Teoria probabilităților și statistică matematică: culegere de probleme

Table of contents :
00000001_1L
00000001_2R
00000002_1L
00000002_2R
00000003_1L
00000003_2R
00000004_1L
00000004_2R
00000005_1L
00000005_2R
00000006_1L
00000006_2R
00000007_1L
00000007_2R
00000008_1L
00000008_2R
00000009_1L
00000009_2R
00000010_1L
00000010_2R
00000011_1L
00000011_2R
00000012_1L
00000012_2R
00000013_1L
00000013_2R
00000014_1L
00000014_2R
00000015_1L
00000015_2R
00000016_1L
00000016_2R
00000017_1L
00000017_2R
00000018_1L
00000018_2R
00000019_1L
00000019_2R
00000020_1L
00000020_2R
00000021_1L
00000021_2R
00000022_1L
00000022_2R
00000023_1L
00000023_2R
00000024_1L
00000024_2R
00000025_1L
00000025_2R
00000026_1L
00000026_2R
00000027_1L
00000027_2R
00000028_1L
00000028_2R
00000029_1L
00000029_2R
00000030_1L
00000030_2R
00000031_1L
00000031_2R
00000032_1L
00000032_2R
00000033_1L
00000033_2R
00000034_1L
00000034_2R
00000035_1L
00000035_2R
00000036_1L
00000036_2R
00000037_1L
00000037_2R
00000038_1L
00000038_2R
00000039_1L
00000039_2R
00000040_1L
00000040_2R
00000041_1L
00000041_2R
00000042_1L
00000042_2R
00000043_1L
00000043_2R
00000044_1L
00000044_2R
00000045_1L
00000045_2R
00000046_1L
00000046_2R
00000047_1L
00000047_2R
00000048_1L
00000048_2R
00000049_1L
00000049_2R
00000050_1L
00000050_2R
00000051_1L
00000051_2R
00000052_1L
00000052_2R
00000053_1L
00000053_2R
00000054_1L
00000054_2R
00000055_1L
00000055_2R
00000056_1L
00000056_2R
00000057_1L
00000057_2R
00000058_1L
00000058_2R
00000059_1L
00000059_2R
00000060_1L
00000060_2R
00000061_1L
00000061_2R
00000062_1L
00000062_2R
00000063_1L
00000063_2R
00000064_1L
00000064_2R
00000065_1L
00000065_2R
00000066_1L
00000066_2R
00000067_1L
00000067_2R
00000068_1L
00000068_2R
00000069_1L
00000069_2R
00000070_1L
00000070_2R
00000071_1L
00000071_2R
00000072_1L
00000072_2R
00000073_1L
00000073_2R
00000074_1L
00000074_2R
00000075_1L
00000075_2R
00000076_1L
00000076_2R
00000077_1L
00000077_2R
00000078_1L
00000078_2R
00000079_1L
00000079_2R
00000080_1L
00000080_2R
00000081_1L
00000081_2R
00000082_1L
00000082_2R
00000083_1L
00000083_2R
00000084_1L
00000084_2R
00000085_1L
00000085_2R
00000086_1L
00000086_2R
00000087_1L
00000087_2R
00000088_1L
00000088_2R
00000089_1L
00000089_2R
00000090_1L
00000090_2R
00000091_1L
00000091_2R
00000092_1L
00000092_2R
00000093_1L
00000093_2R
00000094_1L
00000094_2R
00000095_1L
00000095_2R
00000096_1L
00000096_2R
00000097_1L
00000097_2R
00000098_1L
00000098_2R
00000099_1L
00000099_2R
00000100_1L
00000100_2R
00000101_1L
00000101_2R
00000102_1L
00000102_2R
00000103_1L
00000103_2R
00000104_1L
00000104_2R
00000105_1L
00000105_2R
00000106_1L
00000106_2R
00000107_1L
00000107_2R
00000108_1L
00000108_2R
00000109_1L
00000109_2R
00000110_1L
00000110_2R
00000111_1L
00000111_2R
00000112_1L
00000112_2R
00000113_1L
00000113_2R
00000114_1L
00000114_2R
00000115_1L
00000115_2R
00000116_1L
00000116_2R
00000117_1L
00000117_2R
00000118_1L
00000118_2R
00000119_1L
00000119_2R
00000120_1L
00000120_2R
00000121_1L
00000121_2R
00000122_1L
00000122_2R
00000123_1L
00000123_2R
00000124_1L
00000124_2R
00000125_1L
00000125_2R
00000126_1L
00000126_2R
00000127_1L
00000127_2R
00000128_1L
00000128_2R
00000129_1L
00000129_2R
00000130_1L
00000130_2R
00000131_1L
00000131_2R
00000132_1L
00000132_2R
00000133_1L
00000133_2R
00000134_1L
00000134_2R
00000135_1L
00000135_2R
00000136_1L
00000136_2R
00000137_1L
00000137_2R
00000138_1L
00000138_2R
00000139_1L
00000139_2R
00000140_1L
00000140_2R
00000141_1L
00000141_2R
00000142_1L
00000142_2R
00000143_1L
00000143_2R
00000144_1L
00000144_2R
00000145_1L
00000145_2R
00000146_1L
00000146_2R
00000147_1L
00000147_2R
00000148_1L
00000148_2R
00000149_1L
00000149_2R
00000150_1L
00000150_2R
00000151_1L
00000151_2R
00000152_1L
00000152_2R
00000153_1L
00000153_2R
00000154_1L
00000154_2R
00000155_1L
00000155_2R
00000156_1L
00000156_2R
00000157_1L
00000157_2R
00000158_1L
00000158_2R
00000159_1L
00000159_2R
00000160_1L
00000160_2R
00000161_1L
00000161_2R
00000162_1L
00000162_2R
00000163_1L
00000163_2R
00000164_1L
00000164_2R
00000165_1L
00000165_2R
00000166_1L
00000166_2R
00000167_1L
00000167_2R
00000168_1L
00000168_2R
00000169_1L
00000169_2R
00000170_1L
00000170_2R
00000171_1L
00000171_2R
00000172_1L
00000172_2R
00000173_1L
00000173_2R
00000174_1L
00000174_2R
00000175_1L
00000175_2R
00000176_1L
00000176_2R
00000177_1L
00000177_2R
00000178_1L
00000178_2R
00000179_1L
00000179_2R
00000180_1L
00000180_2R
00000181_1L
00000181_2R
00000182_1L
00000182_2R
00000183_1L
00000183_2R
00000184_1L
00000184_2R
00000185_1L
00000185_2R
00000186_1L
00000186_2R
00000187_1L
00000187_2R
00000188_1L
00000188_2R
00000189_1L
00000189_2R
00000190_1L
00000190_2R
00000191_1L
00000191_2R
00000192_1L
00000192_2R
00000193_1L
00000193_2R
00000194_1L
00000194_2R
00000195_1L
00000195_2R
00000196_1L
00000196_2R
00000197_1L
00000197_2R
00000198_1L
00000198_2R
00000199_1L
00000199_2R
00000200_1L
00000200_2R
00000201_1L
00000201_2R
00000202_1L
00000202_2R
00000203_1L
00000203_2R
00000204_1L
00000204_2R
00000205_1L
00000205_2R
00000206_1L
00000206_2R
00000207_1L
00000207_2R
00000208_1L
00000208_2R
00000209_1L
00000209_2R
00000210_1L
00000210_2R

