Technische Mechanik 1. Stereostatik: Freischneiden und Gleichgewicht – mehr isses nicht! [2. Aufl.] 978-3-658-26782-7;978-3-658-26783-4

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XV
Einführung in die Mechanik (Christian Spura)....Pages 1-8
Grundlagen der Stereostatik (Christian Spura)....Pages 9-24
Zentrale ebene Kräftegruppen (Christian Spura)....Pages 25-39
Allgemeine ebene Kräftegruppen (Christian Spura)....Pages 41-58
Schwerpunkt (Christian Spura)....Pages 59-82
Lagerreaktionen (Christian Spura)....Pages 83-100
Gelenkreaktionen (Christian Spura)....Pages 101-122
Fachwerke (Christian Spura)....Pages 123-142
Schnittgrößen (Christian Spura)....Pages 143-192
Reibung (Christian Spura)....Pages 193-220
Energiemethoden (Christian Spura)....Pages 221-256
Back Matter ....Pages 257-286

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Christian Spura

Technische Mechanik 1. Stereostatik Freischneiden und Gleichgewicht – mehr isses nicht! 2. Auflage

Technische Mechanik 1. Stereostatik

Christian Spura

Technische Mechanik 1. Stereostatik Freischneiden und Gleichgewicht – mehr isses nicht! 2., überarbeitete und erweiterte Auflage

Christian Spura Department 2 – Hamm Hochschule Hamm-Lippstadt Hamm, Deutschland

Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf http://extras.springer.com. ISBN 978-3-658-26782-7 ISBN 978-3-658-26783-4  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2016, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort zur zweiten Auflage Die vielen Rückmeldungen von Studierenden, Dozenten und Ingenieuren aus der Praxis haben zu dieser zweiten Auflage geführt. Daher möchte ich mich ganz herzlich für all die positiven wie auch kritischen Anregungen und Rückmeldungen bedanken. In dieser zweiten Auflage wurden die folgenden Änderungen vorgenommen:  Erweiterung von Kapitel 7 um drei Beispielaufgaben  Erweiterung von Kapitel 9 um zwei Beispielaufgaben  Erweiterung von Kapitel 10 um vier Beispielaufgaben  Erweiterung von Kapitel 11 zur Anwendung der formalen Methode, der Berechnung von Stabkräften in Fachwerken sowie einer Beispielaufgabe  Farblich bessere Hervorhebung der Schnittgrößendiagramme  Korrektur der Lösungen zu den Übungsaufgaben 3.2, 7.4 und 10.2  Korrektur von kleineren Tippfehlern Auch weiterhin viel Erfolg und genauso viel Spaß mit der Technischen Mechanik und beim Durcharbeiten dieses Lehrbuchs 😉 Christian Spura

Vorwort zur ersten Auflage "Es gibt wohl kaum ein Grundlagenfach der Ingenieurwissenschaften, bei dem man durch das Gefühl, die Theorie verstanden zu haben, so ge- und enttäuscht wird wie in der Mechanik, wenn es daran geht, praktische Aufgaben zu lösen." Eduard C. K. PESTEL, 1988 So oder ähnlich ergeht es leider den meisten Studierenden, die sich mit der Technischen Mechanik auseinandersetzen (müssen). Denn hier treffen die Mathematik und die Physik auf die Technik. Das kann schon zu erheblichen Kopfschmerzen führen. Aber keine Angst, dass ist alles gar nicht so schwer wie es sich zuerst anhört. Wobei das wahrscheinlich jeder Mechanik-Dozent behaupten wird. Leider werden Sie, wie schon tausende Studierende vor Ihnen und noch etliche mehr nach Ihnen, auch diese Erfahrung machen. Aber wo ein Wille ist, ist auch ein Weg. Und wenn Sie sich auf die Mechanik einlassen, könnten Sie vielleicht sogar Spaß daran finden. Da Studierende immer wieder die gleichen Fehler begehen und Alle mit den gleichen Problemen zu kämpfen haben, finden Sie an vielen Stellen sehr ausführliche Beschreibungen und Erklärungen der mechanischen Sachverhalte. Auch die durchgerechneten Beispiele, die aufgeführten Vorgehensweisen zum Lösen von Aufgaben sowie die Hinweise in der Außenspalte und die animierten Grafiken (QR-Code) sollen Sie beim Erlernen der Mechanik unterstützen. Dabei sind die Vorgehensweisen für Sie als Anleitung gedacht, wenn Sie beim Lösen der Übungsaufgaben ins Stocken geraten und nicht mehr wissen, was Sie machen sollen. Und schließlich finden Sie am Ende des Lehrbuchs ein Repetitorium, in dem alle wichtigen Punkte zu jedem Kapitel noch einmal kompakt zusammengefasst sind. Ideal also für Ihre Klausurvorbereitungen. Leider ist es aber nicht nur mit dem Lesen dieses Lehrbuchs getan. Vielmehr müssen Sie die Mühe auf sich nehmen, mit Stift und Papier die eine oder andere Herleitung nachzuvollziehen und die Übungsaufgaben Schritt für Schritt durchgehen. Denn die praktische Anwendung der scheinbar so leichten und einfachen Zusammenhänge sowie die Routine zum Bestehen der Klausur können Sie nur durch selbstständiges Lösen von Aufgaben erlernen. Irgendwann werden Ihnen dann (hoffentlich) auch das Schema F und die praktischen Zusammenhänge klar werden. Selbstverständlich gibt es noch viele weitere Bücher zur Technischen Mechanik, die Sie im Literaturverzeichnis finden. Sie sollten immer wieder weitere und unterschiedliche Darstellungen der gleichen Sachverhalte miteinander vergleichen, um dadurch das eigenständige Nachdenken anzuregen und das Verstehen zu erleichtern. Dem Springer Verlag und insbesondere Herrn Thomas Zipsner möchte ich für die hervorragende Zusammenarbeit, sein Engagement und die gewährten Freiheiten für die doch recht farbenfrohe Ausgestaltung dieses Lehrbuchs herzlichst danken. Des Weiteren möchte ich dem SGT-Jahrgang von 2014/15 für die vielen Anregungen und Diskussionen danken, die den Anstoß zu diesem Lehrbuch gegeben haben. Aber nun genug der Worte. Ich wünsche Ihnen beim Durcharbeiten dieses Lehrbuchs viel Erfolg und genauso viel Spaß  Christian Spura

Befrage die Natur in allem und schreib alles nieder. Wer immer meint, er könne die unendlichen Lehren der Natur in Erinnerung behalten, gibt sich einer trügerischen Hoffnung hin. Das Gedächtnis ist nicht so gewaltig.

Leonardo DA VINCI 1452–1519

Navigation Seitenzahlen und Kapitelnummern für die schnelle Orientierung

42

Thematische Einleitung mit Kurzinhalten des Kapitels

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

Grafiken stehen direkt neben dem zugehörigen Abschnitt und sind im Text hervorgehoben

Als allgemeine Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in mehr als einem Punkt schneiden. Mithilfe des Moments kann die allgemeine Kräftegruppe zu einer Dyname zusammengefasst werden. Eine solche Kräftegruppe kann einen Körper geradlinig verschieben (Translation) und drehen (Rotation).

QR-Codes führen zu animierten Grafiken für ein besseres Verständnis

F2 F1

f2

f3 f1

Warum-Fragen im Text, um Wissen zu überprüfen

Zusammenfassung des nebenstehenden Abschnitts

Wichtige Zusammenhänge für das Lösen von Aufgaben (unbedingt beachten!)

F3

Abb. 4.1

9.2 Werden die Schnittgrößen an einem sich im Gleichgewicht befindlichen Tragwerk sichtbargemacht, bleibt der Gleichgewichtszustand erhalten.

► Die Schnittgrößen lassen sich durch Aufstellen der GGB für das geschnittene Teiltragwerk berechnen. ► Die Angabe der Wirkrichtungen erfolgt durch H und V.

Vorgehensweise Schritt für Schritt Anleitung zur Lösung von konkreten Aufgaben

Eine Kräftegruppe, bei der sich die Wirkungslinien in mehr als einem Punkt schneiden, wird als allgemeine Kräftegruppe bezeichnet, siehe  Abb. 4.1. Befinden sich auch hier wieder alle Kräfte in einer Ebene, handelt es sich um eine allgemeine ebene Kräftegruppe. Damit wir eine allgemeine Kräftegruppe berechnen können, müssen wir zuerst zwei neue Größen kennenlernen. Dies wäre zum einen das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt und zum anderen das sogenannte Kräftepaar.

Gleichgewichtsmethode

Die Gleichgewichtsmethode basiert, wie der Name schon vermuten lässt, auf der Anwendung der bekannten Gleichgewichtsbedingungen. Wenn wir also ein Tragwerk vorliegen haben, welches sich im Gleichgewicht befindet, so ist das Tragwerk auch nach dem Freischneiden und Sichtbarmachen der Schnittgrößen im Gleichgewicht. Dementsprechend müssen die Schnittgrößen mit den Lager- und Gelenkreaktionen sowie den äußeren Belastungen im Gleichgewicht stehen. Mit dieser Überlegung, die uns durchaus bekannt ist, bilden alle am geschnittenen Teiltragwerk angreifenden Kraftgrößen eine allgemeine Kräftegruppe. Diese Kräftegruppen können wir mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen nach Kapitel 4.6 auf S. 51 f. berechnen (Warum 9.3?). Da wir die gestrichelte Linie zur Bestimmung der Wirkrichtungen der Schnittgrößen verwenden, ersetzen wir einfach die Angabe der Koordinatenrichtungen durch die Angaben H für horizontal und V für vertikal.

Vorgehensweise  Funktionsgleichung der Streckenlast aufstellen.  Streckenlast als Fläche betrachten. Die Einzelkraft Fq ist so groß wie der Flächeninhalt der Streckenlast. (Siehe hierzu: Formelsammlung  Tab. 5-1 auf S. 66 f.)  Die Wirkungslinie von Fq verläuft durch den Flächenschwerpunkt xS der Streckenlast.

Farblich hervorgehobene Beispiele mit Musterlösung

4.5 ∙ Zweite Grundaufgabe: Reduktion

49

Formelzeichen haben in den Grafiken und im Text die gleiche Schriftart

Beispiel 4.1 An einem eingemauerten Träger (a = 60 cm) greifen drei Kräfte an: F1 = 60 N, α = 60° F2 = 30 N, β = 45° F3 = 90 N Reduzieren Sie die Kräftegruppe in Bezug auf die Lagerstelle A so weit wie möglich.

Lösung Es handelt sich hierbei um eine allgemeine ebene Kräftegruppe, da die Wirkungslinien der drei Kräfte mehr als einen Schnittpunkt haben. Um uns die Berechnung zu vereinfachen, zerlegen wir alle Kräfte zuerst in ihre jeweilige x- und y-Richtung. Wir erhalten dann für die zerlegten Kräfte: ∙ cos

30

∙ cos

21,2

∙ sin

52

∙ sin

21,2

F2 A

α

F3

F1 a

a

A

β

a

F2y

F1x

F2x

F1y a

F3 a

a

Navigation Kapitelnummern für die schnelle Orientierung

Nun verschieben wir alle Kräfte parallel, sodass wir im Punkt A die Resultierende nach Gl. (4.5) berechnen können (Vorzeichen der Kräfte beachten): →

8,8

7 In Kürze  Lagerbindungen schränken die Bewe- Kinematische Bestimmtheit gung (Freiheitsgrade) eines Systems ein.  Ein Starrkörper ist kinematisch bestimmt gelagert, wenn dieser mit genau drei ein Lagerreaktionen sind die von den Lagern wertigen kinematischen Bindungen unbehervorgerufenen Reaktionskräfte und Reweglich (unverschieblich) ist. aktionsmomente.  Ein Starrkörper der endliche oder infinitesimale (unendlich kleine) Bewegungen ausführen kann, ist kinematisch unbeBerechnung von Lagerreaktionen stimmt gelagert.  Überprüfen der statischen und kinemati Die Überprüfung erfolgt mittels Polplan. schen Bestimmtheit:  Ist ein Widerspruch im Polplan vorhan1. Abzählkriterium den, ist der Starrkörper kinematisch be2. Polplan stimmt (unbeweglich) gelagert.  Freikörperbild zeichnen.  Lager freischneiden und durch die äquiva-  Hinreichende Bedingung: Widerspruch im Polplan. lenten Lagerreaktionen ersetzen.  Lagerreaktionen eindeutig benennen.  Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und nach den Lagerreaktionen auflösen.

In Kürze: fasst ein Kapitel bzw. Unterkapitel strukturiert zusammen

Inhalt

XIII

Inhaltsverzeichnis 1 

Einführung in die Mechanik ............................................................... 1  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7 

2 

Grundlagen der Stereostatik .............................................................. 9  2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7 

3 

Erste Grundaufgabe: Zerlegung........................................................... 26  Zweite Grundaufgabe: Reduktion ........................................................ 30  Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht .................................................... 34  Aufgaben zu Kapitel 3 .......................................................................... 39 

Allgemeine ebene Kräftegruppen .................................................... 41  4.1  4.2  4.3  4.4  4.5  4.6  4.7  4.8  4.9 

5 

Der Freiheitsgrad eines Körpers .......................................................... 10  Der Starrkörper .................................................................................... 10  Eine unsichtbare Macht: die Kraft ........................................................ 10  Die Axiome der Mechanik (Lehrsätze) ................................................. 13  Das Freischneiden ............................................................................... 16  Die Grundaufgaben der Mechanik ....................................................... 22  Die Themengebiete der Stereostatik .................................................... 22 

Zentrale ebene Kräftegruppen ......................................................... 25  3.1  3.2  3.3  3.4 

4 

Die Mechanik: Was ist das eigentlich? ................................................... 2  Einteilung der Technischen Mechanik ................................................... 3  Die Stereostatik - Mono oder Stereo?! ................................................... 4  Modellbildung vs. Realität ...................................................................... 4  Axiome der Mechanik ............................................................................ 5  Physikalische Größen und ihre Einheiten .............................................. 5  Lösung statischer Probleme................................................................... 6 

Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt ...................................... 42  Kräftepaar ............................................................................................ 45  Parallelverschiebung von Kräften ........................................................ 46  Erste Grundaufgabe: Zerlegung........................................................... 47  Zweite Grundaufgabe: Reduktion ........................................................ 47  Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht .................................................... 51  Alternative Gleichgewichtsbedingungen .............................................. 52  Hebelgesetz von ARCHIMEDES .............................................................. 53  Aufgaben zu Kapitel 4 .......................................................................... 58 

Schwerpunkt ...................................................................................... 59  5.1  5.2  5.3  5.4  5.5  5.6  5.7 

Herleitung für beliebig geformte Körper ............................................... 61  Praktische Anwendung auf zusammengesetzte Körper ....................... 64  Flächenschwerpunkt ............................................................................ 69  Statische Momente .............................................................................. 74  Streckenlasten ..................................................................................... 74  Experimentelle Schwerpunktermittlung ................................................ 80  Aufgaben zu Kapitel 5 .......................................................................... 82 

XIV

6 

Inhalt

Lagerreaktionen ................................................................................ 83  6.1  6.2  6.3 

6.4 

7 

Gelenkreaktionen ............................................................................ 101  7.1  7.2 

7.3  7.4  7.5 

8 

Gelenke und Gelenkreaktionen.......................................................... 103  Statische und kinematische Bestimmtheit .......................................... 106  7.2.1  Statisches Abzählkriterium ................................................... 106  7.2.2  Polplan (kinematische Bestimmtheit).................................... 107  7.2.3  Beispiele ............................................................................... 109  Dreigelenkbogen ................................................................................ 113  Gelenkbalken ..................................................................................... 114  Aufgaben zu Kapitel 7 ........................................................................ 122 

Fachwerke ........................................................................................ 123  8.1 

8.2  8.3  8.4  8.5 

9 

Tragwerke ............................................................................................ 85  Lager und Lagerreaktionen .................................................................. 87  Statische und kinematische Bestimmtheit ............................................ 90  6.3.1  Statisches Abzählkriterium ..................................................... 90  6.3.2  Polplan (kinematische Bestimmtheit)...................................... 91  6.3.3  Beispiele ................................................................................. 95  Aufgaben zu Kapitel 6 ........................................................................ 100 

Statische und kinematische Bestimmtheit .......................................... 126  8.1.1  Statisches Abzählkriterium ................................................... 127  8.1.2  Bildungsgesetze ................................................................... 127  8.1.3  Polplan ................................................................................. 130  Nullstäbe ............................................................................................ 130  Knotenpunktverfahren ........................................................................ 131  RITTER'sches Schnittverfahren ........................................................... 136  Aufgaben zu Kapitel 8 ........................................................................ 142 

Schnittgrößen .................................................................................. 143  9.1  9.2 

9.3 

9.4  9.5  9.6 

Schnittgrößen balkenförmiger Tragwerke .......................................... 145  Gleichgewichtsmethode ..................................................................... 148  9.2.1  Schnittgrößen bei Einzelkräften ............................................ 148  9.2.2  Schnittgrößen bei Einzelmomenten ...................................... 151  9.2.3  Schnittgrößen bei Gelenken ................................................. 154  9.2.4  Schnittgrößen bei Rahmen ................................................... 160  9.2.5  Schnittgrößen bei Bögen ...................................................... 163  9.2.6  Schnittgrößen bei Streckenlasten ......................................... 165  Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen .................. 166  9.3.1  Gerade Balken ..................................................................... 167  9.3.2  Maximales Biegemoment ..................................................... 169  9.3.3  Bögen und stetig gekrümmte Balken .................................... 171  Integrationsmethode .......................................................................... 173  Aufgaben zu Kapitel 9 ........................................................................ 189  Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 ................................................. 191 

Inhalt

XV

10  Reibung ............................................................................................ 193  10.1  10.2  10.3  10.4 

Reibungszustände ............................................................................. 195  Reibungsgesetze ............................................................................... 196  Haftkegel (Reibkegel) ........................................................................ 200  Seilhaftung und -reibung .................................................................... 210  10.4.1  Herleitung ............................................................................. 210  10.4.2  Anwendung .......................................................................... 212  10.5  Aufgaben zu Kapitel 10 ...................................................................... 218 

11  Energiemethoden ............................................................................ 221  11.1  Energie und Arbeit ............................................................................. 223  11.2  Allgemeine Definition der Arbeit ......................................................... 224  11.3  Prinzip der virtuellen Verrückungen ................................................... 227  11.3.1  Anschauliche Methode ......................................................... 231  11.3.2  Formale Methode ................................................................. 232  11.3.3  Verschiebungsfigur ............................................................... 235  11.3.4  Kräfte und Momente in verschiebbaren Systemen ............... 238  11.3.5  Gleichgewichtslagen von beweglichen Systemen ................ 239  11.3.6  Systemparameter zur Erfüllung von Gleichgewicht .............. 241  11.3.7  Lager- und Gelenkreaktionen sowie Schnittgrößen .............. 242  11.4  Aufgaben zu Kapitel 11 ...................................................................... 254 

Anhang: Mathematische Grundlagen................................................... 257  Repetitorium ........................................................................................... 261  Literaturverzeichnis ............................................................................... 280  Formelzeichen ........................................................................................ 282  Stichwortverzeichnis.............................................................................. 284 

1

1

Einführung in die Mechanik 1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7 

Die Mechanik: Was ist das eigentlich? ................................................................ 2  Einteilung der Technischen Mechanik ................................................................. 3  Die Stereostatik - Mono oder Stereo?! ................................................................ 4  Modellbildung vs. Realität ................................................................................... 4  Axiome der Mechanik .......................................................................................... 5  Physikalische Größen und ihre Einheiten............................................................ 5  Lösung statischer Probleme ................................................................................ 6 

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_1

2

Kapitel 1 ∙ Einführung in die Mechanik

Worum geht es eigentlich in der Mechanik und warum heißt es "Technische Mechanik" und nicht nur "Mechanik"? Und wieso hat dieses Buch den Titel "Stereostatik"? Dies sind durchaus berechtigte Fragen beim ersten Kontakt mit diesem Fachgebiet. Daher werden wir uns zunächst mit einem Überblick der Mechanik wie auch mit einigen Grundbegriffen vertraut machen müssen.

1.1

Die Klassische Mechanik ist weitgehend vollständig ausgearbeitet und befasst sich mit der Bewegung von Körpern.

Die Analytische Mechanik befasst sich mit den mathematischen Grundlagen der Klassischen Mechanik.

Die Technische Mechanik befasst sich mit der Wirkung von Bewegungen und Kräften an technischen Systemen.

Die Mechanik: Was ist das eigentlich?

Die Mechanik (lat. mechanica) ist in den Naturwissenschaften und der Technik die Lehre von den auf einen Körper einwirkenden Kräften und seinen Bewegungen. Sie ist ein Teilgebiet der Physik und der historische Ursprung aller anderen physikalisch-technischen Disziplinen. In der theoretischen Physik wird der Begriff oft abkürzend für die Klassische Mechanik verwendet, die die mathematisch-theoretischen Grundlagen der Mechanik behandelt. In den Ingenieurwissenschaften hingegen wird der Begriff oft abkürzend für die Technische Mechanik benutzt. Das Gesamtgebiet der Mechanik kann in die folgenden Anwendungsgebiete eingeteilt werden: Klassische Mechanik: Die Klassische Mechanik, als Disziplin der theoretischen Physik, befasst sich vorwiegend mit der Bewegung von Körpern und wurde bis zum Ende des 19. Jahrhunderts weitgehend vollständig ausgearbeitet. Als Teilgebiete der Klassischen Mechanik gilt die NEWTON'sche, LAGRANGE'sche und HAMILTON'sche Mechanik. Die Klassische Mechanik diente als Ausgangspunkt der Entwicklung moderner physikalischer Theorien, wie z. B. der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik. Analytische Mechanik: Die Analytische Mechanik (auch theoretische Mechanik genannt), befasst sich mit den mathematischen Grundlagen der Klassischen Mechanik und untersucht die Eigenschaften der Grundgleichungen und ihrer Beschreibungen und entwickelt Methoden zur exakten oder näherungsweisen Lösung dieser Gleichungen. Das Detailproblem ist dabei von untergeordneter Bedeutung. Technische Mechanik: Die Technische Mechanik befasst sich mit der Bereitstellung der theoretischen Berechnungsverfahren, der Wirkung von Bewegungen und Kräften an technischen Systemen sowie der praktischen Anwendung auf ingenieurwissenschaftliche Fragestellungen. Das Ziel der Technischen Mechanik ist die statische und dynamische Analyse von Körpern, damit bestimmte Belastungen ertragen oder bestimmte

1.2 ∙ Einteilung der Technischen Mechanik

Bewegungen ausgeführt werden können. Gegenstand der Technischen Mechanik sind daher die Gesetze der Klassischen Mechanik, die mathematischen Modelle der mechanischen Zusammenhänge physischer Körper sowie die spezifischen und rationellen Methoden der rechnerischen Analyse mechanischer Systeme. Relativistische Mechanik: Die Relativistische Mechanik, kurz auch Relativitätstheorie genannt, besteht aus der von EINSTEIN begründeten Speziellen Relativitätstheorie und der 1916 abgeschlossenen Allgemeinen Relativitätstheorie. Aus der EINSTEIN'schen Speziellen Relativitätstheorie ist der bekannte Ausdruck der Ruheenergie E = m  c2 bekannt. Quantenmechanik: Die Quantenmechanik befasst sich mit den Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten materieller Objekte und betrachtet diese als aus einzelnen Teilchen bestehend. Dadurch ergeben sich Modelle, in denen Elementarteilchen, Atome, Moleküle und die makroskopische Materie detailliert beschrieben werden kann. Zur Berechnung wird ein spezieller mathematischer Formalismus genutzt.

1.2

3

1

Die Relativitätstheorie befasst sich mit der Struktur von Raum und Zeit sowie der Gravitation.

Die Quantenmechanik befasst sich mit der Beschreibung von Materie, deren Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten.

Einteilung der Technischen Mechanik

Die Einteilung der Technischen Mechanik ist nicht überall einheitlich. Im Allgemeinen können aber die folgenden Teilgebiete in der Technischen Mechanik anhand nebenstehender  Abb. 1.1 definiert werden: Dynamik (dynamis: griech. ύις: Kraft) Lehre von den Kräften. Statik (statikos: griech. ός: zum Stillstand bringen) Gleichgewicht von Körpern, d. h. die Körper sind in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. Kinetik (kínesis: griech. ίς: Bewegung): Lehre von Kräften an beschleunigten Körpern; Beschreibung von Bewegungen infolge der Wirkung von Kräften (Technische Mechanik 3). Stereostatik (auch Starrkörperstatik; stereos: griech. στερεός: fest, stabil, hart, starr): Lehre von Kräften an nicht beschleunigten starren (undeformierbaren) Körpern. (Technische Mechanik 1 und 3) Elastostatik (auch Festigkeitslehre; elastos: griech. óς: dehnbar, biegbar): Lehre von Deformationen an Körpern infolge der Wirkung von Kräften. Dient dazu, um eine Bewertung hinsichtlich der Festigkeit eines Bauteils treffen zu können (Technische Mechanik 2). Kinematik (kinema: griech. ί bzw. kinein: κινεῖν : Bewegung bzw. bewegen) Lehre vom geometrischen und zeitlichen

Technische Mechanik

Dynamik Statik Stereostatik

Kinetik

Elastostatik Abb. 1.1

Kinematik

4

Kapitel 1 ∙ Einführung in die Mechanik

Bewegungsablauf ohne die Berücksichtigung von Kräften als Ursache der Bewegung (Technische Mechanik 3).

1.3

Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte an unbeschleunigten starren (undeformierbaren) Körpern.

Die Stereostatik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte an Starrkörpern. Als Teilgebiet der Technischen Mechanik bildet die Stereostatik die Grundlage für viele Berechnungen im Ingenieurwesen. Gegenüber der analytischen (theoretischen) Mechanik in der Physik, in welcher die Formulierung allgemeiner theoretischer Gesetzmäßigkeiten im Vordergrund steht, werden in der Technischen Mechanik spezielle Fragestellungen der Technik im Detail untersucht. Die Stereostatik behandelt dabei Körper, bei denen alle angreifenden Kräfte im Gleichgewicht stehen und der Körper entweder ruht oder sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt.

1.4

Die Modellbildung dient dazu, ein reales Problem in ein einfaches mechanisches Modell zu überführen, welches sich mithilfe mathematischer Methoden lösen lässt.

Grundsatz: gute Modelle sind so einfach wie möglich und so komplex wie nötig.

Die eigentliche Modellbildung erfolgt in den konstruktiven Lehrveranstaltungen.

Die Stereostatik - Mono oder Stereo?!

Modellbildung vs. Realität

Da die Technische Mechanik die Hilfsmittel bereitstellt, um mechanische Fragestellungen der Technik zu lösen, ist es unerlässlich, Vereinfachungen und Näherungen der im allgemeinen komplizierten technischen Systeme zu beschreiben. Die Vorgehensweise, die Wirklichkeit durch Modelle zu beschreiben ist ein wesentlicher Bestandteil in den Ingenieurwissenschaften um Probleme schnell in den Griff zu bekommen. Dabei kann es durchaus recht kompliziert werden, welche beteiligten Phänomene wichtig und unwichtig für das Modell sind. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, Probleme lösbar zu machen, aber gleichzeitig den Nachteil, dass die erhaltenen Lösungen immer nur so gut sind, wie das Modell die Realität abbilden kann. Je nach Komplexität des Systems kann die Modellbildung ein iterativer Prozess sein. Ergibt sich bei der Interpretation der Ergebnisse, dass die erhaltene Lösung mit den Annahmen für die Modellbildung nicht verträglich ist, muss das Modell mehr an die Realität angepasst werden und die Analyse ist zu wiederholen. Bei der Modellbildung gilt der Grundsatz: gute Modelle sind so einfach wie möglich und so komplex wie nötig. Da die konstruktiven Lehrveranstaltungen der Ingenieurausbildung, wie z. B. Maschinenelemente, den Fokus auf der Formulierung der technischen Fragestellung und den damit verbundenen Modellannahmen legen, werden wir uns in der Mechanik vorwiegend mit dem mechanischen Modell selbst und deren mathematischer Behandlung beschäftigen.

1.5 ∙ Axiome der Mechanik

1.5

Axiome der Mechanik

Die Mechanik basiert auf einigen wenigen Naturgesetzen, welche auch als Axiome (axioma: griech. ί: Grundsatz) bezeichnet werden. Ein Axiom stellt einen Grundsatz in einer Wissenschaft dar, der nicht durch deduktive Ableitung bewiesen werden kann, der aber auch nicht beweisbedürftig ist, da er aus sich selbst heraus überzeugt. Ein Axiom ist somit ein Satz, der beweislos vorausgesetzt wird. Axiome wurden durch Beobachtung gewonnen und sind durch die Erfahrung bestätigt. Auch die Folgerungen, die mit Hilfe von Axiomen gezogen werden, werden durch die Erfahrung bestätigt. Mithilfe der Axiome können beispielsweise die mechanischen Eigenschaften eines Systems durch die mechanischen Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft, Energie usw.) beschrieben werden. Um einen Bezug zur Modellbildung herzustellen, werden in den Axiomen selbst, wie auch in deren Anwendung, keine realen Körper/Systeme, sondern nur Modelle betrachtet, welche die wesentlichen mechanischen Eigenschaften der realen Körper/Systeme besitzen. Diese Vorgehensweise führt zu einer Modellbildung, welche die Realität nur in Grenzen abbilden kann. Die Modellbildung mithilfe von Axiomen wird auch Axiomatik genannt.

1.6

5

1 Ein Axiom ist eine unbeweisbare, nicht abgeleitete Aussage, aber in sich einsichtige Wahrheit, die allgemein als gültig und richtig anerkannt wird und somit als Ausgangspunkt einer deduktiven Theorie dient.

Die Modellbildung kann die Realität nur in Grenzen abbilden. Wird die Modellbildung mithilfe von Axiomen durchgeführt, wird dies Axiomatik genannt.

Physikalische Größen und ihre Einheiten

Wir haben gesagt, dass bei einer Modellbildung ein technisches System in handhabbare mathematische Gleichungen überführt wird, welche anschließend gelöst werden. Die in diesem Modell enthaltenen physikalischen Systemeigenschaften werden durch skalare und vektorielle Größen beschrieben. Im Unterschied zur Mathematik sind technische Größen immer dimensionsbehaftet. Da solche Größen teilweise stark unterschiedliche Größenordnungen aufweisen können, werden sie entsprechend in unterschiedlichen Maßeinheiten angegeben. Damit wir eine konsistente Berechnung und vor allem Lösung gewährleisten können, müssen wir die Maßeinheiten immer in die Rechnung mit einbeziehen. Daher sind nachfolgend einige Größen des Internationalen Einheitensystems (SI) sowie deren Einheitenvorsätze in  Tab. 1-1 und  Tab. 1-2 aufgeführt.

Da technische Größen immer dimensionsbehaftet sind, müssen die Maßeinheiten immer in die Berechnung mit einbezogen werden.

6

Kapitel 1 ∙ Einführung in die Mechanik

Tab. 1-1 Größenarten und Einheiten (SI) Physikalische Größe

Einheitenzeichen

Einheitenname

Länge

Meter

Zeit

Sekunde

Masse

Kilogramm

Temperatur

Kelvin ∙

Kraft

Newton

Druck, Spannung

Pascal

Energie

Joule

Leistung

Watt

Frequenz

Hertz 10

Volumen

Liter

Tab. 1-2 Vorsätze für Maßeinheiten (SI-Präfixe) Symbol

1.7

Die Aufgabenstellung wie auch der Lösungsweg müssen dokumentiert und nachvollziehbar sein. Dies wird mit einer sauberen und strukturierten Arbeitsweise erreicht.

Name

Potenz

Symbol

Name

Potenz

Giga

10

Dezi

10

Mega

10

Zenti

10

Kilo

10

Milli

10

Hekto

10

Mikro

10

Deka

10

Nano

10

Lösung statischer Probleme

Als Ingenieur ist das Lösen von technischen Fragestellungen ein Hauptbestandteil des täglichen Berufslebens. Daher ist eine klar und eindeutig formulierte Aufgabenstellung wie auch eine daran anschließende saubere und nachvollziehbare Aufgabenbearbeitung und Lösung unerlässlich. Zudem müssen wir als Ingenieure unsere Berechnungsergebnisse anderen Fachkollegen wie auch Laien präsentieren und über Probleme diskutieren. Dies klingt zwar auf den ersten Blick einleuchtend, ist aber in der Umsetzung meist nicht überzeugend. Daher wollen wir uns ab sofort eine saubere und strukturierte Arbeitsweise angewöhnen. Dies erspart uns bei einer Ergebnispräsentation wie auch bei einer möglichen Fehlersuche Zeit und Nerven.

1.7 ∙ Lösung statischer Probleme

Leider ist die Realität so komplex, dass es kein festes Schema für die Lösung eines mechanischen Problems gibt. Vielmehr muss jedes Problem eigenständig betrachtet werden. In der Vergangenheit haben sich aber einige Schritte herausgebildet, die für alle technischen Aufgabenstellungen gelten und daher anzuwenden sind:  Formulierung des Problems: Was soll herausgefunden werden? Was wird berechnet?  Modellbildung und Identifizierung des Systems Welche Annahmen können getroffen werden? Kann z. B. die Reibung oder das Gewicht vernachlässigt werden?  Skizze des mechanischen Systems Antragen aller wirkenden Kräfte im System. Welche weiteren Größen sind gegeben (z. B. Masse eines Körpers) und welche Größen sind gesucht?  Erstellung des Freikörperbildes! Der wahrscheinlich wichtigste Schritt, da die nachfolgende mathematische Problemlösung auf dem Freikörperbild basiert. Ist das Freikörperbild fehlerhaft, so ist auch die Lösung fehlerhaft!  Wahl des Koordinatensystems  Aufstellen der mechanischen und geometrischen Gleichungen  Auflösung der Gleichungen nach den Unbekannten (eine Gleichung pro Unbekannte)  Zusammenstellung der Ergebnisse  Diskussion und Deutung der Ergebnisse Die kritische Überprüfung der Ergebnisse auf Plausibilität ist unabdingbar. Kein Ingenieur darf den Ergebnissen, egal ob diese durch eine Handrechnung oder durch ein Computerprogramm gewonnen wurden, blind vertrauen. Daher gilt auch hier die gleiche Sorgfalt in der kritischen Überprüfung wie bei allen zuvor durchgeführten Schritten.

7

1

► Nachdem das Problem formuliert und die Modellbildung abgeschlossen ist, erfolgt die eigentliche Berechnung.

► Am Ende erfolgt die kritische Überprüfung der erhaltenen Berechnungsergebnisse.

► Vertrauen Sie niemals blind einem Ergebnis! Jeder von uns kann mal einen Fehler machen, auch bei der simplen Eingabe von Werten in einen Taschenrechner oder ein Berechnungsprogramm.

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Kapitel 1 ∙ Einführung in die Mechanik

In Kürze Stereostatik  Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte an unbeschleunigten starren Körpern. Modellbildung  Die Modellbildung dient dazu, ein reales Problem in ein einfaches mechanisches Modell zu überführen, welches sich mithilfe mathematischer Methoden lösen lässt.  Grundsatz: gute Modelle sind so einfach wie möglich und so komplex wie nötig.  Die Modellbildung kann die Realität nur in Grenzen abbilden. Axiome der Mechanik  Die Mechanik basiert auf Axiomen.  Ein Axiom ist eine unbeweisbare, nicht abgeleitete Aussage, aber in sich einsichtige Wahrheit, die allgemein als gültig und richtig anerkannt wird und somit als Ausgangspunkt einer deduktiven Theorie dient.

Physikalische Größen  Technische Größen sind immer dimensionsbehaftet und ihre Maßeinheiten müssen immer in die Berechnung mit einbezogen werden.  Vektoren besitzen einen Betrag und eine Richtung.  Skalare besitzen nur einen Betrag. Lösung statischer Probleme  Nach der Modellbildung erfolgt die eigentliche Berechnung.  Am Ende der Berechnung ist die kritische Überprüfung der Berechnungsergebnisse durchzuführen.  Vertrauen Sie niemals blind einem Ergebnis! Jeder von uns kann mal einen Fehler machen, auch der Taschenrechner oder ein Berechnungsprogramm.

9

2

Grundlagen der Stereostatik 2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7 

Der Freiheitsgrad eines Körpers ....................................................................... 10  Der Starrkörper ................................................................................................. 10  Eine unsichtbare Macht: die Kraft ..................................................................... 10  Die Axiome der Mechanik (Lehrsätze) .............................................................. 13  Das Freischneiden ............................................................................................ 16  Die Grundaufgaben der Mechanik..................................................................... 22  Die Themengebiete der Stereostatik ................................................................. 22 

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_2

10

Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den elementaren Grundlagen der Stereostatik und den Definitionen verschiedener Begriffe und Größen. Zuerst definieren wir die Grundbegriffe und werden im weiteren Verlauf dieses Buches auf deren Besonderheiten eingehen.

2.1

Als Freiheitsgrad wird die Zahl der voneinander unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers bezeichnet

Mit Freiheitsgrad werden die unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers bezeichnet. Die einzelnen Bewegungsmöglichkeiten werden auch Freiheiten genannt. Im Raum besitzt ein Körper somit sechs unabhängige Bewegungsmöglichkeiten: drei Translationen, Linearbewegungen jeweils entlang der x-, y- und z-Koordinatenachse sowie drei Rotationen, Drehbewegungen jeweils um die x-, y- und z-Koordinatenachse. Dagegen sind in der Ebene nur drei Bewegungsmöglichkeiten gegeben: zwei Translationen, in Richtung der x- und y-Koordinatenachse und eine Rotation um die z-Koordinatenachse.

2.2

Ein Starrkörper ist eine Idealisierung eines unendlich festen und somit unverformbaren Körpers.

Der Starrkörper

Ein Starrkörper stellt in der Technischen Mechanik eine Idealisierung dar und beschreibt einen unendlich steifen, festen und somit unverformbaren Körper. In der Stereostatik haben wir es ausschließlich mit Starrkörpern zu tun. Wir nehmen also an, dass die betrachteten Körper immer ihre Form behalten und sich nicht verformen. In der Regel sind bei Körpern aus Metall die Verformungen durch eine 'normale' Belastung so gering, dass diese guten Gewissens vernachlässigt werden können. Gleiches gilt beispielsweise auch bei einem Stein oder einer Billardkugel. Bei elastischen Körpern sieht dies dagegen anders aus, wie z. B. bei einem Flummi oder einem Luftballon.

2.3

► Eine Kraft ist unsichtbar. Lediglich die Wirkung einer Kraft kann beobachtet und gemessen werden.

Der Freiheitsgrad eines Körpers

Eine unsichtbare Macht: die Kraft

Aus unserer täglichen Erfahrung ist uns der Begriff der Kraft recht geläufig. Beim Hochheben eines Gegenstandes benutzen wir die Muskelkraft, um die Gewichtskraft des Gegenstandes gegen die Schwerkraft zu bewegen. Wir können also die Wirkung der Kraft fühlen. Sei es bei einer Muskelanspannung oder als Gewichtskraft eines Gegenstandes. Eine Kraft anschauen können wir jedoch nicht. Dies führt dazu, dass sich eine Kraft nur durch eine geistige Abstraktion erklären lässt. Die Kraft ist lediglich eine Modellvorstellung. Im Gegensatz

2.3 ∙ Eine unsichtbare Macht: die Kraft

dazu kann die Wirkung einer Kraft beobachtet und sogar gemessen werden. Die Gewichtskraft eines Gegenstands kann z. B. mit einer Federwaage gemessen werden. Physikalisch ausgedrückt ist eine Kraft entweder die Ursache einer Bewegungsänderung eines frei beweglichen Körpers oder die Ursache einer Formänderung eines Körpers.

11

Eine Kraft kann den Bewegungszustand und/oder eine Verformung eines Körpers bewirken.

2

Definiert wird eine Kraft durch die drei Eigenschaften:  Betrag (Größe der Kraft)  Richtung (beinhaltet Wirkungslinie und Richtungssinn)  Angriffspunkt Als Betrag (Größe) einer Kraft wird die Maßeinheit Newton [1 N = 1 kg  1 m/s2] verwendet. Für die Definition der Richtung und des Angriffspunktes schauen wir uns einmal die Kiste in  Abb. 2.1 an. Je nachdem, welche der eingezeichneten Kräfte (Formelbuchstabe F, engl. Force) wirkt, ergibt sich eine andere Wirkung auf die Kiste. Wirkt die Kraft F1, würde die Kiste nach rechts bewegt werden. Die Kraft F2 dagegen zieht die Kiste vom Boden nach oben und die Kraft F3 könnte zum Umkippen der Kiste führen. Da diese drei Kräfte somit alle eine unterschiedliche Wirkung auf die Kiste ausüben, müssen der Angriffspunkt und die Richtung der Kraft eindeutig angegeben werden. Die Richtung einer Kraft (auch mit Wirkrichtung bezeichnet) wird durch die sog. Wirkungslinie definiert, siehe  Abb. 2.2. Die Wirkungslinie ist eine Gerade in Richtung der Wirkung der an einem Körper angreifenden Kraft. Daneben ist der Richtungssinn entlang der Wirkungslinie wichtig, also in welcher Richtung die Kraft auf ihrer Wirkungslinie wirkt. Und als letztes ist noch der Angriffspunkt der Kraft von Bedeutung. Also an welchem Punkt eines Körpers die Kraft angreift.

F3

F2

Angriffspunkt

Wirkungslinie

F1

Abb. 2.1

Wirkungslinie F Angriffspunkt Abb. 2.2

Mathematisch gesehen ist eine Kraft demnach ein gebundener Vektor. Da wir uns hier mit der Technischen Mechanik beschäftigen, können wir auf den in der Vektorschreibweise üblichen Pfeil ( ) oder den fettgeschriebenen Buchstaben (F) verzichten. Anhand unserer Skizzen und Zeichnungen geht klar hervor, dass es sich bei einer Kraft eindeutig um einen Vektor handelt. Wenn wir die Vektorschreibweise verwenden, werden wir explizit darauf hinweisen. Ansonsten verwenden wir ausschließlich die Koordinaten bzw. Beträge der Vektoren. Des Weiteren können wir Kräfte anhand verschiedener Eigenschaften oder auch Merkmale einteilen. In der Vergangenheit hat sich die folgende Einteilung nach  Tab. 2-1 etabliert.

Mathematisch gesehen ist eine Kraft ein gebundener Vektor.

12

Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

Tab. 2-1 Einteilung von Kräften Räumliche Verteilung

Wirkung

 Einzelkraft: Eine Einzelkraft ist eine Idealisierung und wirkt nur auf einen Punkt, wie z. B. ein Nagel beim Einschlagen in eine Wand.  Linienkraft: Eine Linienkraft ist eine Idealisierung und wird auch als Streckenlast bezeichnet. Sie wirkt entlang einer Linie, wie z. B. die Kraft entlang einer Messerschneide.  Flächenkraft: Eine Flächenkraft wirkt auf eine Fläche, wie z. B. die Kraft auf der Berührungsfläche zweier Körper.  Volumenkraft: Eine Volumenkraft wirkt auf das Volumen eines Körpers, wie z. B. die Gewichtskraft eines Körpers. Ursache  Eingeprägte Kräfte: Dies sind Kräfte mit physikalischer Ursache, wie z. B. die Gewichtskraft oder der Winddruck.  Reaktionskräfte: Dies sind Zwangskräfte, die die Bewegungsmöglichkeit (Freiheitsgrad) eines Körpers einschränken, wie z. B. Lagerkräfte.

 Nahkräfte: Sie wirken in der Berührungsfläche, also im direkten Kontakt zwischen zwei Körpern.  Fernkräfte: Sie wirken ebenfalls zwischen Körpern, jedoch haben die Körper keinen direkten Kontakt miteinander, wie z. B. die Gravitationskraft oder die Schwerkraft. Wirkungsort  Äußere Kräfte: Dies sind von außen auf einen Körper wirkende Belastungen sowie Reaktionskräfte an der Systemgrenze. Auf den Begriff der Systemgrenze werden wir in Kapitel 2.5 näher eingehen.  Innere Kräfte: Dies sind innere, also in einem Körper wirkende Kräfte, welche auch als Schnittkräfte bezeichnet werden. Innere Kräfte bzw. Schnittkräfte werden mittels Freischneiden sichtbar gemacht.

Die Gewichtskraft ist eine:  Volumenkraft  eingeprägte Kraft  Fernkraft  äußere Kraft.

Beispiel 1: Als erläuterndes Beispiel nehmen wir einmal die Gewichtskraft eines Gegenstandes. Die Gewichtskraft ist eine Volumenkraft (da sie über das gesamte Körpervolumen wirkt), eine eingeprägte Kraft (da sie eine physikalische Ursache, nämlich die Gravitation besitzt), eine Fernkraft (denn sie wirkt durch die Massenanziehung) und eine äußere Kraft (sie wirkt von außen auf den Körper).

Die Kraft von einer Schuhsohle auf den Boden ist eine:  Flächenkraft  Reaktionskraft  Nahkraft  äußere Kraft.

Beispiel 2: Als zweites Beispiel nehmen wir die Kraft von einer Schuhsohle auf den Boden. Diese Kraft ist eine Flächenkraft (denn sie wirkt auf der gesamten Schuhsohle), eine Reaktionskraft (sie schränkt die Bewegungsmöglichkeit der Schuhsohle ein; die Schuhsohle kann schließlich nicht durch den Boden hindurch gehen), eine Nahkraft (sie wirkt im direkten Kontakt an den beiden Körperoberflächen) und eine äußere Kraft (sie wirkt von außen auf die Körperoberflächen).

► Eine Kraft ist eine physikalische Größe und die Ursache von Bewegungs- und/oder Formänderungen eines Körpers. Eine Kraft kann nicht beobachtet oder gemessen werden. Beobachtbar und messbar ist nur die Wirkung einer Kraft. Die Kraft besitzt die Einheit Newton [N] und ist definiert durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt.

2.4 ∙ Die Axiome der Mechanik (Lehrsätze)

2.4

13

Die Axiome der Mechanik (Lehrsätze)

Wie schon angesprochen basiert die Mechanik auf einigen wenigen theoretischen Überlegungen, welche mit Axiome bzw. Lehrsätze der Mechanik bezeichnet werden. Ein Axiom ist eine absolut richtige Aussage, welche nicht beweisbar, nicht weiter reduzierbar sowie widerspruchsfrei ist und aufgrund von Erfahrungen und/oder Beobachtungen bestätigt werden kann. Die ersten drei Axiome werden auch als NEWTON'sche Gesetze bezeichnet, da NEWTON1 diese 16872 als Gesetze veröffentlichte. Die diesen Gesetzen angefügten Zusätze enthielten u. a. den Satz vom Kräfteparallelogramm, der im Allgemeinen auch als viertes Axiom bezeichnet wird.

Die Mechanik basiert auf den von Sir Isaac NEWTON aufgestellten Lehrsätzen.

Axiom 1: Trägheitssatz (Lex prima, NEWTON 1) Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird. Dies bedeutet also, dass für eine Bewegungsänderung immer auch eine Kraft erforderlich ist. An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass es keinen grundsätzlichen Unterschied zwischen der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung und dem Ruhezustand gibt, da in beiden Fälle keine Kräfte wirken. Je nachdem, wo wir uns als Beobachter befinden, ergibt sich bloß eine andere Wahrnehmung. Sitzen wir z. B. in einer S-Bahn, nehmen wir die S-Bahn als stehend und die Erdoberfläche als sich bewegend wahr. Sehen wir die S-Bahn jedoch von außen, steht die Erdoberfläche und die S-Bahn bewegt sich. Daher muss bei einer Bewegung immer das Bezugssystem angegeben werden, also welcher Körper sich bewegt.

