Statica dei sistemi di forma invariabile

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-v^

LA STATICA DEI SISTEMI DI

FORMA INVARIABILE

OPUSCOLO '

.

l'Hor.

DEL DOTT. FRANCESCO BRIOSCm DUO.

til

11

\TJ«*TICA APrtlCATA

XKLI.'

«.

». f:»iyEll.A(TA*

Iti

PAVIA

MILANO Dori'. FK.\NCESCO

VALLAUDI (TIPOGRAKO-EDITOKE)

Contracin S. Margherita N.

1859

j.

LA STATICA DEI SISTEMI DI FOBMil INVARIABILE

LA STATICA io DEI SISTEMI DI

FORMA INVARIABILE

OPUSCOLO

DEL DOTT. FRAKGESCO BRIOSCIII PROF. ORD.

m

MATi£)IATICA APPLICATA NELL'

f.

R.

UNIVERSITÀ' DI PAVIA

MILANO DOrr. FRANCESCO VALLAUDI (TIPOGRAFO-EDITORE) Contrada

S.

Margherita N.

1859

5.

li

presenlc* 0|)usculu è posto sotto la

tutela

delle

veglìaiiti leggi e

convenzioni dei

(roverni d’ Italia, che concorsero a garantire le propricià letterarie.

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ì

INDICE

PemCA. Al Capitoi/)

Dott. Giuseppe Ainbrosoli

—

1.

pan, vir

Compogizione e deeompoeizione delle forze applicate ad un ponto

Cahitou)

—

11-

parallele, e teorica

deUé coppie

— Compoeizione dei sistemi — Della coppia rianltante

Capitoi.» Ili

Caittol» IV.

di

di

forma invariabile

momento minimo,

1

11

.

.

i

20

e della

digtribaaioDe degli aasi delle coppie nello gpagio

Capitolo VI.

— Proprietà — Relazioni

Capitoix) vii.

— Dei

Capitolo V.

a

$

Compoaiaione e deeompoaizione dei sistemi di due forze

.

delle coppie rignltanti fra

i

momenti

«

28

n

.34

delle coppie rigultanti e eoin -

poiienti

Iti

sistemi di forma invariabile riducibili ad

una

ri-

anltante, e del centro delle forze

Capitolo Vili.

— Delle

condizioni per reguMibrio di

applicate ad CAPITOI./J IX.

—

un sistema di

un punto

invariabile, e dell'asse fi equilibrio

XoTA

‘

.

forze .

^

n

64.

e

tiii

a

II

Delle condizioni per requ3ifario di un sistema di forma

1

Dìgìtized

by

Gbogle

Al

Doti. Giuseppe Ambrosoli.

Carissimo Amico.

Protnettendomi l’opera tua nella revisione delle prove di

stampa mi spingesti a publicare questo opuscolo, nel quale ho raccolto

le

mie lezioni

sulla

statica

razionale

dei si-

\

steìni

di forma

invariabile.

A

te

perciò

lo

indirizzo

in

segno di gratitudine.

Settembre 1858

.

Il tuo

Br loschi.

Digilized

by

Coogle

STATICA

LA

TORMA INVARIABILE

DEI SISTEMI DI

CAPITOLO

Composizione

I.

decomposizione delle forze

e

applicate ad

un punto.

1." Considerando due o più forze agenti sopra un medesimo punto, denominasi loro risultante la forza che produce

lo stesso effetto di esse

nome di componenti. Comporre due o più

;

ed

alle forze

medesime

si

dà,

il

forze applicate ad un punto significa

sultante di quelle forze.

necessarj ad individuare la riPer ottenere questi elementi nel

caso particolare in cui

considerino due sole forze agenti

determinare

gli

elementi

si

sopra un pimto incominciamo dal supporre che quelle forze sieno eguali.

È

evidente che in questa ipotesi la direzione

della risultante dividerà per

metà l’angolo compreso

dalle

componenti, per cui non rimarrà a determinarsi che la sua grandezza. Ora 1’ effetto prodotto da direzioni

delle

quelle due

componentr deve manifestamente mutare vadi quelle forze e 1’ angolo compreso

riando la grandezza Hh

oschi.

luì

Stnlicn ree.

1

Dg ì

ì

l

ì

reti'by

Google

.

2

FOKZK CONtOKftENTl.

medesime; quindi indicando con P grandezza comune delle componenti, con 2u l’angolo che le loro direzioni, e con R la grandezza cer-

dalle la

direzioni

delle

comprendono

cata della risultante sarà

:

R=/(P,4 Lnmaginiamo applicate forze di grandezze pure

al

medesimo punto due

eguali fra loro ed

altre

eguali a Q,

con quelle delle prime componenti; sarà /(Q, w) la grandezza della risultante di queste forze, e la direzione della stessa coinciderà con quella della prima risultante. Ma noi possiamo ritenere come agenti sul punto due forze clascima di grandezza P Q e le direzioni delle quali comprendono un angolo 2u e siccome la direzione della risultante di queste coinciderà colla comune alle prime due risultanti, e la grandezza di questa sarà /(P -t- Q, f)

=/(P,

«).

Ora

/(P +

Q, «)

= /(Q,

per cui sostituendo /(P,.>)

-h

P/

+

(Q)

= p/’ (Q)-h-ipv’"

ed osservando che il primo membro dipendente da Q si otterrà

essendo

/(P,

2

avrà

1’

il

che è evidentemente assurdo.

:

R=2P

cos. c

(

= — essendo nullo l’effetto delle componenti dovrà essere R = 0, ed in conseguenza c un numero dis^ pari. Suppongasi c = 2n + 1 ed « = ^ risulterebbe R = 0 e effetto delle due componenti dovrebbe essere ma quando

w

,

1’

eh; è assurdo fuorché nel caso di tic= 0; sarà 1 ed quindi c

nullo;

il

=

(

R=2P

2)

cos.

4j.

Consideriamo ora due forze disuguali di grandezze P, Q, di cui le direzioni comprendano un angolo retto. Si immagini la direzione della risultante A di queste forze ed indicando a l’angolo che essa comprende colla direzione della prima componente, si consideri la forza di grandezza P come la risultante di due forze a, ò, ciascuna di grandezza indeterminata X, la direzione della prima delle quali sia quella della risultante A. Così si consideri la forza di grandezza Q come la risultante di due forze c, d, ciascuna di grandezza indeterminata Y, e la direzione della c coincida colla direzione della risultante A. Evidentemente le forze 6, d avranno la medesima direzione ed agiranno per verso contrario inoltre per la (2) si avranno le 2.°

;

P=2X

cos. a

,

Q=2 Y

sen. a.

Incomincierò dal dimostrare che le grandezze X, Y delle forze a, b\c,d sono eguali. Infatti supponiamo Y > alle ;

X

due forze ò, d potremo sostituire ima sola forza di grandezza Y — X secondo la direzione ed agente pel verso della d. Quindi alle due forze date verremmo a sostituire due altre forze 1’ una di grandezza X. Y di cui la direzione coincide con quella della risultante A, 1’ altra di

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FORZE CONCORRENTI.

grandezza Y — X a seconda della direzione della d. Componendo queste due forze si otterrebbe una risultante la direzione della quale non sarebbe evidentemente quella della risultante A e quindi anche la risultante delle due forze date dovrebbe avere una direzione differente dalla Y e supposta. Dunque dovrà essere X ;

=

P = 2 X cos.

