Teoría y problemas de dinámica de Lagrange

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SERlE DE COMPENDIOS SCHAUM ,.·,. · . }:...-. .

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... I

...

TEOR]IA -y PROBLE~AS . . ' DE

DINAMICA DE

..

·

LAGRANGE~ .....

con

Wl

'

estudio de

Ecuaciones del movimiento de Euler Principio y Ecuaciones de HamHton

POR

·v

DARE A. WELLS, ;rh.D. l• Profesor de Fisicq · University of Cincinpati . .. J

• TRADUCCION Y ADAPTACION

FRANCISCO GNECCO CALVO, IC. MS. PHD. lnstituto Colombiano para el Fomento · de la Educacion Superior

--e.... ... -- .......

LIBROS McGRAW-HILL MEXICO

. PANAMA LONDRES -

. BafiOTA·-.. SAO

PAUL~

··

NQ~VA YORk

TORONTO SIDNEY JOHANNESBURG DUSSELDORF SINGAPUR



h

.•R

• I

.

'

Copyright

-

© 19'12, por Libros McGraw-Hill de Mexico, S. A de C. V.

Todos los "derechos reservados. lmpreso en Colom-bia. Queda terminantemente prohibido reproducir este libro, total o parcial mente, sin permiso expreso de los editores.

91974

. . Traducido de la primera edici6n del original publicado en ingl6s Copyright © 1967, by McGraw-Hill Book ·Company, Inc., U.S.A. 123466789 C y C-72 098765432

.....

...

IMPRESO EN COLOMBIA PRINTED IN COLOMBIA

Pr6logo

El metodo de Ia diruimica de Lagrange es aplicable a un gran conjunto de problemas de particulas y de cuerpos rigidos que abarca desde los mas sencillo.s hasta los mas complejos. Las ventajas de este procedimiento sobre los metodos convencionales, por las razones que se indican a continuacion, son de gran importancia. Esto es v8lido no solamente en el amplio campo de las aplicaciones sino tambien en una gran area de la investigaci6n y de las consideraciones teoricas. En gran parte, el metodo de Lagrange reduce todo el campo de Ia estatica, de Ia dinamica de particulas y de la dinamica de cuerpos rigidos a un solo procedimiento que implica las mismas, etapas basicas, independientemente del numero de masas consideradas, del tipo de coordenadas empleadas, del numero de restricciones sobre el sistema y de que las restricciones y el marco de referencia esten o no en movimiento. Por tanto, los metodos especiales se remplazan por un metoda general unico. Puede utilizarse una gran variedad de coordenadas generalizadas. Es decir, que las ecuaciones de Lagrange son validas para cualquier sistema de coordenadas (inerciales o una combinaci6n de inerciales y no inerciales) que resulten adecuadas para representor Ia configuraci6n del sistema. Estas conducen directamente a las ecuaciones del movimiento en cualquier sistema de coordenadas que se escoja. No se requiere introducir primero el metodo vectorial formal y luego hacer Ia traducci6n a las coordenadas deseadas. Las fuerzas de restricci6n, para los casos de restricciones holonomas lisas, quedan eliminadas automaticamente y no aparecen en las ecuaciones de Lagrange. La eliminaci6n de estas fuerzas por metodos convencionales pueden presentar dificultades enormes. El procedimiento de Lagrange esta basado, en gran parte, en magnitudes escalares: energia cinetica, energia potencial, trabajo virtual, y en muchos casas, Ia funci6n de poten'--cia. Todas ell~s pueden expresarse generalmente sin ninguna dificultad en cualquier sistema de coordenadas adecuado. Desde luego, la naturaleza vectorial de Ia fuerza, Ia velocidad, Ia aceleraci6n, etc., debe tenerse en cuenta en el estudio de los problemas de dinamica. Sin embargo, las ecuaciones de Lagrange, basadas en las anteriores magnitudes escalares tienen en cuenta en forma completa y automatics estas magnitudes vectoriales sin necesidad de recurrir a metodos vectoriales formales. Por complejo que sea un sistema, los terminos de Ia ecuaci6n del movimiento de Lagrange consisten en las componentes adecuadas de Ia fuerza y la aceleraci6n expresadas en el sistema de coordenadas escogido. Afortunadamente, las ideas b&sicas empleadas en la deducci6n de las ecuaciones de Lagrange son sencillas y de facil comprensi6n. Si se presentan sin adornos academicos ni terminologia rebuscada, las unicas dificultades que puede encontrar el estudiante promedio, son las que provienen de su deficiente preparaci6n en los fundamentos. La aplicaci6n de las ecuaciones de Lagrange a los problemas pnicticos resulta notablemente sencilla aun cuando se trata de sistemas complicados. Excepto en los problemas muy elementales, el procedimiento es en general mucho mas sencillo y requiere invertir menos tiempo que ciertos metodos especiales, "concisos" o "elegantes" hallados en muchos tratados comunes. Ademas, los detalles fisicos se hacen resaltar y se ponen en evidencia con gran claridad. uu;; L a Lj l

~.L

.. ,

NIC0i.r.. ~ Lv,"'._i\. Esc. de ds.cu .,;.J let

Finalmente, debe mencionarse que el metoda c;ie Lagrange es aplicable a otros campos diferentes de Ia dinauiica~ Resulta especialmente util, por ejemplo, en el estudio de sistemas electromecanicos. Este libra pretende presentar con claridad los principios b&sicos de Ia dinamica de _Lagrange y dar al lector suficiente entrenamiento en las tecnicas, fisicas y matematicas, necesarias para aplicar sus ecuaciones. La materia abarcada permite dejar una base firme para posteriores estudios de aquellos temas que salvan Ia distancia entre la mec8nica clasica y Ia cuantica. La forma de la presentaci6n, asi como los ejemplos, problemas y experimentos sugeridos, se desarrollaron durante los largos aiios en que el autor dict6 el curso de dinamica de Lagrange a los ·estudiantes de Ia U niversidad. de Cincinnati. · No se ha intentado incluir aqui todo el panorama de esta materia tan amplia. Se ha dado relativamente poco espacio a la soluci6n de las ecuaciones diferenciales del movimiento. Los metodos vectoriales for:males nq_ han recibido mucha importancia; s·6lo se les menciona en unas pocas secciones. Si~ embarg_o, por las razones establecidas en el capitulo 18, las magnitudes vectoriales y tensoriales mas importantes que aparecen en el libra se enumeran alii en Ia notaci6n formal adecuada. Los experimentos sugeridos al final de algunos capitulos pueden ser de gran utilidad. Naturalmente se requieren ·tratamientos matematicos formales, pero nada despierta mayor interes ni da mas "realidad" a la din&mica que un experimento real, en el que los resultados concuerdan bien con los valores calculados. El libro se ha dirigido principalmente a los estudiantes de ultimo aiio de fisica, ingenieria, quimica y matematicas aplicadas, a los que inician los estudios de postgrado en estas mismas disciplinas, y a aquellos cientificos e ingenieros en ejercicio que deseen· familiarizarse con los poderosos metodos de Lagrange, por medio del estudio individual. Puede servir como texto en un curso formal o como suplemento de otros te~os. El autor desea expresar su gratitud al doctor Solomon Schwebel por sus valiosas sugerencias y por su revision critics de algunas partes del manu·scrito, al senor Chester Carpenter por su revision del capitulo 18, al senor Jerome F. Wagner por su ayuda en Ia comprobaci6n de ejemplos y problemas, al senor Lester Sollman y a su se:iiora, por el excelente trabajo realizado al copiar a maquina el manuscrito, y al senor Daniel Schaum, el editor, por su interes, su estimulo y su cooperacion no superada.

D. A. WELLS

TABLA DE

MATERI~s·

..

P&gina

1

FUNDAMENTOS BASICOS, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 1.2 ' 1.3 1.4 1.5

De Ia necesidad de fundamentos basicos .................................. .

1 1

Leyes basicas de la mecanica claeica de Newton y varias maneras de expresarlas .... . Selecci6n de Ia formulaci6n ........................................... . Origen de las leyes basicas ............................................. . De los conceptos y magnitudes basicas empleadas ......................... . .Condiciones de validez de las )eyes de Newton ........................... . . Dos tipos generales de problemas de dinamica ........................... . M~todoe generales para solucionar problemas de dinamica ..•............... Ejemplo ilustrativo de los numerales 1. 7 y 1.8 .........•...........•...•..

1.6 1.7 1.8 1.9

1 1

2 2 5 8

7



Capitulo

2

FUNDAMENTOS BASICOS, II ...................... .

lJ

2.1 2.2 2.S

Observaciones introductorias .......................................... . Sistemas de coordenadas y ecuaciones de trasformaci6n ................... . Coordenadas generalizadas. Grados de libertad .......................... . Grados de restricci6n, ecuaciones de restricci6n, coordenadas superfiuas ....... . Restricciones m6viles ............................................... . . de tras fiormac1on . , '' red uc1"das , .............................. . E cuac1ones Velocidad ezpresada en coordenadas generalizadas ....................... . Trabajo y energia ci netica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ejemplos ilustrativos de Ia energia cin6tica ............................ . Teorema del "centro de masa" para Ia energia cinetica . . . . . . . . . . . . Una expresi6n general para Ia energia cin6tica de p particulas .............. . Definici6n de aceleraci6n y ejemplos .................................. . "Despla zam1en . to Vtrtuw . _,.., y "trab8JO . v1rtua . 1" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos ilustrativos de las consideraciones anteriores (a), (b) y (c) . • . . . . . . . .

