Strömungsklausur im Nacken?: Mit Methode locker packen [1. Aufl. 2020] 978-3-658-28145-8, 978-3-658-28146-5

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XXII
Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt (Klaus-Jürgen Peschges, Steffen Manser)....Pages 1-134
Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung (Klaus-Jürgen Peschges, Steffen Manser)....Pages 135-160
Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen (Klaus-Jürgen Peschges, Steffen Manser)....Pages 161-275
Klausuren sicher bestehen! (Klaus-Jürgen Peschges, Steffen Manser)....Pages 276-280
Back Matter ....Pages 281-291

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Klaus-Jürgen Peschges Steffen Manser

Strömungsklausur im Nacken? Mit Methode locker packen

Strömungsklausur im Nacken?

Klaus-Jürgen Peschges · Steffen Manser

Strömungsklausur im Nacken? Mit Methode locker packen

Klaus-Jürgen Peschges Laudenbach, Deutschland

Steffen Manser Mannheim, Deutschland

ISBN 978-3-658-28145-8 ISBN 978-3-658-28146-5  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

V0 Inhalt In diesem Kapitel erhalten Sie einen Überblick über die Themen des Buches. Die Inhaltsübersicht zeigt die Hauptkapitel mit zugehörigen Seitenzahlen an, das Inhaltsverzeichnis gibt detailliert die behandelten Themen in den einzelnen Kapiteln wieder.

V0.1 Inhaltsübersicht Kapitelname V0

Seite

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V V0.1 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V V0.2 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI

V1

Was Sie vorab wissen sollten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

V2

Fluidmechanik-Effekte sind spannend und erklärbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV

V3

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

1

Die wichtigen Grundlagen einfach erklärt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3

Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4

Klausur sicher bestehen! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5

Klausur fair formulieren und beurteilen (Abrufbar bei Interesse)

1

Literatur- und Quellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Wem wir Dank sagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284

Eine Formelsammlung sowie Kap. 5 – Klausur fair formulieren und beurteilen werden unter www.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. Videos zu strömungstechnischen Experimenten sind ab S. 161 unter den entsprechenden QRCodes abrufbar.

V0.2 Inhaltsverzeichnis Kapitelname V0

Seite

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V V0.1 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V V0.2 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

V1

Was Sie vorab wissen sollten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

V2

Fluidmechanik-Effekte sind spannend und erklärbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV

V3

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

1

Die wichtigen Grundlagen einfach erklärt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1

Wichtige Begriffe der Fluidmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2

Wichtige Stoffwerte, Konstanten, Einheiten und deren Umrechnung . . . 9 1.2.1 Stoffwerte und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Einheiten-Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Grundlagen für ruhende Fluide (Fluidstatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Statischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2.1 Grundlagen der Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2.2 Druckkraft auf Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Druckkraft auf senkrechte Seitenwand . . . . . . . . . . . . . . 20 Druckkraft auf schräg geneigte Wand . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2.3 Statischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2.4 Freie Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4

Energieerhaltungssatz für ideale Fluidströmungen (Bernoulli-Energiegleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Erweiterte (Energie-)Gleichungen für Fluidströmungen . . . . . . . . 39 1.4.2.1 Druckänderungen quer zu den Stromlinien . . . . . . . . . . 40 1.4.2.2 Bernoullische Energiegleichung in rotierenden Bezugssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.2.3 Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung . . . . . . . 51 1.4.2.4 Bernoulli-Gleichung für stationäre Strömung bei Energiezufuhr oder -abfuhr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

V0 Inhalt

1.5

VII

Reibungsbehaftete Fluidströmungen (Durchströmung) . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.5.1 Bernoulli-Gleichung für verlustbehaftete Strömungen . . . . . . . . . 59 1.5.2 Verluste bei laminarer Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.5.3 Verluste bei turbulenter Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5.4 Druckverluste von Einzel-Strömungsstörern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.5 Zusammengesetzte Widerstände im Strömungssystem. . . . . . . . . 70 1.5.5.1 Reihenschaltung von Strömungselementen . . . . . . . . . . 70 1.5.5.2 Parallelschaltung von Strömungselementen . . . . . . . . . . 71 1.5.5.3 Beliebige Schaltung von Strömungselementen . . . . . . . 72

1.6

Reibungsbehaftete Umströmung von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.6.1 Reibungs-Grenzschichten und Reibungswiderstand . . . . . . . . . . . 77 1.6.2 Formwiderstand durch Strömungsablösung bzw. Totwasser . . . . 81 1.6.3 Gesamtwiderstand umströmter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.6.4 Dynamischer Auftrieb (Querkraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.7

Kraftwirkungen bei realen, stationären Fluidströmungen auf begrenzende Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1.7.1 Grundlagen zum Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1.7.2 Grundlagen zum Drehimpulssatz (Drallsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.8

Sondergebiete der Fluidmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.8.1 Grenzflächenspannung σ und Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.8.1.1 Grenzflächenspannung σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.8.1.2 Meniskus, Kapillarität und Kontaktwinkel . . . . . . . . . . . . 109 1.8.2 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1.8.3 Ähnlichkeits- und Modellgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1.8.3.1 Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1.8.3.2 Modellgesetze und deren Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . 121 1.8.3.3 Kennzahlen für die Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.8.4 Gasströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 1.8.4.1 Grundgleichungen dichteveränderlicher Fluide . . . . . . . 128 1.8.4.2 Rohrströmung dichteveränderlicher Fluide . . . . . . . . . . 130

2

Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.1

Anwendung zu Kap.1.1 (Grundlagen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.2

Anwendung zu Kap.1.2 (Stoffwerte und Einheiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.3

Anwendung zu Kap.1.3 (Fluidstatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

VIII

3

V0 Inhalt

2.4

Anwendung zu Kap.1.4 (Bernoulli-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.5

Anwendung zu Kap.1.5 (Durchströmung mit Reibung) . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.6

Anwendung zu Kap.1.6 (Umströmung von Körpern) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.7

Anwendung zu Kap.1.7 (Impulssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.8

Anwendung zu Kap.1.8 (Sondergebiete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.9

Formel- und Methodensammlung (wird unter www.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten.)

Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.0

Aha-Strömungsphänomene einfach erklärt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.1

Aufgaben zu Kap. 1.1 (Fluidbegriffe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 A3.1-1 Volumenstromberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.2

Aufgaben zu Kap. 1.2 (Stoffwerte und Einheiten von Fluiden) . . . . . . . . . . 177 A3.2-1 Angelsächsische Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.3

Aufgaben zu Kap. 1.3 (Fluidstatik/ Aerostatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A3.3.2-1 Druckmessung mit U-Rohr-Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A3.3.2-2 Kamin-/Schornsteinwirkung (praktische Anwendung) . . . . . . 183 A3.3.2-3 Verschlusskraft eines rechteckigen Klappenwehres . . . . . . . . 185 A3.3.2-4 Statischer Auftrieb eines Zylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A3.3.2-5 Rotierendes Gefäß mit Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 A3.3.3-1 Flughöhe eines Segelflugzeugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.4

Aufgaben zu Kap. 1.4 (Energieerhaltungssatz/ Bernoulli-Gleichung) . . . . . 196 A3.4.1-1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen . . . . . . . . . . 196 A3.4.2.1-1 Strömung in einem Rohrkrümmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A3.4.2.3-1 Schnellabschluss einer Rohrleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 A3.4.2.4-1 Druckwasserpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3.5

Aufgaben zu Kap. 1.5 (Reibungsbehaftete Fluidströmungen) . . . . . . . . . . 211 A3.5-1 Mindestgeschwindigkeit für eine turbulente Strömung . . . . . 211 A3.5-2 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl im Blutkreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

A3.5.3-1 Rohrströmung bei diversen Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . 213 A3.5.3-2 Leckagestrom 𝑄𝑄 bei einer Spaltdichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A3.5.5-1 Großräumige Wasserversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 A3.5.5-2 Rohrleitung für eine Peltonturbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 A3.5.5-3 Prüfstand zur Durchflussmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

V0 Inhalt

3.6

IX

Aufgaben zu Kap. 1.6 (Umströmung/ dynamischer Auftrieb) . . . . . . . . . . . 233 A3.6.1-1 Segelflugzeug-Tragflügelreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 A3.6.3-1 PKW-Formwiderstand und Antriebsleistung . . . . . . . . . . . . . . 235 A3.6.4-1 Boeing 747-Auftriebsbeiwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.7

Aufgaben zu Kap. 1.7 (Krafteinwirkungen bei Fluidströmungen) . . . . . . . . 240 A3.7.1-1 Kraft auf durchströmten Krümmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 A3.7.2-1 Theoretische Kennlinie einer Kreiselpumpe . . . . . . . . . . . . . . . 246

3.8

Aufgaben zu Kap. 1.8 (Sondergebiete der Fluidmechanik) . . . . . . . . . . . . . 252 A3.8.1-1 Zerstäubung von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 A3.8.1-2 Kapillarwirkung in engen Röhrchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 A3.8.2-1 Kavitationsfreie Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 A3.8.3-1

PKW-Modell im Windkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

A3.8.3-2 Schiffsmodell im Schleppkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 A3.8.4.1-1 Ausströmen von Gas aus einem Behälter . . . . . . . . . . . . . . . 268 A3.8.4.2-1 Druckverlust einer Wasserdampf-Fernleitung . . . . . . . . . . . . 271 4

Klausur sicher bestehen! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5

Klausur fair formulieren und beurteilen (wird unter www.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten.) Literatur- und Quellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Wem wir Dank sagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

V1 Was Sie vorab wissen sollten Die nachfolgend in vier Kernaussagen dargestellten Vorbemerkungen dienen prinzipiell auch zur verständlichen Strukturierung von Projektarbeits-/Bachelor-/Masterarbeits-Berichten, Zusammenfassungen u.a. (ein erster, aber wichtiger Schritt zu methodischem Arbeiten, wozu in den Hauptkapiteln dieses Buches viele weitere Tipps folgen werden).

Anlass (IST-Zustand) Sie befinden sich in einem technischen Studium an einer Hochschule/Universität, bei dem die bestandene Klausur in Strömungstechnik (bzw. Fluidmechanik) Voraussetzung für das Weiterstudium ist. Die Vorlesung haben Sie besucht und „gefühlt so ziemlich alles verstanden“. Einige (vielleicht sogar die meisten) Aufgabenstellungen früherer Klausuren, die Sie sich bereits clever in den Fachschaften besorgt haben, geben Ihnen allerdings das Gefühl, dass sich teilweise Lücken in Ihren Vorlesungsmitschriften befinden müssen, denn die Fragestellungen, oder die gegebenen Informationen, oder die Skizzen, oder eigentlich alles, lassen eine Lösung bestimmt nicht zu. Trotz eifriger Bemühungen und Hinzuziehung von Fach- und Lösungsbüchern bleibt es Ihnen weitgehend rätselhaft, wie die Verfasser zu den Resultaten gelangt sind. Sie beginnen nervös zu werden, denn Ihnen schwant es natürlich, dass ähnlich unangenehme Fragestellungen in der bevorstehenden Klausur (oder in Ihrer späteren Berufspraxis) auf Sie zukommen werden. Dieser Druck sowie die unsinnigen „Motivationsbemerkungen“ einiger Professoren, wie z.B. „am Ende des Semesters werden nur x % die Prüfung bestehen (wobei x immer seltsamerweise zwischen 30 und 70 „prognostiziert“ wird)!“, setzen Ihrer Psyche beträchtlich zu. Angst vor dem Kommenden und die Gefahr eines „black out“ in der Klausur stehen Ihnen drohend vor Augen – vergessen Sie das! Verlassen Sie stattdessen die von den meisten Kommilitonen bevorzugten Denk- und Handlungswege!

Abb. V2-1: Den sicheren Weg zum Ziel wählen.

V1 Was sie vorab wissen sollten

XI

Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Seit 1970 beschäftige ich mich im Rahmen einer Dozententätigkeit und Promotion an der damaligen Technischen Hochschule Darmstadt und seit 1981 lehre ich an der Hochschule Mannheim "Strömungstechnik/Fluidmechanik" mit den damit verbundenen konstruktiven/ entwicklungsbezogenen Ingenieurtechniken zu Problemlösungen [PES 15]. Sehr bald dämmerte es mir, dass mit den während meiner Hochschulausbildung erlebten und in Lehrbüchern dargestellten Vorgehensweisen, das sichere Bestehen von Klausuren, bzw. die sichere Lösung von industriellen Fluidmechanik-Aufgabenstellungen, nicht gewährleistet ist: zu abstrakt, zu theorielastig, lückenhafte und sprunghafte Lösungsdarstellungen! Zwangsläufig tauchte in mir die Frage auf: "Wie kann ich den Studierenden „leichtes Brot“ statt „schwere Kost“ reichen?". Und konkret: "Wie lassen sich bei strömungstechnischen Aufgabenstellungen am Sichersten optimale Lösungen erzeugen?". Die analoge Übertragung der Erfahrungen aus dem Bereich Entwicklung/Konstruktion [PAH 13] auf das Gebiet Fluidmechanik zeigen, dass bei einer komplexen Aufgabenstellung die Gesamtbearbeitung am sinnvollsten in methodische Teilschritte zerlegt wird, die anschließend nacheinander abgearbeitet werden und schließlich zu einem anforderungsbasierten Ergebnis führen. Eine sehr schöne Metapher für sinnvolle Arbeitsschritte findet sich in dem Buch und dem Film von Michael Ende „Momo“. Das kleine Mädchen Momo, fragt seinen Freund, den Straßenkehrer Beppo, wie er bei seiner täglichen Arbeit mit dreckigen Straßen trotzdem so glücklich sein kann? Und Beppo antwortet sinngemäß: "Ich weiß zwar, dass ich die Straße abends sauber haben muss, also mein Ziel kenne, doch lege ich meine ganze Konzentration und Liebe in den ersten Besenstrich. Dann freue ich mich und bin stolz darauf, diesen ersten Straßenbereich erfolgreich geschafft zu haben. Dann kommt der zweite Arbeitsschritt mit dem freudigen und stolzen Ergebnisgefühl. Und das geht so weiter, bis am Abend die Straße vollständig sauber ist, ohne dass ich voller Sorge ständig an die gesamte verschmutzte Straße denken musste!“ Für den Bereich der Fluidmechanik hat sich eine strukturierte Zerlegung des Lösungswegs in sechs methodische/logische Arbeitsschritte als vorteilhaft erwiesen. Jedem dieser Teilschritte sind hilfreiche Tipps und Skills zugeordnet, so dass quasi zwangsläufig und sicher die erwartete Lösung entsteht.

Ergebnis (Lösungserfolge) Das vorliegende Buch hat genau die vorstehend beschriebene Grundeinstellung als Ziel: Überschaubare, logische Teilaufgaben methodisch bearbeiten und erfolgreich Zwischen- und Endresultate erhalten, anstatt „gefühlsmäßige, unstrukturierte, zufallsorientierte, …“ Bearbeitungen von Klausuraufgaben oder strömungstechnischen Aufgabenstellungen zu bevorzugen! Für den Anfänger ist dies voraussichtlich etwas ungewohnt, weil er nicht sofort auf die erstbeste Lösung lossteuern kann. Doch wird er sehr schnell merken, dass die erfolgreiche Erzeugung wichtiger Zwischenergebnisse und die daraus resultierende Gesamtlösung ein ständiges „inneres Schulterklopfen“ und eine dauerhafte Selbstsicherheit bewirken werden.

XII

V1 Was sie vorab wissen sollten

Diese nebenbei vermittelte Selbstsicherheit („Ich kann es jetzt!“) ist eine der wichtigsten Voraussetzungen für das sichere Bestehen von Klausuren. „Viele klettern so schnell, dass sie gar nicht merken, dass sie auf den falschen Berg gestiegen sind“ Samantha Groß, Egelsbach

Ausblick (Zukunft) Dieses ausschließlich praxisorientierte Lehr-, Lern- und Mitmachbuch fasst die einfache und leicht anzuwendende Vorgehensweise einer methodischen Aufgabenbearbeitung der Fluidmechanik für die Bereiche der Hochschule und Industrie zusammen, die vom verantwortlichen Autor in etlichen Entwicklungsschleifen optimiert wurde. Ein früherer Student, Herr Steffen Manser, hat sich spontan als Mitautor für die Arbeit an diesem Buch bereit erklärt. Damit ist eine ideale Voraussetzung für ein zeitgemäßes Lernen und die zukünftige Aktualisierung dieses Buches geschaffen worden. Das Autorenteam erhofft sich durch Rückmeldungen der Anwender eine noch bessere Anleitung für zukünftige Leser: Nichts ist so gut, dass man es nicht noch besser machen könnte! Zwar ist dieses Buch in erster Linie für studentische Anwender (S) und bereits in der Praxis tätige Ingenieure gedacht, doch könnten auch die Professoren und Lehrkräfte (P) an den Hochschulen einen nicht unbedeutenden Nutzen bei ihrer Lehrtätigkeit für den studentischen Erfolg daraus ziehen (nicht nur für Fluidmechanik) und darüber hinaus volkswirtschaftlich sinnvoll lehren. Dies will ich kurz begründen: Der Erfolg eines Lehr-/Lernprozesses, konzentriert in einer Abschlussklausur, basiert auf einer guten Vermittlung des Lernstoffes (P), der sicheren Verinnerlichung beim Studierenden (S), einer sinnvollen Klausurvorbereitung (S), einer geeigneten und verständlich formulierten Aufgabenstellung (P), der zeitlichen Machbarkeit innerhalb der Klausur (P) und der Schaffung eines lernfördernden und angstfreien Umfelds (P). Darüber hinaus kann der Studierende eine faire Beurteilung (P) seiner Leistung erwarten, was bedeutet, dass nicht nur das Endergebnis, sondern auch alle richtigen Zwischenergebnisse und Überlegungen notenrelevant sind (hat schließlich Klausurzeit beansprucht!). Diesem Aspekt wird in einem eigenen Kapitel Rechnung getragen. Soviel schon vorab: Ein Studienabbruch ist Verschwendung von Volksvermögen – Der Hauptzweck der Lehre besteht in der Erfolgsförderung jedes Lernenden (Stärken stärken und Schwächen kompensieren)! Wir müssen unbedingt auch die „Praktiker“ zum Ingenieurberuf qualifizieren – sie werden mehr denn je in der Industrie benötigt und sind dort überdurchschnittlich erfolgreich!

V1 Was sie vorab wissen sollten

XIII

Hinweis: Die Abbildungen in jedem Kapitel und Unterkapitel werden mittels Kap.-Nr. und laufender Abb.-Nr. gekennzeichnet, damit jede Abbildung (= Abbildung, Diagramm, Tabelle, Bild, Foto, etc.) eindeutig einem Kapitel zugeordnet werden kann. Die Inhaltsgliederung erfolgt so, dass die einführenden und allgemeineren Aussagen als V-Kapitel (vorangestellt im Buch) und die ergänzenden Informationen als N-Kapitel (nachgeordnet im Buch) bezeichnet werden. Die Hauptkapitel sind von 1 bis 5 durchnummeriert. Wenn im Folgenden ausschließlich die männliche Wortform verwendet wird, so nur wegen der flüssigeren Lesbarkeit des Textes. Damit wird die häufig praktizierte und die Wirklichkeit besser treffende Schreibweise, wie z. B. „Leser*in“, ersetzt durch das besser lesbare „Leser“; es sind aber immer alle Geschlechter angesprochen. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Wichtige Informationen befinden sich innerhalb einer solchen Box, die mit Warnschildern gekennzeichnet und durch zwei Linien vom sonstigen Text separiert ist. Diese Boxen können auch Abbildungen, Formeln, etc. enthalten. ___________________________________________________________________________________________

V2 Fluidmechanik-Effekte sind spannend und erklärbar „Wenn die Strömung dich deinem Ziel näherbringt, widersetze dich ihr nicht“ Samantha Groß, Egelsbach Es gibt im Bereich der Fluidmechanik (i. a. Strömungstechnik genannt) teilweise auf Anhieb nicht erklärbare und oft „der allgemeinen Erfahrung“ widersprechende Phänomene. Mit diesem Buch und der hier verwendeten methodischen Vorgehensweise werden Sie in der Lage sein, einige der wichtigsten und schönsten Effekte/Experimente mit Strömungen zu verstehen, anderen Kommilitonen spannend zu erklären oder selbst durchzuführen. Die bei den Experimenten auftretenden Effekte haben dabei oft den Anschein von Zauberei, was sich wissenschaftlich als Paradoxon bezeichnen lässt. In diesem Kapitel sollen diese „Highlights“ zunächst in Frageform aufgeführt, und später in Kap. 3 soweit mittels der zugrundeliegenden Strömungsgesetze erläutert werden, dass ein sicheres Verständnis erreicht wird. Gleichzeitig wird dadurch vielleicht bei Ihnen eine intrinsische Motivation erzeugt, die eine Supervoraussetzung für den späteren Klausurerfolg und das praktische Berufsleben sein wird. Eine weitere Zielsetzung besteht in der Erfahrung des Staunens über die Natur und deren faszinierenden Gesetzmäßigkeiten, die diese, ohne je eine Klausur in Strömungstechnik absolviert zu haben, uns täglich bravourös aufzeigt. Denken Sie nur an die weltweiten Luftund Wasserströmungen, die uns mit dem wechselnden Wetter, dem Golfstrom und weiteren klimatischen Ereignissen erst das Leben auf der Erde garantieren. Bescheidenheit und der Wille zur Erhaltung dieser Lebensgrundlage sollten oberste Gebote besonders für den Ingenieurberuf sein. Die folgenden Effekte werden in der Reihenfolge der Buchkapitel (mit dem zugehörigen Fluidgebiet und Stoffbereich) aufgelistet und in Kap. 3 dargestellt, sowie teilweise in den Videosequenzen (Video V3.1 bis V3.12):

Kap. V3.1

Kamineffekt? (Fluidstatik, Luft)

Kap. V3.2

Flüssigkeitsversorgung von Bäumen? (Kapillarwirkung, Wasser)

Kap. V3.3

Wasserläufer, Lotuseffekt? (Grenzflächenspannung, Wasser/ Luft/ Oberflächenstruktur)

Kap. V3.4

Schwimmen? (Auftrieb, Wasser)

Kap. V3.5

Durchströmung zwischen Blättern? (Bernoulli-Gleichung, Luft)

Kap. V3.6

Platten-Blasrohr und Fensterscheiben-Spielauto? (Bernoulli-Gleichung, Luft)

Kap. V3.7

Segelflug? (Bernoulli-Gleichung, Luft)

Kap. V3.8

Ball im schrägen Luftstrahl? (Bernoulli-Gleichung, Magnus-Effekt, Luft)

Kap. V3.9

Schornstein-/ Brückeneinsturz? (Körperumströmung, Luft)

V2 Fluideffekte sind spannend und erklärbar

Kap. V3.10 Flugbahn/ -weite von Tennis-, Fuß- oder Golfball? (Körperumströmung, Luft) Kap. V3.11 Wasser folgt festen Wänden? (Coanda-Effekt, Wasser-Scher-Effekt) Kap. V3.12 Wassersprung in Flachgewässern? (Froude-Zahl, Wasser)

XV

V3 Zusammenfassung Analog zu Kap. V1 erfolgt die Zusammenfassung wieder in vier logisch aufeinanderfolgenden Kernaussagen: -

Anlass (IST-Zustand) Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Ergebnis (Lösungserfolge) Ausblick (Zukunft)

Anlass (IST-Zustand) Eine ziemlich treffende Metapher für die Situationen des Studiums in Vorlesung, Übungen und Klausur findet sich in [UNI 19] (https://www.instagram.com/uniturm.de/, Zugriff am 11.01.2019): Vorlesung: „So geht Fahrradfahren!“ Übung: „Probiere es mal ohne Stützräder!“ Klausur: „Gewinne in einer Stunde die Tour de France!“ Dieses Dilemma kann in erster Linie von den verantwortlichen Lehrkräften an den Hochschulen beeinflusst werden und dann erst von den Studierenden, obwohl die übliche Sichtweise leider in einer genau umgekehrten Reihenfolge anzutreffen ist. Wie lässt sich das zum Wohle aller Beteiligten ändern? Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Das vorliegende Buch beschreitet beim Thema „Fluidmechanik“ einen anderen, neuen Weg zum besseren Verankern des üblichen Lernstoffs an Hochschulen und zum (fast) sicheren Bestehen von Klausuren. Dass dazu immer die beiden Seiten dieses Prozesses „Studierende und Lehrende“ zusammenwirken müssen, ist unabdingbare Voraussetzung. Die allgemein hilfreiche Vorgehensweise bei der dauerhaften Vermittlung von „Wissen für die Praxis“ besitzt folgende Eigenschaften: 1. Begeisterung bei Lehrenden für das Fach und Neugierde bei den Studierenden! 2. Vermittlung des Stoffes über die Reihenfolge erlebbare Anschauung (z.B. Ziel-Experimente als Basis für intrinsische Motivation), Überblick (Wichtigstes) und Detail (Ergänzungen)! Dies entspricht im Übrigen der Maxime „Vom Einfachen zum Komplexen!“ 3. Unmittelbaren Bezug und Transfereignung für die Berufspraxis herstellen! 4. Unterstützung bei der Anwendung des vermittelten Stoffes durch methodische Vorgehensweisen (hier sechs Schritte-Kochrezept!) und geeignete Skills (unabdingbare Tipps für eine sichere Lösung von Aufgaben)! 5. Faire Gestaltung von Erfolgsnachweisen (Klausuren) und deren Bewertung (Noten) durch Professoren! Angebote für Studierende zur sinnvollen Vorbereitung und zum sicheren Bestehen von Klausuren!

V3 Zusammenfassung

XVII

6. Hauptziel ist die Befähigung zur sicheren Anwendung im späteren Berufsleben und nicht die Notengebung! Wie können diese Punkte auf der Grundlage dieses Buches realisiert werden? Ergebnis (Lösungserfolge) Die Vorgehensweise bei der nachhaltigen Vermittlung von „Wissen für die Praxis“ findet sich in den folgenden Kapiteln des Buches ausführlich beschrieben und wird hier kurz charakterisiert: 1. Begeisterung bei Lehrenden für das Fach und Neugierde bei den Studierenden! Glückwunsch! Sie haben als Studierende/r oder als Lehrende/r diesen Punkt durch Kauf dieses Buches bereits angegangen! 2. Vermittlung des Stoffes über die Reihenfolge: erlebbare Anschauung (z.B. Ziel-Experimente als Basis für intrinsische Motivation), Überblick (Wichtigstes) und Detail (Ergänzungen)! Es ist zu empfehlen, sich zunächst die per Video-Sequenzen zur Verfügung gestellten Effekte und Phänomene anzuschauen, die bei einfachen fluidmechanischen Experimenten zu beobachten sind. Damit wird wahrscheinlicher der Funke für das intrinsisch motivierte Erlernen dieses Faches überspringen. Übrigens sollten sog. Exkursionen immer zu Beginn einer Vorlesung stattfinden, statt wie üblich erst am Ende! Diese Erkenntnis hat der erste und einzige Professor für Praktische Mathematik in Deutschland an der Technischen Hochschule Darmstadt, Prof. Dr. Alwin Walther, in den 50er und 60er Jahren des letzten Jahrhunderts, ganzen Generationen von Studenten eindrucksvoll vermittelt: vor jeder (!) Mathe-Vorlesung gab es ein „Aha, dafür ist das“-Experiment! Als Einstieg in die Fluidmechanik dient der Überblick in Kap. 1. Die methodische Bearbeitung von fluidtechnischen Aufgabenstellungen ist in Kap. 2 begründet. Die Methode orientiert sich am logischen Aufbau eines Kochrezeptes (z.B. für die Zubereitung einer spanischen Paella) und besteht aus folgenden Schritten: ___________________________________________________________________________________________

6 Schritte-Kochrezept (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Aufgabe klären Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bearbeitungsreihenfolge festlegen Teilaufgaben lösen Einheiten-Umrechnung Ergebnisse präsentieren und diskutieren

___________________________________________________________________________________________

Erste Anwendungen der methodischen Vorgehensweise für jeden der in Kap. 1 einführend erläuterten Fluidbereiche finden sich ebenfalls in Kap. 2.

XVIII

V3 Zusammenfassung

3. Unmittelbaren Bezug und Transfereignung für die Berufspraxis herstellen! Sowohl die Aufgaben in Kap. 2 und Kap. 3, als auch deren methodische Lösungen, orientieren sich an Situationen in der Praxis. Besonders im Schritt (6) wird der Bezug zur FluidmechanikPraxis durch eine Diskussion der Ergebnisse regelmäßig hergestellt. 4. Unterstützung bei der Anwendung des vermittelten Stoffes durch methodische Vorgehensweisen (hier sechs Schritte-Kochrezept!) und geeignete Skills (unabdingbare Tipps für eine sichere Lösung von Aufgaben)! Diesem Aspekt kommt im Buch eine besondere Bedeutung zu und vermittelt die in üblichen Fluidmechanik-Büchern kaum anzutreffende Hilfestellung und Tipps für Anfänger im Bereich der Fluidmechanik, um deren Selbstsicherheit für Klausuren und für die Berufspraxis zu stärken. Kap. 2 und Kap. 3 sind durchgehend in diesem Sinne konzipiert. 5. Faire Gestaltung von Erfolgsnachweisen (Klausuren) und deren Bewertung (Noten) durch Professoren! Angebote für Studierende zur sinnvollen Vorbereitung und zum sicheren Bestehen von Klausuren! In den Kapiteln Kap. 4 (für Studierende) und Kap. 5 (für Lehrende) sind eine Fülle hilfreicher und langjährig erprobter Tipps und Anregungen aufgeführt. Der tiefere Sinn liegt dabei in einer volkswirtschaftlich wichtigen Steigerung der Zahl der Ingenieurabsolventen, also einer Senkung der „Abbrecherquoten“ in der Ingenieurausbildung (dieses scheußliche Wort, welches verständnislos die Hauptschuld den sog. „Studien-Abbrechern“ zuweist, hätte das Zeug zum Unwort des Jahres zu werden)! 6. Hauptziel ist die Befähigung zur sicheren Anwendung im späteren Berufsleben und nicht die Notengebung! Jeder Lehrende sollte diese Maxime einer guten Ausbildung und Bildung zur wichtigsten Grundlage seiner Veranstaltungen machen. Es entbehrt jeder statistischen Grundlage, dass die erreichte Note während eines Studiums mit der langfristigen Leistung, dem beruflichen Erfolg und dem Nutzen für die Gesellschaft korreliert. Die Begründungen dafür sind in Kap. 5 zusammengefasst. Eine konsequente Beachtung dieser sechs Zielkriterien kann für alle Beteiligten in der Ingenieursausbildung eine Verbesserung der derzeitigen Situation bewirken. Als einfaches Beispiel für das 6-Schritte-Kochrezept (vgl. Kasten-Information im obenstehenden Zielkriterium 2.) dient die methodische Lösung der folgenden Aufgabe, für die in Kap. 1.4.1 dargestellten Grundlagen zur Bernoullischen Energiegleichung bei idealen Fluiden. __________________________________________________________________________________________

Vorgegebene Aufgabenstellung: Der in Abb. V4-1 dargestellte große Druckbehälter ist bis zur Höhe ℎ = 2 𝑚𝑚 über dem Auslassquerschnitt 𝐴𝐴2 (𝐷𝐷2 = 2 𝑐𝑐𝑐𝑐) mit Wasser gefüllt und mit einem Absolut-Luftdruck 𝑝𝑝1 = 2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 beaufschlagt. Wie groß ist zu Beginn des freien Austritts die Strömungs𝑚𝑚 geschwindigkeit 𝑐𝑐2 in 𝑠𝑠 und der austretende Volumenstrom 𝑄𝑄?

V3 Zusammenfassung

XIX

Abb. V4-1: Wasserbehälter unter Innendruck bei freiem Ausfluss

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren. Skizze ergänzen (in grün), z.B. Bezugsniveau B-B und gegebene Daten. ___________________________________________________________________________________________

Hinweis Falls keine Skizze vorhanden ist, sollte diese zum besseren Verständnis immer erstellt werden! ___________________________________________________________________________________________

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung, ideal, verlustfrei. Kontinuitätsgleichung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑐𝑐2 aus Bernoulli-Gleichung → Schritt (4).

𝑄𝑄 aus Kontinuitätsgleichung mit 𝑐𝑐2 → Schritt (4). Zahlenumrechnung mit Einheiten → Schritt (5).

XX

V3 Zusammenfassung

(4) Teilaufgaben lösen Prinzipiell kann zur Lösung jede Form der Bernoulli-Energiegleichung genutzt werden. Jedoch wird sinnvollerweise die Form verwendet, bei der der geringste Umstellungsbedarf entsteht (Erfahrung). Da hier nach der Geschwindigkeit 𝑐𝑐2 gefragt wird, wird die spezifische Energieform (Gl. 1.4-9) gewählt und unter Bezug auf B-B zwischen den Stellen 1 und 2 ausgeschrieben: 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

Vereinfachungen: 𝑐𝑐1 ≈ 0 𝑧𝑧1 ≈ ℎ

𝑝𝑝2 ≈ 𝑝𝑝0 𝑧𝑧2 ≈ 0

(Spiegelabsenkung sehr klein bei großem Behälter) (Atmosphärendruck wird Austrittsquerschnitt von außen aufgeprägt) (da auf Bezugsniveau B-B)

Damit ergibt sich 𝑝𝑝1 𝑝𝑝0 𝑐𝑐2 2 + 0 + 𝑔𝑔 ∙ ℎ = + +0 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 → 𝑐𝑐2 2 = 2 ∙ �𝑔𝑔 ∙ ℎ + �

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝0 �� 𝜌𝜌

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝0 𝑚𝑚 2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 → 𝑐𝑐2 = �2 ∙ �𝑔𝑔 ∙ ℎ + � �� = �2 ∙ ��9,81 2 ∙ 2 𝑚𝑚� + � �� 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜌𝜌 𝑠𝑠 1000 3 𝑚𝑚

Mit der Kontinuitätsgleichung ermittelt sich 𝑄𝑄 zu 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝑐𝑐2 ∙

𝐷𝐷22 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 (2 𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ∙ 𝜋𝜋 = 𝑐𝑐2 ∙ 4 𝑠𝑠 4

(5) Einheiten-Umrechnung Geht auch gekoppelt mit Schritt (4) Für die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐𝑐2 ergibt sich: 𝑐𝑐2 = �2 ∙ ��9,81 𝑐𝑐2 = �2 ∙ �19,62

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 5 𝑁𝑁 𝑚𝑚 2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 10 𝑚𝑚2 1 𝑠𝑠 2 ∙ 2 𝑚𝑚� + � �∙ ∙ � 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠 2 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑁𝑁 1000 3 𝑚𝑚 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 2 �239,24 + 1 ∙ 10 � = 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2

XXI

V3 Zusammenfassung

𝑚𝑚2 𝑠𝑠 2 Der Volumenstrom 𝑄𝑄 berechnet sich zu 𝑐𝑐2 = 15,47

𝐷𝐷22 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 (2 𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ∙ 𝜋𝜋 1 𝑚𝑚2 = 15,47 ∙ ∙ 4 4 𝑠𝑠 4 10 𝑐𝑐𝑚𝑚2 3 3 𝑚𝑚 10 𝑙𝑙 𝑄𝑄 = 4,95 ∙ 10−3 ∙ 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚3 𝑙𝑙 𝑄𝑄 = 4,95 ∙ 10−3 𝑠𝑠 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐𝑐2 = �2 ∙ �𝑔𝑔 ∙ ℎ + �

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝0 𝑚𝑚2 �� = 15,47 2 𝜌𝜌 𝑠𝑠

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 4,95 ∙ 10−3

Diskussion:

𝑙𝑙 𝑠𝑠

Die Formel zur Ermittlung der Ausströmgeschwindigkeit entspricht der Torricelli-Ausflussformel bei einem oberwasserseitigen Überdruck. ___________________________________________________________________________________________

Nach einiger Übung müssen die Schritte (1) bis (3) natürlich nicht mehr explizit ausgeschrieben, sondern lediglich in Kurzform, bzw. „im Kopf“ und in dieser Reihenfolge angewendet werden! Die strikte Einhaltung dieser Bearbeitungssequenz, statt des üblichen „Draufloswurschtelns schnell-schnell“, vermeidet das „Enden in einer Sackgasse“, also eine falsche bzw. gar keine Lösung.

„Viele klettern so schnell, dass sie gar nicht merken, dass sie auf den falschen Berg gestiegen sind“ Samantha Groß, Egelsbach

Ausblick (Zukunft) Die in diesem Buch beschriebene Vorgehensweise beschränkt sich nicht auf das Gebiet der Fluidmechanik. Mit geringen Abweichungen lassen sich damit auch die Lehre und die sichere Anwendung von Berechnungen in anderen Fachgebieten verbessern. Dies gilt z.B. für die gesamte Mechanik, die Physik, die Mathematik, die Wärmetechnik u.v.a. Viel Freude und Erfolg bei der Lektüre dieses Buches!

XXII

V3 Zusammenfassung

Trotzdem gilt auch hier: Nichts ist so gut, dass man es nicht noch besser machen könnte! Wenn sie also Fehler entdecken oder Verbesserungshinweise haben, sind wir Ihnen für eine Nachricht sehr dankbar. ___________________________________________________________________________________________

Fazit Anlass (IST-Zustand) Wie lässt sich die Fluidmechanik-Klausur sicher bestehen? Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Methodische Lösungsschritte helfen! Kochrezept als Basis! Ergebnis (Lösungserfolge) Beachtung von sechs Zielkriterien wirkt „automatisch“ verbessernd! Ausblick (Zukunft) Übertragbarkeit der Buchmethode auf andere Fachgebiete prüfen

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt Bevor Sie in die Lösung von Strömungsaufgaben einsteigen, ist es hilfreich, wenn Sie sich zunächst noch einmal mit den Grundlagen der Fluidmechanik beschäftigen. Neben den wichtigsten Begriffen zur Charakterisierung von Fluiden und Strömungen (Kap. 1.1), sind dies die gebräuchlichsten physikalischen Stoffwerte und ihre Einheiten (Kap. 1.2) sowie die unbedingt benötigten Berechnungsgleichungen ruhender und bewegter Fluide (Kap. 1.3 ff.). Nehmen Sie sich diese Zeit für die Auffrischung und Festigung vorhandenen Wissens – es lohnt sich! Sie flexibilisieren damit Ihr Denken, um schneller den Sinn von Aufgabenstellungen zu erfassen.

1.1 Wichtige Begriffe der Fluidmechanik Bei der Bearbeitung von Aufgaben in der Fluidmechanik ist die Kenntnis einiger Begriffe und Definitionen von Bedeutung, die nachfolgend zusammengestellt sind. Fluidmechanik Lehrinhalte zum Verständnis und zur Berechnung von ruhenden (Statik) und bewegten (Dynamik) Fluiden, die sich in flüssigem, gasförmigen oder dampfförmigen Zustand befinden.

Fluidteilchen Materiell gedachter Fluidpunkt, der durch seine physikalischen Eigenschaften [SI-Einheiten] bestimmt ist: 𝑘𝑘𝑘𝑘

Dichte 𝜌𝜌 �𝑚𝑚3 �

𝑁𝑁

Druck 𝑝𝑝 �𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑚𝑚2 , … �

Temperatur ϑ [°C] bzw. absolut T [K] 𝑚𝑚

Geschwindigkeit 𝑐𝑐 � 𝑠𝑠 �

𝜌𝜌 , p und ϑ bzw. T sind skalare (ungerichtete) Größen, d. h. sie weisen in alle Raumrichtungen die gleichen Eigenschaften auf. 𝑐𝑐 ist eine vektorielle (gerichtete) Größe. �⃑ Strömungsgeschwindigkeit 𝒄𝒄 𝑐𝑐⃑ =

𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊ä𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 = � � 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠

Oft vereinfacht nur als Symbol (ohne Vektorpfeil) angegeben → 𝑐𝑐

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5_1

(Gl. 1.1-1)

2

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Bewegungsarten Stationäre Strömung: 𝜌𝜌, 𝑝𝑝 , 𝜗𝜗 bzw. T, 𝑐𝑐⃑ sind nur abhängig von den Ortskoordinaten in einem willkürlich festgelegten Koordinatensystem und zeitlich konstant. 𝜌𝜌, 𝑝𝑝 , 𝜗𝜗 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑏𝑏. 𝑇𝑇, 𝑐𝑐⃑ = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)

Instationäre Strömung: 𝜌𝜌, 𝑝𝑝 , 𝜗𝜗 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑏𝑏. 𝑇𝑇, 𝑐𝑐⃑ sind örtlich und zeitlich veränderlich. 𝜌𝜌, 𝑝𝑝 , 𝜗𝜗 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑏𝑏. 𝑇𝑇, 𝑐𝑐⃑ = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝐹𝐹)

Stromlinie, Stromfaden und Stromröhre (Gedankenmodell) Stellen Sie sich einen ruhig dahinströmenden Fluss vor, von dem Sie gedanklich zu einer bestimmten Zeit einen röhrenförmigen Abschnitt herausschneiden, der damit eine Stromröhre darstellt (Abb. 1.1-1).

Abb. 1.1-1: Stromröhre, Stromfaden und Stromlinie

Dabei wird bei einer stationären Strömung angenommen, dass über die ganze Länge der Stromröhre kein Fluid über die Außenkontur eindringen oder die Röhre verlassen kann. Die Stromröhre wird quasi als Rohrleitung mit dem Strömungsquerschnitt A und festen Wänden gedacht. Wenn Sie jetzt nur eine kleine Fläche 𝑛𝑛𝐴𝐴 aus der Strömungsfläche A herausgreifen, so können sich die Eigenschaften dieses Stromfadens (𝜌𝜌, 𝑝𝑝 , 𝜗𝜗 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑏𝑏. 𝑇𝑇, 𝑐𝑐⃑ ) durchaus von anderen Stromfäden aus der Fläche A unterscheiden, innerhalb des betrachteten Stromfadens sind die Eigenschaften jedoch konstant. Wird jetzt nur noch ein einzelnes Fluidteilchen betrachtet, so wird dessen Strömungsweg als Stromlinie bezeichnet. Das pro Zeiteinheit durch die Stromröhre fließende Fluidvolumen wird als Volumenstrom 𝑄𝑄 �

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑚𝑚𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑍𝑍𝑉𝑉𝑍𝑍𝑍𝑍

= �

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

�� definiert.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

3

Eindimensionale und mehrdimensionale Strömung Zwar sind alle Strömungen in der Natur in der Regel dreidimensional (räumlich, 3D), doch lassen sich häufig ohne großen Genauigkeitsverlust Strömungen auch eindimensional (1D) oder zweidimensional (2D) beschreiben. Eindimensionale Strömung (1D; Abb. 1.1-2) Bei einer Strömung in einem Flachkanal, bei dem das Verhältnis der Breite b zur Höhe h wesentlich größer als 1 ist, kann die Stromfaden-Theorie angewendet werden. 𝑐𝑐⃑ hat nur eine Richtungskomponente in x-Richtung und ist gegebenenfalls noch von der Zeit t abhängig.

Abb. 1.1-2: Eindimensionale Strömung

Zweidimensionale Strömung (ebene Strömung, 2D; Abb. 1.1-3) Dies lässt sich beispielsweise bei der Strömung um einen langen, dünnen Zylinder (Umströmung) oder der Strömung durch einen sich erweiternden Flachkanal (Durchströmung, Diffusor) erkennen.

4

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.1-3: Zweidimensionale Strömung

In jeweils einer Achsenrichtung ändert sich die Strömungsgeschwindigkeit nicht. Hier z beim Zylinder (außer an den Zylinderenden), bzw. y beim Flachdiffusor. Allerdings wäre eine zeitliche Änderung möglich. Dreidimensionale Strömung (räumlich, 3D; Abb. 1.1-4) Dies ist der allgemeinste aber auch komplizierteste Fall einer Fluidströmung, wie es für die Stromlinien bei der Umströmung eines kurzen Zylinders, bzw. für die Durchströmung eines kreiskegeligen Diffusors gezeigt ist.

Abb. 1.1-4: Dreidimensionale Strömung

5

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Mittlere Geschwindigkeit 𝒄𝒄� und Volumenstrom 𝑸𝑸 (auch 𝑽𝑽̇ genannt), bzw. Massenstrom 𝐦𝐦̇

Es besteht ein Unterschied in der Geschwindigkeitsverteilung in einem durchströmten Kanal oder auf einer umströmten Oberfläche, je nachdem ob ein Fluid a) reibungsfrei (ideal, Abb.1.1-5) oder b) reibungsbehaftet (real, Abb.1.1-6) betrachtet wird.

Abb. 1.1-5: Geschwindigkeitsprofil bei idealer Strömung

Bei einem idealen, reibungsfreien Fluid ist die Geschwindigkeit über der gesamten Kanalfläche A konstant, d. h. 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐̅. Jedes Fluidteilchen legt während der Zeitdifferenz 𝑑𝑑𝑑𝑑 einen Weg 𝑑𝑑𝑑𝑑 zurück. Die Geschwindigkeit c ist somit identisch mit der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit c� 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐̅ =

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠

(Gl. 1.1-2)

Ein anschauliches Maß für das Transportvolumen in einem Rohr pro Zeiteinheit ist der Volumenstrom Q. Wenn Sie z. B. vor einer Bahnschranke stehen und in 36 sec. 60 Waggons (Wg) mit einem jeweiligen Waggonvolumen von 60 𝑚𝑚3 an Ihnen vorbeigefahren sind, dann betrug der „Volumenstrom Q“ exakt 60 𝑊𝑊𝑊𝑊 ∙ 60

𝑚𝑚3

𝑊𝑊𝑊𝑊

/ 36 𝑠𝑠 = 100

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

!

Übertragen auf eine Rohrströmung mit der Durchströmfläche A ergibt sich für den Volumenstrom Q 𝑄𝑄 =

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚3 = = 𝐴𝐴 ∙ 𝑐𝑐 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠

(Gl. 1.1-3)

Und nach Umstellung auf die Geschwindigkeit c 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐̅ =

𝑄𝑄 𝑚𝑚 � � 𝐴𝐴 𝑠𝑠

(Gl. 1.1-4)

Dabei ist c die örtliche Geschwindigkeit und 𝑐𝑐̅ die mittlere Geschwindigkeit. Die Durchströmfläche A steht senkrecht zur Geschwindigkeit c. Analog zur Berechnung von Q ergibt sich der Massestrom ṁ zu

6

𝑚𝑚̇ =

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑚𝑚 𝑉𝑉 ∙ 𝜌𝜌 = = 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝜌𝜌 𝑡𝑡 𝑡𝑡

(Gl. 1.1-5)

Bei einem realen Fluid treten innere und äußere Verluste durch Reibungseffekte auf, die u. a. dazu führen, dass die Geschwindigkeit an Wänden durch Wandhaftung Null wird und mit zunehmendem Wandabstand einem Maximalwert zustrebt (Abb. 1.1-6).

Abb. 1.1-6: Geschwindigkeitsprofil bei realer Strömung

Durch Integration der Produkte aus den örtlichen Geschwindigkeiten 𝑐𝑐1 − 𝑐𝑐𝑛𝑛 mit den örtlichen Teilquerschnitten 𝑑𝑑𝑑𝑑 über der gesamten Durchströmfläche A ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit c� zu c� =

∫A c ∗ dA Q m = � � A A s

sowie der Massestrom ṁ zu 𝑚𝑚̇ = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝜌𝜌 �

𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑠𝑠

(Gl. 1.1-6)

(Gl. 1.1-7)

Kontinuitätsgleichung In technischen Rohrsystemen ändern sich häufig aus den unterschiedlichsten Gründen die Strömungsquerschnitte A über dem Leitungsverlauf der Stromröhre (Abb. 1.1-7).

7

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.1-7: Stromröhre mit unterschiedlichen Strömungsquerschnitten

Unter der Voraussetzung, dass über die Wände weder Fluidmasse entweichen noch eindringen kann (± ∆𝑚𝑚̇ = 0!) und eine stationäre Strömung vorliegt (𝑐𝑐𝑖𝑖 ist dann zeitlich konstant im ortsfesten Querschnitt 𝐴𝐴𝑖𝑖 ), bleibt der Massestrom 𝑚𝑚̇ in jedem Querschnitt 𝐴𝐴𝑖𝑖 konstant 𝑚𝑚̇1 = 𝑚𝑚̇2 = 𝑚𝑚̇3 = . . . = 𝑚𝑚̇ = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.,

woraus allgemein für ein nicht dichtebeständiges Fluid und den mittleren Geschwindigkeiten ci die allgemeine Form der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑚𝑚̇ = 𝑐𝑐̅1 ∙ 𝐴𝐴1 ∙ 𝜌𝜌1 = 𝑐𝑐̅2 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ 𝜌𝜌2 = . . . . = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. �

𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑠𝑠

(Gl. 1.1-8)

Bei einem dichtebeständigen Fluid (𝜌𝜌𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) wird daraus die gebräuchliche Form der Kontinuitätsgleichung, einer allgemeinen Beziehung zur Berechnung des Volumenstroms Q in beliebigen Querschnitten Ai einer Stromröhre, 𝑚𝑚3 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. � � 𝑠𝑠

(Gl. 1.1-9)

___________________________________________________________________________________________

Beachte Diese Beziehung sagt anschaulich aus, dass bei einer Verengung des Strömungsqueschnitts A (Konfusor) die Geschwindigkeit c größer wird, während bei einer Erweiterung (Diffusor) die Geschwindigkeit c kleiner wird (Abb. 1.1-8)

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.1-8: Anschauliche Aussage der Kontinuitätsgleichung ___________________________________________________________________________________________

Die hier dargestellten Grundlagen werden bei der methodischen Bearbeitung von Aufgaben der Fluidmechanik eine wichtige Rolle spielen. Ein erstes Beispiel hierzu findet sich in Kap. 2.1. Zuvor ist die Durchsicht der folgenden Kap. 1.2 und Kap.1.3 aber noch sinnvoll.

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.2 Wichtige Stoffwerte, Konstanten, Einheiten und deren Umrechnung Für die in der Praxis häufig verwendeten Fluide sind nachstehend deren Stoffwerte, wichtige Konstanten und Einheiten bei Umrechnungen und deren Berechnungen aufgeführt. Weitere, weniger gebräuchliche, Informationen finden sich direkt im Text bei den zugehörigen Beispielen, bzw. in der Fachliteratur.

1.2.1 Stoffwerte und Konstanten Die praktische Berechnung erfolgt meist mit idealisierten Werten, die in den entsprechenden Tabellen FETT markiert sind. Tabelle 1.2-1: Stoffwerte von Wasser bei 1 bar

Wasser

Temperatur [°𝑪𝑪]

0

4

20

100

999,8

1000

998,2

958,4

610,7

813,1

2 337

101 320

1787 ∙ 10−6

1562 ∙ 10−6

1002 ∙ 10−6

282 ∙ 10−6

𝑘𝑘𝑘𝑘

Dichte 𝝆𝝆 �𝑚𝑚3 �

Sättigungsdruck 𝒑𝒑𝒅𝒅 [𝑃𝑃𝑏𝑏] Dynamische Viskosität 𝛈𝛈 [𝑃𝑃𝑏𝑏 ∙ 𝑠𝑠]

1,787 ∙ 10−6

Kinematische Viskosität 𝝂𝝂 �

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

�

1,562 ∙ 10−6

1,002 ∙ 10−6 ≈ 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔

0,295 ∙ 10−6

Tabelle 1.2-2: Dichte von Flüssigkeiten bei 1bar und 20 °C

Fluid

Wasser

Äthylalkohol

Benzol

Quecksilber

𝑘𝑘𝑘𝑘

999,8

810

879

13595

Dichte 𝝆𝝆 �𝑚𝑚3 �

Tabelle 1.2-3: Dichte und kinematische Viskosität von Luft bei 1 bar

Luft

trockene Luft

100 % feuchte Luft

𝑘𝑘𝑘𝑘

1,016

0,897

𝑘𝑘𝑘𝑘

1,21 ≈ 1,2

1,181

𝑘𝑘𝑘𝑘

1,29

1,275

15,11 ∙ 10−6

15,33 ∙ 10−6

Dichte 𝝆𝝆 �𝑚𝑚3 � bei 70 °C

Dichte 𝝆𝝆 �𝑚𝑚3 � bei 20 °C Dichte 𝝆𝝆 �𝑚𝑚3 � bei 0 °C

Kinematische Viskosität 𝝂𝝂 �

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

� bei 20 °C

10

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Die Dichte von feuchter Luft ist kleiner als die von trockener Luft (bei gleichen Umgebungsbedingungen von Druck und Temperatur) Tabelle 1.2-4: Konstanten

Kreiszahl π

3,1415 ≈ 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒎𝒎 𝒎𝒎 �≈ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 𝒔𝒔 𝒔𝒔 (bei 45° geographischer Breite und auf Meereshöhe)

𝑚𝑚

Erdbeschleunigung 𝒈𝒈 �𝑠𝑠2 �

9,80665 ≈ 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟏𝟏

1.2.2 Einheiten Es werden hier vorwiegend die gesetzlich zugelassenen Einheiten des internationalen Maßsystems (SI-Einheiten) angegeben. Ergänzend sind auch die wichtigsten, noch in der Praxis verwendeten, technischen Einheiten und deren Umrechnungsbeziehungen aufgeführt. Tabelle 1.2-5: SI-Basiseinheiten

Größe Formelzeichen Länge

𝑙𝑙, ℎ, 𝑧𝑧

Masse

𝑚𝑚

Zeit

𝐹𝐹

Temperatur

Tabelle 1.2-6: Abgeleitete Einheiten

Kraft Energie Leistung

1 Kilogramm = 1 kg 1 Sekunde = 1 s 1 Stunde = 1 h = 60 min =3600 s 1 Kelvin = 1 K

𝑝𝑝

1 Ampere = 1 A

𝐼𝐼

Größe Formelzeichen

Einheitenzeichen

1 Meter = 1 m

𝑇𝑇, ϑ

Elektr. Stromstärke

Druck

Einheit

Einheit

Einheitenzeichen

1 Pascal = 1 𝑃𝑃𝑏𝑏 = 1

1 Bar = 105 𝑃𝑃𝑏𝑏 = 105

𝐹𝐹

1 Newton = 1 𝑁𝑁 = 1

𝑃𝑃

1 Watt = 1 𝑊𝑊 = 1

𝐸𝐸, 𝐴𝐴

𝑁𝑁 𝑘𝑘𝑔𝑔 = 1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑁𝑁 𝑚𝑚2

𝑘𝑘𝑔𝑔 ∙ 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2

1 Joule = 1 𝐽𝐽 = 1 𝑁𝑁𝑚𝑚 = 1

𝑘𝑘𝑔𝑔 ∙ 𝑚𝑚2 𝑠𝑠 2

𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑔𝑔 ∙ 𝑚𝑚2 =1 𝑠𝑠 𝑠𝑠 3

11

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt Tabelle 1.2-7: Thermodynamische (T) und empirische (ϑ) Temperatur

Größe

Formelzeichen

Thermodynamische Temperatur

T

Empirische Temperatur

ϑ

Berechnung = (ϑ(in °C) + 273,15)𝐾𝐾

= (T(in K) − 273,15)°𝐶𝐶

Tabelle 1.2-8: Technische Einheiten (gesetzlich eigentlich nicht mehr zugelassen!)

Größe Formelzeichen Druck

𝑝𝑝

Einheit

Einheitenzeichen

1 (techn.) Atmosphäre = 1 𝑏𝑏𝐹𝐹 ≈ 0,980665 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 (phys.) Atmosphäre = 1 𝑏𝑏𝐹𝐹𝑚𝑚 ≈ 1,01325 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 mm Wassersäule = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑊𝑊𝑊𝑊 ≈ 9,80665 𝑃𝑃𝑏𝑏

Kraft Energie

Leistung Dyn. Viskosität

Kinem. Viskosität

𝐹𝐹

𝐸𝐸, 𝐴𝐴

𝑃𝑃 𝜂𝜂 𝜈𝜈

1 mm Quecksilbersäule = 1 𝑇𝑇𝑘𝑘𝑏𝑏𝑏𝑏 ≈ 133,3224 𝑃𝑃𝑏𝑏 1 Kilopond = 1 𝑘𝑘𝑝𝑝 ≈ 9,80665 𝑁𝑁

1 Kilokalorie = 1 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑏𝑏𝑙𝑙 ≈ 4,1868 𝑘𝑘𝐽𝐽

1 Kilowattstunde = 1 𝑘𝑘𝑊𝑊ℎ ≈ 3600 𝑘𝑘𝐽𝐽

1 Pferdestärke = 1 𝑃𝑃𝑊𝑊 ≈ 0,735499 𝑘𝑘𝑊𝑊 𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 ≈ 0,1 𝑃𝑃𝑏𝑏 ∙ 𝑠𝑠

1 Poise = 1

1 Stokes

=1

𝑐𝑐𝑚𝑚2 𝑠𝑠

≈ 0,0001

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

12

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Tabelle 1.2-9: Angelsächsische Einheiten

Größe Länge

Einheit

Einheitenzeichen

1 inch = 1 𝑒𝑒𝑛𝑛 = 0,0254 𝑚𝑚

1 foot = 1 𝑓𝑓𝐹𝐹 = 0,3048 𝑚𝑚

Fläche Volumen Mass Kraft Druck Spez. Volumen Energie Leistung

Dyn. Viskosität Kinem. Viskosität

Emp. Temperatur

1 yard = 1 𝑦𝑦𝑛𝑛 = 0,9144 𝑚𝑚

1 square foot = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑓𝑓𝐹𝐹. = 0,092903 𝑚𝑚2

1 cubic foot = 1 𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑓𝑓𝐹𝐹. = 0,028317 𝑚𝑚3

1 pound (mass) = 1 𝑙𝑙𝑏𝑏𝑚𝑚 = 0,45359 𝑘𝑘𝑔𝑔

1 pound (force) = 1 𝑙𝑙𝑏𝑏𝑓𝑓 = 4,4482 𝑁𝑁

1 pound per square inch = 1 1 cubic foot per pound = 1

𝑙𝑙𝑏𝑏 = 1 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒 = 0,0689476 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑒𝑒𝑛𝑛. 𝑐𝑐𝑓𝑓𝐹𝐹. 𝑚𝑚3 = 0,052429 𝑙𝑙𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑔𝑔

1 british thermal unit = 1BTU = 0,2520 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑏𝑏𝑙𝑙 = 1,05506 𝑘𝑘𝐽𝐽 1 BTU per hour = 1

𝐵𝐵𝑇𝑇𝐵𝐵 = 0,293071 𝑊𝑊 ℎ𝑏𝑏

1 horse power = 1 ℎ𝑝𝑝 = 1,0138 𝑃𝑃𝑊𝑊 = 0,74767 𝑘𝑘𝑊𝑊 𝜂𝜂 = 1 𝜈𝜈 = 1

𝑙𝑙𝑏𝑏 = 1,4882 𝑃𝑃𝑏𝑏 ∙ 𝑠𝑠 𝑓𝑓𝐹𝐹 ∙ 𝑠𝑠 𝑓𝑓𝐹𝐹 2 𝑚𝑚2 = 0,092903 𝑠𝑠 𝑠𝑠

Grad Fahrenheit ϑ𝐴𝐴𝐴𝐴 = �

9 ∙ ϑ(°C) + 32 � °F 5

13

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt Tabelle 1.2-10: Vorsilben und Zeichen für dezimale Vielfache von Einheiten

Bezeichnung

Abkürzung

Potenz

Deka

da

Hekto

h

10

Kilo

k

Mega

M

Giga

G

Tera

T

Peta

P

Exa

E

Bezeichnung Abkürzung Dezi

d

102

Zenti

c

Milli

m

106

Mikro

µ

109

Nano

n

1012

Piko

p

1015

Femto

f

Atto

a

103

1018

Potenz 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9

10−12 10−15 10−18

1.2.3 Einheiten-Umrechnungen In den meisten Klausuren und Aufgabenstellungen der Praxis müssen aus den gegebenen einheitenbehafteten Werten Lösungen errechnet werden, deren geforderte Einheit sich nicht unmittelbar aus den gegebenen Werten ergibt. Dies ist beispielsweise immer der Fall, wenn ein solcher Auftrag für einen angelsächsischen Kunden zu erledigen ist. Ingenieuranfänger suchen dann häufig ihr Glück mittels „im Kopf rechnen“, was dann nicht selten zu falschen Ergebnissen führt. Ingenieurberechnungen müssen jedoch mit größtmöglicher Sicherheit durchgeführt werden, da unrichtige Rechenergebnisse katastrophale Folgen haben können – sowohl für die davon betroffenen Anwender als auch für den „Falschrechner“! Deswegen ist der folgende Leitsatz möglichst bei jeder Berechnung zu berücksichtigen: Sicherheit geht vor Schnelligkeit! Für das Lösen von Aufgaben in der Fluidmechanik (aber auch bei allgemeinen Berechnungen im Ingenieurbereich) führt deswegen eine methodische Vorgehensweise mit größerer Sicherheit zu richtigen Resultaten, wie es nachstehend beschrieben, und an einfachen Beispielen erläutert wird.  Verwenden Sie (als Anfänger in der Ingenieurtechnik) möglichst nur Größengleichungen: „Physikalische Größen“ bestehen immer aus dem Produkt „𝑍𝑍𝑏𝑏ℎ𝑙𝑙𝑅𝑅𝑛𝑛𝑏𝑏𝑅𝑅𝑏𝑏𝐹𝐹 ∙ 𝐸𝐸𝑒𝑒𝑛𝑛ℎ𝑅𝑅𝑒𝑒𝐹𝐹“, 𝑚𝑚 z. B. eine Geschwindigkeit (c) hat den Wert 0,1 ∙ 𝑠𝑠 . Zumeist wird das Malzeichen 𝑚𝑚

vereinfacht weggelassen und die Einheit in eckige Klammer gesetzt → 0,1 � 𝑠𝑠 �. Sie

sollten aber nie vergessen, dass mathematisch der Zahlenwert (0,1) und die Einheit 𝑚𝑚

� 𝑠𝑠 � durch eine Multiplikation verbunden sind.

Die Mitführung von Einheiten in Berechnungen ist darüber hinaus die einzige Chance, die Richtigkeit der benutzten Größengleichung zu überprüfen.

14

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Zur Erinnerung: Die von vielen Praktikern zur Zeitersparnis verwendeten Zahlenwertgleichungen liefern nur richtige Ergebnisse, wenn alle Größen in den fest vorgegebenen Einheiten in die Zahlenwertgleichung eingesetzt werden!  Die Umrechnung von Einheiten beruht auf dem einfachen Prinzip, dass sich jede mathematische Gleichung mit dem Faktor 1 multiplizieren lässt, ohne dass sich deren Ergebnis verändert. Einen solchen Umrechnungsquotienten 1 erhält man, indem eine beliebige Einheitenbeziehung z. B. folgendermaßen umgeformt wird: 1 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 0,3048 𝑚𝑚 →

1 𝑓𝑓𝑓𝑓

entweder

0,3048 𝑚𝑚

0,3048 𝑚𝑚

oder

1 𝑓𝑓𝑓𝑓

=1 =1

Die so erhaltenen linken Seiten geeigneter Umrechnungsquotienten werden solange an die Größengleichungen „angehängt“, bis die gewünschte Einheit durch systematisches Kürzen erreicht ist. Dies soll an folgendem einfachen Beispiel demonstriert werden: Welcher Volumenstrom Q in

𝒄𝒄𝒄𝒄. 𝒇𝒇𝒇𝒇. 𝒉𝒉

fließt durch ein Rohr mit dem Durchmesser

D = 2 𝒎𝒎, wenn die Strömungsgeschwindigkeit c = 0,1

𝒎𝒎 𝒔𝒔

beträgt?

In Kap. 1.1 wurde die Beziehung für den Volumenstrom 𝑄𝑄 = 𝑓𝑓 (𝑐𝑐, 𝐴𝐴) als Kontinuitätsgleichung {Gl.1.1-9} bereits vorgestellt. Danach berechnet sich 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 ∙

𝜋𝜋∙𝐷𝐷 2 4

= 0,1

𝑚𝑚 𝜋𝜋∙22 𝑠𝑠

∙

4

𝑚𝑚2 = 0,314

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

In diesem Ergebnis muss m3 durch die angelsächsische Einheit 𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑓𝑓𝑓𝑓. und 𝑠𝑠 durch die Einheit ℎ ersetzt werden. Nach dem Vorgenannten sind die dazu erforderlichen Umrechnungsquotienten aus Kap. 1.2.2 sinnvoll so anzuschreiben 1 𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑓𝑓𝑓𝑓.

0,028317 𝑚𝑚3

=1

und

3600 𝑠𝑠 1ℎ

=1

Diese Beziehungen in das bisherige Ergebnis für Q eingesetzt liefert 𝑄𝑄 = 0,314

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

1 𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑓𝑓𝑓𝑓.

∙ 0,028317 𝑚𝑚3 ∙ = 1!

3600 𝑠𝑠 1ℎ

= 1!

Nach Kürzung der Einheiten und einer Zahlenrechnung ergibt sich 𝑄𝑄 = 39.920

𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑓𝑓𝑓𝑓. ℎ

Es ist zu empfehlen, in Zukunft bei allen Berechnungen mit Größengleichungen im Ingenieurbereich (und nicht nur bei Klausuren der Fluidtechnik) diese Vorgehensweise prinzipiell

15

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

anzuwenden! Der scheinbar höhere Aufwand wird durch die sichere Ergebnisfindung mehr als kompensiert. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Von Praktikern werden für schnelle Überschlagsrechnungen oft sogenannte Zahlenwertgleichungen benutzt. Um dabei zu einem richtigen Ergebnis zu gelangen, müssen alle Werte in der dazu vorgegebenen Einheit eingesetzt werden! So lässt sich z.B. die theoretisch mögliche hydraulische Leistung 𝑃𝑃ℎ𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 (in 𝑘𝑘𝑘𝑘) einer Wasserturbine mit der folgenden „Formel“ aus dem Volumenstrom 𝑄𝑄 (in 𝑚𝑚) berechnen:

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

) und der Fallhöhe 𝐻𝐻 (in

𝑃𝑃ℎ𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 ≈ 10 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝐻𝐻 [𝑘𝑘𝑘𝑘]

Die exakte Berechnung mittels einer Größengleichung lautet 𝑃𝑃ℎ𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝐻𝐻

Wobei Sie zunächst beliebige Einheiten verwenden können, die anschließend auf die geforderte Einheit umgerechnet werden. ___________________________________________________________________________________________

16

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.3 Grundlagen für ruhende Fluide (Fluidstatik) Berechnungen für unbewegte Fluide werden in zwei Bereiche unterteilt, die für Flüssigkeiten in der Hydrostatik und für Gase in der Aerostatik beschrieben werden. Damit Fluide sich nicht bewegen können, dürfen auf diese nur Drucknormalkräfte und keine Schubkräfte wirken. Als maßgebende Größe dient der statische Druck.

1.3.1 Statischer Druck In einem ruhenden Fluid hängt der Druck auf ein Fluidteilchen nicht von der Raumrichtung ab, ist also an einer beliebigen Stelle des Fluidteilchens in alle Richtungen gleich groß und ist demzufolge eine skalare Größe, d. h. 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑧𝑧 (Abb. 1.3-1). Definiert wird der Druck 𝑝𝑝 als eine Druck-Spannung ����⃗ dF F ∆F = = ∆A→0 ∆A dA A

𝑝𝑝 = lim

(Gl. 1.3-1)

𝑁𝑁

z. B. in der Einheit [ 𝑚𝑚2 = 𝑃𝑃𝑏𝑏 = 10−5 bar]

Abb. 1.3-1: Statischer Druck p als skalare Größe.

Der Druck p wirkt aufgrund der vektoriellen Druckkraft 𝐹𝐹⃗ immer senkrecht auf die betrachtete Fläche A! 𝑝𝑝0 ist der Umgebungsdruck, i. d. R. der Atmosphärendruck.

Alle Druckmessgeräte messen nur Über- oder Unterdruck gegenüber dem örtlichen Umgebungsdruck 𝑝𝑝0 , wie in Abb. 1.3-2 dargestellt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

17

Abb. 1.3-2: Verschiedene Druckbereiche.

Die Anwendung erfolgt zunächst für Flüssigkeiten (Hydrostatik) und danach für Gase bzw. Luft (Aerostatik)

1.3.2 Hydrostatik Die Hauptaufgabe besteht darin, den Druck 𝑝𝑝 an verschiedenen Stellen einer ruhenden Flüssigkeit (z.B. in einem wassergefüllten großen Behälter, Abb. 1.3-3) zu berechnen, um daraus die auf wichtige Flächen wirkenden Druckkräfte zu ermitteln. Aus diesen Kräften lassen sich dann mit Kenntnissen der technischen Mechanik an besonders gefährdeten Bauteilen (z.B. Flansche) Festigkeits- und Verformungsberechnungen durchführen.

18

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.3-3: Druckberechnung als Basis für Bauteil-Sicherheit.

1.3.2.1 Grundgleichungen der Hydrostatik In Flüssigkeiten nehmen mit zunehmender Eintauchtiefe h der Druck p und damit die Druckkräfte 𝐹𝐹 zu. Die Dichte 𝜌𝜌 bleibt konstant. In Abb. 1.3-4a ist die Gewichtskraft 𝑑𝑑𝑑𝑑 von einer infinitesimal kleinen Fluidsäule der Höhe h (gemessen an der Flüssigkeitsoberfläche von einem beliebig gewählten Bezugsniveau B-B aus) und der Fläche 𝑑𝑑𝑑𝑑, mit den darauf wirkenden Druckkräften 𝑑𝑑𝑑𝑑, dargestellt.

Abb. 1.3-4a: Wirkende Kräfte auf eine infinitesimal kleine Fluidsäule.

Aus der in Abb. 1.3-4b gezeigten Herleitung ist die hydrostatische Grundgleichung ersichtlich. Diese lässt sich auch anschaulich als „Tauchergleichung“ interpretieren, da der so berechenbare Druck 𝑝𝑝 mit zunehmender Tauchtiefe auf einen Taucher einwirkt.

19

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Kräftegleichgewicht (vertikal): 𝑑𝑑𝑑𝑑0 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐵𝐵

𝑝𝑝0 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ℎ ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

|:𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑝𝑝(𝑧𝑧) = 𝑝𝑝0 + 𝝆𝝆 ∙ 𝒈𝒈 ∙ 𝒉𝒉

Grundgleichung der Hydrostatik („Tauchergleichung“)

(Gl. 1.3-2)

Abb. 1.3-4b: Ableitung der Grundgleichung der Hydrostatik („Tauchergleichung“)

Beim Tauchen gib dir einen Ruck, denk immer an den Flächendruck. Der ist, weiß schon die Meeresäsche, ´ne Kraft, die wirkt auf jede Fläche. Sei auch die Fläche noch so klein, der Druck im Taucher-Ohr macht Pein! Je tiefer es nach unten geht, mach´ Druckausgleich, sonst ist´s zu spät!

