Teoria probabilităților și aplicații

Table of contents :
10onicescu
20onicescu
30onicescu
40revolut
50Onicescu
60Onicescu

Citation preview

OCTAV ONICESCU Profesor la Facultatea de matematică Ji mecanică a Universic:'lţii din Bucureşti

TEORIA PROBABILITA ŢILOR ŞI APLICAŢII

EDITURA

DIDACTICĂ BUCUREŞTI

ŞI

-

PEDAGOGICA 1963

TABLA DE MATERII Prelată

~

.•...•.......•.........................•......••..... ~ . . . . . . • . . . . . . . . . . . • •

3

Introducere în teoria probabilităţilor . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . Cap. I. Cîmp finit de evenimente. Cimp probabilizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

§ 1. Definiţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente...................... § 3. Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §

4. Desfaceri

şi

variabile aleatoare independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ S. Variabile aleatoare dependente. Corelaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § § § §

§ ·§ § § §

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 13.

Variabile aleatoare vectoriale pe un cîmp finit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Mişcări browniene şi lanţuri de evenimente de tip Markov . . . . . . . . . . . . . . Reversibilitatea şi stabilitatea procesului în lanţ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reacţii în lanţ • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procese stochastice ramificate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lanţuri_ multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Reversibilitatea şi stabilitatea proceselor în lanţ multiplu. Teorema lui Mihoc I. Probleme privind structuri probabiliste cu un număr finit de stări . . . . . . Il. Probleme privind lanţul Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap, II. Lanţuri de evenimente. Lanţuri cu legături complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Lanţuri oarecare. Ompul lanţurilor. Evenimente şi probabilităţi elementare ale lanţurilor de lungime n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Lanţuri cu legături complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Proprietăţile ergodice ale lanţurilor cu legături complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap.

m.

Cimp infinit de evenimente şi probabilltăfi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Omp de evenimente. Omp de evenimente cu măsură. Cîmp probabilizat . . § 2. Probabilitatea condiţionată. Teoremele lui Boole şi Borel-Cantelli.......... § 3. Măsură exterioară şi probabilitate .............................. -. . . . . . . . - § 4. Cîmpul de probabilitate al procesului extracţiilor repetate . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap. IV. Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Variabile aleatoare ale unui cîmp ...•.•.........••. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . • § 2. Repartiţia. Funcţia de repartiţie........................................ § 3. Generalităţi asupra funcţiilor monotone crescătoare. Teorema lui Helly . . . . Cap. V. Distanţa şi convergenta în spaţiul variabilelor aleatoare ale unui cîmp. . § 1. Distanţe în spaţiul variabilelor aleatoare ale unui cîmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Convergenţa în repartiţie şi convergenţa în probabilitate • . . . . . . . . . . . . . . • . § 3. Convergenţa tare. Convergenţa aproape sigură . . . . . . . . • . . • . • • • • . . • • . . . . • § 4. Serii de variabile aleatoare .. .. . .. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . .. .. .. .. .. • •. .. . •

11 11

15 18 24 29 31 34 47 SO 60 66 68 70 73 77 11 80 86 94

95 100 103

113 119 119 124 128 140 141 144 152 157

TABLA DE MATERII·

6

Cap. VI. Valori medii . . . • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . • § 1. Integrala ................................................... : . . . . . . . . § 2. Teoreme tip Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . § 3. Spaţiile de variabile aleatoare (E, clC,P) •• ~............................... § 4. Integra]a Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . § 5. Relaţia dintre integrala Stieltjes şi integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Momente ..................... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Inegalităţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Teorema lui Lebesgue-Nycodim. Valori medii condiţionate . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Valori medii condiţionale. O teoremă asupra martingalei . . . . . . . . . . . . . . . .

163 163 179 182 186 197 198 201 202 208

Cap. VII. Variabile aleatoare independente . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Independenţa în sensul Steinhaus-Ka9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. .. . . . . • . § 2. Independenţa în sensul lui Kolmogorov .. .. .. . . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. .. . .. § 3. Exerciţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219 219 231 233

Cap.

vm. § § § § § § §

Cap. IX.

Funcţia caracteristică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 1. Funcţia caracteristică.................................................. 2. Produse de compoziţie de repartiţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . • • 3. Funcţia de repartiţie normală cu n ( ~ 1 ) variabile . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . • • 4. Repartiţii stabile .................................................... ·.. 5. Proprietăţi_ speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . • • 6. Semig_C?,Puri de funcţii caracteristice . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. . • .. 7. Exerctţu ...................• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239 239 259 262 265 266 269 279

Şiruri

282 282 288

de evenimente. Stabilitate. Legea numerelor mari . . . . . . . . . . . . • • . .

§ 1. Şiruri de evenimente. Frecvenţă . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . .. . . .. . . .. • . . . .. . . .. § 2. Stabilitate. Teorema lui Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

Cap. X.

Legi-limită.

1. 2. 3. 4. 5. § 6.

§ § § § §

Cap. XI.

Legea lui Gauss ............. ~ . • . .. .. .. .. . .. . • . . . . .. . • . . .. Teoremele lui Leapunov şi Lindeberg . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . • .. .. . . . . . . Problema generală. Repartiţii-limită . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema lui Bemstein-Frechet.......................................... O teoremă-limită pentru variabile vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . • . . . • . • Legi-limită pentru frecvenţa unui eveniment într-un lanţ Markov constant . • Repartiţiile lui Gnedenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . .

Funcţii

298 · 298 306 311 317 321 326

aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalităţi despre funcţiile aleatoare .. . . • • .. .. . .. . . .. . . . .. . . .. . • .. . . .. Continuitate şi derivabilitate stochastică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procese staţionare .........••.....................,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funcţii aleatoare cu creşteri independente, staţionare, de ordinul 2 . . . . . . . .

329 329 330 341 344

Cap. XII. Procese stochastice de propagare în timp continuu. Teoria analitică • . • • § 1. Procese cu un număr finit sau numărabil de stări • • • • • . . . • . . . . . . • .. . . • . § 2. Procese continue cu o dimensiune. Procesele lui W. Feller . ...... : . . . . . . . . § 3. Evoluţia unei mărimi, asociată unui proces Markov omogen. . . • . . . . • . . . . • § 4. Procese aleatoare în lanţ continuu cu legături complete .............•. ,';.

350 350 356 365 369

Cap. XIII. Procese stochastice in general ....................... ·.. . . . . . .. .. . . . . . .

383

§ 1. Măsuri în spaţii-produs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Funcţii aleatoare şi procese stochastice. . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . ..

383 393

Cap. XIV. Teoreme ergodice . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . § 1. Teorema ergodică a lui Birkhoff . . . . .. .. .. .. .. . . .. .. . . . • .. . .. • . . . .. .. • § 2. Teorema ergodică uniformă .•.•.•.........•.•...•••••....••••• ; • . • . • •

403 403 415

§ 1. § 2.

§ 3. § 4.

TABLA DE MATERII Proprietăţi ergodice ale unor procese stocbastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. O condiţie necesară şi suficientă de ergodicitate.......................... § 2. Procese stochastice, omogene şi cu repartiţie staţionară . . . . . . . . . . . . • . . . . . § 3. Metoda operaţională . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap. XV. §

Cap. XVI.

Informaţie.

§ 1. § 2. § §

3. 4.

Cap. XVII.

7

428 428 434 441

Entropie. Elemente de teoria informaţiei . . . . . . . . . . . . . . . . lnform~ţia şi. măsur~ ~i.. . . .. . . . .. . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . Entropia unei repartiţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entropia unei transformări . . .. . . .. . . .. . . .. .. .. .. . .. . . . .. .. . . .. . . .. .. . . Elemente de teorie a informaţiei. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

447 447 454 456 460

Repartiţii

468 468 · 487

indefinit divizibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 1. Definiţii şi proprietăţi .. • .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. § 2. Repartiţii de tip f ................ ·....................................

Cap. XVIII. Momente şi repartiţii· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Proble~ ~J?,erală................................................ •. . . § 2. Repartiţii fJDJte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . .

497 497 505

Teorema numerelor mari şi problema aplicaţiilor teoriei probabilităţilor Teorema lui Bemoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compararea rezultatelor empirice ale unei experienţe repetate cu c.ele teoretice Experienţele tipice cu caracter stochastic ..................... ~ .. . . .. . . . . Convergenţa frecvenţei spre probabilitate pentru diferite mişcări . . . . . . . . . . § S. Convergenţa funcţiei de frecvenţă teoretică Fn(x) spre funcţia de repartiţie F(x) § 6. Tipuri de convergenţă a funcţiei Fn(x) spre F(x) .. ...... ...... . ... .. .. § 7. Compararea a două funcţii de frecvenţă ............................... :

515 515 521 524 527 530 530 549

Cap. XIX. § 1. § 2. § 3. § 4.

INTRODUCERE LA TEORIA PROBABILITĂŢILOR Teoria probabilităţilor este o disciplină matematică, asemenea geometriei„ mecanicii sau statisticii matematice. Experienţele a căror interpretare se efectuează cu ajutorul teoriei probabilităţilor sînt numeroase. Cea mai simplă şi, într-o anumită măsură, cea mai clasică dintre aceste experienţe ne va lămuri principalele sale aspecte şi în acelaşi timp deosebirea dintre această teorie şi statistica matematică cu care este deosebit de strîns legată. Este vorba despre experienţa extracţiilor repetate dintr-o urnă cu bile de două culori. în această simplă experienţă deosebim: 1°. Structura urnei, reprezentată de numerele a şi b ale bilelor albe şi negre conţinute în ea. 2°. Mecanismul extracţiei „la întîmplare" a unei bile din urnă. Presupunem aici că experienţa îndelungată cu astfel de extracţii ne-a pus în situaţia de a deosebi o extracţie la întîmplare, de una care nu poate fi numită astfel. 3°. Succesiunile de n extrageri la întîmplare, din aceeaşi urnă. 1 Aspectele matematice ale experienţei teoretice anterioare sînt următoarele: 1°. Numerele caracteristice ale structurii de bază sînt întîi numerele absolute a . b a . der·m1ţ1e, . . prob aş1 , apoi. vaIon·1e p = ---, q = -b- , unde p este, prm a+b

a+b

. bilitatea extracţiei unei bile albe, iar q este probabilitatea extracţiei unei bile negre, dacă extracţia verifică condiţia 2°. 2°. Tabloul evenimentelor constituit din toate succesiunile distincte de bile albe şi negre în cele n extracţii succesive; numărul acestor evenimente fiind 2n. 3°. Frecvenţa numărului de bile albe (negre) în fiecare dintre aceste evenimente. Această frecvenţă na(nb) este variabilă cu evenimentul, în cadrul tabloului descris la punctul 2°, de la valoarea O pînă la valoarea n. 4°. Frecvenţa relativă a numărului de bile albe sau negre în cele n extracţii repetate f

n

= -na„ '

g,,

nb = -. n

5°. Raportul dintre numărul evenimentelor în care a se prezintă de acelaşi de ori na şi numărul total al evenimentelor se numeşte probabilitate a frecvenţei na şi are valoarea c;a pna qnb · în faţa acestor evenimente şi numere care dau structura teoretică a experienţei extracţiilor repetate din urna (a, b) se prezintă aspectul practic, concret, al unor extracţii efective dintr-o urnă cu

număr

această structură.

Pentru a putea compara aspectul teoretic cu cel· practic, este nevoie de o încastatistică a acestuia din urmă, ceea·c~înseamnă că nu este suficientă o sin..gură experienţă.de n extraeţiisuccesive, ci un număr mare N de astfel·de·experienţe„

drare

INTRODUCERE

10

Fiecare dintre cele N experienţe de cîte n extracţii succesive ne dă un eveniment, unul dintre evenimentele tabloului teoretic 2°. Acestui eveniment îi corespunde o frecvenţă, de rîndul ~cesta empirică va, şi, de asemenea, frecvenţa complementară '! b.

Cele N evenimente obţinute prin şiruri de cîte n extracţii succesive, independente, constituie un colectiv statistic. Fiecare eveniment poate fi caracterizat prin frecvenţele empirice va şi vb. Colectivul în ansamblul său va fi caracterizat prin numerele Nva, Nvb care arată frecvenţa, în şirul colectivului, a evenimentelor cu aceeaşi frecvenţă. Caracteristicile enumerate cu 1°, 2°, 3°, 4°, 5°, precum şi teoremele respec~ tive sînt de domeniul teoriei probabilităţilor. Frecvenţele

Nv •.Ja, _ _ a

N

definite în cadrul colectivului .

experienţelor

sînt de dome-

niul statisticii matematice şi, în general, de studiul colectivelor statistice. Compararea celor două categorii de elemente cu colectivul statistic al unui şir de experienţe priveşte deopotrivă Statistica matematică ca şi cea aplicată. Dacă extracţiile succesive nu sînt independente una de alta şi structura urnei din care urmează să facem extracţia a na variază după rezultatele obţinute în extracţiile anterioare, experienţa constituie un model de proces aleator. în acest -caz, probabilităţile p şi q variază de la extracţie la extracţie, dar tabloul de la 2° ca şi frecvenţele sînt neschimbate. Ceea ce se schimbă va fi probabilitatea asociată fiecăruia dintre aceste evenimente. Avem astfel cu acest model al extracţiilor repetate dependente un exemplu a ceea ce se numeşte proces aleator care constituie astăzi obiectul central al preocupărilor

teoriei

probabilităţilor.

Urmînd exemplul lui Kolmogorov, orice expunere sistematică a teoriei probabilităţilor trebuie să înceapă cu o teorie a evenimentelor cărora urmează să li se atribuie probabilităţi. În general, sistemul de evenimente asociat unei experienţe are următoarele proprietăţi: dacă A şi B sînt evenimente ale cîmpului, atunci „A şi B", ,,A sau B" -sînt şi ele evenimente ale cîmpului. În cazurile cele mai obişnuite putem vorbi despre un eveniment total Q sau eveniment sigur şi, în acest caz, dacă A este un eveniment al sistemului, are sens evenimentul „non A" care aparţine de asemenea cîmpului. Un astfel de sistem este o algebră booleană." Dacă mulţimea evenimentelor sistemului este finită, această algebră booleană este izomorfă cu mulţimea părţilor unui sistem de puncte. Dacă mulţimea evenimentelor este infinită, acest izomorfism nu mai joacă un rol caracteristic. ln acest caz sîntem siliţi să restrîngem sistemele de evenimente la acelea constituite din părţi ale unei mulţimi de puncte, aşa cum a făcut- teoria acum clasică a probabilităţilor care face şi obiectul fundamental al cursului nostru. Cazul mai general al unui sistem de evenimente care constituie doar o algebră booleană sau chiar numai un sistem fără eveniment total şi fără eveniment complementar rămîne deocamdată de o parte din cadrul acestui curs, pînă cînd va căpăta o sistematizare mai completă şi aplicaţii mai numeroase, la care lucrează de pe acum numeroşi matematicieni. ·

CAPITOLUL I

CîMP FINIT DE EVENIMENTE. CîMP PROBABILIZAT Un cîmp de evenimente este finit dacă mulţimea evenimentelor este finită. Un astfel de cîmp conţine evident şi evenimentul sigur care constă în faptul producerii unuia oarecare dintre evenimentele cîmpului. El este o algebră booleană, deoarece complementarul fiecărui eveniment, constituit din celelalte evenimente disjuncte de acesta, aparţine de asemenea cînipului. Evenimentul imposibil este prin definiţie evenimentul complementar celui sigur. Un calcul simplu ne arată

cum se vede imediat, / ~ m. Numim Eh mulţimea evenimentelor elementare ţ. pentru care/ {ţ) = xh:

=

Eh

{ţ 1/(~)

= x,,}.

că

Este evident

LJEh=E h

= 1,2,

... , I.

Fiecare dintre mulţimile Eh are o probabilitate P (Eh); foarte adeseori vom întrebuinţa, pentru prescurtare, expresia: Ph ~ P (Eh) este probabilitatea valorii xh > în loc de eipresia exactă: este probabilitatea evenimentului pe care x = f (ţ) ia valoarea xh şi scriem ·

=

Ph= P{x

Xb}.

2. Valoarea medie

M [x] sau M [f (ţ)] sau încă de egalitatea x=M[f(ţ))

x a variabilei aleatoare = h

Proprietăţi

1°.

~ =

x

= f (ţ) sînt . date (I)

P1,xh.

I, 2, ..• , I

ale valorii medii:

Dacă /(ţ)

= a este

o

constantă,

M

[/(ţ)]

avem, potrivit

definiţiei,

= a,

deoarece probabilitatea valorii unice a este I. 2°. O dată cu / (ţ) şi af (ţ) este o variabilă aleatoare ale ax 2 , ••• , axm au respectiv probabilităţile

= P(E.J,

P1

P2

= P(EJ,

.. . , Pm

cărei

valori ax1 >

= P(Em).

Prin urmare, M [af {ţ))

=

h

=

E

1, 2, ... , m

Phaxh ·

= a h = 1,E2, ... , mPhxh =

aM [/(ţ)).

CtMP FINIT DE EVENIMENTE. CtMP PROBABILIZAT

19

=f

3°. Valoarea medie a sumei a două variabile aleatoare x este suma valorilor medii:

M [/(~)

+ g (ţ)] = M [/{~)] + M

=

{ţ 1/(~)

Variabila aleatoare h (ţ) nimente incompatibile sînt:

Fb

= xh},

=f

{ţ)

+ g (~)

=

g {ţ)

F1; G1 , G2,

=

1, 2, ..• , I,

k

=

1, 2, .. . , m.

••• ,

Gm

determină desfacerea· ale cărei eve-

h, k = 1, 2, ... ' m}.

+ g va fi

Valoarea medie a variabilei /

. )'xhP [Fh ,f;;t

••• ,

h

n G,, .= {~ 1/(ţ) = xh' g (~) = Yk' M [f + g]

y

[g(ţ)].

Pentru demonstrarea acestei egalităţi, notăm cu F 1 , F 2 , desfacerile corespunzătoare variabilelor f (ţ), g (~): Fh

(ţ),

= )' P [Fh n Gk] (xh+ Yk) = ti

n Gk] + )'ykP(Fb n Gk) = E xbEP(Fh n Gk) + Ţ,i b

k

+ ~Yk ¼P(Fh n G1e) = ~ Xb P(Fb) + ~y1,P (Gk)

. M [f] + M.[g],

deoarece

~P(Fh

n G1,) = p (Fb n cy Gk)) = p (Fb),

~p (Fb

n Gk) = p «y Fb) n Gk) = p (G1,). 3. Momente

reală

O dată cu x = f (ţ), este o variabilă aleatoare şi g (x), unde g este o funcţie oarecare de x; g (x) ia valoareag (xb) pe mulţimea Eh, deci cu probabilitatea Ph. Valoarea medie a acestei variabile aleatoare (2)

momentul g al variabilei aleatoare x = f {ţ). dacă g (x) = xn, cu n întreg oarecare, avem momentul de ordinul n al variabilei x

se

numeşte

în particular,

Mn [ X] Dacă g

(x)

=

Ix

in

=

h

=

E

Ph

1, 2, ... , l

X

h•

(3)

avem momentul absolut de ordinul n al variabilei x: (4)

20

TEORIA PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

Afară de momentul de ordinul întîi M 1 [x] = M [x], care este identic cu valoarea medie a aceleiaşi variabile aleatoare, deosebit de semnificativ este momentul de ordinul al doilea

M 2 [x]

=

~

=

ln general, dacă L

sup h=l, 2, ... , l

(5)

P1,xi.

= I, 2,

h

... , I

I x1, I, avem (6)

4. Funcpa Ea

caracteristică.

Funcţia caracteristică a variabilei aţe, prin urmare, expresia

x

Funcpa generatoare

= f(~) este, prin definiţie, cp (-r) = M[ei-r FW]. (7)

Proprietăţi

1°. 2°. 3°. legate de

= 1. I q> {-r) I ~ 1. q> (O)

q> {-r) este o funcţie analitică de -r ale cărei derivate, pentru -r momentele de ordinul respectiv prin egalităţile:

d" q,(-r)) ( d-r" -r q> () Ţ

=

=

O, sînt (8)

m

~

"=

rM

=O

=

.t...J

.

O, 1, • • • ,

i"M,,

,,

(9)

--Ţ.

11 !

00

Ţinînd seamă de (6), seria din membrul al doilea este absolut convergentă pentru orice -r. 4°. cp (-r) este o funcJie de tip pozitiv. ln adevăr, din (7), rezultă că a 1, a 2, •••, aN fiind N valori complexe oarecare şi -r1, -r2, ••. , -rN fiind Nvalori reale, este realizată următoarea inegalitate caracteristică a funcţiilor de tip pozitiv:

h, k

=

E

ahakq> (-r1,--rk)

=

l, 2, ... ,N

~

h, "'7;:"';

a„ a1eP;ix;-rh e-;x;-rk = (10)

Exemplu. Cîmpul de probabilităţi constituit de extracţia bilelor unei urne dintre care a sînt albe şi b negre. Evenimentele elementare au, toate, probabilitatea a : b • Evenimentul bilă albă are probabilitatea p

q Probabilitatea .

= _h _ • a+b

= _a_ ; evenimentul a+b

bilă neagră are

21

CTMP FINIT DE EVENIMENTE. CIMP PROBABILIZAT

este

Variabila aleatoare cum

definită după

asociată acestui urmează:

f (~) .

={

şi

cîmp

desfacerii în bile albe

şi

negre

1 dacă ţ este bilă albă, O dacă ţ este bilă neagră.

Avem imediat

= p,

M [/(~)]

M2 [/(ţ)]

= p;

de unde

M2[/]-(M[f])2

= p-p2 = pq,

= pei" + q = l + p (ei" -1). Func/ia generatoare a variabilei x = f (~) este prin definiţie qr (-r) = q>(-r)

"'(-r)

M [e~( ~], deci

= I:; P; e"i", j

variabilă reală. Proprietăţile funcţiei generatoare se deduc din acelea ale caracteristice, ţinînd seamă că cf, (-r) q> (-i-r). 4. Cunoaşterea momentelor de diferite ordine serveşte la evaluarea repartiţiei valorilor variabilei x f (ţ) în cîmpul dat. Aceasta se pune în evidenţă cu ajutorul următoarei importante inegalităţi: Inegalitatea generalizată a lui Cebfşev. Fie x f(~) o variabilă aleatoare; pentru orice număr real pozitiv şi orice e: O, avem

-r fiind

=

funcţiei

=

=

>

p (IX

I:.> e:) ~

Mn [lxl] •

(11)

e"

Prin

definiţie,

Mn [IX I]

-h

= l , ~... ,l I Xb I" P (Eh) :.> x'R e;I Xb I" P(E1,) :.> 1

> e:" 1xb1~e I:; P (Eb) = e:" P ( lxb•~e U Eb) = e:" P ( I x 1:.> e:), de unde rezultă imediat inegalitatea Din (11) se obţine

generalizată

Cebîşev.

a lui

p ( I X I < e:) ~ I _ Mn (I X

I) ,

(12)

e" ţinînd seamă că

p ( I X I < e:)

+ p ( I X I :.> e:) =

I.

5. Variabila abatere că

Vari~bila aleatoare y M[y] = O. Abaterea medie

=f

~ pătratică

(;)- Mf (;) se

µ este µ2

definită

=

M [y2].

numeşte

abatere. Este evident

de egalitatea (13)

22

TEORIA PROBABILITATILOR

Din

ŞI APLICAŢII

această definiţie rezultă

µ2

= M2 f/(ţ)]-(M[f(ţ)]) • 2

în adevăr,

=

µ 2 = M2if-M1 [fj) = M[if-M1 [f]) 2 ] = M [f2-2fM1 [f]2] + [M1 [1]1 2 = M 2 [f]-(M [/])2•

Dispersia variabilei x = f(ţ) este, prin definiţie, µ 2• Justificarea acestei denumiri se obţine folosind inegalitatea lui Cebîşev aplicată variabilei abatere pentru n = 2. Relaţia (12) devine, în acest caz, P Dacă luăm

(Ix - M [x] I < e:) > I -

µ e:2

=

k µ,

pe µ ca abatere tip P( I x-M [x]

Pentru k

= 3,

şi

punem e:

2

I< kµ) ~ 1- k12

(14)

•

relaţia

(14)

capătă

forma

•

probabilitatea ca

-3µ 8


1 (16)

> 1. Inegalitatea

Fie acum xh = I ah Im , m orice sistem de valori xh; devine

precedentă, adevărată

pentru (17)

pentru orice sistem de valori ah şi orice numere pozitive m Notînd cu

valoarea medie

absolută

şi

k mai mari decît unu.

de ordinul m, inegalitatea (17) se va scrie (k

de unde, o primă teoremă: Valoarea medie de ordinul m, Em, ca toare pentru m > 1. Dacă punem U;

= m;

>

(18)

1),

funcţie

I

de m, este monoton

crescă­

m-1

1IJ

I X; I '

'V

=

m;

m

,

inegalitatea (16) devine l

. 1

I I

. I

J

m-1

m

(E U·'V·)~ (E u~n);;; IE

'IJ.m-t )-;;;- • • I

•

1

/

Luînd obţinem

E wj t7 ~ IE wf); (E t; p- ' 13

n

I

• 1

.