Q = 2 X sen. a

a,

;

6, d è nullo, ne risulta grandezza della risultante delle due forze date. Quindi, se le direzioni di due forze agenti sopra im medesimo punto comprendono un angolo retto, la grandezza di ima qualunque di esse è eguale alla grandezza

e siccome l’effetto delle due forze

essere

2X

la

medesime

della risultante delle

forze, moltiplicata pel co-

seno dell’angolo che la direzione di quella forza comprende colla direzione della risultante. 3.°

Q

Sieno ora P,

zioni delle

quali

le

grandezze

di

due forze,

comprendano rm angolo

si

;

prodotto P.jp può ritenere lo stesso valore

modi

infiniti

coppie,

infinite

di forze

maginiamo due

di

i

,

valori dei fattori

per

differenti

ponno avere

P

e p,

braccio

ne

ri-

e per

momento. Imper Tuna;

lo stesso

queste coppie e sia

M = Pp {

e per

1’

altra:

M=

Qg-

;

=

queste coppie producono il medesimo effetto. Infatti denominando per brevità con A, B gli estremi del braccio della prima coppia, suppongasi il braccio stesso prolungato di una parte B C eguale in lunghezza a q, ed applicate a ciascuno dei punti B, C due forze eguali in grandezza a Q, dirette parellelamente alla direzione delle forze della prima coppia ed agenti per verso contrario. L’ aggiunta di queste quattro forze non altererà l’effetto prodotto dalla prima coppia; ma componendo le forzo di grandezze P e Q applicate ai punti A, C ed agenti pel medesimo verso ottiensi una risultante di grandezza P -I- Q di cui la direzione per essere incontra punto B. L’effetto Pp la retta nel A C Q,q di questa risultante distruggerà in conseguenza quello delle forze di grandezze P, Q applicate al punto B; per cui r effetto di quelle sei forze equivarrà anche a quello delle due forze di grandezza Q applicate ai punti B, C ed agenti per verso contrario, cioò all’ effetto prodotto dalla coppia di braccio q. Dunque due coppie di cui i momenti dimostrasi facilmente che se P/>

,

,

=

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FORZE 1-AHALLKLE E COFIME.

1!)

sieno eguali producono lo stesso effetto

o ponno

,

sosti-

tuirsi r una air altra; cioè il momento di una coppia è la misura della sua intensith.. 3.® Cliiamasi plano di una coppia il piano individuato dalle direzioni delle sue forze. L’ effetto però di ima coppia non cambia se da una posizione venga trasportata in un’ altra nel proprio piano, purché le estremitìi del braccio della coppia nella seconda posizione sieno uniti invariabilmente ai punti del piano che coincidevano colle estremità del braccio della coppia nella prima posizione. Infatti nel piano di una coppia qualunque si immagini dapprima una retta parallela e di lunghezza eguale al suo

B

braccio. Detti A,

per brevità

gli

estremi

della coppia; A|, Bi, quelli della retta,

si

braccio

del

suppongano

uniti

cd i punti Ai B; quindi applicate tanto al punto A| quanto al punto Bi due forze ciascuna di grandezza eguale a quella delle forze della coppia, parallele alle medesime ed agenti per verso con-

invariabilmente

i

punti A, B|

trario. L’effetto di

,

queste quattro forze sarà nullo, e quindi sei forze dirette nel piano

complesso di quelle

l’effetto del

coppia. Ma componendo le due ed agenti pel medue forze analoghe applicate ai punti B, A|, si ottengono due risultanti di cui gli effetti manifestamente si elidono dunque 1’ effetto di quelle sei forze B| equivale anche a quello delle due applicate ai punti A| cioè a parallele eguali ed agenti per verso contrario quello della coppia di cui il braccio è At B|. Immaginiamo ora nel piano di una coppia una retta di lunghezza eguale al suo braccio e situata in modo che il punto di mezzo di essa coincida con quello del braccio; denominate ancora

equivale a quello della

forze parallele applicate ai punti A, Bi

desimo verso e

le

\

;

,

,

,

,

A,

B

,

A|

,

Bi lo estremità del braccio e della retta,

pongano applicate

sup-

si

Bi quattro forze .come sudue forze concorrenti ma 1’ applicate l’una in A altra in Ai c le due applicate in B e B, si ottengono due risultanti di grandezze eguali, co-

periormente.

ai

punti A|

Componendo

,

le

,

,

,

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16

l'ORZU

PARALLELE K COPPIE.

incidenti in direzione ed

adenti per verso contrario. Per

cui l’effetto del complesso delle sei forze equivarrà, a quello della sola coppia

di

cui

braccio è A| B|. Queste due

il

proprietà conducono alla piu generale enunciata sopra; anzi osservando che la dimostrazione della prima di esse vale anche pel caso che la coppia venga trasportata dal

proprio piano in un piano parallelo ad esso, condizione esposta

sotto la

avrà che

si

una coppia può essere

tras-

portata nel proprio piano od in un piano parallelo ad esso in

im modo qualunque.

4.“ Allorquando si consideri il complessivo effetto di molte coppie situate in un piano è necessario distinguere il verso secondo il quale esse agiscono. A ciò si potrà im-

maginare che

i

pia sieno

,

fissi

punti di mezzo dei bracci di ciascuna cop-

ed

verso secondo cui agisce una qua-

il

verso secondo cui la coppia tenderebbe a ruotare intorno quel punto fisso. Si avranno quindi coppie le quali agiscono da destra a sinistra ed altre agenti da sinistra a destra. E nello stesso modo che dietro una stabilita convenzione applichiamo segno positivo ovvero negativo alle grandezze di due forze agenti per verso contrario nella medesima direzione; i momenti di due coppie poste in uno stesso piano ed agenti per verso contrario si riterranno come affetti da segni disuguali. Ciò posto supponiamo si vogliano comporre due coppie situate in im medesimo plano; cioè si voglia detenninare mia coppia che produca lo stesso effetto di quelle. Sieno P, Q le grandezze delle forze per l’una e per l’altra cop-

lunque

di esse

sarà

il

,

pia;

p

e

q

\

rispettivi bracci.

pia di braccio il

medesimo

p

Q5 quindi

che

il

Immaginiamo una terza cop-

grandezza X che produca seconda delle date; dovrà essere:

e di forza di

effetto della

= X2i;

supponga trasportata quest’ultiina coppia in modo suo braccio venga a coincidere col braccio della si

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KORZL l’ARALLELK E rOPI'lK.

prima.

E

17

due coppie date agiscono pel

chiaro che se le

medesimo verso risulteranno applicate a ciascuna

comune due forze medesimo verso, e che

delle

grandezze P,

X

estremità del braccio

di

agenti pure pel

se le coppie date

sono

di

verso contrario ciò avrà anche luogo per quelle

Nel primo caso si avrà quindi una sola coppia di e per la quale la grandezza delle forze è P + X; si otterrà una sola coppia pure di braccio p e per la quale la grandezza della forza è P supposto P > X. I momenti di queste coppie saranno quindi

forze.

braccio

e nel secondo

—X

dati dalla

M = (P+v)2? ossia per l’equazione superiore;

M = Pp ± Q^' cioè sarà

momento

il

coppia risultante eguale

della

alla

somma algebrica dei momenti delle coppie componenti. La composizione di un numero qualunque di coppie tuate in un medesimo piano

si-

opera ripetendo l’operazione anche se le coppie sono situate in piani paralleli, trasportandole prima in uno stesso piano. Quindi il momento della coppia risultante di un mmiero qualsivoglia di coppie poste nello stesso piano od in piani paralleli è eguale alla somma algebrica dei

un

sufficiente

momenti

numero

si

di volte, e cosi

delle coppie componenti.

Si considerino ora

due coppie

pendicolari fra loro; P, rispettive; p, q le la seconda coppia

venga

braccio sia eguale a

determinata

dall’

Q

di cui

p

i

piani sieno per-

sieno le grandezze delle forze

immagini che da un’ altra di cui il grandezza della forza sia X

lunghezze dei bracci;

si

sostituita

e la

equazione

Xp

== Q,q.