Kennst du bereits die Tauchergleichung, kann dies dein Leben sehr bereichern. Vermeide, dass dein Ohr tut weh, gleich´ aus das 𝝆𝝆 ∙ 𝒉𝒉 ∙ 𝒈𝒈 .

Den Überdruck schluck einfach runter, dann bleibst beim Tauchen du stets munter! Das 𝝆𝝆 und 𝒈𝒈 macht keinen Sprung, nur 𝒉𝒉 verletzt dir Ohr und Lung´.

PS: Doch willst du mal ´nen Flieger lenken, musst umgekehrt du alles denken!

In den meisten Lehrbüchern der Strömungstechnik werden aufbauend auf dieser Grundgleichung weitere Besonderheiten der Hydrostatik berechnet, wie zum Beispiel „Kommunizierende Röhren“, „Hydrostatisches (Pascalsches) Paradoxon“, „Hydraulische Presse“, „Druckmessung“ und „Hydraulischer Heber“. Bei Interesse lassen sich dort die ergänzenden Informationen beschaffen. In Kap. 2.3 wird exemplarisch der Fall eines kommunizierenden U-Rohres, gefüllt mit zwei verschiedenen Fluiden, methodisch bearbeitet. Weitere Beispielrechnungen finden sich in Kap. 3. Ein wichtiges Teilgebiet der Hydrostatik, bei dem die „Tauchergleichung“ Anwendung findet, betrifft die Berechnung von Wanddrücken, z.B. für verschraubte Flansche an flüssigkeitsgefüllten Behältern.

1.3.2.2 Druckkraft auf Wände Es werden im Folgenden nur die Berechnung von Wanddruckkräften für ebene, senkrechte und schräg geneigte Wände dargestellt. Berechnungen für gekrümmte Wände (z.B.

20

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Kugelbehälter für Flüssigkeiten) finden sich in weiterführenden Lehrbüchern der Fluidmechanik.

Druckkraft auf senkrechte Seitenwände In Abb. 1.3-5 ist die allgemeine Fragestellung beschrieben: Wie berechnen sich die resultierende Flüssigkeitsdruckkraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 und deren Angriffspunkt 𝑦𝑦𝐷𝐷 bei einem Behälter mit senkrechten Seitenwänden, der bis zur Höhe ℎ mit Fluid der Dichte 𝜌𝜌 gefüllt ist?

Abb. 1.3-5: Druckkraft auf senkrechte Seitenwand eines rechteckigen Behälters.

Aus Lehrbüchern entnimmt man als Ergebnis für die resultierende Flüssigkeitsdruckkraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 𝐹𝐹𝐷𝐷 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑏𝑏 ∙

ℎ2 ℎ = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 2 2

(Gl. 1.3-3)

Mit der Druckfläche 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 ∙ ℎ

(Gl. 1.3-4)

Da der Druck linear mit der Tiefe zunimmt, kann die Druckkraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 nicht im Schwerpunkt S der gedrückten Fläche angreifen, sondern etwas tiefer, im Druckmittelpunkt D. 𝑦𝑦𝐷𝐷 =

2 ℎ 3

(Gl. 1.3-5)

Der Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 hat keinen Einfluss auf die Größe von 𝐹𝐹𝐷𝐷 , da er sowohl auf der Innenseite als auch auf der Außenseite der Behälterwand ausgleichend wirkt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

21

Druckkraft auf schräg geneigte Wand Bei der Herleitung für diesen allgemeineren Fall einer flüssigkeitsbeaufschlagten Behälterwand wird ebenfalls die „Tauchergleichung“ herangezogen, diesmal aber beschränkt auf eine vorgegebene Fläche A (siehe Abb. 1.3-6)

Legende: 𝐹𝐹𝐷𝐷 = resultierende Fluid-Druckkraft 𝑆𝑆 = Schwerpunkt der gedrückten Fläche A 𝐷𝐷 = Angriffspunkt der resultierenden Fluid-Druckkraft (Druckmittelpunkt) 𝑥𝑥𝑠𝑠 = Abstand des Flächenschwerpunkts zur frei gewählten y-Achse 𝑥𝑥𝐷𝐷 = Abstand des Druckmittelpunkts D zur frei gewählten y-Achse 𝑦𝑦𝑠𝑠 = Abstand des Flächenschwerpunkts zur Fluidoberfläche (x-Achse) 𝑦𝑦𝐷𝐷 = Abstand des Druckmittelpunktes D zur Fluidoberfläche (x-Achse)

Abb. 1.3-6: Druckkraft auf geneigte Wand mit Neigungswinkel α.

Als Ergebnis einer umfangreichen Herleitung mittels „Tauchergleichung“ und zusätzlicher Informationen aus Teilgebieten der technischen Mechanik ergibt sich die Größe der resultierenden Fluid-Druckkraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 zu 𝐹𝐹𝐷𝐷 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ cos 𝛼𝛼 ∙ 𝑦𝑦𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴

(Gl. 1.3-6)

cos 𝛼𝛼 ∙ 𝑦𝑦𝑠𝑠 = ℎ𝑠𝑠

(Gl. 1.3-7)

Mit

folgt daraus auch vereinfacht 𝐹𝐹𝐷𝐷 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴

(Gl. 1.3-8)

𝑝𝑝𝑠𝑠 − 𝑝𝑝0 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ𝑠𝑠

(Gl. 1.3-9)

Aus der „Tauchergleichung“ (Gl. 1.3-2) lässt sich der Ausdruck 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ𝑠𝑠 auch durch die Druckdifferenz beschreiben. 𝑝𝑝𝑠𝑠 ist dabei der Überdruck im Flächenschwerpunkt S der gedrückten Fläche A. Somit ergibt sich auch

22

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝐹𝐹𝐷𝐷 = (𝑝𝑝𝑠𝑠 − 𝑝𝑝0 ) ∙ 𝐴𝐴

(Gl. 1.3-10)

Des Weiteren ermittelt sich der Abstand des Druckmittelpunktes D zur Fluidoberfläche zu 𝑦𝑦𝐷𝐷 =

𝐼𝐼𝑠𝑠 + 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑦𝑦𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴

(Gl. 1.3-11)

𝐼𝐼𝑠𝑠 ist dabei das Eigenträgheitsmoment der gedrückten Fläche um seinen Schwerpunkt und lässt sich für die gängigen Flächen (Rechteck, Kreis, usw.) aus Tabellen entnehmen.

Aus Gl. 1.3-11 folgt, dass 𝑦𝑦𝐷𝐷 > 𝑦𝑦𝑠𝑠 ist, d.h. die Kraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 greift immer unterhalb des Schwerpunkts S an. Weiterhin ergibt sich der Abstand e zwischen dem Schwerpunkt S und dem Druckmittelpunkt D zu 𝑒𝑒 = 𝑦𝑦𝐷𝐷 − 𝑦𝑦𝑠𝑠 =

𝐼𝐼𝑠𝑠 𝑦𝑦𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴

(Gl. 1.3-12)

Für nicht symmetrische Flächen A lässt sich der Abstand 𝑥𝑥𝐷𝐷 berechnen, in dem die Druckkraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 wirkt: 𝑥𝑥𝐷𝐷 =

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴

(Gl. 1.3-13)

Dabei ist das sogenannte Zentrifugalmoment (Deviationsmoment der Fläche A = biaxiales gemischtes Flächenmoment 2. Ordnung) ebenfalls aus Tabellen entnehmbar. Für symmetrische Flächen A gilt stets 𝑥𝑥𝐷𝐷 = 𝑥𝑥𝑠𝑠 ! Wird α = 0° gesetzt (senkrechte Wand) führt das natürlich wieder zur vereinfachten Gl. 1.3-3. In Kap. 2.3 bzw. Kap. 3 erfolgt die methodische Bearbeitung solcher Wanddruck-Aufgaben. Eine weitere wichtige Anwendung der Hydrostatik bezieht sich auf Kräfte, die auf eingetauchte Körper (z.B. Eisberge) wirken und die als (statischer) Auftrieb bezeichnet werden (vgl. Kap. 1.3.2.3). Dieser ist nicht zu verwechseln mit dem sogenannten dynamischen Auftrieb, der aus der Strömung um Tragflügelprofile resultiert und besser als Querkraft ausgedrückt wird (Kap. 1.6 und Kap. 1.7).

1.3.2.3 Statischer Auftrieb (Gesetz von Archimedes) Eine spezielle Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung liegt vor, wenn ein Körper teilweise (z.B. Schiff) oder ganz (z.B. U-Boot) in ein Fluid getaucht ist. Die dabei entstehende Kraft wird Auftrieb genannt, die Berechnung ist als Gesetz von Archimedes bekannt. In Abb. 1.3-7 ist der allgemeine Fall eines vollständig eingetauchten Körpers mit dem Volumen 𝑉𝑉𝐾𝐾 in einem Fluid mit Dichte ρ dargestellt. Wie ermittelt man die resultierende Druckkraft 𝐹𝐹𝐴𝐴 (=Auftriebskraft)?

23

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.3-7: Prinzip des statischen Auftriebes.

Damit der eingetauchte Körper an dieser Stelle bleiben kann, wirken folgende Kräfte: -

-

Die projizierten Flächen 𝐴𝐴𝑥𝑥 des eingetauchten Körpers sind in positiver und negativer x-Richtung gleich, sodass sich die beiden Druckkräfte 𝐹𝐹𝑥𝑥 gegenseitig aufheben. Das Gleiche gilt für die z-Richtung. Um die resultierende Fluid-Druckkraft auf den eingetauchten Körper zu bestimmten, wird die Körperoberfläche in zwei Teile aufgeteilt: a. Benetzung des Körpers auf der Oberseite, wobei eine Fluidkraft 𝐹𝐹𝑦𝑦1 in positive y-Richtung wirkt, die sich aus dem Fluidgewicht zu 𝐹𝐹𝑦𝑦1 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉𝐹𝐹 ergibt. b. Benetzung des Körpers auf der Unterseite, die gemäß dem erweiterten Pascalschen Paradoxon (Abb. 1.3-8) zu einer fiktiven Druckkraft 𝐹𝐹𝑦𝑦2 , durch das gedachte Fluidvolumen über der von unten benetzten Fläche, führt. 𝐹𝐹𝑦𝑦2 = − 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (𝑉𝑉𝐾𝐾 + 𝑉𝑉𝐹𝐹 ) wirkt gegen die positive y-Richtung.

Abb. 1.3-8: Pascalsches Paradoxon.

Damit ergibt sich die resultierende Druckkraft 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝑦𝑦1 + 𝐹𝐹𝑦𝑦2 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉𝐹𝐹 − 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (𝑉𝑉𝐾𝐾 + 𝑉𝑉𝐹𝐹 )

𝐹𝐹𝑦𝑦 = −𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉𝐾𝐾

Diese Druckkraft wird als Auftriebskraft FA bezeichnet, deren Größe sich zu

�𝐹𝐹𝑦𝑦 � = 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉𝐾𝐾

ergibt und entgegen der positiven y-Richtung nach oben wirkt.

(Gl. 1.3-14)

24

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Das Gesetz von Archimedes besagt also, dass -

der statische Auftrieb eines benetzten Körpers gleich der Gewichtskraft des von ihm verdrängten Fluidvolumens VK ist (Abb. 1.3-14) und der Angriffspunkt der Auftriebskraft 𝐹𝐹𝐴𝐴 im Volumenschwerpunkt S des verdrängten Fluidvolumens liegt (Abb. 1.3-9). Bei inhomogenen Körpern weichen deren Volumenund Körperschwerpunkt (= Gewichtsschwerpunkt) voneinander ab.

Abb. 1.3-9: Volumenschwerpunkt bei Schwimmen und Schweben

Vertiefungen zur Schwimm-und Schwebestabilität finden sich in der Fachliteratur, methodische Lösungserarbeitung zu Aufgaben zum statischen Auftrieb in Kap. 2.3 und Kap. 3. Im folgenden Kap. 1.3.2.4 werden zwei bedeutsame Sonderfälle von Fluidoberflächen behandelt, bei denen Behälter entweder beschleunigt/verzögert oder in Rotation versetzt werden.

1.3.2.4 Freie Oberflächen Wenn Behälter mit Fluiden gefüllt sind (z.B. Tanklastwagen, Zentrifugen) und beschleunigt/ verzögert oder rotiert werden, so ändert sich die Druckverteilung mit der Tiefe nicht mehr gemäß der Hydrostatischen Grundgleichung. Wichtigste Bedingung für diese Fälle ist, dass bei Gleichgewicht die resultierende Kraft auf die Fluidoberfläche immer senkrecht zum Fluidspiegel wirkt (Abb. 1.3-10).

Abb. 1.3-10: Gleichgewichtsbedingung freier Oberflächen

Falls nur die Schwerkraft (d.h. Erdbeschleunigung g) auf das Fluid wirkt, steht der Fluidspiegel „in der Waage“ (Abb. 1.3-11a). Für diesen Fall gilt für die Berechnung des Druckes 𝑝𝑝 (bzw. der

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

25

Druckkräfte 𝐹𝐹 auf beliebige Kontaktflächen A des Behälters) die Hydrostatische Grundgleichung. Bei großen Behältern (z.B. Meeresbecken) steht infolge der Kugelform der Erde die Oberfläche nicht mehr horizontal waagrecht, sondern ist gekrümmt (Horizontwirkung, Abb. 1.3-11b)

Abb. 1.3-11: Ausbildung freier Fluidoberflächen (a) kleine Fläche, b) große Fläche) unter Schwerkrafteinfluss (g).

Fluidoberflächen bei gleichmäßiger Beschleunigung/Verzögerung Wirkt neben der Schwerkraft (𝑔𝑔) auch noch eine gleichförmige Beschleunigung (𝑏𝑏) oder Verzögerung (−𝑏𝑏) auf das Fluid ein, so verändert sich der Fluidspiegel in der Form, wie es in Abb. 1.3-12 für eine Beschleunigung eines Tanklastzugs auf einer abschüssigen Straße dargestellt ist. dargestellt ist.

Abb. 1.3-12: Beschleunigungskräfte eines Tankwagens auf abschüssiger Straße (Neigungswinkel β).

In Ruhestellung wird die freie Oberfläche waagrecht stehen. Beschleunigt (b) wird die Oberfläche unter dem Winkel α gegenüber dem Ruhezustand geneigt sein. Betrachtet man die Krafteinwirkungen, die auf ein beliebiges Fluidteilchen mit der Masse m einwirken und berücksichtigt dabei, dass gemäß dem Newtonschen Grundgesetz eine Kraft 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑏𝑏 ist, sowie die Tatsache, dass 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ist, so gilt 𝐹𝐹~𝑏𝑏! D. h. die Kräfte auf ein Fluidteilchen können auch durch die Beschleunigungen (g, b) dargestellt werden, die auf dieses wirken. Das

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Teilchen „spürt“ also die Erdbeschleunigung (g) und eine „Trägheitskraft“ (= d’Alembert-Kraft = −𝑏𝑏), die entgegen der Beschleunigung einzutragen ist. Mit der Bedingung, dass die resultierende Kraft (𝑔𝑔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ) immer senkrecht zur Fluidoberfläche steht, lassen sich die geometrischen Beziehungen aus Abb. 1.3-13 ablesen.

Abb. 1.3-13: Beschleunigungsvektoren bei gleichmäßiger Beschleunigung (vgl. Abb. 1.3-12).

Wenn der Beschleunigungsvektor (bzw. die auf das Teilchen einwirkende Beschleunigung -b) die skalaren Komponenten 𝑏𝑏𝑥𝑥 und 𝑏𝑏𝑦𝑦 besitzt, so ergibt sich für den Neigungswinkel 𝛼𝛼 aus der trigonometrischen Beziehung tan 𝛼𝛼 =

𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑔𝑔 − 𝑏𝑏𝑦𝑦

(Gl. 1.3-15)

Damit gilt es, Folgendes zu beachten: -

Der sich einstellende Neigungswinkel 𝛼𝛼 ist unabhängig von der Dichte 𝜌𝜌 des Fluids! Wasser verhält sich so wie Honig oder Heizöl. Die bisherige Hydrostatische Grundgleichung ist anwendbar, wenn man, statt mit 𝑔𝑔, mit einer um den Winkel 𝛼𝛼 gedrehten fiktiven Fallbeschleunigung

𝑔𝑔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = �𝑏𝑏𝑥𝑥2 + �𝑔𝑔 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 �

2

(Gl. 1.3-16)

rechnet. Damit ergibt sich der Druck 𝑝𝑝(𝑦𝑦 ∗ ) an einer beliebigen Stelle der um den Winkel α gedrehten Tiefenkoordinate 𝑦𝑦 ∗ zu

-

-

𝑝𝑝(𝑦𝑦 ∗ ) = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∙ 𝑦𝑦 ∗

(Gl. 1.3-17)

Bei einer solchen beschleunigten Talfahrt befindet sich die Stelle des höchsten Drucks in der rechten unteren Ecke des Tankbehälters und ist umso größer, je größer die Dichte des Fluids ist. Bei verzögerter Fahrbewegung (Bremsen) neigt sich die Oberfläche entsprechend in die andere Richtung. Das Fluid steigt auf der Vorderseite des Behälters nach oben, erzeugt dabei ein größeres Kippmoment um die Vorderräder und kann zu einem Überschlag des LKW führen, wenn der Behälter verhältnismäßig kurz zur Behälterhöhe ist!

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Was passiert nun, wenn ein Fluidbehälter gleichmäßig rotiert?

Fluidoberflächen bei gleichförmiger Rotation (ω) Bei einem zylindrischen Fluidbehälter, der gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert (z. B. in Zentrifugen bei der Milchverarbeitung), stellt sich eine gekrümmte Oberfläche ein. Auch hier interessiert der Druck p an einer beliebigen Stelle im Fluid. Die Situation ist in Abb. 1.3-14 dargestellt.

Abb. 1.3-14: Freie Oberfläche und Kräfte auf ein Masseteilchen 𝑑𝑑𝑑𝑑 bei einem gleichförmig mit ω rotierenden Fluidbehälter.

Für einen rotierenden „Beobachter“ mit der Dichte 𝜌𝜌 und der Fluidmasse 𝑑𝑑𝑑𝑑 ist das Fluid in Ruhe, d. h. das Fluid bewegt sich in Bezug auf das Gefäß nicht. Das Fluidelement wird im horizontalen Gleichgewicht gehalten durch Mit

die Zentrifugalkraft 𝑑𝑑𝑑𝑑 und die Druckkraft 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜔𝜔2 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜔𝜔2

und

𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝑝𝑝 + 𝑑𝑑𝑑𝑑) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑝𝑝 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

wird bei Gleichgewicht 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜔𝜔2

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

und umgestellt 𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝜔𝜔2 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜌𝜌

𝑑𝑑𝑑𝑑

Durch Einsetzen der örtlichen Umfangsgeschwindigkeit 𝑢𝑢 = 𝑟𝑟 ∙ 𝜔𝜔 wird daraus die Druckänderung entlang des Radius r 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢2 = 𝜔𝜔2 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟

(Gl. 1.3-18)

In einem gleichförmig rotierendem Fluid nimmt der Druck also radial nach außen zu! Die Druckverteilung im Behälter ergibt sich durch Integration der vorstehenden Gleichungen über r zu 𝑝𝑝(𝑦𝑦, 𝑟𝑟) = 𝜌𝜌 ∙ 𝜔𝜔2 � 𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ 𝜔𝜔2 ∙

𝑟𝑟 2 + 𝐶𝐶(𝑦𝑦) 2

(Gl. 1.3-19)

Die Integrationskonstante 𝐶𝐶(𝑦𝑦) kann noch eine Funktion von 𝑦𝑦 sein. Sie wird aus der Bedingung bestimmt, dass auf der Drehachse (𝑟𝑟 = 0) die Hydrostatische Grundgleichung gelten muss, da dort keine Zentrifugalkraft, sondern nur die Schwerkraft wirkt. Damit gilt 𝑝𝑝(𝑦𝑦, 𝑟𝑟 = 0) = 𝐶𝐶(𝑦𝑦) = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑦𝑦

(Gl. 1.3-20)

Damit folgt für die Druckverteilung 𝑝𝑝(𝑦𝑦, 𝑟𝑟) = 𝜌𝜌 ∙ 𝜔𝜔2 ∙

𝑟𝑟 2 + 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑦𝑦 2

(Gl. 1.3-21)

An der Oberfläche gilt 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝0 , woraus sich die Beziehung für die Form der Oberfläche 𝑦𝑦0 (𝑟𝑟) bestimmen lässt. 𝑝𝑝0 =

1 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝜔𝜔2 ∙ 𝑟𝑟 2 + 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑦𝑦0 2

Daraus folgt 𝑦𝑦0 (𝑟𝑟) = −

Mit

𝜔𝜔 2 2𝑔𝑔

∙ 𝑟𝑟 2

(Gl. 1.3-22)

𝜔𝜔 2

− 2𝑔𝑔 = 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾!

Diese Beziehung stellt die Form der Fluidoberfläche und die Gleichung eines quadratischen Rotationsparaboloids (𝑦𝑦0 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑟𝑟 2 ) dar. Die Form der Oberfläche ist also unabhängig von der Dichte des Fluids!

Da das Paraboloid gerade das halbe Volumen eines Kreiszylinders mit gleichem Radius r und der Höhe

ℎ𝑝𝑝 2

besitzt, würde sich bei ω = 0 (Ruhesituation) die Fluidoberfläche in der Mitte

zwischen höchster und tiefster Stelle der paraboloiden Oberfläche einstellen (Abb. 1.3-15).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

29

Abb. 1.3-15: Fluidvolumen in einem Paraboloid.

Diese Aussage gilt, solange der Gefäßboden benetzt bleibt und wird bei vielen Aufgaben zu dieser Thematik (z. B. bei Zentrifugen, Kap. 3) für deren Lösung benötigt. Bei den bisherigen Betrachtungen wurde vorausgesetzt, dass die Dichte 𝜌𝜌 an jeder Stelle des Fluids die gleiche Größe aufweist (𝜌𝜌 = konst.). Dies gilt nicht mehr, wenn das Fluid ein Gas (z. B. Luft) ist und die betrachteten Stellen dieses Gases weit entfernt voneinander sind (z. B. Erdoberfläche und 10.000 𝑚𝑚 Höhe), was in der Aerostatik von Bedeutung ist (Kap. 1.3.3).

1.3.3 Aerostatik Bei ruhenden Gasen in Behältern sind deren Abmessungen so gering, dass die Veränderung von Druck p, Dichte ρ oder Temperatur ϑ in der Regel vernachlässigt werden können. Bei dickeren Gasdichten (z. B. Atmosphäre) gilt allerdings eine derartige Vereinfachung nicht mehr, d.h. 𝑝𝑝, 𝜌𝜌, 𝜗𝜗 = 𝑓𝑓(𝐻𝐻öℎ𝑒𝑒)

Dies ist beispielsweise wichtig für Berechnungen oder Versuche im Flugzeugbau, bei Satelliten oder Wetterballons. Bei den folgenden Betrachtungen werden die Erdrotation und die Veränderung der Erdbeschleunigung g mit zunehmendem Abstand von der Erdoberfläche vernachlässigt. Da bei kompressiblen Fluiden (z. B. Luft) die Dichte veränderlich ist, kann die Grundgleichung der Hydrostatik (Tauchergleichung, vgl. Kap. 1.3.2.1) nicht mehr verwendet werden. In Abb. 1.3-16 ist die Situation für ein beliebiges Fluidteilchen in der Höhe z mit der Grundfläche 𝑑𝑑𝑑𝑑 und der Höhe 𝑑𝑑𝑑𝑑 dargestellt. Wenn das Teilchen in Ruhe ist, besteht Gleichgewicht zwischen dessen Gewichtskraft und den auf 𝑑𝑑𝑑𝑑 wirkenden Druckkräften.

30

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.3-16: Ruhendes Fluidteilchen in der Atmosphäre.

Bei Kräftegleichgewicht in z-Richtung gilt ∑ 𝐹𝐹𝑧𝑧 = 0 = 𝑝𝑝 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 − (𝑝𝑝 + 𝑑𝑑𝑑𝑑) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜌𝜌(𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑔𝑔

Nach Multiplikation folgt daraus 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜌𝜌(𝑧𝑧) ∙ 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑

Aerostatische Grundgleichung („Fliegergleichung“)

1

| ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 (Gl. 1.3-23)

In der Atmosphäre nimmt der Druck mit der Höhe ab! Integriert man Gl. 1.3-23 formal, so erhält man aus 1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜌𝜌(𝑧𝑧)∙𝑔𝑔 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

die Formel für die Höhe z 𝑧𝑧

1

𝑝𝑝(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑧𝑧 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − ∫𝑝𝑝 𝑔𝑔

0

(Gl. 1.3-24)

𝜌𝜌(𝑝𝑝)

wobei die Höhenabhängigkeit der Dichte 𝜌𝜌 durch eine Druckabhängigkeit ersetzt wurde. Falls 𝜌𝜌(𝑝𝑝) bekannt ist, lässt sich die Integration von Gl. 1.3-24 durchführen und man erhält 𝑧𝑧(𝑝𝑝). Durch Umkehrung wird daraus die Druckveränderung p(z) über die Höhe z. Der Zusammenhang 𝜌𝜌(𝑝𝑝) ist durch die thermische Zustandsgleichung der Luft als ideales Gas gegeben 𝑝𝑝

𝜌𝜌

= 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇

(Gl. 1.3-25)

mit

𝑅𝑅 = spezielle Gaskonstante (z.B. 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿: 𝑅𝑅 = 287 𝑇𝑇 = absolute Temperatur

𝑚𝑚2

𝑠𝑠2 𝐾𝐾

)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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In Gl. 1.3-25 tritt die Temperatur T als zusätzliche Zustandsgröße auf. Um 𝑝𝑝(𝑧𝑧) und 𝜌𝜌(𝑧𝑧) bestimmen zu können, muss noch 𝑇𝑇(𝑧𝑧) bekannt sein. Übliche Annahmen hierzu sind (Abb. 1.3-17): (1) 𝑇𝑇(𝑧𝑧) = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. → Isotherme Atmosphäre

(2) 𝑇𝑇(𝑧𝑧) linear mit z abnehmend (z.B. 1 K pro 100 m) → Isentrope Atmosphäre Das bedeutet für die Zustandsänderung

adiabat (ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung) reversibel (ohne Reibungsverluste) (3) 𝑇𝑇(𝑧𝑧) gemäß Normung → Polytrope Atmosphäre (Standard-Atmosphäre)

Abb. 1.3-17: Temperaturverlauf in der Atmosphäre über der Höhe z bei verschiedenen Annahmen (sowie 𝑝𝑝(𝑧𝑧) und 𝜌𝜌(𝑧𝑧) qualitativ bei isothermer Atmosphäre).

Der tatsächliche Temperaturverlauf weicht davon natürlich ab. Details zu Fall (2) und (3) finden sich in der Fachliteratur. Für den Fall (1) der Isothermen Atmosphäre gilt: 𝑇𝑇(𝑧𝑧) = 𝑇𝑇0 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.

𝑇𝑇0 wird als Standardbedingung mit 288,15 K am Boden definiert, also ca. 15° C. Aus der thermischen Zustandsgleichung in Gl. 1.3-25 folgt daraus 1 1 = 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇0 ∙ 𝜌𝜌(𝑝𝑝) 𝜌𝜌

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Eingesetzt in Gl. 1.3-24 ergibt sich 𝑝𝑝(𝑧𝑧)

𝑝𝑝(𝑧𝑧)

𝑝𝑝0

𝑝𝑝0

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇0 𝑝𝑝(𝑧𝑧) 𝑧𝑧 = − � =− � =− ∙ ln 𝑔𝑔 𝜌𝜌(𝑝𝑝) 𝑔𝑔 𝑝𝑝 𝑔𝑔 𝑝𝑝0

Nach einer Umstellung wird daraus ln

𝑝𝑝(𝑧𝑧) 𝑧𝑧 =− 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇0 𝑝𝑝0 𝑔𝑔

Logarithmiert mit der Basis e des natürlichen Logarithmus führt das zu 𝑒𝑒

𝑝𝑝(𝑧𝑧) 𝑝𝑝0

ln

und mit

= 𝑒𝑒

𝑧𝑧

− 𝑅𝑅∙𝑇𝑇 0 𝑔𝑔

𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇0 𝑝𝑝0 = 𝐻𝐻0 (= ) 𝑔𝑔 𝜌𝜌0 ∙ 𝑔𝑔

ergibt sich die Barometrische Höhenformel (bei Isothermer Atmosphäre) 𝒛𝒛 𝒑𝒑(𝒛𝒛) 𝝆𝝆(𝒛𝒛) − = = 𝒆𝒆 𝑯𝑯𝟎𝟎 𝒑𝒑𝟎𝟎 𝝆𝝆𝟎𝟎

(Gl. 1.3-26)

𝐻𝐻0 kann als Höhe einer gleichförmigen Atmosphäre mit konstanter Dichte 𝜌𝜌0 gedeutet werden. 𝐻𝐻0 =

𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇0 𝑝𝑝0 = 𝑔𝑔 𝜌𝜌0 ∙ 𝑔𝑔

(Gl. 1.3-27)

Diese Beziehung folgt aus der hydrostatischen Grundgleichung für 𝑝𝑝 = 0, d. h. in der Höhe 𝐻𝐻0 läge ein Vakuum vor! Durch den Zusammenhang zwischen p und z kann z. B. in Flugzeugen mit Hilfe einer Druckmessung die Flughöhe z in der Atmosphäre bestimmt werden (Kap. 3).

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.4 Der Energieerhaltungssatz für Fluidströmungen (Bernoulli-Gleichung) In den folgenden Unterkapiteln wird der bekannte Energieerhaltungssatz auf Fluidströmungen angewendet. Dabei werden zunächst einfache ideale Strömungen betrachtet und anschließend die Betrachtungen auf komplexere reale Strömungen ausgedehnt.

1.4.1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen Aus dem Physik-Schulwissen ist Ihnen sicherlich noch bekannt, dass Energie (Arbeit) in verschiedenen Formen vorkommt. Relevant für Fluidströmungen sind:  Mechanische Energie (𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ. ) in Form von • potentieller Energie 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. , also - Lage-Energie (z. B. Eimer Wasser in die Höhe z transportiert) - Druck-Energie (z. B. Behälter mit Wasser unter Kompressor-Druck p setzen) • kinetischer Energie 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. , mit den Eigenschaften - konstante Strömungsgeschwindigkeit c (z. B. Fließen eines Baches) - beschleunigte/ verzögerte Strömungen b (z. B. Werfen einer Wasserbombe)  Innere Energie u („Wärme“, d. h. thermische Energie 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. , z. B. Wasser kochen)

Weitere Energieformen, die sich aber im Allgemeinen nicht verändern bei klassischen Aufgaben der Fluidmechanik, sind beispielsweise  Elektrische Energie 𝐸𝐸𝑒𝑒𝑒𝑒.  Magnetische Energie 𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.  Chemische Energie 𝐸𝐸𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒. , u. a.

Der bekannte Energieerhaltungssatz besagt, dass sich in einem abgeschlossenen System (z. B. in einer Rohrströmung) zwar die verschiedenen Energieformen in ihrer Größe ändern können, aber nur so, dass ihre Summe konstant bleibt. Dies wird mit dem Oben gesagten in Gl. 1.4-1 allgemein dargestellt: � 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ. + 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. + 𝐸𝐸𝑒𝑒𝑒𝑒. + 𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. + 𝐸𝐸𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒. + ⋯ = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐾𝐾

(Gl. 1.4-1)

Die Konstante K erhöht sich bei einer Zufuhr von Energie in die Strömung (z. B. durch eine Pumpe oder eine Heizung) oder erniedrigt sich bei einer Abfuhr von Energie (z. B. durch eine Wasserturbine, eine Gasturbine bei Gasströmungen oder durch eine Kühlung von Fluiden) um die jeweils zu- bzw. abgeführte Energie. In der folgenden Abb. 1.4-1 sind bei einem von oben nach unten durchströmten erweitertem Rohrabschnitt (= Stromröhre) die wichtigen energetischen Strömungsgrößen eingetragen.

34

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-1: Erweiterte Rohrströmung mit Strömungsgrößen und Bezugsniveau B-B

Die Strömung fließt zwischen der Stelle (1) (Querschnitt 𝐴𝐴1 , Dichte 𝜌𝜌1 , Geschwindigkeit c1, Druck 𝑝𝑝1, innere Energie 𝑢𝑢1 , Höhen-Entfernung 𝑧𝑧1 von einem willkürlich gewählten Bezugsniveau B-B) nach unten zu einer Stelle (2) (entsprechende Strömungsgrößen mit Index 2). Das Fluid kann entweder Wasser (quasi dichtebeständig 𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2) oder Luft (bzw. Gas, Dampf, dichteveränderlich 𝜌𝜌1 ≠ 𝜌𝜌2 ) sein. Wenn kein Leck in der Stromröhre ist, bleibt die Masse m (bzw. der zeitliche Massenstrom 𝑚𝑚̇) zwischen Stelle (1) und Stelle (2) ebenfalls konstant. Wie erhält man jetzt aus den einzelnen Strömungsgrößen die zugehörigen Energiewerte? Auch hierbei ist das Physik-Basiswissen nützlich. Zunächst wird dies für die potentielle Energie gezeigt: Energie wird auch als Arbeit bezeichnet. Wird beispielsweise ein Eimer Wasser mit der Masse 𝑚𝑚 [kg] auf einen Berg mit der Höhe H (= ∆z [m]) getragen, so wurde eine Arbeit verrichtet, die als Kraft F (m ∗ 𝑔𝑔) mal Höhenweg ∆z berechnet werden kann und als potentielle Energie 𝑚𝑚

𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝐿𝐿 (hier Lage-Energie) gespeichert ist. Dabei ist g �𝑠𝑠2 � die Erdbeschleunigung. Unter Beachtung der Festlegung, dass jede Physikalische Größe aus „Zahlenwert ∗ Einheit“ besteht, ergibt sich daraus die endgültige Beziehung Gl. 1.4-2 für 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. zu. 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆𝑧𝑧 �𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙

𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 ∙ 𝑚𝑚 = � 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2

(Gl. 1.4-2)

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

___________________________________________________________________________________________

Beachte Machen Sie es sich zur Gewohnheit, bei allen Berechnungen mit physikalischen Formeln die Zahlenwerte sofort mit den zugehörigen Einheiten in die Formel einzutragen. So vermeiden sie gravierende Rechenfehler! Näheres s. Kap. 1.2 ___________________________________________________________________________________________

Aus der Einheitenbeziehung von Gl. 1.4-2 lässt sich nach einer kleinen Umformung erkennen, dass der Term 𝑔𝑔 ∙ ∆z offenbar einer „ auf die Masse m bezogenen spezifischen Lage-Energie“, 𝑚𝑚2

in der Einheit � 𝑠𝑠2 �, entspricht: 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 ∙ (𝑔𝑔 ∙ ∆𝑧𝑧) �𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙

𝑚𝑚 𝑚𝑚2 ∙ 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ � �� 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2

Diese spezifische Energie wird also mit der jeweiligen Masse m multipliziert, um die in der Masse m gespeicherte tatsächliche Energie zu ermitteln. Auf diese Form wird noch häufig Bezug genommen werden. Wenn jetzt nicht nur ein Eimer mit der Wassermasse m [𝑘𝑘𝑘𝑘] auf den Berg getragen wird, sondern nacheinander gleichmäßig in einer bestimmten Zeit t [𝑠𝑠] mehrere Eimer mit der 𝑘𝑘𝑘𝑘

jeweiligen Masse m, so spricht man von einem Massenstrom 𝑚𝑚̇ � 𝑠𝑠 � und einer stationären 𝑘𝑘𝑘𝑘̇ ∗ 𝑚𝑚2 Strömung mit einem Energiestrom 𝐸𝐸̇ � 𝑠𝑠3 �, der damit einer Leistung in [𝑊𝑊] entspricht. Mit einer ähnlichen Betrachtung lässt sich auch die zweite Form einer potentiellen Energie, die Druck-Energie 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. , aus der Grundlagenphysik ermitteln:

Bekanntlich lässt sich eine Arbeit W aus Kraft 𝐹𝐹 [𝑁𝑁] ∙ Weg 𝑠𝑠 [𝑚𝑚] errechnen. Ein Behälter, der 𝑁𝑁

unter einem Druck p �𝑚𝑚2 � steht, wird auf einer Fläche 𝐴𝐴 [𝑚𝑚2 ] eine Kraft 𝐹𝐹 = 𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴 erzeugen. Damit wird die Arbeit 𝑊𝑊 = 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝐷𝐷 = 𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑠𝑠. Das Produkt 𝐴𝐴 ∙ 𝑠𝑠 entspricht einem Volumen 𝑉𝑉, das sich wiederum als Quotient Gl.1.4-3 zu

𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝐷𝐷 = 𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 ∙ 𝑉𝑉 = 𝑝𝑝 ∙

𝑚𝑚 𝜌𝜌

darstellen lässt. Somit ermittelt sich 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝐷𝐷 schließlich mit

𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚3 = 𝑚𝑚 ∙ �𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2 = 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚� 𝜌𝜌 𝜌𝜌 𝑚𝑚 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘

(Gl. 1.4-3)

Mit einer analogen Umformung wie bei der Lage-Energie, lässt sich auch aus der Druck-Energie 𝑝𝑝

𝑁𝑁∙𝑚𝑚

eine spezifische Druck-Energie �𝜌𝜌� in der Einheit � 𝑘𝑘𝑘𝑘 = Jetzt zur kinetischen Energie:

𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑘𝑘𝑘𝑘

� separieren.

Würde man den Eimer Wasser mit der Masse m [𝑘𝑘𝑘𝑘] vom Berg jetzt um die Höhe ∆𝑧𝑧 [𝑚𝑚] in eine Schlucht fallen lassen, so hätte er die vorher hineingesteckte potentielle Energie 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 in eine gleichgroße kinetische Energie 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 umgewandelt (Energieerhaltungssatz). Unabhängig davon, ob die Masse m frei fällt, oder sich in einer Rohrleitung nach unten bewegt (strömt),

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

führt mit Gl.1.4-4 im idealen, verlustfreien Fall, die dabei vorhandene Endgeschwindigkeit 𝑚𝑚

c � 𝑠𝑠 � zur kinetischen Energie 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. . 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∙

𝑐𝑐 2 𝑚𝑚2 �𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2 � 2 𝑠𝑠

(Gl. 1.4-4) 𝑐𝑐 2

In Gl.1.4-4 lässt sich sofort wieder der spezifische kinetische Energie-Term � � in der Einheit �

𝑚𝑚2 𝑠𝑠2

2

� erkennen.

Wird 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 gesetzt und nach c aufgelöst, so ergibt sich mit Gl.1.4-5 die bekannte Torricellische Ausflussformel (1644) in Analogie zum „freien Fall“ 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆𝑧𝑧 = 𝑚𝑚 ∙

𝑐𝑐 2 𝑚𝑚 → 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑐𝑐 = 2�2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆𝑧𝑧 � � 2 𝑠𝑠

(Gl. 1.4-5)

Auf den komplizierteren Fall von beschleunigter oder verzögerter Strömung (z.B. bei der Erzeugung einer Rohrströmung durch eine Kolbenpumpe) wird erst später in Kap. 1.4.2.3 eingegangen. Für die Berechnung der inneren Energie muss auf die Gesetze der Thermodynamik zurückgegriffen werden. Wie für die bisher besprochenen Energieformen gezeigt, wird auch die 𝐽𝐽

innere Energie 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. aus der Multiplikation einer spezifischen inneren Energie u �𝑘𝑘𝑘𝑘� mit der Masse m [𝑘𝑘𝑘𝑘] 𝑒𝑒rhalten: 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑢𝑢

Die spezifische innere Energie u ist proportional der Temperatur T [K], die aus der Bewegung der Atome in der Masse m resultiert (𝑢𝑢 ̴ 𝑇𝑇). Der für jeden Stoff charakteristische 𝐽𝐽

Proportionalitätsfaktor ist die spezifische Wärmekapazität cv in �𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝐾𝐾 =

𝑚𝑚2

𝑠𝑠2 ∙𝐾𝐾

� (bei konstantem

Volumen). Damit wird gemäß Gl.1.4-6 die innere Energie 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 berechnet aus 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑢𝑢 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐𝑣𝑣 ∙ 𝑇𝑇 �𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙

𝐽𝐽 ∙ 𝐾𝐾 = 𝐽𝐽� 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐾𝐾

(Gl. 1.4-6)

Aus den bisherigen Betrachtungen lässt sich erkennen, dass drei Formen der Energieeinheiten mit identischer Größe existieren, was für spätere Umrechnungen von Bedeutung sein wird (Gl.1.4-7): 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � � = [𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = [𝐽𝐽] 𝑠𝑠 2

(Gl. 1.4-7)

Bei einer stationären, kontinuierlichen Strömung gilt in einer Stromröhre (s. Abb. 1.4-1): Die Masse m wird ersetzt durch den Massenstrom 𝑚𝑚̇! Die Energie E wird ersetzt durch den Energiestrom 𝐸𝐸̇ !

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Aus dem Energieerhaltungssatz (s. Gl.1.4-1) folgt damit zwischen den Stellen (1) und (2) sowie unter Verwendung der bisher betrachteten Energieformen die Beziehung 𝐸𝐸̇1 = 𝐸𝐸̇2 und ausgeschrieben 𝑝𝑝

𝑚𝑚̇ ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 𝑚𝑚̇ ∙ 𝜌𝜌1 + 𝑚𝑚̇ ∙ 1

𝑐𝑐12 2

𝑝𝑝

+ 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑢𝑢1 = 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝑚𝑚̇ ∙ 𝜌𝜌2 + 𝑚𝑚̇ ∙ 2

𝑐𝑐22 2

+ 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑢𝑢2

Durch Kürzen der Gleichung mit 𝑚𝑚̇ auf beiden Seiten der Gleichung und Verallgemeinerung zwischen beliebigen Stellen einer Stromröhre ergibt sich die, auf die Masse m (in kg) bezogene, Energiegleichung in spezifischer Form für strömende Fluide (Flüssigkeiten und Gase), die auch Bernoulli’sche Energiegleichung, oder abgekürzt „Bernoulli-Gleichung“ genannt wird, zu Gl.1.4-8 𝑝𝑝 𝑐𝑐 2 𝑚𝑚2 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝐽𝐽 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 + 𝑢𝑢 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐾𝐾 � 2 = = � 𝜌𝜌 2 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘

(Gl. 1.4-8)

Die einzelnen Terme dieser Energiegleichung erhalten die Bezeichnung: 𝑝𝑝 → spezifische Druckenergie 𝜌𝜌

𝑐𝑐 2 → spezifische Geschwindigkeitsenergie 2

𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 → spezifische Höhenenergie

𝑢𝑢 → spezifische innere Energie

Für ein ideales Fluid ist bei Dichte 𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 und Temperatur 𝑇𝑇 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 z.B. u = 0! Damit vereinfacht sich Gl.1.4-8 zu der bekannteren Darstellung der Bernoulli-Gleichung in spezifischer Energieform Gl.1.4-9 𝑝𝑝 𝑐𝑐 2 𝑚𝑚2 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝐽𝐽 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐾𝐾1 � 2 = = � 𝜌𝜌 2 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘

(Gl. 1.4-9)

Durch Multiplikation dieser Gleichung Gl.1.4-9 mit der Dichte 𝜌𝜌 ergibt sich die BernoulliGleichung in der Druckform als Gl.1.4-10 𝜌𝜌 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐾𝐾2 � 3 = 2 ; 𝑃𝑃𝑃𝑃; 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏� 2 𝑚𝑚 𝑚𝑚

Diese Form entspricht den auf das Volumen (in m3) bezogenen Energieanteilen. Auch hier sind für die einzelnen Terme folgende Bezeichnungen üblich: 𝑝𝑝 → statischer Druck

𝜌𝜌 2 𝑐𝑐 → dynamischer Druck 2

𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 → geodätischer Druck 𝜌𝜌

Die Summe von 𝑝𝑝 + 2 𝑐𝑐 2 wird auch Gesamtdruck genannt.

(Gl. 1.4-10)

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Wird die Gleichung Gl.1.4-9 durch die Erdbeschleunigung g dividiert, so ergibt sich die Höhenform der Bernoulli-Gleichung als Gl.1.4-11 𝑝𝑝 𝑐𝑐 2 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝐽𝐽 + + 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐾𝐾3 � = 𝑚𝑚; � 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 2 ∙ 𝑔𝑔 𝑁𝑁 𝑁𝑁

(Gl. 1.4-11)

𝑝𝑝 → Druckhöhe (≙ Fluidsäule um Bodendruck 𝑝𝑝 zu erzeugen) 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 𝑐𝑐 2 → Geschwindigkeitshöhe (≙ Fallhöhe um c zu erreichen) 2 ∙ 𝑔𝑔 𝑧𝑧 → geodätische Höhe (≙ Ortshöhe)

Gl.1.4-11 stellt die auf die Gewichtskraft (in N) bezogenen Energien dar, und kann analog zur Punktmechanik gedeutet werden. Die Konstanten K1, K2 und K3 gelten nur für Fluidteilchen auf einer gemeinsamen Stromlinie. Falls jedoch eine wirbelfreie Strömung (Potenzialströmung) vorliegt, gelten die Konstanten für das gesamte Strömungsfeld, was für die meisten praktischen Anwendungen in der Lehre und im Ingenieuralltag genutzt werden kann. In der Höhenform (Gl. 1.4-11) lässt sich die Bernoulli-Energiegleichung sehr anschaulich darstellen (Abb. 1.4-2).

Abb. 1.4-2: Anschauliche Darstellung der Bernoulli-Energiegleichung in der Höhenform

Die bisherigen Betrachtungen lassen sich kurz folgendermaßen zusammenfassen: Bei einer Verengung des Strömungsquerschnitts A (Konfusor) wird die Geschwindigkeit c größer und der Druck p sinkt, während bei einer Erweiterung (Diffusor) die Geschwindigkeit c kleiner wird und der Druck p steigt (Abb. 1.4-3)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

39

Abb. 1.4-3: Anschauliche Aussage der Bernoulli-Gleichung ___________________________________________________________________________________________

Beachte  Bei jeder Anwendung der Bernoulli-Gleichung (Energieerhaltungssatz) sollten Sie stets zu Beginn eine Bezugsebene B-B wählen (vgl. Abb. 1.4-2). Diese kann willkürlich gelegt werden, doch möglichst so, dass ein geringerer Rechenaufwand damit verbunden ist (vgl. Beispiel in Kap. 2.4).  Jede Anwendung des Energieerhaltungssatzes erfolgt immer zwischen zwei Stellen (Stelle „1“ und Stelle „2“) in Fluidströmungen. Dabei liegt Stelle „1“ in Strömungsrichtung immer vor Stelle „2“ (Abb. 1.4-4). Die Bezeichnung der Stellen ist allerdings beliebig, ist aber so zu wählen, dass das gesuchte Ergebnis damit errechnet werden kann.

Abb. 1.4-4: Anordnung von Stellen für die Anwendung der Bernoulli-Gleichung ___________________________________________________________________________________________

Bevor Sie weiterlesen, können Sie sich jetzt die erste methodische Lösung einer Aufgabe in Kap. 2.4 anschauen und dabei die grundsätzliche Vorgehensweise kennenlernen.

1.4.2 Erweiterte (Energie-)Gleichungen für Fluidströmungen Die bisher dargestellte bernoullische Energiegleichung erfasst nur einen kleinen Teil der fluidtechnischen Aufgabenstellungen. Deswegen werden die wichtigsten Erweiterungen, wie Druckänderungen quer zu den Stromlinien (Kap. 1.4.2.1), rotierende Bezugssysteme (Kap. 1.4.2.2), instationäre Strömung (Kap. 1.4.2.3) und stationäre Strömung mit Energiezufuhr oder –abfuhr (Kap. 1.4.2.4) nachstehend erklärt.

40

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.4.2.1 Druckänderung quer zu den Stromlinien In vielen Strömungssituationen sind die Stromlinien nicht gerade und parallel, sondern gekrümmt (Abb. 1.4-5)

Abb. 1.4-5: Allgemeines Strömungsfeld

Längs einer Stromlinie von Punkt 1 zu Punkt 2 lässt sich der Druckverlauf gemäß der BernoulliGleichung relativ einfach berechnen. Quer zu Stromlinien, z.B. der Druckverlauf von Punkt 1 nach Punkt 3, geht das allerdings nicht. In Abb. 1.4-6 ist die Situation eines Fluidteilchens der Masse 𝑑𝑑𝑑𝑑 bei gekrümmten Stromlinien dargestellt.

Abb. 1.4-6: Druckverlauf und Kräfte auf ein Fluidteilchen bei gekrümmten Stromlinien

Wie jeder andere Körper auch, kann sich ein Fluidteilchen nur dann auf einer gekrümmten Bahn entlang einer Stromlinie bewegen, wenn es zur Kompensation der Zentrifugalkraft 𝑑𝑑𝑑𝑑 eine Kraft in Richtung des Krümmungsmittelpunkt M der Bahn erfährt. Falls keine Volumenkräfte (z.B. Schwerkraft) wirken, kann diese Kraft nur die Druckkraft 𝑑𝑑𝑑𝑑 sein. Dazu muss sich allerdings der Druck quer zur Stromlinie ändern. Wenn auf der Innenfläche des Fluidteilchens der Druck 𝑝𝑝 vorliegt, muss der Druck an der Außenfläche 𝑝𝑝 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 betragen. Auf dem Teilchen wirkt die Fliehkraft 𝑑𝑑𝑑𝑑 nach außen (Physik!). 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜔𝜔2

Mit

41

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

und

𝑐𝑐 = 𝑟𝑟 ∙ 𝜔𝜔

bzw. daraus 𝜔𝜔2 =

wird

𝑐𝑐 2 𝑟𝑟 2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙

𝑐𝑐 2 𝑟𝑟

Damit das Teilchen auf der Bahn bleibt, muss es eine Druckkraft 𝑑𝑑𝑑𝑑 (= Druck x Fläche) nach Innen (entgegen und gleich groß wie 𝑑𝑑𝑑𝑑) erfahren. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝑝𝑝 + 𝑑𝑑𝑑𝑑) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑝𝑝 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

Für das Gleichgewicht gilt

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐 2 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟 Es ergibt sich die Differentialgleichung für die Druckänderung entlang des Radius 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐 2 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟

Der Sonderfall 𝑟𝑟 = ∞ führt zu einer Parallelströmung mit Druckänderung quer zu den Stromlinien statt (Abb. 1.4-7).

(Gl.1.4-12) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

= 0! D.h. es findet keine

Abb. 1.4-7: Ideale und reale Rohrströmung (Parallelströmung)

Obwohl die Geschwindigkeiten bei der realen parallelen Strömung (gerades Rohr mit Reibungsverlusten) über dem Querschnitt unterschiedlich groß sind, ist der statische Druck 𝑝𝑝 über den Querschnitt konstant. Er kann bei kleinen Rohrdurchmessern mit einer einzigen

42

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Wandbohrung gemessen werden, während bei großen Rohren z. B. vier Wandbohrungen über den Umfang gleichmäßig verteilt und über eine Ringleitung untereinander verbunden sind. Da bei der realen Parallelströmung die Geschwindigkeit auf verschiedenen Stromlinien verschieden große Werte aufweist, der Druck aber gleich bleibt, müssen die Konstanten (𝐾𝐾1 , 𝐾𝐾2 oder 𝐾𝐾3 ) der Bernoulli-Gleichung (Höhen-, Druck- oder spezifische Energieform) von Stromlinie zu Stromlinie verschieden sein (Abb. 1.4-8).

Abb. 1.4-8: Parallelströmung mit Druck- und Geschwindigkeitsverlauf auf verschiedenen Stromlinien

Somit ergeben sich für die Stromlinien 1 und 5 die jeweiligen Konstanten 𝐾𝐾2 der BernoulliGleichung (Druckform) für den betrachteten Querschnitt 1 (Höhenglieder vernachlässigt) 𝜌𝜌 2 Stromlinie 1 → 𝐾𝐾2,1 = 𝑝𝑝1,1 + 𝑐𝑐1,1 2 𝜌𝜌 2 Stromlinie 5 → 𝐾𝐾2,5 = 𝑝𝑝1,5 + 𝑐𝑐1,5 2

→ da 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1,1 = 𝑝𝑝1,5 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 und 𝑐𝑐1,1 < 𝑐𝑐1,5 folgt: 𝐾𝐾1,1 < 𝐾𝐾1,5

Je größer die Geschwindigkeit auf einer Stromlinie ist, umso größer ist auch die jeweilige Bernoulli-Konstante. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Für viele fluidtechnische Lösungen ist folgende Aussage von Bedeutung: Der Druck der „ungestörten“ Strömung prägt a) Totwasser b) Grenzschicht c) Austrittsquerschnitt (z.B. Freistrahl)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

43

seinen Wert auf! (Wirklichkeitsnahe Annahme streng genommen nur bei nicht gekrümmten Stromlinien → 𝑟𝑟 = ∞) zu a) Totwasserströmung

Der Druck in der „gesunden“ Strömung nach der Erweiterung ist nahezu identisch mit dem Druck im Totwasser (Abb. 1.4-9).

Abb. 1.4-9: Druckverlauf bei Totwasserströmung

zu b) Grenzschichtströmung Quer zu den Stromlinien (also auch bis zur Wand) herrscht der gleiche Druck 𝑝𝑝 (Abb. 1.4-10)! Dieser kann deswegen mit einer Wandbohrung gemessen werden (siehe Information zu Abb. 1.4-8).

Abb. 1.4-10: Druckverlauf bei Grenzschichtströmung

zu c) Austrittsquerschnitt (z.B. Freistrahl) Nach Verlassen des Austrittsquerschnitts (und damit auch kurz davor im Rohr selbst!) ist der Druck gleich dem von außen „aufgeprägten“ Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 (Abb. 1.4-11).

44

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-11: Druckverlauf bei einem Austrittsquerschnitt ___________________________________________________________________________________________

In Kap. 3.4.2 wird der allgemeine Fall einer Strömung in einem Rohrkrümmer beispielhaft behandelt.

1.4.2.2 Bernoullische Energiegleichung im rotierenden Bezugssystem Falls in einem Fluidsystem nacheinander unbewegte (z.B. Rohrleitungen) und sich (relativ dazu) bewegende Komponenten (z.B. Kreiselpumpen- oder Wasserturbinen-Laufräder) durchströmt werden, muss die bisherige Form der Bernoulli-Gleichung dieser „Rotationsbewegung“ Rechnung tragen, um beispielsweise den statischen Druck 𝑝𝑝 an einer beliebigen Stelle x im Laufschaufelkanal zu bestimmen. In Abb. 1.4-12 ist exemplarisch die Situation für eine Kreiselpumpe (Längsschnitt) dargestellt, die einen Volumenstrom 𝑄𝑄 fördern soll und dabei häufig kurz nach dem Schaufeleintritt des Wassers (Stelle x) die sogenannte „Flüssigkeitskavitation“ (vgl. Kap. 1.8.2) eintritt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

45

Abb. 1.4-12: Längsschnitt (Meridianschnitt) durch Saugrohr und Laufrad einer Kreiselpumpe

Bei genügend hoher Drehzahl der Kreiselpumpe wird z. B. Wasser mit dem Volumenstrom 𝑄𝑄 vom Unterwasser (UW, in der Regel Druck 𝑝𝑝0 ) über das Saugrohr durch das Laufrad (Eintrittsstelle 1, Austrittsstelle 2) in der Spirale gesammelt und zum Bestimmungsort (Druck 𝑝𝑝𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍 ) gefördert. Bis zur Eintrittsstelle 1 kann die normale Bernoulli-Gleichung auf einem Stromfaden angesetzt werden. In dem bewegten Laufrad jedoch gilt eine erweiterte Form, die „Bernoulli-Gleichung für Relativbewegungen“. Wie lässt sich dieser Effekt der Relativbewegung anschaulich erklären? Beispiel „Schneefall“ (Abb. 1.4-13): Wenn Sie im Winter bei Schneefall (Windstille) abends aus dem Fenster schauen, werden die Schneeflocken langsam senkrecht nach unten auf den Boden fallen. Dabei wird die Sinkgeschwindigkeit der Schneeflocke mit der Absolutgeschwindigkeit 𝑐𝑐 beobachtet. Falls sie aber bei der gleichen Schneefallsituation aus einem fahrenden Auto (Fahrgeschwindigkeit 𝑢𝑢) durch die Frontscheibe den Schneefall beobachten, so erscheint Ihnen der Schnee sehr schnell mit Relativgeschwindigkeit 𝑤𝑤 auf einer gebogenen Flockenbahn entgegenzukommen. Dieselbe Situation wird also von einem ruhenden und einem sich bewegenden Beobachter völlig unterschiedlich wahrgenommen.

46

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-13: Schneefall in verschiedenen Bezugssystemen

Verallgemeinert unterscheidet man also die Geschwindigkeitsvektoren 𝑐𝑐⃗ Absolutgeschwindigkeit (ruhendes System)

𝑢𝑢 �⃗ System-Eigengeschwindigkeit (z.B. Fahrgeschwindigkeit, Umfangsgeschwindigkeit)

𝑤𝑤 ��⃗ Relativgeschwindigkeit (z.B. mitbewegter „Beobachter“ im Schaufelkanal)

Es gilt die allgemeine Vektorbeziehung 𝑐𝑐⃗ = 𝑢𝑢 �⃗ + 𝑤𝑤 ��⃗

(z.B. für die Ermittlung der sog. Geschwindigkeitsdreiecke)

(Gl. 1.4-13)

Beispiel „Autofahrt bei Seitenwind“ (Abb. 1.4-14): Sie fahren mit der Fahrgeschwindigkeit u bei starkem Seitenwind der Absolutgeschwindigkeit 𝑐𝑐 in einem Cabrio mit offenem Verdeck. Falls eine Person mit langen, offenen Haaren im Auto sitzt, werden die Haare sich (zwar flatternd, aber im Mittel) genau in Richtung der in der Abbildung dargestellten Relativgeschwindigkeit 𝑤𝑤 ausrichten. Hierbei lässt sich 𝑤𝑤 aus Gl. 1.4-13 ermitteln!

Abb. 1.4-14: Autofahrt bei Seitenwind

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

47

Falls kein Seitenwind herrscht (𝑐𝑐⃗ = 0) werden sich die Haare entgegen 𝑢𝑢 �⃗ ausrichten (𝑤𝑤 ��⃗ = −𝑢𝑢 �⃗). Bleibt hingegen das Fahrzeug stehen (𝑢𝑢 �⃗ = 0), so führt die Vektorbeziehung zu 𝑤𝑤 ��⃗ = 𝑐𝑐⃗, d.h. die Haare wehen in dieselbe Richtung wie der Seitenwind.

Mit diesen beiden Erklärungsbeispielen werden die Unterschiede zwischen ruhenden und sich bewegenden Bezugssystemen (hier im Strömungskanal eines Kreiselpumpenlaufrades) verständlicher. Dies wird dadurch erleichtert, dass man sich vorstellen kann, was ein Fluidteilchen bis kurz vor (𝑢𝑢 �⃗ ≈ 0 → ���⃗) 𝑐𝑐1 und nach (𝑤𝑤 ��⃗!) dem Laufschaufeleintritt für Geschwindigkeitseindrücke erfahren wird, bis es den sich bewegenden Strömungskanal wieder verlässt und mit geänderter Absolutgeschwindigkeit ���⃗ 𝑐𝑐2 (Betrag und Richtung anders als bei ���⃗) 𝑐𝑐1 in die Spirale eintritt. Die Situation lässt sich geschickt durch die zugehörigen Geschwindigkeitsdreiecke darstellen. Schneidet man im Längsschnitt des Pumpenlaufrades (Abb. 1.4-12) unter der Schnittebene AA quer dazu, so erhält man den Grundriss, der auch Schaufelplan genannt wird (Abb. 1.4-15). In diesem Grundriss sind bereits die Geschwindigkeitsvektoren am Schaufeleintritt (Stelle 1) und am Schaufelaustritt (Stelle 2) schematisch eingetragen. Die Umfangsgeschwindigkeiten 𝑢𝑢 �⃗ sind dabei tangential zu den jeweiligen Raddurchmessern und die Relativgeschwindigkeiten 𝑤𝑤 ��⃗ tangential zu den Laufschaufelkonturen eingetragen.

Abb. 1.4-15: Schaufelplan mit Geschwindigkeitsvektoren einer Kreiselpumpe am Schaufeleintritt und Schaufelaustritt (schematisch)

Zunächst wenden wir uns dem Eintrittsdreieck (Stelle 1) zu. Dieses erhält man aus der Vektorbeziehung 𝑐𝑐1 = ����⃗ ���⃗ 𝑢𝑢1 + ����⃗ 𝑤𝑤1

durch Parallelverschiebung von ����⃗, 𝑤𝑤1 so dass ein geschlossenes Vektordreieck entsteht (Abb. 1.4-16). Die Absolutgeschwindigkeit ���⃗ 𝑐𝑐1 kann normalerweise in die wichtigen Komponenten in Umfangsrichtung (𝑐𝑐�����⃗, hier allerdings = 0, da bei Pumpen ein sogenannter drallfreier Eintritt 1𝑢𝑢 angestrebt wird) und in Meridianrichtung (𝑐𝑐������⃗, 1𝑚𝑚 radial nach außen gerichtet) zerlegt werden. Bei drallfreiem Eintritt ist

48

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑐𝑐1𝑚𝑚 = ���⃗ ������⃗ 𝑐𝑐1

Die Meridiankomponente ������⃗ 𝑐𝑐1𝑚𝑚 dient zur Berechnung des durch die Pumpe geförderten Volumenstroms 𝑄𝑄, wenn der freie Kanalquerschnitt 𝐴𝐴1 am Eintritt, der die Kanaltiefe 𝑏𝑏1 aufweist, in die bekannte Kontinuitätsgleichung eingesetzt wird.

Abb. 1.4-16: Geschwindigkeitsdreieck an der Stelle 1

Der Volumenstrom 𝑄𝑄 errechnet sich also 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 2𝑟𝑟1 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏1

(Gl. 1.4-14)

Die Umfangsgeschwindigkeit 𝑢𝑢1 an der Stelle 1 ergibt sich bei der Winkelgeschwindigkeit 𝜔𝜔 (= 2𝑟𝑟 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛) zu 𝑢𝑢1 = 𝑟𝑟1 ∙ 𝜔𝜔

Für das rechtwinklige Eintrittsdreieck bei drallfreiem Eintritt erhält man aus dem Satz des Pythagoras 𝑐𝑐12 + 𝑢𝑢12 = 𝑤𝑤12

bzw. nach Umstellung 𝑐𝑐12 = 𝑤𝑤12 − 𝑢𝑢12

(Gl. 1.4-15)

Diese Beziehung wird bei der Ermittlung der Bernoulli-Gleichung für Relativbewegung noch benötigt. Das Austrittsdreieck (Stelle 2) entsteht ebenfalls aus der Vektorbeziehung 𝑐𝑐2 = ����⃗ ���⃗ 𝑢𝑢2 + �����⃗ 𝑤𝑤2

durch Parallelverschiebung von �����⃗, 𝑤𝑤2 um ein geschlossenes Vektordreieck zu erhalten (Abb. 1.417).

Abb. 1.4-17: Geschwindigkeitsdreieck an Stelle 2

Die Relativgeschwindigkeit �����⃗ 𝑤𝑤2 folgt dabei wieder der Laufschaufelkontur und die Umfangsgeschwindigkeit ����⃗ 𝑢𝑢2 wirkt in Drehrichtung 𝜔𝜔 des Laufrades tangential am Laufradaußendurchmesser. Durch die Rotation des Laufrades wird die Absolutgeschwindigkeit ���⃗ 𝑐𝑐2 am

49

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Austritt in die Drehrichtung abgelenkt. ���⃗ 𝑐𝑐2 lässt sich ebenfalls in eine Meridiankomponente �������⃗ 𝑐𝑐2𝑚𝑚 (radial nach außen) und eine Umfangskomponente ������⃗ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 (in Richtung 𝑢𝑢 wirkend) zerlegen. Die Kontinuitätsgleichung liefert hier für den Volumenstrom (Gl. 1.4-16)

𝑄𝑄 = �������⃗ 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ 𝐴𝐴2 = �������⃗ 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ 2𝑟𝑟2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏2

während ������⃗ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 zur erwünschten Druckerhöhung ∆𝑝𝑝 in der Pumpe führt.

Zur Ermittlung des Druckes an der Stelle x (z. B. bei Kavitationsbeginn) in der Nähe der Laufradeintrittskante wird die Bernoulli-Gleichung in 2 Schritten angewendet. 1. Schritt: Bernoulli-Gleichung zwischen Stelle UW und Stelle 1 verlustfrei, „ruhendes“ Bezugssystem, gemäß Gl. 1.4-9 in der Form spezifischer Energie (vgl. Abb. 1.4-12) 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜌𝜌

+

𝑐𝑐𝑢𝑢𝑢𝑢 2 2

+ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑢𝑢𝑢𝑢 =

𝑝𝑝1 𝜌𝜌

+

𝑐𝑐1 2 2

(Gl. 1.4-17)

+ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1

Es lassen sich folgende Vereinfachungen angeben: 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑝𝑝0 (Atmosphärendruck)

𝑐𝑐𝑢𝑢𝑢𝑢 ≈ 0 (Der UW-Spiegel senkt sich nicht ab, bzw. bleibt konstant auf gleichem Niveau) (𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧𝑢𝑢𝑢𝑢 ) = 𝐻𝐻𝑠𝑠 (Saughöhe)

Damit ergibt sich nach Umstellung auf den Druck 𝑝𝑝1 𝑝𝑝1

=

𝜌𝜌

𝑝𝑝0 𝜌𝜌

−

𝑐𝑐1 2 2

− 𝑔𝑔(𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧𝑢𝑢𝑢𝑢 ) =

𝑝𝑝0 𝜌𝜌

−

𝑐𝑐1 2 2

− 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻𝑠𝑠

(Gl. 1.4-18)

2. Schritt: Bernoulli-Gleichung bei Relativbewegung zwischen Stelle 1 („ruhend“) und Stelle x („bewegt“); gemäß folgender Herleitung: 𝑐𝑐 2

An die Stelle

2

der Bernoulli-Gleichung in der spezifischen Energieform tritt für Strömungs-

maschinen bei drallfreiem Eintritt bei Relativbewegung der in Gl. 1.4-15 ermittelte Term 𝑤𝑤 2

𝑢𝑢2

−

2

2

Dies führt zu 𝑤𝑤 2

𝑝𝑝

+� 2 − 𝜌𝜌

𝑢𝑢2 2

� + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (Bernoulli-Gleichung bei Relativbewegung)

Zwischen Stelle 1 und x erhält man somit 𝑝𝑝1 𝜌𝜌

+

𝑐𝑐1 2 2

+ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 =

𝑝𝑝𝑥𝑥 𝜌𝜌

+�

Mit den Vereinfachungen 𝑐𝑐1 2 2

=

𝑤𝑤1 2 2

−

𝑤𝑤𝑥𝑥 2 2

−

𝑢𝑢𝑥𝑥 2 2

� + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑥𝑥

𝑢𝑢1 2 2

𝑧𝑧1 ≈ 𝑧𝑧𝑥𝑥 (Stelle 1 und x liegen annähernd auf gleichem Niveau)

ergibt sich

(Gl. 1.4-19)

50 𝑝𝑝1 𝜌𝜌

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

+

𝑤𝑤1 2 2

−

𝑢𝑢1 2 2

=

𝑝𝑝𝑥𝑥 𝜌𝜌

+

𝑤𝑤𝑥𝑥 2 2

−

𝑢𝑢𝑥𝑥 2 2

bzw. mit der weiteren Vereinfachung 𝑢𝑢1 2 2

≈

𝑢𝑢𝑥𝑥 2 2

(nahezu gleiche Umfangsstelle, also 𝑟𝑟1 ≈ 𝑟𝑟𝑥𝑥 )

lässt sich der Druck 𝑝𝑝𝑥𝑥 bestimmen zu 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝜌𝜌

=

𝑝𝑝1 𝜌𝜌

+

𝑤𝑤1 2 −𝑤𝑤𝑥𝑥 2 2

(Gl. 1.4-20)

Nach weiterer Umformung ergibt sich 𝑤𝑤1 2 −𝑤𝑤𝑥𝑥 2 2

=

𝑤𝑤1 2 2

𝑤𝑤

2

∙ �1 − �𝑤𝑤𝑥𝑥 � � = 1

𝑤𝑤1 2 2

∙ 𝐶𝐶𝑝𝑝

(Gl. 1.4-21)

Die dynamische Druckziffer 𝐶𝐶𝑝𝑝 (vgl. auch Kap. 1.6) ist vor allem abhängig von der -

Profilform der Schaufeleintrittskante (z.B. abgerundet, spitz, eckig, etc.) Stelle x Anströmrichtung

und wird in Experimenten der folgenden Art ermittelt, wobei statt mit Wasser die einfachere Messung mit Luft im Windkanal erfolgt. Die Schaufeleintrittsform wird dabei als Modell mit kleinen Druckmessbohrungen versehen, im Windkanal fixiert und die Drücke vor der Schaufel (𝑝𝑝1) und an allen Stellen auf der Schaufelkante (mögliche 𝑝𝑝𝑥𝑥 -Werte) gemessen (Abb.1.4-18).