(19)

I

unde

p=r1.m,

111 q--~ t-'-, m-1

deci

p>r1.,

q> ~-

Vom presupune

...p +-~q = 1. (t

(20)

în acest caz, vom, pune:

wr = m;xf;

17 = m;yJ; m; > O, X;> o,

Yi

> o.

24

TEORIA

Relaţiile

şi

(19)

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

(20) ne dau a

L,m;xf Y7 < {L, m; xf)P l i

;

Această

luînd oe

=

1,

13

(E m;yJ) q •

(21)

J

inegalitate generalizează inegalitatea lui Schwartz, care se = 1, p = 2, q = 2:

obţine

~

L, m;X;Y; < (B m; xj)

I

2

I

(Bm;~)

2 -.

(22)

j

Trecerea de Ia (21) sau (22) la inegalităţile care se obţin înlocuind sumele prin integrale nu prezintă nici o greutate şi atunci cînd ne vom ocupa de aceste inegalităţi nu vom reveni asupra demonstraţiilor.

§ 4. DESFACERI ŞI VARIABILE ALEATOARE INDEPENDENTE

1.

Generalităţi

Dependenţa şi independenţa între variabilele aleatoare sînt noţiuni tipic probabiliste. Ele nu privesc înseşi valorile acestor variabile; ci probabilitatea evenimentelor cărora le corespund aceste valori. Acest fapt duce la corespondenţa dintre independenţa a două variabile aleatoare şi independenţa desfacerilor pe care ele le determină.

2. Două

Independenţa

evenimente A

şi

a

două

sau a mai multor desfaceri

B sînt independente, dacă (v. § 2, formula (7)) P(A nB)

Fiecare dintre aceste evenimente desfaceri

= P(A)P(B).

determină

(I)

o desfacere a lui E. Avem astfel cele

două

A, A' B, B'. Aşa

cum am

arătat

în § 2, avem pe P(A nB') P(A' nB) P (A' B')

n

lîngă

(1)

şi egalităţile

= P(A)P(B'), = P(A')P(B),

(2)

= P (A') P(B'),

consecinţă a relaţiei (1). Să considerăm în acelaşi timp cite o variabilă x f punzătoare fiecăreia dintre cele două desfaceri şi definite

care sînt o

=

x y

= x1 = y1

dacă

~

dacă

~

E A; E B;

(~) şi y astfel:

x

= x2

dacă

~

y

= y2

dacă

~

= g (~), cores-

E A'. EB'.

CIMP FINIT DE EVENIMENTe. CIMP PROBABILIZAT

2&

Probabilitatea ca y = y 1 dacă x = x 1 este, pe baza egalităţii (1), identică cu PA (B)=P(B). în acelaşi mod găsim că probabilitatea ca y = y 1, dacă x = x 2„ este PA,(B)=P (B'), pe baza celei de-a doua dintre egalităţile (2). Prin urmare, valorile lui y sînt independente de valorile lui x. Cu ajutorul primei şi ultimei dintre egalităţile (2) se vede că şi valorile variabilei x sînt · independente de valorile variabilei y. Prin urmare, în aceste condiţii cele două. variabile sînt independente. Vom spune, în acelaşi timp, că cele două desfaceri sînt independente. . Luînd acest caz particular ca model vom putea defini independenţa a două variabile aleatoare oarecare, definite pe acelaşi cimp finit de probabilitate {E, 8JC, P}. Definiţie. Două variabile aleatoare x = f (~), y = g (~), care determină desfacerile F 1 , F2 , sînt independente P(F;

Ca o

F;

••• ,

dacă

n Gh) =

lămurire

P(F;)P(Gh), j = 1, 2, ... , I; h = I, 2, ... , m.

a acestei Px=x.(Y I

definiţii

= Yh)

vom observa

că

din

egalităţile

(3)

(3) rezultă

= P(y = Yh) = P(G1,).

De asemenea, Py=yh (x

x;)

= P(x =

orice h

=

Egalităţile (3) caracterizează, independenţa celor două desfaceri.

o

pentru orice j

=

=

1, 2, ... , l

şi

x;)

=

P (F;),

I, 2, ... , m. dată cu independenţa variabilelor f

şi

g„

Vom introduce acum o definiţie a independenţei totale a n desfaceri şi implicit a oricărui sistem de variabile care le corespund. Definiţie. Desfacerile D1, D2, ... , Dn ale evenimentului E, unde Di este desfacerea

El, EJ, ... , E{1 sînt total independente între ele

P(ElinEf2

j

=

I, 2, ... , n,

dacă

n ... nEZn) =P(Et)P(Et)

... P(Ekn),

(4}

pentru

k; = I, 2, ... , l;;

j = I, 2, ... , n.

3. Sisteme de n variabile aleatoare independente în totalitatea lor Definiţie. Un sistem de n variabile aleatorii x; = f; (~) (j = I, 2, ... , m) definite pe acelaşi punct finit de probabilitate, este independent în totalitatea sa dacâ cele n desfaceri corespunzătoare sînt independente.

TEORIA PROBABILITATILOR ŞI APLICAŢII

·26 Această condiţie

se mai poate scrie,

dacă notăm

cu

X;·, 1

x; 2 ,

••• ,

x;

l;

cele /1-

-valori pe care le ia X;: P(X1

=

Xtk 1 ,

X2

=

X2.~ 2

, , • •,

=

Xnk,,);

... P (x,, -şi

= k; =

X,,

Xnk)

= p (X1 =

X1k 1)

p

(X2

I, 2, ... , n;j = I, 2, ... , n.

=

X2k 2)

•• ,

(5)

Din sistemul (4) se poate trage o consecinţă care este echivalentă cu (4) are un aspect mai general decît el. Fie Ai reuniunea unui număr oarecare de elemente ale desfacerii D;: Ai

_pentru orice j. Sistemul (4) ne

dă

= Et1 LJ Ej LJ ... LJ E(, 2

/

atunci, prin urmare,

E

k;=l1•'2•··•'; j

=

P(Et ...

m>= n

1, 2, . , .• ,,,

•de unde

p (A 1

n A n ,,, n A 2

11

)

=

p (A 1) p (A2)

,

~ , p (A"),

(6)

oricare ar fi reuniunile A 1 , A 2, ••• , A", egalitate care cuprinde la rîndul ei pe (4) :şi poate fi luată ca definiţie pentru independenţa desfacerilor D1, D2 , ... , D" sau pentru independenţa variabilelor respective. Ca exemplu, vom cpnsidera un sistem de n urne U1, U2, ... , U", avînd fiecare .aceeaşi compoziţie: a 1 bile. de culoarea I, a 2 ~ile de culoarea 2, ... , a,,, bile de culoarea m, în total N = a 1 + a 2 + ... +am bile. Evenimentele elementare ale -cîmpului {E, 8Jf, P} format cu acest sistem de urne sînt de forma a.1, a.2, ... , a.11 , unde a.1 este o bilă oarecare din prima urnă etc. Dacă notăm cu EJ evenimentul: bila de culoarea j din urna U1, evenimentele importante ale cîmpului format de cele n urne sînt: l E2j2, E ji,

.

... ,

E"in•

·vom avea P(E!11 , EŢ2 , ... , E'/,,) = P (E;) ... P (Ef). Succesiunea E,! 1 , EJ2 , ... ... E'/11 nu trebuie considerată ca intersecţie, ci ca o alăturare. Evenimentele l " numai· componente a le evemmentu · 1m· E;11 , E ;22 , ••• , E"; ,, • Pentru . E ii, ... , En ; ,, smt a face, de exemplu, ca E] 1 , care este un eveniment al urnei U1, să figureze şi ca eveniment al cîmpului {E, 8/C, P} îl vom completa după cum urmează şi ·vom nota

E·-1i1

= ElÎl

E2E3

·.unde Ei este evenime.ntul total al urnei Ui .

•••

E"

'

CIMP FINIT DE EVENIMENTE. CIMP PROBABILIZAT

27

Ef

In general construim după acelaşi procedeu evenimentele e corespunzînd urnei U1 ca evenimente ale cîmpului {E, 8JC, P} al celor n urne. Este evident că -1

-2

E;i nE;2

n ... nE;n = E;1 E;2 .•. E;n, -n

1

2

n

prin urmare -1

P(E;i

-2 -n n E;s n ... n E;n) = P (E; -1

-2n

-

1)

P (E; 2) .

~.

P(E;n)

pentru orice

i1, i2, ... , in = 1, 2, ... , m. La această. egalitate corespunde afirmaţia că urnele sînt independente. Cu ajutorul egalităţilor (6) se verifică imediat următoarea: Propoziţie._ Dacă cele n variabile x; (j = 1, 2, ... , n) sînt independente în totalitatea lor, variabilele oricărui sistem de / (/ < n) dintre aceste variabile sînt independente în totalitatea lor. . Pentru demonstraţie, lăsăm arbitrare mulţimile A 1, corespmµ:ătoare grupului de I variabile care ne interesează, iar pentru celelalte facem A 1 = E. In particular, n variabile independente fn totalitatea lor sfnt independente două cite două. Reciproca acestei propoziţii nu este valabilă: n variabile independente două cîte două nu sînt necesar independente în totalitatea lor. Iată un exemplu care confirmă această afirmaţie. Fie

(j = O, I, 2, ... , 8) . .Fie acum A 1 = {e 0 , e1 , e 2};

A2

=

{e0 , e3 , e4}; A 3

=

{e0 , e5 , e0}; A 4 = {e0 , e7 , e8}.

·Avem evident P~J=P~J=PYJ~PYJ=!. 3

Evenimentele A1 , A2 , A3 , A 4 sînt independente

P(A; j

două

cite

două,

=

l, •

n Ah) = P (A;) P (Ah) = ¼ =

I, 2, 3, 4, .i ~ h.

ln acelaşi timp, însă,

P(A1nA2nAs)

= P(eo) =

¾~P(AJP(AJP(As)

Prin urmare, nu sînt independente cîte trei, oricum le-am lua. Luîndu-le toate patru, obţinem: P (A1

n A2 n As n A4) = P (eo) =

în vreme ce P(AJP(AJP(A 3)P(AJ

=

~ 3

1

-,

9

deoarece

28

TEORIA

4.

PROBABILITAŢILOR ŞI

Dependenţă şi

APLICATU

valoare medie

Sînt împrejurări în care nu interesează decit independenţa două cite două pentru · variabilele unui sistem. Ca un exemplu avem propoziţia care urmează. · P r o p o z i ţi e. Dacă variabilele x 1 = / 1 (~), x 2 = / 2 (~), ... , Xn = fn (ţ) sînt independente

două

M 2 [x1

În adevăr

.

cite

două,

avem egalitatea

+ x 2 + ... + x,,] = E

M 2 [x1

i

Li

+2E M .

de unde folosind independenţa obţinem egalitatea enunţată. Proprietăţi

. M [(x1

M [x}] două

cite

[x;] M [x;],

i'-yk P(Gk)) = l

~

J

=

M [x] M [y].

Prin urmare, teorema, este demonstrată. Folosind această teoremă, propoziţia anterioară şi proprietatea II se demonstrează imediat prin recurenţă. Teoremă. Valoarea medie a unui produs de variabile aleatoare independente in totalitatea lor, ale unui cîmp, este produsul valorilor medii. Să presupunem, pentru aceasta, că teorema este adevărată pentru n variabile independente şi să arătăm că este valabilă pentru n 1 variabile independente. în adevăr, dacă / 1 , / 2 , ... ,fn, fn+ 1 sînt n 1 variabile independente în totalitatea lor, variabilele Io = / 1 , / 2 , ••• ,fn şi /,,+ 1 sînt independente. între ele, deci

+

M[fi/2 • • -fn+1]

Cum avem

însă,

prin

ipoteză,

+

= Mf/i/2 •• ,fn] M[/n+t],

teorema este

adevărată

pentru n variabile independente,

=2

valabilă

deci Teorema fiind

valabilă

pentru n

va fi

pentru orice n.

§ 5. VARIABILE ALEATOARE DEPENDENTE.

1. Cor~lapa a Definiţie. Se numeşte corela/ie a probabilitate {E, ăJC, P,} valoarea medie

două

două

CORELAŢIE

variabile

variabile f, g definite pe cimpul de

y= M[(f-M[.f]) (g-M[g])].

(1)

Atunci vom avea _

y şi

=

MUg]-M[f] M[g].

(2)

Expresia (2) prezintă corelaţia ca diferenţă între valoarea medie a produsului produsul valorilor medii ale celor două variabile. Rezultă imediat următoarele două propoziţii: P r o p o zi ţ i a 1. Corelaţia a două variabile independente este nulă. 1

30

TEORIA PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

P r o p o z i ţ i a 2. Condiţia necorelate (y = O) este ca

necesară şi suficientă

M [fg]

=

ca

două

variabile

să

fie

M [f] M [g].

Următorul exemplu ne va arăta că există variabile necorelate care nu sint independente. Exemplu. Sistemul de evenimente E este format din patru puncte ale unui plan, reprezentate prin coordonatele lor carteziene, cu probabilităţile respective p 1, p 2, p 3, p 4 , legate prin relaţiile

> O, j =

P;

I, 2, 3, 4 ; P1

+ P2 + Ps + p4 =

I.

Variabilele aleatoare sînt coordonatele x şi y; x are valorile O, 4 cu prop 1 + p 2 + p 3 + p 4 , iar y are valorile 1, 2, k cu probabi+ P2 + Pa:

babilităţile respective lităţile respective p 1

M [x]

In

=

4p4 M [y]

= p 1 + p 4 + 2p 2 + kp3 •

acelaşi timp,

= 1) = p4 ; P (x = P (x = 4, y = 4) = O.

P (x = 4, y

Prin urmare, M [xy]

=

4p4 •

Este suficient ca p 2 + (k-1) p8 variabilele

să

=

2)

=

=

+ p4 + 2p2 + kPs•

O, deci k

=

l-

P

2

,

pentru a avea y

In acelaşi timp, variabilele x şi y nu sînt independente.

P(x = O,_y şi,

=

O) = P1

=

O,

Pa

fie necorelate.

P (x

O;

Urmează

Y = 4p4-4p4 P1

adică

4, y

In

adevăr,

= l) = Pi,

+ P2 + Pa ; P (y =

1)

= P1 + p4

în general,

2. Coeficientul de Definiţie.

Coeficientul de

corelaţie

corelaţie

a variabile/or f, g este raportul

M [(f-M [/1) (g-M [g])]

'Y ~ !J./ IJ.g

r = ---------=-.;~ - ------ • 112 (M2[/ - M[f]) M2[g- M[g]1)

Teoremă.

Pentru orice sistem de

Observăm că

două

variabile avem r 2 ~1.

forma

M [oe (f - M [f])

+ ~ (g -

M [g])]2 =

µ.7 oc2 + 2yoc~ + µ.! ~2,

{3)

CJMP FINIT DE EVENIMENTE. CIMP PROB,\BILIZ.-\T

este

pozitivă;

prin urmare,

•

deci ,2

Cînd ,. = O, Dacă

r2

3l

corelaţia . este nulă.

=

1, luînd oe

=

=

~

-r µ 8 ,

•

1

ecuaţiile (16) devin

~ pkheiOh = ei(oo;+Ok).

De aici

rezultă

~

pkh COS

~

pkh

6h

=

COS

sin 0h

=

sin (Ct>;

(Ct>;

+ 0k), + 6k),~

de unde deducem imediat

E pkh cos (6b-6k k

Ct>;) .

=

1,

pentru fiecare h pentru care p kb ~ O. Fie acum un ciclu posibil de evenimente Ek, Eh1 , Eha , ... ,Eh s-1 , E1t, presupunînd că hi, h 2 , ••• , hs-i sînt distincte între ele şi distincte de k. Ciclul este posibil dacă pkh ~ O, ph h ~ O, p 1, h ~- O, .•• , ph k ~ O. In acest caz, .sînt ., 1 1 2 23 s . aplicabile ecuaţiile 6h1 - 6 k -

Ct>;

= 2N1e1h1 ~;

• · • 6k -

8h2-8h1 -

8hs-1 _- Ct>;

=

Ct>;

2Nhs-1 k 7t •

=

2Nh1, h2 7t;

(18)

39

CIMP FINIT" DE EVENIMENTE. CIMP PROBABILIZAT

Adunînd membru cu membru aceste egalităţi, obţinem: s fiind elementele matricei p = 1t; (j = 1, 2, ... , m) este invariant, deci stabil, timp este lanţul spre care tind asimptotic toate celelalte. lanţul

-4-2029

şi

în

acelaşi

TEORÎA PROBABILITAŢILOR ŞI APf:.ICAŢII

50

b)

Există

o

singură rădăcină simplă egală 2 16

fiţ. această rădăcină ).. = e multe or+,

relaţia

Pi">

=

în modul cu unu, afară de unu;. n . Potrivit formulei (30) folosită de mai

=

cu 6

k

(9) devine

1 1 E; Pj >[- Dh; (I) + ein° - -. Dh; (ei + H;h (n)] , D' (1) D' (e' ) 0

6 )

6-

unde H;h (n) ~ O cînd n ~ oc. Oricare dintre lanţuri este deci asimptotic unui

7ti;•> =

Ei

p~o) [ __1_

D' (1)

Dh,· (1)

+ ein6

lanţ

periodic

corespunzător

_ l__1a-· Dh,· (eiO)]' D' (e )

care de asemenea aparţine familiei, cum se verifică imediat. Dacă P~I 0 > verifică . . sistemul evident compatibil, 0 > Dh; (eiO) = O,

EpJ j

lanţul

este asimptotic

lanţului

constant ale _ _l_ D! (1)

E

cărui probabilităţi

P~o)

j

absolute sînt egale cu

Dh· (I). I

I

în general, probabilităţile elementare P;k ale unui lanţ variabil nu sînt distribuite fără nici o regulă. Variaţia cu n a acestor probabilităţi urmează aqumite legi şi, în general, are o anumită uniformitate. Cazul cel mai important şi cu relaţii mai strînse cu aplicaţiile este acela în care există o periodicitate: P'!1k

= pbT+n '

unde T este perioada O-

rt.

există

număr

>0

pozitiv, pentru care

(10}

fndep/inită, lanţul

lim I P;k (n) -Phk (n) ➔

un

şi

k. (10) este

pentru orice m, oricare ar fi j

T.

oo

I = 9,

este ergodic în sensul

că

(11)

cu j, h, k oarecare. § 9. REACŢII ÎN LANŢ

I•

Generalităţi

Numeroase reacţii chimice în lanţ ca şi unele procese fizice sau biologice purtînd ·asupra unui sistem de particule elementare ~înt susceptibile de interpretare prin Janţuri Markov, care se numesc /an/uri sau procese stochastice ramificate.

CIMP FINIT DE EVENIMENTE. CIMP. PROBABILIZAT

51

Cel clintii exemplu este dat de reacţia fotochimică în lanţ care duce la formarea acidului clorhidric din moleculele izolate de hidrogen şi clor. Această reacţie în lanţ, sub influenţa unei cuante de lumină, are forma următoare:

CI 2 + h'J =CI+ CI, CI + H 2 = H + HCI, H + Cl 2 = CI+ HCI, CI + H 2 = H -1- HCI.

' (I)

Sub influenţa unei cuante de lumină, molecula de CI se desface în doi atomi de. CI: fiecare dintre aceşti atomi, în prezenţa moleculei de H, o desface, eliberează un atom de H şi constituie o moleculă de HCI: atomul de hidrogen eliberat, în prezenţa unei molecule de CI, o desface, eliberează un atom de CI şi constituie o moleculă de HCI, şi aşa mai departe. Procesul poate fi considerat teoretic infinit. El se întrerupe numai cînd atomul de CI sau de H întîlneşte impurităţi sau loveşte pereţii vasului, unde condiţiile sînt alterate. Evenimentele al căror lanţ îl avem în consideraţie aici sînt apariţia atomilor de CI şi H şi a moleculei de HCI. Le vom nota e1, e2 , ea. Celelalte elemente ale reacţiilor constituie numai ocazii sau circumstanţe ale procesului chimic. Succesiunea de evenimente descrisă la (1) .se mai poate scrie, în aceste notaţii e1 -+ e2 e2 -+ e1 e1 .... e2

+ ea

+ ea

(2)

+ ea

Vom presupune că reacţiile elementare se petrec într-un .interval de timp care nu variază· de-a lungul procesului şi vom lua acest interval dr.ept unitate de măsură a timpului. Observăm că numeroase reacţii chimice în lanţ trebuie considerate ca lanţuri omogene: durata reacţiei este independentă de momentul în care începe. Să considerăm o reacţie în lanţ, purtînd asupra unui număr r de tipuri de elemente. Evenimentele care constituie obiecte ale cercetării sînt: 1°. Cele pe care le vom nota vectorial (a) = (a1 , a 2, ••• , ar) şi ne arată că avem în prezenţă a 1 particule de speţa întîi, a 2 particule de speţa a doua, ... , a, particule de speţa r. 2°. Reacţiile, sau sistemele de reacţii, care se vor nota cu Eca>, (l) şi care arată procesul sau mulţimea de procese care în intervalul / duc de la sistemul (a) la sistemul (b). Reacţiile elementare ale procesului sînt în număr finit, şi, în general, de tipul (2): de la o particulă se trece la un sistem. De aceea, procesele respective se numesc ramificate. Întreg procesull este o suprapunere de reacţii elementare E;, (1), concomitente sau succesive. Caracterul propriu al acestor reacţii este dat de independenţa reacţiilor elementare între ele, fie că sînt concomitente, fie că sînt succesive.·

TEORIA PROBABILlTATILOR ŞI· .A~iI.CAT.11

52 Dacă

E;. (m>•I (I) sînt

reacţiile

elementare ireductibile

P [ E;. ; (I)]

vom avea P;, Cb> (1) = O pentru (b) :;c w;

•~a

.

=

şi dacă notăm

(3)

P;. k (1, x) I ~ 1 pentru 1X1 I ; I X2 1; ..., I Xr I , (/, x)] .,

Deci, notînd cu tJ,(l> (x) iterata de ordinul (/) a funcţiei ~ (x) rezultă (/, x)

= tJ, (x).

Primul exemplu:

~ (x)

= ax + b

(ad - bc

·

ex+ d

> O).

lterata de rang / este

= a1x + b1 ,

tJ,(l) (x) .

C/X

+ d1

unde

. I'I c,a,

b, d,

li = .li a C

b 1'1 '· d.

rădăcinile ecuaţiei

Potrivit cu 3°,

D (A)

=I

a-;

b d-).

A

ll

=0

sînt reale, iar dacă discriminantul ecuaţiei a cărui valoare este (b de zero, cele două rădăcini sînt distincte. Teorema lui Perron ne dă

an=

n

C

--).1

b+c

b "l.n + --1\2;

C = - "l.n I\I b+c

Cn

bn

b+c C

=

_b_ ).j -

_b_

b+c

b+c

b

"l.n

·n

C

+ c)2 este diferit A2, n

dn = - - A r + ·--A2. b+c b+c

- - 1\2 ;

b+c

anX

Dezvoltînd în serie, în- raport cu x, funcţia (n, x)

CnX

+ bn + dn

- • gas1m

c">..j-b~

P0 ( n ) = - - b"J.j- c~

Rezultă, fără

greutate,

că

~

1,

O, avem ). 1 =

).2

P0 (n) Dacă

b+c

=

a+b=a-c.

pentru n ~

oo

P; (n) şi.

~

valoarea

O

U> I).

comună

pe care o vom numi ). este

I

_5;·

CIMP FINIT DE EVENIMENTE. CIMP PROBABILIZAT

în acest caz, an

Dacă

. (n

+ 1) ).n -

nd). n-1 ; bn = nb )."- 1; dn = (n + l}An -na).n-l,

presupunem ad - he an Cn

=n+ l-

=

=

nd;

1,

b,,

ne; .

rezultă

=

).1 -

). 2

nb;

dn -:--

n + 1 ..:,_ na;

=

c,,

=

nc).n-l;

1. Deci, P. (n) - _ _nb __ 0

-

(1-a)n

+1

Cind n-+ oo, P0 (n) -+ _b_ =•l. ·

1-a.