1. NEWTON'sches Gesetz

Wenn keine Kräfte wirken, behält ein Körper seinen Bewegungszustand bei.

Die Bewegung eines Körpers ist vom Bezugssystem abhängig.

Axiom 2: Aktionssatz (Lex secunda, NEWTON 2) Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

2. NEWTON'sches Axiom

Dieses Axiom ist die eigentliche Grundlage der Kinetik (Technische Mechanik 3) und wird auch als Grundgleichung der Mechanik bezeichnet. Für eine konstante Masse lautet die Grundgleichung in der Schreibweise nach EULER3: ∙ 1

(2.1)

Sir Isaac NEWTON (1643–1727), engl. Physiker, Mathematiker, Astronom, Philosoph, Professor für Mathematik Veröffentlicht in: Philosophiae naturalis Principia Mathematica, kurz: Principia 3 Leonhard EULER (1707–1783), schweiz. Mathematiker, Physiker, Professor für Physik und Mathematik 2

2

14

Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

Die Erdbeschleunigung beträgt im Mittel g = 9,81 m/s2 und wirkt senkrecht nach unten.

Da auf der Erde die sogenannte Erdbeschleunigung g (auch Fallbeschleunigung genannt, g = 9,81 m/s2) wirkt, können wir mittels der EULER'schen Schreibweise die Gravitationskraft FG (oder auch Gewichtskraft G) eines beliebigen Körpers der Masse m berechnen: ∙

∙ 9,81

m s2

(2.2)

Axiom 3: Reaktionssatz (Lex tertia, NEWTON 3) Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (Aktion, actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (Reaktion, reactio).

3. NEWTON'sches Axiom

Dieser Satz führt auf den allgemein bekannten Ausdruck: actio = reactio und bedeutet, dass jede Kraft an ihrer Angriffsstelle eine gleich große Gegenkraft erzeugt. Betrachten wir dazu den auf dem Boden liegenden Basketball in  Abb. 2.3. Wenn wir den Basketball und den Boden einmal getrennt voneinander betrachten, so wirkt auf den Boden die Gewichtskraft des Basketballs FBall und, da sich der Basketball in Ruhe befindet, muss vom Boden eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft FBoden = FBall auf den Basketball wirken. Zu jeder Kraft gehört somit immer eine Gegenkraft. Eine Kraft kann nie ohne eine Gegenkraft existieren.

F = FBall Boden FBall

Abb. 2.3

Axiom 4: Kräfteparallelogramm (Lex quarta, NEWTON 44) Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte F1, F2, ..., Fn, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft Fres oder R auf.

4. NEWTON'sches Axiom

F1 A

F2

F1

R

F2 R

A oder R A Abb. 2.4

4

F2

F1

Dies wird auch als Reduktion von Kräften bezeichnet. Die Wirkung mehrerer Kräfte, z. B. F1 und F2 auf den Punkt A, wird zu einer resultierenden Kraft R zusammengefasst, siehe  Abb. 2.4. Somit hat die resultierende Kraft R (auch kurz mit Resultierende bezeichnet) die gleiche Wirkung auf den Punkt A wie zuvor die beiden Kräfte F1 und F2. Anders ausgedrückt: da die beiden Kräfte F1 und F2 Vektoren sind, entspricht das Kräfteparallelogramm mathematisch gesehen einer Vektoraddition. Wobei es hierbei egal ist, in welcher Reihenfolge die beiden Kräfte addiert werden. In beiden Fällen (F1 + F2 oder F2 + F1) ist das Ergebnis, also die Größe der Resultierenden R, identisch.

Das vierte Axiom ist eine Erweiterung der drei NEWTON'schen Axiome und wurde von NEWTON als Zusatz in seinem Werk Principia beschrieben. Es wurde zuvor von Simon STEVIN (1548–1620) formuliert.

2.4 ∙ Die Axiome der Mechanik (Lehrsätze)

15

Axiom 5: Verschiebungssatz Die äußere Wirkung einer Kraft auf einen Starrkörper bleibt unverändert, wenn die Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben wird (Kraft F als linienflüchtiger Vektor). Für die Kiste in  Abb. 2.5a) ist es unerheblich, ob mit der Kraft F an der Kiste gedrückt oder die Kraft F auf ihrer Wirkungslinie verschoben wird und an der Kiste zieht. In beiden Fällen bewegt sich die Kiste nach rechts. Im Falle einer Parallelverschiebung in  Abb. 2.5b) um den Abstand a würde die nach oben verschobene Kraft F eine andere Wirkung auf die Kiste ausüben. Vielleicht würde die Kiste nicht weggeschoben werden sondern umkippen. ► Wichtig: Eine Parallelverschiebung ändert also die Kraftwirkung auf einen Körper und darf daher nur mit bestimmten Einschränkungen durchgeführt werden! Näheres folgt im Kapitel "Allgemeine ebene Kräftegruppen".

5. Axiom

a)

2 F

F

F

b) a

F

Abb. 2.5

Axiom 6: Gleichgewichtssatz Ein Starrkörper ist unter der Wirkung von zwei Kräften im Gleichgewicht, wenn die Kräfte:  gleich groß,  entgegengesetzt gerichtet sind und  die gleiche Wirkungslinie besitzen. Gleichgewicht bedeutet somit, dass nach der vektoriellen Addition der Kräfte keine Resultierende R auftritt. Damit gilt: R = 0. Eine solche Gruppe von Kräften, bei der es keine Resultierende gibt, wird auch mit Gleichgewichtsgruppe bezeichnet, da sich weder die Bewegung des Körpers noch seine Lage durch diese Kräftegruppe ändern, siehe  Abb. 2.6. Die beiden Kräfte F sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und liegen auf der gleichen Wirkungslinie. Ihre Wirkungen auf die Kiste heben sich also gegenseitig auf. Die Kiste bleibt demnach auf der Stelle stehen und wird sich nicht bewegen.

6. Axiom

F

F

Abb. 2.6

Axiom 7: Überlagerungssatz Eine Gleichgewichtsgruppe, kann jeder beliebigen Kräftegruppe überlagert werden, ohne dabei dessen Wirkung zu beeinflussen.

7. Axiom

Dies bedeutet, dass auf einen ruhenden oder sich gleichförmig, geradlinig bewegenden Körper beliebig viele Gleichgewichtsgruppen überlagern lassen, ohne die Lage oder die Bewegung des Körpers zu verändern.

Gleichgewichtsgruppen können überlagert werden, ohne die Lage oder Bewegung eines Körpers zu verändern.

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Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

2.5

► Jedes entfernte Element muss durch eine Kraft ersetzt werden, um deren Wirkung auf den Körper beizubehalten. ► Nach dem Freischneiden darf der Körper keine Berührung mehr mit seiner Umgebung aufweisen.

Das Freischneiden basiert auf dem 3. Axiom: actio = reactio.

► Das Freischneiden darf an jeder beliebigen Stelle, zwischen Körpern aber auch durch einen Körper, angewendet werden.

Das Freischneiden

Das Freischneiden eines Körpers, auch kurz nur Freischneiden oder mit Schnittprinzip bezeichnet, geht auf EULER zurück, welches er 17655 veröffentlichte und dient dem Sichtbarmachen von Kräften, um die Wirkung der Kräfte auf einen Körper untersuchen zu können. Beim Freischneiden wird der zu untersuchende Körper virtuell (gedanklich) aus seiner Umgebung herausgeschnitten und separat betrachtet. Hierzu muss darauf geachtet werden, dass alle Verbindungselemente, Gewichte, Lager usw., welche eine Wirkung auf den Körper besitzen, entfernt und durch entsprechende Kräfte ersetzt werden. Nach dem Freischneiden darf der Körper keine Berührung mehr mit seiner Umgebung aufweisen. Prinzipiell ist uns das Freischneiden schon durch das 3. Axiom bekannt, da jeder Körper auf einen anderen Körper eine Kraft ausübt. In  Abb. 2.7 haben wir das Prinzip des Freischneidens einmal dargestellt. Wird die Kiste von ihrer Umgebung freigeschnitten, so wirkt auf die Kiste die Kraft vom Boden (genauso wie zuvor bei dem Basketball) und gleichzeitig wirkt auf den Boden die (Gewichts-)Kraft der Kiste. Das gleiche Vorgehen ergibt sich beim Freischneiden der Person. Da das Freischneiden an jeder beliebigen Stelle durchgeführt werden kann, haben wir in  Abb. 2.7 nicht nur zwischen Körpern sondern auch durch einen Körper, nämlich dem Seil, geschnitten. Für den Schnitt durch das Seil gilt das gleiche Vorgehen. Wird ein Körper gedanklich durchgeschnitten, müssen wir an der Schnittstelle die wirkenden Kräfte einzeichnen.



FSeil

FSeil

 FKiste FKiste

Abb. 2.7

5

Veröffentlicht in: Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum

FFuß,1

FFuß,2

FFuß,1

FFuß,2

2.5 ∙ Das Freischneiden

In  Abb. 2.7 haben wir die Kräfte in den Schnitten ausschließlich als Normalkräfte (Normalkräfte wirken immer normal, also senkrecht, auf die Schnittfläche) angenommen. Aus unserer Erfahrung wissen wir jedoch, dass z. B. zwischen der Schuhsohle und dem Boden auch noch Reibung auftritt. Daher muss neben der Normalkraft noch eine sog. Tangentialkraft angetragen werden. Wir führen dies einmal am Beispiel des Sneakers in  Abb. 2.8 durch. Die Gewichtskraft G des Sneakers wirkt, wie jede Gewichtskraft eines Körpers, senkrecht nach unten. Nun schneiden wir den Sneaker vom Boden frei und zeichnen eine Normalkraft FN (steht normal auf der Kontaktfläche der beiden Körper) und eine Tangentialkraft FT (liegt in der Kontaktfläche der beiden Körper) ein. Die Tangentialkraft stellt in diesem Beispiel die Reibung zwischen Sneaker und Boden dar. Gäbe es keine Reibung, würde der Sneaker die schiefe Ebene herunterrutschen. Aber die Reibung bzw. die Haftung hält den Sneaker auf der schiefen Ebene fest. In der Regel betrachten wir jedoch reibungsfreie Körper und gehen erst später im Kapitel "Reibung" auf die Reibung ein. Wichtig beim Freischneiden ist, dass wir die betrachtete Situation als erstarrt annehmen, wie z. B. auf einem Foto. Dann können wir alle Körper einzeln freischneiden (quasi das Foto mit einer Schere auseinanderschneiden) und die Wirkungen der Kräfte einzeichnen. Diese Vorstellung von erstarrten Körpern ist das Erstarrungsprinzip nach STEVIN6.

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G

2 G FN FT

FT

FN Abb. 2.8

Beim Freischneiden stellen wir uns alle Körper als erstarrt vor, wie auf einem Foto.

► Sobald wir einen Körper von einem anderen Körper freischneiden oder durch einen Körper schneiden, müssen wir an jeder vorhandenen Schnittstelle die dort wirkenden Kräfte nach dem Prinzip actio = reactio einzeichnen.

Vorgehensweise   

 

6

Alle Körper als erstarrt (wie auf einem Foto) annehmen. Den zu betrachtenden Körper identifizieren und mithilfe einer Umrisslinie kennzeichnen, siehe  Abb. 2.7. Den Körper von seiner Umgebung freischneiden, also eine Skizze des geschnittenen Systems zeichnen und alle am Körper wirkenden Kräfte einzeichnen, um die wirkenden Kräfte sichtbar zu machen. An jeder Schnittstelle die dort wirkenden Kräfte nach dem Prinzip actio = reactio antragen. Die Kräfte eindeutig benennen mit Formelbuchstaben und z. B. einer Zahl oder Bezeichnung.

Simon STEVIN (1548–1620), fläm. Mathematiker, Physiker, Ingenieur

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Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

Äußere und innere Kräfte

Die Unterteilung in äußere und innere Kräfte ist von der betrachteten Systemgrenze abhängig.

Die Unterteilung in äußere und innere Kräfte ist relativ, da diese Kraftart von der Wahl der jeweiligen Systemgrenze abhängt. Betrachten wir hierzu unser Freikörperbild in  Abb. 2.9a). Wenn wir die dargestellte Systemgrenze (gestrichelte Linie) betrachten, sind alle acht eingezeichneten Kräfte innere Kräfte. Sie alle wirken zwischen den dargestellten Körpern und wir sehen sowohl die Aktions- als auch die Reaktionskraft. Wenn wir die Systemgrenze wie in  Abb. 2.9b) definieren, betrachten wir hier nur die Kiste und wir wissen nicht, ob es sich bei den beiden vorhandenen Kräften um Aktions- oder Reaktionskräfte handelt. Folglich sind bei dieser Systemgrenze die beiden Kräfte FKiste und FSeil äußere eingeprägte Kräfte.

a)

b) FSeil

FKiste FKiste

FSeil

FSeil

FFuß,1

FFuß,2

FFuß,1

FFuß,2

FKiste

Abb. 2.9

► Äußere Kräfte dürfen auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich deren Wirkung auf den Körper ändert.

► Innere Kräfte dürfen nicht auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden, da sonst keine eindeutige Zuordnung von Aktions- und Reaktionskraft mehr möglich ist.

Diese Unterteilung ist sehr wichtig, da wir nach dem 5. Axiom Kräfte auf ihrer Wirkungslinie verschieben dürfen. Dies gilt jedoch nur für äußere Kräfte. Im Falle der Kiste in  Abb. 2.9b) ist die Kraft FKiste eine äußere eingeprägte Kraft, da ihre Herkunft in dieser Betrachtung nicht gegeben ist. Verschieben wir diese Kraft z. B. auf die Oberseite der Kiste wäre es für die Kiste unerheblich, ob eine Kraft von unten gegen die Kiste drückt oder ob mit der gleichen Kraft von oben an der Kiste gezogen wird. In beiden Fällen würde die Kraft auf die Kiste vertikal nach oben wirken. Dies ist uns auch nur möglich, da wir in der Stereostatik jeden Körper als Starrkörper betrachten. Innere Kräfte dagegen dürfen wir nicht verschieben. In  Abb. 2.9a) würde es einen erheblichen Unterschied machen, wenn die Kraft FKiste an die Oberseite der Kiste verschoben würde, da keine eindeutige Zuordnung von Aktions- und Reaktionskraft (actio = reactio) mehr gegeben wäre.

2.5 ∙ Das Freischneiden

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Beispiel 2.1 Zeichnen Sie das Freikörperbild des dargestellten Sportlers. Schneiden Sie hierzu zwischen den Füßen des Sportlers und dem Boden sowie zwischen den Händen des Sportlers und der Hantel. Beachten Sie dabei, dass der Sportler und die Hantel eine Masse besitzen.

Lösung Da der Sportler und die Hantel eine Masse (z. B. 90 kg) besitzen, tragen wir die Gewichtskraft G des Sportlers und die Gewichtskraft GH der Hantel in deren Schwerpunkt an. Des Weiteren ist das ganze System symmetrisch. Wenn wir nun zwischen dem Sportler und dem Boden schneiden, so müssen wir entsprechend die vom Sportler auf den Boden und die vom Boden auf den Sportler wirkende Druckkraft einzeichnen. Da dies unser erster Schnitt ist, benennen wir diese Kraft mit F1. Es handelt sich hier um eine Druckkraft, da zwischen zwei Körperoberflächen nur Druckkräfte übertragen werden können. Der Sportler kann schließlich nicht mit seinem Fuß an dem Boden ziehen. Die gleiche Vorgehensweise wenden wir auch bei unserem zweiten Freischnitt zwischen dem Sportler und der Hantel an. Auf den Sportler wirkt die Druckkraft der Hantel und auf die Hantel wirkt die Druckkraft des Sportlers, also F2. Hierbei ist wichtig, dass beim Freischneiden immer das Prinzip actio = reactio (Axiom 3) beachtet wird. Dementsprechend muss die Kraft F1 mit gleicher Größe auf beide Körper (Sportler und Boden) wirken. Und da sich das System vor und nach dem Freischneiden im Gleichgewicht befindet, müssen wir die Kraft F1 in entgegengesetzter Richtung wirkend auf die beiden Körper antragen (Axiom 6). Gleiches gilt auch für die Kraft F2.

2

GH

F2 F2

F2 F2

G

F1

F1

F1

F1

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Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

Beispiel 2.2 Ein Sandsack ist mit Seilen an der Decke, am Boden und mit einer Feder an der Wand befestigt. Der Sandsack besitzt eine gewisse Masse. Aufgrund der sehr geringen Massen der Seile und der Feder können diese vernachlässigt werden. Zeichnen Sie das Freikörperbild.

Lösung Der Sandsack besitzt eine Masse, daher tragen wir im Schwerpunkt des Sandsacks die entsprechende Gewichtskraft G an. Nun schneiden wir alle Elemente einzeln frei und tragen die entsprechenden Kräfte nach dem Prinzip actio = reactio an. Wir fangen oben am System an und schneiden zuerst durch das Seil an der Decke. Ein Seil kann natürlich nur Zugkräfte übertragen, daher zeichnen wir die Kraft F1 so ein, dass diese am Seil zieht. Gleiches gilt auch für das Seil, welches den Ring mit der Feder verbindet. Die Kraft F2 zieht am Seil und somit auch an der Feder, genauso wie die Kraft F3. Die Kette, welche den Sandsack mit dem Ring verbindet schneiden wir nur einmal durch. Da sich eine Kette genauso wie ein Seil verhält (kann nur auf Zug belastet werden), tragen wir die Kraft F4 wieder als Zugkraft ein. Und genauso gehen wir auch bei dem Seil vor, welches den Sandsack mit dem Boden verbindet.

F1 F1

F2

F4 F4

G

F5 F5

F2

F3

F3

2.5 ∙ Das Freischneiden

21

Beispiel 2.3 Eine kleine massebehaftete Kugel ist mit einem masselosen Seil an der Decke befestigt und drückt eine große massebehaftete Kugel gegen eine Wand. Der Schwerpunkt der beiden Kugeln befindet sich in der Mitte der Körper und ist gekennzeichnet. Zeichnen Sie das Freikörperbild.

Lösung Da beide Kugeln eine Masse besitzen, zeichnen wir diese als Gewichtskraft G1 für die kleine und als G2 für die große Kugel ein. Für das masselose Seil brauchen wir keine Gewichtskraft zu berücksichtigen. Wenn wir die Kraft im Seil als nächstes sichtbar machen wollen, schneiden wir wieder durch das Seil und tragen die Seilkraft S entsprechend als Zugkraft an. (An einem Seil können wir nur ziehen, aber nicht drücken. Mit einer Hundeleine können wir an einem Hund auch nur ziehen und nicht drücken.) Infolge der Gewichtskraft G1 übt die kleine Kugel eine Druckkraft auf die große Kugel aus (die Schwerkraft zieht die Kugel nach unten). Da zwischen zwei Körpern nur Druckkräfte übertragen werden können, zeichnen wir eine Druckkraft ein und benennen diese mit N1 für Normalkraft. Da bei gekrümmten Oberflächen die auf den Körper wirkende Normalkraft N immer zum Körperinneren (senkrecht zur Oberfläche) zeigt, ist die Wirkungslinie der Normalkraft N1 zum besseren Verständnis ebenfalls eingezeichnet. Die gleiche Vorgehensweise verwenden wir nun auch beim Freischneiden der großen Kugel. Aufgrund der Gewichtskraft G2 und der durch die kleine Kugel hervorgerufenen Normalkraft N1 drückt die große Kugeln gegen den Boden und die Wand. Somit gibt es hier zwei weitere Normalkräfte: N2 und N3.

2

S S

N1 N2

G2

N2

N3 N3

N1

G1

22

Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

2.6

Kräfte lassen sich in der Ebene in zwei und im Raum in drei beliebige Richtungen zerlegen.

Mehrere Kräfte werden zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst.

Gleichgewicht liegt vor, wenn sich die Wirkungen aller an einem Körper angreifenden Kräfte gegenseitig aufheben.

Die Grundaufgaben der Mechanik

Mithilfe der Axiome können wir also Kräfte und deren Wirkung auf einen Körper untersuchen. Hierbei helfen uns die drei Grundaufgaben der Mechanik, welche wir in den folgenden Kapiteln kennenlernen und zum Lösen von Aufgaben immer wieder anwenden werden:  Zerlegung: Die Zerlegung von Kräften ist im Grunde die Umkehrung der Reduktion. Mithilfe des Kräfteparallelogramms kann eine Kraft in mehrere Kräfte zerlegt werden. Liegt die Kraft in einer Ebene ist die Zerlegung in zwei Richtungen eindeutig möglich. Bei einer räumlichen Kraft ist die Zerlegung in drei Richtungen eindeutig möglich.  Reduktion: Bei der Reduktion (Zusammenfassen) von Kräften wird eine beliebige Anzahl von Kräften zu einer einzigen Kraft, der sog. Resultierenden, zusammengefasst, welche die gleiche Wirkung auf einen Körper ausübt, wie zuvor alle Einzelkräfte. Die Reduktion kennen wir schon durch das 4. Axiom (Kräfteparallelogramm).  Gleichgewicht: Das Gleichgewicht ist eine Aussage zur Wirkung von Kräften. Ein Körper kann sich nur dann im Gleichgewicht befinden, wenn sich die Wirkungen aller angreifenden Kräfte gegenseitig aufheben. Das (Kräfte)Gleichgewicht kennen wir schon durch das 6. Axiom (Gleichgewichtssatz).

2.7

Die Themengebiete der Stereostatik

In  Abb. 2.10 sind die in der Stereostatik behandelten Themengebiete und damit auch die in den folgenden Kapiteln enthaltenen Inhalte aufgeführt. Wir werden uns nun nach und nach mit den einzelnen Inhalten auseinandersetzen. Das Kapitel "Energiemethoden" ist in dieser Übersicht nicht aufgeführt, da es sich hierbei um alternative Berechnungsverfahren handelt, welche anstelle der in den nachfolgenden Kapiteln behandelten NEWTON'schen Kraftgleichungen verwendet werden können.

2.7 ∙ Die Themengebiete der Stereostatik

23

Stereostatik

+

Kräfte

Momente

2 Zentrale Kräftegruppen

Lager- und Gelenkreaktionen

Allgemeine Kräftegruppen

Schnittgrößen

Schwerpunkt

Haftung und Reibung

Abb. 2.10

In Kürze

Grundbegriffe

 Kraft: Eine physikalische Größe und die Ursache von Bewegungs- und/oder Formänderungen eines Körpers. Die Kraft besitzt die Einheit Newton [N] und ist definiert durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt.  Belastung: Von außen an einem Körper angreifende äußere Lasten (eingeprägte Kräfte und Momente).  Äußere Kräfte: Eingeprägte Kräfte (und Momente) sowie an der Systemgrenze wirkende Reaktionskräfte und Reaktionsmomente. Äußere Kräfte dürfen auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden.  Innere Kräfte: Im Inneren eines Körpers wirkende Kräfte (und Momente), welche mithilfe des Freischneidens (Schnittprinzip) sichtbar gemacht werden. Innere Kräfte dürfen auf ihrer Wirkungslinie nicht verschoben werden.

 Gleichgewicht: Zustand der Ruhe (unbewegt) oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung (konstante Geschwindigkeit).  Starrkörper: Ein unendlich steifer und fester (unverformbarer) Körper. Dies ist eine Modellvorstellung und von wesentlicher Bedeutung für die Stereostatik.  Freiheitsgrad: Anzahl der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers.  Freikörperbild: Herausschneiden des zu betrachtenden Körpers aus seiner Umgebung. Das Freikörperbild ist die Grundlage zur daran anschließenden Berechnung und dient dem Sichtbarmachen aller wirkenden Kräfte (und Momente). Das Freikörperbild ist der wichtigste Bestandteil der Modellbildung in der Technischen Mechanik.

24

Kapitel 2 ∙ Grundlagen der Stereostatik

Freischneiden

Allgemeine Regeln

 Freikörperbilder sind aussagekräftige Skizzen bzw. Freihandzeichnungen.  Freischneiden kann an jeder beliebigen Stelle eines Körpers erfolgen.  Es darf zwischen Körpern, wie auch durch einen Körper, geschnitten werden.  In jedem Schnitt gilt das 3. Axiom: actio = reactio.  Jede angetragene Kraft bekommt eine eindeutige Bezeichnung.  Lagerungen werden mit Großbuchstaben (A, B, C, ...) bezeichnet.  Lagerkräfte werden mit Großbuchstaben und Wirkrichtung (Ax, Ay, B, ...) bezeichnet.  Die Wirkrichtungen der angetragenen Kräfte können beliebig gewählt werden.  Die Gewichtskraft G bzw. FG wirkt immer senkrecht nach unten und greift immer im Körperschwerpunkt an.

 Seil- und Stabkräfte (Großbuchstabe S) werden immer als Zugkräfte angetragen.  Zwischen zwei Körpern können nur Druckkräfte übertragen werden. Es ist nicht möglich mit einem Körper an einem anderen zu ziehen.  Normalkräfte N bzw. FN sind Druckkräfte und wirken immer senkrecht auf die Körperoberfläche bzw. die Berührungsfläche.  Bei gekrümmten Oberflächen zeigt die auf den Körper wirkende Normalkraft N bzw. FN als Druckkraft immer zum Körperinneren (senkrecht zur Oberfläche).  Tangentialkräfte T bzw. Reibkräfte FR wirken immer in der Berührungsfläche (senkrecht zur Normalkraft).  Glatte (idealisierte, reibungsfreie) Oberflächen sind reibungsfrei, somit gilt: T = FR = 0.

25

3

Zentrale ebene Kräftegruppen 3.1  3.2  3.3  3.4 

Erste Grundaufgabe: Zerlegung ........................................................................ 26  Zweite Grundaufgabe: Reduktion ...................................................................... 30  Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht.................................................................. 34  Aufgaben zu Kapitel 3 ....................................................................................... 39 

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_3

26

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

Als zentrale Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Körper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden. Die Resultierende dieser Kräftegruppe kann grafisch mit einem Kräftediagramm (auch Krafteck genannt) bestimmt werden. Alle Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt lassen sich rechnerisch mithilfe der Vektoraddition zu einer Resultierenden zusammenfassen. Eine solche Kräftegruppe kann einen Körper nur geradlinig verschieben (Translation), aber nicht drehen.

F2

F1 f2

P

f1

f3

F3

Abb. 3.1

Als anschauliches Beispiel einer zentralen ebenen Kräftegruppe betrachten wir die drei Kräfte F1, F2 und F3 mit deren Wirkungslinien f1, f2 und f3 in  Abb. 3.1. Da es sich hier um mehr als nur eine Kraft handelt, können wir dies zum einen als Kräftegruppe bezeichnen. Zum anderen ist deutlich erkennbar, dass sich alle Wirkungslinien in einem einzigen Punkt schneiden. Darum handelt es sich um eine zentrale Kräftegruppe. Der gemeinsame Schnittpunkt wird auch als Zentralpunkt P bezeichnet. Und als letztes liegen alle Kräfte in einer Ebene, nämlich auf der Seite dieses Buches (keine Kraft zeigt aus dieser Seite heraus oder in die Seite hinein). Somit haben wir es hier mit einer zentralen ebenen Kräftegruppe zu tun. Anmerkung: Die zentrale ebene Kräftegruppe ist ein Spezialfall der im nächsten Kapitel folgenden allgemeinen ebenen Kräftegruppe.

3.1

Erste Grundaufgabe: Zerlegung

Wir beschäftigen uns zuerst mit der ersten Grundaufgabe, der Zerlegung von Kräften. Hierzu betrachten wir die in  Abb. 3.2a) dargestellte Kraft F in der Zeichenebene mit dem entsprechenden kartesischen Koordinatensystem. Zur horizontalen x-Achse besitzt die Kraft F den Winkel α.

a) y

b) y

c) y

fy

Fx F

Fy

α

f

F

Fy

Fy

α fx x

α Fx

ey ex

Fx x

Abb. 3.2

x

3.1 ∙ Erste Grundaufgabe: Zerlegung

27

Zweckmäßig erfolgt die Zerlegung von Kräften in Richtung der Koordinatenachsen unseres Koordinatensystems. Daher zeichnen wir uns zuerst einmal die Wirkungslinien ein, entlang derer wir die Kraft zerlegen bzw. aufteilen wollen. In unserem Fall wären dies die beiden Wirkungslinien fx und fy, die parallel zur x- bzw. y-Achse verlaufen. Mit der Kenntnis des Kräfteparallelogramms (4. Axiom) und dem Richtungswinkel α können wir mithilfe der trigonometrischen Funktionen die folgenden Beziehungen aufstellen: cos



sin

(3.1)

► Die Zerlegung von Kräften erfolgt der Einfachheit halber in Richtung der Koordinatenachsen.

Richtungswinkel der Kraft

Stellen wir diese beiden Gleichungen noch nach den zerlegten Kräften Fx und Fy um, erhalten wir die Beziehungen: ∙ cos

∙ sin

(3.2)

Unser Ergebnis ist in  Abb. 3.2b) dargestellt. Wir haben unsere Kraft F in die beiden Kräfte Fx und Fy zerlegt. Die beiden Ergebnisse der Gleichungen (3.2) sind die Größen der beiden Kräfte, also deren Betrag. Da wir die Kraft F zerlegt haben, zeichnen wir auch nur noch die beiden zerlegten Kräfte Fx und Fy an unseren Angriffspunkt an, so wie in  Abb. 3.2c) dargestellt. Zum besseren Verständnis haben wir die Wirkungslinie f der Kraft F in der Zeichnung beibehalten. Diese brauchen wir jedoch im weiteren Verlauf dieses Buches nicht mehr einzeichnen. Solange wir uns in der Ebene befinden, lässt sich jede Kraft in zwei beliebige Richtungen zerlegen. Wir können uns dies anhand der translatorischen Freiheitsgrade überlegen. Im Grunde stellt eine Kraft eine Verschiebung in Richtung der Wirkungslinie dar. In der Ebene existieren nur zwei mögliche Translationen, wodurch eine Kraft auch nur in zwei mögliche Richtungen zerlegt werden kann. Dagegen existieren im Raum drei mögliche Translationen und somit kann eine Kraft hier auch in drei Richtungen zerlegt werden. An dieser Stelle sei angemerkt, dass eine Kraft in der Ebene auch in mehr als zwei Richtungen zerlegbar ist. Jedoch erhalten wir dann unendlich viele Möglichkeiten für die Zerlegung und es wäre nicht mehr eindeutig. Des Weiteren müssen wir immer auf das Vorzeichen der Kraft achten. Wenn eine Kraft in die positive Koordinatenrichtung wirkt, bekommt diese Kraft ein positives (+) Vorzeichen. Entsprechend ergibt sich ein negatives (-) Vorzeichen, wenn die Kraft in die negative Koordinatenrichtung wirkt. Für unsere drei Kräfte F, Fx und Fy in  Abb. 3.2 bedeutet dies, dass sie

Zerlegte Kräfte

Nach dem die Kraft F zerlegt wurde, müssen nur noch die beiden zerlegten Kräfte Fx und Fy in das Freikörperbild eingezeichnet werden.

► In der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen, im Raum in drei Richtungen eindeutig. Eine Zerlegung in mehr als zwei bzw. drei Richtungen ist zwar möglich, führt jedoch zu unendlich vielen Möglichkeiten und ist somit nicht eindeutig.

► Zeigt die Kraft in die positive Koordinatenrichtung bekommt sie ein positives (+), zeigt sie in die negative Koordinatenrichtung ein negatives (-) Vorzeichen.

3

28

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

Eine Kraft kann in beliebige Richtungen zerlegt werden. Für die Berechnung ist die Zerlegung von Kräften in Richtung der Koordinatenachsen jedoch am sinnvollsten.

alle positiv sind. Da die Kraft F in die positive x- wie auch die positive y-Koordinatenrichtung wirkt, sind deren Anteile beide positiv. Entsprechend müssen auch die beiden zerlegten Kräfte Fx und Fy positiv sein. Hinweis: Jede Kraft lässt sich auch in beliebige Richtungen zerlegen. Eine Zerlegung muss also nicht zwingend in Richtung der Koordinatenachsen erfolgen. Jedoch ist es für die anschließende Berechnung wesentlich einfacher, wenn Kräfte in Richtung der Koordinatenachsen zerlegt werden. Dies werden wir im weiteren Verlauf des Kapitels noch sehen.

Vorgehensweise     

 



Die zu zerlegende Kraft einzeln hinzeichnen. Dabei die Richtung sowie den Winkel der Kraft beibehalten. Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Einzeichnen der Wirkungslinien, entlang derer die Kraft zerlegt werden soll. In das sich ergebende Dreieck wird der rechte Winkel sowie der gegebene Winkel der Kraft eingezeichnet. Einzeichnen und Beschriften der zerlegten Kräfte entlang der Wirkungslinien, z. B. mit F1x und F1y. Beim Einzeichnen der zerlegten Kräfte den richtigen Richtungssinn beachten. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen den Betrag der zerlegten Kräfte berechnen. Zeigt die zerlegte Kraft in Richtung der positiven x-Achse bekommt diese Kraft ein positives (+) Vorzeichen. Zeigt sie in die negative Richtung entsprechend ein negatives (-) Vorzeichen. Gleiches gilt für die y-Richtung. In das Freikörperbild werden nur die beiden zerlegten Kräfte eingezeichnet. Die ursprüngliche Kraft braucht nicht mehr eingezeichnet zu werden.

Beispiel 3.1 Zerlegen Sie die drei dargestellten Kräfte (F = 100 N, α = 40°, β = 70°, γ = 35°) jeweils in die Richtungen der x- und y-Achse des entsprechenden Koordinatensystems und berechnen Sie die Größe der zerlegten Kräfte. F

y

y x

α

F x β

F

γ

y x

3.1 ∙ Erste Grundaufgabe: Zerlegung

29

Lösung Zur Lösung der Aufgabe gehen wir genauso vor wie beschrieben. Zuerst zeichnen wir die Kraft F unter ihrem entsprechenden Winkel hin. Danach zeichnen wir die Wirkungslinien fx und fy, entlang derer wir die Kraft F zerlegen wollen ein. Da wir die Kraft F in Richtung der kartesischen Koordinatenachsen zerlegen wollen, bilden die Wirkungslinien mit der Kraft F ein rechtwinkliges Dreieck. Den dort enthaltenen rechten Winkel sowie den gegebenen Winkel (α, β bzw. γ) tragen wir beide in das Dreieck ein. Beim Einzeichnen der zerlegten Kräfte Fx und Fy müssen wir auf deren Richtungssinn entlang der Wirkungslinie achten. Im ersten Beispiel wirkt die Kraft F von rechts unten nach links oben. Somit wirkt die Kraft Fx in negativer x-Richtung (von rechts nach links) und bekommt somit ein negatives (-) Vorzeichen. Die Kraft Fy wirkt in positiver y-Richtung (von unten nach oben) und erhält daher ein positives (+) Vorzeichen. Die Berechnung der Kräfte erfolgt mithilfe der trigonometrischen Funktionen. Die Kraft F ist in allen Beispielen die Hypotenuse der Dreiecke (Warum 3.1?). Im ersten Beispiel ist die Kraft Fx die Ankathete des Winkels α, weshalb in der Berechnung der Kosinus verwendet wird. Entsprechend ist die Kraft Fy die Gegenkathete des Winkels α und es wird der Sinus verwendet. Im zweiten Beispiel sind die trigonometrischen Funktionen für Fx und Fy vertauscht. Das liegt daran, dass im Dreieck die Kraft Fx die Gegenkathete und die Kraft Fy die Ankathete des Winkels β sind. Des Weiteren zeigt die Kraft F von links oben nach rechts unten. Damit ergibt sich für die Kraft Fx ein positives (von links nach rechts) und für die Kraft Fy ein negatives (von oben nach unten) Vorzeichen. Im Dreieck des dritten Beispiels ist die Kraft Fx die Gegenkathete und die Kraft Fy die Ankathete des Winkels γ. Daher erhalten wir hier die gleichen trigonometrischen Funktionen für die Kräfte Fx und Fy wie im zweiten Beispiel, auch wenn hier das Koordinatensystem gedreht wurde. Für die Vorzeichen gilt: Fx ist positiv, da diese Kraft in positiver Koordinatenrichtung wirkt und Fy ist negativ, da diese Kraft in negativer Koordinatenrichtung wirkt. Hinweis: Auch wenn es hier auf den ersten Blick nicht so aussieht, so ist es doch in manchen Fällen für die Berechnung erheblich einfacher, wenn das Koordinatensystem gedreht wird.

F

y

y

x

α

x

F

β

F

γ

F

fy

→

F

fy

Fx

α Fx

fx

cos →

Fy β

F

∙ sin

76,6 64,3

→ →

γ

fx

sin ∙ cos

x

Fx

fx Fy

y

Fy

fy sin

∙ sin ∙ cos

94 34,2

→

∙ sin

57,4

→

∙ cos

81,9

3

30

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

3.2

Die Reduktion einer Kräftegruppe entspricht der Umkehrung einer Kraftzerlegung.

Grafisch erfolgt die Reduktion einer Kräftegruppe mithilfe des Kräfteparallelogramms (4. Axiom).

Zweite Grundaufgabe: Reduktion

Bei der Reduktion fassen wir beliebig viele Kräfte zu einer resultierenden Kraft (auch Resultierende R genannt) zusammen, welche die gleiche Kraftwirkung besitzt wie die Kräftegruppe, siehe  Abb. 3.3. Die Wirkung der drei Kräfte F1, F2 und F3 auf den Zentralpunkt P ist die gleiche wie durch die Resultierende R dieser drei Kräfte. Die Reduktion kann daher auch als Umkehrung der Kraftzerlegung bezeichnet werden. Schauen wir uns die Reduktion einer zentralen ebenen Kräftegruppe einmal grafisch genauer in  Abb. 3.3 an, bevor wir uns mit der Berechnung beschäftigen. Die Reduktion einer Kräftegruppe können wir grafisch mithilfe des 4. Axioms vom Parallelogrammsatz (siehe S. 14) durchführen. Im ersten Schritt fassen wir die beiden Kräfte F1 und F2 zu der Resultierenden R12 zusammen. Im zweiten Schritt führen wir das gleiche mit der Kraft F3 und der Resultierenden R12 durch. Das Ergebnis dieser Reduktion ist die Resultierende R123. Da wir nun keine weiteren Kräfte mehr zusammenfassen können, ist die Resultierende R123 also die Resultierende der gesamten Kräftegruppe und wir können anstatt R123 nur noch R schreiben.

F2

F1 f1

f2 P

f3

R12 F1

F3

F2 P

F3

R12 P

R123 F3

R P

Abb. 3.3

Die Reihenfolge der Reduktion der einzelnen Kräfte kann beliebig gewählt werden.

Die grafische Addition (Aneinanderreihung) von Kräften wird mit Kräftediagramm oder Krafteck bezeichnet.

Bei der grafischen Reduktion von Kräften ist die Reihenfolge, in welcher die Kräfte addiert werden, beliebig. Um dies zu verdeutlichen, betrachten wir die aus vier Kräften bestehende Kräftegruppe in  Abb. 3.4. Diese Kräftegruppe werden wir nun mit unterschiedlicher Reihenfolge grafisch addieren. Im Fall 1) erfolgt die grafische Addition mit aufsteigender Nummerierung der Kräfte: F1 + F2 + F3 + F4. Im Fall 2) verändern wir die Reihenfolge ein wenig: F4 + F1 + F3 + F2. Eine solche grafische Aneinanderreihung von Kräften wird auch mit Kräftediagramm oder Krafteck bezeichnet. Die Resultierende R wird nun so eingezeichnet, dass das Krafteck geschlossen ist, also vom Anfangspunkt (Pfeilende) der Aneinanderreihung zum Endpunkt (Pfeilspitze).

3.2 ∙ Zweite Grundaufgabe: Reduktion

31

1) F3

2) F4

F2

F3

R F1

R F2

F1

F4

F4

F2 F1

F3

3 Abb. 3.4

In beiden Fällen wird deutlich, dass die Resultierende R gleich groß ist (vier Kästchen waagerecht und ein Kästchen senkrecht) und die gleiche Lage besitzt (von links unten nach rechts oben). Die grafisch Aneinanderreihung der Kräfte kann also in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden, ohne dass sich der Betrag und/oder die Richtung der Resultierenden R verändert. Da die grafische Reduktion etwas aufwendig ist und je nach Anzahl der zu reduzierenden Kräfte viel Platz benötigt, wollen wir uns jetzt mit der mathematischen Methode befassen. Dazu können wir die erste Grundaufgabe verwenden. Zuerst zerlegen wir alle vorhandenen Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten. Wenn wir nun alle x-Koordinaten addieren, erhalten wir die Resultierende Rx für die x-Richtung. Gleiches machen wir auch mit allen y-Koordinaten und erhalten entsprechend die Resultierende Ry:

Die mathematische Addition von Kräften kann mithilfe der Vektorrechnung durchgeführt werden.

⋯

(3.3)

Resultierende in x-Richtung

⋯

(3.4)

Resultierende in y-Richtung

Es ist sehr wichtig, dass wir bei der Reduzierung unbedingt die Vorzeichen der Kräfte beachten. Zeigt eine Kraft in die negative Koordinatenrichtung erhält sie ein negatives Vorzeichen. Dies muss bei der Summenbildung zwingend beachtet werden, ansonsten erhalten wir ein falsches Ergebnis. Wenn wir jetzt noch die beiden Koordinaten der Resultierenden mithilfe des Satz des PYTHAGORAS zusammenfassen, so bekommen wir den Betrag der Resultierenden R:

Trotz unterschiedlicher Reihenfolge der Reduktion bleibt die Resultierende dieselbe.

(3.5)

► Die Vorzeichen der Kräfte müssen bei der Addition unbedingt beachtet werden.

Betrag der Resultierenden

32

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

S1

S2

R

Abb. 3.5

Da wir alle Kräfte einer zentralen ebenen Kräftegruppe in den Zentralpunkt P verschieben und auf eine Resultierende reduzieren können, kann diese Art der Kräftegruppe einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen. Dies soll am Beispiel der Kiste in  Abb. 3.5 verdeutlicht werden. Die Wirkungslinien der beiden Seilkräfte S1 und S2 schneiden sich in einem Punkt, welcher der Zentralpunkt P dieser Kräftegruppe ist. Reduzieren wir nun die beiden Seilkräfte zu einer Resultierenden R, so können wir die Seilkräfte durch die Resultierende R ersetzen. Die Wirkung auf die Kiste bleibt dieselbe. Zeichnen wir die Resultierende R in den Zentralpunkt P ein, wird deutlich, dass sich die Kiste geradlinig nach oben bewegen würde. Dies passiert aber nur dann, wenn die Resultierende R größer als die Gewichtskraft G der Kiste ist. Andernfalls würde die Kiste auf dem Boden stehenbleiben.

Vorgehensweise   



 

Einzeichnen der Wirkungslinien der Kräfte, um damit den Zentralpunkt P zu ermitteln. Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Alle Kräfte entsprechend ihrem Richtungswinkel in ihre x- und y-Koordinaten zerlegen und mittels der trigonometrischen Funktionen berechnen. Alle Kräfte für die x- und y-Richtung separat zu einer Resultierenden Rx und Ry nach Gl. (3.3) und (3.4) addieren. Dabei auf die Vorzeichen der Kräfte achten. Den Betrag der Resultierenden R nach Gl. (3.5) berechnen (Satz des PYTHAGORAS). Der Winkel der Resultierenden wird mit der TangensFunktion bestimmt:

arctan

Beispiel 3.2 An einer Seilrolle beträgt der Öffnungswinkel der Seilenden α = 30°. Im Seil wirkt die Kraft S = 300 N. Berechnen Sie den Betrag und den Winkel zur Horizontalen der Resultierenden, welche auf die Lagerung der Seilschreibe wirkt.

S

S α

3.2 ∙ Zweite Grundaufgabe: Reduktion

33

Lösung Zuerst zeichnen wir die Wirkungslinien der Seilkraft S ein. Der Schnittpunkt der Wirkungslinien ist der Zentralpunkt P der Kräftegruppe. Da es nur einen Schnittpunkt gibt, handelt es sich um eine zentrale ebene Kräftegruppe. Die linke Seilkraft verläuft Vertikal und liegt somit auf der y-Koordinatenachse. Da die rechte Seilkraft schräg verläuft, zerlegen wir diese Kraft wieder in ihre x- und y-Koordinaten. Dazu zeichnen wir zuerst die Kraft einzeln auf, dann die Wirkungslinien fx und fy für die Zerlegung und anschließend die zerlegten Kräfte Sx und Sy ein. Der Winkel α ist in diesem Fall der Wechselwinkel in unseren Dreieck und bleibt somit gleich. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen erhalten wir für die zerlegten Kräfte: ∙ sin

150

∙ cos

260

S

S α

y x

P

3

S

α Sy

Sx

fx

fy

Nun berechnen wir die Koordinaten der Resultierenden mithilfe der Gleichungen (3.3) und (3.4): 150

R

560

β

Den Betrag der Resultierenden R erhalten wir mit dem Satz des PYTHAGORAS nach Gleichung (3.5): →

→

P Rx

580

Den gesuchten Winkel der Resultierenden R zur Horizontalen können wir mit den trigonometrischen Funktionen berechnen. Da wir die Koordinaten der Resultierenden haben, bietet sich die Tangensfunktion hier an: arctan

Ry

75°

Die Resultierende R und den Winkel zur Horizontalen β können wir abschließend noch in die Skizze der Seilrolle einzeichnen.

R β

34

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

3.3

F

F

F f

F

Abb. 3.6

F

F

F

F

F

F

F F

F

F

F F

Abb. 3.7

Gleichgewicht ist dann vorhanden, wenn es keine Resultierende, also R = 0 gibt.

Gleichgewichtsbedingungen einer zentralen ebenen Kräftegruppe

Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht

Als dritte Grundaufgabe behandeln wir das Gleichgewicht von Kräften. Nach dem 6. Axiom (Gleichgewichtssatz) ist ein Körper unter der Wirkung von zwei Kräften im Gleichgewicht, wenn diese Kräfte gleich groß, entgegengesetzt gerichtet sind und die gleiche Wirkungslinie besitzen, siehe  Abb. 3.6. Wenn wir diese beiden Kräfte reduzieren, erhalten wir als Ergebnis für die Resultierende R = 0. Denn wenn beide Kräfte gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind, heben sich ihre Wirkungen gegenseitig auf. Bei der grafischen Methode würde der Anfangspunkt des Kraftecks gleich dem Endpunkt sein. Eine solche Kräftegruppe, bei der die Resultierende verschwindet bzw. zu Null wird, wird auch mit Gleichgewichtsgruppe bezeichnet. Diesen Sachverhalt wollen wir nun auf beliebig viele Kräfte erweitern, siehe  Abb. 3.7. Auf die Kiste wirken nun drei Gleichgewichtsgruppen. Nach dem 7. Axiom (Überlagerungssatz) dürfen wir einer Gleichgewichtsgruppe eine beliebige Anzahl weiterer Gleichgewichtsgruppen überlagern, ohne dass sich deren Wirkung auf den Körper ändert. Für unsere Kiste bedeutet dies also, dass die Kiste vor dem Hinzufügen einer Gleichgewichtsgruppe auf dem Boden ruht und sich nicht bewegt. Nach dem Hinzufügen aller Gleichgewichtsgruppen wird sich der Zustand der Kiste nicht ändern. Die Kiste wird auch weiterhin auf dem Boden stillstehen und sich nicht bewegen. Wenn wir nun noch aus allen Kräften der drei Gleichgewichtsgruppen grafisch ein Krafteck bilden, so fällt der Endpunkt mit dem Anfangspunkt zusammen. Eine Resultierende ist somit nicht vorhanden (R = 0), denn ein geschlossenes Krafteck hat keine Resultierende. Und wenn keine Resultierende vorhanden ist, befindet sich der betrachtete Körper (in unserem Fall die Kiste) im Gleichgewicht. Mathematisch gesehen ist also Gleichgewicht an einem Körper vorhanden, wenn das Ergebnis der Gleichungen (3.3) und (3.4) Null ist: 0

0

(3.6)

Auch bei dieser Berechnung ist zwingend auf die Vorzeichen der zu addierenden Kräfte zu achten. Die Gleichungen (3.6) werden auch als Gleichgewichtsbedingungen bezeichnet. Diese Gleichgewichtsbedingungen (GGB) werden wir im weiteren Verlauf noch sehr oft verwenden.

