Studien zur theoretischen Photometrie

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Studien

zur

theoretischen Photometrie.

Inauguraldissertation von

Siegmund Günther.

Bayerische Staatsbibliothek

Munchen

Erlangen. Verlag

von Eduard 1872.

Q.n.479.

Besold.

BAYERISCHE SMATS-

RICHOTHEK

TUINCHEN

Druck von E. Th. Jacob in Erlangen.

Vorwort .

Vorliegendes Schriftchen schliesst sich eng an die Ent-

wickelungen Beer's an , des ersten , der seit Lambert die Photometrie im engren Sinne weiterbildete. Insbesondere war es Hauptzweck meiner Arbeit , die von Beer nur angedeuteten Grundsätze in ein festes Formelnsystem zu bringen, und hievon auf einige neue , wie ich glaube, nicht uninteressante Probleme Anwendungen zu machen; vorzüglich möchte ich die Bestimmung der Erleuchtung gewisser Himmelskörper hervorheben, obwohl es freilich noch für lange nicht möglich sein dürfte, die gefundnen Resultate numerisch auszuwerthen.

Da diese Arbeit bereits im Sommer 1870 druckfertig vorlag, ihre letzte Ueberarbeitung und Correktur jedoch durch den Krieg so lange hinausgeschoben wurde, so war es auch unmöglich das letzte bedeutende Werk über einen verwandten Gegenstand, Burmester's „ Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetzmässig gestalteter Flächen", zu berücksichtigen.

Dr. S. Günther.

BAYERISCHE LIT ATSHEK

§. 1. Während fast alle Zweige der Optik in raschem Aufschwunge begriffen sind , ist für die Ausbildung der Photometrie verhältnissmässig nur sehr wenig geschehen. Es ist hier natürlich nicht die Rede von der eigentlich praktischen Lichtmessung , welche im Gegentheil durch die Arbeiten und Apparate von Ritchie und Bunsen für terrestrische, von Steinheil , Seidel , Zöllner für himmlische Objekte keinem Zweige der experimentellen Physik nachsteht , sondern es gilt diess namentlich für die theoretische Seite dieser Wissenschaft , indem sich hier seit den bahnbrechenden Ar-

beiten von Bouguer 1) und Lambert 2) kein irgendwie bedeutender Fortschritt nachweisen lässt. Was Karsten 3) und v. Langs-

dorff 4) , J. Herrschel5) und Brandes 6) hierüber geben , ist ganz Lambert's „ Photometria " entnommen. Erst vor kurzer Zeit hat A. Beer 7) diese fast ganz vernachlässigte Disciplin wieder aufgenommen und mehrere der interessantesten Probleme in höchst

eleganter Weise behandelt ; bald darauf folgte auch eine mehr populäre Schrift über diesen Gegenstand von Rheinauer 8). Gleichwohl jedoch scheint schon aus dem Umstande, dass die Photometrie noch nicht, wie die meisten andren Zweige der mathematischen Physik, z. B. die Lehre vom Schwerpunkt, vom Potential, von den Trägheitsmomenten, allgemeine Formeln zur unmittelbaren Lösung jeder einschlägigen Aufgabe besizt, hervorzugehen, dass diess Thema durchaus noch nicht völlig erschöpft ist , dass sich demselben vielmehr noch manche interessante Seite wird abgewinnen lassen. Wir stellen uns hier insbesondre die Aufgabe, das Grundproblem der Photometrie : „Bestimmung der Erleuchtung einer beliebig gestalteten nicht leuchtenden Figur durch eine ebenfalls beliebig gestaltete leuchtende Figur" in seiner vollen Allgemeinheit zu lösen. 1) Bouguer, essai d'optique sur la gradation de la lumière, Paris 1729. Edition augmentée (par La Caille) ibid. 1760, 1

2

2) Lambert , Photometria sive de mensura et gradibus lucis colorum et umbrae, Augsburg 1760. 3 ) Karsten , Lehrbegriff der gesammten Mathematik , Greifswald 1767-1777, 8. Theil.

4) v . Langsdorff, Grundlehren der Photometrie, Erlangen 1803 - 1805 .

5) J. Herrschel, on Light, deutsch v. Schmidt , Stuttgart und Tübingen 1831 .

6) Brandes , Gehler's physikalisches Wörterbuch, 2. Aufl. Leipzig 1831.