Si trasportino

la

prima delle coppie date e quest’ vdtima, ciascuHa nel proprio piano in modo che i bracci delle medesime disponendosi secondo la retta comune intersezione dei piani, vengano a coincidere. Ad ognuna delle estremità del brac,

,

Bkioschi .La Statica

ree,

^

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18

FORZK l'ARALLKLE E COPPIE.

ciò

comune

.saranno così applicate due forze le direzioni

comprendono un

delle quali

queste forze

mune

si

an

coordinate

^0

ai primi,

ed

ai

,

6,

,

C|

origine di questi assi rispetto

dell’

aj

;

6*

,

,

Cj

;

Uj

,

6*

Cs

,

;

i

coseni degli

nuovi assi comprendono cogli assi Oa;, Oy, Oz, rispettivamente. Indico con p, q, r le coordinate del punto di applicazione della forza qualsivoglia di grandezza P reangoli che

i

lativamente

ai

nuovi

e

assi,

con

goli che la direzione di essa

,a,

i

comprende

coseni degli ancoi medesimi.

Se

con X, Yj Zj Mx, My„ Ms„ si rappresentano rispetto ai nuovi assi quantità analoghe alle X, Y, Z; Mx My M* rispetto ai primi; si avranno le equazioni ,

,

;

,

,

,

,

X„=2PX, Y„ = 2P(a, Z„ = ^Py, Mx.=2 P(9 f— r/x), My,=2;P(r/._py), Mzo= 2 P(jp;x- 9

(7)

(8)

Ora

/.).

è noto essere;

p = ai{x — x^)+h{y — y^)+Ci{z -2o q = ai{x-x^)+hi{y — y^) + Ci{z -2o r

^ 03

(

X

—

.T„

3,

fx=a

)

+

63 (

2/

-

2/o )

+

«3 ( s

^0

),

).

))

ed anche: ai

¥^

•/

6i

+/3 6,

-I- •/

6s,

v=a

C| -»-/3 ci

+

ycr,

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,

SISTKUt DI FORMA 1NVAKI AIIILF.

quindi sostituendo questi valori nelle (7) (8) rammentando le denominazioni (1) (2), si otterranno fra le grandezze delle forze le tre relazioni (9) X^=(7|

e fra

i

X -f ffjY+fljZ, Yp=

momenti Mx, I

(

'

lOi

= a, (Mx + «3

i

X+

(ìlr

— —

Z + z, Y) + \ + V/o X)

v/i,

Z+

+i,(M.--a-„Y +

= (Mx —

Tj,

\) + ^4(My

!

- X+ z„

.r„

Z)

— z„X + a-^Z)

v/„X)

C( Z + z„ Y) + +C3 (M._a- Y + v/„X).

f

X+Cj Y-j-CjZ

Z||=C|

(M,;

;y„

/

^

Y^ò; Z,

delle coppie le altre tre

v/o

6's

(My

~ X+

Z)

z„

grandezza della forza risultante e con M„ il momento della coppia risultante, supponendo il sistema riferito ai nuovi assi sostituendo nei valori di R„ Mp per Xp Yp Zp ed Mx, Mzp le espressioni supei-iori, si Inumo le due relazioni Indicliiamo con

K,,

la

;

,

,

4

Rp (11)

,

,

4

4

= X+ Y + Z

4

M*=(iIx-yoZ+z„Y)V(M,-z,X+a-„Z)V(M.-a.pY+X)'

La prima

di

queste equazioni mostra che la grandezza

ha valore costante qualunque sia la si riferisce il sistema, e che la grandezza di una componente qualsivoglia non può superare la grandezza della risultante, ossia che questa quantità è la misura del massimo valore che può assumere la grandezza di una componente. Dalla seconda di quelle equazioni deducesi che il valore del momento della coppia risidtante cambia al variare degli assi cui si riferisce il 0 ottien.si la sistema; ma siccome supponendo x^=^y„

della forza risultante

tenia

d" assi

ortogonali cui

— —

-

ne

risidta

che questo momento ha un valore costante per Iai Stfitiat

or.

I

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2 ()

m

SISTRUI

tutte le

teme

FUKMA INVARI AIIII.E.

di assi ortog^onali

aventi origine comune, e che

questo valore è anche massimo fra

valori dei

i

momenti

componenti corrispondenti a ciascuna di quelle terne. Dunque il valore del momento della coppia risultante muta soltanto al cambiare della posizione dell’ origine degli assi e per (piesta j)roprietà ogni qualvolta dovrà riferirsi un sistema a due o più terne di assi si supporranno paralleli ciascuno a ciascuno; non influendo la loro direzione sui valoià della grandezza della risultante e del momento della coppia risultante. In questa ipotesi delle coppie

;

equazioni

le

(9) (10) si

riducono alle

Xo==X, Y„=

Y,

Z,=

M.„=Mx-y„Z + Myi,

'il-'o

si

chiamei‘à

^ My X+ = Mj — X„ Y 4-

momento

della

spondente al punto di cordinate

componente

di

essa

si

Z,

=„Y,

Z

,

X.

coppia risultante corris„; ed una coppia

dirà pure coppia

componente cor-

rispondente a quel punto. equazioni (9) (10) vengono moltiplicate ordinatamente e quindi sommate, giungesi alla

Se

le

:XMx + YMy + ZM..;

(Ifl)

la quale dimostra che questo trinomio,

mo

con V,

ritiene

il

Sieno

c^

coppia risultante

i

di

il

quale indichere-

medesimo valore qualunque sieno

assi ai quali si riferisce .5.°

fra loro

il

gli

sistema.

coseni degli angoli che

moniento

l’

asse della

comprende cogli

assi

tanto della prima che' della seconda terna; ed o„, Ah,c„ì

coseni degli angoli che di

momento

dinate

a;„, j/„,

N

1’

asse di

corrispondente al fa

con questi

assi.

una coppia componente medesimo punto di coorIndicando con

l’angolo

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,

SISTEMI

compreso dagli equazioni

(5)

ni

si

Tt

FORMi INVARIABILE.

assi di quelle coppie,

((i),

hanno

ed osservimdo

alle

le

+ Co M.„

(14)

N = M„ cos.

(15)

== «n

y

+

+ c„

6„

M.„

:

quindi pei valori (12). se con l, in, n si rappresentano i coseni che l’asse della coppia risultante o di una coppia

componente qualsivoglia corrispondenti dinate

aCp,

(16) /Mj;

I/o,

=0 fiinno

+ mMy

equivarrìi al

per X, Y,

punto

di coor-

-t-nM--)-(i/(,»i-Zom)X-l-(zoroporci la rjuistione determinare quiili debbano essere valori delle mede-

(Iella

nato di

valore

defili assi delle

Mx„

X

Y

Mx„

Ml/„

My„

,

in

,

(11)

ed eguagliando

^ M;„

di tutte le altre

espressione

la

’

M-„ sono 1 valori che acquistano questo caso particolare. Le equazioni ,

superiori dimostrano la principale proprietà della

coppia cioè che 1’ asse di questa ; coppia è parallelo alla direzione della risultante. Il coseno dell’ angolo compreso da queste due rette sarà perciò eguale all’ unità ed in conseguenza, fatto

risultante di

momento minimo

;

M„ si

Mx„ +

-|-

M:„

avrà

X K

]\Ix,

Y

M,„

R

My, •

Z R

M-„ •

àl„,

Digilized bv

Go o^I

COPPIA

m

MOMENTO MINIMO

EOr.

2!»

quale dedurremo

(lalln

(2)

momento Ora se con

si denominerà momento minimo del sistema. z„ rappresentiamo le coordinate del punto dello spazio al quale corrisponde la coppia di momento M„, si avranno tre equazioni analoghe alle (12) Gap. ITI, le quali per le (1) si riducono alle

TI

XV =

— ;y„Z

YV = ZV =

-l-z„Y,

+

.r„Z,

— .t„Y -I-.V™X,

M,

ossia alle

(

— A _y„ — B z„ — C X Y " Z

4)

’

essendo

ZMx-XM,

.YM*-ZV.v „ ®

^,

ip)

.