3.3 ∙ Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht

35

Vorgehensweise      

Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Freikörperbild zeichnen. Alle (bekannten und unbekannten) Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten zerlegen. Einzeichnen aller Kräfte in das Freikörperbild. Auf eine eindeutige Beschriftung der Kräfte achten. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen nach Gleichung (3.6). Auflösen der Gleichungen nach den unbekannten Kräften.

3

Beispiel 3.3 An einem Ring sind drei masselose Seile befestigt. In den Seilen wirken die Kräfte S1, S2 = 30 N und S3 = 50 N. Die Seilabgangswinkel betragen: α = 45°, β = 25,1°.

S2 S1 A

Wie groß muss die Kraft S1 sein, damit sich die Kräftegruppe im Gleichgewicht befindet?

Lösung Als erstes zerlegen wir die beiden Seilkräfte S2 und S3 in ihre jeweiligen x- und y-Koordinaten. Dazu zeichnen wir die beiden Kräfte am Punkt A auf und tragen die Winkel α und β ein. Nun zeichnen wir die zerlegten Kräfte S2x, S2y, S3x, S3y und erhalten mithilfe der trigonometrischen Funktionen (das Vorzeichen berücksichtigen wir erst im nächsten Schritt): ∙ cos

∙ cos

∙ sin

∙ sin

S3

y S2

A

α β

S3y

(1)

Da wir für alle Kräfte die entsprechenden x- und y-Koordinaten haben, können wir nun alle am Punkt A angreifenden Kräfte einzeichnen und das Kräftegleichgewicht für diesen Punkt aufstellen (hier berücksichtigen wir jetzt die Vorzeichen der zerlegten Kräfte): (2)

Setzen wir nun die Gleichungen (1) in (2) ein, können wir nach der gesuchten Kraft S1 auflösen und erhalten: ∙ cos

∙ cos

→

66,5

S2y

S2x

x

S3 S3x

S2y S1

S2x A

0

α β

S3y

S3x

36

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

Beispiel 3.4 Drei Holzkisten sind mit masselosen Seilen an zwei reibungsfreien Rollen aufgehangen. Die Seile besitzen am Punkt A einen Abgangswinkel von β = 40° und γ = 60°. Die Gewichtskraft der Holzkiste 1 ist gegeben und beträgt G1 = 100 N. Wie groß müssen die Gewichtskräfte G2 und G3 der beiden anderen Kisten sein, damit sich das System im Gleichgewicht befindet?

Lösung Zuerst schneiden wir die drei Kisten frei, um eine Beziehung zwischen den Gewichtskräften und den Seilkräften zu bekommen. Im Freikörperbild sehen wir jetzt, dass jede Kiste für sich genommen eine zentrale ebene Kräftegruppe ist. Stellen wir das Kräftegleichgewicht in y-Richtung für die Kiste 2 auf, so erhalten wir (Vorzeichenregel für Kräfte im Koordinatensystem beachten!): 0

→

γ

β A

3 1

2

y x

S3

S2

S2

S3

(a)

S2

S3

S1

Für die beiden anderen Kisten gehen wir genauso vor und bekommen als Ergebnisse:

3

1

2

(b)

G2

G1

G3

Betrachten wir nun die beiden Seilrollen einzeln für sich, dann muss bei der Seilrolle 2 die Seilkraft am linken Seilende genauso groß sein wie die Seilkraft am rechten Seilende. Ansonsten würde sich das Seil ja bewegen und zu einer Seite durchrutschen. Da wir nun Kenntnis über die in den Seilen wirkenden Kräfte haben, können wir uns jetzt den Verbindungspunkt A ansehen. Hier laufen alle drei Seile zusammen und somit haben wir auch hier eine zentrale ebene Kräftegruppe. Entsprechend können wir im Punkt A alle drei Seile mit ihren jeweiligen Winkeln hinzeichnen. Das sich ergebende Freikörperbild besteht also nur aus den drei Seilkräften S1, S2 und S3.

S3

S2 γ

β A S1

3.3 ∙ Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht

37

Wir zerlegen wieder die beiden Seilkräfte S2 und S3 in ihre x- und y-Koordinaten. Die Beträge der zerlegten Seilkräfte berechnen wir zu (das Vorzeichen berücksichtigen wir erst im nächsten Schritt): ∙ cos

∙ cos

∙ sin

∙ sin

y

S2y

S3

S2 β S2x

γ

∙ cos

0

∙ cos ∙ sin

S3x

A

Als nächstes zeichnen wir uns alle am Zentralpunkt A angreifenden Kräfte auf. Da sich das System in Ruhe, also im Gleichgewicht befindet, können wir unsere Gleichgewichtsbedingungen für den Zentralpunkt A aufstellen (hier berücksichtigen wir jetzt die Vorzeichen der zerlegten Kräfte): 0

S3y

x

3

S3y S2y

∙ sin

Jetzt ersetzen wir noch die Seilkräfte S1, S2 und S3 durch die Ergebnisse (a) und (b) der eingangs aufgestellten Beziehungen der Gewichtskräfte (S1 = G1, S2 = G2, S3 = G3) und wir erhalten für unsere Gleichgewichtsbedingungen: 0

∙ cos

∙ cos

(c)

0

∙ sin

∙ sin

(d)

S2x A S1

S3x

Dieses lineare Gleichungssystem besteht aus 2 Gleichungen ((c) und (d)) mit 2 Unbekannten (G2 und G3). Zur Lösung dieses linearen Gleichungssystems kann entweder das GAUß7-Verfahren oder das Einsetzungsverfahren verwendet werden. Unter Zuhilfenahme des Sinus-Additionstheorems (siehe (A.12) auf S. 260) erhalten wir dann die beiden gesuchten Gewichtskräfte der Kisten zu:

7

∙

cos sin

→

51

∙

cos sin

→

78

Johann Carl Friedrich GAUß (1777–1855), dt. Mathematiker, Astronom, Physiker, Professor für Astronomie

38

Kapitel 3 ∙ Zentrale ebene Kräftegruppen

In Kürze  Als zentrale Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden.  Der gemeinsame Schnittpunkt wird als Zentralpunkt P bezeichnet.  Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Resultierenden R zusammenfassen.  Bei der Zerlegung ist die Richtung bzw. das Vorzeichen der Kraft entscheidend. Konvention: Zeigt die Kraft in die positive Koordinatenrichtung bekommt sie ein positives (+), zeigt sie in die negative Koordinatenrichtung entsprechend ein negatives (-) Vorzeichen.  In der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen, im Raum in drei Richtungen eindeutig. Eine Zerlegung in mehr als (zwei bzw.) drei Richtungen ist zwar möglich, führt jedoch zu unendlich vielen Möglichkeiten und ist somit nicht eindeutig.  Da alle Kräfte in den Zentralpunkt P verschoben und auf eine Resultierende reduziert werden können, kann diese Art der Kräftegruppe einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen.

 Erste Grundaufgabe: Zerlegung Die Zerlegung einer Kraft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel α zur x-Achse bekannt, erfolgt die Zerlegung nach: ∙ sin

∙ cos

 Zweite Grundaufgabe: Reduktion Nachdem alle Kräfte in ihre x- und yKoordinaten zerlegt wurden, können alle x-Koordinaten zu einer Resultierenden Rx und alle y-Koordinaten zu Ry zusammengefasst werden: ⋯

⋯ Der Betrag der Resultierenden R wird mittels des Satz des PYTHAGORAS bestimmt:

Der Winkel der Resultierenden wird mit der Tangens-Funktion bestimmt: arctan  Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht Damit Gleichgewicht vorliegt, muss die Resultierende R einer zentralen ebenen Kräftegruppe verschwinden (R = 0): 0

0

3.4 ∙ Aufgaben zu Kapitel 3

3.4

39

Aufgaben zu Kapitel 3

Aufgabe 3.1 Eine Kugel (m = 10 kg) liegt auf einem reibungsfreien schiefen Boden (α = 10°) und wird von einer reibungsfreien Wand gehalten. Wie groß sind die Kontaktkräfte zwischen Kugel und Boden (Berührungspunkt A) sowie zwischen Kugel und Wand (Berührungspunkt B)?

B

α

A

3

b

Aufgabe 3.2 Zwei Zylinder (d1 = 70 mm, d2 = 40 mm) besitzen die Gewichtskräfte G1 = 15 N und G2 = 9 N und liegen wie dargestellt reibungsfrei in einem Kasten mit einer Breite von b = 85 mm. Berechnen Sie die Kräfte, die in den Berührungspunkten A bis D wirken.

d1 A B C

1

d2 2 D

Aufgabe 3.3 Das Seil einer Seilwinde W wird reibungsfrei über den Knoten A eines Stabzweischlags (α = 50°, β = 30°) geführt. Die Gewichtskraft der Holzkiste beträgt G = 150 N. Wie groß sind die in den Stäben 1 und 2 wirkenden Stabkräfte?

W

A 1 α

β

2

G

41

4

Allgemeine ebene Kräftegruppen 4.1  4.2  4.3  4.4  4.5  4.6  4.7  4.8  4.9 

Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt ................................................... 42  Kräftepaar ......................................................................................................... 45  Parallelverschiebung von Kräften ...................................................................... 46  Erste Grundaufgabe: Zerlegung ........................................................................ 47  Zweite Grundaufgabe: Reduktion ...................................................................... 47  Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht.................................................................. 51  Alternative Gleichgewichtsbedingungen............................................................ 52  Hebelgesetz von ARCHIMEDES ........................................................................... 53  Aufgaben zu Kapitel 4 ....................................................................................... 58 

Warum 3.1 Wenn wir eine Kraft zerlegen wollen, stellt diese Kraft die Hypotenuse dar. Da die beiden zerlegten Kräfte die anderen Seiten des Dreiecks bilden, müssen diese beiden Kräfte kleiner sein als die zu zerlegende Kraft. Denn was vorher die ursprüngliche Kraft war, sind nach der Zerlegung die beiden zerlegten Kräfte zusammen.

Lösungen Aufgabe 3.1

NA = 99,6 N, NB = 17,3 N

Aufgabe 3.2

NA = 9,8 N, NB = 17,9 N, NC = 9,8 N, ND = 24 N

Aufgabe 3.3

S1 = -160,5 N, S2 = -54,1 N

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_4

42

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

Als allgemeine Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in mehr als einem Punkt schneiden. Mithilfe des Moments kann die allgemeine Kräftegruppe zu einer Dyname zusammengefasst werden. Eine solche Kräftegruppe kann einen Körper geradlinig verschieben (Translation) und drehen (Rotation).

F2 F1

f2

f3 f1

Abb. 4.1

F3

Eine Kräftegruppe, bei der sich die Wirkungslinien in mehr als einem Punkt schneiden, wird als allgemeine Kräftegruppe bezeichnet, siehe  Abb. 4.1. Befinden sich auch hier wieder alle Kräfte in einer Ebene, handelt es sich um eine allgemeine ebene Kräftegruppe. Damit wir eine allgemeine Kräftegruppe berechnen können, müssen wir zuerst zwei neue Größen kennenlernen. Dies wäre zum einen das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt und zum anderen das sogenannte Kräftepaar.

4.1

Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt

Um den Begriff des Moments zu verstehen, betrachten wir den in  Abb. 4.2 dargestellten Brief mit zwei beliebig gewählten Punkten A und C. Wenn wir beispielsweise den Brief am Punkt A mit einem Finger auf den Tisch drücken und mit einem anderen Finger am Punkt C in der dargestellten Art und Weise eine Kraft F aufbringen, so würde sich der Brief um den Punkt A drehen. Aber warum ist das so? Um dies zu erklären, brauchen wir das Moment. F

F

y

C

C A

y

A

M x

h

A

(A)

C x

Abb. 4.2

Zuerst legen wir ein kartesisches Koordinatensystem in den Punkt A, um die Wirkung der Kraft F in Bezug auf diesen Punkt zu untersuchen, siehe  Abb. 4.2. Den Brief lassen wir für eine bessere Darstellung weg. Zeichnen wir noch die Wirkungslinie der Kraft F ein, können wir sehen, dass diese einen gewissen Abstand zum Punkt A besitzt. Den kürzesten Abstand (senk-

4.1 ∙ Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt

43

rechter Abstand) der Wirkungslinie zum Punkt A wollen wir hier mit h (für Hebelarm) bezeichnen. Durch diesen senkrechten Abstand zum Punkt A besitzt die Kraft F eine Drehwirkung auf den Punkt A und somit dreht sich unser Brief im Gegenuhrzeigersinn. Diese Drehwirkung wird durch ein Moment hervorgerufen. Das Moment ist eine wichtige physikalische Größe und wird umgangssprachlich auch als Drehmoment bezeichnet. Daher auch das (Dreh-)Moment und nicht der (zeitliche) Moment. Das Moment (Formelbuchstabe M, engl. moment) wird in der Maßeinheit Newtonmeter [Nm] angegeben und ist definiert durch die Multiplikation der Kraft F mit dem senkrechten Hebelarm h zum Bezugspunkt A: ∙

(4.1)

Um das Moment eindeutig zuzuordnen, fügen wir im hochgestellten Index den Bezugspunkt in Klammern hinzu. Somit bedeutet M(A): Moment einer Kraft in Bezug auf den Punkt A. Wir haben also festgestellt, dass sich unser Brief im Gegenuhrzeigersinn um den Punkt A dreht und dass das Moment im Grunde nur eine Multiplikation einer Kraft mit einem Hebelarm ist. Da die Wirkung eines Moments eine Drehung verursacht, können wir dies auch direkt durch einen gekrümmten Pfeil darstellen, siehe  Abb. 4.2. Der gekrümmte Pfeil gibt direkt die Drehrichtung des Moments an, also in welche Richtung sich unser Brief um den Punkt A drehen wird.

Der Hebelarm ist immer der senkrechte Abstand der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt.

Das Moment ist eine physikalische Größe und besitzt die Maßeinheit Newtonmeter [Nm]. Es berechnet sich durch Kraft mal senkrechter Hebelarm.

4 Moment einer Kraft Der hochgestellte Index gibt den Bezugspunkt des Moments an.

Die Wirkung eines Moments ist eine Drehbewegung und wird mit einem gekrümmten Pfeil dargestellt.

► Eine Kraft wirkt geradlinig entlang ihrer Wirkungslinie und kann einen Körper nur geradlinig verschieben (Translation). Die Multiplikation einer Kraft mit einem Hebelarm ergibt ein Moment. Ein Moment wirkt um einen Bezugspunkt und kann einen Körper nur drehen (Rotation). Damit ergibt sich der Zusammenhang: Kraft → geradlinige Bewegung, Moment → Drehbewegung. ► Da Kraft und Hebelarm Vektoren sind, ist das Moment ebenfalls ein Vektor. ► Das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt ist definiert durch den Betrag der Kraft, die Länge des Hebelarms und den Drehsinn um den Bezugspunkt. Den Bezugspunkt, für den wir das Moment berechnen, dürfen wir frei wählen. Er darf innerhalb wie auch außerhalb eines Körpers liegen. Wie zuvor bei der Kraft, gibt es beim Moment auch eine Vorzeichenkonvention. Hier greifen wir auf die allgemeine mathematische Vorzeichenkonvention für Drehbewegungen zurück. Ein Moment ist positiv (+), wenn die Drehung im Gegenuhrzeigersinn  und entsprechend negativ (-), wenn die Drehung im Uhrzeigersinn  verläuft. Als Merkregel dient hierbei die Rechte-Faust-Regel.

Der Bezugspunkt des Moments ist frei wählbar.

► Vorzeichen des Moments (+):  Gegenuhrzeigersinn (-):  Uhrzeigersinn

44

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

positive Drehachsenrichtung

positiver Drehsinn Abb. 4.3

So wie eine Kraft mithilfe der trigonometrischen Funktionen zerlegt werden kann, lässt sich auch der Hebelarm zerlegen.

F

y

Die Rechte-Faust-Regel, auch Korkenzieherregel genannt, ist eine Merkregel zur anschaulichen Bestimmung der Richtung eines Moments. Dabei zeigt der Daumen der rechten Faust in die positive Richtung der Drehachse und die gekrümmten Finger geben die positive Drehrichtung des Moments an, siehe  Abb. 4.3. Wenn der Daumen in positiver Drehachsenrichtung zeigt, dann zeigen die Finger in die mathematisch positive Drehrichtung. In unserem Beispiel mit dem Brief wäre die Drehachse des Moments die durch den Punkt A verlaufende z-Achse. Die positive z-Richtung zeigt aus der Buchseite hinaus. Also können wir den ausgestreckten Daumen der rechten Faust über den Punkt A halten und die gekrümmten Finger zeigen in die positive Drehrichtung um die z-Achse. Da die Finger in die gleiche Richtung wie unser Moment M(A) zeigen, ist das Vorzeichen des Moments positiv (+). Im Allgemeinen greifen mehrere Kräfte an unterschiedlichen Punkten eines Körpers an und die Wirkungslinien der Kräfte besitzen auch noch unterschiedliche winklige Ausrichtungen. Liegt der Hebelarm h nicht parallel zu einer Koordinatenachse, wie in  Abb. 4.4, kann die Berechnung des Hebelarms durchaus kompliziert werden. Wenn wir den Winkel α jedoch kennen, so können wir die Kraft wie auch den Hebelarm einfach zerlegen. Die Kraft zerlegen wir wie gewohnt in die Kräfte Fx und Fy und den Hebelarm entsprechend in die zu den Koordinatenachsen parallelen Abstände x und y.

h

y x

y

Fx

x

C A

Fy

y

α

C

M

A

A

x

(A)

C x

Abb. 4.4

Das Moment M(A) der Kraft F in Bezug auf den Punkt A berechnen wir mit der Beziehung nach Gleichung (4.1): ∙

∙

∙

Setzen wir hier noch die Berechnung für die zerlegten Kräfte Fx und Fy ein, erhalten wir die allgemeine Berechnung: ∙

∙ sin

∙

∙ cos

(4.2)

Auch hier sind wieder die Vorzeichen der Kräfte wichtig. Ob eine Kraft mit ihrem Hebelarm (also das Moment) ein positives

4.2 ∙ Kräftepaar

45

oder negatives Vorzeichen besitzt, kann mit der RechtenFaust-Regel ermittelt werden. In unserem Beispiel dreht das Moment der Kraft Fy mit dem Hebelarm x im Gegenuhrzeigersinn und die Kraft Fx mit dem Hebelarm y im Uhrzeigersinn. Entsprechend ist das Moment der Kraft Fx negativ und das Moment der Kraft Fy positiv. Daher auch das negative Vorzeichen in Gleichung (4.2).

4.2

Das Vorzeichen hängt vom jeweiligen Drehsinn um den Bezugspunkt ab.

Kräftepaar

Ein Kräftepaar ist definiert durch zwei Kräfte gleicher Größe, welche entgegengesetzt gerichtet sind und parallele Wirkungslinien mit einem bestimmten Abstand zueinander besitzen, siehe  Abb. 4.5. Das an dem Lenkrad angreifende Kräftepaar würde das Lenkrad nach links (Gegenuhrzeigersinn) drehen, weshalb die physikalische Wirkung eines Kräftepaars ebenfalls ein Moment ist. Wie zuvor bei dem Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt, ist also auch das Kräftepaar durch den Betrag der Kraft, die Länge des Hebelarms und den Drehsinn definiert. Den Betrag eines Kräftepaars, also die Größe des Moments, können wir wieder mit der Multiplikation von Kraft und Hebelarm berechnen. Am Beispiel des Lenkrades wäre dies: ∙

(4.3)

F

y

4 x F

h Abb. 4.5

Moment eines Kräftepaars

Im Gegensatz zum Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt gelten für Kräftepaare die Regeln in  Tab. 4-1.

Tab. 4-1 Regeln für Kräftepaare 1) Ein Kräftepaar kann nicht auf eine resultierende Einzelkraft reduziert werden. Wenn wir am Lenkrad die Kräfte in y-Richtung addieren, erhalten wir als Ergebnis eine Null, da eine Kraft in positiver und die andere in negativer Koordinatenrichtung wirkt. 2) Ein Kräftepaar ist unabhängig vom Bezugspunkt und darf in seiner Wirkungsebene beliebig verschoben werden, ohne dass sich seine Drehwirkung bzw. Moment ändert. Wenn wir uns einmal das Lenkrad wegdenken und das Kräftepaar nach rechts verschieben, ohne den Hebelarm h zu verändern, würde das Moment immer noch nach Gl. (4.3) berechnet werden.

3) Kräftepaare sind im Gleichgewicht, wenn die Summe ihrer Momente (Vorzeichen des Drehsinns beachten) verschwindet. Wenn an einem Körper also zwei Kräftepaare angreifen und diese gleich groß sind und einen entgegengesetzten Drehsinn besitzen, so heben sich deren Wirkung auf den Körper auf. Bei Kräften hatten wir diesen Sachverhalt in  Abb. 3.6 auf S. 34 verdeutlicht. 4) Kräftepaare werden algebraisch unter Berücksichtigung ihres Drehsinns addiert. Wenn z. B. zwei Kräftepaare einen Körper in die gleiche Richtung drehen, so können wir diese beiden Kräftepaare zu einem Kräftepaar zusammenfassen. So wie wir das auch mit Kräften machen, die in die gleiche Richtung wirken.

46

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

4.3

a)

y

F C

A

x h

f

b)

y

f

F C

F A

x

F f

c)

h

f

Parallelverschiebung von Kräften

Wenn wir uns einmal an das 5. Axiom erinnern, so besagt dieses, dass wir eine Kraft nur entlang ihrer Wirkungslinie verschieben dürfen, ohne dass sich die Wirkung der Kraft ändert. Verschieben wir eine Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie, so haben wir gesehen, dass sich damit die Wirkung der Kraft verändert ( Abb. 2.5 auf S. 15). Möchten wir nun doch eine Kraft parallel verschieben, so müssen wir die Verschiebung mithilfe eines Kräftepaars durchführen, damit sich die Wirkung der Kraft nicht ändert. Dazu betrachten wir den Brief in  Abb. 4.6a), an welchem eine Kraft F mit Wirkungslinie f im Punkt C angreift. Die Kraft F möchten wir nun parallel um den Abstand h nach links auf die durch den Punkt A verlaufende blaue Wirkungslinie f verschieben. In Bezug auf den Punkt A möchte die Kraft F den Brief wieder im Gegenuhrzeigersinn drehen. Im ersten Schritt fügen wir eine Gleichgewichtsgruppe am Punkt A hinzu, welche aus zwei Kräften F besteht, deren Wirkungen sich gegenseitig aufheben, siehe  Abb. 4.6b). Es ist darauf zu achten, dass die Kräfte der Gleichgewichtsgruppe entlang der parallelverschobenen Wirkungslinie f verlaufen und genauso groß sind wie die angreifende Kraft F. Bilden wir jetzt das Kräftegleichgewicht in y-Richtung erhalten wir:

y (4.4)

F (A) M

C

A f

x h

f

Abb. 4.6

Das Hinzufügen der Gleichgewichtsgruppe hat also nichts verändert. Im zweiten Schritt können wir mit der angreifenden Kraft F und der unteren Kraft F der Gleichgewichtsgruppe ein Kräftepaar bilden, siehe  Abb. 4.6c). Der Drehsinn dieses Kräftepaars auf den Brief entspricht dabei dem Drehsinn der ursprünglichen Kraft F in Bezug auf den Punkt A, vgl. Gl. (4.1): ∙

Das Moment einer Kraft besitzt einen Bezugspunkt, wohingegen das Kräftepaar keinen Bezugspunkt besitzt.

Dies bedeutet, dass wir eine Parallelverschiebung zwar mit einem Kräftepaar durchführen, aber die Drehwirkung dem Moment der Kraft in Bezug auf den Punkt A entspricht. Eine parallelverschobene Kraft besitzt immer einen Bezugspunkt und somit ein Moment in Bezug auf diesen Punkt. Das Kräftepaar besitzt keinen Bezugspunkt. Dieser Unterschied muss immer beachtet werden.

4.4 ∙ Erste Grundaufgabe: Zerlegung

47

Wir können also eine Kraft F parallel zu ihrer Wirkungslinie um einen Abstand h verschieben, wenn wir zusätzlich ein Moment vom Betrag M = F  h hinzufügen. Das bedeutet also, dass einer Kraft F im senkrechten Abstand h vom Bezugspunkt A eine Kraft F durch den Punkt A und ein Moment M äquivalent sind.

4.4

Erste Grundaufgabe: Zerlegung

Die Zerlegung einer Kraft einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe ist identisch zur Zerlegung einer Kraft einer zentralen ebenen Kräftegruppe. Nachzulesen in Kapitel 3.1 auf S. 26 ff.

4.5

► Wird eine Kraft parallel in einen Punkt A verschoben, muss ein Moment in Bezug auf den Punkt A hinzugefügt werden.

Die Zerlegung ist identisch zur zentralen ebenen Kräftegruppe

4

Zweite Grundaufgabe: Reduktion

Am Beispiel des Collegeblocks in  Abb. 4.7a) mit den drei angreifenden Kräften F1, F2 und F3 werden wir die Grundaufgabe der Reduktion einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe durchführen. Als erstes definieren wir uns einen Bezugspunkt A und legen in diesen ein kartesisches Koordinatensystem. Den Bezugspunkt A dürfen wir frei wählen. Dann verschieben wir alle Kräfte parallel zu ihren Wirkungslinien in unseren Bezugspunkt A und fügen für jede Parallelverschiebung ein Moment der entsprechenden Kraft mit dem zugehörigen Hebelarm zu unserem Bezugspunkt hinzu. Für die Kraft F1 erhalten wir das Moment M1 = F1  h1, für F2 das Moment M2 = F2  h2 und für F3 entsprechend M3 = F3  h3, siehe  Abb. 4.7b). Aufgrund der Verschiebung aller Kräfte in den Punkt A, liegt hier eine zentrale ebene Kräftegruppe vor, welche wir auf eine Resultierende R reduzieren können, siehe  Abb. 4.7c): (4.5) Den zugehörigen Winkel φ der Resultierenden zur x-Achse berechnen wir mithilfe der Tangensfunktion: arctan

(4.6)

Analog gehen wir mit den Momenten vor. Nach der 4. Regel für Kräftepaare können wir Kräftepaare unter Beachtung ihres Drehsinns addieren. Damit erhalten wir, analog zu den drei Kräften, ein resultierendes Moment MR, siehe  Abb. 4.7c): (4.7)

Abb. 4.7

48

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

Dyname: Reduktion auf eine Resultierende und ein resultierendes Moment bezüglich eines Punktes. y

Dyname R

A φ

x

MR

y

h R

A B

ZL x

Totalresultierende Abb. 4.8

Die Reduzierung einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe auf eine Resultierende R und ein resultierendes Moment MR wird als Dyname bezeichnet. Die Besonderheit bei einer Dyname ist, dass wir diese noch weiter reduzieren können, bis nur noch die Resultierende R vorhanden ist. Dies geschieht, in dem wir die Resultierende R soweit vom Bezugspunkt A parallel in einen Bezugspunkt B verschieben, sodass die Drehwirkung des resultierenden Moments MR von der parallelverschobenen Resultierenden R mit dem Hebelarm h gleichwertig ist, siehe  Abb. 4.8. Der Bezugspunkt B liegt dabei irgendwo auf der Wirkungslinie der Resultierenden. Aufgrund der Linienflüchtigkeit von äußeren Kräften gibt es hier keinen ortsfesten Punkt B. Um die Resultierende R parallel zu verschieben, verwenden wir die Beziehung des Moments einer Kraft in Bezug auf einen Punkt nach Gleichung (4.1): M(A) = F  h. Nur wollen wir jetzt nicht das Moment berechnen, sondern den Hebelarm h, um welchen wir die Resultierende R verschieben müssen. Für das Moment verwenden wir unser resultierendes Moment MR und für die Kraft setzen wir die Resultierende R ein. Nach dem Umstellen der Gleichung erhalten wir: (4.8)

Eine Dyname kann auf eine Totalreduzierende mit Zentrallinie reduziert werden.

Bei der Reduzierung einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe gibt es vier mögliche Ergebnisse.

Die Resultierende R hat jetzt in Bezug auf den Punkt A mit dem Hebelarm h die gleiche Drehwirkung wie zuvor das resultierende Moment MR auf den Punkt A (Warum 4.1?). Das resultierende Moment MR dreht den Collegeblock im Gegenuhrzeigersinn um den Punkt A und gleiches gilt für die parallel verschobene Resultierende R. Eine solche Reduktion einer Dyname bzw. einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe auf nur eine Resultierende R bezeichnen wir als Totalreduzierende und deren Wirkungslinie mit Zentrallinie (ZL). Nun kann es natürlich vorkommen, dass nach der Parallelverschiebung aller Kräfte in einen Punkt A und dem Zusammenfassen aller Momente lediglich die Resultierende R übrig bleibt und das resultierende Moment MR = 0 ist. Es kann auch der umgekehrte Fall eintreten, indem die Resultierende R = 0 und das resultierende Moment MR  0 sind. Daher haben wir in  Tab. 4-2 die vier möglichen Fälle, die bei der Reduzierung einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe auftreten können, aufgeführt.

4.5 ∙ Zweite Grundaufgabe: Reduktion

49

Tab. 4-2 Mögliche Reduzierungen

R

MR

1

0

2

Fall

Zentrallinie

Ergebnis

0

verläuft durch Punkt B

Totalresultierende

0

0

verläuft durch Punkt A

Totalresultierende

3

0

0

nicht vorhanden

Kräftepaar

4

0

0

nicht vorhanden

Gleichgewicht

Vorgehensweise     



  

4

Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Freikörperbild zeichnen. Bezugspunkt wählen bzw. festlegen. Alle angreifenden Kräfte in den Bezugspunkt parallel verschieben. Für jede Parallelverschiebung ein Moment hinzufügen. Das Moment wird mit dem Abstand (Hebelarm) der Parallelverschiebung berechnet. Der Abstand kann entweder direkt berechnet werden oder es werden zuerst alle Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten zerlegt und dann die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufenden Abstände bestimmt. Die Kräfte werden auf eine Resultierende reduziert. Die Momente werden auf ein resultierendes Moment reduziert. Ist eine Dyname vorhanden, kann diese auf eine Totalresultierende reduziert werden, ansonsten die Reduzierungsfälle nach  Tab. 4-2 beachten.

Beispiel 4.1 An einem eingemauerten Träger (a = 60 cm) greifen drei Kräfte an: F1 = 60 N, α = 60° F2 = 30 N, β = 45° F3 = 90 N Reduzieren Sie die Kräftegruppe in Bezug auf die Lagerstelle A so weit wie möglich.

F2 A

α a

β F3

F1 a

a

50

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

Lösung Es handelt sich hierbei um eine allgemeine ebene Kräftegruppe, da die Wirkungslinien der drei Kräfte mehr als einen Schnittpunkt haben. Um uns die Berechnung zu vereinfachen, zerlegen wir alle Kräfte zuerst in ihre jeweilige x- und y-Richtung. Wir erhalten dann für die zerlegten Kräfte: ∙ cos

30

∙ cos

21,2

∙ sin

52

∙ sin

21,2

A

F2y

F1x

F2x

F1y a

F3 a

a

Nun verschieben wir alle Kräfte parallel, sodass wir im Punkt A die Resultierende nach Gl. (4.5) berechnen können (Vorzeichen der Kräfte beachten): →

8,8

→

120,8

Den Betrag der Resultierenden R sowie deren Winkel zur x-Achse erhalten wir zu: 121,1 N

→

y R

121,1

A arctan

85,8 °

→

85,8 °

Das resultierende Moment MR(A) berechnen wir nach Gl. (4.7). Da wir im Vorfeld alle Kräfte zerlegt haben, können wir die entsprechenden Hebelarme direkt der Bemaßung entnehmen: ∙

∙2

∙3

167,7 Da das Ergebnis positiv ist, besitzt das resultierende Moment MR(A) in Bezug auf den Punkt A eine positive Drehwirkung. Wir haben also die allgemeine ebene Kräftegruppe auf eine Dyname reduziert. Nach  Tab. 4-2 liegt damit Fall 1 vor und wir können eine weitere Reduzierung auf eine Totalresultierende mit Zentrallinie durchführen.

φ (A)

MR

x

4.6 ∙ Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht

51

Für die Reduzierung auf eine Totalresultierende mit Zentrallinie müssen wir die Resultierende R soweit parallel zur ihrer Wirkungslinie verschieben, sodass die Resultierende R auf den Punkt A die gleiche Wirkung besitzt, wie das resultierende Moment MR(A). Um die Größe der Parallelverschiebung zu berechnen verwenden wir Gl. (4.8): →

1,4

y R A

B

x

h

1,4

Wir müssen also die Resultierende R um h = 1,4 m parallel nach rechts in einen Punkt B verschieben, damit die Resultierende R eine positive Drehwirkung auf den Punkt A bekommt. Diese Drehwirkung ist dabei genauso groß wie zuvor die Drehwirkung des Moments MR(A).

4.6

4

Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht

Wie zuvor bei der zentralen ebenen Kräftegruppe gelten die gleichen Bedingungen für das Gleichgewicht einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe. Die Summe aller Kräfte in x- und y-Koordinatenrichtung muss Null ergeben. Da wir jedoch bei einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe noch zusätzlich ein Moment haben (aufgrund des Hebelarms) muss auch bei der Summe aller Momente Gleichgewicht vorliegen. Damit lauten die Gleichungen zur Berechnung des Gleichgewichts einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe: 0

0

0

(4.9)

Bei der Momentengleichung bedeutet das "z" im Index lediglich, dass wir hier das Moment um die z-Achse meinen. Die Indizierung ist analog zu den Kräftegleichungen. Diese Zusammenstellung der Gleichgewichtsbedingungen, also zwei Kräfte- und ein Momentengleichgewicht, entspricht der Anzahl an Freiheitsgraden eines Körpers in der Ebene: jeweils eine Translation in x- und y-Richtung sowie eine Rotation um die z-Achse. Um das Gleichgewicht eines Körpers zu berechnen, sind also immer genau so viele Gleichungen notwendig, wie der Körper Freiheitsgrade besitzt. In der Ebene somit drei und im Raum entsprechend sechs Gleichungen.

► Gleichgewicht liegt vor, wenn die Summe alle Kräfte in x- und y-Richtung sowie die Summe aller Momente um die z-Achse gleich Null ergibt.

Gleichgewichtsbedingungen einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe

Die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen entspricht genau der Anzahl an Freiheitsgeraden eines Körpers. In der Ebene drei und im Raum sechs Freiheitsgrade.

52

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

4.7

Alternative Gleichgewichtsbedingungen

An Stelle von zwei Kräfte- und einer Momentengleichgewichtsbedingung können wir auch nur eine Kräfte- und zwei Momentengleichgewichtsbedingungen verwenden: 0

Alternative GGB 1

► Bei Verwendung von Gl. (4.10), dürfen die Bezugspunkte A und B nicht auf einer Geraden liegen, die in y-Richtung verläuft.

0

(4.10)

Hier muss jedoch die Bedingung beachtet werden, dass die beiden Bezugspunkte A und B nicht auf einer Geraden liegen dürfen, die parallel zur y-Achse verläuft (Warum 4.2?). Würden wir in Gl. (4.10) das Kräftegleichgewicht in y-Richtung verwenden, muss die Bedingung lauten, dass die Bezugspunkte A und B nicht auf einer Geraden liegen dürfen, die parallel zur x-Achse verläuft. Des Weiteren ist es auch möglich, dass wir drei Momentengleichgewichtsbedingungen verwenden: 0

Alternative GGB 2 ► Bei Verwendung von Gl. (4.11), dürfen die Bezugspunkte A, B, C nicht auf einer Geraden liegen.

0

0

0

(4.11)

Auch hier gilt eine Einschränkung. Bei der Verwendung von drei Momentengleichgewichtsbedingungen dürfen die Bezugspunkte A, B, C nicht auf einer Geraden liegen.

Vorgehensweise      

Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Freikörperbild zeichnen. Bezugspunkt(e) wählen bzw. festlegen. Alle Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten zerlegen. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Die Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Kraftgrößen (Kräfte und Momente) auflösen.  Ist das Ergebnis für die unbekannten Kraftgrößen negativ, wirken die Kraftgrößen in entgegengesetzter Richtung als im Freikörperbild angenommen. Hinweis: Auch wenn das Ergebnis negativ ist und somit die Wirkrichtungen der Kräfte oder Momente andersherum ist, müssen wir das Freikörperbild nicht neu zeichnen. Aufgrund der Vorzeichenkonventionen ist jedem Ingenieur klar, dass bei einem negativen Ergebnis die Wirkrichtung umgekehrt ist.

4.8 ∙ Hebelgesetz von Archimedes

4.8

53

Hebelgesetz von ARCHIMEDES F1

Um das von ARCHIMEDES8 formulierte Hebelgesetz zu erklären, schauen wir uns einmal die Wippe in  Abb. 4.9 an. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Wippe masselos sei. An der linken Seite greift die Kraft F1 und an der rechten Seite die Kraft F2 an. Wenn wir das Lager A als Bezugspunkt definieren, dann würde die Kraft F1 mit dem Hebelarm a im Gegenuhrzeigersinn um den Punkt A drehen (Moment einer Kraft). Die Kraft F2 dagegen würde mit dem Hebelarm b im Uhrzeigersinn um den Punkt A drehen. Damit unsere Wippe in der dargestellten horizontalen Position bleibt, müssen sich die beiden Momente der Kräfte gegenseitig aufheben. Sie müssen also im Gleichgewicht stehen. Die Gleichgewichtsbedingung nach Gleichung (4.9) lautet also: 0

∙

∙

F2 A a

b

F1

F2 A a

b

4

Abb. 4.9

(4.12)

Das negative Vorzeichen der Kraft F2 folgt aus unserer Vorzeichenkonvention für Momente (Rechte-Faust-Regel). Stellen wir die Gleichung ein wenig um, so erhalten wir das von ARCHIMEDES formulierte Hebelgesetz: ∙

∙

(4.13)

In Worten lautet das Hebelgesetz: Last mal Lastarm ist gleich Kraft mal Kraftarm. Als Last kann beispielsweise die Kraft F2 genommen werden und als Kraft entsprechend F1. Aber genauso könnte die Bezeichnung der beiden Kräfte vertauscht werden. In der Regel ist eine Kraft vorgegeben und wir müssen die andere Kraft berechnen. Wir verwenden ja auch den Begriff Belastung für an einem Körper von außen angreifende Kräfte (äußere Lasten). Daher ist die Wahl, welche Kraft die Last und welche Kraft die Kraft darstellt frei wählbar. Hier kommt es nur auf die Verhältnisse der Kräfte und ihrer entsprechenden Hebelarmen an. Wir können das Beispiel der Wippe auch nutzen, um die Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen nach Gleichung (4.11) zu verdeutlichen. Dazu fügen wir an der Wippe noch die beiden Kräfte F3 und F4 hinzu, siehe  Abb. 4.10. Das Lager A der Wippe schneiden wir frei und ersetzen es, nach den Konventionen des Freischneidens, durch eine Kraft A (Wie werden im Kapitel "Lagerreaktionen" noch ausführlich auf das Freischneiden von Lagerungen eingehen).

8

Das Hebelgesetz von ARCHIMEDES.

Belastung: Von außen an einem Körper angreifende äußere Lasten (eingeprägte Kräfte und Momente).

F3

F1

F2 A a

ARCHIMEDES von Syrakus (287–212 v. Chr.), griech. Mathematiker, Physiker, Ingenieur

b Abb. 4.10

F4

54

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

F2

F1

F3

F4

Zuerst benutzen wir die Gleichungen (4.9) um das Gleichgewicht an der Wippe aufzustellen: 0

A a

b

0 0

D

F1

F3

A

C a

F2

a

F4

B

A b Abb. 4.11

∙

Wir sehen direkt, dass die Kräfte F1, F3 und F4 kein Moment um den Punkt C besitzen, da die Wirkungslinien dieser Kräfte alle durch den Punkt C verlaufen. Wären jetzt z. B. die Kräfte F1 und F3 bekannt, könnten wir mithilfe der aufgestellten Gleichgewichtsbedingungen die übrigen Kräfte F2, F4 und A berechnen. Nun wollen wir zum Vergleich die Gleichungen (4.11) auf unsere Wippe anwenden: 0

∙

0

∙

0

► Alle Kräfte, die im Freikörperbild vorkommen, müssen in den Gleichgewichtsbedingungen enthalten sein. Ansonsten ist das Ergebnis der Rechnung falsch.

∙

∙

∙ ∙ ∙

Da wir uns nicht an die Einschränkung, dass bei der Verwendung von drei Momentengleichgewichtsbedingungen die Bezugspunkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen, gehalten haben, sind nur die Kräfte F1, F2 und A in unseren Gleichungen enthalten. Die Kräfte F3 und F4 haben wir nicht berücksichtigt. Wir müssen also einen unserer Bezugspunkte woanders hin verlegen. Da wir Bezugspunkte frei wählen dürfen und diese auch außerhalb eines Körpers liegen dürfen, können wir z. B. einen Punkt D als neuen Bezugspunkt verwenden. Dann ist die Bedingung erfüllt, dass nicht alle Bezugspunkte auf einer Geraden liegen und in unseren Gleichungen sind wieder alle Kräfte enthalten: 0

∙

0

∙

0

∙

∙ ∙ ∙

∙

∙

4.8 ∙ Hebelgesetz von Archimedes

55

Beispiel 4.2 Die Achillessehne (Tendo calcaneus) verbindet den dreiköpfigen Wadenmuskel (Musculus triceps surae) mit dem Fersenbeinhöcker (Tuber calcanei). Die dargestellten Abmessungen am Fuß betragen a = 60 mm und b = 14 cm. Bestimmen Sie die Muskelkraft FM, welche vom Wadenmuskel aufgebracht werden muss, wenn sich eine Person (m = 85 kg) einfüßig auf die "Zehenspitzen" stellt.

FM

G

a

b

4

Lösung Wenn wir uns auf die "Zehenspitzen" stellen, verliert die Ferse den Kontakt mit dem Boden und nahezu unser ganzes Körpergewicht lastet auf unserem Fußballen. Die Zehen dienen der Stabilisierung, damit wir das Gleichgewicht halten können, jedoch ist die Gewichtsbelastung relativ gering und wir können diese vernachlässigen (das macht unsere Berechnung auch einfacher). Nach dieser grundlegenden Überlegung zu unserer Berechnung zeichnen wir nun das Freikörperbild. Wir betrachten dabei die Situation, in der die Ferse gerade keinen Bodenkontakt mehr hat. Dazu schneiden wir den Fuß vom Boden frei und zeichnen die Gewichtskraft an den Fußballen. Der Drehpunkt des Fußes ist das Sprungbein (Talus), Punkt A. Denn wenn an der Achillessehne (Tendo calcaneus) bzw. am Wadenmuskel (Musculus gastrocnemius) mit der Kraft FM gezogen wird, dreht der Fuß über das Sprungbein und drückt den Fußballen gegen den Boden. Die Folge ist das Abheben der Ferse vom Boden. Anhand dieses Freikörperbildes können wir die Muskelkraft FM mithilfe der Momentengleichgewichtsbedingung bestimmen: 0

∙

→

834

Die Momentengleichung müssen wir nach der gesuchten Muskelkraft FM auflösen und erhalten: ∙



→

A

G a

∙

Darin beträgt die Gewichtskraft G: ∙

FM

1946

b

56

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

Beispiel 4.3 Ein Winkel aus Stahl (b = 40 cm, h = 200 mm) ist mit einer Schraube an einer Wand befestigt. Am Winkel greift über ein masseloses Seil eine Kraft von F = 400 N (α = 60°) an. Wie groß ist das an der Schraube wirkende Moment?

A h α b F

Lösung Da die Kraft F unter dem Winkel α angreift, zerlegen wir die Kraft in ihre x- und y-Koordinaten:

A ∙ cos

→

200

∙ sin

→

346,4

Die Schraube ist mit der Wand und dem Winkel verbunden und sitzt somit am Punkt A. Aufgrund der Bemaßung können wir die Hebelarme der zerlegten Kräfte direkt ablesen. Wir müssen also nur noch das Moment in Bezug auf den Punkt A berechnen: ∙

∙

→

98,6

Die Kraft Fx dreht mit dem Hebelarm h in positiver Richtung um den Punkt A und die Kraft Fy mit dem Hebelarm b in negativer Richtung. Anwendung der Rechte-Faust-Regel: Wir legen die Faust der rechten Hand mit ausgestrecktem Daumen über den Punkt A. Der Daumen steht dabei senkrecht auf dieser Buchseite. Die gekrümmten Finger zeigen die positive Drehrichtung der z-Achse (kartesisches Koordinatensystem; die z-Achse zeigt aus der Buchseite heraus) an.

Fx Fy b

h

4.8 ∙ Hebelgesetz von Archimedes

57

In Kürze  Als allgemeine Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in mehr als einem Punkt schneiden.  Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Dyname zusammenfassen.  Eine Dyname ist die Reduktion einer allgemeinen Kräftegruppe auf eine Resultierende R und ein resultierendes Moment MR(A) bezüglich eines Punktes A.  Eine allgemeine Kräftegruppe kann einen Körper verschieben und verdrehen (Translation und Rotation).

 Moment  Einheit: Newtonmeter [Nm].  Das Moment entspricht der Multiplikation von Kraft und zugehörigem Hebelarm.  Der Hebelarm ist immer der senkrechte Abstand von der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt.  Bezugspunkte dürfen frei gewählt werden und können innerhalb wie auch außerhalb eines Körpers liegen.  Drehsinn: Vorzeichenkonvention wie in der Mathematik: positiv:  Gegenuhrzeigersinn negativ:  Uhrzeigersinn

 Rechte-Faust-Regel  Wenn der Daumen der rechten Hand in die positive Richtung der Drehachse zeigt, geben die gekrümmten Finger die positive Drehrichtung des Moments um diese Achse an.

 Erste Grundaufgabe: Zerlegung Die Zerlegung einer Kraft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel α zur x-Achse bekannt, erfolgt die Zerlegung nach: ∙ sin

∙ cos

 Zweite Grundaufgabe: Reduktion Nachdem alle Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten zerlegt wurden, kann die Resultierende Rx, Ry und R bestimmt werden: ⋯

⋯

 Die parallel verschobenen Kräfte werden zu einem resultierenden Moment MR zusammengefasst (Vorzeichen beachten!): ∙

∙

 Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht Bei einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe muss die Summe aller Kräfte und die Summe aller Momente gleich Null sein, damit Gleichgewicht vorhanden ist:

0

0

0

Hinweis: An Stelle von zwei Kräfte- und einer Momentengleichgewichtsbedingung können auch eine Kräfte- und zwei Momentengleichgewichtsbedingungen oder drei Momentengleichgewichtsbedingungen verwendet werden.