Artikel : Erleuchtung.

7) A. Beer, Grundriss des photometrischen Calcüls, Braunschweig 1854.

8) Rheinauer , Grundzüge der Photometrie, Halle 1863.

§. 2.

Wir müssen uns zunächst darüber klar werden , in

welche Grenzen Grösse sowohl als Lage der leuchtenden , wie der nicht leuchtenden Figur eingeschlossen sein müssen, damit überhaupt eine Erleuchtung möglich ist. Wenden beide Flächen sich ihre con-

caven Seiten zu, so findet eine derartige Beschränkung nicht statt. Wendet dagegen eine Fläche A (Fig. 1) ihre concave Seite der convexen Seite einer andren Figur B zu, so kann eine auf der erstren Fläche construirte leuchtende Figur MNP nur einen bestimmten Theil

von B erleuchten. Es muss stets eine Fläche geben , welche sowohl eine beliebig gegebene Raumcurve enthält, als auch eine gegebne Fläche berührt, und zwar wird dies im Allgemeinen eine windschiefe Fig. 1.

M

A N P

M"

B

M

N" P"

P'

Fläche sein. Denken wir uns für die Fläche Bund resp. die Curven

MN, NP, PM diese Flächen construirt , so haben dieselben mit der Fläche B resp. die Curven M'N', N'P', P'M' gemein. Legt man hierauf noch aus den Punkten M, N, P je einen Tangentialkegel an die Fläche B, so haben diese Kegel mit B resp. die Curven M'M" N'N", P'P" gemein und schneiden die betreffenden windschiefen Flächen

3

resp. in den Geraden MM', MM" ; NN', NN" ; PP', PP".

Aus der

Thatsache , dass das Licht sich in einer geraden Linie fortpflanzt, geht nun unmittelbar hervor, dass kein Punkt der Fläche B Licht von MNP empfangen kann, der nicht im Innern des Polygons

M'M'N'N'P'P" gelegen ist. Wie man sieht, entspricht somit einem nEck auf der Fläche A stets ein krummliniges 2n Eck auf der Fläche B, welches jedoch , bei geeigneter Lage der Punkte M, N, P, zu einem n Eck werden kann .

Es ist noch der Fall zu betrachten, wo beide Flächen einander ihre convexen Seiten zukehren, wie die leuchtende Fläche A (Fig. 2) Fig. 2.

m .

C E -n

A

B

q F

P

D

der nicht leuchtenden B.

Construirt man für beide Flächen das so-

genannte adverse Berührungskonoid mnpq, welches mit beiden Flächen resp. die Curven CD und EF gemein hat , so ist sofort klar, dass weder der jenseits von CD gelegene Theil von A Licht nach B senden, noch auch der jenseits von EF gelegene Theil von B Licht von A. empfangen kann. §. 3.

Wir haben bis jetzt angenommen, dass sowohl die leuch-

tende Figur ganz je einer und derselben Fläche angehört , und in der That lassen alle denkbaren Fälle sich leicht hierauf zurückführen.

Es sei auf einer Fläche A (Fig. 3) das Polygon A₁BCD₁ construirt, dessen Seiten Bögen beliebiger Curven doppelter Krümmung sind, auf einer zweiten Fläche B ein ebensolches Polygon abıcıdı; denkt man sich nun erstres Polygon mit beliebig heterogener Leucht-

kraft ausgestattet, so soll die Erleuchtung bestimmt werden , welche abcd, von ABCD₁ empfängt. Wir nehmen an, die in jedem einzelnen Punkte der leuchtenden Fläche herrschende Leuchtkraft lasse sich als Funktion seiner

Coordinaten ausdrücken, mit andren Worten, es befinde sich auf der

Fläche ein System von Isophoten (Linien gleicher Lichtintensität), 1 *

4

deren allgemeine Gleichungen, wenn Fx, y, z

o die Gleichung der

Fläche ist, die folgenden sind Fx, y, z L

0

fx, y. z

wo L die im Verlaufe jeder einzelnen Curve der Schaar constante Fig. 3. Z

Z

M N

L

Z " B

P

d,

A

C

S

C

B

b ,

nap प 0

X a

१

9

ma

Pi R

n

P n

m

Y

Lichtintensität bedeutet. Die Leuchtkraft eines beliebigen Flächenelementes ist somit = Jfx, y, z unter J eine Constante verstanden. Bei O befinde sich ein Element df der Fläche B ; wir bestimmen zunächst die Erleuchtung dieses Elementes. Zu diesem Zwecke beschreiben wir um O als Mittelpunkt mit der Einheit des Radius

eine Kugel und projiciren aus O das Polygon ABCD₁ auf die Kugelfläche ; es entsteht alsdann auf dieser ein sphärisches Polygon

