Sztochasztikus differenciálegyenletek 978-963-279-144-9

Citation preview

SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

Ludwig Arnold

SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Elmélet és alkalmazás

Typotex, 2010

Az eredeti mő címe STOCHASTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN r. Oldenburg Verlag, München Wien

Copyright © 1973 R. Oldenburg Verlag, München Hungarian translation © Dr. Zobory István, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-144-9

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Mőszaki Könyvkiadó 1984-es kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

Tartalom

A kiadó

előszava

szerző előszava

. . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

.......................... ..................

ll

Bevezetés ........................... ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Jelölések és rövidítések . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

A

l. feJezet A

valószínűségelmélet

alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

valószínűségi változók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A valószínűség és az eloszlásfüggvény . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . 1.3. Integrálelmélet. Várható értékek .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Konvergenciafogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Valószínűségi mezők szorzatai. Függetlenség . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Határértéktételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Feltételes várható érték. Feltételes valószínűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Sztochasztikus folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.1. Események és

21

24 29

31 33 34 38 41

2. feJezet Markov-folyamatok és diffúziós folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1. A Markov-tulajdonság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2. Átmenetvalószínűségek. A Chapman-Kolmogorov-egyenlet . . . . . . . 46

6

Tartalom 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az infinitezimális operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffúziós folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az "előre"- és "hátra"-egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 52 54 56

3. fejezet A Wiener-folyamat és a fehér zaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.1. A Wiener-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A fehér zaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 66

4. fejezet Sztochasztikus integrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egy példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A jövőtől nem függő függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. A sztochasztikus integrál definíciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Példák és megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 75 78 80 90

5. fejezet A sztochasztikus integrál mint sztochasztikus folyamat. A sztochasztikus differenciálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

6. fejezet

A sztochasztikus integrál mint a felső határ függvénye . . . . . . . . . . . . Példák és megjegyzések ....................................... Sztochasztikus differenciálok. Itö tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Példák és megjegyzések Itö tételéhez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Azltö-tétel bizonyítása .......................................

95 100 104 107 lll

~ztoch~sztik~ ,diffrenciálegyenletek. A megoldások létezése es egyertelmusege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1. Definíció és példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2. A megoldás létezése és egyértelműsége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.3. Kiegészítések a létezési és egyértelműségi tételhez . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7. fejezet A sztochasztikus differenciálegyenletek megoldásainak tulajdonságai 131 7.1. A megoldások momentumai .................................. 131 7.2. A megoldások analitikus tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 137 7.3. A megoldások függése a paraméterektől és a kezdeti értékektől

8. fejezet Lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek .................... 141 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

Bevezetés ................................................... A szűkebb értelemben vett lineáris egyenletek ................... Az Ornstein-Uhlenbeck-folyamat ............................. Az általános skaláris egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az általános lineáris vektoregyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 144 149 151 155

9. fejezet A sztochasztikus differenciálegyenletek megoldásai mint Markovés diffúziós folyamatok ........................................ 159 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A megoldás mint Markov-folyamat ............................. A megoldás mint diffúziós folyamat ............................ Á,tmenetvalószínűségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159 160 165 169

7

Tartalom

10. fejezet A modellalkotás és approximáció kérdései 10.1. Áttérés a valóságról Markov-folyamatra ...................... . 10.2. A Stratonovich-féle sztochasztikus integrál .................... . 10.3. Sztochasztikus differenciálegyenletek approximációja ............ .

175 175 179 183

ll. fejezet Sztochasztikus dinamikus rendszerek stabilitása . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7.

Determinisztikus rendszerek stabilitása ......................... A sztochasztikus stabilitáselmélet alapfogalmai .................. A momentumok stabilitása .................................. Lineáris egyenletek ·. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . A zavarhatással terhelt együtthatójún-edrendű lineáris egyenlet . . A stabilitás kimutatása linearizálással . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Példa a műbolygó-dinamikából ...............................

