Sucesiones y Series Vol 2

Citation preview

.

'

.

¡

TA KEOCHl . · · '

"

-~

•
. -~~~.l.


( n ->oo ),

n+1 n + 1

entonces el producto diverge a cero (no se puede decir /el producto converge a ·e ero ~ ) : 00

n

n =1

NOTA

o.

( 1 .__:1_) n + 1

•

En el caso del producto :

n

00

n =1

1 (1·->. ·

n

el primer factor es O, luego P n = O sultado trivial

IP n 1

1O,. O,

=

pará todo n. Para evitar el re-

O, ~ •• , O, • • •

1 consideramos el prQ

dueto a partir del segundo . fact_o r eliminando el factor nulo , así obtiene el producto nfinito del ejemplo S7 . EJEMPLO

58

Sea

= (1 -

n

oo {1· 1 2 n =1 (n + 1)

~ )( 1 ----!-!> 2

3

1• 1

(1 • (n

+ 1)

2) ~

·.

se

223

,z'

= 1

7~

,,

r.to n ces

l

converge a

el producto infinito

1

00

1

n=1

(n+1)

n11-

1 21

o se a

1

2 1=, 2

• •

Observación 1

00

tli erge a O

n

00

1

00

TI ( 1 +--) diverge a +oo

El producto

n +1

1

1 ( 1 +n-::;:1+ J x

___¡_

00

1

00

n1 (1 • n+ 1 J = n1 ( 1 •

con verge en el ejemplo 58

(n+1)

1 3

1

por ejemplo:

1 5

=

+- +- + ~ _·_1_ = • .1_ • ..2. 1 2n 2 4 00

00

1

1 2n '.. 1

2J

caso similar a la serie infinita la suma

1

Je dos series divergentes puede converger

~

• _1_

1 2n

6

. . ..

+

= •

1 + - 1 • -1 + 2 3 4

00

,

00

lag 2

[ - - • _] = 1 • -

•

E ]EMPL0 0 : Sea

p

n

(

(.!!...±..!. ) -

1 4 3 6 5 ( ·-H-J(. _)(_)(. -> 2

1

y el producto de los dos productos divergentes:

1

y

'

y el producto TI ( 1 · - - ) 1 n +1

3

4

i

5

·1

)~

21

ó

n+1

6

si n es impar

(.1)n/2 n + 2 2(n + 1)

si n es par.

(-~)

n+l

entonces

¡¡;;;

p

,

.J...

=

n

2

y el producto infi, ito diverge • EJERCICIO

1

lim P --- n

T·

•

-- j

v;; ·.

Investigar la convergencia o divergencia del producto infinito:

11 TI00~33

n=

n

± 1

Solución n (ntV

3 3

1 = ( n • 1) ( n

nt1

P

-

k

TI

n

9

2

± 1)

- (ntl) tll=

3 • 1 3

(nt2)(n~±ntl),

entonces

k + 1

k=2

(2-l)(~t2tl)

n

± n

t l = (nt2){(nt1)

sea

p

2

(3-.1)(3 2 t3tl) . (n-1Xn 2:Jtl) . x (nt1) 3 -1 x (2 +2)(22+ 2+2) x • • x (ntl)((n-l) ~n-l)tl (nt 2Hn 2tnt1)

·-2 3 l(nt1) 3 • . ll 9 n ( n ± 1)(n + 2) o sea, oo

TI

3 n •

n =2 n 3 ± 1

EjERCICIO

=-2

( el producto converge a · : • )

3

•

160

Hallar el producto parcial e investigar la convergencia o divergencia del producto infinito :

TI

n =o

(1

±

lxJ
OO

.¡. O , dado

~

f

n

P.

TI ak

k=1

> O existe N tal que

n \ TI ak - P \ < mÍnimo de 1~ Jfl¡ k=1 . 4 • 2 •

n ~ N implica

Entonces si n

lim

Pn

N

tenemos para todo q:

(5) pero como

dividiendo la desigualdad (5) por

n

1 nk=

1 ak

1

-1

(

o)

se

tiene :

(

.

o sea

(ii)

Ahora, supongamos la condiciÓn (4), entonces : para todo q,

esto es, la sucesiÓn

1 Dn

k=1 una constante M ( > O) tal que n

\TI

k=1

ak} es acotada #l:i!UJL , o sea

~M

ak\

para todo n.

En la desigualdad ( 4) , multiplicando por \ TI

* • • • •

que

. * •

n 1

ak \ se ti en e:

#Nota Basta escoger una cota M como sigue: M =Máximo

n

1 ¡n 1

ak l • n= 1,2, .... N 1

N

\TI1

ak \(J+d }.

/

existe

227

11

1 ll

k =l

ak 1x a11 _d x •.

se a

\ TI

n +q

k=1

n ak- IJ ak \ k=1

(para todo q ) •

n

1 TI

1 satisface la condición de

ak, n = 1,2,3, .._•. k =1 chy , o sea que existe el límite :

E•lrm ce s, la sucesión (:

< €M

n

ak = P. lim IJ n-+oo k = 1 E. l a desigualdad (4), tomando límite cuando q

1 ::.:,

lim

an+ 1 x ••• x an +q - 1 \

-+00

a a •••

se tiene:

an+ 1 ••• a

1 2 = ~q--+oo_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _n_+_q

_ 1

a 1 a2 • • ~ .an

\

.:;.

(

'

o sea ,

esta desigualdad implica que P

f

O ya que

s e a que el producto infinito converge.

f

puede ser menor que 1, o

•

Obs ervación Comparando la condición de Cauchy para la serie y la condición para

d producto : ( Serie ~oo a 1 n 00

(Producto IJ

1

an

nótese que O es el elemento neutro de la adición , mientras que 1 es el elemen to nuetro de la multiplicación . Si p

en ronces

n

n

= IJ

k =1

ak

= aJ X

a2 X

, • •

es el producto parcial :

Pn X

an

228

es la suma parcial de la serie

Ioo

n=1

Oog a ) • n

(6)

P n' .... P ~ O si y sólo si

Se ve imtediatamente que log p n = sn

-->

log p

(n

-->

00),

o sea que la serie ( 6) converge si y sólo si el producto infinito TI1oo an con . verge . Se puede ver porqué hemos excluido el límite O en caso de la CO.!!. vergencia del producto , ya que si P n verge ( log O NO EXISTE. )

.... O

entonces

la serie (6) di-

Aplicando la condición de Cauchy ala serie

(6) , se tiene : In+q log k=n+1

ak

1

< e (para n ) N , para todo q >O)

o

Entonces

Para

t

pequeño , tenemos la siguiente fórmula de aproximación : ec

·=.

1 + e , e ·e '=; 1 • e ,

por lo tanto se tiene :

o sea (Condidón (4)). EJEMPLO

•

60

En el e;emplo 57, hemos visto que el producto ge a cero • Observemos la serie :

I7

logU-;;-!-JJ.

noo ( 1 • n~ .._ 1

l

) diver·

229

#Nota.

--.

1 desigualdad conocida

logU·x) < ·x

(0 < x < 1)

sr tiene :

=-

00 •

•

CO ROLARIO

converge entonces

Si el producto

(7)

lim

n -.oo

Or:.o stración

q

En la condición (4) , tomemos

=1

< (,

=

Fvidentemente, lim a

n

n-.oc

1

•

es la condición necesaria para la conver-

pcia del producto (Ejemplos 56, 57). En el caso de la série ~

00

n=l

an la

Gllldición correspondiente fue

o.

=

lim an

n ....oo

CondiciÓn necesaria paraofa conver· ·) ( genda

de

la serie ~

n=1

an •

De l a condición (7) , es conveniente escribir los factores del producto an ( , = 1, 2, 3, • • • )

en la forma (n=l,2,3, •••

),

asi , nuestro producto infinito se expresa como : TI

00

( 1 + un )

(8)

n=l

************ •••

lo g ( 1 • x) = • x • L

2 • _.x3 • 3

2

< -x.

230 y la condición necesana para la convergencia del producto infinito (8) es lim un

n_.,.,

(9)

= O.

·'

i

.ConvergencÍa absoluta

~.

Dado un producto infinito (8) , si el producto 00

TI

(

n=1

( 1 0)

1 + \un\)

converge entonces se dice que el producto (8) converge absolutamente' , y tenemos el siguiente teorema:

l!

~--------------------------------~a TEOREMA 22

La convergencia absoluta implica la convergencia del producto infinito. DemostraciÓn De la sigui ente desigualdad: • .li!lUL \(1 + u

n+ 1

la condiciÓn

)( 1 + u

n+ 2

J ••••

(1

+ un q) - 1 \ +

de Caucby para el producto

(10). implica la condiciÓn deCfl_!!

cby para el producto (8) • • • Nota

= (1 + \A 1\J(l + \A 2 \J ... (1 +IAq\>- l. •

Observación La serie el producto

L an converge si converge la serie L 1an \ , mientras que

n (1 +

un) converge si co~verge el producto

n (1 + \un\).

•

231

Cnrrespondiente a la serie de términos positivos , I an , an

~ O ,

coo-

-f •emos el producto de la forma IJ ( 1 + un) , un ;;¡: O , sea P n el produf..

-

parcial: P

~s

n

=

n

IJ ( 1 + uk) = ( 1 + u 1 ) x ••• x ( 1 + un) k= 1

n+1 pn+1 = q=1 (1 + uk) "' (1 + u1) ... (1 + un)(1 + un+1) = p n' ( 1 + un+1) •

Coa> un "') O

para todo n , entonces 1 + un+ 1 P n+ 1 ;> P n

esto

?

1 , o sea

(para todo n) ,

es , la suceston !Pn 1 es creciente , entonces tenemos el siguiente

r~

5altado: 00

El producto infinito

IJ ( 1 + un) n =1

(un ;> O ) converge1 ó diverge a + oo.

TEOREMA 23 00

El producto infinito IJ _ ( 1 +un) , un n-1

si y sólo si la serie Ioo

n= 1

u

n

·

.~O

para todo n , converge

converge .

Dewrostración

tle la desigualdad:

se tiene que la convergencia del producto infinito implica la convergenda

tk la serie, Por otra parte , tenemos la desigualdad :#l:i.alfl

entonces

1

\

¡;.

232

por lo tanto, la convergencia de la serie implica la acotaciÓn de

IPnl,

o

sea que el producto infinito converge ••

~

. ·s; x

O

se ti en e :

¿

x2 ex = 1 + x + - + 2! 3!

~ 1 +.X.

•

EJEMPLO 61

noo n=1

(i)

+ nll)

(1

~00

~

diverge ya que

1

___L

n +1

converge absolutamente ya que

(iij)

3 o o _·1 n 3 n=2 n + 1

JT

ltl serie ~ 2

00

iv) 00

l

1

11

n=1 1~

TI

2

00

n=2

11 • - 1 n3+ 1

converge absolutamente ya que

2

00

--¡--;- converge • n + 1

(1 + ~) ,

< 1 converge absolutamente ya que la serie

!xl

00

1= l¡

EJEMPLO

!x!n

converge si !x!