MNPQ, welches, einem Grundgesetze der Photometrie gemäss 9), dem Polgygon A1B1C1D₁ substituirt werden darf, vorausgesetzt , dass jeder Punkt im erstren dieselbe Leuchtkraft besitzt , wie sein entsprechender im letztern.

Wir verschieben nun zunächst unser Coordinatensystem parallel

mit sich selbst, bis der Anfangspunkt mit O zusammenfällt , dessen

bisherige Coordinaten a, b, c gewesen sein mögen. Gehen wir hier-

5

auf zu Polarcoordinaten über , so haben wir die bekannten Transformationsformeln sin r cos V

X

y =

sin r sin v cos r.

Z

Auf diese Weise lässt sich somit auch die in jedem einzelnen Elemente des spärischen Polygons MNPQ herrschende Leuchtkraft finden ; wir wollen dieselbe mit J' = JXr, v bezeichnen. r ist hier der sphärische Abstand irgend eines Punktes der Kugelfläche von dem

Punkte Z', in welchem dieselbe von der Z Axe geschnitten wird, v der Winkel, welchen der Radiusrektor mit der YZ Ebene, d. h. mit

dem grössten Kreise Z'Z", bildet. Ziehen wir in O eine Normale an die Fläche B , welche die

Kugel L schneidet, so sind deren Gleichungen , wenn F'x, y, z = 0 die Gleichung der Fläche B ist, die folgenden dF Z = X

dz (0) dF

dx (0) dF' Z

y

dz (0) dF

dy(o)

wo die beigesetzten Indices bedeuten , dass überall nach vollzogener Differenzirung x = y = z = o zu setzen ist. Sucht man mit Hülfe

dieser Gleichungen die sphärischen Coordinaten von L, so erhält man dieselben offenbar als Funktionen von a, b, c.

Wir wollen dieselben

einstweilen mit R und V bezeichnen.

Legen wir nun durch einen beliebigen Punkt F von MNPQ zwei um das unendlich kleine Stück dr von einander abstehende

Kreise parallel mit der XY Ebene, sowie durch Z' zwei den unendlich kleinen Winkel dv mit einander bildende grösste Kreise, so entsteht bei F sphärisches Flächenelement, dessen Inhalt dfdv sinrdr

ist. Der Grundformel der Photometrie 10) zufolge ist nun die Erleuchtung eines nicht leuchtenden Elementes df durch ein leuchtendes Element df

J'df df' cos e cosi

I.) E' = 02

wo J' die Leuchtkraft, e die Entfernung der beiden Elemente, e und

6

i die Winkel bezeichnen , welche die Verbindungslinie beider resp. mit den auf den Ebenen der beiden Elemente errichteten Normalen

bildet. In unsrem Falle ist (nach der Voraussetzung) ρ = 1, cose = 1 , da ja der Radius allenthalben auf der Kugelfläche senkrecht steht ,

∠i ist noch zu bestimmen. Aus dem sphärischen Dreieck LFZ' ergiebt sich

cos LF = cos LZ' cos FZ' + sin LZ' sin FZ' cos (LZ'Z" cosi

FZ'Z")

cos Rcos r + sin R sin r cos (V - v)

Es ist also

i bekannt, und man hat II.) E' = JXr, v sin rcos i df dv dr. Um nun von der Erleuchtung eines Elementes auf die Erleuchtung eines grössren Theiles der Fläche übergehen zu können , stehen uns zwei Wege offen. Fig. 4. A

B Z'

Z' N

N'

"

Z

Μ '

M

G M N F

d

C

F P

Q

Q

P' P

Z"

A.

Wir verbinden die Eckpunkte des Polygons durch Bögen

grösster Kreise mit dem Punkte Z' (Fig. 4. A.)