12. fejezet Zavarhatással terhelt jelek optimális 12.1. 12.2. 12.3. 12.4.

szűrése

187 190 198 200 206 207 208

. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 211

A probléma leírása ......................................... A feltételes várható érték mint optimális becslés . . . . . . . . . . . . . . . . . A Kalman-Bucy-szűrő ...................................... Optimális szűrő lineáris rendszeresetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211 214 215 217

13. fejezet Sztochasztilms dinamikus rendszerek optimális szabályozása .....• 219

13.1. A Bellman-egyenlet .......................................... 219 13.2. Lineáris rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 13.3. Szabályozás szűrt megfigyelések alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

A kiadó előszava

A sztochasztikus differenciálegyenletek elmélete az 1950-es évektől kezdődően intenziv fejlődést mutat. Jelenleg a fizikai és műszaki tudományokban egyaránt széles körben alkalmazzák, és napjaink szakirodalmi közleményeiben jól figyelemmel kisérhető a behatolása a mérnöki feladatmegoldás területeire. A különböző sztochasztikus differenciálegyenlet tipusok analizise ma már igen előrehaladott, azonban a bonyolult matematikai eredmények és az alkalmazók által elérhető ismeretek között bizonyos elszakadás tapasztalható. Ludwig Arnold könyvének nagy érdeme, hogy sikeresen kapcsolja össze a sztochasztikus differenciálegyenletek elméletének matematikai tárgyalásrnódját és jelölésrendszerét, valamint a mérnöki rendszertechnikai problémafelvetést. A bonyolult matematikai elméletet rendkivül olvasmányosan mutatja be, és igy a nem matematikus olvasók számára is hozzáférhetővé teszi a sztochasztikus differenciálegyenletek elméletét Ugyanakkor a tárgyalást rendszerelméleti motiváció kiséri végig, ami az elmélet alkalmazásainak bemutatásaiban is megnyilvánuL Ez különösen kedvezően érvényesül a sztochasztikus stabilitáselmélet, az optimális sűrűség és szabályozás bemutatásában.

10

Előszó

Arnold professzor könyve igen hasznos, időtálló, szemléletformáló ismeretanyagot ad a különböző tudományterületeken alkalmazott matematikai módszereket felhasználó szakemberek, valamint a műszaki és tudományegyetemek oktatói és hallgatói kezébe. A tárgyalt módszerek széles körű elterjedése a hazai műszaki-tudományos szemlélet színvonalának növekedéséhez nagymértékben hozzájárulhat. A kiadó

A szerzö

előszava

A sztochasztikus differenciálegyenletek elméletét eredetileg azért fejlesztették ki a matematikusok, hogy az adott drift- és diffúziós együtthatójú diffúziós folyamatok trajektóriáit explicite meghatározzák. A műszaki és természettudományokban viszont természetes módon adódnak a sztochasztikus differenciálegyenletek olyan rendszerek leírásánál, amelyekre ún. "fehér zaj" hat. A könyv azon előadásaim anyagára támaszkodik, amelyeket a stuttgarti egyetemen az 1970-es nyári félévben az 5. szemesztert elvégzett matematikus és mérnökhallgatók számára tartottam. Így az ismertetés közép-haladó szint és a valószínűségelmé­ let mellett csak bizonyos matematikai alapismereteket tételez fel. Az első fejezetben összefoglaltam a .valószínűségszámítás legfontosabb fogalmait és eredményeit, ez azonban csak tájékoztatásra és a régebbi ismeretek felfrissítésére szolgál. A könyv írása közben mindig arra törekedtem, hogy megjegyzésekkel, példákkal, speciális esetek bemutatásával és heurisztikus meggondolások közbeiktatásával nagyfokú érthetőséget érjek el. Elhagytam az olyan bizonyításokat, amelyek a tulajdonképpeni tárgy szempontjából csekély információs értékűek. A stabilitásról, szűrés-

12

Előszó

ről szóló fejezetekben pedig példákon szemléltetve mutatom be, hogy miként hasznosítható ez az új matematikai munkaeszköz.