4

58

4.9

Kapitel 4 ∙ Allgemeine ebene Kräftegruppen

Aufgaben zu Kapitel 4

Aufgabe 4.1 Eine Person (m = 80 kg) setzt sich beim Oktoberfest auf den Rand einer Bank (mB = 8 kg, b = 2 m). Wie groß darf der Abstand a des Schwerpunkts der Person zum Rand der Bank höchstens werden, damit die Bank nicht kippt?

a

Aufgabe 4.2 Die dargestellte Zeichnung zeigt das mechanische Ersatzsystem (i = 50 mm, j = 345 mm, k = 275 mm) zur Berechnung der wirkenden Kraft im Musculus Biceps brachii. Der Muskel kann durch ein masseloses Seil und der Unterarm durch einen masselosen Balken angenähert werden. In der Hand wird eine Hantel vom Gewicht FH = 100 N gehalten. Berechnen Sie die Kraft im Muskel, wenn der Arm einen Beugewinkel von  = 90° aufweist.

b

k

FH

i

j

k FH φ

Aufgabe 4.3 Ein masseloses Holzbrett der Länge b = 2 m ist wie dargestellt an eine Wand gelehnt (α = 50°) und wird mit einem Klotz gehalten. Mittig auf das Brett wirkt die Kraft F = 150 N senkrecht nach unten. Alle Oberflächen sind reibungsfrei. Berechnen Sie die Kraft K, mit welcher gegen den Klotz gedrückt werden muss, damit das Brett in der dargestellten Position bleibt. Hinweis: Vorgehensweise auf S. 52.

F

b

a

K

5

Schwerpunkt 5.1  5.2  5.3  5.4  5.5  5.6  5.7 

Herleitung für beliebig geformte Körper............................................................. 61  Praktische Anwendung auf zusammengesetzte Körper .................................... 64  Flächenschwerpunkt ......................................................................................... 69  Statische Momente............................................................................................ 74  Streckenlasten .................................................................................................. 74  Experimentelle Schwerpunktermittlung ............................................................. 80  Aufgaben zu Kapitel 5 ....................................................................................... 82 

Warum 4.1 Wir haben die Resultierende R um den Hebelarm h verschoben, damit die gleiche Wirkung (Drehwirkung) auf den Körper ausgeübt wird, wie zuvor durch das Moment MR. Die Resultierende R erzeugt mit dem Hebelarm h eine Drehwirkung um den Punkt A, die in Größe und Richtung identisch mit dem Moment MR ist. 4.2 Würden die beiden Bezugspunkte A und B auf einer Geraden liegen, die parallel zur yAchse verläuft, würden nicht alle Kräfte in y-Koordinatenrichtung in den drei Gleichgewichtsbedingungen (GGB) enthalten sein. Wirkt z. B. eine Kraft entlang der Gerade in y-Richtung, auf der die beiden Bezugspunkte A und B liegen, geht diese Kraft durch die beiden Punkte und hat somit keine Momentenwirkung auf diese Punkte. Daher würde diese Kraft nicht in den GGB enthalten sein.

Lösungen Aufgabe 4.1

a = 0,1 m

Aufgabe 4.2

FM = 803 N

Aufgabe 4.3

K = 63 N

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_5

60

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Die Lage des Schwerpunkts ist sehr wichtig, da aufgrund der Behandlung von Starrkörpern, die Gewichtskraft nach den Regeln des Freischneidens immer im Schwerpunkt eines Körpers angetragen wird. Dazu müssen die Lagekoordinaten des Schwerpunkts bekannt sein bzw. berechnet werden. Ganz allgemein ist der Schwerpunkt der Punkt eines Körpers, durch den in jeder beliebigen Lage die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskraft hindurchgeht. Für diese Betrachtung kann die räumlich über den gesamten Starrkörper verteilte Masse bzw. das Gewicht als im Schwerpunkt konzentriert gedacht werden. Darüber hinaus ist die Lage des Schwerpunkts einer Streckenlast ebenfalls von besonderer Bedeutung. Eine Streckenlast kann auf eine resultierende Einzelkraft reduziert werden. Die sich somit ergebende reduzierte Einzelkraft greift im Schwerpunkt der Streckenlast an. Diese Kenntnis ist sehr wichtig, wenn es darum geht, Lager- und Gelenkreaktionen sowie die im Inneren eines Körpers auftretenden Kräfte und Momente zu bestimmen.

Abb. 5.1

Abb. 5.2

Es ist uns vielleicht nicht immer bewusst, aber wir haben jeden Tag mit dem Schwerpunkt eines Körpers zu tun. Vorrangig beim Tragen oder Balancieren eines Körpers. Wollen wir beispielsweise den Basketball in  Abb. 5.1 auf einem Finger balancieren, muss unser Finger genau unterhalb des Schwerpunkts stehen. Um dies ein wenig technischer zu erklären, verwenden wir das im vorherigen Kapitel kennengelernte Moment. Da wir von Starrkörpern ausgehen, nehmen wir vereinfachend an, dass die Gewichtskraft G im Körperschwerpunkt angreift. (Diese Annahme haben wir zuvor schon beim Freischneiden kennengelernt und angewendet.) Steht unser Finger genau unterhalb des Schwerpunkts S bzw. der Gewichtskraft G, ist die Gewichtskraft G mit der Kraft unseres Fingers FFinger im Gleichgewicht. Beide Kräfte sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und befinden sich auf der gleichen Wirkungslinie (Gleichgewichtsgruppe, 6. Axiom). Darüber hinaus bilden diese beiden Kräfte eine zentrale Kräftegruppe. Anders dagegen verhält es sich, wenn sich unser Finger neben der Wirkungslinie der Gewichtskraft G befindet, siehe  Abb. 5.2. Die beiden Kräfte, G und FFinger, liegen parallel zueinander und bilden ein rechtsdrehendes Kräftepaar (allgemeine Kräftegruppe). In Bezug auf unsere Fingerspitze besitzt die Gewichtskraft G einen Hebelarm und damit ein rechtsdrehendes Moment. Daher rollt der Basketball nach rechts von unserem Finger herunter. Ein Balancieren ist nicht möglich.

5.1 ∙ Herleitung für beliebig geformte Körper

5.1

61

Herleitung für beliebig geformte Körper

Bevor wir uns mit der Berechnung von Schwerpunkten beschäftigen, müssen wir zuerst die Frage klären, was überhaupt der Schwerpunkt eines Körpers ist. Eine recht physikalische Definition lautet: Der Schwerpunkt ist der Punkt eines Körpers, durch den in jeder beliebigen Lage die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskraft hindurchgeht. Etwas anschaulicher könnten wir auch sagen: der Schwerpunkt eines Körpers ist der Punkt, auf dem wir den Körper ausbalancieren können (der Körper befindet sich somit im Gleichgewicht). Um diese Aussage besser verstehen zu können, sollten wir uns ein einfaches Beispiel ansehen. Nehmen wir einmal an, dass der Keks in  Abb. 5.3 ein Starrkörper ist (trifft sogar fast zu, wenn der Keks sehr alt und hart geworden ist...). Und nehmen wir weiter an, dass dieser Keks aus einer nahezu unendlich großen Anzahl an gleich großen sehr kleinen Krümeln zusammengesetzt ist. Ein Krümel hat dann das infinitesimale9 (unendlich kleine) Volumen dV, welches nur ein sehr kleiner Anteil am Gesamtvolumen ist. Zu diesem Volumen dV muss dann auch eine anteilige Gewichtskraft gehören, welche wir mit dG bezeichnen. Da unser dV nahezu unendlich klein (infinitesimal) ist, greift die Gewichtskraft dG genau in der Mitte von dV an. Weiterhin wissen wir, dass die Gewichtskraft immer senkrecht nach unten wirkt10, wodurch deren Lage im Koordinatensystem eindeutig festgelegt ist. Die Lage unseres Krümels können wir somit, bezogen auf einen beliebigen Bezugspunkt, mit den Lagekoordinaten x, y, und z beschreiben. Die Gewichtskraft G unseres Kekses können wir bestimmen, indem wir die Gewichtskraft eines Krümels dG nehmen und über die Anzahl aller vorhanden Krümel aufsummieren. Da es sich um infinitesimale Größen handelt, erfolgt die Aufsummierung mithilfe des Integrals. Die Gewichtskraft G des Kekses ist somit das Volumenintegral über alle Krümel dG: (5.1)

► Der Schwerpunkt ist der Punkt eines Körpers, durch den in jeder beliebigen Lage die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskraft hindurchgeht.

5

z dV dG A

y y

x

x Abb. 5.3

Die Gewichtskraft eines Körpers ist das Volumenintegral über alle Einzelgewichtskräfte aller Bestandteile eines Körpers.

Gewichtskraft eines Körpers

Des Weiteren erkennen wir in Abb. 5.3, dass die Gewichtskraft dG eine Momentenwirkung um unsere Koordinatenachsen besitzt. Da wir aber nicht nur einen einzigen Krümel, sondern

9 10

infinitesimal: lat. infinitus: zum Grenzwert hin unendlich klein werdend In der Realität trifft dies nicht exakt zu. Die Gewichtskräfte verlaufen streng genommen in Richtung des Erdmittelpunkts und schneiden sich dort. Des Weiteren ist die Größe der Gewichtskräfte von der Erdbeschleunigung (9,832 m/s2 an den Polen und 9,78 m/s2 am Äquator) und somit vom Abstand zum Erdmittelpunkt abhängig. Beides können wir aber für die praktische Anwendung vernachlässigen.

62

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

x1

x2

x3

x4

x5

dG1 dG2 dG3 dG4 dG5 z A

x G xS

einen ganzen Keks haben, müssen wir die Momentenwirkung aller Krümel berücksichtigen. Dazu schauen wir uns in  Abb. 5.4 den Keks bzw. die einzelnen Krümel von der Seite an. In Bezug auf den Ursprung unseres Koordinatensystems (Punkt A) hat jeder Krümel einen bestimmten Abstand, x1, x2, ..., xn. (Für das Koordinatensystem im Punkt A in  Abb. 5.4 wurde hier die Ecke der Tischplatte gewählt. Daher kommt auch der Abstand vom Keks zum Koordinatensystem zustande). Liegt unser Keks auf einem Tisch, muss entsprechend die Kraft vom Tisch auf den Keks der Gewichtskraft G entsprechen (Warum 5.1?). Somit muss für das Kräftegleichgewicht in z-Richtung gelten, dass die Summe aller Einzelgewichtskräfte dGi der gesamten Gewichtskraft G des Kekses entspricht:

Abb. 5.4

0

Die Summe der Momente aller Einzelgewichtskräfte dGi muss auf die Koordinatenachsen die gleiche Wirkung besitzen, wie die gesamte Gewichtskraft G.

⋯

(5.2)

Des Weiteren haben alle Einzelgewichtskräfte dGi in Bezug auf unseren Bezugspunkt A eine Momentenwirkung. Da wir aber nicht nur einen Krümel, sondern einen ganzen Keks haben, müssen wir die Momentenwirkung aller Krümel für die Momentenwirkung um unsere Koordinatenachsen berücksichtigen. Diese Momentenwirkung aller Krümel muss dann noch mit der gesamten Gewichtskraft G des Kekses übereinstimmen, damit sich der Keks im Gleichgewicht befindet. Da sich das Moment durch "Kraft mal Hebelarm" berechnen lässt, können wir für unsere Momentenwirkung um die y-Achse an unserem Punkt A schreiben: 0

∙

∙

∙

⋯

(5.3)

In dieser Gleichung ist xS die Koordinate der Gewichtskraft G unseres Kekses. Die Momentengleichung können wir noch umstellen, indem wir die Gewichtskräfte der Krümel auf die andere Seite holen und die beiden Seiten vertauschen: ∙

∙

∙

⋯

∙

Es ist hier recht einleuchtend, dass wir in dieser Berechnung auch wirklich alle Krümel berücksichtigen müssen. Da wir zu Beginn gesagt haben, dass die Krümel sowie deren Gewichtskräfte dGi infinitesimal sind, können wir die Aufsummierung aller Krümel mithilfe des Integrals berechnen. Dann folgt für unsere Berechnungsgleichung: ∙

∙

⋯

∙

∙

(5.4)

5.1 ∙ Herleitung für beliebig geformte Körper

63

Führen wir diese Berechnung für alle Koordinatenachsen durch und stellen anschließend die Gleichungen nach den Gesamtschwerpunktkoordinaten xS, yS und zS um, so erhalten wir die allgemeinen Gleichungen zur Berechnung der Koordinaten des Körperschwerpunktes: ∙

∙

∙

(5.5)

Schwerpunkt der Gewichtskraft

Mit diesen Gleichungen können wir die Koordinaten eines Körperschwerpunktes eindeutig beschreiben. Dabei muss es sich nicht ausschließlich nur um Gewichtskräfte G handeln. Wir können damit auch den Schwerpunkt einer Kräftegruppe berechnen, bei der alle Kräfte in nur eine Richtung wirken, z. B. wenn alle Kräfte in Richtung der y-Achse wirken. Ersetzen wir jetzt noch in Gleichung (5.5) die Gewichtskräfte dG der Krümel durch deren Masse mit dem Zusammenhang des 2. Axioms: ∙

∙

bzw.

5

(5.6)

erhalten wir exemplarisch für die x-Koordinate: ∙

∙

∙

∙

∙

∙ ∙

Kürzen wir hier noch die konstante Erdbeschleunigung g, erhalten wir damit die Koordinaten des Massenmittelpunktes: ∙

∙

∙

(5.7)

Massenmittelpunkt

Wollen wir die Gleichungen (5.5) und (5.7) noch in Worten ausdrücken, erhalten wir damit die Definition des Schwerpunktes eines beliebig geformten Körpers: Der Schwerpunkt ist der Punkt eines Körpers, in dem die räumlich über den gesamten Körper verteilte Masse bzw. das Gewicht als konzentriert gedacht werden kann. Bei Unterstützung im Schwerpunkt bleibt der Körper im Gleichgewicht. Unser Keks besteht aber nicht nur aus einer einzigen Zutat. Vielmehr besteht der Teig aus einer anderen Zusammensetzung als die Schokoladenstückchen. Daher müssen wir noch die unterschiedlichen Dichten ρ der verschiedenen Zutaten berücksichtigen. Sobald sich die Dichte ändert, ändert sich auch die Gewichtskraft unserer Krümel. Mithilfe des Zusammenhangs zwischen Masse, Dichte und Volumen: ∙

bzw.

∙

(5.8)

Definition des Schwerpunktes

64

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

erhalten wir nach dem Einsetzen in Gleichung (5.7) wieder exemplarisch für die x-Koordinate: ∙

∙ ∙ ∙

∙

∙

∙

∙

Führen wir dies für alle Koordinaten durch, erhalten wir die Schwerpunktkoordinaten eines Körpers mit unterschiedlichen Dichten innerhalb dieses Körpers: ∙

Schwerpunkt infolge unterschiedlicher Dichten eines Körpers

∙ ∙

∙ ∙

∙

(5.9)

Falls unser Keks nun doch einmal nur aus Teig bestehen sollte (vielleicht weil wir keine Schokoladenstückchen mehr im Schrank hatten), wäre die Dichte eine Konstante in Gleichung (5.9) und wir können diese vor das Integral ziehen und kürzen. So wie zuvor mit der Erdbeschleunigung. Dann würden sich die Schwerpunktkoordinaten allein aus dem Volumen unseres Kekses berechnen lassen: ∙

Volumenmittelpunkt

∙

∙

(5.10)

Das Volumen unseres Kekses ergibt sich ausschließlich aus der Geometrie. Daher können wir den Schwerpunkt eines Körpers, der nur aus einem Material besteht, einzig und allein anhand der Geometrie dieses Körpers bestimmen.

5.2

Abb. 5.5

Praktische Anwendung auf zusammengesetzte Körper

In der praktischen Anwendung haben wir es in der Regel mit aus einfachen Formen (z. B. Quader, Kugel, Kegel usw.) zusammengesetzten Körpern zu tun, wie z. B. das Stehaufmännchen in  Abb. 5.5. Dieses besteht aus einer Halbkugel und einem darauf gesetzten Kegel. Da der Gesamtschwerpunkt sehr weit unten liegt, richtet sich das Stehaufmännchen aus jeder beliebigen Lage immer wieder auf. Die Bestimmung des Schwerpunktes eines solchen zusammengesetzten Körpers aus nur einem Material ist deutlich einfacher als für einen beliebig geformten Körper aus verschiedenen Materialien. Sobald ein Körper homogen ist (aus nur einem Material besteht) und aus einfachen Formen zusammengesetzt ist, können wir die Integrale in den Gleichungen (5.5), (5.7), (5.9) und (5.10) durch eine Summation ersetzen. Anstatt über alle infinitesimalen Elemente zu integrieren, werden wir einfach alle Geometrieelemente aufsummieren.

5.2 ∙ Praktische Anwendung auf zusammengesetzte Körper

65

Für unsere Berechnung bedeutet dies, dass wir die Schwerpunktkoordinaten entweder anhand der Masse der zusammengesetzten Einzelkörper oder, bei einem homogenen Körper, allein aus der Geometrie der Einzelkörper berechnen können. Dazu verwenden wir die entsprechenden Gleichungen für die Masse der Einzelkörper: ∑

∙

∑

∑

∙

∑

∑

∙ ∑

(5.11)

Massen-Schwerpunkt

oder die Gleichungen für die Volumina der Einzelkörper: ∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

(5.12)

Die Volumina der Einzelkörper Vi sowie deren EinzelSchwerpunktkoordinaten xi, yi, zi können wir mithilfe der Formelsammlung  Tab. 5-1 bestimmen. Die Einzelkörper können wir ganz einfach algebraisch addieren. Lediglich wenn ein Körper einen Ausschnitt (z. B. eine Bohrung) besitzt, müssen wir diesen Ausschnitt als negatives Volumen annehmen und das Vorzeichen entsprechend negativ (-) in unsere Gleichungen einsetzen und somit subtrahieren. Sobald ein Körper eine Symmetrie bezüglich einer Ebene aufweist, liegt der Schwerpunkt irgendwo auf dieser Ebene. Besitzt ein Körper zwei Symmetrieebenen, dann liegt der Schwerpunkt entsprechend auf der Schnittlinie der beiden Ebenen. Bei drei Symmetrieebenen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der drei Ebenen.

Vorgehensweise      

 

Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Identifizierung der zusammengesetzten Einzelkörper. Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten für die Einzelkörper mithilfe der Formelsammlung  Tab. 5-1. Bestimmung der Volumina für die Einzelkörper mithilfe der Formelsammlung. Körper mit Material erhalten ein positives Vorzeichen. Ausschnitte, wie z. B. Bohrungen, besitzen ein "negatives Volumen" und erhalten somit ein negatives (-) Vorzeichen. Bei symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieebene/-achse. Besitzt ein Körper mehrere Symmetrieachsen, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.

Geometrie-Schwerpunkt

5 Bei Ausschnitten werden diese mit einem negativen Vorzeichen in der Berechnung berücksichtigt.

Bei einer vorhandenen Symmetrie liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse/-ebene.

66

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Tab. 5-1 Formelsammlung Schwerpunkte

Viereck y

Rechtwinkliges Dreieck y

a S

y

a

b

Allgemeines Dreieck

e

b

S x

x

a

x

∙ 2

2

∙ 2 2∙ 3

2

3

3

∙

Kreis

3

Halbkreis

Viertelkreis

y

y

y r S

r

r

S

S

x

x

x ∙ 4 4∙ 3∙ 4∙ 3∙

∙ 2

∙ 4

0 4∙ 3∙ Kreisausschnitt

Kreisabschnitt

Trapez

y

y

y

r α α

b

S

r

S

α α

x

e b

S

s

r

h

S

x

x

a ∙

2 ∙ ∙ sin 3∙ 0

2 12 ∙

∙ 2

sin 2 4 ∙ sin ∙ 3 2 sin 2 0

2

∙ ∙

2∙

3∙ 3

∙

2

5.2 ∙ Praktische Anwendung auf zusammengesetzte Körper

67

Quader

Zylinder

z

z r

Hinweis Sollen die hier aufgeführten Körper bzw. Flächen als Ausschnitte verwendet werden, so ist das Volumen bzw. der Flächeninhalt mit einem negativen Vorzeichen zu verwenden.

h

S

a

0

S 0

y

x

y

x ∙ 0,

∙

0,

0

0 2

2 Kugel

Kegel

Kegelstumpf

z

z

z 0 S

y

h

r x

S

h

S 0 r

0

y

x

4 ∙ 3 0,

∙

∙ ∙ 12

∙

0,

0

4

4

Pyramide

S 0

h

x

A

0

0,

0 3 ∙ 8

3∙

A2 A1

h

y

y

x

1 ∙ 3

∙

∙ ∙

S 0

x 2 ∙ 3

0

Pyramidenstumpf z

S

y

r

∙

2∙

∙

z

z

y

0,

0

0

Halbkugel

R

x

1 ∙ 3

∙

5

r

∙ ∙ 12

∙

0,

0,

0

4

∙

4

∙

2∙

0 3∙

68

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Beispiel 5.1 z

Ein Stehaufmännchen aus Stahl steht auf einer Tischplatte und besitzt die Maße: h = 15,5 mm, r = 10 mm. h

Bestimmen Sie die Höhe des Schwerpunkts, ausgehend von der Tischplatte.

S r

r 0

y

x

Lösung Da der komplette Körper aus Stahl besteht und somit eine konstante Dichte besitzt, müssen wir die Dichte nicht weiter berücksichtigen. Das Stehaufmännchen ist aus zwei Einzelkörpern, einer Halbkugel und einem Kegel, zusammengesetzt. Beide Körper sind rotationssymmetrisch, wodurch eine Symmetrieachse vorhanden ist. Zweckmäßiger Weise definieren wir in diesem Falle unser Koordinatensystem so, dass die z-Achse mit der Symmetrieachse zusammenfällt. Wir müssen jetzt nur noch die zS Koordinate des Schwerpunkts berechnen (Warum 5.2?). Die Volumina der Halbkugel VHK und des Kegels VK sowie die Einzelschwerpunktkoordinaten zHK und zK können wir der Formelsammlung  Tab. 5-1 entnehmen und setzen diese in die Gleichung (5.12) ein: ∑

∙

∙

h

SK SHK

r

∙

∑

z

3 8∙

2 ∙3∙

2 3∙

1 4 ∙3∙

∙ ∙

1 3∙

∙

18,93

∙

∙

∙

SK zK

SHK

zHK 0

x

Bei der Berechnung müssen wir sehr genau darauf achten, in welchem Koordinatensystem wir gerade sind. In der Formelsammlung ist der Ursprung des Koordinatensystems ein anderer, als bei unserem Stehaufmännchen. Daher sehen die Klammerterme, welche die Schwerpunkte der Einzelkörper sind, anders aus, als in der Formelsammlung. Wir müssen die Koordinaten teilweise etwas umrechnen, damit wir den Gesamtschwerpunkt auch richtig berechnen. Für die Eintragung der Koordinate des Einzelschwerpunkts zHK der Halbkugel, müssen wir das Koordinatensystem aus der Formelsammlung um 180° drehen, weshalb der Schwerpunkt in unse∙

rer Berechnung bei

liegt. Der Kegel ist zwar richtig ausgerichtet, jedoch ist der

Schwerpunkt in dem für unsere Aufgabenstellung gewählten Koordinatensystem um den Radius r der Halbkugel nach oben verschoben. Deshalb ergibt sich für den Schwerpunkt des Kegels die Koordinate

.

5.3 ∙ Flächenschwerpunkt

5.3

69

Flächenschwerpunkt

Die Berechnung von Flächenschwerpunkten können wir analog zur Berechnung von Körperschwerpunkten durchführen. Wir setzen dabei voraus, dass die zu betrachtende Fläche von einem flächenhaften Körper mit konstanter Dicke und konstanter Dichte (homogener Körper) stammt, beispielsweise einem sehr flachen Keks oder einem dünnen Stahlblech. Das Volumen eines Körpers ist das Produkt aus "Fläche mal Dicke". Wenn wir nun in unseren bisherigen Gleichungen für Körperschwerpunkte das Volumen dV durch: die Fläche dA multipliziert mit einer konstanten Dicke t ersetzen, und die Dicke dabei gegen Null gehen lassen (t → 0), erhalten wir direkt die Gleichungen zur Berechnung der Schwerpunktkoordinaten von Flächen. Da wir die Dicke vernachlässigen, fällt auch gleichzeitig die Berechnung in z-Richtung weg: zS = 0. Für beliebig geformte Flächen müssen wir wieder den Integralausdruck verwenden: ∙

∙

(5.13)

Die Berechnung des Schwerpunkts einer Fläche erfolgt analog zu der eines Körpers. Lediglich die Dicke der Fläche strebt gegen Null: t → 0.

5

Beliebig geformte Flächen

Für zusammengesetzte Flächen vereinfacht sich das Integral zur Summe und die Berechnung lautet: ∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

(5.14)

Darin können die Flächeninhalte sowie die Einzelschwerpunktkoordinaten xi und yi der Formelsammlung  Tab. 5-1 für die Berechnung entnommen werden.

Vorgehensweise        

Orientierung des Koordinatensystems festlegen. Identifizierung der zusammengesetzten Einzelflächen. Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten für die Einzelflächen mithilfe der Formelsammlung  Tab. 5-1. Bestimmung der Flächeninhalte für die Einzelflächen mithilfe der Formelsammlung. Flächen mit Material erhalten ein positives Vorzeichen. Ausschnitte besitzen einen "negativen Flächeninhalt" und erhalten somit ein negatives (-) Vorzeichen. Bei symmetrischen Flächen liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse. Besitzt eine Fläche mehrere Symmetrieachsen, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.

Zusammengesetzte Flächen

70

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Beispiel 5.2

y

Berechnen Sie für das rechtwinklige Dreieck die Koordinaten des Flächenschwerpunkts.

b

h

S

x Lösung Zur Berechnung des Flächenschwerpunkts verwenden wir Gl. (5.13). Da diese Gleichungen das Integral beinhalten, müssen wir unser Dreieck mithilfe eines infinitesimalen Flächenelements dA beschreiben. Dazu müssen wir aber zuvor die Funktionsgleichung, zur Beschreibung unseres Dreiecks, aufstellen. Dies geht am einfachsten mit der Geradengleichung: ∙

(a)

Jetzt legen wir ein infinitesimales Flächenelement dA so in die Fläche, dass es parallel zu einer unserer Koordinatenachsen verläuft. Hier also parallel zur y-Achse und von der x-Achse ausgehend. Die Breite des Flächenelements dA ist die infinitesimale Breite dx (Warum 5.3?) und die Höhe entspricht der Höhe unseres Dreiecks an der entsprechenden x-Koordinate. Damit ergibt sich der Flächeninhalt des Flächenelements dA zu: ∙

(b)

Die Koordinaten des Schwerpunkts unseres Flächenelements bezeichnen wir mit x* und y*. Beim Rechteck befindet sich der Schwerpunkt auf den Seitenhalbierenden: ∗

∗

2

(c)

Fall 1a): Schwerpunkt in x-Richtung Nun können wir die Berechnung nach Gl. (5.13) vornehmen. Dazu setzen wir für das Flächenelement dA Gl. (b) und für die Schwerpunktkoordinate x* Gl. (c) ein: ∗

∙

∙

∙ ∙

Wir ersetzen noch die Höhe y durch Gl. (a) und führen die Integration in x-Richtung in den Grenzen 0 und b durch:

y dx y x*

y* dA

x

5.3 ∙ Flächenschwerpunkt

∙

∙

71

1 ∙ 3 1 ∙ 2

∙

∙

∙

1 3∙ ∙ 1 ∙ ∙ 2

∙ ∙

→

2 ∙ 3

Fall 2a): Schwerpunkt in y-Richtung Zur Berechnung des Schwerpunkts in y-Richtung gehen wir analog vor. Wir behalten das infinitesimale Flächenelement dA bei und setzen alle Größen in Gl. (5.13) ein: ∗

∙

2

1 3∙2∙ 1 ∙ 2

∙

∙ ∙

∙

∙

∙ ∙

1 6∙ 1 ∙ 2

∙

2∙

∙

∙

∙

∙

→

∙

1 ∙ 3

Alternative Berechnung Bei der alternativen Berechnung werden wir, im Gegensatz zur ersten Möglichkeit, nun entlang der y-Koordinate integrieren. Dazu definieren wir ein infinitesimales Flächenelement dA, welches parallel zur x-Achse verläuft. Da wir in y-Richtung integrieren wollen, muss unser Flächenelement entsprechend die Höhe dy haben. Da wir für die Breite nun nicht den direkten Funktionswert der Laufkoordinate x nehmen können, müssen wir die Breite durch die Gesamtbreite b unseres Dreiecks ausdrücken. Damit ergibt sich die Flächenelementbreite b ‐ x (Breite b minus Laufkoordinate x). Die Laufkoordinate bekommen wir, wenn wir die Funktionsgleichung (a) unseres Dreiecks einfach umstellen: ∙ Entsprechend gilt dann für das Flächenelement: ∙

∙

∙

Die Schwerpunktkoordinaten des Flächenelements x* und y* ergeben sich zu: ∗

∗

2

2

2

5

y dA dy x

b‐x x*

y* x

72

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Fall 1b): Schwerpunkt in x-Richtung Setzen wir nun wieder alle Größen in unsere Berechnung nach Gl. (5.13) ein und führen die Integration in y-Richtung in den Grenzen 0 und h durch, erhalten wir als Ergebnis: ∗

∙

2 ∙

2

∙ ∙



1 3∙2∙

2 ∙ ∙

1 2∙

∙

2

∙

2∙

∙

∙

∙ ∙

1 3∙ ∙ 1 ∙ ∙ 2

∙ ∙

→

2 ∙ 3

→

1 ∙ 3

Fall 2b): Schwerpunkt in y-Richtung Die Berechnung für die y-Richtung führen wir analog zu unserer ersten Berechnungsmöglichkeit aus. Wir behalten wieder die Lage und Größe des infinitesimalen Flächenelements dA bei, setzen alle Größen in Gl. (5.13) ein und erhalten nach der Integration als Ergebnis: ∗

∙

∙

∙

∙



1 ∙ 2

∙ ∙

1 3∙ 1 2∙

∙ ∙

∙

∙

∙

∙

∙

1 2∙ ∙ ∙

1 3∙ ∙

1 2∙

∙

∙ ∙

1 6∙ ∙ 1 ∙ ∙ 2

Zum Vergleich können wir unser Ergebnis mit den Schwerpunktkoordinaten aus der Formelsammlung  Tab. 5-1 für das rechtwinklige Dreieck vergleichen. Wir finden hier mit der entsprechenden Bezeichnung der Seitenlängen unserer Aufgabenstellung die gleichen Ergebnisse für die Schwerpunktkoordinaten unseres Dreiecks. Hinweis: Bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten ist es unerheblich, ob wir nur nach Fall 1) oder nur nach Fall 2) vorgehen. Wir könnten auch die Schwerpunktkoordinate xS nach Fall 1) und yS nach Fall 2) berechnen. Der Rechenaufwand richtet sich dabei immer nach der Funktionsgleichung der Fläche. In unserem Beispiel ergibt sich für den Fall 1) ein etwas geringerer Rechenaufwand als für den Fall 2).

5.3 ∙ Flächenschwerpunkt

73

Beispiel 5.3 Berechnen Sie für die nebenstehende blaue Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunkts.

y

15

10

ø8

10 10

Lösung Die vorliegende Fläche können wir in drei Teilflächen zerlegen: Dreieck, Rechteck und Kreis. Nach der Formelsammlung  Tab. 5-1 ergeben sich die entsprechenden Teilflächenschwerpunkte Si in unserem globalen x-y-Koordinatensystem zu: 1) Dreieck

2 ∙ 30 3

1 ∙ 15 3

2) Rechteck

30 2

20 2

3) Kreis

10

10

y

S1

ø8 S3

20

x

20

5 y1

S2 y2

x3 x2 x1

x

Hinweis: Wichtig ist hier, dass wir zwischen dem globalen Koordinatensystem, also dem Koordinatensystem unserer zu berechnenden Fläche und den lokalen Koordinatensystemen, also den Koordinatensystemen unserer Teilflächen aus der Formelsammlung, unterscheiden. Mit den Koordinaten der Schwerpunkte unserer Teilflächen können wir jetzt nach Gl. (5.14) den Flächenschwerpunkt unserer gesamten Fläche berechnen. Hierzu setzen wir die Teilschwerpunkte sowie die Flächeninhalte der Teilflächen in die Gl. (5.14) ein. Da der Kreis jedoch einen Ausschnitt darstellt, müssen wir die Kreisfläche mit einem negativen Vorzeichen berücksichtigen. Somit erhalten wir für die Schwerpunktkoordinaten: ∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

2 30 ∙ 15 30 3 ∙ 30 ∙ 2 2 ∙ 30 ∙ 20 10 ∙ ∙8 30 ∙ 15 30 ∙ 20 4 2 1 3 ∙ 15

30 ∙ 15 20 2 2 ∙ 30 ∙ 20 ∙8 30 ∙ 15 30 ∙ 20 4 2

20 ∙

∙8 4

10 ∙

∙8 4

→

16,8

→

14,4

74

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

5.4

Bei den Gl. (5.13) (S. 69) ist eine Besonderheit zu beachten. Die Integralausdrücke im Zähler, welche bei Körpern die Momentenwirkung (Hebelarm mal Kraft) darstellen, werden bei Flächen als sogenannte statische Momente oder Flächenmomente 1. Ordnung bezeichnet:

y S

xS

yS A

Statische Momente

∙

x

y

S x dA Abb. 5.6

Das statische Moment ist eine wichtige geometrische Eigenschaft einer Fläche. Es wird im Allgemeinen in der Einheit [cm3] angegeben.

(5.15)

Anschaulich können wir uns diese Größen mit  Abb. 5.6 verdeutlichen. Wir verschieben den Koordinatenursprung in den Flächenschwerpunkt und teilen unsere Fläche in infinitesimale Flächenelemente dA auf. In Bezug auf die x-Achse müssen nun alle Flächenelemente dA links von der Achse mit ihrem jeweiligen Abstand die gleiche Momentenwirkung besitzen, wie alle dA die rechts von der x-Achse liegen. Aufgrund dieser gedachten Momentenwirkung ergibt sich die Bezeichnung des statischen Moments. Da Achsen, die durch einen Flächenschwerpunkt laufen, als Schwerachsen bezeichnet werden, muss für die statischen Momente von Schwerachsen: Sx = 0 und Sy = 0 gelten. In Bezug auf die Schwerachsen sind die Flächenelemente mit ihrem jeweiligen Abstand gleichmäßig auf beide Seiten der Achse verteilt. Somit gibt es keine Momentenwirkung der Fläche in Bezug auf die Schwerachsen. Das statische Moment sowie der Flächeninhalt sind wichtige geometrische Eigenschaften einer Fläche. Aufgrund der Multiplikation des Abstandes mit der infinitesimalen Fläche ergibt sich die Einheit [m3]. Im Allgemeinen wird jedoch die Einheit [cm3] verwendet. In der Stereostatik wird das statische Moment zur Berechnung der Schwerpunktkoordinaten einer Fläche verwendet, siehe Gl. (5.13) auf S. 69. Eine weitere wichtige Anwendung findet das statische Moment in der Elastostatik (Technische Mechanik 2) zur Berechnung des Querkraftschubs. Aber dies soll uns erst mal nicht weiter interessieren.

5.5

Eine Volumenkraft wirkt auf das Volumen eines Körpers, wie z. B. die Gewichtskraft eines Körpers.

∙

Streckenlasten

Um die Wirkung von Kräften auf einen Körper zu untersuchen, haben wir bisher nur Einzelkräfte betrachtet. In der Realität gibt es jedoch noch andere Kraftarten, wie z. B. die Volumenkraft oder auch Gewichtskraft, die über das Körpervolumen verteilt ist. Nachdem wir nun den Schwerpunkt eines Körpers berechnen können, sollte uns spätestens jetzt klar

5.5 ∙ Streckenlasten

75

sein, wieso wir die Gewichtskraft eines Körpers als eine resultierende Einzelkraft auffassen können, welche im Schwerpunkt des Körpers angreift. Die Kraftwirkung der resultierenden Gesamtgewichtskraft eines Körpers ist dabei identisch mit der über das Volumen verteilten Gewichtskraft. Wir reduzieren lediglich die Gewichtskraft um damit einfacher rechnen zu können. Eine durchaus sinnvolle Modellbildung, die unsere Freikörperbilder und die Berechnungen erheblich vereinfacht. Neben den Volumenkräften gibt es auch Flächenkräfte. Diese wirken über die gesamte Fläche, wie z. B. der Schnee auf einem Dach oder dieses Buch auf einem Tisch. Auch hier können wir die auf eine Fläche verteilte Kraft zu einer resultierenden Einzelkraft zusammenfassen und diese im Schwerpunkt der Fläche angreifen lassen. Da wir uns jedoch überwiegend mit zweidimensionalen Aufgaben beschäftigen, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten, gibt es noch die Linienkräfte, auch Streckenlasten genannt. Diese idealisierte Kraftart wirkt entlang einer Linie und wird mit dem Formelbuchstaben q bezeichnet. Streckenlasten besitzen die Einheit [N/m] (Kraft pro Länge) und sie können über die Länge, auf der sie wirken, veränderlich sein. Schauen wir uns hierzu  Abb. 5.7 an. Hier haben wir drei Balken mit unterschiedlichen Streckenlasten aufgeführt: a) der Balken wird durch eine konstante Streckenlast der Größe q0 belastet b) der Balken wird durch eine dreiecksförmige Streckenlast belastet, welche von Null auf der linken Seite linear auf die Höhe q0 ansteigt c) der Balken wird durch eine, in Abhängigkeit der Laufkoordinate x, veränderliche Streckenlast mit der Funktion q(x) belastet Streckenlasten sind für unsere zweidimensionalen (ebenen) Modelle sehr wichtig. Mit der konstanten Streckenlast im Fall a) können wir z. B. die über die Balkenlänge verteilte Gewichtskraft beschreiben. Wenn wir in unseren Berechnungen die Masse des Balkens berücksichtigen müssen, wie z. B. bei einem massebehafteten Balken, können wir die Gewichtskraft wie folgt als Streckenlast berücksichtigen: (5.16) Wir dividieren die Gewichtskraft G durch die Balkenlänge l und erhalten eine konstante Streckenlast mit der Einheit [N/m]. Um eine Streckenlast auf eine resultierende Einzelkraft zu reduzieren, können wir genauso wie bei einer Volumenkraft

Eine Flächenkraft wirkt auf eine Fläche, wie z. B. die Kraft auf der Berührungsfläche zweier Körper.

a) q0

x

b) q0

x

c)

q(x)

x Abb. 5.7

5

76

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

► Die Größe der äquivalenten Einzelkraft einer Streckenlast entspricht dem Flächeninhalt der Streckenlast.

dx

q(x)

x

dA

q

x

vorgehen. Wir ermitteln zuerst die Kraftwirkung der äquivalenten Einzelkraft und lassen diese äquivalente (resultierende) Kraft im Schwerpunkt der Streckenlast angreifen. Wenn wir die Streckenlast als eine Aneinanderreihung unendlich vieler Einzelkräfte betrachten (denn nichts anderes ist eine Streckenlast), so brauchen wir nur entlang der wirkenden Länge alle Einzelkräfte aufzusummieren und wir erhalten unsere äquivalente Einzelkraft. Oder anders gesagt, ist die Streckenlast aus ganz vielen Einzelkräften zusammengesetzt, brauchen wir nur den Flächeninhalt der Streckenlast ausrechnen und haben damit die Größe der äquivalenten Einzelkraft Fq. Dazu müssen wir im ersten Schritt eine allgemeine Funktionsgleichung der Form q(x) aufstellen, mit welcher wir die Höhe der Streckenlast an jeder beliebigen Stelle in Abhängigkeit der Laufkoordinate x beschreiben können. Danach bestimmen wir den Flächeninhalt der Funktion mithilfe des Integrals, indem wir über die gesamte Länge l der Streckenlast integrieren, siehe  Abb. 5.8. Wir erhalten dann die äquivalente Einzelkraft der Streckenlast:

Abb. 5.8

► Die Wirkungslinie der äquivalenten Einzelkraft einer Streckenlast verläuft durch den Schwerpunkt der Streckenlast.

∙

(5.17)

Der Index q besagt, dass hier ein Zusammenhang mit einer Streckenlast besteht. Jetzt müssen wir nur noch den Schwerpunkt der Streckenlast berechnen, damit wir auch wissen, wo die Resultierende Fq schließlich angreift bzw. wo wir Fq in unser Freikörperbild einzeichnen müssen. Dazu verwenden wir die Berechnung für beliebig geformte Flächen nach Gl. (5.13) auf S. 69. Als Flächenelement dA nehmen wir aber jetzt eine dünne Scheibe der ∙ . Dann folgt für die Berechnung der Streckenlast: Schwerpunktkoordinate einer beliebigen Streckenlast q(x) in Richtung der Laufkoordinate x: ∙

Schwerpunkt der Streckenlast

∙ ∙

(5.18)

Vorgehensweise  



Funktionsgleichung der Streckenlast aufstellen. Streckenlast als Fläche betrachten. Die Einzelkraft Fq ist so groß wie der Flächeninhalt der Streckenlast. (Siehe hierzu: Formelsammlung  Tab. 5-1 auf S. 66 f.) Die Wirkungslinie von Fq verläuft durch den Flächenschwerpunkt xS der Streckenlast.

5.5 ∙ Streckenlasten

77

Beispiel 5.4 Berechnen Sie die äquivalente Einzelkraft sowie deren Kraftangriffspunkt für die dargestellte dreiecksförmige Streckenlast.

q0

l

x

Lösung Als erstes stellen wir die Funktionsgleichung der dreiecksförmigen Streckenlast auf. Dies geschieht am einfachsten mit der Geradengleichung der Form: ∙ Darin stellt y die Höhe der Streckenlast q(x) (Zählrichtung nach oben positiv) dar. A ist die Steigung der Streckenlast in Richtung von x und B ist der Ordinatenabschnitt. Damit lautet die Streckenlastfunktion: ∙ Dies können wir leicht überprüfen. Wenn wir für x = 0 einsetzen ist q(x=0) = 0. Setzen wir für x = l ein, erhalten wir q(x=l) = q0. Die äquivalente Einzelkraft (also den Flächeninhalt) der Streckenlast berechnen wir mithilfe des Integrals: ∙

∙

1 ∙ 2

∙

1 ∙ 2

→

∙

∙

Den Kraftangriffspunkt der Streckenlast, also den Schwerpunkt der Streckenlast in x-Richtung, bestimmen wir mit unserer Gleichung für den Flächenschwerpunkt: ∙

∙ ∙

∙

∙ ∙

∙ ∙

1 ∙ 3 1 ∙ 2

∙ ∙

1 3∙ 1 ∙ 2

∙ ∙

2 · l 3

Wir können nun die Streckenlast durch unsere berechnete Einzelkraft Fq ersetzen. Den Angriffspunkt von Fq tragen wir als Bemaßung mit in die Zeichnung ein. Hinweis: Bei so einer einfachen Streckenlast hätten wir die Berechnung für den Flächeninhalt wie auch für die Schwerpunktkoordinate direkt der Formelsammlung  Tab. 5-1 entnehmen können.

2 ∙ 3

→

x

Fq

l

5

78

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Streckenlasten sollten mit einem möglichst einfachen Funktionsverlauf beschrieben werden.

In technischen Systemen kommen Streckenlasten als Belastung recht oft vor. Dabei kann eine Streckenlast prinzipiell jeden beliebigen Funktionsverlauf besitzen. Jedoch sollte die Streckenlast immer mit einem möglichst einfachen, aber realitätsnahen Verlauf beschrieben werden. Daher sind in  Tab. 5-2 verschiedene Beispiele von möglichen Streckenlastfunktionen aufgeführt.

Tab. 5-2 Beispiele von Streckenlasten Verlauf

Belastung

Streckenlastfunktion

q0

konstant

q0

∙

linear

q1

q0

∙

q0

∙

q0

quadratisch

∙ 1

q0

∙ 1

q0

q(x)

2∙

∙

∙

∙ ∙ sin

∙

5.5 ∙ Streckenlasten

79

Des Weiteren ist es ganz entscheidend, wie eine Streckenlast auf ein Bauteil wirkt. In  Tab. 5-3 sind dazu die unterschiedlichen Möglichkeiten der Wirkrichtung am Beispiel einer konstant wirkenden Streckenlast sowie die zugehörige äquivalente Einzelkraft aufgeführt. Es ist dabei zu beachten, dass die äquivalente Einzelkraft die gleiche Wirkrichtung wie die Streckenlast besitzt. Lediglich die Größe der Einzelkraft wird unterschiedlich berechnet. Dies hängt davon ab, wie die Bemaßung des Bauteils bzw. der Streckenlast vorgenommen wurde.

Die Wirkrichtung der äquivalenten Einzelkraft stimmt mit der Wirkrichtung der Streckenlast überein.

Die Größe der Einzelkraft ist von der Bemaßung abhängig.

Tab. 5-3 Beispiele für Resultierende von Streckenlasten Streckenlast q(x)

Einzelkraft Fq

Fq

q0 l

Berechnung

∙ l

q0 Fq ∙

α

α

l

l

q0 Fq α

α

1 cos

Streckenlast ist auf die Balkenlänge bezogen

l

l

Fq α l

∙ ∙

q0

α l

∙ ∙

1 cos

Streckenlast ist auf die Balkenlänge bezogen

5

80

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

5.6

a

b

b S a

Abb. 5.9

Wird ein Körper an zwei Punkten aufgehangen, befindet sich der Schwerpunkt des Körpers im Schnittpunkt der Lotrechten.

Experimentelle Schwerpunktermittlung

Die Ermittlung des Schwerpunkts eines Körpers kann auch auf experimentellem Wege erfolgen. Dazu wird der Körper nacheinander an zwei beliebigen Punkten a und b aufgehängt, siehe  Abb. 5.9. Wird der Körper zuerst im Punkt a aufgehangen, verläuft die Wirkungslinie der Gewichtskraft vom Aufhängepunkt a aus senkrecht nach unten. Denn wenn sich der Schwerpunkt nicht direkt unterhalb des Aufhängepunktes befinden würde, so entstünde durch den vorhandenen Hebelarm der Gewichtskraft eine Momentenwirkung. Da sich der Körper jedoch in Ruhe befindet, wenn er an einem Punkt aufgehangen wird, muss die Wirkungslinie der Gewichtskraft gezwungener Maßen durch den Aufhängepunkt gehen, damit keine Momentenwirkung entsteht. Als zweites wird danach der Körper an einem anderen Punkt aufgehangen, wie hier im Punkt b. Hier gilt die gleiche Überlegung wie für den Punkt a. Die Wirkungslinie der Gewichtskraft verläuft vom Aufhängepunkt b aus senkrecht nach unten. Da der Schnittpunkt der einzige Punkt ist, welcher auf beiden Wirkungslinien liegt, befindet sich der Schwerpunkt des Körpers genau in diesem Schnittpunkt. Wird also ein Körper an zwei verschiedenen Punkten aufgehangen, so befindet sich im Schnittpunkt der senkrecht nach unter verlaufenden Wirkungslinien der Schwerpunkt dieses Körpers. Die Aufhängepunkte dürfen dabei beliebig gewählt werden. Zur einfacheren Bestimmung des Schwerpunktes, sollten die beiden Aufhängepunkte nach Möglichkeit weit auseinander liegen.