- 1)

( si se ttene que

2 X -2n

¡l u ; ~< n l

'

(para n mayor que

jxj

)

.

'i; jun l converge. •

Entonces la serie tt ~l.

S ea el

=

f ( t)

1 • (1 + t ) e· t

valor mínimo

de

f(t)

entonces

es igual

f(O) =O ,

j'(t)

a cero, o sea que

=t

e" 1 ,

j(t) ~O

para

todo t. g(t) = t 2 • !1 • (1 + t) e·t

Sea

g ' ( t) = 2 t • t e ·t por lo tanto, se tiene que

l

entonces g(O) = O, g(-1) =O ,

= t ( 2 • e·t ) ,

g(t) :;. O

si

t

·~

-1 •

##~l._

Utilizando el símbolo O tenemos e

(J -'-

Como

'i

00

-xl n

nx

=

1

) -xln e

2

-o( 1/ n )

X

·n +

= (1

-+ ...!. ) n

11 •

X

-

n

l _._ 0(-z)

n

l =.

1 -e-

1 o (-z) n

converge absolutamente , entonces se tiene que el pro·

dueto dado converge absolutamente. • EJERCICIO

163

Demostrar que el siguiente producto converge absolutamente: oo

n !( 1

n= 1

Sugerencia

•

+- X-) e c ... n

-xl n

l•

235

~ -x_) !I· ~ + o(---4-) l C+ n

n

1

+-X- -~+O(~) e+ n

n

n

1 1 + 0(-¿) • •

n ER CI C/0

164

Se a a· serie

convergente , demostrar que la sigui ente serie también converge:

¡

00

(O~


O

••• (1-un) ~ p

(paratodo n).

De la desigualdad : **Nota ( para todo k )

't ten emos:

1

n

TI

(1 ·. "k)

k =1

~

_. 1_

PI

00

entonces el proaucto · ll

(

1 + "k) converge

1

del teorema 23 se tiene que

237

~""

l a serie

uk

con v erge .•

• No ta O . entonc e s suponemos qu e un

< 1 para todo n.

• • Nota


1)' a2n . - -=-+n + .r::-

(n ....oo)'

nfñ

N

¡...1...

n=2

n

+ ( _1_ + _l_ +_1_ )2 1 .... +"" n nfñ

:=

4

m

(11-+"" ) •

Por otra parte:

2N

N

rrn=1 (1 +

an )

= 4

1 nN r1 • -{ñ >( 1 + - 1 fñ

(1•

n=2

TI

m+1

n=l

+ a 2n -1 )( 1 + a2n )

n=2

= 4 TIN También:

n (1 n=2

~ n

(1 + a ) n

) = 2 (N+ 1) N

TI

=

m

n=l

1

1

+ _ +-- > n n-{ñ ....

(1 + a ) ( 1 • n

entonces el producto 7111/inito CONVERGE a 2,

2

(N .... oo),

1

,¡;;;-T

) .... 2

(N .... oo) ,

•

EJERCICIO 178

Sean

a2

n

=

1

_1_

¡;

{n+h

1

(n ~

1) , a 1 = O •

00

Demostrar que el producto las dos series

-¡, (.l)k ak

11

11 + (.l)k ak 1 converge a pesar de que k=1 2 Y l (ak) di ver gen •

Solución 1 (1+ - -

-{ñ

1 1 + --

l{ñ

1

)(1

--===--

Jn + !

+ 1 -

Vn-;r- ¡; + y;;IJn+!

+ 1

1

1

.

Jn +! + 1 ) 1

Vn 1Vn + !

+ 11

251

( 1/2) 1

+

2 1 + O( 1/n 31 )

Vn l yn + 2 + 11! yn + 2 + yn

ces el producto infinito ()O

TI

n= 1

(1 +a 2 )(1- a 2n+ 1 ) n

lim a

erge, como

n->OO

!1 +

TI""

n

se ti ene que el producto infinito

=O

(-1)n

anl

converge.

n=1 L a divergencia de la serie L ( an)

2

es evidente.

1 iii)

y~-.¡;+ 1

..m lyn + 2

+ 1

1

(1/2)

l Jn + t + 1 1 + y-n-!J~n=+=Í=-+_1_1_1_y_n_+_2___+_y_n=-l

= yn

1

y-;; 1yn + Í + 1 1 ero como

1

L

1

Vn 1.Jn + Í

+ 11

+ O( l/n 312 )

=

y

L

0(1/tz 312 ) converge, la 00

serie

Ln:_ (a2n • a2n+l) diverge a +"" , o sea que n= L 1 (-1)n an diver 1

ge a +"" • EJ ERCICIO

• 179

una sucesiÓn

tal que (n= 1,2, ... )

1 converge si la serie k=1 converge, y que la serie converge ó diverge a+"" si el

Dem ostrar que el producto

~.

(.l)k ak

(15)

TI"" 11 + (.1 )k ak

252

producto infinito converge. SoluciÓn (i) Tenemos: 1 •

o sea (16) Entonces :

esto es , la sucesiÓn IP2n l es decreciente y positiva, entonces existe el límite: lim p2n =c. n~oo

Por otra parte, 2n-1 k 1 P2n· 1 =. TI k=1 11 + (. ) ak entonces la sucesión

1P2n-1l

lim

l

= ( 1 + a2n• 2 )( 1 • a2n· 1 ) P2 - n· 3

es creciente, sea

p 2n ·1 = e' (

.¡. 0 )

n~

Si la serie

converge, entonces

lim an = O, luego .: n~oo

o sea que

TI oo 1J + (.1)k ak l

k=1

= e = e'

( ii) Supongamos ahora que el producto

n

oo

k= 1

.¡.

O•

{1 + (·1)k ak } converge;

se

tiene que lim n~

Sea entonces 5 2n+1" 5 2n-1

=

·a2n+l + a2n > a2n a2n+1

> o (de ( 16».

253

• la sucesión

!S2n-1l es creciente, entonces

lim n ...oo como

lim a

n-.oo

n

==

O , se tiene :

d.

•

A

1

Se an

yn + t + 1

ce s: a2n+2 1 + a 2n+l

1 -{n + 1 + 1 ,

lo tanto se cumple la desigualdad ( 15) 1

·yn + 1

1

< + 1


e~~

/n + !! yn + 2

+2 + 1

+

1

]

vn + ! +

> Vn 1 1

1

+

v'n + tl

2

1

n + 2

ton ces

EJ E RCICIO 180

Sean

investigar la convergencia o divergencia de:

_1

¡;,

1

l

254

(ii)

l

00

(-1)

k

aL

k= 1

"'

Sugerencia (i)

1 ,

el producto infinito converge a 1. +oo •e EJERCICIO

181

Sean

1

-{ñ +

1

investigar la convergencia o divergencia de (iii)

_Sugerencia n ~=

(ii)

2 (1-

a2k-1 )(1 + a2k-2)

n r=2 (-a2k-1 +

a2k-2)

=2

=n

, el producto diverge a +oo.

~n

1

k=2 k - 1

->

+oo.

+00·· EfERCICIO

182

Demostrar que las dos series l an

l

an /S n con ver-

gen o divergen simultáneamente, donde Solución

TI

an

oo

(1--)

n=2 entonces

lim

Sn


00

sea que la serie EJERCICIO

l

an / Sn

converge. •

183

Sea Pn el n-ésimo primo , si s > 1 demostrar

o

255

~~1

00

~

n=1

Se a

p

ns

o

t1 -

Pj/) ~

nm /

1 k = 1 \. 1 -

=

m

1

p •S k • ( ·• S )[ + •.••

1 + p-s + (p·S )2 + k k

·S - p k

+ pk

Jrnl ce s

N

( P·s ) m m

o se a 00

p

m

.::.

~ -n = 1 ns

Pero tenemos evidentemente que 1

p Nm ]S m

en tonces

por lo tanto se tiene : 00

lim 111 -->""

p

m

~ n= 1

7

•

256

CAPITULO

SUCESION

§

n

V

DE

FUNCIONES

Límite de una suceswn de funciones Una famila contable ordenada de funciones 1In 1 , donde

es una función definida en un dominio común cesión de funciones .

In

para todo n , se llama su ·

D

Para cada punto x del dominio común D ,

es una sucesión de números , luego podemos pensar en la convergencia o di = vergencia de la sucesión numérica

1!~/ x)

1. Si para

TODO x E D

la

su~

cesión numérica !In( x) 1 converge , se dice que la sucesión de función 1¡~ 1 converge puntualmente (ó converge) en D. El límite de !/n(x) evidentemente de cada punto x E de x, digamos

una FUNCION sucesión !In

1

D

,

1

depende

o sea que el límite de !In( x) 1es

1. 1 se llama

FUNCION LIMITE

de la

y se nota :

1

(1)

= lim n ->00

esto es f(x) = lim fn(x) n-.oo EJEMPLO

66

f.(x) = {

1

Si x

se ti ene qu e es :

1 - nx

si

o

si

11, existe N tal qu e n

~ ~
oo

qu e la función límite f es: f( x)

fi gura 41 )

=

si

x = O

si

x

1

O•

(i) , se muestra cómo se comporta la sucesión de funciones

l a sucesión numérica

!fixJ!

x1

para un

O.

o X

(i)

( ii)

FIG. EJ EM PLO

67

Sea /

71

l

41

f n (x) = .l.. n

x

'

x E

R1

= (- oo,

es una sucesión de funciones definida en R

1

oo )

(Fig.42).

= (·oc, oc),

es evidente

e

o

X

n

L a función límite, f, lim n~

( para todo x ) ,

es la función nula donde

f( x)

=O

para todo x

f( · oo , oc ) .

258

.. --Ji

-::!:::::::::::=~~:::::::=--!:---

X

FIG . 42 E fEMPLO

68

f,/ x) =

Sea

La gráfica de In v e que

F/G. 43

! j~!

X (

1•

X

)n ,

X

Jl

E [0,

(Fig.

se mu e stra en la figura 43 '~ !:l.2.J..E..

43).

De la figura 43

se

converge a O , en realidad:

X (

s e a que para todo x

1•

X

)n

E [O, 1 ]

O

(n ~oo)

ya qu e

O


O

fn(x)

tal que

N

n ~

implica

N

1

( 2)

fn(x) - f(x) \ < t: •

umero N depende evidentemente de t: y del punto dado x e

D ,

por

- ~ 0:

1fn(x)

li




-nx < t:,Ó,

X

esto es , el valor de n aumenta infinitamente cuando x se acerca al origen

a que

iiJ

fn (x) lfn(x)\

Si

sea . menor que t:. •

\ln(x)\ =


M (

(Ejemplo 67 )

= ( • oo, oo ),

< ( '

ó

1

esto es, el val01 de n depende de x y de t:.• (Ejemplo 68 )

O (n-+oo) •

liii)

Sab emos que el valo.r máximo de \fn(x)\

ara t:

>

O

(0, 1] es

en

dado si escogemos n tal que

-

n+1.

