que H(0, x) = x e H(x, 1) = x0 ∈ U . 2. A interse¸c˜ ao de dois abertos geodesicamente convexos ´e geodesicamente convexo.

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[SEC. 3.3: VIZINHANC ¸ AS GEODESICAMENTE CONVEXAS

65

Demonstra¸ c˜ ao. A interse¸c˜ ao de dois abertos geodesicamente convexos ´e obviamente geodesicamente convexo. Para construir H, tomemos para cada x ∈ U a u ´nica geod´esica minimal γx : [0, 1] → U tal que γ(0) = x0 e γ(1) = x e definimos H(t, x) = γx (t). Nessa se¸c˜ ao provaremos que todo ponto de uma variedade Riemanniana tem uma vizinhan¸ca aberta que ´e geodesicamente convexa. Usando a inversa da aplica¸c˜ ao exponencial, obtemos em uma vizinhan¸ca normal de um ponto p ∈ M uma carta local na qual a m´etrica hu, vix = hg(x)u, vi tem as seguintes propriedades: a) gij (0) = δij , isto ´e, g(0) ´e a identidade; b) t ∈ [0, 1] 7→ tv s˜ ao geod´esicas para todo v com ||v|| < ǫ; c) Γkij (0) = 0. A propriedade c) segue de b) e da equa¸c˜ ao das geod´esicas. Nessas coordenadas consideramos as bolas Ba = {v; hv, vi0 < a2 } e as esferas Sa = {v; hv, vi0 = a2 } para cada 0 < a < ǫ. Lema 3.8. (Lema de Gauss) As geod´esicas radiais em uma vizinhan¸ca normal s˜ ao ortogonais ` as esferas Sa se 0 < a < ǫ. Demonstra¸ c˜ ao. Vamos mostrar que para qualquer γ(t) curva diferenci´ avel contida na esfera de raio ǫ e para todo 0 ≤ u < 1, o vetor γ(t) ´e ortogonal ao vetor γ ′ (t) no ponto uγ(t), isto ´e, β(u) = hg(uγ(t))γ(t), γ ′ (t)i = 0. Como hγ(t), γ(t)i0 ´e constante, temos que hγ(t), γ ′ (t)i0 = 0, e assim β(0) = 0. Logo basta mostrar que β ′ (u) = −β(u) para todo u, uma vez que se β satisfaz essa equa¸c˜ ao, ent˜ ao β(u) = ce−u , onde c ´e constante, que deve ser 0 pois β(0) = 0. Temos que dβ = hDg(uγ(t))(γ(t), γ ′ (t)), γ(t)i = hDg(uγ(t))(γ(t), γ(t)), γ ′ (t)i. du Como α(u) = uγ(t) ´e uma geod´esica, temos que α′ (t) = γ(t) e tamb´em α′′ (t) = 0, da´ı (dedu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao das geod´esicas) hDg(α(u))(w, α′ (u)), α′ (u)i = 2hDg(α(u))(α′ (u), α′ (u)), wi.

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66

˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

Tomando w = γ ′ (t), temos: hDg(uγ(t))(γ ′ (t), γ(t)), γ(t)i = 2hDg(uγ(t))(γ(t), γ(t)), γ ′ (t)i. Logo

dβ 1 = hDg(uγ(t))(γ ′ (t), γ(t)), γ(t)i. du 2 Por outro lado, como os vetores tangentes ` a uma geod´esica tem norma constante, temos que ǫ2 = hγ(t), γ(t)i = hg(uγ(t))(γ(t)), γ(t)i e, derivando em rela¸c˜ ao a t, 0 = hDg(uγ(t))(uγ ′ (t), γ(t)), γ(t)i + 2hg(uγ ′ (t))(γ(t)), γ(t)i. Logo β ′ (u) = −β(u), o que prova o lema. Corol´ ario 3.9. Se q pertence ` a uma vizinhan¸ca normal de p, ent˜ ao o comprimento de qualquer curva diferenci´ avel por partes ligando os pontos p e q ´e maior ou igual ao comprimento da geod´esica radial ligando p a q e ´e igual se, e somente se, a curva ´e uma reparametriza¸c˜ ao da geod´esica radial. Demonstra¸ c˜ ao. Seja Up = expp (B(0, ǫ)) uma vizinhan¸ca normal de p e c : [a, b] → Up \ {p} uma curva diferenci´ avel. Ent˜ ao podemos escrever c(t) = expp (u(t)v(t)), onde ||v(t)||p = 1 e 0 < u(t) < ǫ. Tomando α(u, t) = expp (uv(t)), temos que c(t) = α(u(t), t). Logo, dc ∂α ′ ∂α = u (t) + . dt ∂u ∂t Pelo lema de Gauss, 

∂α ∂α , ∂u ∂t



=0

α(u,t)



e como ∂α ∂u α(u,t) = 1, temos que

2

2

dc

∂α ′ 2



= |u (t)| + ≥ |u′ (t)|2

dt

∂t α(u,t) α(u,t)

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[SEC. 3.3: VIZINHANC ¸ AS GEODESICAMENTE CONVEXAS

67

e a igualdade vale se, e somente se, ∂α ∂t = 0 para todo t, o que implica que v ′ (t) = 0. Logo o comprimento da curva c satisfaz: Z b Z b

dc

dt ≥ |u′ (t)|dt ≥ |u(b) − u(a)|,

dt a a α(u,t) com igualdade se, e somente se, v ´e constante e u ´e mon´ otona. Logo c ´e uma reparametriza¸c˜ ao de uma geod´esica radial. Teorema 3.10. Seja M uma variedade Riemanniana e d a distˆ ancia Riemanniana. Entˆ ao existe uma fun¸c˜ ao positiva C ∞ , η : M → R, tal que para todo p ∈ M a bola B(p, η(p)) ´e uma vizinhan¸ca geodesicamente convexa de p. Demonstra¸ c˜ ao. Seja ǫ : M → R uma fun¸c˜ ao C ∞ positiva tal que a bola B(p, ǫ(p)) seja uma vizinha¸ca normal de p. Seja x uma carta local nessa vizinhan¸ca normal, com x(p) = 0, e tal que a m´etrica nessas coordenadas seja dada por hv, wix = hg(x)v, wi com a) gij (0) = δij , isto ´e, g(0) ´e a identidade; b) t ∈ [0, 1] 7→ tv s˜ ao geod´esicas para todo v com ||v|| < ǫ; c) Γkij (0) = 0. Seja η > 0 suficientemente pequeno tal que • ǫ(x) > 5δ para todo x em B(0, η); • (1 + 15 )−1 kvkx < kvk < (1 + 15 )kvkx para todo x em B(0, 3η); • |Γkij (x)|
x ´e uma m´etrica Riemanniana completa em uma variedade M , ent˜ ao existe uma aplica¸c˜ ao C ∞ Φ : R × T1 M → T1 M tal que: • Φ(0, (x, v)) = (x, v); • para cada (x, v) ∈ T M , a aplica¸c˜ ao R → M , t 7→ π ◦Φ(t, (x, v)), ´e a geod´esica que passa por x e ´e tangente a v; • a aplica¸c˜ ao Φt : T M → T M definida por Φt (x, v) = Φ(t, (x, v)) ´e um difeomorfismo e a aplica¸c˜ ao t ∈ R 7→ Φt ∈ Dif∞ (T1 M )

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71

´ [SEC. 3.4: O FLUXO GEODESICO

´e um homomorfismo do grupo aditivo dos reais no grupo dos difeomorfismos de T1 M . Vamos agora mostrar um exemplo importante onde podemos descrever explicitamente o fluxo geod´esico. Consideremos o plano hiperb´ olico H 2 = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0} munido da m´etrica hiperb´ olica: g11 (x, y) = g22 (x, y) =

1 e g12 (x, y) = g21 (x, y) = 0. y2

Fixado um ponto (x0 , v0 ) ∈ T1 H 2 , podemos associar um difeomorfismo Θ : T1 H 2 → Aut(H 2 ), pois para cada (x, v) ∈ T1 H 2 existe um u ´nico automorfismo φ ∈ Aut(H 2 ) tal que φ(x0 ) = x e Dφ(x0 ).v0 = v. Por outro lado, temos um homomorfismo SL(2, R) → Aut(H 2 ),   a b que associa a cada matriz em SL(2, R) o automorfismo c d z ∈ H 2 7→ az+b ucleo desse homomorfismo ´e o subgrupo de dois cz+d . O n´ elementos {id, −id}. O grupo Aut(H 2 ) age em T1 H 2 de maneira natural (φ, (x, v)) ∈ Aut(H 2 ) × T1 H 2 7→ (φ(x), Dφ(x).v). Identificando T1 H 2 com Aut(H 2 ) via Θ, essa a¸c˜ ao ´e simplesmente a composi¸c˜ ao de automorfismos: (φ, Θ(x, v)) 7→ φ ◦ Θ(x, v). Consideremos o fluxo   a definido por t, c

R × SL(2, R) → SL(2, R)   t   b e 0 a 7→ · d c 0 e−t

b d



.

´ f´ E acil ver que esse fluxo induz um fluxo R×Aut(H 2 ) → Aut(H 2 ), e portanto um fluxo Φ : R × T1 H 2 → T1 H 2 , de classe C ∞ , que ´e exatamente o fluxo geod´esico. A seguir, vamos descrever algumas propriedades dinˆ amicas importantes desse fluxo. Seja (x0 , v0 ) ∈ T1 H 2 e γ : R → H a geod´esica que passa por x0 com velocidade v0 . Sejam H− (resp. H+ ) o c´ırculo

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˜ EXPONENCIAL [CAP. 3: APLICAC ¸ AO

euclidiano que passa por x0 , ´e ortogonal a v0 , e tangencia o eixo real no ponto limt→−∞ γ(t) (resp. limt→∞ γ(t)). A interse¸c˜ ao de cada um desses c´ırculos com H 2 ´e chamado de horoc´ırculoindexhoroc´ırculo. Uma geod´esica tangente a um vetor unit´ ario ortogonal a H− ´e assint´ otica a γ no passado, enquanto que uma geod´esica por um ponto de H+ e tangente a um vetor ortogonal a H+ ´e assint´ otica a γ no futuro. Segue ent˜ ao que se W s (x0 , v0 ) ´e o conjunto dos pontos (x, v) ∈ T1 H 2 tais que x ∈ H+ e v ´e ortogonal a H+ apontando na mesma dire¸c˜ ao que v0 , ent˜ ao W s (x0 , v0 ) ´e uma subvariedade de di2 mens˜ ao 1 de T1 H e a distˆ ancia entre Φt (x, v) e Φt (x0 , v0 ) converge a zero exponencialmente quando t → +∞. Analogamente, usando H− , definimos a subvariedade de dimens˜ ao um Wu (x0 , v0 ), constitu´ıda de pontos assint´ oticos a (x0 , v0 ) no passado. Seja agora S uma variedade de dimens˜ao dois que ´e holomorficamente recoberta por H 2 e seja Aut(S) ⊂ Aut(H 2 ) o grupo dos automorfismos do recobrimento. Esse subgrupo age naturalmente em T1 H 2 e o espa¸co quociente ´e T1 S. Como cada elemento de Aut(S) conjuga o fluxo Φt com ele mesmo, isto ´e, Φt ◦ φ = φ ◦ Φt , temos que Φt se projeta no fluxo geod´esico de S e as subvariedades W s e W u se projetam em subvariedades de T1 S com as mesmas propriedades dinˆ amicas. O fluxo geod´esico de uma variedade hiperb´ olica de dimens˜ao dois ´e um exemplo de uma classe importante de sistemas dinˆ amicos denominados fluxos de Anosov.

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Cap´ıtulo 4

Variedades com bordo

Seja Hm = {x ∈ Rm , xm ≥ 0} o semi-espa¸co superior. Uma aplica¸c˜ ao f : U ⊂ Hm → V ⊂ Hn ´e diferenci´ avel em x0 ∈ U se existe vizi˜ → Rn diferenci´ ˜ de x0 em Rm e uma aplica¸c˜ nhan¸ca U ao f˜ : U avel ˜ ˜ ∩ U . Mesmo que em x0 tal que f (x) = f (x) para todo x ∈ U x0 ∈ ∂Hm = {x ∈ Rm ; xm = 0}, duas extens˜ oes de f a vizinhan¸cas de x0 em Rm tem a mesma derivada no ponto x0 . Portanto podemos definir a derivada de f no ponto x0 como sendo a derivada em x0 de alguma tal extens˜ ao de f . Defini¸ c˜ ao 4.1. Uma variedade com bordo, de classe C k , ´e um espa¸co topol´ ogico M , Hausdorff, com base enumer´ avel de abertos, munido de um atlas {ϕi : Ui → U˜i ⊂ Hm } cujas mudan¸cas de coordenadas s˜ ao de classe C k . O bordo de M , denotado por ∂M , ´e o conjunto dos pontos x ∈ M tais que existe uma carta ϕi : Ui → U˜i no atlas tal que ϕi (x) ∈ ∂Hm . Observemos que se ϕj : Uj → U˜j ´e uma outra carta, ent˜ ao ϕj (x) tamb´em pertence a ∂Hm . Assim, ∂M est´ a bem definido e ´e uma variedade (sem bordo) de dimens˜ ao m − 1. Um vetor tangente v a M no ponto x ´e uma aplica¸c˜ ao que a cada ˜i ⊂ Hm associa um vetor v(ϕi , x) ∈ Rm e tem carta local ϕi : Ui → U ˜j ´e outra carta com x ∈ Uj , ent˜ a propriedade de que se ϕj : Uj → U ao −1 v(ϕj , x) = D(ϕj ◦ϕi )(ϕi (x))v(ϕi , x). Pela observa¸c˜ ao anterior sobre 73

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[CAP. 4: VARIEDADES COM BORDO

a derivada de mudan¸cas de cartas, temos que a defini¸c˜ ao faz sentido mesmo quando x ∈ ∂M . O espa¸co tangente a M no ponto x ´e o conjunto de tais vetores tangentes, que ´e obviamente um espa¸co vetorial, e cada carta local ϕi define um isomorfismo Dϕi : T Mx → Rm , que associa a cada vetor tangente v o vetor v(φi , x). Em um ponto x ∈ ∂M o espa¸co tangente ao bordo ´e um subespa¸co de codimens˜ao 1 do espa¸co tangente a M . Dizemos que duas bases de um espa¸co vetorial s˜ ao equivalentes se ´ claro que a matriz de mudan¸ca de base tem determinante positivo. E existem exatamente duas classes de equivalˆencia. Uma orienta¸c˜ ao em um espa¸co vetorial ´e a escolha de uma das classes de equivalˆencia e uma base nessa classe ´e chamada de base positiva. Defini¸ c˜ ao 4.2. Uma orienta¸c˜ ao em uma variedade M ´e uma escolha de uma orienta¸c˜ ao em cada espa¸co tangente, de modo que ˜ , com U conexo, a derivada para cada carta local ϕ : U ⊂ M → U Dϕ(x) : T Mx → Rm ou preserva orienta¸c˜ ao para todo x ou inverte orienta¸c˜ ao para todo x. Se ´e poss´ıvel escolher uma tal orienta¸c˜ ao em M , dizemos que M ´e orient´ avel e nesse caso, fixada a escolha de uma orienta¸c˜ ao, dizemos que M est´ a orientada. Se M ´e uma variedade orientada, podemos escolher um atlas ˜i ⊂ Hm tal que a derivada das mudan¸cas de coordeϕi : U i → U nadas ´e um isomorfismo que preserva a orienta¸c˜ ao de Rm em cada ponto. Dizemos que as cartas desse atlas s˜ ao positivas e que o atlas ´e positivo. Reciprocamente, um atlas positivo define uma orienta¸ca˜o em M . Se M ´e uma variedade com bordo orientada, ent˜ ao ∂M ´e tamb´em uma variedade orient´ avel. Consideraremos a orienta¸c˜ ao de ∂M tal que uma base ordenada v1 , . . . , vn−1 de T (∂M )x ´e positiva se v1 , . . . , vn−1 , v ´e uma base positiva de T Mx , onde v ∈ T Mx ´e um vetor transversal ao subespa¸co T (∂M )x e que aponta para o interior ˜ ⊂ Hm , ent˜ de M , isto ´e, se ϕ : U ⊂ M → U ao Dϕ(x).v ∈ Hm ⊂ Rm .

4.1

Colagem de variedades com bordo

Teorema 4.1. (Vizinhan¸ca colar de bordo). Seja M uma variedade com bordo, de classe C ∞ , com ∂M compacto. Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de ∂M em M e um difeomorfismo de classe C ∞

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75

[SEC. 4.1: COLAGEM DE VARIEDADES COM BORDO

Φ : ∂M × [0, 1) → V

tal que Φ(x, 0) = x ∀x ∈ ∂M .

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos uma cobertura finita {Ui } de ∂M ˜ i ⊂ Hm por abertos de M tal que existam cartas locais ϕi : Wi → W com Ui ⊂ Ui ⊂ Vi ⊂ Vi ⊂ Wi e Ui e Vi compactos. Escolha uma fun¸c˜ ao λ˜i : Hm → [0, 1], C ∞ , que vale 1 em U˜i = ϕi (Ui ) e 0 fora de V˜i = ϕi (Vi ). Seja X˜i o campo de vetores obtido multiplicando o campo unit´ ario vertical ∂x∂m em Hm pela fun¸c˜ ao λ˜i . Seja Xi o campo de vetores em M que se anula fora de Wi e Xi = ϕ∗i X˜i em Wi . Temos que Xi ´e um campo de classe C ∞ que se anula fora de um compacto e tal que para todo x ∈ ∂M ou Xi (x) P = 0 ou ´e transversal a ∂M e aponta para o interior de M . Seja X = i Xi . Temos ent˜ ao que X ´e um campo C ∞ que se anula fora de uma vizinhan¸ca compacta de ∂M e para todo x ∈ ∂M X(x) ´e transversal a ∂M , apontando para o interior de M . Portanto existe ǫ > 0 e uma aplica¸c˜ ao C ∞ ψ : ∂M × [0, ǫ) → M tal que ψ(x, 0) = x e t 7→ ψ(x, t) ´e curva integral de X. Tomando ǫ > 0 suficientemente pequeno, temos que ψ ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca V de ∂M em M . Tomamos ent˜ ao Φ(t, x) = ψ(x, ǫt). Teorema 4.2. Sejam M e N variedades de classe C ∞ com bordos compactos. Seja f : ∂M → ∂N um difeomorfismo de classe C ∞ . Ent˜ ao existem uma variedade sem bordo, denotada por M ∪f N , uma subvariedade S ⊂ M ∪f N e mergulhos C ∞ if : M → M ∪f N e jf : N → M ∪f N tais que • if (M ) ∪ jf (N ) = M ∪f N ; • if (M \ ∂M ) ∩ jf (N \ ∂N ) = ∅; • if |∂M : ∂M → S e jf |∂N : ∂N → S s˜ ao difeomorfismos tais que if = jf ◦ f . Demonstra¸ c˜ ao. Na uni˜ ao disjunta de M e N , M rela¸ca˜o de equivalˆencia : x∼y

⇐⇒

ou ou ou

F

N , considere a

x=y x ∈ ∂M e y = f (x) x ∈ ∂N e y = f −1 (x).

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[CAP. 4: VARIEDADES COM BORDO

Figura 4.1: Colagem pelo bordo. Seja M ∪f N o espa¸ ao, com a topologia F co quociente por esta rela¸c˜ quociente, e q : M N → M ∪f N a aplica¸c˜ ao quociente.

Fixemos ΦM : ∂M × [0, 1) → VM ⊂ M e ΦN : ∂N × [0, 1) → VN ⊂ N vizinhan¸cas colares dos respectivos bordos. Temos que V = q(VM ∪ VN ) ´e uma vizinhan¸ca de S = q(∂M ) (que ´e tamb´em igual a q(∂N )). Seja ψ : ∂M × (−1, 1) → V ⊂ M ∪f N definida por  ΦM (−t, x) se t ≤ 0 ψ(t, x) = ΦN (t, f (x)) se t ≥ 0. A aplica¸c˜ ao ψ ´e um homeomorfismo ao Fsobre V . Sejam if a composi¸c˜ de q com a inclus˜ ao de F M em M N e jf a composi¸c˜ ao de q com a inclus˜ ao de N em M N . Ent˜ ao existe uma u ´nica estrutura de variedade em M ∪f N tal que if , jf e ψ sejam mergulhos C ∞ . Um caso particular da constru¸c˜ ao acima ´e quando as duas variedades coincidem e a identifica¸c˜ ao dos bordos ´e pela identidade. Nesse caso obtemos uma variedade sem bordo que ´e chamado de o dobro da variedade inicial. Daremos a seguir uma aplica¸c˜ ao interessante dessa constru¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 4.3. Sejam M uma variedade compacta com bordo e S ⊂ M uma subvariedade compacta, cujo bordo est´ a contido em ∂M ,

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[SEC. 4.1: COLAGEM DE VARIEDADES COM BORDO

77

e tal que se x ∈ S ∩ ∂M , ent˜ ao T (∂M )x + T Sx = T Mx (subvariedade “neat”). Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca tubular de S tal que, quando restrita ao bordo de M , ´e uma vizinhan¸ca tubular de ∂S em ∂M . Demonstra¸ c˜ ao. Provaremos a proposi¸c˜ ao construindo uma m´etrica Riemanniana tal que ∂M ´e totalmente geod´esica e para x ∈ S ∩ ∂M , T ∂Mx⊥ ⊂ T Sx . Para isso, constru´ımos uma vizinhan¸ca colar de ∂M usando um campo de vetores em uma vizinhan¸ca de ∂M que seja tamb´em tangente a S. Usamos essa vizinhan¸ca para construir o dobro ˜ de M , que tem uma subvariedade S˜ cuja interse¸c˜ ˜ ´e M ao com M ⊂ M ˜ cujas fibras por S. Temos ent˜ ao uma vizinhan¸ca tubular de ∂M em M pontos de S˜ est˜ ao contidas em S˜ e tamb´em uma involu¸c˜ ao ϕ dessa vizinhan¸ca que deixa os pontos de ∂M fixos e preservam as fibras como na prova do corol´ ario 3.6. Usando essa involu¸c˜ ao, constru´ımos ˜ tal que as fibras das vizinhan¸cas de ∂M em M ˜ s˜ uma m´etrica em M ao ortogonais a ∂M e tal que ϕ seja uma isometria em uma vizinhan¸ca de ∂M . Logo ∂M ´e totalmente geod´esica e a vizinhan¸ca tubular de S˜ constru´ıda na prova do teorema 3.5 restringe a uma vizinhan¸ca tubular de ∂S em ∂M . Exerc´ıcio 4.1. Seja M = N = D2 × S 1 o toro s´ olido. Seu bordo ´e ∂M = ∂N = S 1 × S 1 , que ´e o toro de dimens˜ao dois. Sejam f, g : S 1 × S 1 → S 1 × S 1 os difeomorfismos f (x, y) = (x, y) g(x, y) = (y, x). Mostre que M ∪f N ´e difeomorfa a S 1 × S 2 , enquanto que M ∪g N ´e difeomorfa a S 3 . Sugest˜ ao: Usando a proje¸c˜ ao estereogr´ afica podemos representar S 3 3 como a uni˜ ao de R com o ponto no infinito. O eixo x3 ´e um c´ırculo γ1 ⊂ S 3 e S 3 \ γ1 ´e a uni˜ ao de toros de revolu¸c˜ ao que intersectam o plano x1 x3 em c´ırculos como na figura. Os meridianos desses toros s˜ ao c´ırculos com centros no eixo x3 e contidos em planos paralelos ao plano x1 x2 , enquanto que os paralelos s˜ ao as interse¸c˜ oes dos toros com planos passando pelo eixo x3 e perpendicular ao plano x1 x2 . O complementar do toro achuriado da figura em S 3 ´e um toro s´ olido com eixo γ1 e de cujos meridianos

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78

[CAP. 4: VARIEDADES COM BORDO

Figura 4.2: Exerc´ıcio 2.1 saem os paralelos dos toros anteriores. Portanto S 3 ´e a uni˜ ao de dois toros s´ olidos. Observa¸ c˜ ao: O plano x1 x3 ´e uma esfera de dimens˜ao dois mergulhada em S 3 e dos c´ırculos da figura saem c´ırculos concˆentricos na m´etrica esf´erica de S 3 (a m´etrica induzida de R4 ). Defini¸ c˜ ao 4.3. Sejam f, g : P → Q difeomorfismos entre variedades sem bordo. Dizemos que f e g s˜ ao difeot´ opicos (ou isot´ opicos), se existe uma aplica¸c˜ ao Φ : [0, 1] → Dif∞ (P, Q), Φ(t) = ft , tal que • f0 = f e f1 = g; • a aplica¸c˜ ao φ : [0, 1] × P → Q definida por φ(t, x) = ft (x) ´e C ∞. Uma tal aplica¸c˜ ao ´e chamada de isotopia entre f e g. Observemos que se α : [0, 1] → [0, 1] ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ sobrejetiva tal que α(t) = 0 se t ≤ ǫ e α(t) = 1 se t ≥ 1 − ǫ, temos que gt = fα(t) ´e uma isotopia entre f e g tal que gt = f se t ≤ ǫ e gt = g se t ≥ 1 − ǫ. Temos portanto uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia: se f ´e difeot´ opica a g e g ´e difeot´ opica a h, ent˜ ao f ´e difeot´ opica a h. Vamos mostrar a seguir que colando duas variedades com bordo por difeomorfismos isot´ericos obtemos variedades difeomorfas. Antes demonstraremos dois lemas t´ecnicos. Lema 4.4. Seja S uma subvariedade de M compacta e C ∞ . Se πi : M → S s˜ ao retra¸c˜ oes e submers˜ oes C ∞ , i = 1, 2, ent˜ ao existe ∞ uma retra¸c˜ ao C r : M → S que ´e tamb´em uma submers˜ ao e que coincide com π1 em uma vizinhan¸ca de S e coincide com π2 fora de outra vizinhan¸ca de S.

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[SEC. 4.1: COLAGEM DE VARIEDADES COM BORDO

79

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos em M uma m´etrica riemanniana tal que S seja totalmente geod´esica como no corol´ ario 3.6. Seja N (S) o fibrado normal de S e φ : N (S) → U ⊂ M uma vizinhan¸ca tubular de S como no teorema 3.5. Denotamos ainda por S a se¸c˜ ao nula de N (S) e consideremos em N (S) o pull back da m´etrica riemanniana de M . Seja λ : R → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ tal que λ(t) = 1 se |t| ≤ 1 e λ(t) = 0 se |t| ≥ 2. Seja π : N (S) → S a proje¸c˜ ao π(x, v) = x. Basta provar que se π1 : N (S) → S ´e uma submers˜ ao que deixa os pontos de S fixos ent˜ ao existem submers˜ oes π2 , π3 tais que π3 coincide com π em uma vizinhan¸ca de S e com π1 fora de outra vizinha¸ca de S enquanto que π2 coincide com π1 em uma vizinhan¸ca de S e com π fora de outra vizinhan¸ca de S. Para construir a primeira submers˜ ao tomamos ǫ suficientemente pequeno e definimos   π2 (x, v) = expπ(x,v) λ(ǫ||v||x ) exp−1 π(x,v) (π1 (x, v) . Na f´ ormula acima, estamos considerando a exponencial na m´etrica riemmaniana de N (S) na qual φ ´e isometria enquanto que ||v||x ´e a norma do vetor v como vetor tangente a M em x. Como S ´e totalmente geod´esica temos que se z, w ∈ S est˜ ao suficientemente pr´ oximos ent˜ ao exp−1 (w) ´ e tangente a S em z e tamb´ em expz (t exp−1 z z w pertence a S para todo t ∈ [0, 1]. Logo, se ǫ > 0 ´e suficientemente pequeno ent˜ ao π2 ´e uma retra¸c˜ ao que coincide com π fora de uma vizinhan¸ca de S e com π1 fora de outra vizinhan¸ca de S. Resta mostrar que, se ǫ ´e suficientemente pequeno, a derivada de π2 ´e sobrejetiva em todos os pontos. Isto ´e verdade em cada ponto (x, v) com ||v||x ≥ 2ǫ. Para provar o mesmo nos demais pontos, cobrimos S por um n´ umero finito de vizinhan¸cas trivializadoras do fibrado normal tais que em cada uma dessas coordenadas, S = {(x, y); y = 0}, π(x, y) = x e ||y||x = ||y||. Para obter a u ´ltima propriedade usamos uma fam´ılia de campos ortonormais que geram em cada ponto o subespa¸co normal a S. Como a derivada da fun¸c˜ ao exponencial em 0 ´e a identidade, podemos tomar os dom´ınios dessas cartas locais suficientemente pequenos de tal forma que nessas coordenadas, expz (w) = z + w + o1 (z, w), exp−1 z (w) = z − w + o2 (z, w) onde as fun¸c˜ oes oj bem como suas derivadas parciais de primeira ordem s˜ ao pequenas em todos os pontos do dom´ınio da carta. Logo, nessa carta

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[CAP. 4: VARIEDADES COM BORDO

temos que π2 (x, y) = (x, 0) + λ(ǫ||y||)((x, 0) − π1 (x, y)) + o3 (x, y) onde o3 e suas derivadas parciais de primeira ordem s˜ ao pequenas. Como π1 (x, 0) = (x, 0) temos que, se ǫ ´e suficientemente pequeno, a derivada parcial de π2 em rela¸c˜ ao a x ´e sobrejetiva. Logo π2 ´e uma submers˜ ao. Para construir π3 basta tomar na formula 1 − λ(ǫ||v||x ) em lugar de λ(ǫ||v||x ) Lema 4.5. Seja f : S → S ′ um difeomorfismo. Seja Φ : S ×(−1, 1) → S ′ ×(−1, 1) um homeomorfismo da forma Φ(x, t) = (f (x), φ(x, t)) cuja restri¸c˜ ao a S × (−1, 0) e a S × (0, 1) seja difeomorfismo. Ent˜ ao existe um difeomorfismo Ψ : S × (−1, 1) → S ′ × (−1, 1) que coincide com Φ fora de uma vizinhan¸ca de S × {0}. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam a, b : S → (0, 1) fun¸c˜ oes C ∞ tais que φ(x, a(x)) < Rb ′ φ(x, b(x)). Seja ǫ > 0 tal que b(x)−2ǫ (x)φ (x, s)ds < φ(x,b(x))−φ(x,a(x)) 10

e tamb´em 2ǫ < φ(x,b(x))−φ(x,a(x)) . Seja λ : R → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ 10 tal que λ(t) = 1 se t ≤ 1 e λ(t) = 0 se t ≥ 2. Para cada µ > 0 consideremos a fun¸c˜ ao dµ (x, t) = µ se a(x) + 2ǫ < t < b(x) − 2ǫ, dµ (x, t) = λ(ǫt) + (1 − λ(ǫt))µ se t ≤ se t ≤ a(x) + 2ǫ e dµ (x, t) = λ(ǫ(b(x) − t))φ′ (x, t) + (1 − λ(ǫ(b(x) − t)))µ se b(x) − 2ǫ ≤ t ≤ b(x). R b(x) Temos ent˜ ao que, para cada x ∈ S a aplica¸c˜ ao µ 7→ a(x) dm u(x, t)dt ´e estritamente mon´ otona, ´e menor que φ(x, b(x)) − φ(x, a(x) se µ ´e proximo a zero e ´e maior que esse valor se µ ´e suficientemente R b(x) grande. Logo existe um u ´nico µ(x) tal que a(x) dµ(x) (x, t)dt = φ(x, b(x)) − φ(x, a(x)). Al´em disso a aplica¸c˜ ao x 7→ µ(x) ´e C ∞ . Definimos ent˜ ao ψ(x, t) = t se t ≤ a(x), ψ(x, t) = φ(x, t) se t ≥ b(x) Rt e ψ(x, t) = φ(x, a(x)) + a(x) dµ(x) (x, s)ds se a(x) ≤ t ≤ b(x). Analogamente construimos para cada x um difeomorfismo t ∈ (−1, 0) 7→ ψ(x, t) que coincide com a identidade para t proximo a zero e coincide com φ(x, t) fora de uma vizinhan¸ca de 0. Tomemos ent˜ ao Ψ(x, t) = (f (x), ψ(x, t)). Teorema 4.6. Sejam M e N variedades C ∞ com bordos compactos e f, g : ∂M → ∂N difeomorfismos difeot´ opicos. Ent˜ ao M ∪f N e M ∪g N s˜ ao difeomorfas.

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[SEC. 4.1: COLAGEM DE VARIEDADES COM BORDO

Demonstra¸ c˜ ao. Seja ΦN : ∂N × [0, 1) → VN ⊂ N uma vizinhan¸ca colar de ∂N . Seja αt : ∂N → ∂N uma isotopia com αt (x) = g◦f −1 (x) se t ≤ 13 e αt (x) = x se t ≥ 23 . Seja Φ : N → N definida por Φ(y) = y se y ∈ / VN e Φ(y) = ΦN (αt (x), t) se (x, t) = Φ−1 N (y). Temos que Φ ´e um difeomorfismo e Φ|∂N = g ◦ f −1 . Consideremos as aplica¸c˜ oes if : M → M ∪f N , jf : N → M ∪f N , ig : M → M ∪g N , jg : N → M ∪g N como no Teorema 4.2. Temos ent˜ ao um diagrama comutativo.

id

MO ∂M

if ig

 M ∪f N C

f

 ∂N  N

/M O ∂M

 M ∪g N Z jg

jf

g

 ∂N  /N

Φ

Segue ent˜ ao que a aplica¸c˜ ao H : M ∪f N → M ∪g N definida por −1 H(x) = ig i−1 f (x) se x ∈ if (M ) e H(x) = jg Φjf (x) se x ∈ jf (N ) est´ a bem definida e ´e um homeomorfismo que se restringe a mergulho C ∞ em cada componente conexa de M ∪f N \ S. Tomando campos de vetores em M ∪f N (resp. M ∪g N ) transversais a S (resp. S ′ = ig (∂M )), podemos construir difeomorfismos C ∞ Φ : S × (−1, 1) → Vf ⊂ M ∪f N (resp. Φg ), onde Vf ´e vizinhan¸ca ′ de S em M ∪f N e Vg ´e vizinhan¸ca de S em M ∪g N . Da´ı teorema segue do seguinte lema. ′

Lema 4.7. Seja H : S × (−1, 1) → S × (−1, 1) um homeomorfismo ′ tal que H(x, 0) ∈ S ×{0} e as restri¸c˜ oes H|S×(−1,0] e H|S×[0,1) sejam mergulhos C ∞ . Ent˜ ao existe um difeomorfismo de classe C ∞ ˜ : S × (−1, 1) → S ′ × (−1, 1) H ˜ tal que H(x, t) = H(x, t) se |t| ≥ 12 .

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[CAP. 4: VARIEDADES COM BORDO

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos as proje¸c˜ oes π1 : S × (−1, 1) → S, π1′ : S ′ × (−1, 1) → S ′ . Temos tamb´em as proje¸c˜ oes ′

π1+ : S ′ × [0, 1) → S ′ , e ′ π1− : S ′ × (−1, 0] → S ′ , ′

definidas por π1± (y, t) = H(π1 H −1 (y, t), 0). Portanto, se t > 0, −1 H(x, t) ´e a interse¸c˜ ao de H(S × {t}) com π+ (H(x, 0)). Pelo lema 4.4 ′ ′ existe um uma submers˜ ao π : S × (−1, 1) → S ′ que coincide com π± ′ fora de uma vizinhan¸ca de S , coincide com a proje¸c˜ ao (y, t) 7→ y em uma vizinhan¸ca de S ′ e tal que π −1 (y) intersecta transversalmente cada H(S × {t}) em um u ´nico ponto. Podemos ent˜ ao definir um novo homeomorfismo H0 : S × (−1, 1) → S ′ × (−1, 1) tomando H0 (x, t) como a interse¸c˜ ao de H(S × {t}) com π −1 (H(x, 0)) que portanto leva fibras de π1 em fibras de π e coincide com H fora de uma vizinhan¸ca de S. Seja F : S ′ × (−1, 1) → S ′ × (−1, 1) o difeomorfismo F (y, t) = S ′ ×{t}∩π −1 (y). Ent˜ ao Φ = F −1 ◦H0 ´e um homeomorfismo da forma Φ(x, t) = (f (x), φ(x, t)) onde f (x) = F (H(x, 0)) e cuja restri¸c˜ ao ao complementar de S ´e um difeomorfismo. Pelo lema 4.5 existe um difeomorfismo Ψ : S × (−1, 1) → S ′ × (−1, 1) que coincide com Φ fora ˜ = F ◦ Φ. de uma vizinhan¸ca de S. Tomamos ent˜ ao H 4.1.1

Soma conexa de variedades

Sejam M e N variedades C ∞ de mesma dimens˜ao e tome mergulhos C ∞ ϕ : Dn → M e ψ : Dn → N . Ent˜ ao M \ int (ϕ(Dn )) e n N \ int (ψ(D )) s˜ ao variedades cujos bordos s˜ ao difeomorfos ` a esfera S n−1 . Podemos ent˜ ao considerar a variedade (M \ int ϕ(Dn )) ∪ϕ◦ψ−1 (N \ int ψ(Dn )) , que ´e chamada soma conexa de M e N e ´e denotada por M #N . Pode-se mostrar que tomando outros mergulhos a variedade obtida ´e difeomorfa ` a original (isso n˜ ao ´e um resultado elementar).

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[SEC. 4.1: COLAGEM DE VARIEDADES COM BORDO

83

Tomando a soma conexa de uma variedade de dimens˜ao dois com o toro S 1 × S 1 obtemos uma outra variedade de dimens˜ao dois. Come¸cando com o toro e com o plano projetivo e iterando essa constru¸c˜ ao obtemos todas as variedades compactas de dimens˜ao dois. Podemos tamb´em considerar duas variedades M , N com bordos desconexos e, partindo de um difeomorfismo f de uma componente conexa do bordo de M sobre uma componente conexa do bordo de N , construir uma variedade com bordo M ∪f N .

Figura 4.3: Constru¸co˜es por colagem 1. A mesma constru¸c˜ ao permite tamb´em obter uma nova variedade colando duas componentes conexas do bordo de uma variedade por um difeomorfismo.

Figura 4.4: Constru¸co˜es por colagem 2.

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[CAP. 4: VARIEDADES COM BORDO

Proposi¸ c˜ ao 4.8. Sejam M = N = Dn e Ψ : S n−1 → S n−1 um difeomorfismo, ent˜ ao M ∪f N ´e homeomorfa a S n . Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos em Dm os campos de vetores ra˜ diais X(x) = x, Y˜ (x) = −x. Consideremos um campo de vetores C ∞ Z em uma vizinhan¸ca de S = if (∂M ) que ´e transversal a S e aponta para N . Esse campo ´e tamb´em transversal ` as esferas if (S n−1 (r)), jf (S n−1 (r)) para todo r suficientemente pr´ oximo de 1. Usando uma fun¸ca˜o auxiliar podemos construir um campo de vetores X em M ∪f N transversal ` as esferas if (S n−1 (r)), jf (S n−1 (r)) ˜ e (jf )∗ Y˜ fora de uma para todo r > 0 e que coincide com (if )∗ X vizinhan¸ca de S. Temos ent˜ ao que o campo X se anula nos pontos p = if (0) e q = jf (0) e se x ∈ M ∪f N \ {p, q}, Xt (x) → p quando t → −∞ e Xt (x) → q quando t → +∞, onde Xt ´e o fluxo de X. Analogamente, a esfera S n tem um campo de vetores Y que se anula apenas no p´ olo norte pN e no p´ olo sul pS , ´e transversal a esfera S n−1 ⊂ S n no equador da esfera e tal que ∀x ∈ S n \ {pN , pS } valem Yt (x) → ps quando t → ∞ e Xt (x) → pN quando t → −∞. Tomemos um difeomorfismo h : S → S n−1 e vamos estendˆe-lo a um homeomorfismo h : M ∪f N → S n . Definimos h(p) = pN e h(q) = pS . Se x ∈ M ∪f N \ {p, q}, ent˜ ao existe um u ´nico t tal que Xt (x) ∈ S. Definimos ent˜ ao h(x) = Y−t h(Xt (x)). Logo h : M ∪f N \ {p, q} → S n \ {pN , pS )} ´e um difeomorfismo C ∞ . Afirmamos que h ´e cont´ınua em p e q e portanto um homeomorfismo. De fato, fixe uma vizinhan¸ca compacta V de pN . Por compacidade, ∃τ > 0 tal que se x ∈ S n−1 , ent˜ ao Y−t (x) ∈ V se t ≥ τ . Por outro lado, como X(p) = 0, existe vizinhan¸ca U de p tal que se x ∈ U e Xt (x) ∈ S, ent˜ ao t > τ . Logo h(U ) ⊂ V e h ´e cont´ınua em p. Analogamente h ´e continua em q. Observa¸ c˜ ao: Milnor mostrou o seguinte resultado fundamental: existe difeomorfismo f : S 6 → S 6 tal que a variedade M ∪f N constru´ıda acima n˜ ao ´e difeomorfa a S 7 . Por esse resultado ele recebeu a medalha Fields em 1962. Uma outra maneira de construir novas variedades usando a mesma

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[SEC. 4.1: COLAGEM DE VARIEDADES COM BORDO

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t´ecnica: consideremos um mergulho ϕ : Dn−1 × S 1 → M. O bordo da variedade M \ int (ϕ(Dn−1 × S 1 )) ´e difeomorfo a S × S 1 , que ´e o bordo de S n−2 × D2 . Ent˜ ao podemos colar M \int (ϕ(Dn−1 ×S 1 )) com S n−2 ×D2 . Com essa constru¸c˜ ao podemos obter S 2 × S 1 partindo de S 3 e vice-versa. Uma outra maneira de construir novas variedades usando essa t´ecnica ´e chamada cirurgia . Partindo de uma variedade M sem bordo, consideramos um c´ırculo mergulhado com uma vizinhan¸ca tubular difeomorfa a Dm−1 × S 1 cujo bordo ´e S m−2 × S 1 que, por sua vez, ´e homeomorfo ao bordo de S m−2 × D2 . Colando essa variedade com bordo com o complementar da vizinhan¸ca tubular obtemos uma nova variedade sem bordo. Por exemplo, podemos por uma cirurgia passar da esfera S 3 para S 2 × S 1 como no exerc´ıcio 4.1. n−2

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Cap´ıtulo 5

C´ alculo em Variedades

5.1 5.1.1

O Teorema de Stokes ´ Algebra exterior

Seja Lk (Rm ) o espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes k-lineares de Rm em R e k m k m oes alternadas. Λ (R ) o subespa¸co de L (R ) consistindo das fun¸c˜ Definimos o alternador como a aplica¸c˜ ao linear Alt : Lk (Rm ) → Λk (Rm ) definida por Alt(T )(v1 , ..., vk ) =

1 X sinal (σ)T (vσ(1) , . . . , vσ(k) ), k! s∈Sk

onde Sk ´e o conjunto de todas as permuta¸c˜ oes do conjunto {1, 2, . . . , k} e o sinal de uma permuta¸c˜ ao ´e +1 se o n´ umero de transposi¸c˜ oes ´e ´ f´ par e −1 caso contr´ ario. E acil ver que Alt deixa os elementos de Λk (Rm ) fixos. Usando o alternador, podemos definir o produto exterior de fun¸c˜ oes multilineares ∧ : Λk (Rm ) × Λl (Rm ) → Λk+l (Rm ) por ω∧η =

(k + l)! Alt (ω ⊗ η), k!l! 86

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[SEC. 5.1: O TEOREMA DE STOKES

ou mais explicitamente ω ∧ η(v1 , . . . , vk+l ) = =

1 k!l!

P

s∈Sk+l

sinal (σ)ω(vσ(1) , . . . , vσ(k) )·η(vσ(k+1) , . . . , vσ(k+l) ).

O produto exterior tem as seguintes propriedades: • (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η; • ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2 ; • a(ω ∧ η) = (aω) ∧ η = ω ∧ (aη),

∀a ∈ R;

• ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω se ω ∈ Λk (Rm ), η ∈ Λl (Rm ); • (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ). Logo, se dx1 , . . . , dxm ´e a base dual da base canˆ onica de Rm , isto i ´e, dx (v) = vi , ent˜ ao {dxI = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , 0 < i1 < · · · < ik ≤ m} ´e uma base do espa¸co vetorial Λk (Rm ), que, portanto, tem dimens˜ao m! k!(m−k)! . Em particular, dimΛm (Rm ) = 1. Se ω ∈ Λm (Rm ) e wi = ent˜ ao ω(w1 , . . . , wm ) = det(aij )ω(v1 , . . . , vm ).

Pm

j=1

aij vj ,

Uma transforma¸c˜ ao linear A : Rm → Rp induz, para cada k, uma aplica¸c˜ ao linear A∗ : Λk (Rp ) → Λk (Rm ) definida por (A∗ ω)(v1 , . . . , vk ) = ω(Av1 , . . . , Avk ). A fun¸c˜ ao multilinear A∗ ω ´e chamada o pull-back de ω por A. Facilmente verifica-se que (AB)∗ = B ∗ A∗ .

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´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

5.1.2

Formas diferenciais

Definimos uma k-forma diferencial ω em um aberto U ⊂ Rm ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ ω : U → Λk (Rm ). Denotamos por Ωk (U ) o conjunto das k-formas diferenciais em U . Temos que Ωk (U ) ´e espa¸co vetorial de dimens˜ ao infinita e, de fato, um m´ odulo sobre a ´ algebra C ∞ (U ) das fun¸c˜ oes de classe C ∞ de U em R. Para considera¸c˜ oes futuras sobre integra¸c˜ ao, denotamos por Ωkc (U ) o subespa¸co vetorial de Ωk (U ) que consiste das k-formas diferenciais em U com suporte compacto. O produto exterior de formas diferenciais ∧ : Ωk (Rm ) × Ωl (Rm ) → Ωk+l (Rm ) tamb´em ´e definido pontualmente, isto ´e, (ω ∧ η)(x) = ω(x) ∧ η(x), e ´e uma forma bilinear com as mesmas propriedades mencionadas na se¸ca˜o anterior. Uma aplica¸c˜ ao f : U ⊂ Rm → V ⊂ Rp , de classe C ∞ , induz uma aplica¸c˜ ao linear f ∗ : Ωk (V ) → Ωk (U ), chamada de pull-back de formas diferenciais, definida como (f ∗ ω)(x)(v1 , . . . , vk ) = ω(f (x))(Df (x)v1 , . . . , Df (x)vk ). N˜ao ´e dif´ıcil verificar as seguintes propriedades de f ∗ : • f ∗ (ω ∧ η) = (f ∗ ω) ∧ (f ∗ η); • f ∗ (φ.ω) = (φ ◦ f ).f ∗ ω, se φ ∈ C ∞ (V ); • (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ . Usando a base usual de Λk (Rm ), podemos escrever uma k-forma diferencial em U como X ω(x) = aJ (x)dxJ , J

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89

[SEC. 5.1: O TEOREMA DE STOKES

onde J percorre as k-uplas (j1 , . . . , jk ) com 0 ≤ j1 < · · · < jk ≤ m, cada aJ ´e uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ em U e dxJ = dxj1 ∧ ... ∧ dxjk . Podemos estender o conceito de formas diferenciais para variedades. Defini¸ c˜ ao 5.1. Seja M uma variedade diferenci´ avel. Uma k-forma diferencial ω em M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto x ∈ M uma fun¸c˜ ao k-linear alternada em T Mx que varia de maneira diferenci´ avel com o ponto, istoP´e, a express˜ ao de ω em qualquer carta J (U, (x1 , ..., xm )) de M , ω = a (x)dx , ´e tal que as fun¸c˜ oes aJ J J sejam diferenci´ aveis em U .

Como antes, denotamos por Ωk (M ) o conjunto das k-formas diferenciais em M , que ´e um R-espa¸co vetorial de dimens˜ ao infinita e um C ∞ (M )-m´ odulo. Tamb´em escrevemos Ωkc (M ) para o conjunto das k-formas diferenciais de M com suporte compacto. Um exerc´ıcio ´e verificar que a seguinte defini¸c˜ ao de k-forma diferencial em M ´e equivalente a anterior: Seja {(Ui , ϕi )}i∈I um atlas de M . Uma k-forma diferencial em M ´e uma escolha de uma k-forma diferencial ωi ∈ Ωk (Ui ), para cada i ∈ I, tal que para todos i, j ∈ I ∗ com Ui ∩ Uj 6= ∅, vale (ϕj ◦ ϕ−1 i ) ωj = ωi em Ui ∩ Uj . Podemos naturalmente estender a defini¸c˜ ao de pull-back de formas diferenciais por aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis entre variedades, de modo que as mesmas propriedades anteriores continuam v´ alidas. Analogamente para o produto exterior, j´ a que ´e um produto definido pontu´ claro que se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ almente. E ao diferenci´ avel e pr´ opria, ent˜ ao f ∗ (Ωkc (N )) ⊂ Ωkc (M ). O teorema de mudan¸ca de vari´ aveis na teoria de integra¸c˜ ao em Rm estabelece que se f : U ⊂ Rm → V ⊂ Rm ´e um difeomorfismo e φ : V → R ´e uma fun¸c˜ ao integr´ avel, ent˜ ao Z Z φ(x)dx = (φ ◦ f ).|detDf (x)|dx. V

U

m

Por outro lado, se ω ∈ Ω (V ), ent˜ ao ω(x) = a(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxm e ∗ 1 f ω(x) = (a ◦ f )(x).det(Df (x)).dx ∧ · · · ∧ dxm . Logo, se definirmos

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90 R

´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

R R R ω = V a(x)dx temos que U f ∗ ω = ± V ω, sendo o sinal + se f preserva orienta¸c˜ ao e − se f inverte a orienta¸c˜ ao. V

Deste modo, tem sentido dizer que uma m-forma ω ∈ Ωm e c (U ) ´ integr´ avel e que a integra¸c˜ ao ´e um funcional linear de Ωm c (U ), o qual comuta com o operador de pull-back de m-formas por difeomorfismos que preservam orienta¸c˜ ao. Essa propriedade nos permite definir integra¸c˜ ao m-formas com suporte compacto em variedades orientadas de dimens˜ ao m, como faremos a seguir. Seja M uma variedade orientada. Vamos definir agora uma aplica¸c˜ ao linear Z : Ωm c (M ) → R. M

Se o suporte de ω est´ a contido no dom´ local Rınio de Ruma−1carta ∗ ˜ ⊂ Rm , definimos positiva ϕ : U ⊂ M → U ω = (ϕ ) ω. Pelo ˜ i M U teorema de mudan¸ca de vari´ aveis na integral, defini¸c˜ ao n˜ ao depende da escolha da carta local pois as mudan¸cas de coordenadas entre cartas locais positivas preservam orienta¸c˜ ao. Se o suporte de ω n˜ ao est´ a contido no dom´ınio de uma carta local, tomamos {Ui , ϕi } um atlas positivo de M e uma parti¸c˜ ao da unidade {λi } subordinada a cobertura {Ui } e definimos Z XZ ω= λi ω. M

i

M

Como ω tem suporte compacto, a soma acima ´e finita. Vamos mostrar que a defini¸c˜ ao n˜ ao depende da escolha da parti¸c˜ ao da uni˜ i } outra parti¸c˜ dade. Seja {λ ao da unidade subordinada a cobertura P {Ui }. Tomando λij = λi .λj , temos que λi ω = j λij ω. Para i fixado, cada uma das formas λij ω tem suporte contido no mesmo dom´ınio m de uma ent˜ ao pela linearidade da integral R carta positiva, P R P R P R em R vale M λi ω = j M λi,j ω. Portanto, i M λi ω = ij M λi,j ω. P R ˜ P R Analogamente, j M λ c˜ ao. jω = i,j M λij ω, o que prova a afirma¸ Fica como exerc´ıcio verificar que a integral tamb´em n˜ ao depende da escolha do atlas positivo, de modo que a integral de m-formas com suporte compacto em uma variedade orientada de dimens˜ao m est´ a bem definida e ´e um funcional linear nesse espa¸co.

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91

[SEC. 5.1: O TEOREMA DE STOKES

5.1.3

Derivada exterior e o Teorema de Stokes

Um operador linear fundamental no espa¸co de formas diferencial ´e o operador derivada exterior, que passaremos a definir. Definiremos esse operador inicialmente no espa¸co de formas em abertos de Rm e mostraremos que ele comuta com o operador de pull-back de formas. Seguir´ a da´ı que a defini¸c˜ ao se estende para formas em variedades. O espa¸co de 0-formas, Ω0 (U ), ´e simplesmente o espa¸co C ∞ (U ). A derivada de uma fun¸c˜ ao f , que agora denotaremos por df , ´e uma 1-forma em U , e portanto temos uma aplica¸c˜ ao linear d:

Ω0 (U ) f

Se ω ∈ Ωk (U ), ent˜ ao ω = Da´ı definimos dω =

X J

P

daJ ∧ dxJ =

−→ 7−→ J

df =

Ω1 (U ) P ∂f

j ∂xj dx

j

.

aJ dxJ , em que dxJ = dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk .

X X ∂aJ j

J

∂xj

dxj ∧ dxJ ∈ Ωk+1 (U ).

´ claro que d ´e um operador linear. Como dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi , E o operador d satisfaz a seguinte regra de Leibniz: d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη para todas ω ∈ Ωk (U ) e η ∈ Ωl (U ). Outra propriedade cuja verifica¸c˜ ao deixamos a cargo do leitor ´e que o operador d comuta com o operador de pull-back de formas, isto ´e, se f : U ⊂ Rm → V ⊂ Rn ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ , ent˜ ao d(f ∗ ω) = f ∗ dω. Teorema 5.1. Para toda ω ∈ Ωk (U ) vale d(dω) = 0. Demonstra¸ c˜ ao. Primeiramente, provaremos que se f ∈ Ω0 (U ), ent˜ ao d(df ) = 0. De fato:

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92

´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

d(df )

= = = =

  X ∂f d dxj  ∂xj j X

∂2f dxi ∧ dxj ∂xi ∂xj i,j  X  ∂2f ∂2f − dxi ∧ dxj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi i dim(M ), de modo que toda m-forma em M ´e automaticamente fechada. Da propriedade d2 = 0 da diferencial exterior, segue que a sequˆencia de espa¸cos vetoriais com transforma¸c˜ oes lineares d

d

d

0 −→ Ω0 (M ) −→ Ω1 (M ) −→ · · · −→ Ωm (M ) −→ 0

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[SEC. 5.2: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

95

´e um complexo de co-cadeias. Al´em disso, tamb´em por d2 = 0, temos que B k (M ) ⊂ Z k (M ) para todo k, de modo que podemos considerar k os grupos de cohomologia do complexoHdR (M ) := Z k (M )/B k (M ), chamados de grupos de cohomologia de de Rham e M . Dada uma forma ω ∈ Z k (M ), denotamos por [ω] sua classe de cohomologia em k HdR (M ). Como a aplica¸c˜ ao de pull-back de formas comuta com a derivada exterior, temos que se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ , ent˜ ao ∗ k k ∗ k k f (Z (N )) ⊂ Z (M ) e f (B (N )) ⊂ B (M ). Assim f ∗ induz uma aplica¸c˜ ao nos grupos de cohomologia, que denotaremos da mesma maneira k k f ∗ : HdR (N ) → HdR (M ). Como (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ ao n´ıvel de formas, o mesmo acontece ao n´ıvel de cohomologia. Evidentemente temos que id∗M = idHdR k (M ) . Em particular, se duas variedades s˜ ao difeomorfas, ent˜ ao os seus grupos de cohomologia s˜ ao isomorfos. Mais geralmente, mostraremos no cap´ıtulo 11 que isso tamb´em ocorre mesmo que as variedades diferenci´ aveis tenham apenas o mesmo tipo de homotopia.

Como a derivada exterior preserva as formas com suporte compacto, temos tamb´em um subcomplexo constitu´ıdo de formas com suporte compacto. Os correspondentes grupos de cohomologia s˜ ao chamados grupos de cohomologia com suporte compacto e s˜ ao denotados por Hck (M ). Uma aplica¸c˜ ao pr´ opria induz aplica¸c˜ oes lineares entre grupos de cohomologia com suporte compacto. Lema 5.4. Para cada t ∈ [0, 1] seja it : M → M × [0, 1] a inclus˜ ao x 7→ (x, t). Ent˜ ao existe uma aplica¸c˜ ao linear I : Ωk (M × [0, 1]) → Ωk−1 (M ) tal que i∗0 ω − i∗1 ω = dI(ω) + I(dω).

Mais ainda, se ω tem suporte compacto, ent˜ ao I(ω) tamb´em tem suporte compacto. ∂ o campo de vetores que se proDemonstra¸ c˜ ao. Denotemos por ∂t jeta em 0 pela derivada de (x, t) 7→ x e em 1 pela derivada de

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96

´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

(x, t) 7→ t. Todo vetor tangente a M × [0, 1] num ponto (t, x) se ∂ escreve de maneira u ´nica como v + a ∂t , em que a ∈ R e v pertence a imagem da derivada de it no ponto x. Seja ω ∈ Ωk (M × [0, 1]). Definimos α ∈ Ωk (M × [0, 1]) por   ∂ ∂ α(x, t) v1 + a1 , . . . , vk + ak = ω(x, t)(v1 , . . . , vk ). ∂t ∂t e β ∈ Ωk−1 (M × [0, 1]) por     ∂ ∂ ∂ β(x, t) w1 + b1 , . . . , wk−1 + bk−1 = ω(x, t) , w1 , . . . , wk−1 . ∂t ∂t ∂t Temos da´ı que ω = α + dt ∧ β.

As formas α e β est˜ ao bem definidas. Para mostrar a igualdade basta tomar cartas locais nas quais X X ω= aI (x, t)dxI + dt ∧ bJ (x, t)dxJ I

e

α=

X

J

aI (x, t)dxI ,

I

β(x, t) =

X

bJ (x, t)dxJ .

J

A igualdade ´e evidente. Definimos a forma I(ω) ∈ Ωk−1 (M ), para cada x ∈ M , por I(ω)(x)(u1 , . . . , uk−1 ) =

Z

1

β(x, t)(D(it )(x)u1 , . . . , Dit (x)uk−1 )dt. 0

Para verificar a igualdade de duas formas diferenciais basta provar a igualdade em cada ponto, e podemos, portanto, usar cartas locais. A express˜ ao das formas acima definidas em coordenadas locais s˜ ao: X α= αi1···k (x, t)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik i1 . Consideremos em V ∗ o produto interno induzido por este isomorfismo. Este produto interno induz um produto interno no espa¸co vetorial Λk (V ∗ ). Para isso, seja {λ1 , . . . , λm } uma base ortonormal de V ∗ . Como j´ a vimos anteriormente, {λi1 ∧ · · · ∧ λik ; 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m} ´e uma base de Λk (V ∗ ). Defina um produto interno em Λk (V ∗ ) declarando que esta base seja ortonormal. Portanto temos tamb´em um isomorfismo # : Λk (V ∗ ) → (Λk (V ∗ ))∗ , para cada k, induzido pelo produto interno de maneira an´ aloga ao que fizemos anteriormente. Finalmente, fixando uma orienta¸c˜ ao para V , existe um u ´nico ω ∈ Λm (V ∗ ) tal que ω(v1 , . . . , vm ) = 1 se [v1 , . . . , vm ] ´e uma base ortonormal positiva de V . Qualquer outro elemento de Λm (V ∗ ) ´e um m´ ultiplo real de ω, e, portanto, temos um isomorfismo Λm (V ∗ ) → R que associa a cada forma η o n´ umero real c tal que η = c · ω. Cada elemento η ∈ Λk (V ∗ ) define uma aplica¸c˜ ao linear Λm−k (V ∗ ) θ

η∧ :

−→ 7−→

Λm (V ∗ ) ≈ R η ∧ θ.

Portanto podemos pensar que η∧ ∈ (Λm−k (V ∗ ))∗ ≈ Λm−k (V ∗ ). Temos assim a aplica¸c˜ ao linear ∗:

Λk (V ∗ ) η

−→ 7−→

Λm−k (V ∗ ) #(η∧).

´ f´ E acil verificar que a aplica¸c˜ ao η 7→ η∧ ´e 1-1. Como # ´e um isomorfismo, a aplica¸c˜ ao ∗ tamb´em ´e 1-1 e assim um isomorfismo, pois os espa¸cos tem a mesma dimens˜ ao. Chamamos ∗ de operador estrela de Hodge. . O operador estrela de Hodge ´e caracterizado pela seguinte propri˜1, . . . , λ ˜ m } de V ∗ , ent˜ edade: dada uma base ortonormal {λ ao ˜ k ) = ±λ ˜ k+1 ∧ · · · ∧ λ ˜m, ˜1 ∧ · · · ∧ λ ∗(λ

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[SEC. 5.6: ELEMENTOS DE TEORIA DE HODGE

117

˜1 ∧ · · · ∧ λ ˜ m (v1 , . . . , vm ) ´e onde o sinal ´e positivo se, e somente se, λ positivo para toda base positiva [v1 , . . . , vm ] de V .Logo, para cada η ∈ Λk (V ∗ ), vale a importante rela¸c˜ ao ∗ ∗ η = (−1)k(m−k) η. Usamos o produto interno em Λk (V ∗ ), o produto exterior e a orienta¸c˜ ao de V para definir o operador estrela. Deixamos a cargo do leitor mostrar a seguinte rela¸c˜ ao entre o produto interno e o operador ∗: < α, β >= ∗(α ∧ ∗β) = ∗(β ∧ ∗α).

Consideremos agora uma variedade Riemanniana orientada e sem bordo. O isomorfismo induzido pela m´etrica em cada espa¸co tangente induz o isomorfismo de espa¸cos vetoriais # : X∞ (M ) → Ω1 (M )

definido por (#X)(x)(v) =< X(x), v >x para todo x ∈ M e todo v ∈ T Mx . Logo, dada uma fun¸c˜ ao f : M → R de classe C ∞ , existe um u ´nico campo de vetores X ∈ X∞ (M ) tal que #X = df . O campo X ´e chamado campo gradiente da fun¸c˜ ao f e normalmente ´e denotado por ∇f . O gradiente ´e um campo com a propriedade de ser ortogonal as superf´ıcies de n´ıvel regulares de f , al´em disso, a fun¸c˜ ` ao cresce ao longo das curvas integrais desse campo. A m´etrica Riemanniana em conjunto com a orienta¸c˜ ao escolhida d˜ ao origem uma m-forma ω ∈ Ωm (M ) caracterizada pela seguinte propriedade: se [v1 , ..., vm ] ´e uma base ortonormal positiva de T Mx , ent˜ ao ω(x)(v1 , ..., vm ) = 1. Esta forma ´e chamada de forma de volume associada a m´etrica e a orienta¸c˜ ao. Esta forma induz o isomorfismo ∗ : Ωm (M ) → C ∞ (M ) que a cada m-forma η associa a fun¸c˜ ao f tal que η = f ω. Mais geralmente, temos o isomorfismo para cada k dado pelo operador estrela de Hodge em M : ∗ : Ωk (M ) → Ωm−k (M )

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118

´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

definido por (∗η)(x) = ∗x (η(x)), onde ∗x : Λk (T Mx )∗ → Λm−k (T Mx )∗ ´e o operador estrela de Hodge pontual. Usando o operador estrela de Hodge e a derivada exterior, podemos definir outros operadores diferenciais entre os v´ arios espa¸cos. A divergˆencia de campos de vetores ´e o operador diferencial de primeira ordem div : X∞ (M ) → C ∞ (M ) definido por div X = ∗d ∗ (#X). Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que LX (ω) = divX.ω e, portanto, se a divergˆencia de um campo de vetores ´e nula, ent˜ ao LX ω = ω, isto ´e, o fluxo de X preserva o volume definido pela forma ω. Em variedades Riemannianas orientadas de dimens˜ao 3, podemos definir o rotacional de campos de vetores rot : X∞ (M ) → X∞ (M ) por rot (X) = ♭ ∗ d#X, onde ♭ ´e o operador inverso de #. No cap´ıtulo 13 discutiremos um outro operador de segunda ordem ∆ : Ωk (M ) → Ωk (M ) definido por ∆ω = 21 (∗d ∗ dω + d ∗ d ∗ ω) e ´e chapado Laplaciano.

5.7

Estruturas simpl´ eticas

Uma forma bilinear alternada σ : V × V → K em um K-espa¸co vetorial V de dimens˜ ao finita ´e n˜ ao degenerada se σ(v, w) = 0 para todo w ∈ V implicar que v = 0. Isto ´e equivalente a dizer que σ ♯ : V → V ∗ definida por σ ♯ (v) = σ(v, ·) ´e um isomorfismo. Quando V admite uma tal forma, temos que V deve ter necessariamente dimens˜ ao par e, al´em disso, existe uma base [v1 , . . . , vm , w1 , . . . wm ] de V tal que σ(vi , vj ) = σ(wi , wj ) = 0 e σ(vi , wj ) = δij . Defini¸ c˜ ao 5.8. Uma forma simpl´etica em uma variedade M ´e uma 2forma ω que ´e fechada, dω = 0, e n˜ ao degenerada, isto ´e, a aplica¸c˜ ao ω ♯ (x) : T Mx → T Mx∗ ´e um isomorfismo para cada x ∈ M . Uma

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119

´ [SEC. 5.7: ESTRUTURAS SIMPLETICAS

variedade simpl´etica ´e um par (M, ω), em que M ´e uma variedade e ω ´e uma forma simpl´etica em M . Pelo que vimos acima, uma variedade simpl´etica tem sempre dimens˜ ao par 2m. Toda variedade orientada de dimens˜ao dois e munida de uma m´etrica Riemanniana possui uma forma de ´ area, que por defini¸c˜ ao ´e uma forma simpl´etica. O espa¸co vetorial R2n = Rm × Rm tem uma forma simpl´etica canˆ onica, que ´e definida por ω0 (x, y) =

m X i=1

dxi ∧ dyi .

O Teorema de Darboux, que provaremos nesta se¸c˜ ao, estabelece que toda variedade simpl´etica ´e localmente (R2m , ω0 ). Seja (M, ω) uma variedade simpl´etica. Dado X ∈ X(M ), o produto interior iX ω ´e uma 1-forma em M . Como a forma simpl´etica ´e n˜ ao degenerada, temos de fato um isomorfismo de espa¸cos vetoriais X∞ (M ) → Ω1 (M ),

X 7→ iX (ω).

Em particular, dada f ∈ C ∞ (M ), existe um u ´nico campo de vetores Xf ∈ X(M ) tal que iXf (ω) = df . O campo Xf ´e chamado campo ´ claro Hamiltoniano de f , tamb´em chamado gradiente simpl´etico. E que f ´e constante ao longo das curvas integrais de seu campo Hamiltoniano. Como dω = 0, pela f´ ormula de Cartan, proposi¸c˜ ao 5.19, temos LXf ω = d(iXf ω) + iXf (dω) = d(df ) = 0. Logo o fluxo do campo Hamiltoniano preserva a forma simpl´etica. Outra observa¸c˜ ao importante ´e que, como ω ´e n˜ ao degenerada, o produto exterior ω m ´e uma (2m)-forma que n˜ ao se anula em nenhum ponto. Dizemos que essa ´e a forma de volume de Liouville definida pela estrutura simpl´etica. Em particular, M ´e uma variedade orient´ avel. A forma de volume ´e preservada pelo fluxo do campo Hamiltoniano de qualquer fun¸c˜ ao.

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120

´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

Seja (M, ω) uma variedade simpl´etica. Dadas f, g ∈ C ∞ (M ), com respectivos campos Hamiltonianos Xf e Xg , podemos produzir uma nova fun¸c˜ ao em C ∞ (M ) fazendo {f, g} = ω(Xf , Xg ) chamada o colchete de Poisson de f e g. Segue essencialmente das f´ ormulas de Cartan e da identidade de Jacobi para campos de vetores a seguinte proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 5.24. O colchete de Poisson {·, ·} : C ∞ (M ) × C ∞ (M ) → C ∞ (M ) define uma estrutura de ´ algebra de Lie em C ∞ (M ). Al´em disso, para ∞ cada f ∈ C (M ), a aplica¸c˜ ao induzida {f, ·} : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) ´e uma deriva¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 5.25. Seja M uma variedade. O fibrado cotangente de M , definido por T ∗ M = {(x, p); x ∈ M e p ∈ T ∗ Mx }, tem uma estrutura de variedade tal que a aplica¸c˜ ao π : (x, p) 7→ x ´e uma submers˜ ao C ∞ . Se λ ∈ Ω1 (T ∗ M ) ´e a 1-forma definida por λ(x, p).u = p(Dπ(x, p).u), ent˜ ao ω = dλ ´e uma forma simpl´etica em T ∗ M . ˜i ⊂ Rm um atlas em M . Para cada Demonstra¸ c˜ ao. Seja φi : Ui → U i, a aplica¸c˜ ao Φi :

π −1 (Ui ) (x, λ)

→ 7 →

˜i × (Rm )∗ U (φi (x), λ ◦ (Dφi (x))−1 )

´e uma bije¸c˜ ao. Colocamos em T ∗ M a seguinte topologia: U ⊂ T ∗ M ˜i × (Rm )∗ . ´e aberto se, e somente se, Φi (U ∩ π −1 (Ui )) ´e aberto em U Com essas topologia, as aplica¸c˜ oes Φi s˜ ao homeomorfismos e como

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´ [SEC. 5.7: ESTRUTURAS SIMPLETICAS

121

Φj ◦ Φ−1 s˜ ao difeomorfismos C ∞ , temos que T ∗ M ´e uma variedade i de dimens˜ ao 2m, e a express˜ ao local da proje¸c˜ ao nas cartas (Φi , φi ) ˜i × (Rm )∗ 7→ q. ´e a proje¸c˜ ao (q, p) ∈ U ´ facil ver que a express˜ E ao local da forma λ nestas P coordenadas ´e Pm m λi (q, p) = j=1 pj dqj . Assim a express˜ ao local de ω ´e j=1 dpj ∧ dqj e portanto ´e uma forma simpl´etica. Na f´ısica cl´ assica de part´ıculas, o espa¸co de configura¸c˜ oes de um sistema de part´ıculas ´e uma variedade M e o espa¸co de fase ´e o seu fibrado cotangente T ∗ M . Os observ´ aveis f´ısicos s˜ ao as fun¸c˜ oes em C ∞ (T ∗ M ). Um observ´ avel especial ´e a energia total H, chamada uma Hamiltoniana. Esse observ´ avel H ´e a soma de duas fun¸c˜ oes. Uma, a energia cin´etica, ´e uma fun¸c˜ ao que restrita a cada fibra do fibrado cotangente ´e a forma quadr´ atica induzida por uma m´etrica Riemanniana em M : K(x, p) = 21 ||p||2x . A outra fun¸c˜ ao, chamada energia potencial, depende apenas da posi¸c˜ ao das part´ıculas, portanto ´e a composi¸c˜ ao de π com uma fun¸c˜ ao em C ∞ (M ). A evolu¸c˜ ao desse sistema de part´ıculas ´e dada pelo fluxo do campo Hamiltoniano XH . A Hamiltoniana ´e constante ao longo do fluxo Hamiltoniano, fato conhecido como Lei da conserva¸c˜ ao da energia. A evolu¸c˜ ao de um observ´ avel f´ısico f , ft (x) = f ◦ φ(t, x), onde φ ´e o fluxo de XH , ´e dado pela equa¸c˜ ao diferencial d ft (x) = {f, H}(x). dt No caso especial onde a energia potencial ´e nula, a proje¸c˜ ao das curvas integrais do fluxo Hamiltoniano s˜ ao as geod´esicas de M . Teorema 5.26. (Teorema de Darboux) Seja (M, ω) uma variedade simpl´etica de dimens˜ ao 2m. Para cada ponto x ∈ M existe uma vizinhan¸ca V de x e um difeomorfismo φ : Rm × Rm → V , de classe C ∞ , tal que φ∗ ω = ω0 , em que ω0 ´e a forma simpl´etica canˆ onica de R2m . Demonstra¸ c˜ ao. Usaremos na prova um argumento devido a Moser que simplificou muito a prova original. Podemos supor que ω ´e uma forma simpl´etica em uma vizinhan¸ca da origem em Rm × Rm . Basta

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122

´ [CAP. 5: CALCULO EM VARIEDADES

mostrar que existe um difeomorfismo φ de uma vizinhan¸ca da or´ıgem tal que φ∗ ω = ω(0), onde ω(0) ´e a forma diferencial constante em uma vizinhan¸ca de 0, uma vez que existe uma base de Rm × Rm para a qual a forma bilinear ω(0) se escreve como no enunciado do teorema. Consideremos a fam´ılia a um parˆ ametro de formas diferenciais: ωt = ω0 + t(ω − ω0 ). Em uma bola de centro na or´ıgem e raio suficientemente pequeno podemos supor que ωt ´e n˜ ao degenerada para todo t. Como ω ´e fechada, existe uma 1-forma β tal que ω − ω(0) = dβ. Note que dβ = d(β − β(0)), portanto podemos supor que β(0) = 0. Vamos procurar um campo de vetores Xt dependente do tempo tal que se φt (x) = φ(t, x), onde φ ´e solu¸c˜ ao da equa¸ca˜o diferencial d φt (x) = Xt (φt (x)), dt ent˜ ao φ∗t ωt ´e independente de t, de modo que φ∗t ωt = ω(0) para todo t, o que prova o teorema. Pode-se provar que com campos dependentes do tempo, vale que d ∗ d φt ωt = φ∗t LXt ωt + φ∗t ωt . dt dt Como ωt ´e fechada, pela f´ ormula de Cartan LXt ωt = d(iXt ωt ) Logo,

d ∗ φ ωt = φ∗t (iXt ωt ) + β. dt t Como ωt ´e n˜ ao degenerada, existe um u ´nico Xt tal que iXt ωt = −β,

o que conclui a prova.

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Cap´ıtulo 6

Espa¸ cos de recobrimento e Grupo fundamental

A quest˜ ao natural de descreve o dom´ınio maximal de defini¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao holomorfa definida localmente por uma s´erie de potˆencias convergentes naturalmente conduz a problemas tais que a continuidad anal´ıtica pode assumir valores diferentes em um mesmo ponto. Isto levou Poincar´e a considerar que tal extens˜ ao pudesse estar definida, como uma fun¸c˜ ao usual, em outro espa¸co relacionado ao plano complexo mas que a cada ponto esse espa¸co associaria v´ arios pontos em cada um dos quais a fun¸c˜ ao assumiria um u ´nico valor. Dessa forma a continua¸c˜ ao anal´ıtica de uma fun¸c˜ ao holomorfa local estaria definida n˜ ao em um dom´ınio do plano complexo mas em um outro espa¸co que se projeta no plano complexo e que localmente ´e o produto de um aberto do plano complexo por um conjunto discreto. Tamb´em motivado por esse problema Poincar´e introduziu o conceito de grupo fundamental que, como veremos nesse cam´ıtulo, ´e um invariante topol´ ogico importante das variedades.

6.1

Espa¸cos de recobrimento

Defini¸ c˜ ao 6.1. Uma a¸c˜ ao de um grupo G em uma variedade M ´e um morfismo de grupos ρ : G → Dif(M ), isto ´e, ρ(g1 g2 ) = ρ(g1 ) ◦ ρ(g2 ) para todos g1 , g2 ∈ G. Se G ´e um grupo de Lie, dizemos que a a¸c˜ ao 123

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124

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

´e diferenci´ avel se a aplica¸c˜ ao G×M (g, x)

−→ 7−→

M ρ(g)(x)

´e diferenci´ avel. Exemplo 6.1. Se X ´e um campo de vetores completo em M , de classe C ∞ , ent˜ ao o fluxo de X induz uma a¸c˜ ao C ∞ do grupo aditivo R em M , proposi¸c˜ ao 2.7. Exemplo 6.2. O grupo aditivo Zn age em Rn por transla¸c˜ oes, isto ´e, a aplica¸c˜ ao ρ : Zn −→ Dif(Rn ) m 7−→ (x 7→ x + m) ´e uma a¸c˜ ao. Exemplo 6.3. Seja f : M → M um difeomorfismo e F: Ent˜ ao

M ×R (x, t) Z n

−→ 7−→

−→ 7−→

M ×R (f (x), t + 1).

Dif(M × R) Fn

´e uma a¸c˜ ao. Defini¸ c˜ ao 6.2. Dizemos que uma a¸c˜ ao ρ : G → Dif(M ) ´e propriamente descont´ınua e sem pontos fixos se todo ponto x ∈ M possui uma vizinhan¸ca V tal que ρ(g)(V ) ∩ V 6= ∅ ⇒ g = e

(identidade do grupo).

A´ orbita de um ponto x ∈ M pela a¸c˜ ao ρ ´e o conjunto O(x) = {y ∈ M, ∃ g ∈ G tal que ρ(g)(x) = y}. Uma a¸c˜ ao define a seguinte rela¸c˜ ao de equivalˆencia em M : x ∼ y ⇔ O(x) = O(y),

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[SEC. 6.1: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO

125

e portanto o espa¸co de ´ orbitas pela a¸c˜ ao, que ´e o conjunto das classes de equivalˆencia por esta rela¸c˜ ao. Se a a¸c˜ ao ´e propriamente descont´ınua sem pontos fixos, ent˜ ao todo ponto tem uma vizinhan¸ca tal que toda ´ orbita intersecta essa vizinhan¸ca em no m´ aximo um ponto. As a¸c˜ oes dos exemplos 6.2 e 6.3 tem essa propriedade. Proposi¸ c˜ ao 6.1. Seja M m uma variedade C ∞ e ρ : G → Dif∞ (M ) uma a¸c˜ ao propriamente descont´ınua. Seja P o espa¸co das ´ orbitas e q : M → P a aplica¸c˜ ao quociente. Ent˜ ao P , com a topologia quociente, ´e localmente homeomorfo a Rm . Se P ´e Hausdorff, ent˜ ao P ´e uma variedade C ∞ e q ´e C ∞ . Demonstra¸ c˜ ao. Seja y = q(x). Seja U ⊂ M uma vizinhan¸ca de x tal que ρ(g)(U ) ∩ U = ∅ se g 6= e. ao que V = q(U ) ´e uma S Temos ent˜ vizinhan¸ca de y pois q −1 (V ) = ρ(g)(U ) ´e aberto. Por outro lado, g∈G

a restri¸c˜ ao de q a cada aberto ρ(g)U ´e um homeomorfismo sobre V . Tomando U dentro de uma carta local de M , temos que a composta de (q|U )−1 : V → U com essa carta ´e uma carta local para P . As mudan¸cas de coordenadas s˜ ao as mesmas mudan¸cas de coordenadas das cartas de M cujos dom´ınios s˜ ao levados homeomorficamente por q em abertos de P (dom´ınios suficientemente pequenos). Logo se P ´e Hausdorff. ent˜ ao P tem uma estrutura de variedade com a mesma regularidade da a¸c˜ ao. Observa¸ c˜ ao: Se M ´e uma variedade complexa, P ´e Hausdorff e ρ(g) ´e um difeomorfismo holomorfo para cada g, ent˜ ao P ´e uma variedade complexa e q ´e uma aplica¸c˜ ao holomorfa. Exemplo 6.4. Sejam M = R2 \ {0} e f : R2 \ {0} → R2 \ {0} o difeomorfismo definido por f (x, y) = ( 12 x, 2y). Considere a a¸c˜ ao correspondente do exemplo 6.1. A a¸c˜ ao ´e propriamente descont´ınua, mas o espa¸co quociente n˜ ao ´e Hausdorff: as ´ orbitas dos pontos (1, 0) e (0, 1) n˜ ao podem ser separadas por abertos disjuntos. Exerc´ıcio 6.1. Mostre que P ´e Hausdorff se, e somente se, o conjunto {(x, y) ∈ M × M ; x ∼ y} ´e fechado.

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126

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Defini¸ c˜ ao 6.3. Sejam M e P variedades. Dizemos que uma aplica¸c˜ ao π : M → P , de classe C r , r ≥ 0, ´e uma aplica¸c˜ ao de recobrimento se cada p ∈ P possui uma vizinhan¸ca Vp , chamada uma vizinhan¸ca distinguida de p, tal que a restri¸c˜ ao de π a cada componente conexa U de π −1 (Vp ) ´e um homeomorfismo de U sobre Vp . Observa¸ c˜ ao 6.1. O conceito de aplica¸c˜ ao de recobrimento tem sentido na categoria de espa¸cos topol´ ogicos. Por outro lado, se M ´e um espa¸co topol´ ogico e π : M → N ´e uma aplica¸ca˜o de recobrimento sobre uma variedade N de classe C k (resp. complexa), ent˜ ao M tem uma estrutura de variedade de classe C k (resp. complexa) tal que π ´e de classe C k (resp. holomorfa). Defini¸ c˜ ao 6.4. Seja π : M → P uma aplica¸c˜ ao de recobrimento. Um homeomorfismo ϕ : M → M ´e um automorfismo do recobrimento se π ◦ ϕ = π. Se π ´e de classe C k (resp. holomorfo), ent˜ ao todo automorfismo do recobrimento ´e um difeomorfismo C k (resp. holomorfo). O conjunto dos automorfismos de π ´e denotado por Aut(π) ⊂ Difk (M ) e ´e um subgrupo que age pr´ opria e descontinuamente sem pontos fixos em M . Al´em disso, por defini¸c˜ ao, a ´ orbita da a¸c˜ ao por um ponto x est´ a contida na fibra sobre o ponto π(x). Defini¸ c˜ ao 6.5. Uma aplica¸c˜ ao de recobrimento π : M → P ´e regular se Aut(π) age transitivamente sobre cada fibra, isto ´e, π(x) = π(y) ⇒ ∃ϕ ∈ Aut(π) tal que ϕ(x) = y. Se o recobrimento ´e regular, ent˜ ao o espa¸co de ´ orbitas da a¸c˜ ao de Aut(π) em M pode ser identificado com P . Proposi¸ c˜ ao 6.2. Sejam ϕ, ψ ∈ Aut(π) tais que ϕ(x0 ) = ψ(x0 ) para algum x0 ∈ M , ent˜ ao ϕ(x) = ψ(x) para todo x ∈ M . Demonstra¸ c˜ ao. O conjunto {x ∈ M ; ϕ(x) = ψ(x)} ´e fechado. Por outro lado, como ϕ e ψ s˜ ao automorfismos este conjunto tamb´em ´e aberto. De fato, sejam U e W componentes conexas da pr´e-imagem de uma vizinhan¸ca distinguida de π(x) e de π(ϕ(x)) = π(ψ(x)), U contendo x e W contendo ψ(x). Temos que tanto ϕ|U quanto ψ|U coincidem com (π|W )−1 ◦ (π|U ).

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127

[SEC. 6.1: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO

Observa¸ c˜ ao 6.2. Seja π : M → P um recobrimento regular de espa¸cos topol´ ogicos. Se M ´e uma variedade C k (resp. complexa) e os automorfismos do recobrimento s˜ ao de classe C k (resp. holomorfos), ent˜ ao P tem uma estrutura de variedade C k (resp. complexa) e π ´e uma aplica¸c˜ ao C k . Seja π : M → P uma aplica¸c˜ ao de recobrimento regular de classe C k , k ≥ 1. Ent˜ ao π induz uma aplica¸c˜ ao linear π ∗ : Xs (P ) → Xs (M ), chamada “pull-back”, definida por (π ∗ X)(x) = (Dπ(x))−1 X(π(x)), em que s ≤ k − 1. Se o campo Y ∈ Xs (M ) ´e o pull back de um campo X ∈ Xs (P ), Y = π ∗ X, ent˜ ao para todo ϕ ∈ Aut(π) temos que ϕ∗ Y = Y . Reciprocamente, se o recobrimento ´e regular e o campo Y ∈ Xs (M ) satisfaz ` a condi¸c˜ ao: ϕ∗ Y = Y ∀ ϕ ∈ Aut(π), ent˜ ao Y ´e o pull-back de um campo X ∈ Xs (M ). Analogamente, se N ´e uma variedade ent˜ ao π induz uma aplica¸c˜ ao, tamb´em denotada por π ∗ , π ∗ : C k (P, N ) → C k (M, N ) f 7→ f ◦ π. Temos ent˜ ao que g ∈ C k (M, N ) ´e o pull-back de alguma aplica¸c˜ ao k em C (P, N ) se, e somente se, g ◦ ϕ = g para todo ϕ ∈ Aut(π). Se N ´e um espa¸co vetorial, ent˜ ao os espa¸cos de fun¸c˜ oes tamb´em s˜ ao espa¸cos vetoriais e nesse caso π ∗ ´e linear. Assim, as fun¸c˜ oes no toro Tn podem ser identificadas com as fun¸c˜ oes de Rn que s˜ ao n-peri´ odicas, isto ´e, f (x+m) = f (x) ∀ m ∈ Zn . Os campos de vetores do toro podem ser identificados com campos de vetores X : Rn → Rn tais que X(x + m) = X(x)

∀ m ∈ Zn .

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128

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Exemplo 6.5. Fixe f : M → M um difeomorfismo de classe C ∞ . Seja F : R × M → R × M o difeomorfismo F (t, x) = (t + 1, f (x)). Ent˜ ao ρ : Z −→ Dif∞ (M ) n 7−→ Fn ´e uma a¸c˜ ao propriamente descont´ınua e, portanto, o espa¸co de ´ orbitas Tf ´e uma variedade C ∞ de dimens˜ ao dimM + 1. A aplica¸c˜ ao quociente q : R × M → Tf ´e um recobrimento e os automorfismos desse recobrimento s˜ ao os iterados de F . Seja ρ : R × M → S 1 definida por ρ(t, x) = e2πit . Temos que ρ ◦ F n = ρ para todo n ∈ Z. Logo existe uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel π : Tf → S 1 tal que π ◦ q = ρ. 1 Seja I ⊂ S um intervalo aberto. Ent˜ ao cada componente conexa de ρ−1 (I) ´e o produto J × M onde J ⊂ R ´e um intervalo da reta que ´e levado difeomorficamente sobre I pela aplica¸c˜ ao t 7→ e2πit . Esse intervalo tem comprimento menor que 1, assim os iterados por F de J × M s˜ ao dois a dois disjuntos e a aplica¸c˜ ao quociente restrita a J × M ´e um difeomorfismo sobre π −1 (I) ⊂ Tf . Portanto π −1 (I) ´e difeomorfo a I × M . Esse ´e mais um exemplo de fibra¸c˜ ao localmente trivial, nesse caso com fibra M , base S 1 e espa¸co total Tf . A variedade Tf definida acima ´e chamada suspens˜ ao do difeomorfismo f . Ela pode ser descrita tamb´em como a variedade obtida da variedade com bordo [0, 1]×M colando as duas componentes {0}×M e {1} × M do bordo pelo difeomorfismo induzido por f . Temos que se f e g s˜ ao difeomorfismos difeot´ opicos, ent˜ ao Tf ´e difeomorfa a Tg , pelo teorema 4.6. Por outro lado se f ´e a aplica¸c˜ ao identidade do c´ırculo S 1 e g um difeomorfismo que inverte orienta¸c˜ ao, ent˜ ao Tf ´e difeomorfo ao toro S 1 × S 1 enquanto que Tg ´e difeomorfo ` a garrafa de Klein. Observa¸ c˜ ao 6.3. Um espa¸co de recobrimento ´e portanto uma fibra¸c˜ ao localmente trivial, onde a fibra F ´e um espa¸co topol´ ogico discreto. Defini¸ c˜ ao 6.6. Seja π : N → P uma aplica¸ca˜o de recobrimento e f : M → P uma aplica¸c˜ ao C k . Um levantamento de f ´e uma ˆ aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → N tal que π ◦ fˆ = f .

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[SEC. 6.1: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO

129

Proposi¸ c˜ ao 6.3. 1) O levantamento de uma aplica¸c˜ ao C k e autok maticamente C . 2) Dois levantamentos de uma mesma aplica¸c˜ ao que coincidem em um ponto s˜ ao idˆenticos. 3) Se fˆ ´e um levantamento de f e ϕ ∈ Aut(π), ent˜ ao ϕ ◦ fˆ ´e tamb´em um levantamento de f . 4) Um levantamento da aplica¸c˜ ao π ´e um automorfismo de π. Demonstra¸ c˜ ao. Se V ⊂ P ´e uma vizinhan¸ca distinguida de f (x), U ´e a componente conexa de π −1 (V ) que cont´em fˆ(x) e W = f −1 (U ), ent˜ ao fˆ|W = (π| U )−1 ◦ f |W . Logo, se dois levantamentos coincidem em um ponto eles coincidem em uma vizinhan¸ca do ponto. Da´ı o conjunto dos pontos onde eles coincidem ´e aberto e fechado. Os outros itens s˜ ao imediatos. Teorema 6.4. (Levantamento de caminhos) Se α : [0, 1] → P ´e uma curva cont´ınua com α(0) = x0 e π(˜ x0 ) = x0 , ent˜ ao existe um u ´nico levantamento α ˜ : [0, 1] → N de α tal que α ˜ (0) = x ˜0 . Demonstra¸ c˜ ao. Seja T > 0 o supremo do conjunto dos τ ∈ [0, 1] tais que α|[0,τ ] tem um levantamento come¸cando em x ˜0 . Suponha que T < 1. Se V ´e uma vizinhan¸ca distinguida de α(T ), α(t0 ) ∈ V para t0 < T e U ´e a componente conexa de π −1 (V ) que cont´em α ˆ (t), ent˜ ao α ˆ (t) = (π|U )−1 α(t). Logo α ˆ = (π|U )−1 ◦ α ´e um levantamento de α eα ˆ se estende a um intervalo [0, T + ε] para ε > 0 suficientemente pequeno. Logo T = 1. Defini¸ c˜ ao 6.7. (Homotopia relativa) Sejam f, g : M → P fun¸c˜ oes C r , r ≥ 0, que coincidem em um subconjunto A ⊂ M . Dizemos que f e g s˜ ao homot´ opicas relativamente a A, ou que f e g s˜ ao homot´ opicas mod A, se existe uma homotopia H : M × [0, 1] → P de classe C r entre f e g tal que H(x, s) = f (x) = g(x) para todo x ∈ A. Observa¸ c˜ ao: Usando o mesmo argumento da observa¸c˜ ao logo ap´ os a defini¸c˜ ao 3.2, mostra-se que a rela¸c˜ ao de homotopia relativa C r tamb´em ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia. Teorema 6.5. (Levantamento de homotopia.) Seja π : N → P uma aplica¸c˜ ao de recobrimento C r e H : M × [0, 1] → P uma homotopia relativa a um subconjunto A ⊂ M . Se f : M → P , definida por

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

f (x) = H(x, 0), tem um levantamento fˆ: M → N , ent˜ ao H tem um ˆ : M × [0, 1] → N tal que H(x, ˆ levantamento H 0) = fˆ(x). Demonstra¸ c˜ ao. Para cada x ∈ M temos que αx : [0, 1] → P , definida por αx (t) = H(x, t), ´e um caminho em P com αx (0) = f (x). Pelo teorema anterior, αx tem um u ´nico levantamento α ˆ x : [0, 1] → N ˆ com α ˆ x (0) = fˆ(x). Definimos ent˜ ao H(x, t) = α ˆ x (t). Resta mostrar ˆ ´e cont´ınuo. que H Seja x0 ∈ M . Como H ´e cont´ınuo, para cada t ∈ [0, 1] existe um intervalo centrado em t e uma vizinhan¸ca de x0 tal que a imagem por H do produto desse intervalo pela vizinhan¸ca de x0 esteja contida em uma vizinhan¸ca distinguida. Como [0, 1] ´e compacto, podemos cobr´ılo com um n´ umero finito de tais intervalos e intersectando as correspondentes vizinhan¸cas de x0 obtemos uma vizinhan¸ca W de x0 e uma parti¸c˜ ao t0 = 0 < t1 < · · · < tn+1 = 1 tais que H(W × [ti , ti+1 ]) ⊂ Vi , com Vi uma vizinhan¸ca distinguida. Suponhamos, por indu¸c˜ ao, que j´ a constru´ımos um levantamento Gℓ de H|W ×[0,tℓ ] com Gℓ (x, 0) = fˆ(x). Seja Uℓ ⊂ N o aberto contendo Gℓ (x0 , tℓ ) tal que a restri¸c˜ ao de π a Uℓ seja um homeomorfismo sobre Vℓ ⊃ H(W × [tℓ , tℓ+1 ]). Como Gℓ ´e cont´ınua e ´e um levantamento de H|W ×[0,tℓ ] , temos que Gℓ (x, t) = π|−1 Uℓ ◦ H(x, t) para todo (x, t) em W × [0, tℓ ] tal que H(x, t) ∈ Vℓ . Podemos assim estender continuamente Gℓ para um levantamento Gℓ+1 de H|W ×[0,tℓ+1 ] definindo Gℓ+1 (x, t) = π|−1 Uℓ ◦ H(x, t) para todo (x, t) ∈ W ×[tℓ , tℓ+1 ]. O primeiro passo da indu¸c˜ ao ´e imediato, usando a mesma f´ ormula. Temos ent˜ ao um levantamento G : W × [0, 1] → N da restri¸c˜ ao de H a W × [0, 1]. Como G(x, 0) = fˆ(x) temos, pela ˆ unicidade de levantamento de caminhos, que G(x, t) = H(x, t) para ˆ ´e cont´ınua. todo (x, t) ∈ W × [0, 1]. Logo H

6.2

O grupo fundamental

Seja α : [0, 1] → M um caminho. Definimos α−1 como o caminho reverso α−1 (t) = α(1 − t). Assim o ponto inicial de α−1 ´e o ponto

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131

[SEC. 6.2: O GRUPO FUNDAMENTAL

final de α. Se α, β : [0, 1] → M s˜ ao caminhos com α(1) = β(0), definimos o caminho concatena¸c˜ ao α ∗ β : [0, 1] → M por α ∗ β(t) =

(

se t ≤ 1/2 se t ≥ 1/2.

α(2t) β(2t − 1)

Proposi¸ c˜ ao 6.6. 1) α ∗ α−1 (resp. α−1 ∗ α) ´e homot´ opico relativo a {0, 1} ao caminho constante. 2) Seja F uma homotopia relativa a {0, 1} entre os caminhos α1 e α2 e G uma homotopia relativa {0, 1} entre os caminhos β1 e β2 . Se α1 (1) = β1 (0) ent˜ ao Fs ∗ Gs ´e uma homotopia relativa a {0, 1} entre α1 ∗ β1 e α2 ∗ β2 . 3) Sejam α, β, γ : [0, 1] → M caminhos satisfazendo β(0) = α(1) e γ(0) = β(1). Ent˜ ao (α ∗ β) ∗ γ ´e homot´ opico relativo a {0, 1} a α ∗ (β ∗ γ). Demonstra¸ c˜ ao. 1) Basta definir    2   t α    s  x0 H(s, t) =      2 2   t+1−  α−1 s s

se se se

s 0≤t≤ es>0 2 s s ≤t≤1− e s≥0 2 2 s 1 − ≤ t ≤ 1 e s > 0. 2

2) Exerc´ıcio. 3) Seja

[0, 1] × {s} = As ∪ Bs ∪ Cs como na figura. Sejam A0 = [0, 1/4] ,B0 = [1/4, 1/2], C0 = [1/2, 1], A1 = [0, 1/2], B1 = [1/2, 3/4], C1 = [3/4, 1]. Consideremos as aplica¸c˜ oes afins as : As → [0, 1], bs : Bs → [0, 1] e cs : Cs → [0, 1].

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132

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Figura 6.1: proposi¸c˜ ao 6.6.

Figura 6.2: proposi¸c˜ ao 6.6. Defina ent˜ ao

  α(as (t)) t ∈ As H(t, s) = β(bs (t)) t ∈ Bs   γ(cs (t)) t ∈ Cs .

Defini¸ c˜ ao 6.8. O grupo fundamental de M com base x0 ∈ M , denotado por π1 (M, x0 ), ´e o conjunto das classes de homotopia relativa a {0, 1} dos caminhos fechados com ponto inicial e final x0 . Se α : [0, 1] → M ´e um caminho com α(0) = α(1) = x0 , denotamos por [α] ∈ π1 (M, x0 ) a classe de homotopia de α. Seja e ∈ π1 (M, x0 ) a classe de homotopia do caminho constante x0 . Pela proposi¸c˜ ao

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133

[SEC. 6.2: O GRUPO FUNDAMENTAL

anterior podemos definir π1 (M, x0 ) × π1 (M, x0 ) ([α], [β])

−→ 7−→

π1 (M, x0 ) def

[α][β] = [α ∗ β].

e temos as propriedades • [α][α−1 ] = [α−1 ][α] = e; • [α] ([β][γ]) = ([α][β]) [γ]; • [α]e = e[α] = [α]. Assim π1 (M, x0 ) ´e de fato um grupo com a opera¸c˜ ao definida. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos e sejam x0 ∈ X e y0 ∈ Y . Seja f : X → Y uma fun¸c˜ ao. Para indicar que f satisfaz f (x0 ) = y0 , escreveremos simplesmente f : (X, x0 ) → (Y, y0 ). Proposi¸ c˜ ao 6.7. Seja f : (M, x0 ) → (N, y0 ) uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao induzida f∗ :

π1 (M, x0 ) [α]

→ 7→

π1 (N, y0 ) [f ◦ α]

est´ a bem definida e ´e um homomorfismo de grupos. Mais ainda, (idM )∗ = id e se g : (N, y0 ) → (P, p0 ) ´e outra aplica¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio. Proposi¸ c˜ ao 6.8. Seja α : [0, 1] → M um caminho com α(0) = x0 e α(1) = x1 . Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao Iα : π1 (M, x0 ) → π1 (M, x1 ) definida por [γ] 7→ [α ∗ γ ∗ α−1 ] ´e um isomorfismo de grupos. Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio. Da proposi¸c˜ ao acima segue ent˜ ao que num espa¸co conexo por caminhos o grupo fundamental n˜ ao depende do ponto base escolhido. No entanto o isomorfismo depende da classe de homotopia do caminho entre os dois pontos b´ asicos.

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134

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Figura 6.3: homotopia Lema 6.9. Seja F : [0, 1] × [0, 1] → M uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Se α(t) = F (t, 0), β(t) = F (t, 1), γ(t) = F (0, t) e δ(t) = F (1, t) como indicado na figura ent˜ ao γ −1 ∗ α ∗ δ ´e homot´ opico a β relativo a {0, 1}. Demonstra¸ c˜ ao. Come¸camos definindo  x0 se E(t, s) = γ(1 − t + s) se e G(t, s) =



x1 δ(t + s)

e s = (Es ∗ Fs ) ∗ Gs Agora considere H   x0 x1 L(t, s) =  β(as (t))

se se

t≤s t ≥ s.

s≥1−t . s ≤ 1 − t.

e se se se

(t, s) ∈ As (t, s) ∈ Cs (t, s) ∈ Bs .

onde as : Cs → [0, 1] ´e um difeomorfismo afim. Ent˜ ao  e 2s) H(t, se s ≤ 1/2 H(t, s) = L(t, 2s − 1) se s ≥ 1/2.

´e a homotopia procurada.

Teorema 6.10. Seja H : [0, 1] × M → N uma homotopia entre f e g. Seja α(t) = H(t, x0 ) o caminho ligando y0 = f (x0 ) a y1 = g(x0 ). Ent˜ ao o diagrama abaixo ´e comutativo:

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135

[SEC. 6.2: O GRUPO FUNDAMENTAL

Figura 6.4: homotopias 1.

Figura 6.5: homotopias 2.

g∗

π1 (M, x0 )

π1 (N, y1 ) O 5

Iα

f∗

)

π1 (N, y0 )

Demonstra¸ c˜ ao. Seja γ : [0, 1] → M um caminho fechado em x0 . Defina F : [0, 1] × [0, 1] → N , F (t, s) = H(s, γ(t)). Da´ı F (0, t) = α(t) = F (1, t), F (t, 0) = f (γ(t)) e F (t, 1) = g(γ(t)). Assim, pelo lema anterior temos que α−1 ∗ (f ◦ γ) ∗ α ´e homot´ opico relativo a {0, 1} a g ◦ γ.

