Théorie des systèmes dynamiques: Une introduction 9782759810505

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Théorie des systèmes dynamiques : une introduction Luis Barreira et Claudia Valls Traduit par les auteurs

17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

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“systeme_dynamique” — 2013/5/23 — 11:09 — page ii — #2

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Imprimé en France

ISBN : 978-2-7598-0765-9 Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. c 2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,  91944 Les Ulis Cedex A

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TABLE DES MATIÈRES

Avant-Propos I

II

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Notions de base I.1 Notion de système dynamique . . . . . . . . . I.2 Exemples pour le temps discret . . . . . . . . I.2.1 Rotations du cercle . . . . . . . . . . I.2.2 Applications dilatantes du cercle . . . I.2.3 Endomorphismes du tore . . . . . . . I.3 Exemples pour le temps continu . . . . . . . . I.3.1 Équations différentielles autonomes . I.3.2 Temps discret et temps continu . . . . I.3.3 Équations différentielles sur le tore T2 I.4 Ensembles invariants . . . . . . . . . . . . . . I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 3 5 6 9 9 13 15 16 20

Dynamique topologique II.1 Systèmes dynamiques topologiques . . II.2 Ensembles limites . . . . . . . . . . . II.2.1 Temps discret . . . . . . . . II.2.2 Temps continu . . . . . . . . II.3 Récurrence topologique . . . . . . . . II.3.1 Transitivité topologique . . . II.3.2 Mélange topologique . . . . . II.4 Entropie topologique . . . . . . . . . II.4.1 Notions de base et exemples II.4.2 Invariance topologique . . . . II.4.3 Caractérisations alternatives

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23 23 25 25 30 34 34 36 39 39 41 42

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Théorie des Systèmes Dynamiques

II.5 III

II.4.4 Applications expansives . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Systèmes dynamiques en basse dimension III.1 Homéomorphismes du cercle . . . . . . . III.1.1 Relèvements . . . . . . . . . . . III.1.2 Nombre de rotation . . . . . . . III.1.3 Nombre de rotation rationnel . . III.1.4 Nombre de rotation irrationnel . III.2 Difféomorphismes du cercle . . . . . . . . III.3 Applications de l’intervalle . . . . . . . . III.3.1 Existence de points périodiques . III.3.2 Le théorème de Sharkovsky . . . III.4 Le théorème de Poincaré-Bendixson . . . III.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 55 55 59 61 64 68 72 72 74 80 82

IV

Dynamique hyperbolique I IV.1 Ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.2 Fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.3 Continuité des espaces stables et instables . . . . . . . IV.2 Ensembles hyperboliques et cônes invariants . . . . . . . . . . IV.2.1 Cônes et caractérisation des ensembles hyperboliques IV.2.2 Existence de cônes invariants . . . . . . . . . . . . . . IV.2.3 Critère d’hyperbolicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Stabilité des ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . IV.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 85 87 92 96 96 98 101 104 106

V

Dynamique hyperbolique II V.1 Comportement près d’un point fixe hyperbolique V.1.1 Le théorème de Grobman-Hartman . . V.1.2 Le théorème de Hadamard-Perron . . . V.2 Variétés invariantes stables et instables . . . . . V.2.1 Existence de variétés invariantes . . . . V.2.2 Structure produit locale . . . . . . . . . V.3 Flots géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . V.3.1 Géométrie hyperbolique . . . . . . . . . V.3.2 Quotients par isométries . . . . . . . . V.3.3 Flot géodésique . . . . . . . . . . . . . V.3.4 Flots hyperboliques . . . . . . . . . . .

109 109 109 117 128 128 131 134 134 139 141 143

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Table des matières

V.4 VI

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Dynamique symbolique VI.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.1 Espace de suites et décalage . . . . . . VI.1.2 Entropie topologique . . . . . . . . . . VI.1.3 Suites bilatérales . . . . . . . . . . . . . VI.2 Exemples de codages . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.1 Applications dilatantes . . . . . . . . . VI.2.2 Applications quadratiques . . . . . . . . VI.2.3 Fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . VI.3 Chaînes de Markov topologiques . . . . . . . . . VI.3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . VI.3.2 Points périodiques . . . . . . . . . . . . VI.3.3 Entropie topologique . . . . . . . . . . VI.3.4 Transitivité et mélange topologiques . . VI.4 Fers à cheval et chaînes de Markov topologiques VI.5 Fonctions zêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII Théorie ergodique VII.1 Notions de théorie de la VII.2 Mesures invariantes . . VII.3 Récurrence non triviale VII.4 Le théorème ergodique VII.5 Exposants de Lyapunov VII.6 Entropie métrique . . . VII.7 Exercices . . . . . . . .

mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 149 151 152 153 154 157 159 160 160 162 164 165 169 171 174

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177 177 180 183 185 190 193 196

Bibliographie

199

Index

201

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AVANT-PROPOS

Ce livre est une introduction autonome à la théorie des systèmes dynamiques, avec un accent particulier sur le temps discret. Cela inclut les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi qu’une brève introduction à la théorie ergodique. Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé du premier cycle ou étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus avancés. L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats formulés dans le livre sont prouvés. On a essayé que chaque démonstration soit la plus simple possible. Parfois, cela nécessite une préparation ou la restriction à classes appropriées de systèmes dynamiques, ce qui se justifie pleinement dans un cours introductif. Le texte comprend aussi de nombreux exemples qui illustrent en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de difficulté. La théorie des systèmes dynamiques est très large et très active en termes de recherche. Elle dépend aussi substantiellement de la plupart des principaux domaines des mathématiques. Ainsi, afin de donner une vue suffisamment large, mais toujours autonome et avec une taille contrôlée, il était nécessaire de faire une sélection des sujets traités. De ce fait, certains sujets ont été exclus, notamment la dynamique hamiltonienne et la dynamique holomorphe. On a indiqué des références pour ces autres sujets qui sont des prolongements naturels de ce livre. Luís Barreira et Claudia Valls Lisbonne, avril 2013

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I NOTIONS DE BASE

On introduit dans ce chapitre la notion de système dynamique, à temps discret et temps continu. On décrit aussi plusieurs exemples qui, avec d’autres exemples introduits au long du livre, sont utilisés pour illustrer les nouveaux concepts et les nouveaux résultats. On décrit également quelques constructions de base qui déterminent de nouveaux systèmes dynamiques.

I.1. Notion de système dynamique Un système dynamique à temps discret est simplement une application.

D´efinition I.1. Une application f : X Ñ X est appelée un système dynamique à temps discret ou simplement un système dynamique. On définit récursivement f n`1 “ f ˝ f n pour chaque n P N. On écrit aussi f 0 “ Id, où Id est l’application identité. On note que (I.1) f m`n “ f m ˝ f n pour m, n P N0 , où N0 “ N Y t0u. Lorsque l’application f est inversible, on définit aussi f ´n “ pf ´1 qn pour chaque n P N. Dans ce cas, l’identité (I.1) est satisfaite pour tous m, n P Z.

Exemple I.2. Soient f : X Ñ X et g : Y Ñ Y des systèmes dynamiques. On définit un nouveau système dynamique h : X ˆ Y Ñ X ˆ Y par hpx, yq “ pf pxq, gpyqq.

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Chapitre I. Notions de base

On note que si f et g sont inversibles, alors l’application h est aussi inversible et a pour application réciproque ` ˘ h´1 px, yq “ f ´1 pxq, g´1 pyq . On considère maintenant le cas du temps continu.

D´efinition I.3. Une famille d’applications ϕt : X Ñ X pour t ě 0 telles que ϕ0 “ Id et ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs pour tous t, s ě 0 est appelée un semi-flot. Une famille d’applications ϕt : X Ñ X pour t P R telles que ϕ0 “ Id et ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs

pour tous t, s P R

est appelée un flot. On dit aussi qu’une famille d’applications ϕt est un système dynamique à temps continu ou simplement un système dynamique si elle est un flot ou un semi-flot. Si ϕt est un flot, alors ϕt ˝ ϕ´t “ ϕ´t ˝ ϕt “ ϕ0 “ Id. Donc, chaque application ϕt est inversible et a pour application réciproque ϕ´1 t “ ϕ´t . Un exemple simple d’un flot est un mouvement de translation avec vitesse constante.

Exemple I.4. Soit y P Rn . On considère les applications ϕt : Rn Ñ Rn définies par ϕt pxq “ x ` ty

pour t P R et x P Rn .

On a ϕ0 “ Id et ϕt`s pxq “ x ` pt ` sqy “ px ` syq ` ty “ pϕt ˝ ϕs qpxq. Donc, la famille des applications ϕt est un flot.

Exemple I.5. On considère les flots ϕt : X Ñ X et ψt : Y Ñ Y , pour t P R. La famille des applications αt : X ˆ Y Ñ X ˆ Y définies pour chaque t P R par ` ˘ αt px, yq “ ϕt pxq, ψt pyq 2 i

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I.2. Exemples pour le temps discret

est aussi un flot. En outre, ` ˘ α´1 t px, yq “ ϕ´t pxq, ψ´t pyq . On souligne que l’expression système dynamique est utilisée à la fois pour les systèmes dynamiques à temps discret et les systèmes dynamiques à temps continu.

I.2. Exemples pour le temps discret On décrit dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques à temps discret.

I.2.1. Rotations du cercle On considère d’abord les rotations du cercle. Le cercle est défini ici par S 1 “ R{Z, c’est-à-dire que S 1 est obtenu à partir de la droite réelle en identifiant les points x, y P R tels que x ´ y P Z. Autrement dit, S 1 “ R{Z “ R{„, où „ est la relation d’équivalence dans R définie par x „ y ô x ´ y P Z. Les classes d’équivalence, qui sont les éléments de S 1 , peuvent être écrites sous la forme  ( rxs “ x ` m : m P Z . En particulier, on peut introduire les opérations rxs ` rys “ rx ` ys et rxs ´ rys “ rx ´ ys. On peut aussi identifier S 1 avec r0, 1s{t0, 1u, où les extrémités de l’intervalle r0, 1s sont identifiées.

D´efinition I.6. Soit α P R. On définit la rotation Rα : S 1 Ñ S 1 par Rα prxsq “ rx ` αs (voir la figure I.1). On écrit aussi Rα pxq “ x ` α mod 1, 3 i

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Chapitre I. Notions de base

Rα pxq 1

α

1

x

Figure I.1. Rotation Rα .

en identifiant rxs avec son représentant dans l’intervalle r0, 1r. L’application Rα pourrait aussi être appelée une translation de l’intervalle. On observe que Rα : S 1 Ñ S 1 est inversible et son application réciproque est Rα´1 “ R´α . On introduit maintenant la notion de point périodique.

D´efinition I.7. Soit q P N. Un point x P X est dit q-périodique pour une application f : X Ñ X si f q pxq “ x. On dit aussi que x P X est un point périodique pour f s’il est q-périodique pour un certain q P N.

En particulier, les points fixes, c’est-à-dire les points x P X tels que f pxq “ x sont q-périodiques pour tout q P N. En outre, un point q-périodique est kqpériodique pour tout k P N.

D´efinition I.8. On dit qu’un point périodique a pour période q s’il est qpériodique mais n’est pas l-périodique pour tout l ă q. 4 i

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I.2. Exemples pour le temps discret

On considère maintenant le cas particulier des rotations du cercle Rα . On vérifie que leur comportement est très différent selon que α est rationnel ou irrationnel.

Proposition I.9. Soit α P R. 1. Si α P RzQ, alors Rα n’a pas de point périodique. 2. Si α “ p{q P Q avec p et q premiers entre eux, alors tous les points de S 1 sont périodiques pour Rα et ont pour période q. Démonstration. On note que rxs P S 1 est q-périodique si et seulement si rx ` qαs “

rxs, c’est-à-dire si et seulement si qα P Z. Les deux propriétés dans la proposition découlent facilement de cette remarque.

I.2.2. Applications dilatantes du cercle On considère dans cette section une autre famille d’applications de S 1 dans lui-même.

D´efinition I.10. Soit m ą 1 un entier. L’application dilatante Em : S 1 Ñ S 1 est définie par Em pxq “ mx mod 1. Par exemple, pour m “ 2 on a # E2 pxq “

2x si x P r0, 1{2r, 2x ´ 1 si x P r1{2, 1r

(voir la figure I.2). On détermine maintenant les points périodiques pour l’application dilaq pxq “ mq x mod 1, un point x P S 1 est q-périodique si tante Em . Puisque Em et seulement si mq x ´ x “ pmq ´ 1qx P Z. Donc, les points q-périodiques pour l’application Em sont p , pour p “ 1, 2, . . . , mq ´ 1. (I.2) x“ q m ´1 En outre, le nombre nm pqq de points périodiques pour Em de période q peut être calculé facilement pour chaque q (voir le tableau I.1 pour q ď 6). Par exemple, si q est premier, alors nm pqq “ mq ´ m. 5 i

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Chapitre I. Notions de base

E2 pxq 1

1 2

1

x

Figure I.2. Application dilatante E2 . Tableau I.1. Nombre nm pqq de points périodiques pour Em de période q.

q 1 2 3 4 5 6

nm pqq m´1 m2 ´ m “ m2 ´ 1 ´ pm ´ 1q m3 ´ m “ m3 ´ 1 ´ pm ´ 1q m4 ´ m2 “ m4 ´ 1 ´ pm2 ´ 1q m5 ´ m “ m5 ´ 1 ´ pm ´ 1q m6 ´ m3 ´ m2 ` m

I.2.3. Endomorphismes du tore On considère dans cette section une troisième famille de systèmes dynamiques à temps discret. Soit n P N. Le n-tore ou simplement le tore est défini par Tn “ Rn {Zn “ Rn {„, où „ est la relation d’équivalence dans Rn définie par x „ y ô x ´ y P Zn . Les éléments de Tn sont donc les classes d’équivalence (  rxs “ x ` y : y P Zn , avec x P Rn . Soit maintenant A une matrice de dimension pn, nq à coefficients dans Z. 6 i

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I.2. Exemples pour le temps discret

D´efinition I.11. L’endomorphisme du tore TA : Tn Ñ Tn est défini par TA prxsq “ rAxs pour rxs P Tn . On dit aussi que TA est l’endomorphisme du tore induit par A. Puisque A est une application linéaire, Ax ´ Ay P Zn

lorsque x ´ y P Zn .

Cela montre que Ay P rAxs lorsque y P rxs et, donc, TA est bien défini. En général, l’application TA n’est pas nécessairement inversible, même si la matrice A est inversible. Lorsque TA est inversible, on dit aussi qu’elle est l’automorphisme du tore induit par A. On représente sur la figure I.3 l’automorphisme du tore T2 induit par la matrice ˆ ˙ 21 A“ . 11

Apr0, 1s2 q

r0, 1s2

Apr0, 1s2 q

r0, 1s2 Figure I.3. Un automorphisme du tore T2 .

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Chapitre I. Notions de base

On détermine maintenant les points périodiques pour une classe d’automorphismes du tore.

Proposition I.12. Soit TA : Tn Ñ Tn un automorphisme du tore induit par une matrice A sans valeur propre de module 1. Alors les points périodiques pour TA sont les points de coordonnées rationnelles, c’est-à-dire les éléments de Qn {Zn . Démonstration. Soit rxs “ rpx1 , . . . , xn qs P Tn un point périodique. Alors il existe

q P N et y “ py1 , . . . , yn q P Zn tels que Aq x “ x ` y, c’est-à-dire, pAq ´ Idqx “ y.

Puisque A n’a pas de valeur propre de module 1, la matrice Aq ´ Id est inversible et on peut écrire x “ pAq ´ Idq´1 y. En outre, puisque les coefficients de Aq ´ Id sont des nombres entiers, chaque coefficient de pAq ´ Idq´1 est un nombre rationnel et donc x P Qn . On suppose maintenant que rxs “ rpx1 , . . . , xn qs P Qn {Zn et on écrit ˙ ˆ p1 pn ,..., , (I.3) px1 , . . . , xn q “ r r où p1 , . . . , pn P t0, 1, . . . , r ´ 1u. Puisque les coefficients de A sont des nombres entiers, pour chaque q P N, on a ˙ ˆ 1 p1 p1n q ,..., ` py1 , . . . , yn q A px1 , . . . , xn q “ r r pour certains p11 , . . . , p1n P t0, 1, . . . , r ´ 1u et py1 , . . . , yn q P Zn . Mais puisque le nombre de points de la forme (I.3) est r n , il existe q1 , q2 P N avec q1 ‰ q2 tels que Aq1 px1 , . . . , xn q ´ Aq2 px1 , . . . , xn q P Zn . En supposant, sans perte de généralité, que q1 ą q2 , on obtient Aq1 ´q2 px1 , . . . , xn q ´ px1 , . . . , xn q P Zn (voir l’exercice I.12) et donc TAq1 ´q2 prxsq “ rxs. L’exemple suivant montre que la proposition I.12 ne peut être étendue à tout endomorphisme du tore. 8 i

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I.3. Exemples pour le temps continu

Exemple I.13. Considérons l’endomorphisme du tore TA : T2 Ñ T2 induit par la matrice ˆ ˙ 31 A“ . 11 On remarque que TA n’est pas un automorphisme puisque det A “ 2 (voir l’exercice I.12). On observe maintenant que ´ 1¯ ´1 1¯ ´1 1¯ “ , , TA , “ p0, 0q et TA p0, 0q “ p0, 0q. TA 0, 2 2 2 2 2 Cela montre que les points de coordonnées rationnelles p0, ‘ 1{2q ne ‘1{2q et p1{2, sont pas périodiques. D’autre part, les valeurs propres 2 ` 2 et 2 ´ 2 de A ont des modules différents de 1.

I.3. Exemples pour le temps continu On donne dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques à temps continu.

I.3.1. Équations différentielles autonomes On considère d’abord des équations différentielles (ordinaires) autonomes, c’est-à-dire des équations différentielles qui ne dépendent pas explicitement du temps. On vérifie qu’elles donnent lieu naturellement à la notion de flot.

Proposition I.14. Soit f : Rn Ñ Rn une fonction continue telle que, pour chaque x0 P Rn , le problème de Cauchy # x1 “ f pxq, (I.4) xp0q “ x0 a une solution unique xpt, x0 q définie par t P R. Alors la famille des applications ϕt : Rn Ñ Rn définies pour chaque t P R par ϕt px0 q “ xpt, x0 q est un flot. Démonstration. Pour chaque s P R, considérons la fonction y : R Ñ Rn définie par

yptq “ xpt ` s, x0 q. 9 i

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Chapitre I. Notions de base

On a yp0q “ xps, x0 q et y 1 ptq “ x1 pt ` s, x0 q “ f pxpt ` s, x0 qq “ f pyptqq pour t P R. Donc, la fonction y est aussi une solution de l’équation x1 “ f pxq. Puisque par hypothèse le problème de Cauchy (I.4) a une solution unique, on obtient yptq “ xpt, yp0qq “ xpt, xps, x0 qq, ou xpt ` s, x0 q “ xpt, xps, x0 qq

(I.5)

pour tous t, s P R et x0 P Rn . Il résulte de (I.5) que ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs . En outre, ϕ0 px0 q “ xp0, x0 q “ x0 , c’est-à-dire ϕ0 “ Id. Cela montre que la famille des applications ϕt est un flot. On considère maintenant deux exemples spécifiques d’équations différentielles autonomes et on décrit les flots qu’elles déterminent.

Exemple I.15. Considérons l’équation différentielle # x1 “ ´y, y 1 “ x. Si px, yq “ pxptq, yptqq est une solution, alors px2 ` y 2 q1 “ 2xx1 ` 2yy 1 “ ´2xy ` 2yx “ 0. Donc, il existe une constante r ě 0 telle que xptq2 ` yptq2 “ r 2 . Soient xptq “ r cos θptq et yptq “ r sin θptq, où θ est une fonction différentiable. Il résulte de l’identité x1 “ ´y que ´rθ 1 ptq sin θptq “ ´r sin θptq. Donc, θ 1 ptq “ 1 et il existe une constante c P R telle que θptq “ t ` c. Pour px0 , y0 q “ pr cos c, r sin cq P R2 , 10 i

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I.3. Exemples pour le temps continu

on obtient

ˆ

˙ ˆ ˙ xptq r cospt ` cq “ yptq r sinpt ` cq ˆ ˙ cos t ¨ r cos c ´ sin t ¨ r sin c “ sin t ¨ r cos c ` cos t ¨ r sin c ˆ ˙ˆ ˙ x0 cos t ´ sin t . “ sin t cos t y0

On remarque que

ˆ Rptq “

cos t ´ sin t sin t cos t

˙

est une matrice de rotation pour chaque t P R. Puisque Rp0q “ Id, il résulte de la proposition I.14 que la famille des applications ϕt : R2 Ñ R2 définies par ˆ ˙ ˆ ˙ x0 x0 “ Rptq ϕt y0 y0 est un flot. On note que l’identité ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs est équivalente à l’identité entre matrices de rotation Rpt ` sq “ RptqRpsq.

Exemple I.16. On considère maintenant l’équation différentielle # x1 “ y, y 1 “ x. Si px, yq “ pxptq, yptqq est une solution, alors px2 ´ y 2 q1 “ 2xx1 ´ 2yy 1 “ 2xy ´ 2yx “ 0. Donc, il existe une constante r ě 0 telle que xptq2 ´ yptq2 “ r 2

ou xptq2 ´ yptq2 “ ´r 2 .

(I.6)

Dans le premier cas, on peut écrire xptq “ r cosh θptq et yptq “ r sinh θptq, où θ est une certaine fonction différentiable. Puisque x1 “ y, on a rθ 1 ptq sinh θptq “ r sinh θptq 11 i

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Chapitre I. Notions de base

et donc, θptq “ t ` c pour une certaine constante c P R. Pour px0 , y0 q “ pr cosh c, r sinh cq P R2 , on obtient

ˆ

xptq yptq

˙

ˆ

˙ r coshpt ` cq “ r sinhpt ` cq ˆ ˙ cosh t ¨ r cosh c ` sinh t ¨ r sinh c “ sinh t ¨ r cosh c ` cosh t ¨ sinh c ˆ ˙ ˆ ˙ˆ ˙ x0 x0 cosh t sinh t “ Sptq , “ sinh t cosh t y0 y0 ˆ

où Sptq “

˙ cosh t sinh t . sinh t cosh t

Dans le second cas de (I.6), on peut écrire xptq “ r sinh θptq et yptq “ r cosh θptq. En procédant de manière analogue, on trouve que θptq “ t ` c pour une certaine constante c P R. Pour px0 , y0 q “ pr sinh c, r cosh cq P R2 , on obtient

ˆ

˙ ˆ ˙ xptq r sinhpt ` cq “ yptq r coshpt ` cq ˆ ˙ sinh t ¨ r cosh c ` cosh t ¨ r sinh c “ cosh t ¨ r cosh c ` sinh t ¨ r sinh c ˆ ˙ x0 . “ Sptq y0

Puisque Sp0q “ Id, il résulte de la proposition I.14 que la famille des applications ψt : R2 Ñ R2 définies par ˆ ˙ ˆ ˙ x0 x0 “ Sptq ψt y0 y0 est un flot. En particulier, l’identité ψt`s “ ψt ˝ ψs est équivalente à Spt ` sq “ SptqSpsq pour tous t, s P R.

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I.3. Exemples pour le temps continu

I.3.2. Temps discret et temps continu On décrit dans cette section certaines relations entre les systèmes dynamiques à temps discret et les systèmes dynamiques à temps continu.

Exemple I.17. Soit ϕt : X Ñ X un flot. Pour chaque T P R, l’application f “ ϕT : X Ñ X est un système dynamique à temps discret. On remarque que f est inversible et son application réciproque est donnée par f ´1 “ ϕ´T . De manière similaire, si ϕt : X Ñ X est un semi-flot, alors pour chaque T ě 0, l’application f “ ϕT : X Ñ X est aussi un système dynamique à temps discret. On décrit maintenant une classe de semi-flots obtenus à partir d’un système dynamique à temps discret f : X Ñ X. Soit τ : X Ñ R` une fonction. On considère l’ensemble Y obtenu à partir de  ( Z “ px, tq P X ˆ R : 0 ď t ď τ pxq en identifiant les points px, τ pxqq et pf pxq, 0q, pour chaque x P R. Plus précisément, on définit Y “ Z{„, où „ est la relation d’équivalence dans Z définie par px, tq „ py, sq

ô

y “ f pxq, t “ τ pxq et s “ 0

(voir la figure I.4). t

px, τ pxqq

px, tq “ ϕt px, 0q

px, 0q

pf pxq, 0q

x

Figure I.4. Flot de suspension.

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Chapitre I. Notions de base

D´efinition I.18. Le semi-flot de suspension ϕt : Y Ñ Y au-dessus de f avec une hauteur τ est défini pour t ě 0 par ϕt px, sq “ px, s ` tq lorsque s ` t P r0, τ pxqs

(I.7)

(voir la figure I.4).

On peut vérifier facilement que chaque semi-flot de suspension est en effet un semi-flot. En outre, lorsque f est inversible, la famille des applications ϕt dans (I.7), pour t P R, est un flot, appelé le flot de suspension au-dessus de f avec une hauteur τ . D’autre part, étant donné un semi-flot ϕt : Y Ñ Y , on peut construire parfois un système dynamique à temps discret f : X Ñ X tel que le semi-flot peut être considéré comme un semi-flot de suspension au-dessus de f .

D´efinition I.19. Un ensemble X Ă Y est dit une section de Poincaré pour un semi-flot ϕt si (  (I.8) τ pxq :“ inf t ą 0 : ϕt pxq P X P R` pour chaque x P X (voir la figure I.5), avec la convention que inf ∅ “ `8. Le nombre τ pxq est appelé temps de premier retour de x à l’ensemble X.

X Y

x

ϕτ pxq pxq

Figure I.5. Section de Poincaré.

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I.3. Exemples pour le temps continu

Donc, le temps de premier retour à X est une fonction τ : X Ñ R` . On observe que (I.8) comprend l’hypothèse que chaque point de X retourne à X. En fait, chaque point de X retourne une infinité de fois à X. Étant donnée une section de Poincaré, on peut introduire une application de Poincaré.

D´efinition I.20. Soit X une section de Poincaré pour un semi-flot ϕt . On définit son application de Poincaré f : X Ñ X par f pxq “ ϕτ pxq pxq.

I.3.3. Équations différentielles sur le tore T2 On considère aussi une classe d’équations différentielles sur T2 . On rappelle que deux vecteurs x, y P R2 représentent le même point du tore T2 si et seulement si x ´ y P Z2 .

Exemple I.21. Soient f, g : R2 Ñ R fonctions de classe C 1 telles que f px ` k, y ` lq “ f px, yq et gpx ` k, y ` lq “ gpx, yq pour tous x, y P R et k, l P Z. L’équation différentielle en R2 donnée par # x1 “ f px, yq, y 1 “ gpx, yq

(I.9)

peut être considérée comme une équation différentielle sur T2 . On note qu’elle a des solutions uniques (qui sont globales, c’est-à-dire définies pour t P R car le tore est compact) et soit ϕt : T2 Ñ T2 le flot correspondant (voir la proposition I.14). On suppose maintenant que f prend seulement des valeurs positives. Alors, chaque solution ϕt p0, zq “ pxptq, yptqq de l’équation (I.9) coupe une infinité de fois le segment de droite x “ 0, qui est donc une section de Poincaré pour ϕt (voir la définition I.19). La première intersection (pour t ą 0) se produit au moment  ( Tz “ inf t ą 0 : xptq “ 1 . On considère aussi l’application h : S 1 Ñ S 1 définie par hpzq “ ypTz q

(I.10) 15

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Chapitre I. Notions de base

(voir la figure I.6). On peut utiliser la dépendance C 1 des solutions d’une équation différentielle par rapport aux conditions initiales pour montrer que h est un difféomorphisme, c’est-à-dire une application différentiable bijective (injective et surjective) avec application réciproque différentiable (voir l’exercice I.20). y 1

p1, hpzqq ϕt p0, zq

p0, zq

1

x

Figure I.6. Application de Poincaré déterminée par la section de Poincaré x “ 0.

Par exemple, si f “ 1 et g “ α P R, alors ϕt p0, zq “ pt, z ` tαq mod 1. Donc, Tz “ 1 pour chaque z P R et hpzq “ z ` α mod 1 “ Rα pzq.

I.4. Ensembles invariants On introduit dans cette section la notion d’ensemble invariant par un système dynamique.

D´efinition I.22. Soit f : X Ñ X une application. Un ensemble A Ă X est dit : 1. invariant par f ou f -invariant si f ´1 A “ A, où  ( f ´1 A “ x P X : f pxq P A ; 16 i

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I.4. Ensembles invariants

2. positivement invariant par f ou positivement f -invariant si f pAq Ă A ; 3. négativement invariant par f ou négativement f -invariant si f ´1 A Ă A.

Exemple I.23. Considérons la rotation Rα : S 1 Ñ S 1 . Pour α P Q, chaque ensemble (  γpxq “ Rαn pxq : n P Z est fini et Rα -invariant. Plus généralement, pour α P Q, un ensemble non vide A Ă X est Rα -invariant si et seulement s’il est une union d’ensembles de la forme γpxq (voir la discussion après la définition I.25). Par exemple, l’ensemble Q{Z est Rα -invariant. D’autre part, pour α P RzQ, chaque ensemble γpxq est aussi Rα -invariant, mais maintenant il est infini. Encore une fois, un ensemble non vide A Ă X est Rα -invariant si et seulement s’il est une union d’ensembles de la forme γpxq. On peut montrer que chaque ensemble γpxq est dense dans S 1 (voir l’exemple II.5) et donc, les ensembles Rα -invariants fermés sont ∅ et S 1 .

Exemple I.24. Considérons l’application $ ’ 4x ’ ’ ’ &4x ´ 1 E4 pxq “ ’ 4x ´ 2 ’ ’ ’ %4x ´ 3

dilatante E4 : S 1 Ñ S 1 , donnée par si si si si

x P r0, 1{4r, x P r1{4, 2{4r, x P r2{4, 3{4r, x P r3{4, 1r

(voir la figure I.7). Par exemple, l’ensemble č ` ˘ E4´n r0, 1{4s Y r2{4, 3{4s A“

(I.11)

ně0

est positivement E4 -invariant. On remarque que A est un ensemble de Cantor, c’est-à-dire que A est un ensemble fermé sans point isolé et sans point intérieur. On introduit aussi les notions d’orbite et de semi-orbite.

D´efinition I.25. Soit f : X Ñ X une application. Pour un point x P X, l’ensemble  ( γ ` pxq “ γf` pxq “ f n pxq : n P N0 est appelé la semi-orbite positive de x. En outre, lorsque f est inversible,  ( γ ´ pxq “ γf´ pxq “ f ´n pxq : n P N0 17 i

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Chapitre I. Notions de base

E4 pxq 1

1 4

1 2

3 4

1

x

Figure I.7. Application dilatante E4 .

est appelé la semi-orbite négative de x et  ( γpxq “ γf pxq “ f n pxq : n P Z est appelé l’orbite de x. On remarque que lorsque f est inversible, un ensemble non vide A Ă X est f -invariant si et seulement s’il est une union d’orbites. En effet, A Ă X est f invariant si et seulement si xPA

ô

x P f ´1 A

ô

Par récurrence, cela est équivalent à (  n xPA ô f pxq : n P Z Ă A

f pxq P A.

ô

γpxq P A,

puisque f est inversible. Donc, un ensemble non vide A Ă X est f -invariant si et seulement si ď γpxq. A“ xPA

On introduit maintenant la notion d’ensemble invariant par un flot ou un semi-flot. 18 i

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I.4. Ensembles invariants

D´efinition I.26. Soit Φ “ pϕt qtPR un flot de X. Un ensemble A Ă X est dit invariant par Φ ou Φ-invariant si ϕ´1 t A “ A pour tout t P R. Soit maintenant Φ “ pϕt qtě0 un semi-flot de X. Un ensemble A Ă X est dit invariant par Φ ou Φ-invariant si ϕ´1 t A “ A pour tout t ě 0. Dans le cas de flots, puisque ϕ´1 t “ ϕ´t pour t P R, un ensemble A Ă X est Φ-invariant si et seulement si ϕt pAq “ A pour tout t P R.

Exemple I.27. Considérons l’équation différentielle # x1 “ 2y 3 , y 1 “ ´3x.

(I.12)

Chaque solution px, yq “ pxptq, yptqq vérifie p3x2 ` y 4 q1 “ 6xx1 ` 4y 3 y 1 “ 12xy 3 ´ 12y 3 x “ 0. Donc, pour chaque ensemble I Ă R` , l’union ď ( px, yq P R2 : 3x2 ` y 4 “ a A“ aPI

est invariante par le flot déterminé par l’équation (I.12). On introduit aussi les notions d’orbite et de semi-orbite pour un semi-flot.

D´efinition I.28. Soit Φ “ pϕt qtě0 un semi-flot de X. Pour un point x P X, l’ensemble  ( ` pxq “ ϕt pxq : t ě 0 γ ` pxq “ γΦ est appelé la semi-orbite positive de x. En outre, pour un flot Φ “ pϕt qtPR de X,  ( ´ pxq “ ϕ´t pxq : t ě 0 γ ´ pxq “ γΦ 19 i

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Chapitre I. Notions de base

est appelé la semi-orbite négative de x et  ( γpxq “ γΦ pxq “ ϕt pxq : t P R est appelé l’orbite de x.

I.5. Exercices Exercice I.1. Dire si l’application f : R Ñ R définie par f pxq “ 3x ´ 3x2 a des points périodiques de période 2. Exercice I.2. Dire si l’application f : R Ñ R définie par f pxq “ x2 ` 1 a des points périodiques de période 5. Exercice I.3. Soit f : R Ñ R une fonction continue. Montrer que : 1. si ra, bs Ă f pra, bsq, alors f a un point fixe dans ra, bs ; 2. si ra, bs Ą f pra, bsq, alors f a un point fixe dans ra, bs.

Exercice I.4. Soit f : R Ñ R une fonction continue et soient ra, bs, rc, ds Ă R des intervalles tels que rc, ds Ă f pra, bsq,

ra, bs Ă f prc, dsq

et ra, bs X rc, ds “ ∅.

Montrer que f a un point périodique de période 2.

Exercice I.5. Montrer que si f : ra, bs Ñ ra, bs est un homéomorphisme (c’est-àdire une fonction continue bijective avec fonction réciproque continue), alors f n’a pas de point périodique de période supérieure à 2. Exercice I.6. Dire s’il existe un homéomorphisme f : R Ñ R avec : 1. un point périodique de période 2 ; 2. un point périodique de période 3.

Exercice I.7. Montrer que toute la puissance d’une application dilatante est encore une application dilatante. Exercice I.8. Montrer que l’ensemble des points périodiques pour l’application dilatante Em est dense dans S 1 . Exercice I.9. Pour chaque q P N, déterminer le nombre de points q-périodiques pour l’application f : R Ñ R définie par f pzq “ z 2 dans l’ensemble R “ tz P C : |z| “ 1u.

Exercice I.10. Montrer que le nombre de points périodiques de période p “ q r pour l’application dilatante Em , pour q premier et r P N, est donné par nm ppq “ mp ´ mp{q . 20 i

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Exercices

Exercice I.11. Déterminer le plus petit ensemble E3 -invariant qui contient l’union r0, 1{3s Y r2{3, 1s. Exercice I.12. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. l’endomorphisme du tore TA : Tn Ñ Tn est inversible ; 2. x P Zn si et seulement si Ax P Zn ; 3. |det A| “ 1.

Exercice I.13. Soit TA : Tn Ñ Tn un endomorphisme du tore. Montrer que pour chaque x P Qn {Zn , il existe m P N tel que TAm pxq est un point périodique pour TA . Exercice I.14. Montrer que le complémentaire d’un ensemble positivement f invariant est négativement f -invariant. Exercice I.15. Pour une application f : X Ñ X, montrer que : 1. A Ă X est f -invariant si et seulement si f ´1 A Ă A et f pAq Ă A ; 2. A Ă X est f -invariant si et seulement si XzA est f -invariant.

Exercice I.16. Montrer que si l’ensemble X est une section de Poincaré pour un semi-flot ϕt , alors : 1. ϕt n’a pas de point fixe dans X ; 2. f est inversible lorsque ϕt est un flot.

Exercice I.17. Trouver le flot déterminé par l’équation x2 ` 4x “ 0. Exercice I.18. Trouver le flot déterminé par l’équation x2 ´ 5x1 ` 6x “ 0. Exercice I.19. Montrer que l’équation x1 “ x2 ne détermine pas un flot. Exercice I.20. Utiliser la dépendance C 1 des solutions d’une équation différentielle par rapport aux conditions initiales(1) et le théorème des fonctions implicites pour montrer que l’application h définie par (I.10) est un difféomorphisme.

p1q

Si f : D Ñ Rn est une fonction de classe C 1 dans un ensemble ouvert D Ă Rn et ϕp¨, x0 q est la solution du problème de Cauchy (I.4), alors la fonction pt, xq ÞÑ ϕpt, xq est de classe C 1 (voir par exemple [2]).

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7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

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II DYNAMIQUE TOPOLOGIQUE

On considère dans ce chapitre la classe des systèmes dynamiques topologiques, c’est-à-dire la classe des applications continues d’un espace topologique X dans lui-même. On suppose toujours que X est un espace métrique localement compact à base dénombrable (ce qui signifie, respectivement, que chaque point a un voisinage compact et qu’il existe une famille dénombrable d’ensembles ouverts tels que chaque ensemble ouvert peut être écrit comme une union d’éléments de cette famille). En particulier, on étudie les notions d’ensemble α-limite et d’ensemble ω-limite, ainsi que quelques notions de base et quelques résultats relatifs à la récurrence (topologique). On introduit aussi la notion d’entropie topologique, qui est une mesure de la complexité d’un système dynamique, et on illustre son calcul avec plusieurs exemples. Pour des sujets supplémentaires relatifs à la dynamique topologique, le lecteur pourra consulter, par exemple, [3, 4, 9, 15].

II.1. Systèmes dynamiques topologiques On introduit dans cette section la notion de système dynamique topologique.

D´efinition II.1. Une application continue f : X Ñ X est appelée système dynamique topologique à temps discret ou simplement système dynamique topologique. Lorsque f est un homéomorphisme (c’est-à-dire une application continue bijective avec application réciproque continue), on dit aussi que f est un système dynamique topologique inversible.

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Chapitre II. Dynamique topologique

Par exemple, chaque rotation Rα : S 1 Ñ S 1 est un homéomorphisme du cercle, avec la topologie et la distance dans S 1 “ R{Z induites de celles de R. Plus précisément, la topologie de S 1 est engendrée par les ensembles de la forme sa, br et r0, ar Y sb, 1s, avec 0 ă a ă b ă 1, et la distance d dans S 1 est donnée par   ( dpx, yq “ min px ` kq ´ py ` lq : k, l P Z  ( “ min |x ´ y ´ m| : m P Z . (II.1) On considère maintenant le cas de temps continu.

D´efinition II.2. Tout flot (respectivement tout semi-flot) ϕt : X Ñ X tel que l’application pt, xq ÞÑ ϕt pxq est continue dans R ˆ X (respectivement dans R` 0 ˆ X) est dit un flot topologique (respectivement appelé semi-flot topologique). Tout flot topologique et tout semi-flot topologique sont aussi appelés systèmes dynamiques topologiques à temps continu ou simplement systèmes dynamiques topologiques. En particulier, il résulte des hypothèses de continuité que chaque application ϕt : X Ñ X est continue (dans le cas de flots, elle est même un homéomorphisme).

Exemple II.3. Soit f : Rn Ñ Rn une fonction lipschitzienne avec f p0q “ 0. On rappelle que f est appelée fonction lipschitzienne s’il existe L ą 0 tel que }f pxq ´ f pyq} ď L}x ´ y} pour tous x, y P Rn . On considère maintenant le problème de Cauchy (I.4), qui a une solution unique xpt, x0 q pour chaque x0 P Rn . Il résulte de żt xpt, x0 q “ x0 ` f pxps, x0 qq ds 0

que ˇż t ˇ ˇ ˇ }xpt, x0 q} ď }x0 } ` ˇˇ }f pxps, x0 qq} dsˇˇ 0 ˇż t ˇ ˇ ˇ ď }x0 } ` Lˇˇ }xps, x0 q} dsˇˇ. 0

Donc, par le lemme de Gronwall(1) , on obtient }xpt, x0 q} ď }x0 }eL|t| şt Si u, v : ra, bs Ñ R sont des fonctions continues avec v ě 0 telles que uptq ď c ` a upsqvpsq ds şt pour tout t P ra, bs, alors uptq ď c exp a vpsq ds pour tout t P ra, bs (voir par exemple [2]). p1q

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II.2. Ensembles limites

pour t dans le domaine de la solution. Cela implique que la solution ϕt px0 q “ xpt, x0 q est définie pour t P R. Il résulte de la dépendance continue des solutions d’une équation différentielle par rapport aux conditions initiales(2) que le flot ϕt : Rn Ñ Rn est un système dynamique topologique.

II.2. Ensembles limites On introduit dans cette section les notions d’ensemble α-limite et d’ensemble ω-limite pour un système dynamique. Ces ensembles contiennent de l’information sur le comportement asymptotique de chaque orbite. Plus précisément, l’ensemble ω-limite d’un point x est formé par les points qui sont arbitrairement approchés par les images f n pxq, tandis que l’ensemble α-limite de x est formé par les points qui sont arbitrairement approchés par les préimages f ´n pxq.

II.2.1. Temps discret On commence par le cas du temps discret. Soit f : X Ñ X une application (elle n’est pas nécessairement continue).

D´efinition II.4. Pour un point x P X, l’ensemble ω-limite de x est défini par ωpxq “ ωf pxq “

č ( f m pxq : m ě n . nPN

En outre, lorsque f est inversible, l’ensemble α-limite de x est défini par αpxq “ αf pxq “

č ( f ´m pxq : m ě n . nPN

Exemple II.5. Soit Rα : S 1 Ñ S 1 une rotation du cercle. Pour α P Q, on a ωpxq “ αpxq “ γpxq pour tout x P S 1 . D’autre part, pour α P RzQ, on peut montrer que ωpxq “ αpxq “ S 1

(II.2)

p2q

Si f : D Ñ Rn est une fonction lipschitzienne dans un ensemble ouvert D Ă Rn et ϕp¨, x0 q est la solution du problème de Cauchy (I.4), alors la fonction pt, xq ÞÑ ϕpt, xq est continue (voir par exemple [2]).

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Chapitre II. Dynamique topologique

pour tout x P S 1 . Afin d’établir (II.2), on montre que les ensembles (  ´m (  m et Rα pxq : m ě n Rα pxq : m ě n

(II.3)

sont denses dans S 1 pour chaque x P S 1 et n P N. On suppose d’abord que Rαm1 pxq “ Rαm2 pxq pour certains entiers m1 ą m2 ě n. Donc, x ` m1 α “ x ` m2 α mod 1 ou, de façon équivalente, m1 α ´ m2 α “ m, pour un certain m P Z. Alors α “ m{pm1 ´ m2 q, mais cela est impossible car α est irrationnel. Donc, pour chaque n P N, les points Rαm pxq sont distincts deux à deux pour m ě n. Prenons maintenant ε ą 0 et N P N tels que 1{N ă ε. Puisque les points Rαn pxq, Rαn`1 pxq, . . . , Rαn`N pxq sont distincts, il existe des entiers i1 et i2 tels que 0 ď i1 ă i2 ď N et ˘ ` 1 ă ε, d Rαn`i1 pxq, Rαn`i2 pxq ď N

(II.4)

où d est la distance définie en (II.1). Donc, ˘ ` ˘ ˘ ` ` d Rαi2 ´i1 pxq, x “ d Rαi2 ´i1 Rαn`i1 pxq , Rαn`i1 pxq ˘ ` “ d Rαn`i2 pxq, Rαn`i1 pxq ă ε mpi ´i q

et la suite xm “ Rα 2 1 pxq, avec m P N, est ε-dense dans S 1 (autrement dit, pour chaque y P S 1 , il existe m P N tel que dpy, xm q ă ε). Puisque ε est arbitraire, on conclut que le premier ensemble dans (II.3) est dense dans S 1 . Pour montrer que le second ensemble est également dense dans S 1 , il suffit de répéter l’argument ci-dessus pour montrer qu’il n’existe pas de nombres entiers m1 ą m2 ě n avec Rα´m1 pxq “ Rα´m2 pxq.