TAN R*

Ma

’

^

XMy-YMx '

R^

se nelle (4) consideriamo le a;„, ?/„, s„ come coordinate correnti, le equazioni medesime rappresentano una ,

una coppia come è evidente, essendo quella momento minimo. Questa retta

retta ad ogni punto della quale corrisponderà risultante di

momento M„

;

retta l’asse della coppia di

chiamasi asse centrale del sistema. 2.“ Il

trale

,

è

punto di coordinate A, B, C situato sull’asse cenil punto di intersezione del medesimo asse colla

perpendicolare condottagli il

dall’

origine

che provasi facilmente, essendo

le

O

dei primi

equazioni

di

assi ;

questa

pei-pendicolare le

CO

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(•OPPIA

:}o

Ne

DI

MOMKNTO MINIMO

d

deriva che indicando con

e l’asse centrale

si

ha,

per

O

le (5),

W = M’ +

(7)

KIT.

la distanza fra l’origine

R*

per cui, essendo la retta (6) perpendicolare all’asse della coppia di momento ed alla direzione della risultante, la coppia risultante di momento può considerarsi come decomponibile in due poste in piani perpendicolari fra loro ed aventi per momenti M„, RY_.aZ, le

equazioni

(7)

prendono

C

^^

*' ('9')

^

I I

X,

= «aY-/.Y;

.

forma:

la

A + y,B+s,C = E

’

;

il luogo geometrico richiesto sarà una retta. Reciprocamente: i piani delle coppie risultanti

quindi

una

spondenti a punti situati in

corri-

data passano per

retta

Le

(6) sieno le equazioni della retta data, e consideriamo la coppia risultante corrispondente al punto

un’altra retta.

di coordinate Xj, yj, si

hanno

Xs

per

le

Indicando con h una indeterminata

3j.

le

= x„ +

quali

1'

=

/tÀ,

+

equazione del plano

di

coppia

(piella

risul-

tante ])rende la forma

X M,„ + y My„

Quindi

i

+z M,„ -

L

punti situati sulla retta

di

A + B -h = C - E) = 0. »/

passano por cioò questa è

la

la

a

comune medesima alla retta

giunse superiormente.

si

Queste due rette per

una

4 (x

(fi)

intersezione dei piani (9),

quale

-t

piani delle coppie risultanti corrispondenti

esse

contiene

le

i

i

chiamate

rette reciproche.

X

la propri etii,

punti corrispondenti

Rappresentiamo

— a _y — b a

ha luogo

quali passano per

risultanti

piani delle

quali

fi

z

1’

alle

altra,

che

coppie

vengono

colle equazioni

—c y

la retta intersezione dei piani (9) ossia, la retta reciproca

della

(fi).

Essendo identicamente

L'igitized

uy

,

OELLE r01»lME KlSUtTANU.

f'ROrKiKTA

“^1*0 I

^

^

/

'40

»

(),

potranno ritenere:

si

a i

+

aA + /3B + -/C =

^

,

= BM.„-CMy„

quali valori, (13)

r^

= CM.„-AM..

= AM^„-BMx.

y

ponendo

L=

(12)

/.Mxo

+

+

>Msq

,

equiv'algono al seguenti: a I

= /.V-LX,

)3arametrl a,

b,

/3

= aV-LY,

-/

= >V-LZ.

c sodisferanno inoltre le

ftMxj

+

+

cJIjj

=D

aA + 6B + cC = E dalle quali e dalle (11)

si

avranno

,

;

le

_ ay) + My, — by) = — D-/ — by) = — E-/ A {ex — ay) + B

Mx„ (ca

{eli

(c,3

,

e quindi:

—

b-y

efi

= DA — EMx„

:

ed analogamente:

— ay = DB — EMy, = DC-ElL.„.

ex (14)

a,3-òa

Ora

si

ottiene facilmente

EMx„ — DA = LMx + per cui

si

avranno !

by

ex I ,

fl/3

V (3

q

a

—

'Jo'-')

le tre relazioni

-

= V {y„ > _ z, a) _ LMx — ay = V 1 — — LMy — ix = V — _ LM (c„

(.T,i

>)

’J.

/.)

,

,

.

.

D

'"i by

Coogli

40

DELLE

l’ROPRIf.TA’

Se mediante

COI’I'IK

valori (13) (14) dell’ equazione (1), risulta i

“ ma

moltiplicando a*

+

3’

+

7

*

aX + jSY + yZ

le (13)

per

Àa

+

primo membro

•

sommandole

V7

ha

si

:

forma

+ ,u^ + y7 = 0;

od anche, osservando che danno 4- u/3

y e

/3,

(1) prenderà, la

(15)

Xa

a,

il

= V (Xa + u/5 + yy) _ L (aX + jSY + y'L)

dunque l’equazione

la

RISl'LTANTL

formiamo

le (13) moltiplicate

= V(X’ + u» +

y»)

per

_ L(XX + uY + yZ)

u, v

,

seguente:

L

(16)

Le prietà

V(X*

+ fA* +

“XX + ,uY+

y*)

yZ’

equazioni (15) (16) contengono due interessanti prodelle rette reciproche. La (16) essendosi dedotta

dalla (1)

sostituendovi

i

valori di

a,

jS,

7 .... è la condi-

zione che deve verificarsi perclià la retta (10) sia asse di coppia risultante ma la (16) per la sua forma è anche la condizione che deve essere sodisfatta dai parametri X, ;a.... ;

dunque (6) sia asse di coppia risultante se la retta data (6) sarà asse di coppia ri.sultante lo sarà anche la sua reciproca (9). La (15) dimostra che in questo caso quelle rette sono ortogonali. 5.” Dalle equazioni (13) (14) si deducono facilmente le perchè la retta

seguenti

;

:

1

V

V

1

.

\_L.“-l'^’

„

V

Z-l'

1

.

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Google

DKLUK coppie KlSUl.TANTI.

l’ROl K11-:TA*

-'I

)

= x; Mj),

,

I\Iii

,

>Ix,

My.=

-

(^0

I

_

2

( „

e

,

»y,) V

z,)

/.

-

-

2 ( „

(.r„

—

_

V I

se

i

((!),

punto

il

sono

nulli;

,)

«

- (« - x,)y

/5

- - yy,)a

I

|

(n

_a,)

(/t

j

|

y

,

primi termini dei secondi

zioni superiori

•/

I

coordinate x

di

nelle espressioni

(c - 2

_i |

Ora

.

_ y,) - (c _ z,yì

(6 I

-i

a-,)

.

le relazioni;

_1

I

M„=|-j(.r„-.r,);x_(y/„_yy,)/.

retta

~

X, Y.

otterranno

si

CiS),

— rty),

(ca

~L

Si sostituiscano questi valori di di

-£-

1

~

-Il

— ^ {h —

per cui la

z

,

è

situato sulla

membri

somma

nelle equadei quadrati

darebbe ì

M,

=

+y

+

i

r.

J-,

essendo

ri

la distanza

coordinate

Z|

e la retta reciproca alla (6). -^'come, indicando con l’analoga distanza per un altro punto, .a ?

a’

•Mi

COSI

avremo

la

i

momenti Ijt

(ì^

•/'*

1 ,

proporzione

.'U

cioè

—+

+

Vi

di

~ r.

’

due coppie risultanti corris|>ondcnii a

Sttttirii ffr.

0

Digitized by

Google

42

l’KOrRlKTA

rol'HK

DKI.l.K

due punti qualunque, stanno

RISI I.TANTI.

come

fra loro

le

questi punti dalla retta reciproca a quella

distanze di

che unisce

i

pimti stessi. 6.°

Siano

:

_ — y„

3

3/

>.i

— sp

fj-i

comune a due rette reciQuesta retta per la proprietà caratteristica

equazioni della perpendicolare

le

proche

(6) (10).

delle rette reciproche sarà situata nel piano della coppia

corrispondente al punto di coordinate

risultante

per cui

;

si

Ài

Mx„

-f-

Ài

/.

-J-

U|

fx -I-

R, V

=0

quali pei valori (13) À|

+

ui Mj/ji

ed essendo perpendicolare ranno

le

À|

.

