シンプレクティック幾何学 -- Symplectic geometry

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シンプレクティック幾何学 深谷賢治

岩波書店

V

まえがき

この本はシンプレクティック幾何学の概説書で， Gromov に始まる概正則 曲線を用いる大域シンプレクティック幾何学にかかわる部分を中心にしてい る．

しかし，それ以外の話題にもできるだけ多く触れるように心がけた．

ンプレクティック幾何学は解析力学から生まれた.

シ

20 世紀の解析力学の発展

には，三体問題などから発展していった力学系の研究の流れと，量子力学か . 本書の力点はどちらかといえば後 ら場の量子論へと向かった流れがある* 1

者にあるが，前者にかかわることも述べられている． シンプレクティック多様体の大域的性質の研究のうちで，シンプレクティ

ック多様体の分類などを中心とした部分は，最近ではシンプレクティック卜 ポロジーと呼ばれることが多い．

この本の力点はシンプレクティックトボロ

ジーとはずれており，本書はシンプレクティックトボロジーの概説書という

わけではない．（本書の力点のおき方には，

, [118] などで述べた ] 5 1 1 [128], [

夢が背景にある．） 概正則曲線の理論の基礎をなす，関数解析的偏微分方程式論を用いる概正 則曲線のモジュライ空間の構成と，その基本的な性質の証明を，技術的な詳

細まで含めて，完全に与えることはしなかった

しかし，要点は第 2 章で説

明したつもりである．概正則曲線のモジュライ空間の構成については最近で

. ) ] 3 5 2 ,[ ] 4 8 1 は多くの書物がある ([25], [ シンプレクティック幾何学がかかわる最近の重要な話題に，

がある．

この本ではその解説にかなりのベージを割いたが，

かかわる重要な側面で，

ミラ一対称性

ミラ一対称性に

この本では触れていないことが多くある．

ミラ一対

称性は，シンプレクティック幾何学と同時に代数幾何学·複素幾何学にもか

*1 この 2 つを分けてしまうのは一面的な見方ではあるが．

まえがき

vi

かわる．

ミラ一対称性の解説のほとんどは，理論物理学（弦理論）の立場から

のもの，または代数幾何学・複素幾何学の立場からのものである（代数幾何 学の立場からの詳しい解説が最近出版された [64]). この本では，むろん，シンプレクティック幾何学の立場から説明したそ れで，代数幾何学・複素幾何学で論じるべきことについてはあまり深入りし なかった．特に，

ミラ一対称性の研究の 1 つの中心である，キャラビ‘ーヤウ

多様体上の有理曲線の数え上げには深人りしていない． この本で述べられているミラ一対称性の側面は，代数幾何学・複素幾何学 に属す側面に比べて未成熟な部分が多いが，限られた紙数の中で特徴をもつ

本にしたいと思った結果，筆者が研究していることに近い部分を，現在進行 中のことも含めてある程度述べることにした． シンプレクティック幾何学は，天体力学，力学系，特異点論，流体力学あ

たりから始まつて，超局所解析・可積分系・代数幾何学，素粒子論，

リー群

の表現論，非可換幾何学にいたるまで，数学とその隣接諸科学の非常に多く の分野にかかわっている．

これも勉強したい， も 30~40 冊の本と，

この本の執筆を始めてから，あれも調べなければ，

という事柄が増えて，筆者の研究室の机の上には，いっ 100 以上の論文が，次々と入れ替わりつつ積み上げら

れている．その一部はこの本の中に引用したが，わかっている振りをして，

積ん読のまま引用したものもある．読者がそれぞれの興味に従って，勉強・ 研究を続けてい＜ことを期待したい．

各章の内容は次の通りである．第 1 章は導入で，シンプレクティック幾何 学の 20 世紀の幾何学全体の中での，筆者なりの位置づけである． 第 2 章からが本論である．第 2 章はシンプレクティック多様体の定義と， シンプレクティック幾何学の 2 つの最初の基本定理である Darboux と Moser

の定理を述べた後，概正則曲線の方法について述べた.

.6 では， ,2 .5 ,2 .4 2 ｧ

概正則曲線を考えることの重要性と，概正則曲線のモジュライ空間の構成・ 研究の基本的な考え方を述べた．

とりあえずの目的とした定理 2.36 は，積

分可能とは阪らない概複素構造の場合の， ClP'2 上の概正則曲線の存在定理で

まえがき

ある．大がかりな道具立てのわりに，

vii

この定理は一見では大定理には見えな

いであろう．まずは道具立てそのものを解説することが目的であるが， §2.

7

でこの定理（の親戚）を利用して，大域シンプレクティック幾何学の誕生を告 げる Gromov の定理，圧縮不能性定理を述べる．圧縮不能性定理では，積分 可能でない概複素構造を考えることが本質的であり，複素幾何学（ケーラ一 多様体の幾何学）とは異なる，シンプレクティック幾何学の特徴が強く現れ ている．

第 3 章は，シンプレクティック商（あるいはシンプレクティック簡約）の概 説である．

この方面にも多くの書物 ([24], [ 1 6 7 1 ,[ 1 6 9 1 , [200]) がある．本書

で比較的詳しく述べたのは，運動量写像のモース理論である．また，例とし て，曲面の墓本群の表現空間を多く論じた．

写像は，

シンプレクティック商や運動量

リー群の表現論の研究と一体となって研究されてきており，その方

面に重要な例が多いが，あまり取り上げなかった．理由の 1 つは，筆者の勉 強不足で，

もう 1 つは，本書の力点が場の量子論，特にその大域幾何学と深

＜かかわった部分にあり，曲面の基本群の表現空間はその意味からも大切な

例だからである．基本群の表現空間は接続全体の空間のシンプレクティック 商である．

このような無限次元の例は他にも多くあり，大域シンプレクティ

ック幾何学の視点が，

これからもその威力を発揮してい＜方向であると思わ

れる．

第 4 章ではシンプレクティック幾何学の重要概念であるラグランジュ部分

多様体を取り上げた．最初の 2 節の目的は，できるだけ多くの例・構成法を 挙げ，ラグランジュ部分多様体がいかに多くの数学とかかわるかを見せるこ

とである. ｧ 4 .3 では，幾何学的量子化を解説した．幾何学的量子化もやは り，表現論と深くかかわって発達した分野で，実例も表現論にかかわるもの が多くあるが，前と同じ理由で，曲面の基本群の表現空間にかかわる例の方

を取り上げ tz:. ｧ 4 .4 では，マスロフ指数を解説した．マスロフ指数も多方 面とかかわる話題である．特性類として自然にかかわるのが，

同境の理論で，

ラグランジュ

これについてはかなり詳しく述べたまた，最近の発展とか

かわる重要な側面である，概正則円盤のモジュライ空間との関係についても

viii

述べた．

まえがき

もう 1 つの大切な側面である，超局所解析との関係は，残念ながら

紙数の関係で割愛した.

, [165] などをご覧いただきたい． ] 4 3 [

第 5 章はシンプレクティ；；ク幾何学におけるフレアーホモロジーの理論の 概要を述べた．

シンプレクティック幾何学で現れるフレアーホモロジーは

（とりあえず） 2 種類あるが，最初の 3 つの節で周期ハミルトン系の場合を，

.4 でラグランジュ部分多様体の場合（で一番扱いやすい場合）を述べた．残 5 ｧ 念ながら必要な解析を細部まで述べることはできなかったが，

フレアーホモ

ロジーの理論の，基本的な問題点と考え方は示したつもりである．

第 6 章ではミラ一対称性を扱った．概正則曲線を組織的に用いて組み立て られるのが，グロモフーウィッテン不変量の理論である．最初の 3 つの節は その概要である．その基本的な構成だけでも，全部を述べると長大になるの で，解析の細部の多くを省略した．（解析の基本的な考え方は，第 2 章にあ る．）また，グロモフーウィッテン不変量の計算法については，あまり多くを 述べなかった．前にも引用したミラ一対称性の代数幾何学的側面の概説 [64] は計算法に詳しい．後半の 3 節は，変形理論（モジュライの理論）とそのシン プレクティック幾何学とのかかわりを述べた．

ミラ一対称性がモジュライ空

間にかかわるのはまず周期写像を通してであるが，周期写像については説明 しなかった．

ミラ一対称性と周期写像の関係も [64] に詳しい．（計算法と周期

写像はどちらかというと代数幾何学に属する話題であるので避けたまた， [64] との重複もできるだけ避けた．）かわりにこの 3 つの節では，ホモロジ一

（ホモトピー）代数学にもとづ＜抽象的な変形理論を述べ，そのミラ一対称性

およびシンプレクティック幾何学への応用を与えた.

.4 ではホモロジ一代 6 ｧ

数の部分を（複素多様体からの動機づけとともに）述べ， §6. 5 では，その応用 である， Kontsevich らによる変形の存在についての 2 つの定理，すなわちキ

ャラビ‘ーヤウ多様休の拡大変形空間の構成* 2'

および，ポアッソン構造に対応

する変形量子化の存在を述べた．最後の節は，ほとんどの部分が予想として

残されている，ホモロジー的ミラ一対称性について述べた．主な目的は数学

*2 実はこれは周期写像の理論と関係が深い．

まえがき

ix

的に厳密な形の予想を導き出すことである．また，アーベル多様体の場合に， 予想が成り立つ具体例を与えた．

この節の半分は，本書と同時期に出版され

る予定の， Kontsevich• Oh• 太田・小野氏と筆者の共著 [122] の概要である．

本書の各章のかなりの部分は互いに独立に読める．第 3 章と第 4 章 (§4. 4 の最後の部分以外）を読むには，第 2 章の §2. 3 以後は不要である．また，第 4 章のほとんどの部分は第 2 章と独立で，第 3 章の結果を用いるのは， §4. 3

, .2 ,5 の一部だけで，また， §4. 4 は §4. 3 とは独立である．第 5 章の §5. 1 .4 5 .2 だけを用いる. ｧ 3 ,ｧ 5.3 は，第 4 章とは独立で，第 3 章では， §3. 1 では，第 4 章の §4.1 と §4. 4 が用いられる．第 5 章と第 6 章もほぼ独立で， 普遍ノビコフ環の定義 5.44 だけ見れば，第 2 章のあと，すぐに第 6 章に進

,5 章の大部分と関係がある． んでもよい．ただし §6. 6 は例外で，第 3, 4 本書のあちらこちらに（特に第 5, 6 章に），注意として，かなりの予備知識 を前提としていることが書かれている．初めて読む読者が，

これらの多くを

理解できないのは当然である．知らない言葉が出てきたらさっさと飛ばして もよい．

これらの注意は，読者のそれぞれが，そのうちの 1 ヵ所でも 2 ヵ所

でも興味をもち，引用した文献などで勉強・研究を進めるきっかけになるこ とを願って人れたものである．

筆者がシンプレクティ；；ク幾何学の勉強を始めたのは 6, 7 年前であり，大 学院のセミナーのテーマにシンプレクティック幾何をやろう，

と言い出した

ときからである．その後も，修土課程や博士課程のセミナーと称して，京都 大学や東京大学の大学院の学生に，いろいろな論文を読んで教えてもらった． それらがこの本の主要部分をなしている．

また，研究集会シリーズ "Surveys

1l の回）やその準備の中でも，多くの 3 1 ,[ 0l 3 1 ,[ 9l 2 nGeometry" (の特に[ 1 i 人にいろいろなことを習った．

このように，勉強中の学生から，シンプレクティック幾何学の代表的な研 ＇究者まで，多くの人にいろいろ教えてもらうことなしには，

この本を書くこ

とはできなかった．

以下それらの人々の名前の一部を五十音順で記して感謝の意を表したい．

まえがき

x

赤穂まなぶ，板垣裕也，江口徹， Y.G.Oh, 太田啓史，股島靖文，小野薫， 金子真隆，亀谷幸夫， M.Gromov, 牛腸徹，今野宏， M. K o n t s e v i c h , 高倉

樹，中島啓西納武男，橋本義武，林正人，古田幹雄，… 最後に，大幅な執筆の遅れとページ数の超過などで，ご迷惑をかけたにも かかわらず，執筆を最後まで助けてくれた岩波書店の編集部の方々に感謝し たい．

1999 年 5 月

深谷賢治

追記

本書は，岩波講座『現代数学の展開』の 1 分冊であった「シンプレクティ ック幾何学」を単行本としたものである．それにあたっては，本文中の内容

は講座時のままとし，誤植訂正のみに留めたただし，あとがきの後に「単 行本化にあたっての追記」を入れて本文への補足や訂正を行なった． 2008 年 10 月

CV

xi

目

次

まえがき

ｧ1.1

ェルランゲン目録と G 構造

ｧ 1 .2

局所から大域ヘ・・・・

ｧ 1 .3

シンプレクティック幾何学の歴史瞥見．．．．

ｧ 2 .1

..

シンプレクティック幾何学と 概正則曲線人門 ・・・・・・ 定義と例・・・

ー

第2章

1250

緒

論

第 1 章

V

2 1 2 1

ｧ 2 .2 Darboux の定理と Moser の定理

25

ｧ 2 .3

概複素構造の微分幾何学...........

30

ｧ 2 .4

概正則曲線序説........

39

ｧ 2 .5

モース理論の観点とコンパクト性.......

53

ｧ 2 .6

コンパクト化とバブル・・・・・

65

ｧ 2 .7

最初の応用・・・

7 6

運動量写像とシンプレクティック商

8 1

ｧ 3 .1

シンプレクティック商・・・・・・・

8 1

ｧ 3 .2

運動量写像のモース理論．．．．．．．．．．．

89

ｧ 3 .3

複素幾何学との関係．．．．．．．．．．．

97

ｧ 3 .4

局所化と同変コホモロジー・・・・·

第3章

第4章

ｧ4.1

ラグランジュ部分多様体をめぐって ラグランジュ部分多様体・・・・

108

119 119

xii

目

次

ｧ4.2 接触多様体とルジャンドル部分多様休· . . ...

ｧ 4 .3

幾何学的量子化....

ｧ4.4

マスロフ指数とラグランジュ同境・・・

第5 章

フレアーホモロジ一

129 1 4 1 163 187

ｧ 5 .1

周期ハミルトン系とアーノルド予想．．．．．

187

ｧ5.2

フレアーホモロジー・・・・・

194

. . . .. . 217

ｧ 5 .3 ボット—モース理論再説 ｧ5.4 第6 章

概正則円盤の応用・・・・

229

グロモフーウィッテン不変量と

ミラ一対称性..............

243

ｧ6.1

ミラ一対称性序説・・・・

. .. . . . . 243

ｧ6.2

グロモフ—ウィッテン不変量

......

ｧ6.3

フロベニウス多様体·

ｧ6.4 ホモトピー代数と変形理論・・・ ｧ6.5 B 模型と変形量子化· ｧ 6 .6 あとがき

. . . .. 276 . . ... . 294 .. . . .

フレアーホモロジーとミラ一対称性・

... .. . .

2 5 1

309 333 373

単行本化にあたっての追記

375

参考文献

385

索

405

リ1

ー

＿＿―-ロ

企而

緒

シンプレクティック幾何学の教科書を書くのは時期尚早である． シンプレクティック幾何学は，

19 世紀の数学者 Hamilton によって古典力

学の方程式の変分法としての構造を表現する数学的な型式として出発した． 奇妙なことに，古典力学の表現手段であったはずのシンプレクティック幾

何学（ハミルトン型式）は，量子力学の創設においても不可欠な役割を果たし た．

20 世紀の幾何学の発展において，シンプレクティック幾何学は異端児であ りつづけた．局所から大域へという幾何学の流れに，シンプレクティック幾

何学は完全に乗り遅れただから，未来の数学の萌芽として一部で熱烈に擁 護されながら，そして幾何学以外の分野で多くの重要な応用を生みながら， 幾何学そのものの本流になることは決してなかった 0

C

Gromov の 1985 年の論文は，大域シンプレクティック幾何学が豊かな内 容をもつことをついに明らかにし，その風景を一変させた．理論物理学で， 大域幾何学の意義がようやく見出されたとき，大域シンプレクティック幾何 学の重要性はいよいよ明らかになった． シンプレクティック幾何学の時代は今始まつている．

2

第 1 章緒論

.1 ェルランゲン目録と G 構造 1 ｧ 冒頭のコピーは，筆者が岩波講座『現代数学の展開』の内容予告に書いた ものである．

これを敷術することでシンプレクティック幾何学の歴史を語り

たい「局所から大域へ」と向かった 20 世紀後半の幾何学の流れと，そこに 至る 20 世紀の幾何学の歩みを見つめながら． 有名な Klein の工ルランゲン目録 (Erlangen program) から話を始めよう． ェルランゲン目録を，群とそれが作用する空間の組 (X,G) が与えられたと き幾何学が与えられる，

と簡略化して述べておく.

(X,G) に対応する幾何学

をもつ空間 M とは，任意の点 pEM に対して，その近傍 UpCM を X の開 集合とみなすことができる．また， X 上の諸量あるいは諸概念のうちで， G の作用で不変なものだけが，

(X,G) で与えられる幾何学の概念であるとみな

す． 注意 1.1

正確に定義すると，次の通りである．

M の各点 p に対して，その近傍砧と X の開集合の間に微分同相写像％で以 下の条件を満たすものが与えられたとき， M 上に (X,G) 構造が定まったとい

う：座標変換灼 0'P;圧 'P.(up

nu.) • 'PP(upnu.) が， G の元 gp,q を用いて， n であって G が

GL(n+l;C) の場合（射影幾何学），などである． どれもここで解説するわけではないので，説明は省く． たのは，群を与えることで 1 つの幾何学ができる，

ここで述べたかっ

という思想である．工

ルランゲン目録では，「群を与える」とは (X,G) という組を与えることであ

る．群 G は空間 X に作用している．重要な例では， X への G の作用は推移 的 (transitive) である．（つまり， p,qEX のとき q=gp なる gEG が存在す

ｧ1.1

工ルランゲン目録と G 構造

3

る．）この場合，考える空間はおおよそ等質空間 G/H である．（ここで H は G の部分群で G/H は H の G への右からの掛け算による作用についての商 空間を指す．） これを局所化したのが E. Cartan である.

Cart皿の幾何学では，群 G は

ベクトル空間町に作用している．すなわち， GcGL(n 遣）である．そし

て， n 次元多様体 M の G 構造 (G structure) とは， M の座標系 (U,心,)であ って，座標変換の‘微分＇が G の作用で与えられるものを指す． すなわち，ェルランゲン目録での幾何学では，空間 M が各点の近傍で

(X,G) の一部と同ー視されたのに対して， Cart皿の幾何学では M の各点の

無限小近傍すなわち接空間冗M が（即， G) と同ー視されるのである． 注意 1. 2 正確に述べると， M=UU. なる M の開被覆と，伶：

u .→伶 (U.) な

る町の開集合への微分同相写像で，約゜ i.p:;1 : 約 (U;nU;) → i.p.(U.nU;) としたと き，その x El . { ! ; ( U ;nU;) での微分 d(約゜ i.p:;1) : ⑰即→ Tp即が GcGL(n; 罠）の元 であるものが存在することを指す．

G 構造の 2 つの典型例は，

リーマン幾何学 (Riemannian geometry) すな

ゎち G=O(n)cGL(n 遺）（直交群）の場合と，複素幾何学「すなわち」 G=

GL(n;C)cGL(2n;賊）の場合である． ェルランゲン目録と Cartan の幾何学を結ぶのが， G 構造の積分可能性 (integrability) という概念である .G 構造が積分可能とは，次のように定義 する.

