Teoria degli insiemi 0642818417, 884303166X

Citation preview

Paolo Casalegno

Mauro Mariani

Teoria degli insiemi Un 'introduzione

I lettori che desiderano inform azioni sui volumi pubbli cati dalla casa editri ce possono rivolgersi dirett ament e a: Caro cci editor e via Sarde gna 50 , 00187 Roma , telefono 06 4 2 8 1 84 17,

fax 06

42 74 79 3 1

Visitat eci sul nostro sito Internet: http :/ / www .carocci.it

@, Carocci editore

Indice

I.

I.I. I.2.

1.3.

1+ 1.5 . 1.6. I,7.

I.8. 1" ed izione, ottobre 2004 © copyr ight 2004 by Carocci ed itore S.p.A ., Roma

Finito di stampaie nell'ottobr e 2004 per i tipi delle Arti Grafiche Editoriali Sri, Urbi.no

1.9. r.

10.

1. 11 .

Prefazione

II

Introduzione

13

Nozioni fondamentali

17

Parte prima La nozione di insieme Notazioni per insiemi Il paradosso di Russell e l'assiomatizzazione della teoria degli insiemi Sottoinsiemi L 'insiem e vuoto Coppie e insiemi unità Unione e intersezione Differen za Insieme potenza Coppia ordina ta e prodotto cartesiano A che cosa servono le parentesi

17 17

36 39 41 42 45

Parte seconda

47

Relazioni, funzioni, ordini

49

Parte prima Relazioni Funzioni Ordini

49 49 54 60

Parte seconda

69

20

24

29 31 33

ISBN 88 -4 30 -3166-X 2.

Riproduzione vietata ai sensi di legge (art . 171 della legge 22 aprile 1941, n. 633) Senza regolare autorizzazione ,

2. I.

è vietato riprodurre questo volume

2.2.

anche parzialmente e con qualsiasi mezzo, compresa la fotocopia , anche per uso interno o didattico.

2.3 .

7

TE O RIA DE G LI IN SIEMl

3·

3.1. 3 .2 .

3.3. 3-4-

3.5.

4· 4.r. 4.2.

4.3 .

4+ 4.5. 4.6.

5·

INDI CE

I numeri naturali

75

Parte prima Gli assiomi di Peana I numeri naturali come insiemi Le definizioni ricorsive Le relazioni < e ~ Insiemi finiti e insiemi infiniti

75 75 79

Parte seconda

92

84 87 89

Cardinalità degli insiemi infiniti

ro3

Parte prima Come confrontare la cardinalità degli insiemi infiniti Insiemi numerabili Insiemi che hanno la stessa cardinalità di R Il Teorema di Cantor L'Ipotesi del Continuo Tre problemi

ro3 ro3 ro6

Parte seconda

123

Insiemi bene ordinati e ordinali

6.3. 6-46.5.

7.

7.r. 7.2. 7.3.

7+ 7.5. 7.6.

III

La teoria delle cardinalità infinite con l'Assioma di Scelta L'Assioma di Scelta in matematica e in logica Risultati di indipendenza

182 187 189

Parte seconda

1 93

Aritmetica ordinale

1 99

Parte prima Addizione ordinale Moltiplicazione ordinale Esponenziazione ordinale Operazioni aritmetiche e isomorfismo Operazioni infinite sugli ordinali Ordinali numerabili

1 99 200

203 204

205 209 2II

Parte seconda

214

8.

Aritmetica cardinale

229

8.r. 8.2. 8.3.

Parte prima Operazioni sui cardinali Operazioni infinite sui cardinali Cardinali singolari e regolari ed esponenziazione

229 2;29

Parte seconda

241

Appendice. La formalizzazione della teoria degli msiemi di Zermelo-Fraenkel

2

Suggerimenti bibliografici

2 55

114 120 I2I

129

2 33 2

37

Parte prima Esempi di buoni ordini Alcuni fatti concernenti gli insiemi bene ordinati L 'Assioma di Rimpiazzamento Ordinali Alcuni fatti concernenti gli ordinali Induzione e ricorsione sugli ordinali L 'operazione alef

129 129 1 39 141

Parte seconda

163

Indice dei simboli

257

6.

L'Assioma di Scelta

177

Indice dei nomi

2

6.r.

Parte prima Due formulazioni dell'Assioma di Scelta Il Teorema di Zermelo

177 178 181

Indice analitico

261

5 .I. 5.2.