X+

fxi

Y

:

due rette reciproche sa-

alle

danno

=0

1*1

3t

y.|

/£

4-

i/|

=0

y

— Tg

y

-J-

>1

Z

—

= 0;

-

ZMx„-XMz„ Questa

retta, evidenten''-**'-*^

lo incont'",

trale

;

la

per cui le equazioni della perpendicolare comune rette reciproche risulteranno le

x

,

avrà

alle

due

z —_fo__ «51^7- YJL„

perpendicolare

all

asse cen-

^ dimostrato al Gap. IV,

§

2.°

W| , wj , gli angoli compresi dall’ asse y; jrtaictiino con centrale e da ciascima delle rette reciproche , e con , 0,

,

alle

lunghezze delle porzioni di perpendicolare comune due rette reciproche intercette fra l’asse centrale e stesse. Si hanno evidentemente le

le

le rette

COS. «I

= ÀX-|-aY4-vZ

COS.

'>>i

= «X +

+ '/^ Zìi

,

I'KOI-RIF-Ta’

tlKI.I.K

rOFPIK

Risili

,

45

TANTI.

essendo «

=

[/

(>>

+

,ia’

+

.^

)

àX + uY + vZ si

avranno

)

;

= h,

le

R;t cos. ui

(18)

= [/{a^ +

V

,

posto per brevità

ossia, pei valori (13),

=H

R'j cos.

,

oij

= VH — LR’

-,

dalle quali, osservando essere

= si

deducono

V’ +

(

R?t sen.

'Ji

(19) t

Ru

sen. 1^,

Ora indicando con reciproche, e con 5 si

L*R*-2VLH,

due

le

i la 1’

= / (R*m* — H*) = - Vl/(R* m’ - H‘). 1

minima distanza fra le due rette compreso dalle medesime

angolo

ha Xa COS. 5

+

u/5

+

i/y

. ,

mi dalla quale

uu sen.

= — L J/(R* u* — H*)

5

:

e siccome sostituendo nella (12) per X, Mx-.. si

ha

L* si

i

valori (17)

:

=—

sen. 5

,

otterrà infine

j

,= ^/(RhA*-H*).

Per questa relazione (20)

Rm

sen. wi

=

le (19)

,

diventano

Ru

sen. «j

=—

.

Finalmente la espressione della minima distanza fra la

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,

44

proprietà' UKU.K (OPPIK RISIT.IAMI.

retta

((>)

e

l’

dopo

conduce

asse centrale

alcune ridu-

zioni alla 'J(

u

V

R

sen.

'ìj,

= L — ^ Il

o per la prima delle (20)

(

VH

=

21 )

LR*

)i

ed in conseguenza (

VH

22 )

ER*'

Osservando

7.®

alla

forma

ecjuazioni (17) è

delle

dente che se immaginiamo due forze dirette secondo reciproche

rette

da R)

R^

,

,

evi-

le

due

e di cui le grandezze, indicate

(6) (10),

sieno

=

(23)

prime tre rappresentano le somme delle grandezze, dello componenti di quelle forze parallele agli assi ortogonali; ed i secondi membri delle altre rappresentano le somme dei momenti delle coppie compoi

membri

secondi

de’le

per la composizione dei due forze suddette due forze che al Gap. Ili

nenti, quali risultano dalle leggi

sistemi di

forma

costituiscono

§

E

3.®

ciò

si

ò

invariabile. Quindi le

quel

sistema

di

dimostrato essere equivalente al sistema dato. dalle forinole del paragrafo an-

può anche dedursi

tecedente. Infatti per le (23) e le (18) (20)

HV

R) cos.

LR

'.jj

==

= Ri sen. =

Ri sen. ilalle

si

hanno

LR‘ Ri cos.

oj,

le

_ IIV LR

,

quali:

(24)

R| cos.

'- 0,

éd ha centro

iVx 2P

w~

le espressioni

^ X sono

iPz ip

Considerando la forma dei valori trovati per

dinate del centro di

che

di forze di cui le coordi-

:

le

un sistema

le

di forze parallele, è

coor-

chiaro

:

^ X

F,

X

’

’

coordinate del centro del sistema

di

forze paral-

formato dalle componenti delle forze del sistema dato ad imo degli assi. Osservando alle (11) si avrà quindi che un sistema di forma invariabile ammette centro di forze quando i centri dei tre sistemi lele

dirette parallelamente

,

di forze parallele,

i

quali

si

ottengono decomponendo

il

sistema dato parallelamente a tre assi ortogonali, coinci-

dono ed dato. i

E

il

punto

di

coincidenza è

il

centro

nello stesso centro delle forze

centri di tutti

i

sistemi

«li

del

coincidono

sistema

anche

forzo parallelo formati da eom-

DigitizeiJ

by

Google

AD UNA RISULTANTE

DEI SISTEMI RIDUCIBILI

dato

sistema

ponenti, delle forze del

con

(jualsivogliano. Infatti indicando

,

a>

59

ECC.

parallele

a rette

coseno

dell’ an-

il

golo che la direzione della forza P comprende con una le coordinate del centro del sistema di

retta arbitraria

,

componenti parallele a quella retta sono: 2P

2 P «u y

'D a;

2Po) le quali,

2Pw

’

denominando

retta fa coi tre assi,

a,

c,

6,

danno

i

le

2Puz ’

”'^'2PT’

coseni degli angoli che la

:

a(^X-Ei) + 6(^Y-E,) + c(/Z-E,) = 0 (mX — F|) 6 (»iY — Fj) -f c (mZ — Fj) = 0

a

-1-

a(raX »

- G,)

od eliminando

Se

le

m, n

rappresenta dinate sono

-t-

le a,

si

6(nY c

6,

- G,) + c(nZ - G,) = 0

:

E,

E,

E,

X

Y

Z

F,

F,

F,

X

Y

Z

Gl

Gj

G,

X

Y

Z

1

1

suppongono

1

variabili,

questa equazione

piano che passa pei tre punti di cui le coorE| F| Gl ecc., quindi il luogo geomej-

il

,

,

A.

trico dei centri degli infiniti sistemi di forze parallele si

ottengono nel

modo

suddetto è un piano. Se

sono soddisfatte, tutti questi evidentemente col centro delle forze.

zioni (10)

le

che

equa-

centri coincidono

.5.® I sistemi variati che abbiamo considerati superiormente non erano soggetti ad altra condizione che a quella del conservarsi costante la mutua inclinazione delle forze e le

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.

60

SISTEMI RIDUCIBILI AD UNA RISULTANTE KC
BI

equazioni (10) sono in questo caso le condizioni per la sussistenza del centro delle forze. Ma se assumiamo qualche al-

modo

tra ipotesi intorno al

quale

nel

direzioni

le

delle

loro punti di applicazione

forze ruotano intorno ai

ver-

,

ranno evidentemente a cambiarsi le condizioni per la esistenza del centro delle forze; il quale denomineremo centro relativo delle forze. Supponiamo che i sistemi variati si

ottengano facendo ruotare

direzioni

le

delle

forze del

sistema dato intorno a rette condotte pei punti di applicazione e parallele fra loro, in

modo che

mutue

le

incli-

nazioni delle direzioni delle forze rimangano costanti. Ope-

rando come

al

pei valori di «i

L|

[

-|-

+

^

Nj

/a'*

Osserviamo che

ma

in

).

-f

(N.

-p

- L,)

questo caso le

indicando con

a,

(7) (8) ossia

:

(Li 4- M|)

-|-

- Ni)

equazioni

le

la (9) e la

ò|

,

Mi

Ni) u ^ 4- (M,

indipendenti,

otterranno

2.“ si

§

«A

(a,

b,

c,

i

(N| 4- Lj)

4-

y,

(Li

>

/.

