Theoretische Physik: eine Einführung in die mathematische Naturbeschreibung, 1. Mechanik. - 1. [3 ed.] 3891045121

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Vorwort

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INHALTSVERZEICHNIS

ZU!' 2. l.u_flage

Angesichts der freundlichen Aufnahme, die dieses Buch gefunden hat, hat si ch -so relativ kurz nach dem Er scheinen der 1. Auflage- eine grundlegende inhaltliche und methodische Oberarbeitung er übrigt . So konnte i ch mich im wesentlichen darauf beschränken, ein e Reihe von Satzfehlern in Text und Formeln zu korrigieren, einige mißverständliche Formulierungen zu verbessern und eine Unvollständigkeit im axiomatischen Aufbau der Theori e zu beheben. Vielen -mei st studentischen- Leser n habe ich für Hinweise auf Druckfehl er zu danken, besonders aber den Herren G. Ackenrann, Aachen und Dr. F. Kuypel's, Endingen, di e mich auf sachliche Unzulänglichkeiten aufmerksamge-

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macht haben. 1

Frankfurt am Main , im Jul i 1986 Rainez• J . Jelitto

Vor wort eui• 3 . Aufiage

Auch bei der Vorbereitu ng der 3. Auflage konnte ich mich auf die Korrekt ur einiger Fehler in Text und Formeln beschränken, auf die mich meine Leser i n der Zwischenzeit aufmerksam gemacht hat ten. Ihnen sei hierfür herzlich gedankt!

'1 ~

i

Frankfurt am Main, im Januar 1991 Raine!' J . Jelitto

Einleitung und Vorbemerkungenzu einigen wichtigen Konzepten . .... . ... .. ... ... ... . . . . 1. 1 ZumRaumbegriff ... .. . .. . ......... 1.2 Zur Struktur des euklidischen Raumes 1.3 Die Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . .. . . . . . . . . 1.4 Zuordnungen und Funkt i onen . . . . . . . . . . .. ... . . . .. . . .. . ...... 1. 4 . l Fahrpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 4. 2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Zahlenfolgen und Konvergenz . . .. . . . . ... . ... ... . . . . . l. 4.4 Stet igkei t einer Funktion . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. 1. 4.5 Differenzierbarkeit und Geschwindigkeit .. .. ... . . .. 1.4.6 Die Beschleuni gung .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . . .. . . . .. .. .. 1. 5 Zur Frage der Xquival enz verschiedener Darstellungen . ...... . l.5.1 Elementare Abhängigkeiten ................. ~/echsel und nen" enfunktio "Zahl von kehrbarkeit Um 2 1.5. der unabhängigen Variable . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1.5.2 Freie Wahlder unabhängigen Variable 2. Vektorrech nung und Kinematik des Massenpunktes im Raum . ..... .. . .. . .. .. . ... ..... ... ......... 2 . 1 Vektora l gebra ... ............ n Ortsvektore 2.1.l Punkte im euklidischen Raumund 2. 1. 2 Allgemeine Vektoren und linear e Vektorräume . . .. . . . 2. 1. 3 Das Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . ... . . . . .. . .. 2.1.4 Lineare Unabhängigkeit, Dimensionund kartesische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 1.4.1 Lineare Unabhängigkeit und Dimension eines Vektorraums 2. 1.4.2 Orthonormale Basen und kartes i sche .. .. .. . .. . Koordinatens yst eme ............. ten Komponen in Rechnen Das 2. 1.4.3

l.

1

2 4 6

7

7 8 12

14 16 19 19 19 22

26 31 31 31 35 36

40 41

43 45

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3.

2 . 1. 5 Vekt orprodukte ... . .... . .. . . . .... , ....... . ....... . 2.1.5.l Das Kreuzprodukt ... . ...... .. .... ..... .. . 2. 1. 5.2 Mehrfache Kreuzprodukte .... .. .. ..... .. . . 2.1.5.3 Das Spatprod ukt .. ... . ....... .... .. .... .. 2 .2 Vektoranalysis 1: Kurven und Bahnen ... .... .... .. .. . . .. . . 2.2.1 Zur Begriffsbes t immung .......... ... . . ..... . ..... . 2.2.2 Cifferentiationsprozesse . .... . ..... ..... . ..... . . . 2.2.2.J Di ffer ent i ation e iner Bahn nach einem Parameter ... . ...... ..... ......... . 2.2. 2.2 Differentiat i on von Produkten . ........ .. 2.2. 2.3 Geschwindigkeit und Beschleunigung .. ... . 2.2.3 Integrationen mit Vektoren .. .... . ............. .. . 2. 2. 3.1 Integratio n von Bahnen . .. . ... . . . ..... . . . 2.2.3.2 Die Kurvenlänge . .... .... ... .... . .... .. .. 2. 2.4 Das begl ei te nde Dreibe in .... . . .. . .............. .. 2.2 . 4.1 Der Tangentenvektor . . .. . ..... .... .... .. . 2.2 .4.2 Norma 1-e und Binorma1e . .... ... .. ........ . 2.2 . 4. 3 Die Frenetschen Formel n .. .. ........ .. . .. 2.2.5 Beispiele 2. 2.5 .1 Die Krei s l inie ... .... .... .... .. ...... .. . 2.2.5.2 Die Schraubenlinie .. .. .... ..... . ...... .. 2.2.5.3 Die gl eic hmäßi ge Bewegung auf dem Kreise 2.2.5.4 Die Tangential- und die Normalbeschleu nigung ....... . ... . ......... .. .. . 2.3 Felder 2.3.1 Stetigkeit und Oifferenz i erbarkeit von Feldern .. . 2.3.1. 1 St et ig kei t . .. . . ...... . .... .. . .. ... .... .. 2.3.l.2 Differenz ie rbarkeit ... ... ..... ... ...... . 2. 3. 1. 3 Heuristisc hes über Mannigfalti gkeit en im Raum 2.3. 1.4 Der Begriff des Differen ti al s . ..... . . . . . 2.3 .2 Di f ferentia l formen und Kurveni nt egrale ... . .. . . . . . 2.3 .2. 1 Totale Differentiale und Dif ferential formen . . . ... ... . . . . .. . .. .. . .... ... ... .. . 2.3.2.2 Kurvenintegrale Gr undle gung der Newtonschen Mechanik .. . . ... . . . . . . ... ... ... .. . 3.1 Ober Axiomeund Prinzipien ......... .. ...... ... .... .. .. ..

46

46 50 52 53 53 56 56

56 57 58 58 58 62 62 63 64 66 66

68 70

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72 74 79 84 89 89 92 96 96

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3. 2 Die Newtonscne Formulie rung der Pr in zi pien der Mechani k 3.3 Analyse und Konkretisierung von Newtons Aussagen . . . .. .... . 3. 3.1 Analyse der Aussagen 1 .. . . . ..... . . ... . .. . ...... . ... 3.3 . 2 Bewegte Bezugssysteme . .... . . . . .. .. . . . .. .... . .... ... 3. 3. 3 Analyse der Aussagen II . .. ..... ... .. . . .. ... ... .... . 3.4 Zusamm enst ellu ng der Prinz ipi en der Mechani k . .. . . ..... . . .. 3 . 5 Das Grundproblemder Mechanik .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. 4. Fundamental e Begriffe und Konzept e der Mechani k . . ... ... .... . ... 4.1 Abgeschlossene und offe ne Systeme .. . . .... ... .. . . ... .. ..... 4 . 2 Arbei t , Lei st ung, Ener gie . . ... .. ... . ... . .. . .. .. ........ .. . 4 . 2. 1 Das Kraftfeld .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. 4. 2. 2 Arbeit und Lei stung .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. 4.2.3 Die kine t i sche Energi e des Massenpunktes ... .. ...... 4.2.4 Konservative Kr äfte und das Potential .... . ... ... ... 4.2. 5 Die poten t i e l le Ener gi e und der Energi esat z der Punktmecha nik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 3 Drehmoment , Drehimpul s und Zent ra l kräf te .... . ......... . .. . 4 . 3.1 Drehimpuls und Drehmomnte ..... . ... ..... . . . ...... .. . 4. 3 . 2 Zentral kräft e . ..... . ........ .. ... ... ... .... .... .. . . 4.3.3 Bedeutung der Drehimpulserh al t ung für di e Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 3.4 Der Gesamtd rehimpul s von Syste men von Massenpunkten . .. .. ..... . . ... ... . . . . .. .... ... . .... . . De r Kraftsto ß und St oßgeset ze .. . .... ....... . ...... . ...... . 4.4 4.4. 1 Der Kraf tstoß . .. . . . ... . . . . . .. . . .. ..... . .. . . .. ..... . 4. 4.2 Die Dir acsche o- Funkti on .... . .. .. ...... ..... . .... . . 4. 4. 3 Stoßgesetze ....... . .. . .... .. ...... .. .. . .. ...... . . . . 4.4 .3.l Stoßkinematik des Zweierstoßes .. .. . . . .. .. . 4.4.3 .2 Bedeutu ng von Stoßprozessen in der Physik .. .. . . . . . . . .. .. ..... . . ... ... . Einfache Beispi ele für die Dynami k eine s Massenpunktes ........ 5. . 5. 1 Paralle l e Kraftfelder ........ .. ..... .... ... .............. . 5. 1.1 Das Schweref eld ..... .. ...... .. .. .. .. .. ...... . .... .. 5.1. 2 Zwangskräfte 1: Die Bewegung auf einer Kurve im Schwerefe1d ..... . .... .. .. . . .... . . .. . .. . .. . 5.1. 2.l Bewegung auf der Geraden und der schiefen Ebene . ..... . ..... ........ . . ..... . 5. 1.2 .2 Bewegung auf dem ver t i kalen Kreis .. .. . .. ..

ii

99 101 101 103 109 114 116

118 118 120 120 121 122 123 124 129 129 130

133 135 137 137 138 145 145 155 157 157 159 161 163 165

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viii

5.2 Reibungskräfte al s diss ipati ve Kräfte .... .. , .... . .. ... .. . 167 5.2.1 All gemeine Beschreibung von Bewegu ngen mit Rei bung . .. .. .... . ... ........ .. ... . ........... . 167 5.2.2 Ursachen und s pezi elle Formen der Rei bung .. ... . .. . 171 5.2.3 Beispiele 174 5. 2. 3. 1 Schiefe Rinne mit Coul omb~Re 174 i bung 5.2 .3.2 Der lo trec ht e Fall mit Stokesscher und Newtonscher Reibung .... .... ..... , . . . . 176 6. Der harmoni sche Oszill ator .. .. .. . .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . 179 6.1 Modell und physikalische Bedeutu ng ....................... 179 6.2 Die Bewegung des harmoni schen Oszillators .... .. .... . . . ... 182 6.2 . 1 Elementare Lösung der Beweg ungsgleichu ng ...... . . . . 182 6.2.2 Einige Result at e aus der Theorie der Differe nt i alg leichungen 185 6.2.2.1 Allgemeine Resultate 186 6.2.2 . l Lineare Differentialg l eic hungen 189 6.2.2.3 Ver ifiz i er ung am Beispiel des harmonischen Oszillators ..... .... . ....... 192 6.2.3 Mathema t ischer Exkurs : Komp le xe Zahle n ...... . .... . 192 6.2.3.1 Imaginäre und komplexe Zahlen . ...... . .... 193· 6.2. 3.2 Kom plexe Funktionen 198 6.2 .3.3 Anwendu ng auf den harmonischen Oszillator . 204 6.2.3.4 Der komplexe und der unitäre Vektorraum .. 206 6.3 Der gedämpfte Oszillator .......... ...... ........... . .. .... 209 6.3 .l Die Integrat ion der Bewegu ngsgleic hung 210 6.3.2 Di skussion der Lösungen 212 6. 4 Der harmonische Oszillator unter Eim~irkung ei ner äußeren Kraft 216 6.4 . 1 Bewegungsg l ei chung und Greensche Funktion .. ... . .. . 216 6.4 .2 Der Fall der periodische n Erregung .. .............. 221 6.4 .2. 1 Lösung unter Verwendung 221 der Greenschen Funktion 6.4.2 .2 Lösung mittels der direkte n Methode 223 6. 4.3 El ementare Einschwingvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.4.4 Die Suszeptibilität des Oszi l l ators ......... • ..... 235

6.5

Der dre i dimensio nale harmonisc he Oszi l l ator 6.5.1 Gl eiche Frequenzen . ......... .. .. ........ .. .. • •· ,. 6.5.1. 1 Der dämpf ungsfre i e Fal l . ..... ...... ..... 6.5.1.2 Der gedämpfte Fal l .... . . ... , ............ 6.5 .2 Unterschiedliche Frequenzen . .... .. .. . ... . .. . . ....

Obungsaufgaoen .. ........................ Regist er

.........

. ..........

......

.. . . ......... .......

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• . . .

239 239 239 244 245

. . . ..... ... . . 247

... • • • • • • • • • • • · • • · · · · · · · · 269

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1.1......-l

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l , EINLEITUNG UNDVORBEMERKUNGEN ZU EINIGE N WICHTIGEN KONZEPTEN

Die ersten beiden Vorlesungen unseres Kur~es über theoret i sche Physik werden sieh mit der Meah.anik befassen, genauer gesagt: der klassisahen 1-feahanik. Dabei wird es nUtzl ich sein, eine Definitio n dieses Gebietes vor Augen zu haben, die unsere Ziele umrei ßt: Meahanik ist

die LeJu,e von der Bewegung matel"ieZler

und den diese behe1•1•sahenden Gesetzmäßigkeiten

Gegens ·tände im Rawn

.

Nat ürlich ist diese Defi nition se hr all gemein und wird Ihnen -an dieser Stelle- nicht vi el sagen. Tats ächlich wird es der Gegenstand dieser Vorlesungen sei n, Ihnen zu zeigen, daß Bewegungsab l äuf e in der Physi k gesetzmäßig sind und wie im einzelnen die Gesetze aussehen, die sie rege l n. Doch wird es nicht nur um Bewegungengehen; vielmehr werden wi r uns häufig mit abstrakteren Konzepten befasse n müssen, die sich -einmal eingeführt- als unerläßliche Hilfsmittel für die Beschreibung mechanischer Systeme auch unabhängig von deren spezieller Bewegunger1-1eisen. Die verschiedenen Formen der Energie und die Begriffe Arbeit, Lei stung und - später- vlirkung seien an dieser Stelle al s Beispiele genannt. Insofern ist unsere Definition unvollstä ndig. Das sol l uns aber im Moment nicht stören. Das, was uns vielmehr zunächst an ihr int eressiert, ist das Auftreten gewi sser Grundbegri f fe, über die wir uns -wenigstens vorläufigeRechenschaft ablegen müssen. Da ist zunächst der Terminus: materoieiie GegeMtande . Hierunter verstehen wir Di nge, ,die mit (trägel") Masse behaftet sind. Mehr ist darüber im Augenbl ick nic ht zu sagen. Sodann ist von der Bewegung im

Raw11die

Rede. Das impl i ziert so110hlden f . Beide werden wir im folgenden etv1as genauer untersuchen.

Rawn-, al s -Uber das Wort Be1-1egungauch den Zeitbegrif

Auch was der Begriff Gesetamäßigkeit

in der Physik bedeut et, wird Gegen-

2 3

stand von Erörterungen sein, doch werden wir dies e auf spät er verschie ben, bis wir mit unserer Theorie berei ts ein wenig vertraut sind . 1.1 ZumRaumb egriff

RA ist der einzige uns vorstel lba re dreidimensionale Raum. In mathematisch versc härfter Formwird der Ansc hauungsra um ~.A zumdreidimensionalen euklidischen Rawn E , sei ne Struktur, di e in (a) bis (f ) zum 3 Ausdruck kommt, zur euklidischen Geometrie. (Die Ebene wird dann zum zweidimensionalen eukl idischen RaumE , die Gerade zum E .) 2 1 Die mathematische Verschär fung ist die Grundlage dafür, daß wir Zusawroenhänge im Raummathematisch beschrei ben können. Sie geschi eht durc h die Angabe von "Grundrela tionen" zwischen "Grunddi ngen" l ). Diese "Grundrelationen" nennt man Axiome, ihre Gesamthe it ein Axiomensystem .

lJ

Den Raum, in dem sich die Gegenstä nde bewegen, wollen wir Realitätsraum RRnennen. Es gibt einen Raum, von dem wir eine apr iorische Anschauung2 > haben; diesen nennen wir Anschauungsrawn RA. RAhat gewisse Eigenschaften, die sei ne Struktur begrUnderr: a) er ist dl'eidimensionaZ , d .h . wir können ihn in Begr iffen wie Breite, Höhe und Tiefe beschrei ben, b) er ist allseitig

Axiomens ys teme müssen -unter anderem- in sich widerspruchsfrei se in; doch fordert man nicht , daß sie anschaulich sei n müsse n. Deswegenkönnen die Mathematiker unanschaubare Geometrien konstru iere n, di e s ich von der euklidi schen unterscheiden. Als Beispiel wolle n wir hier nur gekr ümmte, in sich geschlossene (endliche) oder auch unendl iche Räumeanführen.

unbegrenzt,

c) es gibt in ihm Punkte , Geraden und Ebenen,

Anschaulich s ind solche nicht-eukl i di schen Räume, wenn wir sie in den anschaubaren E einbetten können. So stellt z.B. die Oberfläche einer Kugel 3 einen gekrümmten i n sich geschlo s senen zweidimensional en Raum dar, dessen Geometrie ni cht-euklidisch ist.

d) es gibt ParoZellen , die sich im Endlich en nicht schneiden , e) er i st homogen . Das soll heißen , unsere Welt wUrdesich nicht ändern, wenn wi r sie al s Ganzes im Raum vers chöben. Ei ne solche Verschi ebung bezeichnen wir als Translation. f)

2

er ist is otrop . Auch Drehungen {Rotatione n) unserer Welt im Raum würden sie nicht verändern.

Die Frage nach dem Wesen des Raum s (und der Zeit) hat Phil osophen und philoso phis ch or ie ntier te Mathem atike r und Naturwis senschaftler von der Antike bis in die jüngsten Tage immer wieder zu ausf ührl ichen Untersuchungen veranl aßt . Teile von Kants (sehr ausführlichen und viels chichtig en) Darlegungen zu diesem Problem sin d unter dem Schlagwort "Denknotwendigkeit der euklidischen Geom et rie" oder i n ähnlichen -meist sinn stel lenden- Formulie rungen auch in weiter em Rahmenbekannt geworden . entter esse nten an solchen Probl emen wird als Einsti eg das r elativ leicht Inlesbare Buch von W. Büchel "Philosoph is che Probleme der Physik" (HerderVerlag , 1965) empfohl en. - Wir wolle n hier den Raumbegr iff nur insoweit anal ysier en, -als wir es zum Verständnis ·der Legitimation der mathemati schen Fassung von räuml ichen zusammenhängenals unerta611ch eracht en , Es i st ein schwierige s Proble m, herauszuf i nden, inwiefern dies e Anschauung wirklich aprior isch ist . So könnt e man z.B. annehmen, daß etwa die Erfahrung von der Geradlinig keit der Lichtausbreitung im Lllngenbereich zwischen -sagen wir- 1 mmund 50 km wesentlic h in unsere Anschauungvom Raumeingeht, doch haben auch bli ndgeborena Menscheneine Raumvorstell ung, di e von der Sehender nicht wesentlich abweicht!

Ist nun der Reaiitätsrawn RR mit unserem Anschauungsr awn RA id enti sc h, läßt el" sich also auf einen E abbilden? 3

Diese Frage is t physikalisc h entscheidba r, wenn es in der euklid i schen Geometrie Eigenschaften gibt, die nur ihr zukommen.Solche gibt es tatsächlich, nämlich {i . ) im Lehr satz des Pythagoras und (ii.) in der Winkelsummedes Dreiecks, die genau 180° beträgt. Bereits in den Jahr en 1821-1823 nutzte C.f . Gauß die letztgenannte Eigenschaft aus, indem er geodätische Dreiecke mit Kantenlängen bi s zu 100 km optis ch vermaß 2>. Die von ihm er rechnete Winkelsummeunterschied sich von 180° um 0.680" und dieser sehr kleine Fehler lag innerhalb der Meßgenauig keit seiner Anlage 3 > . j

Diese "Grunddinge" werden durch die "Grundrelationen" mit fe stge l egt oder , wie man sagt, iinpZizit defini ert . Für Näheres sie he Lehrbücher der Geometrie .

2

1m Grunde genommen prüfte Gauß damit nach, ob sic h Lichtst r ahlen tatsächli ch exakt l ängs der Geraden der euklidische n Geometrie bewegen.

3

Eine genauere Schilderung dieses und ähnlicher Versuche find et sich im Berkeley Physik Kurs 1, Mechanik (Vieweg Verlag, 1973) , s. 3 ff _

4

5

In der Zwischenzei t durchgeführte ähnliche Versuche über astronomische Dist anzen und indi rektere Schlüsse in atomaren Dimensionenstel len sic her, daß Abweichungender Geometrie des RRvon der eukl id ischen Geometrie, fa l ls überhaupt vorhanden, so gering sind, daf3 der RRim L~ngenbereich 19 zwischen 10-13 < 10 < 10+ cmals Real i sierung des E3 aufgefaßt werden kann

l)

1.2 Zur Str uktu r des euklidisch en Raumes Der Begriff des Punktes im Raum ist im RAunmittelbar anschaulich und gehört zu den "Grunddingen" des E3 . Hierbei mußman sich aber klarmachen, daß das physi kalisc h Erfahrbare nic ht durch die Lage von Punkten im Raumabsol ut, sondern di e Lage von Punkten relativ 2ueinander bestimmt ist. Daraus fo 1gt: Ein Punkt allein

liefert keinerlei Information; bei 2wei Punkten liegt die gesamte Information in ihrem Abstand. Dieser Abstand ist eine physikalische Größe, denn er kann gemessen werden. Durch ihn wird die Größenart Lti.nge definiert. Jede physi kalisc he Größenart G hat eine Dimension , die Ublicherweise als [G) bezeichnet wird, doch können unterschiedliche Größenarten die gleiche Dimension besitzen 2 ) . Die Dimension der Größenart Länge heißt ebenfa 11s Länge ( l).

Jede Messu ng einer Größe erfolgt (direkt oder mittelbar, n~mlich durch Anwendungi rgend~1e lcher physi ka1i scher Gesetze) durch Verglei eh mit einer Maßeinhe it , di e unterschied l ich gewählt werden kann. Manerhält Grö/3e= Maßzahi x Maßeinheit G :

g E

g

Häuf ig bezeichnet man g als {G}. Al s Maßeinheiten für die Länge benutzt man i n der Physik vorwiegend das Meter (m) und den Zentimeter (cm). Hat man dt>ei Punkte im Raum,die nicht kol-"linear s ind, d.h. nicht auf einer Geraden liegen, so kann man relat ive Richtungen definieren , indem man den Winkel o zwischen den Strecken OAund OBbetrachtet. Diese Au ssage bezie ht sich auf die globale Struktur des Raumes und tangier t nicht die E>

O

E

>

O

CO

eine (im allgemeinen mit abnehmendem c wachsende) Zahl N(c) gibt, fü1' alle

+

N der Betmg

vo11 t; kieiner

so daß

als t ist.

Die i n Norma lschrift geschr i ebenen Einschübe in dieser Definition si nd von ei nemstreng l ogischen Gesichtspunkt aus überf l üssig; si e dienen d~zu, Ihre Gedankenin di e richtige Richtung zu l enken. In der Mathemat i k werden üblic herweis e alle redundanten Bestandteile fortgel assen, und man bedient sich darüberhinaus häufig einer Art Kurzschrift mittels sogenannter Quantoren. 1n ihr sähe unsere Definition fol gendermaße·n aus: 'v c > 0

3 N:

Das wird so gelesen : alle [besser : Zu jedem) ( schaft ( : ) , daß Jt; 1

0 existiert fül" alZe i > N,

'v) e >

( 3)

ein N mit der Eigen-

und Sie könnensic h Uberlegen, daß dies tatsächlich genau den logischen Inhalt unserer Definitio n ausmacht. Diese Schreibweise i st sehr prägnant und hat den Vorteil, daß man mit ihrer Hilfe sogar einen KaZkiiZ aufbauen kann, der einem di e Erstellung l ogischer Schlußketten gewissermaßenautomatisiert. Soweit wollen wir hier nicht gehen, doch al s - nach einiger Gewöhn ung- bequemeKurzschrift werden wir diese Schreibweise bisweilen verwenden. Weiter treffen wir die fo lgende sehr naheliegende Def'inition : Die Folge der ti konve rgi ert,

wenn es nur eint

ti - t gegen NuU konvergiert;

sie konvergiert

gibt,

so daß die Folge

dann nati,a>liah gegen d,;eaes t.

Das könnenwir aber auch folgendermaßen ausdrücken:

-wobei wir glefohzeH i g die Symbole (Aussage) A impliziert {Aussage) B; ir111ner> dann, wenn A giZt , gilt auch B; aus A folgt B (B kann aber auch gelten, wenn A nicht richti g ist!)

15

14 aus B folgt

A; B gilt nur dann, wenn A giZt

dann und nur dann,wenn A gil t, gilt

auch B; A und B

sind äquivalent

kennenlernen. überl egen Sie sich, daß die unterschiedlichen Redewendu ngen, die 1•1irangeführt haben, tatsä chlic h l ogisc h gleic hbedeutend sind. Zur Frage der Konvergenz zurückkehrend, wo11en wir noch anmerken, daß der Grenzwert t einer konvergent en Folge t l. E 1 kein eswegs automati sch in I liegen muß; ein Gegenbeispiel werden wir bald kennenl ernen. Der pr aktische Umgan g mit Folgen wird i n den ei nführenden Mathematikvo r lesungen eingehend geübt. Dort ler nt man auch sogenannte Konuergenzkriterien kennen, mit der en Hilfe man sehen kann, ob eine vorgegebene Folge konvergiert oder ni cht. Hierauf können wir nicht näher eingehen. Vielmehr wollen wir unsere Ausführungen zur Konvergenz mit einem sehr einfachen Beispi el beschlie ßen: Sei 1 = (0,1 ] und die Fo·tge durch t i t i + O für i ~ m .

1/i definiert.