Citation preview

SOCIETATEA DE STIINTE MATEMA TICE SI FIZICE DIN R.P.R.

GEORGE CIUCU

GABRIEL SÎMBOAN

TEORIA PROBABILITÂJILOR SI STATISTICÂ MATEMATICÂ Culegere de probleme

EDITURA TEHNICÂ BUCURESTI - 1962

PREFATA Aceastd culegere de exercifii �i probleme cuprinde �apte capitole # anume: �ase de Calculul probabilitiifilor �i unul de Statisticii matematicii. Exercifiile �i problemele din calculul pro­ babilitiifilor se refera la evenimente �i probabilitcïfi, probabilitiifi geometrice, funqii de repartifie, valori caraderistice, conver­ genfa �irurilor de variabile aleatoare # lanturi Markov. Capi­ tolul de Statisticcï matematicii cuprinde probleme �i exercifii pri­ vind teoria seleqiei, teoria estimafiei, regiunile de incredere, teoria corelafiei �i teoria asiguriirilor. Toate exercifiile # proble­ mele au solufii complete, numeroase au aplicatii practice imediate. Fiecare capitol este precedat de o scurtii prezentare a principalelor notatii # definifii utilizate. Pentru o intelegere mai prof undii, propunem cititorilor sii studieze capitolele respective din tratatele: Calculul probabilitcïfilor de O. Onicescu, G. Mihoc, C. T. lonescu-Tulcea, Editura Academiei R.P.R., 1956, Calcalul probabilitiifilor de O. Onicescu, Editura Tehnicii, 1956, �i Let:fii de statisticcï matematicii de O. Onicescu, G. Mihoc, Edüura Tehnicii, 1958. Exercifiile �i problemele au fost luate din diferite lucriiri, menfionate in bibliografie. lndeosebi am folosit valorosul »Ma­ nual de inviitiimint superior• ,, Valosziniiségszamitas" al prof. Rényi Alfréd din Budapesta. Sintem convin# cii aceastii culegere va fi utilii acelora care vor sii se consacre studiului Calculului probabilitcïfilor # Statistidi .matematice.