11 11 18 19 20 20

2.4

2.5 2.8

2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

Capitulo

••

0

••••

0

24 26

27 28

so 32

ss

3

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LAGRANGE PARA UN A P ARTICULA ................................. .

42

S.l 3.2

Consideraciones preliminares ........................................ . Deducci6n de las ecuaciones de Lagrange para una particula, sin coordenadas · ·o nea m 6va"1 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................... . n t. rest ncc1 Compendio de detalles importantes relacionados con las ecuaciones de Lagrange . Integraci6n de las ecuaciones diferenciales del movimiento ............... Ejemploa ilustrati vos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ecuaciones de Lagrange para una partfcula, suponiendo un marco de referencia m6vil, restricciones m6viles, o ambas condiciones simultaneamente . . . . . . . . . . De Ia energia cinetica, las fuerzas generalizadas y otros t6picos, cuando el marco de referencia, las restricciones, o ambos se mueven ........................ . Ejemplos ilustrati vos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Determinacion de la aceleraci6n por medic de las ecuaciones de Lagrange ..... . Una consideraci6n adicional sobre las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . Experimentos sugeridos ....... ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3 3.4 8.5 3.8

3.7 •

0

21

3.8 8.9 3.10 3.11

0

••

42 42 47 47 49

50 50

52 58 54

l:UBLIOTECA NICul.t~~ ~Ui-lll~r~tCO Uc. ~ t-ts.\,v aviC4tematiGq U. A. P. ··

TABLA DE I\IATERIAS

Pagina

Capitulo

4

62 62 .

4:.7 4.8 4.9

5

SISTEMAS CONSERV ATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.1

llustracion de algunos principios b8sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilefiniciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresi6n general de V y prueba para las fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . Determinacion de las eiJ>resiones para V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunos ejemplos sencillos para iluetrar lo anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas generalizadas como derivadas de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservatlvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas parcialmente conservativos y parcialmente no conservatives . . . . . . . . . Ejemplos que ilustran Ia aplicaci6n de las ecuaciones de Lagrange a sistemas conservativos . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresi6n adecuada de la energia potencial del sistema de resortes . . . . . . . . . . . . Sistemas en los que Ia energia potencial varia con el tiempo. Ejemplos . . . . • . . . Funcion vectorial del potencial para una carga que se mueve en un campo electromagn,tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La "integral de Ia energfa" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esperimentos sugeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 88

4.2 4.3 4.4

4:.5 4.6

5.2 5.3 5.4

5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 6.11 5.12 5.13 5.14

Capitulo

82

Observaciones introductorias ........................................ . Deducci6n de las ecuaciones de Lagrange para un sistema de particulas . . . . . . Expresi6n de T en forma adecuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . Significado fi sica de las fuerzas generalizadas ........•.................. T6cnicas para hallar expresiones para las fuerzas gen~ralizadas . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos ilustrativos de Ia aplicaci6n de las ecuaciones de Lagrange a sistemas que incluyen particulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas y movimientos de las particulas cargadas en un. campo electromagn,tico . . Consideraciones sobre el significado fisico de las ecuaciones de Lagrange ....... . E~rimento sugerido .............................................. .

4.1

Capitulo

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA UN SISTEMA DE P ARTICULAS .................................. .

6 8.1

6.2 6.3 6.4 8.5 6.6 6.7 6.8 6.9 8.10 8.11 8.12 6.13

DETERMINACION DE Fq,. PARA EL CASO DE FUERZAS DISIPATIVAS ............ ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definici6n y clasificaci6n ............................................ . Procedimiento general para determinar F q,. • • • . • • • • . . • . • • • • • • • • • • • • . • • • . Ejemplos: Fuerzas generalizadas de fricci6n ............................. . Ejemplos: Fuerzas viscosas generalizadas ............................... . Ejemplo: Fuerzas proporcionales a la potencia n de Ia velocidad, para n > 1 .. . Fuerzas expresadas por medio de una serie de potencias .................... . Algunas consecuencias interesantes de las fuerzas de frieci6n, y otras .......... . Una "funci6n de potencia", P, parala determinaci6n de las fuenas generalizadas .. Formas espec1·ales de la f unc1· 6n de pot enc1a · ................................ . Ejemplos para ilustrar e I uso de P . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..•.....•• ~ •• · · · Fuerzas que dependen de Ia velocidad relative .............................. . · · t o ...................... . Fuerzas cuya direcci6n no se opone a 1a d e1 movtmten EX)lerimento sugerido ............................................ · · · · ·

84 64

86 86

72

73 76

86

87 87 89 89 90

90 93 94

95 96 96

103 103 103

104 106 107

107 107

108 109 110 111 111 114

TABLA DE MATERIAS

Capitulo

7 7.1 7.2

7.8 7.4

7.5 7.6 7.7

7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13

Capitulo

8 8.1 8.2

8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10

.

ESTUDIO GENERAL DE LOS MOMENTOS Y LOS PRODUCTOS DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capitulo

9 9.1 · 9.2 9.3 9.4

9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

.....

Expresi6n general del momenta de inercia de un cuerpo rigid a con respecto a un . cua 1qu1era . e)e .............................................•........ El elipsoide de inercia ................................................ . Momentos principales de inercia. Ej'es principales y sus direcciones ........... . Momentos y productos de inercia con respecto a cualquier sistema de ejes rec'tangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . Momentos y productos de inercia con respecto a un marco cualquiera . . . . . . . . . Momentos y productos de inercia con respecto' a un marco girado ............ . Ejemplos de momentos, productos y elipsoides de inercia .................•.. "Focos,. y punt os .,es fi~cr1cos . .. de 1nerc1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Significado fisico de los productos de inercia ............................. . Cuerpos dinamicamente equivalentes ................................. . Determinaci6n experimental de los momentos y los productos de inercia ....... . ~royecto sugerido sobre el elipsoide de inercia ............................ . Experimento sugerido .................•..............................

ESTUDIO DE LA DIN AMICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS, DE LAGRANGE ................... .

• • • • • •

Observaciones preliminares . . . . . . . . . .. . Fundamentos bAsicos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . Expresion general de Ia energia ci netica de un cuerpo rigido libre . . . . . . . . . . . . . . Resumen de algunas consideraciones importantes con relaci6n a T . ...... Planteamiento de las ecuaciones del movimient~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos ilustrativos de Ia eneJJia cinetica y las ecuaciones del movimiento . . . . . Definicion de los angulos de Euler .......... Empleo de ios angulos de Euler: Un cuerpo con movimiento arbitrario . . . . . . . . . La energia cinlttica, hacienda uso de ejes de direcci6n fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento de un cuerpo rigido con relaci6n a un marco de referencia en traslaci6n y rotaci6n ........................ Experimento sugerido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0



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0

o









0

8.11

Pagina







0











































































































. EL METODO DE EULER DE LA DINAMICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observaciones preliminares ..................................... Ecuaciones del movimiento de traslaci6n del centro de masa ............... Diversas maneras de expresar las ecuaciones escalares correspondientes a (9.3) . . . . Consideraciones fundamentales para Ia determinaci6n de las ecuaciones de rotaci6n de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las tres ecuaciones del movimiento. de rotaci6n de Euler, para un cuerpo rigido. Forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspectos importantes con respecto a (9.10) ..••.•.••••.••••.••••.•.•. Forma vectorial de las ecuaciones de rotaci6n de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos especificos para ilustrar el uso de las ecuaciones (9.2) y (9.10) . . . . . . . . . Ejemplos para ilustrar la forma (9.16) de las ecuaciones de Euler ......... ·. . . . I





I













I







121

121 122

123 124

125 128

128 183 134 135 136 137 138

143 148 143

152 158 11)3 154 161 162

188 1R7 172

181 181 181 182 183

188 188 189 189 194

TABLA DE MATERIAS

9.10

9.11 9.12 9.13 9.14

Capitulo

10 10.1 10.2 10.3

10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.18 10.14 10.15

10.16 10.17 10.18 10.19 10.20

Capitulo

11 11.1 11.2 11.3

11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

P&gina Ecuaciones del movimiento con respecto a un marco de referencia m6vil . . . . . . . 196

Determinaci6n de los movimientos de una nave espacial y de un objeto en su interior, ambos bajo Ia acci6n de fuerzas conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Re striccione s no hol6nomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las ecuaciones de rotaci6n de Eul_er, desde el punto de vista del momentum angu.lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparacion del tratamiento de Euler con el de Lagrange . . . . . . . . . • . . . . . . .

. .

197 199

. .