< ( O

sea que existe n, independiente de x

t: • (Naturalmente

1

n depende de

t: • )

1


OO

Si

lim n ->OO

1

dado

> O existe N tal que

f

para todo

n

?

N

1

ces

y) '

para todo X e D ( para todo n ~ N es : uniformemente en

Si fn .... O uniformemente en

D

1

dado

para todo n -p

f

D.

> O existe N tal que

N y todo

x E D •

l o t anto se ti en e : M

e *> es

n

=

S~ lfn(x)

X

D

1

.::;;

f

1

lim n->OO T E OREMA

M

n

=o

para todo

n

'?

1

. •

25

Suponemos que

fn .... f

uniformemente en D • Si In

en e E D para todo n , entonces la función límite en c .

N

f es

es conunua conunua

264

Demostración Dado

>

(

O existe N tal que

IIN(x) - l(x) Como

IN

< d

1

es continua


-IN(x)

e

en

o

3

o




X--+C

r0 ..!.n 1 1

=O

son intercambiables •

si

1

en

1

x

1-

O 1 1(0)

=1

rJ. n

O]

1

(Ejemplo 66)

NO ES UNIFORME en [0 1 1]

es discontinua en O a pesar de que

n •

x2r; =

X i

h

y lim

71

y a que la fur;cirín límite

( ii)

lim n--+CO

x2n

er¡ ton e e .o;

E R1

x2n 1 + X2n

X

= (.

1 -2n

""•

+ 1

"".)

--+

. (FIG 1

.

48)

In es

CO.!!

265 :te'




+ x2n

.

- 1 f ( ±1) = _1_ -2

-->

1+ 1

n

~

2

.

t an lo , la función límite f es:

J

=

f(x)

l

o

si

1/2

si

1

si


1•

o FIG. '-a convergencia ~s continua en

E] ERCICIO

fn

--> -

X

48

f NO es uniforme

± 1 mientras que fn

ya que la función límite f

sí es continua en ± 1. •

185

Investigar Si con ver gen uniformemente o no las sucesiones lfn l

~

(i)

f

( ii)

1n (x) = ~ n

n

=

(x)

x

...¡ñ

x

'

X

E R1

= ( • oo,

~ f-M,M)

(M

\f

(x) \

n

Como _ 1_

-{ñ

=

\ sennx \ ·yñ

O ). (FIG 49 ií)

(para todo x E R

-(ñ

.... O (n .... oo), entonces

fn

-->

:

oo) • (FIG 49 í)

SoluciÓn ( i)

no

1

)•

1 O uniformemente en R •

266

(ii)

\f

n

(x)!

entonces

fn

=

lxl < .1! . . n" n ....

O (n->) ,

O uniformemente en

[·M ,M].

FIG. 49

EJERCICIO 186 Investigar si convergen un-iformemente o no las sucesiones lfn

W

fn(x) = n 2 x(1· x)n , x ~[O, 1], nx

(ii)

X

1:

(FIG 50 i)

E R 1 • (FIG 50 . ii)

SoluciÓn (;)

fn(O) = O _. O , Six

E(0,1], n 2 (1-x)n

....

O(n__,) yaque

O~ 1-x


1

->

p _ _L1 ¡n n+

+"" (n->OO) , la convergencia no es fiiJifor-e en [0,}].

267 ( verFíg. 50 (i) ), (íí) fn(x)

~

n

x

Lz = _1_

-+

+ x2 (n->OO) x

entonces la función límite

f

f(x) =

x

1

O

,

es

sí

X

sí La convergencia NO

si

x

-f- 0

X=

0

es uniforme ya que la función límite no es umtirLua

en O. Tenemos

2

f~ (x) =

fn(x)

es una función

x-- - -1 , y

..¡;¡

n (1 • n x )

(1+nx 2 ) 2 ,

1 impar' ti ene un máximo en x = -

..¡ñ

y

un mínimo en

{ñ fn( 1 /..J;zJ=T,

(Fig. 50 (íi))

+""

y

o

1 -;;¡¡

X ( i)

FIG. 50 Nótese que en ambos casos el valor máximo de

ifn(x) i diverge a +""• !11

268 EJERCICIO

187

Investigar si convergen uniformemente o no las sucesiones

f

n

(x) =-.1-

en

x + n

1fn

l:

[0 1 oo). (FIG 51 i)

2 nxe·nx

en

[01 oo) • (FIG 51 ii)

_SoluciÓn

rii E vi den temen te - _1_

o

-------+ (n--)

T enemos :

_ _ 1_ < .1_ x+n " n

para todo

O)

(.J..-+

n

fn(O) =O

>;. 0,

1

[O oo).

en tr,nces ·la convergencia es uniforme en (ji)

X

1

O.

-+

x ~ O se tiene:

Si

n e·n x

2

o

-+

(n ...oo)

1

entonces: para todo

x E [0 1 oo),

2

2

·-r·en emos : f~(x) = n-e·nx 0

11-

2nx

l

sea que f/x) tiene un máximo en x = - 1-

12n

y el valor máximo es: 1

=-{ñ e·!. f n (I/'2;) · v~n ~ .

Como

Ir/ 11-.fi-;ll

(Ver Pig.

EJERCICIO

H

,

1""

l'a convergencia NO es uniforme en [O 1 oo).

1

fiiJ J. •

188

lrn;c•stígar si conuergen uniformemente o no las sucesiones lfnl: . X

'-

R

1

= ( • oo1 oo ) , (FJG 52 i)

______________...... 269

X

f

{ i ii)

1

n

x

(x) = - -

nx+1

•

E R

X

e

(0, 1)

1

• (FIG 52 ii)

fn(x)

ív)

•

*

•

=__x_ nx + 1

(FIG 53 i)

*

*

•

X

E

(0, 1).

(FIG 53 ii)

•

y

o

X

(í)

FIG. 51

y

o

X

(i)

FIG.

(ií)

'52

SoluciÓn ( i)

Evidentemente: fn(x)

f(x)

=

{~

si

X

si

X

-1 o

o.

L a convergencia NO es uniform e ya que la función límite f no es continua en O.

.

~

.

,.

para todo

x E R1•

Tenemos:

entonces J~( ±.

1

fn(x) toma un máximo en

1/ fn)

= .±

1

.r

2yn

,

, .

1

x = -. - , un m tntm o en x =

t(ñ

- '(ñ ,

.

Como

1 .. o li,n ( -yñ + _L >1 = - 2.,¡ñ

entonces

la convergencia es uniforme 1

En (i) ,

1+nx

en

R1

unifonnemente en cualquier intervalo cerrado

2 .... O

que no contenga al origen .' digamos en [b

o


O , en realidad:

paratodo

< n 1)2 = -¡;2 n

+ n x 2 < n x2

1

(Fig. 52 (ii)) ·•

R

ft]

Si

lxl

partimos R 1 en dos conjuntos :

> O

f

1

1xl

1x 1


O si x l! (x) n

Si x E [

f,

1

f

tenemos

)

= _x_ . nx + 1

~


__!_) (

para todo x E (0, I) y

(ii)

FIG.

53

( Fig. 53 (ii)) •

272

EJERCICIO 189 Investigar si convergen uniformemente o no las sucesiones lfn 1 (i) /.n (x) =

fn(x) =

(ii)

-'n vn

en R 1 = ( •oo,oo),

senL n

Vn sen

en [-M ,M].

:

Soludin P(lra todo x é R 1 se tiene: lfn(x)J ·=

v'ñ lse~

xn.

1 -'

Vn ~ =M--> . n m

O

(n-->OO) ,

entonces fn( :xJ

-->

f( xJ

(i) __Para cualquier n fijo , si

fn(x,}

=

fn

=O

(para todo x) •

xn = ; n se tiene :

sen ( ~ n/n) = -{ñ

-->

+oo (n--.oo) ,

1 esto nos indica que la convergencia NO es uniforme en R •

1'

1-

1

t

t

~.

FIG. 54

1 (ií)

Si JxJ .:;;. M se tiene

Como

M l{ñ ....

O entonces la convc;_rgencia es uniforme en [-M ,M]. (ver

273

~ig• . 54.)

•

EJ ERCICIO

190

Investigar si convergen fn(x)

j)

= -~ -..,.1 +

X

[O,oo),

en

2n

uniformemente o no las sucesiones l!nl:

Solución ¡)

fn(x)

si

u

.... f(x)

si

o

~

X

= 1

si

X

>

X


O entonces nx .... +oo , luego tan" 1 nx

....

rr / 2 •

Esto es:

0 f(x)

=

{2

si

x = O

si

x >O •

La convergencia NO es uniforme ya que la funciÓn lÍmite fno es continua en

x .= O (Fig. 56 (ii)) •

•

Dada una suceston de funciones lfn

1 definida en

D •

la sene

00

~=1 fn es la sucesión de las sumas parciales

h

sn

+ f2 + • • •

1Sn 1 .donde

+ fn •

Se puede hablar de convergencia puntual y convergencia uniforme de la se-

rie de funciones . EJEMPLO

72 fix) =

Sea

S ( x) = n

Como

x" ....

O

en

....

en

xfl

"i.n k= 1

:I-

(-1,1),

xU-xfl) • X

( -1, 1) se tiene:

--1-x X

puntualmente

en (.1, 1) ,

o sea: "i.oo n= 1

,¡z

=-x1- x

puntualmente en

(-1, J).

Pero, la convergencia de la serie NO es uniforme en (-1, 1) comopuede

2 6

v erse a continuación

_,

(' "

Sn(x) - _x_ 1 • X

1


O existe

,

Y

gn

->

g

uniformemente en

N (independiente de

D,

x

E- D ) tal que para todo

O existe

N

para todo x E D •

Entonces :

M-l2M

o sea que

ln gn

fg

-+

+ M-t

t

=

2M

uniformemente

en D, •

La acotación de las dos sucesiones l!n l y lgnl es condición indispensable para demostrar que

In gn tiende a f g uniformemente , como puede v~

se en los siguientes ejemplos . 75

EJEMPLO

+

Sean

+ ....,}-

fn(x) =

, gn(x)

X

+n1

,

E (O, 1) • .

X

Evidentemente tenep¡os que: uniformemente en (0, 1), Tenemos :

1

+~+J.. n

n

1 x +-· nx

-+

f(x) g(x) = l.