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136

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Defini¸ c˜ ao 6.9. Duas variedades M e N tem o mesmo tipo de homotopia se existem aplica¸c˜ oes cont´ınuas f : M → N e g : N → M tais que g ◦ f ´e homot´ opica ` a identidade de M e f ◦ g ´e homot´ opica ` a identidade de N . Corol´ ario 6.11. Duas variedades com o mesmo tipo de homotopia tem grupos fundamentais isomorfos. Em particular se s˜ ao homeomorfas, ent˜ ao tem grupos fundamentais isomorfos. Observa¸ c˜ ao: O teorema e o corol´ ario s˜ ao verdadeiros para qualquer espa¸co topol´ ogico , com as mesmas defini¸c˜ oes e mesmas provas. Seja π : N → P uma aplica¸c˜ ao de recobrimento e f : M → P uma aplica¸c˜ ao cont´ınua com f (x0 ) = y0 . Se f tem um levantamento fˆ: M → N com fˆ(x0 ) = yˆ0 , ent˜ ao   π∗ fˆ∗ (π1 (M, x0 ) = f∗ (π1 (M, x0 )) .

Como

fˆ∗ (π1 (M, x0 )) ⊂ π1 (N, yˆ0 ),

conclu´ımos que f∗ (π1 (M, x0 )) ⊂ π∗ (π1 (N, yˆ0 )) . Reciprocamente, vale o seguinte teorema. Teorema 6.12. Seja f : (M, x0 ) → (P, y0 ) uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, π : N → P um recobrimento e yˆ0 ∈ N tal que π(ˆ y0 ) = y0 . Se f∗ (π1 (M, x0 )) ⊂ π∗ (π1 (N, yˆ0 )) , ent˜ ao existe um levantamento fˆ de f com fˆ(x0 ) = yˆ0 . Demonstra¸ c˜ ao. Seja x ∈ M e α : [0, 1] → M tal que α(0) = x0 e α(1) = x. Logo existe um u ´nico levantamento α ˆ de f ◦ α : [0, 1] → N tal que α ˆ (0) = yˆ0 . Definimos ent˜ ao fˆ(x) = α ˆ (1). Se β : [0, 1] → M ´e um outro caminho com β(0) = x0 e β(1) = x, ent˜ ao por hip´ otese temos que (f ◦ α) ∗ (f ◦ β)−1 = f ◦ (α ∗ β −1 ) ´e homot´ opico a π∗ (γ) para algum γ : [0, 1] → N caminho fechado pelo ponto yˆ0 . Assim,

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[SEC. 6.2: O GRUPO FUNDAMENTAL

137

o levantamento do caminho fechado (f ◦ α) ∗ (f ◦ β)−1 pelo ponto yˆ0 ´e tamb´em um caminho fechado. Portanto os levantamentos dos caminhos f ◦ α e f ◦ β pelo ponto yˆ0 tˆem o mesmo ponto final, que ´e igual a fˆ(x). Portanto fˆ(x) n˜ ao depende da escolha de α. Para mostrar que fˆ ´e cont´ınua em x, basta tomar uma vizinhan¸ca de x suficientemente pequena tal que sua imagem por f esteja contida em uma vizinhan¸ca distinguida de f (x) e tal que dois caminhos entre x e y nessa vizinhan¸ca s˜ ao homot´ opicos relativamente ao 0, 1 (basta tomar essa vizinhan¸ca homeomorfa a uma bola). Observa¸ c˜ ao 6.4. O teorema continua v´ alido com a mesma prova para espa¸cos topol´ ogicos mais gerais. A proprieda extra que necessitamos ´e conhecida como espa¸cos semi-localmente simplesmente conexos. Por defini¸c˜ ao, todos os pontos desse espa¸co possuem vizinhan¸cas arbitrariamente pequenas tais que todo curva fechada nessa vizinhan¸ca ´e homot´ opica a uma constante. A imagem da homotopia pode n˜ ao estar contida na vizinhan¸ca Defini¸ c˜ ao 6.10. Seja M uma variedade. Dizemos que M ´e simplesmente conexa se π1 (M ) = {e}. Corol´ ario 6.13. Seja π : N → M uma aplica¸c˜ ao de recobrimento e f : P → M uma aplica¸c˜ ao cont´ınua com P simplesmente conexa. Ent˜ ao existe um levantamento fˆ : P → N de f . Corol´ ario 6.14. Seja π : N → M uma aplica¸c˜ ao de recobrimento. Se U ⊂ M ´e um aberto conexo e simplesmente conexo, ent˜ ao U ´e uma vizinhan¸ca distinguida. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam Ui ⊂ N , i ∈ I, as componentes conexas de π −1 (U ) e fixe x0 ∈ U . Dado xi ∈ Ui tal que π(xi ) = x0 , como U ´e simplesmente conexo a inclus˜ ao j : U ֒→ M se levanta a uma aplica¸c˜ ao cont´ınua ji : U → N tal que ji (x0 ) = xi . Da´ı π ◦ ji (x) = x implica que ji ´e um homeomorfismo sobre sua imagem para todo i. Como U e Ui s˜ ao conexos e π ◦ ji (U ) = U , temos ji (U ) ⊂ Ui . Da´ı ji (U ) = Ui e segue que U ´e uma vizinhan¸ca distinguida. Corol´ ario 6.15. Se π : N → M ´e aplica¸c˜ ao de recobrimento com N simplesmente conexo, ent˜ ao π ´e um recobrimento regular.

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam yˆ0 , yˆ1 ∈ N tais que π(ˆ y0 ) = π(ˆ yi ) = x 0 . Como π : N → M ´e cont´ınua e π(ˆ y0 ) = x0 , existe um u ´nico levanta´ f´ mento ϕ : N → N de π tal que ϕ(ˆ y0 ) = yˆ1 . E acil ver que ϕ ´e um automorfismo de π. Lema 6.16. Sejam α, β : [0, 1] → X caminhos cont´ınuos tais que α(0) = β(0) = x0 e α(1) = β(1) = x1 . Ent˜ ao α ´e homot´ opico a β relativo a {0, 1} se, e somente se, α ∗ β −1 ´e homot´ opico ao caminho constante relativo a {0, 1}.

Demonstra¸ c˜ ao. Observemos que se f : ∂D2 → ∂D2 ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao ela se estende continuamente para uma ao  aplica¸  c˜ x F : D2 → D2 . Basta definir F (0) = 0 e F (x) = kxkf kxk para

x 6= 0. Como [0, 1] × [0, 1] ´e homeomorfo a D2 , o mesmo ocorre para o quadrado [0, 1] × [0, 1].

Figura 6.6: lema 6.16 . Seja φ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] uma aplica¸c˜ ao cont´ınua cuja restri¸c˜ ao ao bordo ´e dada por:   1 ϕ(t, 0) = t, 0 2   1 ϕ(1, s) = ,0 2   1 ϕ(t, 1) = − t + 1, 0 2 e

  (0, 3s) (2 − 3s, 1) ϕ(0, s) =  (1, 3 − 3s)

se se se

s ≤ 1/3 1/3 < s ≤ 2/3 2/3 ≤ s ≤ 1.

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139

[SEC. 6.2: O GRUPO FUNDAMENTAL

Se H ´e uma homotopia entre α ∗ β −1 e o caminho constante relativo ˜ = H ◦ ϕ ´e uma homotopia entre α e β relativo a a {0, 1}, ent˜ ao H {0, 1}. A demonstra¸c˜ ao da rec´ıproca ´e an´ aloga. Corol´ ario 6.17. Seja π : N → M uma aplica¸c˜ ao de recobrimento com N ´e simplesmente conexo e π(ˆ y0 ) = x0 . Ent˜ ao π estabelece uma bije¸c˜ ao entre pontos x ˆ ∈ N e classes de homotopia relativa a {0, 1} de caminhos em M ligando x0 a x = π(ˆ x). Demonstra¸ c˜ ao. Seja x ˆ∈N eα ˆ : [0, 1] → N um caminho ligando x ˆ0 a x ˆ. Logo α = π ◦ α ˆ ´e um caminho em M ligando x0 a x = π(ˆ x). Se βˆ : [0, 1] → N ´e um outro caminho ligando x ˆ0 a x ˆ, ent˜ ao α ˆ ∗ βˆ−1 ´e homot´ opico ao caminho constante. Logo α ˆ ´e homot´ opico a βˆ relativo ˆ ˆ a {0, 1}. Seja H uma tal homotopia. Da´ı π ◦ H ´e uma homotopia ˆ entre α e β = π ◦ β. Reciprocamente, se H ´e uma homotopia com extremos fixos entre dois caminhos α, β : [0, 1] → M come¸cando em x0 e terminando em ˆ levanx, ent˜ ao H se levanta a uma homotopia entre caminhos α ˆ , β, tamentos de α e β, que tem portanto o mesmo ponto final x ˆ que se projeta em x. Teorema 6.18. Para toda variedade M existe uma aplica¸c˜ ao de ˆ simplesmente conexo. ˆ → M com M recobrimento π : M Demonstra¸ c˜ ao. Fixe x0 ∈ M . Pelo corol´ ario acima ´e natural definir c = {[α]mod{0, 1}; α : [0, 1] → M com α(0) = x0 } . M

Defina da´ı

π:

c M [α]

→ M 7 → α(1).

Para cada α : [0, 1] → M com α(0) = x0 e cada V ⊂ M aberto contendo α(1) definimos n o c; [β] = [α ∗ γ], com γ : [0, 1] → V tal que γ(0) = α(1) . V[α] = [β] ∈ M Seja

[α′′ ] ∈ V[α] ∩ W[α′ ]

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140

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

[α′′ ] = [α ∗ γ] = [α′ ∗ γ ′ ]. Ent˜ ao (V ∩ W )[α′′ ] ⊂ V[α] ∩ W[α′ ] . Logo esses conjuntos definem uma base de vizinhan¸cas de uma topob e π ´e cont´ınua. logia de H Se V ´e simplesmente conexo, ent˜ ao para dada [α] ∈ π −1 (V ) temos que a restri¸c˜ ao de π a V[α] ´e um homeomorfismo sobre V e ainda, se π[β] = π([α]) com [α] 6= [β], ent˜ ao V[α] ∩ V[β] = ∅.

c, ent˜ Seja x ˆ0 a classe do caminho constante x0 . Se [α] ∈ M ao o camic, onde αs (t) = α(st), une x nho s ∈ [0, 1] 7→ [αs ] ∈ M ˆ0 a [α] e levanta c ´e conexo e π ´e um recobrimento. Resta moso caminho α. Logo M c ´e simplesmente conexo. Seja Cˆ : [0, 1] → M c um caminho trar que M ˆ ˆ fechado com C(0) = C(1) =x ˆ0 .

ˆ ´e um caminho fechado em M e Cˆ ´e o u Ent˜ ao C = π(C) ´nico leˆ vantamento de C com ponto inicial x ˆ0 . Logo [C] = x ˆ0 = C(1) e portanto C ´e homot´ opica ao caminho constante em M relativo a {0, 1}. Levantando a homotopia temos que Cˆ ´e homot´ opico ao caminho constante.

Uma tal recobrimento de M como no teorema acima se chama um recobrimento universal de M . Defini¸ c˜ ao 6.11. Dois recobrimentos πi : Ni → M s˜ ao isomorfos se existe um difeomorfismo φ : N1 → N2 tal que π2 ◦ φ = π1 . ci → M , i = 1, 2, s˜ Corol´ ario 6.19. Se πi : M ao recobrimentos de M c1 e M c2 simplesmente conexos, ent˜ com M ao eles s˜ ao isomorfos.

ci tais que π1 (ˆ Demonstra¸ c˜ ao. Sejam x ˆi ∈ M x1 ) = π2 (ˆ x2 ). Como c1 ´e simplesmente conexo, π1 se levanta a uma aplica¸c˜ M ao cont´ınua φ com φ(ˆ x1 ) = x ˆ2 . Analogamente, π2 se levanta a uma aplica¸c˜ ao ψ com ψ(ˆ x2 ) = x ˆ1 . Logo ψ ◦ϕ satisfaz π1 ◦(ψ ◦φ) = π1 e ψ ◦φ(ˆ x1 ) = x ˆ1 . Logo ψ ◦ φ = id e de modo an´ alogo φ ◦ ψ = id. Portanto φ ´e um isomorfismo entre os recobrimentos πi .

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[SEC. 6.2: O GRUPO FUNDAMENTAL

141

Assim, o recobrimento universal de uma variedade M ´e u ´nico a menos de isomorfismo. c → M o recobrimento universal de M e Corol´ ario 6.20. Seja π : M p : N → M um outro recobrimento de M . Ent˜ ao existe um recobric → N tal que p ◦ ρ = π. mento ρ : M

Demonstra¸ c˜ ao. Temos que π se levanta a uma aplica¸c˜ ao ρ. Sejam x0 ∈ N e U ⊂ M uma vizinhan¸ca simplesmente conexa de p(x0 ). Logo x0 tem uma vizinhan¸ca V tal que p|V ´e um homeomorfismo c tal que ρ(ˆ sobre U . Se existe x ˆ ∈ M x) ∈ V . Temos que existe vizinhan¸ca W de x ˆ tal que π|W ´e um homeomorfismo sobre U . Logo ρ|W ´e um homeomorfismo sobre V pois p◦ρ = π. Isto mostra tamb´em que a imagem de ρ ´e aberta e fechada e, como N ´e conexo, ρ ´e sobrejetivo. c → M o recobrimento universal de M . Corol´ ario 6.21. Seja π : M Ent˜ ao π ´e regular e π1 (M, x0 ) ´e isomorfo a Aut(π).

c Demonstra¸ c˜ ao. J´ a sabemos que o recobrimento ´e regular pois M c com π(ˆ ´e simplesmente conexo. Seja x ˆ0 ∈ M x0 ) = x0 . Para cada c come¸cando em x [α] ∈ π1 (M, x0 ), o levantamento α ˆ : [0, 1] → M ˆ0 ´e tal que α ˆ (1) ∈ π −1 (x0 ) depende apenas de classe [α]. Por outro lado, ´ existe um u ´nico automorfismo ϕ ∈ Aut(π) tal que ϕ(ˆ x0 ) = α ˆ (1). E f´ acil mostrar que a aplica¸c˜ ao [α] ∈ π1 (M, x0 ) 7→ ϕ ∈ Aut(π) ´e um isomorfismo de grupos. ci → Mi , i = 1, 2, recobrimentos uniCorol´ ario 6.22. Sejam πi : M versais de M1 e M2 respectivamente. 1. Se f : M1 → M2 ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao existe uma c1 → M c2 tal que π2 ◦ fˆ = f ◦ π1 . Tal aplica¸c˜ ao cont´ınua fˆ: M aplica¸c˜ ao ´e chamada um levantamento de f . 2. Se f˜ ´e outro levantamento de f , ent˜ ao existe ψ ∈ Aut(π2 ) tal que f˜ = ψ ◦ fˆ.

3. Para cada ϕ ∈ Aut(π1 ) existe um u ´nico ψ ∈ Aut(π2 ) tal que ψ ◦ fˆ ◦ ϕ = fˆ. A aplica¸c˜ ao ϕ 7→ ψ ´e um homomorfismo de Aut(π1 )

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142

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

em Aut(π2 ) que corresponde, via o isomorfismo do corol´ ario 5.21, ao homomorfismo f∗ : π1 (M1 , x0 ) → π1 (M2 , f (x0 )). c1 → M c2 ´e o levantamento de uma aplica¸c˜ 4. F : M ao f : M1 → M2 se, e somente se, ∀ ϕ ∈ Aut(π1 ) ∃ ψ ∈ Aut(π2 ) tal que ψ ◦ F ◦ ϕ = F. Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio. 2 2 Exerc´ c˜ ao linear dada pela ma ıcio:  Seja A : R → R a transforma¸ 2 1 triz 1 1 . Como os automorfismos do recobrimento π : R2 → T2 s˜ ao as transla¸c˜ oes por vetores de coordenadas inteiras, A ´e o levantamento de um difeomorfismo f : T2 → T2 . Seja Tf a variedade de dimens˜ ao 3 obtida pela suspens˜ ao de f . Mostre que Tf n˜ ao ´e isomorfo ao toro T3 . Sugest˜ ao: Mostre que os grupos fundamentais n˜ ao s˜ ao isomorfos.

Corol´ ario 6.23. Seja G um grupo de Lie e sejam m : G × G → G e i : G → G as aplica¸c˜ oes de produto e invers˜ ao do grupo. Seja e o b → G ´e o recobrimento universal de G elemento neutro de G. Se π : G b→G bem b×G b→G b com e π(ˆ e) = e, ent˜ ao os levantamentos ˆi : G ˆ:G b ˆi(ˆ e) = eˆ e m(ˆ e, eˆ) = eˆ definem uma estrutura de grupo de Lie em G tal que π ´e um homomorfismo de grupos. Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio.

6.3

Recobrimentos das variedades de dimens˜ ao 2

Uma demonstra¸c˜ ao por contradi¸c˜ ao tem um aspecto pessimista: come¸camos por negar a veracidade do teorema. Uma demonstra¸c˜ ao “otimista” consiste em partir da veracidade do teorema e deduzir a existˆencia de uma certa estrutura cuja existˆencia tamb´em implica o teorema. Finalmente, constru´ımos essa estrutura de maneira independente e o teorema est´ a provado. Vou apresentar uma prova “otimista” do seguinte resultado cl´ assico:

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

143

Teorema 6.24. Se M ´e uma variedade orient´ avel de dimens˜ao 2 n˜ ao homeomorfa ao plano nem a esfera e nem ao toro, ent˜ ao existe um recobrimento π : D → M pelo disco D = {z ∈ C; |z| < 1} tal que os automorfismos desse recobrimento s˜ ao difeomorfismos holomorfos do disco. A demonstra¸c˜ ao cl´ assica desse teorema usa dois resultados profundos de an´ alise (equa¸c˜ ao a derivadas parciais) e um resultado mais simples de topologia: 1) Em torno de qualquer ponto de uma variedade Riemanniana de dimens˜ ao dois existe uma carta local conforme (coordenadas isot´ermicas). 2) Toda variedade possui um recobrimento simplesmente conexo. 3) Toda superf´ıcie de Riemann simplesmente conexa ´e conformemente difeomorfa ou ` a esfera ou ao plano ou ao disco (Teorema de Uniformiza¸c˜ ao). O primeiro passo envolve a solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais chamada equa¸c˜ ao de Beltrami: dϕ = µ(z) dϕ

|µ(z)| ≤ k < 1 ∀ z ∈ U.

A existˆencia de uma solu¸c˜ ao que seja um difeomorfismo local de classe C ∞ foi provada por Gauss no caso anal´ıtico e por Chern no caso diferenci´ avel e posteriormente generalizada para outras regularidades. A existˆencia de coordenadas isot´ermicas e da orienta¸c˜ ao implicam que a variedade tem uma estrutura de superf´ıcie de Riemann (uma variedade complexa de dimens˜ao complexa 1). Do passo (2) segue que a variedade possui um recobrimento holomorfo por uma superf´ıcie de Riemann simplesmente conexa. O teorema segue ent˜ ao de (3), que envolve a equa¸c˜ ao de Laplace. Vamos apresentar uma prova “otimista” desse teorema, a qual envolve apenas certas constru¸c˜ oes elementares em geometria hiperb´ olica. 6.3.1

Geometria hiperb´ olica

Seja Aut(C) o grupo dos difeomorfismos holomorfos da esfera de Riemann C = C ⊔ {∞}. Esse grupo cont´em as seguintes transforma¸c˜ oes:

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144

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

a) z 7→ z + a

(transla¸c˜ oes).

b) z 7→ bz b ∈ C \ {0}

(homotetias e rota¸c˜ oes).

c) z 7→

1 z

e cont´em tamb´em o subgrupo M gerado por essas transforma¸c˜ oes (que mostraremos que coincide com Aut(C)). Proposi¸ c˜ ao 6.25. 1) Se ϕ ∈ M, ent˜ ao ϕ ´e conforme. 2) Se ϕ ∈ M, ent˜ ao ϕ leva a fam´ılias de retas e c´ırculos euclidianos de C em si mesmas. 3) Dados 3 pontos distintos z1 , z2 , z3 ∈ C existe ϕ ∈ M tal que ϕ(z1 ) = ∞, ϕ(z2 ) = 0, ϕ(z3 ) = 1. 4) Sejam z1 , z2 , z3 e z4 s˜ ao pontos distintos de C e C(z1 , z2 , z3 , z4 ) =

(z3 − z2 )(z4 − z1 ) , (z2 − z1 )(z4 − z3 )

que ´e chamado raz˜ ao cruzada (cross ratio) dos quatro pontos. Ent˜ ao para todo ϕ ∈ M C(φ(z1 ), φ(z2 ), φ(z3 ), φ(z4 )) = C(z1 , z2 , z3 , z4 ). Demonstra¸ c˜ ao. Basta que as transforma¸c˜ oes a), b) e c) satisfa¸cam as propriedades 1), 2) e 4). Por serem holomorfas, satisfazem 1). As transforma¸c˜ oes em a) e b) levam c´ırculos em c´ırculos e retas em retas. A transforma¸c˜ ao c) leva retas que n˜ ao passam pela origem em retas e retas que passam pela origem em c´ırculos, c´ırculos que n˜ ao passam pela origem em c´ırculos e c´ırculos que passam pela origem em retas. Que satisfazem 4) ´e um c´ alculo simples. Para provar 3) observamos que a composi¸c˜ ao da transla¸c˜ ao por −z1 com c) ´e um elemento do grupo M que leva z1 em ∞ e z2 e z3 em outros dois pontos distintos, que continuamos a chamar de z2 e z3 . Compondo com uma transla¸c˜ ao por −z2 , levamos z2 em 0. Finalmente, compondo com b) levamos o terceiro ponto em 1.

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

145

Corol´ ario 6.26. M = Aut(C). Demonstra¸ c˜ ao. Dado ϕ ∈ Aut(C), existe ψ ∈ M tal que ψ ◦ ϕ fixa os pontos 0, 1 e ∞. Afirmamos que ψ ◦ ϕ ´e a identidade. De fato, como a derivada ´e n˜ ao nula na origem temos que z 7→ ψ◦ϕ(z) ´e z uma fun¸c˜ ao holomorfa da esfera de Rieman na esfera de Riemanque n˜ ao ´e sobrejetiva. Logo ´e constante e essa constante ´e igual a 1 pois 1 ´e ponto fixo de ψ ◦ ϕ. Para verificar que de fato ´e uma fun¸c˜ ao holomorfa da esfera de Riemann resta apenas mostrar que ´e uma fun¸c˜ ao holomorfa na vizinhan¸ca do infinito De fato, como θ = ψ ◦ ϕ ´e holomorfa e tem ∞ como ponto fixo ent˜ ao se I(z) = z1 temos que I ◦ θ ◦ I ´e holomora e 1-1 e tem 0 como ponto fixo. Logo ´e da forma w 7→ aw + wρ(w) onde ρ ´e holomorfa , se anula na origem e a 6= 0 pois a fun¸c˜ ao ´e 1-1. Isso mostra que θ˜ = θ(z) e holomorfa em z ´ ˜ ∞ e θ(∞) = a. Logo θ˜ ´e constante pois toda aplica¸c˜ ao holomorfa n˜ ao constante ´e uma aplica¸c˜ ao aberta e como a esfera de Riemann ´e compacta sua imagem ´e aberto e fechado, logo ´e sobrejetiva. . Corol´ ario 6.27. Existe ϕ ∈ Aut(C) que leva o disco D no semi-plano H 2 = {z ∈ C; Im z > 0}. Demonstra¸ c˜ ao. Basta tomar o automorfismo ϕ tal que ϕ(1) = 0, ϕ(i) = 1 e ϕ(−1) = ∞. como na figura 6.7 Da´ı φ(∂D) = ∂H 2 , o que implica φ(D) = H 2 .

Figura 6.7: difeomorfismo entre o disco e o semi-plano.

Corol´ ario 6.28. Dado z ∈ D, existe ϕ ∈ Aut(C) tal que ϕ(D) = D e ϕ(0) = z.

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146

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Demonstra¸ c˜ ao. As rota¸c˜ oes levam D em D e levam 0 em 0. Se z 6= 0 sejam z− , z+ ∂D as interse¸coes da reta pela or´ıgem e pelo ponto z como na figura ??. Seja ϕ o automorfismo tal que ϕ(z− ) = z− , ϕ(z+ ) = z+ e ϕ(0) = z. Da´ı ϕ leva a reta por 0 e z nela mesma e o c´ırculo unit´ ario num c´ırculo ou reta que passa pelos pontos z+ e z− e ´e ortogonal ` a reta pelos mesmos pontos. Esse c´ırculo ´e o bordo de D.

Figura 6.8: corol´ ario 6.28.

Corol´ ario 6.29. O grupo M(D) dos elementos de Aut(C) que levam D em D age transitivamente em D. Lema 6.30 (Schwartz). Se ϕ : D → D ´e uma aplica¸c˜ ao holomorfa tal que ϕ(0) = 0, ent˜ ao ou ϕ ´e uma rota¸c˜ ao ou |ϕ(z)| < |z| para todo z ∈ D − {0} e |ϕ′ (0)| < 1. Demonstra¸ c˜ ao. Como ϕ(0) = 0, a aplica¸c˜ ao ψ(z) = ϕ(z) ´e holoz 1 morfa. Se |z| = r < 1, ent˜ ao |ψ(z)| < r . Pelo princ´ıpio do m´ aximo (o valor absoluto de uma fun¸c˜ ao holomorfa n˜ ao constante n˜ ao tem m´ aximo local) temos que |ψ(z)| < 1r se |z| ≤ r. Logo |ψ(z)| ≤ 1 para todo z no disco unit´ ario. Por outro lado, se |ψ(z0 )| = 1 para algum z0 , o princ´ıpio do m´ aximo implica que ψ ´e constante, e portanto ϕ ´e uma rota¸c˜ ao. Caso contr´ ario, |ψ(z)| < 1 para todo z. Corol´ ario 6.31. Se ψ : D → D ´e um difeomorfismo holomorfo, ent˜ ao ψ ∈ M(D). O subgrupo de M(D) dos elementos que deixam a origem fixa ´e o grupo das rota¸c˜ oes. Demonstra¸ c˜ ao. Se ϕ(0) = 0 ent˜ ao ϕ ´e uma rota¸c˜ ao, pois a derivada da inversa de ϕ na origem n˜ ao pode ter valor absoluto maior do que

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

147

1, uma vez que essa inversa ´e tambem uma aplica¸c˜ ao holomorfa do disco que se anula na origem. Se ϕ(0) n˜ ao se anula na origem, podemos compor ϕ com um elemento de M(D) e obter um difeomorfismo holomorfo que se anula na origem. Corol´ ario 6.32. Existe uma m´etrica Riemanniana z ∈ D 7→ h·, ·iz tal que os elementos de M(D) s˜ ao isometrias. Qualquer outra m´etrica com a mesma propriedade ´e um m´ ultiplo positivo dessa m´etrica. Al´em disso, existe λ : C → R+ anal´ıtica tal que ||v||z = λ(z) · |v| para todo v ∈ C. Demonstra¸ c˜ ao. Primeiramente observe um produto interno em C invariante por rota¸c˜ oes deve ser um m´ ultiplo positivo do produto euclidiano. Come¸camos definindo h·, ·i0 como o produto interno euclidiano (ou um m´ ultiplo positivo dele). Dado z ∈ D, escolha ϕ ∈ Aut(D) tal que ϕ(0) = z e defina hv, wiz = hDϕ−1 (z) · v, Dϕ−1 (z)wi0 . A defini¸c˜ ao n˜ ao depende da escolha de ϕ pois se ψ ∈ Aut(D) tamb´em satisfaz ψ(0) = z, ent˜ ao ψ −1 ◦ϕ leva 0 em 0 e portanto ´e uma rota¸c˜ ao. Por fim, temos kvkz = kDϕ−1 (z).vk = |Dϕ−1 (z)|kvk e λ(z) = |Dϕ−1 (z)|.

Proposi¸ c˜ ao 6.33. As geod´esicas da fam´ılia de m´etricas do corol´ ario 6.32 s˜ ao os c´ırculos e retas ortogonais ao bordo de D. Demonstra¸ c˜ ao. Seja φ : D → H 2 como no Corol´ ario 6.27 e consideremos a m´etrica em H 2 que torna φ isometria. Como φ ´e conforme, ˜ kvkz = λ(z) · |v| para todo z ∈ H 2 . Como as transla¸c˜ oes z 7→ z + a ˜ + iy) = λ(x ˜ + a + iy) com a ∈ R s˜ ao isometrias, temos que λ(x ˜ + iy) = α(y), onde α : R+ → R+ ´e uma para todo a ∈ R. Logo λ(x fun¸c˜ ao anal´ıtica. Temos ent˜ ao que a aplica¸c˜ ao (x + iy) 7→ (−x + iy) ´e uma isometria da m´etrica que deixa os pontos do eixo x = 0 fixos. Como uma isometria leva geod´esicas em geod´esicas, temos pela unicidade de geod´esicas que uma geod´esica tangente ao eixo x = 0 tem que coincidir com esse eixo que ´e portanto uma geod´esica. Dado um

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148

[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

c´ırculo ortogonal a (∂H 2 ), existe uma isometria da m´etrica que leva o eixo x = 0 nesse c´ırculo. Logo esse c´ırculo tamb´em ´e geod´esica. Por outro lado, dados z ∈ H 2 e v ∈ C existe um c´ırculo que passa por z, ortogonal a ∂H 2 e ´e tangente a v (o centro ´e a interse¸c˜ ao com ∂H 2 da reta ortogonal a v passando por z). Logo, por unicidade, essas s˜ ao todas as geod´esicas de H 2 . Teorema 6.34 (m´etrica de Poincar´e). Existe uma u ´nica m´etrica Riemanniana em D tal que os elementos de M(D) s˜ ao isometrias e a curvatura ´e constante igual a −1. As geod´esicas s˜ ao as retas e c´ırculos ortogonais a ∂D. Demonstra¸ c˜ ao. Como o grupo de isometrias age transitivamente a curvatura ´e constante. Essa constante ´e negativa. De fato, tomando um triˆ angulo geod´esico ideal com os v´ertices a, b, c em ∂D, temos que os ˆ angulos internos s˜ ao nulos. Observe que para todo triˆ angulo geod´esico com v´ertices a ˜, ˜b, c˜ ∈ D pr´ oximos dos anteriores os ˆ angulos internos s˜ ao pr´ oximos a zero. Pelo Teorema de Gauss-Bonnet Z Σ( ˆ angulos internos de T ) − π = K=K· ´ area(T ), T

segue que a curvatura K ´e negativa e K=

−π . area do triˆ ´ angulo ideal(a, b, c)

Quando multiplicamos a m´etrica por um parˆ ametro positivo, a ´ area do triˆ angulo ideal varia de maneira mon´ otona com o parˆ ametro. Logo existe um u ´nico valor do parˆ ametro para o qual a curvatura ´e −1. Proposi¸ c˜ ao 6.35. (Propriedades elementares da m´etrica hiperb´ olica.) 1) Por dois pontos passa uma u ´nica geod´esica. 2) Dadas uma geod´esica γ e um ponto z ∈ / γ existe uma u ´nica geod´esica que passa por z e ´e perpendicular a γ. 3) Dadas duas geod´esicas disjuntas γ1 e γ2 tais que a distˆ ancia hiperb´ olica de γ1 e γ2 ´e positiva, existe uma u ´nica geod´esica γ ortogonal a γ1 e γ2 .

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

149

4) Seja γ uma geod´esica e a > 0. O conjunto dos pontos cuja distˆ ancia hiperb´ olica a γ ´e ≤ a ´e limitado por dois c´ırculos que no ∞ fazem um ˆ angulo com γ que ´e uma fun¸c˜ ao mon´ otona de a. As geod´esicas ortogonais a γ s˜ ao ortogonais a esses c´ırculos. Demonstra¸ c˜ ao. 1) Sejam z1 , z2 ∈ H 2 , z1 6= z2 . Se Re z1 = Re z2 , a reta vertical por z1 passa por z2 . Se Re z1 6= Re z2 , a reta perpendicular ao segmento de reta ligando z1 a z2 pelo ponto m´edio intersecta ∂H 2 num ponto a. O c´ırculo de centro a passando por z1 tamb´em passa por z2 e intersecta o semiplano superior em uma geod´esica. A unicidade ´e evidente. 2) Como a propriedade ´e invariante por isometrias, podemos supor que γ ´e o eixo vertical. As geod´esicas ortogonais a γ s˜ ao os c´ırculos de centro na origem. Dado z ∈ / γ existe um u ´nico c´ırculo que passa por z e ´e ortogonal a γ. 3) Podemos supor que γ1 ´e o eixo vertical. A geod´esica γ2 intersecta ∂H 2 ou em um u ´nico ponto (γ2 ´e uma reta vertical) ou em dois pontos que est˜ ao ambos ou no eixo real positivo ou eixo real negativo. Se ambas as geod´esicas s˜ ao verticais a distˆ ancia entre elas ´e nula. Podemos portanto supor que a geod´esica γ2 tem suas extremidades na mesma componente do complementar da or´ıgem no eixo real. Consideremos as duas geod´esicas ortogonais a γ1 assint´ oticas a γ2 . O ˆ angulo na qual geod´esicas ortogonais intermedi´arias a γ intersecta γ2 varia monotonicamente de π a 0, e portanto existe uma u ´nica geod´esica que ´e ortogonal a γ2 . 4) Como antes podemos supor que γ ´e o eixo vertical. No c´ırculo unit´ ario, que ´e uma geod´esica ortogonal a γ, tomemos um arco em torno da interse¸c˜ ao com γ cuja distˆ ancia iperb´ olica a γ ´e ≤ a. Como as homotetias positivas s˜ ao isometrias, as duas retas que passam pelas extremidades desse intervalo limitam a regi˜ ao dos pontos cuja distˆ ancia a γ ´e ≤ a. O ˆ angulo que essas retas fazem com γ ´e uma fun¸c˜ ao mon´ otona de a. Teorema 6.36. Existe um homeomorfismo h : R3+ → R3+ tal que se y = h(x), ent˜ ao existe um hex´ agono reto cujos comprimentos dos

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Figura 6.9: proposi¸c˜ ao 6.35. lados percorridos no sentido anti-hor´ ario s˜ ao x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 . Dois tais hex´ agonos s˜ ao isom´etricos. Demonstra¸ c˜ ao. Come¸camos tomando um segmento de comprimento hiperb´ olico x1 no eixo vertical. Em torno das geod´esicas ortogonais ao eixo vertical pelas extremidades desses segmentos consideramos o conjunto dos pontos cuja distˆ ancia ` a geod´esica pela extremidade inferior ´e ≤ x2 e pela extremidade superior ≤ x3 como na figura 6.10.

Figura 6.10: teorema 6.36. Sejam a e b os pontos onde os c´ırculos de centro 0 que passam pelas extremidades do intervalo vertical cortam o eixo real. Para cada t ∈ (a, b) e r > 0 suficientemente pequeno, o c´ırculo de centro t e raio r n˜ ao intersecta essas regi˜ oes. Quando r cresce, esse c´ırculo se aproxima mon´ otonamente dessas regi˜ oes. Para r fixo, quando t se aproxima de uma das regi˜ oes o c´ırculo correspondente se aproxima dessa regi˜ ao e se afasta na outra. Logo existe um u ´nico par (t, r)

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

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tal que o c´ırculo ´e tangente ao bordo de ambas as regi˜ oes. O segmento desse c´ırculo entre os dois pontos de tangˆencia ´e portanto uma geod´esica e ´e o u ´ltimo lado do hex´ agono, com comprimento y2 . Os lados de comprimento y1 e y3 est˜ ao indicados na figura 6.10. 6.3.2

Consequˆ encias do teorema

Se π : D → M ´e um recobrimento cujos automorfismos pertencem a Aut(D), ent˜ ao existe uma u ´nica m´etrica Riemanniana em M tal que π seja uma isometria local. As geod´esicas da m´etrica hiperb´ olica de M s˜ ao as imagens por π das geod´esicas da m´etrica hiperb´ olica de D. Lema 6.37. Seja γ ⊂ M uma curva fechada simples tal que o comprimento hiperb´ olico de qualquer curva livremente homot´ opica a γ (isto ´e, sem necessidade de fixar extremos) ´e limitado por baixo. Ent˜ ao existe uma u ´nica geod´esica fechada simples e livremente homot´ opica a γ. Demonstra¸ c˜ ao. Tomemos uma parametriza¸c˜ ao γ : [0, 1] → M de γ com γ(0) = γ(1) e seja γ˜ : [0, 1] → D um levantamento de γ. Seja ϕ ∈ Aut(π) tal que ϕ(˜ γ (0)) = γ˜ (1). Como Aut(π) ⊂ Aut(D), temos que ϕ n˜ ao tem pontos fixos em D. Afirmamos que ϕ n˜ ao pode ter um u ´nico ponto fixo em ∂D. Caso contr´ ario, conjugando com uma isometria D → H 2 podemos supor que ϕ : H 2 → H 2 , ϕ(∞) = ∞. Logo ϕ(z) = z + a, a ∈ R. Assim, o levantamento de γ pelo recobrimento correspondente de H 2 → M liga dois pontos com a mesma parte imagin´ aria em retas verticais com distˆ ancia euclidiana a. Logo γ ´e livremente homot´ opica a imagem de qualquer segmento horizontal entre as duas verticais e esses segmentos tem comprimento hiperb´ olico arbitrariamente pequenos. Logo ϕ tem dois pontos fixos no bordo de D e deixa invariante a geod´esica α conectando esses dois pontos. A imagem dessa geod´esica ´e uma geod´esica fechada em M . Seja p ∈ α o p´e da perpendicular de γ˜ (0) a α. Ent˜ ao ϕ(p) ∈ α ´e o p´e da perpendicular de γ˜ (1) a α e temos que existe uma homotopia γ˜s : [0, 1] → D com γ˜0 = γ˜ , ϕ(˜ γs (0)) = γ˜s (1) e γ˜1 ([0, 1]) ⊂ α. Logo π ◦ γ˜s ´e uma homotopia livre entre γ e a geod´esica fechada π(α). Resta provar que π(α) ´e uma curva simples. Isto ´e equivalente a mostrar que se α1 ´e um levantamento de π(α), ent˜ ao ou α1 = α ou α1 ∩ α = ∅. Isto segue do fato de que cada levantamento de

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Figura 6.11: lema 6.37 . π(α) ´e assint´ otico nos dois extremos a um levantamento de γ([0, 1]) e se α1 ∩ α 6= ∅ ent˜ ao os correspondentes levantamentos de γ([0, 1]) tamb´em se intersectam,como na figura 6.12, mas isso n˜ ao ´e poss´ıvel pois γ([0, 1]) ´e uma curva fechada simples.

Figura 6.12: curvas α e α1 .

Lema 6.38. Sejam γ1 e γ2 curvas fechadas simples como no lema anterior. Se γ1 e γ2 s˜ ao disjuntas e n˜ ao homot´ opicas, ent˜ ao as correspondentes geod´esicas fechadas simples s˜ ao disjuntas. Demonstra¸ c˜ ao. De fato, caso contr´ ario existem dois levantamentos α1 e α2 das geod´esicas fechadas simples que se intersectam. Ent˜ ao os correspondentes levantamentos de γ1 e γ2 tamb´em se intersectam, como na figura ??, o que ´e absurdo. Demonstra¸ c˜ ao do teorema 5.24: Vamos supor inicialmente que M ´e o bitoro com a m´etrica hiperb´ olica. Cortando M pelas trˆes

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

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Figura 6.13: teorema 5.24.

geod´esicas fechadas simples Γ1 , Γ2 e Γ3 , como na figura 6.14, decompomos o bitoro em duas cal¸cas C1 e C2 , cujos bordos s˜ ao as geod´esicas de Γi de comprimento Li . Podemos decompor cada cal¸ca em dois hex´ agonos retos cortando1 a pela geod´esica γij ⊂ C1 ortogonal ` as geod´esicas Γi e Γj . Os hex´ agonos C11 e C12 s˜ ao isom´etricos pois tˆem trˆes lados alternados 1 correspondentes de mesmo comprimento |γij |. Logo os lados de Ci,j Lk contidos em Γk tem comprimentos iguais a 2 . Al´em disso, cada geod´esica Γk ⊂ C1 possui dois pontos geometrica1 1 mente marcados que s˜ ao os p´es das geod´esicas ortogonais γki e γkℓ . Denotamos esses pontos por p1ki , p1kℓ . Analogamente, a cal¸ca C2 se decomp˜ oe em dois hex´ agonos retos 2 C21 , C22 por segmentos de geod´esicas γij ⊂ C2 ortogonais a Γi e Γj que intersectam cada Γi em dois pontos geometricamente marcados p2ij e p2ik , que tamb´em dividem Γi em dois segmentos de comprimento Li c˜ ao a Γi , podemos associar a Γi dois n´ umeros 2 . Fixando uma orienta¸
reais: Li e ti ∈ − L2i , L2i , onde |ti | ´e a distˆ ancia de p2ij a p1ij e o sinal a no segmento com ponto inicial p1ij e ponto final ´e positivo se p2ij est´ 1 pik na orient¸c˜ ao de Γi (k > j) e negativo caso contr´ ario.

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Afirmamos que dado um segmento de geod´esica de comprimento L1 ao existe um u ´nico recobrimento isom´etrico do bitoro com 2 , ent˜ parˆ ametros L1 , L2 , L3 , t1 , t2 , t3 . Para isso, sejam p˜112 , p˜113 as extremidades desse segmento e ϕ : D → D a u ´nica isometria que leva a ˜ 1 pelos dois pontos em uma geod´esica que se projeta em geod´esica Γ Γ1 e tal que π(ϕ(˜ p1ij )) = p1ij . Para melhor visualizar o recobrimento vamos colorir de preto o hex´ agono superior da cal¸ca 1 da figura e o inferior de branco e os dois hex´ agonos da cal¸ca 2 de azul e vermelho. Suas pr´e-imagens em D s˜ ao coloridas com as mesmas cores. Pelo Teorema 6.36, existe um u ´nico hex´ agono reto com base no intervalo de geod´esica acima, de comprimento L21 , tal que os lados alternados, percorrendo o bordo no sentido anti-hor´ ario, tem comprimento L21 , L22 e L23 . Como ϕ ´e isometria, a imagem desse hex´ agono por ϕ ´e um hex´ agono branco. Os lados desse hex´ agono de comprimento L22 e L33 ˜ ˜ j ) = Lj . Novamente ˜ repousam sobre geod´esicas L2 e L3 tais que πϕ(L pelo Teorema 6.36, por cada um dos trˆes outros lados desse primeiro hex´ agono, existe um u ´nico hex´ agono reto isom´etrico aos hex´ agonos pretos, e portanto ϕ leva essa hex´ agono em um hex´ agono preto. Vamos colorir cada hex´ agono com a mesma cor de sua imagem. Cada um desses 3 hex´ agonos pretos tem um v´ertice em comum com o hex´ agono branco. Sobre cada um dos dois outros v´ertices alternados podemos levantar um u ´nico hex´ agono isom´etrico ao hex´ agono branco, e portanto ϕ leva esse hex´ agono em um hex´ agono branco. Continuando esse processo, constru´ımos um ladrilhamento por hex´ agonos pretos e brancos em uma regi˜ ao C˜1 contida na regi˜ ao limitada pelas geod´esicas ˜1, Γ ˜2 e Γ ˜3. Γ O bordo dessa regi˜ ao ´e formado por uma fam´ılia enumer´ avel de geod´esicas cuja imagem por π ◦ ϕ ´e uma das Γi ’ s. A restri¸c˜ ao de ϕ a C˜1 ´e um recobrimento de C1 . Na componente conexa do complementar dessa regi˜ ao que ´e limitada ˜ 1 podemos, usando t1 , construir um u pela geod´esica Γ ´nico hex´ agono vermelho que intersecta o hex´ agono branco inicial ao longo de um ˜ 1 (ou um u segmento em Γ ´nico ponto se ti = Γ21 ). Como no caso anterior, podemos ladrilhar com hex´ agonos azuis e vermelhos uma regi˜ ao

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

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˜ 1 e duas outras Γ ˜ 12 , Γ ˜ 13 que s˜ limitada pela geod´esica Γ ao levadas por ´ claro que novamente ϕ leva π ◦ ϕ respectivamente em Γ2 e Γ3 . E hex´ agonos azuis em hex´ agonos azuis e sua restri¸c˜ ao a essa regi˜ ao ´e um recobrimento de C2 . Da mesma forma ladrilhamos com hex´ agonos azuis e vermelhos uma ˜ 2 e outra limitada por Γ ˜3. regi˜ ao limitada por Γ

Figura 6.14: .

Figura 6.15: . Afirmamos que as regi˜ oes B + P e A + V se alternam e preenchem todo o plano hiperb´ olico. A isometria ϕ leva hex´ agonos em hex´ agonos de mesma cor e π ◦ ϕ ´e um recobrimento e uma isometria local. Para

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

isso basta observar que o fecho de cada hex´ agono est´ a contido no interior de uma regi˜ ao que ´e a uni˜ ao de um n´ umero dado de hex´ agonos. Portanto a distˆ ancia hiperb´ olica de um ponto do hex´ agono ao complementar dessa regi˜ ao ´e maior que um n´ umero positivo a que n˜ ao depende do hex´ agono pois todos os hex´ agonos de uma mesma cor s˜ ao isom´etricos. Se a uni˜ ao de todos os hex´ agonos n˜ ao ´e o plano hiperb´ olico existe um ponto x na fronteira dessa uni˜ ao. Logo existe um hex´ agono que cont´em um ponto cuja distˆ ancia hiperb´ olica a x ´e menor que a2 , o que ´e absurdo. Para provar o teorema basta observar que os dados combinat´ orios da decomposi¸c˜ ao da variedade em hex´ agonos e os dados geom´etricos L1 , L2 , L3 e t1 , t2 , t3 determinam completamente o ladrilhamento. O grupo de todas as isometrias que levam hex´ agonos brancos em hex´ agonos brancos tamb´em preserva as cores dos demais hex´ agonos ´ f´ e age descontinuamente em D. E acil verificar que esse grupo ´e gerado por cinco isometrias: T1 , que leva P1 em P2 e deixa a geod´esica ˜ 1 invariante; T2 , que leva P2 em P3 e deixa a geod´esica Γ ˜ 2 invariΓ ante; T3 , que leva V1 em V2 ; T4 , que leva A em A1 e T5 , que leva A em A2 , como na figura. O espa¸co quociente ´e claramente o bitoro com uma m´etrica hiperb´ olica. Deste modo, fixando em M as curvas fechadas simples Γ1 , Γ2 , Γ3 e os parˆ ametros geom´etricos L1 , L2 , L3 , t1 , t2 , t3 , ent˜ ao existe um difeomorfismo f 1 : M → M1 onde M1 ´e isometricamente recoberto pelo disco D. Temos que M1 tem uma m´etrica hiperb´ olica e f (Γi ) ´e livremente homot´ opica a uma geod´esica fechada simples de comprimento Li . Al´em disso, se M2 ´e outra superf´ıcie hiperb´ olica com algum dos parˆ ametros distinto do correspondente a M1 e f2 : M → M2 , ent˜ ao n˜ ao existe isometria h : M1 → M2 tal que h ◦ f1 seja homot´ opica a f2 . As v´ arias estruturas geom´etricas constru´ıdas no bitoro s˜ ao obtidas colando duas cal¸cas hiperb´ olicas por isometrias do bordo. A isometria em cada componente do bordo ´e inteiramente determinada pela distˆ ancia hiperb´ olica entre os pontos marcados. Colando um n´ umero adequado de cal¸cas hiperb´ olicas, podemos obter todas as m´etricas de Poincar´e em superf´ıcies compactas orientadas. Para obter as varie-

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

157

Figura 6.16: .

dades n˜ ao compactas temos que acrescentar mais trˆes blocos: uma cal¸ca com um furo e duas pernas; uma cal¸ca com dois furos e um cilindro hiperb´ olico de ´ area infinita, al´em da esfera menos trˆes pontos, a qual n˜ ao admite decomposi¸c˜ ao em cal¸cas. Assim, colando duas cal¸cas com dois furos no bordo (que ´e uma geod´esica fechada), obtemos a esfera menos 4 pontos. Nesse caso temos dois parˆ ametros geom´etricos. Colando as duas componentes do bordo de uma cal¸ca com um furo obtemos o toro menos um ponto. Identificando isometricamente duas componentes do bordo de uma cal¸ca e colando um cilindro hiperb´ olico na outra componente, obtemos o toro menos um disco fechado, que tem volume hiperb´ olico infinito e portanto n˜ ao ´e isom´etrico ao toro menos um ponto, embora sejam difeomorfos. Uma cal¸ca com um furo se decomp˜ oe em dois pent´ agonos com um v´ertice no infinito e uma cal¸ca com dois furos se decomp˜ oe em dois quadril´ ateros com dois v´ertices no infinito. O pent´ agono ´e uma regi˜ ao limite de hex´ agonos quando o comprimento de um dos lados tende a zero e esse lado converge a um ponto no infinito. O quadril´ atero ´e a posi¸ca˜o limite quando o comprimento de dois lados alternados converge a zero e cada lado converge a um ponto no infinito conforme as figuras abaixo.

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[CAP. 6: ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

Figura 6.17: . Os parˆ ametros geom´etricos utilizados acima constituem uma parametriza¸c˜ ao do chamado espa¸co de Teichmuller que definimos a seguir. Seja S0 uma superf´ıcie de Riemann. Dizemos que dois homeomofismos fj : S0 → Sj , j = 1, 2, entre superf´ıcies de Riemann s˜ ao equivalentes se existe um difeomorfismo holomorfo h : S1 → S2 tal que h ◦ f1 ´e homot´ opica a f2 . O conjunto das classes de equivalˆencia ´e o espa¸co de Teichmuller. Uma maneira equivalente de definir esse espa¸co ´e considerar o espa¸co de todas as m´etricas hiperb´ olicas em S0 e identificar duas m´etricas se existe uma isometria homot´ opica ` a identidade entre elas. Segue da constru¸c˜ ao acima que se os parˆ ametros geom´etricos forem distintos, as duas geometrias n˜ ao s˜ ao equivalentes. Vamos apresentar agora uma outra maneira de construir um recobrimento holomorfo de uma superf´ıcie de gˆenero g ≥ 2, utilizando o fato de que uma superf´ıcie orient´ avel de genus g ´e homeomorfa ` a soma conexa de g toros, e portanto pode ser representada por um pol´ıgono plano de 4g lados que s˜ ao dois a dois identificados como, por exemplo, −1 −1 a1 , b1 , a1−1 , b−1 1 , . . . , ag , bg , ag , bg .

Se todos os ˆ angulos internos de um pol´ıgono no plano s˜ ao iguais, ent˜ ao, decompondo o pol´ıgono em triˆ angulos, conclu´ımos que o ˆ angulo π, portanto s´ o ´ e poss´ ıvel ladrilhar o plano com tais ´e igual a 4g−2 4g pol´ıgonos se g = 1, uma vez que tal ladrilhamento deveria ter 4g

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˜ 2 [SEC. 6.3: RECOBRIMENTOS DAS VARIEDADES DE DIMENSAO

159

Figura 6.18: . ladrilhos em torno de cada v´ertice pois todos os vertices s˜ ao identificados no espa¸co quociente. No entanto, no plano hiperb´ olico podemos π construir pol´ıgonos geod´esicos com os angulos iguais a 2g , o que permite obter o recobrimento identificando-se os lados alternados por isometrias hiperb´ olicas. Para construir um tal pol´ıgono colocamos os seus vert´ıces a uma distˆ ancia hiperb´ olica igual a t > 0 da origem sobre geod´esicas radiais cujos ˆ angulos entre duas consecutivas ´e igual a 2π ertices consecutivos pela u ´nica geod´esica hiperb´olica 4g e unimos v´ entre eles. Por simetria, os ˆ angulos internos sˆ ao todos iguais e variam monotonicamente com t. Quando t tende a zero, esse ˆ angulo se aproπ xima do euclidiano, que ´e igual 4g−2 π > . Por outro lado, quando 4g 2g t → ∞, o ˆ angulo tende a zero. Logo existe um valor de t para o qual o π angulo ´e igual a 2g ˆ . Iterando o pol´ıgono pelas isometrias hiperb´ olicas que identificam os pares de lados como indicado no modelo, obtemos um ladrilhamento do plano hiperb´ olico.

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Cap´ıtulo 7

Fibrados

No cap´ıtulo 6 vimos que um espa¸co de recobrimento ´e localmente equivalente ao produto de um aberto na base por um espa¸co discreto. Vamos agora generalizar esse conceito introduzindo espa¸cos que localmente se escrevem como o produto de um aberto na variedade por uma fibra que pode ser uma variedade. Ja consideramos no cap´ıtulo 1 exemplos importantes de tais espa¸cos como o fibrado tangente a uma variedade, o fibrado normal de uma subvariedade e a fibra¸c˜ ao de Hopf. Nesses espa¸cos a transi¸c˜ ao entre uma trivializa¸c˜ ao local e outra involve uma fam´ılia de difeomorfismos da fibra que frequentemente podem ser parametrizadas por um grupo de Lie chamado grupo estrutural do fibrado. Os fibrados desempenham um papel fundamental em v´ arias ´ ares da matem´ atica, como geometria diferencial, topologia, geometria alg´ebrica, an´ alise, bem como na f´ısica de part´ıculas.

7.1

Fibrados com grupo estrutural

Defini¸ c˜ ao 7.1. Sejam E M e F variedades diferenci´ aveis. Um fibrado com base M e fibra F e espa¸co total E ´e uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel π : E → M tal que exista uma cobertura aberta Ui de M e difeomorfismos Φi : Ui × F → π −1 (Ui ) tal que π ◦ Φi (x, y) = x Segue da defini¸c˜ ao que existem aplica¸c˜ oes ρij que a cada x ∈ 160

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161

[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

Ui ∩ Uj associa um difeomorfismo ρij (x) de F tais que Φ−1 j ◦ Φi : (x, y) ∈ (Ui ∩ Uj ) × F 7→ (x, ρij (x)(y)). Segue que as aplica¸c˜ oes ρij satisfazem a seguinte condi¸c˜ ao de compatibilidade para x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk : ρij (x) = ρik (x) ◦ ρkj (x). Dada uma cobertura aberta de M e uma fam´ılia ρij : Ui ∩ Uj → D if (F ) satisfazendo ` as condi¸c˜ oes: 1. ρii ´e a identidade de F ; 2. ρij (x) = ρik (x) ◦ ρkj (x) para todo x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk ; 3. a aplica¸c˜ ao (x, y) ∈ (Ui ∩ Uj ∩ Uk ) × F 7→ ρij (x)(y) ∈ F ´e de classe C ∞ , podemos definir um fibrado tomando E como o espa¸co quociente da uni˜ ao disjunta dos Ui × F pela rela¸ca˜o de equivalˆencia que identifica (x, y) com (x′ , y ′ ) se x′ = x ∈ Ui ∩ Uj e y ′ = ρij (y). Definimos a proje¸c˜ ao π : E → M como a aplica¸c˜ ao que associa ` a classe de equivalˆencia de (x, y) ∈ Ui ×F o ponto x e a estrutura de variedade tal que as bije¸c˜ oes Φi : Ui × F → π −1 (Ui ), composta da aplica¸c˜ ao quociente com a inclus˜ ao de Ui × F na uni˜ ao disjunta, sejam difeomorfismos. Uma cobertura aberta e uma fam´ılia de aplica¸c˜ oes com as propriedades acima ´e chamado de um cociclo em M com valores no grupo de difeomorfismos de F . Defini¸ c˜ ao 7.2. Uma aplica¸c˜ ao fibrada entre dois fibrados π : E → M e π ′ : E ′ → M ′ ´e um par (f, fˆ) de aplica¸c˜ oes C ∞ tais que o diagrama abaixo comuta. E

fˆ

π

 M

/ E′ π′

f

 / M′

Uma aplica¸c˜ ao fibrada ´e um isomorfismo se fˆ ´e um difeomorfismo.

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162

[CAP. 7: FIBRADOS

Exemplo 7.1. (pull-back de fibrados) Dado um fibrado π : E → M com fibra F e uma fun¸c˜ ao C ∞ f : N → M podemos construir um ∗ fibrado ρ : f (E) → N com fibra F e uma aplica¸c˜ ao fibrada f ∗ (E)

fˆ

ρ

 N

/E π

f

 /M

que ´e denominado o pull-back pela aplica¸c˜ ao f . De fato, associado ao fibrado π : E → F temos um cociclo ρij : Ui ∩Uj → Dif(F ), onde {Ui } ´e um cobertura aberta de M . Logo, {Vi = f −1 (Ui )} ´e uma cobertura aberta de N e as aplica¸c˜ oes ρ˜ij : Vi ∩ Vj → Dif(F ) definidas por ρ˜ij = ρij ◦ f satisfazem ` as condi¸c˜ oes de cociclo e, portanto, temos um fibrado correspondente. Se φ˜i : Vi × F → ρ−1 (Vi ) e φi : Ui × F → ˆ ˜ π −1 (Ui ) s˜ ao as trivializa¸c˜ oes locais, ent˜ ao Φ−1 e a aplica¸c˜ ao I ◦ f ◦ P hii ´ ˆ (x, y) 7→ (f (x), y). Logo f leva cada fibra difeomorficamente sobre uma fibra. O pull-back de um fibrado por uma aplica¸c˜ ao constante ´e isomorfo ao fibrado trivial N × F . Defini¸ c˜ ao 7.3. Seja π : E → M um fibrado com fibra t´ıpica F . Uma conex˜ ao de Ehresmann ´e uma fam´ılia C ∞ de subespa¸cos Hz ⊂ T Ez com as seguintes propriedades 1. se Vz ⊂ T Ez ´e o subespa¸co tangente ` a fibra que cont´em o ponto z ent˜ ao T Ez = V z ⊕ H z ; 2. se γ : [0, 1] → M ´e uma curva de classe C ∞ ent˜ ao para cada z0 na fibra sobre o ponto γ(0) existe uma u ´nica curva C ∞ , d γˆ : [0.1] → E tal que π ◦ γˆ = γ e dt γˆ (t) ∈ Hγˆ (t) ; 3. se z1 = γˆ (1) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao z0 7→ z1 ´e um difeomorfismo C ∞ da fibra sobre o ponto γ(0) sobre a fibra sobre o ponto γ(1). O difeomorfismo Tγ : Eγ(0) → Eγ(1) da propriedade 3) ´e chamado de transporte paralelo. Da prova do teorema seguinte podemos concluir que de fato a propriedade 3) ´e consequˆencia das propriedades 1) e 2). Isto segue tamb´em da observa¸c˜ ao anterior no caso em que

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

163

a curva γ ´e mergulhada e, portanto, existe um campo de vetores completo tangente a essa curva. No teorema que mostraremos a seguir, construiremos conex˜ oes de Ehresmann em todo fibrado usando uma m´etrica riemanniana apropriada no espa¸co total E para definir o subespa¸co horizontal Hz como o complemento ortogonal ao subespa¸co vertical Vz . Usaremos tamb´em uma m´etrica riemanniana na base M tal que a proje¸c˜ ao π seja uma submers˜ ao riemanniana, isto ´e, sua derivada em cada ponto ´e uma isometria do espa¸co horizontal sobre o espa¸co tangente a M . Na prova do teorema usaremos os seguinte lema elementar. Lema 7.1. Sejam L : E → H uma aplica¸c˜ ao linear sobrejetiva e V ⊂ E o n´ ucleo de L. Seja gH : H × H → R um produto interno. O conjunto dos produtos internos em E tais que a restri¸c˜ ao de L ao complementar ortogonal de V ´e uma isometria ´e um conjunto convexo. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam g0 e g1 dois desses produtos internos e H0 o complementar ortogonal de V com respeito a g0 . Ent˜ ao o complementar ortogonal de F com respeito a g1 ´e o gr´ afico de uma aplica¸c˜ ao linear φ : H0 → F . Como L(x + φ(x)) = L(x) temos que a aplica¸cao x ∈ H0 7→ φ(x) + x ∈ H1 ´e uma isometria entre a restri¸c˜ ao de g0 a H0 e a restri¸c˜ ao g1 a H1 . Logo o subspa¸co Ht que ´e o gr´ afico de tφ ´e ortogonal a F com respeito ao produto interno gt = (1 − t)g0 + tg1 e a aplica¸c˜ ao x ∈ H0 7→ tφ(x) + x ∈ Ht ´e uma isometria. Logo a restri¸c˜ ao de L a Ht ´e uma isometria. O teorema abaixo foi provado em [Ehresmann1950] no caso em que a fibra ´e compacta e no caso n˜ ao compacto a prova que apresentamos se encontra em [Michor1978]. Teorema 7.2. Todo fibrado π : E → B de classe C ∞ , r ≥ 2 possui uma conex˜ ao de Ehresmann. Demonstra¸ c˜ ao. Pela teoria da dimens˜ao de Lebesgue, [HW] pp. 54, toda cobertura aberta de uma variedade M de dimens˜ao m possui um refinamento tal que a interse¸c˜ ao de m+2 elementos desse refinamento ´e sempre vazio. Logo existe uma cole¸c˜ ao Φi : Ui × F → π −1 (Ui ) de trivializa¸c˜ oes locais do fibrado π : E → M tal que {Ui } seja uma cobertura aberta de M com essa propriedade. Sejam gM uma m´etrica

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164

[CAP. 7: FIBRADOS

riemanniana em M e gF uma m´etrica riemanniana completa na fibra t´ıpica F . Seja λi uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada ` a cobertura ˆ i = λi ◦ π a correspondente parti¸c˜ Ui e λ ao da unidade em E subordinada a {π −1 (Ui )}. Em cada Ui × F consideremos a metrica gM × gF P ˆ e em E a m´etrica riemanniana g = i λ i Φi∗ (gM × gF ). Pelo lema anterior, temos que π ´e uma submers˜ ao isom´etrica, isto ´e, a derivada de π em cada ponto z leva o subespa¸cp horizontal Hz , ortogonal ao espa¸co vertical Vz , isometricamente sobre o espa¸co T Mπ(z) munido do produto interno gM (π(z)). Para cada i seja gi = Φ∗i g a m´etrica riemanniana em Ui × F . Se i (x, y) ∈ Ui × F , denotamos por H(x,y) ⊂ T (U × F )(x,y) = T Mx × T Fy o subespa¸co ortogonal a {0} × T Fy . A imagem desse subsespa¸co por DΦi (x, y) ´e o subespa¸co horizontal HΦi (x,y) de E. Para cada (x, v) ∈ T U e y ∈ F existe um u ´nico vetor Γx,v (y) ∈ T Fy tal i que (v, Γ(x,v) (y)) ∈ H(x,y) . A aplica¸c˜ ao ((x, v), y) ∈ T U × F → (y, Γ(x,v) (y)) ∈ T F ´e de classe C ∞ e, Γx,v ´e um campo de vetores de classe C ∞ em F . 1 Seja Vi = {x ∈ Ui ; λi (x) ≥ m+2 }. Para cada x ∈ M existem no maximo m + 2 elementos da parti¸ c˜ ao {Ui } que cont´em x. Como P 1 λ (x) = 1 existe pelo menos um i tal que λi (x) > m+2 . Logo i i {Vi } ´e uma cobertura aberta de M . Afirmamos que se γ : [0, 1] → Vi ´e uma curva de classe C ∞ e y ∈ F ent˜ ao existe uma u ´nica curva γˆy : [0, 1] → Vi × F tal que π1 ◦ γˆ = γ. Alem disso a aplica¸c˜ ao (t, y) 7→ γˆy (t) ´e de classe C ∞ . De fato, a aplica¸c˜ ao (t, y) 7→ (1, Γγ(t),γ ′ (t) (y)) ´e um campo de vetores em [0, 1] × F e a curva γˆ (t) = (γ(t), γ˜ (t)) satisfaz ` a afirma¸c˜ ao se e s` omente se (t, y) 7→ (t, γ˜ (t)) ´e uma curva integral desse campo de vetores. Para mostrar que essa curva integral est´ a definida em todo intervalo [0, 1] basta mostrar que no intervalo maximal [0, t′ ] a curva integral est´ a contida em um compacto. Seja l o comprimento da curva γ na m´etrica gM . Como a m´etrica em F ´e completa, temos que o conjunto K dos pontos ancia riemanniana ao ponto y p de F cuja distˆ ´e menor ou igual a (m + 2) × l ´e um compacto. Para concluir que t′ = 1 basta mostrar que γ˜ (t) ∈ K para todo t < t′ . Como a proje¸c˜ ao na primeira coordenada ´e uma submers˜ ao riemanniana, temos que o quadrado do vetor γ ′ (t) na m´etrica gM ´e igual ao

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

165

quadrado da norma do vetor γˆ ′ (t) na m´etrica gi , isto ´e, gi (ˆ γ ′ (t), γˆ ′ (t)) = gM (γ ′ (t), γ ′ (t)). Por outro lado, gi (ˆ γ ′ (t), γˆ ′ (t)) = λi (Φi (ˆ γ (t)))(gM (γ ′ (t), γ ′ (t)) + gF (˜ γ ′ (t), γ˜ ′ (t)))+ X + λj (Φi (ˆ γ (t)))(gM × gF )((Φ−1 γ ′ (t)), (Φ−1 γ ′ (t))) j ◦ Φi )∗ (ˆ j ◦ Φi )∗ (ˆ j6=i

≥ λi (Φi (ˆ γ (t))gF (˜ γ ′ (t), γ˜ ′ (t)) ≥ 1 gF (˜ γ ′ (t), γ˜ ′ (t)) ≥ m+2

R t′ p Como 0 gM (γ ′ (t), γ ′ (t))dt < l se t′ < 1, temos que o compri√ mento da curva t 7→ γ˜ (t) na metrica gF ´e menor ou igual a m + 2×l e, portanto γ˜ (t) ∈ K para todo t < t′ o que prova que t′ = 1. Se γ : [0, 1] → M ´e uma curva de classe C ∞ ent˜ ao existe uma parti¸c˜ ao 0 < t1 < · · · < tn = 1 tais que a imagem de cada um dos intervalos [tj , tj+1 ] est´ a contido em um u ´nico elemento da cobertura Vi . Usando a afirma¸c˜ ao acima em cada um desses intervalos conclu´ımos indutivamente que existe um u ´nico levantamento horizontal da curva por um ponto da fibra sobre o ponto inicial da curva e, o transporte paralelo ´e um difeomorfismo de classe C ∞ . Observa¸ c˜ ao 7.1. Para simplificar a exposi¸c˜ ao estamos considerando apenas fibrados e conexˆ oes de classe C ∞ . Podemos tamb´em considerar fibrados de classe C r com r ≥ 2. A prova do teorema acima fornece a existˆencia de conex˜ oes de Ehresmann de classe C r−1 e o transporte paralelo ´e de classe C r−1 . Teorema 7.3. [Levantamento de homotopia] Sejam π : E → M e π ′ : E ′ → M ′ fibrados de classe C r , r ≥ 1 . Se (t, x) ∈ [0, 1] 7→ ft (x) ∈ M ′ ´e uma homotopia C r−1 e existe um levantamento fˆ0 de f0 de classe C r−1 ent˜ ao existe uma homotopia de classe C r−1 , ˆ (t, z) ∈ [0, 1] × E 7→ ft (z) ∈ E ′ tal que π ′ ◦ fˆt = ft ◦ π Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos em π ′ : E ′ → M ′ uma conex˜ ao de Ehresmann. Se z ∈ E seja t 7→ fˆt (z) o levantamento horizontal da

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[CAP. 7: FIBRADOS

curva t 7→ ft (π(z)) pelo ponto fˆ0 (z). Como esta curva depende diferenciavelmente de z e o levantamento ´e localmente a curva integral de um campo de vetores que depende diferenciavelmente do parˆ ametro temos que fˆt ´e de classe C r−1 nas vari´ aveis (t, z). Corol´ ario 7.4. Seja π : E → M um fibrado de classe C r , r ≥ 2. Se fi : M → M ′ s˜ ao aplica¸c˜ oes C r−1 homot´ opicas, ent˜ ao existe um r−1 isomorfismo de classe C entre os fibrados f0∗ E → M e f1∗ E → M . Demonstra¸ c˜ ao. Seja F : [0, 1] × M → M ′ uma homotopia de classe r−1 C entre f0 e f1 . Seja it : M → [0, 1] × M a aplica¸c˜ ao it (x) = (t, x). Consideremos os fibrados F ∗ E → [0, 1] × M e i∗0 (F ∗ (E)) → M que ´e igual ao fibrado f0∗ (E) → M uma vez que f0 = F ◦ i0 . Como a aplica¸c˜ ao fibrada ˆi0 : i∗0 (F ∗ E) → F ∗ E que recobre i0 leva cada fibra difeomorficamente em uma fibra e a aplica¸c˜ ao (t, x) ∈ [0, 1] × M 7→ (t, x) ∈ [0, 1] × M ´e uma homotopia entre i0 e i1 ela ´e recoberta por uma homotopia ˆi∗t : i∗0 F ∗ E → F ∗ E. Portanto i∗1 ´e um isomorfismo entre os fibrados f0∗ E → M e o fibrado f1∗ E → M Corol´ ario 7.5. Um fibrado sobre uma base contr´ atil ´e trivial. Demonstra¸ c˜ ao. A identidade de M ´e diferenciavelmente homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao constante e o pull-back do fibrado por uma aplica¸c˜ ao constante ´e o fibrado trivial. A seguir vamos considerar fibrados que possuem uma estrutura extra associada a um grupo de Lie. Defini¸ c˜ ao 7.4. Sejam G um grupo de Lie, M uma variedade e {Ui } uma cobertura aberta de M . Um cociclo em M com valores em G ´e uma fam´ılia de fun¸c˜ oes δij : Ui ∩ Uj → G de classe C ∞ satisfazendo δik (x) = δjk (x) · δij (x) ∀ x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk . ˜ i ⊂ Rm Como vimos no exemplo 1.3, um atlas {φi : U ⊂ M → U define um cociclo em M com valores no grupo linear Gl(n, R): δij (x) = D(φj ◦ φ−1 i )(φi (x)) Lembramos que uma a¸c˜ ao de um grupo de Lie G em uma variedade F ´e um homomorfismo ρ : G → Dif∞ (F ) tal que a aplica¸c˜ ao

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

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G × F → F , (g, x) 7→ ρ(g)(x), ´e de classe C ∞ . No caso de F ser um espa¸co vetorial e ρ(g) um isomorfismo linear para todo g ∈ G, dizemos que ρ ´e uma representa¸c˜ ao do grupo G. Uma a¸c˜ ao ´e dita efetiva se ρ ´e um homomorfismo injetivo, isto ´e, se ρ(g)(x) = x para todo x ∈ F , ent˜ ao g = e. Defini¸ c˜ ao 7.5. Sejam π : E → M uma fibra¸c˜ ao localmente trivial com fibra F , {Ui } uma cobertura trivializante e ρ : G → Dif∞ (F ) uma a¸c˜ ao efetiva C ∞ de um grupo de Lie G sobre a fibra F . Dizemos que (E, M, F, π, ρ) ´e um fibrado com grupo estrutural G se, para cada par i, j com Ui ∩ Uj 6= ∅, existe uma aplica¸c˜ ao δij : Ui ∩ Uj → G de −1 classe C ∞ tal que ρ(δij (x)) = ψj,x ◦ ψi,x para todo x ∈ Ui ∩ Uj . As fun¸c˜ oes ρij = ρ ◦ δij s˜ ao chamadas fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao do fibrado. Nesse caso, as mudan¸cas ficam Φj ◦ Φ−1 i (x, y) = (x, ρij (x)(y)), em que ρij = ρ ◦ δij . Como ρ ´e um homomorfismo injetivo, ´e f´ acil verificar que δik (x) = δjk (x) · δij (x)

para todo x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk . Portanto a fam´ılia de aplica¸c˜ oes δij ´e um cociclo com valores em G. A fam´ılia de difeomorfismos {Φi : Ui × F → π −1 (Ui ) ´e chamada de um atlas trivializador do fibrado. Todos atlas trivializador est´ a contido em um atlas trivializador maximal. Seja x ∈ M e Ex = π −1 (x) a fibra pelo ponto x. Se Φi : U × F → π −1 (U ) pertence ao atlas maximal do fibrado e x ∈ U ent˜ ao a aplica¸c˜ ao y ∈ F 7→ Φ(x, y) ∈ Ex ´e um difeomorfismo. Seja Px o conjunto de todos esses difeomorfismos. Como a a¸c˜ ao ρ ´e efetiva, se f, g ∈ Px ent˜ ao existe um u ´nico g ∈ G tal que g = f ◦ ρ(g). Por outro lado, como o atlas trivializante ´e maxima, se f ∈ Px e g ∈ G ent˜ ao f ◦ ρ(g) ∈ Px . Seja P = ∪x Px e p : P → M a proje¸cao que p(f ) = x se e somente se f ∈ Px . Temos ent˜ ao uma a¸c˜ ao ` a direita do grupo G em P : P ×G→P dada por f ∈ Px 7→ f ◦ ρ(f ) ∈ Px .

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[CAP. 7: FIBRADOS

Proposi¸ c˜ ao 7.6. A aplica¸c˜ ao p : P → M ´e um fibrado com grupo estrutural G e a a¸c˜ ao ´e de classe C ∞ . Demonstra¸ c˜ ao. Seja Φi : Ui × F → π −1 (Ui ) um atlas trivializador do fibrade π : E → M . Para cada x ∈ Ui , seja σi (x) ∈ Px o difeomorfismo x ∈ F 7→ Φi (x, y) ∈ Ex . Seja Ψi : Ui × G → p−1 (Ui ) a aplica¸c˜ ao Ψi (x, g) = σi (x) ◦ ρ(g). Temos que Ψi ´e uma bije¸c˜ ao e Ψ−1 j ◦ Ψi : (Ui ∩ Uj ) × G → (Ui ∩ Uj ) × G ´e a aplica¸c˜ ao (x, g) 7→ (x, f ◦g.δij (x). Logo existe uma u ´nica estrutura de variedade em P tal que Ψi seja um difeomorfismo para cada i. Com essa estrutura p ´e C ∞ , a a¸c˜ ao ´e C ∞ e a fam´ılia Ψi ´e um atlas trivializante. . Dizemos que p : P → M ´e of fibrado principal associado ao fibrado π : E → M . Mais geralmente, um fibrado definido por um cociclo em M com valores no grupo de Lie G, cuja fibra ´e o pr´ oprio G e a a¸c˜ ao ´e dada pelas transla¸c˜ oes ` a esquerda no grupo ´e chamado de fibrado principal. Todo fibrado principal tem uma a¸c˜ ao ` a direita do grupo G no espa¸co total do fibrado tal que a ´ orbita por um ponto coincide com a fibra desse ponto e o grupo age transitivamente e efetivamente em cada fibra. Reciprocamente, se o grupo age ` a direita no espa¸co total de um fibrado, sem pontos fixos, e cada ´ orbita coincide com a fibra ent˜ ao o fibrado ´e um fibrado principal com grupo G. Seja π : E → M um fibrado associado ao fibrado principal p : P → M e` a a¸c˜ ao ρ : G → Dif(F ). Se a fibra t´ıpica F possui uma estrutura que ´e preservada pela a¸c˜ ao ρ ent˜ ao cada fibra Ex possui essa estrutura que varia diferenciavelmente com o ponto x: cada difeomorfismo f ∈ Px ´e um isomorfismo da estrutura de F na estrutura de Ex . Assim, se F ´e um espa¸co vetorial e ρ ´e uma representa¸c˜ ao de G, isto ´e, ρ(g) ´e um isomorfismo para todo g, ent˜ ao π : E → M ´e um fibrado vetorial. Nesse caso, o espa¸co das se¸c˜ oes C ∞ , isto ´e, aplica¸c˜ oes de ∞ classe C σ : M → E tais que π ◦ σ ´e a identidade de M , ´e tamb´em

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

169

um espa¸co vetorial. Tamb´em, se F ´e um grupo de Lie e ρ(f ) ´e um isomorfismo para todo g ent˜ ao cada fibra Ex tem uma estrutura de grupo e o espa¸co das se¸c˜ oes tem uma estrutura de grupo. Um outro exemplo, se F ´e uma variedade riemanniana ent˜ ao em cada fibra existem uma m´etrica riemanniana gx que varia diferenciavelmente com x no sentido que se σ1 , σ2 : M → E s˜ ao se¸coes de classe C ∞ ent˜ ao a aplica¸c˜ ao x ∈ M 7→ gx (σ1 (x), σ2 (x))ıR ´e de classe C ∞ . Veremos a seguir v´ arios exemplos dessas situa¸c˜ oes. Veremos agora que um fibrado com grupo estrutural ´e essencialmente determinado pelas suas fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao. Teorema 7.7. Sejam G um grupo de Lie, F uma variedade, ρ uma a¸c˜ ao C ∞ de G em F e {δij : Ui ∩ Uj → G}i,j um cociclo em uma variedade M . Ent˜ ao existe um fibrado π : E → M com fibra F , grupo estrutural G e fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao ρij = ρ ◦ δij . ` b a uni˜ b→M Demonstra¸ c˜ ao. Seja E ao disjunta i (Ui × F ) e π b:E b a definida por π b(x, v) = x para (x, v) ∈ Ui × F . Definimos em E rela¸ca˜o (x, v) ∼ (y, w) ⇔ x = y e w = ρij (x)v se x ∈ Ui ∩ Uj .

Como δij ´e um cociclo, a rela¸c˜ ao ∼ ´e de equivalˆencia (verificar!). b → E a aplica¸c˜ Seja E o conjunto das classes de equivalˆencia e q : E ao quociente. Munindo E da topologia quociente, temos que existe uma u ´nica aplica¸c˜ ao cont´ınua π : E → M tal que o diagrama abaixo comuta ˆ E q

E



π ˆ π

 /M Ψ

i e, para cada i, a aplica¸c˜ ao Ui × F −−→ π −1 (Ui ) ⊂ E definida pela b composta de q com a inclus˜ ao Ui ×F ⊂ E ´e um homeomorfismo. Pela defini¸c˜ ao da rela¸c˜ ao de equivalˆencia, segue que o homeomorfismo

Ψ−1 j ◦ Ψi : (Ui ∩ Uj ) × F → (Ui ∩ Uj ) × F

´e dado por (x, v) → (x, ρij (x)(v)).

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170

[CAP. 7: FIBRADOS

Existe portanto uma u ´nica estrutura de variedade em E satisfazendo `s condi¸c˜ a oes do teorema. Exerc´ıcio 7.1. Seja E um espa¸co topol´ ogico Hausdorff com base enumer´ avel de abertos. Sejam {Wi } uma cobertura aberta de E e para cada i seja Φi : Wi → Ni um homeomorfismo de Wi sobre uma variedade Ni . Se Φ−1 j ◦ Φi : Φi (Wi ∩ Wj ) ⊂ Ni → Φj (Wi ∩ Wj ) ⊂ Nj s˜ ao difeomorfismos, ent˜ ao E tem uma u ´nica estrutura de variedade para a qual as aplica¸c˜ oes Φi s˜ ao difeomorfismos. Proposi¸ c˜ ao 7.8. Seja π : E → M um fibrado com um grupo estrutural G, fibra F , cociclo δij : Ui ∩ Uj → G e a¸ca˜o ρ : G → Dif(F ). Podemos identificar uma se¸c˜ ao X de π com uma fam´ılia Xi : Ui → F de aplica¸c˜ oes C k satisfazendo a seguinte a condi¸c˜ ao de compatibilidade x ∈ Ui ∩ Uj ⇒ Xj (x) = ρij (x)Xi (x) . Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio. Observa¸ c˜ ao: No caso em que E ´e um fibrado vetorial sobre M , sendo a fibra V um K-espa¸co vetorial com K = R ou C, o conjunto de se¸c˜ oes de classe C k ´e um K-espa¸co vetorial e tamb´em um C ∞ (M )-m´ odulo com as opera¸c˜ oes definidas ponto a ponto. Denotamos este espa¸co de se¸co˜es por Γk (E). Afirmamos que Γk (E) tem dimens˜ao infinita. De fato, fixando i e tomando Xi : Ui → V uma fun¸c˜ ao C ∞ que anula fora de um compacto de Ui , podemos definir Xj : Uj → V para cada j como sendo 0 se x ∈ / Ui e igual a ρij (x)Xi (x) se x ∈ Ui ∩ Uj , que ´e portanto uma se¸c˜ ao de E de classe C k . Se a fibra tem um produto interno que ´e preservado por todo ρ(g) ent˜ ao cada fibra ı−1 (x) tem um produto interno < . >x que varia diferenciavelmente com o ponto base, no sentido que para todo par de se¸c˜ oes locais σ1 , σ2 a aplica¸c˜ ao x 7→< σ1 (x), σ2 (x) >x ´e C ∞ . Se F ´e um espa¸co vetorial munido de um produto interno e o grupo age por transforma¸c˜ oes ortogonais ent˜ ao para cada ponto x da base temos um produto interno h., .ix na fibra π −1 (x) que varia diferenciavelmente no sentido que se σi , i = 1, 2 s˜ ao se¸c˜ oes do fibrado ent˜ ao a aplica¸c˜ ao x ∈ M 7→ hσ1 (x), σ2 (x)ix ∈ R ´e diferenciavel. Dizemos ent˜ ao que π : E → M ´e um fibrado riemanniano. Por outro lado, se π : E → R ´e um fibrado vetorial, podemos, usando uma

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

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parti¸c˜ ao da unidade em M , construir uma estrutura de fibrado riemanniano em π : E → M , da mesma forma que construimos metricas riemannianas no fibrado tangente. Usando essa estrutura podemos reduzir o grupo estrutural do fibrado de Gl(n, R) para O(n). De fato, para cada trivializa¸c˜ ao local de π −1 U associamos se¸c˜ oes locais X1 , . . . , Xk tais que para cada x ∈ U , X1 (x), . . . , Xk (x) ´e uma base de π −1 (x). Ortogonalizando essa base obtemos se¸c˜ oes Y1 , . . . , Yk . Temos ent˜ ao uma nova fam´ılia de trivializa¸c˜ oes locais: U × Rk → π −1 (U ) Pk oes de transi¸c˜ ao de(x, y) 7→ i=1 yi Yi (x). As correspondentes fun¸c˜ finem um cociclo com valores no grupo ortogonal. Analogamente, se a fibra ´e um espa¸co vetorial complexo munido de um produto hermitiano invariante pela a¸c˜ ao. Um outro exemplo da mesma ideia: se S0 ⊂ F ´e uma subvariedade invariante pela a¸c˜ ao, isto ´e, ρ(g)(S) = S para todo g ent˜ ao existe uma subvariedade S ⊂ M tal que a restri¸c˜ ao de π a S ´e um fibrado com fibra S0 . Nos exemplos abaixo consideraremos o cociclo δij com valores em GL(m, R) definido por um atlas em M como anteriormente. Exemplo 7.2. Considere a a¸c˜ ao trivial ρ : GL(m, R) → Dif(Rm ) dada por ρ(A) = A. Ent˜ ao o fibrado vetorial correspondente ´e o fibrado tangente de M e as se¸c˜ oes C k s˜ ao exatamente os campos de k vetores C em M . Exemplo 7.3. (Fibrado de Tensores) Um tensor do tipo (r, k) em um R-espa¸co vetorial V de dimens˜ao finita ´e uma aplica¸c˜ ao multilinear T : V ∗ × ... × V ∗ × V × ... × V → R. | {z } | {z } r vezes

k vezes

O conjunto T (r,k) (V ) dos tensores do tipo (r, k) ´e um R-espa¸co vetorial. Temos identifica¸c˜ oes canˆ onicas T (0,0) (V ) = R, T (1,0) (V ) = V e (0,1) ∗ T (V ) = V . Dizemos que um tensor T do tipo (0, k) ´e sim´etrico se T (vσ(1) , ..., vσ(k) ) = T (v1 , ..., vk )

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[CAP. 7: FIBRADOS

para toda permuta¸c˜ ao σ de k elementos. Denotamos o subespa¸co dos tensores sim´etricos por Sk (V ). No cap´ıtulo 5, quando lidamos com formas diferenciais, j´ a consideramos as fun¸c˜ oes k-lineares alternadas em Rm , que nessa linguagem nada mais s˜ ao do que tensores T do tipo (0, k) que satisfazem T (vσ(1) , ..., vσ(k) ) = sinal(σ)T (v1 , ..., vk ) para toda permuta¸c˜ ao σ de k elementos, em que sinal(σ) ´e +1 se a permuta¸c˜ ao σ ´e par e −1 caso contr´ ario. Denotamos o subespa¸co desses tensores por Λk (Rm )∗ . O grupo linear GL(m, R) age em T (r,k) (Rm ) da seguinte maneira: para cada A ∈ GL(m, R) e T um tensor do tipo (r, k) definimos A · T (ϕi , vj ) = T (ϕi ◦ A, A−1 · vj ).

Como esta a¸c˜ ao ´e linear, o fibrado correspondente sobre M ´e vetorial, chamado o fibrado de tensores em M e denotado por T (r,k) (M ). A fibra sobre um ponto x ∈ M pode ser identificada com T (r,k) (T Mx ). Uma se¸c˜ ao deste fibrado ´e chamada um campo de tensores em M e coincide com a defini¸c˜ ao no final da se¸c˜ ao 4 do cap´ıtulo 5. Devido as identifica¸c˜ oes nos casos de dimens˜ ao mais baixa, o espa¸co de se¸c˜ oes de T (0,0) M nada mais ´e do que C ∞ (M ) e as se¸c˜ oes de T (1,0) M s˜ ao os campos de vetores em M . As se¸c˜ oes do fibrado dos tensores do tipo (0, k) anti-sim´etricos, denotado por Λk (T M )∗ , nada mais s˜ ao do que k-formas diferenciais em M . Note que o fibrado Λ1 (T M )∗ ´e ent˜ ao o fibrado cotagente T ∗ M . Outro caso particular ´e tomar C+ (Rm ) ⊂ S2 (Rm ) o subconjunto das formas bilineares que s˜ ao positiva definidas. Ent˜ ao C+ (Rm ) ´e um π m cone aberto em S2 (R ). O fibrado correspondente S2 (T M ) − → M ´e um fibrado vetorial que cont´em C+ (T M ) como um subconjunto aberto. Uma se¸c˜ ao C ∞ de S2 (T M ) com valores em C+ (T M ) ´e exatamente uma m´etrica Riemanniana em M . Exemplo 7.4. (O fibrado dos referenciais) Seja ρ : GL(m, R) → Dif(GL(m, R)) a a¸c˜ ao definida por ρ(A)(B) = A.B.

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173

[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

Fixando uma base de Rm , podemos representar B por uma matriz invers´ıvel. As colunas de B ∈ GL(m, R) definem uma nova base de Rm . Podemos portanto identificar GL(m, R) com o espa¸co das bases de Rm e ρ(A) pode ser interpretada como uma mudan¸ca de base. A fibra sobre um ponto x do fibrado correspondente π : R(T M ) → M pode ser identificada com o espa¸co das bases de T Mx . Esse fibrado ´e chamado o fibrado de referenciais de M . Assim, se¸c˜ ao local em um aberto U ⊂ M ´e uma m-upla de campos de vetores Xi : U → T M , de classe C ∞ , tais que para cada x ∈ U o conjunto {X1 (x), . . . , Xm (x)} ´e uma base de T Mx . Observa¸ c˜ ao: Se um G-fibrado principal π : E → M possui uma se¸c˜ ao global σ : M → E, de classe C ∞ , ent˜ ao existe um difeomorfismo Φ : M × G → E tal que o diagrama abaixo comuta Φ

M ×G π1



M



/E π

De fato, basta tomar Φ(x, g) = σ(x) · g, com o produto por g significando a a¸c˜ ao livre e transitiva ` a direita de G em E. Logo um fibrado principal n˜ ao trivial n˜ ao possui se¸c˜ ao global. Exemplo 7.5. O fibrado dos referenciais de M ´e um fibrado principal com grupo estrutural GL(m, R). Exemplo 7.6. (O fibrado dos referenciais ortonormais) Seja M uma variedade Riemanniana orientada e fixe {ψi : Ui ⊂ M → ˜i ⊂ Rm }i∈I um atlas positivo de M . U i Para cada i ∈ I, sejam X1i , ..., Xm os campos de vetores em Ui tais ∂ i que Dψi · Xj (x) = ∂xj . Sejam Y1i , . . . , Ymi : Ui → T M os campos de vetores obtidos pelo processo de ortogonaliza¸c˜ ao de Gram-Schmidt,

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174

[CAP. 7: FIBRADOS

isto ´e, X1i (x)

Y1i (x) =

X i (x) 1

x

.. .

Yri (x)

Xri (x) −

r−1 P j=1

< Xji (x), Yji (x) >x Yji (x)

=

r−1 P

i

i i i < Xj (x), Yj (x) >x Yj (x) .

Xr (x), −

j=1

Temos ent˜ ao que os campos Yji s˜ ao de classe C ∞ e, para cada x ∈ Ui , Y1i (x), . . . , Ymi (x) ´e uma base ortonormal de T Mx . Como o atlas ´e positivo, se x ∈ Ui ∩ Uj ent˜ ao as bases ortonormais Y1i (x), . . . , Ymi (x) j e Y1 (x), . . . , Ymj (x) definem a mesma orienta¸c˜ ao de T Mx . Logo a ´ f´ matriz de mudan¸ca de base Φij (x) est´ a em SO(m). E acil verificar que {Φij : Ui ∩ Uj → SO(n)} ´e um cociclo em M . O fibrado principal associado a esse cociclo ´e chamado de fibrado dos referenciais ortonormais de M , isto porque ´e poss´ıvel mostrar que existe uma bije¸c˜ ao do espa¸co total desse fibrado com o conjunto {(x, vi , . . . , vm ); x ∈ M, [v1 , . . . , vm ] base ort. positiva de T Mx }. Exemplo 7.7. Fibrado dos referenciais de um fibrado vetorial Seja q : E → M um fibrado vetorial de posto n, isto ´e, as fibras tem dimens˜ ao n. Seja P = {(x; v1 , . . . , vn ); x ∈ M e (vi . . . , vn ) ´e base de q −1 (x)} ent˜ ao π : P → M , (x; v1 , . . . , vn ) 7→ x tem uma estrutura de fibrado principal com grupo GL(n, R). Por outro lado, o fibrado vetorial ´e o fibrado associado a π : P → M e ` a a¸c˜ ao natural de GL(n, R) em Rn ). Exemplo 7.8. Seja q : E → M um fibrado vetorial munido de uma m´etrica riemanniana, isto ´e, um produto interno em cada fibra que varia suavemente com o ponto base no sentido que, para quaisquer se¸c˜ oes C ∞ σi : M → E, i=1,2, a fun¸c˜ ao x 7→< σ1 (x), σ2 (x) >x ´e ∞ C . Como no exemplo 7.4, podemos considerar o fibrado principal

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175

[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

π : O(E) → M cuja fibra pelo ponto x ´e o espa¸co dos referenciais ortonormais da fibra pelo ponto x cujo grupo estrutural ´e o grupo das matrizes ortogonais O(n). O fibrado vetorial ´e orientado se cada fibra possui uma orienta¸c˜ ao que varia continuamento no sentido que para cada x ∈ M e n se¸c˜ oes locais σ1 , . . . , σn em uma vizinhan¸ca de x que s˜ ao linearmente independentes nessa vizinhan¸ca, ent˜ ao σ1 (y), . . . , σn (y) tem a mesma orienta¸c˜ ao para todo y proximo de x. Nesse caso podemos considerar of fibrado principal π : O+ (E) → M cuja fibra pelo ponto x ´e o espa¸co dos referenciais ortonormais positivos. Nesse caso o grupo estrutural ´e SO(n). Analogamente podemos considerar um fibrado hermitiano, isto ´e, um fibrado complexo de posto n munido de um produto hermitiano em cada fibra que varia suavemente com o ponto na base. Nesse caso temos um fibrado principal com grupo estrutural U (n), o grupo das matrizes complexas unit´ arias. Usando uma parti¸c˜ ao da unidade na base podemos construir uma metrica riemanniana em todo fibrado vetorial real e uma estrutura hermitiana em todo fibrado complexo. Exemplo 7.9. Considere a a¸c˜ ao de C\{0} sobre C2 \{0} dada por C2 \{0} × C \ {0} ((z, w), λ)

−→ 7−→

C2 \ {0} (λz, λw).

Como vimos anteriormente, o espa¸co de ´ orbitas ´e CP1 ≈ S 2 e a restri¸c˜ ao da aplica¸c˜ ao quociente ` a esfera unit´ aria S 3 ´e uma fibra¸c˜ ao 1 localmente trivial com fibra S . A a¸c˜ ao acima se restringe a uma a¸c˜ ao a direita de S 1 em S 3 , a qual preserva as fibras e age transitivamente ` sem pontos fixos em cada fibra. Exemplo 7.10. Analogamente ao exemplo anterior, temos a fibra¸c˜ ao localmente trivial π : S 7 ⊂ H2 → S 4 = HP1 com grupo S 3 , o qual, identificado com o conjunto dos quat´ernios unit´ arios, age ` a direita em S 7 por multiplica¸c˜ ao quaterniˆ onica S7 × S3 ((z, w), q)

−→ 7−→

S7 (z.q, w.q).

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176

[CAP. 7: FIBRADOS

Exemplo 7.11. (Pull-back de fibrados.) Seja π : E → M um fibrado com grupo G associado ao cociclo {δij : Ui ∩ Uj → G} e a a¸c˜ ao ρ : G → Dif∞ (F ). Seja f : N → M ∞ uma aplica¸c˜ ao C . Ent˜ ao a fam´ılia {Vi = f −1 (Ui )} ´e uma cobertura aberta de N e as aplica¸c˜ oes δ˜ij : Vi ∩Vj → G definidas por δ˜ij = δij ◦f definem um cociclo em N . O fibrado sobre N associado a esse cociclo ρ e` a mesma a¸c˜ ao ρ ´e denotado por f ∗ (E) − → N e ´e chamado o pull-back de E por f . Existe uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel fb : f ∗ (E) → E tal que o diagrama abaixo comuta f ∗ (E)

fˆ

ρ

 N

/E π

f

 /M

e fˆ restrita a cada fibra de f ∗ (E) ´e um difeomorfismo sobre a fibra correspondente de E. Se π : E → M ´e um fibrado vetorial, ent˜ ao fb ´e um isomorfismo linear em cada fibra. Se E ´e um fibrado principal ent˜ ao f ∗ (E) tamb´em ´e um fibrado principal e a aplica¸c˜ ao fˆ ´e ′ ′ ˆ ˆ equivariante, isto ´e, f (y g) = f (y) g. Exemplo 7.12. (Soma direta e produto tensorial.) πk Considere Ek −→ M , k = 1, 2, fibrados vetoriais associados a um mesmo cociclo δij : Ui ∩ Uj → G em M e as representa¸c˜ oes ρk : G → GL(Vk ). As aplica¸c˜ oes ρ1 ⊕ ρ2 : G → GL(V1 ⊕ V2 ) ρi ⊗ ρ2 : G → GL(V1 ⊗ V2 )

definidas por ρ1 ⊕ ρ2 (g)(x ⊕ y) = ρ1 (g)(x) ⊕ ρ2 (g)(y) e ρ1 ⊗ ρ2 (g)(x ⊗ y) = ρ1 (g)(x) ⊗ ρ2 (g)(y) s˜ ao representa¸c˜ oes de G e os fibrados vetoriais associados s˜ ao denotados por E1 ⊕ E2 e E1 ⊗ E2 . As fibras por um ponto x ∈ M s˜ ao isomorfas a π1−1 (x) ⊕ π2−1 (x) e π1−1 (x) ⊗ π2−1 (x) respectivamente.

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

177

Exemplo 7.13. (Fibrado Universal) Consideremos o conjunto U (n, k) dos pares (V, v) onde V ⊂ Rn ´e um subespa¸co de dimens˜ ao k e v ´e um vetor em V e defina π : U (n, k) → G(n, k) como a proje¸c˜ ao (V, v) 7→ V . Ent˜ ao U (k, n) ´e uma subvariedade de G(k, n) × Rn e π ´e um fibrado vetorial de posto k. Para ver isso, vamos mostrar que todo ponto da Grassmanniana possui uma vizinhan¸ca W onde existem k fun¸c˜ oes b1 , . . . , bk : W → Rn , de classe C ∞ , tais que para cada B ∈ W , b1 (B), . . . , bk (B) ´e uma base ortonormal de B. Para mostrar isso, seja V ∈ G(n, k) e fixe v1 , ..., vk uma base ortonormal de V . Uma vizinhan¸ca b´ asica de V na topologia de G(n, k) ´e o conjunto {B ∈ G(n, k); B ⊕ V ⊥ = Rn }. Da´ı dado B nesta vizinhan¸ca, fazemos a proje¸c˜ ao ortogonal da base {vi } em B e definimos cada bi (B) como o i-´esimo vetor obtido ap´ os o processo de ortonormaliza¸c˜ ao da base obtida em B. Da´ı a P aplica¸c˜ ao W ×Rk → W ×Rn k que a cada par (B, x) associa o ponto (B, j=1 xj bj (B)) ´e um mergulho C ∞ cuja imagem ´e π −1 (W ), e portanto define uma trivializa¸c˜ ao local. Defini¸ c˜ ao 7.6. Sejam π : P → M e π ′ : P ′ → M ′ fibrados principais com grupo G. Um morfismo ´e um par de aplica¸c˜ oes f : M → M ′ , ′ ′ ′ ′ fˆ: P → P tais que π ◦ fˆ = f ◦ π e f (yg) = f (y)g para todo g ∈ G. Da equivariˆ ancia segue-se que a restri¸c˜ ao de f ′ a cada fibra ´e um difeomorfismo sobre a correspondente fibra. Se a aplicac˜ ao f na base ´e um difeomorfismo ent˜ ao f ′ tamb´em ´e um difeomorfismos. Nesse caso dizemos que o morfismo ´e um isomorfismo e os fibrados s˜ ao equivalentes. Dizemos que o fibrado principal π : P → M ´e trivial se ´e equivalente ao fibrado principal M × G → M onde a a¸c˜ ao ` a direita do fibrado produto ´e ((x, g), h) 7→ (x, gh). Como j´ a observamos, um fibrado principal ´e trivial se e s` omente se possui uma se¸c˜ ao global. Defini¸ c˜ ao 7.7. Um morfismo de fibrados vetoriais π : E → M , π ′ : E ′ → M ′ ´e um par de aplica¸co˜es (f ′ , f ) : (E, M ) → (E ′ , M ′ ) tais que π ′ ◦ f ′ = f ◦ π e a restri¸c˜ ao de f ′ a cada fibra ´e linear. Se f ′ ´e um difeomorfismo ent˜ ao dizemos que os fibrados s˜ ao isomorfos.