5.6 ∙ Experimentelle Schwerpunktermittlung

81

In Kürze  Definition: Der Schwerpunkt ist der Punkt eines Körpers, durch den in jeder beliebigen Lage die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskraft hindurchgeht.  Die räumlich über den gesamten Körper verteilte Masse bzw. das Gewicht kann als im Schwerpunkt konzentriert gedacht werden.  Bei Unterstützung im Schwerpunkt bleibt der Körper im Gleichgewicht.  Bei konstanter Erdbeschleunigung entspricht der Schwerpunkt dem Massenmittelpunkt.  Bei konstanter Dichte (ρ = konst.) entspricht der Schwerpunkt dem Volumenmittelpunkt.  Der Volumenmittelpunkt bestimmt sich allein aus der Geometrie des Körpers. Regeln der Schwerpunktberechnung  Besteht ein Körper aus Teilkörpern mit bekannten Schwerpunktkoordinaten, können diese Teilkörper algebraisch addiert werden.  Bei Körpern mit Ausschnitten, sind die Ausschnitte negative Volumina.  Bei symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.  Besitzt ein Körper mehrere Symmetrieachsen, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.  Symmetrieachsen heißen Schwerachsen.  Flächenmomente erster Ordnung sind statische Momente.  Flächenmomente erster Ordnung in Bezug auf die Schwerachsen sind Null. Hinweis: Gleiches gilt für Flächen.

Geometrischer Schwerpunkt eines zusammengesetzten Körpers: ∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

Schwerpunkt Fläche: ∑

einer

zusammengesetzten

∑

∙ ∑

∙ ∑

Statische Momente Statische Momente oder auch Flächenmomente erster Ordnung: ∙

∙

 Die Flächenmomente erster Ordnung verschwinden, wenn der Koordinatenursprung im Schwerpunkt liegt.  Das Flächenmoment erster Ordnung ist eine wichtige geometrische Eigenschaft eines Querschnitts. Streckenlasten  Streckenlasten lassen sich auf eine äquivalente Einzelkraft Fq reduzieren.  Die Größe der reduzierten Einzelkraft entspricht dem Flächeninhalt der Streckenlast: ∙  Die Wirkungslinie der reduzierten Einzelkraft verläuft durch den Schwerpunkt der Streckenlast: ∙

∙ ∙

 Die Wirkungsrichtung der reduzierten Einzelkraft ist identisch mit der Wirkungsrichtung der Streckenlast.  Bei einfachen Verläufen von Streckenlasten, wie z. B. dreiecksförmig, kann der Streckenlastverlauf q(x) mithilfe der Geradengleichung ermittelt werden: ∙

5

82

5.7

Kapitel 5 ∙ Schwerpunkt

Aufgaben zu Kapitel 5 y

Aufgabe 5.1 Bestimmen Sie die Schwerpunktkoordinaten des dargestellten U-Profils (b = 70 mm, h = 40 mm, t = 5 mm).

s

h x b

Aufgabe 5.2 Bestimmen Sie die Schwerpunktkoordinaten des dargestellten L-Profils (b = 75 mm, h = 55 mm t = 8 mm).

h

t y

x b

Aufgabe 5.3 Bestimmen Sie die Schwerpunktkoordinaten der dargestellten blauen und weißen Fläche (b = 80 mm, h = 70 mm). Funktionsgleichung der Fläche:

y

h

∙

b

Aufgabe 5.4 Bestimmen Sie die Größe und den Kraftangriffspunkt der äquivalenten Einzelkraft Fq der dargestellten Streckenlast.

q(x)

∙ 1

x

l

x

6

Lagerreaktionen 6.1  6.2  6.3 

6.4 

Tragwerke ......................................................................................................... 85  Lager und Lagerreaktionen ............................................................................... 87  Statische und kinematische Bestimmtheit ......................................................... 90  6.3.1  Statisches Abzählkriterium .................................................................. 90  6.3.2  Polplan (kinematische Bestimmtheit) ................................................... 91  6.3.3  Beispiele .............................................................................................. 95  Aufgaben zu Kapitel 6 ..................................................................................... 100 

Warum 5.1 Wenn wir den Keks vom Tisch freischneiden, müssen wir die zwischen dem Keks und dem Tisch wirkende Kraft einzeichnen. Da keine äußeren Kräfte auf den Keks einwirken, muss die Kraft im Freischnitt zwischen Keks und Tisch die Gewichtskraft des Kekses G sein. Die Gewichtskraft G wirkt vom Keks auf den Tisch (actio) und vom Tisch auf den Keks (reactio). 5.2 Da das Stehaufmännchen rotationssymmetrisch ist, besitzt es somit zwei Symmetrieebenen (x-z- und y-z-Ebene). Diese beiden Ebenen schneiden sich entlang der zAchse. Daher muss der Gesamtschwerpunkt des Stehaufmännchens auf der z-Achse liegen. 5.3 Wenn wir das infinitesimale Flächenelement dA so ausrichten, dass es die Höhe unseres Dreiecks besitzt, muss es die Breite dx bekommen. Denn die Richtung der Laufkoordinate für die Integration ist in diesem Falle die x-Koordinatenrichtung.

Lösungen Aufgabe 5.1

35

30,5

Aufgabe 5.2

50,4

40,4

30 42

Aufgabe 5.3

Aufgabe 5.4

4 ∙ 3

∙

ß ß

60 21

9 ∙ 16

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_6

84

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

Um eine statische Berechnung durchzuführen, werden in der Technischen Mechanik einheitliche idealisierte Modelle (einfache Modellkörper) verwendet. Solche einheitlichen idealisierten Modelle werden durch einfache geometrische Formen beschrieben und als Tragwerke bezeichnet. Die Verbindung von Tragwerken mit ihrer Umgebung wird durch entsprechende Lagerungen realisiert. Da in aller Regel die von außen an einem Tragwerk wirkenden Belastungen (eingeprägte Kräfte und Momente) bekannt sind, ist das Ziel einer statischen Berechnung, die in den Lagerungen wirkenden Kräfte und Momente (Reaktionskräfte und -momente) zu bestimmen. Für solch eine Berechnung muss jedoch zuerst überprüft werden, ob das Tragwerk überhaupt statisch bestimmt gelagert ist. Diese Überprüfung erfolgt mit dem sogenannten Abzählkriterium und dem Polplan. Mit dem Abzählkriterium wird überprüft, ob so viele Gleichungen aufgestellt werden können, wie unbekannte Lagerreaktionen (Kräfte und Momente) vorhanden sind. Der Polplan dagegen gibt Aufschluss darüber, ob das Tragwerk starr oder beweglich ist. Denn eine statische Berechnung kann nur dann durchgeführt werden, wenn so viele Gleichungen wie unbekannte Lagerreaktionen zur Verfügung stehen und das Tragwerk starr gelagert (also unbeweglich) ist. Sind die Bedingungen des Abzählkriteriums und des Polplans erfüllt, kann das Freikörperbild des zu berechnenden Tragwerks gezeichnet werden. Anschließend erfolgt die praktische Anwendung der bisher behandelten Berechnungsmethoden zur Bestimmung der in den Lagerungen wirkenden Kräfte und Momente.

a)

A

B

b)

A

Abb. 6.1

In der Realität haben wir es mit sehr vielen unterschiedlichen Bauteilen zu tun. Zu Beginn dieses Buches haben wir schon ein wenig über die Modellbildung erfahren. Zum Beispiel dient die Modellbildung dazu, ein reales Problem mit einfachen Mitteln in ein Modell zu überführen, welches dann mit den Berechnungsmethoden der Technischen Mechanik gelöst werden kann. Dies soll am Beispiel der in  Abb. 6.1 dargestellten Sprungbretter erläutert werden. Das Sprungbrett in  Abb. 6.1a) ist elastisch und verformt sich durch die darauf einwirkende Gewichtskraft des Springers. Dagegen ist in  Abb. 6.1b) ein starres, unelastisches Sprungbrett dargestellt. Da es sich einmal um ein elastisch (z. B. aus Glasfaser) und einmal um ein unelastisches (z. B. aus Beton) Sprungbrett handelt, ist auch die Befestigung bzw. Lagerung der beiden

6.1 ∙ Tragwerke

Sprungbretter unterschiedlich ausgeführt. Im Fall a) braucht es eine Art Scharnier am linken Ende des Sprungbretts, damit sich dieses bei Belastung durch den Springer auch verformen kann. In der Mitte des Sprungbretts muss dagegen nur eine Auflagefläche vorhanden sein, auf welchem das Brett nur aufliegt. Im Fall b) dagegen ist das Sprungbrett in einer gemauerten Lagerung fest verbunden. Hier kann sich das Sprungbrett nicht verformen, wodurch die Lagerung auch entsprechend starr und unbeweglich ausgeführt werden kann. Damit wir nun nicht an jedes einzelne Bauteil einen Hinweis anbringen müssen, worum es sich hierbei handelt und welche Eigenschaften dieses Bauteil besitzt, gibt es einheitliche Modelle in der Technischen Mechanik. Diese einheitlichen Modelle sind idealisierte Körper, welche als Tragwerke bezeichnet werden. Jedes Tragwerk hat dabei bestimmte Eigenschaften und kann auf eine bestimmte Art und Weise belastet werden. In der Modellbildung kommt es nur auf die Grundstruktur unseres technischen Systems an und nicht auf eine detailgetreue Abbildung des realen Bauteils. Für unser Sprungbrettbeispiel würde das bedeuten, dass die Grundstruktur in beiden Fällen ein einfaches Brett ist, welches bestimmte Materialeigenschaften besitzt.

6.1

85

Tragwerke sind einheitliche und idealisierte Modelle eines technischen Bauteils.

In der Modellbildung wird nur die Grundstruktur des technischen Systems betrachtet und nicht die detailgetreue Abbildung der Realität.

Tragwerke

Ein Tragwerk stellt ein einheitliches idealisiertes Modell der Grundstruktur eines realen Bauteils dar. Dabei werden Tragwerke nach ihrer geometrischen Form und der Art ihrer Belastung eingeteilt. Es ist auch möglich, verschiedene Tragwerke miteinander zu verbinden. Grundsätzlich erfolgt die Einteilung von Tragwerken in linienförmige Tragwerke und Flächentragwerke. Bei linienförmigen Tragwerken ist eine Abmessung wesentlich größer als die beiden anderen Abmessungen, wie z. B. bei einem Fahnenmast. Die Länge des Fahnenmasts ist viel größer als dessen Breite und Höhe. Dagegen sind bei Flächentragwerken zwei Abmessungen wesentlich größer als die dritte Abmessung, wie z. B. bei einer Motorhaube. Hier sind die Breite und Höhe der Motorhaube viel größer als dessen Dicke. In  Tab. 6-1 sind die Bezeichnungen, Eigenschaften und deren zeichnerische Darstellung von Tragwerken aufgeführt. Im weiteren Verlauf werden wir unsere Modellbildung bzw. die darauf aufbauenden Freikörperbilder immer nur mit diesen Arten von Tragwerken zeichnen.

Tragwerke werden anhand ihrer Geometrie und der Art ihrer Belastung eingeteilt.

Bei linienförmigen Tragwerken ist eine Abmessung wesentlich größer als die beiden anderen Abmessungen.

Bei Flächentragwerken sind zwei Abmessungen wesentlich größer als die dritte Abmessung.

6

86

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

Tab. 6-1 Tragwerke und deren Eigenschaften Bezeichnung

Seil

Stab

Balken

Eigenschaften    

Darstellung

Länge >> Querschnitt biegeschlaff dehnstarr Belastung nur in Längsrichtung → nur Zugkräfte

 Länge >> Querschnitt  biegesteif  Belastung nur in Längsrichtung → Zug- und Druckkräfte    

Länge >> Querschnitt biegesteif massebehaftet oder masselos Belastung in Längs- und Querrichtung (Zug-, Druck-, Querkräfte)

S

S

S

S

S

S

F

q0

F

F

F

q0

F

F Bogen

 wie Balken  gekrümmter Balken

q0

q0 F

Rahmen

 wie Balken und Bogen  abgewinkelte, starr miteinander verbundene Balken und/oder Bögen

Scheibe

 Längsabmessungen >> Dicke  Belastung nur in der Scheiben-Ebene

Platte

F

q0

q0

F

F

F

F

F

F

F

 wie Scheibe  Belastung jedoch auch quer zur Ebene

F

F

Schale

F

F

F

F F

F

 gekrümmtes Flächentragwerk  Belastung wie Platte

q0

F

q0 F F

6.2 ∙ Lager und Lagerreaktionen

6.2

87

Lager und Lagerreaktionen

Damit Tragwerke auch mit ihrer Umgebung verbunden werden können, sind Lagerungen (kurz: Lager) notwendig. Die in der Realität vorkommenden mehr oder weniger komplizierten Lagerungen werden wir dabei ebenfalls mit einfachen idealisierten Modellen ausdrücken. Hierbei ist es wichtig, dass die vom Lager eingeschränkte sowie die freie Bewegungsmöglichkeit (Freiheitsgrad) direkt erkennbar sind. Die Einteilung von Lagern erfolgt nach deren Wertigkeit. Wobei mit Wertigkeit die Anzahl der vom Lager eingeschränkten Freiheitsgrade und somit die Anzahl der übertragbaren Lagerreaktionen gemeint ist. Als Lagerreaktionen werden die in den Lagern übertragbaren Kräfte und Momente bezeichnet. Wir wissen, dass ein Tragwerk in der Ebene immer drei Freiheitsgrade (zwei Translationen und eine Rotation) besitzt. Damit nun ein Tragwerk eindeutig gelagert ist, müssen wir genau diese drei Freiheitsgrade einschränken. Die Einschränkungen können wir dabei auf verschiedene Arten realisieren. In  Tab. 6-2 sind die grundlegenden Lagerarten mit deren Darstellung, den vorhandenen Freiheitsgraden sowie den entsprechenden Bindungen (Wertigkeit) aufgeführt. Mit diesen Lagerarten können alle in der Realität vorkommenden Lagerungen realisiert werden. Es sind auch Kombinationen von mehreren Lagern möglich. Jedoch kann es vorkommen, dass nicht alle erdenklichen Kombinationen von Lagerungen auch technisch realisiert werden können. Bei den Lagerungen sind ein paar wichtige Eigenschaften zu beachten. Das gelenkige Loslager wie auch das gelenkige Festlager besitzen beide in der zeichnerischen Darstellung einen Kreis. Dieser Kreis stellt ein Drehgelenk dar, siehe  Abb. 6.2. Somit ist an dieser Stelle immer eine Rotation möglich, wie z. B. bei einem Scharnier (daher auch der gekrümmte Pfeil, der diese Bewegung verdeutlichen soll). Des Weiteren ist beim gelenkigen Loslager, der Parallelführung und der Schiebehülse ein kleiner Luftspalt dargestellt. Dieser Luftspalt sagt aus, dass das Lager in dieser Richtung translatorisch bewegt werden kann, wie z. B. die Mine in einem Kugelschreiber. Somit kann das gelenkige Loslager nur eine Lagerreaktion übertragen. Der am Lager befestigte Stab kann sich um das Lager drehen und das ganze Lager ist nach links und rechts verschieblich. Dagegen kann die Parallelführung (wie der Name schon sagt) nur parallel zu sich selbst verschoben werden (also nach oben und unten).

Lager verbinden Tragwerke mit ihrer Umgebung.

Mit Wertigkeit wird die Anzahl der vom Lager eingeschränkten Freiheitsgrade bzw. die Anzahl der übertragbaren Lagerreaktionen bezeichnet.

Damit ein Tragwerk in der Ebene eindeutig gelagert ist, müssen die drei Freiheitsgrade (zwei Translationen und eine Rotation) des Tragwerks eingeschränkt werden.

Drehgelenk

Luftspalt

Abb. 6.2

6

88

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

Tab. 6-2 Lagerarten und deren Lagerreaktionen

Bezeichnung

Bindungen (Wertigkeit) r

Freiheitsgrad f

Symbol

freies Ende

3

0

gelenkiges Loslager

2

1

gelenkiges Festlager

1

2

Parallelführung

1

2

Schiebehülse

1

2

feste Einspannung

0

3

Lagereaktionen

Weitere Lagerarten sind möglich, jedoch lassen sich nicht alle theoretisch möglichen Lagerungen auch technisch realisieren.

F A

B

F Ax Ay

B Abb. 6.3

Jetzt wird auch langsam klar, was die bisher verwendeten Symbole in Bezug auf die Lagerung eines Tragwerks aussagen. Nehmen wir z. B. den Balken auf zwei Lagern in  Abb. 6.3. Wenn wir wissen möchten, wie groß die in den Lagern wirkenden Kräfte sind, müssen wir nur  Tab. 6-2 verwenden und die Lager entsprechend freischneiden. In unserem Freikörperbild zeichnen wir den Balken mit der angreifenden Kraft F hin und ersetzen die Lager durch ihre Lagerreaktionen. Das gelenkige Festlager besitzt zwei Lagerreaktionen (jeweils eine Kraft in x- und y-Richtung) und das gelenkige Loslager eine Lagerreaktion (eine Kraft in y-Richtung). Mit den schon bekannten Regeln zum Freischneiden (siehe Kapitel 2) können die Wirkrichtungen der Kräfte beliebig gewählt werden. Zudem

6.2 ∙ Lager und Lagerreaktionen

89

muss jede Kraft eindeutig bezeichnet werden. Dazu benennen wir die Lagerkräfte mit den Buchstaben der Lager und fügen im Index die Wirkrichtung der entsprechenden Kraft mit auf. Bei der Kraft B des gelenkigen Loslagers brauchen wir keine Wirkrichtung angeben, da das gelenkige Loslager nur eine Kraftrichtung besitzt. Wenn wir also die Lagerreaktionen an einem Tragwerk bestimmen wollen, müssen wir zuerst das Tragwerk von den Lagern freischneiden, um die Lagerreaktionen als äußere (noch unbekannte) Kräfte und Momente sichtbar zu machen. Danach können wir anhand unseres Freikörperbildes die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und nach den (unbekannten) Kräften und Momenten auflösen. Dazu benötigen wir wieder die Regeln zum Freischneiden und müssen beachten, dass sich durch das Freischneiden der Gleichgewichtszustand des Tragwerks nicht geändert hat. Erhalten wir nach dem Auflösen der Gleichungen nach den unbekannten Lagerreaktionen eine positive Kraft, war die im Freikörperbild angenommene Wirkrichtung der Kraft richtig. Bei einem negativen Vorzeichen wirkt die Kraft in Wirklichkeit in die gegensätzliche Richtung. Für unser Beispiel mit den Sprungbrettern können wir das elastische Sprungbrett mit einem gelenkigen Los- und einem gelenkigen Festlager und das starre Sprungbrett mit einer festen Einspannung versehen, siehe  Abb. 6.4.

a)

► Zur Bestimmung von Lagerreaktionen werden die Lager im Freikörperbild durch ihre Lagerreaktionen nach  Tab. 6-2 ersetzt und bekommen eine eindeutige Bezeichnung.

► Ein Tragwerk, welches sich im Gleichgewicht befindet, bleibt auch nach dem Freischneiden im Gleichgewicht, wenn die Lager durch äquivalente Lagerreaktionen ersetzt werden.

► Ist das Vorzeichen der Lagerreaktion negativ, ist die Wirkrichtung der Kraft entgegengesetzt zu der im Freikörperbild angenommenen Wirkrichtung.

b)

y A

x

A

B

G

G A

B

G

Ax Ay

Ax

MA Ay

B Abb. 6.4

G

6

90

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

6.3

► Vor dem Zeichnen des Freikörperbildes und der daran anschließenden Berechnung muss immer die statische und kinematische Bestimmtheit des Tragwerks überprüft werden:  Abzählkriterium  Polplan

Das Ziel einer statischen Berechnung ist in aller Regel die Bestimmung der in den Lagerungen wirkenden Kräfte und Momente (Reaktionskräfte und -momente). Dazu haben wir gerade die verschiedenen Arten von Tragwerken und Lagerungen kennengelernt. Bevor wir jedoch die Lager durch ihre jeweiligen Lagerreaktionen ersetzen, müssen wir zu allererst überprüfen, ob wir das Tragwerk überhaupt berechnen können. Dazu überprüfen wir die statische Bestimmtheit des Tragwerks. Für eine statische Berechnung muss es zum einen möglich sein, genau so viele Gleichungen aufstellen zu können, wie wir unbekannte Lagerreaktionen haben. Zum anderen muss das Tragwerk starr, also unbeweglich, sein. Wir haben also zwei Bedingungen zu überprüfen:  Notwendige Bedingung: Abzählkriterium  Hinreichende Bedingung: Polplan 6.3.1

Statisch bestimmt: es sind so viele Lagerreaktionen vorhanden, wie GGB aufgestellt werden können.

Statisch unbestimmt: es sind mehr Lagerreaktionen vorhanden, als GGB aufgestellt werden können. Es sind zu wenig Gleichungen vorhanden, wodurch das Tragwerk nicht berechnet werden kann.

Statisch

beweglich:

es sind weniger Lagerreaktionen als GGB vorhanden. Das Tragwerk ist beweglich und kann somit nicht berechnet werden.

Statische und kinematische Bestimmtheit

Statisches Abzählkriterium

Die erste Überprüfung, die wir vornehmen, ist das statische Abzählkriterium. Mit dem Abzählkriterium überprüfen wir, ob wir genau so viele Gleichungen aufstellen können, wie wir unbekannte Lagerreaktionen (Kräfte und Momente) an unserem Tragwerk haben. Dies ist sehr wichtig, denn ein Tragwerk ist nur dann statisch bestimmt gelagert, wenn alle Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können. Sind z. B. mehr unbekannte Lagerreaktionen als Gleichgewichtsbedingungen vorhanden, handelt es sich um ein statisch unbestimmtes Tragwerk. Das bedeutet, dass wir nicht genügend Gleichungen zur Berechnung aller Lagerreaktionen zur Verfügung haben. Solch ein statisch unbestimmtes Tragwerk können wir mit den Methoden der Stereostatik nicht lösen. Hierzu sind die Methoden der Elastostatik (Technische Mechanik 2) erforderlich. Es kann aber auch vorkommen, dass uns weniger unbekannte Lagerreaktionen als Gleichgewichtsbedingungen vorliegen. In diesem Fall handelt es sich um ein statisch bewegliches, also für uns unbrauchbares, Tragwerk. Auch dieses Tragwerk können wir nicht berechnen, da es sich bewegen lässt und sich damit nicht in Ruhe befindet. Zusammengefasst können wir also sagen, dass wir nur statisch bestimmte Tragwerke berechnen können, bei denen wir genau so viele Gleichgewichtsbedingungen aufstellen können, wie unbekannte Lagerreaktionen vorhanden sind.

6.3 ∙ Statische und kinematische Bestimmtheit

91

Mit dieser Forderung ergibt sich die folgende Berechnung für das statische Abzählkriterium x: (6.1)

Statisches Abzählkriterium

Anzahl der Lagerreaktionen

3 Anzahl der GGB in der Ebene 6 Anzahl der GGB im Raum

Wir können die folgenden Ergebnisse für das Abzählkriterium erhalten: 0 statisch ‐fach unbestimmt 0 statisch bestimmt 0 statisch beweglich unbrauchbar

Als Ergebnis muss x = 0 sein, damit das Tragwerk berechnet werden kann.

Nur wenn x = 0 ist, können wir die Lagerreaktionen des Tragwerks berechnen. Daher muss diese Überprüfung immer durchgeführt werden, bevor wir das Freikörperbild des Tragwerks zeichnen. 6.3.2

6

Polplan (kinematische Bestimmtheit)

Als nächstes überprüfen wir das Tragwerk mithilfe des Polplans. Der Polplan ist eine grafische Methode, um ein Tragwerk auf seine Stabilität hin zu untersuchen und damit eine Aussage darüber treffen zu können, ob das vorliegende Tragwerk starr (also unbeweglich) oder beweglich ist. Wir können eine statische Berechnung nur an einem starren Tragwerk durchführen. Ein solches starres Tragwerk wird auch kinematisch bestimmtes Tragwerk genannt. Ein Tragwerk ist auch nur dann kinematisch bestimmt gelagert, wenn es mit genau drei einwertigen kinematischen Bindungen unbeweglich (unverschieblich) ist. Sobald das Tragwerk endliche oder infinitesimale Bewegungen ausführen kann, ist es kinematisch unbestimmt gelagert. Solch ein Tragwerk ist, aufgrund seiner Beweglichkeit, nicht berechenbar. Bevor wir jedoch ein Tragwerk mithilfe des Polplans auf die kinematische Bestimmtheit überprüfen, müssen wir uns zunächst einmal mit den Besonderheiten des Polplans auseinandersetzen. Ein Pol (ausführlich: Momentanpol) ist ein bestimmter Drehpunkt, um den ein Starrkörper im Moment (Zeitpunkt) als nur drehend angesehen und behandelt werden kann. Wenn wir uns also einen Starrkörper vorstellen, der keine Bindungen besitzt, so können wir die Bewegung dieses Körpers zu jedem Zeitpunkt auch als eine reine Drehung um einen momentanen

Polplan: grafische Methode zur Untersuchung eines Tragwerks auf kinematische Bestimmtheit.

Kinematisch

bestimmt: das Tragwerk ist starr und somit unbeweglich gelagert.

Kinematisch unbestimmt: das Tragwerk kann endliche oder infinitesimale Bewegungen ausführen und kann deswegen nicht berechnet werden.

Momentanpol (kurz: Pol): Drehpunkt, um den ein Starrkörper im Moment (Zeitpunkt) als nur drehend angesehen und behandelt werden kann.

92

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

Q'' P''



Q' dsQ

P' dsP duP

dφ

P

P

duQ

Q

Q

Abb. 6.5

Bei einer infinitesimalen Drehung dφ, geht die Bewegung des Punktes P von einer Kreisbahn dsP in die Tangente duP über.

Ein Polstrahl verläuft immer senkrecht zur Verschiebungsrichtung.

(augenblicklichen) Drehpunkt auffassen. Dieser besondere Pol (Drehpunkt) kann auch außerhalb eines Körpers liegen und wird mit dem Buchstaben  bezeichnet. Zum besseren Verständnis verdeutlichen wir uns diese Vorstellung mithilfe des Balkens in  Abb. 6.5. Da der Balken keine Lagerung besitzt, kann er sich in der Ebene frei bewegen. Wenn wir den Balken um den Punkt  mit dem Winkel dφ drehen, würden sich die beiden auf dem Balken befindlichen Punkte P und Q auf einer Kreisbahn bewegen (dsP und dsQ), deren Mittelpunkt der Pol  ist, und in die neue Lage P' und Q' verschieben. Für die Überprüfung der kinematischen Bestimmtheit müssen wir aber nicht immer von großen Bewegungen oder Verdrehungen ausgehen. Uns reicht es schon, wenn die Bewegung infinitesimal wäre, um zu bestimmen, dass der Starrkörper beweglich ist. Nehmen wir also an, dass der Verdrehwinkel dφ infinitesimal ist, so können wir nicht mehr unterscheiden, ob sich die beiden Punkte auf der Kreisbahn (dsP und dsQ) oder dessen Tangente (duP und duQ) bewegen. Die eigentliche Bewegung des Punktes P auf der Kreisbahn dsP kann somit durch die Gerade duP ersetzt werden. Die Gerade duP, wie auch duQ, steht dabei immer senkrecht auf der Verbindungslinie ΠP bzw. ΠQ. Diese Verbindungslinie (Gerade zwischen P und Pol ) wird auch Polstrahl bzw. Geometrischer Ort (GO) genannt. Ersetzen wir also die Bewegung entlang der Kreisbahn durch die Bewegung entlang der Tangente, können wir die aus der Mathematik bekannte Kleinwinkelnäherung anwenden: sin

Kleinwinkelnäherung

Auch eine translatorische Bewegung eines Körpers kann als eine Rotation um einen Pol betrachtet werden.

cos

1

tan

(6.2)

Die Kleinwinkelnäherung gilt jedoch nur für kleine Winkel bis ca. 5°. Da wir in unseren Modellen immer nur von infinitesimalen Winkeln ausgehen, können wir die Kleinwinkelnäherung problemlos anwenden. Diese Überlegungen können wir auch umgekehrt anwenden. Wenn wir z. B. die Verschiebungsrichtungen duP und duQ von zwei Punkten P und Q eines Körpers kennen, zeichnen wir die Polstrahlen senkrecht zur Verschiebungsrichtung ein und der Schnittpunkt der beiden Polstrahlen ist dann der Pol . Bis jetzt sind wir immer nur von einer Drehung, also Rotation, eines Körpers ausgegangen. Was also passiert, wenn sich ein Körper geradlinig, also translatorisch, bewegt? Auch diese Bewegung können wir als eine Drehung um einen Pol  betrachten. In diesem Falle muss der Pol nur sehr weit vom Körper entfernt liegen. Je weiter der Pol vom Körper entfernt ist, desto mehr geht die Kreisbahn dsP in die Tangente duP über. In 

6.3 ∙ Statische und kinematische Bestimmtheit

 Abb. 6.5 können wir dies sehr schön bei einem Vergleich der beiden Lagen von P' und P'' sowie von Q' und Q'' verdeutlichen. Da der Punkt P näher am Pol  liegt als der Punkt Q, ist der Unterschied zwischen P' und P'' viel geringer als zwischen Q' und Q''. Damit der Unterschied zwischen der Kreisbahn und der Tangente nicht mehr vorhanden ist, muss der Pol  im Unendlichen () liegen. Dann geht die Kreisbahn in die Tangente über und der Körper bewegt sich rein translatorisch. Zur besseren Übersicht sind die gerade aufgestellten Überlegungen und Zusammenhänge in  Tab. 6-3 aufgeführt.

93

Bei einer translatorischen Bewegung eines Körpers liegt der Pol  im Unendlichen ().

Tab. 6-3 Regeln für ebene infinitesimale Bewegungen

  



Momentanpol (kurz: Pol): Drehpunkt, um den ein Starrkörper im Moment (Zeitpunkt) als nur drehend angesehen und behandelt werden kann. Die Bewegung eines Starrkörpers kann gleichgesetzt werden mit einer Drehung dφ um einen Momentanpol bzw. Pol . Bei infinitesimalen (unendlich kleinen) Drehungen dφ verläuft die Bewegung entlang der Tangente anstatt auf der Kreisbahn. Somit kann der Kreisbogen dsP näherungsweise als Tangente duP betrachtet werden. Für kleine Winkeländerungen dφ gilt die Kleinwinkelnäherung: sin ; cos 1; tan ∙



Der Betrag der Verschiebung des Punktes P berechnet sich zu:



Es gilt: die Verschiebung duP steht immer senkrecht auf dem Polstrahl

 

Die Verschiebungen duP und duQ sind proportional zueinander (Strahlensatz beachten). Bei einer reinen Translation liegt der Pol im Unendlichen.

Mithilfe der Regeln für ebene infinitesimale Bewegungen können wir also den Pol eines Körpers identifizieren. Dazu übertragen wir die angestellten Überlegungen auf ein Tragwerk und die zugehörige Lagerung. Als Ergebnis bekommen wir die Regeln zur Aufstellung des Polplans. Für die praktische Anwendung sind die Regeln für den Polplan einteiliger Tragwerke in  Tab. 6-4 aufgeführt. Hier ist jedoch eine Besonderheit zu beachten. Der Polplan gilt für Tragwerke, welche sich bewegen können. Denn ein Pol ist ja ein Drehpunkt. Da wir jedoch in der Stereostatik nur von in Ruhe und im Gleichgewicht befindlichen Körpern ausgehen, dürfen keine Bewegungen auftreten. Es ist also ein Widerspruch vorhanden. Und genau diesen Widerspruch müssen wir für unser zu berechnendes Tragwerk herausfinden. Nur wenn ein Widerspruch im Polplan auftritt, ist das Tragwerk starr und damit unbeweglich.

.

Die Regeln zur Erstellung eines Polplans basieren auf den Überlegungen für ebene infinitesimale Bewegungen

► Nur wenn ein Widerspruch im Polplan auftritt, ist das Tragwerk starr und damit unbeweglich

6

94

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

Wenn wir also die Lagerreaktionen eines Tragwerks berechnen wollen, ist der erste Schritt immer die Überprüfung der statischen und kinematischen Bestimmtheit. Für diese Überprüfung wenden wir das Abzählkriterium und den Polplan an. Als Ergebnisse müssen wir ►

0 und einen

► Widerspruch im Polplan erhalten. Dann, und nur dann, wenn beide Bedingungen erfüllt sind, können wir das Tragwerk auch wirklich berechnen.

Tab. 6-4 Regeln für den Polplan einteiliger Tragwerke

Polstrahl (auch: geometrischer Ort genannt: GO): ist eine Gerade durch den Punkt P senkrecht zur Verschiebung dup.  Ist ein Polstrahl vorhanden, so liegt der Hauptpol i eines Starrkörpers irgendwo auf dem Polstrahl.  Feste Einspannung: der Starrkörper ist unverschieblich und besitzt keinen Hauptpol.  Gelenkiges Festlager: Hauptpol i des Starrkörpers i.  Gelenkiges Loslager: Polstrahl verläuft senkrecht zur Verschiebungsrichtung und der Hauptpol i liegt auf dem Polstrahl.  Verschiebt sich ein Körper nur parallel, so liegt der Hauptpol i senkrecht zur Verschiebungsrichtung in ∞.  Parallelführung und Schiebehülse: Polstrahl verläuft senkrecht zur Verschiebungsrichtung und der Hauptpol i liegt in ∞.  Bei parallelen Polstrahlen liegt der Hauptpol i in ∞.  Der Schnittpunkt zweier Polstrahlen ist ein Hauptpol i. ► Ein Widerspruch im Polplan bedeutet, dass das Tragwerk kinematisch bestimmt (also statisch unverschieblich) ist. 

Πi

GO(i)

Π →∞ i GO(i)

Πi

↓ GO(i)

∞

Vorgehensweise: Lagerreaktionen 

   

Überprüfen der statischen und kinematischen Bestimmtheit: 1. Abzählkriterium: 2. Polplan Freikörperbild zeichnen. Lager freischneiden und durch die äquivalenten Lagerreaktionen nach  Tab. 6-2 auf S. 88 ersetzen. Lagerreaktionen eindeutig benennen. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und nach den Lagerreaktionen auflösen.

6.3 ∙ Statische und kinematische Bestimmtheit

6.3.3

95

Beispiele

Um die Vorgehensweise der statischen und kinematischen Bestimmtheit in der Anwendung zu verdeutlichen, sind hier einige Beispiele von verschiedenen Tragwerken mit unterschiedlicher Lagerung aufgeführt. Beispiel 1) Ein Balken wird durch zwei gelenkige Loslager gehalten. Da jedes gelenkige Loslager eine Lagerreaktion besitzt, gilt für das Abzählkriterium: 2

3

→

1

Eigentlich bräuchten wir an dieser Stelle nicht weitermachen, da dieses Tragwerk beweglich ist und wir es daher nicht berechnen können. Aber zur Verdeutlichung des Polplans wenden wir dennoch die Regeln nach  Tab. 6-4 an. Nach den Regeln zeichnen wir an einem gelenkigen Loslager einen Polstrahl ein, der senkrecht zur Verschiebungsrichtung des Lagers verläuft und mit GO bezeichnet wird. Der Hauptpol  für dieses Lager liegt irgendwo auf dem Polstrahl. Gleiches machen wir mit dem zweiten gelenkigen Loslager. Nun haben wir für ein Tragwerk zwei parallele Polstrahlen, die einen gemeinsamen Hauptpol  in ∞ besitzen. Somit besitzt der Balken nur einen einzigen Hauptpol (in ∞), wodurch der Balken translatorisch (nach links und rechts) verschiebbar ist. Wir können den Polplan also widerspruchslos aufstellen.

A

B

→ statisch beweglich

GO(2)

GO(1)

B

A

6

Kein Widerspruch im Polplan → kinematisch unbestimmt

→ Das Tragwerk ist statisch und kinematisch unbestimmt.

Beispiel 2) Da wir eine Lagerreaktionen zu wenig hatten, fügen wir ein weiteres Lager hinzu. Nun haben wir einen Balken mit drei einwertigen Lagern. Für das Abzählkriterium gilt jetzt: 3

3

→

0

Auch hier können wir bei jedem gelenkigen Loslager einen Polstrahl einzeichnen, der senkrecht zur Verschiebungsrichtung des Lagers verläuft. Jetzt haben wir drei parallele Polstrahlen, welche nach den Polplanregeln einen gemeinsamen Hauptpol  besitzen, der auch wieder in ∞ liegt. Somit besitzt auch dieser Balken nur einen einzigen Hauptpol (in ∞), wodurch der Balken translatorisch verschiebbar ist. Wir können den Polplan auch hier widerspruchslos aufstellen. → Das Tragwerk ist kinematisch unbestimmt.

A

B

C

→ statisch bestimmt GO(1) A

GO(2)

GO(3)

B

C

Kein Widerspruch im Polplan → kinematisch unbestimmt

96

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

A

B

C

→ statisch 1-fach unbestimmt

Π1 A

GO(1)

GO(2)

B

C

Widerspruch im Polplan → kinematisch bestimmt

Beispiel 3) Wir ersetzen nun das linke gelenkige Loslager durch ein gelenkiges Festlager, um die translatorische Verschiebung des Balkens zu verhindern. Für das Abzählkriterium gilt nun: 4

3

→

1

Hier liegt uns nun ein System vor, bei dem wir mehr Lagerreaktionen haben als wir Gleichgewichtsbedingungen aufstellen können. Das ist System ist statisch unbestimmt. Trotz dieses Ergebnisses wollen wir dennoch den Polplan des Tragwerks aufstellen. Nach den Polplanregeln besitzt das gelenkige Festlager einen Hauptpol 1. In die beiden gelenkigen Loslager zeichnen wir einen Polstrahl ein, der senkrecht zur Verschiebungsrichtung des Lagers verläuft. Hier sind wieder zwei parallele Polstrahlen vorhanden, bei denen der gemeinsame Hauptpol  in ∞ liegt. Jetzt haben wir zwei Hauptpole (1x in Lager A und 1x in ∞) für nur einen Körper. Da es unmöglich ist, einen Körper um zwei verschiedene Punkte bzw. Pole zu drehen, liegt hier ein Widerspruch im Polplan vor. Ein Körper kann keine zwei Hauptpole besitzen. Dieses Tragwerk wäre somit starr, also unbeweglich. → Das Tragwerk ist statisch unbestimmt.

A

B

3

→ statisch bestimmt GO(1) Π1 A

Widerspruch im Polplan → kinematisch bestimmt

Beispiel 4) Jetzt entfernen wir das in der Mitte des Balkens befindliche Lager, damit wir für unser Tragwerk so viele Gleichungen aufstellen können, wie wir unbekannte Lagerreaktionen haben. Für das Abzählkriterium erhalten wir nun:

B

3

→

0

Nach den Polplanregeln ist im gelenkigen Festlager ein Hauptpol 1 vorhanden. Das gelenkige Loslager bekommt wieder einen Polstrahl, der senkrecht zur Verschiebungsrichtung verläuft. Jetzt haben wir auch hier einen Widerspruch im Polplan. Der Balken hat mit dieser Lageranordnung zwei Hauptpole (1x in Lager A und 1x irgendwo in GO(1)). Demnach ist dieses Tragwerk starr und wir können es mit den kennengelernten Methoden berechnen. → Das Tragwerk ist statisch und kinematisch bestimmt.

6.3 ∙ Statische und kinematische Bestimmtheit

97

Beispiel 6.1 Überprüfen Sie für die gegebenen Tragwerke die statische und kinematische Bestimmtheit. a) b) c)

B A

A

A

d)

e)

C

B

B

f) C

A

A

B

A

B

B

Lösung

GO(1)

a)

B

Π1 A

3 3 0 → statisch bestimmt Widerspruch im Polplan 2 Hauptpole (1x in A, 1x in GO(1)) → kinematisch bestimmt

d) GO(3)

Π2

c)

b)

GO(1) Π1 A

GO(1) B GO(2)

A Π →∞ 1

GO(2) B

A B

3 3 0 → statisch bestimmt Kein Widerspruch im Polplan 1 Hauptpol (1x in A: 1) → kinematisch unbestimmt

GO(1) A Π 1

GO(1)

e)

C

Π →∞ 1 Π2

3 3 0 → statisch bestimmt Widerspruch im Polplan 2 Hauptpole (1x in ∞, 1x in Schnittpunkt GO) → kinematisch bestimmt

f) C Π2 B GO(2)

3 3 0 3 3 0 → statisch bestimmt → statisch bestimmt Widerspruch im Polplan Widerspruch im Polplan 2 Hauptpole 2 Hauptpole (1x in B, 1x in Schnittpunkt GO) (1x in ∞, 1x in Schnittpunkt GO) → kinematisch bestimmt → kinematisch bestimmt

A GO(1)

Π1

B GO(3)

GO(2)

3 3 0 → statisch bestimmt Kein Widerspruch im Polplan 1 Hauptpol (1x in Schnittpunkt GO) → kinematisch unbestimmt

6

98

Kapitel 6 ∙ Lagerreaktionen

Beispiel 6.2

M0

Ein masseloser Balken (a = 0,6 m) wird durch eine Kraft F = 700 N und ein Moment M0 = 300 Nm belastet. Berechnen Sie alle Lagerreaktionen.

F

A

B a

a

a

Lösung Als erstes überprüfen wir die statische und kinematische Bestimmtheit des Tragwerks. Das gelenkige Festlager A besitzt zwei Lagerreaktionen (jeweils eine Kraft in x- und y-Richtung) und das gelenkige Loslager B besitzt eine Lagerreaktion (Kraft in y-Richtung). Somit ergibt sich für das Abzählkriterium: 3

3

→

0

→ statisch bestimmt

Als nächstes zeichnen wir den Polplan für das Tragwerk. Nach den Regeln des Polplans finden wir einen Hauptpol 1 im gelenkigen Festlager A und wir zeichnen einen Polstrahl GO(1) in das gelenkige Loslager B, welcher senkrecht zur Verschiebungsrichtung des Lagers verläuft. Damit erhalten wir einen Widerspruch: Widerspruch: 2 Hauptpole für einen Körper (1x in Lager A und 1x in GO(1)) Nach der statischen und kinematischen Überprüfung zeichnen wir unser Freikörperbild. Wir schneiden den Balken von den Lagern frei und tragen die äquivalenten Lagerreaktionen ein. Anhand des Freikörperbildes stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und lösen diese nach den unbekannten Lagerreaktionen auf:

400

M0

y

F x B

a

→

300

a

Ay

→

Setzen wir in die Lösungen noch die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung ein, erhalten wir: 0

Ax

0 ∙3

a

→ kinematisch bestimmt

→

∙2

GO(1)

F

B a

0

0

M0

Π1 A

0

∙2 3

a

a

6.3 ∙ Statische und kinematische Bestimmtheit

99

In Kürze  Lagerbindungen schränken die Bewegung (Freiheitsgrade) eines Systems ein.  Lagerreaktionen sind die von den Lagern hervorgerufenen Reaktionskräfte und Reaktionsmomente.

Berechnung von Lagerreaktionen  Überprüfen der statischen und kinematischen Bestimmtheit: 1. Abzählkriterium 2. Polplan  Freikörperbild zeichnen.  Lager freischneiden und durch die äquivalenten Lagerreaktionen ersetzen.  Lagerreaktionen eindeutig benennen.  Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und nach den Lagerreaktionen auflösen.

Statische Bestimmtheit  Ein Starrkörper ist statisch bestimmt gelagert, wenn alle Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.  Ein Starrkörper, der durch mehr als drei Bindungen gelagert ist, ist statisch unbestimmt.  Notwendige Bedingung: Abzählkriterium mit = 0 als Ergebnis.

Abzählkriterium

: Anzahl der Lagerreaktionen : Anzahl der GGB (Ebene: = 3) >0 =0 0 =0 v1

Abb. 10.6

Des Weiteren fanden AMONTONS und COULOMB in ihren Experimenten heraus, dass der Reibungskoeffizient, je nach Größe der Normalkraft in der Kontaktfläche, größer oder kleiner sein kann. AMONTONS experimentierte dabei mit großen Normalkräften und kam zu dem Ergebnis, dass der Reibungskoeffizient einen annähernd konstanten Wert besitzt. Dagegen zeigten die Experimente von COULOMB mit geringen Normalkräften, dass der Reibungskoeffizient stark schwankt und mit größer werdender Normalkraft FN kleiner wird, siehe  Abb. 10.7. Daher findet auch in mancher Literatur die Unterschei-

10

μ

COULOMB

AMONTON

FN Abb. 10.7

200

Kapitel 10 ∙ Reibung

Der Reibungskoeffizient ist lediglich ein grober Richtwert. Eine absolute Aussage zur Reibung ist damit nicht möglich.

dung zwischen AMONTONS'scher und COULOMB'scher Reibung statt. Auf diese Abhängigkeit werden wir aber nicht weiter eingehen und diese auch nicht weiter berücksichtigen. Weiterführende Untersuchungen und Zusammenhänge zwischen der Reibung, dem Verschleiß und der Schmierung werden im Wissenschaftsgebiet der Tribologie gegeben. Für unsere Untersuchungen sind die beiden COULOMB'schen Reibungsgesetze ausreichend genau. Wichtig zu erwähnen wäre noch, dass sich die Reibungskräfte bislang nicht exakt berechnen oder vorhersagen lassen. Aufgrund der diversen Abhängigkeiten vom Werkstoff, der Oberflächenrauheit in der Kontaktfläche, der Temperatur im Kontakt, dem eventuell vorhandenen Zwischenmedium sowie der Abhängigkeit von der Normalkraft, sind die in Tabellenwerken angegeben Reibungskoeffizienten lediglich mehr oder weniger genaue Richtwerte. Eine absolute und in der Realität wirklich vorhandene Größe von Haft- und Reibkräften ist damit nicht berechenbar. Für die Lösung der meisten Ingenieuraufgaben sind die in Tabellenwerken angegeben Reibungskoeffizienten jedoch ausreichend genau.

Tab. 10-1 Werkstoffpaarungen und Reibungskoeffizienten Haftreibungskoeffizient μ0

Gleitreibungskoeffizient μ

Stahl auf Eis

0,03

0,015

Stahl auf Teflon

0,04

0,04

Ski auf Schnee

0,1...0,3

0,04...0,2

Stahl auf Stahl

0,15...0,5

0,1...0,4

Leder auf Metall

0,4

0,3

Holz auf Stahl

0,5

0,15

Holz auf Holz

0,5

0,3

0,7...0,9

0,5...0,8

Werkstoffpaarung

Autoreifen auf Straße

10.3 Haftkegel (Reibkegel) Der sogenannte Haftkegel (auch Reibkegel genannt) gibt an, wie groß der Neigungswinkel einer äußeren Kraft bzgl. der Normalkraft sein darf, sodass noch ein Haften (Stillstand) und damit Gleichgewicht vorliegt.