E könyv megírására a stuttgarti egyetem mechanikai intézetéből Dr. Peter Sagirow ösztönzött, akinek a kézirat átolvasásán túl sok értékes kezdeményezéséért és helyesbítő javaslatáért ezen a helyen szeretném kifejezni őszinte köszönetemet. Kedves kötelességemnek teszek eleget ezenkívül, amikor megköszönöm Hede Schneidernek (Stuttgart) és Dominique Gaillochetnek (Montreal) a kézirat gépelésekor végzett kiváló munkájukat. Végül köszönet illeti a Montreali Egyetem Matematikai Kutató Központját, ahol ott-tartózkodásomkor a könyv kéziratát elkészítettem. Ludwig Arnold

Bevezetés

Számos műszaki és természettudományi probléma vizsgálatánál véletlen függvényekre (sztochasztikus folyamatokra) vonatkozó differenciálegyenletek adódnak. Ezek az egyenletek legtöbbször a következő két - egymástól alapvetően különböző - tipus egyikét képviselik. Egyrészt a klasszikus differenciálegyenlet problémákban bizonyos függvények, együtthatók, paraméterek, kezdeti- vagy peremértékek véletlen jellegűek lehetnek. Egyszerű példa erre az Xt=A(t)Xt+B(t),

Xt.=C

kezdeti érték probléma, az A(t) és B(t) véletlen függvényekkel mint együtthatókkal, és c véletlen ,kezdeti értékkel, vagy az Xt=f(t, XI, 'YJt),

Xt.=C

kezdeti érték probléma, az 7]1 véletlen függvénnyel, c véletlen kezdeti értékkel és rögzített f függvénnyeL (A fenti egyenletekben szereplő összes függvény skalárértékű.) Ha a szóban forgó véletlen függvények bizonyos regularitás i tulajdonsággal rendelkeznek, akkor a fenti problémákat egyszerűen az egyes realizációkra vonatkozó klasszikus problémák egy családjaként felfogva a differenciálegyenletek elméletének klaszszikus módszereit lehet alkalmazni. Más a helyzet, ha a formálisan közönséges

14

Bevezetés

differenciálegyenletekben ún. "fehér zaj" típusú véletlen függvények lépnek fel, mint pl. az (a)

egyenletben a ~ 1 függvény. A "fehér zajt" nulla középértékű, az egész valós tengelyen konstans spektrálsűrűségű, stacionárius Gauss-folyamatnak fogjuk fel. Az ilyen tulajdonságú folyamat nem értelmezhető a megszokott módon, mivel kovarianciafüggvénye a Dirac-féle delta függvény lenne, tehát végtelen szórású (és minden pontjában független értékekkel rendelkező) folyamatról lenne szó. Ennek ellenére a ~ 1 "fehér zaj" hasznos matematikai idealizálásnak bizonyul azoknak a véletlen behatásoknak a leírására, amelyek gyorsan változnak és a különböző időpontokhoz tartozó értékeik gyakorlatilag korrelálatlanok. Ilyen egyenleteket elsőként 1908-ban Langevin alkalmazott a folyadékban Brownmozgást végző részecskék tanulmányozásánál [44]. Legyen X 1 egy Brown-mozgást végző részecske valamelyik sebességkomponense a t időpillanatban, akkor a Langevinegyenlet (b)