Pero, lfn(x)gn(x)- f(x)g(x)l == esto es ; dado que

n1x

fngn

-+

>

f

f

~~ n

+

~

1

+n x

1

1

> -nx - ,

> O , -a unque n se_a muy grande existe x E (O, 1) tal (basta tomar

x


O ) en tonces ln(x)

si consideramos un intervalo

== O,

1g

In gn ....

uniformemente en [8, 1) • •

76

EJEMPLO

Sean E R 1 -- ( • oo, oo )

X

- {

1

si x == O , ó x == irracional

: +..l. n

1In l y 1gnl

( i) Demostrar que

1

..!! ( h > O ) •

si x == racional

b

convergen uniformemente en ctlalqttier inteTv!

lo acotado. ( ii) Demostrar que lfn gn

l

no converge uniformemente en ningin in tervalo.

SoluciÓn (i)

Si

E [A ,B]

x 1

1In

(x) - x ·

por lo tanto In

= .w_ O existe o Úl que Como

!y- z [
o.

(n=1 1 2 1 3 1

, ..

)

en

(a

1

b) •

esunafuncióncontinuaen

[alb],demostrar

que :

fn

->

f

DemostraciÓn Basta demostrar la

uniformemente

convergencia de

en

. [a 1 b] •

lfia)

11 lfn(b) 1.

284

Dado

>

f

o

n ~

existe

N

implica

No

Sean n y k mayores que X

tal que

o

lfix)- f(x) N0

,

1 < _!_

para todo

4

X

E (a, b).

por 1 a continuidad de fn y

E (a, b) tal que

O existe o tal que

f

->

f(xJ , esto es, existe Mx

< d

\ fM ( x) - f( x) \

( 15)

< d 3

?) implica \f(y)- f( x) \

tal que ( 16)

3 •

X

Como IM

es continua en

D. existe

ox (escogemos ox menor que o) tal

X

que implica

\!M (y)- fM (x)\ X

Por la

compacidad del conjunto

gamos

x 1 , x 2 , • • • , xp

P. 'V

j= 1

D existe un nÚmero finito de pun t:Js,

N(x.,n 1

x¡

) J D.

( M. = M J

X

E D

tonces n

entonces

). Mk

E N(xk, ax) k

X

para algún

~ ~

1\

In

k

--

(\ (

esto es ,

) .

~

k. Sin

~ \ f(x)-f(xk) \ + \f(xk) - fM (xk) \ + \fM (xk)-fM (x) \


o=

o

lfn

Si

podemos escoger

m

=

1,

e , luego : implica

• EJEMPLO

83

Sea { fnl

en

(0, 1),

es una sucesión decreciente, en reaUdad:

y puntualmente

en (0, 1),

Además, fn y f son continuas, sin embargo fn (0, 1)

-->

O NO es uniforme

en

(Ejemplo 79 , Ejercicio 188 (iií)),

Este ejemplo nos muestra que el resultado del teorema de Dini no es válido si D no es c9mpacto .

•

EJEMPLO 84

Sabemos que {( 1 + ~ )n

1 es una

sucesiÓn creciente, y tiende a ex,

Además , (1 + ~)n y ex son continuas, n e

EJERCICIO

X

entonces tenemos

uniformemente en

[O,B].

•

202e

Sea lfnl una sucesiÓn de funciones continuas en [a, b] que puntualmente a f. que

Si dado

e > O existe

o

tiende

(independiente de n) tal

1

293

tomemos

O

o>

O que

satisfaga la condiciÓn ( 18) .

Consideramos una particiÓn del interv alo

b

' xk '• • • tal que


N

( 19)

E D , para todo

para todo x

q

= 1,2,3, •••

•

Demostración

W Si fn

....

f

para todo n ;;:.

uniformemente en N

D , dado

n+q .) N

>

O existe

N tal que

tenemos: para todo

Como

f

x E- D •

tenemos también para todo

x E D•

De las dos desigualdades anteriores tenemos :

< (ii)

Supongt.mos

2

2

(

ahora la condición ( 19) . L a sucesión numérica lfn(x)

satisface la condición tk

Cocby para ctUill :x fijo, entonces lfn(x)

verge puntualm ente e~~ D . setl mite cuando q

..!+~=

-+

para totlo --+

1 co!!.

f lt1 f-ció. IMite • En ( 19) tomando lí-

se tie.e :·

esto es, la convergencia In

1

:x E D ,

f es rmifo,. e en D.

•

295 EJEMPLO

85 X

Sea

X

-"'"'---

nx +

para k

-

en

--

[O, oo) .

x

X

2

(k • n)

(nx+I)(kx+l),

> n tenemos :

(nx+l)(kx+l)




o

si escogemos N

>

1 /¡;

(ó _1_ N


n se tiene : lfn( x) -

fk( x)

1

por lo tanto la sucesiÓn


O , si x E [ 1 •

i1S() 1-x X---

n

1+x

1

1' ,

J(I • x)

~+ 1 ( 1 •

x)

1+x

1 ] , para todo n tenemos :

304

Si

E [o' 1. (

X

1

S ( x) n

entonces 1

~+ (1.

...!....:....=_ 1 1+x

luego existe N tal que n ). N

implica

( 1. ()NH 1S

S (x) n




n

esto es,

00

1

fn no converge a cero en el sentido d e la co nvergen cia en medi a.

• EJEMPLO

107

Sea

ln(x)=[cosnrrx]n

en

[0,1],

entonces: 1

f 1J: ( x)

o

n

n1T

fo

2

-O 1

oo

esto es, no existe

EJERCICIO

> _]_

si

x-1 1 X =

1

334

Solución ( i) Evidente •

f

(ii)

1

o

lfn(x) • x

2 1

(J!l

dx

=t)

EJERCICIO 215

Si

lfnl

1f

converge en media en [a, b], la sucesiÓn

b

a

acotada.

1fn(xJI 2 dx

1

Solución Existe una función integrable

f

b

2

dx

....

l/n(xJ¡ 2 = lfn(x) - f(x) + j(x)

12

a

lfn(x)·f(x)l

f tal que O.

Pero:

Jab \Jn(x) \ 2 dx

~

~

2 lfn(x)- j(x)

rb

2 J \/ (x)- f(x) \ a n

esto es , la sucesión

1/

2 lfn( x) 1 dx

2

1

dx + 2

f a

b

2

1

+ 2lf(x)l

lf(x)l

2

2

dx ,

es acotada •

a

•

E] ERCICIO 216

Sean l.i.m. In n-KX~

= f , l.i.m. gn

= g

en [a, b),

n-KX~

si xE[a,b], ,t ieao s trar que Du.ostración

hn .... h

uniformemente

en [a, b ].

es

335 b

fa fn ( t) g n ( t)

~

1

b

f

a

1(t) g ( t)

-

\ dt

b

Ja \!,n (t)-f(t) \\ g (t) l

lfn(t) \\ gn(t)-g(t) \ dt +

( Aplicar la desigualdad de

fa

b

lfn(t)\

2

dt

b

f \gn(t)-g(t) \ a

~

f1

acotada (Ejercido 215)

+

dt

Cauchy Sch w artz )

2

dt

~fb

Yb

?

lfn(t)-f( t) \-dt

~

0

Jf ~b

?

g (u j- dt ------acotada

o O

(n -+

a

X

f(t)g(t)dt

es integrable de.ostrar l{Jle uniformemente en

[a,b ].

a

Sugerencia En el ejercicio 216 tomar

gn(x)

=

g(x)

para todo n . •

EJERCICIO 218 fn( x) = n

Sea

3/2

2 2

x e" n x

, demostrar que

tualmente a cero en [. 1, 1], pero que l.i.m.

fn

l/n( x)l converge puE_ no exi ste •

n->OO

Sugerencia

J1 11

·1

n

cxJ _

o¡ 2 dx

1 ~

1

22 3 3 2 • 2n x dx = 2n n x e

J.1 x 2 0

e"

27 22 z x dx

336

= 2n

3

f

o

n

2 2 '-LJe· 2 t dt n

•

EJERCICIO 219

[O, rr] , demostrar que

o

l. i ·1TJ..

( i)

pero

lfn(rr)

n-+oo

lfn(x)j

(ii)

converge en

1

no converge.

[0, rr/ 2] , pero la convergencia no es unifor-

me, Sugerencia

f TT cos 2n

(i)

o

x dx = 2

f rr/2 cos 2n

1 3 5 • , •• (2n - 1 )rr 2 4 • • • • • 2n

x dx

o

....1..

1_

( 1 • - 1-) rr 2n

= ( 1 - 2 )( 1 - 4 ) •••

fn(x) =

cosn x = (cos x)n

L a con v ergencia no es uniforme

si

O

-+

x

-+

O (n-+ao).

E (0, rr/2].

ya que la fu~ ción límite no es continua.

Nota Si

cosn x
log

f

-->

log ( cos x)

§ 35

00

( x -+

o+> •

li

Convergencia uniforme del producto infinito

El producto infinito

es la sucesión

IP

(x)

1

n

1n

gk(x)! ' así que podemos hablar de CÓ..!! k =l vergencia puntual y convergencia uniforme de un producto infinito como

n

=

caso especial de sucesión de funciones •

337

EJERCICIO

220

Sea lgk(x) 1 una sucesión de funciones acotadas y diferentes de cero en D

demostrar que el producto infinito :

1

00

TI

gk(x) k=l converge uniformemente en D si ~

todo n

1

dado

f

>

O

existe

tal que

para

N se tiene para todo x E D { paratodo q=1 2,3 1

1

l (3 ) ,.J 8

Demostración De la condiciÓn ( 38) tenemos :

o sea lg¡(x) • ••

gN+/x)

1


l.:::; M De (38)

1

para cualquier n

esto es • la sucesiÓn

(paratodo x E D y parato~ n=1,2 1 3, ... ). ~

N

n

tenemos:

1 p= gk(x) 1 1

satisface la condición de Ctltlchy P.!!.

ra la convergencia uniforme. Evidentemente la fundón límite es difere.IL te de cero en D ya que el producto infinito converge para cada x de .!! cuerdo

con la condiciÓn de

Cauchy para el producto infinito

(38). IÍ

TEOREMA

Sea

34

lgi x)

1 una sucesión de funciones continuas

y diferentes de

338 00

n g/x) n=1

cero e.n [a, b] • El producto [a, b] si y sólo si , dado n ~

N

converge uniformemente

en

> O existe N tal que

f

implica

Jgn+¡(x) ••• gn+/x)- 1

para todo q = 1,2, ... y todo x


oo

ll

gk(x) = P(x)

k=1

uniformemente en

[a, b] es ~ontinua en

donde P(x) f. O en [a, b]. Primero, se observa que P [a, b], luego:

Dado ~


O existe N (podemos escoger

tal que si n ;;¡: N tenemos:

luego:

para todo q = 1,2, •• ~ y para todo x E [a, b].

•

339

EJEMPLO

110 x

Sea

l/2 n

, demostrar que :

00

n

(i)

gn(x)

converge uniformemente a

X

en (O' 1] .

n=l

(ii)

No satisface lacondición (40) de/teorema 34 en (0 ,

ll .