201 203

• • •

210

Tipo de problema por considerar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Restricciones sobre el problema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases fundamentales adicionale·s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones diferenciales del movimiento .................... ·............ . Soluciones de las ecuaciones del movimiento; fuerzas conservativas unicamente .. Resumen de aspectos importantes sobre el tipo anterior de movimiento oscilatorio . Ejemplos para ilustrar los resultad()s de los numerales anteriores ............. . Casos especiales de las raices de D ..................................... . Coordenadas normale s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Prueba de la relacion de ortogonalidad ....... " ......................... . Aspectos importantes relacionados con las coordenadas normales ............ . Ventajas de las coordenadas normales .................................. . Determinaci6n de las expresiones de las coordenadas normales .............. . Amplitud y direcci6n del movimie:tto de una part1cula determinada cuando se excita un modo de oscilaci6n en particular ............................. . Determinaci6n de las constantes arbitrarias con Ia ayuda de las condiciones de ortogo nalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscilaciones pequeiias con fuerzas actuantes viscosas y conservativas ......... . Consideraciones sobre la estabilidad del movimiento ............•.......... Utilizacion de las coordenadas normales cuando actu~n fuerzas extraiias ...... . Uso de las coordenadas normales euando actuan fuerzas externas y viscosas ... . Experimentos sugeridos ............................................. .

210 210 213 216 218 218 219 223 225

PEQUENAS OSCILACIONES ALREDEDOR DE LAS POSICIONES DE EQUILIBRIO . . . . . . . . . . . . . . . .

PEQUENAS OSCILACIONES ALREDEDOR DE MOVIMIENTOS EST·ACIONARIOS . . . . . . . . . ·..

• • • • • • •

Consideraciones preliminares importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elimi nacion de las coordenadas ignorable& de las ecuaciones generales del . . t o ...................................................... . mov1m1en Elimi naci6n de las coordenadas ignorables, empleando Ia funci6n de Routh. Metodo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . .. • . . . . . . . . . . Condiciones necesarias para el movimiento estacionario .................... . Ecuaciones del movim iento, suponiendo un movimiento estacionario ligerame nte J)ertu rbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Soluci6n de las ecuaciones del movimiento .............................. . Coordenadas ignorables en funcion del tiempo, despues de una perturbaci6n ... . E"-mplos ilust rat 1vos · d e1 proced"1maen · t o ante r1or · ......................... . ~ Oscilaci6n alrededor del movimiento estacionario cuando el sistema contiene restricciones m6viles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227 228 228 229

230 232 282 234 235 285 236

243 243 245

246 248 247 248 248 248 255

TABLA DE MATERIAS

Pagina

Capitulo

11.10 Sistema bajo Ia acci6n de fuerzas disipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.11 Estabilidad del movimiento estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 258

12 FUERZAS DE RESTRICCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

266

. . pre1"1m1nares ....................................... . C ons1'derac1ones

266

Procedimiento. general para hallar las fuerzaa de restricci6n ................. . Ejemplos ilustrativos ................................................. . Fuerzas de restricci6n utilizando las ecuaciones de Euler ...•..•............... Fuerzas de restricci6n y ecuaciones del movimiento con restricciones rugosas ....

268 270 273 274

FUERZAS IMPULSADORAS NECESARIAS PARA PRODUCIR MOVIMIENTOS DEFINIDOS . . . . . . .

• • • • •

279

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Consideraciones preliminarea ...•................. ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio de un sistema ............................................ Ejemplos ilustrativos de problemas en equilibrio estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279 280 281 283 285

14

EFECTOS DE LA FORMA DE LA TIERRA Y DE SU ROTACION COTIDIANA EN LOS PROBLEMAS DE LA DINAMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

293

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Capitulo

Capitulo

13

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.8

14.7

I

Observaciones introductorias Consideraciones sobre la forma de Ja Tierra. Latitudes y radios geoc,ntricos y geogftficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aceleraci6n de la gravedad sobre Ia superficie de Ia Tierra o cerca de ella . . . . . . . . F6rmulas de calculo y algunas constantes ........... Referencias relacionadas con la forma de Ia Tierra y su campo gravitatorio . . . . . Energia cinetica y ecuaciones del movimiento para una particula en diversos sistemas de coordenadas~ Marco de referencia adherido a Ia superficie de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia cinetica T, para una particula; marco de referencia en movimiento con respecto a Ia superficie de Ia Tierra .. Movimiento de un cuerpo rigido cerca de Ia superficie de la Tierra ..... Ejemplos ilustrativos especlficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302 303 304

APLICACION DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE A SISTEMAS ELECTRICOS Y ELECTROMECANICOS . . .

S18

I

I

I

I

I

••••

I

























I

I

14.8 14.9



•••

I







••

•••••••••••



I

I





I































































I













































293 294 294 295 297

298



Capitulo

15

15.1 Observaciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 · Expresiones de T, V, P, F Q y de las ecuaciones de Lagrange, para circuitos el6ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Ejemplos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Sistemas electromecanicos: La funcion de Lagrange adecuada; determinaci6n de las fuerzas generalizadas ........... 15.5 Oscilaciones de sistemas el~ctricos y electromecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I



I

I

I

•••••••••••••••

I





















316

316 319 320 322

TABLA DE MATERIAS

Pagina

15.8

Capitulo

15.7 15.8

Fuerzas y voltajes necesarios para producir movimientos y corrientes dadas en un sistema e lectromecanico .......................................... · 323 Sistema electricos y mecanicos analogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Referencias . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

16

. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE HAMILTON

16.1 18.2 16.3 16.4 18.5 16.6 16.7 18.8

• •

331

Observaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una palabra sobre el ~~momentum generalizado" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deducci6n de las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimiento para determi nar H y escribir las ecuaciones de Hamilton . . . . . . Casos especiales de H ................... Relaciones importantes de la energia y Ia potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos. El hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento de Hamilton . . . . . Ejemploe de H para sistemas en que existen coordenadas m6viles o restricciones m6viles, o anibas condiciones .............. Campos de aplicaci6n del metoda de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331 391 331

I

••••

I

16.9





I



• • •

•••••••••••••••••































I

























333 383 333 334

336 337

17 PRINCIPIO DE HAMILTON .......................... , 342

Capitulo

17.1 17.2 17.3 - 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Capitulo

lntrooucci6n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas introductorios ... Algunas t~cnicas del calculo de variaciones ........................ Soluciones a los problemas propuestos a nteriormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Princ;ipio de Hamilton a partir del calculo de variaciones . ~ Principio de Hamilton a partir de Ia ecuaci6n de D' Alembert . Ecu~ciones de Lagrange a partir del principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos especificos para ilustra! los ejemplos de este capitulo . Aplicaciones del princiP,jo de Hamilton ............ o

•••••••••••••••••••••

0



0

0

•••••••••••••



I





0



0

0







•••••••••









0













0







0

































I













••••••••••

0

•••••••

0





'

18 ECUACIONES BASICAS DE LA· DINAMICA EN NOTACION TENSORIAL Y VECTORIAL . . . . . .

Apendice



0

342 342 343 348 347 348 350 350 352

• • • • • • •

RELACIONES ENTRE LOS COSENOS J)IRECTORES

356

• • • •

361

IN DICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

389.

I

Leyea buicas de Ia dinamica. Condiciones de valldez. Do• tipoa principales de problemas y su metodo general de solucion.

1.1 De Ia necesidad de fundamentos basicos.

Los mayores obstaculos que un estudiante promedio encuentra al tratar de entender la dinamica de Lagrange, usualmente no se deben a las dificultades intrinsecas de la materia, sino mas bien, a ciertas deficiencias en un campo mas o menos amplio correspondiente a los fundan;1entos basicos. Con Ia esperanza de remover tales obstaculos, se han dedicado los dos primeros capitulos al estudio detallado de· los pre-requisitos que con mayor frecuencia no son del dominio de los estudiantes y que no se encuentran fiicilmente en los textos. 1.2 Leyes basicas de Ia mecanica cl&.sica de Newton y varias maneras

de expresarlas. Las tres leyes de Newton (naturalmente incluyendo los conceptos clasicos de masa, longitud, tiempo, fuerza, las reglas de Ia geometria, el algebra y el caiculo) junto con el concepto del trabajo virtual, pueden considerarse como los fundamentos sobre los cuales se basa toda Ia mecanica clasica (el campo para el cual se cumplen las condiciones C, D y E del numeral 1.6). Sin embargo conviene seiialar desde el comienzo que las Ieyes ,basicas de Ia dinamica pueden ser expresadas (matematicamente) de varias maneras diferentes a la forma dada por Newton. Las mas importantes de estas formas (que seran tratadas mas adelante) son. (a) el princi~io de D' Alembert (b) las ecuaciones de Lagrange

(c) las ecuaciones de Hamilton (d) el principia de Hamilton

-

Todas ellas son basicamente equivalentes. Por ejemplo, si se parte de las leyes de Newton y del principio del trabajo virtual (ver el numeral 2.13 del capitulo 2) se puede deducir cualquiera de las formas anteriores. Asi pues, una cualquiera de las cinco formulaciones puede tomarse como base de los desarrollos te6ricos y de Ia solucion de problemas. 1.3 Seleccion de Ia formulacion. La escogencia de una de las cinco formas depende del trabajo que se ha de realizar. Por ejemplo, las ecuaciones de Newton son adecuadas para Ia soluci6n de muchos problemas sencillos; el principio de Hamilton es importante en varias considerac'iones te6ricas; y las ecuacio~es de Hamilton han sido utiles en ciertas aplicaciones, asi como en el desarrollo de la mecanica cuantica. • Sin embargo, el metodo de Lagrange es de mariera especial potente y notablemente sencillo como instrumento de soluci6n de una gama muy amplia de problemas (tanto teoricos como practicos) relacionados con sistemas mecanicos, electricos, electromec&nicos, etc. 1.4 Origen de las leyes basicas. Las "leyes Msicas" de Ia diruimica son sencillamente expresiones de un gran conjunto de hechos experimentales. No es posible deducirlas por medio de manejos logicos- o matematicos, exclusivamente. En ultimo termino, las reglas del juego se basan en experimentos delicados. Estas reglas deben ser aceptadas bajo Ia creencia de que si Ia naturaleza las ha obedecido en el pasado, continuara haciendolo en el futuro. Por ejemplo, no es posible "expli1

.