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178

[CAP. 7: FIBRADOS

Defini¸ c˜ ao 7.8. Seja p : P → M um fibrado principal e µ : P × G → P a correspondente a¸c˜ ao ` a direita. Uma conex˜ ao principal ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ que associa a cada f ∈ P um subespa¸co horizontal Hf ⊂ T Pf que ´e transversal ao espa¸co tangente ` a fibra pelo pont f e ´e invariante pela a¸c˜ ao µ: Dµg (f )Hf = Hµg (f ) , onde µg ´e o difeomorfismo µg (f ) = µ(f, g). Proposi¸ c˜ ao 7.9. Uma conex˜ ao principal ´e uma conex˜ ao de Ehresmann e o transporte paralelo Γγ : Pγ(0) → Pγ(1) , ao longo de uma curva γ : [0, 1] → M ´e um difeomorfismo equivariante. Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos no fibrado trivial π : U × G × U uma conex˜ ao invariante pelas transforma¸c˜ oe µg : (x, y) 7→ (x, y.g). Se v ∈ T Ux existe um u ´nico vetor Γ(x, v)(y) ∈ T Gy tal que o vetor (v, Γ(x, v)(y)) ∈ T Ux × T Gy seja horizontal. Temos portanto, para cada (x, v) ∈ T U um campo de vetores C ∞ em G que ´e invariante pelas transla¸c˜ oes ` a direita: dg : y ∈ G 7→ y.g. Seja γ : [0, 1] → U uma curva de classe C ∞ . Vamos mostrar que dado y0 ∈ G existe um u ´nico levantamento horizontal γˆ : [0, 1] → U ×G com γˆ (0) = (γ(0), y0 ). Devemos portanto mostrar a existˆencia de uma curva γ˜ : [0, 1] → G tal que (γ ′ (t), γ˜ ′ (t) seja um vetor horizontal para todo t e γ˜ (0) = y0 . Seja X o campo de vetores em [0, 1] × G definido por X(t, y) = (1, Γ(γ(t), γ ′ (t)). Basta ent˜ ao mostrar que existe uma u ´nica curva integral t ∈ [0, 1] 7→ (t, γ˜ (t)) do campo X passando pelo ponto (0, y0 ). Como [0, 1] ´e compacto, existe ǫ > 0 tal que para todo t0 ∈ [0, 1] a curva integral de X pelo ponto (t0 , e) est´ a definida no intervalo [t0 − ǫ, t0 + ǫ]. Por outro lado, pela invariˆ ancia do campo X pela fam´ılia de difeomorfismos (t, y) 7→ (t, y.g) temos que a curva integral de X por um ponto (t0 , g) tamb´em est´ a definida no intervalo (t0 − ǫ, t0 + ǫ) para todo g ∈ G. Tomando uma parti¸c˜ ao do intervalo [0, 1] por intervalos de comprimento ǫ conclu´ımos indutivamente que a curva integral de X pelo ponto (0, y0 ) est´ a definida em todo intervalo [0, 1] e, portanto, γ tem um u ´nico levantamento horizontal, como quer´ıamos mostrar. Seja agora γ : [0, 1] → M uma curva C ∞ e f0 ∈ P na fibra sobre o ponto γ(0). Tomemos uma parti¸c˜ ao 0 < t1 < . . . tn < 1 tal que γ([tj , tj+1 ]) esteja contido em Uj ⊂ M tal que exista trivializa¸c˜ ao Φj : Uj × G → p−1 (Uj ). Supondo indutivamento que o levantamento horizontal de γ ja foi definido no intervalo [0, tj ], estendemos o levan-

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

179

tamento para o intervalo [0, tj+1 ] usando a afirma¸c˜ ao anterior. Teorema 7.10. Todo fibrado principal tem uma conex˜ ao principal Demonstra¸ c˜ ao. Para construir uma conex˜ ao principal temos que definir uma 1-forma diferencial ω em P com valores no fibrado vertical com as seguintes propriedades: 1. µ∗g ω = ω, isto, ´e ω(mug (f ))(Dµg (f )).ξ) = Dµg (f )(ω(f ))(ξ) para todo ξ ∈ T Pf ; 2. ω(f )(ξ) = ξ para todo ξ ∈ T Pf tangente ` a fibra pelo ponto f Seja Φi : Ui ×G → p−1 (Ui ) um atlas trivializador do fibrado principal. Como µig = Φ−1 e o difeomorfismo (x, h) 7→ (x, hg) temos i ◦ µ g ◦ Φi ´ que a fam´ılia de subespa¸cos horizontais T Mx × {0} ⊂ T (Ui × G)x,g ´e invariante pela a¸c˜ ao da derivada de µig . Logo a imagem dessa fam´ılia pela derivade de Φi ´e uma fam´ılia C ∞ de subespa¸cos de T P |p−1 (Ui ) transversais aos espa¸cos verticais e que ´e invariante pela derivada de µg para todo g ∈ M . Logo se ωi (f ) ´e a proje¸c˜ ao no espa¸co vertical Vf cujo n´ ucleo ´e esse subespa¸co horizontal satisfaz ` as duas condi¸co˜es acima. Se λi ´e uma parti¸c˜ ao daPunidade subordinada ` a cobertura ˆ i = p ◦ λi ent˜ ˆ i ωi satisfaz ` {Ui } e λ ao ω = λ a s duas condi¸c˜ oes i acima e, portanto, define uma conex˜ ao principal. Observa¸ c˜ ao 7.2. Uma conex˜ ao principal no fibrado principal p : P → M define um transporte paralelo em cada fibrado associado π : E → M . De fato, se γ : [0, 1] → M ´e uma curva C ∞ e t ∈ [0, 1] 7→ ft ∈ P ´e o levantamento horizontal de γ ent˜ ao para cada z0 ∈ Eγ(0) , γˆt (z0 ) = ft ◦ f0−1 (z0 ) define o transporte paralelo em π : E → M . De fato pode-se mostrar que o conjunto dos vetores tangentes a γˆ no ponto 0 ´e um subespa¸co transversal ao espa¸co vertical e a fam´ılia desses subespa¸cos ´e uma conex˜ ao de Ehresman. Tais conex˜ oes s˜ ao conhecidas como G-conex˜ oes. O transporte paralelo de uma G-conex˜ ao preserva todas as estruturas que as fibras herdam da fibra t´ıpica F . Consequentemente os isomorfismos dos corol´ arios 7.4, 7.5 preservam as estruturas das fibras.

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180

[CAP. 7: FIBRADOS

Utilizando as mesmas defini¸c˜ oes desse cap´ıtulo podemos considerar tamb´em fibrados sobre espa¸cos topol´ ogicos que n˜ ao s˜ ao necessariamente variedades. Nesse caso, um isomorfismo entre fibrados ´e um homeomorfismo do espa¸co total que leva fibras em fibras preservando a estrutura das fibras, isto ´e, no caso de fibrados vetoriais, sua restri¸c˜ ao a cada fibra ´e um isomorfismo sobre a fibra imagem enquanto que, no caso de fibrados principais’ ´e um homeomorfismo equivariante. Se M ´e um espa¸co topol´ ogico e π : E → M × [0, 1] ´e um fibrado, i : M → M × [0, 1] ´e a inclus˜ ao i(x) = (x, 1) e p : M × [0, 1] → M ´e a proje¸c˜ ao p(x, t) = x podemos considerar os fibrados i∗ (E) e p∗ i∗ (E). Se o espa¸co topol´ ogico M ´e normal, localmente compacto e paracompacto, ent˜ ao, [St], pagina 53, o fibrado ´e isomorfo ao fibrado p∗ i∗ (E). Consequentemente, o pull-back de um fibrado por duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas s˜ ao isomorfos e um fibrado com base contr´ atil ´e trivial. Mesmo quando a base ´e uma variedade C ∞ e o fibrado ´e C ∞ , a prova em [St] fornece apenas um isomorfismo C 0 . No entanto, a partir desse isomorfismo podemos obter um isomorfismo C ∞ usando os resultados de aproxima¸c˜ ao por aplica¸c˜ oes C ∞ do cap´ıtulo 8. Nos resultados que apresentamos nesse cap´ıtulo temos que assumir que o fibrado seja pelo menos de classe C 2 . Usando os resultados de [St] e os teoremas de aproxima¸c˜ ao do cap´ıtulo 8 podemos concluir que esses resultados permanecem v´ alidos para fibrados de classe C 1 . Mostraremos tamb´em, ??, que se M uma variedade de dimens˜ao m. ent˜ ao existe n ∈ N tal que se π : E → M ´e um fibrado vetorial de posto r ent˜ ao existe uma aplica¸c˜ ao C ∞ f : M → G(n + r, r) tais que o fibrado seja isomorfo ao pull-back do fibrado universal. Exerc´ıcio 7.2. Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Dizemos que H ´e um subgrupo de Lie se H ´e um grupo de Lie e a inclus˜ ao ι : H → G ´e uma imers˜ ao. Mostre que se H ´e fechado, ent˜ ao o espa¸co G/H das ´ orbitas da a¸c˜ ao H × G → G, (h, g) 7→ hg, munido da topologia quociente ´e um espa¸co Hausdorff e que a aplica¸c˜ ao quociente q : G → G/H ´e um H-fibrado principal. Sugest˜ ao: a) Mostre que se S ⊂ G ´e uma variedade transversal a H pela identidade e que intersecta H somente na identidade ent˜ ao existem vi-

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[SEC. 7.1: FIBRADOS COM GRUPO ESTRUTURAL

181

zinhan¸cas S0 ⊂ S e U0 ⊂ H da identidade tais que a aplica¸c˜ ao U0 × S0 → G, (h, g) 7→ hg, ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca da identidade em G. b) Mostre que existe uma vizinhan¸ca S1 ⊂ S0 com a seguinte propriedade: toda vez que g ∈ S1 e hg ∈ S1 , com h ∈ H, ent˜ ao h ´e a identidade e, al´em disso, a aplica¸c˜ ao H × S1 → G, (h, g) 7→ hg, ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca aberta de H em G. Exerc´ıcio 7.3. Uma variedade M com uma a¸c˜ ao transitiva de classe C ∞ de um grupo de Lie G ´e chamada de um espa¸co G-homogˆeneo. Seja M um espa¸co G-homogˆeneo. Para cada x0 ∈ M definimos o subgrupo de isotropia de x0 ∈ M como o subgrupo de Lie fechado definido por Gx0 = {g ∈ G; ϕ(g, x0 ) = x0 }. Mostre que a aplica¸c˜ ao natural G/Gx0 → M , [g] 7→ g·x0 , ´e um difeomorfismo G-equivariante. Deste modo, todo espa¸co G-homogˆeneo ´e da forma G/H para algum subgrupo de Lie H fechado em G. Exemplo 7.14. Variedades Homogˆ eneas a) Esferas: O grupo ortogonal O(n) age transitivamente na esfera S n−1 ⊂ Rn e o grupo de isotropia de um ponto ´e o grupo ortogonal O(n−1) ⊂ O(n) agindo no subespa¸co de dimens˜ao n−1 ortogonal ao ponto. Portanto, pelo exerc´ıcio anterior, S n−1 ´e o espa¸co homogˆeneo O(n)/O(n − 1). b) Grassmannianas O grupo ortogonal O(n) age transitivamente na Grassmanniana G(n, k), pois dados dois subespa¸cos vetoriais de dimens˜ ao k em Rn existe uma transforma¸c˜ ao ortogonal que leva um no outro. Por outro lado, uma transforma¸c˜ ao ortogonal que deixa um subespa¸co L de dimens˜ao k invariante deixa tamb´em o seu complemento ortogonal invariante, o que determina um elemento em O(k) e um elemento em O(n − k). Reciprocamente, um par (A, B), onde A ´e uma transforma¸c˜ ao ortogonal de L e B ´e uma transforma¸c˜ ao ortogonal de seu complemento ortogonal, definem uma transforma¸c˜ ao ortogonal de Rn que deixa L invariante. Logo o grupo de isotropia de um elemento qualquer L ∈ G(n, k) ´e isomorfo a O(k) × O(n − k). Assim a Grassmanniana G(n, k) ´e o espa¸co homogˆeneo O(n)/O(k) × O(n − k). De forma

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182

[CAP. 7: FIBRADOS

an´ aloga, existe um difeomorfismo holomorfo entre a Grassmanniana complexa e o espa¸co homogˆeneo U (n)/U (k) × U (n − k). c) Variedades de Stiefel. Sejam < ·, · > um produto interno em Rn , S(n, k) = {(e1 , . . . , ek ); ei ∈ Rn e < ei , ej >= δij } e πk+1 : S(n, k+1) → S(n, k) a aplica¸c˜ ao (e1 , . . . , ek+1 ) 7→ (e1 , . . . , ek ). Em particular, S(n, 1) ´e a esfera unit´ aria S n−1 e S(n, n) ´e o grupo ortogonal SO(n). Veremos que πk+1 : S(n, k + 1) → S(n, k) ´e um fibrado com fibra S n−k−1 . De fato, tomando uma vizinhan¸ca V suficientemente pequena de um ponto de S(n, k) podemos construir fun¸c˜ oes bj : V → Rn ∞ de classe C , j = 1, 2, ..., n − k, tais que para cada (f1 , . . . , fk ) ∈ V , n−k {bj (f1 , . . . , fk )}j=1 ´e uma base ortonormal do complemento ortogonal do subespa¸co gerado por {f1 , . . . , fk }. Fixe (e1 , ..., ek ) ∈ S(n, k) e (ek+1 , ..., en ) uma base ortonormal do complementar ortogonal do subespa¸co gerado por (e1 , ..., ek ). Para cada (f1 , ..., fk ) ∈ S(n, k) pr´ oximo projetamos ortogonalmente (ek+1 , ..., en ) no complemento ortogonal do subespa¸co gerado por (f1 , ..., fk ) e ortogonalizamos a base obtida. A trivializa¸c˜ ao V × S n−k−1 → S(n, k) ´e a aplica¸c˜ ao que associa ao par ((e1 , . . . , ek ), (x1 , . . . , xn−k )) o ponto   n−k X e1 , . . . , ek , xj bj (e1 , . . . , ek ) . j=1

´ f´ E acil ver que o grupo estrutural desse fibrado ´e O(n − k). O grupo ortogonal O(n) age transitivamente em S(n, k) e o subgrupo de isotropia de um ponto ´e o grupo O(n − k). Logo S(n, k) ´e o espa¸co homogˆeneo O(n)/O(n − k). Como o grupo ortogonal O(k) age transitivamente e sem pontos fixos no espa¸co das bases ortonormais de um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao k, temos uma a¸c˜ ao ` a direita S(n, k) × O(k) → S(n, k) cujo espa¸co de ´ orbitas ´e a Grassmaniana G(n, k). A aplica¸c˜ ao natural S(n, k) → G(n, k) que associa a k-upla e1 , . . . , ek o subespa¸co gerado por estes vetores ´e um fibrado principal com grupo O(k).

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[SEC. 7.2: O FIBRADO DE JATOS

183

Exerc´ıcio 7.4. Seja π : E → M um fibrado vetorial sendo a fibra V um C-espa¸co vetorial. Dizemos que π ´e um fibrado hermitiano se cada fibra E possui um produto interno hermitiano que varia de maneira C ∞ com o ponto, isto ´e, tal que para qualquer par de se¸c˜ oes σ1 , σ2 de E, a fun¸c˜ ao hσ1 (x), σ2 (x)i ´e de classe C ∞ em M . Se E e M s˜ ao variedades complexas, π ´e holomorfa e as fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao δij : Ui ∩ Uj → GL(n, C) s˜ ao holomorfas dizemos que π ´e um fibrado holomorfo. Neste caso tem sentido considerar se¸c˜ oes holomorfas deste fibrado. Mostre que todo fibrado vetorial holomorfo possui uma estrutura hermitiana de classe C ∞ e que se a base ´e compacta ent˜ ao o espa¸co vetorial das se¸c˜ oes holomorfas tem dimens˜ao finita. Sugest˜ ao: Mostre que a bola unit´ aria no espa¸co das se¸c˜ oes holomorfas ´e compacta. Exerc´ıcio 7.5. Seja M um variedade. Como vimos, uma se¸c˜ ao de T ∗ M = Λ1 T M ∗ ´e simplesmente uma 1-forma em M . Assim cada fun¸c˜ ao f : M → R de classe C ∞ define uma se¸c˜ ao df : M → T ∗ M , definida por x 7→ (v ∈ T Mx 7→ dfx · v). Por outro lado, mostre que n˜ ao existe em geral uma “derivada segunda”, isto ´e, uma se¸c˜ ao d2 f : M → S2 (T M ) tal que para cada ˜ , d2 f |U = ψ ∗ (d2 (f ◦ ψ −1 )). Verifique carta local ψ : U ⊂ M → U tamb´em que se dfx = 0, ent˜ ao uma tal forma bilinear d2 fx est´ a bem definida em x.

7.2

O Fibrado de jatos

Como vimos, n˜ ao ´e poss´ıvel em geral definir derivadas de ordem superior a 1 para fun¸c˜ oes entre variedades. Por outro lado, vale a afirma¸c˜ ao abaixo, cuja verifica¸c˜ ao deixamos como exerc´ıcio: Sejam fi : Ui → Vi , i = 1, 2, aplica¸c˜ oes de classe C r entre abertos de espa¸cos euclidianos e ϕ : U1 → U2 , ψ : V1 → V2 difeomorfismos C r . Ent˜ ao se 0 ≤ k ≤ r, f1 e f2 tˆem as mesmas derivadas at´e a ordem k em x ∈ U1 se, e somente se, ψ ◦ fi ◦ ϕ−1 tem as mesmas derivadas at´e a ordem k em ϕ(x) (para k = 0 estamos dizendo simplesmente que o

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184

[CAP. 7: FIBRADOS

valor das fun¸c˜ oes f1 e f2 em x s˜ ao iguais). Portanto a no¸c˜ ao de “igualdade entre derivadas at´e ordem k” ´e uma no¸c˜ ao intr´ınseca, e faz sentido defin´ı-la em variedades, como faremos a seguir. Sejam M e N variedades C ∞ e C k (M, N ) o espa¸co das aplica¸c˜ oes C k de M em N . Para cada p ∈ M definimos a seguinte rela¸c˜ ao em C k (M, N ): Dizemos que f1 ∼kp f2 se, e somente se, f1 (p) = f2 (p) = q e ψ◦fi ◦ϕ−1 tem as mesmas derivadas at´e a ordem k em ϕ(p) para algum par de cartas locais ϕ e ψ em torno de p e q respectivamente. Pela afirma¸c˜ ao anterior, ∼kp ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia. A classe de equivalˆencia de f ´e chamada de k-jato de f em p e denotada por j k f (p). O conjunto J k (M, N ) = {j k f (p); f ∈ C k (M, N ) e p ∈ M } ´e chamado de espa¸co dos k-jatos de M e N . Temos tamb´em uma proje¸c˜ ao π : J k (M, N ) → M × N que associa a cada k-jato j k f (p) o par (p, q), onde q = f (p) com f qualquer representante da classe de equivalˆencia j k f (p). Uma aplica¸c˜ ao f : M → N de classe C r , com r ≥ k, induz uma k aplica¸c˜ ao j f : M → J k (M, N ) tal que o diagrama J k (M, N ) C π

 M ×N

jk f

π2

M

f

 /N

´e comutativo. Vamos mostrar a seguir que π : J k (M, N ) → M × N tem uma estrutura de fibrado com grupo estrutural de classe C ∞ e

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[SEC. 7.2: O FIBRADO DE JATOS

185

que a fun¸c˜ ao j k f ´e de classe C r−k . Um candidato natural para a fibra ´e o espa¸co J k (m, n) dos k-jatos em x = 0 das fun¸c˜ oes em C k (Rm , Rn ) que levam 0 em 0. Usando a express˜ ao do polinˆ omio de Taylor de tais fun¸c˜ oes em torno da origem obtemos um isomorfismo J k (m, n) ≈ L(Rm , Rn ) × L2s (Rm ; Rn ) × · · · × Lks (Rm ; Rn ). Seja Gk (m) ⊂ J k (m, m) o subconjunto aberto Gk (m) = GL(m, R) × L2s (Rm ; Rm ) × · · · × Lks (Rm ; Rm ). O conjunto Gk (m) tem uma estrutura de grupo de Lie, basta definir o produto de dois polinˆ omios de Taylor como o polinˆ omio de Taylor, at´e ordem k, da composi¸c˜ ao destes polinˆ omios. O elemento neutro deste grupo ´e o polinˆ omio p(x) = x. Se p ∈ Gk (m), ent˜ ao o inverso de p ´e o polinˆ omio de Taylor, at´e ordem k, de uma inversa local de p. De maneira semelhante, a composi¸c˜ ao de polinˆ omios de Taylor define uma a¸c˜ ao do grupo de Lie Gk (m) × Gk (n) em J k (m, n). Para obter uma estrutura de fibrado resta construir um cociclo ˜i } e em M × N com valores em Gk (m) × Gk (n). Sejam {αi : Ui → U {βj : Vj → V˜j } atlas em M e em N respectivamente e {ϕij = (αi , βj )} o atlas associado em M × N . Considere cartas W(ij)1 = Ui1 × Vj1 e W(ij)2 = Ui2 × Vj2 com W(ij)1 ∩ W(ij)2 6= ∅. Se z = (x, y) ∈ W(ij)1 ∩ W(ij)2 , definimos δ(ij)12 (z) ∈ G(m) × G(n) por (Pi(12) (x), Pj(12) (y)), em que Pi12 (x) = polinˆ omio de Taylor de α b i2 ◦ α bi−1 1 com

Pj12 (y) = polinˆ omio de Taylor de βbj2 ◦ βbj−1 1 α bik (b x) = αik (b x) − αik (x)

βbjk (b y ) = βjk (b y ) − βjk (y).

Deixamos como exerc´ıcio a verifica¸c˜ ao da equa¸c˜ ao do cociclo. Temos portanto que π : J k (M, N ) → M × N ´e um fibrado com fibra

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186

[CAP. 7: FIBRADOS

J k (m, n) e grupo estrutural Gk (m)×Gk (n). A fun¸c˜ ao j k f ´e de classe r−k ˜ de M e ψ : V → V˜ de N , C . Para isso, fixe cartas ϕ : U → U com f (U ) ⊂ V , e f˜ a express˜ ao de f nesse par de cartas. Ent˜ ao a express˜ ao de j k f em U ´e   x 7→ x, f˜(x), Df˜(x), D2 f˜(x), . . . , Dk f˜(x) ,

que ´e de classe C r−k .

Proposi¸ c˜ ao 7.11. Seja S ⊂ J k (m, n) uma subvariedade invariante pela a¸c˜ ao do grupo Gk (m) × Gk (n). Ent˜ ao associada a S existe uma subvariedade S(M, N ) ⊂ J k (M, N ) com dim S(M, N ) = dim S + dim M e que ´e um subfibrado de J k (M, N ), isto ´e, em cada trivializa¸c˜ ao Φ : π −1 (Wi ) → Wi × J k (m, n) temos S(M, N ) ∩ π −1 (Wi ) = Φ−1 i (Wi × S). Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio. Exerc´ıcio 7.6. Seja Si ⊂ L(Rm , Rn ) o conjunto das transforma¸c˜ oes lineares de posto i. Mostre que Si ´e uma subvariedade de codimens˜ao (n − i) × (m − i). Se Sbi = Si × L2s (Rm , Rn ) × · · · × Lks (Rm , Rn ) ⊂ J k (m, n),

ent˜ ao Sˆi (M, N ) ⊂ J k (M, N ) ´e uma subvariedade de mesma codimens˜ ao.

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Cap´ıtulo 8

Transversalidade

8.1

A topologia de Whitney em C r (M, N )

Sejam M e N variedades. Seja U ⊂ J r (M, N ) um aberto no fibrado de jatos, com r ≥ 0. Definimos ˆ = {f ∈ C r (M, N ); (j r f )(M ) ⊂ U }. U ˆ ⊂ C r (M, N ); U ⊂ J r (M, N ) aberto} forma uma base A fam´ılia {U de uma topologia em C r (M, N ), chamada de topologia de Whitney. Fixamos dN : N × N → R+ e dr : J r (M, N ) × J r (M, N ) → R+ m´etricas completas tais que para todas f, g ∈ C r (M, N ) e x ∈ M vale dN (f (x), g(x)) ≤ dr (j r f (x), j r g(x)). Para a existˆencia de um tal par de m´etricas, basta tomar duas m´etricas completas d e d′r e definir dr (j r f (x), j r g(y)) = d′r (j r f (x), j r g(y)) + dN (f (x), g(y)). Proposi¸ c˜ ao 8.1. Para cada fun¸c˜ ao cont´ınua e positiva ε : M → R+ defina V(f ; ε) = {g ∈ C r (M, N ); dr (j r g(x), j r f (x)) < ε(x) ∀ x ∈ M }. 187

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188

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Ent˜ ao a fam´ılia {V(f ; ε)}ε ´e uma base de vizinhan¸cas de f na topologia de Whitney. Demonstra¸ c˜ ao. O conjunto Uε,f ⊂ J r (M, N ) definido por j r g(x) ∈ Uε,f ⇔ dr (j r f (x), j r g(x)) < ε(x) ´e uma vizinhan¸ca aberta de j r f (M ) e V(f ; ε) ´e o conjunto das fun¸c˜ oes ˆε,f . Logo V(f ; ε) ´e g tais que j r g(M ) ⊂ Uε,f , isto ´e, V(f ; ε) = U uma vizinhan¸ca aberta de f . Por outro lado, dada uma vizinhan¸ca V de f , existe um aberto U ⊂ J r (M, N ) tal que j r f (M ) ⊂ U e ˆ ⊂ V. Seja M = ∪i Ki onde Ki ´e compacto e Ki ⊂ int Ki+1 . Como U U ⊂ J r (M, N ) ´e aberto e Ki \ int Ki−1 ´e compacto, existe εi > 0 tal que se x ∈ Ki \ int Ki−1 e dr (j r g(x), j r f (x)) < εi ent˜ ao j r g(x) ∈ U . Pelo lema 2.13 existe uma fun¸c˜ ao C ∞ positiva ε : M → R+ tal que ˆ ⊂ V. ε(x) < εi para todo x ∈ Ki \ int Ki−1 . Logo V(f ; ε) ⊂ U O r-jato na or´ıgem de uma fun¸c˜ ao C r f : Rm → Rn que leva a or´ıgem na or´ıgem pode ser identificado com o polinˆ omio de Taylor de ordem r de f que ´e uma fun¸c˜ ao polinomial p : Rm → Rn da forma p(x) = (p1 (x), . . . , pn (x) onde X αm 1 pj (x) = ajα xα 1 . . . xm α

onde α = (αP e um multi-indice, αl ´e um inteiro n˜ ao nega1 , . . . , αm ) ´ m tivo e |α| = l=1 αl ≤ r. Os coeficientes ajα =

1 ∂ |α| f j (0). α α 1 ! . . . α m ! ∂ 1 x1 . . . ∂ αn xn

Ao par de cartas locais φ : U ⊂ M → Rm e ψ : V ⊂ N → Rn associamos um difeomorfismo θ : J r (Rm , Rn ) = Rm × Rn × J r (m, n) → π −1 (U × V ) que associa a (˜ x, y˜, p) o r-jato em φ−1 (˜ x) da fun¸c˜ ao f : M → N que ´e constante e igual a ψ −1 (˜ y ) no complementar de U e em U coincide com ψ −1 ◦f˜◦φ onde fˆ: Rm → Rn ´e dada por f˜(˜ x+x) = y˜+λ(||x||)p(x) onde λ : R → [0, 1] ´e C ∞ , identicamente igual a 1 na bola de raio 1 e igual a zero fora da bola de raio 2.

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[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

189

A seguir vamos descrever uma outra base de vizinhan¸cas de uma fun¸c˜ ao f ∈ C r (M, N ). Come¸camos construindo, como j´ a fizemos v´ arias vezes, fam´ılias de cartas locais, φi : Ui ⊂ M → Rm , ψi : Vi ⊂ N → Rn tais que: i)a falm´ılia Ui ´e localmente finita e o fecho Ui ´e compacto; ii) Ui cont´em um compacto Ki e a fam´ılia dos interiores de Ki ´e uma cobertura aberta de M ; iii) f (Ui ) ⊂ Vi . Seja ρ = (ρi ) uma sequˆencia de n´ umeros positivos. Definimos Vρ como o conjunto das fun¸c˜ oes g ∈ C r (M, N ) tais que a) g(Ui ) ⊂ Vi , −1 j b) ||Dj (ψi ◦g◦φ−1 i )(x)−D (ψi ◦f ◦φi )(x)|| < ρi para todo x ∈ φi (Ki ) e para todo 0 ≤ j ≤ r. Ent˜ ao Vρ (f ) ´e uma base de vizinhan¸cas de f . Isto segue do fato seguinte. Proposi¸ c˜ ao 8.2. Sejam φ : U ⊂ M → Rm , ψ : V ⊂ N → Rn cartas locais. Seja θ : J r (Rm , Rn ) → π −1 (U × V ) o difeomorfismo construido acima. Ent˜ ao 1. Seja d a fun¸c˜ ao distˆ ancia em J r (Rm , Rn ) tal θ ´e uma isometria e seja d′ a m´etrica euclidiana no mesmo espa¸co. Dado o compacto K = {(x, y, D1 , . . . , Dr ); x ∈ L1 , y ∈ L2 , ||Dj || ≤ L}, onde ˜ , L2 ⊂ V˜ s˜ L1 ⊂ U ao compactos, existe uma constante C ≥ 1 tal que 1 ′ d (j, j ′ ) ≤ d(j, j ′ ) ≤ Cd′ (j, j ′ ) C para todo j, j ′ ∈ K. Demonstra¸ c˜ ao. Segue do fato que duas distˆ ancias associadas a m´etricas riemannianas s˜ ao comensur´ aveis em cada subconjunto compacto, vejas exerc´ıcio 2.1. A distˆ ancia d ´e associada a uma m´etrica riemanniana e d′ ´e comensur´ avel com a distˆ ancia euclidiana. Proposi¸ c˜ ao 8.3. 1) Se M ´e compacta, ent˜ ao C r (M, N ) ´e um espa¸co m´etrico completo com base enumer´ avel de abertos (possui um subconjunto enumer´ avel e denso).

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190

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

2) Se M n˜ ao ´e compacta, ent˜ ao nenhuma f ∈ C r (M, N ) possui uma base enumer´ avel de vizinhan¸cas. Em particular, C r (M, N ) n˜ ao ´e metriz´ avel. 3) Se M n˜ ao ´e compacta e fn ∈ C r (M, N ) ´e uma sequˆencia que converge a f ∈ C r (M, N ), ent˜ ao existe um subconjunto compacto K ⊂ M e n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 vale fn (x) = f (x) para todo x ∈ / K. Demonstra¸ c˜ ao. 1) Se M ´e compacta, ent˜ ao d(f, g) = sup{dr (j r f (x), j r g(x)); x ∈ M } ´e finito e define uma m´etrica em C r (M, N ). As bolas de centro f constituem uma base de vizinhan¸cas de f na topologia de Whitney. Seja fn ∈ C r (M, N ) uma sequˆencia de Cauchy. Como dN (fn (x), fm (x)) ≤ dr (j r fn (x), j r fm (x)) ≤ d(fn , fm ), temos que {fn (x)} ´e uma sequˆencia de Cauchy em N . Como N ´e completo, a desigualdade acima implica que fn (x) → f (x) uniformemente para alguma fun¸c˜ ao f ∈ C 0 (M, N ). Vamos ver agora que r f ∈ C (M, N ) e que fn → f na topologia C r . Sejam ϕi : Ui ⊂ M → Rm , ψi : Vi ⊂ N → Rn cartas locais de M e N respectivamente tais que f (Ui ) ⊂ Vi e M = Wi , onde Wi = ϕ−1 e compacta, podemos encontrar um i (B(0, 1)). Como M ´ n´ umero finito de cartas locais com essas propriedades. Como fn → f uniformemente, existe n0 tal que se n ≥ n0 , fn (ϕ−1 i (Ui ) ⊂ Vi . Para cada i consideremos as aplica¸c˜ oes n ψi ◦ fn ◦ ϕ−1 i : B(0, 2) −→ R

j m n Dj (ψi ◦ fn ◦ ϕ−1 i ) : B(0, 2) −→ Lsim (R , R ).

Como fn ´e sequˆencia de Cauchy na m´etrica d, essas sequˆencias s˜ ao de Cauchy, pela proposi¸c˜ ao 8.2. A primeira sequˆencia converge a ψi ◦ f ◦ ϕ−1 e as demais convergem a fun¸c˜ oes cont´ınuas. Logo ψi ◦ f ◦ ϕ−1 ´e i i r de classe C e suas derivadas at´e a ordem r s˜ ao os limites das outras sequˆencias. Temos ent˜ ao que a sequˆencia fn converge a f na m´etrica d.

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[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

191

Vamos encontrar agora uma base enumer´ avel de abertos. Como J r (M, N ) ´e uma variedade, sua topologia tem uma base enumer´ avel {Ui } de abertos. A fam´ılia {Wj } composta por uni˜ oes finitas dos Ui ’s ´e tamb´em uma fam´ılia enumer´ avel de abertos. Afirmamos que ˆ j = {f ∈ C r (M, N ); j r f (M ) ⊂ Wj } formam uma base os abertos W ˆ ⊂ C r (M, N ) o aberto das fun¸c˜ de abertos. Seja U oes f tais que r ˆ . Como j r g(M ) ´e compacto, podemos coj f (M ) ⊂ U . Seja g ∈ U brir j r g(M ) por um n´ umero finito dos Ui ’s todos contidos em U . A ˆ . Logo U ˆ ´e a uni˜ ˆj ⊂ U uni˜ ao deles ´e um dos Wj e W ao dos conjuntos ˆ ˆ Wj ⊂ U . 2) Seja f ∈ C r (M, N ) e suponhamos por absurdo que exista uma base enumer´ avel Vi , i = 1, 2, . . . , de vizinhan¸cas de f . Seja xi ∈ M uma sequˆencia tendendo a ∞, isto ´e, para todo subconjunto compacto K de M existe iK tal que xi ∈ / K se i ≥ iK . Se εi > 0 ´e suficientemente pequeno, existe fi ∈ Vi tal que dr (j r f (xi ), j r fi (xi )) > εi > 0. Se ε : M → R+ ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua positiva tal que ε(xi ) < εi . Ent˜ ao para cada i temos fi ∈ / V(f ; ε). Assim nenhuma vizinhan¸ca Vi est´ a contida em V(f ; ε), e portanto {Vi } n˜ ao ´e base de vizinhan¸cas. 3) Suponhamos que n˜ ao exista tal compacto. Ent˜ ao existem sequˆencias xi → ∞ e ni → ∞ tais que dr (j r f (xi ), j r fni (xi )) > εi > 0.

Seja ε : M → R+ uma fun¸c˜ ao positiva tal que ε(xi ) < εi , ent˜ ao f ni ∈ / V(f ; ε) para todo i. Teorema 8.4. C r (M, N ) ´e um espa¸co de Baire.

Demonstra¸ c˜ ao. No caso de M ser compacta vimos que C r (M, N ) ´e um espa¸co m´etrico completo e todo espa¸co m´etrico completo ´e um espa¸co de Baire, veja proposi¸c˜ ao 2.15. Se M n˜ ao ´e compacta podemos escrever ∞ [ M= Ki onde Ki ⊂ M ´e compacto e Ki ⊂ int Ki+1 . i=1

Seja {Ai }i uma cole¸c˜ ao enumer´ avel de subconjuntos abertos e densos em C r (M, N ). Suponhamos, por indu¸c˜ ao, que j´ a constru´ımos uma fun¸c˜ ao fi e vizinhan¸ca V(fi , εi ) tais que

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192

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

1) V(fi , εi ) ⊂ V(fi , 2εi ) ⊂ Ai ∩ V(fi−1 , εi−1 ) ⊂ Ai ∩ ... ∩ A1 ; 2) εi (x) < 12 εi−1 (x) para todo x ∈ M . Como Ai+1 ´e aberto e denso, temos que V(fi , εi ) ∩ Ai+1 ´e aberto e n˜ ao vazio. Portanto podemos tomar fi+1 e εi+1 satisfazendo 1), 2). A restri¸c˜ ao da sequˆencia fi a cada compacto K ´e uma sequˆencia de Cauchy. Logo fi converge uniformemente em compactos a uma fun¸c˜ ao f que ´e C r pois, como na prova da Proposi¸c˜ ao 8.3, a sequˆencia r j fi tamb´em converge uniformemente em compactos. Se j > i temos que dr (j r fj (x), j r fi (x)) ≤ εi (x) ∀ x ∈ M. Como dr (j r fj (x), j r f (x)) → 0, temos que

dr (j r f (x), j r fi (x)) < 2εi (x) ∀ x ∈ M, e portanto f ∈

i T

j=1

Aj para todo i.

Defini¸ c˜ ao 8.1. Uma aplica¸c˜ ao f : M → N ´e pr´ opria se para todo compacto K ⊂ N , f −1 (K) ´e um subconjunto compacto de M . Equivalentemente, f ´e pr´ opria se, e somente se, n˜ ao existe sequˆencia xn → ∞ em M tal que f (xn ) converge a algum y ∈ N , uma vez que todo ponto de N tem uma vizinhan¸ca compacta. Proposi¸ c˜ ao 8.5. O conjunto das aplica¸c˜ oes pr´ oprias, denotado por Propr (M, N ), ´e aberto em C r (M, N ) para r ≥ 0. Demonstra¸ c˜ ao. Se M ´e compacta, ent˜ ao toda aplica¸c˜ ao cont´ınua ∞ S ´e pr´ opria. Se M ´e n˜ ao compacta escrevemos M = Ki , com Ki i=1

compactos e Ki ⊂ int Ki+1 . Sejam εi → 0 e ε : M → R+ fun¸c˜ ao positiva tal que ε(x) < εi para todo x ∈ Ki \ int Ki−1 . Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao pr´ opria e g : M → N ´e tal que d(g(x), f (x)) < ε(x) para todo x ∈ M , ent˜ ao g tamb´em ´e pr´ opria. De fato, se xi → ∞ ´e uma sequˆencia tal que g(xi ) → y, ent˜ ao como εj → 0 temos que f (xi ) → y, o que ´e absurdo. Corol´ ario 8.6. O conjunto das aplica¸c˜ oes pr´ oprias ´e aberto e n˜ ao vazio em C r (M, Rn ).

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193

[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

Demonstra¸ c˜ ao. Escolha uma fun¸ca˜o ϕ : M → R cont´ınua e positiva com ϕ(x) > i para todo x ∈ Ki \ int Ki−1 e defina f : M → Rn por ´ claro que f ´e uma aplica¸c˜ f (x) = (ϕ(x), 0, . . . , 0). E ao pr´ opria. Lema 8.7. Seja f : B(0, 2) ⊂ Rm → Rn uma imers˜ ao biun´ıvoca. Ent˜ ao existe ǫ > 0 tal que se g : B(0, 2) ⊂ Rm → Rn satisfaz 1) kg(x) − f (x)k < ǫ; 2) kDg(x) − Df (x)k < ǫ para todo x ∈ B(0, 2), ent˜ ao g|B(0,1) ´e uma imers˜ ao biun´ıvoca. Demonstra¸ c˜ ao. Como o conjunto das aplica¸c˜ oes lineares injetivas ´e um aberto em L(Rm , Rn ) e {Df (x); x ∈ B(0, 1)} ´e um compacto, existe ǫ > 0 tal que se g : B(0, 2) → Rn satisfaz kDg(x) − Df (x)k < ǫ para x ∈ B(0, 1), ent˜ ao Dg(x) ´e injetiva. Resta mostrar que se ǫ ´e suficientemente pequeno ent˜ ao para toda g com kg(x) − f (x)k < ǫ e kDg(x) − Df (x)k < ǫ em B(0, 2), g ´e injetiva em B(0, 1). Se isso n˜ ao for verdade, existe uma sequˆencia gn : B(0, 2) → Rn tal que gn converge uniformemente a f , Dgn converge uniformemente a Df e gn (xn ) = gn (yn ) para certos xn 6= yn ∈ B(0, 1). Passando a uma subsequˆencia se necess´ ario, podemos supor que xn → x e yn → y. Se x 6= y teremos f (x) = f (y), o que ´e absurdo. Assim x = y e vn = yn − xn 6= 0 converge a zero. Note que Z 1 0 = gn (yn ) − gn (xn ) = Dgn (xn + tvn )vn dt, 0

e da´ı −Dgn (xn ) ·

vn = ||vn ||

Z

1 0

(Dgn (xn + tvn ) − Dgn (xn )).

vn dt. ||vn ||

Passando a uma subsequˆencia se necess´ ario, podemos supor que ||vvnn || converge a um vetor unit´ ario v. O primeiro membro converge a −Df (x) · v e o segundo membro converge a zero pois vn → 0, e assim temos uma contradi¸c˜ ao pois f ´e uma imers˜ ao. Lema 8.8. Seja dM uma m´etrica em M . Se f : M → N ´e uma imers˜ ao, ent˜ ao existe fun¸c˜ ao cont´ınua positiva ǫ : M → R+ e uma r vizinhan¸ca V de f em C (M, N ) tal que se g ∈ V ent˜ ao a restri¸c˜ ao de g a B(x, ǫ(x)) = {y ∈ M ; dM (y, x) < ǫ(x)} ´e uma imers˜ ao biun´ıvoca.

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194

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Demonstra¸ c˜ ao. Segue do lema anterior. Proposi¸ c˜ ao 8.9. O conjunto das imers˜ oes de classe C r de M em N , r denotado por Im (M, N ), ´e aberto em C r (M, N ) se r ≥ 1. Demonstra¸ c˜ ao. Seja f ∈ Imr (M, N ) uma imers˜ ao e M = ∪Ki , Ki ⊂ int Ki+1 , com Ki compacto. Como o conjunto das transforma¸c˜ oes lineares injetivas ´e aberto, para cada x ∈ M existe vizinhan¸ca Vx e εx > 0 tal que se dr (j r g(y), j r f (y)) < εx com y ∈ Vx , ent˜ ao Dg(y) ´e biun´ıvoca. Como Ki \ int Ki−1 ´e compacto, existe εi > 0 tal que se dr (j r g(y), j r g(y)) < εi para y ∈ Ki \ int Ki−1 ent˜ ao Dg(y) ´e biun´ıvoca. Tomando ε : M → R+ cont´ınua positiva com ε(x) < εi para todo x ∈ Ki \ int Ki−1 temos V(f, ε) ⊂ Imr (M, N ). Lema 8.10. Uma imers˜ ao f : M → N ´e um mergulho se, e somente se, 1) f ´e biun´ıvoca. 2) n˜ ao existem y ∈ M e xn → ∞ em M tais que f (xn ) → f (y). Demonstra¸ c˜ ao. Pela forma local das imers˜ oes, dado y0 ∈ M existe um difeomorfismo ϕ : Rm × Rn−m → U ⊂ N e vizinhan¸ca V de y0 em M tal que f (V ) ⊂ U e ϕ−1 ◦ f aplica V difeomorficamente em uma vizinhan¸ca de 0 em Rm × {0} e y0 em 0. Seja r > 0 tal que B(0, r) × {0} ⊂ Rm × {0} est´ a contida em ϕ−1 f (V ). Para cada subconjunto compacto L ⊂ M existe rL > 0 tal que f (L)∩ϕ(B(0, r)× B(0, rL ) ⊂ ϕ(B(0, r) × {0}) uma vez que f ´e 1 − 1. Se inf rL = ρ > 0 ent˜ ao f ´e um mergulho. Caso contr´ ario existe xn → ∞ tal que f (xn ) → y ∈ (ϕ(B(0, r) × {0}). A rec´ıproca ´e evidente. Exemplo 8.1. Sejam X um campo de vetores C ∞ em uma variedade compacta M e Xt : M → M o seu fluxo. A o´rbita de um ponto x ´e o conjunto {Xt (x); t ∈ R} e o conjunto ω limite (resp. conjunto α limite) da ´ orbita de x ´e o conjunto dos pontos y ∈ M tais que exista uma sequˆencia tn → ∞ (resp. tn → −∞) com Xtn (x) → y. Como M ´e compacta esses conjuntos s˜ ao n˜ ao vazios. Se a o´rbita de x ´e singular ou fechada, ent˜ ao esses conjuntos coincidem com a ´ orbita. Uma

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[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

195

´rbita n˜ o ao compacta ´e a imagem de uma imers˜ ao biun´ıvoca da reta. Se essa ´ orbita n˜ ao intersecta o seu ω-limite e o seu α limite, a ´ orbita ´e mergulhada. Caso contr´ ario ´e a imagem de uma imers˜ ao biun´ıvoca que n˜ ao ´e um mergulho. Pelo Teorema de Poincar´e-Bendixon, veja [PdM], toda ´ orbita n˜ ao compacta de um campo na esfera S 2 ´e mergulhada. Por outro lado, pelo Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e, veja [Man], se o fluxo do campo de vetores preserva volume, ent˜ ao o conjunto das ´ orbitas que n˜ ao est˜ ao contidas em seu conjunto ω limite tem medida nula. Esse ´e o caso por exemplo de um campo de vetores no toro T 2 cujo pull-back pelo recobrimento π : R2 → T 2 ´e um campo constante. As ´ orbitas de um tal campo constante em R2 s˜ ao retas paralelas que se projetam nas ´ orbitas do campo correspondente no toro. Se essas retas tem inclina¸c˜ ao racional, suas imagens no toro s˜ ao orbitas fechadas. Se a inclina¸c˜ ´ ao ´e irracional, todas as ´ orbitas s˜ ao densas no toro (verificar!). Lema 8.11. Seja U ⊂ M × M um aberto tal que se (x, y) ∈ / U ent˜ ao (f (x), f (y)) ∈ / ∆ = {(x, y) ∈ N × N ; x = y}. Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de f : M → N na topologia C 0 tal que se (x, y) ∈ / U, ent˜ ao g(x) 6= g(y), ∀ g ∈ V. Demonstra¸ c˜ ao. Se M ´e compacta, o complementar de U ´e um compacto cuja imagem por f × f ´e um compacto disjunto da diagonal que tamb´em ´e compacto. Logo a a imagem desse compacto por uma fun¸c˜ ao g × g com g C 0 proximo de f tamb´em n˜ ao intersecta a diagonal. Se M ´e n˜ ao compacta tomamos M = ∪i Ki , Ki ⊂ int Ki+1 , Ki compacto. Como (Ki \ int Ki−1 ) × (Ki \ int Ki−1 ) \ U = Li ´e compacto e ∆ ´e fechado, ∃ εi > 0 tal que se (x, y) ∈ Li , d(g(x), f (x)) < εi e d(g(y), f (y)) < εi ent˜ ao (g(x), g(y)) ∈ / ∆. Seja ε : M → R+ ´e uma fun¸c˜ ao positiva tal que ε(x) < εi para cada x ∈ Ki \ int Ki−1 , ent˜ ao V(f, ε) satisfaz ao lema. Proposi¸ c˜ ao 8.12. O conjunto dos mergulhos ´e aberto em C r (M, N ) se r ≥ 1. Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Lema 8.7 existe uma vizinhan¸ca de f tal que se g pertence a essa vizinhan¸ca e, considerando o aberto U = {(x, y); dM (y, x) < ǫ(x)},

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196

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

¿temos que g × g(U \ ∆) ∩ ∆ = g × g(∆). Como U ´e uma vizinhan¸ca da diagonal e f ´e 1-1 temos que a hipotese do Lemma 810 ´e satisfeita. Logo, pelo Lema 8.10 podemos tomar a vizinhan¸ca de f suficientemente pequena para que a imagem do complementar de U por g × g n˜ ao intersecta a diagonal. Logo g ´e biun´ıvoca. Seja L o conjunto dos pontos y ∈ N tais que exista uma sequˆencia xn → ∞ em M tais que ´ f´ f (xn ) → y. E acil ver que L ´e um subconjunto fechado e, como f ´e um mergulho, a imagem de f n˜ ao intersecta L. Em particular, tomando uma sequˆencia de compactos Ki cobrindo M , cada compacto contido no interior do seguinte, temos que a distˆ ancia da imagem do compacto Li = Ki \intKi−1 ´e maior que ǫi > 0. Tomando ǫi com essa propriedade e tamb´em ǫi → 0 e tomando ǫ(x) < ǫi para todo x ∈ Li temos que a imagem de g na vizinhan¸ca n˜ ao intersecta L. Logo a condi¸c˜ ao 2) do lema 8.10 ´e tamb´em satisfeita por g pois se xn → ∞ e g(xn ) → g(y) ent˜ ao, como ǫ(xn ) → 0, temos que f (xn ) → g(y) o que ´e um absurdo uma vez que g(y) ∈ / L. Logo g ´e um mergulho. Corol´ ario 8.13. O conjunto dos difeomorfismos ´e um subconjunto aberto em C r (M, N ) se r ≥ 1. Seja λ : Rm → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ tal que λ(x) = 1 se ||x|| ≤ λ(x) = 0 se ||x|| ≥ 1. Para δ > 0 a fun¸c˜ ao

1 2

e

θ δ : Rm → R+ definida por

∞

θδ (x) = R

R

λ λ Rm




1 δx
1 δy

dy

´e C , n˜ ao negativa e Rm θδ (x) dx = 1. Uma fun¸c˜ ao com essa propriedade ´e chamada um n´ ucleo de convolu¸c˜ ao. Seja U ⊂ Rm um aberto de fecho compacto e Uδ ⊂ U o conjunto dos pontos x ∈ U tais que B(x, δ) ⊂ U . Se f : U → Rn ´e uma fun¸c˜ ao C r , r ≥ 0 e θ = θδ , definimos θ ∗ f : U δ → Rn por (θ ∗ f )(x) =

Z

Rm

θ(y)f (x − y) dy

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(1)

[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

197

onde definimos o integrando como zero se ||y|| ≥ δ. Fazendo a mudan¸ca de vari´ aveis linear z = x − y, temos que Z (θ ∗ f )(x) = θ(x − z)f (z) dz (2) Rm

onde o integrando ´e definida como zero se ||z − x|| ≥ δ. Da f´ ormula (2) segue que θ ∗ f ´e C ∞ e Z Dj (θ ∗ f )(x) = (Dj θ(x − z))f (z) dz para todo j. (3) Rm

Se j ≤ r, podemos usar (1) para calcular as derivadas e obtemos Z Dj (θ ∗ f )(x) = θ(y)Dj f (x − y) dy. (4) Rm

Lema 8.14. Seja f : U ⊂ Rm → Rn uma aplica¸c˜ ao de classe C r e K ⊂ U um compacto. Ent˜ ao para todo ε > 0 existe uma fun¸c˜ ao g : U → Rn de classe C r tal que: 1) g ´e C ∞ numa vizinhan¸ca compacta de K. 2) g ´e t˜ ao diferenci´ avel quanto f em todos os pontos. 3) g = f fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em U . 4) ||Dj g(x) − Dj f (x)|| < ε ∀ x ∈ U e ∀ j = 1, . . . , r. ) Demonstra¸ c˜ ao. Fixe primeiramente δ1 < d(K,∂U , de modo que 3 m ∞ K ⊂ Uδ1 e seja λ : R → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C , n˜ ao negativa, que ´e igual a 1 em uma vizinhan¸ca de K e igual a zero fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em Uδ1 . Note que as derivadas de λ s˜ ao todas limitadas em Uδ1 , de modo que para cada ε > 0 pode-se tomar δ > 0 tal que se g1 : Uδ1 → Rn ´e C r e

kDj g1 (x) − Dj f (x)k < δ

∀ x ∈ U δ1

(5)

∀ x ∈ U δ1 .

(6)

ent˜ ao g = λg1 + (1 − λ)f satisfaz kDj g(x) − Dj f (x)k < ε

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198

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Como f e suas derivadas at´e a ordem r s˜ ao cont´ınuas e Uδ1 tem fecho compacto, podemos tomar δ2 > 0 suficientemente pequeno tal que se x ∈ Uδ1 e kx − yk < δ2 , ent˜ ao kDj f (x − y) − Dj f (x)k < δ

j = 0, . . . , r.

Note que podemos tomar δ2 tal que Uδ1 ⊂ Uδ2 ⊂ U . Tomando g1 = θδ2 ∗ f , temos que g1 ´e de classe C ∞ em Uδ2 e pelas equa¸c˜ oes (1) e (4)

Z 

j j

kDj g1 (x) − Dj f (x)k = θ(y)D f (x − y)dy − D f (x)

Rn

Z

R

θ=1 j j

=

m θ(y)(D f (x − y) − D f (x))dy R Z

≤ θ(y) Dj f (x − y) − Dj f (x) dy Rn Z ≤ δ θ(y)dy = δ. Rn

Assim a aplica¸c˜ ao g = λg1 +(1−λ)f satisfaz ` as condi¸c˜ oes do lema. O seguinte lema est´ a relacionado ` a continuidade da composi¸c˜ ao entre aplica¸c˜ oes de classe C r . Se K ⊂ U ⊂ Rm ´e um subconjunto compacto e f : U → Rp ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C r , definimos o n´ umero real  kf kr,K = sup max0≤j≤r {kDj f (x)k} . x∈K

Lema 8.15. Sejam f : U ⊂ Rm → V ⊂ Rp e g : V → Rn fun¸c˜ oes de classe C r . Sejam K ⊂ U e L ⊂ V compactos tais que f (K) ⊂ intL. Dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se kf − f˜kr,K , kg − g˜kr,L < δ

ent˜ ao

kg ◦ f − g˜ ◦ f˜kr,K < ǫ.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja h = g ◦ f . Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de primeira ordem das componentes de h s˜ ao dadas por: p

X ∂g k ∂hk ∂f l (x) = (f (x)). (x). ∂xi ∂yl ∂xi l=1

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[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

199

Pela regra da cadeia e a regra de Leibniz, temos tamb´em, p

X ∂g k ∂2f l ∂ 2 hk (x) = (f (x)). (x) ∂xj ∂xi ∂yl ∂xj ∂xi l=1

p X p X ∂ 2 gk ∂f q ∂f l + (f (x)). (x) (x). ∂yq ∂yl ∂xj ∂xi q=1 l=1

Podemos ent˜ ao supor, por indu¸c˜ ao, que cada derivada de ordem s de hk ´e dada por uma f´ ormula que envolve N (s, m, p) parcelas, sendo cada parcela o produto de M (s, m, p) fun¸c˜ oes, sendo o primeiro fator uma derivada de ordem ≤ s de g k calculada no ponto f (x) e os demais fatores s˜ ao derivadas parciais de componentes de f de ordem ≤ s calculadas no ponto x. Derivando essa express˜ ao obtemos uma f´ ormula com a mesma forma para cada derivada parcial de ordem s + 1 de hk . Como L ´e compacto e as derivadas parciais de f e g s˜ ao cont´ınuas, dado ρ > 0 existe δ > 0 tal que se kf˜(x) − f (x)k < δ ent˜ ao a diferen¸ca entre cada derivada parcial de ordem ≤ r de g nos pontos f (x) e f˜(x) ´e menor que ρ. Como cada derivada parcial de ordem ˜ = g˜ ◦ f˜ em pontos de K ≤ r de cada componente de h = g ◦ f e de h envolvem um n´ umero limitado de parcelas, cada parcela ´e um n´ umero limitado de fatores e a diferen¸ca entre cada fator correspondente ` a uma derivada parcial de h e o correspondente fator associado ` a mesma ˜ ´e menor que ρ + δ, temos que a distˆ derivada parcial de h ancia entre ˜ ´e menor que ǫ em todo ponto de K cada derivada parcial de h e de h se ρ e δ s˜ ao suficientemente pequenos. Teorema 8.16. O conjunto das fun¸c˜ oes de classe C ∞ ´e denso em C r (M, N ). Demonstra¸ c˜ ao. Seja f : M → N uma aplica¸c˜ ao C r e fixe atlas n ϕi : Wi ⊂ M → B(0, S∞3), ψi : Vi ⊂ N → R com f (Wi ) ⊂ Vi , {Wi } localmente finito e i=1 ϕ−1 i (B(0, 1)) = M . Dada uma vizinhan¸ca V de f , seja (εi ) uma sequˆencia de n´ umeros positivos tal que V(f, εi ) ⊂ V. Vamos mostrar a existˆencia de uma fun¸c˜ ao g de classe C ∞ nessa vizinhan¸ca. Como apenas um n´ umero finito dos Wi ’s intersecta W1 , podemos, tomando o ǫ do lema 8.15 suficientemente pequeno, encontrar uma fun¸c˜ ao g1 que ´e igual a f fora de uma vizinhan¸ca compacta de ϕ−1 e C ∞ em 1 (B(0, 1)), que ´

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200

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

ϕ−1 ao diferenci´ avel quanto f em todos os pontos e que 1 (B(0, 1)), t˜ pertence ` a vizinhan¸ca. Aqui estamos usando o lema ??. Em seguida modificamos g1 em ϕ−1 c˜ ao g2 na 2 (B(0, 1)), obtendo uma fun¸ vizinhan¸ca que ´e de classe C ∞ em ϕ1−1 (B(0, 1)) ∪ ϕ−1 2 (B(0, 1)). Indutivamente, obtemos uma sequˆencia de fun¸c˜ oes gj na vizinhan¸ca Sj que s˜ ao de classe C ∞ em i=1 ϕ−1 (B(0, 1)). Para cada j existe i k0 > 1 tal que se k ≥ k0 ent˜ ao gk |Wj = gk0 |Wj . Logo gk → g, onde g|Wj = gk0 |Wj . Portanto g ´e de classe C ∞ e pertence ` a vizinhan¸ca (´e claro que gk n˜ ao converge a g na topologia de Whitney). Teorema 8.17. Se M ´e uma variedade de classe C r , com r ≥ 1, ent˜ ao existem uma variedade N de classe C ∞ e um difeomorfismo f : M → N de classe C r . Demonstra¸ c˜ ao. Seja A um atlas maximal de classe C r em M . Basta mostrar que A cont´em um subatlas B cujas mudan¸cas de coordenadas s˜ ao de classe C ∞ e considerar a estrutura C ∞ em M definida por esse atlas ( e tomar f como a identidade). Consideremos a cole¸c˜ ao C de todos os subconjuntos de A tais que todas as mudan¸cas de coordenadas entre cartas de cada elemento da cole¸c˜ ao C sejam de classe C ∞ . A uni˜ ao dos dom´ınios dessas cartas ´e um subconjunto aberto de M e tem uma estrutura de variedade de classe C ∞ . Considerando nessa cole¸c˜ ao a rela¸c˜ ao de ordem parcial dada pela inclus˜ ao, temos, pelo Lema de Zorn, que existe um elemento maximal B na cole¸c˜ ao C. Basta mostrar que a uni˜ ao B dos dom´ınios das cartas em B ´e igual a M . Se isso n˜ ao for verdade, seja ˜ ⊂ Rm uma carta local de p um ponto da fronteira de B e φ : U → U ˜ → U o difeomorfismo C r M em torno de p (de classe C r ). Seja ψ : U ˜ = φ(B ∩ U ). inverso de φ e B Como o conjunto dos difeomorfismos de classe C r ´e aberto, podemos ˜ → R uma fun¸c˜ tomar ǫ : U ao positiva tal que toda fun¸c˜ ao de classe C r em ˜ → U ; d(j r g(x), j r ψ(x)) < ǫ(x)} V(ψ, ǫ) = {g : U ˜ → R uma fun¸c˜ seja um difeomorfismo. Seja δ : B ao positiva tal que δ(x) < ǫ(x) e tamb´em menor que o quadrado da distˆ ancia de x ao

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201

[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

˜→B ˜ Pelo teorema anterior, existe uma aplica¸c˜ bordo de B. ao ψ˜ : B de classe C ∞ que pertence ` a vizinhan¸ca V(ψ|B˜ , δ). Vamos ver agora ˜ como a aplica¸c˜ que esta aplica¸c˜ ao se estende at´e bordo de B ao ψ e suas derivadas at´e ordem r existem nesses pontos e coincidem com as correspondentes derivadas de ψ. De fato, se k < r ent˜ ao, supondo ˜ por indu¸c˜ ao em k que Dk ψ(x) = Dk ψ(x), temos que ˜ + h) − Dk ψ(x) ˜ − D(Dk ψ(x)).hk kDk ψ(x ≤ khk ˜ + h) − Dk ψ(x + h)k kDk ψ(x ≤ + khk kDk ψ(x + h) − Dk ψ(x) − D(Dk ψ(x)).hk . + khk A segunda parcela tende a zero quando h tende a zero pois a derivada de ordem k + 1 de ψ existe. A primeira parcela tende a zero pois o numerador ´e menor que δ(x + h), que ´e menor que khk2 . Portanto a ˜e derivada de ordem k + 1 de ψ˜ existe em todo ponto de bordo de B ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Assim podemos estender ψ˜ de maneira C r ˜ e a inversa desta extens˜ como ψ fora de B ao ´e uma carta local em A tal que a mudan¸ca de coordenadas entre essa carta e cada carta de B ´e de classe C ∞ , o que contraria o fato de B ser maximal. Exerc´ıcio 8.1. Considere a aplica¸c˜ ao de composi¸c˜ ao C:

C r (M, N ) × C r (N, P ) (f, g)

−→ 7−→

C r (M, P ) g ◦ f.

Mostre que se f0 n˜ ao ´e uma aplica¸c˜ ao pr´ opria, ent˜ ao C n˜ ao ´e cont´ınua em (f0 , g0 ) para qualquer g0 . Exerc´ıcio 8.2. Mostre que a aplica¸c˜ ao de composi¸c˜ ao C : Propr (M, N ) × C r (M, N ) → C r (M, N ) ´e cont´ınua. Vimos no cap´ıtulo 7 que uma fibra¸c˜ ao localmente trivial pode n˜ ao ter uma se¸c˜ ao global. A proposi¸c˜ ao seguinte implica que se tiver uma se¸c˜ ao C 0 tem necessariamente uma se¸c˜ ao C ∞ .

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202

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Proposi¸ c˜ ao 8.18. Sej π : E → M uma fibra¸c˜ ao localmente trivial de classe C ∞ com fibra t´ıpica F . Seja Γr (E) o espa¸co das se¸c˜ oes de classe C r munido da topologia induzida de C r (M, E). Ent˜ ao Γ∞ (E) ´e denso em Γr (E). Demonstra¸ c˜ ao. Seja f ∈ Γr (E) e V uma vizinhan¸ca de f . Seja W ⊂ M dom´ınio de uma carta local φ : W → B(0, 3) e tal que exista uma trivializa¸c˜ ao loca Φ : W × F → π −1 (W ). Em W a aplica¸c˜ ao Φ−1 ◦ f ´e dada por (x, y) 7→ (x, fˆ(x)) e fˆ: W → M ´e uma aplica¸c˜ ao C r . Como na prova do teorema 8.16, podemos aproximar arbibrariamente na topologia C r a aplica¸c˜ ao fˆ por uma aplica¸c˜ ao gˆ tal que −1 ˆ gˆ coincide com f fora de φ (B(0, 2), gˆ ´e C ∞ em φ−1 (B(0, 1)) e ´e t˜ ao diferenci´ avel quanto fˆ em todos os pontos. Definindo g = Φ ◦ gˆ em W e g = f fora de W temos que g pertence ` a vizinhan¸ca de f , g ´e C ∞ em φ−1 (B(0, 1)) e ´e t˜ ao diferenci´ avel quanto f em todos os pontos. Usando esse argumento em uma cobertura de M como na prova do teorema 8.16 construimos uma se¸c˜ ao global de classe C ∞ na vizinhan¸ca de f . Proposi¸ c˜ ao 8.19. Seja πi : Ei → Mi , fibra¸c˜ oes localmente trivial com fibra Fi , i = 1, 2. Sejam fˆ: E1 → E2 e f : M1 → M2 aplica¸c˜ oes tais que o diagrama abaixo comuta. E1

fˆ

π1

 M1

/ E2 π2

f

 / M2

Se f ´e C ∞ e fˆ ´e C r , r ≥ 0, ent˜ ao podemos aproximar fˆ por uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ que ainda faz o diagrama comutar. Demonstra¸ c˜ ao. Seja V uma vizinhan¸ca de fˆ. Sejam Φi : Wi × Fi → πi−1 (Wi ) trivializa¸c˜ oes locais tais que f (Wi ) ⊂ W2 e φ : W1 → B(0, 3) ˆ uma carta local. A aplica¸c˜ ao f˜ = Φ−1 e da forma (x, y) 7→ 2 ◦ f ◦ Φ1 ´ (f (x), g(x, y)) onde g : W × F1 → F2 ´e de classe C r . Como anteriormente, podemos aproximar, na topologia C r a aplica¸c˜ ao f˜ por ∞ −1 ˜ uma aplica¸c˜ ao g˜ que ´e C em φ (B(0, 1)), ´e igual a f fora de

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203

[SEC. 8.1: A TOPOLOGIA DE WHITNEY EM C R (M, N )

φ−1 (B(0, 2)) e ´e t˜ ao diferenci´ avel quanto f em todos os pontos. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao gˆ que coincide com fˆ fora de π1−1 (W1 ) e coincide com Φ2 ◦ g˜ ◦ Φ−1 e C ∞ em π1−1 (φ−1 (B(0, 1))), ´e t˜ ao diferenci´ avel 1 em W1 ´ quanto fˆ em todos os pontos, pertence ` a vizinhan¸ca dada de fˆ e π2 ◦ gˆ = f ◦ π1 . Aplicando esse argumento a uma cobertura de M1 como na prova do teorema 8.16 concluimos a prova da proposi¸c˜ ao. Exerc´ıcio 8.3. Seja π : E → M uma fibra¸c˜ ao localmente trivial de classe C ∞ com fibra F . Seja f : P → M uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ . Mostre que se existe uma aplica¸c˜ ao cont´ınua fˆ: P → E tal que π ◦ fˆ = f ent˜ ao existe uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ com a mesma propriedade. Proposi¸ c˜ ao 8.20. Se M ´e compacta, ent˜ ao se 0 ≤ r < ∞, Xr (M ) ⊂ C r (M, T M ) tem uma estrutura de espa¸co de Banach. Demonstra¸ c˜ ao. Tomamos uma cole¸c˜ ao finita de cartas locais ϕi : Wi → Sk r B(0, 3) tal que M = i=1 ϕ−1 i (B(0, 1)). Para cada X ∈ X (M ) sem jam Xi : B(0, 3) → R os campos de vetores tais que X|Wi = ϕ∗i Xi . Definimos kXk = max max sup {kDj Xi (x)k}. i

0≤j≤r x∈B(0,1)

´ f´ E acil ver que X 7→ kXk ´e uma norma em Xr (M ) que gera a topologia C r e que essa norma ´e completa. Observa¸ c˜ oes: Com a mesma prova concluimos tamb´em que o espa¸co das se¸c˜ oes de um fibrado vetorial sobre uma variedade compacta tem estrutura de espa¸co de Banach. Proposi¸ c˜ ao 8.21. C r (M, Rn )\C r+1 (M, Rn ) ´e residual em C r (M, Rn ). Demonstra¸ c˜ ao. Fixe p ∈ M e seja ϕ : U ⊂ M → Rm uma carta local centrada em p. Para cada k natural consideremos o conjunto Ak ⊂ C r (M, Rn ) tal que f ∈ Ak ⇔ ∃ y ∈ Rm tal que kyk
0 tal que para cada x ∈ M a aplica¸c˜ ao exponencial ´e um difeomorfismo da bola de raio ε em Tf (x) N sobre uma vizinhan¸ca de f (x) em N . Logo, se δ > 0 ´e suficientemente pequeno, existe um homeomorfismo ϕf da bola de raio δ e centro na se¸c˜ ao nula de f ∗ T N sobre uma vizinhan¸ca de f em r C (M, N ) dada por   X 7→ x 7→ fX (x) := expf (x) X(x) .

Como a aplica¸c˜ ao exponencial ´e C ∞ , essa constru¸c˜ ao mostra a existˆencia de uma estrutura de variedade de Banach C ∞ em C r (M, N ). Pode-se mostrar que se M, N s˜ ao compactas, a aplica¸c˜ ao de composi¸c˜ ao C r (N, P ) × C r (M, N ) (f, g)

−→ 7−→

C r (M, P ) f ◦g

´e cont´ınua mas n˜ ao ´e diferenci´ avel. Por outro lado, C r (N, P ) × C r (M, N ) (f, g)

−→ 7→

C r−1 (M, P ) f ◦g

´e de classe C 1 e se X ∈ Γ(f0∗ T P ) e Y ∈ Γ(g0∗ (T N )), ent˜ ao DC(f0 , g0 )(X, Y ) = Z ∈ Γ((g0 ◦ f0 )∗ (T P )) ´e dado por Z(x) = Df0 (g0 (x))Y (x) + X(g0 (f0 (x))).

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

205

Veja: John Franks, Manifolds of C r mappings ad application to Dynamical Systems, Studies in analysis, pp. 271–290, Advances e Math. Suppl. Study, Ac. Press, 1979. Em particular, temos que se M ´e compacta, ent˜ ao Difr (M ) tem uma estrutura de variedade de Banach de classe C ∞ , ´e um grupo topol´ ogico, mas n˜ ao ´e um grupo de Lie.

8.2

Teoremas de transversalidade

Defini¸ c˜ ao 8.2. Uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel f : M → N ´e transversal a uma subvariedade S ⊂ N , e escrevemos f ⋔ S, se para todo x ∈ M tem-se que ou f (x) ∈ / S ou Df (x)(T Mx ) + T Sf (x) = T Nf (x) . Se S˜ ⊂ N ´e outra subvariedade, dizemos que S˜ ´e transversal a S, e escrevemos S˜ ⋔ S, se a inclus˜ ao i : S˜ → N for transversal a S. Proposi¸ c˜ ao 8.22. Se f ∈ C r (M, N ) ´e transversal a S ⊂ N , com r ≥ 1, ent˜ ao ou f −1 (S) ´e vazio ou ´e uma subvariedade de M cuja codimens˜ ao em M ´e a codimens˜ao de S em N . Em particular, se codim(S) = dim N − dim S > dim M, ent˜ ao f −1 (S) ´e vazio. Demonstra¸ c˜ ao. Basta usar a forma local das submers˜ oes para obter localmente f −1 (S) como imagem inversa de um valor regular. Em particular, se S e S˜ s˜ ao subvariedades transversais de uma variedade N , ent˜ ao S ∩ S˜ ´e tamb´em uma subvariedade de N , tem dimens˜ ao dim S ∩ S˜ = dim S + dim S˜ − dim N e para todo x ∈ S ∩ S˜ ˜ x = T Sx ∩ T S˜x . vale T (S ∩ S) Lema 8.23. Se f ∈ C r (M, N ) ´e transversal a S ⊂ N , com S de classe C ∞ e fechada em N , ent˜ ao para todo x ∈ M existe εx > 0, uma vizinhan¸ca Vx ⊂ M tal que se g ∈ C r (M, N ) e d(j 1 g(y), j 1 f (y)) < εx para todo y ∈ Vx vale que a restri¸c˜ ao de g a Vx ´e transversal a S. Demonstra¸ c˜ ao. Se f (x) n˜ ao pertence a a S, como S ´e fechada, existe uma vizinhan¸ca compacta de x e ε > 0 tal que se y pertence a essa vizinhan¸ca e a distancia de g(y) a f (y) ´e menor que ε ent˜ ao

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206

[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

g(y) n˜ ao pertence a S. Por outro lado, se f (x) ∈ S existe uma carta local φ : W → Rs × Rn−s tal que φ(S ∩ W ) = Rs × {0}. Sejam V ⊂ U vizinhan¸cas de x com o fecho de V compacto e contido em U tais que a derivada D(φ ◦ f )(y) seja sobrejetiva para todo y ∈ U . Como o conjunto das aplica¸c˜ oes lineares sobrejetivas ´e aberto, existe ε > 0 tal que se a distˆ ancia entre j r f (y) e j r g(y) ´e menor que ε para todo y ∈ U ent˜ ao g(V ) ⊂ W e D(φ ◦ g)(y) ´e sobrejetiva para todo y ∈V. Teorema 8.24. Se S ⊂ N ´e subvariedade fechada de classe C ∞ , ent˜ ao o conjunto das aplica¸c˜ oes em C r (M, N ) que s˜ ao transversais a S ´e aberto. Demonstra¸ c˜ ao. Seja M = ∪i Ki , onde Ki ´e compacto e contido no interior de Ki+1 . Consideremos os subconjuntos compactos Li = Ki \int(Ki−1 ) e Mi = f −1 (S)∩Li . Como no lemma anterior, podemos considerar uma cobertura finita {Vj } de Mi por abertos com fecho compacto contido em abertos Uj e cartas locais φj : Wj ⊂ N → Rs × Rn−s tais que 1. φj (Wj ∩ S) = Rs × {0} 2. f (Uj ) ⊂ Wj 3. D(φj ◦ f )(x) ´e sobrejetiva para todo x ∈ Vi . Como o conjunto das aplica¸c˜ oes lineares sobrejetivo ´e aberto, existe ǫi > 0 tal que se d(j r f (x), j r g(x)) < ǫi para todo x ∈ Li ent˜ ao g(Vj ) ⊂ Wj e D(φj ◦ g)(x) ´e sobrejetiva para todo x ∈ Uj . Como Li \∪Uj ´e compacto, S ´e fechado e f (Li \∪j Uj ) 6= ∅ temos que, se ǫi > 0 ´e suficientemente pequeno g(Li \∪Uj )∩S = ∅ se d(j r f (x), j r g(x)) < ǫi . para todo x ∈ Li . Se ǫ : M → (0, ∞) ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua tal ǫ(x) < ǫi para todo x ∈ Li ent˜ ao g ´e transversal a S se g ∈ V(f, ǫ). Lema 8.25. Sejam F : M × P → N uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ e S uma subvariedade de N . Para cada y ∈ P seja Fy : M → N a aplica¸c˜ ao Fy (x) = F (x, y). Se F ´e transversal a S, ent˜ ao Fy ´e transversal a S se y ´e valor regular da restri¸c˜ ao da proje¸c˜ ao π2 : M × P → P a F −1 (S).

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

207

Demonstra¸ c˜ ao. Seja x ∈ M tal que Fy (x) ∈ S. Como y ´e valor regular, existe um subespa¸co E1 ⊂ T (F −1 (S))(x,y) tal que a restri¸c˜ ao de Dπ2 (x, y) a E1 ´e um isomorfismo. Da´ı T (F −1 (S))(x,y) = E1 ⊕ E2 com E2 contido no n´ ucleo de Dπ2 (x, y). Seja E3 um subespa¸co complementar a E2 no n´ ucleo de Dπ2 (x, y). Como a derivada DF (x, y) leva E1 ⊕ E2 no espa¸co tangente e S em F (x, y), a imagem de E3 ´e um subespa¸co E4 ⊂ T NF (x,y) tal que T NF (x,y) = T SF (x,y) ⊕ E4 . Como DFy (T Mx ) = DF (x, y)(E2 + E3 ), temos que Fy ´e transversal a S em x. Lema 8.26. Se F : M → N ´e de classe C ∞ , ent˜ ao o conjunto dos valores regulares de F ´e um subconjunto residual de N . Demonstra¸ c˜ ao. Considere o subconjunto fechado C(f ) = {x ∈ M ; Df (x) n˜ ao ´e sobrejetiva} cuja imagem, pelo Lema de Sard, 1.6, tem medida nula. Se M = ∪∞ e comacto, temos que o i=1 Ki , onde Ki ´ compacto f (C(f ) ∩ Ki tem interior vazio. Logo o complementar de f (C(f )) = ∪i f (Ki ∩ C(f )) ´e residual. Teorema 8.27. Se F : M × P → N ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ transversal a uma subvariedade S ⊂ N , ent˜ ao o conjunto dos pontos y ∈ P tais que Fy ´e transversal a S ´e residual. Demonstra¸ c˜ ao. Segue imediatamente dos dois lemas anteriores.

Corol´ ario 8.28. Sejam f : U ⊂ Rm → Rn de classe C ∞ , K ⊂ U compacto e S ⊂ Rn uma subvariedade de classe C ∞ . Dado ε > 0, existe g : U → Rn de classe C ∞ tal que 1) g = f fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em U . 2) kg − f kC r < ε em U . 3) g ´e transversal a S nos pontos de K. Demonstra¸ c˜ ao. Seja λ : Rm → [0, 1] uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ tal que λ(x) = 1 para x ∈ K e com suporte compacto contido em U . Pelo teorema anterior, o conjunto dos v ∈ Rn para os quais a aplica¸c˜ ao x ∈ U 7→ f (x) + v ´e transversal a S ´e residual, e em particular denso. Se v ∈ Rn pertence a esse conjunto e tem norma suficientemente pequena, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao g : U → Rm , g(x) = f (x) + λ(x)v, satisfaz as condi¸c˜ ` oes 1), 2) e 3).

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[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Seja P r (Rm , Rn o espa¸co vetorial das aplica¸c˜ oes polinomiais de R em Rn de grau menor ou igual a r e que se anulam na origem. Como vimos, a aplica¸c˜ ao T : P r (Rm , Rn ) → J r (m, n) que a cada aplica¸c˜ ao polinomial p associa seu r-jato na or´ıgem ´e um isomorfismo. m

Lema 8.29. Se f : Rm → Rn ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ ent˜ ao: 1. A aplica¸c˜ ao F : Rm × Rn × P r (Rm , Rn ) → J r (Rm , Rn ) que a (x, v, p) associa o r-jato no ponto x da aplica¸c˜ ao f + v + p ´e uma submers˜ ao. 2. Seja S ⊂ J r (Rm , Rn uma subvariedade de classe C ∞ . Ent˜ ao existe um subconjunto residual G ⊂ Rn × P r (Rm , Rn ) tal que se (v, p) ∈ G e fˆ(x) = f (x) + v + p(x), ent˜ ao a aplica¸c˜ ao j r fˆ ´e transversal a S. Demonstra¸ c˜ ao. A derivada de G em um ponto (x,v,p) ´e dada pela matriz de blocos: 

I Rm Dg(x) ∗

0 I Rn ∗

 0 0 . T

Logo G ´e uma submers˜ ao. A segunda parte segue imediatamente do teorema 8.27 Corol´ ario 8.30. Sejam f : Rm → Rn de classe C ∞ e K ⊂ U compacto. Seja S ⊂ J r (Rm , Rn ) = Rm × Rn × L(Rm , Rn ) uma subvariedade de classe C ∞ . Ent˜ ao dado ε > 0 existe g : Rm → Rn de classe C ∞ tal que 1) g = f fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em U . 2) kf − gkC r < ε em Rm . 3) j r g ´e transversal a S nos pontos de K.

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

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Demonstra¸ c˜ ao. Seja λ : Rm → [0, 1] uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ que ´e igual a 1 em pontos de K e igual a zero fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em U . Pelo lema anterior, o conjunto G ´e denso. Basta ent˜ ao tomar g = f + λ(p + v) com (v, p) ∈ G suficientemente pequeno. Dizemos que x ∈ M ´e uma singularidade de X ∈ Xr (M ) se X(x) = 0. Se X : U ⊂ Rm → Rm ´e um campo de vetores C r , r ≥ 1, uma singularidade x de X ´e singularidade simples se DX(x) tem posto m, isto ´e, ´e um isomorfismo. Corol´ ario 8.31. Sejam X : U ⊂ Rm → Rm um campo de vetores de classe C ∞ e r ≥ 1. Seja K ⊂ U compacto. Dado ε > 0, ent˜ ao existe um campo de vetores Y : U → Rm de classe C ∞ tal que 1) Y = X fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em U . 2) kY − XkC r < ε em U . 3) As singularidades de Y em K s˜ ao simples. Demonstra¸ c˜ ao. A derivada da aplica¸c˜ ao F : U × Rm → U × Rm definida por F (x, v) = (x, X(x)+v) ´e um isomorfismo em todo ponto. Logo F ´e transversal a U × {0}. Portanto o conjunto dos vetores v ∈ Rm tais que a aplica¸c˜ ao x ∈ U 7→ (x, X(x) + v) ∈ U × Rm ´e transversal a U × {0} ´e um conjunto residual. Tomando λ como no Corol´ ario 8.28, o campo Y (x) = X(x) + λ(x)v com kvk suficientemente pequeno nesse conjunto residual satisfaz ` as condi¸c˜ oes do enunciado. Corol´ ario 8.32. Sejam X : U ⊂ Rm → Rm um campo de vetores de classe C ∞ , r ≥ 1 um inteiro, k ≤ r − 1, K ⊂ U compacto e S ⊂ J k (U, Rm ) uma subvariedade de classe C ∞ . Dado ε > 0, existe um campo de vetores Y : U → Rm de classe C ∞ tal que 1) Y = X fora de uma vizinhan¸ca compacta de K contida em U .

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[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

2) kY − XkC r < ε em U . 3) j k Y ´e transversal a S nos pontos de K. Demonstra¸ c˜ ao. An´ aloga ao corol´ ario ??. Teorema 8.33. Seja S ⊂ N uma subvariedade fechada de classe C ∞ . Ent˜ ao o conjunto das aplica¸c˜ oes f ∈ C r (M, N ), r ≥ 1, que s˜ ao transversais a S ´e aberto e denso. Demonstra¸ c˜ ao. A abertura j´ a foi mostrada no in´ıcio da se¸c˜ ao. Como o conjunto das aplica¸c˜ oes de classe C ∞ ´e denso, basta mostrar que toda vizinhan¸ca V de uma aplica¸c˜ ao f de classe C ∞ cont´em uma aplica¸c˜ ao transversal a S. ˜i ⊂ Rm e ψi : Vi ⊂ N → V˜i ⊂ Rn Como usual, sejam ϕi : Ui ⊂ M → U atlas tais que f (Ui ) ⊂ Vi , {Ui } cobertura localmente finita e Ki ⊂ Ui compactos com ∪i int Ki = M . Seja (εi ) uma sequˆencia de n´ umeros positivos tais que V(f, εi ) ⊂ V. Pelo corol´ ario 7.26, temos que o conjunto Ai ⊂ V(f, εi ) das aplica¸c˜ oes transversais a S em pontos de Ki ´e aberto e denso. Logo ∩Ai ´e residual em V(f, εi ), e portanto denso. Exerc´ıcio 8.4. Seja S ⊂ N uma subvariedade fechada de classe C r , r ≥ 1 de uma variedade de classe C ∞ . Mostre que, dado qualquer vizinhan¸ca V da identidade de N na topologia C r , existe um difeomorfismo de classe C r , F ∈ V tal que F (S) seja uma variedade de classe C ∞ . Conclua que o conjunto das aplica¸c˜ oes em C r (M, N ) transversais a S ´e aberto e denso. Sugest˜ ao: Seja π : E → S um fibrado vetorial de classe C r , tal que π −1 (x) ⊂ T Nx seja transversal a T Sx e sua dimens˜ao igual ` a codimens˜ao de S. Seja φ : E → U ⊂ M a correspondente vizinhan¸ca tubular. Seja ˜ Seja Sˆ a ψ : S˜ → S um difeomorfismo C r de uma variedade C ∞ S. preimagem pelo difeomorfismo φ da imagem do mergulho C ∞ . Se o mergulho C ∞ est´ a suficientemente pr´ oximo de f ent˜ ao Sˆ ´e a imagem de um se¸c˜ ao C r σ : S → E que est´ a C r proxima da se¸c˜ ao nula. Seja λ : R → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 1 na bola de raio 1 e vale 0 fora da bola de raio 2. Se ǫ : S → R ´e uma fun¸c˜ ao positiva de

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

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classe C r e suficientemente pequena ent˜ ao a aplica¸c˜ ao F : E → E definida por F (x, v) = (x, v + λ(ǫ(x)||v||x )σ(x) ´e um difeomorfismo C r proximo da identidade, que coincide com a identidade fora de uma ˆ Defina vizinhan¸ca fechada da se¸c˜ ao nula e leva a se¸c˜ ao nula em S. ent˜ ao G : N → N como a identidade fora de U e igual a φ◦F ◦φ−1 em U . Temos ent˜ ao que G ´e um difeomorfismo C r proximo da identidade ˆ que ´e de classe C ∞ que leva S na variedade φ(S) Observa¸ c˜ ao 8.1. Se S ⊂ N ´e uma subvariedade de clase C k , onde k ´e maior ou igual ao m´ınimo entre 1 e a diferen¸ca entre a dimens˜ao de M e a codimens˜ ao de S ent˜ ao o conjunto das aplica¸c˜ oes em C r (M, N ) transversais a S ´e residual (aberto e denso se S ´e fechada). Isto porque o Lema de Sard ´e v´ alido para aplica¸c˜ oes de classe C k se k ´e maior ou igual ao m´ınimo entre 1 e a diferen¸ca entre as dimens˜oes do dom´ınio e do contradom´ınio da fun¸c˜ ao. Teorema 8.34. Sejam r ≥ 1 e k ≤ r−1 inteiros. Seja S ⊂ J k (M, N ) uma subvariedade fechada de classe C ∞ . Ent˜ ao o conjunto das aplica¸c˜ oes f ∈ C r (M, N ) tais que j k f ´e transversal a S ´e aberto e denso. A composta de ψ com a inclus˜ ao de S em N ´e um mergulho C r que pode ser arbitrariamente aproximado por um mergulho C ∞ . A composta desse mergulho C ∞ com φ?−1 e sua imagem ´e uma subvariedade C r de E que ´e a imagem de uma se¸c˜ ao σ : S → E proxima da se¸c˜ ao nula na topologia C r . Demonstra¸ c˜ ao. An´ aloga ` as anteriores. a aplica¸c˜ ao j 0 f nada mais ´e que o gr´ afico de f . Como consequˆencia do teorema acima temos que o conjunto das aplica¸c˜ oes f ∈ C r (M, M ) cujo gr´ afico ´e transversal ` a diagonal ´e aberto e denso se r ≥ 1. Logo, para um conjunto aberto e denso de aplica¸c˜ oes, o conjunto de pontos fixos ´e discreto. Em particular, se M ´e compacta, o conjunto de pontos fixos ´e finito para tais aplica¸c˜ oes. A derivada de f em um tal ponto fixo ´e um isomorfismo e n˜ ao tem autovalor igual a 1. Um ponto fixo com essa propriedade ´e chamado de simples. O gr´ afico de f ´e transversal ` a diagonal se e s` omente se todos os seus pontos fixos s˜ ao simples. Teorema 8.35. Se S ⊂ N ´e uma subvariedade de classe C ∞ n˜ ao necessariamente fechada, ent˜ ao o conjunto das aplica¸c˜ oes em C r (M, N ), r ≥ 1, que s˜ ao transversais a S ´e residual, e portanto denso.

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[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

S Demonstra¸ c˜ ao. Podemos escrever S = i Si , em que Si ´e subconr junto fechado. Seja Li ⊂ C (M, N ) tal que f ∈ Li ⇔ ∀ x ∈ M ou f (x) ∈ / Si ou f (x) ∈ Si e ImDf (x)+T Sf (x) = T Nf (x) . Com a mesma prova dos teoremas 7.22 e 7.31 conclu´ımos que Li ´e aberto e denso. Logo ∩Li ´e residual. Exerc´ıcio 8.5. Seja S = ∪i Si onde S ⊂ N ´e uma subvariedade de classe C r , Si ´e um subconjunto compacto e Si ∈ Ui ∈ Si+1 onde Ui ´e um subconjunto aberto de S. Mostre que para cada i temos que, dada uma vizinhan¸ca da identidade no conjunto das aplica¸c˜ oes de classe C r em C r (N, N ) existe um difeomorfismo nessa vizinhan¸ca tal que a imagem de Ui ´e uma subvariedade de classe C ∞ de N . Conclua que o conjunto das transforma¸c˜ oes de C r (M, N ) que s˜ ao transversais a S ´e residual. Teorema 8.36. Se S ⊂ J k (M, N ) ´e uma subvariedade de classe C ∞ n˜ ao necessariamente fechada e k ≤ r − 1, ent˜ ao o subconjunto das aplica¸c˜ oes f em C r (M, N ) tais que j k f ⋔ S ´e residual. Corol´ ario 8.37. O conjunto Imr (M, N ) ⊂ C r (M, N ), r ≥ 2, ´e aberto e denso se dim N ≥ 2 dim M . Demonstra¸ c˜ ao. A abertura j´ a foi mostrada anteriormente, ent˜ ao basta mostrar a densidade. Seja Pk ⊂ J 1 (M, N ) o conjunto dos pontos (x, y, T ) ∈ J 1 (M, N ) com x ∈ M , y ∈ N e T : T Mx → T Ny ´e uma aplica¸c˜ ao linear de posto k. Ent˜ ao, pelo exemplo 1.2, Pk ´e uma subvariedade de codimens˜ ao (m − k) × (n − k), que ´e maior que m se n ≥ 2m e k < m. Pelo teorema 8.36, o conjunto das aplica¸c˜ oes f em C r (M, N ) tais que j 1 f ´e transversal a cada Pk ´e residual (Pk n˜ ao ´e subvariedade fechada pois o seu fecho intersecta Pk−1 ). Logo, se f pertence a esse conjunto residual, ent˜ ao j 1 f (M ) ∩ Pk = ∅ para k < m por falta de codimens˜ ao. Logo uma tal f tem posto m para todo x ∈ M e portanto ´e uma imers˜ ao. Defini¸ c˜ ao 8.3. Dizemos que x ∈ M ´e uma singularidade de uma fun¸c˜ ao f ∈ C 1 (M, R) se Df (x) = 0. Se f ´e de classe C 2 , uma singularidade de f ´e n˜ ao degenerada se D2 f (x) : T Mx × T Mx → R ´e uma forma bilinear n˜ ao degenerada. Uma fun¸c˜ ao f ∈ C 2 (M, R) ´e chamada uma fun¸c˜ ao de Morse se toda singularidade de f ´e n˜ ao degenerada.

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

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Proposi¸ c˜ ao 8.38. Uma aplica¸c˜ ao f ∈ C 2 (M, R) ´e uma fun¸c˜ ao de 1 Morse se, e somente se, j f : M → J 1 (M, R) ´e transversal a S = {(x, y, λ) ∈ J 1 (M, R); x ∈ M, y ∈ R, λ = 0 ∈ L(T Mx , R)}. Demonstra¸ c˜ ao. Imediata. Corol´ ario 8.39. O conjunto das fun¸c˜ oes de Morse ´e aberto e denso em C 2 (M, R). Seja X ∈ X2 (U ), com U ⊂ Rm aberto. Lembramos que uma singularidade x de X ´e simples se DX(x) tem posto m. Dizemos que a singularidade x ´e quase-simples se DX(x) tem posto m − 1 e ´ para todo v 6= 0 no n´ ucleo de DX(x) tem-se D2 X(x)(v, v) 6= 0. E f´ acil ver que se φ : W ⊂ Rm → U ´e um difeomorfismo de classe C ∞ , ent˜ ao x ´e singularidade quase-simples de X se, e somente se, φ−1 (x) ´e singularidade quase-simples de φ∗ X. Logo podemos definir singularidades quase-simples de campos de vetores em variedades usando cartas locais. Lema 8.40. Se x ∈ M ´e uma singularidade simples de um campo de vetores ou quase-simples de um campo de vetores X ∈ Xr (M ), com r ≥ 3, ent˜ ao x ´e singularidade isolada, isto ´e, existe uma vizinhan¸ca V de x tal que X(y) 6= 0 se y ∈ V \ {x}. Demonstra¸ c˜ ao. Podemos supor que x = 0 e X : U ⊂ Rm → Rm . Se 0 ´e singularidade simples, o resultado ´e imediato pois X ´e um difeomorfismo local de uma vizinhan¸ca de 0 sobre uma outra vizinhan¸ca de 0. Suponhamos ent˜ ao que 0 ´e uma singularidade quase-simples de X. Substituindo X pelo seu pull-back por um isomorfismo linear, podemos supor que o n´ ucleo de DX(0) ´e R × {0} ⊂ R × Rm−1 e sua imagem ´e {0} × Rm−1 . Se X(s, y) = (X 1 (s, y), X 2 (s, y)), temos que a derivada de X 2 em (0, 0) ´e sobrejetiva e seu n´ ucleo ´e R × {0}. Logo, pelo teorema das fun¸c˜ oes impl´ıcitas, existe uma vizinhan¸ca V de (0, 0) e uma fun¸c˜ ao α : (−ǫ, ǫ) → V tal que α(0) = (0, 0), α′ (0) ∈ R × {0} 2 e X (s, y) = 0 com (s, y) ∈ V se, e somente se, (s, y) = α(t) para algum t. Seja β(t) = X 1 (α(t)). Como (0, 0) ´e singularidade quasesimples, temos que β ′ (0) = 0 e β ′′ (0) 6= 0. Logo β(t) 6= 0 se t 6= 0 ´e suficientemente pequeno. Isso prova o lema.

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[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Teorema 8.41. 1) Se r ≥ 1, ent˜ ao o conjunto dos campos de vetores em Xr (M ) cujas singularidades s˜ ao todas simples ´e aberto e denso. 2) Se r ≥ 3 e X, Y ∈ Xr (M ) s˜ ao campos de vetores cujas singularidades s˜ ao todas simples, ent˜ ao existe uma curva µ em Xr (M ) tal que µ(0) = X, µ(1) = Y e todas as singularidades de µ(t) s˜ ao ou simples ou quase-simples para todo t ∈ [0, 1]. Demonstra¸ c˜ ao. Primeiro observamos que as singularidades de um campo de vetores X ∈ Xr (M ) s˜ ao todas simples se, e somente se, a aplica¸c˜ ao X : M → T M ´e transversal ` a se¸ca˜o nula do fibrado T M . Como a se¸c˜ ao nula ´e uma subvariedade fechada, temos que esse conjunto ´e aberto. Resta provar a densidade. Seja φi : Wi ⊂ M → B(0, 3), i = 1, 2, . . . um atlas tal que ∪i Ui = M , com Ui = φ−1 i (B(0, 1)), e a cobertura aberta {Wi } seja localmente finita. Para cada campo X ∈ Xr (M ), denotamos por X i o campo na bola B(0, 3) ∗ r dado por X i = (φ−1 i ) X. Seja Ai ⊂ X (M ) o conjunto dos campos de vetores X tais que as singularidades de X i no fecho de Ui s˜ ao todas simples. Esse conjunto ´e aberto. Pelo corol´ ario 8.31 esse conjunto ´e tambem denso. Logo a interse¸c˜ ao de todos esses conjuntos ´e residual, em particular denso, e as singularidades de um campo de vetores nessa interse¸c˜ ao s˜ ao todas simples. Isso prova a primeira parte do teorema. Seja F ⊂ C r ([0, 1] × M, T M ) o conjunto de fam´ılias a um parˆ ametro de campos de vetores, isto ´e, F ∈ F se, e somente se, π(F (t, x)) = x para todo (t, x) ∈ [0, 1] × M . Como F ´e um subconjunto fechado de um espa¸co de Baire, F, com a topologia induzida, tamb´em ´e um espa¸co de Baire. Consideremos novamente o atlas acima. Para cada F ∈ F, denotemos por Fi a fam´ılia de campos de vetores na bola B(0, 3) obtida tomando o pull-back dos campos da fam´ılia F pela inversa da carta local φi . Sejam Sk = {0} × Pk × L2sim (Rm , Rm ) ⊂ Rm × L(Rm , Rm ) × L2sim (Rm , Rm ) e S ⊂ {0} × Pm−1 × L2sim (Rm , Rm )

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

o conjunto constitu´ıdo de pares (T, B), em que T ∈ Pm−1 ´e uma transforma¸c˜ ao linear de posto m − 1 e B ´e uma transforma¸c˜ ao bilinear sim´etrica que se anula no n´ ucleo de T . J´ a vimos que Sk ´e uma subvariedade de codimens˜ao m + (m − k)2 . Logo Sm−1 tem codimens˜ ao m + 1 e Sk tem codimens˜ao maior que m + 1 se k < m − 1. Vamos mostrar que S ´e uma subvariedade de codimens˜ao maior que m + 1. Se T0 ∈ Pm−1 ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V ⊂ Pm−1 de T0 e uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel ϕ : V → S m−1 ⊂ Rm tal que ϕ(T ) ∈ Ker T . A fun¸c˜ ao φ:

V × L2sim (Rm , Rm ) (T, B)

−→ 7−→

Rm B(ϕ(T ), ϕ(T ))

´e obviamente uma submers˜ ao, e portanto φ−1 (0) ´e uma subvariedade de codimens˜ ao m. Como S∩(Rm ×V ×L2sim (Rm , Rm )) = {0}×φ−1 (0), temos que S ´e uma subvariedade de codimens˜ao 2m em Rm × Pm−1 × L2sim (Rm ; Rm ), e portanto de codimens˜ ao 2m + 1 > m + 1. O conjunto Ai ⊂ F das fam´ılias F tais que a aplica¸c˜ ao (t, x) 7→ (Fit (x), DFit (x), D2 Fit (x)) ´e transversal ` as subvariedades Sk e S em pontos de B(0, 1) ´e aberto. Para mostrar que ele ´e tamb´em denso, seja F ∈ F. Seja λ fun¸c˜ ao n˜ ao negativa de classe C ∞ que vale 1 em B(0, 1) e 0 fora de B(0, 2). Dada uma vizinhan¸ca de F , como a cobertura Wi ´e localmente finita existe ǫ > 0 tal que se Gi ´e uma fam´ılia com distˆ ancia C r a Fi menor que ǫ em B(0, 3) e Fi (t, x) = Gi (t, x) para x fora de B(0, 2), ent˜ ao existe uma fam´ılia G na vizinhan¸ca, que coincide com F fora de Wi e que em Wi ´e igual a φ∗ (Gti ). Por outro lado, pelos corol´ arios anteriores, podemos encontrar uma fam´ılia Hit arbitrariamente pr´ oxima na distˆ ancia C r de Fit tal que a aplica¸c˜ ao correspondente ´e transversal ` a todas as subvariedades mencionadas acima. Tomando ent˜ ao Gti = λHit + (1 − λ)Gti , obtemos uma fam´ılia em Ai e na vizinhan¸ca de F . Essa fam´ılia tem todas as singularidades em Ui ou simples ou quase-simples. Tomando a interse¸c˜ ao dos Ai , obtemos um conjunto residual de fam´ılias com todas as singularidades ou simples ou quase-simples.

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[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Exerc´ıcio 8.6. Sejam f0 , f1 difeomorfismos de classe C r , r ≥ 2, de uma variedade compacta M que s˜ ao difeot´ opicos. Mostre que existe uma fam´ılia cont´ınua ft de difeomorfismos ligando f0 com f1 tal que para todo t o conjunto dos pontos fixos de ft ´e finito. Nos anos 70 John Mather demonstrou uma extens˜ ao importante do teorema de Transversalidade de Thom: o teorema de transversalidade de multijatos que demonstraremos a seguir. Consideremos as aplica¸c˜ oes α : J r (M, N ) → M , α(j r f (x)) = x e r r β : J (M, N ) → N , β(j f (x)) = f (x). A imagem por alpha de um r-jato ´e chamada de fonte do r-jato. Seja s um inteiro positivo. No produto cartesian M s = M × · · · × M seja ∆ a diagonal, isto ´e, o conjunto de s-uplas (x1 , . . . , xs ) tais que xi = xj para algum i 6= j. O complementar desse conjunto fechado ´e um subconjunto aberto que denotaremos por M (s) . A preimagem de M ?(s) pela aplica¸c˜ ao αs : J r (M, N )s → M s ´e o subconjunto aberto que denotaremos por Jsr (M, N ), isto ´e, o conjunto de s-uplas de r-jatos com fontes duas a duas distintas. Uma aplica¸c˜ ao f ∈ C r+k (M, N ) define uma aplica¸c˜ ao k de classe C jsr : M (s) → Jsr (M, N )

que associa a cada (x1 , . . . , xs ) ∈ M (s) a s-upla (j r f (x1 ), . . . , j r f (xs )) ∈ Jsr (M, N ). Temos ent˜ ao o seguinte teorema:

Teorema 8.42. (Transversalidade de Multijatos) Se S ⊂ Jsr (M, N ) ´e uma subvariedade de classe C ∞ ent˜ ao o conjunto TS das aplica¸c˜ oes f ∈ C r+k (m, N ) tais que jsr f ´e transversal a S ´e um conjunto residual. Corol´ ario 8.43. Se dim N ≥ 2 dim M + 1, ent˜ ao o conjunto das imers˜ oes biun´ıvocas de M em N ´e residual Demonstra¸ c˜ ao. Ja vimos que o conjunto das imers˜ oes ´e aberto e denso pois a dimens˜ ao do contradom´ınio e maior que o dobro da dimens˜ ao do contradom´ınio. Por outro lado, a codimens˜ ao da diagonal de N ´e igual a dimens˜ ao de N que ´e estritamente maior que a dimens˜ ao de M (2) . Logo, pelo teorema de transversalidade de multijatos, o conjunto das aplica¸c˜ oes biun´ıvocas ´e residual. Logo, o conjunto das imers˜ oes biun´ıvocas ´e residual. Corol´ ario 8.44. [Mergulho de Whitney] Para toda variedade M de classe C r , r ≥ 1, e dimens˜ ao m, existe um mergulho ι : M → R2m+1 .