10.3 ∙ Haftkegel (Reibkegel)

201

Wir betrachten dazu in  Abb. 10.8a) eine Kraft F, die unter dem Winkel φ auf eine Ebene wirkt. Infolge actio = reactio wirkt von der Ebene eine Kraft W, die sich aus der Normal- FN und der Haftkraft FH zusammensetzt, auf die Kraft F, damit Gleichgewicht herrscht. In der Kontaktfläche herrscht der Haftreibungskoeffizient μ0. Da aber der Haftreibungskoeffizient μ0 nur für den Grenzzustand (Zustand II) gilt, vergrößern wir die Haftkraft FH solange, bis wir den Grenzzustand erreicht haben, siehe  Abb. 10.8b). Hier ist jetzt die maximal mögliche Grenzhaftkraft FH0 eingezeichnet. Die Kräfte F und FN haben ihre Größe beibehalten. Mit der Normal- FN und der Grenzhaftkraft FH0 können wir die resultierende Kraft W0 bilden. Den damit verbundenen Winkel φ0 zwischen W0 und FN können wir mithilfe der Trigonometrie bestimmen: tan

tan

(10.7)

Setzen wir diese Beziehung in die allgemeine Form des COULOMB'schen Haftreibungsgesetzes nach Gleichung (10.5) ein, erhalten wir für den Grenzzustand der Haftreibung: tan

tan

a)

y φ

FH

F x

Wφ F N

b)

y φ

FH0 W0 φ

0

F x

FN

Abb. 10.8

(10.8)

Daraus ergibt sich der Zusammenhang: (10.9)

Winkel des Haftkegels

Der Winkel φ0 wird auch als Haftungswinkel bezeichnet. Dieser besagt, dass wenn der Kraftangriffswinkel φ der Kraft F kleiner oder gleich φ0 ist, ist Gleichgewicht vorhanden und das System befindet sich in Ruhe. Erst wenn der Winkel φ größer als φ0 wird, ist die Haftgrenze überschritten und es tritt Bewegung, also Gleiten, auf. Stellen wir Gleichung (10.8) nach dem Haftungswinkel φ0 um, erhalten wir die Beziehung zwischen dem vorhanden Haftreibungskoeffizienten und dem damit verbundenen maximalen Haftkegelwinkel: arctan

(10.10)

Wird der Haftungswinkel φ0 um die Achse der Normalkraft FN aufgetragen, ergibt sich der sogenannte Haftkegel. Für die ebene Betrachtung ist der Haftkegel ein Haftkeil, siehe  Abb. 10.8b). Verläuft die Wirkungslinie der Kraft F innerhalb dieses Haftkeils liegt Haftreibung vor. Dementsprechend tritt Bewegung und damit Reibung auf, wenn die Wirkungslinie der Kraft F außerhalb des Haftkeils verläuft.

10 max. Winkel des Haftkegels

Verläuft die Wirkungslinie der Kraft F innerhalb des Haftkegels ist Haftreibung vorhanden und das System damit in Ruhe.

202

Kapitel 10 ∙ Reibung

Zur besseren Veranschaulichung übertragen wir die gerade gefundenen Zusammenhänge des Haftkegels bzw. Haftkeils auf ein technisches System, wie z. B. eine Kiste mit der Gewichtskraft G, die auf einer Ebene steht, siehe  Abb. 10.9. Wird die Ebene nun geneigt, rutscht die Kiste erst hinunter, wenn die Wirkungslinie der Gewichtskraft G außerhalb des Haftkegels φ0 liegt, also im Fall c). Sobald die Kiste dann rutscht, wirkt anstatt der Haftreibung FH die Gleitreibung FR. Und es gilt, dass die Gleitreibung FR immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung, wie in  Abb. 10.6 auf S. 199 dargestellt, wirkt.

a)

b) φ

v = 0

0

0

G

FN

c) φ

φ

φ

0

FH0

0

v = 0

FN

φ

φ

φ

0

G

FH

0

FH0

v

α

0

G

FN φ

0

FH0

φ

0

FR α

Abb. 10.9

Bei statisch unbestimmten Systemen sollte der Einfachheit halber nur der Grenzzustand der Haftreibung betrachtet werden.

Zusammengefasst ergeben sich die drei Fallunterscheidungen nach  Tab. 10-2. An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass auch bei der Reibung statisch bestimmte und unbestimmte Systeme vorliegen können. Bei statisch bestimmten Systemen können die Reaktionskräfte FN und FH mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Anschließend wird mit Gleichung (10.5) überprüft, ob Haften vorliegt oder nicht. Bei statisch unbestimmten Systemen können die Reaktionskräfte FN und FH nicht allein aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Hier muss dann zusätzlich für jede Kontaktstelle die allgemeine Ungleichung nach (10.5) aufgestellt werden. Anschließend müssen alle Gleichungen gemeinsam gelöst werden. Für diesen allgemeinen Fall existiert jedoch keine eindeutige Lösung. Daher ist es für statisch unbestimmte Systeme wesentlich einfacher, nur den Grenzzustand der Haftreibung zu betrachten.

10.3 ∙ Haftkegel (Reibkegel)

203

Tab. 10-2 Fallunterscheidungen Haftung

∙

Körper befindet sich in Ruhe.

Grenzhaftung

Reibung

∙

∙

Körper ist gerade noch in Ruhe. Eine minimale Kraftzunahme bewirkt, dass der Körper zu rutschen beginnt.

Körper rutscht.

Vorgehensweise 

 

   

 

Orientierung des Koordinatensystems festlegen. (Hinweis: Die x-Koordinate so wählen, dass diese in Bewegungsrichtung verläuft). Freikörperbild zeichnen. Haften: Die Haftkraft FH entgegengesetzt zur möglichen Bewegungsrichtung einzeichnen. (Das Vorzeichen nach der Berechnung gibt an, ob die Richtung stimmt). Gleiten: Die Reibkraft FR entgegen der Bewegungsrichtung einzeichnen. Alle Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten zerlegen. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Zusätzlich die Gleichungen der COULOMB'schen Reibungsgesetze (Gl. (10.5) bzw. (10.6) verwenden) für jede Kontaktstelle aufstellen. Die Anzahl der unbekannten Kräfte muss der Anzahl der GGB und der Reibungsgleichungen entsprechen. Alle Gleichungen nach den unbekannten Kräften auflösen.

10

Beispiel 10.1 Eine Person (G = 900 N) steigt eine Leiter (l = 3, α = 30°) hinauf. An den Auflagestellen der Leiter herrscht der Haftreibungskoeffizient μ0 = 0,4. Wie groß darf der Abstand s maximal werden, sodass die Leider noch nicht umfällt?

B G

l s α

A

204

Kapitel 10 ∙ Reibung

Lösung Als erstes schneiden wir die Leiter vom Boden, der Wand und der Person frei und zeichnen die entsprechenden Normalkräfte FNA und FNB sowie die Gewichtskraft G ein. Als nächstes überlegen wir uns, in welche Richtung die Leiter umfallen bzw. rutschen würde. Steigt die Person zu hoch die Leiter hinauf, würde die Leiter an der Wand hinunter und am Boden nach rechts wegrutschen. Dementsprechend zeichnen wir in unser Freikörperbild die Haftkräfte FHA und FHB entgegen der möglichen Bewegungsrichtung der Leiter ein. Schließlich sorgen die beiden Haftkräfte dafür, dass die Leiter in der Position bleibt und nicht umfällt. Nun stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen entsprechend dem gewählten Koordinatensystem auf:

FNB FHB

G

l s

y α

x

FNA

FHA

0 0 0

∙ ∙ cos

∙ ∙ cos

∙ ∙ sin

Des Weiteren benötigen wir noch das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz für die beiden Kontaktstellen der Leiter, da wir ansonsten zu wenig Gleichungen für die fünf Unbekannten haben: ∙

∙

Nun haben wir genau so viele Unbekannte (FNA, FHA, FNB, FHB, s) wie uns Gleichungen zur Verfügung stehen. Da die Berechnung mit Ungleichungen nicht so einfach ist, beschränken wir uns hier nur auf den Grenzzustand der Haftreibung. Lösen wir also die fünf Gleichungen nach den Unbekannten auf, erhalten wir die folgenden Ergebnisse: ∙ 1

∙ 1

776

1

310

∙

∙ 1

310

124

∙

tan 1

1

Anhand dieser Ergebnisse sehen wir zum einen, dass die Normal- und Haftkräfte nur von der Gewichtskraft G und dem Haftreibungskoeffizienten μ0 abhängen. Zum anderen ist der Abstand s ausschließlich von der Länge l, dem Haftreibungskoeffizienten μ0 und dem Anstellwinkel α abhängig. Die Gewichtskraft der Person ist für den Abstand s nicht von Bedeutung. Variieren wir den Anstellwinkel α ein wenig, sehen wir, dass erst ab einem Anstellwinkel von α ≈ 70° die Person die Leiter vollständig nach oben hinaufsteigen kann:



α [°]

20°

40°

50°

60°

70°



s [m]

0,8

1,3

1,65

2,2

3,26

10.3 ∙ Haftkegel (Reibkegel)

205

Beispiel 10.2 Eine kleine Holzkiste (G = 40 N, b = 40 cm) wird über einen Balken mit halbkreisförmigen Ende (r = 5 dm, l = 1 m, α = 16°) gegen eine Wand gedrückt. Zwischen Holzkiste und Wand sowie zwischen Holzkiste und Balken herrscht der Haftreibungskoeffizient μ0 = 0,25. Bestimmen Sie das notwendige Moment MA am Lagerpunkt A, sodass die Holzkiste nicht nach unten rutscht.

MA A α l

r

b Lösung Zuerst einmal müssen wir das System freischneiden. Dazu schneiden wir die Holzkiste von der Wand und dem Balken frei. Die Wand können wir für die weiteren Betrachtungen vernachlässigen. Den Balken können wir am Lager A belassen, da das Lager den Drehpunkt des Balkens darstellt und die Lagerreaktionen keine Auswirkungen auf die Holzkiste besitzen. Da die mögliche Bewegungsrichtung der Holzkiste nach unten wäre, müssen die Haftkräfte FH1 und FH2 an der Holzkiste nach oben, also entgegengesetzt, wirken.

MA A

y

α

x

l G FN1

FN2 FH2

FH1

FH1 FN1

Damit können wir die Gleichgewichtsbedingungen für Kräftegleichgewicht an der Holzkiste und Momentengleichgewicht am Lager A sowie an den beiden Kontaktstellen jeweils das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz aufstellen: 0

∙

0

∙ 0

∙ ∙ cos

∙

Lösen wir dieses Gleichungssystem nach unserem gesuchten Moment MA auf, erhalten wir: ∙

2

∙

cos 2

69

10

206

Kapitel 10 ∙ Reibung

Beispiel 10.3 Eine mit Wasser gefüllte Flasche (a = 135 mm, b = 80 mm, G = 15 N) steht auf einem Tisch (μ0 = 0,4). a) Wie groß muss die Kraft F mindestens sein, um die Wasserflasche zu verschieben? b) Wie groß darf die max. Höhe h werden, sodass die Wasserflasche beim Verschieben gerade noch nicht kippt?

F S h

μ0

a

b

Lösung Wir schneiden zunächst die Wasserflasche vom Boden frei und zeichnen die wirkende Normalkraft FN ein. Zudem bekommt die Normalkraft einen noch unbekannten Abstand x vom rechten Rand der Flasche (Punkt A), da wir den genauen Angriffspunkt der Normalkraft nicht kennen. In der Kontaktfläche zwischen Wasserflasche und Boden wirkt zudem noch eine Haftkraft FH, die entgegengesetzt der möglichen Bewegungsrichtung, also nach links wirken muss.

y

h

a A FN

a) Anhand unseres Freikörperbildes können wir nun die Gleichgewichtsbedingungen und das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz für den Grenzzustand aufstellen.

x

b 2 S G

F

FH x

0 0 0

∙

2

∙

∙

∙ Lösen wir dieses Gleichungssystem nach den drei unbekannten Kräften auf, finden wir als Ergebnis, dass die äußere Kraft F ein wenig größer sein muss als die Haftkraft FH, damit die Wasserflasche bewegt werden kann. 15

∙

6

∙

6

10.3 ∙ Haftkegel (Reibkegel)

207

b) Wenn die Wasserflasche gerade noch nicht kippen darf, müssen alle wirkenden Momente um den Punkt A (Punkt um den die Wasserflasche kippen würde) Null sein. Dabei beachten wir, dass kurz vor dem Kippen der Wasserflasche die Normalkraft FN direkt durch den Punkt A verläuft (der Hebelarm x ist somit Null: x = 0). Dies ist wesentlich anschaulicher, wenn wir eine Wasserflasche betrachten, die gekippt ist. In diesem Falle muss die Normalkraft FN direkt am Auflagepunkt A angreifen. Stellen wir also nun das Momentengleichgewicht um den Punkt A auf und lösen nach der gesuchten Höhe h auf, erhalten wir: 0

∙

∙

2

→

∙

2

F S G A FN

FH

100

Beispiel 10.4 Zwei Blöcke (GA = 70 N, GB = 105 N) sind über zwei masselose Stäbe (α = 45°, β = 30°) miteinander verbunden. Zwischen den beide Blöcken und dem Boden herrscht der Haftreibungskoeffizient μ0 = 0,3. Wie groß darf die Kraft F maximal werden, sodass die beiden Blöcke noch nicht rutschen.

F

A

B

Lösung Wir schneiden zuerst durch die beiden Stäbe, um die Stabkräfte S1 und S2 berechnen zu können. Das Drehgelenk an dem F angreift, ist eine zentrale Kräftegruppe (wie bei einem Fachwerk) und wir können hieran die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen: 0 0

∙ cos ∙ sin

∙ cos ∙ sin

β

α

10 F α SA

y x

β SB

208

Kapitel 10 ∙ Reibung

Lösen wir diese beiden Gleichungen auf, erhalten wir mithilfe des nebenstehenden Additionstheorems (siehe Anhang: Mathematische Grundlagen auf S. 257 ff.): →

∙

cos sin

→

∙

cos sin

Als nächstes schneiden wir die beiden Blöcke vom Boden und den beiden Stäben frei. Die beiden Normalkräfte FNA, FNB wirken als Druckkräfte vom Boden auf die beiden Blöcke. Bei einer möglichen Bewegung würde Block A nach links rutschen, wodurch die Haftkraft FHA nach rechts wirken muss. Umgekehrt verhält es sich bei Block B, weshalb hier die Haftkraft FHB nach links wirkt. Wir können nun an beiden Blöcken (jeder Block ist eine zentrale Kräftegruppe) die Gleichgewichtsbedingungen und das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz aufstellen: Block A

sin

∙ cos

sin

SA GA

∙ cos

sin

SB

GB

β

α

A FHA

B

FNA

FNB

FHB

Block B 0

∙ cos

0

0 ∙ sin

∙ cos

0

∙

∙ sin

∙

Lösen wir die beiden Gleichungssysteme für den Block A und für den Block B separat, so erhalten wir für die gesuchte Kraft F folgende Ergebnisse: cos sin

∙

cos

sin

47,3

cos sin

∙

cos

sin

60,1

Würde die gesuchte Kraft F ein wenig größer als FA werden, also F > FA sein, würde Block A anfangen zu rutschen. Gleiches gilt analog bei Block B. Würde die Kraft F > FB sein, würde Block B rutschen. Damit können wir schlussfolgern, dass unsere gesuchte Kraft F der Kraft FA entsprechen muss: 47,3

10.3 ∙ Haftkegel (Reibkegel)

209

Beispiel 10.5 Ein Block (G = 325 N) mit schiefer Unterseite ruht auf einer rauen schiefen Ebene (α = 25°) und wird über ein starres Seil durch eine Kraft F gehalten. Das Seil verläuft über eine freidrehende reibungsfreie Umlenkrolle (r = 1 m). Zwischen dem Block und der Ebene herrscht der Haftreibungskoeffizient μ0 = 0,19. Wie groß muss die Kraft F mindestens sein, sodass der Block nach oben gezogen wird?

α

A

F

Lösung Betrachten wir die Seilrolle einzeln. Dazu schneiden wir das Seil zwischen dem Block und der Seilrolle, um die Seilkraft S sichtbar zu machen. Da es sich hier um eine drehende und reibungsfreie Seilrolle handelt, muss die Seilkraft S der Kraft F entsprechen:

S A

F

Nun schneiden wir den Block von der schiefen Ebene frei. Am Block wirkt zum einen die Kraft F (über das Seil) und die Gewichtskraft G. Von der schiefen Ebene wirkt die Normalkraft FN ebenfalls auf den Block ein. Wenn die Kraft F nun den Block die schiefe Ebene hinauf zieht, bewegt sich der Block nach links oben und die Haftung FH, welche zur Bewegung des Blockes überwunden werden muss, wirkt dementsprechend nach rechts unten. Stellen wir an dem Block (zentrale Kräftegruppe) die Gleichgewichtsbedingungen und das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz auf, erhalten wir:

G S = F FH

y x

FH

FN

FN

α

α

0

∙ cos

∙ sin

0

∙ sin

∙ cos

∙ Setzen wir die Gleichungen ineinander ein und lösen nach der gesuchten Kraft F auf, folgt: ∙

∙ cos cos

sin ∙ sin

234

10

210

Kapitel 10 ∙ Reibung

10.4 Seilhaftung und -reibung In technischen Anwendungen werden sehr oft Seile bzw. Riemen, eingesetzt. Ein Schiff wird beispielsweise mit einem Seil an einem Hafenpoller befestigt. Bei einem Riemengetriebe wird mittels eines Riemens ein Drehmoment von einer Riemenscheibe auf eine andere übertragen. In Bandbremsen dient das Band bzw. der Riemen dazu, um eine Drehbewegung abzubremsen. All diese Beispiele haben gemeinsam, dass am Seil Haftreibung wirkt und damit ein bestimmter Anwendungsfall realisiert wird. Zudem können wir anhand dieser drei einfachen Beispiele die verschiedenen Fälle der Seilreibung einteilen: a) Ein loses Seil wird um einen zylindrischen Körper geschlungen und durch die zwischen Seil und Körper wirkende Haftreibung wird die Bewegung des Seils verhindert. Beispiel: Festmachen eines Schiffes an einem Hafenpoller. b) Ein sich drehender zylindrischer Körper wird von einem feststehenden Seil umschlungen. Die wirkende Haftreibung dient zum Abbremsen des Körpers. Beispiel: Bandbremse. c) Zwei zylindrische Körper werden von einem Seil umschlungen, damit durch die wirkende Haftreibung ein Drehmoment übertragen werden kann. Beispiel: Riemengetriebe. Bei Seilhaftung gilt der Haftreibungskoeffizient μ0, bei Seilreibung entsprechend der Gleitreibungskoeffizient μ.

Des Weiteren gelten auch bei Seilen die bisher kennengelernten Zusammenhänge. Wird eine Bewegung verhindert, so liegt Haftreibung FH und damit der Haftreibungskoeffizient μ0 vor. Ist eine Bewegung vorhanden, wirkt entsprechend die Gleitreibung FR und damit der Gleitreibungskoeffizient μ. 10.4.1

α dφ

S2

φ

s

rr

S1 Abb. 10.10

Herleitung

Für die Herleitung der Zusammenhänge bei Seilreibung betrachten wir einen zylindrischen Körper, um den ein Seil gelegt ist, siehe  Abb. 10.10. An den Enden des Seils wirken die beiden verschieden großen Kräfte S1 und S2, wobei wir annehmen, dass S2 > S1 ist. Die Seilkräfte sind verschieden groß, da zwischen Seil und dem zylindrischen Körper Reibung vorhanden ist. Zur Beschreibung verwenden wir zum einen den Umschlingungswinkel α, also den Winkel, entlang dem das Seil auf dem zylindrischen Körper anliegt. Zum anderen werden wir wieder die Laufkoordinaten φ und s verwenden, wie wir dies zuvor schon bei Bögen gemacht haben. Wobei φ der Öff-

10.4 ∙ Seilhaftung und -reibung

211

nungswinkel und s die Länge im Bogenmaß des zylindrischen Körpers sind. Wir schneiden von dem Seil nun ein infinitesimales Stück der (unendlich kleinen) Länge ds bzw. des Winkels dφ heraus, siehe  Abb. 10.11. Wie zuvor schon bei den Schnittgrößen nehmen wir an, dass über der Länge ds die Seilkraft S eine infinitesimale Änderung dS erfährt. Zudem wirkt vom zylindrischen Körper die infinitesimale Normalkraft dFN und die infinitesimale Haftkraft dFH auf das Seil. Die Richtung von dFH ist entsprechend nach rechts verlaufend, da die Reibung immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung wirkt und die infinitesimale Seilkraft dS das Seil nach links bewegen möchte. Da wir nun alle wirkenden Kräfte in unser Freikörperbild eingetragen haben, können wir wieder die Gleichgewichtsbedingungen für das Seilelement ds aufstellen: : 0

∙ cos

: 0

∙ sin

∙ cos

2

∙ sin

2

∙ cos

2

∙ sin

2

2 2

ds S + dS



dFN dFH

dφ 2 S

dφ

Abb. 10.11

(10.11)

(10.12)

Da wir hier ja nur infinitesimale Größen betrachten, können wir wieder die Kleinwinkelnäherung nach den Gleichungen (6.2) auf S. 92 anwenden. Danach kürzen wir noch die Terme mit S heraus und erhalten dementsprechend die Ergebnisse: ∙

(10.13)

Setzen wir diese beiden Gleichungen in das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz für den Grenzzustand (siehe hierzu Gleichung (10.5) auf S. 198): ∙

(10.14)

ein und bringen die beiden Seilkräfte S und dS auf eine Seite der Gleichung (Trennung der Variablen), so erhalten wir damit den Zusammenhang zwischen Öffnungswinkel und Seilkraft: 1

∙

∙

(10.15)

Integrieren wir diese Gleichung entlang des Umschlingungswinkels α auf der einen und entlang der Seilkräfte von S1 bis S2 auf der anderen Seite, ergibt sich: ∙

1

∙

→

∙

ln

(10.16)

10

212

Kapitel 10 ∙ Reibung

Wenn wir dieses Ergebnis nun nach der größeren Seilkraft S2 umstellen, erhalten wir damit die EULER-EYTELWEIN'sche Formel19 der Seilreibung: ∙

EULER-EYTELWEIN'sche Seilreibung

∙

wenn:

(10.17)

Für den umgekehrten Fall, also wenn S1 > S2 ist, folgt: ∙

∙

► Bei Bewegung des Seils wirkt die Reibkraft FR und damit der Gleitreibungskoeffizient μ.

α S2

rr

S1 Abb. 10.12

wenn:

(10.18)

Auch für die Seilreibung ist es wieder so, dass diese nur für den Grenzzustand (Zustand II) gilt, also wenn das Seil gerade noch nicht rutscht. Tritt dennoch einmal eine Bewegung auf, so ist der Haftreibungskoeffizient μ0 durch den Gleitreibungskoeffizienten μ zu ersetzen. Darüber hinaus können wir mithilfe der beiden Unterscheidungen der Gleichungen (10.17) und (10.18) die Haftbedingung ableiten, für die das Seil in Ruhe bleibt. Dazu schauen wir uns das Seil in  Abb. 10.12 an. Für den Grenzzustand ist das Seil in Ruhe. Wenn nun die Seilkraft S2 etwas größer wäre (also nach Gleichung (10.17) für die Seil∙ ∙ gilt), würde das Seil nach links rutschen. kräfte Andersherum, wenn die Seilkraft S2 etwas kleiner wäre (also ∙ ∙ gilt), würde das Seil nach Gleichung (10.18) nach rechts rutschen. Mit dieser Interpretation der EULEREYTELWEIN-Formel können wir die Haftbedingung aufstellen. Für eine vorgegebene Seilkraft S1 besteht dann Gleichgewicht, wenn die Seilkraft S2 in den folgenden Grenzen bleibt: ∙

Haftbedingung bei Seilhaftung 10.4.2

∙

∙

∙

(10.19)

Anwendung

Die Berechnung der Seilhaftung zwischen einem Seil und einem zylindrischen Körper bzw. der im Seil wirkenden Kräfte erfolgt mithilfe der EULER-EYTELWEIN'schen-Formel nach Gleichung (10.17) bzw. (10.18): EULER-EYTELWEIN'sche-Formel der Seilhaftung

► Der Umschlingungswinkel α muss in Radiant [rad] eingesetzt werden.

19

∙ ∙

∙

wenn: ∙

(10.20) wenn:

Darin ist unbedingt auf das Einsetzen der richtigen Einheiten zu achten. Die Seilkräfte S1 und S2 werden in NEWTON [N], der Haftreibungskoeffizient μ0 ist einheitenlos [–] und der Umschlingungswinkel α wird in Radiant [rad] eingesetzt. Ein gern gemachter Fehler ist die Verwendung des Umschlingungswin-

Leonhard EULER (1707–1783) und Johann Albert EYTELWEIN (1764–1848), dt. Techniker, Hochschullehrer

10.4 ∙ Seilhaftung und -reibung

213

kels α in der Einheit Grad [°]. Dies führt jedoch zu unrealistisch großen Ergebnissen. Da der Haftreibungskoeffizient μ0 einheitenlos ist, muss der Umschlingungswinkel in Radiant, also im Bogenmaß (vielfaches von π) eingesetzt werden. Entsprechend müssen wir uns vorher nur im Klaren darüber sein, welche der beiden Seilkräfte (S1 oder S2) größer ist. Um dies gedanklich herauszufinden betrachten wir das System in  Abb. 10.13. Hier liegt ein Seil auf einem Körper mit zylindrischer Form. Der Umschlingungswinkel des Seils ist α. Nehmen wir nun an, dass das Seil nach links rutschen würde, müsste ja die Kraft S2 größer als S1 sein. Die Begründung dafür liegt in der Wirkrichtung der Reibung. Wenn das Seil nach links rutschen würde, muss die Reibung FH entsprechend nach rechts wirken, siehe  Abb. 10.13. Wirkt die Reibung nach rechts, besteht Gleichgewicht zwischen der Seilkraft S2 auf der linken und der Seilkraft S1 mit der Reibung FH auf der rechten Seite. Damit ergibt sich quasi das gedankliche Gleichgewicht von "S2 = S1 + FH". Aufgrund dieser gedanklichen Vorstellung ist die Haftkraft FH auch in Purpur dargestellt. Wir stellen uns die Kraft nur vor, damit wir entscheiden können, ob Gleichung (10.17) oder (10.18) für die Berechnung angewendet werden muss. Wenn wir also mit dieser Überlegung herausgefunden haben, dass die Seilkraft S2 größer als S1 ist, können wir mithilfe von Gleichung (10.17) bzw. der oberen Gleichung aus (10.20) die noch unbekannte Seilkraft berechnen. Ist eine Bewegung des Seils vorhanden, benutzen wir zur Berechnung auch wieder die EULER-EYTELWEIN'sche-Formel. Jedoch ersetzen wir den Haftreibungskoeffizienten μ0 durch den Gleitreibungskoeffizienten μ: ∙ ∙

∙

wenn: ∙

(10.21) wenn:

α

S2

α 2

r S 2 > S1

α 2

S1

FH

Abb. 10.13

► Bei Seilreibung ist der Gleitreibungskoeffizient μ zu verwenden.

EULER-EYTELWEIN'sche-Formel der Seilreibung

10 Vorgehensweise 

  

Anhand der (möglichen) Bewegungsrichtung des Seils die Unterscheidung zwischen S2 > S1 oder S2 < S1 vornehmen. Dabei die Bewegungsverhältnisse im Kontakt nach  Abb. 10.6 auf S. 199 beachten. Bestimmung des Umschlingungswinkels α in [rad]. Aufstellen von Gleichung (10.20) bzw. (10.21). Berechnung der Seilkräfte.

214

Kapitel 10 ∙ Reibung

Beispiel 10.6 Ein Schiff ist mit einem Seil an einem Hafenpoller befestigt. Beim Festmachen wurde das Seil drei Mal um den Hafenpoller geschlungen. Zwischen Seil und Poller herrscht ein Haftreibungskoeffizient von μ0 = 0,3. Mit welcher Haltekraft F müsste eine Person das Seil festhalten, wenn es sich um ein wirklich großes Schiff handelt und dieses eine Zugkraft von 50 kN entwickelt? Das Seil soll dabei in Ruhe bleiben und nicht rutschen. Lösung Zunächst müssen wir uns darüber im Klaren werden, welche Kraft größer ist, die vom Schiff oder von der Person. Dazu betrachten wir den Hafenpoller und schneiden das Seil links und rechts davon frei. Nach links wirkt die Kraft der Person SPerson und nach rechts die Kraft des Schiffes SSchiff. Wir könnten auch die Kraft der Person mit S2 und die des Schiffes mit S1 bezeichnen, um in der bisherigen Benennung dieses Kapitels zu bleiben. Wenn nun das Seil in Ruhe bleiben soll (also nicht rutschen darf) und das Schiff nach rechts zieht, wirkt nach links die Haftkraft FH (gedankliche Vorstellung). Damit ergibt sich also die Bedingung: bzw. Mit dieser Bedingung finden wir die entsprechende EULER-EYTELWEIN'sche-Formel: ∙

∙

∙

Darin müssen wir den Umschlingungswinkel α in [rad] einsetzen. Da das Seil drei Mal um den Hafenpoller geschlungen wurde, ergibt sich für den Umschlingungswinkel α und damit für die Haltekraft F der Person: 6∙ 175

17,5

Die Person muss also nur einen Bruchteil der Zugkraft des Schiffes aufbringen, damit sich das Seil in Ruhe bleibt und nicht um den Hafenpoller rutscht.

SPerson (S2) FH

SSchiff (S1)

10.4 ∙ Seilhaftung und -reibung

215

Beispiel 10.7 Die Trommel einer Bandbremse (a = 25 cm, r = 75 mm, l = 4 dm) dreht sich im Uhrzeigersinn und wird durch eine Kraft F = 100 N belastet. Zwischen dem Band und der Trommel wirkt der Haftreibungskoeffizient μ = 0,35. Berechnen Sie: a) die Kräfte im Band (Seil). b) das Bremsmoment an der Bremstrommel.

r A

μ

v

F B a

l

Lösung a) Um die Kräfte im feststehenden Seil berechnen zu können, müssen wir diese erst einmal sichtbar machen. Daher schneiden wir durch das Seil und zeichnen die beiden Seilkräfte S1 und S2 ein. Zudem wirkt noch das Bremsmoment MA an der Bremstrommel. Da wir die Richtung von MA noch nicht kennen, nehmen wir es mit einem positiven Drehsinn wirkend an. Nun können wir am Hebel das Momentengleichgewicht in Bezug auf das Lager B aufstellen: 0

∙2∙

r A

v

MA

S2

S1

S2

S1

F

∙

B a

l

Als nächstes stellen mit wir mithilfe der EULEREYTELWEIN'schen-Formel eine Beziehung zwischen den beiden Seilkräften S1 und S2 auf. Dazu schneiden wir das Seil von der Bremstrommel frei, um die Richtung der Reibung für das Seil bestimmen zu können. Die Bremstrommel dreht sich rechts herum, weshalb die Gleitreibung FR entgegengesetzt dazu wirkt. Die Gleitreibung FR am Seil finden wir mittels actio = reactio und damit wirkt die Gleitreibung FR am Seil in Richtung der Seilkraft S1. Demnach steht die Seilkraft S2 auf der einen Seite mit der Seilkraft S1 und der Gleitreibung FR auf der anderen Seite im Gleichgewicht. Somit gilt: →

∙

∙

FR v

MA

A S2

S1

10

216

Kapitel 10 ∙ Reibung

Das Seil umschlingt die Bremstrommel entlang dem halben Trommelumfang. Somit erhalten wir für den Umschlingungswinkel: 180° Setzen wir die Gleichungen ineinander ein und lösen alles nach den gesuchten Seilkräften S1 und S2 auf, so erhalten wir als Ergebnisse: ∙ 2∙

∙ ∙ 2∙

266,7

∙

800,8

b) Das Bremsmoment MA können wir ganz einfach bestimmen, indem wir das Momentengleichgewicht um das Lager A aufstellen: 0

∙

→

∙

∙

40,1

Anhand dieses Ergebnisses erkennen wir, dass wir die Wirkrichtung des Bremsmoments MA in unserem Freikörperbild falschherum angenommen haben. Dies war so auch zu erwarten, da wir das Bremsmoment MA an unserem Seil aufgestellt haben. Beziehen wir unter Beachtung von actio = reactio das Bremsmoment MA auf die Bremstrommel, ist der Richtungssinn entgegen der Drehrichtung der Bremstrommel.

Beispiel 10.8 Eine Holzkiste (G = 700 N) wird mit einem starren Seil über eine feststehende Umlenkrolle (r = 1,5 m) von einer Kraft F hochgezogen. Zwischen Seil und Umlenkzapfen herrscht der Gleitreibungskoeffizient μ = 0,12. Wie groß muss die Kraft F sein, um die Holzkiste hochzuziehen?

Lösung Schneiden wir das System einmal frei, erhalten wir nebenstehendes Freikörperbild. Am Seil wirkt auf der linken Seite die Gewichtskraft G und auf der rechten Seite die gesuchte Kraft F. Bei einer Seilbewegung nach rechts (in Richtung v) wirkt die Seilreibung FR nach links. Somit gilt die Fallunterscheidung F > G. Mithilfe der EULER-EYTELWEIN'schen-Formel und dem Umschlingungswinkel α = π erhalten wir folgendes Ergebnis: →

∙

∙

1020,5

r

F

v FR G

r

F

10.4 ∙ Seilhaftung und -reibung

217

In Kürze  Die Haftkraft FH folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen und ist somit eine Reaktionskraft (vergleichbar mit einer Lagerreaktion).  Die Reibkraft FR ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit und demnach eine eingeprägte Kraft.  Der Haft- und Gleitreibungskoeffizient hängt von der Materialpaarung, der geometrischen Beschaffenheit der Kontaktoberflächen und vom vorhandenen Zwischenmedium (z. B. Schmierstoff) ab.  Wird die maximal übertragbare Haftkraft FH überschritten, ist kein Gleichgewicht mehr möglich und es tritt Bewegung ein.  Bei Bewegung ist der Haftreibungskoeffizient μ0 durch den Gleitreibungskoeffizienten μ zu ersetzen.  Die Reibkraft FR wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung. Wichtig: Haftung und Reibung sind unabhängig von der Kontaktflächengröße! COULOMB'sche Reibungsgesetze ∙

Haftkraft: Reibkraft:

Haftkegel (Reibkegel)  Liegt F innerhalb des Haftkegels φ0 ist Haftung vorhanden.  Liegt F außerhalb des Haftkegels φ0 kommt es zu einer Bewegung und es ist Reibung vorhanden.  Max. Winkel des Haftkegels bei gegebenem Haftreibungskoeffizienten μ0: arctan

Seilhaftung und Seilreibung EULER-EYTELWEIN'sche-Formel ∙ ∙

S1, S2: μ0: μ: α:

∙

wenn: ∙

wenn:

Seilkräfte Haftreibungskoeffizient Gleitreibungskoeffizient Umschlingungswinkel

[N] [–] [–] [rad]

Hinweis: Bei Bewegung ist der Haftreibungskoeffizient μ0 durch den Gleitreibungskoeffizienten μ zu ersetzen

∙

10

218

Kapitel 10 ∙ Reibung

10.5 Aufgaben zu Kapitel 10 Aufgabe 10.1 Eine zylindrische Walze (Gewicht G) berührt in einer Ecke Wand und Boden. Die Kontaktflächen besitzen den Haftreibungskoeffizienten μ0. Auf die Walze wirkt ein Antriebsmoment M. a) Wie groß darf das Moment M werden, ohne dass die Walze durchrutscht? b) Wie würde sich das Moment M ändern, wenn die Drehrichtung der Walze umgedreht wird? Aufgabe 10.2 Eine Kiste (G = 600 N) steht auf einer rauen schiefen Ebene (β = 25°, μ1 = 0,3) und wird mit einem Seil über einen feststehenden rauen Umlenkzapfen (r = 1,2 m, μ2 = 0,2) durch eine Kraft F gehalten. Wie groß muss die Kraft F mindestens sein: a) damit die Kiste nicht hinunterrutscht? b) um die Kiste hochzuziehen?

M A

r B

μ2

r β

Aufgabe 10.3 Zwei Holzkisten (G1 = 150 N, G2 = 500 N) liegen übereinander auf einer schiefen Ebene (β = 30°). Die Holzkisten sind mit einem dehnstarren Seil über eine reibungsbehaftete feststehende Umlenkrolle verbunden. Der Reibungskoeffizient zwischen allen Flächen beträgt μ0 = 0,18. Wie groß darf die Kraft F (parallel zur schiefen Ebene) maximal werden, sodass die Kisten noch nicht rutschen? Aufgabe 10.4 Ein Arbeiter (G = 950 N) zieht mit dem dargestellten reibungsfreien und dehnstarren Flaschenzug eine Kiste nach oben. Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Arbeitsschuhen und dem Boden beträgt μ0 = 0,7. Wie groß darf das Gewicht der Kiste maximal sein, wenn der Flaschenzug: a) ohne Führungsrolle A (Seilwinkel zur Horizontalen: α = 45°), b) mit Führungsrolle A benutzt wird?

F

μ1

1 F

2

β

B

α A μ0

10.5 ∙ Aufgaben zu Kapitel 10

219

Aufgabe 10.5 Bei einem Schrank (G = 900 N, Höhe des Schwerpunkts 1,2 m, Breite b = 1,6 m) ist ein Fuß abgebrochen und wurde durch einen Keil (μSchrank = 0,25, μBoden = 0,35) ersetzt, damit der Schrank wieder waagerecht steht. a) Wie groß muss die horizontale Kraft F sein, um den Keil (α = 10°) unter dem Schrank herauszuziehen? b) Wie groß darf der Keilwinkel α maximal werden, sodass noch Selbsthemmung vorliegt?

Aufgabe 10.6 Eine Bandbremse (a = 4 cm, b = 120 mm, c = 4 dm, d = 150 mm) dreht sich im Uhrzeigersinn und wird durch eine Kraft F = 75 N betätigt. Zwischen dem Band und der Trommel wirkt der Gleitreibungskoeffizient μ = 0,35. Berechnen Sie: a) die Kräfte im Band (Seil). b) das Bremsmoment an der Bremstrommel.

r A

μ

v

d

a

F

B b

Aufgabe 10.7 Ein massebehaftetes Brett der Länge l wird mit einem Seil an einer reibungsfreien Rolle A aufgehangen. In der Bewegungsrichtung des Lagers B wirkt der Haftreibungskoeffizient μ0. Das Brett soll in der horizontalen Lage verbleiben. Bestimmen Sie: a) für welche Winkel α Gleichgewicht herrscht. b) den Haftreibungskoeffizienten μ0 für einen gegebenen Winkel α. cos 1 Hinweis: sin

F

α

c

A

10 μ0

a B l

220

Kapitel 10 ∙ Reibung

Lösungen

∙ ∙

Aufgabe 10.1

Aufgabe 10.2

Aufgabe 10.3

Aufgabe 10.4

Aufgabe 10.5

Aufgabe 10.6

Aufgabe 10.7

∙ ∙

1

60,5

622,5

608

1660

1995

189,3

33,3°

1378

466,3

5108

arcsin

1 1

1

sin cos

1

11 Energiemethoden 11.1  Energie und Arbeit........................................................................................... 223  11.2  Allgemeine Definition der Arbeit ...................................................................... 224  11.3  Prinzip der virtuellen Verrückungen................................................................. 227  11.3.1  Anschauliche Methode ...................................................................... 231  11.3.2  Formale Methode............................................................................... 232  11.3.3  Verschiebungsfigur ............................................................................ 235  11.3.4  Kräfte und Momente in verschiebbaren Systemen ............................ 238  11.3.5  Gleichgewichtslagen von beweglichen Systemen ............................. 239  11.3.6  Systemparameter zur Erfüllung von Gleichgewicht ........................... 241  11.3.7  Lager- und Gelenkreaktionen sowie Schnittgrößen ........................... 242  11.4  Aufgaben zu Kapitel 11 ................................................................................... 254 

Warum 10.1

Nach den Regeln zum Freischneiden dürfen wir die Wirkrichtung von Kräften beliebig annehmen. Ist die Wirkrichtung entgegengesetzt, so ist das Vorzeichen im Ergebnis negativ.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4_11

222

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist eine Methode der analytischen Mechanik. Hierbei wird der reale Kraftzustand bei einer virtuellen Verrückung betrachtet. Als Verrückungen werden Verschiebungen und Verdrehungen bezeichnet. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist äquivalent zu den bekannten Gleichgewichtsbedingungen und kann zur Berechnung von Gleichgewicht, Lagerreaktionen und Schnittgrößen angewendet werden. Entscheidend dabei ist, dass eine virtuelle Verrückung nur dann möglich ist, wenn das System mindestens einen Freiheitsgrad besitzt. Bei statisch bestimmten Systemen muss daher eine Bindung gelöst werden, um eine virtuelle Verrückung vornehmen zu können.

In der Analytischen Mechanik werden Methoden erarbeitet, welche anstelle der Axiome verwendet werden können.

Anstatt der Gleichgewichtsbedingungen können die sogenannten Energiemethoden der Mechanik zur Lösung von Aufgabenstellungen angewendet werden.

Bisher haben wir festgestellt, dass die gesamte Technische Mechanik auf Axiomen basiert und wir zum Lösen von Aufgaben die NEWTON'schen Gesetze und damit die Gleichgewichtsbedingungen angewendet haben. Je nach Komplexität des Systems ergeben sich mehr oder weniger aufwändige Freikörperbilder und entsprechend zu lösende Gleichungssysteme. Die damit gewonnenen Ergebnisse sind auf der einen Seite sehr umfangreich und beinhalten alle Informationen, auf der anderen Seite benötigen wir aber in der Regel nur wenige Informationen für bestimmte Stellen in unserem System. Zum Beispiel interessieren wir uns bei Schnittgrößen meist nur für das maximal auftretende Biegemoment, da dieses für eine Bauteildimensionierung zu Grunde gelegt wird. Daher wäre es also nur von Vorteil, wenn es noch andere Möglichkeiten gäbe, diese für uns wichtigen Informationen auf einem schnelleren Weg zu erhalten. Dies ist eine der Aufgabenstellungen in der Analytischen Mechanik. Hier werden Methoden erarbeitet, welche anstelle der Axiome verwendet werden können, ohne dabei im Widerspruch zu den Axiomen zu stehen. Das Resultat sind die sogenannten Energiemethoden der Mechanik (auch als Prinzipe der Mechanik bezeichnet). Dabei beinhalten die Energiemethoden keine neuen Zusammenhänge, sondern sind vereinfachende Gesamtbetrachtungen an abgeschlossenen Systemen, die aus den bereits bekannten Axiomen folgen. Die damit einhergehenden Gesamtbetrachtungen basieren, wie die Bezeichnung Energiemethoden schon vermuten lässt, auf der in einem abgeschlossenen System vorhandenen Energie. Der Vorteil der Energiemethoden ist, dass diese anstelle der Gleichgewichtsbedingungen angewendet werden können, ohne dabei das System erst aufwändig freischneiden zu müssen und somit schneller zur gewünschten Lösung führen. Dies

11.1 ∙ Energie und Arbeit

kann gleichzeitig auch als ein Nachteil angesehen werden, da die Energiemethoden nur skalare Gleichungen beinhalten und somit nur Aussagen über einzelne Größen getroffen werden können. Mittels Energiemethoden können wir also nur eine Lagerreaktion oder auch nur den Wert einer Schnittgröße an nur einer einzigen Stelle bestimmen, jedoch auf einem recht schnellen Weg.

223

Mit den Energiemethoden können nur einzelne skalare Größen bestimmt werden.

11.1 Energie und Arbeit Die Energie (energeia: griech. ένέργεια: Aktion, Handlung, Wirkung) als fundamentale physikalische Größe ist notwendig, um einen Körper zu beschleunigen oder ihn entgegen einer Kraft zu bewegen. Als Maßeinheit der Energie (Formelbuchstabe E) dient die abgeleitete SI-Einheit Joule20 [J = Nm]. Aus unserer täglichen Erfahrung wissen wir, dass Energie in verschiedenen Formen vorkommen kann, wie z. B. potenzielle, kinetische, thermische oder chemische Energie. Zudem kann Energie von einem System zu einem anderen System übertragen und von einer Form in eine andere Form umgewandelt werden. Als Beispiel ist hier die Reibung zu nennen. Gleiten zwei Körper aufeinander, so wandelt sich die mit der Bewegung verbundene kinetische Energie in thermische Energie (Wärme) um. Diese Umwandlung ist leider irreversibel, denn die Wärme kann nicht wieder in Bewegungsenergie zurückgewandelt werden. Darüber hinaus kann Energie weder erschaffen noch vernichtet werden. Energie lässt sich lediglich umwandeln. Aus dieser Betrachtung ergibt sich auch der Energiesatz (allgemein auch Energieerhaltungssatz genannt). Beschränken wir uns nur auf die in der Mechanik typischerweise zu verwendenden Energieformen der potenziellen und kinetischen Energie, so lautet der Energiesatz: In einem geschlossenen System ist die Summe der kinetischen und der potenziellen Energie konstant. Damit dies zutrifft, muss die kinetische Energie in potenzielle Energie umgewandelt werden können und umgekehrt (Energieerhaltung). Eine recht anschauliche, aber nicht ganz allgemeingültige Definition von Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Dabei kann als Arbeit die auf mechanischem Wege auf einen Körper übertragene Energie bezeichnet werden. Da Arbeit und Energie sehr eng miteinander verknüpft sind, besitzen beide als Einheit das JOULE [J]. Die Arbeit hat den Formelbuchstaben W (engl. work).

20

James Prescott JOULE (1818–1889), brit. Physiker

Formen von Energie: potenzielle, kinetische, thermische und chemische Energie.

Energie kann von einem zu einem anderen System übertragen und von einer zu einer anderen Form umgewandelt werden.

Energie kann weder erschaffen noch vernichtet werden. Energie lässt sich nur umwandeln.

Energiesatz

11 Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten.

224

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Δs F

s

I

G

II

F

F α Fs

FV

∙∆

FR

FN

Um Arbeit zu verrichten, ist ein Weg und damit auch ein Freiheitsgrad notwendig. Sehen wir uns hierzu das Beispiel in  Abb. 11.1 an. Eine Kiste wird aus der Position I durch eine angreifende Kraft F über den Boden um den Weg Δs zur Position II gezogen. Da der Weg s der Kiste horizontal verläuft, zerlegen wir die Kraft F entsprechend in einen Anteil Fs in Richtung von s und einen Anteil FV in vertikaler Richtung. Die Gewichtskraft G der Kiste zeigt senkrecht nach unten. In der Kontaktfläche zwischen Kiste und Boden wirken zudem die Normal- FN und die Reibkraft FR. Die entlang des Weges Δs an der Kiste verrichtete Arbeit W können wir mittels dem Produkt aus Kraft mal Weg berechnen: ∙ cos

∙∆

(11.1)

Die Gewichts- G, die Normal- FN und die Vertikalkraft FV verlaufen alle senkrecht zum zurückgelegten Weg und verrichten daher keine Arbeit an der Kiste. Wir haben hier einen sehr einfachen Fall zur Berechnung der Arbeit betrachtet. Es kann aber durchaus vorkommen, dass die Kraft F über den Weg s veränderlich ist (also die Kraft als Funktion des Weges vorliegt: F(s)) oder dass der Winkel α sich entlang des Weges s verändert. Da diese Fälle mit Gleichung (11.1) nicht berücksichtigt werden können, benötigen wir eine allgemeinere Definition zur Berechnung der Arbeit W. Hinweis: Zu beachten ist hier, dass obwohl die Einheit für die Arbeit und das Moment identisch sind [Nm], sind diese beiden Größen nicht miteinander verknüpft. Das Moment berechnet sich durch Kraft mal senkrechtem Hebelarm und die Arbeit durch Kraft mal zurückgelegtem Weg. Zudem ist das Moment ein Vektor und die Arbeit ein Skalar.