GcGL(n 遺）であるとき，町には標準的な G 構造が定まつている．

M 上の G 構造が積分可能とは， M の各点に対して，そのある近傍が G 構 造も含めて標準的な G 構造をもつ町の開集合と同型であることを指す． G 構造の定義では，各点の無限小近傍が標準的な G 構造をもつ即と同ー 視できるとしていた．積分可能性とは，十分小さい，しかし 0 でない有限の 大きさをもつ近傍が，標準的な G 構造をもつ町と同ー視できることを意味 する．

複素構造とは積分可能な GL(n;C) 構造のことである．積分可能性を仮定 しない場合， GL(n;C) 構造のことを概複素構造 (almost

complexs t r u c t u r e )

4

’っ

第 1 章緒論

と呼ぶ（これが，上で「すなわち」と括弧をつけた理由である．） リーマン幾何学では，積分可能性は仮定しない．

リーマン幾何学の場合，

つまり G が直交群 O(n) cGL(n 遺）の場合，積分可能な G 構造とは，平坦 なリーマン計量を意味する．あるいは， X が n 次元ユークリッド空間で G

がその合同変換（等長変換）のなす群である場合の， (X,G) 構造を意味する． これでは研究対象として狭すぎる． Cartan の幾何学は，積分可能でない G 構造をとり込むことにより，等質

空間を超えた一般の多様体に幾何学の対象を広げた．等質空間の研究には， リー群あるいはリー環の代数的研究が最も有力な手段であった．等質空間を 超えることにより，代数的手法を超えた，超越的な方法が研究の中心的な手 法になることが要請される．

しかし， Cartan 自身がリー群論の中心的な建

設者の一人であったことからもわかるように，超越的手法が幾何学の主要な 手法となるには，多くの年月を要した．

20 世紀前半における微分幾何学の発展は，局所理論を中心に展開された． それは， G 構造の言葉を使えば， G 構造をもつ空間の局所的な分類の問題で ある．積分可能な G 構造を考える阪り，局所的な分類の問題は存在しない． なぜなら，局所的には標準的なものと同じである， 定義であるからである．

というのが積分可能性の

しかし，たとえばリーマン幾何学を考えると，局所

的なリーマン多様体の分類の問題は，曲面論を研究した Gauss 以来の中心問 題であった．

G 構造を与えるとは，多くの場合，空間上に構造を決めるテンソルを与え ることを意味するたとえば，

リーマン幾何学ではそれは正定値対称テンソ

ル g:TMl8lTM →戦であり，（概）複素構造ではそれは｛ゴ倍にあたる写 像 (1-1 テンソル） J:TM

• TM である．

G 構造を局所的に分類する問題に答えるには， G 構造の不変量を見つける 必要がある．それは， G 構造を与えるテンソルを微分して得られる量を適 当に組み合わせることによって得られる．

どのような組み合わせをすると，

得られたものが G 構造の不変量になるか，すなわち G 構造を保つ微分同相 写像で保たれるか，

というのが基本問題である．

このような量を微分不変式

ｧ1.2 局所から大域へ

5

( d i f f e r e n t i a linvariant) という．微分不変式を求める間題は， 19 世紀の末か らテンソル解析の中心問題として研究された．

リーマン幾何学の場合は，曲

率が最も雷要な微分不変式である．

G 構造の局所的な分類問題は，十分多くの微分不変式を見つけ，逆にそれ らの微分不変式が一致する 2 つの G 構造が局所的に同型であることを示せば 解かれたことになる．

これを同値問題 (equivalence problem) という．

リーマン幾何学の場合は「曲率が一致する 2 つのリーマン多様体は局所的 には等長的である」という命題がそれにあたる．（曲率が一致するということ の正確な意味を与えないと，

では省略する.

この命題は数学の定理をなさない．それはここ

[ 2 0 4 )V o l . 1 ,ChapterIV7 など参照）

同値間題の主要なものは 1950 年代までに解決され，また微分幾何学・位 相幾何学の甚礎づけも完成する．そうして微分幾何学の中心は大域的な問題 に移るのである．

ｧ 1 .2 局所から大域ヘ シンプレクティック幾何学中興の祖 Gromov は，

1985 年東京大学でシン

プレクティック幾何学についての講演をしたが，当時日本に Gromov が展開 したようなタイプのシンプレクティック幾何学の研究者は匠とんどおらず， その場で活発な質疑が行われた，

というわけにはいかなかった.

講演後筆者に向かって，なぜ質問が出なかったのか，

Gromov は

と不満げであった．筆

者は， Gromov の提示したシンプレクティック幾何学に対して，その目的と

しているもの，モテイベーションを尋ねたそれに対して， Gromov は簡単

に一言こう答えた． シンプレクティック幾何学はリーマン幾何学より豊かだ 当時リーマン幾何学を研究していた筆者を意識しての言葉でもあったのだろ うが*1,

今になって思うと，自らが「普通の大域幾何学」の新たな 1 つとし

*1 リーマン幾何学もシンプレクティック幾何学と同じくらい豊かである．

6

第 1 章緒論

て提示したシンプレクティック幾何学の可能性に対する確信の表れでもあろ ぅ．

いま「普通の大域幾何学」と書いた

この言葉（筆者が勝手に使ったもの）

の意味を説明したい．

20 世紀後半，大域的な研究が幾何学の前面に踊り出る.

1950 年代におい

てこれを担った動きが，微分位相幾何学の創始と，複素幾何学の代数幾何学 および多変数複素関数論からの自立である． 先に幾何構造を論じたときには，すでに微分多様体の構造は与えられたもの として出発したすなわち，種々の幾何構造 (G 構造）は，微分構造の下部構

造として捉えた．出発点を微分多様体ではなく，位相多様体におけば，微分構 造そのものを一種の幾何構造と捉えることができる．群 GcGL(n 濯）を考え る，

という視点は多少の修正を要するが，

これも可能である．（ユークリッド

空間の局所微分同相の群 Diff と局所位相同型の群 Top を考え， というペアで GcGL(n 遺）を代置する．

Diff cTop

このとき，接束 (tangent

) e l d n u b

の概念が位相多様体まで拡張されることは， 60 年代に Milnor らによってマ ィクロバンドル (micro bundle) の理論として確立された．位相多様体のマイ

クロパンドルでは，

Top がベクトル束における GL(n 遺）の役割を演ずる．）

微分構造を「幾何構造」とみなしたとき，それはもちろん「積分可能」で ある．つまり，微分多様体 M に対して，点 pEM の近傍はユークリッド空 間の開集合と微分同相である．

したがつて，微分位相幾何学においては，分

類の局所的な問題は自明である．

しかし，分類の大域的な問題，すなわち

「 2 つの微分多様体 M,M' が同相であるとき微分同相か」という問題，ある いは「与えられた位相多様体に対して，

これと同相な微分多様体は存在する

か」という問題は深いものであった．

筆者はこれらの問題が， Milnor が否定的な解答を与える前に，果たして問 題として意識されていたかどうかを知らない.

Milnor は第 1 の問題に対し

て 7 次元球面の場合に反例を与え，また Kervaire は第 2 の問題に反例を与 えた．

さらに，

これらの反例は，病理的な例ではなく，普通に微分多様体を

ｧ1.2

局所から大域へ

7

考える限り，自然に現れる正統的な対象であった

こうして上記の 2 つの問題が微分位相幾何学の基本問題として認知され， 微分位相幾何学が数学の分野として本格的に始まる． 同じころから，大域的なリーマン幾何学が次第に発展してい＜．大域的な

リーマン幾何学の基本問題は，曲率が多様体の大域的な性質にどのような影 響を与えるか，である． 微分位相幾何学の発展は，

どのような微分多様体が存在し，それらをお互

いに区別するにはどのようなことを調べればよいかを次第に明らかにし，大

域リーマン幾何学のために必要なバックボーンを準備した．ー方，局所リー マン幾何学の主要な手段であったテンソル解析に代わる，大域リーマン幾何 学の方法も現れ始めた．その 1 つは，曲線の長さに関する変分法すなわちモ 一ス理論 (Morse theory) であり，

もう 1 つは調和積分論 (harmonic

, s i s y l a n a

, すなわち曲率と多様 ) k c i r Hodge らによる）とポホナートリック (Bochner t 体上の偏微分方程式のかかわりであった．

ー方において，複素幾何学の自立は，超越的方法，特に偏微分方程式を 用いる方法の，複素多様体への応用の確立によることが大きいこれは，

Hodge, DeRham, 小平といった人たちによって確立した調和積分論，さら には Gauss-Bonnet の定理（の高次元化）• Riemann-Roch の定理・ Atiyah­

Singer の指数定理と続いた一連の研究であり，小平はこれらに基づいて複素 幾何学を 1 つの分野として確立した複素多様体の同型類の数は（微分多様体 の微分同相類の数とは違い）可算ではない．

したがつて，「分類」には複素多

様体の同型類の作るモジュライ空間 (moduli space) の構成と研究が不可欠で

, ) y r o e h ある．小平は Spencer とともに複素多様体の変形理論 (deformation t すなわちモジュライ空間の局所理論を創始した一方，やはり小平は古典的 に知られていた複素 1 次元の場合（つまりリーマン面の場合）を超える，複素 2 次元の複素多様体の分類すなわち複素解析曲面の分類理論を，イタリア学 派の代数曲面論の論理的な不備を補いっっ，深く研究した．

微分多様体の (5 次元以上での）分類，複素多様体のモジュライ空間の理論，

複素曲面論が進展した 50, 60 年代を通じて，大域的な幾何学は幾何学の（あ

第 1 章緒論

8

るいは数学の）中心を形作った． 70 年代には，大域幾何学にもう 1 つの甫要な手法が付け加わる．すなわ

ち，非線型偏徴分方程式の幾何学への応用である．

これが，前に大域的リー

マン幾何の 2 つの方法として述べた曲線の長さに関する変分法（これは非線

型常微分方程式の問題である）と線型偏微分方程式に付け加わり，多様体上 の大域微分幾何学は 70 年代以後飛躍的な進歩を遂げ，多くの未解決間題が 解決する．そこでの基本的な間題意識は，微分位相幾何学の誕生のところで 述べたものと類似である．すなわち，与えられた条件を満たすリーマン多様 体や複素多様体が，存在するかどうか調べる，あるいは分類するといったも のであった

このような数学をここでは「普通の大域幾何学」と呼ぶことに

したい．

Gromov の論文 [159] が現れるまでのシンプレクティック幾何学は，

これと

は違った道を歩んだように筆者には思われる． 注意 1. 3 シンプレクティック幾何学の歴史を書く人物として，筆者はまった ＜不適任である ,2.

ここに書くことは，「普通の大域幾何学」の研究者であった筆

者が， 1980 年ごろのシンプレクティック幾何学に対していだいた印象に大きく影 聾されているたとえば，シンプレクティ；；ク幾何学が大ぎな潮流として一貫し

て研究されてきたロシアの数学者から見たら，まったく違った見方が出てくるの ではないかという気がする．

シンプレクティック構造を， G 構造の言薬で書くと，それは， G=Sp(n)c GL(2疇）の場合，

ということができる．

ここで

)={AE GL(2疇） 1A-1(f 一土） A=(1 一土）｝ n ( p S である Un は単位 nxn 行列）．

いいかえると， M の「シンプレクティック構

造」とは，非退化反対称 2 次型式 w:TMxTM →罠のことである．（リーマ ン計量とは正定値対称 2 次型式であった．）反対称 2 次型式 w:TMxTM-+ 訊とは微分 2 型式のことであったから，「シンプレクティック構造」とは非

*2

筆者の書いたシンプレクティック幾何学の最初の論文は 1993 年ごろのもので，

Gromov 以後のシンプレクティック幾何学の歴史の中でも後発である．

ｧ1.2

局所から大域へ

9

退化な微分 2 型式のことであるといってもよい．

上で括弧をつけたのは，シンプレクティック構造には，

要だからである．それは，積分可能条件である．

もう 1 つ条件が必

シンプレクティック構造の

場合には，積分可能条件は dw=O という条件と同値である. (Darboux の定

.2 で詳述する．）したがつて，単に非退化な微分 2 型式のことは（複素 2 理. ｧ 構造の場合のまねをすれば）概シンプレクティック構造とでもいうべきであ ろう．（概シンプレクティック構造の局所理論が，

リーマン幾何学のように豊

かな内容をもちうるか筆者は知らない．）

シンプレクティック幾何学の場合にも，前の節で述べたような「普通の大 域幾何学」の問題を考えることができる．しかし，そのような問題意識に もとづく発展は，長いあいだシンプレクティック幾何学の中心ではなかった

ように思われる．

これらの問題に解答が見つかりはじめ，「普通の大域幾何

学」としてのシンプレクティック幾何学の発展が始まるのが， Gromov の論 文 [159) 以後なのである．その発展については，第 2 章以後に詳しく述べる ので，

ここでは触れない．むしろここでは，それ以前のシンプレクティック

幾何学について述べたい． 注意 1.4

「それ以前のシンプレクティック幾何学」などという言葉遣いをす

ると，なにやら古臭く聞こえる．

しかしそうではない．

シンプレクティック幾何

学は長らく 21 世紀への夢をはらみながら，いやむしろ，はらむ夢に押しつぶさ れそうになりながら，発展したように思われる．量子化をその目標に掲げ，にも かかわらず，「普通の大域幾何学」のようにこれが成果であるといって差し出せ る，かっこいい，数学的に明確な定理を余りた＜さんもたないで．だからこそ， その流れが今筆者には気になる．

ここまでに述べてきた 20 世紀幾何学の歴史は，正統的な見方，すなわち正史

であ．る. 21 世紀の幾何学が生まれるとき，正史では軽視された別の研究，派手な 発展の外を流れていた別の流れが，前面に現れてくるのではないかと思われる． シンプレクティック幾何学が 21 世紀の幾何学を生み出す大きな流れを作るとし

1 0

第 1 章緒論

たら，幾何学の正史にすでに載っている Gromov*3 以後の研究と，それ以前の研

究との接点が見出されなければならないと筆者は考える．

ｧ1.3 シンプレクティック幾何学の歴史瞥見 私の考えは全数学のシンプレクティック幾何学化です． 長い間シンプレクティック幾何学の発展を支えてきた Arnold からの，筆者 宛の電子メール (1996 年）の一節である. Arnold もまたシンプレクティック

幾何学に 21 世紀の幾何学を夢見た一人に違いない．

シンプレクティック幾何学の歴史は古い．その創始者は，解析力学のハミ

ルトン型式 (Hamilton formalism) を作った Hamilton である．ハミルトン型 式とラグランジュ型式 (Lagrange formalism) の違いを思い出そう．（詳しく は，たとえば，

[13], [127] 参照） 3 次元ユークリッド空間内を動< n 個の

粒子からなる系の場合，粒子の運動は写像 q: 股→罠3n で表される．ラグラ

ンジュ型式の場合， q の（汎）関数 L(q) を考えその変分問題を考える．それ

に対して，ハミルトン型式では位置を表す写像 q と，運動量を表す写像 p: 股→茫の両方を独立変数とみなし，変分法を適用する．ラグランジュ型式 の場合も，ラグランジュ汎関数 L(q) は q の微分の項ももちろん含んでいる． しかし，ラグランジュ型式の場合は， q の微分は q から自動的に決まると考 え，独立変数とはみなさない.

/ヽミルトン型式では p=mdq/dt という式は，

(q,p) がハミルトン汎関数の極値を与えることの帰結の 1 つとして出てくる．

この差は重要である．すなわち，ハミルトン型式では q と p の役割は対等 である．

このことは，ハミルトン型式がラグランジュ塑式より多くの変換を

*3 この節の説明でも，後の節の説明でも，大域シンプレクティック幾何学が， Gromov の論文 [159] だけによって始まったかのような誤解をまねく書き方をしている.

[159] の

重要性は明らかであるが，むろんその前後に，大域シンプレクティック幾何学が生まれる

のに貢献した多くの人たちがいた．その名前の多くは，後の節で引用することになるから， ここでは挙げず，

[159] で大域シンプレクティック幾何学の創設期の多くの人たちの努力

の結果を代表させる．

.3 1 ｧ

.