Liegt Z' innerhalb

des Polygons, so ist offenbar die Gesammterleuchtung desselben gleich der Summe der durch die einzelnen so entstandenen Dreiecke be-

wirkten Erleuchtungen. Liegt Z' ausserhalb, so kann man sich das Polygon MNZ' mit der nämlichen Leuchtkraft ausgestattet denken, wie das Polygon MNPQ, und hat dann Erl . NMZ' Erl . MNPQ = Erl. MQZ' + Erl. QPZ' + Erl. PNZʻ so dass es mithin in beiden Fällen nur auf die Erleuchtung solcher

sphärischer Dreiecke ankommt. Denken wir uns durch Z' und einen beliebigen Punkt F mit den Coordinaten rund v den grössten Kreis

7

FZ' gelegt, welcher die Curve MN in G schneidet, so ist die durch den Elementarsektor Z'G hervorgebrachte Erleuchtung A

III. ) E" = Jdf Xr, v cos i sin r dr dv 0

und somit die Gesammterleuchtung des Dreiecks MNZ' , indem man den gefundenen Ausdruck noch von MZ'Z" = a, bis NZ'Z"

β,

nach v integrirt, α1

IV.) E"=Jaff Xr,, cosi sin rdr dv v

0

βι

Die obere Grenze des ersten Integrales 'v = ZG wird dadurch gefunden, dass man vermittelst der die Curve MN charakterisirenden Gleichung r in v ausdrückt. Die Gesammterleuchtung von MNPQ, resp. von A, B, C, D, ist somit A

αι

φ"

V

V

Jdf( Xr,vcos V.) E = Jaffafrvoos i sin rdr dv + 2 Xr,vvcosisinrardv+ βι

0

β2

0

η φ(n) n

V ..

+

Xry -r, v cos i sinr dr dv) βn

0

B. Wir können auch andrerseits durch die Eckpunkte M, N, P, Q (Fig. 4. B) Parallelkreise zur XY Ebene legen , welche den Kreis Z'Z" resp. in den Punkten M', N', P', Q' schneiden , und der so entstandenen Figur NN'P'P dieselbe Leuchtkraft beilegen , wie dem Polygon MNPQ ; es ist alsdann Erl. MNPQ = Erl. NMM'N' + Erl. MQQ'M' + Erl. QPP'Q' -

Erl . PNN'P'.

Legt man durch einen beliebigen Punkt F im Innern des Tra-

pezes MQQ'M' einen Parallelkreis, welcher die Begrenzungscurve MQ in c, den Kreis Z'Z" in d schneidet, so ist die durch den Parallelstreifen cd bewirkte Erleuchtung B

III.) E" = JdfXvcos i dvsin r dr Xr,v 0

wo w'r = cd durch Elimination von v aus der Curvengleichung erhalten wird. Integrirt man diesen Ausdruck noch von Z'Q' = a1

bis Z'M' = b₁ nach r, so ergiebt sich die Gesammterleuchtung des Trapezes MQQ'M' B

a1

ψ'r

veos i dv sin r dr

IV.) E "= Jaf

Xr, v b₁

0

8

und somit die Gesammterleuchtung von MNPQ, resp. von A, B, C, D, B

c'r

Xr, vcos Xr, v cos dvsindr + cos i dv sin r drevesi V.) E = Jaffe Jdf(

b

0

b20

an

+

(n)

Xr,v cos i dv sin r dr). bn

0

Anmerkung. Es kann bei der zweiten Methode der Fall eintreten,

dass ein durch einen beliebigen Punkt im Innern des Trapezes gelegter Parallelkreis die begrenzende Curve in mehr als einem Punkte schneidet ; es ist dann dasselbe Verfahren mehrmals anzuwenden.

Es ist dies z. B. der Fall bei dem Trapez ABCD ( Fig. 5), dessen Begrenzungscurve bei N und P je einen Inflexionspunkt hat. Legt Fig 5

B N

C

N' P'

M P

D

A

man durch N und P tangirende Parallelkreise an die Curve AB, welche CD resp. in N' und P' schneiden, so hat man, wenn PP' die Curve zum zweitenmale in M trifft,

Erl . ABCD = Erl . AMP'D + Erl. MNNPʻ

Erl . PNN'P'

+ Erl . PBCP'.