Wir behaupt en

Denken wir uns al so ei n beliebig kleines E vorgegeben. Nun sei N(E) eine beliebige ganze Zahl größer als 1/ E. Dann gi l t für all e i ~ N

und das beweist unsere Behauptung. Zusät zlic h sehen wir, daß der Grenrnert Oder Folge tat sächl ic h nicht aus J is t : 0 !E 1 . 1.4.4

St et ig kei t einer Funktio n

Mit Hilf e konvergenter Zahlenf ol gen können wir jetzt auch den Begri ff der Stetigkeit ei ner Funktion x(t) mathematisch exakt f assen . Seien also ei ne Funktion x(t ) mit dem Defini tionsbereich 1 und eine unend- liehe -Folge gegeben, deren .sämtlic he .Glieder t; E I sin g. Da.nn exi sti_eren alle Funkt i onswert e xl• : x(t l. ) und bilde n selber wi eder ein e Fol ge, die sogenannte Bildfolge . Man ne nnt nun x(t) stetig im Punkte t 0 E 1 , wenn f ür jed e Folge, die gegen t konvergie r t, auch die BiZdf olge konvergiert und zwar gegen den 0

gZeichen Grenzwert

x0

=

x(t 0 ) .

Man kann di e Jfquivalenz di eser Defini ti on zu der folge nden Aussage be1~e i sen: Zu jedem (noch so kleinen) c > 0 gibt es ein (im all gemeinen mit c abnehmendes) li(E,t 0 ) mit der Eigenschaft , daß für alle t mit lt - t 1< li auch 0 lx(t ) - x(t 0 ) 1 < c ist. Das heißt aber : v

lt - t 0 I

c 11

Den l\quivale nzbewei s überlasse n wi r der Mathematikvorl esung. Weiterhin defin ieren wir l eichtverständlich : Eine Funktion heißt stetig IntervaZZs stetig ist .

in einem In ·tervall,

1Jenn sie in J'edem Punkt des

Die von uns di skutie rte Funkt ion x(t ), die bei t = t vomWert xt auf den 5 Wert xr spring t , ist offensichtl ic h im Punkte\ nicht stetig ; denn für j ede Folge, die von links gegen ts konvergie rt (das soll hei ßen: ti c ts v i), konvergiert di e Bil df olge gegen xt , für jede Folg e, die von rechts gegen t 5 konvergi ert, hingegen gegen xr( t x1 ) . Immerhi n ist diese Funktio n, wie man sagt, in ts noch Zinks- und :rechtsseitig st etig ll . Diesen Typ der Unstet ig keit bezeichnet man als Sprungstelle ei ner Funktion. Nun wollen wir ein einfac hes Beispiel betracht en, das uns begri ffl i ch weit erführen wird: Gegeben sei die Funktio n f auf l = ( - "' , +"') f( t )

=

r

1:

l o:

t t

t o o

Diese Funkti on ist in t = O unstet i g, denn es gibt Nullfol gen, deren ßildfol gen gegen 1 konvergieren, und sol che, deren Bildfolge n gegen O konvergieren. (Letzte r es i st für alle Folgen der Fal l, bei denen nur endlic h vi ele Gl ieder von O verschieden sind.) Hingegen ist sie l i nks- und re chts sei ti g stet ig und di es sogar mit dem gZeiehen Gr enzwert. Definieren wir nun unsere Funktion minimal um, nämlich in f '(t ) = 1

V

t

E

I

ändern wir si e al so i n ihrer Unst etigk eitsste ll e, so wird si e dort ebenfa l l s stetig. Man nennt diese Art von Unstetig keit hebbar. Hi ngegen ist die Unst eWir als und link

be nutzen hier eine s chwäc here Definition der ' seitigen' Stetigkeit, die i n der Mathematik üb li che! So wird z.B . e i ne auf (a , b ) definierte dort über all st etig e Funktion bereits als in a rechtsseitig und i n b sse itig stet i g beze ic hn et .

16

1/

ti gkei t an einer Sprungste 11e unhebbar. Oberlegen Sie sie h, warum!

chen Wert konve;•giert .

Nehmenwir je tz t die ganz ähnliche Funktion

Mannennt diese n Grenzwert Ableitu ng der Funktion x(t } im Pw1kt t 0 und not iert

g(t) = 1

auf r

=

(-~,O}u (O,-),

ist und betrachte n wir f ür sie beliedie also in t = 0 nicht definiert bige Nullfo lgen ti E 1, (unter denen O natürlich nicht vorkommenkann). Die Bildfolge jeder di eser Folgen konvergiert und zwar gegen den gl eic hen Wert x0 = l . Folgl ic h l iegt es nahe, den Definitionsbereich von g(t) dadurch zu erweitern, daß man g(O) = 1 setzt. Natürlich erhält man dadurch wieder di e Funktion f'(t). Das geht aber nicht immer! · so· ist z.B. di e Funktion f(.t} = 1/t auf (O,+ ~) defin iert. Für jede Nullfolge diver giert die Bildfolge und folg l ich l äßt sic h f(O) nicht als stet ige Fortset zung definiere n. Deswegensagt man auch, f(t) = 1/t sei in t = 0 unstetig, obwohl t = 0 gar nicht zu ihrem Definiti onsbereich gehört. Eine Unstetigkeit der soeben beschriebenen Art ~lird als Poisteiie Pol einer Funktion bezeichnet.

oder

Neben Sprung- und Polste llen gibt es noch eine dritte Art von Unstetigkeitsstellen, nämlich die OszilZationsstellen Al s Beispiel sei die Funktio n f(t) = sin( l/t) in t = O erwähnt. l

l im i

letzteres

+

Cl')

(nach Ne11ton)speziell,

wenn t die Zeit bedeutet.

Weiterhin bezeichnet man die Folgen htn x(t

o

+ htn) - x(t

0

ten ihrer Glieder

)

bX

=

t0

auch als Differenzenfolgen

tirals n

-

t 0 und bxn

und di e Fol ge der Quot ien-

Folge der Differenzenquotienten.

der Folge der Differenzenquotienten

x(tn) - x(t 0 ) Der Grenzwert

wird dann der DifferentiaZquotient.

Es ist jedoch sehr wichtig, einz usehen, daß diese Bezeichnung rein symbolisah zu verstehen i st, denn al s Quotient zweier Zahl en, etwa der Grenzwerte der Differenzenfolgen, läßt sic h die Ableitu ng eben gerade nicht darstellen l l . Denn dieses vorgehen würde ja (für eine stetige Funktion} den unbestimmten Ausdruck

Wählen~1ir nämlich zum eine n die Nullfolge tn = '2iin und zumanderen die

liefern.

Nullfolge

tn = (Zn+il 2)n , so ist im ersten Fall die Bildfolge durch xn = sin(Z.n) = 0, im zweiten Fall aber durch xn = sin((2n+l/2)n) = 1 gegeben. Folglich i st der Grenzwert der Bildfo l ge nicht unabhängig von der Wahl der Nullfol ge und somit die Funktion in t = 0 unstetig. Mankann sich sogar überlegen, daß es zu jedem x E [ -1, +l] Nullfolgen gibt, deren Bildfolgen gegen x konvergieren.

übrigens erkennt man l eicht, daß eine Funktion in ei nem Punkt nur dann differenzierbar sein kann, wenn sie dort stetig i st . Die Umkehrunghingegen i st falsch; so ist z.B. di e Funktion f(t) = ltl in t = 0 stetig, je doch nicht differenzier bar. (8e11e i sen Sie das!) llffllle rhin ist sie dort (in 1ei chtverständ l i eher Obertragung der entsprechenden Rede.1e i sen bei der Stetigkeit) links- und rechtsseit i g differenzier bar .

Zu dem phys i ka1 i sehen Ausgangspunktdieser Untersuchungen zurückkehrend, st~l._len wir noch e_inmal fest: Teilchenbahnen sind in der (klassischen) Physik stetige Funktione n der Zei t.

Schl ießlich definiere n wi r:

1.4.5 Di fferenzierbarkeit Eine Funktion x(t) heißt Folge t . +

,

und Geschwindigkeit differenzierbar

im Punkt

tl

I , wennlfii:t' jede

x(t.) - X\t 0 ) t mit t. ; t auch die FoZge ~ · t o 1 o i-o

gegen den g1,ei -

Eine Funktion

heißt

- Punkt des intervätls

differenzierba1' differenzierbar

in einem Intervall,

wenn sie in j ede m

is't.

Offensichtlich bi ldet die Ablei tung auf diesem Interva l l eine Funktio n, denn jedem t E 1 wird eindeutig di e Ableitung von x(t) an der Stelle t zugeordnet. 1

siehe

jedoch

den

später

e i nzu fü hrenden

Begriff

des

Differentia

ls

19

18

Die anschauliche Bedeutung der Ableitu ng als Steigung der Funkt ion und die Diffe rentiat i onsregel n setze n wir al s bekannt voraus. Physikalisch ist der Begriff der Abl eitung insofern bedeutsam, als die Zeiti!bleitung der Tei lchenbahn x(t) zur Zeit t 0 gerade die Gesc:hwindigkeit

des Teilche ns zur Zeit t = t 0 v(t)

=

d~lt)

= x(t)

definiert. l·Jiederumist es eine Sache der Em pirie, daß jeder Massenpunktzu jeder Zeit eine eindeutige (und endliche) Geschwindigkeit besitzt, (die natürlich = O ist, wenn der Körper ruht). Also müssen wir verlangen, daß x(t) sogar eine differenzierbare Funktion der Zeit ist . Auch diese Eigenschaft werden wir später aus den Pri nzipi en der Dynamikerschließen müssen! Anmerkung:Die Forderung nach Differenzierbarkeit i st nic ht so klar begrUndet wie die nach Stetigkeit . Stellen wir uns nämlich einen Massenpunkt vor, der mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht auf eine starre Wand aufprallt; wie Sie wissen, wird er dort reflektiert und fliegt mit gleichgroßer, jedoch entgegengesetzter Geschwindigkeit zurück. X Dabei sieht es so aus - s iehe die Abbildungen-, als sei x(t) im Augenblick t 0 des Stoßes nicht differenzierbar. Einer genaueren Analyse hält diese Vermutung jedoch nicht stand: in einem kurzen Zeiti ntervall um t 0 wird sich die Wand verformen, während sie den Massenpunkt reflektiert, die "wahre" Kurve x(t) V wird a 1so efwas a6gerurfdet 'sein und damit differe nzierbar werden. Wenn11ir sie dennoch als "eckig" darstell en, so ist das eine Idealisierung : uns kommt es nur darauf an, die Physik außerhalb des sehr kurzen Zeit in ter vall s !lt um t 0

/\

korrekt darzustellen. Was inner hal b dieses lntervalls passiert, interes siert uns nicht im Detail. Solchen ldealisierungen werden wir häufig begegnen; wir dürfen darin kei ne Verletzung ir gendwelcher Prinz ip i en der Physik sehen! Die Gesch1~i ndi gkeit is t eine neuartige physi kal i sehe Größe der Dimension [v] = lt-l, die wir in Einheiten von ms-l bzw. cms-l messen. Da ihre Dimension auf die von Länge und Zeit zurückführbar ist, bezeichnen wir sie (im Gegensa tz zu diesen) als abgeleitete physikalisc:h e Gr>öß(!. 1.4.6 Die Beschl eunigung Die Beschleunigung wird definiert zweit e Ableitung der Bahn b(t)

al s Ableitung der Geschw i ndigkeit bzw.

v(tJ

x(tJ

2 d ~xvlttl - ~

- dt 2

Auch die Beschleunigung ist eine abgeleitete physikalische Größe der Dimension lt- 2 , die wie in Einheiten rns-2 bzw. cms-2 messen. Physi kalisch (und von Ideal isierungen, wie der oben besprochenen, abgesehen) ist auch b(t ) eine eindeutig festge leg te Größe: die Bahn x(t) muß also sogar (mindestens) zweimal differenzierbar sein. Höhere Ableitungen von x(t) kommenin der Physik zwar gelegentlich vor (z .B. beim strahlenden Dipol in der Elektrodynamik oder bei der Untersuchung von Federungscharakteristiken in der te chni schen Mechanik), doch werden wir sehen, daß sie im pr>inzipiellen Aufbau der Mecho,m'.kkeine Rolle spielen . 1. 5 Zur Frage der Äquivalenz verschiedener Darstellungen 1.5.1 Elementare Abhängigkeiten

Wennwir die Bahn x(t) eines Massenpunktes kennen, können wir durch Differen,zjeren , clar9IlS sei _ne Geschwindi_g _keit v(t) und seine Beschl euni gung b(t) bestimmen; diese sind mit x(t) eindeutig gegeben. Nun nehmenwir an, uns sei der Zeitverla-uf der Gesch~1indig keit v(t) vorgegeben. Dann können wir di e Beschleunigung b(t) = v(t) natürl ich wieder durch Ableiten eindeutig bestimmen, doch wie ist es mit der Bahnkurvex(t)? ·Wir haben a 1so

20 21

~ ot

=

v(t)

t

x(t)

und woll en dara us x(t) berec hnen . Di e mathemati sche Auf gabe laut et : gegeben die Ableitung einer Funktion,

bestürme die Funktion selbst !

Stren g genommenist das bereit s eine Differentialgleichung, wenn auch eine sehr ei nfache . Sie 1·iissen bereits , wi e man s i e l ösen kann: man in tegriere beid e Seiten der obigen Gleiohung über das interessierende Zei tinterva 1.l. 1 )

Wir erhal t en

t

t

J v(t ') dt '

f-R,dt' f

to

t0

x(t ) =

dx' = x( t ) - x(t

0

)'

x(t 0 )

oder

x(t 0 ) +

J v(t'

f (f b(t")dt")

dt'

to to Hi er ist a l so die Geschwindigke i t bis auf i hren Anfangs1•1ert und die Bahn bis auf e i ne lineare Funktio n der Form a + bt bestimmt. Und tatsäc hl ich beschreibt diese Funktion ja ger ( cos ab cos

r,>

Ist nun p ~ 0, so is t

= ~ • , cos ,:, = cos

Is t jedoch p cos $ '

= -


den -.wir-- -- - -··--

im folgenden unt er suchen.

Überlegen

Sie s ic h,waru m s ie diesen

Namen tr äg t .

a. a. = o 1- 1

werden kann; anderenfaZ •Zs heißen

sie

linear

ab -

Ist auch nur einer der Vektoren a. = o, so is t das System l i near abhängig, -J denn dann können wi r ja aj f O bel ieb i g wähl en . Das gle ic he i st der Fall , wenn zwei Vektoren die gl eic he Richtung haben, wie man aus den Vorbetrac htu ngen sieht . Es erhebt sic h nun die Frage, ob es in einem Vektorraum beliebig viele l ine ar unabhängige Vektoren geben kann, oder ob ei n nmax existiert. Das können wir allgemein nicht ent scheiden, aber wir def-in1:ere n: ~km. nennt

nmaxdie Dimension des Vektorraumes.

Wenndiese Defin i t ion vernünft ig ist, muß es also für die Ortsvektoren im E3 , die wir ja besonders gut kennen, Vektoptripel. geben, die l inear unabhängig s ind, aber alle Systeme aus vier oder mehr Vekto r en (Vektorquadrupel) müssen linear abhängig sei n. Das i st tatsäc hli ch der Fall: _ 8.e..tr.ac b.t.en, J'i.i.L.DJ:i.mli ,cil_ei n. .n:u:htentar .tetes ~ r..9.. l_lelepi12,gg. im Ra!Jffi _!lnd b.e.zeichnen die von ei nem Eckpunkt ausgehenden dr ei Kanten als Vektoren ~l' ~ • ~ . Dann si nd diese Vektoren s icher linear unabhängi g, denn durch Linearkombination von -sa gen ~i r- ~l und ~ in der Form a 13!_ + a ~ 1 2 lassen sich nur alle Vekt oren erzeugen, die in der von ~l und~ aufge -

42

spannten Ebene liege n. Andererseits ist aber jeder weite r e Vektor~ von .?_l bis~ l inear abhängig; denn denken wir uns~ auf di e Ebene (~ ,~) projiziert, so i st einerse i ts diese Projektion .fl. l in ear aus ~l 1 und~ zu erze ugen. Andererseits aber spa nnen di ese Proje kt io n und

iJ wiederumeine Ebene auf, in

der~

l iegt und somit is t~

c) Wi r können also durch e di vidieren und erhalten b

d

[

i=l

-, .

a. =

(+)

-1

d E a .a. i=l ,-1

q .e.d.

~us t 3 und 2.1.4.2

.fl. zu erzeugen . Es gi lt also

Or tho normale Basen und kartesisc he Koordin aten syste me

Wie wi r gesehen haben, lasse n sich Basen des dr eidimensio nalen Vektorra umes durch die von eine m Punkt ausge henden Kant en eine s (nichtentarteten) Paral le lepi peds konst ruieren.

und nic ht alle Koeffi zienten verschwinden. Fol glich gi bt es bei den Ortsvektoren im E3 ma:cima.idrei line ar unabhängige. Dieses Vorgehen macht auch verständ l ic h, warumalle Vektoren auf ei ner Ebene im E3 einen zweidi mensional en Vektorraum bi lden . Wir treffen

Besonder s bequem werden solche Basen, wenn man dazu den Spezialfall eines Würfels der Kantenlä nge 1 nimmt. Dann haben wir als Basisvekto ren di e dr ei Einheitsve kto re n ii, i 2 , iJ· Offe nsi chtl i ch gilt! ; • ii = 1! ; 12 = J und je 2 versc hi edene stehen aufeinander senkrecht: ~; , ij = O für i f. j . Abkürzend sc hr ei ben wir für diese Beziehungen

die folgende Definit·ion :

e . • e.

-J

-1

8ine Menge von d linear

= ö ..

lJ

unabhängigen. Vekto;oen in einem d-di mensi onalen Vek-

Dabei i st ~i j

torrawn nennt man eine Basis des Vekton>aumes.

das sogenannte i d

ständ ig .

entge gen der Vora ussetz ung : B~ + ~ 'i!i

=~

für

(ß,,il

f. (0,0 .. )

Sei also {~ i l ein vol l ständ iges Orthonor malsystem (vONS). Dann lä ßt sic h -- ·-· _,______ jeder Vek·tor ·•gemäß·

l

b) B muß f. 0 se i n, denn wäre B = 0, so müßte ja [yi) f. [0,0,0, ... } sein , und die Basis wäre nic ht l inear unabhängi g.

d

a "

~

a ;ii

i;}

entwicke l n . fli e aber findet man die Entwicklungskoeff izie nte n ai?

44

45

Das ist für orthonormal e Basen besonders ei nfach , denn multiplizieren wir ! skalar mit !k• so erhalten wir

schreiben werden. Wicht ig dabei ist, daß diesen Komponentenkeine absolute Bedeutung zukorrmt, denn wählen wir eine zweite ON-Basis (! }, so haben wir 1

a.e. = t a!ei 1- 1

a =

j

J-J

mit

so daß wir schließlich d

a = t (e- • !l Ai - i=l -i haben. ~i • ~ist aber gerade die Projektion von! auf ~i : P!/~l = pi(!), so daß die Entwicklungskoeffizienten gerade durch die orthogonalen Projektionen des Vektors auf die Basisvektoren gegeben sind. Anmerkung:Mankann auch in nicht or thogonalen Basen r echnen und tut di es auch, z.B. in der Kris tallographie. Dabei geht aber der zuletzt bewiesene Zusamm enhang verloren, wie man an der Zeichnung im ebenen Fal l leicht sieht. Dort sind die dicken Pfeile (die ai~i) von den orthogonale n Projektionen ~1 Pb. (i) verschieden! '-----...------

pb ( g)

-1

Es ist klar, daß orthonormale Basen eng mit kal"tesischen Koordinatensystemen zusamme nhängen, denn trägt man von dem Punkte O die Vektoren e- ab, so erhält man gerade die in Ziffer 1.2 beschriebenen Punkte A,B und -1 C. Oie dre i Koordinatenachsen (x, y, z-Achse) si nd durch Abtrag der Vektoren ;e. -1 mit beliebigem l von O aus definiert. Gleichermaßen entsprechen den Koordinaten eines Punktes die Ko,r,ponenten seines Ortsvektors . 2.1.4.3 Das Rechnen in Komponenten Gegeben sei ei ne orthonormale Basis (!i} . Wie ste l len sich die in 2.1.l bis 2. 1.3 beschriebenen Vektoroperationen dann in den Komponentendar? 1. Nullvektor ~ = ~(!;

Bisher haben 1·1irüber die Reihenfolge der Basisvektoren ! i bis !J im dreidimensional en Fall noch keine Aussage gemacht. Für alles folgende wollen wir sie uns so durchnumeriert denken, daß sie ein Rechtssystem bilden. Die a.1 bezeic hnet man al s Komponentendes Vektol"s. Bezüglich einer fest gewählten Basis ist der Vektor! durch seine Komponenteneindeutig bestirrmt, so daß wir im folgenden häufig a

~

= (al, a2, a3)

a

=

l::l

. e.

- 1

0

>

0

= (0,0,0)

2. Basisvektoren

~k

t (!1 . ~)

r 6ik !1

!i

>

3. Addition

a

oder

. ~) ~i

1

-1

=

(a1,az,a3)

= t

b = (bl ,bz,b3) = ! +b=

E

l:

a-e. 1-1 b-e· 1-1

(ai + bi) !i

>

r

= (1,0,0)

~

(0,1,0)

!3

(0,0,1)

(al + b1, az + bz, a3 + b3)

46 2)

4. Multipli kati on mit ei ner Zahl

steht

senkrecht

auf der von

~

und E_aufgespann-ten

E:b2-

ne und zwar so, daß ~• E_und !:_ ei n Rechtssys -tem bilden.

>.

Formal def inie r t das Kreuzprodukt also eine Funktion von der Menge der geordnete n Vektorpaare M =V= ((~,E,): ~,!>_E V} auf die Mengeder Vektoren N = W = V. Wie wir gl ei eil sehen werden, ist lii erbei (im Gegensat z zum Skalarproduk t ) die Ordnung der Pa.are wesentl ich .

a = ~ >-ai~i ~ (.l.al, >.az' .l.a3) 1

5. Skalarprodukt 'i:

j

= 1.

i ,j

l~I

b .e. = i a. b. ( e . · e . ) J-J i ,j 1 J -1 -J

aibj '\j

i;

=

/ a2

iaa

Es is t nun sofort klar, warumdiese Definition an d = 3 gebunden is t : für d < 3 gibt es kei ne Norma l e auf die Ebene (~,.!?_)fUr d > 3 hi ngegen ste ht ei n ganzer d-2 dimensi onaler Raum(und nicht eine Gerade) auf dieser Ebene senkrecht, so daß hier di e Ri chtung von c nicht eindeut i g festgelegt wäre.

1

a .b.

1 l

Offensi chtlich ist a X b

+ a2 + a2

=

o

3

2

f alls•

=

0

oder

n,

\

-

! und ~ als o linear abhängig {d.h .

tt

oder

tf )

s ind.

2. 1.5 Vektorprodukte Wir stellen die wichti gsten E:igensahaften des Kreuzproduktes Neben demSkal arprodukt zweier Vektoren, dessen Defi nition und Ei genschaf t en von der Di mension des Vektorraumes unabhängig i st, gib t es nun speziell für dreidime nsio nale Vektorer1 noch andere Pr odukttypen, die sogenannten

zusammen .

1) Das Kreuzprodukt is t ni cht kommutativsondern antikonrnutativ,

denn es gi l t

Vektorpr odukte .

Zwar ist 1! x .!?_ I = 1~ x ! 1, doch die Richtungen der Vektoren sind wegen des Rechtssys t ems einander entgegengesetzt .

2 .1 .5 . 1 Das Kreuzprodukt

Wir haben gesehen, daß das Skalarprodukt einem Vekt orpaar~.~ eine Zahl zuordnet.

! ,

~

+

Hingegen ordnet das Kreuzprodukt

c

c =a • b

zweier =

a X

1

b

denn ! x (.!?,x .::,)steht senkrecht auf (b x c), liegt al so i n der Ebene (.!?..,.::.), während (~. x .!?_,)x c in der Ebene (!, !>.) liegt .

ist

4) Es gilt

1 Bea c h te n S ie , daß wegen

o

2. • 2. n

stets

assoziativ:

Vektor en

Fl ächeninhalt des von den Vektoren a - 11 und~ aufgespannten Paral l elogr amms

1.::.1

ll ·

a X(.!?.,+.::,) = a X b + a XC 3) Es is t nicht

diesen einen neuen Vektor ;iu, der folgendermaßendefiniert 1)

2) Es ist distributiv

sin

•

> 0

gil t.

Machen

Sie

sich

d ~ese

Ei g e n schaft

ge ometri

sch

k l ar!

Dabei sind

Offensichtlich ist das Kreuzprodukt dazu geeignet , zwei linear unabhängige Vekt oren! und.!?_im dre idimens ionalen Vekto rr aum v zu einer re chts händi3 gen (i.a. aber ni cht orthonormal en) Basis zu vervolls t ändigen.

A : ( i ,j, k) i st ei ne zyklisohe Permutation der Zahlen ( 1,2,3), (1,2,3), (3,1,2) oder (2,3,l)

al so

Das veranlaßt uns zu folgender Untersuchung:

B : (i,j,k)

Denkt man sich den E durch Abtrage n der Ortsvektoren des v von dem Null 3 3 punkt O er zeugt, und spiegelt man den E an diesem Nullpunkt (Ra>ß7linver3 aion) , so geht dabei jeder Ortsvektor in sein Negatives über

i st keine zykl ische Permutation,also (1,3,2) , (2,1,3),(3 ,2,1)

Da drei Gegenstände genau 3! = 6 Permutationen besitzen, enthält (A) und (B) offenbar alle möglichen.

Wir wolle n uns di esen Zusammenhangmit Hil fe des Begr i ffes des totai antir.eTensors 3. Stufe (Levi - Ciuita -Tensor) cijk merken, der durch

r -> r' = - r

trischen

und jedes Rechts - wird in ein Linkssystem

transformiert.

Andererse i ts ändert sic h das Kr euzprodukt dabei aber nicht,

~i• ~2 und .E:_'besteh ende Basi s bleibt

die aus

reahtsh~ndig .

Ganz a 11gemein bezeichnet r.1anVektoren, die bei Rauminversion in ihr Negatives übergehen. als poZar, solche, die dabei erhalten bleiben, als a.~ial (oder auch als Pseudovektoren). Die tie f ere Bedeutu ng dieser Begri ffe wird, ebenso wi e die Erweit erung des Kreuzproduktes auf Räumemit mehr als drei Dimensionen, erst im Rahmen der ?ensorrechmmg klar . Gegeben sei nun ei ne ort honormal e Basis {! i l . W as ist dann ! ; x !j ? Wir erhalten

!1

X

!1 = 0

!2

X

!1

i3

X

!1 = !2

- _!3

also

e-1

X

!j

=

!1

X

~2 = !3

!1 X !3

!2

X

~2 =

0

!2

X

!3

!3

X

!2

-! 1

~

X

!3 = 0

{: -!ic

=

-~ = e

zwei oder mehr Indices sind gleich

0

denn es gilt

+ l

( i ,j ,k) = zykli sche Permutati on von (1 , 2,3}

- l

(i ,j,k)

= nicht - zyklische Permutation von (1,2,3)

defini ert ist. Mit seiner Hilfe können wir nämlich

schreiben. Wir führen dieses Konzept hi er als rein mnemotechnisches HilfsmitteZ ein , obwohl i hm im Rahmen der Tensor rechnung ein e fundamentale Bedeutung zukommt. Jetzt fragen wir nach der KomponsntendarstelZung von! x ~: Gegeben seien die _Komponentenvon 2..und E_, {ai l und {bi l; wie können 1~ir daraus die Kom ponent en von ~ x .!?_ er rec hnen? Offensicht l ich gilt

-1

j

~,enn die folgende Aussage ( A) gilt wenn die folgende Aussage (8) gilt

c

=

axb

= ~ 1

a;! ; x

r,

j

b.e. = r a.b.(e. J-J

r a.b.t ..• e. i,j ,R.1 J lJ ...-...