Exemple II.6. Soient α P RzQ et δ ą 0. On montre qu’il existe des entiers p P Z et q P s0, 1{δs tels que  p  δ  (II.5) α ´  ď . q q Prenons un nombre entier N ą 1 tel que 1{N ď δ. En procédant comme dans (II.4), on trouve qu’il existe des entiers m et n tels que 0 ď n ă m ď N et ˘ ` 1 d Rαm p0q, Rαn p0q ă . N 26 i

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II.2. Ensembles limites

Donc, en prenant q “ m ´ n, on obtient ˘ ` ˘ ` d Rαq p0q, 0 “ d Rαq pRαn p0qq, Rαn p0q ˘ ` 1 ď δ. “ d Rαm p0q, Rαn p0q ă N Enfin, il résulte de (II.1) qu’il existe p P Z tel que   q Rα p0q ´ p ă 1 ď δ. N Puisque 1{N ă 1 et Rαq p0q “ qα mod 1, on obtient |qα ´ p| ă

1 ď δ, N

ce qui établit l’inégalité (II.5).

Exemple II.7. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 et le point x “ 0,0 1 00 01 10 11 . . . , écrit en base 2, qui contient toutes les suites finies de 0 et de 1 de longueur 1, 2, 3, . . . Puisque E2m p0.x1 x2 . . .q “ 0.xm`1 xm`2 . . . , chaque ensemble tE2m pxq : m ě nu est dense dans S 1 et donc ωpxq “ S 1 . On remarque que la même chose arrive lorsque x est remplacé par un point de 1 S dont la représentation en base 2 contient toutes les suites finies de 0 et de 1, dans un ordre quelconque.

Exemple II.8. Soit f : R2 Ñ R2 l’application définie par ˙ ˆ ´ ´ π¯ r π¯ r cos θ ` , sin θ ` f pr cos θ, r sin θq “ r ` p1 ´ rq{2 4 r ` p1 ´ rq{2 4 (voir la figure II.1). On peut vérifier facilement que f est inversible et que ˙ ˆ ´ ´ r nπ ¯ r nπ ¯ , cos θ ` sin θ ` f n pr cos θ, r sin θq “ r ` p1 ´ rq{2n 4 r ` p1 ´ rq{2n 4 pour tout n P Z. L’origine (r “ 0) et le cercle r “ 1 sont des ensembles f invariants. Pour r ą 0, on a r “1 nÑ`8 r ` p1 ´ rq{2n lim

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Chapitre II. Dynamique topologique

Figure II.1. L’application f dans l’exemple II.8.

et l’ensemble ω-limite d’un point p “ pr cos θ, r sin θq en dehors de l’origine est donné par ˙ * "ˆ ´ ´ nπ ¯ nπ ¯ , sin θ ` : n “ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . ωppq “ cos θ ` 4 4 D’autre part, pour r P s0, 1r, on a r “0 nÑ´8 r ` p1 ´ rq{2n lim

et l’ensemble α-limite de tout point dans la région 0 ă r ă 1 est l’origine. On établit maintenant certaines propriétés des ensembles α-limite et ω-limite. On rappelle que X est un espace métrique et soit d sa distance.

Proposition II.9. Soit f : X Ñ X une application. Pour chaque x P X, les propriétés suivantes sont satisfaites : 1. y P ωpxq si et seulement s’il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que f nk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8 ; 2. si f est continue, alors ωpxq est positivement f -invariant. 28 i

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II.2. Ensembles limites Démonstration. On a ωpxq “

Ş

mě1 Am ,

où

 ( Am “ f n pxq : n ě m . Soit maintenant y P ωpxq. On considère deux cas : Ş 1. si y R mě1 Am , alors il existe p ě 1 tel que y R Ap . Donc, y P Ap zAp et il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que f nk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8 ; Ş 2. si y P mě1 Am , alors il existe p ě 1 tel que y “ f p pxq. Puisque y P Am pour m ą p, il existe q ą p tel que y “ f q pxq. Donc, f pq´pqk pf p pxqq “ y

pour k P N

et la suite croissante nk “ pq ´ pqk ` p vérifie f nk pxq “ y. D’autre part, s’il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que f nk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8, alors y P Am pour chaque m P N et donc y P ωpxq. Prenons maintenant y P ωpxq et n P N. Par la première propriété, il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que f nk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8. Il résulte de la continuité de f que f nk `n pxq Ñ f n pyq lorsque k Ñ 8 et donc f n pyq P ωpxq. Cela montre que ωpxq est positivement f -invariant.

Proposition II.10. Soit f : X Ñ X une application continue. Si la semi-orbite positive γ ` pxq d’un point x P X a une adhérence compacte, alors : 1. ωpxq est compact et non vide ; (  2. inf dpf n pxq, yq : y P ωpxq Ñ 0 lorsque n Ñ 8. Démonstration. Pour la première propriété, on remarque que, par définition, l’en-

semble ωpxq est fermé. Puisque ωpxq Ă γ ` pxq et l’adhérence de la semi-orbite γ ` pxq est compacte, l’ensemble ωpxq est aussi compact. On considère maintenant la suite f n pxq. Puisqu’elle est contenue dans le sousensemble compact γ ` pxq de l’espace métrique X, il existe une sous-suite convergente f nk pxq avec nk Õ 8 lorsque k Ñ 8. Donc, on peut appliquer la première propriété dans la proposition II.9 pour conclure que la limite de f nk pxq est dans ωpxq. Cela montre que ωpxq est non vide. Enfin, si la dernière propriété n’était pas satisfaite, alors il existerait δ ą 0 et une suite nk Õ 8 tels que (  (II.6) inf dpf nk pxq, yq : y P ωpxq ě δ 29 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

pour k P N. Puisque l’ensemble γ ` pxq est compact, il existerait une sous-suite convergente f mk pxq de f nk pxq dont la limite, par la première propriété dans la proposition II.9, serait un point p P ωpxq. D’autre part, il résulte de (II.6) que dpf mk pxq, yq ě δ pour tous k P N et y P ωpxq et donc, dpp, yq ě δ pour y P ωpxq. Mais cela est impossible car p P ωpxq. Cette contradiction donne la dernière propriété dans la proposition. Dans le cas d’applications inversibles, on a aussi les résultats suivants pour l’ensemble α-limite.

Proposition II.11. Soit f : X Ñ X une application inversible. Pour chaque x P X, les propriétés suivantes sont satisfaites : 1. y P αpxq si et seulement s’il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que f ´nk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8 ; 2. si l’application réciproque de f est continue, alors αpxq est négativement f -invariant.

Proposition II.12. Soit f : X Ñ X une application inversible avec application réciproque continue. Si la semi-orbite négative γ ´ pxq d’un point x P X a adhérence compacte, alors : 1. αpxq est compact et non vide ; (  2. inf dpf n pxq, yq : y P αpxq Ñ 0 lorsque n Ñ ´8. Pour obtenir ces deux propositions, il suffit d’appliquer les propositions II.9 et II.10 à l’application g “ f ´1 .

II.2.2. Temps continu On introduit maintenant les notions d’ensemble α-limite et d’ensemble ωlimite pour un système dynamique à temps continu.

D´efinition II.13. Soit Φ “ pϕt qtě0 un semi-flot de X. L’ensemble ω-limite d’un point x P X est défini par ωpxq “ ωΦ pxq “

č ( ϕs pxq : s ą t . tą0

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II.2. Ensembles limites

En outre, pour un flot Φ “ pϕt qtPR de X, l’ensemble α-limite d’un point x P X est défini par č ( ϕs pxq : s ă t . αpxq “ αΦ pxq “ tă0

Exemple II.14. Considérons l’équation différentielle en coordonnées polaires # r 1 “ rpr ´ 1qpr ´ 2q, (II.7) θ 1 “ 1. On note que r 1 ą 0 pour r P s0, 1r Y s2, `8r et que r 1 ă 0 pour r P s1, 2r. On considère maintenant les ensembles  ( Cr “ px, yq P R2 : x2 ` y 2 “ r 2 pour r ą 0. Pour chaque p P Cr , on a  ( αppq “ ωppq “ p0, 0q pour r “ 0,  ( αppq “ p0, 0q , ωppq “ C1 pour r P s0, 1r, αppq “ ωppq “ C1

pour r “ 1,

αppq “ C1 , ωppq “ C2 αppq “ ωppq “ C2

pour r P s1, 2r,

pour r “ 2,

αppq “ C2 , ωppq “ ∅ pour r ą 2 (voir la figure II.2). On décrit aussi certaines propriétés des ensembles α-limite et ω-limite pour les flots et semi-flots. À l’exception de la connexité de ces ensembles, toutes les autres propriétés sont analogues à celles déjà obtenues pour les systèmes dynamiques à temps discret.

Proposition II.15. Soit Φ “ pϕt qtě0 un semi-flot de X. Pour chaque x P X, les propriétés suivantes sont satisfaites : 1. y P ωpxq si et seulement s’il existe une suite tk Õ `8 dans R` telle que ϕtk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8 ; 2. si Φ est un semi-flot topologique, alors ωpxq est positivement Φ-invariant. Démonstration. Les deux propriétés peuvent être obtenues comme dans la démonstration de la proposition II.9.

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Chapitre II. Dynamique topologique

Figure II.2. Portrait de phase de l’équation (II.7).

Proposition II.16. Soit Φ “ pϕt qtě0 un semi-flot topologique de X. Si la semiorbite positive γ ` pxq d’un point x P X a une adhérence compacte, alors : 1. ωpxq est compact, connexe et non vide ; (  2. inf dpϕt pxq, yq : y P ωpxq Ñ 0 lorsque t Ñ `8. Démonstration. À l’exception de la connexité de l’ensemble ω-limite, les autres propriétés peuvent être obtenues comme dans la démonstration de la proposition II.10. Pour montrer que ωpxq est connexe, on procède par l’absurde. Si ωpxq n’était pas connexe, on aurait ωpxq “ A Y B pour certains ensembles non vides A et B tels que A X B “ A X B “ ∅.

Puisque ωpxq est fermé, on a A “ A X ωpxq “ A X pA Y Bq “ pA X Aq Y pA X Bq “ A et de manière analogue B “ B. Cela montre que les ensembles A et B sont fermés, ce qui implique que  ( δ :“ inf dpa, bq : a P A, b P B ą 0. 32 i

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II.2. Ensembles limites

On considère maintenant l’ensemble fermé  ( C “ z P X : dpz, yq ě δ{4 pour y P ωpxq .

(II.8)

On remarque que C X tϕs pxq : s ą tu ‰ ∅

(II.9)

pour t ą 0. Sinon, l’ensemble tϕs pxq : s ą tu serait contenu dans le δ{4-voisinage de A ou dans le δ{4-voisinage de B. Donc, par la première propriété dans la proposition II.15, on aurait ωpxq X B “ ∅ ou ωpxq X A “ ∅. Mais cela est impossible puisque ωpxq “ A Y B avec A et B non vides. Il résulte de (II.9) qu’il existe une suite tk Õ `8 telle que ϕtk pxq P C pour k P N (voir la figure II.3). Donc, il résulte de la compacité de C X γ ` pxq et encore de la première propriété dans la proposition II.15 que C X ωpxq ‰ ∅. D’autre part, il résulte de (II.8) que C X ωpxq “ ∅. Cette contradiction montre que l’ensemble ωpxq est connexe. C

B

A

Figure II.3. Ensemble C X tϕs pxq : s ą tu.

Dans le cas de flots, on a des résultats analogues pour les ensembles α-limites.

Proposition II.17. Soit Φ “ pϕt qtPR un flot de X. Pour chaque x P X, les propriétés suivantes sont satisfaites : 1. y P αpxq si et seulement s’il existe une suite tk Œ ´8 dans R´ telle que ϕtk pxq Ñ y lorsque k Ñ 8 ; 2. si Φ est un flot topologique, alors αpxq est négativement Φ-invariant. 33 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Proposition II.18. Soit Φ “ pϕt qtPR un flot topologique de X. Si la semi-orbite négative γ ´ pxq d’un point x P X a une adhérence compacte, alors : 1. αpxq est compact, connexe et non vide ;  ( 2. inf dpϕt pxq, yq : y P αpxq Ñ 0 lorsque t Ñ ´8.

II.3. Récurrence topologique On considère dans cette section quelques propriétés de récurrence des orbites d’un système dynamique (à temps discret). On peut dire qu’un point x est récurrent si son orbite retourne à tout voisinage de x.

II.3.1. Transitivité topologique Soit f : X Ñ X une application continue.

D´efinition II.19. Un point x P X est dit (positivement) récurrent (par rapport à f ) si x P ωpxq. Il résulte de la proposition II.9 qu’un point x est récurrent si et seulement s’il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que f nk pxq Ñ x lorsque k Ñ 8. En outre, l’ensemble des points récurrents (par rapport à f ) est positivement invariant. En effet, si f nk pxq Ñ x avec nk Õ 8 lorsque k Ñ 8, alors également f nk `n pxq Ñ f n pxq lorsque k Ñ 8, pour tout n P N. Par exemple, tout point périodique x est récurrent car x P γ ` pxq “ ωpxq.

Exemple II.20. Considérons la rotation Rα : S 1 Ñ S 1 . Lorsque α est rationnel, tous les points sont périodiques et donc, ils sont aussi récurrents. Lorsque α est irrationnel, pour chaque x P S 1 , on a ωpxq “ S 1 et tous les points sont également récurrents. Plus généralement, chaque point x P X avec ωpxq “ X est récurrent. En outre, sa semi-orbite positive γ ` pxq est dense dans X (voir l’exercice II.2). On montre maintenant que dans les espaces métriques compacts sans point isolé, l’existence d’une semi-orbite positive dense est équivalente à la propriété suivante.

D´efinition II.21. Une application f : X Ñ X est dite topologiquement transitive si pour tous les ensembles ouverts non vides U, V Ă X, il existe n P N tel que f ´n U X V ‰ ∅. 34 i

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II.3. Récurrence topologique

Le résultat suivant établit l’équivalence souhaitée.

Th´eor`eme II.22. Soit f : X Ñ X une application continue d’un espace métrique localement compact à base dénombrable. Les propriétés suivantes sont satisfaites : 1. si f est topologiquement transitive, alors il existe x P X dont la semi-orbite positive γ ` pxq est dense dans X ; 2. si X n’a pas de points isolés et s’il existe x P X dont la semi-orbite positive γ ` pxq est dense dans X, alors f est topologiquement transitive. Démonstration. On suppose d’abord que f est topologiquement transitive. Pour Ť tout ensemble ouvert non vide U Ă X, l’union nPN f ´n U est dense dans X, parce qu’elle coupe tous les ouverts. Soit maintenant tUi uiPN une base dénombrable de X. Puisque tout espace métrique localement compact est un espace de Baire (c’est-à-dire un espace avec la propriété que toute intersection dénombrable d’ensembles ouverts denses est dense), l’ensemble čď f ´n Ui Y “ iPN nPN

n’est pas vide. Si x P Y , alors x P

Ť nPN

f ´n Ui pour i P N et donc,

γ ` pxq X Ui ‰ ∅

pour i P N.

Cela montre que la semi-orbite positive de x est dense dans X. On suppose maintenant que X n’a pas de point isolé et qu’il existe x P X avec une semi-orbite positive dense. Soient U, V Ă X des ensembles ouverts non vides. Puisque X n’a pas de point isolé, la semi-orbite γ ` pxq visite une infinité de fois U et V . Donc, il existe m, n P N avec m ą n tels que f m pxq P U et f n pxq P V . Par conséquent, ˘ ` (II.10) x P f ´m U X f ´n V “ f ´n f ´pm´nq U X V et l’ensemble f ´pm´nq U X V est non vide. Par exemple, il résulte du théorème II.22 et de l’exemple II.5 que pour chaque α P RzQ, la rotation Rα : S 1 Ñ S 1 est topologiquement transitive. Il est également fréquent d’utiliser comme définition alternative de transitivité topologique l’existence d’une semi-orbite positive dense. Enfin, on montre que pour les homéomorphismes d’un espace métrique compact sans point isolé, l’existence d’une orbite dense implique l’existence d’une semi-orbite positive dense, peut-être d’un autre point. 35 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Th´eor`eme II.23. Soit f : X Ñ X un homéomorphisme d’un espace métrique localement compact à base dénombrable et sans point isolé. S’il existe x P X dont l’orbite γpxq est dense dans X, alors il existe y P X dont la semi-orbite positive γ ` pyq est dense dans X. Démonstration. Une orbite dense γpxq visite une infinité de fois chaque voisinage ouvert de x (car x n’est pas isolé). Donc, il existe une suite nk avec |nk | Õ 8 telle que f nk pxq Ñ x lorsque k Ñ 8. Puisque f est un homéomorphisme, on a aussi

f nk `m pxq Ñ f m pxq lorsque k Ñ 8,

(II.11)

pour chaque m P Z. On remarque que la suite nk prend un nombre infini de valeurs positives ou un nombre infini de valeurs négatives (ou les deux). Dans le premier cas, il résulte de (II.11) que la semi-orbite positive γ ` pxq est dense dans X, ce qui établit le résultat souhaité. Dans le second cas, la semi-orbite négative γ ´ pxq est dense dans X. Soient maintenant U, V Ă X des ensembles ouverts non vides. Puisque γ ´ pxq est dense dans X et X n’a pas de point isolé, il existe des entiers négatifs m ą n tels que f m pxq P U et f n pxq P V . Donc, la propriété (II.10) est satisfaite et l’ensemble f ´pm´nq U XV est non vide. Cela montre que l’application f est topologiquement transitive et il résulte du théorème II.22 qu’il existe une semiorbite positive dense.

II.3.2. Mélange topologique On considère dans cette section une propriété de récurrence plus forte que la transitivité topologique.

D´efinition II.24. Une application f : X Ñ X est dite topologiquement mélangeante si pour tous les ensembles ouverts non vides U, V Ă X, il existe n P N tel que f ´m U X V ‰ ∅ pour m ě n. On note que toute application topologiquement mélangeante est aussi topologiquement transitive. L’exemple suivant montre que la réciproque est fausse.

Exemple II.25. Soit Rα : S 1 Ñ S 1 une rotation du cercle avec α P RzQ. Pour chaque ε ă 1{4, on considère l’intervalle ouvert U “ sx ´ ε, x ` εr Ă S 1 . Puisque chaque préimage Rα´n U est un intervalle ouvert de longueur 2ε ă 1{2 et l’orbite de x est dense, il existe une suite nk Õ 8 dans N telle que Rα´nk pxq Ñ x ` 1{2 lorsque k Ñ 8. Donc, Rα´nk U X U “ ∅ pour tout k suffisamment grand. Cela montre que la rotation Rα n’est pas topologiquement mélangeante. 36 i

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II.3. Récurrence topologique

Exemple II.26. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 . Par l’exemple II.7, il existe un point x P S 1 dont la semi-orbite positive γ ` pxq est dense dans S 1 . Donc, il résulte du théorème II.22 que l’application E2 est topologiquement transitive. On montre maintenant que E2 est aussi topologiquement mélangeante. Soient U, V Ă S 1 des ensembles ouverts non vides et soit I Ă V un intervalle ouvert de la forme “ ‰ I “ 0.x1 x2 . . . xn , 0.x1 x2 . . . xn 11 . . . , avec les extrémités écrites en base 2. Pour y “ 0.y1 y2 . . . P U , le point x “ 0.x1 x2 . . . xn y1 y2 . . . P I est dans E2´n U car E2n pxq “ y. Donc, E2´n U X V Ą E2´n U X I ‰ ∅. Cela montre que l’application E2 est topologiquement mélangeante.

Exemple II.27. Soit TA : T2 Ñ T2 un automorphisme du tore T2 avec |tr A| ą 2. Par l’exercice I.12, on a det A “ ˘1. On a aussi detpA ´ λIdq “ λ2 ´ tr Aλ ` det A et puisque |tr A| ą 2, les valeurs propres de la matrice A sont les nombres réels a a tr A ` ptr Aq2 ´ 4 det A tr A ´ ptr Aq2 ´ 4 det A et λ2 “ . λ1 “ 2 2 En particulier, il existe λ ą 1 tel que t|λ1 |, |λ2 |u “ tλ, λ´1 u. On montre que λ1 et λ2 sont irrationnels. Ils sont rationnels si et seulement si m2 ˘ 4 “ l2 pour un certain entier l P N, où m “ tr A. Donc, pm ´ lqpm ` lq “ ˘4 et par conséquent, m ` l “ 4 et m ´ l “ 1 ou m ` l “ ´1 et m ´ l “ ´4 (car m ` l ą m ´ l). On peut vérifier facilement que ces systèmes n’ont pas de solutions en nombres entiers. Cela implique que λ1 et λ2 sont irrationnels. En particulier, les directions propres de A ont des pentes irrationnelles. 37 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Soient maintenant U, V Ă T2 des ensembles ouverts non vides et soit I Ă U un segment de droite parallèle à la direction propre de A correspondante à la valeur propre de module λ´1 ă 1. Alors A´m I Ă R2 est un segment de droite de longueur λm |I|, où |I| est la longueur de I. D’autre part, puisque la direction propre de A correspondante à λ´1 a une pente irrationnelle, on peut montrer que pour toute droite J Ă R2 avec cette direction, l’ensemble J{Z2 est dense dans T2 . Cela implique que, pour chaque ε ą 0, il existe L ą 0 tel que pour tout segment de droite J 1 Ă R2 de longueur L avec cette direction, l’ensemble J 1 {Z2 est ε-dense dans T2 . Autrement dit, le ε-voisinage de J 1 {Z2 coïncide avec T2 (voir la figure II.4). Prenons maintenant ε ą 0 tel que V contient une boule ouverte B de rayon ε et n “ npεq P N tels que λn |I| ą L (rappelons que λ ą 1). Puisque λm |I| ą L pour m ě n, on obtient TA´m U X V Ą TA´m I X B ‰ ∅ pour m ě n (car TA´m I est ε-dense dans T2 ). Cela montre que l’automorphisme du tore TA est topologiquement mélangeant.

1

x

Bpx, εq

1 Figure II.4. Segment de droite ε-dense dans T2 .

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II.4. Entropie topologique

II.4. Entropie topologique On introduit dans cette section la notion d’entropie topologique d’un système dynamique (à temps discret). On peut dire que l’entropie topologique mesure la façon dont les orbites d’un système dynamique s’éloignent les unes des autres avec le temps. Elle peut donc être considérée comme une mesure de la complexité de la dynamique. En plus d’établir quelques propriétés de base de l’entropie topologique, on illustre également son calcul avec plusieurs exemples. L’accent dans cette section est précisément mis sur le calcul de l’entropie topologique. En particulier, on décrit plusieurs caractérisations alternatives de l’entropie topologique qui sont particulièrement utiles pour son calcul explicite. On montre aussi que l’entropie topologique est un invariant topologique, c’est-à-dire qu’elle prend la même valeur pour des systèmes dynamiques qui sont topologiquement conjugués.

II.4.1. Notions de base et exemples Soit f : X Ñ X une application continue d’un espace métrique compact X et soit d la distance dans X. Pour chaque n P N, on introduit une nouvelle distance dans X par  ( dn px, yq “ max dpf k pxq, f k pyqq : 0 ď k ď n ´ 1 .

D´efinition II.28. L’entropie topologique de f est définie par hpf q “ lim lim sup εÑ0 nÑ8

1 log N pn, εq, n

(II.12)

où N pn, εq est le plus grand nombre de points p1 , . . . , pm P X tels que dn ppi , pj q ě ε pour i ‰ j. On remarque que N pn, εq est toujours fini. En effet, soit B1 , B2 , . . . un recouvrement de X par des boules ouvertes de dn -rayon ε{2. Puisque X est compact, il 1 et donc N pn, εq ď m. On note aussi existe un sous-recouvrement fini B11 , . . . , Bm que la fonction 1 (II.13) ε ÞÑ lim sup log N pn, εq nÑ8 n est décroissante et donc, la limite dans (II.12) lorsque ε Ñ 0 existe toujours. 39 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Exemple II.29. Soit Rα : S 1 Ñ S 1 une rotation du cercle. Pour la distance d dans (II.1), on a dpRα pxq, Rα pyqq “ dpx, yq pour tous x, y P S 1 . Donc, dn “ d1 “ d pour n P N et hpRα q “ lim lim sup εÑ0

nÑ8

1 log N p1, εq “ 0. n

Exemple II.30. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 . Puisque la fonction dans (II.13) est décroissante, on a hpE2 q “ lim lim sup kÑ8 nÑ8

1 log N pn, ak q n

pour toute suite pak qkPN Ă R` telle que ak Ñ 0 lorsque k Ñ 8. Prenons maintenant ak “ 2´pk`1q . On montre que N pn, 2´pk`1q q “ 2n`k

pour n, k P N.

On observe d’abord que si dpx, yq ă 2´n , alors ` ˘ dn px, yq “ d E2n´1 pxq, E2n´1 pyq “ 2n´1 dpx, yq.

(II.14)

(II.15)

Considérons maintenant les points pi “ i{2n`k pour i “ 0, . . . , 2n`k ´ 1. Il résulte de (II.15) que dn ppi , pi`1 q “ 2´pk`1q

pour i “ 0, . . . , 2n`k ´ 1.

Puisqu’il n’y a aucun point pj entre pi et pi`1 , on a dn ppi , pj q ě 2´pk`1q pour i ‰ j et donc, (II.16) N pn, 2´pk`1q q ě 2n`k . Considérons maintenant un ensemble A Ă S 1 de cardinalité au moins 2n`k ` 1. Il existe des points x, y P A avec x ‰ y tels que dpx, yq ă 2´pn`kq . Cela implique que dn px, yq ă 2´pk`1q et donc, N pn, 2´pk`1q q ď 2n`k .

(II.17)

Il résulte de (II.16) et (II.17) que la propriété (II.14) est satisfaite et 1 log N pn, 2´pk`1q q kÑ8 nÑ8 n n`k log 2 “ log 2. “ lim lim sup kÑ8 nÑ8 n

hpE2 q “ lim lim sup

(II.18)

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II.4. Entropie topologique

II.4.2. Invariance topologique On montre dans cette section que l’entropie topologique est un invariant topologique. On introduit d’abord la notion de conjugaison topologique.

D´efinition II.31. Deux applications f : X Ñ X et g : Y Ñ Y , où X et Y sont des espaces topologiques, sont dites topologiquement conjuguées s’il existe un homéomorphisme H : X Ñ Y tel que H ˝ f “ g ˝ H. Dans ce cas, H est appelée une conjugaison topologique.

Exemple II.32. Considérons l’application f : R Ñ R définie par f pzq “ z 2 dans l’ensemble R “ tz P C : |z| “ 1u (voir l’exercice I.9). On considère aussi l’application continue H : S 1 Ñ R définie par Hpxq “ e2πix . On peut vérifier facilement que H est un homéomorphisme, avec l’application réciproque donnée par arg z mod 1. H ´1 pzq “ 2π On a pf ˝ Hqpxq “ f pe2πix q “ e4πix et Cela montre que

pH ˝ E2 qpxq “ Hp2xq “ e4πix . H ˝ E2 “ f ˝ H

et les applications E2 et f sont topologiquement conjuguées. On dit qu’une certaine quantité, comme, par exemple, l’entropie topologique, est un invariant topologique si elle prend la même valeur pour des systèmes dynamiques qui sont topologiquement conjugués. On montre maintenant que l’entropie topologique est un invariant topologique.

Th´eor`eme II.33. Soient f : X Ñ X et g : Y Ñ Y des applications continues, où X et Y sont des espaces métriques compacts. Si f et g sont topologiquement conjuguées, alors hpf q “ hpgq. 41 i

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Chapitre II. Dynamique topologique Démonstration. Soit H : X Ñ Y un homéomorphisme tel que

H ˝ f “ g ˝ H.

(II.19)

Puisque l’application H est uniformément continue, pour chaque ε ą 0, il existe δ ą 0 tel que (II.20) dY pHpxq, Hpyqq ă ε lorsque dX px, yq ă δ, où dX et dY sont, respectivement, les distances de X et Y . On remarque que δ Ñ 0 lorsque ε Ñ 0. D’autre part, il résulte de (II.19) que Hpf m pxqq “ gm pHpxqq pour tous m P N et x P X. Donc, par (II.20), si p1 , . . . , pm P Y satisfont ˘ (  ` max dY gm pqi q, gm pqj q : m “ 0, . . . , n ´ 1 ě ε pour i ‰ j, où qi “ Hppi q, alors ˘ (  ` max dX f mppi q, f m ppj q : m “ 0, . . . , n ´ 1 ě δ

pour i ‰ j.

Cela montre que Nf pn, δq ě Ng pn, εq,

(II.21)

en indiquant le système dynamique particulier utilisé dans la définition II.28. Il résulte de (II.21) que lim sup nÑ8

1 1 log Nf pn, δq ě lim sup log Ng pn, εq n nÑ8 n

pour chaque ε ą 0. Lorsque ε Ñ 0, on a δ Ñ 0 et donc hpf q ě hpgq. On écrit maintenant l’identité (II.19) sous la forme H ´1 ˝ g “ f ˝ H ´1 . Par l’argument précédent avec H remplacée par H ´1 , on obtient hpgq ě hpf q. Donc, hpf q “ hpgq.

Exemple II.34. L’application f dans l’exemple II.32 est topologiquement conjuguée à l’application dilatante E2 . Donc, il résulte du théorème II.33 et de l’exemple II.30 (voir (II.18)) que hpf q “ hpE2 q “ log 2.

II.4.3. Caractérisations alternatives On décrit dans cette section plusieurs caractérisations de l’entropie topologique. Elles sont particulièrement utiles pour le calcul de l’entropie. 42 i

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II.4. Entropie topologique

D´efinition II.35. Soient n P N et ε ą 0. On désigne par M pn, εq le plus petit nombre de points p1 , . . . , pm P X tels que chaque x P X satisfait dn px, pi q ă ε pour un certain i. D´efinition II.36. Soient n P N et ε ą 0. On désigne par Cpn, εq le plus petit nombre d’éléments d’un recouvrement de X par des ensembles U1 , . . . , Um tels que (  (II.22) sup dn px, yq : x, y P Ui ă ε pour i “ 1, . . . , m. La borne supérieure dans (II.22) est appelée le dn -diamètre de Ui . On a les relations suivantes entre ces nombres et N pn, εq (voir la définition II.28).

Proposition II.37. Pour chaque n P N et ε ą 0, on a Cpn, 2εq ď M pn, εq ď N pn, εq ď M pn, ε{2q ď Cpn, ε{2q.

(II.23)

Démonstration. On établit successivement chaque inégalité.

1. Soient p1 , . . . , pm P X tels que chaque x P X satisfait dn px, pi q ă ε pour un certain i, où m “ M pn, εq. Les dn -boules ouvertes  ( Bn ppi , εq “ x P X : dn px, pi q ă ε recouvrent X. Puisque Bn ppi , εq a pour dn -diamètre 2ε, on obtient m ě Cpn, 2εq. 2. Soient maintenant p1 , . . . , pm P X tels que dn ppi , pj q ě ε pour i ‰ j, où m “ N pn, εq. On remarque que chaque x P Xztp1 , . . . , pm u satisfait dn px, pi q ă ε pour un certain i. Donc, M pn, εq ď m. 3. Pour la troisième inégalité, on note qu’aucune dn -boule ouverte de rayon ε{2 contient deux points à une dn -distance ε. Donc, N pn, εq ď M pn, ε{2q. 4. Enfin, soit U1 , . . . , Um un recouvrement de X par des ensembles de dn diamètre inférieur à ε{2, où m “ Cpn, ε{2q. Prenons un point pi P Ui pour chaque i. On a Bn ppi , ε{2q Ą Ui et ces dn -boules forment un recouvrement de X. Donc, M pn, ε{2q ď Cpn, ε{2q. Cela complète la démonstration de la proposition. 43 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

On obtient maintenant plusieurs formules alternatives pour l’entropie topologique.

Th´eor`eme II.38. Si f : X Ñ X est une application continue d’un espace métrique compact, alors 1 log N pn, εq n 1 “ lim lim sup log M pn, εq εÑ0 nÑ8 n 1 “ lim lim inf log M pn, εq εÑ0 nÑ8 n 1 “ lim lim log Cpn, εq. εÑ0 nÑ8 n

hpf q “ lim lim inf εÑ0 nÑ8

(II.24)

Démonstration. On établit d’abord l’existence de la limite lorsque n Ñ 8 dans la

dernière expression de (II.24).

Lemme II.39. Pour m, n P N et ε ą 0, on a Cpm ` n, εq ď Cpm, εqCpn, εq. Démonstration du lemme. Soit U1 , . . . , Uk un recouvrement de X par des ensembles de dn -diamètre inférieur à ε, où k “ Cpn, εq. Soit aussi V1 , . . . , Vl un recouvrement de X par des ensembles de dm -diamètre inférieur à ε, où l “ Cpm, εq. Alors, les ensembles Ui X f ´n Vj , pour i “ 1, . . . , k et j “ 1, . . . , l, forment un recouvrement de X et ont un dm`n -diamètre inférieur à ε parce que  ( dm`n px, yq “ max dn px, yq, dm pf n pxq, f n pyqq .

Donc, Cpm ` n, εq ď lk “ Cpm, εqCpn, εq, ce qui donne l’inégalité souhaitée. On établit désormais un résultat auxiliaire.

Lemme II.40. Si pcn qnPN est une suite de nombres réels tels que cm`n ď cm ` cn

(II.25)

pour tous m, n P N, alors la limite

!c ) cn n “ inf :nPN nÑ8 n n lim

existe. 44 i

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II.4. Entropie topologique Démonstration du lemme. Soient n, k P N. On écrit n “ qk ` r avec q P N Y t0u et

r P t0, . . . , q ´ 1u. On a

cqk ` cr qck ` cr cn ď ď n qk ` r qk ` r et donc,

cn ck ď k nÑ8 n car q Ñ 8 lorsque n Ñ 8 (pour chaque k). Puisque k est arbitraire, cela implique que !c ) cn cn k ď inf : k P N ď lim inf , lim sup nÑ8 n k nÑ8 n ce qui donne le résultat souhaité. lim sup

Il résulte du lemmes II.39 et II.40 que la limite " * 1 1 log Cpn, εq : n P N lim log Cpn, εq “ inf nÑ8 n n existe. En utilisant (II.23), on obtient 1 1 log Cpn, 2εq ď lim inf log M pn, εq nÑ8 n nÑ8 n 1 ď lim inf log N pn, εq nÑ8 n 1 ď lim sup log N pn, εq nÑ8 n 1 ď lim sup log M pn, ε{2q nÑ8 n 1 ď lim log Cpn, ε{2q nÑ8 n et lorsque ε Ñ 0, on obtient aussi lim

1 1 log Cpn, 2εq ď lim lim inf log M pn, εq εÑ0 nÑ8 n εÑ0 nÑ8 n 1 ď lim lim inf log N pn, εq εÑ0 nÑ8 n ď hpf q 1 ď lim lim sup log M pn, ε{2q εÑ0 nÑ8 n 1 ď lim lim log Cpn, ε{2q. εÑ0 nÑ8 n L’égalité des premier et dernier termes établit le résultat souhaité. lim lim

45 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

On utilise le théorème II.38 pour calculer l’entropie topologique d’une classe d’automorphismes du tore T2 .

Exemple II.41. Soit TA : T2 Ñ T2 un automorphisme du tore comme dans l’exemple II.27. On rappelle que le long des directions propres de A les distances sont multipliées par λ ou λ´1 , pour un certain λ ą 1. On considère maintenant un recouvrement de T2 par dn -boules ouvertes Bn ppi , εq. On a n´1 č ` ˘ TA´k B TAk ppi q, ε Bn ppi , εq “ k“0

et donc, il existe C ą 0 (indépendant de n, ε et i) tel que l’aire de la boule Bn ppi , εq est au plus Cλ´n ε2 . Donc, M pn, εq ě

1 Cλ´n ε2

et il résulte du théorème II.38 que hpf q “ lim lim inf εÑ0 nÑ8

1 log M pn, εq ě log λ. n

(II.26)

On considère aussi les partitions de T2 par des parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux directions propres de A (voir la figure II.5). Plus précisément, on considère une partition de T2 par des parallélogrammes Pi avec des côtés de longueurs ελ´n et ε, à une constante multiplicative près, le long des directions propres associées à λ et λ´1 , respectivement. On note maintenant qu’il existe D ą 1 (indépendant de n, ε et i) tel que chaque Pi a une aire d’au moins D ´1 λ´n ε2 et a un dn -diamètre inférieur à Dε. Donc, Cpn, Dεq ď

1 D´1 λ´n ε2

et, par le théorème II.38, 1 log Cpn, εq ď log λ. εÑ0 nÑ8 n

hpf q “ lim lim

Il résulte de (II.26) que hpf q “ log λ.

II.4.4. Applications expansives On décrit dans cette section une classe d’applications pour lesquelles la limite lorsque ε Ñ 0 dans la définition d’entropie topologique n’est pas nécessaire. 46 i

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II.4. Entropie topologique

1

λ´1 ă 1

ε λą1 ελ´n 1 Figure II.5. Partition du tore T2 par des parallélogrammes.

D´efinition II.42. Une application f : X Ñ X est appelée (positivement) expansive s’il existe δ ą 0 tel que si dpf n pxq, f n pyqq ă δ

pour tout n ě 0,

alors x “ y.

Exemple II.43. L’application dilatante Em : S 1 Ñ S 1 est expansive. En effet, si dpx, yq ă 1{m2 et x ‰ y, alors il existe n P N tel que n n pxq, Em pyqq “ mn dpx, yq ě dpEm

1 . m2

Cela implique que si n n pxq, Em pyqq ă dpEm

1 m2

pour tout n ě 0,

alors x “ y et l’application dilatante Em est expansive.

Exemple II.44. Pour a ą 4, soit f : r0, 1s Ñ R l’application quadratique f pxq “ axp1 ´ xq. 47 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

L’ensemble X“

8 č

f ´n r0, 1s

(II.27)

n“0

est compact et positivement f -invariant. En particulier, on peut considérer la restriction f |X : X Ñ X. a Puisque f pxq “ 1 pour x “ p1 ˘ cq{2, où c “ 1 ´ 4{a, on a |f 1 pxq| “ a|1 ´ 2x| ě ac pour x P X.

(II.28)

Supposons ‘ maintenant que a ą 4 est si grand que ac ą 1, ou simplement que a ą 2 ` 5. Soient x, y P X tels que |f k pxq ´ f k pyq| ă c pour k P N Y t0u. On a f k pxq, f k pyq P I1

ou f k pxq, f k pyq P I2 ,

où I1 “ r0, p1 ´ cq{2s et I2 “ rp1 ` cq{2, 1s. Il résulte de (II.28) que c ą |f k pxq ´ f k pyq| ě pacqk |x ´ y| pour k P N. Puisque ac ą 1, on conclut que x “ y et l’application f |X est expansive. On considère maintenant le cas particulier des applications expansives dans la définition d’entropie topologique et on montre que la limite lorsque ε Ñ 0 n’est pas nécessaire dans aucune des formules de (II.24), pour ε suffisamment petit.

Th´eor`eme II.45. Soit f : X Ñ X une application continue expansive d’un espace métrique compact. Alors 1 log N pn, αq nÑ8 n 1 “ lim log M pn, αq nÑ8 n 1 “ lim log Cpn, αq nÑ8 n

hpf q “ lim

(II.29)

pour tout α ą 0 suffisamment petit. 48 i

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II.4. Entropie topologique Démonstration. Prenons des constantes ε, α ą 0 telles que 0 ă ε ă α ă δ, où δ est

la constante dans la définition II.42. Soit maintenant A Ă X un ensemble avec card A “ N pn, εq tel que dn px, yq ě ε pour tous x, y P A avec x ‰ y. On montre qu’il existe m “ mpε, αq P N tel que si dpx, yq ě ε, alors dpf i pxq, f i pyqq ą α pour un certain i P t0, . . . , mu.

Pour chaque

(II.30)

 ( q P K :“ px, yq P X ˆ X : dpx, yq ě ε ,

il existe une boule ouverte Bpqq Ă XˆX centrée en q et un entier i “ ipqq P NYt0u tels que si px, yq P Bpqq, alors dpf i pxq, f i pyqq ą δ ą α (rappelons que f est continue et expansive). Les boules Bpqq recouvrent l’ensemble compact K et donc, il existe un sous-recouvrement fini Bpq1 q, . . . , Bpqp q. En prenant (  m “ max ipqj q : j “ 1, . . . , p , on obtient la propriété (II.30) pour px, yq P K. Cela implique que lorsque dn px, yq ě ε (et donc, pour x, y P A tels que x ‰ y), dn pf j pxq, f j pyqq ą α pour un certain j P t0, . . . , mu. Donc, pour z, w P f ´m A tels que f m pzq ‰ f m pwq, on a  ( dn`2m pz, wq ě max dn pf i pzq, f i pwqq : i “ m, . . . , 2m (  “ max dn pf j`mpzq, f j`m pwqq : j “ 0, . . . , m ą α, car f m pzq, f m pwq P A. Cela donne l’inégalité N pn ` 2m, αq ě N pn, εq. Il résulte de la proposition II.37 que N pn, εq ď N pn ` 2m, αq ď M pn ` 2m, α{2q ď Cpn ` 2m, α{2q ď Cpn ` 2m, ε{2q. 49 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Donc, en appliquant le théorème II.38, on conclut que 1 1 log N pn, εq ď lim sup log N pn ` 2m, αq nÑ8 n nÑ8 n 1 ď lim sup log M pn ` 2m, α{2q nÑ8 n 1 ď lim log Cpn ` 2m, α{2q nÑ8 n 1 ď lim log Cpn ` 2m, ε{2q nÑ8 n et lorsque ε Ñ 0, on obtient les inégalités lim sup

1 log N pn, αq n nÑ8 1 ď lim sup log M pn, α{2q n nÑ8 1 ď lim log Cpn, α{2q ď hpf q. nÑ8 n

(II.31)

hpf q ď lim sup

(II.32)

On peut aussi remplacer chaque lim sup dans (II.31) par lim inf et lorsque ε Ñ 0, on obtient 1 hpf q ď lim inf log N pn, αq nÑ8 n 1 ď lim inf log M pn, α{2q nÑ8 n 1 (II.33) ď lim log Cpn, α{2q ď hpf q. nÑ8 n Les identités dans (II.29) découlent désormais facilement de (II.32) et (II.33). Par l’exemple II.43, les applications dilatantes Em sont expansives et donc, leurs entropies topologiques sont données par (II.29). En particulier, cela implique que les limites dans (II.18) lorsque k Ñ 8 ne sont pas nécessaires.

Exemple II.46. Considérons la restriction E4 |A : A Ñ A, où A est l’ensemble compact et positivement E4 -invariant dans (I.11). On procède de manière analogue à l’exemple II.30. On remarque d’abord que si dpx, yq ă 4´n , alors ` ˘ (II.34) dn px, yq “ d E4n´1 pxq, E4n´1 pyq “ 4n´1 dpx, yq. Soit k P N et considérons les 2n`k`1 points xi sur la frontière de l’ensemble n`k´1 č

` ˘ E4´m r0, 1{4s Y r2{4, 3{4s .

m“0

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II.5. Exercices

Il résulte de (II.34) que dn pxi , xj q ě 4n´1 ¨ pour i ‰ j et donc,

1 4n`k

“ 4´pk`1q

` ˘ N n, 4´pk`1q ě 2n`k`1 .