4-

- M.) = 0. V

non sono più

coseni degli an-

abbiamo immaginato condotte pei punti di applicazione delle forze comprende coi tre assi, e con k una quantità arbitraria si hanno le (Vedi goli che ciascuna delle rette che

la nota)

:

À

=

A'

o

Se questi valori si

a

,

si

eguagliano a zero

gono a(L,a (

le

=kb

V ,

— kc.

sostituiscono nella equazione coefficienti

i

di A*

e di k

si

(

9

M,Ì 4-N|C) 4- 6(Li«4-Ms64-Nic) 4-c(L 3a 4- M3A4- N5C)

14 )

)

e

otten-

:

a (Ni

- M3) 4

-

b (L3

- N|) 4

-

c (M,

=0

- Li) = 0

saranno le condizioni che debbono verificarsi perchè un sistema variato qualunque sia riducibile a risultante le quali

unica. Siccome poi la equazione (13) nella quale si pongano per À, lA, K i valori superiori dà origine alle stesse due equazioni (14), ne deduciamo che anche in questo caso, se un sistema variato qualunque è riducibile ad una risultante, il sistema dato ammette centro relativo di forze.

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ah

UBI SISTEMI Riiimim.i

Le equazioni

itsa

riseitante kcc.

+

insieme alla

(14),

a determinare nei casi particolari quali individuano la direzione le quali

ottenere

debbono

si

+ r’ =

/i’

valori

i

comune

n,

delle

ò, e,

i

rette intorno

far ruotare le direzioni delle forze per

sistemi variati.

i

Consideriamo per esempio un sistema

un piano, se

in

Gl

serviranno

1

di

direzioni delle forze

le

variato saranno situate in quel piano,

di

forze

dirette

di

ogni

sistema

condotte

rette

le

pel loro punti di applicazione ed intorno alle quali

pongono ruotare potrà scriversi

per cui

;

sup-

medesimo

equazione del

1’

si

saranno perpen-

le direzioni delle forze,

dicolari a quel piano :

ax + b y + c z == d. Ora

le forze

ponendo 3-j

“s

t/ 5

,

,

|3s

del sistema dato essendo dirette in questo

saranno

piano

,

)

Zs

;

•

'/li

•

le equazioni che equazione del piano stesso in luogo delle x, y, z ed invece delle «, /3, / nella

indentiche

nella

•

queste ultime

deducono

si

cEj (Ib)

«G| e le prime i

(i«)

o E,

-t-

ìGs

danno -I-

6F,

a't et,

yi

,

(3,

,

z,

,

/,

,

;

;

:

= 0.

ffla-t-6/3-(-C7

Da

ottengono

si

-t-

le:

= 0,

cG; = 0

« F(

-I-

/iFj-t-cFj^^O,

X

4-

6

u

Y

e

óFa

-I-

Z

==•

0

;

:

-t-

!

cGi

= f/X,

oEs

4-

rt

ftFs

-I-

r

4-

e

Es

Gj

-I-

cG = c/ Y, 5

= dZ

I

dalli ilalle

quali:

u L|

4"

b

c

1I| 4-

X

0

I

L5

,

(17) €L

Da

L3

4-

b AI3

un piano

“t"

c

X5

0

,

.

1."

che un sistema di forze

una sola risultante 2.“ hanno

che ha centro relativo facilmente le due:

oMj

è M5

ò riducibile ad

queste relazioni deducesi

dirette in

4"

—0

:

di forze. Infatti dalle (15) si

= iM|

,

cX(

= aX's

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,

AD UNA RISUI.TANTE

DKI SISTEMI RIDUCIBIU

62

per

le

quali la

prima delle

+ Mj + N

L,

nota equazione

ECO.

(17) si riduce alla; 3

=0

condizione. Inoltre la prima delle equa-

di

zioni (14) è identica a cagione delle

medesime

vasi facilmente esserlo anche la seconda

(17), e

potendosi

prootte-

primo membro di essa moltiplicando la quarta delle (15) per Ei - - Fj -I- Gj e sottraendovi le altre tre moltiplicate ordinatamente per X, Y, Z. nerij

il

1

Le

coordinate m,

sistema

si

,

w

v,

del centro delle forze di questo

ponno determinare osservando che vZ|

+

u^Y|

0

Mz,

w^X|

^lyi

,

-f-

le

equazioni

Z,

=0

Z4

— uYi + uX| = 0

debbono essere soddisfatte identicamente. Quindi sostituendo nelle medesime per Ci .... i loro valori for6i mati colle quantità k, a, b, c dovranno essere nulli sepa,

,

ratamente i coefficienti delle varie potenze di k. Dalla prima delle superiori si hanno in questo modo le tre equazioni; c aF, 6F, + cFs - KaX 6Y cZ) = éJaGi-l-òGj-t-cGs — w(«X +-6Y-t-cZ) v{bX— aY) — w(aZ — cX) = àE, + òF» +cGi — u(E| +Fj + G3) F3 — tiZ = Gj — wY -1-

-I-

-I-

)

1

j

la

prima delle quali ò identica per

vale alla identica

le (1.5), e la

terza equi-

;

Mx — vZ + wY = 0. Quindi, per le (16), le

v,

w

debbono soddisfare

alle;

- aY) - «i(aZ - cX) = dX- a(E, F, + G,) w(cY - 6Z) - u(bX - aY) = cZY - Ò(E, + F, + Gj) M(aZ - cX) - v(cY -hZ) = dZ- c(E, F, + G F; - vZ = G, - wY G, - wX = E, -uZ

v(bX

-1

-f-

,

E*

3)

,

- mY = F, - vX

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.

.

.

63

DEI SISTEMI RIDUCIBILI AD UNA RISULTANTE EC(

Ora, moltiplicando a,

h,

prime tre equazioni superiori per

le

sommandole

e

c,

ottiensi la

+ vY + wZ

ztX

:

= Ei + F, + Gj w

e sostituendo in quest’ultima per v,

dedurre dalla quinta e sesta

i;R’

«jR»

i

valori che

si

ponnn

:

X + E, Y + Es Z + N, - M,

E,

ed analogamente

ha

si

;

;

- F, X + F, Y + F3 Z + L, - N, = G, X + Gl Y + G, Z + M, - L,

5“ Consideriamo come al § 2.” un secondo sistema di forma invariabile ed indichiamo con Q la grandezza di una forza qualunque; con

a,

c

b,

i

coseni degli angoli che la

direzione di essa fa coi tre assi, e con

le

>7,

coordi-

nate del suo punto di applicazione. Se con L, indichiamo

momento

il

ha oiàgine dal primo sistema direzione della forza di grandezza

della coppia die

e che ha per asse la

Qr

si

avrà per la formola L.

essendo À,

e

—

=

;

IJr C,.

(6) del

Gap.

X

Cf

-t-

—

ponendo

-4-

che

IT.

U.

\

1^,.

:

Z

==

^r

?

r

,

:

= àQn = IQI

Mx, avrà

My

,

X|

si

4- Òf

flf

,

,

Y|=.2ìQ6, My,

= :iQ;a

,

Z,

= àQc

M..

= 2Qv

:

ìLQ = X,

Y,

My +

Quindi, supponendo che

Z, i

-t-

XMx, + YMy. +

due sistemi sieno

mia sola risultante, le direzioni quando sussista la eipiazione:

ìLQ

di

=-0

queste

si

ZM.-,

riducibili

ad

incontreranno

.

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/ (il

r.vi'iTOLO

vrii.

Diilh condizioni per V equilibrio di un sistema di forze

ad un punto.

applicate

1."