=

i , j 1 J -1

=

E(

r

2. i j

c ..

lJ.I..

x e.) -J

a.b.)e 1

J -1'.

und folglich ist die Komponentec,_ von c durch

50

gegeben.

Setzt manhierin c ein (führen Sie dies aus), erhäl t man cl = a2b3 - b2a3 c2

Der Klammerausdruc k, der dar i n vorkommt, wird uns im fol genden immer und immerwieder begegnen. Deswegen merken wir uns die Formel

a3bl - a l b3

oder vienn (i ,j,k) zykl isc he Permutation von ( 1,2,3) i st

Das Skalar- und das Kre uzprodukt l ass en sich auf unters chi edl ic he Weis e, nämlich gemäß a

zu

[)r>der>produkten

X

Den Beweis - der übr i gens ohne Rechnung allein durch Oberlegung auszuführen ist - über l asse ich Ihnen. Wicht i ger aller di ngs ist , daß Sie sich die Struktur dieser Formel einpräge n, und einsehen, daß ma~ aus diese r spezi elle n Formel und der Antimetrie des e:-Tensors sofor t äqui valente Beziehungen fü r alle andere n Ste 11ungen des Summations i ndex erha lten kann. Mit die ser Forme1 haben wir

(E_X _f)

zusammenfassen; hingegen i s t~ x(~ • .::_)natür l ic h keine

mögiiche Verschachtelung. Die beiden er l aubte n Kombinati onen si nd hingegen

von großer pra kt i scher Bedeut ung und wir wolle n sie uns genauer ansehen.

= i: a.b.c . j J 1 J

- E a}/i j

2. 1.5. 2 Mehrfache Kreuzprodukte Wir wol len zunächst j etz t das Produkt ~ x( ~ x .::. 1 untersuche n, dem wir bere i ts bei der Unte rsuc hung der Assoziat ivitä t begegnet sind . vlir haben uns bereit s dort überl egt , daß der dadurch definierte der durch b und ~ aufges pannten Ebene l i egt; also gi lt

(~

~)

(!

.f )~ -

b.

l

- (~ ~) Ci

und damit er halten wir

Vektor in (~ X

(.!?_X .::_))

(~

~ )~

Hingegen ist

Doch was s i nd die Entwickl ungskoeffizienten

ß

und y?

(!

X

E_) X

Ber echnen wir ei nmal die Komponente n

C = - C X

(!

X

- (.!?.• ~) ! also tatsäc hlich von a x (E_X

~)

verschieden .

E_) + (2;

~) ~

52

53

Mit Hi lfe der soeben abgeleitete n Identitä t bewei sen wir auch die sogenannte Jac obi - Iden t ität I l ·

Das is t die Sum me al ler zyklisch indi zie r te n Produkte minus der Summ e al l er nichtzyklischen .

(Beacht en Sie auch hi er das Konstrukt i onsprinzip) . Denn es gil t ja

2.2

Vektora nalysi s

r

Kurven und Bahnen

2. 2 . l Zur Begriffsbestim mung

2. 1. 5. 3 Das Spatprodukt

lias is t das zwei te der mögli chen Dreier produkte, näml i ch ~· (~ x E_) und ,,el che Bedeut ung hat dieser Ausdruck? Mit Hilfe der Proj ektion können wir ih n in pb x c(~ · Flä che des Para l le l ogramms(~.~) umschreib en. Das ist aber dem Betrag e nach= Grundfläche x Höhe des von~.~ und E_ aufgespannten Paralle l epipeds , also dessen Volume n:

b Und z,,ar gilt das + Zeichen , wenndi e Vektore n ~•E.•~ ein Rechtssystem und das -Zeichen für ein linkssystem.

Geradl ini ge Bel"1egungen l assen sich durch Angabeeiner mindestens zweimal differenzierbaren Funkt ion x(t ) beschreiben; di e allgemein mögli chste Bewegungsform eines Massenpunktes im Raum wird demzufolge durch Angabeeiner Funktion P(t) zu beschreib en sei n, welche j eder Zeit aus einem Interval l den Punkt im Raumzuordnet, an dem sich der Massenpunkt bef indet . Bezüglich eines fes t en Punktes O können wir di esen Punkt aber gerade durch den Orts vektor charakterisieren und di e I nformati on al s durch _c(t) gegeben ansehen. Diesen Zusamme nhang ~,erden wir a 1s Tr>ajek.torie oder Bahn des Tei 1chens apostrophieren. Sie ist ein Beisp ie l für eine vektorwer•t1:ge Funktio n, d.h. ei ne Funkt i on von M = (- •, +•) i n N = V. In einem vorgegebenen vON S ent spri cht diese Bahn natü r l i ch den drei Komponenten

bi lden

rn Kom ponenten berechnen wir ,,elc he normale Zahl enfunktio nen darstellen.

·

( I st die Beweg ung l inear, so muß man di e Basi s nur so legen, daß -sagen wir- f l in die Bewegungsr i chtung zeigt. Dann erhalten wir r (t) = x( t), 1 r 2 (t) = r 3(t) = 0 , 1'1as sicher l ich unserer fr ühere n Behandlung ent spricht . ) In Vorgriff auf Begrif f e, d i e erst sehr vie l späte r zum Tragen kommen werden, etber den noch sehr wicht i g sind , vermerken wir : einen linearen Rau m mit e in er Verk n üpfung, die antikom mu~ativ ist und di e Jacobi - I d e nt it ät erfül

l t ,

nennt

man

lie - Algebra .

Di e Bahn lä ßt im Raumeine Spur> zurück, die aus allen Punkten beste ht, welc he im la ufe der Zeit durchl aufen wurden. Diese gedachte Spur nennen wir eine Raumkurve oder auch ei nen Orbit .

54

55

Andererseits sagt man, daß die Kurve durch di e Bahn pa:r>ametr>isie:t't11erde.

Was soll das hei ßen?

(Ste l l en Sie s ich vor, Si e zeich nen eine Kurve auf ein Blatt Papier ; dann beschreibt die zeit li che Bewegung der Spitze Ihres Schreibgerätes die Bahn).

~lir definieren Eine Trajektorie

y

ihPe sämtlichen Komponenten ri (t) stetige

Aus diesem Beispiel erhellt bereits, daß verschi edene Tr.ajektor i en ein - und diese l be Kurve ergeben können, denn natürlic h können Sie di e Kurve in ganz untersc hiedl ic hem zeitlichem Abl auf zeichnen. Oder umgekehrt: Eine vorgegebene Kurve kann ganz unterschie dl ich parametr isi ert werden.

X

Ein Beispi el daf Ur ist das folgende : -a cos a) .!'.: (t)

[

a s in

0


1.iert . Man muß nur zeigen, daß dieN -> .,

ser Grenzwert existiert nt ~ unabhängig i st .

und von der speziellen Wahl der intervallein te i l ung

60 Wir woll en diese Beweise der Mathematikvor l esung Uberlassen und uns darauf beschränken, plausibe l zu machen, vlie man ic auf ein gewöhnlic hes l nte grai zurückführe n kann.

Betra chten wi r nun den Längenabschnitt zwi schen t a und t (~ te) t

dr

1---=-1 dt '

s(t) Da -AtN n

>

0 ist,

J dt'

können wi r schre i ben dr

N

N E

so fo lg t aus

- -r n-1 1

1---=-1>

0

sofort , daß '-c(ta,t)

mit t morww n wächs t .

dt'

n=l

Außerdem können viir s ( t) mit dem Ergebnis dabei konver gieren die Diffe re nzenquot i ent en im Li mes N • • ds dr +

dt 1 t

dr

1---=-1 dt

dt = t

n

nach t

1~eil die Paramete rdars te llu ng steti g differenz ierbar ist . Wer den Ubli chen (Riemannschen) I nte gralbeg ri ff kennt, wird sofort vermut en, daß der Grenzwert tc damit durch dr .

~ (- 1 ) 1

2

dt

dt

weit er

differenzieren . Im Sinne des Diffe r enti alka l küls def in ieren wir ds

=

ld_i:_ I =

✓ d_i:_• d_c

%rwegen d~r Monotonie

. Da

posi t iv un1 die Steigung dgr F,mktion. f lö.ngfi ,fol" Ri~ htim[J des gröi3ten ~1achs-

gibt

tv.n1s a.n.

\fähl en wir sc hli eßlich 11.!:, senkrech t zu _'.':f, so ed 1a l ten ~,ir c.z = O. D.h. i n Ric ht ung di eses Ac.r ändert sich f nicht, oder -~ias damit gleich bedeute nd ist- dieses 6!_ l i egt tan gential an die .llquipo t ent i a l fläche durch ~ . Folglich tentiaifläohe

steht

der G.radientenvektar d"'rch diesen Punkt .

Anstatt an di eser Ste l le i n di e abstra kte math~natisch e Terminologie einzugehen, woll en wir di ese Aussage an einem einfac hen Beispie l er l äutern: Sei y = f ( x) eine in x0 diffe renzierbare

Funktion mit f(x 0 ) = y

Funktion f (.!:,) mehrerer Vari abl en der en Wachstu~ ebenso, wie bei Funkt ionen ei ner Variable die Abl eitung f'(x) das Wachstum von f (x ) charak t erisi ert . 2 . 3. 1.4 Der Begrif f des Di ffere ntia l s Berei ts i n Absc hni tt 1.5. 3 hat ten wir gesehen , daß die Einf ührung von und di e Benut zung des Di.fj' ere;11;iaU:.a'l'k.üZs die Lösung

0

und

z = g(y) e jne i n y 0 dif f erenz i erba re Funkt i on, so daß z = g of (x ) in x 0 definiert und differe nzierbar ist. Dann gel ten für di e Tangente n die folgend en Bezi ehunge n :

(1)

in ~) f!e>1.k.J>echt auf dei- lquipo-

Alles in allem kennze i chnet also das Gradien tenf el d I f( .!:,) ein er skala ren

D1fferen.tialen

Nun dr ücken sich Bezi ehungen zwischen Mannigfalt ig keite n i n 1ei cht Uberschaubar er Weise i n Bezie hungen zwischen ihren Tangentenge bi lde n aus .

(2)

Setzen wir nun (1) in (2) ein , erhal t en wir ( 3)

und d_as ist di e Gleic hung der T,rngent e an g of in x

0

nach der Kettenregel (go f)'

g ' f'

.

.

Tatsäc hl ich i st ja

86

87

Wir bemerken, daß die i n di esen Bez ie hungen auft reten den a- Größe n ganz normale Zahlen si nd, mit dene n wir al so zu r echnen wi s sen.

fiir

Z. B. folg t aus (1) f ür 6X ! 0 sof or t

Die Bedeutu ng von (2a) dilrfte nach unseren obi gen Untersuc hungen klar

einde l1Ug festge l egt; es s ind näml i ch genau di eje ni gen,

Cifferentiale

di e für t -Größen gel ten t, .

se i n. Aber auch (2b) ist am Beisp iel der Gl eichung (1) l ei ch t ver stä ndt,y = f ' (x ) M 0

(4 )

oder -anders ausgedr ückt- : die Ste i gung der Tangente an di e Kurve ·im Punkt x ist der Ste i_gung der Kurve in di esem Punkt glei ch , 1•1as natü r 0

l i ch t r i vial i st .

l i ch. Schreibe n ~,i r nämlic h anstell e von (1) dy : L ' dx

so hei ßt das , daß wir über x integrieren

solle n, wodurc h der -offe nsicht -

lich korrek te - Ausdr uck

Im Tangent engebi lde gi lt (4) für al le ax ~ 0, fü r die Kurv e selbst aber gerad e dann, 1-1 enn wir den Limes t:.x ... O betrac hten . Dann er ha 1ten 1~ir

f f'

( x )dx

nämlich ent steh t. l im 6 X+O

ay

nx

= dy = f, dx

(X

)

Jetzt können ~lir unse:·'e Vorschr ift auch auf Funktione n mehrer er Vari ah1en

o'

anwenden. {_i::) v1ar durc h Dei· Tangent enr aum an d;,is skclare Fe ld

v1 a s offensi cht l ich r i chti g ist . Gl eicher wei se er gi bt s i ch aus (3)

1,z

=

gr ad • ll_i::

gegeben; di e Tangent e bei fortschreit

Nach diese n Vorber eit ungen si nd wi r in der Lage, die Vorschrift ben , die den Differentia lk al kUl defi ni ert. S·i e l aut et : l)

SteHe

gra d >i>

Il z

wodur ch wir di e Kette nrege l noch ei nmal bewiesen haben.

en län gs e i ner Bahn _i::(t) durch dr • ..:... H dt

anzuge/l.lso gil t

die ge1,nlnsohte Bez·iehwl.{J unt,w V,;!'l~endungdar ti-Gri:!ßen in den

gra d4>· d_i:

dz

Tr.mgerrlengebiiden her .

Nun kann es entweder sein .. daß alle solc he ,,-Größen in Quot i ente nform IW 6U

vorkommen, oder

6V

bzw. dz

st eht i so l ier t im Zähl er . Dann l aut et di e Vor-

sc hr i f t: 2a ) F'iir alle

,.",)!.1otientr,m

1~

·von f!.- Größen lasse den Nenner tiu gegen l.~1U

streben und bilde den &wugehör-igen E,imes des Quotienten

2b) F.:ir alle

isoZiel'ten

t,-Größen

av integriere

Dabei is t dr ei n Vektor,

l im AV tiu~ o 6 U

3$ dr.

1

r dt ar. dt 1

d-ss-s;a, 1 Kompo>ieriter.Dif f~r•~nlü,Ze

dr

E

sind,

d . h.

dr l. -1e .

iiber v .

Dann i st das Diffe,,.en.tial du ni cht s anderes a 1s t:.u unter dem VorbeJ..c.Zt (2 ). Dur ch die se Oef i nit 'ion sin d aber di e Rechenregel,n

der Vorschriften

dr gra d" • ..= dt dt

Vorsc hriften , dJ.e den 'lorbelialt e ines 1,.:ohidefin1:ert.en Grenzp1•0-zesses eins,:o hließen, wet"der. r..Jir später bei der Behandlung der sogenannt en Distributiol'.en nochs ü n,nal begegnen, So lc hen

88

Die Lö.nge von dr i st vlie der ein Differ ential, :d_cl

= ✓

ds

=

näml ich gerade ds

d!:_ dr' dr

Dennoch i st d_: narmü rbal'; bi l den wi r näml ich und wi r er halte n sofor t 2

• d!_] 1/2

(ds ) ] [

ds Al so besitzt

br

, so heiß t das lim---= ds As+O os

Beweis so :

~

\

F( X ,y)

die (beliebig e kleine)

lnderwzg der Funktion d~ ist

die

(beliebig

Mit Hi lfe des Diffe rent ia l kalküls sind wir jetzt Geaet„ der Differrmt ia tion impliziter

l eicht i n der Lage, das Funktione n abzuleite n:

Wie wir wisse n, ist F(x ,y)

';

;i/

dF

dx + ay F dy

0

Daraus fo lgt aber sofort

f bei einer beliebig kleikle ine) il.' nderung de1' Punk1'io>i "P bei e iner beliebig kle -~nen .1:i1derun g des A:rgumentes 'längs der (e indei,tig definie rt en} Richtung von d.!:_. ist

0

Diffe r en t ial.

dy

Im Si nne der vorangegangenen Ausfü hrungen, aber a.uch nur in d'i esem Sinn e ka nn man mit Nut zen die fo 1gende anschau1 i ehe Sprech,1ei se benüt zen : df n en .ifndernng des Argumentes,

:.0 ausgerechnet.

Unter konsequent er Verwendung von Di ff eren ti alen von Anfang an geht der 1/2

d_cei ne wohlbe sti mmte Richtung im Ravm.

Das Differentia l d$ heißt totales

ilir haben also die Ste igung der Höhenlin ie i n

= 0

di e impl izi te Darstellun g eine r Kurve in der xy-Ebene , nämlich der Höhenl i nie zur Höhe z = 0. Liege -!:o= (x 0 ,y ) auf diese r Kurve und l i ege 0 /l.r : (nx ,t.y) in diese m Punkt tangent i al an der Kurve. Da llFj in r

-

ro

---o

cfx

3/ - IT ay

unser altes Result at. 2. 3. 2 Different i a lfo r men und Kurvenintegrale 2. 3. 2. 1 Total e Differe nt iale und Di f feren tia l f ormen Das to t ale Differe nt ial d1> grade!> • d~ haben v1ir soeben kennenge lernt. Auch wisse n ,1ir ber eits , daß di e Operat i on "grad" j edem (diff erenz i erba re n) rdnet. Nennen wir dieses Vektor skala r en Feld ,r, das Vektorfe ld gradq, 211o feld einmal ~ (_!:), so gil t

Nun kann man natürlic h für

J'edes

Vektorfeld ~ (2:'_ ) di e Form

auf der Kurve senkrecht s te ht , steht der Gradie nt auch auf A~ senkrecht und wir haben

a F! X

oder für

;:.0

t.x + ayFl' r ' -0

3/ t- 0

O

hin schr eib en. Den ent ste henden Ausdruck bezeic hnet man als Diff e'f'entia7. f o'f'm.

a

r,y = !\X

/l.Y

X

-

Off enbar i st eine Differentialfo rm genau dannein totales ) gibt, so daß wenn es zu ~( 2:'_)ein skal ares Feld -,,(2:'_

F

ai

Das erg i bt im Grenzfa ll

l'.l x

+

5!(!:)·

0 is t; dann nämlic h i st

öw

=

=

grad >:(_c) dx .

Differe nt i al,

90

Wie können wir das tes ten? Sei B1 = ai1 und r (mindeste ns) zweimal stetig differenzi er bar; dann nach einem früheren Theorem

gilt

entspr i cht, setzen, denn es soll ja die Vorschrift den. Unser obiges Kreuzprodukt ~,äre also als Namenw,1.,ition des Vektorfe ldes: 'l

X

r;

auf f ange~1endet wer-

zu schreiben und trägt den

r; x B

rot B

ß

oder

a .B.

~.B. = 0 1 J

J- 1

>/

Wir haben also bewiesen:

i ,j

Im Fall e von drei Dimensionen lauten die nichttrivialen i ~ j ;)283

-

B = grad X

Beziehungen für oder

a3B2 = 0

33B1 - c)18J

rot grad x =

0

Q

>

rot B

0

-

x YJ.

0

fUr jedes skalare Feld x • Auch die Um kehrung dieses Satzes gil t :

a1Bz - a2Bl = 0 Das sieht aus ~tie ein Kreuzprodukt, das aus einem "formalen Vektor-" (a 1 ,a 2 ,a3 ) und!! gebildet ~,urde. Für diesen formalen Vektor haben wir bereits das SymbolJ_ ei ngeführt 11 Unter Verwendungdes Vektors~ ist grad f die Entsprechung der Multipl ikation eines Vektors! mit einer Zahl o gemäß aa

rot ß = o

J

x

B

~

grad x

d.h. , nur wenn _I!= gradx ist, verschwindet die Rotation. Diesen t i eferli egenden Satz wollen wi r hier nicht beweisen. ~/enn_! ein Vektor ist, muß es auch möglich sei n, mit einem Vektorfeld !!(!'.:) die Größe 9 • B zu bilde n. Diese formal skalare Funkti on, die komponentenweise durch v • B E aißi gegeben i st , bezeichnet man als Di~>,,rgenz des Vektorfeldes:

Nur mUssenwir hier - im Gegensatz zur üblichen Schreibweise- die Funktion f, die der Zahl a entspri cht , hinter die Vorschrift~. die dem Vektor a

äfte dazu ge ;;wungen wil'd,

Beziehung

und unbe1 Fall is t, sondern d O ~ 12 + ~ 21 = 9, gelten muß, .,i rk t 2 sof ort , al so bereits für bel ie bi g klei nes t auf l zurück; 2 muß al so die Kraft i;,stantc:-f'! und ohne Verzögerung durch e i ne Laufze i t erf ahren . Wenn man andererse i t s bedenkt , daß i n der Rel at i vit ä ts theor ie di e Ausbrei tung von \~i rkungen durc h die Lichtgesc hwindi gkei t c nach oben begrenzt i st , s ieht man, daß actio = reactio ein nichi; Pela tiv istisc hes Pl'inzip i st. Es i st i nteressa nt , fes tzuste ll en , daß sei ne Verl etz ung i n der Rel a t i vi tätst heorie dar an schuld ist, daß in der rel ativi st i schen Quantenfeld t heor ie di e Beschr eibu ng von Teilc henwechsel wir kungen so komplizier t ist. Zu der "le:c quru•ta" haben ~,ir ni cht vi el zu sagen. Akzept iert man die Aussa ge, daß Kräfte Vektor en si nd , erschei nt sie ganz natür l ich; a l so bei nhaltet sie ei ne Fest ste l l ung liber das Wesen der physi kal i schen Größe Kraft. Im übrig en haben wir IJei den obigen Oberl egungen zur Def i nierbarkei t von Masse n und Kräf te n von dem Superpos i t ·ion s p'ri~ ip fib' 1::Nif te bereit s Gebrauch gemacht, i ndem wi r K _,,,

K

1. . n

- vµ

sc hr ieben . al so r.

rn b V-V

K

- V IJ

+

L -Kvµ

K

l: µkting von Y.i'lij 'ten vo11 ihr e n Ursac/1e 11, die gewi sserauf Newton zurückst re nggenomoen a uch die - ebenfalls oas bedeutet,daß nic ht ~er Mechan~k .z':1zurec hn~n i s t . Das gehende - G:rauitationstlteorie gr undlegend: änd ert sic h f reilic h in de r aligem(n nen Reiahvi.tätstheoMe Wir kung (schwerer) Massen in ein~r hier äußert sich die gravitierende Kriir.mungdes sie umgebendenRawneB und kann deswegen nicht vom Stud ~um der Bewegungsfo rmen abse parier t werden .

Im Grunde geno mmen ist di ese gängige Eint e l l ,mg der fundi:lmE-nt a l en 'dcc h,Tahr7.ehnts selwi:,-k unr,en hei..:te bere its Geschichte . Während des letzten lst es nlimlich gel-.Jngen, d ie sclv.Jache =d die elektl'O'Trlgnetisc:he Wcchs,;,1zu brir.c;,m wukung untei- e.i.ne:1 Hut ("el,ektrosclv.Jache" Wechselwirkung) und au c h fü r die Einb ez iehung de r starken Wec hseiwirk ung i n diese Fc,1• ein71eitlichung gibt es erfo l gver helße nde Ansilt ze. Nu.r die Gi•ai•ita tio ns ent zieh t sich auc h he u t e noch '"er folg reich " jedem VrJrwechselwirkung bisl ang d ie Schopfung einer Ein einhei tlichu ngsversu ch und-vereitelt heitlichen Fel.dtheorie , wie sie Ei nstei n jahrzehn te lang als höchstes Denkens vorschwebte. Ziel physikalischen

J 1 1•

E DERMECHANIK E BEGRIFFEUNDKONZEPT 4, FUNDAMENTAL

vorzugeben, Im Prinzip könnten wir nun darangehen, uns bestinvnte Kräfte egungsgl ei chung das Grundproblem und versuchen, durch Integra ti on der Bew Masse npunkte zu der Mechani k zu lösen, nämlich di e möglichen Bahnen der 1i ngen. für die berechnen. Das ~,Urdeuns auch fUr ein paar Bei spie 1e ge nvolv ier t sind, auf meisten jedoch, insbesondere wenn viele Massenpunkt e i diese Weise würAuf . führen unüberwindbaremathematische Schwierigkeiten en Einbl ick tändig s den wir nur einen recht beschrä nkten und absolut unvoll werden wir im fo 1genden zwar i n das Wesender Mechani k gewinnen. Dc!;wegen erk je doch dardurchaus explizite Bewegungenberechnen, unser Haupt augenm zu erkennen ungen Beweg entale Gemein;,amk13·iten azie-,, auf richten, f undam benötigen wir eine und aLZgemeingiiLtige Aussagen darüber zu machen. Dazu . Reihe von G'1'widkonzepten , die wir nun einführen wollen

re Untersysteme Teilt man ein abgeschlossenes System in zwei oder mehre npunkt n0 aus Masse auf, so werden dies e im allg emeine n offe n sein; ein ausKräfte spüren, dem -sagen ~lir- ersten Untersystem wird nam1i eh C:urch en. Eine Ausdie von Massenpunkten aus den Ubr igen Untersystemen ausgeh n unendlich andere allen nahme i st der Fall eines Untersystems, das von nall er Wechsleweit entfernt ist : Nach unserer AnnahmevomVerschwinde hts von der Exiwirkungen im Limes r ... "' spuren dessen Massenpunkte nic st enz der anderen Subsysteme. nische EigenschafAbgeschl ossene Systeme haben besonders einfache mecha ten : r)summeder [mDefinieren wir den Gesamtimpuls des Systems ~ als (Vekto pulse der einzelnen Massenpunkte

dann liefert

die dynamische Grundgleichung (3)

4.1 Abgeschlossene und offene Systeme Massen mn n Wir betrachten ein System, das aus N Massenpunktender besteht. als Eine Kraft auf den Massenp1mkt n be;;eichnen wir als und , t sie von einem anderim 1./assenpunkt n' ausgeh wenn das nicht de-,, Fall ist.

1.. N

'inn el'e Kraft' , wenn 'äußere Kra~ ',

den Massenpunkt n Offensicht l ich ist es ei ndeut ig möglich, die Kraft auf in innere und äußere Kräfte zu zerlegen: N 3 K = Ki + K

-n

-n

-n

r ~n'

n' =l

, hei/3t; 'abgeschlossen', Ein System, in dem aZZe äußere n KJ'äfbe versc/,1,Jinden Ka I -o ist , 'offen '. eines , fcir' daa 2v.11'indest ein ---ff

denn ~nn1 + ~ •n = E.