D’autre part, si B Ă A est un ensemble avec au moins 2n`k`1 ` 1 points, alors il existe x, y P B avec x ‰ y tels que dpx, yq ă 4´pn`kq et donc dn px, yq ă 4´pk`1q . Cela implique que ˘ ` N n, 4´pk`1q “ 2n`k`1 pour n, k P N. Puisque E4 est une application expansive (par l’exemple II.43), la même chose arrive à la restriction E4 |A et il résulte du théorème II.45 que ˘ ` ˘ ` 1 h E4 |A “ lim log N n, 4´pk`1q nÑ8 n n`k`1 log 2 “ log 2. “ lim nÑ8 n

II.5. Exercices Exercice II.1. Montrer que si f : X Ñ X est un homéomorphisme, alors pour chaque x P X les ensembles αpxq et ωpxq sont f -invariants. Exercice II.2. Soit f : Rn Ñ Rn une application. Montrer que la semi-orbite positive γ ` pxq est dense si et seulement si ωpxq “ Rn . Exercice II.3. Dire s’il existe une équation différentielle en R2 dont le flot : 1. a un ensemble ω-limite qui est la frontière d’un carré ; 2. a un ensemble ω-limite non connexe.

Exercice II.4. Dessiner le portrait de phase d’une équation différentielle en R2 dont le flot a un ensemble ω-limite qui est la frontière d’un triangle. Exercice II.5. Soit ϕt un flot déterminé par une équation différentielle x1 “ f pxq, pour une fonction f : R2 Ñ R2 de classe C 1 . Montrer que si L Ă R2 est une transversale à f (c’est-à-dire, un segment de droite tel que pour chaque x P L les directions de L et f pxq engendrent R2 ), alors pour chaque x P R2 l’ensemble ωpxq X L contient au plus un point. Exercice II.6. Soit I Ă R un intervalle. Montrer qu’aucun homéomorphisme croissant f : I Ñ I est topologiquement transitif. 51 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Exercice II.7. Soit f : I Ñ I une application continue surjective, où I Ă R est un intervalle. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. f est topologiquement transitive ; 2. pour tout intervalle ouvert J Ă I, l’ensemble 3. pour tout intervalle ouvert J Ă I, l’ensemble

Ť8

´n J est dense dans I ; n“0 f Ť8 n n“0 f pJq est dense dans I.

Exercice II.8. Montrer que : 1. pour chaque α P Q, la rotation Rα : S 1 Ñ S 1 n’est pas topologiquement mélangeante ; 2. l’application dilatante Em est topologiquement mélangeante.

Exercice II.9. Dire si les applications f, g : R Ñ R sont topologiquement conjuguées pour : 1. f pxq “ x et gpxq “ x2 ; 2. f pxq “ x{3 et gpxq “ 2x ; 3. f pxq “ 2x et gpxq “ x3 .

Exercice II.10. Soit m ą 1 un entier. On considère l’application f : R Ñ R définie par f pzq “ z m dans l’ensemble R “ tz P C : |z| “ 1u. Montrer que Em et f sont topologiquement conjuguées.

Exercice II.11. Soit v P Rn . Calculer l’entropie topologique de l’application f : Tn Ñ Tn définie par f pxq “ x ` v. Exercice II.12. Montrer que hpEm q “ log m pour chaque entier m ą 1. Exercice II.13. Montrer que si f : X Ñ X est un homéomorphisme d’un espace métrique compact, alors hpf ´1 q “ hpf q. Exercice II.14. Soit f : X Ñ X une Ť application continue d’un espace métrique compact. Montrer que si X “ m i“1 Xi , où chaque ensemble Xi est fermé et positivement f -invariant, alors (  hpf q “ max hpf |Xi q : i “ 1, . . . , m . Exercice II.15. Montrer que si TA : Tn Ñ Tn est un automorphisme du tore induit par une matrice A sans valeurs propres de module 1, alors hpTA q “

n ÿ

 ( max 0, log|λi | ,

i“1

où λ1 , . . . , λn sont les valeurs propres de A, avec leurs multiplicités. 52 i

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Exercices

Exercice II.16. Calculer l’entropie topologique de l’endomorphisme du tore T2 induit par la matrice ˆ ˙ 20 A“ . 03 Exercice II.17. Soient f : X Ñ X et g : Y Ñ Y des applications continues, respectivement, d’espaces métriques compacts pX, dX q et pY, dY q. Montrer que si la distance sur X ˆ Y est donnée par ˘  ( ` d px, yq, px1 , y 1 q “ max dX px, x1 q, dY py, y 1 q , alors hpvq “ hpf q ` hpgq pour l’application v : X ˆ Y Ñ X ˆ Y définie par vpx, yq “ pf pxq, gpyqq.

Exercice II.18. Soit f : X Ñ X une application continue d’un espace métrique compact et soit k P N. 1. Pour dn “ dn,f et N pn, εq “ Nf pn, εq, montrer que dn,f k px, yq ď dnk,f px, yq et donc, Nf k pn, εq ď Nf pnk, εq. 2. Conclure que hpf k q ď khpf q. 3. Montrer que lim lim sup

εÑ0 nÑ8

1 log Nf pnk, εq ď hpf k q. n

Suggestion : par la continuité uniforme de f , pour chaque ε ą 0, il existe δpεq P s0, εr tel que dk px, yq ă ε lorsque dpx, yq ă δpεq. Alors, il résulte de  ( dnk,f px, yq “ max dk pf ik pxq, f ik pyqq : 0 ď i ď n ´ 1 que dn,f k px, yq ě δpεq

lorsque dnk,f px, yq ě ε,

ce qui donne l’inégalité Nf pnk, εq ď Nf k pn, δpεqq. 4. Utiliser (II.23) et le théorème II.38 pour conclure que hpf k q ě khpf q. L’exercice montre que hpf k q “ khpf q. 53 i

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Chapitre II. Dynamique topologique

Exercice II.19. Montrer que si f : X Ñ X est une application continue d’un espace métrique compact et hpf n q ď an ` b pour tout n P N, alors hpf q ď a. Exercice II.20. Soient f, g : X Ñ X des applications continues d’un espace métrique compact. Montrer que si  ‘  hpf n q ´ hpgn q ă n pour tout n P N, alors hpf q “ hpgq.

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III SYSTÈMES DYNAMIQUES EN BASSE DIMENSION

On considère dans ce chapitre plusieurs classes de systèmes dynamiques pour des espaces de basse dimension, ce qui signifie dimension 1 pour le temps discret et dimension 2 pour le temps continu. En particulier, on considère les homéomorphismes et difféomorphismes du cercle, applications continues d’un intervalle compact et flots définis par des équations différentielles autonomes du plan. Pour des sujets supplémentaires relatifs aux systèmes dynamiques en basse dimension, le lecteur pourra consulter, par exemple, [6, 9] pour le temps discret et [2, 5] pour le temps continu.

III.1. Homéomorphismes du cercle On considère dans cette section les homéomorphismes du cercle préservant l’orientation et on introduit la notion de nombre de rotation. Ce nombre mesure la vitesse angulaire moyenne avec laquelle un point tourne autour du cercle sous l’action de l’homéomorphisme.

III.1.1. Relèvements Afin d’introduire la notion de relèvement, on considère la projection π : R Ñ S 1 définie par πpxq “ rxs. (III.1) On représente souvent la classe d’équivalence rxs par son représentant dans l’intervalle r0, 1r, c’est-à-dire, par le nombre x ´ txu, où txu est la partie entière de x. Soit maintenant f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme du cercle.

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

D´efinition III.1. Une fonction continue F : R Ñ R est appelée un relèvement de f si f ˝ π “ π ˝ F. (III.2) Exemple III.2. Soit α P R. Considérons la rotation Rα : S 1 Ñ S 1 donnée par Rα pxq “ x ` α mod 1.

(III.3)

On note que Rα est un homéomorphisme. Pour k P Z, la fonction F : R Ñ R définie par F pxq “ x ` α ` k (III.4) satisfait πpF pxqq “ πpx ` α ` kq “ x ` α ` k mod 1 “ πpxq ` α mod 1 “ Rα pπpxqq. Donc, F est un relèvement de Rα .

Exemple III.3. Soit β P R. Considérons la fonction continue f : S 1 Ñ S 1 définie par f pxq “ x ` β sinp2πxq mod 1. (III.5) On montre d’abord que f est un homéomorphisme pour |β| ă 1{p2πq. La fonction F : R Ñ R définie par F pxq “ x ` β sinp2πxq (III.6) est croissante, car F 1 pxq “ 1 ` 2πβ cosp2πxq ě 1 ´ 2π|β| ą 0. En particulier, pour x P r0, 1r, on a F pxq ă F p1q “ 1

(III.7)

et donc, f est injective et surjective. Puisque f est continue, elle transforme ensembles compacts en ensembles compacts et donc, ensembles ouverts en ensembles ouverts. Cela montre que f est un homéomorphisme. En outre, il résulte de (III.7) que πpF pxqq “ x ` β sinp2πxq mod 1 “ x ´ txu ` β sinp2πxq “ x ´ txu ` β sinp2πpx ´ txuqq “ f pπpxqq et F est un relèvement de f . 56 i

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III.1. Homéomorphismes du cercle

Les relèvements d’un homéomorphisme ont les propriétés suivantes.

Proposition III.4. Soit f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme. Alors : 1. f a des relèvements ; 2. si F et G sont des relèvements de f , alors il existe k P Z tel que G ´ F “ k ; 3. tout relèvement de f est un homéomorphisme de R. Démonstration. On définit une fonction F : R Ñ R par

F pxq “ f px ´ txuq ` txu,

(III.8)

où f px ´ txuq est le représentant dans l’intervalle r0, 1r. Puisque x ´ txu et txu sont des fonctions continues sur RzZ, il en est de même pour F . En outre, pour chaque k P Z, on a F pkq “ f p0q ` k,

F pk´ q “ f p1q ` k

et F pk` q “ f p0q ` k.

Puisque f prend des valeurs dans S 1 , on a f p0q “ f p1q et donc, F pkq “ F pk´ q “ F pk` q pour k P Z. Cela montre que la fonction F est continue dans R. On a aussi πpF pxqq “ f px ´ txuq “ f pπpxqq et F est un relèvement de f . Soient maintenant F et G des relèvements de f . On a π ˝ F “ π ˝ G “ f ˝ π.

(III.9)

Il résulte de la première égalité dans (III.9) que pour chaque x P R, il existe ppxq P Z tel que Gpxq ´ F pxq “ ppxq. Puisque F et G sont continues, la fonction x ÞÑ ppxq est aussi continue. En outre, p prend seulement des valeurs entières et donc, il existe k P Z tel que Gpxq ´ F pxq “ ppxq “ k pour tout x P R. Pour la dernière propriété, puisque les relèvements sont uniques à une constante additive près (par la deuxième propriété), il suffit de montrer que le 57 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

relèvement F construit en (III.8) est un homéomorphisme. Considérons la fonction continue H : R Ñ R définie par Hpxq “ f ´1 px ´ txuq ` txu, où f ´1 px ´ txuq est le représentant dans l’intervalle r0, 1r. On remarque que \ X ´1 f px ´ txuq ` txu “ txu et

X \ f px ´ txuq ` txu “ txu.

Donc, pF ˝ Hqpxq “ F pf ´1 px ´ txuq ` txuq “ f pf ´1 px ´ txuqq ` txu “ x ´ txu ` txu “ x et

pH ˝ F qpxq “ Hpf px ´ txuq ` txuq “ f ´1 pf px ´ txuqq ` txu “ x ´ txu ` txu “ x

pour tout x P R. Cela montre que H est l’application réciproque de F et donc F est un homéomorphisme. Considérons dorénavant la classe des homéomorphismes du cercle préservant l’orientation.

D´efinition III.5. On dit qu’un homéomorphisme f : S 1 Ñ S 1 préserve l’orientation si au moins l’un de ses relèvements est une fonction croissante. Il résulte de la proposition III.4 que f préserve l’orientation si et seulement si tous ses relèvements sont des fonctions croissantes. Par exemple, les homéomorphismes du cercle considérés dans les exemples III.2 et III.3 préservent l’orientation car les relèvements dans (III.4) et (III.6) sont des fonctions croissantes. On donne maintenant un exemple d’homéomorphisme qui ne préserve pas l’orientation.

Exemple III.6. Soit α P R. Considérons l’homéomorphisme f : S 1 Ñ S 1 défini par f pxq “ ´x ` α mod 1. On peut vérifier facilement que la fonction F : R Ñ R définie par F pxq “ ´x ` α est un relèvement de f . Puisqu’elle est décroissante, l’homéomorphisme f ne préserve pas l’orientation. 58 i

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III.1. Homéomorphismes du cercle

III.1.2. Nombre de rotation On établit dans cette section l’existence d’une limite qui peut être décrite comme une vitesse moyenne pour tout relèvement d’un homéomorphisme du cercle préservant l’orientation.

Th´eor`eme III.7. Soit f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme préservant l’orientation. Si F est un relèvement de f , alors pour chaque x P R la limite F n pxq ´ x P R` 0 nÑ8 n

ρpF q “ lim

(III.10)

existe et est indépendante de x. En outre, si G est un autre relèvement de f , alors ρpGq ´ ρpF q P Z. Démonstration. On suppose d’abord que F pxq ą x pour chaque x P R. Soit x P R

et considérons la suite an “ F n pxq ´ x. Pour m, n P N, on a am`n “ F m`n pxq ´ x “ F m pF n pxqq ´ F n pxq ` an .

(III.11)

Puisque tan u ď F n pxq ´ x ă tan u ` 1,

(III.12)

F m pF n pxqq ă F m px ` tan uq ` 1.

(III.13)

on obtient D’autre part, F m px ` tan uq ´ px ` tan uq “ F m pxq ´ x “ am et il résulte de (III.11) et (III.13) que am`n ă F m px ` tan uq ` 1 ´ F n pxq ` an “ am ` an ` x ` tan u ´ F n pxq ` 1. Enfin, par (III.12), on obtient am`n ď am ` an ` 1 et la suite cn “ an ` 1 vérifie la condition (II.25) dans le lemme II.40. Par conséquent, la limite " * an F n pxq ´ x an “ lim “ inf :nPN (III.14) lim nÑ8 nÑ8 n n n 59 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

existe. Puisque an “ F n pxq ´ x ą 0 (rappelons que F est croissante), la limite dans (III.14) est finie. On montre maintenant que la limite est indépendante de x. Soient x, y P R et k P N tels que |x ´ y| ď k. On a F pxq ď F py ` kq “ F pyq ` k et F pxq ě F py ´ kq “ F pyq ´ k. Donc, |F pxq ´ F pyq| ď k et il résulte, par récurrence, que |F n pxq ´ F n pyq| ď k

pour n P N.

Cela implique que ˇ ˇ ˇ ˇ n ˇ F pxq ´ x F n pyq ´ y ˇ ˇ F n pxq ´ F n pyq y ´ x ˇ 2k ˇ ˇ ˇď ˇ ´ ` Ñ0 ˇ“ˇ ˇ n n n n ˇ n lorsque n Ñ 8 et donc, F n pxq ´ x F n pyq ´ y “ lim nÑ8 nÑ8 n n lim

pour tous x, y P R (on peut toujours choisir k P N tel que |x ´ y| ď k). Il reste à établir la dernière propriété dans le théorème. Par la proposition III.4, si F et G sont des relèvements de f , alors il existe k P Z tel que G ´ F “ k. Il résulte, par récurrence, que Gn pxq “ F n pxq ` nk. Donc, Gn pxq ´ x nÑ8 n F n pxq ´ x ` k “ ρpF q ` k, “ lim nÑ8 n

ρpGq “ lim

ce qui conclut la démonstration du théorème. Pour chaque x P R, on a aussi F n pxq . nÑ8 n

ρpF q “ lim

On introduit maintenant la notion de nombre de rotation. 60 i

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III.1. Homéomorphismes du cercle

D´efinition III.8. Le nombre de rotation d’un homéomorphisme préservant l’orientation f : S 1 Ñ S 1 est défini par ρpf q “ πpρpF qq,

(III.15)

où F est un relèvement de f , avec π comme dans (III.1). Il résulte de la dernière propriété dans le théorème III.7 que le nombre de rotation est bien défini, c’est-à-dire que ρpf q ne dépend pas du relèvement F utilisé dans (III.15).

Exemple III.9. Soit α P R et considérons la rotation Rα dans (III.3). Pour le relèvement F dans (III.4), on obtient x ` npα ` kq ´ x F n pxq ´ x “ “α`k n n et ρpF q “ α ` k. Donc, ρpRα q “ πpρpF qq “ α mod 1.

Exemple III.10. Considérons désormais l’homéomorphisme f : S 1 Ñ S 1 défini par (III.5), pour |β| ă 1{p2πq. Puisque la limite dans (III.10) ne dépend pas de x, pour le relèvement F dans (III.6) on obtient F n p0q ´ 0 “ 0. nÑ8 n

ρpF q “ lim

III.1.3. Nombre de rotation rationnel On vérifie ici et dans la section suivante que les propriétés d’un homéomorphisme du cercle préservant l’orientation dépendent fortement du fait que le nombre de rotation est rationnel ou irrationnel. On considère dans cette section les homéomorphismes avec nombre de rotation rationnel. On rappelle que x P S 1 est un point périodique pour une application f : S 1 Ñ S 1 si f q pxq “ x pour un certain q P N.

Th´eor`eme III.11. Soit f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme préservant l’orientation. Alors ρpf q P Q si et seulement si f a au moins un point périodique. 61 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension Démonstration. On suppose d’abord que ρpf q “ 0 et on montre que f a un point

fixe. Sinon, si F est un relèvement de f , alors F pxq ´ x P RzZ

(III.16)

pour x P R. En effet, si F pxq ´ x P Z pour un certain x P R, alors πpxq “ πpF pxqq “ f pπpxqq et, donc, πpxq serait un point fixe pour f . Puisque F est continue, il résulte de (III.16) qu’il existe k P Z tel que k ă F pxq ´ x ă k ` 1 pour x P R.

(III.17)

F px ` 1q ´ px ` 1q “ F pxq ´ x

(III.18)

D’autre part, pour x P R et donc, la fonction continue x ÞÑ F pxq ´ x est complètement déterminée par ses valeurs sur l’intervalle compact r0, 1s. Il résulte de (III.17) et du théorème de Weierstrass qu’il existe ε ą 0 tel que k ` ε ď F pxq ´ x ď k ` 1 ´ ε

(III.19)

pour x P R. Puisque F n pxq ´ x “

n´1 ÿ

rF pF i pxqq ´ F i pxqs,

i“0

par (III.19) on a k`εď

F n pxq ´ x ďk`1´ε n

et

F n pxq ´ x mod 1 P rε, 1 ´ εs. nÑ8 n Cela contredit l’hypothèse que ρpf q “ 0 et, donc, f a un point fixe. On suppose maintenant que ρpf q “ p{q P Q. Puisque F q est un relèvement de q f , on obtient ρpf q “ lim

pF q qn pxq ´ x mod 1 nÑ8 n F qn pxq ´ x mod 1 “ q lim nÑ8 qn “ qρpf q mod 1

ρpf q q “ lim

“ p mod 1 “ 0. 62 i

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III.1. Homéomorphismes du cercle

Il résulte de l’argument ci-dessus pour un nombre de rotation nul que l’homéomorphisme f q a un point fixe, qui est un point périodique pour f . Pour la réciproque, on suppose que f a un point périodique. Alors il existe y P R et q P N tels que f q pπpyqq “ πpyq. Il résulte de (III.2), par récurrence, que f q ˝ π “ π ˝ F q et, donc, πpF q pyqq “ πpyq. Alors, F q pyq “ y ` p pour un certain p P Z. D’autre part, il résulte de (III.18) que F px ` pq “ F pxq ` p pour x P R et on a aussi

F q px ` pq “ F q pxq ` p

(III.20)

pour x P R et q P N. En particulier, pour x “ y, on obtient F 2q pyq “ F q pF q pyqq “ F q py ` pq “ F q pyq ` p “ y ` 2p et il résulte, par récurrence, que F nq pyq “ y ` np pour n P N. Donc, F nq pyq ´ y nÑ8 nq p np “ . “ lim nÑ8 nq q

ρpF q “ lim

Cela complète la démonstration du théorème. On continue à considérer un homéomorphisme f : S 1 Ñ S 1 . Soit q P N. On rappelle qu’un point x P S 1 est q-périodique pour f si f q pxq “ x. Il résulte de la démonstration du théorème III.11 que f q a un point fixe, c’est-à-dire que f a un point q-périodique si et seulement si ρpf q “ p{q pour un certain p P N. Donc, f a un point périodique de période q si et seulement si ρpf q “ p{q avec p et q premiers entre eux. En effet, par l’observation précédente, f n’a pas de points l-périodiques pour tout l ă q. On a aussi le résultat suivant. 63 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

Th´eor`eme III.12. Soit f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme préservant l’orientation. Si ρpf q “ p{q avec p et q premiers entre eux, alors tous les points périodiques pour f ont pour période q. Démonstration. Soit x P S 1 un point périodique pour f . Il résulte de la discussion

précédente que x a pour période l “ dq pour un certain d P N. D’autre part, il résulte de la démonstration du théorème III.11 que si F est un relèvement de f , alors (III.21) F l pxq “ x ` dp ` ml pour un certain m P Z. En fait, on peut toujours supposer que m “ 0 : si G est un autre relèvement de f , alors F “ G ` m pour un certain m P Z et, donc, F l “ Gl ` ml ; par conséquent, il suffit de remplacer F par G. On montre maintenant que F q pxq “ x ` p. Puisque F est croissante, si q F pxq ą x ` p, alors il résulte de (III.20) que F 2q pxq ą F q px ` pq “ F q pxq ` p ą x ` 2p et, par récurrence, F l pxq “ F dq pxq ą x ` dp. Cela contredit (III.21) (avec m “ 0). On obtient de manière analogue une contradiction lorsque F q pxq ă x ` p. Donc, F q pxq “ x ` p et x a pour période q.

III.1.4. Nombre de rotation irrationnel On considère dans cette section les homéomorphismes du cercle avec un nombre de rotation irrationnel. On montre d’abord que les orbites de ces homéomorphismes sont ordonnées comme les orbites de la rotation Rρ , où ρ est le nombre de rotation de chaque homéomorphisme.

Th´eor`eme III.13. Soit F un relèvement d’un homéomorphisme f : S 1 Ñ S 1 préservant l’orientation, avec ρpf q P RzQ. Pour chaque x P R et n1 , n2 , m1 , m2 P Z, on a (III.22) F n1 pxq ` m1 ă F n2 pxq ` m2 si et seulement si n1 ρpF q ` m1 ă n2 ρpF q ` m2 .

(III.23)

Démonstration. Il suffit de prendre n1 ‰ n2 , car sinon il n’y a rien à prouver.

On suppose d’abord que (III.22) est satisfaite. Pour n1 ą n2 , on a F n1 ´n2 pxq ă x ` m2 ´ m1

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III.1. Homéomorphismes du cercle

pour tout x P R. Donc, F 2pn1 ´n2 q pxq ă F n1 ´n2 pxq ` m2 ´ m1 ă x ` 2pm2 ´ m1 q et il résulte, par récurrence, que F npn1 ´n2 q pxq ă x ` npm1 ´ m2 q. On obtient

m2 ´ m1 F npn1 ´n2 q pxq ´ x ă , nÑ8 npn1 ´ n2 q n1 ´ n2

ρpF q “ lim

avec inégalité stricte puisque ρpf q est irrationnel. Cela montre que l’inégalité (III.23) est satisfaite. De manière analogue, pour n1 ă n2 , on a F n2 ´n1 pxq ą x ` m1 ´ m2 pour tout x P R et Donc,

F npn2 ´n1 q pxq ą x ` npm1 ´ m2 q. m1 ´ m2 F npn2 ´n1 q pxq ´ x ą nÑ8 npn2 ´ n1 q n2 ´ n1

ρpF q “ lim

et l’inégalité (III.23) est aussi satisfaite. Dans l’autre sens, il faut montrer que si F n1 pxq ` m1 ě F n2 pxq ` m2 , alors n1 ρpF q ` m1 ě n2 ρpF q ` m2 . Puisque ρpf q est irrationnel, aucune de ces inégalités peuvent être une égalité. Donc, il faut montrer que si F n1 pxq ` m1 ą F n2 pxq ` m2 , alors n1 ρpF q ` m1 ą n2 ρpF q ` m2 . Pour cela, il suffit de renverser toutes les inégalités dans l’argument précédent. On établit maintenant une relation plus précise entre un homéomorphisme du cercle avec un nombre de rotation irrationnel ρ et la rotation du cercle Rρ . 65 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

Th´eor`eme III.14. Soit f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme préservant l’orientation, avec un nombre de rotation ρpf q P RzQ. Alors il existe une fonction continue non décroissante et surjective h : S 1 Ñ S 1 telle que h ˝ f “ Rρpf q ˝ h. Démonstration. Soit F un relèvement de l’homéomorphisme f et soit x P R. On

considère les ensembles  (  ( A “ F n pxq ` m : n, m P Z et B “ nρ ` m : n, m P Z ,

(III.24)

où ρ “ ρpF q. On définit aussi une fonction H : R Ñ R par (  Hpyq “ sup nρ ` m : F n pxq ` m ď y .

(III.25)

Il résulte du théorème III.13 que H est non décroissante. En outre, H est constante sur chaque intervalle contenu dans le complémentaire de A. En effet, si ra, bs Ă S 1 zA, alors F n pxq ` m ď a ô F n pxq ` m ď b pour tous n, m P Z et donc Hpaq “ Hpbq.

Lemme III.15. L’ensemble B est dense dans R. Démonstration du lemme. Puisque y P B si et seulement si y ` m P B pour un

certain m P Z, il suffit de montrer que B X r0, 1s est dense dans r0, 1s. On note que l’ensemble B X r0, 1s est infini. Sinon, il existerait des paires pn1 , m1 q ‰ pn2 , m2 q dans Z2 telles que n 1 ρ ` m1 “ n 2 ρ ` m2 , mais cela est impossible, car ρ est irrationnel (on note que si n1 “ n2 , alors m1 ‰ m2 ). Soit alors xn une suite dans B X r0, 1s avec une infinité de valeurs. Puisque r0, 1s est compact, on peut supposer que la suite xn est convergente. C’est-à-dire, on suppose que pour chaque ε ą 0, il existe m, n P N tels que 0 ă |xn ´ xm | ă ε. Soit xn “ n1 ρ ` m1

et xm “ n2 ρ ` m2 .

On obtient xn ´ xm “ pn1 ´ n2 qρ ` pm1 ´ m2 q P B. Cela montre que l’ensemble B Ą tkpxn ´ xm q : k P Zu est ε-dense dans R. Puisque ε est arbitraire, on conclut que B est dense dans R. 66 i

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III.1. Homéomorphismes du cercle

Puisque ρ est irrationnel, il résulte du théorème III.13 que HpF n pxq ` mq “ nρ ` m.

(III.26)

Cela implique que la fonction H n’a pas de saut. En effet, par (III.26), on a HpRq Ą HpAq “ B et, par le lemme III.15, l’ensemble B est dense dans R. Donc, puisque H est monotone, elle est aussi continue. Considérons maintenant le relèvement S : R Ñ R de Rρ défini par Spxq “ x ` ρ. Il résulte de (III.26) que pH ˝ F qpF n pxq ` mq “ HpF n`1 pxq ` mq “ pn ` 1qρ ` m et pS ˝ HqpF n pxq ` mq “ Spnρ ` mq “ pn ` 1qρ ` m. Donc, H ˝F “S˝H

sur A.

(III.27)

Puisque les applications H, F et S sont continues, l’identité (III.27) est satisfaite sur A et donc aussi sur R (rappelons que H est constante sur chaque intervalle contenu dans le complémentaire de A). C’est-à-dire que l’on a H ˝F “S˝H

sur R.

(III.28)

D’autre part, (  Hpy ` 1q “ sup nρ ` m : F n pxq ` m ď y ` 1 (  “ sup nρ ` m : F n pxq ` m ´ 1 ď y (  “ sup nρ ` m ´ 1 : F n pxq ` m ´ 1 ď y ` 1 “ Hpyq ` 1. La fonction H est aussi surjective. En effet, puisqu’elle est continue, on a HpRq “ Hpr0, 1sq Ą B “ R. Donc, la fonction h : S 1 Ñ S 1 définie par hpyq “ Hpyq mod 1 est continue, non décroissante et surjective. En outre, il résulte de la propriété (III.28) que h ˝ f “ Rρ ˝ h. 67 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

Si l’homéomorphisme a une semi-orbite positive dense, ce qui par le théorème II.23 est équivalent à l’existence d’une orbite dense, alors le théorème III.14 peut être renforcé comme suit.

Th´eor`eme III.16 (Poincar´e). Soit f : S 1 Ñ S 1 un homéomorphisme préservant l’orientation, avec ρpf q P RzQ. Si f a une semi-orbite positive dense, alors il est topologiquement conjugué à la rotation Rρpf q , c’est-à-dire qu’il existe un homéomorphisme h : S 1 Ñ S 1 tel que h ˝ f “ Rρpf q ˝ h. Démonstration. Soit x P S 1 un point dont la semi-orbite positive est dense dans S 1 .

Considérons maintenant la fonction h : S 1 Ñ S 1 construite dans le théorème III.14 en prenant le point x dans (III.24) et (III.25). L’ensemble A est désormais dense dans S 1 et, donc, la fonction H dans (III.25) est bijective (on rappelle que H est constante sur chaque intervalle contenu dans RzA, qui maintenant est l’ensemble vide). Donc, la fonction h est aussi bijective. Il reste à montrer que h est ouverte, c’est-à-dire que l’image hpU q d’un ensemble ouvert U est aussi ouverte. Puisque h est continue, elle transforme ensembles compacts en ensembles compacts. Donc, pour un ensemble ouvert U , l’image hpS 1 zU q “ S 1 zhpU q est compacte et, donc, hpU q est ouverte. Cela montre que h est un homéomorphisme.

III.2. Difféomorphismes du cercle On considère dans cette section le cas particulier des difféomorphismes du cercle (on rappelle qu’un difféomorphisme est une application différentiable bijective avec application réciproque différentiable). On montre que tout difféomorphisme f : S 1 Ñ S 1 préservant l’orientation et suffisamment régulier avec un nombre de rotation irrationnel est topologiquement conjugué à une rotation. Plus précisément, il existe un homéomorphisme h : S 1 Ñ S 1 tel que h ˝ f “ Rρpf q ˝ h. On dit qu’une fonction ϕ : S 1 Ñ R a une variation bornée si Varpϕq “ sup

n ÿ

|ϕpxk q ´ ϕpyk q| ă `8,

k“1

avec la borne supérieure prise sur tous les intervalles disjoints sx1 , y1 r, . . . , sxn , yn r, pour n P N.

Exemple III.17. Soit ϕ : S 1 Ñ R une fonction différentiable avec une dérivée bornée. Alors il existe K ą 0 tel que |ϕ1 pxq| ď K pour x P S 1 . Si sxi , yi r, 68 i

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III.2. Difféomorphismes du cercle

pour i “ 1, . . . , n, sont des intervalles ouverts disjoints avec y1 ď x2 , y2 ď x3 , . . . , yn´1 ď xn , alors n ÿ

|ϕpyi q ´ ϕpxi q| “

i“1

ď

n ÿ i“1 n ÿ

|ϕ1 pzi q|pyi ´ xi q Kpyi ´ xi q ď K,

i“1

où zi est un certain point dans l’intervalle sxi , yi r. Donc, Varpϕq ď K et ϕ est à variation bornée. Le résultat suivant donne des conditions pour qu’un difféomorphisme du cercle soit topologiquement conjugué à une rotation.

Th´eor`eme III.18 (Denjoy). Soit f : S 1 Ñ S 1 un difféomorphisme de classe C 1 préservant l’orientation dont la dérivée est à variation bornée. Si ρpf q P RzQ, alors f est topologiquement conjugué à la rotation Rρpf q . Démonstration. Par le théorème III.16, il suffit de montrer qu’il existe z P S 1 dont

la semi-orbite positive est dense dans S 1 , ce qui est équivalent à ωpzq “ S 1 . Si ωpzq ‰ S 1 , alors l’ensemble S 1 zωpzq est une union disjointe d’intervalles maximaux (on dit qu’un intervalle ouvert I Ă S 1 zωpzq est maximal si tout intervalle ouvert non vide J tel que I Ă J Ă S 1 zωpzq coïncide avec I). En outre, puisque f est un homéomorphisme, l’ensemble ωpzq est f -invariant et, donc, l’image et la préimage de chacun de ces intervalles sont également des intervalles maximaux. Soit maintenant I Ă S 1 zωpzq un intervalle maximal. On montre que les ensembles f n pIq, pour n P Z, sont disjoints deux à deux. Par le paragraphe précédent, s’il existe des entiers m ą n tels que f m pIq X f n pIq ‰ ∅, alors f m´n pIq X I ‰ ∅ et donc f m´n pIq “ I. Puisque f est continue, on a aussi f m´n pIq “ I.

Lemme III.19. Soit g : J Ñ J une fonction continue dans un intervalle J Ă R. Si K Ă J est un intervalle compact tel que gpKq Ą K, alors g a un point fixe dans K. Démonstration du lemme. Soit K “ rα, βs. Puisque gpKq Ą K, il existe a, b P K

tels que gpaq “ α ď a

et gpbq “ β ě b.

Puisque gpaq ´ a ď 0 et gpbq ´ b ě 0, la fonction continue x ÞÑ gpxq ´ x a un 0 dans K. 69 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

Il résulte du lemme III.19 que f m´n a un point fixe dans I, mais cela est impossible, car le nombre de rotation est irrationnel. Donc, les intervalles f n pIq sont disjoints deux à deux et leurs longueurs λn satisfont ÿ λn ď 1. (III.29) nPZ

On établit à présent quelques résultats auxiliaires.

Lemme III.20. Il existe une infinité d’entiers n P N tels que pour chaque x P S 1 les intervalles J “ sx, f ´n pxqr, f pJq, . . . , f n pJq sont disjoints deux à deux. Démonstration du lemme. Pour chaque k “ 0, . . . , n, on a

f k pJq “ sf k pxq, f k´n pxqr puisque f préserve l’orientation. Donc, les intervalles f k pJq sont disjoints deux à deux si et seulement si f k pxq, f k´n pxq R f l pJq pour k, l “ 0, . . . , n avec l ă k, ou f k pxq R J

pour |k| ď n.

On remarque que cette propriété ne dépend que de l’ordre de l’orbite de x. Par le théorème III.13, cet ordre est le même que l’ordre des orbites de la rotation Rρ , où ρ “ ρpf q. Puisque ρ est irrationnel, toutes les semi-orbites négatives sont denses. Il existe donc une infinité d’entiers n P N tels que Rρk pyq R sy, Rρ´n pyqr pour |k| ď n et y P S 1 . Cela donne le résultat souhaité.

Lemme III.21. Si J Ă S 1 est un intervalle ouvert tel que les ensembles J, f pJq, . . . , f n´1 pJq sont disjoints deux à deux, alors c´1 ď

pf n q1 pyq ďc pf n q1p zq

(III.30)

pour tous y, z P J, où c “ exp Varplog f 1 q ă `8. Démonstration du lemme. On définit une fonction ϕ : S 1 Ñ R par

ϕ “ log f 1 70 i

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III.2. Difféomorphismes du cercle

(f 1 ą 0, car f préserve l’orientation). Puisque les ensembles J, . . . , f n´1 pJq sont disjoints deux à deux, pour y, z P J , les intervalles ouverts déterminés par les paires de points f k pyq et f k pzq, pour k “ 0, . . . , n ´ 1, sont aussi disjoints. Donc, n´1 ÿ |ϕpf k pyqq ´ ϕpf k pzqq| Varpϕq ě k“0

  n´1  ÿ k k  ϕpf pyqq ´ ϕpf pzqq ě k“0

  n´1 n´1 ź ź   1 k 1 k f pf pyqq ´ log f pf pzqq “ log

 k“0n 1   pf q pyq  “ log n 1 . pf q pzq Cela implique que ´ Varpϕq ď log

k“0

pf n q1 pyq ď Varpϕq pf n q1 pzq

et on obtient l’inégalité (III.30) à condition que Varpϕq soit fini. Puisque S 1 est compact et f 1 est continue, on a inf f 1 ą 0. Donc,  |f 1 pyq ´ f 1 pzq|  |ϕpyq ´ ϕpzq| “ log f 1 pyq ´ log f 1 pzq ď inf f 1 pour tous x, y P S 1 et puisque f 1 est à variation bornée, on obtient Varpf 1 q ă `8. inf f 1 Cela complète la démonstration du lemme. Varpϕq ď

Il résulte du lemme III.21 appliqué aux intervalles J “ sx, f ´n pxqr dans le lemme III.20, avec y “ x P I et z “ f ´n pxq (avec n indépendant de x), que c´1 ď pf n q1 pxqpf ´n q1 pxq ď c. Puisque a`b ě on obtient

ż λn ` λ´n “

‘ ab

n 1

pour a, b ě 0, ż

pf q pxq dx ` ż

I

pf ´n q1 pxq dx

I

rpf n q1 pxq ` pf ´n q1 pxqs dx

“ żI ě

a

pf n q1 pxqpf ´n q1 pxq dx ě c´1{2 λ0 ,

I

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

pour les entiers n dans le lemme III.20. Cela implique que ÿ λm “ `8, mPZ

ce qui contredit (III.29). Donc, il existe un point z P S 1 avec ωpzq “ S 1 .

III.3. Applications de l’intervalle On considère dans cette section la classe d’applications continues d’un intervalle compact et on étudie les propriétés de leurs points périodiques. En particulier, on établit le théorème de Sharkovsky qui décrit comment l’existence de points périodiques d’une période donnée détermine l’existence de points périodiques avec une autre période.

III.3.1. Existence de points périodiques Soit f : I Ñ I une application continue d’un intervalle I Ă R.

D´efinition III.22. Soient J, K Ă I des intervalles tels que f pJq Ą K. On dit que J recouvre K et on écrit J Ñ K. Cette notion peut être utilisée dans l’étude de l’existence de points périodiques.

Proposition III.23. Soit f : I Ñ I une application continue d’un intervalle compact I Ă R. S’il existe des intervalles fermés I0 , I1 , . . . , In´1 Ă I tels que I0 Ñ I1 Ñ I2 Ñ . . . Ñ In´1 Ñ I0 , alors f a un point n-périodique x P I tel que f m pxq P Im pour m “ 0, 1, . . . , n ´ 1. Démonstration. On montre d’abord qu’il existe un intervalle fermé J0 Ă I0 tel que

f pJ0 q “ I1 . Puisque f pI0 q Ą I1 , il existe des points a0 , b0 P I0 dont les images sont les extrémités de I1 . Si J0 est l’intervalle fermé d’extrémités a0 et b0 , alors f pJ0 q “ I1 . Supposons maintenant que l’on a construit des intervalles fermés J0 Ą J1 Ą . . . Ą Jm´1

contenus dans I0 , pour un certain m ă n, tels que f k`1 pJk q “ Ik`1 pour k “ 0, . . . , m ´ 1. Alors f m`1 pJm´1 q “ f pIm q Ą Im`1 72 i

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III.3. Applications de l’intervalle

et un argument analogue montre qu’il existe un intervalle fermé Jm Ă Jm´1 tel que f m`1 pJm q “ Im`1 . Donc, on obtient des intervalles fermés J0 Ą J1 Ą . . . Ą Jn´1 tels que f k`1 pJk q “ Ik`1 pour k “ 0, . . . , n ´ 1, où In “ I0 . En particulier, f n pJn´1 q “ I0 Ą Jn´1

(III.31)

et chaque point x P Jn´1 satisfait f mpxq P f mpJn´1 q Ă f m pJm´1 q “ Im

(III.32)

pour m “ 0, . . . , n ´ 1. D’autre part, il résulte de (III.31) et du lemme III.19 que f n a un point fixe dans Jn´1 . Donc, f a un point n-périodique dans Jn´1 , qui satisfait aussi (III.32). On considère maintenant une application quadratique.

Exemple III.24. Pour a ą 4, considérons l’application f : r0, 1s Ñ R définie par f pxq “ axp1 ´ xq. On a f

´” 1 1 ı¯ ” 1 aı ” 1 ı , “ 1´ , Ą 1 ´ ,1 a 2 a 4 a

f

´” 1ı ”1 1ı 1 ı¯ ” Ą , . 1 ´ , 1 “ 0, 1 ´ a a a 2

et

Puisque

”1 1ı ” 1 ı , X 1 ´ , 1 “ ∅, a 2 a

il résulte de la proposition III.23 que f a un point périodique dans r1{a, 1{2s de période 2. Le critère dans la proposition III.23 peut être utilisé pour établir le cas particulier suivant du théorème de Sharkovsky (théorème III.26).

Th´eor`eme III.25. Soit f : I Ñ I une application continue d’un intervalle compact I Ă R. Si f a un point périodique de période 3, alors elle a des points périodiques avec toutes les périodes. 73 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension Démonstration. Soient x1 ă x2 ă x3 les éléments de l’orbite d’un point périodique

de période 3. On suppose d’abord que f px2 q “ x3 . On a f 2 px2 q “ x1 et donc, rx1 , x2 s Ø rx2 , x3 s ý . D’autre part, si f px2 q “ x1 , alors rx2 , x3 s Ø rx1 , x2 s ý .

Dans les deux cas, on a I Ñ I, avec respectivement I “ rx2 , x3 s ou I “ rx1 , x2 s. Il résulte de la proposition III.23 que f a un point fixe. En outre, pour un entier n ě 2 différent de 3, on a I1 Ñ I2 Ñ I2 Ñ . . . Ñ I2 Ñ I2 Ñ I1 ,

(III.33)

avec n ` 1 éléments, respectivement pour I1 “ rx1 , x2 s et I2 “ rx2 , x3 s ou I1 “ rx2 , x3 s et I2 “ rx1 , x2 s. Il résulte de la proposition III.23 que f a un point n-périodique x P I1 . S’il n’avait pas de période n, alors x P I1 X I2 “ tx2 u, c’est-à-dire x “ x2 . L’orbite de x2 appartient successivement aux intervalles I1 I2 I2 I1 I2 I2 I1 . . . et, donc, elle ne peut pas appartenir successivement aux intervalles dans (III.33), à moins que n “ 3 (mais on a pris n ‰ 3). Cette contradiction montre que le point périodique x a pour période n. Les figures III.1 et III.2 donnent des exemples d’applications de l’intervalle r0, 1s avec des points périodiques, respectivement, de périodes 3 et 5.

III.3.2. Le théorème de Sharkovsky On établit dans cette section le théorème de Sharkovsky sur l’existence de points périodiques de plusieurs périodes. On considère l’ordre ă dans N défini par 1 ă 2 ă 22 ă 23 ă . . . ă 2m ă . . . ... ă . . . ă 2m p2n ` 1q ă . . . ă 2m 7 ă 2m 5 ă 2m 3 ă . . . ... ă . . . ă 2p2n ` 1q ă . . . ă 2 ¨ 7 ă 2 ¨ 5 ă 2 ¨ 3 ă . . . ă . . . ă 2n ` 1 ă . . . ă 7 ă 5 ă 3 pour m, n P N. 74 i

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III.3. Applications de l’intervalle

1

1 Figure III.1. Point périodique de période 3.

1

1 Figure III.2. Point périodique de période 5.

Th´eor`eme III.26 (Sharkovsky). Soit f : I Ñ I une application continue d’un intervalle compact I Ă R. Si f a un point périodique de période p et q ă p, alors f a un point périodique de période q. 75 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension Démonstration. On établit d’abord deux résultats auxiliaires.

Lemme III.27. Soit x P I un point périodique de période impaire p ą 1 tel qu’il n’existe pas de point périodique de période impaire inférieur à p. Alors, les intervalles I1 , . . . , Ip´1 déterminés en I par l’orbite de x peuvent être numérotés de telle manière que le graphe obtenu à partir des relations de recouvrement entre eux (voir la définition III.22) contienne le sous-graphe ü I1 

?

I2


 ?









Ip´1  - Ip´2










A

A A

6 A A

¨¨¨ A A

6

AU - I5

- I4

I3

A A

c’est-à-dire I1 Ñ I1 Ñ I2 Ñ . . . Ñ Ip´1

et

Ip´1 Ñ Ik

pour tout k impair. Démonstration du lemme. Considérons l’intervalle I1 “ ru, vs, où

 ( u “ max y P γpxq : f pyq ą y

 ( et v “ min y P γpxq : y ą u

(rappelons que γpxq est l’orbite de x). Par la définition de u, on a f pvq ă v (on note que x n’est pas un point fixe et donc f pvq ‰ v). En outre, f puq ě v (puisque f puq ą u) et f pvq ď u (puisque f pvq ă v). Donc, I1 Ñ I1 .

