The Boundary Element Method: Applications in Sound and Vibration 9058096572, 9780367446550, 020302446X

Citation preview

Cover 

 

Page i 

The Boundary Element Method 

Page ii 

To our wives:   Shayla Ali and Lalitha Rajakumar 

and our children:   Aleef & Teeasha Ali, and Vinod & Anita Rajakumar  

Page iii 

The Boundary Element Method  Applications in Sound and Vibration  Ashraf Ali  Engineering Solution and Support (ESAS), Bellevue, Washington (Formerly with Ansys, Inc., Canonsburg, Pennsylvania)  Charles Rajakumar  Ansys, Inc., Canonsburg, Pennsylvania 

 

A.A.BALKEMA PUBLISHERS  LISSE/ABINGDON/EXTON (PA)/TOKYO 

Page iv  Library of Congress Cataloging­in­Publication Data  A Catalogue record for this book is available from the Library of Congress  Cover design: Miranda Bourgonjen  Copyright © 2004 Taylor & Francis Group plc, London, UK  All rights reserved. No part of this publication or the information contained herein may   be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means,   electronic, mechanical, by photocopying, recording or otherwise, without written prior   permission from the publishers.  Although all care is taken to ensure the integrity and quality of this publication and   the information herein, no responsibility is assumed by the publishers nor the author   for any damage to property or persons as a result of operation or use of this publication   and/or the information contained herein.  Published by: A.A.Balkema Publishers (Leiden, The Netherlands),   a member of Taylor & Francis Group plc.   http://balkema.tandf.co.uk and www.tandf.co.uk  This edition published in the Taylor & Francis e­Library, 2005. 

  To purchase your own copy of this or any of Taylor & Francis or Routledge’s collection of thousands of eBooks please go to www.eBookstore.tandf.co.uk.  ISBN 0­203­02446­X Master e­book ISBN 

ISBN 90 5809 657 2 (Print Edition)  

Page v 

Contents      Preface    Acknowledgements 

 

vii

 

ix

  Abbreviations 

 

xi

 

1

  1  Introduction   

1.1  Why the boundary element method? 

 

1

 

 

1.2  Typical applications of the boundary element method 

 

2

 

 

1.3  Emergence of the boundary element method 

 

3

 

 

1.4  History of boundary element eigenformulations 

 

6

 

1.5  Organization of the book 

 

9

 

 

2  Boundary Element Method Fundamentals 

 

11

 

11

 

 

2.1  Introduction 

 

 

2.2  Direct method: weighted residuals 

 

12

 

 

2.3  Examples 

 

19

 

 

2.4  Direct method: Green’s integral theorem 

 

21

 

 

2.5  Indirect method 

 

23

 

2.6  Body forces 

 

26

 

3  Isoparametric Boundary Elements 

 

31

 

31

 

 

3.1  Introduction 

 

 

3.2  Two­dimensional linear boundary elements 

 

31

 

 

3.3  Higher­order elements in 2­D 

 

34

 

3.4  Boundary elements in 3­D 

 

36

 

42

 

49

   

3.5  Examples    4  Anisotropy, Axisymmetry and Zoning 

 

 

4.1  Introduction 

 

49

 

 

4.2  Anisotropic materials 

 

49

 

4.3  Axisymmetric problems 

 

51

 

54

 

57

   

4.4  Inhomogeneous regions and zoning    5  Time­Harmonic Analysis in Acoustics and Elasticity 

 

 

5.1  Introduction 

 

57

 

 

5.2  Acoustics 

 

57

 

5.3  Elasticity 

 

62

 

6  Dynamic Analysis: Acoustics and Elasticity 

 

65

 

65

 

 

6.1  Introduction 

 

 

6.2  Eigenvalue problem in acoustics 

 

71

 

 

6.3  Eigenvalue problem in elasticity 

 

72

 

6.4  Characteristic equation for eigenvalues 

 

72

 

Page vi  7  Basics of Algebraic Eigenvalue Problem Formulation 

 

77

 

77

 

 

7.1  Introduction 

 

 

7.2  Development of BE algebraic eigenvalue problem 

 

77

 

 

7.3  Formulation of Internal Cell Method 

 

78

 

7.4  Example of internal cell method: rectangular plate vibration 

 

80

 

8  Algebraic Eigenvalue Problem in Boundary Elements   

 

8.1  Introduction 

 

 

8.2  Eigenproblem using dual reciprocity method in acoustics 

 

8.3  Eigenproblem using particular integral method in elasticity    9  Advanced Concepts in Boundary Element Algebraic Eigenproblem 

 

87

 

87

 

87

 

96

 

107

 

9.1  Introduction 

 

107

 

 

9.2  Algebraic eigenvalue formulation using fictitious function method 

 

108

 

 

9.3  Example problems using fictitious function method 

 

111

 

 

9.4  Effect of internal collocation points on eigensolutions 

 

112

 

 

9.5  Polynomial­based particular integral method 

 

116

 

 

9.6  Multiple reciprocity method (MRM) 

 

121

 

9.7  Series expansion methods (SEM) with matrix augmentation 

 

127

 

 

10  Acoustic Fluid­Structure Interaction Problems 

 

129

 

129

 

 

10.1  Introduction 

 

 

10.2  Boundary element­finite element coupled eigenanalysis of fluid­structure system 

 

130

 

 

10.3  Acoustic eigenproblem for enclosures with dissipative boundaries 

 

137

 

10.4  Examples of acoustic eigenproblem with sound absorption 

 

141

 

11  Solution Methods of Eigenvalue Problems 

 

149

 

149

 

 

11.1  Introduction 

 

 

11.2  Lanczos­based subspace approach 

 

149

 

 

11.3  Lanczos recursion method 

 

150

 

 

11.4  Example problems 

 

157

 

 

11.5  Summary statements on the non­symmetric Lanczos eigensolver 

 

160

 

 

11.6  Damped system eigenvalue problem solution 

 

161

 

 

11.7  Lanczos two­sided recursion for the quadratic eigenvalue problem 

 

162

11.8  Summary statements on eigenvalue computation algorithms    12  Discussion and Future Research 

 

170

 

171

 

12.1  Discussion on boundary element eigenvalue methodologies 

 

171

 

 

12.2  Comparison of eigenanalysis using BEM and FEM 

 

172

 

 

12.3  Topics not covered in the book 

 

173

   

 

12.4  Future research on BEM eigenanalysis 

 

174

 

177

 

187

   

  References    Index 

Page vii 

Preface  The boundary element method is a powerful discretization tool in computational mechanics. However, the eigenvalue analysis procedures within the boundary element  discretization process are still in a developing stage. To our knowledge, this is the first­ever book dedicated entirely to the subject of boundary element eigenvalue  formulations. All the techniques of boundary element eigenvalue analysis currently available in the literature are reviewed and presented in the book. For each technique,  a detailed theoretical formulation is presented, followed by numerical illustrations. The advantages and disadvantages of each method in terms of computational  efficiencies, generalities, and formulation difficulties are also presented.  The book includes detailed formulations on linear and quadratic eigensolvers for unsymmetric matrices since boundary element matrices are naturally unsymmetric.  The book also sheds light on the ongoing debate on the choice of technique, the relative merits of eigenanalyses based on the boundary element and finite element  methods, the unresolved issues that require immediate attention and the future direction of research in this area.  The mode­frequency analyses of vibrating structures and the computation of resonant frequencies of acoustical cavities are now routinely performed in the industry.  The eigenanalysis based on the boundary element method holds promise of becoming a user­friendly and popular procedure with practicing engineers simply because  here it can avoid the tedious and time­consuming process of creating an adequate mesh for their models. Some applications include:  Elasticity Area:  1. Machines (automobiles, aircraft, etc.);  2. Machine parts such as connectors, shafts, gears, fasteners such as screws, pins, etc;  3. Other equipment that is subjected to vibrations during normal operation;  4. Structures (bridges, buildings, etc.).  Acoustics Area:  1. Acoustic enclosures such as auditoriums, theaters, passenger­car and train cabins, etc.;  2. Hi­Fi sound equipment such as loudspeakers;  3. Fluid­filled structures such as oil tankers;  4. Noise control of structures such as automobile mufflers; aircraft fuselages, rooms housing vibrating machines, etc.  Furthermore, eigenvalue analysis forms the basis for subsequent mode­based dynamic analyses, such as mode superposition transient analysis, spectrum analysis, and  random vibration analysis.  

Page viii  Before the advent of practical numerical methods like the finite element method, engineers conducted experiments on prototypes for determining natural frequencies.  Starting in the 1970s, computer programs based on the finite element method were available. Although the finite element method is a versatile computational technique,  it requires a much longer data­preparation time than the boundary element method. Specifically, engineers are forced to spend a significant amount of time in generating  an adequate mesh for the model problem. Despite the introduction of a few automatic mesh­generation algorithms in the commercial finite element programs, engineers  still continue to struggle in creating meshes of acceptable quality.  The boundary element method, on the other hand, is a boundary technique where only the boundary of the domain is required to be meshed, thereby simplifying data  preparation efforts significantly. Among other benefits, the overall physical time spent by engineers to perform the analysis is reduced significantly, and the analysis  process becomes more user­friendly.  The book presents the eigenvalue analysis techniques that use the boundary element method. The boundary element method does not easily lend itself to eigenvalue  formulations, especially algebraic eigenvalue formulations. Consequently, publications on boundary element algebraic eigenvalue formulations did not come out until the  mid­1980s, although the boundary element method has been around since the late 1960s. However, non­algebraic boundary element eigenvalue analysis, which is not a  practical analysis technique, appeared in the literature of the mid­1970s. For historical reasons, the book presents some materials related to the non­algebraic boundary  element eigenvalue analysis techniques.  Three general purpose boundary element computer programs (GPBEST, BEASY, and SYSNOISE) offer boundary element eigenvalue analysis capabilities. This  book will hopefully satisfy the needs of engineers to acquire a detailed knowledge on the subject. The capabilities of the commercial programs, such as those  mentioned, may be enhanced through the implementation of some of the different methods of performing boundary element eigenvalue analysis presented in the book.  This book should also encourage the development of new and more powerful computer programs on boundary element eigenvalue analysis.  The book can be used in the graduate classes on “computational mechanics” and “boundary element methods”. The researchers in universities and industries,  practicing engineers, mathematicians, computer scientists, physicists, chemists and chemical engineers, and researchers in bio­medical fields can also use it as a  reference.  Ashraf Ali   Seattle, Washington  Charles Rajakumar   Pittsburgh, Pennsylvania  

Page ix 

Acknowledgements  We are indebted to Ansys, Inc., Canonsburg, Pennsylvania for getting us interested in the subject of boundary element method. We are also grateful to Sidney  Solomon of The Solomon Press of New York in giving us encouragement and valuable suggestions in the preparation and completion of the book.  

Page x 

This page intentionally left blank. 