Al dtJi/ea exemplu. Construim- funcţia toare procesului (2). Este evident că

vectorială

generatoare,

corespunză--

= q1x 1 + p 1x 2x3, «1>2 (1; xl, x2, x3) = q~2 + p-v..) dacă punem:

1.

TEORIA PROBABILITAŢILOR ŞI APLICATil

64 Pentru cazul a

·Cu

ecuaţiile

(a1, a 2, O),

devin:

condiţiile limită

Pi• _găsim

lele

=

(a)

(I, t)

( O (a) l (a)

=\

=,= (I, O, O) =

• {l, O, O) ,

(I t) __ { O (a)=/= (O, I, O) ' 1 (a) = {O, 1, O)

p 2

' (a)

pentru acestea P 1 , (a) (s, t)

=

O pentru (a) -:;z!:. (I, O, O); P 1 ,

P 2 , Ca) (s, t)

=

Opentru (a)

=I= (O,

1

(s, t)

1, O); P 2 , 2 (s, t)

=

=

_(t

e

-r

e

1

r1(11)du

(16)

Js r2(u)du.

Cu ajutorul acestor valori se pot construi, din aproape în aproape, integra(15) pentru orice (a).

ecuaţiilor

două funcţii

4. Cele

vectoriale generatoare

şi relaţiile

lor

ln cazul procesului continuu, pe lingă funcţia vectorială generatoare I

= E Pj, (a) (s, t) xCa) + P;, ro

'1.>; (s, tJ x) 0,1, ...•

E

(s, t) Xr+1 ~=

00

P;, (a1,,,,

ar)

(s, t) xj• ~

2

X:.r + P;

• • •

ai• ... , ar

(s, t) Xr+l

(17)

(j= 1,.' .. ,r) 'r+l

introducem

şi funcţia asociată

;(t; x)

=

X,+1

vitezelor de

variaţie

= EP;, (a) (t) Xa + P;,

0>

a

C'f>r+t (t; x)

Deoarece potrivit cu (1) pentru (a)

=I= j,

rezultă că seriile l,

J X1 I , I X2 I , • • •, I x, I
jhjh+l (p;hl, Pjh2'. • •. ,

(jh ,j1,+i

unde

Cfl;k (x 1,

x 2, x 3 ,

... , Xm)

sînt 0

funcţii

=

(I)

P;,,m)

1, 2, ... , m),

de m argumente pentru

< X1, X2, ••• , Xm -)

h= I, 2, .. , k

Ţinînd seamă de omogenitate, putem înlocui în expresia din membrul al doilea fiecare mjn> prin "A. m!n> , oricare ar fi A :;r:- O. Dacă punem în particular

A= i

E

= I,

( + I)

P/'

găsim

mln> ,

2, ... , k

fi (

=

"" L-J

(n)

(n)

/; P 1 • P2

f

(P(n) P(,J)

l

h=l,2, .. ,k

(11))

, • • • , Pk

I ,

2

p(n))

, ••• , k

_ ( 11 - Cf'lj Pi

11

'

P2 ' • • ·,

p'') '. k ' ,

h

egalitate care arată că lanţul construit este: simplu şi cu legături complete. Generalitatea funcţiilor fii (x 1, x 2 , ••• , xk) ne arată că modelul prezentat anterior are el însuşi un mare grad de generalitate.

3.

Lanţuri

cu

legături

complete de ordinul al doilea

O schemă simplă a lui A. Markov ne arată că, cel puţin în anumite împrejurări, dacă funcţiile fi; (x 1 , x 2 , ••• , xk) nu sînt omogene, se obţine un lanţ cu legături complete de ordinul al doilea. Fie U1 urna iniţială conţinînd o bilă albă şi una neagră. Se efectuează o extracţie din urnă şi se înlocuieşte bila obţinută prin altele două de aceeaşi 6-2029

PROBABILITAŢILOR ŞI

TEORIA

82

APLICAŢII

· culoare. Obţinem astfel urna U2• Continuăm după aceeaşţ regulă. Obţinem o succesiune aleatoare de urne de tipul (1), fără omogenitatea funcţiilor fi;. • Să notăm prin m1 şi m 2, respectiv numărul de bile albe şi de l;)lle negre,. după a n-a extracţie. Dacă mf şi m~ reprezintă numărul bilelor albe .şi negre după extracţia care urmează, vom avea:

dacă extracţia precedentă

nu a dat o

bilă albă, şi

în cazul contrar. Să presupunem· că extracţiile de ordinul n şi (n + 1) au dat fiecare cîteo bilă albă. Dacă notăm cu a. şi ~ numărul de bile albe şi negre care existau în urnă înainte de a n-a extracţie vom avea:

p

=

ex .ex + ~ '

,

ex+ 1

''

p = ex + ~ + 1 ' p = ex

ex+ 2

+~ +2'

unde p, p', p" sînt probabilităţile de a extrage o bilă albă ·respectiv în a n-a„ a (n + 1)-a şi a (n + 2)-a extracţie. Dacă eliminăm pe a. şi ~ din aceste trei relaţii, rezultă:

"

=

p dacă extracţiile

de rang n

şi

n

2p' - pp' - p 1 +p'-2p;

+I

(I)

au dat respectiv o

bilă albă şi

una

neagră„

vom avea: ex P =ex+~'

care prin eliminarea lui a.

de rang n

ex+l

=

ex+(3+1'

şi ~ dă

p" dacă extracţiile

, P

şi

p'-pp' . = ---"-"-1 + p'-2p'

(II)

n + I au dat respectiv o

bilă neagră şi

una

albă„

p'

{III)

vom avea: ex

.

p=ex+(3' şi,

în

sfirşit, dacă

cele

ex p=--,

ex·+ (3

I

p

„

(X

= ex+~+1'

două extracţii

p

ot+l ex+f3+2'

p"'

"

P

=

ex

ex+ (3

caracterizează

+2 un

= pp' + P 2p-p'

au dat fiecare cite o

ex p'=---, ex+~+l

Relaţiile (I), (II), (III), (IV) multiplu de ordinul al doilea.

=

bilă neagră,

p'" = . lanţ

cu

va rezulta:-

. pp' 2p-p'

legături

(IV)

complete

sa

CIMP ·FINIT DE EVENIMENTE. CIMP PROBABILIZAT

4. Reprezentarea unui

lanţ

Markov multiplu ca

lanţ

simplu cu

legături

complete

Lanţurile Markov simple pot fi considerate ca lanţuri cu legături complete, anume cînd funcţiile fi; (pyi>, p~n,, ... ,pin>) se reduc la constante. . • Un lanţ multiplu de ordinul r relativ la evenimentul E 1 , E 2 , ••• , Ek este caracterizat prin probabilităţi fundamentale de trecere P1r, lr-i • ...• li• 1 (n - r, n-r+ 1, ..., n- l, n). Dacă notăm prescurtat:

şi

(n-r,n-r+ l, ... ,n-1, n)=1t~n>

P1r, 1r-i•···,1t•

şi dacă p 1 , p 2 , ••• , Pk sînt probabilităţile absolute ale evenimentelor relaţia funcţională corespunzătoare lanţului Markov multiplu pretată ca o relaţie a unui lanţ simplu cu legături complete.

atunci

Lanţ

5.

E 1 , E 2 , ••• , Ek, · poate fi inter-

variabil. Schema lui Polya

Dacă funcţiile fi; depind şi direct de n, lanţul se numeşte variabil. în această categorie se pot clasa schemele de contagiune ale lui Polya. Pentru realizarea acestei scheme, să considerătn o urnă cu oe bile albe şi ~ bi]e _negre. După fiecare extracţie se înlocuieşte bila scoasă din urnă prin 1 + 8 bile de aceeaşi culoare. Dacă procedăm astfel şi dacă primele n extracţii au dat k bile albe, urna va- conţine oe + k8 bile albe şi ~ + (n - k) 8 bile negre. Probabilitatea de a obţine o bilă albă va fi atunci

p,,

«

+ k8

= v + n8

(oe+~= y)

sau Pn =p+ky 1 + ny

. dacă notăm:

• 8 y=-.

a

p=-, V

V

Dacă extracţia de rang n a dat o bilă a]bă, să obţinem o bilă albă va fi:

de rang n + I

p: +

1

probabilitatea ca în

= a + (k + 1) 8 = p + (k + 1) y • v + (n +1)

8

1 + (n + l)y

Dacă bila extrasă a fost neagră, probabilitatea de a obţine I o bilă albă va fi: p" a + k8 _ p + ky n+ 1 = v + (n + 1) 8 l + (n + l)y

rang n

+

Dacă eliminăm

pe k, I

obţinem: _

./'(n)

(p ) _

Pn+1-J11 ,,

_

J"(n) (

Pn+1-J21

extracţia

n

y -l+(n+l)y

) _

1 + ny

+

Pn -1+(n+1)yPn•

1 + ny l+(n+l)yPn,

în extracţia de

Ş4

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICA;ŢII

-~----T_EORIA

Lanţul cu legături complete astfel definit este variabil şi de ordinul întîi. Să observăm că, dacă împingem calculul pînă la rangul 2, putem elimina ·pe n între relaţiile obţinute şi vom avea un lanţ cu legături complete constant, 'de

ordinul al doilea. lanţ

6. Alt model de

variabil

Modelul obţinut § 2, l, după o regulă de constituire de urne a lui Markov, de asemenea un lanţ variabil, şi anume un caz particular al celui precedent (8 = I). ln adevăr, în acest caz avem:

·reprezintă

p'

(X

P= n dacă

în

extracţia

în

extracţia

p

care

caracterizează

(X

,, _

-

Să

bilă albă, şi (X

+(n)

presupunem

n+2

bilă neagră.

o

(p)

Ju l'(n) (

J~

21

lanţ

7. Corespondenta între un Teorema.

11+2

'

n+l

,=

un

o

a;+ 1 =---,

= - - ' p = --- ' ieşit

de rang n a p

relaţii

obţinut

de rang n am p

dacă

+ 1'

=

) _

p -

Eliminînd pe oc

obţinem:

+ 1) p + 1 n +2 ' (n + 1) p ----n + 2 .'

(n

de ordinul întîi,. variabil.

lanţ

cu

legături

complete

şi

un

lanţ

Markov

că şirurile

E;., E;z, , . •, E;n, E;n+1, , , •

(1)

ale spaţiului de şiruri sînt lanţuri cu legături complete, definite prin probabilităţi de trecere. Aceasta înseamnă că probabilitatea trecerii de la evenimentul Ein Un= 1, 2, ... , m) la Ein+1 Un+1 = 1, 2, ... , m) este Cf>;n in+1 (p1, P2, ... ,pm), probabilităţile evenimentelor E;n (jn = I, 2, ... , m) fiind respectiv p 1 , p 2 , ... , Pm• Deci, probabilitatea de trecere de la vectorul de probabilitate p (p 1,p 2, ... , Pm) la (p).

~ms .

(IJ

ms

admit respectiv cite o limită~

> O,

m~11J ,

rezultă că

Ms< 1, ms> O, 8s == Ms - m 1

> O.

Se vede, pe de altă parte, că în aceste condiţii Ms şi ms vor fi respectiv limita superioară şi inferioară a funcţiei limită P! hJ şi a oricărei alte funcţii limită a şirului P!"' . Cu ajutorul relaţiei de recurenţă (5) şi al şirului P!h,) ' P! h2)

se poate construi un alt

în

şir,

, ••• '

p~h,,) ,

...

care admite de asemenea o

adevăr, dacă utilizăm relaţia

limită.

m+l

Ps(h+l) (p)

=

"LJ Pi p O este dat, putem determina un număr N astfel ca IP!h) -P~bn) I < e;

~pentru orice n > N. · Rezultă deci că

IP(h+I

_p;;k .. l

m) ,

(9)

I

-.unde am notat (f>ijk

ijk ••• gl

Pe de

altă

=

=

c:p;;( kt, k2,

••• , 'Pkm)

ijk •·• 'Pijk.;./ > 0 egalitatea (9) devine p,,k :. •••12, ••• , Cf'11k ~- ••• lm ), s

-unde cp;;1, ...1h este valoarea

funcţiei

(z' ') - P?> (z')

I
O, întrucît z n F C z şi deci d (Zn' z n F) > d (Z,,' F). Folosind proprietatea E) a măsurii exterioare P*, deducem · P* (Z) = P* ((Z' (l.F) LJ (Z n F')) ?:, P* ((Z n F) n Z, = = P* (Z n F) + P*(Zn) pentru care

_!___

~•

şi

n--..co

1)

şi

trecînd la

limită

P* (Z) >,P* (Z

n

F)

+ P(Z n

Deci F' E8Jf ; cum U = (U')' urmează că

F').

UE ~1f.

3. Exemple 1. Fie E = R şi d (x, y) orice parte A E!? (R) punem

= Ix -

P* (A)

atunci P* este o

y

I pentru orice

x, y

= { l dacă

A , O, O dacă CA; O,

măsură exterioară metrică şi

~JC

=

~

(R).

ER;

dacă

pentru

TEORIA

110

PROBABILITAŢILOR ŞI

APLICAŢII

--------------

2. Vom studia acum un exemplu important de măsură exterioară metrică, ajutorul unei funcţii crescătoare F definită pe R. Pentru cele ce presupune că Feste continuă la stînga în orice a E R, lim F (a) = I

construită cu urmează vom şi

a➔ =

şi

= O. Pentru simplificarea notaţiei vom F(a) = F(- oo) = O. Pentru un interval _

lim F (a) lim a ➔ ao

a ➔ ao

pune lim F (a) a ➔ ao

oarecare /

=

=

[ex~]

F ( oo) să

=

1

punem

F (/) = F (~) - F (ex). Funcţia F fiind crescătoare, este evident că F (I) >, O, oricare o ar fi intervalul /. Vom nota prin / interiorul intervalului /, adică intervalul deschis [ex,~] = { a I ex< a O este arbitrar, atunci F* (X)+ F* (Y)-< F* (XLJ Y).

E,

ŞI PROBABILITAŢI

CIM.P INFINIT DE EVENIMENTE

Pe de

altă

parte, am demonstrat

1lt

că

F* (X)+ F* (Y)

~

F(XLJ Y).

F* (X)+ F* (Y)

=

F*

Prin urmare

(XLJ

Y).

Aşadar, F* este Din propoziţia 1

o ;năsură exterioară metrică pe R. deducem imediat următorul Cor o 1 ar. Sistemul {R, cm', F*} este un cîmp de probabilitate complet aditiv. 3. O construcţie asemănătoare putem obţine dacă luămE = [p, q] C R(p

O).

= [ex (3], atunci F* (I)+ F(~ + 0)- F(~) + J:(ex +. 0)-F(cx), că dacă

/

o

F* (I)= ·şi

deci

o

F* (/) -dacă

F(l)

=

F* (I)

F este continuă în punctele ex şi ~Să

mai

observăm că

F* (/) -dacă

=

/

=

[ex~]

şi

deci

= F(~ + 0)- F(rx)

că

F*((ex~)) = F (~) - F (ex). F((a. • ~)) = F(~)-F(0t + O). F((ex · ~)) = F(~ + 0)-F(rx + O). Obţinem

de asemenea imediat

. F*(( -

oo, ex))

= =

lim F* (( - n, ex)) n-00

= Hm

[F (a) - F (-n)]

=

n ➔ oo

F(rx)-

lim F (-n) = F(rx).

n

~00

e

Vom arăta acum că dacă este o algebră booleană de părţi ale mulţimii E -şi P 1, P 2 două probabilităţi definite pe 8JC (€) care. coincid pe e, atunci P 1 şi P 2 --coincid pe ~1{ (€). Acest rezultat arată că probabilitatea P* este singura probabilitate -definită pe corpul 8JC (€) care coincige pe cu P. / Introducem întîi cu P. Ha/mos [92]. o nouă noţiune. O familie -S)R, de părţi .ale mulţimii E este o clasă monotonă dacă lim An E 8llt. oricare ar fi şirul crescător

e

tl ➔ OO

descrescător (An)n e N monotonă care conţine

·sau

de o

părţi ale lui E. Vom arăta că algebră booleană şi pe care

e

cea mai . mică clasă o vom nota -S)Jt. (S)

-coineide cu ~,c (S). O dată obţinut acest rezultat, este suficient să observăm că familia multi- milor X E !1R (S) pentru care P 1 (X) = P 2 (X) ' este o clasă monotonă şi · con. ·ţine pe e. Să arătăm deci că ,m (S) = ,W (S). Cum •leană

e,

.31{ (€) este evident o clasă monotonă şi cum ~ (€) conţine algebra boatunci S',C (S) conţine clasa monotonă ~1rr, {S). Deci

$1{'

Ne mai

(e)' :) jl]t (@.).

rămîne să arătăm că

,:i1K

(S) :)

~

(e) •

.Pentru aceasta este evident suficient să arătăm că ~1t (S) este un corp.

ŞI

CtMP INFINIT ~E EVENL\\ENTE

Pentru orice mulţime B

CE

· ~C(B) ={Ac EI A

PROBABILITATI

113,

să notăm

UB-· A nB' • FnB' ell,1t.}.

Este uşor de văzut că ~( (B) este o clasă monotonă şi că relaţiile A E.'X (B) B E ~C (A) sînt echivalente. Dacă A şi B sînt mulţimi din e, atunci A EX (B). Cum A este arbitrar aleasă în e, urmează că şi

e c -Je (B)

şţ

clasă monotonă,,

deci, cum ~C (B) este o

· · ~'1lt

pentru orice B C

e.

(~

C 1C (B).

1

Se deduce uşor că ·

~11t (e)

c 1c_ (B)

pentru orice B E&)Jt (", ne rămîne să arătăm .

u (A) E8Jf. dacă A E~,,. ln virtutea propoziţiei 1, este suficient să arătăm că

-1

u (A) E8Jf

dacă A

Ed. Â

Se presupune

că

= { (x1, ... , x,,) I X1
( ( - co, b) ). Cum ( - oo, a) C ( - co, b), rezultă că p ( (- oo, a)) p ( (- co, b) ), adică F (a) F (b). Dacă notăm F (a + O) = lim F (r1.), deducem atunci imediat că


0. 20)

Să

se arate

că funcţia definită

I (n, t) =

e-'J..t' (l -

de

egalităţile

3e-•Atr-1,

/ (O, t)

=

O,

n = 1, 2, ... ;

> O poate reprezenta o densitate de repartiţie a unei variabile aleatoare care ia ·valorile n = O, 1, 2, .... Să se calculeze media şi varianta. 21) Se dă densitatea de repartiţie

11.t

p (x)

=

k

(1

+ xll)m

m

>,

1.

Se cere: 1) Să se determine constanta k. 2) Să se calculeze cîteva momente. 22) Să se găsească media geometrică şi media armonică pentru repartiţia

P (x)

=

1 B(p,q)

(1 - x)P-1 -xq-i (O ~ x ~1). ~

.

23) Să se arate că dacă F (x) este funcţia de toare f şi M (f) = O, M (/2) = a2 avem F(x)~

all

as+ xs

repartiţie

pentru x


O.

~

a unei variabile alea-

O

şi

F(x)~

Xll

al+ x:

24) Să se arate că dacă pentru variabila aleatoare f, M (ea 1) există (a atunci M(ea/) P(f~e:)~--• ea/

> O),

VARIABILE ALEATOARE

135 - - - - - - - - - --·----·--

25) Fie h (x) o

funcţie monotonă crescătoare continuă, şi variabilă

aleatoare,

a cărei funcţie de repartiţie este F (x). Să se arate că dacă variabila h O f= h (f) are o valoare medie, atunci ea

este

reprezentată

de integrala

·

[

h (x) dF (x).

> O- o funcţie M [gif-:- M (f)) ], atunci

26) Fie g (x) există

p { lf-M(f)

descrescătoare. Să

I> e:}-
j + I, astfel ca lim F (x) xk x➔ -

= O, lim (I -

ao

F (x)) xk

=

O.

-~ ➔ 00

Dacă notăm

M; (a)= r(x-a)i · (1-F(x)) dx-~~}x-a)i F(x)dx. Să

se arate

că

M; (a)= j

~1

unde µ~+ 1(a) este momentul de ordinul j

µ;+, (a), + 1,

centrat în a.

30) Să se arate că pentru orice densitate de pe intervalul (a, b) avem relaţia b

x2sp (x) dx

•~ a

b2s+ I - a2s+ I > ----(2s + l)(b - a)

repartiţie

~b

p (x)

nedescrescătoare

p (x) dx •

a

31) Folosind rezultatul din exerciţiul precedent, să se arate că dacă p (x) este densitate continuă pe intervalul [-a, a] şi simetrică faţă de x = O, atunci 2s

µ.,-S

0 < -2s+-1 ,

s~_,rl

I

136 dacă

TEORIA

PROBABILITAŢILOR

ŞI

APLICAŢII

= O şi

p (x) are un singur maxim în x

a2s

l-'-2s >----'

+1

2s

dacă

p (x) are un singur minim în x

= O.

32) Fie

cp (x) Ştiind că

polinoamele lui

1

= y-- e

Cebîşev-Hermite

=

(-DY

siuni (u, v), unde u = V[cos g şi v = V/sin g. 56) Se dă o ţintă, sub forma unui punct într-un plan. Pentru un trăgător punctul lovit de g]onţ este o variabilă aleatoare cu două dimensiuni, cu densitatea de repartiţie normală 1

__(x-:-a)2

p=-·-e

+ (y-b)2 2a2

21ta2

unde a şi b sînt coordonatele centrului ţintei. Să se calculeze probabilitatea ca toate gloanţele să fie trase într-un cerc de rază R şi centrul (a, b).

CAPITOLUL V

DISTANŢA ŞI CONVERGENŢA

ÎN SPAŢIUL VARIABILELOR ALEATOARE ALE UNUI CÎMP Două tipuri de convergenţă proprii s-au impus încă de la începutul teoriei probabilităţilor: convergenţa în probabilitate şi convergenţa în repartiţie. Cea dintîi datează de la Bernoulli şi intervine în mod esenţial în expresia legii numerelor mari, cea de-a doua datează mai cu seamă de Ia Laplace şi intervine, de asemenea, în mod esenţial, în formularea aşa-numitei teoreme centrale a teoriei probabilităţiţor.

In schema bernoulliană a experienţelor repetate, avînd ca obiect evenimentul A cu probabilitatea constantă p sau contrariul său A', cu probabilitatea constantă q = 1 -p; se prezintă două categorii de frecvenţe (ambele teoretice), şi anume: . una dintre frecvenţe se referă la prezenţa evenimentului A într-o succesiune deter. - a n pro be JI' = -v ş1• poate avea va· 1on·1e O, -l , ... , n-- 1 , -n = 1. · nnnata 11

n

n

n

n

A doua indică raportul dintre numărul de experienţe în care v, deci J;,, are o valoare determinată şi numărul total al rezultatelor posibile care este 2". Acest raport este o probabilitate Pnv. Considerînd frecvenţele ca variabile aleatoare, teorema I~i Bernoulli

arată călim P n, v = p, dacăp-e< .2'....

1° 2° 3° 4° spaţiul

abstractă

două

variabile simple

= f(~) are valoarea

= g (~)

definită

a

ia valorile Yh (h = precum urmează: d (f, g)

3.

x; (j = 1, 2, ... , /) cînd aparţine mulţimii A;, 1, 2, ... , n), cînd ~ EB1„ atunci distanţa poate fi

= sup If

Distanţa

a

(~) - g (1))

I ~ sup I X; -

Yh

1=1,2, ... ,l h=l,2, ... ,n

două

I.

(I)

variabile oarecare

/ şi g sînt, potrivit teor. 6,31, cap. IV, limitele cîte unui şir de variabile simple /,, şi Kn• Să numim cu dn distanţa între fn şi Kn definită Ia numărul precedent dn = d (f,,, Cn); deoarece d este crescător cu n avînd dn dn+t, şirul pozitiv dn are o limită care poate fi şi + oo ; avem ~tunci d (f, g) = Jim dn. (2)

-
O şi 'YJ > O există N (e:, 'Y)), astfel încît P { li,, -II> e} N (e:, 1)), deducem imediat că P { If - g I > e: } = O. Dar P {lf- g I ~o}

~P (

Q, {!; 11/(!;) -

g (I;)

I>

--!;-}) ~

00

- - 1 } =0 n

I

şi,

prin urmare, teorema este demonstrată. P r o p o z i ţ i a 2. Dacă şirul Un } converge în probabilitate spre variabila aleatoare f şi şirul {gn} spre variabila aleatoare g, atunci şirul { a.fn + ~gn}, unde « şi ~ sînt numere reale, diferite de zero, converge fn probabilitate spre

«/+ ~g.