Abb. 1.4-18: Messung von 𝐶𝐶𝑝𝑝 im Windkanal (indirekt über Differenzdruck (𝑝𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑝1 ))

Setzt man für diese Versuchsanordnung die normale Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und x an, so ergibt sich 𝑝𝑝1 𝜌𝜌

+

𝑤𝑤1 2 2

+ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 =

𝑝𝑝𝑥𝑥 𝜌𝜌

+

𝑤𝑤𝑥𝑥 2 2

+ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑥𝑥

Bei Versuchen mit Luft fallen die Höhenunterschiede zwischen Stelle 1 und Stelle x nicht ins Gewicht, d.h. 𝑧𝑧1 ≈ 𝑧𝑧𝑥𝑥

Das führt zu

51

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt 𝑤𝑤

2

1 − �𝑤𝑤𝑥𝑥 � = 1

𝑝𝑝𝑥𝑥 −𝑝𝑝1 𝜌𝜌

A

! = 𝐶𝐶𝑝𝑝

(Gl. 1.4-22)

D. h. die dynamische Druckziffer 𝐶𝐶𝑝𝑝 lässt sich direkt aus einer Druckdifferenzmessung bestimmen. 𝐶𝐶𝑝𝑝 wird einen negativen Wert aufweisen, da wegen der sich verengenden Stromlinien an der Stelle x 𝑤𝑤𝑥𝑥 > 𝑤𝑤1 ist und damit gemäß Bernoulli für den Druck 𝑝𝑝𝑥𝑥 < 𝑝𝑝1 gilt. Nach Umstellung von Gl. 1.4.-22 erhält man den Druck an der Stellte x zu 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑝1 + 𝐶𝐶𝑝𝑝 ∙

𝜌𝜌 ∙ 𝑤𝑤 2 2 1

(Gl. 1.4-23)

Mit Gl. 1.4-14, Gl. 1.4-15 und Gl.1.4-18 lässt sich damit aus Gl. 1.4-23 für eine bestimmte Kreiselpumpe der für den Kavitationsbeginn wichtige Druck 𝑝𝑝𝑥𝑥 berechnen. Zur Vermeidung von Kavitation muss gelten (Gl. 1.4-24)

𝑝𝑝𝑥𝑥 ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷

Den Dampfdruck 𝑝𝑝𝐷𝐷 von Wasser entnimmt man für eine vorgegebene Temperatur aus Dampfdruck-Tabellen. Als wichtigste Maßnahme zur Vermeidung von Kavitation sind zu nennen: -

die Saughöhe 𝐻𝐻𝑠𝑠 reduzieren (evtl. sogar Zulauf vorsehen) den Saugrohrdurchmesser vergrößern Krümmer, Ventile, Stromstörer, … vermeiden

1.4.2.3 Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung Bei den bisherigen Betrachtungen wurde davon ausgegangen, dass sich die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐𝑐 zeitlich nicht ändert, was als „stationär“ bezeichnet wird. Bei einigen Vorgängen in strömungstechnischen Prozessen ändert sich jedoch die Geschwindigkeit 𝑐𝑐 mit der Zeit 𝑡𝑡 und/oder dem Ort (Weg 𝑠𝑠). Die Strömung wird entweder beschleunigt (+𝑏𝑏) oder verzögert (−𝑏𝑏) und dann als „instationär“ bezeichnet. Dies hat besonders hohe Auswirkung auf die örtlichen Drücke 𝑝𝑝, wenn die Änderungen von 𝑐𝑐 sehr schnell erfolgen. Diesem Umstand muss die Bernoulli-Gleichung Rechnung tragen. Da bei zeitlich veränderlichen Geschwindigkeiten 𝑐𝑐(𝑡𝑡) aus dem Newtonschen Grundgesetz entsprechende Kräfte resultieren �±𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∙ (±𝑏𝑏)� und durch Bezug dieser Kräfte auf betreffende Flächen 𝐴𝐴 sich verändernde Drücke 𝑝𝑝 (bzw. Druckenergien) ergeben, muss die Bernoulli-Gleichung um ein Beschleunigungsglied erweitert werden. Vereinfacht dargestellt: 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵ℎ𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 =

𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∙ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵ℎ𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐹𝐹𝐹𝐹ä𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐹𝐹ä𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝐴𝐴 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) ∙ = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝐴𝐴 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

(mit 𝑠𝑠 = Weg, d. h. Ortsfestlegung und 𝜕𝜕𝜕𝜕 als partielles Differential)

(Gl. 1.4-25)

52

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

In Abb. 1.4-19 ist eine einfache Situation dargestellt, wie sie z.B. bei einer Kolbenpumpte mit einer angeschlossenen zylindrischen Rohrleitung gegeben ist.

Abb. 1.4-19: Schematische Darstellung einer Kolbenpumpe mit zylindrischer Rohrleitung

In die Druckform der Bernoulli-Gleichung wird nun das Beschleunigungsglied nach Integration des partiellen Differentials über den Weg s eingesetzt und ergibt 𝑠𝑠 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 + 𝜌𝜌 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 0

(Gl. 1.4-26)

Diese Gleichung muss für die praktische Anwendung noch weiter vereinfacht werden, indem sie zwischen den Stellen 1 und 2 ausgeschrieben wird. 𝑠𝑠1 𝑠𝑠2 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) 𝑝𝑝1 + 𝑐𝑐1 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 𝜌𝜌 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝2 + 𝑐𝑐2 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝜌𝜌 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 0 0

∫ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 1

𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠,𝑡𝑡)

mit ∫ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 1 − ∫ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 2 = ∫𝑠𝑠 2 1

𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑑𝑑𝑑𝑑

∫ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 2

gilt somit zwischen den zwei Punkten auf einer Stromlinie von Stelle 1 nach 2 die BernoulliGleichung für instationäre Strömung 𝑠𝑠2 𝜌𝜌 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) 𝑝𝑝1 + 𝑐𝑐1 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = 𝑝𝑝2 + 𝑐𝑐2 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝜌𝜌 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠1

(Gl. 1.4-27)

Diese Gleichung wird bei einem rotierenden System erweitert zu der Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung bei Relativbewegung 𝜌𝜌 𝑝𝑝1 + (𝑤𝑤12 − 𝑢𝑢12 ) + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 (Gl. 1.4-28) 2 𝑠𝑠2 𝜌𝜌 2 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝2 + (𝑤𝑤2 − 𝑢𝑢22 ) + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝜌𝜌 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠1 Gl. 1.4-27 angewendet auf das Beispiel von Abb. 1.4-19, bei der ein Rohrdurchmesser 𝐷𝐷 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 vorliegen soll, also gemäß Kontinuitätsgleichung 𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 ist (𝑐𝑐 ist unabhängig von Weg 𝑠𝑠), ergibt sich zunächst für das Beschleunigungsglied 𝜌𝜌 ∙ �

𝑠𝑠2

𝑠𝑠1

𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ ∙ 𝑙𝑙 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠1 𝜕𝜕𝜕𝜕

53

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Vernachlässigt man noch die Schwerkraftglieder 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 (d. h. 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 ), so ergibt sich aus Gl. 1.4-27 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌 ∙

𝜕𝜕𝑐𝑐 ∙ 𝑙𝑙 𝜕𝜕𝐹𝐹

(Gl. 1.4-29)

D. h. bei positiver Beschleunigung (in Richtung von Stelle 1 nach 2) ist der Druck an der Stelle 1 höher als an der Stelle 2 (≙ Anfahrströmung). Die Kolbenpumpe weist folgenden Geschwindigkeits- und damit auch Volumenstromverlauf bei konstanter Drehzahl 𝑛𝑛 (bzw. Winkelgeschwindigkeit 𝜔𝜔)auf (Abb. 1.4-20). Im Druckhub (0° − 180°) wird Fluid gefördert, im Saughub (180° − 360°) wird neues Fluid zur Förderung angesaugt.

Abb. 1.4-20: Volumenstrom 𝑄𝑄(𝐹𝐹) bei einer Kolbenpumpe

In Kap. 3.4.2.3 wird ein Beispiel für instationäre Strömungen berechnet (Schnellabschluss bzw. Schnellöffnung einer durchströmten Rohrleitung)

1.4.2.4 Bernoulli-Gleichung für stationäre Strömung bei Energiezufuhr oder -abfuhr Falls einem fluidtechnischem System Energie zugeführt oder diesem entzogen wird, muss dies beim Ansetzen der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt werden. Die dabei zu benutzende Gleichungsform gehört mit zu den am häufigsten auftretenden Aufgaben in der Praxis. Energiezufuhr wird z. B. durch eine Pumpe (auch Verdichter, Ventilator, …) oder eine Heizung realisiert. Dabei wird mechanische Arbeit oder Heizenergie in Fluidenergie umgewandelt. Dies bewirkt, dass der Druck 𝑝𝑝, die Geschwindigkeit 𝑐𝑐, die Höhe ℎ oder die Temperatur 𝜗𝜗 erhöht werden können. Energieabfuhr erfolgt z. B. bei Wasser-, Dampf- oder Gasturbinen, Motoren, Dampfmaschinen oder einer Kühlung. Dabei wird Fluidenergie in mechanische Arbeit oder Temperaturabsenkung umgewandelt. Strömungsmaschinen, die dem Fluid Energie zuführen, werden als Arbeitsmaschinen (AM) bezeichnet, während diejenigen, die dem Fluid Energie entziehen, als Kraftmaschinen (KM) bezeichnet werden. Neben Strömungsmaschinen, die als AM den Druck 𝑝𝑝 oder die Geschwindigkeit 𝑐𝑐 erhöhen, werden auch Verdrängungsmaschinen (z. B. Kolbenpumpen) eingesetzt, die zur Druckerhöhung dienen. Betrachten wir zunächst den allgemeinen Fall einer fluidtechnischen Anlage (Abb.1.4-21)

54

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-21: Fluidtechnische Anlage bei Energiezufuhr (AM, rot) oder Energieabfuhr (KM, grün)

Im Fall einer Pumpe (roter Stromfaden) wird z. B. Wasser von der Stelle 1 (Unterwasser) zur Stelle 2 (Oberwasser) gefördert. Die zur Überwindung der Förderhöhe 𝐻𝐻 erforderliche Energie wird in der Regel als spezifische Förderenergie 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) bezeichnet. Eine Wasserturbine (grüner Stromfaden) nutzt hingegen die zwischen Oberwasser (Stelle 1, grün) und Unterwasser (Stelle 2, grün) vorhandene Fallhöhe und wandelt diese in die spezifische Fallenergie 𝑌𝑌(𝐾𝐾𝐾𝐾) um. Natürlich treten in fluidtechnischen Anlagen auch Reibungs- und Verwirbelungsverluste auf, die eingehend in Kap. 1.5 und Kap 1.6 behandelt werden, streng genommen jedoch auch eine Energieabfuhr darstellen.

Spezifische Förderenergie (spezifische Stutzenarbeit) 𝒀𝒀(𝑨𝑨𝑨𝑨)

Vereinfacht (reibungsfrei) stellt sich bei einer Pumpe die Förderung von Wasser um eine Förderhöhe 𝐻𝐻 wie in Abb. 1.4-22 gezeigt dar.

Abb. 1.4-22: Förderung von Wasser durch eine Pumpe (Prinzip)

Die Bernoulli-Gleichung, zunächst ohne Pumpe angesetzt zwischen den Stellen 1 und 2 mit dem Bezugsniveau B-B liefert

55

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + ? = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

(Gl. 1.4-30)

Der rote Energie-Platzhalter auf der linken Seite wird benötigt, damit das Fluid bergauf fließen kann. Also dazu, um die Förderhöhe 𝐻𝐻 (bzw. den Term 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 = 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 auf der rechten Seite) zu ermöglichen. Mit den einzusetzenden Werten für

𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0 (Drücke an den Stellen 1 und 2 gleich 𝑝𝑝0 )

𝑐𝑐1 ≈ 𝑐𝑐2 ≈ 0 (Spiegelabsenkung von Stelle 1 und Spiegelerhöhung von Stelle 2 vernachlässigbar!) 𝑧𝑧1 = 0 (bei Bezug auf B-B) 𝑧𝑧2 = 𝐻𝐻

wird der Platzhalter als spezifische Förderenergie 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) eingeführt, da in Gl. 1.4-30 die p- und c-Glieder sowie 𝑧𝑧1 entfallen! Die spezifische Förderenergie 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) stellt also die zugeführte Energie pro kg Fluid zwischen Eintrittsstutzen E und Austrittsstutzen A der Pumpe dar. 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 =

mit

∆𝑝𝑝 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐽𝐽 𝑚𝑚2 � = = 2� 𝜌𝜌 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠

(Gl. 1.4-31)

𝐻𝐻 = Förderhöhe

∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 = Druckdifferenz zwischen Stelle 1 und 2

Zur Definition von 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) vgl. auch Aufgabe 3.4.2.4. Spezifische Fallenergie 𝒀𝒀(𝑲𝑲𝑲𝑲)

Analog ergibt sich die spezifische Fallenergie 𝑌𝑌(𝐾𝐾𝐾𝐾) für eine Wasserturbine als abgeführte Energie pro kg Fluid zwischen Eintritt E und Austritt A (Abb. 1.4-23) zu 𝑌𝑌(𝑀𝑀) = 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 =

∆𝑝𝑝 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐽𝐽 𝑚𝑚2 � = = 2 �, mit 𝐻𝐻 = Fallhöhe 𝜌𝜌 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠

Abb. 1.4-23: Prinzip Kraftmaschine (KM), z.B. Wasserturbine

(Gl. 1.4-32)

56

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Spezifische Energie bei Wärmetauschern (Heizung ∆𝒒𝒒(𝑯𝑯) , Kühlung ∆𝒒𝒒(𝑲𝑲) )

Wird einem Fluid in einer Strömung Wärmeenergie zugeführt, so erhöht sich dessen Temperatur (Heizung), während eine Wärmeabfuhr zur Temperaturabsenkung führt (Kühlung). Die spezifische Wärme-(Energie-)Menge ∆𝑞𝑞 definiert sich bei einer Heizung ∆𝑞𝑞(𝐻𝐻) bzw. Kühlung ∆𝑞𝑞(𝐾𝐾) (Abb. 1.4-24) zu ∆𝑞𝑞(𝐻𝐻/𝐾𝐾) =

mit

𝑄𝑄1/2 𝐽𝐽 = 𝑐𝑐𝑚𝑚 ∙ (𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 ) � � 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘

(Gl. 1.4-33)

𝐽𝐽

𝑄𝑄1/2 = zu-/abgeführte Wärmemenge zwischen Stelle 1 und 2 in 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 = Masse in kg

𝐽𝐽

𝑐𝑐𝑚𝑚 = mittlere spezifische Wärmekapazität des Fluides in 𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝐾𝐾

𝑇𝑇1,2 = absolute Temperatur in K

Abb. 1.4-24: Spezifische Wärmeenergie bei Heizung bzw. Kühlung

Aus den bisherigen Betrachtungen lässt sich die erweiterte Bernoulli-Gleichung bei Energiezufuhr und Energieabfuhr in allgemeiner Form logisch so darstellen, dass unter Beachtung der Strömungsrichtung c immer von Stelle 1 nach Stelle 2, die zugeführte spezifischen Energien 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) , ∆𝑞𝑞(𝐻𝐻) ) die Bernoulli-Konstante erhöhen (bei Stelle 1 berücksichtigt), während die abgeführten spezifischen Energien 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑌𝑌(𝐾𝐾𝐾𝐾) , ∆𝑞𝑞(𝐾𝐾) ) bei der Stelle 2 einzutragen sind. Die Bernoulli-Gleichung zwischen 1 und 2 lautet damit 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝜌𝜌1 2 𝜌𝜌2 2

(Gl. 1.4-34)

𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = zugeführte spezifische Energie Zuschlag auf der Eingangsseite 1 (vor dem Energieveränderer!), da durch eine Energiezufuhr die Bernoulli-Konstante erhöht wird. Dadurch können Strömungsgrößen am Austritt (𝑝𝑝, 𝑐𝑐, 𝑧𝑧) vergrößert werden (vgl. Abb. 1.4-25) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = abgeführte spezifische Energie Zuschlag auf der Ausgangsseite 2 (nach dem Energieveränderer!),

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

57

da bei festliegender Bernoulli-Konstante am Eintritt, die Ausgangsgrößen (𝑝𝑝, 𝑐𝑐, 𝑧𝑧) reduziert werden (vgl. Abb. 1.4-25). Reibungsverluste sind hier ebenfalls zu berücksichtigen (Kap. 1.5 und Kap. 1.6).

Abb. 1.4-25: Schematische Darstellung der Bernoulli-Energieglieder an der Stelle 1 und der Stelle 2

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.5 Reibungsbehaftete Fluidströmungen (Durchströmung) Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich vorwiegend auf ideale, verlustfreie Strömungen. Bei den meisten praktischen Anwendungen treffen diese Vereinfachungen nicht mehr zu. Reale Strömungen weisen infolge der dynamischen Viskosität 𝜂𝜂 sowohl eine innere Fluidreibung als auch eine (äußere) Wandreibung mit Grenzschichten, oft drastisch verstärkt durch grenzschichtbedingte oder formbedingte Ablösungen (Totwasser), auf. Bei diesen Vorgängen erfolgt eine irreversible Umwandlung von mechanischer (hydraulischer) Energie in Wärmeenergie. Dies wird als Dissipation bezeichnet und entspricht einer Energieverschwendung, die möglichst zu vermeiden ist. Hierzu existieren zahlreiche strömungstechnische und konstruktive Hinweise und Regeln. Neben dem Reibungseinfluss, der für die Durchströmung von Rohrleitungen oder Kanälen bzw. umströmten Körpern (Kap. 1.6) besondere Bedeutung hat, sind bei flachen Gewässern der Schwereeinfluss (Froude-Zahl 𝐹𝐹𝐹𝐹) und bei Gasströmungen mit hohen Geschwindigkeiten der Dichteeinfluss (Mach-Zahl 𝑀𝑀𝑀𝑀) zu berücksichtigen (vgl. Kap. 1.8). Der Reibungseinfluss wurde vor allem durch den sogenannten Farbfaden-Versuch von O. Reynolds (1883) nachgewiesen. Dabei wurde ein Glasrohr aus einem offenen Wasserbehälter, durch Variationen einer Ventilöffnung, mit unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten beaufschlagt. Gleichzeitig wurde am Einlauf des Glasrohres ein Farbfluid zugemischt (Abb. 1.51).

Abb. 1.5-1: Versuchsanordnung von O. Reynolds (Umschlag laminare – turbulente Strömung)

Reynolds stellte fest, dass bis zu einer (nach ihm benannten) dimensionslosen Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

mit

𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷 ν

59

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑄𝑄 𝑚𝑚 (mittlere Geschwindigkeit) in 𝑠𝑠 𝐴𝐴 𝐷𝐷 = Rohrdurchmesser 𝑐𝑐̅ =

𝜂𝜂

ν = kinematische Viskosität (= 𝜌𝜌) in

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

die Strömung ohne Störung (in Schichten ≈ laminar) fließt. Oberhalb dieser kritischen Reynolds-Zahl (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ≈ 2300) sind einer geordneten Grundströmung unregelmäßige, zufallsbedingte Schwankungsbewegungen (turbulent) überlagert. Der eingeleitete Farbfaden wechselt dabei in eine wirre Schwankung und wird relativ schnell mit dem Fluid vermischt. Strenggenommen sind turbulente Strömungen instationär. In der Praxis interessieren jedoch nicht Einzelheiten der Schwankungsbewegung, sondern nur die Grundströmungsgröße, die als quasistationär angesehen werden kann. Um Berechnungen von verlustbehafteten Strömungen durchführen zu können, wird die Bernoulli-Gleichung bei Energieabfuhr aus Kap. 1.4.2.4 modifiziert.

1.5.1 Bernoulli-Gleichung für verlustbehaftete Strömungen Welche Terme der Bernoulli-Gleichung werden durch Verluste beeinflusst? -

Spezifische Lageenergie 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧  Ortshöhen sind unabhängig von Verlusten

-

Spezifische kinetische Energie

𝑐𝑐 2 2

 a) dichteabhängiges Fluid (𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.)

𝑄𝑄

Da 𝑄𝑄 und 𝐴𝐴 unabhängig von Verlusten sind, ist auch 𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 nicht von

-

Verlusten abhängig. b) dichteveränderliches Fluid (𝜌𝜌 = 𝑓𝑓(𝑝𝑝, 𝜗𝜗)) Wegen 𝜌𝜌 = 𝑓𝑓(𝑝𝑝) und 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉), ist auch 𝑐𝑐 abhängig von Verlusten (𝑐𝑐 = 𝑓𝑓(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉)), was z.B. bei Gas- oder Dampfturbinen zu berücksichtigen ist. 𝑝𝑝 spezifische Druckenergie 𝜌𝜌

 a) Druckabfall bei dichtebeständigem Fluid. b) Druck- und Dichteabfall sowie Temperatur und Geschwindigkeitsbeeinflussung bei dichteveränderlichem Fluid. Der allgemeine Fall einer Rohrleitung mit Verlusten ist in Abb. 1.5-2 dargestellt

60

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.5-2: Stromröhre und Terme der Bernoulli-Gleichung mit Verlusten zwischen den Stellen 1 und 2 bei einem dichtebeständigen Fluid

Durch die Verluste 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 zwischen den Stellen 1 und 2 wird zumeist 𝑝𝑝2 kleiner, als es gegenüber der idealen Strömung möglich wäre. Aus Gl. 1.4-32 ergibt sich die Bernoulli-Gleichung mit Verlusten (wenn zwischen den Stellen 1 und 2 keine Energiezufuhr erfolgt, d. h. 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = 0) zu ∑ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝜌𝜌1 2 𝜌𝜌2 2 𝜌𝜌

Der Term

∑ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 𝜌𝜌

(Gl. 1.5-1)

fasst alle Energie-Verluste zwischen den jeweiligen Stellen 1 und 2 zusammen.

Für die Einzelverluste wird eine dimensionslose Verlustziffer ζ definiert 𝜁𝜁 =

∆𝑝𝑝𝑉𝑉 [−] 𝑐𝑐 2 2

(Gl. 1.5-2)

𝜁𝜁 wird dabei immer auf eine definierte Geschwindigkeit 𝑐𝑐 bezogen und kann Werte zwischen 0 und ∞ annehmen. Bei der Anwendung von 𝜁𝜁-Ziffern aus der Literatur ist unbedingt auf die Stelle der Bezugsgeschwindigkeit 𝑐𝑐 zu achten!

In den folgenden Kapiteln werden die Grundlagen zur Ermittlung der Verlustziffern 𝜁𝜁 für Rohrleitungselemente und Stromstörer (z. B. Ventile) bei laminarer und turbulenter Strömung dargestellt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

61

1.5.2 Verluste bei laminarer Rohrströmung In Abb.1.5-1 wurde der Versuch von O. Reynolds zum Umschlag von der laminaren in die turbulente Rohrströmung dargestellt. Die im laminaren Zustand vorliegende Geschwindigkeitsverteilung im Rohrquerschnitt und der dabei konstante zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt P sind in Abb. 1.5-3 gezeigt.

Abb. 1.5-3: Laminare Rohrströmung (Geschwindigkeitsprofil und zeitlicher Verlauf)

Mit Hilfe des Impulssatzes (vgl. Kap. 1.7) und der Annahme, dass die Druckkräfte gleich groß wie die Fluidreibungskräfte sind, lässt sich das Stokes’sche Gesetz für den Verlauf 𝑐𝑐(𝑟𝑟) herleiten. Voraussetzung dabei ist, dass das Fluid an der Wand haftet (d.h. 𝑐𝑐(𝑟𝑟0 ) = 0)), was als Stokes’sche Haftbedingung bezeichnet wird. 𝑐𝑐(𝑟𝑟) =

𝑝𝑝1 −𝑝𝑝2 2 (𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 2 ) 4 ∙ 𝜂𝜂 ∙ 𝐿𝐿 0

≙ Paraboloid 𝑐𝑐(𝑟𝑟)

(Gl. 1.5-3)

Die mittlere Geschwindigkeit 𝑐𝑐̅ ist definiert als

(Gl. 1.5-4)

während 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 aus dem Stokes’schen Gesetz (Gl. 1.5-3) für 𝑐𝑐(𝑟𝑟 = 0!) folgt zu

(Gl. 1.5-5)

𝑐𝑐̅ =

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑄𝑄 = 2 𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑐𝑐(𝑟𝑟 = 0) =

𝑝𝑝1 −𝑝𝑝2 2 𝑟𝑟 4 ∙ 𝜂𝜂 ∙ 𝐿𝐿 0

Damit ergibt sich für den Volumenstrom 𝑄𝑄 bei laminarer Strömung und einem Rohrquerschnitt von 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟02 ∙ 𝜋𝜋 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝑟𝑟02 ∙ 𝜋𝜋 =

Durch das Einsetzen von 𝑟𝑟0 =

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝜋𝜋 𝑟𝑟08 ∙ 𝑟𝑟0 ∙ 𝜋𝜋 = ∙ (𝑝𝑝 −𝑝𝑝 ) 2 8 𝜂𝜂 ∙ 𝐿𝐿 1 2

(Gl. 1.5-6)

𝐷𝐷 2

𝜂𝜂 = 𝜈𝜈 ∙ 𝜌𝜌 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷 𝜈𝜈

und das Umstellen von Gl. 1.5-6 nach der Druckdifferenz (= Druckverlust zwischen 1 und 2) ergibt sich

62

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 =

64 𝐿𝐿 𝜌𝜌 2 ∙ ∙ 𝑐𝑐̅ Druckverlust bei laminarer Rohrströmung 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐷𝐷 2 (Kreis-Rohr) λ

(Gl. 1.5-7)

ζ Damit gilt (bei Einsetzung von 𝑅𝑅𝑅𝑅 = ∆𝑝𝑝 ~ 𝑐𝑐̅ ~ 𝑄𝑄

𝑐𝑐̅∙𝐷𝐷 ν

) bei laminarer Rohrströmung

d. h. der Druckverlust ist direkt proportional zum Volumenstrom 𝑄𝑄. Gemäß Gl.1.5-7 ist eine Rohrreibungszahl λ bei einem Kreis-Rohr definiert zu 𝜆𝜆 =

64 𝑅𝑅𝑅𝑅

𝜁𝜁 =

∆𝑝𝑝𝑉𝑉 64 𝐿𝐿 = ∙ 𝑐𝑐 2 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐷𝐷 2

(Kreis-Rohr)

(Gl. 1.5-8)

und die Verlustziffer ζ (vgl. Gl. 1.5-2) wird angegeben zu (Kreis-Rohr)

(Gl. 1.5-9)

Bei nicht kreisförmigen Rohrquerschnitten wird mit einem Rohrquerschnitts-Formfaktor 𝜑𝜑 gerechnet, der i. A. eine Funktion von 𝑅𝑅𝑅𝑅 ist. D. h. 𝜆𝜆 = 𝜑𝜑 ∙

64 𝑅𝑅𝑅𝑅

(nicht kreisförmiger Querschnitt)

(Gl. 1.5-10)

Beispielsweise gilt für durchströmte Kreisringdichtspalten 𝜑𝜑 = 1,5 Flachdichtspalten 𝜑𝜑 = 1,5

quadratische Rohre 𝜑𝜑 = 0,88

Es ist zu beachten, dass -

𝜆𝜆 ≠ 𝑓𝑓(𝑅𝑅𝑅𝑅ℎ𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Laminare Strömung selten, wohl aber bei - Spritzgießen von Kunststoff und Kautschuk - Schmierölleitungen

von Bedeutung ist. Des Weiteren bildet sich das vollständige, paraboloide, laminare Geschwindigkeitsprofil erst nach einer 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl abhängigen Einlaufstrecke 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸. aus (Abb. 1.5-4).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

63

Abb. 1.5-4: Einlaufstrecke 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸. bei laminarer Rohrströmung in Abhängigkeit von 𝑅𝑅𝑅𝑅 (nach Schiller bzw. Titjens)

Demnach können bei laminaren Rohrströmungen u.U. sehr lange Einlaufstrecken vorliegen, bei denen der λ-Wert bis zu 50% über den angegebenen Werten liegen kann. Besonders wichtig ist dies bei Messungen mit dem Kapillar-Viskosimeter.

1.5.3 Verluste bei turbulenter Rohrströmung Wird bei dem Versuch von O. Reynolds die 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl von 𝑅𝑅𝑅𝑅 ≈ 2300 überschritten, so schlägt die laminare Schichtenströmung in die turbulente Strömung um. Das dabei vorliegende Geschwindigkeitsprofil 𝑐𝑐(𝑟𝑟) und der zeitliche Verlauf der örtlichen Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt P sind in Abb. 1.5-5 gezeigt.

Abb. 1.5-5: Turbulente Rohrströmung (Geschwindigkeitsprofil und zeitlicher Verlauf)

Weil das Verhältnis

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐̅

< 1,25 bei turbulenten Strömungen nahe dem Wert 1 kommt, ist

dabei die Stromfadentheorie eine gute Näherung. Der Steilanstieg der Geschwindigkeit in Wandnähe wird als Grenzschicht mit der Abmessung 𝛿𝛿 bezeichnet.

64

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Anders als bei laminaren Strömungen ist die theoretische Berechnung der Druckverluste bei turbulenten Strömungen nicht möglich. Die experimentell erhaltenen Ergebnisse für die Rohrreibungszahl λ sind als Grundlage für Verlustberechnungen qualitativ in Abb. 1.5-6 dargestellt.

Abb. 1.5-6: Schematische Darstellung der Rohrreibungszahl λ in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 und vom Verhältnis des Rohrdurchmessers D zur Oberflächenrauhigkeit 𝑘𝑘

Die Rohrreibungszahl λ lässt sich durch Multiplikation mit dem Verhältnis ziffer ζ umrechnen 𝜁𝜁 = 𝜆𝜆 ∙

𝐿𝐿 𝐷𝐷

in die Verlust-

(Gl. 1.5-11)

Der Druckverlust ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 ergibt sich zu ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 = 𝜆𝜆 ∙

𝐿𝐿

𝐷𝐷

𝐿𝐿 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐̅ = 𝜁𝜁 ∙ 𝑐𝑐̅2 𝐷𝐷 2 2

(Gl. 1.5-12)

Auch bei der turbulenten Rohrströmung existiert eine Einlaufströmung, die in der Größenordnung 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸. ≈ (20 ÷ 40 ÷ 100) ∙ 𝐷𝐷 angegeben wird. Innerhalb dieser Länge sind die λWerte ca. 10% höher als in Rohrreibungsdiagrammen der Fachliteratur (gemäß Abb. 1.5-6) angegeben. Falls die durchströmten Querschnitte von der Kreisform abweichen, können die Diagramm-λWerte trotzdem genutzt werden, wenn mit dem sog. hydraulischen Durchmesser 𝐷𝐷ℎ (statt mit 𝐷𝐷) gerechnet wird (Abb. 1.5-7). 𝐷𝐷ℎ =

4 ∙ 𝐴𝐴 𝑈𝑈

(Gl. 1.5-13)

65

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

mit 𝐴𝐴 = Strömungsquerschnitt

𝑈𝑈 = Wandbenetzter Umfang

Abb. 1.5-7: Hydraulischer Durchmesser 𝐷𝐷ℎ bei verschiedenen Strömungsquerschnitten

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Beachte Turbulente Strömung  In allen Formeln 𝐷𝐷ℎ statt 𝐷𝐷 einsetzten! 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷ℎ 𝜈𝜈 𝐿𝐿 𝜌𝜌 2 ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 = 𝜆𝜆 ∙ ∙ 𝑐𝑐̅ 𝐷𝐷ℎ 2

z.B. 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

Beachte:

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 und nicht mit 𝐷𝐷ℎ die Fläche errechnen!

Laminare Strömung

 λ wird direkt mit Rohrquerschnittsformfaktor 𝜑𝜑 ermittelt! z.B. 𝜆𝜆 = 𝜑𝜑 ∙

64 𝑅𝑅𝑅𝑅

(Bei 𝑅𝑅𝑅𝑅 aber auch dort 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑐𝑐̅∙𝐷𝐷ℎ 𝜈𝜈

verwenden)

___________________________________________________________________________________________

Anmerkungen zur Rauigkeit 𝒌𝒌

Alle Rohrreibungs- (und auch Plattenreibungs-) Diagramme basieren auf der sog. Sandrauigkeit. Dabei werden dicht beieinander angeordnete Sandkörner gleicher Größe (𝑘𝑘𝑠𝑠 ) vorausgesetzt. Technische Rauigkeiten (z.B. geschliffen) sind damit nicht direkt vergleichbar in ihrer Verlustwirkung. Deswegen werden in der Praxis sog. Rauigkeitswerte 𝑘𝑘 verwendet, die in ihrer Wirkung der Sandrauigkeit entsprechen. Neue nahtlose Stahlrohre (mit Walzhaut) zum Beispiel werden in der Literatur mit 𝑘𝑘 = 0,02 bis 0,06 𝑚𝑚𝑚𝑚 angegeben. Details finden sich

66

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

in der Fachliteratur. Präzise Aussagen zu tatsächlich auftretenden Druckverlusten lassen sich allerdings nur machen, wenn die charakteristischen Strömungsoberflächen experimentell untersucht werden. Falls keine Literaturangaben vorliegen, kann als grober Anhaltswert der mittels TastschnittMessgerät ermittelte Wert der technischen Rauigkeit 𝑅𝑅𝑧𝑧 statt 𝑘𝑘 benutzt werden. 𝑅𝑅𝑧𝑧 ist dabei in Strömungsrichtung 𝑐𝑐 zu messen. Anschließend wird dieser Messwert durch einen Äquivalenzwert 𝐶𝐶Ä𝑞𝑞 geteilt, der zum gleichen Druckverlust wie die damit berechnete Sandrauigkeit 𝑘𝑘𝑠𝑠 führt. Für eine geschliffene Oberfläche, wie sie bei Wasserturbinenschaufeln vorliegen, ergibt sich beispielsweise ein 𝐶𝐶Ä𝑞𝑞 ≈ 2,6 =

𝑅𝑅𝑧𝑧 𝑘𝑘𝑠𝑠

𝑅𝑅

, was einen 𝑘𝑘𝑠𝑠 -Wert von 𝑘𝑘𝑠𝑠 = 2,6𝑧𝑧

liefert, der bei der Nutzung von Widerstandsdiagrammen einzusetzen ist.

Anwendungen von Rohrleitungsverlusten finden sich in Kap. 2.5 und Kap. 3.3.5.

1.5.4 Druckverluste von Einzel-Strömungsstörern Gegenüber einem idealen Fluid, welches als reibungsfrei angenommen wird (bzw. Viskosität 𝜂𝜂 = 0 ist) weist ein reales Fluid (𝜂𝜂 > 0!) immer Reibungs- und bei bestimmten Voraussetzungen auch Ablösungs- bzw. Verwirbelungsverluste auf. Reibungsverluste werden vor allem im Bereich der Grenzschichtdicke δ (vgl. Abb. 1.4-7) entstehen. Ist 𝛿𝛿 0) Fluide, mit Einschränkung auch für instationäre Strömungen.

Vorteilhaft für die Anwendung ist, dass nur die Randverhältnisse (𝑐𝑐 und 𝑝𝑝) in einem betrachteten Kontrollvolumen (𝐾𝐾𝐾𝐾) bekannt sein müssen, nicht aber die (in der Regel kaum bekannten) Strömungsverhältnisse im Inneren des Kontrollvolumens. Dadurch lassen sich z.B. die Kraftwirkungen in durchströmten Krümmern, Diffusoren und Konfusoren, Strömungsmaschinen, bei Raketen u. ä. berechnen bzw. deren Dimensionierung ermitteln.

1.7.1 Grundlagen zum Impulssatz In Abb. 1.7-2 ist der allgemeine Fall eines Strömungsfeldes dargestellt.

94

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.7-2: Strömungsfeld-Aufbau (Fluidteilchen 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 StromfadenStromröhreStrömungsfeld (begrenzt durch Kontrolloberfläche KV))

Um ein Fluidteilchen mit der Masse 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 zu beschleunigen, muss nach dem Newtonschen Grundgesetz eine äußere Kraft ������⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 auf 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 entlang seines Stromfadens einwirken. ������⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 ∙

mit

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑̇ 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑐𝑐⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∙ 𝑑𝑑𝑐𝑐⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Fasst man einige Stromfäden zusammen, so spricht man von einer Stromröhre. Die Integration ���⃗ aller Einzelkräfte ������⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 längs der Stromröhre zwischen den Stellen 1 und 2 liefert eine Kraft 𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑐𝑐2

���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑚𝑚̇ � 𝑑𝑑𝑐𝑐⃗ = 𝑑𝑑𝑚𝑚̇ ∙ (𝑐𝑐���⃗2 − ���⃗) 𝑐𝑐1 𝑐𝑐1

wenn vorausgesetzt wird, dass alle Teilchen 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 die gleichen Geschwindigkeitsdifferenzen ∆𝑐𝑐⃗ = ���⃗ 𝑐𝑐2 − ���⃗ 𝑐𝑐1 zwischen 1 und 2 aufweisen. Summiert man nun alle Stromröhren-Kräfte des Strömungsfeldes innerhalb des Kontrollvolumens KV, so erhält man die äußeren Kräfte auf das Kontrollvolumen, die von der Umgebung auf das Fluid einwirken, zu � ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑚𝑚̇ ∙ (𝑐𝑐���⃗2 − ���⃗) 𝑐𝑐1 = 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 − 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = 𝑚𝑚̇ ∙ ∆𝑐𝑐⃗

mit

∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 = äußere Kräfte von Umgebung auf das Fluid 𝑑𝑑𝐼𝐼⃗ 𝐹𝐹𝐼𝐼 (mit 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼⃗ = 𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐⃗) 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 = Ausströmender sekündlicher Impuls 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐼𝐼⃗̇ = ���⃗

𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = Einströmender Impuls

(Gl. 1.7-1)

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 hat die gleiche Richtung wie der Vektor ∆𝑐𝑐⃗. Die Multiplikation des Vektors ∆𝑐𝑐⃗ mit einer skalaren Größe 𝑚𝑚̇ liefert ebenfalls einen Vektor. Nach dem d’Alembertschen Prinzip „Actio = Reactio“ wirkt der Fluidstrom mit gleich großer aber entgegen gerichteter Kraft auf die Umgebung (Reaktionskraft ∑ 𝑅𝑅�⃗). Die Reaktionskraft ∑ 𝑅𝑅�⃗ gibt die wirkenden Kräfte von dem Fluid auf die Wände (KV) an. � 𝑅𝑅�⃗ = − � ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 (= 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 − 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗) 𝑐𝑐2

(Gl. 1.7-2)

Dies ist für eine angeströmte Peltonturbinenschaufel schematisch in Abb. 1.7-3 dargestellt.

Abb. 1.7-3: Prinzip „Actio = Reactio“ bei einer angeströmten Schaufel

Im Folgenden sollen die äußeren Kräfte ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 genauer betrachtet werden, die vom strömenden Fluid so „gespürt“ werden, als würden sie von „außen“ einwirken. Auch das sogenannte „Kontrollvolumen“ muss für die praktische Anwendung näher erläutert werden. Die äußeren Kräfte ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 setzen sich aus zwei Anteilen zusammen (Abb. 1.7-4) 1. Oberflächenkräfte 2. Volumen- oder Massekräfte

Dies ist schematisch für die Umströmung eines Tragflügelprofils in einem ebenen Strömungsfeld gezeigt. Das Kontrollvolumen ist hier so gewählt worden, dass alle wichtigen Kräftearten darstellbar sind.

96

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.7-4: Schematische Darstellungen der Kraftwirkungen bei einer Profilumströmung auf ein Kontrollvolumen KV (ebene Strömung)

Betrachten wir zunächst die Oberflächenkräfte: - Normal-(Druck-)Kräfte 𝐹𝐹𝐷𝐷 (aus Überdrücken 𝑝𝑝ü ) - Tangential-(Reibungs-)Kräfte 𝐹𝐹𝑅𝑅

Diese wirken sowohl auf 𝐴𝐴𝐹𝐹 als auch auf 𝐴𝐴𝐾𝐾 , also an der Oberfläche von KV. Im Inneren von KV wirken Volumen- oder Massenkräfte: -

Gewichtskraft im Schwerefeld 𝐹𝐹𝐺𝐺 Fliehkraft (gekrümmte Stromlinie) 𝐹𝐹𝑍𝑍 Magnetkraft (z.B. Ferrofluid), meist vernachlässigbar Elektrische Kraft, meist vernachlässigbar

Die Berechnung der Oberflächenkräfte erfolgt getrennt für 𝐴𝐴𝐹𝐹 und 𝐴𝐴𝐾𝐾 . Oberflächenkräfte auf 𝐴𝐴𝐹𝐹 : - Druckkräfte ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷

����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 = − � 𝑝𝑝ü ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑛𝑛�⃗ 𝐴𝐴𝐹𝐹

Das Minuszeichen rührt daher, dass 𝐹𝐹𝐷𝐷 gegen den in Abb. 1.7-4 eingetragenen Normalenvektor 𝑛𝑛�⃗ wirkt. 𝑝𝑝ü ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ist das Skalarprodukt, welches multipliziert mit dem Vektor 𝑛𝑛�⃗ den Vektor ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 ergibt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Beachte Es wird hier nur der Überdruck 𝑝𝑝ü eingesetzt, da der Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 sich über der gesamten Oberfläche 𝐴𝐴𝐹𝐹 ausgleicht. ___________________________________________________________________________________________

- Reibungskräfte ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 (meist vernachlässigbar) ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 = � 𝜏𝜏⃗ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐹𝐹

Oberflächenkräfte auf 𝐴𝐴𝐾𝐾 :

- Stützkraft ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆 (Addition von ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 und ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 ) ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆 = − � 𝑝𝑝ü ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑛𝑛�⃗ + � 𝜏𝜏⃗ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐹𝐹

𝐴𝐴𝐹𝐹

Die Stützkraft ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆 stellt die Auswirkung des Körpers (bzw. einer Wand) auf die Strömung dar. Aus dem Prinzip „Actio = Reactio“ ergibt sich die Reaktionskraft 𝑅𝑅𝑆𝑆 der Strömung auf die Wand gemäß

- Reaktionskraft ����⃗ 𝑅𝑅𝑆𝑆 ����⃗ ���⃗𝑆𝑆 𝑅𝑅𝑆𝑆 = −𝐹𝐹

Von den Volumen-/Massenkräften, die im Inneren von KV wirken, ist nur die Schwerkraft ����⃗ 𝐹𝐹𝐺𝐺 von Bedeutung, die sich ermittelt aus ����⃗ 𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝑔𝑔⃗ ∙ � 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔⃗ ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐾𝐾𝐾𝐾

Die Summation aller Teilkräfte ermittelt sich damit zu � ����⃗ 𝐹𝐹𝐴𝐴 = ����⃗ 𝐹𝐹𝐺𝐺 + ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 + ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 + ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆

(Gl. 1.7-3)

����⃗ ����⃗ ����⃗ ���⃗ Die einzelnen Kräfte wirken jeweils auf KV (𝐹𝐹 𝐺𝐺 ), 𝐴𝐴𝐹𝐹 (𝐹𝐹𝐷𝐷 und 𝐹𝐹𝑅𝑅 ) sowie 𝐴𝐴𝐾𝐾 (𝐹𝐹𝑆𝑆 ).

___________________________________________________________________________________________

Beachte Hinweise zur Wahl des Kontrollvolumens KV (bzw. Kontroll-Oberfläche mit der Breite „1“ bei ebener Strömung): 𝐾𝐾𝐾𝐾 ≙ 𝐴𝐴𝐹𝐹 + 𝐴𝐴𝐾𝐾

(Gl. 1.7-4)

98

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

a) Das Kontrollvolumen KV soll aus einer - einfachen - zusammenhängenden - in sich geschlossenen Oberfläche gebildet werden b) Zur Untersuchung der Strömungskräfte auf die Wand (oder den Körper), muss diese ein Teil von KV sein (𝐴𝐴𝐾𝐾 ). Beispielhaft ist dies in Abb. 1.7-5 gezeigt.

Abb. 1.7-5: Geschickte Wahl eines Kontrollvolumens KV

c) Möglichst einfache Angaben von Druck und Geschwindigkeit auf den Kontroll-Oberflächen (𝐴𝐴𝐹𝐹 , 𝐴𝐴𝐾𝐾 ) ___________________________________________________________________________________________

Im Folgenden sind die theoretischen Grundlagen für eine praktische Handhabung bei zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen 1. Vektorbetrachtung 2. Komponentenbetrachtung zusammengefasst.

99

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

zu 1. Vektorbetrachtung Hierbei werden die Kräfte und Impulsströme als Vektoren berechnet, müssen aber anschließend zeichnerisch oder rechnerisch in einem Kräfteplan ausgewertet werden, um z.B. die Stützkraft 𝐹𝐹𝑆𝑆 zu bestimmen. Die Berechnungsgleichung für ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 in Vektorform lässt sich darstellen zu � ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 − 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = ����⃗ 𝐹𝐹𝐺𝐺 + ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 + ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 + ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆

(Gl. 1.7-5)

mit

𝑑𝑑𝐼𝐼⃗̇ �������⃗ ̇ = �����⃗ = 𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐹𝐹𝐼𝐼2 (austretender Impulsstrom) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐼𝐼⃗̇ ������⃗ ̇ = �����⃗ 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = = 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐼𝐼1 (eintretender Impulsstrom) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 =

(Gl. 1.7-6) (Gl 1.7-7)

����⃗ ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 kann meistens vernachlässigt werden (𝐹𝐹 𝑅𝑅 ≈ 0). Beispiele hierzu finden sich in Kap. 3.7.1. zu 2. Komponentenbetrachtung Hierbei wird die Vektorgleichung (Gl. 1.7-5) in die Komponentenform für die Koordinaten 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 und 𝑧𝑧 umgeschrieben. Dadurch entfallen die Kräftepläne und das Ergebnis lässt sich zumeist schneller ermitteln. Gl. 1.7-5 in Komponentenform umgewandelt ergibt 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑦𝑦 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑧𝑧 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆

(in 𝑥𝑥-Richtung)

(in 𝑦𝑦-Richtung)

(Gl. 1.7-8)

(in 𝑧𝑧-Richtung)

Aus- und einströmender Impulsstrom für die 𝑧𝑧-Richtung (analog für 𝑥𝑥 und 𝑦𝑦) ermitteln sich zu - Ausströmender Impulsstrom für die 𝑧𝑧-Richtung

̇ 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐2𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ 𝑐𝑐2𝑧𝑧 = 𝐼𝐼2̇ 𝑧𝑧 = 𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐹𝐹𝐼𝐼2𝑧𝑧 𝑧𝑧

(Gl. 1.7-9)

- Einströmender Impulsstrom für die 𝑧𝑧-Richtung

̇ 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐1𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ 𝑐𝑐1𝑧𝑧 = 𝐼𝐼1̇ 𝑧𝑧 = 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝐹𝐹𝐼𝐼2𝑧𝑧 𝑧𝑧

(Gl. 1.7-10)

___________________________________________________________________________________________

Beachte Dabei sind unbedingt die Vorzeichen der aus- und einströmenden Geschwindigkeitskomponenten (z.B. 𝑐𝑐2𝑧𝑧 und 𝑐𝑐1𝑧𝑧 ) zu beachten in Bezug zum Kontrollvolumen KV: 𝑐𝑐2𝑧𝑧 ist z.B. positiv (+), wenn die Wirkungsrichtung die gleiche ist wie die der 𝑧𝑧-Koordinate, sonst negativ.

100

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Analoges gilt für die Druckkraftkomponenten 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 , 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 und 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 .

___________________________________________________________________________________________

1.7.2 Grundlagen zum Drehimpulssatz (Drallsatz) Gegenüber dem Impulssatz, der bei der Umströmung von feststehenden Körpern oder der Durchströmung von ortsfesten Kanälen angewendet wird, kommt bei Strömungen mit gleichzeitiger Drehbewegung (Rotation) der um- oder durchströmten Wände der Drallsatz zur Anwendung. Dieser ist beispielsweise für die Bestimmung von Kräften und Momenten bei Strömungen in - Pumpenlaufrädern - Turbinenlaufrädern - Rührwerken usw. unabhängig vom jeweiligen Fluid, erforderlich. Prinzip des Drallsatzes: Würde man den in Kap. 3.7.1 (Abb. 3.7-1) durchströmten Krümmer theoretisch an einer ����⃗ ����⃗ ����⃗ ����⃗ Stange befestigen und drehbar lagern, so würden alle wirkenden Kräfte (𝐼𝐼⃗,̇ 𝐹𝐹 𝐺𝐺 , 𝐹𝐹𝐷𝐷 , 𝐹𝐹𝑅𝑅 , 𝐹𝐹𝑍𝑍 ), die nicht eine resultierende Richtung durch den Drehpunkt aufweisen, Drehmomente 𝑇𝑇 erzeugen (Abb. 1.7-6).

101

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.7-6: Prinzipdarstellung für den Drallsatz

Die jeweiligen Impulsmomente ∑ 𝑇𝑇𝐼𝐼̇ �= ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝐼𝐼̇ ∙ 𝑟𝑟𝐼𝐼̇ = ∑ 𝐼𝐼⃗̇ ∙ 𝑟𝑟𝐼𝐼̇ � und die „äußeren“ Drehmomente ∑ 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑎𝑎 �= ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 ∙ 𝑟𝑟𝑎𝑎 � liefern, auf den gemeinsamen Drehpunkt bezogen, mit � 𝑇𝑇 = 0

(Gleichgewicht)

(Gl. 1.7-11)

Aussagen über das Wellen-Drehmoment. Analog zum Impulssatz (∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝐼𝐼̇ = ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 ) gilt damit die Gleichgewichtsbeziehung

� 𝑇𝑇𝐹𝐹𝐼𝐼̇ = � 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑎𝑎

(Gl. 1.7-12)

So wie beim Impulssatz muss auch beim Drallsatz ein Kontrollvolumen KV geschickt gewählt werden (gemäß den Anforderungen von Kap. 1.7.1). Für ein Kreiselpumpenlaufrad ist dies in Abb. 1.7-7 räumlich gezeigt. Es sind nur zwei Schaufeln dargestellt, um das Wesentliche zu erklären. Die Pfeile entlang der Kontrolloberfläche sollen „den in sich geschlossenen“ Verlauf eines Kontrollvolumens sowie die Aussparungen am Schaufelaustritt zeigen, sodass die Strömungskräfte auf diese ermittelt werden können.

102

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.7-7: Wahl des Kontrollvolumens KV bei einem Kreiselpumpenlaufrad

Bei der folgenden Ableitung der sog. „Eulerschen Hauptgleichung“ werden die in Kap. 1.7.1 ����⃗ ����⃗ ����⃗ noch erwähnten Gewichts- (𝐹𝐹 𝐺𝐺 ), Druck- (𝐹𝐹𝐷𝐷 )- und Reibungskräfte (𝐹𝐹𝑅𝑅 ) vernachlässigt, da sie i. a. keinen wesentlichen Einfluss auf das gesuchte Wellen-Drehmoment 𝑇𝑇 (analog zu ∑ ���⃗ 𝐹𝐹𝑎𝑎 ) ⃗ ̇ liefern. Dieses wird hauptsächlich durch die Strömung, also die Impulskräfte 𝐼𝐼 , verursacht. In Abb. 1.7-8 sind die Absolutgeschwindigkeiten 𝑐𝑐1 am Eintritt in den Schaufelkanal und 𝑐𝑐2 am Austritt des Pumpenlaufrades dargestellt. Das Kontrollvolumen wurde zur besseren Übersichtlichkeit weggelassen. Die Geschwindigkeiten 𝑐𝑐1 und 𝑐𝑐2 wurden in eine Umfangskomponente 𝑐𝑐𝑢𝑢 und eine Meridiankomponente 𝑐𝑐𝑚𝑚 zerlegt. Nur 𝑐𝑐𝑢𝑢 wird einen Beitrag zum Drehmoment 𝑇𝑇 (Drehimpuls) liefern, während 𝑐𝑐𝑚𝑚 den Fluidtransport (Volumenstrom 𝑄𝑄) sicherstellt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

103

Abb. 1.7-8: Schaufelplan und Absolutgeschwindigkeiten 𝑐𝑐1 (vor Schaufeleintritt) und 𝑐𝑐2 (nach Schaufeleintritt) bei einer radialen Kreiselpumpe sowie deren Komponenten 𝑐𝑐𝑢𝑢 ( 𝑇𝑇) und 𝑐𝑐𝑚𝑚 ( 𝑄𝑄)

Es gilt die Gleichgewichtsbedingung Gl. 1.7-12

mit

� 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑎𝑎 = � 𝑇𝑇𝐹𝐹𝐼𝐼̇

∑ 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑎𝑎 : Drehmoment aller „äußeren Kräfte“, die von außen auf die Strömung im KV einwirken (hier Wellen-Antriebsmoment der Pumpe) ∑ 𝑇𝑇𝐹𝐹𝐼𝐼̇ : „Drehmoment“ aller Impulskräfte

Beispielsweise ergibt sich der eintretende Drehimpuls zu �����⃗ ̇ ∙ 𝑅𝑅1 𝑇𝑇𝐼𝐼1𝑢𝑢 ̇ = 𝐼𝐼1𝑢𝑢

𝑇𝑇𝐼𝐼1𝑢𝑢 ̇ = � 𝜌𝜌 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ∙ 𝑅𝑅1 𝐴𝐴1

und mit 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴1

𝑇𝑇𝐼𝐼1𝑢𝑢 ̇ = � 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ∙ 𝑅𝑅1 𝐴𝐴1

𝑇𝑇𝐼𝐼1𝑢𝑢 ̇ = 𝑅𝑅1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ∙ 𝜌𝜌 ∙ � 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴1

(Gl. 1.7-13)

𝑇𝑇𝐼𝐼2𝑢𝑢 ̇ = 𝑅𝑅2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 ∙ 𝜌𝜌 ∙ � 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴2

(Gl. 1.7-14)

𝐴𝐴1

Analog ermittelt sich für den Austrittsquerschnitt 𝐴𝐴2 : 𝐴𝐴2

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt für den Massenstrom zwischen 𝐴𝐴1 und 𝐴𝐴2 :

104

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

(Gl. 1.7-15)

� 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑄𝑄 𝐴𝐴1

� 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴2 = 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝑄𝑄

(Gl. 1.7-16)

𝑇𝑇𝐼𝐼1𝑢𝑢 ̇ = 𝑅𝑅1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄

(Gl. 1.7-17)

𝐴𝐴2

Somit vereinfachen sich Gl. 1.7-13 und Gl. 1.7-14 zu 𝑇𝑇𝐼𝐼2𝑢𝑢 ̇ = 𝑅𝑅2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄

(Gl. 1.7-18)

𝑇𝑇 = � 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑇𝑇𝐼𝐼2𝑢𝑢 − 𝑇𝑇𝐼𝐼1𝑢𝑢

(Gl. 1.7-19)

Der vollständige Ansatz zur Bestimmung des resultierenden Drehimpulses 𝑇𝑇 liefert

also die Differenz des pro Zeiteinheit ausströmenden zum einströmenden Drehimpuls. Dementsprechend folgt mit Gl. 1.7-17 und Gl. 1.7-18 𝑇𝑇 = 𝑅𝑅2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 − 𝑅𝑅1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄

(Gl. 1.7-20)

𝑇𝑇 = 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ (𝑅𝑅2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 − 𝑅𝑅1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 )

Die theoretische Leistung 𝑃𝑃𝑡𝑡ℎ einer Strömungsmaschine (vgl. Kap. 3.4.2.4) ist bestimmbar aus 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ oder auch aus Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit 𝑃𝑃𝑡𝑡ℎ = 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ =! 𝑇𝑇 ∙ 𝜔𝜔

(Gl. 1.7-21)

A

Dabei sind definiert

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ = Theoretische spezifische Förderenergie 𝑚𝑚̇ = 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌

Daraus ergibt sich

𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ = 𝑇𝑇 ∙ 𝜔𝜔

(Gl. 1.7-22)

𝑢𝑢1 = 𝑅𝑅1 ∙ 𝜔𝜔

(Gl. 1.7-23)

Mit der Umfangsgeschwindigkeit 𝑢𝑢 = 𝑅𝑅 ∙ 𝜔𝜔 folgt

(Gl. 1.7-24)

𝑢𝑢2 = 𝑅𝑅2 ∙ 𝜔𝜔

Setzt man Gl. 1.7-20, Gl.17-23 und Gl. 1.7-24 in Gl. 1.7-22 ein, führt das zu der Eulerschen Hauptgleichung 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ = 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ (𝑅𝑅2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 − 𝑅𝑅1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ) ∙ 𝜔𝜔 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ = (𝑅𝑅2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 − 𝑅𝑅1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 ) ∙ 𝜔𝜔 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ = 𝑢𝑢2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 − 𝑢𝑢1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢

|∙

1 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌

Es sei darauf hingewiesen, dass die Eulersche Hauptgleichung nur gilt für:

(Gl. 1.7-25)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

105

- Dichtebeständige Fluide (𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 = 𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) ����⃗ ����⃗ ����⃗ ����⃗ - Volumenkräfte (𝐹𝐹 𝐺𝐺 ), Reibungskräfte (𝐹𝐹𝑅𝑅 ), Druckkräfte (𝐹𝐹𝐷𝐷 ) und Zentrifugalkräfte (𝐹𝐹𝑍𝑍 ) vernachlässigbar - Alle Fluidteilchen besitzen am Umfang gleiche Absolutgeschwindigkeit 𝑐𝑐 und gleiche Richtung 𝛽𝛽 - Das Laufrad besitzt unendlich (∞) viele, unendlich (∞) dünne Schaufeln, was zu einer schaufelkongruenten Strömung führt. Diese ist verlustfrei und gleichförmig (homogen) fließend angenommen. Damit wird 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ = 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞

(Gl. 1.7-26)

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑢𝑢2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 − 𝑢𝑢1 ∙ 𝑐𝑐1𝑢𝑢 = 𝑢𝑢2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢 − 𝑢𝑢1 ∙ 0 = 𝑢𝑢2 ∙ 𝑐𝑐2𝑢𝑢

(Gl. 1.7-27)

𝑐𝑐𝑢𝑢2 = 𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ cot 𝛽𝛽 ´

(Gl. 1.7-28)

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑢𝑢2 ∙ �𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ cot 𝛽𝛽 ´ �

(Gl. 1.7-29)

Aus der Eulerschen Hauptgleichung (Gl. 1.7-25) lässt sich nun der theoretische Kennlinienverlauf 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) für eine in der Praxis gebräuchliche Annahme „drallfreier“ Eintritt (𝑐𝑐1𝑢𝑢 = 0) ermitteln: Mit den in Abb. 1.7-9 dargestellten Geschwindigkeitsdreiecken einer Radial-Kreiselpumpe bei drallfreiem Eintritt findet man

Eingesetzt in Gl. 1.7-27 folgt

Abb. 1.7-9: Geschwindigkeitsdreiecke einer Radial-Kreiselpumpe bei drallfreier Zuströmung

Mit Gl. 1.7-29 lässt sich für einen bestimmten Volumenstrom 𝑄𝑄(~𝑐𝑐2𝑚𝑚 ), den Schaufelaustrittswinkel 𝛽𝛽2´ = 𝛽𝛽 und eine konstant gehaltene Antriebsdrehzahl 𝑛𝑛 (wobei 𝜔𝜔 = 2 ∙ 𝑅𝑅2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛 bzw. 𝑢𝑢2 = 𝜔𝜔 ∙ 𝑅𝑅2 ) der theoretische Kennlinienverlauf 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) grafisch darstellen (Abb. 1.710).

106

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.7-10: Theoretischer und tatsächlicher Kennlinienverlauf von Arbeitsmaschinen bei verschiedenen Schaufelaustrittswinkeln 𝛽𝛽2´

Die Größe des Schaufelaustrittswinkels 𝛽𝛽2´ bestimmt den Kennlinienverlauf von Kreiselpumpen (𝛽𝛽2´ < 90°), Verdichter (𝛽𝛽2´ ≈ 90°) und Ventilator (𝛽𝛽2´ > 90°). Für den Fall einer Radial-Kreiselpumpe wird die Aufgabe einer Kennlinienermittlung in Kap. 3.7.2 behandelt.

Abschließend ist darauf hinzuweisen, dass Radial-Strömungsmaschinen (z.B. Kreiselpumpe, Francis-Turbine) aufgrund der Annahme „Kanalströmung“ (bei unendlich vielen, unendlich dünnen Schaufeln) berechnet werden, während Axial-Strömungsmaschinen (z.B. Propellerpumpe, Kaplanturbine) gemäß „Tragflügeltheorie“ (Schaufel ≙ Tragflügelprofil) zu behandeln sind.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

107

1.8 Sondergebiete der Fluidmechanik Die bisher behandelten Themen betrafen die üblicherweise in Lehrbüchern bevorzugten Grundlagen der Fluidmechanik. Darüber hinaus sind jedoch weitere Sachgebiete für die Ingenieurpraxis von Bedeutung. Ohne die Kenntnis dieser scheinbar am Rande liegenden Effekte und Wissensbereiche sind viele Aufgaben nicht lösbar. Von besonderem Wert für praktische Anwendungen und Effekterklärungen sind die folgenden Teilgebiete: -

Grenzflächenspannung Flüssigkeitskavitation Ähnlichkeits- und Modellgesetze Gasströmungen,

die nachfolgend erläutert und mit typischen Aufgaben vertieft werden.

1.8.1 Grenzflächenspannung 𝝈𝝈 und Kapillarität

Die Grenzflächenspannung 𝜎𝜎 (weniger präzise als Oberflächenspannung bezeichnet) tritt immer dort in Erscheinung, wo Fluide (z.B. Wasser) mit anderen Fluiden (z.B. Luft) und/ oder Stoffen (z.B. Glas) in Kontakt treten. Für einen einfachen Fall ist dies in Abb. 1.8-1 gezeigt.

Abb. 1.8-1: Entstehung und Wirkung der Grenzflächenspannung 𝜎𝜎 (wassergefülltes Glasgefäß)

Während im Inneren der Flüssigkeit die Kohäsionskräfte aller benachbarten Flüssigkeitsteilchen ausgeglichen sind (gleiche Stoffeigenschaft) trifft dies an den Grenzflächen (WasserLuft, Wasser-Luft-Glaswand) nicht mehr zu. Dies führt quasi zu einer „Membranspannung“ an der freien Oberfläche. Deren Wirkung besteht darin, das eingeschlossene Fluid auf den energetisch günstigsten Zustand zu bringen. Das ist die Kugelform (= kleinste Oberfläche für gegebenes Volumen), was unschwer an Seifenblasen oder Flüssigkeitstropfen erkennbar ist. Die Kenntnis derartiger Effekte sind besonders wichtig in der Verfahrenstechnik (z.B. Waschen, Benetzten, Schäumen). Eine weitere Wirkung von 𝜎𝜎 zeigt sich an festen Begrenzungswänden (z.B. Glasbehälter), wobei die Fluidoberfläche einen sog. Meniskus ausbildet, der bei der Kombination „GlasWasser-Luft“ konkav ist und das Fluid an der Glaswand nach oben steigen lässt. Dieser Effekt wird auch als Kapillarität oder Kapillarwirkung bezeichnet.

108

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Die Messung der Grenzflächenspannung 𝜎𝜎 wird nachfolgend beschrieben.

1.8.1.1 Grenzflächenspannung 𝜎𝜎

Als anschauliche Bestimmung von 𝜎𝜎 wird die sog. Bügelmethode herangezogen (siehe Abb. 1.8-2), bei der entweder die Definition einer „spezifischen Schnittkraft“ (der gedachten Membran) oder die Darstellung einer „spezifischen Oberflächenenergie“ genutzt wird. Der bewegliche Bügel wird z.B. mit einer Seifenlösung benetzt und die Zugkraft beim Abriss der dünnen Seifenblase gemessen.

Abb. 1.8-2: Messmöglichkeit/ Definition der Grenzflächenspannung 𝜎𝜎

Die jeweils unterschiedlichen Definitionen 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎 =

𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐹𝐹 𝑁𝑁 = � � 𝑆𝑆𝑆𝑆ℎ𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ä𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹ä𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒 2 ∙ 𝑙𝑙 𝑚𝑚

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∆𝑊𝑊 𝐹𝐹 ∙ ∆𝑠𝑠 𝐹𝐹 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝑁𝑁 = = = � = � 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂ä𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚 ∆𝐴𝐴 2 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ∆𝑠𝑠 2 ∙ 𝑙𝑙 𝑚𝑚2 𝑚𝑚

(Gl. 1.8-1) (Gl. 1.8-2)

führen zum gleichen Ergebnis. Je nach Fragestellung wird die eine oder andere Definitionsgleichung zum Ergebnis führen. Beispielsweise wird bei der Betrachtung von Seifenblasen Gl. 1.8-1 genutzt während bei Zerstäubungsprozessen Gl. 1.8-2 (s. Aufgabe 3.8.1.1) angewendet wird.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

109

Bei dem Einsatz professioneller Mesgeräte wird als Ergebnis der Kraftverlauf 𝐹𝐹 über eine Wegänderung 𝑠𝑠 ausgegeben (Abb. 1.8-3), was genauere Aussagen zur spezifischen Eignung von Fluiden ermöglicht.

Abb. 1.8-3: Kraft-Weg-Verlauf für ein bestimmtes Fluid mittels Bügel- oder Ringmethode

Ergebnisse solcher 𝜎𝜎 -Messungen bei 20 °C sind in Abb. 1.8-4 zusammengefasst. 𝜎𝜎 wird kleiner mit steigender Temperatur und Verunreinigungen im Fluid. Fluide Öl/Luft Wasser/Luft 𝐻𝐻𝑔𝑔 /Luft

Alkohol/Wasser Öl/Wasser 𝐻𝐻𝑔𝑔 /Wasser

𝑁𝑁

𝜎𝜎 �𝑚𝑚� bei 20° C 25 ∙ 10−3 73 ∙ 10−3 472 ∙ 10−3 2 ∙ 10−3 18 ∙ 10−3 380 ∙ 10−3

Abb. 1.8-4: Grenzoberflächenspannung 𝜎𝜎 bei verschiedenen Stoff-Kombinationen (entspricht 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 von Gl. 1.8-3 von Kap. 1.8.1.2)

1.8.1.2 Meniskus, Kapillarität und Kontaktwinkel Als Wirkung an Grenzflächen zwischen Fluidtropfen und anderen Stoffen (z.B. Glaswand) zeigen sich kuppen- bis kugelförmige Gebilde, die sich jeweils durch einen charakteristischen Randwinkel α auszeichnen (Abb. 1.8-5)

Abb. 1.8-5: Tropfenausbildung an Grenzflächen „Fluid (l für liquid) – Festkörper (s für solid ) – Gas (g für gaseous)“ und wirksame „Spannungskräfte“ an einem Fluidmolekül im Gleichgewichtszustand

110

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Der Gleichgewichtszustand der Grenzflächenspannungen (die proportional zu den Kräften pro Längeneinheit sind) liefert die Haftungsbedingung, also den Stillstand des Tropfens: 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ cos 𝛼𝛼 + 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝜎𝜎𝑠𝑠𝑠𝑠

(Young’sche Gleichung) !

𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ cos 𝛼𝛼 = 𝜎𝜎𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ≈ 𝜎𝜎𝐻𝐻

Haftspannung 𝜎𝜎𝐻𝐻

(Gl. 1.8-3)

Prinzipiell unterscheidet man den Meniskusfall der Benetzung, der Nichtbenetzung und den Sonderfall einer Berührstelle „Fluid1-Fluid2-Luft“ (Abb. 1.8-6).

Abb. 1.8-6: Formen der Meniskusbildung

Im rechten Bildteil von Abb. 1.8-6 ist die analoge Wirkung der Meniskusabbildung in engen Röhren dargestellt, die als Kapillarwirkung bezeichnet wird. Im Fall der Benetzung (𝛼𝛼 < 90°) steigt der Fluidspiegel in dem Röhrchen gegenüber dem Ursprungsniveau in einem großen Behälter, bei der Nichtbenetzung (𝛼𝛼 > 90°) sinkt er. In Aufgabe 3.8.12 findet sich ein Beispiel für die Kapillarwirkung.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

111

___________________________________________________________________________________________

Beachte Der Randwinkel α wird immer von der festen Wand, durch das Fluid, zur Grenze zwischen Fluid und Gas hin gemessen! ___________________________________________________________________________________________

1.8.2 Kavitation Alle strömenden Fluide gehen bei Erreichen ihres fluidspezifischen Dampfdrucks 𝑝𝑝𝐷𝐷 bereits bei Raumtemperatur von der flüssigen in die dampfförmige Phase über. Dies wird als Flüssigkeitskavitation oder i.a. als Kavitation bezeichnet. Die dabei stattfindende Blasenbildung ist identisch mit der beim gewöhnlichen Kochprozess von Wasser bei Atmosphärendruck (𝑝𝑝0 = 1𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) und ca. 100 °C. Anschaulich werden diese Prozesse in der Dampfdruckkurve von Wasser dargestellt (Abb. 1.8-7).

Abb. 1.8-7: Physikalische Zustandsformen von Wasser und ähnliche Übergänge „flüssig  dampfförmig“ beim „Kochen“ und bei „Flüssigkeitskavitation“

Wird z.B. eine Schaufel einer Kaplanturbine mit der Relativgeschwindigkeit 𝑤𝑤 angeströmt, so wird bei der Umströmung der Eintrittskante (Stelle x) die Geschwindigkeit auf 𝑤𝑤𝑥𝑥 erhöht. Nach Bernoulli sinkt dabei der Druck 𝑝𝑝𝑥𝑥 und, falls dieser Druck bei bestimmten kritischen Betriebszuständen den Dampfdruck 𝑝𝑝𝐷𝐷 erreicht, entsteht an dieser Stelle eine Dampfblase. Diese schwimmt mit der Strömung mit und wächst gleichzeitig, da 𝑤𝑤 durch die zunehmende Versperrungswirkung des Profils zunimmt und der Druck 𝑝𝑝𝐷𝐷 konstant bleibt (Wasser kann kaum Zugspannung aufnehmen). Erst weiter hinten an der Schaufel kann der Druck wieder über 𝑝𝑝𝐷𝐷 ansteigen (weil 𝑤𝑤 kleiner wird), so dass die Dampfblase wieder in den flüssigen Zustand gelangt. Dies geschieht in Wandnähe aber nicht durch eine einfache Implosion, sondern so, dass sich zunächst die Blase auf der wandabgewandten Seite einbuchtet. In diese Einbuchtung strömt nun Wasser ein und durchdringt die Blase, die dann die Form eines

112

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Blasentorus (ähnlich einem O-Ring) annimmt. Der durch die Blase schießende Wasserstrahl 𝑚𝑚 knallt dann mit hoher Intensität (bis 1000 𝑠𝑠 , bis 105 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) als Mikrojet auf die Schaufelwand

(Abb. 1.8-8). Dieser Vorgang wiederholt sich in einer schwingend abklingenden Form „Mikrojet ↔ Gegenjet“ mehrmals hintereinander, bis schließlich der sich ständig verkleinernde Dampftorus vollständig verflüssigt ist.

Abb. 1.8-8: Dampfblasenausbildung bei 𝑝𝑝𝑥𝑥 ≈ 𝑝𝑝𝐷𝐷 und Mikrojetentstehung bei 𝑝𝑝 > 𝑝𝑝𝐷𝐷 bei einer Umströmung einer Kaplan-Turbinenschaufel

Weil dieser Mikrojet für den Schaufelwerkstoff eine Dauerdruckschwellbeanspruchung darstellt, wird bei längerer Betriebsweise in diesem kavitierenden Zustand, der gleichzeitig mit einem hohen Geräuschpegel und sinkendem Wirkungsgrad verbunden ist, der Werkstoff zerstört. Aus der Hohlraumbildung der Flüssigkeitskavitation kann dadurch als Langzeitwirkung eine Werkstoffkavitation entstehen (Abb. 1.8-9).

Abb. 1.8-9: Werkstoffkavitation bei Dauerbetrieb durch Mikrojet-Druckschwellbelastung

In Abb. 1.8-10 ist die gesamte Sequenz von der Dampfblasenausbildung über das Wachstum, die Verkleinerung, die Einschnürung bis hin zur Mikrojet-Ausbildung und den Zerfall der Flüssigkeitskavitation in Hochgeschwindigkeitsaufnahmen gezeigt. Die Sequenz beginnt in der oberen ersten Reihe links und endet in der fünften unteren Reihe rechts. Die untere Begrenzung jeder Reihe stellt die Wand dar. Bis zur Mitte der dritten Reihe wächst die Blase und bildet dort den ersten Mikrojet aus. Dieser wird am Ende der vierten Reihe durch einen Gegenjet abgelöst, bis dieser Vorgang sich mehrmals wiederholt und dabei in der fünften Reihe abklingt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

113

Abb. 1.8-10: Sequenz der Flüssigkeitskavitation aus Hochgeschwindigkeitsausnahmen [BAN 19]

Abb. 1.8-11 vermittelt an einer einzelnen Blase die Geometrie des Mikrojets mit Einschnürung und Durchschlag zur Wand hin.