alakú, ahol!X>Ü és a konstansok. Itt -tXX1 a környező közeg hatásának szisztematikus része, amelyet a dinamikus súrlódás hoz létre. Az IX konstans a Stokes-féle törvényből IX= 6naYJfm-nek adódik, ahol a jelöli a gömb alakú részecske sugar át, m a részecske tömegét, 'YJ pedig a környező folyadék viszkozitását. Ezzel szemben a a~ 1 kifejezés azt az erőhatást reprezentálja, amelyet a molekulák ütközése gyakorol a részecskére. Miután normális körülmények mellett másodpercenként l 021 körüli molekulaütközésről van szó, amely a részecskét minden irányból egyenletesen éri, így a~ 1 valóban egy gyorsan változó fluktuáció kifejezése, amelyet "fehér zajként" idealizálhatunk. Ha a ~ 1 folyamatot úgy normáljuk, hogy kovarianciája a deltafüggvény legyen, akkor a a2 = '11XkT/m összefüggést kapjuk (itt k a Boltzmann-állandó, T a környező folyadék abszolút hőmérséklete). Alakilag ugyanez a (b) egyenlet adódik valamely áramkörben fellépő áramerősségre is, ahol ~ 1 a termálzajt reprezentálja. Természetesen a (b) az (a) egyenlet speciális esete, amelynek jobb oldala additíve bömlik fel az f szisztematikus részre és a G~ 1 :fluktuációs részre. A Brown-mozgás (b) modelljében -annak ellenére, hogy ~ 1 nem egy közönséges értelemben vett véletlen függvény- az X 1 valószínűségeloszlás ai explicite kiszámíthatók. Azonban valamennyi ilyen eloszlású X 1 folyamat (Ornstein-Uhlenbeck-folyamat) l valószínűséggel nem differenciálható realizációkkal rendelkezik, úgyhogy (b) és általánosabban (a) nem fogható fel közönséges differenciálegyenletként. Az (a) típusú egyenletek matematikailag szigorú kezelése teszi szükségessé a könyvünk tárgyát képező új számítási mód kifejlesztését. Ki fog derülni, hogy bár a "fehér zaj" csak általánosított sztochasztikus folyamat, a (c) határozatlan integrált mégis a Wiener-folyamattal azonosíthatjuk. A Wiener-folyamat egy olyan folytonos (de seholsem differenciálható) realizációkkal bíró Gaussfolyamat, amelynek középértéke: EW1=0, és kovarianciája: EW1 W5 =min (t, s).

Bevezetés

15

Alkalmazva (c)-re a dW1=;1 dt

szimbolikus írásmódot, az (a) kifejezés a (d)

differenciális alakot nyeri. Ez az X 1 folyamatra nézve egy (Itö-féle) sztochasztikus differenciálegyenlet, amelyet az t

(e)

X 1= c+

I f(s, X fo

t

5)

ds+

I G(s, X

5)

dW5

lo

integrálegyenlet rövid felírásaként értelmezünk. Az itt szereplő W 1 folyamat realizációi l valószínűséggel folytonosak ugyan, azonban egyetlen intervallumban sem korlátos variációjúak, így az (e) kifejezésben szereplő második integrál általában még sima G függvény esetén sem fogható fel a W 1 realizációira nézve vett közönséges Riemann-Stieltjes-integrálként, mivel ebben az esetben a közelítő összeg határértéke függ a közbenső pontok megválasztásátóL 1951-ben Itö

alakú integrálokat definiált a W 1 Wiener-folyamat ún. jövőtől nem függő G funkcionáljainak egy széles osztályára, és ezzel a sztochasztikus differenciálegyenletek elméletét szilárd alapra fektette. Ennek az elméletnek van néhány különös vonása. Például a dX1=X1 dW1 , X0 =1 egyenlet megoldása nem ew•, hanem