Un

sistema

di forze dicesi in equilibrio

gli effetti delle forze

si

denominate le

quelle

E

condizioni d’equilibrio

vengono

relazioni fra gli elementi del sistema,

debbono necessariamente

quali

allorquando

elidono, e quindi l’effetto comples-

sivo del sistema è nullo.

stabilirsi

perchè

il

si-

stema sia in equilibrio, o che reciprocamente hanno luogo quando il sistema è in equilibrio. Si è dimostrato al Gap. 1.° che un sistema di forze applicate ad im punto può ridursi ad una sola forza, e che indicando con R la grandezza della medesima con P quella di una qualunque delle forze del sistema, con a, jS, i coseni degli angoli che la direzione di questa fa con tre assi ortogonali, e ponendo ; ,

•/

X=vPa si

ha

,

Y

= :sPi3,

z

= :ìpy

; i

R5

Ora r

effetto

della

= X‘

-I-

Y*

-1-

.

forza di grandezza

R

è identico a

quello del sistema dato, quindi è evidente che se quest’ul-

timo è

in equilibrio

che se

si

Avremo

avrà

R=

=

dovrà essere R 0, c reciprocamente 0 il sistema dato sarà in equilibrio.

perciò quali condizioni d’equilibrio le tre seguenti: i;Pa

=0

,

IV fi

=0

,

IV-,

=0

DELLE CXJNDUIONI PER

l’

EQUILIBRIO

DI

US SISTEMA

DI FORZE ECC.

65

2° Se il punto al quale sono applicate le forze non fosse libero come si è supposto nel paragrafo precedente, ma fosse obbligato a rimanere sopra una Impenetrabile superficie, nel determinare le condizioni

per requilibrio del

sistema devesi tener conto della resistenza che la super-

opporrebbe al punto la quale sarà diretta secondo normale alla superficie corrispondente alla posizione del

ficie

la

,

punto.

Se quindi consideriamo questa resistenza di grandezza incognita, come un’altra forza agente sul punto potrà medesimo considerarsi come Ubero, e rappresentando con F'(a;, 2/, z) = 0 l’equazione della superficie, si avranno quali condizioni per requilibrio del nuovo sistema le equa-

N

,

il

zioni seguenti:

X-t-N

(1)

posto

:0,

H

Y+N

IM H

Z +N

‘

'

H

=

0

,

:

Le condizioni per requilibrio del sistema dato si otterranno eliminando la N dalle tre superiori (1) per cui saranno le :

nelle (1)

bro

si

i

all’

equazione

della

in

N

nel

Trasportando secondo mem-

ha:

=N

conseguenza:

X

F'(x)

R“ dalle

superficie.

termini che contengono

R ed

F(z)

F(.y)

F(.r)

unitamente

H’

Y

quaU deducesi che che oppone

la resistenza Ln

Statica tee.

F(^)

R~ se

li’ il

Z

R“

F(z)

H

sistema dato è in equilibrio,

la superficie è eguale alla gran0

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66

OKLLE CONDIZIONI PER

EQUILIBRIO DI UN SISTEMA DI FORZE ECC.

t’

dezza della risultante

forze attive, e che le forze

delle

medesime agiscono per verso contrario. 3.® Supponiamo che il punto al quale sono applicate le forze sia costretto a stare sopra una linea a doppia curvatura ; 0 con maggior precisione immaginando i piani dei circoli osculatori corrispondenti ai varj punti della

nea, supponiamo che

li-

punto debba rimanere aderente la avranno così due resistenze opposte dalla linea, l’una diretta secondo la normale or-

uno

linea in

il

di questi piani. Si

dinaria della linea, corrispondente alla posizione del punto,

secondo la perpendicolare

l’altra diretta

al

piano del

colo osculatore nel luogo occupato dal punto.

dicano

grandezze incognite

le

Se

si

cir-

in-

queste resistenze con N,

di

medesime agenti sul punto; avremo quali condizioni d’equilibrio del nuovo sistema le seguenti: Q,

c riteniamo le

X

4-

Néli

+ Quj = 0

Y-|-N6,4-Qò,

Z nelle quali

a-t

,

l>i

-f

Nci

-f-

Qcj

=0 ~0

,

,

angoli che la normale

denotano

i

coseni degli

e la perpendicolare al

ordinaria,

piano del circolo osculatore, corrispondenti al luogo della linea in cui trovasi

Se con

U)

,

6|

,

il

ci

,

punto, fanno coi tre assi ortogonali. si

indicano

la tangente la linea in quel

cando

le

seni e

sommandole (4)

i

coseni degli angoli che

punto fa cogli

assi, moltipli-

equazioni superiori ordinatamente per quei cosi

X«i

ha: -f

Yò|

Zc,

=0

sono le condizioni per La equazione (4) mostra che per r equilibrio del sistema dovrà essere nulla la componente, diretta secondo la tangente della linea, della risultante delle forze attive, cioò che questa risultante deve essere diretta nel piano normale alla curva. la quale e le equazioni della linea

l’equilibrio del sistema dato.

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DELLE CONDIZIONI PER L EQUILIBRIO

Per determinare

i

per «5 Ò3 Si avranno

cj

,

,

e

si

DI

UN SISTEMA

DI

valori delle resistenze

POHZE E,y-e|S)

2P^3

= 0,

= 0,

= 0,

2P-/

>:P(;a-|y)==0,

V P(?/3 ->;»)

=0

prime tre sono vèrificate avendo supposto essere, nella prima posizione, il sistema in equilibrio. Si imm agini il sistema nella seconda posizione riferito ad una nuova terna di assi ortogonali la quale sia quella che otterrebbesi trasportando la prima terna, supposta invariabilmente unita al sistema, insieme al sistema medesimo. delle quali le

,

Se con gine

e,

/, g, si

e con a,

,

,

indicano le coordinate della nuova òi

,

c,

i

coseni

degli

ori-

angoli che le

due terne di assi comprendono rispettivamente le equaavendo riguardo alle (1) si ponno porre sotto la ,

zioni (6)

forma

:

a,

F

a,

2 Vax

«I

G

essendo

-t-

-I-

éj

ò|

E

— «3 G — 6, 2 P(3?/ — Cj E == 0 F — «1 F — 6| E — c, 2 P/z = 0 E — 2Paa; — G — Cj F = 0

c,

2

P-/Z

G

-I-

Cs

2 P/3y

-I-

Ci

-t-

-)-

is

flj

:

E = 2P-/^ = 2Pì3z, F = 2Paz = 2P-/.i-, G = 2P/3a = 2Pa?/. Si sostituiscano nelle tre equazioni superiori in luogo dei

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=

DELLE CONDIZIONI

nove coseni

a\

iP/z

L

-I-

— àL

l’ER

.

.

.

.

l’

EICILIBRIO DI

ISPa-a’-f

,

iP.%

,

-f

:

iPaa:

=N

— (aM + iE) + (àF iaE — vN) = U

(aG

+ vF)

.nG

+ vF) + (àG — iaM

— ).L

-I-

fiG -I-

per

= 5I

^P/z

-t-

a(

73

N SISTEMA ECC.

seguenti;

le tre

— >( — àL

(

I

loro valori formati colle tre in-

i

(Nota) e facendo per brevità

V

fA,

otterranno

si

6i

,

determinate

-I-

y(/.G

-I-

-f

la sussistenza delle quali

-i-

dovranno essere

— X L + G -f > F = 0 XG-aM-f vE = 0 XF E — N = 0. (A

(7)

1/

-t- fA

Dunque

che

la condizione

deve

elementi del sistema affinchè in

-L (

e

il

una seconda posizione sarà

:

verificata

dagli

sia in eqixilibrio

F

=0

G-M E F E-N

8)

da due qualsivogliano

dei rapporti X

G

essere

medesimo la

;

y

i

si dedurranno i valori determinano quella nuova

fra le (7)

quali

Ma

questi valori (Nota) individuano la direzione posizione. di una retta per la quale ha luogo la proprietà, che im-

maginandola condotta dall’origine dei primi assi, questi si ponno far ruotare intorno alla medesima in modo da divenire paralleli rispettivamente agli assi della seconda tema. Dunque effettivamente il sistema può trasportarsi dalla prima nella seconda posizione facendolo motare intorno alla retta determinata dalle equazioni (7). La retta medesima per quésta proprietà viene denominata asse di equilibrio.

la

Notiamo che l’equazione (8) sarebbe anche la condizione quale deve essere soddisfatta perchè un sistema variato Brioschi.