\

FUNDAMENTOS BASICOS, I

2

[CAP. 1

car" por que son validas las leyes de Newton. Lo unico que es posible afirmar es que elias representan un enunciado compacta de experiencia anterior, relacionada con el comportamiento de una gran variedad de sistemas mec8nicos. Las formulaciones de D' Alembert, Lagrange y Hamilton expresan esto mismo, cada una de cierta m~nera en part_icular.

1.5 De los conceptos y magnitudes basicas empleadas. Las magnitudes de longitud, masa, tiempo~ fuerza, etc., se presentan continuamente en mec8.nica; su interpretacion y uso tiende a hacerse con sensaci6n de tranquilidad y de comprensi6n. Sin embargo, en diferentes epocas han surgido interrogantes con relaci6n a los conceptos basicos que elias conllevan y con relacion a la naturaleza fundamental de las magnitudes mismas. Un estudio de esto.s t6picos estaria fuera de Iugar aqu~ pero los estudiant.es interesados encontraran de gran beneficio los analisis de Bridgman, y otros, sabre estas materias. 1.6 Condiciones de validez de las leyes de Newton. La segunda ley de Newton, aplicada a una partfcula t de masa constante, m, puede escribirse como dv F = mdt (1.1) en donde la fuerza F y Ia velocidad v, son magnitudes vectoriales; y Ia masa m y el tiempo t, son escalares. Escrito (1.1) en componentes, queda

F.=

mx,

FJJ =

mii,

Fz =

(En el presente texto se utilizar& la conveniente notaci6n:

mz

• ~!~ dx dt - :t, dt2

(1.2) ••

= ~~

etc.)

Las relaciones (1.2) en la forma sencilla en que estdn expresadas, no son correctas para cualquiera, ni para todas las condiciones. A continuaci6n se analizan las condiciones con las cuales si son validas. I

Condici6n A. La ecuaci6n (1.1) implies algun "marco de referencia" con respecto al cual se mide dv/dt. Las ecuaciones (1.2) indican que el movimiento se ha referido a un sistema de ejes rectangulares X, Y; Z. · Es un hecho experimental que la segunda ley de Newton, expresada en la forma sencilla de (1.2) conduce a resultados que concuerdan con la experiencia cuando los ejes coordenados estcin inm6viles con respecto a laposici6n media de las estrellas ''fijas" o si se mueuen con uelocidad lineal uniforme, sin rotacion, con relaci6n a las estrellas. En cualquiera de los dos casas, el marco de referencia (los ejes X, Y, Z) se denomina MARCO INERCIAL2 y las coordenadas correspondientes, COORDENADAS INER CIALES. Dicho de otra man era, un marco que posee aceleraci6n lineal, o que esta girando en cualquier forma, es NO-INERCIAL3 • El t6rmino ''particula", un concepto imaginario, puede representarse como una pequeiia porci6n de materia, tan dim in uta que su posicion en el espacio se determine por las tres coordenadas de su "centro". En este caso su energia cin6tica de rotacion con respecto a cualquier eje que Ia atraviese, puede despreciarse. 2 El term ina "marco inercial'' puede definirse en abstracto, sencillamente como aquel, con respecto al cual, las ecuaciones de Newton en su forma sencilla (1.2) son v8lidas. Pero esta definicion no le indica al ingeniero o al cientifico aplicado, d6nde hallar tal marco, o si ciertas coordenadas especfficas son inerci~les. Por otra parte, la definicion de las estrellas fijas, si suministra esta informaci6n. Desde luego, debe observarse-q)l~ mediciones hecbas con gran precision podrian demostrar que el marco de las •;estrellas fijas" fuera ligeramente no-inercial. 3 Un marco de referencia adherido a Ia superficie de :a Tierra es clara mente no-inercial debido a las rotaciones anuales y diarias, y a los demas movimientos del globo. A pesar de esto, la aceleraci6n de este marco es t~n pequeiia que para muchos efectos (pero en ning\ln caso para todos los efectos) puede considerarse como inerci~l. _, Un marco que no gire (con sus ejes dirigidos siempre bacia las mismas estrellas fijas) con su origen adherido al centro de la Tierra es una mejor aproximaci6n de un marco inercial. Un sistema de ejes que no giren, coli su origen en el centro del Sol, constituye un marco inercial excelente (aunque posiblemente noes aun "perfecto"). 1

FUNDAMENTOS BASICOS, I

CAP. 1]

3

La condici6n enunciada debe considerarse como una de las bases de sustentacion mas importantes, sobre las que descansa la superestructura de la dindmica. El reconocimiento de este hecho debe hacerse automaticamente en todo razonamiento ya que b8.sicamente, la solucion de todo problema comienza con la consideracion de un marco inercial. Se debe adquirir la habilidad de reconocer por simple inspecci6n los marcos inerciales y los no-inerciales. Lo anterior no implica, sin embargo, que no se puedan utilizar coordenadas no-inerciales. Por el contrario, como podra notarse en forma evidente, los marcos no-inerciales se emplean quiza con Ia misma frecuencia que los inerciales. En los ejemplos que siguen se observara como debe escribirse Ia segunda ley de Newton en el caso de coordenadas no-inerciales. En los capitulos 3 ·y 4 se demuestra que las ecuaciones de Lagrange (una vez expresada la energia cinetica en Ia forma apropiada) conducen a las ecuaciones del movimiento correctas en coordenadas inerciales, noinerciales o mixtas. Ejemplo 1.1: Como ilustracion de Ia condici6n A, considerese el comportamiento de los objetos (a), (b) y (c) de la figura 1-1, dentro de un vagon de ferrocarril que se mueve con aceleraci6n constante, ax, sobre una via recta y horizontal. 1 Ya I

I I

(

I I

h

I

En Ia fil'tra 1-1, (a) representa una esfera de masa m, bajo Ia acci6n de una fuerza exterior F (con componentes Fz y Fy) sometida a la gravedad. Si se supone que el marco X., Yt es inercial, considerando el movimiento solamente en un plano y torr.ando Ia esfera como una particula, las ecuaciones del movimiento con regpecto a la Tierra, son

mz. =F.

(!) mii1 = F,- mg Por otra parte, las relaciones entre las "coordenadas del vag6n" y las "coordenadas de la Tierra", para m, (1)

serian

= ~~ +

(I)

~~

(5)

mit

= II• + h.

+ it~zfZ

. (.f.) 1/s AI derivar (3) y (4) con respecto al tiempo, y al sustituirlas en (I) y (2), 'V1 t

= Fz- maa

(8)

miia

= F,- mg

··'· que son las ecuaciones del movimiento con relacion al vagon. Es claro que Ia ordenada y 2 es inercial puesto que (2) y (6) tienen Ia misma forma. Sin embargo, Ia abscisa .x 2 es no-inercial, ya que (I) y (5) son diferentes. La ecuaci6n (5) es un ejemplo sencillo de Ia segunda ley de Newton escrita para un marco no-inercial. (N6tese Ia magnitud del error que se cometeria F •• ) si se escri~iera, en cambia, mit Debe observarse que el efecto de Ia condici6n no-inercial, sobre cualquier sistema meainico, o sabre una persona en el vagon, es como si g se incrementara a (aJ + g 1 ) 111, en una direccion que forma un a"gulo

=

[CAP. 1

FUNDAMENTOS BASICOS, I

4 8 = tan-1 azlg

con Ia vertical, bacia abajo, y que todas las coordenadas fuesen consideradas como

inerciales. Si el_ hombre Ianza una bola (Fig. 1-l(b)) hacia arriba con una velocidad v 0 , su trayectoria en el vag6n sera parab6lica y debe calcularse como si Ia gravedad tuviera Ia magnitud y direcci6n indicadas antes. Si el hombre tiene una masa M, (,cu81 sera su "peso" en el vagon? Como una extension de este ejemplo, sup6ngase que el cache se hace oscilar sabre la via, alrededor de un punto fijo, seglin s = s 0 +A senwt, en donde s 0 , A y "' son constantes. La ecuacion (6) continua sin modificaci6n, pero al derivar x 1 - x 2 + s 0 + A sen wt y al insertarla en (1 ), se obtiene

m z.

; ; ;:

+

mAw1 senc.)t

F.

Una vez mas, se observa que x 2 es no-inercial 4 • Facilmente se nota que Ia bola en (b) en su movimiento con respecto al vag6n, describira ahora una trayectoria bastante complicada, que esta determinada por Ia aceleracion hacia abajo g, y por upa aceleraci6n horizontal A Ca)2 sen Ca)t. Para el hombre sera dificil colocarse sobre una b&scula, no importa donde este esta, puesto que su "peso" total cambia con el tiempo en magnitud y en direccion.