Solución l

+2ñ--

X •X

- l/2 n

entonces :

e > O

Dado

si x

E (0, / )

< x 1/ 2 < e

iPn(x)- x \ Si

f

2

4

x

~

Dado

< f

\Pn(x)-x \

(

(o
oo

=

an

V lanl

=

lim

o/lan l .

En muchas ocaciones es más fácil calcular el límite de l lan+ l 1 a.

l J.

en el

caso del ejemplo 60: lim ( 1 ¡ 1 n .n-.oo n + 1

J=

1•

lim n-->00

EJEMPLO 114 Sea

r

1+

zn

~oo ¿,

n=1

n(n+1) •

l . n+2 n-ooo n + l

"" - -

Jim n-Joo

Si

lzl

1

l.

se tiene :

1

y

~--1-

n (n + 1)

entonces la serie converge en TODOS LOS P UN TOS sobre l a dTc:m~fnen­ cia de convergencia •• EJERCICIO 223 Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias si

lim ~ n-.oo

=

~- a ;/'

n=o

n

1 , demostrar que la serie 00

~

n=o tiene el radio de convergencia r. SoluciÓn lim "

346

1 -

< '{/ lbnl
1,

r

={

2 1

si k

=

si k > 1 •

=

l.

348

(xi)

(H ... (2n2·4 •••

l)y

n.vAI·3 ...

= (_2n+2'f ~

(2n+ \2·4 ••• (2n+2)

f"

(2n)

l '

T

l.

\2n+l)

•

226

EJERCICIO

Si el radio de convergencia de la serie de potencias ~ an

z!l es 2,

ha-

llar el radio de convergencia de las siguientes series :

~(an)k? (k= natural fijo)

(i)

(iií)

I an z!l

~ an in (k = natural fijo)

(ii)

2

Solución lim

( i)

rj 1an ¡k

¡}:¡ .


2 , diverge si

2 , o sea que la se-

< 2I/k , diverge si !z! > 2llk , entonces r

( iií)

I

2

( o/raJli/n

~

[~!an\] 1/n

=

entonces·

a_.¡.... )

¡=i .,,

lim

~.

T

lim [1/Í] 1/n n-.oo

J

1

T

1• •

TEOREMA 35

Sea

I""

n=o

a

n

( z • e )n

una serie de potencias. Si

convergencia , para cualquier r0 fonnemente en DemostraciÓn

lz • e 1 ~

r

0

•

(O

r

es el radio de

< r0 < r) la serie converge uní -

2 1~k

349

00

entonces la serie

L

jan \ (r0 )n

n=o

converge, pero como:

por el criterio M de Weierstrass la serie converge uniformemente

en

\z- el

r0 < r.

,:S

COROLARIO

Una serie de potencias ti ende a una función continua en el

FIG. 63

círculo de convergencia . Demostración Si

lz0 -cl < r ,

existe

vergencia es uniforme en

r0

lz0 - el < r0 < r.

talque

lz- e 1.:.:; r0

,

Co• olac_!

la funciÓn límite es contintla en z 0 •

• Este corolario puede expresarse en la siguiente forma : Una serie de potencias define una función continua en el círculo de con vergencia. Nótese que la convergencia de la serte L an ( z- e )n es uniforme en

lz-

e\ ,:S r0

lz-

e1




1

~

¿

1--~

=

z

n

converge puntualmente

lzl < 1, como

1 / (1- z) pero no uniformemente en

Ln-1 k=o

oo

n=o

1- 1 ¡sn( z ) _ 1-z

1-z

uniformemente en

lzl
A, esto contradice la definición de g (x) = O

entonces:

[a, b).

en

NOTA

A, o sea que

•

j(x) es una serie de potencias convergente en [a, b), entonces el radio de convergencia NO ES MENOR que b • a. Si e

E [a,b), e pertenece al

círculo de convergencia de la serie, luego se tiene el siguiente desarrollo: f(x) =

I"" jkJ(c)(x • c)k (72) ' k=o k! .

a[

el cual es válido en: (2c • b, b)

si

2c • b ) a, 2c- b

[a, b)

si

2c • b

(ver Fig. 7 1). E] EMPLO Sea

126

~~¡¡

€

'b 2c~ '---v-----' b-e

< a•

1

'--------b· e

•

jb

a[

le

_____.-/

~ b· e

FIG. 71

a¡

f(x)

= (l.

xrA

( A

>

O)

,

en

lxl


o

•

lxl


T

127 =

j(x)

1

1•

}:.

00

:?

x E(· 1 1 1 )

n=o

X

entonces lim j(x) = +oo

x ... r

lim

1

x...-1+

f(x ) =

_!_ 2

mientras que la serie diverge cuando x = 1 1 6 x = • 1 : 00

00

1 = + oo

}:.

diverge. •

o

o EJEMPLO

(-1)n

}:.

1

128(verelejemplo .115) 00

f(x) = ·log(l· x) =

}:.

n=1

:?

1

X

E (-1

n

entonces lim

x ... 1·

También

f(x) = +oo

1

lim

x...- 1+

j(x) = • log 2

1

1)

Ó

X

->

•

r-'- •

380

oo (

( 1 )n I.oo _._ ,- =

l)n

I.-

• lo g 2 •

n= 1 n

n= 1 n

Nótese que la suma total de la serie en los puntos extremos del intervalo ( -1, 1) es igual al límite de la función definida por la serie en (· 1, 1). • , E] EMPLO

129 (ver el ejemplo

115) 00

Sea

f( X) = .X + ( 1 • X) log ( 1 • X) = I,

,fl ,

n=2 (n· 1) n asi tenemos :

lim f(x) =

,

f (x) = • 1 +

1im

x....- 1

X-+1

2 lo g 2 •

La serie con v erge en x = 1 y x = -1 :

I.

00

- - ( 1)n

=

n = 2 ( n • l)n

I.

2N

(. l)n

n=2 (n· 1)n

1

1

n=2 n• -

n

I.

00

I.

(--1 - - ] = 1 •

2N

(. I)n [-1 _ _L ] n • 1

n=2

n

1 ] 1 + 2N • 2) -· 2N J 1 _L 1 ( 1 1 -. = J - - . - 2 [ 1 + T + 3 + "' +2N -1 - 2 2 + 4 + ...

=

J - -

~

-

1

2 ' lo

--

~

-+-

~3C • =2 TEOR ~MA

Sea

r

2 [ l og ( 2N. 1) + C - (log (N· 1) + C) 2N • 1 + O (.J.. • 1 N

1 (n •

(-1)n

Vn

) .... • 1 + 2

=•1 + 2

1 ] +O (

( N -+ oo

lo g 2

log 2.

_1_ )- 1]

+2N • 2

~

)

) ,

•

4-1 ( Teorema de A bel)

el radio de convergencia de la serie f( x)

=

I. oo

n =o

a

n

? , si la

serie converge en x = r (ó x = ·r ) entonces : lim f(x) = I.oo a ,n X-+T"

n=o

n

00

(ó

lim f(x) = I. an (·r)n ) • X-+•r+ n=o

381 Para mayor sencillez supongamos r = 1 (ésta no es una restricción .esen cial ya que por un cambio lineal x Si la serie

~

siempre se cumple esta condición.)

= r X

00

converge vamos a demostrar la relación :

an

n=o

(7 3)

la cual ya fue demostrada en el ejemplo 94 utilizando d criterio de Abel

p~

ra la convergencia uniforme . Ahora daremos una demostración diferente . Demostración Sean

00

~oo

f(x) =

fU)

n=o Como la serie

~oo

1

z.;

xn

~

a

n =o n •

converge en (-1

1)

1

se tien e (p roducto de

n=o

Cauchy):

00

1 J• X

=

00

xn ~ a n·=o n=o n

f( x) =

~

donde e

~n

n

k=o

00

,¡z

~ en ,¡z n-o

ak .

Tenemos entonces: 00

f(x) - f( 1) = ( 1 - x)

- f(1)~

~

1•

n=o = ( 1 • x) ~

00

,¡z - ( 1 - x) f( 1)

e

n=o n

= ( 1 - x)

Por hipótesis

1

~

00

1e

n=o

lim en n-.oo

len -

f( 1)

n

-

/ ( 1)

= f( 1)

1

< d

2

1

~

X

00

xn

n=o

l ,¡z o sea 1 dado

(74) E

para todo

> O existe N tal que n

00

~

N , N -1

oo

ten e Separando la suma en (74) en dos partes : ~ ~ + ~ n=o n=o n=N m os oo . N-1 f(x) - f(l) = (1- x) ~ le • f(1) lxn + (1 • x) ~ le -f(l) lxn, n=o n n-N n (75)

382

En la primera suma: N·I N-1 1(1-x) I. {e -fOJlxfll ~ (I·x) I. len -f(l)l, n=o n n=o

?

en la segunda suma (n

N ) :

~

IO·x) ¿ "" {e -f(I)}xfll n=N n

00

(1·x)I. - ( n=N 2

- _¿__ (1 ·x ) - ~ -2 - --2f xN .. J• X

xfl

< ..!2 •

Entonces tenemos : N.¡

lf(x)-f(1)1 < O·x)I, n=o '

...

le

-f(1JI+_!_ 2

n

Sea

.'

entonces

< o

si 1 • x ( 1 • x)

I.

se ti ene :

N-1 1e

n=o

n

- f( 1)

1




..:'

.

~ --

,

·'

•

X-+1"

,,__9,J.EMPLO ( i)

f( x)

130

= x + (1•

00

x) lo g ( 1 • x) = I, n=2

Sabemos que la serie

...

1 ¿"" (.l)n n=2 (n • I)n 1

_

(n•l)n-

1 xn • (n·I)n converge absolutamente ya que

0(1) ~'

entonces : l im f( x) = • 1 + 2log 2 X -+-

1

00

I, n=2

1 (·1)n (n • lJn

(ver el ejemplo 129.)

(ii)

g(x)

·1

t {lfl

=X

X

J1

·-

X

3

x 2n·1

J1 X 5

,.

_ __:.;____ + · · "' 2n • 1

(Ejercicio La serie converge cuando tan· 1 x lim X-+ 1·

EJEMPLO

237 )

x = 1, luego:

+ (. I)n · 1_ _1_

= _!!_

2n • 1

4

•

131

Aplicando el teorema 41 podemos demostrar fácilme7Jte el teorema

Cauchy de dos s eries (Teorema 20, Capítulo 111 ).

Abe! para el producto de oc

00

~

Sean

de

y

a11

n =o

b

~

n =o

dos series con v ergeutes, entonce s n

y

son convergentes en (. 1, 1) ya que la con verg encia en x su radio de convergencia no 00

~

•

e s menor qu e 1. En

~oo

b

n =o

n=o

n

donde

= ~""

?

n=o

e 11

=

1 implica

lx!
1

~

a ?·~ bn? o o n

-----__-71 T e or e m a 41 00

00

lim X ->

1

~

o

an ?· lim X-+

~

J

o

00

bn ?