シン フレクティック幾何学の歴史瞥見

1 1

許すことを意味する．すなわち，ラグランジュ型式では町の座標変換すな

ゎち q を q に移す変換しか許されないが，ハミルトン型式では q,p をごっち ゃにした変換が許される．ただし，すべての変換が許されるわけではなく

¥dp珈 1+…+dq3n I p ¥d 1I q w =d

) .1 1 (

という微分型式を保つ変換だけが，ハミルトン型式を不変にする． シンプレクティック型式であり，

この W が

ここにシンプレクティック幾何学の起源が

ある．ハミルトン型式がより大きな変換を許すことは，

とりあえずは，より

大きい変換の自由度を利用して，方程式を簡単な形にできる可能性が広がる， という利点があったが，それにはとどまらなかった．

ユークリッド空間ではないより一般の空間，たとえば多様体 M 上での運 動を考えよう．

このとき q は M への関数とみなすことができる. p はなん

であろうか．式 (1. 1) の座標変換性をよく考えると， (q,p) の組は，余接束 T*M への写像とみなすのがよいことがわかる．いいかえると， T*M には自

然なシンプレクティック構造が入る (§2.1 の補題 2.2 参照）． しかし，こう見てしまうことは，先ほど見た重要な対称性，つまり p と q

が同等である，を崩してしまつている．すなわち q は一般には曲がった空間 M の座標関数であるが， p は余接束 T*M のファイパーであるベクトル空間 の座標関数である．

p と q の対称性を復活させる一番手っ取り早い方法は，余接束 T*M とは 限らない一般のシンプレクティック多様体にまで視野を広げることである．

すなわち，一般の多様体 X と，その上の非退化微分 2 型式 w であって dw= 0 であるものの組 (X,w) を，その上で「多様体上の解析力学」を展開する場 と考えるのである．

これが，

とりあえずは，シンプレクティック幾何学の立

場である．

そう考えたとき開ける魅惑的な視界がある．すなわち，シンプレクティッ ク幾何学を普通の幾何学の一般化と見る視点である．

これを説明しよう．

一般のシンプレクティック多様体 X を考え， X 上の関数すなわちハミル 卜ン汎関数を用いて変分法を行うのがハミルトン型式だとしたならば，それ

に対応するラグランジュ型式は何だろうか．シンプレクティック多様体 X

12

第 1 章緒論

が余接束 T*M である場合には， M への写像 q: 股一 M に対する汎関数を考

えて，等価なラグランジュ型式を見出すことができる．

しかし， X が余接束

T*M ではない場合，たとえば X がコンパクトな場合にはどうだろうか．何 が M なのか．あるいは，

このハミルトン型式はどんな空間上の運動を記述

しているのか．

この問いに対して，次のように答えてみよう． 余接束 T*M ではない X の場合には，対応する M は普通の意味では（た とえば多様体としては）存在しない．すなわち，一般の X 上のハミルトン型 式は，何か未知の幾何学に属する「空間」上の運動を記述するラグランジュ 型式に対応するとみなす．あるいは， M 上のシンプレクティック幾何学は，

新しい空間概念に属する空間上の幾何学と等価である． このままではこの答えはあまりに安易で，それほど多くのものがそこから 直ちに出てくるようには思われない．

しかし，シンプレクティック幾何学に

21 世紀の幾何学を夢見る立場の，最も素朴な表れがここにある．

ここで物語が終わるわけではないわれわれはシンプレクティック多様体 の概念の登場，恐らく 19 世紀末の Darboux あたりだろうか，を見たにすぎ ない．そこでシンプレクティック幾何学がかかわったのは，解析力学つまり Newton の古典力学である． 20 世紀とともに量子力学が現れる．

しかし，古典力学から生まれたシン

プレクティック幾何学は，その役目を終えるどころか，量子力学とはより深 ぃ，そして謎めいた，関係を結ぶのである． 量子化をするためには古典論をハミルトン型式で書かなければならない．

また，上で強調した q と p の等価性は，量子論に移っても健在である．すな ゎち，波動関数は位置 q の関数と見ることも運動量 p の関数と見ることもで きる．その間の関係はフーリエ変換 (Fourier transform) である．（余談なが

ら，波動関数が p,q 両方を独立変数にもつことはできないことは，不確定性 原理の根拠である．）

しかし， w を保つすべての変換すなわち正準変換が，量子論の変換になる

.3 シンプレクティック幾何学の歴史瞥見 1 ｧ わけではない．

13

したがつて，一般のシンプレクティック多様体とその上の関

数（ハミルトン汎関数）から量子論を作る処方箋が現存するわけではない． この事実は，「シンプレクティック多様体を考えることが，ユークリッド空

間でない空間上で解析力学を展開することである」という，前述の立場に対 する不信を呼び起こす．

この立場はそのままでは量子論では通用しないのだ．

ではどう考えるべきか．

これに対する解答は，いまだに知られていない．

これは箪者の想像であるが，大域シンプレクティック幾何学が素直には発 展しなかった理由の 1 つがここにあるのではないだろうか．あまりに理論物

理学と密接にかかわって生まれたがゆえに，物理学的な素性に対する疑念を 振り払うことなしに，純粋に数学としての「普通の大域シンプレクティック 幾何学」を展開することが，多くのシンプレクティック幾何学の専門家には 疑間だったのではないだろうか •4.

「 Gromov 以前」のシンプレクティック幾何学で盛んに研究されたいくつ かの点は，「普通の大域幾何学」的視点からは理解が困難で，物理学特に量子 論などとのかかわりを踏まえてはじめて，意義が見えてくるものであったよ うな気がする．

そのような問題の例として， Dirac に端を発する幾何学的量子化 (geometric quantization) の問題を説明しよう． x 上のシンプレクティック構造 w は， うに導＜．

関数 f に対して，

C00(M) 上の積構造{·, ·}を以下のよ

それが生成するハミルトンベクトノい場 (Hamilton

)Xf を d l e i rf o t c e v

) V f( ,V)=d J X ( w

) .2 1 (

が任意のベクトル場 V に対して満たされるような，唯ひとつのベクトル場と する．

これを用いて

) .3 1 (

) g ( 1 X )=j ( 9 )=X 9 X ( ) f d }=( g , f {

*4 たとえば [296] を読めば，大森氏の多様体に対する，昨今の幾何学のあり方からす れば巽様ともいえる否定的なこだわりに，読者は驚くのではないだろうか．筆者はそこに， たとえば最近始まった「シンプレクティックトポロジー」では汲み尽くせない， シンプレ

クティック幾何学の深い根を見る．

しかし，大域的な幾何学に対する大森氏の否定的見解

([295] の序文などを見よ）に筆者は同意しない．

論

第1 章

14 とおく．

緒

; p ¥d ;I q :d .3) をポアッソンの括弧 (Poisson bracket) と呼ぶ． w=I 1 (

のときは

Ja a

Ja a

8f 8g ; p ;8 q 8

8f 8g ; q ;8 p 8

X1=L8 ; p ;8 q 8 ; q 8 ;―—こー一 p

) .4 1 (

}=区 g , f {

) .5 1 (

―——―こ――

である．ポアッソンの括弧は C 上双線型で，ヤコビ律

}=0 g , } f , h { { + } f , } h , g { { + } h , } g , f { {

) 6 . 1 (

を満たすことが容易にわかる．また {f,g}=-{g,f} も満たす．

すなわち，

, x

ポアッソン括弧は C00(M) にリー環の構造を定める．（このリー環は f I-->

なる対応で， x のシンプレクティック型式を保つ微分同相写像のなすリー群

のリー環と同型になる.

.2 参照） 2 ｧ

M= 記とし，その座標を p;,q;, W= 区 dq;/\.dp; とする.

coo(記）の部分

集合で， Pi たちについては多項式であるものを仮に A と書こう .A の元

匹 "',an 佃，…， qn)P~1 …p~n F=Lf. に対して

) D(F)=区｛可 a1+···+n f匹 ·,n (qi,…,qn ) .7 1 ( なる ]R_2n の微分作用素を対応させる．

か1+ … +an

8q~l … 8q空

このとき

) .8 1 (

] moddegF+degG-2 階以下の項 ) G ( O({F,G}) 三 v-l[O(F), 0 が確かめられる． である．

ここで [.O(F),.O(G)] =D(F).O(G)-.O(G).O(F) は交換子

これを余接束とは限らないシンプレクティック多様体に一般化せよ，

というのが幾何学的量子化の問題である．つまり： 問題 1.

5

シンプレクティック多様体 (M,w) に対して， C00(M) のできる

だけ大きい部分リー環 A と，

ヒルベルト空間 (Hilbert

, そして A j f ). e c a p s

の元 F に対して .O(F): .fj → 9 なる線型作用素を与える対応 0 で，

満たすものを構成せよ.

(1. 8) を

D

.3 1 ｧ

シンプレクティック幾何学の歴史瞥見

式 (1. 7) が，相空間上の関数を作用素と見る，

5 1

という量子化の手続きを表

す式であることを思い出せば，問題 1. 5 の量子力学での意味は明らかであろ また，

う．

この問題がよい解答をもたないことが，前に述べた，解析力学を

余接束から一般のシンプレクティック多様体に一般化すると，その量子化と という事実を表している．

は何かが不明になる，

しかし，量子力学を離れて

純粋に数学の問題と見たとき，問題 1. 5 の意義は必ずしも明らかではない．

問題 1. 5 は §4. 3 で解説する．

次に変形量子化 (deformation quantization) の問題を説明しよう． 非可換幾何学 (noncommutative geometry) という言葉を最近よ＜耳にする ようになった．洋純化していうと，非可換幾何学とは，その上の関数のなす 環が非可換であるような空間の幾何学である．

もう少し説明しよう．空間 M に対して，その上の関数全体のなす環を考 える．「関数」というときどの程度のものを考えるかは状況によって異なる． すなわち， M が単に位相空間であったら連続関数全体が適当であろうし， M

が微分多様体であったら滑らかな関数全体が適当であろう．また，複素多様 体または代数多様体であったら，正則関数あるいは多項式全体が適当であろ う．いずれにしても，空間上の関数全体は可換環をなす.M の幾何学のう ちの多くの部分が，

ば，

この瑕の性質に翻訳できることが知られている．たとえ

M の点は極大イデアルに対応し， M 上のベクト Jレ束はこの環の上の加

群に対応する．（後者は連続関数の環 C0(M) を考えたときより明確になり， Serre-Swan の定理と呼ばれる.

[352] など参照） Gelfand はこの対応，空間

M 曰環 C0(M) をより明確にする次の定理を示した． 定理 1.6

M-C0(M) は，コンパクトハウスドルフ空間全体と可換 C*

D

環 (C* algebra) 全体の間の 1 対 1 対応を与える. ー方，代数方程式系

Pi(Xぃ…，ふ）＝… =A(Xぃ…，ふ）

=0

の零点集合のかわりに， P1, …， A で生成されるイデアル m による，多項式環 qxぃ…，ふ］の商環 qxぃ…，ふ]/m を考えよ，

というのは， Grothendieck

16

第 1 章緒論

による概塑（スキーム， scheme) の考えの出発点である． これらの考えを標語的に要約するならば， 「空間」とは「可換環」のことである．

となる．空間 M を普通とは違う意味の「空間」に変形しようと試みよう． ここでは， M を微分多様体とし，滑らかな閲数全体の作る環 C00(M) を考え る．上の標語によれば，空間を変形するかわりに環 C00(M) を変形すればよ いことになる．すなわち可換環 C00(M) を非可換環に変形しようと試みるわ この変形した積を f 丸 g と書こう．すなわち

けである．

f 丸 g= jg 十 LEk凡 (f,g)

) .9 1 (

k

とおく．

ここで Jg は普通の積である.

式的べき級数としておこう．

.9) の右辺は， 1 (

とりあえず，€の形

ここで次の要請をする．

仮定 1. 7 Bk(J,g) は f,g について双線型で，かつ f,g について（有限階

D

の）微分作用素である. すなわち

)=区 g , J ( k ) B 0 1 . 1 (

I:

がf

b

がg

,···,iか it,···,ie•1,···,ie,it,···,ie 釦，1 …釦ie axil …8xie 1 ti

と表されると仮定する．（ここで b岡·,it,it, ···,it は滑らかな関数である．

より正

確には， b は (1.10) の右辺が座標変換で不変になるような座標変換性をもっ たテンソルである．） また積 (1. 9) は結合的であると仮定しよう．つまり

) 1 1 . 1 (

) )*• h=f 丸 (g *• h J*• g (

が形式的べき級数として成り立つとする． る.

ここで {f,g}=B1(f,g) と定義す

(1.11) から，｛・，・｝がヤコビ律 (1. 6) を満たすことを確かめることができ

る．

0XC00• coo が，ポアッソン構造 (Poisson structure) 0 C }: ,ｷ ｷ 定義 1. 8 { であるとは，次の 3 つの条件が満たされることを指す．

. } (1) {·,·}は，匝双線型で， {J,g}=-{g, J (2) ヤコビ律 (1. 6) が成り立っ．

シンプレクティック幾何学の歴史瞥見

17

D

.3 1 ｧ

} ,h}+h{f,g f { ,gh}=g ! (3) { (3) から{·, ·}は f,g についてともに 1 階の双線型微分作用素であることが わかる．

シンプレクティック構造は，

(1. 3) により，ポアッソン構造を定め

る．一般のポアッソン構造は「退化したシンプレクテイソク構造」とみなせ る．

注意 1. 9 シンプレクティソク構造の場合，{·, ·}の係数すなわち (1.10) の bij は，シンプレクティック型式 E 叫 dxi l\dx1 の係数 W;; を w 自身を使って添え字 の上げ下げで得られる．（テンソル解析の添え字の書き方の約束に従うと，似で なく， b'J と書くべきである．）したがつて，退化した閉微分 2 型式とポアッソン 構造は異なる．

さて，変形量子化の問題とは次の問題を指す．

問題 1.10

与えられたポア；；ソン構造 {f,g} に対して，

{f,g}=B1(J,g)

なる Bk(J,g) であって，仮定 1. 7 および式 (1.11) を滴たすものを構成せよ．

D この間題は，ポアッソン構造{·, ·}がシンプレクティック構造から定まる

, Fedosov ] 4 9 2 , Omori-Maeda-Yoshioka[ ] 0 7 ilde-Lecomte[ 場合に， De W , [100] によって解かれ，一般のポアッソン構造の場合には Kontsevich ] 9 9 [ ｧ6.5 を見よ）． によって解かれた [221] ( 注意 1.11

M= (1-J)[C的

近傍ですると 同様の考察を 1 の

j

炉 (1,r)

が得られる.

i P ' e

>(1-J)[C町 n[w□ l )=0 nD2(1,r

) D2(0, r r を小さくとって

Js2伶>

2(1-o)[r'>r なる R',r'

) S ( 2 をとる .D刊 r') と面積が等しい球面炉 (S)=S刊r'/2) を考える. D cS を D 予）と面積が等しい円盤（小円で囲まれる図形）とすると， D 刊r) と D は シンプレクティック同相である．（柾明は読者に任せる．）このシンプレクティ ック同相をりと書く .w から P:D刊r)

:D2n(R)-+D 予） xcn-1 F

)XT2n-2 が導かれる． s ( 2 XT2n-2-+s

を像へのシンプレクティック同相とする．十

分大きい C をとって， t は n2n(R) →が (r) xe-1;cz2n-2 なる埋め込み F を導くとしてよい.

e-1;cz加ー 2

=r2n-2

である .F と 1[)' の合成により，

n2n(R) 一炉 (S)xT年 2 なる埋め込みが導かれる.

F:

n2n(R) 上の標準的な複素

構造を F で移して， F の像の上の， w炉 (S) xT加ー 2 と整合的な概複素構造が得 られる．

この概複素構造を F(D2n(R')) の外で少し変えて，

52(8)

xT2n-2

上

r2n-2 と整合的な概複素構造 J炉 (S) xT2n-2 に拡張できる．（補題 2.26 の w炉 (S) x を使って証明できる．）

)=F(O) o ,q o P (

r2n-2 に対して，定理 2.107 を適用する． とおいて， J翌 (S) x

得られた 'P(Sりを F で引き戻そう. p-1 位 (Sり）の 0 を含む連結成分をどと する .'P(O)

=F(O) ゆえ，どは空ではない．また，¢ のホモロジー類は 0 で

はないから，定値写像でもない．

補題 2.109 図 nw~ 訂12

［証明]

.

F はシンプレクティック同相であるから，

図 nw=jF(E)吟2(S) xT2n-2,

7 8

第2章

シンプレクティック幾何学と概正則曲線入門

cp は概正則写像であるから， cp*(w炉 (S)x だ— 2) の任意の開集合上の積分は正で ある．

よって

'

JF(E)西(S)xT2n-2~JS2c

向で，かつ Xm+1= …, Xn を，功，…，叫しが Cr(!) の方向， Xm+l, …, Xn が法方 …＝叫 =0 が Cr(!) を表すようにとることができる．

さらに， 3 次以上の項

を除いて n

: 入 x; )= r+ I x ( f l + m = i

) 2 1 . 3 ( となる．

2 l xf d a r このとき， rER で I g

n

L

4入;x; ゆえ，やはり (3.11) は

l + m = i

成り立っ．

さて，｝堕 f( 叫x)) =0 ゆえ， T>T に対して， してよい．

よって，

)=-f(叫と ) x ( dist(R, f

(3.11) より，

j(叫x)) l 2d / 1 d f(凸 (x))) -✓ -!(伶 (x)) =―（一 dT 2 dT 1 1 l (x) f ＝ー (dist(R, f(x))) —i/21grad臼）庁＞ C!grad四 2 = 2 よって，積分

!位 (x) 0 0 1 T

dT

は収束する．

0I 0 _F鳳戸T _ : ! 0_ 0 ;2Cj : grad朽 (x) fldT; dT=1 T dT T

したがつて，

r(X) P ' 0 0 1 i i 7U

は収束する．

注意 3.20

に近い． 定理 2.105 は補題 3. 19 をループ空間で考えたもの

注意 3.21

f がボットーモース関数でなくても，たとえば，実解析

'

的であれば，

.2 運動量写像のモース理論 3 ｧ 補題の結論は成り立っ．実際，

3 9

(3.12) のかわりに，

l xf d a r lg ,f(x)) ゜< C R ( t s i d がある 1>0>0 に対して成り立つ．

d

よって同様に議論して

l lgrad西 (x) f (f(叫x)))1-0 O} n ,VvEe h=h 1 E+(n)={hI , hEE+(n) なる ) n ( U ,gES k とおく．任意の gESL(n;C) に対して， g =h h=expX なるエルミート行 分解が一意に存在する. hEE+(n) に対して，

D である. 列 X が唯ひとつ存在する. g=exp(X)k が求める分解 への複素構造とシン (M,JM 匹）をケーラ一多様体とする .a の (M,w叫 プレクティック構造を保つ群 G の作用を考える．

ここで， G の (M,wM) へ

に対して，それが定める写像 の作用が複素構造を保つとは，任意の元 gEG g:M → M が正則写像であることを指す．

群としての作用を構成 ここから出発して， Ge の (M,J叫への複素リー 3.27 に従って分解する. Y = しよう ·gEGc なる元を g=exp(X)k と仮定

— v-lXEg である．

) 4 1 . 3 (

) p ｷ k ( ) Y M J ( p x p=e ｷ g

する 1 径数変換群を表す）． とおく (exp(tJMY) はベクト Jレ場 JMY の生成 群としての作用を定め 命題 3. 31 (3.14) は Ge の (M,1叫への複素リー る．

=91(9匹）が まず， (3.14) が群の作用であること，つまり 91(9匹） I'(TM) なる写 2EGe に対して成立することを見る．それには， g09•P なる G GxM → M,(9,p) • 9·p が正 である（これは定義から明らか）． よって，写像 pf-->exp(JMX)(p), M • 則写像であることを示すには， XEg をとめたとき， ると， L拉 xJM=O を示せ M が正則写像であることを示せばよい．いいかえ ばよい．

9

.3 3 ｧ

複素幾何学との関係

9 9

X=X1,0+X。,1 と TM®C=T1,0M 釘 T゜, lM に従って分解する -G の作用 は複素構造を保つから， 可能であるから，

ある.

adX は r1,0McTM®C を保つ．ー方 JM は積分

[I'(T1,o),

yEI'(Tl,O)

, [I'(T゜， i),I'(T゜， 1)] C I'(T゜, 1) ) o , 1 T ( ' ]C I ) O , l T ( ' I

とすると，

で

,Y]EI'(T1,0) である． 0 , 1 X ,Y]-[ X ]=[ [X。， i, Y

よって

] Y , ［ふX,Y] = [JMふ， o,Y]+[JMX。, 1 ,Y]EI'(T1•0). =[✓可X1,o,Y]-[✓可X。, 1

I

すなわち， LJMXJM=O.

以上で (M,J恥咋）への G の複素構造を保つハミルトン作用から， Ge の (M,,1叫への複素リー群としての作用が定まった．

この構成には逆が存在す

る．

補題 3.32

(M,JM,咋）をケーラ一多様体とし，そこへ複素リー群 Ge が

作用しているとする．

このとき，必要ならケーラ一計量 WM を取り替え別の

ケーラ一計量 w~ をとると， (M,JM,W位）はケーラ一多様体で， G の作用は W位を保つ .G の作用がハミルトン作用ならば， Ge の作用は式 (3.14) で得 られる．

［証明]

w位は，叫1 の G の作用で動かした微分 2 型式たちを G の両側不

変測度で平均をとれば得られる．証明の残りの部分は，命題 3.31 の証明の

I

計算を逆にたどればよい.