Abb. 1.8-11: Hochgeschwindigkeitsaufnahme einer Dampfblase mit Mikrojet-Durchschuss [BAN 19]

Zur besseren Darstellung des Mikrojet-Durchschusses wurde Abb. 1.8-11 grafisch aufgearbeitet und mit einer HD-Darstellung in Abb. 1.8-12 dargestellt.

114

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.8-12: Graphisch nachgearbeitete Hochgeschwindigkeitsaufnahme einer Dampfblase mit MikrojetDurchschuss [BAN 19]

Der Mechanismus der Werkstoffkavitation ist in Abb. 1.8-13 durch vier Schritte dargestellt, die dort erläutert werden.

Abb. 1.8-13: Lochfraß-Wirkung einer Dauerdruckschwellbelastung durch Mikrojets auf Werkstoffe

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

115

Kavitation tritt also überall auf, wo der Druck in einer Strömung in die Nähe des Dampfdrucks absinkt, was i.d.R. durch Geschwindigkeitszunahmen verursacht wird: - Verengte Querschnitte (z.B. Venturi-Düse) - Schroffe Querschnittsveränderungen (z.B. Schaufeleintritt, Ventile) - Wirbelzentren (z.B. in abgelösten Strömungen, etc.) Betroffen sind alle Strömungsmaschinen und fluidführende Anlagenteile. Werkstoffkavitation tritt allerdings erst nach einer mehr oder weniger langen, werkstoff- und beanspruchungsspezifischen Inkubationszeit auf. Danach jedoch exponentiell zunehmend. Zur Vermeidung von Kavitation muss der örtliche Druck 𝑝𝑝𝑥𝑥 an voraussichtlich gefährdeten Stellen x strömungsbegrenzender Wände bekannt sein. In Kap. 1.4.2.2 ist dies am praktischen Beispiel des Schaufeleintritts einer Kreiselpumpe im Detail erläutert worden. Ein einfaches Anwendungsbeispiel findet sich in Kap. 3.8.2. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Die Bedingung zur Vermeidung von Kavitation an einer ansonsten kavitationsgefährdeten Stelle x (z.B. Verengung, hohe Strömungsgeschwindigkeit, evakuierte Systeme, Wirbelzentren, starke Strömungsumlenkung) ist 𝑝𝑝𝑥𝑥 ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷 (Gl. 1.8-4) ___________________________________________________________________________________________

Die bisher beschriebenen Wirkungen der Flüssigkeitskavitation lassen sich allerdings auch positiv nutzen, wie beispielsweise bei Reinigungsprozessen mittels Ultraschall. Hier wird zumeist eine Flüssigkeit mit chemischer Anlösewirkung (Lauge, Entspannungsmittel) eingesetzt und die physikalisch/ mechanische Mikrojetwirkung zur porentiefen Oberflächensäuberung genutzt. Je höher die Ultraschallfrequenz (Bereich 20 – 200 kHz) ist, umso kleiner sind die Kavitationsblasen (wenige µm), deren Mikrojets jedoch umso wirkungsvoller in feinste Vertiefungen hineinwirken kann. Diese Wirkung lässt sich z.B. bei käuflichen Geräten zur Brillen- und Schmuckreinigung durch kurzes Eintauchen eines Fingers prickelnd spüren (siehe Video „Ultraschall-Reinigung“). An dieser Stelle ein Gedicht über die Kavitation.

116

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Kavitation 1. Ein Jeder weiß, was so passiert, wenn man im Suppentopf rumrührt, mit Wasser, 100 Grad soeben, im Topf beginnt es wild zu beben. Es sprudelt Blasen, dampft und zischt, dank „Kochen“ wird´s dein Leibgericht.

6. Nanu, denkt unser Bläschen noch, was war denn das, ich hab ein Loch? Und unsre Möhre merkt ´nen Stich, nicht sanft, sondern ganz fürchterlich! Was da passiert, ist gar nicht nett, Man nennt es einen Mikrojet!

2. Jetzt denk dir schnell ´ne enge Röhre, in der, Kopf vorne, hängt ´ne Möhre, die wird umströmt von Wasser, fix, von nur 10 Grad, passiert dann nix? Doch, ´s Möhrchen wird dadurch nicht gar, nur´s Spitzchen ist bald nicht mehr da.

7. Und so wie immer, wie gemein, steter Tropfen höhlt den Stein! Der Mikrojet ersetzt den Tropf´, die Röhre unsern Wassertopf. Kavitation, echt sonderbar, fetzt´s Möhrchen hinten ganz und gar.

3. War der Impuls vielleicht zu heftig? Wurd´ abgebrochen, schnell und kräftig? Nein, lass es langsam mich erläutern, es ist komplex, da hilft kein Meutern. Wie oft schon, kann´s Bernoulli richten, weiß unsre Möhre zu berichten.

8. Jetzt gibt´s nur noch ´ne halbe Möhre in dieser fluiddurchströmten Röhre. Und knochenhart ist obendrein, der Möhrenrest – das ist gemein! Was lehrt uns diese Prozedur? Bedeutend ist die Temperatur!

4. Denn da sie sperrend das Fluid stört, steigt c, sinkt p, wie sich´s gehört! Kommt p dem Dampfdruck in die Näh´, dann merkt das Wasser, ach, oh weh, jetzt muss ich flott zum Dampfe werden, so ist das nun mal auf der Erden.

9. Bei 100 Grad im Topf gibt´s Blasen, aus Dampf, die wild und tobend rasen. Doch wird daraus in keinem Falle ein Mikrojet mit lautem Knalle! Erst durch die Strömung und Möhrenwand, entsteht ein Jet, ganz aus dem Stand.

5. Die Blase nun bewegt sich fort, kommt dabei an ´nen andren Ort, an dem der Druck dann wieder höher, und auch der Möhre wieder näher, blitzschnell durchschießt ein Wasserstrahl die arme Blase mit ´nem Knall.

10. Doch wie im Leben zu allen Zeiten, hat jedes Ding seine 2 Seiten. Hast du ´ne Brille, die verschmutzt, beim Optiker schaust du verdutzt, wird sie gereinigt, ach wie nett, mit Ultraschall und Mikrojet!

1.8.3 Ähnlichkeits- und Modellgesetze Bisher wurden in diesem Buch vorwiegend theoretische Betrachtungen und Berechnungen vorgenommen. Bereits in den Kapiteln 1.5 bis 1.7 erfolgten jedoch einige Hinweise zu realen Fluidströmungen, wobei als wichtigster Einfluss die innere und äußere Reibung berücksichtigt wurde. Kenngröße dafür war die dynamische (Scher-) Viskosität η bzw. die daraus abgeleitete kinematische Viskosität 𝜈𝜈, die in der Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 Anwendung findet.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

117

Neben der Reibung existieren jedoch in realen Strömungen eine Fülle weiterer Einflüsse, die für realitätsnahe Voraussagen betrachtet werden müssen. Der Strömungswiderstand eines Autos kann zwar durch die Kombination aus Theorie und grundlegender Experimente (z.B. zum Widerstand umströmter Geometrien) abgeschätzt werden, eine bessere Annäherung an die tatsächliche Wirkung des späteren Fahrzeuges als Großausführung wird erst durch die geschickte Nachbildung als Modell im Windkanal ermöglicht (Abb. 1.8-14).

Abb. 1.8-14: Verbesserung der Voraussagen-Qualität in der Fluidmechanik

Die Wirklichkeit wird allerdings manchmal erst durch den Praxiseinsatz des realen Fahrzeuges aufgezeigt mit teilweise doch recht abweichenden Ergebnissen zur Theorie, zu Experimenten und zu Modellversuchen (Stichwort „Elchtest“). Trotz aller Fortschritte in der theoretischen Voraussage zur Wirkung von realen Fluidströmungen (z.B. durch Simulationen auf der Basis von Finite-Element-Berechnungen) bzw. Computational Fluid Dynamics (CFD), werden komplexe Anwendungen (z.B. für Fahr- und Flugzeuge, Schiffe, Wasserturbinen) sinnvoll mittels sog. Ähnlichkeitsgesetze in Modellen im Wind- bzw. Wasserkanal untersucht und die Ergebnisse durch sog. Modellgesetze auf die spätere Großaufführung hochgerechnet. Abb. 1.8-15 zeigt diese Vorgehensweise am Beispiel der Ermittlung von 𝑐𝑐𝑤𝑤 -Werten für einen PKW.

Abb. 1.8-15: Auslegung von Experimentiermodellen mittel Ähnlichkeitsgesetzen und Umrechnung auf die Großausführung mittels Modellgesetzen für Fahrwiderstandprognosen von PKWs

118

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Bei Modellversuchen dieser Art ist jedoch zu beachten, dass sich ein Fahrzeug real selbst mit der Geschwindigkeit 𝑢𝑢 bewegt und die Strömung weit vor dem Fahrzeug die Geschwindigkeit 𝑐𝑐∞ ≈ 0 aufweist. Das Modell im Windkanal ist hingegen fest fixiert und wird mit einer Geschwindigkeit 𝑐𝑐∞ ≈ 𝑢𝑢𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 sowie einem entsprechenden grenzschichtbeeinflussten Geschwindigkeitsprofil angeströmt. Sowohl die Reibungs- als auch die Totwassersituation ist somit zwischen Modell und Realfahrzeug nicht identisch. Im Folgenden werden lediglich die wichtigsten Ähnlichkeits- und Modellgesetze beschrieben.

1.8.3.1 Ähnlichkeitsgesetze Die wichtigsten Ähnlichkeitsgesetze wurden bereits von Newton angegeben. Diese betreffen die geometrische, die kinematische und die dynamische Ähnlichkeit. 1) Geometrische Ähnlichkeit Bei einem Tragflügelexperiment können die Längen-, Flächen- und Volumenähnlichkeit von Bedeutung sein (Abb. 1.8-16).

Abb. 1.8-16: Geometrische Ähnlichkeit zwischen Großausführung (G) und Modell (M)

Es ergeben sich folgende Ähnlichkeitsbeziehungen: Längenähnlichkeit Flächenähnlichkeit Volumenähnlichkeit

𝜆𝜆 =

𝑙𝑙𝐺𝐺 𝑙𝑙𝑀𝑀

𝐴𝐴𝐺𝐺 𝐴𝐴𝑀𝑀 𝑉𝑉𝐺𝐺 𝜆𝜆3 = 𝑉𝑉𝑀𝑀 𝜆𝜆2 =

(Gl. 1.8-4) (Gl. 1.8-5) (Gl. 1.8-6)

Diese makroskopischen Ähnlichkeiten sind relativ einfach zu verwirklichen. Im Falle von Oberflächenrauigkeiten oder Spaltströmungen treten allerdings Probleme auf. -

Rauigkeit 𝑘𝑘

Ähnlichkeit der Rauigkeiten 𝑘𝑘 würde z.B. erfordern

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑘𝑘𝑀𝑀 𝑘𝑘𝐺𝐺 = 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝑙𝑙𝐺𝐺

(Abb. 1.8-17)

119

(Gl. 1.8-7)

Abb. 1.8-17: Rauigkeiten der Oberfläche bei Modell und Großausführung

Da die Großausführung meistens schon sehr glatt angestrebt wird, lässt sich das Modell bei entsprechender Längenverkleinerung nicht entsprechend glatter machen. Damit gilt 𝑘𝑘𝑀𝑀 ≈ 𝑘𝑘𝐺𝐺 𝑘𝑘𝑀𝑀 𝑘𝑘𝐺𝐺 > 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝑙𝑙𝐺𝐺

und demzufolge

(Gl. 1.8-8) (Gl. 1.8-9)

Während die Großausführung „hydraulisch glatt“ ist, wird das Modell „hydraulisch rau“ umströmt, was zu höheren Reibungsverlusten beim Modell führt (vgl. Abb. 1.5-6). Dadurch wird z.B. der experimentell ermittelte Modellwirkungsgrad einer Wasserturbine mithilfe einer sog. „Wirkungsgradaufwertung“ (= Modellgesetz) auf die Großausführung hochgerechnet.

-

Spaltströmung Spaltströmungen entstehen beispielsweise bei Pumpen als Leckage zwischen der bewegten Laufradwelle und der Gehäusedurchführung. Abb. 1.8-18 deutet an, dass die Großausführung einen größeren Leckagestrom 𝑄𝑄𝐿𝐿 aufweisen wird als das Modell, da dessen Spalt kleiner gehalten werden kann. Die Welle der Großausführung wird sich nämlich mehr durchbiegen, sodass die Bohrung entsprechend mehr Spiel aufweisen muss.

Abb. 1.8-18: Spaltabmessung bei Pumpen im Modell und bei der Großausführung

2) Kinematische Ähnlichkeit Diese bezieht sich zunächst auf ähnliche Geschwindigkeitsdreiecke bei Strömungsmaschinen unter Berücksichtigung von Zeit-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsabhängigkeiten.

120

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

-

Ähnliche Geschwindigkeitsdreiecke Gemäß Abb. 1.8-19 resultieren daraus gleiche Winkel der Geschwindigkeiten von Modell und Großausführung

Abb. 1.8-19: Geschwindigkeitsdreiecke einer Pumpe bei Ähnlichkeit von Großausführung und Modell

• Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit Dies ist wichtig bei Kavitationsversuchen, da das Blasenwachstum eine Funktion der Zeit ist 𝜏𝜏 =

𝑡𝑡𝐺𝐺 𝑡𝑡𝑀𝑀

(Gl. 1.8-10)

• Berücksichtigung der Geschwindigkeitsabhängigkeit 𝑠𝑠

𝑙𝑙

Da 𝑐𝑐 = 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 ist, gilt

𝑙𝑙𝐺𝐺 𝑐𝑐𝐺𝐺 𝑙𝑙𝐺𝐺 𝑡𝑡𝑀𝑀 1 𝑡𝑡𝐺𝐺 𝜘𝜘 = = = ∙ = 𝜆𝜆 ∙ 𝑐𝑐𝑀𝑀 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝑡𝑡𝐺𝐺 𝜏𝜏 𝑡𝑡𝑀𝑀

(Gl. 1.8-11)

• Berücksichtigung der Beschleunigungsabhängigkeit 𝑐𝑐

𝑙𝑙

Mit 𝑏𝑏 = 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 2 ergibt sich 𝛾𝛾 =

2 𝑏𝑏𝐺𝐺 𝑙𝑙𝐺𝐺 𝑡𝑡𝑀𝑀 1 = ∙ 2 = 𝜆𝜆 ∙ 2 𝑏𝑏𝑀𝑀 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝑡𝑡𝐺𝐺 𝜏𝜏

3) Dynamische Ähnlichkeit (Kräfteähnlichkeit) Beispiele hierfür sind -

Trägheitskräfte Reibungskräfte

(Gl. 1.8-12)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

-

121

Schwerkräfte Druckkräfte Oberflächenspannungskräfte

In diesen sind teilweise Stoffeigenschaften enthalten, wie -

Viskosität (𝜂𝜂, 𝜈𝜈) Dichte (𝜌𝜌) Elastizität (E-Modul) Kapillarität (𝜎𝜎)

Bei verfahrenstechnischen Prozessen spielt zusätzlich die thermodynamische Ähnlichkeit eine Rolle (Temperatur, Wärmeleitfähigkeit, Wärmekapazität u.a.) Die Verknüpfung von allgemeinen Ähnlichkeitsgesetzen mit den Modellgesetzen geschieht durch dimensionslose Kennzahlen. Diese gelten unabhängig von den jeweiligen Strömungsverhältnissen, wie z.B. Anströmgeschwindigkeit oder Größe. Die Kennzahlen sind nach bedeutenden Forschern benannt und lassen sich beispielsweise herleiten durch - Physikalische Überlegungen - Π-Theorem (nach Buckingham) - Dimensionsanalyse von Differentialgleichungen u.ä. Im Nachfolgenden sind die wichtigsten Kennzahlen aufgeführt.

1.8.3.2 Modellgesetze und deren Kennzahlen Je nach dem zu untersuchenden Effekt bei Modellversuchen existiert dessen bevorzugte Kennzahl. 1) Newton-Zahl 𝑁𝑁𝑁𝑁

Dazu werden Dichte-, Massen- und Kräfteähnlichkeit angestrebt. 𝜌𝜌𝐺𝐺 Dichtenähnlichkeit 𝛿𝛿 = 𝜌𝜌 𝑀𝑀 Massenähnlichkeit

𝑚𝑚𝐺𝐺 𝑉𝑉𝐺𝐺 𝜌𝜌𝐺𝐺 = ∙ = 𝜆𝜆3 ∙ 𝛿𝛿 𝑚𝑚𝑀𝑀 𝑉𝑉𝑀𝑀 𝜌𝜌𝑀𝑀

(Gl. 1.8-13) (Gl. 1.8-14)

Nach Newton gilt 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑏𝑏 = 𝑉𝑉 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑏𝑏. Daraus folgt die Kräfteähnlichkeit

Damit wird Newton-Zahl

𝐹𝐹𝐺𝐺 𝑉𝑉𝐺𝐺 𝜌𝜌𝐺𝐺 𝑏𝑏𝐺𝐺 𝜆𝜆 = ∙ ∙ = 𝜆𝜆3 ∙ 𝛿𝛿 ∙ 2 = 𝜆𝜆2 ∙ 𝛿𝛿 ∙ 𝜘𝜘 2 𝐹𝐹𝑀𝑀 𝑉𝑉𝑀𝑀 𝜌𝜌𝑀𝑀 𝑏𝑏𝑀𝑀 𝜏𝜏 𝑁𝑁𝑁𝑁 =

𝐹𝐹𝐺𝐺 𝑙𝑙𝐺𝐺2 𝜌𝜌𝐺𝐺 𝑐𝑐𝐺𝐺2 = 𝜆𝜆2 ∙ 𝛿𝛿 ∙ 𝜘𝜘 2 = 2 ∙ ∙ 2 𝐹𝐹𝑀𝑀 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝜌𝜌𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑀𝑀

(Gl. 1.8-15)

122

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Für die Trägheitskraft 𝐹𝐹𝑇𝑇 gilt damit die Proportionalität 𝐹𝐹𝑇𝑇 ~ 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2

(Gl. 1.8-16)

2) Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅

Diese stellt das Verhältnis der Trägheitskräfte zu Reibungskräften dar. Trägheitskraft Reibungskraft mit

𝐹𝐹𝑇𝑇 ~ 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2

(vgl. Punkt 1)

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐 𝐹𝐹𝑅𝑅 ~ 𝐴𝐴 ∙ 𝜏𝜏 ~ 𝐴𝐴 ∙ 𝜂𝜂 ∙ ~ 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜂𝜂 ∙ ~ 𝜂𝜂 ∙ 𝑙𝑙 ∙ 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙

(Gl. 1.8-17)

𝜏𝜏 (hier: Schubspannung) ~ 𝑙𝑙 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐 ~ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙

Damit wird

Reynolds-Zahl mit

𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝐹𝐹𝑇𝑇 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2 𝑙𝑙 ∙ 𝑐𝑐 𝑙𝑙 ∙ 𝑐𝑐 = = 𝜂𝜂 = 𝐹𝐹𝑅𝑅 𝜂𝜂 ∙ 𝑙𝑙 ∙ 𝑐𝑐 𝜈𝜈 𝜌𝜌

(Gl. 1.8-18)

𝑙𝑙 = charakteristische Länge 𝑐𝑐 = charakteristische Geschwindigkeit 𝜈𝜈 = Kinematische Viskosität

𝑅𝑅𝑅𝑅 ist die wichtigste Kennzahl in der experimentellen Strömungstechnik.

3) Froud’sche Zahl 𝐹𝐹𝐹𝐹

Die Froude-Zahl stellt das Verhältnis von den Trägheitskräften zu den Schwerkräften dar. Trägheitskraft Gravitationskraft

𝐹𝐹𝑇𝑇 ~ 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2

(vgl. Punkt 1) 3

𝐹𝐹𝑔𝑔 ~ 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔 ~ 𝑉𝑉 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ~ 𝑙𝑙 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔

(Gl. 1.8-19)

𝐹𝐹𝑇𝑇 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 2 𝐹𝐹𝐹𝐹 = = 3 = Froude-Zahl (Gl. 1.8-20) 𝐹𝐹𝐺𝐺 𝑙𝑙 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 𝑙𝑙 ∙ 𝑔𝑔 Meistens wird die Wurzel aus dem vorhergehenden Ausdruck als Froude-Zahl bezeichnet: Froude-Zahl

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐

�𝑙𝑙 ∙ 𝑔𝑔

(Gl. 1.8-21)

Die Froude-Zahl ist besonders bei Strömungsvorgängen mit überwiegendem Schwerkrafteinfluss von Bedeutung wie z.B. bei - Pneumatischer Partikelförderung - Schiffsversuchen - Kavitationsuntersuchungen bei Niederdruck-Wasserturbinen und -pumpen (z.B. Kaplanturbine)

123

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

- Flutwellen (Tsunami)

4) Mach-Zahl 𝑀𝑀𝑀𝑀

Anwendung bei Gasströmungen mit hohen Geschwindigkeiten Mach-Zahl mit

𝑀𝑀𝑀𝑀 =

𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑠𝑠

(Gl. 1.8-22)

𝑐𝑐 = Tatsächliche Geschwindigkeit 𝑎𝑎𝑠𝑠 = Schallgeschwindigkeit

Bei gleichen Stoffwerten

5) Euler-Zahl 𝐸𝐸𝐸𝐸

Verhältnis von Druckkräften zu Trägheitskräften Druckkraft Trägheitskraft Euler-Zahl

𝐹𝐹𝐷𝐷 ~ 𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴 ~ 𝑝𝑝 ∙ 𝑙𝑙 2 2

𝐹𝐹𝑇𝑇 ~ 𝑙𝑙 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 𝐸𝐸𝐸𝐸 =

2

(Gl. 1.8-23) (vgl. Punkt 1) 2

𝐹𝐹𝐷𝐷 𝑝𝑝 ∙ 𝑙𝑙 𝑝𝑝 = = 𝐹𝐹𝑇𝑇 𝑙𝑙 2 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2

(Gl. 1.8-24)

Weitere Kennzahlen, die für spezielle Anwendungen benötigt werden, sind: - Strouhal-Zahl 𝑆𝑆𝑆𝑆 (z.B. bei Schwingungsanregung durch sog. „Karmansche Wirbelstraßen“ hinter Zylindern) - Weber-Zahl 𝑊𝑊𝑊𝑊 (z.B. bei Untersuchungen zum Kavitationsblasen-Wachstum)

___________________________________________________________________________________________

Beachte Bei konkreten Modell-Experimenten können in der Regel nicht alle wichtigen Kennzahlen berücksichtigt werden. Oft ist nur eine einzige Kennzahl berücksichtigungsfähig. Nur die Kennzahl (oder die Kennzahlen), die einen maßgeblichen Einfluss auf das Versuchsergebnis hat (haben), muss (müssen) berücksichtigt werden. In den meisten Fällen sind dies 𝑅𝑅𝑅𝑅, 𝐹𝐹𝐹𝐹 und 𝑀𝑀𝑀𝑀. ___________________________________________________________________________________________

1.8.3.3 Kennzahlen für die Praxis Bei realen Strömungen sind in der praktischen Anwendung vor allem drei Kennzahlen wichtig (Abb. 1.8-20).

124

1) Reibungseinfluss 2) Schwereeinfluss 3) Dichteeinfluss

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

→ 𝑅𝑅𝑅𝑅 = → 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐 ∙ 𝐷𝐷 𝜈𝜈 𝑐𝑐

(Gl. 1.8-25) (Gl. 1.8-26)

�𝑙𝑙 ∙ 𝑔𝑔 𝑐𝑐 → 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑠𝑠

(Gl. 1.8-27)

Abb. 1.8-20: Anwendungsbeispiele der wichtigsten Kennzahlen bei Strömungsvorgängen

1) Reibungseinfluss (𝑅𝑅𝑅𝑅) Der Reibungseinfluss bei Strömungen ist sowohl bei Durchströmungen (z.B. Rohr) als auch bei Umströmungen (z.B. Kugel) von Bedeutung. Ausführliche Hinweise hierzu finden sich bereits in Kap. 1.5 und Kap. 1.6. Zur Erinnerung: Rohrströmung: Kugelumströmung:

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐷𝐷

𝑐𝑐∞ ∙ 𝐷𝐷 √

√

3 ∙ 10

(Umschlag laminar → turbulent)

(schleichende Umströmung)

(unterkritische, laminare Grenzschicht) (überkritische, turbulente Grenzschicht)

2) Schwereeinfluss (𝐹𝐹𝐹𝐹) Die Froude-Zahl 𝐹𝐹𝐹𝐹 muss bei allen Strömungen mit freier Oberfläche Berücksichtigung finden. Beispielsweise bei Versuchen im Zusammenhang mit Flüssen, Kanälen, teilweise gefüllten Rohrleitungen sowie Meeresströmungen nach Meeresbeben. Abb. 1.8-21 liefert allgemeine Aussagen zu den wechselseitig möglichen Strömungsübergängen „strömend“ und „schließend“.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

125

Abb. 1.8-21: Strömungsverhalten bei Schwereeinfluss (𝐹𝐹𝐹𝐹)

Die in dem Video „Wassersprung“ gezeigten Effekte zwischen „strömender“ und „schließender“ Bewegung sind in den Abbildungen Abb. 1.8-22 und Abb. 1.8-23 erläutert.

Abb. 1.8-22: Wechsel zwischen strömender und schließender Bewegung bei einem starken Platzregen auf einer steilen Asphaltstraße (vgl. Video „Wassersprung“)

126

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.8-23: Eingießen von Wasser in eine große zylindrische Glasschale mit unstetigem Übergang von schließender in strömender Bewegung mit Wassersprung (vgl. Video „Wassersprung“)

3) Dichteeinfluss (𝑀𝑀𝑀𝑀) Bei Gasströmungen 𝑀𝑀𝑀𝑀 > 0,3 und Überschallgeschwindigkeiten (𝑀𝑀𝑀𝑀 > 1) treten die in Abb. 1.8-24 dargestellten Effekte auf. Um z.B. bei einer Gasturbine die Geschwindigkeit in den Überschallbereich zu steigern, ist eine Querschnittserweiterung erforderlich (Lavaldüse, siehe Abb. 1.8-25), was nach dem bisher für „normale“ Strömungen Bekannten zunächst paradox erscheint.

Abb. 1.8-24: Kanaleffekte bei Unter- und Überschallströmungen

127

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.8-25: Lavaldüse zur Steigerung der Geschwindigkeit auf Überschall

Eine zusammenfassende Übersicht zu den drei wichtigsten Kennzahlen ist in Abb. 1.8-26 gezeigt.

Abb. 1.8-26: Vergleichende Darstellung verschiedener Strömungsformen bei unterschiedlichen Einflussformen

1.8.4 Gasströmungen Die Umströmung von Körpern oder Durchströmung von Kanälen durch Gase oder Dämpfe kann zu erheblichen Geschwindigkeits-, Druck- oder Temperaturänderungen führen, welche Dichteänderungen zur Folge haben. Die bisherige dichtebeständige Rechnung führt dann u.U. zu falschen Ergebnissen, Eine wichtige Größe im Zusammenhang mit Gasströmungen ist die Machzahl 𝑀𝑀𝑀𝑀 (Gl. 1.8-23), wobei 𝑎𝑎𝑠𝑠 die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner Druckstörungen in Gasen (= Schallgeschwindigkeit) darstellt. a𝑠𝑠 = ��

mit

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝 ∙ 𝜘𝜘 � = �𝑝𝑝 ∙ 𝜘𝜘 ∙ v = � = �𝜘𝜘 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠 𝜌𝜌

(für ideale Gase)

(Gl. 1.8-28)

128

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

(… )𝑠𝑠 = Isentrope Druckänderung 𝑝𝑝 = Absolutdruck

1

v = Spezifisches Volumen �v = 𝜌𝜌�

z.B. errechnet sich die Schallgeschwindigkeit von Luft bei 20 °C (𝑇𝑇 = 273 + 20 = 293 𝐾𝐾) bei dem zugehörigen Isentropenkoeffizient 𝜅𝜅 κ=

mit

𝑐𝑐𝑝𝑝 = 1,4 𝑐𝑐𝑣𝑣

𝑐𝑐𝑝𝑝 = isobare spezifische Wärmekapazität 𝑐𝑐𝑣𝑣 = isochore spezifische Wärmekapazität

und der individuellen (speziellen) Gaskonstante

𝑅𝑅𝑖𝑖 = 287

𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐾𝐾

durch Einsetzten in Gl. 1.8-28 zu

𝑚𝑚2 𝐽𝐽 2 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑠𝑠 = �𝜘𝜘 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇 = �1,4 ∙ 287 ∙ 293 𝐾𝐾 ∙ 𝑠𝑠 = 343 𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐾𝐾 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘

Unterscheidung wichtiger Strömungsbereiche (z.B. bezüglich der Fluggeschwindigkeit 𝑐𝑐): a) 𝑐𝑐 < 𝑎𝑎𝑠𝑠 b) 𝑐𝑐 ≈ 𝑎𝑎𝑠𝑠 c)

𝑐𝑐 > 𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑐𝑐 > 5 ∙ 𝑎𝑎𝑠𝑠

→ 𝑀𝑀𝑀𝑀 < 1 Unterschallströmung (Subsonic)

→ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ≈ 1 Schallnaher oder transsonischer Bereich (Transsonic) → 𝑀𝑀𝑀𝑀 > 1 Überschallströmung (Supersonic) → 𝑀𝑀𝑀𝑀 > 5 Hyperschallbereich (Hypersonic)

1.8.4.1 Grundgleichungen dichteveränderlicher Fluide Für die bisher behandelten Strömungen wurde ein dichtebeständiges Fluid (𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) vorausgesetzt, mit der bekannten Kontinuitätsgleichung 𝑚𝑚̇ = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝜌𝜌

(Gl. 1.8-29)

Bei Strömungsvorgängen in denen 𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. nicht mehr vorliegt, kann nicht mehr der Volumenstrom 𝑄𝑄 als 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. vorausgesetzt werden, sondern nur für den Massenstrom 𝑚𝑚̇ gilt der Massenerhaltungssatz bzw. die Kontinuitätsgleichung ̇ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. , 𝜌𝜌1 ≠ 𝜌𝜌2 ≠ 𝜌𝜌3 … ) 𝑚𝑚̇ = 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. (𝜌𝜌 ≠ → 𝜌𝜌1 ∙ 𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝜌𝜌2 ∙ 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝜌𝜌𝑛𝑛 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛 ∙ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.

(Gl. 1.8-30)

Solange die Machzahl 𝑀𝑀𝑀𝑀 < 1 bleibt, lässt sich unter Zuhilfenahme der Bernoulli-Gleichung anschaulich begreifen, dass bei Erhöhung der Geschwindigkeit 𝑐𝑐 zwischen den Stellen 1 und 2

129

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

(Konfusor) der Druck an der Stelle 2 absinkt (= Entspannung) und damit auch die Dichte 𝜌𝜌2 kleiner wird als an der Stelle 1. Dies ist in Abb. 1.8-27 zusätzlich auch für eine Diffusorströmung erläutert (𝑐𝑐 sinkt, 𝑝𝑝 steigt (= Kompression) und 𝜌𝜌2 > 𝜌𝜌1 ).

Abb. 1.8-27: Dichteänderung bei Gas- und Dampfströmungen bei einer Machzahl 𝑀𝑀𝑏𝑏 < 1

Bei 𝑀𝑀𝑏𝑏 > 1 liegen demgegenüber genau umgekehrte Auswirkungen bei beschleunigten bzw. verzögerten Strömungen vor. Die Energiegleichung für dichteveränderliche Medien enthält folgende Energieformen: 𝑑𝑑

- spezifische Druckenergie 𝜌𝜌

- spezifische Geschwindigkeitsenergie - spezifische Lageenergie 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧

𝑐𝑐 2 2

- spezifische innere Energie 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑣𝑣 ∙ 𝑇𝑇

Unter Berücksichtigung der Reibungseffekte, aber ohne Energiezufuhr oder -abfuhr, lautet die Energiegleichung: 𝑝𝑝 𝑐𝑐 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 + 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑛𝑛𝑠𝑠𝐹𝐹. 𝜌𝜌 2

(Gl. 1.8-31)

Zumeist kann bei Gas- und Dampfströmungen die Lageenergie vernachlässigt werden gegenüber den anderen Energiearten (→ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧 ≈ 0). Führt man die spezifische Enthalpie ℎ ℎ=

𝑝𝑝 + 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 ∙ v + 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑑𝑑 ∙ 𝑇𝑇 𝜌𝜌

ℎ+

𝑐𝑐 2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑛𝑛𝑠𝑠𝐹𝐹. 2

(Gl. 1.8-32)

ein, so ergibt sich aus Gl. 1.8-31

(Gl. 1.8-33)

Gl. 1.8-33 beschreibt die Energiegleichung zur Anwendung bei Rohrströmungen und Ausströmvorgängen aus Behältern (bzw. Düsenströmungen). Ein Anwendungsbeispiel findet sich in Kap. 3.8.4.

130

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.8.4.2 Rohrströmung dichteveränderlicher Fluide Ein häufig vorkommender Anwendungsfall liegt im Bereich der Fernwärmenetze mit Wasserdampf als Fluid vor. In Abb. 1.8-28 ist ein qualitativer Vergleich der Energiesituation bei reiner Wasserströmung (𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) und bei z.B. einer Wasserdampfströmung (𝜌𝜌 ≠ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) gezeigt.

Abb. 1.8-28: Vergleich des Energieartenverlaufs bei Rohrströmung von z.B. Wasser (𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) und Wasserdampf (𝜌𝜌 ≠ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘)

Erläuterung zum Verlauf bei dichteveränderlichem Fluid:

Infolge des Druckverlustes ∆𝑝𝑝v nimmt der Gasdruck und die Dichte 𝜌𝜌 ab. Wegen 𝑚𝑚̇ = 𝜌𝜌1 ∙ 𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝜌𝜌2 ∙ 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2

gilt bei

𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2

und

𝜌𝜌1 > 𝜌𝜌2

→ 𝑐𝑐2 =

𝜌𝜌1 ∙ 𝑐𝑐 → 𝑐𝑐2 > 𝑐𝑐1 𝜌𝜌2 1

Damit nimmt auch der Druckverlust mit der Rohrlänge überproportional zu (parabolisch)., Außerdem kann sich die Temperatur durch adiabatische oder polytrope Zustandsänderungen ändern (Abb. 1.8-29).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

131

Abb. 1.8-29: Thermische Unterschiede zwischen nichtisolierten und isolierten Rohrleitungen für dichteveränderliche Fluide

Für den in der Praxis häufig anzutreffenden Fall, dass ein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet, wird nachstehend eine Formel zur Berechnung der damit verbundenen Druckdifferenz ∆𝑝𝑝 (= 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) hergeleitet. Abb. 1.8-30 stellt schematisch die Druck-, Geschwindigkeits- und Temperatursituation zwischen den Stellen 1 und 2 einer Rohrleitung dar.

Abb. 1.8-30: Schematisch dargestellter Verlauf wichtiger Strömungsgrößen bei einer dichtebeständigen FluidRohrströmung (𝑐𝑐̅ = mittlere Geschwindigkeit)

Für ein dichtebeständiges Fluid gilt:

𝐿𝐿 𝜌𝜌 ∙ ∙ 𝑐𝑐̅ 2 𝐷𝐷 2 Dieser Druckabfall infolge Reibung lässt sich für ein Rohrelement der Länge 𝑑𝑑𝑑𝑑 schreiben zu ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 = 𝜆𝜆 ∙

132

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜌𝜌 ∙ ∙ 𝑐𝑐̅ 2 (Gl. 1.8-34) 𝐷𝐷 2 Das Minuszeichen zeigt an, dass der Druck mit zunehmender Rohrlänge 𝑙𝑙 abnimmt. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆 ∙

Im Folgenden ist 𝑐𝑐̅ = 𝑐𝑐 gesetzt.

Aus der thermischen Zustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) folgt 𝑝𝑝 ∙ 𝑉𝑉 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇

(Gl. 1.8-35)

mit

𝑅𝑅𝑖𝑖 = individuelle Gaskonstante 𝑚𝑚 𝑝𝑝 → 𝜌𝜌 = = 𝑉𝑉 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝1 oder 𝑅𝑅𝑖𝑖 = → 𝜌𝜌 = = 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇 𝜌𝜌 ∙ 𝑇𝑇 𝜌𝜌1 ∙ 𝑇𝑇1

(Gl. 1.8-36) (Gl. 1.8-37)

Daraus ergibt sich 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌1 ∙

𝑇𝑇1 𝑝𝑝 ∙ 𝑇𝑇 𝑝𝑝1

(Gl. 1.8-38)

Mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 = 𝜌𝜌1 ∙ 𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1

und da

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴1 =

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 4

folgt daraus

𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 = 𝜌𝜌1 ∙ 𝑐𝑐1 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.

(Gl. 1.8-39)

Gl. 1.8-39 eingesetzt in Gl. 1.8-38 liefert 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐1 ∙

𝜌𝜌1 𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝1 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝜌𝜌 𝑇𝑇1 ∙ 𝑝𝑝

(Gl. 1.8-40)

Gl. 1.8-38 und Gl. 1.8-40 in Gl. 1.8-34 eingesetzt führt zu 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆 ∙

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜌𝜌 2 1 𝜌𝜌1 𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝1 𝑐𝑐12 ∙ 𝑇𝑇 2 ∙ 𝑝𝑝12 ∙ ∙ 𝑐𝑐 = −𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷 2 𝐷𝐷 2 𝑇𝑇1 ∙ 𝑝𝑝 𝑇𝑇12 ∙ 𝑝𝑝2

→ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆 ∙

𝜌𝜌1 𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝1 2 ∙ ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 ∙ 𝐷𝐷 𝑇𝑇1 ∙ 𝑝𝑝 1

(Gl. 1.8-41)

Gl. 1.8-41 ist die Differentialgleichung (DGL) für den Druckabfall längs einer Rohrleitung

133

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Zur Integration der DGL müssten 𝑇𝑇 = 𝑓𝑓(𝑙𝑙) und 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝑙𝑙) bekannt sein. Da 𝜌𝜌 längs 𝑙𝑙 abnimmt (𝑝𝑝 sinkt), nehmen 𝑐𝑐 und 𝑄𝑄 zu. 𝜈𝜈 ändert sich ebenfalls, d.h. 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑓𝑓(𝑙𝑙) und 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓(𝑙𝑙). Daher ist eine geschlossene analytische Integration nicht möglich!

Zur praktischen Anwendung erfolgt eine Näherungsrechnung mit folgenden Vereinfachungen: - 𝜆𝜆 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. (lediglich eine Funktion von 𝑅𝑅𝑅𝑅1 = - Statt 𝑇𝑇 → mittlere Temperatur 𝑇𝑇� =

𝑇𝑇1 +𝑇𝑇2 2

𝑐𝑐1 ∙𝐷𝐷 𝜈𝜈1

𝑘𝑘

und 𝐷𝐷)

- Vernachlässigung der durch die 𝑐𝑐-Zunahme hervorgerufenen Beschleunigungskräfte Die Integration von Gl. 1.8-41 führt zu 1 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆 ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝1 2 ∙ 𝐷𝐷 𝑇𝑇1 𝑝𝑝2

𝐿𝐿

1 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� ∙ � 𝑝𝑝 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆 ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝1 2 ∙ 𝐷𝐷 𝑇𝑇1 𝑝𝑝1

1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝2 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� ∙ | = −𝜆𝜆 ∙ ∙ 𝑐𝑐 2 ∙ ∙ 𝐿𝐿 𝑝𝑝1 2 𝑝𝑝1 2 ∙ 𝐷𝐷 1 𝑇𝑇1

|∫

0

Die Integrationsgrenzen (𝑝𝑝1 und 𝑝𝑝2 ) werden vertauscht, um das Vorzeichen auf der rechten Seite zu ändern (−𝜆𝜆 wird zu +𝜆𝜆) →

1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝1 𝐿𝐿 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� ∙ |𝑝𝑝2 = +𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ 𝑝𝑝1 2 𝐷𝐷 2 𝑇𝑇1

𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝐿𝐿 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� = 𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ 2 ∙ 𝑝𝑝1 𝐷𝐷 2 𝑇𝑇1

(Gl. 1.8-42)

Gl. 1.8-42 gilt für beliebigen Wärmeaustausch mit der Umgebung. Falls weitere Einbauten vorhanden sind, so wird Gl. 1.8-42 erweitert zu 𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝐿𝐿 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� = �𝜆𝜆 ∙ + � 𝜁𝜁� ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ 2 ∙ 𝑝𝑝1 𝐷𝐷 2 𝑇𝑇1

(Gl. 1.8-43)

Mit 𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 = (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) ∙ (𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 ) und 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = ∆𝑝𝑝 kann diese Gleichung noch weiter aufgelöst werden (quadratische Gleichung) in eine praktische Version des Druckverlustes ∆𝑝𝑝 (bzw. ∆𝑝𝑝V). ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝1 − �𝑝𝑝12 − 𝜆𝜆 ∙

𝐿𝐿 2 𝑇𝑇� ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝜌𝜌 ∙ ∙ 𝑝𝑝 𝐷𝐷 1 1 𝑇𝑇1 1

(Gl. 1.8-44)

Gl. 1.8-43 lässt sich für folgende Sonderfälle des Wärmeaustausches vereinfachen: - Isotherme Strömung 𝑇𝑇� = 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.

𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝐿𝐿 𝜌𝜌1 = 𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑐12 → ∆𝑝𝑝𝜈𝜈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ. 2 ∙ 𝑝𝑝1 𝐷𝐷 2

(Gl. 1.8-45)

134

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

- Adiabate Strömung (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung) Zunächst nach Gl. 1.8-45 für isotherme Strömung ∆𝑝𝑝𝜈𝜈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ. bzw. 𝑝𝑝1 und 𝑝𝑝2 errechnen. Anschließend wird 𝜘𝜘−1 𝜘𝜘

𝑝𝑝2 𝑇𝑇2 ≈ 𝑇𝑇1 � � 𝑝𝑝1

→ 𝑇𝑇� ≈

𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 2

Eingesetzt in Gl. 1.8-42 ergibt sich

𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝐿𝐿 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� = 𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ → ∆𝑝𝑝𝜈𝜈𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. 2 ∙ 𝑝𝑝1 𝐷𝐷 2 𝑇𝑇1

(Gl. 1.8-46)

Die Rechnung wird solange wiederholt, bis ∆𝑝𝑝𝜈𝜈𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. ≈ das letzte Ergebnis von ∆𝑝𝑝𝜈𝜈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ. wird (Iteration). In der Praxis liegen für Druckabfälle in Rohrleitungen für häufig vorkommende Medien (Wasserdampf, Luft, Erdgas) Nomogramme zur leichteren Berechnung vor.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung Sie haben sicher in Ihrem Leben schon einmal gekocht. Wenn das ein für Sie neues Gericht war (z.B. spanische Paella, s. Abb. 2-1), haben Sie wahrscheinlich ein Kochrezept zu Rate gezogen, sodass es mit Sicherheit gelingt und für Sie und andere schmackhaft wird. Eine gute Handlungsanleitung weist dabei folgende Eigenschaften auf und kann als „Kochrezept“ für die ingenieurmäßige Lösung fluidtechnischer Aufgabenstellungen verallgemeinert werden. 1) Ein Bild des fertigen Gerichts als Überblick → Aufgabe klären! Wie sieht das Ziel der Arbeit aus?

Abb. 2-1: Spanische Paella

2) Zutaten/ Technik → Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen! → Was wird benötigt? Z.B. Reis, Muscheln … Hilfsmittel und Zubereitungsmethoden. → Welche Geräte und Techniken werden eingesetzt? Z.B. Pfanne, Herd … 3) Arbeitsschritte → Bearbeitungsreihenfolge festlegen! → In welcher sinnvollen Reihenfolge soll gearbeitet werden? Z.B. Fleisch anbraten … Paella servieren 4) Bearbeitungsdetails → Teilaufgaben lösen! → Wie erfolgt die Bearbeitung im Detail und welche (Koch-)Tipps gibt es? Z.B. Meeresfrüchte erst zum Schluss garen

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5_2

136

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

5) Mengenanpassung → Einheiten-Umrechnung! → Welche Mengen für x Personen sind erforderlich? Umrechnung veralteter (z.B. dt. Pfund) oder fremder (z.B. Inches) Maßeinheiten? Z.B. Für vier Personen: 200 g Reis, 500 g Muscheln … 6) Fertiges Gericht gourmetgerecht servieren → Ergebnisse präsentieren und diskutieren! → In welcher Form ist das Gericht den Gästen zu präsentieren? Erläuterungen? Z.B. Große Pfanne in Tischmitte mit Warmhalteplatte Diese langbewährte „praktische Methode“ wurde, wie oben beschrieben, zu den analog gleichen, sprachlich jedoch konkretisierten sechs Arbeitsschritten verallgemeinert. Diese sind für jede (!) Lösungsfindung, unabhängig von der Art oder dem Schwierigkeitsgrad; anwendbar: ___________________________________________________________________________________________

6 Schritte-Kochrezept (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Aufgabe klären Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bearbeitungsreihenfolge festlegen Teilaufgaben lösen Einheiten-Umrechnung Ergebnisse präsentieren und diskutieren

___________________________________________________________________________________________

Um Sie mit dieser Vorgehensweise vertraut zu machen, werden jetzt für Kap. 1.1 bis Kap. 1.8 exemplarisch Beispiele ausführlich dargestellt.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

137

2.1 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.1 (Grundlagen) In Kap. 1.1 wurde als wichtigste Beziehung die Kontinuitätsgleichung ermittelt. Die dazu passende Aufgabe bezieht sich auf eine Strömung mit einer Rohrverengung bzw. einer Rohrerweiterung (Konfusor und Diffusor, vgl. Abb. 1.1-8) und lässt sich mit den sechs Arbeitsschritten systematisch lösen. Vorgegebene Aufgabenstellung: Eine kreisförmige Rohrleitung (Durchmesser 𝐷𝐷) soll stationär und dichtebeständig mit Wasser durchströmt werden. Wie ändert sich die Geschwindigkeit 𝑐𝑐 bei gegebenem Volumenstrom 𝑄𝑄, wenn sich der Rohrdurchmesser halbiert (Konfusor) bzw. verdoppelt (Diffusor)? Bei konsequenter Anwendung der sechs Arbeitsschritte stellt sich der Lösungsweg so dar:

(1) Aufgabe klären Lässt sich der gegebene Aufgabentext in einer Skizze oder einem Bild veranschaulichen? → Wichtiges markieren! Skizze anfertigen oder ergänzen (Abb. 2.1-1)

2.1-1: Rohrleitungsverengung und -erweiterung

Abb.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Welche Formeln und Fluid-Eigenschaften von welchen Fluid-Teilgebieten sind für die Lösung von Bedeutung? → Kontinuitätsgleichung, stationäre Strömung, dichtebeständig. (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Wie lassen sich aus den gegebenen Größen idealerweise die gesuchten Größen ermitteln? → Flächenberechnung Kreisquerschnitt.

→ Kontinuitätsgleichung bei 𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. → umstellen nach 𝑐𝑐.

138

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(4) Teilaufgaben lösen In welcher Form sind die Bezugsgleichungen hinzuschreiben und umzuformen, sodass die gesuchten Größen berechnet werden können? Welche Tricks und Zusatzinformationen könnten die Lösungsfindung vereinfachen? → Berechnung des Konfusors:

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝐷𝐷 � 2 � ∙ 𝜋𝜋 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 4 4 𝐷𝐷 2 𝑐𝑐1 ∙ 𝐷𝐷2 = 𝑐𝑐2 ∙ � � 2 → 𝑐𝑐2 = 4 ∙ 𝑐𝑐1 bei Verengung (Konfusor)

→ Berechnung des Diffusors:

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑐𝑐1

(2 ∙ 𝐷𝐷) ∙ 𝜋𝜋 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 = 𝑐𝑐2 4 4

𝑐𝑐1 ∙ 𝐷𝐷2 = 𝑐𝑐2 ∙ (2 ∙ 𝐷𝐷)2 → 𝑐𝑐2 =

1 ∙ 𝑐𝑐 4 1

bei Erweiterung (Diffusor)

(5) Einheiten-Umrechnung Wie lassen sich die gesuchten Ergebnisse in der gewünschten Einheit berechnen? → Entfällt hier. (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Wie lassen sich die erzielten Ergebnisse und weitergehende Folgerungen an Außenstehende (Leser, Professor, Auftraggeber … → zielgruppenorientiert) verständlich vermitteln? 𝐷𝐷2 =

𝐷𝐷1 → 𝑐𝑐2 = 4 ∙ 𝑐𝑐1 2

𝐷𝐷2 = 2 ∙ 𝐷𝐷1 → 𝑐𝑐2 =

Diskussion:

1 ∙ 𝑐𝑐 4 1

(bei Konfusor) (bei Diffusor)

Das Ergebnis sollte verallgemeinert in ein Gefühl für beschleunigte oder verzögerte Strömung überführt werden und im Zusammenhang mit der sog. Bernoulli-Gleichung (s. Kap. 1.4 ff) zu allgemeinen Aussagen von Druckveränderungen genutzt werden.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

139

2.2 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.2 (Stoffwerte und Einheiten) Vorgegebene Aufgabenstellung: Wie groß sind die in Kap. 2.1 zu bestimmenden Geschwindigkeiten 𝑐𝑐2 in Diffusor, wenn die Geschwindigkeit 𝑐𝑐1 = 10

𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑠𝑠

beträgt?

𝑚𝑚 𝑠𝑠

bei Konfusor und

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Einheitenumrechnung [𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦] in [𝑚𝑚]. (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Gemäß Punkt (2)

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Gemäß Kap. 1.2 gilt die Umrechnungsbeziehung 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0,9144 𝑚𝑚 → 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 1 =

0,9144 𝑚𝑚 1 𝑦𝑦𝑦𝑦

___________________________________________________________________________________________

Beachte Die Einheitenbeziehung immer so auf den Wert 1 umstellen, dass die gesuchte Einheit nach der Kürzung über dem Bruchstrich steht. Zur Erinnerung: Jedes Ergebnis kann mit dem Wert 1 (also auch mit der rechten Seite der Einheitengleichung) multipliziert werden, ohne dass sich das Resultat ändert. ___________________________________________________________________________________________

Ergebnis für den Konfusor lautet: 𝑐𝑐2 = 4 ∙ 𝑐𝑐1 = 4 ∙ 10

𝑦𝑦𝑦𝑦 0,9144 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ = 36,58 𝑠𝑠 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑠𝑠

140

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

Ergebnis für den Diffusor lautet: 𝑐𝑐2 =

1 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 0,9144 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐1 = ∙ 10 ∙ = 2,29 4 4 𝑠𝑠 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑠𝑠

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐𝑐2 = 4 ∙ 𝑐𝑐1 = 36,58 𝑐𝑐2 =

𝑚𝑚 𝑠𝑠 (bei Konfusor)

1 𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐1 = 2,29 4 𝑠𝑠

(bei Diffusor)

Diskussion:

𝑍𝑍äℎ𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙−𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

Systematische Einheitenumrechnung mit Einheitsfaktor „1“ = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁−𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 führt gegenüber einer „Rechnung im Kopf“ sicher zum Erfolg.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

141

2.3 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.3 (Fluidstatik) In Kap. 1.3.2.1 findet sich die Herleitung der hydrostatischen Grundgleichung (Tauchergleichung). Die methodische Vorgehensweise zur Lösung von Aufgaben aus diesem Bereich soll exemplarisch am Beispiel eines kommunizierenden U-Rohrs, welches mit zwei unterschiedlichen Fluiden gefüllt ist, aufgezeigt werden (Abb. 2.3-1).

Abb. 2.3-1: Fluide mit verschiedenen Dichten in einem U-Rohr (Hydrostatik)

Bedingungen: • • • •

Nicht mischbare Fluide Dichtebeständig 𝜌𝜌1 ≠ 𝜌𝜌2 Homogenes Fluid 𝜌𝜌

Wie ist das Verhältnis 𝜌𝜌2? 1

Auch hier werden sinnvollerweise die sechs Arbeitsschritte konsequent angewendet.

(1) Aufgabe klären Wie lassen sich die Skizze und die Aufgabenstellung so darstellen, dass die hydrostatische Grundgleichung zu einer Lösung führt? ___________________________________________________________________________________________

Beachte In vielen Lehrbüchern findet sich die (vereinfachte!) Aussage: „In gleicher Tiefe eines Fluids herrscht gleicher Druck“. Korrekt gilt jedoch: „In gleicher Tiefe herrscht in einer ruhend, zusammenhängenden Fluidart gleicher Druck“

142

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

Deswegen legt man hier das Bezugsniveau B-B in die gemeinsame Trennebene der beiden Fluidarten und trägt von dort aus die Fluidsäulenhöhen ℎ1 und ℎ2 an (Abb. 2.3-2). Unterhalb von B-B befindet sich ja nur noch Fluid 1 mit der Dichte 𝜌𝜌1 (zusammenhängend), so dass im linken und im rechten Schenkel des U-Rohres der gleiche Druck 𝑝𝑝𝐵𝐵 herrscht.

Abb. 2.3-2: Bezugsniveau B-B um Fluidsäulenhöhen festzulegen ___________________________________________________________________________________________

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Welche Formeln aus welchem Fluidgebiet sind für die Lösung von Bedeutung? Z.B. Hydrostatik und diesbezügliche Grundgleichungen. (Dies war bereits eingangs vorausgesetzt worden)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Wie lassen sich aus den gegebenen Größen und der geschickterweise ergänzten Skizze die gesuchten Größen ermitteln? 𝜌𝜌

Z.B. Verhältnis 𝜌𝜌2 aus den beiden Fluidsäulenhöhen ℎ1 und ℎ2 ermittelbar? 1

(4) Teilaufgaben lösen In welcher Form sind die Bezugsgleichungen hinzuschreiben und umzuformen, damit die gesuchten Größen berechnet werden können? Welche Tricks und Zusatzinformationen könnten die Lösungsfindung vereinfachen? Z.B. Gemäß Abb. 2.3-2 ist der Druck 𝑝𝑝𝐵𝐵 im linken und rechten Schenkel des U-Rohres gleich, so dass die hydrostatische Grundgleichung jeweils liefert:

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

143

linker Schenkel 𝑝𝑝𝐵𝐵 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌1 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ1

rechter Schenkel 𝑝𝑝𝐵𝐵 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ2

Aus den rechten Seiten der beiden Gleichungen erhält man durch Vergleich und Kürzen 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌1 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ2 →

𝜌𝜌1 ℎ2 = 𝜌𝜌2 ℎ1

(5) Einheiten-Umrechnung Wie lassen sich die gesuchten Ergebnisse in der gewünschten Einheit berechnen? Entfällt bei dieser Aufgabe, da lediglich die physikalischen Zusammenhänge gefordert sind. Bei konkreten, experimentell ermittelten, Fluidsäulenhöhen wird das analoge Vorgehen wie in der Aufgabe von Kap. 2.2 empfohlen.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Wie lassen sich die erzielten Ergebnisse und weitergehenden Folgerungen an Außenstehende (Leser, Professoren, Auftraggeber, etc. → zielgruppenorientiert) verständlich vermitteln? Z.B. Der Dichtequotient verhält sich umgekehrt wie der Höhenquotient der Fluidsäule →

𝜌𝜌1 ℎ2 = 𝜌𝜌2 ℎ1

d.h. gemäß Skizze ist 𝜌𝜌2 < 𝜌𝜌1

___________________________________________________________________________________________

Beachte U-Rohr-Manometer werden häufig in experimentellen Untersuchungen bei der Durchströmung (z.B. Druckverluste in Rohrleitungssystemen) oder der Umströmung von Körpern (z.B. Druckverteilung bei Tragflügelprofilen) eingesetzt. Je nach Fluidsystem werden dabei sowohl die „Sperrmedien“ (z.B. Wasser, Quecksilber) als auch die Anordnung (z.B. Schrägrohrmanometer, umgekehrtes U-Rohr) variiert. Wegen ihrer physikalisch-geometrisch direkt überschaubaren Ergebnisdarstellung sind sie gegenüber elektronischen Druckmessgeräten bezüglich Fehlermessungen überlegen. Im obigen Beispiel ließe sich bei bekanntem Wert von 𝜌𝜌1 (z.B. Quecksilber 𝐻𝐻𝑔𝑔 ) und den gemessenen Höhen (ℎ1 , ℎ2 ) die Dichte von 𝜌𝜌2 eines unbekannten Mediums (z.B. Toluol) berechnen. Streng genommen gilt dies nur, wenn die beiden Schenkeldurchmesser so groß sind, dass die Meniskusbildung infolge der sog. Kapillarwirkung vernachlässigbar ist. ___________________________________________________________________________________________

Weitere Anwendungen der hydrostatischen/ aerostatischen Grundgleichung finden sich in Kap. 3.3.

144

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

2.4 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.4 (Bernoulli-Gleichung) Vorgegebene Aufgabenstellung: Der in Abb. 2.4-1 dargestellte große Druckbehälter ist bis zur Höhe ℎ = 2 𝑚𝑚 über dem Auslassquerschnitt 𝐴𝐴2 (𝐷𝐷2 = 2 𝑐𝑐𝑐𝑐) mit Wasser gefüllt und mit einem Absolut-Luftdruck 𝑝𝑝1 = 2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 beaufschlagt. Wie groß ist zu Beginn des freien Austritts die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐𝑐2 in

𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝑙𝑙

und der austretende Volumenstrom 𝑄𝑄 in ? 𝑠𝑠

Abb. 2.4-1: Wasserbehälter unter Innendruck bei freiem Ausfluss

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren. Skizze ergänzen (in grün), z.B. Bezugsniveau B-B und gegebene Daten

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung, ideal, verlustfrei Kontinuitätsgleichung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑐𝑐2 aus Bernoulli-Gleichung → Schritt (4)

𝑄𝑄 aus Kontinuitätsgleichung mit 𝑐𝑐2 → Schritt (4) Zahlenumrechnung mit Einheiten → Schritt (5)

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

145

(4) Teilaufgaben lösen Prinzipiell kann zur Lösung jede Form der Bernoulli-Energiegleichung genutzt werden. Jedoch wird sinnvollerweise die Form verwendet, bei der der geringste Umstellungsbedarf entsteht (Erfahrung). Da hier nach der Geschwindigkeit 𝑐𝑐2 gefragt wird, wird die spezifische Energieform (Gl. 1.4-9) gewählt und unter Bezug auf B-B zwischen den Stellen 1 und 2 ausgeschrieben: 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

Vereinfachungen: 𝑐𝑐1 ≈ 0 𝑧𝑧1 ≈ ℎ

𝑝𝑝2 ≈ 𝑝𝑝0 𝑧𝑧2 ≈ 0

(Spiegelabsenkung sehr klein bei großem Behälter) (Atmosphärendruck wird Austrittsquerschnitt von außen aufgeprägt) (da auf Bezugsniveau B-B)

Damit ergibt sich 𝑝𝑝1 𝑝𝑝0 𝑐𝑐2 2 + 0 + 𝑔𝑔 ∙ ℎ = + +0 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 → 𝑐𝑐2 2 = 2 ∙ �𝑔𝑔 ∙ ℎ + �

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝0 �� 𝜌𝜌

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝0 𝑚𝑚 2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 → 𝑐𝑐2 = �2 ∙ �𝑔𝑔 ∙ ℎ + � �� = �2 ∙ ��9,81 2 ∙ 2 𝑚𝑚� + � �� 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜌𝜌 𝑠𝑠 1000 3 𝑚𝑚

Mit der Kontinuitätsgleichung ermittelt sich 𝑄𝑄 zu 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝑐𝑐2 ∙

𝐷𝐷22 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 (2 𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ∙ 𝜋𝜋 = 𝑐𝑐2 ∙ 4 𝑠𝑠 4

(5) Einheiten-Umrechnung Geht auch gekoppelt mit Schritt (4) Für die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐𝑐2 ergibt sich:

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 5 𝑁𝑁 𝑚𝑚 2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 10 𝑚𝑚2 1 𝑠𝑠 2 𝑐𝑐2 = �2 ∙ ��9,81 2 ∙ 2 𝑚𝑚� + � �∙ ∙ � 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑁𝑁 1000 3 𝑚𝑚 𝑐𝑐2 = �2 ∙ �19,62 𝑐𝑐2 = 15,47

𝑚𝑚2 𝑠𝑠 2

𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 2 �239,24 + 1 ∙ 10 � = 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2

146

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

Der Volumenstrom 𝑄𝑄 berechnet sich zu

𝐷𝐷22 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 (2 𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ∙ 𝜋𝜋 1 𝑚𝑚2 = 15,47 ∙ ∙ 4 4 𝑠𝑠 4 10 𝑐𝑐𝑚𝑚2 3 3 𝑚𝑚 10 𝑙𝑙 𝑄𝑄 = 4,95 ∙ 10−3 ∙ 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚3 𝑙𝑙 𝑄𝑄 = 4,95 ∙ 10−3 𝑠𝑠 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐𝑐2 = �2 ∙ �𝑔𝑔 ∙ ℎ + �

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝0 𝑚𝑚2 �� = 15,47 2 𝜌𝜌 𝑠𝑠

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 4,95 ∙ 10−3 Diskussion:

𝑙𝑙 𝑠𝑠

Die Formel zur Ermittlung der Ausströmgeschwindigkeit entspricht der Torricelli-Ausflussformel bei einem oberwasserseitigen Überdruck.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

147

2.5 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.5 (Durchströmung mit Reibung) Vorgegebene Aufgabenstellung: Die Druckrohrleitung einer Peltonturbine weist einen Durchmesser 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 0,4 𝑚𝑚 auf und einen Druckverlust ∆𝑃𝑃𝑉𝑉𝑅𝑅 = 8 ∙

2 𝑐𝑐𝐴𝐴

2

∙ 𝜌𝜌 auf (𝑐𝑐𝐴𝐴 = Austrittsgeschwindigkeit aus der Düse). Die Düse

selbst besitzt einen Druckverlust von ∆𝑃𝑃𝑉𝑉𝐷𝐷 = 0,1 ∙

2 𝑐𝑐𝐴𝐴

2

∙ 𝜌𝜌. Der Düsen-Austrittsdurchmesser ist

𝐷𝐷𝐴𝐴 = 0,1 𝑚𝑚. Die Höhendifferenz vom Oberwasser bis zum Düsenaustritt beträgt 𝐻𝐻 = 250 𝑚𝑚 (Abb. 2.5-1). a) Welchen Volumenstrom 𝑄𝑄 in

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

liefert die Düse?

b) Wie groß ist der Druck 𝑝𝑝𝐷𝐷 in bar am Eintritt in die Düse?

Abb. 2.5-1: Druckrohrleitung mit Düse für eine Peltonturbine

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren. Skizze ergänzen (in grün).

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen a) Bernoulli-Gleichung mit Druckverlust zwischen den Stellen 1 und A, Kontinuitätsgleichung b) Bernoulli-Gleichung mit Druckverlust zwischen den Stellen 1 und D, Kontinuitätsgleichung

148

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen a) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und A mit ∑ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 → 𝑐𝑐𝐴𝐴 Kontinuitätsgleichung mit 𝑐𝑐𝐴𝐴 → 𝑄𝑄

b) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und D mit ∆𝑃𝑃𝑉𝑉𝑅𝑅 und 𝑐𝑐𝐷𝐷 (aus 𝑐𝑐𝐴𝐴 ) → 𝑝𝑝𝐷𝐷 (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung a) Bernoulli zwischen 1 und A mit Druckverlust ∑ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉1÷𝐴𝐴 (spezifische Energieform) ∑ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉1÷𝐴𝐴 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑐𝑐𝐴𝐴 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝐴𝐴 + 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌

Vereinfachen mit: 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 𝑐𝑐1 ≈ 0 𝑧𝑧1 = 𝐻𝐻

𝑝𝑝𝐴𝐴 = 𝑝𝑝0 𝑧𝑧𝐴𝐴 = 0

(Atmosphärendruck) (Spiegelabsenkung vernachlässigbar) (Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 zwischen Oberwasser und Düsenaustritt unverändert! 𝑝𝑝0 prägt Wasserstrahl seinen Wert auf)

� ∆𝑝𝑝𝑉𝑉1÷𝐴𝐴 = ∆𝑃𝑃𝑉𝑉𝑅𝑅 + ∆𝑃𝑃𝑉𝑉𝐷𝐷 = 8 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

∑ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉1÷𝐴𝐴 𝜌𝜌

=

𝑐𝑐𝐴𝐴2 𝑐𝑐𝐴𝐴2 ∙ 𝜌𝜌 + 0,1 ∙ ∙ 𝜌𝜌 2 2

𝑐𝑐𝐴𝐴2 𝑐𝑐 2 (8 + 0,1) = 8,1 ∙ 𝐴𝐴 2 2

Eingesetzt ergibt sich:

𝑝𝑝0 𝑝𝑝0 𝑐𝑐𝐴𝐴 2 𝑐𝑐𝐴𝐴2 + 0 + 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 = + + 0 + 8,1 ∙ 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 2 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 = (1 + 8,1) ∙

𝑐𝑐𝐴𝐴2 2

2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 2 ∙ 9,81 𝑚𝑚 ∙ 250 𝑚𝑚 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝐴𝐴 = � =� = �539 2 = 23,2 2 9,1 9,1 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙

𝐷𝐷𝐴𝐴2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 0,12 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚2 = 23,2 ∙ = 0,182 4 𝑠𝑠 4 𝑠𝑠

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

149

b) Bernoulli zwischen 1 und D mit Druckverlust ∆𝑝𝑝𝑉𝑉𝑅𝑅 (d.h. Rohrleitungsverlust bis zur Stelle D vor der Düse) ∆𝑝𝑝𝑉𝑉𝑅𝑅 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝𝐷𝐷 𝑐𝑐𝐷𝐷 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝐷𝐷 + 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌

Vereinfachen: 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 𝑐𝑐1 ≈ 0 𝑧𝑧1 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧𝐷𝐷 = 0

∆𝑝𝑝𝑉𝑉𝑅𝑅 = 8 ∙

𝑐𝑐𝐴𝐴2 ∙ 𝜌𝜌 2

𝑐𝑐𝐷𝐷 aus Kontinuitätsgleichung 𝑐𝑐𝐷𝐷 ∙ 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐷𝐷𝐴𝐴2 ∙ 𝜋𝜋 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐴𝐴 2 𝑐𝑐𝐷𝐷 = 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙ = 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙ 24 = 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙ � � 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋 4 𝐷𝐷𝐴𝐴 4 𝑐𝑐𝐷𝐷2 = 𝑐𝑐𝐴𝐴2 ∙ � � 𝐷𝐷𝐷𝐷

Eingesetzt und nach 𝑝𝑝𝐷𝐷 umgestellt erhält man

𝑝𝑝0 𝑝𝑝𝐷𝐷 𝑐𝑐𝐴𝐴 2 𝐷𝐷𝐴𝐴 4 𝑐𝑐𝐴𝐴2 + 0 + 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 = + � � +0+8∙ 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 2

𝑐𝑐𝐴𝐴 2 𝐷𝐷𝐴𝐴 4 𝑐𝑐𝐴𝐴2 𝑝𝑝𝐷𝐷 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 − � � � − 8 ∙ � ∙ 𝜌𝜌 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝑝𝑝𝐷𝐷 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 −

𝜌𝜌 2 𝐷𝐷𝐴𝐴 4 ∙ 𝑐𝑐𝐴𝐴 ∙ �� � + 8� 2 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑁𝑁 ∙ 𝑠𝑠 2 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 ∙ 9,81 2 ∙ 250 𝑚𝑚 ∙ ∙ − ∙ 23,22 2 3 3 𝑁𝑁 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 105 2 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑚𝑚 0,1 𝑚𝑚 4 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑁𝑁 ∙ 𝑠𝑠 2 ∙ �� � + 8� ∙ 5 ∙ 0,4 𝑚𝑚 10 𝑁𝑁 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚

𝑝𝑝𝐷𝐷 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 1000

𝑝𝑝𝐷𝐷 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 24,53 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 21,54 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 3,99 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝐷𝐷 ≈ 4 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

| ∙ 𝜌𝜌

150

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 𝑝𝑝𝐷𝐷 = 4 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑄𝑄 = 0,182 Diskussion:

Ohne Verluste wäre die Austrittsgeschwindigkeit nach Torricelli 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑡𝑡ℎ = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 = �2 ∙ 9,81

bzw. der Volumenstrom

𝑄𝑄𝑡𝑡ℎ = 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑡𝑡ℎ ∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑡𝑡ℎ ∙

𝑚𝑚 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 ∙ 250 𝑚𝑚 = �4905 2 ≈ 70 2 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝐷𝐷𝐴𝐴2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 0,12 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚2 = 70 ∙ ≈ 0,549 4 𝑠𝑠 4 𝑠𝑠

Die Verluste durch die lange Rohrleitung und die Düse reduzieren den theoretisch möglichen Volumenstrom 𝑄𝑄 also erheblich. Dadurch wird auch der Druck 𝑝𝑝𝐷𝐷 vor der Düse gegenüber dem theoretischen Druck ohne Verluste 𝑝𝑝𝐷𝐷𝑡𝑡ℎ deutlich reduziert. Der Druck 𝑝𝑝𝐷𝐷𝑡𝑡ℎ ohne Verluste wäre folgendermaßen zu berechnen: 𝑝𝑝𝐷𝐷 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑐𝑐𝐷𝐷 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = 𝑡𝑡ℎ + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝐷𝐷 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

Mit

𝑐𝑐𝐷𝐷 ∙ 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑡𝑡ℎ ∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝑐𝑐𝐷𝐷2 = 𝑐𝑐𝐴𝐴2𝑡𝑡ℎ ∙ �

ergibt sich

𝐷𝐷𝐴𝐴 4 � 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝑝𝑝𝐷𝐷 𝑐𝑐𝐴𝐴 2 𝐷𝐷𝐴𝐴 4 𝑝𝑝0 + 0 + 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 = 𝑡𝑡ℎ + 𝑡𝑡ℎ � � + 0 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑝𝑝𝐷𝐷𝑡𝑡ℎ = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 − ⋮

𝑝𝑝𝐷𝐷𝑡𝑡ℎ = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 1000

𝜌𝜌 𝐷𝐷𝐴𝐴 4 ∙ 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑡𝑡ℎ 2 ∙ � � 2 𝐷𝐷𝐷𝐷

| ∙ 𝜌𝜌

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 0,1 𝑚𝑚 4 ∙ 9,81 2 ∙ 250 𝑚𝑚 − ∙ 702 2 ∙ � � 3 3 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 0,4 𝑚𝑚

𝑝𝑝𝐷𝐷𝑡𝑡ℎ = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 24,53 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 0,096 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝐷𝐷𝑡𝑡ℎ = 25,434 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ≫ 𝑝𝑝𝐷𝐷 ≈ 4 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏!