V n, n'

nach dem Pri nzip (4) .

l s des Syst ems änder t sic h nur durch iiußere Kräft e und D.h. der Gesamtimpu bleibt demzufolge für abgeschl ossene Systeme erhalten. Das ist der sogenannte ImpuZssai2: ist Der Gesamtimpuls ei nes abgeschloss enen Systems

eine Erhaltvngsg'f'tH3e

1)

erab l es Deutsch: von einer daß sie e~.Jas & l'Name 50 ei n dieser können. Der rmn entziehe nicht ng Benutzu seiner uns wir daß gebürgert, w,ieder kor r ekt- e 1 ner der sprachlich se l bst ist -u nd dieses pulssatz der Mechanik. Erhaltwigosätze Diese

Bezeichnung is

t im

Grunde genommenmis

erwarten, ErhaZtungsgröfJe würde man rein sprachlich h ist Dennoc wird. alten h e'f' ie s daß t, h c ni und hä i t,

120

cder !:_= const ans f~il'

abgesch?, os se>'!e .Jyst em,;;

Der Schsi ()O gilt , der Körper-also von einem Punkt höheren (ti efer en) zu einem Punkt tieferen (höheren) Pote nt i als verschoben wi rd. 4.2.5 Die potentie l l e Energie und der Energiesatz der Punktmechanik

dadurch ausgezeichnet , daß die Gesamtenergie ll dabei er halten bl eibt . Das ist der Sa-t:s von der Erhaltung der Ene'f'gie oder kurz S-a,;,ryi!la'lt?. der Pw1ktmedu.;1ik

2

).

Wovonhängt E ab? Ober V offe nsi cht l ich vomOrt des Teilcllens trncl über T von seiner Geschwindigkeit, genauer: von deren Betrag. Nun erhalten wir eine sehr nütz l ic he Aussage daraus, daß T nie kleiner als Nt;ll werden kann. Denken wir uns nämli ch den Massenpunkt am Ort!. mi t 'J(!_) = E in Ruhe. Wenn er sich jetzt unter Wirkung der Kräfte in Bewegungset zt, er t am1achse11, die SummeT + V bleibt v1ird T von O auf eine n endlichen W aber kons tant , näml ich gleich E. Al so muß di e Bahn i n Gänze im Raumbere i ch L = i_i:: V(_!:)~ El ver laufen. Insbesondere muß zwischen dem Betrag i ndigkeit und dem Ort folgende Beziehung bestehen der Gescilv1 1/2

r:.)) 2( E-V(__ lv(r) . --

=

[

m

]

'

Wir werden sehen, daß diese ßezi ehung i111Falle der e indimensionnLrm tle1,1egung bereits zur Integration des Problems genUgt, wollen vorher je doch eine anschauliche graphische üisk11ssion vornehmen. Gegeben sei zunächst ein eindimensionales Potentia l wie in der Zeichnung auf S. 126 dargestellt . as 1äßt si ch über die Bewegungdes Massenpunkte s aussagen? W

1. Die Gesamtenergie E muß größer oder gl ei ch Vminsein. 2. Liege di e Energie bei E1 . Dann ist die_ Bewegung auf das Interval l [a 1 , b 1J beschränkt . In den Punkten a 1 und b1 sel bst muß v = 0 sei n.

Betrachten wir die Bahn, die ei n Massenpunktunter der Wirkungvon Kräften beschreibt, und 2 Punkte _::2 und _::1 auf ihr, di e zu den Zeit en t 1 und t 2 durchlaufen werden. Dann gilt nach 4.2.J und 4.2.4

Nähert sich das Teilchen den Punkten b1 (a 1) von links (rec hts), so gi lt dafür v >(gie und V die pot entieUe Energie des Massenegung i n e inem konservativen Kr aftfe ld i st also gerade punktes; die Bew

2

auch noch I n der zulet zt verwa nd ten Schre ibweise gilt dieser Energiesatz Ausdehnung. Nur kommt in diesem Fall e zur kisLarre Körper endlicher Energie noch ein Te.rm hinzu, der von der Rotation s geschwindignetischen kei t des Kör pers abhängt. für

12,

126

Bewegung . In (a,b) kann das Tei l chen nirgendwo zur Ruhe kommen,denn es gi lt lv ( > O. Di e Bewegungi st auf ein endli ches Interva ll der x-Achse beschränkt und heißt daher fini o .

V{xl

5. Der Fall E

E ist mit dem Fal l (3) i dent is ch . 4 5. lm Falle E Es > Vmax sch l ieß lic h kann sich das Teil chen infinit - ~ nach +m bewegen.

von

St udie ren wir nun den Fal l d > 2 am anschaul ic hen Beispiel d ; 2 . Wir zei chnen uns zwei re präsentative Äquipotent iall i nien auf: V= C, Cz , C1•

0

, , L -- '

o'2

v.m ,n

- ---

-

3. Sei nun die Gesamtenergie v1 < E2 < v2 . Dann fin det di e Bewegung in [a2 , J oder in ( -w ,a 2J stat t. a 2 und a 2 sind Umkehrpunkte,nicht aber + ~ . I st zu i rgendeiner Zei t x > a , so bleibt es dies zu allen Zei2 ten, denn um nach x < a2 überzugehen, mi.ißte das Teilchen das "Pot.ent ialgebirge " zwischen az und az überwinden, YIOZU die Energie nic ht ung is t, auf 1,elc her Seite sie auch illlller ausreic ht 11. Die Beweg statt f indet, infinit . 00

4. Ist nun die Energie gle i ch E3 , so liegen die Verhäl tn iss e ganz ähnlich , nur, daß neben den beiden infin iten Bewegungen noch ei ne f i nite z~1ischen den Umkehrpunkten a 3 und b3 mögli ch i st . Wieder wird ein klass i sches Tei lchen , da~ s i~h ein mal- i-;:; diesem !nte r-;,a fi- befi ndet . e in für allemal dort ble iben. ~las im Rahmen der k la ssi sche n Mecha ni.k un möglich is t, ist in der Quant e mr1€C hani k möglic h. IIier kann das Te i lc hen das r o t en tia lgeb i rqe mit e in er ge wisse n Wahrsc h ein lich keit "du rc h tu nneln " un d so - sa gen ,-, ir vo n li n ks nach rechts ge l angen; das ist der so g enannte Tunneleffekt .

Dann ist für E = c die Bewegung auf diis Innere der geschlossenen Kurven C1 1 besc hränkt und auf c1 wird v = 0 . Di e Bewegung i st sich erlich fin i t, der Beweg ungsbereic h nicht zusammenh ängend und das Teil chen verbl eibt ( kla s s is ch) in dem Tei lber eich , i n dem es am Anfang ist. Für E = c wird die Bewegung i nfinit, v1enn das Teilc hen in dem Teil bere i ch 2 ist, der sic h nach "' öffnet, fi nit j edoch bei Be1•1egungen im Inneren der geschl ossenen Kurve c2 (rechts im Bil d). Diese Aussagen s i no fü r mehr al s eine Dimension nicht ausreichend, di e Bahn eindeut ig zu bes t immen, wohl aber für d = 1. Sei näml i ch zur Zeit t = t das Teilchen mit der Energie E am Orte x0 , für den natUrl i ch 0 E ~ V(x ) gel ten muß. Außerdem sei, sagen wir, v(t 0 ) > 0 . 0

Dann i st durch di e Beziehung (• ) v(x) defin iert und wir können auf unsere Ober l egungen im Abschnitt 1.5 . 3 zur ückgrei fen. Wir erhal ten

V(x), l äßt sich dieses lntearal große x ausführen : di e Be~1egung is t in finit.

a) Gi l t für alle x >

x0 E

>

b) Gibt es hingegen ein (ers te s) XR> xo mit V(XR)

fUr belie b i g

E, so f i ndet das

1..,u

128

tt

1

*

tR = to

+

F(XR)- F(xo)

> 0 für alle t 2_ t 0 , im Falle (b) für t o -< t Da im Fall e (a) v = gilt, i st F(x) umkehrbarund x(t) demzufolge durch




t~

gilt

ng gemäß Al so setzt si ch die Bewegu X

t[ -

t~; ist aber genau gl eich gegeben ist. Das Zeitint er val l t~ lauf en. d.h. das Teilchen braucht ebenso lang um von links nach rechts zu es als von rechts nach l inks . Nach der Zeit 1 = 2(F(XR) - F(XL)) i st Neuem: von wieder mit v = 0 in XR und das Spiel beginnt

für Integral als reelle Größe für x = XRein e natürliche Grenze, weil kehrUm x > XRder Integrand imaginär wird . Hierdur ch wird die erste zeit> t 0 definiert, nämlich zu

R

egung eindeutig aus Wir haben also ni cht nur unsere eindimen5iOnal e 8e~1 ellt, daß sie festgest dem Ener giesat z beschrieben , sondern sogar noch E ;xl ,XRl periodisch mit der Periode 1 i st . Allgemein gilt für jedes X x(t +n -r) = x(t) '>'n. zur Inte Bei mehrdimensionalan..Beweg,Angengenügt der Energiesatz nicht mehr es grat i on, auch muß die Bewegung ni cht mehr peri odi sch sei n, doch gibt ng, Bewegu Keplerdie auch hierbei periodische Fälle, deren wichtigsten, wir bal d kennenlernen werden. ständen ist das anschauliche Modell für die Bewegungim PotenUnter alle n Um n vi elen tia l weit Uber die Mechanik hinaus von großem Nutzen und wird i Zweigen der Physik als Potentialmuldenmodell. angewandt 4. 3 Dre hmomet,n Drehimpuls und Zentralkrä ft e

fini nach x < XR for t und zwar solange, bis das Teilchen (im Fall e der -r Umkeh erste die Für . kOfffllt XL ten Bewegung)an den linken Umkehrpunkt zeit links gilt dann

4 . 3.1 Drehi mpul s und Drehmoment

!. abgetraBeziigl-ich ei.,tes vo'f'gegebenen Punktes PO , von demder Ortsvektor gen wird, wir d der Drehimpuls des Teilchens definiert

als

ht Da.!: und Q polare Vektoren sin d, ist l ein axialer Vektor, der senkrec . hat ) :,_e 1/n

,_ I.

+~

J _IS_(t')dt'

fxl

1/n

r dx

)

11

1

f(x) die Folge der Integra l e

Eine Funktio n, di e über all mit Ausnahmeeines endl ichen Interva lls versch~lindet , nennen 'dir auf das ,Jn te ~"Vdl konaentri?r"t.

Im Falle des Kraft st oßes i st die Kraft auf ein sehr kleines Intervall konzentrier t und gemessen an unseren typi sehen Beobachtungszeiten 11erden wir häuf ig genug T

der In t egml,reehmmg

in [-

i ,¾1 stetig

gilt

f(x)dx

Das i st haben .

e i n Bahnintegral

•1on der

Art,

wie ;iir

sie

in 2. 2. J. 1 unters

u cht.

f iJr ein

=

O stetige

-nämli ch spätestens

is t -

- 1/n

Diese Aussagen sind noch sehr vage und es erhebt sich die Frage , ob wir sie mathematisch konkretisieren können. Das wäre schon deswegen wünschens-

> N,

1/n

stoß konstant bl ei bt.

=

1

Funkt ion

f (x),i,n(x) dx. Nach dem Z1~isohemJerisat.:

für n

als "bel ieb i g kle in " anse hen dürfen . In diese m "bel i ebig kl einen" Zeitin te rvall muß andererseits die Kraft dann sehr gro ß werden, dami t der Kraft-

ln

- 1/ n

1 X sind aber von n unabhängig.

Nun unt ers uchen wir fü r ei ne i n der Um gebung von x 4.4 . 2 Die Diracsc he ö- Funktion

- n

- 2

=

dann, wenn f (x}

141 140

angesehen werden kann.

Al so ist

f{O)

i im

Die funktionen

Trotzdem "benilllßt" s ie sich wie eine Funktion (ebenso wie sich Differentiale, die keine Zahlen sind, in vielem wie Zahlen benehmen)und man leitet leicht folgende Regeln ab:

cn selber "konvergiere n" offensichtlich 0:

· lim·~(x} n-

n

X

={ ~:

f o(x-x')

gegen

(

7' Q

b

x = 0

f 6(x)f(x)d x

und betrachten wir anstell e von (*) das Integral

a

lim _. (x) f(x)

J n-

dx

,

I nsgesamt haben wir also ei n typis ches Beispi el für die Nichtvertcwschbarkeit von Int egration und Gr enawertb i l(fung vor uns . . Umfür solche Grenzübergänge (erst Integra l , dann Limes), die wie gesagt in der Physik sehr häufig notwendig ~,erden, ei ne bequemeNotation zu haben, führt man eine Größe 6{x) ei n und schreibt

f $n(x}dx = f o(x)dx

n-.... t«>

l im

f •n(x) f(x)dx

=

J6(x)f(x) dx

~

\

f(O)

für a




0 oder b

½f (O) für

a=O


eki. .qtet wiY·d und der sie stan dhal te n muß, ~1enn siah d,al' XörpeY' au.f C bewegt .

K=

(!

~) T + (!!

~)

ti + (~

~j -ß

Wie ~1ir den obi gen Gl ei chungen ent M:hmen , i st di ese ße last ung i n Binormal enric htu ng gerad e durch di e ent spr echende Kom ponent e

'

KtI + K11-N + Kit

K~

der Schwer -

5

zu zerlegen . Von der Bes chle uni gung haben wir bereit s i n 2 .2 .5 .4 nac hge•~iiesen, daß sie die Zer l egung

kr af t gegeben. I n Norma k nr i chtu ng kommt zu K j edoch noch der Term 2 n m '!_ hinzu, den man al s Zentt' 1'.f,i.gatkmft beze i chne t . p Wie wir später ganz all gemei n sehe n wer den, t r et en solc he Zusat zkrä ft e, di e man auch Schein k:riifte nenn t, immer dann auf , ~1 e nn man die Bewegungsglei chung in einem besch l eunigte n , c·ls o n.icht-inertialen ßezugssyst em bet r ach te t. Für gekrümmte Kur ven hängt das begl ei te nde Dre i bein nämli ch

besi t zt und somit 1aut et dü i Be~•egungsg 1ei chung ITIQ_= gl eit enden Dreib ei n

i

ausgedr Uckt im be-

C auch di e Basis änder t und di ese Änder ung läßt s i ch ni cht dur ch ei ne Ga-

2

lil eitra .nsformat i on bes chr ei ben.

m ~-- = K P n

Eine inter essa nt e ganz genere ll e Ei genschaft

Ne~ ~ n wi r nun andererse i t s an, das Tei lchen bewege si ch i m Schwere f eld

fs

vom Or t auf der Kur ve ab, so daß sic h mit der zei t l i che n Durchlauf ung von

s

-

= -mg~z • so werden wi r im aiigemei nen keines wegs l = 0 lirgende n

so ist dies fiir kl ei ne 4,0 e·ine sehr brau chbare Näherung. Mit di e5er Nähe-

Umkehrpunkte _:!:.$ < • • zwischen der.en 0 das Teilch en periodisc h hin- und her l äuf t.

Diff erentialgleichung ,1Usgeht, harmon·iitMhei • OaziU ator . Es ist das Grundproblem der gesamten Schwingungsphysik und wi r ,ierden ihm in ßii l de brei -

rung heißt unser Proble m (harmonische s ) Pendel ode.r, wenn man vom Ty p der

te Aufmerksamkeit widmen. I st hin gegen E > mga, so steht i hm i n • = ~ n noch di e kinetische Energie E -mga > 0 zur Verfügung und di e Bahn setzt si ch (wenn anfangs J > O 1,1ar) nach•> 1 fo rt . Da jedoch•+ 2■ ~•gilt, bedeut et dies , daß der Massenpunkt den Scheitel punkt = " überwi ndet und damit eine geschlossene Bewegung auf dem Führungskre i s ausfü hrt . Natü r l ich ist diese Bewegung wie der perio dis ch und man über legt s ic h le i cht , daß die Perföde T mi t wachsender Energi e abni mmt: für E1 > E gilt 2

näml ic h für je des

~

5. 2

Reibung;;kräfte als dissipative

5 . 2.1 Al ]gemein e Beschreib ung von Be,1e9.u119en mi t Reibung

Lassen Si e uns nocheinmal zur Be1-1egu n9 auf ei ner schiefen f el d, die ~1ir i n 5.1. 2.l studiert den Neigungswi nkel zu betrachten.

Versucht man di e Zeitabhängigke i t ~(t)

expli zit auszurechnen , so führt

das auf Integr ale der Gest alt

c,

Ebene im Schwere„

haben, zurückkommen. Di esmal ,:o ll en ·,lir

= 0 wählen,

also in Wahrheit di e hor i zonta le Ebene

Da für di esen Fal 1 di e -dynamisch ,lirksame - Tangentialkompo-

nent e der Sch1·1er kraft ver sc hwi nde t , i st das Teilch en fre i von außeren Kr;H ten. Es müßte s ic h al so gemäß y( t)

F( ,~, k)

Kräf te

= y

0

oyt

+ v

z ( t)

0

gle i chför mig geradl i ni g fortbe1 ,1egen . Oie Funkti on F(w,k) ist nich t mehr dur ch elementare Funktionen auszu drükken, sondern al s ElZi ptise h,2s Normalin t egral 1 . Gattung bekannt und in Funktions ta feln beschrieben und tab uli ert ; damit kann man, wellri man v1ill, diese Funkt i on ebenso beherrsche n wie etwa die trigonometr i sc hen Funk-

Wi e Si e wi sse n, tut es das in ~/irk l i chkeit aber nich t. Zwar wird sei ne BcJhn gerade ver l aufen, doch wi rd es imner langsa mer ,:erde n und sc hl ießl i ch zur EmpfehlensHert ist das "Handboa~: of' /•fatlzematictJ.L F,mct i o n.,", ( Dove, Pu bl i cations, t nc. , 1965 ), das vo n H . Abr amowi t z und I. A.Stegun edier t wu.cle .

168

169

Ruhe kommen. Und natürlic h verwtindert Si e das gar ni cht we i ter, .iissen Sie doch, daß der Kör per einer "Reibung" unte rlie gt. Doch wie können wir

von den äußeren Kräften unabh?.ngi.g si nd: ,,ienn fA die äußere Kraf t is t , ,,i rd folg li ch der Körper der Gesamtkr aft

Reibungsk r äfte

dieses Phänomen im Rahmen der Mechar.ik besc hreibe n? Nach der dynamisc hen Grundgleic hung bedarf es offensichtlich

einer Kraft,

um den Körper abzubr emsen , näml i eh der Rei bimgs'k;t>aft ~ .

unter l i egen, wobei~

Diese Kraf t muß ver schv1i nden , wenn der Körper ruht,

Weil nun die Kräft e additi v s in d , s i nd es aucn i hr e Beiträge

sonst wLirde s i e ih n

abermal s dur ch den Ausdruck (*) gegeben ist. zur Ar bei t

ja in Bewegung set zen , und darf f Ur endl i che Gesch,1indig keite n ni cht ver-

und es macht Si nn, von der Reib ungsarb eit zu red en. Für ei ne be l ie bi ge

sc hwi nden. Folgl i ch·muß sie gesahw·ir,J.igi:,n>tsabhängig

Bahn !_(t ) ist di ese durc h

sein .

t

Außerdem muß sie der Geschwindigke-i„ t entu,,gengerichte t se in, also di e all gemeine Form

AR

-

f KR(.!:(t ' ), v(t ' ))~ (t'

)·• ~(t ' )d t '

to

t

besit zen . Denn hatt e sie e ine Kom ponente sen kr echt zu :i__,wUrde si e den Körper aus se i ner gera dl i ni gen Bahn abl enken, und zeigte sie i n Richtu ng von :i__,wür de s ie den Körpe r besch leun~gen , statt

J KR(t ' )v(t'

i hn abzubremsen .

Ihr Bet ra g KR wird im a 11gemei nen nur ve1~Bet m g dey, Gesc m;indvflw ·[t v abhängen, sons t wür de die Rei bung unge11ö hnl i cher wei se von der Ri chtun g der Bewegung abhängig sei n; hinge ge91kc1nn im Sonderf all KR durchaus

)dt '

to gegebe n und unter ai,Len Umständen negativ. Des wegen nimmt aufg r und der Rei bung die kine ti sche Energie

or-tsabhän,ri.g sein.

Das ist der Effekt, den ei n Autofa hrer verspUrt , der von trocke ner Straße pl ötzlich auf Glat t eis gerät .

Alles in all em i st also~

ab , falls

durch

di e Reibungsarbeit

nic ht durch di e Arbeit

AA einer äußere n

Kraft fA kompensi er t wir d . Nun nehmen ~1ir an, die äußere Kraf t~

sei konserva t iv, so daß -siehe

4 .2- die mechan isc he Energ ie i n Abwesenhei t von Rei bungskrä ft en erhal-

gegeben.

te n bl ie be. Wenn sol che da sin d , er halt en wir st att des sen Dies en Ansatz können wir abe r sofort für den ailgameinen gung ei nes ti\assenpunktes frei

von äußer,en Kräften

Pali der Bewe-

i n oder auf ei nem

w.ateri e 11en Substra t verwenden, denn die horizon tale Ebene war j a nur ei n Mitt el , um di e Sch1,erkraft zu kompens ieren und unsere späteren Oberlegungen haben mi t dieser

oder i n different

i el le r Form

spezie l l en Versuch sanordnun g ni chts iu tu n.

Was aber müssen wi r machen, wenn wir auf den Kör per von aw'.Jen her>,,nt Kräften

ei m,i rken?

Aus den Prinz ip ien der Mechani k werden v1ir hiera uf keine Antwort er wart en dür f en , denn di ese machen, wie v1ir berei ts dis kutier t haben, keine Aussagen über spez ielle Kraftgesetz e. Vie lmehr werden wir hier di e Erf ahru ng zu Rat e ziehen mUssen. Diese Erfa hr ung zeigt, daß die

Die meehanisahe EneY'gie des Teilch ens nimnt also permanent ab . Das i st

der Vorgang, den man als Dissipation

bezeich net .

Unser Ergebnis zei gt nebenbei, daß das Potentialmuldenrnodel.l

, das wir i n

170

17J

4 . 2 ei ngeführ t haben , auch im Falle von Reibung zur qualit at ive n Dis kussio n der Bewegungherangezogen werden kann.

närern Verhalte n fü hren .

y

5.2.2

Wie das zu gesc hehen hat, geht aus der Abbil dung hervor : Das Tei l chen verlier t be i se i ner Bewegung Energie und rutscht dabei allmählich in den Topf hinein, bis e s i n ei nem Potentialminim um zur Ruhe gel angt . fm übr i gen zeigt di e Zei chnung, daß die s kei neswegs das t i efstmögliche Mi nimumsei n muß; s ieht das Potentia l so aus, wie dor t gezeichnet , hän~1t es empfindlich von den Anfangsbedingungen ab , i n 1-,e l chem Mi ni mumdas Tei l chen schl ieß l ich l andet. über die quant itat i ve Form oer Bewegung läß t s'ic h ohne präzise Kenntni s der Funktio n KR(_r:,,v) nichts aussagen. Intere s sant und wi chti g i st jedoch der Spe.:ia lfa ll , daß neben aer (ort sunabhängigen) Reibungskraft noch eine konstante ö;.,ßp,re K:raft auf das Teilch en wi rkt. Die Beweg ungsgleic hung

Ursachen un~-speziel le Form~nder Reibung

über ·d ie Ursachen der Reibungskräfte, die in makroskopizc.ii ird isc hem Rahmen all-~egenwärtig s ind, während s i e f iir Bewegungenim Helt rawn ansche i nend f ehle n, können wi r nur Heur i stisches 5a9en. Kla r is t zunächst, daß Reibung damit zusamm enhängt, daß der ,ich bev1egende Kör piir mit andere n materi el len Gegenstä nden -et wa ei ner f'ührungsschiene oder der Atmosphäre, i n der er 5ic h bewegt- i n Konta kt is t . Die mechani sche Ener gie, die er nach unseren frü heren Unters uchungen verlie rt, gibt er an di eses Substrat ab I ), wo si e -wenigstens letzte ndl i ch- in lfärmeenert iie umgesetzt ~,ird . Der genaue Ver l auf dieses Prozesses 1-/ir d sehr kompli zi er t se in und sehr von der spezi e 11en Art von Körper und Substrat abhäng~n; des1-1egenl assen sic h liber die Form der Funkt i on KR(v) auch kei ne all gemeir1giiltigen Aussage n nwchen. Für versch i edene Fa11k 1assen hing egen gibt e5 p h.änomenoio gi sahe -~nsti.tw 2>für die Reibungskraft, die allen pra ktisc:heri Anforderungen genügen. Spezie ll e wichtige Formen der Reibung sin d

hat nämlich dann d~e spee·ieUe

-V =

1.

Lösu ng

di e t.to l

0

d . h.

~ = - y

1s t hingegen zum Zeitpunkt t =O die Teil chengeschrli ndi gkeit er:d2-wl,, wenn auch beliebig ~Jein, so sieht v(t) ganz anders aus. Dann gilt oereits db L=Odas Gleitreibungsgesetz und der Kör per folgt der Kraft Kt inat .••,~an

V'!._

Sie t r iff t für ße~1 egungen i n zähen Medien zu, die l angsam gegenüber der Grenzgeschwindigkeit vg verlaufen, gilt also z.B. in der iangsamen Ballistik. 3.

die F0stkö-rper>:- oder Coid.ombsahe Reibung , die auft r it t, wenn e in Körper sicn auf einer festen Unterl age bewegt . Sie wir d dur ch

flir

V

0

(Kurve v (t )) . 2 Die Funktion des Geigenbogens -einschließlich der bei seiner Handhabung bi swei 1en auf tretenden Kratzgeräusche - beruht auf de:n s t~ von de1' mik.""Oskopis ohen ;;ul" ma.1hp:miigen 8!ll,)egw1g ausgezeic hnet . Das i st aber in 11/ir kli chkeit nic ht der Fall . Es komm t bei der Rei bung närnl i eh imm er nur auf die Rel -:1tivgeBahJ.,1: 1.digkei t aw1,scr.en Xörper und Subatmt an und nicht auf die absolute Geschwindigkeit des Kör pers . Das sehen Sie sofort ein, v1ennSie si ch ei nen Kör per ~:;rst el le n , der in ei nem mit knnst an ter Gesch1~indi gke'it fahre nden Zug auf ei ner hori zontalen Ebene gl eitet und schl ießlich -nämlich für einen Beobachter i m Zug- zur Ruhe koil111t, ~,ährend sich seine Geschwindigkeit ftir eire11 neben den Gelei sen stehend en Beobachter der des Zuges angle i cht. 1

Schl i eßl ich möchte n wir noch betonen, daß Rei bungskrä f te nic ht dir:.. .,.in~,;gen in der Physik vorkorm1endengeschwindigkeitsabhängigen Kräfte sind ~nd daß Di e se Fragen ste he n zur Zeit im Zentrum des Interesses vie l er statistisc her Physiker . Interessante neue Ansätze, die Jedoch noc h nicht abschließend zu be„crten sil'\d, entstammen der Brüssel.er Schule um 1 . Prigogine. Interessenten an einer einführenden 8etrac;htung .i.;rden auf da,; l esenswerte 3uc h von l. Pr igogine "1/cmSein ~um l·le:rden" (Pipe r ve r lag . 1980) ver wiese n .