~

an

.~

00

o

bn

T e ore ma 41

o sea que el producto de Cauchy es igual al producto de las dos series da das •

•

384

EfERCICIO 241 Por un. método similar al utilizado en el teorema 41 , demostrar que: 00

Suponiendo el radio de convergencia de la serie L an x"l = f( x) igual 00 o an = +oo entonces: a 1, si I o lim f(x) = t-oo, 1•

X->

Solución Sea

n

I

ak

k=o entonces 00

_I_¡(x) 1• X

I

n=o

00

~

I

n=o n

ó

e

n=o

n n x

00

I

( 1 • x)

f ( x) =

00

a~

I

e

n=o n

xn

Sea M un número positivo cualquiera, entonces 00

f(x) -. M.=(l-x)I

n=o

= (1 •

x)

I

N-1 (e

n=o

- M)~

n ·

- M) ~

+ (1•

x)

I

oo

n=N

en :;:, M para todo n >,.

donde N es tal que

Por lo tanto, para todo O f(x)-- M

n

(e

>




1"

f(x)

=

n

- M) x

n

,

N.

1 tenemos la desigualdad:

Tomando límite cuando x _, 1" se tiene :

lim

(e

-'-00.

11!1

)S5

l32

EJEM PLO

OG

xn

l

(i)

1• X

n=o 00

l

Como

( ii)

1 =

~oc

,

+ oo .

lim X-> 1• J • X

entonc e s

n =o

• lo g ( 1 • x)

como l oo 1 = +"" , entonces n= 1 n

EJ ERCICJO

:o

.-.oc .

•

242

l an

Sean

lim · log (_1 • x ) X-> I·

y

L b11

(

b

11

dos s eri e s di v ergen tes , s z las dos

O)

:.>

series de potencias de x : f( x) convergen en

\x\

(i)

lim n-.oo

-,;;;

lim n-J>oo

Tn

(ii)

Si

an

, demostrar qu e :

< o

a

Si

entonc e s

lim f( x) x -> 1" g(x)

=o .

entonces

lim f(x) X-> I· g(x)

= l.

SoluciÓn (i) Dado

f

> O existe N tal qu e

para todo

1 :: 1 < ( S ea

fm(x) = a

0

00

k

;1
O t en emos

+a 1 x + •••• + amxm,

\f( x) - lm( x) \ = \ l a x k =m+1 k

n

k bk x ~< k=m+l '

l

00

f

g ( x) ,

386

Tomando límite cuando X -+ 1•,

fm(x) / g(x)

• O yaque

g(x) ...,. +oo

(ver el ejercicio 241), luego:

1/g(( x)

lim x-+ 1·

x) 1 .(

(

,

o sea que lim f(x) = O. X-+ 1· g ( x) (ii)

"i.

j(x) g(x)

-

n=o

1

-lb)~

00

(a

n

n

00

b ~ n

"i.

n=o pero

a lim __!!_ n-+oo bn

an - l bn

lim n->OO

bn

-

o,

l

entonces , de ( i) se tiene : lim X-+ 1•

EJEMPLO

1 /(x) t--

g(x)

-

l

o

1

•

133

Utilizando el e;ercicio anterior, demostrar el teorema de Abel (Teorema 41 ) •

00

Sea

"i.

n=o

an

l

j(x)

=l·x

una serie convergente, sean

"i.

00

a

o n

=

~ 00

"i.

g(x)

1 •

o

X

liond..e

"i.

00

o

-~

• "i.

00

o

a

n

~

~ + an

Entonces : lim f(x) X-+ .1· g( x)

lím X-+ 1•

!"" an ~ o

lim n-+oc

en 1

00

"i. n=o

an. •

387

EJERCICIO

243

(1 +

Sea

¡~

x)a =

n-o

(a)xn n

(desarrollo binomial ),

investigar el comportamiento del desarrollo binomial en x = ± 1 • Solución

(I)

X= •

1.

¡oo (.I)n

a(a-1).~. (a·n +l)

n 1

n=o Si a

(i)

=•b

(b

>

entonces:

O)

¡oo (-l)n (-b)(-b-1) .. ~(-b·n+1)= ¡ oo n=1

ni

n=1

b (h + lJ .._. (b +n - 1) n.

~ b ¡ 00 1 n =1 n

h+n· 1 1 n· J n

+

entonces la serie diverge a +"". ( ií)

Si a = m + b

( m = O, J, 2, •••

O-
m n1 =

¡oo (.l)n(• .l)n-m-1

(m+b) ... b(1- b)(2-b) ••• _(n- m - 1- b ) ni

n~

=(·l)m-1

1)

b(h+l) ... .(b+m)

¡oo (1-b)(2-b) ... (n· m - 1- b) n>m

11

1

Pero:

¡

00 O·b)(2-b) ... (n-m-1-b) < ¡oo (1-b)(2-b) ... (n-1-b )

n>m

n 1

"

¡ oo ( 1- b )( 1n>m 1 ~ =-.:..

00

b n>m

b1

.

n>m

4 )•. • (1 - n ~ 1 )

n!

~

f (1-b)(I-b- ) ... ( 1 -b- ) - (I-b)(1-b ) ... (1--)(1-b b J] 2

b

(1- b)(1.2) •• ~ (J.

n• 1

2

b -m>

(serie telescópica) •

n- 1

n

388

Esto es

la serie binomial converge si a ;:::. O.

1

[II] x = 1.

Ioo

(a).

n=o n

I

11

x

00

n=o

a( a· 1) • ~ ~ (a· n + 1) n 1

( i) Si a = m + b ( m = O1 1 1 2 1

,

•

•

< 1 ) entonces la serie con

O .:¡; b

1

verge absolutamente (ver [l] (ii)). ~

(ii) Si a

• 1 1 sea

a= ·b

(b

~

1) entonces:

2, •b(·b· ¡). ~· (·b·n+ 1) = Ioo (.1)n b(b+1) ... (b+n• 1) n =1 ni n=1 ni 00

la serie diverge ya que b ( b + 1) •• ~ ( b +n • 1) >. 7 n .1

(iii)

•1 < a < O

Ioo

(.l)n

n=1

1

o sea

1-2 ••• n 1

n-1.

(O < b < 1 ) entonces

a = •b

b(b+1) ·~· (b+n-1) ni

la serie es alternada y converge condicionalmente ya que el producto in· finito : diverge

a cero •

Fn resumen:

[l) X= • J • (i) a
•1+

I

n=o

lim (1 + x)a X-> 1•

n=o

[II]

a

~

(a) (.l)n n=o n 00

(a)(-l)n = n

X= 1

( i) a

> .• 1 •

Ioo

(a' n)

= 2a

+oo

o.

389

(ii)

a

~

oc

lim

-1 •

X -+ 1•

Dada f(x)

~oo an xn

oc

•

'

(1 + x)a = 2a , pero ~- (: ' n-o )

diverge.

•

en (·1, 1) , el teorema de Abel garanuza que

n=o

la convergmcia de la serie en x = límite : le :

( ó

lim f(x) X-+

1•

implica la existencia del

lim f(x) ) . Sin embargo , la existmcia dellúni X-+

-1+

no siempre implica la convergenci a de la serie en

li111 f( x) X-+

1 (ó x = • 1 )

x

= 1:

1•

l34

EJEMPLO

1•

= _l

lim

f(x} = - 1

2

X -+ · 1 1 - x

X

~oo (.l)n diverge •

pero la serie

n=o

•

243 (A)

EJERCICIO

(a ~ • 1 ) •

f(x) = (1 + x) 0

Ji m ·X-+

~oo (a) diverge. n=o n

pero la serie

( 1+ x )

1

0

=~

•

En los siguientes ejercicios observemos que la exis tmcia del l ímite : Ji, flx) X-+

iq>lica la convergencia de la serie en x

= 1

baj o algunas

con4!

1

ciooes adicionales . EJERCICIO 244

(an

~ O)

00

lxl
.- -o

existe N tal que para todo n

\ __-_._ lf(i:_l)• - - - --

n

S1

< ..!... ,

a

3

(j(x)-.S cutJntb x--.1)

n

O)

n

I.

k=o -

S•- S

l'••lotlo x J -xi

ak

para

In ak + f(x) -[ k=o

x

E (·1,1)

k"i..=noak~

+ ¡"" ak xk]- S k=n+1

E (O, 1) tenemos la desigualdad:

=(1•x)(J +X +••• +Xk·1 )

,_ kJ t •to tenemos para n

=

tenemos:

lf (x)- S j +

~ N

n

y x E

:S k ( 1• X ) (O, 1)

( 1 • x) 2 k 1 ak 1 + f k=o 3n

(para todo k ) ,

391

~ \f(x)-S\

(

1

+(1-x)non + - - 3n 1 • x

Como esta desigualdad es válida para todo x E x = 1 · ñ1

(0, 1), reemplazando

se tt. ene :

esto es : S

lim Sn

•

ADICIONALES

EJERCICIOS

EJERCICIO 246 Sea _1_ + [~ __1_] + r_!_4- _1_2] + • •• • 1-z

1-r-

1-z

1-z

1-z

demostrar que : la serie converge a O si

\z\
1 , converg e a 1 si

1.

Solución Sea

Sn la suma parcial de la serie Sn(z) =

Si

\z\


1

z ln-2 z 2n-2 -> o (n -> oo ), luego:

-

->

entonces

(n ->oo ), 1z 2n-2¡.

--+00

(n -> oo )

,

luego :

392

Sn (z) -• O , Si

1

zl

= 1 ,

( e f-

z = eie

o ) entonces l e(2n .2)ie 1no converge

EJERCICIO 247

..

n

a

00

l

Demostrar que

converge uniformemente para

n=o n! 1 + x 2 a2n todo x, y que la suma total es igual a a

e•x

2c? e

••

4tl - · · · ·

lal


x

1.

x > 1.

Sol.ción (i) El criterio M de

Weierstrass •

(ii J

Co. o la serie

converge, entonces la serie

!

00

n= 1

~ con ver nx

te •niformemente en [1 + h, oo). Por lo tanto: n·a o sea 00

!

{(x) 1

n=1

-n ·a +

X ~ -'-"o.... g~n-] fa (-"" n=1 n 1 oo

/

n.knl ces tenemos : {,'( x)

es una función continua • (iiiJ De l a mi sma manera t enemos:

•

d.t ,

397

E] ERCICIO ~

Sea

254 00

an

una serie convergente , demostrar qu e la serie

n=1 f(x)

= ~oo

n! an n= 1 (x+ 1)(x+2) ...(x+n)

converge uniformemente en x

> O •

Solución

> O tenemos :

Si x

1

> _1_ >

n! > __. .:. (n:.:. . . .:.+_1_:_)_!_ _ _ __ "/ X + 1 '/ (X+ 1 ) • • • (X + n ) / (X + J) • • • (X+ n )(X+ n + 1 ) •

Aplicar el criterio de E] ERCICIO (i)

Abel •

•

255

Demostrar que la serie ~00

n =1

(X • 1 )(X • 2) • • • (X • n) n!

converge absoluta y uniformemente en

[1, 2].