E~te suficient

g 11 (a.fn +

. să observăm ~ă~

în aceste

~g,,) - (o:/+ ~g)

I > e:} C { ~ I IJ,, - I I >

u{~ I lg Propoziţia

-gl n

>

condiţii

2

J

~°' U

_s:_l. 2l~IJ

apare atunci evidentă. În acelaşi fel se demonstrează imediat că şirul { 1/,, I} converge inprobabilitate spre I/ I în acelaşi timp ce ·{fn} converge fn prob.abilitate spre f. Propoziţia 3. Dacă şirul {/,,}. converge în probabilitate spre /, iar g E""i' e , atunci şirul {/,1 g} converge în probabilitate spre fg. 10-2029

146

TEORIA

PROBABILITAŢILOR

ŞI APLICAŢII

Dacă notăm

m

=

l, 2, ...

avem evident şi

lim P(Bm)

= O.

m ➔ oo

Punînd

şi

t't.m

se vede imediat

= g 11.fn g -

fg I ~

> E}

că

a.,,nB~

Cum t't.n = (rt.n

={

~ 11.fn

-fi>:}•

n Bm) u (rt.n n B:) C Bm U(rt.n n B:)

avem P(rt.n) N(: ,î))•DaratunciavemşiP(otn) O există un N (e, "I)), astfel Incit ·

P ( Ifn - f uşor

Este

de

văzut că

m

I > e)

~ "I) (n, m condiţia

în Ioc de

P( lfn-fm

> N (e, "I))).

(4) putem pune

(4) condiţia

I~ e) > 1-"I)•

. (5)

P r o p o z i ţ i a 5. Dacă şirul (fn)o < n < oo este un şir Cauchy in probabilitate şi dacă un subşir al său (/nk ) 0 < n < co converge tn probabilitate spre o variabilă aleatoare f, atunci şirul (fn)o ~n < co converge tn probabilitate spre f. Avem

P(lfn-fl

>e) +) +P ( lfnk-fl > ; ) ;

dacă

n şi k sin~ su(icienţ de mari, fiecare termen al sumei din dreapta este mai mic decît .2L • Deci dacă n este suficient de mare 2

P( lfn-fl ceea ce

> e) ..-!.) < · 2 Urmează

atunci

l • 2

că

P(lfn-fml>e)- ;)+P{lfm-fl> ;)~"I)Condiţia este suficientă. Să alegem

un şir infinit de numere strict pozitive { e,} ,

astfel incit 00

E e,
a})·-

N (e:, 11). Insă pe baza

-echivalenţei

P { I g, I >, I K1+1 I > e: • • .} = P { Iii ·1 > e:, l.fi+1 I >. e:, • • ·.}, este verificată. Presupunere. Facem următoarea presupunere: În fiecare clasă de echivalenţă -există cel puţin un şir {On} de variabile independente. · Această presupunere ~se pare importantă, deoarece existenţa în clasa de echivalenţă a unui şir de variabile aleatoare independente are consecinţe importante aşa cum rezultă din consideraţiile care urmează, în care definim o echivalenţă mai largă şi un timp. de convergenţă corespunzător, după Robinson şi Hsu. Definiţia echivalenţei largi. Două şiruri {/,,} şi {gn} sînt echivalente în sens larg dacă P {fi < 01 I= 1, 2, ...} = P {g, < a1, I= 1, 2, ...} -deci

afirmaţia

pentru orice sistem a;, · finit, oarecare, oricare este j = 1, 2, .... în acest -caz, convergenţa în probabilitate a unui şir atrage pe aceea a oricărui alt şir -ca.re aparţine aceleiaşi clase de echivalenţă. Dar convergenţa tare a unuia nu mai atrage convergenţa tare a celuilalt. Dacă {.fn} este tare convergent, el este convergent în probabilitate, deci ·şi {gn} este convergent în probabilitate. însă {gn} are totuşi, din pricina echivalenţei, o convergenţă mai tare decît cea în probabilitate, dar mai slabă decît cea tare. Ea se poate numi aproape tare sau aproape complet sigură (Dugue, Robinson, Hsu). Convergenţa numită tare a lui Cante/li şi Borel, în cazul legii tari a numerelor mari, este în fapt o convergenţă aproape tare (Dugue'). O condiţie necesară şi suficientă pentru convergenţa aproape tare este deci -convergenţa seriei al cărei termen general este un (x) = 1 - Fn (x) Fn (-x)

+

4. Considerăm

Aplicaţii

la şi

cea mai mare

convergenţa

cea mai

în probabilitate

mică

valoare a unui sistem de valori

:aleatoare 8>Rn = sup (f1 , /2 , Dacă

construim în

acelaşi

•••

,fn); m,, = inf (/1 , /2 ,

•••

timp variabilele aleatoare g;

=ff' h; = -f;,

unde f-J1

= { 1t I; > o ' f-:- = { o /; > o 1 O f;- e) = rezultă, ţinînd seamă

[l -F(ne)]n

în care este s un număr pozitiv oarecare, că mărginirea în probabilitate a variabilelor &)ltn şi mn aduce după sine de

demonstraţia precedentă

n

convergenţa

5.

Aplicaţii

la

convergenţa

aproape tare

Condiţia necesară şi suficientă ca variabilele bmn şi spre O este

n

for în probabilitate spre O.

existenţa

integralei 11-• =

r:

n

mn

n

să tindă aproape tare

a" dF (a) (ifsu, Robbins, Erdiis).

156

PROBABILITAŢILOR

TEORIA

Demonstraţie. Ţinînd seamă

altă

APLICAŢII

de (2) avem

P(~n~e:J= l-Fn(m:); P(:n Pe de

$1

O. Teorema lui P. Levy.

cîmp

e,

dacă notăm

Dacă / 1, /2 , ••• ,}~

sînt n variabile independente ale unui

= /1 (ţ) + /2 (~) + ··· + f,, (ţ). = {ţ 11 S; (ţ) I > e:}; E(n),e = LJ E;,

s; {ţ) E;,

e

e ,

J~n

atunci, dacă avem

condiţia

pe care o

precizăm

în cursul

demonstraţiei

este îndepli-

nită,

p E(11),1!

~ ~

1

~Q,,' ~) :2

(

e:)

•

Q,, -

l 2

Demonstraţie.

în enunţul şi demonstraţia acestei teoreme nu intervine exisvalorilor medii de nici un ordin, ci afară de independenţă, numai condiţia · ot: intervalele închise de lungimea / şi de concentrarea maximă ·a fiecăreia. dintre variabilele fn {ţ), /,,-1 (ţ)+ fn (ţ), ... / 1 (ţ) + ... , +/,, (ţ) să cuprindă originea tenţa

DISTANTA

-----

ŞI

CON.VERGENŢA

IN

SPAŢIUL

-157

VARIABILELOR ALEATOARE

ca punct interior. (Aceasta se poate obţine modificînd neesenţial variabilele prin adăugarea unor constante potrivite.) Din teorema fundamentală relativă la funcţia . de concentrare rezultă că pentru orice Sn, s; avem Qs n (ţ) ~Qs n - s-(~), j = l, 2, ... , n- I. , Din condiţia ~ rezultă că există un interval închis de lungime ~ cuprinzînd originea şi a cărui probabilitate este

Qsn (

2

i) • Prin urmare

f}
f} < 1-Q,.-,; (1)< 1-Q,.({)· P{

Să observăm

acum

{I•. I


I -Q,. (

că

f}= [{•.-½}nE(.

1••

]u[{ I•. I< i}nE1.1.•]•

unde Ein), e este evenimentul contrar evţnimentului

i

P{

I
= ,

de la început că în ipoteza r ;= n avem, înainte oricare sînt m şi n. ·pe de altă parte, co

co

co

c=n n=I u p=n n c!;> m=I

şi

deci P (C)

=

lim lim lim m ➔ co

In acelaşi timp

Cnp

n ➔ ao

P

(c!;\

p ➔ co

C c nq n c qp ,

cînd n) ). P ( c~;>).

Aşadar,

lim P ( c~;>) ) lim P ( c~;>), ~co

p➔ oo

oricare ar fi m

şi

pentru orice q (n ) lim lim P ( C~1;>); p➔ CO

q➔tt:J

q➔ CO

p-,.oo

deci

lim lim p ( c~;>) IS➔ tt:J

p➔ CO

< lim n ➔ oo

lim p ( c~;>) q➔ OO

Făcînd acum pe m să tindă spre infinit inegalităţii precedente, obţinem inegalitatea

lim lim P ( c~;>). q➔ co

p ➔ CO

în primul

şi

al doilea membru al

P (C) O două numere reale.

Fie F(a) Să

= P(f < a) şi G (a)= P(g se arate atunci că

< a).

F(rx.)-G(ex) G (ex+ 1J)- G (ex-1J) + P (lf-g I >"rJ). 7) Fie {.fn} un şir de variabile aleatoare. Să se arate că, pentru ca şirul {/,.} în probabilitate spre /, este necesar şi suficient ca

să conveargă

1im G (a)

n➔co

n

= { O dacă a < I dacă a >

O, O.

CAPITOLUL VI

VALORI MEDII Valoarea pe care o atribuim unei mărimi, într-o experienţă, este o valoaremedie. Dacă mărimea este o variabilă aleatoare, definită pe cîmpul de probabilitate corespunzătoare experienţei, media va trebui să aibă proprietăţile mediilor empirice. Prin urmare, notînd cu M (f) media variabilei aleatoare /, acest număr este o func/ională liniară în spaţiul variabilelor aleatoare ale cîmpului, avînd deci proprietăţile

M(f

+ g) =

M ().f) dacă

+ M(g),

M(f)

=

Ul (f),

).. este un număr real sau complex oarecare. Această funcţională trebuie să îndeplinească următoarele condiţii

fiecărui

1°

cîmp: dacă

f

(ţ}

este

funcţia caracteristică

M (f(ţ))

2°

dacă

specifice

·

=

a unui eveniment A, atunci

P (A);

fn (ţ) -+ f (ţ), uniform, atunci

M ifn)-+ M (f).

Cu ajutorul acestor proprietăţi se construieşte M (f), atunci cînd f (ţ) esteprecum şi în toate cazurile cînd integrala există. Tocmai acestei idenvaloarea medie şi integrală se datoreşte însemnătatea pe care a dobîndit-o, în ultima vreme, această din urmă noţiune, în studiul fenomenelor naturale. Mărimii reprezentate de variabila aleatoare f (ţ) i se asociază şi alte valori caracteristice, în special momentele de diferite· ordine M (f"), precum şi momentele. mixte M (f, g), care stau Ia baza noţiunii de corelaţie între două variabile aleatoare.. mărginită, tităţi între

§ I. INTEGRALA

I. Integrala variabilelor aleatoare simple

Se

dă

f E$

şi

anume cu reprezentarea

f= unde LJ E-1 = E

;e1

şi Ei,

L,X· CE·

;er

1

1

(I) '

n Ei'' = (/), dacă j' :;c j".

163

VALORI MEDII

Definiţia

1. Numim

integrală

a

funcţiei

~/(x) dP (x), sau

şi

f pe E

~/dP,

vom nota cu

sau

r)E/

valoarea medie

:Bx;P(E;).

;e ,

în particular,

dacă

/

=

CA

(funcţia caracteristică

~

mulţimii

a

A) avem

CA= P(A).

„E

Definiţia niţiei

I a

2. Numim integrală a Junc/iei f pe A E~ integrala in seJJSul DefiCA f. Prin urmare,

funcţiei

2.

Proprietăţi

P r o p o z i ţ i a. 1.

«)

t

Dacă

ale integralei f, g, h E$

funcţiilor

şi, ot, ~

ER, atunci

(ef + g) = "~/ + ~~,. g;

~) ~_/ > O,

dacii h (;)

> O,

; EA;

e

y) dacă I(~)> g (~) pentru orice ~ A, atunci

V>~,.g; a) dacă M = sup f (~) şi m = inf / (~), atunci mP (A)

< ~/ < MP (A);

e)

~,.'I+ g I

i}u{ xi 1/(x)-g. (x) I> i}

.

.

167

VALORI MEDII

pentru orice

E

> O,

urmează că

lim P (En)

= O.

Pentru orice A E8IC avem deci

n ➔co

-relaţia

Primul termen din dreapta este mai mic sau egal• cu e, iar ultimii doi pot fi mai mici decît e dacă n este suficient de mare (vezi propoziţia 4). Rezultă că

făcuţi

lim ( fn n➔co .)A

= lim ( gn . n ➔ co J A

4. Variabile

aţeatoare

integrabile

Definiţia 4. O variabilă aleatoare f este integrabilă dacă există un şir Cauchy .de variabile simple lfn} C $ convergent fn probabilitate spre f. Integrala variabilei .aleatoare f (pe E) este notată cu

~/(l;) dP (l;) sau ~/ dP sau~/ şi definită· de relaţia

( /= Iim\ f,,. )E n➔co)E Propoziţia

5 ne

arată că

integrala este unic

determinată.

A E8JC şi dacă lfn}C$, este un şir Cauchy convergent în măsură spre variabila aleatoare f, atunci {CAfn} ~te un şir Cauchy care converge în măsură :spre CAf. Este suficient pentru aceasta să observăm că Dacă

d (CAJ.., CAf.n) =~EI CAfn ~i

~ CAfml ¾, d(J..,fm)

că

{~ 11 CA (~)f (~) - CA(~)/(~) I ~ 6} C { ~ 11/n (~) - f (~)I~ e} pentru orice e > O. Prin urmare, CA[ este integrabilă conform definiţiei precedente -dacă

f este integrabilă. Vom defini integrala lui f pe A E8J{. prin

relaţia

vom utiliza pentru integrala pe A aceleaşi notaţii ca şi în cazul A = E. · Vom nota în cele ce urmează prin L1 (E, ci/C, P) mulţimea variabilelor aleatoare integrabile, definite pe cîmpul de probabilitate {E, 81C, P}. Cînd nu va fi nici o .ambiguitate vom scrie numai L1 în loc de L1 (E, 81C, P).

. TEORIA

163

Din

propoziţia

PROBABILITAŢILOR ŞI

3 deducem imediat v(A)

APLICA fli

că

=V

Din această observaţie deducem Teorema 1. Dacă fEL1, atunci

pentru orice şir. {An} C ăK de mulţimi disjuncte două 1 cîte două. Din propoziţia 4 deducem Teorema 2. Fie JE L1. Pentru orice e:>0 există un. 8 > O, astfel încît P (A) -•} l

~

it u~

> ie \.

111.b (~)-/.b+I (~) I>

00

1 }) -2h h=i 2h

Deci lim P ( { ţ j➔oo

11

fn. (ţ)-/(ţ) 1

I> e:}) = o.

Dar P({ţ

11 f,, (~) -

f@

I > e:} ) -< P ( { ţ 11 fn

(~) - fn;

(ţ) I >

f}) +

+ P ({ ~ i lfn; (ţ) - / (ţ} I > ; }) şi

deci

lim P ( { ţ

11 fn (ţ}

- f (ţ)

I

n ➔ o:i

i;.

Ne mai

rămîne să arătăm că

> e:} ) = O.

{fn} converge în probabilitate spre f. Dar

11 Kn m- f (~)I> E})-< p ( { ~ 11 Kn (~)- fn (~)I> e:}) + + P ( g li f,, (ţ) - f (ţ) I > e: } ) + P ( g 11 fn (~) - f (ţ) I > e:}} p({ţ

imediat ce e:

> -n1 •

Deci lim p ( { ţ I I Kn (~) - f (ţ) I n ➔ CIO

Co r o I ar.

Dacă

A

> e} ) = o.

E~, atunci lim ( fn=rf.

n➔ao )A

t

VALORI MEDII

175-

Este suficient să observăm că funcţiile {fnCA} ţndeplinesc condiţiile teoremei 5. Dacă g este o variabilă aleatoare, f EL1 şi I g I ,< I f I , atunci g EL1 „ Este suficient să arătăm că I g I EL1. Dacă I g I E$, evident I g I EL1. ln cazul general, fie {gn} un şir crescător de funcţii simple pozitive convergent. spre I g I- Cum

Teorema 6.

~/· -~\ 1/1, urmează, după

teorema 5, că I g

I= lim

gn

ev.

n ➔oo

Cor o I aru I 1. Dacă JEL1 şi g este o variabilă aleatoare mărginită, atuncf fgEL1. Este suficient să observăm că lfgl,, PM).

Condiţia

4.

cp (a1, ... , an) dP(-r) (a1, aa, ... , an)*

cpEf1 (Rn, cmn, p(-r)) poate fi

înlocuită

prin

§ 2. TEOREME DE TIP FUBINI

1. Teorema lui Fubini

ar,

Fie {E, 8JC, P} şi {F, P 2} două cîmpuri Să notăm cu ~C fi cel mai mic corp de părţi toate părţile de forma A X B, unde A ~C şi B Vom arăta că se poate defini în mod unic pe

de probabilitate complet aditive. ale mulţimii E x F care conţine E E8F. corpul 8JC x fi o probabilitate P, care pe orice parte a lui E x F de forma A x B are valoarea P 1 {A); vom arăta după aceea cum se poate evalua integrala unei variabile aleatoare definită pe E X F făcînd două integrări succesive în raport cu probabilităţile P 1 şi P 2• Dacă A E X F, vom scrie Ax = {y I (x, y) A} pentru orice X E şi A:, = { X I (x, y) A} J?.entru orice y F. Este uşor de văzut că (E X F)" = F, (CA)x = CA" şi ( U A') = U Ai; trei relaţii analoge se obţin dacă luăm y în

x

e

e

e

e

iEl

iEl

X

e

X

loc de x. P r o p o zi ţi a 1. Dacă A E~'JC X fi, atunci Ax E8f pentru orice x E E şi Ay E ăJC pentru orice y EF. Fie x EE, să notăm cu Fx totalitatea părţilor A C E X F cu proprietatea Ax Ear. Din egalităţile de mai sus urmează imediat că fix este un corp. Cum (A 1 x AJx = A2 atunci A1 X A2 E Ffx dacă A1 ~c, A2 fi. Deci fix :J ăJC X fi. Aşadar dacă A 8l{ X fi' atunci Ax E fi • În acelaşi mod se arată că Ây E 8JC. Fie I o funcţie definită pe E x F.· Pentru orice x EE vom nota cu I" funcţia y-+J(x, y) iar pentru orice y EF vom nota cu 11 funcţia x-+ l(x, y).

e

e

-1

Propoziţia

2.

Dacă l(B)

sînt variabile aleatoare. Este suficient să observăm

e

E8JC

X fi pentru orice B

E&&1 atunci Ix

şi/,

că -l

{y

IIx (y) EB} = {y I (x, y) El (B)}

pentru orice B E&&< 1> şi de asemenea că -1

{x

11:v (x) EB} = { x I (x,y) e/(B)}.

• Integrala din cel de-al doilea membru poate fi mai multe variabi1e dacă funcţia cp este continuă.

exprimată

ca o

integrală

Stieltjes cu

180

TEORIA

PROBABILITAŢILOR ŞI

APLICATU

P r o p o z i ţ i a 3. Familia C a tuturor părJilor X E 8JC x ~ care sînt reuniuni finite disjuncte de mulJimi din SJC x SF de forma A x B este o algebră booleană.. Evident E x F E C. Reuniunea unei familii finite· de mulţimi din C aparţine· lui C, deoarece intersecţi_ile unei familii finite· de muJţimi din C aparţi~e evi~ent lui C. Dacă X= LJ (A' X BI) atunci CX = C (A' X Bi). Dar C (A' X B') =

= (CA•

n

iEI

X CB•)

i

LJ {A'

X CB')

LJ

(CA• X B•) şi prin urmare C (A X B') E.C;

deci C X EC. Propoziţia 3 este deci demonstrată. P r o p o zi ţ i a 4. Dacă Q 1 şi Q 2 sînt două probabilităţi definite pe ~, x ~ şi dacă Q 1 (A x B) = Q 2 (A x B) pentru orice mulţime A X B E 8JC x Sf, atunci Q 1 (X) = Q 2 (X) pentru orice X E ăJf X Sf. Evident că pentru orice parte X E 8JC x Sf care este o reuniune finită de mulţimi disjuncte din 8JC X SF de forma 4 X B avem Q1 (X) = Q2 (X). Pe de altă parte, familia părţilor X E 8JC x SF pentru care Q1 (X) = Q 2 (X) este o clasă monotonă. Ţinînd seama de propoziţia 3, deducem imediat că Q1 (X) = Q 2 (X) pentru orice X E SfC X ~. Să punem (1)

P (X)= ~e P 1 (dl;,)~, Cx (1; 1, 1;.) P• (dl;.) pentru orice X E 8JCi x SF. Funcţia P astfel definită este o probabilitate pe corpul 8JC X= A X B, deducem din egalitatea

x SF

şi dacă

egalitatea P(A X B) =Pi(A)P2 (B).

Din

propoziţia

3 rezultă că putem defini probabilitatea P şi prin egalitatea

P (X)= ( P 2 (d;J \ Cx (~1 , ~JP1 (d~J. )F

(2)

e1E

In virtutea consideraţiilor precedente putem enunţa Teorema 1. Cîmpul de probabilitate { E X F, 8JC x SF, P} este un cîmp comp~~~ . Unidtatea probabilităţii P rezultă imediat din propoziţia 3. Teorema lui ·Fubini. Fie /E f1 (E x F, 8JC x Sf, P). Atunci şi

l

)ExF

/(;1, ~J p (dţ1, dţJ = ( p (dţ:a)

l:

r

(~~1, ~J Ps (dţs) = .)F

(3)

VALORI MEDII

181

Dacă f = C x unde (X E ăX x Br), egalitatea (3) rezultă din (1) şi (2). Rezultă imediat că (3) este adevărată dacă / E S. Fie acum f E~1 (E x F, 8JC X 8F, P) şi să presupunem că f >-- O. Fie {.fn} un şir crescător de variabile aleatoare simple pozitive care converge spre f. Pentru orice n (O ~ n < oo) egalitatea (3) este adevărată şi prin trecere la limită rămîne adevărată pentru f. Egalităţile

P({ ~1

l.h1 e~1 (E, Br,P2)}) =

P({

~2

IA2 e ~1 (E, 8JC,P)}> = 1

rezultă din integrabilitatea variabilei aleatoare f şi din teorema 5, Dacă funcţia / nu este pozitivă, teorema se demonstrează rînd partea pozitivă şi partea negativă

e

J+

J-.

§ 1. , considerînd pe

O b s r v a ţ i a 1. Condiţia P (E) = 1 nu este necesară pentru construirea integralei. Toate proprietăţile demonstrate rămîn valabile dacă presupunem că P(E)=P< oo. C'Impul de probabilitate {Ex F, 81C X SF, P} îl vom numi cîmpul de probabilitate produs al cîmpurilor {E, 8JC, P 1} şi {F, SF, P 2}. Consideraţii analoge putem face şi pentruocazul cînd avem o familiefinită{{(E;,8Jf;,P;)})ie1de cîmpuri de probabilitate complet aditive. 2. O generalizare a teoremei lui Fubini Vom studia acum o teoremă care reprezintă o generalizare a teoremei lui Fubini şi pe care o vom folosi în studiul produselor de compoziţie. Să considerăm o funcţie Q (~ 1, A) definită pe E x 8F care are proprietăţile 1° Q (~1, A) este o probabilitate pe corpul 8F pentru orice ~ EE; 2° Q (~1, A) este o variabilă aleatoare pe cîmpul de probabilitate {E, 8JC, P} pentru orice A E SF. Este uşor de văzut că dacă X E 8JC X 8F şi dacă

hx (;,) = ~F Cx (;,. ;.) Q (;,. d;.) 1 pentru orice ~ EE, atunci hx este o variabilă aleatoare. într-adevăr, este suficient să observăm că familia părţilor XC EX F, pentru care hx este o variabilă aleatoare, este o clasă monotonă care conţine părţile de forma A x B cu A E 8JC şi B ESF. Putem, prin urmare, defini

P (X)=

~E

dP1 (;,)

~F

Cx (;,, ;.)Q (;,. d;.)