175

174

nicht: alle gesch wi,•digkeitsabhängigen Kräfte Energie dissipiere n . So erfährt z .B. ein e l ek trisch ge la denes Tei l ci1en der Ladung q i n e i nem ma-

s (t)

gnetischen

s ( t} ~ - (A

Fel d B d ie Lor,mtzk:ra ft

- (A - B)t + v

28

lt 2

0

T

v t 0

I st nun tana > Jg so gi l t A - ß > 0 und die Bewegung ist beschl eunigt und

für den reibungsfreien

Fall (B = 0) ,

und di ese Kraf t ver-Y"'~chtet überhaupt .~e1:ne lir-be1'.i;, weil s ie zu alle n Zei-

genügt im v1esentl ichen dem Gesetz

te n a uf v senkre ch t steh t .

nur verlangsamt.

5 .2.3 Bei sp iel e

Ist hi ngegen tan" < ~g, so 1,i rd de r l(örper durch die Re ib ung abgebr emst und kommt zur Zeit

Für einige

ei nfache Fi'ill e wol l en 1•tir jetzt

die &1,;,r,gzmgsgleichung

mit

Reibul"-{}exp l iz i t losen , um uns über de n Einflu i', der untersch i ed l ic hen

Formen der Rei bung quanti t «t i v Rechenscha f t gebe n zu können.

5.2 .3.1 Schiefe Rinne mit Coulomb- Rei bung

zur Ruhe ~ da umso stärker in Ruhe. Gilt

Aus 5.1.2.1 entnehmen wir

schließl i c h A = B (t ano

= 1,

9

habe n d·ie statio näre Lösung . KJ..= - rng cosa

Kt. = - mg sinn

), dann ist

bung nur

gi lt. Folgl ich läßt sic h der lfaftreibungskoeffizient Uber den Grenzwinkel der Haftung mit e i ner sch i efen Ebene einfach au sm,esse:n.

für lvl

> 0

s

-g sino + µg g coso

S

g coso

s

-g s ina -

tJ

9

•C

Als o gi lt zunächst

s (0) = 0 Dann be,1egt sich der Körper (mit

s(0)

0

s = -At uno zwar bis zur Zeit

V < 0

=

-A

0

a) Sei zunächst die lmfm iysbedin qung

r = VIA,

S=-~t2 2 zu der

0

g sinci = A und u g coso = B) gemäß 9

s ( 1:)

v t; wir 0

(tana > uH). Da wir die Gleitrei

und mi t den oben gewählten Anfangsbed i ngungen >

0

Körp er so l ange reibungsfrei bev1egt, so l ange l~I kl ei ner i st als ein V, das wir im Anschl uß gegen Null s tre ben lass en werden.

s =

v,

de fi ni ert haben , woll en wir an nehmen, daß s i ch der

der Gle i tr ei bung haben ,li r di e Bewegungs gl eichun g s

s

er dann fiir a l le Zei te n

s (O) = 0

und der Haf tu ngsgrenzw in ke l überschr i tten

al so

bleibt

b) Nun sei die Anfangsbedingung

Ruht der Körper am l\nfa ng, so ble i bt er durch 1-fdft r eib ung liegen , so lan ge

Im Falle

tan ci < :iH gilt,

s(t)

= -V

ge lte n . Ab di esem Zeitpu nkt haben wir

s(t )

-

176

177

und mi t den Anfangsbedingungen zur Zei t

s

im Fa lle Newtons 0 f init. Das ist natürlic h ei ne IdeaZisierung des ModeZZs , denn eine reaie Feder würde ni cht nur für größere Werte von x dem HookeschenGesetz nicht mehr gehorc hen, sie würde darüberhin aus xo X L bei zu großer Oberdehnungabreißen. Vondi esem Momentan würde sie natürlich nicht mehr wirken und das Teilchen würde sich kräft efre i -also i nfin i t- bewegen.

Es ist jedoch wichtig, einzusehen, daß das Verhalt en des Potentia l s für 1 Werte von V> E die klassische Teilchenbewegungni cht verändert >: das Parabel potenti al V und das Potentia l V' in der Abbild ung, das für ~/erte > E0 von der Parabel abknic kt, führen für a11e Energien E ~ E0 zu g l ei chen Teil chenbahnen. Deswegenkönnen wir beruhi gt das Oszillator-Modell verwenden, sofern wir es nic ht auf zu hohe Energien anwenden. Da das Parabelpoten ti al syllllletrisch in x ist , werden auch die Umkehrpunkte der Bewegung symmetrisch zu x = 0 liegen .

=;.

tn der Quantenmechanik

ist

au ch das nicht

.

))

0

Dabei muß natürlic h x innerha l b der natürlichen Grenzen

XL= - XR2 x ~ XR liegen , also

'

xl 2 ~ gelten.

1

,i r di e Konstan te arcsin(/¾x Nennen 1-

arcsin

0

)

=

x, so erhalten wir zunächs t

tl'¾

x)

und daraus

wobei nat ür li ch x(t 0 )

=

eiter Setzen wir 1-1

x0 gilt.

und die Maximalauslenkung

~

D

=

~

=

,o, x ~ sit 0

"

-1,

X, so ergibt sich daraus

x(t) = X s i n(~ wt + ~} Dies ist off ensich t lich eine harmonische Schwingungmit der Kreisfrequenz w =

mehr in Streng e richtig

(f ( arcsi n (/¾x) - arcs in (/¾ x

T

vf,

der Frequenz

v =

w/2, und der Peri ode (Schwi ngungsdauer)

= 2n/w = 1/v.

Die Maximal auslenkung X i st durch

/?J'gegeben und he ißt

AmpZitnde,

die

184

185

Größe

•i> Ph.ase ;

offensichtl ic h ist x(O) = X s in 9 gerade die Ausl enkung

(BJ.o;.gation) zur Zeit t = 0 . Eine Ei genschaft des harmonischen Oszilla t ors von f undamentaler Hicht i g-

ke i t i st, daß seine Schwi11.gungsdcr.Ml' aU,; i n von m ,.md D o.bMng t und •Jon de'f' 4mpli tw.fa un(.bheingig ist ; sie i st al so eine Syste mei genschaft und un-

abhängig von der speziell en Bahn! Oes~1ege n ei gnet sich ei n hi!rmonischer Oszilla t or al s Uhr, und wie Sie vlisse n macht man von di eser Eigenschaft durch das Pendel i n Pendeluhren bzw. durch di e Unruhe in sonst igen mechanisc hen Uhren 1~eidl ic h Gebr auch. Diese Eigenschaft hat nW' der harmoni sche Oszi ll ator ; wie wir bere i t s in 5.1. 2 .2 am Bei spie l der "Schiffschaukel"erkannt haben , hängt fü r andere eindimensio na l e Potentia l e die Periode der Bewegung im al lgemeinen durchaus von der Energ i e und somi t von der Maximal aus 1enkung ab. Die Sch1-1 i ngungsdauer des harmoni sthen Pendels im Schwerefe 1d ist Ubri gens von der Masse des Pende1s unabhängig, weil hi er die rücktre i bende Kr aft D selb st zur Masse proportiona l i st: D= Des1~ egen ist

gegeben i st. Ihr e Summeist natür l ich gerade E, und der Prozeß ver l äuf t so , daß potent i el le und kinet i sche Energie s ic h periodisch ineinan der umsetzen. Unt er der Verwendung der Ad.ditionstheoreme

s in( a + b) = s i n a cos b + cos a .si n b cos (a + b)

ZrrM

Demzufol ge hat ein Pendel der Länge a = l meine Schwingungsdauer von T = 2.0064B s, also ungefähr 2s. D

: wXcos

si n (± wt) + X sin cf>

cos(wt )

cf>

cos(wt)

+,,,xsi n Nultiplikation

nicht

abieschloaarm : das Produkt zweier imaginä-

rer Zahlen ist reell!

Mankann nvn weiter d

2

-l/x

=----½ f(x)

'(

f(O) = 0 f ' (0) = 0

X

f " (x )

ra(x v=Ov

bei "Entwicklung um

l ie fert die Funktion f(x)

Null" [x = 0). Wir haben

Die Funktion f(x) wird (zumindestens i n einem Tei l ihres Defini tionsbere iches) durch ein e Potenzreihe dargestellt, wenn es gel in gt. x und 0 die av so zu bestimmen, daß dort f(x)

und die

(- '16 X

)v

>

- -)46 f(x)

f"(O)

x

0

0

und weiter f v1 (0) = O für alle

gilt . Nun lasse n sich reelle Funktionen, die unendlich oft differenzie:r>bar s ind, häufig durch eine einf ach er zeugbare Pote nzreihe, die sogenannte Taylorreihe, darstel l en.

v •

Also konver giert die Potenzre i he für alle x gegen Null (denn es is t S = D v n), aber diese Reihe stell t f(x) ni cht dar. n

Nun wollen wir die Potenzre i hen ins Komplexe übertragen , indem ~li r

Für sie si nd die a V durch

,. i

fVI (X ) a.

V

v!

gegeben und wir erha l ten f (x)

Geometrisch approximier en die Teilsummen diese r Rei he die Funkt ion f(x ) i n immer höherer Ordnung . So ist die Ersetzung des Pot entia l s der Schi ffschaukel durch das Potent ial des harmoni schen Pendel s nichts anderes

o)

v=O

0

Z -

Z )V

o

sc hreib en. Damit das einen Sinn macht, müssen wir zunächst den Konvergenzbegriff für komplexe Zahl en betrachten, doch ist das nic ht sch~ier. Haben wir doch schon für Vektoren def i niert

1. l - ~I „ 0 Daraus erha l ten wi r spezie l l für komp l exe Zahlen

·

202

203

Mit diesem Werkzeuggel i ngt at>er jetz t für Funktionen, die eine Tayl or-

darstellung besitzen , le icht die Fortset zung ins Komplexe , denn der Schl uß von (x - x ) 0 auf (z - x )" is t wi ll kürfrei. Haben wir also 0 0

sin x

-1±

cos

--X

X

so definieren

x--+

(2m+l) !

x3 31

x5 - -

51 +

x2

(- l }m 2m

l --+ 2!

2ml

x4

- 4! + ix3

00

f(x)

x2m+ l

3!

1.!

Ea(x-x)n n=On o

Wie man durch Vergl eich fests tel l t - und dieser i st nach unseren früheren Ausführungen fi.lr absolut konverge nte Reihen mögl ieh- gi lt näm1i eh

wir

eix

f(z)

di e EuZer-Moivr-esahe Ident1'. Uit Dabei i st (zunächst einmal) der Definitio nsbere ich von f(z) in der komplexen Ebene mit dem Bereich der absoluten Konvergenz der Reihe i denti sch. Also ist _

1

cos x

+

is in x ,

.

Mit ihrer Hilfe gel i ngt es, der Polardarste llu ng einer komplexen Zahl die besonders prägnante Form

n

l. nT z: n=O ·

und von di eser Reihe kann man zeigen, daß sie i n der gesamten z-Ebene

zu geben. Weiterhin er halten wir dara us sof ort

konvergi ert . Funkti onal glei chungen, wie di e oben angeführten, für di e Funktion schla gen sich nun in den Reihen al s spez ielle Relatio nen zwischen den Koefexe erhalte n ble iben. fiz ie nten a 0 nieder, die beim Obergang ins Kompl Folglich gilt, wie man auch aus den Reihen leicht nachrechnet, z. B.

sin x

COS X

2

2i

mit deren Hilfe man z.B. die Additionstheoreme f ür Sinus und Cosinus sehr leicht beweisen kann. (Führen Sie di ese Aufgabe durch) . Nun können wir auch l eicht ausrechnen, was z .B. log (-3) i st. Als komplexe Zahl geschrieben i st -3 nämlich

Auf die gleiche Weise ge!1en wir mit a ll en Funktionen vor, die eine Tay-

z = - 3 + iO

!z[ ei$ = Jein= 3(cosrr + i sinrr)

1orentwi ckl ung besitzen.

Nungibt es einen sehr interessanten für cos x, si n x und eix

Zusammen hang zwischen den Reihen

Al so haben wir log (-3)

l og ( 3ei " )

log 3 + log ein

log 3

+ i 11

204

205 Nun haben wi r ei n weni g vor ei l ig gesc hl os sen:

denn die Funktiona lglei chung von log ist

x(t) soll ja die Bewegung des Teil chens beschreibe n , und des se n Ort ist log (ab) " l og a + log b

si cher eine r ee l l e Größe; unsere Lösung hingege n ist bei rei;cU~m1 A+ w1d A+ # A- i s t .

A- sic her l ich kornpl ex, falls

und als Inverse der Exponenti al funkt i on erfüll t er z =

log e 2

Ist doch nach der Euler -Moi vresc hen Ident it ät z .

Gi lt aber A+ = A-, so hängt x(t) nur von einem unabhäng i gen Parameter ab,

Ganz allgemein ist

i st al so nicht di e allg eme ine Lösung . log z = log

izl

+ i~ .

Im übr ige n f in den wi r auch l ei cht al s Dar stellu ng von z

Nun können wir aber auc h A+ und A- als komplex annehmen. b1ar haben wir das Superpositionspr in zip nur für re ell e Koeffiz i ent en formuli ert, gi lt es -wie man sofort

sieht - auch für komp·l exe.

i s t, muß x(t)

Damit nun x(t) reell

doch

=

x(t ) gelten,

also

und außerd em das wi chtige Erg ebnis sein. Wegen der li nearen Unabhängi gkeit von eiwt und e - i,ut geht dies abe r nur flir

6.2 . 3.3 Anwendung auf den harmoni schen Oszi l lator Nach den voran gega ngenen Ausführ ungen s in d vtir jetzt in der Lage , di e Glei chung = auf di e wir ei ngangs di eses Kapi t "?l s gekommenwaren , zu l öse n; es i st nämlich m = + i w und damit lös en eiwt und e- iwt gl ei cher weise di e Di fferent i algleich u; g ~ + w2x = 0. Außerdem sin d beide Lösungen

tt2 -w2 ,

(woraus die rneite Bedingung , nämli ch i,+ = A- dur ch Konjug ation tri vi.al en~eis e fol gt :

z=

z). Al so habe n wir mit A+ = a + i b

x(t)

l i near unabhängig, denn es gi bt siche r weder r ee ll e noch kompl exe Koeffizienten a 1 und a 2 t 0, fü r die

(a + i b) eio, t + (a - i b) e- iwt

(a + ib ) (coswt + i si nwt) + (a - i b) (coswt - i sin wt)

2a cos ( oit) - Zb s i n ( ,1 t ) is t. Folgl i ch wir d

und di ese Lösung enthä l t nunmehr wieder zwei unabhängige ree ll e Par ameter, i st al so im Reelle n al l gemein. Wenn wir die Ergebnisse

zusammenfa ss en, sehen v1ir also,

daß der Lösungsan -

sa t z e0 t im Rahmen der komplexen Zahlen dur chaus zum Zie l führt, di e alZgemeine Lösung der Dif fe ren tia lgl ei chung sein .

aber

letzt l i ch abermal s di e bekannten Grundlösu ngen cos( wt) und sin (wt} er gibt.

206

Das Skala r produkt is t im Komp l exen nicht

6.2.3 .4 Der komplexe und der uni tä r e Vektorr aum Ganz nebenbei haben wir noch ein anderes Resultat gev1onnen.~/i r haben gesehen, daß die Di ffere ntialg leich ung des harmoni schen Oszi 1lators „

x+wx

2

f ül l t stattdessen

di e Bezi ehung

Alle ander en Axiomebl eiben er halte n, nur in (A' 3) muß man nat ür l ich wie-

=O,

der den Terminus "reeEe obwohl der Koeffiz i ent,} ree l 1 ist, auch komplexe Lösungen (* ) besit zt , und daß der en Vi el f alt größer ist als die der reel l en: muß doch di e Beziehung (** ) er fü llt sein, um aus dem allgemei nen Integ r al im Komplexen das al lgemeine reelle Integra l zu ext rahie re n. Von den ree l l en Lösungen homogener l inearer Dif fe rent i algle ichungen haben wir gezeigt, daß si e ei nen Vekt orra um aufspannen. Doch wie ist das mit den komplexen? Hierfür schei nt di eses Konzept zunächst e inmal nicht anwendbar, denn die Vektoren, di e wi r bish er betrachtet haben, hatten s tets reel l e Kompone nten und konnten gemäßVereinbarung 8 auf S. 34 auch nur mit reell en Zahl en multi pli ziert werden. Diese Einschr änkung war in Hinbl i ck auf di e Ort svektore n, von denen wir ausgegangen waren und di e s i cherl i eh reelle Komponenten haben, s i nnvo11, aber auch deswegen angezeigt, 1•1 e i1 uns damal s der Begriff der komp1exen Zahlen noch ni cht zur Verfügung sta nd. Doch ist sie keineswegs zwangsläufig: ohne weiteres können wir zula ssen, daß ein Vektor mit einer komplexen Zahl multipliziert wird, ohne sonst das gerings te an unseren Axi omen (Al) bis (AS) zu ändern ll . Durch di ese Definition ent st eht dann ein kompZexer Vektor raum, oder , wie man auch sagt , ei n Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen. Da Kr c Kc i st, is t sogar je der ree lle Vektor auch Mitglied des komplexen Vektorraums, ein Zusamm enhang, den wir in leicht vers t ändl icher Schrei b~1eis e als Vr c Vc notie ren woll en. Nun erhebt s i ch natür lich sofort die Frage, ob es möglich sein wi rd, den Begriff des Skalarproduktes auf kompl exe Vektorräume zu übertragen . Auch das ist mögl ich, erfor dert j edoch eine Abänderu ng des Axioms (A' l), das wir auf S. 37 angegeben haben.

Es ge nügt

einen

soga r schon,

Körper bil d en.

daß die

Za hlen , mit. d ene n mu lti ,pl iziert

mehr k.01m111.tati v, sondern er -

wird,

Zahl." durch "komplexe Zahl' ' ersetze n.

Damit und mi t (A' 3) gi lt dann aber automati sch

Aus (A' 3) fo l gt übrigens sofort, daß die Zahl, die durch das Skal arprodukt dem Vektorpaar ~•E.zugeordnet wir d, sel ber komplex sei n muß, daß (A' l *) al so wirklich eine Abänderung von (A' l) bedeute t . Doch fo lgt aus (A' l*), daß das Skala rprodukt ei nes Vektors~ mit sich se1 und das w'ie derum ist di e Voraussetz ung für di e Gültig keit von (A' 2). Es macht als o auch für komplexe Vektoren einen Sinn, von i hr er Länge

ber auch fUr nicht-ree ll es a reeU ist,

zu spre chen. Hingegen l äßt sich die Interpre t atio n von~ • ~ a l s

nic ht mehr aufrecht er hal t en, denn aus der Kompl exitä t des Skalar produ~t es wurde fol gen, daß cos $ ebenfa lls nic ht -r eell se i n kann. Dennochgi lt die Schwarzsehe

UngieichW'l{J

nach wi e vor , wenn man 1~ • E.I als den Betrag der komplexen Zahl z = a • b in t erpreti ert. Der Beweis von S. 39 ist dafür fast wör t licl 1 zu übernehmen. An dem Begrif f der l inear en Unabh~ngigk~it und der Existe nz von -i nsbe sondere orthonormalen- Basen änder t si ch nic ht s . In ei nem vONS[e .} gilt ab~rmals -1

209

208

a =

Lösung der Di f f erentialg l eichung; ent spr i cht di ese doch ei nfach ei ner anderen Wah l der fr e i en Parameter A+ und A- . Wegen des Superpsosi tio nspr i nzi ps sind dann aber auch

d i a.e .

i=l

1- 1

die Komponenten a; sind i n ihm durch

Re z(t)

a.1 (aber nicht mehr durch!

• !j)

=

2

e. · -a

- 1

gegeben. Der Beweis bl e i bt Ihnen Uberla ss en .

Für die Dars te l l ung des Skalar produktes durch Komponenten folg t dar aus sofor t b

~

= ·i: 1

.e . • = { r. a 1-1 i

,

,J

a.b .( e . 7 J - 1

( z(t ) + z(t ))

e .)

-J

.) J- J

i:

..

l

,J

ä1.b J.olJ. .

Im z(t)

(2(t/ - z(t l ) 2i

Lösungen und z~1 ar i"ee Ue !

E b .e

j

und

~

i

a:h

Ei n komp l exer Vektorr aum mi t Skal ar produkt wird al s unitärer bezeic hnet .

Man rec hnel 1e i cht aus , daß j ede di eser Lösungen von ;;wei unabhi:ä1g1:gen reelles I 11teg J> aL der Diffe r enti a lgl ei chung dar st el lt . Das l i egt dar an , daß die bei den kompl exen Par amete r A+ und A- in i hr en Rea l - und Imagi när te i l en vi er unabhängi ge reelle Paramet er be i nhalt en. Folgl ich lie f ert das aUgemei11e komplex e In t egral di e aZZgemei 11e reeZZe Lösung gl eich doppelt und wir können sowohl von Re z( t) a l s auch von Im z(t) ausgehen, um di e konkr et e Bahn des Te i l chens zu beschre i ben. J>eeUen Parametern abhängt, al so ein allgemeines

Vektorra wn

Da nach unser en obigen Überl egungen Vr c Vc gi l t und da f ür alle ree llen als o jeder un-it ä.r>eVekto r Vektoren (A' l*) in (A' l) übergeht, beinhaitet ra um den euki i di s ehen sei ne r ree7,,le n. 11itg7,,ieder.

Da das Rechnen i n komplexen Vekto rrä umen nur ganz unwesentl i ch kompli zie r t er i s t al s i n r eelle n, man bei ihr er Benut zung j edoch alle Freihe i t en geni eßt , die di e kompl exen Zahl en bie t en, benut zt man in der Physi k häuf i g auch dann kompl exe Vektor räume, wenn es um di e Dar s te ll ung reeller Dinge, wie z.B. Teilc henbahnen, geht . Dafür war en unsere Unt er suchungen in 6.2 . 3.3 ein er stes Be i spi el; wei fere - di e Vorzüge dies er Verall gemei nerung noch vie l klar er auf zeige nde- werden folgen. ZumAbschluß woll en wi r nochei nmal auf die al lg emeine komplexe Lösung

Häuf ig benutz t man di ese doppel te Dar st el lung st i ll schweige nd , d .h. man r echnet mi t kompl exem z(t ) , ohne ext ra dazu zu sagen , daß man ei gentlic h den Real- (oder Imagi när - ) teil meint. Das geht sola nge gut , sol ange man nur uperati onen ausfü hrt , di e li near sind, a l so die Able i t ungen bildet oder verschie dene Lösungen zueina nder addie r t . Nimm t man allerd i ngs nicht - l i neare Operati onen vor , et wa ei ne Quadratb i ldung, wie si e zur Berechnung der Energie erfor der l i ch is t , so muß man si ch vor her dar an er inner n, daß man reel le physi kalisc he Gr ößen im Auge hat . 6.3 Der gedämpfte Oszill at or

der Oszil la t orgl ei chung zur lickkommen. Für be7-iebige s kompi ex es A+ und A- is t z(t) na türl i ch sel ber komplex , kann als o kei ne Tei lc henbahn dar st el l en. Doch i s t mi t z( t) auch

Die Be~iegung des harmoni schen Oszil lator s, sofer n wi r sie bishe r behandel t haben, i st ungedämpft; er würde al so bis in alle Zukunft hin schwingen. Dem widers prich t si chtl ic h di e Erfahrung , daß j edes einmal anges toßene Pendel i m l aufe der Zei t zur Ruhe kommt. Natür l ic h i st dies e i n Rei bungsphänomen und wi r müssen der Kraf t ei nen Rei bungst erm hi nzufügen, um

2ll

210

di esen Prozeß zu beschre i ben.

entzogen wird .

~li r r/011en hier die Stokes sehe Reibimg ven ,enden und K als

Deswegenf~llt für die Bewegungsgl eichung auch das Integra t ionsver fa hren Uber dem Energ ie satz aus und wi r mUssen sie auf andere Weis e l ösen.

K = -Dx -

Rx

anset zen . Daß ~,i r so vorgehen, i s t weniger dadur ch begr ündet , daß etwa e in durch Luftr eib ung gedämpftes Pendel wirkli ch ei ne Stokes sche Rei bung erfü hre, al s viel mehr dur ch fol gende Oberlegungen: E-rstens benut zen wir ja den harmoni schen Oszi ll ato r al.s mechani sches

Mode11 von Vorgängen , di e eventue 11 außerhal b der Mechanik l iegen, und hi erbei t r i tt tatsächlich häufig ei ne Reibungskraft auf, die der zeit l i chen Anderung der veränder li chen Größe proport i ona l i st . Berücks ic htigt man z.B. im Beispi el des kurz angesprochenen Paral l el- Schwingkre i kre i ses den OhmschenWider stand der Lei tu ngen ( i nsbesondere in der Spule) R, so t ritt R zur Dif ferentialgle ic hung für den Strom I ein ( Dämpfu ngste rm -Ri hinzu und wir erhalte n

Die Methode dafür haben wi r bere its in 6.2 .3 vorbere it et : wir machen den Ansatz

2

y x f ührt . Setze n wi r das in die Bewegungsgl eichung

der zu X= yX, X e i n, erg ib t si ch

Da eyt -f O ist, den Lösungen

muß der Klammerausdruck ver schwinden, y also eine der be i-

R!