次に群 G の作用はハミルトン作用であると仮定し， f:M → g* を運動量写 像とする．

命題 3.33

［証明］

f― l(x) の伍軌道 Gc·f―l(x) は M の桐密な部分集合である．

関数 h(x) =llf(x)I ドを考える •5.

ここで II II は g* の G 不変内積

である ·1111 は G 不変であるから h も G 不変である． 以下 1111 の定義に用いる G 不変内積〈·,. 〉を使って， g と g* を同ー視する． xEM とする ·W=f(x) とおく .w を g の元とみなし，さらにそれを TxM

*5 h のモース理論は次の節で詳しく論じる．

第3章

100

の元とみなす．

運動量写像とシンプレクティック商

このとぎ VETxM に対し

dh(V)=2df(V)(W)=2咋 (W, V)= 2 が成り立っ．すなわち gradx h=2Jw である．

したがつて gradx h の積分曲

f ― 1(0) の十分小さい近傍 線は Grc の軌道に含まれる．また， Grc·f ― 1(0) は， もたないことを示せ の桐密な部分集合を含む． よって， h が 0 以外極小値を ばよい.

h が x で極小で f(x)=W とする.

)=f(y)(W) y ( ' h

とおくと，

{YI

h(y) 戸x)} に含まれる． よって h' は x で極小である ;h'(x)} は {y I ; : ; ) y ( ' h

が，

I

これは定理 3. 23 に反する.

であるから，商空間 M//Grc M//Grc とも書くことにしよう .G はコンパクト =J-1(0)/G から M//Grc に はハウスドルフ空間である．第 1 の記述 M//Grc =GeJ-1(0)/Grc か はシンプレクティック構造が入る．第 2 の記述 M//Grc

D

ら， Ml/ 位には複素構造が入る．

補題 3.

34 Ml/Ge はケーラ一多様体である．

証明は容易である． れ以外の点のことを不 GcJ-1(0) の点のことを安定 (stable) 点と呼び，そ 安定 (unstable) 点と呼ぶことにする •6.

.

代数幾何学では，以上の構成は次のようにして現れる

G=GenU(n+l)

とし，

GccGL(n+l;C),

G は Ge のコンパクト実型式とする .pぃ…，凡を

C[zo, …， Zn] のイデアル n+l 変数の斉次多項式とし， R たちで生成される (ideal) は Ge 不変とする.

(Cn+l の点を太文字を使って z などと表す.

に対して，対応する C戸の点を [z] と書く. 滑らかな多様体であると仮定する.

zヂ0

M={[z]IP.(z)=O}cC戸は

G,Gc は M に作用し，

G は M のケーラ

一型式を保つ． は cい 1 のケーラ一計量〈·,. 〉と，ヶーラ一型式 w

である．本書の用語は代数幾 *6 代数幾何学では半安定 (semistable) という概念も重要 何のものと若干ずれている．

ヽ

は， M の積密な開部分 命題 3.33 から，シンプレクティック商 f ― 1(0)/G ものである． この空間を 集合 Grc·f ― 1(0) を複素リー群の位の作用で割った

ｧ3.3 複素幾何学との関係

=

LRe(z画），

w(z,w)

'

である.

1 0 1

= Llm(z画）

i

(n+l)x(n+l) 行列 A を G のリー環の元とする．冴＝ー A を用い

て， w(AX, Y)=w(AY,X) が確かめられる．

命題 3.35

G の M への作用の運動量写像は次の式で与えられる f であ

る．

f ( [ z ] )= ［証明]

z(t) を llz(t)II =1 ,z ( O )=z,P ( z ( t ) )=0 なる道とし， dz/dt(O) =

v とおく.

るが，

w(Az,z) 2'

7r;(Cn+l\{O} → C戸を射影とする.

AEg は叩 (C]P'n の元を決め

この元は (d司 (Az) である．ー方

d

1d

1

亙 f([z(t)])lt=o (A)= 戸盃w(Az(t), z(t))l t = o=万 (w(AV,z)+w(Az, V ) ) =w(Az,V)=wM((d司 (Az), である．

(d司 (V))

これは定義 3.1(1) を意味する. (2) の証明は容易である.

I

命題 3. 36 [ z ]EGcf ―1(0) は， 0~ 豆五と同値である． ［証明]

0~Gcz とする• Gcz の元で 0 に一番近い元 gz が存在する．

w=gz/llgzll とおくと， f([w]) =0 が命題 3.35 と w(Az,z)= 〈 ~z,z 〉か らわかる．

したがつて， 9―1([w])

=[ z ] ,w Ef —1(0).

逆に f([z]) =0 とすると，命題 3.35 より， g 日 llgzll は g=l で極値をと る．極値が極小値に眼られることが容易にわかるから， g - llgzll は g=l で

最小である．

よって， llgzll~llzll~c >O . すなわち， 0~Gcz-

I

0~Gcz が代数幾何学での（半）安定性の定義である ([269], [268] を見よ）． 例 3.37

対角成分が a,b,c である 3x3 行列を mat(a, b ,c) と書く.

M=

< C I P ' 2 , G={ m a t ( a ,b ,( a b ) 1 )I l a l=l b l=1}~T2, Ge={ m a t ( a ,b ,( a b ) 1 )I a ,b EX と書く.

u 1(/3) nz/3,d)Xc,EG' —

.27) にはトーラス 'll'='ll'/3 が作用し，そのファイバー 3 (

への制限は，定義より自明な既約成分をもたない．

よって補題 3.65 は次の

補題 3.66 に帰着する． 補題 3.66

'll' が作用するベクト Jレ束 1r:( → X があり， X への T の作用は

117

ｧ3.4 局所化と同変コホモロジー 自明，かつ，

ファイパーヘの T の作用は自明な既約成分をもたないとする．

こ

;(Q) によるカップ積は H;-2d(X;Q) → X ( r 1 のとき，同変オイラー類 e(e) EH 麿 (X;(Q) なる単射を引き起こす． X への T の作用は自明だから， Xx1rE11' は直積 XX (CIP'00)2b で

［証明]

- よって， Kiinneth の公式により ' 1 ここで， 2b=dim 1

ある．

) 8 .2 3 (

H;(X;Q)~H*(X;

b ｮ ) (Q) 紐*(CIP'oo; Q

である．

ep~ 〶 Li を既約分解する (Li の階数は 2). 同変オイラー類 e(e) の H1r(p; j=l

(Q)~H((CIP'00)2b;(Q) への制限 e(e)p を考える.

)U … Ue(Lりで 1 L ( p=e ) e ( e

;(Q) は 11' → U(l) なる Li に対応する表現で， H2(CIP'oo; p ( r 1 あるが， e(Li) EH Q)~H; 各(l)(p; (Q) の生成元を引き戻したものである. Li に対応する表現はどれ も自明でないから， e(Li) は 0 でない. H1r(p;(Q) は多項式環だから， e(e)p =

e(Li)U

…U e(Lb)

によるカップ積は H1r(p;Q) 上単射を引き起こす．

よって，

I

(3.28) より，補題が得られる.

.58 の証明が完成した． ,3 8 これで定理 3. 4 定理 3.23 は定理 3.48 から次のようにして示せる．まず，今までの議論で 有理数係数にする必要があったのは，補題 3.65 で直積で群をおきかえたと

ころだけであったことに注意する．

したがつて，定理 3.23 の状況では群は

31 であるから，定理 3.48 は整数係数で成立する． 庄 (M;Z) → Hk —瓜R;l(R謹）が全射であることを示せば十分である．

ところ

が，定理 3.58 より，応 (M;Z)~ ④ H;l-µ(R;\R迄）である .H迅 1 点； Z)~ Z[c] であるが，

H(l 点；

Z)~

) H81(l 点； Z ) 迅 1 点； Z ; l CUJ

である．ー方

) Z ; 0 0 ' P I C ( * H ｮ ) Z ; X ( * .H ' : : : . ' ) Hi(凡； Z である．

よって

) ;Z 0 0 ' P I C ( * H ｮ ) H81(M;Z) 口 H*(M; Z

118

第3章

運動量写像とシンプレクティック商

でもある．以上の事実から定理 3.23 は明らかである． 注意 3.

19] t[ t o B h a y i t 67 A

はリーマン面上の平坦ベクト Jレ束のモジュライ

空間 M(E,E) の場合に，定理 3.58 を応用して，そのベッティ数 (Betti などを求めたより正確にいうと，

number)

[19], [20] は Kirwan の [200] に先行してお

り， Atiyah-Bott の結果を見て，それを一般化したのが [200] である．

.58 では，同変コホモロジーの可換群としての構造についての ,3 8 定理 3. 4 み述べている．

カップ積との関係も研究されており， Duistermaat-Heckman

, [190] などによって多く ] 9 8 1 n[ a w r i K y e r f f e ,J ] 4 9 3 [85] に始まり， Witten [ のことが調べられている．積構造の研究は，共形場の理論の Verlinde の公式 の別謡明などに応用されている．

これらは，大変重要な結果であるが，

ここ

では省略する．上に挙げた原論文以外に [24], [169] などが参考になる． さらに，同変コホモロジーや運動量写像がかかわる話題に，マタイ—キレン

47]) や， BRST コホモロジ一* 10 が 2 ormalism[ 流の定式化 (Mathai―Quillen f ある．

ahlermanifold) に この本では述べなかったが，超ケーラ一多様体 (hyper K ahlermomentmap) という類似の概 対する，超ケーラ一運動量写像 (hyper K 念がある．

これは [180] あたりに始まり，

,[227] など多くの応用を ] 5 2 2 [21], [

生んだ． ハミルトンカ学系の対称性の研究は，

Lagrange や Euler にまでさかの匠る

長い伝統を持っており，シンプレクティック商についての本書の記述は，代 数幾何学および場の量子論に近い部分に片寄ってしまったたとえば [244] とそこに多く引用されている文献などで補っていただきたい．

*10 [37] がもとの論文だが，物理の文献である．数学の専門家に読みやすい文献とし てはたとえば [66] を挙げておく．

ラグラ‘ノジュ部分 多様体をめぐって

ｧ4.1 ラグランジュ部分多様体 定義 4.1

シンプレクティック多様体 (M,w) の部分多様体 L がラグラン

ジュ部分多様体 (Lagrangian submanifold) であるとは，

dimL=

1 -dimM, 2

叫 =0 が成り立つことを指す．

n 次元多様体 L とはめ込み i:L → M がラグランジュはめ込み (Lagrangian

immersion) であるとは， i*w=O であることを指す.

D

ラグランジュ部分多様体はシンプレクティック幾何学の中心的な概念で， さまざまな場面で現れる．

この章では，できるだけ多くの例を挙げ，その一

端を示したい N を n 次元多様体とする．余接束 T*N(2n 次元）の中の n 次元部分多様 体の代表例は，微分 1 型式 u のグラフである．これを Graph(u) と書く． Graph(u) と N を，写像 pt--t(p,u(p)) で同ー視する． 補題 4.2

シンプレクティック型式 w の Graph(u) への制限はー du に一

D

致する. 系 4.

3 Graph(u) がラグランジュ部分多様体であるための必要十分条件

は， u が閉微分型式であることである.

D

系 4.3 より，余接束の中のラグランジュ部分多様体は，閉微分 1 型式とい

第4章

0 2 1

ラグランジュ部分多様体をめぐって

う概念の一般化とみなすことができる *1.

あるいは，多価の微分 1 型式とみ

なすことができる．

す 0=LPidqi を補題 2.2 の証明で用いた微分 1 型式， (u) と とする. 0 の Graph(u) への制阪は u である (Grnph

［補題 4.2 の証明] なわち甚本型式，

である. N の同ー視の仕方を考えれば明らか）．ー方— d0=w

I

別の例を挙げよう _y を N の部分多様体とする．

T謬 ={(p,u) とおく.

lpEY, uE

冗 Y,

} VVETpN,u(V)= O

TyN を余法束 (conormal bundle) と呼ぶ

補題 4.4

余法束はラグランジュ部分多様体である．

vET;N,xEY) とする．冗 (V) ETxN ゆえ， 0(V) VE~ い）冗 N ( き戻しは 0 である. d0= =v に (V)) =0 である． よって， 0 の TyN への引 ［証明 l

I

-w ゆえ，補題を得る. 分多様体を与える． 補題 4.4 は局所的には，すべてのラグランジュ部

この

事実を表すのが次の定理である． 定理 4.

) (M,咋）をシンプレクティ；；ク多様体， ] 4 8 3 n( i e t s n i e W 5(

L を

T*L の 0 の近傍 U と，

L の

そのラグランジュ部分多様体とする．

このとき，

P:U → V が存在して，ゥ M での近傍 v の間の｀シンプレクティック同相 の〇切断への制限は， L への恒等写像である． ［証明 l

u+ を 0 切断の十分小さい近傍とする.

TT*L の L(=O 切断）へ

ィック型式も含めて同型で の制眼と， TM の L への制限は，シンプレクテ て，〇切断への制限は ある． よって，微分同相写像巫： u+_,V こ M であっ u+ cT*L のシンプレクテ L への恒等写像で，かつ，巫 'WM が 0 切断の上で

wM+(l-T)叫 'L とお ィック型式叫 *L に一致するものが存在する．砧 =7巫* にして， ucu+ と Darboux の定理または Moser の定理の証明と同様 るもの ,u+ であって，か吐＝咋 'L かつ，少は〇切断上恒等写像であ u_ T > 1
.1' …，入m)=X をとり， これを V のファイ バー方向の座標とする .u を ijぶを変数とする n+m 次元ユークリッド空間 ぶ）： U →股は u 上で定義された関数とする． : f i ( での 0 の近傍とする. F

ラグランジュ部分多様体をめぐって

第4章

124

)E 股n+m . ' ,5 j i ( LF={

8F I } 威= o

である. LF は n 次元の部分多様体であると仮定する．座標で表すと， LF 上 で

叫ご入j) #0

) 1 . 4 (

を仮定することになる．写像 iF:LF--+T*M を定義する.

,入） ELF とし， q (

)=V なる V V ( r VETqM とする. dい） 7r:Tiい） V — TqM を射影とし， dい） 1 を任意にとる．

州q, 入） (V)=(dい） F)(V)

) 2 . 4 (

と定義する. dm p;=+8

と表される．

のとき

さて，新しい変数入ぃ…，入m をとって

,…, qn, ふ…，入m) =qふ＋…十 qm 入m 1 q ( F +s( ふ…，ふ， qm+l, …,qn) とおく．すると，いは q;= ー 8S/8入， i=l, …， m で表される．また

i噸，…， qn, ぷ…，ふ）

=(罰·, qn,塁··, 是） ＝（詈，…，一塁， qm+l, …， q凸，…，心， {):~1' …，塁） である．

.7) より行 (LF) =L である. 4 ,( ) よって， (4. 6

I

命題 4.11, 定理 4.16 により，余接束のラグランジュ部分多様体の局所的 な考察は，生成関数の考察に帰着する． 生成関数の考察は，微分可能写像の特異点の研究と次のように結び付く．

)ELF として一般性を失わない．すなわち， 0 , 0 ぶ）を生成関数とする. ( , j i ( F

F(O ぶ）は X の関数と見て， 0 を特異点にもっ． しかし， (4.1) から (0, 0) は F は iぶの両方の関数と見た F の特異点ではない．

:の滑らかな写像の， q をパラメ : ぶ）を， X が変数である政m J F瓜） =F(ij, ータとした族とみなす．すなわち， 0 を特異点にもつ関数を，変形したもの とみなす．

このようなものを特異点の開析 (unfolding) という．結局特異点と

その開析を調べるという問題に，ラグランジュ部分多様体の局所的な問題は

8 2 1

第4章

ラグランジュ部分多様体をめぐって

集合の形を 帰着する. Arnold は，特異点の分類と結び付けることで，焦点 ) や鏡映変換群 次元が低い場合に分類し，ディンキン図形 (Dynkin diagram さらに特

,[16] など参照）． ] 4 1 ngroup) との関係を見出した ([11], [ o i t c e l f e r ( 異点の分類から奇妙な双対性 (strange duality) を発見した 対称性と深くかかわると考えられているが，

これらはミラ一

どのように関係しているのかに

ついての研究は現在進行中である． 関数族の Fif の言葉で，焦点集合は次のように特徴づけられる．

補題 4.17

ij が iF(LF) の焦点集合上にあることと，ふが存在して， dx。凡

=0 かつ det(Hess ふ凡） =0 を満たすことは同値である.

Hessx。凡はヘッセ

行列を指す．

虞明]

,ふ）での， mxm 行列 f i dx。凡 =0 は (if,ぶ。） ELF と同値である. (

(。1:入j) を A, nxm 行列（瓜悶qj) を B とする．定義により } T(iぶ。凸＝｛（冦）€ 町 X 冗 I Aa+Bb=o

と表される．また d1r:T(iぶo)LF-+Tif配は (aぶ) -6 である．仮定より， (n+ と A が可 m)xm 行列 (AB) の階数は m であるから， d1r が同型であること 逆であることが同値であることがわかる．補題 4.17 は，

このことと定義か

I

ら直ちに得られる.

とは，モー df=O なるすべての点でヘッセ行列が可逆であるような関数 f と座標変換 ス関数のことである．モース関数は少し変形してももとの関数 で移り合う (Morse の補題，

[248],

. このことを，モース関数 ) ] 4 7 2 ,[ ) 7 5 2 [ あるこ

は安定 (stable) であるという．逆に関数が安定であればモース関数で

ての q の とが知られている．補題 4.17 は焦点集合が， Fif が安定でないすべ タストロフ

集合と一致することを意味する．いいかえれば，焦点集合はカ

． (catastroph) が起きている点，すなわち分岐 (bifurcation) 集合である

カタ

と呼ばれる． ストロフ理論の用語では，例 4.13 は折り目，例 4.14 は＜さび ランジュ部 以上生成関数については局所理論だけを述べた．余接束のラグ

近年盛んにな

分多様体の大域的性質を，生成関数を応用して調べる研究は，

ｧ4.2 接触多様体とルジャンドル部分多様体

129

ラグランジュ部分多様体についての大域的研究は，概正則曲

ってきている．

線を使う方法が Gromov や Eliashberg によって導入され，進展していたが， 生成関数を使っても多くの結果が平行して導かれることが Viterbo などによ って明らかにされてきている．生成関数を使う方法は，概正則曲線を使う方 法より，初等的であるのが 1 つの大きな利点である.

, [380] などを見 ] 3 4 1 [

ょ．

ｧ4.2 接触多様体とルジャンドル部分多様体 定義 4.18

2n+l 次元多様体 M の上の微分 1 型式仰が接触型式 (contact

form) であるとは，微分 2n+l 型式伽 /\d眈が決して消えないことを指す．

2n+l 次元多様体 M の接束 TM の階数 n の部分束 (cTM が，接触構造

tstructure) であるとは，各点 pEM に対して，その近傍で接触型式 c a t n o c ( 伽が存在して，

Ker 仰＝むが p の近傍で成立することを指す.