Ejemplo 1.2:

Y.

Considerese el movimiento de una partfcula de ~a~~--~ (Fig. 1-2) con respecto a los ejes X 2 y \7; que giran con velocidad angular constante (a) con relaci6n al marco inercial de x1 y

Mareo giratorio

x•. y,

Y,.

Las ecuaciones del movimiento en las coordenadas inerciales, . son en don de F z 1 y F 11 son componentes de Ia fuerza aplicada en la direcci6n de los ejes fijos. Se obtendran ahora las ecuaciones correspondientes para las coordenadas rotator iss ( y como se vera, no-inerciales). Al observar la figura, se demuestra que

= ,_

~~

'J/1

~.

cos (,)t -

2:1

sen wt

+

Flg.l-2

'II• sen wt

tl• cos wt

Derivando estas relaciones dos veces y sustituyendolas en las primeras ecuaciones del movimiento, se obtiene '

F :r:1 F 11

m [~~ cos wt - 2zs w sen wt - 2tis w cos wt - ~~ t.J1 cos wt =

m[~• sen wt

+

2&• .., cos (l)t -

+

xs~ 1 senwt -

2y.wsen c.)t -

1/t w1 sen 1 'JJJW

wt -

cos wt

ii• sen wt)

+ Y• cos wtf

(9) (10)

De nuevo, al refe~irse a Ia figura, se ve que las componentes de Fen la direccion de X 2 y en Ia de Y 2 , estan dadas por Fq = F.1 coawt + Fw1 senut y par F., 1 =· F.1 cos t.>t- F., senwt. As~ al multiplicar (9) y (10) por cos wt y por sen wt, respectivamente, y al sumar el resultado es

F %2

=

••

m~a

-

1



mZtW

En forma semejante, multiplicando (9) y (10) por sen

-

2



7nc.J2/I;

(11)

wt y por cos wt respectivamente y restando,

tenemos (12)

Estas son las ecuaciones del movimiento con respecto a los ejes no-inerciales X 2 y Y2 • N6tese que seria un error escribir F ~ = m Mt y F Js m Yt· Este ejemplo pone en evidencia que cualquier marco gira-

=

torio es no-inercial.

Condicion B. Las ecuaciones (1.2) son validas unicamente cuando m es constante. En caso que m sea variable, Ia ecuaci6n (1.1) debe remplazarse por F

d dt(m")

Par conveniencia, en el presente texto nos referiremos al producto (masa) x (aceleracion) como a una "fuerza inercial,. 4

FUNDAMENTOS BASICOS, I

CAP. 1)

5

Pueden citarse varios ejemplos en los que Ia masa de un objeto varia con su posicion (una bola de nieve que rueda por una pendiente cubierta de nieve), que varia con el tiempo (un carro tanque con un orificio en un extremo por el cual sale un liquido, o un cohete durante Ia etapa en que se quema ·el combustible), o que varia con Ia velocidad (un objeto que se mueve con una velocidad cercana a la de Ia luz). Sin embargo, en este texto no se consideraran problemas de masa variable.

Condicion C. En general, las masas del sistema deben ser grandes en comparaci6n con las de los atomos y las de las particulas at6micas. La dinBmica de las particulas at6micas pertenece al campo de Ia mecanica cuantica. A pesar de esto, hay algunas situaciones "fronterizas"; por ejemplo, Ia deflexi6n de· un haz de electrones en un tubo de rayos catodicos usualmente se calcula con suficiente precision por medio de la mectinica clasica.

Condicion D. Sea grande o pequefta Ia masa, su velocidad debe ser muy inferior a Ia de la luz. Como se sabe, por la teoria especial de Ia relatividad, la masa de cualquier objeto aumenta con su velocidad. En el caso de velocidades "ordinarias" este cambio de masa es muy pequeiio, pero a medida que la velocidad se aproxima a Ia de Ia luz, Ia proporcion de este aumento se vuelve muy importante. Por consiguiente, la relaci6n (1.2) no describira con precisi6n el movimiento de un electron, un proton, o una pelota, si estos se mueven con una velocidad aproximada de 2 X -10 10 cm/seg. (Naturalmente, esta condici6n podria incluirse en B.)

Cond£cion E. En el caso en que ciertas masas del sistema sean muy grandes, o si se consideran intervalos de tiempo muy largos (un siglo o mas), o en problemas que abarquen estas dos condiciones, Ia teoria general de la relatividad concuerda con Ia experiencia mejor que la dinamica de Newton. Por ejemplo, la dinamica relativistic& predice que el perihelio de Ia 6rbita del planeta Mercurio debe avanzar un angulo de 43" por siglo, lo cual coincide muy bien con los resultados de mediciones astron6micas. En conclusion, se observa que al tratar de masas, velocidades o tiempos "ordinarios", siempre se cumplen las condiciones C, D y E. Por tanto, en Ia "dinamica clasica" el mayor interes tiene que ver con A y con B. De las condiciones anteriores results evidente que existen tres campos de la dinamica, mas o menos bien definidos: Clasica, cuantica y relativistica. Desafortunadamente hasta ahora no se ha desarrollado una teoria "unificada" que pueda ser aplicada en cualquiera o en todas las condiciones.

1.7 Dos tipos generales de problemas de dinamica. Pnictica:nlente cualquier problema de dinamica c18sica es un caso especial de uno de los dos tipos generales siguientes: (a) Partiendo de unas fuerzas dadas que actlliln sobre un sistema de masas, y conocidas las rest:ricciones, la posicion y Ia velocidad de cada una de las masas en un instante determinado, se requiere hallar el "movimiento" del sistema, es decir, la posicion, la velocidad y la aceleraci6n de cada una de las masas, en funci6n del tiempo. (b) Partiendo de unos movimientos dados para un sistema, se requiere hallar un posible conjunto de fuerzas que produciria tales movimientos. En general, algunas o todas las fuerzas pueden variar con el tiempo. Desde luego, consideraciones sobre el trabajo, la energia, Ia potencia, Ia cantidad de movimiento y el momentum angular pueden ser importantes, bien en el tipo (a) o en el (b).

. [CAP. 1

FUNDAMENTOS BASICOS, I

6

1.8 Metodos generales para solucionar problemas de dinamica. La mayor parte de los problemas de Ia dinamica aplicada son del tipo (a). El procedimiento general es el mismo en todos aquellos que pertenecen a este tipo. Por conveniencia el procedimiento puede dividirse en cuatro etapas. (1) Sele~cion de un sistema de coordenadas apropiado. La facilidad con que puede resolverse un problema especifico depende en una buena medida de las coordenadas utilizadas. El sistema mas ventajoso depende del problema entre manos; desafortunadamente no es posible dar reglas generales de selecci6n. Principalmente es un problema de experiencia y criteria. (2)

Planteamiento de los ecuaciones diferenciales del movimiento.

Ya se han dado algunos ejemplos sencillos de ecuaciones de movimiento. No obstante, para ilustrar aun mas el significado del termino "ecuaciones del movimiento", considerese el problema de una pequeiia masa m, suspendida de un resorte espiral de masa despreciable, como aparece en Ia figura 1-3. Sup6ngase que m puede moverse en un plano vertical bajo la accion de Ia gravedad y del resorte. Las ecuaciones del movimiento, expresadas en coordenadas polares, son

;::-~ 2

(-i? r9 ••

_:J g cos 9

k

+ m(r- ro)

I I I I I I

"-1 I

0

•• + 2r6 +

gsene = 0 en donde r 0 es Ia longitud del resorte sin estirarse y k es la constante elastica usual del resorte. La Ftg.l-3 integraci6n de estas ecuaciones diferenciales de segundo orden dan r y 8 en funci6n del tiempo. Es importante recalcar doE, observaciones: (a) Estas ecuaciones diferenciales pueden plantearse de varias maneras (vease el numeral 1.2). Sin embargo, como en Ia mayoria dt! los casas, el metodo de Lagrange es el mas ventajoso. (b) Las ecuaciones anteriores po representan. la unica forma de expresar las ecuaciones del movimiento de este pendulo. Podrian escribirse en coordenadas rectangulares, o en cualquier otro sistema de coordenadas (veanse los capitulos 3 y 4). En cada uno de estos casos las ecuaciones tendnin aspectos bien diferentes y algunas senin mas complicadas que otras. Las afirmaciones (a) y (b) son validas en general para todo sistema dinamico. r(J

Solucion de las ecuaciones diferenciales del movimiento. Excepto en la formulacion de Hamilton, las ecuaciones del movimiento··son de segundo orden. El grado de complejidad de las ecuaciones depende principalmente del problema particular entre manos y del tipo de coordenadas que se usen. Con frecuencia las ecuaciones no son liueales. Unicamente en ciertos ca~os, relativamente escasos, en que por ejemplo todos los terminos diferenciales tienen coeficientes constantes, puede darse un metoda general de soluci6n. Es importante mencionar que aunque pnicticamente para cualquier sistema diruimico pueden escribirse las ecuaciones diferenciales del movimiento correctamente, en la gran mayorta de los casos estas resultan tan complejas que no es posible integrarlas. Afortunadamente, a pesar de lo anterior, los varios tipos de computadores vienen a salvar la situaci6n y ahora es posible obtener soluciones utiles a ecuaciones bastante dificiles, con rapidez y relativamente con pequeiio esfuerzo. Naturalmente, esto quiere decir que ecuaciones diferenciales que anteriormente se consideraban "sin solucion" ocupan Ia atenci6n principal de cientfficos e ingenieros. Ademas, las tecnicas generales mas avanzadas para plantear tales (3)

I

CAP. 1]

ecuaciones adquieren cada vez mas importancia cion y del desarrollo. (4)

en todos los campos de

Determinacion de las consta.ntes de integracion.