2 • lfR

4mD

•h+

K

2m .. . 1 LI + RI + I =0 , C

Zweiuins aber l egen wi r Wert dara uf , die ents prechende Bewegungsgl eichu ng

analy tis ch integrie ren zu können. Das wird im Falle Stokessoher l eic ht mögl ic h sein , weil die Diff erentialgl eic hung

mx +

Rx+

Reib ung

Dx = 0

i n di esem Fal le nach wie vor line= mit kons tanten Koeffizien t en bl ei bt, 2 während die , sagen v,ir, Newtonsche Rei bung KR = - vx ei ne ni cht l eic ht zu bewältig ende Nicht lin ear it ät i n die Gl eichung einführen v,ilrde. 6 . 3 . l Die I ntegra tio n der Beweg ungsgle i chung

Da di e Kraft in Gegenwart ei ner Reibung ni cht mehr konservat iv ist, bleibt die mechanis che Energie bei der Bewegung ni cht l änger er halte n. Vi elmehr fi nden wir durch Spezialis ierung unseres dies bezügl ic hen allgemei nen Ergebnisses aus 5 . 2. 1 (S. 169) , daß dem System pro Zeiteinheit die Energie E

der quadra t i schen Glei chung se in, durch welche di eser def i niert ist . Y1t Yzt Ist di e Wurzel K von Null versc hieden, so sind e und e l inear unabhängig und demzufol ge ist

Rx2
1ege erste. Wieder kann man - r ec hnen Si e das übungshalber nach- 8 1 und 82 so wähl en , daß x0 und v0 beli ebig vorgegeben werden können. Dabei kann di e Bahn x(t) fü r kle ine t ga~z untersc hie dl ich aussehen, wi e die Zeichund di ese s i st fLir ree ll e

215

214

nung zeigt . Für große t "kriec ht " d ie Lösung gegen die Werte x = 0, v = 0, ohne sie flir endlic he t jemal s zu er r eichen oder gar zu unter schreite n. Deswegen spri cht man für st arke Dämpf ung auch vom

d .h.: R2 = 4 mD . Dieses i st aber gerade di e Bedingung fUr den Sonder fa l l

K:riechfali.

Man nennt den Beweg ungstyp fü r diese "bitische"

Kriech fall

Bleibt uns nur noch, die Mathemati k und Phys i k des Sonderfal ls R2 = 4mDaufzukl ären, i n welc hem die Diskr iminante der Stammglei chung versc hwindet und demzufolge ihre Nullste l len yl und y zusamme nfalle n. Dann hat man als Lösung der Bev1e 2

gungsgl ei chung

aber das kann nicht die a1.Zgemcine

Lö .nmg

sein , denn s i e beinhaltet nur

einen Par-ameter . -At

->.t

auch t e par tiku Zä'f'e Wir zeige n jetzt : i n di esem Fall 1s t neben e Lösung der Diffe rentia l gl ei chung und da di e beiden Lösungen lin ear unabhängig si nd, is t x(t)

=0

und >. = -fm-is t di e r i chtige Lösung, q. e.d .

Ll

Dämpfur,-{laperi odis alze,-;.

GrenafaLZ- . l~ie der i st di e Bewegung keine Oszi ll ation,

kann aber (bei t = - A/8) einen Null durchgang haben . Di e genauere Analyse zei gt , dar3 die Beweg ung im aperiodisc hen Grenzfa l 1 schnell er zur Ruhe kommt als i m K:rieohoder Schiuing f aU . Das ist meßtechnis ch z:.B. beim ball is t i schen Ga l vanometer von Bedeutung, das man in der Elektrophys i k benutzt . Umdie Meßdauer kurz zu halte n, wählt man hier bei di e Dämp fung so , daß sich eine ei nmal vorhandene Ausl enkung möglichst schnel l abbaut .

' lin ear e Differe nt i al Im übrigen is t unser Lösungsver f ahr en auf bel iebige gleichungen mit konstant en Koeffi zienten anwendbar, ~,enn mehrere NuUstel Sei ,.

1

=>-

x(t) haben wi r nämli ch

2

=

... ~ k=

l.

einek-facheNu

l l stelle.

Dannz e igtman,d aß

di e Funkt i onen t µ e>-t flir µ = 0 .. k- 1 l inear unabhängige Lösungen cler Di f ferent ial gleichungen dar st ell en, di e man gemäß

(A + Bt ) e- At

i hre allgemeine Lösung. x( t ) = t e- >-t

K

len der S twrmgl..eichu ng zusarrunenfal..Zen: .

Mit

e in, er gi bt si ch

k-1 ( t a tµ) e Al + Bei träge · von anderen Nullste llen µ =O µ

zur allg emeinen Lösung machen kann.

In die Diff eren ti algl eichung eingesetz t und nach Potenzen von t geordnet

Zum Abschl uß wol len wir uns noch genauer über den Weg in der komplexe n Ebene i nformieren, den di e \~urzel n yl 2 der Stammgl eichung nehmen, wenn R a ll e mögl ichen Werte von O nach• ~urchl~uf t.

ergibt sich damit

Für R = 0 s i nd diese Wurze l n re i n imaginär und durch

[ ( m >-2 - A R + D) t + ( R - 2 >.m) ] e- ).t = 0

Dam it di es fUr all e t ver schwinden kann, müssen die runden Klanrnern get rennt Nu11 werden, denn t und 1 s i nd l inear unabhängi g. Aus der zweiten und setz t man dieses . Er gebni s in die ers te Klammer fo l gt damit ,\ =

¾

Man kann die s e n Beweis auc h cb .,c h eine Grenzwertb et:,v.ccht1.mgausf ü hren, ind em ma n von der al lg emeinen Lösung für y # ~ ausge ht . Dann lasse 2 s treb e n u nd tr4fce tüx d i e Para meter A und man Y un d r g egeneinander 2 1 A?. ei ne geeignete von der Differenz (y - y ) abhäng i ge Wahl. Die 6urc h 1 2 f u h r un g dieses · Beweises wir d I hne n emp fohle n.

216

' l/

R=O

tiw = ,:t:

l(J

gegeben.

Doch wie erhal t en wir bei beli ebi gem F(t) eine par tikuläre Lösung?

Für R..: R0 2 ·J Dm s ind s ie reell und fall en für R = R im Punkte -R0/2m ~ -w 0 zusamme n. Ist R sehr groß, str ebt 1 1 nach Null und 12 nach -• .

Eri nnern wi r uns, daß wi r unter Benutzung der o-Funkti on F( t ) als

Für O c R < R0 sind die Wurz eln konj ugi er t komplex zueinander. Wie man l eich t aus (*) entni mmt,s i nd ihr e Betr äge. !Y1 2 1 von R unabhängig und dur ch w gegeben. '

- iw R=O Wurze lloci

das uns aus 6.3 bekannt e al lgeme i ne Inte gral der homogene n Gl eichu ng, so hat man damit das Probl em all gemein gelös t .

Wächst also R von O auf R0 , so beschrei bt 1 1 den posi tiv ori enti erten Vi ert elkreis mi t Radi us w im 2. und 1 2 den negat iv or ient ie r t en Vier te l kre is mi t dem glei chen Radi us i m 3 . Quadr anten der komplexen y-Ebene. Insgesamt erhal t en 11i r also für di e ,-lur:rnUoai das in der Fig ur darg es te l lte Verhal ten . 6. 4 Der harmoni sche Oszi l l ato r unter Einwirkung ei ner äußer en Kra f t

Bisher haben ~iir st ets die Bewegung eines harmonischen Osz i ll ators unt er der Bedi ngung bet r acht et, daß si e bereits zu t = 0 exi sti er t , d. h. daß wenigste ns eine der Größen x0 und v0 von Null vers chie den ist. \~i r haben nicht danach gef r agt, wie di eser Bewegungszust and ~es Oszillator s zus tande gekommen ist . Dieser Frage 4oll en wir jet zt nachgehen. Kla r is t , daß es ein er Kr aft bedar f, um ei n Pendel vom Zustand der Ruhe zum Zustand der Bewegung zu brin gen, al so eine Schwingung anzza>egen. Wir werden daher untersu chen, wi e si ch x( t) ver hält, wenn man auf das sc hwingende Teil chen ei ne Zusatzkra ft F(t ) mit bekannter Zeit abhängig keit ausübt. 6.4 .1 Bewegungsgl ei chung und Greensche Funkt i on

(

F(t ) = i o( t - t') J

F(t ' )dt'

sc hrei ben können. Betrachten wir jetzt ,11 eite r die inhomogene Di ffere nt ia l gl eic hung mG(t) + RG(t) + DG(t)

=

ö(t )

mi t der Lösung G(t). Dann -so behaupten wir - l äßt si ch x(t ) für belie bi ges F(t ) mitt el s t O der Fal l, exist i ert der Limes und ist gleic h Null. Folgl ich existiert auch

Ist jedoch R = 0 und somit la l = 0, so exi st i ert der Grenzwert nic ht und damit auch nicht das Int egral 1(0). Das gle iche gilt für die gesamte Lösung x(t). ~/ollen wir al so di e Formul ierung mit Hilfe der Greenschen Funktion auf den ungedämpften Oszi l l ator Ubertragen, mU sse n wir diesen als Grnnzfall, eines beliebig scht,;aah gedämpften Systems auffassen. Dieses Vorgehenbedeutet natUrlich ~,i eder eine -im Rahmender kla ss i schen Analysis unerl aubte- Vertauschung e ines Grenzwertes mit ei nem Inte gra l von der Form

f dt

j 0

l im g(t ;R)

R,.0

~

l

]}

y +iw 1

und unter Berücksic hti gung der oben getroffenen Vereinbarung gi l t diese auch im Fa11 versc hwindender Dämpfung.Unter a 11en Umständens te 11t s i e eine periodische Sch1~ingu ng mit der Frequenz der er,regenden periodischen Kraf t dar, di e -auch für R > 0- nicht ausstirbt . vlol len wir di e allgemeine Lösung des Problems ge~linnen, müssen wi r zu x(t) noch die al l gemei ne Lösung des fr e ien Oszi l l ators hi nzufUgen. Doch verschwindet diese im Fall endl icher Dämpfungasymptot i sch, so daß nach la nger Zei t nur die spezie ll e Lösung x(t) Uberleb t . Deswegen dominiert das dur ch sie beschr iebene Ver halten und wir werden uns i m folgenden alle in auf ihre Di s kussi on beschränken. Den genauen zeitliche n Verlauf 'der Funkt i on x(t) für verschi edene Dämp fungen könnten wir ohne weiteres durch an s i ch t riv ia l es jedoc h et was mühseliges Operie ren mit komplexen Zahlen aus der obigen Lösung extrahieren. Doch woll en wir im folgenden einen andere n, direktere n Wege inschlagen , der konventione ll erweise bei der Behandlung unseres Problems begangen wird . 6.4 .2.2 Lösung mitte l s der direk t en Methode

lim J dt g(t ;R)

R-+O

O

Wir ste llen uns also ernetJt das Proble m, eine partiku l äre Lösung der Oi ffere ntial gleichu ng des harmonischen Oszillato r s unter Wirkung einer peri odischen Kraft mit der Frequenz w zu bestilllllen.

225

224

Der Realteil di eser Funkt ion

Zu diesem Zweck betracht en wir nun die kompl exe Differe ntialglei chung

x(t) = A(w)lf i cos (wt + 1 + t)

mz · + Rz+ Oz =- „• e iwt

Dadiese l inea r ist, ist mit jed er komplexen Lösung z(t ) auch deren Real-

stellt

die Antwort des Oszil lators auf di e Err egung durch die Kr aft

tei l Lösung des reellen Problems; um das zu sehen, brauchen wir di ese Gleichung nur in ih ren Real- und Imaginärteil zu zerl egen.

F( t)

=

i fl cos

(r.,;t + 'v)

da.r, die dem Realte i l der komplexen Inhomo geni tät ent spricht (und das glei.che 11ürde für die Imaginär teile gelten) .

Wenn~lir bereits ahnen, daß es eine Lösung geben wird, die per iodisc h mit der Frequenz w is t -und das ist aus physi kalisc hen Gründen nich t sch·,,er-, können wir probeweise den Ansatz

versuchen.

Die Ampl.itude der durch die Kraft erwunge nen Sahwingung des Oszil lators ist also proportional zw• Amplitude der pe.riodischen KI'aft , wobei der Proportiona l itätsfaktor A(w) reell, nicht negati v und fre quenzabhängi g ist. Außerdemist x(t) gegenüber F(t) um den -e benfal 1s freq uenzabhängigen- Winkel 41(w) phasenverschoben.

Setzen wir ihn in die Diffe rential glei chung ein, er halten wir

Wir woll en A(w) und t(w)

z(t)

=

C eiwt

(•)

ein wenig genauer untersuchen.

Für A(w}erhalten wir sofort

2 + i Rw+ 0) - f ] eiwt (C(-mw

=

o

Also l äßt s ich die Gleichung tatsäc hli ch mit der Funktion (•) l ösen, aber nur unter der Bedingung, daß die komplexe Amplitude C durch C

__

f__

A(w) = lx(w)I

=

und 9(w) ist durch di e Beziehung

= X (w)f

tan

=

Rw

~

mw -D

-mw2+iR w+O gegeben ist. Das ist ein Unterschi ed zur Lösung der homogenenGleichung, für die C fre i wähl bar war, aber die "komplexen Eigen-Frequenzen" y , 1 2 als \./urzeln der Stamm glei chung bestimmt wurden. Im übrigen taucht di ese Stammgleichungmit der Ersetzung als der Ausdruck in runden Klamm ern wie der auf.

((mw2- D) 2 + R2w}2 - 1/2

1 =

iw i n (**)

gegeben. Wenn wir in di ese Ausdrücke di e Eigenfrequenz des ungedärnpften Oszi l lators wo = Vi57iii' und die Reibungskonstante r = R/m einführen, er hal ten wir

Aus der komplexen Lösung müssenwi r nun die ree l l e gewinnen. Zu diesem Zweckgehen wir zur Polarda rste ll ung über und schreiben

tan

und erhalten zunächst

1>

rw

Folglich ist A(w) ei ne sy!fflletrische und t (w) ei ne ant imetr i sche Funkt ion von w. Für w = 0 habe n A und • di e von r unabhängigen Werte

226

227 1

A(O) = ~

◊ (O)

0

m,_,,o

und i m Limes w= ~,erden

Im Spezialfall

A("') = 0

tan

i> "

0.

A(w) = - m

Die Lage der Extr ema von A(w) erhalten ~lir al s Nu1l st ell en der Ableitung des Radi kanden, die s i ch zu hier di vergiert 0

W

2, 3

=

+

-

ist

des ungedtinrpften Oszillators

iw2 o

ergeben; doch si nd w2 , 3 nur für r 2 < 2w;, d.h. R2 < 2Dm reell . Ist die se Bedi ngung er f üll t, hat A(w) in w = O ein Minimum und in w = w = wmax und w = '"J = -"'ma x gl ei chhohe Maxima, die zu 2

A(w) an den Ste ll en w =.±.wo

Für ein ige endl i che Werte von r und w skizzie rt

O ist

>

A(w) i n folge ndem Bild

A

A

max

werden. Ist s i e nic ht er füll t, ste l l t A(O) das (einz i ge) Maximum von A(w) dar . Es i st i nte ressant , i n die se Diskussion die Eigenfr equenz n des gedämpften Oszi ll at or s ein zuführen, di e 1~ir auf S. 212 unte.r der Bedin gung 2 R < 40mzu S'1=

v{w2 - (r /2) 2' 0

gefunden haben. Zunächst ei nr~al gi lt mit R2 < 2Dmsicher l i ch stets R2 < 4Drn , d .h. immer 1~ enn ll>z ,3 reell si nd, A(w) al so bei w =~"' max Maximabesitzt, li egt der Schwi ngfal l vor , doch i st die Umkehrung nicht r ic hti g! n, und Des weitere n ist "'max' wennglei ch ähnlich gebaut, von n versch-1:ede zwar gi l t stets "'max.":. n. Hingegen f i nden wi r fl in Amaxwieder und können schre iben

Dabei gilt für die unt erste Kurveder Schar (!!iit r ) R2 > 20m, für alle 4 . Die gest ri chelte Kurve zeigt die Abhängigkeit von übrig en R2 < 2Dm wmax von dem Dissipa t i onsterm r . Bevor wir in di e Inter pr et at ion diese r Kur venschar e intre ten , 1· 1ollen wir auch den Phasenwinkel $(w) auf die gl eiche Weise auftra gen. Vorwegüber legen wir uns, daß tanq, =

rw

2

2

w - w

0

228

229

an der Ste 11e

w = w

0

die \.Jert e hl

ta n,:. =

=w

0

-

0

annimmt; das st ellt sich er, daß 4' se l bst für ,,, = w den Hert $ " - :r/ 2 0 besi t zt . FUr w ➔ • haben wir t ant ....0 gefunden und dara us und aus der Stet igkeit der Kurve :P(w) folgt z1v angsl äufi g ~(m) = - n unabhängi g von R> D • Für R ....0 geht di e Kurve ~(w) j edoch gegen e inen uns t et i gen Grenz~1ert .

Oie Phasenversc hi ebung t mi t der der Oszi llator der Kr aft folg t , is t grundsät zl i ch ~ 0; d.h. di e Bewegung hängt hinte r der Anr egung zurück und zwar umso st är ker , je größer die Erregungsfreq uenz i st. Im Fal le ~• ='"o i st die Ver schi ebung w i schen Er regung und Antwor t grundsät zl ich -~/ 2; fü r den ungedämpf ten Oszi ll a tor sprin gt s ie an dies er Ste ll e uns te t i g von O auf -... Im Falle von Dämpfung ~1e chselt die Phase stet ig von 0 nach -1 und z~,ar umso gleicil mäBiger, je größer die Däm pfung i s t . Lass en Si e uns di esen Abschnitt mit ei ni gen Bemerkungen w m Verhal te n der Energie des Oszillator s beschl i eßen. Nach unsere n al l gemei nen Ergebni ssen variiert durc h e i ne äußere Kraft gemäß

r =0

'Tl

im Fall e der freien Bewegung fä l lt natür li ch der l,et zt e Term weg und E is t mit Sicher heit< 0.

'IT/2

r =0

(J

Nun zur Interpre t at ion: Wird ein ungedämp~e r Os ziil a tor period i sch mit der Frequenz w erregt , so 1'ntwortet er mit umso größerer Amp l it ude auf di ese Erregung, j e näher w sei ner Ei genfrequenz i st . B~i w = w wird die Am pli t ude sogar formal unendl i ch groß, Dieses Phänomen bezeic~net man a ls Reso nanz, di e Di ver genz von A spe~i el l al s Resonan akat as t rophe . Ei ne unendlich große Am pl it ude würde natürl i ch die Zerstörung des mechani schen Systems bedeut en. Bei r eel le n Syst emenpassier t al lerdinos etwas anderes: mi t wachsender Amp lit ude werden die Kräfte (sie he das B~i spi el des Pendel s und des f edergekoppel t en Osz i ll at ors , i n demdas Hookesche Geset z versagt ) nicht- l inear in den Ausl enkungen und wir haben dann kei nen harmonischen Oszilla tor mehr . Für endl ic he -aber kl eine- Dämpfung tritt das Phänomen Resonanz nach l'lie vor deutl i ch auf, jed och ohne Resonanzkat ast rophe. Oie Resona nz f'Pequ en;,, w i st gegenUber w zu . max o t 1efe ren l~erten verschoben, j edoch nic ht i dent isch mit der E; genfrequenz des gedämpft en Oszill ator s . Die kurve A(w) hei ßt al ]gemein Loren t ·zku:"Ve.

di ese Größe bei Anregung

Für die Ausrechnung von E(t) is t es wicht i g, mi t der ree l len phys i kal i sc hen Lösung x( t ) zu a rbei ten , denn offe ns i cht l ich i st ~ i n i quadr at i sch und das mischt Real- und Imagi närtei l e der komplexen Lösung i n unzul äss i ger vleise. Für ein e vorgegebene Lösung x(t) l äßt si ch E(t ) auf ele menta r e aber mühsame Weise ausrec hnen, doch is t das dabei gewonnene Ergebni s nic ht se hr wicht ig . Was viel mehr inte ress ier t , is t, ob die Ener gie des Oszillators auf l ängere Sic ht gesehen zu- oder abnimm t . Diese Inf ormation kann man z . B. dadurch ge~1 innen, daß man E(t ) über ein e voll e Per iode der Schwingung integr i er t , fall s der Oszill at or eine schwi ngende Bewegung ausführt . Wir wollen uns auf ander e Weis e Einbl ick in die Energet ik des Oszil l ato rs vers chaff en und zwar i n dem Fa il der er zwungenen Bewegung in fo 1ge ein e;per iod i schen Kraf t, den ~,i r soeben di skutier t haben. Eri nner n wi r uns, daß die Lösung di eses Probl ems di e Gesta l t

bes i tzt, al so perio di sch und ungedämpft ver läuft . Folgl i ch hat auch

231

230

setzt dann erst ein, der Oszill ator schwing t sieh ei,1 . Erst nach ei niger Zeit 1,,ird seine ße1•1egung in gut er Näher ung in die stationäre Be•,1eg ung über gegangen sein, die se exakt aber er st i m Limes t ➔ • erreic hen .

d1e gle ichen Ei genschaften und wir erhalte n für E(t)

[(t)

2 sin 2 (wt+'!'+) A (w) lfi -'----'--'---'-(mw 2

e i n Resul tat,

~li r wo11 en uns jet zt um den Cin ach ,,r~ng-

vorgang kümmern und ändern zu diesem

m ·2 D 2 = 7 X +] X

2

2

F( t )

Zweckunsere Erregung ab. Es sei nun t

+ D cos2 (wt+'V+.P))


)

das ebenso perio di sch i st. Folgl ich i st

E(t)

NatUrlich könnten wir auch hier die part i kuläre Lbsung der Bewegungsgle i chung sofort mit Hil fe der Greenschen Funktion als

t +T T f E(t ' ) dt ' t

unabhängig von t; im Mittel bleibt

x(t) die Ener>gie des 0s2iUators

f

erhalten .

Nun wi rd durch den Reibungsterm -Rx2 mit Sicherhe i t Energ ie dissi piert; v1en n al so E(t ) konsta nt bl eibt, muß di ese di ssi pier t e Energi e im Mittel quant it ativ dur ch die Arbei t der errege nden Kraft F(t) nachgel iefe rt wer den. Somit i s t der er re gte Oszilla tor i n sein em Zustand x(t) durch di e Bez i ehung

- t' ) cos (wt' +

J G( t

0

0

charakte r isiert . Aus di esem Grunde, und wei l x(t) zwar periodisch in t ist , aber doch ein für all emal seine Form behält, bezeic hne t man den Zustan d des Oszil la to rs, der von x(t ) beschr ieben wird, bisv1eil en auch als stationär . Doch ste ll t die Verwendungdi eses Begriffes natü r lich e ine Verall gemeineru ng gegenüber unserer frühe ren Definitio n der St at i onari tät in Abschni tt 5.2. 1 dar.

6.4.3 Elementar e Einschwingvorgänge Die Unt ersuc hungen des letz t en Absatze s zeig en, wi e sich ein Oszi llato r beni1m1t, der dauernd (d. h. von t = - = bis t = m) periodisch err egt wird. Im Exper i ment hat man natürlich nie Erregungen, die permanent sind: ir gendwann e inmal hat man seinen Apparat eingeschalte t und die Bewegu ng

vlir wollen hier einen anderen Wegbeschreit en, doch empfehle i ch Ihnen, die fol genden überleguhgen anhand der obigen Formel nachzuvol lz i ehen. Und zwar gehen wir ähnl ich vor, wie im Fall der permanent wirkenden Kraft. Zunächst muß natü rl i ch x(t) = O s ein f ür t < 0. Zur Zeit t = 0 beginnt ei ne endliche Kraf t zu •,1 ir ken, folg l ic h muß x(t) in t = 0 stet i g und di ff er enzier bar sei n (die Beschl euni gung is t nämli ch endl ich) : die Lösung für t > O muß X also den Anf angsbedi ngungen x(O) = 0 , x(O) = 0 genügen. ~lei te rhin können wi r wiederum x( t) al s Re z( t) auffasse n; dann könnten •tir nat ür l i eh im Pr i nzi p die Anfangswerte von Im z(t) belie big wählen, doch ni chts verbietet uns , auch sie

232

23)

so zu wählen, daß z(O)

- ("'o =

i(O)

O

w )e

-iw0 t + 2 ei,ut, "'o , .

0

Hieraus ergibt sich mit

gi 1t.

Für t > O gi l t wieder dieselbe Di ffer ent i algleichu ng wie für die permanent wirkende Kraft . Folglich könnenwir auch deren Lösung,

nach einigen Zwischenrechnungenals Realte i l

z(t) =C eiwt, die wir i m folg enden als z (t) bezeic hnen wol l en, einschl ießl ic h des p Wertes von C unmittelbar aus demvorigen Abschnitt (S. 224) übernehmen. Nur denkt z gar nicht daran, den oben gesetzte n Anfangsbedingungen zu p • genügen; vie l mehr gelten zp(O) = C, zp(O) = iwC . Wastun? ZumGlück ist ja z nicht die allgemeine Lösung, sondern wir können zu p ihr noch Lösungen der homogenne Gleichung addieren und

Nun führen wir in diesem Ausdruck die Sumnen- und die Diffe't'Elnzfr,1quenz

ei n und er hal ten unter Verwendungder Additionstheoreme x(t ) = .l.!J. 1sin(n+t) 2m n+

sin(n -t) cos, n

betrac hten. Undjet zt können wir tatsächlich a und a so wählen, daß 1 2 z(O) und i(O) verschwinden; und zwar ergeben sich dadurch

C

Y1 - iw (-) C yl - y2

Setzen wir diese Koeffizienten in z(t ) ein und extrahieren deren Real t eil -was trivial aber zieml ich mühsel ig i st und 1-1oraufwir hier verzi chten -, erhalten wir die Einschwinglösungx(t): FUr endliche Dämpfung(R > 0) sti rbt die Teill ösung z (t) asymptotisch aus und demzufolge strebt 0 z(t) im laufe der Zeit gegen zp(t); damit strebt aber auch x(t) gegen XP{ t) .

\•Jir wol l en im folgenden den -weita us int eressant er en- därnpfungsfreien Fall untersuchen. Hierfür er hal ten wir zunächst die komplexeLösung zu

Das ist eine Oberlagerung ungedampfter harmonischer Schwingungen mit den Schwi ngungsdauern

r+ = _

T- = _ _4_,r_

_4_n _

(w +

hl )

(w - w

0

0

)

Wenndie Erregungsfrequenz w der Eigenfr equenz des Oszi11a tors w nahe 0 kommt,wird T- » r+ und man ste ll t sich in di esem Fal 1 die ße~1egung als Oberlagerung von hochfrequenten Schwingungender Frequenz g+ vor, deren Amplituden mit einer niederfr equenten Schwingung der Frequenz 0- moduliert sind. Besonders einf ach ist der Fall i st.