Page xi 

Abbreviations  1­D  2­D  3­D  BE  BEM  BIEM  CPU  DRM  DSM  FE  FEM  FFM  GSF  ICM  MRM  NACA  PIM  PSF  SEM 

One­dimensional, One dimension  Two­dimensional, Two dimensions  Three­dimensional, Three dimensions  Boundary Element  Boundary Element Method  Boundary Integral Equation Method  Central Processing Unit  Dual Reciprocity Method  Determinant Search Method  Finite Element  Finite Element Method  Fictitious Function Method  Global Shape Function  Internal Cell Method  Multiple Reciprocity Method  National Advisory Committee for Aeronautics  Particular Integral Method  Polynomial Shape Function  Series Expansion Method 

Page xii 

This page intentionally left blank. 

Page 1 

Chapter 1  Introduction  1.1. Why the boundary element method?  In the last thirty to thirty­five years the Boundary Element Method (BEM) has emerged as one of the most powerful computational tools for solving a wide variety of  problems in science and engineering. While the Finite Element Method (FEM) is known to be versatile, the BEM brings with it the extraordinary feature of being simple  in geometric data preparation. This particular feature of BEM derives from the fact that the discretization of the problem domain is confined to the boundary alone, i.e.,  the unknowns to be solved for are only on the boundary. The solution inside the domain can be computed as a post­processing step after the unknowns on the  boundary points have been solved for.  In the FEM, the entire domain must be discretized in order to set up the algebraic equations and get solutions. It not only increases the number of equations that must  be solved, but also burdens the user with generating an adequate mesh on the surface as well as in the interior of the domain. Despite the advent of a number of  algorithms of automatic mesh generation to be used with the FEM, the users of the FEM today are still forced to allocate more than half of their time in creating suitable  meshes for their problems.  Since the BEM reduces the problem dimension by one, two­dimensional (2­D) problems can be solved in one dimension and three­dimensional (3­D) problems can  be posed in two dimensions. Therefore, only a line mesh around the boundary of the domain is needed in two dimensions and a surface mesh for 3­D geometries. It  leads to dramatic reductions in mesh generation efforts, resulting in significant savings in processing time put in by an engineer toward solving the problem at hand. This  particular property of the BEM makes it an attractive numerical analysis tool.  The BEM is an integral­type of numerical analysis procedure in which the integration of the governing differential equations is performed before the numerical analysis  has been carried out. The FEM, on the other hand, is a differential­type numerical analysis technique because the numerical analysis part is performed first followed by  the integration of the governing differential equation. The FEM may also be designated as a local technique. Here the entire problem domain is divided into “finite  elements,” which form the building blocks for reconstructing the whole domain. The numerical analysis is performed on the individual elements. The finite elements are  then assembled for the entire domain, which is equivalent to the integration of the governing differential equation. The compatibility between adjacent elements is  ensured during the process  

Page 2  of assembly of the element matrices, and the equilibrium of the individual element ensures the overall equilibrium of the whole domain after assembly.  The BEM is a global numerical analysis procedure. The solution of the problem is found by superposing singular solutions distributed over the entire boundary of the  problem. The singular source located at one point of the boundary exerts influence on each and every point on the boundary of the problem. When this influence of a  single source for a discretized boundary is summed over all the boundary segments/elements, it fills the entire row of the final algebraic matrix equation. Therefore, a  separate assembly procedure is not called for. The equilibrium is globally satisfied at once for the whole domain.  The BEM is more efficient than the FEM for several classes of problems, viz., infinite­domain problems such as those in acoustics, electrostatics, and  electromagnetics, and problems with stiff gradients such as those in fracture mechanics. In some cases, a combined BEM­FEM procedure, in which the strengths of  both methods can be exploited, is found to be optimal. The FEM is known to handle inhomogeneities and nonlinearities in the domain more efficiently. Therefore, the  part of the domain that contains inhomogeneities and/or nonlinearities can be modeled using the finite elements, whereas the part that is homogeneous and/or extends to  infinity may be modeled using boundary elements. 

1.2. Typical applications of the boundary element method  Consider the return­and­go conductor problem, also known as the magnetic dipole problem, in which two conductors in free space carry current in opposite directions  to infinity. The problem is to compute the magnetic flux density distribution both inside and outside of the conductors. Figure 1.1 shows four different ways of solving it.  In the first method, the problem is solved using the BEM alone. Only the boundaries of the conductors are required to be discretized in order to model both the  interiors of the conductors and the infinite­extent external domain. In the second method, the interior of one of the conductors is meshed using finite elements, whereas  the interior of the other conductor as well as the infinite­extent exterior domain are modeled with the help of boundary elements. In the third method, the interiors of  both conductors are modeled using finite elements, while the infinite­extent external domain is modeled using boundary elements. In the fourth method, the problem is  solved using finite elements for both conductors and a portion of the external domain and boundary elements beyond.  In the first three cases, the zero­potential and zero­flux boundary conditions at infinity are implicitly satisfied by the boundary elements, although the discretization is  confined to the surface of the conductors. Since the BEM is a global technique, the conductors that are physically disconnected at the two­dimensional (2­D) plane are  easily modeled without requiring the domain between the conductors to be discretized. Also, in the first case, both the interior and the exterior domains are modeled  using just one discretization at the conductor boundaries. In other words, in the BEMs, the boundary discretization used to model the interior domain can be used to  model the external domain just by flipping the outward normal. Note that because of symmetry and anti­symmetry, the return­and­go conductor problem is, in practice,  solved using only a quarter of the domain.  

Page 3 

Figure 1.1. The return­and­go conductor problem. (a) Both conductors and exterior domain are modeled using BE alone; (b) interior of  one conductor and exterior domain are modeled using BE while the interior of the other conductor is modeled using FE; (c)  interiors of both conductors are modeled using FE, while the exterior domain is modeled using BE; (d) interiors of both  conductors and a portion of the exterior domain are modeled using FE while the exterior domain is modeled using BE. 

Over the years, BEMs have been applied to many branches of engineering science, such as: heat conduction, elastostatics, elastodynamics, elastoplasticity,  viscoplasticity, acoustics, fracture mechanics, fluid flow, fluid­structure interaction problems, and electromagnetics.  However, the eigenvalue analysis formulations in the context of BEMs did not appear before the late 1970s. This is because the BEM does not easily lend itself to an  algebraic eigenvalue formulation. The evolutionary history of different types of eigenvalue formulations with the BEMs will be presented later in this chapter. Before that,  a brief chronological history of the emergence of the BEM itself is presented below. 

1.3. Emergence of the boundary element method  As mentioned earlier, the BEM is an integral equation technique. The study of the integral equations started many decades before the boundary integral equation  method (BIEM) emerged as a practical numerical analysis technique. In 1903, Fredholm [1] published his work on the application of integral equations to the  formulation of boundary­value problems in potential theory. Early works on the integral equations were restricted to the study of existence and uniqueness of solutions  to the problems encountered in mathematical physics. Trefftz [2] and Prager [3] developed methods to solve integral equations in potential fluid flow problems. These  methods are actually  

Page 4  suited for computers and were not of much use in those days. However, they may be called the precursors of modern BIEMs.  Kellog [4] applied integral equations to the solution of problems governed by Laplace’s equation. Boundary integral equations were set up using integral  transformation theorems to represent a harmonic function by superposing a single­layer and a double­layer potential. After specializing the equation on the boundary of  the domain, the Fredholm integral equation of the second kind, relating the harmonic function and its derivative as unknowns on the boundary, could be established. Its  counterpart in the theory of elasticity is the Somigliana identity [5], which relates the boundary displacement and boundary traction through an integral identity. The  Russian author Muskhelishvili [6,7] applied integral equations to the theory of elasticity. He used the complex variable method, and as such the application was  restricted to 2­D. In 1957, another Russian author, Mikhlin [6], studied the properties of integral equations.  Smith and Pierce [7] used the “indirect” BIEM to study potential fluid flow problem. The indirect BIEM uses non­physical “source densities” as the unknowns on the  boundary to be solved for. The physical variables anywhere in the domain are solved afterwards in terms of the source densities. The indirect methods were  traditionally used in the solution of general potential and fluid flow problems. Friedman and Shaw [10,11] and Shaw [12] in 1962, and Banaugh and Goldsmith [13] in  1963 applied the “direct” boundary integral method in acoustics to study the acoustic scattering problem. Hess [14] and Hess and Smith [15] calculated potential flow  around bodies utilizing indirect boundary integral equations.  Jawson [16] and Symm [17] published their two­part paper on integral equation methods in potential theory. In these papers, they presented a numerical method in  which they divided the problem boundary into small segments and assumed the unknown quantities to remain constant over the segments (so­called “constant”  boundary elements). The integrals over the segments were computed using Simpson’s rule. The singular integrals were treated separately. This led to a system of  algebraic equations. Jawson and Symm solved simple 2­D potential problems using this procedure. Jawson and Ponter [18] applied this technique to solve torsion  problems. Massonnet [19] also solved torsion problems numerically using the integral equation technique. In 1965, Kupradze [20] formulated vector integral  equations, similar to those of Fredholm in potential theory, for applications in the theory of elasticity. Mikhlin [21,22] proposed approximate solution techniques for  solving integral equations and also presented multidimensional or vector integral equations.  In 1967, Jawson et al. [23], Rim and Henry [24], and Rizzo [25] applied the integral equation method to solve problems in elasticity. Oliveira [26] also performed  plane stress analysis in elasticity with the help of the integral equation technique. Cruise and Rizzo [27] and Cruise [28] presented a boundary integral equation  formulation for numerically solving transient elastodynamic problems. Cruise [29] extended the numerical formulation of boundary integral equations to solve problems  in 3­D elastostatics. Jawson and Maiti [30], Newton and Tottenham [31] and Forbes and Robinson [32] presented integral equation formulations for elastic plate and  shell problems.  Harrington et al. [33] applied the indirect integral equation approach to solve problems in electromagnetics governed by Laplace’s equation. Butterfield and Banerjee  [34,35] also applied the indirect integral equation method to the geotechnical problem of pile foundation. During the years 1970–1972, the application of the integral  equation method was extended to other areas of engineering science, such as transient  