Abb. 11.1

11.2 Allgemeine Definition der Arbeit F

s2

α ds dr r y

r2

1

s1

x

m F α

dr

F ·cos α

Abb. 11.2

Um eine allgemeine Definition der Arbeit aufstellen zu können, benutzen wir nachfolgend die Vektorrechnung. In  Abb. 11.2 ist ein Massenpunkt m dargestellt, an dem eine Kraft F angreift. Der Massenpunkt m bewegt sich auf der Bahnkurve s vom Anfangs- s1 zum Endpunkt s2. Betrachten wir nur eine kleine Bewegung entlang des differenziellen Bogenstücks ds, können wir die Bewegung mittels der Ortsvektoren r1 und r2 beschreiben. Die differenzielle Ortsänderung dr ist dann: (11.2) Den zwischen der Kraft F und dem differenziellen Weg dr eingeschlossenen Winkel bezeichnen wir mit α. Die zugehörige

11.2 ∙ Allgemeine Definition der Arbeit

225

differenzielle Arbeit dW der Kraft F entlang des Weges ds können wir in vektorieller Schreibweise mit dem Skalarprodukt wie auch in skalarer Schreibweise berechnen: ∙

∙ cos

∙

(11.3)

Für das Vorzeichen der Arbeit gelten die Regeln der Vektorrechnung und damit die folgenden Vorzeichenkonventionen:  zeigen Kraft und Weg in die gleiche Richtung ist die Arbeit positiv (0° ≤ α < 90°, 270° < α ≤360°),  zeigen Kraft und Weg in die entgegengesetzte Richtung ist die Arbeit negativ (90° < α < 270°)  ist die Kraft senkrecht zum Weg ist die Arbeit Null (α = 90°, 270°). Grafisch sind die Vorzeichenkonventionen in  Abb. 11.3 dargestellt.

Fi

Fi

Fi dr

dr

dr

dW > 0

Die Vorzeichenkonventionen der Arbeit ergeben sich nach den Rechenregeln des Skalarprodukts.

dW = 0

dW < 0

Abb. 11.3

Um die gesamte verrichtete Arbeit der kompletten Verschiebung zu berechnen, brauchen wir nur Gleichung (11.3) entlang des Weges vom Anfangs- s1 zum Endpunkt s2 zu integrieren und erhalten damit die Arbeit W der Kraft F: ∙

∙ cos

∙

F ·cos α

(11.4)

Wollen wir uns zusätzlich noch die verrichtete Arbeit veranschaulichen, so kann die Arbeit auch als die Fläche unterhalb der Kraft-Weg-Kurve betrachtet werden, siehe  Abb. 11.4. Zudem unterscheiden wir im Bereich der Arbeit noch zwischen zwei verschiedenen Kraftarten:  Konservative Kräfte: Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges keinerlei Arbeit verrichten, wie z. B. die Gewichtskraft.  Nicht-konservative Kräfte (dissipative Kräfte): Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges Arbeit verrichten. Diese Kräfte lassen sich in eine andere Form umwandeln, wie z. B. die Reibung (Umwandlung einer Bewegung in Wärme).

W s1 Abb. 11.4

s2

s

11

226

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Δs

G

s

I

s FR

FR

G

II α

Abb. 11.5

Dazu betrachten wir für eine anschauliche Erklärung die Kiste in  Abb. 11.5. Verschieben wir die Kiste von Position I zur Position II, verrichtet die in Richtung des Weges Δs wirkende anteilige Gewichtskraft G · sin α positive Arbeit und die entgegen der Bewegung wirkende Reibkraft FR negative Arbeit. Für die einzelnen Anteile der Arbeit ergibt sich somit: ∙ sin ∙∆

(I.1) (I.2)

Anders herum, wenn wir die Kiste aus der Position II heraus in die Position I zurückschieben (die Richtung des Weges ändert sich), verrichtet die in Richtung des Weges Δs wirkende anteilige Gewichtskraft G · sin α und die entgegen der Bewegung wirkende Reibkraft FR negative Arbeit. Damit ergeben sich die Anteile der Arbeit zu: ∙ sin ∙∆

Wird bei der Verschiebung eines Körpers vom Anfangs- zum Endpunkt und wieder zurück, die verrichtete Arbeit zurückgewonnen, handelt es sich um eine konservative Kraft. Entsprechend handelt es sich um eine nicht-konservative Kraft, wenn die verrichtete Arbeit nicht wieder zurückgewonnen wird, wie bei der Reibung.

∙∆

∙∆

(II.1) (II.2)

Hieran sehen wir, dass die gesamte Arbeit der Gewichtskraft WG entlang eines geschlossenen Weges (also Kiste hinunter und wieder zurückschieben zum Startpunkt) in den Gleichungen (I.1) und (II.1) in Summe Null ergibt. Demnach ist die Gewichtskraft G eine konservative Kraft. Dagegen ist die gesamte Arbeit der Reibkraft WR in beiden Gleichungen (I.2) und (II.2) negativ, wodurch die Arbeit entlang des geschlossenen Weges ungleich Null ist. Daher ist die Reibkraft FR eine nichtkonservative Kraft. Nicht-konservative Kräfte werden auch als dissipative Kräfte (dissipare: lat. zerstreuen) bezeichnet. Nicht so ganz wissenschaftlich ausgedrückt können wir auch sagen, dass bei der Abwärtsbewegung der Kiste die Gewichtskraft G beim Verschieben hilft und bei der Aufwärtsbewegung das Verschieben erschwert. Die in die eine Richtung verrichtete Arbeit erhalten wir also bei Umkehrung des Weges wieder zurück. Dies ist bei allen konservativen Kräften der Fall. Als ein weiteres Beispiel einer konservativen Kraft ist die Federkraft zu nennen. Bei der Reibkraft sieht es dagegen anders aus. Die Reibkraft FR wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung und wir kennen aus unserem täglichen Leben, dass Reibung in Wärme umgewandelt werden kann. Jedoch lässt sich die Wärme nicht wieder zurück in Reibung umwandeln, weshalb die Reibkraft FR eine nicht-konservative Kraft ist.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

227

Neben der Kraft ist auch das Moment eine Größe, die ebenfalls eine Arbeit verrichten kann. Für die Berechnung der Arbeit eines Moments betrachten wir den auf einer Kreisbahn mit Radius r verlaufenden Massenpunkt m mit der angreifenden Kraft F in  Abb. 11.6. Die Kraft F ändert dabei in Abhängigkeit des Umlaufwinkels φ ihre Richtung derart, dass sie immer tangential zur Kreisbahn gerichtet ist. Mit dem schon bekannten Zusammenhang zwischen dem Radius r, dem differenziellen Bogenmaß ds und dem differenziellen Öffnungswinkel dφ nach Gleichung (9.4) auf S. 171 können wir die differenzielle Arbeit dW entlang des Teilstücks ds berechnen: ∙

∙ ∙

∙

F s , 2 φ2

ds r dφ r

F

φ

F s 1 , φ1

m

Abb. 11.6

(11.5)

Darin ist das Produkt von der Kraft F und dem Radius r das Moment M, welches auf den Massenpunkt m entlang der Kreisbahn wirkt. Die gesamte verrichtete Arbeit W entlang der Kreisbahn vom Anfangs- s1 zum Endpunkt s2 bzw. von φ1 zu φ2 erhalten wir, indem wir die Integration von Gleichung (11.5) entlang der Umlaufwinkel φ1 bis φ2 ausführen: ∙

∙

(11.6)

Arbeit eines Moments

Da der Umlaufwinkel dφ in [rad] bzw. dimensionslos ist, haben die Arbeit W und das Moment M die gleiche Einheit [Nm], obwohl dies zwei unterschiedliche physikalische Größen sind.

11.3 Prinzip der virtuellen Verrückungen An dieser Stelle kommt spätestens die Frage auf, wieso wir uns hier mit Energie, Arbeit und den damit einhergehenden realen Verschiebungen und Verdrehungen beschäftigen, wenn wir doch in der Stereostatik unterwegs sind und sich alles im statischen Gleichgewicht befindet. Zum einen werden wir die beiden Bezeichnungen Verschiebungen und Verdrehungen unter dem Oberbegriff Verrückungen zusammenfassen. Eine Verrückung kann somit eine Verschiebung oder eine Verdrehung sein. Zum anderen werden wir im Folgenden die Arbeit auf die Stereostatik anwenden, indem wir die realen Verrückungen, welche in der Stereostatik nicht vorhanden sind, durch virtuelle (also gedachte) Verrückungen ersetzen. Dabei ist eine virtuelle Verrückung eine gedachte, bei festgehaltener Zeit ausgeführte, mit den geometrischen (kinematischen) Bindungen verträgliche, infinitesimale (differenziell kleine) Verrü-

Als Verrückungen werden Verschiebungen und Verdrehungen unter einem Oberbegriff zusammengefasst.

Virtuelle Verrückungen sind nur gedacht und in Wirklichkeit nicht vorhanden.

11

228

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Die Verwendung von virtuellen Verrückungen ist ein eigenständiger und neuer Denkansatz.

► Die realen Verrückungen dφ und dr werden durch die virtuellen Verrückungen δφ und δr ersetzt.

Angreifende eingeprägte Kräfte und Momente sind bei virtuellen Verrückungen unveränderlich.

a)

ckung, bei der sich die an einem Körper angreifenden eingeprägten Kräfte nicht ändern. Mathematisch betrachtet sind virtuelle Verrückungen also eine Variation des Verschiebungsund Verdrehungszustandes eines Körpers bei festgehaltener Zeit. Virtuelle Verrückungen sind somit:  gedacht und in Wirklichkeit nicht vorhanden,  infinitesimal klein,  geometrisch (kinematisch) mit den vorhandenen Bindungen des Systems möglich. Die Einführung virtueller Verrückungen stellt somit einen eigenständigen neuen Denkansatz dar, welcher in unseren bisherigen Vorgehensweisen und Betrachtungen nicht enthalten ist. (Zur besseren Vorstellung des Begriffs Bindungen siehe für Lagerungen  Tab. 6-2 auf S. 88 und für Gelenke  Tab. 7-1 auf S. 104 sowie als Erklärung des Begriffs kinematisch Kapitel 1.2 auf S. 3 f.) Zur Verdeutlichung virtueller Verrückungen betrachten wir die Wippe in  Abb. 11.7a). Eine mit den vorhandenen Bindungen verträgliche Verrückung ist eine Drehung φ um das Lager A. Lenken wir die Wippe aus ihrem Gleichgewichtszustand um einen realen und infinitesimalen Winkel dφ aus, verschieben sich die beiden Kraftangriffspunkte von F1 und F2 um die realen Verschiebungen dr1 und dr2, siehe  Abb. 11.7b). Da wir zwar mit den real wirkenden Kräften und Momenten, aber nur mit virtuellen Verrückungen arbeiten wollen, ersetzen wir einfach die realen Verrückungen dφ und dr durch die virtuellen Verrückungen δφ und δr, siehe  Abb. 11.7c). Zur Kennzeichnung virtueller Größen verwenden wir das in der mathematischen Variationsrechnung verwendete Variationszeichen δ. Des Weiteren ist zu beachten, dass die am Körper angreifenden eingeprägten Kräfte bei virtuellen Verrückungen als unveränderlich zu betrachten sind. Hingegen würden sich bei realen Verrückungen die angreifenden Kräfte in Abhängigkeit der Verrückungen durchaus ändern können. Gleiches gilt analog auch für an einem Körper angreifende eingeprägte Momente.

b)

F1

F2

F1

dφ

b

dr2

c)

F2

F1

δφ

δr1

dr1

A a

F2

a

b Abb. 11.7

a

b

δr2

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

229

Wollen wir die mit den virtuellen Verrückungen einhergehende virtuelle Arbeit berechnen, können wir die Beziehungen nach den Gleichungen (11.3) und (11.5) beibehalten. Somit ergeben sich die differenziellen virtuellen Arbeiten angreifender eingeprägter Kräfte und Momente in skalarer Schreibweise zu: ∙

∙

(11.7)

Für unsere Wippe ergibt sich also die insgesamt verrichtete virtuelle Arbeit zu: ∙

∙

Darin ist die virtuelle Arbeit der Kraft F2 negativ, weil Kraft und Weg entgegengesetzt sind. Da wir jetzt zwei virtuelle Verrückungen δr1 und δr2 in einer Gleichung haben, sollten wir diese beiden Größen durch nur eine einzige virtuelle Verrückung ersetzen. In diesem Beispiel bietet sich dafür der Winkel δφ an. Die Wippe wird schließlich auf beiden Seiten um denselben Winkel δφ ausgelenkt. Wir formulieren also die entsprechende Beziehung zwischen diesen Größen: ∙

∙

Setzen wir dies in unsere Gleichung ein, erhalten wir: ∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

Der Klammerausdruck darin beinhaltet das Momentengleichgewicht um das Lager A (Hebelgesetz von ARCHIMEDES, Kap. 4.8 auf S. 53). Befindet sich die Wippe im Gleichgewicht, wird der Klammerausdruck zu Null und die virtuelle Arbeit verschwindet: δW = 0. Dies können wir uns auch so erklären, dass virtuelle Größen nur gedacht und in der Realität nicht vorhanden sind. Demnach muss in der Gleichung der Klammerausdruck Null werden, damit auch die virtuellen Größen verschwinden. Des Weiteren sehen wir an diesem Beispiel, dass nur die angreifenden eingeprägten Kräfte eine virtuelle Arbeit verrichten. Reaktionskräfte, also Zwangskräfte wie die Lagerkräfte des Lagers A, verrichten keine virtuelle Arbeit und brauchen daher auch nicht berücksichtigt zu werden. Verallgemeinern wir die Berechnung der virtuellen Arbeit auf ein beliebiges System mit beliebig vielen eingeprägten Kräften Fi und Momenten Mi, muss für Gleichgewicht die virtuelle Arbeit immer verschwinden und wir erhalten das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV): ∙

∙

0

(11.8)

Da virtuelle Verrückungen in Wirklichkeit nicht vorkommen, muss für Gleichgewicht die zugehörige virtuelle Arbeit verschwinden: δW = 0.

Reaktionskräfte (Zwangskräfte, wie z. B. Lagerkräfte) leisten keine virtuelle Arbeit und brauchen daher nicht berücksichtigt werden.

Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV)

11

230

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

In Worten lautet das Prinzip der virtuellen Verrückungen: Ein mechanisches System ist im Gleichgewicht, wenn die Arbeit aller eingeprägten Kräfte und Momente bei einer virtuellen Verrückung verschwindet.

Das PdvV kann nur angewendet werden, wenn das Tragwerk mindestens einen Freiheitsgrad besitzt.

► Bei statisch und kinematisch bestimmten Tragwerken muss zur Anwendung des PdvV eine Bindung gelöst werden.

Beinhaltet die Gleichung der virtuellen Arbeit nur eine einzige virtuelle Verrückung, so ist im Klammerausdruck das Kräftebzw. Momentengleichgewicht vorhanden.

Bei komplizierten Tragwerken können sich entsprechend komplizierte Verschiebungsfiguren ergeben

21

Das Prinzip der virtuellen Verrückungen21 leitet sich vom Prinzip der virtuellen Arbeit ab und wird auch als Arbeitssatz bezeichnet. Eine besondere Bedeutung hat die virtuelle Arbeit in Form als Prinzip der virtuellen Kräfte in der Elastostatik (Technische Mechanik 2) bei elastischen Körpern. Wichtig ist an dieser Stelle noch zu erwähnen, dass eine virtuelle Verrückung nur dann möglich ist, wenn das Tragwerk mindestens einen Freiheitsgrad besitzt. Im Beispiel der Wippe war dies gegeben, da die Drehung um das Lager A möglich war. Bisher hatten wir es in unseren Beispielen jedoch mit statisch und kinematisch bestimmten Tragwerken zu tun, bei denen keine Bewegung möglich ist. Möchten wir das Prinzip der virtuellen Verrückungen auf ein statisch und kinematisch bestimmtes Tragwerk anwenden, müssen wir entsprechend eine Bindung lösen und damit einen Freiheitsgrad herstellen. An dieser einfachen Einleitung sehen wir, dass das Prinzip der virtuellen Verrückungen äquivalent zu unseren bekannten Gleichgewichtsbedingungen ist. Stellen wir die Gleichung der virtuellen Arbeit so auf, dass nur eine einzige virtuelle Verrückung in der Gleichung vorkommt, beinhaltet der Klammerausdruck unser bekanntes Kräfte- bzw. Momentengleichgewicht. Zudem werden zur Berechnung der virtuellen Arbeit nur die am Tragwerk vorhanden eingeprägten Kräfte und Momente herangezogen. Die in den Lagern und Gelenken enthaltenen Reaktionskräfte (Lager- und Gelenkreaktionen) bleiben immer unberücksichtigt, da diese Kraftgrößen keine virtuellen Verrückungen besitzen und damit keine virtuelle Arbeit verrichten. Dies ist auch gleichzeitig ein entscheidender Vorteil des PdvV's. Als Nachteil kann dabei angesehen werden, dass wir nur skalare Gleichungen aufstellen und damit nur eine Aussage über einzelne Größen treffen können. Zudem kann es unter Umständen durch komplizierte kinematische Bedingungen zu einer mehr oder weniger komplizierten Verschiebungsfigur des Tragwerkes kommen. Da die Erstellung der Verschiebungsfigur für das Beispiel der Wippe recht simpel war, werden wir uns daher im Folgenden mit der prinzipiellen Vorgehensweise zur Erstellung einer Verschiebungsfigur beschäftigen.

Das Prinzip der virtuellen Verrückungen geht im Wesentlichen auf Joseph-Louis de LAGRANGE (1736–1813), ital. Mathematiker, Astronom, Professor für Mathematik und Physik sowie Johann I. BERNOULLI (1667–1748), schweiz. Mathematiker, Arzt, Professor für Mathematik, zurück.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

231

Für die Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen ergeben sich die folgenden vier Aufgabentypen: a. Berechnung von eingeprägten Kräften und Momenten in verschiebbaren Gleichgewichtssystemen, b. Ermittlung der Gleichgewichtslagen von beweglichen Systemen, c. Bestimmung einzelner Systemparameter zur Erfüllung von Gleichgewicht, d. Berechnung von Reaktionskräften und Reaktionsmomenten (Lager- und Gelenkreaktionen sowie Schnittgrößen). Bei den Aufgabentypen a) und b), also bei beweglichen Systemen, kann die Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen auf zwei verschiedene Arten erfolgen: 1. Anschauliche Methode: Es werden die Ausgangslage und die Verschiebungsfigur des Systems gezeichnet. Die sich in der Verschiebungsfigur einstellenden virtuellen Verrückungen können direkt abgelesen werden. 2. Formale Methode: Es wird ein Koordinatensystem gewählt und die Lage jedes Kraftangriffspunktes wird in diesem Koordinatensystem beschrieben. Die virtuellen Verrückungen können dann formal als infinitesimale Änderungen der beschriebenen Lagekoordinaten aufgestellt werden. In den folgenden Beispielen werden wir diese beiden Arten von Lösungsmöglichkeiten in der Anwendung vorstellen.

11.3.1

Anschauliche Methode

Die grundsätzliche Vorgehensweise der anschaulichen Methode basiert auf der Verschiebungsfigur des Systems. Zur Erstellung der notwendigen Verschiebungsfigur kommen wir im nachfolgenden Kapitel 11.3.3 auf S. 235. Des Weiteren benötigen wir dafür auch die Polplanregeln aus Kapitel 7.2.2 auf S. 107. Mithilfe der virtuellen Verrückungen der Verschiebungsfigur können wir die virtuellen Arbeiten nach Gleichung (11.8) aufstellen. Bei der Bestimmung von Reaktionskraftgrößen (Aufgabentyp d) werden wir ein paar kleine Anpassungen zur Vorgehensweise vorstellen und entsprechend angeben.

Die anschauliche Methode basiert auf der Verschiebungsfigur des Systems.

11

232

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

11.3.2

Die formale Methode basiert auf der Variationsrechnung und wird mit generalisierten Koordinaten durchgeführt.

Als generalisierte Koordinaten können Länge, Winkel, Energie oder auch dimensionslose Größen verwendet werden.

Formale Methode

Die formale Methode wird vorrangig in der Kinematik und Kinetik angewendet, weil die dort behandelten Systeme in der Regel mehrere Freiheitsgrade besitzen. Als Basis für die formale Methode dienen die mathematische Variationsrechnung22 und die generalisierten Koordinaten. Als generalisierte Koordinaten wird ein minimaler Satz von voneinander unabhängigen Lageparametern qi (z. B. Länge, Winkel) bezeichnet, welche zur eindeutigen Beschreibung des räumlichen Zustandes des betrachteten Systems verwendet werden. Da im System immer Zwangsbedingungen vorhanden sind (z. B. Lagerbindungen, Winkellagen), soll der Begriff generalisiert bedeuten, dass diese Art von Koordinaten/Lageparametern nicht ausschließlich die Dimension einer Länge haben müssen. Es können auch Winkel, Energie oder dimensionslose Größen als generalisierte Koordinaten verwendet werden, um damit die Zwangsbedingungen zu berücksichtigen. Zudem werden die generalisierten Koordinaten so gewählt, dass die mathematische Formulierung der Systembewegungen möglichst einfach wird. Die Anzahl der generalisierten Koordinaten, die zur Systembeschreibung erforderlich sind, stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade überein. Wenn in einem beliebigen System der Ort eines Kraftangriffspunktes von einem Lageparameter q (z. B. ein Winkel α) abhängig ist, dann können wir den Kraftangriffspunkt in den globalen Koordinaten x(q), y(q) beschreiben. Wollen wir weiterhin den Lageparameter q variieren, um z. B. Gleichgewicht zu ermitteln (Aufgabentyp b und c), erhalten wir mithilfe der Variationsrechnung die virtuellen Verschiebungen δrx(q), δry(q) des Kraftangriffspunktes x(q), y(q) als Variation des Ortes nach dem Lageparameter q zu: ∙

∙

∙

∙

(11.9)

Darin wurde der Index (q) bei δrx(q), δry(q) weggelassen, da die Abhängigkeit von q eindeutig anhand der Gleichung ersichtlich ist. Übertragen wir dies auf ein System mit einer Anzahl von n Freiheitsgraden, wird somit die Lage eines Kraftangriffspunktes mit ebenfalls n Lageparametern q1, q2, ..., qn (generalisierte

22

Die Variationsrechnung wurde insbesondere entwickelt von: Leonhard EULER (1707–1783), schweiz. Mathematiker, Physiker, Professor für Physik und Mathematik Joseph-Louis de LAGRANGE (1736–1813), ital. Mathematiker, Astronom, Professor für Mathematik und Physik

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

233

Koordinaten) beschrieben. Damit ergeben sich mit Gleichung (11.9) die virtuellen Verschiebungen δrx, δry durch aufsummieren der Einzelverschiebungen: ∙

∙

⋯

∙

∙ (11.10) ∙ Anschließend können die virtuellen Verschiebungen δrx, δry mit den entsprechenden Kräften zur Berechnung der virtuellen Arbeit im Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Gleichung (11.8) verwendet werden. Die Anwendung auf Momente ergibt sich analog dazu. Wichtig dabei ist noch die Vorzeichenkonvention. Da wir die Lage von Kraftangriffspunkten beschreiben, ergibt sich das Vorzeichen der zugehörigen virtuellen Arbeit anhand der Wirkrichtung der Kraft in Bezug auf das Koordinatensystem, wie wir das aus der Stereostatik noch kennen. Sind die Wirkrichtungen von Kraft und Koordinatenachse gleichgerichtet, ist die virtuelle Arbeit positiv. Verläuft die Wirkrichtung der Kraft entgegen der positiven Koordinatenachse ist die virtuelle Arbeit negativ.

► Vorzeichenkonvention: positiv (+), wenn Kraft in positiver Koordinatenrichtung wirkt; negativ (-), wenn Kraft in negativer Koordinatenrichtung wirkt

Vorgehensweise der anschaulichen Methode 



Zeichnen der Verschiebungsfigur und Antragen der virtuellen Verrückungen δri, δφi für die äußeren eingeprägten Kräfte Fi und Momente Mi. Aufstellen des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV) nach Gl. (11.8): ∙



 

∙

0

Im PdvV alle Zusammenhänge der virtuellen Verrückungen δri, δφi derart einsetzen, dass nur noch eine virtuelle Verrückung δr oder δφ vorhanden ist. Ausklammern der virtuellen Verrückung. Den Klammerausdruck gleich Null setzen und nach der gesuchten Kraft- bzw. Variationsgröße auflösen.

11

234

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Vorgehensweise der formalen Methode   

Globales kartesisches Koordinatensystem festlegen. Lagekoordinaten xi(q), yi(q) aller Kraftangriffspunkte in Abhängigkeit der Lageparameter qi im globalen Koordinatensystem aufstellen. Bestimmung der virtuellen Verrückungen δrx, δry als Variation in Abhängigkeit der Lageparameter qi (Variationsgrößen) nach Gl. (11.10): ∙

∙     

Aufstellen des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV) nach Gl. (11.8) und dabei die Vorzeichenkonvention beachten! Ausklammern der virtuellen Lageparameter δqi. In Gl. (11.8) sind so viele Klammerausdrücke enthalten, wie Lageparameter δqi vorhanden sind. Alle Klammerterme müssen einzeln für sich genommen verschwinden, damit die virtuelle Arbeit δW zu Null wird. Die Klammerausdrücke gleich Null setzen und nach den gesuchten Variationsgrößen auflösen.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

Verschiebungsfigur

G

A

B

Π1

(2 GO

(1,2)

)

Für die Erstellung einer Verschiebungsfigur benötigen wir die Regeln für ebene infinitesimale Bewegungen nach  Tab. 6-3 (S. 93) sowie, je nach vorliegendem System, die damit verbundenen Regeln für den Polplan einteiliger  Tab. 6-4 (S. 94) und mehrteiliger Tragwerke  Tab. 7-2 (S. 107). Da wir für die Aufbringung virtueller Verrückungen ein bewegliches Tragwerk brauchen, benötigen wir einen widerspruchslosen Polplan (Warum 11.1?). Die prinzipielle Vorgehensweise wollen wir uns am Beispiel des Tragwerks in  Abb. 11.8 klarmachen. Da es sich um einen Dreigelenkbogen handelt, ist dies ein statisch und kinematisch bestimmtes Tragwerk, welches keinen Freiheitsgrad besitzt und damit auch keine Bewegungen zulässt. Somit müssen wir im ersten Schritt eine Bindung lösen und damit einen Freiheitsgrad herstellen. In unserem Beispiel wählen wir als Freiheitsgrad die horizontale Verschiebung des Lagers A, wodurch aus dem gelenkigen Festlager ein gelenkiges Loslager wird. Als nächstes müssen wir für jeden Körper den Hauptpol  identifizieren. Nach den Polplanregeln ist das gelenkige Festlager B der Hauptpol 2 von Körper ②. Das gelenkige Loslager A bekommt einen Polstrahl GO(1) senkrecht zur Verschiebungsrichtung und das Gelenk G ist ein Nebenpol (1,2), der die beiden Körper ① und ② miteinander verbindet. Des Weiteren müssen die beiden Hauptpole 1 und 2 der beiden Körper ① und ② sowie der gemeinsame Nebenpol (1,2) auf einer Geraden liegen. Daher zeichnen wir einen weiteren Polstrahl GO(2) ein, der durch den Hauptpole 2 und den Nebenpol (1,2) verläuft. Im Schnittpunkt von GO(1) und GO(2) finden wir dann den Hauptpol 1 von Körper ①. Mithilfe des Polplans können wir nun die Verschiebungsfigur zeichnen. Dazu legen wir zuerst den Drehsinn fest, mit dem wir die Körper um ihre Hauptpole verdrehen wollen. In unserem Beispiel werden wir Körper ① im Gegenuhrzeigersinn um den Hauptpol 1 drehen. Um die Erstellung der Verschiebungsfigur möglichst einfach zu halten, werden wir nur markante Punkte unseres Tragwerks verschieben. Als markante Punkte zählen Lager und Gelenke sowie Eckpunkte von Balken, Rahmen und Bögen. Wir beginnen also mit der Verschiebung von Körper ①. Als markanten Punkt nehmen wir das Lager A, siehe  Abb. 11.8. Vom Hauptpol 1 ziehen wir einen Polstrahl (GO(1)) zum markanten Punkt (Lager A) und verdrehen diesen Polstrahl um die virtuelle Verdrehung δφ1 (Punktlinie). Zur Verdrehung δφ1 wird dann die Verschiebung δr1 eingezeichnet,

GO(1)

11.3.3

235

2

1

Π2 B

A

Π1 δφ1 δφ1

δr2

2

1 δr1

Π2 B

A

11 Abb. 11.8

236

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Die Längenabweichungen zwischen Ursprungssystem und Verschiebungsfigur sind nicht von Bedeutung, da die Verschiebungsfigur eine übertriebene Darstellung ist.

welche senkrecht auf dem Polstrahl GO(1) steht. Das Lager A verschiebt sich damit horizontal nach rechts. Die gleiche Vorgehensweise wenden wir nun für den nächsten markanten Punkt, das Gelenk G, an. Vom Hauptpol 1 ziehen wir einen Polstrahl (GO(2)) zum Gelenk G und verdrehen diesen Polstrahl um die identische virtuelle Verdrehung δφ1 (Punktlinie). Jede Verdrehung eines markanten Punkts von Körper ① muss dieselbe Verdrehung δφ1 erfahren, denn wir verdrehen schließlich den kompletten Körper ① um seinen Hauptpol 1. Anschließend zeichnen wir die zum Gelenk G gehörende Verschiebung δr2 (senkrecht zum Polstrahl) ein. Da der Abstand vom Gelenk G zum Hauptpol 1 kleiner ist als der Abstand vom Lager A zum Hauptpol 1, ist auch die Verschiebung δr2 kleiner als δr1. Dies ergibt sich aus den Zusammenhängen des aus der Geometrie bekannten Strahlensatzes. Wenn sich das Gelenk G um δr2 verschiebt, muss sich entsprechend der Endpunkt des Balkens ② um den gleichen Betrag und in die gleiche Richtung verschieben. Somit finden wir auch die virtuelle Verdrehung δφ2 von Körper ② im Uhrzeigersinn um den Hauptpol 2, denn zwischen δr2 und δφ2 besteht die gleiche Abhängigkeit, wie zwischen δφ1 und δr1. Damit haben wir alle markanten Punkte virtuell verschoben und können nun das verschobene Tragwerk zeichnen. Aufgrund der übertriebenen Darstellung der virtuellen Verrückungen stimmen die Längen des Ursprungssystems und der Verschiebungsfigur nicht überein. Diese Abweichung soll uns aber nicht weiter stören, da wir nur die Zusammenhänge zwischen den virtuellen Verrückungen δφ und δr zum Aufstellen der virtuellen Arbeit δW benötigen.

Vorgehensweise    





Bei statisch bestimmten Systemen muss eine Bindung gelöst werden. Hauptpole der einzelnen Körper mittels Polplan identifizieren (Polplan muss widerspruchslos sein). Drehsinn der einzelnen Körper festlegen. Verschiebungen einzelner markanter Punkte zeichnen (Polstrahl zu markanten Punkten, welche verschoben werden sollen). Körper  wird mit der virtuellen Verdrehung δφ1 um den Hauptpol 1 gedreht, Körper  entsprechend mit δφ2 um 2 usw. Verschiebungen sind immer senkrecht zum Polstrahl.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

237

Beispiel 11.1

G

Zeichnen Sie die Verschiebungsfigur des dargestellten Rahmens für eine virtuelle Verdrehung δφ im Uhrzeigersinn um Punkt A.

B

A

Lösung Da der Rahmen verschieblich ist (Abzählkriterium: x = –1), brauchen wir hier keine Bindung zu lösen. Daher erstellen wir direkt den Polplan nach den Regeln für mehrteilige Tragwerke ( Tab. 7-2, S. 107), um die Hauptpole der beiden Körper zu identifizieren. Das gelenkige Festlager A ist der Hauptpol 1 von Körper ①. Lager B bekommt einen Polstrahl GO(2) senkrecht zur Verschiebungsrichtung. Das Gelenk G ist ein Nebenpol (1,2), der mit den Hauptpolen 1 und 2 auf einer Geraden liegt. Somit zeichnen wir einen Polstrahl GO(1) von 1 durch (1,2) und finden im Schnittpunkt von GO(1) und GO(2) den Hauptpol 2 von Körper ②. Danach verdrehen wir Körper ① im Uhrzeigersinn um den Hauptpol 1. Die markanten Punkte, die wir verschieben sind: linke Rahmenecke, Gelenk G, rechte Rahmenecke und Lager B. Zum Verschieben der linken Rahmenecke ziehen wir einen Polstrahl von 1 zur Rahmenecke und senkrecht dazu verschieben wir die Rahmenecke um die virtuelle Verdrehung δφ1 und erhalten damit die virtuelle Verschiebung δr1. Genauso gehen wir beim Gelenk G und der dortigen virtuellen Verschiebung δr2 vor. In Bezug auf 2 muss sich Körper ② entsprechend im Gegenuhrzeigersinn verdrehen. Die virtuelle Verdrehung δφ2 erhalten wir mittels δr2 und dem Abstand zwischen 2 und δr2. Danach verdrehen wir die rechte Rahmenecke und das Lager B um 2 mit der virtuellen Verdrehung δφ2. Wir erhalten damit die beiden virtuellen Verschiebungen δr3 und δr4. Da δr3 und δr4 senkrecht auf dem gleichen Polstrahl stehen, aber die Abstände zu 2 unterschiedlich sind, wird hier auch der Zusammenhang zum Strahlensatz deutlich (größerer Abstand → größere Verschiebung).

GO(2)

Π2

(1,2) (1 )

2

GO

1

Π1 A

B

Π2

δr1

δr3 δr2

δφ1 Π1 A

δφ1 δr4 B

11

238

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

11.3.4 A

G

F

α a

M0 G

B

a Abb. 11.9

A Π 1

(1,2) GO(1)

1 F

Π 2→∞ Π3

M0

α

2 GO(2)

3

(2,3)

B Abb. 11.10

A Π 1 δφ δr Π →∞ 2 Π3

F

α δr

M0 δφ

B Abb. 11.11

δr

Kräfte und Momente in verschiebbaren Systemen

Für den ersten Aufgabentyp, der Berechnung von eingeprägten Kräften und Momenten in verschiebbaren Gleichgewichtssystemen, betrachten wir den durch eine Kraft F und ein Moment M0 belasteten Rahmen in  Abb. 11.9. Wir wollen an diesem Beispiel die Kraft F mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen und der anschaulichen Methode (Lösungsmöglichkeit 1.) berechnen, damit der Rahmen in der dargestellten Position verbleibt. Da sich die Lage des Rahmens nicht verändern soll, muss dafür das System im Gleichgewicht sein. Die gegebenen Werte sind: a = 2 m, α = 45° und M0 = 150 Nm. Die Gelenke G sind reibungsfrei.

Als erstes stellen wir den Polplan auf, um anschließend die Verschiebungsfigur des Systems zeichnen zu können. Da es sich um ein mehrteiliges Tragwerk handelt, wenden wir die entsprechenden Polplanregeln nach  Tab. 7-2 auf S. 107 an. Damit sind die beiden gelenkigen Festlager A und B die Hauptpole 1 und 3 der Körper ① und ③, siehe  Abb. 11.10. Die Gelenke G sind die Nebenpole (1,2) von Körper ① und ② sowie (2,3) von Körper ② und ③. Als weitere Regel sollen zwei Hauptpole mit einem Nebenpol auf einer Geraden liegen. Dazu zeichnen wir vom Hauptpol 1 und (1,2) den Polstrahl GO(1) sowie vom Hauptpol 3 und (2,3) den Polstrahl GO(2) ein. Da die beiden Polstrahle GO(1) und GO(2) parallel verlaufen, liegt der Hauptpol 2 von Körper ② im Unendlichen (2 → ∞). Nun zeichnen wir die Verschiebungsfigur, indem wir markante Punkte (beide Gelenke G und den Kraftangriffspunkt) mittels der virtuellen Verdrehung δφ um die jeweiligen Hauptpole i verdrehen. Dabei kann der Drehsinn beliebig gewählt werden. In unserem Beispiel wählen wir für Körper ① den Uhrzeigersinn aus. Für das obere Gelenk G nehmen wir den Abstand zum Hauptpol 1 und zeichnen die virtuelle Verdrehung δφ ein. Entsprechend verschiebt sich das obere Gelenk G um die virtuelle Verschiebung δr nach unten, siehe  Abb. 11.11. Da der Hauptpol 2 im Unendlichen liegt, verschiebt sich der ganze Körper ② ebenfalls geradlinig nach unten. Somit erfahren auch der Kraftangriffspunkt und das untere Gelenk G die gleiche virtuelle Verschiebung δr.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

239

Um nun das Prinzip der virtuellen Verrückungen aufstellen zu können, müssen wir am Kraftangriffspunkt beachten, dass die Richtung der Kraft F schräg zur virtuellen Verschiebung δr verläuft. Daher müssen wir nur den Anteil der Kraft F berücksichtigen, welcher in Richtung von δr wirkt. Entsprechend zerlegen wir die Kraft F mithilfe des Winkels α, siehe  Abb. 11.12. Damit ergibt sich für das PdvV folgender Ausdruck: 0

∙ cos

∙

∙

α

F

δr

Abb. 11.12

(a)

Nun stellen wir noch den Zusammenhang zwischen der virtuellen Verdrehung δφ und der virtuellen Verschiebungen δr her. Dazu verwenden wir die in  Abb. 11.13 dargestellte Dreieckskonstruktion. Aufgrund der identischen Verdrehung δφ von Körper ① und ③ und der damit einhergehenden Verschiebungen δr können wir den folgenden Zusammenhang am Körper ①, wie auch am Körper ③, aufstellen: ∙

Π1 δφ

δr

Abb. 11.13

(b)

Setzen wir nun Gleichung (b) in (a) ein und klammern die virtuelle Verdrehung δφ aus, erhalten wir: 0

∙ cos

∙

∙

(c)

In der Klammer haben wir das Momentengleichgewicht vorliegen. Damit nun die virtuelle Arbeit δW verschwindet, muss der Klammerausdruck zu Null werden. Setzen wir also die Klammer gleich Null, können wir direkt nach der gesuchten Kraft F auflösen und erhalten als Ergebnis: 0

11.3.5

∙ cos

∙

→

cos

∙

106

Gleichgewichtslagen von beweglichen Systemen

Für die Ermittlung der Gleichgewichtslagen von beweglichen Systemen betrachten wir das an einer reibungsfreien Wand gelehnte Holzbrett in  Abb. 11.14. Wir wollen hieran die Gleichgewichtslage ermitteln, in welcher das Brett nicht rutscht und allein durch die Haftkraft FH0 des Bodens gehalten wird. Der entscheidende Variationsparameter ist hier der Winkel α. Wird α zu groß, würde das Brett über den Boden rutschen und umfallen. Daher müssen wir den Wertebereich des Winkels α ermitteln, sodass das Brett noch im Gleichgewicht bleibt. Die gegebenen Werte sind: l = 2 m, G = 300 N, μ0 = 0,4. Zudem soll die Wand als reibungsfrei angenommen werden.

α

11 G

l

μ0

Abb. 11.14

FH0

240

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

α

G

Wir wollen die Aufgabe mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen und der formalen Methode (Lösungsmöglichkeit 2.) lösen. Als erstes führen wir ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung im Schnittpunkt von Wand und Boden (unten links in der Ecke) ein, siehe  Abb. 11.15. In diesem Koordinatensystem beschreiben wir nun die Lage der beiden Kraftangriffspunkte von G und FH0:

l

∙ sin

y

FH0

x

2

0

∙ sin

2

∙

∙ cos

∙

δr G

y x

δyG δxF Abb. 11.16

∙ cos

(b)

Da die Wirkrichtung der Gewichtskraft G nach unten und von der Haftkraft FH0 nach links gerichtet ist, können diese beiden Kräfte auch nur in diese Richtungen Arbeit verrichten. Somit brauchen wir für die Gewichtskraft die Koordinate yG und für die Haftkraft die Koordinate xF. Für die formale Methode formulieren wir nun aus den Lagekoordinaten die virtuellen Verrückungen, indem wir die Lagekoordinaten durch Differentiation nach der zu variierenden Größe (in unserem Fall α) bilden und mit der virtuellen Verrückung δα multiplizieren:

Abb. 11.15

α + δα

(a)

FH0

2

∙

∙ sin

(c) ∙

(d)

Bevor wir nun mit diesen Gleichungen das Prinzip der virtuellen Verrückungen aufstellen, wollen wir uns kurz noch die Zusammenhänge in diesen Gleichungen verdeutlichen. Wir brauchen für diese Methode die Verschiebungsfigur nicht zu zeichnen. Um jedoch ein besseres Verständnis zu erlangen, ist die Verschiebungsfigur in  Abb. 11.16 dargestellt. Wenn wir den Winkel α um eine virtuelle Verrückung δα vergrößern, verschiebt sich der Kraftangriffspunkt von FH0 um die virtuelle Verrückung δxF nach rechts. Entsprechend verschiebt sich der Kraftangriffspunkt von G um δyG nach unten. Der obere Eckpunkt des Brettes verschiebt sich um δr nach unten. Aufgrund der vorhandenen Geometrie ist δyG nur halb so groß wie δr. Beim Aufstellen des Prinzips der virtuellen Verrückungen müssen wir nun auf die richtigen Vorzeichen achten. Da die beiden Kräfte entgegen der positiven Richtungen des gewählten Koordinatensystems wirken, erhalten wir: 0

∙

∙

(e)

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

241

Setzen wir nun die Gleichungen (c) und (d) in (e) ein und klammern die virtuelle Verrückung δα aus, erhalten wir: 0

∙ ∙ sin 2

∙ ∙ cos

∙

(f)

In der Klammer haben wir das Momentengleichgewicht vorliegen. Wir wollen nun noch die Haftkraft FH0 durch die Gewichtskraft G ersetzen, indem wir das COULOMB'sche Haftreibungsgesetz anwenden. Aufgrund unseres Systems muss die Normalkraft FN der Gewichtskraft G entsprechen (wegen Gleichgewicht) und wir erhalten damit für die virtuelle Arbeit: → 0

∙ ∙ sin 2

∙ ∙

∙ ∙ cos

(g) ∙

(h)

Damit nun die virtuelle Arbeit δW verschwindet, muss der Klammerausdruck zu Null werden. Setzen wir also die Klammer gleich Null, können wir nach dem gesuchten Winkel α auflösen und erhalten: 0 sin cos

∙ ∙ sin 2 ∙

∙

∙ ∙ cos

∙ ∙2 ∙

→

arctan

∙2

Machen wir uns hieran noch bewusst, dass FH0 die maximale Haftkraft im Grenzzustand ist, erhalten wir für den Wertebereich des Winkels α: →

11.3.6

arctan

∙2

38,7°

Systemparameter zur Erfüllung von Gleichgewicht

Bei der Bestimmung einzelner Systemparameter zur Erfüllung von Gleichgewicht betrachten wir das Beispiel der beiden Kisten mit einer schiefen Ebene in  Abb. 11.17. Die beiden Kisten (G1 = 40 N, G2 = 80 N) sind durch ein masseloses und dehnstarres Seil miteinander verbunden. Das Seil läuft dabei über eine reibungsfreie Seilrolle A. Die schiefe Ebene, auf der die Kiste 2 steht, ist ebenfalls als reibungsfrei anzunehmen. Für dieses System ist der Winkel α zu bestimmen, unter dem sich das System im Gleichgewicht befindet.

A

11

1

2 a Abb. 11.17

242

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

A G2

G1 δr1

δr2 a Abb. 11.18

G2r G2

G2r

a G 2N Abb. 11.19

δr2

Aufgrund der Systemanordnung sollte uns direkt klar sein, dass sich die beiden Kisten nur geradlinig bewegen können. Kiste 1 kann nur eine Bewegung in vertikaler Richtung und Kiste 2 entlang der schiefen Ebene ausführen. Daher können wir an dieser Stelle auf den Polplan verzichten. Wir gehen somit direkt zur Erstellung der Verschiebungsfigur über. Verschieben wir Kiste 1 um die virtuelle Verschiebung δr1 nach unten, muss sich zwangsläufig Kiste 2 um eine virtuelle Verschiebung δr2 nach oben bewegen, siehe  Abb. 11.18. Zusätzlich zeichnen wir noch die Gewichtskräfte G1 und G2 ein. Anhand unserer Verschiebungsfigur erkennen wir, dass die Gewichtskraft G1 in Richtung der virtuellen Verschiebung δr1 wirkt. Dagegen stehen die Gewichtskraft G2 und die virtuelle Verschiebung δr2 unter einem Winkel zueinander. Somit müssen wir hier wieder die Kraft so zerlegen, dass wir den Kraftanteil in Richtung der virtuellen Verschiebung kennen, siehe  Abb. 11.19. Damit können wir dann auch schon direkt das Prinzip der virtuellen Verrückungen aufstellen: 0

∙

∙ sin

∙

Da es sich um ein dehnstarres Seil handelt, welches nur über eine Umlenkrolle geführt wird, müssen sich die beiden Kisten identisch bewegen. Somit erhalten wir als Zusammenhang zwischen den beiden virtuellen Verschiebungen:

Diese Beziehung setzen wir wieder in das PdvV ein und klammern direkt die virtuelle Größe aus: ∙ sin

0

∙

Damit die virtuelle Arbeit δW verschwindet, muss der Klammerausdruck, der das Kräftegleichgewicht für dieses System enthält, Null werden. Wir setzen also wieder den Klammerausdruck gleich Null und lösen nach dem gesuchten Winkel α auf: 0

11.3.7

∙ sin

→

arcsin

30°

Lager- und Gelenkreaktionen sowie Schnittgrößen

Die Berechnung von Reaktionskräften und -momenten, also Lager- und Gelenkreaktionen sowie Schnittgrößen, werden wir getrennt voneinander behandeln.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

243

0

∙

F B

A a

a

Abb. 11.20

F

A

B AV Abb. 11.21

F

A GO (1) δr1

Π δr2

B GO(2)

Lagerreaktionen Bei der Berechnung von Lager- bzw. Gelenkreaktionen haben wir es üblicherweise mit einem statisch und kinematisch bestimmten System zu tun, wie beispielsweise den Balken in  Abb. 11.20. Um hieran das Prinzip der virtuellen Verrückungen anzuwenden, müssen wir in einem ersten Schritt die zu der gesuchten Lagerreaktion gehörende Bindung entfernen und die gesuchte Lagerreaktion als eingeprägte Kraft einzeichnen. Wir wollen dies zuerst für die vertikale Lagerreaktion AV durchführen. Um die vertikale Lagerreaktion AV einzeichnen zu können, ersetzen wir das gelenkige Festlager durch ein gelenkiges Loslager, welches in vertikaler Richtung verschiebbar ist, siehe  Abb. 11.21. Dann müssen wir die Bewegungsmöglichkeit wieder einschränken, indem wir die Bindung durch die vertikale Lagerreaktion AV wieder herstellen. Nun zeichnen wir die Verschiebungsfigur, indem wir zuerst den Polplan aufstellen. Beide gelenkige Loslager bekommen einen Polstrahl (GO(1) und GO(2)) senkrecht zur Verschiebungsrichtung und im Schnittpunkt der Polstrahle befindet sich der Hauptpol  des Balkens, siehe  Abb. 11.22. Danach wird der Balken virtuell um den Hauptpol mittels der virtuellen Verdrehung δφ verdreht. Dementsprechend verschiebt sich das Lager A um die virtuelle Verschiebung δr1 und der Kraftangriffspunkt um δr2 nach unten. Anhand der Verschiebungsfigur können wir nun das Prinzip der virtuellen Verrückungen aufstellen. Wir erhalten dann die entsprechende Gleichung:

AV Abb. 11.22

∙

Für die Zusammenhänge zwischen der virtuellen Verdrehung δφ und den virtuellen Verschiebungen δr1 und δr2 finden wir nach  Abb. 11.22: 2 ∙

∙

Wir setzen diese Zusammenhänge in die virtuelle Arbeit ein und klammern die virtuelle Verdrehung δφ aus: 0

∙2

∙

∙

Im Klammerausdruck steht das Momentengleichgewicht. Damit die virtuelle Arbeit verschwindet, setzen wir den Klammerausdruck gleich Null und lösen nach der gesuchten Lagerreaktion AV auf und erhalten als Ergebnis: 0

∙2

∙

→

1 ∙ 2

11

244

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

F B

A a

a

Zur Berechnung der Lagerreaktion des Lagers B können wir analog vorgehen. Wir ersetzen die vertikale Lagerbindung des Lagers B durch die gesuchte vertikale Lagerreaktion B, siehe  Abb. 11.23. Danach erstellen wir den Polplan und zeichnen die Verschiebungsfigur. Anhand der Verschiebungsfigur stellen wir das Prinzip der virtuellen Verrückungen auf: 0

F

∙

∙

Aufstellen der Zusammenhänge zwischen der virtuellen Verdrehung δφ und den virtuellen Verschiebungen δr1 und δr2:

A

∙

B

2 ∙

Einsetzen in das PdvV und Ausklammern der virtuellen Verdrehung δφ ergibt:

F Π A

δφ

0

δr1

δr2

B

∙

∙2

∙

Die gesuchte Lagerreaktion B erhalten wir, indem wir den Klammerausdruck Null setzen, damit die virtuelle Arbeit verschwindet. Als Ergebnis bekommen wir somit: 0

∙

∙2

→

1 ∙ 2

Abb. 11.23

F G A

B a

a

GV

GO(1) A

1

a

F

GV

Abb. 11.24

Π2 2 GO(2)

B

Gelenkreaktionen Die Berechnung von Gelenkreaktionen können wir ähnlich vornehmen. Betrachten wir hierzu das Beispiel des Tragwerks in  Abb. 11.24. Um hier beispielsweise die vertikale Gelenkreaktion berechnen zu können, müssen wir diese Bindung lösen und die entsprechende Gelenkreaktion wieder einsetzen. Da wir nur die vertikale Bindung lösen müssen, können wir anstatt des Drehgelenks ein Dreh-Schiebe-Gelenk (siehe  Tab. 7-1 auf S. 104) einsetzen. Anschließend stellen wir die Bindung wieder her, indem wir die vertikale Gelenkreaktion GV an beiden Seiten des Gelenks einzeichnen. Wir müssen hier zwei Gelenkreaktionen einsetzen, da sich innerhalb eines Gelenks die Gelenkreaktionen gegenseitig aufheben (actio = reactio). Danach zeichnen wir den Polplan. Das gelenkige Loslager B bekommt einen Polstrahl GO(2) senkrecht zur Verschiebungsrichtung. Das Dreh-Schiebe-Gelenk bekommt aufgrund der vertikalen Verschiebbarkeit ebenfalls einen Polstrahl GO(1) senkrecht zur Verschiebungsrichtung. Im Schnittpunkt beider Polstrahle finden wir dann den Hauptpol 2 des Körpers ②.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

245

Nun zeichnen wir wieder die Verschiebungsfigur. Da Körper① durch die feste Einspannung keine Bewegungsmöglichkeit besitzt, brauchen wir für die Verschiebungsfigur nur Körper ② um die virtuelle Verdrehung δφ auslenken, siehe  Abb. 11.25. Dementsprechend verschieben sich der rechte Teil des Dreh-Schiebe-Gelenks um die virtuelle Verschiebung δr1 sowie der Kraftangriffspunkt um δr2 nach unten. Stellen wir das PdvV auf, ergibt sich anhand der Verschiebungsfigur: 0

∙

GV

GO(1) A

1

F 2

GV

Π2 B

GO(2)

∙

Aufgrund der Geometrie finden wir die Zusammenhänge der virtuellen Verrückungen zu: 2 ∙

GV A δr1

∙

F δr2

δφ B

Beides in das PdvV eingesetzt und δφ ausgeklammert: 0

∙2

∙

∙

Abb. 11.25

Das in der Klammer enthaltene Momentengleichgewicht setzen wir wieder zu Null und lösen nach der gesuchten Gelenkreaktion GV auf: 0

∙2

∙

→

1 ∙ 2

Anhand des negativen Ergebnisses wissen wir, dass die in der Verschiebungsfigur eingezeichnete Gelenkreaktion falschherum ist und in Wirklichkeit nach oben wirkt.