~

= 0,

der in der Abbildung dargeste l l t

234

235

6.4.4 Die Suszept ibi l i tät des Oszillators X

In den letz te n Abschni tten is t uns die Lösung der Oszillatorgleichu ng unt er Einflu ß ei ner äußeren Kraft F( t) zum einen über die Methode der GreeJ1schen Funkt ion gelungen (6.4 .2.1 ), zum anderen aber im Spezia lf all einer periodischen Erregung auch durch die -etwas bequemere- "dire kte Met hode" (6.4.2.2). Diese konnten wir in 6.4 .3 auch zur Dis kuss ion ei nfac her Ei nsclMingungsvorgänge heranzi ehen, ;/ir 1•1011en unsere Untersuchungen zum eindime nsi or,al:m hamoni sehen Oszi l 1ator beschl ießen, indem wir unseren wesentl ichst en Ergebnissen eine et was andere Wendunggeben und ei nige Bemerkungen .Ober den Zusammenhang der beiden untersch iedlichen Lösungsmethoden machen. 1

,--- - - -- -Es tr itt hier eine sogenannt e Schi,;ebung auf . BemerkenSie, daß x(t) keineswegs gegen die stationäre Lösung xp(t) strebt. Das ist aber auch nicht zu erwarten, weil wegen R = O der freie Ant eil x0 (t) ni e ausstirbt . Nunwolle n wir noch untersuchen, was im Limes w -► w0 passiert, in dem sich bei der stationären Lösung die Resonanzkatastrophe ereignete. In diesem Grenzwert strebt n gegen O und n+ gegen w0 • Unter Berück;ichtigung der Beziehung 1im sin(ax) X+Ü

X ( 1)

+

l •Zlf nt[cos 'l' sin(w t)t 0

•o

+

durch di e Funktion

mit

= a

X

x(w)

erhal ten wi r damit aus der Lösung x(t) x(t)

Auf S. 224 haben wir festgestellt, daß die Lösung der komplexen Oszil htor gle i chung unter Wirkung der komplexen periodischen Kraft

(-mw2 + i Rw + D)-1

[Formel (*) )

sin(w0 t) sin •~ {cos(w0 t)t - ---' ::--) ) ~

Dieses Result at ist -wieder für , = 0 in der Abbi l dung darges t ellt. Es beschreibt eine Schwingungder Frequenz w0 , deren Amplitude l inear in der Zeit anwächst und dadurch im la ufe der Zeit alle Grenzen überschreite t . Somit haben wir durch Betrachtung des Einschwingvorgangsauch die Entstehung der Resonanzkatastrophe verstanden .

gegeben ist . Di e "Antwort" des Oszillators auf di e err egende Kra ft ist zu dere n Stärke proportiona l und hängt zudemvon w ab.

x (w) ist eine komplexwertige Funktion auf der reelle n w-Achse. Ersetzt man w durch z: w + i ~. kann man s i e le i cht in die komplexe z-Ebene fortsetzen : x(z)

=

(-mz2

+

iRz + O}- l

Manbezeich net x(z) als die kompki;e SuaeeptibUität des Oszillators. Das wesentl iche an dieser Funktion i st nun, daß sie nicht nur das Verhal ten des period isc h erregten, sondern auch des f reien Oszillators beschre ibt .

236

237

Fragen wi r einmal nach der Lage der Pole von x (z) i n der komp le xen Ebene; dies e sin d natür l ich durch die Nullst el l en des Klammer ausdrucks best irr111 t. Nun haben 1, i r aber ber eit s en,ähnt, daß di eser Ausdruck in die Stamm gleichu ng der homogenen Diffe rentia l gl eic hung übergeht, wennman

darin y =

iz

'

Nun zu einem anderen Proble m: Di e Met hode der Greenschen Funktion scheint der Met hode der Suszeptibili tät den Vortei l der Allgemei ngült i gkeit vor aus zu haben; sie gilt für bel iebiges F(t) und nicht nur f ür perio di sche Erregung. Das ist aber ni cht ric ht i g!

setzt. Folgl i ch li egen die Pol e von x(z ) an den Stell en 21

elektr i schen Polar i sat io n vomel ektrischen Fel d beschreibe n.

2 = - i yl 2 )

obere n Halbebene (A>0) 1) .

und demzufolge für R > 0 auf der Die Kur ve der Poi-loci erhält man aus der der auf S.216 di skutier t en f,ka>zelLoc-i, durc h Drehung um 90° in negat iver Richtung.

Genau 1-1e rden wir das erst i n der Elek trodynami k (Theoretische Physik nI) verstehen können, doch l äßt sich vorläuf ig fol gendes dazu sagen: Nehme n Sie an, di e errege nde Kraft bestä nde aus ei ner Anzahl von Kr afts tößen n

F(t)

r f ö(t - t) v=l "

Mit der Ersetzung (*) schre i bt sieh dann di e a 11gemeine Lösung der homoge-

nen Glei chung al s

=

"

Dann wi rd die Bewegungdes Oszil lators durch n

x(t) = r f" G(t- t" ) v= l

und deswegen kann man z 1 2 a 1s di e komplexenEigen.freqv.enzen des Oszi 11a' tors bezei chnen.

beschr i eben.

Wir f i nden al so das Ergebnis:

Das ist ei ne Fol ge der Li neari t ät der Differentialgleich ung:

Die PoLe der komplexen Suszepti bilität 0s 2illaton

best ürmen die Eigenfrequenz(J-n des

.

Der Begri ff der f r equenzabhängigen Suszepti bi li tät i st keineswegs auf den harmonischen Oszillator beschränkt , sondern spielt immerdann eine Rolle, wenn ein physikalisches Syste m auf eine per iodi sche Erregung von außen proportion al zu deren Stär ke reagie rt. Sie i st di e Schl üssel größe der linea ren Anwort - bzw. Responsetheorie. Beispiele, die Ihnen bekannt sei n werden, sind die magnet i sche bzw. el ektr i sche Suszeptibi l i tät von Materie, 11 e l che di e Abhängigkeit der Magnet i sie rung vommagneti schen bzw. der di -

I n de r Literatur find e t man üb l icherweise die Aussa ge , da ß d ie Pole in de r unter,en Halbebene li ege n. Das lie g t dar a n , daß man a ls kompl ex e Kraft: Konveni: io nell erw e i s e de n Ausdruck f e-iwt s tatt f e+itt)t anse t zt, was für den Re altei l na tü~ l ich keinen Untersc hi ed macht. Wicht i g i st nur, daß sämtliche Pole in ein. und der se lben Halbebene liegen.

Löst Xi (t) eine lineat>e DifferentialgZeic hung mit der Inho mogenität Fi (t), so ist x(t ) = E aixi(t) &ösung für die I nhomogenitä t F(t) = r oiFi(t)

In diesem Si nne können wir di e Identi t ät +oo

F(t)

I

dt '6( t-t')F(t

')

von der wir bei der Ableitung der Methode der Greenschen Funktion ausgegangen s i nd , als Oberlagerung kont i nuier lich vieler Kr aftstöße zu den Zeite n t ' der Form F(t ' ) o(t - t') auffasse n, wie es di e Abbil dung veranschaul i cht. Denken wi r uns nun andererse i ts die äußere (kompl exe) Kraf t durch

239

238

Rolle spie l en werden.

r(t)

e

iw t

Insgesamt s i nd beide Verfa hren und die s i e verknüpfenden Gesetze aus der modernen theoret i schen Physi k nic ht wegzudenken .

"

gegeben , so löst nach dem obi gen Theorem 6.5

Der dreid imensio nal e harmonis che Osziliator

x(t)

die Differe nt ia lgl~i chung. Nun gel ingt es mit nur geringe n Einschrän kungen je de bel iebi ge Funktion F(t ) gemäß F(t)

+., dw F(w) eiwt

f

Nach der ausführlichen Diskuss ion des eind i mensionale n Oszil l ators wenden wi r uns j etzt dem Oszillato rproblem i n dr ei Dimensio nen zu. Da di e Different i algle i chungen des Oszil lator s lin ear sind , sind di e versch i edenen räumlichen Komponentenmiteinan der nic ht gekoppelt ; mathemati sche Schwier i gkeiten sind dabei a l so nicht zu erwarte n . 6.5. l Glei che Frequenzen 6 .5 .1 .l Der dämpfungsfr eie Fall

al s kont i nuierliche Oberlagerung von periodischen Funktionen F(w) eiwt darzustelle n und dann wird x(t)

Ist ei n Massenpunkt harmonisch d .h . nach dem Rookeschen. Gesetz an ein Zentr um gebunden , sei ne Bewegungje doch nicht auf ei ne Richtung beschrän kt, so wird die rückt reibende Kraf t al s

J dw x(w) F(w) eiwt K = -Dr r = -Dr

die Di fferent ia l gle i chung für di ese all gemeine Erregung F(t) lösen. ..,

Man nennt das Integral (*) Fourier-Integral und die Funkt i on F(w) Fourier-Trans formierte oder auch Spektraldichte von F(t). Mit ('a

2

41b

- zl

und daraus '\,

(

Nunmultiplizieren

wir die allgemeine Lösung z(t)

mit

(♦a

+

2 )

+

(Al + IBI

,_ _,,___

2

);

IAI - 1s;

Da ist abermal s ein e Ellipseng l ei chung, wie wir angekUndigt haben . Diese Ellipse hat als Mittelpunkt das Kraftzentrum und ist gegenUber dem ursprUngl ichen KS gedreht .

exp {-} ( ~a + ~b)}; wir erhal ten °f(t ) = exp_(-{

X

tb)} z(t)

Was ist die Wirkungdieser Operation? Multipl i zieren wir ein beliebiges 1 z = !z 1ei~ mit e X, so erg ibt s i ch dabei

Berechnen wir noch den Orehimpusl . Seine einzig n i chtversch~,i ndende (und zeitlich konstante) Komponenteist L2 : L2 = m(xy-

d.h. wir haben z (unter Erhalt der Länge) umden Winkel x in mathematisch

yx) =

m

Jm(zz)

Nun haben wir zi:bere it s bei der Untersuchung der maximalen Ausl enkung berechnet und können aus diesem Ausdruck den Imaginärteil

positiver Richtung gedreht! 1 Ist das Argument der Exponentialfunktion man sie häufig als exp(x) . schreibt

ex ein komplizierter

Ausdruck,

able sen. L2 ist also tatsäch li ch konstant und zudem durch das Produkt

244 (--X--) 1A1 +

6.5.1 .2 Der gedämpfte Fall

ator ist einfach, Die übertra gung der Ergebnisse auf den gedänpften Oszill egurig eben sein v1ird . obwohl zunächst nicht ei nmal klar ist , ob die Bev1 sicher nicht Denndie Kraft is t kei ne Zentralk raft und der Drehimpuls ein f achen konstant. Doch 1st die Richtung das Drehimpuises bei dieser nach 4.3.3 es t komm darauf nur egung nach wie vor zeitu nabhängig, und Be1~ an. ImSchlJiWJfaE gelten nämlich

- )

{--"--

+

BI

beschrieb en und das is t eine

2

'\,

2

'\,

mit.:::.mwgegeben.

der beiden Hauptachsen multipliziert

iA1

-

BI

1

e7.li'.pti.sa h~ Spi -r,;iZe,

die im Null punkt endet.

Das Hauptergebnis di eses Abschnittes ist aber , daß es mit Vorteil möglich ist , egung zweidimensional er Systeme die Bew als Be1/egungin der komplexenEbene aufzufassen, sofern s ie durch eine lineare leichung beschr i eben wird und Bewegungsg demzufolge das Superpositionsprinzip

y

x y

1

gilt.

6.5.2 Unterschiedliche Frequenzen

Ebenso einfach in der Integra tion, sehr vie l reichhaltige~ allerdin gs in Hinblick auf die Formder Bahnen, ist der Fall ei nes Oszil 1at ors mit rü:htungsabhcingiger Rüakstellkr-o.ft, den wir uns wie nebenstehend gezeichnet vorste l le n können.

und folglich ist

2

mnxjx~ e-

>- t{sin(nt

- cos(nt

+ ~j ) +

cos(nt + rJ>k)

Mit ",i = -/ oi;m' haben wir nämlic h sofor t

•jl si n(nt + $k)l

also

Damit ist

X.( l

t) =

X? COS( w , t + 1 1

~ l· )

wegs mehr Zentralkräfte; Di e Kräfte sin d nach wie vor konservativ , aber keines das Potential ist durch

und somit gelten L

const , 2 m . 22 1 V= '7 r. Di xi = 7 ~ wixi

i s im /0:>iechfall. )lhnlich läuf t der ße~1e systemabermals Also ist die Be,iegungeben und wir können das Koordinaten so legen, daß z = D gilt . Im Schwingfall wird damit die Bahnkurve durch

1

l

gegeben; die Äquipotentialflächen

1.:2um· wi

V = E sind

&U1:psoid e

mit den Hauptachsen

246

Der Drehimpulssatz gilt nic ht mehr und demzufolge i st die allgemeine ile•11e gung nicht l~r.ger eben. Natürlic h gi bt es aber auch in diesemFall spezieUe Lös,mgen, di e eben oder sogar 1i near ver l aufen. Die Orbits der Bewegung sin d unter dem NamenLissajous - P·igu-Pen bekannt und sehr

ÜBUNGSAUFGABEM

ven-1ickelt. Wicht i g ist, ob die Bewegung periodisch verlä uf t oder nicht, d. h. ob es eine endliche Zeit T geben wird, so daß filr all e t ! (t + T) = !( T) i st. Nun ist die Perio de .der i-t en Komponente gerade Ti = 2,/w; . lm gle ichen Zusta nd wie zu t = 0 i st der Massenpunkt dann und nur dann, wenn es ganze Zahlen ni

gib t, so daß für alle i

gilt . Das i st aber nur dann der Fall, wenn

gilt , die Frequenzen wi also zueinander i n i•ational.en Vel"häl.tnissen stehen. Is t nur eines der Verhältnisse irratio nal (z. B. w1 : w2 = •), so ist die Bewegung nichtperiodisoh . \.Jir sehen al so, daß es im Gegensatz zum eindimension.aZen Fall in mehre r en Dimensionen durc haus nioht:periodiache finite Bewegungen geben kann. Mit diesem wichtigen Bef und beschl ieß en wi r die Diskuss ion der Physik des harmonischen Oszil l ato r s.

Vo:rbemerkl.mg : Für das Verständnis ei ne!'. The?rie gibt es zwei ,,,.,,ser.Ui.che Kriterien, nämlic h zunächsc ciie Fäh i gke it der sicheren Anwendung z.ur Lösun g gestellter Aufgaben u nd -i n einem zweiten Schr i tt- die , sich selber Probleme ausz ude nken und so zu formulieren, daß sie mit den Mitteln der The orie gelöst werden können . Diese Fähigkeiten erwirbt ma.n ausschließlkh durch Uben. Da bei sollen di e Übungsaufgaben z.u den ei nz e l nen Kapj t e l n helfen, die - te Us mit Lösun gen versehenin diesem Abschnitt geste l lt werden. Diese Aufgaben sind so ausgewählt, daß sie die wichtigsten Ent wicklun ge n des en ts )?rechenden Knpi t els näher beleuc hten und vertiefen . Doch sind sie i h rer Zahl naeh nicht a us re i ch e nd für die gründliche Einüb ung der Anwendung . \:/eit ere Aufgaben stehen j edoch in den L.ehrbüchern d er theo retischen Mec hani k ( und der be handel t en mathemat i schen Diszip li nen) sowie in spe z i e ll en Aufgabe nsammlungen l) r e i chlic h zur Auswahl.

zu Kapite l T

AI. l: Es sei A die Mengeal le r Männer. Welche der beiden Zuordnungen "'i ater v,:m" und "Sohn von" definiert ei ne Funktion? Was ist flir diese der Grundber ei ch ~I, der Defi nitionsber eic h V, der Wer tevorrat N und der Werte bere i ch W? Is t die Funktion surjektiv? wa·rum i st s ie ni cht i njekti v? Fällt Ihnen eine MHglichkeit ei n, di e Funkt ion durch Einschränkung des Defi ni tio nsbereichs inje ktiv zu machen? Auf wel cher Menge i s t dann eine Umk ehrabbi ldung defin ie r t , und wie könnte man di e entsprec hende Zuordnung umschreiben? 2) LI . 1: Jeder

Mann a E A ha t gena u einen

ordne t werde n kann.

1J = A, N

=

A und

Besonders

(V=

Vater

l:'olg l ich def i n i er t "Vater

(bE A: bist

Vater

b E A, der

ihm gemäß a - b zuge-

von" e i ne Funkt i on mit M =

minde s tens

e i nes Jungen} . Diese

se i a uf das Buch von Murray R. Spiegel "Theory (Schaum's Outl i ne Series, Book Company ) .

hingew iesen

and P't>obl. .ems of TheOY'etica'l. Medianics" McGraw- Hill 2 Diese

ci t . ,

Aufgabe ist entnommen .

dem Sinn nach dem Buch von Griffiths

und Hilto n , loc .

248 Funk ti on ist

nicht

surjektiv

ne h.3_t , ist.

von"

Bil d jedes

auch keine

Söhne.

ältester

Sohn . Die Zuordnung , die er1tspr i cht,

ließe

sich

eines

Sohnes

der dann

(a u f

kei ne Söh-

die

Vater , der Grund defin

mehrere

Söh -

"Sohn

i ert

jedoc h den Definitionsbereich Sohn)

neu e Punkt i on "Vate r von" i njektiv Mann, de r Vater

Männer,

jeder

Aus diesem

wir

(•!enge V• = (aE A: a;

z . B. auf die

v, denn

Funktio n. Schränken

V' definierte Denn jeder

i njekti

dieser

cer.n es gibt

N),

(auf

ne haben . Sie is t auch nicht

i st , hat

W) existi

ein , so ist

die

auf

N und bi jektiv

auf

ge nau einen

auf (~.

ältesten

l.!_:i :

Konvergiert

d ie Folge,

nM),-0)

X= (c + X )/2 gelten

er e nden Umkehrfunktion

ist

nur

für

c

. Dara u s fo l gt

reell;




py '2 1./

1, 2

versteht.

LI 1. 5 : Unter Verwend ung des Levi-Civita-

die Axi ome (Al) Ao~g3be z u lösen , muß ma.n überpr ü fen, ob die reel len Zahlen sind . Ma,, findet: - (A~l öes line a ren Raumes erfüllt reell die rationa len jedoch nicht , denn für p bilden einen Vekto,rau~, bilden en Hingeg l. rationa is~ pr nicht notwendiqen,eise und r rational Raum. linearen einen wieder nen Funktio d i e Ln (c) definierten

Lll .l : üm diese

ionen bilden mit dem A!l.2: Zeigen Sie: Di e in All.l (c) definierten Funkt +l ischen Vektorraum. Skalarprodukt f · g = fdx f(x) g(x) einen euklid -1

f nen ist zunächst einmal, ob f • g für alle Punktio Ll l. 2: zu überprüfen !:all, der Das ist aber Menge existiert. u.~d q aus der oben definierten und das Integra l eis?) (Bewei stetig x) denn mit f und g jst aueh f(x)g( In Funktion über dieses stetigen Intervall ner in einem ab ges chlossenen l) (A' e Axiom die ob is t :eu untersu c hen, Anschließend existiert. tervall problemsind. Das verläuft erfüllt s rod~kte Skalarp - (A' 4) des reellen los .

• c) (b • c) x • c + a • c = (x----

- -

~ • E_ = ~ •

Für b • c

--

folgt . Is t b • c t- 1, so .

E. / (~ · E_ - 1) . Folg li ch ist

m

I existiert

n1.cht eindeuti

-- •

mit E_ u nd erhal-

skalar

wir d ie Gleichung

LI 1. 3: zunäc h st multiplizieren

ist

~

nur dan n ei ne L,ösung,

~

•

~

/ (~ ·

~

daraus - ll

~

- a ,

wenn a • c = O i st und diese

g.

e geometrische BeAII .4: Sei ä von O abgetragener Einheitsvektor. Welch .!:, _i~ c = constans zu? deutung kO!r;t der Lösungsmenge(!:} der Gleichung LI I. ~: Die Lösung srnenge besteh::. aus allen auf~

1.mn

(( ~X~_)

X (~

X

gleich

c ist.

Folglich

s t ellt

Vektoren

sie die

zu~

!.• deren senkrechte

Projel< lion Ebene mit de m

also , daß man eine EbeAbstand c vom Nullpunkt O dar . Wir sehen kilrzesten kann. charakterisieren durch ihren Normalen e inheitsvektor ne eindeutig

(!!

Q_))i

~)

AmßnCrDs. Von hier aus kann man Entweder man klanur~rt die r-Tensoren

= ci jk cjm."l ckrs

Weise weitergehen.

auf zweierlei

Q_J(~

E_) - (A

wir:

finden

(b)

. 6 kn - 6.Jn ok mj Aj 8 k CD A).BkCmDn = (6 Jm m n ~)

- (A

= AjC jBkDk - Ajojakck

l E jmn oder a.ber oe mäß - 6 is c5. Jr gemäß (EiJ'k ckrs ) t jmn = (Ö.ir c5. JS (-öim 0kn + 61n 6 km) 'krs (Eijk Ejmn) Ekrs - - (Eikj Ejmn ) Ekrs = i man weiter Ejmn AmBnCioj - cjmn' A1nBnCjD Fall erhält Im ersten X !) oi , also (~ X !!_) Ci D

s . (~

(~ X ~_) X

I m zweiten

F all

ergibt (~

sich

X ~)

wir beide

Subtrahieren

X

s-

Q_) = (Q • (~ X J!)) 3nacloge Weise auf völlig X Q_) = (~ • (SX Ql) !

(f

X

T0

. Es sind

v t - v,

AII.8: Ein Zylinder des Radius 1 ro lle mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf einer horizontalen Ebene ab. Welche y Traj ektorie und welchen Orbit beschreibt dabei ein Punkt P, der im Abstand a vo~ der Achse fest mit dem Zylinder verbunden ist? Wie sieht der OrKonstruieren Sie das begleibit für a ~laus? > berechnen Sie im Spezialfall und X tende Dreibein a ■ l die Länge der zwischen t c O und t = T durchlauf enen Kurve. ~;ir nehmen o .B. d.A . an, der Punkt P habe die Koordindte z; 0. dann die Koordinaten wt. Der Achsenpunkt M besitzt Außerdem gelte~=

lll.8:

1, O) und der Vektor

(-~,

Folglich dadurch

ist

t durc h (a sin~,

der Ortsvektor!_(~)

!Jarametrisi.erte

bi ldung wiedergegebene schlicht

MPis

über der x-Achse

O). Die

das in der Absie

für a • l hat sie

Zykloide),

(Verschlungene

wt ist":!..= w(-1 + a cos(wt) , a sin(wt), = ds/st . gs ist w( 1 + a 2 - 2a cos(wt))l/Z

Mit$=

=

und besitzt

Ausseh e n.F ür a< 1 verläuft

(gestreckte

zen und für a > l hat sie Schlingen v

Zykloide

Kurve heißt qua li tative

1 - a cos~,

(-9 + a sin~.

=

Spi t-

Zykloide).

f = ":!_/V und

der wei tere

Ausdruck

=

< T

l für T = T0 s(T 0 )

speziel

- cos(~'l'/2)),

des Integranden

i tät

0

=

= 2n/w

8, und ist

aus .

Tangenten an diese Kurven. Lll .9: Die Pläche der

in Richtung

Gleic hung nicht

man z = z 0 lz

~

dx

&

_

nach z auflösen, z

Man er hält:

tren nt. für

ein Ell ips oid mit den Hauptach sen lal , lbl und lcl Global läßt sich ihre definierende Koordinatenachsen. ist

,

!= 0

erhält

sonder n nur für z > O ,md z < o ge-

f , 2 tx,y) 1

'=

man Schnittkurven

/cl ergeben

sich

"::

lcl

{l - (x/a~

2

-

in Porm von Ellipsen

Lösungspunkte

at

ax 1

(y/b)

2} 112.

nur für

Setzt

lz 1 < lc ! : 0

(x ,y ) = (0 , 0) . Die Richtung s i ch mit

im Punkt

2l. ay

AII.10: Zeigen Sie am Beispiel der Funktion 2 für xy/ ( x + /)

f(x,y)

O) und

integrablen den elementar T 2w i dt lsin (wt/2) I. Für T

2 2 2 All .9: Welche Fläche wird durch die Gleichung (x/a) + (y/b} + (z/c} ■ 1 implizit definiert? Welche Maßnahmenmüssen ergriffen werden, um die obi ge Gleichung gemäß z = f(x ,y ) nach z aufzulösen? Di skuti eren Sie die Lösungen der Gl eic hung f(x,y} = z0 = constans (-M< z < +~), Für welche Wer te von z0 erhält man Lösungskurven und was ist ihre geometrische Bedeutung? 8estinrnen Sie mittels impliziter Differentiation die Richtung der

Tangente

-a cos~ , 0) gegeben.

= 4(1

s(T)

nut ze man die Periodiz

,

2 . C-attung; 1m

0

0

vv - vv

112

cos (wt))

(1 -

Integml

wir jedoch

l erhalten

= fiw f dt

ein F:lliptisches

Fall

T s (T)

mit v • v = vv der Betrag .

s

a >

l

-■

wie in All . 7 . -Z u r Bestimmung de r Kurvenl.änoe , 1/2 2 T auszuwer- 2a cos (wc)) (T) = w [, dt ( 1 + a

im allgemeinen

ten . Das ist

.

- -

a

1

x2+ i

=

{ 0

für

>

O

(x,y) = (0 ,0)

der

255 254

b.) c.)

ei ner Funktion noch la nge daß die Exi st enz al l er partiel le n Abl ei tungen nicht dere~ Steti9~eit bedingt . ist

LI! . 10: Di~ Funkt~~~: x oder

:.!.r,erseits

'! Nui1,

dle a nd er e vanabl~ ~~ ~

n icht

= o überein

:(O,O)

1m

Punkt

so ergibt:

= i'(x,O )

f(O,yl

sich

. Dieser

auc h verschwindet

x = y = c gegen Nu ll , so erhal t en Sie f( t, t)

=

der Diagonale

1/2 , so daß lim f t-+O

f( 0 ,0) gil t:. Die Existenz sie

existiere

der partiellen n aber

äefini„rt df.{x, O) 1 f>PO dx

Ai! .ll:

l\ltch

ist

Ableitungen

filr

(x,y ) f. (0,0)

im Null pun kt ! Denn e s i st

i st

aber

Wert stiamt

f.

(t,t)

tri v ial ;

atl(O,O) durch ht

ja z.B.

na ch obigem identisch.

.:nd da s verschwindet

l

partiellen daß man bei dem Satz f,x y = f'yx auf die Ste ti gkeit der leitungen nicht verzi chte n kann.