(4)

pentru orice X E 8JC X 8F. Din definiţie urmează că P este o prob~bilitate pe corpul 8JC x 8F. Teorema 2. Fief o variabilă aleatoare mărginită 2 pe cîmpul de probabilitate {EX F, 8JC X SF, P}. 1 Vom nota Q (1;i, dl;J = dQ (1; , 1;J pentru a pune în evidenţă faptul că simbolul d se 1 la variabila 1;2• s Ne limităm numai la funcţii mărginite, întrucît aceasta este suficient pentru cele ce urmează. Teorema rămîne adevărată, cu o oarecare schimbare în enunţ şi pentru funcţii J e f.1 CE x F, SJC x ,.., P).

referă

182

TEORIA

PROBABILITAŢILOR

ŞI

APLICA.ŢII

Atunci

(

/(~1,

)EXF

ţJ dP (~1, ~J

. ( dP1 (~1) (

· )E

)F

/(ţ 1, ţJQ (~1, d~J.

(5)

Demonstraţia egalităţii (5) este cu totul analogă cu demonstraţia teoremei lui Fubini. Ea se bazează pe faptul că egalitatea (5) este evidentă pentru variabile aleatoare simple. O b s e r v a ţ i a 2. Dacă luăm Q (~ 1, A) = P 2 (A), atunci teorema 2 devine tocmai teorema lui Fubini pentru funcţii mărginite.

§ 3. SPAŢIILE DE VARIABILE ALEATOARE fl(E, ~C, P)

1. Spafiile fl (E, ~, P). Definiţii şi proprietăţi Să notăm cu fP (E, ~, P) (p ~ 1) - sau cînd nu este nici o ambiguitate cu f.P-mulţimea variabilelor aleatoare f pentru care 1/1 1 Ef 1• Să ţ,unem .

r l

N, (J)

=(~,III'

pentru orice /E fl. Este uşor de văzut că dacă Np (f) = O, atunci P ({ ţ lf@=;c :;z!: O})= O. Să observăm de asemenea că Np (rf) =Ir I NP (f) pentru orice număr real r. Vom demonstra acum o propoziţie care va interveni demonstrarea unor importante inegalităţi. P r o p o z i ţ i e. Pentru orice numere reale a ~ O, b ~ O,

în

aP

bq

ah~--+-, p

dacă _!_ p

+ _!__ = q

Dacă

.q

1 şip> l, q > 1.

ab = O, inegalitatea este (t)

evidentă. tP

= -

p

Putem deci presupune ab

+ -1-'I (t > q

> O.

Fie

O).

' Atunci

cf>' (t) =

1P-1 -

_!__ t'l+l

şi deci '- (t) = O dacă şi numai dacă t = 1. De asemenea, .este evident că lim (t) = oo. Deci, funcţia are un minim în t = 1. Dar (I) = .!. + .!.. = 1. p

t ➔oc

Deci !!_ p

pentru orice t

~

O.

+ 1-'I ~ 1, q

q

183

VALORI MEDII

Să luăm

t

=

a 1fq / b1IP;

obţinem

imediat

b'laP b'1 I~~+-=-+-, bp aq pab qab aP-1

.

1

I, q> 1, .şi

--;+-; = t)•

AtullcifgEf.1

r(~, I 1-)' • I

I

~' 1/g I s (ÂJ.

VALORI MEDII

187

Fie  1 diviziunea Q

:şi  2

=

Xo


s (ÂJ. s (ÂJ > s (ÂJ;

s (Â 1 n ÂJ I

I

teorema este demonstrată. Să punem acum I= inf S(Â) A

şi

i=

sup s(Â). t,,.

\

"188

TEOIUA

Rezultă

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

imediat

I

2. Pentru orice e:

I.

există

O dat,

8 (e:)

>

O convenabil ales,

astfel incit dacă

s (/l.) - s (Â) < e:


) [g(x}m>)-g (x~~1)]

+

r(m)

+~ E

h (~Jm>)

[g (xjm>) -

g (xj~1)],

j=I

pentru orice m, este suficient

Teorema 4.

Dacă

să

trecem la

limită

pentru a

obţine

egalitatea

a< c < b, atunci ~: fdg

= ~: fdg + ~: fdg.

Fie A

I

Um

(m) = ( [ X1-l,

(m)] )

Xj

1 ~J~r(n)

şi

/l.~ două şiruri

= {[y~I,

Y~m)])l

~l,~u (m)

de diviziuni respectiv ale intervalelor [a, c]

şi

[c, b] pentru care

lim n (ll.~) = lim n (Jl.~) = O. m ➔ oo

Dacă r;(m)

~j

e[

(m) (m) ] Xi-I, Xj-1

m.:..00

(.j= l, •••,r(m)) şi (h

=

1, ... , m), atunci

căutată.

VALORI MEDII

Teorema 5.

Dacă

8 (e:).

f (x)

I-

< ~: 11.-1 I dg.

O fiind dat,

g(b) :_ g (a)

Deci

~>/•

-fi dg ,

i=l

(b

n

.

>, )a f (x) dgn (x} >, ~ m (f; -şi

la fel

[X;-1, X1]) [gn

(x;) -gn(X;-J]

=

Sn

(Â)

şi

S (d) ;:;,. ~: f (x) dg (x) ;:;,. s (â).

Dar S (Â) ·

= lim

Sn {Â)

n ➔ oo

şi

s (Â)

= lim

Sn

(Â).

=

1rb f(x) dg (x),

n ➔ao

Deci

Cum inf 4

s (Â) =

sup s (Â) 4

.

cele două margini fiind luate pentru diviziunile formate cu puncte de continuitate1 ale funcţiei g, rezultă că

.~ f

f (x) dg. (x)

= ~>(x) dg (x).

Teorema 10. Avem

IJa(h f(x) dg (x) II ~ (b)a lf(x~ !dg (x).

VALORI MEDII

193

Fie Âm = ([xJ~\, x~m)]) 1 ~; ~ ,·(m> un şir de diviziuni ale intervalului [a, b] pentru care lim n (Âm) = O. m➔ OO

Evident

I

I·I ~b f(x) dg (x) I

I1 j

= I

B f(~fm>) [g(xt>)-g (x}~, )] I = r(,n)

lim

, m ➔oo 1=1

a

Deci

I~: f(x) dg.(x) I ~ ~: 1/(x) I dg (x). Dacă

Teorema 11.

g (x)

este

continuă

= ~: p (t) dt

(x E[a, b], p (t) :;_;.. O)

pentru orice t, atunci

~: f(x) dg (x)

=

r

f(x) p (x) dx.

Fie e > O şi  o diviziune cu n (Â) ales astfel incit I p (x')- p (x") I-< e dacă I x' - x" I < n (Â), unde

-< 3M(b- a)

= sup lf(x) I e [a, b]

M

X

şi,

în

acelaşi

timp,

(b f(x)

I )a

p (x) dx-

X;-1)

I -< ~

[g (x;)-g (x;-1)]

II -< f

tt(~;) ·p (~;) (x; 1=1

şi

I (b)a f(x) dg (x) -

t /(~;) 1=1

3

pentru orice ;;_ E [x;- 1 , x;] - Dar g (x;) - g (X;-1)

= (ni Jni-1

p (t) dt

= ("i

p (11;) (x; -

X;-1)

J„i-1

CU 11; E [X;-1, X;]. 13-2029

t

PROBABILITAŢILOR

194 -------

TEORIA

Deci

~: J(x) dg (x) - ~>(x) p (x) dx

=f

ŞI

f(x) dg (x)-

n

.

n

+ E f(ţ;) p (~;) [x; -

t

J(F,1) [g (x;)-g (X;-,))+

'

E f (~;) p (~;) (x;- X;-1) +

x;-1) -

j=l

1=1

(b

n

+E f ('€) p (~;) (x; i=I

X;-1) -

,

•a

f

(x) p (x) dx.

I

Deoarece I

APLICAŢII

n

p (l)·) (X· j=I 1 1 1 l EI(O

urmează că

E f (~·) f> (~-) (X· n

X·-1) 1

i=I

1

1

1

X·-1) 1

I -< ~' J

·

I

~>(x) dg (x)- ~: f(x) p (x) dx

1

~ e;

e: fiind arbitrar

~>(x) dg (x) 3.

Funcţii

= ~:f(x) p (x) dx.

cu valori complexe

Putem extinde definiţia integralei Stieltjes şi pentru funcţii continue f definite în [a, b], dar cu valori complexe. Vom pune prin definiţie I

r

f (x) dg (x) =

I

f, (x) dg (x)

+ i ~>· (x) dg (x),

f

unde 1 şi fa sînt respectiv părţile reale şi imaginare ale funcţiei f. Este clar că definiţia precedentă are întotdeauna sens, deoarece f este continuă dacă şi numai dacă 1 şi fa sînt continue. Evident, teoremele 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 şi 11 rămîn adevărate şi în cazul funcţiei cu valori c?mplexe. Teorema 7 se înlocuieşte prin

f

I ~:Jdg j ~M(g(b)-g(a)), unde

lf (x) I pentru x E[a, b]. dacă/ (x) = e.ixcp pentru orice x, atunci

M = sup După definiţia precedentă,

~: ,,;,,. dg (;)

De asemenea,

rezultă

= ~: cos

imediat

xq, dg (x)

+ i ~: sin xq, dg (x)

că

Irei•~ I

dg(x) ~g(b)-g(a).

(q, ER).

VALORI MEDII

195

4. Integrala Stieltjes pe intervale

nemărginite

>

Să presupunem că funcţia f este definită şi continuă pentru x a şi că g este definită şi continuă pentru x a şi că g este definită şi crescătoare pentru

x

> a.

>

Atunci

· F(b)

este bine

definită. Dacă

= ~:/(x) dg (x) există şi

lim F (b)

este

>

(b

egală

a)

cu L, vom spune

că

feste

b➔ oo

integrabilă

pe intervalul (a, oo ); vom nota valoarea L cu

~i

(x) dg (x)

~~fdg

sau

vom numi integrala funcţiei .f în raport cu g pe intervalul [a, pe scurt în acest caz că integrala şi

este

-

oo ].

Vom spune

convergentă.

După

criteriul lui Cauchy, pentru ca integrala

~idg să

fie convergentă, este necesar şi suficient ca e

I F(b')-F(b"), dacă

>

b' N (e), b" Deoarece

> N (e), N (e) fiind

>

O fiind dat, să avem

~E

convenabil ales.

I F(b")- F(b') I~ fh" lf(x) i dg (x)

)b,

se vede imediat că pentru ca integrala

~~fdg să

fie convergentă, este suficient ca integrala

~~1/(x) I dg (x) să fie convergentă.

în acest caz se spune

că integrala

~~f(x) dg (x) este absolut

convergentă.

'

(b"

> b'),

PROBABILITAŢILOR ŞI

TEORIA

196

Definiţii asemănătoare

Să observăm

numai

se pot da

şi

~_!dg

şi

că

APLlCA.Ţll

pentru integralele ~~dg.

pentru ca integrala

~=!dg să

fie

convergentă

trebuie ca ~b fdg ~a

să tindă

spre o

limită

cînd a

şi

b tind r~spectiv spre - oo şi oo în mod inde-

pendent. Dacă luăm,

de exemplu, f(x)' = x, g (x) = x, atunci b

f (x) dg (x)

b2

a2

2

2

= - - - •

~"

Evident, integrala nu este

convergentă. Totuşi,

f! L/(x) dg (x) = O, deoarece ~j(x) dg (x)

= O,

pentru orice a. Din consideraţiile precedente rezultă imediat că dacă / este continuă şi mărginită pe toată dreapta şi g o funcţie de repartiţie, atunci integrala este absolut convergentă.

În particular,- rezultă că integrala

~=./'~ · este absolut

convergentă

dg (x)

pentru orice t real. Vom întîlni mai tîrziu f (t)

funcţii

de forma

= ~=~e''" dg(x)

sub numele de funcţii caracteristice. Să mai observăm că teoremele 3, 4, 5 şi 11 rămîn adevărate pentru integrale convergente luate pe intervale oarecare. Teorema 10 rămîne adevărată pentru integrale absolut convergente. . Dacă lim g (x) şi lim g (x) sînt finite, teoremele 6 şi 7 rămîn adevărate pentru x ➔ -co

x➔ co

intervalul (- oo, oo ); pentru intervalele de forma (- oo, a) sau (a, oo ), este suficient ca lim g (x) şi lim g (x) să fie finite . .x ➔ -oo

x➔ =

VALORI MEDII

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -197 § 5. RELAŢIA DINTRE INTEGRALA STIELTJES ŞI

INTEGRALA LEBESGUE

Fie f o funcţie continuă definită pe R şi g o funcţie de repartiţie. Să concîmpul de probabilitate { R, ci>1, g*} (cap. III, § 3, punctul 3). Teoremă. Dacă a < b şi dacă g este continuă tn extremităţile a şi b, atunci

siderăm

(b f(x) dg (x) = ( f(x) dg* (x). )a )ca, b] Să considerăm un şir de diviziuni ll.m = ([x;~\ • xJm>]) ale intervalului funcţiei

construite cu puncte de continuitate ale

Jim (ll.m) '

m➔O

=

g

şi să

presupunem

[a, b]

că

O.

Fie

Avem (_

f mdg*

)[a, b)

=

= ~

E

M(/;

i

[xt:L xJm>J) g* [xt:L xfm>] =

M(f; [xEL xJm>]) (g(xJm>)-g(xtU].

i

Dacă

facem pe m

'

să tindă

( . fdg*

Jca,b] Cor o I aru I 1. /

e

obţinem

spre infinit,

= (b fdg.

L

f fle (R, ci>1, g*) 1

imediat

dacă şi

numai

dacă

integrala

00 \

f(x) dg (x)

a1-CO

este absolut convergentă. În acest caz,

~=j(x) dg (x) = ~/(x) dg* (X). C o r o I a r u I 2. Fie h E f 1 (E, ~, P), f o funcţie continuă F. - funcJia de repartiJie a variabilei aleatoare h. Atunci

pe R

şi

Este suficient să ţinem seamă de teorema precedentă, de-teorema 10 (§ 1), pentru X EB 1 p măsura­ B, definită pe R, cu fq> (E, 81C, P)- sau pe scurt cu f'P - mulţimea variabilelor

aleatoare f pentru care cp of Ef 1 . Dacă funcţia cp este definită pentru orice x ER prin egalitatea q> (x) = lx!P (p 1), atunci f

~

cpof

•E

există.

Definiţie.

vom nota M cp

Vom numi moment de ordinul cp al variabilei aleatoare (/) integrala

~

IE fcp

şi-l

cpof.

• E

>

ln cazul cînd cp (x) = Ix IP (p O), vom scrie uneori M, (f) în Ioc de M

O vom folosi notaţi a I

NP (f)

=

[Mp(f)] P

şi

vom numi numărul real N P(f) valoarea medie de ordinul p a variabilei aleatoare/. Dacă p EN şi cp (x) = xP , vom nota momentul cu M P(I) şi-l vom numi şi moment de ordinul p al variabilei aleatoare p. _ _ In cazulp = 1, vom scrie, de obicei, M(f) şi Jlf(f) în loc de M 1 (f) şi llf 1 (f) respectiv. Evident, pentru p O (întreg) M P (f) = M P ( If I). Momentul de ordinul întîi M 1 (/) se mai numeşte şi speranţă matematică. Această denumire, din ce în ce mai puţin utilizată, trebuie pusă în legătură cu jocurile de noroc, care multă vreme au fost un important domeniu de aplicaţie al calculului probabilităţilor.

>

2. Proprietăţile

c1 ,

C9, ••• ,

momentelor

cn sînt numere reale M

rezultă evident şi / 1 , / 2 , ••• , fn -

(/;) 1 ~ ;

< n E(SK)

altă

Dacă

(1)

i=I

(vezi capitolul

MC~, 1,) = .~, O

din proprietăţile integralei. variabile aleatoare, atunci

(t c,f;) = t c,M (/;) . i=l

Dacă

Proprietăţi

următor),

atunci

M(f.).

proprietate a momentului de. ordinul întîi este M[/-M1 (/)] = O.

exprimată

prin egalita~ (2)

199

VALORI MEDII

Dacă

/E f 1, variabila aleatoare g=f-Mi(f)

se numeşte abatere a lui f valoarea medie de ordinul doi a abaterii g, sau cum se mai spune valoarea medie pătratică a abaterii, o vom nota şi prin µ (/). Ea este egală cu 1

2

(3)

[M2 (f)-m1] ,

unde m 1

=

M 1 (/). Într-adevăr, 1

µ (/)

= Dacă

=

[M2 (/-mi.)] 2

[M1 ( / -2/m 1

2

1

= (M [(f-mi.) ]) 2

2

_

1

l

2

2

+ mi)] =

[M2 (/)-mi] .

m1 = O, atunci 1

µ(/)

=

[M2(/)]2· Dacă/1 ,/2 , ••• ,fn sînt n variabile aleatoare şi dacă M(/;)

=

O (i= 1,2, ... , n), atunci (4)

după

cum

rezultă

In general,

efectuînd calculele în membrul stîng al

egalităţii

litate asemănătoare pentru abaterile_g1 , g 2 , ••• , Kn ale variabilelor / 1 , /2 , · Din rezultatele obţinute în § 3 obţinem NP (f) dacă

p

-< s, p -:;:, 1 şi / E.f

Dacă Dacă

IE f 2

µ (f)

şi

şi g

-< N, (f) ,

M (fg) există.

=

M(fg)-M(f)M(g) µ(f) µ(g)

numeşte

(6) .

coeficient de corelaţie al variabilelor aleatoare f Evident, dacă µ (/) µ (g) ~ O, atunci C (/, g) = 0, numai

şi g.

dacă

M (fg) Două variabile aleatoare .f şi Este uşor de văzut că

c (f;

'g dacă

(5)

µ (g) ~ O, raportul

'g

dacă şi

... ,fn•

P.

Ef 2, atunci c(f, )

se ,

precedente.

dacă nu avem M(f;) = O (i = 1, 2, ... , n), obţinem totuşi o ega-

)

=

= M (f) M (g).

g pentru care c (f, g) M (f-mJ) (g-mg) µ(/) µ(g)

punem m1

=

M(f)

şi

m, = M(g).

= O se numesc necorelate.

200

=

TEORIA

µ 2 (f).

Dacă utilizăm

teorema 1 din § 3, obţinem I C (f, g) I 1.

de rezultatele din § 5,

Mqi (f) = ( cp (f (~)) dP (~)

JE

pentru orice funcţie cp este în plus

funcţia o >b>O

(l} (2} (3}

tER, t> a,

g/E ~l. Cebîşev)

Avem atunci inegalitatea Qui

p (f>, a)-,a)- b dacă t > a. Dacă

= I t I'

îndeplinită. Dacă

/E f', atunci inegalitatea

>

(r

O).

a> O, putem lua b

precedentă

ne

= I a I' ;

atunci

dă

(4)

ln particular, dacă r = 2, obţinem p (f Cum

M„ (f) =

> a) - a)--,a)- O)

202

TEORIA

PROBABILITAŢILOR ŞI

APLICAŢII

/

De asemenea, inegalităţile (1) şi (2) ne dau

P ( If I < a)

> 1-

ii, U>

P ( If

> 1-

-a2- •

a'

şi

I
a) >

M,. (/) - a M2

2 •

>

pentru orice a O. Avem, în acest caz, M 2 (f) =

~/2dP =

~/2dP

{s (I/(;) I

< a}

+ ~/"dP ¾ .

{s I I 1(1;)

I

:;> a}

~a2P(lfl a)~ a2 + M2P( III> a). 2

Deci

şi

teor~ma este

demonstrată.

§ 8. TEOREMA LUI LEBESGUE-NYCODIM. VALORI MEDil CONDIŢIONATE

1.

EE. O

de

mulţime funcţie reală

Fie E o A

Funcţii

mulţime

complet aditive, absolut continue

de evenimente elementare şi 81C un corp de evenimente µ definită pe 81f este o funcţie de mulţime complet adi-

tivă dacă

µ(

LJ Âa ) = ,E µ (Aa) aEI

aEI

pentru orice familie numărabilă (Aa )ae1 C 8JC de părţi disjuncte două cîte două.

203

VALORI MEDII

Exemple de funcţii de mulţime complet aditive am întîlnit în § 1; dacă {E, ~C, P} este un spaţiu de probabilitate complet aditiv şi dacă f Ef1 (E, 8JC, P), atunci funcţia µ definită pentru orice A E ~1C prin egalitatea

µ(A)= ~/dP

(I)

>

este o funcţie de mulţime complet aditivă. Dacă µ (A) O, pentru orice A E8JC) spunem că µ este o măsură pe corpul 8JC; dacă luăm o funcţie /E f 1 (E, 8JC, P, pozitivă, atunci µ(A)= ( fdP

)A

este o măsură definită pe ~f. O probabilitate pe corpul 8JC este o P(E)

măsură

µ, pentru care

= I.

În general,

p (A)= µ(A) µ (E)

este o probabilitate, dacă măsura µ nu este identic nulă. Este evident că propoziţiile 3, 4 şi 5 din § 1, capitolul III, sînt valabile nu numai pentru probabilităţi, dar şi pentru măsuri.· De asemenea µ (A) - µ (B) = µ (A - B) dacă

A

şi

B sînt

mulţimi

din K

şi dacă

A::) B; deci

µ(A)> µ(B).

ln virtutea observaţiilor precedente se poate construi şi pentru o măsură în acelaşi mod în care s-a construit pentru o probabilitate P. Se poate demonstra că pentru orice funcţie de mulţime µ există o desfacere {X, Y} a mulţimii E pentru care µ (A X)> o . şi µ (A Y) o pentru orice A E8JC. Dacă punem µ + (A) = µ (A X) şi µ- (A) = µ (A Y),

o

integrală,

n

n

n

este evident

că

µ+

şi

µ- sînt

-


µ+ (A)

= ~l+ (I;) dP(I;)

şi

µ-·(A)=~/- (I;) dP (I;).

204

TEORIA

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICA.ŢII

.

. Deoarece pentru aplicaţiile privind probabilităţile şi valorile medii considerate nu vom avea de considerat decît, sau măsuri, sau funcţii de mulţime complet acli-tive de forma (1), nu vom demonstra propoziţia privind descompunereaµ=µ++µîn general. Să considerăm spaţiul de probabilitate complet aditiv {E, 8JC, P} şi fie µ o funcţie de mulţime complet aditivă definită, pe 8JC. Vom spune că µ este absolut continuă în raport cu probabilitatea P dacă egalitatea P(A) implică

=

O

egalitatea µ(A)= O

e

pentru orice A ~lf. · Dacă µ este de forma (1), atunci µ ·este absolut continuă în raport cu probabilitatea P. Vom arăta că orice funcµe de_ mulţime complet aditivă şi absolut continuă în raport cu probabilitatea P este de forma (1). Demon• straţia dată în continuare urmează prezentarea făcută de P. Ha/moş [92]. P r o p o z i ţ i a I. Fie µ. o măsură neidentic nulă, absolut continuă în raport cu probabilitatea P. Există e: > Oşi A 0 E 8JC pentru car~ avem P (A 0) > O şi µ. (X) >->, e:P (X) pentru orice XC A 0 şi· X E ~lf. Să punem · µM

pentru orice n EN

şi să considerăm

µ (A oricare ar fi A E ~1f.

=

Să

1

µ.--P

(2)

n

o desfacere a lui E {Xn, Yn} pentru care

n Xn) > O

şi'

µ (A

n Yn) -< O

punem şi

Xo=UXn nEN

n

Cum Yo C Yn' avem µ (n) (A Yo) !_ P (Y0) µ. (Y0 ), de unde µ (Y0) = O. n

>

-< o pentru

orice n; în partic ula

Prin urmare, µ (x0) >O.Există deci n, pentru care avem µ (Xn) > O; urmează avem şi P (X n) > O, deoarece µ este absolut continuă în raport cu· P. Pentru acest X m însă, că

oricare ar fi A E~1(.

Propoziţia

este deci

demonstrată. şi

putem lua A 0 = Xn.

2. Teorema lui Lebesgue-Nycodim Fie µ o funcţie de mulţime complet aditivă şi absolut continuă fn raport cu probabilitatea P. ·Există o variabilă aleatoare IE f1, unic determinată, cu _excep/ia unei mulţimi de puncte ţ de probabilitate nulă pentru care µ.(A)=\ fdP ,·A

pentru orice A

E8JC.