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

151

2.6 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.6 (Umströmung von Körpern) Vorgegebene Aufgabenstellung: Ein PKW weist die folgenden Kenndaten auf: Mittlere Höhe 𝐻𝐻 = 1,5 𝑚𝑚 Mittlere Breite 𝐵𝐵 = 1,6 𝑚𝑚

Widerstandsbeiwert 𝑐𝑐𝑊𝑊 = 0,45

Antriebsleistung 𝑃𝑃 = 30 𝑘𝑘𝑘𝑘 (an Rädern, d.h. netto)

Weisen sie nach, dass dieses Fahrzeug auf einer waagrechten Straße und Windstille die erlaubte Höchstgeschwindigkeit von 130 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, Rollwiderstand vernachlässigt.

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

nicht überschreiten kann. Luft bei 20 °𝐶𝐶 und

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Gesamtwiderstand umströmter Körper Leistungsberechnung (Gl. 1.6-12), Gesamtwiderstandskraft (Gl. 1.6-11)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑃𝑃 und 𝐹𝐹𝑊𝑊 koppeln → Umstellung nach 𝑐𝑐∞ (< oder > 130 (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹𝑊𝑊 ∙ 𝑐𝑐∞

mit

𝜌𝜌 2 𝐹𝐹𝑊𝑊 = 𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ 𝑐𝑐∞ ∙ 𝐴𝐴 2 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 ∙ 𝐻𝐻

Daraus ergibt sich

𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 3 𝑃𝑃 = 𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ 𝑐𝑐∞ ∙ 𝐵𝐵 ∙ 𝐻𝐻 ∙ 𝑐𝑐∞ = 𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ 𝑐𝑐∞ ∙ 𝐵𝐵 ∙ 𝐻𝐻 2 2 3 𝑃𝑃 ∙ 2 → 𝑐𝑐∞ = � 𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝐵𝐵 ∙ 𝐻𝐻

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

?)

152

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 1 103 𝑠𝑠 30 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2 𝑠𝑠 2 𝑐𝑐∞ = � ∙ ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑁𝑁 0,45 ∙ 1,2 3 ∙ 1,6 𝑚𝑚 ∙ 1,5 𝑚𝑚 𝑚𝑚 3

𝑚𝑚 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 3600 𝑠𝑠 ∙ ∙ 𝑠𝑠 1000 𝑚𝑚 1 ℎ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐∞ = 129,3 < 130 ℎ ℎ 𝑐𝑐∞ = 35,907

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 < 130 ℎ ℎ Der PKW kann die max. erlaubte Geschwindigkeit nicht überschreiten 𝑐𝑐∞ = 129,3 Diskussion: Die Angabe zum Medium Luft in der Aufgabenstellung wird nicht benötigt, ist also überflüssig. Jedoch nicht überflüssig ist, dass der Rollwiderstand zu vernachlässigen ist. 𝑐𝑐𝑊𝑊 -Werte sind i.a. abhängig von der Körperform und der Reynolds-Zahl, wozu in der Fachliteratur zahlreiche Informationen existieren.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

153

2.7 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.7 (Impulssatz) Vorgegebene Aufgabenstellung: Ein Propeller fördert Luft durch ein Kreisrohr mit konstantem Querschnitt 𝐴𝐴 (Abb. 2.7-1).

Abb. 2.7-1: Abstützung einer Lüftungsquelle im Kreisrohr

An Stelle 1 vor dem Propeller seien der Druck 𝑝𝑝1, die Geschwindigkeit 𝑐𝑐1 und die Dichte 𝜌𝜌1 bekannt. Die Luft ist als inkompressibel und reibungsfrei zu betrachten. Schwerkräfte sind vernachlässigbar. Außerdem sollen die Geschwindigkeiten jeweils konstant über den Querschnitt sein und es soll eine stationäre Strömung vorliegen. Gegeben sind: 𝐴𝐴, 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 , 𝑐𝑐1 ≈ 𝑐𝑐2 , 𝜌𝜌1 ≈ 𝜌𝜌2

a) Zeichnen Sie bitte in der am besten geeigneten Skizze (Ansicht X oder Schnitt B-B) die allen Anforderungen entsprechende Kontrollfläche ein und unterscheiden Sie hierbei zwischen der freien (𝐴𝐴𝐹𝐹 ) und der Körper-Kontrollfläche (𝐴𝐴𝐾𝐾 ). b) Bestimmen Sie aus den gegebenen Größen die Stützkraft, die von den Motorhalterungsstegen aufgenommen werden muss. Gehen Sie dabei bitte von dem vollständig ausgeschriebenen Impulssatz in Komponentendarstellung aus. c) Zeichnen Sie die Stützkraft 𝐹𝐹𝑆𝑆 und die Reaktionskraft 𝑅𝑅𝑆𝑆 in die Skizze der Kontrollfläche mit der jeweiligen korrekten Wirkungsrichtung ein. d) Wie groß ist die Leistung des Ventilators?

154

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Impulssatz in Komponentenform (Kap. 1.7.1)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Kontrollvolumen skizzieren (𝐴𝐴𝐹𝐹 + 𝐴𝐴𝐾𝐾 )

Impulssatz in Komponentenschreibweise (nur in 𝑥𝑥-Richtung erforderlich) Einzelkomponenten vereinfachen → 𝐹𝐹𝑠𝑠𝑥𝑥 , 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑥𝑥 Leistung 𝑃𝑃 (aus ∆𝑝𝑝 und 𝑄𝑄) (4) Teilaufgaben lösen Da die Schwerkräfte 𝐹𝐹𝐺𝐺 und die Reibungskräfte 𝐹𝐹𝑅𝑅 vernachlässigt werden und die Strömung ausschließlich in eine Richtung geht (in 𝑥𝑥-Richtung gewählt), sowie die Kräfte in Bezug auf den Steg gesucht sind, wird das Kontrollvolumen 𝐾𝐾𝐾𝐾 in die vorgegebene Skizze „Schnitt B-B“ eingetragen. Im Folgenden sind die Informationen von Kap. 1.7.1 sorgfältig zu beachten!

a) Das in Abb. 2.7-2 gezeigte Kontrollvolumen 𝐾𝐾𝐾𝐾 erfüllt alle Forderungen, wie sie in Kap. 1.7.1, Abb. 1.7-5 und Gl. 1.7-4 beschrieben sind.

Abb. 2.7-2: Wahl des Kontrollvolumens 𝐾𝐾𝐾𝐾

Das 𝐾𝐾𝐾𝐾 ist eine einfache, zusammenhängende, in sich geschlossene Oberflächenkontur und die gesuchten Kräfte müssen Teil des 𝐾𝐾𝐾𝐾 sein!

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

155

b) Der Impulssatz in Komponentenschreibweise für die 𝑥𝑥-Richtung ergibt sich aus Gl. 1.7-8 zu � → 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥

(1)

Einzelkomponenten mit Vereinfachungen:

𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴) ∙ (+𝑐𝑐2𝑥𝑥 ) 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴) ∙ (+𝑐𝑐1𝑥𝑥 )

Da 𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 bzw. 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝑐𝑐2𝑥𝑥 ist, ergibt sich 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 0 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 = 0

(Schwerkräfte vernachlässigbar)

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 = 0

(Reibungskräfte an Wänden und Steg vernachlässigbar)

𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 = [+𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴 + (−𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴)] 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 gesucht!

Nach Einsetzen in Gleichung (1) erhält man 0 = 0 + [𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴 − 𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴] + 0 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆

Die Stützkraft 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 (von Steg auf das Fluid) ergibt sich zu 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 = (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 ) ∙ 𝐴𝐴 = ∆𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴

mit

∆𝑝𝑝 = Druckdifferenz zwischen den Stellen 1 und 2

𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 wird positiv und wirkt in x-Richtung!

Damit beträgt die Reaktionskraft 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠 (vom Fluid auf die Wand wirkend) 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 = −𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 = (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) ∙ 𝐴𝐴

Da 𝑝𝑝1 < 𝑝𝑝2 (wegen Energiezufuhr durch Propeller) ergibt sich ein negativer Wert für 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 . 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 wirkt also entgegen der x-Richtung!

c) Die Wirkungsrichtung von 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 und 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 sind in Abb. 2.7-3 anschaulich dargestellt.

Abb. 2.7-3: Wirkungsrichtung von 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 (auf das Fluid bzw. 𝐾𝐾𝐾𝐾) und von 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 (auf den Steg)

156

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

d) Nach Kap. 1.4.2.4 ermittelt sich die Leistung 𝑃𝑃 bei Energiezufuhr durch einen Ventilator zu 𝑃𝑃 = 𝑄𝑄 ∙ ∆𝑝𝑝

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴

(mit 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 )

Damit benötigt der Ventilator die Antriebsleistung 𝑃𝑃 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 ∙ ∆𝑝𝑝 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 ∙ (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) = 𝑐𝑐 ∙ 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 (5) Einheiten-Umrechnung Entfällt bei dieser Aufgabe

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) 𝐾𝐾𝐾𝐾 s. Abb. 2.7-2 b) 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 = (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 ) ∙ 𝐴𝐴 = ∆𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴 c)

𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 = −𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆 = (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) ∙ 𝐴𝐴

in 𝑥𝑥-Richtung

gegen 𝑥𝑥-Richtung

Wirkungsrichtung der Kräfte s. Abb. 2.7-3

d) Antriebsleistung 𝑃𝑃 = 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 ∙ (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 ) = 𝑐𝑐 ∙ 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆

Diskussion:

Der Impulssatz in Komponentenbetrachtung liefert auf formalem Weg anschauliche Ergebnisse!

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

157

2.8 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.8 (Sondergebiete) Vorgegebene Aufgabenstellung: Eine mit Wasser gefüllte Druckmessleitung enthält ein Reduzierstück, das aus zwei Kapillaren unterschiedlicher Innendurchmesser besteht. In dieser Verengung sitzt stabil eine Luftblase derart, dass das Wasser im engen Rohr völlig von demjenigen im weiten Rohr getrennt ist (Abb. 2.8-1).

Abb. 2.8-1: Druckmessleitung mit stabil eingeschlossener Luftblase 𝑁𝑁

Berechnen Sie bitte die Druckdifferenz (𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1 ) in 𝑚𝑚2 für folgendes Zahlenbeispiel: Oberflächenspannung 𝜎𝜎 = 72,5 ∙ 10−3 Randwinkel 𝛼𝛼 = 8°

Röhrchen-Radius 𝑟𝑟1 = 0,5 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑁𝑁 𝑚𝑚

Röhrchen-Radius 𝑟𝑟2 = 2 𝑚𝑚𝑚𝑚

Hinweis: -

Der Randwinkel 𝛼𝛼 ist als konstant am ganzen Umfang anzusehen Der Einfluss der Schwerkraft soll vernachlässigt werden Kräftegleichgewicht in jeder Kapillare bilden (für axiale Richtung) und erhaltene Gleichungen nach (𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1) auflösen

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Druckkräfte, Grenzflächenspannung, Kräftegleichgewicht (da stabile Situation besteht)

158

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Grenzflächenkräfte in Längsrichtung der linken Kapillarblasenseite und Druckkräfte aus 𝑝𝑝1 und aus 𝑝𝑝2 an der linken Grenzfläche berechnen. Kräftegleichgewicht bilden und (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) berechnen. Analoge Vorgehensweise für die rechte Blasenseite (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝3 ) berechnen. Aus beiden Beziehungen (𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1) herleiten. (4) Teilaufgaben lösen Es ist bei solchen Aufgaben sinnvoll, sich eine zusätzliche Skizze mit den wirkenden Kräften an der eingeschlossenen, stabilen Luftblase zu erstellen (Abb. 2.8-2 und Abb. 2.8-3). Linke Blasenseite:

Abb. 2.8-2: Kräfte an linker Blasenseite

Aus Abb. 2.8-2 ergeben sich folgende Gleichungen. 𝐹𝐹1 = 𝑝𝑝1 ∙ 𝑟𝑟12 ∙ 𝜋𝜋

𝐹𝐹2𝑙𝑙 = 𝑝𝑝2 ∙ 𝑟𝑟12 ∙ 𝜋𝜋

𝐹𝐹𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟1 ∙ 𝜋𝜋

𝐹𝐹𝜎𝜎1𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝜎𝜎1 ∙ cos 𝛼𝛼

(Linienkraft am Umfang) (Komponente von 𝐹𝐹𝜎𝜎1 in 𝑥𝑥-Richtung)

Kräftegleichgewicht in 𝑥𝑥-Richtung (gemäß Abb. 2.8-2): 𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹𝜎𝜎1𝑥𝑥 = 𝐹𝐹2𝑙𝑙

𝑝𝑝1 ∙ 𝑟𝑟12 ∙ 𝜋𝜋 + 𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟1 ∙ 𝜋𝜋 ∙ cos 𝛼𝛼 = 𝑝𝑝2 ∙ 𝑟𝑟12 ∙ 𝜋𝜋 (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) ∙ 𝑟𝑟12 ∙ 𝜋𝜋 = −𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟1 ∙ 𝜋𝜋 ∙ cos 𝛼𝛼 (𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) = −

𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ cos 𝛼𝛼 𝑟𝑟1

(1)

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

159

Rechte Blasenseite:

Abb. 2.8-3: Kräfte an rechter Blasenseite

Aus Abb. 2.8-3 ergeben sich folgende Gleichungen. 𝐹𝐹3 = 𝑝𝑝3 ∙ 𝑟𝑟22 ∙ 𝜋𝜋

𝐹𝐹2𝑟𝑟 = 𝑝𝑝2 ∙ 𝑟𝑟22 ∙ 𝜋𝜋

𝐹𝐹𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟2 ∙ 𝜋𝜋

𝐹𝐹𝜎𝜎2𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝜎𝜎2 ∙ cos 𝛼𝛼

Kräftegleichgewicht der rechten Blasenseite in 𝑥𝑥-Richtung (gemäß Abb. 2.8-3) 𝐹𝐹2𝑟𝑟 = 𝐹𝐹3 + 𝐹𝐹𝜎𝜎2𝑥𝑥

𝑝𝑝2 ∙ 𝑟𝑟22 ∙ 𝜋𝜋 = 𝑝𝑝3 ∙ 𝑟𝑟22 ∙ 𝜋𝜋 + 𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ cos 𝛼𝛼 (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝3 ) ∙ 𝑟𝑟22 = 𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟1 ∙ cos 𝛼𝛼 (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝3 ) =

𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ cos 𝛼𝛼 𝑟𝑟2

(2)

Gl. (1) und Gl. (2) addiert:

(𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ) + (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝3 ) = −

𝜎𝜎 ∙ 2 𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ cos 𝛼𝛼 + ∙ cos 𝛼𝛼 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2

1 1 𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1 = ∆𝑝𝑝 = 2 ∙ 𝜎𝜎 ∙ cos 𝛼𝛼 ∙ � − � 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 (5) Einheiten-Umrechnung

Setzt man die vergebenen Werte in Gl. (3) ein, so erhält man ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1 = 2 ∙ 72,5 ∙ 10−3 ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1 = 215,4

𝑁𝑁 𝑚𝑚2

𝑁𝑁 1 1 ∙ 0,9903 ∙ � − � 𝑚𝑚 0,5 ∙ 10−3 𝑚𝑚 2 ∙ 10−3 𝑚𝑚

(3)

160

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 1 1 𝑁𝑁 ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝3 − 𝑝𝑝1 = 2 ∙ 𝜎𝜎 ∙ cos 𝛼𝛼 ∙ � − � = 215,4 2 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝑚𝑚

Diskussion:

Luftblasen in Messleitungen zur Messung von Drücken in Wasser- und Luftprüfeinrichtungen verfälschen die Werte von Präzisions-Messgeräten. Deswegen sind alle Zuleitungen aus durchsichtigen Materialien vorzusehen und geeignete Entlüftungsmöglichkeiten (an den höchsten Stellen) zu schaffen. Besonders wichtig wird dies bei Messungen mit U-RohrManometern (auch bei umgekehrten U-Rohr-Manometern) und Luft oder Gasen als Strömungsmedium, weil dort die Drücke bzw. Druckdifferenzen kleiner als bei Wasser sind. Anmerkung: Die Dichte 𝜌𝜌𝐿𝐿 von Luft ist nahezu 1000-mal kleiner als die Dichte 𝜌𝜌𝑊𝑊 von Wasser! ___________________________________________________________________________________________

Beachte Eine ausführliche Formelsammlung mit der Zusammenfassung aller Kapitel wird unter www.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. ___________________________________________________________________________________________

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen Nachdem Sie in den bisherigen Kapiteln die grundlegenden Berechnungsgleichungen für Aufgaben der Fluidmechanik und eine sinnvolle methodische Lösungsstrategie kennengelernt haben, werden nun charakteristische Beispiele zur Hydro- und Aerostatik sowie -dynamik ausführlich dargestellt.

3.0 Aha-Strömungsphänomene einfach erklärt Als Einstieg in das vertiefte Verständnis für die Fluidgesetze werden zunächst einige Lösungen für die in Kap. V3 beschriebenen bemerkenswerten Fluidphänomene aufgezeigt. Die dazugehörigen Videos können über den jeweiligen QR-Code abgerufen werden. Dabei steht die verständliche Erklärung im Vordergrund, und weniger die in Kap. 2 aufgezeigte methodische Vorgehensweise, wenngleich die erforderlichen Grundgesetze und Lösungstricks bereits genutzt werden. Wer jedoch sofort die methodische Aufgabenbearbeitung kennenlernen möchte, kann direkt zu Kap. 3.1ff übergehen. Coanda-Effekt

Druckmessung

Flüssigkeitskavitation

Grenzflächenspannung σ

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5_3

162

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Grenzflächenspannung σ und Nichtbenetzung

Grenzflächenspannung σ und Oberflächenminimierung

Kaminwirkung

Kapillarwirkung

Parallelblätter

Platten-Blasrohr

Rückstoßprinzip

Tanzball im Luftstrahl

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Tragflügelprinzip

Ultraschall-Reinigung

Viskositätsverhalten von Gummibällen

Viskositätsverhalten von Kautschuk

Viskositätsverhalten von Zahnpasta

Wandauto

Wassersprung

163

164

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

• Kamineffekt? (Kap. V3.1) Ein Ofen (Abb. 3-1 und Video „Kaminwirkung“) benötigt zur Verbrennung ständig Frischluft. Deshalb muss er für den Außenluftzutritt (mit dem Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 ) geöffnet werden. Damit herrscht im Brennraum nahezu derselbe Druck 𝑝𝑝0 wie vor dem Ofen. Die Druckverluste durch Einströmen sind hierbei vernachlässigbar. Da sich das Gas-Luftgemisch im Brennraum beim Erhitzen ausdehnt, ist die Dichte 𝜌𝜌𝑖𝑖 der heißen Gase im Schornstein, kleiner als die Dichte 𝜌𝜌𝑎𝑎 der kalten Außenluft. 𝜌𝜌𝑖𝑖 < 𝜌𝜌𝑎𝑎

Abb. 3-1: Prinzipdarstellung eines Ofens mit Schornstein

Zunächst denkt man sich den Schornstein oben mit einem Deckel verschlossen! Gemäß der vereinfachten aerostatischen Grundgleichung (Fliegergleichung, Kap. 1.3.3, Gl. 1.3-23) nimmt der Druck nach oben hin ab 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

und beträgt direkt unter dem gedachten Verschlussdeckel 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌𝑖𝑖 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

Der Druck direkt oberhalb des gedachten Verschlussdeckels (außen) beträgt 𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌𝑎𝑎 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

Dabei ist vorausgesetzt, dass im Bezugsniveau B-B überall der Druck 𝑝𝑝0 vorliegt und die Dichteveränderung mit der Höhe ℎ vernachlässigbar klein ist, d.h. 𝜌𝜌𝑖𝑖 , 𝜌𝜌𝑎𝑎 ≠ 𝑓𝑓(ℎ)

Wegen 𝜌𝜌𝑖𝑖 < 𝜌𝜌𝑎𝑎 wird aus den Druckbeziehungen oberhalb und unterhalb des Deckels 𝑝𝑝𝑖𝑖 > 𝑝𝑝𝑎𝑎 . Entfernt man nun gedanklich den Deckel, so strömt Gas vom höheren Druck innen in Richtung des niedrigeren Drucks außen. Dies passiert solange, bis

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

165

𝜌𝜌𝑍𝑍 = 𝜌𝜌𝑚𝑚

bzw.

𝑝𝑝𝑍𝑍 = 𝑝𝑝𝑚𝑚

wird (d. h. das Feuer erloschen ist). An diesem Beispiel wird deutlich, dass der Schornstein nicht „zieht“, sondern durch den höheren Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 in Höhe des Bezugsniveau B-B quasi die Verbrennungsluft durch den Kamin nach oben „ausdrückt“. Ausführlich durchgerechnet und erläutert ist dieses Beispiel in Aufgabe 3.3.2-2 mit den sechs Arbeitsschritten.

• Flüssigkeitsversorgung von Bäumen? (Kap. V3.2) Eine wichtige Effektbegründung erfolgt in im Video „Kapillarwirkung“ und in Aufgabe 3.8.1-2 enthalten.

• Wasserläufer/ Lotuseffekt? (Kap. V3.3) Einige Hinweise hierzu sind ergänzend in Aufgabe 3.8.1-2 (Kapillarwirkung in engen Röhrchen) und in Video „Grenzflächenspannung 𝜎𝜎 und Nichtbenetzung“ enthalten. • Schwimmen und Fliegen? (Kap. V3.4) Die erforderlichen Begründungen sind in Aufgabe 3.3.2-4 und Aufgabe 3.6.4-1 enthalten. Im Video „Grenzflächenspannung 𝜎𝜎 “ wird ein einfaches Beispiel für einen Schwimmkörper aus Kork in Wasser gezeigt. Da der Korken eine kleinere Dichte als Wasser aufweist, geht er natürlich nicht unter. Das ändert sich allerdings, wenn die Dichte des Körpers größer ist als die von Wasser. Solche Körper schwimmen nur dann, wenn das Gesetz von Archimedes berücksichtigt wird, und der Körper hohl gestaltet wird (z.B. Boje), damit ein genügend großes Verdrängungsvolumen entsteht.

• Durchströmung zwischen zwei benachbarten Blättern? (Kap. V3.5) Wie lässt sich das in Video „Parallelblätter“ gezeigte paradoxe Verhalten erklären? Grundlage hierzu sind einerseits die Kontinuitätsgleichung und andererseits die BernoulliGleichung in ihrer einfachsten Form, was vorab als praktische Aussage zu den Wirkungen hinsichtlich Druck 𝑝𝑝 und Geschwindigkeit 𝑐𝑐 in Abb. 3-2 dargestellt ist.

166

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3-2: Praktische Aussage zu Druck 𝑝𝑝 und Geschwindigkeit 𝑐𝑐 auf einer Stromlinie

Für die weitere Erklärung ist die Situation schematisch in Abb. 3-3 mit den erforderlichen Angaben enthalten. Die Hauptfrage zur Bewegung der Blätter beim Durchströmen von Luft liegt in der Aussage zu den Drücken außerhalb der Blätter (𝑝𝑝𝑎𝑎 ) und im Inneren der Durchströmung (𝑝𝑝𝑖𝑖 ).

Abb. 3-3: Situation bei der Durchströmung zwischen zwei benachbarten Papierblättern

Und jetzt in wenigen Schritten zur Lösung: - Bernoulli-Gleichung ansetzen (z.B. in der Druckform zwischen (i) und (a)) 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑎𝑎 + ∙ 𝑐𝑐𝑎𝑎2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑎𝑎 2 𝑖𝑖 2 Vereinfachen mit den Annahmen

𝑝𝑝𝑖𝑖 +

𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑝𝑝0 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑧𝑧𝑎𝑎 (Höhen vernachlässigt wegen Luftsäule)

- Kontinuitätsgleichung einfügen

(1)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

167

𝐴𝐴𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑎𝑎 ≈ 0, da 𝐴𝐴𝑎𝑎 ≫ 𝐴𝐴𝑖𝑖 , ergibt sich

𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴𝑎𝑎 → 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖

mit

𝐴𝐴𝑎𝑎

𝑐𝑐𝑎𝑎 ≈ 0

- Vereinfachungen in Gl. (1) einsetzen und umstellen nach den gesuchten Größen (hier sind es der Innendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 und der Außendruck 𝑝𝑝𝑎𝑎 ) 𝜌𝜌 2 ∙ 𝑐𝑐 2 𝑖𝑖 → 𝑝𝑝𝑖𝑖 < 𝑝𝑝𝑎𝑎 (= 𝑝𝑝0 ) 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑝𝑝0 −

Da der Druck 𝑝𝑝𝑎𝑎 von außen auf die Blätter gleich dem Umgebungsdruck 𝑝𝑝0 ist, der Innendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 jedoch kleiner ist, klappen die Blätter zusammen! Ähnliche Effekte sind: -

Tür schlägt bei Wind im Haus zunehmend schneller zu „Elefantenrennen“ von zwei LKW mit Kastenaufbau/ Planen Kinderwagen/ Personen werden von Zug erfasst → zu nah an Bahnsteigkante → einige Todesfälle bei ICE u. a.

• Platten-Blasrohr und Fensterscheiben-Spielauto? (Kap. V3.6) Wie lässt sich das im Video „Platten-Blasrohr“ gezeigte paradoxe Verhalten erklären? Der Effekt wird übrigens in der Fachliteratur als Fluiddynamisches Paradoxon bezeichnet. Grundlagen hierzu sind ebenfalls, wie bei den zwei Blättern im Luftstrom, die Kontinuitätsund die Bernoulli-Gleichung in ihrer einfachsten Form. Abb. 3-4 stellt die Versuchssituation dar.

Abb. 3-4: Versuchsanordnung für das „Fluiddynamische Paradoxon“

Die Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen i und a liefert

168

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖2 𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑎𝑎2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑖𝑖 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

(1)

Mit den Vereinfachungen: 𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑝𝑝0 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑧𝑧𝑎𝑎

Druck an Stelle a (kurz vor und nach dem Austritt) wird durch Umgebungsdruck festgelegt (→ 𝑝𝑝0 wird dem Freistrahl aufgeprägt) (Höhendifferenz der Luftsäule vernachlässigbar bzw. 𝑧𝑧 = 0)

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt

𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴𝑎𝑎 → 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟𝑖𝑖 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑠𝑠 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑟𝑎𝑎 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ 𝑟𝑟𝑎𝑎 → 𝑐𝑐𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ → 𝑐𝑐𝑖𝑖 > 𝑐𝑐𝑎𝑎

(da 𝑟𝑟𝑎𝑎 > 𝑟𝑟𝑖𝑖 )

(Zylinder-Mantel-Fläche)

𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑖𝑖

Eingesetzt in Gl. (1) ergibt sich 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑝𝑝0 −

𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐𝑖𝑖2 − 𝑐𝑐𝑎𝑎2 ) 2

(1)

Mit 𝑐𝑐𝑖𝑖2 − 𝑐𝑐𝑎𝑎2 > 0 wird somit

𝑝𝑝𝑖𝑖 < 𝑝𝑝𝑎𝑎 (= 𝑝𝑝0 )

D. h. der Innendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 ist kleiner als der Außendruck 𝑝𝑝𝑎𝑎 .

Integriert man die Druckdifferenz (𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 ) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 über die Fläche 𝐴𝐴, so erhält man die resultierende Druckkraft 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 auf die bewegliche Gegenplatte. 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 wirkt paradoxerweise der Einblasrichtung entgegen (Abb. 3-5).

Abb. 3-5: Integration der Druckdifferenz (𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 ) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 über der Fläche A liefert die resultierende Kraft entgegen die Einblasrichtung (paradoxerweise)

Ähnliche Effekte: -

-

Haften und Fahren eines Spielzeugautos an Fensterscheibe (Video „Wandauto“) Trichter mit Kegeleinsatz umgekehrt auf den Boden stellen und einblasen: Die Kugel hebt sich!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

169

• Segelflug? (Kap. V3.7) Wie lässt sich das in Video „Tragflügen“ gezeigte Auftriebsverhalten erklären? Abb. 3-6 zeigt die Strömungssituation an einem asymmetrisch profilierten Tragflügel, die beim gezeigten Video vorliegt. Dort findet sich auch die Wirkungserklärung mit Hilfe eines „Konfusor“-Vergleichs der Stromlinien-Bilder und der vereinfachten Anwendung der Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung.

Abb. 3-6: Auftriebsprinzip bei der Tragflügelumströmung

Es ist also nicht erforderlich, dass der Tragflügel gewölbt ist (wenngleich das den Effekt vergrößert), sondern es genügt die asymmetrische Profilierung. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Zur schnellen Auffindung von Orten hoher Geschwindigkeiten und damit korrespondierender niedriger Drücke bei Strömungsvorgängen mit komplexen Körpergeometrien ist es hilfreich, ein vereinfachtes Stromlinienbild zu erstellen. Bei starken Versperrungen (≙ Konfusor) rücken die Stromlinien dichter zusammen, während sie mit abnehmender Versperrung (≙ Diffusor) wieder auseinandergehen. Hier wird die Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung angewandt, wie in Abb. 3-5 gezeigt, um eine qualitative Aussage treffen zu können. ___________________________________________________________________________________________

Ähnliche Effekte:

170

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

- Spoiler-Wirkung bei Rennwagen, die mit umgekehrter Anordnung einen Abtrieb zur besseren Bodenhaftung erzeugen - Schaufeln bei Kaplan-Wasserturbinen erzeugen das Drehmoment zur Energieerzeugung • Ball im schrägen Luftstrahl? (Kap. V3.8) Die Erklärung für das in Video „Tanzball im Luftstrahl“ gezeigte „Tanzen“ eines Balles im schrägen Luftstrahl erfolgt analog zu der in Kap. V3.8 gezeigten Vorgehensweise und ist in Abb. 3-7 enthalten. Die zu beobachtende Ballrotation beruht auf dem Coanda-Effekt (Luftstrahl folgt der gekrümmten Balloberfläche verstärkt auf der Oberseite). Die damit verbundene ungleiche Geschwindigkeit (𝑐𝑐𝑜𝑜 > 𝑐𝑐𝑢𝑢 ) führt zur Auftriebskraft 𝐹𝐹𝐴𝐴 , die auch als Magnus-Effekt bezeichnet wird.

Abb. 3-7: Erklärung zu „tanzender Ball“ im schrägen Luftstrahl

• Schornstein-/ Brückeneinsturz? (Kap. V3.9) Hinter umströmten Körpern (z. B. Zylindern) lösen sich periodisch gegenläufige Wirbel ab. Diese sog. Karmansche Wirbelstraßen besitzen eine charakteristische Frequenz 𝑓𝑓, die mittels der Strouhal-Zahl 𝑆𝑆𝑆𝑆 bestimmt werden kann. 𝑆𝑆𝑆𝑆 =

𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐∞ 𝑐𝑐∞ → 𝑓𝑓 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 ∙ 𝐷𝐷 𝐷𝐷

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

171

Für einen zylindrischen Körper gilt näherungsweise 𝑊𝑊𝑏𝑏 ≈ 0,2. Besitzt ein Fahrzeug eine Radioantenne mit einem Durchmesser 𝐷𝐷 = 5 𝑚𝑚𝑚𝑚, so würde bei einer Fahrgeschwindigkeit von 30

𝑚𝑚 𝑠𝑠

(ca. 110

𝑘𝑘𝑚𝑚 ℎ

) ein hörbarer Ton mit einer Frequenz von

𝑚𝑚 𝑠𝑠 = 1200 1 = 1200 𝐻𝐻𝑧𝑧 𝑓𝑓 = 0,2 ∙ 0,005 𝑚𝑚 𝑠𝑠

entstehen.

30

Falls die Ablösefrequenz der Wirbel genau der sog. Eigenfrequenz des Körpers entspricht, so kann bei einer längeren Dauer dieses Resonanzfalles der Körper zerstört werden. Beispiele hierfür sind Brücken (z. B. Tacoma-Narrows-Brücke 1940, zu finden unter dem Link https://www.bauforum24.biz/videos/historische-baufilme/einsturz-der-tacoma-bridge-1940 -r845/ ) und Schornsteine. Verhindert werden kann dies im Fall von Schornsteinen durch sog. Wirbelbrecher (helixförmige Wendel entlang des Schornsteins). Dadurch werden die regelmäßigen Wirbelablösungen in ungefährliche kleinere und unregelmäßigere Wirbelablösungen verändert.

• Flugweite/ -bahn von Tennis-, Fuß- oder Golfball (Kap. V3.10) Warum fliegt ein rauer Tennis- oder gedellter Golfball paradoxerweise weiter als ein glatter Ball? Zu diesem Thema finden sich im Internet mit geeigneten Suchbegriffen (z.B. „Golfball dimples“) sehr viele Erläuterungsfilme. Ursache hierfür ist das Strömungsverhalten. Durch eine „raue“ Oberfläche wird eine turbulente Strömung um den Ball erzeugt, die länger „anliegt“ und ein kleineres Totwassergebiet hinter dem Ball erzeugt. Hiermit ist ein geringerer Strömungswiderstand und ein geringerer 𝑐𝑐𝑊𝑊 -Wert verbunden. Bei gleicher Schlagkraft kann ein „rauer“ Ball weiter fliegen als ein „glatter“ Ball. Ein analoger Effekt entsteht bei einem Fußball durch die Rillen zwischen den einzelnen Leder-Fünfecken. Durch geschicktes „Anschneiden“ von dem Fußballartisten kann der Ball eine gekrümmte Flugbahn einnehmen, was letztlich durch den Magnus-Effekt bewirkt wird (vgl. V3.8). Besonders irritierend für einen Torwart ist eine „plötzliche“ Richtungsänderung kurz vor dem Tor. Dabei schlägt die turbulente „überkritische“ Kugelströmung in eine „unterkritische“ Umströmung um. Dies erfolgt bei einer bestimmten 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl (also einer bestimmten Ballgeschwindigkeit, die ja nach Abschuss durch Reibungseffekte des Balles abnimmt). Da sich hierbei Wirbelablösungen hinter dem Ball drastisch unkontrolliert ändern, erfährt der Ball eine plötzliche Bahnveränderung. Grundlage für diesen Effekt ist also nicht das „Anschneiden“ des Balles, sondern die Schusskraft des Spielers, um den Ball zunächst in eine „überkritische“ Strömungssituation zu bringen, die darüber hinaus auch noch den Luftwiderstand des Balles mehr als halbiert (vgl. Abb. 3-8).

172

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3-8: Widerstandsbeiwerte der Kugelströmung und Totwassergebiete bei unterkritischer und überkritischer Strömung

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

173

• Wasser folgt festen Wänden (Kap. V3.11) Das im Video „Coanda-Effekt“ gezeigte Verhalten wird, wie der Name schon sagt, als CoandaEffekt bezeichnet. Fluide können konvexe Oberflächen „entlanglaufen“ anstatt sich in der ursprünglichen Fließrichtung geradlinig weiter zu bewegen.

• Wassersprung in Flachgewässer (Kap. V3.12) In Kap. 1.8.3.3 (Abb. 1.8-21 und Abb. 1.8-22) wurde mit Hilfe der Froude-Zahl 𝐹𝐹𝐹𝐹 bereits erläutert, wie der im Video „Wassersprung“ zu beobachtende Wassersprung entsteht. Das vorstehende phänomenologische Herangehen an die Fluidmechanik bietet den Vorteil, ohne ausschweifende Berechnungen, das Wesentliche für praktische Anwendungen zu erkennen. Im Folgenden sollen jedoch die in Klausuren oder in der Industriepraxis üblichen Berechnungen in methodischer Vorgehensweise vorgestellt werden. Es ist zu empfehlen, dass Sie zunächst eigenständig versuchen, die Aufgaben zu lösen und erst anschließend Ihre Vorgehensweise und Ihre Lösungen mit den Buchlösungen vergleichen und eine Formelsammlung dabei zu Hilfe nehmen. Eine solche wird in den digitalen Zusatzunterlagen zu diesem Buch unter www.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. Diese sind bewusst sehr ausführlich in allen sechs Teilschritten dokumentiert, um mögliche Unklarheiten zu vermeiden. Bei einigen Lösungen sind abgekürzte Varianten angefügt, so wie sie z. B. in Klausuren abgegeben werden könnten. Die Beispiele sind entsprechend der Grundlagen-Kapitel-Nummerierung von Kap. 1.x dem Kap. 3.x zugeordnet, damit bei Fragen direkt auf das betreffende Grundlagen-Kapitel zurückgegriffen werden kann. Aufgaben z.B. aus Kap 3.3 lassen sich demnach mit den Grundlagen aus Kap 1.3 berechnen.

174

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.1 Aufgabe zu Kap. 1.1 (Fluidbegriffe) Das Wesentliche wird hier lediglich an einer Aufgabenbearbeitung gezeigt

Aufgabe 3.1-1: Volumenstromberechnung Eine Bewässerungsanlage weist einen Rohr-Innendurchmesser von 𝐷𝐷𝑎𝑎 = 0,05 𝑚𝑚 am Austrittsquerschnitt auf.

a) Welcher Volumenstrom 𝑄𝑄𝑎𝑎 fließt durch dieses Rohr, wenn die Austrittsgeschwindigkeit 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 0,34

𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑘𝑘

beträgt? (verlustfreie Strömung, Wasser 𝜌𝜌𝑤𝑤 = 1000 𝑚𝑚3 )

b) Wie groß wird theoretisch der Volumenstrom 𝑄𝑄𝑏𝑏 , wenn an das Rohrende ein Diffusor mit einem Austrittsdurchmesser 𝐷𝐷𝑏𝑏 = 0,08 𝑚𝑚 angesetzt wird? (Der Zuführ-Wasserdruck soll konstant bleiben) (1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen.

Abb.3.1-1: Rohraustritt bei Ø 50 𝑚𝑚𝑚𝑚 und Ø 80 𝑚𝑚𝑚𝑚

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Stationäre, verlustfreie, dichtebeständige Wasser-Strömung mit Kontinuitätsgleichung und Kreisflächenberechnung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑄𝑄𝑎𝑎 aus Kontinuitätsgleichung und Kreisflächenformel

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

175

Zu b): 𝑄𝑄𝑏𝑏 analog zu 𝑄𝑄𝑎𝑎 (wenn 𝑐𝑐𝑏𝑏 bekannt wäre!) (4) Teilaufgaben lösen Zu a): Kontinuitätsgleichung 𝐷𝐷𝑎𝑎2 ∙ 𝜋𝜋 4 𝑚𝑚 0,052 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 𝑄𝑄𝑎𝑎 = 0,34 ∙ 𝑠𝑠 4 3 𝑚𝑚 𝑄𝑄𝑎𝑎 = 6,67 ∙ 10−4 𝑠𝑠 𝑄𝑄𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙

Zu b):

Wie groß ist 𝑐𝑐𝑏𝑏 ?

𝑚𝑚

→ da 𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑝𝑝𝑏𝑏 ist, bleibt die Geschwindigkeit am Austritt unverändert → 𝑐𝑐𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 0,34 𝑠𝑠 ! Kontinuitätsgleichung

𝐷𝐷𝑏𝑏2 ∙ 𝜋𝜋 4 𝑚𝑚 0,082 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 𝑄𝑄𝑏𝑏 = 0,34 ∙ 𝑠𝑠 4 3 𝑚𝑚 𝑄𝑄𝑏𝑏 = 17,08 ∙ 10−4 𝑠𝑠 𝑄𝑄𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∙ 𝐴𝐴𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∙

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt bei dieser Aufgabe

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Volumenstrom 𝑄𝑄𝑎𝑎 = 6,67 ∙ 10−4 Volumenstrom 𝑄𝑄𝑏𝑏 = 17,08 ∙

Diskussion:

𝑚𝑚3

𝑠𝑠 3 −4 𝑚𝑚 10 𝑠𝑠

D.h. der aufgesetzte Diffusor vergrößert den Volumenstrom um den Faktor 2,56 (entsprechend

𝐷𝐷𝑏𝑏2

𝐷𝐷2𝑎𝑎

)!

176

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Historisches: Im alten Rom existierte bereits ein Wasserleitungsnetz. Die Gebühren für das Wasser orientierten sich am Durchmesser der in das Haus verlegten Rohrleitung. Findige Bürger verlängerten das Bad-Einlaufrohr mit einem Diffusor und konnten so bei gleichbleibenden Gebühren deutlich mehr Wasser verbrauchen. Bis die Stadt die Rohrenden mit sogenannten Blenden (= scharfkantige Lochscheibe“ „versiegelte“, die beim nachträglichen Aufsetzten eines Diffusors die Strömungsverluste so erhöhte, dass zum Teil noch weniger Wasser als vorher ausfloss. Anmerkung: • Die in der Aufgabenstellung angegebene Dichte 𝜌𝜌 muss bei der Lösung nicht benutzt werden! Manche Aufgabensteller machen das extra, um Irritationen zu erzeugen. • Die Annahme, dass durch den Diffusor sich zwar der Volumenstrom vergrößert, jedoch die Geschwindigkeit gleichbleibt (𝑐𝑐𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ), beruht auf der Ausflussformel von Torricelli.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

177

3.2 Aufgabe zu Kap. 1.2 (Stoffwerte und Einheiten von Fluiden) Auch hier wird lediglich eine Aufgabenstellung ergänzend zu Kap. 1.2 ausführlich exemplarisch gezeigt, da in nahezu allen weiteren Unterkapitel-Aufgaben Stoffwerte, Einheiten und deren Umrechnung integriert sind.

Aufgabe 3.2-1: Angelsächsische Einheiten In einer Berechnung für einen Kunden aus dem angelsächsischen Raum wird die kinematische Viskosität 𝜈𝜈 von Aethyl-Alkohol bei einem Druck von 𝑝𝑝 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 und einer Temperatur von 𝜗𝜗 = 45 °𝐶𝐶 benötigt. Der zugehörige Wert aus einem Tabellenwerk beträgt 𝜈𝜈 = 1 ∙ 10−6 c) Welchen Wert für 𝜈𝜈 erhält man in der Einheit 𝑙𝑙𝑙𝑙

d) Wie groß ist der Druck 𝑝𝑝 in der Einheit 𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑖𝑖𝑖𝑖?

𝑓𝑓𝑡𝑡 2 𝑠𝑠

?

e) Wie groß ist die Temperatur 𝜗𝜗𝐴𝐴𝐴𝐴 in der Einheit 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (Degree Fahrenheit)? (1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Einheiten-Umrechnung (vgl. Kap 1.2); Angelsächsische Einheiten

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Vorgegeben: 𝑎𝑎) → 𝑏𝑏) → 𝑐𝑐) (4) Teilaufgaben lösen Zu a): Umrechnung

1=

Zu b): Umrechnung

1=

𝑓𝑓𝑡𝑡 2 1 𝑠𝑠

0,092903

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

𝑙𝑙𝑙𝑙 1 𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑖𝑖𝑖𝑖

0,0689476 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(aus Tabelle Kap. 1.2)

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

.

178

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Zu c) Umrechnung

9 𝜗𝜗 𝜗𝜗𝐴𝐴𝐴𝐴 = �� � ∙ � � + 32� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 5 °𝐶𝐶

(5) Einheiten-Umrechnung Zu a) 𝑚𝑚2 𝜈𝜈 = 1 ∙ 10−6 ∙ 𝑠𝑠 Zu b) 𝑝𝑝 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙

𝑓𝑓𝑡𝑡 2 1 𝑠𝑠

𝑚𝑚2

0,092903 𝑠𝑠

𝑙𝑙𝑙𝑙 1 𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑖𝑖𝑖𝑖

0,0689476 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

= 1,08 ∙ 10−5

= 14,5

𝑓𝑓𝑡𝑡 2 𝑠𝑠

𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑖𝑖𝑖𝑖

Zu c) 9 45 °𝐶𝐶 𝜗𝜗𝐴𝐴𝐴𝐴 = �� � ∙ � � + 32� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 113 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 5 °𝐶𝐶 (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝜈𝜈 = 1,08 ∙ 10−5

𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 113 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑝𝑝 = 14,5 𝜗𝜗𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑓𝑓𝑡𝑡 2 𝑠𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

179

3.3 Aufgaben zu Kap. 1.3 (Fluidstatik/ Aerostatik) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen:

-

Statischer Druck Hydrostatik Statischer Auftrieb Aerostatik

Aufgabe 3.3.2-1 Druckmessung mit U-Rohr-Manometer Berechnen Sie den Druckverlust einer Rohrströmung (zwischen den Stellen 1 und 2), die gemäß Abb. 3.3-1 mit Luft (Skizze A, Dichte 𝜌𝜌𝐿𝐿 ) bzw. Wasser (Skizze B und C, Dichte 𝜌𝜌𝑊𝑊 ) durchströmt wird. Der Druckverlust ∆𝑝𝑝 soll über Wandbohrungen und den wichtigsten Bauformen (Skizze A,B und C) aus den angezeigten Differenzhöhen ∆ℎ und den jeweiligen Sperrmediendichten ermittelt werden.

Abb. 3.3-1: Druckmessung mit verschiedenen Medien und Bauformen von U-Rohr-Manometer

In welchem Verhältnis stehen diese Differenzhöhen ∆ℎ bei gleicher Druckdifferenz ∆𝑝𝑝 bei folgenden Dichtewerten? Wasser 𝜌𝜌𝑊𝑊 ≈ 1000

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚3

180

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑔𝑔 𝑚𝑚3 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≈ 13600 3 𝑚𝑚

Luft 𝜌𝜌𝐿𝐿 ≈ 1200

Quecksilber 𝜌𝜌𝐻𝐻𝐻𝐻

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. → gegeben: U-Rohr-Manometer (Skizze A, B, C), 𝜌𝜌𝑊𝑊 , 𝜌𝜌𝐿𝐿 , 𝜌𝜌𝐻𝐻𝐻𝐻 , 𝑝𝑝1, 𝑝𝑝2 Kurzform der gesuchten Lösung extrahieren. → gesucht:

a) Druckverlust ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = 𝑓𝑓(𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆, ∆ℎ) für alle Bauformen? b) Verhältnis ∆ℎ𝐴𝐴 : ∆ℎ𝐵𝐵 : ∆ℎ𝐶𝐶 ≈ ⋯ : ⋯ ∶ ⋯ ?

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Rohrströmung mit Verlusten würde zwar in das Gebiet Fluiddynamik (Kap. 1.5) fallen, doch werden die U-Rohr-Manometer nicht durchströmt. Das Fluid befindet sich also in Ruhe (= Fluidstatik). Über eine geeignete Wanddruckbohrung wird der statische Druck einer Fluidströmung an der jeweiligen Stelle 1 bzw. 2 direkt dem betreffenden U-Rohr-Schenkel aufgeprägt. → Hydrostatische Grundgleichung (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Hydrostatische Grundgleichung für linken (→ 𝑝𝑝1) und rechten (→ 𝑝𝑝2 ) U-Rohr-Schenkel ansetzen und Differenz ∆𝑝𝑝 ermitteln. Zu b):

Gleichungen für ∆𝑝𝑝 umstellen auf ∆ℎ und Verhältnis für jeweilige Dichten 𝜌𝜌 bilden (bei ∆𝑝𝑝 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. für Skizze A, B und C) (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Sinnvolles Bezugsniveau B-B in Skizzen eintragen (bereits in Abb. 3.3-1 erfolgt), gemäß Hinweisen aus Kap. 2.3. Skizze A:

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

181

Im Bezugsniveau B-B sind die Drücke 𝑝𝑝𝐵𝐵1 und 𝑝𝑝𝐵𝐵2 im linken und rechten Schenkel gleich. Die hydrostatische Grundgleichung liefert unter Beachtung, dass der Druck 𝑝𝑝1 (bzw. 𝑝𝑝2 ) sich mit zunehmender Tiefe ℎ vergrößert: Linker Schenkel 𝑝𝑝𝐵𝐵1 = 𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ Rechter Schenkel 𝑝𝑝𝐵𝐵2 = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ𝐴𝐴 ) + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐵𝐵1 = 𝑝𝑝𝐵𝐵2

𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ𝐴𝐴 ) + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐴𝐴

𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐴𝐴 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐴𝐴 ∆𝑝𝑝𝐴𝐴 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = (𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐴𝐴

Skizze B:

Analog zur Herleitung im Fall A ergibt sich: ∆𝑝𝑝𝐵𝐵 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = (𝜌𝜌𝐻𝐻𝐻𝐻 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐵𝐵 Skizze C: Die Bezugsebene B-B liegt hier so, dass sich oberhalb das zusammenhängende, gleiche, ruhende Medium befindet (vgl. Hinweise in Kap 2.3). Der Druck an der Stelle B-B wird also gegenüber dem Druck 𝑝𝑝1 (bzw. 𝑝𝑝2 ) verkleinert. Linker Schenkel 𝑝𝑝𝐶𝐶1 = 𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ Rechter Schenkel 𝑝𝑝𝐶𝐶2 = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ𝐶𝐶 ) − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐶𝐶 𝑝𝑝𝐶𝐶1 = 𝑝𝑝𝐶𝐶2

𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ𝐶𝐶 ) − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐶𝐶

𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐶𝐶 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐶𝐶 ∆𝑝𝑝𝐶𝐶 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = (𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐶𝐶 Zu b): Es ist hier zu beachten, dass in der Aufgabenstellung die Dichte von Luft 𝜌𝜌𝐿𝐿 in einer anderen Einheit als die Dichte von Wasser und Quecksilber angegeben ist. Deswegen muss für 𝜌𝜌𝐿𝐿 zunächst eine Einheiten-Umrechnung erfolgen 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑔𝑔

!

Mit der einfachen Beziehung 1 𝑚𝑚3 = 1000 𝑚𝑚3 → 1 = 𝜌𝜌𝐿𝐿 = 1200

𝑔𝑔 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 1 = 1200 3 ∙ = 1,2 3 𝑚𝑚3 𝑚𝑚 1000 𝑔𝑔 𝑚𝑚

1 𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚3

𝑚𝑚3 ∙1000 𝑔𝑔

wird somit

Da ∆𝑝𝑝𝐴𝐴 = ∆𝑝𝑝𝐵𝐵 = ∆𝑝𝑝𝐶𝐶 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 jeweils gleich sein soll, ergibt sich damit für das Verhältnis der gemessenen Differenzhöhen ∆ℎ aus der Umstellung für Fall A:

182

∆ℎ𝐴𝐴 =

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 1 ~ ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. (𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ) ∙ 𝑔𝑔 𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿

∆ℎ𝐴𝐴 : ∆ℎ𝐵𝐵 : ∆ℎ𝐶𝐶 ~

(da 𝑔𝑔 und 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 jeweils gleich sein sollen)

1 1 1 : : 𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 𝜌𝜌𝐻𝐻𝐻𝐻 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿

Nach dem Einsetzen der Zahlenwerte für die Dichten liefert das ∆ℎ𝐴𝐴 : ∆ℎ𝐵𝐵 : ∆ℎ𝐶𝐶 ≈ 10−3 : 0,08 ∙ 10−3 : 10−3

Oder auf verständliche Verhältnisse normiert: ∆ℎ𝐴𝐴 : ∆ℎ𝐵𝐵 : ∆ℎ𝐶𝐶 ≈ 12,5: 1: 12,5

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren → zu a) Druckdifferenzen

∆𝑝𝑝𝐴𝐴 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = (𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐴𝐴

∆𝑝𝑝𝐵𝐵 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = (𝜌𝜌𝐻𝐻𝐻𝐻 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐵𝐵 ∆𝑝𝑝𝐶𝐶 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = (𝜌𝜌𝑊𝑊 − 𝜌𝜌𝐿𝐿 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ𝐶𝐶

oder allgemein mit 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = jeweils größter Dichtewert und 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = jeweils kleinster DichteWert im U-Rohr-Manometer ∆𝑝𝑝 = (𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∆ℎ → zu b) Verhältnis der Messhöhen ∆ℎ bei gleichen Differenzdrücken 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 ∆ℎ𝐴𝐴 : ∆ℎ𝐵𝐵 : ∆ℎ𝐶𝐶 ≈ 12,5: 1: 12,5

Diskussion:

Fall A gilt für eine Luft-Rohrströmung, während die Fälle B und C für eine Wasser-Rohrströmung interessant sind. Fall C erhöht den Messausschlag gegenüber Fall B auf das 12,5fache, ist also deutlich präziser bezüglich des Messwertes. Für die Praxis dienen U-RohrManometer nicht nur zur direkten Druckmessung, sondern eignen sich darüber hinaus besonders zur Überprüfung indirekt messender elektronischer Druckmessgeräte. Beim umgekehrten U-Rohr-Manometer in Fall C kann ein einfaches Fahrradschlauch-Ventil zur erforderlichen Regulierung der Meniskushöhe in den Glasschenkeln eingesetzt werden. Für die Wanddruckbohrungen sollten die Durchmesser 𝑑𝑑 ca. 1-2 𝑚𝑚𝑚𝑚 und die DurchmesserBohrlängen-Verhältnisse

𝑑𝑑 𝑙𝑙

1

≈ 3 betragen, damit die Messergebnisse nicht durch Sekundär-

strömungen verfälscht werden.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

183

Aufgabe 3.3.2-2 Kamin-/ Schornsteinwirkung (praktische Anwendung) Wie erklärt sich die Wirkung eines Ofens/ Kamins/ Schornsteins bezüglich der Verbrennung von Holz, Kohle, etc.?

(1) Aufgabe klären Dies ist ein Beispiel aus der praktischen Fluidmechanik, mit der sich spannende Effekte/ Phänomene theoretisch erklären lassen und das Interesse für dieses Fachgebiet gefördert werden kann. Sinnvoll ist es, sich zunächst eine bildhafte Vorstellung in vereinfachter Form dieses Effektes zu machen (Abb. 3.3-2).

Abb. 3.3-2: Prinzipdarstellung „Ofen“

Ein Ofen benötigt zur Verbrennung ständig Frischluft, deshalb muss er für den Außenluftzutritt geöffnet werden. Damit herrscht in dem Ofen näherungsweise derselbe Druck 𝑝𝑝0 wie vor dem Ofen (Druckverluste durch Einströmung in den Ofen werden vernachlässigt). Da sich die Gase beim Erhitzen ausdehnen, ist die Dichte 𝜌𝜌𝑖𝑖 der heißen Gase im Schornstein kleiner als die Dichte 𝜌𝜌𝑎𝑎 der kalten Außenluft 𝜌𝜌𝑖𝑖 < 𝜌𝜌𝑎𝑎

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Normalerweise ist der sich im Ofen abspielende Prozess der Fluiddynamik zuzuordnen. Denkt man sich jedoch nach einiger Zeit einen Deckel oben auf den Schornstein gelegt, so wird kurzfristig die Strömung unterbrochen und es lässt sich für diesen Zustand die Hydrostatische

184

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Grundgleichung anwenden. Diese Vereinfachung ist zulässig, wenn sich die Gasschichten kaum mit der Höhe ändern (ansonsten müsste die Aerostatische Grundgleichung angewendet werden).

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Hydrostatische Grundgleichung unter Bezug auf B-B für den Schornstein („innen“) und eine gedachte Fluidsäule („außen“) ansetzen. Voraussetzung: „Deckel“ geschlossen und die Dichte ist über die Höhe nahezu konstant.

(4) Teilaufgaben lösen Druck direkt unter dem „Deckel“ 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌𝑖𝑖 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

Druck direkt über dem „Deckel“ 𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌𝑎𝑎 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

Da 𝜌𝜌𝑖𝑖 < 𝜌𝜌𝑎𝑎 ist, ergibt sich der Vergleich 𝑝𝑝𝑖𝑖 > 𝑝𝑝𝑎𝑎 .

Entfernt man nun den gedachten Schornsteindeckel, so strömt das Verbrennungsgas vom höheren zum niedrigeren Druck aus dem Schornstein aus. → Der Kamin „zieht“ (obwohl physikalisch die Außenluft am Ofeneintritt die Verbrennungsluft nach oben drückt). !

Das Rauchgas strömt solange nach oben, bis 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝑎𝑎 ist, d. h. das Feuer erloschen ist (dann ist 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑎𝑎 ). (5) Einheiten-Umrechnung Entfällt hier, wegen rein physikalischer Betrachtung (exemplarische Lösung).

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die Schornsteinwirkung ist dadurch zu erklären, dass die „kalte“ Luft am Ofeneinlass eine größere Dichte als das „heiße“ Rauchgas im Schornstein hat. Dies hat aufgrund der Hydrostatischen Grundgleichung zur Folge, dass der Druck im Schornstein größer ist als außerhalb des Schornsteinaustritts, sodass das Rauchgas aus dem Schornstein gedrückt wird. Diskussion: Gründe für einen „schlechten Kaminzug“ sind: - Hohe Strömungsverluste im Kamin (Einlassöffnungen, Umlenkungen, …)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

185

- Zu großer Einlassquerschnitt („offener Kamin“) führt zu Luftüberschuss, wodurch Rauchgas kälter wird → 𝜌𝜌𝑖𝑖 steigt, 𝑝𝑝𝑖𝑖 sinkt - „Offene Kamine“ benötigen z.B. 800 𝑚𝑚3 Frischluft pro Stunde. Dies entspricht dem mehrfachen Rauminhalt eines Zimmers. Eventuell herrscht Luftmangel wegen zu guter Isolation (Fenster, Türen) in modernen Häusern. Besser sind sogenannte verglaste KaminKassetten.

Aufgabe 3.3.2-3 Verschlusskraft eines rechteckigen Klappenwehres Zur Niveauregelung von Wasserreservoirs dienen Klappenwehre, die über eine Gegenhaltemechanik im Neigungswinkel variiert werden können. Die erforderliche Klappenverschlusskraft am oberen Ende 𝐹𝐹𝐾𝐾 ist in Abhängigkeit von der Dichte 𝜌𝜌, der Klappenlänge 𝑙𝑙, der Klappenbreite 𝑏𝑏 und des Neigungswinkels 𝛼𝛼 zu bestimmen (Abb. 3.3-3).

Abb. 3.3-3: Druckkräfte auf schräg geneigte Wand

(1) Aufgabe klären Gegeben: 𝜌𝜌, 𝑙𝑙, 𝑏𝑏, 𝛼𝛼 Gesucht: 𝐹𝐹𝐾𝐾

Ergänzung der Skizze (in rot und grün) Grundlagen hierzu in Kap. 1.3.2.2 beachten.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Berechnungsgleichung von Kap. 1.3.2.2 verwendbar (Druckkraft auf schräg geneigte Wand). Gelenkhebel beachten.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Analog zu Kap. 1.3.2.2.

186

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(4) Teilaufgaben lösen Druckkraft 𝐹𝐹𝐷𝐷 berechnet sich gemäß Gl. 1.3-6 zu 𝐹𝐹𝐷𝐷 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ cos 𝛼𝛼 ∙ 𝑦𝑦𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴 𝑙𝑙

Mit 𝑦𝑦𝑠𝑠 = 2 und 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙 ergibt sich 𝐹𝐹𝐷𝐷 =

1 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ cos 𝛼𝛼 ∙ 𝑙𝑙 2 ∙ 𝑏𝑏 2

𝑦𝑦𝐷𝐷 =

𝐼𝐼𝑠𝑠 + 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑦𝑦𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴

Angriffspunkt von 𝐹𝐹𝐷𝐷 ist der Druckmittelpunkt 𝑦𝑦𝐷𝐷 (Gl. 1.3-11). Das Eigenträgheitsmoment 𝐼𝐼𝑠𝑠 der gedrückten Fläche um seinen Schwerpunkt ergibt sich für eine Rechteckfläche aus Tabellen der Technischen Mechanik 𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙 3 12 Das Einsetzen der gefundenen Beziehungen liefert 𝐼𝐼𝑠𝑠 =

𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙 3 𝑙𝑙 𝑙𝑙 𝑙𝑙 2 + = + = 𝑙𝑙 𝑙𝑙 2 6 2 3 12 ∙ 2 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙 Durch die Gleichgewichtsbetrachtung am „Gelenkbalken“ ergibt sich (aus der Technischen Mechanik) 𝑦𝑦𝐷𝐷 =

� 𝑀𝑀

𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺

→ 𝐹𝐹𝐾𝐾 = 𝐹𝐹𝐷𝐷 ∙

= 0 = 𝐹𝐹𝐷𝐷 ∙ (𝑙𝑙 − 𝑦𝑦𝐷𝐷 ) − 𝐹𝐹𝐾𝐾 ∙ 𝑙𝑙

+ 𝑀𝑀

𝑙𝑙 − 𝑦𝑦𝐷𝐷 𝑦𝑦𝐷𝐷 2 ∙ 𝑙𝑙 1 = 𝐹𝐹𝐷𝐷 ∙ �1 − � = 𝐹𝐹𝐷𝐷 �1 − � = 𝐹𝐹𝐷𝐷 𝑙𝑙 𝑙𝑙 3 ∙ 𝑙𝑙 3

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt wegen exemplarischer Lösung.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Verschlusskraft 𝐹𝐹𝐾𝐾 = Diskussion:

1 1 𝐹𝐹𝐷𝐷 = ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ cos 𝛼𝛼 ∙ 𝑙𝑙 2 ∙ 𝑏𝑏 3 6

Diese Beziehung gilt nur solange, wie die Flüssigkeit bis zur Oberkante der Klappe reicht.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

187

Aufgabe 3.3.2-4 Statischer Auftrieb eines Zylinders Ein zylindrischer Becher der Masse 𝑚𝑚𝐵𝐵 (Höhe 𝐻𝐻, Außendurchmesser 𝐷𝐷, Innendurchmesser 𝑑𝑑) taucht bis zur freien Höhe ℎ in Wasser der Dichte 𝜌𝜌𝑊𝑊 ein (Abb. 3.3-4). a) Berechnen Sie diese freie Höhe ℎ allgemein aus den gegebenen Werte b) Bis zu welcher Höhe ℎ1 kann der Becher mit Öl der Dichte 𝜌𝜌ö gefüllt werden, damit die Oberkante des Bechers gerade bis zur Wasseroberfläche absinkt und kein Wasser in den Becher fließt?

Abb. 3.3-4: Schwimmender Becher

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in rot und grün) Gegeben: 𝑚𝑚𝐵𝐵 , 𝜌𝜌𝑊𝑊 , 𝐷𝐷, 𝑑𝑑, 𝐻𝐻, 𝜌𝜌ö Gesucht: a) ℎ b) ℎ1

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Statischer Auftrieb und Schwimmen (Kap. 1.3.2.3), Kräftegleichgewicht, Grundlagen der Geometrie

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a) Gewichtskraft 𝐹𝐹𝐺𝐺 und hydrostatische Auftriebskraft 𝐹𝐹𝐴𝐴 bestimmen. Dann Kräftegleichgewicht mit ∑ 𝐹𝐹 = 0.

188

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Zu b): Zusatzkraft bei Ölfüllung 𝐹𝐹ö und durch größeres Verdrängungsvolumen erhöhte hydrostatische Auftriebskraft 𝐹𝐹𝐴𝐴1 bestimmen, sowie daraus das Kräftegleichgewicht. (4) Teilaufgaben lösen Zu a): Gewichtskraft des Bechers 𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 𝑔𝑔

Hydrostatische Auftriebskraft 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉

Eingetauchtes Zylindervolumen 𝑉𝑉 =

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) 4

Kräftegleichgewicht im Schwimmzustand (Abb. 3.3-4). ↓+

� 𝐹𝐹 = 0

𝐹𝐹𝐺𝐺 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 0

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) = 0 4 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 4 𝐻𝐻 − ℎ = 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 4 ℎ = 𝐻𝐻 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 𝑔𝑔 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙

Zu b):

Gewichtskraft der Ölfüllung 𝐹𝐹ö = 𝜌𝜌ö ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉1

Hydrostatische Auftriebskraft bei Ölfüllung 𝐹𝐹𝐴𝐴1 = 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ Ölvolumen 𝑉𝑉1 =

Kräftegleichgewicht im kritischen Schwimmzustand ↓+

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝐻𝐻 4

𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ ℎ1 4

� 𝐹𝐹 = 0

𝐹𝐹𝐺𝐺 + 𝐹𝐹ö − 𝐹𝐹𝐴𝐴1 = 0

𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ ℎ1 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∙ 𝐻𝐻 = 0 4 4 𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 𝜌𝜌ö ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∙ ℎ1 = 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ∙ 𝐻𝐻 − 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 𝑔𝑔 4 4 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 𝑔𝑔 + 𝜌𝜌ö ∙ 𝑔𝑔 ∙

|: 𝑔𝑔

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

ℎ1 =

𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙

189

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝐻𝐻 − 𝑚𝑚𝐵𝐵 4 2 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋 𝜌𝜌ö ∙ 4

(5) Einheiten-Umrechnung

___________________________________________________________________________________________

Beachte Obwohl hier keine Zahlenrechnung gefordert ist, ist eine Einheiten-Überprüfung (Dimensionsanalyse) der gefundenen Gleichungen sinnvoll. Rechen- und Umformfehler lassen sich so leicht erkennen. ___________________________________________________________________________________________

Zu a): ℎ = 𝐻𝐻 −

𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 4 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋

[𝑚𝑚] = [𝑚𝑚] − �

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ (4) � 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 ∙ (𝜋𝜋) ∙ 𝑚𝑚 𝑚𝑚3

[𝑚𝑚] = [𝑚𝑚] − [𝑚𝑚]  Zu b):

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 4 ∙ 𝐻𝐻 − 𝑚𝑚𝐵𝐵 ℎ1 = 𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋 𝜌𝜌ö ∙ 4 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜋𝜋 2 3 ∙ 𝑚𝑚 ∙ � 4 � ∙ 𝑚𝑚 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 [𝑚𝑚] = � � ~ �𝑚𝑚 ∙ � 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 ∙ �𝜋𝜋 � ∙ 𝑚𝑚 4 𝑚𝑚3 [𝑚𝑚] = [𝑚𝑚]  𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙

Oder durch „𝑘𝑘𝑘𝑘“ kürzen 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑚𝑚3 ∙ 𝑚𝑚2 ∙ � � ∙ 𝑚𝑚 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 3 3 𝑚𝑚3 ∙ 𝑚𝑚3 4 [𝑚𝑚] = �𝑚𝑚 � = � 𝑚𝑚2 � = � 3 � 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚2 2 ∙ �𝜋𝜋 � ∙ 𝑚𝑚 4 𝑚𝑚3 𝑚𝑚3 [𝑚𝑚] = [𝑚𝑚] 

Dies ist zwar kein Beweis für die Richtigkeit der Gleichung, bietet jedoch eine gewisse Sicherheit bezüglich der Lösung.

190

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) ℎ = 𝐻𝐻 − b) ℎ1 =

𝑚𝑚𝐵𝐵 ∙ 4 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋

𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙

Diskussion:

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 4 ∙ 𝐻𝐻 − 𝑚𝑚𝐵𝐵 𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋 𝜌𝜌ö ∙ 4

Derartige Aufgaben stellen das Grundprinzip für die Berechnung von Schwimmkörpern dar, wie z. B. Schiffe, Bojen, Eisberge, etc. Bei vollständig eingetauchten Körpern spricht man von Schweben (z.B. U-Boot). Zur Unterscheidung von stabilen und instabilen Schwimm- und Schwebelagen finden sich in der Fachliteratur entsprechende Hinweise.

Aufgabe 3.3.2-5 Rotierendes Gefäß mit Fluid Ein Gefäß mit dem Radius 𝑅𝑅 = 1 𝑚𝑚 und der Höhe 𝐻𝐻 = 2 𝑚𝑚 ist mit dem Fluid (Dichte 𝜌𝜌) bis zur Höhe ℎ = 1 𝑚𝑚 gefüllt (Abb. 3.3.-5). a) Wie groß darf die Winkelgeschwindigkeit 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 werden, damit gerade kein Fluid über den Gefäßrand ausgetragen wird? b) Wie groß muss ℎ sein, damit der Boden benetzt bleibt?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.3-5: Rotierendes Gefäß mit Fluid

(1) Aufgabe klären Gegeben: 𝑅𝑅 = 1 𝑚𝑚, 𝐻𝐻 = 2 𝑚𝑚, ℎ = 1 𝑚𝑚, (𝜌𝜌), (𝑝𝑝0 ) Gesucht: a) 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ohne Fluidüberlauf) b) ℎ (Boden gerade noch benetzt) Skizze ergänzen (in (in rot und grün)

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Fluidoberflächen bei gleichmäßiger Rotation (Kap. 1.3.2.4)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑦𝑦(𝑟𝑟)-Beziehung von Kap. 1.3.2.4 nutzen (Rotationsparaboloid) und nach ℎ auflösen Zu b): Volumengleichheit beachten (s. Ergänzungen in Abb. 3.3-5).

191

192

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): In Gl. 1.3-22 wird für 𝑟𝑟 der gegebene Radius 𝑅𝑅 eingesetzt 𝑦𝑦0 (𝑅𝑅) = −

𝜔𝜔2 2 ∙ 𝑅𝑅 2𝑔𝑔

bzw. |𝑦𝑦0 (𝑅𝑅)| =

𝜔𝜔2 2 ∙ 𝑅𝑅 2𝑔𝑔

(1)

Da gerade kein Fluid austreten soll, gilt an der oberen Kante des Gefäßes für einen Paraboloid der Absolutwert für 𝑦𝑦 (aus geometrischer Betrachtung) |𝑦𝑦0 (𝑅𝑅)| = 𝐻𝐻 − ℎ0

(2)

Weiterhin gilt für einen Rotationsparaboloid wegen der Volumengleichheit oberhalb und unterhalb der halben Parabelhöhe (= die Beziehung

𝐻𝐻−ℎ0 2

!

) befindlichen Fluid- bzw. Luftvolumen (𝑉𝑉/// = 𝑉𝑉\\\)

𝐻𝐻 − ℎ0 +ℎ 2 Umgestellt nach 𝐻𝐻 − ℎ0 𝐻𝐻 =

(3)

𝐻𝐻 − ℎ0 = 2 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ)

(3) in (2) eingesetzt (4)

|𝑦𝑦0 (𝑅𝑅)| = 2 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ)

und (4) in (1) eingesetzt liefert 𝜔𝜔2 2 ∙ 𝑅𝑅 2𝑔𝑔 4 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) 𝜔𝜔2 = 𝑅𝑅 2 2 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �𝑔𝑔 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) 𝑅𝑅 2 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) =

|√

(5)

Zu b):

Damit der Boden benetzt bleibt, muss gelten ℎ0 > 0

!

Und erneute Berücksichtigung der Volumengleichheit (𝑉𝑉/// = 𝑉𝑉\\\ ) führt zu ℎ≥

𝐻𝐻 2

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

193

(5) Einheiten-Umrechnung Durch Einsetzen der Zahlenwerte mit Einheiten in (5) folgt 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

2 2 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 �9,81 2 ∙ (2 𝑚𝑚 − 1 𝑚𝑚) = �9,81 2 ∙ 1 𝑚𝑚 �𝑔𝑔 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) = 𝑅𝑅 1 𝑚𝑚 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2 ∙ �9,81

𝑚𝑚2 = 6,26 𝑠𝑠 −1 𝑚𝑚2 ∙ 𝑠𝑠 2

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

2 �𝑔𝑔 ∙ (𝐻𝐻 − ℎ) 𝑅𝑅

𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 6,26 𝑠𝑠 −1

b) ℎ ≥

𝐻𝐻 2

Dann gerade kein Fluidaustritt

bei vorliegenden Werten für 𝑅𝑅, 𝐻𝐻 und ℎ

Diskussion:

Rotierende Behälter finden sich häufig bei verfahrenstechnischen Prozessen (z.B. Mischen von Komponenten oder Zentrifugieren). !