(it) Demostrar que la serie

~"" 1 (x· 1)(x • 2) ••• (x • n)¡ n= 1 n!

no converge uniformemente en [1, 2]. Solución (x· 1 )( x• 2) ••• ( x• n) n!

= (.l)n[l1·(x·1)Jil· x;

= 1

x· 1 (·1 )n ·1 {1- (x• 1) ¡ ... 11 -~ j n n•J

Jx•.. x!I· :: ~ l

- 11· (X • 1) l!I· Entonces, si x

~N n=2

¡Cx· 1) ••• n!

1

X• J j X • 2

• • X

1 {1• ~ j{l • X• j ] • n·1 n

1 tenemos:

(x•n)l=ll·(x·l)l-II·(x·l)j!I·~l x ••• x

esto es, la serie converge absolutamente.

ll·x·I¡ N

398

AhoTtt, fltiTa todo

X

E- (1,2], para todo n = 1, 2,3, •• •

tenemos :

1 l > (x·l){l-(x·l)} ... ll·x· 1 };;::(x·1){1-(x·1n .. p- x• ¡p.x· 1¡, ~ n• 1 n• 1 n Por el criterio de Abel la serie converge uniformemente en ( l)n • 1 I. ~ converge , (ii) De

[1, 2] ya

que

(i):

I.oo

¡(x-1),~, (x•n)¡

n=2

n!

=

f

si

x

si

x = l.

1

La función límite no es continua en x = 1 a pesar de que la función ¡(x• I) ... .(x•n)¡ n! es continua en x = "1 , por lo tanto la convergencia no es uniforme •• EJERCICIO

256

a

>

l/2.

.Solución

_!!. ( dx entonces

00

1 • x 2 converge uní form emente en R si n = 1 na( 1 + n x ) ¿ Es uniforme la convergencia de la serie en caso de que a > O? -

Demostrar que

I.

2 . x ] = 1 -n x 2 2 2 1 +nx O+nx) ,

2 lxl(l+nx >i tiene el valor máximo en x = ± 1/y'ñ , y su va·

lor máximo es

1/2Vn , por lo tanto:

así que la serie converge uniformemente en R 1 si a Si

lxl

~ e

> ~ •

> O entonces

x 2 n a (1+nx)


_1_

1

7

2{ñ k= 1

t _!É_

=

1 ta

2-{n

1n 1 -a- 1 1

1 2(1- a)yn

si

a < _1_

si

a = _!_

2

2

[0, b] si a ~ 1/2.

entonces la convergencia de la serie no es uniforme -en

[Si la convergencia fuera uniforme el límite sería continuo en O, o sea (absurdo ! ) • ]

lim

•

X-+0

EJERCICIO

Sea

257

~

b1 X+ 1

f( x) = - - +

(x+ 1)(x+2)

x ~O, bn ~O (n

donde

= +

00

(x+ 1)(x+2) ••• (x+n)

= 1,2, .....

tal que la serie converge si x NOTA: Si 'o

~ + • • • + ----"'----- + • • • •

> r0

). Demostrar que exister0 ?;,0

diverge si x

,

la serie diverg(! para todo

converge para todo x

·

< r0 X.

•

Si 'o

=o

la serie

> O•

Solución Sea

r0

lnf

=

1x

~ O/ la serie converge en x

entonces la serie diverge si x Si

x

> r0

existe

x1 , x

< r0

> x1

~

1

•

r0

tal que

"'i.oo bn n=l (x¡+ l) ••• (x1 +n)

converge.

De la desigualdad (para todo n ) (x1 + 1) ••• (x¡+n)

se tiene que la serie dada converge uniformemente en f( x) es continua en x, y

x ~

x 1 , luego

¡
oo n=l (x +l)··~ (x+n) E] ERCICIO

oo

bn lim n=1x....oo (x+1) ••• (x+n)

=I

= O•

•

258

Demostrar que la serie 00

I

n=o converge puntummente, pero no uniformemente en [O, 1 ]. SoluciÓn Si X= 1 l l l 1 -2- +--+ ... . 3 4

Si O

log 2.

,< x < 1 , las dos series

Ioo

x2n+1

00

2n + l

n=o

I

y

n=.l

convergen, luego la serie dada converge. Si O

~

x

< 1 tenemos : 1

00

-2 I xn n=o

2(1-x).

Integrando las dos series anteriores se tiene : { ~ _ O · J • X.&. -

l

1 log 1 + x J• X

'

00

I

n=o entonces:

I oo n=o

x2n+1 2n +.1

?+1 2n +2

·

1

1 1 = 2log0+x) -> -¡log 2

(x .... I).

Como ra función límite de la serie dada no es continua e~ x = 1, la convergencia no es uniform e en [0, 1]. •

401

EJERCICIO

259

! ln l

Sea

una sucesión de ¡unciones continuas en [O, 1], si

fn

-->

f

uniformemente en [O, 1], demostrar:

f

lim

n -->oo Solución --

J.}

o

¡.l

J

fn(x) dx

n

f

1

n

= f

f

l

1

fn(x) dx

J

-->

o

/1/x)

o

o como

l

J

=

(x) dx

o

f(x) dx.

dx -

I

1 1 fn(x) dx

,

1-ñ

f(x) dx , entonces basta demostrar que

o

1

~-l

lim

fn(x)dx =0.

n Además

¡~

es acotada y

fn

-->

es uniformemente acotada en [O,

f

I1

[0, Il, entonces !In l

es uniforme en (Ejercicio

192), o sea que existe

M

tal que lfn( x)

¡ .:;:.

M

para todo n y todo

x

E [O,

Il ,

luego : 1

\ t_j_

fn(x) dx

i ..S

t 1.l \/~ (x) n

n

E] ERCICIO

1

dx .~ M

M

1

f¡_ _j_ dx = -i"-

-->

O •li

n

260

Si la serie

f(x)

= ¡

OQ

bn sen nx

converge uniformemente en [0,2rr],

n=1

demostrar que : b

(i)

n

= -1 11

f

2rr

f(x) sen nx dx

0

( ii)

converge.

Solución Obsérvese que integrable •

f(x)

es continua en

fO, 2rr], luego f(x)

es

Riemtllm •

\

402

(i) Como

sen nx es acotada,

entonces la serie

00

~

k=1

bk sen kx sen nx

converge uniformemente a (f(x) sen nx) en

f

217

= ~

f(x) sen nx dx

o

00

f

[O, 217]. Luego:

217

bk sen kx sen nx dx.

k= 1 o

Pero como: 217

J

{

sen kx sen nx dx = O

o

( n

1 k ) (76)

217

f r sen

nx]

o

2

dx

17

entonces se tiene que

= f

17 bn

217

f(x) sen nx dx

o

(ii)

o .:::: f

2ir

lf(x) - . ~

n

2

k=I

o

bk sen kx

1 dx

217 2 n 217 1/(x)j dx + ~ bk bh f sen kx sen hx dx o k,b= 1 o

f

(por (76) )

(por (i) )

f

217

1/(x)J

o

2

dx - 17 ~

2

n

k=1

(bk)

Por lo tanto : ;-r

~

n

k=l

entonces la serie

(

bk)

:¡:

2

1

~

217

2

f 1/( x) l o

(bk) 2

dx ,

converge.

•

403

EJERCICIO

261 00

Si la serie

2

f(x)

converge uniforme m en te en lO , 2r.l

an cos nx

n=o demostrar que :

= 171 f

an (ii)

f(x) cos nx dx

o

2""

(a

n =o

¡

2rr

>2

( n f- O ) ,

a

0

2rr

=-

2 TT

J

f( x) dx.

O

converge.

n

Sugerencia Similar al ejercicio 260 • EJERCICIO

Sea

•

262

[O, 2rr 1, sean

f integrable en

f

2rr

f(x) sen nx dx

(n=1,2,3, ••.

f(x) .cos nx dx

( n =0, 1,2,, ••

o

f

2rr

)

.

o

demostrar que las dos series : ~oo (a )2 n=o n

convergen •

y

Sugerencia Similar a (ii), Ejercicio 260 •• E] ERCICIO

261

y si

f

2

00

ak cos kx converge a f(x) uniformemente en [O, 2rr] k=1 00 es derivable y f' es continua, demostrar que 2 \ak\ con ver k=l

Si la serie

ge. Solución f(x)

= 2

00

ak cos kx

(uniformemente en

k=1

Del ejercicio 261: ak

= -1 f TT

2rr

O

f( x) cos kx dx

[0, 2rr] ) ,

404

1 1 217 1 2TT J =-[-sen kx f(x)] - - J -k sen kx -j'(x) dx TTk o "o 1

1

2TT

·-:¡¡--¡- J

=

o

1 b' k

f'(x) sen kx dx

k

.

donde 217

; J

b' k

Del ejercicio

f.'(x) sen kx dx.

1 una sucesión

2

00

converge, entonces

1 (bkJ

decreciente de términos positivos •. Demostrar

~oo an sen nx n=l n an .... o cuando n->oo.

converge uniformemente en R 1 si y

que la serie si

t=

262 se tiene que la serie

26{»

EJERCICIO

Sea lan

o

sólo

Solución 00

[ 1]

.l ~ an sen nx con verge uniformemente en R • n=l O existe N tal que si n :;:: N tenemos :

Supongamos que

Dado

f

> '¡

Sea

x

=

17

4n

~

2n

k =n ak ·

( ó

sen kx 2nx

J


, ~

ak sen kx

Ahora supongamos que lim n an = O. n-.oo

Dado

f

>

O existe N tal

que n ;;. N

implica


m

( rr / 2x])

(iv)

m. kx ~ rr /2 , luego :

TT < (x(m·n) < 2

k

( m

< n, y la segunda suma no a·

m ak kx ak sen kx \ ~ I k=n +l k=n+l

Si

rr / 2x

m

I

@

converge uniformemen -

n+q ak sen kx + I ak sen kx k=n+l k=m+l

I

la primera suma no aparece si m

parece si n+q @

n= 1

N tenemos en gen eral :

k=n+I donde

= 1, 2, •.

L x E'- (0, rr], sea

Para

sen nx (n

C>O

entonces

X

I

m

k=n+l (

.

k ak (v)

406

~

•'

;

.· m+q-1 ~ M. (x) I (ak- ak 1 J + M(x) (a +q + am+ 1J = 2 M(x) n ' ·· k=m+1 + m m+ 1

(vi)

donde k

I . sen ;x

i=I

sen

~x

sen (k+

~)x/sen~

,

1

M (x) =

sen x

2

Entonces : . 2

2

De (v) y ( viii) tenemos para todo 1 "Cn+q 1

TT

< -2

...., ak senkxJ k=n+1

para todo

x

n )

N : TT

f+ 4f = ( - +4)( 2

E [O, TT] •. 00

esto es , la convergencia de Út serie

I

k=l

ak sen kx es uniforme.