Page 5  heat conduction problems and linear viscoelasticity theory by Rizzo and Shippy [36,37], fracture mechanics by Cruise and Van Buren [38], plasticity by Swedlow and  Cruise [39], water wave scattering problems by Shaw [40] and Lee [41], infinite­domain problems in electromagnetics by Silvester and Hsieh [42] and McDonald and  Wexler [43], and orthotopic elasticity problems by Benjumea and Sikarskie [44].  In 1973, Cruise [45] first used the term BIEM in the context of 3­D stress analysis with the “direct” method. In the years 1973–1977, both direct and indirect  versions of the integral equation method were used to solve problems in elasticity [46–48], torsion [49], fracture [50,51], plasticity [49,52,53], viscous fluid flow  [54,55], ground water flow [56,57], and thermoelasticity [58]. The first book on the application of BIEM, which was really a collection of articles edited by Cruise and  Rizzo [59], was published in 1975.  Banerjee and Butterfield [60] and Brebbia and Dominguez [61] first used the term BEM when they recognized the possibility of generalizing discretizations of the  boundary problem. Brebbia, together with Dominguez [61–63], first formulated boundary element equations using weighted residual method (WRM) and showed that  many numerical method formulations including BEM and FEM can be obtained as special cases of general WRM. This proof provided a connection between the BEM  and other numerical techniques like the FEM. The first textbook in boundary integral method was written by Jawson and Symm [64] in 1977. The following year  Brebbia [63] published the second textbook on the BEM. Both books covered the application of the BEM to potential theory and theory of elasticity. Zienkiewicz et  al. [65,66] and Atluri and Grannell [67] also showed the connection between the BEM and the FEM using variational principles, and presented techniques for  combining the two methods. At about the same time, Brebbia and Butterfield [68] demonstrated the formal equivalence of direct and indirect BEMs.  The research and publication on the BEM increased dramatically in early 1980s and spread into numerous fields of engineering science. In 1980, Brebbia and  Walker [69] rewrote the book published two years earlier [63] in an expanded form by adding one chapter on nonlinear and time­dependent problems and another  chapter on zoning, approximate boundary elements and combination of the BEM and the FEM. The first comprehensive book on the BEM was published by Banerjee  and Butterfield [70] in 1981, followed by Brebbia, Telles and Wrobel [71] in 1984. In the same period, a number of books were published on special topics, e.g., on  creep and fracture by Mukherjee [72], on elasticity by Parton and Perlin [73], on solid mechanics by Crouch and Starfield [74], on porous media flow by Liggett and  Liu [75], on inelastic problems by Telles [76], on geomechanics by Venturini [77], on complex variable method potential theory by Hromadka II [78], and on potential  theory by Ingham and Kelmanson [79].  In addition to numerous research articles published every year in different journals, occasional books are being published which are collections of articles contributed  by experts on BEMs in specialized fields [80–88]. Also, regular conferences for the presentation of research papers on BEMs are held every year throughout the  world, and conference proceedings are published [89–93]. A journal entitled Engineering Analysis with Boundary Elements, fully dedicated to publishing research  findings on the BEMs is published regularly under the editorship of Brebbia, Shaw, Tanaka and Aliabadi [94]. A companion communication, Boundary Elements  Communications, publishes short technical notes on the BEM and lists books and research articles published elsewhere [95]. Two technical societies, ISBE  (International Society for Boundary Elements)  

Page 6  and IABEM (International Association of Boundary Element Methods), are involved in activities related to boundary element research, education and publication. A  few large­scale computer programs, such as, BEASY [96], BEST3D [97], GPBEST [98], SYSNOISE [99], BEMAP [100] and COMET/BEA [101], have been  developed and are used by a cross section of engineers. 

1.4. History of boundary element eigenformulations  The BEM formulations use the free­space Green’s functions as the “test” or “weighting” functions, which are usually transcendental. The implication is that the algebraic  eigenvalue formulation in the BEM cannot be posed in a straightforward manner, as the frequency parameters are implicitly embedded in the kernel functions.  Consequently, early attempts of BEM eigenvalue formulations were confined to using the frequency sweep method or the determinant search method (DSM) [102– 114]. In 1974, Vivoli and Filippi [102] used the DSM to compute acoustic resonant frequencies. The Green’s function in this case is complex, and frequency search is  conducted on the complex matrix. However, it is possible to employ arbitrary singular solutions with real variables as the fundamental solutions, which would lead to  real matrices for determinant search. In 1976, DeMay [103,104] used this approach to calculate resonant frequencies of Helmholtz equations. The DSM was also used  by Hutchinson [105], Hutchinson and Wong [106], Wong and Hutchinson [107], Tai and Shaw [108], Shaw [109], Niwa et al. [110], Hutchinson [111,112], Adeye  et al. [113], and Zhou [114] for Helmholtz equations, plate problems, and membrane vibrations.  In 1980, Bezine [115], in an attempt to set up the algebraic eigenproblem, treated the “inertia” term, containing frequency parameter in it, separately from the  remaining term(s) of the governing differential equation for eigenvalue analysis. A simpler fundamental solution, free from the frequency parameter, was used to convert  the latter term(s) into a stiffness­type matrix through the boundary discretization. Bezine then divided the domain into internal cells, in addition to the boundary  discretization, used shape functions to interpolate the dependent variable in the inertia term, and performed integration of the fundamental solution and the shape  function on the domain cells to obtain an additional matrix. After the application of appropriate boundary conditions, the matrices were cast into an algebraic eigenvalue  problem. Bezine used this method to solve plate vibration problems. This procedure, based on both boundary and domain discretizations, is designated as the internal  cell method (ICM).  In 1982, Nardini and Brebbia [116], like Bezine [115], treated the inertia term separately. However, rather than discretizing the domain, they approximated the  dependent variable, contained in the inertia term, by a set of global shape functions and applied the divergence theorem to the term. Thus, the domain integral was  converted to the boundary. Thus, Nardini and Brebbia were the researchers who formulated the first boundary­only algebraic eigenvalue problem in the context of  BEM. This procedure was first implemented in elastodynamics [116–119] to set up the algebraic eigenproblem. Since, in the technique, the divergence theorem is  applied twice, the method was later given the name “Dual Reciprocity Method” (DRM) [120]. Nardini and Brebbia [116] and Partridge and Brebbia [121] suggested  a few variations of the global shape functions approximating the dependent variable in the inertial term and the need for adding internal degrees of freedom to improve  the accuracy in the computation of the inertial term.  

Page 7  Kanarachos and Provatidis [122] used an indirect formulation to set up the algebraic acoustic eigenvalue problem and showed that the BEM mass matrix must be  computed on the basis of a complete functional set, which forces the introduction of source points inside the domain in addition to the boundary collocation points. They  also showed that the approximate boundary functions used by Nardini and Brebbia [116] represent only first­order approximations of the “exact functions,” designated  as the “Poisson­adjusted” functions, presented by them.  Ahmad and Banerjee [123] proposed a slightly different method, which they called Particular Integral Method (PIM), of formulating the generalized eigenvalue  problem using the BEM, and applied the method to solve eigenvalue problems in 2­D elasticity. Banerjee et al. [124] applied the PIM to formulate generalized  eigenvalue problem in acoustics. In this method, the pressure amplitude is considered to be composed of two components, a complementary function and a particular  solution. Wang and Banerjee [125,126] used PIM to perform axisymmetric as well as non­axisymmetric free­vibration analyses of axisymmetric elastic bodies, and  Wilson et al. [127] used it for the free­vibration analysis of 3­D elastic solids. Agnantiaris et al. [128,129] later applied DRM to analyze free and forced vibration  problems of 3­D, non­axisymmetric and axisymmetric 3­D elastic solids. Their study showed that the use of higher order radial basis functions in the evaluation of the  inertia term did not noticeably affect the quality of the solution. The DRM was also employed to solve for the free vibration problems of 3­D anisotropic solids [130].  The authors here used a certain number of internal collocation points to accurately compute the mass matrix.  Ali et al. [131] and Rajakumar et al. [132] pointed out that the acoustic eigenvalue problems, especially the most important class with acoustically hard boundaries,  can be formulated in terms of fictitious density function, instead of physical variable, thereby avoiding inversion of a large matrix. Ali et al. [131] also brought out the  subtle distinction between the free vibration problems in elasticity and acoustic eigenfrequency analyses. They observed that the mode shapes in the former case are  conditioned solely by the boundary of the domain, whereas those in the latter case are governed not only by the boundary conditions, but also by the continuity  conditions of the eigenfunctions in the domain. As a consequence, an accurate acoustic eigenfrequency analysis of chunky­shaped acoustic cavities may require  additional internal collocation points or zoned boundary elements.  Coyette and Fyfe [133] also formulated the acoustic eigenvalue problem in terms of the fictitious function, rather than the pressure amplitude, thereby avoiding a  matrix inversion. Bialecki et al. [134] later extended the method to solve transient heat conduction problems with arbitrary sets of boundary conditions. They also  pointed out the applicability of the method to differential equations governing diffusion, wave propagation and similar physical phenomena.  In 1992, Raveendra and Banerjee [135] performed acoustic eigenvalue analysis by utilizing complete polynomial­based functions to approximate the pressure in the  inertia term. The use of piece­wise polynomials, as opposed to global interpolation functions, to approximate the field pressure amplitude, did not, however, improve  the accuracy of eigenfrequencies. Rajakumar and Ali [136] formulated damped acoustic boundary element eigenproblems including sound absorption at the boundary.  Note that the eigenformulation in this case led to a quadratic eigenproblem. Rajakumar et al. [137] presented a coupled eigenvalue formulation for fluid­structure  systems in  

Page 8  which the enclosed fluid was modeled using boundary elements and the structure using finite elements.  Nowak [138] and Nowak and Brebbia [139] proposed the Multiple Reciprocity Method (MRM), in which Gauss’s divergence theorem is repeatedly applied to the  domain integral term using higher order Green’s functions until the domain term becomes negligible. Nowak and Brebbia [140] later applied the method to the  Helmholtz equation. Kamiya and Andoh [141] applied the MRM to acoustic eigenvalue problem and solved for resonant frequencies using Newton­Raphson iteration  along with LU decomposition. Kamiya and Andoh [142] used a simple matrix augmentation procedure to cast equations into a generalized algebraic eigenproblem.  Now the problem could be solved using generalized eigensolvers. In a paper published in 1993, Kamiya et al. [143] provided a good review of the boundary element  eigenvalue formulations currently available in the literature with a special emphasis on acoustic eigenanalysis.  Kirkup and Amini [144] proposed the Series Expansion Method (SEM), in which the eigenformulation equation of the DSM was expanded into a series in  frequency parameter. Kamiya et al. [143] showed that this series equation (real part) is equivalent to the equation derived using the MRM. A matrix augmentation  procedure was then be used to set up the algebraic generalized eigenvalue problem. In 1994, Polyzos et al. [145] showed that the DRM and the PIM are equivalent  approaches for treating domain integral terms in the BEM.  Davies and Moslehy [146] used DRM to determine the natural frequencies and mode shapes of thin elastic plates. They inserted additional internal nodes in the  domain and employed simpler forms of radial approximating functions in evaluating the inertia term. Davies and Moslehy observed that the accuracy of the eigensolution  of the thin plates did not improve appreciably with the use of more complicated forms of the approximating functions. Kamiya et al. [147] employed an h­version of the  adaptive mesh refinement technique for the first time in conjunction MRM and Newton iteration to accurately compute acoustic resonant frequencies by BEM.  The boundary element eigenvalue formulations, discussed so far, produce unsymmetric and non­positive definite mass and stiffness matrices. Davì and Milazzo [148]  developed a mixed variational principle in which they expressed the functional in terms of independent domain and boundary variables. They employed non­singular  static fundamental solutions. DRM­type reciprocity theorem was used to transform the inertia term into boundary­only integrals. Their process resulted into symmetric  and positive definite mass and stiffness matrices. Indirect Trefftz method has also been proposed to arrive at symmetric system matrices for the linear algebraic  eigenvalue problem [149]. The generalized singular­value decomposition and Tikhonov’s regularization methods were employed here in order to overcome the  difficulties of spurious eigensolutions and numerical instability associated with indirect Trefftz method.  Niku and Adey [150] observed that the computational costs associated with DRM formulations are relatively high. They considered the diagonalization of the mass  and associated matrices in order to reduce the mathematical operation count. They however admitted that it would be necessary to find mathematical justification for  such diagonalization.  Chen and Wong [151] combined conventional MRM formulation with the hyper­singular equation of DRM to analytically derive eigensolutions for one­dimensional  

Page 9  problems. This combined method was later given the name dual MRM and was applied, to determine the natural frequencies and natural modes of an Euler beam  [152], a rod [153] as well as square, rectangular and circular and acoustic cavities [154–157]. The single value decomposition method was employed to remove  spurious modes.  Ingber et al. [158] found that the direct domain integration technique (ICM), especially with multipole acceleration, can evaluate the inertia term more efficiently than  DRM or PIM in terms of CPU cost, memory requirements and accuracy of eigensolution. They remarked that the ICM may be more efficient than DRM/PIM even  though the former requires domain discretization. This is because advanced preprocessors have become readily available in recent years. 