El metodo de determinacion de las constantes de integraci6n es cillo. Se reduce a la sustituci6n de los valores conocidos de posicion y instante determinado, en las ecuaciones integradas. Como el metoda con toda amplitud en los ejemplos especfficos de los capitulos siguientes, yen aqui detalles adicionales.

un

1.9 Ejemplo ilustrativo de los numerales 1.7 y 1.8. Con el fin de ilustrar las observaciones de los numerales anteriores y para obtener una vision gen~ral de la dinBmica, a_ntes de iniciar el estudio detallado del metodo de Lagrange, considere$e el ejemplo siguiente. Las masas m 1 Y. m 2 estan conectadas a los resortes (cuyas constantes ehisticas son k 1 y k2), y al bloque B, como se muestra en la figura 1-4, abajo. Se hace mover el bloque segiin s = A sen wt, por medio de la fuerza F. Los puntas fijos p 0 , p 1 y p 2 se han localizado de modo que PoP1 y p 11J2 son las longitudes de los resortes, primero y segundo respectivamente, sin estirar. Todos los movimieiltos se efectU8n sobre una linea horizontal lisa. Se desprecian las masas de los resortes.

F

..,....._._... ......- - - - - - - Z s

_________________.. .________

z~

--------~

Se describe a continuaci6n el trabajo relacionado con el analisis dinamico del sistema. El tipo (a) del numeral 1. 7. El Ia determinacion de: (a)

(b}

(c}

(d) (e) (/} (g)

m~todo

de soluci6n es el del numeral 1.8. Un amplio an&lisis del r,

La posi~i6n de cada una de las masas, en funci6n del tiempo. La velocidad de cada una de las masas en cualquier in stante. La energ{a (cinetica y potencial} del sistema, en funci6n del tiempo. La aceleraci6n y Ia fuerza que actua sobre cad a una de las masas, en fun cion del tiempo. Las f~cuencias del movimiento de cada una de las masas. La fuerza que debe aplicaz:se a B. La potencia entregada por B al sistema, en cualquier instante.

Debe entenderse que las soluciones que se dan a continuaci6n no tienen por objeto mostrar los detalles en su totalidad, sino que tratan solamente de ilustrar las etapas fundamentales. Por esto, los ma·nejos mateumticos que no parecen esenciales en una visi6n general, se omiten. Se determina primero (a) y de aqui se siguen sin dificultad (b), (c), ... y (g).

Siguiendo las etapas descritas en el numeral 1.8, primero se selecciona un sistema de coordenadas apropiado. • Como· el movimiento esta restringido a una recta horizontal, ;r:e~:ulta evidente que s6lo dos coordenadas se requieren; una para determinar Ia posici6n de cada una de las masas. De las distancias indicadas en la figura 1-4, cualquiera de los pares (.x:., x 2 ), (x 3 , x 5 ), (x 3 , x 4 ), (x 4 , x 5 ), etc., puede utilizarse. Por conveniencia se escoge (x., .x 2 ). Las ecuaciones del movimiento, obtenidas por aplicaci6n directa de las leyes de Newton o de las ecuaciones de Lagrange, son •

•• maza

Con el fi.n de hacer el problema

mas

+ k tZt

-

kt2:1

ktzt = 0

kaA sen "'t

(1)

(2)

especifico, se fijan las siguientes cantidades:

m 1 = 400 g, m2 - 300 g, A .. 5 em k 1 -= 6 X tO• dinas/cm, k 2 = 5 X 10 4 dinas/cm,

"'=

12 rad/seg

FUNDAMENTOS BASICOS, I

8

[CAP. 1

·

Por medio de metodos conocidos de integracion se encuentran las s.oluciones aproximadas de (1) Y (2) .x 1 .x2

6,25A 1 sen (19,37t +., d- 3A 2 sen (8,16t + 'Y2)- 0,95 sen 12t = -SA1 sen (19,37t + -y 1 ) -5A 2 sen (8,16t + ')' 2 ) -7 sen 12t

(3)

-

(4)

con lo cual se han completado las tres primeras etapas del numeral 1.8. Las constantes arbitrarias de integracion A1 , A 2 , 'Y 1 y 'Y 2 pueden determinarse mediante ~a asignaci6n de condiciones iniciales especificas. Se puede suponer, por ejemplo, una forma de iniciar el movimiento; cuando t = 0, se tiene

= 3 em,

~~

z1 = o,

= 4cm • Zs = 0 ~.

(5) (6)

Al remplazar en {3) y en (4) los valores de (5), y en las derivadas con respecto al tiempo de (3) y (4), los valoiJ!s de (6), resultan cuatro ecuac~ones algebraicas de las cuales pueden obtenerse los valores especificos de las constantes, en forma inmediata. Asi se obtienen los deaplazamientos x1 y x 2 como funciopes especificas del tiempo.

Por simple inspecci6n se nota que cada una de las soluciones a las partes (b), (c), ... y (g) pueden determinarse directamente partiendo de las formas finales de (3) y (4). Asi pues, todos los detalles adicionales se le . deja n al lector. •

'

I

El sencillo ejemplo anterior present~ una visi6~ bastante completa del procedimiento general que se sig\le en Ia soluci6n de la vasta clase de problemas mencionados en el numeral 1.7(a). Una advertericia: Las ecuac'iones del movimiento (1) y (2) son bien sencillas y por tanto todas las etapas pudieron realizarse sin dificultad. Desafortunadame~te este no es el caso general (vease el numeral 1.8, (3)). Por otra parte, S}lcede con frecuencia que muchos de los detalles ·que se enumeraron en Ia lista del numeral ~.9, no se necesitan. · El segundo tipo general de problemas mencionado .en 1.7 (b) seni estudiado en el capitulo 13.

Resumen y observaciones c~al

1.

La "din4mica clasica" es la rama de Ia dinamica para Ia Newton, bajo las restricciones C, D y E del numeral 1.6

2.

Las "leyes b8sicas" de la di~amica son sencillamente expresiones compactas de resultados expe~imentales. Pueden expresarse matematicamente de varias maneras diferentes, pero todas elias son basicamente equiv~lentes. Cualquiera ~e ias formas pQ.ede ser deducida a P.aitir de cualquier ~tra. ·

3.

Es de gran importancia conocer y entender las condiciones de validez de las leyes de Ia dinamica cl&sica. Resulta imprescindible, en la soluci6n de todo problema de din8mica, la definicion de un "marco ine'rcial" y la verificacion de- papel que desempeiia este. j

se cumplen las leyes de

'

4.

Hay dos tipos principales 4e problemas en la dinamica clasica (como se vio en el numeral 1.7) de los cuales, el de 1.7 (a) es el mas comun. Es importante el reconocimiento de este hecho, asf. como del ord~n general de Ia sol~ci6n. ·

5.

Actualmente existen tres campos distintos de Ia dina~ic~ (desde el punto de vista de la soluci6n) bastante bien ·definidos .(fisicamente): Clasica, cuantica y ·relativistic&. Hasta ahora no se ha desarrolla4o un conjunto unificado de leyes que sea aplicable a cualquier problema o a todos ell~s. · · ·

FUNDAMENTOS BASICOS, I

CAP. 1]

9

Problemas y preguntas de repaso 1.1.

Expresar el significado del termino "dinamica clasica". Mencionar ejemplos especificos que ilustren los otros dos campos.

1.2.

i,Qu6 puede decirse con respecto al "origen" y a las mar:eras de expresar las leyes de Ia dinamica?

1.3.

Indicar con claridad el significado del termino umarco ·inercial de referencia.,.

1.4.

Demostrar que cualquier marco de referencia que se mueve con con respecto a un marco inercial, es asi mismo inercial.

1.5.

;.Es posible reconocer por simple inspecci6n, si un sistema de coordenadas es inercial, o no-inercial? l,Es admisible, en la soluci6n de algunos problemas, utilizar una combinaci6n de coordenadas inerciales con no-inerciales? (Estas son consideraciones de importancia.)

1.6.

El cable que sastiene un ascensor se rompe hacienda que este caiga libremente (despreciese la resistencia del aire). Demostrar que para cualquier sistema mec8nico cuyos movimientos se refieran al ascensor, el campo gravitatorio de Ia Tierra, se anula efectivamente.

1. 7.

Un sistema de coordenadas est& adherido al interior de un autom6vil que se mueve de la manera usual, par una avenida con curvas, baches, semaforos y palicias de tr&fico. (,Sera inercial tal marco? (,Los ocupantes del vehiculo experimentan alguna fuerza dife~ente de la gravitacional? Explicar.

1.8.

Si el coche de Ia figura 1-1 se mueve con velacidad constante sabre una via circular horizontal, l,cuales de las cootdenadas x2, Y2 o z 2 de m1 (ode cualquier atro punto referido al marco X 2 , Y2 , Z 2 ) seri.n no-inerciales? Explicar. (Sup6ngase que Z 1 tiene la direcci6n del radio de curvatura de Ia vfa.)