Bei derartigen Aufgabenstellungen hilft die Kenntnis der Volumengleichheit (𝑉𝑉/// = 𝑉𝑉\\\ ) bei Rotationsparaboloiden elegant bei der Lösungsfindung.

Aufgabe 3.3.3-1 Flughöhe eines Segelflugzeugs Das Außen-Barometer in einem Segelflugzeug zeigt einen Druck von 9 ∙ 104 𝑃𝑃𝑃𝑃 an. Die Bodenwerte betragen 1,013 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 und die Luftdichte 1,225

𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑚𝑚3

.

In welcher Höhe fliegt das Segelflugzeug bei Annahme isothermer Atmosphäre?

(1) Aufgabe klären ___________________________________________________________________________________________

Beachte Textaufgaben sinnvoll in einer Skizze zusammenfassen. Dabei die gegebenen und gesuchten Werte (farbig unterschiedlich) in die Skizze an den betreffenden Stellen eintragen und nicht nur formal hinschreiben. So behält man besser den Überblick und „weicht“ sich dabei in die Aufgabenstellung ein (Beispiel Abb. 3.3-6). ___________________________________________________________________________________________

194

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.3-6: Skizze zur Flughöhe eines Segelflugzeugs

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Formeln für „Isotherme Atmosphäre“ aus Kap. 1.3.3 (Aerostatik) anwenden.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Barometrische Höhenformel bzw. die dabei benötigte Höhe 𝐻𝐻0 (Gl. 1.3-27). Dann 𝐻𝐻0 in Gleichung 𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑝𝑝(𝑧𝑧) 𝑝𝑝0

… einsetzen.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Wie in Kap. 1.3.3 nahegelegt, kann durch den Zusammenhang zwischen dem Druck 𝑝𝑝 und der Höhe 𝑧𝑧 durch Messung des Druckes im Flugzeug die vorliegende Flughöhe bestimmt werden. In der Gleichung für 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑝𝑝) wird die theoretische Höhe 𝐻𝐻0 benötigt. 𝐻𝐻0 wird dabei als Luftsäule mit der Abmessung in 𝑧𝑧-Richtung gedeutet, bei der an der Oberseite gerade Vakuum (𝑝𝑝 = 0) herrschen würde. Gemäß Gl. 1.3-27 ergibt sich 𝑘𝑘𝑘𝑘 1,013 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 105 𝑃𝑃𝑃𝑃 1 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 ∙ ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑃𝑃𝑃𝑃 1,225 3 ∙ 9,81 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑚𝑚3 ∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑠𝑠 2 𝐻𝐻0 = 8430 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 ∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐻𝐻0 = 8430 𝑚𝑚 𝑝𝑝0 𝐻𝐻0 = = 𝜌𝜌0 ∙ 𝑔𝑔

Kap. 1.3.3 entnimmt man für die Bestimmung von 𝑧𝑧 𝑧𝑧 = −𝐻𝐻0 ∙ ln

𝑝𝑝(𝑧𝑧) 9 ∙ 104 𝑃𝑃𝑃𝑃 = −8430 𝑚𝑚 ∙ ln = + 997 𝑚𝑚 𝑝𝑝0 1,013 ∙ 103 𝑃𝑃𝑃𝑃

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(wobei die Einheiten-Umrechnung für 𝑝𝑝0 = 1,013 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ wurde)

195 105 𝑃𝑃𝑃𝑃 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

= 1,013 ∙ 105 𝑃𝑃𝑃𝑃 benutzt

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Das Segelflugzeug befindet sich in einer Flughöhe von ca. 997 m Diskussion: Um eine genaue Aussage zur Flughöhe machen zu können, müsste man statt der „Isothermen“ Atmosphäre die „Polytrope Standardatmosphäre“ benutzen. Dabei nimmt die Temperatur mit zunehmender Höhe (bis ca. 11 km → Troposphäre) um ca. 0,65 𝐾𝐾 pro 100 𝑚𝑚 ab, ist also nicht konstant, wie bei der isothermen Atmosphäre angenommen. Damit ist auch die Dichte 𝜌𝜌(𝑧𝑧) nicht mehr konstant, sodass sich die Berechnung komplizierter gestaltet. Zudem können Druckmessgeräte fehlerbehaftet sein und sich dabei die Piloten in falscher Sicherheit wiegen. Die Sicherheit kann erhöht werden, wenn mehrere Druckmesseinrichtungen installiert sind, die möglichst verschiedene physikalische Prinzipien benutzen. Dies nennt man „PrinzipRedundanz“. Damit im internationalen Luftverkehr der den Piloten zugewiesene HöhenFlugkorridor sicher eingehalten wird, müssen alle Druckmessgeräte in allen Flugzeugen auf einen normierten Bodendruckwert von 𝑝𝑝0 = 1,01325 ∙ 105 𝑃𝑃𝑃𝑃 eingestellt werden.

196

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.4 Aufgaben zu Kap. 1.4 (Energieerhaltungssatz/Bernoulli-Gleichung) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen:

- Ideale Fluidströmungen - Erweiterte Energiegleichungen für Fluidströmungen - Spezifische Energien Aufgabe 3.4.1-1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen Ein großer Wasserbehälter ist bis zu einer Höhe von ℎ = 10 𝑚𝑚 über dem mittleren Auslassquerschnitt 4 mit Wasser gefüllt (Abb. 3.4-1). Das Wasser fließt über eine Rohrleitung mit der Länge 𝐿𝐿 = 100 𝑚𝑚 ins Freie, an deren Ende sich ein Diffusor mit dem Durchmesser 𝐷𝐷3 = 50 𝑚𝑚𝑚𝑚 und 𝐷𝐷4 = 80 𝑚𝑚𝑚𝑚 befindet. Berechnen Sie:

𝑚𝑚

𝑚𝑚

a) Die Geschwindigkeit am Austritt (𝑐𝑐4𝑎𝑎 in 𝑠𝑠 ) und am Eintritt in den Diffusor (𝑐𝑐3𝑎𝑎 in 𝑠𝑠 ), wenn

die Höhe h konstant gehalten wird und der Behälter offen (unter Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 ) bleibt, sowie den dabei auftretenden Volumenstrom 𝑄𝑄𝑎𝑎 in

𝑚𝑚3 ℎ

.

b) Wie groß muss der Absolutdruck 𝑝𝑝1 in bar im geschlossenen Behälter sein, wenn ein Volumenstrom 𝑄𝑄𝑏𝑏 = 6,15

𝑚𝑚3 ℎ

gefordert ist? Reibungsverluste werden vernachlässigt.

Abb. 3.4-1: Großer Wasserbehälter mit Diffusorauslauf

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Falls die Strömungsstellen (hier die Stellen 1 bis 4) nicht in der Vorgabeskizze enthalten sind, unbedingt dort ergänzen! Ebenso alle wichtigen gegebenen und gesuchten Daten!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

197

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Stationäre, verlustfreie, dichtebeständige Wasserströmung mit Bernoulli-Gleichung, Kontinuitätsgleichung und Kreisflächenberechnung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen zu a) 𝑐𝑐4𝑎𝑎 aus Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und 4 𝑐𝑐3𝑎𝑎 aus Kontinuitätsgleichung zwischen den Stellen 3 und 4 𝑄𝑄𝑎𝑎 aus Kontinuitätsgleichung für 3 oder 4 zu b) 𝑐𝑐4𝑏𝑏 aus Kontinuitätsgleichung mit 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑝𝑝1 aus Bernoulli-Gleichung zwischen 1 und 4

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung zu a) Sinnvolles Bezugsniveau B-B in Skizze eintragen (s. Abb. 3.4-1) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und 4 (Druckform) 𝑝𝑝1 +

𝜌𝜌𝑊𝑊 2 𝜌𝜌𝑊𝑊 2 𝑐𝑐1 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = 𝑝𝑝4 + 𝑐𝑐 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧4 2 2 4

Mit den bekannten Werten 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 𝑐𝑐1 ≈ 0

𝑧𝑧1 = ℎ

𝑐𝑐4 = 𝑐𝑐4𝑎𝑎 𝑧𝑧4 = 0

𝑝𝑝4 = 𝑝𝑝0

ergibt sich 𝑝𝑝0 +

𝜌𝜌𝑊𝑊 2 𝜌𝜌𝑊𝑊 0 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝0 + 𝑐𝑐 2 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 0 2 2 4a

Nach Kürzung und Vereinfachung folgt daraus 𝑔𝑔 ∙ ℎ =

1 2 𝑐𝑐 → 𝑐𝑐4𝑎𝑎 = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ 2 4a

(Torricelli!)

Nach dem Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich: 𝑐𝑐4𝑎𝑎 = �2 ∙ 9,81

𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ 10𝑚𝑚 ≈ 14 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠

| − 𝑝𝑝0

|: 𝜌𝜌𝑊𝑊

198

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Kontinuitätsgleichung mit Kreisflächenberechnung (D3 und D4) 𝑐𝑐3𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴3 = 𝑐𝑐4𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴4 𝑐𝑐3𝑎𝑎 𝑐𝑐3𝑎𝑎

𝐷𝐷4 2 ∙ 𝜋𝜋 𝐴𝐴4 𝐷𝐷4 2 4 = 𝑐𝑐4𝑎𝑎 ∙ = 𝑐𝑐4𝑎𝑎 ∙ = 𝑐𝑐 ∙ � � 4𝑎𝑎 𝐴𝐴3 𝐷𝐷3 𝐷𝐷3 2 ∙ 𝜋𝜋 4 𝑚𝑚 80 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 = 14 ∙ � � = 35,84 𝑠𝑠 50 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠

Kontinuitätsgleichung z. B. für die Stelle 4 (und Einheitenumrechnung): 𝑄𝑄4𝑎𝑎 = 𝑐𝑐4𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴4 = 𝑐𝑐4𝑎𝑎 ∙ 𝑄𝑄4𝑎𝑎 = 253,2 zu b)

m3 h

𝐷𝐷4 2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 802 𝑚𝑚𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 1 𝑚𝑚2 3600 𝑠𝑠 = 14 ∙ ∙ 6 ∙ 4 𝑠𝑠 4 10 𝑚𝑚𝑚𝑚2 1ℎ

Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und 4 (Druckform): 𝑝𝑝1 +

𝜌𝜌𝑊𝑊 2 𝜌𝜌𝑊𝑊 2 𝑐𝑐 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = 𝑝𝑝4 + 𝑐𝑐 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧4 2 1 2 4

Bekannte Werte einsetzen: 𝑝𝑝1 = ?, 𝑐𝑐1 ≈ 0, 𝑧𝑧1 = ℎ, 𝑐𝑐4 = 𝑐𝑐4𝑏𝑏 , 𝑧𝑧4 = 0, 𝑝𝑝4 = 𝑝𝑝0 𝑝𝑝1 +

𝜌𝜌𝑊𝑊 2 𝜌𝜌𝑊𝑊 0 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝0 + 𝑐𝑐 2 + 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 0 2 2 4b

Kürzen und Vereinfachen liefert 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 +

𝜌𝜌𝑊𝑊 𝑐𝑐 2 − 𝜌𝜌𝑊𝑊 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ 2 4b

Einsetzen von 𝑐𝑐4𝑏𝑏 aus

𝑄𝑄4b = 𝑐𝑐4𝑏𝑏 ∙ 𝐴𝐴4 = 𝑐𝑐4𝑏𝑏 ∙

𝐷𝐷4 2 ∙ 𝜋𝜋 4

Sowie direktes Einheitenumrechnen 𝑐𝑐4𝑏𝑏 =

𝑄𝑄4𝑏𝑏 ∙ 4 𝐷𝐷4 2 ∙ 𝜋𝜋

=

6,15 𝑚𝑚3 ∙ 4 106 𝑚𝑚𝑚𝑚2 1ℎ 𝑚𝑚 ∙ ∙ = 0,34 2 2 2 10 𝑚𝑚 ∙ 80 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜋𝜋 1 𝑚𝑚 3600 𝑠𝑠 𝑠𝑠

Dieses Ergebnis eingesetzt in 𝑝𝑝1- Formel mit 𝑝𝑝0 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(!) 𝑝𝑝1 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 +

1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 ∙ 0,342 2 ∙ 3 2 ∙ 𝑚𝑚 𝑠𝑠

1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 1000 3 ∙ 9,81 2 ∙ 10 𝑚𝑚 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑠𝑠 105 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2

𝑝𝑝1 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 0,00058 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 0,981 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝1 = 0,0196 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 → 𝑐𝑐𝑐𝑐. 0,02 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

199

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a)

b)

𝑚𝑚 Geschwindigkeit 𝑐𝑐3𝑎𝑎 = 35,84 𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑐𝑐4𝑎𝑎 = 14 𝑠𝑠

𝑚𝑚³ ℎ Kesseldruck 𝑝𝑝1 = ca. 0,02 bar (absolut)

Volumenstrom 𝑄𝑄4𝑎𝑎 = 𝑄𝑄 = 253,2

Diskussion:

Im Fall b) muss der Kessel also mittels einer Vakuumpumpe auf ca. 0,02 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 evakuiert werden. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Wichtige Merkmale für alle folgenden Aufgaben: • Beim Austritt von Strömungen ins Freie ist der dem Strahl aufgeprägte Druck immer Atmosphärendruck (hier für Teilaufgabe a) z.B. 𝑝𝑝4 = 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 = 1 bar). • Die Absinkgeschwindigkeiten von Wasserspiegeln großer Behälter oder Speicher-becken sind sehr klein und werden deshalb in der Bernoulli-Gleichung gleich Null gesetzt (hier z.B. 𝑐𝑐1 ≈ 0 → 𝑐𝑐12 erst recht = 0!). • Das Bezugsniveau B-B immer so wählen, dass vor allem ein Höhenterm entfällt (hier z.B. BB in der Höhe des Diffusoraustritts → 𝑧𝑧4 = 0 → 𝜌𝜌𝑤𝑤 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧4 = 0). • Schritt (5) Einheiten-Umrechnung wird praktischerweise synchron innerhalb von Schritt (4) Teilaufgaben lösen mit erledigt. Das verkürzt die Bearbeitungszeit und minimiert Rechenfehler. ___________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.4.2.1-1 Strömung in einem Rohrkrümmer Durch einen 90°-Rohrkrümmer (𝐷𝐷 = 100 𝑚𝑚𝑚𝑚) strömt Wasser mit einem Volumenstrom 𝑙𝑙

𝑄𝑄 = 100 𝑠𝑠. Welche Druckdifferenz zwischen dem äußeren und dem inneren Krümmungsradius würde man theoretisch messen?

200

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.4-2: Rohrkrümmer-Strömung

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in rot und grün) um wichtige Details. Ansatz für Geschwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt?

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Gl. 1.4-12 für Druckänderung quer zu gekrümmten Stromlinien verwenden. Sinnvollen Ansatz für Geschwindigkeitsverteilung 𝑐𝑐(𝑟𝑟) wählen! (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Mittlere Strömungsgeschwindigkeit 𝑐𝑐̅ aus 𝑄𝑄 und 𝐷𝐷 berechnen (Kontinuitätsgleichung). Sinnvolle Annahme für 𝑐𝑐(𝑟𝑟) wählen.

𝑑𝑑𝑑𝑑

Druckdifferenz 𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 aus Gleichung 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ⋯ und Integration (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Am Eintritt in den Rohrkrümmer liegt die mittlere Geschwindigkeit 𝑐𝑐̅ vor, die sich gemäß Kontinuitätsgleichung ergibt zu

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐̅ ∙

201

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 4

𝑙𝑙 4 ∙ 100 𝑠𝑠 4 ∙ 𝑄𝑄 1 𝑑𝑑𝑚𝑚3 1 𝑚𝑚 104 𝑚𝑚𝑚𝑚2 → 𝑐𝑐̅ = 2 = ∙ ∙ ∙ 𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋 1002 𝑚𝑚𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 1 𝑙𝑙 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑑𝑑𝑚𝑚2 𝑚𝑚 (1) 𝑐𝑐̅ = 12,74 𝑠𝑠 Ein sich bei natürlichen Strömungen einstellender Geschwindigkeitsverlauf quer zu gekrümmten Stromlinien ist der sogenannte Potentialwirbel (Gesetz vom konstanten Drall). Diesen kann man nicht nur beim Umrühren von Wasser in einem Eimer beobachten, sondern ist auch Grundlage für die Berechnung von Strömungsmaschinen (z. B. Kreiselpumpen- und Turbinenleitschaufeln). Ein Potentialwirbel genügt folgender Beziehung (2)

𝑐𝑐 ∙ 𝑟𝑟 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑎𝑎 ∙ 𝑟𝑟𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. = 𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃

wobei 𝑐𝑐̅ ∙ 𝑟𝑟𝑚𝑚 eine Annahme ist!

Damit lässt sich die Drallkonstante 𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 aus 𝑐𝑐̅ und 𝑟𝑟𝑚𝑚 berechnen. Streng genommen tritt die mittlere Geschwindigkeit 𝑐𝑐̅ nicht unbedingt bei 𝑟𝑟𝑚𝑚 auf, sondern bei einem etwas kleineren Radius. 𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝑟𝑟𝑚𝑚 = 12,74

𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 𝑚𝑚2 ∙ 150 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 3 = 1,91 𝑠𝑠 10 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠

(3)

Durch die Umformung von Gl. 1.4-12 erhält man 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2 ∙

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟

(4)

𝑐𝑐 2 lässt sich aus Gl. (2) und Gl. (3) ermitteln zu 𝑚𝑚2 𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1,91 [ 𝑠𝑠 ] 1,91 𝑚𝑚 𝑐𝑐 = = = � � 𝑟𝑟 𝑟𝑟 [𝑚𝑚] 𝑟𝑟 𝑠𝑠 4 2 𝑚𝑚 1,91 [ 2 ] 3,65 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 = 2 𝑠𝑠2 = 2 � 2 � 𝑟𝑟 [𝑚𝑚 ] 𝑟𝑟 𝑠𝑠

(5) (6)

Gl. (6) in Gl. (4) eingesetzt

3,65 𝑚𝑚2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 1 � � ∙ = 1000 ∙ 3,65 ∙ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟 2 𝑠𝑠 2 𝑟𝑟 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 2 𝑟𝑟 3 𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘 → � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3650 ∙ � 𝑟𝑟 −3 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙

→�

𝑝𝑝𝑎𝑎 ,𝑟𝑟𝑎𝑎

𝑝𝑝𝑖𝑖 ,𝑟𝑟𝑖𝑖

(7)

Es gilt das allgemeine Integral � 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 + 𝐶𝐶 𝑛𝑛 + 1

Damit formt sich Gl. (7) um zu

(8)

202

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 3650 𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 3650 𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 3650

𝑟𝑟 =0,2 𝑚𝑚

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑟𝑟 −3+1 𝑎𝑎 ∙� � 𝑠𝑠 2 −3 + 1 𝑟𝑟 =0,1 𝑚𝑚 𝑖𝑖

𝑟𝑟𝑎𝑎 =0,2 𝑚𝑚

𝑘𝑘𝑘𝑘 1 ∙ �− � 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 ∙ 𝑟𝑟 2 𝑟𝑟𝑖𝑖 =0,1 𝑚𝑚

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 1 1 1 ∙ �− − �− �� 2 2 2 2 𝑠𝑠 2 ∙ 0,2 2 ∙ 0,1 𝑚𝑚

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 1 ∙ (−12,5 + 50) 2 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚2 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 136875 2 ∙ ∙ 2 𝑁𝑁 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚 105 2 1 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 3650

𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 ≈ 1,37 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Druckdifferenz 𝑝𝑝𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 ≈ 1,37 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 Der Druck außen ist also um ca. 1,37 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 größer als innen!

Diskussion:

Wegen der Annahme (!) des Geschwindigkeitsprofils quer zu den Stromlinien als Potentialwirbel (Gesetz vom konstanten Drall), der häufig gut mit der Wirklichkeit übereinstimmt, sowie der Näherung, dass die mittlere Geschwindigkeit 𝑐𝑐̅ bei 𝑟𝑟𝑚𝑚 vorliegen soll, ist das Ergebnis nur eine Näherung. Der Wert wird sich jedoch nicht wesentlich von der Wirklichkeit unterscheiden. Der Potentialwirbel führt im Übrigen zu einer hyperbolischen Geschwindigkeitsverteilung (𝑐𝑐 =

𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑟𝑟

1

~ 𝑟𝑟), d. h. bei 𝑟𝑟 = 0 würde die Geschwindigkeit theoretisch unendlich groß werden.

Dies würde zu einem Druck 𝑝𝑝 = 0 führen. Vorher würde Wasser aber beim Erreichen des Dampfdrucks verdampfen.

Aufgabe 3.4.2.3-1 Schnellabschluss einer Rohrleitung Aus einem Rückhaltebecken strömt Wasser über eine Stahlrohrleitung mit einer stationären 𝑚𝑚 Geschwindigkeit von 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = 1,5 ins Freie ab (Abb. 3.4-3). Die Länge der Rohrleitung beträgt 𝑙𝑙 = 2500 𝑚𝑚.

𝑠𝑠

a) Welcher Differenzdruck in 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 entsteht an der Klappe am Rohraustritt, wenn die Klappe mit einem linearen Schließgesetz innerhalb von ∆𝑡𝑡 = 10 𝑠𝑠 geschlossen wird? b) Welcher Differenzdruck entsteht theoretisch an der Klappe, wenn diese schlagartig geschlossen wird (∆𝑡𝑡 ≈ 0 𝑠𝑠)?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

203

c) Welcher Differenzdruck entsteht im praktischen Fall einer Stahlrohrleitung beim plötzlichen Schließen der Klappe (∆𝑡𝑡 ≈ 0 𝑠𝑠), wenn ein sog. Joukowski-Stoß vorausgesetzt wird? d) Welcher maximale Unterdruck entsteht an der Klappe, wenn diese nach einem linearen Öffnungsgesetz bis zur Endgeschwindigkeit 𝑐𝑐0 voll geöffnet wird (nur Formel)?

Abb. 3.4-3: Grundablass mit langer Rohrleitung aus Stahl und Abschlussklappe

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in grün) Gegeben: 𝑐𝑐 = 1,5 𝑚𝑚 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑠𝑠 Für Aufgaben a) bis c) (Schnellschluss) 𝑙𝑙 = 2500 𝑚𝑚 ∆𝑡𝑡 = 10 𝑠𝑠(0 𝑠𝑠) Allgemein 𝑐𝑐ö , 𝑙𝑙, ℎ, ∆𝑡𝑡 für d) (Schnellöffnung) Gesucht: Druckdifferenz ∆𝑝𝑝 an der Klappe für a) bis d)

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung (stationär und instationär), Schließ-/ Öffnungsgesetz der Klappe, Joukowski-Stoß.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Bernoulli-Gleichung für stationären Anfangszustand. Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung mit Schließ-/ Öffnungsgesetz. Zahlenwerte und Einheiten bei Bedarf.

204

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Die vor dem Schnellschluss vorliegende stationäre Geschwindigkeit 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 liegt sowohl an der in der Skizze ergänzten Stelle 1 als auch an der Stelle 2 vor. Dies folgt aus der Kontinuitätsgleichung bei konstantem Rohrdurchmesser. Für den stationären Anfangszustand liefert die Bernoulli-Gleichung (Druckform) zwischen den Stellen 0 und 1 (bei Bezug auf das in der Skizze eingetragene Niveau B-B): ρ ρ ∙ 𝑐𝑐 2 + ρ ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧0 = 𝑝𝑝1 + ∙ 𝑐𝑐1 2 + ρ ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 2 0 2 Mit folgenden Vereinfachungen 𝑝𝑝0 +

𝑐𝑐0 = 0

𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑧𝑧0 = ℎ 𝑧𝑧1 = 0

(Grundablassspiegel nahezu konstant, d. h. Spiegelsinkgeschwindigkeit= 0)

folgt

ρ ∙ 𝑐𝑐 2 + 0 2 𝑆𝑆𝑆𝑆 Hieraus folgt für den Druck 𝑝𝑝1 𝑝𝑝0 + 0 + ρ ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = 𝑝𝑝1 +

ρ (1) 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 − ∙ 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 2 + ρ ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ (von Stelle 0 nach 1 gedacht) 2 Aus der anfänglichen Feststellung, dass sich zwischen den Stellen 1 und 2 die Geschwindigkeit nicht ändern kann und auch keine Höhenunterschiede vorliegen, muss nach Bernoulli der Druck 𝑝𝑝1 an der Stelle 1 gleich dem Druck 𝑝𝑝2 an Stelle 2 sein. Da bei 2 Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 vorliegt, gilt also 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0

(bei stationärer Strömung)

Damit wird Gl. (1) zu ρ 𝑝𝑝0 = 𝑝𝑝0 − 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 2 + ρ ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ 2 → 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

(dies ist die Torricellische Ausflussformel)

(2)

Bei instationärer Strömung gilt Gl. 1.4-29 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 Umgestellt ergibt sich 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 + ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 wobei 𝑝𝑝1 dem stationären Anfangszustand (hier 𝑝𝑝0 ) entspricht. 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝1 − ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙

Ein lineares Schließgesetz ist in Abb. 3.4-4 veranschaulicht.

(3)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

205

Abb. 3.4-4: Lineares Schließgesetz (sowie praktisch gestuftes Schließgesetz)

Aus Abb. 3.4-4 ergibt sich eine negative Steigung 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∆𝑡𝑡

(4)

Mit Gl. (4) wird Gl. (3) zu 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 � = 𝑝𝑝1 + ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙ ∆𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡 Damit erhält man den Differenzdruck ∆𝑝𝑝 an der Klappe zu 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝1 − ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙ �−

(3)

𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 (5) ∆𝑡𝑡 Mit 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 , d. h. dem Anfangsdruck vor dem Schnellschluss. 𝑝𝑝2 entspricht dem Enddruck nach der vollständigen Klappenschließung. ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 = ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙

Die Zahlenrechnung wird in Schritt (5) erfolgen!

Zu b): Aus Gl. (5) ergibt sich bei einem plötzlichen Schließen (∆𝑡𝑡 = 0), dass der Differenzdruck (hier wegen 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 ein Überdruck gegenüber dem Atmosphärendruck) theoretisch unendlich groß würde. Zu c): Die theoretisch unendlich große Druckdifferenz von b) wird praktisch jedoch durch die Fluidkompressibilität und die elastische Dehnung des Rohres gemildert. Für Stahlrohr und Wasser gilt als Näherung für (∆𝑡𝑡 → 0) der sog. Joukowski-Stoß: ∆𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≈ 106 ∙ 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆

mit 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 in

𝑚𝑚 𝑠𝑠

(6)

𝑁𝑁

und ∆𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 in 𝑚𝑚2 .

Im Allgemeinen sind jedoch komplizierte Druckstoßberechnungen erforderlich (z.B. nach der Allievi-Theorie).

206

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Zu d): Für eine Schnellöffnung ist das lineare Öffnungsgesetz in Abb. 3.4-5 dargestellt.

Abb. 3.4-5: Lineares Öffnungsgesetz

Aus Abb. 3.4-5 ergibt sich eine positive Steigung 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = + 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∆𝑡𝑡

(7)

Analog zu a) wird jetzt Gl. (3) mit dem Ergebnis von Gl. (7) zu 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑝𝑝1 − ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙ 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∆𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 → ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 = −ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙ ∆𝑡𝑡 In diesem Fall ist der Druck 𝑝𝑝1 der Druck vor der Öffnung, also dem Ruhezustand 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝1 − ρ ∙ 𝑙𝑙 ∙

𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

(8)

(8)

Bei schneller Öffnung treten im Rohr große Unterdrücke auf, die in Schritt (6) bezüglich ihrer Wirkung erläutert werden.

(5) Einheiten-Umrechnung Hier erfolgt jetzt ausnahmsweise erst die Rechnung mit Zahlenwerten und zwar für die gesuchten Druckdifferenzen aus den Aufgabenteilen a) und c). Zu a): Aus Gl. (5) erhält man ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑙𝑙 ∙

𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 ∆𝑡𝑡

𝑁𝑁 𝑚𝑚 1 2 1,5 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑚𝑚 5 ∆𝑝𝑝 = 1000 3 ∙ 2500 𝑚𝑚 ∙ = 3,75 ∙ 10 ∙ ∙ 2 𝑁𝑁 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 10 𝑠𝑠 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 105 2 1 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 ∆𝑝𝑝 = 3,75 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

207

Zu c): Aus Gl. (6) folgt für den Joukowski-Stoß (=Zahlenwert-Gleichung) ∆𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≈ 106 ∙ 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = 106 ∙ 1,5 = 15 ∙ 105 ∆𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≈ 15 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑁𝑁 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑚𝑚2 105 𝑁𝑁 𝑚𝑚2

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑙𝑙 ∙ b) ∆𝑝𝑝 → ∞ theoretisch c)

∆𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 15 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 d) ∆𝑝𝑝 = −𝜌𝜌 ∙ 𝑙𝑙 ∙ 𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 ∆𝑡𝑡

𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 = 3,75 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∆𝑡𝑡

Diskussion:

Das schnelle/ plötzliche Schließen von Absperrorganen (z. B. Klappe, Ventile, Kugelschieber) kann zu beträchtlichen Drucksteigerungen, sowohl an der Klappe selbst, als auch an exponierten Stellen der durchflossenen Rohrleitung, führen. In Extremfällen kann die Rohrleitung platzen oder das Absperrelement zerstört werden, was im Falle einer Wasserkraftanlage im Gebirge (z. B. Kavernenkraftwerk) verheerende Folgen haben kann. Die auftretende Drucksteigerung bezeichnet man als Druckstoß oder Wasserschlag. Der Effekt lässt sich bereits mit dem Schnellschluss einer Einhebel-Mischbatterie in normalen Haushalten hörbar machen (lautes Klickgeräusch). Der Druckstoß lässt sich verringern durch: -

Reduzierung der Rohrleitungslänge 𝑙𝑙 Verlängerung der Schließzeiten ∆𝑡𝑡 Abgestuftes Schließgesetz (anfangs schneller, später langsamer; vgl. Abb. 3.4-4)

Beim schnellen Öffnen von Absperrorganen treten demgegenüber Unterdrücke an der Klappe und an exponierten Stellen der Rohrleitung auf. Rohre halten bei richtiger Auslegung zwar Überdrücke problemlos aus, doch können selbst geringe Abweichungen von der Kreisform zum schlagartigen Eindellen von Rohren (durch den Außendruck) führen, sobald Unterdrücke auftreten. In Wasserkraftanlagen mit großen Fallhöhen werden deswegen vom Oberwasserbecken ausgehend Stollen mit großen Durchmessern bis zum „Wasserschloss“ geführt, um danach erst am Berghang abwärts die Druckleitung mit geringerem Durchmesser zur Turbine zu führen. Vor der Turbine sitzt dann ein Absperrorgan (Abb. 3.4-6).

208

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.4-6: Hochdruck-Wasserkraftanlage mit Wasserschloss

Das Wasserschloss wirkt druckausgleichend und zwar sowohl beim Anfahren der Turbine als auch beim Schnellschluss des Absperrorgans oder der Düse bei Notfällen.

Aufgabe 3.4.2.4-1 Druckwasserpumpe Eine Pumpe fördert Wasser auf gleichem Niveau von einer Leitung 1 mit niedrigem Druck in 𝑚𝑚3

eine Druckwasserleitung 2. Der Volumenstrom beträgt 𝑄𝑄 = 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. Die gemessenen Überdrücke betragen 𝑝𝑝1 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 und 𝑝𝑝2 = 10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Die Durchmesser der beiden Leitungen sind gleich groß. Wie groß ist die hydraulische Pumpenleistung 𝑃𝑃 in 𝑘𝑘𝑘𝑘? (1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze anfertigen zur Verdeutlichung (Abb. 3.4-7). Gegeben:

𝑚𝑚3 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝1 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 Überdruck 𝑝𝑝2 = 10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 Überdruck Aus Textinformation: 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 (horizontale Leitung) 𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 (Wasser, dichtebeständig) 𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 (gleiche Rohrdurchmesser) 𝑄𝑄 = 2

Gesucht: Pumpenleistung 𝑃𝑃 in 𝑘𝑘𝑘𝑘

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

209

Abb. 3.4-7: Prinzipskizze Druckwasserpumpe

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung bei Energiezufuhr, Stationäre Strömung, Gl. 1.4-34 verwenden. Spezifische Förderenergie 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) aus Gl. 1.4-30. Leistungsdefinition für 𝑃𝑃.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) aus Bernoulli-Gleichung bei Energiezufuhr. Dann Leistung 𝑃𝑃 berechnen. (4) Teilaufgaben lösen Vollständige Bernoulli-Gleichung Gl. 1.4-34 unter Beachtung der Informationen in (1) und Abb. 3.4-7: 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. �= 𝐾𝐾1(𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧) � 𝜌𝜌1 2 𝜌𝜌2 2

(1a)

Vereinfachungen:

𝑐𝑐12 = 𝑐𝑐22 (gleicher Rohrdurchmesser) 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 (gleiches Niveau)

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 (keine Energieabfuhr, verlustfreie Strömung)

𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 = 𝜌𝜌 (dichtebeständig)

𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐1 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 0 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝜌𝜌1 2 𝜌𝜌2 2 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴)

→

Damit folgt aus Gl. (1b) die spezifische Förderenergie 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴)

(1b)

210

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) =

𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 ∆𝑝𝑝 = (= 𝑔𝑔 ∙ ℎ) 𝜌𝜌 𝜌𝜌

𝑁𝑁𝑁𝑁

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

z. B. in � 𝑘𝑘𝑘𝑘 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

(2)

Die Leistung 𝑃𝑃 ist folgendermaßen definiert: 𝑃𝑃 =

mit

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = = ∙ 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

(nach Ketteregel)

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) = �= � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Damit ergibt sich die mechanische Pumpenleistung 𝑃𝑃, die auch als hydraulische Leistung bezeichnet wird, zu 𝑚𝑚̇ =

𝑃𝑃 = 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙

∆𝑝𝑝 = 𝑄𝑄 ∙ ∆𝑝𝑝 = 𝑄𝑄 ∙ (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 ) 𝜌𝜌

Gl. 3.4-1

(5) Einheiten-Umrechnung Das Einsetzen der Zahlenwerte mit den Einheiten in die Berechnungsgleichung für 𝑃𝑃 führt zu

𝑚𝑚3 𝑚𝑚3 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ (10 − 1)𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 18 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Zur gesuchten Leistungseinheit 𝑘𝑘𝑘𝑘 erfolgt die Multiplikation der sinnvollen Einheitenquotienten (jeweils Faktor 1) mit dem obenstehendem Ergebnis für 𝑃𝑃 und Kürzen der nicht geeigneten Einheiten 𝑃𝑃 = 𝑄𝑄 ∙ (𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1 ) = 2

𝑃𝑃 = 18

5 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚3 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 10 𝑠𝑠 2 ∙ 𝑚𝑚 1 𝑊𝑊 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 103 𝑊𝑊 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 60 𝑠𝑠 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑠𝑠 3

𝑃𝑃 = 30 𝑘𝑘𝑘𝑘

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die hydraulische Pumpenleistung beträgt 𝑃𝑃 = 30 𝑘𝑘𝑘𝑘

Diskussion:

Während bei Pumpen für die Wasserförderung die spezifische Förderenergie 𝑌𝑌(𝐴𝐴𝐴𝐴) sowohl über die Förderhöhe 𝐻𝐻 (bzw. 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻) als auch über Druckdifferenzen ∆𝑝𝑝 ermittelt wird, erfolgt bei Wasserturbinen die Bestimmung von der spezifischen Fallenergie 𝑌𝑌(𝐾𝐾𝐾𝐾) nur über die Fallhöhe 𝐻𝐻 (bzw. 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻). In der Praxis sind in der Bernoulli-Gleichung jedoch noch sämtliche Reibungs- und Verwirbelungsverluste als abgeführte Energien (𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 ) zu berücksichtigen (vgl. Kap 1.5).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

211

3.5 Aufgaben zu Kap. 1.5 (Reibungsbehaftete Fluidströmungen) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen: -

-

Verluste bei laminarer und turbulenter Strömung Druckverlust von Einzel-Strömungsstörern Zusammengesetzte Widerstände in Strömungssystemen

Aufgabe 3.5-1: Mindestgeschwindigkeit für eine turbulente Strömung Welche Mindestgeschwindigkeit 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. muss in einem Rohr mit dem Durchmesser 𝐷𝐷 = 20 𝑚𝑚𝑚𝑚 vorliegen, damit eine turbulente Strömung herrscht? a) Bei Wasserströmung (20 °C) b) Bei Luftströmung (20 °C, 1 bar)

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅, Umschlag laminar/ turbulent. (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑅𝑅𝑅𝑅-Formel umstellen nach 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 .

Kinematische Viskosität 𝜈𝜈 für Wasser und Luft berücksichtigen. (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Der Umschlag laminar-turbulent erfolgt im Allgemeinen bei einer kritischen Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 =

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐷𝐷 = 2300 𝜈𝜈

Umgestellt nach 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ergibt sich 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 =

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝜈𝜈 2300 ∙ 𝜈𝜈 = 𝐷𝐷 𝐷𝐷

Die kinematische Viskosität 𝜈𝜈 beträgt für Wasser 𝜈𝜈𝑊𝑊 = 1 ∙ 10−6

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

(bei 20 °C)

212

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Luft 𝜈𝜈𝐿𝐿 = 15 ∙ 10−6

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

(bei 20 °C, 1 bar)

Sinnvollerweise wird 𝐷𝐷 statt in 𝑚𝑚𝑚𝑚 in 𝑚𝑚 umgerechnet 𝐷𝐷 = 20 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙

1 𝑚𝑚 = 0,02 𝑚𝑚 103 𝑚𝑚𝑚𝑚

Damit ergeben sich die kritischen Mindestgeschwindigkeiten für eine turbulente Strömung a) Wasser 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 b)

Luft 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘

−6 𝑚𝑚

2300 ∙ 𝜈𝜈 2300 ∙ 1 ∙ 10 = = 𝐷𝐷 0,02 𝑚𝑚

2

𝑠𝑠 = 0,12 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 −6 2300 ∙ 𝜈𝜈 2300 ∙ 15 ∙ 10 𝑠𝑠 = 1,7 𝑚𝑚 = = 𝐷𝐷 0,02 𝑚𝑚 𝑠𝑠

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Turbulente Wasserströmung 𝑐𝑐𝑊𝑊 > 0,12 b) Turbulente Luftströmung 𝑐𝑐𝐿𝐿 > 1,7

Diskussion:

𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝑚𝑚 𝑠𝑠

Diese relativ niedrigen Werte für die turbulente Strömungsgeschwindigkeit werden in den meisten technischen Anwendungsfällen überschritten, so dass nahezu alle technischen Anwendungen auf turbulenten Strömungen basieren.

Aufgabe 3.5-2 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl im Blutkreislauf

Berechnen Sie bei den folgenden Blutgefäßen, ob laminare oder turbulente Strömung vorliegt: a) Kapillare: 𝐷𝐷 = 8 𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝑐𝑐̅ = 5

𝑚𝑚𝑚𝑚

b) Aorta: 𝐷𝐷 = 20 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑐𝑐̅ = 0,3

𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑘𝑘𝑘𝑘

Die dynamische Viskosität 𝜂𝜂 von Blut beträgt 𝜂𝜂 = 4 ∙ 10−3 𝑠𝑠∙𝑚𝑚 und die Dichte 𝜌𝜌 = 103 𝑚𝑚3 . (1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

213

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝜂𝜂 umrechnen in 𝜈𝜈.

𝑅𝑅𝑅𝑅-Formel anwenden.

𝑅𝑅𝑅𝑅 < 2300 oder 𝑅𝑅𝑅𝑅 > 2300 ? (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Umrechnung von 𝜂𝜂 in 𝜈𝜈 𝜈𝜈 =

Aus

𝜂𝜂 4 ∙ 10−3 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚3 𝑚𝑚2 −6 = ∙ = 4 ∙ 10 𝜌𝜌 103 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠

𝑅𝑅𝑅𝑅 =

folgt

𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷 𝜈𝜈

a) Kapillare 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐾𝐾 =

5 ∙ 8 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜇𝜇𝜇𝜇 ∙ 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 ∙ ∙ 3 ∙ 6 = 0,01 −6 2 4 ∙ 10 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚 10 𝑚𝑚𝑚𝑚 10 𝜇𝜇𝜇𝜇

Da 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐾𝐾 < 2300 ist, liegt eine laminare (sog. schleichende) Strömung vor. b) Aorta 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐴𝐴 =

0,3 ∙ 20 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚 ∙ ∙ 3 = 1,5 ∙ 103 = 1500 −6 2 4 ∙ 10 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚 10 𝑚𝑚𝑚𝑚

Auch hier ist 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐴𝐴 < 2300 und demnach liegt ebenfalls laminare Strömung vor. (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Kapillare: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐾𝐾 = 0,01 → laminare (schleichende) Strömung b) Aorta: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐴𝐴 = 1500 → laminare Strömung

Diskussion:

Die Blutströmung in den Kapillaren ist in jedem Fall laminar. Da Blut jedoch eine nichtnewtonsche Flüssigkeit ist, für die der einfache Viskositätswert nicht zutrifft, könnte in der Aorta auch turbulente Strömung auftreten.

Aufgabe 3.5.3-1 Rohrströmung bei diversen Querschnitten Durch eine Rohrleitung soll ein Volumenstrom 𝑄𝑄 = 0,3

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

mit verschiedenen Medien fließen.

Der Rohrquerschnitt soll entweder kreisförmig (𝐷𝐷 = 0,15 𝑚𝑚) oder quadratisch (𝑠𝑠 = 0,15 𝑚𝑚) sein. Folgende kinematische Viskositäten 𝜈𝜈 und Dichten 𝜌𝜌 der Fluide sind vorgegeben:

214

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

a) Luft (20 °C, 1 bar): b) Wasser (20 °C): c) Wasserdampf (100 °C):

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 𝜌𝜌𝑎𝑎 ≈ 1,2 3 ; 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 𝜌𝜌𝑏𝑏 ≈ 103 3 𝜈𝜈𝑏𝑏 ≈ 1 ∙ 10−6 ; 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 −6 𝜈𝜈𝑐𝑐 ≈ 74,4 ∙ 10 ; 𝜌𝜌𝑐𝑐 ≈ 0,316 3 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝜈𝜈𝑎𝑎 ≈ 15 ∙ 10−6

Für die Fluide a) bis c) sind jeweils zu berechnen:

1) Die Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 bzw. laminare oder turbulente Strömung? 2) Der Druckverlust ∆𝑝𝑝 in bar bei einer Rohrlänge 𝐿𝐿 = 100 𝑚𝑚 und handelsüblichem Stahlrohr (technische Rauigkeit 𝑘𝑘 = 0,05 𝑚𝑚𝑚𝑚)

Rohrreibungsverluste bleiben unberücksichtigt. (1) Aufgabe klären

Alle wichtigen Informationen markieren. Skizze erstellen (Abb. 3.5-1).

Abb. 3.5-1: Rohrströmung bei verschiedenen Querschnitten und diversen Fluiden

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Kontinuitätsgleichung, 𝑅𝑅𝑅𝑅-Formel, Bernoulli-Gleichung mit Verlusten, Diagramm 𝜆𝜆 = 𝑘𝑘

𝑓𝑓(𝑅𝑅𝑅𝑅, 𝐷𝐷).

Hydraulischer Durchmesser.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑐𝑐̅ berechnen aus 𝑄𝑄 und 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. (nicht mit hydraulischem Durchmesser 𝐷𝐷ℎ ; vgl. Kap. 1.5.3). 𝑅𝑅𝑅𝑅 berechnen mit 𝐷𝐷ℎ (für alle Fluidarten) → laminar oder turbulent? Rohrreibungszahl 𝜆𝜆 für alle Fluidarten.

Bernoulli-Gleichung mit Verlusten umstellen nach ∆𝑝𝑝.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

215

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Im Folgenden wird nur für den Fall a) (Luft) und den Kreisquerschnitt bzw. den quadratischen Querschnitt der ausführliche Rechengang dargestellt. Die übrigen Lösungen sind mit den exemplarisch ermittelten Beispielen tabellarisch zusammengefasst. Fall a): „Luft und Kreisquerschnitt mit Durchmesser 𝐷𝐷“

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 0,152 ∙ 𝜋𝜋 = ∙ 𝑚𝑚2 = 0,01767 𝑚𝑚2 4 4 𝑄𝑄 0,3 𝑚𝑚3 𝑚𝑚 mittlere Geschwindigkeit 𝑐𝑐̅ = = ∙ = 16,98 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 0,01767 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚2 𝑠𝑠 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷 16,98 ∙ 0,15 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 = ∙ = 1,698 ∙ 105 Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 = 𝜈𝜈𝑎𝑎 15 ∙ 10−6 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚2 Strömungsquerschnitt 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 > 2300 → 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

(Hinweis: Bei einem Rohr mit Kreisquerschnitt ist 𝐷𝐷ℎ = 𝐷𝐷) Mit

𝑘𝑘 0,05 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 3,33 ∙ 10−4 𝐷𝐷 150 𝑚𝑚𝑚𝑚 und 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 = 1,698 ∙ 105 folgt aus Abb. 1.5-6 die Rohrreibungszahl 𝜆𝜆 𝜆𝜆 ≈ 0,0185

(angenäherte Ablesung des Diagrammwertes)

Die Druckdifferenz ∆𝑝𝑝𝑣𝑣(𝑎𝑎) folgt aus Gl. 1.5-12.

𝐿𝐿 𝜌𝜌𝑎𝑎 2 100 1,2 𝑚𝑚 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑐𝑐̅ = 0,0185 ∙ ∙ ∙ 16,982 ∙ = 2134 𝐷𝐷 2 0,15 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚3 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 2134 ∙ = 2,134 ∙ 10−2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 105 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2

∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑎𝑎) = 𝜆𝜆𝑎𝑎 ∙ ∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑎𝑎)

Fall a): „Luft und quadratischer Querschnitt mit Seitenlänge s“

Strömungsquerschnitt 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 2 = 0,152 ∙ 𝑚𝑚2 = 0,0225 𝑚𝑚2 𝑄𝑄 0,3 𝑚𝑚3 𝑚𝑚 mittlere Geschwindigkeit 𝑐𝑐̅ = = ∙ = 13,33 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 0,0225 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚2 𝑠𝑠

Weicht der Strömungsquerschnitt von der Kreisform ab, muss in allen Formeln (außer bei 𝑐𝑐̅) mit dem „hydraulischen Durchmesser“ 𝐷𝐷ℎ gerechnet werden.

𝐷𝐷ℎ bei einem quadratischen Querschnitt (vgl. Kap. 1.5.3):

𝐷𝐷ℎ =

mit

4 ∙ 𝐴𝐴 𝑈𝑈

𝐴𝐴 = Durchströmte Fläche 𝑈𝑈 = Benetzter Umfang

216

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

4 ∙ 𝑠𝑠 2 = 𝑠𝑠 = 0,15 𝑚𝑚 4 ∙ 𝑠𝑠 D.h. einem Kreisdurchmesser 𝐷𝐷 äquivalent! 𝐷𝐷ℎ =

Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 =

𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷 13,33 ∙ 0,15 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 = ∙ = 1,33 ∙ 105 𝜈𝜈𝑎𝑎 15 ∙ 10−6 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚2

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 > 2300 → 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

mit

𝑘𝑘 0,05 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 3,33 ∙ 10−4 𝐷𝐷 150 𝑚𝑚𝑚𝑚 und 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 = 1,33 ∙ 105 folgt aus Abb. 1.5-6 die Rohrreibungszahl 𝜆𝜆 𝜆𝜆 ≈ 0,019

(angenähert)

Die Druckdifferenz ∆𝑝𝑝𝑣𝑣(𝑎𝑎) folgt aus Gl. 1.5-12.

𝐿𝐿 𝜌𝜌𝑎𝑎 2 100 1,2 𝑚𝑚 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑐𝑐̅ = 0,019 ∙ ∙ ∙ 13,332 ∙ = 1351 𝐷𝐷 2 0,15 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚3 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑎𝑎) = 1351 ∙ = 1,351 ∙ 10−2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 105 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 Analog zur Vorgehensweise wie für Fall a) beschrieben, können die Lösungen für die anderen Fluidarten berechnet werden. Dies ist in Abb. 3.5-2 tabellarisch dargestellt. Die exakten Rechenwerte wurden dabei praxisorientiert gerundet, wegen der im Allgemeinen nur annähernd zutreffenden Annahmen und Randbedingungen. ∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑎𝑎) = 𝜆𝜆𝑎𝑎 ∙

Strömungsquerschnitt

Teilaufgabe

Fluidart

Ergebnis

a1

Luft

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 [−]

1,7 ∙ 10 (𝑡𝑡)

1,3 ∙ 105 (𝑡𝑡)

∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑎𝑎) [𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏]

2,1 ∙ 10−2

1,4 ∙ 10−2

b1

Wasser

c1

W-Dampf

a2

Luft

b2

Wasser

c2

W-Dampf

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑏𝑏 [−] 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑐𝑐 [−]

∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑏𝑏) [𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] ∆𝑝𝑝𝑉𝑉(𝑐𝑐) [𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏]

Kreis

Quadrat

5 6

2,6 ∙ 10 (𝑡𝑡) 3,4 ∙ 104 (𝑡𝑡) 16,8

7,3 ∙ 10

−3

2 ∙ 106 (𝑡𝑡)

2,7 ∙ 104 (𝑡𝑡) 9,5

4,7 ∙ 10−3

Bemerkung: (t) = turbulente Strömung

Abb. 3.5-2: 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl und Druckverlust ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 bei verschiedenen Rohrquerschnitten und Fluidarten

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die Tabelle in Abb. 3.5-2 fasst die Ergebnisse in tabellarischer Form zusammen.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

217

Diskussion: Die Ergebnisse zwischen Kreisquerschnitt und quadratischem Querschnitt weichen bezüglich 𝑅𝑅𝑅𝑅 und ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 bei allen Fluidarten um ca. 1/3 ab. Zwischen den jeweiligen Fluidarten treten jedoch beträchtliche Unterschiede bei 𝑅𝑅𝑅𝑅 bzw. ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 auf.

In dem vorstehenden Beispiel war der Volumenstrom 𝑄𝑄 vorgegeben und es sollten die dabei auftretenden Druckverluste im Strömungskanal ermittelt werden. Falls jedoch eine Druckdifferenz ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 vorgegeben ist (z. B. bei einer Spaltströmung), so lässt sich der auftretende Leckagestrom 𝑄𝑄 nicht direkt, sondern nur iterativ ermitteln (s. Aufgabe 3.5.3-2).

Aufgabe 3.5.3-2 Leckagestrom 𝑄𝑄 bei einer Spaltdichtung

Eine rotierende Welle soll möglichst reibungsarm durch eine Gehäusewand geführt werden. (z. B. bei einem Pumpenprüfstand). Hierbei befindet sich auf der einen Seite Wasser unter erhöhtem Druck und auf der anderen Seite Luft unter Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 . Diese „Abdichtung“ wird in einfachsten Fall durch eine Spaltdichtung realisiert, bei der ein gewisser Leckagestrom 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 toleriert wird, dessen Größe zunächst unbekannt ist. Die Situation ist in Abb. 3.5-3 schematisch dargestellt.

Abb. 3.5-3: Schematische Darstellung einer Spaltdichtung und des Druckverlaufs über die Spaltlänge 𝐿𝐿

Erläutern Sie, wie sich bei einer vorgegebenen Druckdifferenz ∑ ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝑖𝑖∗ − 𝑝𝑝0 , scharfkantigem Eintritt und Austritt der Spaltdichtung mit der Dichtelänge 𝐿𝐿, der technischen Rauigkeit 𝑘𝑘 und der Ringspaltdicke s, der dabei auftretende Leckagestrom 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 (bzw. die Spaltgeschwindigkeit 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ) ermitteln lässt.

218

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und in Skizze ergänzen (in rot und grün). (2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Strömung mit Verlusten/ Bernoulli-Gleichung, Kontinuitätsgleichung, 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl, hydraulischer 𝑘𝑘

Durchmesser 𝐷𝐷ℎ , Diagramm 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓(𝐷𝐷 , 𝑅𝑅𝑅𝑅), Verlustziffer 𝜁𝜁. (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen

Falls der Volumenstrom 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 nicht vorgegeben (und damit unbekannt) ist, sondern nur die Druckdifferenz ∆𝑝𝑝 = ∑ ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 , muss man zunächst 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 bzw. eine Geschwindigkeit 𝑐𝑐 (bzw. 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑐𝑐∙𝐷𝐷 𝜈𝜈

) annehmen und nach Durchrechnung die 𝑐𝑐-Annahme überprüfen.

Weichen die Annahme und die Durchrechnung voneinander ab, ist eine Iteration erforderlich. Bei geringen Höhenunterschieden zwischen Wasserspiegel und Spaltdichtung gilt 𝑝𝑝𝑖𝑖∗ ≈ 𝑝𝑝𝑖𝑖 . (4) Teilaufgaben lösen Tatsächliche Spaltfläche 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑠𝑠 ( da 𝑠𝑠 ≪ 𝐷𝐷) 4 ∙ 𝐴𝐴 4 ∙ 𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑠𝑠 Hydraulischer Durchmesser bei Ringspalt 𝐷𝐷ℎ = = = 2 𝑠𝑠 𝑈𝑈 2 ∙ (𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋) Iterationsschema:

𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 = ⋯ (𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝐷𝐷ℎ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 2𝑠𝑠 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠 = = 𝜈𝜈 𝜈𝜈 𝜆𝜆1.𝑁𝑁 (1. Näherung) 𝑘𝑘 𝑘𝑘 = 𝐷𝐷ℎ 2𝑠𝑠 Eintritts-Verlustziffer 𝜁𝜁𝐸𝐸 = 0,5 Wichtig: 𝐿𝐿 𝐿𝐿 Alle Verlustziffern sind bezogen Spalt-Verlustziffer 𝜁𝜁𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜆𝜆 ∙ = 𝜆𝜆 ∙ 𝐷𝐷ℎ 2𝑠𝑠 auf 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 , weil nur dann addierbar! Austritts-Verlustziffer 𝜁𝜁𝐴𝐴 = 1,0 𝜌𝜌 2 𝐿𝐿 𝜌𝜌 2 � ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝑖𝑖∗ − 𝑝𝑝0 = �� 𝜁𝜁� ∙ ∙ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 = (𝜁𝜁𝐸𝐸 + 𝜆𝜆 ∙ + 𝜁𝜁𝐴𝐴 ) ∙ ∙ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 2 2𝑠𝑠 2 𝐿𝐿 𝜌𝜌 2 � ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 = (0,5 + 𝜆𝜆1.𝑁𝑁 ∙ + 1) ∙ ∙ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝑠𝑠 2 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 =

Da 𝑝𝑝𝑖𝑖∗ − 𝑝𝑝0 bekannt, Umstellung auf 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(1.𝑁𝑁) = ⋯ → Iteration!

?

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (1. 𝑁𝑁) = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝐴𝐴) Nein

Ja → Ende!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

219

(5) Einheiten-Umrechnung Hier wurde nur der allgemeine Lösungsweg gefragt, weswegen die Einheitenumrechnung entfällt.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Iterationsschema siehe Punkt (4) Wie ermittelt man sinnvollerweise den 1. Näherungswert für 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (bzw. 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 )? Dazu liefert der nachstehende Tipp praktische Hinweise.

___________________________________________________________________________________________

Beachte Diskussion und Tipp: Nicht nur bei Spaltdichtungen, sondern auch bei Ausfluss aus einem Behälter, einem Staubecken-Ablass oder dem Düsenaustritt einer Peltonturbine sind die auftretenden Volumenströme bei realen, reibungsbehafteten Strömungen zunächst unbekannt. Eine gute 1. Näherung für die Austrittsgeschwindigkeit 𝑐𝑐 liefert die Torricellische Ausflussgleichung: 𝑐𝑐 = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 (z. B. 𝐻𝐻 = Höhenunterschied zwischen Oberwasserspiegel und Düsenaustrittsquerschnitt)

𝑐𝑐 = �

∆𝑝𝑝 (z. B. ∆𝑝𝑝 = Druckdifferenz zwischen Behälterinnendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 und 𝑐𝑐 = � 𝜌𝜌 Atmosphärendruck 𝑝𝑝0 )

∆𝑝𝑝 + 2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 (z. B. bei hohen Behältern unter Innendruck und großer Füllhöhe) 𝜌𝜌

Den 1. Näherungswert für 𝑐𝑐 dann je nach Anlagensituation 5-10 % niedriger als den vorstehend errechneten Wert ansetzen! ___________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.5.5-1 Großräumige Wasserversorgung Wasser mit einer Temperatur von 𝜗𝜗𝑊𝑊 = 10 °𝐶𝐶 soll mit einer mittleren Geschwindigkeit 𝑚𝑚 𝑐𝑐̅ = 5 𝑠𝑠 durch eine Rohrleitung mit dem Durchmesser 𝐷𝐷 = 800 𝑚𝑚𝑚𝑚 gepumpt werden.

c) Welchen Wert weist die Rohrreibungszahl 𝜆𝜆 auf, wenn das Rohr als „hydraulisch glatt“ angesehen wird? d) Welcher Differenzdruck ∆𝑝𝑝 in 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 muss eine Pumpe erzeugen, wenn das Wasser in ein 75 𝑘𝑘𝑘𝑘 entferntes Bassin gefördert wird, dessen Spiegel (𝑂𝑂𝑂𝑂) um 80 𝑚𝑚 über dem

220

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Unterwasserniveau (𝑈𝑈𝑈𝑈) liegt? Krümmerverluste und sonstige Verluste von Einbauten in das Rohr sollen vernachlässigt (klein) sein e) Welche Antriebsleistung in 𝐾𝐾𝐾𝐾 muss die Pumpe aufweisen, wenn der Pumpenwirkungsgrad 𝜂𝜂𝑝𝑝 = 0,8 ist? (1) Aufgabe klären Wichtiges markieren, Skizze anfertigen und wichtige Daten eintragen (Abb. 3.5-4)

Abb. 3.5-4: Wasserversorgung über große Distanz und Höhenunterschied

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Strömung mit Verlusten. Zu a) Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅, Rohrreibungsdiagramm.

Zu b) Bernoulli-Gleichung mit Verlusten und Energiezufuhr (Pumpe). Zu c) Pumpenleistung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑅𝑅𝑅𝑅 → laminar/turbulent?→ 𝜆𝜆 (bei 𝑘𝑘 = 0)

Zu b): Vollständige Bernoulli-Gleichung umstellen nach ∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 Zu c): Volumenstrom Q in Pumpenleistungsformel einsetzen

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

221

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑐𝑐̅ ∙ 𝐷𝐷 𝜈𝜈

𝑅𝑅𝑅𝑅 =

5 ∙ 0,8 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 ∙ = 3,08 ∙ 106 1,3 ∙ 10−6 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚2

mit (𝜈𝜈10°𝐶𝐶 = 1,3 ∙ 10−6

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

1 𝑚𝑚

und 𝐷𝐷 = 800 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 103

𝑚𝑚𝑚𝑚

= 0,8 𝑚𝑚)

→ turbulent

𝑘𝑘

0 𝑚𝑚𝑚𝑚

Aus dem Rohrreibungsdiagramm (Abb. 1.5.3-2) folgt mit 𝐷𝐷 = 800 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0 (Kurve „hydraulisch glatt“) in Abb. 3.5-5: 𝜆𝜆 ≈ 0,0097

Abb. 3.5-5: Schematische Ermittlung der Rohrreibungszahl 𝜆𝜆

Zu b): Bernoulli-Gleichung (Gl. 1.4-34) ansetzen zwischen den Stellen 1 und 2 (allgemein gültige Form): 𝑝𝑝1 𝑐𝑐1 2 𝑝𝑝2 𝑐𝑐2 2 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 + 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌1 2 𝜌𝜌2 2

Vereinfachungen und Konkretisierungen: !

𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0 (Atmosphärendruck auf freien Wasserspiegeln) !

𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 ≈ 0 (Absenkung/ Anstieg der Wasserspiegel vernachlässigt) 𝑧𝑧1 = 0; 𝑧𝑧2 = ℎ 𝑒𝑒𝑧𝑧𝑧𝑧 =

∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 (zugeführte spezifische Förderenergie der Pumpe) 𝜌𝜌

(1)

222

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 =

mit

∆𝑝𝑝𝑣𝑣1−2 (abgeführte spezifische Strömungsverlustenergie) 𝜌𝜌

𝐿𝐿 𝑐𝑐̅2 ∙ 𝐷𝐷 2 Wird Gl. (1) vereinfacht zu 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜆𝜆 ∙

0+0+0+

∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐿𝐿 𝑐𝑐̅2 = 0 + 0 + 𝑔𝑔 ∙ ℎ + 𝜆𝜆 ∙ ∙ 𝜌𝜌 𝐷𝐷 2

Umgestellt nach der erforderlichen Druckdifferenz der Pumpe ∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ + 𝜆𝜆 ∙

𝐿𝐿 𝜌𝜌 2 ∙ ∙ 𝑐𝑐̅ 𝐷𝐷 2

𝑘𝑘𝑘𝑘

Einsetzen der bekannten Werte (z.B. bei 𝜗𝜗 = 10 °𝐶𝐶 → 𝜌𝜌 = 999,7 𝑚𝑚3 ) und Einheitenumrechnung liefert

1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑘𝑘 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 75 000 𝑚𝑚 999,7 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 𝑚𝑚2 + �0,0097 ∙ ∙ ∙5 2�∙ 0,8 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚3 𝑠𝑠

∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 = �999,7

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 9,81 2 ∙ 80 𝑚𝑚� ∙ 3 𝑚𝑚 𝑠𝑠

∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 = 7,85 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 113,64 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 121,49 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑘𝑘 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2

zusammengesetzt aus der Förderhöhe (7,85 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) und den Verlusten (113,64 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏). Zu c): Der Pumpenwirkungsgrad 𝜂𝜂 ist definiert als 𝜂𝜂 =

Mit

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑄𝑄 ∙ ∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 = = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 4 ergibt sich für die Aufwandsleistung der Pumpe 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐̅ ∙ 𝑃𝑃 =

𝑄𝑄 ∙ ∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 = 𝑐𝑐̅ ∙ ∙ ∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜂𝜂 4 ∙ 𝜂𝜂

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑁𝑁 105 2 1 𝑚𝑚 0,82 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2 ∙ 𝑃𝑃 = 5 ∙ ∙ 121,5 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ ∙ 𝑠𝑠 4 ∙ 0,8 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑁𝑁 𝑃𝑃 = 38,2 ∙ 106 𝑊𝑊 ∙

1 𝑘𝑘𝑘𝑘 103 𝑊𝑊

1 𝐽𝐽 1 𝑊𝑊 ∙ 𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 1 1 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

223

𝑃𝑃 = 38,2 ∙ 103 𝑘𝑘𝑘𝑘

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Rohrreibungszahl 𝜆𝜆 = 0,0097 b) Erforderliche Druckdifferenz der Pumpe ∆𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃 = 121,5 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 c) Erforderliche Antriebsleistung der Pumpe 𝑃𝑃 = 38200 𝑘𝑘𝑘𝑘 Diskussion: Obwohl die Verwendung eines hydraulisch glatten Rohres angenommen wurde, wird eine sehr hohe Antriebsleistung der Pumpe von 38,2 𝑀𝑀𝑀𝑀 erforderlich sein, die zum größtem Teil aus den Rohrreibungsverlusten resultiert. Würde ein Richtungswechsel der Strömung erfolgen und die Pumpe als Wasserturbine angetrieben, so wäre die mögliche Nutzleistung der Turbine folgendermaßen zu ermitteln: 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ − 𝜆𝜆 ∙ 𝐿𝐿 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐̅2 ∙ 𝑄𝑄 𝐷𝐷 2 𝐿𝐿 𝜌𝜌 = �𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ − 𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑐̅2 ∙ 𝑄𝑄 � ∙ 𝜂𝜂𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐷𝐷 2

𝜂𝜂𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑃𝑃𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁

Dabei werden jedoch andere 𝜆𝜆- und 𝑐𝑐̅-Werte entstehen. Von der verfügbaren Leistung aus der Höhendifferenz ℎ ist die Rohrleitungsverlustleistung abzuziehen. Allgemein gilt für die Berechnung von hydraulischen Leistungen ohne Verluste 𝑃𝑃 = 𝑄𝑄 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = ∆𝑝𝑝 ∙ 𝑄𝑄

___________________________________________________________________________________________

Beachte Bei der Herleitung von Größengleichungen lässt sich mittels Einheitenkontrolle relativ sicher die Fehlerfreiheit einer Ableitung erkennen (vgl. Kap. 1.2.3) ___________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.5.5-2 Rohrleitung für eine Peltonturbine Für die Wasserzufuhr einer Hochdruck-Peltonturbine wird das in einem Oberwasserbecken gestaute Wasser (Stelle 0, 𝜗𝜗 = 20 °𝐶𝐶) über eine Rohrleitung und Düse dem Peltonlaufrad zugeführt. Das Druckrohr aus Stahl (𝑘𝑘 = 0,1 𝑚𝑚𝑚𝑚) mit einem Innendurchmesser 𝐷𝐷1 = 400 𝑚𝑚𝑚𝑚 und einer Länge 𝐿𝐿 = 1200 𝑚𝑚 wird vor der Turbine in einer Düse an Stelle 1 von 𝐷𝐷 = 400 𝑚𝑚𝑚𝑚 auf 𝑑𝑑 = 180 𝑚𝑚𝑚𝑚 an Stelle 2 reduziert. Die Düse weist eine Verlustziffer 𝜁𝜁𝐷𝐷ü𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0,01 (bezogen auf 𝑑𝑑) auf. Die Fallhöhe 𝐻𝐻 beträgt 1000 𝑚𝑚. Die Rohrleitung enthält folgende Stromführungselementverluste, jeweils bezogen auf 𝐷𝐷 (also die Geschwindigkeit 𝑐𝑐1 im Rohr:

224

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

-

Einlauf 𝜁𝜁𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 0,91 2 Krümmer 45° mit jeweils 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾45° = 0,12 1 Krümmer 30° mit 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾30° = 0,08 2 Kugelschieber voll geöffnet (!) mit 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 ≈ 0

Es sind zu bestimmen:

a) Strahlgeschwindigkeit 𝑐𝑐2 am Düsenaustritt (Stelle 2) b) Volumenstrom 𝑄𝑄 in

𝑚𝑚3 𝑠𝑠

(Strahleinschnürung vernachlässigt)

c) Druck 𝑝𝑝1 vor der Düse (Stelle 1) (1) Aufgabe klären

Alle wichtigen Informationen markieren und/ oder Skizze erstellen (Abb. 3.5-6).

Abb. 3.5-6: Zuführung für eine Peltonturbine

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung mit Verlusten, Verlustziffer. Kontraktionszahl 𝛼𝛼 (Strahleinschnürung) vernachlässigt. (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Bernoulli mit allen Verlusten zwischen den Stellen 0 und 2 → 𝑐𝑐2 . Zu b): Kontinuitätsgleichung → 𝑄𝑄.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

225

Zu c): Bernoulli mit Düsenverlusten zwischen den Stellen 1 und 2 → 𝑝𝑝1 . (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Bernoulli-Gleichung mit Verlusten zwischen den Stellen 0 und 2 (Gl. 1.5-1) mit Bezug auf B-B (hier Druckform geeigneter als Energieform) 𝑝𝑝𝑂𝑂 +

mit

𝜌𝜌 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐𝑂𝑂 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧𝑂𝑂 = 𝑝𝑝2 + ∙ 𝑐𝑐2 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + � ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 2 2

𝑝𝑝0 = 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0 (Atmosphärendruck an den Stellen 0 und 2) 𝑐𝑐𝑂𝑂 ≈ 0 𝑧𝑧𝑂𝑂 = 𝐻𝐻, 𝑧𝑧2 = 0

� ∆𝑝𝑝𝑉𝑉 = �� 𝜁𝜁"2" � ∙

folgt

𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐 2 2 2

(alle 𝜁𝜁-Werte auf Stelle 2 beziehen bzw. umrechnen!)