(III.34)

L’inclusion f pI1 q Ą I1 est stricte (sinon x aurait pour période 2). Puisque f p pI1 q Ą f p´1 pI1 q Ą . . . Ą f pI1 q Ą I1 et x est p-périodique, on a f p pI1 q Ą γpxq et ainsi f p pI1 q contient tous les intervalles déterminés par points adjacents dans l’orbite de x. Soient r “ card I ´ et s “ card I ` , où I ´ “ γpxq X p´8, us et I ` “ γpxq X rv, `8q. 76 i

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III.3. Applications de l’intervalle

Puisque r ` s “ p, on a r ‰ s (rappelons que p est impair). Cela implique qu’il existe des points adjacents de γpxq dans I ´ ou dans I ` , déterminant un intervalle J, tels que seulement l’un d’entre eux est transformé par f en l’autre intervalle. Sinon, on aurait f pI ´ q Ă I ` et f pI ` q Ă I ´ (puisque f puq ą u et f pvq ă v), mais cela est impossible, car r ‰ s. On note aussi que J Ñ I1 . Soit maintenant I1 Ñ I2 Ñ . . . Ñ Ik Ñ I1 le cycle le plus court de la forme I1 Ñ . . . Ñ I1 qui est différent de I1 ý (il résulte de la discussion précédente qu’un tel cycle existe toujours). On a k ď p ´ 1, car l’orbite de x détermine exactement p ´ 1 intervalles. Prenons aussi q P tk, k ` 1u impair. Puisque I1 Ñ . . . Ñ Ik Ñ I1

et I1 Ñ . . . Ñ Ik Ñ I1 Ñ I1 ,

il résulte de la proposition III.23 que f q a un point fixe y. On remarque que y n’est pas un point fixe pour f . Sinon, y P I1 X . . . X Ik Ă I1 X I2

(III.35)

(rappelons que k ě 2) serait dans l’orbite de x, qui est une contradiction, car x n’est pas un point fixe. Il résulte de la minimalité de la période impaire p que q ě p et donc k “ p ´ 1. Cela montre que I1 Ñ I2 Ñ . . . Ñ Ip´1 Ñ I1

(III.36)

est le cycle le plus court de la forme I1 Ñ . . . Ñ I1 qui est différent de I1 ý. On montre maintenant que Ip´1 Ñ Ik pour k impair, qui comprend Ip´1 Ñ Ip´2 , car p est impair. On vérifie d’abord que les intervalles Ii sont ordonnés dans I sous la forme (III.37) Ip´1 , Ip´3 , . . . , I2 , I1 , I3 , . . . , Ip´2 (éventuellement avec l’ordre inverse). Puisque I1 Ñ . . . Ñ Ip´1 Ñ I1 est le cycle le plus court de la forme I1 Ñ . . . Ñ I1 qui est différent de I1 ý, on conclut que si Ik Ñ Il , alors l ď k ` 1 (ou il existerait un cycle plus court de cette forme). Cela implique que I1 ne recouvre que I1 et I2 (voir (III.34) et (III.36)) et donc, I2 est adjacent à I1 (car f pI1 q est connexe). Puisque I1 “ ru, vs, on a I2 “ rw, us, avec f puq “ v (rappelons que f puq ą u) et f pvq “ w, ou bien on a I2 “ rv, ws, avec f puq “ w et f pvq “ u. On analyse seulement le premier cas, car le second est tout à fait analogue. Puisque f puq “ v et I2 ne recouvre pas I1 , on obtient f pI2 q Ă rv, `8r. Mais puisque I2 recouvre I3 , on conclut que I3 “ rv, ts, avec 77 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

t “ f pwq “ f 2 pvq (car I2 ne recouvre aucun autre intervalle). Cette procédure donne l’ordre dans (III.37). Cela implique que up´1 ă up´3 ă . . . ă u2 ă u ă u1 ă u3 ă . . . ă up´2 , où ui “ f i puq. On obtient donc Ip´1 “ rup´1 , up´3 s Ñ Ik pour k impair, car f pup´1 q “ u et f pup´3 q “ up´2 . Cela complète la démonstration du lemme.

Lemme III.28. Si f a un point périodique de période paire, alors il a un point périodique de période 2. Démonstration du lemme. Soit x un point périodique de période paire p ą 2. On

considère deux cas. 1. On suppose d’abord qu’il n’y a pas de points adjacents dans l’orbite de x qui déterminent un intervalle J ‰ I1 recouvrant I1 . Soient y et z, respectivement, le minimum et le maximum de l’orbite de x, c’est-à-dire y “ min γpxq et z “ max γpxq. Par construction, f puq ě v et donc, f pry, usq coupe rv, `8r. D’autre part, par hypothèse, l’intervalle ry, us ne recouvre pas I1 et donc, f pry, usq Ă rv, `8r. On peut montrer de manière analogue que f prv, zsq Ă s ´ 8, us. Puisque f permute les points dans l’orbite de x, on obtient ry, us Ñ rv, zs Ñ ry, us et il résulte de la proposition III.23 que f a un point périodique de période 2. 2. On suppose maintenant qu’il y a des points adjacents dans l’orbite de x qui déterminent un intervalle Ik ‰ I1 recouvrant I1 . Si I1 Ñ . . . Ñ Ik Ñ I1 est le cycle le plus court de la forme I1 Ñ . . . Ñ I1 qui est différent de I1 ý, alors k ď p ´ 1. Prenons maintenant q P tk, k ` 1u pair. On a q ď p. Puisque I1 Ñ . . . Ñ Ik Ñ I1

et I1 Ñ . . . Ñ Ik Ñ I1 Ñ I1 ,

il résulte de la proposition III.23 que f q a un point fixe y. On remarque que y n’est pas un point fixe pour f (voir (III.35)). Si p était la plus petite période, alors q “ p et donc k “ p ´ 1. En procédant comme dans la démonstration 78 i

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Cas 1. p “ 2k et q “ 2l ă p avec l ă k

du lemme III.27, on pourrait alors montrer que les intervalles Ii seraient ordonnés dans I sous la forme Ip´2 , . . . , I2 , I1 , I3 , . . . , Ip´1 (éventuellement dans l’ordre inverse) et que Ip´1 Ñ Ik pour k pair. En particulier, on obtiendrait le cycle Ip´1 Ñ Ip´2 Ñ Ip´1 et, par la proposition III.23, f aurait un point périodique de période 2 (car Ip´2 X Ip´1 “ ∅). Cette contradiction montre que p ne peut être la plus petite période paire. Donc, on peut considérer un point périodique de période paire plus petite et recommencer la procédure. Cela donne le résultat souhaité. On procède à la démonstration du théorème. Cas 1. p “ 2k et q “ 2l ă p avec l ă k Soit l ą 0. Si x est un point périodique pour f de période p, alors il est un point périodique pour f q{2 de période 2k´l`1 . Puisque k ´ l ` 1 ě 2, il résulte du lemme III.28 que f q{2 a un point périodique de période 2, qui est un point périodique pour f de période q. Prenons maintenant l “ 0. Il résulte du lemme III.28 que f a un point périodique de période 2. Il détermine un intervalle I1 dans I dont les extrémités sont permutées par f . Puisque f est continue, elle a un point fixe dans I1 . Cas 2. p “ 2kr et q “ 2ks ă p avec r ą 1 impair minimal et s pair k

On note que r est la plus petite période impaire des points périodiques de f 2 . Il résulte du lemme III.27 qu’il existe un cycle de longueur s. Plus précisément, on peut prendre Ir´1 Ñ Ir´s Ñ . . . Ñ Ir´2 Ñ Ir´1 lorsque s ă r, et I1 Ñ I2 Ñ . . . Ñ Ir´1 Ñ I1 Ñ I1 Ñ . . . Ñ I1 k

lorsque s ě r. Il résulte de la proposition III.23 que f 2 a un point périodique de période s, qui est un point périodique pour f de période 2k s “ q. 79 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

Cas 3. p “ 2kr et q “ 2l ă p avec r ą 1 impair minimal et l ď k En prenant s “ 2 dans le cas 2, on obtient un point périodique pour f de période 2k s “ 2k`1 . Il résulte du cas 1 que f a un point périodique de période 2l pour chaque l ď k. Cas 4. p “ 2kr et q “ 2ks ă p avec r ą 1 impair minimal et s ą r impair k

On note que r est la plus petite période impaire des points périodiques de f 2 . Par le lemme III.27, on obtient le cycle I1 Ñ I2 Ñ . . . Ñ Ir´1 Ñ I1 Ñ I1 Ñ . . . Ñ I1 k

de longueur s. Il résulte de la proposition III.23 que f 2 a un point périodique x de période s. Si x est un point périodique pour f de période 2k s, alors la démonstration est terminée. Sinon, x a pour période 2l s pour un certain l ă k. Soient p¯ “ 2l s et q¯ “ 2l s¯ “ q, où s¯ “ 2k´l s. Puisque s¯ est pair, il résulte du cas 2 qu’il existe un point périodique pour f de période q¯ “ q.

III.4. Le théorème de Poincaré-Bendixson On établit dans cette section un des résultats importants de la théorie qualitative des équations différentielles dans le plan : le théorème de Poincaré-Bendixson. Soit f : R2 Ñ R2 une fonction de classe C 1 . On considère le problème de Cauchy # x1 “ f pxq, (III.38) xp0q “ x0 pour chaque x0 P R2 . On suppose que l’unique solution xpt, x0 q de (III.38) est définie pour t P R. Il résulte alors de la proposition I.14 que la famille des applications ϕt : R2 Ñ R2 définies pour chaque t P R par ϕt px0 q “ xpt, x0 q est un flot. On établit maintenant le théorème de Poincaré-Bendixson. On rappelle qu’un point x P R2 avec f pxq “ 0 est appelé point critique de f .

Th´eor`eme III.29 (Poincar´e-Bendixson). Soit f : R2 Ñ R2 une fonction de classe C 1 . Pour le flot déterminé par l’équation x1 “ f pxq, si la semi-orbite positive γ ` pxq d’un point x P R2 est bornée et ωpxq ne contient pas de point critique, alors ωpxq est une orbite périodique. 80 i

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III.4. Le théorème de Poincaré-Bendixson Démonstration. Puisque la semi-orbite positive γ ` pxq est bornée, il résulte de la

proposition II.16 que ωpxq est non vide. Prenons un point p P ωpxq. Puisque ωpxq est contenu dans l’adhérence de γ ` pxq, il résulte de la première propriété de la proposition II.16 que ωppq est non vide, et il résulte de la deuxième propriété de la proposition II.15 que ωppq Ă ωpxq. On prend maintenant un point q P ωppq. Par hypothèse, q n’est pas un point critique et, donc, il existe un segment de droite L contenant q qui est transversal à f (voir l’exercice II.5). Puisque q P ωppq, il résulte de la première propriété de la proposition II.15 qu’il existe une suite tk Õ `8 dans R` telle que ϕtk ppq Ñ q lorsque k Ñ 8. On peut aussi supposer que ϕtk ppq P L pour k P N. D’autre part, puisque p P ωpxq, il résulte de la deuxième propriété de la proposition II.15 que ϕtk ppq P ωpxq pour k P N. Puisque ϕtk ppq P ωpxq X L, il résulte alors de l’exercice II.5 que ϕtk ppq “ ϕtl ppq “ q pour tous k, l P N. Cela implique que γppq Ă ωpxq est une orbite périodique. On montre maintenant que ωpxq “ γppq. Supposons que ωpxqzγppq ‰ ∅. Puisque ωpxq est connexe (par la proposition II.16), dans chaque voisinage de γppq il existe des points de ωpxq qui ne sont pas dans γppq. En outre, tout voisinage suffisamment petit de γppq contient des points critiques. Donc, il existe une transversale L1 à f contenant un de ces points, qui est dans ωpxq, et un point de γppq. Cela montre que ωpxq X L1 contient au moins deux points, car γppq Ă ωpxq, ce qui contredit l’exercice II.5. Donc, ωpxq “ γppq et l’ensemble ω-limite de x est une orbite périodique. L’exemple suivant est une application du théorème III.29.

Exemple III.30. Considérons l’équation différentielle # x1 “ xp3 ´ 2y ´ x2 ´ y 2 q ´ y, y 1 “ yp3 ´ 2y ´ x2 ´ y 2 q ` x,

(III.39)

qui, en coordonnées polaires, prend la forme # r 1 “ rp3 ´ 2r sin θ ´ r 2 q, θ 1 “ 1. Pour tout r suffisamment petit, on a r 1 “ rp3 ´ 2r sin θ ´ r 2 q ě rp3 ´ 2r ´ r 2 q ą 0

(III.40) 81

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

et pour tout r suffisamment grand, on a r 1 “ rp3 ´ 2r sin θ ´ r 2 q ď rp3 ` 2r ´ r 2 q ă 0.

(III.41)

Puisque l’origine est le seul point critique, pour tous r2 ą r1 ą 0 il n’y a pas de point critique dans l’ensemble (  D “ x P R2 : r1 ă }x} ă r2 . En outre, à condition que r1 soit suffisamment petit et r2 soit suffisamment grand, il résulte de (III.40) et (III.41) que toute semi-orbite positive γ ` pxq d’un point x P D est contenue dans D. Par le théorème III.29, l’ensemble ωpxq Ă D est une orbite périodique pour chaque x P D. En particulier, il existe au moins une orbite périodique de l’équation (III.39) dans l’ensemble D. On formule désormais un résultat analogue pour les semi-orbites négatives bornées.

Th´eor`eme III.31. Soit f : R2 Ñ R2 une fonction de classe C 1 . Pour le flot déterminé par l’équation x1 “ f pxq, si la semi-orbite négative γ ´ pxq d’un point x P R2 est bornée et αpxq ne contient pas de point critique, alors αpxq est une orbite périodique.

III.5. Exercices Exercice III.1. Déterminer les points fixes de l’application f dans (III.5) pour |β| ă 1{p2πq. Exercice III.2. Dire si l’application f dans (III.5) a des orbites denses pour |β| ă 1{p2πq. Exercice III.3. On dit qu’un homéomorphisme f : S 1 Ñ S 1 renverse l’orientation si au moins un de ses relèvements est une fonction décroissante. Montrer que f renverse l’orientation si et seulement si tous ses relèvements sont des fonctions décroissantes. Exercice III.4. Montrer que si f, g : S 1 Ñ S 1 sont des homéomorphismes avec des relèvements F et G, respectivement, alors F ˝ G est un relèvement de f ˝ g. Exercice III.5. Montrer que la composition de deux homéomorphismes du cercle préservant l’orientation est encore un homéomorphisme préservant l’orientation. Exercice III.6. Montrer que la composition de deux homéomorphismes du cercle renversant l’orientation est un homéomorphisme préservant l’orientation. Exercice III.7. Montrer que si f : S 1 Ñ S 1 est un homéomorphisme préservant l’orientation, alors ρpf n q “ nρpf q mod 1 pour n P N. 82 i

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Exercices

Exercice III.8. Soient f, g : S 1 Ñ S 1 des homéomorphismes préservant l’orientation. Montrer que si f ˝ g “ g ˝ f , alors ρpf ˝ gq “ ρpf q ` ρpgq mod 1.

Exercice III.9. Soient f, g : S 1 Ñ S 1 des homéomorphismes préservant l’orientation. Montrer que si f et g sont topologiquement conjugués, alors ρpf q “ ρpgq. Exercice III.10. Montrer que chaque homéomorphisme du cercle renversant l’orientation a exactement deux points fixes. Exercice III.11. Soit f : S 1 Ñ S 1 un difféomorphisme de classe C 2 préservant l’orientation. Montrer que si ρpf q P RzQ, alors f est topologiquement conjugué à la rotation Rρpf q . Exercice III.12. Montrer que toute fonction monotone ϕ : S 1 Ñ R est à variation bornée. Exercice III.13. Soit ϕ : S 1 Ñ R une fonction. Montrer que s’il existe L ą 0 tel que |ϕpxq ´ ϕpyq| ď L|x ´ y| pour tous x, y P S 1 , alors ϕ est à variation bornée.

Exercice III.14. Considérons la fonction continue ϕ : S 1 Ñ R définie par # x sinpπ{xq si x ‰ 0, ϕpxq “ 0 si x “ 0. 1. Pour n P N, montrer que n´1 ÿ

|ϕpxi q ´ ϕpxi´1 q| “ 4

i“1

n ÿ

1 2i `1 i“1

pour les intervalles disjoints sxi´1 , xi r avec x0 “ 0, x1 “

2 2 2 2 , x2 “ , . . . , xn´1 “ , xn “ , xn`1 “ 1. 2n ` 1 2n ´ 1 5 3

2. Conclure que ϕ n’est pas à variation bornée.

Exercice III.15. Dire s’il existe un homéomorphisme f du cercle tel que f ˝ E2 “ E3 ˝ f . Exercice III.16. Soit α P R. Dire s’il existe un homéomorphisme f du cercle tel que f ˝ Rα “ R´α ˝ f . 83 i

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Chapitre III. Systèmes dynamiques en basse dimension

Exercice III.17. Vérifier que l’équation # x1 “ y ` x3 , y 1 “ ´1 ´ x4 n’a pas d’orbite périodique contenue dans le premier quadrant. Exercice III.18. Vérifier que le flot déterminé par l’équation # x1 “ xp2 ´ x ´ x2 ´ 2y 2 q ´ y, y 1 “ yp2 ´ x ´ x2 ´ 2y 2 q ` x a une orbite périodique. Exercice III.19. Dire si le flot déterminé par l’équation # r 1 “ rp1 ` cos θq, θ1 “ 1 a une orbite périodique.

Exercice III.20. Dire s’il existe une équation différentielle de R2 qui détermine un flot avec une orbite dense.

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IV DYNAMIQUE HYPERBOLIQUE I

Ce chapitre est une introduction à la dynamique hyperbolique. On introduit d’abord la notion d’ensemble hyperbolique et on décrit le fer à cheval de Smale et certaines de ses modifications. On considère aussi la caractérisation d’un ensemble hyperbolique en termes de cônes invariants et la stabilité des ensembles hyperboliques sous perturbations suffisamment petites. Pour des sujets supplémentaires relatifs à la dynamique hyperbolique, le lecteur pourra consulter, par exemple, [2, 8, 9, 14, 16].

IV.1. Ensembles hyperboliques On introduit dans cette section la notion d’ensemble hyperbolique, on en donne quelques exemples et on établit la continuité des espaces stables et instables sur le point de base.

IV.1.1. Notions de base Soit f : M Ñ M un difféomorphisme de classe C 1 d’une variété M . Pour chaque x P M , l’application linéaire dx f : Tx M Ñ Tf pxq M entre espaces tangents est définie par dx f v “ β 1 p0q, où β “ f ˝ α pour un certain chemin différentiable α : s´ε, εrÑ M tel que αp0q “ x et α1 p0q “ v (on peut montrer que la définition ne dépend pas du chemin α). On suppose toujours que M est une variété riemannienne. Cela signifie que chaque espace tangent Tx M est muni d’un produit scalaire x¨, ¨yx qui est différentiable sur x. Il induit la norme vx “ xv, vy1{2 x

pour v P Tx M.

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

Pour la simplicité de la notation, on écrit toujours x¨, ¨y et ¨, sans indiquer la dépendance en x (qui peut être déduite facilement du contexte). On introduit maintenant la notion d’ensemble hyperbolique.

D´efinition IV.1. Un ensemble compact f -invariant Λ Ă M est appelé ensemble hyperbolique pour f s’il existe λ P s0, 1r, c ą 0 et une décomposition Tx M “ E s pxq ‘ E u pxq

(IV.1)

pour chaque x P Λ tels que : 1. dx f E s pxq “ E s pf pxqq et dx f E u pxq “ E u pf pxqq ;

(IV.2)

2. si v P E s pxq et n P N, alors dx f n v ď cλn v ;

(IV.3)

3. si v P E u pxq et n P N, alors dx f ´n v ď cλn v.

(IV.4)

Les espaces linéaires E s pxq et E u pxq sont appelés, respectivement, l’espace stable et l’espace instable au point x. On considère d’abord le cas particulier des points fixes.

Exemple IV.2. Soient a P s0, 1r et b ą 1. On définit une application linéaire f : R2 Ñ R2 par f px, yq “ pax, byq. On a f p0q “ 0 et, donc, l’origine est un point fixe. On considère aussi la décomposition R2 “ E s ‘ E u , où E s et E u sont, respectivement, les axes horizontal et vertical. Pour l’application linéaire A “ d0 f “ f , on a : 1. AE s “ E s et AE u “ E u ; 2. Av ď av pour v P E s ; 3. A´1 v ď b´1 v pour v P E u . 86 i

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IV.1. Ensembles hyperboliques

Cela montre que t0u Ă R2 est un ensemble hyperbolique pour le difféomorphisme f , avec λ “ maxta, b´1 u et c “ 1. Plus généralement, on peut montrer que si x P M est un point fixe pour f , alors txu est un ensemble hyperbolique pour f si et seulement si l’application linéaire dx f : Tx M Ñ Tx M n’a pas de valeurs propres de module 1 (voir l’exercice IV.14).

IV.1.2. Fer à cheval de Smale On considère dans cette section d’autres exemples d’ensembles hyperboliques. Plus précisément, on considère le fer à cheval de Smale et certaines de ses modifications (voir aussi la section VI.4). Soit f un difféomorphisme dans un voisinage ouvert du carré Q “ r0, 1s2 avec le comportement illustré dans la figure IV.1. Pour a P s0, 1{2r, considérons les bandes horizontales H1 “ r0, 1s ˆ r0, as

et H2 “ r0, 1s ˆ r1 ´ a, 1s

et les bandes verticales V1 “ r0, as ˆ r0, 1s

et V2 “ r1 ´ a, 1s ˆ r0, 1s.

(IV.5)

On suppose que f pH1 q “ V1

et f pH2 q “ V2

(IV.6)

f

Figure IV.1. Difféomorphisme f dans un voisinage du carré Q.

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

H2

f

V1

H1

V2

Figure IV.2. Bandes horizontales et verticales.

(voir la figure IV.2), ce qui donne l’égalité Q X f pQq “ V1 Y V2 . On suppose aussi que les restrictions f |H1 sont f |H2 sont affines, avec # pax, byq si px, yq P H1 , f px, yq “ p´ax ` 1, ´by ` bq si px, yq P H2 ,

(IV.7)

(IV.8)

où b “ 1{a. On verra que la construction du fer à cheval de Smale ne dépend que de la restriction f |pH1 Y H2 q. Considérons maintenant le difféomorphisme f ´1 . Par (IV.6), on a f ´1 pV1 q “ H1

et f ´1 pV2 q “ H2

et donc, par (IV.7), f ´1 pQq X Q “ f ´1 pV1 q Y f ´1 pV2 q “ H1 Y H2 .

(IV.9)

Il résulte de (IV.7) et (IV.9) que 1 č

f n pQq “ pH1 Y H2 q X pV1 X V2 q

k“´1

est l’union de quatre carrés de taille a (voir la figure IV.3 pour un exemple avec a “ 1{3). 88 i

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IV.1. Ensembles hyperboliques

Figure IV.3. Intersection f ´1 pQq X Q X f pQq.

En itérant cette procédure, c’est-à-dire en considérant successivement les images f n pQq et les préimages f ´n pQq, on trouve que l’intersection Λn “

n č

f k pQq

k“´n

est l’union de 4n carrés de taille an . Par exemple, pour n “ 2 on obtient l’ensemble de la figure IV.4 (pour a “ 1{3). Puisque Λn est une suite décroissante d’ensembles fermés non vides, l’ensemble compact č č Λn “ f k pQq (IV.10) Λ“ nPN

kPZ

est non vide. Il est appelé fer à cheval de Smale (pour f ).

Figure IV.4. Intersection Λ2 “

Ş2

k“´2

f k pQq.

L’ensemble Λ n’a pas de point intérieur parce que les diamètres des 4n carrés dans Λn tend vers 0 lorsque n Ñ 8. On peut aussi vérifier que Λ n’a pas de point 89 i

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

isolé. Donc, c’est un ensemble de Cantor (un ensemble fermé sans point isolé et sans point intérieur).

Proposition IV.3. Λ est un ensemble hyperbolique pour le difféomorphisme f . Démonstration. Il résulte de (IV.10) que Λ est f -invariant, c’est-à-dire f ´1 Λ “ Λ.

D’autre part, il résulte de (IV.8) que ˆ ˙ a0 dx f “ 0b ˆ

et dx f “

˙ ´a 0 0 ´b

pour x P H1

pour x P H2 .

(IV.11)

(IV.12)

Pour chaque x P Λ, considérons la décomposition R2 “ E s pxq ‘ E u pxq, où E s pxq et E u pxq sont, respectivement, les axes horizontal et vertical. Puisque les matrices dans (IV.11) et (IV.12) sont diagonales, les identités dans (IV.2) sont satisfaites. En outre, il résulte de (IV.11) et (IV.12) que # av si v P E s pxq, dx f v “ bv si v P E u pxq et on peut prendre λ “ a et c “ 1 dans la définition d’ensemble hyperbolique. On peut aussi considérer d’autres types de constructions. Par exemple, soit g un difféomorphisme dans un voisinage ouvert du carré Q avec le comportement illustré par la figure IV.5. On suppose que les identités dans (IV.6) sont satisfaites et que # px{3, 3yq si px, yq P H1 , gpx, yq “ px{3 ` 2{3, 3y ´ 2q si px, yq P H2 . Alors l’ensemble compact g-invariant Λg “

č

gn pQq

nPZ

coïncide avec l’ensemble Λ dans (IV.10). On peut montrer de manière similaire que c’est un ensemble hyperbolique.

Proposition IV.4. Λg est un ensemble hyperbolique pour le difféomorphisme g. 90 i

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IV.1. Ensembles hyperboliques

g

Figure IV.5. Difféomorphisme g dans un voisinage de Q.

On mentionne encore une autre variante de la construction initiale du fer à cheval de Smale. Soit h un difféomorphisme dans un voisinage ouvert du carré Q tel que Q X hpQq a un nombre fini de composantes connexes. Plus précisément, on considère bandes horizontales fermées et disjointes deux à deux H1 , . . . , Hm Ă Q (voir la figure IV.6 pour un exemple avec m “ 3). On suppose que les images Vi “ hpHi q, pour i “ 1, . . . , m, sont des bandes verticales dans Q (elles sont nécessairement disjointes car h est inversible). En outre, on suppose que h|Hi est une application affine de la forme ph|Hi qpx, yq “ pλi x ` ai , μi y ` bi q, pour i “ 1, . . . , m, avec |λi | ă 1 et |μi | ą 1. Soit maintenant (  μ “ max |λi |, |μi |´1 : i “ 1, . . . , m . On peut vérifier facilement que pour chaque n P N, l’intersection Λhn “

n č

hk pQq

k“´n

est l’union de m2n rectangles avec des côtés de longueurs au plus μn . Cela implique que l’ensemble compact h-invariant č hn pQq Λh “ nPZ

n’a pas de point intérieur. On peut aussi vérifier que Λh n’a pas de point isolé. 91 i

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

H3 h V1

H2

V2

V3

E

H1

Figure IV.6. Difféomorphisme h dans un voisinage de Q.

Proposition IV.5. Λh est un ensemble hyperbolique pour le difféomorphisme h, avec λ “ μ et c “ 1 dans la définition IV.1.

IV.1.3. Continuité des espaces stables et instables On établit dans cette section la continuité des espaces stables et instables et E u pxq sur le point x. On introduit d’abord une distance entre sousespaces de Rp . Soient E Ă Rp et v P Rp . On définit  ( dpv, Eq “ min v ´ w : w P E . (IV.13) E s pxq

En outre, pour les sous-espaces E, F Ă Rp , on définit " dpE, F q “ max max dpv, F q, max vPE,v“1

* dpw, Eq .

wPF,w“1

Exemple IV.6. Si E, F Ă R2 sont des sous-espaces de dimension 1, alors dpE, F q “ sin α, où α P r0, π{2s est l’angle entre E et F . En effet, dans ce cas, on a max vPE,v“1

dpv, F q “ dpvE , F q et

max vPF,w“1

dpw, Eq “ dpvF , Eq,

pour tous vE P E et vF P F de norme 1. Ces nombres coïncident et, donc, dpE, F q “ dpvE , F q “ dpvF , Eq “ sin α. 92 i

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IV.1. Ensembles hyperboliques

Considérons maintenant les espaces stable et instable E s pxq et E u pxq pour x dans un ensemble hyperbolique Λ Ă Rp .

Th´eor`eme IV.7. Si Λ Ă Rp est un ensemble hyperbolique, alors les espaces E s pxq et E u pxq sont continus sur le point x P Λ. C’est-à-dire, si xm Ñ x lorsque m Ñ 8, avec xm , x P Λ pour chaque m P N, alors dpE s pxm q, E s pxqq Ñ 0

lorsque m Ñ 8

dpE u pxm q, E u pxqq Ñ 0

lorsque m Ñ 8.

et

Démonstration. Soit pxm qmPN une suite comme dans l’énoncé du théorème.

Lemme IV.8. Tout point d’accumulation d’une suite vm P E s pxm q Ă Rp avec vm  “ 1 appartient à E s pxq. Démonstration du lemme. Puisque la sphère unité fermée de Rp est compacte, la

suite vm a des points d’accumulation. D’autre part, puisque vm P E s pxm q, on a dxm f n vm  ď cλn vm  pour m, n P N. Lorsque m Ñ 8, on obtient dx f n v ď cλn v

pour n P N, où v est un point d’accumulation arbitraire de la suite vm . Enfin, il résulte de (IV.4) que v n’a pas de composante dans E u pxq et donc, v P E s pxq.

Lemme IV.9. Il existe m P N tel que dim E s pxp q “ dim E s pxq q

et

dim E u pxp q “ dim E s pxq q

pour tous p, q ą m. Démonstration du lemme. Puisque les dimensions dim E s pxm q et dim E u pxm q ne

peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs, il existe une sous-suite ym de xm telle que les nombres dim E s pym q et dim E u pym q sont indépendants de m. Soit maintenant v1m , . . . , vkm P E s pym q Ă Rp une base orthonormale de E s pym q, où k “ dim E s pym q (qui, par hypothèse, est indépendant de m). Puisque la sphère unité fermée de Rp est compacte, la suite 93 i

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

pv1m , . . . , vkm q a des points d’accumulation. En outre, chaque point d’accumulation pv1 , . . . , vk q est encore un ensemble orthonormal. Il résulte du lemme IV.8 que v1 , . . . , vk P E s pxq et donc dim E s pxq ě k (puisque pv1 , . . . , vk q est un ensemble orthonormal). En procédant de manière analogue pour les espaces instables, on obtient dim E u pxq ě dim M ´ k. Il résulte de (IV.1) que dim E s pxq “ k

et

dim E u pxq “ dim M ´ k.

(IV.14)

En particulier, les vecteurs v1 , . . . , vk engendrent E s pxq. On note aussi que chaque d’une vecteur v P E s pxq de norme v “ 1 est un point d’accumulation ř ř certaine suite vm P E s pym q avec vm  “ 1. En effet, soit v “ ki“1 αi vi avec ki“1 α2i “ 1, où  k k M ÿ ÿ   αi vim  αi vim  vm “ . i“1

i“1

Si zm est une autre sous-suite de xm telle que les dimensions dim E s pzm q et dim E u pzm q sont indépendantes de m, respectivement, avec les valeurs l et dim M ´ l, alors on a aussi dim E s pxq “ l

et

dim E u pxq “ dim M ´ l.

En comparant avec (IV.14), on conclut que l “ k. Cela montre que dim E s pxm q et dim E u pxm q sont constantes pour tout m suffisamment grand. On estime maintenant la distance dpE s pxm q, E s pxqq.

Lemme IV.10. Pour chaque δ ą 0, il existe p P N tel que max

wPE s pxm q,w“1

dpw, E s pxqq ă δ

pour m ą p.

(IV.15)

Démonstration du lemme. Soit ε ą 0. On remarque que pour chaque suite wm P

E s pxm q avec wm  “ 1, on a dpwm , E s pxqq ă ε pour tout m suffisamment grand. Sinon, il existerait une sous-suite wkm telle que dpwkm , E s pxqq ě ε pour m P N.

Par (IV.13), tout point d’accumulation w de la suite wkm satisfait dpw, E s pxqq ě ε. Mais cela est impossible, car par le lemme IV.8, on a w P E s pxq. On considère maintenant des bases orthonormales pv1m , . . . , vkm q de E s pxm q (pour chaque m suffisamment grand avec dim E s pxm q “ k). Il résulte du paragraphe précédent qu’il existe des entiers p1 , . . . , pk P N tels que dpvim , E s pxqq ă ε pour m ą pi .

(IV.16)

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IV.1. Ensembles hyperboliques

On prend aussi des vecteurs wm P E s pxm q de norme wm  “ 1 et on écrit wm “

k ÿ

αim vim

i“1

ř avec ki“1 α2im “ 1. Par (IV.16), pour i “ 1, . . . , k et m ą p :“ maxtp1 , . . . , pk u, il existe wim P E s pxq tel que vim ´ wim  ă ε. Alors   k ÿ    αim wim  dpwm , E pxqq ď wm ´  s

i“1

ď

k ÿ

|αim | ¨ vim ´ wim  ă kε

i“1

et, donc, max

wPE s pxm q,w“1

dpw, E s pxqq ă kε pour m ą p.

Cela établit le résultat souhaité.

Lemme IV.11. Pour chaque δ ą 0, il existe q P N tel que max

vPE s pxq,v“1

dpv, E s pxm qq ă δ

pour m ą q.

(IV.17)

Démonstration du lemme. Soient ε ą 0 et v P E s pxq. On montre que

dpv, E s pxm qq ă ε pour tout m suffisamment grand. Sinon, il existerait une suite xkm telle que dpv, E s pxkm qq ě ε pour m P N. On considère maintenant une suite wm P E s pxkm q avec wm  “ 1 qui a v comme point d’accumulation (on rappelle que chaque élément de E s pxq est obtenu comme un point d’accumulation de vecteurs wm de cette forme). Mais cela est impossible, car alors on aurait v ´ wm  ě ε pour m P N et donc aussi 0 “ v ´ v ě ε. On considère désormais une base orthonormale v1 , . . . , vk de E s pxq et on prend des entiers q1 , . . . , qk P N tels que dpvi , E s pxm qq ă ε pour m ą qi . 95 i

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

Pour chaque i, il existe vim P E s pxm q avec v P E s pxq un řk vi ´ vim řăk ε. Soit vecteur de norme v “ 1. On écrit v “ i“1 αi vi avec i“1 α2i “ 1. Alors   k ÿ   s  dpv, E pxm qq ď v ´ αi vim   i“1

ď

k ÿ

|αi | ¨ vi ´ vim  ă kε

i“1

pour m ą q :“ maxtq1 , . . . , qk u et, donc, max

vPE s pxq,v“1

dpv, E s pxm qq ă kε pour m ą q.

Cela établit le résultat souhaité. Enfin, il résulte de (IV.15) et (IV.17) que dpE s pxm q, E s pxqq ă 2δ

pour m ą maxtp, qu.

On obtient de manière similaire le résultat correspondant pour les espaces instables. Le lemme IV.9 dit que si xm Ñ x lorsque m Ñ 8, avec xm , x P Λ pour chaque m P N, alors dim E s pxm q et dim E u pxm q sont constantes pour tout m suffisamment grand.

IV.2. Ensembles hyperboliques et cônes invariants On décrit dans cette section une caractérisation des ensembles hyperboliques en termes de cônes invariants.

IV.2.1. Cônes et caractérisation des ensembles hyperboliques Soit f : M Ñ M un difféomorphisme de classe C 1 et soit Λ Ă M un ensemble compact f -invariant. Pour chaque x P Λ, on considère une décomposition Tx M “ F s pxq ‘ F u pxq

(IV.18)

et un produit scalaire x¨, ¨y1 “ x¨, ¨y1x dans Tx M . On souligne qu’il peut être différent du produit scalaire original. On suppose toujours que les dimensions dim F s pxq et dim F u pxq sont indépendantes de x. D’autre part, on n’a pas besoin que dx f F s pxq “ F s pf pxqq et dx f F u pxq “ F u pf pxqq pour x P Λ. 96 i

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IV.2. Ensembles hyperboliques et cônes invariants

D´efinition IV.12. Soient γ P s0, 1r et x P Λ. On définit les cônes  (  ( C s pxq “ pv, wq P F s pxq ‘ F u pxq : w1 ă γv1 Y 0 et

 (  ( C u pxq “ pv, wq P F s pxq ‘ F u pxq : v1 ă γw1 Y 0

(IV.19) (IV.20)

(voir les figures IV.7 et IV.8). F u pxq

C s pxq F s pxq

Figure IV.7. Cône C s pxq.

Le résultat suivant donne une caractérisation d’un ensemble hyperbolique en termes de cônes.

Th´eor`eme IV.13. Soit f : M Ñ M un difféomorphisme de classe C 1 et soit Λ Ă M un ensemble compact f -invariant. Alors Λ est un ensemble hyperbolique pour f si et seulement s’il existe une décomposition (IV.18) et un produit scalaire x¨, ¨y1x dans Tx M , pour chaque x P Λ, et des constantes μ, γ P s0, 1r, tels que pour tout xPΛ: 1. dx f C u pxq Ă C u pf pxqq 2. 3.

et

dx f ´1 C s pxq Ă C s pf ´1 pxqq ;

dx f v1 ě μ´1 v1 dx f ´1 v1 ě μ´1 v1

(IV.21)

pour v P C u pxq ;

(IV.22)

pour v P C s pxq.

(IV.23) 97

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

F u pxq

C u pxq

F s pxq

Figure IV.8. Cône C u pxq.

Le théorème IV.13 est une conséquence immédiate des théorèmes IV.14 et IV.15 prouvés, respectivement, dans les sections IV.2.2 et IV.2.3.

IV.2.2. Existence de cônes invariants On montre dans cette section que pour tout ensemble hyperbolique il existe des cônes C s pxq et C u pxq avec les propriétés du théorème IV.13.

Th´eor`eme IV.14. Soit f : M Ñ M un difféomorphisme de classe C 1 et soit Λ Ă M un ensemble hyperbolique pour f . Alors il existe un produit scalaire x¨, ¨y1x dans chaque espace tangent Tx M , qui est continu sur x P Λ, et des constantes μ, γ P s0, 1r, tels qu’en prenant F s pxq “ E s pxq

et

F u pxq “ E u pxq

(IV.24)

dans (IV.19) et (IV.20), les cônes C s pxq et C u pxq satisfont les propriétés (IV.21), (IV.22) et (IV.23) pour tout x P Λ. Démonstration. On divise la démonstration en plusieurs étapes.

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1. Construction d’un produit scalaire

1. Construction d’un produit scalaire Soit m P N tel que cλm ă 1. Pour v, w P E s pxq, on définit xv, wy1 “

m´1 ÿ

xdx f n v, dx f n wy.

n“0

Pour chaque v P

E s pxq, `

on a

dx f v1

˘2

“

m´1 ÿ

dx f n`1 v2

n“0

“

m´1 ÿ

dx f n v2 ´ v2 ` dx f m v2

n“0

`

ď v1 D’autre part,

˘2

` ˘ ´ 1 ´ c2 λ2m v2 .

ÿ ˘2 m´1 ` c2 λ2n v2 ď c2 mv2 v1 ď

(IV.25)

n“0

et donc,

dx f v1 ď τ v1 ,

(IV.26)

c

où

1 ´ c2 λ2m ă 1. c2 m De manière analogue, pour v, w P E u pxq, on définit τ“

1

xv, wy “

1´

m´1 ÿ

xdx f ´n v, dx f ´n wy.

n“0

On peut vérifier que

dx f ´1 v1 ď τ v1

(IV.27)

E u pxq.

Considérons maintenant le produit scalaire x¨, ¨y “ x¨, ¨yx dans pour v P Tx M défini par (IV.28) xv, wy1 “ xv s , ws y1 ` xv u , wu y1 pour chaque v, w P Tx M , où v “ vs ` vu

et w “ ws ` wu ,

avec v s , ws P E s pxq et v u , wu P E u pxq. On prend aussi F s pxq et F u pxq comme dans (IV.24), et on considère les cônes C s pxq et C u pxq de (IV.19) et (IV.20), avec la norme ¨1 induite par le produit scalaire de (IV.28). 99 i

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

2. Invariance des cônes Pour pv, wq P C u pxq, on a

v1 ď γw1

et il résulte de (IV.2) que ` ˘ dx f pv, wq “ dx f v, dx f w P E s pf pxqq ‘ E u pf pxqq. Par (IV.26) et (IV.27), on obtient dx f v1 ď τ v1 ď τ γw1 ď τ 2 γdx f w1 et donc, dx f pv, wq P C u pf pxqq. De manière analogue, pour pv, wq P C s pxq, on a w1 ď γv1 et donc, dx f ´1 w1 ď τ w1 ď τ γv1 ď τ 2 γdx f ´1 v1 . Cela montre que dx f ´1 pv, wq P C s pf ´1 pxqq et les inclusions dans (IV.21) sont satisfaites. 3. Bornes dans les cônes Pour pv, wq P C u pxq, il résulte de (IV.26) et (IV.27) que dx f pv, wq1 ě dx f w1 ´ dx f v1 ě τ ´1 w1 ´ τ v1 ě τ ´1 w1 ´ τ γw1 . Puisque

pv, wq1 ă p1 ` γqw1 ,

on a dx f pv, wq1 ě

τ ´1 ´ τ γ pv, wq1 . 1`γ

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3. Bornes dans les cônes

En prenant γ suffisamment petit pour que ˆ μ :“

τ ´1 ´ τ γ 1`γ

˙´1

ą 1,

on obtient la propriété (IV.22). De manière analogue, pour pv, wq P C s pxq, il résulte de (IV.26) et (IV.27) que dx f ´1 pv, wq1 ě dx f ´1 v1 ´ dx f ´1 w1 ě τ ´1 v1 ´ τ w1 τ ´1 ´ τ γ pv, wq1 1`γ “ μ´1 pv, wq1 , ě

ce qui donne la propriété (IV.23). Cela complète la démonstration du théorème.

IV.2.3. Critère d’hyperbolicité Le résultat suivant montre que l’existence de cônes C s pxq et C u pxq comme dans le théorème IV.13 garantit que l’ensemble compact f -invariant Λ est un ensemble hyperbolique pour f .

Th´eor`eme IV.15. Soit f : M Ñ M un difféomorphisme de classe C 1 et soit Λ Ă M un ensemble compact f -invariant. S’il existe une décomposition (IV.18) et un produit scalaire x¨, ¨y1x dans Tx M , pour chaque x P Λ, et des constantes μ, γ P s0, 1r, tels que les cônes C s pxq et C u pxq satisfont les propriétés (IV.21), (IV.22) et (IV.23) pour tout x P Λ, alors Λ est un ensemble hyperbolique pour f , avec λ “ μ et c “ 1. En outre, les espaces stables et instables sont donnés par E s pxq “

8 č

df n pxq C s pf n pxqq

n“0

et E u pxq “

8 č

df ´n pxq C u pf ´n pxqq.

n“0

Démonstration. On divise la démonstration en plusieurs étapes.

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

1. Construction d’ensembles invariants Pour chaque x P Λ, on considère les ensembles 8 č

Gs pxq “

df n pxq f ´n C s pf n pxqq

n“0

et Gu pxq “

8 č

df ´n pxq f n C u pf ´n pxqq.

n“0

Il résulte de (IV.21) que Gs pxq Ă C s pxq et Gu pxq Ă C u pxq. Donc,

(IV.29)

dx f ´1 Gs pxq Ă C s pf ´1 pxqq et dx f Gu pxq Ă C u pf pxqq.