5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

5.7.

6.2.

8

144 149 156 160

9

49

59

Prefazione

L'idea di collaborare a questo libro è nata quando abbiamo scoperto di avere tenuto entrambi, alcuni anni fa, w1 corso di teoria degli insiemi per studenti di filosofia, l'uno all'Un iversità del Piemonte Orientale e l'altro all'Università di Pisa . Ringraziamo, per aver letto e commentato versioni provvisorie di parte del testo , Edoardo Ballo, Silvio Bozzi, Stefano Cavagnetto e Andrea Iacona. Naturalmente la responsabilità per gli eventuali errori superstiti è solo nostra, e saremo riconoscenti ai lettori che vorranno suggerirci correzioni e migliorie. Grazie anche a Luca Stanziano che ci ha dato una mano con la grafica. Sebbene il volume sia stato pensato e scritto in stretta collaborazione, la stesura definitiva dei CAPP. 1-6 è dovuta a P aolo Casalegno, quella dei CAPP. 7-8 e dell'Appendice è dovuta a Mauro Mariani. PAOLO CASALEGNO MAURO MARIANI

II

Introduzione

La teoria degli insiemi è una teoria matematica creata, negli ultimi decenni dell'Ottocento , da Georg Cantor (1845-1918). Ci sono diverse ragioni per cui questa teoria è interessante. Da un lato , essa costituisce un'estensione significativa della matematica precedente; dal1'altro , fornisce un apparato concettuale entro il quale è possibil e sviluppare in modo unitario tutta la matematica (o, almeno, tutta la matematica anteriore all'avvento della cosiddetta teoria delle categorie): sia oggetti, come i numeri , di cui i matematici si occupano da sempre, sia oggetti che hanno fatto la loro comparsa solo molto più tardi , come le strutture algebriche e topologiche, possono essere definiti in termini puramente insiemistici e le loro propriet à dedotte da principi puramente insiemistici . Non sorprende , quindi , che la teoria degli insiemi sia stata a lungo al centro anche delle riflessioni filosofiche sui fondamenti della matematica . Inoltre, c'è una connessione stretta fra teoria degli insiemi e logica: non solo in logica si fa un uso essenziale di nozioni e tecniche insiemistiche , ma è proprio nell 'indagine sulla struttura della teoria degli insiemi che la logica contemporanea ha trovato alcune delle sue applicazioni più affascinanti . Se a tutto ciò si aggiunge che l'esposizione al gergo insiemistico di base è prevista dai programmi scolastici e che l'impiego di qualche nozione insiemistica è oggi consueto in tutti i contesti in cui si faccia ricorso a una sia pur blanda matematizzazione, è facile convincersi che il numero delle persone potenzialmente interessate all'argomento è davvero grande. Questo libro è stato scritto per coloro che , senza pretendere di diventare degli specialisti , desiderano ·avere della teoria degli insiemi un'immagine un po ' più precisa e articolata di quella che si può ricavare da certe presentazioni divulgative o, magari , dalle poche , rudimentali nozioni fornite nelle prime pagine di un manuale di analisi o di algebra . Non si presuppongono conoscenze matematiche se non di livello elementare (unica eccezione , l'App endice, che spiega come la teoria degli insiemi possa essere formalizzata e la cui lettura è riserva13