1.9.

1.10.

v~locidad

lineal constante (sin rotaci6n)

• Sup6ngase que el marco X 2 , Y2 de la figura 1-2 tiene un tipo definido de rotaci6n (como I= constante, i=- constante o 6 =flo senwt). Demostrar que las coordenadas .x 2 , y 2 son no-inerciales. Vease el ejemplo 1.2.

Supongase que el dispositive de Ia figura 1-4 se coloca en el vagon. de ferrocarril de la figura 1-1, paralelo al eje X 2 , y que el vag6n se mueve con aceleracion constante a%. Demostrar que las ecuaciones del movimiento (1) y (2) .del numeral 1.9, deben remplazarse por

m, ;1 m, z1

+

(k, + ks)2:t -

+ ks:.:s

--

ksZt

- k1~1



1.11.

SuponJ{ase que el oriJ{en del sistema X 2 , Y2 de Ia firura 1-2 tiene una aceleraci6n constante az, en Ia direccion del eje X 1 , y que simultaneamente X2, Y2 giran con velocidad angular constante Cl). Demostrar que las ecuac iones (11) y (12) del ejemplo 1.2, deben remplazarse par

Fas

F,.

1.12.

I m •• ~~ - mzt w m ii• ·- mysw 1

-

• 21)1(a)JI•

+ 2'ln.4.JZt

+

mas cos 4Alt

-

'7nCk

sen t.)t

Supongase que el marco X, Y al cual esta sujeto el pendulo de la figura 1-5, se mueve con velocidad constante v% en Ia direcci6n X y Vy en la direcci6n Y (sin rotaci6n del marco). Demostrar que Ia ecuaci6n del movimiento del p~ndulo, en el sentido de 8, es ri· = -g sen 8. i,El periodo de oscilaci6n se altera por el movimiento del marco del cual pende?

[CAP.

FUNDAMENTOS . BASICOS, I

10

1

v,

y,

I

___ .,

I I

...,

'

I ~---· I

'·'

La Tierra (supuesta inercial)

1.13.

Si el marco X, Y de la figura 1-5, tiene una aceleraci6n constante dad constante, vy, en Ia direccion de Y, demostrar que r •• I

-a.. cos I

-

a~,

en la direcci6n de X, y una veloci-

g sen 1 :\-

y por tanto, que fJ no es inercial. (.EI pendulo tiene ahora un periodo igual al del problema 1.12?

1.14.

Enunciar y dar ejemplos de las dos principales clases de problemas que se encuentran en Ia din8.mica cl8sica. Describir el procedimiento general que se sigue en Ia soluci6n de los problemas del primer tipo.

I

Sistemas de coordenadas, ecuaelonee de truformaeiOa, coordenadas generalizadas. Grados de libertad, grados de restriccion, ecuacion~s de restriccion. Velocidad, energia cinetica y aceleracion en coordenadas generalizadas. Desplazamientos virtuales y trabajo virtual.

2.1 Observaciones introductorias. Los desarrollos teoricos, asi como la soluci6n a problemas de aplicaci6n en el campo de Ia diruimica analitic·a incluyen, ademas de los importantes topicos estudiados en el capitulo primero, una consideraci6n inmediata de las coordenadas generalizadas, ecuaciones de trasformaci6n, grado.s de libertad, grados de restriccion, ecuaciones de restricci6n, velocidad y energia cinetica expresadas en coordenadas generalizadas, expresiones generales de la aceleraci6n y el significado y uso de los desplazamientos virtuales y del trabajo virtual. Ningun estudiante esta en capac{dad de comprender el desarrollo de esta materia sin haber entendido claramente cada uno de estos topicos.

2.2 Sistemas de coordenadas y ecuaciones de trasformacion. Los difere.ntes topicos bajo este titulo se estudianin, principalmente, por medio de ejemplos especificos. ( 1)

Sistemas. rectangulares.

Considerense primero los sistemas rectangulares en dos dimensiones de la figura 2-1. Las distancias x 1 , y 1 localizan el punto p con respecto al marco de referencia X 1 , ¥ 1 • En forma similar, x 2 , y 2 localizan el mismo punto con respecto a x2' ¥2. Por observaci6n se ve que las coordenadas x 1 , y 1 de cualquier punto en el plano, se relacionan con las coordenadas x 2 , y 2 del mismo punto por medio de las sigu ientes "ecuaciones de trasformaci6n":

--

Xo

'1/o

+ Z1 cos() - y~ seniJ + Z2 sen 9 + 'J/2 COS 9

N 6tese que tanto

Xt

y1

0

~a-.

1/1

-~T--

----, ,.

'l

-x.

Fi1. Z·l

(2.1)

como Yt son am bas funciones de

X2

y

Y2,

simultaneamente.

Puede verse que las relaciones (2.1) pueden escribirse en una forma mas conveniente, como sigue Z1

=

Xo

+ l1X2 + lJ'I/2 + m1Z2 + m2112

(2.2)

'111 = 'Yo en donde l1 , m1 y l 2 , m2 son los cosenos directores de los ejes X 2 , Y2 respectivamente, con relacion al marco X 1 , ¥ 1 •

Extendiendo el razonamiento, supongase que el origen de X 2 , Y2 se mueve con una velocidad que puede ser constante (con componentes, vz y vY) con respecto al marco X 1 , Y1 ; y simultaneamente, que los ejes X 2 , Y2 . giran con velocidad angular con stante w, de tal manera que 8 = wt. Las ecuaciones (2.1) y (2.2) pueden escribirse 11

FUNDAMENTOS BASICOS, II

12

t + 1J31 t +

'Vz

[CAP. 2

cos wt - y,_ sen edt X! sen (A)t + Y2 cos rut Z2

(2.3)

N 6tese que Xt, y 1 son ahora funciones tanto de x 2 , y 2 , como del tiempo. N aturalmente, pueden escribirse ecuaciones adecuadas para cualquier tipo de movimiento que se suponga. Frecuentemente se encuentran ecuac"iones de trasformaci6n semejantes a las anteriores, las cuales se designan simb6licamente por

= ~~(X!, 'Y2, t),

X1

1/1 = 'Y1 (~2, '1/2, t)

Puede demostrarse que si se consideran dos sistemas rectangulares ~tri­ dimensionales, como en Ia figura 2-2, · las ecuaciones de trasformaci6n que relacionan las coordenadas x 1 , y 1 y Zt de un punto, con las designadas por x2 , Y2 y Z2 para el mismo punto, seran Xt

'Yt Zt

+ l1X2 + Z!y2 + l3z2 = Yo+ m1X2 + m2'Y2 + maz2 Zo + n1X2 + ft21/2 + nsz2 Xo

(2.4)

en donde l1 , m 1 y n 1 , son· los cos enos directQres del eje x2, etc. Desde luego, el marco X 2 , Y2 , Z2 podria estarse moviendo, en cuyo caso (conocido el movimiento) x0 , Yo, z0 y los cose:r:tos direct ores podrian. expresarse en funci6n del tiempo, o sea, x 1 = x1 (x2, Y2, z2, t), etc. (2)

Fir. Z-2

Sistema cilindrico.

Este sistema, bastante conocido, se muestra en Ia figura 2-3. Se observa que las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x, y, z) con (r, t!J, z) son X

Coordenadaa ciUndricaa

Flg.Z-3

= p COSf/J,

p, t~J, a

1/ = psenq., .

Z

=

(2.5)

Z

Coordenadas eafl:ricas

r, f, f;

13

FUNDAMENTOS BASICOS, II

CAP. 2]

(3)

Sistema es(erico.

Las coordenadas esfericas, consistentes en dos angulos, q, y 8, y una distancia r, usualmente se designan como en Ia figura 2-4:. Observando la figura se demuestra que y = rsen6senq,, z = rcosfJ (!.6) x = r sen 6 cos q,, N6tese que x y y son am bas, funciones de r, 4> yo. Sin embargo z es funci6n unicamente de r y de 8. (4)

Otros sistemas de coordenadCJS.

y

~

oblicuos

Q., Qs

Considerense los dos conjuntos de ejes, X, Y y Q1 , Q2 de Ia figura 2-5 en don de se suponen conocidos a y fJ. Por inspecci6n se nota que el punto p puede localizarse por medio de varios pares de distancias diferentes, tales como, (x, y.), (ql, Q2 ), (q~, q~ ), (s1, s2 ), (s 1 , x), etc. Las ecuaciones de trasformaci6n que relacionan algunos de estos pares son x = Q1 cos a+ q2 cosp y q~ q~ 82

Bt

= q.sena + q1sen{J = q1 +

Q2 COS

(/3- a)

= Q2 + Ql cos (p -a.) = x senp- y cos{J = y cos a - xsena

Coordenadu poaibln: (s, v); (q., f•}i (q:, ,;, (a., ••); (1., z): etc.