En outre, pour y “ f ´1 pxq, on a dx f ´1 Gs pxq “ C s pyq X dx f ´1 Gs pxq 8 č df n pxq f ´pn`1q C s pf n pxqq “ C s pyq X “ C s pyq X

n“0 8 č

df n`1 pyq f ´pn`1q C s pf n`1 pyqq “ Gs pyq

(IV.30)

n“0

et, de manière analogue, dx f Gu pxq “ Gu pf pxqq.

(IV.31)

2. Construction d’espaces stables et instables Puisque les dimensions k “ dim F s pxq et l “ dim F u pxq sont indépendantes de x, pour chaque m P N les ensembles m č

df n pxq f ´n C s pf n pxqq “ df m pxq f ´mC s pf m pxqq

n“0

et

m č

df ´n pxq f n C u pf ´n pxqq “ df ´m pxq f m C u pf ´m pxqq

n“0 s pxq et E u pxq, respectivement, de dimensions contiennent des sous-espaces Em m s pxq “ k dim Em

et

u dim Em pxq “ l.

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3. Bornes sur les espaces E s pxq et E u pxq s pxq. Pour chaque m P N, il Soit v1m , . . . , vkm une base orthonormale de Em existe une sous-suite convergente. Les limites, disons v1 , . . . , vk , forment aussi un ensemble orthonormal. Cela montre que Gs pxq contient un sous-espace E s pxq de dimension k (généré par v1 , . . . , vk ). De manière analogue, on peut montrer que Gu pxq contient un sous-espace E u pxq de dimension l. D’autre part, il résulte de (IV.29) que

E s pxq X E u pxq Ă Gs pxq X Gu pxq Ă C s pxq X C u pxq “ t0u, car γ ă 1. En outre, il résulte de (IV.18) que dim M “ dim F s pxq ` dim F u pxq “k`l “ dim E s pxq ` dim E u pxq et les espaces E s pxq et E u pxq engendrent Tx M . Donc, on obtient la somme directe dans (IV.1). 3. Bornes sur les espaces E s pxq et E u pxq Pour v P E s pxq et n P N, il résulte de (IV.21), (IV.29) et (IV.30) que dx f k v P dx f k Gs pxq “ Gs pf k pxqq Ă C s pf k pxqq, pour k “ 0, . . . , n. Donc, par (IV.23), on obtient dx f n v1 ď μn v1 .

(IV.32)

De manière analogue, pour v P E u pxq et n P N, il résulte de (IV.22) que dx f ´n v1 ď μn v1 .

(IV.33)

On montre maintenant que E s pxq “ Gs pxq et E u pxq “ Gu pxq pour tout x P Λ. S’il existait v P Gs pxqzE s pxq Ă C s pxq, alors on pourrait écrire v “ v s ` v u , où v s P E s pxq et v u P E u pxqzt0u. Pour chaque n P N, μ´n v u 1 ď dx f n v u 1 ď dx f n v1 ` dx f n v s 1 ` ˘ ď μn v1 ` v s 1 . 103 i

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

Cela implique que

` ˘ v u 1 ď μ2n v1 ` v s 1 Ñ 0

lorsque n Ñ 8 et donc v u “ 0. Cette contradiction montre que E s pxq “ Gs pxq. On peut montrer de manière analogue que E u pxq “ Gu pxq. Enfin, il résulte de (IV.30) et (IV.31) que dx f ´1 E s pxq “ E s pf ´1 pxqq et dx f E u pxq “ E u pf pxqq. Donc, Λ est un ensemble hyperbolique, avec les constantes λ “ μ et c “ 1, en vue de (IV.32) et (IV.33).

IV.3. Stabilité des ensembles hyperboliques On décrit brièvement dans cette section quelques propriétés relatives à la stabilité d’un ensemble hyperbolique sous perturbations suffisamment petites. En particulier, on considère les difféomorphismes pour lesquels toute la variété est un ensemble hyperbolique. Soient f, g : M Ñ M des applications différentiables. On définit dpf, gq “ sup dpf pxq, gpxqq ` sup dx f ´ dx g. xPM

(IV.34)

xPM

Th´eor`eme IV.16. Soit Λ un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f : M Ñ M de classe C 1 . Alors il existe ε ą 0 et un ensemble ouvert U Ą Λ tels que si g : M Ñ M est un difféomorphisme de classe C 1 avec dpf, gq ă ε et Λ1 Ă U est un ensemble compact g-invariant, alors Λ1 est un ensemble hyperbolique pour g. Démonstration. Par le théorème IV.7, les espaces stables et instables E s pxq et

E u pxq sont continus sur x P Λ. Donc, par le théorème de prolongement de Tietze(1) , il existe des prolongements continus F s pxq et F u pxq de, respectivement, E s pxq et E u pxq, pour x dans un voisinage ouvert U de Λ, tels que Tx M “ F s pxq ‘ F u pxq pour x P U.

(IV.35)

Soit γ ą 0 et considérons les cônes C s pxq et C u pxq dans (IV.19) et (IV.20) associés aux décompositions dans (IV.35). Par le théorème IV.14, il existe des constantes μ, γ P s0, 1r et un produit scalaire x¨, ¨y1 “ x¨, ¨y1x dans Tx M qui est p1q

Si f : A Ñ R est une fonction continue dans un sous-ensemble fermé A Ă X d’un espace normal (c’est-à-dire un espace tel que deux ensembles quelconques disjoints fermés ont des voisinages ouverts disjoints), alors il existe une fonction continue g : X Ñ R telle que g|A “ f (voir par exemple [13]).

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IV.3. Stabilité des ensembles hyperboliques

continu sur x tels que, pour chaque x P Λ : 1.

2.

3.

dx f C u pxq Ř C u pf pxqq et dx f ´1 C s pxq Ř C s pf ´1 pxqq ; dx f v1 ą μ´1 v1

pour v P C u pxqzt0u ;

dx f ´1 v1 ą μ´1 v1

pour v P C s pxqzt0u.

En désignant par Sx la sphère unité fermée de Tx M (par rapport à la norme ¨ “ ¨1x ), ces propriétés sont équivalentes à : 1. dx f pSx X C u pxqq Ř C u pf pxqq et dx f ´1 pSx X C s pxqq Ř C s pf ´1 pxqq ; 2.

3.

dx f v1 ą μ´1 dx f ´1 v1 ą μ´1

pour v P Sx X C u pxq ; pour v P Sx X C s pxq.

On note maintenant que l’ensemble (  px, vq P Λ ˆ Tx M : v1x “ 1 est compact, car le produit scalaire x¨, ¨y1x et donc aussi la norme ¨1x sont continus sur x. Il résulte de la continuité de la décomposition dans (IV.35) que, pour tout voisinage ouvert U Ą Λ suffisamment petit, les propriétés ci-dessus sont satisfaites pour tout x P U . En outre, pour tout ε suffisamment petit, les mêmes propriétés sont aussi satisfaites pour tout x P U avec f remplacé par g. Il résulte du théorème IV.15 que tout ensemble compact g-invariant Λ1 Ă U est un ensemble hyperbolique pour g. Considérons maintenant le cas particulier des difféomorphismes d’Anosov.

D´efinition IV.17. Un difféomorphisme f : M Ñ M d’une variété compacte M est appelé difféomorphisme d’Anosov si M est un ensemble hyperbolique pour f .

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

Par exemple, tout automorphisme du tore induit par une matrice sans valeurs propres de module 1 (appelé un automorphisme hyperbolique du tore) est un difféomorphisme d’Anosov (voir l’exercice IV.15). Le résultat suivant est une conséquence immédiate du théorème IV.16.

Th´eor`eme IV.18. L’ensemble des difféomorphismes d’Anosov de classe C 1 d’une variété compacte M est ouvert par rapport à la topologie induite par la distance d dans (IV.34).

IV.4. Exercices Exercice IV.1. Utiliser le théorème IV.7 pour montrer que si Λ est un ensemble hyperbolique, alors (  inf =pE s pxq, E u pxqq : x P Λ ą 0. Exercice IV.2. Déterminer les points 2-périodiques du fer à cheval de Smale. Exercice IV.3. Soit T : X Ñ X une application d’un espace métrique complet. Montrer que si T 2 est une contraction, alors T a un point fixe unique dans X. Exercice IV.4. Dire si l’ensemble des fonctions bornées f : R Ñ R de classe C 1 est un espace métrique complet pour la distance  ( dpf, gq “ sup |f pxq ´ gpxq| : x P R . (IV.36) Exercice IV.5. Dire si l’ensemble des fonctions bornées f : R Ñ R telles que |f pxq ´ f pyq| ď |x ´ y| pour x, y P R

(IV.37)

est un espace métrique complet pour la distance d dans (IV.36). Exercice IV.6. Répéter l’exercice IV.5 avec la condition (IV.37) remplacée par |f pxq ´ f pyq| ď c|x ´ y|α

pour |x ´ y| ď d.

Exercice IV.7. Dire s’il existe un difféomorphisme h : R Ñ R tel que h˝f “g˝h pour les applications : 1. f pxq “ 2x et gpxq “ 3x ; 2. f pxq “ 4x et gpxq “ ´2x ; 3. f pxq “ 3x et gpxq “ x3 . 106 i

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Exercices

Exercice IV.8. Donner un exemple d’un ensemble hyperbolique pour lequel les espaces E s pxq n’ont pas tous la même dimension. Exercice IV.9. Dire si S 1 est un ensemble hyperbolique pour un certain difféomorphisme du cercle. Exercice IV.10. Montrer que les espaces stables et instables d’un ensemble hyperbolique sont uniquement déterminés. Exercice IV.11. Déterminer des espaces F s pxq, F u pxq Ă R2 et un produit scalaire x¨, ¨y1x tels que  ( C s pxq “ t0u Y pv, wq P R2 : vw ą 0 . Exercice IV.12. Montrer que si Λ est un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f , alors il est aussi un ensemble hyperbolique pour f 2 . Exercice IV.13. Indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse : si Λ est un ensemble hyperbolique pour f 2 , où f est un difféomorphisme, alors Λ est un ensemble hyperbolique pour f . Exercice IV.14. Soit x un point fixe pour un difféomorphisme f : M Ñ M . Montrer que txu est un ensemble hyperbolique pour f si et seulement si l’application linéaire dx f : Tx M Ñ Tx M n’a pas de valeurs propres de module 1. Suggestion : puisque dx f |Tx M peut avoir des valeurs propres non réelles, on doit considérer la complexification  ( Tx M C “ u ` iv : u, v P Tx M de l’espace tangent Tx M , avec la norme a u ` iv “ u2 ` v2

pour u, v P Tx M,

et le prolongement A : Tx M C Ñ Tx M C de dx f défini par Apu ` ivq “ dx f u ` idx f v.

Exercice IV.15. Soit TA : Tn Ñ Tn un automorphisme du tore. Montrer que Tn est un ensemble hyperbolique pour TA si et seulement si A n’a pas de valeurs propres de module 1 (avec le produit scalaire dans chaque espace tangent Tx Tn induit par le produit scalaire standard dans Rn ). Suggestion : considérons le prolongement de A : Rn Ñ Rn à Cn défini par Apu ` ivq “ Au ` iAv.

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Chapitre IV. Dynamique hyperbolique I

Exercice IV.16. Soit x un point périodique de période n pour un difféomorphisme f . Donner une condition nécessaire et suffisante en termes de dx f n telle que l’orbite périodique  k ( f pxq : k “ 0, . . . , n ´ 1 soit un ensemble hyperbolique pour f .

Exercice IV.17. Soit f : M Ñ M un difféomorphisme de classe C 1 et soit Λ Ă M un ensemble compact f -invariant. Montrer que Λ est un ensemble hyperbolique pour f si et seulement s’il existe une décomposition (IV.18) et un produit scalaire x¨, ¨y1x dans Tx M , pour chaque x P Λ, et une constante γ P s0, 1r tels que, pour tout x P Λ : 1. 2. 3.

dx f C u pxq Ă C u pf pxqq et dx f ´1 C s pxq Ă C s pf ´1 pxqq ; dx f v1 ą v1 dx f ´1 v1 ą v1

pour v P C u pxqzt0u ; pour v P C s pxqzt0u.

Exercice IV.18. Considérons l’ensemble  ( N “ S 1 ˆ px, yq P R2 : x2 ` y 2 ď 1 et l’application f : N Ñ N définie par ˙ ˆ 1 1 f pθ, x, yq “ 2θ, λx ` cosp2πθq, μy ` sinp2πθq 2 2 pour certaines constantes λ, μ P s0, 1{2r. Montrer que : 1. l’application f est injective ; Ş 2. le solénoïde Λ “ nPN f n pN q est un ensemble compact f -invariant ; 3. la restriction f |U : U Ñ f pU q à l’ensemble  ( U “ S 1 ˆ px, yq P R2 : x2 ` y 2 ă 1 est un difféomorphisme ; 4. Λ est un ensemble hyperbolique pour f .

Exercice IV.19. Dire si l’application f |Λ dans l’exercice IV.18 a des points périodiques de période 3. Exercice IV.20. Montrer que les points périodiques du fer à cheval de Smale Λ sont denses. 108 i

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V DYNAMIQUE HYPERBOLIQUE II

Ce chapitre est une suite naturelle du chapitre précédent. Néanmoins, on considère des sujets qui peuvent être considérés comme moins élémentaires. On décrit d’abord le comportement des orbites d’un difféomorphisme dans un voisinage d’un point fixe hyperbolique. Plus précisément, on établit deux résultats fondamentaux de dynamique hyperbolique : le théorème de Grobman-Hartman et le théorème de Hadamard-Perron. On établit aussi l’existence de variétés stables et instables pour tous les points d’un ensemble hyperbolique. On conclut ce chapitre avec une introduction aux flots géodésiques en courbure négative constante et à leur hyperbolicité. Pour des sujets supplémentaires relatifs à la dynamique hyperbolique, le lecteur pourra consulter, par exemple, [2, 8, 9, 14, 16].

V.1. Comportement près d’un point fixe hyperbolique Soit x un point fixe pour un difféomorphisme f . Lorsque txu est un ensemble hyperbolique pour f , on dit que x est un point fixe hyperbolique. On décrit dans cette section le comportement des orbites d’un difféomorphisme dans un voisinage d’un point fixe hyperbolique. Pour la simplicité de l’exposition, on considère seulement les difféomorphismes de Rp .

V.1.1. Le théorème de Grobman-Hartman On établit d’abord un résultat qui montre que dans un voisinage ouvert suffisamment petit d’un point fixe hyperbolique x, les orbites de f sont obtenues à partir des orbites de l’application linéaire dx f en appliquant un homéomorphisme. Cela correspond à la notion de conjugaison topologique locale (comparer avec la définition II.31).

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

D´efinition V.1. On dit que deux applications f : X Ñ X et g : Y Ñ Y , où X et Y sont des espaces topologiques, sont (localementq topologiquement conjuguées, respectivement, dans des ensembles ouverts U Ă X et V Ă Y s’il existe un homéomorphisme h : U Ñ V avec hpU q “ V tel que h ˝ f “ g ˝ h sur U . Le théorème de Grobman-Hartman établit précisément l’existence d’une conjugaison topologique (locale) entre f et dx f dans des voisinages ouverts, respectivement, de x et 0.

Th´eor`eme V.2 (Grobman-Hartman). Soit x P Rp un point fixe hyperbolique d’un difféomorphisme f : Rp Ñ Rp de classe C 1 . Alors il existe un homéomorphisme h : U Ñ V avec hpU q “ V , où U et V sont, respectivement, des voisinages ouverts de x et 0, tel que (V.1) h ˝ f “ dx f ˝ h sur U. Démonstration. On divise la démonstration en plusieurs étapes.

1. Préliminaires Sans perte de généralité, on peut toujours supposer que x “ 0. En effet, l’application f¯: Rp Ñ Rp définie par f¯pyq “ f py ` xq ´ f pxq est aussi un difféomorphisme et elle satisfait f¯p0q “ 0 et d0 f¯ “ dx f. En particulier, 0 est un point fixe hyperbolique pour f¯. On modifie maintenant le difféomorphisme f en dehors d’un voisinage de 0 (en supposant que 0 est déjà un point fixe hyperbolique pour f ). Plus précisément, pour δ ą 0, soit r P s0, 1r suffisamment petit pour que (  (V.2) sup dy f ´ d0 f  : y P Bp0, rq ď δ{3 (rappelons que la fonction y ÞÑ dy f est continue). Considérons aussi une fonction α : Rp Ñ r0, 1s de classe C 1 telle que : 1. αpyq “ 1 pour y P Bp0, r{3q ; 2. αpyq “ 0 pour y P Rp zBp0, rq ; 3. suptdy α : y P Rp u ď 2{r. 110 i

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2. Construction d’une norme

On définit une application g : Rp Ñ Rp par gpyq “ Ay ` αpyqF pyq, où A “ d0 f

et F pyq “ f pyq ´ Ay.

On note que gpyq “ Ay ` F pyq “ f pyq pour y P Bp0, r{3q, c’est-à-dire que g coïncide avec f sur la boule Bp0, r{3q. Puisque F p0q “ 0, il résulte de (V.2) que  ( sup F pyq : y P Bp0, rq ď δr{3. En outre, puisque r ă 1 et que la fonction α est nulle en dehors de la boule Bp0, rq, on a (  (V.3) sup αpyqF pyq : y P Bp0, rq ď δr{3 ă δ. Donc, dy pαF q “ dy αF pyq ` αpyqdy F  ď sup dy α sup F pyq ` sup dy F  yPRp

ă

yPRp

yPBp0,rq

2 δr δ ¨ ` “δ r 3 3

et αpyqF pyq ´ αpzqF pzq ď δy ´ z

(V.4)

pour tous y, z P Rp . 2. Construction d’une norme On considère maintenant une norme qui est analogue à celle introduite dans la démonstration du théorème IV.14. Soit m P N tel que cλm ă 1. Pour chaque v P Rp , on définit  v1 “ max v s 1 , v u 1 u, où v “ v s ` v u , avec v s P E s p0q et v u P E u p0q, et où ÿ ` s 1 ˘2 m´1 An v s 2 v  “

(V.5)

n“0

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

et

`

˘ u 1 2

v 

m´1 ÿ

A´n v u 2 .

“

(V.6)

n“0

Il résulte de (V.5) et (V.6) que

et

v s  ď v s 1 ď Cv s 

(V.7)

v u  ď v u 1 ď Cv u ,

(V.8)

‘ où C “ c m (voir (IV.25)). En outre, il résulte de (IV.26) et (IV.27) que Av s 1 ď τ v s 1 c

où τ“

1´

et A´1 v u 1 ď τ v u 1 ,

(V.9)

1 ´ c2 λ2m ă 1. c2 m

3. Formulation d’un problème abstrait Soit X l’espace des fonctions continues bornées v : Rp Ñ Rp avec vp0q “ 0. On peut vérifier facilement que X est un espace de Banach (c’est-à-dire un espace normé complet) avec la norme  ( v8 “ max vs 8 , vu 8 , où vpyq “ pvs pyq, vu pyqq P E s p0q ‘ E u p0q et

 ( vs 8 “ sup vs pyq1 , y P Rp ,

 ( vu 8 “ sup vu pyq1 , y P Rp .

On écrit As “ A|E s p0q,

Au “ A|E u p0q,

(V.10)

et on considère des fonctions G, H : Rp Ñ Rp avec Gp0q “ Hp0q “ 0 telles que Gpyq ď δ,

Hpyq ď δ

(V.11)

et Gpyq ´ Gpzq ď δy ´ z,

Hpyq ´ Hpzq ď δy ´ z,

(V.12)

On remarque que, par (V.3) et (V.4), la fonction G “ αF pour tous y, z P satisfait ces propriétés. On écrit aussi ˘ ` Gpyq “ Gs pyq, Gu pyq P E s p0q ‘ E u p0q Rp .

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3. Formulation d’un problème abstrait

et Hpyq “ pHs pyq, Hu pyqq P E s p0q ‘ E u p0q. Il résulte de (V.11), (V.7) et (V.8) que Gs pyq1 ď CGs pyq ď CGpyq ď Cδ

(V.13)

et, de manière analogue, Gu pyq1 ď CGu pyq ď CGpyq ď Cδ,

(V.14)

avec des inégalités identiques pour Hs et Hu . D’autre part, puisque a a ‘  ( a2 ` b2 ď 2 maxta2 , b2 u ď 2 max |a|, |b| , il résulte de (V.12), (V.7) et (V.8) que Gs pyq ´ Gs pzq1 ď CGs pyq ´ Gs pzq ď CGpyq ´ Gpzq ‘  ( ď Cδy ´ z ď Cδ 2 max y s ´ z s , y u ´ z u  ‘  ( ď Cδ 2 max y s ´ z s 1 , y u ´ z u 1 ‘ “ Cδ 2y ´ z1

(V.15)

et, de manière analogue, ‘ Gu pyq ´ Gu pzq1 ď Cδ 2y ´ z1 ,

(V.16)

avec des inégalités identiques pour Hs et Hu . Considérons maintenant l’équation pA ` Gq ˝ h “ h ˝ pA ` Hq,

(V.17)

où h “ Id ` v. Elle est équivalente au système d’équations As ˝ hs ` Gs ˝ h “ hs ˝ pA ` Hq, Au ˝ hu ` Gu ˝ h “ hu ˝ pA ` Hq.

(V.18)

Puisque As ˝ hs “ As ` As ˝ vs

et hs ˝ pA ` Hq “ As ` Hs ` vs ˝ pA ` Hq,

la première équation dans (V.18) est équivalente à As ˝ vs ` Gs ˝ h “ Hs ` vs ˝ pA ` Hq.

(V.19) 113

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

De manière analogue, la seconde équation dans (V.18) est équivalente à Au ˝ vu ` Gu ˝ h “ Hu ` vu ˝ pA ` Hq.

(V.20)

On montre maintenant que les fonctions A ` G et A ` H sont inversibles pour tout δ suffisamment petit. Il résulte de (V.4) que pA ` Gqpyq ´ pA ` Gqpzq “ Apy ´ zq ` Gpyq ´ Gpzq ě A´1 ´1 ¨ y ´ z ´ Gpyq ´ Gpzq ˘ ` ě A´1 ´1 ´ δ y ´ z et donc la fonction A ` G est inversible pour δ ă A´1 ´1 . Il en va de même pour la fonction A ` H. Cela permet d’écrire les équations (V.19) et (V.20) sous la forme ` ˘ vs “ As ˝ vs ` Gs ˝ pId ` vq ´ Hs ˝ pA ` Hq´1 , ` ˘ (V.21) vu “ A´1 u ˝ vu ˝ pA ` Hq ` Hu ´ Gu ˝ pId ` vq . 4. Existence d’un point fixe On définit une application T dans l’espace X par T pvq “ w “ pws , wu q, où ` ˘ ws “ As ˝ vs ` Gs ˝ pId ` vq ´ Hs ˝ pA ` Hq´1 , ` ˘ wu “ A´1 u ˝ vu ˝ pA ` Hq ` Hu ´ Gu ˝ pId ` vq . On remarque que v est un point fixe pour T , c’est-à-dire T pvq “ v si et seulement si le système (V.21), qui est équivalent à l’identité (V.17), est satisfait. On montre maintenant que T pXq Ă X et que T est une contraction. Il résulte de (V.9), (V.13) et (V.14), et des inégalités identiques pour Hs et Hu , que ws 8 ď τ vs 8 ` 2Cδ ă `8 et wu 8 ď τ vu 8 ` 2τ Cδ ă `8. En outre, wp0q “ 0 et w “ pws , wu q P X. D’autre part, pour v “ pvs , vu q, v¯ “ p¯ vs , v¯u q P X, on a ` T pvq ´ T p¯ v q “ rAs ˝ pvs ´ v¯s q ` Gs ˝ pId ` vq ´ Gs ˝ pId ` v¯qs ˝ pA ` Hq´1 , ˘ ¯u q ˝ pA ` Hq ´ Gu ˝ pId ` vq ` Gu ˝ pId ` v¯qs . A´1 u ˝ rpvu ´ v Il résulte de (V.9) et (V.10) que pAs ˝ pvs ´ v¯s q ˝ pA ` Hq´1 qpyq1 ď As ˝ pvs ´ v¯s q8 ď τ vs ´ v¯s 8 114 i

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5. Conclusion de la démonstration

et ¯u q ˝ pA ` Hqqpyq1 ď A´1 ¯u q8 ď τ vu ´ v¯u 8 . pA´1 u ˝ pvu ´ v u ˝ pvu ´ v En outre, il résulte de (V.15) et (V.16) que ‘ Gs ˝ pId ` vq ´ Gs ˝ pId ` v¯q8 ď Cδ 2v ´ v¯8 et

‘ ´Gu ˝ pId ` vq ` Gu ˝ pId ` v¯q8 ď Cδ 2v ´ v¯8 .

Donc, on obtient T pvq ´ T p¯ v q8 ‘ ‘  ( ď max τ vs ´ v¯s 8 ` Cδ 2v ´ v¯8 , τ vu ´ v¯u 8 ` τ Cδ 2v ´ v¯8 ‘ ď pτ ` Cδ 2qv ´ v¯8 . ‘ Si nécessaire, on peut recommencer en prenant δ ą 0 tel que τ ` Cδ 2 ă 1, ce qui garantit que T est une contraction dans l’espace de Banach X. Par le théorème du point fixe de Banach(1) , il existe une fonction unique v P X telle que T pvq “ v, c’est-à-dire telle que l’équation (V.17) est satisfaite avec h “ Id ` v. 5. Conclusion de la démonstration Enfin, on considère plusieurs cas particuliers de l’équation (V.17). Soient G “ 0 et H “ αF (ce qui est possible au vu de (V.3) et (V.4)). On obtient une fonction unique v P X telle que h “ Id ` v satisfait A˝h“h˝g

(V.22)

(rappelons que g “ A ` αF ). De manière analogue, pour G “ αF et H “ 0, on ¯ “ Id ` v¯ satisfait obtient une fonction unique v¯ P X telle que h ¯ ˝ A. g ˝ ¯h “ h

(V.23)

On montre maintenant que ¯“h ¯ ˝ h “ Id. h˝h p1q

Si T : X Ñ X est une contraction (c’est-à-dire s’il existe λ P s0, 1r tel que dpT pxq, T pyqq ď λ dpx, yq pour tout x, y P X) dans un espace métrique complet, alors T a un point fixe unique (voir par exemple [2]).

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

Il résulte de (V.22) et (V.23) que ¯ “h˝g˝h ¯ “ ph ˝ hq ¯ ˝A A ˝ ph ˝ hq

(V.24)

¯ ˝ hq ˝ g “ h ¯ ˝ A ˝ h “ g ˝ ph ¯ ˝ hq. ph

(V.25)

et Puisque ¯ ´ Id8 “ pId ` vq ˝ pId ` v¯q ´ Id8 h ˝ h “ ¯ v ` v ˝ pId ` v¯q8 ď ¯ v 8 ` v8 ă `8 et ¯ ˝ h ´ Id8 ď v8 ` ¯ v 8 ă `8, h ¯ ´ Id et h ¯ ˝ h ´ Id appartiennent à X. Donc, il résulte les fonctions continues h ˝ h de (V.24), (V.25) et de l’unicité des solutions v P X de les équations A ˝ pId ` vq “ pId ` vq ˝ A et g ˝ pId ` vq “ pId ` vq ˝ g

(V.26)

pour, respectivement, G “ H “ 0 et G “ H “ αF , que ¯ ´ Id “ h ¯ ˝ h ´ Id “ 0. h˝h En effet, v “ 0 est une solution des deux équations dans (V.26). Cela montre que h est un homéomorphisme, avec application réciproque ¯h. Puisque g “ f dans Bp0, r{3q, il résulte de (V.22) que la propriété (V.1) est satisfaite en prenant U “ Bp0, r{3q. Le théorème V.2 établit une relation précise entre les orbites de f et les orbites de l’application linéaire A “ dx f : il résulte de (V.1) que hpf n pyqq “ An phpyqq

(V.27)

lorsque n P Z`

et y P

n´1 č

f ´m U

m“0

ou n P Z´

et y P

n´1 č

f m U.

m“0

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5. Conclusion de la démonstration

Autrement dit, les points de l’orbite γf pyq qui sont dans U sont transformés par l’homéomorphisme h en points correspondants de l’orbite γA phpyqq, c’est-à-dire hpγf pyq X U q “ γA phpyqq X V.

(V.28)

On a aussi ` phpyqq X V hpγf` pyq X U q “ γA

´ et hpγf´ pyq X U q “ γA phpyqq X V

pour chaque y P Rp .

V.1.2. Le théorème de Hadamard-Perron On continue, dans cette section, l’étude du comportement des orbites d’un difféomorphisme dans un voisinage d’un point fixe hyperbolique. Soit f : Rp Ñ Rp un difféomorphisme de classe C 1 et soit x P Rp un point fixe hyperbolique pour f . Il résulte du théorème de Grobman-Hartman (théorème V.2) qu’il existe un homéomorphisme h : U Ñ V avec hpU q “ V , où U et V sont, respectivement, des voisinages ouverts de x et 0, tel que h ˝ f “ A ˝ h sur U,

(V.29)

où A “ dx f . Au vu de (V.28), l’identité (V.29) établit une relation entre les orbites de f et les orbites de A. Soient maintenant E s pxq et E u pxq les espaces stable et instable au point x. On a  ( (V.30) E s pxq “ y P Rp : An y Ñ 0 lorsque n Ñ `8 et

 ( E u pxq “ y P Rp : An y Ñ 0 lorsque n Ñ ´8 .

(V.31)

En outre, on peut toujours supposer que le voisinage V est tel que

et

ApE s pxq X V q Ă E s pxq X V

(V.32)

A´1 pE u pxq X V q Ă E u pxq X V.

(V.33)

En effet, soit x¨, ¨y1 le produit scalaire construit dans la démonstration du théorème IV.14 avec dx f remplacé par A (et donc avec dx f n remplacé par An ). Par (IV.26) et (IV.27), pour chaque r ą 0, tout voisinage V de 0 tel que  ( E s pxq X V “ v P E s pxq : v1 ă r 117 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

et

 ( E u pxq X V “ v P E u pxq : v1 ă r

satisfait (V.32) et (V.33). Il résulte de (V.30), (V.31), (V.32) et (V.33) (en utilisant, par exemple, la représentation de Jordan de A) que  ( E s pxq X V “ y P V : An y P V pour n ą 0 (V.34) et

 ( E u pxq X V “ y P V : An y P V pour n ă 0 .

(V.35)

On considère aussi les ensembles V s pxq “ h´1 pE s pxq X V q et V u pxq “ h´1 pE u pxq X V q (les deux sont contenus dans U ). On remarque que x P V s pxq X V u pxq. Il résulte de (V.34), (V.35) et (V.27) que  ( V s pxq “ y P U : f n pyq P U pour n ą 0 et

 ( V u pxq “ y P U : f n pyq P U pour n ă 0 .

En combinant ces identités avec (V.32) et (V.33), on conclut que f pV s pxqq Ă V s pxq et f ´1 pV u pxqq Ă V u pxq.

(V.36)

Le théorème de Hadamard-Perron dit que les ensembles V s pxq et V u pxq sont des variétés qui sont tangentes, respectivement, aux espaces E s pxq et E u pxq.

Th´eor`eme V.3 (Hadamard-Perron). Soit x P Rp un point fixe hyperbolique d’un difféomorphisme f : Rp Ñ Rp de classe C 1 . Alors il existe un voisinage ouvert B de x tel que les ensembles V s pxq X B et V u pxq X B sont des variétés de classe C 1 avec (V.37) Tx pV s pxq X Bq “ E s pxq et Tx pV u pxq X Bq “ E u pxq. On divise la démonstration en plusieurs étapes.

Proposition V.4. Soit x P Rp un point fixe hyperbolique d’un difféomorphisme f de classe C 1 . Alors il existe un voisinage ouvert B de x tel que les ensembles V s pxq X B et V u pxq X B sont les graphes de fonctions lipschitziennes. Démonstration. On établit le résultat seulement pour V s pxq, car l’argument pour

V u pxq est tout à fait analogue. Encore une fois, on divise la démonstration en plusieurs étapes. 118 i

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1. Préliminaires

1. Préliminaires Considérons l’application F : Rp Ñ Rp définie par F pyq “ f py ` xq ´ f pxq. Elle peut être écrite sous la forme ` ˘ F pv, wq “ Av ` gpv, wq, Bw ` hpv, wq P E s pxq ‘ E u pxq

(V.38)

pour chaque pv, wq P E s pxq ‘ E u pxq, où A “ dx f |E s pxq : E s pxq Ñ E s pxq et B “ dx f |E u pxq : E u pxq Ñ E u pxq. On note que A et B sont des applications linéaires inversibles et que g et h sont des fonctions de classe C 1 avec gp0q “ 0,

hp0q “ 0,

d0 g “ 0,

d0 h “ 0.

En procédant comme dans l’étape 1 de la démonstration du théorème IV.14, on peut toujours supposer que le produit scalaire x¨, ¨yx dans l’espace tangent Tx Rp est tel que A ă τ et B ´1  ă τ pour une certaine constante τ P s0, 1r. En outre, pg, hqpyq “ f py ` xq ´ f pxq ´ dx f y et la fonction G : y ÞÑ dy pg, hq “ dy`x f ´ dx f est continue, car f est de classe C 1 . Pour ε ą 0, soit s pxq ‘ B u pxq, Dε pxq “ B2ε 2ε

où s u pxq Ă E s pxq et B2ε pxq Ă E u pxq B2ε

sont les boules ouvertes de rayon 2ε centrées à l’origine. Puisque Gp0q “ 0, on a (  K :“ sup Gpyq : y P Dε pxq Ñ 0 lorsque ε Ñ 0. On a aussi dpv,wq g ď K

et dpv,wq h ď K

(V.39)

pour pv, wq P Dεs ‘ Dεu , où Dεs “ Bεs pxq et Dεu “ Bεu pxq.

(V.40) 119

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

2. Formulation d’un problème abstrait Soit σ P s0, 1s. On considère l’espace X des fonctions ϕ : Dεs Ñ E u pxq telles que ϕp0q “ 0 et ϕpvq ´ ϕpwq ď σv ´ w (V.41) pour tous v, w P Dεs . On peut vérifier facilement que X est un espace métrique complet avec la distance  ( dpϕ, ψq “ sup ϕpvq ´ ψpvq : v P Dεs . On veut montrer qu’il existe une fonction ϕ P X telle que  ( V s pxq Ą x ` pv, ϕpvqq : v P Dεs .

(V.42)

On procède d’abord formellement, en supposant que l’inclusion (V.42) est satisfaite. Il résulte de (V.38) et de la propriété d’invariance dans (V.36) que ` ˘ F pv, ϕpvqq “ Av ` gpv, ϕpvqq, Bϕpvq ` hpv, ϕpvqq et Donc,

` ˘ Bϕpvq ` hpv, ϕpvqq “ ϕ Av ` gpv, ϕpvqq . ` ˘ ϕpvq “ B ´1 ϕ Av ` gpv, ϕpvqq ´ B ´1 hpv, ϕpvqq.

Cela conduit à introduire une application T dans X par ` ˘ T pϕqpvq “ B ´1 ϕ Av ` gpv, ϕpvqq ´ B ´1 hpv, ϕpvqq. On remarque que ϕ est un point fixe pour T si et seulement si le graphe de la fonction ϕ dans (V.42) satisfait la propriété d’invariance dans (V.36). Donc, si on montre que T a un point fixe unique ϕ P X, alors l’ensemble dans le membre de droite de (V.42) coïncide avec V s pxq dans un certain voisinage de x, ce qui donne le résultat souhaité. 3. Existence d’un point fixe On montre d’abord que l’application T est bien définie. Cela équivaut à vérifier que chaque point Av ` gpv, ϕpvqq est dans le domaine de ϕ, c’est-à-dire Av ` gpv, ϕpvqq ă ε. On a ϕpvq “ ϕpvq ´ ϕp0q ď σv ď ε 120 i

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3. Existence d’un point fixe

et il résulte de (V.39) que Av ` gpv, ϕpvqq ď τ v ` Kpv, ϕpvqq ď rτ ` Kp1 ` σqsv ď rτ ` Kp1 ` σqsε. Puisque K Ñ 0 lorsque ε Ñ 0, pour ε suffisamment petit, on obtient rτ ` Kp1 ` σqsε ă ε et donc, l’application T est bien définie. On montre maintenant que T pXq Ă X. On observe d’abord que T pϕqp0q “ 0, car gp0q “ 0 et hp0q “ 0. En outre, pour chaque v, w P Dεs , on a  ` ˘ ` ˘ T pϕqpvq ´ T pϕqpwq ď τ ϕ Av ` gpv, ϕpvqq ´ ϕ Aw ` gpw, ϕpwqq  ` τ hpv, ϕpvqq ´ hpw, ϕpwqq ď τ σApv ´ wq ` gpv, ϕpvqq ´ gpw, ϕpwqq ` τ Kpv, ϕpvqq ´ pw, ϕpwqq ď τ 2 σv ´ w ` τ p1 ` σqKpv, ϕpvqq ´ pw, ϕpwqq ď rτ 2 σ ` τ p1 ` σq2 Ksv ´ w. Puisque K Ñ 0 lorsque ε Ñ 0, pour ε suffisamment petit, on obtient τ 2 σ ` τ p1 ` σq2 K ă σ et donc, T pϕqpvq ´ T pϕqpwq ď σv ´ w pour tous v, w P Dεs . Cela montre que T pXq Ă X. Enfin, on montre que T est une contraction. Soient ϕ, ψ P X et v P Dεs . On a  ` ˘ ` ˘ T pϕqpvq ´ T pψqpvq ď τ ϕ Av ` gpv, ϕpvqq ´ ψ Av ` gpv, ψpvqq  ` τ hpv, ϕpvqq ´ hpv, ψpvqq  ` ˘ ˘ ď τ ϕ Av ` gpv, ϕpvqq ´ ϕpAv ` gpv, ψpvqq   ` ˘ ˘ ` τ ϕ Av ` gpv, ψpvqq ´ ψpAv ` gpv, ψpvqq  ` τ Kϕpvq ´ ψpvq ď τ σgpv, ϕpvqq ´ gpv, ψpvqq ` τ dpϕ, ψq ` τ Kdpϕ, ψq ď rτ ` τ p1 ` σqKsdpϕ, ψq. En prenant ε suffisamment petit pour que τ ` τ p1 ` σqK ă 1, 121 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

l’application T est une contraction dans l’espace métrique complet X. Donc, T a un point fixe unique ϕ P X. On montre maintenant que la fonction ϕ obtenue dans la démonstration de la proposition V.4 est de classe C 1 .

Proposition V.5. Soit x P Rp un point fixe hyperbolique d’un difféomorphisme f de classe C 1 . Alors il existe un voisinage ouvert B de x tel que les ensembles V s pxq X B et V u pxq X B sont des variétés de classe C 1 et satisfont (V.37). Démonstration. On divise la démonstration en plusieurs étapes.

1. Préliminaires Soient v, w P Dεs avec v ‰ w. On définit Δv,w “

pw, ϕpwqq ´ pv, ϕpvqq pw, ϕpwqq ´ pv, ϕpvqq

(voir la figure V.1, où Δv,w “ u{u). Soit Sv l’ensemble des vecteurs w P Tx M tels que Δv,vm Ñ w lorsque m Ñ 8, pour une certaine suite pvm qmPN convergeant vers v. Lorsque ϕ est différentiable en v, chacun de ces vecteurs w est tangent au graphe de ϕ au point pv, ϕpvqq et a pour norme 1. On considère aussi l’ensemble  ( (V.43) τpv,ϕpvqq V s “ λw : w P Sv , λ P R , où

 ( V s “ pv, ϕpvqq : v P Dεs .

pv, ϕpvqq

v

pw, ϕpwqq

w

Figure V.1. Vecteur u “ pw, ϕpwqq ´ pv, ϕpvqq.

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2. Cônes invariants

Lemme V.6. La fonction ϕ est différentiable en v si et seulement si τpv,ϕpvqq V s est un sous-espace de dimension dim E s pxq. Démonstration du lemme. Par la discussion précédente, si ϕ est différentiable en v,

alors les vecteurs λw dans (V.43) sont exactement les éléments de l’espace tangent au graphe de ϕ au point pv, ϕpvqq. Donc, τpv,ϕpvqq V s coïncide avec cet espace tangent et a pour dimension dim E s pxq. D’autre part, si τpv,ϕpvqq V s est un sous-espace de dimension dim E s pxq, alors pour chaque vecteur u P Dεs zt0u avec v ` u P Dεs , la limite (V.44)

Cpv, uq :“ lim Δv,v`sm u mÑ8

existe pour toute suite sm telle que sm Ñ 0 lorsque m Ñ 8. En outre, Cpu, vq est indépendant de la suite sm . En effet, puisque chaque vecteur Δv,v`sm u a pour norme 1, il résulte de la compacité de la sphère unité fermée de Rp que la suite pΔv,v`sm u qm a des points d’accumulation. En outre, puisque τpv,ϕpvqq V s est un sous-espace, pour chaque u il existe un vecteur unique w “ wv,u P E u pxq tel que pu, wq P τpv,ϕpvqq V s . Cela implique que la limite dans (V.44) existe et Cpv, uq “ pu, wv,u q{pu, wv,u q. Autrement dit, dv ϕu “ wv,u et la fonction ϕ est différentiable en v. On observe maintenant que Δv,vm Ñ w lorsque m Ñ 8 si et seulement si lim

mÑ8

dpv,ϕpvqq F w F pvm , ϕpvm qq ´ F pv, ϕpvqq “ . F pvm , ϕpvm qq ´ F pv, ϕpvqq dpv,ϕpvqq F w

Cela implique que `

˘ dpv,ϕpvqq F τpv,ϕpvqq V s “ τF pv,ϕpvqq F pV s q.

(V.45) 2. Cônes invariants

Soit γ P s0, 1r. On considère les cônes  ( C s “ pv, wq P E s pxq ˆ E u pxq : w ă γv Y t0u et

 ( C u “ pv, wq P E s pxq ˆ E u pxq : v ă γw Y t0u.

Lemme V.7. Pour tout ε suffisamment petit et chaque pv, wq P Dεs ˆ Dεu , on a dpv,wq F ´1 C s Ă C s

et

dpv,wq F C u Ă C u .

(V.46) 123

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II Démonstration du lemme. Pour py, zq P E s pxq ˆ E u pxq et

p¯ y , z¯q “ dpv,wq F py, zq ˘ ` “ Ay ` dpv,wq gpy, zq, Bz ` dpv,wq hpy, zq ,

(V.47)

¯ y  ď τ y ` Kpy, zq

(V.48)

¯ z  ě τ ´1 z ´ Kpy, zq.

(V.49)

on a et

Pour py, zq P C u zt0u, on a aussi y ă γz et donc, ¯ y  ď τ γz ` Kp1 ` γqz et

γ¯ z  ě τ ´1 γz ´ Kγp1 ` γqz.

En prenant ε suffisamment petit pour que τ γ ` Kp1 ` γq2 ď τ ´1 γ, on obtient ¯ y  ă γ¯ z  et p¯ y , z¯q P C u . Cela établit la seconde inclusion dans (V.46). La première inclusion peut être obtenue de manière similaire. 3. Espaces stables et instables Soit pv, wq P Dεs ˆ Dεu . On considère les intersections E s pv, wq “

8 č

dpv,wq F ´j C s

(V.50)

dpv,wq F j C u .

(V.51)

j“0

et E u pv, wq “

8 č j“0

Il résulte du lemme V.7 que E s pv, wq Ă C s

et E u pv, wq Ă C u .

Lemme V.8. Pour ε et γ suffisamment petits, E s pv, wq et E u pv, wq sont des sousespaces de Tx M de dimensions, respectivement, dim E s pxq et dim E u pxq. En outre, ils sont continus sur pv, wq et E s pv, wq ‘ E u pv, wq “ Tx M. 124 i

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3. Espaces stables et instables

Démonstration du lemme. On remarque que chaque ensemble

Hj “ dpv,wq F j C u contient un espace Fju de dimension k “ dim E u pxq. Soit maintenant v1j , . . . , vkj une base orthonormale de Fju . Puisque Hj est non croissante en j (par le lemme V.7) et que la sphère unité fermée de E u pxq est compacte, il existe une suite kj telle que vikj Ñ vi lorsque j Ñ 8, pour i “ 1, . . . , k, où v1 , . . . , vk est un certain ensemble orthonormal dans E u pv, wq. Cela montre que E u pv, wq contient un sous-espace Gu de dimension k. Un argument analogue montre que E s pv, wq contient un sous-espace Gs de dimension dim M ´ k. Par (V.50) et (V.51), on a Gs Ă E s pv, wq Ă C s

et Gu Ă E u pv, wq Ă C u .