1.5. Organization of the book  This book is intended to be self­contained. The relevant theories required for a complete understanding of boundary element eigenvalue analysis are provided in the  book. The fundamentals of the BEM are presented in Chapters 2 through 4 using the potential problem as an example. Chapter 2 not only presents the essentials of the  boundary element formulation, but it also describes a variety of other methods of formulating boundary element equations. Methods that are thought to be in contrast to  each other, for example, direct and indirect formulations, weighted residuals, and Green’s integral theorem methods, are presented in this chapter.  Isoparametric higher order boundary element formulations in 2­D and 3­D are covered in Chapter 3. The ways of dealing with anisotropic media and axisymmetric  bodies are shown in Chapter 4. Although typically boundary element formulations produce full matrices, this chapter shows the so­called zoning technique by which  banded system matrices can be produced.  This is followed by the application of the BEM to the time­harmonic analysis in elasticity and acoustics. The relevant theories of elasticity and acoustics are also  presented in Chapter 5. Chapter 6 contrasts boundary element formulations with finite element formulations in solving dynamic problems in acoustics and elasticity. The  concept of using so­called static fundamental solutions in solving dynamic problems is introduced here, as it is central to formulating algebraic eigenvalue problems using  the BEM. The essentials of setting up non­algebraic eigenvalue equations, i.e., characteristic equations, are also presented in Chapter 6.  An algebraic eigenvalue formulation based on combined BEMs and FEMs is presented in Chapter 7, and it is then applied to plate vibration problems. The  formulation is designated as the ICM. The ICM is not a boundary­only approach; complete boundary­only algebraic boundary element eigenvalue formulations are  presented in Chapters 8 through 10. The principal boundary element algebraic eigenvalue formulations, such as the DRM and the PIM, are developed in Chapter 8.  These formulations utilize an associated “static fundamental solution,” as opposed to a usual fundamental solution, and employ extra integral transformations in addition  to those already required to formulate regular boundary element equations. A few variations of the DRM and the PIM, such as the MRM, polynomial­based PIM, etc.,  are described in Chapter 9. In Chapter 10 methods are developed that allow us to compute resonant frequencies of fluid enclosed by vibrating or absorbing boundary  structure.  

Page 10  The BEM typically produces unsymmetric and full system matrices, which require unsymmetric eigensolvers for their solution. Chapter 11 develops Lanczos­based  eigensolvers for unsymmetric system matrices. Both linear and quadratic unsymmetric eigensolvers are presented in Chapter 11. In Chapter 12 we compare boundary  element eigenformulations with those in FEM. The shortcomings of the current boundary element eigenvalue formulations are pointed out, along with future research  possibilities in this subject. Finally, all the references cited in the book are given.  

Page 11 

Chapter 2  Boundary Element Method Fundamentals  2.1. Introduction  For an understanding of the boundary element eigenvalue formulations to be developed in the subsequent chapters, a working knowledge of the fundamentals of the  boundary element method (BEM) is essential. This chapter is dedicated to introducing the BEM to the reader. Although our objective in the book is to develop  numerical techniques for the computation of resonant frequencies in acoustics and elasticity, we shall present the basic principles of the BEM using potential  problems as an illustration. This is because potential problems:  (a) Can be represented by a simple scalar unknown variable;  (b) Are governed by a relatively simple governing equation, e.g., the Laplace’s equation; and  (c) Represent a broad class of physical phenomena, e.g., heat conduction, potential flow, seepage, magnetic potential, electrostatics, torsion of shafts, corrosion and  many others.  The weighted residual technique is used as the main vehicle to formulate the integral equations, although the classical technique that makes use of the Green’s integral  transformation identities is also touched upon. Furthermore, the so­called direct boundary element technique is used throughout the book. However, a brief summary of  the essentials of the indirect BEM is provided in this chapter. The fundamentals of the application of BEM in the fields of elasticity and acoustics are covered in later  chapters.  As mentioned above, potential problems are governed by the Laplace’s equation. Consider an arbitrary domain Ω bounded by a surface Γ, as shown in Figure 2.1.  We denote a source point and a field point inside the domain Ω by “p” and “q” respectively and the corresponding points on the boundary Γ by “P” and “Q”. Let u (q) be the potential function defined in the domain Ω. The boundary value problem can be defined as:  (2.1)  (a) u=ub  on one part of the boundary Γu  (Dirichlet boundary condition) and  (b) v (=∂u/∂n)=v b  on the rest of the boundary Γv (Neumann boundary condition).  Thus, Γu +Γv=Γ. n is the outward normal to the boundary Γ.  

Page 12 

Figure 2.1. Arbitrary domain for potential problem. 

The boundary value problem can be discretized in BEM using several different approaches. The main classification would fall into two broad categories: direct method  and indirect method. 

2.2. Direct method: weighted residuals  In this section, we shall develop the boundary element formulation using the direct method employing weighted residuals technique. The weighted residual method is  widely used because of its appeal to a wider audience in computational mechanics. The boundary element formulation can also be developed by another direct method  which employs Green’s integral identity. We shall present the Green identity­based direct boundary element formulation in Section 2.4. 

2.2.1. Weighted residual statements  Let u*(p, q) be a weighting function. The meaning of u* will become clear later. The arguments of the functions are omitted in the subsequent developments in order to  preserve the simplicity of the presentation. They will be brought back whenever there is a need to distinguish between an internal point and a boundary point or  between a field point and a source point.  Employing the weighted residual principle of minimizing the error in solutions of u and v, a weak form of the boundary value problem [eqn. (2.1)] can now be written  in the following fashion:  (2.2) 

Page 13  where v*=∂u*/∂n. In order to develop the formulation, we will need to integrate the left­hand side of this equation by parts. This will require the use of the Green’s  identity, which can be written as:  (2.3)    Applying this identity to equation (2.2) and recognizing the fact that Γu +Γv=Γ, one obtains: (2.4)  Applying the identity one more time to this equation,  (2.5)  Note that the finite element formulation of the Laplace’s equation stops at equation (2.4). The term ( ) ensures symmetry of the coefficient matrices. On the  contrary, in equation (2.5), which is the basic boundary element equation, the Laplacian operator has got completely shifted from the function u to the weighting  function u*. Also, the BEM utilizes a special form of weighting function, called the free­space Green’s function. The Green’s function is designated as the fundamental  solution in the boundary element literature. Green’s function is the solution to a given differential equation due to a point source placed in a domain of infinite extent.  Therefore, for the Laplace’s equation at hand the Green’s function can be obtained by solving the following equation:  (2.6)  δ(p, q) is the Dirac delta which is infinity at the point p and zero elsewhere and has the property: ∫Ωδ(p, q)=1. Also, Dirac delta has a “picking” property such that for  any function f (q):  (2.7)  The fundamental solution for equation (2.6), i.e., the Green’s function for the Laplace’s equation is given by:  (2.8) 

(2.9)  r(p, q) is the distance between the source point p and the field point or observation point q. Substituting equation (2.6) into equation (2.5) and utilizing the property of  equation (2.7), we arrive at the following boundary integral statement:  (2.10)  This is an integral equation, which is yet another form of the weighted residual statement that we started with. It forms the starting point for the boundary element  

Page 14  formulation. It is worth pointing out that equation (2.4), which is the basis for the finite element formulation, consists of integrals over the domain Ω. In contrast,  equation (2.10) contains integrals over the boundary Γ and a discrete term at any point p in the domain, heretofore referred to as the source point. Thus, the boundary  element formulation requires integration on the boundary alone.  Note that equation (2.10) calculates the value of the function u at any point p within the domain. However, this cannot yet be used to evaluate u at the boundary of  the domain because the Green’s function that forms part of the integrands is singular on the boundary. 

2.2.2. Development of boundary integral equation  In order to develop a numerical technique that leads to the discretization of only the boundary, equation (2.10) of the previous section needs to be evaluated at the  boundary Γ. However, it cannot be achieved in its present form because, in that case, the point “p” may coincide with point “q”, i.e., the source point may coincide  with the field point, thereby yielding r=0. The fundamental solutions given by equations (2.8) and (2.9) are undefined for r=0. The specialization of equation (2.10) to  the boundary is, therefore, done through a limiting process.  Consider the portion of the boundary, Γv, where Neumann boundary conditions are given and divide Γv as Γv=Γv−ε+Γε (Fig. 2.2). Γε is a circular arc in 2­D and a  spherical surface in 3­D of radius ε centered at P. The first integral term on the left­hand side of equation (2.10) is written as:  (2.11)    Consider performing the integration of the last term of this equation. The integration needs to be performed on the boundary Γε. On a circular arc or a spherical surface 

  Figure 2.2. The portion of the boundary Γv is divided as Γv =Γv−ε+Γε.