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

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Demonstra¸ c˜ ao. Como j´ a vimos, Prop(M, Rk ) ´e aberto e n˜ ao vazio para qualquer k, portanto ele intersecta o conjunto das imers˜ oes biun´ıvocas se k ≥ 2m + 1. Por outro lado, uma imers˜ ao biun´ıvoca pr´ opria ´e um mergulho. Observa¸ c˜ ao: N˜ao h´ a um Teorema de mergulho de Whitney an´ alogo para variedades complexas. De fato, se M ´e uma variedade complexa compacta, ent˜ ao qualquer aplica¸c˜ ao holomorfa F : M → Cn deve ser constante, para qualquer n, conforme foi provado na proposi¸ca˜o 2.22. Por outro lado, um corol´ ario do Teorema de RiemannRoch, conhecido na literatura por “mergulho tricanˆ onico”, mostra que toda superf´ıcie de Riemann compacta possui um mergulho em CP3 . Entretanto, esse resultado ´e falso em dimens˜ao maior e as variedades complexas compactas que admitem mergulho em algum CPn foram classificadas em K. Kodaira, “On Kahler varieties of restricted type”(an intrinsic characterization of algebraic varieties, Annals of Mathematics, 60, 1954, pp. 28–48). Lema 8.45. Seja S ⊂ N uma subvariedade e F ⊂ S um subconjunto fechado . Seja K ⊂ M um subconjunto compact e K ′ uma vizinhan¸ca compacta de K. Seja TK;F,S o conjunto das aplica¸c˜ oes f : C 1 (M, N ) tais que para cada x ∈ K temos que ou f (x) ∈ / F ou f (x) ∈ F e f ´e transversal a S em x. Seja f ∈ TK,F . Ent˜ ao existe ǫ > 0 tal que se g ∈ C 1 (M, N ) ´e tal que d(j 1 f (x), j 1 g(x)) < ǫ para todo x ∈ K ′ ent˜ ao g ∈ TK;F,S . Demonstra¸ c˜ ao. Como TF,S ⊂ TK;F,S e TF,S ´e aberto, existe fun¸c˜ ao cont´ınua δ : M → R tal que se d(j 1 (x), j 1 (x)) < δ(x) para todo x ∈ M ent˜ ao g ∈ TF,S . Seja λ : M → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 1 em uma vizinhan¸ca compacta de K e vale zero fora de uma vizinhan¸ca de K contida em K ′ . Tomando ǫ > 0 suficientemente pequeno temos que se g ∈ C 1 (M, N ) ´e tal que d(j 1 g(x), j 1 f (x)) < ǫ para todo x ∈ K ′ ′ ent˜ ao, se h(x) = expf (x) (λ(x) exp−1 f (x) g(x)) se x ∈ K e g(x) = f (x) ′ se x ∈ / K ent˜ ao h ∈ TK,S se ǫ for suficientemente pequeno. Como g coincide com h em uma vizinhan¸ca de K temos que g tamb´em pertence a TK;F,S . Lema 8.46. Seja K ⊂ M (s) um subconjunto compacto. Dado ǫ > 0 exite δ > 0 tal que se d(j r+1 f (x), j r+1 g(x)) < δ para todo x ∈ πi (K), i = 1, . . . , s, ent˜ ao d(j 1 (jsr f )(x), j 1 (jsr g)(x)) < ǫ para todo x ∈ K.

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[CAP. 8: TRANSVERSALIDADE

Dos dois lemas temos a seguinte Proposi¸ c˜ ao 8.47. Sejam S ⊂ Jsr (M, N ) uma subvariedade, F ⊂ S um subconjunto fechado e K ⊂ M (s) um subconjunto compacto. Ent˜ ao o subconjunto TK;F,S das aplica¸c˜ oes f ∈ C r+1 (M, N ) tais que r f para todo x ∈ K ou js (f )(x) ∈ / F ou js f (x) ∈ F e jsr f ´e transversal a S em x ´e um subconjunto aberto e denso. Demonstra¸ c˜ ao. A abertura segue dos dois lemas acima. Resta provar a densidade. Seja f ∈ C r (M, N ). Consideremos uma fam´ılia de cartas locais πi : U i → Rn , ψi : Vi ⊂ N → Rn tais que f (Ui ) ⊂ Vi , a fam´ılia Ui ´e localmente finita. Mostraremos a densidade de TK;F,S na vizinhan¸ca V de f constituida das fun¸c˜ oes g tais que g(Ui ) ⊂ Vi para todo i. Para cada x = (x1 , . . . , xs ) ∈ K. Consideremos uma cobertura finita de K pelo interior dos compactos K j = K1j × · · · × Ksj tais que cada Kij est´ a contido em um aberto Wij , tais que Wij ∩ Wkj = ∅ se i 6= k e que cada Wij esteja contido em um dos abertos Uk que denotaremos por Uij . Denotaremos o correspondente Vk por Vij e as correspondentes cartas locais por φjk : Uij → Rm , ψij : Vij → Rn . Vamos mostrar que para cada j o conjunto TK j ;F,S ´e aberto e denso em V. Resta provar a densidade. Sejam g ∈ V uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ e V(g) ⊂ V uma vizinhan¸ca de g. Vamos mostrar que existe h ∈ V(g) que ´e transversal a S em pontos de K j . Sejam θij : J r (Rm , Rn ) → π −1 (Uij × Vij ) ⊂ J r (M, N ) o difeomorfismo induzido pelas cartas locais φji e ψij . Seja θj : (J r (Rm , Rn ))s → (J r (M, N ))s a aplica¸c˜ ao θ1j × · · · × θsj . Consideremos a subvariej r m dade S ⊂ (J (R , mathbbRn ))s cuja imagem por θj ´e S. Sejam gi : Rm → Rn as aplica¸c˜ oes gi = ψij ◦ g ◦ (φji )−1 . Pelo lema 8.29, a aplica ¸c˜ ao (Rm )s × (Rn )s × (P r (Rm , Rn ))s → (J r (Rm , Rn ))s definida por G(x, v, p) = (j r (g1 +v1 +p1 )(x1 ), . . . , j r (gs +vs +ps )(xs )) ´e uma submers˜ ao. Logo o conjunto G dos pares (v, p) tais que a aplica¸c˜ ao Gv,p (x) = G(x, v, p) ´e transversal a S ´e um conjunto residual. Sejam λi : Rm → [0, 1] fun¸c˜ oes C ∞ que vale 0 fora de uma j j vizinhan¸ca compacta de φi (Ki ) contida em φji (Wij ) e vale 1 em uma vizinhan¸ca menor de φji (Kij ). Definimos ent˜ ao h : M → N como

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[SEC. 8.2: TEOREMAS DE TRANSVERSALIDADE

219

sendo igual a g fora de ∪i Wij e h = (ψij )−1 ◦ (gi + vi + pi ) ◦ φji em Wij onde (v, p) ∈ G. Temos ent˜ ao que jsr h ´e transversal a S em pontos de j K . Tomando (v, p) ∈ G suficientemente pr´ oximo da origem temos que h ∈ V(g) Demonstra¸ c˜ ao do teorema Tomemos uma cobertura enumer´ avel de M (s) por subconjuntos compactos Li e uma cobertura enumer´ avel de S por subconjuntos fechados Fj . Pela proposi¸c˜ ao anterior TLi ;Fj ,S ´e aberto e denso. Logo TS = ∩i,j TLi ;Fj ,S ´e residual.

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Cap´ıtulo 9

Grau Topol´ ogico

9.1

O conceito de grau

Lembramos que definimos o conceito de homotopia C r na defini¸c˜ ao 3.2 e mostramos que ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia. Agora podemos mostrar um fato mais forte no caso de M ser compacta. Suponha que f, g ∈ C r (M, N ) sejam homot´ opicas (por uma homotopia cont´ınua), ent˜ ao elas de fato s˜ ao C r homot´ opicas. Para ver isso, fixe H uma homotopia cont´ınua entre f e g e, modificamos H obter uma homo˜ : [0, 1] × M → N tal que H(t, ˜ x) = f (x) se t ≤ 1/4 topia cont´ınua H ˜ ao 7.43 e H(t, x) = g(x) se t ≥ 3/4. Em seguida, usamos a proposi¸c˜ ˜ por uma aplica¸c˜ ˜ em para aproximar H ao C r que coincide com H ([0, 1/8] ∪ [7/8, 1]) × M , encontrando a homotopia desejada. Ser´ a u ´til lembrar agora das proposi¸c˜ oes sobre homotopias, tais como o corol´ ario 3.3 e o teorema 3.11. Como consequˆencia da observa¸c˜ ao acima, temos o seguinte corol´ ario. Corol´ ario 9.1. Toda fun¸c˜ ao ´e homot´ opica a uma fun¸c˜ ao C ∞ e duas ∞ ∞ fun¸c˜ oes C que s˜ ao homot´ opicas s˜ ao C homot´ opicas. Defini¸ c˜ ao 9.1. [grau] Sejam M e N variedades compactas orientadas de mesma dimens˜ ao. Se f : M → N ´e de classe C r , r ≥ 1, e y ∈ N ´e um valor regular de f , definimos o grau de f em rela¸c˜ ao a y como o inteiro X gr(f, y) = sinal(x) f (x)=y

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[SEC. 9.1: O CONCEITO DE GRAU

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em que sinal(x) =

(

+1 se Df (x) preserva orienta¸c˜ ao −1 caso contr´ ario.

Observa¸ c˜ ao 9.1. A defini¸c˜ ao tem sentido mesmo que M n˜ ao seja compacta, mas com f pr´ opria. Lema 9.2. Sejam f, g : M → N aplica¸c˜ oes homot´ opicas de classe C r e suponha que y ∈ N seja valor regular de ambas f e g. Ent˜ ao gr(f, y) = gr(g, y). ´ claro que y tamb´em ´e valor regular de qualquer Demonstra¸ c˜ ao. E aplica¸c˜ ao suficientemente C 1 pr´ oxima a f e seu grau em rela¸c˜ ao a y coincide com o de f . Podemos ent˜ ao supor que f e g s˜ ao de classe C ∞ e que a homotopia ´e tamb´em C ∞ . Pelo teorema de transversalidade, podemos perturbar essa homotopia e obter uma homotopia H tal que y tamb´em seja valor regular de H. Logo H −1 (y) ´e uma fam´ılia finita de curvas fechadas e intervalos fechados cujos bordos pertencem ao bordo de [0, 1] × M = {0} × M ∪ {1} × M .

Figura 9.1: homotopia. Afirmamos que se x1 , x2 ∈ M × {0} pertencem ao bordo de um tal segmento, ent˜ ao f (x1 ) = f (x2 ) = y e o sinal de x1 ´e oposto ao sinal de x2 . Para provar isso, consideremos uma parametriza¸c˜ ao γ : [0, 1] → M × [0, 1] de uma componente conexa de H −1 (y) tal que γ(0), γ(1) ∈ M × {0} e γ(0) com sinal positivo. Como γ ′ (0) aponta para o interior de M × [0, 1], uma base positiva de T Mγ(0) seguida de γ ′ (0) ´e uma base positiva de M × [0, 1] (estamos considerando em M × [0, 1] a orienta¸c˜ ao produto: uma base positiva de T Mx seguida

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

∂ ´e uma base positiva de T (M × [0, 1])(x,t) ). Tomemos uma do vetor ∂t m´etrica Riemanniana em M × [0, 1] tal que γ ′ (i) seja ortogonal a T Mγ(i) para i = 0, 1. Como y ´e valor regular de H e DH(γ ′ (t)) = 0, temos que a restri¸c˜ ao de DH(γ(t)) ao complemento ortogonal γ ′ (t)⊥ ´e um isomorfismo para todo t. Consideremos em cada γ ′ (t)⊥ a orienta¸c˜ ao tal que uma base positiva seguida do vetor γ ′ (t) seja uma base positiva de T (M × [0, 1])γ(t) . Portanto, com essa orienta¸c˜ ao, temos que a restri¸c˜ ao da derivada de H a cada um desses espa¸cos preserva a orienta¸c˜ ao definida, pois para t = 0 a orienta¸c˜ ao ´e preservada. Logo a orienta¸c˜ ao ´e preservada para t = 1. Mas como o vetor γ ′ (1) aponta para fora, essa orienta¸c˜ ao ´e oposta ` a orienta¸c˜ ao de T Mγ(1) . Logo, o sinal de γ(1) ´e negativo. Da mesma forma conclu´ımos que se y1 , y2 ∈ {1} × M pertencem ` a mesma componente conexa de H −1 (y), ent˜ ao esses pontos tem sinais opostos com respeito a g. O mesmo argumento mostra tamb´em que se x3 ∈ {0} × M e y3 ∈ {1} × M pertencem a um segmento que une as duas componentes do bordo, ent˜ ao o sinal de x3 com respeito a f ´e igual ao sinal de y3 com respeito a g.

Teorema 9.3. 1) Se y1 e y2 s˜ ao valores regulares de f ∈ C r (M, N ), r ≥ 1, ent˜ ao def

gr(f, y1 ) = gr(f, y2 ) = gr(f ).

2) Se f e g ∈ C r (M, N ), com r ≥ 1, s˜ ao homot´ opicas ent˜ ao gr(f ) = gr(g). Demonstra¸ c˜ ao. Como j´ a vimos, existe um campo de vetores em N cujo fluxo ϕt est´ a definido para todo tempo e ϕ1 (y2 ) = y1 . Seja g = ϕ1 ◦ f . Como ϕ1 e um difeomorfismo homot´ opico ` a identidade, temos que g ´e homot´ opico a f e Dϕ1 (y2 ) : T Ny2 → T Ny1 preserva orienta¸c˜ oes. Logo y1 ´e valor regular de g e gr(g, y1 ) = gr(f, y2 ). Por outro lado, pelo lema anterior, gr(g, y1 ) = gr(f, y1 ). Portanto o grau de uma aplica¸c˜ ao n˜ ao depende do valor regular. O item 2 tamb´em segue do lema anterior. Observa¸ c˜ ao 9.2. Se duas fun¸c˜ oes de classe C 1 est˜ ao suficientemente pr´ oximas de uma fun¸c˜ ao C 0 , ent˜ ao elas s˜ ao homot´ opicas, e portanto tem o mesmo grau. De modo tem sentido a seguinte defini¸c˜ ao.

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[SEC. 9.1: O CONCEITO DE GRAU

Defini¸ c˜ ao 9.2. O grau de fun¸c˜ ao f ∈ C 0 (M, N ) ´e definido como o grau de qualquer fun¸c˜ ao de classe C 1 suficientemente pr´ oxima de f 0 na topologia C . Observa¸ c˜ oes: 1. Os mesmos argumentos utilizados acima provam tamb´em que se existe uma homotopia pr´ opria entre duas aplica¸c˜ oes cont´ınuas pr´ oprias entre variedades orientadas, ent˜ ao as aplica¸c˜ oes tem o mesmo grau. 2. Para aplica¸c˜ oes entre variedades n˜ ao orient´ aveis podemos definir a no¸c˜ ao de grau m´ odulo dois. Para fun¸c˜ oes de classe C ∞ , o grau m´ odulo dois ´e simplesmente a paridade do n´ umero de pr´e-imagens de um valor regular e prova-se, com os mesmos argumentos utilizados acima, que tamb´em ´e um invariante homot´ opico. Exemplo 9.1. Sejam f+ , f− : B(0, 3) ⊂ Rm → S m = Rm ∪ {∞} as aplica¸c˜ oes definidas por  se kxk ≥ 2  ∞ x se kxk ≤ 1 f+ (x) =  1 1 ≤ kxk < 2 2−kxk x se e

  ∞ (−x1 , x2 , ..., xm ) f− (x) =  1 2−kxk (−x1 , x2 , ..., xm )

se se se

kxk ≥ 2 kxk ≤ 1 1 ≤ kxk < 2.

Seja M uma variedade compacta orientada. Considere uma fam´ılia de k cartas locais positivas {φi : Wi ⊂ M → B(0, 3)}, i = 1, ..., k, com os Wi ’s dois a dois disjuntos. Sejam f, g : M → S m as aplica¸c˜ oes definidas por f (x) = g(x) = ∞ se x ∈ / ∪ki=1 Wi e em cada Wi definimos f (x) = f+ (φi (x)) e g(x) = f− (φi (x)). Ent˜ ao f tem grau k e g tem grau −k. Proposi¸ c˜ ao 9.4. Se M e N s˜ ao variedades complexas compactas de mesma dimens˜ ao e f : M → N ´e holomorfa, ent˜ ao o grau de f ´e o n´ umero de pontos na imagem inversa de qualquer valor regular.

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224

´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

Demonstra¸ c˜ ao. Se L : Cn → Cn ´e uma transforma¸c˜ ao C-linear invert´ıvel, ent˜ ao L preserva a orienta¸c˜ ao de R2n = Rn × Rn , isto ´e, det L > 0. De fato, como det ´e cont´ınua, podemos supor, perturbando L se necess´ ario, que os autovalores de L s˜ ao dois a dois dis2n tintos. Em particular, existe uma base de R na qual a matriz de   aj bj L ´e formada de blocos diagonais da forma −b , em que cada Q 2 j 2 aj aj +ibj ´e um autovalor. Assim det L = j (aj +bj ) > 0. Em particular, toda variedade complexa ´e orient´ avel e se df (x) ´e biun´ıvoca ent˜ ao df (x) preserva orienta¸c˜ ao. Logo todos os pontos na pr´e-imagem de um valor regular tem sinal positivo. Corol´ ario 9.5. Se f : M → N ´e holomorfa com M e N compactas de mesma dimens˜ ao e se df (x) ´e 1−1 para algum x, ent˜ ao f ´e sobrejetiva. Demonstra¸ c˜ ao. A imagem de f cont´em uma vizinhan¸ca de f (x) pelo teorema da fun¸c˜ ao inversa. Pelo lema de Sard existe um valor regular na imagem de f . Pela proposi¸c˜ ao anterior o grau de f ´e positivo. Logo f ´e sobrejetiva pois se existisse y ∈ N \ f (M ), ent˜ ao y ´e valor regular, o que implicaria grf = 0. Em dimens˜ ao complexa 1 temos duas alternativas: ou f ′ (x) = 0 para todo x ∈ M , o que implica f ser constante, ou f ´e sobrejetiva. Em particular, se f : C → C ´e uma fun¸c˜ ao racional n˜ ao constante, isto P (z) ´e, da forma f (z) = Q(z) com P e Q polinˆ omios n˜ ao ambos constantes, ent˜ ao ´e sobrejetiva. Se Q ´e constante igual a 1, ent˜ ao conclu´ımos que todo polinˆ omio n˜ ao constante tem uma ra´ız. A seguir vamos estudar o problema de estender para o interior uma aplica¸c˜ ao cont´ınua definida no bordo de uma variedade e que toma valores em outra variedade da mesma dimens˜ao que o bordo. Lema 9.6. Seja W uma variedade com bordo e M = ∂W compacto e da mesma dimens˜ ao que N . Sejam f, g : M → N aplica¸c˜ oes homot´ opicas. Se f tem uma extens˜ ao cont´ınua F : W → N ent˜ ao g tamb´em se estende continuamente. Demonstra¸ c˜ ao. Seja ϕ : M × [0, 1] → W uma vizinhan¸ca colar. teorema 4.1. Consideremos a aplica¸c˜ ao exponencial de uma m´etrica Riemanniana em N . Seja V uma vizinhan¸ca de ∂W em W e ǫ > 0

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[SEC. 9.1: O CONCEITO DE GRAU

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tal que para todo y ∈ V a aplica¸c˜ ao exponencial expF (y) seja um difeomorfismo da bola B(0, ǫ) no espa¸co tangente a F (y) sobre uma vizinhan¸ca de F (y). Seja δ > 0 tal que se y = ϕ(x, t) com t < δ, ent˜ ao y ∈ V e f (x) ∈ expF (y) (B(0, ǫ)). Seja τ : [0, δ] → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ tal que τ (t) = 1 para t ≤ 2δ e τ (t) = 0 para t ≥ 3δ 4 . Se y = ϕ(x, t) com t ≤ δ, definimos   F˜ (y) = expF (y) τ (t)exp−1 (f (x)) F (y)

e definimos F˜ (y) = F (y) se y 6= ϕ(x, t) para qualquer x ∈ ∂W se t ≥ δ. Ent˜ ao F˜ tamb´em ´e uma extens˜ ao cont´ınua de f . Seja H : [0, 1]×M → N uma homotopia entre g e f . Definimos G : W → N por G(y) = F˜ (y) se y ∈ / ϕ(M × [0, 2δ ]) e se y = ϕ(x, t), com t ≤ 2δ ,
2t definimos G(y) = H δ , x . Proposi¸ c˜ ao 9.7. Se uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : ∂W → N , entre variedades compactas de mesma dimens˜ao, se estende continuamente a W ent˜ ao o grau de f ´e igual a zero.

Demonstra¸ c˜ ao. Aproximando f por uma fun¸c˜ ao C ∞ g homot´ opica a f temos que g tamb´em se estende continuamente a W . Tomando uma vizinhan¸ca colar φ : ∂W ×[0, 1] → W como no Lema ??, podemos encontrar uma extens˜ ao cont´ınua de F de g tal que F (φ(x, t) = g(x) se 0 ≤ t ≤ δ < 1. Logo F ´e C i nf ty proximo a ∂W . Podemos ent˜ ao aproximar F por uma fun¸c˜ ao C ∞ que coincide com F em uma vizinhan¸ca de W . Logo G ´e uma extens˜ ao C ∞ de g. Seja y ∈ ∂W um valor regular de G e de g. Temos ent˜ ao que G−1 (y) ´e uma subvariedade de dimens˜ ao 1 e, como no Lema anterior, uma componente conexa que intersecta o bordo o faz em dois pontos que tem sinais opostos. Logo o grau de g ´e igual a zero. Lema 9.8. Seja A ∈ GL(n, R). Se A preserva orienta¸c˜ ao, ent˜ ao existe um caminho t ∈ [0, 1] 7→ At ∈ GL(n, R) tal que A0 = A e A1 = id. Se A inverte orienta¸c˜ ao, ent˜ ao existe um caminho em GL(n, R) tal que A0 = A e A1 (x1 , . . . , xn ) = (−x1 , x2 , . . . , xn ). Demonstra¸ c˜ ao. Como GL(n, R) ´e aberto em M (n, R), podemos supor que os autovalores de A s˜ ao distintos, uma vez que existe uma caminho entre um isomorfismo e qualquer isomorfismo suficientemente

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

pr´ oximo. Podemos ent˜ ao escolher uma base de Rn na qual a matriz de A ´e de blocos diagonais da forma   cos θj sen θj rj , (λ2j ), ou (−µ2j ). − sen θj cos θj O caminho com blocos diagonais  cos(1 − t)θj ((1 − t)rj + t) − sen(1 − t)θj ((1 − t)λ2j + t)

 sen(1 − t)θj , cos(1 − t)θj

e (−(1 − t)µ2j − t)

conecta a matriz inicial com uma matriz diagonal cujos elementos s˜ a o  0 1 e/ou −1. Finalmente, note que um bloco 2 × 2 do tipo −1 0 −1 pode ser levado ` a identidade pelo caminho   sen(t − 1) π2 cos(t − 1) π2 , 0 ≤ t ≤ 1. − cos(t − 1) π2 sen(t − 1) π2 Teorema 9.9. [Hopf ] Seja W n+1 uma variedade orientada com bordo e f : ∂W → S n uma aplica¸c˜ ao cont´ınua de grau 0. Ent˜ ao f tem uma extens˜ ao cont´ınua f˜: W → S n = Rn ∪ ∞. Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Lema 9.6, podemos supor que f ´e C ∞ e que o p´ olo norte 0 ∈ S n ´e um valor regular de f . Como f tem grau zero temos que #f −1 (0) = 2k, sendo que k desses pontos tem sinal positivo e k tem sinal negativo. Sejam γi : [0, 1] → W mergulhos diferenci´ aveis tais que γi ([0, 1]) s˜ ao dois a dois disjuntos, transversais ao bordo e γi (0), γi (1) ∈ f −1 (0) tem sinais opostos, sendo γi (0) positivo. Em dimens˜ ao maior que um (dimens˜ ao de W maior que 2) come¸camos construindo arcos conectando pontos com sinais opostos, e com uma pequena perturba¸c˜ ao obtemos arcos dois a dois disjuntos por transversalidade. Se a dimens˜ ao de W for 2, temos que alterar os arcos iniciais, mudando inclusive uma das extremidades para torn´ a-los disjuntos. Tomemos mergulhos (vizinhan¸cas tubulares dos γi ([0, 1]) adaptadas ao bordo) ϕi : [0, 1] × D → W com ϕi (t, 0) = γi (t),

ϕi ({0} × D) ⊂ ∂W e ϕi ({1} × D) ⊂ ∂W

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[SEC. 9.1: O CONCEITO DE GRAU

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Figura 9.2: teorema de Hopf. sendo os tubos ϕi ([0, 1] × D) dois a dois disjuntos e f |ϕi ({0}×D) , f |ϕi ({1}×D) difeomorfismos. Aqui D = B(0, 1) ⊂ Rn . A aplica¸c˜ ao z ∈ D 7→ ϕi (0, z) ∈ ∂W preserva orienta¸c˜ ao, enquanto que a aplica¸c˜ ao z ∈ D 7→ ϕi (1, z) ∈ ∂W inverte orienta¸c˜ ao. Logo z ∈ D 7→ f ◦ ϕi |{j}×D preservam orienta¸c˜ ao para j = 0, 1. Pelo lema ??, existem arcos de isomorfismos de Rn , Ait , tais que Ai0 ´e a derivada de f ◦ ϕi |{0}×D no ponto 0 e Ai1 ´e a derivada de f ◦ ϕi |{1}×D no ponto 0. Seja g : ∂W → S n a aplica¸c˜ ao homot´ opica a f tal que • g ◦ ϕi |{j}×D1/2 = f ◦ ϕi |{j}×D1/2 ; • g ´e igual ao p´ olo sul no complementar de ∪i,j ϕi ({j} × D), para j = 0, 1; • para 1/2 < s < 1, x ∈ S n−1 , g(ϕi ({j}, sx)) ´e igual ao ponto do meridiano de S n passando por f (ϕi ({j}, 12 x)) que divide esse meridiano na mesma propor¸c˜ ao que s divide o intervalo [1/2, 1]. Por uma nova homotopia, podemos supor que g ◦ ϕi |{j}×D ´e igual a Aj em {j} × {x ∈ D; kxk < ǫ}, para ε ≤ s ≤ 1/2 e x ∈ S n−1 , g({j}, sx) pertence ao meridiano ligando g({j}, Aj (εx)) ao p´ olo sul e

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

o divide na mesma propor¸c˜ ao que s divide o intervalo S [ε, 1/2] e que g seja constante igual ao p´ olo sul no complementar de ϕi ({j}×D1/2 ). i,j

A ao g˜ de g ´e constante igual ao p´ olo sul no complementar de S extens˜ ϕi ({j} × D1/2 ) e dentro dos tubos ´e definida da seguinte maneira: i,j

• g˜(ϕi (t, sx)) = Ait (sx) se s ≤ ǫ; • g˜(ϕi (t, sx)) = p´ olo sul se s ≥ 1/2; • se ǫ ≤ s ≤ 1/2, ent˜ ao g˜(ϕi (t, sx)) ´e o ponto do meridiano por olo sul na mesma Ait (εx) que divide os arcos entre Ait (εx) e o p´ propor¸c˜ ao que s divide o intervalo [ε, 1/2]; • finalmente, a imagem de um ponto fora dos tubos por g˜ ´e definida como o p´ olo sul. Como g˜ ´e extens˜ ao cont´ınua de g e f ´e homot´ opica a g, ent˜ ao f tamb´em tem extens˜ ao cont´ınua pelo lema 9.6. Observa¸ c˜ ao 9.3. Se f : ∂W → S n tem grau 0 e ´e de classe C r , ent˜ ao f tem extens˜ ao C r . Teorema 9.10. Sejam f, g ∈ C 0 (M, S n ) aplica¸c˜ oes cont´ınuas, com M e uma variedade orient´ avel de dimens˜ao n. Se f e g tem o mesmo grau, ent˜ ao f e g s˜ ao homot´ opicas. Demonstra¸ c˜ ao. Considere W = [0, 1] × M , de modo que o bordo de W ´e ∂W = {0} × M ∪ {1} × M . A aplica¸c˜ ao h : ∂W → S n definida por h(0, x) = f (x) e h(1, x) = g(x) tem grau 0, e portanto se estende ˜ : [0, 1] × M → S n , que ´e uma homotopia entre f e continuamente a h g. Observa¸ c˜ ao 9.4. Como j´ a vimos anteriormente, para todo k ∈ Z existe uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → S n de grau k. Portanto o conjunto das classes de homotopia de aplica¸c˜ oes de M em S n esta em bije¸c˜ ao com Z.

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[SEC. 9.2: ´INDICE DE SINGULARIDADE DE CAMPOS DE VETORES

9.2

229

´Indice de singularidade de campos de vetores

Defini¸ c˜ ao 9.3. Seja X : U ⊂ Rn → Rn um campo de vetores cont´ınuo e x0 ∈ U uma singularidade isolada de X. Seja ε > 0 tal que X(x) 6= 0 se 0 < kxk ≤ ε. Definimos o ´ındice de X em x0 , denotado por Ind(X, x0 ), como o grau da aplica¸c˜ ao S n−1 x

−→ 7−→

S n−1 X(x0 +εx) kX(x0 +εx)k .

Observa¸ c˜ ao: Pela invariˆ ancia do grau por homotopia, a defini¸c˜ ao n˜ ao depende da escolha de ε. Defini¸ c˜ ao 9.4. Uma singularidade x0 ∈ U de um campo X ∈ X1 (U ) ´e dita hiperb´ olica se DX(x0 ) n˜ ao possui autovalores no eixo imagin´ ario. O subespa¸co est´ avel de X em x0 ´e o auto-espa¸co Exs0 associado aos autovalores com parte real negativa. Proposi¸ c˜ ao 9.11. Se x0 ´e uma singularidade hiperb´ olica de um campo X ∈ X1 (U ), ent˜ ao s

Ind(X, x0 ) = (−1)dim Ex0 . Demonstra¸ c˜ ao. Seja A0 = DX(x0 ). Para ǫ > 0 pr´ oximo de 0 e n−1 x∈S , temos que X(x0 + ǫx) = A0 (ǫx) + r(ǫx), com r(ǫx) →0 ǫ se ǫ → 0. Como A0 n˜ ao tem autovalores no eixo imagin´ ario, A0 ´e em particular invert´ıvel, portanto existe m > 0 tal que kA0 (x)k ≥ m para todo x ∈ S n−1 . Como r(ǫx) → 0 quando ǫ → 0, podemos ǫ r(ǫx) escolher ǫ > 0 tal que | ǫ | < m e tamb´em que X(x0 + ǫx) 6= 0 para todo x ∈ S n−1 . Da´ı kǫA0 (x) + s · r(ǫx)k = 6 0 para todo s ∈ [0, 1] e x ∈ S n−1 , de modo que est´ a bem definida a aplica¸c˜ ao S n−1 × [0, 1] (x, s)

−→ 7−→

S n−1 ǫA0 (x)+s·r(ǫx) kǫA0 (x)+s·r(ǫx)k

X(x0 +εx) e ´e uma homotopia entre as aplica¸c˜ oes x 7→ kX(x e x 7→ 0 +εx)k implicando portanto que tem o mesmo grau, e assim

Ind(X, x0 ) = Ind(A0 , 0).

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A0 (x) kA0 (x)k ,

230

´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

Por outro lado, pelo lema 9.6, podemos construir uma homotopia At a identidade se o n´ ` umero de autovalores com parte real < 0 ´e par ou a aplica¸c˜ ` ao (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ (−x1 , x2 , . . . , xn ) se esse n´ umero for ´ımpar. Logo Ind(A0 , 0) ´e igual a 1 se o auto-espa¸co correspondente aos autovalores com parte real negativa tem dimens˜ao par e −1 caso contr´ ario. Corol´ ario 9.12. Sejam x0 ∈ U ´e uma singularidade hiperb´ olica do campo X ∈ X1 (U ), ϕ : U → V ⊂ Rn um difeomorfismo de classe C ∞ e Y = ϕ∗ X : y 7→ Dϕ(ϕ−1 (y)) · X(ϕ−1 (y)). Ent˜ ao ϕ(x0 ) ´e singularidade hiperb´ olica de Y e Ind(X, x0 ) = Ind(Y, ϕ(x0 )). Demonstra¸ c˜ ao. Se y0 = ϕ(x0 ), ent˜ ao DY (y0 ) = Dϕ(x0 ) · DX(x0 ) · Dϕ(x0 )−1 ⇒ dim Exs0 = dim Eys0 pois o espectro de DX(x0 ) ´e igual ao espectro de DY (y0 ). Lema 9.13. Se 0 ´e uma singularidade simples de um campo de vetores X : Rn → Rn ent˜ ao para todo δ > 0 suficientemente pequeno 0 ´e singlaridade hiperb´ olica do campo Y (x) = X(x) + δ × x. Demonstra¸ c˜ ao. Como DY (0) = DX(0) + δid temos que se λ ´e autovalor de DX(0) ent˜ ao λ + δ ´e autovalor de DY (0). Logo, se δ ´e menor que o valor absoluto da parte real de todos autovalores com parte real n˜ ao nula, temos que DY (0) n˜ ao tem autovalor no eixo imagin´ ario. Logo 0 ´e singularidade hiperb´ olica de X. Proposi¸ c˜ ao 9.14. Se r ≥ 1 ent˜ ao o conjunto dos campos de vetores C r cujas singularidades s˜ ao todas hiperb´ olicas ´e aberto e denso em Xr (M ). Demonstra¸ c˜ ao. Como o conjunto dos campos de vetores com todas as singularidades simples ´e aberto e denso, teorema 8.41, a proposi¸c˜ ao segue do lema 9.13.

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[SEC. 9.2: ´INDICE DE SINGULARIDADE DE CAMPOS DE VETORES

231

Lema 9.15. Seja x0 ∈ U uma singularidade isolada do campo de vetores cont´ınuo X : U ⊂ Rn → Rn . Se ϕ : U → V ⊂ Rn ´e um difeomorfismo C ∞ (basta C 1 ) e Y = ϕ∗ X, ent˜ ao Ind(X, x0 ) = Ind(Y, y0 ) com y0 = ϕ(x0 ). Demonstra¸ c˜ ao. Seja a > 0 tal que 0 < kx − x0 k ≤ a ⇒ X(x) 6= 0

0 < ky − y0 k ≤ a ⇒ Y (y) 6= 0.

Seja b
0 ´e suficientemente pequeno, ent˜ ao ϕ∗ X a muito pr´ oximo ˜ est˜ de Y , de modo que as singularidades de ϕ∗ X ao contidas na bola de raio a2 e centro y0 e as aplica¸c˜ oes S n−1 → S n−1 ,

y 7→

Y (y0 + ay) kY (y0 + ay)k

e

y 7→

˜ 0 + ay) ϕ∗ X(y ˜ 0 + ay)k kϕ∗ X(y

est˜ ao pr´ oximas, e portanto s˜ ao homot´ opicas, implicando que tem o mesmo grau. ˜ Al´em disso, para ε suficientemente pequeno as singularidades de X est˜ ao contidas na bola de raio a2 e centro x0 . Pelo corol´ ario ante˜ em B(x0 , a) ´e igual a rior, a soma dos ´ındices da singularidades de X ˜ em B(x0 , a). Seja δ > 0 soma dos ´ındices da singularidades de ϕ∗ X suficientemente pequeno para que as bolas de raio δ e centro nas sin˜ sejam duas a duas disjuntas e contidas em B(x0 , a). gularidades de X

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232

´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

Seja W = B(x0 , a) \

S

B(xi , δ), em que x1 , . . . , xk s˜ ao as singulari-

i

˜ em B(x0 , a). Como X ˜ n˜ dades de X ao tem singularidades em W , a aplica¸c˜ ao ∂W −→ S n−1 ˜ x 7−→ kX(x) ˜ X(x)k se estende continuamente a W , e portanto tem grau 0. k P ˜ xi ) e, de modo an´ Logo Ind(X, x0 ) = Ind(X, alogo, i=1

Ind(Y, y0 ) =

k X i=1

˜ ϕ(xi )), Ind(ϕ∗ X,

o que implica Ind(X, x0 ) = Ind(ϕ∗ X, y0 ). Defini¸ c˜ ao 9.5. Se X ∈ X0 (M ) e x0 ∈ M ´e singularidade isolada de X, definimos Ind(X, x0 ) = Ind(ϕ∗ X, ϕ(x0 )) ˜ ⊂ Rm uma carta local em torno de x0 . com ϕ : U ⊂ M → U Observa¸ c˜ ao 9.5. Pelo lema 9.12, a defini¸c˜ ao n˜ ao depende da carta local e nem de uma orienta¸c˜ ao de M . Teorema 9.16. Sejam M uma variedade compacta e X, Y ∈ X(M ) campos de vetores cujas singularidades s˜ ao todas isoladas. Ent˜ ao X X Ind(X, x) = Ind(Y, y). X(x)=0

Y (y)=0

Portanto o n´ umero acima ´e um invariante da variedade, chamado de caracter´ıstica de Euler de M , e ´e denotado por χ(M ). Demonstra¸ c˜ ao. Usando a proposi¸c˜ ao 9.14,podemos trocar X e Y por campos de classe C ∞ com singularidades todas hiperb´ olicas. Segue do teorema 8.41 que existe um caminho cont´ınuo de campos de vetores t ∈ [0, 1] 7→ Xt , com X0 = X e X1 = Y e tal que todas as singularidades de Xt s˜ ao isoladas para todo t. Pela invariˆ ancia de

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[SEC. 9.2: ´INDICE DE SINGULARIDADE DE CAMPOS DE VETORES

233

grau por homotopia, temos que para todo t0 ∈ [0, 1] existe ε > 0 tal que X X |t − t0 | < ε ⇒ Ind(Xt , x) = Ind(Xt0 , x). Xt (x)=0

Xt0 (x)=0

Teorema 9.17. Seja M uma variedade compacta. Ent˜ ao existe um campo de classe C ∞ em M cujas singularidades s˜ ao todas hiperb´ olicas e de mesmos ´ındices. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um campo de vetores em M cujas singularidades s˜ ao todas hiperb´ olicas. Sejam x, y ∈ M singularidades de X tais que Ind(X, x) = −Ind(X, y). Usando um arco mergulhado contendo x e y, disjunto das outras singularidades, e que seja o fluxo de um campo de vetores de classe C ∞ tangente a esse arco constru´ımos um mergulho ϕ : (−ε, 1 + ε) × Dn−1 → M tal que ϕ((−ε, 1+ε)×Dn−1 )) intersecta o conjunto de singularidades de X apenas nos pontos x = ϕ(0, 0) e y = ϕ(1, 0).

Seja Y : (−ε, 1 + ε) × Dn−1 → Rn o campo tal que ϕ∗ Y = X. Tomemos uma vizinhan¸ca B de [0, 1] × {0} difeomorfa a uma bola, cujo bordo ´e difeomorfo a uma esfera, e B0 , B1 bolas centradas em (0, 0) e (1, 0) cujos fechos est˜ ao contidos em B. Se W = B \ B 0 ∪ B 1 , ent˜ ao ∂W = ∂B ⊔ ∂B0 ⊔ ∂B1 e a aplica¸c˜ ao ∂W x

−→ 7−→

S n−1 Y (x) kY (x)k

se estende a W , e portanto tem grau 0. Por outro lado seu grau ´e IndY (0, 0) + IndY (1, 0) − gr kYY (x) (x)k |∂B . Mas como Ind(Y, (0, 0)) = −Ind(Y, (1, 0)) temos que a aplica¸c˜ ao ∂B x

−→ 7−→

S n−1 Y (x) kY (x)k

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234

´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

tem grau zero. Logo se estende diferenciavelmente a B. Portanto Y |(−ε,1+ε)×Dn−1 \B se estende a um campo Y˜ sem singularidades. De fato, tome F : B → S n−1 uma extens˜ ao e seja f fun¸c˜ ao de classe C ∞ n˜ ao negativa que vale 1 em vizinhan¸ca de B0 ∪ B1 e 0 fora de uma vizinhan¸ca de B0 ∪ B1 contida em B e defina Y˜ = (kY k + f ) · F . Logo o campo Y˜ que coincide com X fora de ϕ((−ε, 1 + ε) × Dn−1 ) e com ϕ∗ Y˜ em ϕ((−ε, 1 + ε) × Dn−1 ) tem todas as singularidades hiperb´ olicas e um par de singularidades com ´ındices distintos a menos que X. Continuando o processo encontramos um campo com todas as singularidades de mesmo ´ındice. Corol´ ario 9.18. Se χ(M ) = 0, ent˜ ao existe um campo de vetores em M sem singularidades. Corol´ ario 9.19. Se M ´e uma superf´ıcie e χ(M ) < 0, ent˜ ao existe um campo de vetores em M cujas singularidades s˜ ao selas hiperb´ olicas, isto ´e, singularidades de ´ındice −1. Observa¸ c˜ ao 9.6. Podemos provar diretamente o corol´ ario acima observando que toda superf´ıcie compacta ´e obtida colando um n´ umero finito de cal¸cas pelos bordos, e em cada cal¸ca construir um campo de vetores com uma u ´nica sela no interior e os bordos como ´ orbitas fechadas, como na figura 9.3.

Figura 9.3: Campo de vetores em uma cal¸ca. Em particular, a caracter´ıstica de Euler ´e 2 − #de cal¸cas. O toro T2 tem caracter´ıstica de Euler 0 pois tem um campo sem singularidades e a esfera tem caracter´ıstica 2.

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[SEC. 9.2: ´INDICE DE SINGULARIDADE DE CAMPOS DE VETORES

235

Proposi¸ c˜ ao 9.20. Em toda variedade compacta existe um campo de vetores com uma u ´nica singularidade. Demonstra¸ c˜ ao. Mostremos inicialmente que dado um inteiro k, existe um campo de vetores em B(0, 1) ⊂ Rm com uma u ´nica singularidade, cujo ´ındice ´e k. De fato, seja f : S m−1 → S m−1 uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ de grau k. Seja φ : Rm → R uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ n˜ ao negativa que vale 1 pr´ oximo da esfera unit´ aria, que se anula apenas em 0 e cujas derivadas de todas ao nulas. O  asordens em 0 s˜ x campo X definido por X(x) = φ(x)f kxk se x 6= 0 e X(0) = 0 ´e de classe C ∞ e tem uma u ´nica singularidade em 0, cujo ´ındice ´e k. Seja X um campo de vetores de classe C ∞ na variedade M que tem uma singularidade isolada x0 de ´ındice igual ` a caracter´ıstica de Euler de M . Perturbando o campo X fora de uma pequena vizinhan¸ca de x0 , obtemos um campo Y que coincide com X em uma vizinhan¸ca de x0 e tal que todas as outras singularidades de Y s˜ ao hiperb´ olicas, proposi¸c˜ ao ??. Logo o n´ umero de singularidades hiperb´ olicas de ´ındice 1 ´e igual ao n´ umero de singularidades hiperb´ olicas de ´ındice −1. Usando o argumento da prova do teorema acima, podemos eliminar todas essas singularidades hiperb´ olicas e obter um campo de vetores com apenas a singularidade x0 . Proposi¸ c˜ ao 9.21. Se M ´e uma variedade de dimens˜ ao ´ımpar, ent˜ ao χ(M ) = 0. Demonstra¸ c˜ ao. X um campo de vetores em M com todas singularidades hiperb´ olicas. Sejam x1 , . . . , xk essas singularidades, de modo k s P que χ(M ) = (−1)dim Exi . O campo −X tem as mesmas singulai=1

ridades, mas o subespa¸co est´ avel em cada singularidade de −X ´e o subespa¸co inst´ avel de X nessa singularidade, da´ı X X s χ(M ) = Ind(−X, xi ) = (−1)n−dim Exi = −χ(M ),

e assim χ(M ) = 0.

Proposi¸ c˜ ao 9.22. Se M e N s˜ ao variedades compactas e π : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao de recobrimento, ent˜ ao χ(M ) = (#f −1 (x)) · χ(N ).

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236

´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um campo de vetores em N com singularidades todas hiperb´ olicas e seja Y = π ∗ X o campo de vetores em M tal que Dπ(y)Y (y) = X(π(y)). Ent˜ ao y ∈ M ´e singularidade de Y se, e somente se, x = π(y) ´e singularidade de X e Ind(Y, y) = Ind(X, x).

Observa¸ c˜ ao 9.7. Considere o toro Tn = S 1 × ... × S 1 e a aplica¸c˜ ao π:

Tn (z1 , z2 , . . . , zn )

−→ 7−→

Tn (z12 , z2 , . . . , zn ).

Ent˜ ao π ´e um recobrimento com duas folhas. Logo (χT n ) = 2χ(T n ), e portanto χ(T n ) = 0. Proposi¸ c˜ ao 9.23. Se uma variedade de dimens˜ao par M ´e a soma conexa de M1 e M2 , ent˜ ao χ(M ) = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam Bj ⊂ Mj bolas mergulhadas e considere mergulhos φj : Mj \ Bj → M , j = 1, 2, tais que M ´e a uni˜ ao das imagens de φ1 e φ2 e a interse¸c˜ ao das imagens seja uma esfera mergulhada S ⊂ M . Em M1 constru´ımos um campo de vetores com uma u ´nica singularidade em B1 , que seja hiperb´ olica e atratora, e que seja transversal a ∂B1 . Podemos supor que todas as outras singularidades de X1 tamb´em s˜ ao hiperb´ olicas. Analogamente, em M2 constru´ımos um campo X2 com uma u ´nica singularidade B2 , que seja hiperb´ olica e repulsora, e que seja transversal a ∂B2 . Sejam x1 , . . . , xk as singularidades de X1 em M1 \ B1 e y1 , . . . , yℓ as singularidades de X2 em M2 \ B2 ,

de modo que

X

X

Ind(X1 , xi ) = χ(M1 ) − 1 Ind(X2 , yi ) = χ(M2 ) − 1.

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[SEC. 9.2: ´INDICE DE SINGULARIDADE DE CAMPOS DE VETORES

237

Podemos ent˜ ao construir um campo de vetores X em M que ´e transversal a S e tal que φ∗i (X) coincide com Xi fora de uma pequena vizinhan¸ca do bordo onde os campos n˜ ao se anulam. Logo X X Ind(X, x) = Ind(X1 , x) x∈M1 X(x)=0

X

X1 (x)=0 x∈M1 \B1

Ind(X, y) =

y∈M2 X(y)=0

X

Ind(X2 , y).

X2 (y)=0 y2 ∈M2 \B2

Proposi¸ c˜ ao 9.24. Se W ´e uma variedade com bordo, ent˜ ao existe um campo de vetores sem singularidades em W . ˜ o dobro de W e X um campo de vetores em Demonstra¸ c˜ ao. Seja W ˜ com singularidades hiperb´ W olicas. Sejam x1 , . . . , xk as singularida˜ des de X em W . Considere curvas mergulhadas γi : (−ε, 1 + ε) → W com γi (0) = xi , com imagens duas a duas disjuntas e disjuntas das ˜ \ W . Tomemos um campo outras singularidades e tais que γi (1) ∈ W ∞ de vetores de classe C tal que as curvas γi s˜ ao integrais e se anula fora de uma pequena vizinhan¸ca dessas curvas. Seja ϕ o fluxo desse campo e Y = ϕ1 ∗ X. Ent˜ ao todas as singularidades de Y est˜ ao em ˜ \ W e sua restri¸c˜ W ao a W ´e um campo de vetores sem singularidades. Proposi¸ c˜ ao 9.25. Se X e Y s˜ ao campos de vetores em W que s˜ ao transversais ao bordo apontando para o interior de W , ent˜ ao X X Ind(X, x) = Ind(Y, y). X(x)=0

Y (y)=0

Chamamos esse n´ umero de caracter´ıstica de Euler de W . Demonstra¸ c˜ ao. Podemos construir como antes uma homotopia entre esses dois campos por campos que s˜ ao transversais ao bordo e s´ o tem singularidades isoladas e a mesma prova funciona. Corol´ ario 9.26. Se W1n e W2n s˜ ao variedades de dimens˜ao par com bordo e ϕ : ∂W1 → ∂W2 ´e um difeomorfismo, ent˜ ao χ(W1 ∪ϕ W2 ) = χ(W1 ) + χ(M2 ).

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238

´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam ij : Wj ֒→ W1 ∪ϕ W2 mergulhos e Xj campos com singularidades hiperb´ olicas em Wi e apontando para o interior. Constru´ımos um campo de vetores X em W1 ∪ϕ W2 tal que i∗1 X coincide com X1 fora de uma vizinhan¸ca de ∂W1 e ´e n˜ ao nulo nessa vizinhan¸ca e i∗2 X coincide com −X2 fora de vizinhan¸ca de ∂W2 , na qual n˜ ao se anula. Logo X χ(M ) = Ind(X, x) X(x)=0

=

X

Ind(X1 , x) +

X1 (x)=0

=

9.3

X

Ind(X2 , x)

X2 (x)=0

χ(M1 ) + χ(M2 ).

N´ umero de interse¸c˜ ao

Assim como a no¸c˜ ao de transversalidade de uma aplica¸c˜ ao a uma subvariedade ´e uma generaliza¸c˜ ao da no¸c˜ ao de valor regular, a defini¸c˜ ao abaixo generaliza a no¸c˜ ao de grau. Defini¸ c˜ ao 9.6. Sejam M, N variedades orientadas, com M compacta, e S ⊂ N uma subvariedade fechada e orientada tal que dim M + dim S = dim N . Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C r , r ≥ 1, transversal a S, definimos o n´ umero de interse¸c˜ ao de f com S por X #f ∩ S = sinal(x), x∈f −1 (S)

em que sinal(x) = +1 se uma base positiva de T Sf (x) seguida da imagem por Df (x) de uma base positiva de T Mx for uma base positiva de T Nf (x) e −1 caso contr´ ario. Teorema 9.27. Seja M uma variedade compacta orientada, N variedade orientada, e S ⊂ N variedade orientada cuja codimens˜ao ´e igual ` a dimens˜ ao de M . Se f, g : M → N s˜ ao aplica¸c˜ oes de classe C ∞ homot´ opicas e transversais a S ent˜ ao o n´ umero de interse¸c˜ ao de f com S coincide com o n´ umero de interse¸c˜ ao de g com S.

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´ ˜ [SEC. 9.3: NUMERO DE INTERSEC ¸ AO

239

˜ : M × [0, 1] → N uma homotopia cont´ınua Demonstra¸ c˜ ao. Seja H ˜ entre f e g. Como anteriormente, podemos supor que H(x, t) = f (x) ˜ ˜ para t ≤ 41 e H(x, t) = g(x) para t ≥ 34 . Podemos ent˜ ao aproximar H 0 ∞ na topologia C por uma homotopia H de classe C que ´e transversal ˜ se t ≤ 1 e t ≥ 7 . Como antes, a imagem a S e coincide com H 8 8 inversa de S ´e um n´ umero finito de arcos de curva com extremos no bordo de M × [0, 1] e um n´ umero finito de c´ırculos no interior de M × [0, 1]. Vamos mostrar que se γ : [0, 1] → M × [0, 1] ´e um desses arcos com γ(0) = (x, 0) e γ(1) = (y, 0) ent˜ ao x ent˜ ao x e y tem sinais contr´ arios. De fato, orientemos M × R com a orienta¸c˜ ao produto e tomemos uma m´etrica Riemanniana e M × R com M × {t} ortogonal a {z} × R para todo z ∈ M . Orientemos o subespa¸co perpendicular a γ ′ (t) de modo que γ ′ (t) seguido de uma base positiva de γ ′ (t)⊥ seja uma base positiva de M × [0, 1]. Tomemos tamb´em uma metrica Riemanniana em N e, para cada ponto z ∈ S orientamos o espa¸co ortogonal a T Sz de modo que uma base positiva de T Sz seguida de uma base positiva de T Sz⊥ ´e uma base positiva de T Nz . Como H ´e transversal a S e a imagem de γ ′ (t) por DH(γ(t)) pertence a S temos que a imagem de γ ′ (t)⊥ ´e transversal ao espa¸co tangente a S no ponto H(γ(t)) e a composta de restri¸c˜ ao de DH(γ(t)) a γ ′ (t)⊥ com ⊥ a proje¸c˜ ao ortogonal de T Nγ(t) sobre T Sγ(t) ´e um isomorfismo ρ(t) de ′ ⊥ ⊥ γ (t) sobre T SH(γ(t)) . Logo ou ρ(t) preserva orienta¸c˜ ao para todo t ou inverte a orienta¸c˜ ao para todo t. Por outro lado, a orieta¸c˜ ao em γ ′ (0)⊥ = T Mx coincide com a orienta¸c˜ ao de T Mx enquanto que a orienta¸cao de γ ′ (1)⊥ = T My ´e oposta ` a orienta¸cao de T My o que prova que os sinais s˜ ao opostos. Com o mesmo argumento concluimos que se γ(0), γ(1) ∈ M × {1} os extremos tem sinais opostos para g enquanto que se, γ(0) ∈ M × {0} eγ(1) ∈ M × {1}, os sinais coincidem. Podemos ent˜ ao definir o n´ umero de interse¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : M → N com S como o n´ umero de interse¸c˜ ao com S de qualquer fun¸c˜ ao C ∞ transversal a S e suficientemente proxima de f e esse n´ umero ´e invariante por homotopia. Se M ´e uma variedade compacta orientada, a soma dos ´ındices das singularidades de um campo de vetores coincide com o n´ umero de interse¸c˜ oes de X com a se¸c˜ ao nula de T M . Como o espa¸co de campos de vetores ´e um espa¸co vetorial, dois campos s˜ ao sempre ho-

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

mot´ opicos: t 7→ (1 − t)X + tY . A invariˆ ancia por homotopia do n´ umero de interse¸c˜ ao fornece uma outra prova de que a soma dos ´ındices das singularidades n˜ ao depende do campos de vetores. Esse resultado para variedades orientadas imediatamente implica o resultado para variedades n˜ ao orientadas. De fato, se M ´e uma variedade compacta n˜ ao orientada e X, Y ∈ X0 (M ) s˜ ao dois campos de vetores com singularidades isoladas e tais que a soma dos ´ındices das singularidades n˜ ao coincidem, podemos tomar o recobrimento duplo ˜ → M , com M ˜ orient´ ˜ = π ∗ X e Y˜ = π ∗ Y π: M avel, e os campos X tem distintas soma de ´ındices de singularidades. Se as variedades n˜ ao s˜ ao orientadas podemos definir, como no caso de grau, o n´ umero de interse¸c˜ ao modulo 2 que ´e um invariante homot´ opico. Vejamos agora uma aplica¸c˜ ao desse invariante. Teorema 9.28 ( Jordan-Brower). Seja M uma subvariedade de codimens˜ ao um de Rn+1 . Ent˜ ao M ´e orient´ aveis e o complemento de M tem exatamente duas componentes conexas. Demonstra¸ c˜ ao. Podemos supor que M ´e conexa. Tomando uma orienta¸c˜ ao de Rn+1 basta construir um campo de vetores cont´ınuo e normal a M para definir uma orienta¸c˜ ao em M : uma base de T Mx ´e positiva se, seguida do vetor normal, ´e uma base positiva de Rn+1 . Para construir tal campo de vetores, come¸camos definindo um vetor unit´ ario v0 normal a T Mx0 . Se x ∈ M seja α : [0, 1] → M um caminho tal que α(0) = x0 e α(1) = x podemos construir uma aplica¸c˜ ao contanua v : [0, 1] → Rn+1 tal que para cada t v(t) ´e um vetor unit´ ario normal a T Mα(t) . Afirmamos que v(1) n˜ ao depende do caminho α. Caso contr´ ario existiria um caminho fechado β : [0, 1] → M com β(0) = β(1) = x0 e uma fun¸c˜ ao cont´ınua v : [0, 1] → Rn+1 tal que v(t) ´e um vetor unit´ ario normal a T Mβ(t) e v(0) = −v(1). Se ǫ > 0 ´e suficientemente pequeno o vetor β(t) + ǫv(t) n˜ ao pertence a M . Logo a curva fechada γ : [0, 1] → Rn+1 definida por γ(t) = β(2t) + v(2t) se t ≤ 12 e γ(t) = (2t − 12 )β(0) + (1 − (2t − 12 ))β(1) ´e uma curva fechada que intersecta M no u ´nico ponto x0 , Isto ´e um absurdo pois se v ∈ Rn+1 tem norma suficientemente grande a curval fechada t 7→ γ(t) + v ´e disjunta de M e ´e homot´ opica a γ. Com o mesmo argumento conclu´ımos que x0 + ǫv0 e x0 − ǫv0 pertencem a componentes conexas distintas do complementar de M pois, caso contrario poder´ıamos construir uma curva fechada que intersecta M no u ´nico

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´ ˜ [SEC. 9.3: NUMERO DE INTERSEC ¸ AO

ponto x0 . Resta provar que temos apenas duas componentes conexas. De fato, como vimos acima, exige uma aplica¸c˜ ao diferenci´ aveis v : M → Rn+1 tal que v(x) ´e um vetor unit´ ario ortogonal a T Mx . Logo o vibrado normal de M ´e trivial e, portanto, M separa uma vizinhan¸ca tubular U em duas componentes. Por outro lado, dado z ∈ M exige uma curva α : [0, 1] → Rn+1 tal que α(0) = z, α(1) ∈ M e α(t) ∈ / M se t < 1. Logo z pertence ` a mesma componente conexa de Rn+1 \ M que o ponto α(1 − ǫ) ∈ U . Um ponto fixo de uma aplica¸c˜ ao C 0 f : M → M ´e um ponto da interse¸c˜ ao do grafico de f com a diagonal ∆ ⊂ M × M . Logo, se M ´e orient´ avel podemos definir um invariante da classe de homotopia de f : o n´ umero de interse¸c˜ ao de f˜: M → M × M com a diagonal. Se f 1 ˜ ´e C e f ´e transversal ` a diagonal, ent˜ ao o sinal de cada ponto fixo x com respeito ` a aplica¸c˜ ao f˜ ´e chamado ´ındice do ponto fixo. . Vamos a seguir mostrar que esta defini¸c˜ ao se estende a ponto fixo isolado de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua de uma variedade orient´ avel ou n˜ ao. Defini¸ c˜ ao 9.7. Seja f : U ⊂ Rm → Rm uma aplica¸c˜ ao cont´ınua tal que 0 seja um ponto fixo isolado, isto ´e, f (x) 6= x para todo x em uma vizinhan¸ca de 0. Se ǫ > 0 ´e tal que a bola de centro 0 e raio 2ǫ esteja contido nessa vizinhan¸ca definimos o ´ındice de f em 0 como o grau da aplica¸c˜ ao S n−1 → S n−1 definida por x 7→

f (ǫx) − ǫx ||f (ǫx) − ǫx||

Pela invariˆ ancia por homotopia do grau, a defini¸c˜ ao acima n˜ ao depende da escolha de ǫ. Defini¸ c˜ ao 9.8. Seja f : M → M uma aplica¸c˜ ao de classe C 1 . Dizemos que p ∈ M ´e um ponto fixo simples de f se Df (p) : T Mp → T Mp ´e um isomorfismo que n˜ ao tem autovalor igual a 1. Dizemos que o ponto fixo ´e hiperb´ olico se Df (p) ´e isomorfismo e n˜ ao tem autovalor no c´ırculo unit´ ario. Em particular, uma singularidade simples (resp. hiperb´ olica) de um campo de vetores ´e um ponto fixo simples (resp. hiperb´ olico) do fluxo do campo do campo de vetores.

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

Um ponto fixo p de f : M → M ´e simples se e s` omente se a aplica¸c˜ ao x 7→ (x, f (x)) ´e transversal ` a diagonal no ponto p. Logo todo ponto fixo simples ´e isolado. Proposi¸ c˜ ao 9.29. Sej 0 um ponto fixo simples de uma aplica¸c˜ ao C 1 m m f: U ⊂R →R . 1. Se o n´ umero de autovalores de Df (0) em cada um dos intervalos (−∞, 0) e (0, 1) ´e par ent˜ ao o Ind (f, 0) = +1. 2. Se o n´ umero de autovalores de Df (0) em cada um dos intervalos (−∞, 0) e (0, 1) ´e impar ent˜ ao o Ind (f, 0) = +1 3. Se a paridade ´e diferente ent˜ ao Ind (f, 0) = −1 Demonstra¸ c˜ ao. A prova usa a invariˆ ancia por homotopia do grau como na proposi¸c˜ ao 9.11. Exatamente como na proposi¸c˜ ao 9.11 come¸camos mostrando que Ind (f, 0) = Ind (L, 0) onde L = Df (0). Em seguida construimos um caminho Lt de isomorfismos lineares sem autovalor igual a 1 com L0 = L e L1 um dos isomorfismos seguintes: No primeiro caso, L1 (x) = 2x. No segundo casso, L1 (x1 , . . . , xm ) = (− 12 x1 , − 12 x, 2x3 , . . . , 2xm ). Finalmente, no terceiro caso L1 (x1 , x2 , . . . , xm ) = ( 12 x1 , 2x2 , . . . , 2xm ) ou L1 (x1 , x2 , . . . , xm ) = (− 12 x1 , +2x2 , . . . , 2xm ). Isto ´e feito como na proposi¸c˜ ao 9.11: iniciamos o caminho at´e um isomorfismo proximo que ´e diagonaliz´ avel sobre os complexos, movemos todos os autovalores reais para − 12 , 12 , 2 e em seguida todos os autovalores complexos e pares de autovalores reais iguais para 2. Por invari˜ ancia por homotopia do grau o ´ındice n˜ ao depende de t. Para calcular o ´ındice no terceiro caso, temos que calcular o grau da aplica¸c˜ ao x ∈ S m−1 7→

(− 12 x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ S m−1 ||(− 21 x1 , x2 , . . . , xm )||

mas essa aplica¸c˜ ao ´e homot´ opica a x ∈ S m−1 7→ (−x1 , x2 , . . . , xm ) que tem grau −1. Os outros casos s˜ ao analogos.

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´ ˜ [SEC. 9.3: NUMERO DE INTERSEC ¸ AO

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Corol´ ario 9.30. Se 0 ´e ponto fixo simples da aplica¸c˜ ao C 1 f : U ⊂ m m 1 R → R e φ : U → V ´e um difeomorfismo C ent˜ ao φ(0) ´e ponto fixo simples de φ ◦ f ◦ φ−1 e com o mesmo ´ındice. Demonstra¸ c˜ ao. Pela proposi¸c˜ ao o ´ındice s´ o depende do espectro da derivada no ponto fixo que ´e o mesmo nos dois casos. Pelo corol´ ario acima, o ´ındice de um ponto fixo simples ´e invariante por mudan¸cas de coordenadas C 1 , mesmo que n˜ ao preserve a orienta¸c˜ ao e fica bem definido em variedades, orient´ aveis ou n˜ ao. Exerc´ıcio 9.1. Mostre que para os isomorfismos L1 : Rm → Rm da proposi¸c˜ ao anterior, o ´ındice no ponto fixo coincide com o sinal de 0 da intese¸c˜ ao com a diagonal da aplica¸c˜ ao x ∈ Rm 7→ (x, L1 (x)) ∈ M ×M . Conclua que, para variedades orient´ aveis, o n´ umero de interse¸c˜ ao de uma aplica¸c˜ ao transversal ` a diagonal ´e igual ` a soma dos ´ındices dos pontos fixos. Teorema 9.31. O conjunto das transforma¸c˜ oes em C r (M, M ) cujo gr´ afico ´e transversal ` a diagonal ´e aberto e denso. Demonstra¸ c˜ ao. A prova usa os mesmos argumentos do cap´ıtulo 8 e ´e deixada como exerc´ıcio ao leitor. Corol´ ario 9.32. Se 0 ´e um ponto fixo isolado de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : U ⊂ Rm → Rm e φ : U → V ´e um difeomorfismo C 1 ent˜ ao φ(0) ´e ponto fixo isolado de φ ◦ f ◦ φ−1 de mesmo ´ındice. Demonstra¸ c˜ ao. Seja ǫ > 0 tal que f n˜ ao tem ponto fixo na bola de raio 2ǫ. Se g ´e suficientemente proximo a f na topologia C0 , g n˜ ao tem pontos fixos na esfera de raio ǫ. Pelo teorema, podemos tomar g C ∞ tal que seus pontos fixos s˜ ao todos simples. Logo g tem um n´ umero finito de pontos fixos na bola de raio ǫ. Centrado em cada um dos pontos fixos tomamos uma pequena bola com fecho contido na bola de raio ǫ tais que os fechos dessas bolas sejam dois a dois disjuntos e que g n˜ ao tenha pontos fixos na variedade W que ´e o complementar dessas bolas na bola de raio ǫ. Comoa a fun¸c˜ ao g(x)−x) x ∈ W → ||g(x)−x|| ∈ S m−1 ´e cont´ınua, sua restri¸c˜ ao ao bordo tem grau zero. Mas o grau de sua restri¸c˜ ao ao bordo da esfera de raio ǫ ´e igual ao ´ındice Ind(f, 0). Isto porque se g est´ a suficientemente

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

proximo a f na esfera, as correspondentes aplica¸c˜ oes da esfera de raio ǫ na esfera unit´ aria est˜ ao proximas e, portanto, s˜ ao homot´ opicas e, consequentemente tem o mesmo grau.Por outro lado, o grau de sua restri¸c˜ ao ao complementar do bordo de W ´e igual a menos a soma dos ´ındices de g nos pontos cr´ıticos pois a orienta¸c˜ ao nessas componentes do bordo de W ´e oposta ` a orienta¸c˜ ao dessas componentes como bordo das respectivas bolas. Logo o ´ındice de 0 como ponto fixo de f ´e igual a soma dos ´ındices de g nos pontos fixos na bola de raio ǫ. Por outro ` lado, a soma dos ´ındices de φ ◦ g ◦ φ−1 nos pontos fixos da imagem da bola de raio ǫ ´e igual ` a soma dos ´ındices dos pontos fixos de g na bola de raio ǫ. e, por outro lado ´e igual ao ´ındice de φ ◦ f ◦ φ−1 no ponto φ(0) como ´e f´ acil ver. Proposi¸ c˜ ao 9.33. Seja M uma variedade compacta e f : M → M uma fun¸c˜ ao cont´ınua cujos pontos fixos s˜ ao todos isolados.. Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca de f na topologia C 0 tal que se g pertence a essa vizinhan¸ca e todos os pontos fixos de g s˜ ao isolados ent˜ ao a soma dos ´ındices dos pontos fixos de g ´e igual ` a soma dos ´ındices dos pontos fixos de f . Demonstra¸ c˜ ao. Seja W ⊂ M uma variedade com bordo tal que cada componente conexa do bordo ´e difeomorfa a uma esfera que limita uma bola contendo um u ´nico ponto fixo de f e f (x) 6= x para todo x ∈ W . Como W ´e compacto, existe uma vizinhan¸ca V de f na topologia C 0 tal que todo g ∈ V n˜ ao tem ponto fixo em W . Suponhamos que todos os pontos fixos de g ∈ V s˜ ao isolados. Seja pi um ponto fixo de f e Bi a componente conexa do complementar de W que cont´em pi . Podemos supor tamb´em que o fecho de cada uma dessas bolas est´ a no nom´ınio de uma carta loca. Em torno de cada ponto fixo de g em Bi tomemos bolas com fechos dois a dois disjuntos e disjunto do bordo de Bi e seja Wi o complementar em Bi dessas bolas. Como na prova do corol´ ario acima, a soma dos ´ındices dos pontos fixos de g em Wi ´e igual ao ´ındice do ponto fixo de f nessa bola. E isso prova a proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 9.34. Se fi : M → M , i = 0, 1 s˜ ao aplica¸c˜ oes C ∞ com gr´ aficos transversais ` a diagonal e homot´ opicas, existe uma fam´ılia cont´ınuaft : M → M tais que para todo t os pontos fixos de ft s˜ ao isolados.

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´ ˜ [SEC. 9.3: NUMERO DE INTERSEC ¸ AO

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Demonstra¸ c˜ ao. A prova ´e semelhante ` a do teorema 8.41. Devemos procurar uma fam´ılia ft , ligando f0 a f1 tal que para todo t ou todos os pontos fixos de ft s˜ ao simples ou apenas um deles n˜ ao ´e simples mas ou a derivada tem um u ´nico autovalor igual a 1, com subespa¸co invariante de dimens˜ ao um e alguma derivada segunda nessa dire¸c˜ ao ´e n˜ ao nula ou tem um n´ ucle de dimens˜ao 1 com derivada segunda nessa dire¸c˜ ao n˜ ao nula. A id´eia ´e escrever o complementar dessas condi¸c˜ oes no espa¸co de dois jatos e mostrar que esse complementar ´e a uni˜ ao de variedades de codimens˜ao maior que a dimens˜ao de M mais um. Assim, por transversalidade, o conjunto das fun¸c˜ oes C 3 de M × [0, 1] → M tais que o jato 2 ´e transversal a essas variedades ´e residual e, portanto denso. Um tal fun¸c˜ ao ´e uma fam´ılia com as propriedades desejadas pois a imagem de M × [0, 1] pelo jato 2 tem que evitar as tais subvariedades. Corol´ ario 9.35. Em uma variedade compacta, orient´ avel ou n˜ ao, a soma dos ´ındices dos pontos fixos de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua com pontos fixos isolados n˜ ao depende da fun¸c˜ ao em sua classe de homotopia. Observa¸ c˜ ao 9.8. Na se¸c˜ ao 5 do cap´ıtulo 11, Teorema do ponto fixo de Lefschetz, identificaremos esse n´ umero com a soma alternada dos tra¸cos das aplica¸c˜ oes induzidas em cohomologia. Para aplica¸c˜ oes homot´ opicas ` a identidade temos que esse n´ umero ´e novamente igual a caracter´ıstica de Euler da variedade como podemos verto tomando ` f como o fluxo do campo grandiente de uma fun¸c˜ ao de Morse. Usando o mesmo argumento do lema 9.13 e da proposi¸c˜ ao 9.14 podemos, perturbando localmente uma fun¸c˜ ao cujo gr´ afico ´e transversal a diagonal, obter uma fun¸c˜ ` ao cujos pontos fixos s˜ ao todos hiperb´ olicos e concluir que o conjunto das fun¸c˜ oes cujos pontos fixos s˜ ao todos hiperb´ olicos ´e aberto e denso em C r (M, M ) se r ≥ 1. Um ponto fixo de f ´e tamb´em um ponto fixo de f 2 = f ◦ f . Os outros pontos fixos de f 2 que n˜ ao s˜ ao pontos fixos de f s˜ ao chamados pontos peri´ odicos de per´ıodo 2 e assim por diante. Podemos, usando novamente a t´ecnica de transversalidade, mostrar que o conjunto da fun¸c˜ oes tais que todos os pontos peri´ odicos de per´ıodo ≤ 2 s˜ ao hiperb´ olicos ´e aberto e denso. Iterando esse argumento, mostramos por indu¸c˜ ao que o conjunto das fun¸c˜ oes com pontos peri´ odicos de per´ıodo ≤ n todos hiperb´ olicos ´e

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´ [CAP. 9: GRAU TOPOLOGICO

aberto e denso. Consequentemento e conjunto das fun¸c˜ oes cujos pontos peri´ odicos de qualquer per´ıodo s˜ ao todos hiperb´ olcos ´e residual. Isto ´e parte de um teorema provado por Kupka e Smale nos in;icio dos anos 60 (veja [PdM]. O resultado mencionado acima no entanto nada diz sobre a existˆencia de pontos peri´ odicos. Terminamos esse cap´ıtulo enunciando um problema de pesquisa matem´ atica que, se resolvido, ter´ a um impacto enorme na teoria dos sistemas dinˆ amicos.

Problema Mostre que se r ≥ 2 e M ´e uma variedade compacta de dimens˜ ao maior ou igual a dois ent˜ ao toda fun¸c˜ ao f ∈ C r (M, M ) pode ser arbitrariamente aproximada por uma fun¸c˜ ao que tem um ponto peri´ odico. Esse problema foi resolvido na topologia C 1 e f difeomorfismo por ´ um resultado extemamente Charles Pugh no in´ıcio dos anos 60. E dif´ıcil e importante e ´e conhecido como “closing-Lemma “. Esse problema ja tinha sido levantado por Poincar´e no in´ıcio do s´eculo 20 no contexto de difeomorfismos que preservam volume. Nesse caso, Poincar´e provou que para quase todo ponto x do dom´ınio, existe uma sequˆencia de iterados ni tendendo a infinito, tais que f ni (x) converge a x e conjecturou que genericamente no espa¸co de tais difeomorfismos o conjunto dos pontos peri´ odicos ´e denso. Essa quest˜ ao foi respondida afirmativamente na topologia C 1 por Pugh-Robinson no in´ıcio dos anos 70 mas continua um problema aberto na topologia C r com r ≥ 2.

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Cap´ıtulo 10

Cohomologia de De Rham

10.1

O complexo de De Rham

No cap´ıtulo 5 definimos a cohomologia de De Rham de uma variedade e mostramos que duas aplica¸c˜ oes C ∞ que s˜ ao C ∞ homot´ opicas induzem as mesmas aplica¸c˜ oes nos grupos de cohomologia. O mesmo acontece na homologia com suporte compacto se as aplica¸c˜ oes e a homotopia sejam, al´em de C ∞ , aplica¸c˜ oes pr´ oprias. Agora vamos usar aproxima¸c˜ oes de aplica¸c˜ oes C 0 por aplica¸c˜ oes C ∞ para estender esses resultados para aplica¸c˜ oes que s˜ ao apenas cont´ınuas, da mesma forma que estendemos no cap´ıtulo 8 a no¸c˜ ao de grau de Brower de aplica¸c˜ oes C ∞ para aplica¸c˜ oes apenas cont´ınuas. Teorema 10.1. 1. Uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : M → N induz aplica¸c˜ oes lineares f ∗ : H k (N ) → H k (M ) para cada k ≥ 0. Se f e g s˜ ao aplica¸c˜ oes cont´ınuas, ent˜ ao (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ . Uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e pr´ opria tamb´em induz aplica¸c˜ oes lineares entre os grupos de cohomologia com suporte compacto. 2. Duas aplica¸c˜ oes cont´ınuas e homot´ opicas induzem as mesmas aplica¸c˜ oes nos grupos de cohomologia. 3. Duas variedades que tem o mesmo tipo de homotopia tem grupos de cohomologia isomorfos. 4. (Lema de Poincar´e) H 0 (Rn ) = R e H k (Rn ) = 0 se k > 0. 247

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[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Demonstra¸ c˜ ao. Pelo corol´ ario 3.3, se f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de f na topologia C 0 de Whitney tal que toda g ∈ V ´e homot´ opica a f e duas fun¸c˜ oes C ∞ em V s˜ ao ∞ C homot´ opicas. Logo, pelo teorema 5.5, duas aplica¸c˜ oes C ∞ em V induzem as mesmas aplica¸c˜ oes lineares nos grupos de cohomologia e podemos definir essas aplica¸c˜ oes como induzidas por f . Se f ´e pr´ opria todas as aplica¸c˜ oes em V tamb´em s˜ ao pr´ oprias e propriamente homot´ opicas. Se duas aplica¸c˜ oes cont´ınuas s˜ ao homot´ opicas, ent˜ ao transforma¸c˜ oes C ∞ suficientemente pr´ oximas delas na topologia de Whitney s˜ ao C ∞ homot´ opicas e a homotopia C ∞ pode ser tomada C 0 pr´ oxima da homotopia entre as aplica¸c˜ oes cont´ınuas. Como o conjunto das aplica¸c˜ oes pr´ oprias ´e aberto na topologia C 0 , temos tamb´em que duas aplica¸c˜ oes cont´ınuas pr´ oprias que s˜ ao propriamente homot´ opicas e induzem as mesmas aplica¸c˜ oes em cohomologia. Duas variedades M , N tem o mesmo tipo de homotopia se existem aplica¸c˜ oes cont´ınuas f : M → N e g : N → M tais que f ◦ g ´e homot´ opica ` a identidade de N e g ◦ f ´e homot´ opica ` a identidade de M . Logo, para cada k temos f ∗ ◦ g ∗ = (g ◦ f )∗ = IM e g ∗ ◦ f ∗ = IN . Em particular, se M ´e contr´ atil, isto ´e, se a aplica¸c˜ ao identidade ´e homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao constante, ent˜ ao todos os grupos de cohomologia s˜ ao nulos, exceto H 0 (M ) = R. ∞ Proposi¸ c˜ ao 10.2. Se para toda aplica¸c˜ ao f : S 1 → R M∗de classe C 1 e para toda 1-forma fechada ω ∈ Ω (M ) tem-se S 1 f ω = 0, ent˜ ao H 1 (M ) = 0.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam ω uma 1-forma fechada em M e x0 ∈ M . Dado x ∈ M , tome uma curva diferenci´ avelRpor partes γ : [0, 1] → M com γ(0) = x0 e γ(1) = x e defina f (x) = γ ω. Pela hip´ otese, f (x) R n˜ ao depende da escolha de γ. Temos tamb´em que f (x) = f (x1 )+ α ω se α : [0, 1] → M ´e uma curva de classe C ∞ com α(0) = x1 e α(1) = x. Tomando uma carta local levando x1 em 0 e denotando por fˆ e ω ˆ as express˜ oes de f e ω nessa carta, a integral de ω ˆ ao longo da curva R1 t ∈ [0, 1] 7→ ty ´e simplesmente fˆ(y). Logo fˆ(y) = fˆ(0)+ 0 ω ˆ (ty)(y)dt.

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[SEC. 10.1: O COMPLEXO DE DE RHAM

Como ω ´e uma forma C ∞ temos que fˆ ´e C ∞ e dfˆ(0).y = ω ˆ (0).y. Logo f ´e de classe C ∞ e ω = df . Corol´ ario 10.3. Se M ´e uma variedade simplesmente conexa, ent˜ ao H 1 (M ) = 0. Corol´ ario 10.4. Se M ´e uma superf´ıcie compacta orient´ avel de genus g, ent˜ ao H 1 (M ) = R2g . Demonstra¸ c˜ ao. Sejam γj : [0, 1] → M , j = 1, . . . , 2g, curvas fechadas de classe C ∞ que se intersectam duas a duas apenas no ponto x0 = γj (0) = γj (1) e que geram o grupo fundamental de M . Consideremos a transforma¸c˜ ao linear T : H 1 (M ) → R2g definida por T ([ω]) =

Z

ω, . . . , γ1

Z

!

ω . γ2g

Como a integral de uma forma exata ´e zero, a transforma¸c˜ ao linear est´ a bem definida, isto ´e, n˜ ao depende da escolha de ω em sua classe de cohomologia. Por outro lado, se ω pertence ao n´ ucleo da transforma¸c˜ ao T , ent˜ ao a integral de ω em toda curva fechada ´e nula pois os γj geram o grupo fundamental. Pela proposi¸c˜ ao anterior temos ent˜ ao que ω ´e exata e assim T ´e injetiva. Resta provar que T ´e sobrejetiva. R Para tanto, basta construir formas fechadas ωj tais que γi ωj = δij . Consideremos o recobrimento universal π : D → M . Cada componente conexa da pr´e-imagem do complementar da uni˜ ao das curvas γj ´e uma regi˜ ao simplesmente conexa cujo bordo ´e um pol´ıgono curvil´ıneo. Cada aresta do pol´ıgono se projeta em uma das curvas γj , sendo que duas e somente duas arestas s˜ ao projetadas em cada γj . Unindo as duas arestas que s˜ ao projetadas em γi por um arco pelo interior da regi˜ ao e projetando esse arco em M , obtemos um c´ırculo C transversal a γi , disjunto das outras curvas γj e que n˜ ao separa M . Cortando M por C obtemos uma superf´ıcie com bordo W0 , cujo bordo tem duas componentes C0− , C0+ difeomorfas a C. Tomando uma infinidade de c´ opias Wi , i ∈ Z e identificando a componente Ci+ do bordo

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[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

− de Wi com a componente Ci+1 do bordo de Wi+1 , obtemos uma superf´ıcie sem bordo W e um recobrimento πi : W → M . O grupo das transforma¸c˜ oes de recobrimento ´e gerado por um u ´nico difeomorfismo τ , que leva Wi em Wi+1 . Se πi (˜ x0 ) = x0 , ent˜ ao o levantamento das curvas γj , j 6= i, pelo ponto x ˜0 s˜ ao curvas fechadas, enquanto que o levantamento de γi ´e uma curva que une x ˜0 com o ponto τ (˜ x0 ). Seja f0 : W0 → R uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 0 em uma vizinhan¸ca de C0− e vale 1 em uma vizinhan¸ca de C0+ . Podemos ent˜ ao estender f0 a uma fun¸c˜ ao f : W → R de classe C ∞ tal que f (τ (x)) = f (x) + 1. Consideremos a forma exata ω ˜ i = df . Temos que τ ∗ ω ˜i = ω ˜ i . Logo existe uma u ´nica forma ωi ∈ Ω1 (M ) tal que ω ˜ i = πi∗ ωi . Como ω ˜ i ´e fechada, temos que ωi tamb´em ´e fechada. RSe γ˜j s˜ aoR os levantamentos dos γj pelo ponto x ˜0 , temos que 0 = γ˜j ω ˜ i = γj ωi se j 6= i e R R 1 = γ˜i ω ˜ i = γi ωi , o que prova a afirma¸c˜ ao e o corolario.

10.2

A sequˆ encia de Mayer-Vietoris

Vimos no cap´ıtulo 10 uma sequˆencia de Mayer-Vietoris para a homologia singular. Mostraremos nessa se¸c˜ ao que existe uma sequˆencia an´ aloga para a cohomologia de de Rham. Seja M uma variedade diferenci´ avel e U, V ⊂ M abertos tais que M = U ∪ V . Para cada k, consideremos as aplica¸c˜ oes lineares: αk : e

βk :

Ωk (M ) ω

−→ 7−→

Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) (ω1 , ω2 )

Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) (ω|U , ω|V )

−→ 7−→

Ωk (U ∩ V ) ω1 |U ∩V − ω2 |U ∩V .

´ claro que αk ´e injetiva e que a imagem de αk ´e igual ao n´ E ucleo de βk . Lema 10.5. A sequˆencia α

βk

0 → Ωk (M ) →k Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) → Ωk (U ∩ V ) → 0 ´e exata.

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251

ˆ [SEC. 10.2: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS

Demonstra¸ c˜ ao. Falta apenas verificar que βk ´e sobrejetiva. Tomemos uma parti¸c˜ ao da unidade λU , λV subordinada ` a cobertura {U, V }. Se ω ∈ Ωk (U ∩ V ), definimos ω1 ∈ Ωk (U ) por ω1 (x) = λV ω se x ∈ U ∩ V e ω1 (x) = 0 caso contr´ ario, e analogamente ω2 ∈ Ωk (V ) ´ claro por ω2 (x) = −λU (x)ω(x) se x ∈ U ∩ V e 0 caso contr´ ario. E ∞ que ω1 e ω2 s˜ ao de classe C e ω1 |U ∩V − ω2 |U ∩V = ω. Como claramente as transforma¸c˜ oes lineares αk e βk comutam com a diferencial exterior, elas induzem transforma¸c˜ oes lineares nos grupos de cohomologia, que denotaremos pelas mesmas letras: αk : H k (M ) → H k (U ) ⊕ H k (V ), βk : H k (U ) ⊕ H k (V ) → H k (U ∩ V ). Prova-se de modo inteiramente an´ alogo ao teorema 11.7 que uma sequˆencia exata curta de complexos de cocadeias induz uma sequˆencia exata longa em cohomologia, de modo que temos a seguinte proposi¸ca˜o. Proposi¸ c˜ ao 10.6. Existe uma aplica¸c˜ ao linear ∆k : H k (U ∩ V ) → k+1 H (M ) tal que a sequˆencia longa de Mayer-Vietoris α

βk

∆

. . . H k (M ) →k H k (U ) ⊕ H k (V ) → H k (U ∩ V ) →k H k+1 (M ) . . . ´e exata. ´ conveniente descrever a defini¸c˜ E ao do morfismo ∆k . Seja ω uma forma fechada em Ωk (U ∩ V ). Como βk ´e sobrejetiva existem formas ω1 ∈ Ωk (U ) e ω2 ∈ Ωk (V ) tais que ω = ω1 |U ∩V − ω2 |U ∩V . Como ω ´e fechada, temos que dω1 (x) = dω2 (x) para todo x ∈ U ∩ V . Logo, definindo η(x) = dω1 (x) se x ∈ U e η(x) = dω2 (x) se x ∈ / U , temos que η ´e uma forma de classe C ∞ e fechada em Ωk+1 (M ). A aplica¸c˜ ao ∆k ´e ent˜ ao a aplica¸c˜ ao que associa a classe de cohomologia de ω ` a classe de cohomologia de η. Teorema 10.7. Se S n ´e a esfera de dimens˜ao n ≥ 1, ent˜ ao H k (S n ) = k n 0 se k 6= 0, n e H (S ) = R se k = 0, n.

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252

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Demonstra¸ c˜ ao. Fixe p, q ∈ S 1 distintos e escreva U = S 1 \ {p} e 1 V = S \ {q}. Temos que H 1 (U ) = 0 = H 1 (V ) pois U e V s˜ ao difeomorfos a R, enquanto que H 0 (U ∩ V ) = R2 pois U ∩ V tem duas componentes conexas. Assim temos o seguinte trecho na sequˆencia de Mayer-Vietoris 0 → H0 (S 1 ) → H 0 (U ) ⊕ H 0 (V ) → H 0 (U ∩ V ) → H 1 (S 1 ) → 0. | {z } | {z } | {z } ∼ =R

∼ =R2

∼ =R2

Segue da´ı que H 1 (S 1 ) tem dimens˜ ao 1 e portanto ´e isomorfo a R. Para n ≥ 2 escreva S n = Rn ∪ {∞} e U = Rn e V = S n \ {0}. A proje¸c˜ ao radial de U ∩ V = Rn \ {0} em S n−1 = {x ∈ Rn ; kxk = 1} ´e homot´ opica ` a identidade, de modo que os grupos de cohomologia de U ∩ V e de S n−1 s˜ ao isomorfos. Assim, pela sequˆencia de MayerVietoris obtemos, para k ≥ 2, a sequˆencia exata

H k−1 (U ) ⊕ H k−1 (V ) → H k−1 (S n−1 ) → H k (S n ) → H k (U ) ⊕ H k (V ) | {z } | {z } =0

=0

o que implica que H por indu¸c˜ ao.

k−1

(S

n−1

)∼ ao = H k (S n ). O teorema segue ent˜

Se uma variedade M ´e n˜ ao compacta e conexa, o grupo de cohomologia Hc0 (M ) ´e nulo pois uma fun¸c˜ ao constante com suporte compacto ´e identicamente nula. Pelo teorema de Stokes, se M ´e uma variedade orientada de dimens˜ ao n, ent˜ ao a integralR de qualquer nforma exata ´e 0, da´ı a fun¸c˜ ao linear ω ∈ Ωnc (M ) 7→ M ω induz uma aplica¸c˜ ao linear IM : Hcn (M ) → R. Essa aplica¸c˜ ao ´e sobrejetiva pois basta tomar uma forma com suporte no dom´ınio de uma carta local e tal que express˜ ao nessa carta ´e f (x)dx1 ∧ ... ∧ dxn com f n˜ ao negativa e integral positiva. Temos ent˜ ao o seguinte corol´ ario. Corol´ ario 10.8. Uma n forma em S n cuja integral se anula ´e uma forma exata. Demonstra¸ c˜ ao. Como H n (S n ) = R ent˜ ao IS n ´e um isomorfismo. Mostraremos abaixo que, pela mesma raz˜ ao, esse resultado ´e v´ alido para qualquer m-forma com suporte compacto em uma variedade orient´ avel de dimens˜ ao m.

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253

ˆ [SEC. 10.2: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS

Proposi¸ c˜ ao 10.9. Hcn (Rn ) = R e Hck (Rn ) = 0 se k < n. Demonstra¸ c˜ ao. Seja 1 ≤ k < n. Seja ω ∈ Ωkc (Rn ). Seja ρ > 0 tal que o suporte de ω esteja contido na bola {x ∈ Rn ; ||x|| < ρ2 }. Seja x U = {x ∈ Rn ; ||x|| > ρ}. A proje¸ca˜o radial π(x) = 2ρ ||x|| de U na n esfera S = {x ∈ R ; ||x|| = 2ρ} ´e uma equivalˆencia de homotopia x pois πt (x) = t2ρ ||x|| + (1 − t)x ´e uma homotopia entre a identidade de U e a composta de π com a inclus˜ ao de S em U . Pelo Lema de Poincar´e, existe uma k − 1 forma η1 tal que ω = dη1 . Como ω = 0 em U , temos que a restri¸c˜ ao de dη1 a U ´e igual a zero. Por outro lado, como H k (S n−1 ) = 0 e H k (U ) ´e isomorfo a H k (S n−1 ), temos que existe η2 ∈ Ωk−2 (U ) tal que dη2 = η1 em U . Seja φ : Rn → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 1 em {x ∈ Rn ; ||x|| ≥ 2} e 0 em {xRn ; 3 x|| ≤ 2 } com R − ǫ < δ < R. Defina η3 = d(φη2 ) em U e η3 = 0 fora de U , de modo que η3 ´e uma forma fechada de classe C ∞ em todo Rn . Logo η = η1 − η3 ´e uma forma com suporte compacto e ω = dη, o que prova que a classe de ω em Hck (Rn ) ´e nula. n n que se ω ∈ Ωnc (Rn ) ´e tal que RPara calcular Hc (R ) basta provarn−1 ω = 0, ent˜ ao ω = dη com η ∈ Ωc (Rn ). Tomemos ρ e U como Rn na primeira parte da demonstra¸c˜ ao. Novamente ω = dη3 em Rn e portanto dη3 = 0 em U . Por outro lado, pelo teorema de Stokes temos Z Z Z Z 0= ω= ω= dη = η Rn

B2ρ

B2ρ

S

Logo, pelo corol´ ario 10.8, a restri¸c˜ ao de η a S ´e uma forma exata. Como a proje¸c˜ ao radial ´e um isomorfismo entre os grupos de cohomologia de U e de S temos tamb´em que η3 ´e uma forma exata em U . Portanto η3 = dη2 em U e, como anteriormente, a forma η3 que coincide com dφη2 em U e se anula na bola de raio 23 ´e uma forma fechada de classe C ∞ em Rn . Logo η1 − η3 ´e uma forma com suporte compacto e ω = dη e, portanto, a classe de cohomologia de ω em Hcn (Rn ) ´e nula. Teorema 10.10. Se M ´e uma variedade orientada de dimens˜ao n, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao IM : Hcn (M ) → R dada por integra¸c˜ ao de formas ´e um isomorfismo.

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254

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Demonstra¸ c˜ ao. Seja ω0 uma n-forma com suporte Rcontido no dom´ınio U0 de uma carta local φ0 : U0 → Rn e tal que M ω0 = 1. Afirmamos que se ω ´e uma outra n forma com suporte contido no dom´ınio de outra carta local φ : U → Rn , ent˜ ao existe constante k ∈ R tal que [ω] = k · [ω0 ]. Para ver isso, primeiramente tome uma curva ligando um ponto de U0 com um ponto de U e cubra essa curva por um n´ umero finito de dom´ınios de cartas locais φi : Ui → Rn tais que U1 ∩ U0 6= ∅, Ui ∩ Ui+1 6= ∅ e Ur ∩ U 6= ∅. Para cada i ≥ 1 Rtomemos uma forma ωi com suporte contido em Ui−1 ∩ Ui tal que ω = 1. Como ωi e ωi+1 s˜ ao formas com suportes contidos no M i aberto Ui que ´e difeomorfo a Rn e elas tem a mesma integral temos que [ωi+1 ] = ki [ωi ] pois Hcn (Rn ) ∼ = R. Argumentando indutivamente, teremos que [ω0 ] = k1 ...kr [ω]. Se ω n˜ ao tem suporte contido em dom´ınio de carta local, consideremos uma cobertura localmente finita de M por abertos difeomorfos a Rn e tomamos λP c˜ ao i uma parti¸ N da unidade subordinada a essa cobertura. Da´ı ω = i=1 λi ω onde N ´e um inteiro tal que Uj n˜ ao intersecta o suporte de ω se j > N . Por outro lado, para cada i ≤ N existe ki tal que [λi ω] = ki [ω0 ] pela P afirmativa que acabamos de provar. Logo [ω] = k[ω0 ], com k = i ki . Corol´ ario 10.11. Se duas variedades diferenci´ aveis s˜ ao homeomorfas, ent˜ ao elas devem ter a mesma dimens˜ao. Em particular, um aberto U ⊂ Rn n˜ ao pode ser homeomorfo a um aberto V ⊂ Rm se m 6= n.

Demonstra¸ c˜ ao. Se h : M → N ´e um homeomorfismo e M, N s˜ ao orientadas ent˜ ao, como h ´e uma aplica¸c˜ ao pr´ opria ele induz isomorfismos nos grupos de cohomologia com suporte compacto e o corol´ ario segue imediatamente do teorema. Caso contr´ ario, restringimos h um aberto suficientemente pequeno, de modo que seja uma variedade orient´ avel.

Proposi¸ c˜ ao 10.12. (Cohomologia de CP n ) 0 k-´esimo grupo de cohomologia de de Rham do espa¸co projetivo commplexo CP n ´e igual a zero se k ´e impar e ´e isomorfo a R se k ´e par e menor ou igual a 2n.

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ˆ [SEC. 10.2: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS

255

Demonstra¸ c˜ ao. O teorema ´e verdadeiro para n = 1 pois CP 1 ´e difeomorfo ` a esfera S 2 . Suponhamos, por idu¸c˜ ao, que o teorema seja verdadeiro para n − 1. Seja i : CP n−1 → CP n a inclus˜ ao i([z0 : . . . : zn−1 ] = [z0 : . . . : zn−1 , 0]. Consideremos os abertos: U = CP n \ {[0 : . . . : 0 : 1]} V = {[z0 : . . . : zn ] ∈ CP n ; zn 6= 0}

. A aplica¸c˜ ao V → Cn , [z0 : . . . : zn−1 : zn ] 7→ ( zzn0 , . . . , zn−1 e um zn ) ´ difeomorfismo. Logo H k (V ) = 0 se k ´e diferente de zero. A aplica¸c˜ ao ht : U → U definida por ht ([x0 : . . . xn−1 : xn ] = [x0 : . . . : xn−1 : txn ] ´e uma homotopia entre a identidade e a retra¸cao r : U → i(CP n−1 . Logo H k (U ) ´e isomorfo a H k (CP n−1 . A aplica¸c˜ ao U ∩V 7→ Cn \{0}, [z0 : . . . : zn−1 : zn ] 7→ ( zzn0 : . . . : zn−1 zn ) ´e um difeomorfismo. Logo H k (U ∩V ) ´e isomorfo ao grupo de cohomologia H k (S 2n−1 . Como toda variedade complexa ´e orientada e CP n ´e comacta temos que H 2n (CP n ) ´e isomorfo a R. A proposi¸c˜ ao segue ent˜ ao por indu¸c˜ ao da sequˆencia de Mayer-Vietoris. Exerc´ıcio 10.1. Calcule os grupos de cohomologia de de Rham dos espa¸cos projetivos reais e quartenionicos. Teorema 10.13. Sejam M , N variedades orientadas de dimens˜ao n e fixe formas diferenciais ωM ∈ Ωnc (M ) e ωN ∈ Ωnc (N ) com integral igual a 1 nos seus respectivos dom´ınios. Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e pr´ opria, ent˜ ao f ∗ [ωN ] = grau(f ).[ωM ]. Demonstra¸ c˜ ao. Como a aplica¸c˜ ao induzida em cohomologia ´e a mesma para duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas por uma homotopia pr´ opria, o espa¸co das aplica¸c˜ oes pr´ oprias ´e aberto e o espa¸co das aplica¸c˜ oes C ∞ ´e denso, podemos supor que f ´e C ∞ . Seja V uma vizinhan¸ca de um valor regular de f tal que f −1 (V ) = ∪lj=1 Uj , onde Uj s˜ ao dois a dois disjuntos e a restri¸c˜ ao de f a cada Uj ´e um difeomorfismo sobre

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256

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

V . Seja ω uma n forma em N com suporte contido em V e cuja integral ´e igual a 1. Ent˜ ao Z Z Z X X X f ∗ω = f ∗ω = (−1)s(j) ω= (−1)s(j) M

j

Uj

j

V

j

em que s(j) = 0 se a restri¸c˜ ao de f a Uj preserva orienta¸c˜ aoP e ´e igual a 1 se inverte a orienta¸c˜ ao. Por defini¸cR˜ ao de grau temos que (−1)s(j) ´e o grau de f e portanto grau(f ) = M f ∗ (ω). Como ω ´e cohom´ R R ologa a ωN , f ∗ ω ´e cohom´ ologa a f ∗ ωN e portanto M f ∗ ωN = M f ∗ ω tamb´em ´e o grau de f . Isso prova o teorema pois, pelo teorema anterior, a integral estabelece um isomorfismo entre a cohomologia em dimens˜ ao m´ axima e R. Seja π : N → M um recobrimento regular de k folhas, isto ´e, o grupo dos automorfismos do recobrimento Aut(π) age transitivamente sobre as fibras e, consequentemente, tem exatamente k elementos. Ent˜ ao uma forma diferencial η ∈ Ωk (N ) ´e o pull-back de uma forma de M se, e somente se, f ∗ η = η para todo f ∈ Aut(π). Proposi¸ c˜ ao 10.14. Se π : N → M ´e um recobrimento regular com um n´ umero finito de folhas ent˜ ao, para cada k, a aplica¸c˜ ao induzida em cohomologia π ∗ : H k (M ) → H k (N )

´e injetiva.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja ω uma k forma fechada em M tal que π ∗ ω seja uma forma exata em N , isto ´e π ∗ ω = dη. Para cada elemento f do grupo de automorfismos de recobrimento temos que π ∗ ω = f ∗ π ∗ ω = f ∗ dη = d(f ∗ η). P Logo se η = 1/k f f ∗ η, temos que π ∗ ω = dη. Por outro lado, ∗ f η = η para todo automorfismo e, portanto, η ´e o pull-back de uma forma η ′ em M e como π ´e em particular submers˜ ao, segue que ω = dη ′ , o que mostra a proposi¸c˜ ao. Exerc´ıcio 10.2. Mostre que a proposi¸c˜ ao anterior permanece v´ alida mesmo que o recobrimento n˜ ao seja regular. Mostre tamb´em que a prova acima se adapta para o caso de formas com suporte compacto, isto ´e, π ∗ : Hck (M ) → Hck (N ) tamb´em ´e injetivo.