¥d0位ナ〇は， 0M が 0 にならず， 定義の条件 0M I

D

Ker0M= ふ｛上 d0M が定

める反対称 2 次型式が非退化であることと同値である．

Ker 似＝むのとき，接触多様体には自然に向きが入る．すなわち，

Ker 仰上は非退化 2 次型式 d0M が向きを決め，

Ker0M の補空間上は 0M

が向きを決める．以後接触多様体には向きが入っているとし，接触型式 0M

としては，その定める向きが，

もともとの M の向きと整合的なもののみを

考える．

接触構造はシンプレクティ；；ク構造の奇数次元の類似物で，さまざまなと ころに現れる.

Darboux の定理， Moser の定理のアナロジーから始めよう．

定理 4.19

M 上の任意の接触型式仰に対して，各点のまわりで座標系

を 伽 =dq。 -p1dq1 ―… -pndqn

,…， qn,pi,'"Pn をやはりダルブー座標と o となるようにとることができる. q

呼ぶ 定理 4.20

D M 上の接触型式の T をパラメークとする任意の滑らかな族

第4章

130

ラグランジュ部分多様体をめぐって

0T に対して， cpT:M → M なる微分同相写像の滑らかな族が存在し， cp訊＝

D

0。，仰 =id が成り立つ.

Darboux の定理， Moser の定理の証明の根拠であった，定理 2.18 の類似 物を述べる．

ｭ h p r o m o e f f i :(M,む）→ (Nふ）が接触同相写像 (contact d p 定義 4. 21 c ism) であるとは，向きを保つ微分同相写像であって， cp. 知＝むが成り 立つことを指す.

M=N のときは，接触変換 (contact transform) という．

D

Aut(M心）で接触変換全体のなすリー群を指す.

む =Ker 伽のときは， hEC00(M), h>O が存在して cp* 仰 =h仰が成り 立つことと同値である．

知 =Ker 伽のとき，

Aut(M, 知）のことを Aut(M,0叫とも書く．

Aut(Mや）のリー環を計算する．次の定義では知をとって固定してお

N から得ら 偏極の場合に当てはめてみよう.

,の滑らかな切断 s に対して，▽vs=O が [

パ一 1-l(p) へ VEP に対して成り立っているとする．すると， s のファイ Jレ場全 の制限は▽ s=O を満たすことになる (P はファイパー方向のベクト は，£ が f ―l(p) 体であった）． したがつて， S のファイパ一 1-l(p) への制限 ト軌道でない 上自明でない限り（すなわち f ― l(p) がボーアーゾンマーフェル

い．結局 限り） 0 である．よって，補題 4.81 より， s は 0 でなければならな といった理 玩 (M,w,P)=O となってしまった． これが，定義 4. 76 を暫定的 由である．

これを修正するには，ボーアーゾンマーフェルト軌道でだけ

0 でない，そ

るような， して，ボーアーゾンマーフェルト軌道上では▽ について平行であ ，次のよう 超関数的な切断を 5 の元として認めるのが適当であろう．そこで に定義する．

な p の数を 定義 4. 83 J-1(p) がボーア—ゾンマーフェフト軌道であるよう

｣とするとぎ，前量子化 SJ(M,wM,P) を cc と定義する． 注意 4.84

[]

例 4.69 の状況（トーリ；；ク多様体）では，特異なファイバーがあ

り，定義 4.83 をそのまま適用することができない．

この場合は，定理 4.82 を見

て，次のように定義する．

f:M ー町を運動量写像とし， t を f(M) nzn の点の数とする．

このとき，前

「ボーアーゾンマー 量子化 SJ(M,wM,P) は (Cl である．（この定義では，退化した フェルト軌道」も勘定していることに注意せよ．）

た． 注意 4. 85 Bohr-Sommerfeld の量子条件は次のようなものであっ られる相空 エネルギー（ハミルトン関数）が一定値 E。以下という不等式で与え ，そこに含まれるハ 間（シンプレクティック多様体）のコンパクト部分集合を考え ものの数を数 ミルトンベクト Jレ場の軌道で，ある整数性条件（量子条件）を満たす える．

間の この数が，対応する量子力学での，エネルギーが E。以下の状態の空

次元に一致する ,4.

.4 で論じるマスロフ指数は， Bohr-Sommerfeld の量子条件への修正として，発 4 *4 ｧ , [165] を見よ． ] 4 3 ,[ ] 6 4 2 見された. [

ｧ 4 .3 幾何学的量子化

1 5 1

「ハミルトンベクトル場の軌道」をラグランジュファイバー束のファイバーに， 「ある整数性条件」をボーア—ゾンマーフェルト軌道であるという条件に，それぞ

れおきかえれば，実偏揮による前量子化で得られるヒルベルト空間が量子力学の 状態空間にあたる．

量子力学の場合の別の定式化，つまり， E。以下の固有値に属する固有ベクト Jレ の数の類似物が，ケーラ一偏極であろう． 注意 4.86

層面を前層

={ sI sEI ' ( U , ｣ ) , • s=O }

釣 (U) の層化とする．

このとき，定義 4. 72 の S:,(M,wM,P) に対して，① H*(M;函）~

S:,(M,wM,P) が蜘iatycki [ 343] によって，証明されている． トーリック多様体の場合に，実偏極とケーラ一偏極から作られる前鼠子化 は一致する．

この事実は，

トーリック多様体の代数幾何学で知られていたと

思われるが，幾何学的量子化との関係を注意したのは， Guillemin-Sternberg [168] であると思われる．

定理 4.87

トーリック多様体 (M,J恥西）に対して，

rankH0(M;｣ )=~(f(M) である．

n 宮）

ここで£ は前量子化束， f:M-+ 記は運動量写像である.

注意 4.88

D

、ンンプレクティック型式 WM を正の整数 m 倍すると，前量子化束£

が L®m におぎかわる．ー方運動量写像 f は mf に変わる．すると， ~(mf(M) nzり は f(M) の体積の加倍に漸近的に近づ＜．よって定理 4. 87 により，

( 4 . 2 1 )

l i m

m• o o

がわかる.

r a n kH0(M;£,®m)

r a n kH0(M;. t : , ｮ m ) m、nVol(f(M))

=1

の m → oo での振舞いを調べることは，代数幾何学

で重要である． 注意 4.

89 SJ(M,wM む）はヒルベルト空間になるべきであったから，内積

を定めなければならないまた 2 つの互いに異なった偏極 P1,P2 に対して，

S J ( M ,WM,P i ) ,SJ(M,WM,A)

の間の積 SJ(M,w恥 P1) ⑬ (M,wM,P2) → C もさまざ

まな場合に構成されていて， Blatter-Kostant-Sternberg の対合 (BKS ing) と呼ばれる．

[354) などを見よ·

これは重要な話題であるが，本書では論じない.

p a i r ｭ

( 1 9 9 ) ,( 3 4 4 ) ,

第4章

2 5 1

ラグランジュ部分多様体をめぐって

S:,(M,wM,PM) 上の作用素を構 幾何学的量子化の次の段階は， M 上の関数から

（変形鼠子化な これは， M 上の関数の作る環の環構造の変形 研究はまだ初期段階にあるように ど）ともかかわると思われるが， この方向への

成することである．

思われる．

を論じる．そのため

量子化の関係 次にシンプレクティック商と，幾何学的

物を定義しておく． に運動量写像の概念の接触多様体における類似 で，む =Ker 仰とする．伽 コンパクトリー群 G が Aut(M, 知）の部分群 g*0M=0M が任意の gEG に対 を G の作用についての平均でおきかえると， ．

して成り立つようにできる．以後そう仮定する

定義 4.90

f:M

•

が成り立つ g* が運動量写像であるとは，次の (1), (2)

ことを指す．

D

に対して， (df)(V)(W) (1) 任意の WEg と N 上の任意のベクトル場 V =(d伽） (W,V), かつ， (0叫 (W)(p) =f(p)(W).

. ) p ( f ) g d a )=( p ｷ g ( (2) f 注意 4.91

=(d似） (W,V) が，任意の V に対 ミル これは，一見 fw(P) =f(p)(W) が生成するハ

定義 4.90(1) では， (df)(V)(W)

して成り立つことを要求した

ある，定義 4.22(1) より強い． しかし， 卜ンベクトル場が W であるという条件で 題 4. 26(2) より， X_1(/w) =Lw 似＝ われわれは， g' 似＝似を仮定したので，補 (W,Xー1) は自動的に成り立ってい 0 である．つまり， (d/)(X_1)(W) =0=(d似） ミルトンベクトル場が W であると る． よって，定義 4.90(1) は fw が生成するハ いう条件と同値である．

定理 4.92 注意 4.93

ロ

る． 次の定理は定理 3.2 の類似で，証明も同様であ

運動量写像 f:M 一 g* は常に存在する． シンプレクティック多様休の場合の定理

3.2 には，

H1(M 遣）

=0

には，必要ない．接触構造を保つ という仮定が必要であった．接触多様体の場合 あった（定理 4.28) ことを思い出そ 任意のベクトル場が，ハミルトンベクト Jレ場で う．

を保つ M のベクト Jレ場

ティック構造 £→ M が前量子化束のとき，シンプレク

ｧ 4 .3 幾何学的量子化

1 5 3

V が， S(C) の接触構造を保つベクトル場に持ち上がるための必要十分条件は， V がハミルトンベクトル場であることである．

さて，£→ M をシンプレクティック多様体 M の前量子化束とする．

コ

ンパクトリー群 G が M へのハミルトン作用をもつとし，運動量写像を f:

M•

g* とする．

シンプレクティック商 M//G の前量子化束を構成するのが，

以下しばらくの目標である．

fo1 r :S(.C) • g* を用いて， i: g • Lie(S(.C)) が次のように定まる. vEg とする．関数 fv(x)=f(1r(x))(v) :S(.C) →政を考え，そのハミルトンベク卜 ル場 x,v を i(v) とする.

8/況を S(.C) のレーブベクトル場，つまりファイ

バー方向のベクトル場とする．

補題 4.94

[ i ( v ) , i ( w ) ]= i[v,w]+ 咋 (v,w)(p) 羞 である．右辺第 2 項では v,w を M 上のベクトル場とみなしている．

［証明]

p t +f(p)(v) の生成するハミルトンベクトル場が， v が M 上に導

くベクトル場と一致することは，運動量写像の定義そのものである．

[ i ( v ) ,i(w)] を底空間に射影すると， ファイバー方向の成分を調べる.

よって，

i[v,w] である． 0 を S(C) の接触型式とする．定義より，

0(ふ） =0(X1』 =0 である．〇は接続型式であったから， Xぃ X1切は v,w の 水平方向の持ち上げ (horizontal lift) である．よって，曲率の定義より

27rv亡T[Xゎ知＝氏 (v,w)

a a t

である．曲率氏は 271"✓ニlWM に一致するから補題を得る． 例 4.95

'

M=C叫 G=U(2) とし， G の M 上の線型作用を考える． V=

(!1~)E

u ( 2 ) ,

W

とおくと，知 (v,w)(l,O)=/=O である. 注意 4.96

=

(ふ~) E u ( 2 ) D

補題 4.94 は， g の作用は S(C) には持ち上がらず， g の中心拡大 g

4 5 1

ラグランジュ部分多様体をめぐって

第4章

なわち，完全系列 の作用が持ち上がることを意味する．す 1 →飛→ g → g • 1 する． が存在し，賊は g のすべての元と交換

称性をもつとき，量子化された系の対 古典的な系があるリー環 g で表される対 は れることがしばしばある．補題 4.94 称性は，中心拡大をとったリー環で表さ その根拠の 1 つである.

． f(p)=O ならば， W叫v,w)(p)=O である

補題 4.97 ［証明］

[148] 参照

p)= ー (d』) (v)(w) であるが， 運動量写像の定義により wM(v,w)(

I

=0 である. fー1(0) は G 不変であるから， (dpf)(v) 補題 4.97 より， g の作用は，

作用を持ち上げるには，

)cS(C) へ持ち上がる． 0 ( 1 ) (1r of

リー群の

め M は連結 もう 1 つ条件が必要である．簡単のた

とする．

G の軌道とする． 補題 4. 98 pEf ― 1(0) とし， G-p を 坦ベクトル束£柘を定める． ,の G-p への制限は， G~G·p 上の平 (1) ｣

(2) Cle は p のとり方によらない．

(3) Cle が自明であることは，

ー リー環 g の (no f) 一1(0) への作用がリ

である． 群 G の f ― 1(0) への作用を導くことと同値

［証明 l

.;=「叫｛であることからわか (1) は，補題 4.94 と£ の曲率が 2爪.

る．

，定理 3.23 より， 1-1(0) も連結で p,qEf ― 1(0) とする .M は連結だから する．が： [O,l]xG • ,1] → fー1(0) を p と q を結ぶ， f ―1(0) の道と O :[ ある. ｣ )=0 ゆえ t d vEg とすると， df成(tl(d£+ / f ― 1(0) を (t, g) 曰 gf(t) で定義する.

)= 0 v ( ) t d / ｣ d ( ) t ( t 9 f )= d ) t ( + f g ( ) t d +/ f wM(v,d

である．

ル束である． よって，引き戻しが• C は平坦ベクト

よって， Cle は，

p によらない．

,1] • G, xES(C) O ある：£: [ (3) は今までの議論と次の事実から明らかで x) =f(t) に沿った，水平方向の持ち に対して， t-£(t) 心は，道 t-1r(£(t)•

上げである.

I

ｧ 4 .3 幾何学的量子化 命題 4.99

G の f―1(0) への作用が，

1 5 5

(1ro f) 一1(0) への接触構造を保つ作

用に持ち上がるとする．このとき， (1r of)-1(0)/G → f―1(0)/G は M//G= J-1(0)/G の前量子化束である．

［証明］

接触型式知は G の軌道上 0 で，• また G 不変である．よって，

( 1 rof)-1(0)/G 上の微分 1 型式 0 が定まる. 0 は U(l) 束 (1r of)-1(0)/G • f ―1(0)/G の接続型式である. d0=wM より， d0= 西M が従う.

I

幾何学的量子化の重要な例は，第 3 章で何回か話題にした曲面 E のベク ト Jレ束 E 上の平坦接続のモジュライ空間 R(E,E) である．以下この場合を 述べる．以下に述べる事柄の中心的な部分，すなわち， R(E,E) の幾何学的 量子化とチャーンーサイモンズゲージ理論・共形場の理論・ 3 次元多様体や結

び目の不変量の関係は， Witten が [393] で明らかにしたものである． まず， R(E,E) のラグランジュ部分多様体の構成法を述べる .E は E 上 のコンパクトリー群 G を構造群にもつベクトル束であった

であって， 8M=E なるものを考える．

3 次元多様体 M

さらに， E が M 上の G を構造群に

もつベクトル束の制限になっていると仮定する .M 上の束も同じ記号 E で 表す．

定義 4.100

す.

R(M,E) で M 上の E の平坦接続のゲージ同値類全体を現

r e s :R(M,E) • R(E,E) を接続の制限で得られる写像とする．

E の種数 (genus) を g とする. が知られている.

[]

R(E;E) は dimG(2g-2) 次元であること

R(E,E) はシンプレクティック「多様体」であった（定理

3 . 1 2 ) . 前にも述べたように， R(E,E) には一般には特異点がある．特異点 の外でだけシンプレクティック構造が存在する．（これが上で括弧を付けた 理由である．）

仮定 4.

101 R(M,E) は dimG(g-1) 次元の「多様体」で res は「はめ

D

込み」である. 注意 4.102

ここでも， R(M,E) に多少の特異点がある場合を許容している．

特異点の影聾が重要になる段階に立ち入った議論は本書ではしないので， 度まで特異点を許すかなどはあいまいにしておく．

どの程

第4章

156

補題 4.103 ［証明]

ラグランジュ部分多様体をめぐって

:R(M,E) 一 R(E,E) s e r

]ER(E,E) a [

はラグランジュはめ込みである．

に対して，接空間 T1a1R(E,E) は局所係数コホモロ Ada は G の g への共役表現で， a か

ジー群げ (E;Ada) であった（ここで，

とする．接空間 ら誘導される平坦ベクト Jレ束である）．ー方 AER(M,E)

T虚 (M,E) もげ (M;AdA) に一致する.

res の微分は局所係数コホモロジ

ー群の制限写像び (M;AdA) ーげ (E; Ada) である．

vE , u

u,v は げ (M;AdA) をド・ラームコホモロジーで表す．つまり，

dA は平坦接 AdA 値の微分 1 型式で d四＝ぬ v=O である（ここで，外微分 造の定 続 A を用いて定義する）． さて， R(E,E) 上のシンプレクティック構 義より，

1

j

) ¥v uI ( r )=- - T ] v [ s e ,r ] u [ s e r ( w 8が

である．

E

よって， Stokes の定理より

j 1 jTr(d四 I\ v-uI¥dAv)=0. =- 1

) ¥v 叫es[u],res[v]) =-8が-M dTr(u/ 8が

'

M

. 7r:S(.C)• £を R(E,E) 上の前量子化束とする（後で見るように存在する） R(E,E) を射影とする.

n[192] a m s t i e W y e r f f e J

は補題 4.103 を次のように

強めた．

定理 4.104

ルジャンドルはめ込み i:R(M,E) → 8(£) が存在し， 1roi

=

D

res である. 定理の証明のために，まず，

R(M,E) 上の前量子化束を構成しよう．命題 元のシン

4.99 によれば，シンプレクティック商上の前量子化束を作るには，

用として持ち

プレクティック多様体の前量子化束上へ，作用をハミルトン作 上げればよい．持ち上げ方は，運動量写像を引き戻せばよい． 例 3. 11 の場合，つまり，

A(E,E) へのゲージ変換群の作用の場合にこれ

も見よ）．以 を実行しよう．以下の議論は [212] の §2. 5 と深くかかわる ([214] 後簡単のため G=SU(2) とする．

ｧ4.3 幾何学的量子化

157

まず， A(E,E) 上の前鼠子化束を構成する．自明な束 A(E,E)xC を考

える．

この上の接続とは，微分 1 型式のことである. A(E,E) はアファイ

ン空間で，接ベクト Jレ空間は I'(E;AdE@Aりである．

よって，

I'(E;AdE 訊）＊なる写像が， A(E,E) の微分 1 型式である.

1

＝ー S1r2

) V 叫） ( で定義する. められる．

A(E,E)-->

SB を

¥V) aI ( r T L

SB は A(E,E)xC の接続を定める.