Dacă

µ. este o

măsură,

atunci P

/

lf > O) =

1.

205 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ·-· - - -VALORI MEDII

Evident,

dacă

şi

/1

/ 2 satisfac egalitatea (3) pentru orice A E~, atunci ~}f1_-f.)dP=O

pentru orice A E8JC (teorema 4, § 1), dacă şi numai daeă P (/1 :;c f .;J = O. Deci, unicitatea variabilei aleatoare / este demonstrată. Dacă µ este o măsură şi / satisface relaţia (3) pentru orice A E~,r, atunci P (f < O) = O, deoarece în caz contrar ar exista un s: > O şi o mulţime B E ~f pentru care am avea / (~) < -s: dacă ~ EB. Dar atunci O

< µ (B) = \

f (~) dP (~)

.,B

< -s: µ (B) < O,

contradicţie. Să detnonstrăm acum existenţa funcţiei f. Cum µ -µ- sînt măsuri, este suficient să demonstrăm teorema o măsură. Fie mulţimea

ceea ce ne duce la o

=

e

e = {JE .f1 lf> O,

µ+ -(-µ-) şi µ+, în cazul cînd µ este

~fA¾ (A) pentru otjce A E JJ/)

şi

M [-f I€], M [I f I I €] > M [f I€].

M [I f I I €] M [ If I I €] deci

Media condiţională mai are încă următoarea proprietate: e) Dacă /(ţ) este o funcţie integrabilă, iar c:p (ţ) este faţă de €, atunci avem M Jg1e1 = M I e1 cp.

r

Această

rt

echivalentă

egalitate este ~v M

mărginită. şi măsurabilă

cu

următoarea

!Jep/ l!!] P (dl;) =

~v M ff { l!!] cp (1;) P (dl;)

pentru orice y E€. Membrul al doilea există, deoarece c:p este măsurabilă

e

şi mărginită.

Ultima egalitate este

valabilă

c:p

pentru orice c:p

(ţ) = {

funcţie caracteristică

ţEixE€

1

ţEix' ee,

o

deoarece ambii membri sînt egali cu ~v

M

[f { l!!]P (d!;)

oricarp este y. Prin urmare, egalitatea este valabilă pentru orice funcţie simplă c:p (~), deci pentru orice funcţie c:p (ţ) măsurabilă şi mărginită. · 4. Teorema de

convergentă

pentru mediile

condiţionale

Fie un şir de funcţii integrabile {f,,} convergent, aproape pretutindeni, funcţia integrabilă f (ţ). Presupunem că există o funcţie integrabilă / (~ pentru

If,, aproape pretutindeni, atunci

(~)

I -< I (~)

r

M fn I € ] ~ M [f I €]

aproape peste tot şi, deci, şi în medie. Pentru demonstraţie să observăm că şirul c:pn

=sup(lfn-fl, lfn+1-fl, ... )

tinde monoton spre O aproape pretutindeni c:p n (ţ)

spre care

şi că

-< 2/ (ţ).

avem

(5)

211

VALORI MEDll

Prin urmare,

şirul

= M[(f>n I€] o limită q, aproape

qln este monoton descrescător şi are Avem dar

~n ,i, mP(dQ,.;:

pretutindeni.

~ ,i,.mP(d~ = ~ 'Pn (QP(dQ.

lntrucît

rezultă că

M [ eP(E(k)).

!. e3, urmează 2

P (E I ---, c:

>

>

-ori de cite ori n k. ·Acest fapt se poate exprima şi astfel: Dacă n k, atunci .P (A/€n) I - s:, înăuntrul lui B, cu .excepţia eventuală a unei mulţimi de măsură P mai mică decît 8. Deoarece.!. e8 < .!. 8 < 8 şi întrucît e este arbitrar,

>

2

2

urmează că P (A/€n) converge spre 1, în A~ exceptînd eventual o mulţime de măsură mai mică decît 8, deci arbitrar de mică, deci zero. Aceeaşi concluzie aplicată lui .Q - A în loc de A arată că P (A/€n) con-

-verge spre q> A

(~)

aproape pretutindeni.

CAPITOL UL VII

VARIABILE ALEATOARE INDEPENDENTE Probele individuale care se fac într-o experienţă duc, în general, la înregistrarea unui număr sau a unei măsuri. Ele dau, prin urmare, valorile unei variabile aleatoare a cîmpului de probabilitate corespunzător experienţei. Problema de a şti dacă, practic, două probe distincte sau două şiruri de probe sînt sau nu independente corespunde problemei matematice de a şti dacă variabilele co~espunzătoare sînt sau nu independente. Definiţia independenţei a două variabile scoasă din indicaţiile date de diferitele modele concrete de cîmp de probabilitate este impusă de definiţia variabilelor aleatoare: două variabile / 1 (~) şi / 2 (~) ale aceluiaşi cîmp de probabilitate {E, j}C, P} sînt independente dacă pentru orice pereche de mulţimi boreliene B1 şi B 2 avem

Pentru familii de variabile aleatoare avem familiei în totalitatea ei: independenţa în sensul

două tipuri de independenţă a Steinhaus-Kaţ şi cea în sensul

Kolmogorov. § 1. INDEPENDENŢA

1N SENSUL STEINHAUS-KA

E

µEM

M

p (g-l (Ya n Xµ))= fI p (g;' (Ya)). aEK

Teorema 4. Fie (/a)a e I E(SK.). Pentru orice aleatoare simple (g!)n e N• cu proprietăţile: (X) lim

K! = fa

şi

n➔=

=

a

I

ex

EJ

există

un

şir

de variabile

g: I < Ila I ;

(3) (g!)ae 1 E(SK) pentru orice n EN*. Fie @n desfacerea numerabilă

{, 1

şi

n

oo )) dacă ţ e1- ((n- ~, n)),

o

dacă ~ e1- 1 ( ( ~ ; ,

n 1

n--

-n +-; -n

dacă ~ EJ-i ([n, 1

dacă ţ eJ-1 ((-n, dacă ~ EJ-t

+;)) ,·.

-n +; )) ,

((-

oo, -n]).

222

TEORIA

PROB_ABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

ln virtufea celor demonstrate, (g:) E(SK) pentru orice n. Din construcţie se vede că I I 1/" I şi că Iim K! = f", cleoarece dacă~ E{~ 1-n a (t) ~b (s),

pentru orice pereche de numere reale (t, s). După teorema 1 rezultă că { If + a I , I g + b I } E(SK). Cum a şi b sînt arbitrari, rezultă, după teorema 2, că {f, g} E(S.l(). '

Teorema 13. Am

arătat

că dacă

in teorema 1

f

şi

g sînt independente,

(P1 (g- 1 (A)) = P (g- 1 (A)) = I

orice A EcJC (g) dacă şi numai dacă{/, g} E(K). 6) Fief, g două variabile aleatoare şi 1, 2 două funcţii de mulţimi (nu neapărat complet aditive), definite pe B'. Să se arate că dacă P (f- 1(A) n g- 1(B) = = 1 (A) 2 (B) pentru orice A E81{,(f> şi B E8JC(g>, atunci {/, g} E(K). 7) Fie f şi g două funcţii, 1 o funcţie definită pe $Jf(/> şi 2 o funcţie definită pe 8JCC,>. Să se arate că dacă P (f- 1 (A) n g- 1 (B)) = i(A) 2 (B) pentru orice A E8JCCI) şi B E81{;, atunci {f, g} E(K). 8) Fie f şi g două variabile aleatoare şi F(a 1, aJ = P ({/ < a 1} n {g < a 2}). pţntru

Fie cp 1 şi cp 2 două funcţii definite pe R. Să se arate că {f, g} E (SK) dacă F (a 1 ,aJ = = F (a;) F (aJ pentru orice pereche (a1, aJ. 9) Să se generalizeze problema 8 pentru n variabile aleatoare (1)1- (-r) I < q> (O) = I :pentru orice -r ER. Dăm cîteva proprietăţi simple ale Teorema 1. Să pwzem

Funcţia q>

este ·uniform q> n

funcţiei caracteristice. continuă pe R.

=.,··-

n eita

,,

dF (a)

(2)

,pentru oric;_e n EN*.

Avem

I cp. (t + h)-cp. (1)

I¾~~~ e'""-11 dF(a) ¾ e,

I I< 8 (e), cu 8 (e) convenabil ales, pentru orice 'TE R. Deci,

-dacă h -continuă

fPn este uniform pe dreapta reală R, pentru orţce n EN*. Dar q>n converge uniform spre

tinde spre 1, suficient de repede, cînd t tinde spre zero, atunci q> (t) 1. Teorema 3. Dacă q> (t) - 1 + O(t2) pentru t ~ O, atunci cp (t) 1 *) 2 Cum 1 - q> (t) = o(t ) pentru t ~ o, urmează că şi partea reală a diferenţei 1 - cp (t) este egală cu O(t2) pentru t ~ O. Dar partea reală a acestei diferenţe este egală cu

=

=

[,.(1 cos ta) dF (a).

Deci 1 ~co (I - cos ta) dF (a) lim --

t ➔ co t2

-oo

.

= O,

cu atît mai mult, 1

.lim - 12 t➔ oo t

~ t (1 - cos ta) dF (a) = O. l

t

Dar 1 - cos ta ta.

1 - cos ta . . . . _ a2ta

2 - - - =a2 ---..;:::::,-ca,

cu c > O convenabil ales, dacă. I ta I Urmează

atunci

-< 1,

adică dacă I a I ~ __!_ • t

că

l

l

O= lim _!__(t (1-c~s ta) dF(a) t➔co t 2 ) _ .!. .

~

c lim ~t

t➔oo •. _ .!.

a2dF(a)

= c(=.

a2 dF(a) >O;

definită

prin egalitatea

)_ 00

t

t

deci

~=•,"'' dF (a) = O, de unde

rezultă

Fie F o

imediat F =

funcţie

de

E.

repartiţie şi

fie c ER;

funcţia

F,

F, (a)= F(a-c) •)

Funcţia

O (t2) pentru t-+ O este

caracterizată

prin proprietatea lim O (ta) t➔ co

(t)

=

O.

FUNCŢIA

243

CARACTERISTICA

e

pentru orice a R este evident o funcţie de a ~ a + c. Este uşor de văzut că

repartiţie.

Să notăm

cu -r

aplicaţia

= F* (T-1(A))

F: (A)

pentru orice A ~B1• Deducem atunci (cap. VI, § 1, punctul 4),

~" ei"dFt (a) =~"ei" dF (a) = ~" ei• dF (a). Dacă notăm ristică

a

cu cp funcţia caracteristică a repartiţiei F şi cu 'Pc funcţia caracteFc, obţinem

repartiţiei

(5)

pentru orice t ER. Să observăm că dacă f este o variabilă aleatoare probabilitate complet aditiv {E, 81€, P} şi dacă

F(a) atunci

Fc (a)= F(a-c) -în acest caz, egalitatea (5) se

tp, = Să considerăm

= P(f
I -

e

>IX+ 2e;

--de asemenea, să luăm x > ~ şi p suficient de mare pentru ca eA

~~x dF„1 (a)= a.,,< IX+ e. Dar

~: q,., (t) dl=[,(~: e

1 "

d1) dF.,

* Putem considera integrala Stieltjes ca integrata Lebesgue lui Fubini.

(a)•. şi

putem deci aplica teorema

FUNCŢIA

251

CARACTERISTICA

Putem majora modulul acestei expresii înlocuind integrala dacă I a I·< X, şi prin ..!!_ , dacă I a I > X.

interioară

prin

Â,

X·

Ic). . 2 o) . Obţinem astfel --;:- Jo fnp (t) dt j < r:1.P + AX a.p < r:1. + 2e:. 1

Dacă

facem pe p

să tindă

spre infinit,

+I~:

q, (1) dl

I¾

obţinem

c
n 00 Sa luam de exemplu Fn (a)= 0 dacă a~n (O~ n < ) · în acest caz, lim Fn (a) = O,. n ➔ oo

pentru orice a ER. Totuşi, şirul o limită în orice punct, întrucît

funcţiilor

cpn (t) pentru orice t ER

şi

caracteristice nu este convergent spre

= e'

111

avem, de exemplu, eint

=

(-1)"

pentru t = 1t. Teorema 7. Fie ( fn)o ~ n < oo un şir de funcţii caracteristice reale. Dacă şirul ( cpn)o < n < co converge uniform spre 1 tntr-un interval [__:_e:, e:], şirul (Cf>n)o < n < oo converge uniform spre 1 in orice interval [a, b] C R. Fie n EN* astfel încît [a, b] C [-2ne:, + 2ne:]. Din inegalitatea lui Raikov deducem imediat 1 - 'Pm (2"t) ~ 4"{1 - fm {t)) pentru orice m EN. Dar lim (1- Cf>m (t}) m ➔ CO

=

O

252

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢIJ

TEORIA

uniform în intervalul [-e:, e:]. Deci

lim (I - cpm (2nt))

=

O

m ➔ CO

uniform în intervalul [-e:, e:]; prin urmare,

lim cpm (t)

=

I

m ➔ oo

uniform în intervalul [a, b]. 5. Teorema lui Bochner. ·tip pozitiv, dacă

~ (a, fJ)

Definiţie. O

EI X I

Junc/ie continuă definită pe R este de

CaCpf(ta-ta)>0

pentru orice familie finită de numere reale (ta )aer şifamilie finită de numere complexe (ca )aer• . Vom nota cu ~ familia funcţiilor de tip pozitiv şi cu ~ familia Junc/ii/or de tip pozitiv care satisfac egalitatea f (O) = 1. Dacă (/a )uerC ~ şi (ca )aer este o familie de numere reale pozitive ale căror sume sînt 1, atunci

E CafaE ~o· aer De asemenea, dacă (/n)o < n < oo Cfl şi dacă acest şir converge uniform în orice interval [a, b] CR spre o funcţie f, atunci f E~- Dacă şirul considerat converge în orice punct spre o funcţie f şi dacă/ este continuă, atunci putem de asemenea afirma că / E~- Dacă / E~ şi f (O) :;z; O, atunci f Ei 0 • O altă serie de proprietăţi ale funcţiilor din i este dată de Teorema 8. Dacă f E~, atunci ex) f(0)

> O,

(3) f (-t) = f (t), y) lf(t) I -,O. r · / = (I, 2), t 1 = O, t 2 = t şi c1, c2 numere complexe oarecare. Avem (a, 11) E r X

Să luăm

atunci

O-
a E 1 • . Dacă I= {i 11 i ~ n}, vom scrie şi F1 F1 Fn., Corolarele 2 şi 3 ne arată că aceste notaţii nu duc la nici o ambiguitate. Dacă Fa. = F }Sentru orice . (t); n

E

;. k, ...,l=l

din exponentul lui K>. (t),

(16)

b;1e •.• 1t;t1e • • • t1 este prim.a formă ne-

există

numere

n

A1 ,

astfel încît .

••• , Ân

E

1,k, .... l=l

b;k ••• 1

Â;Âk • • • Â1

~ O, deci unul dintre factorii _

din al doilea membru clin (16) ar avea forma K>. (t)

"ik'>.j'-k)t2+ = e-½(.~ ,. k=l

••·+(.

l;

,, k ,...,l=t

b;k·•·JA;lk•••A1)tm+ ...

în contradicţie cu teorema lui Cramer pentru n = 1. Prin urmare, funcţia g (t) neavînd la exponent alt termen decît cel de gradul doi, este gaussian~

5. Descompunerea unei variabile Poisson Funcţiile caracteristice de tip Poisson/(t) = e" (e•t-t) formează şi)le un semigrup, depinzînd de un parametru real a, izomorf cu semigrupul numerelor reale a faţă cu adunarea. Descompunerea unui element din acest grup este o operaţie închisă, dacă facem abstracţie de factorii banali, aşa cum arată Teorema lui Raikov. Dacă f(t)

= g (t) h (t),

(17)

şi f (t) este o funcţie caracteristică Poisson, atunci ·g (t) şi h (t) sint de ~emenea Junc/ii caracteristice Poisson. ·

Pentru demonstraţie, începem prin a observa că /(t) periodică de t cu perioada 21t. În particular, l

Cum I g (t) I

=

g (21t) h (21t).

-< 1,

I h (t) I ~ 1, rezultă că I g (21t) I = l I h (21t) I = 1, deci

= e-•a., h (21t) = e-ia. g (21t)

cu

ot ·

real.

Dacă

punem • CIL

g (t)

=

g 1 (t) e, 2i t

h (t)

=

hi(t) e_, ~ t

.a

=

1 e"(e•t- >,

este funcţie

TEORIA PROBABILITAŢILOR ŞI APi.lCATll

276

vom avea

= gl (t) h1 (t),

f (t)

(18)

K1 (O) = gl {21t) = l,

şi

hi (O) = h 1 (21t) = l. Dacă

relaţia

în

= \00

gl (t)

eitx dG1 (x)

.-co

punem t

= 21t,

deci

obţinem

~=.

{I-cos 21 Pi (n)- e: = P2 -

m

e:

pentru orice întreg n >Ne, dacă punem p = P ('t'iA), deoarece P 1 (n) pentru orice întreg j. Există deci doi indici diferiţi i şi j {l .:::;;_ i < j n), astfel încît

-
NE. Atunci

n X;) >P -e: 2

= P (-riA)

288

TEORIA PROBABILITAŢILOR ŞI APLICATU

Dacă luăm 11 1

=j- i>

O, avem P(A

Să

punem -r1 astfel încît

=

n-r"• A).>p2 -e: ..

-."+t. La fel ca mai sus putem demonstra că există un q 1

P(A

n -.q, A)> p

2-

> O,

e:~

Dar -rq• A = -rq 2 A dacă luăm n 2 = q 2 n 1 + q1 . în acest mod determinăm din aproape "în aproape şirul n;(l - O. Dacă (S,,) 1 ~,, < 00 C f (E, ~, P) şi dacă putem lua d,, = ~M(S,,), pentru orice nEN*, atunci şirul {S,,) 1 ~n O, relaţia (4) ne arată că putem alege un / 6 astfel încît,

F(li-i1) Ir, M (f;f;),

=

;. j

i-j

I

~

I

M (f;fi) ,· ~ 2/f, nk2

i

n2

1

+

n26 n2

=

2/1, k2

+ 8.

1l

• Deci · lim sup _!__2

n ➔ ao

n

j

E I, j

M(f;f;)

I < 8,

oricare ar fi 8 > O. Prin urmare, 1 lim n➔oo n2

E i, j

M (f;f-) 1

= O.

2. Stabilitate tare există

Definiţie 2. Un şir de variabile aleatoare (Sn)i ~n < oo un şir de constante (dn)t ~n < co , astfel 'încît şirul

este tare stabil,

dacă

(Sn - dn)t~n

(1:') =

-r11n

Cum lim ~ = 0

n ➔ co

obţinem

ILn

imediat lim

(X(n)('!)

= o,

n ➔ OO

oricare ar fi '! > O. Cor o 1 aru I 1.

F;

Dacă

=F

sînt îndeplinite

condiţiile

(I ~ j
O.

C o r o 1 a r u 1 2. Dacă condiţiile (5) M > O, astfel incit

şi

(6) sînt îndeplinite

constantă

I X; (~) I < M _pentru orice j (1 ., Lo

> O,

un j

Dar atunci «n ('t')

=

-!- t

IL(n) i=I

·dacă

20-2029

(

a2 dF; (a)~

) I a I >iµ(n)

!-

!'-(n)

f

' I af :>iµ(nl

L

> O,

806

PROBABILITAŢILOR ŞI

TEORIA

APLICA:fll

Deci Jim inf

Cln

('T) ~ O,

dacă

'T este suficient de mic, ceea ce ne duce la o presupus lim rt.n (-r) = O

contradicţie,

deoarece am

li-,. 00

pentru orice 'T

>

O.

§ 2. PROBLEMA GENERALĂ. REPARTIŢII-LIMITĂ Consideraţii

1.

generale

Fiind dat un şir de variabile independente {x"'} teoremele lui Leapunov Lindeberg ne dau condiţii de convergenţă spre variabila gaussiană a şirului format din variabile normate: şi

„

v----- ~li

=

S n

:E Xk -

k=I

i

:E M (Xk)

k=.1

•

M (Xk -M(xk)) 2

k=I

Teorema lui Leapunov pres1Jpune şi existenţa unor momente de ordin superior lui doi pe lingă momentele de ordinul întîi şi doi implicate în normarea şirului de sume parţiale S"' Teorema lui Lindeberg presupune numai existenţa acestor două momente. · Pe de altă parte, exemple simple ne arată existenţa unei limite gaussiene fără ca va.riabilele {x,,} să aibă momente de ordinul întîi sau doi. Într-adevăr, să considerăm şirul de variabile independente {x,,}, variabila Xn avînd ca funcţie caracteristică expresia

/,, (t) = e-1„ Dacă

,2 I

tI-

2 /n

>

Q

=

(n

1, 2, ...).

punem S

11

n ~ Xk =k=I

Vi

obţinem

/,,k(I) =fk(

;jj )= e-lk ~; (t)

= e-

2

n ➔ co

în orice interval finit I t I < T. Alte exemple se _deci aceeaşi

repartiţie,

obţin chiar în cazul funcţie caracteristică

simplu cînd variabilele

Xn

au

aceeaşi

,2 fn (t)

unde g (t) este o prietatea

= f (t) = e-

Iim gn

verifică

g

(t),

funcţie caracteristică nederivabilă

n ➔ CIO

Se

2

atunci imediat

în origine, avînd în plus. pro-

(~)=I. Vn

că

,2

ti

lim q>,,{t) = lim e- 2 gn( :; ) = e-T. n ➔ co

bilele

n ➔ co

Avînd în vedere aceste exemple, ca şi eventualele aplicaţii în care variaXn luate individual trebuie supuse la condiţii cit· mai largi cu putinţă, rezultă n

necesitatea dt.: a examina condiţiile cele mai largi, potrivit cărora variabila

Ex

k

k=l

normată în mod existenţa

supune

convenabil să aibă ca vreunui moment. 2.

Enunţul

limită .variabilă gaussiană, fără

problemei de.

a mai pre-

limită

Problema se prezintă, sub forma sa cea mai generală, aşa cum a fost tratată de W. Fel/er şi A. I. Hincin, în modul următor: Fiind dat un şir {xn} de variabile independente, nu toate degenerate, să se găsească condiţiile necesare şi suficiente pentru ca să existe două şiruri de numere: şirul {an} format din numere pozitive; şirul dublu {~nk} (k = 1, 2, ... , n), format din numere reale, astfel ca variabilele

TEORIA

308 să tindă

în

repartiţie

PROBABILITAŢILOR ŞI

spre zero, cînd n -+

APLICAŢII

o~icare ar fi k

oo ,

= 1, 2, ... , n,

şi

ca

variabile n

L

n

Sn n

cu

°'n = E cx„1e

să tindă

=

"" . LJX~k k=I

spre variabila

Xk

k=I =- -(Xn

an

gaussiană

cînd n -+ oo •

k-1

Condiţia relativă la variabilele Xnk corespunde cerinţei ca, pentru n -+ oo , nici una dintre componentele lui sn să nu rămînă finită, avînd astfel un rol prepon- derent faţă de celelalte. . Înainte de a trece la examenul condiţiilor necesare şi suficiente privind variabilele Xn, să facem cîteva observaţii. asupra parametrilor an şi r,.nk• Notînd cu fn (t) funcţia caracteristică a variabilei x„ şi cu f, 11,(t) funcţia caracteristică a variabilei Xnk, avem

f,nk (t)

= e-iankt Jk~

Deoarece presupunem că fnk (t) .

-+

(

-

t )

an

•

1, rezultă că fk (

.!_} ➔ oo (k = 1, 2, ... , n) an

cînd n -+ oo • P~ntru aceasta este necesar şi suficient ca an -+ oo • Aceasta, binede cazul pe care l-am exclus cînd 1/k (t) I = 1, otj.care ar fi k. In ceea ce priveşte constantele «kn sînt an determinate, ele sînt într-o anumită măsuri determinate, aşa cum ne arată următoarea propoziţie pe care ne mulţumim a o enunţa, deoarece nu o vom folosi efectiv: Dacă I fn (t) I -+ I cînd n -+ oo , pentru I t I < T există un şir de numere reale «,, , astfel încît înţeles, afară

f,, (t)

e-ia.nt-+

1 cînd n ➔ oo.

În cele ce urmează, ipotezele precedente vor privi numai şirul {an} o dată cu şirul {xn} şi vom arăta cum ele pot fi alese astfel ca să ne situăm în condiţiile problemei. 3. Forma Dacă O.