Puisque C s X C u “ t0u, on obtient Gs ‘ Gu “ Tx M. On montre maintenant que les inclusions Gs Ă E s pv, wq

et Gu Ă E u pv, wq

sont en fait des égalités. Pour py, zq P E s pxq ˆ E u pxq, soit p¯ y , z¯q comme dans (V.47). Si py, zq P C u , alors il résulte de (V.48) et (V.49) que p¯ y , z¯q ě ¯ z  ´ ¯ y ě τ ´1 z ´ Kpy, zq ´ τ y ´ Kpy, zq. Puisque y ď γz, on a py, zq ď y ` z ď p1 ` γqz et donc, p¯ y , z¯q ě pτ ´1 ´ γτ qz ´ 2Kpy, zq ˙ ˆ ´1 τ ´ γτ ´ 2K py, zq. ě 1`γ

(V.52) 125

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

D’autre part, si py, zq P C s , alors z ď γy et p¯ y , z¯q ď ¯ y  ` ¯ z ď τ y ` Kpy, zq ` τ ´1 z ` Kpy, zq ď pτ ` γτ ´1 qy ` 2Kpy, zq. Puisque py, zq ě y ´ z ě p1 ´ γqy, ˆ

on obtient p¯ y , z¯q ď

˙ τ ` γτ ´1 ` 2K py, zq. 1´γ

(V.53)

On suppose maintenant que E u pv, wqzGu ‰ ∅. Chaque vecteur q P E u pv, wqzGu peut être écrit sous la forme q “ qs ` qu , avec qs P Gs zt0u et qu P Gu . Il résulte de (V.52) et (V.53) que ˙m ˆ τ ` γτ ´1 ` 2K dpv,wq F ´m qs  qs  ď 1´γ ˙m ˆ τ ` γτ ´1 ` 2K dpv,wq F ´m pq ´ qu q “ 1´γ (V.54) ď αm q ´ qu , où α :“

pτ ` γτ ´1 q{p1 ´ γq ` 2K . pτ ´1 ´ γτ q{p1 ` γq ´ 2K

Pour ε et γ suffisamment petits tels que α ă 1, lorsque m Ñ 8 dans (V.54), on obtient qs “ 0. Cette contradiction montre que Gu “ E u pv, wq. On peut montrer de manière analogue que Gs “ E s pv, wq. Enfin, on établit la dépendance continue des espaces E s pv, wq et E u pv, wq sur le point pv, wq. Par (V.52) et (V.53), on a ˙m ˆ τ ` γτ ´1 m ` 2K py, zq dpv,wq F py, zq ď 1´γ pour py, zq P E s pv, wq et m ą 0, et dpv,wq F

´m

py, zq ď

ˆ

τ ´1 ´ γτ ´ 2K 1`γ

˙m py, zq

pour py, zq P E u pv, wq et m ă 0. On peut maintenant répéter les arguments dans la démonstration du théorème IV.7 pour établir la continuité des espaces E s pv, wq et E u pv, wq sur pv, wq. 126 i

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4. Régularité C 1

4. Régularité C 1 Il reste à montrer que la fonction ϕ est de classe C 1 . Pour σ ă γ, on a τpv,ϕpvqq V s Ă C s .

(V.55)

D’autre part, il résulte de (V.50) et (V.51) que dpv,wq F E s pv, wq “ E s pF pv, wqq

(V.56)

dpv,wq F E u pv, wq “ E u pF pv, wqq

(V.57)

et (comparer avec (IV.30) et (IV.31)). En particulier, E s pv, wq et E u pv, wq sont les plus grands ensembles contenus, respectivement, dans C s et C u qui satisfont (V.56) et (V.57). Il résulte de (V.45) et (V.55) que τpv,ϕpvqq V s Ă E s pv, ϕpvqq pour v P Dεs . Mais puisque τpv,ϕpvqq V s et E s pv, ϕpvqq sont projetés surjectivement sur Dεs (rappelons que V s est un graphe sur Dεs ), on obtient τpv,ϕpvqq V s “ E s pv, ϕpvqq

(V.58)

et donc, τpv,ϕpvqq V s est un espace vectoriel de dimension dim E s pv, ϕpvqq “ dim E s pxq. Il résulte du lemme V.6 et de l’identité (V.58) que la fonction ϕ est différentiable. En outre, par le lemme V.8, la fonction v ÞÑ E s pv, ϕpvqq est continue (car elle est une composition de fonctions continues) et donc, V s est une variété de classe C 1 . On peut montrer de manière analogue que V u est aussi une variété de classe C 1 . En prenant v “ 0, il résulte de (V.58) et de l’identité correspondante pour V u que T0 V s “ E s et T0 V u “ E u . Cela établit les identités dans (V.37).

D´efinition V.9. Les variétés V s pxq et V u pxq ou, plus précisément, les variétés V s pxq X B et V u pxq X B sont appelées, respectivement, une variété stable et une variété instable au point x.

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

Par (V.36), V s pxq est positivement f -invariant et V u pxq est négativement f invariant. Le théorème V.3 est un cas particulier d’un résultat plus général (théorème V.11) pour des ensembles hyperboliques arbitraires.

V.2. Variétés invariantes stables et instables On établit dans cette section un résultat de base fondamental sur le comportement des orbites d’un difféomorphisme dans un ensemble hyperbolique. Il est en fait une généralisation substantielle du théorème de Hadamard-Perron (théorème V.3) sur l’existence de variétés stables et instables pour un point fixe hyperbolique. Plus précisément, il établit l’existence de variétés stables et instables pour tous les points d’un ensemble hyperbolique.

V.2.1. Existence de variétés invariantes Soit Λ un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f : Rp Ñ Rp de classe C 1 . Pour ε ą 0 et x P Λ, on considère les ensembles  ( (V.59) V s pxq “ y P Bpx, εq : f n pyq ´ f n pxq ă ε pour n ą 0 et

 ( V u pxq “ y P Bpx, εq : f n pyq ´ f n pxq ă ε pour n ă 0 ,

(V.60)

où Bpx, εq Ă Rp est la boule ouverte de rayon ε centrée en x. On note que x P V s pxq X V u pxq et que f pV s pxqq Ă V s pf pxqq et f ´1 pV u pxqq Ă V u pf ´1 pxqq.

(V.61)

Exemple V.10. Soit Λ le fer à cheval de Smale construit dans la section IV.1.2. Pour tout point x P Λ en dehors la frontière du carré r0, 1s2 et pour chaque ε ą 0 suffisamment petit, l’ensemble V s pxq est un segment de droite horizontal et l’ensemble V u pxq est un segment de droite vertical. Pour déterminer V s pxq et V u pxq aux points restants, il serait nécessaire de connaître explicitement le difféomorphisme f dans un voisinage du carré. On considère maintenant des ensembles hyperboliques arbitraires.

Th´eor`eme V.11 (vari´et´es stables et instables). Soit Λ un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f : Rp Ñ Rp de classe C 1 . Pour tout ε ą 0 suffisamment petit, les propriétés suivantes sont satisfaites : 128 i

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V.2. Variétés invariantes stables et instables

1. pour x P Λ, les ensembles V s pxq et V u pxq sont des variétés de classe C 1 qui satisfont Tx V s pxq “ E s pxq et Tx V u pxq “ E u pxq ; 2. il existe ρ P s0, 1r et C ą 0 tels que f n pyq ´ f n pxq ď Cρn y ´ x et

pour y P V s pxq

f ´n pyq ´ f ´n pxq ď Cρn y ´ x

pour y P V u pxq,

pour tous x P Λ et n P N. Démonstration. L’argument est une variation de la démonstration du théorè-

me V.3. Ainsi on décrit seulement les changements qui sont nécessaires. Pour x P Λ, considérons l’application fx : Rp Ñ Rp définie par fx pyq “ f py ` xq ´ f pxq. On peut l’écrire sous la forme ` ˘ fx pv, wq “ Asx v ` gxs pv, wq, Aux w ` gxu pv, wq P E s pxq ‘ E u pxq, pour pv, wq P E s pxq ‘ E u pxq, où Asx “ dx f |E s pxq : E s pxq Ñ E s pf pxqq et Aux “ dx f |E u pxq : E u pxq Ñ E u pf pxqq. On note que Asx et Aux sont des applications linéaires inversibles et que gxs et gxu sont des fonctions de classe C 1 avec gxs p0q “ 0,

gxu p0q “ 0,

d0 gxs “ 0,

d0 gxu “ 0.

En outre, on peut toujours supposer que les produits scalaires x¨, ¨yx dans les espaces tangents Tx Rp sont tels que Asx  ă τ

et pAux q´1  ă τ

pour tout x P Λ et pour une certaine constante τ P s0, 1r. On considère maintenant séparément chaque orbite de f . Pour x P Λ et n P Z, considérons l’application Fn “ ff n pxq . Elle peut être écrite sous la forme ` ˘ (V.62) Fn pv, wq “ An v ` gn pv, wq, Bn w ` hn pv, wq , 129 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

où An “ Asf n pxq ,

Bn “ Aufn pxq ,

gn “ gfs n pxq ,

hn “ gfun pxq .

On considère aussi les espaces Ens “ E s pf n pxqq

et Enu “ E u pf n pxqq.

Les applications linéaires s An : Ens Ñ En`1

satisfont An  ă τ

u et Bn : Enu Ñ En`1

et Bn´1  ă τ

pour n P Z. En outre, pgxs , gxu qpyq “ f py ` xq ´ f pxq ´ dx f y et la fonction G : px, yq ÞÑ dy pgxs , gxu q “ dy`x f ´ dx f est continue, car f est de classe C 1 . Pour ε ą 0, soient s u pxq Ă E s pxq et B2ε pxq Ă E u pxq B2ε

les boules ouvertes de rayon 2ε centrées à l’origine. Puisque Λ est compact, la fonction G est uniformément continue sur l’ensemble tpx, yq : x P Λ, y P Dε pxqu,

s pxq ‘ B u pxq. où Dε pxq “ B2ε 2ε

En outre, puisque Gpx, 0q “ 0, on a (  K :“ sup Gpx, yq : px, yq P Λ ˆ Dε pxq Ñ 0 lorsque ε Ñ 0. Donc, dpv,wq gn  ď K

et dpv,wq hn  ď K

pour n P Z et pv, wq P Dεs ‘ Dεu , où Dεs “ Bεs pf n pxqq et Dεu “ Bεu pf n pxqq. Soit σ P s0, 1s. On considère l’espace X des suites ϕ “ pϕn qnPZ de fonctions ϕn : Dεs Ñ Enu telles que ϕn p0q “ 0 et ϕn pvq ´ ϕn pwq ď σv ´ w 130 i

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V.2. Variétés invariantes stables et instables

pour tous n P Z et v, w P Dεs . On peut vérifier facilement que X est un espace métrique complet pour la distance (  dpϕ, ψq “ sup ϕn pvq ´ ψn pvq : n P Z, v P Dεs . On veut montrer qu’il existe des fonctions ϕn telles que  ( V s pf n pxqq Ą x ` pv, ϕn pvqq : v P Dεs

(V.63)

pour n P Z. On procède d’abord formellement, en supposant que l’inclusion (V.63) est satisfaite. Il résulte de (V.62) et de l’invariance dans (V.61) que ` ˘ Fn pv, ϕn pvqq “ An v ` gn pv, ϕn pvqq, Bn ϕn pvq ` hn pv, ϕn pvqq et Donc,

˘ ` Bn ϕn pvq ` hn pv, ϕn pvqq “ ϕn`1 An v ` gn pv, ϕn pvqq . ˘ ` ϕn pvq “ Bn´1 ϕn`1 An v ` gn pv, ϕn pvqq ´ Bn´1 hn pv, ϕn pvqq

pour chaque n P Z. Cela conduit à introduire une application T dans X par ˘ ` T pϕqn pvq “ Bn´1 ϕn`1 An v ` gn pv, ϕn pvqq ´ Bn´1 hn pv, ϕn pvqq. On remarque que ϕ “ pϕn qnPZ est un point fixe pour T si et seulement si les graphes des fonctions ϕn dans (V.63) satisfont la propriété d’invariance dans (V.61). Par conséquent, si on prouve que T a un point fixe unique ϕ P X, alors les ensembles dans le second membre de (V.63) coïncide avec V s pf n pxqq dans un voisinage ouvert de f n pxq. Les étapes restantes sont analogues à celles de la démonstration du théorème V.3 et sont donc omis.

V.2.2. Structure produit locale On montre dans cette section que certains ensembles hyperboliques ont ce que l’on appelle une structure produit locale. Soit Λ un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f : Rp Ñ Rp de classe C 1 . Pour x, y P Λ, on écrit rx, ys “ V s pxq X V u pyq.

D´efinition V.12. On dit que l’ensemble Λ a une structure produit locale s’il existe ε ą 0 et δ ą 0 tels que cardrx, ys “ 1 et rx, ys P Λ pour tous x, y P Λ avec x ´ y ă δ (et avec ε comme dans le théorème V.11). 131 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

Lorsque Λ a une structure produit locale, on obtient une fonction  ( r¨, ¨s : px, yq P Λ ˆ Λ : x ´ y ă δ Ñ Λ. On considère maintenant une classe d’ensembles hyperboliques qui ont une structure produit locale. Soit f : Rp Ñ Rp un difféomorphisme.

D´efinition V.13. Un ensemble hyperbolique Λ pour f est dit localement maximal s’il existe un ensemble ouvert U Ą Λ tel que č f n pU q. Λ“ nPZ

Autrement dit, un ensemble hyperbolique est localement maximal si toutes les orbites dans un voisinage ouvert de Λ sont en fait dans Λ.

Th´eor`eme V.14. Tout ensemble hyperbolique localement maximal Λ pour un difféomorphisme f de classe C 1 a une structure produit locale. Démonstration. Par le théorème IV.7, les espaces E s pxq et E u pxq sont continus sur

x P Λ. Cela implique que l’application

Λ Q x ÞÑ =pE s pxq, E u pxqq P s0, π{2s est continue, car c’est une composition de fonctions continues. D’autre part, puisque Λ est compact, il existe α ą 0 tel que =pE s pxq, E u pxqq ą α pour x P Λ. On montre maintenant qu’il existe δ ą 0 tel que =pE s pxq, E u pyqq ą

α 2

(V.64)

pour tous x, y P Λ avec x ´ y ď δ. Pour x P Λ, soit Ux Ă Λ ˆ Λ une boule ouverte centrée en la paire px, xq telle que =pE s pyq, E u pzqq ą

α 2

pour py, zq P Ux .

(V.65)

Cela est toujours possible car la fonction py, zq ÞÑ pE s pyq, E u pzqq est continue. En outre, puisque Λ est compact, la diagonale  ( D “ px, xq : x P Λ Ă Λ ˆ Λ 132 i

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V.2. Variétés invariantes stables et instables

est compacte et il existe un sous-recouvrement fini Ux1 , . . . , Uxn de D. Prenons maintenant δ ą 0 tel que toute boule ouverte de rayon 2δ centrée en un point px, xq P Λ ˆ Λ est contenue dans un ensemble ouvert Uxi (il suffit de supposer que 2δ est un nombre de Lebesgue(2) du recouvrement ouvert de D formé par les ensembles Uxi X D, pour i “ 1, . . . , n). Soient x, y P Λ avec x ´ y ď δ. On a px, yq ´ px, xq “ p0, y ´ xq ď y ´ x ď δ. Donc, le point px, yq est dans un certain ensemble ouvert Uxi et il résulte de (V.65) que l’inégalité (V.64) est satisfaite. Prenons maintenant ε ą 0 en (V.59) et (V.60) tels que ď` ˘ (V.66) V s pxq Y V u pxq Ă U, xPΛ

avec U comme dans la définition V.13. Par le théorème V.11, les variétés V s pxq et V u pxq sont les graphes de fonctions de classe C 1 . En outre, elles sont tangentes, respectivement, aux espaces E s pxq et E u pxq. Cela implique que pour ε suffisamment petit, on peut prendre la constante σ dans (V.41) aussi petite que désirée. Puisque l’angle entre E s pxq et chaque espace tangent à V s pxq est au plus Arctan σ, l’angle entre E u pyq et chaque espace tangent à V s pxq est contenu dans l’intervalle ” ıα α ´ Arctan σ, ` Arctan σ 2 2 (voir la figure V.2). Donc, l’angle entre chaque espace tangent à V s pxq et chaque espace tangent à V u pyq est contenu dans l’intervalle ” ıα α ´ 2 Arctan σ, ` 2 Arctan σ 2 2 (voir la figure V.2). En prenant σ suffisamment petit pour que α π α ´ 2 Arctan σ ą 0 et ` 2 Arctan σ ă , 2 2 2 on obtient cardrx, ys “ cardpV s pxq X V u pyqq ď 1 pour tous x, y P Λ avec x ´ y ď δ. Puisque les diamètres des ensembles Dεs et Dεu (voir (V.40) et (V.42)) ne dépendent que de ε, pour δ suffisamment petit on obtient cardrx, ys “ 1 pour chaque x, y P Λ avec x ´ y ă δ. Enfin, il résulte de (V.61) et (V.66) que f n prx, ysq P U pour n P Z. Puisque l’ensemble Λ est localement maximal, on conclut que rx, ys P Λ. p2q

Pour chaque recouvrement ouvert d’un espace métrique compact X, il existe un nombre positif δ (appelé un nombre de Lebesgue du recouvrement) tel que tout sous-ensemble de X de diamètre inférieur à δ est contenu dans un certain élément du recouvrement (voir par exemple [13]).

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

E s pxq

V

s pxq

E s pxq

x V

s pxq

x

y V u pyq E u pyq

Figure V.2. Espaces tangents aux variétés V s pxq et V u pyq.

V.3. Flots géodésiques On considère dans cette section le flot géodésique en géométrie hyperbolique. En particulier, on montre comment il donne des exemples de flots hyperboliques. Plus précisément, après une brève introduction à la géométrie hyperbolique et au flot géodésique, on introduit la notion d’ensemble hyperbolique pour un flot et on montre comment obtenir des exemples d’ensembles hyperboliques à partir du flot géodésique. On remarquera que certains résultats basiques de la géométrie hyperbolique sont formulés sans démonstration.

V.3.1. Géométrie hyperbolique Considérons le demi-plan supérieur ou demi-plan de Poincaré  ( H “ z P C : z ą 0 , avec le produit scalaire dans chaque espace tangent Tz H “ C “ R2 donné par xv, wyz “

xv, wy , p zq2

(V.67)

où xv, wy est le produit scalaire standard dans R2 . Il induit la norme |v|z “

|v| . z

(V.68)

Donc, la longueur d’un chemin γ : r0, τ s Ñ H de classe C 1 est donnée par żτ 1 |γ ptq| dt. Lγ “  γptq 0 134 i

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V.3. Flots géodésiques

D´efinition V.15. La distance hyperbolique entre deux points z, w P H est définie par dpz, wq “ inf Lγ , où la borne inférieure est prise sur tous les chemins de classe C 1 allant de z à w, c’est-à-dire tous les chemins γ : r0, τ s Ñ H de classe C 1 avec γp0q “ z et γpτ q “ w. Soit maintenant S ˚Lp2, Rq le groupe des matrices réelles ˆ ˙ ab A“ cd avec déterminant 1 ou ´1. On définit des applications TA dans H par TA pzq “

az ` b cz ` d

ou TA pzq “

az ` b , cz ` d

(V.69)

respectivement, lorsque ad ´ bc “ 1 ou ad ´ bc “ ´1. On note que les matrices A et ´A représentent la même application, c’est-à-dire T´A “ TA . On rappelle aussi la notion d’isométrie.

D´efinition V.16. Une application T : H Ñ H est appelée une isométrie si ` ˘ d T pzq, T pwq “ dpz, wq pour tous z, w P H. On montre maintenant que les éléments du groupe S ˚Lp2, Rq ou, plus précisément, les applications dans (V.69) sont des isométries.

Proposition V.17. Chaque application TA dans (V.69) satisfait TA pHq “ H et est une isométrie. Démonstration. On montre d’abord que S ˚Lp2, Rq est engendré par le groupe

SLp2, Rq des matrices réelles

ˆ A“

ab cd

˙

avec déterminant 1 et par la matrice ˆ B“

˙ ´1 0 . 0 1 135

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

En effet, si A a pour déterminant 1, alors la matrice ˆ ˙ˆ ˙ ˆ ˙ ab ´1 0 ´a b AB “ “ cd 0 1 ´c d a pour déterminant ´1. Cela donne le résultat souhaité, car toutes les matrices de déterminant ´1 peuvent être écrites sous cette forme. On montre maintenant que les applications TA définies par les matrices A avec déterminant 1 (appelées transformations de Möbius) et z ÞÑ ´z “ TB pzq transforment H dans lui-même. Si w “ TA pzq “

az ` b , cz ` d

alors paz ` bqpcz ` dq |cz ` d|2 ac|z|2 ` adz ` bcz ` bd “ |cz ` d|2

w“

et donc, w´w 2i pad ´ bcqz ´ pad ´ bcqz “ 2i|cz ` d|2 z´z z “ “ ą 0. 2 2i|cz ` d| |cz ` d|2

w “

(V.70)

Cela montre que w P H. On a aussi ´z ´ ´z 2i z´z “  z ą 0. “ 2i

p´zq “

Il reste à montrer que ces applications préservent la distance hyperbolique. Pour cela, il suffit de montrer que la longueur de tout chemin de classe C 1 est préservée sous leur action. En effet, l’image d’un chemin de classe C 1 sous une application TA est encore un chemin de classe C 1 et tous les chemins de classe C 1 sont de cette forme. Donc, dpTA pzq, TA pwqq “ inf Lα , 136 i

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V.3. Flots géodésiques

où la borne inférieure est prise sur tous les chemins α “ TA ˝ γ obtenus à partir d’un certain chemin γ de classe C 1 allant de z à w. Soit maintenant γ : r0, τ s Ñ H un chemin de classe C 1 et soit αptq “ TA pγptqq “

aγptq ` b , cγptq ` d

avec A P SLp2, Rq. On a aγ 1 ptqpcγptq ` dq ´ cγ 1 ptqpaγptq ` bq pcγptq ` dq2 ad ´ bc 1 “ γ 1 ptq “ γ 1 ptq 2 pcγptq ` dq pcγptq ` dq2

α1 ptq “

et (voir (V.70))  αptq “

(V.71)

 γptq . |cγptq ` d|2

Donc, żτ Lα “

ż0τ

|α1 ptq| dt  αptq

|cγptq ` d|2 |γ 1 ptq| dt ¨ 2  γptq 0 |cγptq ` d| żτ 1 |γ ptq| dt “ Lγ . “ 0  γptq “

Enfin, si αptq “ ´γptq, alors α1 ptq “ ´γ 1 ptq et Donc,

żτ Lα “

0

|α1 ptq| dt “  αptq

 αptq “  γptq. żτ 0

|γ 1 ptq| dt “ Lγ .  γptq

Cela complète la démonstration de la proposition. Puisque les matrices

ˆ

ab cd

˙

ˆ

et

˙ ab ´ cd

représentent la même application, on considère aussi les groupes P SLp2, Rq “ SLp2, Rq{tId, ´Idu 137 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

et

P S ˚Lp2, Rq “ S ˚Lp2, Rq{tId, ´Idu,

où deux matrices sont identifiées si l’une est la symétrique de l’autre. La proposition V.17 dit que P S ˚Lp2, Rq et son sous-groupe P SLp2, Rq sont formés par des isométries. Considérons maintenant les géodésiques, c’est-à-dire les plus courts chemins entre deux points.

Proposition V.18. Les géodésiques entre deux points de H sont les demi-droites verticales et les demi-cercles centrés sur la droite réelle  z “ 0. Plus précisément, pour z P H et v P Czt0u : 1. si v est parallèle à la droite  z “ 0, alors la géodésique qui passe par z avec la direction v est la demi-droite tz ` vt : t P Ru X H ; 2. si v n’est pas parallèle à la droite  z “ 0, alors la géodésique qui passe par z avec la direction v est le demi-cercle centré sur la droite réelle  z “ 0 qui est tangent à v au point z. Démonstration. Soient z “ ic et w “ id, avec d ą c. Soit aussi γ : r0, τ s Ñ H un

chemin de classe C 1 avec γp0q “ z et γpτ q “ w. Pour γptq “ xptq ` iyptq, on obtient żτ 1 żτ 1 |γ ptq| |y ptq| dt ě dt Lγ “ yptq 0 0 yptq żτ 1 ˇt“τ d y ptq ˇ dt “ log yptqˇ (V.72) “ log . ě c t“0 0 yptq

D’autre part, pour le chemin α : rc, ds Ñ H de classe C 1 défini par αptq “ it, on a żd żd 1 d |α ptq| 1 dt “ dt “ log . Lα “ c c  αptq c t En comparant avec (V.72), on conclut que la géodésique allant de ic à id est le segment de droite vertical entre ces deux points. Soient maintenant z, w P H des points arbitraires, avec z ‰ w. Soit aussi R l’unique segment de droite vertical ou l’unique arc de cercle centré sur la droite réelle  z “ 0 allant de z à w. On peut montrer qu’il existe une transformation de Möbius T telle que T pRq est un segment de droite vertical sur la partie positive de l’axe imaginaire (on rappelle que les transformations de Möbius transforment droites et cercles en droites ou cercles). Il résulte de l’argument précédent et de la proposition V.17 que la géodésique allant de z à w est précisément R.

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V.3. Flots géodésiques

V.3.2. Quotients par isométries On considère dans cette section le quotient de H par les sous-groupes d’isométries. La procédure est analogue à une construction alternative du tore Tn . À savoir, soient Ti : Rn Ñ Rn , pour i “ 1, . . . , n, les translations Ti pxq “ x ` ei , où ei est le i-ème vecteur de la base standard de Rn . Alors le tore Tn peut être construit en identifiant les points de Rn qui peuvent être obtenus à partir des autres en appliquant successivement une quelconque des transformations Ti et leurs transformations réciproques Ti´1 . Pour m “ pm1 , . . . , mn q P Z, on a ˘ ` m1 T1 ˝ T2m2 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ Tnmn pxq “ x ` m. Puisque les transformations T1 , . . . , Tn commutent, les points x ` m sont précisément ceux qui peuvent être obtenus à partir de x en appliquant successivement les transformations Ti et Ti´1 . Autrement dit, deux points x, y P Rn sont identifiés si et seulement si x ´ y P Zn . Donc, en effet, cette procédure donne le tore Tn . On rappelle que le genre d’une surface connexe orientable M est le plus grand nombre g des courbes fermées simples γ1 , . . . , γg Ă M avec γj X γj “ ∅ pour i ‰ j Ťg telles que M z i“1 γi est connexe. Par exemple, la sphère a pour genre 0 et le tore T2 a pour genre 1. Considérons maintenant le group P SLp2, Rq. On montre que chaque surface compacte de genre au moins 2 peut être obtenue comme un quotient de H par un sous-groupe de P SLp2, Rq.

Proposition V.19. Pour chaque entier g ě 2, il existe un sous-groupe G de P SLp2, Rq tel que le quotient H{G est une surface compacte de genre g. Démonstration. On considère d’abord la transformation

T pzq “

z´i . z`i

On peut vérifier facilement que T pHq “ D, où  ( D “ z P C : |z| ă 1 . En effet, T piq “ 0 et chaque x P R est transformé en un point de module     T pxq “  x ´ i  “ |x ´ i| “ 1. x`i |x ` i| 139 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

En outre, T transforme géodésiques en diamètres de D ou en arcs de cercle orthogonaux à la frontière de D. Soit r P s0, 1r et considérons les points zk “ reiπk{4 pour k “ 0, . . . , 7. On considère aussi les arcs de cercle R1 , R2 , R3 , R4 , R11 , R21 , R31 , R41

(V.73)

orthogonaux à la frontière de D qui sont déterminés successivement par les paires de points pz0 , z1 q, pz1 , z2 q, . . . , pz6 , z7 q, pz7 , z0 q (voir la figure V.3). Prenons maintenant r tel que la somme des angles intérieurs de l’octogone dans la figure V.3 est 2π. On peut montrer qu’il existe des transformations de Möbius uniques Ti , pour j “ 1, 2, 3, 4, telles que Sj pRj q “ Rj1 ,

où Sj “ T ˝ Tj ˝ T ´1 ,

renversant la direction des arcs, c’est-à-dire S1 pz0 q “ z5 ,

S2 pz1 q “ z6 ,

S3 pz2 q “ z7 ,

S4 pz3 q “ z0 .

Enfin, soit G le groupe engendré par les transformations T1 , T2 , T3 et T4 . On peut vérifier que le quotient H{G est une surface compacte de genre 2.

R3

R2

R4

R1

R11

R41 R21

R31

Figure V.3. Arcs Rj et Rj1 pour j “ 1, 2, 3, 4.

En remplaçant les huit arcs dans (V.73) par 4g arcs tels que la somme des angles intérieurs du polygone qu’ils déterminent est 2π, on obtient de manière analogue un quotient de H qui est une surface compacte de genre g.

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V.3. Flots géodésiques

V.3.3. Flot géodésique On décrit dans cette section le flot géodésique sur H ou, plus précisément, sur son fibré tangent unitaire (  SH “ pz, vq P H ˆ C : |v|z “ 1 , avec la norme |v|z donnée par (V.68).

Exemple V.20. Le chemin γ : R Ñ H de classe C 1 défini par γptq “ iet traverse la géodésique tz P H :  z “ 0u. En outre, |γ 1 ptq|γptq “ “

xiet , iet y1{2 piet q xp0, et q, p0, et qy1{2 “ 1. et

Donc, on obtient un chemin R Q t ÞÑ pγptq, γ 1 ptqq P SH dans le fibré tangent unitaire avec pγp0q, γ 1 p0qq “ pi, iq. Prenons maintenant pz, vq P SH. On peut montrer qu’il existe une unique transformation de Möbius T telle que T piq “ z

et T 1 piqi “ v.

Elle prend donc la géodésique iet qui traverse la partie positive de l’axe imaginaire en la géodésique γptq qui passe par z avec la direction v. Plus précisément, soient x, y P R Y t8u, respectivement, les limites γp´8q et γp`8q. On considère quatre cas : 1. lorsque x, y P R et x ă y, on a αyw ` x , T pwq “ αw ` 1 2. lorsque x, y P R et x ą y, on a yw ´ αx , T pwq “ w´α

ˇ ˇ ˇz ´ xˇ ˇ ˇ; où α “ ˇ z ´ yˇ ˇ ˇ ˇz ´ yˇ ˇ ˇ; où α “ ˇ z ´ xˇ 141

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

3. lorsque x P R et y “ 8, on a T pwq “ αw ` x,

où α “  z ;

4. lorsque x “ 8 et y P R, on a T pwq “ ´α{w ` y,

où α “  z.

On utilise maintenant la transformation T pour introduire le flot géodésique.

D´efinition V.21. Le flot géodésique ϕt : SH Ñ SH est défini par ϕt pz, vq “ pγptq, γ 1 ptqq, où γptq “ T piet q. On vérifie que ϕt est en effet un flot.

Proposition V.22. La famille des applications ϕt est un flot de SH. Démonstration. Soit

T pzq “

az ` b . cz ` d

Il résulte de (V.70) et (V.71) que  γptq “

piet q |ciet ` d|2

Donc, |γ 1 ptq|γptq “

et γ 1 ptq “

iet . pciet ` dq2

et |ciet ` d|2 “1 ¨ 2 ` d| piet q

|ciet

et ϕt pSHq Ă SH. On montre maintenant que ϕt est un flot. On a ` ˘ ϕ0 pz, vq “ pγp0q, γ 1 p0qq “ T piq, T 1 piqi “ pz, vq. En outre,

pϕt ˝ ϕs qpz, vq “ ϕt pγpsq, γ 1 psqq

avec γpsq “ S ´1 pies q, où Spwq “ T pes wq. En effet, pour R “ S ´1 , on a Rpγpsqq “ e´s T ´1 pT pies qq “ i 142 i

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V.3. Flots géodésiques

et

ˇ ˇ R1 pγpsqqγ 1 psq “ pR ˝ γq1 ptqˇt“s “ pie´s`t q1 ˇt“s “ i.

Donc,

pϕt ˝ ϕs qpz, vq “ pαptq, α1 ptqq,

où αptq “ Spieit q “ T piet`s q “ γpt ` sq, ce qui donne l’identité pϕt ˝ ϕs qpz, vq “ pγpt ` sq, γ 1 pt ` sqq “ ϕt`s pz, vq. Cela complète la démonstration de la proposition. On introduit aussi une distance dans SH. Pour chaque pz, vq, pz 1 , v 1 q P SH, soit γ : r0, 1s Ñ H l’unique arc de géodésique tel que γp0q “ z

et γp1q “ z 1 .

Soit aussi F : r0, 1s Ñ Hzt0u un champ de vecteurs continu avec F p0q “ v tel que l’angle entre F ptq et γ 1 ptq est égal à l’angle entre v et γ 1 p0q pour chaque t P r0, 1s. La distance entre pz, vq et pz 1 , v 1 q est définie par ˘ a ` (V.74) d pz, vq, pz 1 , v 1 q “ dpz, z 1 q2 ` α2 , où α est l’angle entre F p1q et v 1 . On peut vérifier que cette distance est obtenue à partir de produits scalaires x¨, ¨ypz,vq dans les espaces tangents Tpz,vq SH.

V.3.4. Flots hyperboliques On introduit dans cette section la notion d’ensemble hyperbolique pour un flot. On montre ensuite que pour le flot géodésique en géométrie hyperbolique, tout quotient compact est un ensemble hyperbolique. Soit ϕt : M Ñ M un flot d’une variété M . On suppose toujours que l’application pt, xq ÞÑ ϕt pxq est de classe C 1 . On rappelle qu’un ensemble Λ Ă M est dit Φ-invariant, où Φ “ pϕt qtPR , si ϕt pΛq “ Λ pour tout t P R.

D´efinition V.23. Un ensemble compact Φ-invariant Λ Ă M est appelé ensemble hyperbolique pour Φ s’il existe λ P s0, 1r, c ą 0 et une décomposition Tx M “ E s pxq ‘ E 0 pxq ‘ E u pxq 143 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

pour chaque x P Λ tels que, pour x P Λ : 1. E 0 pxq est l’espace de dimension 1 engendré par le vecteur Xpxq “

ˇ d ϕt pxqˇt“0 ; dt

2. pour chaque t P R, dx ϕt E s pxq “ E s pϕt pxqq et dx ϕt E u pxq “ E u pϕt pxqq ;

(V.75)

3. dx ϕt v ď cλt v

pour v P E s pxq, t ą 0

et dx ϕ´t v ď cλt v pour v P E u pxq, t ą 0. Les espaces vectoriels E s pxq et E u pxq sont appelés, respectivement, l’espace stable et l’espace instable au point x. Considérons maintenant le cas particulier du flot géodésique en géométrie hyperbolique. Pour un quotient H{G comme dans la section V.3.2, le produit scalaire x¨, ¨ypz,vq dans chaque espace tangent Tpz,vq SpH{Gq “ Tpz,vq SH est celui qui donne la distance d dans SpH{Gq définie par (V.74).

Th´eor`eme V.24. Pour la surface compacte H{G de genre g ě 2 dans la proposition V.19, le fibré tangent unitaire SpH{Gq est un ensemble hyperbolique pour le flot géodésique. En outre, pour chaque pz, vq P SpH{Gq, il existe des variétés V s pz, vq, V u pz, vq Ă SpH{Gq contenant pz, vq qui sont tangentes, respectivement, aux espaces stables et instables au point pz, vq et qui satisfont ϕt pV u pz, vqq “ V u pϕt pz, vqq

et

ϕt pV s pz, vqq “ V s pϕt pz, vqq

(V.76)

pour tous pz, vq P SH et t P R. 144 i

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V.3. Flots géodésiques Démonstration. Pour pz, vq P SH, soit γptq la géodésique avec

γp0q “ z

et γ 1 p0q “ v.

s et H u les cercles qui passent par z et qui sont tangents à l’axe Soient aussi Hz,v z,v réel, respectivement, aux points γp`8q et γp´8q (voir la figure V.4). Considérons maintenant l’ensemble V s pz, vq Ă SpH{Gq formé par les vecteurs de norme 1 qui s , sont normaux à H s et pointent dans la même direction que v (voir sont sur Hz,v z,v la figure V.5). De manière analogue, on considère l’ensemble V u pz, vq Ă SpH{Gq u , sont normaux à H u et formé par les vecteurs de norme 1 qui sont sur Hz,v z,v pointent dans la même direction que v (voir la figure V.5). On peut vérifier que les ensembles V s pz, vq et V u pz, vq sont des variétés de dimension 1. En outre, la propriété (V.76) est satisfaite. En effet, le flot géodésique (dans H) transforme cercles tangents à la droite réelle et droites horizontales en cercles tangents à la droite réelle ou en droites horizontales. D’autre part, par (V.67), les angles sont préservés sous l’action du flot géodésique et donc, l’image d’un vecteur normal à s ou H u est un vecteur normal, respectivement, à les images de H s et H u . Hz,v z,v z,v z,v

u Hz,v

z

v

s Hz,v

s u Figure V.4. Ensembles Hz,v et Hz,v .

V s pz, vq

z

v

V u pz, vq Figure V.5. Ensembles V s pz, vq et V u pz, vq.

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

pi, iq

H s pi, iq

H u pi, iq

s u Figure V.6. Ensembles Hi,i et Hi,i .

Il reste à établir la troisième propriété dans la définition V.23, car alors la propriété (V.75) résulte de (V.76). On note d’abord qu’il suffit de considérer la géodésique qui traverse la partie positive de l’axe imaginaire, c’est-à-dire le chemin u est le cercle qui a pour diamètre γ : R Ñ H donné par γptq “ iet . Dans ce cas, Hi,i s le segment de droite entre 0 et i, tandis que Hi,i est la droite horizontale qui passe par i (voir la figure V.6). Pour chaque t ą 0, on a ϕt ppi, iq ` hp1, 0qq ´ ϕt pi, iq hÑ0 h piet ` h, iet q ´ piet , iet q “ p1 ` i0, 0q “ lim hÑ0 h

dpi,iq ϕt p1, 0q “ lim

et donc,

dpi,iq ϕt p1, 0qϕt pi,iq “ 1 ` i0iet “ e´t .

(V.77)

(V.78)

s q “ H u pour la transformation de Möbius Enfin, on note que T pHi,i i,i T pzq “ ´1{z, tandis que le dérivé T 1 piq “ ´1 renverse le sens de tous les vecteurs de norme 1. Il résulte de (V.77) et (V.78) que

dpi,iq ϕ´t v “ e´t v pour v P Tpi,iq V u pi, iq et t ą 0. Donc, SpH{Gq est un ensemble hyperbolique pour le flot géodésique. Les ensembles V s pz, vq et V u pz, vq sont appelés, respectivement, la variété stable et la variété instable au point pz, vq. 146 i

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V.4. Exercices

V.4. Exercices Exercice V.1. Montrer que si 0 P Rp est un point fixe hyperbolique pour une application linéaire inversible A : Rp Ñ Rp , alors  ( E s p0q “ y P Rp zt0u : λpyq ă 0 Y t0u et

 ( E u p0q “ y P Rp zt0u : λpyq ą 0 Y t0u,

où λpyq “ lim sup nÑ8

1 logAn y. n

(V.79)

Exercice V.2. Soit A une matrice de dimension pp, pq. Montrer que deux vecteurs v1 , v2 P Rp zt0u avec λpv1 q ‰ λpv2 q (voir (V.1)) sont linéairement indépendants. Exercice V.3. Soit f un difféomorphisme. Montrer que Λ est un ensemble hyperbolique pour f si et seulement si Λ est un ensemble hyperbolique pour f ´1 . Exercice V.4. Dire si une variété stable peut contenir deux points périodiques. Exercice V.5. Montrer que le fer à cheval de Smale est localement maximal. Exercice V.6. Montrer que le solénoïde Λ dans l’exercice IV.18 est localement maximal. Exercice V.7. Soit Λ un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f : Rp Ñ Rp tel que E u pxq “ t0u pour chaque x P Λ. Montrer que Λ est l’union d’un nombre fini de points périodiques pour f . Exercice V.8. Soit x un point fixe hyperbolique pour un difféomorphisme f . Montrer que pour chaque n P N, il existe un voisinage ouvert V de x tel que tout point périodique pour f dans V a une période supérieure à n. Exercice V.9. Dire s’il existe un homéomorphisme f : T2 Ñ T2 tel que f ˝ TA “ TB ˝ f , où ˆ ˙ ˆ ˙ 21 31 A“ et B “ . 11 11 Exercice V.10. Construire une conjugaison topologique h : R2 Ñ R2 entre les flots déterminés par les équations différentielles x1 “ 3x et x1 “ 4x, c’est-à-dire un homéomorphisme h tel que h ˝ ϕt “ ψt ˝ h pour t P R, où ϕt et ψt sont les flots déterminés par les deux équations. 147 i

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Chapitre V. Dynamique hyperbolique II

Exercice V.11. Dire si la conjugaison topologique h : R2 Ñ R2 construite dans l’exercice V.10 peut être un difféomorphisme. Exercice V.12. Dire si l’ensemble R2 satisfait les conditions dans la notion d’ensemble hyperbolique (sauf la compacité) pour le flot ϕt : R2 Ñ R2 défini par ϕt px, yq “ pet x, e´t yq.

Exercice V.13. Dire si l’ensemble R3 satisfait les conditions dans la notion d’ensemble hyperbolique (sauf la compacité) pour le flot ϕt : R3 Ñ R3 défini par ϕt ps, x, yq “ ps ` t, et x, e´t yq.

Exercice V.14. Dire s’il existe une conjugaison topologique h : R2 Ñ R2 entre les flots déterminés par les équations # # x1 “ y, x1 “ y, et y 1 “ ´x y 1 “ ´2x. Exercice V.15. Dire s’il existe une conjugaison topologique h : R2 Ñ R2 entre les flots déterminés par les équations # # x1 “ y, x1 “ y, et y1 “ x y 1 “ 3x. Exercice V.16. Montrer que les transformations de Möbius transforment droites et cercles en droites ou cercles. Exercice V.17. Montrer que si Λ est un ensemble hyperbolique pour un flot Φ “ pϕt qtPR , alors Λ n’est pas un ensemble hyperbolique pour le difféomorphisme ϕT , pour chaque T P R. Exercice V.18. Montrer que si Λ est un ensemble hyperbolique pour un flot Φ, alors les espaces stables et instables E s pxq et E u pxq sont continus sur x P Λ. Exercice V.19. Donner un exemple d’un ensemble hyperbolique Λ pour un difféomorphisme f tel que hpf |Λq “ 0. Exercice V.20. Montrer que tout difféomorphisme d’Anosov a une entropie topologique positive.

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VI DYNAMIQUE SYMBOLIQUE

Ce chapitre est une introduction à la dynamique symbolique et à ses relations avec la dynamique hyperbolique. En particulier, il est parfois plus facile de résoudre des problèmes de dynamique hyperbolique, tels que certains problèmes concernant les points périodiques, après avoir associé une dynamique symbolique à un ensemble hyperbolique. Après l’introduction des notions de base de la dynamique symbolique, on illustre avec des exemples comment on peut associer naturellement un codage à plusieurs systèmes dynamiques des chapitres précédents. On étudie également les chaînes de Markov topologiques et les fonctions zêta. Pour des sujets supplémentaires relatifs à la dynamique symbolique, le lecteur pourra consulter, par exemple, [3, 9–11].

VI.1. Notions de base On introduit dans cette section quelques notions de base de la dynamique symbolique. On calcule aussi l’entropie topologique du décalage.