B=WA(E,E) ! d

が容易に確か

よって，自明束に接続おを考えたものは， A(E,E) 上の前量子

化束である．

単位球面束 A(E,

E)xS1

におが定める接続型式 e は 8=dt ーもである．

ここで t は 51= 恥 /21r:Z のパラメータである．

さて， e を接触型式とし，

+-Fa/8がを運動量写像とする．補題 )f (a, t

4.98 の条件を調べよう．すなわち，ゲージ群 Q(E,E) の軌道上の，前量子 化束のホロノミ一を計算する． 定義 4.105

M をコンパクト 3 次元多様体（境界があってもよい）， E を

M 上の G 束とする .E の M 上での接続 A に対して，チャーンーサイモンズ 汎関数 (Chern-Simons functional) を

1

2

叫）＝紀い (A 八 dA+ 戸 I\AI\A) で定義する．また，

2 1Tr( ¥A) ¥AI 3AI ¥dA+ AI

8が

のことをチャーンーサイモンズ型式といい cs(A) と書く.

D

,1] 一 g 心， E), aEA(E,E) とする. g(t)*a なる， A(E,E) の元の族 O :[ g が定まる 'g を Ex[0,1] 上のゲージ変換とみなし， g*a と書く．

補題 4. 106

+g(t)*a なる道に沿った，接続おのホロノミーは， c — tf

exp(21r ✓二丁cs(ga))c である．

［証明 l

ここで a は Ex[O, 1] 上の接続とみなしている．

仁可―h(t)) とお , r 1 ,cexp2 a * ) t ( g +( tf----+g(t)*a の水平持ち上げを t f

くと，もの定義により，

第4章

8 5 1

ラグランジュ部分多様体をめぐって

d

1

dh

亙＝戸 L Tr(g(t)ｷa/\面 g(t)*a)

(4.22)

.22) の被積分関数が， 4 (

である.

ことを確かめよう.

A=g*a のチャーンーサイモンズ型式である

t=O で考えれば十分である (t=t。のところで確かめるに

)=1 であった． O ( は， g(to)*a を a と改めておけばよい） . g )= l+tJg+2 t ( g g*a は t=O で Jgdt+a である．

とおく.

1

疇*a)= 戸訊 (Jgdt+a) =

1 8が

次以上の項 よって， t=O で

2

)+3 ⑭gdt+a)3) a + t d g J ( ¥d I

. ) ) ¥a da+aI ¥( ¥dJgdt+JgdtI a/ ( r T

a は平坦だから，第 2 項は 0 である．

よって， cs(す a) は (4.22) の被積分関

I

数に等しい. 注意 4.107

一般に行列値微分型式 A,B に対して， 瞑A

である．

¥A) BI ( r f ' B g e d A g e -1t ¥B)=( I

この式は今後もよく用いる．

補題 4.107 を用いて， g(E,E) の閉曲線に沿ったホロ J ミ一を計算しよう．

補題 4.108 ［証明]

. Z c : : )c ) E , E ( g ( 1 r 1

cS3 への写像全体である． : U(2)c g(E,E) はどから G =S

g 心， E) の閉曲線は S1x どから，

S3 への写像である.

基点に移すという条件は，写像が {1} X どを 1 ある．

1ES1 を g(E,E) の

ESU(2) に移すという条件で

このような写像のホモトピー類は写像度で決まる.

補題 4.109

ょって，

I

X を 4 次元多様体とし，その境界を M とする .x 上の自明

な SU(2) 束 E とその上の接続辺を考える．別の M への制限を A とする． このとき，次の式が成り立つ：

. j 疇）三 cs(A) modZ X

［柾明］

微分 2 型式の等式 dcs(A)

=c2(A) が成り立つから， Stokes の定

ｧ4.3

幾何学的量子化

9 5 1

理より，補題が得られる．

M•

SU(:2) とする．

［証明]

'

M を閉 3 次元多様体， A をその上の SU(2) 束の接続， g:

補題 4.110

. )+degg A ( s このとき，口 (g* A)=c

Mx[0,1] 上の接続辺で， Mx{O} 上 g*A, Mx{l} 上 A である

ものをとる．補題 4.109 より，

)=j A ( s c ) A * g ( s c

) 3 2 . 4 (

喰）

Mx[0,1]

である. g を使って， Mx{O} と Mx{l} を，その上の束や接続も含めて張

り合わせると， MxS1 上の SU(2) 束と接続ができる． 一ン類の積分は (4.23) の右辺である.

この接続の第 2 チャ

MxS1 は閉多様体であるから，第 2

チャーン類の積分は束の位相不変量である．容易にわかるように，これは，

I

degg である. 系 4.111

1(Q(, r a をど上の平坦束，飢 t)] E1

このとき， cs(匹） =degg である．左辺

MxS1 上のゲージ変換を 9 と書く． で，

E)) とし， g(t) が決める

a は MxS1 上の接続とみなした．

［証明]

)=0(dt 成分がない）ゆえ，補題 4.109 より明らか. a ( s c

I

系 4. 111 と補題 4.108 より，ゲージ群 Q(E,E) の作用が補題 4.98 の仮定 を満たすことがわかる．

したがつて，前量子化束£→ R(E,E) ができる．補

題 4.98 の証明を見ると，£→ R(E,E) は次のように書けることがわかる． g 匹 (E,E) とし， g(t) を g(O)

) 4 2 . 4 (

)=g l ( ,g =1

なる Q(E,E) の道とする．

し炉（か/\¾か） dt)

c(a;g)=exp(~

とおく. R(E,E) を刃上の平坦接続全体とする. R(E,E)x( x ,-t) はシンプレクティ

ック同相写像ではないが，ラグランジュ部分多様体をラグランジュ部分多様 体に移す．

このことに注意すると，

Jレジャンドル同境が同値関係であること

がわかる．

N の Jレジャンドル部分多様体 L,L' があったとき，少しずらして (1レジャン ドル同境類を変えずに）， 補題 4.143

この 2 つがお互いに交わらないようにできる．

和 LUL' の Jレジャンドル同境類は， L の Jレジャンドル同境類

と L' の Jレジャンドル同境類のみによる．

［証明]

L 1~cob ムとし， L12 CNx[ O ,1] をコボルディズムを与えるラグ

ランジュ部分多様体とする．一般には L12 と L'x[O, 1] は交わるから， つの和をとると，ラグランジュはめ込みができる．

グランジュ部分多様体の手術を行うと，

この 2

しかし，以下で述べるラ

これを境界を変えずに，埋め込まれ

たラグランジュ部分多様体でおきかえることができる（補題 4.145).

よって，

I

L 1UL'~cob ら UL'.

ラグランジュ部分多様体の手術 (Lagrange surgery) について，少しだけ述ー べる．詳しくは [307] を見よ．局所的な操作なので， en のなかのラグランジ ュ部分多様体だけを考えて十分である.

en の 0 で横断的に交わる 2 つのラ

グランジュ部分多様体があるとしよう ·La= 町と Lb=v-T町の場合を考 えれば十分である. Cn=T*町とみなす Cv-T町がファイバー方向とする）．

/:即→尺を

応） ={o ,

l x l>1 の場合 dogl x l , l x lO } . 命題 5.67

D

M を最小チャーン数 N のシンプレクティック多様体で， h:

MxS1 →飛とする.

orb(h) の元はすべて非退化と仮定する．

このとき，µ:

orb(h) • Z/2N が存在して， µ(a) 三µ(り-µ(£;) mod2N が aE 叫 ilo(M);

f ; ,ら）に対して成立する． ［証明]

f。を 1 つ固定し，おのおのの £E orb(!) に対して， llt E1 r 1 ( i l o ( M ) ;

£。, £)を固定する. µ(£)三 µ(at) mod2N とおく. a E 1 r 1 ( i l o ( M ) ; f ;ふ）とす ると，補題 5.64 と最小チャーン数についての仮定により， µ(a)+µ(f;)

=

ｵ ( ｣心）である．ー方補題 5.62, 注意 5.63 より，µ(£』a) 三µ(も） mod2N である. 注意 5.68

I 命題 5.67 のµ は，証明中の Ot のとり方にはよらないが，£。のと

214

第5 章

フレアーホモロジ一

り方にはよる. ｵを標準的 (canonical) に選ぶやり方は次の節の注意 5.91 で説明 する．

今までの議論では，シンプレクティック多様体 M は一般でよい．問題が 生じるのは，補題 5.

.43 の無限次元への一般化においてなのである． ,5 2 4

.43 の一般化，すなわちモジュライ空間 M(ei, も； h;a) のコン 補題 5.42, 5 パクト化には， §2. 6 で述べた問題すなわちバブルの考察が必要である．命

題 2.38 すなわち h 1=OoP 土 Po 補題 5.98 より，合成炉—T

Q q,fr

•

. o

は恒等写像に鎖ホモトープである．以上で

I

定理 5.90 の証明が完成した.

次に定理 3.23 の証明をする．すなわち， f は S叶乍用の運動量写像と し，スペクトル系列が退化することを示す.

ic/j とし，モジュライ空間

M(凡， Ri;f) を考えよう．（このモジュライ空間はすでに股作用で割ったも

のである．定義 5.33.) R;,Rj は運動量写像の臨界点集合であるから， 31 の 不動点である．また， f は 31 不変である．よって， M(凡， Ri;f) には， 31

の作用が存在する．

この作用は， i ヂ j であるから，効果的である．

さらに，定義より， ev_;i :M(凡， Ri;f) →凡， ev+;i :M(凡， Ri;f) →凡は 31 作用で不変である．

よって，補題 5.97 と同様にして， 8j 一，が 0 であるこ

とがわかる．すなわち， 8=8 である．

これから，定理 3.23 が得られる.

I

最後に定理 5. 74 の証明について述べる．定理 5.90 の証明を，無限次元

の場合に遂行することにより， HF(M;h)~HF(M;O) がわかる. h=O の とき， Ah=A はポット—モース関数で，臨界点集合は (A を 1 価にするため

に flo(M) の被覆空間に上げて考えると） M のいくつかの和である． h=O は 31 方向に定数であるから，

しかも，

31 不変である．（あるいは 31 の il0(M)

への作用の運動量写像である．）よって，定理 3.23 の証明を無限次元で遂行 すると，スペクトル系列は退化し， HF(M;O) は M のホモロジーの直和で

ｧ 5 .4 概正則円盤の応用 ある．

229

これは，定理 5. 74 を意味する．

この節では，有阪次元の場合にのみ，厳密な征明を与えた．方針 2 にもと

づいて，定理 5. 74( およびその任意のシンプレクティ；；ク多様体への一般化） の証明の詳細を与えた文献は存在しない．

しかし，

イ空間のコンパクト化などにかかわる諸結果は，

この節で述べたモジュラ

[117] P artII の議論をゲー

ジ理論から概正則曲線に書きかえることで証明でぎる．（実は，ゲージ理論の 場合の方が，ゲージ変換の自由度があるぶん鉦明は難しい．）そうすれば， の節の議論はすべて正当化される．また，

こ

[122] には，より一般であるラグ

ランジュ部分多様体のフレアーホモロジ一の場合に，方針 2 によるフレアー ホモロジーの計算が述べられている．

ｧ5.4 概正則円盤の応用 Cn=T* 町とみなし，

en の完全ラグランジュ埋め込みを，注意 4.50 のよ

うに定義する． 定理 5.

99(Gromov[ 1 5 9 ] ) en には埋め込まれた* 19 コンパクトな完全ラ

グランジュ部分多様体は存在しない.

D

Zi=Xi+ ✓可y, を en の複素座標とし， w =L d x iI ¥dyi をそのシンプレク ティック型式， 0=L 即仇とする. w= ― d0 ゆえ， 0 のラグランジュ部分多 様体への制限は，閉微分型式になりド・ラームコホモロジー類を定める. が完全ラグランジュ部分多様体であることは， った（命題 4.

[0]=0EH1(L 置）と同値であ

5 1 ) .

定理 5.99 は定理 4.151 と合わせて， するが，

L

en へのラグランジュはめ込みは存在

ラグランジュ埋め込みは存在しない多様体の例を数多く与える．（た

とえば単連結な多様体は，

en へのラグランジュ埋め込みをもたないことが

わかる．）

*19 部分多様体と書いてあるのだから「埋め込まれた」といちいち書く必要はなさそ うだが，ラグランジュはめ込みはあるが，埋め込みはない， ので，「埋め込まれた」とわざわざ書いて強調した．

というのが主要な主張である

0 3 2

フレアーホモロジ一

第5章

定理 5.99 の証明にはラグランジュ部分多様体のフレアーコホモロジ一を用 いる •20,

ラグランジュ部分多様体のフレアーコホモロジーの一般論は §6. 6

で概説する．

この節では困難が比較的少ない場合を述べる．

はじめに多少一般化する .M をシンプレクティック多様体， L をその（埋 め込まれた）ラグランジュ部分多様体とし，次の仮定をする．

w * p 仮定 5.100 cp:D2 • M,cp(8か） CL なる任意の写像ゃに対して， jD2c D =O. Leen で [0]=0E が (L遺）とする・と， Stokes の定理により，仮定 5.100 が満たされる．

仮定 5.100 が満たされていると，任意の cp =s2 → M に対して叫Sり nw= 0 であることもわかる．すなわち，巧 (M) →比 (M) の像の上で [w] は 0 であ る．

このことからもわかるように，仮定 5.100 はかなり強い制限を与える．

補題 5.101

仮定 5.100 を満たす L に対して， cp: n2 •

)cL 2 D 8 ( p M, c

なる概正則写像ゃは定値写像に限る．また，似炉→ M なる概正則写像も定 値写像に限る．

［証明］ 概正則写像 P に対しては， jD2cp*w はエネルギーに等しい． よっ てゃのエネルギーは 0 になり， P は定値写像である.

p=s2 → M について c

も，エネルギーが 0 であるから同様に概正則ならば定値写像である.

I

,らを仮定 5.100 を満たす M のラグランジュ部分多様体とする .M は 1 L とりあえずコンパクトとしておく.

en はコンパクトではないが，この点は

後に説明する ·L1 と L2 は横断的と仮定する．以下この場合のラグランジュ

部分多様体のフレアーコホモロジーの構成を説明する ·A~ov,Z2 を Z2 係数の

F(Li,ら）を次の式で定義する． 普遍ノビコフ環とする. C 以p] CF(Li,ら） = L A~ov, 2 L n 1 L E p

:CF(Li,ら）→ CF(Li,L2) が存在して次を ) 8 ] 3 0 1 r[ e o l F 定理 5.102 ( ー、-—し

*20 Gromov の証明は，概正則円盤を用いるが，以下のものとは異なっ工ーいる． ラグ ランジュ部分多様体のフレアーコホモロジ一を用いて定理 5.99 を証明するアイデアを，筆 者は Oh から聞いた．

ｧ5.4 概正則円盤の応用

2 3 1

満たす． (1)

炉 =0.

(2)

8 のコホモロジ一を HF(Li, ら）と書くと，完全シンプレクティッ

ク同相写像 2 ( L 2 ) ) .

(3) 完全シンプレクティック同相写像¢ に対して， HF(L,(L))~H(L;

Z⑬ A~叩， z2·D 定義 5.103

HF(Li,ら）をラグランジュ部分多様体のフレアーコホモロ

D

ジーと呼ぶ Floer が [103] で仮定したのは 1r2(M;L)=O で，

この条件から仮定 5.100 は

従う．定理 5.99 が導かれるように，少しだけ仮定を弱くした．仮定 5.100 だけだと，

フレアーコホモロジーの次数がまった＜定まらない. (L を向き付

け可能と仮定すると 2 を法とした次数が定まる．） 定理 5.102 が M=Cn の場合に成立すれば，定理 5.99 が導かれることを 示す.

Leen を埋め込まれたコンパクトな完全ラグランジュ部分多様体と

する .L がコンパクトであることを用いると，完全シンプレクティック同

相¢で ¢(L)nL1=0 なるものが存在する．

よって， HF(L, < / > ( L ) )=0. ー方

(3) より， HF(L,(L))~H(L 名） 18lA:.。v,Z2

I Q . これは矛盾である.

I

以下定理 5.102 の証明について述べる．多くの部分は周期ハミルトン系の

場合と共通であるので，要点のみを述べる．計算に L0=L1 の場合も用いる ので，以下 L。と L1 は（横断的より一般的な）斉交叉と仮定する •21. ループ空間 n。M に対応するのは次の空間である． fl(L。,

L1)={£:[0,1]

•

次に，汎関数 Ah の類似物を考える.

MI｣(0)EL。, ｣ ( 1 )EL 1 } . fl(L。, L1) のおのおのの連結成分に，

基点［。を選んでおく．以後記号の簡単のため， fl(L。, L1) は連結で［。が 1 つだけ決まつているかのように記すが，一般の場合には連結成分ごとに考

えればまったく同じである .'YE fl(L。, L1) とし， t。と t を結ぶ道 1 をとる

( , ( o )=£。，

,(1)=£ である）．

う (r, t )=叫t) でう： [ 0 ,1 ]x[ 0 ,1] → M が定ま

*2 1 斉交叉の場合のラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーは [309] で調べられ ている．

232

第5 章

フレアーホモロジ一

る． り，う (T,i)ELi, i=O,l が成り立っ．多価関数 A を次の式で定義す

)=j ｣ ( A

) 4 .2 5 (

鍔．

2 ] ,1 O [

.24) の右辺は戸→ "'f(T) のホモトピー類で決まる. 5 補題 5. 104 ( 以L。上）上の (1 価な）微分 1 型式として定まる．

dA は

[]

証明は Stokes の定理を用いてでぎる． M にリーマン計量を決めれば，

この計鼠によ

fl(L。, L1) に計量が決まる．

る A の勾配ベクトル場を考え，その積分曲線を調べる，

ルトン系の場合の，次のステップであった．

というのが周期ハミ

ラグランジュ部分多様体の場合

も，おおらかに計算すると，積分曲線の方程式はやはり，

塁＋叫塁） =0

) 5 2 . 5 ( である．

間 しかし，「 J叫祝/at) が勾配ベクトル場である」と主張するのは，

， £*TM 題が残る．なぜなら，普通に考えると fl(L。, L1) の£での接空間は

はず の切断であって， 0 で Te(o)L。に， 1 で Te(1) ムに属するもの全体である ある． この点 で，ー J叫祝/at) は一般にはこの境界条件を満たさないからで りよくわから

を無限次元のモース理論の立場で考えようとすると，難しくな なくなる．

ここでは，

この困難を考えるのはやめて，すなわち「勾配ベクト 曲線のモジュ

ル場」を考えるのはやめて，いきなり「勾配ベクトル場の積分

てしまう •22. ライ空間」を方程式 (5.25) の解のモジュライ空間として定義し

が勾配ベ その前に，「 A の臨界点」を定義する必要がある．「ー J叫祝/at) を認めてしまう クトル場である」という（上で述べたような問題がある）主張 と，勾配ベクト Jレ場が 0 になるのは，祝/at が 0, の場合である．

つまり £(t) 三 pEL。 n£1

これも，深く考えるのはとりあえずやめて，定義にしてしま

う．すなわち， 考察からは，直 今述べたように，定義の段階で無限次元空間のモース理論としての モース理論の議論から ，無限次元 の正当性は いる．定義 構成をして 化しづらい ちには正当 下に述べる考察がその 直接は確かめられず，有限次元空間上の偏微分方程式についての以

*22

根拠である．

ｧ 5 .4 概正則円盤の応用

定義 5.105

2 3 3

D

Cr(L。, Li)=L。 nL1cil(L。, L 1 ) ｷ

L。 nL1=UR; を連結成分への分解とする. pEL。 nL1 のとき，対応する Cr(L。ふ） C il(L。ふ）の元を fp と書く． 定義 5.106

写像ぅ：罠 x

[ 0 ,l] → M であって，次の条件を満たすもの全体

を M(L。, L i ; R ; ,凡）で表す．

(1) うは方程式 (5.25) を満たす．

(2) i ' ( T ,0 )EL。'う (T,l)EL1(3) pER;, qERi が存在し T 且~oo')'(T, t )=p, T 瓶i:i1oo う (T,t)=q が成り立 っ．

政が M(L。 ,L丘凡， Ri) に S·')'(T,t)= う (s+T, t) で作用する．商空間を M(L。,

D

加凡， Ri) とおく.