Vorgehensweise 



 

 

Die zu der gesuchten Lager- bzw. Gelenkreaktion gehörende Bindung wird entfernt und die gesuchte Lagerbzw. Gelenkreaktion wird als eingeprägte Kraft bzw. eingeprägtes Moment angetragen. Zeichnen der Verschiebungsfigur und Antragen der virtuellen Verschiebungen δr und Verdrehungen δφ für die eingeprägten Kräfte und Momente. Aufstellen des PdvV und der Zusammenhänge zwischen den Verschiebungen δr und Verdrehungen δφ. Im PdvV alle Zusammenhänge der Verschiebungen δr und Verdrehungen δφ derart einsetzen, dass nur noch eine virtuelle Größe vorhanden ist. Ausklammern der virtuellen Größe. Den Klammerausdruck gleich Null setzen und nach der gesuchten Lager- bzw. Gelenkreaktion auflösen.

11

246

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Um die Schnittgröße an einer bestimmten Stelle zu berechnen, muss an dieser Stelle ein Gelenk eingesetzt werden, welches einen Freiheitsgrad in Richtung der gesuchten Schnittgröße besitzt.

Schnittgrößen Auch Schnittgrößen können wir mit einer zu Gelenkreaktionen analogen Vorgehensweise berechnen. Dazu setzen wir an die Stelle der gesuchten Schnittgröße ein entsprechendes Gelenk und zeichnen die jeweils gesuchte Schnittgröße an beiden Körpern des Gelenks nach dem Prinzip actio = reactio ein. Um zu entscheiden, welches Gelenk eingesetzt werden muss, dient  Tab. 11-1. Als Merkregel können wir jedoch sagen, dass immer das Gelenk eingesetzt werden muss, dessen Bezeichnung die gesuchte Schnittgröße enthält. Wollen wir also die Querkraft an einer bestimmten Stelle berechnen, setzen wir an diese Stelle ein Querkraftgelenk ein.

Tab. 11-1 Gelenke zur Bestimmung von Schnittgrößen

Bezeichnung

Gelenkreaktion

virtuelle Verrückung

Schnittgröße

M M Drehgelenk

δφ

(Momentengelenk)

Q Querkraftgelenk

δr

Q N

N

Normalkraftgelenk

δr

q0 A

B

m a

a

q0

q0 A

1 M

G

M 2

Abb. 11.26

B

Als Beispiel wollen wir das Biegemoment an der Stelle m des in  Abb. 11.26 dargestellten Balkens berechnen. Wir setzen also im ersten Schritt ein Drehgelenk an die Stelle m ein und schaffen damit einen Drehfreiheitsgrad. Um diesen Freiheitsgrad wieder einzuschränken, zeichnen wir das Biegemoment nach dem Prinzip actio = reactio auf beiden Seiten des Gelenks mit entgegengesetzter Wirkrichtung ein. Hinweis: Wenn, wie in diesem Beispiel, der Balken durch eine Streckenlast beansprucht wird und das Gelenk den Balken in zwei Teilbalken aufteilt, müssen wir auch die Streckenlast in zwei Teilstreckenlasten aufteilen.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

247

Als nächstes erstellen wir den Polplan für die Verschiebungsfigur. Das gelenkige Lager A ist der Hauptpol 1 des Körpers ①. Das gelenkige Loslager B bekommt einen Polstrahl GO(2) senkrecht zur Verschiebungsrichtung. Das Drehgelenk G ist der gemeinsame Nebenpol (1,2). Verbinden wir den Hauptpol 1 durch einen Polstrahl GO(1) mit dem Nebenpol (1,2), finden wir im Schnittpunkt in Lager B den Hauptpol 2 des Körpers ②, siehe  Abb. 11.27. Jetzt können wir die Verschiebungsfigur zeichnen, indem wir Körper ① um die virtuelle Verdrehung δφ1 auslenken. Mit der Verdrehung ergeben sich die virtuellen Verschiebungen δr1 an der Kraftangriffsstelle der Einzelkraft Fq1 (Reduzierung der Streckenlast) und δr am Gelenk nach unten. In Bezug auf den Hauptpol 2 verdreht sich Körper ② im Gegenuhrzeigersinn um die virtuelle Verdrehung δφ2. Damit verschiebt sich der Kraftangriffspunkt von Fq2 um δr2 nach unten. Für die beiden Einzelkräfte gilt: ∙

∙

(a)

Die virtuellen Verrückungen entnehmen wir der Verschiebungsfigur und stellen damit das PdvV auf: 0

∙

∙

∙

∙

(b)

q0

q0 1 M

A

Π1

M 2

G

GO(1) (1,2)

A

B

Π2 2

1

B

GO(2)

Π1 A

Fq1 M

M Fq2

δr1 δφ1

δr2

Π2 B

δr Abb. 11.27

Durch die virtuelle Verschiebung δr am Gelenk, können wir die Zusammenhänge aller virtuellen Verrückungen aufstellen: ∙ 1 ∙ 2

∙

(c) 1 ∙ 2

∙

∙

(d)

Die Gleichungen (c) und (d) bestätigen, was wir aufgrund der Symmetrie schon sehen können, dass die virtuelle Verdrehung δφ1 = δφ2 ist und somit die virtuellen Verschiebungen δr1 und δr2 ebenfalls identisch sind. Setzen wir wieder alles in das PdvV ein und klammern die virtuelle Größe aus, ergibt sich: 1 ∙ ∙ 2

0

1 ∙ ∙ 2

2∙

∙

(e)

Das Momentengleichgewicht in der Klammer müssen wir gleich Null setzen und können dann nach dem gesuchten Biegemoment umstellen. Wir setzen direkt auch noch die Gleichungen (a) in (e) ein und erhalten als Ergebnis: →

1 ∙ 2

∙

11

248

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Mit dem PdvV kann eine Schnittgröße auch direkt an einem Kraftoder Momentenangriffspunkt berechnet werden.

F I

A

III

6

α 5

3

1

B

II

2

IV

4

8

V

a

9 a

7

VI

a

F I

A N 1 B

IV

2

II

III

6

N 5 4

V

Abb. 11.28

7 8

9

VI

So wie an diesem Beispiel gezeigt, können auch die QuerQ und Normalkraft N an einer beliebigen Stelle eines Tragwerks berechnet werden. Dabei ist der erwähnte Nachteil des Prinzips der virtuellen Verrückungen, dass wir die Schnittgrößen nur für eine einzige Stelle berechnen können. Jedoch überwiegt dabei der Vorteil, dass wir nicht mehr mühsam alle Lager- und vielleicht auch noch Gelenkreaktionen berechnen müssen, bevor wir die Schnittgröße bestimmen können. Ein weiterer Vorteil des PdvV ist, dass wir auch direkt an einem Kraftangriffspunkt die Schnittgrößen berechnen können. Bei der herkömmlichen Vorgehensweise mussten wir das Tragwerk erst in mehrere Bereiche unterteilen und dann für jeden Bereich die Schnittgrößen ausrechnen. Mit dem PdvV können wir direkt die Schnittgröße an einem Kraft- sowie Momentenangriffspunkt bestimmen.

Stabkräfte in Fachwerken Analog zur Ermittlung von Schnittgrößen lassen sich auch Stabkräfte in Fachwerken ermitteln. Da die Stabkraft nichts weiter als die Schnittgröße Normalkraft N ist, kann die identische Vorgehensweise verwendet werden. Wir wollen dies an einem kurzen Beispiel aber nochmals separat erläutern. Das in  Abb. 11.28 dargestellte Fachwerk ist statisch und kinematisch bestimmt und wird durch eine Einzelkraft F belastet. Anhand der Fachwerkbildungsgesetze ist ersichtlich, dass es sich bei diesem Fachwerk um ein einfaches Fachwerk handelt, welches nach dem 1. Bildungsgesetz aufgebaut ist (es besteht ausschließlich aus einfachen Dreiecken). In unserem Beispiel wollen wir die Stabkraft S3 mithilfe des PdvV berechnen. Dazu fügen wir im Stab 3 ein Normalkraftgelenk ein um einen Freiheitsgrad und damit eine kinematische Verschiebbarkeit herzustellen. Den entsprechenden Freiheitsgrad binden wir mit der Normalkraft N, welche gleichzeitig die Stabkraft S3 = N ist. Wichtig: Da wir nur in der linken Hälfte des Fachwerks einen Freiheitsgrad eingefügt haben, ist die rechts Hälfte für sich genommen immer noch kinematisch bestimmt. Daher können wir den rechten Fachwerkteil (Stäbe 5 bis 9) als ein starres Teilfachwerk betrachten und wie einen einzigen Starrkörper, z. B. eine starre Scheibe, behandeln.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

Für den Polplan können wir den Stab 3 bzw. das Normalkraftgelenk komplett herauslassen und die Normalkraft N in den Knoten II und IV angreifen lassen, siehe  Abb. 11.29. Das gelenkige Festlager A ist der Hauptpol 1,2 der Stäbe 1 und 2. Der Knoten II verbindet den Stab 2 mit der Scheibe 5 und ist damit der Nebenpol (2,5). Da zwei Hauptpole und der gemeinsame Nebenpol auf einer Gerade liegen müssen, verbinden wir den Hauptpol 1,2 mit dem Nebenpol (2,5) durch den Polstrahl GO(1). Der gesuchte Hauptpol 5 der Scheibe 5 befindet sich dann auf dem Polstrahl im Unendlichen. Das gelenkige Loslager B erhält einen Polstrahl GO(4). Der Knoten V ist der Nebenpol (4,5) von Stab 4 und Scheibe 5. Den noch fehlenden Hauptpol 1,4 von Stab 1 und 4 finden wir dann im gelenkigen Loslager B. Das gelenkige Loslager B ist gleichzeitig auf der Nebenpol (1,4) der Stäbe 1 und 4. Mit dieser Bedingung wird dieser Nebenpol (1,4) zum Hauptpol 1,4.

249

Π1,2

1

2

F

(2,5) 5

N

N 4

Π1,4

GO(1) Π5 →∞ GO(4)

(4,5)

Abb. 11.29

Hinweis: Der Polplan dieses Fachwerkes ist im Grunde recht ähnlich zum Rahmen in  Abb. 11.9 auf S. 238. Vernachlässigen wir die Stäbe 6 bis 9 ist die Ähnlichkeit unverkennbar. Die Verschiebungsfigur ist in  Abb. 11.30 zu sehen. Der Stab 2 wurde um den Hauptpol 1,2 mit der virtuellen Verdrehung δφ1 im Uhrzeigersinn ausgelenkt. Dementsprechend verschiebt sich der Knoten II um die virtuelle Verschiebung δr1 vertikal nach unten. Die Scheibe 5 (Knoten II, III, V, VI) verschiebt sich um den Hauptpol 5 ebenfalls um δr1 vertikal nach unten. Wenn sich damit verbunden Knoten V um δr4 verschiebt, muss sich der Stab 4 um δφ2 im Uhrzeigersinn um den Hauptpol 1,4 verdrehen. Bezüglich der virtuellen Verschiebung δr1 müssen wir beachten, dass die Normalkraft N in einem bestimmten Winkel dazu steht. Dementsprechend müssen wir entweder die Verschiebung δr1 oder die Normalkraft N zerlegen. Mithilfe des Winkels α am Knoten II in  Abb. 11.28 können wir den vertikalen Anteil der Normalkraft N recht einfach bestimmen. Für das PdvV können wir damit Folgendes aufstellen: 0

∙

∙ cos

∙

Aufgrund der Geometrie der Verschiebungsfigur erhalten wir für die virtuellen Verrückungen:

Π1,2

1

F

δφ1 δr1 2 N

Π1,4 4

δr2

N

Π5 →∞ δr4

δr3 5

Abb. 11.30

11

250

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Beides in das PdvV eingesetzt und δr1 ausgeklammert: 0

∙ cos

∙

Im Klammerausdruck ist das Kräftegleichgewicht enthalten. Setzen wir den Klammerausdruck gleich Null, damit die virtuelle Arbeit δW verschwindet und lösen nach Normalkraft N auf, erhalten wir das Ergebnis: 0

∙ cos

→

cos

Anhand des Ergebnisses ist deutlich, dass es sich bei der Stabkraft S3 um eine Druckkraft handelt. Dass der Stab 3 ein Druckstab sein muss, können wir zudem an unserer Verschiebungsfigur in  Abb. 11.30 erkennen.

Vorgehensweise   







 

 

Die Lagerung des Originalsystems wird beibehalten. Einsetzen eines Gelenks an die Stelle der gesuchten Schnittgröße. Fachwerke: Der zur gesuchten Stabkraft gehörende Stab wird entfernt und durch die Schnittgröße Normalkraft N an den beiden Knoten des entfernten Stabes nach dem Prinzip actio = reactio angetragen. Fachwerke: Sind Abschnitte des Fachwerkes in sich starr, können diese Abschnitte als starre Scheiben betrachtet werden. Antragen der jeweils gesuchten Schnittgröße an beiden Körpern des Gelenks nach dem Prinzip actio = reactio (siehe  Tab. 11-1 auf S. 246). Zeichnen der Verschiebungsfigur und Antragen der virtuellen Verschiebungen δr und Verdrehungen δφ für die eingeprägten Kräfte und Momente. Aufstellen des PdvV und der Zusammenhänge zwischen den Verschiebungen δr und Verdrehungen δφ. Im PdvV alle Zusammenhänge der Verschiebungen δr und Verdrehungen δφ derart einsetzen, dass nur noch eine virtuelle Größe vorhanden ist. Ausklammern der virtuellen Größe. Den Klammerausdruck gleich Null setzen und nach der gesuchten Schnittgröße auflösen.

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

251

Beispiel 11.2 Das nebenstehende masselose Tragwerk (a = 60 cm) wird durch eine Einzelkraft F = 60 N und eine dreiecksförmige Streckenlast q0 = 150 N/m belastet. Berechnen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen: a) die vertikale Gelenkreaktion GV b) die horizontale Lagerreaktion AH

q0

G F

A

a

B

Lösung a) Das Drehgelenk G ersetzen wir durch ein DrehSchiebe-Gelenk (vg.  Tab. 7-1 auf S. 104). Dadurch erhält das Gelenk einen Polstrahl GO(1) senkrecht zur Verschiebungsrichtung und das Gelenk ist der Nebenpol (1,2). Das gelenkige Loslager B bekommt ebenfalls einen Polstrahl GO(2) senkrecht zur Verschiebungsrichtung. Im Schnittpunkt der beiden Polstrahle liegt der Hauptpol 2 des Rahmens ②. Balken ① ist durch die feste Einspannung unverschieblich gelagert.

GV

(1,2) GO(1) 1

Die virtuelle Verdrehung δφ1 um den Hauptpol 2 erfolgt im Gegenuhrzeigersinn. Das Lager B verschiebt sich damit um δr1, die Kraftangriffsstelle von F um δr2, der Scherpunkt der reduzierten Streckenlast Fq um δr3 und das Gelenk G um δr4. Prinzip der virtuellen Verrückungen: 0

1 ∙ 2

∙

∙2 ∙

GO(2)

2a

Π2

GV

2

GV δr4

Fq

Π2

δφ δr3 δφ

GV

F

δr2 δr1

∙

Zusammenhänge der virtuellen Verrückungen: 1 ∙ 2

1 ∙2 ∙ 3

∙

2 ∙

11

Alles ins PdvV eingesetzt und ausgeklammert: 1 ∙ ∙ 2

0

1 ∙ 2

1 ∙2 ∙ ∙2 3

∙2

∙

Klammerausdruck zu Null setzen und nach GV auflösen: 0

1 ∙ 2

∙

2 ∙ 3

∙

∙2

→

1 ∙ 3

∙

1 ∙ 4

∙

21

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

GO(1)

b) Die feste Einspannung A ersetzen wir durch eine Parallelführung, welche einen Polstrahl GO(1) senkrecht zur Verschiebungsrichtung erhält und der Hauptpol 1 des Balkens ① liegt im Unendlichen. Das Gelenk G ist der Nebenpol (1,2). Das gelenkige Loslager B bekommt ebenfalls einen Polstrahl GO(2) senkrecht zur Verschiebungsrichtung. Wenn zwei Hauptpole und der gemeinsame Nebenpol auf einer Gerade liegen, befindet sich der Hauptpol 2 des Rahmens ② ebenfalls im Unendlichen.

(1,2)

2

1 AH

Π1

↓

∞

∞

δr AH

F

δr

∙

Ausklammern der virtuellen Verschiebung: 0

∙

Klammerausdruck zu Null setzen und nach AH auflösen: 0

→

δr δr δr

Prinzip der virtuellen Verrückungen: ∙

Π2

↓

q0

Anhand des Polplans ist deutlich, dass sich das Tragwerk als Ganzes nur translatorisch nach links oder rechts bewegen kann. Verschieben wir das Tragwerk um die virtuelle Verschiebung δr nach rechts, erhalten wir die nebenstehende Verschiebungsfigur.

0

GO(2)

252

60

11.3 ∙ Prinzip der virtuellen Verrückungen

253

In Kürze  Energie ist eine fundamentale physikalische Größe und kann anschaulich als die Fähigkeit definiert werden, Arbeit zu verrichten.  Die Energie E besitzt die Einheit JOULE [J] und es gilt: [J = Nm].  Energiesatz (auch Energieerhaltungssatz): In einem geschlossenen System (reibungsfreies System) ist die Summe der kinetischen und der potenziellen Energie konstant.  Die Arbeit W ist die Energie, die auf mechanischem Wege auf einen Körper übertragen wird.  Die Arbeit ist das Produkt aus Kraft mal Weg und besitzt die Einheit Newtonmeter [Nm] oder JOULE [J].  Eine Kraft kann nur dann eine Arbeit W verrichten, wenn die Kraft in Richtung ihrer Wirkungslinie verschoben wird.  Vorzeichenkonvention der Arbeit: positiv, wenn Kraft und Weg gleichgerichtet sind; Null, wenn Kraft und Weg senkrecht aufeinander stehen; negativ, wenn Kraft und Weg entgegengesetzt gerichtet sind.  Konservative Kräfte sind Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges keinerlei Arbeit verrichten, wie z. B. die Gewichtskraft.  Nicht-konservative Kräfte (dissipative Kräfte) sind Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges Arbeit verrichten, wie z. B. die Reibungskraft. Nicht-konservative Kräfte lassen sich in andere Energieformen umwandeln, wie z. B. Reibung in Wärme.

 Beim Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) werden die realen Verrückungen durch virtuelle Verrückungen ersetzt.  Es wird der wirkliche (reale) Kraftzustand bei einer virtuellen Verrückung betrachtet.  Eine Verrückung kann eine Verschiebung oder eine Verdrehung sein.  Virtuelle Verrückungen sind gedacht und in Wirklichkeit nicht vorhanden, infinitesimal klein und geometrisch (kinematisch) möglich (mit den Systembindungen verträglich).  Virtuelle Verrückungen sind nur möglich, wenn das System mindestens einen Freiheitsgrad besitzt.  Bei statisch bestimmten Systemen muss eine Bindung gelöst und durch eine eingeprägte Kraft bzw. eingeprägtes Moment ersetzt werden.  Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist äquivalent zu den bekannten Gleichgewichtsbedingungen und kann zur Berechnung von Gleichgewicht, Lagerreaktionen und Schnittgrößen angewendet werden.

Prinzip der virtuellen Verrückungen Ein mechanisches System ist im Gleichgewicht, wenn die Arbeit der eingeprägten Kräfte und Momente bei einer virtuellen Verrückung verschwindet: ∙

∙

0

11

254

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

11.4 Aufgaben zu Kapitel 11 Aufgabe 11.1 Ein Amboss (G = 1 kN) ist mit einem masselosen und dehnstarren Seil (l = 4 m) an der Decke befestigt. Am Ambos greift die eingeprägte Kraft F = 250 N an, wodurch der Amboss um den Winkel α ausgelenkt wird. Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen den sich ergebenden Winkel α.

A a

l

F

Aufgabe 11.2 Ein Brett (G = 300 N, l = 3 m) liegt auf dem Lager A auf und berührt unter dem Winkel α eine Wand. Die Kontaktstellen des Bretts am Lager A und der Wand sind reibungsfrei. Der Abstand von Lager A bis zur Wand beträgt e = 10 dm. Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen den Winkel α für die dargestellte Gleichgewichtslage.

Aufgabe 11.3 Ein masseloser Gelenkbalken (a =1,5 m) wird durch eine dreiecksförmige q1 = 15 N/m und eine konstante A Streckenlast q2 = 10 N/m belastet. Berechnen Sie an der Stelle m das Biegemoment mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen.

Aufgabe 11.4 Ein masseloser Rahmen (a = 120 cm) wird durch zwei Kräfte F1 = 800 N, F2 = 1,9 kN belastet. Bestimmen Sie das Biegemoment M an der Rahmenecke C mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV).

G e α

A l

q1

q2

2a

a

a

a

F2

G

C

a

F1 B A a

B

m

G

a

a

11.4 ∙ Aufgaben zu Kapitel 11

255

Aufgabe 11.5 Ein masseloser Rahmen (a = 9 dm) wird durch ein Moment M0 = 405 Nm und eine konstante Streckenlast q0 = 500 N/m belastet. Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) die horizontale Lagerreaktion in B und das Biegemoment M an der Rahmenecke C.

q0

G M0

a

A

B a

Aufgabe 11.6 Ein masseloser Balken (a = 1 m) wird durch eine Kraft F = 2 kN und eine dreiecksförmige Streckenlast q0 =1,2 kN/m belastet. Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) alle Lagerreaktionen sowie das Biegemoment M und die Querkraft Q an der Stelle mq.

Aufgabe 11.7 Ein masseloser Gelenkbalken (a = 15 dm) wird durch eine Kraft F = 30 N, ein Moment M0 = 25 Nm und eine konstante Streckenlast q0 = 20 N/m belastet. Bestimmen Sie alle Lager- und Gelenkreaktionen mithilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen.

C

a

a

q0 A

B

mq a

a

a

q0 A

M0

Aufgabe 11.8 Ein masseloser Rahmen (a = 80 cm) wird durch eine Kraft F = 700 N, ein Moment M0 = 450 Nm und eine konstante Streckenlast q0 = 300 N/m belastet. Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) alle Lagerreaktionen sowie das Biegemoment M an der Stelle m.

F

G

G

a

F

a

a

B a

a

q0

11

G F

a m

B

M0

A a

a

a

a

256

Kapitel 11 ∙ Energiemethoden

Warum 11.1

Nur wenn der Polplan eines Tragwerks widerspruchslos aufgestellt bzw. gezeichnet werden kann, handelt es sich um ein kinematisch bewegliches Tragwerk.

Lösungen Aufgabe 11.1

14°

Aufgabe 11.2

60,9°

Aufgabe 11.3

18,75

Aufgabe 11.4

320 300 270

Aufgabe 11.5

Aufgabe 11.6

700

0 600

900

3800 Aufgabe 11.7

0

0

75

15

110

0 15

45 90 Aufgabe 11.8

220 658 480 480

480

Anhang: Mathematische Grundlagen

257

Anhang: Mathematische Grundlagen Schreibweise für Vektoren

Vektor: Betrag:

Physikalische Größen, die durch ihren Betrag (Größe) und ihre Richtung festgelegt sind, heißen Vektoren. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt, dessen Länge ein Maß für seinen Betrag ist. In der Vektorschreibweise werden Vektoren mit fetten Buchstaben oder einem Pfeil geschrieben:

, ,| |

, . Für den Betrag eines Vektors werden normale Buchstaben oder Betragsstriche verwendet: , | |. Klassifikation von Vektoren Vektoren besitzen eine Größe und eine Richtung. Skalare besitzen nur eine Größe.

y a

a a a

a x

y a a

Wirkungslinie x

y Wirkungslinie a Angriffspunkt x

Generell lassen sich physikalische Größen, welche eine Richtung im Raum besitzen, durch Vektoren beschreiben, wie z. B. die Geschwindigkeit. Im Gegensatz dazu sind physikalische Größen ohne Richtung Skalare, wie z. B. die Temperatur. Bevor wir uns mit der Vektorrechnung beschäftigen, müssen wir die verschiedenen Arten von Vektoren klassifizieren. Als einfachste Art kann der freie Vektor genannt werden. Wie jeder Vektor besitzt dieser einen Betrag (Größe) und eine Richtung (Orientierung und Richtungssinn). Ein freier Vektor besitzt jedoch keinen Angriffspunkt und ist deshalb im Raum beliebig verschiebbar. Dies bedeutet, dass wir im nebenstehenden Beispiel den Vektor a beliebig in der Zeichenebene parallel verschieben dürfen. Wir dürfen nur die Größe und die Richtung des Vektors dabei nicht ändern. Als zweites gibt es den linienflüchtigen Vektor. Dieser besitzt einen Betrag, eine Richtung und eine Wirkungslinie. Das heißt, dass diese Vektorart einen beliebigen Angriffspunkt auf der Wirkungslinie besitzt und wir diesen Vektor nur entlang seiner Wirkungslinie verschieben dürfen. Wir dürfen den Vektor a also beliebig nach links oder rechts auf der Wirkungslinie verschieben, wenn wir den Betrag und die Richtung dabei beibehalten und nicht ändern. Als letztes existiert noch ein gebundener Vektor. Ein gebundener Vektor besitzt einen Betrag, eine Richtung, eine Wirkungslinie und einen Angriffspunkt. Somit können wir diesen Vektor nicht verschieben, denn der Angriffspunkt ist im Raum fixiert und die Richtung durch die Wirkungslinie vorgegeben. Im Beispiel ist der Vektor a an der vorderen Kante des Würfels fixiert. Hier können wir den Vektor a nicht mehr verschieben.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4

258

Anhang: Mathematische Grundlagen

Einheitsvektor Ein Einheitsvektor e besitzt die Länge Eins und ist definiert durch den Quotient aus einem Vektor und seinem Betrag. (A.1)

| |

Skalarprodukt (= inneres Produkt) Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Das Skalarprodukt ist abhängig von den beiden Vektoren sowie dem eingeschlossenen Winkel φ. Das Ergebnis des Skalarprodukt a punkt b erzeugt aus den Vektoren a und b einen reellen Skalar. Die Berechnung erfolgt entweder in der geometrischen Schreibweise: ∙

| | ∙ | | ∙ cos

(A.2)

Geometrische Schreibweise

(A.3)

Koordinatendarstellung

oder in der Koordinatendarstellung: ∙

∙

∙

∙

Veranschaulichen können wir uns das Skalarprodukt als die senkrechte Projektion ab des Vektors a auf die Richtung des Vektors b multipliziert mit dem Betrag des Vektors b. Das gleiche gilt entsprechend auch für die Projektion ba des Vektors b auf die Richtung von Vektor a multipliziert mit dem Betrag von Vektor a. Sonderfall 1 Die beiden zu multiplizierenden Vektoren a und b sind senkrecht (orthogonal) zueinander. Dies würde bedeuten, dass der Winkel φ = 90° beträgt und somit nach Gl. (A.2) das Skalarprodukt zu Null wird: ∙

| | ∙ | | ∙ cos 90°

∙

∙0

| | ∙ | | ∙ cos 0°

∙

∙1

φ

b

a φ b

0

Sonderfall 2 Die beiden zu multiplizierenden Vektoren a und b sind parallel zueinander. Hier ist nun der Winkel φ = 0° und damit erhalten wir für das Skalarprodukt nach Gl. (A.2): ∙

a

a b

Anhang: Mathematische Grundlagen

259

Kreuzprodukt (= äußeres Produkt/Vektorprodukt)

c = a · b · sin φ c

b φ a

Das Kreuzprodukt a kreuz b ist eine vektorielle Größe. Das Ergebnis ist ein Vektor c, welcher senkrecht auf der durch die beiden Vektoren a und b aufgespannten Ebene steht. Definiert ist das Kreuzprodukt folgendermaßen:  Der Vektor c steht auf a und b senkrecht.  Die Vektoren a, b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Recht-Hand- bzw. Drei-Finger-Regel).  Der Betrag von |c| ist gleich der von a und b aufgespannten Fläche: | |

| | ∙ | | ∙ sin

Das Kreuzprodukt kann in der geometrischen Schreibweise:

(A.4)

Geometrische Schreibweise

oder in der Koordinatendarstellung bestimmt werden:

Koordinatendarstellung

Für die Koordinatendarstellung gilt die zyklische Vertauschung.

∙

∙

∙

∙

∙

∙

(A.5)

In der Koordinatendarstellung ist sehr schön erkennbar, dass bei Kenntnis einer Koordinate die beiden anderen durch zyklisches Vertauschen ermittelt werden. D. h. die Indizes x, y, z werden im Uhrzeigersinn durch die jeweils nächstfolgenden Indizes ersetzt: x → y, y → z, z → x.

Winkelfunktionen (trigonometrische Funktionen) Allgemeines Dreieck Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten her: γ b α

sin

a β

c

sin

(A.6)

sin

Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel her. 2∙

∙ ∙ cos

2∙

∙ ∙ cos

2∙

∙

∙ cos

(A.7)

260

Anhang: Mathematische Grundlagen

Rechtwinkliges Dreieck In rechtwinkligen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen nur für Winkel von 0° bis 90° Grad definiert: sin

cos

(A.8)

cos α

sin

(A.9)

tan

cot

(A.10)

cot

tan

(A.11)

a

b

β

α

c

Beliebter Merksatz: GAGA HühnerHof AG

Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen sin

sin ∙ cos

sin ∙ cos

(A.12)

Sinus

cos

cos ∙ cos ∓ sin ∙ sin

(A.13)

Kosinus

tan

tan tan 1 ∓ tan ∙ tan

sin cos

(A.14)

Tangens

cot

1 ∓ cot ∙ cot cot cot

cos sin

(A.15)

Kotangens

Trigonometrie am Einheitskreis

r = 1

0°

30°

45°

60°

90°

1 ∙ √0 2

1 ∙ √1 2

1 ∙ √2 2

1 ∙ √3 2

1 ∙ √4 2

1 ∙ √4 2

1 ∙ √3 2

1 ∙ √2 2

1 ∙ √1 2

1 ∙ √0 2

a cos α

tan α

Tab. A-1 Werte für häufig vorkommende Winkel

sin α

Für den Einheitskreis (Radius r = 1) sind nachfolgend die Werte für häufig vorkommende Winkel angegeben:

261

Repetitorium

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26783-4

262

Repetitorium

1 Einführung in die Mechanik Modellbildung  Die Modellbildung dient dazu, eine reale technische Fragestellung in ein einfaches mechanisches Modell zu überführen, welches sich mithilfe mathematischer Methoden lösen lässt.  Grundsatz: gute Modelle sind so einfach wie möglich und so komplex wie nötig.  Die Modellbildung kann die Realität nur in Grenzen abbilden.  Wird die Modellbildung mithilfe von Axiomen durchgeführt, wird dies Axiomatik genannt.

Physikalische Größen  Technische Größen sind immer dimensionsbehaftet und ihre Maßeinheiten müssen immer in die Berechnung mit einbezogen werden.  Vektoren besitzen einen Betrag und eine Richtung.  Skalare besitzen nur einen Betrag.

Lösung statischer Probleme  Nach der Modellbildung erfolgt die eigentliche Berechnung.  Am Ende der Berechnung ist die kritische Überprüfung der Berechnungsergebnisse durchzuführen.  Vertrauen Sie niemals blind einem Ergebnis! Jeder von uns kann mal einen Fehler machen, auch bei der simplen Eingabe von Werten in einen Taschenrechner oder ein Berechnungsprogramm.

2 Grundlagen der Stereostatik Definitionen  Belastung: Von außen an einem Körper angreifende äußere Lasten (eingeprägte Kräfte und Momente).  Äußere Kräfte: Eingeprägte Kräfte und Momente sowie an der Systemgrenze wirkende Reaktionskräfte und Reaktionsmomente. Äußere Kräfte dürfen auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden.  Innere Kräfte: Im inneren eines Körpers wirkende Kräfte und Momente, welche mithilfe des Freischneidens (Schnittprinzip) sichtbar gemacht werden. Innere Kräfte dürfen auf ihrer Wirkungslinie nicht verschoben werden.  Gleichgewicht: Zustand der Ruhe (unbewegt) oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung (konstante Geschwindigkeit).  Starrkörper: Ein unendlich steifer und fester (unverformbarer) Körper. Dies ist eine Modellvorstellung und von wesentlicher Bedeutung für die Stereostatik.  Freiheitsgrad: Anzahl der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers.  Freikörperbild: Herausschneiden des zu betrachtenden Körpers aus seiner Umgebung. Das Freikörperbild ist die Grundlage zur daran anschließenden Berechnung und dient dem Sichtbarmachen aller wirkenden Kräfte und Momente. Das Freikörperbild ist der wichtigste Bestandteil der Modellbildung in der Technischen Mechanik.

Kraft  Eine Kraft ist eine physikalische Größe und die Ursache von Bewegungs- und/oder Formänderungen eines Körpers.  Eine Kraft kann nicht beobachtet oder gemessen werden. Beobachtbar und messbar ist nur die Wirkung einer Kraft.  Die Kraft besitzt die Einheit Newton [N] und ist definiert durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt.

Einteilung von Kräften  Räumliche Verteilung  Einzelkraft: Eine Einzelkraft wirkt nur auf einen Punkt.  Linienkraft: Eine Linienkraft wird auch als Streckenlast bezeichnet und wirkt entlang einer Linie.  Flächenkraft: Eine Flächenkraft wirkt auf eine Fläche.  Volumenkraft: Eine Volumenkraft wirkt auf das Volumen eines Körpers.  Ursache  Eingeprägte Kräfte: Dies sind Kräfte mit physikalischer Ursache.  Reaktionskräfte: Dies sind Zwangskräfte, die die Bewegungsmöglichkeit (Freiheitsgrad) eines Körpers einschränken.  Wirkung  Nahkräfte: Sie wirken in der Berührungsfläche, also im direkten Kontakt zwischen zwei Körpern.  Fernkräfte: Sie wirken ebenfalls zwischen Körpern, jedoch haben die Körper keinen direkten Kontakt miteinander.  Wirkungsort  Äußere Kräfte: Dies sind von außen auf einen Körper wirkende Belastungen sowie Reaktionskräfte an der Systemgrenze.  Innere Kräfte: Dies sind innere Kräfte, welche auch als Schnittkräfte bezeichnet werden.

263

Freischneiden  Freikörperbilder sind aussagekräftige Skizzen bzw. Freihandzeichnungen.  Freischneiden kann an jeder beliebigen Stelle eines Körpers erfolgen.  Es darf zwischen Körpern, wie auch durch einen Körper, geschnitten werden.  In jedem Schnitt gilt: actio = reactio.  Jedes entfernte Element muss durch eine Kraft ersetzt werden, um deren Wirkung auf den Körper beizubehalten.  Jede angetragene Kraft bekommt eine eindeutige Bezeichnung.  Lagerungen werden mit Großbuchstaben (A, B, C, ...) bezeichnet.  Lagerkräfte werden mit Großbuchstaben und Wirkrichtung (Ax, Ay, B, ...) bezeichnet.  Die Wirkrichtungen der angetragenen Kräfte können beliebig gewählt werden.  Die Gewichtskraft G bzw. FG wirkt immer senkrecht nach unten und greift im Körperschwerpunkt an.  Seil- und Stabkräfte (Großbuchstabe S) werden immer als Zugkräfte angetragen.  Zwischen zwei Körpern können nur Druckkräfte übertragen werden. Normalkräfte N bzw. FN sind Druckkräfte und wirken immer senkrecht auf die Körperoberfläche bzw. die Berührungsfläche.  Bei gekrümmten Oberflächen zeigt die auf den Körper wirkende Normalkraft N bzw. FN als Druckkraft immer zum Körperinneren (senkrecht zur Oberfläche).  Tangentialkräfte T bzw. Reibkräfte FR wirken immer in der Berührungsfläche (senkrecht zur Normalkraft).  Glatte (idealisierte, reibungsfreie) Oberflächen sind reibungsfrei, somit gilt: T = FR = 0.  Nach dem Freischneiden darf der Körper keine Berührung mehr mit seiner Umgebung aufweisen.  Äußere Kräfte dürfen auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden.  Innere Kräfte dürfen nicht auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden.

Rep.

Repetitorium

264

Repetitorium

Die drei Grundaufgaben der Mechanik

3 Zentrale ebene Kräftegruppen

F1

R

F2 P

F3

P

1. Zerlegung einer Kraft Die Zerlegung einer Kraft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel α zur x-Achse bekannt, erfolgt die Zerlegung nach: ∙ cos ∙ sin

 Als zentrale Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden.  Der gemeinsame Schnittpunkt wird als Zentralpunkt P bezeichnet.  Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Resultierenden R zusammenfassen.  Bei der Zerlegung ist die Richtung bzw. das Vorzeichen der Kraft entscheidend. Konvention: Zeigt die Kraft in die positive Koordinatenrichtung bekommt sie ein positives (+), zeigt sie in die negative Koordinatenrichtung entsprechend ein negatives (-) Vorzeichen.  In der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen, im Raum in drei Richtungen eindeutig. Eine Zerlegung einer Kraft in der Ebene in mehr als zwei bzw. im Raum in drei Richtungen ist zwar möglich, führt jedoch zu unendlich vielen Möglichkeiten und ist somit nicht eindeutig.  Da alle Kräfte in den Zentralpunkt P verschoben und auf eine Resultierende reduziert werden können, kann diese Art der Kräftegruppe einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen.

2. Reduktion auf eine Einzelkraft Nachdem alle Kräfte in ihre x- und y-Koordinaten zerlegt wurden, können alle x-Koordinaten zu einer Resultierenden Rx und alle y-Koordinaten zu Ry zusammengefasst werden: ⋯

⋯ Die Gesamtgröße der Resultierenden R wird mittels des Satz des PYTHAGORAS bestimmt:

Der Winkel der Resultierenden wird mit der Tangens-Funktion bestimmt: arctan

3. Gleichgewicht von Kräften Nach dem 6. Axiom (Gleichgewichtssatz) ist ein Starrkörper unter der Wirkung von zwei Kräften im Gleichgewicht, wenn die Kräfte gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und die gleiche Wirkungslinie besitzen. Demnach muss bei der Reduktion einer zentralen ebenen Kräftegruppe die Resultierende R verschwinden (R = 0), damit Gleichgewicht vorhanden ist: 0

0

Repetitorium

265

Die drei Grundaufgaben der Mechanik

4 Allgemeine ebene Kräftegruppen

1. Zerlegung einer Kraft Die Zerlegung einer Kraft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel α zur x-Achse bekannt, erfolgt die Zerlegung nach:

F1

R A

F3

 Als allgemeine Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in mehr als einem Punkt schneiden.  Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Dyname zusammenfassen.  Eine allgemeine Kräftegruppe kann einen Körper verschieben und verdrehen (Translation und Rotation).

2. Reduktion auf eine Dyname  Bezugspunkt A definieren.  Die in ihre x- und y-Koordinaten zerlegten Kräfte können zu einer Resultierenden R zusammengefasst werden: ⋯

⋯

 Moment  Einheit: Newtonmeter [Nm].  Das Moment entspricht der Multiplikation von Kraft und zugehörigem Hebelarm.  Der Hebelarm ist immer der senkrechte Abstand von der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt.  Bezugspunkte dürfen frei gewählt werden und können innerhalb wie auch außerhalb eines Körpers liegen.  Drehsinn: Vorzeichenkonvention wie in der Mathematik: positiv:  Gegenuhrzeigersinn negativ:  Uhrzeigersinn → Rechte-Faust-Regel

∙ sin

∙ cos

(A)

A MR

Die parallel verschobenen Kräfte zu einem resultierenden Moment MR zusammenfassen (Vorzeichen beachten!): ∙



∙

Die anschließende Reduktion erfolgt nach den Fällen in  Tab. 4-2 auf S. 49.

3. Gleichgewicht von Kräften Bei einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe muss die Summe aller Kräfte und die Summe aller Momente gleich Null sein, damit Gleichgewicht vorhanden ist: 0

0

0

Hinweis: An Stelle von zwei Kräfte- und einer Momentengleichgewichtsbedingung können auch nur eine Kräfte- und zwei Momentengleichgewichtsbedingungen oder drei Momentengleichgewichtsbedingungen verwendet werden.

Rep.

F2

266

Repetitorium

5 Schwerpunkt  Definition: Der Schwerpunkt ist der Punkt eines Körpers, durch den in jeder beliebigen Lage die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskraft hindurchgeht.  Die räumlich über den gesamten Körper verteilte Masse bzw. das Gewicht kann als im Schwerpunkt konzentriert gedacht werden.  Bei Unterstützung im Schwerpunkt bleibt der Körper im Gleichgewicht.  Bei konstanter Erdbeschleunigung entspricht der Schwerpunkt dem Massenmittelpunkt.  Bei konstanter Dichte (ρ = konst.) entspricht der Schwerpunkt dem Volumenmittelpunkt.  Der Volumenmittelpunkt bestimmt sich allein aus der Geometrie des Körpers.  Formelsammlung: Tab. 5-1, S. 66 f.

Regeln der Schwerpunktberechnung  Besteht ein Körper aus Teilkörpern mit bekannten Schwerpunktkoordinaten, können diese Teilkörper algebraisch addiert werden.  Bei Körpern mit Ausschnitten, sind die Ausschnitte negative Volumina.  Bei symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.  Besitzt ein Körper mehrere Symmetrieachsen, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.  Symmetrieachsen heißen Schwerachsen.  Flächenmomente erster Ordnung sind statische Momente.  Flächenmomente erster Ordnung in Bezug auf die Schwerachsen sind Null. Hinweis: Gleiches gilt für Flächen.

Berechnung der Schwerpunktkoordinaten von zusammengesetzten Körpern Schwerpunkt der Gewichtskraft ∑

∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

∙ ∑

Massenmittelpunkt ∑

∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

∙ ∑

Volumenmittelpunkt ∑

∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

∙ ∑

Bei der Berechnung der jeweiligen Schwerpunktkoordinaten beliebig geformter Körper ist das Summenzeichen durch das Integral zu ersetzen.

Berechnung der Schwerpunktkoordinaten von Flächen Schwerpunkt zusammengesetzter Flächen ∑

∙ ∑

∑

∙ ∑

Schwerpunkt beliebiger Flächen ∙

∙

Statische Momente Statische Momente oder auch Flächenmomente erster Ordnung: ∙

∙

 Die Flächenmomente erster Ordnung verschwinden, wenn der Koordinatenursprung im Schwerpunkt liegt.

Repetitorium

267

Streckenlasten

6 Lagerreaktionen

Fq

q0

 

Streckenlasten lassen sich auf eine äquivalente Einzelkraft Fq reduzieren. Die Größe der reduzierten Einzelkraft entspricht dem Flächeninhalt der Streckenlast: ∙



Die Wirkungslinie der reduzierten Einzelkraft verläuft durch den Schwerpunkt der Streckenlast: ∙

∙ ∙





Die Wirkungsrichtung der reduzierten Einzelkraft ist identisch mit der Wirkungsrichtung der Streckenlast. Bei einfachen Verläufen von Streckenlasten, wie z. B. dreiecksförmig, kann der Streckenlastverlauf q(x) mithilfe der Geradengleichung ermittelt werden: ∙

 Lagerbindungen schränken die Bewegung (Freiheitsgrade) eines Systems ein.  Lagerreaktionen sind die von den Lagern hervorgerufenen Reaktionskräfte und Reaktionsmomente. Statische Bestimmtheit  Ein Starrkörper ist statisch bestimmt gelagert, wenn alle Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.  Ein Starrkörper, der durch mehr als drei Bindungen gelagert ist, ist statisch unbestimmt.  Notwendige Bedingung: Abzählkriterium mit = 0 als Ergebnis. Abzählkriterium : Anzahl der Lagerreaktionen : Anzahl der GGB (Ebene: = 3) >0 =0 0 =0 0 =0