I I)

log t

log 2

Prin urmare, (4)

•

LEGI LIMITA. LEGEA LUI GAUSS

313

Vom presupune că x are momentul de ordinul doi finit. Aceasta este echivalent cu a presupune că f' (t) şi /" (t) există. Punînd g (t) = 1/ (t) 12, rezultă că g' (t) şi g" (t) există; deci log .lf (t)

12

= t

Deoarece I f (t)

g' (O) g (0) 12

+

r2 -

are derivata de ordinul întîi

log I f (t) I = .!_2 g" (O)

+

[ g (6t) g" (6t)-g' (6t)

4

. g (6t)

'1lnde g' (O)= - a2 ; coeficientul din

paranteză

log 1/ (t) I = şi

(5)

nulă,

~

4

Din (4)

(O< 0 < 1).

g (6t)g" (6t)-g' 2 (8t) g (6t)

.2

- !!:

12

2

-

g" (O)]'

se poate scrie 0 (t),

+ t 2 6 (t).

(5), .

rezultă

- ~ t2 2

+ t 2 8 (t) = -

t2

w(~}, Jog .

2

deci

- !!:2 + e(t) =

-w(~)· Jog 2

Dacă înlocuim pe t cu 2-" · t, al doilea membru 0(2_,, • t) este oricît de mic vrem cînd n este mare, deci

=_

w ( Jog lt I ) Jog 2 şi,

rărnîne

neschimbat, iar

~ 2

prin urmare, - ~ : t2

Revenim la ecuaţia (1), Cum w (t) -+ O cînd t -+ O,

ţinînd seamă

de (3)

şi

de (6),

obţinem:

rezultă ecuaţia funcţională

w

. unde (t) este o

(6)

2

1/(t) I= e

funcţie continuă.

(2t)

=

w

(t)

soluţie continuă

Singura

=

w (t)

a acestei

ecuaţii

este:

bt.

Prin urmare, -

f(t)

=e

ai

-

2

t 2 +ibt

Deci x are o repartiţie gaussiană dacă a ~ O. Singura presupunere pe care am făcut-o în cursul primele două momente ale variabilei x există. ·

demonstraţiei

este

că.

TEORIA

314

PROBABILITAŢILOR ŞI

APLICAŢII

O analiză directă a ecuaţiei (2) ne arată că această Deoarece I/ (t) 12 este o funcţie caracteristică, vom pune g (t) se va transcrie g (2t) = g4 (t). rezultă

De aici

condiţie

este

necesară.

= I/ (t) 12 şi ecuaţia (2)

imediat

g (1)

= g4n

(!_), 2"

-de unde

Prin urmare, log g (t)

r+oo (eitx -1) dG (2" x). ,!~ {4" )_

=

00

Dacă

punem

H,1 {µ) =

µ

x2

1+--;; 4" dG (2"x) = ~O

~ 2"µ

g2·

O

1+-

. ---;,· dG(y),

X

(7)

4"

· :rezultă

că

log g(t)

= lim 11-00

00

2 (eitx_I) 1 +.,x dHn

)I \

J-00

x-

(x)} •

Expresia din paranteză se mai poate scrie 2• ~ x dG (x) Din (7)

+

C(

e;" - 1 -

ii;) 1 ~,X' dH• (x).

rezultă că

H 11 (O)= O

·pentru orice n

şi

lim H 11 (u)

=f

11-00

-dacă

u

> O,

)

y 2 dG (y), 0

şi

lim H 11 (u) 11➔00 ,dacă

00

= r)

00

y 2 dG (y),

0

u < O.

1n caz contrar, lim H 11 (u) = ;ambele valori.

oo

fie pentru u

> O, fie pentru

u

< O, fie pentru

LEGI LIMITA. LEGEA LUI GAUSS

315

Cum SxdG (x) = O, problema este rezolvată. Există limită numai dacă momentul de ordinul doi este finit. In acest caz, dH!n> = O pentru (u) ~O şi numai în origine are un salt egal cu momentul de ordinul doi. Aceasta ne arată că

,2

log g (t) = - µ - . 2

Teorema precedentă este valabilă şi pentru o variabilă aleatoare x .(x1,x2, ••• ,x ~) vector în spaţiu E 111 • Vom demonstra suficienţa condiţiilor (independenţă între x + y şi x - y şi existenţa momentului de ordinul doi). Ecuaţia funcţională a funcţiei caracteristice este f(2t)

= 12 (t) f(t) 2 •

(8)

Prin urmare,

1/(2t) I = 1/(t) I 4. Dacă

punem g (t) =

lf(t) I,

. g (2t)

= g 4 (().

rezultă

Prin urmare, ca

şi

în cazul m

log g (t) =

= 1,

!~4" ~ (ei,X -

I) dG (2" X).

Să luăm

Deci, log g (t) Din (9)

=

•

{ ~+co

n ➔ oo

_

hm

00

rezultă că

...

~+00 _

.-(e"X -

_ I - itx) ·

00

şi

_

dHn (x).

(10)

(.n + Yi + ... + y~) dG (y)

(11)

2

Hn (O)= pentru orice n; de asemenea 00

00

lim U1 > n➔oo

+ xr)2 ... (1 + x!)2 X + x + ... + x„ 1 2

(1

o U2 > o, ... , Un, > o Hn (u) = ~

limite analoge pentru celelalte cazuri.

•

••• (

o Jo

316

ŞI APLICAŢII

TEORIA PROBABILITATILOR

------------Condiţia

ca limita (11 ), M 2.=

adică

momentul

00

r-i-co ... (

Leo J co

+ Yi + ... + _y;,) dG (y)

(Yi

să fie finită este necesar. Dacă M 2 este finit, punînd lim Hn(fi) = H (u), avem P.Otrivit cu (11), dH (ii)= O, ~eci u ~ O. Prin urmare, din (10) rezultă

log g (t)

=-

+oo

_!_

.2 ~ -co

~•+00

•••

·

(t1 Cf>1 -oe

1

m

+ ... + tm Cf>m) dH(x) = ± 2 j,E a;kt;lk, k=l

m

unde . >' a;kt;tk este forma pătratică pozitivă definită, lăsînd la o parte cazul în ,,"i;;f.1 care această formă este nulă şi pentru alte valori ale lui Î, în afară de t 1 = t 2 = = ... = tm = O. Avem deci ·

Soluţia continuă nulă

.

-

pentru t

=

eu (2t)

O a acestei ecuaţii este

=

eu (t)

unde ex este un vector constant. Deci

/(î) = exp ( adică funcţia caracteristică

a

~~

repartiţiei

t,

+ ;,;i)

aat;lk

gaussiene în Rm.

O.b serva ţie. Împreună cu M. Frechet se poate lua caracterizarea dată în teorema menţionată ca o bază pentru definirea repartiţiei gaussiene. Teorema originară a lui S. N. Bernstein, cu modificările introduse de M. Frechet, este următoarea:

Pentru ca variabila x să fie gaussiană, este necesar şi suficient să existe o variabilă y independentă de x şi cu aceeaşi dispersie finită, astfel incit varia-: bilele x y şi x - y ·să fie independente.

+

EXERCIŢII

1)

Să

se arate

că

LA § 1, 2, 3

înlocuind în teorema I, § 1, ipoteza (x;)1 ~ 1 < 00

E(SK)

>

prin ipoteza, pentru orice n 2, valoarea medie a variabilei xn conQiţionată de (x1 , x 2, ••• , Xn- 1) este egală cu zero aproape peste tot, concluzia rămîne adevărată.

2) Fie (xn) 1 ~ n < co un şir de variabile aleatoare care au momente de orice ordin. Dacă pentru orice m ~ O momentul de ordinul m al variabilei . xn converge spre momentul de ordinul m al variabilei x0 , atunci lim p (x,, n ➔ CO


) = O lJ. P (s, x; t, R)

=

1.

(3)

Procesul elementar are, în acest· caz, forma P (s, x; s + Â, X)= 8 (x; X)+ Â a (s, x,· X, Â),

unde

1 xE X

8 (x, X)= { 0

X

Fµncţia

a(s, x; X; Â)

ECX.

(4)

(i)

.

PROCESE STOCHASTICE DE. PROPAGARE IN TIMP CONTINUU

·357

este pentru orice  o funcţie continuă de s şi x, total aditivă de X şi, ţinînâ seamă de (3),

.

a(s, x; X, Â)

>

{ ~o

a (s, x; R, Â) 2. Procesele pentru care

xex,

funcţia a (s, x;

(ii)

x'e.CX,

0

= O. X, Â) este continui în ·ll..

ln acest caz, vom pune a (s, x; X, O)

= a (s, x; X)

Această funcţie este, ca oricare a(s, x; X, Â), continuă în s şi x, total aditivi în X şi verifică inegalităţile (ii). ·' · Din (1) şi (2) rezultă

P (s, x; t + ll., X) -P (s, x; t, X)

=

ll \ .p (s, x; t, dy) a (t, y; X Â), „R ,.,/

de unde, d~vizînd cu  şi făcînd  -+ O, găsim ecuaţia integro-diferenţială

'a: '

ap (s .x• I

X)

(

I

= JR P \s, x; t, d~) a(t, y, X).

Prin urmare, probabilitatea P (s, x; t, X) este Uit (t, X)

. ot

soluţia

sistemului .

= ( 1t (t, dy) a (t, y, X) JR 1t

De asemenea, din (I)

şi

(s, X)

(2)

=

ceea ce

(6)

8 (x, X) .

rezultă:

+ Â, x; t, X)-P(s, x; t, X)= = -A a(s, x; dy, A) P(s + Ay; t, X), P(s

(5)

t

(7)

dă

'

· iJP 1s x· t X)

'" a: '

= -J/ (s, x; dy) P (s, y; t, X). (

Deci, P (s, x; t, X) este. soluţia si~temului •

I

aa (S, x) = - ( a (s, X, dy) 8 (s, y) . aş JR 8 (t, x) = 3 (x, X)

(8)

358 Soluţia

sistemului (6) este 1t

dată

de seria

(t, X)= 8 (x, X)+ ~ta (u1, x, X) du1 +

+ (t du1 )s

dacă

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

TEORIA

r

du2 ( O (u2, x, dy1) a (u1, Y1, X) + ...

.s

aceasta este absolut în ipoteza

•s

1

(9)

)R

convergentă.

I a (u, x, X) I < A,

(10)

seria (9) ca· şi seria corespunzătoare sistemului (8) 8 (s, x)

= 3 (x, X)+~:

+ (t du1 (t ~u2 ( Ju,

Js

JR

a (u1, x, X)du1

+

a (u1, x, dyJ a (u2, y 1, X)+ ...

(11)

sînt absolut convergente. ln aceste cazuri, cele două serii reprezintă aceeaşi funcţie 1t

(t, X) = 8 (s, x)

Putem acum demonstra

= P (s, x Lt, X).

următoarea

Teoremă. O funcţie a (u, x, X) verificind condiţiile (i), (ii) şi (10) sau altă condiţie

mai largă, pentru care cele două serii sînt absolut convergente, un proces P (s, x; t, X). Demonstraţia urmează exact acelaşi drum ca în cazul finit. Proces omogen. În acest caz,

determină

P (s, x; t, X)= P (t-:-s; x, x). Rezultă că funcţia

a nu depinde de timp:

a= a (s, X). Seria (9) devine P (t - s, x, X)

.

= 8 (x, X) + A< 1>(x, X) t -

1

s

+ A(x, X) (t -

s)

2!

+ ... ,

·

(12)

unde

A< 1>(~, X) =

a (x, X),

A (x, X) =

~ / (x,

•

A-r

36t

de (j ')

şi

(j' '),

JR j·< e:~ (s, x)

liml(

A➔O oricare ar fi e:. De unde

Jim ~R = 0. Revenind la (16), putem face /::i-* O şi iJP(s,x;t,X) - - - _- -ex 1,s,x)

âs

Vom presupune în cele ce (-oo, y) şi deci

oP

obţinem relaţia diferenţială

1 2

r.>. (

---I-'

âx

urmează că X

2 s,x)o- P2 s < t .

âx

(17}

este intervalul deschis la dreapta.

P (s, x; t, X)= F(s, x; t, y), şi că există

o densitate de

repartiţie

p (s, x; t, y)

âF = -. ây

În acest caz, ecuaţia (17) se poate_ scrie şi pentru densitatea p (t, y): 02

~=-ex (s, x) op_.!_~ (s, x) P âs

Densitatea de

âx

repartiţie

2

âx 2

s

< t.

(18)

p (s, x; t, y) este atunci soluţia ecuaţiei cu derivate

parţiale

âcp (s, x) ) âcp 1 ) â 2q> --=-ex(sx -s O, fi,1, < O,

(h, k

h-::f:.k

în acest caz, (J)

=

că funcţiile J,.k

satisfac

l, 2, ... , m).

şi (4) ne arată că pentru

= (fjk)t=s (dPk) dt t=s

(J)

t = s avem:

.i

Prin urmare,

k =/= I, k = I,

{> 0 (dPk) dt t= s < O cu Pk = O (k ~ I) şip= 1. Fie a~um o valoare t0 astfel ca Pk (t) şi Pk (to) = 0. Din (J) rezultă:

în

corespondenţă

= (dPk) dt t=to Cum egalitatea p,,

=

> O(h = 1, 2, ... , m) pentru t < t0

('°'

I'. ) . LJPhJhk • t-t0

h=k

l ne arată că nu toţi p,, (h ~ k) sînt nuli, rezultă din (J)

> (dPk) dt , ... , 0

că:

O •

Ca urmare, mei una dintre soluţiile sistemului (J), (4), unde coeficienţii verifică şi relaţiile

(J) în loc de (i), nu este negativă şi nici mai mare decît unu. Revenim la un sistem fu, în care unele dintre funcţii pot fi nule pentru anumite valori ale variabilelor.

TEORIA

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

372 -----------

Funcţiiie

ihk = f hk

+

/,C:,,

(X;

=

J,,,, - (m - 1) oe,

(X

>o

h, k=l, 2, ... ,m

h*k

formează un sistem verificînd condiţiile (J) şi (iii) pentru orice oc pozitiv finit. Potrivit unei teoreme cunoscute, soluţia sistemului (J), (4), corespunzătoare unui ex. finit oarecare, tinde, cînd oc -+ O, spre soluţia sistemului (J), (4) pentru oc = O. Cum pentru orice oc.,pk(t) O, vom avea şi Pk (t) = pi(t) O, afirmaţia este

>

>

demonstrată.

ecuaţiilor

2. Procesul aleator liniar asociat Dacă lanţul definit soluţii ale sistemului (J),

se reduce la un lanţ Markov, probabilităţile Pk (s, t), (4), verifică relaţiile funcţionale: m

Pts (s, t)

=

(J)

(/, k

"B"Pth (s, u) Phk (u, t)

=

1, 2, ... , m).

h=I

Vom arăta că aceste relaţii se înlocuiesc, în cazul general al complete, prin altele de forma:

lanţurilor

cu

legături

Ptk (s, t)

= I: Pth (s, u) 1tthk (s, u, t)

s

< u < t,

unde 1tJhk (s, u, t) este un sistem de probabilităţi condiţionate, ale cărui pentru / şi s fixe, sînt cele corespunzătoare unui lanţ Markov. Să considerăm soluţia sistemului (J), (4) pe care o vom scrie: Pk (t) =Ptk (s, t)

(k

(k) proprietăţi,

= 1, 2, ... , m),

trecînd sub tăcere, pentru simplificarea scrierii, indicele fix I şi momentul fix s, cu aceste funcţii, continue împreună cu derivatele lor de ordinul întîi, f,,k(p 1 (t), Pa (t), ... , Pm (t); t) devin funcţii continue de timp: (6) hk (p1, P2, •• •, Pm; t) = Khk (t), verifică condiţii corespunzătoare condiţiilor renţiale liniare:

care

dXk

m

(k

-=EXhghk(t) dt .

(i), (iii), astfel

=

că ecuaţiile

dife-

1, 2, ... , m)

h-1

admit o soluţie determinată pentru condiţiile iniţiale:

continuă împreună

cu derivata sa de ordinul întîi, (7)

Ţinînd seamă

de faptul ghk

că

Khk îndeplinesc

> o,

ghl,

< o,

condiţiile

EKhk = O, k=l

(h

...

(i):

m

= k = I, 2, ..• ,

m)

373

PROCESE STOCHASTICE DE PROPAGARE IN TIMP CONTINUU

rezultă că soluţiile probabilităţi:

pe care le vom numi (u, t)

1thk

şi verifică

o

relaţie

1thk

- O, E

1thk 'k=l,2, ... ,m

(u, t)

sistemului (7) sînt

=1

a lui Chapman: 1thk

(u, t)

m

E

=

1thk

(u, v)

1t1k

(8)

(v, t).

i=I (h, h= l, 2, ... ,

(u~v~t)

m)

Derivînd în raport cu v în ambii membri ai acestor egalităţi, obţinem: O=

f

[01rh1

Folosind sistemul (J), O=

+ 7th/ (u, v)

(~f~ 1thk (v,t)

ov

I=•

m

~hk(v,

ov

t)

J.

obţinem:

I:1t1i 1 (u, l=I ·

[07t/k (v,

.

I)

v) ---v-- ·

a

+ Em g1r (v) 1t,k (v, t) ] . k=I

Facem în această relaţie v = u şi ţinem seamă de (7): rezultă pentru fiecare h un . al doilea sistem de ecuaţii: 07thk

(u, I)+

au

E

Khr

(u)

1thk

(u, t)

= ·o; u
' /1,1 (p1 (s), P2 (s), ..., Pm (s), s) P1 P,,

(t)

=

(s) (J")

8hk

Spre deosebire de cazul Markov, cele două lanţuri, nu sînt identice. ·

deşi

generate de

acelaşi

sistem!,.,,

3. Sistem lacunar Dacă funcţiile

/,.1,,

afară

de condiţiile (ii) şi (iii), ·verifică numai inegalităţile: m

h\~ O, k.{~iJ: . ~'m ~ hk 'fĂk;

t;;f

h

= 1, 2, ... , m.

Sistemul (J'), format din (J) şi ecuaţia precedentă, îndeplineşte condiţiile impuse acestui sistem pentru ca p 1 (t), p 2 (t), ... , Pm (t), Pm+t (t), determinate prin condiţiile iniţiale:

p,, (s) >, O

L,

h=l, 2, ... , m, m+l

să

verifice aceste

condiţii

pentru orice t.

p,, (s)

=

1

~75

PROCESE STOCHASTICE DE PROPAGARE JN TIMP CONTINUU

Rezultă atunci că sistemul lacunar (J) determină probabilităţi p 1 (t), p 2 (t), ... , Pm (t) cu condiţiile:

E

Ph (t) >, O

Ph (t)

=

de asemenea un sistem de 1,

h=l,2, ... , m

aceste condiţii sînt verificate pentru t = s. Putem vorbi, în acest caz, dacă trecem Ia o interpretare intuitivă, despre o . stare c.u = m + 1, a cărei probabiJitate este: ·

da~ă

Pro (t)

=

B

1-

Ph (t)

/J=l,2, ... ,m

şi

care ar putea fi dispariţia unui oarecare dintre elementele ale căror stări sînt descrise de proces. In trecere de la (1) sau (3) pînă la (J), izolarea unui sistem lacunar se realizează dacă lim tJimk = fmk = O (k = 1, 2, ... , m). Fenomenul este mai relevant în cazul unei mulţimi infinite de stări. 4.

Proprietăţi

ergodice globale ·şi individuale

Un aspect al proprietăţilor ergodice ale unui lanţ se pune în lumină prin studiul invarianţilor integrali asociaţi sistemului diferenţial (J). Vom examina problema întîi în general, fără a ne limita la condiţiile iniţiale care dau caracterul de probabilităţi celor n funcţii care-l verifică. Fie deci sistemul: dxk -=

(J)

dt

k

= 1,2, ...,

m

Vom presupune că derivatele de ordinul întîi ale funcţiilor hit există şi sînt continue într-un domeniu D. Integrala I

= ~V F (x,, x,• ...• Xm; t) dx, dx, ... dxm,

unde domeniul V este interior lui D, este verifică ecuaţia

invariantă

pentru

(11) ecuaţiile

(J)

dacă

F

· dF dt

+F (

"\:'"'

f,,

u=I,L..J 2, ... , m

+ "\:'"' Xh o/hi) = 0.

k=l,/....../ 2, ... , m OXJ

(12)

în cazul particular care corespunde lanţului Markov, ecuaţia ·devine:

- + F( E

dF dt Ştim căfu

(t)

~

O şi

că

= o.

f,, )

nu putem avea/11 (t)

=

O pentru orice /. Prin urmare,

putem scrie:

Elu = l

(13)

u=I, 2, ... , m

2

c.u

< o.

37 6 TE O R I A PROBABILITAŢILOR. ŞI APPCATII ---'- ---'- ________ _ _ _ _ _

Rezultă:·

J:

Ft=F,e

111 2 (u) du

r

(14)

Din (11) avem atunci, notînd cu V (t) volumul domeniului V la momentul t,

V (t) = V (s) e- s

m•(11)d11

(15)

V (t) descreşte indefinit cînd t tinde spre infinit. Dacă (J) corespunde unui lanţ omogen, (t) = este constant; prin urmare,

=

V(t)

V(s)e-(t-s)m':

· ,V (t) tinde spre zero cînd t tinde spre infinit. Numai dacă ):

(16) 2

_(u) du este con­

vergentă nu avem concentrarea asimptotică puternică exprimată de formula (16). în cazul general, este de reţinut o împrejurare care nu se poate ivi pentru lanţurile Markov, în care nu poate fi nul. Dacă presupunem că

. afÂ,

-= t;t OX/

>'fu+ >'x,,

�

0t

(17)

fiind. constantă, rezultă: V (t)

=

V (s) e< 1 -s) 11•

(18)

Dacă 0t > O, volumul creşte indefinit, punctele se dispersează. Dacă 0t < O, volumul tinde spre zero ca şi în cazul lanţului Markov. 1n sfîrşit, dacă 0t = O, volumul rămîne invariant ca în cazul sistemelor dinainice. ln acest caz, fenomenele ergodice de examinat sînt analoge cu acelea ale traiectoriilor dinamice. Exemplu:

hl

= Ea;;, x, + a111

cu

a111 > O, a11

< O,

Condiţia (17) ne dă: ex

·

au

h�l

< O.

= ,E a11 � O,

� ca:, + .

l

a,.,)

= o.

Deci, dacă toţi a11 sînt nuli, volumul este un invariant. Dacă nu sînt toţi nuli, orice volum tinde spre zero cînd t tinde spre infinit.

PROCESE STOCHASTICE DE PROPAGARE IN TIMP CONTINUU

377

Rezultatele considerate pînă aici nu se pot transpune imediat la procesul stochastic asociat sistemului (J), (4), deoarece acest proces se petrece numai în hiperplanul: X1

şi,

+ X2 + ... + Xm =

1

(19}

în acest hiperplan, în domeniul închis âm-t caracterizat de inegalităţile:

0~

Xk ~

1, 0 ~ X1 + X2

+ ... + Xm-1 ~ 1.

(20)

Vom considera atunci, în loc de (J), sistemul obţinut înlocuind pe Xm cu 1 - x 1 - x 2 - ••• - Xm-t şi suprimînd ultima ecuaţie care este dependentă de primele:

E

dx -=

dt

.. (J)

xhxhl (I= 1, 2, ... , m -1).

h=l,2, ... ,m

Pentru ca J ,v-1

=r

F (x1,

Jvm-1

să şi

X2, ... , Xm-1)

dx1 dx2 ... dxm-1,

-

fie un invariant al sistemului I, Vm-t fiind un domeniu din suficient ca F să fie o soluţie a ecuaţiei:

- + F [m~-I Un -

dF , dl Ţinînd seamă

fmil

=I

de (i),

+ "' LI

această ecuaţie

(

o/hi . xh --

h=l, 2, ..., m l=l,2, ..., m

OX/

numai

că, relaţiile

este necesar

O/III)] = o.