La

Statica tee.

]q

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“4

DEU.E CONDIZIONI PER

ottenuto

come

equazioni

disse

si

l’

EQUILIBRIO DI UN SISTEU* ECC.

Gap. VII sia in equilibrio, e

al

servirebbero a determinare l’asse attorno quale devono ruotare le forze.

le

al

(7)

Supponiamo, per esempio, che sia di forze parallele

E si

==

hanno

y-Py =

:

il sistema che si considera essendo in questo caso

L = iS^Py + ylFz,

fSlPz, ecc.

ecc.

le:

-aL + ^G + -/F = 0

aG-,5M + yE = 0

,

(juindi l’equazione di

condizione

di equilibi’io è parallelo alla

,

aF + iSE--/N = 0

(8) è soddisfatta; e l’asse

direzione delle forze.

I.** Se il sistema dato non fosse libero, ma un punto del medesimo fosse fisso, mediante la introduzione di una forza

agente su quel punto, la

grandezza e direzione incognita,

di

quale supponesi produca sul sistema lo stesso effetto

del punto fìsso, libero.

con

N

si

Indicando con la

un nuovo sistema conqjletamente

otterrà

grandezza

a,

c le coordinate del

b,

di quella forza,

degli angoli che la direzione della

punto i

si- avranno quindi quali condizioni nuovo sistema le equazioni:

coi tre assi; del

(9)

X+X/ = 0,

Mi + N(6/i —

cni)

Y + N»i = 0,

=0

Mj,

,

Mi + N(a»« —

bl)

fisso,

con l, m, n coseni medesima comprende d’equilibrio

Z + Nm =

+ N(c^ — an)

=0

0 ,

= 0.

da queste sei equazioni si eliminano le quantità N^, ìim, Nn, si avranno tre equazioni fra i soli elementi del sistema dato, le quali saranno le condizioni per l’equilibrio del mede.simo. Queste equazioni sono:
C|)

au

c/.

,

— èX =

moltiplicando ordinatamente quantità primi

membri

di

(io,

le

= - (aCi — co

—

— ahi

,)

)

equazioni (10) per le sei

queste equazioni, e sommandole

ottiensi la:

XMx

+ (òp — o/z) X

-1-

(cX

— ok) Y

-1-

(flu

— iX) Z = 0

7G

DELLB CONDIZIONI PER L EQUILIBRIO

la quale equazione

essendo fra

i

DI

soli

UN SISTEMA

ECC.

elementi del sistema

medesimo. Questa equazione, rammentendo la forma (16) del Gap. Ili, equivale al dover esser nullo il momento della coppia (in generale componente), la quale ha per asse la retta che unisce i punti fissi. Se questa retta fosse asse di coppia risultante corrispondente ad uno dei punti fissi, dovendo essere per Tequilibrio nullo il momento di questa coppia il sistema delle due forze N, N| dovrà ridursi ad una sola risultante ili grandezza e direzione eguali a quelle della risultante del sistema delle forze P ed agente per verso contrario. In generale il sistema delle forze attive P dovendo essere equivalente al sistema delle forze passive N, N| varranno pei medesimi le considerazioni esposte al Gap. V. sarà la condizione per

l’

equilibrio del

,

,

77

NOTA. %

Rappresentando con

'

a,

1

-1-

+ Oj + aj

I

*

>

=• 11

+ b] +

= =1

I

b)

come

dalle quali deduconsi, by Cy

dy I dy

by Cy

b|

= bj C| -

b, Cj

by

by C|

by

—

b| Cj

H da queste le sei

Essendo

,

a, a,

-|- fr, fcj -I-

=0 =0

c, Cj ==

0

;

Cj

Uj

Cj

C|

Cj

fi

Ci

c, e,

c, pj

6, 6,

Uj

*

^

Uj bf a, by

0] 6|

f, = a, 6, —

f, 0,

(/, fc,

=0

a, 6,

-1-

8j 6j -H Oj 65

a,

c,

+

a,c,+ a,Cy= 0

b, c,

+

6j c,

a,

,

by e,

-l-

= 0.

by.... legati da sole sei equazioni indi-

potranno esprimere sei di essi in funzione degli altri tre. dovranno essere indipendenti fra loro, quindi po-

coseni

ai

,

di

,

la

6j

,

bs,

sei terne

:

Cs

;

Oy

,

dy

,

bi

,

Cy

,

dy,bi,Cl',

ai

,

by

,

prima terna

,

si

bt

,

Ci

'osservi che dalle

Cs

Ci

.

formolo

(1)

(

2)

si

:

a|=l- 4l-c|,

t!=l-a|-c!,

le quali

dy

Cy

= C, 8, — dy —

-f-

nove

le

+

a, -f 6, 6,

a, Oj

aJ

Scegliendo le

,

bj -h b| -h b|

tranno formare una delle

hanno

i nove cocomprendono fra

:

nove coseni

i

^tendenti, si tre

.

+ aJ-fOj=l =1 c, -r C9I- Cj = 1

Ì

Questi

fli

è noto,

=

di

b,

,

ortogonali

assi

1

cJ

o,

;

di

;

b, -h fi

1

Ci ;

>

>

due terne

le relazioni

danno ( 61

od essendo

= aiby-Cy

;

+ a, = 2 — a* — b| — c| — d ± 2

jier

a,bi

)’

le

(

3)

:

(

Ui

(IS

+ fs )’ — (

( 1

:

c,-A,

;

==

Ci

J/ ((1

+ A,)’ - (fs + a,f

j

= (/{(l + a,)»-(6,+c)s],

per cui {lenendo

= 1 + + Aj + r, m = l — Oi +Aj — n, P

hanno

si

I

(4)

Al

(Il

le forniole

+

(i|

n=l—

n,

/

,

== 1

— 6, — cj — + fj, /ij

:

= f{ |/'/m 4- J/pn

I

oj^yd/Zn + l/pni] (t~

+ [/ pn

f

fi

'i\\/mn-\-\/pl]

\

/«}-= il (ler le

I

Im

==

1 {

^/In

+ (,^pm

quali sono es{iressi in funzione di ai

ht

,

bs~ f{\/mn ~^\/pl\

J

,

c>

i

valori degli altri

sei «.Hiseni. 1

valori dei

nove coseni

quantità indeterminate

tre

ì, u, v

A SI

ponno anche esprimere

si

nel

modo

in

funzione di

seguente. Posto {«r brevità

= l+À»+pi+.,».

su|){)ougano

An=4v‘:

/tm=4u», (jer

^

queste posizioni, essendo I

p + H-m+»i=4,

P~f+m— n=4Aj .si

otterrà

dapprima

la

hp

=

4,

+ 1— m— n = 4n, p— /— jn + n=4cj

p ,

ed in conseguenza

Ae,=l->.“-p*+l’,

(ó; inoltre essendo

h[/Tm

= l'kii

à[/np = 4v,

,

h[/ni

— 4).v

fc|.Anp=4u,

,

/i(/mn

hj//p

= 4pi> — 41,

-

,

79

NOTA. si

le ( 4 )

avranno per j

=*2

/lèi

(i

u

^|/ia9=2(X,«*-

Le

seguenti

le

v),

:

flj

— 2 (i V 4* ^),

he,

=2(i»-,«),

+ y),

= 2 (u + /ȏ, = 2(pv->.). /iCa

y

>.),

indeterminate 1 «, v sono suscettibili di una rappresentazione si indichino con a,b,c i coseni degli angoli che

tre

,

geometrica. Infatti

una

rotta

comune

indeterminata

quale supporremo passare per

la

,

due terne

delle

d’assi ortogonali, fa cogli assi di

con k una quantità indeterminata. Essendo zione

n*+h* (

+ f* = l,

— ka,

y

ed osservando che pei valori tre relazioni a, 1

si

Oj X

,

giungerà

— kb,

= fcc;

-.