VI.1.1. Espace de suites et décalage N Soit k ą 1 un entier. On considère l’ensemble Σ` k “ t1, . . . , ku des suites

ω “ pi1 pωqi2 pωq . . .q, où in pωq P t1, . . . , ku pour tout n P N. ` D´efinition VI.1. Le décalage σ : Σ` k Ñ Σk est défini par

σpωq “ pi2 pωqi3 pωq . . .q.

(VI.1)

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

On note que l’application σ n’est pas inversible.

Exemple VI.2. Soit m P N. On détermine le nombre de points m-périodiques m pour σ, c’est-à-dire le nombre de suites ω P Σ` k telles que σ pωq “ ω. Il résulte de (VI.1) que ω est m-périodique si et seulement si in`m pωq “ in pωq pour n P N

(VI.2)

ou, de manière équivalente, les premiers m éléments de ω sont répétés indéfiniment. Donc, pour spécifier un point m-périodique il suffit de spécifier ses premiers m éléments. D’autre part, pour j1 , . . . , jm P t1, . . . , ku, la suite ω P Σ` k avec in pωq “ jn

pour n “ 1, . . . , m

qui satisfait (VI.2) est un point m-périodique. Donc, le nombre de points mpériodiques pour σ est égal à ˘ ` card t1, . . . , kum “ km . On introduit maintenant une distance, et donc une topologie, dans Σ` k . Soit , on définit β ą 1. Pour ω, ω 1 P Σ` k # dpω, ω 1 q “

β ´n 0

si ω ‰ ω 1 , si ω “ ω 1 ,

(VI.3)

où n “ npω, ω 1 q P N est le plus petit entier positif tel que in pωq ‰ in pω 1 q.

Proposition VI.3. Pour chaque β ą 1, les propriétés suivantes sont satisfaites : 1. d est une distance dans Σ` k ; 2. pΣ` k , dq est un espace métrique compact ; ` 3. le décalage σ : Σ` k Ñ Σk est continu.

Démonstration. Il résulte de (VI.3) que

dpω 1 , ωq “ dpω, ω 1 q et que dpω, ω 1 q “ 0 si et seulement si ω “ ω 1 . En outre, pour ω, ω 1 , ω 2 P Σ` k , on a dpω, ω 2 q “ β ´n1 ,

dpω, ω 1 q “ β ´n2 ,

dpω 1 , ω 2 q “ β ´n3 ,

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VI.1. Notions de base

où n1 , n2 et n3 sont, respectivement, les plus petits entiers positifs tels que in1 pωq ‰ in1 pω 2 q,

in2 pωq ‰ in2 pω 1 q,

in3 pω 1 q ‰ in3 pω 2 q.

(VI.4)

On remarque que si n2 ą n1 et n3 ą n1 , alors in1 pωq “ in1 pω 1 q “ in1 pω 2 q, ce qui contredit (VI.4). Donc, n2 ď n1 ou n3 ď n1 , et β ´n1 ď β ´n2

ou β ´n1 ď β ´n3 .

Cela établit l’inégalité triangulaire. Pour montrer que Σ` k est compact, on note d’abord que les ensembles  ( (VI.5) Cj1 ...jm “ ω P Σ` k : in pωq “ jn pour n “ 1, . . . , m , avec j1 , . . . , jm P t1, . . . , ku, sont exactement les d-boules ouvertes. Si t1, . . . , ku a la topologie discrète (dont tous les sous-ensembles de t1, . . . , ku sont ouverts), alors N la topologie produit dans Σ` k “ t1, . . . , ku coïncide avec la topologie engendrée par les boules ouvertes Cj1 ...jm dans (VI.5). Autrement dit, elle coïncide avec la topologie induite par la distance d. Donc, il résulte du théorème de Tychonoff(1) que pΣ` k , dq est un espace topologique compact (car il est le produit d’espaces topologiques compacts, avec la topologie produit). Pour la dernière propriété, on note que si dpω, ω 1 q “ β ´n , alors dpσpωq, σpω 1 qq ď β ´pn´1q “ βdpω, ω 1 q et le décalage est continu. Il résulte aussi de la démonstration de la proposition VI.3 que  ( dpω, ω 2 q ď max dpω, ω 1 q, dpω 1 , ω 2 q .

VI.1.2. Entropie topologique ` Par la proposition VI.3, le décalage σ : Σ` k Ñ Σk est une application continue d’un espace métrique compact. Donc, son entropie topologique est bien définie (voir la définition II.28).

Proposition VI.4. hpσ|Σ` k q “ log k. p1q

Tout produit d’espaces topologiques compacts muni de la topologie produit est un espace topologique compact (voir par exemple [13]).

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Chapitre VI. Dynamique symbolique Démonstration. Pour m, p P N et ω, ω 1 P Σ` k , on a

 ( dm pω, ω 1 q “ max dpσ j pωq, σ j pω 1 qq : j “ 0, . . . , m ´ 1 et dpσ j pωq, σ j pω 1 qq ě β ´p si et seulement si n “ npω, ω 1 q P t1 ` j, . . . , p ` ju. Donc,

dm pω, ω 1 q ě β ´p

Cela implique que

si et seulement si n ď p ` m ´ 1.

N pm, β ´p q ď kp`m´1 ,

(VI.6) (VI.7)

car le second membre est exactement le plus grand nombre de suites distinctes dans Σ` k qui diffèrent en certains de leur p ` m ´ 1 premiers éléments. On note maintenant que le nombre de points pp ` m ´ 1q-périodiques pour σ est kp`m´1 . Si ω et ω 1 sont deux de ces points, alors  ( (VI.8) dm pω, ω 1 q “ max dpσ j pωq, σ j pω 1 qq : j “ 0, . . . , m ´ 1 ě β ´p , car

npω, ω 1 q P t1, . . . , p ` m ´ 1u.

Donc, N pm, β ´p q ě kp`m´1 et il résulte de (VI.7) que N pm, β ´p q “ kp`m´1 . Enfin, 1 log N pm, β ´p q m p`m´1 log k “ log k, “ lim lim pÑ8 mÑ8 m

hpσ|Σ` k q “ lim lim

pÑ8 mÑ8

ce qui donne le résultat souhaité.

VI.1.3. Suites bilatérales On peut considérer de manière analogue le cas des suites bilatérales. Soit k ą 1 un entier. On considère l’ensemble Σk “ t1, . . . , kuZ des suites ω “ p. . . i´1 pωqi0 pωqi1 pωq . . .q.

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VI.2. Exemples de codages

D´efinition VI.5. Le décalage σ : Σk Ñ Σk est défini par σpωq “ ω 1 , où in pω 1 q “ in`1 pωq pour n P Z. On remarque que le décalage dans Σk est inversible.

Exemple VI.6. De manière analogue à l’exemple VI.2, pour chaque m P N, un point ω P Σk est m-périodique si et seulement si in`m pωq “ in pωq pour n P Z.

(VI.9)

Donc, pour spécifier un point m-périodique ω P Σk , il suffit de spécifier les éléments i1 pωq, . . . , im pωq. D’autre part, pour j1 , . . . , jm P t1, . . . , ku, la suite ω P Σk avec in pωq “ jn

pour n “ 1, . . . , m

qui satisfait (VI.9) est un point m-périodique. Cela implique que le nombre de points m-périodiques pour σ|Σk est égal à km . On introduit maintenant une distance, et donc aussi une topologie, dans Σk . Soit β ą 1. Pour chaque ω, ω 1 P Σk , on définit # 1

dpω, ω q “

β ´n 0

si ω ‰ ω 1 , si ω “ ω 1 ,

où n “ npω, ω 1 q P N est le plus petit entier tel que in pωq ‰ in pω 1 q ou i´n pωq ‰ i´n pω 1 q. On peut vérifier facilement que d est une distance dans Σk .

VI.2. Exemples de codages On illustre dans cette section comment on peut associer naturellement une dynamique symbolique (c’est-à-dire un décalage dans Σ` k ou Σk ), aussi connu comme un codage, à plusieurs systèmes dynamiques introduits dans les chapitres précédents. 153 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

VI.2.1. Applications dilatantes On considère d’abord les applications dilatantes et leur entropie topologique.

Exemple VI.7. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 . Comme dans l’exemple II.7, pour x “ 0.x1 x2 . . . P S 1 en base 2 (avec xn P t0, 1u pour chaque n), on a E2 p0.x1 x2 . . .q “ 0.x2 x3 . . . Ce comportement est précisément celui observé dans (VI.1) et, donc, il est naturel d’attendre une certaine relation entre E2 et σ|Σ` 2. ` 1 On définit une fonction H : Σ2 Ñ S par Hpi1 i2 . . .q “

8 ÿ

pin ´ 1q2´n “ 0.pi1 ´ 1qpi2 ´ 1q . . .

(VI.10)

n“1

Alors pH ˝ σqpi1 i2 . . .q “ Hpi2 i3 . . .q “

8 ÿ

pin`1 ´ 1q2´n

n“1

“ 0.pi2 ´ 1qpi3 ´ 1q . . . ˘ ` “ E2 0.pi1 ´ 1qpi2 ´ 1q . . . “ pE2 ˝ Hqpi1 i2 . . .q, c’est-à-dire H ˝ σ “ E2 ˝ H

sur Σ` 2.

(VI.11)

On remarque que l’application H n’est pas injective, car Hpi1 . . . in 211 . . .q “ Hpi1 . . . in 122 . . .q pour tous i1 , . . . , in P t1, 2u. Toutefois, si B Ă Σ` 2 est le sous-ensemble des suites avec un nombre infini consécutif du symbole 2, alors l’application ` 1 H|pΣ` 2 zBq : Σ2 zB Ñ S

(VI.12)

est bijective.

Exemple VI.8. On utilise maintenant l’exemple précédent pour trouver le nombre de points m-périodiques pour l’application dilatante E2 . Par l’exemple VI.2, le m nombre de points m-périodiques pour le décalage σ|Σ` 2 est 2 . Un seul d’entre eux appartient à B (voir (VI.12)) : la suite constante p22 . . .q. Donc, le nombre m de points m-périodiques pour σ|pΣ` 2 zBq est 2 ´ 1. On remarque que l’ensemble 154 i

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VI.2. Exemples de codages

Σ` 2 zB est positivement σ-invariant et, donc, les orbites de ces points sont en fait contenues dans Σ` 2 zB. D’autre part, il résulte de (VI.11) que H ˝ σ m “ E2m ˝ H

sur Σ` 2,

(VI.13)

pour chaque m P N. Prenons maintenant ω P Σ` 2 zB et m P N. Puisque l’ensemble m pωq P Σ` zB. En outre, puisque la zB est positivement σ-invariant, on a σ Σ` 2 2 m fonction H|pΣ` 2 zBq est bijective, il résulte de (VI.13) que σ pωq “ ω si et seulement si Hpωq “ Hpσ m pωqq “ E2m pHpωqq. Donc, ω P Σ` 2 zB est un point m-périodique pour σ si et seulement si Hpωq est un point m-périodique pour E2 . Cela implique que le nombre de points mpériodiques pour l’application dilatante E2 est 2m ´ 1 (comme on l’a déjà vu dans la section I.2.2). Ce sont xi1 ...im “ Hpi1 . . . im i1 . . . im . . .q P S 1 pour pi1 , . . . , im q P t1, . . . , kum ztp2, . . . , 2qu. Il résulte de (VI.10) que xi1 ...im “

m ÿ

pin ´ 1q2´n p1 ` 2´m ` 2´2m ` . . .q

n“1

“

m ÿ 1 pin ´ 1q2´n 1 ´ 2´m n“1

“

m ÿ 1 pin ´ 1q2m´n . 2m ´ 1 n“1

ř m´n prend les valeurs 0, 1, . . . , 2m ´ 1, car On note que la somme m n“1 pin ´ 1q2 pi1 , . . . , im q ‰ p2, . . . , 2q. Donc, on retrouve les points périodiques déjà obtenus dans (I.2). L’exemple suivant illustre comment un codage peut être utilisé pour calculer l’entropie topologique.

Exemple VI.9. Considérons la restriction E4 |A : A Ñ A de l’application dilatante E4 à l’ensemble compact et positivement E4 -invariant A dans (I.11). Soit x “ 0.x1 x2 . . . P S 1 en base 4, avec xn P t0, 1, 2, 3u pour n P N. On a E4 p0.x1 x2 . . .q “ 0.x2 x3 . . . 155 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique 1 On définit maintenant une fonction H : Σ` 2 Ñ S par

Hpi1 i2 . . .q “

8 ÿ

2pi1 ´ 1q4´n “ 0.j1 j2 . . .

n“1

aussi en base 4, où jn “ 2pin ´ 1q P t0, 2u

pour n P N.

On a pH ˝ σqpi1 i2 . . .q “ Hpi2 i3 . . .q “

8 ÿ

(VI.14)

2pin`1 ´ 1q4´n

n“1

et pE4 ˝ Hqpi1 i2 . . .q “ E4 p0.j1 j2 . . .q “ 0.j2 j3 . . . Donc, il résulte de (VI.14) que H ˝ σ “ E4 ˝ H

sur Σ` 2.

On note que l’application H est injective, contrairement à ce qui se passe dans l’exemple VI.7. C’est aussi un homéomorphisme sur son image HpΣ` 2 q “ A. En 1 , on a avec ω ‰ ω effet, pour ω, ω 1 P Σ` 2 dS 1 pHpωq, Hpω 1 qq ď

8 ÿ m“n

2 ¨ 4´m “

8 ¨ 4´n 3

8 “ pβ ´n qlog 4{ log β 3 8 “ dpω, ω 1 qlog 4{ log β , 3 où n “ npω, ω 1 q P N est le plus petit entier tel que in pωq ‰ in pω 1 q et où dS 1 est la distance dans S 1 . D’autre part, pour x “ 0.j1 j2 . . . , x1 “ 0.j11 j21 . . . P A ou, de façon équivalente, pour pj1 j2 . . .q, pj11 j21 . . .q P t0, 2uN , on a ˜ ¸ 8 8 ÿ ÿ ˘ ` ´1 ´1 1 ´n 1 ´n 2pin ´ 1q4 , 2pin ´ 1q4 , d H pxq, H px q “ d n“1

avec

n“1

jn “ 2pin ´ 1q et jn1 “ 2pi1n ´ 1q

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VI.2. Exemples de codages

pour n P N. Prenons maintenant x ‰ x1 tels que dS 1 px, x1 q “ |x ´ x1 |. Si n P N est le plus petit entier tel que jn ‰ jn1 ou, de façon équivalente, in ‰ i1n , alors 8 ÿ 1 2 ¨ 4´m “ 4´n`1 dS 1 px, x1 q ě 2 ¨ 4´n ´ 3 m“n`1 et ˘ ` d H ´1 pxq, H ´1 px1 q “ β ´n “ 4´n log β{ log 4 ˆ ˙ 3 1 ´n`1 log β{ log 4 ¨ 4 “ 4 3 ˆ ˙log β{ log 4 3 1 d 1 px, x q ď . 4 S Cela montre que H : Σ` 2 Ñ A est un homéomorphisme. Enfin, il résulte du théorème II.33 et de la proposition VI.4 que hpE4 |Aq “ hpσ|Σ` 2 q “ log 2, comme déjà obtenu dans l’exemple II.46.

VI.2.2. Applications quadratiques On considère dans cette section une classe d’applications quadratiques.

Exemple VI.10. Pour a ą 4, soit f : r0, 1s Ñ R l’application quadratique f pxq “ axp1 ´ xq et soit X Ă r0, 1s l’ensemble positivement f -invariant dans (II.27). On considère aussi la restriction f |X : X Ñ X. On définit maintenant une fonction H : Σ` 2 ÑX par 8 č f ´n`1 Iin , (VI.15) Hpi1 i2 . . .q “ n“1

où

a “ ‰ I1 “ 0, p1 ´ 1 ´ 4{aq{2

a “ ‰ et I2 “ p1 ` 1 ´ 4{aq{2, 1 . 157

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

On montre que pour tout a suffisamment grand, l’application H est bien définie, c’est-à-dire que l’intersection dans (VI.15)‘ contient exactement un point pour chaque suite pi1 i2 . . .q P Σ` 2 . Pour a ą 2 ` 5 et x P I1 Y I2 , on a |f 1 pxq| “ a|1 ´ 2x| ě λ ą 1,

a où λ “ a 1 ´ 4{a. Donc, chaque intervalle Ii1 ...im “

m č

(VI.16)

f ´n`1 Iin

n“1

λ´pm´1q

a une longueur au plus et, donc, chaque intersection dans (VI.15) contient exactement un point. Puisque f ´1 r0, 1s “ I1 Y I2 , il résulte de (II.27) que X“

8 č

f ´n pI1 Y I2 q “

ď

Hpi1 i2 . . .q

pi1 i2 ...qPΣ` 2

n“0

et l’application H est surjective. Elle est aussi inversible et son application réciproque est donnée par H ´1 pxq “ pi1 i2 . . .q, où in “ j lorsque f n´1 pxq P Ij , pour chaque n P N. On montre aussi que H est un homéomorphisme. Soient ω, ω 1 P Σ` 2 points 1 distincts avec n “ npω, ω q ą 1. On a |Hpωq ´ Hpω 1 q| “ ai1 ...in´1 , où ai1 ...in´1 est la longueur de l’intervalle Ii1 ...in´1 . Il résulte de (VI.16) que |Hpωq ´ Hpω 1 q| ď λ´pn´2q Ñ 0 lorsque n Ñ 8. Cela montre que l’application H est continue. D’autre part, pour des points distincts x, x1 P X, il existe n P N tel que Ii1 ...in´1 “ Ii11 ...i1n´1 où Alors

et Ii1 ...in X Ii11 ...i1n “ ∅,

(VI.17)

H ´1 pxq “ pi1 i2 . . .q et H ´1 px1 q “ pi11 i12 . . .q. ˘ ` d H ´1 pxq, H ´1 px1 q “ β ´n Ñ 0

lorsque n Ñ 8. D’autre part, il résulte de (VI.17) que |x ´ x1 | ě λ´pn´1q et, donc, si x1 Ñ x, alors n Ñ 8. Cela montre que l’application H ´1 est continue. Puisque H : Σ` 2 Ñ X est un homéomorphisme, il résulte du théorème II.33 et de la proposition VI.4 que hpf |Xq “ hpσ|Σ` 2 q “ log 2. 158 i

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VI.2. Exemples de codages

VI.2.3. Fer à cheval de Smale On associe aussi une dynamique symbolique au fer à cheval de Smale.

Exemple VI.11. Soit Λ Ă r0, 1s2 le fer à cheval de Smale construit dans la section IV.1.2 à partir d’un difféomorphisme f défini sur un voisinage du carré r0, 1s2 . On continue de considérer les bandes verticales V1 et V2 dans (IV.5) et on définit une fonction H : Σ2 Ñ Λ par č f ´n Vin . (VI.18) Hp. . . i´1 i0 i1 . . .q “ nPZ

Afin de vérifier que H est bien définie, on considère les ensembles Rn pωq “

n č

f ´k Vik ,

k“´n

où ω “ p. . . i´1 i0 i1 . . .q. Chaque Rn pωq est contenu dans un carré de taille an et, donc, diam Rn pωq Ñ 0 lorsque n Ñ 8. Cela implique que l’intersection č č f ´n Vin “ Rn pωq nPZ

nPZ

a au plus un point. D’autre part, puisqueŞRn pωq est une suite décroissante d’ensembles fermés non vides, l’intersection nPN Rn pωq a au moins un point. Cela montre que card Hpωq “ 1 pour chaque ω P Σ2 et la fonction H est bien définie. En outre, il résulte de la construction du fer à cheval de Smale que č f ´n pV1 Y V2 q Λ“ nPZ

“

ď č

ď

f ´n Vin “

ωPΣ2 nPZ

Hpωq

ωPΣ2

et, donc, l’application H est surjective. Pour montrer qu’elle est injective, prenons des suites ω, ω 1 P Σ2 avec ω ‰ ω 1 . Alors il existe m P Z tel que im pωq ‰ im pω 1 q. Donc, Vim pωq X Vim pω1 q “ ∅ et 1

Hpωq X Hpω q “

ˆč nPZ

f

´n

˙ Vin pωq

X

ˆč

f

´n

˙ Vin pω1 q

“ ∅.

nPZ

Cela montre que Hpωq ‰ Hpω 1 q et l’application H est injective. 159 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

On a aussi Hpσpωqq “

č

f ´n Vin`1 pωq

nPZ

“

č

f 1´n Vin pωq “ f pHpωqq,

nPZ

c’est-à-dire H ˝σ “f ˝H

sur Σ2 .

Pour m P N et ω P Σ2 , on obtient Hpσ m pωqq “ f m pHpωqq. Cela implique que ω est un point m-périodique pour σ si et seulement si Hpωq est un point m-périodique pour f |Λ. En outre, ω est un point périodique de période m pour σ si et seulement si Hpωq est un point périodique de période m pour f |Λ. En particulier, il résulte de l’exemple VI.6 que le nombre de points m-périodiques pour f |Λ est 2m .

VI.3. Chaînes de Markov topologiques On considère dans cette section une classe de sous-ensembles de Σ` k qui sont positivement σ-invariants et qui permettent de définir les chaînes de Markov topologiques.

VI.3.1. Notions de base Soit k ą 1 un entier et soit A “ paij q une matrice de dimension pk, kq à coefficients aij P t0, 1u pour chaque i et j. On considère le sous-ensemble de Σ` k défini par  ( ` (VI.19) Σ` A “ ω P Σk : ain pωqin`1 pωq “ 1 pour n P N . ` On a σpΣ` A q Ă ΣA , ce qui permet d’introduire la notion suivante. ` ` D´efinition VI.12. La restriction σ|Σ` A : ΣA Ñ ΣA est appelée la chaîne de Markov topologique ou le sous-décalage de type fini avec une matrice de transition A.

Exemple VI.13. Soit A la matrice de dimension pk, kq avec tous ses coefficients ` égaux à 1. Dans ce cas, il résulte de (VI.19) que Σ` A “ Σk et, donc, la chaîne de ` ` Markov topologique σ|ΣA est simplement le décalage σ : Σ` k Ñ Σk . 160 i

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VI.3. Chaînes de Markov topologiques

Exemple VI.14. Pour la matrice ˆ A“ on a

˙ 01 , 11

(VI.20)

 ( ` “ ω P Σ : a “ 1 pour n P N Σ` i pωqi pωq 2 n n`1 A (  “ ω P Σ` 2 : pin pωq, in`1 pωqq ‰ p1, 1q pour n P N .

` Autrement dit, Σ` A est le sous-ensemble de toutes les suites de Σ2 dans lesquelles le symbole 1 est toujours isolé (lorsqu’il apparaît).

On peut considérer de manière analogue le cas des suites bilatérales. Pour un entier k ą 1, soit A “ paij q une matrice de dimension pk, kq à coefficients aij P t0, 1u pour chaque i et j. On considère le sous-ensemble de Σk défini par  ( ΣA “ ω P Σk : ain pωqin`1 pωq “ 1 pour n P Z . On a σpΣA q “ ΣA et donc, on peut introduire la notion suivante.

D´efinition VI.15. La restriction σ|ΣA : ΣA Ñ ΣA est appelée la chaîne de Markov topologique ou le sous-décalage de type fini avec une matrice de transition A. Exemple VI.16. Pour la matrice ˆ A“ on a

˙ 01 , 10

 ( ΣA “ ω P Σ2 : ain pωqin`1 pωq “ 1 pour n P Z (  “ ω P Σ2 : in pωq ‰ in`1 pωq pour n P Z .

Donc, l’ensemble ΣA contient exactement deux suites : ω1 “ p. . . i0 . . .q et ω2 “ p. . . j0 . . .q, #

où in “

1 si n est pair, 2 si n est impair

# et jn “

2 si n est pair, 1 si n est impair.

On remarque que σpω1 q “ ω2 et σpω2 q “ ω1 . Donc, ΣA “ tω1 , ω2 u est une orbite périodique de période 2. 161 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

Exemple VI.17. Soit Σ Ă Σ2 le sous-ensemble des suites de Σ2 dans lesquelles le symbole 1 apparaît un nombre fini de fois et toujours en groupes avec un nombre paire d’éléments (lorsqu’il apparaît). On a σpΣq “ Σ et on peut considérer la restriction σ|Σ : Σ Ñ Σ. On montre maintenant que σ|Σ n’est pas une chaîne de Markov topologique. Considérons la suite ω “ p. . . i0 . . .q avec i0 “ i1 “ 1 et ij “ 2 pour j R t0, 1u. On remarque que ω P Σ. Donc, si σ|Σ était une chaîne de Markov topologique, alors on aurait Σ “ Σ2 . En effet, la suite ω contient les transitions 1 Ñ 1, 1 Ñ 2, 2 Ñ 1 et 2 Ñ 2. Puisque Σ ‰ Σ2 , on conclut que σ|Σ n’est pas une chaîne de Markov topologique.

VI.3.2. Points périodiques On détermine dans cette section le nombre de points m-périodiques pour une chaîne de Markov topologique arbitraire. On commence par un exemple.

Exemple VI.18. Soit σ|Σ` A la chaîne de Markov topologique avec la matrice de transition A dans (VI.20). On détermine explicitement le nombre de points mpériodiques pour m “ 1 et m “ 2 (l’exemple VI.20 considère le cas général) : 1. Pour m “ 1, la suite p22 . . .q est le seul point fixe pour σ|Σ` A , car a11 “ 0. 2. Soit maintenant m “ 2. On note qu’un point ω P Σ` A est m-périodique si et seulement si la propriété (VI.2) est satisfaite. Donc, il faut trouver le nombre de suites de Σ` A avec cette propriété, ce qui coïncide avec le nombre de vecteurs pi, jq P t1, 2u2 tels que les transitions iÑjÑi sont admises. Cette condition est équivalente à aij “ aji “ 1 et, donc, le nombre de points 2-périodiques pour σ|Σ` A est égal à 2 2 ÿ ÿ i“1 j“1

aij aji “

2 ÿ

pA2 qii “ trpA2 q,

i“1

où pA2 qii est le coefficient pi, iq de la matrice A2 . On considère maintenant des matrices arbitraires.

Proposition VI.19. Pour chaque m P N, le nombre de points m-périodiques pour m la chaîne de Markov topologique σ|Σ` A est égal à trpA q. 162 i

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VI.3. Chaînes de Markov topologiques Démonstration. On procède de manière analogue à l’exemple VI.18. Puisque ω P

Σ` A est m-périodique si et seulement si la propriété (VI.2) est satisfaite, il faut trouver le nombre de suites de Σ` A avec cette propriété. Il coïncide avec le nombre de vecteurs pi1 , . . . , im q P t1, . . . , kum tels que les transitions i1 Ñ i2 Ñ . . . Ñ im Ñ i1 sont admises. Cette condition est équivalente à ai1 i2 “ ai2 i3 “ . . . “ aim´1 im “ aim i1 “ 1 et, donc, le nombre de points m-périodiques pour σ|Σ` A est égal à ÿ

ÿ

ai1 i2 ai2 i3 . . . aim i1 “

pi1 ,...,im qPt1,...,kum

pAm qi1 i1 “ trpAm q.

i1 Pt1,...,ku

Cela donne le résultat souhaité.

Exemple VI.20. Soit A la matrice dans (VI.20). Par la proposition VI.19, pour m chaque m P N, le nombre de points m-périodiques pour σ|Σ` A est égal à trpA q. D’autre part, on a ˆ A“

01 11

˙

où

ˆ “S

ˆ S“

et A

“S

5q{2

0

p1 `

Donc, trpA q “

‘ 0

ˆ m

‘

˙ 0 ‘ S ´1 , p1 ´ 5q{2

‘ ‘ ˙ p´1 ` 5q{2 p´1 ´ 5q{2 1 1

ˆ m

p1 `

5q{2 p1 ´

0 ‘

˙m 5q{2

S ´1 .

‘ ˙ ‘ ˙ ˆ 1` 5 m 1´ 5 m ` 2 2

est le nombre de points m-périodiques pour σ|Σ` A (qui est un entier). Par exemple, trpA3 q “ 4,

trpA7 q “ 29 et

trpA11 q “ 199.

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

VI.3.3. Entropie topologique On calcule maintenant l’entropie topologique d’une chaîne de Markov topologique arbitraire.

Th´eor`eme VI.21. hpσ|Σ` A q “ log ρpAq, où ρpAq est le rayon spectral de A. Démonstration. On procède de manière analogue à la démonstration de la propo-

sition VI.4. On observe d’abord que, puisque l’application σ|Σ` k est expansive, il et on peut appliquer en est de même pour la chaîne de Markov topologique σ|Σ` A le théorème II.45. Soient m, p P N et ω, ω 1 P Σ` k . Par (VI.6), on a dm pω, ω 1 q ě β ´p

si et seulement si n “ npω, ω 1 q ď p ` m ´ 1.

Donc, N pm, β ´p q ď

ÿ

ai1 i2 . . . aiq´1 iq “

pi1 ,...,iq qPt1,...,kuq

k k ÿ ÿ

pAq´1 qi1 iq ,

i1 “1 iq “1

où q “ p ` m ´ 1. En utilisant la représentation de Jordan de A, on conclut qu’il existe un polynôme cpqq tel que k k ÿ ÿ

pAq´1 qi1 iq ď cpqqρpAqq´1 .

i1 “1 iq “1

Il résulte du théorème II.45 que 1 log N pm, β ´p q mÑ8 m “ ‰ 1 log cpqqρpAqp`m´2 ď lim mÑ8 m “ log ρpAq.

hpσ|Σ` A q “ lim

D’autre part, par la proposition VI.19, le nombre de points q-périodiques pour q 1 σ|Σ` A est égal à trpA q. Par (VI.8), si ω et ω sont deux de ces points, alors 1 ´p dm pω, ω q ě β . Donc, N pm, β ´p q ě trpAq q et il résulte du théorème II.45 que 1 log N pm, β ´p q m 1 log trpAp`m´1 q ě lim mÑ8 m 1 log trpAm q. “ lim mÑ8 m

hpσ|Σ` A q “ lim

mÑ8

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VI.3. Chaînes de Markov topologiques

Soient maintenant λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A, avec leurs multiplicités. Puisque k ÿ m λm trpA q “ i , i“1

on obtient k ÿ 1 log λm i mÑ8 m i“1  ˙ ˆ ÿ  k m 1{m  “ log lim  λi 

hpσ|Σ` A q ě lim

mÑ8

i“1

 ( “ log max |λi | : i “ 1, . . . , k “ log ρpAq. Cela complète la démonstration du théorème.

VI.3.4. Transitivité et mélange topologiques On considère dans cette section une classe particulière de chaînes de Markov topologiques et on étudie leurs propriétés de récurrence (voir la section II.3). On introduit d’abord deux classes de matrices.

D´efinition VI.22. Une matrice A de dimension pk, kq est dite : 1. irréductible si pour chaque i, j P t1, . . . , ku, il existe m “ mpi, jq P N tel que le coefficient pi, jq de Am est positif ; 2. transitive s’il existe m P N tel que tous les coefficients de la matrice Am sont positifs. On note que toute matrice transitive est irréductible. Toutefois, une matrice irréductible n’est pas nécessairement transitive.

Exemple VI.23. Soit

ˆ A“

˙ 01 . 10

Aucune puissance de A a tous ses coefficients positifs. Toutefois, A2 “ Id et, donc, pour chaque paire pi, jq, le coefficient pi, jq de A ou de A2 est positif. Donc, la matrice A est irréductible mais n’est pas transitive. 165 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

On considère maintenant des chaînes de Markov topologiques avec une matrice de transition irréductible ou transitive et on étudie leurs propriétés de récurrence.

Proposition VI.24. Si la matrice A est irréductible, alors la chaîne de Markov topologique σ|Σ` A est topologiquement transitive. Démonstration. On note d’abord que les ensembles

Dj1 ...jn “ Cj1 ...jn X Σ` A  ( “ ω P Σ` : i m pωq “ jm pour m “ 1, . . . , n A

(VI.21)

engendrent la topologie (induite) de Σ` A . Donc, il suffit de considérer ces ensembles dans la définition de transitivité topologique (voir la définition II.21). Prenons donc deux ensembles non vides Dj1 ...jn , Dk1 ...kn Ă Σ` A . Il faut montrer qu’il existe m P N tel que σ ´m Dj1 ...jn X Dk1 ...kn ‰ ∅. On vérifie d’abord qu’il existe m ě n tel que le coefficient pkn , j1 q de la matrice Am´n`1 est positif (on note que le coefficient m dans la définition VI.22 peut être inférieur à n). Puisque la matrice A est irréductible, il existe des entiers positifs m1 et m2 tels que pAm1 qkn j1 ą 0 et pAm2 qj1 kn ą 0. Alors `

Apm1 `m2 ql`m1

˘ kn j 1

“

k ÿ ` pm `m ql ˘ A 1 2 kn p pAm1 qpj1

p“1

` ˘ ě Apm1 `m2 ql kn kn pAm1 qkn j1 ě pAm1 `m2 qlkn kn pAm1 qkn j1

ě pAm1 qlkn j1 pAm2 qlj1 kn pAm1 qkn j1 ą 0 pour l P N, car pAm1 `m2 qkn kn “

k ÿ

pAm1 qkn p pAm2 qpkn .

p“1

Cela montre qu’il existe une transition de kn à j1 en q “ pm1 ` m2 ql ` m1 pas. En prenant m “ q ` n ´ 1, on obtient le résultat souhaité. Donc, pour une suite pi1 i2 . . .q P Dj1 ...jn , il existe l1 , . . . , lm´n P t1, . . . , ku tels que ω “ pk1 . . . kn l1 . . . lm´n i1 i2 . . .q P Σ` A. 166 i

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VI.3. Chaînes de Markov topologiques

On remarque que ω P Dk1 ...kn et σ m pωq “ pi1 i2 . . .q P Dj1 ...jn . Donc, ω P σ ´m Dj1 ...jn X Dk1 ...kn ‰ ∅ et la chaîne de Markov topologique σ|Σ` A est topologiquement transitive. On considère maintenant des chaînes de Markov topologiques avec une matrice de transition transitive.

Proposition VI.25. Si la matrice A est transitive, alors la chaîne de Markov topologique σ|Σ` A est topologiquement mélangeante. Démonstration. On procède de manière analogue à la démonstration de la pro-

position VI.24. Soient Dj1 ...jn , Dk1 ...kn Ă Σ` A des ensembles non vides comme dans (VI.21). On montre qu’il existe q P N tel que σ ´p Dj1 ...jn X Dk1 ...kn ‰ ∅ pour tout p ě q.

Lemme VI.26. Si tous les coefficients de la matrice Am sont positifs, alors pour chaque p ě m tous les coefficients de la matrice Ap sont positifs. Démonstration du lemme. On observe d’abord que pour chaque j P t1, . . . , ku, il

existe r “ rpjq P t1, . . . , ku tel que arj “ 1. Sinon, on aurait pAp qij “ 0 pour tous p P N et i P t1, . . . , ku et donc, la matrice A ne serait pas transitive. On utilise maintenant une récurrence sur p. Si pour un certain p ě m la matrice Ap a seulement des coefficients positifs, alors pAp`1 qij “

k ÿ

pAp qil alj

l“1 p

ě pA qir arj ą 0. Cela complète la démonstration du lemme. Il résulte du lemme VI.26 que pour chaque p P N avec p ě m ` n ´ 1 et Dj1 ...jn , Dk1 ...kn Ă Σ` A non vides, il existe l1 , . . . , lp´n P t1, . . . , ku tels que ω “ pk1 . . . kn l1 . . . lp´n i1 i2 . . .q P Σ` A pour toute suite pi1 i2 . . .q P Dj1 ...jn . Alors, ω P σ ´p Dj1 ...jn X Dk1 ...kn ‰ ∅ pour p ě m ` n ´ 1 et la chaîne de Markov topologique σ|Σ` A est topologiquement mélangeante. 167 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

Afin d’obtenir une borne inférieure pour l’entropie topologique d’une chaîne de Markov topologique, on établit d’abord une version simplifiée du théorème de Perron-Frobenius.

Th´eor`eme VI.27. Une matrice carrée avec tous ses coefficients dans N a une valeur propre réelle λ ą 1. Démonstration. Considérons l’ensemble

(  k S “ v P pR` 0 q : v “ 1 , ř où v “ ki“1 |vi | et v “ pv1 , . . . , vk q. Soit aussi B “ pbij q une matrice de dimension pk, kq avec tous ses coefficients dans N. On définit une fonction F : S Ñ S par F pvq “ Bv{Bv. Puisque l’ensemble S est homéomorphe à la boule unité fermée de Rk´1 et que la fonction F est continue, il résulte du théorème du point fixe de Brouwer(2) que F a un point fixe v P S. Donc, Bv “ Bvv et v est un vecteur propre de B associé à la valeur propre réelle λ “ Bv “

k ÿ

pBvqi

i“1

“

k ÿ k ÿ i“1 j“1

“k

k ÿ

bij vj ě

k ÿ k ÿ

vj

i“1 j“1

vj “ k ą 1.

j“1

Cela complète la démonstration du théorème. On peut utiliser le théorème VI.27 pour montrer que toute chaîne de Markov topologique avec une matrice de transition transitive a une entropie topologique positive.

Proposition VI.28. Si la matrice A est transitive, alors hpσ|Σ` A q ą 0. Démonstration. Soit m P N tel que Am a tous ses coefficients positifs. Par le

théorème VI.27, la matrice Am a une valeur propre réelle λ ą 1. Donc, il résulte

p2q Toute application continue f : B Ñ B d’une boule fermée B Ă Rn a au moins un point fixe (voir par exemple [7]).

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VI.4. Fers à cheval et chaînes de Markov topologiques

du théorème VI.21 que hpσ|Σ` A q “ log ρpAq 1 log ρpAm q “ m 1 log λ ą 0. ě m Cela complète la démonstration de la proposition.

VI.4. Fers à cheval et chaînes de Markov topologiques On illustre dans cette section comment des modifications appropriées du fer à cheval de Smale donne lieu à des chaînes de Markov topologiques non triviales. Plus précisément, contrairement à ce qui se passe dans tous les exemples d’un codage symbolique dans la section VI.2, ici certains coefficients de la matrice de transition A peuvent être nuls. Pour une meilleure illustration, on considère un exemple spécifique. Soit f un difféomorphisme dans un voisinage ouvert du carré r0, 1s2 avec le comportement illustré par la figure VI.1. On remarque que l’on peut choisir la taille des bandes horizontales Hi et de leurs images Vi “ f pHi q, pour i “ 1, 2, 3, ainsi que le difféomorphisme, tels que č f n pH1 Y H2 Y H3 q Λ“ nPZ

soit un ensemble hyperbolique pour f .

V1

H3 f H2 H1

V2 V3

Figure VI.1. Difféomorphisme f dans un voisinage du carré r0, 1s2.

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

Considérons maintenant la matrice A “ paij q de dimension p3, 3q avec des coefficients # 1 si f pHi q X Hj ‰ ∅, (VI.22) aij “ 0 si f pHi q X Hj “ ∅, c’est-à-dire

¨

˛ 101 A “ ˝1 1 1‚. 110

(VI.23)

On considère aussi l’ensemble ΣA Ă Σ3 induit par cette matrice et on définit č f ´n Hin pωq . Hpωq “ nPZ

Proposition VI.29. La fonction H : ΣA Ñ Λ est bien définie et f ˝H “H ˝σ

sur ΣA .

(VI.24)

Démonstration. En procédant de manière analogue à l’exemple VI.11, on conclut

que card Hpωq ď 1 pour ω P ΣA .

(VI.25)

On montre maintenant que card Hpωq ě 1 pour ω P ΣA . On note d’abord que la propriété de Markov suivante est satisfaite : 1. si f pHi qXHj ‰ ∅, alors l’image f pHi q coupe Hj le long de toute la direction instable ; 2. si f ´1 pHi q X Hj ‰ ∅, alors la préimage f ´1 pHi q coupe Hj le long de toute la direction stable. Soient maintenant Hi , Hj et Hk des rectangles tels que f pHi q X Hj ‰ ∅ et f pHj q X Hk ‰ ∅. Par la propriété de Markov, on conclut que f pHi q coupe Hj le long de toute la direction instable. Donc, l’ensemble f 2 pHi q coupe f pHj q le long de toute la direction instable. Puisque f pHj q coupe aussi Hk le long de toute la direction instable, cela implique que f 2 pHi q X f pHj q X Hk ‰ ∅.

(VI.26)

Prenons maintenant ω P ΣA . Par (VI.22), on a f pHinpωq q X Hin`1 pωq ‰ ∅ 170 i

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VI.5. Fonctions zêta

pour chaque n P Z. Il résulte de (VI.26) par récurrence que n č

f n´k pHik pωq q ‰ ∅

k“´n

et Kn :“

n č

f ´k pHik pωq q ‰ ∅.

k“´n

Puisque les ensembles Kn sont fermés et non vides, l’intersection Hpωq “ est non vide et č Kn ě 1. card Hpωq “ card

Ş

nPN Kn

nPN

Il résulte de (VI.25) que la fonction H est bien définie. Afin d’établir la propriété (VI.24), on note que č f ´n pHin`1 pωq q Hpσpωqq “ nPZ

“

č

f 1´n pHin pωq q

nPZ

“ f pHpωqq. Cela complète la démonstration de la proposition.

VI.5. Fonctions zêta On considère dans cette section la fonction zêta d’un système dynamique (à temps discret) et en particulier d’une chaîne de Markov topologique.

D´efinition VI.30. Soit f : X Ñ X une application avec  ( an :“ card x P X : f n pxq “ x ă 8

(VI.27)

pour tout n P N. La fonction zêta de f est définie par ζpzq “ exp

8 ÿ an z n n n“1

(VI.28)

pour chaque z P C tel que la série entière dans (VI.28) est convergente. 171 i

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

On rappelle que le rayon de convergence de la série entière dans (VI.28) est donné par c ‘ an R “ 1{ lim sup n “ 1{ lim sup n an . n nÑ8 nÑ8 En particulier, la série est convergente pour |z| ă R et la fonction ζ est holomorphe dans la boule Bp0, Rq Ă C. On note que la fonction ζ est uniquement déterminée par la suite pan qnPN et vice versa. On détermine maintenant la fonction zêta d’une chaîne de Markov topologique. ` ` Exemple VI.31. Soit σ|Σ` A : ΣA Ñ ΣA une chaîne de Markov topologique définie par une matrice A de dimension pk, kq avec un rayon spectral ρpAq ą 0. Il résulte de la proposition VI.19 que la suite pan qnPN dans (VI.27) est maintenant an “ trpAn q. Soient λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A, avec leurs multiplicités. On a k ÿ an “ trpAn q “ λni . i“1

Donc, ζpzq “ exp “ exp “ exp

k ÿ 8 ÿ λni z n n i“1 n“1 k ÿ i“1 k ÿ i“1

“

´ logp1 ´ λi zq log

1 1 ´ λi z

k ź

1 , 1 ´ λi z i“1

car logp1 ` wq “

8 ÿ p´1qn n w n n“1

pour |w| ă 1, où log est la branche principale du logarithme. D’autre part, les nombres complexes 1 ´ λi z sont les valeurs propres de la matrice Id ´ zA, avec leurs multiplicités. Cela implique que ζpzq “

1 detpId ´ zAq

(VI.29)

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VI.5. Fonctions zêta

pour

"

1 : i “ 1, . . . , k |z| ă min |λi |

* “

1 . ρpAq

` Exemple VI.32. Le décalage σ : Σ` k Ñ Σk coïncide avec la chaîne de Markov topologique définie par la matrice A “ Ak de dimension pk, kq avec tous ses coefficients égaux à 1. Il résulte de (VI.29) que

ζpzq “

1 detpId ´ zAk q

pour |z| ă 1{ρpAk q “ 1{k. En additionnant le symétrique de la première ligne de Id ´ zAk aux autres lignes et en considérant la deuxième colonne de la nouvelle matrice, on obtient ¨ ˛ 1 ´ z ´z . . . ´z ˚ ´1 ‹ ˚ ‹ detpId ´ zAk q “ det ˚ . ‹ . ˝ . ‚ Id ´1 ¨ ˛ ¨ ˛ ´1 0 . . . 0 1 ´ z ´z . . . ´z ˚´1 ‹ ˚ ´1 ‹ ˚ ‹ ˚ ‹ “ z det ˚ . ‹ ` det ˚ .. ‹ ˝ .. ‚ ˝ ‚ Id . Id ´1

´1

“ ´z ` detpId ´ zAk´1 q. Puisque detpId ´ zA1 q “ 1 ´ z, il résulte, par récurrence, que detpId ´ zAk q “ 1 ´ kz et donc, ζpzq “

1 1 ´ kz

pour |z| ă

1 . k

n Alternativement, le nombre de points n-périodiques pour σ|Σ` k est k (par l’exemple VI.2) et donc, 8 ÿ kn z n . ζpzq “ exp n n“1

Puisque

˙ ˆÿ 8 8 ÿ k kn z n 1 “ kn z n´1 “ n 1 ´ kz n“1 n“1 173

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Chapitre VI. Dynamique symbolique

pour |z| ă 1{k, on conclut que ζpzq “ expr´ logp1 ´ kzqs “

1 , 1 ´ kz

pour |z| ă 1{k.