T EO R IA D EG LI INS I EM I

INTR O DUZIONE

ta a chi abbia un po' di dimestichezza con la logica). L 'atten zione è tutta concentrata su concetti e risultati fond amentali , che si è cercato di present are nel modo più chiaro possibile . Si è mirato non tanto al rigore assolut o, quanto piuttosto all'efficacia didattica . Ciascuno degli otto capitoli che compongono il libro è diviso in due parti. Nella pr ima parte il contenuto del capitolo è illustrato evitando tecnicismi inutili e omettendo le dimost razioni dei teoremi , a meno che si tratt i di dimostrazioni facilissime o talmente importanti da non poter essere trascurate (è il caso, ad esempio , della dimostra zione del Teorema di Cantor nel CAP. 4, basata sul famoso "metodo diagonale"). Nella second a parte si forniscono le dimostrazioni omes se~nella prima parte e occasionalmente si aggiungono alcuni dettagli. Le prim e parti dei diversi capitoli sono autonome, nel senso che po ssono essere lette tutte di seguito saltando le seconde parti. È ciò che consigliamo di fare ai lettori interessati solo all'impianto concettuale complessivo della teoria , nonché ai letto ri impazienti , curiosi di sapere dove va a parare il discorso prima di approfondire i singoli punti. Nelle prime parti dei capitoli si incontrano qua e là passi in corpo minor e. Contengono informazioni non indispensabili per la comprensione di tutto il resto : precisazioni concernenti la terminologia e la notazione, chiarimenti a beneficio dei lettori meno esperti o, all' opposto, supplementi per i più smaliziati. Avremmo potuto relegare questo materiale in note a piè di pagina . Non lo abbiamo fatto per due motivi: perché le note sarebbero state talvolta troppo lun ghe e perché c'è chi le note a piè di pagina non le degna neanche di un'occhiata . È impossibile impadronirsi davvero dei concetti della teoria degli insiemi (come di qualsiasi altra teoria matematica) senza fare esercizi . Degli esercizi inclusi in questo libro , alcuni sono facilissimi: il loro scopo è semplicemente tenere sveglio il lettore . Altri richiedono un po ' più di riflessione . Nessuno, però , è veramente difficile e comunque , quando si va al di là del banale , viene sempre fornito qualche suggerimento per la soluzione . È oppo rtuno aggiungere un consiglio su come usare le seconde parti dei capitoli . Di fronte a pagine fitte di ragionamenti talvolta anche un po ' intricati , si può avvertire un senso di sgomento; e se, nonostante ciò, ci si costringe a leggere, si può poi avere l'impressione di perdere subito il filo. In realtà , le dimostrazioni non sono fatte per essere lette come si leggerebbe un qualsiasi altro testo . Bisogna fruirne in modo , per così dire , attivo. Quando si è di fronte all'enunci ato di un teorema , è bene anzitutto cercare di dimostrarlo per conto proprio. Ci si provi : si scoprirà di riuscirci più spesso di quanto non si

creda . Se non ci si riesce , si dia un 'occhiata alla dimostrazione fornita nel libro , sforzandosi di afferrare soprattutto il senso compl essivo del ragionamento . Poi si cerchi di ricostruirla nei dettagli lavorando di nuovo per conto proprio e tornando a consultare il libro solo quando si incontrino degli intoppi . Naturalmente questo modo di procedere richiede un certo impegno, e la disponibilit à a un siffatto impegno presuppone un a certa attitudine al ragioname nto astratto. Ma si sa: la matematica è come la musica . Dalla musica si può trarre grande piacere anche senza essere capaci né di suon are né di cantare , senza avere nessuna cLÙtura musicale, addirittura senza possedere un orecchio particolarmente fìne. Tuttavia un po' di orecchio ci vuole . Altrimenti la musica è solo una tortura e conviene dedicarsi ad altro.

14

15

I

Nazioni fondamentali

Parte prima Questo primo capitolo è abbastanza facile, ma parla di cose indispensabili per la comprensione di tutto ciò che verrà in seguito: il lettor e deve quindi cercare di assimilarne al meglio il contenuto . In r. r introduciamo la nozione di insieme e il cosiddetto Principio di Estensionalità. In r .2 illustriamo due metodi per costruire espressioni che designano insiemi. In r. 3 formuliamo il celebre paradosso di Russell, che mostra quanto sia rischioso dare per scontata troppo alla leggera l'esistenza di un insieme. Specificare quali sono gli insiemi di cui possiamo supporre che esistano senza incorrere in contraddizioni è il compito che si prefiggono le teorie assiomatiche degli insiemi. Gli assiomi di cui faremo uso in questo libro sono quelli cosiddetti di Zermelo-Fraenkel. Sempre in 1.3 presentiamo due di questi assiomi: l'Assioma di Separazione e l'Assioma di Fondazione . Altri assiomi fanno la loro comparsa qua e là nei PARR. 1-4-1.ro , il cui scopo è introdurre w1a serie di nozioni insiemistiche assolutamente fondamentali: inclusione, insieme vuoto, coppia, unione e intersezione , differenza, insieme potenza, coppia ordinata e prodotto cartesiano . Infine, in r. II forniamo qualche chiarimento circa l'uso delle parentesi. I.I

La nozione di insieme La teoJia de_g_li insiemi tratta la nozione di insieme S.9~.J1. 0ZlQ1!~ - .P..ri:.. mitivg_, ~ perciò non ne forn ~~? --de;finizLo~e , b-