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ˆ [SEC. 10.2: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS

257

Corol´ ario 10.15. Se M ´e uma variedade n˜ ao orient´ avel de dimens˜ao m, ent˜ ao Hcm (M ) = 0. ˜ → M o recobrimento duplo orient´ Demonstra¸ c˜ ao. Seja π : M avel de M . O grupo dos automorfismos de recobrimento ´e gerado por uma ˜ . Logo, para toda u ´nica involu¸c˜ ao f , a qual inverte a orienta¸c˜ ao de M R R ˜ temos ˜ f ∗ ω = − ˜ ω. m-forma ω com suporte compacto em M M M ∗ Logo, se ω ao f ω = ω e R ´e o pull-back de uma forma em M , ent˜ ˜ e como π ∗ portanto M˜ ω = 0. Logo ω ´e uma forma exata em M ´e biun´ıvoca em cohomologia, temos que a forma cujo pullback ´e ω tamb´em ´e exata, o que mostra o corol´ ario. Teorema 10.16. Se M ´e uma variedade n˜ ao compacta de dimens˜ao n, ent˜ ao H n (M ) = 0. Demonstra¸ c˜ ao. Tomemos uma decomposi¸c˜ ao de M como a uni˜ ao de compactos Ki com Ki contido no interior de Ki+1 . Tomemos uma cobertura localmente finita de M por abertos Uj difeomorfos a Rn tais que se Uj intersecta o compacto Li = Ki \ Int(Ki−1 ), ent˜ ao Uj est´ a contido no aberto Int(Ki+1 ) \ Ki−2 . Se Uj intersecta o compacto Li , tomemos uma curva γj : [0, ∞) → M tal que podemos cobrir a imagem dessa curva por uma sequˆencia V0j , V1j , . . . tais que cada Vlj j ´e um dos abertos da cobertura {Ui } , V0j = Uj , Vkj ∩ Vk+1 6= ∅ e al´em disso • Para cada s existe ls tal que Vlj ∩ Ks = ∅ se l > ls . S∞ • Se V j = l=0 Vlj , ent˜ ao para cada s existe j(s) tal que se j > j(s), ent˜ ao V j ∩ Ks = ∅. S∞ Temos ent˜ ao que se V j = l=0 Vlj , ent˜ ao Vj ´e tamb´em uma cobertura localmente finita de M . Antes de provar a existˆencia dessa curva e dessa cobertura vamos mostrar o teorema. Seja agora ωj uma forma com suporte em Uj . Vamos mostrar que existe uma forma ηj com suporte em V j tal que ωj = dηj . j De fato, tomemos para cada l uma forma ωjl com suporte em Vl+1 ∩ j Vl e tal que a integral do pull-back da forma pelo difeomorfismo

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258

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Rn → Vlj seja n˜ ao nulo. Como ωj e ωj0 tem o suporte em Uj , que ´e difeomorfo a Rn , temos que existem uma constante k0 e uma forma η0 com suporte em Uj tais que ωj = k0 ωj0 + dη0 . Como j ωj,l e ωj,l+1 tem suportes contidos em Vl+1 e as formas corresponn dentes no R tem integrais n˜ ao nulas, temos que existe uma forma j ηl+1 com suporte em Vl+1 tal que ωj,l = kl+1 ωj,l+1 + dηl+1 . Logo Pm Ql−1 Qm+1 ωj = dη0 + l=1 ( s=0 ks )dηl + ( s=0 ks )ωj,m+1 para todo m. AsP Q ∞ l sim a forma η j = η0 + l=1 ( s=0 ks )ηl est´ a bem definida pois a fam´ılia {Vlj ; l} ´e localmente finita, ωj = dη j e o suporte de η j est´ a contido em V j . Consideremos agora uma forma ao da uniP∞ω. Usando uma parti¸c˜ dade, podemos escrever ω = j=1 ωj com o suporte de ωj contido em Uj . Para Pcada ωj temos uma forma ηj tal que ωj = dηj . Tomando η = ηj , a forma η est´ a bem definida pois o suporte de ηj est´ a contido em V j , a cobertura {V j } ´e localmente finita e temos que ω = dη, o que prova o teorema. Finalmente, vamos construir a curva γj e a cobertura {Vlj , l = 0, . . . , } dessa curva. Tomemos uma m´etrica Riemanniana completa em M tal que a distˆ ancia de um ponto de Ki ao complementar de Ki+1 seja maior ou igual a 1. Para cada i existe um inteiro l(i) > i tal que as componentes conexas com diˆ ametro finito do complementar de Ki est˜ ao contidas no compacto Kl(i)−2 . De fato, o n´ umero de componentes conexas do complementar de Ki que intersectam o compacto Ki+1 \ IntKi+1 ´e finito pois, caso contr´ ario, existiria uma sequˆencia xi convergindo a x nesse compacto tais que os xi ’ s pertencem a componentes conexas distintas, o que implica a existˆencia de outra sequˆencia de pontos de Ki convergindo a x, o que ´e absurdo pois Ki est´ a contido no interior de K +i + 1. Por outro lado, toda componente conexa do complementar de Ki que n˜ ao esteja contido no interior de Ki+1 intersecta Ki+1 \ IntKi+1 . Basta tomar l(i) − 2 − i maior que o diˆ ametro das componentes conexas do complementar de Ki que tem diˆ ametro finito. Logo a faixa compacta Ll(i) est´ a inteiramente contida em uma componente conexa n˜ ao limitada do complementar de Ki . Come¸cando com

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ˆ [SEC. 10.2: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS

259

o compacto Ki , constru´ımos a sequˆencia l0 = i, lj = l(lj−1 ). Logo, se Uj intersecta a faixa compacta Li , constru´ımos um primeiro arco da curva ligando um ponto de Uj a um ponto da faixa compacta Ll1 que est´ a contida em uma componente conexa n˜ ao limitada do complementar de Ki . Podemos ent˜ ao continuar esse arco no complementar de Ki at´e um ponto da faixa compacta Ll2 que est´ a contido em uma componente ilimitada de Ll1 . Continuamos o arco nessa componente conexa at´e um ponto de Ll2 . Por indu¸c˜ ao constru´ımos a curva γj que une um ponto de cada Llk a um ponto de Llk+1 por um arco no complementar de Klk−1 Selecionando uma sequˆencia de elementos da fam´ılia {Ui } que cobrem γj , cada um intersectando o seguinte, ´e f´ acil verificar que essa cobertura satisfaz ` as condi¸c˜ oes mencionadas anteriormente. Teorema 10.17. Se M ´e uma variedade compacta, ent˜ ao todos os grupos de cohomologia de de Rham tem dimens˜ao finita. Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos uma m´etrica Riemanniana em M e uma cobertura finita Vi , i = 1, . . . l, de abertos geodesicamente convexos. Suponhamos, por indu¸c˜ ao, que os grupos de cohomologia de de Rham da uni˜ ao de at´e k subconjuntos abertos e geodesicamente convexos de M tem dimens˜ao finita. Em particular os grupos de cohomologia de Mk = ∪ki=1 Vi tem dimens˜ ao finita. Por outro lado Vk+1 ∩ Mk = ∪ki=1 (Vi ∩ Vk+1 ) ´e tamb´em a uni˜ ao de k subconjuntos abertos geodesicamente convexos, e portanto H l (Mk ∩ Vk+1 ) tamb´em tem dimens˜ ao finita. Considerando o trecho da sequˆencia de MayerVietoris H l−1 (Mk ∩ Vk+1 ) → H l (Mk ∪ Vk+1 ) → H l (Mk ) ⊕ H l (Vk+1 ) ´e uma sequˆencia exata. Logo H l (Mk+1 ) = H l (Mk ∪ Vk+1 ) tem dimens˜ ao finita. Por indu¸c˜ ao concluimos que H l (M ) tem dimens˜ao finita. A dimens˜ ao do i-´esimo grupo de cohomologia de uma variedade compacta, bi (M ) = dim H i (M ) ´e chamado de i-´esimo n´ umero de Betti de M . Exerc´ıcio 10.3. Sejam M e N variedades compactas de mesma dimens˜ ao. Considere a soma conexa, M #N , das duas variedades, defi-

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260

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

nida em 4.1.1. Calcule os n´ umeros de Betti de M #N em termos dos n´ umeros de Betti de M e de N .

10.3

Dualidade de Poincar´ e

Nessa se¸c˜ ao abordaremos dois importantes teoremas que s˜ ao consequˆencias do teorema de Stokes e que em suas demonstra¸c˜ oes utilizam os mesmos ingredientes: al´em do teorema de Stokes, um lema alg´ebrico simples conhecido como lema dos 5 e a sequˆencia exata de Mayer-Vietoris. Se M ´e uma variedade compacta e orientada de dimens˜ ao m, podemos integrar m-formas em M . Pelo teorema de Stokes, a integral de qualquer m-forma exata ´e 0. Assim, temos bem definida a aplica¸c˜ ao linear DM : H k (M ) → (H m−k )∗ R definida por DM [ω]([η]) = M ω ∧ η.

O teorema da Dualidade de Poincar´e estabelece que essa aplica¸c˜ ao ´e um isomorfismo. A demonstra¸c˜ ao que ser´ a apresentada nos for¸ca a provar um resultado mais geral, em variedades orientadas n˜ ao compactas. Observe que se ω ∈ Ωk (M ) e η ∈ Ωcm−k (M ), ent˜ ao ω ∧ η tem suporte compacto e, pelo teorema de Stokes, Z Z (ω + dθ) ∧ (η + dρ) = ω∧η M

M

de modo que temos bem definida tamb´em a aplica¸c˜ ao DM : H k (M ) → (Hcm−k (M ))∗ . Vamos inicialmente definir a sequˆencia exata de Mayer-Vietoris para a cohomologia com suporte compacto. Como a restri¸c˜ ao de uma forma com suporte compacto em M a um subconjunto aberto n˜ ao tem necessariamente suporte compacto, a sequˆencia de MayerVietoris para a cohomologia de suporte compacto difere da anterior. Se ω ∈ Ωkc (A) e A ⊂ B, denotamos por ω B ∈ Ωkc (B) a forma obtida

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261

´ [SEC. 10.3: DUALIDADE DE POINCARE

por extens˜ ao como 0 a B. Suponha que M = U ∪ V , com U e V abertos. Temos aplica¸c˜ oes lineares

e

α:

Ωkc (U ∩ V ) ω

β:

Ωkc (U ) ⊕ Ωkc (V ) (ω1 , ω2 )

−→ 7−→

Ωkc (U ) ⊕ Ωkc (V ) (ω U , ω V ) Ωkc (M ) ω1M − ω2M

−→ 7−→

que formam uma sequˆencia exata curta:

β

α

0 → Ωkc (U ∩ V ) → Ωkc (U ) ⊕ Ωkc (V ) → Ωkc (M ) → 0. Essa sequˆencia induz uma sequˆencia exata longa em cohomologia, chamada sequˆencia de Mayer-Vietoris para cohomologia com suporte compacto: β∗

α

δ

· · · → Hck (U ∩ V ) →∗ Hck (U ) ⊕ Hck (V ) → Hck (M ) → Hck+1 (U ∩ V ) . . . O operador δ na sequˆencia acima ´e definido da seguinte forma. Dado ω ∈ Ωk (M ), tomemos uma parti¸c˜ ao da unidade λU , λV subordinada a cobertura {U, V }, ent˜ ` ao λU ω ∈ Ωc (U ) e λV ω ∈ Ωc (V ). Por outro lado, se ω ´e fechada, ent˜ ao d(λU ω) = d(−λV ω) e o suporte de d(λU ω) est´ a contido em U ∩ V . Ent˜ ao δ([ω]) = [d(λU ω|U ∩V )] Como a sequˆencia acima ´e constituida de espa¸cos vetoriais, a sequˆencia dualizada abaixo ´e tamb´em exata. β∗

α∗

δ∗

· · · ← (H k (U ) ⊕ H k (V ))∗ ← (H k (M ))∗ ← (Hck+1 (U ∩ V ))∗ ← . . .

′ Lema 10.18. Sejam fj : Mj → Mj+1 , fj′ : Mj′ → Mj+1 , φ j : Mj → Mj′ homomorfismos entre m´ odulos tais que o diagrama abaixo ´e comutativo e as duas sequˆencias horizontais s˜ ao exatas. f1

M1 −−−−→   φ1 y f′

f2

M2 −−−−→  φ y 2 f′

f3

M3 −−−−→  φ y 3 f′

f4

M4 −−−−→  φ y 4 f′

M5  φ y 5

M1′ −−−1−→ M2′ −−−2−→ M3′ −−−3−→ M4′ −−−4−→ M5′

Se φ1 , φ2 , φ4 e φ5 s˜ ao isomorfismos, ent˜ ao φ3 tamb´em ´e isomorfismo.

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262

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Demonstra¸ c˜ ao. Vamos mostrar que φ3 ´e sobrejetivo. Seja y3 ∈ M3′ . Como φ4 ´e isomorfismo, existe x4 ∈ M4 tal que f3′ (y3 ) = φ4 (x4 ). Pela comutatividade, temos que φ5 f4 (x4 ) = f4′ φ4 (x4 ). Como a sequˆencia inferior ´e exata, temos que f4′ φ4 (x4 ) = f4′ f3′ (y3 ) = 0. Assim, vale φ5 f4 (x4 ) = 0, o que implica f4 (x4 ) = 0 pois φ5 ´e injetiva. Como a sequˆencia superior ´e exata, existe x3 ∈ M3 tal que f3 (x3 ) = x4 . Por comutatividade temos que f3′ φ3 (x3 ) = φ4 (x4 ) = f3′ (y3 ). Logo, f3′ (φ3 (x3 ) − y3 ) = 0 e, como a sequˆencia inferior ´e exata, temos que existe y2 ∈ M2′ tal que f2′ (y2 ) = φ3 (x3 ) − y3 . Como φ2 ´e sobrejetivo, temos que y2 = φ2 (x2 ) com x2 ∈ M2 . Assim φ3 f2 (x2 ) = f2′ φ2 (x2 ) = f2′ (y2 ) = φ3 (x3 ) − y3 , e da´ı φ3 (x3 − f2 (x2 )) = y3 , o que prova que φ3 ´e sobrejetivo. De maneira an´ aloga provamos que φ3 ´e injetivo. Lema 10.19. O diagrama abaixo ´e comutativo e as sequˆencias verticais s˜ ao exatas. D ⊕−D

U V H r−1 (U ) ⊕ H r−1 (V ) −−− −−−−→ Hcm−r+1 (U )∗ ⊕ Hcm−r+1 (V )∗    ∗  β∗ y ya

H r−1 (U ∩ V )   (−1)r ∆y

D

U ∩V −−− −→

D

H r (M )   α∗ y

−−−−−−−→

H r (U ∩ V )

−−−−→

H r (U ) ⊕ H r (V )   β∗ y

−−−M −→

DU ⊕−DV

DU ∩V

Hcm−r+1 (U ∩ V )∗  ⊺ yδ Hcm−r (M )∗  ∗ yb

Hcm−r (U )∗ ⊕ Hcm−r (V )∗   ∗ ya Hcm−r (U ∩ V )∗

Demonstra¸ c˜ ao. Lembramos que se [ω] ∈ H r−1 (U ∩ V ) e λU , λV ´e uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada ` a cobertura {U, V }, definimos ω1 ∈ Ωr−1 (U ) e ω2 ∈ Ωr−1 (V ) por ω1 (x) = λV (x)ω(x) se x ∈ U ∩ V ,

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263

´ [SEC. 10.3: DUALIDADE DE POINCARE

ω1 (x) = 0 se x ∈ U \ V , ω2 = −λU (x)ω(x) se x ∈ U ∩ V e ω2 (x) = 0 se x ∈ V \ U . Definimos ent˜ ao a forma fechada η ∈ Ωr (M ) por η(x) = dω1 (x) se x ∈ U e η(x) = dω2 (x) se x ∈ V . Como vimos, ∆([ω]) = [η]. Como a forma η se anula fora de U ∩ V , temos que (DM ∆)([ω])([σ]) = =

Z

ZM

η∧σ =

U ∩V

Z

U ∩V

η∧σ =

Z

U ∩V

d(−λU ω) ∧ σ

−dλU ∧ ω ∧ σ

Por outro lado (δ T DU ∩V )([ω])([σ]) =

Z

U ∩V

ω ∧ d(λU σ) =

Z

U ∩V

ω ∧ dλU ∧ σ

que coincide com a integral anterior a menos de um sinal que depende de r, o que prova a comutatividade da parte central do diagrama. Deixamos como exerc´ıcio verificar a comutatividade dos outros diagramas. Lema 10.20. Se M ´e difeomorfa a Rm , ent˜ ao DM ´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Se 0 < r < m, ent˜ ao H r (M ) = 0 e Hcm−r (M ) = 0 e n˜ ao h´ a o que provar. Seja f : Rm → R uma fun¸c˜ ao C ∞ com suporte compacto e integral igual a 1. Como Z DM (1)([f (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn ]) = f = 1, Rm

a fun¸c˜ ao constante igual a 1 ´e um gerador de H0 (M ) e [f dx1 ∧...∧dxn ] ´e um gerador de Hcm (Rm ), temos que DM ´e um isomorfismo. Lema 10.21. Se B ´e uma base de abertos de M tal que se U, V ∈ B, ent˜ ao U ∩ V ∈ B e DU ´e um isomorfismo para todo U ∈ B, ent˜ ao DM ´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Seja F a fam´ılia das uni˜ oes finitas de elementos da base B. Pelo lema anterior e pelo lema dos 5, temos que DW ´e

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264

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

um isomorfismo se W ´e uma uni˜ ao de dois elementos U1 e U2 de B pois, sendo uma base de abertos, U1 ∩ U2 tamb´em pertence a B. Por indu¸c˜ ao conclu´ımos que DW ´e um isomorfismo para todo elemento de F.

S∞ Afirmamos que se M = i=1 Mi , onde os Mi s˜ ao subconjuntos abertos dois a dois disjuntos e DMi ´e isomorfismo para cada i , ent˜ ao DM ´e um isomorfismo. De fato, como os conjuntos s˜ a o dois a dois disjuntos, Q temos que H r (M ) = i H r (Mi ) e Hcr (M ) = ⊕i Hcr (M ). Logo, Y (Hcr (M ))∗ = Hcr (M )∗ i

e

DM (([ωi ])i ) = (DMi ([ωi ])i o que prova a afirma¸c˜ ao. Para concluir a demonstra¸c˜ ao do lema, basta escrever M como uma uni˜ ao enumer´ avel de abertos Vi tais S que cada S Vi pertence a F e Vi ∩ Vi+j = ∅ se j ≥ S 2 e tomar U = V2i e V = V2i+1 . Para isso basta escrever M = i Ki como uma uni˜ ao enumer´ avel de compactos com Ki ⊂ intKi+1 , e tomar Vi como uma cobertura finita do compacto Ki \ Int (Ki−1 ) de elementos da base B cada um com o fecho contido no aberto Int(Ki+1 ) \ Ki−2 . Agora note que o lema anterior garante que se M ⊂ Rm ´e um subconjunto aberto, ent˜ ao DM ´e um isomorfismo. De fato, considere a cobertura aberta de M dada por retˆ angulos abertos com arestas paralelas aos eixos. Como o teorema vale Rm e cada retˆ angulo ´e difeomorfo a este u ´ltimo, esta base de abertos est´ a nas condi¸c˜ oes do lema acima, e portanto o teorema vale para M . Para finalizar a prova para uma M orientada qualquer basta tomar uma base da topologia de M constitu´ıda por subconjuntos abertos difeomorfos ` a abertos de Rm (por exemplo, usando cartas locais). Provamos assim Teorema 10.22. [Dualidade de Poincar´ e] Se M ´e uma variedade orientada de dimens˜ ao m, ent˜ ao para todo 0 ≤ k ≤ m o morfismo de dualidade D : H k (M ) → Hcm−k (M )∗

´e um isomorfismo.

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

265

Uma subvariedade compacta e orientada S ⊂ M de dimens˜ao s ins duz por integra¸c˜ ao um elemento do dual de HdR (M ) e, pela dualidade m−s de Poincar´ e existe uma u ´ nica classe de cohomologia [ηS ] ∈ HdR (M ) R ∗ R tal que S is ω = M ηS ∧ ω para toda forma fechada ω. A classe de cohomologia de cohomologia da forma η ´e chamada de dual de Poincar´e da subvariedade S. .

10.4

Isomorfismo de Thom e a classe de Euler

Nesta se¸c˜ ao provaremos um outro resultado importante, o isomorfismo de Thom, cuja demonstra¸c˜ ao ´e semelhante ` a dos teoremas de dualidade de Poincar´e e de de Rham da se¸c˜ ao anterior. Seja M uma variedade orientada e π : E → M um fibrado vetorial orientado de posto n. Seja Ωℓvc (E) ⊂ Ωℓ (E) o subespa¸co vetorial das ℓ-formas diferenciais cujo suporte intersecta cada fibra em um compacto e o faz uniformemente, isto ´e, o suporte da forma intersecta a pre-imagem de qualquer compacto da base em um compacto ´ claro que a derivada ex(o suporte ´e “verticalmente compacto”.) E terior tamb´em tem essa propriedade. Temos ent˜ ao um subcomplex do complexo de de Rham de E cuja cohomologia denotaremos por ∗ Hvc (E). Proposi¸ c˜ ao 10.23. Existe um homomorfismo k π∗ : Ωn+k vc (E) → Ω (M )

tal que 1) π∗ dE τ = dM π∗ τ onde dE e dM s˜ ao as derivadas exteriores. R R ∗ 2) M ω ∧ π∗ τ = E π ω ∧ τ para toda ω ∈ Ωcm−k (M ).

Demonstra¸ c˜ ao. O homomorfismo π∗ ´e obtido por integra¸c˜ ao nas fibras. Para ver isso, sejam τ ∈ Ωk+n vc (E), p ∈ M e v1 , . . . , vk ∈ T Mp . Vamos definir o n´ umero real (π∗ τ )(p) (v1 , . . . , vk ). Seja e ∈ Ep e e1 , . . . , en ∈ T (Ep )e ⊂ T Ee . Escolha vetores v1′ , . . . , vk′ ∈ T Ee tais que Dπ(e)vj′ = vj . Definimos a n-forma τ p,v1 ...,vk em cada fibra Ep por τ p,v1 ...,vk (e)(e1 , . . . , en ) = τ (e)(v1′ , . . . , vk′ , e1 , . . . , en ).

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266

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Essa defini¸c˜ ao n˜ ao depende da escolha dos vetores vj′ , pois se os vetores e1 , . . . , en s˜ ao linearmente dependentes, ent˜ ao o segundo membro se anula para toda escolha dos vj′ e, se s˜ ao linearmente independentes e Dπ(e)vj′′ = vj , ent˜ ao vj′′ − vj′ ´e uma combina¸c˜ ao linear dos ei e o resultado n˜ ao se altera se substituirmos vj′ por vj′′ . Finalmente, definimos Z (π∗ τ )(p)(v1 , . . . , vk ) = τ p,v1 ,...,vk . Ep

Usando uma parti¸c˜ ao da unidade e a linearidade dos dois membros da equa¸c˜ ao com respeito a forma, podemos supor que o suporte de τ est´ a contido em um aberto sobre o qual o fibrado ´e trivial. Logo, para provar 1) e 2) basta considerar E = Rm × Rn , M = Rm e π a proje¸c˜ ao no primeiro fator. Podemos ent˜ ao escrever X τ (x, y) = aI,J (x, y)dxI ∧ dy J |I| + |J| = k + n. I,J

Para provar 1) temos dois casos a considerar a) |J| < n. Nesse caso π∗ τ = 0 e dπ∗ τ = 0. Por outro lado   n m I,J I,J X X X ∂a ∂a i j  dx + dy  dxI ∧ dy J . dτ = ∂x ∂y i j j=1 i=1 I,J

Colocando

η1 =

m XX ∂aI,J I,J i=1

η2 =

n XX I,J j=1

∂xi

dxi ∧ dxI ∧ dy J

(−1)|I|

∂aI,J I dx ∧ dy j ∧ dy J , ∂yj

temos, como |J| < n, que π∗ η1 = 0 e tamb´em que π∗ η2 = 0, pois Z ∂aI,J j dy ∧ dy I = 0 Rn ∂yj

uma vez que y 7→ aI,J (x, y) tem suporte compacto.

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267

[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

b) |J| = n. τ=

X I

π∗ τ = dπ∗ τ =

aI (x, y)dxI ∧ dy 1 ∧ · · · ∧ dy n

X Z I

I

Rn

a (x, y)dy ∧ · · · ∧ dy

m Z XX i=1

I

1

Rn

n



|I| = k dxI

 ∂aI 1 n (x, y)dy ∧ · · · ∧ dy dxi ∧ dxI . ∂xi

Por outro lado m XX ∂aI dτ = (x, y)dxi ∧ dxI ∧ dy 1 ∧ · · · ∧ dy n . ∂x i i=1 I

Logo

π∗ dτ =

m Z XX I

j=1

Rn



 ∂aI 1 n (x, y)dy ∧ · · · ∧ dy dxi ∧ dxI . ∂xi

e novamente π∗ dτ = dπ∗ τ . Vamos provar 2) X

ω=

aI (x)dxI

|I|=m−k

X

τ=

|J|+|K|=n+k

π∗ ω ∧ τ =

X

bJ,K (x, y)dxJ ∧ dy K

aI (x)bJ,K (x, y)dxI ∧ dxJ ∧ dy K

Se |K| < n temos que π∗ τ = 0 e tamb´em que π ∗ w ∧ τ = 0 e a igualdade ´e trivialmente verificada. Podemos ent˜ ao supor que X τ= bJ (x, y)dxJ ∧ dy 1 ∧ · · · ∧ dy n |J|=k

e

π∗ ω ∧ τ =

X

|I|=m−k |J|=k

aI (x)bJ (x, y)dxI ∧ dxJ ∧ dy 1 ∧ · · · ∧ dy n

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268

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

e o resultado segue do Teorema de Fubini.

Corol´ ario 10.24. A integra¸c˜ ao nas fibras induz um homomorfismo k+n π∗ : Hvc (E) → H k (M ).

Teorema 10.25. [Isomorfismo de Thom] Se π : E → M ´e um fibrado orientado de posto n cuja base ´e uma variedade orientada M que possui uma cobertura simples finita, ent˜ ao o homomorfismo k+n π∗ : Hvc (E) → H k (M ).

´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam M = Rm e E o fibrado produto Rm × Rn . ℓ Afirmamos que Hvc (Rm × Rn ) = 0 se ℓ 6= n e ´e igual a R se ℓ = n. A prova da afirma¸c˜ ao ´e an´ aloga ` a utilizada para determinar o grupo de cohomologia de suporte compacto de Rn . De fato, se ω ∈ Ωℓvc (Rm × Rn ), ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao ρ : Rm → R de classe C ∞ tal que o suporte de ω esteja contido em   ρ(x) m n (x, y) ∈ R × R ; kyk ≤ . 2 Sejam U = {(x, y); kyk > ρ(x)} e S = {(x, y); kyk = 2ρ(x)}. Temos que U tem o tipo de homotopia de S, que por sua vez ´e difeomorfa a Rm × S n−1 e este u ´ltimo tem o tipo de homotopia de S n−1 . Logo H ℓ (U ) = 0 se ℓ 6= 0, n − 1. Pelo lema de Poincar´e, ω = dη1 com η1 ∈ Ωℓ−1 (Rm × Rn ). Como o suporte de ω n˜ ao intersecta U , a restri¸c˜ ao de η1 a U ´e uma forma fechada. Se ℓ 6= n, como H ℓ−1 (U ) = 0, existe η2 ∈ Ωℓ−2 (U ) tal que η1 = dη2 em U . Seja ϕ : Rm × Rn → R+ de classe C ∞ tal que ϕ(x, y) = 1 se kyk ≥ 2ρ(x) e ϕ(x, y) = 0 se kyk ≤ 23 ρ(x). Tomemos ent˜ ao η3 ∈ Ωℓ−2 (Rm × Rn ) tal que η3 (x, y) = 0 se kyk ≤ 32 ρ(x) e η3 (x, y) = ϕ(x, y)η2 (x, y) em U . Temos ent˜ ao que dη3 = dη2 em {(x, y); kyk ≥ 2ρ(x)}. Assim ω = d(η1 − dη3 ) e η1 − dη3 se anula em {(x, y); kyk ≥ ℓ 2ρ(x)}. Logo Hvc (Rm × Rn ) = 0 se ℓ 6= n. n A prova de que Hvc (Rm × Rn ) = R ´e an´ aloga.

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269

[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

R Fixe f : Rn → R n˜ ao negativa com suporte compacto com Rn f = 1. Defina τ (x, y) := f (y)dy 1 ∧ · · · ∧ dy n ∈ Ωnvc (Rm × Rn ). Temos que dτ = 0 e π∗ τ = 1. Consideremos o homomorfismo m n φ : Ωk (Rm ) → Ωk+n vc (R × R )

ω 7→ (π ∗ ω) ∧ τ.

P Temos que π∗ ◦ φ = idΩk (Rm ) . De fato, se ω(x) = |I|=k aI (x)dxI R P ent˜ ao (π ∗ ω)∧τ = |I|=k aI (x)f (y)dxI dy1 ∧· · ·∧dyn e, como f (y)dy1 ∧ P · · · ∧ dyn = 1 temos que π∗ (π ∗ ω ∧ τ ) = |I|=k aI (x)dxI = ω. Consequentemente, aplica¸c˜ ao induzida em cohomologia k+n φ : H k (Rm ) → Hvc (Rm × Rn ) k+n satisfaz π∗ ◦ φ = id. Como H k (Rm ) ´e isomorfo a Hvc (Rm × Rn ) para todo k temos que φ ´e isomorfismo e seu inverso ´e π∗ .

Para concluir a demonstra¸c˜ ao do teorema usamos indu¸c˜ ao e a sequˆencia de Mayer-Vietoris, como na prova do teorema da dualidade de Poincar´e. De fato, se U, V ⊂ M s˜ ao subconjuntos abertos, tomamos uma parti¸c˜ ao da unidade λU , λV : M → [0, 1] com supp λU ⊂ U , ˆ U = λU ◦ π supp λV ⊂ V e λU (x) + λV (x) = 1 ∀ x ∈ U ∪ V . Defina λ ˆ e λV = λV ◦ π e observe que temos um diagrama comutativo com linhas exatas 0

/ Ω∗vc (E|U ∪V )

0

 / Ω∗−n (U ∪ V )

/ Ω∗vc (E|U ) ⊕ Ω∗vc (E|V )

π∗

/ Ω∗vc (E|U ∩V )

π∗

/0

π∗

 / Ω∗−n (U ) ⊕ Ω∗−n (V )

 / Ω∗−n (U ∩ V ) ∗

/0

Pelo lema alg´ebrico, temos o correspondente diagrama comutativo de sequˆencias exatas longas em cohomologia ∗ Hvc (E|U ∪V ) π∗

 ∗−n Hvc (U ∪ V )

∗ ∗ / Hvc (E|U ) ⊕ Hvc (E|V )

∗ / Hvc (E|U ∩V )

π∗

 / H ∗−n (U ) ⊕ H ∗−n (V )

∗+1 / Hvc (EU ∪V )

π∗

 / H ∗−n (U ∩ V )

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π∗



/ H ∗−n+1 (U ∪ V )

270

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Pelo lema dos 5, temos que se π∗ ´e isomorfismo para U, V e U ∩ V , ent˜ ao ´e isomorfismo para U ∪ V . Se a cobertura simples de M tem um u ´nico elemento ent˜ ao M ´e difeomorfa a Rm e o vibrado ´e equivalente ao fibrado trivial e, portanto, o teorema ´e verdadeiro pelo que acabamos de provar. Suponhamos, por indu¸c˜ ao, que π∗ ´e um isomorfismo se a variedade tem uma cobertura simples com k − 1 elementos. Seja U1 , . . . , Uk uma cobertura simples de M e escreva U = U1 ∪ · · · ∪ Uk−1 , V = Uk . Ent˜ ao Sk−1 U ∩ V = i=1 Ui ∩ Uk e tanto U como U ∩ V tem uma cobertura simples com k − 1 elementos. Logo π∗ ´e isomorfismo para U, U ∩ V e V e, portanto, ´e um isomorfismo para U ∪ V = M . Observa¸ c˜ ao 10.1. O teorema do isomorfismo de Thom vale mesmo que a base n˜ ao tenha cobertura simples finita mas a demonstra¸c˜ ao no caso geral ´e mais elaborada. Veja [B-T] p´ agina 129. Proposi¸ c˜ ao 10.26. Se τ ∈ Ωnvc (E) ´e uma forma fechada tal que k+n π∗ (τ ) = 1, ent˜ ao o homomorfismo φ : H k (M ) → Hvc (E) definido por φ([ω]) = [(π ∗ ω) ∧ τ ] ´e o inverso de π∗ . Demonstra¸ c˜ ao. Como π∗ (π ∗ ω∧τ ) = ω∧π∗ τ = ω, temos que π∗ ◦φ ´e a identidade de H k (M ). Logo φ ´e injetivo e, como H k (M ) ´e isomorfo k+n a Hvc (E), temos que φ ´e o isomorfismo inverso de π∗ . Defini¸ c˜ ao 10.1. Uma forma fechada τ ∈ Ωnvc (E) tal que π∗ τ = 1 ´e n chamada uma forma de Thom e sua classe de equivalˆencia em Hvc (E) a classe de Thom. Observa¸ c˜ ao 10.2. Dado t > 0, seja φt : E → E, φt (p, e) = (p, te). Se τ ∈ Ωvc (E) ´e uma forma de Thom, ent˜ ao φ∗t τ ´e tamb´em uma forma de Thom. Logo a classe de Thom pode ser representada por uma forma de Thom com suporte em vizinhan¸ca arbitrariamente pequena da se¸c˜ ao nula. Proposi¸ c˜ ao 10.27. Seja g : N → M uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ entre variedades orientadas e com cobertura simples finita. Se τ (E) ´e uma classe de Thom de π : E → M , ent˜ ao uma classe de Thom do

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

271

fibrado g ∗ E ´e G∗ τ (E), em que G : g ∗ E → E ´e o morfismo natural de fibrados vetoriais tal que o diagrama abaixo comuta. g∗ E

G

/E

g

 /M

p

 N

π

Demonstra¸ c˜ ao. Se τ ´e uma forma de Thom, ent˜ ao G∗ τ ´e uma forma ∗ de Thom de g E pois sua integral ao longo da fibra pelo ponto p ´e igual ` a integral de τ ao longo da fibra pelo ponto g(p), que ´e igual a 1. Proposi¸ c˜ ao 10.28. Sejam πi : Ei → M , i = 1, 2, fibrados orientados sobre uma variedade orientada com uma cobertura simples finita. Considere o fibrado soma direta π : E1 ⊕ E2 → M e as proje¸c˜ oes naturais ρi : E1 ⊕ E2 → Ei , i = 1, 2. Ent˜ ao τ (E1 ⊕ E2 ) = ρ∗1 (τ (E1 )) ∧ ρ∗2 (τ (E2 )). Demonstra¸ c˜ ao. Se τi ´e uma forma de Thom de Ei ent˜ ao, pelo Teorema de Fubini, a integral de τ = ρ∗1 τ1 ∧ ρ∗2 τ2 ao longo de cada fibra ´e igual a 1. Logo τ ´e forma de Thom de E1 ⊕ E2 . Proposi¸ c˜ ao 10.29. Seja M uma variedade orientada e S ⊂ M uma subvariedade compacta orientada de M . Seja πs : NS → S o fibrado normal de S em M . Se ϕS : NS → VS ⊂ M ´e uma vizinhan¸ca tubular de S em M e τ ∈ Ωm−s (NS ) ´e uma forma de Thom de NS , ent˜ ao a forma ηS ∈ Ωm−s (M ) definida por (ϕS )∗ τ em VS e 0 fora de VS representa o dual de Poincar´e de S em M . Demonstra¸ c˜ ao. Lembramos que a fibra πS−1 (x) ´e o espa¸co quociente T Mx /T Sx e que uma vizinhan¸ca tubular ϕS ´e um difeomorfismo tal que sua composta com a se¸c˜ ao nula coincide com a inclus˜ ao de S em M . Como a forma de Thom ´e fechada e tem suporte compacto, a forma ηS ´e fechada em M . Seja i : S → M a inclus˜ ao e π : VS → S a proje¸c˜ ao da vizinhan¸ca em S definida por π = πS ◦ϕ−1 . Como S ´ e um retrato por deforma¸c˜ ao de S VS , temos que π ∗ ◦ i∗ : H s (VS ) → H s (VS ) ´e a identidade. Logo, para

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272

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

toda forma fechada ω ∈ Ωs (M ), a classe de cohomologia da restri¸c˜ ao de ω a VS ´e [π ∗ i∗ ω]. Logo existe uma forma θ ∈ Ωs−1 (VS ) tal que ω|VS = π ∗ i∗ ω + dθ. Como ηS ∧ ω tem suporte compacto em VS temos pelo Teorema de Stokes que Z Z ηS ∧ dθ = d(ηS ∧ θ) = 0. VS

Logo

Z

M

ω ∧ ηS

VS

= = = = =

Z Z

VS

ω ∧ ηS

VS

(π ∗ i∗ ω) ∧ ηS

Z

NS

ϕ∗S (π ∗ i∗ ω) ∧ τ

NS

πS∗ (i∗ ω) ∧ τ

Z Z

(i∗ ω). S

R R Como M ω ∧ ηS = S i∗ ω para toda forma fechada ω ∈ Ωs (M ), temos que a classe de cohomologia de ηS ´e o dual de Poincar´e de S em M . Corol´ ario 10.30. O dual de Poincar´e de uma subvariedade compacta e orientada S de uma variedade orientada M pode ser representada por forma fechada com suporte em uma vizinhan¸ca arbitr´ aria de S em V . Corol´ ario 10.31. Se π : E → M ´e um fibrado vetorial orientado sobre uma variedade compacta M , ent˜ ao a classe de Thom de E coincide com o dual de Poincar´e da imagem da se¸c˜ ao nula. Teorema 10.32. Sejam M, N variedades orientadas e T ⊂ N uma subvariedade compacta e orientada. Seja f : M → N uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ transversal a T e S = f −1 (T ) com a orienta¸c˜ ao induzida por f e pelas orienta¸c˜ oes de N e T . Ent˜ ao o dual de Poincar´e de S em M ´e o pull-back do dual de Poincar´e de T em N .

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

273

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam πS : NS → S, πT : NT → T os fibrados normais. A derivada de f em um ponto x ∈ S leva o subesta¸c˜ ao normal NS (x) isomorficamente em um subespa¸co complementar em T Nf (x) ao subesta¸c˜ ao tangente a T em f (x). Podemos ent˜ ao orientar NS (x) da seguinte forma: uma base u1 , . . . um−s de NS (x) ´e positiva se v1 , . . . , vt , Df (x)u1 , . . . Df (x)us for uma base positiva de T Mf (x) sempre que v1 , . . . , vt for uma base positiva do espa¸co tangente a T no ponto f (x). Definimos ent˜ ao uma orienta¸c˜ ao no espa¸co tangente a S no ponto x declarando que uma base w1 , . . . , ws ´e positiva se w1 , . . . , ws , u1 , . . . , um−s for uma base positiva de M sempre que u1 , . . . , um−s for uma base positiva do espa¸co normal NS (x). Assim tanto S quanto o fibrado normal NS est˜ ao orientados. Denotamos por jS : S → NS , jT : T → NT as respectivas se¸c˜ oes nulas. Seja ϕT : NT → VT ⊂ N uma vizinhan¸ca tubular, isto ´e, um difeomorfismo de NT sobre uma vizinhan¸ca VT de T em N tal que ϕT ◦jT = iT , onde iT : T → N ´e a inclus˜ ao. Tomemos uma vizinhan¸ca tubular ϕS : NS → VS ⊂ M tal que f (VS ) ⊂ VT . Seja F : NS → NT a aplica¸c˜ ao C ∞ F = ϕ−1 T ◦ f ◦ ϕS .

Para simplicar a nota¸c˜ ao denotaremos jS (x) ∈ NS por (x, 0) e jT (y) por (y, 0). No ponto (x, 0) a restri¸c˜ ao da derivada DϕS (x, 0) restrita ao subespa¸co de T (NS )(x,0 tangente ` a fibra pelo ponto x ´e um isomorfismo linear desse subespa¸co com o espa¸co normal a S pelo ponto x que ´e a fibra pelo ponto x. Analogamente, para cada y ∈ T temos uma decomposi¸c˜ ao do espa¸co tangente a NT no ponto (y, 0) da se¸c˜ ao nula como a soma direta NT (y) ⊕ T Ty . Esta decomposi¸c˜ ao define uma aplica¸c˜ ao linear sobrejetiva π1 do espa¸co tangente a NT no ponto (y, 0) sobre NT (y) que ´e a composta da proje¸c˜ ao no subespa¸co tangente ` a fibra com DϕT (f (x), 0). Podemos ent˜ ao definir um homomorfismo de fibrados NS ↓ S

L

−→ f

−→

NT ↓ T

por L(x, v) = (f (x), π1 ◦DF (x, 0)Dϕ−1 e transversal S (x, 0)v). Como f ´ a T , temos que para cada x ∈ S, Lx ´e um isomorfismo da fibra NS (x) sobre a fibra NT (f (x)) que preserva a orienta¸c˜ ao. Tomemos

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274

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

uma m´etrica Riemanniana em NT e uma fun¸c˜ ao λ : NT → [0, 1] de classe C ∞ que se anula fora de uma pequena vizinhan¸ca da se¸c˜ ao nula e ´e igual a 1 em uma vizinhan¸ca menor da mesma se¸c˜ ao nula. Se essas vizinhan¸cas s˜ ao suficientemente pequenas, podemos definir uma fun¸c˜ ao G : NS → NT de classe C ∞ que coincide com L fora da vizinhan¸ca maior e nessa vizinhan¸ca ´e dada por G(x, v) = expL(x,v) (λ(x, v) exp−1 L(x,v) F (x, v)). A fun¸c˜ ao G ´e igual a F em uma pequena vizinhan¸ca da se¸c˜ ao nula. Tomemos uma m´etrica em cada um dos fibrados NS , NT , isto ´e, um produto interno em cada fibra que varia diferenciavelmente com a fibra e denotemos por NSa o subconjunto dos pontos (x, v) de NS tais que kvkx < a. Analogamente para NTa . Afirmamos que existe uma constante K > 0 tal que para todo a > 0 temos que G(NS − NSKa ) ∩ NTa = ∅. De fato, pela transversalidade de G a T , temos que existe ε > 0 e K1 > 0 tal que se (x, v) ∈ NS satisfaz kvkx ≤ ε1 e G(x, v) = (y, w), ent˜ ao K11 kvkx < kwky < K1 kvkx . Seja ε2 > ε1 tal que se kvkx ≥ ε2 ent˜ ao G(x, v) = L(x, v). Como o conjunto {(x, v); ε1 ≤ kvkx ≤ ε2 } ´e compacto, existe K2 > 0 tal que se (x, v) pertence a esse conjunto e G(x, v) = (y, w) ent˜ ao K12 kvkx < kwky < K2 kvkx . Como a restri¸c˜ ao de L a cada fibra ´e um isomorfismo, existe K3 > 0 tal que se L(x, v) = (x, w) ent˜ ao K13 ||v||x ≤ ||w||x ≤ K3 ||V ||x . Temos portanto que existe K > 0 tal que para todo (x, v) ∈ NS , se G(x, v) = (y, w), 1 ent˜ ao K kvkx ≤ kwky ≤ Kkvkx e isso prova a afirma¸c˜ ao. Consideremos a fam´ılia a 1-parˆ ametro de aplica¸co˜es Gt : NS → NT definidas por Gt (x, v) = ρt G(x, tv) G0 (x, v) = L(x, v)

t 6= 0

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

275

onde ρt : NT → NT ´e o isomorfismo   1 ρt (y, w) = y, w . t Da afirma¸c˜ ao conclu´ımos que para todo t ∈ [0, 1] temos que Gt (x, v) = (y, w) ⇒

1 kvkx ≤ kwky ≤ Kkvkx . K

Consequentemente a aplica¸c˜ ao (t, (x, v)) 7→ Gt (x, v) ´e pr´ opria. Seja τT uma forma de Thom do fibrado NT cujo suporte est´ a contido na regi˜ ao onde G = F . Afirmamos que G∗ τT = F ∗ τT ´e uma forma de Thom do fibrado NS , o que conclui a prova do teorema. Para provar essa afirma¸c˜ ao basta mostrar que a integral dessa forma em cada fibra de NS ´e igual a 1. Seja ix : πS−1 (x) → NS a inclus˜ ao da fibra. Como ix ◦ Gt ´e uma homotopia pr´ opria entre ix ◦ G e ix ◦ G0 = Lx e τT ´e uma forma fechada com suporte compacto temos que Z (ix ◦ Gt )∗ τT

n˜ ao depende de t. Por outro lado, como G0 ´e um isomorfismo que preserva orienta¸c˜ ao entre as fibras πS−1 (x) e πT−1 (f (x)), temos que Z Z (ix ◦ G0 )∗ τT = τT = 1. −1 πS (x)

−1 πT (f (x))

Como F ∗ τT ´e uma forma de Thom de NS , temos que a forma ηS que coincide com F ∗ τT em VS e se anula fora de VS representa o dual de Poincar´e de S pela proposi¸c˜ ao 10.29. Como ηS = f ∗ ηT , o teorema est´ a demonstrado. . Sejam S e T subvariedades orientadas transversais de uma variedade orientada M . Ent˜ ao S ∩ T ´e tamb´em uma subvariedade orientada. Fixamos uma orienta¸c˜ ao de S ∩ T declarando que uma base u1 , . . . , us+t−m do espa¸co tangente a S ∩ T no ponto x ´e positiva se

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276

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

estendendo-a para bases positivas v1 , . . . , vs , u1 , . . . , us+t−m de T Sx e u1 , . . . , us+t−m , w1 , . . . , wt de T Tx obtivermos uma base positiva v1 , . . . , v1 , u1 , . . . , u1+t−m w1 , . . . , wt , de T Mx . Teorema 10.33. Sejam S, T subvariedades compactas orientadas de uma variedade orientada M . Se S ´e transversal a T , ent˜ ao o dual de Poincar´e de S ∩ T ´e o produto wedge dos duais de Poincar´e de S e de T . Demonstra¸ c˜ ao. A inclus˜ ao iS : S → M ´e transversal a T . Ent˜ ao i∗S do dual de Poincar´e [ηT ] de T em M ´e, pelo teorema anterior, o dual de Poincar´e de S ∩ T em S. Seja [ηS ] o dual de Poincar´e de S em M . Ent˜ ao Z Z Z Z ηS ∧ ηT ∧ δ = i∗S (ηT ∧ δ) = i∗S (ηT ) ∧ i∗S δ = i∗S∩T (i∗S δ) S∩T M S S Z = i∗ δ S∩T

onde iS∩T : S ∩ T → S e i : S ∩ T → M s˜ ao inclus˜ oes e i = iS ◦ iS∩T . Seja S uma subvariedade compacta e orientada de uma variedade orientada N . Seja P uma variedade compacta orientada cuja dimens˜ ao ´e igual ` a codimens˜ ao de S em N . Seja f : M → N uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ transversal a S. Temos ent˜ ao que f −1 (S) ´e um n´ umero finito x1 , . . . , xk de pontos em M . Lembramos que o sinal de x ∈ f −1 (S) ´e definido como sendo igual a 1 se u1 , . . . , us , Df (x)v1 , . . . , Df (x)vm for uma base positiva de T Nf (x) sempre que u1 , . . . , us for uma base positiva de T Sf (x) e v1 , . . . , vm for uma base positiva de T Mx . Caso contrario o sinal de x ´e igual a −1. Finalmente, o n´ umero de interse¸c˜ ao de f com S, f.S , foi definido como a soma dos sinais dos x′j s. Como vimos, esse n´ umero inteiro ´e invariante por hotomopias e, portanto, est´ a associado a uma classe de homotopia de fun¸c˜ oes cont´ınuas

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

277

de M em N uma vez que toda fun¸c˜ ao cont´ınua ´e homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao C ∞ que ´e transversal a S. Por outro lado, temos um homomorfismo IM : H m (M ) → R, definido por integra¸c˜ ao de formas, e, um homomorfismo f ∗ : Hcm (N ) → H m (M ) que tamb´em depende apenas da classe de homotopia de f . Como S ´e compacta ent˜ ao o dual de Poincar´e de S , [ηS ] ∈ Hcm (N ), ´e uma classe de cohomologia com suporte compacto. Portanto o n´ umero real IM (f ∗ ([ηS ]) depende apenas da classe de homotopia de f . Teorema 10.34. Se S ´e uma subvariedade compacta e orientada de uma variedade orientada N e M ´e uma variedade compacta orientada de dimens˜ ao m igual ` a codimens˜ao de N ent˜ ao, se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e [ηS ] ∈ H m (N ) ´e o dual de Poincar´e de S, o n´ umero real IM (π ∗ ([ηS ]) ´e inteiro e coincide com o n´ umero de interse¸c˜ ao f.S. Demonstra¸ c˜ ao. Como ambos os n´ umeros da igualdade dependem apenas da classe de homotopia de f podemos supor que f ´e uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ transversal a S. Ent˜ ao f −1 (S) = {x1 , . . . , xk } ´e um n´ umero finito de pontos. Para cada j tomemos uma vizinhan¸ca Vj de xj tal que a restri¸c˜ ao de f a cada Vj ´e um mergulho cuja imagem ´e uma subvariedade que intersecta S transversalmente no u ´nico ponto f (xj ). Tomemos uma m´etrica riemanniana em M e seja φS : N (S) → VS uma vizinhan¸ca tubular de S em N e π : VS → S a submers˜ ao π = φS ◦ πS ◦ φ−1 S . Afirmamos que existe uma aplica¸c˜ ao g : M → N de clsse C ∞ , que −1 −1 ´e transversal a S, g (S) = f (S), g ´e homot´ opica a f e existem vizinhan¸cas Uj ⊂ Vj de cada xj tal que a restri¸c˜ ao de g a Uj ´e um difeomorfismo sobre uma vizinhan¸ca de g(xj ) em π −1 (g(xj )) que preserva a orienta¸c˜ ao se o sinal de xj ´e positivo e inverte a orienta¸c˜ ao caso contr´ ario. Antes de provar a afirma¸c˜ ao vamos concluir a prova do teorema. Seja V ⊂ VS uma vizinhan¸ca de S tal que g −1 (V ) ⊂ ∪kj=1 Uj . Como vimos, na classe de cohomologia do dual de Poincar´e de S existe uma forma fechada ηS com suporte contido em V que ´e a imagem por (φS )∗ de uma forma de Thom τS do fibrado R normal N (S). Logo, se ij : π −1 (g(xj )) → N ´e a inclus˜ ao ent˜ ao π−1 (g(xj )) i∗j ηS = 1. Logo, R R g ∗ ηS ´e igual ao sinal de xj . Logo M g ∗ ηS = g.S o que prova o Vj teorema.

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278

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Resta mostrar a afirma¸c˜ ao. Para cada j seja ψj : Wj → Rs × Rm uma carta local em N que leva f (xj ) em 0 e S ∩ Wj em Rs × {0}. Tomando a vizinhan¸ca Vj suficientemente pequena temos que existe uma vizinan¸ca A ⊂ Rm da origem e uma fun¸c˜ ao C ∞ α0 : A → Rm s m cujo gr´ afico, {(α0 (y), y) ∈ R × R ; y ∈ A} coincide com ψj (f (Vj )). Seja λ : Rm → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que vale 0 fora de uma vizinhan¸ca compacta de 0 contida em A e vale 1 em uma vizinhan¸ca de 0. Definimos ent˜ ao α1 : A → Rm por α1 (y) = (1 − λ(y))α0 (y) ao θt que a e αt (y) = (1 − t)α0 (y) + tα1 (y). Para cada t a aplica¸c˜ cada ponto (α0 (y), y) associa o ponto (αt (y), y) ´e um difeomorfismo do gr´ afico de α0 sobre o gr´ afico de αt . Definimos ent˜ ao gt : M → N como sendo igual a f fora da uni˜ ao dos Vj e, em cada Vj , definimos gt como a composta de f com a aplica¸c˜ ao ψj−1 ◦ θt ◦ ψj . Temos que g0 = f . Tomando g = g1 concluimos a prova da afirma¸c˜ ao. Teorema 10.35. A algebra de cohomologia de CP n ) O algebra cohomologia de CP n ´e gerado por uma classe de cohomologia [ω] ∈ CP n com a rela¸c˜ ao ω 2n+2 = 0.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja Sk = {[z0 : . . . : zn ] ∈ CP n ; zj = 0, j > k}. Temos que Sk ´e um mergulho complex de CP k . Seja Tk = {[z0 : . . . : zn ] ∈ CP n ; zj = 0, j ≤ k + 1}. Como T k ´e tamb´em uma subvariedade complexa compacta que ´e transversal a Sk e intersecta transversalmente Sk no u ´nico ponto [0 : . . . : zk : zk+1 : 0 . . . : 0] ∈ CP n temos que o n´ umero de interse¸c˜ ao de Sk e Tk ´e igual a 1. Logo, pelo teorema 10.33 o produto cup das classes de cohomologia dos duais de Poincar´e de Sk e de Tk ´e o dual de Poincar´e de um ponto e, portanto ´e n˜ ao trivial. Logo o dual de Poincar´e de Sk ´e uma classe de cohomologia n˜ ao nula que, portanto, ´e um gerador de H 2k (CP n pois, pela proposi¸c˜ ao 10.12 ´e isomorfo a R. Em particular o dual de Poincar´e de Sn−1 ´e uma classe de cohomologia n˜ ao nula [ω] ∈ H 2 (CP n ) que ´e um gerador desse grupo. Da homotopia [z0 : . . . : zn−2 : (1 − t)zn−1 ] : tzn ] concluimos que [ω] ´e tamb´em o dual de Poincar´e de Sˆn−1 = {[z0 : . . . : zn−2 : 0 : zn ]}. Como Sn−2 ´e a interse¸c˜ ao transversal de Sn−1 e Sˆn−1 temos, pelo teorema 10.33 que o dual de Poincar´e de Sn−2 ´e [ω]2 = [ω ∧ ω]. Como o mesmo argumento concluimos indutivamente que o dual de Poincar´e de Sn−k ´e [ω]k = [ω ∧ · · · ∧ ω] o que prova o teorema. Seja π : E → M um fibrado vetorial orientado de posto r sobre

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

279

uma variedade compacta orientada de dimens˜ao m. Se s : M → E ´e uma se¸c˜ ao C ∞ e τ (E) ´e a classe de Thom de E segue que a classe de cohomologia s∗ (τ (E)) ∈ H r (M ) n˜ ao depende de s, pois quaisquer duas se¸c˜ oes s˜ ao sempre homot´ opicas. Tal classe ´e chamada a classe de Euler de E e ´e denotada por χ(E). Se s ´e transversal ` a se¸c˜ ao nula, ent˜ ao Zs = {x ∈ M, s(x) = 0} ´e uma subvariedade de dimens˜ ao m−r e o dual de Poincar´e dessa subvariedade ´e precisamente a classe de Euler do fibrado E. Se o fibrado possui uma se¸c˜ ao que nunca se anula, ent˜ ao, como a classe de Thom pode ser representada por uma forma com suporte em uma vizinhan¸ca arbitrariamente pequena da se¸c˜ ao nula, o pull-back dessa forma pela se¸c˜ ao ´e a forma identicamente nula e, portanto, a classe de Euler de E ´e zero. Portanto se a classe de Euler ´e n˜ ao nula, ent˜ ao toda se¸c˜ ao tem que se anular e se¸c˜ oes gen´ericas se anulam em uma subvariedade de dimens˜ao m − r. Proposi¸ c˜ ao 10.36. Sejam πi : Ei → N , i = 1, 2, fibrados vetoriais orientados sobre uma variedade compacta orientada N e f : M → N uma aplica¸c˜ ao C ∞ de uma variedade compacta orientada M . Ent˜ ao: 1) χ(E1 ⊕ E2 ) = χ(E1 ) ∧ χ(E2 ) 2) χ(f ∗ E1 ) = f ∗ (χ(E1 )) 3) Se E1 e E2 s˜ ao isomorfos como fibrados, ent˜ ao χ(E1 ) = χ(E2 ). Demonstra¸ c˜ ao. Segue das propriedades an´ alogas das classes de Thom. Se r = m, ent˜ ao a classe de Euler de E ´e um elemento χ(E) em H m (M ) que, pela dualidade de Poincar´e, ou integra¸c˜ ao em M , nos fornece um n´ umero, chamado o n´ umero de Euler do fibrado. Como esse n´ umero coincide com o n´ umero de interse¸c˜ ao de uma se¸c˜ao com a se¸ca˜o nula ele ´e um inteiro. No caso especial do fibrado tangente a variedade M , o n´ umero de Euler ´e precisamente a caracter´ıstica de Euler de M , que estudamos no cap´ıtulo 9. Exemplo 10.1. Fibrados de linha holomorfos sobre uma superf´ıcie de Riemann compacta.

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280

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Seja M uma superf´ıcie de Riemann compacta. Um divisor Pnem M ´e um elemento D ∈ H0 (M, Z), isto ´e, uma soma formal i=1 ni zi onde zi ∈ M e ni ∈ Z. Dado um divisor D, podemos construir um fibrado holomorfo π : E → M da seguinte forma. Para cada i tomemos uma vizinhan¸ca aberta Ui de zi e um difeomorfismo holomorfo fi : Ui → D que leva zi em 0 e tais que U Uj = ∅ se i 6= j . TomeSi ∩−1 mos uma cobertura {Un+j }N fi (D1/2 ) e a cada aberto j=1 de M − associamos uma fun¸c˜ ao ϕn+j : Un+j → C∗ . Escolhemos os abertos da cobertura de tal forma que Un+j ∩ {x1 , . . . , xn } = ∅ se j ≥ 1. Se i ≤ n tomemos ϕi : Ui − {zi } → C, ϕi (z) = fi (z)ni . Se Ui ∩ Uj 6= ∅ ϕ (z) seja ϕij : Ui ∩ Uj → C∗ definido por ϕij (z) = ϕji (z) (note que esta defini¸c˜ ao tem sentido pois qualquer interse¸c˜ ao Ui ∩ Uj que seja n˜ ao vazia n˜ ao pode conter algum zk ). A fam´ılia {ϕij } define um cociclo em M e com a a¸c˜ ao linear (complexa) C∗ × C −→ C (u, z) 7−→ u · z define uma fibrado de linha holomorfo LD → M pois as fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao s˜ ao fun¸c˜ oes holomorfas e a a¸c˜ ao ´e complexa linear. As fun¸c˜ oes ϕi para i ≥ n e tais que ni > 0 e as fun¸c˜ oes ϕi |Ui −zi se ni < 0 definem uma se¸c˜ ao holomorfa s sobre M − ∪{zi , ni < 0}. Seja s˜ : M → LD uma se¸ ao C ∞ , transversal a se¸c˜ ao nula, tal que s˜ Scn˜ coincide com s fora de i=1 fi−1 (D1/2 ). Sn Os zeros de s˜ est˜ ao contidos no interior de i=1 fi−1 (D1/2 ). Em uma trivializa¸c˜ ao do fibrado sobre o disco Ui , a se¸c˜ ao s˜ se expressa como uma fun¸c˜ ao s˜i : D → C

que, no bordo de D1/2 , coincide com z ni . Logo as somas dos ´ındices dos zeros de s˜i em D1/2 ´e igual a ni , pois o grau de aplica¸c˜ ao ∂D1/2 z

−→ 7−→

S n−1 z ni kz ni k

´e igual a ni .

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[SEC. 10.4: ISOMORFISMO DE THOM E A CLASSE DE EULER

281

Conclu´ ao que o n´ umero de Euler do fibrado ED → M ´e igual Pn ımos ent˜ a i=1 ni , este u ´ltimo tamb´em ´e conhecido como o grau do divisor. Afirmamos que se o n´ umero de Euler do fibrado ´e negativo, ent˜ ao o fibrado n˜ ao tem se¸c˜ ao holomorfa. Isso ´e consequˆencia dos seguintes fatos: 1) Toda variedade complexa ´e canonicamente orientada. 2) Se S, T s˜ ao duas subvariedades complexas compactas de uma variedade complexa M com dimC S = dimC T = 1 e dimC M = 2, ent˜ ao o n´ umero de interse¸c˜ ao de S e T ´e n˜ ao negativo. O primeiro fato ´e consequˆencia do seguinte resultado de ´ algebra linear: se L : Cn → Cn ´e uma aplica¸c˜ ao C linear ent˜ ao seu determinante, como aplica¸c˜ ao R-linear Rn × Rn → Rn × Rn , ´e maior ou igual a zero. Este fato j´ a foi mostrado como parte da proposi¸c˜ ao 9.4. Segue desta propriedade que o jacobiano das mudan¸cas de coordenadas das cartas de um atlas holomorfo de uma variedade complexa ´e sempre positivo, e portanto toda variedade complexa ´e orient´ avel. O outro fato segue de que se duas subvariedades complexas S, T ⊂ M de dimens˜ oes complementares se intersectam transversalmente no ponto p, ent˜ ao o ´ındice de interse¸c˜ ao ´e sempre +1. Para este segundo fato, observemos inicialmente que os pontos de interse¸c˜ ao n˜ ao transversais de S e T s˜ ao isolados. Tomando uma carta local de M que leva esse ponto de interse¸c˜ ao n˜ ao transversal em 0 ∈ C2 e a subvariedade S em C × {0}, temos que T ´e levada no gr´ afico de uma transforma¸c˜ ao holomorfa f : C → C que tem um zero isolado em 0. Pelo teorema de Sard, o conjunto dos w ∈ C tais que todos os zeros de f + w s˜ ao simples ´e denso. Podemos ent˜ ao aproximar f por uma fun¸c˜ ao g que coincide com f fora de uma vizinhan¸ca de 0 e tal que todos os seus zeros est˜ ao em uma vizinhan¸ca de 0 na qual g = f + w e seus zeros s˜ ao simples, f n˜ ao se anula fora dessa vizinhan¸ca. Assim podemos aproximar S por uma subvariedade S˜ de classe C ∞ transversal a T e tal que o ´ındice de cada ponto de interse¸c˜ ao ´e igual a +1, o que prova o fato 2). Em particular o fibrado tangente de uma superf´ıcie de Riemann compacta de genus g ≥ 2 n˜ ao admite se¸c˜ ao holomorfa.

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282

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Uma forma diferencial complexa de classe C ∞ em uma superf´ıcie de Riemann tem como express˜ ao local w = a(z)dz + b(z)dz. A forma ´e holomorfa se b ≡ 0 e a ´e holomorfa. Uma consequˆencia do teorema de Riemann-Roch ´e que o espa¸co vetorial das se¸c˜ oes holomorfas do fibrado cotangente tem dimens˜ ao complexa igual ao genus da superf´ıcie de Riemann.

10.5

Uma f´ ormula de K¨ unneth e o Teorema de Lefschetz

O produto exterior ´lgebra no Lm de formas induz uma estrutura de a espa¸co vetorial k=0 H k (M ) dos grupos de cohomologia de uma variedade M : H k (M ) × H ℓ (M ) ([w], [η])

−→ 7−→

H k+ℓ (M ) [w] ∪ [η] := [w ∧ η].

O produto ∪, chamado de produto “cup”, est´ a bem definido pois se w e η s˜ ao formas fechadas, ent˜ ao (w + dw) ¯ ∧ (η + d¯ η ) = w ∧ η ± d(w ∧ η¯) + d(w ¯ ∧ η) + d(w ¯ ∧ d¯ η) = w ∧ η + d(±w ∧ η¯ + w ¯∧η+w ¯ ∧ d¯ η ).

O produto cup ´e associativo, pois o produto exterior o ´e e, quanto a` comutatividade, temos [w] ∪ [η] = (−1)|w||η| [η] ∪ [w], em que |w| = k se ω ∈ Ωk (M ). Se M e N s˜ ao variedades diferenci´ aveis, o produto cup em H ∗ (M × N ) e as proje¸c˜ oes canˆ onicas πM : M × N → M e πN : M × N → N induzem um homorfismo H k (M ) ⊗ H l (N ) [ω] ⊗ [η]

−→ 7−→

H k+l (M × N ) ∗ ∗ [πM ω] ∪ [πN η]

e assim, um homomorfismo φl :

l M k=0

H k (M ) ⊗ H ℓ−k (N ) → H ℓ (M × N ).

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´ ¨ [SEC. 10.5: UMA FORMULA DE KUNNETH E O TEOREMA DE LEFSCHETZ

283

Teorema 10.37. [F´ ormula de K¨ unneth] Se M tem uma cobertura simples finita, ent˜ ao o homomorfismo φl :

ℓ M k=0

H k (M ) ⊗ H ℓ−k (N ) → H ℓ (M × N ).

´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Se M = Rm ent˜ ao H k (M ) = 0 para k > 1 e 0 k ℓ−k H (M ) = R. Logo ⊕H (M )⊕H (N ) ≃ H 0 (M )⊗H ℓ (N ) ≃ H ℓ (N ) e, como M × N tem o tipo de homotopia de N , H ℓ (M × N ) ∼ H ℓ (N ) o que prova o resultado quando M tem o tipo de homotopia de Rm . Vamos usar a sequˆencia exata de Mayer-Vietoris e o lema dos 5 para provar que se M = U ∪ V e o teorema ´e verdadeiro para os abertos U ×N, V ×N e (U ∩V )×N , ent˜ ao o teorema ´e verdadeiro para M ×N . Para cada aberto A ⊂ M , escrevemos sl (A) =

l M k=0

e

Ωk (A) ⊗ Ωl−k (N ),

tl (A) = Ωl (A × N ),

S l (A) =

l M k=0

H k (A) ⊗ H l−k (N )

T l (A) = H l (A × N ).

Ent˜ ao temos um diagrama comutativo com colunas exatas 0  sl (U ∪ V )  sl (U ) ⊕ sl (V )  sl (U ∩ V )  0

0 φl,U ∪V

φl,U +φl,V

φl,U ∩V

 / tl (U ∪ V )  / tl (U ) ⊕ tl (V )  / tl (U ∩ V )  0

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284

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

o qual induz um diagrama comutativo de sequˆencias exatas longas S l (U ∪ V )

/ S l (U ) ⊕ S l (V )

/ S l (U ∩ V )

/ S l+1 (U ∪ V ) /

 T l (U ∪ V )

 / T l (U ) ⊕ T l (V )

 / T l (U ∩ V )

 / T l+1 (U ∪ V ) /

Pelo lema dos 5, se φ∗ℓ,U , φ∗ℓ,V e φ∗ℓ,U ∩V s˜ ao isomorfismos para todo ℓ, ao basta ent˜ ao φ∗ℓ,U ∪V ´e isomorfismo. Para concluir a demonstra¸c˜ usar indu¸c˜ ao: se o teorema ´e verdadeiro para variedades M que tem cobertura simples com k − 1 elementos, ent˜ ao ´e tamb´em verdadeiro para toda variedade M que tem uma cobertura simples com k-elementos. Seja M uma variedade compacta orientada e considere a diagonal ∆ = {(x, x) ∈ M × M ; x ∈ M }. Lembramos que a cada aplica¸c˜ ao cont´ınua g : M → M × M podemos associar o n´ umero de interse¸c˜ ao de g com ∆. Esse n´ umero depende apenas daPclasse de homotopia da aplica¸c˜ ao g e ent˜ ao esse n´ umero ´e igual a g(x)∈∆ I(g, x), onde I(g, x) ´e igual a 1 se a imagem por Dg(x) de uma base positiva de T Mx seguida de uma base positiva de T ∆g(x) for uma base positiva de T (M × M )g(x) e I(g, x) = −1 caso contr´ ario. Defini¸ c˜ ao 10.2. O n´ umero de Lefschetz de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → M , denotado por L(f ), ´e o n´ umero de interse¸c˜ ao da aplica¸c˜ ao g : M → M × M definida por g(x) = (x, f (x)) com ∆. Das considera¸co˜es anteriores segue que o n´ umero de Lefschetz ´e um inteiro que depende apenas da classe de homotopia de f . Quando f ´e de classe C ∞ e seu gr´ afico ´e transversal ` a diagonal, ent˜ ao L(f ) =

X

I(f, x),

f (x)=x

em que o ´ındice de Lefschetz do ponto fixo I(f, x) vale 1 se o determinante de Df (x) − Id for negativo e vale −1 caso contr´ ario. Teorema 10.38. (Teorema do ponto fixo de Lefschetz)

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´ ¨ [SEC. 10.5: UMA FORMULA DE KUNNETH E O TEOREMA DE LEFSCHETZ

285

1. Se f : M → M ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao L(f ) =

m X i=0

(−1)i T r(f ∗ : H i (M ) → H i (M ))

2. Se χ(M ) ´e a caracter´ıstica de Euler de M , ent˜ ao χ(M ) =

m X

(−1)i dim(H i (M )).

i=0

Demonstra¸ c˜ ao. Mostraremos primeiro que 1) implica 2). Tome um campo de vetores X ∈P X∞ (M ) com todas singularidades hiperb´ olicas, de modo que χ(M ) = X(x0 )=0 I(X, x0 ). Consideremos uma m´etrica Riemanniana em M . Se t > 0 ´e suficientemente pequeno ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f (x) = expx (tX(x)) ´e homot´ opica a identidade, f (x) = x se, e somente se, X(x) = 0 e o ´ındice de Lefschetz de f em um ponto fixo x coincide com o ´ındice de X em x. Como f ´e homot´ opica ` a identidade temos que fi∗ = id para todo i, e assim T r(fi∗ ) = dim H i (M ), o que implica 2). Para provar 1), seja τ∆ ∈ Ωm (M × M ), dτ∆ = 0, representando o dual de Poincar´e de ∆, isto ´e: Z Z w= w ∧ τ∆ ∆

M ×M

m

para toda forma fechada w ∈ Ω (M ×M ). Tomemos formas fechadas wi ∈ Ω|wi | (M ), i = 1, . . . , k tais que {[wi ]} ´e base de H ∗ (M ). Pela dualidade de Poincar´e, existem formas fechadas τj , j = 1, . . . , n tais que [τj ] ´e uma base de H ∗ (M ) e Z wi ∧ τj = δij M

se |wi | = m − |τj |. Pela f´ ormula de K¨ unneth, {[π1∗ wi ∧ π2∗ τj ]} ´e uma ∗ base de H (M × M ). Logo τ∆ =

n X

i,j=1

Cij π1∗ wi ∧ π2∗ τj + dη

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286

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

com Cij ∈ R e η ∈ ΩRm−1 (M R× M ). Seja i : M → M × M a inclus˜ ao i(p) = (p, p). Como ∆ w = M ×M w ∧ τ∆ para toda forma fechada w ∈ Ωm (M ), tomando w = π1∗ τℓ ∧ π2∗ wk temos que Z Z ∗ ∗ π1 τ ℓ ∧ π 2 w k = i∗ (π1∗ τℓ ∧ π2∗ wk ) ∆ M Z = τℓ ∧ w k M Z = (−1)|τℓ ||wk | w k ∧ τℓ M

=

(−1)

|τℓ ||wk |

δkℓ .

R Por outro lado, como para qualquer w fechada vale M ×M w ∧dη = 0, temos Z (π1∗ τℓ ∧ π2∗ wk ) ∧ τ∆ = M ×M Z n X Cij π1∗ τℓ ∧ π2∗ wk ∧ π1∗ wi ∧ π2∗ τj = = = =

i,j=1 n X

i,j=1 n X

i,j=1 n X

M ×M

Cij (−1)|wk ||wi | Cij (−1)

|wk ||wi |

Z

Z

M ×M

M

π1∗ (τℓ ∧ wi ) ∧ π2∗ (wk ∧ τj )

τℓ ∧ w i

Z

M

w k ∧ τj

Cij (−1)|wk ||wi |+|wi ||τℓ | δiℓ δkj

i,j=1

= Cℓk (−1)|wk ||wℓ |+|wℓ ||τℓ | . Portanto Cℓk = 0 se l 6= k e Ckk = (−1)|wk | . Logo τ∆ =

n X i=1

(−1)|wi | π1∗ wi ∧ π2∗ τi + dη.

Seja agora g : M → M × M a aplica¸c˜ ao g(p) = (p, f (p)). Logo o n´ umero de Lefschetz L(f ), que ´e o n´ umero de interse¸c˜ ao de g com ∆,

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287

vale L(f )

= = = =

(−1)m (−1)m (−1)m (−1)m

Z Z

g ∗ τ∆ M

(id × f )∗ τ∆

M n X i=1 n X i=1

=

m X

(−1)k

k=0

(−1)|wi | (−1)|ωi X Z

|τi |=k

Z

Z

M

M

M

(id × f )∗ (π1∗ wi ∧ π2∗ τi )

w i ∧ f ∗ τi

w i ∧ f ∗ τi .

A u ´ltima igualdade se verifica pois se k = |τi | = m − |wi |, ent˜ ao k + |wi | + m = 2m ´e par. Se |τi | = k, ent˜ ao f ∗ τi =

P

|τj |=k

w i ∧ f ∗ τi = e

Assim

Z X

|τi |=k

M

aij τj . Logo X

|τj |=k

aij wi ∧ τj

wi ∧ f ∗ τi = aii .

w i ∧ f ∗ τi =

X

aii = T r(fk∗ ).

|τi |=k

Vamos agora apresentar uma aplica¸c˜ ao interessante do Teorema do ponto fixo de Lefschetz, devida a Shub-Sullivan , que depende de um lema elementar que est´ a enunciado logo abaixo, cuja prova pode ser encontrada em [ShSu]. Se f : M → M ´e uma aplica¸c˜ ao, podemos considerar os iterados de f , isto ´e, as aplica¸c˜ oes f n = f ◦ f n−1 onde f 1 = f . Um ponto fixo de f n ´e dito um ponto peri´ odico de f de per´ıodo n se n˜ ao ´e ponto fixo de f k para k < n.

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288

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Lema 10.39. (Shub-Sullivan) Se f : M → M ´e de classe C 1 e p ´e um ponto fixo isolado para todo iterado f n de f , ent˜ ao o supremo dos valores absolutos dos ´ındices de f n em x ´e limitado. Teorema 10.40. Se f : M → M ´e de classe C 1 e supm L(f m ) = ∞, ent˜ ao f tem uma infinidade de pontos peri´ odicos. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos por absurdo que f tem um n´ umero finito de pontos peri´ odicos. Seja {x1 , . . . , xN } o conjunto dos pontos peri´ odicos de f . Se f n (x) = x ent˜ ao x = xi para algum i e n ´e um m´ ultiplo do per´ıodo k de xi . Pelo Lemma anterior, existe bi > 0 tal que o valor absoluto do ´ındice de f lk do ponto fixo xi ´e menor ou igual a bi para todo l. Logo, para todo n o valor absoluto do n´ umero de Lefschetz de f n ´e menor ou igual a N × supi bi o que ´e uma contradi¸c˜ ao. Corol´ ario 10.41. Toda aplica¸c˜ ao C 1 f : S 2 → S 2 de grau 2 tem uma infinidade de pontos peri´ odicos. Corol´ ario 10.42. Se f : T2 → T2 ´e o difeomorfismo cujo levanta  2 1 2 2 ˆ mento f : R → R ´e dado pela matriz , ent˜ ao toda trans1 1 2 2 forma¸c˜ ao g : T → T homot´ opica a f tem uma infinidade de pontos peri´ odicos. Demonstra¸ c˜ ao. A aplica¸c˜ a o induzida por (f ∗ )1 : R2 → R2 ´e a  √ 2 1 aplica¸c˜ ao linear cuja matriz ´e . Seus autovalores s˜ ao 3+2 5 > 1 1 1  √ n  √  n √ ao 3+2 5 e 3−2 5 e pore 3−2 5 < 1. Os autovalores de (f n )∗ s˜ tanto √ !n √ !n 3− 5 3+ 5 n ∗ T r((f )1 ) = + → ∞. 2 2 Como T r(f n )∗0 = T r(f n )∗1 = 1, temos que 2 X

k=0

(−1)k T r(f n )k → −∞.

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[SEC. 10.6:

10.6

COHOMOLOGIA DOS GRUPOS DE LIE COMPACTOS.

289

Cohomologia dos grupos de Lie compactos.

Em [?] Chevalley e Eillenberg mostraram que propriedades topol´ ogicas de grupos de Lie compactos se reduzem a propriedades alg´ebricas de aplica¸c˜ oes multilineares alternadas em sua ´ algebra de Lie. Mais precisamente, a algebra da cohomologia de deRham do grupo ´e isomorfa a algebra das aplica¸c˜ ` oes multilineares alternadas de sua algebra de Lie que s˜ ao invariantes pela representa¸c˜ ao adjunta do grupo. Nessa se¸c˜ ao provaremos esse resultado. Seja G um grupo de Lie de dimens˜ ao n. Para cada g ∈ G denotamos por Lg : G → G (resp. Rg : G → G) a transla¸c˜ ao ` a esquerda (resp. ` a direita) h 7→ gh (resp. h 7→ hg). Denotamos por ΩkL (G) ⊂ Ωk (G) o subespa¸co vetorial das formas invariantes pelas transla¸c˜ oes ` a esquerda: ω ∈ ΩL se e s` omente se L∗g ω = ω para todo g ∈ G. A aplica¸c˜ ao que a cada ω ∈ ΩkL (G) associa o seu valor ω(e) na identidade do grupo ´e um isomorfismo entre Ω∗L (G) e a algebra exterior da algebra de Lie de G. Como o pull-back de formas comuta com a diferencial exterior temos que se ω ∈ ΩL (G) ent˜ ao dω ∈ Ωk+1 (G). Temos ent˜ ao um subcomplexo do complexo de deRham cuja cohomologia denotaremos por HL∗ (G). Analogamente, denotamos por Ω∗R (G) o subcomplexo das formas invariantes ` a direita ∗ e por HR (G) sua cohomologia. Temos ainda um outro subcomplexo ao ´e o ΩkI (G) = ΩkL (G) ∩ ΩkR (M ). O resultado principal dessa se¸c˜ seguinte. Teorema 10.43. Se G ´e um grupo de Lie compacto ent˜ ao a inclus˜ ao i : Ω∗I (G) → Ω∗ (G) induz um isomorfismo em cohomologia: em cada classe de cohomolgia de um grupo compacto existe uma e uma u ´nica forma invariante. Lembramos que todo grupo de Lie ´e uma variedade orientada: uma n-forma n˜ ao nula define uma orienta¸c˜ ao em cada espa¸co tangente. Como as transla¸c˜ oes ` a esquerda comutam com as transla¸c˜ oes ` a direita temos que o pull-back de uma forma ω ∈ ΩkL (G) por uma transla¸c˜ ao ` a direita ´e ainda uma forma em ΩkL . Se a dimens˜ao de G ´e n temos ent˜ ao que Rg∗ ω ´e um m´ ultiplo de ω ∈ ΩL (G) pois o espa¸co

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290

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

´ f´ das formas invariantes ` a esquerda tem dimens˜ ao um. E acil ver que Rg∗ ω = det(Adg−1 )ω, para todo ω ∈ ΩnL (G), onde Ad ´e a representa¸c˜ ao adjunto do grupo de Lie em sua algebra de Lie (Adg : T Ge → T Ge ´e a derivada na identidade do automorfismo interno h ∈ G 7→ ghg −1 ). Como a aplica¸c˜ ao g ∈ G 7→ det(Adg−1 ) ∈ R \ {0} ´e um homomorfismo de grupo que det(Adg−1 ) = 1 se G ´e compacto e conexo pois um subgrupo compacto e conexo do grupo multiplicativo R\{0} s´ o possui um elemento, a identidade. Isto prova a seguinte proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 10.44. Fixada uma orienta¸c˜ ao no grupo de Lie compacto e conexo G de dimens˜ ao n existe uma u ´nica R n-forma ωG que ´e invariante por todas as transla¸c˜ oes do grupo e G ωG = 1. R A forma ωG define por um funcional linear positivo f 7→ G f ωG no espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes cont´ınuas e, portanto, uma medida nos Boreleanos de G que ´e invariante por todas as transla¸c˜ oes no grupo. Esta ´e a medida de Haar do grupo. (Um resultado mais geral, que n˜ ao utilizaremos, estabelece a existˆencia de medida invariante por transla¸c˜ oes ` a esquerda (e outra invariante por transla¸c˜ oes ` a direita) em grupos topol´ ogicos localmente compactos que ´e conhecida como medida de Haar e duas tais medidas diferem pela multiplica¸c˜ ao de uma constante positiva. Essa medida em geral n˜ ao ´e invariante pelas transla¸c˜ oes ` a direita exceto nos grupos unimodulares). Consideremos uma a¸c˜ ao ` a direita do grupo de Lie G em uma variedade M , ρ : M × G → G, isto ´e, ρ(x, e) = x e ρ(ρ(x, g), h) = ρ(x, gh). Denotamos por ρg : M → M o difeomorfismo ρg (x) = ρ(x, g). O subespa¸co das k-formas invariantes de M ´e definido por ΩkI (M ) = {ω ∈ Ωk (M ); ρ∗g ω = ω∀g ∈ G}. Como o pull-back de formas por um difeomorfismo comuta com a derivada exterior temos que as formas invariantes formam um subcomplexo do complexo de deRham cuja cohomologia denotaremos por HI∗ (M ). A inclus˜ ao i : Ω∗I (M ) → Ω∗ (M ) induz homomorfismos k k i∗ : HI (M ) → H (M ) que provaremos ser isomorfismo. Suponhamos agora que M ´e orientada, G ´e conexo, compacto com

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[SEC. 10.6:

COHOMOLOGIA DOS GRUPOS DE LIE COMPACTOS.

291

uma orienta¸c˜ ao escolhida. Seja πM : M ×G → M a proje¸c˜ ao (x, g) 7→ x. A integra¸c˜ ao nas fibras de πM define uma aplica¸c˜ ao linear (πM )∗ : H ∗ (M × G) → H ∗−n (M ) que, ao 10.23,comuta com a derivadas exterior R como∗ vimos naRproposi¸c˜ e M ×G πM ω ∧τ = M ω ∧(πM )∗ τ para toda ω com suporte compacto em M . Consideremo o homomorfismo r : Ω∗ (M ) → Ω∗ (M ), r = I ◦ ρ∗ onde I : Ωk (M × G) → Ωk (M ) definido por ∗ I(ω) = (πM )∗ (ω ∧ πG (ωG )). R R Se f : G → R denotaremos por G f (g)dg a integral G f ωG .

Lema 10.45.

r(ω)(x)(v1 , . . . , vk ) =

Z

G

(ρ∗g ω)(x)(v1 , . . . , vk )dg

Demonstra¸ c˜ ao. Vamos identificar T (M ×G)x,g com T Mx ×T Gg . Se ∗ wj ∈ Kern DπM (x, g) para algum j ent˜ ao πG ωG (x, g)(w1 , . . . , wk ) = 0. Logo ∗ (ρ∗ ω ∧ πG ωG )(x, g)(v1 , . . . , vk , u1 , . . . un ) = ∗ ∗ = (ρg ω)(x)(v1 , . . . , vk ) × πG ωG (x, g)(u1 , . . . , un ). ∗ Como πG ωG (x, g)(u1 , . . . un ) = ωG (x)(u1 , . . . un ) concluimos a prova do lema (estamos identificando o vetor vj ∈ T Mx com o vetor (vj , 0) ∈ T (M × G)x,g e o vetor uj ∈ T Gg com o vetor (0, uj ).)

Proposi¸ c˜ ao 10.46. Seja r = I ◦ ρ∗ . Ent˜ ao 1. r ◦ d = d ◦ r 2. Se ω ∈ Ω∗ (M ) ent˜ ao r(ω) ∈ ΩkI (M ). 3. Se ω ∈ ΩkI (M ) ent˜ ao r(ω) = ω. Demonstra¸ c˜ ao. 1) Tanto ρ∗ quanto I comutam com a derivada exterior. Logo r tamb´em comuta.

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292

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

2) Seja ω ˆ = r(ω). Temos ent˜ ao ρ∗g ω ˆ (x)(v1 , . . . , vk ) = =ω Zˆ (ρg (x))(Dρg (x)v1 , . . . Dρg (x)vk )

= = = =

ZG

ZG ZG

(ρ∗h ω)(ρg (x)(Dρg (x)v1 , . . . , Dρg (x)vk )dh = ω(ρh ◦ ρg (x))(Dρh (ρg (x))Dρg (x)v1 , . . . , Dρh (ρg (x))Dρg (x)vk ) =

ω(ρgh (x))(Dρgh (x)v1 , . . . , Dρgh (x)vk )dh = ω(ρb (x))(Dρb (x)v1 , . . . , Dφb (x)vk )db = ω

G

sendo que a pen´ ultima igualdade segue da invariˆ ancia de ωG por transla¸c˜ oes no grupo, isto ´e, se f : G → R ent˜ ao Z Z Z f (b)db = f ωG = (Rg )∗ (f ωG ) = GZ G Z G Z = (f ◦ Rg )Rg∗ ωG = (f ◦ Rg )ωG = f (gh)dh G

G

G

3) r(ω)(x)(v1 , . . . , vk )

= = =

Z Z

G

(ρ∗g ω)(x)(v1 , . . . , vk )dg = ω(x)(v1 , . . . , vk )dg =

G

ω(x)(v1 , . . . , vk )

Temos ent˜ ao uma retra¸c˜ ao r : Ω∗ (M ) → Ω∗I (M ) que comuta com a derivada exterior e, portanto, induz um homomorfismo em cohomologia. Teorema 10.47. Se G ´e um grupo de Lie compacto e conexo ent˜ ao a aplica¸c˜ ao induzida por r em cohomologia ´e um isomorfismo.

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[SEC. 10.6:

COHOMOLOGIA DOS GRUPOS DE LIE COMPACTOS.

293

Demonstra¸ c˜ ao. Seja i : Ω∗I (M ) → Ω∗ (M ) a inclus˜ ao. Sejam rˆ : H ∗ (M ) → ∗ ∗ ∗ HI (M ) e ˆi : HI (M ) → H (M ) as aplica¸c˜ oes induzidas em cohomologia. Como r ◦ i = id temos que rˆ ◦ ˆi = id. Logo ˆi ´e injetivo. Seja je : M → M × G a aplica¸c˜ ao je (x) = (x, e). Vamos mostrar a existˆencia de uma homotopia alg´ebrica entre o operador I e o operador induzido por je , is ´e, Afirma¸ c˜ ao: Existe uma fam´ılia de aplica¸c˜ oes lineares hk : Ωk (M × G) → Ωk−1 (M ) tais que I − je∗ = dhk + hk+1 d Antes de provar a afirma¸c˜ ao vamos concluir a prova do teorema. Como ρ ◦ je ´e a identidade de M temos que je∗ ◦ ρ∗ = id. Logo i ◦ r − id = I ◦ ρ∗ − id = dhρ∗ + hρ∗ d Portanto i∗ ◦ r∗ ´e a identidade de H k (M ). Logo i∗ ´e o isomorfismo inverso de r∗ o que prova o teorema. Prova da afirma¸ c˜ ao. Seja U ⊂ G uma vizinhan¸ca contr´ atil da identidade e ∈ G. Seja η ∈ Ωn (G) com suporte contido em U e tal que Z Z Z ωG = 1 = η= η. G

U

G

Logo existe uma forma θ ∈ Ωn−1 (G) tal que ωG − η = dθ. Definimos ent˜ ao ˆ k : Ωk (M × G) → Ωk−1 (M ) h ˆ k (τ ) = (−1)k (πM )∗ (τ ∧ π ∗ θ) e por h G Iˆ: Ωk (M × G) → Ωk (M ) ˆ ) = (πM )∗ (τ ∧ π ∗ η). Temos ent˜ I(τ ao que G ˆ + hd. ˆ I − Iˆ = dh

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294

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

Consideremos as inclus˜ oes l : M × U → M × G, ˜je : U → U × G, ˜je (x) = (x, e) , e as proje¸c˜ oes πU : M ×U → U e π ˜M : M ×U → M e as correspondentes aplica¸c˜ oes de pull-back l∗ : Ω∗ (M ×G) → Ω∗ (M ×U ) ∗ e πU : Ω∗ (U ) → Ω∗ (M × U ). Como o suporte de η est´ a contido em U ent˜ ao, para todo τ ∈ Ω∗ (M ), temos que ∗ τ ∧ πU η ∈ Ω∗vc (M × U ). Logo temos um operador I˜: Ω∗ (M × U ) → Ω∗ (M ) ∗ ˜ ) = (˜ definido por I(τ πM )∗ (τ ∧πU η). Para todo τ ∈ Ω∗ (M ×G) temos que ˆ ). I˜ ◦ l∗ (τ ) = I(τ

Logo

ˆ ˆ + hd. I − I˜ ◦ l∗ = dh

Seja h : M × U × [0, 1] → U uma homotopia entre a identidade e a aplica¸c˜ ao ˜je ◦ π ˜M , (x, g) 7→ (x, e). Logo existe um operador de homotopia alg´ebrica ˜ : Ω∗ (M × U ) → Ω∗−1 (M × U ) h tal que

∗ ˜ + dh. ˜ π ˜M ◦ ˜je∗ − idΩ∗ (M ×U ) = hd

∗ Por outro lado, como I˜ ◦ π ˜M = id tems, da equa¸ca˜o anterior, que

˜ + dI˜h ˜ ˜je∗ − I˜ = I˜hd ˜ Como l ◦ ˜je = je ent˜ pois dI˜ = Id. ao je∗ = ˜je∗ ◦ l∗ . Tamb´em I˜ ◦ l∗ = I˜ ∗ ∗ e l d = dl . Logo ˜ ∗ d + dI˜hl ˜ ∗. je∗ − I = I˜hl

˜ ∗ temos que I − j ∗ = dh + hd o que conclui a ˆ − I˜hl Tomando h = h e prova da afrima¸c˜ ao. Corol´ ario 10.48. As inclus˜ oes iL : Ω∗L (G) → Ω∗ (G)

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[SEC. 10.6:

COHOMOLOGIA DOS GRUPOS DE LIE COMPACTOS.

295

iR : Ω∗R (G) → Ω∗ (G) iI : ΩI (G) → Ω∗ (G)

induzem isomorfismos das algebras de cohomologia. Demonstra¸ c˜ ao. Basta tomar no teorema M = G e as seguintes a¸c˜ oes dos grupos G e G × G :: (g, h) 7→ h−1 g, (g, h) 7→ gh,

(g, (h, k)) 7→ h−1 gk. As formas invariantes pela primeira a¸cao s˜ ao as formas ΩL (G), as invariantes pela segunda a¸c˜ ao s˜ ao as formas ΩR (G) e as invariantes pela terceira a¸c˜ ao s˜ ao as formas ΩI (G). Proposi¸ c˜ ao 10.49. Toda forma ω ∈ ΩkI (G) ´e fechada e a aplica¸c˜ ao que a ω associa sua classe de cohomologia ´e um isomorfismo de algebra ΩI (G)∗ → H ∗ (G). Demonstra¸ c˜ ao. Seja m : G × G → G, m(gh) = gh a multiplica¸c˜ ao do grupo. Se v ∈ T Gg0 , w ∈ T Gh0 ent˜ ao Dm(g0 , h0 )(v, w) = D1 m(g0 , h0 ).v + D2 m(g0 , h0 ).w onde a derivada parcial D1 m ´e a derivada da aplica¸c˜ ao g 7→ m(g, h0 ) = Rh0 ) (g) no ponto g0 e D2 m ´e a derivada de h 7→ m(g0 , h) = Lg0 (h) no ponto h0 . Logo Dm(g0 , h0 )(v, w) = DRh0 (g0 ).v + DLg0 (h0 ).w. Seja i : G → G a aplica¸c˜ ao i(x) = x−1 . Como m(g, i(g)) = 1 temos, derivando ambos os membros no ponto g0 , que Di(g0 ).v = −(DLg0 (e)) −1(DRg0 (e))−1 .v. Se ω ∈ ΩkI (G) ent˜ ao

i∗ ω = (−1)k ω.

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296

[CAP. 10: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

De fato, i∗ ω(g0 )(DRg0 (e)v1 , . . . , DRg0 (e)vk ) = = ω(g0−1 )((−DLg0 (e))− 1.v1 , . . . , −(DLg0 (e))−1 vk ) = = (−1)k ω(g0−1 )((DLg0 (e))− 1.v1 , . . . , (DLg0 (e))−1 vk ) = , = (−1)k ω(e)(v1 , . . . , vk ) = = (−1)k ω(g0 )(DRg0 (e)v1 , . . . , DRg0 (e)vk ) once na pen´ ultima igualdade usamos a invariˆ ancia por transla¸c˜ oes ` a esquerda e na u ´ltima a invariˆ ancia por transla¸c˜ oes ` a direita. Como a derivada exterior comuta com o pull-back temos , se ω ∈ ΩkI (G), que (−1)k dω = di∗ ω = i∗ dω = (−1)k+1 dω. Portanto toda forma ω ∈ ΩkI ´e fechada. Logo a aplica¸c˜ ao que a dada ω ∈ Ωk associa sua classe de cohomologia em HIk (G) ´e um isomorfismo. A proposi¸c˜ ao segue ent˜ ao do teorema anterior. Exemplo 10.2. A algebra de cohomologia do toro O toro Tn = S 1 × . . . S ! .e um grupo comutativo. Portanto toda forma invariante ` a esquerda ´e tamb´em invariante ` a direita. Seja π : Rn → Tn o recobrimento universal. O grupo das transforma¸c˜ oes de recobrimento ´e o conjunto das transla¸c˜ oes inteiras. Portanto o espa¸co das formas diferenciais no toro ´e isomorfo ao espa¸co vetorial das formas em Rn invariantes pelas transla¸c˜ oes inteiras. Todo levantamento de uma transla¸c˜ ao no toro ´e uma transla¸c˜ ao no Rn . Portanto π estabelece um isomorfismo entre as formas invariantes no toro e o espa¸co vetorial das formas em Rn invariantes por todas as transla¸c˜ oes. Esse ´e simplesmente o espa¸co das formas com coeficientes constantes, isto ´e, Λ∗ ((Rn )∗ ). Logo temos um isomofismo da algebra Λ∗ ((Rn )∗ ) na ´ algebra da cohomologia do toro. Em cada classe de cohomologia do toro existe uma u ´nica forma cujo pull back ´e uma forma com coeficientes constantes em Rn . Exerc´ıcio 10.4. Seja g = T Ge a algebra de Lie do grupo compacto e conexo G. 1. Seja Λ∗I (g∗ ) ⊂ Λ∗ (g∗ ) o conjunto das formas alternadas invariantes pela a¸c˜ ao adjunta. Mostre que existe uma retra¸c˜ ao r : Λ∗ (g∗ ) → Λ∗I (g∗ ).

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297

[SEC. 10.7: CORRENTES DE DE RHAM

2. Mostre que se ω ∈ ΩkI (g) ent˜ ao ω(e) ∈ ΛkI ((g∗ ) 3. Mostre que existe um isomorfismo de ´ algebras Λ∗I (g∗ ) → H ∗ (g) g Exerc´ıcio 10.5. Seja = T Ge a ´ algebra de Lie do grupo de Lie G. Seja Φ : Λ∗ (g∗ ) → Ω∗L (G) o isomorfismo que a calda λ ∈ Λk (g∗ ) associa a k-forma ω(g)(DLg (e)v1 , . . . , DLg (e)vk ) = λ(v1 , . . . , vk ). Seja δk : Λk (g∗ ) → Λk+1 (g∗ ) o operador definido por δk = Φ−1 ◦ d ◦ Φ. Mostre que X δλ(v1 , . . . , vk+1 = (−1)j+k−1 λ([vj , vk ], v1 , . . . , vˆi , . . . , vˆj , . . . , vk ), 1≤i r tal que Hjr (0) 6= 0. Tomando como novas coordenadas u ˜i = ui se i 6= r, j, u ˜r = 1/2(ur +uj ), u ˜j = 1/2(ur − uj ) temos que f (˜ u1 , . . . , u ˜m ) = ±˜ u21 ± · · · ± u ˜2r−1 +

m X

˜ ij (u1 , . . . um ) u ˜i u ˜j H

i,j=r

˜ rr = Hrr + Hrj n˜ onde H ao se anula em 0. Logo podemos supor Hrr (0) 6= 0. Suponhamos Hrr (0) > 0, sendo que o outro caso ´e ˜ ⊂ U de tratado analogamente. Como Hrr > 0 em uma vizinhan¸ca U 0, podemos definir nessa vizinhan¸ca as fun¸c˜ oes: " # X Hir (u1 , . . . um ) p vr = Hrr (u1 , . . . , um ) · ur + ui Hrr (u1 , . . . , um ) i>r

p ∂vr e vj = uj se j 6= r. Como ∂u (0) = Hrr (0) > 0, temos, pelo r teorema da fun¸c˜ ao inversa, que aplica¸c˜ ao (u1 , . . . , um ) 7→ (v1 (u1 , . . . , um ), . . . , vm (u1 , . . . , um ))

´e um difeomorfismo de uma vizinhan¸ca de 0 sobre uma vizinhan¸ca de 0. Por outro lado, f (u1 , . . . , um ) = ± u21 ± · · · ± u2r 

+ u2r Hrr + 2ur X

X

ui Hri +

X

ui uj

i>r

X

ui uj

i,j>r

X Hir Hjr − ui uj + ui uj Hij . Hrr i,j>r i,j>r



Hir Hjr  Hrr

Como vr2 = u2r Hrr + 2ur

X i>r

ui Hri + 2

i,j>r

2 Hir Hjr X 2 Hir − ui , Hrr Hrr i>r

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303

˜ [SEC. 11.1: FUNC ¸ OES DE MORSE

˜ ij de classe C ∞ tais que podemos escolher fun¸c˜ oes H 2 f (v1 , . . . , vm ) = ±v12 ± · · · ± vr−1 + vr2 +

X

˜ ij (v1 , . . . , vm ), vi vj H

i,j>r+1

o que prova o lema por indu¸c˜ ao. Seja x ∈ M 7→ h·, ·ix : T Mx × T Mx uma m´etrica Riemanniana em M . Como para cada x ∈ M a m´etrica estabelece um isomorfismo entre o espa¸co tangente T Mx e seu dual T Mx∗ , temos definido um operador linear ∇ : C ∞ (M ) → X∞ (M ) que a cada fun¸c˜ ao real f de classe C ∞ associa o u ´nico campo de vetores ∇f ∈ X∞ (M ) tal que h∇f (x), vix = Df (x).v para todo x ∈ M e para todo vetor v ∈ T Mx . O campo ∇f ´e chamado de campo gradiente de f (com respeito ` a essa m´etrica). As propriedades abaixo s˜ ao consequˆencias imediatas da defini¸c˜ ao: • ∇f (x) = 0 ⇐⇒ Df (x) = 0, isto ´e, se e somente se, x ∈ C(f ), em que C(f ) ´e o conjunto dos pontos cr´ıticos de f . • Se x ∈ M \ C(f ), ent˜ ao Df (x).∇f (x) = h∇f (x), ∇f (x)ix = k∇f (x)k2 > 0, de modo que f ´e estritamente crescente ao longo das ´ orbitas regulares do seu campo gradiente. • O gradiente de f ´e ortogonal ` as superf´ıcies de n´ıvel de valores regulares. • Da propriedade anterior segue-se que se M ´e uma variedade compacta e f uma fun¸c˜ ao de Morse, ent˜ ao o ω-limite de uma orbita de ∇f ´e uma u ´ ´nica singularidade deste campo, assim como o α-limite. Teorema 11.2. Seja M uma variedade compacta. Se n˜ ao existe valor cr´ıtico de f no intervalo [a, b], ent˜ ao M b ´e difeomorfo a M a e al´em disso, M a ´e um retrato por deforma¸c˜ ao de M b .