モジュライ空間 M(L。, L 1 ;凡， Ri) を使って， §5. 2 ,ｧ 5 .3 の構成をなぞり， フレアーコホモロジ一を定義したいのだが，困難 5.

残る．

3 4 ( 1 ) ,(2) はこの場合も

しかし，仮定 5.100 のおかげで，困難は大きくなく，すでに述べた議

論だけで十分に対応できる．また，補題 5.101 のためにバプルの解析が必要 なくなり，議論が簡略になる．

横断正則性についての主張を述べるために，線型化方程式を定義する．凡 が次元をもつと， T →土 00 での境界条件の設定に注意を要する．その部分は

[ 1 1 7 ) , [122] を見てほしいここでは凡 ={p}, Ri={q} の場合，すなわち

L。と L1 が横断的に交わる場合についてのみ述べる．う EM(L。, L 1 ; P ,q) と する.

"y*TM の £1,p 級の切断 V であって，境界条件

V ( T ,1 )ET両 1) 恥 を満たすもの全体を £1,p(恥 x

V(T,0)

[ 0 ,l] 済*TM;L。ふ）と書く.

連続であるから，境界条件は意味をもっ．）また， をう*TM®Ao,1 の応
j ならば， M(R,, Ri) は空である.

D

これは臨界値 f(凡）に従って番号を付け替えることで，いっでも実現でき る．

M(Ri,凡）のコンパクト化 CM(Ri,Rj)

は角付き多様体である．（補題 5.88

参照補題 5.88 の証明には補題 5.83 は使われていない．）ふ CM(Ri,Ri) で

CM(Ri,凡）の余次元 m

の角上の点全体を表す．補題 5.88 の証明では，コ

ンパクト化 CM(Ri, 凡）の点はさまざまな k, l に対する M(Rk,Rz) のファイ バー積で層化 (stratify) されたが， m+l 個以上のファイバー積上の点の全体 がふCM(Ri, 凡）である．

ここで，次の補題を証明する．（この補題は補題

5.84 と，幾何学的鎖ではなく，特異鎖を使っている点が異なる．）

補題 A.2

rchain) からなる可算集 a l u g n i 凡の滑らかな特異鎖 (smooth s

合 X(Ri) で次の条件を滴たすものが存在する. C(Ri;Z) で X(Ri) が特異鎖 複体 S(凡； Z) で生成する部分複体を表す．

(1) C(R喜）から S(R立り）への自然な埋め込みはホモロジー群の同型 を導＜．

(2) X(Ri) の任意の元 (P, 心）（ここで P は単体でゆ： P →凡は coo 級の ,…に対する ,2 写像）に対して，心： P 一凡は，どの j,m=O, 1 ev一， i,j

:ふCM(R,,Ri)

→

i R

とも横断的である．

(3) X(R,) の任意の元 (P, 心）に対して，

ファイバー積

凡 Xev一， i,J ふCM(Ri,Ri) を考える．

このとき，多様体 Pゅ Xev一， ,,j ふCM(Ri,Ri) の滑らかな 3 角

形分割を選ぶことで，その各単体と写像 ev+;i,j は特異単体を定める．

こ

の特異単体が X(Ri) の元になるように， 3 角形分割を選ぶことがでぎる．

D

377

単行本化にあたっての追記

ここで「心： P-+ 凡は ev_;i,j と横断的」とは， P のどの面 Pパ余次元は任

意）に対しても，制限叫 Pa :Pa →凡が ev_;i,j と横断的であることを指す． ［証明]

i についての帰納法で X(凡）を構成する.

( 1 ) ,(2) を満たす X(R1)

が存在することは横断正則性定理の帰結である． 帰納法の仮定として，次のことを仮定する. ri~i。なる i に対して X(R』 が選ばれ，それは (1) を渦たす． が満たされる．

また， i~i。なる i と任意の j に対して (2)

さらに i,j~i。なる i, j に対して (3) が満たされる．」

以上の仮定のもとで， X(Ri0+1) を構成する． まず，

(P, ゅ） EX(凡）， i~i。に対して，

ファイバー積

P , 心 Xev_, いo+l ふCM(R訊•0+1)

(A.1)

を考える．帰納法の仮定と条件 A.1 より， がつて多様体を定める．

( A .2 )

このファイバー積は横断的でした

さらに写像

e v + ; i , i o + 1:Pゅ Xev一，いo+l ふCM(Ri,Rぃ）一凡。十 1

は，任意の j と m=O, 1 , 2 ,…に対して，

( A .3 ) と横断的である．

ev一， io +1 , j:ふCM(Ri0+1,RJ → R i 0 + 1 このことは

ふCM(R況。十 1) XR.o+l ふ CM(Ri0+1,RJ が Sm+m'+1CM(Ri, 凡）のある成分であることと帰納法の仮定より従う． (A.1) の単体分割を，各単体への ev七いo+l の制限が， るように選ぶことができる．

(A. 3) と横断的であ

さらにそのような単体分割が，

(A.1) の境界上で

はすでに選ばれている 3 角形分割と一致するように選ぶことがでぎる.

( A .l )

の各単体を写像 ev+;i,io+l により R;o+1 の特異単体とみなす·Xo(凡。十 1) をそ のようにして得られる特異単体全体とする．

次に晶 (Ri0+1) を含む X(R町 1) を以下のようにして構成する． 定理の (2), (3) を渦たすような滑らかな特異単体 (P, 心）全体の集合を

ぷrans(Ri0+1) とする．その元の 1 次結合からなる特異鎖複体の部分複体を

S t r a n s ( R ; 0 + 1 ;Z) と壽＜．横断正則性定理を用いて，埋め込み S trans(凡。 +1;Z) → S(R;0+1 蕩）がホモロジーに同型を導くことを証明できる．

まず，ぷ (Ri0+1) を

378

単行本化にあたっての追記

ふ（凡。十 1) つ品（凡。ョ），

ふ（凡。十 1) C ふrans(R;0+1)

かつ，ふ（凡。十 1) がは部分複体 C1(凡。十 1) を生成し，さらに埋め込みが導＜ 写像 H(C1(凡。十 1);

H(R;0+1;Z) が全射であるようにとることができる．

Z) •

H ( C 1 ( R ; 0 + 1 ) ;Z) •

H(凡。十 1; Z) は単射とは限らない．

そこで，ふ（凡。十 1) を

ふ（凡。十 1) つふ（凡。十 1),

ふ（凡。十 1) C ふrans(凡。十 1)

かつ，ふ（凡。十 1) は部分複体 C2(凡。十 1) を生成し，さらに，埋め込みが導＜ 写像 H(C1(R;0+1); Z) • H(凡。十 1;

Z) •

H(凡。十 1; Z) の核 (kernel) が，埋め込みが導く写像

H(C2(凡。十 1); Z) によって 0 に移されるようにとる．

もし H(C2(凡。十 1); Z) • H(R;0+1;Z) の核が 0 でなければ，ふ（凡。い）を同 様に選ぶこれを繰り返すと，

X(凡。 □ ） =U ふ（凡。十 1)

'

が補題が主張する性質をもっている． 注意 A.3

角付き多様体 (A.1) の単体分割をとると，

異鎖が得られると述べた．

(A. 2) を用いて凡の特

これは多少不正確である．すなわち，

(A.1) の一番高

い次元の単体のおのおのに対して，それと標準単体との同型を決めると，

(A.2)

を用いて凡の特異鎖が得られる．おのおのの単体と標準単体との同型は，単体 の頂点の順序を決めると一意に定まる．頂点の順序を選んでいって，おのおのの 単体と標準単体との同型を決めることにより， R; の特異鎖が定まる．頂点の順序 のとり方は，境界から順番に決めてい＜．すなわち，

(A. l) の境界に属する頂点

ではすでに順序が選ばれているとして，それを，内部に拡張してい＜．

補題で得られた，鎖複体 C.(R;;Z) を用いて，

S訊凡； Z )=cdimR;—k(R;;Z) とおき，

これを用いて定義 5.85 を次のように置き換える．

定義 A.4

=E B S ;一 µ(ul(R嘉）．

D

CF竹X;f)

境界作用素 (5.17) の定義は CF竹X;f) の鎖 (P, 心）に対して可能である．

単行本化にあたっての追記

これは補題 A.2 の (2), (3) の帰結である．

379

これによって， (5.19) を満たすス

ペクトル系列が構成される．

定理 5.90 を証明するには，やはり幾何学的鎖でなく，特異鎖を用いる．注 意 5.83 も含めて議論はほぼ同じに進む．

ただし補題 5.97 の証明では注意が

必要である．すなわち，像の次元が本来の次元（特異鎖としての次元）より 1

小さいことからは，特異鎖として 0 であることは導かれない（定義 5.82 では カレントとして同じものは同じとしていたので，

になった

この同値関係をいれると〇

しかしいまの我々のやり方ではこれは許されない）．

ここは次の

ようにする．補題 5.98 で使われる q_j=~ 屯を考える．これは， p=O のと

きの fr,p から得られる鎖写像

( A .4 )

U r , o ) .:CF(X;f-oo) • CF(X;f o o )

と p=l のときの fr,p から得られる鎖写像

( A .5 )

( f r , 1 ) .:CF(X;f-oo) • CF(X;f o o )

の間の鎖ホモトピ一を作るのに使われた．補題 5.97 は Ur,o). が恒等写像で あることを意味するが，

これには上述の問題がある．

そこで屯を少し取り替える．すなわち定義に使われる空間

(A.6)

UP ゅ Xev―;iM( 凡，―， Ri,-;f叫 p

を i -/=j の場合に， p=O のところだけつぶす．すなわち，そこでは良の作用 があるからその作用でつぶす．つぶした空間が 3 角形分割をもつことがわか ると， p=O のところには，本来あるべき次元の単体がないことから， ii= j ,

p=O に対応する部分が特異複体として， O になる．（この点は後でより正確 に述べる．） 以下では， R;,- のかわりに凡とかく．方程式 ((5.23) の直後の常微分方程 式， p.227) をながめると， i=j の場合には，

( A .7 )

M(凡， R;; f r , p )

は p=O に近づくと，凡そのものに近づき，また ev_;i,i, ev+;i,i は恒等写像 凡→凡に近づ＜ことがわかる（実際， i=j の場合， (5.23) の直後の常微分 方程式の解は， p が 0 に十分近いといたるところ凡の近くにある．

ょって，

380

単行本化にあたっての追記

( A .7) は凡の安定多様体の少摂動と不安定多様体の交わりになり，上記主張 を得る）． こうして，ゥが (A. 5) と恒等写像との鎖ホモトピ一を与えていることがわ

かり，定理 5.90 が証明される． 最後に (A.6) を恥作用でつぶすという構成についてもう少し述べる．恥作 用でつぶすというのは危なそうな構成で，股はコンパクトでないから，いか にもハウスドルフ空間でなくなりそうで心配であろう．

簡単のため， M(凡， Ri; f-oo) が境界をもたない場合，つまり，臨界値

f-oo 国）と臨界値 f-oo(Ri) の間に f-oo の臨界値がない場合を考えよう．

M(凡， R五 fr,o) =. M ( R ; ,R j ;f o o ) でかつ

( A .8 ) である．

.M(凡， Ri; f o o )=M(凡， Ri; い） X 政

この同型を記述する．

f-oo 国） = C ; ,

J _ 0 0 ( R j )= C j

とおき

e;3 rsymmetryi o r r i sandm d o i r e dp e z i l a r e n e ,G . ,S v o k i n n a r a ] B 2 3 [ math/9903124. e i fL yo t i l a m r o sandf d l o f i n a sm u i n e b o r ,F . ,M h c i v e s t n o .andK ,S v o k i n n a r a ] B 3 3 [ .201-215 p ,p ) 8 9 9 1 ( s4 e c i t o .N s e .Math.R t a m e t n ,I s d l e i rf o t c e v y l o fp so a r b e g l a y e l e k r e ,B n o i t a z i t n a u fQ eGeometryo h sont e r u t c e ,L . ,A n i e t s n i e .andW ,S s e t a ] B 4 3 [

参考文献

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4 0 5

欧文索引 1p e r i o d i cs o l u t i o n A model

1 8 8

2 4 5

a c t i o na n g l ec o o r d i n a t e 1 4 5 A00 homomorphism 3 0 4 a l m o s tcomplexs t r u c t u r e Bf i e l d 2 7 8 B model

3 ,22

2 4 5

1 2 8

b i h o l o m o r p h i cmap BKSp a i r i n g 1 5 1

97

completei n t e g r a b l e 1 4 2 complexgauget r a n s f o r m a t i o n c o n f o r m a l

B a t a l i n -V i l k o v s k ymastere q u a t i o n 3 0 3 b i f u r c a t i o n

cobordant 1 7 0 compactr e a lform c o m p a t i b l e 3 0

5 8

c o n f o r m a lb l o c k 1 6 1 c o n f o r m a lf i e l dt h e o r y 1 6 1 c o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n 5 8 c o n J u g a t ep o i n t 1 4 0 Conley-Zehnderi n d e x 2 1 2 conormalbundle 1 2 0

257

Bochnert r i c k 7 c o n t a c td i f f e o m o r p h i s m 1 3 0 Bogomol'nyii n e q u a l i t y 6 0 c o n t a c tform 1 2 9 Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfeldi o n n s t t a a n c - c thomology 1 3 6 ,2 9 8 ton 6 0 c o n t a c ts t r u c t u r e 1 2 9 Bohr-Sommerfeldo r b i t 1 4 9 c o n t a c tt r a n s f o r m 1 3 0 B o r e lc o n s t r u c t i o n 1 0 8 Bott-Morsef u n c t i o n 8 9 brane 3 3 4

4 1 c o u p l i n gc o n s t a n t.2 4 8 c r i t i c a lp o i n t 4 3

bubble

c r i t i c a lp o i n ts e t

c a l i b r a t i o n

c r i t i c a lsubmanifold c r i t i c a lv a l u e 4 3 Darbouxc o o r d i n a t e

c o n t i n u i t ymethod

6 6 Calabi-Yaum a n i f o l d 2 4 6 c a l i b r a t e dsubmanifoldｷ61 6 1

Carnot-Caratheodorym e t r i c 1 3 6 c a t a s t r o p h 1 2 8 Cauchy-Riemanns t r u c t u r e 1 3 4 c a u s t i c s 1 2 5 c e n t e rm a n i f o l d 1 1 2 Chern-Simonsf u n c t i o n a l c l a s s i c a lcomplexs t r u c t u r e c l e a ni n t e r s e c t i o n 2 0 2

1 5 7 3 4 3

8 9 8 9

28 ormat10nq de f u a n t 1 z a t 1 0 n 1 5 d e f o r m a t i o nt h e o r y 7

d e r i v e dc a t e g o r y 3 0 5 d i f f e r e n t i a li n v a r i a n t 5 d i l a t o n 2 4 8 d u a l i t yo fd u a l i t y Dynkindiagram e f f e c t i v e

9 5

3 5 9 1 2 8

1 0 5

6 0 4

欧文索引

0 2 2 n i a h cc i r t e m o e g y r o e h cmeasuret i r t e m o e g

57

y g r e n e

1 0 3 r e t l i yf g r e n e enumerativegeometry

5 eproblem c n e l a v i u q e 108 tcohomology n a i r a v i u q e 6 1 1 s s a l rc e l u tE n a i r a v i u q e 4 1 1 ) Q I r e v o t c e f r e yp l t n a i r a v i u q e 2 Erlangenprogram 4 5 2 nmap 0 1 t a u l a v e tLagrangianimmersion c a x e

8 3 1

cdiffeomorphism i t c e l p m y ts c a x e 8 8 1 4 6 2 exchangesymmetry 6 7 2 e c a p extendedmodulis 2 0 3 a r b e g l 0a 0 dA e r e t l i f 0 8 2 2 0 3

vmodule o n dA e r e t l i f a r b e g l 0a 0 ｣ d e r e t l i f

a r b e g l 0a 0 dweakA e r e t l i f a r b e g l dweak｣00a e r e t l i f

l a m r o f

2 0 3 2 0 3

87 ,2 9 1

e t a n i d r o o tc a l f f orgettmgmap

5 5 2

307

1 2 3 e r u t c e j n o yc t i l a m r o f 1 2 1 r o t a r e p lo a r g e t n ri e i r u o F 2 1 rtransform e i r u o F m r o f s n a r t i a k u M r Fourie 3 4 Fredholmmap 3 4 r o t a r e p Fredholmo e e r f

0 4 3

2 2 1

3 1

n o i t a z i t n a u cq i r t e m o e g t e k c a r Gerstenhaberb

9 1 3

6 5 e k i tl n e i d a r g fold m a m n a m n a m s s a r G

3 6 1 5 5 2

t n a i r a v n Gromov-Witteni l a i t n e t o Gromov-Wittenp 8 7 1 e l p i c n i r hp Hamiltonformalism

4 8 2

10

3 1 d l e i rf o t c e Hamiltonv 3 8 n 0 1 t c Hamiltomana 7 s i s y l a n harmomca 8 5 harmomcmap 3 2 c i r t e Hermitianm 337 tscheme r e b l i H 8 1 3 dcomplex l i h c s h c o H 1 5 2 d n o m Hodgedia t n a i r a v n holomorphicCassoni

6 3 3

8 4 rbundle o t c e holomorphicv 5 3 3 rsymmetry o r r i lm a c i g o l o m o h t n a i r a v n Hutchings-Leei d l o f i n a hyperKahlerm

8 0 2 8 1 1

8 1 1 hyperKahlermomentmap 6 4 1 d l o f i n a hyperKahlerm n o i t a u q le a i t n e r e f f i cd i t p i l l e o p y h 6 3 1

108

6 4 2

a r b e g l sa u i n e b o r F fundamentalform 3 e r u t c u r t Gs t n e l a v i u q gaugee

2 2

6 3 1 n o i t i d n o c ntheorem o i t a c i f i s s a l immersionc 即rmander

9 7 1 6 0 3

n o i t c n u generatmgf 8 5 2 genus w o l cf i s e d o e g

337

rsymmetry o r r i cm i r t e m o e g 0 4 1 s c i t p co i r t e m o e g

9 8 2

0 4 1

4 2 1

x e d n i

3 4

3 y t i l i b a r g e t n i mtermediatepolanzat10n ecomponent l b i c u d e r r i