amit a klasszikus szabályok szerinti tisztán formális számítással nem kapunk meg. Ki fog derülni, hogy a (d) sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása folytonos realizációkkal rendelkező Markov-folyamat, sőt ezen túlmenően diffúziós folyamat. Meg[ordítva, minden (sima) diffúziós folyama t egy (d) alakú sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása, aholfa folyamat driftje és G2 a folyamat diffúziós együtthatója. Ily módon hatékony módszereink vannak a diffúziós folyamatok átmeneti és véges dimenziós eloszlásainak, továbbá számos funkcionálja eloszlásának kiszámítására. Ezek a módszerek az ún. analitikus vagy indirekt valószínűségelméleti módszerek közé tartoznak, amelyek tárgya nem az X 1 állapot, hanem pl. a P(X1EB[X5=x) átmenetvalószínűségek időbeli alakulása. A sztochasztikus differenciálegyenletek megoldása viszont a valószínűségi vagy direkt módszerekhez tartozik, mivel ez magával az X 1 valószínűségi változóval és annak változásával foglalkozik. A (d) vagy (e) alakú egyenlet egy olyan- bár általában bonyolult - konstrukciós előírást fejez ki, amelynek segítségével az X 1 trajektóriái egy W 1 Wiener~folyamat trajektóriáiból és egy c kezdeti értékből megkaphaták.

16

Bevezetés

A (d) szerintinél általánosabban írható le valamely utóhatásmentes (emlékezet nélküli) sztochasztikus dinamikus rendszer állapotváltozása a

(f) alakú egyenletteL Egy szisztematikus részhez hozzáadódó fluktuáló tén: · g(t, x, h)=f(t, x)h+G(t, x)(Yt+h-Y1).

Itt Y 1 egy független

növekményű

külső

hatások ese-

folyamat, amivel az (f) egyenlet a

dX1=f(t, X1) dt+ G( t, x) dY1 alakot nyeri. Az ilyen egyenleteket már Itő is tanulmányozta [42]. Mi azonban tárgyalásunk során csak az Y 1= W 1 legfontosabb speciális esetre szorítkozunk.

Jelölések és rövidítések

A d-dimenziós vektorokat elvileg dX l méretű mátrixoknak (oszlopvektoroknak) fogjuk fel. A valószínűségi változókat tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek általában csak l valószínűséggel érvényesek. A valószínűségi változók w argumentumát rendszerint elhagyjuk. A' az A mátrix transzponáltja X 1 d-dimenziós sztochasztikus folyamat [t0, TJ c [O, oo] =R+ indexhalmazzal

X/ az X1 vektor transzponáltja

X1 az X 1 t-szerinti cleriváltja Rd a d-dimenzips euklidészi tér J x- y j távolságfüggvénnyel

I egységmátrix I A az A halmaz indikátorfüggvénye d

jxj az xERd elem normája, Jxj 2 = Z

1=1

2

x~=x'·x=Sp

(xx')

18

Jelölések és rövidítések

xy az x, y ERd elemek skalárszorzata, d

x'y=

Z

X;Y;=Sp (xy')

i=l

xy' az (x; y) mátrix d

m

lAl az dXm-es A mátrix normája, IAI 2 =Z Za71 =SpAA'.Fennáll,hogyjAxl~ i=l J=l

d

Sp A= Z a;;= az A mátrix nyoma i=l

A pozitív definit (nemnegatív definit):

x'Ax>O(~O),

minden

x~ O esetén.

8(t) a Dirac-féle delta-függvény

az x pontra koncentrált valószínűségi mérték sup, inf egy skalár halmaz sorozat vagy legkisebb (lx

felső,

ill. legnagyobb alsó korlátja

lim sup, lim inf egy skalár sorozat legnagyobb, ill. legkisebb torlódási pontja o(g(t)), O(g(t)) olyan mennyiség, amely g(t)-vel osztva t vizsgált változása mellett (legtöbbször t-+0 mellett) nullához tart, ill. korlátos marad (Q, dl., P) valószínűségi mező

C dl.(C) a

halmazosztály által generált a-algebra

rJJd, rJJd(M) az Rd-beli, ill. az M c Rd-beli Borel-halmazok a-algebrája t 2]) az X 1 , t1 ~t~ t 2 valószínűségi változók által generált a-algebra

dl.([t1 , ~~

(vektorértékű)

fehér zaj

W1

(vektorértékű)

Wiener-folyamat

U=U(Q, dl., P) azon valószínűségi változók összessége, amelyekre E! X IP