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304

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Demonstra¸ c˜ ao. Seja X ∈ X∞ (M ) um campo de vetores que se anula fora de uma vizinhan¸ca do compacto f −1 ([a, b]) e que para x ∈ f −1 ([a, b]) temos X(x) = −

∇f (x) . k∇f (x)k2x

Da´ı Df (x).X(x) = −1 para todo x ∈ f −1 ([a, b]). Assim, se Xt ´e o fluxo de X, valem • Xt (M b ) ⊂ M b para todo t ≥ 0; • para x ∈ ∂M b , temos f (Xt (x)) = b − t para todo t ∈ [0, b − a]. Logo Xb−a (M b ) = M a e M b ´e difeomorfa a M a . Seja r : M b → M a definida por r(x) = x se x ∈ M a e r(x) = Xt(x) (x) se x ∈ f −1 ([a, b]) e t(x) ≤ b − a ´e tal que Xt(x) (x) ∈ ∂M a . Ent˜ ao r ´e uma retra¸c˜ ao de M b em M a homot´ opica ` a identidade de M b : rs (x) = Xst(x) (x) ´e uma homotopia. Teorema 11.3. Seja c um ponto cr´ıtico de ´ındice λ de f e suponha que ´e o u ´nico ponto cr´ıtico de f no compacto f −1 ([f (c) − ǫ, f (c) + ǫ]). Ent˜ ao M f (c)+ǫ tem o mesmo tipo de homotopia de M f (c)−ǫ ∪φ eλ , em que eλ ´e uma c´elula de dimens˜ ao λ (uma variedade difeomorfa ao disco unit´ ario de Rλ ) e a aplica¸c˜ ao de colagem φ : ∂eλ → ∂M f (c)−ǫ ´e um mergulho.

Figura 11.1: .

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˜ [SEC. 11.1: FUNC ¸ OES DE MORSE

305

Demonstra¸ c˜ ao. Seja u = (u1 , . . . , um ) carta local em uma vizinhan¸ca U ⊂ M do ponto cr´ıtico c tal que f (u1 , ..., um ) = f (c) − u21 − · · · − u2λ + u2λ+1 + · · · + u2m . Pelo teorema anterior, basta provar o teorema para ǫ suficientemente pequeno. Tomemos ǫ pequeno o suficiente para que U contenha a √ bola de raio 2ǫ de centro na origem. Seja eλ = {(u1 , . . . , um ); u21 + · · · + u2λ ≤ ǫ e uλ+1 = · · · = um = 0}. Consideremos a√fun¸c˜ ao F : M → R que coincide com f no complementar de B(0, 2ǫ) e que nesta bola ´e definida por F = f − µ(x + 2y), em que x, y : U → R s˜ ao as fun¸c˜ oes auxiliares x = u21 + · · · + u2λ , 2 2 y = uλ+1 + · · · + um e µ : [0, ∞) → [0, ∞) ´e uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ ′ tal que ǫ < µ(0) < 2ǫ, −1 < µ (r) ≤ 0 para todo r e µ(r) = 0 se r ≥ 2ǫ. A fun¸c˜ ao F satisfaz as seguintes propriedades:

Figura 11.2: elips´ oide. 1) No elips´ oide E = {q ∈ U ; x(q) + 2y(q) ≤ 2ǫ},

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306

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

se q ∈ / E temos F (q) = f (q) e se q ∈ E ent˜ ao F (q) ≤ f (q) = f (c) − x(q) + y(q) ≤ f (c) +

x(q) + y(q) ≤ f (c) + ǫ, 2

assim F −1 ((−∞, f (c) + ǫ]) = M f (c)+ǫ . 2) F e f tem os mesmos pontos cr´ıticos. De fato, temos que em U , F (q) = g(x(q), y(q)), com g(t, s) = f (c) − t + s − µ(t + 2s), portanto a diferencial de F ´e dada por ∂g ∂g Dx + Dy = (−1 − µ′ (x + 2y))Dx + (1 − 2µ′ (x + 2y))Dy. ∂t ∂s Pλ Como −1 µ′ (x + 2y) < 0, 1 − 2µ′ (x + 2y) ≥ 1, Dx = i=1 2ui Dui P− m e Dy = i=λ+1 2ui Dui , temos que em U a diferencial DF se anula somente na origem, o que prova a propriedade 2. DF =

3) Como F (c) = f (c) − µ(0) < f (c) − ǫ, temos que F n˜ ao tem pontos cr´ıticos em F −1 ([f (c) − ǫ, f (c) + ǫ]) e, pelo teorema anterior, F −1 ((−∞, f (c) + ǫ]) ´e difeomorfo a F −1 (−∞, f (c) − ǫ]). 4) Se H = F −1 ((−∞, f (c) − ǫ]) \ M f (c)−ǫ ent˜ ao F −1 ((−∞, f (c) − ǫ] = M f (c)−ǫ ∪ H

Temos que eλ = {q; y(q) = 0, x(q) ≤ ǫ} est´ a contido em H. Como a derivada da fun¸c˜ ao t 7→ t − µ(x + 2t) ´e sempre maior ou igual a 1, temos que para cada x existe um u ´nico r(x) tal que r(x) − µ(x + 2r(x)) = x − ǫ, da´ı H = {q; r(x) ≥ y ≥ x − ǫ} . Como a derivada de r ´e positiva e r(x) ≥ x − ǫ, temos que se r(x) = x − ǫ, ent˜ ao µ(x + 2r(x))=0, da´ı x + 2r(x) = 2ǫ e −x + y = −ǫ, o que implica x = 43 ǫ e r(x) = 3ǫ . Portanto   ǫ 4ǫ H = q; x(q) ≤ , y(q) ≤ , x − ǫ ≤ y ≤ r(x) . 3 3

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[SEC. 11.2:

307

HOMOLOGIA SINGULAR

Construimos um homeomorfismo √ǫ → H θ : Dλ√ 4 × Dm−λ 3ǫ

3

pela composi¸c˜ ao do homeomorfismo (u, v) 7→ (φ(v)u, v) com o homeomorfismo (u, v) 7→ (u, ψ(u)v), em que u(q) = (u1 , . . . , uλ ) e v(q) = (uλ+1 , . . . , um ). O primeiro contrai os discos horizontais e leva   4 ǫ (u, v); kuk2 ≤ ǫ, kvk2 ≤ 3 3 sobre

n

(u, v); kvk2 ≤

o ǫ , kuk2 ≤ kvk2 + ǫ 3

e o segundo contrai os discos verticais e leva esse segundo conjunto ´ f´ em H. E acil explicitar as fun¸c˜ oes φ, ψ. Definimos a retra¸c˜ ao r : M f (c)−ǫ ∪ H → M f (c)−ǫ ∪φ eλ ´e definida por (u, v) 7→ (u, 0) se kuk2 ≤ ǫ e (u, v) 7→ (u, α(u, v)v) se ǫ ≤ kuk2 ≤ 43 ǫ, onde 1 ≥ α(u, v) ≥ 0 ´e tal que kα(u, v)vk2 = kuk2 − ǫ.

11.2

Homologia singular

Nessa se¸c˜ ao vamos associar a cada espa¸co topol´ ogico M uma fam´ılia de grupos (m´ odulos, espa¸cos vetoriais) Hk (M ), k ∈ N, chamados grupos de homologia de M e a cada aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → N uma fam´ılia de homomorfismos f∗ : Hk (M ) → Hk (N ) tais que a identidade de um espa¸co topol´ ogico induz a identidade em cada grupo de homologia, (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ e duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas induzem o mesmo homomorfismo para cada k. Logo, uma equivalˆencia homot´ opica entre dois espa¸cos topol´ ogicos induz isomorfismos nos grupos de homologia. Vamos come¸car com algumas considera¸c˜ oes puramente alg´ebricas. Defini¸ c˜ ao 11.1. Um complexo de cadeias C ´e uma fam´ılia de grupos abelianos (m´ odulos ou espa¸cos vetoriais) Ck , k ∈ N, e uma fam´ılia de homomorfismos ∂k : Ck → Ck−1 , chamados operadores de bordo, tais

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308

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

que ∂k ◦ ∂k+1 = 0 para todo k. Em particular, Im ∂k+1 ⊂ Ker ∂k e tem sentido definir o grupo quociente Hk (C) =

Ker ∂k Im ∂k+1

chamado de grupo de homologia em dimens˜ao k do complexo C.

Defini¸ c˜ ao 11.2. Um homomorfismo entre dois complexos C e C ′ ´e uma fam´ılia de homomorfismos de grupos (m´ odulos ou espa¸cos vetoriais) φk : Ck → Ck′ que comuta com os respectivos operadores de bordo, isto ´e, ∂k′ ◦ φk = φk−1 ◦ ∂k para todo k. Consequentemente, um morfismo de complexos induz, para cada k, um homomorfismo de grupos φk ∗ : Hk (C) → Hk (C ′ ).

Seja e0 , e1 , . . . , en . . . a base canˆ onica de R∞ , isto ´e, e0 , . . . , en−1 n ´e a base canˆ onica de R para cada n. O simplexo de dimens˜ ao n ´e o conjunto ( n ) n X X ∆n = t i e i ; ti ≥ 0 e ti = 1 . i=0

i=0

Em particular, ∆0 se reduz ao v´ertice e0 , ∆1 ´e o segmento em R2 que liga os v´ertices e0 e e1 , ∆2 ´e o triˆ angulo em R3 com v´ertices e0 , e1 , e2 , e assim por diante. Defini¸ c˜ ao 11.3. Um r-simplexo singular em um espa¸co topol´ ogico M ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua σ : ∆r → M .

Defini¸ c˜ ao 11.4. Seja A um anel. O m´ odulo livre Cr (M ) sobre A gerado pelos r-simplexos singulares ´e chamado de grupo das r-cadeias singulares de M . Pn Assim, cada cadeia c ∈ Cr (M ) ´e uma soma formal finita j=1 aj σj , com aj ∈ A e σj : ∆r → M um simplexo singular para cada j. Os principais an´eis que consideraremos s˜ ao o anel dos inteiros Z, o corpo dos reais R e corpo dos inteiros m´ odulo 2, denotado por Z2 . Defini¸ c˜ ao 11.5. (operador de bordo) A i-´esima face do r-simplexo singular σ ´e o (r−1)-simplexo ∂i σ : ∆r−1 → M definido por   r−1 X ∂i σ  (tj ej ) = σ(t0 e0 + . . . ti−1 ei−1 + ti ei+1 , . . . , +tr−1 er ). j=0

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[SEC. 11.2:

309

HOMOLOGIA SINGULAR

O bordo do simplexo σ ´e a cadeia: ∂σ =

r X

(−1)i ∂i σ

i=0

e o operador de bordo

∂ : Cr (M ) → Cr−1 (M ) ´e definido estendendo por linearidade   X X ∂ aj σj  = aj ∂σj . j

j

Lema 11.4. Para j < i vale ∂j ∂i = ∂i−1 ∂j .

Demonstra¸ c˜ ao. Para simplificar a nota¸c˜ ao, escreveremos σ(t0 , . . . , tr ) em lugar de σ(t0 e0 + · · · + tr er ). ∂j (∂i σ)(t0 , . . . , tr−2 )

=

(∂i σ)(t0 , . . . , tj−1 , 0, tj , . . . , tr−2 )

=

σ(t0 , . . . , tj−1 , 0, tj , . . . , ti−2 , 0, ti−1 . . . , tr−2 ).

e ∂i−1 (∂j σ)(t0 , . . . , tr−2 )

=

(∂j σ)(t0 , . . . , ti−2 , 0, ti−1 , . . . , tr−2 )

=

σ(t0 , . . . , tj−1 , 0, tj , . . . , ti−2 , 0, ti−1 . . . , tr−2 ).

Corol´ ario 11.5. ∂ 2 = 0. Demonstra¸ c˜ ao. Como ∂σ = ∂∂σ

=

r X

∂(∂i σ)

Pr

i=0 (−1)

i

∂i σ, temos

i=0

=

r X r−1 X

(−1)i+j ∂j ∂i σ

i=0 j=0

=

X

((−1)i+j ∂j ∂i σ + (−1)i−1+j ∂i−1 ∂j σ)

0≤j i. A imagem de Pi ´e o simplexo afim com v´ertices A0 , . . . Ai , Bi , . . . Br , que denotaremos por [A0 . . . Ai , Bi , . . . Br ]. As seguintes propriedades s˜ ao de f´ acil verifica¸c˜ ao: • ∆r × [0, 1] = ∪ri=0 Pi (∆r+1 ) • Pi (∆r+1 )∩Pi+1 (∆r+1 ) ´e o simplexo afim [A0 , . . . , Ai , Bi+1 , . . . Br ], que ´e uma face comum aos dois simplexos. Afirma¸c˜ ao: ∂P (σ) = i1 ◦ σ − i0 ◦ σ − P (∂σ) onde i0 (x) = (x, 0) e i1 (x) = (x, 1). Essa f´ ormula ´e a vers˜ ao alg´ebrica do seguinte fato geom´etrico: o bordo topol´ ogico do prisma [0, 1] × ∆r ´e {1} × ∆r ∪ {0} × ∆r ∪ [0, 1] × ∂∆r . Mostremos que a afirma¸c˜ ao implica o teorema. Tomando D = H# ◦ P temos, pela afirma¸c˜ ao, que ∂D(σ) = g# (σ) − f# (σ) − D(∂σ). Logo D ´e uma homotopia alg´ebrica entre f# e g# , o que implica o teorema.

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[SEC. 11.2:

313

HOMOLOGIA SINGULAR

Para provar a afirma¸c˜ ao observemos que ∂P (σ)

=

r X

(−1)i ∂(˜ σ ◦ Pi )

i=0

(−1)i 

i=0

=

+

r X



X

(−1)

X j≤i

j+1

j≥i

ou ainda, ∂P (σ)

=

+

σ ˜ |[A0 ,...,Ai ,Bi ,...Bˆj ,...,Br ] 

(−1)i ∂(˜ σ ◦ Pi )

i=0

(−1)i 

r X

X j>i

+



r X i=0

=

(−1)j σ ˜ |[A0 ,...,Aˆj ,...,Ai ,Bi ,...,Br ]



X j k. Logo, a aplica¸c˜ ao afim (fi × id) ◦ Pk leva (e0 , . . . , er ) em ˆ i , . . . Br ) (A0 , . . . , Aˆi , . . . Ak+1 , Bk+1 , . . . Br ) se i ≤ k e em (A0 , . . . , Ak , Bk , . . . , B se i > j. Portanto, P (∂σ)

X

=

0≤k 0, em que b(l) ´e a imagem por l do baricentro de ∆q e ˜ i ai li = σi ai β(l ˜ i ); estendemos para cadeias por linearidade: β(σ ˜ ˜ 1 (l) = Kb(l) (l − D1 ∂l − β(l)) 3. D para todo simplexo afim l ∈ Cq (σr ) e estendemos para cadeias por linearidade; ˜ ˜ 4. β(∂c) = ∂ β(c) para todo c ∈ Cq (σr ), de modo que β˜ ´e um morfismo do complexo C• (σr ); ˜ ˜ 1 ∂c + ∂ D ˜ 1 c = c − β(c) 5. D para todo c ∈ Cq (σr ). 6. Se A : ∆r → ∆r′ ´e uma aplica¸c˜ ap afim e A# : Cq (σr ) → Cq (σr′ ´e a aplica¸c˜ ap omduzida, ent˜ ao ˜ # A# β˜ = βA e

˜1 = D ˜ 1 A# . A# D

Demonstra¸ c˜ ao. Como j´ a dito anteriormente, definimos β˜ = id em C0 (σr ). Usamos a express˜ ao em 2) para definir indutivamente β˜ em cada simplexo afim de dimens˜ao q e estendemos linearmente para um

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322

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

operador em Cq (σr ). Provemos por indu¸c˜ ao que β˜ satisfaz 4). A propriedade ´e evidente se l ∈ C0 (σr ). Suponha ent˜ ao que a propriedade vale para simplexos afins em Cq (σr ) e seja l ∈ Cq+1 (σr ) um simplexo afim. Ent˜ ao ˜ ∂ βl

= = = =

˜ ∂Kb(l) (β∂l)) ˜ − Kb(l) ∂(β∂l) ˜ β∂l

˜ − Kb(l) ∂∂(β∂l) β∂l ˜ β∂l.

Como os operadores ∂ e Kp levam simplexos afins em simplexos afins, ˜ 1 : Cq (σr ) → Cq+1 (σr ), com a express˜ ao em 3) define indutivamente D ˜ D1 = 0 em C0 (σr ). Mostraremos 5) por indu¸c˜ ao. Novamente para q = 0 a propriedade ´e evidente. Suponha a propriedade v´ alida para Cq (σr ) e seja l ∈ Cq+1 (σr ) um simplexo afim. Ent˜ ao ˜ 1l ∂D

= = = =

˜ ˜ 1 ∂l − β(l)) ∂Kb(l) (l − D ˜ ˜ 1 ∂l − Kb(l) ∂(l − D ˜ 1 ∂l − β(l)) l−D

˜ ˜ 1 ∂l − Kb(l) (β(∂l) ˜ 1 (∂∂l − β(∂l))) (indu¸c˜ l−D +D ao) ˜ ˜ ˜ l − D1 ∂l − β(l) (defini¸c˜ ao de β).

Finalmente, os operadores comutam com A# pois uma aplica¸c˜ ao afim leva um simplexo afim l em um simplexo afim A(l) e o baricentro de A(l) ´e a imagem do baricentro de l. Temos assim um operador subdivis˜ ao baricˆentrica para simplexos ˜ 1 para Cr (M ) de qualafins. Estenderemos agora os operadores β˜ e D quer espa¸co topol´ ogico M . Seja σ : ∆r → M um simplexo singular. ˜ r ) ∈ Cr (σr ). DefiniComo σr ∈ Cr (σr ), j´ a temos bem definido β(σ ˜ mos ent˜ ao β(σ) = σ# β(σr ) e estendemos por linearidade, obtendo um operador β : Cr (M ) → Cr (M ). Afirmamos que β ainda satisfaz

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[SEC. 11.2:

323

HOMOLOGIA SINGULAR

∂β = β∂. De fato: ∂β(σ)

= = = =

˜ r) ∂σ# (βσ ˜ r) σ# ∂(βσ ˜ σ# β(∂σ r) X ˜ r ), ( onde ∆r ´e a i-´esima face de ∆r ) (−1)i σ# (β∆ i i i

=

X

˜ ∆r ) (−1)i β(σ| i

i

=

β

X

i

(−1) σ|∆ri

i

=

!

β∂σ.

Assim, o operador de subdivis˜ ao baricˆentrica β : Cr (M ) → Cr (M ) ´e um morfismo do complexo C• (X). De modo an´ alogo, definimos ˜ 1 (σr )). A propriedade D1 : Cr (M ) → Cr+1 (M ) por D1 (σ) = σ# (D 5) ainda vale pois ∂D1 σ

= = = =

˜ 1 σr ) ∂σ# (D ˜ 1 σr ) σ# (∂ D ˜ r −D ˜ 1 ∂σr ) σ# (σr − βσ

σ − β(σ) − D1 (∂σ).

Para verificar a u ´ltima igualdade consideremos a aplica¸c˜ ao afim fj : ∆r − 1 → δr tal que ∂j σ = σ ◦ fj e ∂j σr = (fj )# σr−1 . Temos ent˜ ao que ˜ 1 (fj )# σr−1 = D ˜ 1 ∂ j σr . ˜ 1 σr−1 = D (fj )# D Logo ˜ 1 ∂σ = σ# D ˜ 1 (∂σr ). D Assim o operador D1 ´e uma homotopia alg´ebrica entre β e a identidade de Cr (M ). Corol´ ario 11.10. O operador de subdivis˜ ao baricˆentrica β induz a aplica¸c˜ ao identidade em cada grupo de homologia singular.

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324

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Seja U = {U1 , . . . , Uq } uma fam´ılia de subconjuntos de um espa¸co topol´ ogico M cujos interiores cobrem M . Seja CrU (M ) ⊂ Cr (M ) o subm´ odulo gerado pelos simplexos singulares σ : ∆r → M tais que U σ(∆r ) est´ a contido em algum Uj ∈ U. Como ∂(CrU (M )) ⊂ Cr−1 (M ), temos um subcomplexo de C• (M ), cujos grupos de homologia ser˜ ao denotados por HkU (M ). A inclus˜ ao i : CrU (M ) → Cr (M ) induz um homomorfismo i∗ : HrU (M ) → Hr (M ), o qual provaremos que ´e de fato um isomorfismo. Teorema 11.11. Existem homomorfismos Ψ : Cr (M ) → CrU (M ) ⊂ Cr (M ) e D : Cr (M ) → Cr+1 (M ) tais que 1. ∂Ψ = Ψ∂; 2. ∂D(c) + D∂(c) = c − Ψ(c) para todo c ∈ Cr (M ); 3. Ψ(c) = c para todo c ∈ CrU (M ). Corol´ ario 11.12. Os homomorfismos induzidos em homologia Ψ∗ : Hk (M ) → HkU (M ) s˜ ao isomorfismos. Demonstra¸ c˜ ao. Pela propriedade 4) temos que Ψ ◦ i = idCrU (M ) , e portanto Ψ∗ ◦ i∗ = idHrU (M ) . Por outro lado, a propriedade 2) diz que o operador D ´e uma homotopia alg´ebrica entre i ◦ Ψ e idCr (X) , de modo que i∗ ◦ Ψ∗ = idHr (M ) . Assim i∗ ´e um isomorfismo, com inverso Ψ∗ . Demonstra¸ c˜ ao. (do Teorema) A id´eia ´e iterar o operador de subdivis˜ ao baricˆentrica, de modo a obter simplexos com diˆ ametros arbitrariamente pequenos. Para cada m ≥ 1 definimos Dm : Cr (M ) → Cr+1 (M )

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[SEC. 11.2:

325

HOMOLOGIA SINGULAR

Pm−1 i 0 por Dm = i=0 D1 ◦ β (colocamos β = id, de modo que para m = 1 os D1 ’s concordam). Se m = 0 definimos D0 (c) = 0 para todo c ∈ Cr (M ). Temos ent˜ ao que ∂Dm + Dm ∂

=

m−1 X

(∂D1 β i + D1 β i ∂)

i=0

=

m−1 X

(∂D1 β i + D1 ∂β i )

i=0

=

m−1 X

(∂D1 + D1 ∂)β i

i=0

=

m−1 X i=0

=

(id − β)β i

id − β m .

Assim, o operador Dm ´e uma homotopia alg´ebrica entre id e β m para todo m ≥ 1. Se m = 0, definimos D0 (c) = 0 para toda cadeia c e a f´ ormula permanece v´ alida nesse caso. Em particular, cada potˆencia β m ainda induz a identidade na homologia. Seja σ : ∆r → M um simplexo singular. Seja δ um n´ umero de Lebesgue da cobertura de ∆r pelas pr´e-imagens dos interiores dos Ui ´s. Logo, se m ´e suficientemente grande, cada subsimplexo afim de ∆r da m-´esima subdivis˜ ao baricˆentrica de ∆r tem diˆ ametro menor que δ e, portanto, est´ a contido em um elemento da cobertura. Logo, β m (σ) ∈ CrU (M ). Seja m(σ) ≥ 0 o menor inteiro com essa propriedade. Se τ ´e uma face de σ ent˜ ao, evidentemente, m(τ ) ≤ m(σ). Definimos D(σ) = Dm(σ) (σ) e estendemos D a Cr (M ) por linearidade. Como ∂Dm(σ) σ + Dm(σ) ∂σ = σ − β m(σ) (σ), temos ∂Dσ + D∂σ = σ − [β m(σ) (σ) + Dm(σ) (∂σ) − D(∂σ)].

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326

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Definimos ent˜ ao Ψ(σ) = β m(σ) (σ) + Dm(σ) (∂σ) − D(∂σ) e estendemos Ψ por linearidade a Cr (M ). Da´ı, pela pr´ opria defini¸c˜ ao, temos ∂D(c) + D∂c = c − Ψ(c)

para toda cadeia c ∈ Cr (M ). Resta mostrar as propriedades 1) e 3) e que Ψ toma valores em CrU (M ). 1) ∂Ψ = Ψ∂: Aplicando a equa¸ca˜o acima para c = ∂σ, temos ∂D(∂σ) + D∂∂σ − ∂σ = −Ψ(∂σ). Por outro lado, aplicando o operador de bordo ` a mesma equa¸c˜ ao aplicada a σ temos ∂∂Dσ + ∂D∂σ = ∂σ − ∂Ψ(σ) Como ∂ 2 = 0, das duas equa¸c˜ oes acima segue-se que ∂Ψ(σ) = Ψ(∂σ) para todo simplexo singular. Assim ∂Ψ(c) = Ψ∂c para toda cadeia singular, como quer´ıamos provar. 3) c ∈ CrU (M ) ⇒ Ψ(c) = c: Por linearidade, basta mostrar a implica¸c˜ ao para cada simplexo singular σ em CrU (M ). De fato, se σi ´e a i-´esima face do simplexo σ, ent˜ ao 0 ≤ m(σi ) ≤ m(σ) = 0, assim D(∂σ) = D0 (∂σ) = 0 e da´ı, da defini¸c˜ ao de Ψ, temos que Ψ(σ) = σ, como quer´ıamos mostrar. Finalmente, vamos mostrar que Ψ(c) ∈ CrU (M ) para todo c ∈ Cr (M ). Novamente basta mostrar a implica¸c˜ ao quando a cadeia ´e um u ´nico simplexo singular σ. Como m(σ)−1

Dm(σ) ∂σ =

X i=0

i

D1 ◦ β (∂σ) =

m(σ)−1 r X X i=1

j=0

(−1)j D1 ◦ β i (σj )

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[SEC. 11.2:

327

HOMOLOGIA SINGULAR

e D(∂σ) =

r X

m(σj )

(−1)j

j=0

X

D1 ◦ β i (σj )

i=1

e m(σj ) ≤ m(σ), temos que Dm(σ) ∂σ − D(∂σ) =

r X j=0

m(σ)

(−1)j

X

D1 β i (σj ).

i=m(σj )+1

Se i ≥ m(σj ), ent˜ ao β i (σj ) ∈ CqU (M ), e como D1 (CrU (M )) ⊂ CrU (M ), temos que Dm(σ) ∂σ − D(∂σ) ∈ CrU (M ), o que conclui a prova. Teorema 11.13. (Mayer-Vietoris) Se M = Int U ∪ Int V , ent˜ ao para cada r ≥ 0 existe um homomorfismo δr : Hr (M ) → Hr−1 (U ∩V ) tal que a sequˆencia de Mayer-Vietoris δr+1

β∗r

α

δ

∗r r · · · → Hr (U ∩V ) → Hr (U )⊕Hr (V ) → Hr (M ) → Hr−1 (U ∩V ) . . .

´e exata. Demonstra¸ c˜ ao. Considere a sequˆencia α

βr

0 → Cr (U ∩ V ) →r Cr (U ) ⊕ Cr (V ) → CrU (M ) → 0 ´ f´ com αr (c) = (c, c) e βr (c1 , c2 ) = c1 − c2 . E acil verificar que esta sequˆencia ´e exata, e, portanto, ´e uma sequˆencia exata de complexos. O resultado segue ent˜ ao do teorema 11.7 e do isomorfismo entre HrU (M ) e Hr (M ), corol´ ario 11.12. Teorema 11.14. (Excis˜ ao) Seja X um espa¸co topol´ ogico e considere subespa¸cos Z ⊂ Y ⊂ X. Se Z ⊂ int Y , ent˜ ao a aplica¸c˜ ao de inclus˜ ao (X \ Z, Y \ Z) ֒→ (X, Y ) induz isomorfismos nos grupos de homologia relativos. Demonstra¸ c˜ ao. Seja U = X \ Z e V = Y . Ent˜ ao U ∩ V = Y \ Z e como Z ⊂ int Y , temos int U ∪ int V = X. Seja U = {U, V } e i : CkU (X) ֒→ Ck (X) a inclus˜ ao.

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328

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Sejam Ψ : Ck (X) → CkU (X) e D : Ck (X) → Ck+1 (X) os operadores definidos na demonstra¸c˜ ao do teorema 11.11. Lembramos que eles satisfazem Ψ ◦ i = id e ∂D + D∂ = id − i ◦ Ψ. Como os operadores envolvidos nessas propriedades preservam simplexos com imagem em U ou V , os operadores Ψ e i induzem operadores nos quocientes por Cr (U ) e por Cr (V ). Naturalmente os operadores nos quocientes satisfazem propriedades an´ alogas ` as anteriores, de modo que a inclus˜ ao CrU (X)/Cr (U ) → Cr (X)/Cr (U ) induz isomorfismos em homologia. Por outro lado, a aplica¸c˜ ao natural Ck (U )/Ck (U ∩ V ) → CkU (X)/Ck (V ) ´e um isomorfismo no n´ıvel de cadeias, e, portanto, o teorema est´ a demonstrado. Dado um subconjunto Y de um espa¸co topol´ ogico X, consideremos a rela¸c˜ ao de equivalˆencia que identifica dois pontos distintos em X se, e somente se, eles pertencem a Y . O espa¸co das classes de equivalˆencia por essa rela¸c˜ ao ´e denotado por X/Y . Seja q : X → X/Y a aplica¸c˜ ao quociente. Corol´ ario 11.15. Seja Y ⊂ X um subconjunto fechado e suponha que Y seja um retrato por deforma¸c˜ ao de uma vizinhan¸ca V de Y em X. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao quociente induz isomorfismos q∗ : Hr (X, Y ) → Hr (X/Y, Y /Y ) Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos o diagrama comutativo Hr (X, Y ) q∗

 Hr (X/Y, Y /Y )

/ Hr (X, V ) o q∗

 / Hr (X/Y, V /Y ) o

Hr (X − Y, V − Y ) q∗

 Hr (X/Y − Y /Y, V /Y − Y /Y )

Como a restri¸c˜ ao da aplica¸c˜ ao quociente ´e um homeomorfismo de X − Y com X/Y − Y /Y , temos que q∗ : Hr (X − Y, V − Y ) → Hr (X/Y − Y /Y, V /Y − Y /Y )

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[SEC. 11.2:

HOMOLOGIA SINGULAR

329

´e um isomorfismo. Considerando a sequˆencia exata do terno (Y, V, X) · · · → Hr (V, Y ) → Hr (X, Y ) → Hr (X, V ) → Hr−1 (V, Y ) → . . . de Y ser um retrato por deforma¸c˜ ao de V , temos Hr (V, Y ) = 0 para todo r. Logo temos um isomorfismo entre Hr (X, Y ) e Hr (X, V ). O mesmo argumento mostra que o homomorfismo horizontal inferior da esquerda tamb´em ´e isomorfismo. Pelo teorema de excis˜ ao, os dois homomorfismos horizontais da direita no diagrama s˜ ao isomorfismos. Logo o homomorfismo vertical da esquerda ´e um isomorfismo e corol´ ario est´ a demonstrado. Corol´ ario 11.16. Hk (S n ) = A se k = 0, n e Hk (S n ) = 0 se k 6= 0, n. Demonstra¸ c˜ ao. Hk (Dn , ∂Dn ) ´e isomorfo a Hk (S n , {p}) que ´e isomorfo a Hk (S n ) se k ≥ 1. Da sequˆencia exata . . . Hk (∂Dn ) → Hk (Dn ) → Hk (Dn , ∂Dn ) → Hk−1 (∂Dn ) → . . . temos 0 → Hk (Dn , ∂Dn ) → Hk−1 (Dn ) → 0

para k ≥ 2 pois Dn ´e contr´ atil, e portanto Hk (S n ) ´e isomorfo a Hk−1 (S n−1 ) para todo n e para k ≥ 2. Para n = k = 1, a parte final da sequˆencia ´e 0 → H1 (S 1 ) → H0 (S 0 ) → H0 (D1 ) → 0 Como H0 (S 0 ) ≈ A ⊕ A e H0 (D1 ) ≈ A e o segundo morfismo ´e induzido por inclus˜ ao, temos que seu n´ ucleo ´e isomorfo a A, e, portanto, H1 (S 1 ) ≈ A e o corol´ ario segue por indu¸c˜ ao. Corol´ ario 11.17. Seja M uma variedade compacta e f : M → R uma fun¸c˜ ao de Morse. Suponha que em f −1 ([a, b]) exista apenas um ponto cr´ıtico, e que seu ´ındice seja λ. Ent˜ ao Hk (M b , M a ) ≈ A se k = λ e Hk (M b , M a ) = 0 se k 6= λ. Demonstra¸ c˜ ao. Pelo teorema de excis˜ ao, Hk (M b , M a ) ´e isomorfo λ λ a Hk (e , ∂e ), que ´e isomorfo a A se k = λ e ´e 0 se k 6= λ.

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330

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Lembramos que o Teorema de ponto fixo de Brouwer foi mostrado no cap´ıtulo 2 usando t´ecnicas que envolvem diferenciabilidade. Podemos dar agora outra demonstra¸c˜ ao, puramente topol´ ogica e muito mais simples, envolvendo apenas os grupos de homologia singular. Seja f : Dn → Dn , n ≥ 2, uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e sem pontos fixos. Como fizemos na outra demonstra¸c˜ ao, isso implica que podemos definir uma retra¸c˜ ao r : Dn → S n que associa a cada ponto x ∈ Dn a interse¸c˜ ao com o bordo da semireta de origem f (x) que passa pelo ponto x. Se i : S n → Dn ´e a inclus˜ ao, temos que r ◦ i = idS n−1 , e portanto (r ◦ i)∗ = id : Hn−1 (S n−1 ) → Hn−1 (S n−1 ), e em particular ´e um isomorfismo. Por outro lado, Hn−1 (Dn ) = 0, e portanto r∗ = 0. Isso ´e um absurdo pois Hn−1 (S n−1 ) 6= 0. Corol´ ario 11.18. (Invariˆ ancia de dimens˜ ao) Se U ⊂ Rm e V ⊂ n R s˜ ao abertos homeomorfos, ent˜ ao m = n. Demonstra¸ c˜ ao. Fixemos x ∈ U . Pela teorema de excis˜ ao, temos que Hk (U, U −{x}) ≈ Hk (Rm , Rm −{x}). Por outro lado, a sequˆencia exata do par (Rm , Rm −{x}) nos diz que Hk (Rm , Rm −{x}) ´e isomorfo ˜ k−1 (Rm − {x}). Como Rm − {x} tem o mesmo tipo de homotopia aH ˜ k−1 (S m−1 ) ≈ A se k = m de S m−1 , temos que Hk (U, U − {x}) ≈ H e 0 caso contr´ ario. Da mesma maneira, Hk (V, V − {y}) ≈ A se k = n e 0 caso contr´ ario. Portanto, como um homeomorfismo induz isomorfismos em homologia, temos n = m. A cada ponto x de um espa¸co topol´ ogico M associamos o grupo Hk (M, M − {x}), que ´e chamado de grupo de homologia local em dimens˜ ao k. A mesma demonstra¸c˜ ao acima implica a seguinte corol´ ario. Corol´ ario 11.19. Seja M uma variedade topol´ ogica com dimens˜ao ˜ k−1 (S m−1 ). m ≥ 2. Para cada x ∈ M temos Hk (M, M \ {x}) ≈ H Em particular, Hm (M, M − {x}) ≈ A. Dada uma fam´ılia Xi de espa¸cos topol´ ogicos e um ponto xi em cada Xi , podemos construir um novo espa¸co topol´ ogico ∨i Xi , denominado buquˆe dos espa¸cos Xi , tomando o quociente da uni˜ ao disjunta ⊔Xi pela rela¸c˜ ao de equivalˆencia que identifica dois pontos distintos se, e somente se, eles pertencem a {xi }i . A classe de cada xi nesse

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[SEC. 11.2:

331

HOMOLOGIA SINGULAR

quociente ´e a mesma para todo i, e vamos F denota-la por ∨i xi . Temos portanto uma aplica¸ c a ˜ o quociente q : ( i Xi , {xi }) → (∨Xi , ∨i xi ). A F inclus˜ ao Xi → i Xi induz aplica¸c˜ oes na homologia ji : Hr (Xi , xi ) → Hr (∨i Xi , ∨i xi ).

Proposi¸ c˜ ao 11.20. Se cada ponto xi possui uma vizinhan¸ca contr´ atil Vi ⊂ Xi , ent˜ ao a aplica¸c˜ ao ⊕i ji : ⊕ Hr (Xi , xi ) → Hr (∨i Xi , ∨i xi ) ´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Consequˆencioa do corol´ ario 11.15. 11.2.3

Homologia celular

Defini¸ c˜ ao 11.7. Um CW -complexo ´e um espa¸co topol´ ogico M que admite uma decomposi¸c˜ ao M=

N [

Mn ,

n=0

N ∈ N ∪ {∞}

tal que os subespa¸cos Mn , chamados de n-esqueletos, tem as seguintes propriedades: 1. M0 ´e um conjunto discreto; 2. Mn−1 ⊂ Mn s˜ ao subespa¸cos fechados; 3. para cada n ∈ N existe uma fam´ılia de fun¸c˜ oes cont´ınuas Φnα : B n → Mn ⊂ M,

chamadas de fun¸c˜ oes caracter´ısticas, tais que a) φnα (S n−1 ) ⊂ Mn−1 , em que φnα = Φnα |S n−1 ; b) Φnα |B n ´e um homeomorfismo sobre sua imagem enα := Φnα (B n ). Tal imagem ´e chamada uma c´elula de dimens˜ao n; c) Mn − Mn−1 =

G

enα ;

α

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332

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

4. A imagem de cada fun¸c˜ ao caracter´ıstica intersecta apenas um n´ umero finito de c´elulas. 5. F ⊂ M ´e fechado se, e somente se, (Φnα )−1 (F ) ´e fechado para todo α e n ∈ N. Exemplos: 1) A esfera unit´ aria S n = en ∪φ e0 , com φ : S n−1 → e0 aplica¸c˜ ao constante. 2) O espa¸co projetivo real pode ser escrito indutivamente como RPn = en ∪ RPn−1 , em que φn : S n−1 → RPn−1 ´e o recobrimento duplo. Logo, RPn = en ∪ en−1 ∪ · · · ∪ e1 ∪ e0 . 3) Analogamente, o espa¸co projetivo complexo qn : S 2n+1 → CPn tamb´em tem uma decomposi¸c˜ ao CW natural. Escrevendo X B 2n = {(w1 , . . . , wn ) ∈ Cn ; |wi |2 < 1}, defina

Φ:

B 2n w

−→ 7−→

n pRP qn (w, 1 − kwk2 ).

Se (z1 , . . . , zn+1 ) ∈ S 2n+1 e zn+1 6= 0, ent˜ ao p existe um u ´nico w ∈ B 2n tal que [z1 , . . . , zn+1 ] = [w1 , . . . , wn , 1 − kwk2 ]. Se zn+1 = 0, ent˜ ao qn (z) ∈ CPn−1 ⊂ CPn .

Logo Φ|B 2n ´e um homeomorfismo sobre a imagem e φ = Φ|S 2n−1 ´e igual a qn−1 : S 2n−1 → CPn−1 . Como CP1 ≈ S 2 = e0 ∪ e2 , temos indutivamente que CPn = e2n ∪ CPn−1 = e2n ∪ e2n−2 ∪ · · · ∪ e2 ∪ e0 .

4) Uma estrutura simplicial em um espa¸co topol´ ogico M ´e uma fam´ılia Φnα : ∆n → M de homeomorfismos tais que [ M= Φnα (∆n ) n,α

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[SEC. 11.2:

333

HOMOLOGIA SINGULAR

m m e se Φnα (∆n ) ∩ Φm ao ∆αβ := (Φnα )−1 (Φm e β (∆ ) 6= ∅, ent˜ β (∆ )) ´ n βα m −1 n n m uma face de ∆ , ∆ := (Φβ ) (Φα (∆ )) ´e uma face de ∆ e a aplica¸c˜ ao (Φnβ )−1 ◦ Φnα : ∆αβ → ∆βα ´e um homeomorfismo afim.

Se a fam´ılia ´e infinita, exigimos tamb´em que ela determine a topologia de M : F ⊂ M ´e fechado, se e somente se, (Φnα )−1 (F ) ´e fechado em ∆n para todo α e n. Uma estrutura simplicial define uma estrutura de CW -complexo em M com Φnα S sendo as fun¸c˜ oes caracter´ısticas e o n-esqueleto sendo M n = Φjα (∆j ). α,j≤n

Whitney mostrou em [Wh1] que toda variedade C ∞ admite uma estrutura simplicial. A ideia ´e mergulhar a variedade em um espa¸co euclideano e triangular esse espa¸co com simplexos de diˆ ametros suficientemente pequenos e perturbar o mergulho de modo a coloca-lo transversal a todos os simplexos. A variedade instersecta os simplexos de dimens˜ao igual ` a codimens˜ao da variedades em pontos. A inters¸c˜ ao da variedade com a triangula¸c˜ ao do espa¸co euclideano fornece uma triangula¸c˜ ao da variedade.

5) Mostraremos posteriormente que, usando fun¸c˜ oes de Morse, toda variedade diferenci´ avel compacta tem o tipo de homotopia de um CW-complexo e cujas c´elulas de dimens˜ ao m´ axima tem a dimens˜ ao da variedade. Mostraremos que, em uma variedade compacta e conexa, ´e poss´ıvel escolher a fun¸c˜ ao de Morse tal que a estruturaela de CW-complexo tenha uma u ´nica c´elula de dimens˜ ao da variedade e uma u ´nica c´elula de dimens˜ao zero. Proposi¸ c˜ ao 11.21. Se M ´e um CW -complexo e K ⊂ M ´e um compacto, ent˜ ao K intersecta apenas um n´ umero finito de c´elulas em M. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha por absurdo que K intersecta uma infinidade de c´elulas ei .STomemos para cada i ≥ 1 um ponto yi ∈ ei ∩ K. S Ent˜ ao Ui = M − {yj } ´e um aberto em M pois {yj } ´e fechado, j6=i

j6=i

uma vez que sua pr´e-imagem por uma fun¸c˜ ao caracter´ıstica ´e um

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334

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

n´ umero finito de pontos (condi¸c˜ ao 4) da defini¸c˜ ao de CW). Assim {Ui }i ´e uma cobertura aberta de K que n˜ ao possui subcoberta finita, uma contradi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 11.22. Mn−1 ´e um retrato por deforma¸c˜ ao de uma vizinhan¸ca V de Mn−1 em Mn . S Demonstra¸ c˜ ao. Seja V = Mn−1 (enα − {xnα }), com xnα = φnα (0). α

Basta definir a aplica¸c˜ ao π : V → Mn−1 por (  n −1  (Φ ) (x) φnα k(Φnα )−1 (x)k se x ∈ enα − {xnα } α π(x) = x se x ∈ Mn−1 .

Corol´ ario 11.23. Para todo k ≥ 0 temos ˜ k (Mn /Mn−1 ), Hk (Mn , Mn−1 ) ≈ H o qual ´e 0 se k 6= n e ´e o m´ odulo livre gerado pelas c´elulas de dimens˜ao n se k = n. Demonstra¸ c˜ ao. A primeira afirma¸c˜ ao segue da proposi¸c˜ ao anterior e do corol´ ario 11.15. Das condi¸c˜ oes 3a) e 3d) da defini¸c˜ ao de CW, temos que o quociente Mn /Mn−1 ´e um buquˆe de esferas de dimens˜ao n. Portanto o corol´ ario segue da proposi¸c˜ ao 11.20. Proposi¸ c˜ ao 11.24. Se M ´e um CW -complexo ent˜ ao: a) Hk (Mn ) = 0 se k > n; b) a inclus˜ ao i : Mn → M induz isomorfismos i∗ : Hk (Mn ) → Hk (M ) se k < n. Demonstra¸ c˜ ao. a) Na sequˆencia exata do par (Mn , Mn−1 ) temos Hk+1 (Mn , Mn−1 ) → Hk (Mn−1 ) → Hk (Mn ) → Hk (Mn , Mn−1 ) temos que, como k > n, o primeiro e u ´ltimo termos s˜ ao nulos, de modo que temos isomorfismos Hk (Mn ) ≈ Hk (Mn−1 ) ≈ · · · ≈ Hk (M1 ) ≈ Hk (M0 ) = 0

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[SEC. 11.2:

335

HOMOLOGIA SINGULAR

b) Se k < n, a mesma an´ alise da sequˆencia do par garante que temos a sequˆencia 0 → Hk (Mn ) → Hk (Mn+1 ) → 0. Logo Hk (Mn ) ≈ Hk (Mn+1 ) ≈ · · · ≈ Hk (Mn+m ). para todo m ≥ 0. Se M = Mn+m para algum m ent˜ ao a prova est´ a terminada. Caso contr´ ario, temos que provar que a inclus˜ ao ´e injetiva e sobrejetiva na homologia. Para provar que ´e injetiva basta observar que se um ciclo [z] em Hk (Mn ) ´e o bordo de uma cadeia b em M , ent˜ ao b ´e uma cadeia em Mn+m para algum m pois a imagem de um simplexo singular ´e um compacto, e portanto intersecta no m´ aximo um n´ umero finito de c´elulas. Da´ı [z] ´e um bordo em Mn+m e, portanto, um bordo em Mn pelo que j´ a foi mostrado. A sobrejetividade ´e an´ aloga pois um ciclo [z] em M pode ser representado por uma cadeia em Mn+m para algum m, e, portanto, um ciclo em Mn+m . Logo ´e hom´ ologo a um ciclo em Mn pelo isomorfismo Hk (Mn ) ֒→ Hk (Mn+m ). Vamos definir agora o complexo celular de um CW-complexo M . Das sequˆencias exatas

Hn+1 (Mn+1 , Mn )

δn+1

/ Hn (Mn )

in

/ Hn (Mn+1 )

/ Hn (Mn+1 , Mn )

≀≀

||

Hn (M )

0

e jn

δ

n 0 = Hn (Mn−1 ) → Hn (Mn ) −→ Hn (Mn , Mn−1 ) −→ Hn−1 (Mn−1 )

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336

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

constru´ımos o diagrama 70 0

Hn (M )

9

in

&

δn+1

Hn (Mn )

8

Hn+1 (Mn+1 , Mn )

jn dn+1

% / Hn (Mn , Mn−1 )

dn

δn

'

/ Hn−1 (Mn−1 , Mn−2 ) 6

Hn−1 (Mn−1 )

jn−1

7

0

com dn+1 = jn ◦ δn+1 e dn = jn−1 ◦ δn . Note que dn ◦ dn+1 = 0, de modo que a sequˆencia horizontal do diagrama ´e um complexo de cadeias, chamado de complexo celular. A homologia desse complexo ´e chamada de homologia celular de M e ´e denotada por HnCW (M ) =

Ker dn . Im dn+1

Proposi¸ c˜ ao 11.25. As homologias singular e celular de um CWcomplexos coincidem, isto ´e, HnCW (M ) ≈ Hn (M ). Demonstra¸ c˜ ao. Da sequˆencia exata δn+1

Hn+1 (Mn+1 , Mn ) −→ Hn (Mn ) → Hn (M ) → 0 temos Hn (M ) ≈

Hn (Mn ) . Im δn+1

Como jn−1 ´e injetivo, temos que Ker δn = Ker dn . Como a sequˆencia jn

δ

n Hn (Mn ) → Hn (Mn , Mn−1 ) → Hn−1 (Mn−1 )

´e exata, temos Im jn = Ker δn = Ker dn .

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[SEC. 11.2:

337

HOMOLOGIA SINGULAR

Como jn ´e injetivo e jn (Im δn+1 ) = Im dn+1 , temos Hn (M ) ≈

Hn (Mn ) Im jn Ker dn ≈ = = HnCW (M ). Im δn+1 Im dn+1 Im dn+1

Vamos descrever agora uma maneira expl´ıcita de calcular os morfismos dn . Para isso vamos restringir o anel de coeficientes para Z. Essa restri¸c˜ ao ´e essencial porque vamos usar que todo morfismo h : Z → Z ´e da forma h(x) = nx para algum n ∈ Z. Em particular, se f : S n → S n ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao f∗ : Hn (S n ) → Hn (S n ) ´e a multiplica¸c˜ ao por um inteiro, j´ a que Hn (S n , Z) ≈ Z. Vamos chamar esse inteiro de grau da aplica¸c˜ ao f . De fato j´ a temos uma no¸c˜ ao de grau definida anteriormente. Vamos mostrar posteriormente, no lema 11.27, que as duas no¸c˜ oes coincidem. Cada fun¸c˜ ao caracter´ıstica Φnα : (B n , S n−1 ) → (Mn , Mn−1 ) induz uma aplica¸c˜ ao injetiva (Φnα )∗ : Hn (B n , S n−1 ) → Hn (Mn , Mn−1 ). Vamos denotar por [enα ] ∈ Hn (Mn , M − n − 1) a imagem do gerador de Hn (B n , S n−1 ) ≈ Z, de modo que {[enα ]}α ´e uma base do Zm´ odulo Hn (Mn , Mn−1 ). Ent˜ ao podemos determinar o morfismo dn pela f´ ormula X dn ([enα ]) = dαβ [en−1 ] β β

onde dαβ s˜ ao inteiros. A soma ´e finita pois Φnα (∂B n ) intersecta apenas um n´ umero finito de c´elulas. Para determinar os coeficientes dαβ consideremos a aplica¸c˜ ao quociente qβ : Mn−1 → Mn−1 /(Mn−1 − en−1 ) ≈ S n−1 , β onde o isomorfismo ´e induzido pela aplica¸c˜ ao caracter´ıstica Φn−1 : (B n−1 , S n−2 ) → (Mn−1 , Mn−1 − en−1 ). β β Teorema 11.26. dαβ ´e o grau da aplica¸c˜ ao qβ ◦ φnα : S n−1 → S n−1 . Demonstra¸ c˜ ao. Pela sequˆencia exata δ ˜ n−1 (B n ) = 0 0 = Hn (B n ) → Hn (Bn , S n−1 ) → Hn−1 (S n−1 ) → H

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338

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

temos que δ ´e um isomorfismo. Por outro lado, temos um diagrama comutativo Hn (B n , S n−1 )

(Φn α )∗

/ Hn (Mn , Mn−1 ) δn

δ

 Hn−1 (S n−1 )

(φn α )∗

 / Hn−1 (Mn−1 )

A aplica¸c˜ ao quociente qβ induz um homomorfismo πβ : Hn−1 (Mn−1 , Mn−2 )

˜ n−1 (Mn−1 /(Mn−1 − en−1 )) /H

≀≀

≀≀

β

˜ n−1 (Mn−1 /Mn−2 ) H

Hn−1 (Mn−1 , Mn−1 − en−1 ) β

n−1 ′ tal que πβ ([en−1 ]) ´e gerador de β ′ ]) = 0 se β 6= β e πβ ([eβ

Hn−1 (Mn−1 , (Mn−1 − en−1 )) ≈ Hn−1 (S n−1 ) β Logo a imagem do gerador [enα ] pela composta desses homomorfismos, como no diagrama comutativo abaixo, ´e dαβ vezes o gerador de Hn−1 (S n−1 ). Hn (B n , S n−1 )

δ

/ Hn−1 (S n−1 )

(Φn α )∗



Hn (Mn , Mn−1 )

(qβ ◦φn α )∗

(φn α )∗ δn

 / Hn−1 (Mn−1 )

dn

(qβ )∗

dn

)



Hn−1 (Mn−1 , Mn−2 )

* / Hn−1 (Mn−1 /(Mn−1 − enβ )) O

q∗ ≈

πβ

*

/ Hn−1 (Mn−1 /Mn−2 )

Da comutatividade do diagrama temos que a imagem do gerador de Hn−1 (S n−1 ) pela aplica¸c˜ ao induzida por (qβ ◦ φnα ) ´e dαβ vezes o n−1 gerador de Hn−1 (S ). Lema 11.27. Seja f : S n → S n uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f∗ : Hn (S n ) → Hn (S n ) ´e dada por f∗ ([z]) = gr(f ) · [z].

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[SEC. 11.2:

339

HOMOLOGIA SINGULAR

Demonstra¸ c˜ ao. Lembrando que duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas induzem as mesmas aplica¸c˜ oes em homologia e que toda aplica¸c˜ ao cont´ınua ´e homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ , podemos supor que f de classe C ∞ . Seja y um valor regular P de f e escreva f −1 (y) = {x1 , . . . , xl }, de modo que gr(f ) = i sinal(xi ). Sejam V vizinhan¸ca de y e Ui vizinhan¸ca de xi tais que f : Ui → V seja um difeomorfismo para cada i e Ui ∩ Uj = ∅ se i 6= j. Considere o diagrama comutativo E

Hn (S n , S n − {x1 , ..., xm })

3

j

Hn (S n )

ρi



+

/ Qi Hn (Ui , Ui − xi ) πi

ki

l ≈

≈

i

Hn (S n , S n − xi ) o



≈ ui

Hn (Ui , Ui − xi )

onde todos os homomorfismos s˜ ao induzidos pelas inclus˜ oes. A inF clus˜ ao i Ui → S n induz um isomorfismo em homologia pelo teorema da excis˜ ao, cujo inverso denotamos no diagrama por E. O morfismo l tamb´em ´e um isomorfismo pois Hn (S n − xi ) || 0

l

∂

→ Hn (S n ) → Hn (S n , S n − xi ) →

˜ n−1 (S n − xi ) H || 0

e da mesma forma o homomorfismo inferior da direita induzido por inclus˜ ao ´e isomorfismo. Em Hn (Ui , Ui −xi ) e Hn (V, V −y) consideremos os geradores que correspondem ao gerador de Hn (S n ) via os isomorfismos do diagrama. Assim f∗ : Hn (Ui , Ui − xi ) → Hn (V, V − y) leva gerador em gerador se o sinal de xi ´e positivo e gerador em -gerador se o sinal ´e negativo. Hn (Ui , Ui − xi ) ui

n

t

n

Hn (S , S − xi ) o

j

n

l ≈

/ Hn (V, V − y)

ki

≈ ρi

f∗

≈



n

f∗

Hn (S , S \ {x1 , ..., xm })

O

j

Hn (S n )

n



/ Hn (S , S n − y) O ≈

f∗

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/ Hn (S n )

340

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

´ claro que πi Eki (gerador) = gerador pois E ◦ ki ´e a inclus˜ E ao no i-´esimo fator e, portanto,   X πi E  kj (gerador) = πi (Eki (gerador)) = gerador ∀ i j

e tamb´em πi Ej(gerador) = gerador, pois πi ◦ E ◦ j = u−1 ◦ l e l ´e i isomorfismo. Logo   X πi (E ◦ j(gerador)) = πi E  kj (gerador) ∀ i j

e, consequentemente,

X

E ◦ j(gerador) =

Eki (gerador).

i

Como E ´e isomorfismo, segue-se j(gerador) =

X

ki (gerador).

i

Portanto f∗ j(gerador)

= =

f∗

X

X i

=

X i

f∗ ki (gerador)

(f |Ui )∗ (gerador)

X

=

i

E assim f∗ (gerador) =

X

ki (gerador)

i

!

sin(xi ) (gerador)

(sin xj )(gerador),

j

o que prova o lema e o teorema.

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[SEC. 11.2:

341

HOMOLOGIA SINGULAR

Exemplo 11.1. A superf´ıcie compacta orient´ avel de gˆ enero g. A superf´ıcie Mg ´e obtida identificando dois a dois os lados de um pol´ıgono plano de 4g lados como −1 −1 −1 −1 a1 b1 a1−1 b−1 1 a2 b2 a2 b2 ...ag bg ag bg .

De modo que temos uma 0-c´elula, 2g c´elulas de dimens˜ao 1 e uma c´elula de dimens˜ ao 2. O complexo celular ´e portanto d

d

2 1 0 → Z −→ Z2g −→ Z→0

Devemos ter d1 = 0 pois temos apenas uma c´elula de dimens˜ao 0 e Mg ´e conexa. Tamb´em temos que d2 = 0 pois ao percorrer o bordo do disco no sentido anti-hor´ ario, a imagem da aplica¸c˜ ao qj ◦ φ2 da uma volta em torno de aj ( ou de bj ) e depois desfaz essa volta por causa da maneira como a identifica¸c˜ ao foi escolhida, de modo que o n´ umero de rota¸c˜ ao ´e 0, o qual ´e o grau de qj ◦ φ2 . Assim conclu´ımos que H0 (Mg , Z) ≈ Z H1 (Mg , Z) ≈ Z2g H2 (Mg , Z) ≈ Z. Exemplo 11.2. A superf´ıcie compacta n˜ ao orient´ avel de gˆ enero g. A superf´ıcie Ng ´e o espa¸co quociente de um pol´ıgono plano de 2g lados identificados dois a dois como a1 a1 a2 a2 ...ag ag , da´ı o o complexo celular ´e d

d

2 1 0 → Z −→ Zg −→ Z → 0.

Como antes, d1 = 0 pois s´ o h´ a uma 0-c´elula e Ng ´e conexo. Do modo como ´e feita a colagem, segue agora que para cada j = 1, 2, ..., g a aplica¸c˜ ao qj ◦ φ2 : S 1 → S 1 d´ a duas voltas no sentido anti-hor´ ario em torno de aj , de modo que o n´ umero de rota¸c˜ ao ´e 2. Deste modo conclu´ımos que d2 (x) = (2x, ..., 2x) ∈ Zg . Para entender quem ´e H1 (Ng ) = Zg /Im d2 , note que (1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 1, 0), (1, 1, ..., 1)

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342

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

tamb´em ´e um base de Zg e os primeiros g − 1 elementos dessa base tem classe n˜ ao trivial em H1 (N g ) e c.(1, ..., 1) ∈ Im d2 se, e somente se, c ∈ 2Z, e portanto H1 (Ng ) ≈ Zg−1 × Z2 . Assim H0 (Ng , Z) ≈ Z H1 (Mg , Z) ≈ Zg−1 × Z2 H2 (Mg , Z) = 0.

Exemplo 11.3. Espa¸ co projetivo complexo CPn .

Como j´ a vimos, uma estrutura celular de CPn consiste de uma u ´nica c´elula em cada dimens˜ ao par menor ou igual 2n e n˜ ao h´ a c´elulas em dimens˜ ao ´ımpar. Assim o complexo celular tem a forma 0 → Z · [e2n ] → 0 → Z · [e2n−2 ] → 0 → ... → Z · [e0 ] → 0. Logo, da sequˆencia do complexo ser exata, todos os operadores dn devem se anular, e assim H2k (CPn , Z) ≈ Z se 0 ≤ k ≤ n e H2k+1 (CPn , Z) = 0 para k ≥ 0.

Exemplo 11.4. O espa¸ co projetivo real RPn .

Temos uma u ´nica c´elula em cada dimens˜ao e o esqueleto de dimens˜ ao j ´e RPj . A aplica¸c˜ ao caracter´ıstica ´e o recobrimento duplo φj : S j−1 → RPj−1 . Deste modo, para encontrar o morfismo dj precisamos encontrar o grau da composi¸c˜ ao φj

qj

S j−1 → RPj−1 → RPj−1 /RPj−2 = S k−1 . Note que qj ◦φj ´e um homeomorfismo quando restrito aos hemisf´erios abertos de S k−1 e que cada uma dessas restri¸c˜ oes pode ser obtida da outra compondo com a aplica¸c˜ ao ant´ıpoda, a qual tem grau (−1)j . Portanto o grau de qj ◦ φj ´e 1 + (−1)j , e assim dj (x) = 2x para j par e dj = 0 para j ´ımpar. Portanto o complexo celular fica 2x

0

0

0 → Z → Z → Z → ... → Z → Z → 0 0 2x 0 0 → Z → Z → Z → ... → Z → Z → 0

se n ´e par se n ´e ´ımpar

e portanto

  Z Z2 Hj (RPn , Z) ≈  0

se k = 0 e k = n ´ımpar se k ´e ´ımpar e 0 < k < n caso contr´ ario.

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[SEC. 11.2:

HOMOLOGIA SINGULAR

343

Defini¸ c˜ ao 11.8. Sejam M e N CW-complexos. Uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → N ´e celular se para todo k f (M k ) ⊂ N k . Vamos mostrar a seguir que toda aplica¸c˜ ao cont´ınua entre CWcomplexos ´e homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao celular. Lema 11.28. Se M ´e um CW-complexo ent˜ ao toda aplica¸c˜ ao cont´ınua Φ : B n → M tal que Φ(S n−1 ) ⊂ M n−1 ´e homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao que leva B n em M n . Demonstra¸ c˜ ao. A imagem de Φ intersecta apenas um n´ umero finito de c´elulas. Portanto est´ a contido em um subspa¸co de M que ´e a uni˜ ao de um n´ umero finito de subespa¸cos encaixantes, come¸cando com M n , tais que cada um ´e obtido do anterior colando-se uma c´elula de dimens˜ ao maior que n Se Y ´e um desses subespa¸cos ent˜ ao o seguinte ´e X = Y ∪φ B m com m > n e φ : S m−1 → Y uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Basta ent˜ ao provar que se Ψ : B n → X ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua com Ψ(S n−1 ) ⊂ Y ent˜ ao Ψ ´e homot´ opica mod. S n−1 a uma n ˆ ˆ aplica¸c˜ ao cont´ınua com Ψ tal que Ψ(B ) ⊂ Y . Seja U = X \ Y que ´e um subconjunto aberto de X homeomorfo ` a bola B m . Seja V ⊂ U um subconjunto aberto n˜ ao vazio cujo fecho ´e um compacto contido em U . Ent˜ ao Ψ−1 (U \ V ) ´e um subconjunto aberto de B n . Se esse conjunto ´e vazio ent˜ ao um ponto y ∈ U \ V n˜ ao est´ a na imagem de Ψ. Logo, se rt : U \ {y} → U \ {y} ´e a homotopia entre a identidade e a retra¸c˜ ao ao bordo de U temos que rt ◦ Ψ ´e a homotopia procurada. Caso esse conjunto seja n˜ ao vazio, tomamos uma fun¸c˜ ao positiva ǫ : Ψ−1 (U \ V ) → R que tende a zero no bordo ˜ tal que a e, usando o teorema 8.16, tomamos uma aplica¸c˜ ao C ∞ Ψ ˜ ˜ dist˜ ancia em B m entre Ψ(x) e Ψ(x) ´e menor que ǫ(x). Como ǫ tende ˜ se estende continuamente a B n coincidindo com a zero no bordo Ψ ˜ ´e homot´ Ψ no complementar de Ψ−1 (U \ V ). Temos que Ψ opico a Ψ ˜ a Ψ−1 (U \ V ) e, se y ∈ U \ V ´e um valor regular da restri¸c˜ ao de Ψ ˜ pois m > n. Logo, rt ◦ Ψ ˜ .´e temos que y n˜ ao est´ a na imagem de Ψ ˜ uma homotopia entre Ψ e uma aplica¸c˜ ao que leva a bola fechada em Y. Proposi¸ c˜ ao 11.29. Seja X um CW-complexo de dimens˜ao finita e Y ⊂ X um subconjunto fechado que ´e a uni˜ ao de c´elulas. Ent˜ ao (X × {0}) ∪ (Y × [0, 1] ´e um retrato por deforma¸c˜ ao de X × [0, 1].

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344

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Demonstra¸ c˜ ao. Come¸camos mostrando que (B n × {0}) ∪ (∂B n × [0, 1] ´e um retrato por deforma¸c˜ ao de B n ×[0, 1]. De fato, basta definir n n a retra¸c˜ ao r1 : B ×[0, 1] → (B ×{0})∪(∂B n ×[0, 1]) tomando r1 (x) como a interse¸c˜ ao com (B n × {0}) ∪ (∂B n × [0, 1]) do segmento de n reta em R × R que passa pelo ponto (0, 2) e x e tomar rs (x) = sr1 (x) + (1 − s)x. Seja Z n = X n ∪ Y . Como (X × {0}) ∪ (Z n × [0, 1] ´e obtido de (X × {0}) ∪ (Z n−1 × [0, 1] colando-se um n´ umero finito de de B n × [0, 1] ao longo de B n ×{0}∪∂B n ×[0, 1], concluimos que existe uma homotopia ρns entre a identidade de : (X × {0}) ∪ (Z n × [0, 1]) e a retra¸c˜ ao deste espa¸co sobre (X × {0}) ∪ (Z n−1 × [0, 1]. Vamos provar, por indu¸c˜ ao, que existe uma homotopia rsn : (X×{0})∪ (Z n × [0, 1] ←֓ tal que rsn (x, 0) = (x, 0) para todo x ∈ X; rsn (x, t) = (x, t) para todo x ∈ Y ; r0n (x, t) = (x, t) para todo (x, t); r1n (x, t) ∈ X × {0} ∪ Y para todo (x, t) Come¸camos definindo rs0 : rs0 (x, 0) = (x, 0), rs0 (x, t) = (x, t) para todo x ∈ Y , rs0 (x, t) = (x, (1 − s)t) se x ∈ X 0 \ Y . Supondo, por indu¸c˜ ao que ja definimos rsn−1 definimos rsn (x, t)

=

(

ρn2s (x, t) se 0 ≤ s ≤ 21 n−1 r2s−1 (ρn1 (x, t)) se 12 ≤ s ≤ 1

Como X = X N para algum N concluimos a prova. Corol´ ario 11.30. Seja M um CW-complexo e Y ⊂ M um subconjunto fechado que ´e uma uni˜ ao de c´elulas. Seja f0 : M → N uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e h : Y × [0, 1] → N uma homotopia da restri¸c˜ ao de f0 a Y . Ent˜ ao existe uma homotopia ft : M → N cuja restri¸c˜ ao a Y coincide com ht . Demonstra¸ c˜ ao. A homotopia h define uma aplica¸c˜ ao cont´ınua M × {0} ∪ Y × [0, 1] → N que leva (x, 0) em f0 (x) e (x, t) em h(x, t) se x ∈ Y . Pela proposi¸c˜ ao anterior essa aplica¸c˜ ao se estende M × [0, 1] → N que ´e a homotopia procurada.

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345

[SEC. 11.3: DESIGUALDADES DE MORSE

Teorema 11.31. Se f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua entre CWcomplexos de dimens˜ ao finita ent˜ ao f ´e homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao celular. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos, por indu¸c˜ ao que ja obtivemos uma homotopia entre a aplica¸c˜ ao inicial e uma aplica¸c˜ ao g tal que g(M k ) ⊂ k N para todo k ≤ n − 1. Pelo lema acima, a restri¸c˜ ao de g a M n ´e n−1 homot´ opica, mod M a uma aplica¸c˜ ao cont´ınua que leva M n em n N . Pelo corol´ ario acima, essa homotopia se estende a uma homotopia de g. Obtemos portanto uma aplica¸c˜ ao g˜ homot´ opica a g tal que g(M k ) ⊂ N k para k ≤ n o que prova o teorema. Uma aplica¸c˜ ao celular f : M → N induz homomorfismos f∗ : Hk (Mn , Mn − 1) → Hk (Nn , Nn−1 ) no grupo de cadeias celulares. Para calcular esse homomorfismo basta descrever a imagem de cada gerador que ´e uma c´elula enα de dimens˜ ao n. Temos ent˜ ao X f∗ enα = mα,β enβ β

onde mα,β s˜ ao inteiros. Deixamos ao leitor a tarefa de mostrar que cada um desses coeficientes ´e o grau de uma aplica¸c˜ ao fα,β : S n−1 → n−1 S obtida compondo a aplica¸c˜ ao induzida por Mn /Mn−1 → Nn /Nn−1 induzida por f a aplica¸c˜ oe S n → Mn /Mn−1 associada ` a fun¸c˜ ao caracter´ıstica de e a aplica¸c˜ ao Nn /Nn−1 → S n que colapsa todas as esferas do buguˆe exceto a correspondente ` a c´elula enβ .

11.3

Desigualdades de Morse

Note que no caso de coeficientes reais os grupos de homologia s˜ ao de fato espa¸cos vetoriais. Nesta se¸ca˜o estudaremos como ´e a rela¸c˜ ao entre as dimens˜ oes dos grupos de homologia com coeficiente reais de uma variedade compacta e a quantidade de pontos cr´ıticos de cada ´ındice de uma fun¸c˜ ao de Morse nesta variedade. Assumiremos nesta se¸c˜ ao um fato a ser mostrado no cap´ıtulo 10:

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346

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Teorema 11.32. Se M ´e uma variedade diferenci´ avel compacta de dimens˜ ao m, ent˜ ao para cada 0 ≤ λ ≤ m, o λ-´esimo n´ umero de Betti de M bλ := dim Hλ (M, R) ´e finito. Dada uma fun¸c˜ ao de Morse f em M , fazendo uma pequena perturba¸c˜ ao em f , podemos supor que para cada valor cr´ıtico a ∈ R tenhamos apenas um ponto cr´ıtico na sua pr´e-imagem f −1 (a) ((referencia do milnor pg 18). Assim, podemos ordenar os pontos cr´ıticos numa lista p1 , ..., pk de maneira que f (p1 ) < ... < f (pk ), cada ponto cr´ıtico pi com ´ındice λi , e escolher valores regulares a0 < f (p1 ) < ´nico ponto a1 < f (p2 ) < ... < ak−1 < f (pk ) < ak tais que pi ´e o u cr´ıtico em f −1 [ai−1 , ai ] para 0 ≤ i ≤ k. Note que dessa maneira, sendo M compacta, p1 ´e ponto de m´ınimo de f e pk ´e o ponto de m´ aximo, e portanto M a0 = ∅ e M ak = M . Lembrando que, para cada 0 ≤ i ≤ k, a variedade com bordo M ai tem o mesmo tipo de homotopia de M ai−1 ∪ϕ eλi , de modo que para cada 0 ≤ λ ≤ n, temos que Hλ (M ai , M ai−1 )

∼ = ∼ = ∼ =

Hλ (M ai−1 ∪ eλi , M ai−1 ) Hλ (eλi , ∂eλi )  R se λ = λi , 0 se λ 6= λi

e portanto a dimens˜ ao do espa¸co vetorial Hλ (M ai , M ai−1 ) identifica k [ se o ponto cr´ıtico pi tem ´ındice λ ou n˜ ao, e como M = f −1 [ai−1 , ai ], i=1

temos que

cλ :=

k X

dim Hλ (M ai , M ai−1 )

i=1

´e exatamente o n´ umero de pontos cr´ıticos de ´ındice λ que f possui. Teorema 11.33. [Desigualdades de Morse] Seja M uma variedade diferenci´ avel compacta de dimens˜ao n. Para cada 0 ≤ λ ≤ n vale a desigualdade bλ − bλ−1 + bλ−2 − ... ± b0 ≤ cλ − cλ−1 + cλ−2 − ... ± c0 , e, al´em disso, vale a igualdade quando λ = n.

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347

[SEC. 11.3: DESIGUALDADES DE MORSE

Para provar este teorema faremos algumas defini¸c˜ oes preliminares e provaremos alguns lemas. Lembramos que por um par de espa¸cos topol´ ogicos (X, Y ) entendemos um espa¸co topol´ ogico X e um subconjunto Y ⊂ X com a topologia induzida por X. Defini¸ c˜ ao 11.9. Considere S uma correspondˆencia que a cada par (X, Y ) de espa¸cos topol´ ogicos associa um n´ umero inteiro S(X, Y ). Dizemos que S ´e sub-aditiva se toda vez que Z ⊂ Y ⊂ X temos S(X, Z) ≤ S(X, Y ) + S(Y, Z). Dizemos que S ´e aditiva se vale a igualdade. Lema 11.34. Seja S uma correspondˆencia como na defini¸c˜ ao acima e considere espa¸cos topol´ ogicos Xk ⊇ Xk−1 ⊇ ... ⊇ X0 . 1. Se S ´e sub-aditiva, ent˜ ao S(Xk , X0 ) ≤

k X

S(Xi , Xi−1 ).

i=1

2. Se S ´e aditiva, ent˜ ao vale a igualdade no item anterior. Demonstra¸ c˜ ao. Vamos provar 1) por indu¸c˜ ao em 1 ≤ j ≤ k e 2) seguir´ a de modo inteiramente an´ alogo. Para j = 1 ´e a pr´ opria defini¸c˜ ao de sub-aditividade. Suponha que aP desigualdade ´e v´ alida j para um certo 1 ≤ j ≤ k, isto ´e, S(Xj , X0 ) ≤ i=1 S(Xi , Xi−1 ), da´ı S(Xj+1 , X0 )

≤

S(Xj+1 , Xj ) + S(Xj , X0 )

≤

S(Xj+1 , Xj ) +

=

j+1 X

j X

S(Xi , Xi−1 )

i=1

S(Xi , Xi−1 ).

i=1

Lema 11.35. Seja λ ≥ 0 um inteiro. Considere uma classe de pares de espa¸cos topol´ ogicos com as seguintes propriedades: para cada par (X, Y ) nesta classe satisfaz bk (X, Y ) := dim Hk (X, Y, R) < ∞ para todo k ≥ 0 e que existe um natural n = n(X) tal que bN (X, Y ) = 0 para todo N ≥ n. Ent˜ ao nessa classe de pares a correspondˆencia Sλ (X, Y ) := bλ (X, Y ) − bλ−1 (X, Y ) + bλ−2 (X, Y ) − ... ± b0 (X, Y )

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348

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

´e sub-aditiva. Al´em disso, para X fixado, tomando o inteiro n do enunciado, vale Sn (X, Z) = Sn (X, Y )+Sn (Y, Z) quando Z ⊂ Y ⊂ X. Demonstra¸ c˜ ao. Lembramos a sequˆencia exata do terno (X, Y, Z): jλ

i

∂

j0

∂

λ λ ... → Hλ (Y, Z) → Hλ (X, Z) → Hλ (X, Y ) → ... → H0 (X, Y ) →0 0

Para cada 0 ≤ k ≤ λ, usando a exatid˜ ao desta sequˆencia e o teorema do n´ ucleo-imagem para ik , jk e ∂k obtemos bk (X, Z) = bk (X, Y ) + bk (Y, Z) − posto∂k+1 − posto∂k . Portanto temos uma sucess˜ ao de igualdades bλ (X, Z)

=

−bλ−1 (X, Z) .. .

=

±b1 (X, Z) ∓b0 (X, Z)

= =

bλ (X, Y ) + bλ (Y, Z) − posto∂λ+1 − posto∂λ

−bλ−1 (X, Y ) − bλ−1 (Y, Z) + posto∂λ − posto∂λ−1 ±b1 (X, Y ) ± b1 (Y, Z) ∓ posto∂2 ∓ posto∂1 ∓b0 (X, Y ) ∓ b0 (Y, Z) ± posto∂1 ± posto∂0 .

Como ∂0 = 0, somando todas essas igualdades obtemos Sλ (X, Z) = Sλ (X, Y ) + Sλ (Y, Z) − posto∂λ+1 ≤ Sλ (X, Y ) + Sλ (Y, Z), e portanto Sλ ´e subaditiva. Ainda analisando esta express˜ ao acima, por hip´ otese temos ∂n+1 = 0, de modo que para λ = n obtemos Sn (X, Z) = Sn (X, Y ) + Sn (Y, Z). Demonstra¸ c˜ ao (das Desigualdades de Morse): Para cada inteiro 0 ≤ λ ≤ n aplicamos os dois lemas anteriores para a sequˆencia de espa¸cos topol´ ogicos M = M ak ⊇ M ak−1 ⊇ ... ⊇ M a0 = ∅ obtendo λ X i=0

=

(−1)i bλ−i (M ) = Sλ (M, ∅) ≤

k X

ai

(bλ (M , M

i=1

=

λ X

ai−1

k X

Sλ (M ai , M ai−1 ) =

i=1

) − bλ−1 (M ai , M ai−1 ) + ... ± b0 (M ai , M ai−1 ))

(−1)i cλ .

i=0

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349

[SEC. 11.3: DESIGUALDADES DE MORSE

E no caso de λ = n as desigualdades acima s˜ ao na verdade igualdades. Uma consequˆencia imediata das desigualdades de Morse ´e obtida somando as desigualdades para λ e λ − 1, o que resulta em bλ ≤ cλ . Outra maneira de formular as desigualdades de Morse ´e obtida encontrando uma rela¸c˜ ao entre o polinˆ omio de Poincar´e de M e o polinˆ omio de Morse de f . Defini¸ c˜ ao 11.10. Definimos respectivamente o polinˆ omio de Poincar´e de M e o polinˆ omio de Morse de f por Pt (M ) =

n X

bk tk e Mt (f ) =

k=0

n X

c k tk .

k=0

O Teorema das Desigualdades de Morse se traduz no seguinte: Teorema 11.36. O polinˆ omio de Morse ´e dado por Mt (f ) = Pt (M ) + (1 + t)R(t), Pn para algum polinˆ omio R(t) = k=0 rk tk com coeficientes rk inteiros n˜ ao negativos. Observa¸ c˜ ao: Usando esta formula¸c˜ ao, podemos comparar os coeficientes e obter c0 = b0 + r0 , cn = bn + rn−1 e ck = bk + rk + rk−1 para 0 < k < n. Assim, como todos os coeficientes s˜ ao inteiros n˜ ao negativos, se para algum 0 ≤ k ≤ n − 1 temos rk > 0, ent˜ ao pelas igualdades acima obtemos ck > 0 e ck+1 > 0. Em particular, se no polinˆ omio Mt (f ) n˜ ao h´ a coeficientes consecutivos n˜ ao nulos, ent˜ ao R(t) ≡ 0, e nesse caso temos Mt (f ) = Pt (M ), ou seja, ck = bk para todo 0 ≤ k ≤ n. Exemplo: Identificando S 2n+1 ⊂ Cn+1 , considere S 2n+1 → R, Pn 2 (z0 , ..., zn ) 7→ c˜ ao k=1 k · |zk | . Note que os valores desta aplica¸ n˜ ao mudam se multiplicamos coordenada a coordenada por n´ umeros complexos de m´ odulo 1, e portanto fica bem definida a aplica¸c˜ ao f:

CPn [z0 , ..., zn ]

−→ 7−→

Pn R 2 i=1 k|zk | .

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350

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Lembramos que para cada 0 ≤ i ≤ n temos uma carta (Ui , ϕi ) de CPn , em que Ui = {[z0 , ..., zn ]; zi 6= 0} e ϕi : Ui → Rn × Rn ´e definida por ϕi ([z0 , ..., zn ]) = (x0 , ..., xˆi , ..., xn , y0 , ..., yˆi , ..., yn ), onde os xi , yi ’s s˜ ao tais que xk +iyk = |zi |· zzki . Note que |zk |2 = x2k +yk2 P se k 6= i e |zi |2 = 1 − k6=i (x2k + yk2 ). Portanto, se f˜ = f ◦ ϕ−1 ao i , ent˜ f˜(x0 , ..., xˆi , ..., xn , y0 , ..., yˆi , ..., yn )

= =



i 1 − i+

X

X k6=i

x2k

+



yk2 

+

X

k(x2k + yk2 )

k6=i

(k − i)(x2k + yk2 ).

k6=i

Assim, o u ´nico ponto cr´ıtico de f˜ nessa carta ´e (0, 0). A hessiana de f˜ em (0, 0) ´e a matriz diagonal diag = 2.(−i, 1 − i, ..., ˆ 0, ..., n − i, −i, ..., ˆ 0, ..., n − i) e ent˜ ao o ´ındice desse ponto cr´ıtico ´e 2i. Logo o polinˆ omio de Morse de f ´e Mt (f ) = 1 + t2 + ... + t2 n. Em particular, n˜ ao h´ a coeficientes consecutivos n˜ ao nulos e assim b2k = 1 e b2k+1 = 0 para 0 ≤ k ≤ n.

11.4

Estrutura de CW-complexo e decomposi¸c˜ ao em asas

Durante esta se¸c˜ ao M denota uma variedade diferenci´ avel compacta. Seja f : M → R uma fun¸c˜ ao de Morse e fixe uma m´etrica Riemanniana em M tal que em coordenadas de Morse a m´etrica seja a euclidiana. Defini¸ c˜ ao 11.11. Um campo Y ∈ X∞ (M ) ´e dito do tipo gradiente de f se • Y = ∇f em vizinhan¸cas dos pontos cr´ıticos de f . • df (p) · Y (p) > 0 para todo ponto p ∈ M regular.

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˜ EM ASAS [SEC. 11.4: ESTRUTURA DE CW-COMPLEXO E DECOMPOSIC ¸ AO

351

O conjunto dos campos de vetores que s˜ ao campos tipo gradiente de uma dada fun¸c˜ ao ´e bastante grande pois dado um campo tipo gradiente X e uma vizinhan¸ca V do conjunto cr´ıtico de f , existe ǫ > 0 tal que se Y ´e um campo de vetores de classe C ∞ que coincide com X em V e tal que a distˆ ancia C 0 entre X e Y ´e menor que ǫ, ent˜ ao Y ´e tambem um campo tipo gradiente de f . Defini¸ c˜ ao 11.12. Seja Y um campo do tipo gradiente de f e ϕ seu respectivo fluxo. Para cada ponto cr´ıtico pi de ´ındice λi definimos   • a variedade est´ avel W s (pi ) := p ∈ M ; lim ϕt (p) = pi t→+∞

  u • a variedade inst´ avel W (pi ) := p ∈ M ; lim ϕt (p) = pi . t→−∞

s Proposi¸ c˜ ao 11.37. Para cada i, a variedade est´ avel WS (pi ) ´e uma subvariedade mergulhada em M de dimens˜ao λi e M = i W s (pi ).

Demonstra¸ c˜ ao. Para a primeira afirma¸c˜ ao, seja (Ui , ϕi ) uma carta de Morse em torno de pi . Como Y = ∇f em Ui , pelo comportamento do gradiente de f nesta vizinhan¸ca temos que W s (pi ) ∩ Ui = ϕ−1 i {xλi +1 = ... = xn = 0}. Assim, numa vizinhan¸ca de pi temos que W s (pi ) ´e uma subvariedade mergulhada de dimens˜ ao λi . Agora, dado um outro ponto p ∈ W s (pi ) qualquer, pela defini¸c˜ ao de variedade est´ avel existe T > 0 tal que ϕT (p) ∈ Ui , ent˜ ao ϕ−T (Ui ) ´e uma vizinhan¸ca de p que ´e dom´ınio de carta de subvariedade pois ϕ−T ´e um difeomorfismo. Vejamos agora a segunda afirma¸c˜ ao. Para cada p ∈ M , considere seu omega limite   ω(p) = q ∈ M ; ∃(tk )k∈N tal que lim ϕtk (p) = q . k→+∞

Como f ´e crescente ao longo do fluxo de Y e M ´e compacta, segue de uma observa¸c˜ ao que j´ a fizemos anteriormente que ω(p) 6= ∅ e consiste de pontos cr´ıticos. Sabe-se que ω(p) ´e conexo por M ser compacta, e como C(f ) ´e discreto, segue que ω(p) = {pi } para algum i. Portanto p ∈ W s (pi ).

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352

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Afirma¸c˜ oes an´ alogas podem ser feitas para variedades inst´ aveis, de modo que a dimens˜ ao de W u (pi ) ´e n − λi e na segunda afirma¸c˜ ao considera-se da´ı o alpha limite de cada ponto, definido de maneira an´ aloga. Defini¸ c˜ ao 11.13. Considere f : M → R uma fun¸c˜ ao de Morse e Y ∈ X∞ (M ) um campo tipo gradiente de f . Dizemos que Y ´e de Morse-Smale se para todos pi , pj ∈ C(f ) vale W s (pi ) ⋔ W u (pj ). Em particular, a variedade est´ avel de uma singularidade de um campo de Morse-Smale s´ o pode intersectar variedades inst´ aveis de singularidades de ´ındice estritamente menor: a interse¸c˜ ao entre duas dessas variedades ´e invariante pelo fluxo e com a condi¸c˜ ao de transversalidade a interse¸c˜ ao tem dimens˜ ao maior ou igual a 1. Teorema 11.38. Seja X um campo de vetores tipo gradiente de uma fun¸c˜ ao de Morse f : M → R. Dada uma vizinhan¸ca V de X em X∞ (M ), existe um campo de vetores Y ∈ V que ´e tipo gradiente de f de Morse-Smale. Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos uma carta de Morse em uma vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico de ´ındice λ. Sejam b > a > 0 e d > 0 tais que a express˜ ao do campo X nessa carta seja X(u, v) =

λ X i=1

−2ui

m−λ X ∂ ∂ + 2vi se kvk < d e kuk < 2b. ∂ui ∂vi i=1

Se d ´e suficientemente pequeno, o campo X ´e transversal ` as subvariedades Et = {(u, v); u ∈ St , kvk < d, a ≤ t ≤ b} em que St ´e a esfera de raio t contida na variedade est´ avel do ponto cr´ıtico, isto ´e, St = {(u, v); v = 0, kuk = t. Seja S ⊂ Eb uma subvariedade de class C ∞ que est´ a pr´ oxima de Sb na topologia C ∞ . Uma tal subvariedade ´e o gr´ afico de uma fun¸c˜ ao α : Sb → Rm−λ pr´ oxima de 0 na topologia C∞. Estendemos essa fun¸c˜ ao a uma fun¸c˜ ao α0 de classe C ∞ definida em ∪bt=a St que tamb´em est´ a pr´ oxima da fun¸c˜ ao identicamente nula e coincide com a fun¸c˜ ao identicamente nula em uma vizinhan¸ca de Sa . Para v ∈ Rm−λ seja αv = α0 + v. Observemos que os gr´ aficos das fun¸c˜ oes αv s˜ ao dois a dois disjuntos. Podemos ent˜ ao

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˜ EM ASAS [SEC. 11.4: ESTRUTURA DE CW-COMPLEXO E DECOMPOSIC ¸ AO

353

definir um campo de vetores Y pr´ oximo ao campo X que coincide com X fora de uma vizinhan¸ca de ∪bt=a St e que numa vizinhan¸ca menor ´e tangente aos gr´ aficos das fun¸c˜ oes αv (basta, por exemplo, em cada ponto do gr´ afico de αv projetar ortogonalmente o campo X no espa¸co tangente ao gr´ afico). O campo Y ´e t˜ ao pr´ oximo a X quanto se queira desde que S seja suficientemente pr´ oximo de Sb . Logo Y ´e um campo tipo gradiente de f e Sa e S est˜ ao contidas na variedade est´ avel de Y . Como o campo X ´e transversal a Eb , todas as variedades inst´ aveis das singularidades de X intersectam Eb transversalmente e essas interse¸c˜ oes s˜ ao subvariedades de Eb . Como a ´ orbita positiva de Y por um ponto de Eb coincide com a ´ orbita positiva de X por esse ponto, essas subvariedades ainda est˜ ao contidas nas variedades inst´ aveis do campo Y . Tomando S transversal (em Eb ) ` a essas subvariedades, conclu´ımos que a variedade est´ avel de Y no ponto cr´ıtico considerado ´e transversal a todas as outras variedades inst´ aveis. Repetindo o argumento para cada ponto cr´ıtico obtemos um campo tipo gradiente de f cujas variedades est´ aveis e inst´ aveis s˜ ao duas a duas transversais. J´ a vimos que podemos tomar fun¸c˜ oes de Morse que possuem apenas um ponto cr´ıtico em cada n´ıvel cr´ıtico. Veremos agora que ´e poss´ıvel escolher uma fun¸c˜ ao de Morse em M tal que os valores dos pontos cr´ıticos est˜ ao de fato ordenados pelos ´ındices. Isto ´e, ´e poss´ıvel escolher f de maneira que se p e p′ s˜ ao pontos cr´ıticos de f tais que ind(p) < ind(p′ ), ent˜ ao f (p) < f (p′ ). Para isso, suponha que entre os n´ıveis V1 = f −1 (1) e V0 = f −1 (0) tenhamos exatamente dois pontos cr´ıticos p e p′ com ind(p) < ind(p′ ) e f (p) > f (p′ ) (tomamos 0 e 1 simplesmente para facilitar a escrita). Seja X ∈ X∞ (M ) um campo tipo gradiente de f de Morse-Smale. Temos ent˜ ao que W s (p) e W u (p′ ) s˜ ao disjuntos pois dimW s (p) + dimW u (p′ ) = ind(p) + n − ind(p′ ) < n, e sendo estas subvariedades transversais, a soma das dimens˜oes n˜ ao ser suficiente significa que n˜ ao h´ a interse¸c˜ ao. De modo an´ alogo temos que W u (p) e W s (p′ ) s˜ ao tamb´em disjuntas. Tamb´em ´e claro que W s (p) e W s (p′ ) tamb´em s˜ ao disjuntos (o omega-limite de um ponto na interse¸c˜ ao deveria ser p e p′ ao mesmo tempo).

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354

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Figura 11.3: n´ıveis V0 e V1 . Em particular, (W s (p) ∩ V0 ) ∩ (W s (p′ ) ∩ V0 ) = ∅. Podemos tomar ent˜ ao uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel µ : V0 → [0, 1] tal que µ = 0 em vizinhan¸ca de W s (p) ∩ V0 e µ = 1 em vizinhan¸ca de W s (p′ ) ∩ V0 . Construiremos agora uma extens˜ ao de µ definida em todo f −1 [0, 1] da seguinte forma: para cada ponto x ∈ V0 cuja ´ orbita n˜ ao intersecta as variedades est´ aveis e inst´ aveis de p e p′ , definimos µ em cada ponto da ´ orbita de x como sendo constante igual a µ(x). Por continuidade, para estendermos para os pontos restantes de f −1 [0, 1], devemos ter µ = 0 em vizinhan¸ca de W s (p) ∪ W u (p) e µ = 1 em vizinhan¸ca de W s (p′ ) ∪ W u (p′ ). Para construir uma fun¸c˜ ao de Morse g que inverte os valores de f em p e p′ e que tenha os mesmos pontos cr´ıticos, considere uma fun¸c˜ ao suave G : [0, 1] × [0, 1] → R satisfazendo as seguintes propriedades: 1. Para todo (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], tem-se

∂G ∂x

> 0.

2. Para todo y, G(x, y) = x para x pr´ oximo de 0 e 1. 3. Para y = 0 e x pr´ oximo de f (p), G ´e a transla¸c˜ ao por um n´ umero cp > 0. 4. Para y = 1 e x pr´ oximo de f (p′ ), G ´e a transla¸c˜ ao por um n´ umero cp′ > 0 tal que f (p) + cp < f (p′ ) + cp′ .

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˜ EM ASAS [SEC. 11.4: ESTRUTURA DE CW-COMPLEXO E DECOMPOSIC ¸ AO

355

A fun¸c˜ ao G ´e ilustrada abaixo, onde s˜ ao desenhados seus gr´ aficos para y = 0 e y = 1.

Figura 11.4: fun¸c˜ ao G com coordenada y fixa. Finalmente, definimos g(q) = G(f (q), µ(q)) e verifica-se que g satisfaz as propriedades desejadas. Assim, podemos ordenar os pontos cr´ıticos pelos seus ´ındices. A seguir, daremos uma id´eia de que podemos escolher fun¸c˜ oes de Morse ainda mais simples. De fato, poderemos escolher fun¸c˜ oes de Morse que s´ o possuem um m´ınimo e um m´ aximo locais. Teorema 11.39. Existe uma fun¸c˜ ao de Morse que possui um u ´nico ponto de m´ınimo local e um u ´nico ponto de m´ aximo local. Id´ eia da demonstra¸ c˜ ao: Se uma fun¸c˜ ao de Morse tem dois m´ınimos locais (repulsores), ent˜ ao deve existir um m´ aximo local (atrator) que separa as ´ orbitas de cada um dos pontos repulsores. Observa-se que o comportamento dos n´ıveis desde um dos m´ınimos locais at´e este atrator ´e semelhante aos n´ıveis, pr´ oximos de 0, de uma aplica¸c˜ ao da seguinte fam´ılia: X ga (x, y, z) = x3 + 3a + y 2 + ǫi zi onde ǫi = ±1 com a < 0. i

Podemos levar esta regi˜ ao entre um m´ınimo local e este atrator, mediante um difeomorfismo, para os n´ıveis pr´ oximos de 0 desta aplica¸c˜ ao acima, preservando n´ıveis. O bordo desta u ´ltima por sua vez pode ser conjugado a uma regi˜ ao pela mesma fam´ılia de fun¸c˜ oes

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356

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

ga , agora com a > 0, sendo que esta u ´ltima n˜ ao possui pontos cr´ıticos, e estendemos essa conjuga¸c˜ ao para o interior, com nenhuma exigˆencia espec´ıfica. Compondo as aplica¸c˜ oes obtidas, obtemos uma fun¸c˜ ao de Morse que elimina um ponto de m´ınimo local. O argumento ´e an´ alogo para m´ aximos locais. Para mais detalhes da demonstra¸c˜ ao deste teorema acima, sugerimos milnor1, pg 48. Resumimos agora o obtido at´e o momento nesta se¸ca˜o: Seja M uma variedade diferenci´ avel compacta de dimens˜ao n. Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao de Morse f : M → R tal que: 1. Pontos cr´ıticos distintos tem imagens distintas. 2. Os pontos cr´ıticos est˜ ao ordenados pelo ´ındice, isto ´e, se p e p′ s˜ ao pontos cr´ıticos com ind(p) < ind(p′ ), ent˜ ao f (p) < f (p′ ). 3. f possui um u ´nico m´ınimo local e um u ´nico m´ aximo local, isto ´e, um u ´nico ponto cr´ıtico de ´ındice 0 e um u ´nico ponto cr´ıtico de ´ındice n. Veremos agora que para todo valor regular a ∈ R de f , o espa¸co M a tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo. Mas antes disso, precisamos de alguns lemas. Lema 11.40. [Whitehead] Sejam X um espa¸co topol´ ogico, Dλ o λ disco fechado de dimens˜ ao λ e ϕt : ∂D → X uma homotopia entre ϕ0 e ϕ1 . Ent˜ ao existe uma equivalˆencia homot´ opica k : X ∪ ϕ 0 Dλ → X ∪ ϕ 1 D λ . Demonstra¸ c˜ ao: Definimos fun¸c˜ oes k e k˜ a partir de ϕt da seguinte maneira. Primeiramente k : X ∪ϕ0 Dλ → X ∪ϕ1 Dλ ´e dada por   x k(x) = 2ru   ϕ2−2r (u)

se x ∈ X se x = ru, 0 ≤ r ≤ 1/2, u ∈ ∂Dλ se x = ru, 1/2 ≤ r ≤ 1, u ∈ ∂Dλ ,

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˜ EM ASAS [SEC. 11.4: ESTRUTURA DE CW-COMPLEXO E DECOMPOSIC ¸ AO

357

e k˜ : X ∪ϕ1 Dλ → X ∪ϕ0 Dλ ´e dada por   se x ∈ X x ˜ k(x) = 2ru se x = ru, 0 ≤ r ≤ 1/2, u ∈ ∂Dλ   ϕ2r−1 (u) se x = ru, 1/2 ≤ r ≤ 1, u ∈ ∂Dλ .

Estas fun¸c˜ oes s˜ ao cont´ınuas e al´em disso existe uma homotopia ξ t : X ∪ ϕ 0 Dλ → X ∪ ϕ 1 D λ , definida por ξt (x) = x se x ∈ X e   (4 − 3t)ru ϕ(4−3t)(r−1) (u) ξt (ru) =  ϕ(4−3t)(1−r)/2 (u)

1 0 ≤ r ≤ 4−3t , u ∈ ∂Dλ 1 2−t λ 4−3t ≤ r ≤ 4−3t , u ∈ ∂D 2−t λ 4−3t ≤ r ≤ 1, u ∈ ∂D

se se se

entre Id = ξ1 e k˜ ◦ k = ξ0 .

Lema 11.41. Seja ϕ : ∂Dλ → X uma fun¸c˜ ao cont´ınua e considere f : X → Y uma equivalˆencia homot´ opica. Ent˜ ao existe uma equivalˆencia homot´ opica F : X ∪ϕ Dλ → Y ∪f ◦ϕ Dλ . Demonstra¸ c˜ ao: Sejam g : Y → X uma inversa homot´ opica de f e ht : X → X uma homotopia tal que h0 = g ◦ f e h1 = IdX . Pelo lema anterior existe uma equivalˆencia homot´ opica k : X ∪g◦f ◦ϕ Dλ → X ∪ϕ Dλ . Se definimos G : Y ∪f ◦ϕ Dλ → Y ∪g◦f ◦ϕ Dλ de tal forma que G|Y = g e G(x) = x para x ∈ Dλ , ent˜ ao temos a seguinte composi¸c˜ ao k ◦ G ◦ F (x) = g ◦ f (x) k ◦ G ◦ F (ru) = 2ru k ◦ G ◦ F (ru) = h2−2r ◦ ϕ

se se se

x∈X 0 ≤ r ≤ 1/2, u ∈ Dλ 1/2 ≤ r ≤ 1, u ∈ Dλ

a qual ´e homot´ opica a identidade por meio da homotopia q t : X ∪ ϕ Dλ → X ∪ ϕ D λ

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358

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

definida por qt (x) = ht (x) se x ∈ X e  2   ru se 1 + t qt (ru) =   h2−2r+t ◦ ϕ(u) se

1+t 0≤r≤ 2 1+t ≤ r ≤ 1. 2

Com isto temos que k ◦ G ´e uma inversa homot´ opica a esquerda de F . De forma similar podemos provar que F ◦ k ◦ G ´e homot´ opica a identidade e com isto se conclui que F ◦ k ◦ G ≃ Id

k ◦ G ◦ F ≃ Id,

e portanto F ´e uma equivalˆencia homot´ opica. Au ´ltima afirma¸c˜ ao ´e obtida pelo seguinte fato: se uma fun¸c˜ ao F tem uma inversa homot´ opica a esquerda L e uma inversa homot´ opica a direita D, ent˜ ao F ´e uma equivalˆencia homot´ opica. De fato, se E ◦ F ≃ Id e F ◦ D ≃ Id, ent˜ ao E ≃ E ◦ (F ◦ D) ≃ (E ◦ F ) ◦ D ≃ D, portanto D ◦ F ≃ E ◦ F ≃ Id. De fato, podemos ir muito al´em do resultado anterior e mostra que de fato uma variedade compacta tem uma estrutura de CW complexo cujas c´elulas s˜ ao as variedades inst´ aveis de um campo tipo gradiente. O esqueleto de dimens˜ ao k ´e a uni˜ ao das variedades inst´ aveis de dimens˜ ao menor ou igual a k. Se a variedade inst´ avel de uma singularidade p tem dimens˜ ao k + 1 ela se acumula no esqueleto de dimens˜ao k − 1 e ´e transversal ` as variedades est´ aveis dos pontos cr´ıticos no ´ claro que podemos, usando o fluxo do esqueleto de dimens˜ ao k − 1.E campo definir uma aplica¸c˜ ao C ∞ φ : B k+1 → M que leva 0 em p, os raios em ´ orbitas do campo gradiente e tal que φ seja um homeomorfismo sobre a variedade inst´ avel de p. No entanto essa aplica¸c˜ ao n˜ ao se estende continuamente ao bordo da bola. Usando a condi¸c˜ ao de transversalidade ` as variedades est´ aveis uma constru¸c˜ ao delicada permite modificar φ em uma vizinhan¸ca do bordo da bola e obter uma aplica¸c˜ ao que se estende continuamente ao bordo e ainda permanece um homeomorfismo no interior. Essa constru¸c˜ ao n˜ ao ´e simples pois o conjunto limite da variedade inst´ avel de p ´e bastante complicado.