Page 15  ∂u*/∂n=∂u*/∂r. Thus,  (2.12a) 

(2.12b)  Let us assume for now that the source point P under consideration is located on a straight (smooth) boundary segment. Remember that the upper case “P” is our  notation for a source point on the boundary. The limit in the above integration can be evaluated as follows [ui=u(P)]:  (2.13a) 

(2.13b)    The other integral term in equation (2.10) to be evaluated on the Γv boundary can be dealt with in similar fashion: (2.14)    Now, taking the limit on the boundary Γε, (2.15a) 

(2.15b)  We obtained the result in the 2­D case (eqn. 2.15a) by applying L’Hospital’s rule:  (2.16) 

  Also, as ε→0, Γv−ε→Γv. Thus, equation (2.10) becomes: (2.17)  Note that the limit of the equation was taken on the Γv boundary. The result would be the same if it were performed on the Γu  boundary. However, in taking an interior  domain point to the boundary, we would either arrive at the Γu  boundary or at the Γv boundary and not both. Without making any distinction between the specified and  the  

Page 16    unknown quantities and making use of the fact that Γ=Γv+Γu , the above equation, valid on boundary points, can be written as: (2.18)  In order to evaluate the limit in equation (2.13) it was assumed that the boundary at the point P was smooth which led to the boundary element equation (2.18). In case  the boundary at that point is not smooth, this equation is written as:  (2.19)  where CP is a coefficient to be evaluated at the boundary point P. In the case of 2­D, it is easy to visualize CP as the ratio of the external angle and 2π, i.e., CP= (2π−αP)/2π, where αP is the internal angle. In actual discretization, the geometric coefficient CP is computed through an indirect means without ever requiring to find the  angle αP.  Equation (2.19) is now an entirely boundary­only equation; not only are the integrals performed on the boundary, but all the quantities in the equation are also valid  on the boundary. Equation (2.19) is known as the Fredholm integral of the second kind, because the unknown variables are found both inside and outside the integrals.  Function value uP at the source point P is, thus, related to the weighted integrals of the function value u and its derivative v=∂u/∂n at the field points around the domain  boundary.  Note that the integrals in this equation span the entire boundary of the problem and they are already in place before the boundary has been discretized. Hence, unlike  the finite element (FE) method, the boundary integral equation method (BIEM) is known as a global technique and that it produces fully populated matrices. In Section  2.4, we will show the Green’s integral theorem approach in deriving the same direct boundary integral equation. 

2.2.3. Isoparametric discretization: constant boundary elements  The boundary integral equation (2.18) relates the unknown values of the harmonic function u and its normal derivative v on the boundary Γ. Next step is to break up  the boundary curve into small straight segments called “boundary elements” (Fig. 2.3) and assume the unknown values to be constant over each boundary element.  Equation (2.18) would then become:  (2.20)  This equation is written for a source point “i”, where “i” varies from 1 to N. The integration is performed on each field element “j” and the results are summed over  all the boundary elements (N) in the model including the one that contains the source point “i”. Since the unknown quantities u and v are constants over any element  “j”, they are pulled out of the integration symbol. Note that u and v are discontinuous between any two adjacent elements. The fundamental solution u* is given by  equation (2.8) with r(p, q)=rij. We shall use rij=r and Γj=Γ for simplicity in the following derivations. The coefficient CP in equation (2.19) is always equal to ½ for  constant elements since  

Page 17 

Figure 2.3. Boundary discretization with constant elements. 

  the angle αP in Figure 2.2 in this case is 180° or πc. If we designate the integrated terms by Hij and Gij respectively, equation (2.20) can then be written as: (2.21)    The integration of the terms Ĥij is performed as follows: (a) 

(b) 

(c) 

(2.22)  The integration on the boundary elements can be divided two categories: one in which the element “j” contains the source point “i” (singular element) and the other in  which the element “j” does not contain the source point “i” (non­singular element). The former is so­called because it contains the singular case r=0. It is clear from  Figure 2.4b that r is perpendicular to n. Hence, Ĥij=0 on a singular element (i=j). On a non­singular element (i≠j), equation (2.22) can be evaluated using Gaussian  quadrature (Fig. 2.4a).  The integration of the terms   (2.23) 

Page 18 

Figure 2.4. Non­singular and singular constant boundary elements. (a) Non­singular boundary element; (b) r∙n=0 on singular boundary  element; (c) integration on singular boundary element. 

on a non­singular element can be performed using Gaussian quadrature. The integration of this term on a singular element (Fig. 2.4c) can be performed as follows:  (d) 

(e) 

(f)    If |L1|=|L2|=L/2, then (2.24)  Equation (2.21) can be finally written in a matrix form:  (2.25)  where:  (2.26) 

Page 19  [H] and [G] are N×N fully populated unsymmetric matrices and [I] is an identity matrix of order N. After applying boundary conditions [eqn. (2.1)], equation (2.25)  can be transformed into:  (2.27)  which is a set of N linear equations and can be solved using a linear equation solver. Three types of boundary conditions may arise in practice: (a) pure Dirichlet, (b)  pure Neumann and (c) mixed Dirichlet and Neumann. In the first case, the matrix [G] of equation (2.25) will become the final system matrix [A] and the load vector  {F} will be equal to [H]{u}. Similarly, for the second case, [A]=[H] and {F}=[G]{v}. For the mixed boundary conditions, the final system matrix and the load vector  are formed by transposing all the known boundary conditions on the right­hand side of equation (2.25) through interchange of appropriate columns. The final system  matrix [A] once again is a N×N fully populated and unsymmetric matrix.  With the solution of equation (2.27) the function u and its normal derivative v will be known over the entire boundary Γ. The solution for the function u at any point  inside the domain Ω can now be computed using equation (2.10), which, in discretized form, can be written as follows:  (2.28)  where the relation Γu +Γv=Γ has been used. If desired, the normal derivative v of the potential function can be calculated by differentiating equation (2.10) in the  direction of the outward normal n to the boundary Γ and then discretizing it:  (2.29)    where the integral term Fij is given by: (2.30)  It was mentioned earlier that Laplace’s equation represents a wide variety of problems in engineering science. Two example problems, one in thermal heat conduction  and the other in potential fluid flow, are presented below in order to illustrate the use of boundary elements in solving problems governed by Laplace’s equation. 

2.3. Examples  The following two examples are presented to illustrate the use of the constant BEM developed in the previous section. It may be noted here that unlike in FEM, BEM  routinely allows the use of constant shape function to approximate the field variable over the element segment. In BEM formulations, both the field variable and its  normal gradient appear as unknown degrees of freedom to be solved. Mathematically, the normal gradient requires a shape function, which is one polynomial order  lower than the field variable itself. However, in actual applications, both the field variable and its normal gradient are discretized using equal order shape functions.  

Page 20 

Figure 2.5. (a) An insulated heating duct; the area enclosed in dashed lines is modeled. (b) BE mesh for the duct. (c) FE mesh for the  duct. 

Table 2.1. Temperature solution at internal points for heating duct.    

  

x­coordinate 

y­coordinate 

0.3540 

0.3540 

171.4173 

178.6738 

176.97 

1.0620 

1.0620 

414.1725 

420.8616 

417.59 

1.0620 

0.7080 

272.0703 

277.7746 

276.39 

0.7080 

1.4160 

671.6613 

681.3048 

675.42 

2.1240 

0.3540 

55.6652 

56.5016 

56.568 

Temperature  Constant BE 

Linear BE 

FE 

Example 2.1: Heat conduction  Figure 2.5a shows a 2 feet×2 feet metal heating duct surrounded by insulating materials. The problem is to compute temperature distribution in the insulation material  when the duct temperature is maintained at 1000°F and the outside temperature is taken as 0°F. Only one­eighth of the domain is modeled. The boundary element  mesh is shown in Figure 2.5b. The problem is solved using constant and linear elements. The formulation for linear element will be presented in the next chapter. Gipson  [59] compares his boundary element (BE) results for this problem against a finite difference solution. Here we have performed a finite element analysis of the heating  duct maintaining the same level of discretization on the boundary [160]. The FE mesh is shown in Figure 2.5c. All the results are presented in Table 2.1.  

Page 21 

Figure 2.6. (a) Flow around a cylinder between two parallel plates. (b) FE mesh for the flow problem domain. (c) BE mesh for the flow  problem domain. 

Example 2.2: Potential fluid flow  The BE program written for solving Laplace’s equation can be used to solve fluid flow problems by interpreting potential u as streamline function and the potential  gradient v=∂u/∂n as the velocity along the boundary of the problem domain. For example, consider the problem of fluid flow around a cylinder between two parallel  plates, as shown in Figure 2.6a. One quarter of the domain needs to be modeled. The boundary element mesh with linear elements is shown in Figure 2.6c. The  potential u, i.e., streamline is taken as zero at the bottom plate and the cylinder surface. The potential gradient v=∂u/∂n, i.e., the velocity along the vertical boundaries at  x=0 and x=0.6 is also zero. The fluid velocity, normal to the boundary at x=0, is assumed to be unity which will result into u=2 at the top plate. The problem is solved  by constant and linear boundary elements as well as by the finite elements. The solutions for the streamline functions at the interior points are shown in Table 2.2 for  constant as well as linear elements. The mesh used in the finite element analysis is shown in Figure 2.6b. The results from the finite element analysis are also shown in  Table 2.2. The BE and FE solutions appear to be in close agreement. 

2.4. Direct method: Green’s integral theorem  The use of weighted residual technique in formulating boundary integral equations is a relatively recent development [61–63]. Classical approaches utilized Green’s  integral identities in order to derive boundary integral equations. Let us consider two functions   and ψ defined in the domain Ω of Figure 2.7. Suppose that these  functions and their first partial derivatives are continuous in the domain. Green’s second integral identity involving these functions and their derivatives can be written as:  (2.31) 

Page 22 

Table 2.2. Streamline solution at interior points for fluid flow. 

FE Nodes 

x­coord. 

y­coord. 

Constant BE 

Linear BE 

Finite element 

34 

2.16E−01 

6.99E−02 

6.95E−01 

6.95E−01 

0.69672 

35 

1.08E−01 

7.07E−02 

7.06E−01 

7.06E−01 

0.70639 

36 

1.02E−01 

1.51E−01 

1.51E+00 

1.51E+00 

1.5067 

37 

3.24E−01 

7.22E−02 

6.99E−01 

6.99E−01 

0.70334 

38 

1.59E−01 

1.40E−01 

1.39E+00 

1.39E+00 

1.3939 

39 

3.85E−01 

9.74E−02 

9.10E−01 

9.09E−01 

0.90688 

40 

3.66E−01 

1.48E−01 

1.45E+00 

1.45E+00 

1.447 

41 

3.07E−01 

1.39E−01 

1.38E+00 

1.38E+00 

1.3755 

42 

2.33E−01 

1.37E−01 

1.37E+00 

1.37E+00 

1.366 

43 

4.38E−01 

1.15E−01 

1.01E+00 

1.01E+00 

1.0118 

44 

5.03E−01 

1.69E−01 

1.55E+00 

1.55E+00 

1.5496 

45 

4.62E−01 

1.63E−01 

1.53E+00 

1.53E+00 

1.5328 

46 

4.17E−01 

1.56E−01 

1.50E+00 

1.50E+00 

1.5013 

47 

5.25E−02 

1.60E−01 

1.60E+00 

1.60E+00 

1.5971 

48 

6.27E−02 

1.06E−01 

1.06E+00 

1.06E+00 

1.0588 

49 

5.35E−01 

1.75E−01 

1.59E+00 

1.60E+00 

1.5881 

50 

5.43E−01 

1.55E−01 

1.27E+00 

1.28E+00 

1.2569 

51 

5.37E−01 

1.08E−01 

5.08E−01 

5.12E−01 

0.49792 

52 

5.04E−01 

9.65E−02 

5.52E−01 

5.52E−01 

0.54674 

53 

4.82E−01 

1.28E−01 

1.05E+00 

1.05E+00 

1.0445 

54 

4.16E−01 

5.49E−02 

4.64E−01 

4.64E−01 

0.47171 

55 

5.69E−01 

1.53E−01 

1.17E+00 

1.19E+00 

1.165 

56 

5.66E−01 

1.33E−01 

8.19E−01 

8.46E−01 

0.8088 

57 

5.69E−01 

1.13E−01 

4.05E−01 

4.36E−01 

0.38894 

58 

5.67E−01 

1.75E−01 

1.57E+00 

1.58E+00 

1.5606 

59 

3.85E−02 

1.28E−01 

1.28E+00 

1.28E+00 

1.2817 

60 

4.68E−01 

7.91E−02 

5.48E−01 

5.49E−01 

0.54814 

61 

5.26E−01 

1.39E−01 

1.05E+00 

1.05E+00 

1.043 

  Figure 2.7. Integration over a small circular boundary Γε.