Ab-

= 0 stetig , ist so , a = htung y/x denn nähern wir uns diesem Punkt aus der Ric 2 für t -+ 0 fü r alle + o + 1) und das verschwindet = t 2 (o 4 -tJ/(a f(t,oc) f i s t im Nullpunkt

mit

dem Wert f(O,O)

eb e d i ngung f(y,x) ,. -f(x,y ), Werte von eo. Außerdem e r:üll t f di e Symmetri Ableitungen- über trägt. die sich gemäß ~, yx (y,x) = -f , xy (x ,y) auf die f , xy = f ' yx u nd folg li ch ver aber sicher gilt Außerhalb des Nullpunktes x = y identisch . Somit i st sch winde n diese Ableitun gen a u f der Diagonale berechn et man dire k t f ,yx (O,o) = o. Andererseits (t,t) aber auch l1m f, xy t"' nur be wiese n, daß bei de Able i zu - 1 und f, xy (0,0) zu +1. Damit ist nicht daß sie in diesem Punkt tun gen in (O,O) verschi eä en sind, sonder n auch unste tig

sind .

Feldes t(.!:_) All.12:BerechnenSie das Gradientenfeld des skalaren LI 1.12:

i:>as (äu6e.c st wichtige)

Ergebnis

(!) = ist 2:~

)J r.i

r- p-l

E.

tota l e Diff eAll.13: Welche der folgenden Differentialformen owsind die se Funktion. rentia le einer Funktion F? BestimmenSie gegebenfalls a.) (2x(y-z) - /J dx {x2+ 2y(z-x )Jdy - 1/ - 2/)dz ,4

für

rfel der, unter suche , Al l.14: Manskizziere den Verlauf fol gender ebener Vekto nenfalls: ob sie ein Potent ial besitzen,und berechne dieses gegebe b.) ~ = (-y,x,O) a.) ~ =(y,x,O)

Oberlegen Sie sich am Beispiel der Funktion 4 4 y - X für (x,y) ; (0,0) , f( x,y) + x2+ xy

lll .11: Die Funktion

!:!_(.:_}verschwir,'5w = _!!(!_) ' df. . Zu überprüfe n ist , ob ror. wohl aber für (bl und (c). Folglich (a ) nic h t der Fall,

für 1) 3 = :< log(/+ (b) und (c) &w • dF. I m Fall (b) haben wir ~ X F ~ :( 2 2 . (y) f m da ra us zun äc hs t F' = x .log(y +! ) / 2 + f (y) mit beliebige und erhalten 2 2 2 2 B = y(x - l)/(y +l) sein. Nun muß ab er wei t er a F = x y/(y +t) + f' (y) 2 y 2 y - log(y +1)/2 + c. ist f ' (y) = - y/(y +I) und deswegen f (yl = Folglich 7 2 gesuchte Funktion . Dieses ErSomit ist F( x , y) = (x -l ) l og (y - +1) /2 + c die Für den Fall (c) zu ~ontroll1eren. leicht gebnis ist durch Gradientenbildung F( x,y ) c f(x) + g( y ) + c . Argumentation erh alt en wir mi t tels d er gleichen

de t . Das i~t

= 0 solange

längs

andererseits

. Gehen Sie aber

ll 1.13: v1ir haben

Sie nämlich

Setzen

unstetig.

(0 ,0)

2 2 2 x 1og(y +1) dx + y(x -l)/(y +!) dy f'( x) dx + g'(y} dy

an d ie liyperbelschar Es repr äs enti er t (a ) das Tangentenfeld 2 2 2 2 x • y = c . Fe l d für die Kreisschar c und (b) das entsprechende sich im zweiten Fall ergibt die Rotation, Im e rst en Fa ll verschwindet sich mits da l~. de r Fall (a) ei n Potentia rot~ o +ro n~ - a n 2 2 Aus X (x - x 1 f (x)dx z ie hen wir jetz t de n Te il

[ Wenn man bereits

l äßt

_ll)

für

[ Das ist

um

Sub st it u tion y = nx mi t dx = dy/n durch +eo +eo X (x)dx = 1,-l j (1+/)-ldy = 1 ist . Saund überze ugen un s davon , daß n +ca dann übe r lege man sich , daß das I ntegral i X (x )f(x)dx f ür all en und

wer t~

(a).

rechnen wir zunächst nach,

Spez i alfall

2 2 a.. ) Zei gen 5ie, daß die Folge x0 (x) = n/~ ( 1 + n x ) - l bezüglich der Test funktionen f e L2 die 6-Funktion darste l lt. b . ) Bewe ise n Sie die fol genden Beziehungen :

r,-+-:c

aus

i cnst ~e orie.J

und de mzufo l ge pe -

E/b nac h x = 0 zu gel an gen . Aus v(x)

= 0

.Energie

= {f(x) :

Zunächst

(J)

stituiere

wie d i e Zei ·t , die

x

Tre nn u ng der

die

AIV.4: Sei L2 di e Klasse der quadrat integra blen reelle n Funktio nen auf +m 2

r;

sofort

Distribut

a

den I nte gr at ionsinte

Umkehrp u n kt

durch

T hängt

l im

der

f

E > O ist

Ene r gien

Per i ode T vierma l so groß

alle

Zusammenhang

prob l eml o s !)ac h der

ergib t T

und

ri od i sch , Da das

Ll V. q :

zu bewe i s ende

sc h en Sc hwi erigkeiten

AIV.3: Diskutie re n Sie die Be,1egung ei nes Masse npunktes i m ei ndimensionalen Potential V(x) = bj x J b > 0.

sich

der

•

i v (x) - ' d: 0),

für

2 COS

. l·li rd

ten,

CL

be i m

r.

2 2

tota l lnelast

is c hen Sto!l

wie dergefund

Weise

die

Bedin-

also

mv

„o

gemäß

en.

bes cimmc und du rc h T

daß diE

fliehen

sein , da ß die Res u l t a n te aus der LV.1: Die Neigun g mu ß so beschaffen -2 tr ii:uga lY..raf t ~ = -mbn I'l_= - v /p ~ und der Schwerkra ft = - mg

!:s

0

der

Sc:hienenebe_ne

steht.

Dara us folg t

= v(t)

Annahme

tana

=

v

O

2

I (gp)

/m

gM

* ~

Zen -

+ v log 0

0

- g (t - t

~- e rre 10.

*)

ic ht die

stat

. I hre

Gip felze

i t T ist

sen (v(t =0) = 0) . Pro Sekunde entweic he ihr die Masse m mit konstanter Gesch•11 indigkeit v . Berechnen Sie die Raketenbahn, ihre Gipfel höhe und 0 -die Zeit, zu der die se erreicht wird, unter der Annahme,daß 90%von M0 Brennstoff vorr a t ist , die Schwerebesch 1euni gung konst ant i st und keine

nimmt mit

t* = 0 . 9 M / m ab;

Zeit

dem Gese tz

von da an b l eibt

sie

konstant

Für

Umlaufbah

n gerate

einmal

wird

mit

zu der

Rake te

erha l ten

M=

Einf l uß der

wi r a l s o die

- m auch

ist

leicht

M~ - mv -

Damit

s ic h die

z,,

des

der

v(t)

-0

zu r

Imp u lses

pro

·,,i.rd , m(~(t)

-

Zeiteinheit,

:;,>.

Gesch wind igkeit-;,

{- gt

-

große

Höhen mu!l man i hre chtigen.

und de mzufolge

:':! - :'.c:, abgesonde

- v

0

log(I

Rak e t e über haup t von der

= - Mg

M.:'._- m~ -(m/M

0

Rampe löst

)t)

ig t

du rc h das

Dann kann die

n ode r u nt e r Umstän den

he

i st noch,

Ra -

au c h ent -

AV.3: Ein Geschoß der Masse m, das der Schwerkraft und der Stokessche n Rei bung K = - ßv (ß > D) unt erl ie gt, werde mit der Anfangsgeschwin- r digkei t v unter dem Neigungswinkel a ( < n/2) gegenüber der Horizonta l o ebene abgeschosse n. Berechnen Sie seine Bahn. Wie groß sind Gipfelhö he und Reichweite des Geschosses und nach wel chen Zei ten werden sie erre ich t? Verglei chen Sie die Bewegung mit dem re i bungsfr e ien ·•schiefe n Wurf. AV.4 : Zeigen Sie, daß die Integ ra t i on des Modell s der Schiffsc haukel liber Normaiin.teg, •al 1. Gattu ng führt und den Energiesatz auf ein Eliiptisches disk ut ie ren Sie die Bewegungi m Fall von Schwingung und über schla g anhand der Abbildung. Dazu sei folg ender Hinweis gegeben: In Tafel werken wi rd das Norma l i ntegral F(. ,k) =

!

(1 - k2 s i n2t )- 112dt

im allgemeinen nur für jkl < dis kuti ert. Oft schreibt man dabei k = s i na Oe r Fa11 !k j > 1 , den wi r ebenfa l ls benöt igen , läßt sich jedoch mittels der Formeln

15

1.0

di e

~ . Diese

Glei -

} !:z i ntegriert.

, muß v(o)

05 sin:c

r t.

•

daraus

Gipfelhö

Denn das Gas

Beweg ungsg leic hung ~( Mvl + m(v - v J = o dt -o ~ o . Ber üc ks ic h t i gen wir jetzt noch d en

so wird

=

mt bis

= ~ . Der I mpul s d .er

rn;i.t d er Geschwindigkeit

sc hwer kr,1ft,

chung

mit

i

und es gi lt

Gas ver ursacht

z um Inertialsystem

I nsgesa mt

o der

abgeschlossen

ausströmende

relativ

r el ativ

Schwerk r a ft vor.

E = M(t ) ~( t) , d ie Änderung

i st

dur ch das

lä ge keine

+ Abgase

s ys t em Rakete Rak ete

an , es

M 0

~ (T) = 0

.

O .l M . Nehmen wir 0 Dann i st das Gesamt -

0

~un ächst

=

M(t)

durch

nu r da nn ge r e•chr.fert

Sch w..,rebeschleunigung klei n ist.

Reibung auftr i tt. Die Masse d-, r Rakete

Geschw i n-

~

•

AV.2: Eine Rakete der Anfangsmasse M0 werde senkrecht nach oben geschos -

LV.2:

die

s i e s i ch .ant:r i ebs -

mlGs . .i\nzumerken

besc hr i ebe n e ;>..bnahme berücksi ionäre

Rakete

Von da a n bewegt

l og 10 gegebe n . Die Bah n und die

(v /gl 0

kons .tanter

Grav i tac i o ns gesetz

V

auf

- 0 .9

v(t)

t

0

ist , we n n d i e Gipfelhöhe

AV.1: Ein Zug durchfahre mit der Geschwindi gkeit v0 eine horizo nt al ver diu s p . Wie groß muß der Neigungswinl aufende Kurve mit dem Krümmungsra kel der Schienenebene gegenLiberder Horizonta le n se in, dami t kein seitl i cher Druck auf di e Schienen ausgeübt wi rd ?

se .nkrec ht

M g se i n. Zur Zeit

gewinr,t man durch nochmalige Integr a1:ion proble

ke te i n eine

zu Kapitel

>

v (t. )

d ig k ,dt.

fr ei

Wird de m Syste m EnergiB entzogen (6 E < 0 ) , so wi rd der l m 2 . _ o f ür CIE = e r iu O und mehr Energie kann ( v ) wua

45°.

den

= -- 1-- 2

s o is t dEr Stoßwinke l

dem Sys te m n i cht e!1tzo gen werden . Wir ha ben auf diese gung

v 1

= 45°

O) , so fo l ge d'l r a us a

üOe:ct:ragen

2

2

> O gel-

oi,c_ _ __ .,__ ___ 0

30

Das Norm ali nt egral

.L,_

_

60 Fl~ ,s ina)

_

le i cht auf den Fall lk l )

at)

acf,) cos ), .für ds/d = am (t , k) .

AV.5: Ein Massenpunkt der Mass e m hänge an einem i m Punkt R = (-a,0 ,0) befe stig te n Faden der Länge l • Di@Bev1eg ung des Fadens werde durch Zl'lei O (vi erte l )krei sför mige Backen des Radius a mit den Zentren (0,0,0) und (-Za ,0,0), di e sich in R berühr en , ei ngeschr änkt . Beschrei ben Si e die s i ehe z . B. Ja hnke - Ernde-Lösch "Tafein ltöherer Funktionen" Teubner Verlagsgesellscha ft , 1966) S. 72 f .

.'!:.= (coscf> ,

als

d.

vo l ls tän -

Energie T.

r de s Massenpunktes

kann

'l'a ngent ialk ompone nt e der Schwerkraf t ~ = - mg !:.z wird zu Kt ( ,j,) = -mg si n,f,. 2 ~ 2 Da~= ds dL• + ~ (d~) 2 is t, ergib t sich d i e Bewegungs g l eich ung zu dt2 dt2 d$2 dt

cf, = (l

Abbildung

I nt egr als,

oder

h ie rb e i T zu

ist

hung l a ut et

tangen-

des

O , -a

~er Tangen te neinheitsv

•

Fo rm

de r Massenpu nkt gerad e ein ergib t sich

Kt (s}

hat die

> l

a,t,) sin•L

0

Daraus

wir

0

is t

= 1 = sin( rr/2)

k s in (~ /2)

-

s

-

~en

sofor t aus !_ =

cos,P + (1

(- ii

Die Bewegungsgleic

Pe r io de nil t di e-

die

, so fi nden wir

!. =

.

d ie Umkehrpun kte der

benötigt

0

Schw i ngungsdauer

hängt

rechts

beide

0

gespan n t.

von 'p dars ·tel le n und somit

Funktion

s e i nen Orbit

= /ä7g und

A/k

w-enn man de n Winke l

=

man den Ort

Mitte ls

zur Teil!ängt:i

Länge 1

restlichen

ti al an den Kreis

l ; man

> 1.

bis

= alf) auf de.mKr~is .iui und is t rnit

s einer

•l•, k). n~ F ( Y

T = 4B K(~'.). Man e nt nimmt der

tabuliert

Abbild ung ze igt. , :::cll t sic h der fö~en

(2) der

In.tegm7- deY' 1. Gattung,

ist . Di e Werte :.~o def inieren

Für d en Weg von~=

2

'I,

Auch im fall

Gren ze

k

t = s F (X, k) . Somit

man im Fall

Funktio n zusammen , Zunächst

i ~t , hat$

unser

LV.5: rli e die

. Durch

da r 9est ell te Form zur ückgeführt

Eiliptisohe

vorlieg

ist

verwenden . Im Pall

rr se tz t . Da s i::rgebn i s i s t T = 2A f (Tf/2, k }

fa ll s ta bu lie rt

bestimmt

~ mga

Formel

-mga < E

mat i onsfor meln

K(k ) da s voilständige

ser

gilt

= (E + rnga} / ( 2m9a) < l sofo rt

a uf die

z u cb

-mgal

2 " )-l / 2,1= - k 2 ~1.·n v -~

,r (1 0

I m Fall

Fälle

~

(E

,p

- 1

Der Z•.1 sa mmenhang

t :p und dem Au3l i st

lä ßt si ch d ar aus wie üb l ich t = f(~) a ls Int:e2 subs tit u ier e, man t 2•~. Mit k 2mga/ ( E + r.iga)

,-,.-/ k ergibt und A = ,a1g

k = k

I r.tegra l darsteliung

k sini!, vornir.tm t.

si n9

Kurve in der xz-Ebene, die der Massenpunkt unter Einf l u~ des Schwerefeldes beschre iben wird und stelle n Sie seine Bewegungsgle ichung .auf.

de r Var iab len

a ngeben . Hierir.

'I,

den Normali nt egrale n fü t

i ndem ma:i in d er

rt,an,

Substitution

de r itiinke l geschwi!tdigkei

s.

gral

Zusammenha ng zwi schen

( 7 .A ufl. :

AVI .l : Diskuti ere n Sie qual i ta t iv die Bewegu ng ei nes Mass enpunktes im Po2 4 tentia l V(x) «x + BX B > O . Wod urch unterscheiden sich di e Fäl l e ·-a > O und a < O ? Nehme n Si e an , es sei E nur wenig größe1· als Vm i n und best immen Sie die Schwingungsdauer des Tei lc hens. --

LVI .1: f'ür

a >

0 besitzt

V , min Teilc hen für ZU

X

V(O)

alle

O verlaufende O

i n x ; O sein

d a s Pote ntial

V(O) ; O. weiterhin Energ i en

is t das E > O

Potential

eine

e in zig es Minirau m

unbeschränk

fi nite , periodisch

Bewegung beschreiben

i st.

r st

t,

s o da ß d a s

e und symme~risch

hingegen

r ela t iv e s Maximum des Potent ia ls und es exis tiere

«


T ist

x(tJ

ungedämpften

y =Oder

f

und

l en von sin x und cos x überein

Nullste

LVl. 5:

ver -

0

Pole

x( t)

. ist

=-;

Oszillators

T

; f

0

f

G+(t-

t 'I dt'.

G"'"(t) ist

im Falle

des

0

du rc h si n (wt) / (mw) gegeben . Folglich

ist

2f

{cos{w(t - 'l') } - cos(w t) } = ~ sin(wT/2) sin{w(t - 1'/2)). mw mw 2f eine periodische Schwingung der Amplitude A sin(u,T/2)1 .

7[

m(,J

Das

270

271

~oppelpunkt einer Kuc, e 55 Drei ecksungleichu ng 40 Drehimpuls 129'.' -~.cha!tung 133 Gesömc- IJ5 -sa cz der '.'.echanik I J6

Durchiaufungssinn 54 dyn 115 Dyn l 15 dynamische

Freiheitsg rade , innere 149 F'renetsche For~eln Frecquenz 70 Eigen- 212 , 224 Fur.k tion 7f ,bij ektiv e 9 ,injektive

6~f

Eige~frequenz 212 -k omplexe 224 Einheitliche Feldth eori e 117 Einsc hwingvorgang 230f Ei nstein -Konve ntion I J2 Elem enta rteilchen 10,,155 Elli pt isches Normalintegral 1 . Gattu ng 166 e lliptische Spirale 245 Elongation 184 F.nergie l20f de s Oszillators 229 ,e lastische 149 ,elekt roruagn etis che 149 Gesamt- 124 ,ki netische 122,104 , p o tentie lle 124,184 Rotations149 Wärme- 148 Ene rgies atz der Punktmechanik 124 t - Umgebung 73 Erh al t ungs - größe l l9 -satz 119 Euler-Moivresche Identität 20J F~lsifizieru ng 98 Federkraft 180 Felder 71f ,Di fferenzierbarkeit Kraft120f ,ska lare 7J ,Stetigkeit 72f Vekcor- 71 Fern wirku ngs the orie f läc h engeschwindigkci F'olge

72f

121 t 1JS

Zahlen- 12f Bild - 14 F'or minvananz 110 Fourier -Int egral 238 -Transformation 2)8 freie Weglänge 156

Zentrifuga l- iGJ -zent rum 130 Zw2ngs- 161f,Jo3 Kreuzproäukt 46f , mehrfaches 50 Kreislinie 66 Kreisfreque~z 70 Kriechfall 214 Y..rcneckersymbol 43 K.rü111 mung 64 Krümmungsradius 64

9

,i nverse 9 , 22 Grund9le1 c hung J 10

Hierarchie von The orie n 97 Höhenlinien 83 ~ookesches Ges etz 180 Hype r -ebene 77 -fläche 93 Hysterese 172

,k omplexe 198f , surjektive 9 Umkehr- 9, 22 ,vektorwertige 53 Zahlen- 53 fll nk tiona l 142 - analysis 142 -g lei chungen 198 Gali lei -gru ppe 109 - invarianz 21,107 -cransf ormat ion 107 Geschwindig kei t 16f , 57f Gewicht 160 Git.terschwingungen 181 Gleitreibung 172 Gleitreibungskoaffizient 172 ,1 75 Gr a dient 78 ,geometrische Bedeu t u ng 83 Gramm 101 Gravitationstheorie 116 Gree ns che Funktion 2!6f Grenzwert 14 Größe ,abgeleitete 19 Dimension einer phy sik alischen 4 Gru nd- 97 ,physikalische 4 Größenart 4 Grundgesetz 97 Grupp e 109 ,abels c he 109 ,diskrete 109 Galilei109 ,k ontinuier li che 109 Symmetrie- 109 Haftreibung 177 Haftreibungskoef fizi ent 172,174 ha rmon isc her Oszillator 167,169 f ,gedämpfter 209f ,dreidimensionaler 239f Heavisidesche Sprungfunkt 1on 143 Her t z 70

Imaginäre Einheit 193 I nertialsystem 105 Injektion 9 Integral 20 einer Differentialglejchung Kurven- 89f ,Riemanns c hes 140 ,Lebesguessches 140 Integration einer Differentialgleichung mit Vektore n 58 von Bahnen 58 Jacobi-Identitä Joule 1 22

t 52

Kausalitätsprinzip 211 Keplersche Gesetze 102,135 Kilograimn 101 Kinematik 31 Stoß - 145f Kochsehe Dreiecksinsel 62 Körper 196 Sch ief- 196 Uncer - 196 Kommutativgesetz 33 ,108,194 Konvergenz 12f von Vektorfo lg en 73 von komplexe n Folgen 201 Koord inaten system 5 ,kartesis ches 5,4 0 ,linkshändiges 6 ,rec htshändiges 6 Kräftefreiheit 104 Kraft 100 ,d i ssipa tive 170 Fed er- 180 -fe l d 120f ,paralleles 157 ,konservat iv e 123 Lorentz174 schein163 Schwer- 159 -stoß 137f Zentral129f

Kurve

187

187

,ebene 66 ,e i nfa che 55 ,geschlossene 55 ,glatte 56 ,implizite Darstellung ,orien tierte 54 Parametris i erung e iner Raum- SJ ,rekt ifizierbare 54 Kurvenintegral 89f Kurvenlänge ;,8f Laborsystem 146 Länge 4,31,207 Kur ven- 58f Laplace-Operator 91 Leistung 120f Lcvi-Civitä-Tensor 49 Lex ,prima 100 ,se cunda 100 ,ter tia 100 ,quarta 100 Lie-Algebra 52 Linearer Raum 35,206 lineare Unabhängigkeit Linkssystem 6, 48, 52 Lissajous-Piguren 246 Lösungsraum 190 t,orentz -kraft 174 -kurve 228 Ma krophysik l 16 Mannigfaltigkeit 79 MaßeinheiL 4 Masse 101 , reduzierte 1$0 Ruh- 1 1S ,schwere 114,IS9 ,träge 114

81 - 54

40,191

27

272 t"l...=t.sser 1mit~elp

Jnkt

120

1

, abso lu r.e r 100 Anscha'..it;:19S""'

1!J

Ohmsches Gesetz l7 0 Ope r ator 90 Laplace- 91 Nabla - 78 Orb it 53 43 Or th onormalsystem Oszillat io nsstel l e 16 Osz i llator

harmonischer Osziilato-r

Parall el~ r arnm der Kräf t e 100 Paramet r isierung e i ner Kurve 54 Pende l 167 , 180 periodi s che Erreg,mg 22 1f phäno menologischer Ansa t z 171 Pha se 184 ?ollocus 236 Poten tia l 9 4 ,125 Parabel - 182 - ,r.ulden modell 129,169 po t ent i elle Energ ie 124 Po t enzreihe 199f Prinziy 96, 98 Projek ti on 38 Pseudov ekt or 48 Pun kt 4 -masse 10, 1 15 Quad ratur 187 Quant enmechanik Qua nt or 13

Reali t äts - 2 Vektor ..,. Ve.!t.tor-:raum

Nab l a 78 Nahwirkungstheorie J2l Newton l l 5 Newtons che i'or mulierung de r Mecha nik 96f Reib ung 172 ,1 76,210 Normalbe s ch l eunigung 70 Norma le 63 Normaleneinhe i tsvektor 64 Normalmode n 181 1'1ullvek t o r 33

~

2

, euklid i scher 3 , 4f,3 l -invers i on 48

, Newtor.sche 96 ~u.=.nti;n- 11, ')7

Meiu:körperkraft mks - System 10! Modulation 233 Monot onie 22

Re.dia n t 5 ?.at.lm 2f

Masse,npunkt 10, Ll 5 Mec;,anik l , tiebung 234

Orts- 31 , polarer 48 - produ k t e 46f Pse ud o - 48

Schwerefel d J 5 9. Sc hwer kra f t 159 Schwerpu nkt 120 Schwerp unktsy st e m 146 Schwingfa ll 213 Sc hwin gkre is 181 , 2 10 Sch wing 1.mg , erzw u ngene 223f ,gedämpfte 209f ,h armon i sche J82f

- rechnung

Basis

St ammgle i c hung 2 16 St okessches Geset z 170 St okes s che Rei bung 172 , 176 , 2 10 Stoß , elast i scher 148 - gesetze l3 7f , 145 f , i nelastisc her 148 -ionis a tio n 144 - k inematik 145f Kraf t- l37f ,sc hräger 154 ,total i ne l as t ische r 150 ,z e ntr a l er 147,l Slf Zweier- !4 5f Strahlungsdämpfung 171 Str e ckebene 64 Str eu -p roz esse 156 -t he or ie 156 Tange nt en - ei nheit svektor 63 -g ebilde 85 -vek t or 62f Tange nt ial - bes c h le unigu ng 70 - ebe ne 74 Tay l or re ihe 200 Te il c henbahn 53 Theor ie, phy si kalische Tors i on 65 Torsionsradius 65 Traje k torie 53 Spur ein er - 53 s tetig e 55 Transpor t ers ch einungen Tunne lef fekt 126 Vektor 3H -a ddi ti on 33 - alg ebra JJf -a nalysis 53 f ,ax ialer 48 Null- 33

Jlf

- Subtraktio n 33 Vektorfel d 71 Divergen z eines - 9! Rotati on eines - 91 Vekt or r aum 35

96

156

ei nes

- 42

Di mens i on eines - 41 ,euklidischer 39f , komplexer 206 ,reel ler 35 ,unitärer 40 ,20 6 , 208f Verifizierung 98 vol l s tänd ig es Orth onormalsystem Watt 122 wattse kund i;? 122 Wägung 160 Wechse lw irk ung , e le ktromag net i s c he 117 , elektrosc hwache 11 7 Gravitations117 , schwac he l 17 , starke 117 Wec·h se l wi rkungskräfte 156 Winkel 5 wun:ello cu s 216 Zah l 196 ,ima ginäre 193 , komplexe 192f , konjugiert komple x e 19 4 , rationa l e 197 Zahlen -eben e 193 - folge 12f - funktion 22 Zeit 6f Parameter - 6 Zentralk r aft 129f Zen t rifuga lk caf t 163 Zentripetalb esc hl eunigung 71 Zuf alls - fu nkt i on 11 -variabl e IJ Zwangs - bedi ng ung 161 - kra f t 16lf , l63 Zweikörper kraft !lJ Zwischen wer ts at z der Integra l r ec hnung 139

43