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˜ EM ASAS [SEC. 11.4: ESTRUTURA DE CW-COMPLEXO E DECOMPOSIC ¸ AO

359

A decomposi¸c˜ ao celular que acabamos de mencionar tem uma decomposi¸c˜ ao celular dua que ´e dado pelas variedades inst´ aveis. A aplica¸c˜ ao que a cada variedade inst´ avel associa a variedade est´ avel do mesmo ponto define um isomorfismo entre o grupo de cadeias celular de dimens˜ ao k no grupo de cadeias celular de dimens˜ao m − k e portanto um isomorfismo de H k (M ) em H m−k (M ) fornecendo uma prova da chamada dualidade de Poincar´e. Uma outra aplica¸c˜ ao interessante dessa estrutura de Cw-complexo ´e uma prova simples do teorema de Witten segundo o qual a homologia do chamado complexo de Smale-Witten ´e isomorfo ` a homologia da variedade. O grupo das k-cadeias do complexo de Smale-Witten ´e gerado pelas singularidades de um campo tipo gradiente cujas variedades inst´ aveis tem dimens˜ao k. O operador de bordo ´e definido da seguinte forma. A imagem de um ponto c´ıtico de ´ındice k ´e uma combina¸c˜ ao linear com coeficientes inteiros de pontos cr´ıticos de ´ındice k − 1 onde o coeficiente de cada ponto cr´ıtico q ´e o n´ umero de ´ orbitas da interse¸c˜ ao de W u (q) com W s (q) contados algebricamente, isto ´e, levando em conta a orient¸c˜ ao da interse¸c˜ ao. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que essa defini¸c˜ ao corresponde extatamente ao operador de bordo do complexo de cadeias celular que definimos acima. Segue-se ent˜ ao que a defini¸c˜ ao corresponde de fato a um complexo de cadeia que, como vimos, ´e isomorfo ` a homologia singular da variedade. Teorema 11.42. Seja f uma fun¸ca˜o de Morse em uma variedade compacta M e a ∈ R um valor regular de f . Ent˜ ao M a tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo. Demonstra¸ c˜ ao. Conforme j´ a foi mostrado, se M a s´ o possui um ponto cr´ıtico de ´ındice λ = 0, ent˜ ao M a tem o tipo de homotopia de um ponto. Por indu¸c˜ ao suponha que M a tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo X e b ∈ R seja outro valor regular de f tal que M b − M a tem somente um ponto cr´ıtico, o qual tem ´ındice λ. Se F : M a → X ´e uma equivalˆencia homot´ opica, ent˜ ao M b tem o mesmo tipo de homotopia de X ∪ψ Dλ por meio da fun¸c˜ ao F , a qual por aproxima¸c˜ ao celular cumpre ψ(∂Dλ ) ⊂ Xλ−1 . Usando indu¸c˜ ao nos valores cr´ıticos a0 < · · · < ak , pela prova do teorema anterior pode-se concluir que para cada a ∈ R o espa¸co M a tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo, com uma c´elula de dimens˜ ao λ para cada ponto cr´ıtico de ´ındice λ.

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360

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

Teorema 11.43. [Decomposi¸ c˜ ao em asas] Seja M uma variedade diferenci´ avel compacta de classe C ∞ e dimens˜ ao m. Ent˜ ao existe uma decomposi¸c˜ ao M=

m−1 [

Mi

i=0

tal que: 1. Mi ´e uma subvariedade com bordo e M0 ´e difeomorfa a uma bola fechada; Sci 2. Ou Mi = Mi−1 ou Mi − Int(Mi−1 ) = j=1 Aj , em que os Aj ’s s˜ ao dois a dois disjuntos e existem mergulhos φj : Di × Dm−i → Mi cuja imagem ´e Aj e intersecta Mi−1 em φj (∂Di × Dm−i ); 3. O bordo de Mm−1 ´e uma esfera e M − M m−1 ´e difeomorfa a uma bola aberta. Na decomposi¸c˜ ao do teorema anterior, dizemos que Mi ´e obtida de Mi−1 colando-se ci asas.

11.5

O teorema de de Rham

Vamos agora provar o teorema de de Rham, que estabelece um isomorfismo entre a cohomologia de de Rham e a cohomologia singular de uma variedade. A prova usa argumentos semelhantes a demonstra¸c˜ ao do teorema 10.22. Consideremos o subcomplexo Cr∞ (M ) do complexo de cadeias sinP gulares Cr (M ) constitu´ıdo das cadeias c = i ai σi , com cada simplexo σi : ∆r → M de classe C ∞ , no sentido que tem uma extens˜ ao ∞ C ∞ a uma vizinhan¸ca de ∆k em Rk+1 . Como ∂c ∈ Cr−1 (M ) se c ∈ Cr∞ (M ), temos os correspondentes grupos de homologia Hr∞ (M ). Usando o homomorfismo da subdivis˜ ao baricˆentrica e o operador prisma do cap´ıtulo anterior, provaremos o seguinte:

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[SEC. 11.5: O TEOREMA DE DE RHAM

361

Lema 11.44. A inclus˜ ao Cr∞ (M ) ֒→ Cr (M ) induz isomorfismos nos grupos de homologia. Demonstra¸ c˜ ao. Pelo teorema do mergulho de Whitney, podemos supor que M ´e uma subvariedade de um espa¸co euclidiano R2m+1 e tomar uma vizinhan¸ca tubular π : V → M . Tomemos uma cobertura aberta {Ui } de M tal que cada Ui seja a interse¸c˜ ao com M de uma bola convexa Bi ⊂ R2m contida em V .

P Denotemos por CrU (M ) o subgrupo das cadeias c = i ai σi com σi (∆r ) ⊂ Uj para algum j e por CrU ,∞ (M ) o subgrupo das cadeias constitu´ıdas por simplexos C ∞ . Como vimos no lema 11.9 e seus corol´ arios, a inclus˜ ao de CrU (M ) → Cr (M ) induz isomorfismos em homologia. Da mesma forma, a inclus˜ ao CrU ,∞ → Cr∞ induz isomorfismos em homologia. Resta provar que a inclus˜ ao i : CrU ,∞ (M ) → CrU tamb´em induz isomorfismo em homologia. Para isso basta construir dois operadores Φ : CrU (M ) → CrU ,∞ e U D : CrU (M ) → Cr+1 (M )

satisfazendo a equa¸c˜ ao: c − i ◦ Φ(c) = ∂Dc + D∂c. Vamos definir os operadores em cada simplexo e estendˆe-los para os grupos de cadeia por linearidade. Seja σ ∈ CrU (M ) e j = j(σ) tal que σ(∆r ) ⊂ Uj . Seja (a0 , . . . , ar ) : ∆r → Bi ⊂ R2m o simplexo afim cujos vertices s˜ ao ak = σ(ek ). Definimos ent˜ ao Φ(σ) = π ◦ (a0 , . . . , ar ) Como a bola Bi ´e convexa e est´ a contida em V , podemos construir uma homotopia h : ∆r × [0, 1] → M entre σ e Φ(σ) pela f´ ormula: h(x, t) = π((1−t)σ(x)+t(a0 , . . . , ar )(x)). Finalmente definimos X D(σ) = (−1)k h((e00 , . . . , e0k , e1k , . . . , e1r )) k

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362

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

onde e0k = (ek , 0) ∈ ∆r × [0, 1], e1k = (ek , 1). A verifica¸c˜ ao das equa¸c˜ oes acima ´e an´ aloga ` a da prova do teorema 11.6 do cap´ıtulo anterior. Se c =

P

i

ai σi ∈ Ck∞ (M ) e ω ∈ Ωk (M ) definimos Z X Z ω= ai σi∗ ω. c

i

∆k

Observamos que como o simplexo ∆k ´e orientado, n˜ ao necessitamos da orienta¸c˜ ao de M para definir a integral de uma forma ao longo de uma cadeia. Vamos mostrar a seguir que o teorema de Stokes para variedades compactas orientadas implica o mesmo resultado para cadeias em variedades orientadas ou n˜ ao, compactas ou n˜ ao. Teorema 11.45. (Teorema de Stokes para cadeias) Teorema de Stokes!para cadeias Z Z ω = dω ∂c

c

Demonstra¸ c˜ ao. Por linearidade, basta provar Z Z dω = ω. ∆k

∂∆k

Tomemos um ponto x0 no interior do simplexo ∆k e seja S uma esfera de centro x0 no subespa¸co afim E de dimens˜ao k que cont´em o simplexo ∆k . A semi-reta de or´ıgem x0 passando por um ponto x ∈ S encontra o bordo do simplexo em um u ´nico ponto f0 (x). A fun¸c˜ ao f0 ´e um homeomorfismo de S sobre o bordo de ∆k . Seja ρ : S → R a fun¸c˜ ao positiva tal que f0 (x) = x0 + ρ(x)(x − x0 ). Se ∆i ´e a i-´esima face do simplexo ∆k e Si = f0−1 (∆i ), ent˜ ao a restri¸c˜ ao de ρ a Si se estende a uma aplica¸c˜ ao C ∞ , ρi , de uma vizinhan¸ca de Si em S: x0 + ρi (x)(x − x0 ) pertence ao subespa¸co afim que cont´em ∆i . Afirma¸c˜ ao: Existe uma constante C > 0 tal que para todo δ > 0 existe uma fun¸c˜ ao φδi : S → [0, 1] de classe C ∞ tal que • φδi (x) = 1 se x ∈ Si ;

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363

[SEC. 11.5: O TEOREMA DE DE RHAM

√ • φδi (x) = 0 se a distancia de x a Si for maior que 10 k + 1δ; • a norma da derivada de φδi em todos os pontos ´e menor ou igual ao produto de C pelo inverso de δ. Antes de mostrar a afirma¸c˜ ao, vamos mostrar que ela implica o teorema. Consideremos a aplica¸c˜ ao C ∞ X ρδ = ψiδ (x)ρi (x) i

onde

φδ (x) ψiδ (x) = P i δ j φj (x)

Da regra da cadeia temos que existe uma constante C ′ , independente de δ, tal que a norma da derivada de cada fun¸c˜ ao ψiδ ´e limitada pelo ′ produto de C pelo inverso de δ. Existe uma constante C ′′ > 0, independente de δ, tal que a norma da derivada de ρδ em cada ponto ´e limitada por C ′′ . De fato, em uma vizinhan¸ca de um ponto de Si podemos escrever X ρδ (x) = ρi (x) + ψjδ (x)(ρj (x) − ρi (x)). j6=i

√ Se Dψjδ (x) 6= 0, ent˜ ao a distˆ ancia de x a Sj ´e menor que 5 k + 1δ e, portanto, |ρj (x) − ρi (x)| ´e menor que uma constante vezes δ pois ρj − ρi ´e Lipschitz e se anula em Si ∩ Sj . Portanto, a derivada de ρδ no ponto x ´e limitada por uma constante independente de δ. Seja Wδ a variedade com bordo constitu´ıda dos pontos da forma x0 + t(x − x0 ) com x ∈ S e 0 ≤ t ≤ ρδ (x). Seja Si (δ) o subconjunto √ dos pontos de Si cuja distˆ ancia a cada Sj com j 6= i ´e maior que 5 k + 1δ. Logo a restri¸c˜ ao de ρδ a Si (δ) coincide com a restri¸c˜ ao de ρ e f0 (Si (δ)) ⊂ ∆i . Seja fδ (x) = x0 + ρδ (x)(x − x0 ). Ent˜ ao fδ ´e um difeomorfismo de S sobre ∂Wδ e sua restri¸c˜ ao a Si (δ) coincide com a restri¸c˜ ao de f0 . Al´em disso, a derivada de fδ em cada ponto ´e limitada por uma constante independente de δ. Logo a integral de ω em f0 (Si (δ)) ´e igual a integral de fδ∗ ω em Si (δ) e, como a derivada de fδ ´e limitada e a area de S \ ∪i Si (δ) tende a zero quando δ → 0, ent˜ ´ ao a integral de

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364

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

fδ∗ ω em S \ ∪i Si (δ) tende a zero quando δ → 0 assim como a integral de ω em ∂∆k \ ∪i f0 (Si (δ)). Logo a integral de ω no bordo de Wδ converge para a integral de ω no bordo de ∆k . Por outro lado, como ρδ converge uniformemente para ρ0 quando δ → 0, temos que a integral de dω em Wδ converge para a integral de ω em ∆k , o que prova o teorema. Vamos agora provar a afirma¸c˜ ao. Seja Zk+1 ⊂ Rk+1 o conjunto de pontos de coordenadas √ inteiras. Ent˜ ao as bolas abertas de centro nos pontos de Zk+1 e raio 2 k + 1 cobrem Rk+1 . Al´em disso, existe uma constante em um ponto de Zk+1 √ Nk tal que para toda bola de centro k+1 e raio 4 √ k + 1 o n´ umero de pontos em Z que s˜ ao centros de bolas de raio 4 k + 1 que intersectam a bola inicial ´e menor ou igual a Nk . Tomando a imagem dessas bolas pela aplica¸c˜ ao linear x ∈ Rk+1 √ 7→ δx temos a mesma propriedade para as bolas Bλjδ = B(λ, 2jδ k + 1), λ ∈ δZk+1 e j = 1, 2. Seja φ : Rk+1 → [0, 1] uma fun¸c˜ ao C ∞ que se anula fora da bola de centro na origem e raio 2 e ´e igual a 1 nos pontos da bola de raio 1. Compondo φ com o difeomorfismo afim que leva a bola Bλδ na bola de raio 1 e centro na origem, obtemos uma aplica¸c˜ ao φλ de classe C ∞ que se anula fora de Bλ2δ , ´e igual a 1 em Bλδ e cuja derivada em todos os pontos ´e limitada por uma constante vezes o inverso de δ e essa constante n˜ ao depende de δ e nem de λ. Consideremos a parti¸c˜ ao da unidade ψλ = Pφλφα . Pela regra da α cadeia existe uma constante, independente de δ e dependendo apenas da constante anterior e de Nk+1 , tal que a derivada de ψλ ´e limitada por essa constante vezes o inverso de δ. Para cada i,√seja Ui o conjunto dos pontos cuja distˆ ancia P a Si seja menor que 10δ k + 1. Definimos ent˜ ao a fun¸c˜ ao φδi (x) = λ ψλ (x) para todo λ tal que Bλδ ⊂ Ui . Como toda bola Bλ2δ que intersecta Si est´ a contida em Ui , temos ent˜ ao que umero φδi (x) = 1 para x ∈ Si e, como na vizinhan¸ca de cada ponto o n´ de parcelas ´e limitado por Nk , temos que a derivada de φδi em cada ponto ´e limitada pelo produto de uma constante, independente de δ pelo inverso de δ, o que prova a afirma¸c˜ ao. q q+1 Consideremos agora o complexo de cocadeias δ : C∞ (M ) → C∞ , q ∞ em que C∞ (M ) ´e o dual de Cq (M ) e δ ´e o dual do operador de q bordo ∂, isto ´e, δ(cq )(cq+1 ) = cq (∂cq+1 ) para todo cq ∈ C∞ (M ) e

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365

[SEC. 11.5: O TEOREMA DE DE RHAM ∞ cq+1 ∈ Cq+1 (M ). q Seja dM : Ωq (M ) → C∞ (M ) definido por dM (ω) : c ∈ Cq∞ 7→ Pelo teorema de Stokes para cadeias, temos que

R

c

ω.

dM ◦ δ = δ ◦ dM e portanto temos um homomorfismo q q dM : HdR (M ) → H∞ (M ).

Lema 11.46. Considere uma decomposi¸c˜ ao M = U ∪ V com U e V s˜ ao abertos. Consideremos o diagrama abaixo, onde as duas sequˆencias verticais s˜ ao sequˆencias de Mayer-Vietoris e os homomorfismos horizontais s˜ ao os homomorfismos de de Rham definidos acima. d ⊕−d

V r−1 r−1 r−1 r−1 HdR (U ) ⊕ HdR (V ) −−U−−−−→ H∞ (U ) ⊕ H∞ (V )     ∗ β∗ y yα

r−1 HdR (U ∩ V )   δy

d

−−U−∩V −→ d

r HdR (U ∪ V )   α∗ y

−−−−−−→

r HdR (U ∩ V )

−−−−→

r HdR (U ) ⊕ H r (V )   β∗ y

−−U−∪V −→

dU ⊕−dV

dU ∩V

r H∞ (U ∩ V )   ⊺ y∆

r H∞ (U ∪ V )  β ∗ y

r r H∞ (U ) ⊕ H∞ (V )   ∗ yα r H∞ (U ∩ V )

Ent˜ ao o diagrama ´e comutativo. Demonstra¸ c˜ ao. Como os elementos da sequˆencia exata curta 0 → Cr∞ (U ∩ V ) → Cr∞ (U ) ⊕ Cr∞ (V ) → CrU ,∞ (M ) → 0

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366

[CAP. 11: TEORIA DE MORSE

s˜ ao espa¸cos vetoriais, a sequˆencia dual r r r 0 → CUr ,∞ (U ∪ V ) → C∞ (U ) ⊕ C∞ (V ) → C∞ (U ∩ V ) → 0

´e tamb´em exata e o operador de De Rham ´e um morfismo entre as sequˆencias exatas curtas, isto ´e, para cada r, o diagrama abaixo ´e comutativo. 0

/ Ωr (U ∩ V )

 0

 / C r (U ∪ V ) U ,∞

dU ∩V

/ Ωr (U ) ⊕ Ωr (V ) dU ⊕−dV

 r r / C∞ (U ) ⊕ C∞ (V )

/ Ωr (U ∩ V )

/0

dU ∩V

 r / C∞ (U ∩ V )

 /0

Consequentemente, os diagramas entre as correspondentes sequˆencias exatas longas ´e tamb´em comutativo. Teorema 11.47. (Teorema de De Rham) O homomorfismo k k dM : HdR (M ) → H∞ (M ) definido por integra¸c˜ ao de formas em cadeias ´e um isomorfismo para toda variedade M . Demonstra¸ c˜ ao. Basta usar o lema anterior e os mesmos argumentos da prova do teorema da dualidade de Poincar´e.

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Cap´ıtulo 12

Cohomologias

12.1

Cohomologia de Feixes

Defini¸ c˜ ao 12.1. Um pre-feixe F em um espa¸co topol´ ogico M ´e uma correspondˆencia que a cada aberto U ⊂ M associa um grupo abeliano F(U ), e a cada subconjunto aberto V ⊂ U um homomorfismo rVU : F(U ) → F(V ) tal que U V W ⊂ V ⊂ U ⇒ rW = rW ◦ rVU .

Os elementos de F(U ) s˜ ao chamados de se¸c˜ oes de U e cada rVU de morfismo de restri¸c˜ ao. Defini¸ c˜ ao 12.2. Um pr´e-feixe F ´e um feixe se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: 1) Se {Ui } ´e uma cobertura aberta de um aberto U e s, s′ ∈ Γ(U ) s˜ ao tais que U U rU (s) = rU (s′ ) ∀ i i i ent˜ ao s = s′ .

2) Se {Ui } s˜ ao subconjuntos abertos e si ∈ F(Ui ) s˜ ao tais que U

Ui rU (si ) = rUij∩Uj (sj ) i ∩Uj S ent˜ ao existe s ∈ F( i Ui ) tal que ∪Ui rU (s) = sj j

para todo j.

367

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368

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Exemplo 12.1. O feixe das se¸c˜ oes C r (holomorfas) de um fibrado vetorial (holomorfo) π : E → M . Nesse caso associamos a cada subconjunto aberto de M o espa¸co de se¸c˜ oes Γ(U, E) e o homomorfismo rVU associa a cada se¸c˜ ao sobre U sua restri¸c˜ ao a V . Usaremos as seguintes nota¸c˜ oes para casos particulares desse exemplo • EM ´e o feixe das fun¸c˜ oes C ∞ (E = M × R); k • EM ´e o feixe das k-formas diferenciais (E = Λk (T ∗ M ));

• OM ´e o feixe das fun¸c˜ oes holomorfas (E = M × C), caso M seja complexa; ∗ • OM ´e o feixe das fun¸c˜ oes holomorfas n˜ ao nulas (E = M × C∗ ), caso M seja complexa.

Exemplo 12.2. (Feixe constante) . Se G um grupo abeliano, ent˜ ao a correspondˆencia GM : U ⊂ M 7→ {f : U → G; f ´e localmente constante} ´e um feixe sobre M . Exemplo 12.3. Um exemplo de um pr´e-feixe que n˜ ao ´e um feixe ´e o seguinte. Considere a correspondˆencia Fcb : U ⊂ C 7→ Fcb (U ), onde Fcb (U ) ´e o conjunto das fun¸c˜ oes holomorfas limitadas em U . Pelo teorema de Liouville, temos que Fcb (C) ´e o conjunto das fun¸c˜ oes constantes. Por outro lado, as fun¸c˜ oes si ∈ Fcb (Bi ), si (x) = x, com

Bi = {x ∈ C; kxk < i}

C s˜ ao compat´ıveis, mas n˜ ao existe s ∈ Fcb (C) tal que rB (s) = si . i

Defini¸ c˜ ao 12.3. Sejam E e F feixes de grupos abelianos sobre M . Um morfismo ρ : E → F ´e uma correspondˆencia que associa a cada aberto U ⊂ M um homomorfismo de grupos ρU : E(U ) → F(U )

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369

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

tal que se V ⊂ U , ent˜ ao o diagrama E(U )

ρU

/ F(U )

U rV

U r˜V

 E(V )

 / F(V )

ρV

comuta. Defini¸ c˜ ao 12.4. Um espa¸co ´etal´e sobre um espa¸co topol´ ogico M ´e ˜ e uma aplica¸c˜ ˜ → M tal um espa¸co topol´ ogico M ao cont´ınua π : M que a) π ´e um homeomorfismo local e ´e sobrejetiva. b) para todo x ∈ M , π −1 (x) ´e um grupo abeliano.

˜ ◦M ˜ = {(˜ ˜ ×M ˜ ; π(˜ c) se M x, y˜) ∈ M x) = π(˜ y )}, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao ˜ ˜ ˜ M ◦ M → M , (˜ x, y˜) 7→ x ˜ − y˜ ´e cont´ınua.

˜ → M um espa¸co ´etal´e. Dado um aberto U ⊂ M , uma Seja π : M ˜ tal que π ◦ s = idU ´e chamada uma aplica¸c˜ ao cont´ınua s : U → M ˜ em U . Segue da defini¸c˜ se¸c˜ ao de M ao que a soma de duas se¸c˜ oes cont´ınuas ´e tamb´em uma se¸c˜ ao cont´ınua, de modo que o conjunto ˜ ) das se¸c˜ Γ(U, M oes em U ´e um grupo. Temos da´ı que a correspondˆencia ˜) U ⊂ M 7→ Γ(U, M

´e um feixe sobre M .

Vamos mostrar a seguir que podemos associar a cada pr´e-feixe F sobre M um espa¸co ´etal´e π : F˜ → M , e assim podemos em seguida tomar o feixe das se¸c˜ oes cont´ınuas desse espa¸co ´etal´e. Para tanto, observemos que podemos associar a cada ponto x ∈ M o limite indutivo Fx = lim F(U ). U ∋x

Formalmente, Fx ´e definido como o espa¸co quociente ! G F(U ) / ∼, x∈U

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370

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

em que s ∈ F(U ) ´e equivalente a s′ ∈ F(V ) se existe um aberto U V W ⊂ U ∩ V contendo x tal que rW (s) = rW (s′ ). O conjunto Fx ´e de fato um grupo se introduzirmos a opera¸c˜ ao da seguinte maneira. Dados [s], [s′ ] ∈ Fx , com s ∈ F(U ) e s′ ∈ F(V ), tome um aberto U V W ⊂ U ∩ V contendo x e defina [s] + [s′ ] := [rW (s) + rW (s′ )]. Desta U maneira, a aplica¸ca˜o rx : F(U ) → Fx , s 7→ [s], ´e um homomorfismo de grupos e se V ⊂ U , ent˜ ao o diagrama abaixo ´e comutativo. U rV

F(U ) U rx

F

"

Fx

|

/ F(V ) V rx

Definimos F˜ = x∈M Fx e π : F¯ → M por π(z) = x se z ∈ Fx . Definiremos um base para uma topologia em F˜ de maneira que π : F˜ → M seja um espa¸co ´etal´e. Afirmamos que se U ⊂ M ´e aberto e s ∈ F(U ), ent˜ ao a fam´ılia de conjuntos ˜ s¯ = rU (s)} Us = {¯ s ∈ F; s) π(¯

˜ Para ver isto, note que se ´e uma base para uma topologia em F. U W ⊂ U e s′′ = rW ao (s), ent˜ ao Ws′′ ⊂ Us , pois se s¯ ∈ Ws′′ ent˜ W ′′ W U U s¯ = rπ(¯ s) (s ) = rπ(¯ s) (πW s) = ππ(¯ s) (s)

pela comutatividade do diagrama acima. Logo, se s¯ ∈ Us ∩ Vs′ , temos U V ′ s) ππ(s) (s) = rπ(¯ s) (s ). Logo existe um aberto W ⊂ U ∩V contendo π(¯ U V ′ ′′ tal que πW (s) = πW (s ) = s ∈ F(W ). Portanto Ws′′ ⊂ Us ∩ Vs′ e cont´em s¯. Nessa topologia, a restri¸c˜ ao de π a cada aberto Us ´e um homeomorfismo sobre U cuja inversa ´e a se¸c˜ ao U → Us , x 7→ rxU (s). Exemplo 12.4. Seja Fcb o pr´e-feixe das fun¸c˜ oes holomorfas limitadas, F˜cb o espa¸co ´etal´e associado e Fcb o feixe das se¸c˜ oes cont´ınuas de F˜cb . Ent˜ ao Fcb (C) ´e o espa¸co das fun¸c˜ oes inteiras enquanto que Fcb (C) ´e o espa¸co das fun¸c˜ oes constantes.

Proposi¸ c˜ ao 12.1. Se F ´e um feixe sobre M , π : F¯ → M o espa¸co ´etal´e associado e F˜ o feixe das se¸c˜ oes cont´ınuas de π : F¯ → M , ent˜ ao ˜ o morfismo ρ : F → F, ρU (s) : U → F¯ que a cada x ∈ U associa rxU (s) ∈ F¯ ´e um isomorfismo.

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371

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

Demonstra¸ c˜ ao. Mostraremos que o homomorfismo ˜ ) ρU : F(U ) → F(U ´e injetivo. Sejam s, s′ ∈ F(U ) tais que ρU (s) = ρU (s′ ). Logo, para cada x ∈ U temos que rxU (s) = rxU (s′ ). Isso implica que existe um aberto V ⊂ U contendo x tal que rVU (s) = rVU (s′ ). Temos ent˜ ao uma fam´ılia Ui ⊂ U de abertos tais que U U rU (s) = rU (s′ ) i i

para todo i,

o que implica s = s′ por defini¸c˜ ao de feixe, como quer´ıamos mostrar. ˜ ). Dado x ∈ U , Mostremos agora que ρU ´e sobrejetivo. Tome s˜ ∈ F(U temos que s˜(x) ∈ Fx , e da´ı existe um aberto V ⊂ U contendo x e uma se¸c˜ ao sV ∈ F(V ) tal que rxV (sV ) = s˜(x). Por outro lado, duas se¸c˜ oes de π : F˜ → M que coincidem em um ponto coincidem em uma vizinhan¸ca desse ponto. Logo se V ´e conexo, como rxV (sV ) = s˜(x), temos que ryV (sV ) = s˜(y) para todo y ∈ V . Logo existem abertos S Ui ⊂ U e se¸c˜ oes si ∈ F(Ui ) tais que U = Ui e rxUi (si ) = s˜(x) para i

todo x ∈ Ui . Por outro lado, para todo x ∈ Ui ∩ Uj

Ui Ui ρUi ∩Uj rU (si ))(x) = rxUi ∩Uj rU (si ) = rxUi (si ) = s˜(x) i ∩Uj i ∩Uj

e U

U

ρUi ∩Uj (rUij∩Uj (sj ))(x) = rxUi ∩Uj rUij∩Uj (sj ) = rxUj (sj ) = s˜(x). Como ρUi ∩Uj ´e biun´ıvoco, temos que U

Ui rU (si ) = rUij∩Uj (sj ). i ∩Uj U Logo, como F ´e um feixe, existe s ∈ F(U ) tal que rU (s) = si para i todo i. Portanto se x ∈ Ui , U ρU (s)(x) = rxU (s) = rxUi rU (s) = rxUi (si ) = s˜(x). i

Portanto ρU (s) = s˜.

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372

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Um homomorfismo de feixes ρ : E → F induz, para cada x ∈ M , um homomorfismo ρx : Ex → Fx e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua ρ¯ : E¯ → F¯ tal que o diagrama abaixo ´e comutativo. ρ

E¯ πE



M

~

/ F¯ πF

Dizemos que uma sequˆencia de homomorfismos de feixes α

A

/B

β

/C

´e exata se para todo x ∈ M a sequˆencia αx

Ax

/ Bx

βx

/ Cx

´e exata. Exemplo 12.5. Seja exp : C → C∗ a aplica¸c˜ ao exp(z) = e2πiz . Se M ´e uma variedade complexa, esta aplica¸c˜ ao induz naturalmente ∗ um homomorfismo de feixes exp : OM → OM . Afirmamos que a sequˆencia 0

i

/ ZM

/ OM

exp

/ O∗ M

/0

∗ ´e exata. De fato, se x ∈ M , um elemento de (OM )x ´e o germe em x de uma fun¸c˜ ao holomorfa g : V → C∗ . Tomando V suficientemente pequeno, podemos supor que g(V ) est´ a contido em uma bola de centro g(x) contido em C∗ onde est´ a definido um ramo da fun¸c˜ ao 1 logaritmo. A fun¸c˜ ao f : V → C, f (z) = 2πi log g(z), ´e holomorfa e exp(f (z)) = g(z). Logo a imagem do germe de f em x por exp ´e o germe de g em x. Portanto exp ´e sobrejetiva. k+1 k Exemplo 12.6. Seja M uma variedade. Seja dk : EM → EM o homomorfismo definido pela diferencial exterior. Pelo lema de Poincar´e, a sequˆencia abaixo ´e exata: d

d

0 1 2 m 0 → RM → E M →0 EM →1 EM → · · · → EM → 0.

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373

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

Exemplo 12.7. Sejam A e B feixes sobre M tais que para todo aberto U ⊂ M , A(U ) ´e um subgrupo de B(U ). Seja B/A o feixe quociente U 7→ B(U )/A(U ), i : A → B a inclus˜ ao e q : B → B/A o homomorfismo tal que qU : B(U ) → B(U )/A(U ) ´e a aplica¸c˜ ao quociente. Ent˜ ao a sequˆencia abaixo ´e exata q

i

0 → A → B → B/A → 0. Defini¸ c˜ ao 12.5. Seja U = {Ui }i∈I uma cobertura aberta do espa¸co topol´ ogico M . O nervo da cobertura, N (U ), ´e o complexo simplicial cujos v´ertices s˜ ao os elementos da cobertura, os 1-simplexos s˜ ao os pares (Ui0 , Ui1 ) de elementos da cobertura tais que Ui0 ∩ Ui1 6= ∅ e, mais geralmente, os k-simplexos s˜ ao as (k + 1)-uplas (Ui0 , . . . , Uik ) de elementos distintos da cobertura tais que Ui0 ∩ · · · ∩ Uik 6= ∅. Se σ ´e o simplexo (Ui0 , . . . , Uik ) denotamos por |σ| o aberto Ui0 ∩· · ·∩Uik . ˘ Uma k-cocadeia de Cech com coeficientes em um feixe F ´e uma aplica¸c˜ ao c que associa a cada simplexo σ ∈ N (U ) um elemento c(σ) em F(|σ|) satisfazendo c(Uiτ (0) , . . . , Uiτ (k) ) = (−1)|τ | c(Ui0 , . . . , Uik ), em que τ ´e uma permuta¸c˜ ao e |τ | ´e igual a zero se a permuta¸c˜ ao for par e igual a −1 se permuta¸c˜ ao for ´ımpar. Como, para cada simplexo ˘ σ, F(|σ|) ´e um grupo, o conjunto C k (U , F) das k-cocadeias de Cech ´e um grupo: (c1 + c2 )(σ) = c1 (σ) + c2 (σ). O operador de cobordo ´e o homomorfismo dk : C k (U , F) → C k+1 (U , F ) definido por dk (c)(Ui0 , . . . , Uik+1 ) =

k+1 X j=0

Proposi¸ c˜ ao 12.2. Demonstra¸ c˜ ao.

ˆ ∩···∩U

U

∩···∩U

i i i ˆi . . . Ui ). (−1)j rUi0 ∩···∩Uij ∩···∩Uik+1 c(Ui0 . . . U j k+1 0

j

k+1

dk+1 ◦ dk = 0. Exerc´ıcio.

˘ Defini¸ c˜ ao 12.6. A cohomologia de Cech do feixe F com respeito a cobertura U ´e definida por k k k+1 (U , F) ˘ k (U , F) = Ker d : C (U , F) → C H . Im dk−1 : C k−1 (U , F) → C k (U , F)

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374

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

˘ 0 (U , F) = F(M ), pois se c ∈ C 0 (U , F), c(Ui ) Observa¸ c˜ ao 12.1. H U Ui ´e uma se¸c˜ ao de F(Ui ) e rU c(Ui ) = rUij∩Uj c(Uj ). i ∩Uj Defini¸ c˜ ao 12.7. Sejam V e U coberturas de M . Dizemos que V refina U se existe uma aplica¸c˜ ao ν : V → U tal que para todo V ∈ V temos que ν(V ) ⊃ V . Dizemos que ν ´e uma aplica¸c˜ ao refinadora. Uma aplica¸c˜ ao refinadora ν : V → U induz um homomorfismo νk : C k (U , F) → C k (V, F) definida por ν(V )∩···∩ν(Vk )

0 (νk c)(V0 , . . . , Vk ) = rV0 ∩···∩V k

c((ν(V0 ), . . . , ν(Vk )))

se ν(Vj ) 6= ν(Vℓ ) quando j 6= ℓ e (νk c)(V0 , . . . , Vk ) = 0 ∈ F(|(V0 ∩ · · · ∩ Vk )|) se ν(Uj ) = ν(Uℓ ) para algum j 6= ℓ.

Proposi¸ c˜ ao 12.3. Se ν, ν ′ : V → U s˜ ao duas aplica¸c˜ oes refinadoras, ent˜ ao existem homomorfismos hk : C k (V, F) → C k−1 (U , F), ∀ k ≥ 1 tais que νk − νk′ = hk+1 dk + dk−1 hk . Demonstra¸ c˜ ao. Se σ = (Vi0 , . . . , Vik−1 ) ∈ N (V), ent˜ ao σj = (ν(Vi0 ), . . . , ν(Vij ), ν ′ (Vij ), . . . , ν ′ (Vik−1 )) pertence ao nervo de U se os elementos dessa (k + 1)-upla s˜ ao distintos e |σj | ⊃ |σ| = 6 ∅. Se c ∈ C k (U , F), definimos hk (c) ∈ C k−1 (U , F) por hk (c)(σ) =

k−1 X j=0

|σ |

(−1)j r|σ|j c(σj ),

onde no segundo membro tomamos c(σj ) = 0 se a n-upla σj tem duas coordenadas iguais. Deixamos ao leitor a terefa de verificar a igualdade da proposi¸c˜ ao.

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375

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

Proposi¸ c˜ ao 12.4. Valem as seguintes afirma¸c˜ oes: 1. Toda aplica¸c˜ ao refinadora ν : V → U induz homomorfismos νk : C k (U , F) → C k (V, F) que comutam com os operadores de cobordo, e portanto induzem operadores νk∗ : H k (U , F) → H k (V, F). 2. Se ν, ν˜ : V → U s˜ ao duas aplica¸c˜ oes refinadoras, ent˜ ao νk∗ = ν˜k∗ . 3. Se V refina U , seja k k hU V : H (U , F) → H (V, F)

o homomorfismo induzido por alguma aplica¸c˜ ao refinadora. Se W refina V, ent˜ ao V U hU W = hW ◦ hV . Demonstra¸ c˜ ao. 1) Os homomorfismos νk foram definidos anteriormente e a comutatividade com os operadores de cobordo ´e de f´ acil verifica¸c˜ ao. 2) Segue da proposi¸c˜ ao anterior. 3) Se ν : V → U e µ : W → V s˜ ao aplica¸c˜ oes refinadoras, ent˜ ao a composi¸c˜ ao ν ◦ µ : W → U ´e uma aplica¸c˜ ao refinadora e vale que (ν ◦ µ)∗k = µ∗k ◦ νk∗ . Proposi¸ c˜ ao 12.5. Se 0

/A

α

/B

β

/C

/0

´e uma sequˆencia exata de feixes sobre M , ent˜ ao para cada subconjunto aberto U ⊂ M a sequˆencia 0

/ A(U )

αU

/ B(U )

βU

/ C(U )

´e exata.

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376

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Demonstra¸ c˜ ao. 1) αU ´e injetiva. Para simplificar a nota¸c˜ ao, denotaremos pelo mesmo s´ımbolo rVU as restri¸c˜ oes dos trˆes feixes. Seja s ∈ A(U ) tal que αU (s) = 0. Logo, para todo x ∈ U temos que 0 = rxU αU (s) = αx (rxU s). Como αx ´e 1 − 1 temos que rxU s = 0. Logo a imagem de s pelo isomorfismo A → A˜ se anula e portanto s = 0. 2) Se s′ ∈ B(U ) ´e tal que βU (s′ ) = 0, ent˜ ao existe s ∈ A(U ) tal que αU (s) = s′ . Seja x ∈ U e s′x = rxU (s′ ). Como βx (s′x ) = 0, existe sx ∈ Ax tal que αx (sx ) = s′x . Seja V ⊂ U um aberto contendo x e sV ∈ A(V ) tais que sx = rxV (sV ). Afirmamos que αV (sV ) = rVU (s′ ). De fato as aplica¸c˜ oes y ∈ V 7→ ryV αV (sV ) e y ∈ V 7→ ryV rVU (s′ ) = ryU (s′ ) s˜ ao duas se¸c˜ oes ¯ ) que coincidem no ponto x e, portanto, s˜ em B(V ao iguais. Logo αV (sV ) = rVU (s′ ) como afirmamos.SExistem portanto abertos Ui ⊂ U U e se¸c˜ oes si ∈ A(Ui ) tais que U = Ui e αUi (si ) = rU (s′ ) para todo i i

i. Temos ent˜ ao que

Ui Ui Ui U rU (s′ ) = rU (s′ ) αUi ∩Uj rU (si ) = rU αUi (si ) = rU i ∩Uj i ∩Uj i ∩Uj i ∩Uj Ui

e tamb´em

U

U αUi ∩Uj rUij∩Uj (sj ) = rU (s′ ). i ∩Uj

Por 1) a aplica¸c˜ ao αUi ∩Uj ´e injetiva, e temos que U

Ui (si ). rUij∩Uj (sj ) = rU i ∩Uj U Logo existe s ∈ A(U ) tal que rU (s) = si para todo i. Como para i cada i U U U α (s) = αUi (rU s) = αUi (si ) = rU (s′ ) rU i U i i S e U = Ui , temos que αU (s) = s′ . i

Observa¸ c˜ ao 12.2. Os homomorfismos βU n˜ ao s˜ ao necessariamente sobrejetivos como mostra o exemplo exp

0 → ZC∗ → OC∗ → OC∗ ∗ → 0.

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377

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

Corol´ ario 12.6. Se α

β

0→A→B→C→0 ´e uma sequˆencia exata de feixes sobre um espa¸co topol´ ogico M e U ´e uma cobertura aberta de M , ent˜ ao as sequˆencias βk

α

0 → C k (U , A) →k C k (U , B) → C k (U , C) s˜ ao exatas. Defini¸ c˜ ao 12.8. Se F ´e um feixe sobre um espa¸co topol´ ogico M , ˘ ˘ k (M, F) s˜ os grupos de cohomologia de Cech H ao definidos como o limite direto limU H k (U , F). Os homomorfismos k k hU V : H (U , F) → H (V, F)

induzem homomorfismos ˘ k (M, F) hU : H k (U , F) → H V U k tais que hU c] ∈ H k (V, F), V h = h se V refina U . Se [c] ∈ H (U , F) e [˜ U V ent˜ ao h ([c]) = h ([˜ c]) se, e somente se, existe uma cobertura W que refina V e U tal que V hU c]). W ([c]) = hW ([˜

Lema 12.7. Seja α

β

0→A→B→C→0 uma sequˆencia exata de feixes sobre uma variedade M . Dado c em C k (U , C), com U uma cobertura aberta de M , existem uma cobertura aberta localmente finita V, uma aplica¸c˜ ao refinadora ν : V → U e uma cocadeia c′ ∈ C k (V, B) tais que βV (c′ ) = νk (c). Demonstra¸ c˜ ao. Como M ´e paracompacta, toda cobertura aberta tem um refinamento localmente finito. Podemos portanto supor que U j´ a ´e localmente finita. Como M ´e localmente compacta, podemos construir uma cobertura aberta W e uma aplica¸c˜ ao refinadora

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378

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

µ : W → U tal que para todo W ∈ W, W ´e compacto e W ⊂ µ(W ). Seja p ∈ M . Como a cobertura U ´e localmente finita, o n´ umero de k-simplexos σ = (Ui0 , . . . , Uik ) no nervo de U tais que p ∈ |σ| ´e finito. Como a sequˆencia de feixes ´e exata, para cada k-simplexo σ com p ∈ |σ| existem uma vizinhan¸ca aberta Vσ de p e uma se¸c˜ ao sσ ∈ B(Vσ ) tais que |σ|

βVσ (sσ ) = rVσ (c(σ)). Pela finitude do n´ umero de simplexos σ com p ∈ |σ|, existem uma vizinhan¸ca aberta Vp de p e sσ ∈ B(Vp ) tais que |σ|

βVp (sσ ) = rVp (c(σ)). Tomamos tamb´em Vp suficientemente pequena para que ¯ 6= ∅ ⇒ Vp ⊂ µ(W ). Vp ∩ W Seja V = {Vi } a cobertura de M e para cada i selecionamos Wi ⊃ Vi e Ui = µ(Wi ). Vamos definir c′ ∈ C k (V, B). Se σ ′ = (Vi0 , . . . , Vik ) ´e um k-simplexo e p ∈ Vi0 ∩ · · · ∩ Vik , ent˜ ao p ∈ Wij para todo j = 0, . . . , k. Logo Vi0 ⊂ Wij para todo j = 0, . . . , k. Se σ = (Ui0 , . . . , Uik ) n˜ ao ´e um ksimplexo, isto ´e, se duas coordenadas coincidem, definimos c′ (σ ′ ) = 0. Se σ ´e um k-simplexo, ent˜ ao pela constru¸c˜ ao da cobertura V existe s′ ∈ B(Vi0 ) tal que |σ| βVi0 (s′ ) = rVi c(σ). 0

Definimos ent˜ ao

V

c′ (σ ′ ) = r|σi′0| (s′ ). Tomando ν(Vi ) = Ui conclu´ımos a demonstra¸c˜ ao do lema. Teorema 12.8. [Leray] Se α

β

0→A→B→C→0 ´e uma sequˆencia exata de feixes sobre uma variedade M , ent˜ ao existem homomorfismos ˘ k+1 (M, A) ˘ k (M, C) → H δ∗ : H

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379

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

tal que a sequˆencia longa abaixo ´e exata: ˘ k (M, A) → H ˘ k (M, B) → H ˘ k (M, C) → H ˘ k+1 (M, A) → · · · ··· → H Demonstra¸ c˜ ao. Para cada cobertura U temos um diagrama comutativo onde as linhas s˜ ao exatas e as colunas s˜ ao complexos de cocadeias 0

→

0

→

0

→

↓ C k−1 (U , A) ↓ C k (U , A) ↓ C k+1 (U , A) ↓

→ → →

↓ C k−1 (U , B) ↓ C k (U , B) ↓ C k+1 (U , B) ↓

↓ → C k−1 (U , C) ↓ → C k (U , C) ↓ → C k+1 (U , C) ↓.

Um elemento θ ∈ H k (M, C) pode ser representado por um cociclo z ∈ C k (U , C) para alguma cobertura U . Pelo lema anterior existe um refinamento V de U e uma cocadeia c ∈ C k (V, B) cuja imagem pela seta horizontal coincide com a imagem de z em C k (V, C), que ´e tamb´em um representante de θ. Seja c′ ∈ C k+1 (V, B) a imagem de c pela seta vertical. Como o diagrama comuta e a imagem de z pela seta vertical ´e 0, temos que a imagem de c′ pela seta horizontal ´e tamb´em 0. Como a sequˆencia horizontal ´e exata, existe c′′ ∈ C k+1 (U , A) cuja imagem pela seta horizontal ´e c′ . Para mostrar que c′′ ´e um cociclo observamos que a imagem de c′′ pela seta vertical se anula pois a coluna ´e um complexo de cocadeias. Pela comutatividade do diagrama, a imagem pela seta horizontal da imagem de c′′ pela seta vertical ´e 0. Como a correspondente seta horizontal ´e injetiva, temos que a imagem de c′′ pela seta vertical ´e 0. Portanto c′′ ´e um cociclo que representa um elemento ˘ k+1 (M, A), o qual definimos como a imagem de θ. Deixamos θ′ ∈ H ao leitor a tarefa de mostrar que θ′ n˜ ao depende das v´ arias escolhas feitas e que a aplica¸c˜ ao θ → θ′ ´e um homomorfismo e a sequˆencia ´e exata. Defini¸ c˜ ao 12.9. Uma parti¸c˜ ao da unidade em um feixe F subordinada a uma cobertura aberta localmente finita {Ui }i ´e uma fam´ılia ϕi : F¯ → F¯ de homomorfismos tais que

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380

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

1. ϕi (Fx ) = 0 para todo x em uma vizinhan¸ca de M − Ui . 2.

P i

ϕi (s) = s ∀ s ∈ F(Uj ) e para todo j.

Lema 12.9. Se {ϕi } ´e uma parti¸c˜ ao da unidade de um feixe F subordinado a uma cobertura localmente finita {Ui }, ent˜ ao para todo aberto V ⊂ M existem homomorfismos i ∩V ϕU : F(Ui ∩ V ) → F(V ) V

tais que para todo aberto W ⊂ V − Ui temos V rW ϕVUi ∩V (s) = 0

Demonstra¸ c˜ ao. Basta definir  ϕi (s(x)) i ∩V ϕU (s)(x) = V 0

se se

x ∈ Ui ∩ V x ∈ V − Ui

i ∩V e da´ı ϕU (s) : V → F¯ ´e uma se¸c˜ ao cont´ınua. V

Defini¸ c˜ ao 12.10. Um feixe ´e bom (“fine”em inglˆes) se para toda cobertura aberta localmente finita existe uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a esta cobertura. k Exemplo 12.8. O feixe EM das k-formas diferenciais em M ´e um bom feixe. De fato, dada uma cobertura aberta localmente finita {Ui } de M , fixe {ρi : M → R} uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a {Ui }. Os homomorfismos de pr´e-feixes ϕi,V

k k EM (V ) −→ EM (V )

definidos por ϕi,V (ω) = ρi .ω definem homomorfismos de feixes k k ϕi : E M → EM com as propriedades requeridas. Lema 12.10. Se F ´e um feixe bom, ent˜ ao ˘ k (U , F) = 0 H

para todo k > 0.

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381

[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

Demonstra¸ c˜ ao. Basta construir homomorfismos hk : C k (U , F) → C k−1 (U , F) tais que hk+1 dk + dk−1 hk = id. Definimos (hk+1 (c))(Ui0 , . . . , Uik ) = X U ∩Ui0 ∩···∩Uik = (−1)j ϕUi ∩···∩U c(Ui0 , . . . , Uij−1 , U, Uij , . . . , Uik ) . i 0

U ∈U

k

Deixamos a cargo do leitor verificar a identidade. Defini¸ c˜ ao 12.11. Uma resolu¸c˜ ao boa de um feixe F ´e uma sequˆencia exata 0 → F → F0 → F1 → F2 → · · · onde os Fi s˜ ao feixes bons. Teorema 12.11. Se 0 → F → F0 → F1 → F2 → · · · ´e uma resolu¸c˜ ao boa e U ´e uma cobertura aberta tal que Fi−1 (Ui0 ∩ · · · ∩ Uik ) → Fi (Ui0 ∩ · · · ∩ Uik ) → Fi+1 (Ui0 ∩ · · · ∩ Uik ) ´e exata para todo simplexo no nervo de U , ent˜ ao existe um isomorfismo canˆ onico entre ˆ k (U , F) H

e

Ker dk : F k (M ) → F k+1 (M ) Im dk−1 : F k−1 (M ) → F k (M )

para todo k ≥ 1.

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos o diagrama comutativo

F0 (M ) ↓ F1 (M ) ↓ F2 (M ) ↓ .. .

→ → →

C 0 (U, F) ↓ C 0 (U, F0 ) ↓ C 0 (U, F1 ) ↓ C 0 (U, F2 ) ↓ .. .

→ → → →

C 1 (U, F ) ↓ C 1 (U , F0 ) ↓ C 1 (U, F1 ) ↓ C 1 (U, F2 ) ↓ .. .

→ → → →

C 2 (U, F) ↓ C 2 (U, F0 ) ↓ C 2 (U, F1 ) ↓ C 2 (U, F2 ) ↓ .. .

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→

···

→

···

→

···

→

···

382

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

A primeira linha ´e um complexo de cadeias que n˜ ao depende resolu¸c˜ ao enquanto que a primeira coluna ´e um complexo de cadeias que n˜ ao depende da cobertura U . Queremos construir um isomorfismo canˆ onico entre os grupos de cohomologia desses dois complexos. Para tanto vamos usar que 1) as linhas, a partir da segunda, s˜ ao exatas a partir da segunda coluna. 2) a hip´ otese sobre U implica que as colunas, a partir da segunda, s˜ ao exatas a partir da segunda linha. ˘ k (U , F) ´e representado por um cociclo z0 em Um elemento de H C k (U , F). Sua imagem z1 ∈ C k (U , F0 ) ´e tamb´em um cociclo pois o diagrama comuta e sua imagem pela seta horizontal coincide com a imagem pela seta vetical da imagem de z0 pela seta horizontal, que ´e 0. Como a linha ´e exata, z1 ´e a imagem de uma cocadeia c1 ∈ C k−1 (U , F0 ). Como a imagem de z1 pela seta vertical ´e 0, a imagem z2 ∈ C k−1 (U , F1 ) de c1 pela seta vertical ´e um cociclo, pois sua imagem pela seta horizontal coincide com a imagem de z1 pela seta vertical, que ´e 0. Como a linha ´e exata, z2 ´e a imagem de uma cocadeia c2 em C k−2 (U , F1 ) pela seta horizontal. Indutivamente, podemos construir uma cocadeia cj ∈ C k−j (U , Fj−1 ) e cociclos zj ∈ C k−j+1 (U , Fj−1 ) tais que zj ´e a imagem de cj−1 pela seta vertical e ´e a imagem de cj pela seta horizontal. Finalmente, chegamos a um ciclo zk+1 em C 0 (U , Fk ), e portanto, a um elemento de Fk (M ). A classe de cohomologia desse ciclo ´e a imagem da classe de cohomologia inicial. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que a classe de cohomologia de zk+1 n˜ ao depende das escolhas das cadeias cj e nem da escolha do ciclo z0 inicial. Como o processo ´e sim´etrico temos que essa aplica¸c˜ ao ´e bijetiva e como todas as setas s˜ ao homomorfismos ela ´e um isomorfismo. Corol´ ario 12.12. Seja 0 → RM → E 0 → E 1 → E 2 → · · · a resolu¸c˜ ao boa do feixe constante RM . Se U ´e uma cobertura aberta simples de ˘ k (U , RM ) ´e isomorfo ` M , ent˜ ao H a cohomologia de de Rham de M . ˘ k (U , RM ) ´e igual a H ˘ k (M, RM ). Al´em disso, H

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[SEC. 12.1: COHOMOLOGIA DE FEIXES

383

Demonstra¸ c˜ ao. O fato de que a sequˆencia do enunciado ´e exata j´ a foi mostrado anteriormente, e que cada um dos feixes E k ´e um bom feixe foi visto no exemplo anterior. Uma cobertura simples de M ˘ k (U , RM ) ´e canonicasatisfaz ` a hip´ otese do teorema anterior. Logo H k mente isomorfo a HdR (M ). Como toda cobertura pode ser refinada ˘ k (M, RM ) = H ˘ k (U , RM ) se por uma cobertura simples, temos que H U ´e uma cobertura simples. Exemplo 12.9. ( O feixe das cocadeias singulares) . Se U ⊂ M ´e um subconjunto aberto, seja Ck (U ) o grupo das cadeias singulares em U e C k (U ) o grupo das cocadeias singulares de U . Se V ⊂ U ´e outro aberto, a aplica¸c˜ ao de inclus˜ ao i : V → U induz um U V homomorfismo i∗ = rVU : C k (U ) → C k (V ) que satisfaz rW = rW ◦ rVU se W ⊂ V ⊂ U .

Logo temos um pr´e-feixe, o qual define um feixe C k . Os operadores de cobordo dk : C k (U ) → C k+1 (U ) comutam com a restri¸c˜ ao e, portanto, definem homomorfismos dk : C k → C k+1 tais que dk+1 ◦ dk = 0. Afirmamos que os feixes C k s˜ ao bons. Seja U = {Ui } cobertura localmente finita e W = {Wi } uma cobertura tal que W i ⊂ Ui para todo i com W i compacto. Selecionamos em cada Wi um subconS junto Ai tal que Ai = M e Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j. Para cada i i

definimos ρi : M → {0, 1} por ρi (x) = 1 se x ∈ Ai e ρi (x) = 0 se x ∈ / Ai . Definimos os operadores ϕi : C k → C k da seguinte forma: se V ⊂ M aberto e c ∈ C k (V ) = C k (V ), ent˜ ao ϕi (c) ´e a cocadeia singular ϕi (c) tal que se σ : ∆k → V ´e um k-simplexo singular, ent˜ ao ´ f´ ϕi (x)(σ) = ρi (σ(c0 )) · c(σ). E acil verificar que a fam´ılia {ϕi } ´e uma parti¸c˜ ao da unidade do feixe C k subordinada ` a cobertura U . Se U ´e uma cobertura simples, ent˜ ao a resolu¸c˜ ao boa 0 → AM → C 0 → C 1 → · · ·

do feixe constante AM , com A = Z ou R, satisfaz ` as condi¸c˜ oes do teorema. ˘ k (M, AM ) ∼ ˘ k (U , AM ) ∼ Logo H = H k (M, A) onde H k (M, A) ´e o = H grupo de cohomologia singular de M com coeficientes em A.

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384

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Exemplo 12.10. ( A classe de Chern de um fibrado de linha) . Seja π : L → M um fibrado de linha sobre M , isto ´e, um fibrado vetorial tal que cada fibra ´e um C-espa¸co vetorial de dimens˜ao complexa 1. Dada uma cobertura {Ui } de M por abertos trivializantes de π, temos para cada i o diagrama comutativo φ

π −1 (Ui )

/ Ui × C

π

#

Ui

|

π1

Se Ui ∩ Uj 6= ∅, ent˜ ao φj ◦ φ−1 i : (Ui ∩ Uj ) × C → (Ui ∩ Uj ) × C ´e da forma (x, v) 7→ (x, gij (x)v), com gij : Ui ∩ Uj → C∗ de classe C ∞ satisfazendo gii (x) = 1 gij (x) = gji (x)−1 gik (x) = gij (x) · gjk (x)

se

x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk .

∗ ∗ Temos portanto um cociclo Z 1 (U , EM ) ⊂ C 1 (U , EM ) com coeficientes ∞ no feixe das fun¸c˜ oes C de M no grupo multiplicativo C∗ e, conse˘ 1 (M, E ∗ ). Se φ˜i : π −1 (Ui ) → Ui × C quentemente, um elemento de H M ´e outra fam´ılia de trivializa¸c˜ oes locais, ent˜ ao φ˜i ◦ φ−1 ´e um difeomori fismo da forma (x, v) 7→ (x, ψi (x) · v) com ψi : Ui → C∗ uma fun¸c˜ ao C ∞ . Segue da´ı que

g˜ij (x) = ψj (x)gij (x)ψi (x)−1 ˜→M e os respectivos cociclos s˜ ao cohom´ ologos. Se π : L → M e π ˜:L s˜ ao fibrados de linha sobre M , podemos tomar uma cobertura aberta U = {Ui }i de M onde est˜ ao definidas simultaneamente trivializa¸c˜ oes locais φi : π −1 (Ui ) → Ui × C de π e φ˜i : π ˜ −1 (Ui ) → Ui × C de π ˜. ˜ ´e um isomorfismo entre estes fibrados, ent˜ Se ψ : L → L ao o difeomorfismo φ˜i ◦ ψ ◦ φ−1 ´e da forma (x, v) 7→ (x, ψi (x) · v), e assim os cociclos gij e g˜ij s˜ ao cohom´ ologos. Temos portanto uma bije¸c˜ ao entre o conjunto das classes de isomorfismo de fibrados de linha sobre M e

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385

˜ DE UMA VARIEDADE [SEC. 12.2: O FEIXE DE ORIENTAC ¸ AO

˘ 1 (M, E ∗ ). o grupo de cohomologia H M ˜ → M s˜ Observamos que se π : L → M e π ˜: L ao dois fibrados de ˜ → M s˜ linha, ent˜ ao as fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao do fibrado L ⊗ L ao x ∈ Ui ∩ Uj 7→ gij (x) · g˜ij (x). Verifica-se que o produto tensorial define uma estrutura de grupo nas classes de isomorfismo de fibrados de linha sobre M , chamado de grupo de Picard de M , de modo que a bije¸c˜ ao constru´ıda ´e de fato um isomorfismo de grupos. Consideremos a sequˆencia exata curta de feixes / ZM

0

/ EM

exp

/ E∗

M

/0

e a correspondente sequˆencia exata longa em cohomologia C

∗ → H 1 (M, ZM ) → H 1 (M, EM ) → H 1 (M, EM ) →1 H 2 (M, Z) → H 2 (M, EM ).

Como EM ´e um feixe bom, temos que H 1 (M, EM ) = H 2 (M, EM ) = 0. Logo a aplica¸c˜ ao ∗ C1 : H 1 (M, EM ) → H 2 (M, Z)

´e um isomorfismo. Essa aplica¸c˜ ao associa a cada classe de isomorfismo de fibrados de linha sobre M uma classe de cohomologia inteira, chamada a classe de Chern do fibrado. A classe de Chern do produto tensorial de dois fibrados ´e a soma das classes de Chern dos fatores e toda classe de cohomologia em H 2 (M, Z) ´e a classe de Chern de algum fibrado de linha sobre M .

12.2

O feixe de orienta¸c˜ ao de uma variedade

feixe de orienta¸c˜ ao Seja M uma variedade de dimens˜ao m. Se U ⊃ V s˜ ao subconjuntos abertos de M , ent˜ ao a inclus˜ ao (M, M − U ) → (M, M − V ) induz um homomorfismo ρU V : Hm (M, M − U ) → Hm (M, M − V ) tal que ρVW = ρVW ◦ ρU V

se

W ⊂ V ⊂ U.

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386

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Temos portanto um pr´e-feixe. O feixe associado ´e chamado o feixe ¯ → M o espa¸co ´etal´e de orienta¸co ˜es de M . Denotaremos por π : O associado. A fibra pelo ponto x ´e o grupo Hm (M, M − x) que, pelo teorema de excis˜ ao, ´e isomorfo a Hm (D, D − x), onde D ´e difeomorfa a uma bola. Por sua vez ˜ m−1 (D − x) ∼ ˜ m−1 (S m−1 ) ∼ Hm (D, D − x) ∼ =H =H = Z. Defini¸ c˜ ao 12.12. Se F ⊂ M ´e um subconjunto fechado, denotamos ¯ e por Γc (F ) o subpor Γ(F ) o grupo das se¸c˜ oes cont´ınuas s : F → O grupo das se¸c˜ oes com suporte compacto. Dizemos que M ´e orient´ avel ao longo de F se existe uma se¸c˜ ao jF ∈ Γ(F ) tal que para cada x ∈ F , jF (x) ´e um gerador da fibra H(M, M − x). Proposi¸ c˜ ao 12.13. Seja F ⊂ M um subconjunto compacto contido no dom´ınio de uma carta local ϕ : U → Rm e tal que sua imagem seja um subconjunto compacto e convexo de Rm . Ent˜ ao o homomorfismo jF,x : Hm (M, M − F ) → Hm (M, M − x) induzido pela inclus˜ ao ´e um isomorfismo para todo x ∈ F . Demonstra¸ c˜ ao. Pelo teorema da excis˜ ao, a inclus˜ ao induz isomorfismo Hm (U, U − F ) ≈ Hm (M, M − F ). O difeomorfismo ϕ induz um isomorfismo entre Hm (U, U − F ) e Hm (Rm , Rm − ϕ(F )), o qual pela sequˆencia exata do par ´e isomorfo a Hm (Rm − ϕ(F )) e por invariˆ ancia homot´ opica ´e isomorfo a Hm (Rm − ϕ(x)). Finalmente, este u ´ltimo ´e isomorfo a Hm (U, U − x) que ´e isomorfo a Hm (M, M − x) por excis˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 12.14. Seja F ⊂ M um subconjunto fechado. Para ¯ a aplica¸c˜ cada [c] ∈ Hm (M, M − F ) seja JF ([c]) : F → O ao definida por JF ([c])(x) = jF,x ([c]). Ent˜ ao JF ([c]) ´e uma se¸c˜ ao cont´ınua com suporte compacto e JF : Hm (M, M − F ) → Γc (F ) ´e um homomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Seja c ∈ Cm (M ) uma cadeia que representa a classe n N P P de homologia [c]. Ent˜ ao c = ai σi e ∂c = bj τj , sendo que i=1

j=1

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387

˜ DE UMA VARIEDADE [SEC. 12.2: O FEIXE DE ORIENTAC ¸ AO

τj (∆n−1 ) ⊂ M − F pois c ´e um ciclo relativo. Como K =

N S

τj (∆n−1 ) ´e um compacto disjunto de F , temos que

j=1

cada x ∈ F tem uma vizinhan¸ca U cujo fecho ´e disjunto de K. ¯) e Logo c representa uma classe de homologia α ∈ Hm (M, M − U a aplica¸c˜ ao x ∈ U 7→ jU¯ ,x (α) ∈ Hm (M, M − x) ´e uma se¸c˜ ao cont´ınua que coincide com a restri¸c˜ ao de jF,x ([c]) a U ∩ F . Logo a aplica¸c˜ ao x ∈ F → jF,x ([c]) ´e uma se¸c˜ ao cont´ınua. Resta mostrar que tem suporte compacto. Para tanto observamos que existe um compacto C ⊂ M tal que σi (∆m ) ⊂ C para todo i = 1, . . . , n. Se x ∈ / C, ent˜ ao a imagem de c por Cm (M, M − F ) → Cm (M, M − x) ´e 0. Logo jF,x ([x]) = 0 para todo x ∈ / C. Lema 12.15. Valem as seguintes propriedades 1. Se F1 ⊃ F2 s˜ ao subconjuntos fechados, ent˜ ao o diagrama abaixo ´e comutativo: Hm (M, M − F1 )

/ Hm (M, M − F2 )

JF 1

JF2

 Γc (F1 )

 / Γc (F2 )

2. Se F1 e F2 s˜ ao dois subconjuntos fechados, ent˜ ao a sequˆencia h

k

0 → Γc (F1 ∪ F2 ) → Γc (F1 ) ⊕ Γc (F2 ) → Γc (F1 ∩ F2 ) com h(s) = (s|F1 ) ⊕ (s|F2 )

k(s1 ⊕ s2 ) = s1 |F1 ∩F2 − s2 |F1 ∩F2 ´e exata. 3. Se K1 ⊃ K2 ⊃ · · · s˜ ao subconjuntos compactos e K = ent˜ ao lim Γ(Ki ) = Γ(K). −→

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T i

Ki ,

388

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos ao leitor a prova de 1) e 2). Para provar 3) consideremos duas se¸c˜ oes s, s′ ∈ Γ(Ki ) cujas restri¸c˜ oes a K coincidem. Cada ponto de K tem uma vizinhan¸ca U e uma se¸c˜ ao sU em U que estende as restri¸c˜ oes s|U ∩K = s′ |U ∩K . Cobrimos K por um n´ umero finito de abertos Uj e para cada Uj escolhemos uma se¸c˜ ao sj em Uj que coincide com s em Uj ∩ K. Podemos ainda, diminuindo Uj se necess´ ario, supor que se Ui ∩ Uj 6= ∅, ent˜ ao Ui ∩ Uj ∩ K 6= ∅. Portanto a restri¸ca˜o de si a Ui ∩ Uj coincide com a restri¸c˜ ao de sj a Ui ∩ Uj pois as duas se¸c˜ oes coincidem em um ponto de interse¸c˜ ao e, portanto, s˜ ao iguais. Logo existe uma se¸c˜ ao sU em U = ∪Uj cuja restri¸c˜ ao a cada Uj coincide com sj . Assim (sU )|K = s|K = s′ |K . Seja Kj ⊂ Ki tal que Kj ⊂ U . Ent˜ ao a restri¸c˜ ao de sU a Kj coincide com a restri¸c˜ ao se s a Kj e ` a restri¸c˜ ao de s′ a Kj . Logo as imagens de s e s′ pelo morfismo Γc (Ki ) → lim Γ(Ki ) coincidem. Por outro −→

lado, se s ∈ Γ(K) temos pelo argumento acima que existe um aberto U ⊃ K e uma se¸ca˜o sU ∈ Γ(U ) cuja restri¸c˜ ao a K coincide com s. Para cada Ki ⊂ U denotamos por si ∈ Γ(Ki ) a restri¸c˜ ao de sU a Ki . Ent˜ ao se Kj ⊂ Ki temos que a restri¸c˜ ao de si a Kj coincide com sj e portanto ambas determinam o mesmo elemento de lim Γ(Ki ). −→

Teorema 12.16. Seja M uma variedade topol´ ogica de dimens˜ao m. Se F ⊂ M ´e um subconjunto fechado, ent˜ ao a) Hk (M, M − F ) = 0 para todo k > m; b) JF : Hk (M, M − F ) → Γc (F ) ´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Para facilitar a escrita, seja F o conjunto dos subconjuntos fechados de M e considere a fun¸c˜ ao VM : F → {0, 1} tal que VM (F ) = 0 se, e somente se, a) e b) s˜ ao verdadeiros. 1) Dizemos que um subconjunto compacto K ⊂ M ´e simples se existe uma carta local ϕ : U → Rm com K ⊂ U tal que ϕ(K) ´e o fecho de um aberto convexo. Ent˜ ao VM (K) = 0 para todo compacto simples pela proposi¸c˜ ao 12.13.

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389

˜ DE UMA VARIEDADE [SEC. 12.2: O FEIXE DE ORIENTAC ¸ AO

2) Se valem VM (F1 ) = VM (F2 ) = VM (F1 ∩ F2 ) = 0, ent˜ ao vale VM (F1 ∪ F2 ) = 0 pois basta analisar a sequˆencia de MayerVietoris e o lema anterior. T 3) Se K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ · · · s˜ ao compactos, K = Ki e vale VM (Ki ) = 0 para todo i, ent˜ ao VM (K) = 0. De fato, para cada k as inclus˜ oes (M, M − Ki ) → (M, M − K) induzem isomorfismos ≈ lim Hk (M, M − Ki ) → Hk (M, M − K) −→

e para k = m temos um diagrama comutativo lim Hm (M, M − Ki )

∼ =

−→

/ Hm (M, M − K) ∼ =

∼ =



lim Γc (Ki ) −→

∼ =

 / Γc (K)

4) Se K ⊂ Rm ´e um compacto, ent˜ ao VRm (K) = 0. Para ver isso, mostremos primeiro que se K ´e uma uni˜ ao finita de compactos simples, ent˜ ao VRm (K) = 0. De fato, suponhamos por indu¸c˜ ao que VRm (K) = 0 quando K ´e a uni˜ ao de k − 1 compactos simples. Se K = K1 ∪ · · · ∪ Kk onde K ´e um compacto simples, temos por indu¸c˜ ao que VRm (Kk ) = 0, VRm (K1 ∪ · · · ∪ Kk−1 ) = 0 e VRm (Kk ∩ (K1 ∪ · · · ∪ Kk−1 )) = 0 pois Kk ∩ (K1 ∪ · · · ∪ Kk−1 ) = (Kk ∩ K1 ) ∪ · · · ∪ (Kk ∩ Kk−1 ) ´e tamb´em a uni˜ ao de k − 1 compactos simples. Logo pelo caso 1) temos que VRm (K) = 0. Consideramos agora K ∈ Rm um compacto qualquer. Seja K1 uma cobertura finita de K por bolas fechadas de raio 1/2. Seja K2 a uni˜ ao de uma cobertura finita de K por bolas fechadas de raio menor ou igual a 1/22 contidas no interior de K1 . Por indu¸c˜ ao construimos Ki uni˜ ao finita de bolas fechadas de raio

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390

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

menor ou igual a 21i contidas no interior de Ki−1 . Pelo que provamos acima, VRm (Ki ) = 0 e, pelo item (3) VRm (K) = 0. 5) Se K ⊂ M ´e um compacto ent˜ ao VM (K) = 0. Por indu¸c˜ ao mostramos que VM (K) = 0 se K ´e uma uni˜ ao finita de compactos, cada um contido em um dom´ınio de uma carta local pois a interse¸c˜ ao de dois compactos com essa propriedade tamb´em tem essa propriedade. Como no caso T anterior, construimos uma sequˆencia K1 ⊃ K2 ⊃ · · · com Ki = K tal que cada Kj ´e uma uni˜ ao finita de compactos sendo que cada um est´ a contido no dom´ınio de uma carta local. Logo VM (K) = 0. 6) Sejam Ki ⊂ Ui fam´ılias de subconjuntos com Ki compacto e Ui aberto tais que aS o se vale VM (Ki ) = 0 SUi ∩ Uj = ∅ se i 6= j, ent˜ para todo i e Ki ´e fechado, ent˜ ao VM ( Ki ) = 0. De fato, ! [ exc. Hk (M, M − ∪Ki ) ≈ Hk Ui , ∪Ui − Ki ≈ ≈ e Γc

[

M i

M i

i

Hk (Ui , Ui − Ki )

Hk (M, M − Ki )

 M Ki = Γc (Ki ). i

7) Se F ⊂ M ´e um fechado, ent˜ ao VM (F ) = 0. Seja M = onde Ki ´e compacto e Ki ⊂ int Ki+1 e Li = Ki − int

i=1 Ki−1 .

Se F1 = F ∩ F2 = F ∩

[ i

[ i

L2i

!

L2i+1

= !

[ i

=

(F ∩ L2i )

[ i

∞ S

(F ∩ L2i+1 ),

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Ki

˜ DE UMA VARIEDADE [SEC. 12.2: O FEIXE DE ORIENTAC ¸ AO

391

ent˜ ao temos que F1 , F2 e F1 ∩ F2 satisfazem as condi¸c˜ oes do caso 5). Logo VM (F1 ) = VM (F2 ) = VM (F1 ∩ F2 ) = 0 e portanto VM (F ) = 0.

Corol´ ario 12.17. Valem as seguintes propriedades para uma variedade topol´ ogica M de dimens˜ao m: 1. Hj (M ) = 0 para j > m; 2. Se M n˜ ao ´e compacta, ent˜ ao Hm (M ) = 0; 3. Se M ´e compacta e orient´ avel com respeito a um anel A, ent˜ ao Hm (M, A) ≈ A; 4. Se M ´e compacta a n˜ ao Z-orient´ avel, ent˜ ao Hm (M, Z) = 0 e Hm (M, Z2 ) = Z2 . Demonstra¸ c˜ ao. Para 1), basta tomar F = M . Para 2) Tomamos F = M e observamos que se M ´e n˜ ao compacta, ent˜ ao Γc (M ) = 0. Para 3), se M ´e orient´ avel, ent˜ ao Γc (M ) ∼ = A. Defini¸ c˜ ao 12.13. Se M e N s˜ ao variedades topol´ ogicas compactas e orientadas de mesma dimens˜ao e f : M → N ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, o grau topol´ ogico de f ´e o inteiro g ∈ Z tal que a imagem do gerador de Hm (M, Z) por f∗ ´e g-vezes o gerador de Hm (N, Z). Proposi¸ c˜ ao 12.18. Valem as seguintes propriedades para o grau topol´ ogico: 1. Em variedades diferenci´ aveis as duas defini¸c˜ oes de orientabilidade coincidem. 2. Em variedades diferenci´ aveis o grau topol´ ogico coincide com o grau de Brower.

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392

12.3

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

O anel de cohomologia

Vimos que o produto exterior de formas diferenciais induz uma estrutura de ´ algebra comutativa graduada nos grupos de cohomologia de de Rham de uma variedade diferenci´ avel. Vamos agora construir uma estrutura de anel na cohomologia singular com coeficientes em um anel A de um espa¸co topol´ ogico X. O produto cup em cocadeias ⌣: C k (X; A) × C l (X; A) → C k+l (X; A). ´e definido da seguinte maneira: dados φ ∈ C k (X, A), ψ ∈ C l (X, A) e σ um k + l-simplexo em X, colocamos (φ ⌣ ψ)(σ) = φ(σ|[e0 ,...,ek ] ) · ψ(σ|[ek ,...,ek+l ] ). ´ f´ E acil ver que o produto cup assim definido ´e bilinear e associativo. O lema a seguir vai mostrar que esse produto a n´ıvel de cocadeias induz um produto bilinear e associativo a n´ıvel de cohomologia. Lema 12.19. Para todos φ ∈ C k (X, A) e ψ ∈ C l (X, A) vale δ(φ ⌣ ψ) = δφ ⌣ ψ + (−1)k φ ⌣ δψ. Demonstra¸ c˜ ao. Se σ ´e um (k + l + 1)-simplexo, temos

δ(φ ⌣ ψ)(σ)

= =

(φ ⌣ ψ)(∂σ) (φ ⌣ ψ)

k+l+1 X i=0

=

k X i=0

+

i

(−1) σ|[e0 ,...,eˆi ,...,ek+l+1 ]

!

(−1)i φ(σ|[e0 ,...,eˆi ,...,ek+1 ] ) · ψ(σ|[ek+1 ,...,ek+l+1 ] ) +

k+l+1 X

i=k+1

(−1)i φ(σ|[e0 ,...,ek ] ) · ψ(σ|[ek ,...,eˆi ,...,ek+l+1 ] ).

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[SEC. 12.3: O ANEL DE COHOMOLOGIA

393

Por outro lado, (δφ ⌣ ψ)(σ)

= =

δφ(σ|[e0 ,...,ek+1 ] ).ψ(σ|[ek+1 ,...,ek+l+1 ] ) k+1 X

(−1)i φ(σ|[e0 ,...,eˆi ,...,ek+1 ] ).ψ(σ|[ek+1 ,...,ek+l+1 ] )

i=0

=

k X

(−1)i φ(σ|[e0 ,...,eˆi ,...,ek+1 ] ).ψ(σ|[ek+1 ,...,ek+l+1 ] ) +

i=0

+

(−1)k+1 φ(σ|[e0 ,...,ek ] ).ψ(σ|[ek+1 ,...,ek+l+1 ] )

e (−1)k (φ ⌣ δψ)(σ)

= =

(−1)k φ(σ|[e0 ,...,ek ] ).δψ(σ|[ek ,...,ek+l+1 ] ) k+l+1 X

(−1)i φ(σ|[e0 ,...,ek ] ).ψ(σ|[ek ,...,eˆi ,...,ek+l+1 ] )

i=k

=

k+l+1 X

(−1)i φ(σ|[e0 ,...,ek ] ).ψ(σ|[ek ,...,eˆi ,...,ek+l+1 ] ) +

i=k+1

+

(−1)k φ(σ|[e0 ,...,ek ] ).ψ(σ|[ek+1 ,...,ek+l+1 ] )

o que prova o Lema. Do lema conclu´ımos que o produto cup de dois cociclos ´e um cociclo e que o produto cup de um cobordo por um cociclo ou de um cociclo por um cobordo ´e um cobordo. Logo temos um produto bilinear e associativo em cohomologia: ⌣: H k (X; A) × H l (X; A) → H k+l (X; A). A n´ıvel de cocadeias n˜ ao temos nenhum tipo de comutatividade do produto cup. No entanto, vale o seguinte teorema. Teorema 12.20. Se α ∈ H k (X, A) e β ∈ H l (X, A), ent˜ ao α ⌣ β = (−1)kl β ⌣ α.

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394

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Demonstra¸ c˜ ao. Definimos primeiramente o morfismo ρ:

Cn (X) σ

−→ 7−→

Cn (X) ǫn · σ|[en ,...,e0 ]

n(n−1)

onde ǫn = (−1) 2 . A prova do teorema consiste em mostrar as trˆes seguintes afirma¸c˜ oes: 1. ρT (ψ ⌣ φ) = (−1)kl ρT (φ) ⌣ ρT (ψ); 2. ρT δ = δρT ; 3. Existe um homomorfismo P : Cr (X) → Cr+1 (X) tal que P ∂ + ∂P = ρ − id. De fato, 2) implica que ρ induz um homomorfismo ρ∗ em cohomologia e 1) implica que ρ∗ (ψ ⌣ φ) = (−1)kl ρ∗ (φ) ⌣ ρ∗ (ψ). Finalmente, 3) implica que ρ∗ ´e a identidade pois ρT − id = P T δ + δP T . Vamos provar ent˜ ao as afirma¸c˜ oes. 1) Temos que (ρT φ) ⌣ (ρT ψ)(σ)

=

φ(ǫk σ|[ek ,...,e0 ] ).ψ(ǫl [σ|[ek+l ,...,ek ] )

=

ǫk ǫl φ(σ|[ek ,...,e0 ] ).ψ(σ|[ek+l ,...,ek ] ),

e por outro lado, ρT (ψ ⌣ φ)(σ)

=

ψ ⌣ φ(ρ(σ))

= =

ψ ⌣ φ(ǫk+l σ|[ek+l ,...,e0 ] ) ǫk+l · ψ(σ|[ek+l ,...,ek ] ).φ(σ|[ek ,...,e0 ] ).

Como ǫk+l = (−1)kl ǫk ǫl , concluimos a prova da identidade em 1). 2) Basta provar que ∂ρ = ρ∂. Temos que ∂ρ(σ) = ∂(ǫn σ|[en ,...,e0 ] ) = ǫn

n X

(−1)i σ[en ,...,ˆen−i ,...,e0 ]

i=0

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395

[SEC. 12.3: O ANEL DE COHOMOLOGIA

e

ρ(∂σ)

=

ρ

n X

(−1)i σ|[e0 ,...,ˆei ,...en ]

i=0

=

n X

!

(−1)i ρ(σ|[e0 ,...,ˆei ,...en ] )

i=0

=

n X

(−1)n−i σ|[en ,...,ˆen−i ,...,e0 ] .

i=0

Como (−1)n ǫn−i = ǫn , concluimos a prova de 2). Para ver 3), seja σ : ∆n → X um simplexo singular. Definimos

P (σ) =

n X

(−1)i ǫn−i Pi (σ)

i=0

onde Pi (σ) : ∆n+1 → X ´e o simplexo singular

Pi (σ) = σ ◦ π ◦ [A0 , . . . , Ai , Bn , . . . , Bi ]

sendo que π : ∆n ×[0, 1] → ∆n ´e a proje¸c˜ ao, Ai = (ei , 0) ∈ ∆n ×[0, 1], Bi = (ei , 1) × [0, 1] e [A0 , . . . , Ai , Bn , . . . , Bi ] : ∆n+1 → An × [0, 1] ´e a aplica¸c˜ ao afim que leva ej em Aj se j ≤ i e ej em Bn−j+i se j ≥ i. Temos ent˜ ao que

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396

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

∂P (σ)

=

n X i=0

+



(−1)i ǫn−i 

X

(−1)

X

i+1+n−j

j≥i

=

n X

(−1)i ǫn−i

i=0

+

(−1)j σ ◦ π[A0 , . . . , Aˆj , . . . , Ai , Bn , . . . , Bi ]+

j≤i



σ ◦ π[A0 , . . . , Ai , Bn , . . . , Bˆj , . . . , Bi ]

X

(−1)j σ ◦ π[A0 , . . . , Aˆj , . . . , Ai , Bn , . . . , Bi ]+

ji

+

ǫn [Bn . . . , B0 ] +

X

!

+

ǫn−i σ ◦ π[A0 , . . . , Ai−1 , Bn , . . . , Bi ] +

i>0

+

X

(−1)n+i+1 ǫn−i σ ◦ π[A0 , . . . , Ai , Bn , . . . , Bi+1 ] −

i0

+

ǫn [Bn . . . , B0 ] − σ ◦ π[A0 , . . . , An ].

Por outro lado, P (∂σ) = P

n X

(−1)j σ ◦ [e0 , . . . , eˆj , . . . , en ]

j=0

= +

ǫn−i π ◦ σ ◦ [A0 , . . . , Aˆj , . . . , Ai , Bn , . . . , Bi ]+  i ˆ i 0. Uma transforma¸c˜ ao natural µ entre duas teorias de cohomologias h, g associa homomorfismos µk : hk (X, Y ) → g k (X, Y ) tais que o diagrama abaixo comuta: hk (X) k



hk (i)

µ

g (X)

/ hk (Y )

δ

µ

g k (i)

 / g k (Y )

/ hk+1 (X, Y )

hk (j)

µ

µ

δ

 / g k+1 (X, Y )

/ hk+1 (X)

g k (j)

 / g k+1 (Y )

Lema 12.25. Se µ ´e uma transforma¸c˜ ao natural entre duas teorias de cohomologia na categoria de pares de CW-complexos que induz isomorfismos em dimens˜ ao 0, ent˜ ao µ induz isomorfismos em todas as dimens˜ oes. Demonstra¸ c˜ ao. Observamos inicialmente que se o lema ´e verdadeiro para todo par (X, ∅), ele ´e verdadeiro para todo par (X, Z). De fato, pelo lema dos 5, o homomorfismo do meio no diagrama comutativo abaixo ´e um isomorfismo se os homomorfismos dos extremos o forem. / g k (Z) / g k+1 (X, Z) / g k+1 (X) / g k+1 (Z) g k (X) 

hk (X(

 / hk (Z)

 / hk+1 (X, Z)

 / hk+1 (X)

 / hk+1 (Z)

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´ [SEC. 12.4: O PRODUTO CAP E DUALIDADE DE POINCARE

405

Lema 12.26. Fixando o espa¸co topol´ ogico Y , consideremos para cada par de espa¸cos topol´ ogicos (X, Z) os A-m´ odulos M g k (X, Z) = H i (X, Z; A) ⊗ H k−i (Y ; A) i

k

h (X, Z) = H k (X × Y, Z × Y ) e os homomorfismos µk :

g k (X, Z) α⊗β

−→ 7−→

hk (X, Z) ⌣ πY∗ β.

∗ πX α

Ent˜ ao 1. g ∗ e h∗ s˜ ao teorias de cohomologia na categoria de pares de CW-complexos; 2. µ ´e uma transforma¸c˜ ao natural; 3. µ ´e um isomorfismo se X se reduz a um ponto.

12.4

O produto cap e dualidade de Poincar´ e

O produto cap ´e uma opera¸c˜ ao que relaciona homologia e cohomologia. A n´ıvel de cadeias e cocadeias o produto ⌢: Ck (X; A) × C l (X; A) → Ck−l (X; A) para k ≥ l ´e definido da seguinte maneira: dado um k-simplexo σ e uma l-cocadeia φ, colocamos σ ⌢ φ = φ(σ|[e0 ,...,el ] ) · σ|[el ,...,ek ] . Lema 12.27. ∂(σ ⌢ φ) = (−1)l ((∂σ) ⌢ φ − σ ⌢ (∂φ)) Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos ao leitor a tarefa de verificar a identidade.

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406

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

Como consequˆencia do lema temos que o produto de um ciclo com um cociclo ´e um ciclo, o produto de um bordo com um cociclo ´e um bordo e o produto de um ciclo com um cobordo ´e um bordo. Assim, temos uma aplica¸c˜ ao induzida em homologia e cohomologia que ´e A-linear em cada vari´ avel: ⌢ : Hk (X; A) × H l (X; A) → Hk−l (X; A). Usando as mesmas f´ ormulas podemos definir tamb´em os produtos cap relativos: ⌢: Hk (X, Y ; A) × H l (X; A) → Hk−l (X, Y ; A), ⌢: Hk (X, Y ; A) × H l (X, Y ; A) → Hk−l (X, Y ; A) Se Y e Z s˜ ao subconjuntos abertos de X, temos um isomorfismo entre Hk (X, Y ∪ Z; A) e Hk (X, Y + Z; A) e da´ı podemos definir tamb´em o produto cap ⌢: Hk (X, Y ∩ Z; A) × H l (X, Y ; A) → Hk−l (X, Z; A). Se M ´e uma variedade compacta e A-orientada, usando o produto cap e a classe fundamental α ∈ Hm (M ; A) definimos o operador de dualidade DM :

H k (M ; A) φ

−→ 7−→

Hn−k (M ; A) α ⌢ φ.

Teorema 12.28. [Dualidade de Poincar´ e topol´ ogica] Se M ´e compacta e A-orient´ avel, ent˜ ao DM ´e um isomorfismo para todo k. Assim como na prova da dualidade de Poincar´e na cohomologia de De Rham, o teorema acima ´e consequˆencia de um teorema mais geral que relaciona a cohomologia com suporte compacto, definida abaixo, com a homologia de variedades orientadas, n˜ ao necessariamente compactas. Consideremos o submodulo Cci (M ; A) ⊂ C i (M ; A) constitu´ıdo das cocadeias φ tais que exista um compacto K, que depende de φ, tal

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407

´ [SEC. 12.4: O PRODUTO CAP E DUALIDADE DE POINCARE

´ claro que φ(c) = 0 pra toda cadeia c ∈ Ci (M − K; A) ⊂ Ci (M ; A). E que se φ ∈ Cci (M ; A) ent˜ ao δφ tamb´em pertence a Cci+1 (M ; A). Temos assim um subcomplexo Cc∗ (M ; A) ⊂ C ∗ (M ; A) e portanto uma cohomologia correspondente, chamada de cohomologia com suporte compacto de M e ´e denotada por Hck (M ; A) para cada k. Uma maneira alternativa de descrever estes grupos ´e observar que Hck (M ; A) ∼ == lim H k (M, M − K; A) −→

onde o limite direto acima est´ a indexado pelos subconjuntos compactos de M e os homomorfismos H k (M, M −K; A) → H k (M, M −L; A) s˜ ao induzidos por inclus˜ ao. Se H ⊂ L ⊂ M s˜ ao compactos e i : (M, M − L) → (M, M − K), ent˜ ao temos o diagrama comutativo Hm (M, M − L)

×

H k (M, M − L) O

⌢

i∗

i∗

 Hm (M, M − K)

×

H k (M, M − K)

⌢

+ 3 Hm−k (M )

Existe um u ´nico αK ∈ Hm (M, M − K) tal que para todo x ∈ K, jK,x (αK ) ∈ Hm (M, M − x) ´e a orienta¸c˜ ao positiva. Temos tamb´em que i∗ (αL ) = αK e i∗ (αL ) ⌢ φ = αL ⌢ (i∗ φ) para todo φ em H k (M, M − K). Os homomorfismos DK : H l (M, M − K) → Hm−k (M ) que associam cada classe de cohomologia φ ` a classe de homologia αK ⌢ φ induzem um homomorfismo no limite direto DM : Hck (M ) → Hm−k (M ). Teorema 12.29. Se M ´e uma variedade topol´ ogica A-orient´ avel, ent˜ ao os homomorfismos de dualidade DM : Hck (M ; A) → Hm−k (M ; A) s˜ ao isomorfismos.

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408

[CAP. 12: COHOMOLOGIAS

A prova desse teorema consiste, como no caso da dualidade de Poincar´e na cohomologia de De Rham, em usar sequˆencias de MayerVietoris e a comutatividade do diagrama abaixo para U e V subconjuntos abertos de M . Hck (U ∩ V )



DU ∩V

Hm−k (U ∩ V )

/

Hck (U ) ⊕ Hck (V ) DU ⊕DV

/ Hck (U ∪ V ) DU ∪V

/

Hck+1 (U ∩ V )

/ ...

DU ∩V

   / Hm−k (U ) ⊕ Hm−k (V ) / Hm−k (U ∪ V ) / Hm−k−1 (U ∩ V ) /

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...

Cap´ıtulo 13

An´ alise e Geometria em Variedades

Muitas das estruturas que definimos em variedades, tais como formas diferenciais e m´etricas Riemannianas, s˜ ao se¸c˜ oes de certos fibrados sobre a variedade. Em geral o espa¸co de tais se¸c˜ oes ´e de dimens˜ao infinita, portanto ´e natural procurar um mecanismo de selecionar dentre elas algumas se¸c˜ oes especiais. Discutiremos nesse cap´ıtulo dois tais mecanismos. O primeiro consiste em definir um operador diferencial natural no espa¸co de se¸c˜ oes e procurar se¸c˜ oes no n´ ucleo desse operador. Esse mecanismo conduz em geral a problemas de equa¸c˜ oes a derivadas parciais lineares. O segundo mecanismo ´e mais geral e consiste em definir funcionais em certos espa¸cos de se¸c˜ oes e procurar as se¸c˜ oes que s˜ ao pontos cr´ıticos de tais funcionais, de maneira an´ aloga ao que fizemos ao selecionar as geod´esicas como pontos cr´ıticos do funcional energia no espa¸co das curvas diferenci´ aveis que passam por dois pontos fixados em uma variedade Riemanianna.

13.1

Geometria dos Fibrados e o morfismo de ChernWeil

Seja G um grupo de Lie e g = T Gid sua ´ algebra de Lie. Se g ∈ G, seja Ad(g) : g → g a derivada na identidade da conjuga¸c˜ ao, Cg : G → G, Cg (h) = ghg −1 . A a¸c˜ ao G × g → g definida por (g, A) 7→ Ad(g)(A) ´e chamada representa¸c˜ ao adjunta de G. 409

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410

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Seja π : P → M um fibrado principal com grupo G sobre uma variedade compacta M . Lembramos que o grupo G age ` a direita em P e essa a¸c˜ ao ´e transitiva nas fibras e sem pontos fixos. Portanto M ´e o espa¸co de ´ orbitas dessa a¸c˜ ao. Seja R : P × G → P essa a¸c˜ ao. Para cada z ∈ P a aplica¸c˜ ao Rz : G → P definida por Rz (g) = R(z, g) ´e um difeomorfismo de G sobre a fibra π −1 (π(z)). Sua derivada na identidade ´e um isomorfismo entre a ´ algebra de Lie g e o espa¸co tangente a fibra π −1 (π(z)) no ponto z, o qual denotaremos por Vz , o subespa¸co ` vertical no ponto z. Seja Lz : Vz → g o isomorfismo inverso. Se g ∈ G denotamos por Rg : P → P o difeomorfismo Rg (z) = R(z, g). Como as fibras s˜ ao as ´ orbitas da a¸c˜ ao temos que DRg (z)(Vz ) = VRg (z) . A cada elemento ξ da ´ algebra de Lie g associamos um campo de vetores vertical Xξ ∈ X∞ (P ) definido por Xξ (z) = DRz (id) · ξ. Proposi¸ c˜ ao 13.1. A aplica¸c˜ ao ξ ∈ g 7→ Xξ ∈ X∞ (P ) ´e um morfismo injetivo da ´ algebra de Lie de G na ´ algebra de Lie dos campos de vetores em P . Demonstra¸ c˜ ao. Devemos mostrar que X[ξ,η] = [Xξ , Xη ] onde o colchete do segundo membro ´e o colchete de Lie de campos de vetores. Seja σ : U ⊂ M → π −1 (U ) uma se¸c˜ ao local, e que portanto define uma trivializa¸c˜ ao Φ : U × G → π −1 (U )

(x, h) 7→ Rh (σ(x)).

Nessa trivializa¸c˜ ao a express˜ ao da a¸c˜ ao R ´e ((x, h), g) 7→ (x, hg), o espa¸co vertical V(x,h) ´e {0} × T Gh ⊂ T Mx × T Gh e o campo ´e dado por Xξ = 0 × DLh (id) · ξ, onde Lh (g) = hg. Portanto a express˜ ao do campo Xξ nessas coordenadas coincide com o campo invariante por transla¸c˜ oes ` a esquerda e o colchete de Lie de dois desses campos ´e precisamente o colchete de Lie da ´ algebra de Lie do grupo. Defini¸ c˜ ao 13.1. Seja π : P → M um G-fibrado principal. Uma conex˜ ao afim em M ´e uma distribui¸c˜ ao C ∞ que a cada z ∈ P associa um subespa¸co Hz ⊂ T Pz tal que:

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[SEC. 13.1: GEOMETRIA DOS FIBRADOS E O MORFISMO DE CHERN-WEIL

411

• T Pz = Hz ⊕ Vz • DRg (z)Hz = HRg (z) . Um campo de vetores X em P ´e chamado de campo horizontal se para todo z ∈ P , X(z) ∈ Hz . Como a Dπz : Hz → T Mπ(z) ´e um isomorfismo, temos que para cada campo de vetores X em M ˜ em P que est´ existe um u ´nico campo de vetores horizontal X a π˜ relacionado com X. Se X ´e o levantamento horizontal do campo X, ˜ =X ˜ para todo g ∈ G. ent˜ ao R∗g X Na proposi¸c˜ ao a seguir mostraremos a existˆencia do transporte paralelo associado a uma conex˜ ao afim. Proposi¸ c˜ ao 13.2. Seja Hz uma conex˜ ao afim em um fibrado principal π : P → M . Se α : [0, 1] → M ´e imers˜ ao C 1 ent˜ ao dado −1 z ∈ π (α(0)) existe uma u ´nica curva α ˜ : [0, 1] → P tal que α ˜ (0) = z , π(˜ α(t)) = α(t) e o vetor tangente a α ˜ em todo ponto ´e horizontal. A aplica¸c˜ ao Tα : π −1 (α(0)) → π −1 (α(1)) que a cada ponto z associa o ponto final do levantamento horizontal de α ´e um difeomorfismo equivariante: Tα ◦ Rg = Rg ◦ Tα . Demonstra¸ c˜ ao. Seja t0 ∈ [0, 1] m´ aximo tal que existe um levantamento horizontal de α|[0,t0 ] . Vamos mostrar que t0 = 1. Seja ǫ > 0 tal que a restri¸c˜ ao de α ao intervalo (t0 − ǫ, t0 + ǫ) seja um mergulho e seja C = α(t0 − ǫ, t0 + ǫ). Ent˜ ao C˜ = π −1 (C) ´e uma subvariedade de codimens˜ ao m − 1 e em cada ponto z ∈ C˜ o espa¸co tangente a C˜ intersecta o subespa¸co horizontal Hz em um subespa¸co de dimens˜ao um. Logo existe um u ´nico campo de vetores X em C˜ que ´e horizontal e se projeta no vetor tangente a C . Todo levantamento da restri¸c˜ ao de α a (t0 − ǫ, t0 + ǫ) ´e uma ´ orbita desse campo de vetores. Podemos ent˜ ao estender α ˜ por α ˜ (t0 +t) = Xt (˜ α(t0 )). Portanto t0 = 1. A unicidade segue da unicidade de solu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais. Se α ˜ ´e um levantamento horizontal de α ent˜ ao Rg ◦ α ˜ tamb´em ´e e, portanto, o transporte paralelo Tα ´e um difeomorfismo equivariante. Dada uma conex˜ ao afim Hz em M podemos definir uma 1-forma ω em P com valores na algebra de Lie g da seguinte forma: para cada z ∈ P , ω(z) : T Pz → g ´e a transforma¸c˜ ao linear cujo n´ ucleo ´e Hz e cuja restri¸c˜ ao ao espa¸co tangente ` a fibra ´e o isomorfismo Lz , inverso do isomorfismo DRz : g → T (π −1 (π(z)))z . Temos que a forma ω ´e

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412

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

equivariante: R∗g ω = Ad(g) ◦ ω. Reciprocamente, dada uma 1-forma equivariante cuja restri¸c˜ ao aos subespa¸cos verticais coincide com o isomorfismo Lz , seu n´ ucleo define uma conex˜ ao afim. Mostremos que a forma de conex˜ ao ´e equivariante. Seja θ(z, h) = R(R(z, h), g) = R(z, gh). Temos que θ(z, id) = R(z, g) e ∂R ∂θ ∂R (z, id).η = (z, g). (z, id).η = DRg (z).DRz (id).η. ∂h ∂z ∂h Por outro lado, seja φ(z, h) = R(R(z, g), h) = R(z, hg). Temos que θ(z, h) = φ(z, ad(g)(h)) e, portanto ∂θ ∂φ (z, id).ξ = (z, id).Ad(g).ξ = DRR(z,g) (id).Ad(g).ξ ∂h ∂h Assim, DRR(z,g) (id)Ad(g)ξ = DRg (z)DRz (id)ξ. Se v ∈ Vz , ent˜ ao (R∗g ω)(z).v = ω(Rg (z))DRg (z).v = LRg (z) DRg (z).v e (Ad(g) ◦ w)(z).v = Ad(g)ω(z).v = Ad(g)Lz (v). Por outro lado, v = DRz (id).ξ e, portanto, (Ad(g) ◦ ω)(z).v = Ad(g)Lz (DRz (id)).ξ = Ad(g)(ξ)

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[SEC. 13.1: GEOMETRIA DOS FIBRADOS E O MORFISMO DE CHERN-WEIL

413

e (R∗g ω)(z).v

= = = =

LRg (z) DRg (z).v

LRg (z) DRg (z)DRz (id)ξ

LRg (z) DRR(z,g) (id)Ad(g)ξ Ad(g)ξ,

Logo R∗g ω(z).v = Ad(g) ◦ ω(z).v se v ´e um vetor vertical no ponto z. Por outro lado se v ´e um vetor horizontal ambos os membros se anulam. Assim, ω ´e equivariante. Proposi¸ c˜ ao 13.3. 1. Sejam π ′ : P ′ → M ′ , π : P → M fibrados principais com grupo G e f˜, f : (P ′ , M ′ ) → (P, M ) aplica¸c˜ oes C ∞ tais que π ◦ f˜ = f ◦ π ′ e a restri¸c˜ ao de f a cada fibra seja um difeomorfismo equivariante. Se ω ´e uma forma de conex˜ ao em P , ent˜ ao f˜∗ ω ´e uma forma de conex˜ ao em P ′ . 2. Todo fibrado principal possui uma conex˜ ao afim. ´ claro que Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos a prova de 1) como exerc´ıcio. E um fibrado trivial M × G possui uma conex˜ ao afim: basta definir o espa¸co horizontal H(x,g) como o subespa¸co T Mx ×{0} ⊂ T Mx ×T Gg . Se π : P → M ´e um fibrado principal, seja Ui uma cobertura aberta localmente finita tal que o fibrado p−1 (Ui ) → Ui seja trivial para todo i. Seja ωi uma forma de conex˜ ao em p−1 (Ui ) e λi uma parti¸c˜ ao ˜ i = λi ◦ π. da unidade em M subordinada a ` cobertura {U }. Sejam λ i P ˜ Ent˜ ao i λ e uma forma de conex˜ ao em P como ´e f´ acil ver. i ωi ´ Teorema 13.4. Seja π : P → M × [0, 1] um fibrado principal. Seja i1 : M → M × [0, 1] a inclus˜ ao x 7→ (x, 1) e p : M × [0, 1] → M a proje¸c˜ ao (x, t) 7→ x. Ent˜ ao p∗ i∗1 (P ) ´e isomorfo a π : P → M × [0, 1]. Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos uma conex˜ ao afim no fibrado principal. Seja X o campo de vetores em M × [0, 1] tangente ` as curvas ∂ {x} × [0, 1] e que se projeta no campo unit´ ario dt em [0, 1]. O fluxo ˜ ∈ X(P ) de X leva o ponto (x, t) em (x, 1) no tempo 1 − t. Seja X o levantamento horizontal de X. Se y ∈ P se projeta em (x, t), seja

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414

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

˜ no tempo 1 − t. Temos que p˜(y) a imagem de y pelo fluxo de X p˜: P → π −1 (M × {1}) ´e um morfismo de fibrados principais que cobre a aplica¸c˜ ao p : M × [0, 1] → M × {1}, (x, t) 7→ (x, 1). Corol´ ario 13.5. Seja it : M → M × [0, 1] a inclus˜ ao x 7→ (x, t). Se π : P → M × [0, 1] ´e um fibrado principal, ent˜ ao os fibrados i∗1 (P ) e i∗0 (P ) s˜ ao equivalentes. Demonstra¸ c˜ ao. Como p ◦ i0 ´e a identidade de M , temos pelo teorema anterior que i∗0 (P ) ´e isomorfo a i∗0 (p∗ i∗1 (P )) = (p ◦ i0 )∗ i∗1 (P ) = i∗1 (P ).