# Nota

>

Utilizar

1T

2x

ó

y la desigualdad sen t >. /' EJ ER,.CICIO

21T

t

265

Demostrar en [O,

TT)

que

1T

para

t = 4 (m+ 1) •

•

407

( i)

lim

n e·n sen

e "' o

((}#O,rr).

n->OO

(ii) La convergencia en (i) no es uniforme ni acotada. Uii) ¿ Es válida la relación siguiente?

JTT ti

lim

f 77 lim

e" n sen(} d()

o

n -+oo

n e" n sen() dO.

o n-+ oo

Solución (i) , (ii)

(iii)

Evidente

(

lim n e" n sen (J dO

o

n--+oc

J" n

1T

o.

f o d() o

3:

e· n sen () d()

l1

--- e" nrr

1 __,

1

,

o esto es ,

J" n

lim n -too

EJERCICIO

f 11

e" n sen() d()

o

o

lim

n e·n sen

n -+ oc

()

dfJ.

•

266

Demostrar que la serie ( 1)n I.""' --·sen {n

n=1

(.1 + ~ )

n

converge uniformemente en cualquier {ntervalo acotado, pero no converge 1 uniformemente en R • Solución [.a, a l.

[1) Consideremos un intervalo X ) sen ( 1 +----¡:¡ - sen

(

1

X

+ñ+J

)

_

-

2

cos

r 1 + 2n(n+1) 2n + 1) ) X(

X

sen2::-n-7(n=--+----=l-:-)

luego : X X X \sen (1 +-)-sen (1 + - - )\ < 2 1sen < \xl < - -a n n+1 ' · 2n(rJ+ 1) 1'n(n + 1) ' n(n+ 1).

Entonces la suma parcial de la seri e

I.

00

n= 1

(.

1)11

sen ( 1 -i- -~) n

'

. 408

es uniformemente acotada.

!;n1 1

Como

es decreciente y

tiende a cero,

por el criterio de Dirichlet la serie converge uniformemente en [-a, a].

> N para x = rrm(m - 1)

[11] Sea N cualquier número natural dado, si m tenemos :

~~sen(1 +2:...)

.' .

'fm

= (· 1>'n(.J)m + 1 sen

m

"{m

X ( 1) m+1 - · - - sen ( 1 + - - ) +z+l m+l

en general:

1)m+ 1(. 1)"' = ( :__ a.

~ ~

k

1

= • __!!!!__

!J +

k (k • 1) m +k·

11/fñ+I,

;

sen

Si

s

sen 1

1m+l

vm

entonces

1 -

k (k. 1) TT~


m +k Sea

N0

= 21

-

No

( l)m_,k

ym

entatzces de

sen

( ii)

(i) y (ii) te11emos:

sen 1 setJ 1 "~ . sen(1 +...2:.....>i > - - + - - + · . k =o vm .,_ k m +k lllñi "'{iñ7"T

1~

N

> (sen

_(sen 1) ym 2 Vm+No ..;'n=l=+:::;:t=.¡m==.

1) _ _..__

sen 1

+--"'m+No

~J_!_(m_..x), 2

Esto es, la serie no satisface la condición de Cauchy para la convergencia 1 uniforme en R , • EJERCICIO Sea

267

(x]

la parte fraccionaria de x , sea f(x)

= ~oo (nx] , n=1 ~

todos los puntos de discontinuidad de

f.

____________......... 409

SoluciÓn 1

Primero, se observa que la serie converge uniformemente en R (el C1j terio M de

Weierstrass ) •

Para cada n fijo, la función

(nx]

es discontinua en

o

(ver la figura)

entonces f es continua en todos los números irracionales. Sea

= p 1 q ( en forma irreducible, p, q enteros, q > O ) ,

x0

(nx]

1 1

X

n

(nx]

n

es discontinua en x0

n

n

n

si q divide a n • Tenemos entonces: ( i)

donde la primera suma representa una funciÓn continua en

(kp] 2 2 k=l k q

Ioo (kqx0 ] k= 1 00

lim X->XQ

I

k

2

00

I o

I

l

(qx]

(kqxJ

00

lim ¡ --2- + I X->X " k=2 q o

k=I k2/

> "

lim X-> X~

(qx~ 2

1 =~

q

q

=

•

o

(kqx] 2 2 k q

>

x0

o

1

.

Esto es , la segunda suma en (i) es una funciÓn discontinua en x = x0 por lo tanto

f es discontinua en x

= x0

,

,

o sea· que cualquier número

racional es punto de discontinuidad de la funciÓn f •

•

...........------------

410

E.f ERCICIO

268 si x ~ · O

Sea

. si x Si

>

O •

lxnl es una sucesi6n de diferentes puntos de (a, b)

y si . I

icn i cO_E

verge , demostrar que : (i) la serie

= I

00

en l(x • xn) converge uniformemente en [a, b ]. n= 1 (ii) f(x) escontinuaen xl xn ,n = 1,2,3, ••• (iii)

f(x)

El salto de

f en xn es

en.

(iv/~ f es de variación acotada en [a, b }. Soluci6n (i) Evidente ya que

len l(x • xn)j ~ len\. (Criterio M de Weierstrass)

(ii) De (i), evidente. (iii)

I ck l(x • xk) es continÚa en xn , entonces el salto de f k1-n xn es igual a en , o sea

Como

en

(iv) Sea

entonces g es creciente • 00

h(x) = g(x) - f(x) = es también creciente, luego

!.

(

k=l

\ckl- ck) l(x • xk)

f(x) = g(x) - h(x) es de variaci6n acotada •

•

269 e

E] ERCICIO

Sea {gn l una sucesi6n de funciones de variaci6n acotada en que :

dado

E

>

O

n, k

existe N

>

N

tal que

implica

[a, b} tal

411

Demo strar que existe una funciÓn de variación acotada, g, t al que V( gn - g)

_, O •

NOTA - : V ( .. . ) indica la variación total de ( ... ) en [a , b]. So lución Sea

= gn(x)

hn(x)

>

luego ; si n , k

Esto es ,

N

- gn( a)

entonces

tenemos :

lhn 1 satisface la condición de Cauchy para la convergencia u'!.!.

forme en [a, b], por lo tanto existe

=

g(x)

g

tal que

x

lim hn(x)

E [a, b ].

n->oo

Tenemos para n

> N :

ya que para todo

n , k

> N•

Esto es, O ad_emás , g

f

g = gn - (g

es de variaciÓn acotada ya que

EJERCICIO S ea

(n-> oo ),

270

n

- g) •

•

9

continua en [a, b] ,

si

lgn

1

es una sucesión de funciones de

variaciÓn acotada tales que (A)

V(gn)

(B)

Kn ( x)

~ M (para todo n= 1,2, .. . ->

g( x)

demostrar qu e :

.

lim n->""'

para todo b

J

a

X

~

[a, b] , b

f ( x) d gn( x) =

, M es un a constante).

J a

f ( x) d g ( x) •

41'2

NOTA Si {gn!

satisface la condición (A) se dice que la sucesión es

de variación uniformemente acotada . SoluciÓn [a, b] :

(i) Dada una particiÓn del intervalo

= x0

a

,

x1,

o

o o 1

xk ,

o

o o

,

xm

=b

tenemos :

Tom11ndo límite cuando

j __,

oo

tenemos :

o sea: V(g)

~

b

~

M

o

b f(x) dg(x)- ~ f(x) dg/x)

(ii)

1

C0111o

f es uniformemente conti.n ua en

1

[a, b] , .dado

f

> O st la norma

· · , es su fi ctentemente '. - #Nota d e 1a part1c1on pequena - - tenemos: '

-413




/

1 ,

.. r

"

2 ~ rpk(x)

425

n

2

.

t=o (k. nx) 2 cfk(x) =(no)2

nx(1· x)

~

1 --2 2n 8 ,

(por ( Il) ) Si tomamos

n

suficientemente grande para que

2 de

y (21)

( 19), (20)

(0

tenemos :

n lf(x) - ¡, f(k/n) t:f>k(x) k=o

1

< -(+ -( = ( 2

Obsérvese que

x(l • x)

2

+

#Nota

EJEMPLO

1 n>--2),

(ó

< _!_

~

en (O, 1].

•

135 f(x) =

Sea

ex

(O, 1]

en

entonces 2

/( x) = 1

n·l

+ x + -=-. + •• "'. +

x (n • l) !

2!

donde


O existeunpoli1l_!2

f

mio P( x) tal que ll(x) • P(x)

1

P( a)



O existe un polinomio impar Q tal que

f

\l(x) • Q(x) \


O existe un polinomio

para todo Reemplazando x por •x (nótese que

x

P0 (x) tal que

E [.a, a] • .

f(-x) = j(x) ) :

430

1

lf(x) • P0 (•x)

1


i

< ( •

Tenemos : 1

[

Ll

2

1F ( t > 1

1

dt =

~

Fe t > P et > dt + 11

.1

F ( t > 6. et > dt

1

#_Nota

o f

1

• l

F ( t) 6. (t) dt


l

" (

(por (14))

< 3 (' esto es,

1f n,n 1 'satisface

1/n,n

1 converge

la' condiciÓn de

uniformemente en

Cauchy, o sea : · [a, b], •

Nótese que la demostración del teorema 44 es esencialmente igual a la del teorema de HeÜey , pero el teorema 44 es sólo válido en un intervalo compacto. E{ERCICIO

283

Sea lfn 1 una sucesiÓn de funciÓnes integrables uniformemente acótada en [a, b] , sea (a ~

x :S b),

{Fn 1, uniformemente convergen·

demostrar que existe una sub· sucesiÓn de te en [a, b]. SoluciÓn Sea M una cota uniforme de

lfn(t)l

en

para todo n y todo entonces

[a, b] 1

E [a, b l,

t

•

4

443

fy 1n (t)

dt

1

a

n

dt 1

-:s f \fn(t)\ dt.:;:: M \x-y\.'

X

1

f'a 1n(t)

( 1 (t) dt -

'\ F (x) - F (y) \ n n

X

y

IFn 1 es una sucesión equicontinua en

Por lo tanto,

\F,/x)\ ~

[a, b]. Además,

para todo n,

M (b • a)

luego existe una suh•sucesiÓn uniformemente convergmte en [a, b] (Teorema

44) •• Aplicando el teorema 44 , demostraremos el siguiente teorema de

existe~r­

cia :

45

TEOREMA

Sea F(x,

y)

una función continua en O < x < a,· b
O existe

o tal que !(x, y)- (x' ,y' JI De (21), si

t