3 6 1 6 5 2

欧文索引

J h o l o m o r p h i cc u r v e 33 J o y c em a n i f o l d 337 kp o i n t e ds e m i s t a b l ec u r v e 256 Kahlerform 23 K o d a i r a S p e n c e rmap 308 K u r a n i s h imap 296 Kahlerc o n e 292 Kahlerm皿ifold 23 Kahlerp o l a r i z a t i o n 147 Lagrangef o r m a l i s m 10 Lagranges i n g u l a r i t y 125

m i c r obundle 6 213 minimalChernnumber . 11 . mr n. 1ma mmers10n 5 8 m i r r o r 245 m i r r o rsymmetry 18 modulis p a c e 7 277 modulis p a c eo fvacuum momentmap 82 monopolee q u a t i o n 45

Lagranges u r g e r y 174 Lagrangianc o b o r d a n t 1 7 1

monotone 194 monotomc1typ r m c i p l e Morsei n d e x 90 Morset h e o r y 7

Lagrangianc o r r e s p o n d e n s e 1 2 1 Lagr皿gian f i b r a t i o n 142 Lagr皿gian G rassmannianm a n i f o l d

MorseWittencomplex mot1v 1 2 1 Moyalp r o d u c t 332

Lagr皿gian Lagr皿gian

1 1 9

s u b m a n i f o l d 119 f o l i a t i o n 142

l a r g ecomplexs t r u c t u r el i m i t l a r g evolumel i m i t 292 139 137

Legendri皿 submanifold

L e v iform 133 r . m e a r 1 z e de q u a t i o n L 0 0homomorphism

317

173

Legendri皿 cobord皿t

L e g e n d r i a ns i n g u l a r i t y

304

lowe n e r g ye f f e c t i v ef i e l dt h e o r y 277

Lyapunovf u n c t i o n 56 markedp o i n t 259 Maslovi n d e x 1 6 4 Massey-Yonedat r i p l ep r o d u c t 296 M a t h a i Q u i l l e nf o r m a l i s m 1 1 8 303

198

359

n o n d e g e n e r a t e 192 n o r m a l i z a t i o n 256 No v i k o vr i n g 206 numberf i l t e r 300 operad 273 o r b i f o l d 8 5 ,252 o r d i n a r yd o u b l ep o i n t

46

Maurer-Cart皿 equation

7 8

m u l t it h e t af u n c t i o n 3 7 1 nonsqmzmgtheorem 7 6 noncommutat1vegeometry 1 5 noncommutativem i r r o rsymmetry

164

Lagr皿g1an 1mmers1on

407

256

o r i e n t e dc o b o r d a n t 170 o r i e n t e dL a g r a n g i a nc o b o r d a n t 1 7 1 p e r f e c tBott-Morsef u n c t i o n 95 p e r i o d i cHamiltoniansystem P o i s s o nb r a c k e t 1 4 P o i s s o ns t r u c t u r e 1 6 p o l a r i z a t i o n 147 p o l y v e c t o rf i e l d 309

188

8 0 4

欧文索引

nbundle o i t a z i t n a u q e r p 9 1 m r o f pnm1t1ve

2 3 1

8 2 1 y t i l a u ed g n a r t s 5 5 2 e v i t i s o yp l g n o r t s subRiemanniangeometry

4 2 y t e i r a ev v i t c e j o r p 3 3 1 pseudoconvex 1 6 2 pseudoholomorphic 3 3 e v r u pseudoholomorphicc 2 3 pseudoholomorphicmap 1 2 1 ttransform c a t n o dc e z i t n a u q 6 6 2 g n i quantumcohomologyr 3 2 1 y t e i r a cv i a r b e g l la a e r 1 3 1

t n i o rp a l u g e r e u l a rv a l u g e r

8 1

y r o e h gt n i r t rs e p u s n o i t c u d e cr i t c e l p m y s

4 8

1 2 e r u t c u r t cs i t c e l p m y s 6 3 1 n o i t a z i t c e l p m y s

4 9

177 e c a p Thoms lsigmamodel a c i g o l o p o t

8 2 1

ngroup o i t c e l f e r

5 3 1

ttype c a t n o fc submanifoldo 4 8 2 rmanifold e p u s

Thomisomorphism

9 0 1

n o i t c e l f e r

6 3 1

6 5 tamedbyW M 6 tbundle n e g n a t

7 4 1

n 0 1 t a z n a l o lp a e r d l e i rf o t c e Reebv

2 4 ,3 9 5 ,2 8 2 ,1 0 0 1 2 1 1 d l o f i n a rm e t n e ec l b a t s 1 6 2 emap l b a t s

e l b a t s

287 l a i t n e t o p e r p 6 4 1 n 0 1 t a z 1 t n a u q e r p

,256 3 4

8 1

6 0 1 toncvanety 3 4 4 8 1 l a e yr l l a t o t 3 7 ytheorem t i r a l u g n i removables . . 2 e v 1 t 1 s n a r fgenusgwithkmarked t eo c a f r u Riemans 1 7 2 e e r t 2 5 2 s t n i o p scheme

127

g n i d l o f n u

6 1

9 0 3 t e k c a r Schoutenb t n a i r a v n ni e t t i W g r e b i e S

5 4

s s a l lMaslovc a s r e v i n u g n i lNovikovr a s r e v i n u

g n i x e d n fi l e s

1 9

d e t c u r t s b o n u

e v 1 t 1 s o p 1 m e s

4 9 1

e l b a t s n u

e l b a t s i m e s

0 0 1

6 5 2 e v r u ec l b a t s 1 m e s 9 5 ,2 6 5 2 t n i o rp a l u g n i s 0 4 3 f a e h rs e p a r c s y k s 9 4 2 tproduct n a l s rbundle e b i lLagrangianf a i c e p s 0 4 3 lLagrangiansubmanifold a i c e p s 9 3 3 t n i o lp a i c e p s

9 5 2

4 6 1 207

307

0 0 1

d l o f i n a rm e t n e ec l b a t s n u

2 1 1

1 0 3

n o i t a u l a v

0 6 3 e l c y gc n i h s i n a v 4 4 ldimension a u t r t v volume

8 5

lcrossmg l a w

3 5 3

9 3 1 t n o r wavef 0 0 3 a r b e g l 0a 0 weakA 0homomorphism weakA0 a r b e g l 0a 0 weakL

0 0 3

4 0 3

和文索引―-—-409

weakL 0 0homomorphism 304 w e i g h t e dhomogeneous 1 3 4 w e i g h t e dp r o j e c t i v es p a c e 85 Weitzenbockf o r m u l a 67

W i r t i n g e ri n e q u a l i t y

60

Witten-D i j k g r a a f -Verl i n d e -Verl i n d e e q u a t 1 0 n 286 Yonedap r o d u c t 295

Weylchamber 1 0 9 Weylgroup 1 0 9

Yukawac o u p l i n g

247

和文索引 A 模型

245

Moser の定理

Aoo 準同型写像 Aoo 代数

304

26

Narashimhan-Seshadri

300

n,m 型の微分型式

Arnold-Givental の予想

240

n,m 型式

Arnold-Liouville の定理

1 4 2

凸バ醤やかである

B 場

278

B 模型

面補題

245

303

56

313

Q 上同変完全

1 5

Tian-Todorov の恒等式

1 5 1

Verlinde の公式

Bohr-Sommerfeld の量子条件 Borel の構成

108 60

BRST コホモロジー

3

h 原理

1 7 8

275 27

Levi の間題

ア行

192

圧縮不能性定理

7 6

安定

1 0 0 ,1 2 8 ,2 5 9 ,342 2 6 1

安定多様体

1 4 1 1 3 4

£00 準同型写像

9 1

安定中心多様体

112

位相的シグマ模型

304

1 周期解

300

Lojaszewicz の評価

67

アーノルド予想

安定写像

Huygens の原理

286

2

(X,G) 構造

303

1 3 4

G 構造

WDVV 方程式

1 1 8 ,303

C スベクトル系列

Darboux の定理

3 1 1

118

Weitzenbi:ick の公式

BPS インスタントン

Comm00 代数

1 5 0

1 7 8

1 1 4

Serre-Swan の定理

Blatter-Kostant-Sternberg の対合

£00 代数

35

Pontrjagin-Thom の構成

Batalin-Vilkovsky のマスター方程式

CR 構造

の定理

35

1 8

1 8 8

ウィルティンガー不等式

93

運動量写像

8 2 ,1 5 2

60

1 0 5

和文索引

410

8 2 1

奇妙な双対性

273

256

既約成分

85

重み付ぎ射影空間

246

キャラビ予想

カ行

キャリブレートされた部分多様体

,339 1 6

30

概ケーラ一多様体 概正則曲線 概正則写像

33

鏡映変換群

32

共形的

127

開析

,22 3

概複素構造 角・運動量座標

274

オペラッド上の

44

力タストロフ

墜越え

289

6 3 1

極小はめ込み

8 5

巨大体積極限

292

巨大複素構造極限

317

グラスマン多様体

3 6 1

296

形式的

142

1 2 3

8 3 1

完全ラグランジュはめ込み

完全ラグランジュ部分多様体

307 306

ゲージ同値

95

完全ボット—モース関数

8 3 1

結合定数

248

ケーラ一型式 ケーラ一錐

220

ケーラ一多様体

337

幾何学的ミラ一対称性

340

1 5 ,1 3 1

255

グロモフ—ウィッテンポテンシャル

形式性予想

8 8 1

幾何学的量子化

0 4 1

4 8 2

完全シンプレクティック同相写像

幾何学的測度論

58 255

グロモフーウィッテン不変量

カルノ一ーカラテオドリ距離

幾何学的鎖

1 6 1

倉西写像

8 2 1

353

完全積分可能

1 6 1

共形ブロック

共役点

276

加群

数え上げ幾何学

共形場の理論

強正

5 4 1

拡大モジュライ空間

8 2 1 58

共形変換

22

概複素多様体

仮想次元

9 0 1

鏡映

1 6 2

概正則

1 339 6

キャリブレーション

16

概型

246

キャラビ—ヤウ多様体

4 3 1

重み付ぎ斉次

22

基本型式

2

工 Jレランゲン目録

3 3 1

擬凸

23

ェルミート計量

,252 5 8

軌道体

1 0 3

エネルギーフィルター

オベラッド

140

幾何光学

57

エネルギー

ケーラ一偏極

23 292 23 147

ゲルステンハーバ一括弧

319

和文索引一—-411

原始型式

焦点集合

1 9

1 2 5

弦理論

122

消滅サイクル

効果的

95

除去可能特異点定理

交叉対称性

264

拘束系のハミルトンカ学

勾配的

303

56

コーシ一ーリーマン構造 個数フィルター

134

125

小平―スペンサー写像

古典的複素構造

真空のモジュライ空間

277

シンプレクティック化

136

シンプレクティック簡約

84

シンプレクティック構造

2 1 8 4

シンプレクティック多様体

シンプレクティック変換群

97

コンレイーゼーンダー指数

212

推移的

サイクルの対応

1 2 1

スキーム

最小チャーン数

213

スラント積

最小マスロフ数

239

正規化

256

斉交叉

202

整合的

30

サイパ一グ―ウィッテン不変量

9 1

実代数多様体

1 2 3

147

射影代数多様体

自由

304 304

188

種数 樹木

258

準楕円型微分方程式 ジョイス多様体

4 3 ,256 257

正則な自明化 積分可能

49 48

23 3

接触型式

1 2 9

接触構造

1 2 9

接触同相写像 接触変換

2 7 1

準リーマン幾何学

正則点

接触型部分多様体

108

半安定曲線の

43

積分可能性

300

周期ハミルトン系

1 2 4

正則値

正則ベクトル束

300

弱 L"° 準同型写像

弱 L"° 代数

249

正則同型

24

弱 A"° 準同型写像 弱 A"° 代数

1 6

生成関数

43

実偏極

45

136 136 337

1 3 5

130 1 3 0

接触ホモロジー

接束

340

309

スカウテン括弧

1 3 6 ,298

6

線型化方程式

46

25 28

2

スカイスクレーパ一層

サ行

指数

25

シンプレクティック同相写像

343

自己指数付き

2 1

シンプレクティック同相

308

コンパクト実型式

7 3

シンプレクティック商

300

コースティックス

360

412

和文索引

同変コホモロジー

65

先験的評価

132

前量子化束

4 8 1

総実

359

双対性の双対性 測地流 ソフト

305

特異点

,259 6 5 2

特殊点

259

特殊ラグランジュファイバー束

2 8 1

特殊ラグランジュ部分多様体

多重テータ関数

371

多重ベクトル場

309

トム同型

4 9

Iノビコフコホモロジ一

157

チャーンーサイモンズ摂動理論 チャーンーサイモンズ汎関数

ハ行

157

2 8 1

ハード

波頭

8 1 1

超ケーラ一運動量写像

9 3 1 66

バブル

,146 8 1 1

超弦理論

8 1

ハミルトン型式

10

超多様体

284

ハミルトン作用

83

58

ハミルトンベクトル場

7

通常 2 重点

256

半安定

8 2 1

半正

点層

340

半非退化

同境

170

非可換幾何学

同値問題

256 162

202 5 1

非可換ミラ一対称性

5

同変オイラー類

256

4, 239 9 1

パンツ分解

362

テータ関数

100

半安定曲線 k 点付き~

248

ディンキン図形

277

6 1 1

非障害的

3 1 9 7 1

はめ込みの分類定理

低エネ Jレギー有効場の理論 ディラトン

208

ハッチングスーリー不変量

2 1 1

調和積分論

207

3 6 1

3 6 1

調和写像

35

206

ノビコフ環

8 7

超ケーラ一多様体

259

ネイエンハイステンソル

チャーンーサイモンズ型式

中心多様休

106

37

名前付きの点

,239 4 9 1

単調性原理

340 339

ナ行

9 2 ,1 8 2

ダルブー座標

中間偏極

177

ドルボー複体

254

代入写像

トム空間

トーリック多様体

58

単調

導来圏

0 4 1

タ行 体積

116

同変トム同型

6 4 1

前量子化

108

307

359

413

和文索引

2 9 1

非退化

256

非特異既約成分 微分不変式

4

非向き付きラグランジュボルディズム

半群

非向き付きルジャンドルボルディズム

5 7 1 337

ヒルベルト概型

不安定

302

フィ Jレクー付き Aoo 代数

フィルター付き Anov 加群

280 302

フイ Jレクー付き £00 代数

フィルター付き弱 Aoo 代数

302

フィルター付き弱 £00 代数

302

253

複素ゲージ変換

287

分岐集合

8 2 1

平坦座標

,287 9 1

偏極

5 1

変形理論

7

23 4 2 97

1 0 3

ポアッソン括弧

1 3 1

ポアッソン構造

6 1 4 1 3 7 1

255 4 2 1

ボゴモルニー不等式

0 6

ホッジダイアモンド

1 5 2

ボット—モース関数

89

ボットーモース型式

205

207

ホッホシルト複体

318

普遍マスロフ類

4 6 1

ボホナートリック

7

フラックス予想

342

ホモトピー同値写像

普遍ノビ‘コフ環

フーリ工—向井変換 フーリ工積分作用素

,359 2 2 1

304

ホモロジー的ミラ一対称性

335

1 2 1 マ行

12 1 5 3

フレアーコホモロジー

周期ハミルトン系の一

ラグランジュ部分多様体の

6

マイクロバンドル

217

マスロフ指数

8 6 ,1 6 6 ,1 4 6 1

マタイーキレン流の定式化

マッセイー米田 3 重積

1 3 2 フレドホルム作用素

9 4 1

ボーアーゾンマーフェルト軌道

母関数

8 9

複素部分多様体

6 3 1

147

変形量子化

忘却写像

23

フーリエ変換

88

2 2 1

ホイットニートリック

105

複素構造を保つ

付値

246

フロベニウス多様体

ボアッゾンの括弧

336

複素キャッソン不変量

複素リー群

334

プレ一ン

．ヘルマンダー条件

2 1 1

不安定中心多様体

複素座標

287

ヘッケ作用素

1 9

不安定多様体

複素構造

46

プレボテンシャル

平坦接続のモジュライ空間

100

複素軌道体

43

フレドホルム切断

フロベニウス代数

5 7 1

半群

フレドホルム写像

43

ミラ一

245

118

296

414

和文索引

ミラ一対称性

,122 8 1

ラグランジュ部分多様体の手術

4 7 1

0 7 1

ラグランジュボルディズム半群

5 7 1

向き付き同境

1 7 1

向き付きラグランジュ同境

56

リーマン面

7

モジュライ空間

ラグランジュ葉層構造 リアプノフ関数

238

無限遠方で凸

8 9 1

モース—ウィッテン複体

1 2 1

204

量子化接触変換

モース指数

90

量子コホモロジ一環

モース理論

7

量子補正

1 2 1

モノボール方程式

45 303

モーラ―—カルタン方程式

266

248

臨界値

43

臨界点

43

臨界点集合

332

モーャル積

252

k 点付き種数 g の

モース型式

モチーフ

89 89

臨界部分多様体 ルジャンドル同境

ヤ行 湯川結合

3 7 1 9 3 1

ルジャンドル特異点

137

ルジャンドルはめ込み

247

ルジャンドル部分多様体

5 3 1

余接球面束

142

137

5 3 1

米田積

295

ルジャンドル変換

余法束

0 2 1

ルジャンドルボルディズム半群

54

ループ空間 ― ✓1丁 フ

ラグランジュ・グラスマン多様体

レビ行列

4 3 1

レビ型式

3 3 1

レーブベクトノレ場

4 6 1 ラグランジュ型式

10

ラグランジュ対応

1 2 1

ラグランジュ同境

1 7 1

ラグランジュ特異点

ラグランジュファイバー束

ラグランジュ部分多様体

ワ行 ワイル群

5 2 1

ラグランジュはめ込み

1 3 1

1 4

連続法

ワイル領域

9 1 1 2 4 1 9 1 1

9 0 1 9 0 1

ワインシュタイン予想

1 3 1

175

深谷賢治 1959 年生まれ

1981 年東京大学理学部数学科卒業 現在京都大学理学部数学科教授 専攻

幾何学（リーマン幾何学，ゲージ理論，シンプレクティック幾何

学）

シンプレクティック幾何学 2008 年 11 月 12 日第 1 刷発行 ふかやけんじ

著者深谷賢治 発行者

山口昭男

発行所

株式会社岩波書店 〒 101-8002 東京都千代田区一ツ橋 2-5-5

電話案内 03-5210-4000

/ p j . o e . i m a n a w i . w w w // : p t t h 印刷・大日本印刷

カバー印刷 •NPC

8 0 0 ©Kenji 恥kaya 2 l 2 6 4 5 0 0 0 0 4 8 7 ISBN9

製本・松岳社

nJapan di e t n i r P