2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 1 1 𝑐𝑐2 = � = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 ∙ � = 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ � ∑ ∑ 1 + 𝜁𝜁"2" 1 + 𝜁𝜁"2" 1 + ∑ 𝜁𝜁"2"

(1)

Da ∑ 𝜁𝜁"2" auch die Rohrreibung enthält, die von 𝑅𝑅𝑅𝑅 und damit von 𝑐𝑐1, bzw. auch von 𝑐𝑐2 , abhängt, aber noch nicht bekannt ist, wird als Näherung die ideale Geschwindigkeit 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 eingesetzt. Genau genommen wäre eine Iterationsrechnung gemäß Aufgabe 3.5.3-2 erforderlich! 𝑐𝑐2 ≈ 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻 = �2 ∙ 9,81

𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ 1000 𝑚𝑚 = 140 2 𝑠𝑠 𝑠𝑠

Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung wird daraus 𝑐𝑐1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴2

mit

𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 4 𝑑𝑑2 ∙ 𝜋𝜋 𝐴𝐴2 = 4 eingesetzt, ergibt sich 𝐴𝐴1 =

𝑐𝑐1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙

𝐴𝐴2 𝑑𝑑 2 𝑚𝑚 180 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ � � = 140 ∙ � � = 28,4 𝐴𝐴1 𝐷𝐷 𝑠𝑠 400 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠

Die Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 wird daraus

226

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑚𝑚 𝑐𝑐1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐷𝐷 28,4 𝑠𝑠 ∙ 0,4 𝑚𝑚 𝑅𝑅𝑅𝑅 = = = 1,13 ∙ 107 → 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡! 𝑚𝑚2 𝜈𝜈20°𝐶𝐶 −6 1 ∙ 10 𝑠𝑠 𝑘𝑘

Aus dem Diagramm 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓 �𝑅𝑅𝑅𝑅, 𝐷𝐷� (Abb. 1.5-6) lässt sich ablesen mit 𝑘𝑘 0,1 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 2,5 ∙ 10−4 𝐷𝐷 400 𝑚𝑚𝑚𝑚 Bzw. auch in alternativen Diagrammen 𝐷𝐷 400 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 4000 𝑘𝑘 0,1 𝑚𝑚𝑚𝑚 für 𝜆𝜆

𝜆𝜆 = 0,0144 Damit wird die Verlustziffer 𝜁𝜁𝑅𝑅∗ für die Rohrreibung (bezogen auf den Durchmesser 𝐷𝐷 bzw. die Rohrgeschwindigkeit 𝑐𝑐1, deswegen mit ∗ gekennzeichnet!) 𝐿𝐿 1200 𝑚𝑚 = 0,0144 ∙ = 43,2 𝐷𝐷 0,4 𝑚𝑚 Ebenfalls auf 𝐷𝐷 bzw. 𝑐𝑐1 bezogen sind die Verlustziffern 𝜁𝜁𝑅𝑅∗ = 𝜆𝜆 ∙

∗ = 0,91 Einlauf 𝜁𝜁𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝜁𝜁𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸

∗ 2 Krümmer 45° 2 ∙ 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 45° = 2 ∙ 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 45° = 2 ∙ 0,12 ∗ Krümmer 30° 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 30° = 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 30° = 0,08

∗ = 2 ∙ 0 (voll geöffnet) 2 Kugelschieber 2 ∙ 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 = 2 ∙ 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 ∗

Düse 𝜁𝜁𝐷𝐷 = 0,01

(auf 𝑐𝑐2 bezogen)

Die 𝜁𝜁 -Ziffer müssen noch auf die Bezugsgeschwindigkeit 𝑐𝑐2 umgerechnet werden (vgl. Kap. 1.5.5, Gl. 1.5-17) 𝐷𝐷𝑖𝑖 4 𝜁𝜁𝑖𝑖 = 𝜁𝜁𝑇𝑇 ∙ � � 𝐷𝐷𝑇𝑇

(mit Index 𝑖𝑖 für den einheitlichen Bezugsdurchmesser 𝑖𝑖 und Index 𝑇𝑇 für den jeweiligen Durchmesser 𝑇𝑇 der Tabellenangaben in der Literatur)

Also wird 𝐷𝐷𝑖𝑖 = 𝑑𝑑 und 𝐷𝐷𝑇𝑇 = 𝐷𝐷 gesetzt und man erhält 𝑑𝑑 4 𝜁𝜁𝑑𝑑 = 𝜁𝜁 ∗ ∙ � � 𝐷𝐷

𝑑𝑑 4 ∗ ∗ ∗ ∗ � 𝜁𝜁"2" = → �𝜁𝜁𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝜁𝜁𝑅𝑅∗ + 2 ∙ 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 45° + 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 30° + 2 ∙ 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾 � ∙ � � + 𝜁𝜁𝑑𝑑 𝐷𝐷 � 𝜁𝜁"2" = (0,91 + 43,1 + 2 ∙ 0,12 + 0,08 + 0) ∙ � � 𝜁𝜁"2" = 1,828

Eingesetzt in (1) ergibt sich

180 4 � + 0,01 400

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑐𝑐2 = 𝑐𝑐2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ �

227

1 1 𝑚𝑚 = 140 ∙ � = 83,3 1 + ∑ 𝜁𝜁"2" 1 + 1,828 𝑠𝑠

Zu b): Kontinuitätsgleichung 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 = 𝑐𝑐2 ∙ Zu c):

𝑑𝑑2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚 0,182 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 𝑚𝑚3 = 83,3 ∙ = 2,12 4 𝑠𝑠 4 𝑠𝑠

Bernoulli-Gleichung (Druckform) in der Düse mit Verlusten zwischen Stellen 1 und 2 mit Bezug auf B-B: 𝑝𝑝1 +

mit

𝜌𝜌 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐1 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = 𝑝𝑝2 + ∙ 𝑐𝑐2 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 + ∆𝑝𝑝v1÷2 2 2

𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2

folgt

𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 ∙

𝐴𝐴2 𝑑𝑑 2 𝑚𝑚 0,180 2 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐2 ∙ � � = 83,3 ∙ � � = 16,87 𝐴𝐴1 𝐷𝐷 𝑠𝑠 0,400 𝑠𝑠

Mit folgenden Vereinfachungen 𝑧𝑧2 = 0 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0

𝜌𝜌 2 ∙ 𝑐𝑐 2 2 ermittelt sich der Druck 𝑝𝑝1 zu ∆𝑝𝑝v1÷2 = 𝜁𝜁𝐷𝐷ü𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙

𝜌𝜌 𝜌𝜌 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 + (𝑐𝑐22 − 𝑐𝑐12 ) + 𝜁𝜁𝐷𝐷ü𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ ∙ 𝑐𝑐22 2 2 𝜌𝜌 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 + ∙ (𝑐𝑐2 2 (1 + 𝜁𝜁𝐷𝐷ü𝑠𝑠𝑠𝑠 ) − 𝑐𝑐1 2 ) 2 998 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑁𝑁 2 2 (1 𝑝𝑝1 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + ∙ �83,3 + 0,01) − 16,87 �∙ ∙ 3 2 2 𝑁𝑁 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑠𝑠 105 2 1 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2 𝑝𝑝1 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 33,55 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 34,55 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

228

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Austrittsgeschwindigkeit 𝑐𝑐2 = 83,3 𝑚𝑚 𝑠𝑠

b) Volumenstrom 𝑄𝑄 = 2,12 𝑚𝑚3 𝑠𝑠

c) Druck am Düseneintritt 𝑝𝑝1 = 34,55 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

Diskussion:

Die größten Verluste treten in der langen Rohrleitung auf, während die Strömungseinbauten nur geringe Verluste verursachen. Das ändert sich gravierend, wenn die Kugelschieber zunehmend geschlossen werden. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Standard-Einheitenumrechnung Bei Anwendungen der Bernoulli-Gleichung in den verschiedenen Formen treten regelmäßig stets die gleichen Einheitenumrechnungen auf. Diese sind in Abb. 3.5-7 zusammengefasst und lassen eine schnellere Ergebnisfindung zu. Bernoulligl. Form Druckform

Spezifische Energieform

Höhenform

Term 𝜌𝜌 2 ∙ 𝑐𝑐 2

EinheitenErgebnis 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 ∙ 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 2

𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ ∙ 𝑚𝑚 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 2

𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧

𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2

𝑐𝑐 2 2

𝑝𝑝 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 𝑐𝑐 2 2 ∙ 𝑔𝑔

𝑚𝑚2 𝑠𝑠 2

𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 2 ∙ 2 𝑠𝑠

Einheitenerweiterung (zur Umrechnung) 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 1 𝑁𝑁𝑁𝑁 1 𝐽𝐽 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 1 1 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2 1 𝑁𝑁𝑁𝑁 1 𝐽𝐽 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 1 1 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 ∙ 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

Abb. 3.5-7: Tabelle für eine standardisierte Einheiten-Umrechnung

∙1

Ergebnis 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐽𝐽 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐽𝐽 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑚𝑚

___________________________________________________________________________________________

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

229

Aufgabe 3.5.5-3 Prüfstand zur Durchflussmessung Der in Abb. 3.5-8 dargestellte Prüfstand dient zur Kalibrierung verschiedener Durchflussmessgeräte für Wasser. Alle wichtigen Daten sind in der Abbildung enthalten. Wie groß sind die Volumenströme 𝑄𝑄𝑖𝑖 in

𝑚𝑚3

Teilstränge einspeist?

ℎ

, wenn die Pumpe einen Volumenstrom von 𝑄𝑄 = 100

𝑚𝑚3 ℎ

in die beiden

Abb. 3.5-8: Prüfstand zur Durchflussmessung

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Was wird nicht benötigt? Die Höhendifferenzen ∆ℎ1 und ∆ℎ2 der U-Rohr-Manometer dienen zwar dazu, die Einzelvolumenströme zu messen (∆ℎ ~ 𝑐𝑐 ~ 𝑄𝑄, nach DIN 1952 für Blenden). Da jedoch der Gesamtvolumenstrom 𝑄𝑄 vorgegeben wurde, werden nur die Verlustziffern 𝜁𝜁 für die Druckverluste ∆𝑝𝑝𝑣𝑣 benötigt (2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Reihenschaltung und Parallelschaltung von Strömungselementen (Kap. 1.5.5.1 und 1.5.5.2) Verlustziffer und Rohrreibungsverluste Bernoulli-Gleichung wird nicht benötigt, obwohl Skizze das suggeriert

230

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Widerstände 𝑅𝑅𝑖𝑖 für jeden Strang ermitteln (Einzelverluste und Rohrreibung bei Reihenschaltung), dann Gesamtwiderstand R für Parallelschaltung. Daraus dann 𝑄𝑄𝑖𝑖 berechnen.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Einzelwiderstand 𝑅𝑅𝑖𝑖 =

𝜁𝜁𝑖𝑖 ∙ 𝜌𝜌 𝜁𝜁𝑖𝑖 𝜌𝜌 𝜁𝜁𝑖𝑖 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 8 = ∙ = 𝐴𝐴2𝑖𝑖 ∙ 2 𝐷𝐷𝑖𝑖4 ∙ 𝜋𝜋 2 2 𝐷𝐷𝑖𝑖4 ∙ 𝜋𝜋 2 42

(falls nur ein Widerstand im Rohrstrang 𝑖𝑖) 𝐷𝐷

bzw. bei Reihenschaltung (mit dem „Trick“ der Multiplikation mit 1 = 𝐷𝐷𝑖𝑖) 𝑅𝑅𝑖𝑖 =

(∑ 𝜁𝜁𝑖𝑖 ) ∙ 𝜌𝜌 ∙ 8 𝜌𝜌 ∙ 8 (∑ 𝜁𝜁𝑖𝑖 ) ∙ 𝐷𝐷𝑖𝑖 = 2 ∙ 𝜋𝜋 𝐷𝐷𝑖𝑖4 ∙ 𝜋𝜋 2 𝐷𝐷𝑖𝑖5

𝑅𝑅𝑖𝑖 =

𝜌𝜌 ∙ 8 𝐿𝐿 1 ∙ ��� 𝜁𝜁𝑖𝑖 � ∙ 𝐷𝐷𝑖𝑖 + �𝜆𝜆 ∙ � ∙ 𝐷𝐷𝑖𝑖 � ∙ 5 2 𝜋𝜋 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝐷𝐷𝑖𝑖

Weiter aufgelöst:

𝑖𝑖

(falls mehrere Widerstände im Rohrstrang 𝑖𝑖)

(2)

𝐿𝐿

Mit 𝜆𝜆 ∙ 𝐷𝐷 = 𝜁𝜁𝑅𝑅𝑅𝑅ℎ𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑖𝑖 =

(1)

𝜌𝜌 ∙ 8 1 ∙ ��� 𝜁𝜁𝑖𝑖 � ∙ 𝐷𝐷𝑖𝑖 + 𝜆𝜆 ∙ 𝐿𝐿� ∙ 5 𝜋𝜋 2 𝐷𝐷𝑖𝑖

(3)

Mit dem vergebenen Wert 𝑘𝑘 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 werden im Fall der vorliegenden Rohrdurchmesser (𝐷𝐷1 = 0,1 𝑚𝑚 und 𝐷𝐷2 = 0,15 𝑚𝑚) die 𝜆𝜆-Werte im „hydraulisch rauen“ Bereich erwartet. Die 𝜆𝜆𝑘𝑘

𝐷𝐷

Werte sind damit nicht mehr von 𝑅𝑅𝑅𝑅, sondern nur noch von 𝐷𝐷 (bzw. 𝑘𝑘 ) abhängig. Aus den bekannten Rohrreibungsdiagrammen (vgl. Abb. 1.5.5-3) erhält man 𝑘𝑘 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 0,01 → 𝜆𝜆1 ≈ 0,038 𝐷𝐷1 100 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑘𝑘 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 Teilstrang 2 → = = 0,0067 → 𝜆𝜆2 ≈ 0,033 𝐷𝐷2 150 𝑚𝑚𝑚𝑚 Teilstrang 1 →

Jetzt lassen sich die Widerstände 𝑅𝑅𝑖𝑖 der Einzelstränge bei Reihenschaltung (nach Gl. (3)) berechnen, wenn aus der Fachliteratur für die Krümmer noch ermittelt wird: 𝐷𝐷1 0,1 𝑚𝑚 = = 0,166 → 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾1 = 0,18 𝑟𝑟 0,6 𝑚𝑚 𝐷𝐷2 0,15 𝑚𝑚 Teilstrang 2 → = = 0,25 → 𝜁𝜁𝐾𝐾𝐾𝐾2 = 0,23 𝑟𝑟 0,6 𝑚𝑚 Teilstrang 1 →

Widerstand 𝑅𝑅1 =

(2-mal) (2-mal)

8 ∙ 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 ∙ �(0,18 ∙ 2 + 4 + 0,2) ∙ 0,1 𝑚𝑚 + (0,038 ∙ 7𝑚𝑚)� ∙ 𝜋𝜋 2 𝑚𝑚3 0,15 𝑚𝑚5

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑅𝑅1 = 5,86 ∙ 107

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚7

𝑅𝑅2 = 1,31 ∙ 107

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚7

Widerstand 𝑅𝑅2 =

231

8 ∙ 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 ∙ �(0,23 ∙ 2 + 6 + 0,2) ∙ 0,15𝑚𝑚 + (0,033 ∙ 7𝑚𝑚)� ∙ 𝜋𝜋 2 𝑚𝑚3 0,155 𝑚𝑚5

Nach Kap. 1.5.5.2, Gl. 1.5-22 ergibt sich 𝑅𝑅 =

1

�∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1

2

1 � �𝑅𝑅𝑖𝑖

𝑅𝑅 = 6,04 ∙ 106

=

1

1 1 � + � �𝑅𝑅1 �𝑅𝑅2

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚7

2

=

1

⎛

�5,86 ∙ 107 𝑘𝑘𝑘𝑘7 ⎝ 𝑚𝑚

1

+

1

⎞

2

�1,31 ∙ 107 𝑘𝑘𝑘𝑘7 𝑚𝑚 ⎠

Mit Gl. 1.5-21b aus Kap. 1.5.5.2 ergibt sich nach Umstellung der Druckverlust ∆𝑝𝑝 zwischen den Stellen A und B zu 2

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚3 ∆𝑝𝑝v = 𝑅𝑅 ∙ 𝑄𝑄 = 6,04 ∙ 10 7 ∙ �100 � 𝑚𝑚 ℎ 2

6

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚6 1 ℎ 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 ∙ � � ∙� � 𝑚𝑚7 ∙ ℎ2 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 60 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 ℎ2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∆𝑝𝑝v = 6,04 ∙ 1010 ∙ = 4660 𝑚𝑚 ∙ ℎ2 (3600)2 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 ∆𝑝𝑝v = 6,04 ∙ 1010

Mit Gl. 1.5-21a aus Kap. 1.5.5.2 wird schließlich

𝑘𝑘𝑘𝑘 3 3 4665 ∆𝑝𝑝v 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 = 0,00893 𝑚𝑚 ∙ 3600 𝑠𝑠 = 32,12 𝑚𝑚 𝑄𝑄1 = � =� 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑅𝑅1 𝑠𝑠 1ℎ ℎ 5,86 ∙ 107 7 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 3 3 4665 ∆𝑝𝑝v 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 = 0,01887 𝑚𝑚 ∙ 3600 𝑠𝑠 = 67,93 𝑚𝑚 𝑄𝑄2 = � =� 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑅𝑅2 𝑠𝑠 1ℎ ℎ 1,31 ∙ 107 7 𝑚𝑚 (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Volumenstrom 𝑄𝑄1 ≈ 32,1 Teilvolumenstrom

𝑚𝑚3 ℎ

𝑄𝑄2 ≈ 67,9

𝑚𝑚3 ℎ

Gesamtvolumenstrom 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄1 + 𝑄𝑄2 = 100

𝑚𝑚3 → 𝑜𝑜𝑜𝑜! ℎ

232

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Diskussion: Da mit dem angenommenen 𝑘𝑘-Wert eine „hydraulisch raue“ Strömung (𝜆𝜆 unabhängig von 𝑅𝑅𝑅𝑅) angenommen wurde, müsste dies anhand der Ergebnisse für 𝑄𝑄𝑖𝑖 überprüft und eventuell iterativ verbessert werden. Aus 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖 folgt: Leitungsstrang 1:

𝑚𝑚3 32,1 𝑄𝑄1 𝑄𝑄1 ℎ = 4089,2 𝑚𝑚 ∙ 1 ℎ = 1,14 𝑚𝑚 𝑐𝑐1 = = 2 = 𝐴𝐴1 𝐷𝐷1 ∙ 𝜋𝜋 0,12 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 ℎ 3600 𝑠𝑠 𝑠𝑠 4 4 Damit wird 𝑚𝑚 𝑐𝑐1 ∙ 𝐷𝐷1 1,14 𝑠𝑠 ∙ 0,1 𝑚𝑚 𝑅𝑅𝑅𝑅1 = = = 1,14 ∙ 105 𝑚𝑚2 𝜈𝜈 −6 1 ∙ 10 𝑠𝑠

(wie angenommen!)

Leitungsstrang 2:

𝑚𝑚3 67,9 𝑄𝑄2 𝑄𝑄2 𝑚𝑚 1 ℎ 𝑚𝑚 ℎ 𝑐𝑐2 = = = = 3844,3 ∙ = 1,07 𝐴𝐴2 𝐷𝐷22 ∙ 𝜋𝜋 0,152 𝑚𝑚2 ∙ 𝜋𝜋 ℎ 3600 𝑠𝑠 𝑠𝑠 4 4 𝑚𝑚 𝑐𝑐2 ∙ 𝐷𝐷2 1,07 𝑠𝑠 ∙ 0,15 𝑚𝑚 𝑅𝑅𝑅𝑅2 = = = 1,6 ∙ 105 (wie angenommen!) 𝑚𝑚2 𝜈𝜈 −6 1 ∙ 10 𝑠𝑠 Damit erübrigt sich eine Iterationsrechnung für den Rohrreibungsbeiwert 𝜆𝜆.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

233

3.6 Aufgaben zu Kap. 1.6 (Umströmung/ dynamischer Auftrieb) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen: -

-

Reibungsbehaftete Umströmung von Körpern Grenzschichten und Reibungswiderstand Formwiderstand Gesamtwiderstand umströmter Körper Dynamischer Auftrieb (Querkraft)

Aufgabe 3.6.1-1 Segelflugzeug-Tragflügelreibung Ein Segelflugzeug weist Tragflügel mit einer Fläche 𝐴𝐴 = 23 𝑚𝑚2 und eine Spannweite 𝑏𝑏 = 29 𝑚𝑚 auf. Die Fluggeschwindigkeit soll 𝑐𝑐∞ = 200

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

betragen

a) Wie groß darf die Oberflächenrauigkeit 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 sein, wenn die Annahme „turbulent glatt“ gilt und die Grenzschicht mit „laminar“ beginnen soll? b) Wie groß ist der Gesamtwiderstandsbeiwert 𝑐𝑐𝐹𝐹 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 bei a)? c) Wie groß ist die Widerstandsreduzierung durch ein sogenanntes „Laminarprofil“, bei dem auf dem gesamten Tragflügel eine laminare Grenzschicht vorliegt?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren, Skizze anfertigen und erforderliche Daten eintragen (Abb. 3.6-1).

Abb. 3.6-1: Tragflügel vereinfacht als Rechteckplatte

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Plattengrenzschicht. Zu a) 𝑘𝑘𝑠𝑠 -Bedingung (Kap. 1.6.1, Gl.1.6-8).

Zu b) und c) Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅, Plattenreibungsdiagramm.

234

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a) 𝑘𝑘𝑠𝑠 -Bedingung umstellen nach 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 .

Zu b) 𝑅𝑅𝑅𝑅 → Grenzkurve „turbulent glatt“→ 𝑐𝑐𝐹𝐹 .

Beachte: 𝑐𝑐𝐹𝐹 gilt nur für eine Tragflügelseite → 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 2 ∙ 𝑐𝑐𝐹𝐹 ! (Ober- und Unterseite sind Reibungsflächen)

Zu c) 𝑅𝑅𝑅𝑅 → „Laminar“-Kurve → 𝑐𝑐𝐹𝐹 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 → 𝑐𝑐𝐹𝐹 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙,𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 2 ∙ 𝑐𝑐𝐹𝐹 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 . (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Bedingung für Grenzschicht „turbulent glatt“ (= hydraulisch glatt) gemäß Kap. 1.6.1, Gl. 8 𝑐𝑐∞ ∙ 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝜈𝜈 ∙ 100 ≤ 100 → 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 ≤ 𝜈𝜈 𝑐𝑐∞

mit

𝜈𝜈 = 15 ∙ 10−6

𝑚𝑚2 𝑠𝑠

(Luft)

𝑘𝑘𝑘𝑘 1 ℎ 103 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ ∙ = 55,6 ℎ 3600 𝑠𝑠 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠 ergibt sich für 𝑐𝑐∞ = 200 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧

𝑚𝑚2 15 ∙ 10−6 𝑠𝑠 ∙ 100 106 𝜇𝜇𝜇𝜇 ≤ ∙ = 27 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 55,6 𝑠𝑠

D. h. es ist eine sehr hohe Oberflächengüte gefordert, um die verlustärmste Reibungsgrenzschicht bei üblicher turbulenter Strömung zu erzielen.

Zu b): 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑚𝑚 𝑐𝑐∞ ∙ 𝐿𝐿 55,6 𝑠𝑠 ∙ 0,8 𝑚𝑚 = ≈ 3 ∙ 106 𝑚𝑚2 𝜈𝜈 −6 15 ∙ 10 𝑠𝑠

Für eine Flügelseite erhält man aus dem Plattenreibungsdiagramm bei 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 3 ∙ 106 und „hydraulisch glatter“ Strömungsgrenzschicht (Abb. 1.6-5) 𝑐𝑐𝐹𝐹 ≈ 3,8 ∙ 10−3 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 2 ∙ 𝑐𝑐𝐹𝐹 = 7,6 ∙ 10−3

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

235

Zu c): Die rein laminare Grenzschicht würde bei der gleichen 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl nur einen Widerstandsbeiwert 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙,𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ≈ 2 ∙ 𝑐𝑐𝐹𝐹 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 2 ∙ 0,75 ∙ 10−3 = 1,5 ∙ 10−3

ergeben.

Durch Laminarhalten der Grenzschicht wird 𝑐𝑐𝐹𝐹 also deutlich reduziert (um ca. 80%): 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙,𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔

=

1,5 ∙ 10−3 ≈ 0,2 7,6 ∙ 10−3

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Oberflächenrauigkeit 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 = 27 𝜇𝜇𝜇𝜇

b) Widerstandsbeiwert 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ≈ 7,6 ∙ 10−3 (turbulent glatt) c) Widerstandsbeiwert 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙,𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ≈ 1,5 ∙ 10−3 (laminar)

Diskussion:

Sogenannte Laminarprofile werden dadurch erzeugt, indem das Dickenmaximum des Tragflügels weiter nach hinten verschoben wird. Durch den deutlich geringeren Widerstand kann die (mögliche) Flugstrecke wesentlich erweitert werden.

Aufgabe 3.6.3-1 PKW-Formwiderstand und Antriebsleistung Ein PKW fährt mit 100

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

. Er weist einen Formwiderstandsbeiwert 𝑐𝑐𝑤𝑤 = 0,42 und eine 𝑘𝑘𝑘𝑘

Spannfläche (Stirnfläche) 𝐴𝐴 = 2 𝑚𝑚2 auf. Die Dichte von Luft beträgt 𝜌𝜌𝐿𝐿 = 1,2 𝑚𝑚3 .

a) Wie groß ist der Luftwiderstand 𝐹𝐹𝑤𝑤 in 𝑁𝑁? b) Wie groß ist die Antriebsleistung 𝑃𝑃𝑤𝑤 zur Überwindung des Luftwiderstandes in 𝑘𝑘𝑘𝑘?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Zu a) Formwiderstand 𝐹𝐹𝑤𝑤 umströmter Körper. Zu b) Antriebsleistung 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑐𝑐𝑤𝑤 , 𝐴𝐴, 𝑐𝑐∞ ).

236

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zuerst 𝐹𝐹𝑤𝑤 berechnen, dann 𝑃𝑃𝑤𝑤 . (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Der Formwiderstand 𝐹𝐹𝑤𝑤 berechnet sich gemäß Kap. 1.6.3, Gl. 1.6-11 zu 𝐹𝐹𝑊𝑊 = 𝑐𝑐𝑊𝑊 ∙

𝜌𝜌 2 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 2 ∞

𝑐𝑐∞ = 100

𝑘𝑘𝑘𝑘 1ℎ 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 103 𝑚𝑚 100 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ ∙ ∙ = ∙ = 27,8 ℎ 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 60 𝑠𝑠 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 3,6 𝑠𝑠 𝑠𝑠

Mit

ergibt sich die Widerstandskraft zu 𝐹𝐹𝑊𝑊 = 0,42 ∙ Zu b):

1,2 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 1 𝑁𝑁 ∙ 27,82 2 ∙ 2 𝑚𝑚2 ∙ = 389,5 𝑁𝑁 3 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 2

Die Antriebsleistung 𝑃𝑃𝑤𝑤 berechnet sich gemäß Kap. 1.6.3, Gl. 1.6-12 zu 𝑃𝑃𝑊𝑊 = 𝐹𝐹𝑊𝑊 ∙ 𝑐𝑐∞ = 389,5 𝑁𝑁 ∙ 27,8

𝑚𝑚 1 𝑊𝑊 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ ∙ = 10,83 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠 1 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 103 𝑊𝑊 𝑠𝑠

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren

a) Formwiderstand 𝐹𝐹𝑤𝑤 = 389,5 𝑁𝑁 ≈ 390 𝑁𝑁

b) Antriebsleistung 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 10,83 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≈ 10,9 𝑘𝑘𝑘𝑘

Diskussion:

Durch die PKW-Umströmung entsteht bei hohen Geschwindigkeiten ein Auftrieb, der die Bodenhaftung verringert. Dieser Auftrieb kann bis zu 10% des Fahrzeuggewichts betragen und durch Heck-Spoiler reduziert bzw. in einen Abtrieb verwandelt werden. Bis zu einer Geschwindigkeit von ca. 70

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

ist der Rollwiderstand größer als der Luftwiderstand. Die

Seitenwind-Empfindlichkeit steigt, je kleiner der 𝑐𝑐𝑤𝑤 -Wert des Fahrzeuges ist. Falls der betrachtete PKW statt mit 𝑐𝑐∞ = 100

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

mit 𝑐𝑐∞ = 160

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

fährt, würde die Leistung

𝑃𝑃𝑤𝑤 um den Faktor 4,1 steigen, um den Luftwiderstand zu überwinden.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

237

Aufgabe 3.6.4-1 Boeing 747-Auftriebsbeiwert Der „JumboJet“ Boeing 747 besitzt eine Flügelfläche von 511 𝑚𝑚2 (= 𝑏𝑏 ∙ 𝐿𝐿). Das Startgewicht beträgt 𝑚𝑚 = 320 ∙ 103 𝑘𝑘𝑘𝑘. Die Reiseflug-Machzahl sei 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0,9. Beim Start soll eine Abhebegeschwindigkeit 𝑐𝑐∞𝑆𝑆𝑆𝑆 = 234

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

vorliegen.

a) Wie groß ist der erforderliche Auftriebsbeiwert 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄 für den Reiseflug in 11 𝑘𝑘𝑘𝑘 Höhe. In dieser Höhe soll die Schallgeschwindigkeit 𝑎𝑎 = 295

𝑚𝑚 𝑠𝑠

betragen.

b) Wie groß muss der Auftriebsbeiwert 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 beim Abheben (mit ausgefahrenen Klappen am Flügelende) sein? (1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.6-2).

Abb. 3.6-2: Schematische Darstellung der Kräfte bei einem Reiseflug

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Zu a): Widerstand und Querkraft umströmter Körper. Stoffwerte Luft. Zu b): Analog zu a).

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Reisegeschwindigkeit 𝑐𝑐∞𝑅𝑅 aus 𝑀𝑀𝑀𝑀-Zahl bestimmen.

Dichte 𝜌𝜌 in 11 𝑘𝑘𝑘𝑘 Höhe ermitteln (Standard-Atmosphäre). 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄 aus Auftriebsformel berechnen, mit 𝐹𝐹𝑄𝑄 = 𝐺𝐺!

238

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Zu b): 𝑚𝑚

𝑐𝑐∞𝑆𝑆𝑆𝑆 umrechnen in 𝑠𝑠 .

Dichte 𝜌𝜌 in 0 𝑘𝑘𝑘𝑘 Höhe ermitteln.

𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 aus Auftriebsformel berechnen, mit 𝐹𝐹𝑄𝑄 = 𝐺𝐺! (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Aus der Definition der Mach-Zahl (Kap. 1.8.3.2) 𝑀𝑀𝑀𝑀 =

𝑐𝑐∞ 𝑎𝑎

folgt die Reisegeschwindigkeit

𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 266 𝑠𝑠 𝑠𝑠 In 11 𝑘𝑘𝑘𝑘 Höhe findet man aus Tabellen für die Standard-Atmosphäre den Wert für die Dichte 𝑐𝑐∞𝑅𝑅 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝑎𝑎 = 0,9 ∙ 295

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚3 Gemäß Kap 1.6.4, Gl. 1.6-13 wird der Auftriebsbeiwert 𝑐𝑐𝑄𝑄 bestimmt durch 𝜌𝜌𝑅𝑅 = 0,365

𝐹𝐹𝑄𝑄 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 𝑅𝑅 2 2 ∙ 𝑐𝑐∞𝑅𝑅 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙

Mit der Bedingung, dass die Auftriebskraft 𝐹𝐹𝑄𝑄 die gesamte Gewichtskraft 𝐺𝐺 des Flugzeugs kompensierten muss (→ 𝐹𝐹𝑄𝑄 = 𝐺𝐺 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔!), lässt sich der erforderliche Auftriebsbeiwert bei Reisegeschwindigkeit in 11 𝑘𝑘𝑘𝑘 Höhe berechnen zu 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔

320 ∙ 103 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 9,81

𝑚𝑚 𝑠𝑠 2

𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 = = 0,48 𝑅𝑅 2 0,365 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 2 2 ∙ ∙ �266 � ∙ 511 𝑚𝑚 2 ∙ 𝑐𝑐∞𝑅𝑅 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙 3 2 𝑠𝑠 𝑚𝑚

Dieser Auftriebs- (besser: Querkraft-) Beiwert muss durch die Tragflügelgestaltung und den Triebwerksschub realisiert werden.

Zu b): Für die 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 -Berechnung beim Start muss die in umgerechnet werden: 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 = 234

𝑘𝑘𝑘𝑘 1 ℎ 103 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ ∙ = 65 ℎ 3600 𝑠𝑠 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

vorgegebene Absolutgeschwindigkeit in

Die Dichte 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑆𝑆 in 0 𝑘𝑘𝑘𝑘 Höhe bei Standard-Atmosphäre beträgt 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑆𝑆 = 1,23

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚3

𝑚𝑚 𝑠𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

239

Auch beim Abheben gilt die Gleichgewichtsbedingung 𝐹𝐹𝑄𝑄 = 𝐺𝐺 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔 und somit der erforderliche Start-Auftriebsbeiwert 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔

320 ∙ 103 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 9,81

𝑚𝑚 𝑠𝑠 2

𝑐𝑐𝑄𝑄𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝜌𝜌 = = 2,4 2 𝑆𝑆𝑆𝑆 2 ∙ 𝑐𝑐∞𝑆𝑆𝑆𝑆 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑙𝑙 0,365 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ �65 𝑚𝑚� ∙ 511 𝑚𝑚2 2 2 𝑠𝑠 𝑚𝑚3

Dieser Wert ist nur durch das Ausfahren der Startklappen erreichbar, wodurch quasi die „Wölbung“ der Tragflügel vergrößert wird.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Reiseflug-Auftriebsbeiwert 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑅𝑅 = 0,48

b) Abhebe-Auftriebsbeiwert 𝑐𝑐𝑄𝑄𝑆𝑆𝑆𝑆 = 2,4

Diskussion:

Beim Abheben (Start) muss allerdings nicht der volle 𝑐𝑐𝑄𝑄 -Wert erreicht werden, da durch die Flugzeugneigung die vertikale Schubkomponente der Triebwerke mitträgt. Die Schubkraft der Triebwerke beträgt 8 ∙ 105 𝑁𝑁, also etwa ein Viertel der Gewichtskraft 𝐺𝐺 (= 31,4 ∙ 104 𝑁𝑁).

240

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.7 Aufgaben zu Kap. 1.7 (Krafteinwirkung bei Fluidströmungen) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen:

- Impulssatz - Drehimpulssatz (Drallsatz) Aufgabe 3.7.1-1 Kraft auf durchströmten Krümmer Ein horizontal liegender Rohrkrümmer wird von einem Fluid der Dichte 𝜌𝜌 durchströmt. Vorgegeben sind die Eintrittsgeschwindigkeit 𝑐𝑐1, Überdruck 𝑝𝑝1 im Eintrittsquerschnitt 𝐴𝐴1 , der Austrittsquerschnitt 𝐴𝐴2 und der Winkel 𝛽𝛽, unter dem das Fluid gegenüber dem Eintritt aus dem Rohr strömt. Wie ermittelt sich die Stützkraft ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆 des Krümmers auf die Strömung, bzw. die Strömungskraft ����⃗ 𝑅𝑅𝑆𝑆 des Fluides auf den Krümmer? Sowohl die Vektor- als auch die Komponentenbetrachtung ist anzuwenden.

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.7-1). Obligatorisch ist in beiden Betrachtungsweisen eine geschickte Wahl des Kontrollvolumens 𝐾𝐾𝐾𝐾 (vgl. Abb. 1.7-5).

Abb. 3.7-1: Strömungsgrößen und Kontrollvolumen 𝐾𝐾𝐾𝐾 bei einem Rohrkrümmer

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

241

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Impulssatz bei Vektor- und Komponentenbetrachtung anwenden. Kontinuitätsgleichung (für 𝑐𝑐2 ) und Bernoulli-Gleichung (für 𝑝𝑝2 ) benötigt. (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen - 𝑐𝑐2 aus Kontinuitätsgleichung - 𝑝𝑝2 aus Bernoulli-Gleichung - Kontrollvolumen 𝐾𝐾𝐾𝐾 geschickt annehmen a) Impulssatz bei Vektorbetrachtung

b) Impulssatz bei Komponentenbetrachtung

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Zur Anwendung des Impulssatzes bei Vektorbetrachtung ist es sinnvoll, die Vektoren in eine Skizze einzutragen (Abb. 3.7-2), die Gleichungen Gl. 1.7-5, 1.7-6 und Gl. 1.7-7 aus Kap. 1.7.1 praxisnah umzuformen und die Ergebnisse in einem Kräfteplan einzutragen. In Abb. 3.7-2 sind die relevanten Kräfte und Impulsströme gezeigt. Der Krümmer wird durch das gewählte Kontrollvolumen 𝐾𝐾𝐾𝐾 repräsentiert.

Abb. 3.7-2: Schematische Kräfte und Impulsströme (Impulskräfte) bei einem Krümmer

Die vollständige Vektorgleichung aus Kap. 1.7.1, Gl. 1.7-5 lautet 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 − 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = ����⃗ 𝐹𝐹𝐺𝐺 + ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 + ����⃗ 𝐹𝐹𝑅𝑅 + ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆

(1)

Unter praktischen Gesichtspunkten lassen sich die einzelnen Terme konkretisieren (mit ihren jeweiligen Beträgen):

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austretender Impulsstrom 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 = 𝐼𝐼2̇ = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐2 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ 𝑐𝑐2 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐2 = 𝜌𝜌 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ 𝑐𝑐22

(2)

𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = 𝜌𝜌 ∙ 𝐴𝐴1 ∙ 𝑐𝑐12

(3)

eintretender Impulsstrom 𝑚𝑚̇ ∙ ���⃗ 𝑐𝑐1 = 𝐼𝐼1̇ = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐1 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ 𝑐𝑐1

Schwerkraft (Volumenkraft auf 𝐾𝐾𝐾𝐾) ����⃗ 𝐹𝐹𝐺𝐺 ≈ 0 (kleiner Krümmer)

Druckkraft (auf freie Oberfläche 𝐴𝐴𝐹𝐹 ) ����⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷 = ������⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷1 + ������⃗ 𝐹𝐹𝐷𝐷2 = ���⃗ 𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴1 + ����⃗ 𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 ����⃗ Reibungskraft (auf freie Oberfläche 𝐴𝐴𝐹𝐹 ) 𝐹𝐹 𝑅𝑅 ≈ 0 (geringe Reibung)

(4) (5) (6)

Stützkraft (Druck +Reibung auf Körper- ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆 = ? (gesucht) oberfläche 𝐴𝐴𝐾𝐾 )

(7)

��⃗̇ ���⃗̇ ���⃗𝑆𝑆 = ����⃗ ������⃗ ������⃗ −𝐹𝐹 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 0 + �𝐹𝐹 𝐷𝐷1 + 𝐹𝐹𝐷𝐷2 � + 0 + 𝐼𝐼1 + (−𝐼𝐼2 )

(8)

Die Umstellung von Gl. (1) auf die gesuchte Stützkraft ���⃗ 𝐹𝐹𝑆𝑆 bzw. ����⃗ 𝑅𝑅𝑆𝑆 ergibt Als Beträge der Kräfte liefern die Gleichungen (3) bis (5) 𝐹𝐹𝐷𝐷1 = 𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴1

𝐹𝐹𝐷𝐷2 = 𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2

𝐼𝐼1̇ = 𝜌𝜌 ∙ 𝐴𝐴1 ∙ 𝑐𝑐12 𝐼𝐼2̇ = 𝜌𝜌 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ 𝑐𝑐22

(8a)

Damit ergibt sich ein schematischer Kräfteplan, wie in Abb. 3.7-3 dargestellt. Aus einer derart ���⃗𝑆𝑆 = ����⃗ maßstabsgetreu erstellten Zeichnung lassen sich die gesuchten Größen −𝐹𝐹 𝑅𝑅𝑆𝑆 und deren Richtung ermitteln.

Abb. 3.7-3: Kräfteplan zur Bestimmung von 𝑅𝑅𝑆𝑆 nach Größe und Richtung (Maßstäbe beachten)

___________________________________________________________________________________________

Beachte Die Druckkräfte 𝐹𝐹𝐷𝐷2 und Impulsströme im Ausströmquerschnitt an Stelle 2 werden immer entgegen der Strömungsrichtung angetragen!

Die Resultierende aus allen Kräften und Impulsströmen liefert die Strömungskraft des Fluides auf den Krümmer 𝑅𝑅𝑆𝑆 . Der Krümmer muss mit dem gleichen Betrag, aber entgegengesetzter ���⃗𝑆𝑆 = −𝑅𝑅 ����⃗𝑆𝑆 ). Richtung abgestützt werden (𝐹𝐹 ___________________________________________________________________________________________

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243

Für eine festigkeitsmäßige Auslegung der Krümmer-Abstützung muss nicht nur die Größe und Richtung von 𝑅𝑅𝑆𝑆 (bzw. 𝐹𝐹𝑆𝑆 ) bekannt sein, sondern auch deren Angriffspunkt. Dieser folgt aus dem Drallsatz und liegt im Schnittpunkt der verlängerten Wirkungslinien von 𝑐𝑐1 und 𝑐𝑐2 (Abb. 3.7-4).

Abb. 3.7-4: Bestimmung der Angriffspunkte der resultierenden Strömungskraft 𝑅𝑅𝑆𝑆 auf den Krümmer (bzw. deren Komponenten 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 und 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 )

Zu b): Wird die Komponentenbetrachtung angewendet, so entfällt der Kräfteplan. Stattdessen muss zwingend ein Koordinatensystem vorgegeben werden. Abb. 3.7-5 enthält Details zu Geschwindigkeits-, Druckkraft- und Impulsstrom-Komponenten, die bei der weiteren Berechnung benötigt werden.

244

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Abb. 3.7-5: Kontrollvolumen 𝐾𝐾𝐾𝐾 und darauf einwirkende Druck- und Impulsstrom-Kräfte mit den jeweiligen 𝑥𝑥und 𝑦𝑦-Komponenten

Es ist bei einiger Übung sinnvoll, die Vorzeichen der jeweiligen Kraftkomponenten vor der weiteren Berechnung in einer Tabelle zusammenzufassen (Abb. 3.7-6), statt jeweils ausführlich die Skizzen gemäß Abb. 3.7-5 anzufertigen.

𝐹𝐹𝐷𝐷1𝑥𝑥

KomponentenVorzeichen + 𝑝𝑝1

𝐼𝐼1̇ 𝑥𝑥

+𝑐𝑐1𝑥𝑥

𝐹𝐹𝐷𝐷2𝑦𝑦

− 𝑝𝑝2

Kräfte Eintritt 1

Austritt 2

𝐹𝐹𝐷𝐷1𝑦𝑦 𝐼𝐼1̇ 𝑦𝑦 𝐹𝐹𝐷𝐷2𝑥𝑥 𝐼𝐼2̇ 𝑥𝑥

𝐼𝐼2̇ 𝑦𝑦

(0!) (0!)

− 𝑝𝑝2

+𝑐𝑐2𝑥𝑥

+𝑐𝑐2𝑦𝑦

Abb. 3.7-6: Vorzeichentabelle für die Komponentenbetrachtung (vgl. Hinweise Kap. 1.7.1)

Gemäß Gl. 1.7-8 aus Kap. 1.7.1 und der analogen Gl. 1.7-9 und 1.7-10 für die 𝑥𝑥- und 𝑦𝑦Komponenten ergibt sich für die 𝑥𝑥-Richtung: 𝐼𝐼2̇ 𝑥𝑥 − 𝐼𝐼1̇ 𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑆𝑆

(9a)

(9b)

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Detailliert ausgeschrieben (Vorzeichen gemäß Abb. 3.7-6) 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ 𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ (+𝑐𝑐2 ∙ cos 𝛽𝛽) 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ (+𝑐𝑐1 ) 𝐹𝐹𝐺𝐺𝑥𝑥 ≈ 0 (kleiner Krümmer)

𝐹𝐹𝐷𝐷𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐷𝐷1𝑥𝑥 + 𝐹𝐹𝐷𝐷2𝑥𝑥 = 𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴1 + 𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 = +𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴1 + (−𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ cos 𝛽𝛽) (vgl. Abb. 3.7-5)

Anmerkung:

Im Term 𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ cos 𝛽𝛽 entspricht 𝐴𝐴2 ∙ cos 𝛽𝛽 der projizierten Fläche 𝐴𝐴2𝑥𝑥 . 𝑝𝑝 ist zwar eine skalare Größe, wirkt aber senkrecht auf diese Fläche und erzeugt durch Multiplikation mit 𝐴𝐴2𝑥𝑥 den Vektor 𝐹𝐹𝐷𝐷𝑥𝑥 . 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑥𝑥 ≈ 0 (geringe Reibung) 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑥𝑥 = −𝑅𝑅𝑆𝑆𝑥𝑥 (vgl. Kap. 1.7.1)

Nach dem Einsetzen des Vorstehenden ergibt sich Gl. 9b zu 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ (𝑐𝑐2 ∙ cos 𝛽𝛽) − 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ (𝑐𝑐1 ) = 0 + 𝑝𝑝1 ∙ 𝐴𝐴1 + (−𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ cos 𝛽𝛽) + 0−𝑅𝑅𝑆𝑆𝑥𝑥

Umgestellt nach 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑥𝑥 , also der Fluidkraft in 𝑥𝑥-Richtung auf die Wand, resultiert daraus 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑥𝑥 = (𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐12 ) ∙ 𝐴𝐴1 − (𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐22 ) ∙ 𝐴𝐴2 ∙ cos 𝛽𝛽

𝑦𝑦-Richtung:

𝐼𝐼2̇ 𝑦𝑦 − 𝐼𝐼1̇ 𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑦𝑦

𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑦𝑦 − 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐺𝐺𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑦𝑦

(9c)

(10a) (10b)

Einsetzen der Details unter Beachtung der Vorzeichen gemäß Abb. 3.7-6 liefert analog zur 𝑥𝑥-Richtung: 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐2𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐2𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ 𝑐𝑐2𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ (+𝑐𝑐2 ∙ sin 𝛽𝛽) 𝑚𝑚̇ ∙ 𝑐𝑐1𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑐𝑐1𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ 𝑐𝑐1𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 ) ∙ (0) = 0! 𝐹𝐹𝐺𝐺𝑦𝑦 ≈ 0 (kleiner Krümmer)

𝐹𝐹𝐷𝐷𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐷𝐷1𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 𝑝𝑝1𝑦𝑦 ∙ 𝐴𝐴1 + 𝑝𝑝2𝑦𝑦 ∙ 𝐴𝐴2 = 0 ∙ 𝐴𝐴1 + (− 𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ sin 𝛽𝛽) (vgl. Abb. 3.7-5) 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑦𝑦 ≈ 0 (geringe Reibung) 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑦𝑦 = −𝑅𝑅𝑆𝑆𝑦𝑦

Einsetzen in Gl. (10b) liefert 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2 ) ∙ (+𝑐𝑐2 ∙ sin 𝛽𝛽) − 0 = 0 + 0 + (−𝑝𝑝2 ∙ 𝐴𝐴2 ∙ sin 𝛽𝛽) + 0 − 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑦𝑦

Umgestellt nach 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑦𝑦

𝑅𝑅𝑆𝑆𝑦𝑦 = −(𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐22 ) ∙ 𝐴𝐴2 ∙ sin 𝛽𝛽

(10c)

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die 𝑅𝑅𝑆𝑆𝑦𝑦 -Komponente entgegen zur gewählten 𝑦𝑦Koordinate wirkt (Abb. 3.7-7).

246

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Abb. 3.7-7: Schematische Darstellung der Fluidkraft 𝑅𝑅𝑆𝑆 auf den durchströmten Krümmer

Die resultierende Fluidkraft 𝑅𝑅𝑆𝑆 auf den Krümmer ermittelt sich zu 𝑅𝑅𝑆𝑆 = �𝑅𝑅𝑆𝑆2𝑥𝑥 + 𝑅𝑅𝑆𝑆2𝑦𝑦

(10d)

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt bei dieser Aufgabe.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Das Ergebnis der Vektorbetrachtung ist in Abb. 3.7-3 und Abb. 3.7-4 zu sehen b) Das Ergebnis der Komponentenbetrachtung ist in Gl. 9c, 10c und 10d sowie in Abb. 3.7-1 dargestellt. Diskussion: Die Vektorbetrachtung erfordert eine zeichnerische Erstellung eines Kräfteplans und teilweise die Berücksichtigung von etwas abstrakten Besonderheiten (z. B. −𝐼𝐼2̇ am Austritt).

Bei der Komponentenbetrachtung führt eine systematische Vorgehensweise einfacher und logischer zum gewünschten Ergebnis.

Aufgabe 3.7.2-1 Theoretische Kennlinie einer Kreiselpumpe Unter der Voraussetzung einer drallfreien Zuströmung und einer verlustfreien Strömung, ist mit dem „∞-Ansatz“ der theoretische Kennlinienverlauf 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) einer Radial-Kreiselpumpe, mit den in Abb. 3.7-8 gezeigte Daten, zu ermitteln. 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ soll in

𝐽𝐽

𝑘𝑘𝑘𝑘

und Q in

𝑚𝑚3 ℎ

graphisch

dargestellt und der tatsächliche Kennlinienverlauf mit Verlusten qualitativ ebenfalls eingezeichnet werden.

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247

Abb. 3.7-8: Daten einer Radial-Kreiselpumpe

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in rot).

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Kontinuitätsgleichung, Eulersche Hauptgleichung, Geschwindigkeitsdreiecke, Physikalische Grundformeln.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 1. 𝑄𝑄 aus Kontinuitätsgleichung und Geschwindigkeitsdreiecken bestimmen 2. 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ aus Eulersche Hauptgleichung und Austrittsgeschwindigkeitsdreieck berechnen 3. Kennlinie 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) und 𝑌𝑌 = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) zeichnen (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu 1.: Volumenstrom 𝑄𝑄

Hilfreich sind hierbei die in Kap. 1.4.2.2 gegebenen Informationen zu den Geschwindigkeitsdreiecken. Es gilt allgemein die Vektorbeziehung 𝑐𝑐⃗ = 𝑤𝑤 ��⃗ + 𝑢𝑢 �⃗ Mit den gegebenen Werten

(1)

248

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𝑐𝑐1𝑢𝑢 = 0 (drallfreier Eintritt) 𝑐𝑐1𝑚𝑚 = 𝑐𝑐1

𝑢𝑢1 = 𝐷𝐷1 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛1 = 80𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 1500 𝑢𝑢1 = 6,28

𝑚𝑚 𝑠𝑠

1 1𝑚𝑚 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 3 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 10 𝑚𝑚𝑚𝑚 60 𝑠𝑠

(2) (3)

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck am Eintritt (Abb. 3.7-9) folgt die trigonometrische Beziehung tan 𝛽𝛽1′ =

𝑐𝑐1𝑚𝑚 𝑢𝑢1

(4)

Abb. 3.7-9: Eintrittsgeschwindigkeitsdreieck einer Kreiselpumpe bei drallfreiem Eintritt

Gl. (4) umgestellt nach 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ergibt

𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑐𝑐1𝑚𝑚 = tan 𝛽𝛽1′ ∙ 𝑢𝑢1 = tan 25° ∙ 6,28 = 0,466 ∙ 6,28 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑐𝑐1𝑚𝑚 = 2,93 𝑠𝑠

(5)

Aus der Kontinuitätsgleichung für den Laufrad-Eintrittsquerschnitt 𝐴𝐴1 = 𝐷𝐷1 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏1 ergibt sich 𝑄𝑄 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 ∙ 𝐷𝐷1 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏1 𝑄𝑄 = 2,93

𝑚𝑚 3600 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚2 ∙ 80 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 25 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ ∙ 6 𝑠𝑠 1 ℎ 10 𝑚𝑚𝑚𝑚2

𝑄𝑄 = 66,27

𝑚𝑚3 ℎ

Zu 2.: Theoretische spezifische Förderenergie 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞

(6)

Gemäß Gl. 1.7-29 von Kap. 1.7.2 ergibt sich die Eulersche Hauptgleichung bei drallfreiem Eintritt zu

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑢𝑢2 ∙ (𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ cot 𝛽𝛽2′ )

249

(7)

Mit

𝑢𝑢2 = 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛 = 200 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 1500 𝑢𝑢2 = 15,71 𝑐𝑐2𝑚𝑚 =

𝑚𝑚 𝑠𝑠

1 1𝑚𝑚 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 3 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 10 𝑚𝑚𝑚𝑚 60 𝑠𝑠

𝑄𝑄 𝑄𝑄 = 𝐴𝐴2 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏2

𝑚𝑚3 1 1 ℎ 106 𝑚𝑚𝑚𝑚2 ∙ ∙ ∙ ℎ 200 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 15 𝑚𝑚𝑚𝑚 3600 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 = 1,95 𝑠𝑠

𝑐𝑐2𝑚𝑚 = 66,27 𝑐𝑐2𝑚𝑚

cot 𝛽𝛽2′ = cot 20° =

ergibt sich

1 = 2,75 tan 20°

𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ∙ �15,71 − 1,95 ∙ 2,75� 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝐽𝐽 𝑚𝑚2 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 162,5 2 ∙ 𝑚𝑚2 𝑠𝑠 1 2 𝑠𝑠 𝐽𝐽 = 162,5 (spezifische Förderenergie im Auslegepunkt) 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 15,71 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞

(8)

Zur Anschauung ist das Austrittsgeschwindigkeitsdreieck maßstäblich in Abb. 3.7-10 gezeigt.

Abb. 3.7-10: Geschwindigkeitsdreieck am Austritt (maßstäblich)

Zu 3.: Kreiselpumpen-Kennlinie Gl. (7) entspricht der gesuchten Beziehung 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑓𝑓(𝑄𝑄), da 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ~𝑄𝑄 ist. Gl. (6) gibt das Ergebnis für 𝑄𝑄 im Auslegepunkt und Gl. (8) für 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ wieder. Gl. (7) stellt eine Geradengleichung

250

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

mit fallender 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ -Tendenz für steigenden Volumenstrom 𝑄𝑄 dar. Um diese Geraden-Kennlinie zeichnen zu können, werden die Grenzwerte von 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ bei 𝑄𝑄 = 0 und 𝑄𝑄 bei 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 0 benötigt. Für 𝑄𝑄 = 0 wird 𝑐𝑐2𝑚𝑚 = 0, d.h.

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑢𝑢2 ∙ (𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ∙ cot 𝛽𝛽2′ ) = 𝑢𝑢2 ∙ (𝑢𝑢2 − 0 ∙ cot 𝛽𝛽2′ ) = 𝑢𝑢22 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 15,712

𝑚𝑚2 𝐽𝐽 = 246,8 2 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘

(bei 𝑄𝑄 = 0)

(9)

Für 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 0 ergibt sich

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 𝑢𝑢2 ∙ �𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 ∙ cot 𝛽𝛽2′ � 0 = 𝑢𝑢2 ∙ �𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 ∙ cot 𝛽𝛽2′ � 0 = 𝑢𝑢22 − 𝑢𝑢2 ∙ 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 ∙ cot 𝛽𝛽2′ 𝑢𝑢22 = 𝑢𝑢2 ∙ 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 ∙ cot 𝛽𝛽2′ 𝑢𝑢2 = 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 ∙ cot 𝛽𝛽2′ 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 =

𝑢𝑢2 cot 𝛽𝛽2′

(10)

Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung führt das zum Grenzwert 𝑄𝑄0 = 𝑐𝑐2𝑚𝑚/0 ∙ 𝐴𝐴2 =

𝑢𝑢2 𝑢𝑢2 ∙ 𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏2 = ∙ 𝐷𝐷 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑏𝑏2 cot 𝛽𝛽2′ 2 cot 20° 2

𝑚𝑚 15,71 𝑠𝑠 3600 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚2 𝑄𝑄0 = ∙ 200 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 15 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ ∙ 6 2,75 1 ℎ 10 𝑚𝑚𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 (bei 𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 0) 𝑄𝑄0 = 193,8 (11) ℎ Die beiden Grenzwerte und der Punkt im Auslegepunkt sind in die graphische Darstellung (Abb. 3.7-11) eingetragen. Die reale spezifische Förderarbeit 𝑌𝑌 = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) liegt wegen Reibung, Schaufelzahl, -form, -oberfläche, -dicke u.a. deutlich niedriger. Die reale Kennlinie einer Kreiselpumpe ist nur experimentell bestimmbar!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

251

Abb. 3.7-11: Theoretische (ideale) und tatsächliche (reale) Pumpenkennlinie

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑄𝑄 = 66,3

𝑚𝑚3 ℎ

𝑌𝑌𝑡𝑡ℎ∞ = 162,5

𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑘𝑘

im Auslegepunkt

Kennlinie 𝑌𝑌 = 𝑓𝑓(𝑄𝑄) siehe Abb. 3.7-11

Diskussion:

Die Eulersche Hauptgleichung stellt eine einfache Möglichkeit zur theoretischen Voraussage der energetischen Ergebnisse, sowohl von Strömungskraft- als auch von -arbeitsmaschinen, dar. Die realen Kennlinien lassen sich allerdings nur experimentell ermitteln, oft mit verkleinerten Modellen in Wasserkreislauf-Anlagen oder Windkanälen.

252

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3.8 Aufgaben zu Kap. 1.8 (Sondergebiete der Fluidmechanik) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen: -

Grenzflächenspannung Flüssigkeitskavitation Ähnlichkeits- und Modellgesetze Gasströmungen

Aufgabe 3.8.1-1 Zerstäubung von Wasser 1 𝑙𝑙 Wasser (20 °𝐶𝐶) soll in Tröpfchen mit einem Durchmesser 𝑑𝑑 = 1 𝜇𝜇𝜇𝜇 zerstäubt werden.

a) Welche Zerstäubungsarbeit ∆𝑊𝑊 (in 𝑁𝑁𝑁𝑁) ist dazu theoretisch erforderlich? Die Oberflächenenergie zu Beginn der Zerstäubung ist zu vernachlässigen. b) Welcher Innendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 (in 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟) liegt in diesen Tröpfchen vor, wenn der atmosphärische Außendruck 𝑝𝑝0 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 beträgt?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-1).

Abb. 3.8-1: Skizze zur Aufgabenstellung „Zerstäubung“

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Grenzflächenspannung 𝜎𝜎, spezifische Oberflächenenergie ∆𝑊𝑊 (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Oberflächenvergrößerung ∆𝑂𝑂 von 𝑉𝑉 = 1 𝑙𝑙 auf 𝑛𝑛 Tröpfchen (bei 1 𝜇𝜇𝜇𝜇) errechnen ∆𝑊𝑊 aus Formel (Kap. 1.8.1, Gl. 1.8-2).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

253

Innendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 aus Gleichgewichtsbetrachtung zwischen Grenzflächenspannung am Umfang des Tröpfchens und Flächendruck von 𝑝𝑝𝑖𝑖 gegenüber 𝑝𝑝𝑎𝑎 (= 𝑝𝑝0 ). Vgl. geschnittener Tropfen von Abb. 3.8-1. (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Das Volumen 𝑉𝑉 = 1 𝑙𝑙 soll in 𝑛𝑛-Tröpfchen des Volumens 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇 mit der anschließend stark vergrößerten Oberfläche ∆𝑂𝑂, zerstäubt werden. Also gilt: 𝑉𝑉 = 𝑛𝑛 ∙ 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇

mit

𝜋𝜋 3 ∙ 𝑑𝑑 6 Umgestellt nach 𝑛𝑛 ergibt sich 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇 =

𝑉𝑉 𝑉𝑉 1 𝑙𝑙 1 𝑑𝑑𝑚𝑚3 103 𝑐𝑐𝑚𝑚3 103 𝑚𝑚𝑚𝑚3 109 𝜇𝜇𝑚𝑚3 6 ∙ 1018 = 𝜋𝜋 = 𝜋𝜋 ∙ ∙ ∙ ∙ = 3 3 3 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇 1 𝑙𝑙 1 𝑑𝑑𝑚𝑚3 1 𝑐𝑐𝑚𝑚3 1 𝑚𝑚𝑚𝑚3 𝜋𝜋 6 ∙ 𝑑𝑑 6 ∙ (1 𝜇𝜇𝑚𝑚 ) 𝑛𝑛 = 1,9 ∙ 1018 𝑛𝑛 =

Die 𝑛𝑛-Tröpfchen besitzen nach der Zerstäubung die vergrößerte Oberfläche ∆𝑂𝑂 = 𝑛𝑛 ∙ 𝑂𝑂𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾

Mit

𝑂𝑂𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋

Ergibt sich

∆𝑂𝑂 = 𝑛𝑛 ∙ 𝑑𝑑2 ∙ 𝜋𝜋 = 1,9 ∙ 1018 ∙ (12 𝜇𝜇𝑚𝑚2 ) ∙ 𝜋𝜋 ∙ ∆𝑂𝑂 = 5,97 ∙ 106 𝑚𝑚2 ≈ 6 ∙ 106 𝑚𝑚2

1 𝑚𝑚𝑚𝑚2 1 𝑚𝑚2 ∙ 106 𝜇𝜇𝑚𝑚2 106 𝑚𝑚𝑚𝑚2

Mit der Definitionsgleichung Gl. 1.8-2 aus Kap. 1.8.1.1 ergibt sich die Zerstäubungsarbeit ∆𝑊𝑊 zur Vergrößerung der Oberfläche auf ∆𝑂𝑂 zu ∆𝑊𝑊 = 𝜎𝜎 ∙ ∆𝑂𝑂

𝜎𝜎 für „Wasser/Luft“-Grenzflächen wird nach Abb. 1.8-4 𝑁𝑁 𝑚𝑚 Oder in anschaulicher Einheit 𝜎𝜎 = 73 ∙ 10−3 𝜎𝜎 = 73 ∙ 10−3

Somit wird

𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝑚𝑚2

254

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∆𝑊𝑊 = 73 ∙ 10−3

𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 6 ∙ 106 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2

∆𝑊𝑊 = 438 000 𝑁𝑁𝑁𝑁 Zu b):

Damit der Tropfen stabil in seiner Größe erhalten bleibt, muss Gleichgewicht zwischen der Oberflächenspannungskraft am Umfang des Kugeltropfens und seiner Druckkraft aus der Differenz von Innen- zu Außendruck herrschen (Abb. 3.8-2).

Abb. 3.8-2: Grenzflächenspannungen, Drücke und resultierende Gleichgewichtskräfte am geschnittenen Tropfen

Bei Gleichgewicht gilt 𝐹𝐹𝜎𝜎 = 𝐹𝐹𝑝𝑝

𝜎𝜎 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋 = ∆𝑝𝑝 ∙

mit

𝜋𝜋 2 ∙ 𝑑𝑑 4

∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝑝𝑝0

Daraus folgt

4 ∙ 𝜎𝜎 𝑑𝑑 Umgestellt nach 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝑝𝑝0 =

4 ∙ 73 ∙ 10 4 ∙ 𝜎𝜎 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑝𝑝0 + = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 1 𝜇𝜇𝜇𝜇

−3

𝑁𝑁 𝑚𝑚

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

255

𝑁𝑁 103 𝑚𝑚𝑚𝑚 103 𝜇𝜇𝜇𝜇 ∙ ∙ 𝜇𝜇𝜇𝜇 ∙ 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑁𝑁 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 0,292 ∙ 106 2 ∙ 𝑚𝑚 105 𝑁𝑁 𝑚𝑚2 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 0,292

𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 2,92𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 3,92 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(Absolutdruck)

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Zerstäubungsarbeit ∆𝑊𝑊 = 438 000 𝑁𝑁𝑁𝑁 Tröpfcheninnendruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 3,92 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

Diskussion:

Um 1 𝑙𝑙 Nebel zu erzeugen, ist also durch klimatische Rahmenbedingungen eine enorme Energie bereitzustellen. Hauptparameter sind dabei der barometrische Druck und die Temperaturverhältnisse (Sonne, Wind).

Aufgabe 3.8.1-2 Kapillarwirkung in engen Röhrchen Ein Röhrchen mit dem Durchmesser 𝑑𝑑 wird in einen großen Fluidbehälter (Fluiddichte 𝜌𝜌) unter Atmosphärenbedingungen eingetaucht. a) Ermitteln sie eine Formel für die Höhenveränderung ℎ des Fluidspiegels im Röhrchen in Abhängigkeit von 𝜎𝜎, 𝛼𝛼, 𝑑𝑑 und 𝜌𝜌. 𝑚𝑚

Stellen sie das Ergebnis in einem Diagramm dar für den Bereich 𝑑𝑑 = 0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 10 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑔𝑔 = 9,81 𝑠𝑠 , Glasröhrchen und

𝑁𝑁

𝑘𝑘𝑘𝑘

b1) Kombination „Wasser-Glas-Luft“ (𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ≈ 73 ∙ 10−3 𝑚𝑚 , 𝛼𝛼 ≈ 8°, 𝜌𝜌 = 1000 𝑚𝑚3 ) 𝑁𝑁

b2) Kombination „Quecksilber-Glas-Luft“ (𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ≈ 472 ∙ 10−3 𝑚𝑚 , 𝛼𝛼 ≈ 130°, 𝜌𝜌 = 13595 (1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-3).

𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑚𝑚3

)

256

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.8-3: Wirkende Kräfte für Gleichgewicht in einem Kapillar-Röhrchen bei „Benetzung“

Die Kräftedefinition in der Skizze lautet: 𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔 (Gewicht der Fluidsäule im Röhrchen)

𝐹𝐹𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋 (Umfangslinien-Haftkraft bei Gleichgewicht)

𝐹𝐹𝜎𝜎,v = 𝐹𝐹𝜎𝜎 ∙ cos 𝛼𝛼 (Vertikalkomponente von 𝐹𝐹𝜎𝜎 für Gleichgewicht mit 𝐹𝐹𝐺𝐺 )

In der Skizze wurden die relevanten 𝜎𝜎-Komponenten der Young’schen Gleichung (Kap. 1.8.1.2, Gl. 1.8-3) gleich in Kräfte umgewandelt, indem 𝜎𝜎 mit der wirksamen Berühr-Linie (hier 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋) des Meniskus zwischen Fluid und Glaswand multipliziert wurde. (2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Grenzflächenspannung, Kapillarität.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Skizze von Punkt (1) ist Basis für die Gleichgewichtsbetrachtung. Grenzflächenspannungen 𝜎𝜎 in Kräfte umwandeln.

Formel für ℎ aus Umstellung der Gleichgewichtsbedingung. Diagramm erstellen mit gegebenen Werten.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

257

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Aus der Skizze Abb. 3.8-3 wird ersichtlich, dass z. B. im Fall eines benetzten Fluids die Gewichtskraft 𝐹𝐹𝐺𝐺 der im Röhrchen gestiegenen Fluidsäule durch die Haftkraftkomponente 𝐹𝐹𝜎𝜎,v kompensiert werden muss, um im Gleichgewicht zu sein. (1)

𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝐹𝐹𝜎𝜎,v

Die Gewichtskraft der Fluidsäule ermittelt sich aus 𝑑𝑑 2 ∙ 𝜋𝜋 (2) ∙ ℎ ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 4 In Kap. 1.8.1.2 ist die Grenzflächenspannung 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 in der Trennlinie „liquid – gaseous“ mit der Gl. 1.8-3 mittels der wirksamen Haftungslinie 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋 umzurechnen in eine Grenzflächenkraft 𝐹𝐹𝜎𝜎 . 𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝐺𝐺 ∙ 𝑔𝑔 =

𝐹𝐹𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋

(3)

𝐹𝐹𝜎𝜎,v = 𝐹𝐹𝜎𝜎 ∙ cos 𝛼𝛼 = 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋 ∙ cos 𝛼𝛼

(4)

Nur die vertikale Komponente von 𝐹𝐹𝜎𝜎 (= Haftkraft 𝐹𝐹𝜎𝜎,v ) kann im Falle des Gleichgewichtszustands die Fluidsäulen-Gewichtskraft 𝐹𝐹𝐺𝐺 kompensieren Die Beziehungen Gl. (2) und Gl. (4) werden eingesetzt in die Gleichgewichtsaussage aus Gl. (1). Dies liefert 𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝐹𝐹𝜎𝜎,v

𝑑𝑑2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ ℎ ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 = 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝜋𝜋 ∙ cos 𝛼𝛼 4

Gekürzt und umgestellt nach ℎ wird daraus ℎ=

4 ∙ 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ cos 𝛼𝛼 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 → ℎ~ (𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻) 𝑑𝑑 𝑑𝑑 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔

(5)

ℎ wird also eine Steighöhe, wenn 𝛼𝛼 < 90° ist (z. B. Wasser auf Glas), was als Kapillar-Aszension bezeichnet wird. Wenn 𝛼𝛼 > 90° ist, entsteht hingegen eine Kapillarabsenkung (ℎ wird negativ (wegen cos 𝛼𝛼 = − !); z. B. bei Quecksilber (𝐻𝐻𝑔𝑔 ) auf Glas), die Kapillar-Depression genannt wird. 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ cos 𝛼𝛼 entspricht der Haftspannung 𝜎𝜎𝐻𝐻 von Kap. 1.8.1.2, Gl. 1.8-3, während 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 den Tabellenwerten für 𝜎𝜎 aus Abb. 1.8-4 entspricht. Zu b1) und b2): Setzt man die in der Aufgabenstellung gegebenen Zahlenwerte sinnvoll gestuft in Gl. (5) ein, so ergeben sich Einzelwerte, die zum gesuchten Kurvenverlauf ℎ = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) führen. Exemplarisch erfolgen hier zwei Berechnungen für 𝛼𝛼 = 8° und 𝛼𝛼 = 130°: 𝑁𝑁

𝑘𝑘𝑘𝑘

b1) Wasser − las − Luft, 𝛼𝛼 = 8°, 𝑑𝑑 = 3 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ≈ 73 ∙ 10−3 𝑚𝑚 , 𝜌𝜌 = 1000 𝑚𝑚3

258

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

ℎ𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = ℎ𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 ℎ𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊

𝑁𝑁 4 ∙ 73 ∙ 10−3 𝑚𝑚 ∙ cos 8°

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 9,81 2 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑁𝑁 3 1 4 ∙ 73 ∙ 10−3 𝑚𝑚 ∙ 0,99 𝑠𝑠 2 ∙ 10 𝑚𝑚𝑚𝑚 = ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 1 𝑁𝑁 1 𝑚𝑚 3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 1000 3 ∙ 9,81 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 103 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 9,8 ∙ 10−3 𝑚𝑚 ∙ = 9,8 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 1000

𝑁𝑁

𝑘𝑘𝑘𝑘

b2) Hg − las − Luft, 𝛼𝛼 = 130°, 𝑑𝑑 = 3 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ≈ 472 ∙ 10−3 𝑚𝑚 , 𝜌𝜌 = 13 595 𝑚𝑚3 ℎ𝐻𝐻𝐻𝐻 = ℎ𝐻𝐻𝐻𝐻 ℎ𝐻𝐻𝐻𝐻

𝑁𝑁 4 ∙ 472 ∙ 10−3 𝑚𝑚 ∙ cos 130°

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 9,81 2 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑁𝑁 4 ∙ 472 ∙ 10−3 𝑚𝑚 ∙ (−0,643) 1 𝑠𝑠 2 103 𝑚𝑚𝑚𝑚 103 𝑚𝑚𝑚𝑚 = ∙ ∙ ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 1 𝑁𝑁 1 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 13 595 3 ∙ 9,81 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 = −3,03 𝑚𝑚𝑚𝑚 3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 13 595

Aus Gl. (5) hätte der mathematisch versierte Bearbeiter natürlich sofort die Hyperbelfunktion genutzt, um schneller die wesentlichen Punkte für den jeweiligen Kennlinienverlauf zu berechnen (𝑑𝑑 wird dabei jeweils in 𝑚𝑚𝑚𝑚 eingesetzt): 29,47 [𝑚𝑚𝑚𝑚] 𝑑𝑑 9,1 b2) ℎ = − [𝑚𝑚𝑚𝑚] 𝑑𝑑 b1) ℎ =

(6) (7)

Damit lässt sich einfach eine Tabelle erstellen (Abb. 3.8-4): Fall

𝛼𝛼

b1)

8°

b2)

130°

0

2

∞

14,8

−∞

−4,5

ℎ in 𝑚𝑚𝑚𝑚 für 𝑑𝑑 [𝑚𝑚𝑚𝑚] 3

5

7

10

9,8

5,9

4,2

2,9

−3,0

−1,8

−1,3

Abb. 3.8-4: Kapillarwirkung bei einem Glasröhrchen nach dem Eintauchen in verschiedenen Fluiden

Die Eintragung in ein Diagramm ℎ = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) ist in Abb. 3.8-5 dargestellt.

−0,9

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

259

Abb. 3.8-5: Steighöhe (𝐻𝐻2 𝑂𝑂) bzw Absenkung (𝐻𝐻𝐻𝐻) des Meniskus in einem in ein Fluid getauchtes Glasrohr

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) ℎ =

4 ∙ 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ cos 𝛼𝛼 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑑𝑑 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 𝑑𝑑

(Hyperbel)

b1) und b2) siehe Abb. 3.8-5 Diskussion:

Je kleiner der Röhrchendurchmesser, umso stärker stellt sich die Kapillarwirkung ein. Dies ist mit der Grund dafür, dass die Wasserversorgung von hohen Bäumen funktioniert und dass es einen Aufsaugeffekt bei Schwammtüchern gibt. Die Gleichung für ℎ gilt nur bei sauberem Wasser und sauberem Glasrohr.

Üblicherweise verwendet man U-Rohr-Manometer (vgl. Abb. 3.3-1) mit gleichen Durchmessern in beiden Rohrschenkeln, sodass sich die Kapillarwirkung aufhebt und nicht zu berücksichtigen ist. Sind jedoch die Durchmesser unterschiedlich groß (z. B. bei einem BetzManometer), so muss das Messergebnis gemäß Gl. (5) korrigiert werden.