Page 23  We can identify the functions 

   (Fig. 2.7). Green’s second integral identity can be applied to the region Ω−Ωε: (2.32) 

Note that both boundaries of the region Ω−Ωε, viz., Γ and Γε, are included in writing the integral identity. The left­hand side of this equation is identically zero. Let us  evaluate the first integral on the right­hand side on the boundary Γε:  (2.33a) 

(2.33b)    The second integral on the boundary Γε would vanish in the limit as ε→0. Thus, equation (2.32) becomes: (2.34).  This equation states that a harmonic function at a point p(up ) in the domain Ω can be expressed as the sum of a single­layer potential (integral term with the fundamental  solution, u*, in it) with density ∂u/∂n and a double­layer potential (integral term with the normal derivative of the fundamental solution, ∂u*/∂n, in it) with density—u.  We note here that the single­layer potential is continuous, but the double­layer potential experiences a jump as the point p passes through the boundary of the domain.  It can be seen that equation (2.34) is essentially identical to equation (2.10) derived using the weighted residual method. The limits for specializing the interior point p to  the boundary, leading to equation (2.19), can be taken in the same way as in Section 2.2. We will use weighted residual technique in the rest of the book for deriving  boundary element equations.  The materials presented up to this point in this chapter would be adequate for a general understanding of the fundamentals of the boundary element formulation. Very  often the approach outlined thus far would be found in boundary element literature that describes the basic methodology. The next section on indirect method,  therefore, is presented briefly for the sake of completeness. 

2.5. Indirect method  In the direct method, the physical quantities themselves are used as the unknown variables to be solved by numerical means. For example, the harmonic function u and  its normal derivative v, defined in Sections 2.2 and 2.4, are solved as unknowns in the direct method. Depending on the physical problem solved, these harmonic  functions may represent temperature or velocity of flow or electrical volt. In the so­called semi­direct method, which also uses the direct formulation as derived in  Sections 2.2  

Page 24  and 2.4, the unknown function may be taken as the stress function or stream function or magnetic potential function. The physical quantities of the problem at hand can  be computed by differentiation of these functions after the unknowns have been solved for using BEM. In the indirect or source method, however, “source” densities  are used as the unknowns of the problem. These source densities may or may not have any direct physical meaning for the problem to be solved. The physical  quantities are computed using integral expressions in terms of the source densities after the source densities have been solved for.  We have seen from equation (2.34) that a harmonic function at any point in the domain can be expressed as the sum of a single­layer potential with an unknown  density and a double­layer potential with another unknown density. Suppose the entire boundary of the problem is of the Dirichlet type, i.e., Γu . In that case the  unknown harmonic function u(p) may be expressed only by a double­layer potential of unknown density σ(Q):  (2.35)  Since we already know that the double­layer potential experiences a jump as the domain point p approaches the boundary point P, we obtain from equation (2.35)  (along the same line of derivation used for eqn. 2.18):  (2.36)  In equation (2.36) the boundary at the source point P has been assumed to be smooth. This is a Fredholm integral equation of the second kind. Alternatively, Dirichlet  boundary value problem can be solved by expressing the unknown harmonic function u(p) only as a single­layer potential with unknown density σ(Q):  (2.37)  As p approaches P, unlike the double­layer potential, the single­layer potential does not experience a jump. Thus, equation (2.37) becomes:  (2.38)  This is a Fredholm integral equation of the first kind. Equations of this type are more difficult to solve, compared to Fredholm equation of the second kind, because of  possible ill­conditioning of the matrices and non­uniqueness of the solution resulting from the discretization of the problem [16].  For the Neumann problem, i.e., if the entire boundary is of the type Γv, we can assume that the unknown harmonic function u(p) may be expressed solely as a  single­layer potential with unknown density σ(Q):   (2.39) 

Page 25  Taking directional derivative of the function u(p) at a point p in the normal direction n to the boundary we get:  (2.40)  If we take the limit as the internal point p approaches the boundary point P, we obtain the following integral equation:  (2.41)  This is a Fredholm integral equation of the second kind. Once again, the boundary at the point P is assumed to be smooth. Equation (2.41) will have a solution if the  following relation, known as the Gauss condition, is satisfied [60]:  (2.42)  The solution to equation (2.41) is unique only up to an arbitrary additive constant. A unique solution to equation (2.41) can, however, be obtained by imposing some  normalization procedure [62].  For the boundary value problem having mixed Dirichlet and Neumann boundary conditions, one can proceed as in the pure Neumann problem and express the  function u(p) as a single­layer potential:  (2.43)  The constant is added to ensure uniqueness of the solution. Once again, taking a directional derivative, one obtains:  (2.44)  As the domain point p approaches the boundary point P, equations (2.43) and (2.44) take the form:  (2.45) 

(2.46)  This equation pair is solved simultaneously for the unknown source density σ on the boundary. The unknown function, u, on the boundary Γv and the unknown normal  derivative, v, of the function on the boundary Γu  can then be computed using the following equations:  (2.47) 

(2.48) 

Page 26 

2.6. Body forces  The problems that can be solved using boundary element formulation presented in all of the previous sections are driven solely by the boundary conditions. In many  practical applications, the domain may contain discrete or distributed sources or body forces, such as, heat generation for heat conduction problem or electrical charges  for electrostatic problem. This type of problem is governed by the Poisson’s equation:  (2.49)  where “b” is the source term. Depending on the type of the source, a number of strategies may be employed to include the effects of the domain term “b”.  First, we can transform the boundary­value problem for the Poisson’s equation into one for the Laplace’s equation by subtracting a particular solution that is  independent of the boundary conditions. Suppose we are required to solve the problem:   with uc=−up  on Γ.  Second, for many practical cases it will be difficult to find a particular solution. For example, the values of “b” may be provided in a tabular form applied at a series  of points in Ω. In these situations, the boundary element formulation given by equation (2.19) can be extended to include the domain term “b” in the following manner:  (2.50)  The domain term can be computed by dividing the domain Ω into a number of internal cells (Fig. 2.8) and performing numerical integration over these cells. A typical  term corresponding to a source point “i” on the boundary Γ can be written as:   (2.51) 

Figure 2.8. Internal cells for domain term integration. 

Page 27  where Nc is the total number of internal cells, Ni is the number of integration points in each cell, wk  are the integration weights and Al is the area of the “l”th cell. The  entire system of equations for the N boundary elements corresponding to equation (2.25) can now be written as:  (2.52)  The discretization of the domain Ω into a number of cells for evaluating the domain term does not introduce any extra unknown into the system of equations. Thus,  applying boundary conditions the above set of equations can be rearranged into a system similar to equation (2.27). After this set of equations has been solved, the  values of u and v will be known over the entire boundary Γ. The value of the function u at any interior point “i”, similar to equation (2.28), can then be computed using  the following equation:  (2.53)  Third, if the body term “b” is a harmonic function, i.e., if 

 and then apply Green’s second identity in the following fashion:  (2.54) 

Since we assumed that 

, we obtain:  (2.55) 

One form of function U* that satisfies the relation 

 is given by:  (2.56) 

If we substitute the expression (2.55) into equation (2.50), we see that all the terms are now applied on the boundary only.  Fourth, if there are a number of concentrated sources “Q” at discrete interior points of the domain Ω in addition to the distributed sources “b”, equation (2.50)  can be modified to include the effects of the sources:  (2.57)  Example 2.3: Twist of a prismatic shaft  The governing differential equation for the twist of a homogeneous prismatic shaft in terms of the stress function u is given as:  (2.58)  where G is the shear modulus and θ is rate of twist. The shear stresses can be derived from the stress function. The stress function is constant (for convenience it is  assumed  

Page 28 

Figure 2.9. (a) FE mesh of the elliptical section of the shaft. (b) BE mesh of the elliptical section. 

Table 2.3. Solution of stress function for twist of a shaft. 

x­coord 

y­coord 

Exact solution 

Constant BE 

Linear BE 

Finite element 

0.0 

0.0 

0.8 

0.798 

0.803 

0.793 

0.35 

0.0 

0.7755 

0.773 

0.778 

0.782 

1.0 

0.0 

0.6 

0.599 

0.602 

0.591 

1.5 

0.0 

0.35 

0.358 

0.351 

0.347 

0.0 

−0.44 

0.64512 

0.644 

0.648 

0.681 

0.6 

−0.44 

0.57312 

0.571 

0.576 

0.569 

1.2 

−0.44 

0.35712 

0.355 

0.359 

0.336 

Page 29  to be zero) on the boundary. Let G=θ=1. Also, let us consider a prismatic shaft of elliptic cross section:  (2.59)  Let us take a=2 and b=1 for this example [69]. The problem is solved by the boundary element and finite element methods (FEMs). For the finite element analysis, 33  nodes and 48 linear triangular elements are used (Fig. 2.9a) and 16 constant/linear elements are used for the boundary element analysis (Fig. 2.9b). For the BE  analysis, the finite elements of Figure 2.9a are used as the internal cells to integrate the domain term. The results of the analyses for a few internal points are presented in  Table 2.3. The exact solutions at these internal points are also shown in the table. 

Page 30 

This page intentionally left blank. 

Page 31 

Chapter 3  Isoparametric Boundary Elements  3.1. Introduction  The fundamentals of the boundary element method (BEM) were presented in Chapter 2. The reader may notice that if the solution variables are represented as  constants over the boundary segments, the developments of Chapter 2 are sufficient for an understanding and implementation of the method. However, for better  representation of the geometry as well as better accuracy of the solution variables, often, higher polynomial order representation of the solution variables as well as the  geometry is needed. As in the finite element methods (FEM), this leads to isoparametric formulation of the boundary element equations. This chapter will present the  basic approach of transforming the global coordinates to normalized local systems and the use of higher order polynomial shape functions in the process of boundary  element discretization. 