Desse corol´ ario segue o seguinte teorema: Teorema 13.6. Seja π : P → M um fibrado principal. Se f, g : N → M s˜ ao aplica¸c˜ oes homot´ opicas ent˜ ao os fibrados f ∗ (P ) ao equivalentes. e g ∗ (P ) s˜ Demonstra¸ c˜ ao. Seja H : N × [0, 1] → M uma homotopia entre f e g. Seja it : N → N × [0, 1] a inclus˜ ao x 7→ (x, t). Assim f = H ◦ i0 e g = H ◦ i1 . Considerando o fibrado principal H ∗ (P ), temos pelo corol´ ario acima que f ∗ (P ) = i∗0 (H ∗ (P )) ´e isomorfo a i∗1 (H ∗ (P )) = g ∗ (P ). Corol´ ario 13.7. Se M ´e contr´ atil, todo fibrado principal sobre M ´e trivial. Esses resultados se estendem imediatamente para fibrados associados ` a fibrados principais. Dado um fibrado principal π : P → M e uma a¸c˜ ao ρ : G × F → F em uma variedade F , temos um fibrado πρ : E → M , com fibra F e grupo G, onde o espa¸co total E ´e o espa¸co quociente do produto P × F pela seguinte rela¸c˜ ao de equivalˆencia: (y, z) ∼ (y ′ , z ′ ) ⇔ ∃g ∈ G tal que y ′ = yg e z ′ = ρ(g −1 )(z). Denotando por [y, z] a classe de equivalˆencia de (y, z), a aplica¸c˜ ao πρ : E → M , πρ ([y, z]) = π(y) est´ a bem definida. Para mostrar

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[SEC. 13.1: GEOMETRIA DOS FIBRADOS E O MORFISMO DE CHERN-WEIL

415

que esse ´e o fibrado associado tomamos uma fam´ılia de se¸c˜ oes locais σi : Ui → P do fibrado principal cujos dom´ınios cobrem M . Sejam gij : Ui ∩ Uj → G tais que σj (x) = σi (x).gij (x). Se q : P × F → E ´e a aplica¸c˜ ao quociente definimos Φi : Ui × F → E por Φi (x, z) = q(σi (x), z). Temos que Φi ´e um homemorfismo de Ui × F sobre πρ−1 (Ui ) e a mudan¸ca de coordenadas Φ−1 j ◦ Φi : (Ui ∩ Uj ) × F → (Ui ∩ Uj ) × F ´e o difeomorfismo (x, v) 7→ (x, ρji (x)(v)) onde ρji (x) = ρ(gji (x)). Corol´ ario 13.8. Todo fibrado com grupo estrutural G sobre uma variedade contr´ atil ´e trivial. Demonstra¸ c˜ ao. De fato, o fibrado ´e associado ` a uma a¸c˜ ao do grupo G nas fibras e ao fibrado principal π : P → M que, pelo corol´ ario, ´e trivial e, portanto, tem uma se¸c˜ ao global. Logo o fibrado associado ´e trivial pelo argumento acima. Corol´ ario 13.9. O pull-back por duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas de um fibrado associado a um fibrado principal s˜ ao fibrados equivalentes. Em particular, se o fibrado inicial ´e um fibrado vetorial, temos uma equivalˆencia de fibrados vetoriais. Demonstra¸ c˜ ao. Seja π : P → M o fibrado principal, F a fibra e ρ a a¸c˜ ao ` a esquerda de G na fibra F . Portanto o fibrado associado se escreve como πρ : P ×ρ F → M , onde P ×ρ F ´e o espa¸co quociente do produto P × F pela rela¸c˜ ao de equivalˆencia definida anteriormente. O pull-back desse fibrado por uma aplica¸c˜ ao f : N → M ´e associado a mesma representa¸c˜ ` ao e ao fibrado principal f ∗ (P ), e se f e g s˜ ao homot´ opicas existe um isomorfismo Φ : f ∗ (P ) → g ∗ (P ) que cobre a identidade. Como Φ(y.g) = Φ(y).g para todo y e todo g ∈ G, temos ˆ : f ∗ (P ) × F → g ∗ (P ) × F , Φ(u, ˆ que a aplica¸c˜ ao Φ v) = (Φ(y), v) preserva as rela¸c˜ oes de equivalˆencia, e portanto induz um isomorfismo ˜ : f ∗ (P ) ×ρ F → g ∗ (P ) ×ρ F . Se F ´e um espa¸co vetorial e ρ ´e uma Φ ˜ ´e linear nas fibras e portanto representa¸c˜ ao do grupo, o isomorfismo Φ um isomorfismo de fibrados vetoriais.

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416

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

A seguir vamos mostrar que podemos identificar o espa¸co das se¸c˜ oes do fibrado associado com o espa¸co das fun¸c˜ oes f : P → F que s˜ ao equivariantes, isto ´e, f (y.g) = ρ(g −1 )(f (y)). De fato, dada uma fun¸c˜ ao equivariante f , podemos definir uma se¸c˜ ao s : M → E da seguinte forma. Dado x ∈ M , escolha y ∈ P tal que π(y) = x e defina s(x) = q(y, f (y)). Da equivariˆ ancia de f segue que s(x) n˜ ao depende da escolha de y na fibra sobre x. Reciprocamente, dada uma se¸c˜ ao s : M → E, definimos f : P → F da seguinte forma: sejam y ∈ P , x = π(y) e s(x) = [y ′ , z ′ ]. Como π(y ′ ) = x = π(y), existe um u ´nico g ∈ G tal que y ′ = y.g. Tomando z = ρ(g)(z ′ ) temos ´ f´ que (y, z) ∼ (y ′ , z ′ ). E acil ver que f ´e t˜ ao diferenci´ avel quanto s e ´e equivariante. Consideremos agora o caso especial de um fibrado vetorial, isto ´e, ρ ´e uma representa¸c˜ ao do grupo G em um espa¸co vetorial F . Lembramos que, nesse caso, o espa¸co das se¸c˜ oes de classe C ∞ ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ ao infinita. A seguir vamos mostrar que a existˆencia de uma conex˜ ao afim em um fibrado principal permite definir uma derivada em se¸c˜ oes de fibrados vetoriais associados na dire¸c˜ ao de campos de vetores da base. Para isso, dada uma conex˜ ao afim no fibrado principal, vamos definir para cada campo de vetores X ∈ X∞ (M ) uma aplica¸c˜ ao linear ∇X : Γ(E) → Γ(E) denominada derivada covariante. Se f : P → F ´e uma fun¸c˜ ao equi˜ ´e o levantamento horizontal do campo X, ent˜ ˜ ) ´e variante e X ao X(f tamb´em equivariante, e portanto ´e uma se¸c˜ ao do fibrado, a qual ser´ a denotada por ∇X . O espa¸co das se¸c˜ oes de um fibrado vetorial ´e um m´ odulo sobre a algebra das fun¸c˜ ´ oes C ∞ na base. A derivada covariante tem as seguintes propriedades: • ∇X (φ.s) = (LX φ).s + φ.∇X s, chamada Regra de Leibniz ; • ∇X+Y s = ∇X s + ∇Y s; • ∇φX s = φ∇X s.

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[SEC. 13.1: GEOMETRIA DOS FIBRADOS E O MORFISMO DE CHERN-WEIL

417

para todos φ ∈ C ∞ (M ), s ∈ Γ(E) e X, Y ∈ X(M ). Observamos que (∇X s)(x) depende apenas de X(x) e do jato de ordem 1 de s no ponto x. Portanto, toda se¸c˜ ao s define para cada x ∈ M uma aplica¸c˜ ao linear de T Mx na fibra sobre o ponto x, que a cada vetor v associa ∇X s(x) com X qualquer campo de vetores de classe C ∞ tal que X(x) = v. A imagem do vetor v ∈ T Mx ´e denotada por ∇v s(x). Se s˜ ´e uma outra se¸c˜ ao C ∞ tal que s˜(x) = s(x) e D˜ s(x).v = Ds(x).v ent˜ ao ∇v s˜(x) = ∇v s(x). Dessas propriedades segue que a derivada covariante define uma aplica¸c˜ ao ∇ : Γ(E) → Γ(T M ∗ ⊗ E). Podemos tamb´em identificar a fibra do fibrado associado pelo ponto x com o espa¸co das fun¸c˜ oes da fibra do fibrado principal pelo ponto x na algebra de Lie que seja equivariantes. Seja α : [0, 1] → M uma curva e ξ0 ∈ πρ−1 (α(0)). Seja f0 : π −1 (α(0)) → g a aplica¸c˜ ao equivariante associada a ξ0 . Definimos, para cada t ∈ [0, 1], a fun¸c˜ ao ft : π −1 (α(t)) → g dada por ft (p) = f0 (p0 ) se p ´e o transporte paralelo de p0 ao longo de α. Temos que ft ´e equivariante, e portanto est´ a associada a um elemento ξt da fibra do fibrado associado sobre o ponto α(t). A curva t → ξt ´e chamada de transporte paralelo de ξ0 ao longo da curva α. Uma forma de conex˜ ao ´e um caso particular de um conceito mais geral : formas diferenciais com valores em um fibrado vetorial. Uma forma diferencial de ordem k com valores em um fibrado vetorial π : E → M de fibra V ´e uma aplica¸c˜ ao k-linear alternada γ : X∞ (M ) × · · · × X∞ (M ) → Γ∞ (E) tal que γ(X1 , . . . , Xk )(x) = γ(Y1 , . . . , Yk )(x) se Xj (x) = Yj (x) para todo j. Portanto, para cada ponto x ∈ M a forma associa uma aplica¸c˜ ao k linear alternada de T Mx × · · · × T Mx na fibra sobre o ponto x. O pull-back de γ por uma aplica¸c˜ ao f : N → M de classe C ∞ ´e a k-forma com valores no fibrado f ∗ E, a qual em cada ponto x ∈ N associa a aplica¸c˜ ao k-linear alternada (v1 , . . . , vk ) 7→ γ(f (x))(Df (x)v1 , . . . , Df (x)vk ), onde estamos identificando a fibra de f ∗ E no ponto x com a fibra de E no ponto f (x).

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418

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Em uma trivializa¸c˜ ao local do fibrado sobre um aberto U ⊂ M , uma se¸ca˜o local ´e uma aplica¸c˜ ao C ∞ de U na fibra V , e se x : U → Rm ´e uma carta local em M , ent˜ ao a forma γ se escreve como X γ= γi1 ,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik 1≤ii ′x . Seja P˜ → M × [0, 1] o correspondente fibrado dos referenciais ortonormais. Seja it : M → M × [0, 1] a inclus˜ ao x 7→ (x, t). Como i∗0 (P˜ ) ´e isomorfo a π : P → M e i∗1 (P˜ ) ´e isomorfo a π ′ : P ′ → M , pelo corol´ ario ?? os dois fibrados principais s˜ ao equivalentes e, portanto, as correspondentes classes de Chern coincidem. Proposi¸ c˜ ao 13.15. Seja π : E → M um fibrado vetorial complexo e f : N → M . Ent˜ ao as classes de Chern do fibrado f ∗ (E) coincidem com o pull-back das classes de Chern de E.

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428

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Demonstra¸ c˜ ao. Uma m´etrica hermitiana em E define uma m´etrica hermitiana em f ∗ (E) e o correspondente fibrado dos referenciais ortonormais ´e o pull-back do fibrado dos referenciais ortonormais do fibrado π : E → M . Proposi¸ c˜ ao 13.16. labelprop13.16 Seja M uma variedade compacta. Ent˜ ao existe um inteiro N tal que para todo fibrado vetorial π : E → M de posto r existe uma aplica¸c˜ ao C ∞ f : M → G(rN, r) tal que o fibrado ´e isomorfo ao pull-back do fibrado universal sobre a grassmaniana complexa G(rN, r). Demonstra¸ c˜ ao. Sejam Wi ⊂ Wi ⊂ Vi uma cole¸c˜ ao de N elementos, com Wi , Vi abertos, Vi contr´ atil e ∪i Wi = M . Seja λi : M → [0, 1] de classe C ∞ tal que λi (x) = 1 se x ∈ Wi e λ(x) = 0 fora de uma vizinhan¸ca de Wi cujo fecho est´ a contido em Vi . Seja π : E → M um fibrado vetorial complexo. Como Vi ´e contr´ atil existe um isomorfismo Φi : π −1 (Vi ) → Vi × Cr cobrindo a identidade de Vi . Definimos ent˜ ao φi : E → Cr colocando φi (y) = 0 se π(y) ∈ / Vi e φi (y) = π2 Φi (y) se π(y) ∈ Vi , onde π2 : Ui × Cr → Cr ´e a proje¸c˜ ao no segundo fator. Temos que a restri¸c˜ ao de φi a cada fibra ´e linear e ´e injetiva nas fibras sobre Wi . Seja ent˜ ao φ : E → Cr × · · · × Cr a fun¸c˜ ao cuja i-esima coordenada ´e φi . Temos que a restri¸c˜ ao de φ a cada fibra ´e uma aplica¸c˜ ao linear injetiva e sua imagem ´e um subespa¸co de dimens˜ao r em CrN . Basta ent˜ ao definir f (x) = φ(π −1 (x)). Observa¸ c˜ ao 13.1. O resultado acima vale tamb´em para variedades n˜ ao compactas e, de fato, o inteiro N depende apenas da dimens˜ao da variedade. Para provar isso tomamos uma cobertura da variedade por abertos contrateis. Usando um resultado da teoria de dimens˜ ao, [?] teorema V1 da pagina 54, essa cobertura pode ser refinada por uma cobertura tal que cada ponto pertence a no maximo m + 1 elementos da nova cobertura. Usando essa novaa cobertura podemos decompor a variedade M como a uni˜ ao de m + 1 abertos Xi tais que cada um ´e a uni˜ ao disjunta de elementos da segunda cobertura, veja prova da proposi¸c˜ ao 4.1 da p´ agina 97 de [?]. Logo todo fibrado sobre M ´e trivial sobre cada Xi . Vamos agora considerar fibrados vetoriais reais orientados π : E → M . Usando uma parti¸c˜ ao da unidade podemos tamb´em construir um

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429

[SEC. 13.2: O LAPLACIANO DE HODGE

produto interno em cada fibra que varia diferenciavelmente com a fibra e considerar o correspondente fibrado dos referenciais ortonormais positivos. Este ´e um fibrado principal com grupo SO(r) se a fibra tem dimens˜ ao r. Como anteriormente podemos construir polinˆ omios invariantes   X 1 det λI − A = pk (A, . . . , A)λn−k . 2π k

Como as matrizes A ∈ so(r) s˜ ao antisim´etricas, temos que os polinˆ omios pk (A, . . . , A) se anulam se k ´e ´ımpar. Portanto, pelo homomorfismo de Chern-Weil, temos as Pk (E) := p2k (E) ∈ H 4k (M ) que s˜ ao as chamadas as classes de Pontryagin do fibrado. Quando a dimens˜ ao da fibra ´e par, r = 2k, podemos construir um outro polinˆ omio invariante al´em dos mencionados acima que ´e chamado polinˆ omio Pfaffiano de grau k. Esse polinˆ omio ´e definido por Pf(A) =

1 22k π k k!

X

(−1)τ aτ (1),τ (2) aτ (3),τ (4) . . . aτ (2k−1),τ (2k) .

τ

Um c´ alculo direto mostra que se U ´e uma matriz inversivel, ent˜ ao Pf(U AU −1 ) = det(U )Pf(A). Logo, para A ∈ so(2k) e U ∈ SO(2k) o polinˆ omio ´e invariante e define uma classe caracter´ıstica Pf(E) ∈ H 2k (M ). No caso em que o fibrado ´e o fibrado tangente de uma variedade compacta orientada de dimens˜ ao par = 2k, Chern mostrou que a classe Pfaffiana ´e um m´ ultiplo da classe de Euler que depende apenas da dimens˜ao e, portanto, provou o famoso teorema de Chern-Gauss-Bonet: Z Pf(T M ) = χ(M ). M

13.2

O Laplaciano de Hodge

Defini¸ c˜ ao 13.4. Seja π : E → M um fibrado vetorial sobre uma variedade compacta M . Um operador diferencial de ordem ≤ r ´e

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430

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

uma aplica¸c˜ ao linear cont´ınua D : Γ(M, E) → Γ(M, E) no espa¸co vetorial das se¸c˜ oes de classe C ∞ de E munido da topologia C ∞ , tal que se s1 , s2 s˜ ao duas se¸c˜ oes com os mesmos jatos de ordem r no ponto x, ent˜ ao D(s1 )(x) = D(s2 )(x). Se D n˜ ao ´e de ordem ≤ r − 1, dizemos que D ´e de ordem r. Para uma variedade Riemanniana orientada M , vamos definir agora um operador de segunda ordem em Ωk (M ) = Γ(M, Λk T M ∗ ). Lembramos que uma m´etrica Riemanniana x ∈ M 7→< ·, · >x : T Mx × T Mx → R estabelece um isomorfismo entre T Mx e o seu dual T Mx∗ , e portanto induz um produto interno em T Mx , para cada x ∈ M . Esse produto interno induz um produto interno nos espa¸cos vetoriais Λk (T Mx∗ ) definido da seguinte maneira: dada uma base ortonormal λ1 , . . . , λm de T Mx∗ , declaramos a base λi1 ∧· · ·∧λir , 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ m, como uma base ortonormal de Λr (T Mx∗ ). Em particular, se λ1 , . . . , λm ´e uma base ortonormal dual de uma base positiva de T Mx , ent˜ ao o elemento de volume vol = λ1 ∧ · · · ∧ λn define um isomorfismo entre Λm (T M ∗ ) e R. Combinado com esse isomorfismo, o produto exterior estabelece um isomorfismo ∗ : Λk (T Mx∗ ) → Λm−k (T Mx∗ ) determinado pela equa¸c˜ ao ω ∧ ∗η =< ω, η > vol. Temos portanto uma aplica¸c˜ ao linear ∗ : Ωr (M ) → Ωm−k (M )

induzida pela aplica¸c˜ ao linear correspondente a cada x ∈ M . Cha´ f´ mamos o operador de estrela de Hodge. E acil ver que se λ1 , . . . , λm ´e uma base ortonormal positiva em T Mx∗ , ent˜ ao ∗(λi1 ∧ · · · ∧ λir ) = λj1 ∧ · · · ∧ λjm−r

tal que 1 ≤ j1 < · · · < jm−r ≤ m e i1 , . . . , ik , j1 , . . . , jm−r ´e uma permuta¸c˜ ao positiva de 1, . . . , m, mostrando em particular que o operador n˜ ao depende da base ortonormal escolhida. Dessa propriedade segue tamb´em que ∗k ◦ ∗m−k = (−1)k(m−k) . Combinando o operador estrela com a diferencial exterior, podemos definir o codiferencial, o qual veremos que faz um papel de

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431

[SEC. 13.2: O LAPLACIANO DE HODGE

adjunto da derivada exterior. Definimos δ:

Ωk (M ) η

−→ Ωk−1 (M ) 7−→ −(−1)m(k+1) ∗ d ∗ η.

E finalmente, combinando a diferencial exterior com o codiferencial, podemos definir o operador laplaciano de formas como ∆ : Ωk (M ) η

−→ 7−→

Ωk (M ) dδη + δdη.

O operador estrela induz um produto interno no espa¸co de formas diferenciais da seguinte maneira: para η, θ ∈ Ωkc (M ), colocamos Z Z (η, θ) = < η(x), θ(x) > vol = η ∧ ∗θ. M

M

Proposi¸ c˜ ao 13.17. Dados η, η˜ ∈ Ωkc (M ) e θ ∈ Ωk+1 (M ), valem c 1. (dη, θ) = (η, δθ); 2. (∆η, η˜) = (η, ∆˜ η ). Demonstra¸ c˜ ao. Temos que η ∧ ∗δθ

= = =

−(−1)m(k+2) η ∧ ∗ ∗ (d ∗ θ)

−(−1)mk η ∧ (−1)k(m−k) d ∗ θ −(−1)k η ∧ d ∗ θ,

da´ı d(η ∧ ∗θ) = dη ∧ ∗θ + (−1)k η ∧ d ∗ θ = dη ∧ ∗θ − η ∧ ∗δθ e finalmente, pelo Teorema de Stokes Z 0= d(η ∧ ∗θ) = (dη, θ) − (η, δθ). M

A segunda parte segue imediatamente da primeira. Defini¸ c˜ ao 13.5. Uma k-forma η em M ´e harmˆ onica se ∆(η) = 0.

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432

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Corol´ ario 13.18. Uma forma η ∈ Ωk (M ) ´e harmˆ onica se, e somente se, dη = 0 e δη = 0. Demonstra¸ c˜ ao. Da defini¸c˜ ao de ∆, a condi¸c˜ ao ´e evidentemente suficiente. Reciprocamente, se ∆(η) = 0 temos 0

= =

(∆η, η) (dδη, η) + (δdη, η)

=

(δη, δη) + (dη, dη)

=

kδηk2 + kdηk2 .

Assim dη = 0 e δη = 0. Seja Hk o espa¸co vetorial das k formas harmˆ onicas. Como δ ´e o adjunto formal de d, temos imediatamente que os espa¸cos vetoriais Hk , d(Ωk−1 (M )) e δ(Ωk+1 (M )) s˜ ao dois a dois ortogonais e que a imagem de δ ´e ortogonal ao n´ ucleo de d. Podemos ent˜ ao enunciar o teorema Teorema 13.19. (Teorema de Hodge) Vale uma decomposi¸c˜ ao Ωk (M ) = Hk (M ) ⊕ d(Ωk−1 (M )) ⊕ δ(Ωk+1 (M )) e cada classe de cohomologia de de Rham cont´em uma e somente uma forma harmˆ onica. A prova desse teorema involve argumentos de an´ alise funcional e pode ser encontrada em [T]. Usando o teorema de Hodge podemos dar uma nova prova da dualidade de Poincar´e para variedades compactas orientadas. De fato, se ω ´e uma k-forma harmˆ onica, ent˜ ao ∗ω ´e uma (m − k)-forma harmˆ onica. O operador estrela estabelece um isomorfismo entre Hk (M ) e Hm−k (M ) e, pelo teorema de Hodge, um m−k k isomorfismo entre HdR (M ) e HdR (M ).

13.3

A equa¸ c˜ ao de Yang-Mills

Como no caso de formas diferenciais usuais, uma m´etrica Riemanniana em M define um isomorfismo entre os fibrados Λk (M ) ⊗ E → M

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433

˜ DE YANG-MILLS [SEC. 13.3: A EQUAC ¸ AO

P e Λm−k ⊗ E → M que a cada P elemento i αi ⊗ vi da fibra sobre o ponto x associa o elemento i (∗αi ) ⊗ vi da fibra do segundo fibrado sobre o ponto x. Temos portanto um isomorfismo linear
∗k : Γ Λk (M ) ⊗ E → Γ(Λm−k (M ) ⊗ E) que, como antes, satisfaz

∗m−k ◦ ∗k = (−1)k(m−k) . Como vimos no Cap´ıtulo 7, se o fibrado vetorial E → M ´e associado ao fibrado principal P → M e a uma representa¸c˜ ao ρ do grupo de Lie G no grupo dos automorfismos lineares da fibra V e se a fibra V possui um produto interno que ´e preservado por todos os elementos ρ(g), ent˜ ao cada fibra do fibrado possui um produto interno que varia diferenciavelmente com o ponto da base. Esse produto interno nas fibras define um morfismo de fibrados vetoriais entre E ⊗ E e M × R que leva v ⊗ w na fibra sobre x no n´ umero real < v, w >x . Compondo o produto exterior de formas com esse morfismo obtemos uma aplica¸c˜ ao bilinear ∧ : Γ(Λk (M ) ⊗ E) × Γ(Λl (M ) ⊗ E) → Ωk+l (M ). P P Localmente, se α = I αI dxI e β = J dxJ temos que X (α ∧ β)(x) = < αI (x), βJ (x) >x dxI ∧ dxJ . I,J

Exerc´ıcio 13.3. Mostre que se α ´e uma k-forma e β ´e uma l forma ent˜ ao β ∧ α = (−1)kl α ∧ β e d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)k α ∧ (dβ). Proposi¸ c˜ ao 13.20. Para α, β ∈ Γ(Λk (M ) ⊗ E), o pareamento definido por Z (α, β) := α ∧ ∗β M

´e um produto interno.

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434

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Demonstra¸ c˜ ao. Se p ´e a dimens˜ ao da fibra V do fibrado e U ´e um aberto de M no qual existam p se¸c˜ oes σ1 , . . . , σj : U → π −1 (U ) tais que em cada x ∈ U formam base ortonormal de Ex e m campos de vetores X1 , . . . , Xm que em cada x ∈ U formam uma base ortonormal positiva dePT Mx , ent˜ ao a aplica¸c˜ ao U × Rp → π −1 (U ) p definida por (x, v) 7→ i=1 vi σi (x) ´e uma trivializa¸c˜ ao local. Sejam λ1 , . . . , λm : U → T ∗ M a base dual. Nessa trivializa¸c˜ ao, a forma ω ´e dada por X ω= ωI λI I

onde I = (i1 , . . . , ik ), com 0 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m ´e um multi-´ındice e λI = dλi1 ∧ · · · ∧Pdλik e ωI : U → Rp s˜ ao aplica¸c˜ oes C ∞ . Da mesma forma η = η λ . Se ∗I ´ e o multi-´ ındice (j 1 , . . . , jm−k ) I I I com 0 ≤ j1 < · · · < jm−k ≤ m tal que i1 , . . . , ik , j1 , . . . , jm−k ´e uma permuta¸c˜ ao par de 1, 2, . . . , m, ent˜ ao X ∗η = ηI λ∗I . I

Logo, ω ∧ ∗η(x) =

X I

< ωI (x), ηI (x) >x λ1 ∧ · · · ∧ λm

pois λI ∧ λJ = 0 se J 6= ∗I e λI ∧ λ∗I = λ1 ∧ · · · ∧ λm . E assim (η ∧ ∗ω)(x) = (ω ∧ ∗η(x)) e (ω ∧ ∗ω)(x) ≥ 0. Consequentemente, a forma bilinear ´e sim´etrica e Z ω ∧ ∗ω = 0 ⇐⇒ ω(x) = 0 ∀x ∈ M. M

A seguir vamos particularizar a discuss˜ ao para o fibrado adjunto de um fibrado principal. Lembramos que se G ´e um grupo de Lie e g ∈ G, temos a conjuga¸c˜ ao Cg : G → G dada por Cg (h) = ghg −1 . Segue facilmente que Cgh = Cg ◦ Ch . Da´ı temos a representa¸c˜ ao adjunta de G, definida por Ad :

G g

−→ 7−→

Aut(g) (DCg )e .

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˜ DE YANG-MILLS [SEC. 13.3: A EQUAC ¸ AO

435

Se G ´e um grupo de matrizes, ent˜ ao sua ´ algebra de Lie ´e um espa¸co vetorial de matrizes e o colchete ´e o comutador: [A, B] = AB − BA. Nesse caso, pela linearidade da conjuga¸c˜ ao, a representa¸c˜ ao adjunta tamb´em ´e dada por conjuga¸c˜ ao: Ad(g)(A) = gAg −1 . A representa¸c˜ ao adjunta tamb´em respeita a estrutura de ´ algebra de Lie: Adg ([A, B]) = [Adg A, Adg B]. Portanto as fibras do fibrado adjunto Ad(P ) associado ao fibrado principal tem uma estrutura de ´ algebra de Lie tal que o colchete de duas se¸c˜ oes C ∞ ´e uma se¸c˜ ao C ∞ . Lembramos que associado a cada elemento A ∈ g temos o grupo a um parˆ ametro: t 7→ exp(tA). Para um grupo de matrizes, temos que ∞ X Aj . exp(A) = j! j=0 Dado um elemento B ∈ g, associamos um outro elemento d adA (B) = Adexp(tA) (B). dt t=0 Se G ´e um grupo de matrizes teremos Adexp(tA) (B)

= = =

(I + tA + O(t2 ))B(I − tA + O(t2 ))

B + t(AB − BA) + O(t2 ) B + t[A, B] + O(t2 )

e portanto adA (B) = [A, B]. A aplica¸c˜ ao adA : g → g ´e linear e satisfaz adA ([B, C]) = [adA (B), C] + [B, adA (C)], ad[A,B] = adA ◦ adB − adB ◦ adA = [adA , adB ]. Da primeira equa¸c˜ ao (regra de Leibniz) temos que ad ´e uma deriva¸c˜ ao da ´ algebra de Lie e da segunda temos que ad ´e um morfismo da algebra de Lie g na ´ ´ algebra de Lie dos endomorfismos de g.

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436

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Proposi¸ c˜ ao 13.21. Se ξ ∈ g seja adξ ∈ End(g) a aplica¸c˜ ao linear η 7→ [ξ, η]. Ent˜ ao a forma de Killing K:

g×g (A, B)

−→ 7−→

R T r(adA ◦ adB )

´e sim´etrica e invariante por Ad(g) para todo elemento g do grupo G. Al´em disso, cada homomorfismo adA ´e anti-sim´etrico com respeito ` a forma de Killing: K(adA (B), C) = −K(B, adA (C)). Demonstra¸ c˜ ao. A simetria da forma de Killing segue da simetria do tra¸co de transforma¸c˜ oes lineares: T r(AB) = T r(BA). Resta provar ´ f´ a invariˆ ancia. E acil ver que Adg ◦ adA ◦ Ad−1 g = adAdg (A) , logo K(Adg (A), Adg (B))

= = = = =

T r(adAdg (A) ◦ AdAdg (B) )

−1 T r Adg ◦ adA ◦ Ad−1 g ◦ Adg ◦ adB ◦ Adg

T r(Adg ◦ adA ◦ adB ◦ Ad−1 g ) T r(adA ◦ adB )




K(A, B).

Para provar que adC ´e anti-sim´etrica basta tomar g = exp(tC) na f´ ormula anterior: K(Adexp(tC) (A), Adexp(tC) (B)) = K(A, B) e derivar em t = 0, obtendo K(adC (A), B) + K(A, adC (B)) = 0, o que conclui a prova. Por um teorema de E. Cartan, uma ´ algebra de Lie ´e semi-simples se, e somente se, sua forma de Killing ´e n˜ ao degenerada e, nesse caso, se o grupo ´e compacto, ent˜ ao a forma de Killing ´e negativa definida. Esse u ´ltimo fato pode ser obtido observando que se o grupo ´e

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437

˜ DE YANG-MILLS [SEC. 13.3: A EQUAC ¸ AO

compacto podemos construir um produto interno invariante em sua algebra de Lie partindo de um produto interno qualquer e tomando ´ a m´edia no grupo dos produtos internos pull-back do produto inicial pelas aplica¸c˜ oes Adg . Como as aplica¸c˜ oes Adg preservam esse produto interno, as aplica¸c˜ oes adA s˜ ao anti-sim´etricas com rela¸c˜ ao a esse produto interno. Logo a transposta de adA ´e −adA e K(A, A) = T r(adA ◦ adA ) = −T r(adtA ◦ adA ). Por outro lado, anti-sim´etrica B = (bij ) temos que P para P uma matriz P P T r(B t B) = i j (btij bji = i j −b2ji ≤ 0. Portanto −K define um produto interno na ´ algebra de Lie invariante pela a¸c˜ ao adjunta, e portanto uma m´etrica no fibrado adjunto. Combinando essa m´etrica nas fibras com uma m´etrica Riemanniana na base, que define o operador estrela de Hodge, temos um produto interno no espa¸co vetorial das k-formas na base com valores no fibrado adjunto Ad(P ). Como vimos, esse espa¸co vetorial se identifica com o espa¸co vetorial das k-formas em P com valores em g que s˜ ao equivariantes e horizontais com respeito a uma conex˜ ao ω. Nesse espa¸cos podemos considerar a derivada exterior covariante dω : Γ(Λk (M ) ⊗ Ad(P )) → Γ(Λk+1 (M ) ⊗ Ad(P )). Proposi¸ c˜ ao 13.22. Se α ´e uma k-forma em P com valores na ´ algebra de Lie g que ´e horizontal e equivariante, ent˜ ao dω α = dα + [ω, α] − (−1)k [α, ω]. Teorema 13.23. Seja π : P → M um G-fibrado principal sobre uma variedade compacta orientada com G compacto e semisimples. Seja ∧ : Γ(Λk (M ) ⊗ Ad(P )) × Γ(Λl (M ) ⊗ Ad(P )) → Ωk+l (M ) a aplica¸c˜ ao bilinear associada ao produto exterior e ` a m´etrica do fibrado e (·, ·) : Γ(λk (M ) ⊗ Ad(P )) × Γ(λk (M ) ⊗ Ad(P )) → R o produto interno (µ, ν) =

Z

M

µ ∧ ∗ν.

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438

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

Se α ´e uma (k − 1)-forma e β ´e uma k-forma, ent˜ ao (dω α, β) = (α, ∗dω ∗ β). Demonstra¸ c˜ ao. Vamos mostrar que (dω α) ∧ ∗β − α ∧ (∗dω ∗ β) = d(α ∧ ∗β) e o teorema seguir´ a do Teorema de Stokes. Temos d(α ∧ ∗β)

= = =

dα ∧ ∗β + (−1)k−1 α ∧ d ∗ β

dα ∧ ∗β + (−1)k−1 (−1)(k−1)(m−k+1) α ∧ ∗ ∗ d ∗ β dα ∧ ∗β − (−1)m(k+1)+1 α ∧ ∗ ∗ d ∗ β.

Por outro lado, dω α

= =

dα + [ω, α] − (−1)k−1 [α, ω] dα + 2[ω, α]

e, da mesma forma, dω ∗ β = d ∗ β + 2[ω, ∗β]. Logo dω α ∧ ∗β − (−1)m(k−1)+1 α ∧ ∗ ∗ dω ∗ β = = d(α ∧ ∗β) + 2([ω, α]) ∧ ∗β − (−1)m(k−1)+1 α ∧ (∗ ∗ 2[ω, ∗β]). A soma da segunda e da terceira parcela, que devemos mostrar ser nula, ´e igual a 2

2[ω, α] ∧ ∗β = (−1)(k−1) 2[α ∧ [ω, ∗β]] pois [ω, ∗β] ´e uma (m − k + j)-forma e ∗∗ = (−1)(m−k+1)(k−1) nesse espa¸co de formas. Para mostrar que essa forma se anula, consideremos as express˜ oes locais das formas usando as 1-formas λ1 , . . . , λm duais de campos de vetores ortonormais que em cada ponto constituem uma base positiva do espa¸co tangente a M . Temos: X ω= ωj λj , j

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439

˜ DE YANG-MILLS [SEC. 13.3: A EQUAC ¸ AO

X

α=

α I λI

I

∗β =

X

β J λJ

J

onde λI = λi1 ∧ . . . λik−1 e λJ = λj1 ∧ · · · ∧ λjm−k Da´ı [ω, α] =

X j,I

e [ω, α] ∧ ∗β = −

X

j,I,J

[ωj , αI ]λj ∧ λI

K([ω, α], ∗β)λj ∧ λI ∧ λJ

onde K ´e a forma de Killing. Da mesma forma X α ∧ [ω, ∗β] = − K(αI , [ωj , βJ ])λI ∧ λj ∧ λJ . j,I,J

Assim, a forma acima se anula pois λI ∧ λj = (−1)k−1 λj ∧ λI e 2 (−1)k−1 = (−1)(k−1) e a forma de Killing tem a propriedade: K([A, B], C]) = K(B, [A, C]).

Defini¸ c˜ ao 13.6. Se π : P → M ´e um G-fibrado principal com G compacto e semisimples, a a¸c˜ ao de Yang-Mills associa a cada forma de conex˜ ao ω em P com curvatura Ω o n´ umero real Z AY M (ω) = (Ω, Ω) = Ω ∧ ∗Ω. M

Teorema 13.24. Os pontos cr´ıticos da a¸c˜ ao de Yang-Mills s˜ ao as conex˜ oes que satisfazem as equa¸c˜ oes: dω (Ω) = 0 e dω (∗Ω) = 0. Demonstra¸ c˜ ao. A primeira equa¸c˜ ao ´e de fato uma identidade chamada identidade de Bianchi, v´ alida para toda conex˜ ao. A equa¸c˜ ao de Yang-Mills se reduz portanto ` a segunda equa¸c˜ ao. Trata-se de uma

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´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

equa¸c˜ ao a derivadas parciais de segunda ordem que, no caso de grupo ser n˜ ao abeliano, ´e n˜ ao linear devido ` a segunda parcela do segundo membro da equa¸c˜ ao de Cartan. Uma varia¸c˜ ao da conex˜ ao ω ´e uma fam´ılia ω + tσ de conex˜ oes, onde, como vimos, σ ´e uma 1-forma equivariante e horizontal, isto ´e, uma 1-forma no fibrado adjunto Ad(P ). Seja Ωt a curvatura da conex˜ ao ω + tσ. Temos ent˜ ao que 1 Ωt = d(ω + tσ) + [ω + tσ, ω + tσ] = Ω + t(dσ + [ω, σ]) + O(t2 ). 2 Logo AY M (ω + tσ)

= =

(Ω + tdω σ + O(t2 ), Ω + tdω σ + O(t2 )) AY M (ω) + 2t(dω σ, Ω) + O(t2 )

= AY M (ω) + 2t(σ, ∗dω ∗ Ω) + O(t2 ). d Logo dt A (ω + tσ) = 0 para todo σ se, e somente se, t=0 Y M ∗dω ∗ Ω = 0 ⇒ dω ∗ Ω = 0

que ´e a equa¸c˜ ao de Euler-Lagrange da a¸c˜ ao de Yang-Mills. O fibrado ad(P ) → M associado ao fibrado principal P e a representa¸c˜ ao por conjuga¸c˜ ao do grupo nos automorfismos do grupo ´e tamb´em um fibrado com fibra G e as fibras tˆem tamb´em uma estrutura de grupo. O espa¸co das se¸c˜ oes desse fibrado, denotado por G, ´e tamb´em um grupo, chamado grupo das transforma¸c˜ oes de Gauge. Um elemento γ do grupo G ´e uma fam´ılia γi : Ui → G tal que γj = ad(δij ) ◦ γi em Ui ∩ Uj . O automorfismo γ bi : Ui × G → Ui × G,b γi (x, h) = (x, γi (x)h), −1 comuta com Φ−1 γi ◦Φ−1 = Φj ◦b γj ◦Φ−1 (Ui ∩Uj ). i ◦Rg ◦Φi e Φi ◦b i j em π Logo define um automorfismo de P que denotaremos tamb´em por γ, que comuta com Rg para todo g ∈ G. Portanto se z 7→ Hz ´e uma conex˜ ao em P , ent˜ ao γHz = Dγ(γ −1 )(z)(Hγ −1 (z) ) ´e tamb´em uma conex˜ ao pois γ comuta com Rg . Proposi¸ c˜ ao 13.25. A a¸c˜ ao de Yang-Mills ´e invariante pela a¸c˜ ao do grupo de transforma¸c˜ oes de Gauge no espa¸co das conex˜ oes em π : P → M.

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441

˜ DE YANG-MILLS [SEC. 13.3: A EQUAC ¸ AO

Demonstra¸ c˜ ao. Como γ ∗ [ω, η] = [γ ∗ ω, γ ∗ η] para todas 1-formas ω e η, temos, pela f´ ormula de Cartan, que a curvatura da conex˜ ao γ ∗ ω ´e a ∗ ∗˜ ˜ ˜i = γ ˜ 2-forma γ Ω onde Ω ´e a curvatura de ω. Sejam Fi = si Ω e Ω bi∗ Ω onde γ˜i : Ui × G → Ui × G ´e o automorfismo (x, h) 7→ (x, γi (x)h) e Ωi ´e o pull-back de Ω pela trivializa¸c˜ ao local. Logo, ˜ i (x, h)((v, 0), (w, 0)) Ω

=

Ωi (x, γi (x)h)((v, Dγi (x)v), (w, Dγi (x)w)

=

Ω(x, γi (x)h)((v, 0), (w, 0))

pois Ω ´e uma forma horizontal. Logo F˜i (x)(v, w)

=

˜ i (x, id)((v, 0), (w, 0)) Ω

= =

Ωi (x, γi (x))((v, 0), (w, 0)) Ad(γi (x))Ωi (x, id)((v, 0), (w, 0))

=

Ad(γi (x))Fi (x)(v, w).

Sejam l1 , . . . , lm 1-formas em Ui tais que em cada x ∈ Ui formam uma base ortonormal positiva de T Mx∗ . Ent˜ ao X Fi (x) = Fi,I (x)lI I

com I = (i1 , i2 ), 0 ≤ ii < i2 ≤ m, e lI = li1 ∧ li2 . Considere como antes ∗I = (j1 , . . . , jm−2 ) tal que 0 ≤ j1 < · · · < jm−2 ≤ m e li1 , li2 , lj1 , . . . , ljm−2 seja uma base positiva de T Mx∗ . Ent˜ ao lI ∧lJ = 0 se J 6= ∗I e lI ∧ l∗I = l1 ∧ · · · ∧ lm . Portanto, X Fi (x) ∧ ∗Fi (x) = (Fi,I (x) ⊗ Fi,∗I (x))l1 ∧ · · · ∧ lm . I

Da mesma forma, F˜i (x) ∧ ∗F˜i (x) =

X I

(F˜i,I (x) ⊗ F˜i,∗I (x))l1 ∧ · · · ∧ lm .

O funcional T r : g ⊗ g → R foi definido usando o produto interno em g dado pela forma de Killing, que estabelece um isomorfismo entre g ⊗ g e g ⊗ g∗ que por sua vez ´e isomorfo a L(g, g), onde est´ a definido o tra¸co de operadores. Temos ent˜ ao que se a ⊗ b ∈ g ⊗ g,

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442

´ [CAP. 13: ANALISE E GEOMETRIA EM VARIEDADES

ent˜ ao T r(a ⊗ b) ´e simplesmente o produto interno < a, b > como pode ser facilmente verificado. Por outro lado, esse produto interno ´e invariante por Ad(g) para todo g ∈ G. Logo, X T r(F˜i (x) ∧ ∗F˜ i (x)) = < F˜i,I , F˜i,I > l1 ∧ · · · ∧ lm I

=

X I

=

X I

=

< Ad(γi (x))Fi,I (x), γi (x)Fi,I (x) > l1 ∧ · · · ∧ lm

< Fi,I (x), Fi,I (x) > l1 ∧ · · · ∧ lm

T r(Fi (x) ∧ ∗Fi (x)).

Portanto ∗

AY M T r(γ ω) =

Z

M

˜ ∧ ∗Ω ˜= Ω

Z

M

T r(Ω ∧ ∗Ω) = AY M (ω).

Como vimos, a equa¸c˜ ao de Yang-Mills ´e uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais de segunda ordem n˜ ao linear (exceto quando o grupo ´e abeliano). Se a variedade M tem dimens˜ao quatro, existe uma classe importante de solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao de Yang-Mills, chamadas de instantons, que s˜ ao de fato solu¸cˆ oes da equa¸c˜ ao de primeira ordem abaixo: ∗Ω = Ω. A identidade de Bianchi implica que as conex˜ oes que satisfazem essa simetria s˜ ao automaticamente solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao de Yang-Mills. O espa¸co dos instantons ´e evidentemente invariante pela a¸c˜ ao do grupo de Gauge e o espa¸co das ´ orbitas desempenha um papel fundamental na topologia das variedades compactas de dimens˜ao 4 via os trabalhos de Donaldson []. Em F´ısica de Part´ıculas, o espa¸co base M ´e o espa¸co tempo de dimens˜ ao 4 munido de uma m´etrica de Lorentz com a qual podemos tamb´em definir um operador ∗ com as mesmas propriedades. Os campos de for¸cas s˜ ao representados por conex˜ oes nos fibrados principais sobre o espa¸co tempo com os grupos de simetria da f´ısica que s˜ ao

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˜ DE YANG-MILLS [SEC. 13.3: A EQUAC ¸ AO

443

S 1 , correspondente ao eletromagnetismo, SU (2), correspondente ` as chamadas for¸cas fracas, e SU (3), correspondentes ` as for¸cas fortes. Os campos de part´ıculas s˜ ao representados por se¸c˜ oes de fibrados vetoriais associados aos fibrados principais. A intera¸c˜ ao de um campo de for¸cas com um campo de part´ıculas ´e via a derivada covariante associada ` a conex˜ ao, que permite definir a energia cin´etica da part´ıcula. A f´ısica das part´ıculas ´e representada por uma a¸c˜ ao que envolve os v´ arios campos e a a¸c˜ ao de Yang-Mills ´e uma das parcelas desta a¸c˜ ao. Os campos f´ısicos s˜ ao os pontos cr´ıticos desta a¸c˜ ao. No caso do grupo S 1 , a equa¸c˜ ao de Yang-Mills coincide com as equa¸c˜ oes de Maxwell do eletromagnetismo.

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Apˆ endice A

Teorema do Coeficiente Universal

Defini¸ c˜ ao A.1. Seja H um grupo abeliano. Uma resolu¸c˜ ao livre de H ´e uma sequˆencia exata → F 2 → F1 → F 0 → H → 0 com os Fi ’s sendo grupos abelianos livres. Exemplo A.1. Seja F0 o grupo abeliano livre gerado por um conjunto de geradores de H e F1 o n´ ucleo do homomorfismo F0 → H que leva cada gerador de F0 no correspondente gerador de H. Como todo subgrupo de um grupo abeliano livre ´e um grupo abeliano livre, temos a resolu¸c˜ ao livre 0 → F 1 → F0 → H → 0 Exemplo A.2. Sejam . . . Ck+1

∂k+1

∂k

/ Ck

/ Ck−1

∂k−1

/ ...

um complexo de cadeias, Zk = Ker ∂k e Bk = Im ∂k+1 . Como Ck−1 ´e livre, segue que Bk−1 tamb´em ´e livre. Temos portanto uma resolu¸c˜ ao livre / Zk / Ck ∂k / Bk−1 /0 0 Se H ´e um grupo abeliano e A ´e um anel, ent˜ ao H ⊗ A e Hom(H, A) tem estruturas naturais de A-m´ odulos. Se . . . F2

f2

/ F1

f1

/ F0

f0

/H

/0

444

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445 ´e uma resolu¸c˜ ao livre, ent˜ ao / F2 ⊗ A

...

f2 ⊗id

/ F1 ⊗ A

f1 ⊗id

/ F0 ⊗ A

/0

´e um complexo de cadeias e 0

f1T

/ Hom(F0 , A)

f2T

/ Hom(F1 , A)

/ Hom(F2 , A)

/ ...

´e um complexo de cocadeias. Proposi¸ c˜ ao A.1. Os grupos Tor(H, A) = e

Ker(f1 ⊗ id) Im(f2 ⊗ id)

Ext(H, A) =

Ker(f2T ) Im(f1T )

n˜ ao dependem da resolu¸c˜ ao livre F . Demonstra¸ c˜ ao. Vamos provar inicialmente a seguinte afirma¸c˜ ao: Se / F2 f2 / F1 f1 / F0 f0 / H, ... / F2′

...

f2′

/ F1′

f1′

/ F0′

f0′

/ H′

s˜ ao resolu¸c˜ oes livres e g : H → H ′ ´e um homomorfismo, ent˜ ao existem homomorfismos g ′ : Fi → Fi′ que tornam o diagrama abaixo comutativo: / F2 f 2 / F1 f 1 / F0 f 0 / H /0 ... g2

...

 / F2′

g1 f2′

 / F1′

g0 f1′

 / F0′

g f0′

 / H′

/0

Al´em disso, se gi′ : Fi → Fi′ ´e outra fam´ılia de homomorfismos com a ′ mesma propriedade, existem homomorfismos hi : Fi → Fi+1 e ′ h−1 : H → F0 tais que ′ gi − gi′ = hi−1 ◦ fi + fi+1 ◦ hi .

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446

[CAP. A: TEOREMA DO COEFICIENTE UNIVERSAL

De fato, como os grupos s˜ ao livres basta definir gi nos geradores. Come¸camos por g0 . Seja x um gerador de F0 . Como f0′ ´e sobrejetivo, existe y ∈ F0′ tal que f0′ (y) = g◦f0 (x) e da´ı defina g0 (x) = y. Supondo por indu¸c˜ ao que j´ a constru´ımos gi−1 vamos construir gi . Seja x um gerador de Fi . Temos que fi (x) est´ a no n´ ucleo de fi−1 . Logo , ′ pela comutatividade do diagrama, gi−1 (fi (x)) est´ a no n´ ucleo de fi−1 . Portanto existe y ∈ Fi′ tal que fi′ (y) = gi−1 (fi (x)). Definimos ent˜ ao gi (x) = y, o qual se estende a um homomorfismo gi : Fi → Fi′ tal que gi−1 ◦ fi = fi′ ◦ gi . Construimos os homomorfismos hi : Fi → Fi+1 de maneira an´ aloga. Para definir h−1 em um gerador x ∈ H tomamos y ∈ F0′ tal que f0′ (y) = g(x) e definimos h−1 (x) = y. Suponhamos, por indu¸c˜ ao, que ja constru´ımos os homomorfismos hj para j ≤ i − 1. Seja x ∈ Fi um gerador. Temos que fi′ (gi (x) − gi′ (x)) = gi−1 (fi (x)) − gi−1 (fi (x)) e gi−1 (fi (x))−gi−1 (fi (x)) = fi′ hi−1 fi (x)+hi−2 ◦fi−1 ◦fi (x) = fi′ hi−1 fi (x). ′ Logo fi′ (gi (x) − gi′ (x) − hi−1 fi (x)) = 0 e, portanto, existe y ∈ Fi+1 tal que ′ fi+1 (y) = gi (x) − gi′ (x) − hi−1 fi (x).

′ Colocando hi (x) = y, constru´ımos um homomorfismo hi : Fi → Fi+1 satisfazendo gi − gi′ = fi+1 ◦ hi − hi−1 ◦ fi ,

o que conclui a prova da afirma¸c˜ ao. As aplica¸c˜ oes hTi e hi ⊗ id s˜ ao portanto homotopias alg´ebricas e as ′ aplica¸c˜ oes giT e giT (resp. gi ⊗ id e gi′ ⊗ id) induzem os mesmos homomorfismoss em cohomologia (resp. homologia). Em particular, se H = H ′ e g = id temos que existem um isomorfismos canˆ onicos entre os grupos de homologia (resp. cohomologia) dos dois complexos. Observa¸ c˜ ao A.1. Como todo grupo abeliano livre H tem uma resolu¸c˜ ao livre . . . 0 → 0 → F˜2 → F˜1 → H → 0,

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447 temos que para qualquer resolu¸c˜ ao livre F os grupos de homologia (resp. cohomologia) do complexo F ⊗ A (resp. Hom(F, A)) em dimens˜ ao k se anulam para todo k ≥ 2. Lema A.2. Se

g1

g2

G 1 → G2 → G3 → 0 ´e uma sequˆencia exata de grupos abelianos e A ´e um anel com unidade, ent˜ ao a sequˆencia G1 ⊗ A

g1 ⊗id

/ G2 ⊗ A

g2 ⊗id

/ G3

/0

tamb´em ´e exata. Demonstra¸ c˜ ao. Como g2 ´e sobrejetivo temos que tamb´em g2 ⊗ id ´ claro tamb´em que a composta de duas quaisquer das tamb´em ´e. E trˆes aplica¸c˜ oes se anula. Como a sequˆencia G1

g1

/ G2

g2

/ G3

/0

G2 ´e exata em G2 , existe um isomorfismo g˜2 : Im g1 → G3 tal que sua G2 composi¸c˜ ao com a aplica¸c˜ ao quociente G2 → Im g1 → G3 seja a g2 . g ˜2 ⊗id

G2 Logo a aplica¸c˜ ao Im e um isomorfismo. Tamb´em g 1 ⊗ A → G3 ⊗ A ´ a aplica¸c˜ ao   G2 G2 ⊗ A ⊗A→ Im g1 Im (g1 ⊗ id)

que associa [x] ⊗ a a classe de equivalˆencia [x ⊗ a] est´ a bem definida e ´e um isomorfismo. Portanto a composta do isomorfismo   G2 ⊗ A G2 → ⊗A Im (g1 ⊗ id) Im g1   G2 com o isomorfismo Im e um isomorfismo cuja g1 ⊗ A → G2 ⊗ A ´

2 ⊗A composi¸c˜ ao com a aplica¸c˜ ao quociente G2 ⊕ A → ImG(g ´e igual 1 ⊗id) a g2 ⊗ id. Logo o n´ ucleo de g2 ⊗ id ´e igual ` a imagem de g1 ⊗ id e a sequˆencia ´e exata tamb´em em G2 ⊗ A.

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448

[CAP. A: TEOREMA DO COEFICIENTE UNIVERSAL

Teorema A.3. Seja C o complexo de grupos abelianos livres · · · → Ck+1 → Ck → Ck−1 → . . . e A um anel com unidade. Ent˜ ao a sequˆencia: α

0 → Hk (C) ⊗ A → Hk (C, A) → Tor(Hk−1 (C), A) → 0 ´e exata e separ´ avel, onde α ´e o homomorfismo α([c] ⊗ a) = [c ⊗ a]. Demonstra¸ c˜ ao. A sequˆencia exata 0

in

/ Bn

/ Zn

πn

/ Hn

/0

´e uma resolu¸c˜ ao livre de Hn . O complexo de cadeias / Bn ⊗ A

0

in ⊗id

/ Zn ⊗ A

πn ⊗id

/ Hn ⊗ A

/0

tem homologia zero em Zn ⊗ A e em Hn ⊗ A e sua homologia em Bn ´e Ker(in ⊗ id) que, por defini¸c˜ ao, coincide com Tor(Hn , A). Logo temos uma sequˆencia exata / Tor(Hn , A)

0

/ Bn ⊗ A

in ⊗id

/ Zn ⊗ A .

Como Bn−1 ´e um subgrupo do grupo abeliano livre Cn−1 , ele ´e tamb´em um grupo livre. Logo existe um morfismo s′n : Bn−1 → Cn tal que ∂n ◦ s′n ´e a identidade de Bn−1 . Assim, a sequˆencia 0

/ Zn

jn

/ Cn

∂

/ Bn−1

/0

´e exata e separ´ avel e existe um homomorfismo sn : Cn → Zn tal que sn ◦ in ´e a identidade de Zn . Logo a sequˆencia 0

/ Zn ⊗ A

jn ⊗id

/ Cn ⊗ A

∂⊗id

/ Bn−1 ⊗ A

/0

´e tamb´em exata e separ´ avel com homomorfismo separador sn ⊗ id. Temos portanto o diagrama comutativo abaixo, onde as linhas s˜ ao exatas bem como as colunas laterais. A coluna do meio ´e um complexo de cadeias cuja homologia no n´ıvel do meio ´e Hk (C, A).

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449

0 0o

Bk ⊕ A o

Ck+1 ⊕ A

0

 / Zk ⊕ A m

 / Ck ⊕ A

 Hk ⊕ A

 Ck−1 ⊕ A o

 Tor(Hk−1 , A)  / Bk−1 ⊕ A

/0

 Zk−1 ⊕ A o

0

 0 Vamos definir o homomorfismo α. Seja x ∈ Hk ⊗ A. Ent˜ ao existe y ∈ Zk ⊗ A cuja imagem pelo homomorfismo vertical ´e x. Seja z ∈ Ck ⊗ A a imagem de y. A imagem de z pelo homomorfismo horizontal se anula pois coincide com a imagem de y pela composta de dois homomorfismos horizontais. Logo, pela comutatividade do diagrama, a imagem de z pelo homomorfismo vertical tamb´em se anula e assim z ´e um ciclo. Sua classe de homologia n˜ ao depende da escolha de y pois se y ′ ∈ Zk ⊗ A tamb´em se aplica em x ent˜ ao, como a sequˆencia vertical ´e exata, existe b ∈ Bk ⊗ A que se aplica em y − y ′ . Como a primeira linha horizontal ´e exata, existe b′ ∈ Ck+1 ⊗ A que se aplica em b. Se z ′ ∈ Ck ⊗ A ´e a imagem de y ′ ent˜ ao, pela comutatividade do diagrama, a imagem de b′ ´e igual a z − z ′ . Logo z ′ ´e hom´ ologo a z. Definimos ent˜ ao α(x) como a classe de homologia de z. Vamos provar que α ´e injetivo. De fato, se α(x) = [z] = 0, com z ∈ Ck ⊗ A imagem de y ∈ Zk ⊗ A que se aplica em x, ent˜ ao existe b ∈ Ck+1 ⊗ A que se aplica em z. Seja b′ ∈ Bk ⊗ A a imagem de b. Se y ′ ∈ Zk ⊗ A ´e a imagem de b′ ent˜ ao, pela comutatividade do diagrama, a imagem de y ′ pelo homomorfismo horizontal ´e z. Como o homomorfismo horizontal ´e injetivo temos que y ′ = y. Logo a imagem de y pelo homomorfismo vertical coincide com a imagem de b′ pela composta de dois homomorfismos verticais. Logo x = 0 e α ´e injetivo. Vamos agora definir o homomorfismo φ : Hk (C, A) → Tor(Hk−1 , A). Seja z ∈ Ck ⊗A um ciclo e y ∈ Bk−1 ⊗A sua imagem. Como a imagem

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450

[CAP. A: TEOREMA DO COEFICIENTE UNIVERSAL

de z pelo homomorfismo vertical se anula ent˜ ao, pela comutatividade do diagrama, a imagem de y pelo homomorfismo vertical tamb´em se anula pois sua imagem pelo homomorfismo horizontal se anula. Logo, como a sequˆencia vertical ´e exata, existe x ∈ Tor(Hk−1 , A) que se aplica em y. Se o ciclo z ´e um bordo, ent˜ ao existe b ∈ Ck+1 ⊗ A que se aplica em z. Seja b′ ∈ Bk ⊗ A sua imagem e z ′ ∈ Zk ⊗ A a imagem de b′ . Pela comutatividade do diagrama, a imagem de z ′ pelo homomorfismo horizontal coincide com z. Logo y, que ´e a imagem de z ′ pela composta de dois homomorfismos horizontais ´e igual a zero. Portanto x tamb´em ´e igual a zero. Isto mostra que x depende apenas da classe de homologia do ciclo z e podemos definir φ([z]) = x. Vamos mostrar que φ ´e sobrejetivo. Sejam x ∈ Tor(Hk−1 , A) e y ∈ Bk−1 ⊗ A sua imagem. Seja z ∈ Ck ⊗ A cuja imagem ´e y. A imagem de y pelo homomorfismo vertical ´e zero pois coincide com a imagem de x pela composta de dois homomorfismos verticais. Logo, pela comutatividade do diagrama, a imagem de z pelo homomorfismo vertical tamb´em se anula. Logo z ´e um ciclo cuja classe de homologia ´e levada em x. Seja z ∈ Ck ⊗ A um ciclo cuja classe de homologia est´ a no n´ ucleo de φ. Se y ∈ Bk−1 ⊗ A ´e a imagem de z ent˜ ao y ´e a imagem de 0 pelo homomorfismo vertical e, portanto, ´e igual a zero. Logo existe y ′ ∈ Zk ⊗ A cuja imagem ´e z. Se x ∈ Hk ⊗ A ´e a imagem de y ′ ent˜ ao α(x) ´e a classe de homologia de z. Logo o n´ ucleo de φ est´ a contido na imagem de α. Seja z ∈ Ck ⊗ A um ciclo cuja classe de homologia ´e α(x). Logo existe y ∈ Zk ⊗ A cuja imagem pelo homomorfismo vertical ´e x e que se aplica, pelo homomorfismo horizontal, em um ciclo z ′ hom´ ologo a z. Logo a imagem de z ′ pelo homomorfismo vertical se anula pois coincide com a imagem de y pela composta de dois homomorfismos horizontais. Logo φ([z ′ ]) = 0 e a imagem de α est´ a contida no n´ ucleo de φ. Portanto a sequˆencia ´e exata. Sejam z ∈ Ck ⊗ A um ciclo , y = (s ⊗ id)(z) e x ∈ Hk ⊗ A a imagem de y. Se o ciclo z ´e um bordo, existe b ∈ Ck+1 ⊗ A que se aplica em z. Seja b′ ∈ Bk ⊗ A a imagem de b. Pela comutatividade do diagrama e a injetividade do homomorfismo horizontal, temos que a imagem de b′ pelo homomorfismo vertical ´e igual a y. Logo x se anula pois ´e a imagem da composta de dois homomorfismos verticais. Portanto,

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451 dado um ciclo z, o elemento x construido depende apenas da classe de homologia de z. Temos assim um homomorfismo S : Hk (C, A) → Hk ⊗ A que, como ´e f´ acil verificar, ´e tal que S ◦ α ´e a identidade em Hk ⊗ A. Logo a sequˆencia ´e separ´ avel. Um teorema de estrutura para grupos abelianos livres finitamente gerados afirma que se H ´e um grupo abeliano finitamente gerado, ent˜ ao existem inteiros p, q1 , ..., qr tais que H∼ = Z p ⊕ Z q 1 ⊕ Z q 2 ⊕ · · · ⊕ Z qr e os qj s˜ ao potˆencias de certos n´ umeros primos. A proposi¸c˜ ao abaixo permite calcular Tor(H, A) desses grupos. Proposi¸ c˜ ao A.4. Valem as seguintes propriedades 1. Tor(H1 ⊕ H2 , A) = Tor(H1 , A) ⊕ Tor(H2 , A); 2. Se H ´e um grupo livre, ent˜ ao Tor(H, A) = 0; ×n 3. Tor(Zn , A) ∼ = Ker(A → A).

Demonstra¸ c˜ ao. O ´ıtem 1) segue do fato que a soma conexa de resolu¸c˜ oes livres ´e uma resolu¸c˜ ao livre da soma direta dos grupos. O ´ıtem 2) segue do fato que se H ´e um grupo livre, ent˜ ao 0→H→H→0 ´e uma resolu¸c˜ ao livre de H. Para provar 3) observamos que 0

/Z

⊗n

/Z

/ Zn

/0

´e uma resolu¸c˜ ao livre de Zn . Da comutatividade do diagrama abaixo segue o ´ıtem 3). 0

/ Z ⊗ A ×n⊗id/ Z ⊗ A = = ∼ ∼ ×n /A A

/ Zn ⊗ A  / A nA

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/0

452

[CAP. A: TEOREMA DO COEFICIENTE UNIVERSAL

Observa¸ c˜ ao A.2. Como a sequˆencia do teorema anterior ´e exata, para todo par de espa¸cos topol´ ogicos (X, Y ) temos um isomorfismo ∼ (Hk (X, Y ; Z) ⊗ A) ⊕ Tor(Hk−1 (X, Y ; Z)). Hk (X, Y ; A) =

´ f´ E acil ver que a sequˆencia exata ´e natural, isto ´e, uma aplica¸c˜ ao cont´ınua φ : (X, Y ) → (X ′ , Y ′ ) induz homomorfismos que tornam comutativo o diagrama abaixo. 0

/ Hk (X, Y ; Z) ⊗ A φ1

0

′



/ Tor(Hk−1 (X, Y ; Z), A)

/ Hk (X, Y ; A) φ2

′

/ Hk (X , Y ; Z) ⊗ A

′



/0

φ3



′

/ Tor(Hk−1 (X ′ , Y ′ ; Z), A)

/ Hk (X , Y ; A)

/0

No entanto a decomposi¸c˜ ao como soma direta n˜ ao ´e natural. Teorema A.5. Sejam C o complexo de grupos abelianos livres · · · → Ck+1 → Ck → Ck−1 → . . . e A um anel com unidade. Ent˜ ao a sequˆencia 0

/ Ext(Hn−1 (C), A)

/ H n (C; A)

β

/ Hom(Hn (C), A)

/0

´e exata e separ´ avel, onde β([f ])([c]) = f (c). ´ an´ Demonstra¸ c˜ ao. E aloga ` a demonstra¸c˜ ao do teorema anterior usando o diagrama comutativo abaixo. 0O 0

0o

/ Hom(Bp , A)

/ Hom(Cp+1 , A) O

Hom(Zp , A) o

O

, A) 0 Hom(C O p

Hom(Hp , A)

Hom(Cp−1 , A)

O

o

Ext(Hp−1 , A)

O

Hom(Bp−1 , A) o

O

/ Hom(Zp−1 , A)

0

/0

0

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453

Proposi¸ c˜ ao A.6. Valem as seguintes propriedades: 1. Ext(H ⊕ H ′ ; A) = Ext(H; A) ⊕ Ext(H ′ ; A); 2. Ext(H; A) = 0 se H ´e livre; 3. Ext(Zn ; A) ∼

A nA .

Demonstra¸ c˜ ao. A prova ´e an´ aloga ` a proposi¸c˜ ao relativa ao funtor Tor. Se A ´e um corpo de caracter´ıstica 0, como por exemplo Q, R ou C, ent˜ ao a aplica¸c˜ ao natural H n (X, Y ; A) → Hom(Hn (X, Y ; A), A) ´e um isomorfismo. Isso segue do fato que uma sequˆencia exata curta de espa¸cos vetoriais ´e sempre separ´ avel, pois todo espa¸co vetorial tem uma base. Corol´ ario A.7. (Coeficientes universais para cohomologia) Seja (X, Y ) um par de espa¸cos topol´ ogicos. Ent˜ ao a sequˆencia β

0 → Ext(Hn−1 (X, Y ; Z), A) → H n (X, Y ; A) → Hom(Hn (X, Y ; Z), A) → 0 ´e exata e separ´ avel, onde β([f ])[c] = f (c).

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Apˆ endice B

O Teorema de Seifert- van Kampen

Nesse apˆendice vamos mostra o Teorema de Seifert-van Kampen que permite calcular o grupo fundamental de um espa¸co que ´e a uni˜ ao de dois abertos conexos por caminho e cuja interse¸c˜ ao ´e tamb´em conexo por caminho em termos dos grupos fundamentais desses abertos e de sua interse¸c˜ ao. Antes de enunciar o teorema precisamos de alguns conceitos alg´ebricos que desenvolveremos a seguir. Seja {Gλ ; λ ∈ Λ} uma fam´ılia arbitraria de grupos. Vamos mostrar a existˆencia de um grupo ∗λ Gλ e homomorfismos iλ : Gλ → a seguinte ∗λ Gλ , chamado produto livre dos grupos Gλ , que satisfaz ` propriedade universal: dados um grupo H e homomorfismos fλ : Gλ → H, existe um u ´nico homomorfismo f : ∗λ Gλ → H tal que f ◦ iλ = fλ . ´ f´ E acil ver que se P ´e um outro grupo e jλ : Gλ → P s˜ ao homomorfismos satisfazendo ` a mesma propriedade universal ent˜ ao existe um u ´nico isomorfismo φ : ∗λ Gλ → P tais que jλ = φ ◦ iλ . Alem disso, iλ ´e injetivo, iλ (Gλ ) ∩ iλ′ (Gλ′ ) ´e a identidade e a uni˜ ao das imagens dos grupos Gλ geram o produto livre. Vamos agora mostrar a existˆencia do produto livre. Uma palavra finita no alfabeto ∪λ Gλ ´e uma sequˆencia finita g1 g2 . . . gm de elementos do alfabeto. A palavra ´e reduzida se cada gi ´e diferente da identidade e se gi e gi+1 pertencem a grupos distintos. A cada palavra g1 g2 . . . gm est´ a associada uma u ´nica palavra reduzida [g1 g2 . . . gm ] obtida da palavra inicial por um n´ umero finito de opera¸c˜ oes que consiste em substituir duas letras consecutivas que pertencem ao mesmo grupo pelo produto delas no grupo se o produto for diferente da iden454

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455 tidade ou elimina-las caso contrario. Seja e a palavra vazia que consideraremos tamb´em como uma palavra reduzida. Definimos ent˜ ao o conjunto ∗λ Gλ como o conjunto das palavras reduzidas. O produto de duas palavras reduzidas ´e definido como a palavra reduzida associada ` a justaposi¸c˜ ao das palavras. Assim, se g1 . . . gm ´e uma palavra −1 reduzida ent˜ ao seu produto pela palavra gm . . . g1−1 ´e a palavra vazia, que chamaremos de identidade. A aplica¸c˜ ao iλ : Gλ → ∗λ Gλ que leva a identidade do grupo em e e leva cada elemento g diferente da identidade na palavra com a u ´nica letra g ´e injetiva, preserva os produtos e a interse¸cao da imagem de duas aplica¸c˜ oes se reduz ` a identidade. Proposi¸ c˜ ao B.1. A multiplica¸c˜ ao acima definida ´e associativa e, portanto, ∗λ Gλ ´e um grupo, iλ : Gλ → ∗λ Gλ s˜ ao homomorfismos e a propriedade universal ´e satisfeita. Demonstra¸ c˜ ao. Seja PΛ o grupo das permuta¸c˜ oes do conjunto ∗λ Gλ . Para cada λ seja φλ : Gλ → PΛ a aplica¸c˜ ao que a cada g ∈ Gλ associa a permuta¸c˜ ao φλ (g) : [g1 . . . gm ] 7→ [gg1 . . . gm ] cuja inversa ´e φλ (g −1 ). ´ E f´ acil ver que φλ (g1 .g2 ) = φλ (g1 ) ◦ φλ (g2 ), isto ´e, φλ ´e um homomorfismo de grupo. Definimos ent˜ ao φ : ∗λ Gλ → PΛ compondo as permuta¸c˜ oes, isto ´e, φ(g1 . . . gk ) = φλ(g1 ) (g1 ) ◦ · · · ◦ φλ(gk ) (gk ) ´ f´ onde estamos usando a nota¸c˜ ao g ∈ Gλ(g) . E aci verificar que φ preserva os produtos. Logo, como a composi¸c˜ ao de permuta¸c˜ oes ´e associativa temos que o produto em ∗λ Gλ ´e tamb´em associativo e portanto o produto livre ´e um grupo. Para mostrar a propriedade universal basta definir f : ∗λ Gλ → H por f ([g1 . . . gm ]) = fλ(g1 ) (g1 ). . . . .fλ(gm ) (gm )

Exerc´ıcio B.1. Usando a propriedade universal do produto livre mostre que se G1 , G2 , G3 s˜ ao grupos ent˜ ao (G1 ∗ G2 ) ∗ G3 ´e isomorfo a G1 ∗ G2 ∗ G3 , Dado um conjunto U = {uλ ; λ ∈ Λ}, seja Gλ o grupo livre gerado por uλ . Temos ent˜ ao que ∗λ Gλ ´e o grupo livre gerado pelos elementos

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456

[CAP. B:

O TEOREMA DE SEIFERT- VAN KAMPEN

iλ (uλ ). Portanto a cada conjunto temos associado um u ´nico, modulo isomorfismo, grupo livre e os grupos livres associados a dois conjuntos s˜ ao isomorfos se e s` omente se os dois conjuntos tem a mesma cardinalidade. Dado um grupo G, seja X ⊂ G um conjunto de geradores de G. Seja L o grupo livre associado ao conjunto X. Uma bije¸c˜ ao dos geradores de L com X se estende a um homomorfismo φ : L → G. Como X ´e um conjunto de geradores de G, o homomorfismo φ ´e sobrejetivo e seu n´ ucle N ´e um subgrupo normal de L e G ´e isomorfo ao grupo quociente L/N . Usaremos a nota¸c˜ ao < ui ; rj = 1 > para denotar o grupo quociente do grupo livre L gerado pelos ui pelo subgrupo normal gerado pelos elementos rj ∈ L. Os ui ’s s˜ ao os geradores e os ri ’s as rela¸c˜ oes. Um grupo ´e finitamente apresentado se tiver uma apresenta¸c˜ ao com um n´ umero finito de geradores e rela¸c˜ oes. Assim Zn =< u; un = 1 >. O produto livre de dois grupos ´e o grupo com conjunto de geradores igual a uni˜ ao disjunta dos geradores e conjunto de rela¸c˜ oes igual a uni˜ ao dos conjuntos de rela¸c˜ oes dos dois grupos. Assim, Z2 ∗ Z2 =< x, y; x2 = y 2 = 1 > ´e o grupo infinito cujos elementos s˜ ao id, x, y, xy, yx, xyx, yxy, xyxy, yxyx . . . . Sejam F, G1 , G2 grupos e αi : F → Gi homomorfismos. O espa¸co quociente do grupo G1 ∗ G2 pelo subgrupo normal gerado pelas palavras {(α2 (g))−1 α1 (g) ∈ G1 ∗ G2 ; g ∈ F } ´e chamado de produto amalgamado e denotado por G1 ∗F,α1 ,α2 G2 . Lema B.2. Sejam q : G1 ∗ G2 → G1 ∗F,α1 ,α2 G2 a aplica¸c˜ ao quociente e i1 : G1 → G1 ∗ G2 a inclus˜ ao que a cada g ∈ G1 associa a palvra reduzida [g]. Se α2 : F → G2 ´e um isomorfismo ent˜ ao q ◦ i1 : G1 → G1 ∗F,α1 ,α2 G2 ´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Vamos mostrar que q ◦ i1 ´e sobrejetivo. Seja x ∈ G1 ∗F,α1 ,α2 G2 . Seja g1 . . . , gm ∈ G1 ∗G2 uma palavra reduzida que se projeta em x tal que m seja minimal. Se m > 1 seja j tal que gj ∈ G2 . Ent˜ ao [g1 . . . , gj−1 α1 ◦ α2−1 (gj )gj+1 . . . gm ] tamb´em se projeta em x e o n´ umero de letras dessa palavra reduzida ´e menor que m o que ´e absurdo. Logo existe uma palavra [g] que se projeta em x. Podemos supor que g ∈ G1 pois, caso contrario, α1 ◦ α2−1 (g − 1) ∈ G1 e [g] se projeta no mesmo ponto que [α1 ◦ α2−1 (g − 1)g −1 g] = [α1 ◦ α2−1 (g − 1)]. Portanto x ´e a imagem de g ∈ G1 por q ◦ i1 . Como α2 injetivo temos que q ◦ i1 ´e tamb´em injetivo.

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457 Teorema B.3. Teorema de Seifert-Van Kampen Seja X um espa¸co topol´ ogico que ´e a uni˜ ao de uma fam´ılia Aλ de subconjuntos abertos conexos por caminho tais que para todos λ, λ′ , λ′′ temos que Aλ ∩ Aλ′ e Aλ ∩ Aλ′ ∩ Aλ′′ s˜ ao conexos por caminho e cont´em o ponto base x0 . Sejam jλ : π1 (Aλ ) → π1 (X) e iλλ′ : π1 (Aλ ∩ Aλ′ ) → π1 (Aλ ) os homomorfismoss induziedos pelas inclus˜ oes Aλ ֒→ X, Aλ ∩ Aλ′ ֒→ Aλ . Seja φ : ∗λ π1 (Aλ ) → π1 (X) o homomorfismo que composto com a inclus˜ ao π1 (Aλ ) ֒→ ∗λ π1 (Aλ ) ´e igual a jλ . Ent˜ ao φ ´e sobrejetivo e seu n´ ucleo ´e o subgrupo normal N gerado pelas palavras da forma iλλ′ (ω)iλ′ λ (ω)−1 e, portanto, φ induz um isomorfismo π1 (X) ∼ (∗λ π1 (Aλ ))/N Exemplo B.1. O grupo fundamental de um buquˆ e de espa¸ cos topol´ ogicos Sejam Xi espa¸cos topol´ ogicos conexos por caminho, xi ∈ Xi e Vi ⊂ Xi uma vizinhan¸ca contr´ atil de xi em Vi . Seja ∧i Xi o espa¸co quociente da uni˜ ao disjunta dos Xi pela rela¸c˜ ao de equivalˆencia que identifica dois pontos se e s` omente se eles pertencem ao conjunto {xi }. Seja x ˜ i ⊂ ∧i Xi a imagem de a imagem de xi pela aplica¸c˜ ao quociente, X Xi e V a imagem da uni˜ ao disjunta dos Vi ’s. Temos que V ´e uma ˜ i ∪ V . Como V vizinhan¸ca contr´ atil de x em ∧i Xi . Sejam Ai = X ˜ i ´e homeomorfo a Xi temos que π1 (Ai ) = π1 (Xi ). ´e contr´ aatil em X Como π1 (V ) = 0 temos, pelo teorema de Seifert-Van Kampen, que π1 (∧i Xi ) = ∗i π1 (Xi ). Exemplo B.2. O grupo fundamental das superf´ıcies compactas. Como ja vimos, a esfera ´e simplesmente conexa. Uma superf´ıcie orientada de genus g ≥ 1, Mg , ´e homeomorfa ao espa¸co quociente de um −1 −1 pol´ıgono plano de 4g lados a1 , b1 , a−1 1 , b1 , . . . , ag , bg , ag , bg −1 onde −1 o lado ai ´e identificado com ai e bi ´e identificado com b−1 i . Portanto todos os vertices s˜ ao identificados a um u ´nico ponto x0 ∈ Mg , os lados ai a c´ırculos αi e bi a c´ırculos βi . Seja A1 a proje¸c˜ ao de

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458

[CAP. B:

O TEOREMA DE SEIFERT- VAN KAMPEN

um disco no interior do pol´ıgono e A2 a proje¸c˜ ao do complementar de um disco fechado contido no primeiro disco. Assim A2 tem o tipo de homotopia do buquˆe de c´ırculos α1 ∪ β1 , . . . , αg , βg e π1 (A1 ) = 0. Por outro lado A1 ∪ A2 ´e um cilindro que tem o tipo de homotopia de um c´ırculo e a imagem do gerador de π1 (A1 ∩ A2 em π1 (A2 ) ´e α1 β1 α1−1 β1−1 , . . . , αg βg αg−1 βg−1 . Portanto, pelo teorema de SeifertVan Kampen, π1 (Mg ) =< α1 , β1 , . . . , αg , βg ; α1 β1 α1−1 β1−1 , . . . , αg βg αg−1 βg−1 = 1 > . Como uma variedade n˜ ao orient´ avel de genus g, Ng , ´e obtida como −1 −1 o espa¸co quociente de um pol´ıgono plano de lados a1 , b1 , a−1 1 , b1 , . . . , ag , bg , ag , bg −1, a, a temos, pelo mesmo argumento, π1 (Ng ) =< α1 , β1 , . . . , αg , βg , α; α1 β1 α1−1 β1−1 , . . . , αg βg αg−1 βg−1 α2 = 1 > . Exemplo B.3. O grupo fundamental da soma conexa de duas variedades de dimens˜ ao maior ou igual a 3 Seja M uma variedade de dimens˜ ao maior ou igual a 3 e A1 ⊂ M uma bola aberta mergulhada. Seja A2 ⊂ M o complementar de uma bola fechada contida em A1 . Ent˜ ao A1 ∪ A2 ´e homeomorfo ao produto de uma espera S n−1 por um intervalo e, portanto tem o tipo de homotopia de S n−1 . Como n ≥ 3 tempos ent˜ ao que π1 (A1 ) = 1 = π1 (A1 ∩ A2 ). Logo, pelo teorema de Seifert-Van Kampen, π1 (A2 ) = π1 (M ). Sejam M1 e M2 variedades compactas de dimes˜ ao n ≥ 3. Pelo que vimos acima, a soma conex M1 #M2 ´e a uni˜ ao de dois abertos A1 , A2 tais que πi (Ai ) = πi (Mi ) e A1 ∩ A2 ´e homeomorfa ao produto da esfera S n−1 por um intervalo. Logo π1 (A1 ∩ A2 ) = 0 e, pelo teorema de Seifert-Van Kampen, π1 (M1 #M2 ) = π1 (M1 ) ∗ π1 (M2 ) . Exemplo B.4. Todo grupo finitamente apresentado ´ e o grupo fundamental de uma variedade de dimens˜ ao 4 Seja M uma variedade de dimes˜ ao 4 e U ⊂ M uma aberto que ´e imagem de um mergulho φ : S 1 × D3 → M . Seja V o complementar em M da imagem de S 1 × D(1/2). Temos ent˜ ao que U ∩ V tem o tipo de homotopia de S 1 × S 2 e o homomorfismo de seu grupo

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459 findamental no grupo fundamental de A1 indizido pela inclus˜ ao ´e um isomorfismo. Logo, pelo teorema de Seifert-van Kampen e o lema B.2 temos que a inclus˜ ao de A2 em M induz um isomorfismo dos grupos fundamentais. Seja < u1 , . . . , un ; r1 = 1, . . . , rn = 1 > o grupo fundamental de M . Seja r um elemento desse grupo. Vamos, usando uma cirurgia, construir uma variedade N cujo grupo fundamental ´e isomorfo a < u1 , . . . , un ; r1 = 1, . . . , rn = 1, r = 1 >, isto ´e, tem os mesmos geradores e uma rela¸c˜ ao a mais. Como estamos em dimens˜ ao 4 (dimens˜ ao 3 seria suficiente) podemos representar a classe de homotopia r por um c´ırculo mergulhado. Tomemos uma vizinhan¸ca tubular desse c´ırculo, portanto um mergulho φ : S 1 × D3 → M tal que φ(S 1 × {0} seja esse c´ırculo. Como o bordo de S 1 × D3 , S 1 × S 2 ´e o mesmo que o bordo de D2 × S 2 , podemos construir uma variedade compacta N colando M − φ(S 1 × D3 com D2 × S 2 . Essa variedade se escreve ent˜ ao como a uni˜ ao de dois abertos U, V tais que V ´e homeomorfo a D2 × S 2 e U tem o tipo de homotopia de M − φ(S 1 × D3 ). Portanto o grupo fundamental de U ´e isomorfo ao grupo fundamental de M e o grupo fundamental de V ´e trivial. A interse¸c˜ ao U ∩ V tem o tipo de homotopia de S 1 × S 2 e, portanto o seu grupo fundamental ´e c´ıclico. A inclus˜ ao de U ∩ V em U leva o gerador do grupo fundamental no elemento do grupo fundamental correspondente a r. Como o grupo fundamental de V ´e trivial o resultado segue do teorema de Seifert-van Kampen. Dado um grupo finitamente apresentado < u1 , . . . , un ; r1 = 1, . . . , rn = 1 > tomamos M0 como a soma conexa de m c´ opias de S 1 × S 3 . Pelo exemplo anterior, o grupo fundamental de M0 ´e o grupo livre com m geradores. Usando o argumento acima, construimos uma variedade M1 cujo grupo fundamental ´e isomorfo a < u1 , . . . , um ; r1 = 1 >. Repetindo o argumento construimos uma variedade Mn cujo grupo fundamental coincide com o grupo dado. Um resultado muito mais profundo foi obtido por Taubess em [Tau]: todo grupo finitamente apresentado ´e o grupo fundamental de um variedade alg´ebrica compacta de dimens˜ao complexa 3. A prova envolve t´ecnicas sofisticadas de an´ alise. Uma prova um pouco mais elementar foi obtida recentemente em [PP]. Exerc´ıcio B.2. 1) Mostre que em um CW-complexo, a inclus˜ ao do

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460

[CAP. B:

O TEOREMA DE SEIFERT- VAN KAMPEN

esqueleto de dimens˜ ao dois no CW-complexo induz isomorfismos nos grupos fundamentais. 2) Mostre que em um CW complexo a inclus˜ ao do esqueleto de dimens˜ ao um no esqueleto de dimens˜ ao dois induz nos grupos fundamentais um homomorfismo sobrejetivo. 3) Mostre que o grupo fundamental de uma variedade compacta ´e finitamente gerado.

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Apˆ endice C

O grupo fundamental π1(X, x0) e o grupo de homologia H1(X, Z). Vamos mostrar um teorema devido a Poincar´e, segundo o qual o grupo de homologia com coeficientes nos inteiros, H 1 (X; Z) ´e isomorfo ao quociente do grupo fundamental pelo subgrupo comutador. Mais precisamente, se α ∈ π1 (X, x0 ) ´e a classe de homotopia de φ : (S 1 , z0 ) → (X, x0 ) definimos h(α) como sendo a imagem pelo homomorfismo φ∗ : H1 (S 1 ) → H1 (X) do gerador de H1 (S 1 ). Temos ent˜ ao, Teorema C.1. Se X ´e um espa¸co topol´ ogico conexo por caminhos ent˜ ao a aplica¸c˜ ao h : π1 (X, x0 ) → H1 (X) ´e um homomorfismo sobrejetivo cujo n´ ucle ´e o grupo [π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )]. Consequentemente H1 (X) ´e isomorfo ao abelianizado do g rupo fundamental. Demonstra¸ c˜ ao. h est´ a bem definido pois duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas induzem o mesmo homomorfismo em homologia. Podemos identificar caminhos φ : [0, 1] → X com simplexos de dimens˜ao 1 ∆1 → X definido port te0 + (1 − t)e1 7→ φ(t). Em particular, um caminho fechado ´e um ciclo. Se α ´e um caminho, n˜ ao necessariamente fechado, denotaremos por [α] sua classe de homologia, isto ´e, o conjuto das cadeias c ∈ C1 (X; Z) tais que c − α ´e o bordo de uma cadeia em C2 (X; Z), e por {α} sua classe de homotopia com extremos fixos. Denotamos 461

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462[CAP. C:

O GRUPO FUNDAMENTAL π1 (X, X0 ) E O GRUPO DE HOMOLOGIA H1 (X, Z).

tamb´em por Ω(X, x0 ) o espa¸co dos caminhos fechados com origem x0 . Portanto, se α ∈ Ω(X, x0 ) ent˜ ao h({α}) = [α]. 1) h ´e um homomorfismo. Lembramos que se α e β s˜ ao caminhos tais que β(0) = α(1) ent˜ ao o camino α ∗ β ´e definido por t 7→ α(2t) se 0 ≤ t ≤ 21 e t 7→ β(2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1 e o caminho α−1 ´e definido por t 7→ α(1 − t). Afirma¸c˜ ao: [α ∗ β] = [α] + [β]. De fato, seja σ : ∆2 → X o simplexo singular cuja restri¸c˜ ao a cada um dos intervalos indicados na figura C.1 ´e a composta de α (resp. β) com a aplica¸c˜ ao afim que leva o segmento no intervalo [0, 1]. Ent˜ ao ∂σ = α + β − α ∗ β o que demonstra a afirma¸c˜ ao.

Figura C.1: [α ∗ β] = [α] + [β] Se α, β ∈ Ω(X, x0 ) temos que h({α}{β}) = h({α ∗ β)}) = [α ∗ β] = [α] + [β] e h ´e um homomorfismo. 2) h ´e sobrejetivo. Se α, β, γ s˜ ao caminhos tais que β(0) = α(1) e γ(0) = β(1), denotaremos por α ∗ β ∗ γ o caminho definido por t 7→ α(3t) se 0 ≤ t ≤ 13 , t 7→ β(3t − 1) se 13 ≤ t ≤ 32 e t 7→ γ(3t − 2) se 23 ≤ t ≤ 1. Usando o simplexo σ : ∆2 → X como na figura C.2 concluimos que [α ∗ β ∗ γ] = [α] + [β ∗ γ] e, portanto, [α ∗ β ∗ γ] = [α] + [β] + [γ].

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463

Figura C.2: [α ∗ β ∗ γ] = [α] + [β] + [γ]

Vamos escolher, para cada x ∈ X, um caminho ηx : [0, 1] → X tal que ηx (0) = x0 e ηx (1) = x. Se x = x0 tomamos ηx0 como o caminho constante. A cada caminho α associamos o caminho fechado −1 α ˜ = ηα(0) ∗ α ∗ ηα(1) .

P Seja i ni αi um ciclo. Consideremos o caminho fechado γ = Q z n=i (˜ α ) . Vamos mostrar que [γ] = [z]. De fato, i i P P [γ] = αi ] = i ni ([ηαi (0) ] + [αi ] − [ηαi (1) ]) = i ni [˜ P P P = i ni [αi ] + i ni (ηαi (0) − ηαi (1) = [z] + i ni [ηαi (0) − ηαi (1) ] P Como z ´e um ciclo, temos que 0 = ∂z = i ni (αi (1) − αi (0)). Isto implica que para cada x ∈ X o n´ umero de indices i tais que αi (0) = x ´e igual ao n´ umero de j’s tais que αj (1) = x e isso implica que a u ´ltima parcela do segundo membro da equa¸c˜ ao acima se anula. Portanto h ´e sobrejetivo. 30 O n´ ucle de h ´ e o comutador [π1 , π1 ] Como o grupo de homologia ´e comutativo temos que o n´ ucle de h cont´em o comutador. Resta mostrar a outra inclus˜ ao. Para isso temos Se q : πi (X, x0 ) → π1 (X, x0 )/[π1 , π1 ] a proje¸c˜ ao no grupo comutativo quociente. Se dois elementos de π1 (X, x0 ) se escrevem como produto de um certo n´ umero de elementos e os produtos diferem apenas pela ordem dos fatores ent˜ ao eles tem a mesma imagem.PSe β ∈ Ω(X, x0 ) ´e tal que {β} pertence ao n´ ucle de h, ent˜ ao β = ∂( i ni σi ) onde σi ´e um simplexo singular de dimens˜ao 2 e podemos +σi2 . Q escrever ∂σi = σi0 −σi1 −1 Consideremos o caminho fechado γ = i (γini ) onde γi = (˜ σi0 σ ˜i1 σ ˜i2 ). Como σi2 (0) = σi1 (0), σi2 (1) = σi0 (0) e σi0 (1) = σi1 (1) temos

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464[CAP. C:

O GRUPO FUNDAMENTAL π1 (X, X0 ) E O GRUPO DE HOMOLOGIA H1 (X, Z).

−1 que γi ´e homot´ opico a Q ησi0 (0) σi0 σi1 σi2 ησ−1 que ´e homot´ opico a x0 i0 Q ni mod (0,1).Q Portanto { i (γi ) } = i {γi }ni = 1 e, conseqquentemente, q( i {γi }ni ) = 0, onde estamos denotando por 0 a identidadeP do grupo comutativo π1 (X, x0 )/[π1 , π1 ]. Por outro lado, como β = i ni (σQ i0 − σi1 + σi2 ), podemos, alterando a ordem dos fatores do produto i γini , obter um caminho fechado homot´ opico a β. Logo q({β}) = 0 e, portanto, {β} pertence ao comutador.

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Apˆ endice D

Grupos de Homotopia- Teorema de Hurewicz

Como vimos, o grupo fundamental foi introduzido por Poincar´e. Vamos agora discutir uma generaliza¸c˜ ao introduzida por Hurewicz nos anos 30: os grupos de homotopia. Como conjunto, o grupo de homotopia πn (X, x0 ) ´e simplesmente o conjunto das classes de homotopia de aplica¸c˜ oes f : (S n , z0 ) → (X, x0 ) onde duas aplica¸c˜ oes f0 , f1 s˜ ao homot´ opicas se existe uma aplica¸ca˜o F : [0, 1] × S n → X tal que F (0, z) = f (z), F (1, z) = g(z) e f (t, z0 ) = x0 para todo z ∈ S n e para todo t ∈ [0, 1]. Como duas aplica¸c˜ oes homot´ opicas induzem o mesmo homomorfismo nos grupos de homologia e o grupo de homologia de dimens˜ ao n ´e isomorfo a Zn podemos fixar um gerador (ou orienta¸c˜ ao da esfera) e definir a aplica¸c˜ ao h : πn (X, x0 ) → Hn (X; Z) que a cada classe de homotopia de aplica¸c˜ ao f : (S n , z0 ) → (X, x0 ) asn n socia a imagem por f∗ : Hn (S , Z ) → Hn (X; Z) do gerador. Vamos mostrar que πn (X, x0 ) tem uma estrutura de grupo, que ´e comutativo se n ≥ 2, e que a aplica¸c˜ ao h ´e um homomorfismo. Alem disto provaremos o teorema de Hurewicz segundo o qual h ´e um isomorfismo se X ´e n-conexo, isto ´e, se os grupos de homotopia πm (X, x0 ) se anulam se m < n. Uma maneira de introduzir uma estrutura de grupo no conjunto π2 (X, x0 ) ´e identificar esse conjunto com o grupo fundamental de um 465

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[CAP. D: GRUPOS DE HOMOTOPIA- TEOREMA DE HUREWICZ

outro espa¸co topol´ ogico. Se Z e W s˜ ao espa¸cos topol´ ogicos, podemos introduzir uma topologia no espa¸co das fun¸c˜ oes cont´ınuas C 0 (Z, W ), chamada topologia compacto-aberto, tomando com base de abertos os subconjuntos [K, U ] das aplica¸c˜ oes f tais que f (K) ⊂ U , onde K ⊂ Z ´e compacto e U ⊂ Z ´e aberto. Se Z ´e compacto, essa topologia coincide com a topolologia C 0 de Whitney que definimos no cap´ıtulo 8. Na topologia compacto-aberto, uma sequˆencia de fun¸c˜ oes fn converge a uma fun¸c˜ ao f se e s` omente se converge uniformemente em cada subconjunto compacto. Deixamos ao leitor a tarefa de provar as seguinter propriedades desta topologia: • A aplica¸c˜ ao C 0 (Z, W ) × Z → W,

(f, x) 7→ f (x)

´e cont´ınua • Se Y ´e um espa¸co topol´ ogico ent˜ ao uma aplica¸c˜ ao F : Y → C 0 (Z, W ) ´e cont´ınua se e s` omente se a aplica¸c˜ ao Y × Z → W,

(y, x) 7→ F (y)(z)

´e cont´ınua. Considerando o espa¸co dos la¸cos Ω(X, x0 ) com a topologia induzida do espa¸co C 0 ([0, 1], X) temos ent˜ ao que uma homotopia entre dois la¸cos α0 e α1 ´e simplesmente uma aplica¸c˜ ao cont´ınua H : [0, 1] → Ω(X, x0 ) tal que F (0) = α0 e F (1) = α1 . Logo o grupo fundamental ´e o conjunto das componentes conexas do espa¸co de la¸cos e X ´e simplesmente conexo se Ω(X, x0 ) ´e conexo. Seja c0 ∈ Ω(X, x0 ) o caminho constante. Podemos ent˜ ao considerar o espa¸co topol´ ogico Ω(Ω(X, x0 ), c0 ) dos la¸cos em Ω(X, x0 ) com extremidades c0 . Pelo que vimos acima, um la¸co s ∈ [0, 1] 7→ αs Ω(X, x0 ) corresponde a uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : [0, 1] × [0, 1] → X tal que fs (t) = fs (t). Logo f (∂([0, 1] × [0, 1]) = x0 . Reciprocamente, uma fun¸c˜ ao cont´ınua f com essa propriedade define um la¸co no espa¸co dos la¸cos. Portanto esse espa¸co de la¸cos pode ser identificado com espa¸co das aplica¸c˜ oes cont´ınuas C 0 (([0, 1]×[0, 1], ∂([0, 1]×[0, 1]), (X, x0 )) que, por sua vez ´e naturamente identificado com o espa¸co C 0 ((S 2 , z0 ), (X, x0 )). Temos ent˜ ao uma bije¸c˜ ao do grupo fundamental π1 (Ω(X, x0 ) com o espa¸co

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467 das componentes conexas de C 0 (([0, 1], ∂([0, 1])), (Ω(X, x0 ), c0 )) que est´ a em bije¸c˜ ao com o conjunto das componentes conexas de C 0 (([01]× [0, 1], ∂([0.1]×[0, 1]), (X, x0 ))) que podemos identificar com o conjunto das componentes conexas de C 0 ((S 2 , z0 ), (X, x0 )) que ´e identificado com π2 (X, x0 ). Portanto temos uma bije¸c˜ ao entre π2 (X, x0 ) e o grupo fundamental π1 (Ω(X, x0 ), c0 ). Essa identifica¸c˜ ao. Mais geralmente, podemos consideral o espa¸co ωn (X, x0 ) das aplica¸coes cont´ınuas de [0, 1]n que levam o bordo de [0, 1]n no ponto x0 com a topologia compacto-aberto e a aplica¸c˜ ao constante c ∈ Ωn (X, x0 ) e identificar πn+1 (X, x0 ) com o grupo fundamental π1 (ωn (X, x0 ), c). A seguir vamos descrever mais explicitamente a estrutura de grupo de πn (X, x0 ). Defini¸ c˜ ao D.1. Sejam f, g : [0, 1]n → X transforma¸c˜ oes cont´ınuas que levam o bordo de [0, 1]n no ponto x0 . Definimos ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f ∗ g : ([0, 1]n , ∂[0, 1]n ) → (X, x0 ) por f ∗ g(x1 , . . . , xn ) = =

f (2x1 , x2 , . . . , xn ) se 0 ≤ x1 ≤

g(2x1 − 1, x2 , . . . , xn ) se

1 2

1 2

≤ x1 ≤ 1

O produto da classe de homotopia de f pela classe de homotopia de g ´e ent˜ ao a classe de homotopia de f ∗ g. Proposi¸ c˜ ao D.1. Se n ≥ 2 e˜ nt˜ ao πn (X, x0 ) ´e comutativo. Demonstra¸ c˜ ao. A homotopia Fs entre f ∗ g e g ∗ f ´e descrita na figura D.1 onde a restri¸c˜ ao de Fs ` a regi˜ ao indicada por f , resp. g, ´e a composta do difeomorfismo afim entre esta regi˜ ao e [0, 1]n com f , resp. com g, e o complementar destas duas regi˜ oes ´e aplicado no ponto x0 .

Figura D.1: [[f ][g] = [g][f ]

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468

[CAP. D: GRUPOS DE HOMOTOPIA- TEOREMA DE HUREWICZ

Uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) induz um homomorfismo f∗ : πn (X, x0 ) → πn (Y, y0 ). Evidentemente, o homomorfismo induzido pela identidade ´e a identidade e (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . Em particular espa¸cos homemomorfos tem grupos de homotopia isomorfos. Um caminh α : [0, 1] → X com α(0) = x0 induz um isomorfismo [α] : πn (X, x0 ) → πn (X, x1 ). De fato, dado uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : (([0, 1]n , ∂[0, 1]n ), X, x0 ) associamos uma aplica¸c˜ ao f˜: (([0, 1]n , ∂[0, 1]n ), (X, x1 )) da seguinte forma. A restri¸c˜ ao de g a [1/2, 2/3]n ´e a composta de f com a com o difeomorfismo afim [1/3, 2/3]n → [0, 1]n e a restri¸c˜ ao de g a cada segmento radial entre [1/3, 2/3/]n e [0, 1]n ´e a composta de α com o difeomorfismo afim desse segmento e o interval [0, 1]. Se fs ´e uma homotopia entre f0 e f1 ent˜ ao f˜s ´e uma homotopia entre f˜0 e f˜1 . Definimos ent˜ ao a imagem da classe de homotopia de f como a classe de homotopia de f˜. Essa aplica¸c˜ ao ´e um isomorfismo e depende apenas da classe de homotopia de α Essa constru¸c˜ ao, aplicada a la¸cos, define uma a¸c˜ ao do grupo fundamental nos grupos de homotopia. Assim como na homologia, podemos tamb´em definir grupos de homotopia relativo de um par : πn (X, Y, x0 ) onde Y ⊂ X e x0 ∈ Y . De fato, seja In−1 = {z ∈ [0, 1]n ; zn = 0}. Se Y ´e um subespa¸co de X contendo o ponto x0 definimos πn (X, Y, x0 ) como o conjunto das classes de equivalˆencia de C 0 (([0, 1]n , In−1 , [0, 1]n − In−1 , (X, Y, x0 )). Se n ≥ 2 a mesma defini¸c˜ ao de produto torna πn (X, Y, x0 ) um grupo que ´e comutativo se n ≥ 3. Identificando In−1 com [0, 1]n−1 temos um homomorfismo ∂ : πn (X, Y, x0 ) → πn−1 (Y, x0 ) que associa ` a classe de homotopia de f : ([0, 1]n , In−1 , [0, 1]n −In−1 ) → (X, Y, x0 ) a classe de homotopia de sua restri¸c˜ ao a Y que leva (In−1 , ∂In−1 ) em (Y, x0 ). Combinando esse homomorfismo com os homomorfismos induzidos pela inclus˜ ao Y → X obtemos a sequˆencia exata de homotopia de um par (X,Y): ∂

. . . πn (Y, x0 ) → πn (X, x0 ) → πn (X, Y, x0 ) → πn−1 (Y, x0 ) → . . .

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