260

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Durch Forschung auf dem Gebiet der Bionik ist seit einigen Jahren ein technisch wichtiges Grenzflächenverhalten unter dem Begriff Lotus-Effekt bekannt geworden. Dabei liegt eine völlige Nichtbenetzung von Naturoberflächen (z. B. Lotusblatt, Kapuzinerkresse u.a.) vor. D. h., ein Wassertropfen bleibt komplett als Tropfen erhalten und perlt ohne Rückstand von diesen Oberflächen ab. Dies wird als hydrophobes Verhalten bezeichnet und dient den Pflanzen zur Oberflächenreinigung. Der Effekt wird inzwischen technisch genutzt, z. B. bei selbst-reinigenden Fassadenfarben oder Glasflächen, nachdem man festgestellt hat, dass nicht nur ein chemisch/ physikalischer Anteil, sondern auch ein mikrogeometrischer Anteil (winzige Kappen auf der Oberfläche) für die Wirkung verantwortlich sind. Das Video „Grenzflächenspannung 𝜎𝜎 und Nichtbenetzung“ demonstriert den Lotus-Effekt mit Wassertropfen auf einem Kapuzinerkresseblatt.

Aufgabe 3.8.2-1 Kavitationsfreie Strömung Aus einem großen offenen Behälter läuft eine inkompressible Flüssigkeit (Dichte 𝜌𝜌, Dampfdruck 𝑝𝑝𝐷𝐷 ) reibungsfrei unter dem Einfluss der Erdschwerkraft (ℎ0 ≈ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) durch ein vertikales Rohr mit dem Querschnitt 𝐴𝐴2 als Freistrahl in die umgebende Atmosphäre (Druck 𝑝𝑝0 ). Im Einlauf (Höhe ℎ1 ) hat das Rohr einen verengten Querschnitt 𝐴𝐴1 . a) Wie groß muss das Querschnittsverhältnis

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2

= 𝑓𝑓(ℎ) mindestens sein, damit der

Dampfdruck 𝑝𝑝𝐷𝐷 der Flüssigkeit nicht unterschritten wird? b) Der Verlauf des statischen Drucks längs der in Abb. 3.8-6 angegebenen Symmetrielinie ist qualitativ zu skizzieren für b1) Ausflussstelle geschlossen (→ 𝑐𝑐 = 0) b2) Ausflussstelle geöffnet (→ 𝑐𝑐)

Abb. 3.8-6: Freier Ausfluss aus einem großen Behälter

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

261

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Skizze ergänzen (in rot und grün).

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung ohne Verluste, Kontinuitätsgleichung, Flüssigkeitskavitation.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Bernoulli zwischen den Stellen 0 und 2 → 𝑐𝑐2. Bernoulli zwischen den Stellen 1 und 2 → 𝑝𝑝1. Kontinuitätsgleichung in 𝑝𝑝1 einführen. 𝑝𝑝1 ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷 setzten → Kavitationsfrei! 𝐴𝐴

Umstellen nach 𝐴𝐴1 ≥ ⋯ 2

Druckverläufe skizzieren.

(4) Teilaufgaben lösen ___________________________________________________________________________________________

Beachte 1. Stromfaden und wichtige Stellen 0 bis x kennzeichnen! 2. Bezugsniveau B-B vorgeben für 𝑧𝑧-Angaben!

___________________________________________________________________________________________

Zu a): Bernoulli zwischen den Stellen 0 und 2 anwenden 𝑝𝑝0 𝑐𝑐02 𝑝𝑝2 𝑐𝑐22 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧0 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

Mit

𝑐𝑐0 ≈ 0 𝑧𝑧0 = ℎ0 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0 𝑧𝑧2 = 0

ergibt sich

(1)

262

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑐𝑐22 = 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 2

(→ 𝑐𝑐2 = �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 Torricelli, bzw. 𝑐𝑐22 = 2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 )

(2)

Bernoulli zwischen den Stellen 1 und 2 anwenden 𝑝𝑝1 𝑐𝑐12 𝑝𝑝2 𝑐𝑐22 + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧1 = + + 𝑔𝑔 ∙ 𝑧𝑧2 𝜌𝜌 2 𝜌𝜌 2

(3)

Dabei wird mit 𝑧𝑧1 = ℎ1 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0 𝑧𝑧2 = 0

und Gl. (3) vereinfacht 𝜌𝜌 ∙ (𝑐𝑐22 − 𝑐𝑐12 ) + 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ1 2 Aus der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑝𝑝1 =

(4)

𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 = 𝑐𝑐2 ∙ 𝐴𝐴2

(5)

𝑐𝑐1 𝐴𝐴2 = 𝑐𝑐2 𝐴𝐴1

|^2

𝑐𝑐12 𝐴𝐴2 2 = � � 𝐴𝐴1 𝑐𝑐22

(6)

In Gl. (4) lässt sich der Klammerausdruck (𝑐𝑐22 − 𝑐𝑐12 ) umformen zu (𝑐𝑐22 − 𝑐𝑐12 ) = 𝑐𝑐22 ∙ �1 −

𝑐𝑐12 � 𝑐𝑐22

(7)

Gl. (6) in Gl. (7) eingesetzt ergibt 𝐴𝐴2 2 (𝑐𝑐22 − 𝑐𝑐12 ) = 𝑐𝑐22 ∙ �1 − � � � 𝐴𝐴1

(8)

Gl. (2) in Gl. (8) eingesetzt liefert 𝐴𝐴2 2 (𝑐𝑐22 − 𝑐𝑐12 ) = 2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 ∙ �1 − � � � 𝐴𝐴1

(9)

Gl. (9) in Gl. (4) eingesetzt und Bedingung für Kavitationsfreiheit 𝑝𝑝1 ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷 gesetzt, führt zu 𝑝𝑝1 =

𝜌𝜌 𝐴𝐴2 2 ∙ �2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 ∙ �1 − � � + 𝑝𝑝0 − 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ1 ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷 2 𝐴𝐴1

Gl. (10) wird jetzt umgeformt zum gesuchten Verhältnis

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2

𝜌𝜌 𝜌𝜌 𝐴𝐴2 2 ∙ 2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 − ∙ 2 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 ∙ � � ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷 − 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ1 2 2 𝐴𝐴1

(10)

≥⋯

(11)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

−𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 ∙ �

𝐴𝐴2 2 � ≥ 𝑝𝑝𝐷𝐷 − 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ1 − ℎ0 ) 𝐴𝐴1

𝐴𝐴2 2 𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝐷𝐷 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ0 − ℎ1 ) � � ≥ 𝐴𝐴1 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 𝐴𝐴1 2 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 � � ≥ 𝐴𝐴2 𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝐷𝐷 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ0 − ℎ1 )

263

| ∙ (−1)

|∙

1 𝑥𝑥

𝐴𝐴1 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 >� 𝐴𝐴2 𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝐷𝐷 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ0 − ℎ1 )

(12)

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt, da keine Zahlenrechnung verlangt ist. Trotzdem sollte zur Sicherheit eine Einheiten𝐴𝐴

kontrolle stattfinden, denn das Verhältnis 𝐴𝐴1 sollte dimensionslos sein. 2

Das Einsetzen der Einheiten in Gl. 12 ergibt: 𝐴𝐴1 > 𝐴𝐴2 �

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ ∙ 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚2 ∙ 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚3 𝑠𝑠 2 =� 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 105 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚3 ∙ 𝑠𝑠 2 105 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

𝐴𝐴1 1 > � 5 ∙ √− → 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑜𝑜𝑜𝑜! 𝐴𝐴2 10 Zu b1):

Bei Abschluss der Stelle 2 ist 𝑐𝑐 = 0 und es gilt die hydrostatische Grundgleichung (Kap. 1.3.2.1): 𝑝𝑝(𝑧𝑧) = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ

(Druck an der Stelle 2)

Der Druck nimmt linear mit der Höhe zu, ausgehend von 𝑝𝑝0 (vgl. Abb. 3.8-7). Zu b2): Wird die Stelle 2 geöffnet, so ist zwischen den Stellen 0 und 1 der Druckverlauf identisch wie bei b1) (da 𝑐𝑐 ≈ 0 ist). An der verengten Stelle 1 steigt die Geschwindigkeit und der Druck sinkt auf den Wert von Gl. 10, um danach zwischen Stelle 1 und 2 wieder linear mit der Höhe zu steigen. An Stelle 2 muss der Druck wieder dem Außendruck (𝑝𝑝0 ) angeglichen sein! Abb. 3.8-7 zeigt qualitativ den Druckverlauf.

264

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.8-7: Druckverlauf bei geschlossenem (b1) und geöffnetem (b2) Auslauf

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a)

𝐴𝐴1 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ0 >� 𝐴𝐴2 𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝐷𝐷 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ (ℎ0 − ℎ1 )

b1) und b2) siehe Abb. 3.8-7 Diskussion: 𝐴𝐴

Das Verhältnis 𝐴𝐴1 erfordert eine etwas längere Umrechnung. Für die Praxis aussagefähiger ist 2

allerdings Gl. (10), da so direkt der örtliche Druck 𝑝𝑝1 errechnet und der Sicherheitsabstand zum Dampfdruck 𝑝𝑝𝐷𝐷 bestimmt werden kann.

Eine Einheitenkontrolle von Gl. (12) und das Ergebnis von Gl. (13) geben bei solchen Aufgaben ein besseres Gefühl, dass richtig gerechnet wurde.

Aufgabe 3.8.3-1 PKW-Modell im Windkanal Das Modell eines PKW soll im Windkanal in einem verkleinerten Maßstab 1: 4 untersucht werden. Die Maximalgeschwindigkeit der Großausführung von 160 werden.

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

soll dabei simuliert

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

a) Wie groß muss dabei die Windgeschwindigkeit 𝑐𝑐𝑀𝑀 (in

265 𝑚𝑚 𝑠𝑠

) im Kanal sein, wenn die

Reibungsverhältnisse der Strömung vergleichbar sein sollen? Annahme: kinematische Viskosität 𝜈𝜈 gleich zwischen Realität und Windkanal b) Ist bei dieser Versuchsdurchführung die Dichteveränderung vernachlässigbar? (1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Zu a): Reibung, Modellversuch → Ähnlichkeitsgesetze, Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 Zu b): Dichte, Modellversuch → Ähnlichkeitsgesetze, Machzahl 𝑀𝑀𝑀𝑀 (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐺𝐺 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑀𝑀 → 𝑐𝑐𝑀𝑀 !

Zu b): 𝑐𝑐𝑀𝑀 → 𝑀𝑀𝑀𝑀 = ? → qualitative Aussage zu Dichteveränderung (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Da im Modellversuch vordringlich der Reibungseinfluss untersucht werden soll, kommt die in Kap 1.8.3.2 betrachtete Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 zur Anwendung. Es müssen also 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐺𝐺 (Großausführung) und 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑀𝑀 (Modell) in gleicher Größe realisiert werden: (1)

𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐺𝐺 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑀𝑀 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝑙𝑙𝐺𝐺 ∙ 𝑐𝑐𝐺𝐺 𝑙𝑙𝑀𝑀 ∙ 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 𝜈𝜈𝐺𝐺 𝜈𝜈𝑀𝑀

(2)

Mit der empfohlenen Annahme 𝜈𝜈 = 𝜈𝜈𝐺𝐺 = 𝜈𝜈𝑀𝑀 wird daraus 𝑙𝑙𝐺𝐺 ∙ 𝑐𝑐𝐺𝐺 = 𝑙𝑙𝑀𝑀 ∙ 𝑐𝑐𝑀𝑀 → 𝑐𝑐𝑀𝑀 =

𝑙𝑙𝐺𝐺 ∙ 𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑀𝑀 𝐺𝐺

Da hier das Verhältnis

(3) 𝑙𝑙𝐺𝐺

𝑙𝑙𝑀𝑀

benötigt wird, sind die wahren Längen 𝑙𝑙 nicht erforderlich, sondern

nur das angegebene Verhältnis 𝑙𝑙𝑀𝑀 : 𝑙𝑙𝐺𝐺 = 1: 4 →

𝑙𝑙𝐺𝐺 4 = 𝑙𝑙𝑀𝑀 1

266

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

4 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 103 𝑚𝑚 1 ℎ ∙ 160 = 640 ∙ ∙ 1 ℎ ℎ 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 3600 𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 178 (4) 𝑠𝑠 Dann ist die Strömung 𝐺𝐺 bezüglich Reibung ähnlich 𝑀𝑀, falls ähnliche Geometrien vorliegen. 𝑐𝑐𝑀𝑀 =

Zu b): 𝑚𝑚

Die Schallgeschwindigkeit 𝑎𝑎𝑆𝑆 in Luft beträgt ca. 340 𝑠𝑠 . Damit beträgt die Mach-Zahl 𝑀𝑀𝑀𝑀 im Modellversuch (s. Kap. 1.8.2)

𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑀𝑀 178 𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = 0,52 (5) 𝑎𝑎𝑆𝑆 340 𝑚𝑚 𝑠𝑠 Oberhalb von 𝑀𝑀𝑀𝑀 ≈ 0,3 ist die Dichteveränderlichkeit nicht mehr vernachlässigbar. Dies muss bei der Interpretation der Modellversuchsergebnisse berücksichtigt werden! (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0,52 > 0,3 → dichteveränderliche Strömung! 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 178

Diskussion:

An diesem Beispiel wird deutlich, dass im Modellversuch häufig nicht alle relevanten Ähnlichkeitsgesetze einzuhalten sind. Dann muss der Versuchsingenieur den wichtigsten Einfluss berücksichtigen oder eine Kompromisslösung entwerfen. Es kann in bestimmten Fällen sinnvoll und einfacher sein, die Modellversuche statt mit Wasser mit einem Austauschmedium (z. B. Luft) durchzuführen. Dies wird teilweise bei Wasserturbinen, Pumpen und Strömungselementen wie z. B. Absperrorganen, angewendet. Falls Kavitationseffekte zu untersuchen sind, muss natürlich Wasser als Strömungsmedium verwendet werden [PES 78].

Aufgabe 3.8.3-2 Schiffsmodell im Schleppkanal Das Modell eines Schiffes soll im Schleppkanal in einem verkleinerten Maßstab 1: 25 untersucht werden. Die Geschwindigkeit der Großausführung soll 15 𝑘𝑘𝑘𝑘 (Knoten) betragen. Im Modellversuch soll der Schwereeinfluss auf die Strömung kompensiert werden. 𝑚𝑚

Wie groß muss die Schleppgeschwindigkeit 𝑐𝑐𝑀𝑀 (in 𝑠𝑠 ) des Schiffmodells gewählt werden?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

267

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Schwereeinfluss, Modellversuch → Ähnlichkeitsgesetze, Froude-Zahl 𝐹𝐹𝐹𝐹 (3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀 → 𝑐𝑐𝑀𝑀 ! (4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Da im Modellversuch vordringlich der Schwereeinfluss kompensiert werden soll, kommt die in Kap 1.8.2 betrachtete Froude-Zahl 𝐹𝐹𝐹𝐹 zur Anwendung. Es muss also gelten

𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀 𝑐𝑐𝐺𝐺 𝑐𝑐𝑀𝑀 𝐹𝐹𝐹𝐹 = = �𝑙𝑙𝐺𝐺 ∙ 𝑔𝑔 �𝑙𝑙𝑀𝑀 ∙ 𝑔𝑔

Gl. (2) umgestellt nach 𝑐𝑐𝑀𝑀 ergibt 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 𝑐𝑐𝐺𝐺 ∙ �

𝑙𝑙𝑀𝑀 𝑙𝑙𝐺𝐺

Durch Einsetzen der vorgegebenen Werte ergibt sich 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 15 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ �

1 = 15 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 0,2 = 3 𝑘𝑘𝑘𝑘 25

Es gilt die Einheitenumrechnung 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 = 0,514 ℎ 𝑠𝑠 𝑚𝑚 0,514 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 3 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 bzw. 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 1,852

𝑐𝑐𝑀𝑀 = 3 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 1,54

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ = 5,56 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

1,852

𝑚𝑚 𝑠𝑠

(1) (2)

(3)

268

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Bei Einhaltung dieser Schleppgeschwindigkeit ist die Strömung beim geometrieähnlichen Schiffsmodell ähnlich wie bei der Großausführung.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐𝑐𝑀𝑀 = 1,54

Diskussion:

𝑚𝑚 𝑠𝑠

Eine Faustregel zur schnelleren Umrechnung von Knoten (= 1 Seemeile pro Stunde) in die gebräuchlichere Einheit

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

(𝑐𝑐[𝑘𝑘𝑘𝑘] ∙ 2) − 10% ≙ 𝑐𝑐 �

z.B. entsprechen 15 𝑘𝑘𝑘𝑘

lautet:

𝑘𝑘𝑘𝑘 � ℎ

(15 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2) − 10% ≙ 30

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 −3 = 27 ℎ ℎ ℎ

(Der exakte Wert wäre 15 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

1,852

1 𝑘𝑘𝑘𝑘

= 27,8

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

, wobei die Abweichung 3 % beträgt)

Aufgabe 3.8.4-1 Ausströmen von Gas aus einem Behälter In einem großen Behälter befindet sich ein Gas unter hohem Innendruck 𝑝𝑝 mit der Temperatur 𝑚𝑚 𝑇𝑇0 = 300 𝐾𝐾. Welche maximale Geschwindigkeit 𝑐𝑐 (in 𝑠𝑠 ) in einer Düse könnte theoretisch beim Ausströmen erreicht werden?

𝐽𝐽

a) Bei Luft (isobare spezifische Wärmekapazität 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐿𝐿 = 1005 𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝐾𝐾) 𝐽𝐽

b) Bei Wasserstoff (𝑐𝑐𝑝𝑝𝐻𝐻2 = 14 028 𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝐾𝐾) (1) Aufgabe klären

Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-8).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

269

Abb. 3.8-8: Behälter unter Innendruck 𝑝𝑝0 (an Stelle 0) mit Stromfaden beim Ausströmvorgang

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Energiegleichung für Gasströmung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Energiegleichung zwischen den Stellen 0 und x ansetzen und nach 𝑐𝑐𝑥𝑥 umstellen. Bedingung für die max. mögliche Geschwindigkeit überlegen?

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Da die Werte der spezifischen Wärmekapazität 𝑐𝑐𝑝𝑝 der Gase und die Behältertemperatur 𝑇𝑇0 gegeben sind, wird aus der Energiegleichung für Gase (Kap. 1.8.4.1, Gl. 1.8-31) für die spezifische Enthalpie ℎ die Form ℎ = 𝑐𝑐𝑝𝑝 ∙ 𝑇𝑇 gewählt. Längs einer Stromlinie gilt ℎ+

Mit

𝑐𝑐 2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 2

ℎ = 𝑐𝑐𝑝𝑝 ∙ 𝑇𝑇 �=

(1)

𝑝𝑝 + 𝑢𝑢 = 𝑝𝑝 ∙ v + 𝑢𝑢� 𝜌𝜌

hat die Energiegleichung die Form 𝑐𝑐𝑝𝑝 ∙ 𝑇𝑇 +

𝑐𝑐 2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. 2

→ d. h. 𝑐𝑐 ↑ ≙ 𝑇𝑇 ↓

(2)

Entlang eines Stromfadens muss also zur Erhöhung der Geschwindigkeit in einer Düse die Temperatur des Gases sinken. Die Energiegleichung (2) angewendet zwischen den Stellen 0 und x führt zu

270

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑐𝑐𝑝𝑝0 ∙ 𝑇𝑇0 +

𝑐𝑐02 𝑐𝑐𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥 ∙ 𝑇𝑇𝑥𝑥 + 2 2

Mit den Vereinfachungen 𝑐𝑐𝑝𝑝0 = 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑝𝑝

𝑐𝑐02 ≈0 2 und aufgelöst nach 𝑐𝑐𝑥𝑥 ergibt sich 𝑐𝑐𝑥𝑥 = �2 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝 ∙ (𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑥𝑥 )

Die maximale Geschwindigkeit 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 wird offenbar nur durch die absinkende Temperatur 𝑇𝑇𝑥𝑥 begrenzt. Da 𝑇𝑇𝑥𝑥 nicht unter den absoluten Nullpunkt sinken kann, wird also 𝑇𝑇𝑥𝑥 = 0

und es ergibt sich für 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �2 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝 ∙ 𝑇𝑇0

Dies ist ein theoretischer Wert, der in der Realität kleiner ist. Da in der Aufgabenstellung die Anfangstemperatur 𝑇𝑇0 = 300 𝐾𝐾 (ca. 27 °𝐶𝐶) und die 𝑐𝑐𝑝𝑝 -Werte vorgegeben waren, lassen sich die maximalen Ausströmgeschwindigkeiten berechnen. Zu a): Luft (Gasgemisch)

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿 = �2 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝑇𝑇0 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿

= �2 ∙ 1005

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿 = 777

𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝑚𝑚2 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2 𝐽𝐽 𝑠𝑠 ∙ 300 𝐾𝐾 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐾𝐾 1 𝐽𝐽

Zu b): Wasserstoff 𝐻𝐻2

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐻𝐻2 = �2 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐻𝐻2 ∙ 𝑇𝑇0 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐻𝐻2

𝑚𝑚2 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2 𝐽𝐽 𝑠𝑠 = �2 ∙ 14 028 ∙ 300 𝐾𝐾 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐾𝐾 1 𝐽𝐽

𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐻𝐻2 = 2901

𝑚𝑚 𝑠𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

271

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Theoretisch maximal erreichbare Ausströmgeschwindigkeiten 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿 = 777 𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐻𝐻2 = 2901 𝑠𝑠

Diskussion:

𝑝𝑝

In der Realität existiert für jedes Gas ein kritisches Druckverhältnis �𝑝𝑝0 � 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘

, was darüber

entscheidet, ob sich eine Strömung unter- oder überkritisch verhält. Die Maximalgeschwindigkeit kann in der Realität maximal die Schallgeschwindigkeit erreichen. Diese wird auch als Laval-Geschwindigkeit bezeichnet.

Aufgabe 3.8.4-2 Druckverlust einer Wasserdampf-Fernleitung In einer Wasserdampf-Fernleitung, mit einer Standard-Isolation um eine Stahlrohrleitung (Durchmesser 𝐷𝐷 = 0,3 𝑚𝑚, Länge 𝐿𝐿 = 500 𝑚𝑚, Rauigkeit 𝑘𝑘 = 0,03 𝑚𝑚𝑚𝑚), wird ein Massenstrom 𝑚𝑚̇ = 30000

𝑘𝑘𝑘𝑘 ℎ

gefördert. An der Stelle 1 liegt ein Druck von 𝑝𝑝1 = 10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 und eine Temperatur

𝑇𝑇1 = 600 𝐾𝐾 vor. Am Ende der Leitung ist die Temperatur auf 𝑇𝑇2 = 550 𝐾𝐾 gesunken.

Wie groß ist der Druck 𝑝𝑝2 (in 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) und der Druckabfall ∆𝑝𝑝v (in 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)? Näherungsrechnung mit 𝑇𝑇 +𝑇𝑇 𝑇𝑇� = 1 2. 2

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-9).

Abb. 3.8-9: Daten einer Wasserdampf-Fernleitung

272

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Wasserdampf → Gasströmung/ VDI-Wasserdampftafel oder Mollier-Diagramm, spezifische Enthalpie ℎ(𝑠𝑠) = 𝑓𝑓(𝑝𝑝, 𝑇𝑇, 𝜗𝜗). Kontinuitätsgleichung.

𝑘𝑘

Reynolds-Zahl/ Rohrreibungsdiagramm 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓 �𝑅𝑅𝑅𝑅, 𝐷𝐷�. Druckverlustgleichung für Gasströmung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 1. Physikalische Eigenschaften aus Wasserdampftafel 𝜂𝜂1 und 𝜈𝜈1 aus 𝑝𝑝1 und 𝑇𝑇1 → 𝜌𝜌1 , 𝜂𝜂1 , 𝜈𝜈1 . 𝑘𝑘

2. 𝑐𝑐1 (aus Kontinuitätsgleichung) → 𝑅𝑅𝑅𝑅1 → λ (aus Rohrreibungsdiagramm mit 𝐷𝐷. 3. 𝑝𝑝2 bzw. ∆𝑝𝑝v = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 .

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu 1.) (von Schritt (3)): 𝑚𝑚3

Spezifisches Volumen bei 𝑝𝑝1 = 10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 und 𝑡𝑡1 = 𝑇𝑇1 − 273 = 327 °𝐶𝐶, 𝜈𝜈1 = 0,27 𝑘𝑘𝑘𝑘 (entnommen aus dem VDI-Wärmeatlas [VDI 13]) 𝜌𝜌1 =

1 = 𝜈𝜈1

1 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 3,7 3 𝑚𝑚3 𝑚𝑚 0,27 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑘𝑘𝑘𝑘

Ebenso aus dem VDI-Wärmeatlas lässt sich 𝜂𝜂1 = 2,1 ∙ 10−5 𝑚𝑚∙𝑠𝑠 entnehmen. Daraus ergibt sich die kinematische Viskosität 𝜈𝜈 zu

−5 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜂𝜂1 2,1 ∙ 10 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 𝑚𝑚2 𝜈𝜈1 = = = 5,58 ∙ 10−6 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜌𝜌1 𝑠𝑠 3,7 3 𝑚𝑚

Zu 2.):

Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich 𝑘𝑘𝑘𝑘 3 30 000 𝑚𝑚̇ ℎ ∙ 1 ℎ = 2,25 𝑚𝑚 𝑚𝑚̇ = 𝜌𝜌1 ∙ 𝑄𝑄1 → 𝑄𝑄1 = = 𝑘𝑘𝑘𝑘 3600 𝑠𝑠 𝜌𝜌1 𝑠𝑠 3,7 3 𝑚𝑚 𝑚𝑚3 2,25 ∙ 4 𝑠𝑠 𝑄𝑄1 𝑄𝑄1 ∙ 4 𝑚𝑚 𝑄𝑄1 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝐴𝐴1 → 𝑐𝑐1 = = = = 31,8 𝐴𝐴1 𝐷𝐷2 ∙ 𝜋𝜋 0,32 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑚𝑚2 𝑠𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

273

Hieraus lässt sich die Reynolds-Zahl berechnen 𝑚𝑚 𝑐𝑐1 ∙ 𝐷𝐷 31,8 𝑠𝑠 ∙ 0,3 𝑚𝑚 𝑅𝑅𝑅𝑅1 = = = 1,68 ∙ 106 𝑚𝑚2 𝜈𝜈1 −6 5,58 ∙ 10 𝑠𝑠

Mit

𝑘𝑘 0,3 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 10−3 𝐷𝐷 300 𝑚𝑚𝑚𝑚

_________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ____ _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ____ _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ____ _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ___

Beachte 𝑘𝑘 und 𝐷𝐷 müssen mit der gleichen Längeneinheit (z.B. 𝑚𝑚𝑚𝑚) verrechnet werden !

___________________________________________________________________________________________

Aus dem Rohrreibungsdiagramm (Kap. 1.5.3, Abb. 1.5-6) ergibt sich 𝜆𝜆 ≈ 0,02

(siehe auch Hinweis gemäß Abb. 3.8-10)

𝑘𝑘

Abb. 3.8-10: Hinweis zur Ermittlung von 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓(𝑅𝑅𝑅𝑅, ) 𝐷𝐷

Zu 3.): Näherungsrechnung mit mittlerer Temperatur 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 600 𝐾𝐾 + 550 𝐾𝐾 = = 575 𝐾𝐾 2 2 gemäß Kap. 1.8.4.2, Gl. 1.8-42 gilt für beliebigen Wärmeaustausch mit der Umgebung 𝑇𝑇� =

𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝐿𝐿 𝜌𝜌1 𝑇𝑇� = 𝜆𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑐12 ∙ 2 ∙ 𝑝𝑝1 𝐷𝐷 2 𝑇𝑇1

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 500 𝑚𝑚 3,7 𝑚𝑚3 𝑚𝑚2 575 𝐾𝐾 = 0,02 ∙ ∙ ∙ 31,82 2 ∙ 2 ∙ 𝑝𝑝1 0,3 𝑚𝑚 2 𝑠𝑠 600 𝐾𝐾

274

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 59 761 2 2 ∙ 𝑝𝑝1 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚

Durch schrittweises Auflösen und Einheitenumrechnen ergibt sich für 𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 𝑝𝑝12 − 𝑝𝑝22 = 59 761

𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 2 ∙ 𝑝𝑝1 ∙ 𝑚𝑚

𝑠𝑠 2

𝑘𝑘𝑘𝑘 105 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 − = 59 761 2 ∙ 2 ∙ 10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑠𝑠 ∙ 𝑚𝑚 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑔𝑔2 2 2 11 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = 1,195 ∙ 10 𝑚𝑚2 ∙ 𝑠𝑠 4 𝑝𝑝12

𝑝𝑝22

Aufgelöst nach 𝑝𝑝2 ergibt sich 𝑝𝑝22 = 𝑝𝑝12 − 1,195 ∙ 1011 𝑝𝑝22 = �10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 𝑝𝑝22 = �106

𝑘𝑘𝑔𝑔2 𝑚𝑚2 ∙ 𝑠𝑠 4

𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 � − 1,195 ∙ 1011 𝑘𝑘𝑔𝑔 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑚𝑚2 ∙ 𝑠𝑠 4

105

𝑘𝑘𝑘𝑘 2 𝑘𝑘𝑔𝑔2 11 � − 1,195 ∙ 10 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑚𝑚2 ∙ 𝑠𝑠 4

𝑝𝑝22 = (1012 − 1,195 ∙ 1011 )

𝑘𝑘𝑔𝑔2 𝑘𝑘𝑔𝑔2 ≈ 8,8 ∙ 1011 2 4 2 4 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑔𝑔2 𝑚𝑚2 ∙ 𝑠𝑠 4 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝2 = 9,38 ∙ 105 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 𝑝𝑝2 = 9,38 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝2 = �8,8 ∙ 1011

Der Druckabfall ∆𝑝𝑝v beträgt demnach

∆𝑝𝑝v = 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = 10 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 − 9,38 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0,62 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑝𝑝2 = 9,38 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

∆𝑝𝑝v = 0,62 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

Diskussion:

Welcher Druckverlust wäre entstanden, wenn man mit dichtebeständigem Fluid (𝜌𝜌 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. ) gerechnet hätte?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝐿𝐿 𝜌𝜌1 2 ∙ ∙ 𝑐𝑐 𝐷𝐷 2 1 500 𝑚𝑚 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 = 0,02 ∙ ∙ ∙ 3,7 3 ∙ 31,82 2 0,3 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0,624 ∙ 105 ∙ 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 105 𝑚𝑚 ∙ 𝑠𝑠 2 = 0,624 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

∆𝑝𝑝𝑣𝑣(𝜌𝜌=𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) = 𝜆𝜆 ∙ ∆𝑝𝑝𝑣𝑣(𝜌𝜌=𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) ∆𝑝𝑝𝑣𝑣(𝜌𝜌=𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.) ∆𝑝𝑝𝑣𝑣(𝜌𝜌=𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.)

→ D.h. bei diesem Beispiel wäre kaum ein Unterschied feststellbar!

275

4 Klausuren sicher bestehen! Dieses Kapitel soll Ihnen einige Hinweise geben, wie Sie am sichersten Ihre bevorstehende Klausur in Strömungsmechanik bestehen werden. Das hier Gesagte lässt sich jedoch auf alle anderen Klausurthemen und wichtige berufliche oder persönliche Situationen übertragen. Beginnen wir zunächst mit ein paar thematisch passenden Aphorismen, die alle für ganz bestimmte Aspekte zutreffend sind: „Prüfungen sind deshalb so scheußlich, weil der größte Trottel mehr fragen kann, als der klügste Mensch zu beantworten vermag.“ Charles Calep Colton (1780 – 1832), englischer Aphoristiker und Essayist „Carpe diem. Nutze den Tag.“ Horaz (65 v. Chr. – 8 v. Chr.), römischer Dichter „Der Mensch kann unendlich viel, wenn er die Faulheit abgeschüttelt hat und sich vertraut, dass ihm gelingen muss, was er ernstlich will.“ Ernst Moritz Arndt (1769 – 1860), deutscher Schriftsteller und Historiker „Nutze die Talente, die du hast. Die Wälder wären sehr still, wenn nur die begabtesten Vögel sängen.“ Henry van Dyke (1852 – 1933), amerikanischer Autor, Pädagoge und Kleriker „Wer hohe Türme bauen will, muss lange beim Fundament verweilen.“ Anton Bruckner (1824 – 1896), österreichischer Komponist und Organist „Es werden mehr Menschen durch Übungen tüchtig als durch ihre ursprüngliche Anlage.“ Demokrit (460 v. Chr. – 371 v. Chr.), griechischer Philosoph „Zusammen mit Prüfungen wird erstaunlich viel Wissen abgelegt.“ Wolfgang Mocker (1954-2009), deutscher Journalist und Autor Wie könnte man Ihre Situation und die damit verbundene Problematik etwas allgemeiner beschreiben?

Was ist der Anlass? Sie befinden sich in einem technischen Studium an einer Hochschule/Universität, bei dem die bestandene Klausur in Strömungstechnik (bzw. Fluidmechanik) Voraussetzung für das Weiterstudium ist. Die Vorlesung haben Sie besucht, dieses Buch ebenfalls gewissenhaft durchgearbeitet und derzeit „gefühlt so ziemlich alles verstanden“. Trotzdem beginnen Sie nervös zu werden, denn Sie vermuten, dass unerwartete und unangenehme Fragestellungen in der bevorstehenden Klausur auf Sie zukommen könnten. Vielleicht ist Ihnen auch irgendwie bewusst, dass Sie frühere Klausuren aufgrund unsystematischer Vorgehensweise manchmal nur mit viel Glück bestanden haben. Bei Strömungsmechanik wäre es Ihnen aber lieb, wenn Sie mit Sicherheit und nicht nur mit Glück Erfolg hätten. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5_4

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

277

Welchen Lösungsansatz gibt es? Hoffentlich haben Sie die Grundregel eines erfolgreichen Studiums bisher auch für das Fach Strömungsmechanik beherzigt: Jede Vorlesung besuchen und Übungen vorlesungsbegleitend erledigen bzw. nacharbeiten! Dies ist davon unabhängig, ob Ihnen das Fach, der Professor, die Art des Vortrags oder was auch immer, nicht gefällt. Jede Information, so unbedeutend Ihnen diese im Augenblick auch erscheint, könnte in einer Prüfung entscheidend sein! Außerdem sind dabei alle Möglichkeiten gezielt nutzbar, um Ihrem Lerntyp gerecht zu werden, also am besten zu lernen, durch: -

hören: Worte, Sätze, Klänge, etc. der Vortragenden oder der Fragesteller sehen: Präsentationsbilder und -schriften, Demonstrationsobjekte, etc. tun, handeln, fühlen: Experimentieren, Praktische Anwendung, Mitschrift (!), etc.

Um von einer Vorlesung profitieren zu können, ist Konzentration erforderlich. Sie haben nur ca. 20 s Zeit, um mittels einer teilweise unbewussten biologischen Funktion (Ultrakurzzeitgedächtnis) neues Wissen so zu verinnerlichen, dass es durch ein wenige Minuten verfügbares Zeitfenster chemisch in das Kurzzeitgedächtnis überführt werden kann. Erst danach (und durch regelmäßige, zeitlich länger werdende Wiederholung!) wird das aktiv Gelernte im Langzeitgedächtnis wieder abrufbar sein. Das „Plaudern“ mit Ihren Kommilitonen während der Vorlesung ist also sehr hinderlich für den Lernprozess! Den zweitwichtigsten Schritt haben Sie bereits getan, indem Sie in diesem Buch gelernt haben, Aufgaben in sechs Teilschritten systematisch und methodisch zu bearbeiten. Sie sind bis Kap. 3 vorgedrungen und haben inzwischen alle Aufgaben von Kap. 3 bearbeitet. Im folgenden Abschnitt sollen zeitlich geordnet, angefangen von der Durcharbeitung dieses Buches bis hin zur bestandenen Klausur, hilfreiche Empfehlungen gegeben werden. Diese beruhen auf eigenen praktischen Erfahrungen, vielen Gesprächen mit Studierenden und Kollegen sowie ergänzenden Hinweisen aus der Fachliteratur. Auch hierbei ist eine systematische Vorgehensweise anzustreben. Wie bereite ich mich bestmöglich auf die Prüfung vor? Versuchen Sie sich möglichst an die folgende Empfehlungsreihenfolge zu halten. 1. Stellen Sie sich zu Beginn und an jedem neuen Tag Ihrer Vorbereitungszeit einmal im Detail vor, wie das Endresultat der Klausur aussehen wird, z. B. welche Note (1, 2 oder was Sie sich wünschen) auf dem Informationsblatt des Prüfungsamtes stehen wird. Klopfen Sie sich dabei in Gedanken auf die Schulter und stellen Sie sich vor, wie glücklich Sie sich in diesem Augenblick fühlen. Viele Spitzen-Sportler und erfolgreiche Menschen machen etwas Ähnliches vor wichtigen Aufgaben. Man nennt dies „Visualisieren“ oder anders ausgedrückt „ein positives Bild von etwas Zukünftigem machen“ oder „Problem/Aufgabe als gelöst betrachten“. 2. Kreativität benötigt unbedingt Konzentration. Deswegen stellen Sie alle Störgeräusche ab, d. h. kein Radio, keine Hintergrundmusik und keine „Teamarbeit“ mit anderen Kommilitonen während der Aufgabenbearbeitung von beispielsweise Kap. 3. Machen

278

4 Klausur sicher bestehen!

Sie aber spätestens nach einer Stunde konzentrierten Arbeitens eine kleine Pause von 5 bis 10 Minuten und trinken Sie viel (was nicht unbedingt Kaffee sein muss). 3. Beginnen Sie morgens schon früh mit der Vorbereitung und lassen Sie den Tag spätestens um 20:00 Uhr mit etwas Entspannung ausklingen (klassische Musik oder schöne Songs sind dazu bestens geeignet). Kurz vor dem Zubettgehen blättern Sie noch einmal Ihre Tagesaufzeichnungen im Überblick durch. 4. Verzichten Sie auf Aufputsch- und Schlafmittel. Essen Sie stattdessen Obst und, wenn Sie mögen, abends Schokolade. 5. Treffen Sie sich in regelmäßigen Abständen (z. B. alle 2-3 Tage) mit Kommilitonen kurz, um eventuelle Unklarheiten bei der Aufgabenbearbeitung anzusprechen und um geschickte Lösungshilfen (Skills) gegenseitig auszutauschen. 6. Machen Sie zur Aufgabenbearbeitung von Kap. 3 eigene Notizen und ergänzen die in Kap. 3.9 vorgegebene Formelsammlung um die Ihnen wichtigen Zusatzinformationen. 7. Um die sechs methodischen Teilschritte schneller zu verinnerlichen, können Sie diese in eine Reimform umwandeln, wie z. B. (1) … Problem erkennen (2) … Gebiet benennen (3) … in Reihe bringen (4) … wird Lösung gelingen (5) … noch Einheiten suchen (6) … und Ergebnis verbuchen oder die Anfangsbuchstaben der Teilschritte verinnerlichen (→ „dann gibt’s ABeR TEE!): A B R T E E

Aufgabe klären Fachgebiet/ Bezugsgleichungen festlegen Reihenfolge der Bearbeitung festlegen Teilaufgaben lösen Einheitenumrechnung Ergebnis präsentieren und diskutieren

8. Je weiter Sie in der methodischen Aufgabenbearbeitung von Kap. 3 vorangeschritten sind, umso weniger ausführlich müssen Sie die Aufgabendokumentation gestalten. Statt z. B. „(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen. → Kontinuitätsgleichung, Bernoulli-Gleichung ...“. genügt das Kürzel „(2) → Konti, Berni“. Das Schreiben von Wörtern oder Sätzen in Klausuren kostet nämlich sehr viel Zeit, die besser in Nachdenken und Gleichungs-/ Zahlenrechnungen investiert werden sollte. 9. Den letzten Tag vor der Klausur sollten Sie keine Aufgaben mehr rechnen, sondern Ihre gesamten Aufzeichnungen noch einmal „verständnisvoll“ im Überblick durchblättern und eventuell Ihre Formelsammlung dabei ergänzen. Der hiesige Punkt 2 ist dabei besonders wichtig. Bevor Sie sich dann zu einer „christlichen Zeit“ ins Bett begeben,

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

279

visualisieren Sie gemäß Punkt 1 ein sehr positives Ergebnis Ihrer Klausur und schließen Sie mit einem selbstsicheren Satz „Ich schaffe diese Klausur prima!“. 10. Vergessen Sie nicht einen (oder zwei) Wecker zu stellen und mit einer genügenden Pufferzeit ein gemütliches Frühstück zu genießen. Danach blättern Sie nur einmal im Schnelldurchgang Ihre Aufzeichnungen durch, ohne ins Detail zu gehen. 11. Vergewissern Sie sich, dass sie alle Utensilien für die Klausur in Ihrer Tasche haben (Aufzeichnungen, Skript, Lehrbuch, Kuli, Farbstifte, Taschenrechner, etc.). 12. Lesen Sie zu Beginn der Klausur erst alle Aufgaben grob durch und legen Sie die Reihenfolge der Aufgabenbearbeitung so fest, dass Sie mit den aus Ihrer Sicht leichtesten Aufgaben beginnen und erst zum Schluss die schwerer erscheinenden Aufgaben bearbeiten. Das stärkt Ihr Selbstvertrauen! Schreiben Sie wichtige Einfälle, die Ihnen zur jeweiligen Aufgabe spontan in den Sinn kommen, sofort auf die Aufgabenblätter dazu. 13. Schreiben Sie in jedem Falle auf alle Ihre benutzbaren Blätter zu Beginn (Ihren Namen und) Ihre Matrikelnummer. Bei der Abgabe könnten Sie das in der Hektik vergessen. Alternativ können Sie dies bereits bei der Vorbereitung auf die Klausur auf benutzbare Blätter schreiben. 14. Versuchen Sie unbedingt lesbar zu schreiben. Eine „Schmierklaue“ erweckt beim Prüfer wahrscheinlich keine Begeisterungsstürme. Unleserliches wird selten positiv bewertet (bzw. wird im Zweifelsfall sogar ignoriert)! 15. Beschreiben Sie nie Vorder- und Rückseite eines Blattes, da die Rückseite bei der Korrektur übersehen werden kann. 16. Bei Unklarheiten zu der Aufgabenstellung sofort bei der Klausuraufsicht per Handzeichen melden (bitte nicht rufen!). Wenn dies für alle Teilnehmer wichtig ist, die Aufsicht bitten, dies allen mitzuteilen. 17. Wenn Sie bei einer Bearbeitung „auf dem Schlauch stehen“, dann scheuen Sie sich nicht, die Aufsicht per Handzeichen an Ihren Platz zu „rufen“. Die meisten Menschen helfen gerne. 18. Rechnen Sie nicht bis zur letzten Sekunde, sondern ordnen Sie Ihre Blätter gemäß der Aufgabennummerierung, da der Prüfer in der Regel genau in dieser Reihenfolge die Korrektur durchführt. Schauen Sie in den letzten 5 bis 10 Minuten lieber noch einmal Ihr Geschriebenes auf Vollständigkeit, Lesbarkeit, Leichtsinnsfehler etc. durch. 19. Lassen Sie sich am Ende der Klausur einen möglichen Nachbesprechungstermin nennen. Dies kann sinnvoll sein, wenn Sie das Gefühl haben, dass die Note nicht Ihren Erwartungen entspricht. Auch ein guter und gewissenhafter Prüfer kann einmal etwas übersehen. Das lässt sich am Besten in einem ruhigen und nicht fordernden Gespräch klären.

280

4 Klausur sicher bestehen!

20. Sollten Sie eine Klausur trotzdem einmal nicht bestanden haben, was nach Durcharbeitung dieses Buches für die Strömungsmechanik sicher nicht zutreffen wird, so versuchen Sie über den Prüfer (oder bei dessen Weigerung über den Dekan) einen Nachtermin möglichst zu Beginn des folgenden Semesters anzuregen. 21. Sollte es Ihnen gar drohen, vom Studium ausgeschlossen zu werden, so stellen Sie in jedem Falle einen gut begründeten Härteantrag. Dieser muss zwangsweise einen Härtegrund aufweisen (persönlich, familiär, gesundheitlich, etc.) und am besten ein ärztliches Attest enthalten. Außerdem sollten Sie schlüssig begründen, dass Ihr Studium durch Wegfall des Härtegrundes in Zukunft problemlos beendet werden kann! 22. Lassen Sie sich im Zweifel von guten Experten beraten (gibt es an jeder Hochschule). 23. Die vorstehenden Empfehlungen stehen für den Fall, dass Sie lediglich die Strömungstechnik-Klausur schreiben müssen. Im Allgemeinen werden aber in einem Prüfungszeitraum mehrere Klausuren zu absolvieren sein. Je nachdem, wie Ihre Grundveranlagung ist, also ob es Ihnen eher liegt mehrere Fächer synchron zu bearbeiten oder ob Sie lieber ein Fach am Stück konsequent durchziehen, müssen Sie die Empfehlungen entsprechend Ihrer Anforderungen abwandeln. Falls Ihnen noch weitere Tipps einfallen oder solche die Ihnen in der Vergangenheit bereits einmal gut geholfen haben, so wären Ihnen die Autoren für einen entsprechenden Hinweis dankbar. Bei der aktualisierten Auflage dieses Buches würde das allen Lesern zugutekommen. Was bringt mir diese Vorgehensweise für die Zukunft? Das vorstehend Gesagte bzw. die Vorgehensweise lässt sich in geringfügigen Abwandlungen auf alle Ihre zukünftigen Klausuren und studienbegleitende Tests übertragen. Auch die Sechs-Teilschritt-Methodik ist nicht nur für die Strömungsmechanik anwendbar, sondern ebenso für die Physik, die Mechanik, die Thermodynamik etc. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Das zusätzliche Kap. 5 – Klausur fair formulieren und beurteilen wird unter www.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. ___________________________________________________________________________________________

Literatur- und Quellenhinweise [PES 15]

Seite VI Peschges, K.-J.: Im Team entwickeln und konstruieren (2015, ISBN 978285 3-658-08679-4, https://www.springer.com) 286

[PAH 13]

VI

G. Pahl, W. Beitz: Konstruktionslehre, Springer Verlag 6. Auflage, 2013

[IDE 08]

69

Idelchik I.E.: Handbook of Hydraulic Resistance (2008, ISDN 978-156700-251-5, http://www.begellhouse.com

[BOH 80]

80

Bohl,Willi: Technische Strömungslehre, Vogel-Verlag, Würzburg, 1980, S.152

[BAN 19]

113

Mit freundlicher Genehmigung von BANDELIN electronic GmbH & Co. KG, Berlin, 2019 (aus Originalen von Prof. Lauterborn, Univ. Göttingen)

[BAN 19]

113 114

Mit freundlicher Genehmigung von BANDELIN electronic GmbH & Co. KG, Berlin, 2019 (aus Originalen von Herrn Crum, USA)

[PES 78]

260

Peschges, K.-J.: Experimentelle Untersuchungen zum Kavitations- und Betriebsverhalten einer linsenförmigen Drosselklappe, Dissertation, Technische Hochschule Darmstadt, 1978

[VDI 13]

266

VDI 13 VDI-Wärmeatlas, Springer Vieweg, 11. Aufl. 2013

[HUN 17]

276

https://motiviert-studiert.de/motivationsrede (02.02.2017, aufgerufen am 22.11.2018)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5

Wem wir Dank sagen „Mit einer Hand kann man keinen Knoten knüpfen“, so beschreibt ein mongolisches Sprichwort das erforderliche Zusammenwirken von Menschen an einer komplexen Arbeit. Dieses Buch verdankt seine Entstehung vielen guten Geistern, von denen wir dankbar einige aus unserer jeweiligen Sicht beim Namen nennen wollen. Klaus-Jürgen Peschges Dieses Buch wäre nicht entstanden, ohne die wohlwollende Unterstützung des Lektorats des Verlags Springer Vieweg, Herrn Thomas Zipsner, Cheflektor MB, und Frau Imke Zander. Mit wesentlichen Verbesserungshinweisen haben sie zur jetzigen Form des Buches beigetragen. Herzlichen Dank für diese Vertrauensbasis. Wertvoller Gesprächspartner und unverzichtbarer EDV-Experte bei der praktischen Bucherstellung war der Mitautor Herr Steffen Manser. Mit großem Dank werde ich diese angenehme Zusammenarbeit in Erinnerung behalten. Gleichzeitig ist Herr Manser als junger Forscher im Ingenieurbereich Garant für eine zukünftige Weiterentwicklung und Aktualisierung dieses Buches. Die unendliche Geduld meiner Frau Margot Peschges, die sie nun in mehr als 50 Jahren gemeinsamer Lebenszeit meiner Arbeit gegenüber hat, weiß ich wohl zu schätzen, und danke ihr dafür und für alles wertvolle Andere von ganzem Herzen. Dieses Buch basiert letztlich auf prägenden Erinnerungen und Anregungen von einem Onkel und drei Hochschullehrern der TH Darmstadt, die mir entscheidende Impulse für eine praktische und phänomenologische Hochschullehre gegeben haben: Das wesentliche, früheste Aha-Erlebnis für eine systematische Vorgehensweise bei der Lösung von physikalischen Aufgaben, durch vorherige Umwandlung von Text in Skizzen, verdanke ich meinem Onkel Toni Schwall. Diese Anregung hat darüber hinaus den Lernwillen in einer schwierigen Jugendphase beflügelt! Professor Dr. Alwin Walther hatte den ersten Lehrstuhl für Praktische Mathematik an der TH Darmstadt inne. Vor jedem neuen mathematischen Thema zelebrierte er eine experimentelle praktische Anwendung, wodurch schlagartig das nachhaltige Interesse und die Aufmerksamkeit für ansonsten theoretische Themenstellungen geweckt wurden. Prof. Dr. Gerhard Pahl, hat mit seinem wegweisenden Buch „Konstruktionslehre“ entscheidend zur Übertragung einer solchen Vorgehensweise auf andere Fachgebiete beigetragen. Professor Jörg Osterwalder war nach meinem Maschinenbau-Studium mein Doktorvater am Lehrstuhl für Hydraulische Maschinen und Anlagen der TH Darmstadt. Durch seine methodisch-praktische Vorgehensweise bei strömungstechnischen Problemstellungen, hat sich mein diesbezüglicher Horizont gegenüber dem üblichen Hochschulwissen deutlich erweitert. Dies hat sich auch in der Strukturierung dieses Buches niedergeschlagen. Letztlich haben aber unzählige Begegnungen, Gespräche und Diskussionen mit Kollegen, Weggefährten und Zufallsbekanntschaften den Webstoff für dieses Buch geliefert, denen ich ebenso wertschätzend Danke sage!

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5

Wem wir Dank sagen

283

Steffen Manser Zu aller erst möchte ich meinen herzlichsten Dank an Herrn Prof. Dr. Klaus-Jürgen Peschges aussprechen. Seine jahrzehntelangen Erfahrungen auf dem Gebiet der Fluidmechanik ist es zu verdanken, dass dieses Buch mit all dem großartigen Inhalt gefüllt wurde, den es nun an die Leser weitergibt. Auch seine menschliche Art hat dazu beigetragen, dass das Projekt kontinuierlich mit neuen Ideen gefüllt und diese auch umgesetzt wurden. Ebenso großer Dank gebührt Herr Thomas Zipsner und Frau Imke Zander vom Springer Vieweg Verlag durch Ihre stets hilfsbereite Art und die vortreffliche Unterstützung, die zu einem erheblichen Teil zu dem Gelingen dieses Buches beigetragen hat. Des Weiteren möchte ich mich bei meiner ganzen Familie bedanken, die mich durch die doch teilweise stressige Zeit begleitet und immer unterstützt hat. Ebenso gebührt all den Personen mein Dank, die mich bisher auf meinem Weg begleitet haben und weiterhin begleiten werden. Ich freue mich, so wunderbare Menschen gefunden zu haben.

Sachwortverzeichnis #

Ausströmgeschwindigkeit 146, 270f

6-Schritte-Kochrezept 136 B A

Ball 77, 84, 162, 170f

Ähnlichkeitsbeziehungen 117

Barometer 193

Ähnlichkeitsgesetz 116, 118

Barometrische Höhenformel 32, 194

Äquivalenzwert 66

Beliebige Schaltung 72

Äußere Kräfte 94

Benetzung 23, 77, 110, 162, 165, 256, 260

Absolutdruck 127

Bernoulli 51, 87, 89, 111, 116, 204, 224, 264

Absolutgeschwindigkeit 45ff, 102, 238

Bernoulli-Energiegleichung 38, 57, 145

Adiabat 31, 130, 134

Bernoulli-Gleichung 33ff, 138, 144, 147ff, 165f, 167f, 169, 196ff, 214, 218, 220f, 223ff, 228, 241, 261

Aerostatik 16f, 29, 179, 194 Aerostatische Grundgleichung 30 Allgemeine Gasgleichung 132 Angelsächsische Einheiten 12, 14, 177 Anfahrwirbel 87f Anstellwinkel 90f

Bernoulli-Konstante 42, 56f Beschleunigungsglied 51f Betz-Manometer 259 Bezugsgeschwindigkeit 60, 67, 73, 26

Anströmgeschwindigkeit 86, 121

Bezugsniveau 18, 34, 54, 142, 144f, 164f, 180f, 197, 199

Antriebsleistung 76f, 86, 151ff, 220ff, 235ff

Blende 176, 229

Arbeit 34f, 54, 135, 250, 252ff

Blutkreislauf 212

Arbeitsmaschine 53, 106, 251

Boeing „747“ 237

Archimedes 22, 24, 165 Atmosphärendruck 16, 20, 43, 49, 97, 145, 148, 164, 196, 199, 204f, 217, 219, 221, 225 Auftrieb 22ff, 86, 91, 187f, 233 Auftriebsbeiwert 91, 237ff Auftriebskraft 22ff, 87, 170, 187f, 237ff Ausfluss 144, 219, 260 Ausflussformel 36, 176, 204 Ausströmen 94, 99, 104, 268

C Coanda-Effekt 161, 170, 173

D D’Alembert-Kraft 26, 81, 95 Dampf 130, 214, 272 Dampfdruck 51, 111, 115f, 202, 260, 264 Dampfdruckkurve 111

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-J. Peschges und S. Manser, Strömungsklausur im Nacken?, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28146-5

Sachwortverzeichnis

285

Dichte 9ff

E

Diffusor 3f, 7, 38, 66, 93, 129, 137f, 139f, 169, 174ff, 196ff

Ebene Platte 85

Dissipation 58 Drallkonstante 201 Drallsatz 93, 100f, 240f Drehmoment 76, 100ff, 170 Drehimpulssatz 100, 240 Druck 1, 9ff, 16 Druckänderung 39ff, 128, 199 Druckabfall 59, 131f, 271, 274 Druckbehälter 18, 144 Druckenergie 37, 51, 59, 129 Druckkraft 16, 19ff, 40f, 100, 123, 168, 185f, 242f, 254 Druckmessung 19, 32, 81, 161, 179ff Druckmittelpunkt 20ff, 186

Einheiten 9ff, 35, 177, 193, 203, 210, 263 Einheiten-Umrechnung 13, 136, 228 Einlaufstrecke 62f Elastizitätsmodul (E-Modul) 121 Elektrische Kraft 96 Energieabfuhr 53f, 56, 59, 210 Energieerhaltungssatz 33ff, 196 Energiegleichung 37ff, 129, 145, 196, 269 Energiestrom 35f Energiezufuhr 39, 54ff, 60, 129, 155f, 209, 219 Enthalpie 129, 269, 272 Erdbeschleunigung 10, 24, 26, 29, 34, 38 Eulersche Hauptgleichung 102, 104f, 247ff Euler-Zahl 123

Druckrohrleitung 147 Druckstoß 205, 207

F Fahrgeschwindigkeit 45f, 171

Druckverlust 62ff, 73ff, 80, 130, 133, 143, 147ff, 164, 179, 183, 211, 214ff, 228ff, 271ff

Fallenergie 54f, 210

Druckverteilung 24, 28, 81, 143

Fallhöhe 15, 38, 54f, 207, 210, 223

Druckwasserpumpe 208f

Fernleitung 271

Druckwiderstand 73f, 83

Feuchte Luft 9

Druckziffer 50f, 82

Flächenwiderstand 80

Düse 115, 126f, 129, 147ff, 208, 219, 223ff, 268ff

Flügelfläche 90, 92, 237

Durchflussmessung 228 Durchströmung 3f, 58, 66, 68f, 100, 124, 127, 143, 147, 165 Dynamischer Auftrieb 86, 233 Dynamischer Druck 37 Dynamische Viskosität 9, 77, 212

Flüssigkeitsdruckkraft 20 Flüssigkeitskavitation 44, 107, 111ff, 161, 252, 261 Fliegergleichung 30 Fliehkraft 40, 96 Flugbahn 15, 171 Flughöhe 32, 193ff

286

Sachwortverzeichnis

Fluiddynamisches Paradoxon 167

H

Fluidmechanik 1, 8, 13, 20, 33, 107, 117, 161, 173, 183, 252, 276

Haftspannung 110, 257

Fluidmechanik-Effekt 161ff Förderhöhe 54f, 210, 222 Formelsammlung 5, 160, 173, 278 Formfaktor 62, 65 Formwiderstand 77, 81ff, 233, 235f Freie Oberflächen 24ff, 242

Heizung 33, 53, 56 Hydraulisch glatt 81, 119, 219ff, 234 Hydraulisch rau 119, 230f Hydraulische Presse 19 Hydraulischer Durchmesser 64, 214, 218 Hydrostatik 16, 17ff, 141, 179

Freistrahl 42f, 168, 260

Hydrostatische Grundgleichung 18f, 25f, 141f, 180ff

Froude-Zahl 58, 122, 124, 173, 267

Hydrostatisches Paradoxon 19

G

I

Gase 16f, 127, 164, 183, 269

Ideale Fluidströmung 33, 196

Gasgleichung 132

Ideales Fluid 37

Gaskonstante 30, 128, 132

Ideales Gas 30

Gasströmung 33, 58, 107, 123, 126, 127, 252, 269, 272

Impulsmoment 101

Gasturbine 33, 53, 126 Geometrische Ähnlichkeit 118 Gesamtdruck 37, 73, 75 Gesamtverlustziffer 70 Gesamtwiderstand 77, 84ff, 151, 229, 233 Geschwindigkeitsdreieck 46ff, 105, 119f, 247ff Geschwindigkeitsverteilung 5, 61, 200, 202 Gewichtskraft 18, 24, 29, 38, 96, 187f, 238f, 257

Impulssatz 61, 93, 100f, 153ff, 240f Impulsstrom 99, 242f Individuelle Gaskostante 128, 132 Inkompressibel 153, 260 Innere Energie 33ff, 129 Instationär 2, 39, 51ff, 59, 203 Intsationäre Strömung 2, 39, 51ff, 93, 203f Isentrop 31, 128 Isotherm 31, 133f, 193ff

Glattes Rohr 219, 223 Grenzflächenspannung 107ff, 157, 161ff, 252ff Grenzschicht 63, 78, 80f, 233ff

J Joukowski-Stoß 203ff

Grenzschicht-Theorie 78 Grundablass 203 Grundriss 47

K Kaminwirkung 162, 164

Sachwortverzeichnis Kanal 3, 5, 43, 46ff, 66, 102, 106, 117ff, 126, 217, 264ff Kapillarität 107, 109, 121 Kapillarwirkung 107, 110, 143, 162ff, 255ff Karmansche Wirbelstraße 123, 170 Kavitation 44, 49, 51, 90, 107, 111ff, 120ff, 161, 252, 260ff

287 Kritische Geschwindigkeit 212 Kritische Reynolds-Zahl 59, 79, 271 Kritisches Druckverhältnis 271 Krümmer 44, 51, 68, 93, 100, 199f, 220, 223ff, 240ff Kühlung 33, 53, 56

Kennlinie 75f, 105f, 246ff

Kugel 20, 25, 84f, 92, 107, 124, 168, 171, 207, 224ff, 254

Kennzahlen 121ff

Kugelumströmung 124

Kinematische Viskosität 9, 59, 116, 122, 177, 211, 213, 265, 272 Kinetische Energie 35f, 59 Kirchhoffsche Gesetze 71f Klappenwehr 185 Körpergrenzschicht 79f Kohäsionskräfte 107 Kolbenpumpe 36, 52f, 76 Kommunizierende Röhren 19 Kompressibilität 205 Komponentenbetrachtung 98f, 156, 240ff

L Längsschnitt 44ff Lageenergie 59, 129 Laminar 58f, 61ff, 124, 211f, 220ff, 233ff Laminarprofil 233, 235 Laminare Rohrströmung 61 Laufrad 45ff, 101ff, 119, 223, 248 Lavaldüse 126f, 271 Leckagestrom 119, 217

Konfusor 7, 38, 66, 93, 129, 137ff, 169

Leistung 9ff, 35, 76f, 86, 104, 151, 153ff, 208ff, 219ff, 235ff

Konstanten 9f, 38, 42, 201f

Lösungsansatz 277

Kontaktwinkel 109

Lotuseffekt 165, 260

Kontinuitätsgleichung 6ff, 14, 48f, 52, 103, 128, 132, 137, 144ff, 156, 165ff, 174ff, 196ff, 213ff, 218, 224f, 241, 247ff, 261ff, 270ff, 278

Ludwig Prandtl 78

Kontraktionszahl 224 Kontrollvolumen 93ff, 153f, 240ff Kräfteplan 99, 241ff Kraftmaschine 53,55 Kraftwirkung 93, 96 Kreiselpumpe 44ff, 75, 101ff, 115, 201, 246ff Kreiselpumpen-Kennlinie 75f

Luft 9f, 17, 30, 34, 50, 128, 151, 153, 160, 165, 179, 183ff, 211ff, 213ff, 235ff, 264ff, 268ff Luftstrahl 162, 170 Luftwiderstand 171, 235f

M Mach-Zahl 58, 123, 238, 266 Magnetkraft 96 Magnus-Effekt 86f, 170f

288

Sachwortverzeichnis

Manometer 143, 160, 179ff, 229, 259

Parallelströmung 41, 86

Masse 7, 25, 34ff, 56, 94

Pascal 10

Massenkräfte 96f

Pascalsches Paradoxon 19, 23

Massenstrom 5, 34f, 103, 128, 271

Peltonturbine 95, 147, 219, 223

Mechanische Energie 33

PKW-Formwiderstand 235

Meniskus 107, 109f, 143, 182, 256, 259

Platte 65, 78ff, 84, 162, 167, 233ff

Meridianschnitt 45

Platten-Blasrohr 162, 167

Methodische Arbeitsschritte 135ff

Plattengrenzschicht 78

Mikrojet 112ff

Plattenreibungsdiagramm 64, 233ff

Modell 50, 117ff, 264ff, 266ff

Polarenddiagramm 90

Modellgesetz 107, 116ff, 252

Polare 90, 92

Modellversuch 117ff, 265ff

Polytrop 31, 130, 195

Moment 22, 76, 100ff, 170, 186

Potentialströmung 81 Potentialwirbel 86, 201

N

Potentielle Energie 34

Nachlaufdelle 79

Profil 5f, 61ff, 78, 86, 90, 118

Newton 10, 25, 51, 94, 118, 121

Profilpolare 90, 92

Newtonsche Flüssigkeit 213

Prüfstand 217, 228

Newtonsches Reibungsgesetz 77

Pumpe 34, 44ff, 51ff, 75, 103, 105, 120, 208ff, 219ff, 228ff, 248

Nichtbenetzung 110, 162, 165, 260 Nicht-Newtonsche Flüssigkeit 213

O Oberflächenkräfte 5, 18, 21ff, 64ff, 77ff, 95ff, 107ff, 118f, 154, 162, 187ff, 233ff, 242, 252ff, 260 Oberflächenrauigkeit 118, 233, 235 Oberflächenspannung 107, 109, 121, 157, 254 Ofen 164, 183ff

P Parallelschaltung 71ff, 229ff

Pumpenkennlinie 75f, 251

Q QR-Code 160, 161ff, 280 Quecksilber 9, 143, 180, 254, 257 Querkraft 22, 86ff, 233, 237ff Querschnittsänderung 68

R Rakete 77, 93 Randwirbel 90 Rauigkeit 65f, 118, 213ff, 233ff, 271ff

Sachwortverzeichnis Rauigkeitswerte 65 𝑅𝑅𝑅𝑅-Zahl 62f, 92, 122, 171, 212ff, 218, 235, 265 Reale Strömung 33, 58

Reibung 58, 67, 73, 77ff, 116, 225f, 242 Reibungsbehaftete Fluidströmung 58, 211 Reibungswiderstand 77ff, 233 Reihenschaltung 70ff, 229ff Relativbewegung 45, 48f Relativgeschwindigkeit 45ff, 111 Reynolds 58ff Reynolds-Zahl 58, 64, 78f, 85, 90, 116, 122, 151f, 210ff, 232ff, 264ff, 271ff

289 Schallgeschwindigkeit 123,126, 128, 237, 266, 271 Schaufelplan 47, 103 Schieber 207, 224ff Schließgesetz 202, 204f, 207 Schiffsmodell 266ff Schleppkanal 266ff Schnellabschluss 53, 202 Schornsteinwirkung 162, 183ff Schrägrohrmanometer 143 Schubspannung 77f, 122 Schweben 24, 190

Rohrerweiterung 137

Schwimmen 24, 87, 165, 187

Rohrkrümmer 44, 199, 240

Segelflugzeug 193ff, 233ff

Rohrleitung 2, 35, 44, 52f, 58ff, 66f, 124, 131f, 147, 150, 176, 196ff, 202ff, 213ff

Skalare Größe 16, 245

Rohrleitungskennlinie 75f Rohrquerschnitt 61ff, 220, 213, 216

Spaltdichtung 217ff Spaltströmungen 118f, 217

Rohrreibungsdiagramm 64, 220f, 230, 272f

Spezifische Energie 20, 35, 42, 56, 145, 148, 196, 228

Rohrreibungsverlust 214, 223, 229

Spezifische Enthalpie 129, 269, 272

Rohrreibungszahl 62, 64, 214ff

Spezifische Oberflächenenergie 252

Rohrströmung 5, 33f, 61ff, 18, 124, 129, 130ff, 179ff, 213ff

Spezifische Wärmekapazität 36, 56, 128, 268

Rohrverengung 137 Rotationsparaboloid 28, 191ff Rotierendes Bezugssystem 39, 44 Rotierendes Gefäß 190f Rückhaltebecken 202

S Sättigungsdruck 9 Sandrauigkeit 65f, 284 Saugrohr 45, 51

Spezifisches Volumen 128 272 Spirale 45, 57 Standard-Atmosphäre 195, 237f Standard-Einheitenumrechnung 228 Stationär 59, 137, 203 Stationäre Strömung 2, 7, 39, 53, 137, 153, 209 Statischer Auftrieb 22ff, 179, 187 Statischer Druck 16ff, 37 Staudruck 82 Stirnfläche 83, 85, 235

290

Sachwortverzeichnis

Stoffeigenschaften 121

Tragflügelreibung 233

Stoffwerte 1, 9ff, 123, 139, 177, 237

Tragflügeltheorie 106

Stokes’sche Haftbedingung 61

Turbine 15, 33, 54f, 111, 119, 126, 147, 207f, 219, 223

Stolperdraht 80, 84 Strouhal-Zahl 13, 170 Strömungsablösung 77, 81 Strömungsfeld 38, 40, 93ff Strömungsformen 127 Strömungsgeschwindigkeit 1, 4,14, 33, 58, 86, 115, 145, 200, 212

Turbulent 59, 63, 79f, 124, 171, 211ff, 233ff Turbulente Rohrströmung 61, 63 Turbulenzgrad 80f

U Überdruck 19, 21, 89, 97, 146, 205, 208, 240

Strömungskraft 240, 242, 251

Überschallbereich 126

Strömungsmaschinen 53, 86, 104, 106, 115, 201

U-Rohr-Manometer 141ff, 160, 179ff, 229, 259

Strömungsphänomen 161ff Strömungssystem 70, 211 Stromfaden 2f, 45, 54, 63, 94, 261, 269 Stromlinie 2ff, 38ff, 82, 96, 166, 169, 200ff, 269

Ultraschall 115f, 163 Umfangsgeschwindigkeit 28, 46ff, 86f, 104 Umgebungsdruck 16, 167f Umschlagpunkt 79f

Stromröhre 2, 6f, 33ff, 60, 94

Umströmung 3f, 66, 77ff, 95f, 100, 111f, 124, 127, 143, 151ff, 169, 233ff

Stützkraft 97, 99, 153, 155, 240ff

Unterdruck 16, 89, 203

Stutzenarbeit 54 V T

Vektorbetrachtung 98f, 241, 246

Tauchergleichung 18ff, 29

Vektorbeziehung 46ff, 247

Technische Rauigkeit 65, 214

Ventil 51, 60, 66, 69, 76, 115, 182, 207

Thermische Zustandsgleichung 30

Venturi-Düse 115

Torricelli 21, 36, 146, 150, 176, 197, 204, 219, 262

Verdrängungsmaschinen 53

Totwasser 42f, 58, 66, 77, 81f, 118, 171f Totwassergebiet 77, 172 Trägheitskraft 26, 122f Tragender Wirbel 88 Tragflügel 22, 77, 86ff, 106, 118, 143, 163, 169, 233ff, 237ff

Verlustbehaftete Strömung 59ff Verlustziffer 60, 62, 66ff, 218, 223ff, 229 Verschlusskraft 185 Video 161ff Viskosität 9ff, 58f, 66, 93, 116, 121, 177, 211ff, 271ff

Sachwortverzeichnis Volumen 2, 5, 22f, 27f, 35, 93, 95f, 98ff, 128, 192, 253 Volumenkräfte 40, 105 Volumenstrom 2, 5, 14f, 44ff, 61f, 75f, 137, 144ff, 174, 196, 199, 208, 217ff, 224, 247, 250

291 Z Zahlenwertgleichung 14f Zentrifugalkraft 27f, 40 Zerstäubung 108, 252ff Zirkulation 86ff

W Wärmekapazität 35, 56, 121, 128, 268f Wärmetauscher 56, 71 Wandhaftung 6 Wasser 9ff, 26, 33ff, 50f, 54, 111, 126, 137, 144, 147, 157, 165, 173, 176, 179ff, 187, 196, 199ff, 208, 214, 217, 219, 223, 252, 257, 259, 266 Wasserdampf 130, 134, 214, 271f Wasserschlag 207 Wasserschloss 207f Wassersprung 125, 163, 173 Wasserturbine 15, 33f, 44, 54f, 66, 117, 122, 170, 210, 223 Wasserversorgung 219f, 259 Weber-Zahl 123 Werkstoffkavitation 112, 114f Widerstand 72, 117, 230, 235, 237 Widerstandsbeiwert 80, 85, 90, 151, 172, 233, 235 Widerstandsziffer 80ff Windkanal 50, 117f, 264ff Wirbel 86ff, 170f, 201f Wirbelablösung 171 Wirbelstraße (Karmansche) 123, 170

Y Young’sche Gleichung 110, 256

Zirkulationsströmung 87