-OX,n

se reduce la (12), în care presupunem:

Consideraţiile dezvoltate în legătură cu (12) sînt deci valabile stochastic asociat sistemului (J). Adăugăm

~m-t,

şi

pentru procesul

(5) fiind verificate oricare ar fi t, vom avea:

Vm-s (t} C âm-1,

da~

relaţia

este satisfăcută la momentul iniţial t = s. Sistemul (J), corespunzător lanţului Markov continuu, se poate scrie: d/

-= dt

E

p,.(fhl-fm1)+fmt•

(J'}

l1=1,2, ... ,m-l (l=l, 2, .... m-1)

Dacă numim cu F matricea llfh, -fm1II, cu f vectorul de componente: fmi (/ = 1, 2, ... , m - 1), cu matricea-soluţie a ecuaţiei omogene

d-. dt

= -r/ -r (s) = ~' ·

I

/ TEORIA

"378 -soluţia generală

a

ecuaţiei

Condiţia necesară iniţiale -

(J') se poate scrie:

= -r (t) (P (s) + ~: 7 (u)-r-1 (u) du) ·

p (t)

O, f

(t)

> O,

:Sistemul (J') devine: P1 -Condiţia

de ergodicitate

+ [f(t) + g (t)]P1 - g (t) = O.

globală

este:

~: [f(u)-g (u)] du-+ oo, t-+ oo. Aceasta fiind

îndeplinită, găsim:

lim p 1 (t)

=

lim

g (t) g (t) /(t)

+

(t-+

oo ),

-dacă

limitele pentru f(t) şi g (t), cînd t-+- oo, există şi g ( oo) ~ O. în acest caz, -evident: lim p 2 (t)

=

lim f(t)

/(t) • g(t)

+

Proprietăţile ergodice ale lanţului cu legături complete (J) se pot cerceta, •cel puţin în anumite cazuri, cu ajutorul lanţului Markov asociat (J), (7) şi al · :.relaţiei· (10). ·

I

/· '

PROCESE STOCHASTICE DE PROPAGARE IN TIMP CONTINUU

este

ln adevăr, dacă Plk (s, t) tinde spre o limită cînd t ~ de condiţiile iniţiale, vom avea

oo

379

şi dacă această limită

independentă

lim Plk (s, t)

=

O condiţie ţilor 1t1hk(s, u, t),

lim 1tlJk (s, s, t) = Pk· t➔ OO

t ➔ oo

pentru ergodicitatea lanţului Markov corespunzător probabilită­ pentru un / şi un s daţi, este ca să .existe h0 şi k 0 astfel ca:

>-- ~ > O,

/hoko

oricare ar fi t,

deoarece, în acest caz: (t)

!hoko

h {p1, P2, "'' Pm; t)

Phk

(P1, P2, ... , Pm; t) - 8hk,

unde 'PA >-,. O, 'Phk este un sistem de probabilităţi, este evident suficient ca să existe un h0 astfel ca:

11o> ~>o pentru orice valori ale argumentelor. 5.

Lanţuri

de

soluţii

ale sistemelor de

ecuaţii diferenţiale

Un sistem dxk

-

dt

=

E X1ifu (X1, X2, ... , Xm; t) (k = 1, 2, ..., m), m

(21)

h=l

în care J,,k sînt funcţii mărginite şi continue de toate argumentele într-un domeniu D x [T1 , T2] din Rn x R satisfăcînd în plus, în acest domeniu, o condiţie de tip Lipschitz, are o integrală Xk

(t) = hk (t, s; a1, a2 ,

continuă împreună cu derivata t E [T1, T2] dacă ai, a2, ••• , am, lui D şi s E[T1, T2] •

. Introducînd în hk (x1 , x 2, Khk

(t) = hk (x1 (t),

X2

...:

a,,,) (k

= 1, 2, ... , m)

(22)

de ordinul întîi, aparţinînd domeniului D -pentru reprezentînd poziţia la momentul s, aparţinînd ... , Xm,

t) valorile (22), vom

obţine funcţiile

(h, k = 1, 2, ... , m},

(t), ... , Xm (t); t)

(23)

continue pentru t E [T1 , T2]. Fie acum sistemul liniar

mărginite şi

-dYk =E Y1,gu(t) dt m

h=l

(k

=

1, 2, ... , m)

(24)

380

PROBABILITAŢILOR ŞI APLICAŢII

TEORIA

şi sistemul de m soluţii condiţiilor iniţiale:

---------

= I, 2, ... , ni,

Yik (u, t), k

(I= 1, 2, ... , m) cerespunzînd (25)

Dacă notăm cu X(u, t) determinată şi unică (u, t E [T1,

dY

- =

Y (u, t) g (t)

dt

care, pentru t

= u,

este

matricea IIYik(u, t) li, această matrice este T2]) a ecuaţiei scrisă sub formă matriceală:

~ală

în

acelaşi

= li 8hk

(26)

jj.

ecuaţia asociată:

timp cu (26)

z (u, t) '

dZ(u, t) _ - - - g ( u) du

şi să arătăm că soluţia

= li Khk (t)II),

cu matricea-unitate: J

Să considerăm

(g (t)

soluţia

identică

U (u, t) este

Z (u, t)

=

Z (t, t) = I

(27)

_cu precedenta:

Y (u, t).

în cazul particular în care matricea g nu depinde de t, soluţiile celor două ecuaţii

au

aceeaşi

expresie,

şi

anume:

=

Y (u, t) = Z (u, t)

I

+

f I

presupunînd avem:

că

(t - u)r

r!

ll

membrul al doilea este convergent.

Y(u, t) =I+~: g(v,) dv1

+t

Dacă

gr ~ g (t) nu este

dv, g (v,) g (v2) dv2

constantă„

+. .

... + (' dv1 (' dv 2 (' g (v 1) g {v 2) g (v3) dv3 + ... ),,

)u

),,

şi

Z (u, t)

=

I+ ~: g (v,) dv,

+ ~: dv1

~>

(v,) g (v.) dv2

+ ....

Să observăm imediat că integralele multiple respective sînt egale, de unde teorema enunţată. Vom nota cu X (u, t) această matrice, soluţie în acelaşi timp a ecuaţiilor (24). şi (27). Se verifică imediat că aceste. matrice sînt legate prin relaţia lui Chapman1 :

X (u, t)

=

X (u, v) X (v, t)

u, v, t E[T1 , T2 ].

(28)-

1 Se arată întîi că derivata membrului al doilea în raport cu v este nulă, ţinînd seamă de (24) şi (27). Scriind H (u, t) = X (u, v) · X (v, t) dacă facem v = u, rezultă H (u, t) = X (u, t). deoarece X (u, u) = I.

PROCESE STOCHASTICE DE PROPAGARE IN TIMP CONTINUU

331

Reluînd ·problema ecuaţiei (21), presupunem că domeniul D cuprinde toate cele m puncte (8 1k, k = 1, 2, ... , m; I= I, 2, ... , m) şi notăm cu x (s, t) soluţia pentru care Xtk (s, s) = 81k pe1=1tru orice / = 1, 2, ... , m. Pentru fiecare dintre aceste soluţii obţinem o matrice: X 1 (s, u, t). Demonstrăm

\

imediat

că X1k

(s, t)

E

=

x1k

(s, u) X1hk (s, u, t).

(29)

h-1,2, ... , m

Relaţia dintre soluţiile ecuaţiei liniare asociate sistemului (21) sistemului poate fi foarte utilă pentru studiul acelor soluţii, mai ales duc, dacă facem u = s, la egalităţile: X1k

(s, t)

=

X11k (s, s,

t) .

•

şi soluţiile că {29) ne

l

CAPITOLUL XIII

PROCESE STOCHASTICE ÎN GENERAL Pentru a exprima evenimentele şi probabilităţile care intervin într-un lanţ Markov simplu şi discontinuu, trebuie să probabilizăm, în mod adecvat, spaţiul­ produs al evenimentelor cîmpului de bază. O teoremă de extensiune ·a măsurii pe spaţiul-produs, suficient de generală pentru a sta la baza teoriei proceselor stochastice, a fost dată în 1949 de C. Ionescu Tulcea. · Procesul stocbastic se prezintă, în urma acestei extensiuni, ca un cîmp de probabilitate definit pe o mulţime de funcţii adecvate procesului. Pe această schemă se pot prezenta, în mod simplu, clasificările proceselor stochastice de diferite tipuri. § 1. MĂSURI

1. indici

Generalităţi.

îN SPAŢII-PRODUS

Mulţimi-produs.

Probabilităţi

Fie X o mulţime, Sf un corp borelian de şi E mulţimea-produs

părţi

condiţionate

ale lui X, I o

mulţime

(s)

ll X, sEl

unde (s)

X=X

pentru orice s E/. Pentru o~ce parte

finită

J C I, vom nota cu Xi

mulţimea-produs

(s)

IT X sEl şi

cu Sfi corpul generat de

părţile

lui Xi de forma (s)

II A, sEl

unde

(s)

AES

e

pentru orice s j.

, ·•

de

PROCESE STOCHASTICE JN GENERAL -I

O parte a lui E de forma pr; (&,) *, unde B E§i se numeşte cilindrică. Să notăm cu e mulţimea tuturor părţilor cilindrice ale lui E. Mulţimea e este o· algebră booleană. Corpul borelian generat de e va fi notat cu ~,r. Se demonstrează cu uşurinţă că

{;;j (B) IB E

~j }·

este un corp borelian de forma

conţinut

în corpul 8JC

şi că

este generat de

părţile

lui E

(s)

Il A, s

EI

unde

pentru orice s E/

şi (s)

A=X -1

dacă

se J;. vom nota acest corp borelian prin pr;(Sfi).

Fie P o funcţie definită pe e cu pţoprietăţile. 1° O P (A) P (E) = 1 pentru orice A Ee, 2° P (A U B) = P (A) + P (B) dacă A, B Ee şi A n B = (/), 3° P ( U A;) = l:: P (A;) * * pentru orice familie (A;), e a, numărabilă de-


, r

şi i >, n. În particular, rezultă atunci că , r

pentru ·orice i; deci , R (x0 ; i

de

+ 1)

O, I, .. .. Fie R (x0 ; oo)

Ţinînd seamă

egalităţile

(3),

= lim

1, ➔ f»

R (x0 ; i).

obţinem

~x dP (x.) P (x0 ; co) :;;,. r. Urmează că există

astfel încît

un Xo

eX

pentru care

R (x0

;

oo)

>r;

387

PROCESE STOCHASTICE 'IN GENERAL

deci

pentru orice i = O, 1, ... Să presupunem acum că am determinat şirul (x;)i~;r

> j, şi să căutăm un punct R (XXn+t ; i) > r

Xn+i pentru care

0, ••• ,

pentru orice i Fie

= n + 1, ... R (xo, ... , Xn+i

Din

.relaţiile

;

00)

= lim.

i ➔ oo

R (xo, ... , Xn+t ; i).

(2) deducem

~x P(:i:0, ••• ,

z. ; dx.+,) R (:ii., •••, z.+1 ; oo) >- r.

Raţionînd ca mai sus, vom obţine punctul xn+t căutat. Vom determina astfel din aproape în aproape şirul z = (xn)o~" A 2 :J ... :J An :J ... de Să presul?unem că

mulţimi

inf P (A;)= r-> O.

l~i' E P~fJ P;y = . l➔oo m, f;;;( flE/

i=l

1 m;

m;

1 (m;+ii

E p:~' = lim -m; E p~ + lim E m; i= m; I-

lim -

i➔oo

1 m; ) E E Pafl ( l➔oo f3E/ m

lim

i➔ oo

/=l

13

1

i➔ oo

1

P~y ~

n

)

E JJ!ifl /=l

=

llay •

Aşadar, familia (llay)-,e1 este o repartiţie staţionară pentru orice ex EI. Deci„ în cazul considerat există repartiţii staţionare. Este interesant să observăm că pentru orice repartiţie staţionară (p.,)-,er există o familie (ca)ae1 de numere O pentru care

>

şi

E Ca Ilay = P., (y e/). uEI

Într-adevăr, să

presupunem

Atunci

şi

deci

EP-r Il-,a =Pa• YEI

Dacă luăm Cy =py'

obţinem

E c-,

llya.

= Pa •

yE/

Din rezultatele precedente şi numai dacă

rezultă că există

o

singură repartiţie staţionară dacă·.

pentru orice y', y" şi ex. b) Fie acum pn (x, A) o funcţie definită pe produsul R x ~ pentru orice n„ cu proprietăţile 1°, 2°, 3° enumerate. Prin urmare, _ 1* pn (x, A) este măsurabilă B ca funcţie de x pentru orice A E& ; 2* pn (x, A) este o probabilitate pe ~ pentru orice x ER; 3* pm+• (x, A)

=

~R

pm (x, dy) P" (y, A) pentru orice n

şi

m.

-400

TEORIA

PROBABILITAŢILOR

CU

APLICAŢII

Să numim, prin analogie cu· punctul . a), repartiţie .bilitate Q definită pe âi, care verifică egalitatea

staţionară,

orice proba-

/

Q (A) :._ ( Q (dx) P" (x, A)

)R

pentru orice A E&, Să punem

şi

n. l

m

m

BP m

11 (x, A)= -

.

1

(x, A)

j=l

·şi să

că există

presupunem

un

subşir

(mj)t~i O,

deoarece Dar

10 -

1

e[k -

1, k - 1 + m];

deci 't

(xo) E {x/

[fk-1 (x)

sup

k-l~l' O}.

Aşadar x 0 E Y. Fie acum x 0 E Y; atunci

t (x 0 )

E {x/

sup

k-l~l' O},

deci fk-1 {t (xo))

Dar

nE [k-1, k-1 + m].

(t (x0))

> O.

Urmează că

fk (xo) şi

+ ... + fi~

+ ... + fi~+1 (x0) > O

/0 + 1 E [k, k + m]. Aşadar, x0 EX şi deci X = Y. . Definiţie. O parte A E 81{ este invariantă pentru 't 't'

Este evident

că dacă

(A) =-A.

A este invariantă, atunci t (A) CA.

într-adevăr, t (A)= t {t-1 {A)) G A.

dacă

406

TEOIUA PROBABILITAŢILOR CU APLICAŢII

Urmează că -,;" (A) CA

e

pentru orice n ]'f. P r o p o zi ţ i a 3. Fie A E �f o parte invariantăşi să presupunem că 1

li

n

1_1

•

sup - EJ(-r;' (x))

dacă X

e A.

1, O.

(eu)= (X;+1)iEN

11

(eu)

= (X;+n) iEN

TEOREME ERGODICE

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -411 Este

uşor

văzut că

de

(6)

. pentru orice A Ecm. Este suficient să demonstrăm relaţia (6) în cazul cînd A este o · · mulţime cilindrică, întrucît mulţimile cilindrice formează un sistem de generatori ai corpului. Dar * 't-1 ( rr A;)= rr Ai, iEN

iEN

unde Ai= R dacă i = O şi A;= A;_ 1 dacă i >, 1; deci -r-:-1 < rr A;) iEN

şi

eim

deci

pentru orice A Eim. Fie acum P0 o probabilitate complet aditivă definită pe {E, ~1f, P 0} este un cîmp de probabilitate complet aditiv. P r o p o z i ţ i a 5. Dacă ot) P 0

IT A;)

(

-1

=

iEN

pentru orice

cm. Atunci obiectul

fI P0 (pr; (A;))

iEN

mulţime cilindrică

IT A;

şi dacă

iEN -1

-)

~) P 0 (pr 1 (x)) = P 0 (pr; (x)) pentru orice i EN,j EN şi X Eci\ 1 , atunci y) P 0 (-r-1 (A))= P0 (A) pentru orice A Dacă A Eci, este o parte· invariantă, atunci 8) P 0 (A) = O sau I.

Ecm.

Este suficient să demonstrăm egalitatea y pentru orice mulţime A din cea mică algebră booleană care conţine mulţimile cilindrice IT A;. Dar este iEN mulţimea tuturor reuniunilor finite disjuncte de mulţimi cilindrice. Deci este suficient să demonstrăm egalitatea y pentru orice mulţime cilindrică Il A;.

e

mai

e

.

~N

Atunci ..

-1

P 0 ( II A;)= II P 0 (pri (A;)) iEN

*

=

iEN

(x.)1-er E TI Ai -+ x 0 E R, x; E A;_1 '

dacă

i ~ O;

aşadar,

iEN

n

Xo+1 E Ao şi Xi+1 EA; dacă i?:,-1-+ (.t'i+ViCNE A;; deci, "" iEN

{x;)iEN E ..- 1

Reciproc, dacă

x;+ 1 EA; pentru i ~ O

= (x;)iElE r şi,

1

(

(irN A;),

prin urmare, x; E A;_1

TI

iEN

A;) .

atunci -. dacă

()

i~1

şi

=

{x;+ 1)iEI EirN A;; aşadar,

X; E R; deci,

E TI Ai. iEN

412

PROBABILITAŢILOR

TEORIA

CU

APLICAŢII

şi -1

P0 ('t-1 ( IT A;)) - P0 ( II A;) iEN

iEN

-1

=

iEN*

ceea ce

/

iEN

-1

-1

= II

Po (R) IT P0 (pr; (A;-1))

= II P0 (pr; (Ai)) =

P0 ((pr;_ 1) (A;_1)) =

iEN•

IIP0 (pr; (A;)),

iEN*

arată că

P0 ( Il A;) iEN

pentru a demonstra

că dacă

A

iEN

E&, este

invariantă,

atunci

= O sau I,

P(A)

este suficient

= P0 (t-1 ( Il A;))

să arătăm că

n Y) = P

lim P0 (t-n(X)

0

(X) P0 (Y)

n ➔ oo

pentru orice mulţimi X şi Y care sînt reuniuni finite disjuncte de mulţimi cilindrice; deci este suficient să demonstrăm egalitatea precedentă pentru mulţimi cilin-drice X şi Y. Fie deci · X= II X; iEN

şi

Y= Il X;. iEN

Fie n ~ O, astfel incit Y; = R

dacă t-n

(X)

i

~

n. Avem

= Il

X;,

iEN

unde

xo =

X1

= ... =

=

R

(t-m (X)) P0 (Y)

=

X"·- 1

şi

dacă

i ~ n. Deducem atunci imediat P 0 (t-m (X)

dacă

m~n

şi

n Y) = P

0

că

P 0 (X) P0 (Y}

deci lim P0 ('t-m (X) n ➔ oo

Propoziţia este deci demonstrată.

n Y) = P

0

(X) P0 (Y).

TEOREME ERGODICE

413

P r o p o z i ţi a 6. Dacă ipotezele (X) şi ~) sînt verificate şi dacă adQ (a)

~R .

-1

există,

unde Q(A)

= P0 (pr; (A))

pentru orice A E~ 1, atunci

(

şirul

J n ) -Epr1

„

J-1

l~n·:

li ~m_-S11_,< 1.

,.

(l şi

Fie T un operat~;~\· E

!·B\(A) , {xlX_(x) . A•. x} '..

r

este o valoare proprie a operatorului T dacă i.:".r

~;!.J~:L!f'.- .t:--·•;:1: ~.,.r:~::ur~1rlf Ir_

-

~-

.

j-,•:, ".:

;

,,-\

•.

B(A)~{O}.

Mulţimea B(A) este· ispaţiul !propriu al- valoni· xr Dacă B ()i) este de dimensiune p, spunem că A este o valoare proprie de multiplicitate p. Dacă ]J(A) ţ~ţţ._d~, dµµ_~n~~~~~--infinită, sp~n~~: ~~- \e~te_ o__ val~~~e ~!oprie __~~- ~~lt~~litr~~e· -~rif~~~ţ.: :. , .,!. •

•

•

.~ ~

"J 0

,-,/

;

•

•

I

• /

••

0

'

~

•

,

.;

!. 12j:

..

J •

I

...

• •

O

•

_.'

•

•

.,

O

•

~

#

~

.;. •'

Â,

:.,t~~ilria.- ergriili~ă->unii~ririf -··,, 'J

• > •

-

•

•:

••

şi

o

constantă

C pentru care.,

~;. ~,., ~ ~,-•::,1-:

pentru orice n. 27-2029

rj

h

: ..

'~••';..'.,.

',_· \

•

-

·_,1.

liT".ll 1.

n

E

Ti

j=l .

Se vede imediat

că

şi

Iim li Tm O Tn ~.Tn n ➔ oo

U= O.

Să observăm că· dacă

D= Tm-s,

atunci V= (I-Df1 SV+ (l-Df 1 (V.TmV)

(4)

pentru orice operator V. într-adevăr,

şi

deci (l-D) V= SV+ (V-TmV).

Deoarece 11 Dl I· < 1, operatorul (/ - Dt1 acest operator obţinem

există şi înmulţind

ultima egalitate cu

Y= (I-Df1 SV + (I-Df.1 (V-Tm V), .adică

egalitatea (4). Din egalitatea (4) deducem că, oricare ar fi ~ EE, şirul (in(x)h~ n< 00 conţine un subşir Cauchy. Este suficient să luăm în egalitatea (4) ·,

şi să observăm că

este compact

operatorul

şi

lim (Tn - T0 Tn)

.n ➔ CIO

Teorema 1.

converge spre o

= O.

Şirul

limită

T rs, (x) pentru orice ~ E E, T 00 . este un operator şi

Teo oT= ToToo

=

Trs,

o

Too

=

Trs,,

li Teo li~ C.

. 419

· TEOREME ERGODICE

Să

arăta că

începem prin a

= O;

'Jim Tn: (x) n ➔ oo

dacă X

Fie deci x

E(/ - T) (E)

şi

E(I-TJ(E).

y E(/ - T) (E) , astfel încît

li X -y 11 ·-< ~ C

Atunci

li Tn (x) li

•

-< + li Tn (y) li e;

şi

=

Tn (y) dacă

y

= z - T (z).

'În (z)-Tn (T(z))

Dar.

lim (Tn (x)-Tn (T(z)))

=O

n ➔ oo

şi

deci .

= O.

lim T„ (y) n ➔ oo

Cum e este arbitrar,

,_

rezultă ·că

1im Tn (x)

= O.

n➔ao

Fie acum x E E; din şirul (Tn (x)) 1 ~n~oo să (Tn/x)h~J ~ 00 convergent _şi să punem T 00 (x)

extragem

un · subşir

= n➔ lim Tn. (x). oo .I ·

Atunci rezultă

Tn (x) şi

deci pentru

a

=

Trr, (x)

+ Tn (x-Trr, (x))

arăta că

lim Tn (x)

=

T oo (x)

n ➔ oo

este suficient

să arătăm că

Jim Tn(x -- T00 (x))

= O;

n ➔ «J

pentru aceasta este suficient

să arătăm că

·

.x - T 00 (x) ( / - T) (E).

(S)

4.:.::2:.:@_ _ _ _ _ _ _ _T_E_o_R_IA_P_R_0__ Btt-,-8_1_i1._m_TliI:,_1_O_m_,m_·_A_P_L_Ic_A_T_I1__________

Dar,

=

x-T= (x\= lim (l--_Tn.) (x) .t

jlJ~ :'°\ [. lll

..

;:...•

. = !i~ (I şi

deci

relaţia

Tt ' .: + ¼T"r1)

evidentă. Ji-A·i h'ti,.:. '., ?..

(5) este

Aşadar,

+, :j,~i\ I

T) ( l

__ 1, '.

lim Tn (x)

pentru orice X Deducem

.\

i:

(X) i·.;'.;L ~i1

i11 ·:\ H, --~ \;; :•

= . T= (x)

.! .

,t-+,t:t:,

/

"f.

e E. că

Demonstrarea

T este un operatote. şi \·;; "\ :. • i 1_, . li TCi) li ~ C. egalităţilor

To T00 o lăsăm în seama cititor~ui., Teorema 2. Pentru orice astfel încît şirul

\ ' •'- · -· 1 :. ! , ·\

= TCi) o T ~ T 1 1 1 :.

,

n

nCi

#

!~

(_ :_) . ·\

o

00

T=

=

ToaJ;(l .(::.l"\ --·:. ·:-,:-:

__ 1 -1 , ,.·r ; mi: complex A (I A f:::..:. 1)

Ti(~} )·y )J

1

există

un operator TA., t:.i:.,b [.,

obţinem

T1 (x)

= ~(x)

z.

427

TEOREME ERGODICE

Exerciţii

1) Fie to aplicaţie a lui E în E care are 1° t' (A) E ~ pentru orice A; 2° _!._

Să

n

se arate

t

j=l

P(t' (A))

~ P (A) pentru

că dacă / Ef 1(E, ~. P),

proprietăţile:

orice n

atunci

şi

şirul {;

A

t

EtiIC. fo

~I)

converge aproape

peste tot şi în medie de ordinul întîi spre o funcţie Î E f 1 (E, 8JC, P) . 2) Fie (/; )1 ~i < co un şir staţionar de variabile aleatoare din f,P (E, ~, P).

Să· .se arate că şirul {.!. i:, /;) converge în · n i=l 1~n