Nachdem wir im Vorstehenden den analytischen Ausdruck für

die Lichtmenge gefunden haben, welche ein einzelnes Flächenelement empfängt, gehen wir nunmehr dazu über, die Lichtmenge A zu bestimmen , welche das Polygon MNPQ dem Polygon abcd zu-

sendet. Wir projiciren das Polygon abcd₁ orthogonal auf die XY Ebene, auf welcher dann das krummlinige Polygon mnpq entsteht, und ziehen durch die Eckpunkte desselben Parallelen mit der X Axe, welche die Y Axe resp. in den Punkten m₁, n₁, Pt, qı schneiden. RS sei die ebene Curve, in welcher die Fläche B von der YZ Ebene geschnitten wird ; wir ziehen durch m₁ , n₁, p₁, q1 , Parallelen zur Z Axe , welche die Curve RS in den Punkten m2, no, p2, q2

schneiden, und legen alsdann durch je zwei gegenüberstehende Parallelen Ebenen, welche auf der XY Ebene senkrecht stehen und die

Fläche B in den Curven a₁m2, b₁n2, CP2, d1q2 schneiden.

Offenbar

9

ist nun die Lichtmenge , welche das Polygon abcd, vom Polygon MNPQ empfängt, gleich der Lichtmenge, welche das Polygon n2bc1p2 empfängt, weniger der Summe der Lichtmengen, welche die Polygone nabam2, madıq , q2a1d2m2 empfangen. Die Erleuchtung eines solchen krummlinigen Vierecks aber, etwa von n2ba1m2, lässt sich sofort auf folgende Weise finden. A

B

In den oben V.) und V.) für die Erleuchtung eines Elementes gefundenen Ausdrücken kommen die Terme a, b, c vor. Da wir über den Punkt O keine weitre Voraussetzung gemacht haben , als

dass er der Fläche B angehören soll , so können wir statt a, b, c ohne weiteres die laufenden Coordinaten x, y, z = Xx, y setzen, wo z aus der Gleichung der F'x, y, z o. zu bestimmen ist. Da nun der Inhalt eines Flächenelementes bekanntlich 2

2

dxx, y y 1 + ( dxx,xx)² + (ds dy ) dx dy

df =

dx

ist, so ergiebt sich, wenn wir Om = 0 , On = Q₁ setzen und aus der Gleichung der Curve mn x = عy bestimmen, für die Lichtmenge, welche das Viereck nobama empfängt, folgender Ausdruck 01 VI .

A

Фу

= J

2

2

Ex. y, z

dxx, y

1

dx dy. dx

Qi

dy

0

Somit ist die ganze Lichtmenge, welche das Polygon abcd von dem Polygon ABCD₁ empfängt,

01 Фу VII . A

J

Qi

On

2

dxx, y 2

Ex, y, z

(dxx, y) dxdy ... -( x)²+ (dxx

+

dx

0

(n)

2

2

y

+

Ex, y,z Qn

1+

(dxx, y

dy

) dx dy)

o

Da es jedoch bei der Erleuchtung einer Fläche weniger auf die absolute Lichtmenge ankommt, welche sie empfängt, als vielmehr auf ihre mittlere Helligkeit 11), so müssen wir , um diese zu finden, μ

den so eben gefundenen Ausdruck noch mit f multipliren, unter μ den sogenannten Erleuchtungscoëfficienten , unter f den Flächeninhalt verstanden. Wir erhalten somit für die mittlere Helligkeit des Polygons ABCD₁ den Ausdruck

10

2

Ex, y, z

1 +

2

(dxx, y

dx dy ± ...

dx

dy

QJo (n)

2

n

Ex,y, z

2

y)

y

+

1 + ( xx )²+ ( x ) dx dy

QnJo

VIII.HMJ π

2

01 Фу

Vi On

dxx, y

dxx, y

dx

dy

+

()

2

dx dy ± ... 2

2

y

1+

+

dx

Qn

o

dx dy. dy

Hiermit ist die Aufgabe , welche wir uns eingangs stellten, vollständig gelöst , und wir können nun zur Betrachtung specieller Fälle übergehen. 9) Beer , S. 26. 10) Ibid. S. 3.

11) Ibid. S. 51. §, 4.