3.2. Two­dimensional linear boundary elements  As in the case of constant boundary element, which was developed in the previous chapter, the boundary curve Γ is once again divided into “N” small straight  boundary element segments (Fig. 3.1). Unlike in the constant elements, the unknown function u and its normal derivative v are assumed to vary linearly over each  element segment. The nodes are located at the ends of the element segment. It means that adjacent elements share nodes, ensuring inter­element continuity of the  function u and its normal derivative v. The angle αp  of Figure 2.2 can no longer be assured to equal to 180°. For the discretized boundary, the equation (2.19) can be  written for the i­th source point in the following fashion:  (3.1)  We will shortly show a simple technique to compute the coefficient Ci. The unknown function u and its normal derivative v can no longer be pulled out of the integral  sign because they vary linearly over the element segment. A linear boundary element is shown in Figure 3.2 along with the functional variation of u and v. These  functions  

Page 32 

Figure 3.1. Boundary discretization with linear elements. 

Figure 3.2. A linear boundary element. 

may be represented over each element by linear shape functions and nodal values:  (3.2)  where the shape functions are given by:  (3.3)  in which repeated indices imply a summation. The first integral term of equation (3.1) can then be written as:  (3.4) 

Page 33  with:  (3.5) 

Similarly, the second term of equation (3.1) can be written as:  (3.6)  with:  (3.7) 

The assembled equation for the source point “i” can thus be easily written as:  (3.8) 

where, Ĥi1=(ĥi1 from element “j”)+(ĥi2 from element “j−1”). Similarly, Gi1=(gi1 from element “j”)+(gi2 from element “j−1”). The equation (3.8) can be written in a  concise form as follows:  (3.9)  In matrix form this will lead to equation (2.25). However, equation (2.26) will now take the form:  (3.10)  where [C] is a diagonal matrix whose coefficients are evaluated using a procedure shown below. As in the constant element, we can use Gaussian quadrature for the  non­singular elements. Any source point “i” is connected to two adjacent elements “i−1” and “i”, as shown in Figure 3.3. All four ĥij terms, two for the (i−1)th  element and another two for the (i)th element, will equal to zero, as r · n=0. The corresponding gij terms can be evaluated analytically. The results are recorded below:   (3.11) 

(3.12) 

Page 34 

Figure 3.3. Linear singular boundary elements. 

Evaluation of the jump term in equations (3.9) and (3.10)  It was mentioned earlier that the jump term Ci of equation (3.9) or (3.10) can be calculated in a simple way. Here we describe the procedure. We apply a uniform  potential u over the whole boundary. Then, the v values are zero. Equation (2.25) becomes:    

Since {u} is uniform, the sum of all the elements of [H] in any row ought to be zero. Hence,  (3.13) 

So, the diagonal of matrix [H] can be computed indirectly without resorting to a geometric evaluation of the coefficient Ci. Once again, the application of appropriate  boundary conditions to equation (2.25) will lead to equation (2.27). 

3.3. Higher­order elements in 2­D  The formulation developed in the previous section can be systematically extended to quadratic and higher­order boundary elements. Higher­order boundary elements  may be useful (a) to represent the geometry more accurately and (b) to obtain more accurate results for the solution variables. One can start from the discretized  equation (3.1). The unknown quantities u and v will now be quadratic or higher­order functions of the coordinate η defined over the transformed domain (−1, 1). For  the quadratic boundary elements (Fig. 3.4), these functions are written as:  (3.14) 

Page 35 

Figure 3.4. Quadratic boundary element and its transformation. 

The quadratic shape functions   are given by:  (3.15) 

In order to represent the differential boundary segment dΓ in terms of the coordinate η, the geometric coordinates x and y are also expressed using the shape functions  of equation (3.15):  (3.16)  The differential boundary segment dΓ can now be written as:  (3.17)  where, the Jocobian of transformation |G|, is given by:  (3.18) 

Thus, the integral involving the function u of the boundary element equation (3.1) becomes:  (3.19) 

The integrals involving the function q can be dealt with in the same fashion.  

Page 36  Similarly, four­noded cubic boundary elements can be formulated using a cubic variation of the unknown functions u and v. The shape functions  given by: 

 in this case are 

(3.20) 

3.4. Boundary elements in 3­D  In the BEM the three­dimensional problems can be solved using two­dimensional boundary elements. Here only the surface of the three­dimensional body needs to be  discretized, thereby eliminating the need for the meshing of the volume. Both quadrilateral and triangular shaped elements are used. These elements are oriented in  arbitrary three­dimensional space. We first need to perform a coordinate transformation from the global (x, y, z) system to the local (ξ, η, ζ) system. The coordinate  axes ξ and η are tangential to the surface at the point under consideration and the ζ­axis is perpendicular to the surface. The derivatives of the function u with respect to  the coordinates (x, y, z) can be expressed in terms of (ξ, η, ζ) from the relation:  (3.21) 

where the Jacobian of the transformation J is given by:  (3.22) 

The derivatives of the function u with respect to the coordinates (x, y, z) can be solved by inverting the relation (3.21):   (3.23) 

Page 37  The typical boundary integral terms that need to be evaluated are:  (3.24)  The differential area dS can be expressed in terms of the local coordinates (ξ, η, ζ). If r is the position vector of a point on the surface of the body, then dS is given by:  (3.25)  The vector cross product yields a vector that is perpendicular to the surface, i.e., along the ζ­axis and |G| is the magnitude of this normal. The derivatives ∂r/∂ξ and  ∂r/∂η are written as:  (3.26) 

The normal vector n can be computed from the vector cross product:  (3.27)  with the components:  (3.28) 

The magnitude of n is then computed as:  (3.29)  The integrals of equation (3.24) are then converted to:  (3.30)  The expression for a differential volume, dΩ can be obtained from a vector box product:  (3.31)  which is utilized in evaluating the body load domain integral term of the equation (2.50):   (3.32) 

Page 38 

Figure 3.5. Four­noded quadrilateral boundary element and its transformation. 

The above coordinate transformation allows one to develop three­dimensional boundary elements. The formulation for quadrilateral and triangular boundary elements is  presented in the following sections. 

3.4.1. Quadrilateral elements  The quadrilateral elements can be defined by four nodal points (Fig. 3.5) with bilinear variation of the unknown functions u and v. These functions as well as the  coordinates (x, y, z) are expressed, much the same way as in equations (3.14) and (3.16), using shape functions   and nodal values of the unknown functions ui  (or v i) or coordinates x i (or yi or zi). To facilitate numerical integration, the shape functions are chosen such that the quadrilateral defined by the nodal coordinates  [(x1, y1) (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)] is mapped on to a domain in the (ξ, η) plane with the transformed nodal coordinates [(−1, −1), (1, −1), (1, 1), (−1, 1)]. The shape  functions for the quadrilateral boundary elements are given by:  (3.33) 

All the functions of the equations, (3.30) and (3.32) can now be evaluated at the Gaussian quadrature points.  Higher­order quadrilaterals can also be defined using more nodes and shape functions. For example, we can define an eight­noded serendipity quadrilateral element  or a nine­noded Lagrangian quadrilateral element. The derivatives of the unknown  

Page 39 

Figure 3.6. Eight­noded serendipity quadrilateral boundary element. 

functions can also be used as nodal degrees of freedom. The shape functions for the eight­noded serendipity quadrilateral element (Fig. 3.6) are given below:  (3.34) 

3.4.2. Triangular elements  A triangular boundary element can be defined by three nodal points (Fig. 3.7). A local oblique coordinate system (ξ, η) is defined at the nodal point 3. The local vectors  e1 and e2, defined along ξ and η, respectively, can be expressed in terms of the global unit vector triad (i, j, k):   (3.35) 

Page 40 

Figure 3.7. Three­noded triangular boundary element and its transformation. 

  L13 and L23 are the lengths of the sides 1–3 and 2–3 of the triangle. The position vector r on any point on the triangular region is given by: (3.36)    Substituting the expressions for the vectors e1 and e2 from equation (3.35) into equation (3.36), one obtains: (3.37)  with  (3.38) 

From the above equation it can be seen that if we define a third coordinate ζ such that ζ=1−ξ−η, then we can write:   (3.39) 

Page 41  which can be written in matrix form:  (3.40) 

Since ζ is not an independent coordinate, we can only invert the first two equations:  (3.41) 

The coordinate ζ is obtained from the relation ζ=1−ξ−η, yielding  (3.42)    The expressions for αi, βi and Ai can be obtained from the following recursive relations: (3.43) 

The area of the triangle A is computed as:  (3.44)  This area is the projection of the triangular element on to the (x, y) plane. It is obvious from equations (3.39) that the interpolation functions in this case are simply the  local coordinates ( ). Thus,  (3.45)  Because of the use of local coordinates (ξ, η, and ζ) the necessary integrals can be performed here in closed form:  (3.46)  The shape functions for the six­noded second­order triangular elements (Fig. 3.8) are given as follows:   (3.47) 

Page 42 

Figure 3.8. Six­noded serendipity triangular boundary element. 

3.5. Examples  A number of example problems are presented in this section illustrating the use of lower and higher order boundary elements in 2­D and 3­D. For simplicity, the  theoretical developments of this and last chapter were confined to potential problems only. The formulations presented so far are however expandable to elasticity or  acoustics. Although we are postponing the development of detailed boundary element formulations for elasticity and acoustics till later chapters, we present two  elasticity problems in this section. These elastostatic stress analysis problems are designed to demonstrate the use and performance of higher order boundary elements.  Example 3.1: Flow of perfect fluid around aerofoils  In this example we will study the flow of a perfect fluid past an aerofoil designated as NACA 0018. The flow can be indirectly described by a stream function u, which  is related to the velocities in the following manner:  (3.48)  The far field velocities away from the aerofoil are given as:  (3.49)  The stream function u can be separated into two components:  (3.50)  where u1 is the free flow stream function in the absence of the aerofoil and u2 is the stream function for perturbed flow. Thus, u1=Vy. If we consider the total stream  function u=0 on the aerofoil surface Γ, then   (3.51) 

Page 43 

Figure 3.9. Boundary element discretization of NACA 0018 aerofoil. 

Table 3.1. Tangential velocity of flow around NACA 0018 aerofoil. 