Oa

Eje

(2.7)

X

Fir. Z-5

(2.8) y

(2.9)

Coordenadaa

posiblea: (:r, 11); (ra, f); (ra, r.) (I, e); (ra, ten I); (A, sen 1)

En Ia figura 2-6 se muestran otras

posibilidades interesantes. Las distancias r 1 y r2 medidas desde los puntos fijos a y b determinan Ia posici6n de p en cualquier Iugar encima · del eje X (no son unicas para t~do el plano XY). Asimismo, (8, a) o (r 1 , sen 8), son coordenadas apropiadas.

Si se escribe x = r 1 cos 8 y y = r 1 sen fJ y se designa q sen IJ, se concluye que

J/

bX

a~~~~~~~~._----~----~-

1~

~1

• Fig. 2-6

y

Curvas de A y q. S7/

Curvas de q

(2.10)

A = c.,c,,e.

f =2A.' J = yl-,. Veue Ia

f~~Ura

2-ti

lo cual relaciona las coordenadas (x, y) con (r 1 , q'). '•

Es interesante notar que el area sombre ada A, y sen 8, constituyen coordenadas perfectamente aceptables. Dos relaciones entre elias y x y y, son xy = 2A,

= ( q . v'l- q2

'Y

)x

Curvas de A

q

Ct

= ,., b•• ba, etc.

(2.11)

En la figura 2-7 se muestran las graficas de las coordenadas A y q. Las "curvas de q" se obtienen dejando A

X Fir. 2-7

S

14

(CAP. 2

FUNDAMENTOS BASICOS, II

• constante y hacienda graficas de la primera relaci6n de (2.11). En la misma forma, las "curvas de A" resultan de la segunda relacion, con q constante. Es evidente, por los ejemplos mencionados, que puede emplearse una gran varie· dad de coordenadas (longitudes, angulos, funciones trigononu~tricas, areas, etc.). (5)

Coordenadas para el sistema

~ecanico

de la figUra 2-8.

Sup6ngase que las masas m 1 y m 2 estan conectadas por medio de un resorte y pueden moverse unicamente a lo largo de la vertical. Como el movimiento esta asi limitado, la posicion de las masas se determina mediante la especificaci6n de solo dos coordenadas, como Yt y Y2: Asimismo, (yl, Ya ), (y2, Ya ), (qt, Yt ), (q2, Yt ), (q 1 , y 2 ), etc., son adecuadas. Se dice que se ha determinado la configuraci6n del sistema cuando se. conoce uno cualquiera de estos conjuntos. Entre estos conjuntos de coordenadas existen relaciones obvias (ecuaciones de trasformaci6n). N6tese que como m,q, = m2q2, Qt, y Q2 no son independientes. t,Seran entonces independientes q 1 y y 3 ? y

y

.,

Bt

••

•• q.

1/1 1/1

+

ll

.,..

h

1

q•

1/a

'J/1

Jl

X

El disco D1 est& fijo. D2 puede moverse verticalmente. La masa ms sirve de cojinete a D2 y no gira. m1 , m2, m3 y m4 tienen movimiento vertical solamente. Las tensiones en los hilos se representan por 1'1, T2, T 3 y T 4 • Despreciense las masas de D1 y D2.

II•

X

Fie. Z-9

Fig. 2-8

(6)

Coordenadas para "" sistema de masas pendientes de poleas.

Si se supone que las cuatro masas de la figura 2-9, se mueven verticalmente, se ve que cuando se especifica la posici6n de m 1 , por y 1 o por s 1 , la posicion de m 3 queda determinada. Asimismo, al especificar la posicion de m 2 mediante y 2 o s 2 , se conocera la de m 4 • (Estas afirmaciones suponen, naturalmente, que todas las dimensiones fijas de los cables y las poleas se conocen.) Asi pues, solamente se necesitan dos coordenadas para determinar Ia configuraci6n de las cuatro masas. AI principio es posible inclinarse por decir que se necesitan cuatro coordenadas, tales como, y 1 , ·y 2 , y 3 , y 4 • Pero en la figura puede observarse que Yt + Ya = Ct y que Y2 + Y4 - 2ya = C2 en donde C1 y C2 son constantes. Por tanto, si se conocen los valores de las coordenadas de cualquiera de los pares (y., Y2 ), (y 1 , y 4 ), (y 2 , y 3 ), los valores de las otras dos pueden obtenerse por medio de las ecuaciones mencionadas. Para ser usadas mas tarde, el lector podria demostrar las siguientes igualdades 1/t = h

+ 84 + q1 -

lt -

~

- 2C,

1/a y,.,

=k-

84 -

ql

+ l1



(2.12)

Y2 == h- s,- 2qt + l1, == k- 84 en donde l1 y l2 son las longitudes de los cables. N 6tese que las posiciones vertica·

FUNDAMENTOS BASICOS, II

CAP. 2]

15

• les de todas las cuatro masas son conocidas, si se han dado los valores de dos coordenadas tinicamente (s 4 , q 1 }. (7)

Coordenadas posibles para un pendulo doble.

Las dos masas, m 1 y m 2 , de Ia figura 2-10, estan suspendidas de un soporte rigido y pueden moverse libremente en el plano X, Y. (a) Suponiendo que r 1 y r2 son hilos de longitud fija, se requieren dos coordenadas · tales como (8, 4>), (x1, X2 ), (Yt, Y2 ), etc. (b) Suponiendo que las masas se hallan sus- ·

pendidas de bandas de caucho, o de resortes espirales, se necesitan cuatro coordenadas, ta~es como (rt , . r2, 8, cp), (xt, Yt, x2, Y2), etc. Las· ecuaciones de trasformaci6n . que relacionan · los anteriores conjuntos de coordenadas. son

.

:t1

Yt

=

xo

Tt

+

11•

.,,

cos 9

rt sen9 1/o - r1 cos (J Xo

• Za---

+ r1 een 8

'Yo -

Y

+ -

r2sen ~ r2 cos f/J

(2.13)

T ~. --~-~1

'II•

X

Fi1.Z-lD

(8) •

Marcos de re(erencia m6viles y "coordenadas moviles". En la pnictica se encuentran muchos problemas para los que es conveniente utili-

zar marcos de referencia m6viles. ( Por conveniencia, en ocasiones, las coordenadas medidas con respecto a tales marcos pueden d·enominarse "coordenadas m6viles".) Algunos ejemplos generales son: Un marco de referencia sujeto a un ascensor, a un tren en movimiento o a una plataforma que gira; eje3 de referencia adheridos a Ia Tierra con el fin de determinar movimientos con relacion a esta; un marco fijo al interior de un satelite artificial; etc.

Se ha mencionado ya un ejemplo especifico (vease Ia ecuaci6n (2.3)), pero quiz& puede ser util citar los siguientes ' (a) Sup6ngase que en Ia figura 2-1, el origen

0 posee una velocidad inicial

(u%,

Uy)

y una aceleraci6n constante (az, ay), mientras los ejes giran con velocidad angular con stante w. L6gicamente, las ecuaciones (2.2) toman la forma ·... 1Jzt + ia:ct2 + X2 cos (llt Y2 sen(l)t (2.14) 2 1111 t + ia11 t + ~2 sen eDt + 'l/2 cos t + ·rt sen 8 + r! sen f#J (2.15) 1/2 Bo + B sen lilt - r1 cos (J - r2 cos~ etc., lo cual puede indicarse como x 2 = x 2 (r1 , r 2 , 8, ,p, t ), etc. Es importante entender y desarrollar un sentido del significado fisico y geometrico asociado con relaciones sim b6licas de este tipo.

forma

(c) Si en la figura 2-9 se le da al soporte una aceleraci6n vertical constante con velocidad inicial v1 , entonces h = v 1 t t at 2 y las relaciones (2.12) de ben escrrbirse Yt = u1 t !at 2 s.. Qt con stante, etc.

+

+

+

+

+

(d) Sup6ngase que los ejes Q1 y Q2 de Ia figura 2-5 giran alrededor del origen con velocidades angulares constantes, w 1 y w 2 , de modo que a = w1 t y fJ = w 2 t.

[CAP. 2

FUNDAMENTOS BASICOS, II

16

Aun asi" es posible usarlos como "marco de referencia" (aunque para la mayoria de los problemas no results muy deseable). Las relaciones (2. 7) se convierten en X

y

o bien, x

== x(qt,

Q2,

= =

q 1 COS 1t q 1 senc.» 1 t (1)

+ +

q 2 COS 2 t q2 sen(l)2 t (1)

(2.16)

t), etc.

Es importante observar que los marcos de referencia de los ejemplos anteriores son no-inerciales. Finalmente, con respecto a las ecuaciones de trasformaci6n, en general se tiene (i)

Como regla general, todas· las coordenadas de un sistema son funciones de todas las demas y del_tiempo (si los marcos son moviles), como puede verse en las ecuaciones (2.14), (2.15) y {2.16).

(ii) En los ejemplos ant.eriores, Ia mayoria de las ecuaciones de tr.asformaci6n rela-

cionan las coordenadas rectangulares con algunas otras. Pero si se desea, normalmente pueden escribirse ecuaciones que relacionen varios tipos de coordenadas.

2.3 Coordenadas generalizadas. Grados de libertad. ( 1)

Coorde nadCJB ge neralizadas. C~mo

se ha visto en los ejemplos precedentes, pu~de emplearse una gran variedad de coordenadas. Asi, por conveniencia, se usa la letra q como simbolo general para representar coordenadas, no import a cual sea su naturaleza. Por tanto, 9 _~~