Von besondrem Interesse ist der Fall , wo es sich um

die Erleuchtung einer ganzen Fläche durch eine andre handelt. Die das Polygon auf die Kugelfläche projicirende Pyramide geht in die-

sem Falle in einen Tangentialkegel über und die Integrationsgrenzen bei Anwendung der Formeln VII.) und VIII.) sind nach der Curve EF (Fig. 2) zu nehmen, welche das adverse Berührungskonoïd mit der Fläche B gemein hat. Der Tangentialkegel schneidet auf der

Kugelfläche eine geschlossne Curve aus, und obwohl die oben aufgestellten Formeln selbstverständlich auch hier ihre volle Gültigkeit beibehalten, so thut man doch häufig besser , sich derselben nicht unmittelbar zu bedienen. Da nämlich die Gleichung der Curve, auf den Punkt Z' als Pol bezogen, häufig eine äusserst complicirte Gestalt annimmt, so transformirt man besser das Coordinatensystem so, dass ein günstiger gelegener Punkt Pol wird. Hat der neue Pol die Coordinaten A und B und versteht man unter r¹, v¹ die neuen, unter r, v die alten Coordinaten , so hat man die Transformationsformeln

sinr sin (v B) sin r¹ sin v¹ cos A cos r¹ + sin A sin r¹ cos v¹

cos r

um von einem System auf's andre überzugehen.

Wird nach der Erleuchtung einer ebenen Fläche gefragt , so hat man

11

A = 1ffEx, y, z dx dy J

μJ

SfEx, y, z dx dy

H π

Sfax dy Wenn wir die Erleuchtung bestimmen wollen, welcher unser Auge durch einen beliebigen leuchtenden Gegenstand erfährt , so können wir dasselbe als ein ebenes , horizontales Flächenelement df betrachten, so dass also die oben zu Hülfe genommene Kugel , auf welche wir uns den betreffenden Gegenstand projicirt dachten, in diesem Falle durch die scheinbare Himmelskugel repräsentirt ist.

Wir wollen diesen Fall , einen der wichtigsten der Photometrie, im Folgenden näher betrachten, zunächst unter Voraussetzung homogenen Lichtes. Soll das Zenith zum Pol genommen werden, so ist / i = r ; sobald ein andrer Punkt mit der Zenithdistanz A Pol wird , ist i durch die Relation cosicos A cosr + sin A sinr cos.v

bestimmt, wofern nur angenommen wird , dass die sphärischen Abscissen v im neuen System von dem grössten Kreise an gezählt werden, welcher Pol und Zenith verbindet.

Die constante Lichtintensität

bezeichnen wir stets mit J.

§. 5. Wir stellen uns zunächst die Aufgabe , die Erleuchtung eines sphärischen Dreiecks zu bestimmen , dessen Seiten jedoch nicht

Bögen grösster, sondern beliebiger kleiner Kugelkreise sein sollen. Es sei ABC (Fig. 6) ein solches Dreieck , die Coordinaten der Eck-

punkte, auf das Zenith als Pol bezogen, seien resp. a , b ; a2, b2 ; a3, b3, die sphärischen Radien der Begrenzungskreise R1, R2, R3, die Coordinaten der Mittelpunkte ri, v₁; r2 , V2 , 13, V3. Ist M der sphärische Mittelpunkt des Kreises AB, N ein Punkt seines Umfangs, so ergiebt sich aus dem Dreieck MNZ¹ als Gleichung des Kreises AB

cos R₁ = cos r₁ cosr + sin r₁ sinr cos (v 1

V₁)

Ebenso sind die Gleichungen der beiden andren Kreise cos R2 = cos r₂ cos r + sin 12 sinr cos (v

V2)

cos R3 = cos r3 cos r + sin r3 sinr cos (v V3) . Wir wenden das Verfahren § . 3 B) an, wobei wir nur die Vorsicht zu beobachten haben , den ersten Höhenkreis ZIZ", von dem

12

aus die Azimuthe gezählt werden, so zu legen , dass nicht der §. 3 angeführte Fall eintritt. Ziehen wir dann AA₁, BB , CC₁ parallel zum Horizont, so ist

Erl . ABC = Erl. ABB₁A + Erl. CAAC1

Erl . BCC₁B₁ .

Fig. 6 . Z

B

B'

N M

A '

A

C'

C Z

und somit nach V. B) cos R₁- cos r₁ cos r a1

arccos-

sin r₁ sin r dv sin r cos r dr a2 0

arc cos

аз E

Jdf