Solution for v/V (v=tangential velocity)  x­coordinate 

Analytical solution 

Boundary element solution 

0.0 

0.000 

0.000 

1.25 

0.926 

0.931 

2.5 

1.103 

1.093 

5.0 

1.228 

1.212 

7.5 

1.267 

1.253 

10.0 

1.276 

1.265 

15.0 

1.278 

1.273 

20.0 

1.275 

1.269 

25.0 

1.262 

1.254 

30.0 

1.247 

1.236 

40.0 

1.205 

1.198 

50.0 

1.157 

1.158 

60.0 

1.116 

1.118 

70.0 

1.074 

1.079 

80.0 

1.025 

1.036 

90.0 

0.966 

0.975 

95.0 

0.914 

0.941 

100.0 

0.000 

0.000 

Due to symmetry we only need to discretize one­half of the aerofoil (Fig. 3.9). Table 3.1 shows the tangential velocity, normalized to V, as a function of x­coordinate  solved using linear boundary elements. The solution produced by NACA is also shown in the table [69].  Example 3.2: Heat conduction in an infinite medium  Consider a spherical cavity of unit radius placed in an infinite conducting medium [71]. A constant radial flux of 10 J/(m2s) is prescribed over the surface of the cavity.  The temperature distribution in the infinite medium can be computed using 3­D boundary element discretization. Unlike the FEM, here only the surface of the cavity is  required to be discretized. Due to symmetry, only one­eighth of the cavity surface is modeled using flat triangular elements with constant potential and normal derivative.  Unlike finite methods, the use of constant field variables and its normal derivatives on the element segment is commonplace in the boundary element literature. The inter­ element discontinuities in solution variables are mitigated by the fact that BEM is an integral equation technique and tends to average out errors arising out of  discontinuities. 

Page 44 

Table 3.2. Temperature distribution in an infinite medium from a spherical cavity.    

  

BEM 

R 

(N=7) 

(N =16) 

Exact 

1.0 

9.676 

9.727 

10.000 

1.5 

6.505 

6.569 

6.667 

2.0 

4.899 

4.922 

5.000 

3.0 

3.274 

3.281 

3.333 

6.0 

1.639 

1.640 

1.667 

10.0 

0.983 

0.984 

1.000 

100.0 

0.098 

0.098 

0.100 

1000.0 

0.010 

0.010 

0.010 

(N=number of boundary element segments). 

Figure 3.10. (a) Boundary element surface mesh and (b) finite element 3­D mesh of thick cylinder. 

Results, produced using constant elements, are presented in Table 3.2, where averaged temperatures on the cavity surface and temperature distribution inside the  infinite medium are shown. The exact solution for this problem is given by u=10/R, where R is the radial distance (R≥1). The exact solutions are also given in the table.  The boundary element (BE) solution would converge at a faster rate to the exact solution if higher order boundary elements were employed.  Example 3.3: Internally pressurized thick cylinder  A thick cylinder of length h=40 mm, having inner and outer diameters a=10 mm and b=20 mm respectively, is subjected to internal pressure p=20 N/mm2. The  Young’s modulus E=210000 N/mm2 and Poisson’s ratio υ=0.3 for the cylinder material. A 90° sector is modeled using (a) linear boundary element, (b) quadratic  boundary element and (c) finite element [63]. The finite element and boundary element meshes are shown in Figure 3.10. A 20­noded serendipity element is used for  finite element discretization. 

Page 45 

Table 3.3. Displacements and stresses in internally pressurized thick cylinder.    

  

Function 

  

Radius 

  

Exact solution 

Boundary element solution 

Finite element solution 

Linear BE 

Quadratic BE 

Radial displacement 

10.0  12.5  15.0  17.5  20.0 

1.904  1.602  1.415  1.293  1.212 

1.905  1.600  1.414  1.292  1.212 

1.818  1.568  1.319  1.234  1.150 

1.905  1.600  1.414  1.291  1.211 

Radial stress 

10.0  12.5  15.0  17.5  20.0 

−20.0  −10.4  −5.2  −2.0  0.0 

−17.4  −11.6  −3.5  −2.4  0.7 

−13.8  −13.2  −1.8  −1.2  1.1 

−18.5  −11.3  −4.1  −2.2  0.4 

Hoop stress 

10.0  12.5  15.0  17.5  20.0 

33.3  23.7  18.5  15.4  13.3 

34.4  23.3  19.2  15.2  13.5 

27.1  20.1  15.2  14.3  12.1 

33.5  23.7  18.5  15.4  13.3 

Figure 3.11. Schematic of the gear tooth. a=2.00 mm, b=16.00 mm, c=5.70 mm, d=18.25 mm, e=17.25 mm, R (radius)=31.25 mm. 

A four­noded surface element and an eight­noded serendipity surface element are used for the linear and quadratic boundary element models respectively. In the case  of boundary element solution, the numerical integration points were concentrated near singularities to achieve better accuracy [63].  

Page 46 

Figure 3.12. (a) Finite element discretization of the gear tooth. (b) Linear and quadratic BE discretizations of the gear tooth. (c) Cubic  BE discretizations of the gear tooth. 

The results are shown in Table 3.3 where the exact solutions are also included.Whereas linear BE solutions are poorer than those of FE (finite element), the quadratic  BE solutions are seen to be in good agreement with the exact solutions.  Example 3.4: Stress in a gear tooth  A gear tooth with dimensions, load and boundary conditions is shown in Figure 3.11. The load P acts normal to the gear tooth surface at the point shown in the figure  and equals 400 N/mm. This problem was solved by Lachat [60] and later by Brebbia [63]. Assuming plane strain condition, the tooth was analyzed using (a) 291 six­ noded isoparametric triangular finite elements with 630 nodal points (Fig. 3.12a), (b) 33 linear BE segments, (c) 33 quadratic BE segments (Fig. 3.12b), (d) 33 cubic  BE segments (Fig. 3.12b) and finally (e) 13 cubic BE segments (Fig. 3.12c). None of these idealizations produced reasonable stresses at the point of load application.  The principal stress at the other points on the gear tooth surface is shown in Figure 3.13 for FE, quadratic BE and cubic BE discretizations. 

Page 47 

Figure 3.13. Principal stresses at the surface of the gear tooth. 

Page 48 

This page intentionally left blank. 

Page 49 

Chapter 4  Anisotropy, Axisymmetry and Zoning  4.1. Introduction  Unlike the finite elements, the boundary element method (BEM) requires relatively more analytical work to formulate the numerical equations in the case of  axisymmetric bodies and when the material anisotropy needs to be considered.  When the solution domain contains inhomogeneity, it can be handled in BEM by partitioning the domain into zones having homogeneous properties. As an added  benefit, zoning produces banded system matrix thereby making the problem suitable for banded matrix solvers. We will see in later chapters that zoning helps improve  the solution accuracy, especially when dealing with acoustic eigenvalue analysis of chunky­type enclosures. 

4.2. Anisotropic materials  At times engineering materials and media cannot be adequately described using isotropic material properties. The materials may respond differently in orthogonal  directions (orthotropic behavior) or in all directions (anisotropic behavior). In this section, we shall present necessary ingredients which will allow us to formulate  boundary integral equations in these cases.  Orthotropic materials  Consider the domain shown in Figure 4.1 with x and y being the directions of orthotropy. The Laplace’s equation in this case is given by:  (4.1) 

(4.2)    where k x, ky and k z are the material properties in the x, y and z directions, respectively. The fundamental solutions to these equations are: (4.3) 

(4.4) 

Page 50 

Figure 4.1. A Two­dimensional orthotropic medium (x & y are directions of orthotropy). 

respectively, where:  (4.5) 

(4.6)  It would also be necessary to define boundary fluxes v and v*. To this end, we apply the divergence theorem to the left­hand side of equation (4.1):  (4.7)    where nx and ny are direction cosines and the quantity between the brackets on the right­hand side is the normal boundary flux: (4.8)  We can analogously define v* as:  (4.9)  The corresponding quantities in three­dimensions can easily be defined. Using the governing equation (4.1) or (4.2) and given boundary conditions, we can formulate  the boundary integral equation in the same fashion as in the isotropic case and arrive at a formulation similar to equation (2.19). 

Page 51  Anisotropic materials  If the medium is anisotropic with the material property coefficients given by k ij, the governing differential equation in two dimensions can be written as:  (4.10)  The fundamental solution for this equation is:  (4.11)    where |kij| is the determinant of the material property coefficient matrix and “r” is given by: (4.12)  The quantities v and v* are respectively given by:  (4.13) 

(4.14)  The problem can be formulated as in the previous case. 

4.3. Axisymmetric problems  Three­dimensional boundary value problems having axial symmetry in geometry, loading and boundary conditions can be solved in two dimensions, thereby saving  significant efforts. A body with symmetry about the Z­axis is shown in Figure 4.2. In the BEM we only need to discretize the contour lines Γb . Thus, three­dimensional  axisymmetric problems can be solved using line elements. To this end, the boundary integral equation (2.19) is written in cylindrical polar coordinate system (R, Θ, Z)  with the fundamental solution u* of equation (2.9) also expressed in the same coordinate system. Taking advantage of axial symmetry, the dependence on Θ is then  integrated out. The final equation is given in the (R–Z) plane:  (4.15)  in which the fundamental solution u* and its normal derivative v* are given by:   (4.16) 

Page 52 

  Figure 4.2. Axisymmetric body. Ω is the generating area and Γb is the boundary contour.

(4.17) 

K(κ) and E(κ) are the complete elliptic integral of the first and second kinds respectively. The argument κ is given by:  (4.18)  In equation (4.17), nr(Q) and nz(Q) are the R­ and Z­components of the outward normal at the boundary field point Q. Note that the fundamental solution [eqn.  (4.16)] in the axisymmetric case is a function of the distances of the source and field points P and Q from the axis of revolution Z. Recall that the fundamental solutions  for the two­and three­dimensional cases [eqns. (2.8) and (2.9)] are given simply as a function of distance between the source and field points r(P, Q). The solution of  the equation (4.15) can be approached in the same fashion as was done in the case of the boundary element equation (2.18). The boundary contour Γb  of the  axisymmetric body of Figure 4.2 can be divided into a number of line segments. Numerical integration is then performed  

Page 53 

Figure 4.3. BE discretization of the axisymmetric solid cylinder. 

on each line segment and contributions are assembled into a system of equation, which is of the form of equation (2.25).  When the source point P does not lie on or is close to an element segment, numerical integrals can be performed using a standard Gaussian quadrature. The values  of the complete elliptic integrals can be incorporated into the computer program in tabular form as a function of their argument κ. For a computed value of the argument  κ at a Gaussian point, the values of the complete integrals can be looked up from this table. However, the elliptic integrals can also be approximated by polynomial  expressions [163]. For the evaluation of the integrals on the singular elements, the fundamental solution u* and its normal derivative v* are expressed in terms of  Legendre functions of the second kind [71]. The integration can then be performed analytically by expanding these Legendre functions [164]. Furthermore, when r(P)  is small, i.e., when the element is located near the axis of revolution, the integration must be performed with care [71,165].  Example 4.1: Heat conduction in a solid axisymmetric cylinder  Consider a solid axisymmetric cylinder with 0≤R