Exemple VI.33. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 . Il résulte de (I.2) que le nombre de points n-périodiques pour E2 est 2n ´ 1. Donc, ζpzq “ exp

8 ÿ p2n ´ 1qz n . n n“1

Puisque ˙ ˆÿ 8 8 ÿ 2 1 p2n ´ 1qz n 1 ´ “ p2n ´ 1qz n´1 “ n 1 ´ 2z 1 ´ z n“1 n“1 pour |z| ă 1{2, on obtient ζpzq “ expr´ logp1 ´ 2zq ` logp1 ´ zqs “

1´z , 1 ´ 2z

pour |z| ă 1{2.

VI.6. Exercices 1 Exercice VI.1. Dire si deux distances dβ et dβ 1 dans Σ` k avec β ‰ β peuvent être équivalentes. Exercice VI.2. Montrer que ΣA est un sous-ensemble fermé de Σk . Exercice VI.3. Montrer que pΣ` k , dq est un espace métrique complet. Exercice VI.4. Dire si le décalage σ|Σk est topologiquement mélangeant. Exercice VI.5. Soit A une matrice de dimension pk, kq à coefficients dans t0, 1u. Montrer que :

1. si A est irréductible, alors σ|ΣA est topologiquement transitive ; 2. si A est transitive, alors σ|ΣA est topologiquement mélangeante.

Exercice VI.6. Dire si la matrice A dans (VI.23) est transitive ou irréductible. Exercice VI.7. Montrer que le décalage σ|Σ` k est une application expansive. Exercice VI.8. Dire si le décalage σ|Σk est une application expansive. 174 i

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Exercices

Exercice VI.9. Dire si : ` 1. les applications σ|Σ` 3 et σ|Σ5 sont topologiquement conjuguées ;

2. les applications σ|Σ` k et σ|Σk sont topologiquement conjuguées. ` Exercice VI.10. Dire si les chaînes de Markov topologiques σ|Σ` A et σ|ΣB sont topologiquement conjuguées pour :

1. A “ p 11 10 q et B “ p 10 01 q ; 2. A “ p 11 10 q et B “ p 01 11 q.

Exercice VI.11. Montrer que : 1. hpσ|Σk q “ log k ; 2. la fonction H : Σ2 Ñ Λ définie par (VI.18) est un homéomorphisme ; 3. hpf |Λq “ hpσ|Σ2 q “ log 2.

Exercice VI.12. Soit k ą 1 un entier. Dire si l’ensemble des entropies topo` ` logiques de toutes les chaînes de Markov topologiques σ|Σ` A avec ΣA Ă Σk contient un intervalle. Exercice VI.13. Montrer que pour chaque entier m ě 2, il existe une application 1 ` continue h : Σ` m Ñ S telle que h ˝ σ “ Em ˝ h sur Σm . Exercice VI.14. Montrer que les points périodiques pour σ|Σ` k sont denses. Exercice VI.15. Montrer que les points périodiques pour σ|Σk sont denses. Exercice VI.16. Montrer que le fer à cheval de Smale Λ n’a pas de point isolé. Exercice VI.17. Montrer que les points périodiques de période paire pour le fer à cheval de Smale sont denses. Exercice VI.18. Construire un codage symbolique pour le fer à cheval de Smale Λh dans la proposition IV.5. Exercice VI.19. Déterminer la fonction zêta : 1. du décalage σ|Σ` k ; 2. de l’application dilatante Em ; 3. de l’automorphisme du tore T2 induit par la matrice p 32 11 q.

Exercice VI.20. Vérifier que les applications topologiquement conjuguées ont la même fonction zêta.

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7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

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VII THÉORIE ERGODIQUE

Ce chapitre donne une première introduction à la théorie ergodique, en évitant, intentionnellement, des sujets plus avancés. Après l’introduction de la notion de mesure invariante, on établit le théorème de récurrence de Poincaré et le théorème ergodique de Birkhoff. On considère aussi brièvement la notion d’entropie métrique d’une application mesurable. Les notions nécessaires de théorie de la mesure et de théorie de l’intégration sont rappelées dans la section VII.1. Pour des sujets supplémentaires relatifs à la théorie ergodique, le lecteur pourra consulter, par exemple, [1, 12, 17].

VII.1. Notions de théorie de la mesure On rappelle dans cette section certaines notions et certains résultats de théorie de la mesure et de théorie de l’intégration. Soit X un ensemble et soit A une famille de sous-ensembles de X.

D´efinition VII.1. On dit que A est une tribu sur X si : 1. ∅, X P A ; 2. XzB P A lorsque B P A ; Ť 3. 8 n“1 Bn P A lorsque Bn P A pour tout n P N. On considère aussi la tribu engendrée par une famille A de sous-ensembles de X : c’est la plus petite tribu sur X qui contient tous les éléments de A.

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Chapitre VII. Théorie ergodique

On introduit maintenant la notion de mesure.

D´efinition VII.2. Soit A une tribu sur X. Une fonction μ : A Ñ r0, `8s est appelée une mesure dans X (par rapport à A) si : 1. μp∅q “ 0 ; 2. pour B1 , B2 . . . P A disjoints deux à deux, on a ˆď ˙ 8 8 ÿ μ Bn “ μpBn q. n“1

n“1

On dit alors que pX, A, μq est un espace mesuré. Lorsque la tribu est donnée par le contexte, on se réfère à la paire pX, μq comme un espace mesuré.

Exemple VII.3. Soit A la tribu sur X qui contient toutes les sous-ensembles de X. On définit une mesure μ : A Ñ N0 Y t8u dans X par μpBq “ card B.

Exemple VII.4. Soit maintenant B la tribu de Borel sur R (la tribu engendrée par les intervalles ouverts). Alors il existe une mesure unique λ : B Ñ r0, `8s dans R telle que λpsa, brq “ b ´ a pour a ă b. Elle est appelée la mesure de Lebesgue dans R. la tribu de Borel On décrit aussi une mesure correspondante dans Rn . Soit B ś sur Rn , c’est-à-dire la tribu engendrée par les rectangles ouverts ni“1 sai , bi r, avec ai ă bi pour i “ 1, . . . , n. Alors il existe une mesure unique λ : B Ñ r0, `8s dans Rn telle que ˙ ź ˆź n n sai , bi r “ pbi ´ ai q λ i“1

i“1

pour tous ai ă bi et i “ 1, . . . , n. Elle est appelée la mesure de Lebesgue dans Rn . On considère désormais les fonctions mesurables et leurs intégrales. Soit A une tribu sur un ensemble X.

D´efinition VII.5. Une fonction ϕ : X Ñ R est dite A-mesurable ou simplement mesurable si ϕ´1 B P A pour chaque B P B, où B est la tribu de Borel sur R. 178 i

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VII.1. Notions de théorie de la mesure

Afin d’introduire la notion d’intégrale d’une fonction mesurable, on considère d’abord la classe des fonctions étagées. La fonction caractéristique χB : X Ñ t0, 1u d’un ensemble B Ă X est définie par # 1 si x P B, χB pxq “ 0 si x R B.

D´efinition VII.6. Soient B1 , . . . , Bn P A et a1 , . . . , an P R. La fonction n ÿ

s“

ak χBk

k“1

est appelée une fonction étagée. On note que toutes les fonctions étagées sont mesurables. On introduit maintenant la notion d’intégrale d’une fonction mesurable positive.

D´efinition VII.7. Soit pX, μq un espace mesuré. On défini l’intégrale pde Lebesgueq d’une fonction mesurable ϕ : X Ñ R` 0 par ż ϕ dμ “ sup X

"ÿ n

ak μpBk q :

k“1

n ÿ

ak χBk

* ďϕ .

(VII.1)

k“1

L’intégrale d’une fonction arbitraire peut désormais être introduite comme suit.

D´efinition VII.8. Soit pX, μq un espace mesuré. On dit qu’une fonction mesurable ϕ : X Ñ R est μ-intégrable si ż ż ` ϕ dμ ă 8 et ϕ´ dμ ă 8, X

où

X

ϕ` “ maxtϕ, 0u

et ϕ´ “ maxt´ϕ, 0u.

On défini l’intégrale pde Lebesgueq d’une fonction μ-intégrable ϕ par ż ż ż ` ϕ dμ “ ϕ dμ ´ ϕ´ dμ. X

X

(VII.2)

(VII.3)

X

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Chapitre VII. Théorie ergodique

On rappelle, sans démonstration, deux résultats de base de théorie de l’intégration.

Th´eor`eme VII.9 (lemme de Fatou). Soit pX, μq un espace mesuré. Si ϕn : X Ñ R` 0 est une suite de fonctions mesurables, alors ż ż lim inf ϕn dμ ď lim inf ϕn dμ. X

nÑ8

nÑ8

X

Th´eor`eme VII.10 (th´eor`eme de convergence monotone). Soit pX, μq un espace mesuré. Si ϕn : X Ñ R` 0 est une suite non décroissante de fonctions mesurables, alors ż ż lim ϕn dμ “ lim ϕn dμ. X

nÑ8

nÑ8

X

VII.2. Mesures invariantes On introduit dans cette section la notion de mesure invariante par rapport à une application mesurable. On donne aussi quelques exemples de mesures invariantes. On introduit d’abord la notion d’application mesurable. Soit pX, A, μq un espace mesuré.

D´efinition VII.11. Une application f : X Ñ X est dite A-mesurable ou simplement mesurable si f ´1 B P A pour chaque B P A, où  ( f ´1 B “ x P X : f pxq P B . On introduit maintenant la notion de mesure invariante.

D´efinition VII.12. Soit f : X Ñ X une application mesurable. On dit que μ est invariante par f ou f -invariante et que f préserve μ si μpf ´1 Bq “ μpBq pour B P A.

(VII.4)

On remarque que lorsque f est une application inversible avec application réciproque mesurable, la condition (VII.4) est équivalente à μpf pBqq “ μpBq pour B P A. 180 i

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VII.2. Mesures invariantes

Exemple VII.13. Pour v P Rn , soit f : Rn Ñ Rn la translation f pxq “ x ` v. On note que f est inversible. On considère désormais la mesure de Lebesgue λ dans Rn . Pour chaque B P B, on a ż ż 1 dλ “ |det dx f | dmpxq λpf pBqq “ ż

f pBq

B

1 dλ “ λpBq

“ B

et la mesure λ est f -invariante. Autrement dit, les translations de Rn préservent la mesure de Lebesgue.

Exemple VII.14. Soit maintenant f : Rn Ñ Rn une rotation. Alors il existe une matrice orthogonale A de dimension pn, nq (cela signifie que A˚ A “ Id, où A˚ est la transposée de A) telle que f pxq “ Ax. Puisque les matrices orthogonales ont pour déterminant ˘1, pour chaque B P B, on a ż ż 1 dλ “ |det dx f | dλpxq λpf pBqq “ ż

f pBq

B

ż

|det A| dλ “

“ B

1 dλ “ λpBq, B

où λ est la mesure de Lebesgue dans Rn . Puisque les rotations sont inversibles, cela montre que λ est f -invariante et donc, les rotations de Rn préservent la mesure de Lebesgue.

Exemple VII.15. Considérons une rotation du cercle Rα : S 1 Ñ S 1 . Sans perte de généralité, on suppose que α P r0, 1s. On introduit d’abord une mesure μ dans S 1 . Pour chaque ensemble B Ă r0, 1s dans la tribu de Borel sur R, on définit μpBq “ λpBq.

(VII.5)

Alors μ est une mesure dans S 1 avec μpS 1 q “ 1. On a aussi Rα´1 B “ B ´ α, où  ( B ´ α “ x ´ α : x P B Ă R. Donc,

μpRα´1 Bq “ λpB ´ αq “ λpBq “ μpBq,

car la mesure de Lebesgue est invariante par translation (voir l’exemple VII.13). Cela montre que les rotations du cercle préservent la mesure μ. 181 i

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Chapitre VII. Théorie ergodique

Exemple VII.16. Pour l’application dilatante Em : S 1 Ñ S 1 , on montre que la mesure μ introduite dans l’exemple VII.15 est Em -invariante. Soit B Ă r0, 1s un ensemble dans la tribu de Borel sur R. On a m ď

´1 Em B“

Bi ,

(VII.6)

i“1

"

où Bi “

x`i :xPB m

* mod 1.

Puisque les ensembles Bi sont disjoints deux à deux, il résulte de (VII.6) que ´1 Bq μpEm

“ “

m ÿ

λpBi q

i“1 m ÿ

m ÿ λpB ` iq λpBq “ m m i“1 i“1

“ λpBq “ μpBq et la mesure μ est Em -invariante.

Exemple VII.17. L’application de Gauss f : r0, 1s Ñ r0, 1s est définie par # 1{x mod 1 si x ‰ 0, f pxq “ 0 si x “ 0. Elle est étroitement liée à la théorie des fractions continues : si 1

x“ n1 `

1 n2 ` . . .

est la fraction continue d’un nombre irrationnel x P s0, 1r, alors nj “

Y

1 f j´1 pxq

]

pour j P N.

On montre maintenant que l’application de Gauss préserve la mesure μ dans r0, 1s définie par ż 1 dx. μpAq “ A 1`x 182 i

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VII.3. Récurrence non triviale

On remarque qu’il suffit de considérer les intervalles de la forme s0, br, avec b P s0, 1r (car ils engendrent la tribu de Borel). Puisque f ´1 s0, br “

8 ı ď 1” 1 , n`b n n“1

est une union disjointe, on obtient μpf

´1

8 ´ı 1 ÿ 1 ”¯ , s0, brq “ μ n`b n n“1 8 ż 1{n ÿ 1 dx “ 1 ` x n“1 1{pn`bq

“ “

8 ÿ

log

n“1 8 ˆ ÿ n“1

1 ` 1{n 1 ` 1{pn ` bq

n n`1 ´ log log n`1`b n`b

˙

1 “ ´ log 1`b żb 1 dx “ μps0, brq “ 0 1`x et la mesure μ est f -invariante.

VII.3. Récurrence non triviale On montre dans cette section que toute mesure invariante finie donne lieu à une récurrence non triviale. Plus précisément, pour une mesure invariante finie, presque tous les points d’un ensemble donné retournent une infinité de fois à cet ensemble.

Th´eor`eme VII.18 (th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e). Soit f : X Ñ X une application mesurable et soit μ une mesure f -invariante finie dans X. Pour chaque ensemble A P A, on a (˘ ` μ x P A : f n pxq P A pour une infinité d’entiers n “ μpAq. Démonstration. Soit

(  B “ x P A : f n pxq P A pour une infinité d’entiers n . 183

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Chapitre VII. Théorie ergodique

On a B “AX

8 č

An “ Az

n“1

où An “

8 ď

pAzAn q,

(VII.7)

n“1 8 ď

f ´k A.

k“n

On remarque que

AzAn Ă A0 zAn “ A0 zf ´n A0 .

(VII.8)

Puisque A0 Ą An “ f ´n A0 et que la mesure μ est finie, il résulte de (VII.8) que 0 ď μpAzAn q ď μpA0 zf ´n A0 q “ μpA0 q ´ μpf ´n A0 q “ 0 (car la mesure μ est f -invariante). Donc, il résulte de (VII.7) que μpBq “ μpAq. On décrit maintenant certaines applications du théorème VII.18.

Exemple VII.19. Soit Rα : S 1 Ñ S 1 une rotation. Par l’exemple VII.15, la mesure μ dans S 1 définie par (VII.5) est Rα -invariante. Il résulte du théorème VII.18 que, pour chaque c P r0, 1s, l’ensemble (  x P r´c, cs : |Rαn pxq| ď c pour une infinité d’entiers n a pour mesure μpr´c, csq “ 2c. Autrement dit, presque tous les points de r´c, cs retournent une infinité de fois dans r´c, cs. On note que la propriété établie dans l’exemple VII.19 est triviale pour α P Q. Lorsque α P RzQ, elle résulte également de la densité des orbites de la rotation Rα .

Exemple VII.20. Considérons l’application dilatante Em : S 1 Ñ S 1 . Par l’exemple VII.16, la mesure μ dans S 1 définie par (VII.5) est Em -invariante. Alors, il résulte du théorème VII.18 que pour chaque intervalle ra, bs Ă r0, 1s, l’ensemble (  n pxq P ra, bs pour une infinité d’entiers n x P ra, bs : Em a pour mesure μpra, bsq “ b ´ a.

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VII.4. Le théorème ergodique

VII.4. Le théorème ergodique Le théorème de récurrence de Poincaré (théorème VII.18) montre que pour une mesure invariante finie, presque tous les points d’un ensemble donné retournent une infinité de fois dans cet ensemble. Toutefois, le théorème ne dit rien sur la fréquence avec laquelle ces retours se produisent. Le théorème ergodique de Birkhoff établit l’existence d’une fréquence pour presque tous les points.

Th´eor`eme VII.21 (th´eor`eme ergodique de Birkhoff). Soit f : X Ñ X une application mesurable et soit μ une mesure f -invariante finie dans X. Pour chaque fonction μ-intégrable ϕ : X Ñ R, la limite n´1 1 ÿ ϕpf k pxqq nÑ8 n k“0

ϕf pxq “ lim

(VII.9)

existe pour presque tout x P X, la fonction ϕf est μ-intégrable et ż

ż ϕf dμ “ X

ϕ dμ.

(VII.10)

X

Démonstration. On établit d’abord un résultat auxiliaire.

Lemme VII.22. Soit ψ : X Ñ R une fonction μ-intégrable. Alors ψ ˝ f est μintégrable et ż ż pψ ˝ f q dμ “ ψ dμ. X

X

Démonstration du lemme. Soit B P A. La condition (VII.4) est équivalente à

ż

ż χf ´1 B dμ “ X

ou

χB dμ, X

ż

ż pχB ˝ f q dμ “ X

χB dμ,

(VII.11)

X

car χB ˝ f “ χf ´1 B . Pour une fonction étagée s“

n ÿ

ak χBk ,

k“1

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Chapitre VII. Théorie ergodique

il résulte de (VII.11) que

ż

ż ps ˝ f q dμ “ X

(VII.12)

s dμ. X

Puisque ψ “ ψ ` ´ ψ ´ et ψ ` , ψ ´ ě 0, il résulte de (VII.3) qu’il suffit d’établir le résultat pour les fonctions non négatives. Soit alors ψ : X Ñ R` 0 une fonction μ-intégrable. Par la définition de l’intégrale dans le (VII.1), il existe une suite de fonctions étagées psn qnPN telles que : 1. 0 ď sn ď sn`1 ď ψ pour n P N, avec lim sn pxq “ ψpxq pour x P X;

nÑ8

ż

ż

2.

sn dμ “

lim

nÑ8

X

ψ dμ.

(VII.13)

X

Il résulte du lemme de Fatou (théorème VII.9) et de (VII.12) que ż ż lim psn ˝ f q dμ ď lim inf psn ˝ f q dμ nÑ8 nÑ8 X żX sn dμ “ lim inf nÑ8 X ż sn dμ “ lim nÑ8 X ż ψ dμ ă 8. “ X

Donc, la fonction lim psn ˝ f q “ ψ ˝ f

nÑ8

est μ-intégrable. Puisque sn ˝ f Õ ψ ˝ f lorsque n Ñ 8, il résulte du théorème de convergence monotone (théorème VII.10) que la limite ż ż ż psn ˝ f q dμ “ lim psn ˝ f q dμ “ pψ ˝ f q dμ (VII.14) lim nÑ8

X

X

nÑ8

X

existe. Enfin, il résulte de (VII.13), (VII.14) et (VII.12) que ż ż pψ ˝ f q dμ “ lim psn ˝ f q dμ nÑ8 X X ż ż sn dμ “ ψ dμ. “ lim nÑ8

X

X

Cela complète la démonstration du lemme. 186 i

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VII.4. Le théorème ergodique

Considérons maintenant l’ensemble * " n´1 ÿ k ϕpf pxqq ą 0 . A “ x P X : sup

Lemme VII.23.

ş

nPN k“0 A ϕ dμ

ě 0.

Démonstration du lemme. Les fonctions s0 pxq “ 0 et

sn pxq “

n´1 ÿ

ϕpf k pxqq,

pour n P N,

k“0

satisfont l’identité sn pf pxqq “ sn`1 pxq ´ ϕpxq.

(VII.15)

Soient désormais  ( tn pxq “ max s1 pxq, . . . , sn pxq

et rn pxq “ maxt0, tn pxqu.

Il résulte de (VII.15) que rn pf pxqq “ tn`1 pxq ´ ϕpxq. Sur l’ensemble

(VII.16)

 ( An “ x P X : tn pxq ą 0 ,

on a tn pxq “ rn pxq et donc,

ż

ż tn`1 dμ ě An

tn dμ ż

An

ż

An

“

rn dμ

“

rn dμ. X

On a aussi

ż

ż rn dμ ď An

rn dμ. X

Il résulte de (VII.16) et du lemme VII.22 que ż ż ż ϕ dμ ě tn`1 dμ ´ rn dμ An An An ż ż rn dμ ´ prn ˝ f q dμ “ 0. ě X

(VII.17)

X

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Chapitre VII. Théorie ergodique

On note maintenant que An Ă An`1 pourş chaque n P N et lorsque n Ñ 8 dans (VII.17), on obtient A ϕ dμ ě 0.

Ť8

n“1 An

“ A. Donc,

On procède désormais à la démonstration du théorème. Soient a, b P Q avec a ă b. On considère l’ensemble " * n´1 n´1 1 ÿ 1 ÿ k k ϕpf pxqq ă a ă b ă lim sup ϕpf pxqq B “ Ba,b “ x P X : lim inf nÑ8 n nÑ8 n k“0 k“0 #

et la fonction ψpxq “

ϕpxq ´ b si x P B, 0 si x R B.

Il résulte du lemme VII.23 que ż ψ dμ ě 0,

(VII.18)

Aψ

où " * n´1 1 ÿ k ψpf pxqq ą 0 Aψ “ x P X : sup nPN n k“0 * " n´1 1 ÿ k ϕpf pxqq ą b . “ x P X : sup nPN n k“0 On remarque que Aψ Ą B. Puisque f ´1 B “ B, on a aussi n´1 ÿ

ψpf k pxqq “ 0 pour x R B,

k“0

c’est-à-dire XzB Ă XzAψ . Cela montre que Aψ “ B et donc l’inégalité (VII.18) est équivalente à ż ϕ dμ ě bμpBq. (VII.19) B

De manière analogue, en considérant la fonction # a ´ ϕpxq si x P B, ¯ ψpxq “ 0 si x R B, on peut montrer que

ż ϕ dμ ď aμpBq.

(VII.20)

B

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VII.4. Le théorème ergodique

Puisque a ă b, il résulte de (VII.19) et (VII.20) que μpBa,b q “ μpBq “ 0. En outre, puisque l’union des ensembles Ba,b pour a, b P Q avec a ă b est l’ensemble des points x P X tels que lim inf nÑ8

n´1 n´1 1 ÿ 1 ÿ ϕpf k pxqq ă lim sup ϕpf k pxqq, n k“0 nÑ8 n k“0

on conclut que la limite ϕf pxq dans (VII.9) existe pour presque tout x P X. Il reste à établir l’intégrabilité de la fonction ϕf et l’identité (VII.10). On écrit ϕ “ ϕ` ´ ϕ´ , avec ϕ` et ϕ´ comme dans (VII.2). Puisque les fonctions ϕ` et ϕ´ sont μ-intégrables, il résulte de l’argument précédent que les limites n´1 1 ÿ ` k ϕ pf pxqq nÑ8 n k“0

ϕ` f pxq “ lim et

n´1 1 ÿ ´ k ϕ pf pxqq nÑ8 n k“0

ϕ´ f pxq “ lim

existent pour presque tout x P X. On peut maintenant utiliser le lemme de Fatou (théorème VII.9) et le lemme VII.22 pour conclure que ż n´1 1 ÿ ` ϕ` dμ ď lim inf pϕ ˝ f k q dμ f nÑ8 n X k“0 ż ż n´1 1 ÿ ` ϕ dμ “ ϕ` dμ ă 8 “ lim inf nÑ8 n X X k“0 et de manière analogue,

ż

ϕ´ f

ż dμ ď

X

ϕ` f

ϕ´ dμ ă 8.

X

ϕ´ f

et sont μ-intégrables et ϕf est aussi μ-intégrable. Donc, les fonctions Enfin, pour chaque a, b P Q avec a ă b, on considère l’ensemble  ( Da,b “ x P X : a ď ϕf pxq ď b . On peut répéter l’argument précédant pour montrer que ż ϕ dμ ď bμpDa,b q. aμpDa,b q ď Da,b

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Chapitre VII. Théorie ergodique

On a également

ż aμpDa,b q ď

ϕf dμ ď bμpDa,b q Da,b

et

ż   

ż ϕf dμ ´ Da,b

Da,b

  ϕ dμ ď pb ´ aqμpDa,b q.

Donc, pour chaque r ą 0, on obtient  ÿ ż  ż ż ż        ϕf dμ ´ ϕ dμ ď ϕf dμ ´ ϕ dμ   X X En En nPZ ÿ rμpEn q “ r, ď nPZ

où En “ Dnr,pn`1qr . Lorsque r Ñ 0, on conclut que

ş X

ϕf dμ “

ş X

ϕ dμ.

Exemple VII.24. Soit f : X Ñ X une application mesurable et soit μ une mesure f -invariante finie dans X. Pour chaque ensemble B P A, on considère la fonction μ-intégrable ϕ “ χB . Alors ż ż ϕ dμ “ χB dμ “ μpBq X

X

et n´1 1 ÿ χB pf k pxqq ϕf pxq “ lim nÑ8 n k“0  ( 1 “ lim card k P t0, . . . , n ´ 1u : f k pxq P B . nÑ8 n Il résulte du théorème VII.21 que ż  ( 1 lim card k P t0, . . . , n ´ 1u : f k pxq P B dμpxq “ μpBq. nÑ8 n X

Dans ce cas, le nombre ϕf pxq peut être décrit comme la fréquence avec laquelle l’orbite de x visite l’ensemble B. Donc, contrairement à ce qui se passe dans le théorème de récurrence de Poincaré (théorème VII.18), le théorème ergodique de Birkhoff décrit en termes quantitatifs comment chaque orbite retourne dans l’ensemble B.

VII.5. Exposants de Lyapunov On considère brièvement dans cette section la notion d’exposant de Lyapunov et sa relation avec le théorème ergodique de Birkhoff. Soit f : M Ñ M une application différentiable. 190 i

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VII.5. Exposants de Lyapunov

D´efinition VII.25. Soient x P M et v P Tx M . L’exposant de Lyapunov de la paire px, vq est défini par 1 logdx f n v. n

λpx, vq “ lim sup nÑ8

Exemple VII.26. Soit Λ Ă M un ensemble hyperbolique pour un difféomorphisme f : M Ñ M . Il résulte de (IV.3) que pour x P Λ et v P E s pxq, on a λpx, vq ď lim sup nÑ8

` ˘ 1 log cλn v “ log λ ă 0. n

De manière analogue, il résulte de (IV.4) que pour x P Λ et v P E u pxq, on a 1 dx f n v ě λ´n v c et donc, λpx, vq ě lim sup nÑ8

1 log n

ˆ

˙ 1 ´n λ v “ ´ log λ ą 0. c

Exemple VII.27. Soit M une variété de dimension 1. Alors l’application linéaire dx f est simplement un nombre réel et il résulte de l’identité dx f n “ df n´1 pxq f ˝ . . . ˝ df pxq f ˝ dx f que dx f n  “

n´1 ź

df k pxq f .

k“0

Alors, n´1 n´1 1 ÿ 1 ÿ 1 n logdx f  “ logdf k pxq f  “ ϕpf k pxqq, n n k“0 n k“0

(VII.21)

où ϕpxq “ logdx f . On obtient maintenant une borne supérieure pour les exposants de Lyapunov.

Proposition VII.28. Si f : M Ñ M est une application différentiable, alors λpx, vq ď lim

nÑ8

1 log sup dx f n . n xPM

(VII.22)

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Chapitre VII. Théorie ergodique Démonstration. On montre d’abord que la limite dans le second membre

de (VII.22) existe. On a dx f n`m “ df n pxq f m ˝ dx f n et donc, dx f n`m  ď df n pxq f m  ¨ dx f n . Soit désormais an “ sup dx f n . xPM

On a am`n ď am an et il résulte du lemme II.40 que la limite dans le second membre de (VII.22) existe. En outre, 1 logpdx f n  ¨ vq nÑ8 n 1 “ lim sup logdx f n  nÑ8 n 1 ď lim log an , nÑ8 n

λpx, vq ď lim sup

ce qui donne le résultat souhaité. Enfin, on considère le cas particulier des applications du cercle et leur relation avec le théorème ergodique de Birkhoff.

Th´eor`eme VII.29. Soit f : S 1 Ñ S 1 une application de classe C 1 et soit μ une mesure f -invariante finie dans S 1 . Alors λpx, vq est une limite pour presque tout x, c’est-à-dire n´1 1 ÿ ϕpf k pxqq λpx, vq “ lim nÑ8 n k“0 pour presque tout x P S 1 et tout v ‰ 0, où ϕpxq “ logdx f . Démonstration. Puisque le cercle S 1 est de dimension 1, on a

dx f n v “ dx f n  ¨ v et donc, λpx, vq “ lim sup nÑ8

1 logdx f n  n

pour v ‰ 0. En utilisant l’identité (VII.21), on obtient λpx, vq “ lim sup nÑ8

n´1 1 ÿ ϕpf k pxqq n k“0

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VII.6. Entropie métrique

pour v ‰ 0. Le résultat souhaité est maintenant une conséquence immédiate du théorème ergodique de Birkhoff (théorème VII.21).

VII.6. Entropie métrique On considère brièvement dans cette section la notion d’entropie métrique par rapport à une mesure invariante. On souligne que l’on ne présente qu’une version (très) simplifiée de la théorie. On introduit d’abord la notion de partition. Soit pX, A, μq un espace mesuré avec μpXq “ 1.

D´efinition VII.30. Un ensemble fini ξ Ă A est appelé une partition de X (par rapport à μ) si : ˘ `Ť 1. μ CPξ C “ 1 ; 2. μpC X Dq “ 0 pour tous C, D P ξ avec C ‰ D. Soit maintenant f : X Ñ X une application mesurable que préserve μ. Pour n P N et ξ une partition de X, on construit une nouvelle partition ξn formée par les ensembles C1 X f ´1 C2 X . . . X f ´pn´1q Cn , avec C1 , . . . , Cn P ξ.

D´efinition VII.31. On définit hμ pf, ξq “ inf ´ nPN

1 ÿ μpCq log μpCq, n CPξ n

avec la convention que 0 log 0 “ 0.

Exemple VII.32. Soit f “ Id. Si ξ est une partition de X, alors ξn “ ξ pour tout n P N. Donc, 1 ÿ μpCq log μpCq “ 0. hμ pf, ξq “ inf ´ nPN n CPξ

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Chapitre VII. Théorie ergodique

Exemple VII.33. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 et la mesure E2 -invariante μ définie par (VII.5). Soient n P N et la partition  ( ξ “ r0, 1{2s, r1{2, 1s . On a ξn “

"”

* i i ` 1ı n , : i “ 0, . . . , 2 ´ 1 2n 2n

et hμ pE2 , ξq “ inf ´ nPN

1 ÿ μpCq log μpCq n CPξ n

1 1 1 “ inf ´ ¨ 2n ¨ n log n “ log 2. nPN n 2 2 Enfin, on introduit la notion d’entropie métrique.

D´efinition VII.34. L’entropie métrique de f par rapport à μ est définie par hμ pf q “ sup hμ pf, ξ pnq q, nPN

où ξ pnq est une suite croissante de partitions qui converge vers la tribu A : 1. pour chaque n P N et C P ξ pnq , il existe C1 , . . . , Cm P ξ pn`1q tels que ˙ ˙ ˆď ˆ ď m m Ci “ μ Ci zC “ 0 ; μ Cz i“1

i“1

2. l’union de toutes les partitions ξ pnq engendre la tribu A. On peut montrer que la définition de hμ pf q ne dépend pas de la suite ξ pnq .

Exemple VII.35. Soit Rα : S 1 Ñ S 1 une rotation du cercle et soit μ la mesure Rα -invariante définie par (VII.5). Pour n P N et une partition ξ de X par des intervalles, on a (VII.23) card ξn ď n card ξ, car les extrémités des intervalles dans les préimages f ´i ξ, pour i “ 0, . . . , n ´ 1, déterminent au plus n card ξ points en S 1 . On note maintenant que ÿ ÿ μpCq log μpCq “ ϕpμpCqq, ´ CPξn

CPξn

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VII.6. Entropie métrique

où ϕpxq “

$ &´x log x si x P s0, 1s, %0

si x “ 0.

Puisque ϕ2 pxq “ ´1{x ă 0 pour x P s0, 1r, la fonction ϕ est strictement concave et donc, ÿ

´

μpCq log μpCq “

CPξn

ÿ CPξn

˜

ďϕ ˆ “ϕ

1 ϕpμpCqq card ξn card ξn ÿ

CPξn

¸ μpCq card ξn ˙

1 card ξn

“ ´ log

card ξn

card ξn

1 “ log card ξn . card ξn

Alors, il résulte de (VII.23) que 1 log card ξn nPN n

hμ pf, ξq ď inf

1 logpn card ξq “ 0 nPN n

ď inf et hμ pf q “ 0.

Exemple VII.36. Considérons l’application dilatante E2 : S 1 Ñ S 1 et la mesure E2 -invariante μ définie par (VII.5). On procède de manière analogue que pour l’exemple VII.33. Soit n P N et considérons la partition ξ

pmq

"„ “

* j i i`1 m , : i “ 0, . . . , 2 ´ 1 . 2m 2m

Pour chaque m, n P N, on obtient ξnpmq

"„ “

i

i`1

j

, : i “ 0, . . . , 2 2m`n´1 2m`n´1

m`n´1

* ´ 1 “ ξ pm`n´1q . 195

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Chapitre VII. Théorie ergodique

Donc, hμ pE2 , ξ pmq q “ inf ´ nPN

1 ÿ μpCq log μpCq n pmq CPξn

1 “ inf ´ nPN n

ÿ

μpCq log μpCq

CPξ pm`n´1q

1 m`n´1 1 1 ¨2 ¨ m`n´1 log m`n´1 n 2 2 m`n´1 log 2 “ log 2. “ inf nPN n “ inf ´ nPN

Puisque les partitions ξ pmq satisfont les hypothèses de la définition VII.34, on conclut que hμ pf q “ sup hμ pf, ξ pmq q “ log 2. mPN

VII.7. Exercices Exercice VII.1. Pour une tribu A, montrer que si Bn P A pour n P N, alors Ş8 n“1 Bn P A. Exercice VII.2. Montrer que la tribu de Borel sur R coïncide avec la tribu engendrée par les ensembles fermés dans R. Exercice VII.3. Pour un espace mesuré pX, A, μq, montrer que : 1. si les ensembles Bn P A satisfont Bn Ă Bn`1 pour tout n P N, alors μ

ˆď 8

˙ Bn

n“1

“ lim μpBn q “ sup μpBn q ; nÑ8

nPN

2. si les ensembles Bn P A satisfont Bn Ą Bn`1 pour tout n P N et μpB1 q ă 8, alors ˙ ˆč 8 Bn “ lim μpBn q “ inf μpBn q. μ n“1

nÑ8

nPN

Exercice VII.4. Soit X un ensemble. Pour chaque p P X, on définit # 1 si p P B, δp pBq “ 0 si p R B

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Exercices

pour B Ă X. Montrer que : 1. δp est une mesure dans la tribu de tous les sous-ensembles de X ; 2. toute fonction ϕ : X Ñ R est mesurable ; 3. toute fonction ϕ : X Ñ R est δp -intégrable et ż ϕ dδp “ ϕppq. X

Exercice VII.5. Vérifier que toute translation d’un ensemble dans la tribu de Borel B sur R est encore dans B. Exercice VII.6. Montrer que : 1. toute fonction continue ϕ : R Ñ R est B-mesurable ; 2. toute fonction monotone ϕ : R Ñ R est B-mesurable.

Exercice VII.7. Montrer qu’une fonction ϕ : R Ñ R est B-mesurable si et seulement si  ( x P R : ϕpxq ą α P B pour α P R. Exercice VII.8. Montrer que la somme et le produit de fonctions mesurables sont des fonctions mesurables. Suggestion : utiliser l’exercice VII.7. Exercice VII.9. Montrer que la borne supérieure et la limite d’une suite ϕn : R Ñ R de fonctions mesurables sont des fonctions mesurables. Suggestion : on a * č " (  x P R : ϕn pxq ď α x P R : sup ϕn pxq ď α “ nPN

et

nPN

* č ď č "  ( x P R : ϕm pxq ď α ` 2´k . x P R : lim ϕn pxq ď α “ nÑ8

kPN nPN měn

Exercice VII.10. Montrer qu’une fonction mesurable ϕ est intégrable si et seulement si |ϕ| est intégrable. Exercice VII.11. Montrer que si la fonction ϕ : X Ñ R est μ-intégrable, alors  ż ż    ϕ dμ ď |ϕ| dμ.  X

X

Exercice VII.12. Soit f l’application de Gauss. Montrer qu’un point x P r0, 1s est rationnel si et seulement si f m pxq “ 0 pour un certain m P N. Exercice VII.13. Soit f : Rn Ñ Rn un difféomorphisme de classe C 1 . Montrer que f préserve la mesure de Lebesgue si et seulement si |det dx f | “ 1 pour tout x P Rn . 197 i

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Chapitre VII. Théorie ergodique

Exercice VII.14. Vérifier que le théorème de récurrence de Poincaré ne peut être généralisé aux espaces mesurés infinis. Exercice VII.15. Soit f : X Ñ X une application mesurable et soit μ une mesure f -invariante finie dans X. Montrer que si la fonction ϕ : X Ñ R est μ-intégrable, alors ϕpf n pxqq “0 lim nÑ8 n pour presque tout x P X. Exercice VII.16. Soit f : X Ñ X une application mesurable qui préserve une mesure μ dans X avec μpXq “ 1. Montrer que si ξ est une partition de X, alors hμ pf, ξq ď log card ξ. Exercice VII.17. Calculer l’entropie métrique de l’application dilatante Em par rapport à la mesure Em -invariante μ définie par (VII.5). Exercice VII.18. Montrer que tout automorphisme du tore Tn préserve la mesure induite dans Tn par la mesure de Lebesgue λ dans Rn . Exercice VII.19. Montrer que tout endomorphisme du tore Tn préserve la mesure induite dans Tn par la mesure de Lebesgue λ dans Rn . ř Exercice VII.20. Soient p1 , . . . , pk ą 0 tels que ki“1 pi “ 1. On considère la mesure μ dans Σ` k définie par μpCi1 ...in q “ pi1 . . . pin pour chaque ensemble Ci1 ...in dans (VI.5). Montrer que : 1. μ est σ-invariante et μpΣ` k q “ 1; řk 2. hμ pσq “ ´ i“1 pi log pi .

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BIBLIOGRAPHIE

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Théorie des Systèmes Dynamiques

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INDEX

Symbols

B

Cpn, εq, 43 Em , 5 M pn, εq, 43 N pn, εq, 39 Rα , 3 S1, 3 TA , 7 rx, ys, 131 ΣA , 161 Σ` A , 160 Σk , 152 Σ` k , 149 Tn , 6 γpxq, 18 γ ` pxq, 17, 19 γ ´ pxq, 17, 19 σ, 149, 153 ζpzq, 171 dn px, yq, 39 hpf q, 39

basse dimension, 55

A application de Gauss, 182 de l’intervalle, 72 de Poincaré, 15 dilatante, 5, 154 expansive, 47 mesurable, 180 quadratique, 47, 73, 157 automorphisme du tore, 7 hyperbolique, 106

C cercle, 3 difféomorphisme, 68 homéomorphisme, 55, 58, 82 rotation, 3 chaîne de Markov topologique, 160, 161 codage, 153 cône, 96–98 conjugaison topologique, 41 locale, 110 D décalage, 149, 153 demi-plan de Poincaré, 134 difféomorphisme d’Anosov, 105 du cercle, 68 distance hyperbolique, 135 dynamique hyperbolique, 85, 109 symbolique, 149 topologique, 23 E endomorphisme du tore, 7 ensemble α-limite, 25, 31 ω-limite, 25, 30

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Théorie des Systèmes Dynamiques

de Cantor, 17 hyperbolique, 85, 86, 143 invariant, 16, 19 localement maximal, 132 négativement invariant, 17 positivement invariant, 17 entropie métrique, 193, 194 topologique, 39, 151, 164 équation différentielle, 9, 15 espace instable, 86, 92, 144 mesuré, 178 stable, 86, 92, 144 exposant de Lyapunov, 190 F fer à cheval de Smale, 87, 89 codage, 159 flot, 2 géodésique, 134, 141, 142 hyperbolique, 143 suspension, 14 topologique, 24 fonction caractéristique, 179 étagée, 179 intégrable, 179 lipschitzienne, 24 mesurable, 178 variation bornée, 68 zêta, 171 G genre, 139 géométrie hyperbolique, 134 H hauteur, 14 homéomorphisme du cercle, 55 préservant l’orientation, 58 renversant l’orientation, 82

I instable espace, 86, 92 variété, 127, 128, 146 intégrale, 179 intervalle maximal, 69 translation, 4 invariant ensemble, 16, 19 topologique, 41 isométrie, 135 L lemme de Fatou, 180 localement maximal, 132 longueur, 134 M matrice de transition, 160, 161 irréductible, 165 transitive, 165 mélange topologique, 36, 165 mesurable application, 180 fonction, 178 mesure, 178 de Lebesgue, 178 invariante, 180 N nombre de rotation, 59, 61 irrationnel, 64 rationnel, 61 O orbite, 18, 20 P partition, 193

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Index

période, 4 Poincaré application, 15 section, 14, 15 point critique, 80 fixe hyperbolique, 109 périodique, 4, 61, 72, 162 récurrent, 34 propriété de Markov, 170 R récurrence, 183 relèvement, 56 rotation du cercle, 3 S section de Poincaré, 14, 15 semi-flot, 2 suspension, 14 topologique, 24 semi-orbite négative, 18, 20 positive, 17, 19 solénoïde, 108 sous-décalage de type fini, 160, 161 stable espace, 86, 92 variété, 127, 128, 146 structure produit locale, 131 suspension flot, 14 semi-flot, 14 système dynamique, 3 à temps continu, 2 à temps discret, 1

basse dimension, 55 topologique, 23, 24 T temps continu, 2 de premier retour, 14 discret, 1 théorie de la mesure, 177 ergodique, 177 théorème de convergence monotone, 180 de Denjoy, 69 de Grobman-Hartman, 109, 110 de Hadamard-Perron, 117, 118 de Poincaré, 68 de Poincaré-Bendixson, 80 de récurrence de Poincaré, 183 de Sharkovsky, 75 ergodique de Birkhoff, 185 topologiquement mélangeante, 36, 165 transitive, 35, 165 tore, 6 automorphisme, 7 endomorphisme, 7 transitivité topologique, 34, 165 translation de l’intervalle, 4 tribu, 177 V variation bornée, 68 variété instable, 127, 128, 146 stable, 127, 128, 146

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