Aducem mulfumirile noastre prof. O. Onicescu # prof. O. Mihoc, pentra ajutorul fi tndramdrile pe care ni le-au dat. AlTTORO

bilitatea ca sà avem in lotul de 100 piese examinate k piese de2 /1: 98 )IOIJ-k fecte �ste ( 100 ) ( 100 • Probabilitatea cerutà este:

c:oo

IOO

P=

� doo

f1�} (:) t

100-k

10. Evenimentul A constà in aparitïa cel pupn o datà a fetei 6, aruncînd un zar de patru ori, �i evenimentul B constâ in aparipa fetei 6 cel pupn de doua. _ori, aruncind de 24 ori cite douâ zaruri. Care din cele douâ evenimente este mai probabil? S o l ut i e. Probabilitatea ca aruncînd un zar sà nu apari niciodatà fata 6 este

! , iar ca sâ nu aparà fata 6, aruncind patru

zaruri, este P(A)= ( �

r.

Rezulta cà probabilitatea ca aruncînd .aparà fata 6 cel pupn o datà este

p (A) = 1- ( �

r·

un

zar de patru ori sà_

Pentru calculul probabilitàtii evenimentului B, vom evalua probabilitatea evenimentului B. Interpretàm aparipa fetei 6 a unui

zar,

ca o urnà

cu

douà stàri,

una

!.

,,fata 6"

eu p=

! p alta ,,non

fata 6" .cu probabilitatea q=Aruncàrile fiiDd iDdependente, in loc sà aruncàm de doua. ori cite 24 de :zanui, putem sà aruncàm 48 de zaruri o singura data. Atunci, dupà formula urnei, probabi­ litatea evenimentului B ca in 48 de aruncan sà obpnem sau de zero ori tata 6 sau o data fata 6 este p(B) =

(!f

8

+48· ! . ( !f

7

Comparînd p (A) eu p(B), avem p(B)

p(A)

=

53 f 5 ),rr 6• 6

(:r

) +(vil}) +(vi0 > t.

Presup unem cà densitatea de probabilitate a celor 3N viteze e)>P(l;-p.>e, l;'-p.�0) = =P(l;-p.>E)•P(l;'-p.

! P(!;-11>&) ·

Deci (1) este demonstratl. Daca in (1) inlocuim I; cu -1;, rezultâ (11

� P( 11;-flÇI >e) 6).

losi P( 1 �l> e) = P( 1(1;-a)+(l;'-a) 1 >r;)s)e) ; ) •

Dacà in (2) înlocuim pe � eu I;n , rezaltl imediat cl daCi . P atanc1 çn-an�• Fa- O ... p

§1.

11► an- t""an -0

.

. 34. 0 � contïne B bile albe §i N bile negre. _Se f�c � sene de extrat:tü, astfel încît dupa fiecare extracpe se 1nlOCUI� bila extrasl eu o biJâ de culoare contrari. Fie Y · DIIDlùal de bile albe ie!jite in n extractü succesi" li Pn probabilitatea de a obpne o bila albl in extractïa de or· dinai n. Sà se arate cl 1 Hm -= .., limcPn=n ll➔ 2.

-•

Sol ut le. Dapl n extracpi vom avea in ami

+

8-2v n bile albe 262

li

N+ 2v-n

bile

negre.

Pl:/'

probabilitatea ca, pleclnd de la corn· � Vom insenma prin pozitïa Ch , si ajungem in n extractii la compozipa C1 �i eu PJr' probabilitatea t:a, plecînd de la compozipa C1 , sà ajungem dupà _m operapi la compozitïa Ck , indicele j putind lua una din valorile 0, 1, 2, ... , r. Dupà teorema probabilitatilor compuse avem (m+nJ

Phk

= '{"' p p(m) h/ • Jk • .l.J J=O

Vom nota eu P; =PC'; scriind aceastâ formula pentru n-1 1 � m= 1, avem r

r

Cn)= '{"' pCn-JJ p(n-1) '{"' p"" LJ hJ ·P,1c = .l.J Ph,· Jlt • =O J=O J Dacâ se CDDOSC probabilitaple (p ). atunci ij cula P1,2l, •••

•

putem cal-

La fiecare operape numârul bilelor albe · varia zâ eu o unitate, deci PiJ= O, dacâ li-jj>l, iar pentru probabilitltile P'(j> avem proprietatile : >

daca

>

I i-j 1 -Jj :>o,

Pf; =o,

>n.

Si presupanem câ avem compozitïa Ct ; probabilitatea de 3 1 scoate clin U o bila alba este .!.... , iar din v este A - ; atund. 0 u mmind legea de extractïe, ·. P1,1+1

Jar

=

l

P,, •-1 = a . l (A-t)

P,., = ïi Se vede cl

(l-

D

�)•(A;i)

(t - A-IJ u•

A-/) + ( 1- t ,) ( 1--D -. ,,

sau De aici rezultà

pJh (n)-e-